Текст
Н.Н.Попов Б. С. Расторгуев
Вопросы расчета и конструирования специальных сооружений
Н. Н. Попов, Б. С. Расторгуев
Вопросы расчета и конструирования специальных сооружений
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Промышленное и гражданское строительство»
ББК 38 712
УДК 699.83 : 624.04(075.8)
Рецензенты Р. О Бакиров (Военно-инженерная r Тку’ нм В В Куйбышева), А. И. Цейтлин (ЦНИИСК нм. В- А. КУ черенко).
Попов Н. Н., Расторгуев Б. С.
П 58 Вопросы расчета и конструирования специальных сооружений: Учеб, пособие для вузов. — М.: Стройиздат, 1980. — 190 с., ил.
Приведены современные методы расчета специальных сооружений на воздействие взрывных волн. Рассмотрены методы расчета железобетонных конструкций — балок с различными условиями закрепления концов, впецентренно сжатых элементов (колонн, арок); описан метод, позволяющий учитывать влияние вертикальных перемещений, вызываемых податливостью грунтового основания. Методы расчета изложены с учетом работы конструкций в упругой и пластической стадиях.
Пособие предназначено для студентов строительных вузов и факультетов
„ 30205-299
" 047(01,-80 89’8°- 1304070000
ББК 38.712
6С4.2
Предисловие
Основные направления развития народного хозяйства СССР на 1976—1980 годы предусматривают снижение материалоемкости и стоимости конструкций, повышение качества проектов. В решении этих проблем важное место принадлежит совершенствованию методов расчета конструкций, в частности методов расчета конструкций и сооружений на непериодические динамические нагрузки, вызванные интенсивными кратковременными воздействиями. Для гражданских и промышленных зданий и сооружений кратковременными динамическими нагрузками являются случайные однократные воздействия аварийного типа (взрывы газо- или пылевоздушных смесей, паровых котлов, баллонов с сжиженным газом, обрушения, удары и т. п.). Для специальных защитных сооружений (убежищ гражданской обороны) динамическую нагрузку создает взрыв обычных или ядерных зарядов.
Анализ аварий на взрывоопасных производствах показывает, что последствиями взрыва могут быть огромный материальный ущерб, травмы и даже гибель обслуживающего персонала. Взрыво-безопасность промышленных зданий и сооружений обеспечивается комплексом мероприятий по предотвращению взрыва, локализации его воздействия, повышению взрывостойкости основных несущих строительных конструкций и устройству специальных легкосбра-сываемых элементов.
Задача защиты населения в условиях возможной войны решается посредством эвакуации и рассредоточения его из районов вероятных ударов противника, а также путем укрытия в убежищах рабочих и служащих, оставшихся в городах. Убежища должны быть спроектированы таким образом, чтобы обеспечить надежную защиту от современных средств поражений и быть экономичными.
Расчет несущих конструкций, воспринимающих действие взрыва как во взрывоопасных производствах, так и в защитных сооружениях, основан на общих принципах специального раздела динамики сооружений, в котором рассматриваются кратковременные динамические воздействия. Поэтому принят единый подход к расчету на воздействие взрывных волн несущих конструкций сооружений различного назначения. В настоящем пособии основное внимание уделено расчету железобетонных конструкций специальных защитных сооружений (убежищ) на действие кратковременных динамических нагрузок. Рассмотрено также проектирование специальных
сужений в том числе объемно-пла и йровочпУе и консТрукТйв-ныс решения. Все эти вопросы, встречающиеся при выполнении дипломных проектов, недостаточно освещены в учебной литера
туре.
Мероприятия по предотвращению взрыва во взрывоопасных производствах и общие инженерные мероприятия гражданской обороны в пособии не рассматриваются.
Книга предназначена для использования в качестве пособия при решении специальных вопросов дипломного проектирования студентами строительных вузов и факультетов и при подготовке аспирантов, специализирующихся в области динамических расчетов строительных конструкций. Кроме того, книга может быть использована инженерами-проектировщиками и научными работниками, занятыми расчетами специальных сооружений.
Глава I написана Н. Н. Поповым, гл. V и VI — Б. С. Расторгуевым, остальные разделы написаны совместно. В книге использованы работы авторов и результаты исследований, выполненных авторами и их аспирантами в последние годы. Авторы выражают глубокую благодарность профессорам Р. О. Бакирову, А. И. Цейт-лину за ценные замечания, сделанные при рецензировании рукописи.
ГЛАВА I. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СООРУЖЕНИЯ (УБЕЖИЩА)
Специальные сооружения предназначены для защиты рабочих и служащих в городах на жизненно важных промышленных объектах для обеспечения их бесперебойного функционирования. Такие сооружения возводятся заблаговременно и обычно располагаются в помещениях, предназначенных в мирное время для нужд народного хозяйства.
§ 1. Характеристика поражающих факторов при ядерном взрыве
Действие ядерного взрыва основано на использовании энергии, выделяющейся при ядерных реакциях. Огромное количество энергии, высвобождающейся при взрыве, расходуется на образование ударной волны, радиоактивное и световое излучение \ Ударная волна разрушает или повреждает сооружения, а также поражает людей, не успевших укрыться в убежищах. Радиоактивное излучение поражает людей как в момент взрыва (проникающая радиация), так и после выпадения осадков по следу радиоактивного облака (радиоактивное заражение местности). Световое излучение вызывает ожоги кожи, а также воспламенение материалов, приводящее к пожарам.
Характер поражающих факторов и размеры зон поражения зависят от мощности заряда, вида взрыва и других факторов. Мощность ядерных боеприпасов, которые могут при-
1 Из всей энергии ядерного взрыва примерно 50% расходуется на образование ударной волны, ЗО?6 — на световое излучение, 5% — на проникающую радиацию и 15% — на радиоактивное заражение.
Я1Я ядерпых ударов по городам и другим объек-" «ииватеитна энергии, выделяемой сотнями тысяч и да-же ’мХионам" тонн' обычного взрывчатого вещества -тротила.
Взвыв может быть проведен в воздухе на различной высоте-воздушный взрыв, у поверхности земли (воды)-н земнын (надводный) и под землей (водой) — подземный (подводный) (рис. 1). Вид взрыва определяется характером цели и поставлеиной задачей.
Воздушный взрыв характеризуется большей площадью разрушения и повреждения наземных объектов по сравнению с наземным. Радиоактивное заражение местности при этом незначительно. При наземном взрыве радиус действия ударной волны и светового излучения уменьшается, а радиоактивное заражение местности увеличивается. При взрыве под землей (водой) радиус действия ударной волны меньше по сравнению с наземным взрывом, а при большом заглублении воздушная ударная волна может вообще отсутствовать.
О)
S)
6)
Рис. 1. Виды взрывов
а — воздушный; б — наземный; в — подземный
"орода и народнохозяйственные объекты будут разрушаться воздушными и наземными ядерными взрывами. Подземный (подводный) взрыв ядерного боеприпаса может быть применен для разрушения особо прочных подземных сооружений.
Для определения параметров поражающих факторов ядерного взрыва, необходимых при проектировании убе-НИ1д’ ci н^тоящее время разработаны различные методики 1 , 4, 8]. Некоторые сведения об основных поражающих факторах приведены ниже.
Радиоактивные излучения при ядерном взрыве принято лить на начальное, действующее в течение примерно 15 с 6
с момента взрыва \ и остаточное, действующее продолжительное время. Начальное излучение состоит в основном из потока нейтронов и гамма-лучей, которые наиболее опасны из-за большого радиуса действия и высокой поражающей способности.
Остаточное излучение выделяется радиоактивными осколками депения и частицами грунта, попавшими в радиоактивное облако. При выпадении этих частиц на поверхность земли по направлению движения облака происходит радиоактивное заражение местности, в результате в районе взрыва с подветренной стороны от эпицентра образуется радиоактивный след. Радиоактивные частицы попадают в организм человека через органы дыхания и с пищей, вызывая внутреннее облучение, однако основную опасность для человека представляют гамма-излучения радиоактивных осадков, поскольку никаких эффективных мер от внешнего облучения, вызванного начальными и остаточными излучениями, кроме укрытий, не существует.
Защитные свойства зданий и сооружений по отношению к гамма-излучению характеризуются коэффициентом ослабления радиации, который показывает, во сколько раз уменьшается доза облучения человека в сооружении по сравнению с дозой облучения на открытой местности. При расчетах защитной толщины обычно пользуются слоем половинного ослабления гамма-лучей, т. е. толщиной слоя поглотителя, которая снижает интенсивность или дозу радиации в 2 раза. Толщина слоя половинного ослабления, см,
d=13/Y,
где у — объемная масса материала преграды, т/м3.
Световое излучение распространяется от центра взрыва со скоростью света и вызывает воспламенение материалов и ожоги людей. Характер и степень поражения от светового излучения определяются световым импульсом, временем его действия и характером объекта. Световой импульс зависит от расстояния до объекта и состояния атмосферы (содержания влаги и пылевых частиц). Среднее значение светового импульса, вызывающего воспламенение возгораемых горючих материалов домашнего обихода, 5—10 кал/см1 2. При наземном взрыве мощностью 1 млн. т световой импульс
1 За это время радиоактивное облако поднимается на такую
высоту, что ядерные излучения поглощаются слоем воздуха и не доходят до землц.
достигает таких значений на расстоянии 8—10 км. Средства защиты от ударной волны и проникающей радиации обеспечивают защиту и от светового излучения.
Характер завалов и пожаров. В результате разрушения наземных зданий и сооружений ударной волной ядерного взрыва на улицах и во дворах образуются завалы. Размеры завалов в плане и по высоте зависят от объема материала, попавшего в завал, и от дальности разлета обломков. При увеличении давления во фронте ударной волны дальность разлета обломков увеличивается, а высота завала в контурах зданий уменьшается. Завалы, образующиеся при разрушении зданий, представляют собой хаотическое нагромождение и переплетение обломков стен, перекрытий, перегородок, санитарно-технических устройств и других элементов сооружений. При полном разрушении жилых зданий на каждые 1000 м3 объема образуется от 350 до 500 м3 рыхлых завалов. В зависимости от плотности и этажности застройки, а также избыточного давления могут образоваться местные и сплошные завалы. При давлении ударной волны более 1,2 кгс/см2 (0,12 МПа), как правило, образуются сплошные завалы по всей территории застройки. Ожидаемая высота завалов является определяющей при назначении высоты оголовка аварийного выхода из убежища и его удалении от наружной стены.
Неизбежным следствием ядерного взрыва являются пожары, вызываемые непосредственным воздействием светового излучения на сгораемые конструкции, разрушением топящихся печей, повреждением газовых магистралей, коротким замыканием электросетей в поврежденных зданиях и т. п. В зависимости от плотности застройки, огнестойкости зданий и степени разрушения различают пожары отдельные, сплошные, штормовые и в завалах.
Отдельные пожары возникают при малой плотности застройки (менее 20%), когда удаление их друг от друга таково, что каждый из них развивается самостоятельно. При увеличении плотности застройки, когда отдельно горящие объекты оказывают взаимное влияние, возможны сплошные пожары. В городских кварталах с высокой плотностью застройки (до 40%), при большом количестве горючих материалов возникает штормовой пожар — особый вид сплошного пожара, который характеризуется интенсивным горением материалов с образованием центростремительных потоков воздуха, а также колонны нагретого воздуха и продуктов сгорания, поднимающихся на высоту до 5 км. Перечислец-
ные виды пожаров следует ожидать иа территории, где давление во фронте ударной волны не превышает 0,5 кгс/см2 (0,05 МПа). В зоне с большим давлением возможны пожары в завалах, которые характеризуются большой длительностью и относительно невысокими температурами воздуха [31.
Температура в очаге пожара может держаться длительное время в пределах 300—1000 С. Поэтому при отсутствии надежной защиты температура в убежищах, находящихся под горящими зданиями, в результате прогрева ограждающих конструкции может повыситься до величины, опасной для жизни людей.
В связи с этим ограждения убежищдолжпы иметь теплоизоляцию, что достигается увеличением толщины несущих конструкций или устройством теплоизоляционного слоя, экранов и продухов.
Предельная температура на внутренней поверхности конструкций вследствие прогрева при пожарах принимается не более 30° С. Теплоизоляцию устраивают на наружной и внутренней поверхности ограждений. Наружную теплоизоляцию изготовляют из негорючих материалов с низким коэффициентом теплопроводности (шлак, керамзит и др.). Для устройства внутренней теплоизоляции используют листовые теплоизоляционные материалы.
§ 2. Требования к убежищам и их классификация
Требования к сооружениям, предназначенным для защиты рабочих и служащих на объектах народного хозяйства, а также для защиты населения городов и сельской местности, сформулированы на основании анализа поражающих факторов ядерного взрыва [3, 14].
Одним из важных требований к защитным сооружениям гражданской обороны является возможность их заполнения после сигнала воздушной тревоги в короткий промежуток времени, поэтому их следует возводить вблизи мест работы, в местах наибольшего скопления людей и жилых массивов. Защитные сооружения располагают на участках, которым не грозит затопление аварийными или ливневыми водами, на безопасном расстоянии от емкостей с взрывоопасными продуктами.
При проектировании защитных сооружений необходимо предусматривать их использование: в мирное время для нужд народного хозяйства, в военное — для укрытия людей
от воздействия оружия массового поражения. Переобору-дование помещений, используемых в мирное время, па режим защитных сооружений должно осуществляться в возможно короткий срок.
Защитные сооружения гражданской обороны, возводимые для укрытия рабочих и служащих промышленных предприятий и населения городов от оружия массового поражения, разделяются иа убежища и противорадиационные укрытия.
Убежища предназначены для защиты людей от всех поражающих фа1 торов ядерного взрыва (ударной волны, радиоактивных излучений и др.), а также отравляющих веществ и бактериологического оружия.
Противорадиационные укрытия служат для защиты людей от радиоактивного заражения.
Убежища классифицируют по защитным свойствам, вместимости и месту расположения на местности. По защитным свойствам убежища делятся на классы в зависимости от степени защиты от ударной волны ядерного взрыва. По вместимости (числу укрываемых людей) различают убежища малые — до 150 чел., средние — от 150 до 450 чел. и большие — более 450 чел. Удельная стоимость убежищ большой вместимости значительно меньше, чем малой, и их можно эффективно использовать для народного хозяйства в мирное время. Особенно экономически невыгодны убежища вместимостью до 100 чел., поскольку затраты на входы, тамбуры, аварийные выходы приводят к удорожанию всего убежища. По месту расположения различают убежища встроенные, устраиваемые в подвальном этаже зданий I и II степени огнестойкости, и отдельно стоящие. Встроенные убежища могут быть запроектированы под всем зданием или под частью его. Отдельно стоящие возводят на свободном от застройки участке. Устраивать встроенные убежища предпочтительнее, поскольку они не занимают свободной территории, стоимость их меньше стоимости отдельно стоящих и связь убежищ с жилыми или производственными помещениями более удобна, благодаря чему улучшаются условия их заполнения.
Противорадиационные укрытия обеспечивают также защиту от обломков обрушающихся зданий. Под убежища и укрытия рекомендуется приспосабливать полностью заглубленные в грунт помещения, поскольку при использовании полузаглубленных помещений требуются дополни-Ю
тельные затраты на их усиление. Проектирование и строительство полузагл убленных убежищ и укрытии допу каются в сложных гидрогеологических условиях, если их стоимость будет меньше стоимости полностью заглубленных.
§ 3. Выбор места расположения убежищ
Помещения, приспосабливаемые под убежища, располагаются в местах наибольшего сосредоточения укрываемых людей. При этом следует предусматривать возможность удобного подхода к убежищам и эвакуации из них на наиболее безопасные от завалов территории (незастроенные участки, широкие проезды). Для убежищ, расположенных в зданиях, время прохождения укрываемых от мест постоянного пребывания до входа в убежище должно удовлетворять условию [4, 14]:
^эвак"Wo (!•!)
где Т — допускаемое время заполнения убежища, мин;
/0 — постоянная, складывающаяся из суммы времени, необходимого для сбора после сигнала воздушной тревоги (ВТ), движения во входе убежища и закрывания дверей убежища (среднее значение /о для персонала производственных предприятий 0,5 мин, для населения жилых районов Ь мин); /эвак — время прохождения пути от убежища людьми, находящимися в наиболее удаленном месте, мин
ЗА (п-1) , 2/f
^эвак— "Г »
1>л уг
где h — высота этажа, м; п — число этажей; S// — длина горизонтальных путей в пределах здания, м; ог—средняя скорость движения людей по горизонтальному пути, 70 м/мин; г>л—средняя скорость движения людей по лестницам, принимаемая для жилых районов 25 м/мин, для промышленных объектов 15 м/мин.
Помещение под убежище вне здания, являющегося местом постоянного пребывания людей, выбирают таким образом, чтобы расстояние от выхода из здания до входа в убежище не превышало радиуса сбора [41:
^сб~ 70 [Г (/эвак"Но)1* (1*2)
Если условие (1.1) не выполняется, то предусматривается устройство тамбура-шлюза.
При выборе участка для возведения убежища следует избегать водой асыщенных и структурно неустойчивых
гпгмтов мест затопляемых ливневыми и паводковыми боями Вблизи’убежищ не должно быть крупных резервуа-пов дня жидкостей, водопроводных и канализационных магистра пей разрушение или повреждение которых может угрожать’убежищу затоплением. Не рекомендуется располагать убежища в производственных зданиях с технологическим оборудованием, вызывающим сотрясения, которые могут нарушить герметизацию убежища, или выделяющим тепло, способное прогреть ограждающие конструкции убежища’. Убежища располагают на безопасных расстояниях от емкостей и технологических установок со взрывоопасными продуктами. Эти расстояния зависят от количества хранящегося продукта и степени защиты убежища. Отдельно стоящие убежища располагают на пожаробезопасных участках или участках III категории пожаро-стойкости.
§ 4. Объемно-планировочные решения
Объсмпо-плапнровочпые решения убежищ определяются требованиями защиты от расчетных средств поражения и условиями их эксплуатации в мирное время. Такое совмещение функций в одном сооружении выгодно экономически и способствует более интенсивному накоплению фонда убежищ [8, 141.
Под защитные сооружения используют размещенные в подвальных этажах и заглубленных сооружениях бытовые помещения (гардеробные, курительные), помещения культурно-бытового обслуживания и производственные, не связанные с выделением вредностей, транспортные и пешеходные тоннели, комбинаты бытового обслуживания населения, гаражи для легковых машин, помещения торговли, общественного питания, спортивные (тиры) и др.
Наиболее удобны для убежищ помещения небольшой высоты с мелкой сеткой колонн, не насыщенные технологическим оборудованием, деятельность которых можно прекратить в угрожаемый период.
Объемно-планировочные решения убежищ должны быть экономичны, просты по компоновке и обеспечивать нормальные условия использования, помещений для нужд народного хозяйства в мирное время, убежища должны быть удобными для заполнения, размещения и длительного пребывания укрываемых.
При проектировании убежищ стремятся к максимальному использованию для размещения укрываемых защищенной площади как основных, так и других помещений, имеющих подсобное назначение при использовании сооружения в мирное время (кладовые, склады и др.).
В убежищах предусматриваются помещения для укрытия людей, фильтровентиляцпонного обрудования, санитарных узлов. Кроме того, убежища оборудуют защищенными входами с тамбурами и шлюзами (рис. 2, 3).
Площадь помещения для укрытия людей рассчитывают из условия 0,5 м2 на одного человека (при двухъярусном расположении нар), внутренний объем не менее 1,5 м8 на человека [141. Высота помещений зависит от их использования в мирное время, но не менее 2,2 м от отметки пола до низа выступающих конструкций перекрытия.
Место для сидения укрываемых принимается 0,45 X Х0.45 м на одного человека, а место для лежания на верхних ярусах 0,55X 1,8 м. Число мест для лежания принимают 20°о вместимости при двухъярусном расположении. Места для сидения и лежания укрываемых могут быть стационарными (устраиваются во время строительства убежища). Если они препятствуют использованию помещений в мирное время для нужд народного хозяйства, то их устраивают в период приспособления сооружения под убежище.
Фильтровентиляционное оборудование устанавливают в изолированном помещении у наружной стены рядом с аварийным выходом. Оголовок и галерею аварийного выхода используют для забора воздуха. В убежищах вместимостью 150 чел. и менее фильтровентиляционное оборудование допускается размещать непосредственно в помещениях для укрываемых за перегородкой из металлической сетки.
Помещения для санитарных узлов оборудуются из условий 1 унитаз на 75 женщин, 1 унитаз и 1 писсуар на 150 мужчин, 1 умывальник на 200 чел.
Входы в убежище оборудуют тамбурами. Размеры и число входов должны удовлетворять эксплуатационным требованиям в мирное время и обеспечивать быстрое заполнение убежища. В последнем случае необходимо соблюдение условия [41:
для промышленных предприятий
В
--------:
(Т—3) /7 ’
Рис. 2. Планировочное решение магазина, совмещенного с убежищем на 600 чел.
/ — помещение вентиляционных установок ФВК; 2 — аварийный выход; 3 — санузел; 4 — гардеробные и кладовые; 5 — подготовка товаров к продаже; 6 — электрощитовая; 7 — холодильные камеры; 8 — камера тепловой завесы; 9 — тамбур-шлюз; 10 — торговый зал (4, 5, 7, 10 — помещения для укрываемых)
Рис. 3. Планировка склада-убежища на 150—200 чел.
тамбур, 2 —санузел; 3 — помещение для укрываемых; 4 — ФВК и.
для жилых районов
В п> (Т—5)П ’
где п _ число входов; В — вместимость убежища чел.; Т — допустимое время заполнения убежища, мин; П — пропускная способность входа: при размерах дверного проема СОХ 1С0 см—45 чел/мин; 80X180 см — 70 чел/мин; 120X180 см - НО чел'мин.
В каждом убежище должно быть не менее двух входов. У одного входа в убежище (вместимостью более 300 чел.) устраивают тамбур-шлюз, предназначенный для предотвращения опасности поражения находящихся в убежище людей при входе в него опаздывающих. Тамбур-шлюз обеспечивает циклический пропуск укрываемых.
Поскольку под воздействием ударной волны ядерного взрыва наземные конструкции зданий и сооружений могут быть разрушены, а входы завалены обломками, устраиваются аварийные выходы. Конструкции аварийных выходов должны обладать несущей способностью не ниже, чем ограждающие конструкции убежищ, а длина их и конструкция оголовка должны обеспечивать выход укрываемых на незаваленную территорию или на поверхность предполагаемого завала.
Для строительства убежищ целесообразно использовать типовые проекты, однако из-за значительных расчетных нагрузок на ограждающие конструкции убежищ длину пролетов и шаг колонн ограничивают. Практика проектирования показывает, что для наиболее рационального использования площади сооружения в мирное время и под убежище целесообразно применять сетку колонн 6 х 6 и 4,5 X 6 м. Внутренние несущие продольные стены устраивают сравнительно редко, так как они затрудняют эксплуатацию помещений в мирное время.
Для отдельно стоящих убежищ может применяться нетиповая сетка колонн, поскольку она не связана с конструкцией наземной части здания. Уменьшение сетки колонн, например с6х6до4х4м, позволяет сократить расход материалов без существенного ухудшения возможностей использования помещений в мирное время.
Дополнительные затраты на убежища следует определять как разность между сметной стоимостью помещений, приспосабливаемых под убежище, и усредненной стоимостью аналогичных помещений, используемых только в мирное время. Сметную стоимость помещений, приспосабливаемых
под убежище, определяют по укрупненным показзтрча.
как разность сметы стоимостей объекта с подвалом (Х"'™ щам) и без него. Сметную стоимость помещений испоть мых в мирное время, принимают по сметной стоим?6’ аналогичных помещений в обычных условиях J31 С™
Опыт проектирования показывает, что промышлении» здания с подвалами-убежищами на 5—10% дороже здани* обычным подвалом (при одинаковом назначении подва он и мирное время).
§ 5. Конструктивные решения
Конструкции специальных сооружений (убежищ) долж-ны обладать достаточной прочностью и жесткостью и обеспечивать защиту укрываемых от ударной волны взрыва, радиоактивных излучений, светового излучения и теплового воздействия при пожарах [3,14].
Элементами конструкций убежищ являются несущие ограждающие конструкции основного сооружения (перекрытия, наружные и внутренние стены, колонны, фундаменты), а также конструктивные элементы входов и аварийных выходов. Основные материалы несущих конструкций — сборный и монолитный железобетон. Для изгибаемых конструкций применяют бетон проектной марки по прочности на сжатие не ниже М200, для сжатых не менее М300. Степы из блоков изготовляют из бетона М200. В каменных и армо-каменных конструкциях следует применять материалы с проектными марками по прочности на сжатие не ниже: кирпич 100, бутовый камень 150, раствор для кладки 50.
В качестве рабочей арматуры ненапрягаемых железобетонных конструкций используют сталь классов А-П, А-Ш. Арматура этих классов обладает достаточно высокими пластическими свойствами, а при кратковременных динамических воздействиях ее прочностные характеристики повышаются. В предварительно напряженных железобетонных конструкциях обычно применяют арматуру классов А-IV, A-V. .
Конструктивную схему убежища следует выбирать учетом конструкции здания (сооружения), в котором ^устраивается убежище, и на основе технико-экономическои о н ки объемно-планировочных решений по приспосо л^нию помещений в мирное время для нужд народного хозяис [31.
В конструктивном решении сопряжения элементов каркаса наземной части зданий с конструкциями встроенных убежищ предусматривают свободное опирание наземных конструкций зданий на конструкции встроенного убежища (рис. 4). В этих случаях деформации надземного каркаса не вызывают значительных усилий в конструкциях убежищ. Для обеспечения пространственной жесткости каркаса наземного здания при воздействии эксплуатационных нагрузок допускается устраивать жесткие стыки, рассчитанные на эксплуатационные нагрузки. В этом случае при воздействии ударной волны взрыва стык разрушается, не нарушая прочности и герметичности перекрытия убежища.
При возведении убежищ применяют схемы: каркаснопанельную с полным и неполным каркасом, бескаркасную (рис. 5).
Каркасно-панельная схема с полным каркасом представляет собой систему строек (колонн) и ригелей с заполнением плитами (панелями), прочно связанными с элементами каркаса. При этой схеме нагрузка со стеновых панелей и плит
покрытия передается на каркас и им воспринимается.
В каркасно-панельной схеме с неполным каркасом вместо крайних колонн и заполнения (стеновых панелей) устрагивают сплошные стены. При бескаркасной схеме вертикаль-
ные ограждающие и внутренние несущие конструкции * представляют собой сплошные стены.
Горизонтальные нагрузки на сооружение воспринимают поперечные стены, а если устраивать их недопустимо по условиям технологии, то делают поперечные рамы с жесткими узлами.
В каркасных сооружениях с полным каркасом допускается продольное и поперечное расположение ригелей. В последнем случае поперечная жесткость больше. В сооружениях с неполным каркасом рекомендуется продольное размещение ригелей, поскольку при этом уменьшается число сложных узлов сопряжений ригелей со стенами и улучшается работа наружных стен при совместном воздей-
ствии вертикальных и горизонтальных нагрузок.
Поскольку объем ограждающих конструкций, рассчитанных на воздействие ударной волны, мал по сравнению с объемом всех конструкций здания, целесообразно широко пс-
|
I
пользовать типовые сборные железобетонные конструкции с повышенной несущей способностью, применяемые в промышленном и гражданском строительстве, например, эле-
Рис. 4. Схема опирания надземного каркаса на перекрытие убежища через стаканный фундамент
/ — колонна надземного каркаса; 2- сборный фундамент; 3 - засыпка; 4 - безОа-лочное перекрытие
1 9 1 -ОМ
а)
> пни-., ; л лз >/'J >2 > Z /»/ 77 7 "•/ 7о/ -7P7;-7Z
” 77/7777
I
4500
4500
Рис. 5. Конструктивные схемы убежищ
а — с полным каркасом; б — с неполным каркасом; в — бескаркасная
менты пешеходных и производственных тоннелей, коллекторов, плит перекрытий здании под тяжелые нагрузки и т. п.
Для увеличения несущей способности типовых сборных железобетонных конструкций рекомендуется повышать марку бетона и усилить армирование с сохранением опалубочных размеров. Армирование усиляют увеличением площади поперечного сечения арматуры или применением арматуры с более высркими прочностными характеристиками. Однако такие мероприятия недостаточно повышают несущую способность конструкции, поэтому при возведении полносборных убежищ в ряде случаев применяют специально изготовленные Для убежищ элементы. Такие конструкции обладают высокой сборностью, но тяжелы (масса элементов достигает Ют) и для их установки требуется специальное крановое оборудование. Кроме того, необходимо дополнительно обеспечивать пространственную жесткость и герметичность полносборных конструкций.
В настоящее время при проектировании убежищ наиболее широко применяют сборно-монолитные конструкции из типовых сборных элементов и монолитного бетона, который укладывают над Сборными элементами и в промежутки между ними. В эти промежутки устанавливают также дополнительную рабочую (продольную и поперечную) арматуру (рис. 6). Для уменьшения суммарной высоты перекрытия рекомендуется сопряжение ригеля и плит выполнять в пределах высоты ригеля. Сборно-монолитные конструкции целесообразно проектировать неразрезными с установкой надопорной арматуры в слое монолитного бетона (рис. 7). Количество рабочей арматуры (в плитах и монолитном бетоне) определяется из расчета сборно-монолитного сечения как монолитного. Для надежной связи между сборными элементами и дополнительно уложенным бетоном поверхность сборных элементов делают шероховатой, устраивают шпонки и т. п.
В последние годы для покрытий убежищ широко применяют сборно-монолитные безбалочные конструкции (рис. 8), обладающие высокими технико-экономическими показателями.
Уменьшение расхода материалов и повышение технологичности изготовления железобетонных элементов покрытия — важнейшие задачи совершенствования ограждающих конструкций убежищ. Применение криволинейных сборных элементов в виде сводов, оболочек, ненарушенных плит и других конструкций, в которых "в наилучшей
Рис. 6. Размещение арматурных каркасов между сборными элементами сборно-монолитного перекрытия
а — с применением ребристых плит; б — с применением многопустотных плит; 1 — сборные элементы; 2 — монолитный бетон; 3 — дополнительные арматурные каркасы
Рис. 7. Установка надопорной арматуры в неразрезном сборно-монолитном перекрытии / — сборный ригель; 2 — выпуски арматуры из ригеля: 3 — надопорная арматура ригеля
степени используются прочностные характеристики бетона, позволяет уменьшить толщину покрытия. Однако отсутствие технологического оборудования для механизированного изготовления таких конструкций и трудоем-
Рис. 8. Узел сборно-монолитно-
го безбалочного перекрытия
1 — сборная плита; 2 — монолитный железобетон; 3 — надопорная арматура; 4 — сборная капитель
кость монтажа ограничивают их широкое использование в практике строительства.
При проектировании убежищ из монолитного железо-
бетона рекомендуется применять наиболее рациональные конструктивные решения: криволинейное очертание, перекрытия безбалочного типа и т. п. При этом для сокращения сроков возведения используют прогрессивные виды опалубки, а также безопалубочный способ производства работ.
Перекрытия надежно связывают со стенами из сборН£1Х железобетонных элементов сваркой закладных деталей пли выпусков арматуры, а со степами из каменных (бетонным материалов — установкой анкеров сечением не менее 2 с.м на м стены (рис. 9). Такие соединения рассматриваются 20
как шарнирные, и поставленная арматура при расчете конструкций не учитывается.
При устройстве стен и перекрытий из монолитного железобетона узлы сопряжения рекомендуется проектировать жесткими. Стены убежищ проектируют из сборных железобетонных панелей, бетонных блоков, монолитного железобетона и других материалов, удовлетворяющих требованиям которые предъявляются к заглубленным и подземным частям сооружений. Стены убежищ, расположенных в водонасыщенных грунтах, если уровень вод превышает на 2 м уровень пола, допускается проектировать из сборного железобетона. В сухих грунтах стены делают из бетонных блоков. Такая конструкция по расходу бетона неэкономична, но получила распространение благодаря простоте возведения и повсеместному изготовлению блоков.
Железобетонные панели наружных стен убежищ могут быть самонесущими и несущими. Самонесущие панели воспринимают только боковую (горизонтальную) нагрузку, несущие панели — боковую и нагрузку с элементов перекрытия убежища. Последняя конструкция предпочтительнее, поскольку ненагруженные стены работают на изгиб и часто требуют усиления.
В сухих грунтах фундаменты под колонны — столбчатые, под наружные стены — ленточные из сборного или монолитного железобетона. В водонасыщенных грунтах допускается устраивать фундаменты в виде сплошной железобетонной плиты.
Рис. 9. Соединение элементов перекрытия с наружными стенами а — сборное железобетонное перекрытие; б — сборно монолитное железобетонное перекрытие; / — монолитный бетон; 2 — анкер; <3 — элемент перекрытия
При воздействии ударной волны сооружение получает вертикальные и горизонтальные перемещения, достигающие нескольких сантиметров. Для обеспечения его пространственной жесткости применяют конструктивные меры, жесткую заделку колонн и стеновых панелей в фундамент; связь элементов стен и перекрытий, а также всех сборных элементов между собой; армирование углов и примыкании стен из бетонных блоков; устройство железобетонных поясов по периметру наружных стен и поперек сооружения над колоннами в сборных перекрытиях.
В местах сопряжения наружных стен убежища с конструкциями входов и аварийных выходов при отсутствии грунтовых вод устраивают осадочные швы. Если уровень грунтовых вод выше уровня пола убежища, конструкции наружных стен и входов жестко соединяют.
ГЛАВА II. ДИПАМИЧ1 СКИГ НАГРУЗКИ НА СПЕЦИАЛЬНЫЕ СООРУЖЕНИЯ
§ 6. Расчетные сочетания нагрузок
Конструкции специальных сооружений рассчитывают для определения надежных и экономичных размеров элементов, при которых обеспечиваются эксплуатационные требования как в нормальных условиях, так и при воздействии нагрузок аварийного характера или расчетных средств поражения. Конструкции рассчитывают на основные и особые сочетания нагрузок 114].
Основные сочетания нагрузок и воздействий, возникающие при эксплуатации сооружения в обычных условиях, состоят из постоянных, длительных и кратковременных’ нагрузок (СНиП II-6-74 «Нагрузки и воздействия»). Определяющим для конструкций специальных сооружений, как правило, является расчет на особое сочетание нагрузок, в которое входят постоянные, временные длительные и кратковременные динамические нагрузки.
Кратковременные (импульсивные) динамические нагрузки возникают в результате действия на конструкцию взрывных волн, распространяющихся в воздухе, грунте или 22
воде. Динамические нагрузки характеризуются Законом изменения давления во времени. Часто основными параметрами динамической нагрузки являются максимальное давление, время его нарастания и продолжительность действия нагрузки.
Взрывные волны обычно образуются вследствие взрыва. Взрывом называется процесс быстрого выделения энергии, вызванный внезапным изменением состояния вещества или его параметров.
Состояние вещества изменяется в результате быстрого протекания химической (взрывчатое вещество, газо-, пылевоздушные смеси) или ядерной реакции. Вследствие быстрого изменения параметров вещества взрыв происходит при разрушении паровых котлов, баллонов со сжатым газом и т. п.
Взрывные волны распространяются в виде ударных волн, на фронте которых скачкообразно изменяются давление, плотность, температура, скорость движения частиц среды или волн сжатия при постепенном изменении этих параметров. Параметры волн (давление, время действия, скорость распространения и т. п.) зависят от источника энергии взрыва, окружающей среды (воздух, грунт, вода), расстояния от центра взрыва и других факторов.
Сооружения, конструктивные элементы и их соединения, связывающие отдельные части сооружения, необходимо рассчитывать на возможные невыгодные случаи загружения. При этом учитывают, что кратковременная динамическая нагрузка может иметь разное направление в пространстве в зависимости от ориентации места взрыва, грунтовых условий и т. п. Расчет конструкций на особое сочетание с учетом кратковременной динамической нагрузки проводится методами динамики сооружений.
В практике проектирования часто в особое сочетание вместо динамической нагрузки вводят эквивалентную статическую нагрузку и конструкцию рассчитывают статическими методами. Эквивалентной статической нагрузкой называется статическая нагрузка, вызывающая в конструкции такое же напряженно-деформированное состояние, как и заданная динамическая нагрузка. Для конструкций, не подвергающихся непосредственно воздействию взрывных нагрузок, динамической нагрузкой являются силы инерции, вызываемые перемещениями сооружения, и сейсмические воздействия, возникающие вследствие колебаний грунта.
8 7 Параметры воздушных волн при взрыве ядерных зарядов и обычных взрывчатых веществ
Взрыв происходит в результате быстрого выделения большого количества энергии в ограниченном пространстве. Внезапное выделение энергии вызывает значительное повышение температуры и давления. В Дальнейшем проис-ходит быстрое расширение газов, которое вызывает сильное сжатие воздуха, порождая ударную волну. Ударн я волна распространяется со сверхзвуковой скоростью (обычно до тысячи метров в секунду) в воздухе ^во ^е стороны от центра взрыва. Главной Ap(t)
Др.
Ро
Г-
|1—------------i
Рис. 10. Изменение давления времени в фиксированной на местности точке
t
во
особенностью этой волны является очень резкое возрастание давления в ее движущемся фронте от р0 (исходное атмосферное давление) до максимального значения Дрф и падение до атмосферного давления ро и ниже. Время т+, в течение которого давление падает от Дрф до ро, определяет продолжительность фазы сжатия. Фаза сжатия сменяется фазой разрежения, в которой давление оказывается ниже атмосферного (рис. 10).
По мере продвижения ударной волны давление на фронте и скорость фронта падают, продолжительность фазы сжатия возрастает. На достаточно большом расстоянии от центра взрыва ударная волна превращается в обычную акустическую волну, распространяющуюся со скоростью звука (Оф = 340 м/с).
Законы изменения ударной волны во времени не зависят от вида взрывчатого вещества. Параметры ударной волны определяют по эмпирическим формулам, в которых вид взрывчатого вещества учитывается тротиловым эквивалентом С — массой тротилового заряда, эквивалентной данному заряду по энергии, образующей ударную волну [3,4].
Л1еханическое действие ударной волны на сооружение в большинстве случаев зависит от давления в фазе сжатия, поскольку оно обычно значительно превышает давление в фазе разрежения. При определении нагрузок, возникающих при действии ударной волны на преграду, необходимо учитывать условия ее взаимодействия с преградой (отражение оотекание, затекание). ’
Основные параметры воздушной ударной волны, распространяющейся от центра взрыва (проходящая волна): избыточное давление на фронте ударной волны (Арф, кгс/см2) и время действия фазы сжатия (т+, с):
а) при воздушном взрыве тротилового заряда
Дрф = 0,76:; С//?+2,253/С’//?з+6,5С//?3; (2.1)
т+ = 1,5.10-3 Ус /ТУ; (2.2)
б) при наземном взрыве тротилового заряда:
Дрф = 0,75-; С //?+3,9у CW-H3C//?3; (2.3)
т+= 1,7-Ю-з в/С /я, (2.4)
где q _ масса тротилового заряда, кг; R — расстояние от центра взрыва, м.
Для ядерного взрыва С принимают равной тротиловому эквиваленту по ударной волне (можно принимать, что тротиловый эквивалент по ударной волне равен половине тротилового эквивалента ядерного взрыва).
Скорость движения фронта ударной волны (м/с) определяют по форхмуле
Оф = 340 /1+0,83Дрф. (2.5)
По номограмме на рис. 11 можно при заданных тротиловом эквиваленте С и расстоянии R определить Арф, т+, Аротр и S (площадь круга с радиусом /?) или решать обратные задачи.
Изменение давления в фазе сжатия во времени принимают по закону
Др(/) = Др(1-//т+)", (2.6)
где п = 1 при Дрф < 0,5 кгс/см5, n= 1,9 Дрф при Дрф > 0,5 кгс/см2.
При расчетах сооружений на действие воздушной ударной волны вместо формулы (2.6) можно использовать линейную зависимость
Др(/) = Дрф(1-//0) . (2.7)
Если максимальная деформация конструкции наступает в конце фазы сжатия или после окончания действия нагрузки, то эффективное время 0 определяют из условия равенства импульсов (рис. 12)
т+
Дрф0/2= J Др(/)Л. (2.8)
0
tyor/j ^Ptp
Рпгг»м1с/сн1 &Р<Р‘**с1смг
P w Cxerta no/tbioBanufi
150 _
100-
70-
50 -
30-
20-16-
12 Z
8-6-
6-
4 ~
3-
2 -
1,5-
20
16
6
6
5 4
3 2.5 2
15
С, тыс m
20000
8000-
OJB
0,6
0,4
0.3
0.2-0.18-0.16-0.14 0J2
0.1
. 1
-0.8
-0.6
-0.5
-0.4
-03
-0.25
-02
-0,16
-0.14
-0.12
-0,1
-0,09
-0,03
0,07
-0,06
--0,05
lOt-O-. sot
ZOO-
66
-12000
-4000
1200
400
’00
10
. . c -20 b-16
-12 -10 -I
-6
-5
-4
-3
2.5
-2
' 1,8
’ 1.2 -1
'-0.1
- 0.6
-0.5
0.4
-03
-СЛ
R м S.HM1
TO ООО-j-16 000 60000-50000-40000-
30000. - 3000
Z5 000. -2000
T1500 20000 16000
-12000
-10000 - 8000 -6000
-4000
12000-юооо-
8000-
6000-
5000-
4000-
-1200
<£'000
600
400
300
200
150
JOOO-
30
20 г00°^10 1600--6
6
4
1200
1000
800 -\-2
600
500
400
300
zoo
150
0.08
0,04
0.06
0,0J
i,5 1
-0,4
-0Л
0,1
0.08
Рис. 11. Номограмма для определения параметров ударных волн при наземном взрыве
При нагрузках от воздушной ударной волны ядерного взрыва максимальная деформация конструкции обычно происходит за время на один-два порядка меньше т+. В этих случаях можно принять, что давление изменяется по касательной к действительной кривой Др (/) в точке t — 0 (рис. 12). Эффективное время 0 определяют по формулам:
е=т+/(1,54-Дрф) при Арф < 3 кгс/см2;
0=т+/(0,769 Ы,268Лрф I 0,0388Дрф)
при 3 < Дрф < 10 кгс/см2.
(2.9)
(2.Ю)
Рис. 12. Эпюры давления ударной волны
1— действительная кривая; 2— равновеликая по импульсу треугольная эпюра; 3 — треугольная эпюра, образованная касательной к действительной кривой
P.ic. 13. Взаимодействие ударной волны взрыва с сооружением
а — начало взаимодействия; б — обтекание сооружения ударной волной; в — погружение сооружения в волну
^Pot)T_~
б) 6Рф . 1Ц|л
J | ЛР?
ДРобт
Некоторые конструкции, в том числе защитные двери и ставни, рассчитывают не только на действие нагрузки в фазе сжатия, но и на отрицательную нагрузку в фазе разрежения (см. рис. 10). Максимальное давление разрежения и продолжительность фазы разрежения т_ (с) при воздушном и наземном взрывах определяют по формулам:
Др, = — Q,3S/C/R; (2.11)
т_=0,1б|<С. (2.12)
При встрече проходящей волны с неподвижной преградой ограниченных размеров происходит сложный процесс отражения и обтекания, который заключается в следующем. В момент достижения фронтом ударной волны сооружения волна отражается и давление па стену повышается от Дрф до Дротр (рис. 13, а). Повышение давления вызвано тем, что частицы воздуха, движущиеся в волне, останавливаются и их кинетическая энергия переходит в энергию давления, создавая дополнительное давление. В этот момент на краях фронтальной стены из-за разности давлений в падающей и отраженной волнах возникает волна разрежения, которая снижает давление на стену от Дротр до Дробт (рис. 13, б).
Рис. 14. Давление на фронтальной стене преграды конечных размеров (пунктиром показано отражение от бесконечной преграды)
Рис. 15. Номограмма для определения давления ДрПр в0 фронте ударной волны, прошедшей через проемы в стенах
Время от начала отражения до начала установления режима обтекания
/обт = 3//*/Рф, (2-13)
где Н* — меньшая величина высоты (/7) или половины ширины (в передней стенки преграды; £)ф — скорость движения фронта удар ной волны.
Давление на переднюю стенку преграды принимают изменяющимся во времени согласно рис. 14, где Дротр— давление отражения от неподвижной преграды, нормально расположенной по направлению к ударной волне:
ДроТр = 2Дрф+6Др|,/(дрф —7>2) . (2.14)
Давление обтекания, возникающее после установления режима обтекания, принимают равным половине давления отражения (рис. 14):
Аробт ~ й, БДротр • (2.15)
Давление на боковые стены и покрытие незаглубленного сооружения равно избыточному давлению воздушной ударной волны (рис. 13, в).
Боковые стены и покрытие сооружения полностью нагружаются ударной волной в момент, когда фронт ее пройдет расстояние, равное длине сооружения /, т. е. /бок = — Нагрузка на тыльную стену начнет действовать с 28
момента /бок и достигнет максимального значения за время |/ , к°тоРое равно наименьшему значению
^тыл = ‘1/7/Д)ф, или /Тыл = 2д/Рф.
При наличии в стенах преграды проемов начальное давление зависит от отношения а0 площади проемов к площади преграды и давления Дрф (рис. 15).
Для каркасных зданий со сплошным остеклением или с быстро разрушающимся заполнением (асбестовые листы), для сооружений малых поперечных размеров (труб, башен, опор линий электропередач) действие давления отражения может быть заменено действием мгновенного импульса вследствие малого времени обтекания
^обт
(2.16)
(IGi на нефтеперерабаты-
Рис. 16. Схема взрыва облака газовоздушной смеси
°
§ 8. Параметры воздушных волн при взрыве газовоздушных смесей
Газо- и пылевоздушиыс смеси разнообразны по химическому составу, по реакции горения и т. п. Поэтому трудно определить параметры волн, образующихся при взрывах этих смесей. В результате разрушения емкостей со сжиженными углеводородными газами [IGi на нефтеперерабатывающих и химических предприятиях во взрывчатую газовоздушную смесь переходит не весь продукт, часть его сгорает в жидком и газообразном состоянии.
При взрыве газовоздушной смеси (ГВС) различают три зоны действия (рис. 16). Параметры взрыва зависят от зоны, в которой находится конструкция, расстояния от центра взрыва и состава ГВС. Для различных смесей с воздухом углеводородных газов — метана, этана, пропана, бутана и др.— получены формулы для определения давления на фронте и эффективного времени действия ударной волны в различных зонах действия взрыва ГВС. Радиус зоны облака газовоздушной смеси.
ro=17,5j/Q, (2-17)
hie Q — масса сжиженных углеводородных газов в хранилищах ро взрыва, т.
В этой зоне действует детонационная волна, избыточное давление на фронте которой постоянно в пределах облака ГВС Дрд = 17 кгс/см2.
Эффективное время действия 0 детонационной волны определяют по формуле
6=0,47-Ю-з г0/(1 4-О,4г/го),
(2-18)
где г0 — начальный радиус облака ГВС, м; г — расстояние от центра взрыва, м.
При отражении детонационной волны от преграды, если конструкция расположена перпендикулярно направлению распространения детонационной волны, давление на преграду превосходит давление на фронте детонационной волны приблизительно в 2,5 раза, а эффективное время действия избыточного давления отраженной волны вычисляют по формуле
0=0,^5.10-3^14-1,2^/^), г<л0. (2.19)
Зона действия ирод>ктов взрыва ничена радиусами
<Г1,
ГВС (рис. 16) огра-
где гх — предельный радикс разлета продуктов взрыва « 1,7 л0.
Давление на фронте ударной волны и эффективное время действия:
при < г < гх.
Ьрф— 13 (г/Го)3Ч-0»5;
0= 2,1 -10“4 г0 "J (77^?
при г > f\'.
АРФ = - ——-------,
3() 1 -г 29,8Я|- 1)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
< 2;
Дрф =
0,227
/?2] igtf2+0 158
2,
*7
где /?2 = 0,24 г2/г0; при г2 > 1,7 Fq.
е 4,34-Ю-з
ЛРф'г
§ 9. Взрывные волны в грунтах
Специальные сооружения, в особенности убежища, часто располагают ниже поверхности грунта (заглубленные, подземные). Динамическая нагрузка на такие сооружения возникает вследствие воздействия взрывных волн, распространяющихся в грунтах [3, 16). При воздушном и наземном взрывах волны в грунтах образуются в результате распространения по поверхности
грунта воздушной ударной
Рис. 17. Взаимодействие волны сжатия в груше с сооружением
Рис. IS. Расчетная диаграмма деформации грунта (сплошной линией показано нагружение, пунктирной — разгрузка)
волны (рис. 17). Параметры волны сжатия в грунте зависят от параметров порождающей ее воздушной ударной волны и характеристик грунта.
Деформативные свойства грунтов характеризуются диаграммой деформаций, т. е. зависимостью напряжения сг от относительной деформации е. Как показывают исследования, при распространении взрывных волн интенсивностью до 15 ктс/см2 расчетная диаграмма деформаций грунта представляет собой две прямые линии (рис. 18). Первый участок, соответствующий упругим деформациям грунта, I наблюдается в мягких грунтах до давления 1,5 ктс/см2 (1,5-Ю5 Па); второй участок соответствует упругопласти ческим деформациям (при разгрузке возникают остаточные I деформации). Наклоны прямых определяются модулями деформаций грунта: упругости Ео и упругопластнческих деформаций Обычно вместо модулей деформаций £0 и Е} используют скорости распространения волн: упругих а0 = | £OZP 11 упругопластических av = ] £/р,
где р — плотность грунта.
Таблица I. Скорости рапространсния волн сжатия в грунте
Вид грунта Плотность 1рунта р, т/м5 Скорости распространения волн, м/с
упругих Оо упругопластических О1
Песчаный, нарушенной 1,6 200 100
структуры Песчаный, ненарушенной 1,7 500 250
структуры Суглинок, супесь ненару- 1,7 700 350
шенные Глина насыпная 1,8 300 150
Глина плотная 2 1500 500
Вследствие различия скоростей aQ и ах и наличия остаточных деформаций в грунте с глубиной увеличивается время нарастания максимального давления и уменьшается его значение. Если на поверхности грунта давление в воздушной ударной волне изменяется по закону Др (/) = — Др (1 — //0), то па глубине г давление в волне сжатия (рис. 19, в)
(2.24)
где Qj — время нарастания давления!
e^zfl/ai— 1/а0),
(2.25
— максимальное давление на глубине г:
ДА = Др 1 —-
0,5г 0
(2.26)
Достигнув сооружения, волна сжатия оказывает вертикальное давление на покрытие Дри и горизонтальное Д рг на стены (см. рис. 17).
Горизонтальную динамическую нагрузку на стены определяют из выражения
Дрг — &р (/, г), (2.27)
Где krt — коэффициент бокового давления ( для песка 0,35, для супеси и суглинка 0,6, для глины 0,75, для водонасыщенмых грун тов 1).
Динамическая нагрузка на покрытие образуется вслед-I ствие процессов взаимодействия волны сжатия с конструк цией: отражение волны от конструкции увеличивает ее дав
I ление, а перемещение конструкции снижает его. Поэтому ди-намическую нагрузку можно определить только в процессе динамического расчета сооружения. При толщине обсыпки над сооружением ho6 I м приближенно принимают, что давление на покрытие сооружения равно давлению в ударной волне = Дрф.
§ 10. Расчетные динамические нагрузки
Действительные законы изменения нагрузок во времени весьма разнообразны, но при динамических расчетах их заменяют несколькими обобщенными (рис. 19) [161.
Динамические нагрузки на ограждающие конструкции отдельно стоящих и встроенных сооружений зависят от их расположения (рис. 20). Для перекрытий убежищ, встроенных в сооружения, первый этаж которых имеет площадь остекления более 50% (рис. 20, а, б, в), а также покрытий отдельно стоящих убежищ с грунтовой засыпкой не более 1 м (рис. 20, а) и стен, отделяющих убежища от примыкающих помещений подвалов, не защищенных от ударной волны (рис. 20, б), динамическая нагрузка принимается согласно рис. 19, а. Максимальное давление во фронте ударной волны
= дрф-
Динамическая вертикальная нагрузка на перекрытия убежищ, встроенных в здания, первый этаж которых имеет площадь остекления менее 50%, возникает вследствие затекания волны и поэтому нарастает во времени постепенно, Д/h = лРф (Рис- 19> в)-
При наличии на перекрытии убежища грунтовой обсыпки толщиной более 1 м конструкция перекрытия испытывает действие волны сжатия. Для волны сжатия характерно постепенное нарастание давления до максимального значения (рис. 19, в) за время 0п определяемое по формуле (2.25). Динамическую горизонтальную нагрузку Др2, которая передается через грунт на элементы наружных стен (см. рис. 20, г), рассчитывают по формуле (2.27). Изменение давления во времени зависит от глубины, и его определяют по формулам (2.24), (2.26).
Для наружных стен, возвышающихся над уровнем земли (см. рис. 20, в), динамическую горизонтальную нагрузку от
Рис. 19. Расчетные законы изменения во времени динамической нагрузки
а— при мгновенном нарастании; о — при О1раженин; и — при постепенном нарастании
Рис. 20. Схема приложения динамических на!рузок на конструкции сооружений •
а, С>— полностью заглубленное в грунт встроенное убежище п примыкающее к помещению подвала, которое не защищено от ударной волны; в — частично заглубленное встроенное убежище с открытым участком стены; г — не полностью заглубленные отдельно стоящие убежища, обвалованные грунтом с выносом бровки откоса
ударной волны Ар.ч принимают равной нагрузке отражения (2 14) При этом учитывают обтекание преграды ударной волны и уменьшение давления от Арптр до Лробт (см. рис. 19, б).
Динамическую нагрузку считают равномерно распре деленной по площади и приложенной нормально к поверхности ограждающих конструкций.
ПИВА III ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАСЧЕТА
§ 11. Предельные состояния конструкций
К сооружениям, предназначенным для восприятия кратковременных динамических (импульсивных) нагрузок, в зависимости от назначения предъявляются различные требования. Если импульсивная нагрузка является для сооружения эксплуатационной и многократно повторяющейся (например, взрывные камеры), то в конструкциях не должны возникать остаточные деформации Если импульсивная нагрузка является для сооружения аварийной (взрывоопасные производства) или расчетной, действующей однократно (специальные защитные сооружения), то в конструкциях допускаются значительные остаточные деформации, которые в железобетонных и каменных конструкциях сопровождаются образованием и развитием трещин. Материал конструкции в наиболее напряженных сечениях доводится почти до разрушения, вследствие чего конструкции могут стать непригодными для дальнейшей нормальной эксплуатации, но они выполнили свою функцию, сохранив жизнь людей и оборудование. В то же время полное использование прочностных свойств материалов позволяет получать наиболее экономичные конструктивные решения сооружений 13, 101.
Кроме основных требований к конструкциям иногда предъявляют дополнительные требования по трещиностой-кости или ограничению величин перемещений.
При проектировании специальных сооружений все конструкции рассчитывают по метолу предельных состояний. В нормах установлены две группы предельных состояний: несущая способность, пригодность к нормальной эксплуатации. Эти предельные состояния распространяются и на расчет конструкций специальных сооружений [3, 11|.
Рясчртн по 1-й группе предельных состояний должны ntoneMBBaib конструкции от разрушения при деПствип дааши1еской иагру: кп пли or возникновения остаточных ^'^Псрвыйслучай достижения предельного состояния пазы-вают случай 1а, второй случай 16
Расчет по 2-й группе предельных состоянии обеспечивает дополнительные требования по ограничению раскрытия трещин и перемещений (прогибов, углов поворота).
Предельные состояния железобетонной балки, армированной* малоуглеродистой сталью с площадкой текучести, представлены на диаграмме изгибающий момент — кривизна (рис. 21).
Точка 4 соответствует предельному состоянию 1а В этот момент деформации в бетоне достигают предельного значения, арматура находится в состоянии пластического тече ния (конец III стадии).
Точка 2 соответствует предельному состоянию 16. В этот момент напряжение в арматуре достигает предела текучести, напряжение в бетоне сжатой зоны меньше предела прочности (конец II стадии)
При расчете по ограничению перемещений, если допуска ются пластические деформации арматуры, предельное состояние может наступать в III стадии напряженного состояния (точка 3); если пластических деформаций быть не должно, то конструкция работает только во 11 стадии (точка /).
§ 12. Прочностные свойства материалов
При расчете сооружений на действие кратковременных нагрузок возникает необходимость учитывать работу конструкций за пределом упругости, т. е в области физически нелинейных деформаций 1101. К конструкциям с физической нелинейностью можно отнести все конструкции, так как строительные материалы, начиная с определенной величины деформации, характеризуются зависимостью между деформациями и напряжениями отклоняющейся от закона Гука. Диаграммы напряжение — деформация (о — е) большинства материалов можно разделить на три основные группы:
1 Малоуглеродистые стали классов А-1, А-П, A-II1, диаграммы деформации которых имеют упругую стадию (До предела пропорциональности) и резко выраженную
Рис 21 График зависимости изгибающею момента от кривизны железобетонной балки
I а /и — стадии напряженного состояния
Рис. 22. Диаграммы напряжение— деформации о—к основных строительных материалов
а — малоуглеродистая сталь; б — бетон: в — высокопрочная проволока
а)'
пластическую часть, состоящую из площадки текучести и зоны упрочнения (рис. 22, а).
2. Л1атериалы (бетоны, алюминий, стали с повышенным содержанием углерода классов А IV, A-V, термически упрочненные стали и др.) с плавно изменяющейся диаграммой деформаций (рис. 22, б).
3. Так называемые хрупкие материалы (чугун, дерево), в которых втоть до начала разрушения сохраняется линейная зависимость между деформациями и напряжениями (рис. 22, в). Разгрузка в материалах первых двух групп после определенной величины напряжений происходит по закону, отличному от закона нагрузки, вследствие чего в материале после разгрузки возникают остаточные деформации.
Такие диаграммы деформаций у материала получены при стандартных статических испытаниях, т е. при сравнительно малых скоростях деформирования. При больших скоростях нагружения диаграммы деформации отличаются от статических и зависят от скорости и режима нагружения. Прочность материала выше, чем при статическом нагружении. Это явление достаточно сложно и зависит от многих причин.
Арматурная сталь. В настоящее время в качестве арма туры железобетонных конструкций применяют как малоуглеродистые стали, у которых диаграмма деформаций о — е характеризуется явно выраженной площадкой текучести и
большими относительными удлинениями при разрыве, так и углеродистые и пизколет ироваиные стали с гладкими диаграммами деформации без площадки текучести и сравнительно малыми относительными удлинениями при разрыве Поведение этих сталей при динамическом нагружении раз лично.
Механические характеристики сталей при повышенных скоростях деформирования стали изучать в начале XX в
о
(э dd8 &дн do
Рис. 23. Диаграммы напри женис-де-формации о—г арматуры
1 — статическое: 2 — динамическое натру жение
[ 10] К настоящему времени наког илось много экспериментальных исследований, проводившихся преимущественно на одноосно нагруженных образцах в различных режимах загружепия. В результате динамических испытаний образцов из малоуглеродистых сталей в режиме постоянной скорости деформирования было обнаружено, что материал работает упруго до напряжения од в, названного верхним динамическим пределом текучести. Достигнув Од.в, напряжение резко уменьшается и стабилизуется на уровне, названном нижним динамическим предедом текучести Од.ц. Как верхний, так и нижний динамический предел текучести превышает предел текучести, получаемый при статической нагрузке о0 (рис 23) Экспериментально установлено, что наибольшее влияние скорость деформирования оказывает на предел текучести и в меньшей степени па предел прочности. Модуль Юнга от скорости деформирования практически не зависит Влияние скорости деформирования на механические свойства сталей уменьшается с повышением содержания углерода, а также при упрочнении арматурных сталей вытяжкой.
Трудность нахождения истинных зависимостей динамического деформирования металлов заключается в том, что при современных методах исследований экспериментальные данные не полностью раскрывают физические процессы, протекающие в материалах при больших скоростях деформирования. Поэтому имеющиеся в литературе многочисленные аналитические выражения зависимости между динами ческим пределом текучести или пределом прочности и скоростью деформирования, основанные на экспериментальных данных, не являются общими и, как правило, справедливы лишь для конкретных условий, в которых определялась та за
или иная величина. Одной из первых зависимостей такого рода является формула П. Людвига
°д = о0+ In ke,
где о __ динамический предел текучести; а0 — статический предел текучести; k — постоянная материала, в — скорость дефор ыирования.
/Многие исследователи при расчете прочности конструкций пользуются эмпирической формулой
ад=Оо [I + (е /£>)’ ”],
где D и п — коэффициенты для мягкой стали п = 5, D => 40,4 c-J для алюминия п = 4 D =• 6500 с-1
В современных исследованиях пытаются проникнуть в глубь механизмов, определяющих характер процессов, которые протекают в материале под нагрузкой.
Наблюдаемое в опытах повышение предела текучести мягких малоуглеродистых сталей при больших скоростях деформирования связано со свойством запаздывания пластических деформаций стали. Эю свойство заключается в том,
что сталь в течение определенно! о промежутка времени сохраняет состояние упру гости при напряжениях, превышаю щих статический предел текучести [131 Время, в течение ко торого напряжение в стали достигает динамического нреде ла текучести, превышающего статический предел текучести, принято называть временем запаздывания пластических деформаций. Динамический предел текучести зависит от времени запаздывания пластических деформаций, причем на эту зависимость влияют режим загружения и темпера
тура.
В последние годы предложены несколько теорий, объ ясняющих некоторые важные физические явления, происходящие в металлах в стадии пластических деформаций, в том числе явление запаздывания. Наибольшее распростра нение получила теория дислокаций, устанавливающая связь между пластической деформацией кристаллических материалов и их атомным строением.
На основе теории дислокаций получена зависимость, связывающая время запаздывания т с динамическим преде лом текучести при одноосном напряженном состоянии в про извольном режиме загружения о (/):
J [о =
9
(3.1)
„ статический предел текучести; а - константы (для где а0 ~ 7О д I t ~ 0,895 с, а = 17) 19].
стали класса A to
Динамический предел текучести аа = о (т) Зависимость (3.1) справедлива при условии, что начальные напряжения ^Повышение предела°текучести стали учитывается коэф-Линнеитом упрочнения ky, равным отношению динамичес-кого предка текучести к статическому: /гу = ад/а„ (пис 24) Графиками рис. 24 можно пользоваться при прак-тнческих расчетах по методике, изложенной в § 17.
Для'приближенной оценки коэффициентов упрочнения /табл 2) можно принимать приведенные ниже их значения, полученные по графикам рис. 24 при скорости деформирования в = 0,06 с"1, которая является средней скоростью е в арматуре железобетонных конструкций, рассчитываемых на кратковременные нагрузки большей интенсивности.
Таблица 2. Коэффициенты упрочнения арматурных сталей
Класс арматуры Коэффициент упрочнения ky Класс арматуры Коэффициент упрочнения ky
А-1 1.4 А-Ш 1.2
А-П 1.3 A-IV 1.1
Бетон Исследования бетона при больших скоростях деформирования позволяют сделать необходимые для расчета жепезобетонных элементов выводы об особенностях поведе
ния бетона при динамических нагрузках большой интенсивности [2, 10] (рис. 25).
Из графиков видно, что прочность бетона при динамическом нагружении выше, чем при статическом. Кроме того, при статическом нагружении неупругие деформации бетона начинают развиваться практически на первых этапах приложения нагрузки; при динамических испытаниях наблю-
дается запаздывание неупругих деформаций, которые в основном проявляются лишь при усилии, близком к предельному статическому. До этого момента деформации бетона развиваются по линейному закону, т. с. могут рассматриваться как упругие. Модуль деформаций бетона несколько возрастает, па 10-15%.
мягж^пп1 показали’ что предельная относительная дефор-ри статических и динамических нагрузках практц-
00010002 0,010,02 0,10,2 0/t 1 ё с'1
Рис. 24. Зависимость коэффициента упрочнения арматурных сталей классов A l, А-Н, A-III от скорости деформирования
Рис. 25. Диаграммы деформаций бетона
1 — динамическое; 2 — статическое сжатие
Рис. 26. Области динамической прочности бетона т — продо I-жительность действия нагрузки; заштрихована область, в которой бетон может находиться без разрушения ограниченное время
чески постоянна и для бетонов разных марок при центральном сжатии изменяется от 2-10‘8 до 3,5-10~3.
Динамическая прочность бетона зависит от свойств применяемых материалов, особенностей структуры бетона и
содержания влаги. Влияние разных факторов на статическую и динамическую прочность различно. Например, неоднородность микроструктуры бетона и первоначальные дефекты (особенно крупные) снижают динамическую
прочность бетона в большей степени, чем статическую.
Динамическая прочность бетона при насыщении водой по
вышается, статическая снижается и т. п.
Экспериментально установлено, что если к бетонному элементу приложить днамическую нагрузку, вызывающую в нем напряжения од больше, чем статический предел прочности но ниже динамического предела прочности то разрушение произойдет не сразу, а по истечении определенного времени. Отрезок времени от начала нагружения до
„йпма элемента называют временем задержки разру-разрушения зависит в основном от степени
шепня 'з-р-.Л'
''^Ппинпи'ожеиии к элементу динамической нагрузки, вы-‘ оппам риня п > Rn6\ сразу же начинают раз-виваться'микротрешины, приводящие к разрушению бето-"Э R нСос?едние годы исследуют закономерность деформирования бетонов пол влиянием скорости деформирования. Сложность этой задачи заключается в том, что бетон по структуре неоднородный ма-
тер нал, он состоит из цементного камня, крупного и мелкого заполнителя с большим количеством микропор и капилляров, содержащих воду, водные пары и воздух. Присутствие в бетоне одновременно твердой, жидкой и газообразной фазы обусловливает сложную картину поведения бетона под воздействием нагрузки.
Некоторые исследователи рассматривают бетон как двухфазную среду, состоящую из твердой и жидкогазовой фазы.
рке. 27. Зависимость призменной прочности бетона от скорости загружения
Такая модель объясняет многие процессы, происходящие в бетоне, в том числе особенности его поведения при кратковременной нагрузке. Напряжения и деформации твердой фазы (скелета) связаны законом Гука и = £е, а напряжения жидкой фазы зависят от скорости деформации и изменя
ются по закону идеально вязкой жидкости ст — k&. При действии нагрузки деформация скелета вызывает перераспределение жидкогазовой фазы в порах скелета. Чем больше скорость деформации скелета, тем сильнее сопротивление жидкогазовой среды. Этим объясняют, что при быстро возрастающих нагрузках сопротивляемость бетона увеличивается.
Обычно повышение предела прочности бетопа при сжатии учитывают коэффициентом упрочнения = R* //?пр (ри< . 27). При приближенных расчетах железобетонных конструкций можно принимать = (1,2_____1,3) Rnp.
13. Напряженно-деформированное состояние железобетонных конструкций
Напряженно-деформированное состояние элемента конструкции характеризуется величинами и законами распределения напряжений и деформаций в сечениях элемента.
Эти факторы позволяют установить напряженное состояние сечений и получить зависимости между усилиями в элементе и его деформациями. Зависимости между усилиями и деформациями, которые принято называть диаграммами деформаций конструкции, являются исходными для вывода уравнений движения конструкции.
Для изгибаемых и внецентренно сжатых элементов диаграммой деформации является зависимость изгибающего момента от кривизны М = f (1/р), для центрально сжатых и растянутых элементов — зависимость продольной силы от относительного сжатия или удлинения N = f (в).
Напряженное состояние сечений железобетонных конструкций зависит от диаграммы деформаций об — вб бетона, закона изменения деформаций по высоте сечения и наличия трещин в растянутой зоне бетона.
Диаграмма об — еб при быстрых нагружениях, как от мечено в § 12, линейная на значительно большем участке, чем при статическом нагружении. Диаграмма об — еб искривляется на участке, близком к разрушению. Деформации бетона и арматуры (сжатой и растянутой), как показывают эксперименты, изменяются по высоте сечения по линейному закону, т. е. закону плоских сечений. При деформациях, близких к предельным, напряжения в бетоне сжатой зоны изменяются по криволинейному закону, который при расчетах прочности заменяется прямоугольным с напряжением, равным k{y6}Rnp-
Приведем формулы для расчета изгибаемых элементов прямоугольного сечения на различных стадиях его работы. При отсутствии трещин в растянутой зоне бетона (стадия I) напряжения в крайних волокнах бетона определяют по формулам:
001 = M/U7()1; o02=-AWn2, (3.2)
где U/0I, UZ(J2 — моменты сопротивления приведенного сечения, определяемые как для упругого гела для соответствующих волокон.
Положительными считаются сжимающие напряжения. Напряжения в арматуре
Оа=лор ,
где п = о$ — напряжение в бетоне на уровне арматуры.
Трещины в растянутой зоне бетона образуются, если I о02 I > /ly6)
При наличии трещин в растянутой зоне оегона (стадия II) напряжения определяют из условии равновесия (рис. 28): о>б Ьх/2-l-o', /-д = °а Fa\ (3.3)
поперечного сечения из-
Рис. 28. Расчетное напряженное состояние гибаемого элемента
(3.5)
(3.6)
и из закона плоских сечений:
Ра = г б ((^ — *)/*. Ед = Р б (X — о' )/х.
Из (3.5) имеем:
°а = лоб Ао—х)/х; о'=поб(х —а')/х.
После подстановки выражении (3.6) в уравнение (3.3) получают уравнение для относительной высоты сжатой зоны I = x/h0
£2 4-2л (р -|~р') £—2п (р + а' Р')=0, где )i = FA/(bhv); р' = Аа/(/?А0); a =ar/hn.
Напряжение в бетоне определяют по уравнению (3.4)
(3.7)
°г> =
0,5bx (h - х/ЗН п (х — a' \(Ц
<> — o') F'a/x ’ а напряжения в арматуре находят по формулам (3.6). 44
Стадия П продолжается до достижения напряжениями в растянутой арматуре динамического предела текучести ky Ra или в сжатом бетоне предела прочности /?пр.
В первом случае, когда в растянутой арматуре до разрушения элемента развиваются пластические деформации, конструкцию можно рассчитывать по предельному состоянию 1а. Во втором случае элемент разрушается хрупко, без развития пластических деформаций в арматуре, поэтому । конструкцию рассчитывают только по предельному состоя-I НИЮ 16.
Как известно, случаи разрушения железобетонных конструкций. под действием статических нагрузок характери-। зуются условиями:
1-й случай разрушения при Е а 2-й случай при Е > Ед (Е = x/h0 — относительная высота сжатой зоны, ] Ед — граница переармирования, определенная по СНиП 11-21-75 «Бетонные и железобетонные конструкции»).
Под действием кратковременных динамических нагру зок случаи разрушения можно определять теми же условиями, но с учетом динамических сопротивлений бетона и арматуры Таким образом, 1-й случай разрушения будет, если
|3.8) 2-й случай разрушения, если
(3.9)
I
Где £ = х//10, х— высота сжатой зоны бетона, определяется в предположений прямоугольной эпюры в сжатой зоне бетона при напряжениях в бетоне £(уб) /?пр, в растянутой арматуре kyRa, в сжа-' гой арматуре Ra.c; для прямоугольного сечения х находят из уравнения
Ц6) ^пр ^Х-Ь^а.с ~ ^У ^а * (3-10)
Граничную относительную высоту Ед определяют по формулам СНиП 11-21-75, в которые подставляют расчетные I динамические сопротивления бетона и арматуры. Для кон-I струкций из тяжелого бетона, армированных сталями классов А-II, А-III,
R> 1 4-Arv/?а/4000 (1 -Eo/U
где Ео = 0,85—0,0008 k /?пр; /?пр и Ra — расчетные сопротивления Сетона и арматуры, кгс/см2.
Из Формулы (З.П) следует, что граница переармнрова-ния прГдинамическом нагружении меньше, чем при стати-ЧеСт°1ким образом, железобетонную изгибаемую конструк-
* .,ожно рассчитывать по предельному состоянию 1а, ест! выполняется условие (3.8). В этом случае предельный момент внутренних сил при разрушении определяют по фор-мулам СНиП 11-21-75 при динамических сопротивлениях в бетоне и в растянутой арматуре.
Для прямоугольного сечения
,ПД = ky R& Fа (Ло xfi.) -с Д1Д=^б) /?цр Ьх Цги — л/2)4-/?а_,
/•а (х/2 — а"); (Ли— а').
(3.12)
или
где х определяют по уравнению (3.10).
Диаграммы деформаций изгибаемых конструкций. Для изгибаемых конструкций диаграмма деформаций отражает зависимость изгибающего момента от кривизны изогнутой оси. На характер диаграмм влияют разные факторы: класс арматуры, процент армирования, прочностные свойства бетона и арматуры и др.
Рассмотрим изгибаемый элемент, армированной сталью с физическим пределом текучести (классы А-1, А-П, A-III). Если для этого элемента выполняется условие (3.8), то диаграмма деформации изображается тремя отрезками прямых (см. рис. 21): первый участок соответствует работе элемента без трещин (стадия I), второй участок — работе элемента с трещинами в растянутой зоне (стадия II), третий участок (горизонтальная прямая) — работе элемента в пластической стадии (стадия III).
Протяженность пластического участка деформирования зависит в основном от значения £: при уменьшении Е пластические деформации возрастают.
Если выполняется условие (3.9), го происходит хрупкое разрушение^ элемента при достижении предельных краевых деформаций бетона в случае отсутствия пластических деформаций в арматуре. В этом случае третий участок диаграммы деформации изображается нисходящей прямой, соответствующей процессу хрупкою разрушения элемента.
Жесткость изгибаемых железобетонных элементов в ста-мд/ЯХ си пт? Дипа‘мических нагрузках определяют пофор-м'tJ1 1 И "'21-75с учетом особенностей деформирования риалов при таких нагружениях. В частности, не учиты-46
вают влияния пластических деформаций Сетона стадии I жесткость принимают
поэтому р
R' Еб/п’ (3.13)
где /п — момент инерции приведенного сечения.
В стадии II коэффициент упругих деформаций v считается равным единице. Однако непосредственно использовать зависимость, приведенную в СНиП 11-21-75 затруднптель но, так как кривизна нелинейно зависит от изгибающего момента. Расчеты, проведенные по формулам СНиП
Уа Уа 1//>
Рис. 29. К определению жесткости изгибаемого элемента, B = tga, Bo=tg a()
П-2]-75, показывают, что после образования трещин зависимость М = М (I/р) близка к прямолинейной [7| (рис. 29). Границе между стадиями I и II соответствует участок 1—2— скачок кривизны в момент образования трещин в растянутой зоне бетона. На начальном участке 0—1 диаграммы имеем:
М = в, 1 /р
В стадии II (участок 2—3) зависимость Л1 — I/р может быть записана в виде
1/р=(Л4—Л11)//??
где Д')। — момент, отсекаемый па осп ОД1 прямой 2 3, В» гене угла наклона к горизонтали прямой 2—3.
Методика определения параметров М„ В2 и их значения П„ дХвнв статических нагрузок лапы в работе |/| ' Р Экспериментальные данные показывают, что скачок . пнвизны при Л1 = отсутствует. Поэтому при динами-ирскпх расчетах можно применять жесткость, соответствую-щую прямой 1-3 п а рис. 29. Точка 1 характеризует момент образования трещин М? и кривизну 1/р, =
.. _ „ Я|Д Линпых нагоужениях определяют по
щую с
Моме it Л1? при быстрых нагружениях определяют по формуле
Л1^= /Су6 u Т’ (3 14)
Где UT — упругопластический момент сопротивления по растянутой зоне.
Точка 3 соответствует достижению в растянутой арматуре динамического предела текучести и характеризуется моментом Л/л и кривизной 1/р0. Момент внутренних сил определяют по формуле 3.12. Кривизну 1/р0 можно определить с использованием зависимостей (СНиП П-21-75) при V = 1, Фа = L Фб =
1/р = Л4Д/В0.
_______________hp =
ГДе °~ 1/(Еа Ла) + фб/[(у' -НтШо^б) “
_ {1о ?i Еа Fa
1 4" 0,9рл/(у ф- Пт)
где р = /?а/(6А0), п = Еа/£б,
£т — относительная высота сжатой зоны в момент начала текучести арматуры, равная |т = | при £ > 0,2 и £т = 0.1 ф- 0,5 В при I < 0,2.
Значения у' находят по формулам СНиП 11-21-75 при замене £ на £т.
Жесткость элемента в стадии с трещинами
в мп-м? Л4Д (1-мД/МД)
bp.»— 1/Pi 1/ро(1~ро/р1) В" (1—Ро/Р1)
Изгибающий момент в-этой стадии
м =/цЛ + В (1 /р — 1/Р1) = ЛН 1 ’ +В!/р, где И'” = Л/Д —В/р,.
Обычно на изгибаемую конструкцию вначале действует статическая нагрузка, от которой в растянутой зоне обра-48
з\югся трещины (ЛсТ > Л1Т) В этих случаях зависимость меж ту изгибающим моментом и кривизной, вызываемой только динамической нагрузкой,
Л1 = Я-1р, (3.17)
где В определяют по формуле (3.1G).
Таким образом, при динамических расчетах принимают, что диаграмма деформации изгибаемых конструкций состоит из двух участков (рис. 30, а) — условноупругого и пластического. Для упругого участка справедлива зависимость
Рис 30. Расчетные диаграммы деформаций изгибаемых железобетонных элементов
а — >пр>гопластнческая; б — жесткопластическая; в—хрупкая; г—криволинейная
(3.17) при В, определенной по формуле (3.16). При малых значениях относительной высоты сжатой зоны £ пластические деформации конструкции могут значительно превосходить упругие, и при приближенном определений полной несущей способности можно иногда пользоваться диаграммой жесткопластического материала (рис. 30, 6) и пренебрегать упругой работой.
При больших значениях £, если выполняется условие (3.9), конструкция разрушается хрупко и расчетная диаграмма деформации имеет вид, изображенный на рис. 30, в.
В последние годы все более широкое распространение полхчают высокопрочные арматурные стали классов A-1V, A-V, Ат-lV, At-V и др. Эти стали нс имеют физического
ппедета текучести, их механические характеристики почти не зависят от скорости нагружения, а диаграмма растяжения является криволинейной Такой же вид имеет и диаграмма деформации железобетонного элемента, армированного высокопрочными сталями (рис. 30, ?).
§ 14. Методы динамического расчета конструкции
Конструкции специальных сооружении можно рассчитывать, как отмечалось выше, в упругой (предельное состояние 16) или в пластической стадии (состояние 1а). Расчет железобетонных конструкций в упругой стадии ведется с использованием методов динамики упругих систем как точных, так и приближенных [131.
Точные методы основаны на представлении конструкций как систем с бесконечным числом степеней свободы. Расчетные зависимости получаются в виде бесконечных рядов, и вычисления очень трудны. В приближенных методах конструкцию представляют в виде системы с конечным числом степеней свободы, которое зависит от условий расчета и типа конструкции. Например, для расчетов вибрации требуется знать частоты собственных колебаний конструкций. Чем более высокие частоты необходимы, тем больше приходится принимать степеней свободы. При расчете конструкций на действие импульсивных сил обычно требуется определить максимальные перемещения и усилия, которые возникают в течение относительно небольшого промежутка времени, поэтому ограничиваются небольшим числом степеней свободы или одной степенью [3,111.
Методы приведения конструкции к системе с конечным числом степеней свободы можно разбить на две группы. В одной группе приведенную расчетную схему получают путем замены непрерывно распределенной по конструкции массы одной или несколькими сосредоточенными массами. Такой прием особенно целесообразен для расчета конструкций, в которых наряду с распределенной имеются значительные сосредоточенные массы, например балка с прикрепленными к ней тяжелыми грузами, массивный фундамент расположенный на грунте или на виброизоляции.
В другой группе методов число степией свободы конструкции ограничивают отбором нескольких форм перемещении, играющих определяющую роль в рассматриваемом процессе. Особенно целесообразен этот метод при расчете на действие кратковременных нагрузок.
Методы расчета конструкций в пластической стадии зависят от расчетных диаграмм деформаций конструкций 16, 151.
В настоящее время наиболее часто применяют методы расчета конструкции, материал которой обладает идеаль нымп упругопластическими свойствами. Эти методы применимы к расчету железобетонных конструкций, армирован ных сталями, е площадкой текучести. При расчете таких конструкции обычно наиболее часто применяют упругопластический, жесткопластическнй, а также приближенные уп-ру гопластическнй и жесткопластическнй методы.
В упругопластическом методе, в котором применяется диаграмма деформированного идеального упругопластического тела (рис. 30, а), учитываются упругая стадия рабо-1Ы конструкции и упругие деформации участков конструкции между пластическими зовами. Положение пластических областей и их развитие определяют в процессе расчета. Этот метод трудоемок, и в настоящее время его использу ют для ограниченного крута задач.
Более широкое распространение получил жесткопластический метод, в котором полностью пренебрегают упругими деформациями материала конструкций (рис. 30, б). Конструкцию принимают недеформируемой, пока усилия в каком-либо сечении не достигнут предельного значения и не начнут образовываться пластические деформации. Только после этого начинается перемещение конструкции. Пластические деформации сосредоточены в шарнирах пластичности или на участках конечной длины, причем положение шарниров пластичности может меняться в процессе движения конструкции. Участки конструкции между шарнирами пластичности рассматривают как жесткие. Полученные этим методом решения дают достоверные результаты только при больших деформациях и при действии на конструкцию нагрузки, постепенно нарастающей во времени.
Основная трудность при использовании этих методов связана с учетом движения пластических шарниров и пластических зон. Поэтому более широко распространены приближенные методы, в которых шарниры или зоны пластнч ности считаются не перемещающимися в процессе деформирования конструкции (стационарные), а участки между ними принимаются жесткими. При этом упругую стадию работы можно учитывать или не учитывать. Положение пластических зон определяют расчетом конструкции в упругой гадии иди на основе экспэрн\|е:|тов В большинстве слу-
„яев расположение мест образования шарниров пластично-в Монстрациях при действии статической и динамнчес-кой нагрузок совпадает ПО,
Ппиближенные уиругопластическии и жесткопластический методы позволяют рассчитать большое число констР)к-ПИЙ (в том числе оболочек) 110, 111 В большинстве методов влияние скорости деформирования конструкции учитывают повышением предела текучести. Существуют методы, в ко-т пых влияние скорости деформирования учитывают в расчете использованием законов деформирования вязкопласти
ческих материалов
Если диаграмма деформирования конструкции описывается плавной кривой, то ее представляют аналитически в виде непрерывной функции — степенной, многочленом или ломаной. В первом случае получают нелинейное дифференциальное уравнение, которое решают вариационными или численными методами Во втором случае получают систему линейных дифференциальных уравнений, составленных для отдельных участков ломаной диаграммы.
§ 15. Нормирование предельных состояний
При расчете конструкций необходимо вводить критерии, определяющие достижение расчетного предельного состояния. Для статических нагрузок критериями предельного состояния по несущей способности являются условия прочности. Например, для изгибаемых элементов этим условием является равенство изгибающего момента от внешних нагрузок моменту внутренних сил сечения при достижении конца III стадии.
Предельное состояние по несущей способности (случай 1а) железобетонных конструкций, подверженных действию кратковременной динамической нагрузки, возникает в результате их работы в пластической стадии (стадия III), т. е. растянутая арматура в наиболее напряженных сечениях находится в состоянии пластического течения. Поэтому нормировать предельное состояние конструкции 1а можно лишь величинами, связанными с деформациями бетона и арматуры. Нормирующие величины выбирают таким разом, чтобы их можно было найти существующими методами динамического расчета и чтобы они были удобны для экспериментального определения. Для широкого класса же езобе онных конструкций, сечения которых работают в условиях изгиба или внецентренного сжатия с большим экс-52
центрпситетом (балки, рамы, арки, оболочки и др.), наиболее удобно в качестве нормирующей величины принимать угол раскрытия в шарнире пластичности.
Этот способ нормирования был предложен А. А. Гвоздевым 151, который в результате анализа большого числа экспериментов с железобетонными балками предложил принимать предельное значение угла раскрытия в шарнире пластичности фпр = 0,04 — 0,08. Угол фпр зависит от процента армирования р %, причем с его увеличением значение угла уменьшается.
В последующих испытаниях балок на действие динамической нагрузки значениефпр уточняли. В результате испытаний однопролетных, шарнирно-опертых балок при hll = = */8 — 1/12 была предложена формула |3|:
J 0,035-|-0,003Л
'tnp“ to, 2
при £ > 0,02;
при £ < 0,02,
(3.18)
где £ = x/h0 — относительная высота сжатой зоны в шарнире пластичности, определяемая по статическим расчетным сопротивлениям бетона и арматуры.
В формуле (3.18) угол раскрытия фпр определен с учетом деформаций балки как в пластической, так и в упругой стадии. В этом случае условие прочности конструкции, в которой образуется п шарниров пластичности, имеет вид
Фх V npi б — 1»2, . •., л) ,
(3.19)
где фг- — угол раскрытия в ём шарнире пластичности, полученный из динамического расчета с учетом деформаций конструкции за время ее работы в упругой стадии; фпр^ — предельный угол раскрытия в ём шарнире пластичности.
Деформацию конструкции в упругой стадии учитывают условным углом раскрытия в шарнире пластичности, который мог образоваться при деформировании элемента конструкции по пластической схеме. Например, для шарнирно-опертой балки
фу = 4 у {)/1,
где у0 — прогиб балки в конце упругой стадии.
Угол фг определяют по формуле
Ф/~ Фу/4"Фп1|1>
(3.20)
гдефпл/ — полученный из динамического расчета угол раскрытия в ём шарнире пластичности за время работы сечения только в пластической стадии.
Для однопролетпых шарнирно-опертых балок условие прочности часто представляют в виде у //пр или
k-yiy^ С А’Пр= </пр/*/о»
где k — отношение полного прогиба у к упругому уп, полученное из динамического расчета; /?пр — отношение предельного прогиба к упругому по графику (рис. 31).
Предельное состояние 16 нормируют по усилиям, соответствующим образованию в растянутой арматуре напряжений динамического предела текучести в момент макси мальных перемещений. Для шарнирно-опертой балки это состояние соответствует условию k 1.
Как отмечалось выше, способ нормирования предельных состояний конструкций зависит от вида напряженного состояния ее элементов. Например, центрально-растянутые элементы нормируют по относительному удлинению арматуры (еа еа1|р), центрально сжатые элементы — по предельным напряжениям или деформациям бетона.
Металлические конструкции из низкоуглеродистых сталей на однократное действие динамической нагрузки рассчитывают также с допущением пластических деформаций. Однако в металлических конструкциях развитие пластических деформаций, как правило, не приводит к разрушению сечения, как в железобетонных конструкциях. Предельное состояние характеризуется обычно чрезмерными прогибами, при которых возможно нарушение связей с примыкающими конструкциями.
Предельное состояние по пригодности к нормальной эксплуатации конструкций, деформации которых ограничиваются, нормируют перемещением, обусловливающим условия эксплуатации сооружения.
Расчеты конструкций показывают, что нормировать предельное состояние 1а изгибаемых и внецентренно-сжатых с большими эксцентриситетами элементов более удобно по пластическим углам раскрытия в шарнирах пластичности, т. е. углам, которые возникли за время работы конструкции только в пластической стадии. Этим способом можно нормировать предельные состояния более широкого класса конструкций, в том числе арок, оболочек и т. п., в которых чрезвычайно сложно учесть условный угол раскрытия во время работы конструкции в упругой стадии.
Уравнение прочности конструкции в этом случае также имеет вид (3.19), однако фпр^ являются пластическими углами раскрытия в шарнирах пластичности. Для примене-54
пня этого метода нормирования необходимо знать предельные пластические уг 1Ы раскрытия фпр Рассмотрим учас ток конструкции вблизи зоны, в которой развиваются пластические деформации арматуры и бетона (рис. 32). Длину пластической зоны обозначим /пл, взаимный поворот концевых сечений пластической зоны ф. Угол ф складывается из углов раскрытия трещин, образующихся в пластической зоне. При расчетах вместо пластической зоны рассматривают шарнир пластичности, сосредоточенный в среднем се.
Рис 31. Предельные значения относительных прогибов для железобетонной шарнирно-опертой балки
Рис. 32. Деформации участка балки в пластической зоне
а — деПствительная схема; б — расчетная схема
чении пластической зоны. Угол раскрытия в шарнире плас-тичности также равен углу ф (рис. 32). Так как рплф =
^пл» ТО
Ф=^плРпл, (3-21)
где 1/рт — кривизна пластической зоны, возникающая только в пластической стадии: 1/рпл = 1/р — 1/оу, 1/р, 1/ру — соответственно полная и упругая кривизна.
В предельном состоянии, когда деформации в бетоне достигают предельных значений Ебпр» полную кривизну определяют из выражения
1/р = Гб пр/* = еб пр/£/го» (3.22)
где £ — относительная высота сжатой зоны в предельном состоянии
Упругая составляющая кривизны равна:
1/Ру = еа/(^о—x) = ky /?а/[^а Лц (1 £у)1 (3.23)
гпе н —относительная высота сжатой зоны в бетоне в конце упру. ?ой стадии, определяемая в предположении упругой работы бетона (§ 13).
Из (3.21) имеем:
фир — {₽б пр/£ — ^а/[^а (1 ^у)0 ^пл/^и • (3-24)
Длина пластической зоны /пл зависит от напряженно-деформированного состояния элемента конструкции и в настоящее время может быть определена лишь на основе экспериментов. Для определения /11л имеется ряд предложений, основанных на теоретических и экспериментальных исследованиях. В расчетах удобно использовать экспериментальную зависимость [16], коэффициенты которой были уточнены на основе динамических экспериментов.
Для изгибаемых элементов
/пл = СмС6((Л),/'1Л„
(3.25)
где /0 — длина примыкающего к шарниру пластичности участка конструкции, на котором изгибающий момент сохраняет знак; См — коэффициент, зависящий от формы эпюры моментов (для пролетных сечений 0,9, для опорных сечений 0,7); Со — коэффициент, зависящий от марки бетона, Cq при марке до М200 равен 1, при марке М300—0,9, при марке выше А1400—0,8).
Из формул (3.24) и (3.25) получим:
tnp= {еб пр/$—£у Ra/[Ea (1—£у)]}СмСб(/0/Л0),/4. (3.26)
Значение /0 зависит от изменения изгибающего момента по пролету балки и принимается:
Шарнирно-опертая балка.....................
Защемленная на обоих концах: сечение в середине пролета ...............
сечение на опорах ..................
С одним конном защемленным, с другим шарнирно-опертым: сечение в пролете ..................
сечение на защемленной опоре ....
Неразрезная равнопролетная для средних опор...........................
I
0,51 0,25/
0,7/
0,3/
0,5/
При определении £ в формуле (3.24) арматуру в сжатой зоне учитывают, если х >» а . Для элемента прямоугольного сечения при F а = 0
^у^аН/(4б)^пр). (3.27)
В Жетоне сжатой зоны прини-мают ебпр = 3,2-Ю-3. г
Длину пластической зоны внецентренно-сжатых элементов определяют по формуле [161
/пл = {-'м G 4“ 0»Ао» (3.28j
где /V — продольная сила; /Vnp — предельное значение продольной силы при центральном сжатии.
Предельный угол раскрытия в шарнире пластичности внецентренно-сжатого элемента
'l пр = {еб пр/fe Ay Ra./[Ea (1 —1у)]} (1 4-
+0>5^Пр)(/о/Ло),/4. (3.29)
Относительную высоту сжатой зоны определяют для внецентренно-сжатого сечения. Для прямоугольного сечения
^ = (Ау/?ар, Ra с Р- ) (’у /?пр+ V Ау/?прАЛ0). (3.30)
При расчете конструкций по предельному состоянию 1а необходимо соблюдать условия, исключающие разрыв арматуры в расчетных сечениях:
£ат 0.0епр, (3.31)
где рат—относительная деформация растянутой арматуры в сечении с трещиной; епр — предельное относительное удлинение арматуры при разрыве.
Деформацию арматуры еат определяют по формуле Еат“еб ар(1 —£)/£•
ГЛАВА IV. РАСЧЕТ ИЗГИБАЕМЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИИ НА ДЕЙСТВИЕ ВОЗДУШНЫХ ВЗРЫВНЫХ волн
В сооружениях и зданиях наиболее распространены изгибаемые элементы, которые входят в состав несущих и огра ждающих конструкций. При расчете сооружение расчленяют на отдельные простейшие элементы, причем к изгибаемым относятся балки (однопролетные, многопролетные, неразрезные) и плиты (балочные, опертые по контуру). Эти конструкции обычно являются элементами перекрытий и стен.
Изгибаемые элементы, армированные сталями с площадкой текучести (стали класса А-П, А-1П), способны в большей степени работать в пластической стадии по сравнению с остальными конструкциями (например, внецентренно-сжа-тыми). Поэтому для изгибаемых конструкций особенно ва-
жрн насчет с учетом пластических деформации арматуры, т е в 111 стадии напряженно-деформированного состояния' Расчетные диаграммы деформаций непереармирован-ных железобетонных изгибаемых конструкций представлены упругопластической диаграммой (см. рис. 30, а). Диаграмма состоит из двух участков: упругого и пластического. Поэтому работу конструкции целесообразно рассмотреть в упругой стадии и за пределом упругости
§ 16. Расчет конструкций в упругой стадии
Деформирование упругих конструкций при действии динамических нагрузок описывается линейными дифферен-
циальными уравнениями в частных производных, которые решают с учетом граничных условий, зависящих от опорных закреплений. Вывод этих уравнений и методы их решения
изложены в различных курсах по динамике сооружений [131.
Уравнения движения конструкций получают из уравнений равновесия, в которые в соответствии с принципом Даламбера к внешним нагрузкам добавлены силы инерции.
Рассмотрим балочные конст-
Рис. 33. Усилия в элементе балки
прогиб сечения балки /, вызванный действием зок; р (х, /), q (х)
мической и статической ницу длины
рукции. Обозначим: ии (х, /) — g координатой х в момент времени статической и динамической нагру-
интенсивности
распределенных дина-
нагрузок; т — масса балки на еди-
Уравнения динамического равновесия элемента балки (рис. 33) имеют вид:
f)Q I . \ dAi
—т __ \ <у = -—.
их \ ull / дх
Отсюда
(РЛ1 d2w
дх2 + O-H/U).
(4.1)
Уравнение (4.1) является учтен ряд факторов: влияние
простейшим, так как в нем не Деформаций сдвига и инерции
вращения, которые значительны в балках относительно большой высоты (Л// > ‘/J
Предполагаем, чго в результате действия статической нагрузки q (х) в бетоне растянутой зоны наиболее папря женных участков балки возникли трещины. Такое предположение обычно справедливо для балочных конструкций с ненапрягаемой арматурой, которые рассматриваются в данной книге.
Представим прогиб и изгибающий момент в виде сумм: t)=ycr (х)+у(х, t) ;
М(у, о — Л1Ст (х)+Мд<х, /),
где уст (х), Л1СТ (х) — прогиб и изгибающий момент, вызываемые действием только статической нагруки q (х); у (х. О, Л1д (х, t) — прогиб и изгибающий момент от действия динамической нагрузки Р (х t).
Подставив эти выражения в уравнение (4.1) и учитывая, что
— <Эа Л4ст/дха = q (х), получим уравнение
52 ЛК д’ г/
~ Т7" +т = О дх2 д/-
(4.2)
Для участков балки с трещинами в растянутой зоне справедлива зависимость (3.17), т. е.
где жесткость балки определяется по формуле (3.16). Распространим приближенно зависимость (3.17) на остальные участки балки. Тогда из (4.2) получим уравнение для динамического прогиба балки
д4 у д2 и
в-^-+т1^=р(х-‘'1- (4-3)
Усилия в сечениях балки от полной нагрузки будут равны:
М (х, О = МСт (х)-|-Л1п(х, /);
Q (х, t) — QCT (х) -pQn Iх. О >
д2 у дМг,
где Мп = — В-—Qn=~— = — дх2 дх
(4.4)
д3 у дх'<
Прогибы и усилия 01 действия статической нагрузки находят по теории железобетона согласно СНиП П-21-75 [1].
усилий
мссматриваются метопы определения прогибов и усилий, вызываемых динамической на,рузкой.
^Решение уравнений (-1.3) может быть получено точными н приближенными методами. При точном методе прогиб , <<с П выражается в виде бесконечного ряда, что соответствует конструкции как системы с бесконечным числом степеней свободы Приближенный метод основан па представлении конструкции как системы с конечным числом степеней
свободы.
При выборе метода решения уравнения движения конструкции следует иметь в виду, что при расчете на действие кратковременных динамических нагрузок аварийного характера некоторые факторы не поддаются точному определению. К ним относятся интенсивность нагрузки и законы ее изменения во времени и по пролету, физико-механические свойства материалов конструкции, расчетные схемы и др. Поэтому при расчете специальных сооружений па действие взрывных волн обычно применяют приближенные методы решения уравнений движений конструкций. Наиболее удобен метод, в котором задана форма прогибов конструкции. Исследования показали, что при динамических нагрузках, распределение которых по пролету во времени не меняется, наибольшую точность дает форма прогибов, полученная от действия статической нагрузки с таким же законом изменения по пролету, как и динамическая [31.
Динамическую нагрузку представим в виде
р(х, t) = pfi (x)f(t),
(4.5)
где р — некоторое фиксированное (часто наибольшее) значение динамической нагрузки; Д (х), f (t) — функции, характеризующие изменения нагрузки по пролету и во времени.
Для прогиба балки примем выражение
У{х, t)=pF (х)Т (/), (4.6)
где функция F (х) (форма прогибов) равна перемещениям балки от действия статической нагрузки интенсивностью (х).
Функцию F (а) определяют при решении уравнения
n d4 F (х) ,v
В~-------= BFIV (х) = Л (х); (4.7)
она должна удовлетворять граничным условиям на концах балки, зависящим от вида опорных закреплений.
Функция Т (/), описывающая перемещение конструкции во времени, обычно называется функцией динамичного
сти При расчете конструкции в упругой стадии основное значение имеет ее наибольшая величина, называемая коэффициентом динамичности. Для ее определения применим метод Бубнова — Галеркина. Подставим (4.6) в уравнение (4 3), получим ошибку, так как выражение (4.6) не является точным решением уравнения (4.3):
1 (X t) = pBFlv (х) Т (/) + mpF (х)Т (t)—pfi (x) f (/) =
=p|T(O fi(x) + mT(t) /- (x) —(x)/(/)J
Согласно методу Бубнова — Галеркина,
i
J L (x, t) F (x) dx = 0. о
(4.8)
Физически этот метод эквивалентен принципу возможных перемещений, где в качестве возможного перемещения выступает функция Л (%). Из равенства (4.8) получим дифференциальное уравнение для функции Т (/).*
Т (о4-со Т(/)=со’/(/) (4.9)
где I
J 6 (х) F (х) dx о
^==----------------(4.10)
m Р (х) dx
Значение со является круговой частотой колебания балки и зависит от вида опорных закреплений.
Для балки с шарнирно-опертыми концами граничные условия*
при х—0 и x—l у = 0;
d3 ц .
Л1= — В • — =0, г.е. F = 0, F" =0.
дх2
Найдем F (х) из условия (4.7) при (х) = 1:
SFIVW = I; £f‘" (х) = х+С,; Bf' |х) = Ц-С,х+ С2;
BF (Х) = -- TG 4-С2х-]-С3;
4
х4 Ci х3 С2 ха = —+ —Г —
Из граничного условия F (0) = 0, Fn (0) = 0 следует
Из условий F" (/) = о. F (/) = о получим
/2 2
|-С,/=0;
24
/ /з /3
-----—Ь С3 / = 0 и С3 = .
9 h 24
Таким образом,
(4.11)
Подставив выражение (4.И) в (4.10), получим:
9 876 со = —7"
4.12)
Изгибающий момент и поперечная сила в балке равны:
М (х, /)= — = — pF" (Х\ Т (/) = -£-(/х—х2) 7'(/); (4.13)
дх2 2
/ / I \ pF
при х = — Л4 I — , /1 = ----Т (/).
н 2 \ 2 / 8
0Л4 р
Q{x, /) = —— — — (/—2х)Т(/) (4.14)
дх 2
при х=0, Q (0, /) = -у- Т (/).
Для балки с жестко защемленными концами граничные условия:
при х = 0, х = /, v = 0, —— = 0, г.е. Л = 0 дх
F' = 0.
В этом случае найдем:
с , , I / Хп /2 х2 \
-'^+—);
Усилия В балке:
Л1(х, Z) = —^-(6ха-61х + 1а)Т(О; (4.17)
I
пр ( I \ р/а
дцо,о = —Ail—,/)=—
I
<2(x. 0 = V l-2x)T(t)i
& pl m Q(0,/) = —T(/).
Как видно из выражений (4.6), (4.13), (4.14), (4.17), перемещения балки и усилия в ней равны произведению соответствующих перемещений и усилий от статической нагрузки на функцию динамичности Т (/). Таким образом, динамический расчет конструкции сводится к решению уравнения (4.9), зависимость которого от свойств конструкций проявляется только в значении частоты со [31.
В рассмотренных примерах частоты колебаний балки (4.12) и (4.16) почти совпадают с соответствующими по граничным условиям низшими частотами ее собственных колебаний [151:
Это объясняется тем, что в рассмотренных примерах ста тическая форма прогибов от равномерно распределенной нагрузки близка к форме колебания балки с низшей частотой.
Указанное обстоятельство может быть использовано при приближенных динамических расчетах довольно широкого класса конструкций (неразрезных балок, рам, арок, некоторых видов оболочек) и особенно при расчетах конструкций, у которых статическая форма прогибов не найдена в замкнутом виде. Динамические усилия и перемещения определяют умножением их статических значений, принимаемых, например, по справочным данным, на функцию динамичности Г (/), которую определяют из уравнения (4.9). Значение со можно принять равным круговой частоте собственных колебаний, соответствующей форме колебаний, близкой к статической форме перемещения конструкции от цагрузки, распределенной по поверхности конструкции аналогично динамической. Частоты собственных колебаний могут быть взяты из справочной литературы.
Определим, например, частоты со для неразрезных рав. нопролетных балок с крайними шарнирными опорами при одновременном загружении всех пролетов равномерно рас. пределенной динамической нагрузкой. В этом случае формы перемещений неразрезных двух-трех пролетных балок будут иметь вид, показанный на рис. 34. Частоты колебаний
а)
Рис. 34. Расчетные формы перемещений неразрезных балок а — двухпролетная; б — трехпролетная балка
со принимают равными собственным частотам, соответствующим формам собственных колебаний. Получим [151:
15,42 . / В . при двух пролётах со =----------- I/ —»
I2 у т
(4.19)
18,47 / В
при трёх пролётах со=----------- 1/ — .
/2 \ т
Найдем решения уравнения (4.9) для дв^х законов изменения нагрузки во времени, наиболее часто встречающихся в расчетах. При этом начальные значения Т (0) и Т (0) определяют из условия, что прогиб балки и скорость ее перемещения при t = 0 равны нулю.
Из (4.6) имеем:
7(0) =0; 7(0)=0. (4.20)
Нагрузка вида (рис. 19, а)
р (0=
0;
(1.21)
При t < 0 f (/) = 1 — и уравнение (4.9) примет вид:
Т (/) Н-со3 Т (1 — -у), 0</<0. (4.22)
Как известно, решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения уравнения (4.22).
Общее решение уравнения
?”(/) + со2 7 (0=0
имеет вид:
Т (/) = A sin со/ + В cos mt, где Л, /3 — произвольные постоянные.
Частное решение
7 (0 = 1 -//0,
т. е. решение уравнения (4.22) представлено в виде
Т (t)=A sin со/+ В cos со/ + 1 ——
Постоянные А и В находим из начальных условий (4.20).
Имеем Т (0) = В + 1, т. е. В = — 1:
7 (0) =соЛ —1/0 =0; 4 = 1/(ц>0).
Таким образом,
7 (0 = 1 — —cos со/ + si п со/ / (<о0), (4.23)
при О</<0.
Найдем максимальное значение функции (4.23), т. е. ее значение в момент времени t = tm, тогда Т (/) — 0. Время tm находим из уравнения
7 (/„,) = —1/0 4-cosin co/m-i-cos со/т/0= 0. (4-24)
Для решения этого уравнения выразим sin Ш/АП И COS через tg по формулам:
2tg mtm/Ч sin co/m= - / -——- J 1 + tg- co/m/2 1—tg2 co/,h /2 cos co/m = .
1 + tg2 co/m/2
3 Зак. 130Q
65
Подставив эти выражения в уравнение (4.24), подучим; tg co/m/2 = coO,
т е (0^ = 2 arc tgcoQ. (4.25)
Максимальное значение функции динамичности найдем, приняв в (4.23) а>/,п по формуле (4.25):
Т'(/,П)=А>Д = 2[1—arc tgcoO/(wO)]. (4.26)
где k — коэффициент динамичности при расчете конструкции в упругой стадии.
Формулы (4.25) и (4.26) справедливы, очевидно, если t < 0, т. е. когда нагрузка продолжает действовать при достижении конструкцией максимальных перемещений. Условия этого случая находят из (4.25):
(D/m — 2arc tg СО0 < cdQ •
Отсюда следует
(о0>2,33. (4.27)
При «О < 2,33 нагрузка прекращает действие прежде, чей конструкция получит максимальные перемещения.
При /> 0 дифференциальное уравнение для функции динамичности, которую обозначим 7\ (/), получается из (4.9) при f (t) = 0:
Л(О+со3Л(О=О, />0- (4.28)
Начальные условия для уравнения (4.28) определяют из у словия непрерывности перемещения конструкции и скорое и ее движения в момент прекращения действия нагрузки, т. е. при t = 0:
Л (G) — Т (0); Л (0) = Т (0).
Из (4.23) имеем:
Г (0) = —COS coO + sin соО/(соО);
(0) = — — -f-со sin coQ + cos соО/0. (4.29)
Решение уравнения (4.28) имеет вид
откуда T‘(z)=yl sin 0)(/—0) + ^cosio(/—0), (4.30)
Л (О=со[Л cos (/ —0) — В sin (/—0)].
Учитывая начальные условия, получим:
В=7'(и,; '4=дг*’(0)- <4-31)
Время достижения максимального перемещения определяется из уравнения 7\(/w) = 0, т. е.
(4.32)
Подставив выражение (4 32) в (4.30), получим после преобразования значение коэффициента динамичности при соО < 2,33.
Л (/,„)= = УА2+Я2 = —7Г 1/ 4 sin4 -v~+(w0—sin (DO)2 .
(4.33)
Рис. 35. Коэффициенты динамичности при расчете конструкции в упругой стадии для мгновенно нарастающей нагрузки
Значение коэффициента динамичности при нагрузке вида (4 21) при любых значениях оО можно найти по графику рис. 35.
Рассмотрим далее нагрузку вида (рис. 19, в)
р-— 0 /<01
Uj
Pll-O-Oj/Oj о(</ 014-02 = 0, о />0-
(4 .34)
Обозначим функцию динамичности при 0 о через 1\ (/), при 0, t О через Т2 (/) и при I > 0 через Тз (/). Уравнения для этих функций получаются из уравнения (4.9) при функциях [ (/), соответственно равных:
= /2 (0 = 1 — (/—0i)/02; f3(/)=0.
Решения этих уравнений при удовлетворении условий непрерывности (/) и (/) будут иметь вид:
Л (О = //01—sin co//(coOJ; (4.35)
Т2 (/) = 1 — (/— 0i)/02 + [l/(co0i)-t 1 /(<о02)] sin со (/ — GO— sin о)//(оД)’ (4.36) / (4.37)
7з (/) =/l sin co (/— Q) I В cos co (I —-0) где
Д =-------—
co0a
1 1
'0©i со02
1
со02
CO0J
_ cos «0 cos С0О2 —--------—
со01 sin'coO sin cdO2 —-------“— •
coOi
Функция динамичности может достигать максимального значения при 0А t 0. В этом случае коэффициент динамичности равен: kn = Т2 где tm находят из уравнения
COS СО (tm — 0t) — COS (i)t m /01 = 0.
При нагрузке большой продолжительности, когда можно принять 62 = 00, получается равным:
/гд =1 +
СО01
(4.38)
Коэффициент динамичности при различных соотношениях 02/0f дан на графиках рис. 36. Для нагрузки вида (рис. 19, б) при 0 = оо и Д/;оСт/(А/?отр) = 0,5 значения определяют по графику рпс. 37.
Из полученных выше формул для коэффициентов динамичности можно сделать ряд выводов о характере воздействия динамических нагрузок. Прежде всего видно, что значения коэффициентов динамичности зависят не от абсолютных значений временных характеристик нагрузки (0, ()lt 02), а от безразмерных величин (со0, о)0ь cd02)-
Определим, при каких значениях параметра со0, харак-теривукяцего продолжительность действия внезапно воз-68
Рис. 36. Коэффициенты динамичности при расчете конструкции в упругой стадии для нагрузки с нарастанием
и — при со01 <10; б — Агд при <о0( < < 1 (в укрупненном масштабе)
Рис. 37. Коэффициенты динамичности при расчете конструкции в упругой стадии для нагрузки с отражением
пикающей нагрузки вида (4.21), ее можно считать по-
стоянной во времени, т. е. (о6 = оо. Для этого из фор-
мулы (4.26) определим, при каких значениях соб коэффициент динамичности близок к при о)0 = оо. Легко получить
/ 2 3 40)6^1 (2л)
= 2, который получается из (4.26), что при о)6 >50
будет 1,952. Таким образом, при практических расчетах конструкций в упругой стадии нагрузку можно считать постоянной во времени при о)6 > 50.
Большинство взрывных нагрузок являются не мгновен-
но возрастающими, а нарастают постепенно в течение некоторого промежутка времени 6Р Из формулы (4.38) видно,
что с уменьшением параметра соО, коэффициент дппамичио-сги растет и при coOj —> 0 /гд —> 2. Оценим величины co0lt при которых нагрузку можно считать при расчетах мгновенно возрастающей. Из (4.38) получим, что при «0! 1
1,95 C 2, т. е. нарастающая во времени нагрузка может считаться мгновенно возрастающей при coUj <1 1.
При возрастании величины а)01 коэффициент динамичности уменьшается, стремясь к единице. Из формулы (4.38) получаем, что при 0)0! > 15 будет 1 L07, т. е. при
со©! 15 действие динамической нагрузки может рассматриваться как действие статической нагрузки.
Часто в расчетах встречаются динамические нагрузки, время действия которых прекращается значительно раньше времени достижения конструкцией максимальных упругих перемещений. Расчеты показывают, что при соО < < действие нагрузок можно рассматривать как дейст-2 е
вие мгновенного импульса i = | р (/) dt. о
§ 17. Определение динамического предела текучести арматурной стали
Как отмечено выше, при быстрых нагружениях, вызываемых кратковременными динамическими нагрузками, происходит повышение прочностных характеристик арматурных сталей. При этом в наибольшей степени повышается предел текучести малоуглеродистых арматурных сталей (классов A-I, А-П, A-III). Это повышение существенно увеличивает несущую способность железобетонных конструкций и поэтому должно учитываться при расчетах.
Исследования показывают, что после достижения в арматуре динамического предела текучести при дальнейшем деформировании в пластической стадии величина напряжений мало изменяется до достижения конструкцией максимальных перемещений. Вследствие этого при расчете необходимо определить динамический предел текучести арматурной стали.
При расчетах конструкций в настоящее время существуют два способа определения динамического предела текучести.
Первый способ — приближенный, основанный на использовании экспериментальных зависимостей динамического предела текучести от скорости деформирования 8 70
(см. рис. 24). При этом скорость деформирования стали ё в конструкции принимается усредненной в период ее работы в упругой стадии и равной:
ё =/?Д/(Еат), (4.39)
где 1=3 kyRa — динамический предел текучести стали; ky — коэффициент упрочнения стали; Ra — статический предел текучести ’тали; т — продолжительность упругой стадии.
Так как коэффициент упрочнения зависит от скорости е, то его величина определяется последовательными приближениями. Время конца упругой стадии т также зависит от величины /??. Для определения времени т учтем, что для любого сечения балки выражение для изгибающего момента Л (/) можно представить в виде, как это следует из формул (4.13)—(4.17) §16:
М (4.40)
где Л/р — момент в том же сечении от максимального значения динамической нагрузки, приложенной статически; Т (/) — функция динамичности.
Из выражения (4.40) следует, что динамическое напряжение в арматуре в упругой стадии работы можно определять по формуле
а(/)=остТ(/), (4.41)
где ост = Л1р/з — напряжение от нагрузки, приложенной статически и равной максимальной динамической нагрузке.
Определяют ky в такой последовательности: вначале принимают некоторое значение коэффициента ky (по табл. 2), находят время т конца упругой стадии из уравнения
°ст 71 (т) = R& = ky Ra, (4.42)
по формуле (4.39) вычисляют s и уточняют по графикам рис. 24 ky.
При расчете по предельному состоянию 16 в момент времени т, который обозначим т*, балка должна достигнуть максимальных перемещений, т. е. при I — т* должно быть Т (/) = 0. При t > т* напряжения в арматуре уменьшаются, вследствие чего в арматуре могут возникнуть лишь ничтожно малые пластические деформации, и можно считать, что конструкция еще не вышла из упругой стадии. Будем называть соответствующее напряжение в арматуре о (т*) = = о* минимальным динамическим пределом текучести.
Время т* зависит только от вида функции динамичности Т (t) и не зависит от ky. Поэтому минимальный динамичес-
(4.43)
- пприел текучести находится непосредственно с исполь-зоваипем графиков рис. 24. Для этого, определив время
„ Т (т*). вычислим _ ^г(т<)
6 £иТ.
., затем по графику рис. 24 найдем А’у.
При тейетвии постоянной во времени (6 = °°), мгно, вепно возрастающей динамической нагрузки из (4.23) нме-
ем т (t) = 1 —cos coz. (4.44)
Максимального значения, равного 2, эта функция до-стигает в момент времени л/ш. Подставив в (4.43) т = = л/ю и Т (т,) = 2, получим
2ост со
£= лЕа~ ’
Второй способ определения динамического предела текучести арматурной стали основан на использовании уравнения (3.1)
J [о (z)]a dt = t0G%. о
Подставив в (4.45) выражение (4.41), будем иметь
f[7’ (Of Л = «„ (o„/aCI)'z. О
При известной функции динамичности Т (/) из уравнения (4.46) определяется время т конца упругой стадии и по формуле (4.42) — динамический предел текучести.
Определим, пользуясь уравнением (4.46), минимальный динамический предел текучести о* при действии мгновенно возрастающей постоянной во времени нагрузки [3]. Подставив в уравнение (4.46) выражение (4.44) и Т = л/to, получим
JI
(О
I (I — cos co/)a dt = о
Т (Г) = 1 —cos ai.
(4.45)
(4.46)
to
Go Y* °ст /
JI
co
С . 9rr Ml
I sin2a dt =
-I
0
JI
2
I sin2a xdx,
co
Последний интеграл точно вычисляется при заданном целом значении а: л 2
, С , ча , (2а —1)1! Л
1 = I sin xdx— ---------- —.
J 2а 11 2
о
Найдем максимальное значение напряжения ост (обозначим его ост), при котором динамические напряжения в
арматуре не выходят из упругой стадии:
Ост —
1
Mo) 0Q «4-1 1
2 а / и
Рис. 38. Расчетная схема шарнирно-опертой балки в пластической стадии
1 — прогиб в упругой стадии; 2 — прогиб в пластической стадии
Минимальный динами-
ческий предел текучести
0# — 0ст Т (т+) = 2ост ~
1 1
= (2/) а (CD/u) а 00-
Отсюда при (0 == 0,895 с, а = 17 получим
о»= 1,045 со1/17 а0; ky = 1,045 со1 /17.
(4.47)
(Здесь под со следует понимать безразмерную величину со=1 с.)
Формулой (4.47) можно пользоваться для арматуры класса A-I. Для арматуры класса А-Н влияние скорости деформирования проявляется в меньшей степени и приближенно можно принять (рис. 38):
1 1
аф = 0,95 со 17 а0; ky = 0,95 со 17 . (4.48)
Формулами (4.47), (4.48) можно пользоваться и при нагрузке, убывающей во времени, вида (4.21) при со0 5.
Из выражения (4.47) следует, что арматура не достигает предела текучести, если соблюдается условие
।
очт<аСт— -у-=0,502со 17 а0.
кие
"J ^пТ'испадь^ванйи точного выражения для Т (/) ре-2е уравнения (4.46) часто затруднительно и возможно лишь ? применением численного
ВО Р
Ппн большей нагрузке в арматуре возникают пластпчес-йюрмании и динамический предел текучести находят равнения (4.45) пли (4.46), при этом т > т„
Пои Использовании точного выражения для Т (/) ре. ‘ Гу равнения (4.46) часто затруднительно и возможно WUHiv __ г„,п„л„пЛгл ННТРГППППКЯИНЯ (Jntiai/л
on м^пгпТслучаях достаточную точность дает прием, основанный на замене в промеж} ке (0, г) функции Т (/) линейными функциями. Для случая нагрузки вида (4.21) примем Т (/) = kt. Коэффициент k и время запаздывания т находятся из уравнения (4.46) и условия ^ = Т (т). Подставив в (4.16) вместо T(t) функцию Т (/) = kt, полу
чим
/« а/=^ата+ ’/(а+ 1)=/и (о0/ост)с. о
Исключая из этого выражения k = Т (т)/т, найдем после преобразования
Uu (a-b 1)1' °о/°С J а (Т) •
При t0 = U,b95 а = 17 (сталь класса А-1):
1
1,1776— = т 17 Т'(т). (4.49)
°ст
Отметим, что расчеты, в которых динамический предел текучести определяется по приближенной методике и из уравнения (4.49), дают для многих задач близкие результаты. Использование аналитического критерия (4.45) целесообразно при решении задач, в которых линейная аппроксимация действительного закона изменения напряжений в арматуре приводит к существенным погрешностям и используется при расчете ЭВМ.
§ 18. Расчет шарнирно-опертой балки
При расчете конструкций по первой группе предельных состоянии рассматриваются, как отмечалось выше, два расчетных случая: случай 1а, если допускается работа конструкции в пластической стадии, и случай 16, если в арма-т\ре не доп}скаются пластические деформации. Поэтому метод расчета конструкций будет рассмотрен отдельно для ж ого из этих случаев. Динамическая и статическая науки считаются равномерно распределенными.
(случай^б)^ шаРниРно‘опеРт°й балки в упругой стадии 74
Расчет изгибаемых железобетонных конструкций по предельному состоянию 16 обеспечивает работу конструкции без остаточных удлинений растянутой арматуры. Достижение этого предельного состояния характеризуется началом возникновения пластических деформаций в растянутой арматуре в наиболее напряженных сечениях. Нормирование предельного состояния 16 производится по напряжениям: в момент достижения максимальных перемещений напряжения в растянутой арматуре в наиболее напряженных сечениях достигают минимального динамического предела текучести.
Изгибающий момент в среднем сечении балки и поперечная сила у опоры, определяемые с учетом действия статической, равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q, рассчитывают из (4.4), (4.13), (4.14):
Л1(0 = МрТ(/) + Л19; (4.50)
Q(/)=Qp^(0 + Qq. (4.51)
где Л1р = р/2/8, Mq = q/2/8; Qp = pl/2- Qq = ql/2.
Условие прочности по нормальному сечению
(4.52)
Где мд — момент внутренних сил в среднем сечении балки в момент достижения напряжениями в растянутой арматуре минимального динамического предела текучести
Величина может определяться согласно СНиП 11-21-75 при напряжениях в растянутой арматуре = = kyRa, в бетоне сжатой зоны = ky RnT> и в сжатой арматуре Ra.c.
Значение коэффициента динамичности /?д зависит от вида динамической нагрузки и определяется по графикам рис. 35—37. Методика определения коэффициента упрочнения изложена в § 17.
Максимальная поперечная сила на опоре
(4.53)
Q — у kR-\-ql/2. £
При нагрузке с нарастанием вида (4.34) расчет по пре-1ельному состоянию 16 может вестись по формулам (4.87), 4.88) с использованием графиков (см. рис. 40).
2. Расчет шарнирно-опертой балки с учетом работы в [ластической стадии (случай 1а).
Пластическая стадия возникает после того, как напря
жения в растянутой арматуре сечения в середине пролета балки достигают динамического предела екучести и в арматуре начинается пластическое течение. Такое состояние сечения называется шарниром пластичности. 1-го принято изображать в виде обычного шарнира, в котором приложен постоянный сосредоточенный момент. При расчете железобетонных конструкций положение шарниров пластичности предполагается неизменным. После образования шарнира пластичности балка превращается в механизм, состоящий из абсолютно жестких дисков (полубалок), соединенных шарниром пластичности 13,10, 111.
1. Расчет на мгновенно возрастающую нагрузку вида (4.21j t
р (0=р^— -yj •
Прогиб балки в упругой стадии с учетом действия статической нагрузки интенсивностью q будет равен из (4.2), (4.6), (4.11), (4.23):
w(x, /) =pF U) т (/)4-t/CT (х),
(4,54)
где
X4 /Зх \
— /хЗ-р-- 2---------------2 )
Т их 1 1 ,, sin
г (/) = 1 — —— —cos wt 4----—
О соО
(4.55)
л2 , / в со =---- I/ ----- .
Z2 у m
Прогиб в середине пролета балки
/ I \
w — , /1 = 2
(4-56)
5 Z4 / I \
384 ~В рТ т Уст I-?”/ '
I \
2 / * Изгибающий момент в середине пролета балки
(4.57)
гюшмаплдпи момен! в середине пролета балки в упругой стадии от действия динамической и статической нагрузок
м (t)=Mp T(t) + Mq, (4.58)
М - -PL • м р~ 8 > Mq~~.
Определим время конца упругой стадии Вначале рассмотрим случай, когда балка армирована сталями, нс упрочняющимися при быстрых нагружениях (классы A-1V и вы-1шпп 01ДИ ycj,0Bne К011на упругой стадии записывается в виде
где
М(т) = МрТ (т) ( Mq = M0 или
1 (т) = Ам, (4.59)
А4 о Mq
Ам -----------;
х — время конца упругой стадии: Мо — момент внутренних сил в сечении.
Коэффициент А’м принято называть коэффициентом динамичности по изгибающему моменту. Зтот коэффициент входит во все расчетные зависимости, по которым определяется несущая способность конструкции. При известном значении А’м и известной величине нагрузки определяется момент внутренних сил
Л4о р -рЛ4д (4.60)
и подбирается сечение.
Если известны конструкция балки и величина статической нагрузки, то при заданном коэффициенте Ам определяется динамическая нагрузка
Л1р = (Л4о-/И7)/Ам; р = 8Мр//2. (4.61
Уравнение для определения времени конца упругой стадии имеет вид
1 —т/0 — cosсот Ц-sin or/(coO)=^M. (4.62)
Если продолжительность 0 действия нагрузки достаточно велика (о)0 > 10), то можно пренебречь величиной
—т/0 + sin cdt/(coO)
и определять т из уравнения
1 — cos сот = kM,
т. е. сот = arc cos (1 — feM). (4.63)
Для балки, армированной сталями, упрочняющимися при быстрых нагружениях (классы A-I, А-П, А-III), время конца упругой стадии будем определять приближенным способом, рассмотренным в § 17. Если известны коэффициенты упрочнения для стали, принимаемые, например, по табл. 2, то применяется уравнение (4.62), в котором при определении /гм по формуле (4.59) момент внутренних сил принимается при напряжениях в растянутой арматуре, равных: /?£ = kyRa и в бетоне А® /?ир. Обозначим этот момент Л4£.
Принятый коэффициент Ау может быть уточнен. Для это-10 после определения из (4.62) при Ам — (AfJ— ДОд)/Л4р
воемени т находят по формуле (4.39) скорость деформа.
Р Гем пне 24) находят новое значение k,..
6 "пр°.1 "использовании в расчете уравнения (4.49) заменим в нем отношение ^£, отношением соответствующих из-гибающих моментов /?м = (А1о — A1<j) л1р и полечим следующее уравнение:
1
т17
T sin сот
1 —-------cos сотЦ----~~
0 t')0
Для удобства расчета запишем это уравнение в безразмерных величинах
1
(соО) 17
= 1,1776/?M.
COT
co9
1
SHI СОТ \ 17’ ..
cos сот 4- —7— 1=1,1776 £м со (4.64)
со© !
Изгибающий момент в шарнире пластичности
М^ = Л7рТ(т)+Мд. (4.65)
Прогиб и скорость перемещений балки в конце упругой стадии:
u'o (x) =pT (t) F (x) +i/ct /-М;
\ & I
dw (х, /) di
= а'о (х) =pf (х) Т (i)=pF (х) со х t = T
1 — cos сот
sin сот—------*----
СО0
(4.66)
(4.67)
В пластической стадии, т. е. после образования в среднем сечении балки шарнира пластичности, прогиб балки (рис. 38)
у(х, /) = ш0(х)~Н (/) х, 0<х<—, (4.68)
2
где ср (/) угол поворота половины балки, который находится из р ш ния уравнения движения балки в пластической стадии.
а пени выводится на основе принципа возможных перемещений, согласно которому приравнивается нулю сум-। раоот в ех действующих на балку сил на возможных перемещениях.
1л В°зможнь,е перемещения балки [вариация прогибов (4 68)1 в пластической стадии имеют вид = Л'бср.
Уравнение работ для половины балки / X
•> 2
0.
б О
Отсюда с учетом (4.65), (4.59) т!3 •• р (б /а .. .
24 8
где ^М = (Л1^—Л1у)/Л1
(4.69)
р. (4.70)
Отсчет времени будем вести от начала пластической стадии, тогда
(6-А-М-//0).
(4.72)
р (/) = р [ 1 - (/ + т) /0] = р (6 -//0),
где 6 = 1—т/0.
Подставив (4.71) в уравнение (4.69), получим
24Л1Р
Начальными условиями будут еле хующие:
при t = 0 ср = 0, <р — ч о-
Начальную угловую скорость q0 определим из условия равенства количеств движения в конце упругой и г ееееле пластической стадии:
в начале
Отсюда
/
\ ту (х, т) dx =2т qo xdx = j mw0 (х) dx.
о О
/
4 f . р/3 сот
q’o = —J =
О
(4.74)
1 —cos сот где г — sin сот —
(00
(4-75)
Интегрируя уравнение (4.72), 24МР <р(/) =------------р
4 v 7 m/з 24/Ир
(6 — /гм)
получим:
/2 1 .
20 ] + <W
/2 /3 1
(4-76)
(4.77)
о
Максимальный угол попорота будет достигнут в момент
времепп при котором (4.76) нулю, найдем
(| =0, Приравнивая выражение
hn
Ч<. /и П 2Л1„ о
= 11 б-/;м F
2,17г
<о0
(4.78)
Максимальный прогиб среднего сечения балки, который возник за время работы балки в упругой и пласшчес кон стадиях,
Ума не ~ к'о 2 "Ьфгп 2 * (4*79)
Учитывая (4 66), (4.77), (4.78), получим после преобразований
гр/‘ / I \
//макс [ 2 у ’ (4-
где А’ц^А’м-1 0,591 (б—А-м — —-] sa | 1,28rs, s = (n/nl- (4.81) \ otoU J
Отсюда видно, что /?„ равно отношению прогиба балки, вызванного действием только динамической нагрузки, к упругому прогибу, вызванному статической нагрузкой интенсивностью р. Поэтому /сп называется коэффициентом динамичности по перемещениям.
(ля проверки прочности балки необходимо знать величину угла раскрытия в шарнире пластичности.
Очевидно, имеем
4ма КС — 2ЧТп = Ума не ~
(4.82)
Учитывая (4.80) и (4.81), получим
р1'л nfi
макс=ТГЙ (fc“ Ч- <4 -83>
Здесь коэффициент /г,, = k коэффициентом динамичности
п — км может быть по углу раскрытия.
назван
Из формул (4.81) п (4.62) видно, что коэффициент /?„ при законе изменения нагрузки во времени вп ia (4.21) зависит только от двух параметров /ем и соО. Эго обстоятельство дает возможность строить графики, существенно облегчающие расчет. На рис. 39 представлены такие графики для определения коэффициента динамичности по перемещениям /гп.
Полученные зависимости справедливы при условии т + + < 0, т. е. если остановка конструкции происходит
Рис. 39. График зависимости коэффициента динамичности по перемещению от коэффициента динамичности по изгибающему моменту для шарнирно-опертой балки при мгновенно нарастающей нагрузке
раньше, чем нагрузка прекращает свое действие. При несоблюдении этого условия необходимо рассмотреть движение конструкции в пластической стадии после прекращения действия нагрузки, т. е. уравнение (4.69) при р (/) = 0.
Графики на рис. 39 показывают, что при нагрузке достаточной продолжительности, когда соО > 300, значения коэффициентов /еп мало изменяются с ростом соО и они будут близки к значениям kn при соО = оо. Поэтому получим расчетные формулы при действии на конструкцию мгновенно возрастающей и постоянной во времени нагрузки, т. е. при О = оо. 13 этом случае расчетные зависимости существенно
Лля их получения необходимо в выражениях 1То™
• _ (kM —1)z+ч\;
1 nil3
4 ml3 z
Выражения для времени остановки конструкции и максимального угла поворота будут следующими:
ф0 ml3
t,n= 24Л4р(/гм-1)?
q о
<Pm 48Л1р(Л-м-1)
Учитывая (4.74) и (4.75), получим.*
1,08 sin о>т
S = G)tm =----------- 5
А’м - । /9_____А \
14-0,694 —----
Л’м — 1 /?м (2 —£м) ^=0,694
U —
(4.84)
Л’м — 1
Здесь £м = 1 — coscot, причем должно быть kM
Определим поперечную силу в балке. Так как в пластической стадии элементы балки предполагаются абсолютно жесткими, то поперечную силу можно найти лишь из условия равновесия под действием нагрузки и инерционных сил. Для сечения с координатой х имеем:
/
2
tnqxdx =
<2(Х, о = [р (0 + 9] I—-*
(р(о-н]
пмр 2
р \ ~-хг]
Подставив в это выражение значение ср из (4.69), получим
<2 U. О=1₽ (0+9]-х )--J- (I .
\ \ и у \ у
Поперечная сила па опоре
^(0, /)=₽(!-//()) 4- }
О о
qi
2
Отсюда видно, что поперечная сила в пластической стадии имеет максимальное значение в начале этой стадии. Расчеты показывают, что наибольшее значение поперечная сила получает в конце упругой стадии. Поэтому расчетное значение поперечной силы па опоре будет равно из (4.51) (4.70):
= . (4.85)
т. е. коэффициент динамичности по поперечной силе
(4.86)
Из формулы (4.70) видно, что коэффициент динамичности по поперечной силе возрастает с повышением скорости деформирования. Это обусловлено увеличением продолжительности работы балки в упругой стадии.
Расчет прочности балки по нормальному сечению производится пз условия
‘'Гмако 4'пред«
где гГпред — предельный угол раскрытия в шарнире пластичности, определяемый по формуле (3.26).
Расчет прочности балки по наклонным сечениям производится на действие поперечной силы, определяемой по формуле (4.85). При этом следует исходить из условия, чтобы поперечная арматура работала только в упругой стадии. Поэтому расчетные напряжения в поперечной арматуре принимают равными минимальному динамическому пределу текучести.
Для бетона коэффициент упрочнения может приниматься равным /еу(б) = 1,2.
2. Расчет на нагрузку с нарастанием вида (4.34)
р[ i--^-Lje1<z<o1+o2=o.
При расчете конструкции по предельному состоянию 1а следует учитывать, что пластическая стадия может возник-
' < °i), так и 0J. Вследствие этого
„уть как на участке возрастания нагрузку (/ на участке падения нагрузки ( >* —
пясчетные выражения значительно усложняются [31. Поэте. mv здесь приведены без вывода необходимые для расчета вы-пажеппя с использованием графиков.
Максимальный угол раскрытия в шарнире пластичности определяют по формуле (4.83)., в которой коэффициент ди-„амичностн по перемещениям ku
находят по графикам
Рис. 40. График зависимости коэффициента динамичности по перемещению kn от коэффициента динамичности по изгибающему моменту для шарнирно-опертой балки при нагрузке с нарастанием
рис. 40. На этих графиках часть кривой /гп, нанесенная сплошной линией, соответствует работе балки в пластической стадии, а пунктирная — работе только в упругой стадии. Эти части примыкают друг к другу в точке с абсциссой ^мо- В пластической стадии (при /?м <Z kM0) кривые /гп, начиная с некоторого значения /гм, резко возрастают. Этот участок соответствует потере конструкцией несущей способности, так как незначительное повышение нагрузки вызывает большие деформации. Из графиков видно также, что с увеличением wOJt т. е. с уменьшением динамического эффекта нагрузки, участок, соответствующий пластической
Е4
стадии балки, уменьшается. При соб, 2л и при со02
100 различие в величинах нагрузок, вызывающих в балке предельные состояния 1а и 16, не превышает 10%. Поэтому при wOj > 2п и при соО2 100 расчет конструкций целесообразно проводить только в упругой стадии (предельное состояние 16), так как учет пластических деформаций не дает экономического эффекта.
Приведенными графиками можно пользоваться и при расчете конструкции по предельному состоянию 16.
Условие работы балки в упругой стадии имеет вид kM >^мо, где /?мо принимают по графикам рис. 40 в зависимости от coOj : л.
Тогда
И* —
*м = -^---->*мо- (4-87)
т. е. Л!} >^мо Л1Р + Л19.
(4 .88)
По величине внутренних сил Л1£ подбирается сечение балки.
§ 19. Расчет балки с защемленными концами
Особенностью работы балки с защемленными концами является то, что шарниры пластичности на опорах и в пролете образуются неодновременно. Последовательность их образования зависит от соотношения количества арматуры на опорах и в пролете. Обычно защемленные балки армируют таким образом, что вначале шарниры пластичности образуются на опорах. Шарнир пластичности может возникнуть вначале в пролете, если содержание арматуры в опорных сечениях значительно (более чем в 3 раза) превосходит содержание арматуры в пролете. Поэтому будет рассмотрен только случай, если шарниры пластичности образуются вначале на опорах [31. Расчетные зависимости будут получены только для нагрузки мгновенно возрастающей, вида (4.21).
При определении изгибающих моментов в сечениях балки необходимо учитывать перераспределение усилий вследствие изменения жесткости балки, вызванного образованием и раскрытием трещин в бетоне растянутых зон.
Для определения изгибающих моментов с учетом их перераспределения рассмотрим предварительно защемленную железобетонную балку при действии статической нагрузки
интенсивностью Р (рнс. 41, о). Предполагаем, что сечения в интенсивное ьк / и я „ стадии II напряженного
состояния в растянутой зоне бетона возникли трещины. В связ с этим примем, что на приопорных участках дли-ной а жесткость балки равна В"п, на среднем участке длиной / - 2 « равна В"Р. Здесь В°", В"р - жесткости, он-ределяеыые с учетом раскрытия трещин в растянутой зоне
Рис. 41. Расчетные схемы балки с защемленными концами а — эпюра моментов; б — прогиб в упругой стадии; в — прогиб в пластической стадии
бетона. Значение а находим из условия обращения в нуль изгибающего момента в сечениях на расстоянии а от опор.
Опорный изгибающий момент 7ИОП может быть найден из канонического уравнения метода сил
Здесь
би/иоп+д1р=о.
(4 89)
где Alp = -^-(/.v—л«), Л/
тогда
а
2 С
Л1р- Яоп .) О
I—а
Р
finp J
а
(lx—х2) dx
р/3
= 12В,1Р
2d1
/а
3-^ /
Pi
Отсюда получим:
Л1 оп
Л1пР=-^(3-2Ач).
(4.90)
где /?х =
2а* Р
2а
3------
_____Z_
2а I
1
Изгибающий момент в любом сечении равен:
pi р
М (х)= — — *1+ — (^—>•)
Приравняв его нулю, находим а. Расчеты показывают, что при |Л401'| > 0,5 ЛГ1р а I мало меняется и ее можно считать постоянной и равной al = 0,23 Тогда получим
0,27 + 0,730, 0,46+0,5415,
(4.91)
Отсюда при р! = 1 A?i = 1; при р, = 2 kx = 1,125;
0,635
при 0, = О,5 ^=——=0,87.
U, / о
Полученное выражение коэффициента перераспределения k1 будем использовать и при расчете защемленной балки на действие динамической нагрузки.
1. Расчет защемленной балки в упругой стадии (случай 16). Достижение предельного состояния 16 характеризуется началом возникновения пластических деформаций в растянутой арматуре в опорных сечениях, т. е. в момент достижения максимальных прогибов балки напряжения в растянутой арматуре опорных сечений достигают минимального динамического предела текучести.
Уравнение движения балки в упругой стадии при лейст-впи только динамической нагрузки имеет вил
в->+п--£с=₽(,-т) ('=1,2)' (4-92)
где D 6°п при 0 < х а, I с х I»
В2 а £пр при а < х < I — а.
Граничные условия при х = О, х = I, у = V ду/дх = 0.
Выражение для динамического прогиба принимаем в виде (4.6)
у(х, t^pFWTM- (4-93)
Здесь Г (х) — статическая 4°Рма прогибов от равномерно распределенной нагрузки единичной интенсивности, удовлетворяющая уравнениям:
Вов f}v (х) = !;• 0 < х с о; 1—а < х < | (4
£пр (х) = ]; а<х<1 — а.
Через Fx (х) и F2 (х) обозначены значения функции на соответствующих участках.
Уравнения (4.94) надо решать при граничных условиях:
при х = 0 и х = I Fl = 0 и / J = О, в сечениях х = а п х = I — а должны удовлетворяться условия сопряжения функций Fi (х) и Fz (х), т. е.:
Л(а) = Г2(а); (а) = Ц (а)
и аналогично для сечения х = I — а.
В результате решения уравнений (4.94) найдем
F(x) =
Л (x) = (A>1Z2x2-2/x3 + x^)^i;
F, (*) = [*! Лл’-2/хЗ + л’_(Л,-1) px+v, -1—
24 п н
(4.95)
где Vj =а (&J — 1)—а2 (&! —2аф-ос2)
1 \ а
1 — , сс =—=0,23.
Pi / I
Приняв в полученных выражениях = 1 и k± = 1, получим форму прогибов балки (4.15) с постоянной жесткостью. Подставив выражения (4.93), (4.95) в уравнение (4.92), получим
РТ1 (0 + mpF (х) ?! (/) — р
Применяя метод Бубнова — Галеркина, найдем уравнение для функции Г, (/):
Л(0+ЧЛ(0=^(|—(4.96) где
i
J F (х) dx
т J Г2 (х) dx о
Если при вычислении coj пользоваться формулами (4.95), то получится слишком громоздкое выражение. Однако если учесть, что на значение частоты основное влияние оказывает жесткость балки в пролете, то можно для определения Wj использовать формулу (4.18) для частоты колебаний защемчеиной балки постоянной жесткости Впр;
COj =
22,4
(4.97)
Решение уравнения (4.96) имеет вид
Л (0 = 1 —77- -cos <о11 + —. О со. О
(4.98)
Прогиб балки с учетом действия статической нагрузки интенсивностью q
0=рГ(х) Л (O+i/ст (х). (4.99)
Отсюда выражение для прогиба середины пролета балки
р/4 v2 „ fl
~384Впр 2
(4.100)
где v2=l—0,32 (^ — 1)—0,849(^—0,407) X
1 \ ( а \
-— при а =— =0,23 •
31 ) I I )
Изгибающие моменты на опорах и в середине пролета равны:
МГ(1) = —~k, г, (/) + — i
12 р
Л11пр W = (3 -2*0 1\ (() +-2-
2-1 [ р
(4.101)
Поперечная сила на опоре
nl Q1
(4J02>
Условие прочности по нормальному опорному сечению
Л1"*д4-Л1™ <Х"'Д. Н-103)
где а
л,рп=_ТГл‘; M™= и **• <4-1М)
k — коэффициент динамичности, определяемый по формуле (4.26) или по графику рис. 35, при о = ш,; Л1?ПЛ - момент внутренних сил в опорном сечении балки при напряжениях в растянутой арматуре, равных минимальному динамическому пределу текучести R%, и в бетоне сжатой зоны А(уб) /?пр.
Коэффициент упрочнения для стали определяется исходя из выражения (4.43),
ЛГ)П
где ост = —у-, г — плечо внутренней пары
2. Расчет защемленной балки с учетом работы в пластической стадии (случаи 1а). Конец упругой стадии наступает после возникновения на опорах шарниров пластичности, т. е. после того, как в опорных сечениях напряжения в растянутой арматуре достигли динамического предела текучести Время ту конца упругой стадии находится из уравнения
Up" Л (Т1)+Л1°п=лед или
Л(Т!)=^П. (4.105)
Здесь А’мп — коэффициент динамичности по опорному изгибающему моменту, равный:
где Л1°п, Л4°п определяются по формуле (4.104); Л4рП‘д — момент внутренних сил в опорном сечении балки при динамических расчетных сопротивлениях.
Абсолютное значение изгибающих моментов в опорных шарнирах ппастичности
М °п- д =Л1°П 7\ (TJ + м °п = м°п /г°п + м°п. (4.107)
После возникновения на опорах шарниров пластичности балка превращается в шарнирно-опертую балку, в опорных сечениях которой приложены сосредоточенные моменты, д^оп.д (рис. 41, б).
Поскольку пластические деформации в балке развиваются в опорных зонах, а вся остальная часть балки работает упруго, то эту стадию работы называют упругопластической.
Уравнение движения балки в упругопластической стадии при действии только динамической нагрузки, очевидно, совпадает с уравнением (4.92), но граничные условия при
х=0, х=/, t/ = 0, моп=-воп-^-=-М°п/?°п.
В граничных условиях не учитывается момент М™ в (4.107) от действия только статической нагрузки, так как она не входит в уравнение (4.92).
Выражение для динамического прогиба в упругопластической стадии представим в виде
У (x,t)=pG (х) Т, (/) + pF (х) /г°п. (4.108)
Второй член правой части — прогиб защемленной балки в конце упругой стадии, получаемый из (4.99); G (х)— статическая форма прогибов шарнирно-опертой балки. После вычислений, проведенных согласно методу Бубнова — Галеркина, получаем уравнение для функции Т2 (/):
Т2 (О +<о2 Т2 (/) =(1 —//0—/?°п) о?, (4.109)
где
I
J G (х) dx
m^G2 (х) dx а
Начальное значение (при t = тг) функции Т2 (/), очевидно, равно нулю. Значение Т2 Сч) определим из условия равенства количеств движения в конце упругой и в начале упругопластической стадии:
/
J F (х) dx
т2 И = Д (т.) -у-----------
{ G (х) dx
О
В дальнейшем для упрощения вычислении учтем, что на огпб шарнирно-опертой балки незначительно влияет жест-сть ее участков вблизи опор. Поэтому в качестве G (л) имем форму прогибов шарнирно-опертой балки с постоян-й по всему пролету жесткостью, равной £пр, т. е.
х4 /з х \
2
G 12Впр
(4.110)
2
л2
С0=-----
/а
tn
Т2 (T1)=CD1 Г) v3, 1 —COS С0А Т1 где гх = sin сох тх —--------------,
СС»! 0
v3 = 0,184—0,13/?!-|- (0,184^—0,071) — •
Коэффициент V3 имеет следующие значения: при р, = 1 = 1, v3 = 0,167; приР1 = 2 А?! = 1,125, V3 = 0,106.
Решение уравнения (4.109) складывается из суммы его стного решения и общего решения соответствующего од-родного уравнения
Т2 (/) =Л sin со (/—Tt) -{-В cos си (/ — Tj)-!-1 ——А’°п .
Определив постоянные А и В из начальных условий при
Л=0;
получим
Т2 (/) =Ci sin со (/—тх) — С2 cos со (/ — ту)-}- 1 —
СП~— » (4-И1)
М Q ’ ' /
где
CO!
- • а ’ С2 = 1~С
со со9 м
Изгибающий момент в середине пролета
—Tj/0.
Если изгибающий момент в середине пролета балки не достигает величины, при которой возникают пластические ц.е(}юрмации, то балка будет работать только в упругоплас-92
тической стадии. Найдем для этого случая угол раскрытия ф°"акс в опорном шарнире пластичности в момент времени (Л>и)» в УпРУгоп/1асТ11ческ°в стадии балка достигает максимальных перемещении. Этот момент времени находят из уравнения
А (0=0» т. е. из уравнения
Сх cos со (tmi — Ti)+C2 sin co (tmi —t,) =0.
CO (J
Отсюда
2 ~ '
Согласно (4.110), получим
дц dG pP
фоп =--J— = pT (/ )---=—-— T. (tmt
dx/x = G 2 nu dx 24ДПР 2 m'
Таким образом, имеем
,|,оп Р13 г, on
Ъмакс 192£пр Ф«*
(4.113)
(4.114)
где £°п _ коэффициент динамичности по углу раскрытия для опоры в упругопластической стадии;
(4 115)
Поперечная сила на опоре в упругопластической стадии
<?2(°. Лп,)- в + 2 -
=V (ВД+М». )+v • (4.116)
Теперь найдем условия, при которых в середине пролета балки образуется шарнир пластичности, т. е. после упругопластической стадии следует пластическая стадия Время возникновения шарнира пластичности, т. е. время т2 конца упругопластической стадии, определяют из уравнения
М5» (Ч) + /М7 =-^- Т2 (т2) + М JP А™ + Л17 = Л1 „"»•д или
т2 (Т2) = -(3~— (^р-О (4.117)
О
Де
(3-2*.);
^-(3-2fr,) (4.118)
Л1рр д — момент внутренних сил в пролетном сечении балки;
— коэффициент динамичности по пролетному изгибающему моменту, равный:
*мР = (д,оР Д - ЛСр)/Л1рР- <4-119)
Ч Г •
Если уравнение (4.117) не имеет решения, то это свиде-гельствует о том, что в среднем сечении балки шарнир пластичности не возникает и ее работа ограничивается только уп-эугопластическои стадией. В этом случае условие прочности проверяется только по нормальному сечению па опорах из условия
Смаке < Сед- (4Л2°)
где Сакс определяют по формуле (4.114); ф°"ед — предельный угол раскрытия в опорном сечении.
В пластической стадии балка представляется в виде механизма из абсолютно жестких полубалок, соединенных шарниром пластичности (рис. 41, в). При составлении уравнения движения балки статическую нагрузку можно ие учитывать. Тогда в опорных сечениях будут приложены сосредоточенные моменты
Л1°П-Д = А1°П7\ (тх),
в среднем шарнире пластичности — момент
Л12р*д = Л1пррП(т2),
где из (4.112) и (4.111)
Т'г (т,) = Т, (Т,)+ -r2(T2)=frSP. (Л (Т1) = *“п) . (4.121)
О--Z/v ।
Выражение для динамического прогиба в пластической стадии балки имеет вид
у (х, /) — pF (х) Л (Ь) 4-рб (х) Г2 (т.,) 4-ф (/) х, (4.122) где ср (/) — угол поворота половины балки.
1 — О
—AIgp м— AlJn" А. (4.123)
Применяя принцип возможных перемещений, получаем следующее уравнение движения балки в пластической стадии: ml* Pl2 24 = 8
Начальную угловую скорость ср0 определяют из условия равенства количеств движения в конце упругопластп-ческой и в начале пластической стадий. Скорость в конце упругопластической стадии находим дифференцированием по времени выражения (4.108), т. е.
у (х, т2) = pG (х) Т.г (т2) = pG (х) о)г2.
(4.124)
где
r2=C’1 cos со (т2—тО 4-С2 sin со (т2—tJ — 1 /(соО).
Используя формулу (4 74), получим: /
4 С . р/з (ог2
Фо = — I у (х, v) dx —------------•
/2 J 30В"р
о
Уравнение (4.123) запишем в виде
24.11,
г(й-^-т)-
Л1пР. Д + Л1оп. д
: *М= 77
ир
(4. 12))
где S = 1
Т2 й2
Ai
Р/2 Р 8 ’
,ОП _j_ £ПР _
/2
— (8—kM) t — j + ф°;
[ S ? /3 1
• (6-А’м) 2 - ь0
2
*м = 3 * м . 3
Интегрируя уравнение (4.126) при начальных условиях /= О, <р = 0, ср = <р0> найдем:
2411
Ф(О=^ 4 V ’ ml*
Определив из уравнения ф (/) = О время tm конца пластической стадии, найдем фт = Ф (С») и углы раскрытия в шарнирах пластичности балки за время работы балки во всех трех стадиях.
4-Фо t •
Угол раскрытия в опорных шарнирах пластичности
I п/3
C.=<W+U=--1^. (4 127)
I 1 JzLJ '
I
! Здесь А™ — коэффициент динамичности по углу раскрытия для
I опорного сечения, равный:
6-*M-r4r)S! + 2’R2r2S-
где
^' = 8Г2(т2)+0.576
г2 — определяется по формуле (4.125).
Угол раскрытия в пролетном шарнире пластичности
I
п/3
1 Ске = 2^ = й-Ьг'4Р. (4-128>
I
(5 \
b - --7—7 S2 + 2,82гг s = А™ - вг2 (т2).
| (4.129)
Поперечная сила принимает максимальное значение в [конце упругопластической стадии, и ее значение на опоре ‘равно:
nl qi pt qi
<?ма№ = ^-[Л(г1) + 7’2(т2)) + —= —^+— , (4.130)
где # _ коэффициент динамичности по поперечной силе.
Коэффициент динамичности /г",р можно выразить через коэффициент динамичности /г„п. Из выражений (4.100), (4.118), (4.106) получим г
! в (3-2/- ) (4131)
1’2 Щ 2/ч)
где
Д^оп. A__Mon Р2 =----------2-.
Ьч Л4'^-д-м"р
I v
Коэффициенты динамичности k™ kpv fcn
* * гр ’ чр ’ v
^о от значений следующих параметров: /е"",
(4.132)
зависят толь-Ьт» Ьг оцО.
Это обстоятельство позволяет построить графики для определения величин k™, kQ. На рис. 42 представлены рафики для этих коэффициентов динамичности при некоторых значениях параметров рь р2, сиД
Рис. 42. Коэффициенты динамичности для защемленной балки в пластической стадии (сплошными линиями показаны коэффициенты динамичности для опор, пунктирными А’.фР для пролета, штрих-пунктирными kQ)
Если при данном значении k™ кривая /?JP на графиках отсутствует, то балка работает только в упругопластической стадии и прочность балки по нормальному сечению проверяется из условия (4.122) с использованием формулы (4.114), в которой /г™ принимается по приведенным графикам.
При работе ба чки в пластической стадии, т о когда при данном /?м’ на рис. 42 имеются обе кривые для /г^п и ^р, прочность балки проверяется по опорным и пролетному нормальным сечениям из условий:
Доп < .он . ..пр .пр .
тмакс тирад» 1макс город
(4.13?)
§ 20. Расчет балки с одним защемленным и другим шарнирно-опертым концом
При выводе расчетных зависимостей будем исходить из тех же предпосылок, которые были приняты при расчете защемленной на опорах балки [31. Жесткость балки на участке длиной а, примыкающим к защемленной опоре, обозначим через Воп, жесткость на остальной части балки — В"р.
Рис. 43. Расчетные схемы ба тки с одной защемленной и другой шарнирной опорами а — эпюра моментов; б — прогибы балки; 1 — упругая стадия; 2 — пластическая стадия
Величина а определяется из условия обращения в нуль изгибающего момента в сечении с координатой х = I — а (рис. 43, а)
При действии равномерно распределенной статической натр /зкн р опорный изгибающий момент находят из уравнения
i — i _
С Л11 dx р Ай Л'1 р dx
3д1 сь (\|= I - ; । ~ »
J ,» "
о о
— X р ,
где Л11 = — ; Л1р — ~ (/г—л-); L £
В = бпр при 0 < I — а\ В — Вт при 1 — а < х < I .
В >е ультате получим величину опорного момента. п/а
Л1°П = - J— k2, 8
1/P.+ (1 -«УЧИ- ЗаЧ1-1/Р1)
№ ^2“ l/₽l + (|_a)3(I_l/f1)
а=-у-; p, = B°"/S"P.
Опорная реакция на шарнирной опоре равна: р/
Л = -у-(1-А’2/4).
Изгибающий момент в пролете принимает максимальное значение в сечении с координатой
I / k2 ‘—i
(4.135)
Его значение равно:
Л1пр =
8
.-A-Y
4 /
(4.136)
Если выполняется соотношение
I .и"11_________
1|ОП о
А1пр о
то первый шарнир пластичности возникает на опоре. В дачьнейшсм будем рассматривать именно этот случай. Расчеты показывают, что тогда можно принять а = 0,3. Тогда
из (4.134) получим
0,264-0,74^1
0,584-0,42^
(4.137)
1. Расчет балки в упругой стадии (случай 16). Достижение предельного состояния 16 характеризуется началом возникновения пластических деформаций в растянутой арматуре в опорном сечении. Уравнение движения в упругой стадии при действии только динамической нагрузки имеет вид
д4 у Bl дх* &У 1. i | , 0 = 1.2). (4.138)
где Вг = finP ПрИ В2 = fion ПрИ о 1 Л » * Л д
раничные условия:
при х=0, I/ = О
£±=о,
дх2
при Х=/, м = 0 —— =0 . дх
Выражение для динамического прогиба принимаем в виде
у(х, t)=pF(x) Л (0, (4.139)
где F (х) — статическая форма прогибов балки от равномерно распределенной нагрузки единичной интенсивности.
Обозначим
\Д2 (*) /— О < X < / .
Функции F, (л), F2 (х) удовлетворяют уравнениям:
Впр/?,1V (х) = 1,0<х </— а; )
1 ' (4.140)
Впр F\v (х = 1, /—а< х</. J
Уравнения (4 140) решаются при граничных условиях: /д (0) = 0; F, (0) = 0; Га(/) = 0; (0 = 0
и при условиях сопряжения:
fl(/-a) = Fa(Z-a); F{ (l-a) = F^l-a).
В результате решения найдем
F (х) =
Fi (x) = 24B°"
/ *о
'-2 1- —
\ 4
I
4_ 9 1 — \ 4
(4.141)
где v1= 2 (1 — а)2 (1 — —— — ц L \ 4 / '
— а)8
1—------
|3i
+ -^ 2- 1.5*2 4- ~^~1 .
\ 1 —а ) ’
при а = 0,3 ^ = 0,637-0,945*^(0.067-0,175*2) 1/Pl.
лер?инТпоЛучиыТпНИЯ С°ГЛаСН0 методУ БУбнова ~ Га' Л (.), которое совпадает Tvп ДЛЯ *ункции Динамичности ^Равнением (4.96). Входящую в
f го частоту колебаний coj можно принять равной частоте колебаний рассматриваемой балки постоянной жесткости /?пр, т. е.
(4.142)
Выражения для функции 7\ (/) и прогиба балки совпадают с выражениями (4.98) и (4.99)
Изгибающие моменты на опоре и в пролете (при х = х0)
равны:
Л11°" 10=-V-*. [г.(0+—];
8 L р 1
м?р(0=-^-(1-[г, 0+ — о \ 4 / [ Р
(4.143)
(4 144)
Условие прочности по нормальному опорному сечению имеет вид
Л1°п/гд+А1°п< Иоп.д, (4.145)
где ,И°п = ^7-^. (4.146
О о
ka — коэффициент динамичности опрелеляемый по формуле (4.26* или по графику рис. 35; Л1о — момент внутренних сил в опорном сечении балки при напряжениях в растянутой арматуре, равных минимальному динамическому пределу текучести R^ = kyRa
и в бетоне /?1]р
Поперечные силы на опорах балки равны: на шарнирной опоре
на защемленной опоре
2. Расчет балки с учетом работы в пластической стадии (случай 1а). Конец упругой стадии наступает после возникновения на опоре шарнира пластичности. Время сг конца упругой стадии находится из уравнения
М™Т} (Т1) + М°п = Л1оП д
1ЛИ
Л(т,) = С-
С = (л,°опя(4-148)
После возникновения шарнира пластичности на опоре Залка превращается в шарнирно-опертую, на одной из опор которой приложен сосредоточенный момент Л1^.д (рис. 43, б). Эту стадию называют упругопластической.
Уравнение движения балки в упругопластической стадии совпадает с уравнением (4.138), граничные условия при х = 0, у = 0 у" = 0, при х = I у = 0:
а2 ц
Динамический прогиб в упруготастической стадии определяется по формулам (4.108), (4.141), (4.110), (4.111),
где v3 = 0,168— 0,6(1 —£2/4)4-1,225vj4-(0,O6.t2 — 0,018)/^ .
Изгибающий момент в пролетном сечении на участке 0 < х < I — а
а3 а*
Д1пр(х, /)= - /?'₽-— ==-/Г’Рр[(?’(*Иа 0 +
+ F" (v) rjTO + F- (х) j|="y (lx— х») Г2(О +
Максимального значения изгибающий момент достигает дМ пр
в сечении с координатой х0, в которой - = 0.
Отсюда имеем:
^,П = Л(Т1). (4.150)
°^Ра3°М’ К00Рдината *о сечения, в котором воз-“т от времени ТИе ВҰаð ШарН"Ра пласТ1™ос™. завн-
102
Отметим, как это следует из (4.150), что х0 изменяется в интервале
/
(I —Ья/4) -С х0 < 1]‘2» £
Представим х0 в следующем виде:
Подставив это выражение в (4.149), получим следующую формулу для максимума изгибающего момента в пролете: мпр (Z)=/Wjp т; (/)+^;р,
где
К (0 = (2.1-.1’)^п +
Л (О I
вп <?/’ / V
8 (2П-П3)«
Условие перехода вид
балки в пластическую стадию имеет
Л1пр Т* (т2)4-/И;р = Л1прд
или
Д1пр.д_/И"Р
—!---------= /.пр
Л1пр м ’
*2
(4.151)
где /?"р = ,
м (1-*2/4)2р2
р2 определяют по формуле (4,132).
Из (4.150) имеем
м 1 — fe2/4
П= С+да+гич) ' (4J52)
Из решения системы уравнений (4.151), (4.152) находят время т2 и ip Вычисления можно вести в такой последовательности: задают i] = 1, из уравнения (4.151) определяют Т2 (т2), уточняют по формуле (4.152) rj и, используя ее,
ЮЗ
шходят из (4.151) уточненное 7\ (т2), затем определяют время т.,.
Если в пролете балки не возникает шарнир пластично-?ти, то балка работает только в упругопластнческоп стадии. Угол раскрытия в опорном шарнире пластичности в этом случае равен:
I on Tit \ № Pl* /’orl
^2макс= JX|X==O ~Р dX = IO6,8Bnp '*>’
где = 1.457\.(/Wi) .
Время /mi достижения максимального прогиба при работе балкн в упругопластнческоп стадии определяем из выражения (4.112), принимая значения соответствующих коэффициентов для рассматриваемой балки.
В пластической стадии балка представляется механизмом, изображенным на рис. 43, б. К правому опорному сечению приложен момент /И“п-Я = /И™ 7\ (tJ. В пролетном шарнире пластичности, возникшем в сечении с координатой л(„ действует момент = Та* (т2).
Найдем прогиб балки, возникающий только в пластической стадии Обозначим угол поворота левой части балки (длиной \0) через <| (/), а >гол поворота правой! части — через цд (/) (длиной / — \0). Прогиб балки
<!’(/) х (0 < х < л0);
i/w 1 (х» О = { Чаюй- л) (х„<л</).
Из условия Ц ! (/ — л0) находим
<Pi (О - Ч' ю —-— =<Г (О т т-, /—л0 1—£0
Ь= 7“=0'5(|--т-)'1-
Тогда
Ч (') ‘ (0 < х < х„);
1 ьо
Полный динамический прогиб балки в пластической стадии
У О, (v) Л (г,) | pG(x) Г2 (т2) Ру||л (х,/). (4.154)
По, учим уравнение движения балки в пластической стадии исходя из принципа возможных перемещений.
Возможные перемещения балки
x6q (О < х < х );
, х £•» Л z
(1—х) ----— Oq (х0< х < /).
1—§<>
Уравнение работ для рассматриваемой балки имеет вид
х° г
J р (t)xty dx-p j р (/)
О Хо
I
(/ — х) 6q dx -р
Хо
— mq
Во {1 .
~г~ U— *)
X (I — х) fiqdx— /Иоп.д
Отсюда имеем
*0
—— ---Л1ПР Д Гбф _р
— Во ° L
Во
1~Во
Во
-Во
= 0.
о
/П/» .. P(t)P
— ВоМ') = ^4— о Z
t
Д --------— Л/пр.д
I -J. 0
т-г-. (4-155)
1 —Go
Начальную угловую скорость определяем из равенства количеств движения в конце упругопластической и в начале пластической стадии:
i I
т J i/пл (х, T2)dx = m J i/(x, z2)dx, о о
т. е.
о
или
I
——^()(l—x)dx = pT2 (т2) 1 G(x)dx ьо) J
*0 О
. 2ргог2
4,0 “ /Ч..
I
С pl3 сог2
| G (dx=————,
J 6О£пР£о
о
(4.156)
где г2 определяют по формуле (4.125)
Уравнение (4.155) запишем в виде
Ф(/)
Зр 2х0 m
(6~Лм~ е)’
(4.157)
<Ро xdx+
i
где
2Л1°П Л (Tl) ( 2Л1^ П (т2)_ *М== p/M-U + Р/Чо(1~&о)
з
I />пр
I м
4 (1 - Ы
А’2
4^,(1-U
6 = 1—т2/0.
Уравнение (4.157) по форме совпадает с уравнениями движения балок в пластической стадии, полученными в предыдущих параграфах. Интегрируя уравнение (4.157), найдем максимальный угол поворота <р,п = ср (tm), а затем углы раскрытия в шарнирах пластичности. Угол раскрытия в опорном шарнире пластичности
t р/З
Скс=4?" + 106.8Д-Р' (4J58)
где
,пп 0,335 / s \ 1,1Зг3 s
AS. = 4 ’ 457"2 (х2) +-Z— 16 — Ам — -------— ] s2 -|------- ;
* 27 (1-£о) м
0- Am)2 + •
сои
Угол раскрытия в пролетном шарнире пластичности
Чмакс+ = Tq «дир • (4J59)
1 —а,( ^o,oZj
0,465r2 s
S—COj tnl— СО] 0 6 — kM -f-
0,138
где А* = t (1-Е)
1 ьо/
1
2,44£.
6-Ам-
ЗсО] 0
(4.160)
Для определения коэффициентов динамичности ky построены графики (рис. 44) при некоторых значениях параметров fj2, ссцО и q = 0 Параметр р2 определяется по формуле (4.132).
Поперечные силы принимают максимальные значения в конце упругопластической стадии и определяют по фопмУ' лам: 'гн/
на шарнирной опоре
9=₽'/2 [(1-М) Л (г,)+т2 (Тг)1 + -2L (] _ 2г_\ =
2 \ 4 /
pl
2 A2/4)q//2; (4.161)
на защемленной опоре
, _£СЛ । A-V А-аоп Л , А’2 \ qi 1Л + 2 \ 4 2 1<?з+(J +~7~У“7~- (4.162)
Значения коэффициентов динамичности kQ3 приведены на тех же рисунках.
Отметим, что, так же как и для защемленной на обеих опорах балки, отсутствие на рис. 44 при данном k™ графика /гп₽ свидетельствует, что балка работает только в упругопласти-
Рис. 44. Коэффициенты динамичности в пл^с^(сплошными балки с одной защемленной, другой шарнирнот р^ к_
линиями показаны коэффициенты динамичности для
/ ОП
тирными k1^ ДЛЯ пролетов, штрих пунктирными Q3
ческой стадии и прочность балки по нормальному сечению проверяют условием (4.120).
Когда при данном /г0" имеются обе кривые для А’01- и W * м 1 Д /v,|, >
палка раоогает в пластической стадии и ее прочность проверяют условиями (4 133)
§ 21. Расчет неразрезных балок
Динамический расчет неразрезных балок значитетьно сложнее расчета однопролетных балок, особенно если приходится учитывать неодновременное загружеиие пролетов динамической нагрузкой. Такая ситуация возникает в случае движения фронта ударной волны вдоль продольной оси балки В дальнейшем подробно рассмотрим лишь случай, когда происходит одновременное загружеиие всех пролетов 131
В упругой стадии расчет можно вести в соответствии с § 16 Перемещения и усилия находятся умножением их статических значений от нагрузки интенсивностью р (опреде ляемых, например, по таблицам для расчета неразрезных балок) на функцию динамичности Т (/), удовлетворяющую уравнению (1.49) Значение ш, входящее в эту функцию, принимают совпадающим с той круговой частотой собственных колебаний неразрезной балки, которая соответствует форме колебаний, на ибо iee близкой к упругой линии от статической нагрузки р. Для неразрезных равнопролетиых балок с крайними шарнирными опорами можно принять:
15,4 /‘ fi"P
при двух пролетах сон = -— I/ --------;
I у m
18,5 Г дпр
при трех пролетах юи =—-— |/ --------- ;
' \ m
19,9 [ #пр
при четырех и более пролетах юн — ——— [/ --------,
1 V tn
где Впр — изгибнзя жесткость сечений балки в пролетах.
После образования шарниров пластичности на всех опорах неразрезная балка превращается в совокупность однопролетных, шарнирно-опертых балок с сосредоточенными изгибающими моментами в опорных сечениях. Поэтому каждый пролет можно приближенно рассчитывать по полученным выше зависимостям для однопролетных балок 108
с различными условиями опирания на концах. При этом средние пролеты неразрезной балки необходимо рассчитывать по формулам для однопролетной защемленной на обеих опорах балки, а крайний пролет с шарнирной опорой — по формулам для балок с одной защемленной и другой шарнирной опорами. В этих формулах должны быть изменены коэффициенты (4.91), и (4.137), учитывающие перераспределение изгибающих моментов на опорах и в пролете, и круговая частота колебаний с coJ на <d„.
Коэффициенты /г2 нужно изменить в соответствии со значениями отношений между опорными и пролетными изгибающими моментами в неразрезной балке. При неравных моментах на опорах можно принимать их средние значения. Получим значения этих коэффициентов, которые обозначим /?«, для равнопролетной неразрезной балки с крайними шарнирными опорами. Из таблиц для расчета неразрезных балок получаем, что на вторых от концов опорах при любом числе пролетов, больше двух, опорный момент Л4ОП ~ 0,1 pl2. Поэтому при расчете крайних пролетов необходимо вместо /г2 из (4.137) принять
0.1
№ = —Л2 = 0,8/га.
2 1/8 2 2
При двухпролетпой балке Л1°п = — 0,125 р/2, и поэтому
= k2. При расчете средних пролетов значение коэффициента kY будет зависеть от числа пролетов: при трех пролетах М°п =
= 1,2^;
— 0,1 pl\ поэтому вместо kY при четырех пролетах Л4°п =
0,107 + 0,071 Л Л л
= 0,089 и
принимаем — 0,107р/2;
2
при
Моп = _ 0,071р/2;
0,089
пяти пролетах
МОП «= — о, 105р/2; Моп = /Цоп—— 0,079р/2.
1,105^;
Тогда:
для второго пролета
0,105+0,079 /?ц =------------k,
1 2-1/12
для третьего пролета k* = 0,948 /?г
Если коэффициенты k*t имеют разные значения в некото-
рых или во всех пролетах, то при определении опорных мо-
ментов следует принимать средние значения k« смежных к опоре пролетов. Аналогично, если не одинаковы расчет. № длины пролетов (но не более чем па 20%), в выражениях дт опорных моментов используют средние значения расчетных длин смежных пролетов.
Углы раскрытия в опорных шарнирах пластичности Ч°п неразрезной балки принимаются равными сумме углов раскрытия в опорных шарнирах смежных пролетов При расчете по предельному состоянию 1а условием прочности неразрезной балки являются:
^оп |.оп .
пмакс^ Опр»
гЬ?р
«г мако
1Ы|р
•Z пр
ГЛАВА V. РАСЧЕТ ВНЕЦЕНТРЕННО-СЖАТЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Внецентренно-сжатыми элементами являются такие, в сечениях которых одновременно с изгибающим моментом действует продольная сила. На внецентренное сжатие работают колонны и стены зданий, рамы, арки и т. п. В специальных сооружениях обычно внецентренно-сжатыми элементами являются наружные стены, арки покрытий, рамы, а в зданиях и сооружениях со взрывоопасными производствами — колонны и стены.
Как известно, характер работы внецентренно-сжатых элементов зависит от величины относительного эксцентриситета продольной силы еп = MIN, от содержания арматуры и других факторов. При этом возможны два различных случая напряженно-деформированного состояния (СНиП П-21-75) 111.
Первый случай наблюдается при относительно небольшой продольной силе, когда имеется растянутая арматура и напряжения в ней достигают предела текучести прежде, чем напряжения в бетоне сжатой зоны достигнут предела прочности. Такие конструкции могут работать в пластической стадии, т. е. в наиболее напряженных сечениях до разрушения сжатого бетона в растянутой арматуре развиваются пластические деформации. В этих сечениях возникают шарниры пластичности и конструкция работает подобно изгибаемым элементам. Такие конструкции могут рассчиты-
П0
„п обоим случаям первой группы предельных состояться по оиии, 1
’""ртппой случаи впепептреипого сжатия наблюдается при 2,|0 бошшой продольной силе В таких конструкцию шейпе начинается с бетона сжатой зоны, причем ра „л, вся сжата, или часть растянута, но напряже-»кя‘в пей не достигают предела текучести. Поэтому в конст-не возникают пластические деформации арматуры, т е она работает только в упругой стадии и расчет ее про-изводнгся по предельному состоянию 16.
22. Расчет колонн зданий и сооружений
Задача расчета внецентренно-сжатых колонн возникает при проектировании каркасных зданий, динамическая нагрузка на конструкции которых возникает вследствие взрывов внутри здания или снаружи (рис 45). В этих случаях можно считать, что продольная сила в колоннах вызывается статической нагрузкой, а взрывная волна вызывает динамическую нагрузку, действующую в поперечном направлении.
Рис. 45. Схемы воздействия взрывных волн на колонны ° — взрыв внутри 1дания; б — взрыв вне здания
Рассмотрим центрально нагруженную статической продольной силон N колонну, на которую действует поперечная Динамическая нагрузка интенсивностью р (t). В таких конструкциях в общем случае возможны следующие три напряженно-деформированных состояния: при отсутствии трещин в растянутой зоне бетона; при наличии этих трещин; Р развитии пластических деформаций в растянутой арматуре после возникновения шарнира пластичности. Первые Два напряженных состояния относятся к упругой стадии работы, последнее — к пластической стадии.
НИЯ
чая разрушения: сличай 1 — Г
Реапнзания этих напряженных состоянии в конструк-реалнзання разрушения. Как известно, во вне-
цпи завися ементах в зависимости от соотпоше
Це"Тпр'одад^нон и поперечной нагрузок возможны два еду-разрешение начинается с достижения пре-пета текучести в растянутой арматуре и завершается раз-ппоблением бетона сжатой зоны при развитии пластических деформаций в растянутой арматуре. В этих случаях в на-нботее напряженных сечениях конструкции возникают по-стедовательно все три напряженных состояния, если действующая нагрузка вызывает предельное состояние по проч-"^случай П — разрушение происходит вследствие раз-дробления сжатого бетона при полностью жатом и/и частично растянутом сечении, но при отсутствии пластических деформаций в растянутой арматуре. При этом в конст-р\кции возможны только два напряженных состояния, соответствующих работе конструкции в упругой стадии.
При расчете любой конструкции необходимо знать условия закрепления ее концов. Колонны рам многоэтажных каркасных зданий закрепляются в узлах, в которых обычно осуществляется упругая заделка, т. е. происходит поворот опорного сечения и опорный изгибающий момент линейно зависит от угла поворота опорного сечения.
Рассмотрим расчет упругозакрепленной на концах колонны прямоугольного сечения. Высоту колонны (пролет) обозначим I. Расчет проведем по I и II случаю внецентрен-
ного сжатия.
1. Расчет колонны по случаю I внецентренного сжатия. Случай 1 разрушения осуществляется, если £ <1 где Е = Д — относительная высота сжатой зоны в конце плас-Ло
тической стадии, определяемая из условия равновесия внутренних сил.
Упругая стадия. Для вывода уравнения движения рассмотрим малый элемент (рис. 46). Сумма проекций всех сил на ось OY
(р (t)—m у) Az-f-AQ4-/V
Отсюда
(г, /) _л, ду(г 4- Дг, Q = дг дг
^+л-^
дг дг2
д2 у
Из уравнения моментов Q — дМ/dz, и тогда
дг2
д2 и д2 у
02* Ot*
(5.1)
Непосредственно после приложения динамической нагрузки колонна работает без трещин. Все величины в этой стадии обозначаем с индексом /. В этом случае
& У1 дг2
где Bl <= Еб1п — жесткость железобетонного элемента без трещин, и уравнение (5.1) примет вид
дг4 dz2
д2 уА
(5.2)
Примем, что оба конца колонны имеют одинаковое закрепление. Тогда начало координат г = 0 удобно поместить в середине колонны. При упругом защемлении концов колонны граничные условия
Рис. 46. Усилия в элементе колонны
при
2 —±Z/2, у — 0 Л/1 = ±Сф—— v ог
(5.3)
где Сф — жесткость колонны относительно угловых деформаций. Представим решение уравнения (5.2) в виде
У Az, (5.4)
где (z) статическая форма прогибов, удовлетворяющая уравнению
B1F‘v+JVF;i = 1 (5.5)
и граничным условиям при z <= ± 1/2, = О
(5.6)
Решение уравнения (5.5) представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения
cos ki z-f-Di sin kx z, kx = ~[/N/Bx
И частного решения вида
Со4 Ci *4 С2 г2.
Учитывая
F, (— г) = Fi имеем
fj (?) = A j cos ki г 4 Со 4- С2 z2.
(5.7)
Подставив выражение (5.7) в уравнение (5.5), получим С = 1/2/V. Остальные постоянные находятся из граничных условий. В результате получим
1 / г2 \
Fi(?)« —(Ac°sA?1z + Di+—). (5.8)
N \ 2 /
p
—; a, = 1
8 1
где
D=_^_____
kf Px COS Xj kl Pl
£₽L. 2Bj ’
— tg xf, Xi
ki I
K. = —
После подстановки выражений (5.4), (5.8) в уравнение (5.2) и проведения преобразований согласно методу Бубнова — Галер кина получим уравнение для функции динамичности 7\ (/):
Л(П + ^1 Л (0 = 0)^ /(.')• (510)
Круговая частота колебаний со^ определяется по формуле
1 / дГ
|/ 1— д,Ы) » (5.11)
где coj — круговая частота колебаний колонны, определяемая при отсутствии продольной силы и при жесткости Bi, A4J* — критическая сила, определяемая по формуле
(1) л2 Вг /Vkp= .
1о
Величину о)! можно принимать по справочным данным [151 или по приближенной формуле, полученной в [11]:
где
Изгибающий момент и поперечная сила в сечениях колонны:
All (2> /) — — p FXTX (t) — 2
Xj
cos kA z
COS Xi
p/2 4
i (0;
(5.14)
dM
ki a. sin k^z „
"T7------------ T' <')’
xf px COS Xj
(5.15)
Изгибающие моменты в опорном сечении и в среднем се-
чении колонны:
м7"(/)=л11(4 (5-16)
\ 2 / Х1 \ Р1 / *
Afg” (0=^(0,/) = —
Х1
-------(5.17)
Рх cos Хх /4
Для колонны с шарнирно-опертыми концами имеем:
Сф = 0; G=0; «, = ₽, = 1 и Л1°" (/) =0;
(5.18)
х? cos Xj 4
При малых значениях можно принять
1 Х1 •
1—cosxx^— ;
COS Xx^l,
тогда
м;рю=-7-л«).
О
Для колонн с жестко заделанными концами надо принять С<р = оо, тогда:
Хх d xi
1 sin Хх 1 kf tg Xj 8
1 f Xx \ pl2
W 0 = -Г ——— COS г-1 Л (/); (5.19)
Xj у SIH Xj 1 “I
„ 1 / Xx \ pl2
M? "W=-^-hnr-1 — AW; (5.20)
K1 \ Л1 / 4
m;p(o=-^
pi2
4
T. (/) •
(5.21)
Прп малых значениях хх:
пр- nil
Л1°” (/) = —^ Г, (/); /МГ” (Z) = ~т, (/).
Функция динамичности 7\(/) при нагрузке вида п[ 1 —-
\ е имеет вид
/ sin (oN| /
^ (/)_ I— —cosw^i/ + ——— , (5 22)
U CO^! (J I
0 < t < 0.
Полученные выражения справедливы до момента образования трещин в растянутой зоне наиболее напряженного сечения. Нормальные к оси трещины в сечении не образуются, если
М — Nrv<M*. (5.23)
Здесь Л1? = Ц,б) /?р№т, где 1ГТ — момент сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна с учетом неупругих деформаций растянутого бетона; гу — расстояние от центра тяжести приведенного сечения до ядрсвой точки, наиболее удаленной от растянутой зоны:
Лу=О,8№о/Дц,
где FB — площадь приведенного сечения; П70 — упругий момент сопротивления приведенного сечения по растянутой зоне.
Первые трещины могут возникнуть как в пролетном, так и в опорных сечениях. Но наибольшее влияние на деформирование конструкции оказывают трещины в пролетных сечениях. Поэтому можно принять, что стадия работы колонны с трещинами в растянутой зоне бетона начинается после образования трещин в среднем сечении в момент времени ilt определяемый из уравнения
м?р (6) =-r (----------1 ) -4- Т. (') = ^у+Л1?. (5.24)
XI \ Pl COS Х1 / 4
В стадии с трещинами динамическую жесткость железобетонного внецентренпо-сжатого элемента, нагруженного постоянной предельной силой N, можно определить на основе тех же предпосылок, которые были приняты при нахождении жесткости изгибаемого элемента (§ 13). На рис. 47 приведены графики зависимостей Л1 — 1 р для вненентренно-сжатого элемента при разных N, построенные но формулам СНиП 11-21-75. График а соответ-
Рис. 47. К определению жесткости внецентренно-сжатых элементов (tga = B2, Ni>N2)
ic. 4в. Напряженное состояние сечении внецентренно-сжато-элемента
ствует первому случаю внецентренного сжатия, график б — второму случаю. Как видно, после появления трещин в растянутом бетоне зависимости М — 1/р близки к прямолинейным. Это обстоятельство позволяет определить жесткость В2 как тангенс угла наклона прямой (1 — 3) между точками, соответствующими возникновению трещин в растянутом бетоне (точка I) и предела текучести в растянутой арматуре (точка 3).
Изгибающий момент перед появлением трещин
Л^т. №м?+^гу>
где определяется по формуле (3.14)
Соответствующая кривизна
Момент внутренних сил при возникновении предела те кучести в арматуре можно принять равным пре е ь к менту Л4пр, определенному при напряжениях в бетоне ежа той зоны ЯЦТ).
Из условий равновесия всех сил в сечении (рис. 48):
Л1Пр = ^у6) /?пР^(Ло—0,Гл)Н-^асГа (Ло —а') — —У (0,5Л — а), Л/-|-£у /?а Га — ^*ас Га где х == ----------------------.
^у6' ^пр
имеем
(5.25)
(5.26)
Учитывая, что предельный заменяющий момент Al3пр = Л1Пр4-Л (^>5Л Д),
получим согласно СНиП 11-21-75 соответствующую М11р кривизну
1 Мпр-|-/У (0,5/t —д) Л'
Ро &о h0Ea Fa
где Во— величина, определяемая из выражения (3.15), в котором £, ?! принимаются по формулам СНиП 11-21-75 для внецентрепно-сжатых элементов при
Л1а = Л18 пр = ^у ^пр ^х (^о 0» х) ~Ь ^ас В'а (Ло— а ).
Жесткость В2 определяют из выражения
u 1 __L2Y
МПр—Л1.Г1а/ ПР \ 41пр у
__1 1 * / । Р» \ Ро Р] Ро \ Pi /
которое легко приводится к виду
Л \ '^пр
N ( Во \] /
~7Г~ T~F F ~°>5Л + ° 1
/ипр \ По са га )\ \
(5.27)
Представим прогиб и изгибающий! момент колонны в стадии с трещинами в виде сумм:
О — У[ (г, /); |
Л1 (г, = G)4-A12(2, О- J ’ '
Граничные условия для функций и М9 будут аналогичными условиям (5.3), т. е.
при г = ±~^,
й = о Л18=±с
Подставим выражения (5.28) в уравнение (5.1) и учтем зависимости (5.4), (5.5). В результате получим
б8 Л1 дг2
д2 у2 д2 у,,
-^Ат~=рЩ~рТх (G), дг2 dtl
где Г] (/J определяю! из (5.22).
Примем приближенно, что для всех сечений колонны выполняется зависимость
Л12------В2
<У~у.2 дг2
Дополнительный прогиб колонны ищем в виде
M*. /) = pF2 (?) Т2 (/), (5.29)
где функция прогибов f2 (г) удовлетворяет уравнению B2FX2 + АД11 = 1 и граничным условиям при г = e 0> =
= ± ^F1 ± В/2’
Очевидно, что Л2 (z) определяется по формулам, аналогичным (5.8), (5.9):
1
Fa(z)= — (Л2 cosAsz-t-D24-z3/2). (5.30)
Л
Здесь сс2 а2 /2
2 А^Р2со8х2 2 02 8 ’ 2 4'г2’
р - । г2 С<р1 Ь21 , Г N
р2 = 14- — tg х2; г2= —— ; х2 = —; k2 = I/ — • х2 zo2 z у В2
(5.31) Уравнение для функции динамичности
Л Ю4-^2 Т2 (/) =со22 [/ (0-Л (/J). (5.32)
Здесь сол/9 = “2 1/ 1— 77?7~’ (5-33)
I Лкр
где со2 — круговая частота поперечных колебаний колонны, определяемая при жесткости В2 и при ^ = 0 так же, как и ©р
Начальное значение (при t = tx) функции Т2 (0 равно нулю. Значение Т2 (У определим из условия равенства
количеств движения в конце стадии без трещин и в начале стадии с трещинами
i J_
2 2
Г, (/j) f б,(г)* = Л('|) j F,(z)dz.
i ___
2 '2
Отсюда A, , , tM — ^nx,+ 2 - A D2l I* 48 . /3 (5.34)
— sin x2+ —“ - + г? л
При нагрузке вида p (1 — /0) выражение для функции Т2 (/) имеет вид
T'j (/) = С> sin Ct)(Z — 11) — C9 cos ( /j) -p 1 t 0— Tj (/j), (5.35)
с _ Л (/,) 1;
0
с2 = 1-^/0-Л (/,).
Дополнительный изгибающий момент
р/а
— Л (/).
где
(5.36)
(5.37)
x| \ Pj cos x2
Полный изгибающий момент в пролетном (z0 — 0) и опорном (z0 = //2) сечениях определяют по формуле
(20, 0 = ±Д1тЛ/ + Д12 (2о, /),
(5.38)
где
Н ем максимальное значение функции динамичности г2(0 Для этого определим время tm, при котором Л (0 = 0. Дифференцируя (5.35), найдем
С» cos “до G—*i)-f-C2 sin coN2 (Z—rj-!— =0.
Отсюда
®N2 Cm -I,) C‘ + ]/ C> +Cl~ ' .. j'
tg----------------2__________________(C0N2
2 i » ^<0. (5.39)
C1+^r
Если при всех z будет
| Л! (z, Zm) | <Л4Пр, (5.40)
где Мпр определяется по формуле (5.25), го при данной нагрузке в арматуре колонны не возникают пластические деформации.
Исходя из условия (5.40) ведется расчет колонны по предельному состоянию 16.
Если в некоторых сечениях, обычно на опорах или в середине пролета,
I (г> ^П») |>Мцр
то в растянутой арматуре возникают пластические деформации и расчет колонны следует вести в пластической стадии, если поставлено условие расчета по предельному состоянию 1а.
Пластическая стадия. Рассматривается колонна с упругозащемленными концами при действии динамической нагрузки вида р (1 — //0). В такой конструкции, так же как и в защемленной на опорах балке, возможны в общем случае упругопластическая стадия (после образования шарниров пластичности на опорах или в середине пролета) и следующая за пей пластическая стадия (после образования трех шарниров пластичности). Здесь будет рассмотрен частный случай, когда шарниры пластичности в опорных и средних сечениях образуются одновременно, т. е. после упругой сразу возникает пластическая стадия.
Время конца упругой стадии находится из уравнения
|Л4 (z0, т)| = Л1ор, (5.41)
где М (z0, т) принимается по формулам (5.38), (5.37) для сечения z0 => 0 или г0 «= 2> в котором | М (г0, т)| имеет большее значение; Л4Цр — определяют по формулам (5.25), (5.26).
В пластической стадии колонна представляется в виде двух жестких элементов, соединенных шарниром пластич ности. Высота сжатых зон в пролетном и опорном сечениях обозначена xlf х2 соответственно.
Для получения расчетных зависимостей найдем выражения для горизонтальных и и вертикальных w перемещений рассматриваемых жестких элементов (рис. 49). Начало координат расположено на нижнем опорном сечении. Найдем перемещения произвольной точки М с начальными координатами z, у. Вначале получим перемещения и', w' точки /И
относительно точки О' на нижней грани диска. Из рис. 49,б имеем:
Ф sin-----
2
' Ч
(<р ф
<|1и z cos — z sin — 2 2
. ф
4-COS фо Sin —
. . ф и 2
ф I х sin — = 21 z cos
Обозначив перемещение точки О' через цу0 (у), и0 (у), будем иметь:
(Ф Ф ' Фо cos —-ьsin —
( Ф . Ф) «О. z) = «j (t/)4-2z cos — —фо Sin —
Перемещения цу0 (у), п0 (у) найдем, рассматривая поворот нижней грани вокруг мгновенного центра вращения О" с координатой z/0. Имеем:
• Ф
Sill ~~ ;
2 ’
Ф / 1 Ч \ о ( Ч Ф \
u'=2rsin - - cos qo+ — ) = 2г созф0со5 — — sin ф0 sinх
2 \ 2 I \ 2 2 1
ф
2 1 \
Ф . Ч I . X
---Фо г sin— sin —
. Ф sin
2 ’
Ф sin— .
2
(5.42)
(у) = (Уо~У) Sin ф;
Тогда
w(y> г} = (Уо~У) sin ф—2z
(р ии(у) = 2 (//о — //) sina— .
£
ф , .
Фо cos —4-sin
sin . (5.43)
2 ’
Ф
ф \
2)
Координату мгновенного центра вращения находим из условия, что вращение жестких дисков происходит относительно точки О, расположенной в среднем сечении колонны на нейтральной оси. В этом случае должно быть при у = z = 1/2 w = 0.
Из (5.43) получим
। . I с ф I ф>
Уо-^+ 2 ф04- —tg — =%14-/:о4-“ tg—, _£
где /0 = g фо — начальное горизонтальное перемещение середины колонны.
Учитывая малость угла ср, из (5.42) и (5.43) найдем:
w=Ui4-/o— У—?ф0) ф + ~ (//2— г) ф2; (5-44)
и = гф + (Х14- fu—y- гф0) ф2 /2 (5.45)
Рис. 49. Расчетная схема колонны о пластической стадии
« — схема деформации колонны; б —к определению перемещений точки М
Отметим, что в выражении (5.44) коэффициент при ср зависит от поперечных размеров колонны, а при ср2 — от ее высоты, поэтому член с ср2 может оказывать заметное влияние на вертикальные перемещения. В выражении (5.45) коэффициент при ср2 зависит лишь от поперечных размеров конструкции и может не учитываться в расчетах, т. е. горизонтальные перемещения принимаются равными:
и=гср. (5.46)
Получим уравнение движения рассматриваемой колонны в пластической стадии. Горизонтальные перемещения колонны только вследствие пластических деформаций принимаем
по формуле (5.46), вертикальные перемещения опорною сечения (при z = 0) и пролетного сечения (при г = 1/2)
ьуоп = (Х14-/о — г/)ф+
^пР0/)=(*1— У)<Р- (5.47)
Для получения уравнения движения колонны составим уравнение работ всех сил на возможных перемещениях
бп = гбср;
6tt>np (у) = (х, —у) 6ф;
6шоп (у) = + /о - У) 6ср.
£
Имеем
2 2
J рбф? dz + (—mqz) 6ф? dz 4- 6Д"Р Д- <S 1°п =q. о о
Работа внутренних сил в пролетном шарнире пластично-:ти равна:
«/1"Р = Л'а1 6Ш"Р (ft,,) -NQl W> 6щ"Р (а-) =
к “ /
= —Nai (Ло—*1) &р— ^61 (Л-a') &F = -МС,
Nai — усилие в растянутой арматуре; N6l, Na\ — абсолютные значения усилий в сжатом бетоне и сжатой арматуре; _ м0. мент внутренних сил в пролетном шарнире пластичности относительно нейтральной оси
^он=^аН^о — *1)-ЬЛб1 2 (xi—fl/) (5.48)
Работа внутренних сил в опорном шарнире пластичности
дЛ™ = - Л'а2 ^оп (й) -ь Л'б2 6^°П ( h - j + Л^а2 ^0П (h-a') =
— —^аг Х1 А)—q 2~ &Р4" ^62 Ч~ fo—^4"
6(г + ^! + — h^-a' 4-~ Ибср =
= ( — ^a2 + ^684- V'2) -уф&р— М™, 6ф, где — момент внутренних сил опорного сечения относительно нейтральной оси пролетного сечения:
^он I =^О2 (Х1 +/о — о) + Л^б2 —Х1 ~~ у —
-х^—а' —f0).
Учитывая равенство:
^ = y62 + /v;2-yva2=^614-^'1 -^ai.
получим уравнение движения колонны
—3 -ф—/V — ф = ^-^-_Л4ПР —моп (5.49)
24 2 * 8 V он 1 ОН р
которое представляет собой уравнение моментов всех сил относительно нейтральной оси в среднем сечении.
Выражение для момента .Wo"i можно представить в виде ^ОН1=^ —— А>) + ^ОН ’
где м™ — момент внутренних сил опорного сечения относительно его нейтральной оси:
Л1^ = А'а2(^0-х2)4-Л/б2-^- + /У;2 (х2-а'). (5.50)
В этом случае уравнение движения
ги/4 .. I р (t)P
— ф—/V — <р =—— — Л/(Л — *!— х2 — f0) —
z4 Z о
-'1оПнР-Л1™. (S-5B
Получим другую форму уравнения движения, исключив из выражений (5.48), (5.50) усилия Лгб1 и Л'б2. В результате будем иметь
тП .. „ i p(t)P
24 4 2 а
(5.52)
где Unp, Л1оп— моменты внутренних сил относительно соотвстствую-0 о
тего центра тяжести сжатой зоны бетона для пролетного и опорного сечения:
Л1°Р = Л а, К- -S-) -Wl ( Д- - Д (5 -53)
Л1Рп=Л'аг(ло--^-) + Л,;2(-^----°' ).
Уравнение (5.52) запишем в виде
2^ -L ф = , (5.54)
24 2 * 8 °
где через Л1( 1} обозначено выражение
М<"'=Л' £г_^ + мпр + л1опф
Уравнение (5.54) решается при начальных условиях: при / = т, ф = 0, ф = ф0. Начальную угловую скорость определяют из равенства количеств движения в момент перехода колонны в пластическую стадию.
Учитывая (5.29), (5.30) и (5.46), имеем:
I л
2 $
С ^zdz==pT2[T) Г2 (z)dz.
о °
Отсюда
. Spr2 wN2 / Д2 . D21
^=-^-(irs,nK2+~
(5.55)
1
где r2 = Cj c°s wN2 (r“^i) +^2 s'n WN2 ~(j)N2 0 ’
Уравнение (5.54) при p (t) = p (1 —-^) представим в виде
4(0-^<рЮ=^£(1-у-*!.п)), (5-5б)
Л1',п)
где
12/V
Х2 =-----
тР
Л1Р
Мр=>
Pl2
8
Решение уравнения (5 56) будет:
I / t
<F(/) = 4sia(/-T) + BchX(/-T)—-f 1 ЛI \ о
(5.57)
где произвольные постоянные находятся из начальных условий:
Nl \ О м ]
Ч>(т) = М + -^- = ф0.
Л 1и
Отсюда
NI
Д=—
X
(5.58)
2мр фо МО /
Максимальный угол поворота ф будет достигнут в момент времени imi при котором <р (/) = 0. Выражение для ф (/) имеет вид
2МР ----р (5.59)
<р (0 =Х [Л ch X (/ —т) 4-В sh X (/-т)1 +
Из выражения (5.59) видно, что если А > 0 и В > 0, то при всех t > т <р(/) > 0. Это свидетельствует о неограничен ном возрастании перемещений колонны, которое вызывается потерей устойчивости. В частном случае нагрузки боль шой длительности, когда можно принять 0 = оо, потеря устойчивости колонны не произойдет, если В < 0, т. е. когда k(un> > 1. При этом время достижения максимального угла раскрытия определяется из выражения
Фо /W
Полные перемещения колонны
У (г, tm)=pFi(z) Л (^1)+р^2 Л (т)-Ьфгп г. (5.60)
Перемещение среднего сечения
у(~^~ » = "ТГ Mi + Dl) I 01)+ Мг + ^я) ^2 (Т) + Чпг "Г
Углы раскрытия в шарнирах пластичности:
Лкс = 2'« Оо = ,Гт-
(5.61)
Прочность колонны будет обеспечена при соблюдении условий
«(.пр ihnP‘ lhon <1Ь0П тмакс тпр’ тмакс^мтр’
где ip’Р, хрпр — предельные углы раскрытия в шарнирах пластичности, определяемые согласно § 15 с учетом продольной силы /V
2. Расчет колонны по случаю II внецентренного сжатия. Случай II разрушения осуществляется, если
R'
При определении относительной высоты сжатой зсны £ = х//г0 необходимо учитывать, что при разрушении напряжение оа в менее напряженной арматуре (она может быть и растянута) находится в пределах — Rac оа< /?а.
Для элементов из бетона марки 400 и ниже с арматурой классов A-I, А-II и А-Ш напряжение оа можно определять по формуле Ill:
' 2(1-5)
1 — Ёд
-1 Ra-
Тогда из условия равновесия всех сил в сечении
W+Oa fa-Яас RUP ** = «
следует:
где
N -\-С — Ra (^а "Ь а)
*(у6) Rпр bhu-\-С
__ 2/?а Fa о — •
1__£Д
1 £/?
(5.62)
В зависимости от соотношения продольной и поперечной нагрузок деформирование колонны может происходить без трещин (например, при полностью сжатом сечении) или с трещинами в растянутой зоне. В обоих случаях расчет колонны ведется в упругой стадии, при этом будут справедливы полученные выше выражения. Однако расчеты показывают, что в элементах, работающих по случаю II внецентренного сжатия, жесткость после образования трещин в растянутой зоне В2 (5.27) изменяется незначите tb-но по сравнению с жесткостью элемента без трещин BL. Поэтому при динамических расчетах можно принимать жесткость сечений колонны при отсутствии и при наличии трещин в растянутой зоне постоянной, Вг = Еб1п. Тогда для рассматриваемой конструкции будут справедливы все выражения (5.2) — (5.21) как при отсутствии, так и при наличии трещин в отдельных сечениях. Максимальные значения изгибающих моментов определяют по формуле
Ml т (г) = ~~ X2
COS /д Z
Pl COS Х1
р/2
4
^Д1»
(5.63)
где Лд| наибольшее значение функции динамичности 7\ (t).
Прочность колонны проверяется из условий:
М1т (0)<
он пр’
гле М™, определяют по формуле (5.25) для пролетного и опор-ного сечений соответственно пои х = th г™ £ .....
но выражению (5.62). fe о> Д g принимается соглас-
§ 23. Расчет двухшарнирных железобетонных арок кругового очертания
В арочных конструкциях напряженное состояние сечений вызывается продольными силами и изгибающими мо
ментами, т. е. арки принадлежат к внецентренно-сжатым элементам. Как отмечалось выше, характер разрушения таких конструкций зависит от соотношения между изгибающим моментом и продольной силой.
В практике строительства наибольшее применение находят двухшарнирные железобетонные круговые арки.
Предполагается, что динамическая нагрузка действует по нормали к оси арки и симметрична относительно замка арки.
Расчеты показывают, что в обычно применяемых арках при действии рассматриваемой нагрузки осуществляется случай П внецентренного сжатия.
Рис. 50. Усилия в элементе арки
Поэтому изложим метод расчета арок только в упругой стадии. Изгнбную жесткость сечений арки принимаем равной В = Еб1 п как при отсутствии, так и при наличии трещин в растянутой зоне бетона.
Приведем краткое изложение вывода уравнения движения круговой арки. Выделим из арки элемент длиной ds = =/&/а(рис. 50). Перемещение каждой точки продольной оси
арки представляется двумя компонентами: радиальным w и тангенциальным и перемещениями Уравнения динамичес-
кого равновесия элемента арки имеют вид: сумма проекций на ось w
dQ ds
d2 w дГ1
(5.64)
N
R
сумма проекций на ось и
сумма моментов
dN ds
д2 и
-----=0;
dt2
дм
d$
где Q — поперечная сила; N — продольная сила (положительная
ГЖИМЯ штттяаХ" Л1 .nr- ..Ли л _________ ' "'тельная
т масса па единицу
сжимающая); М — изгибающий момент; длины оси арки; R — радиус оси арки.
Обычно при расчете арок пренебрегают продольной де формацией оси арки еа = du/ds — w/R.
Из условия еа = 0 получают
w — du/da.
(5.65)
Изгибающий момент в сечениях определяют по формуле
В [ д2 w
М = —----- -----
R2 da2
(5.66)
где В — жесткость поперечного сечения арки (В <=> a— угловая координата сечения арки.
Второй член в правой части выражения (5.66) учитывает влияние радиального перемещения на изменение кривизны оси арки.
Из уравнений (5.64)—(5.66) следует уравнение движения арки в упругой стадии
da6 да* дос2 В \ да2 д/а
Я4 др (а,/) В да
д2 и \
д/2 ) =
(5.67)
где р (а, /) — интенсивность динамической нагрузки, которую будем представлять в виде
р(а, t) = pfL (a)/ (О-
При решении этого уравнения так же, как и при решении уравнений движения балок, целесообразно применить метод Бубнова —Галеркина с заданием статической формы прогибов. В этом случае выражение для и (cq t) запишется в виде
и (a, t)=pF (a) Т (I), (5.68)
где F (а) —форма тангенциальных перемещений, удовлетворяющая уравнению
Fvi (a) + 2FIV (aJ + Z7” К (5,69)
Подставим выражение (5.68) в уравнение (5.67) и, проделав вычисление согласно методу Бубнова — Галеркина, получим
Т (/) 4- со2 Т (/) = со2 / (/). (5 -7°)
где
а0
f Zi (a) F (а) da
а0 •
т j (AH-f)£da
—а<
Перемещения точек оси арки и усилия в ее сечениях определяются по формулам:
и (а, о =«ст (а) Т (0;
ди
w (а, 0 =—— =pF' (а) Т Ц) = wCT (а) Т (/);
да
рВ
/И (а,/) = - -^7 [Fm (а) 4- Г (а)] Т (/) = Л1СТ (а) Т (0}
дЛ1
<?(а. —=Qct(«) Г(/). (5.71)
Roa
Здесь в правых частях первые множители обозначают статические значения соответствующих величин.
Продольная сила находится из первого уравнения (5.64):
N (a, t)=p (a, t) /? + <?ст <а) Т J)—mRwC7 (а) Т (/). (5.72)
Получим расчетные выражения для усилий в арке при динамической нагрузке вида
т. е. при
р(а, t)=p 1— (1 — — \ Р
а2
/
|_ т
/1(а) = 1-(|-\ р
IW='-T-
а2
«о
(5.73)
где р — максимальная нагрузка в замке арки; р0 — нагрузка в пятах арки; а=> ± а0 — угловые координаты пят арки.
Форма перемещений арки находится из решения дифференциального уравнения (5.69) при
/,'(«) = -2(1- —• (5.74)
\ Р /
Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Характеристическое уравнение
+ = (Л4 4- 2£2Ч- 1) =0
имеет три корня: /г, — 0; /?2 — ] — 1; /г3 = — двойной кратности каждое. Поэтому общее решение имеет вид
= £?, 4- 4, а + fl2 cos а + 42 а cos а 4- As sin а + fl3 а sin а
При нагрузке, симметричной относительно среднего сечения арки, тангенциальные перемещения и (a, t) обратно симметричные, т е. должно быть F (— а) = — F (а). Поэтому б1 = В2 = б3=0,
и общее решение
Fl = .lla4-42acosa |-43 sina. (5.75)
Частное решение уравнений (5.69), (5.74) следует искать в виде F2 = — 40а3.
Подставив это выражение в (5.69), получим
В результате получаем решение
F (а) =4, а4-42 a cos а4~43 sin а —40а3. (5.77)
Выражение (5.77) является формой тангенциальных перемещений арки. Получим форму радиальных перемещений Fw = F' (а) и форму изгибающих моментов FM — Fu. + + FL = F' 4- F’".
Имеем
Fw = F' (a) =3414-42 (cos a—a sin a) 4-43 соч a—340ач: (5 7Я)
(a) = —42 (2 sin a 4~« cos a) — 43 sin a — 640 a;
F (a) = A2 (—3 cos a 4-a sin a) — 43 cos a —64 t;
^M = 41—242 cos a—340or— 640 (5.75)
Коэффициенты Alt A2, A3 находятся из граничных условии, которые для двухшарнирпой арки имеют вид nP” а = а„ f=Fw~FM=-.()
Уюв створяя этим условиям, получаем систему уравнений: 41 а4-Д2 ahcosa04-43 sin <ч(1-4(, =0;
• -Д2 (cos a0~a0 sin a0) 4-- 43 COo au -340 a? =0; At~2A2 cos a0—340 ag —64o=0.
Отсюда находим:
^=340a2fll; Д2=—зд,)а2 a2.
43 = ЗД0 ag
где
2
йз =
3
' . 3sin а0
3 cos сс( — а0 sin а0— -------
аУ
I 4-2 cos1 а0 —
3 sin сс0 cos сс0
(5.80)
а0
sin а0 X 2
-------- — cos а J + —
«о______________/ з
а0 sin а0
2
а§
2а2 cos а0.
Из выражений (5.71) получаем следующие зависимости для перемещений оси арки и изгибающего момента:
( Рь \ R*
и (а. 0=р(1— -----) -т— и0 (а) Г (/). (5.81)
\ Р 1 в
а3
где «о (а) =Д1 а—а со$.а4-<*з sin а—---------;
За§
ш(а,/)=р(1- —)к1» (а) Г (/). (5.82)
\ Р J D
ОС2 где а>о (а) =at —а2 (cos а—а sin а)4-«з cos а---;
«о
М (а, /) =р [ 1 - —) /?’ ,Мо (а) Т (/), (5.83)
X Р /
2 а1
где Л4о (а) = —— 4~ —~ —<h —2cz2 cos а.
ag а?
Функция динамичности, определяемая из решения уравнения (5.70), равна:
7 (/) = 1 — —cos со/ 4
о
sin со/ со0
Используя выражения (5.74), (5.81), (5.82), формулу для частоты колебаний арки можно записать в виде:
где
К4 _В_ ' _ X2 | / в
R4 m J R2 V ’ «о
2 J au0 da
Х4= ------.
а0
«oj (u2-{-wl)da О
(5.84)
(5.85)
Здесь использовано соотношение
J*«; «о da=-t М1 da =-Г da- (5Л>
Коэффициент (5.85) зависит только от угла а„. Ниже прпХны значения V при некоторых исходных значе-
ниях а0:
а0, грал X2 «о, град X2
90 7,076 55 21,71
к/V ко 9,372 50 26,6
UV 70 12,743 15 33,26
60 17,963 40 42,59
Продольная сила в сечениях арки находится из выражения (5.72), которое после подстановки полученных зависимостей будет иметь вид
N (a, I) =pRVo (а, /), (5.87)
2^1 — — V— +«2со «)/'(/)-(l — — и-о (а) (coso/-\ Р/\а’о / \ р ' '
_ мп (0/.Л . (5.88)
wQ /
Отекла продольная сила в пяте арки (при а = а0)
N (а0, 0 = Potf( 1—“W2(p —Ро) R (—V + °2 cos (0- (5-89)
\ ° / \ ^0 /
Распор арки определяется из выражения
Н (/) — N (а0, /) cos а0. (5.90)
Изгибающие моменты принимают максимальные значения в двух сечениях арки, в замке (при а = 0) и в сечении при а = аг = (0,75—0,8) а0. Обычно абсолютная величина изгибающего момента в сечении а= больше, чем при а = 0. Поэтому необходимо выяснить точное значение угловой координаты сечения с максимальным моментом.
Полученные выражения позволяют определять усилия в сечениях арки и перемещение ее оси от действия динамической нагрузки. Для проведения расчета арки на действие полной нагрузки необходимо учесть влияние статической нагрузки.^ Усилия и перемещения, вызываемые статической на рузкои, определяются методами строительной механики. 134
ГЛАВА VI. РЛСЧ1Т ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО СООРУЖгниа с УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ СОВМЕСТНОЙ РАБОТЫ 'ИЯ ЕГО ЭЛЕМЕНТОВ
Любое сооружение образуетс я из отдельных коистпук-тпвиых элементов, связанных между собой При действи на сооружение динамической нагрузки происходит совмест пая работа всех его элементов, которая проявляется в пере даче нагрузки в виде реакций одним элементом другому и во влиянии перемещений одного элемента на перемещения а следовательно, на силы инерции другого. Взаимодействие основания и фундаментов
сооружения приводит к вертикальному перемещению колонн и стен, влияющему на суммарную нагрузку, которую воспринимают конструкции сооружения. Поэтому расчет отдельных выделенных конструктивных элементов в ряде случаев не может достаточно полно оценить их несущую способность. Однако точный расчет сооружения с учетом совместной работы всех его конструкций является достаточно сложной задачей.
Рис. 5с Расчетная схема фрагмента сооружения
В этой главе дается расчет конструкций сооружения с учетом влияния двух наиболее существенных факторов:
вертикальных смещений опор вследствие податливости
грунтового основания; nen.u_
примыкающих конструкций на горизонтальные P
щения опорных сечений изгибаемых элементов псрекр , которое приводит к возникновению распора „ ППппп-Учет влияния вертикальных перемещении ор Р дится на примере расчета ячейки сооружения, с колонны и части перекрытия, с которой co6i ipac ся I ' па колонну (рис. 51) Вертикальные nCPeMeHJ’L При этом вызываются податливостью грунтового ос иовс времени учитывается, что величина и закон в
напряжений, возникающие в месче коп ак <.
основания, зависят не только от деформации грунта непосредственно под фундаментом, но также и от работы вовлекаемого в процессе движения окружающего грунта.
Ниже даются два метода расчета, учитывающие влияние вертикального смещения на работу перекрытия, которые основаны на двух различных предпосылках:
все сооружение рассматривается как жесткое тело, для которого находятся вертикальные перемещения; найденные перемещения учитываются при расчете конструкций сооружения;
колонна с фундаментом считается жестким телом, нагруженным продольной силой от элементов перекрытия, которая находится с учетом деформаций этих элементов; расчет в такой постановке значительно сложнее, но дает более правильные результаты.
Исследование работы сооружения с учетом взаимного влияния его конструктивных элементов дает возможность получить расчетные зависимости для каждого элемента. Например, в результате решения рассматриваемой задачи дается методика расчета перекрытия, колонны и фундамента. Постановка этой задачи имеется в [3], где приводятся полученные в результате ее решения расчетные зависимости для колонны и фундамента. Расчет перекрытий исходя из первой предпосылки рассмотрен также в работе
§ 24. Расчет сооружения без учета влияния деформаций перекрытия на перемещения всего сооружения
В этом случае при определении перемещений сооружение рассматривается как жесткое тело. После определения перемещений всего сооружения проводится расчет отдельных кон труктивных элементов с учетом дополнительных инерционных сил, возникающих при движении сооружения Такая предпосылка расчета может применяться, если сооружение расположено на достаточно податливом основании из мягких грунтов.
ппЛ* ®,,Ределение перемещений сооружения. Система сил, Vn9TBp0U'HX На ячейкУ С00РУжепия, показана на рис. 51. р вн ние динамического равновесия имеет вид
гдеР(/)с= Р (0 — ти (/)=0 , (6.1)
шая на npnpknCJul~ п°лная динамическая нагрузка, действ}Ю-лерекрытие сооружения; /^-площадь перекрытия; Др (/) -136
язвление волны на единицу плошали перекрытия; Л7ф (I) — продольная сила под подошвой фундамента вызываемая сопротивлением грунта движению сооружения; m = m$ 4~ тк 4" та — масса всего сооружения, состоящая из массы фундамента /Пф, колонны и перекрытия шп: и (/) — вертикальное перемещение сооружения.
Фундамент под колонной предполагается квадратным. Выражение для Мф (/) в случае действия под подошвой достаточно больших давлений можно принять в виде
Л^ф= — сх и — Сои, (6.2)
F Р°1 ГФ Q\
где Ci = pa. F& с0= ——-— (6.3)
>1 '
Гф _ площадь подошвы фундамента под колонной; D — сторона I подошвы фундамента; р, ах — характеристики грунта основания (плотность и скорость распространения упруго-пластической волны в грунте, принимаемая по табл. 1).
Отрицательное значение продольной силы под подошвой фундамента и в колонне соответствует сжатию.
Физический смысл коэффициента с0 можно уяснить, если учесть, что ах = ] £Гр/р (£Гр — модуль деформации грунта). Тогда
Р ^Ф Г* U Г
с,. -------и Со и = С D--- Гф ,
2D р 2D ф
т. е. принимают, что средние деформации грунтового массива распространяются от подошвы фундамента на глубину, равную 2 D.
Подставив выражение (6.2) в уравнение (6.1), получим
и4- 2<д и 4- sit = Ьр (/) Fa/m, (6.4)
где qx = сх/(2т) = рах Fф/(2т ;
s=cj(m) = рах F$/(2mD). (6.5)
Начальные условия при / = 0 и = и = 0.
Подстановкой и = г9»' v уравнение (6.4) приводится к виду
v 4-<?2 v = kp(t) Fu eQ' *1т' (6.6/
где q2 = kqx, k = Vs/qj — 1 = /2m/(pF$ D) — l. (6.7)
. Положим
Др (t) = &pf (/),
где Др — максимальная величина давления
Решение уравнения (6.6) при нулевых начальных усл виях можно записать в виде } °‘
t
kpFn С л т, V—------- I eq' х /(т) sin q2 (t —т) с/т.
^2 J О
(6.8)
Здесь предполагается, что s/q] > 1. Этот случай обычно встречается в практике проектирования.
В результате получим:
и = 6Ф (Z) e~q'
(6.9)
й =(и — qyV) е q'* = 6c?j [А’И (/) — Ф (/)] e~Qlt\ (6.10)
и —(v — 2q} 6-1- v) е q' 1 = — bq\ [2/?T (Z) -|-(A’2 — I) Ф (/)] e~<7’Ц-
+ WW--------~ , |2AT(Z)4-H»- 1)Ф(/)]е-«’' +
w/e
Ap(Qfn
с АрГп r n _
где 6=------------------ ; Ф (Z) = I eq' I (t) sin q2 (t — t) c/t ; (6.12)
'"</2 J
4r (Z) = J eq' T / (t) cos <y2 (/—t) c/t. (6.13)
о
Выражение для усилия под подошвой фундамента получим из = — Ар (/) Fu ти\ учитывая (6.11),
Л^ф= Р/~П 671 |2А’Т(/)4-(А2- 1)Ф(/)]е-<7‘6 (6.14
k
Это же выражение следует из формул (6.2), (6.9), (6.10) Усилие в любом сечении колонны равно:
(»/)=Л/ф — (у) и,
где тк (у) — масса фундамента и части колонны от фундамента д< рассматриваемого сечения.
Подставим в это выражение
1
« = —[Л^ф + Др Z) Дп]
и получим
m т
Л/ф(П- (б-1£
Примем, что динамическая нагрузка изменяется во времени по закону /(/)==! — //0. Вычислив интегралы (6.12) и (6.13), получим:
и (/) =
(1 +₽) cos
I cos q2 t
\ &1\
и (/) =
АрГп д\
со
-J- Л sin q2 t)
(6.16)
(6.17)
ЛрАп <7? п /
и (/) =----------cos q21 — Л2 sin q2t) e Q' ,
Co
27i 2D e = ------=--------;
Os a, 0
(6.18)
где
Из выражения (6.16) видно, что перемещение сооружения равно статическому перемещению, вызываемому нагрузкой Лр, умноженному на функцию динамичности. Значения этой функции с течением времени уменьшаются, т. е. происходит затухание колебаний сооружения. Причиной затухания колебаний является потеря энергии в грунтовом массиве основания вследствие распространения в нем волн сжатия от подошвы фундамента. Этот процесс описывается в выражении (6.2) членом сАи.
2. Расчет конструкций перекрытия (покрытия) в упругой стадии Выражения для перемещения колонны (сооружения) позволяют получить расчетные зависимости для элементов перекрытия. Конструкция покрытия (перекрытия) обычно состоит из прогонов и опирающихся на них панелей. Поскольку масса панелей значительно превосходит массу прогона, можно принять, что панели деформируются совместно с прогонами.
Рассмотрим прогон, непосредственно опирающийся на колонну Обозначим массу на единицу длины прогона через щб, которая сострит из собственной массы прогона и мае-
сы части покрытия, опирающегося на прогон. Динамическая погонная нагрузка на прогон равна:
р(/ = (t)b = pl (/); p = bpb,
где Ь - ширина полосы сбора нагрузки на прогон.
Перемещения прогона должны удовлетворять следующим граничным условиям: при х = О х = I, у = и ('). Поэтому примем для динамического перемещения прогона выражение
уп(х, t) = u(t)+pF(x)T(t), (6.19)
где F (х) — соответствующая линия прогибов прогона
Нагрузку на балку считаем равномерно распределенной. Тогда BF]V (х) = 1. Функции прогибов для балок с различными закреплениями концов приведены в § 16.
Подставив выражение (6.19) в уравнение движения балки (4.3) и проведя преобразования согласно методу Бубнова—Галеркина, получим
t (/)+ со2 Т (t)
.. 1 — НО , р J
= CD? /(/)-
(6.20)
где со — частота собственных колебаний, соответствующая принятой форме прогибов.
Получим выражение для функции динамичности балки 7 (/) при / (/) = 1 — I 0. Подставив в (6.20) формулу (6 18), будем иметь уравнение
t + ш* Т = <о« [ 1 - id (Л, СО5 _
L о СцЬ
— А2 sin q2 t) e~Q' r . (6.21)
Начальными условиями для Т (/) являются при i = 0 т = 0, Т = 0.
Представляем решение уравнения (6.21) в виде суммы общего решения соответствующего уравнения с нулевой пра-вой частью и частного решения уравнения (6.21)
(О — si п со/ — D2 cos со/ -|-1 —
/
+ Db (dj sin q2 14- d2 cos q2 t) e~Ql Di) = mbFn qf/fa b).
(6.22)
Коэффициенты dit d2 частного решения находятся из уравнения (6.21), а коэффициенты £)t, D2 — из начальных условий. Получим вначале производные функции Т (/).
t (/)=(й (£\ cos со/ 4-£>2 sin со/) — 1/64 Dt) [(7гФ —
— qA) COS q2l—(71^1 + 72^2) sin q2l] (6.23)
T (/)=coa(—£\ sin co/4-£>2 cos w/)— {И1 (7| —7?) —
— 271 72^2] sin 7,/4-12dj 7! 72+rf2 (<7|—7i2)] cos72/}e_<7‘(6.24)
Подставим выражения (6.22) и (6.24) в уравнение (6.21). Приравнивая нулю получающиеся коэффициенты при sin q2t и cos q2t, найдем следующую систему уравнений для коэффициентов dx и d2.
^1 (1 +7i— 7s)+27i 7а ^2 = ^2!
— ^1 271 7г +^2 (1 +7? —7|) — —
где 7i = 7i w; 72 = 72 “• (6.25)
Отсюда находим:
27i 7г 4| + 0+7?—7г) В о~.
Ф = -----=----—----Т Z-----(6-26)
(1 Ь7?-7р9+47?71
27, 724г—(1 + 7? —72) Л Л „7.
d2 =-----z----—----z~:------ (6 • 27)
(1 +7?—7f) 4- М71
Удовлетворяя начальным условиям, получим:
I _
£^i = _ . — Dv (dx q2—d2 71/»
а и
D> = 1 +d2 Do.
В результате имеем
t sin со/ m6£n7?
Г (/) = 1 - —- cos со/ + —— + -б
0 соО с0 b
X К71 d2 —q2 dv) sin со/ — d2 cos со/ + (c4 sin q2 I + d2 cos q2
(6.28)
/) e~Ql ']•
(6.29)
Из последнего выражения видно, что функция динамичности для балки на смещаемых опорах равна сумме функции динамичности для этой балки на неподвижных опорах и некоторой функции, которая учитывает влияние на работу балки перемещения всего сооружения. Формула (6.29)
спр,„„» «.
ПР‘п7<^ усилия В его сечениях определяются
из выражения:
у(*. О=рГ(х)Г(/); (6.30)
ai= — врГ" (х) ПО;
Q=—BpF'"(x)T Г). (6.31)
Для определения папболь.....х значений прогиба и уси-
1ий необходимо найти максимальное значение функции динамичности (6.29)
A'jj Пр= \ЧП’ ’
где tin определяют из уравнения t (/)= О
Выражение для Т (/) имеет вид
1 • 1—СО СО.' . О?б^П?1 //- . - .ч л
— Т (/)= sin со/—----; + \\Q\ ^2 — Qq “i) cos Ci)^ +
co cot) ct) b
-f-d2 sin со/ 4-[((7г dj — d2) cos q2 t —(qi +
4-g2 d2)sin q2 /] e~Qi ^}.
(6.32)
При расчетах целесообразно все зависимости выразить через безразмерные величины. В формуле (6.7) имеется безразмерная величина, которую обозначим
2/7?
1 р^ф /}
Безразмерные параметры (6.25) де:
’ = pQ| F<i> Рлф D
2/71(0 2/7?
qi = k~q1; k =/si— 1, где s0 —новая безразмерная величина
s<> = 01/(0)/}) .
(6.33)
можно
представить в вн-
«1
со/}
s(>
«1
(6.34)
(6.35)
Через эти величины выражается также и параметр £)0, входящий в выражения (6.29), (6.32) Предварительно учтено, что tnQ F Jb равно массе перекрытия, передающейся на одну колонну сооружения.
Обозначив m^FJb = mnt
Dt, где
найдем
= m(jFuq\ (chL) — mn = тu/(ms1) = s2/s1, (6.36)
s2 = mjm.
Таким образом, основными безразмерными параметрами ЯВЛЯЮТСЯ So, S„ s2. а такжешО. .
Запишем выражение (6.29) в безразмерных величинах
r-i-------cosT+ d2— ~q2 dx) sin7— d2 cos/ +
4- (dt sing, Г +d2 cos q2 7) e~Qi ( , (6,37)
где 7= о)/; коэффициенты dt и d2 определяются по формулам (6.26), (6.27), в которых
si / 1 \
Hi = sf, Л2 = —— 1 + — — I •
k \ qi соО /
(6.38)
Усилие под подошвой фундамента определяется по формуле, полученной из (6.14):
Л/ф=-ДрГп5(/-), (6.39)
где
S (7) = 1 — — — (Л cos<?27—Л2 чп?27) е~^7 = 1 —
соО S,
cos q21 —
sin с/21
Максимальные значения функции динамичности (6.37) и (6.39) можно находить непосредственным вычислением их значений при различных величинах t.
При этом целесообразно использовать графическое представление этих функций.
Из уравнения (6.20) видно, что силы инерции, вызываемые движением сооружения, уменьшают динамическую нагрузку на конструкцию перекрытия, пока и (/)>>0. После изменения знака ускорения и сооружения начиная с момента времени /0, при котором й (t0) = 0, общее движение сооружения приводит к увеличению нагрузки на перекрытие. Поэтому ускорение сооружения и (/) в наибольшей степени снижает деформации перекрытия и усилия в его элементах, если время tG больше времени достижения функцией динамичности прогона T(t) (6.37) первого максимума. В этих случаях функция Т (/) может достигнуть наибольшего значения при втором максимуме, если ко времени его возникновения не произойдет заметного снижения динамической
иягп¥зки Вследствие этого при определении наибольшего значения функции 7 (/) часто требуется учитывать влияние времени действия нагрузки 0.
Влияние ускорения сооружения и (I) на работу перекрытия существенно зависит от величин параметров (6.35), (6.36). Оценим их значения, при которых ускорение и в наибольшей степени снижает величину первого максимума функции Т (/), т. е если время достижения
первого максимума функции Т (/). Для конструкции с не-смещаемыми опорами и при нагрузке вида р (1 — //0) из формулы (4.25) следует tmi = a>tm = 2 arc tg соб ; при достаточно большой величине со0 отсюда будет л. Расчеты показывают, что при смещаемых опорах время tr J меняется незначительно в пределах л < tml <Z 4.
Время 70 = со/о определим из формулы (6.18), приняв н (/0) = 0. Тогда с учетом (6.38) найдем
f - 7 _ _А_ k
0 А2 l-pl/^coO)
Для получения приближенных оценок примем со0 = оо И TmJ = 4. Тогда
7 arctgft Sj arctg£
to — - = --.
Q2 so k
Из условия 70 ~tml = 4 будем иметь:
Отсюда:
при si =2, /г=1 So < 0, 4;
npHSi=3,5, 6=1,58 s0 < 0, 58;
при S1 = 5, k = 2 s0 <0,72.
Таким образом, если характеристики сооружения и грунта таковы, что s0 0,5—0,6, то, производя расчет с учетом влияния смещения сооружения, можно заметно снизить усилия в конструкциях перекрытия.
а рис 52 представлены графики функций динамичное* ти для прогона перекрытия Т (?) (6.37) и для усилия под подошвой фундамента S (t) (6.39). Были приняты следующие значения параметров: Sj = 3,5; s0 = V3 и s0 = 1; s2 = При этом 9l = 0,095; k = 1,58; q2 = 0 15; Do = 0,19-
Вычисления проводились при двух значениях параметра <о0, характеризующего влияние длительности действия нагрузки: со0 = оо, w6 = 50. Функция Т (/) принимает наибольшее значение при втором максимуме, коэффициенты динамичности для прогона равны: при w0 = oo ka_пр = 1,51, при сой = 50А’д пр = 1,35. Соответствующие коэффициенты динамичности для рассматриваемого прогона с несмещаю-щимися опорами равны (§ 16):
*д ир = 2; 6д.пр = 2(1—arc tg 50/50)= 1,94.
Рис. 52. Графики функции динамичности для элементов сооружения Т(t) — покрытие, 8(f) — фундамент
кривые 7(/); 1 — при «(Л-О. (So-°°), (00-°°; 2 — s0-l; W0-GO; 3 — s0—1/3; <i)0-°°; 4 — so—1/3. 0(i)-50. Кривые S(O 5 — s0-l, W0-5O; 6 — s0-l/3; co0-°°; 7 - s0-1/3; 0Ы-5О
Отсюда видно, что учет влияния смещения сооружения позволяет снизить усилия в прогоне перекрытия на 25% при «О = оо и на 30% при соб = 50. Отметим, что длительность действия нагрузки оказывает большее влияние на ра-I боту конструкций с смещаемыми опорами, чем с несмещае-мыми, так как движение опор увеличивает время достижения в конструкции максимальных усилий. Кроме уменьшения коэффициентов динамичности смещение опор существенно влияет также и на характер колебаний элементов перекрытий, что видно из графиков Т (/) для балки со смещаемыми опорами при s0 = 1/й и s0 = 1 и для балки с не-смещаемыми опорами (линия при и = 0).
Функция динамичности S (/) достигает наибольшего значения при первом максимуме. Как видно из формулы (6.39), усилие под подошвой фундамента /Уф колеблется
около своего статического значения с постепенно убывающей амплитудой. Такой колебательный процесс характерен для сооружений, связанных с грунтовым массивом (например, подземные сооружения), в который непрерывно излучается энергия колебаний.
При увеличении значения параметра s() (sG 1) наибольшее значение функция динамичности Т (/) достигает при первом максимуме и коэффициент динамичности /?д.цр меньше отличается от коэффициента динамичности конструкции на несмещаемых опорах.
При расчете прогона перекрытия по предельному состоянию 16 для любого его сечения должно выполняться усло-
вие
•^макс — ‘^р ^д-пр
(6.40)
где Л1р — изгибающий момент в сечении от статического действия нагрузки интенсивности р; Мч — изгибающий момент в сеченни от статистической нагрузки; Л1р — предельный момент внутренних сил сечения, определяемый с учетом коэс] фиииентов упрочнения материалов согл.сно § 12.
3. Расчет конструкций перекрытия (покрытия) в пластической стадии. Движение сооружения оказывает также влияние па работу конструкций перекрытий при их работе в пластической стадии При этом следует иметь в виду, что при малых значениях параметра s0 (s < 0,5), когда существенно снижается динамическое действие нагрузки в упругой стадии, расчет конструкций перекрытия в пластической стадии (по предельному состоянию 1а) при 50 даст незначительный эффект и может не проводиться. Расчет конструкций перекрытий с учетом пластических деформации целесообразен при больших значениях s0 или при относительно малом времени действия нагрузки («0 < 50).
Рассмотрим шарнирно опертый прогон. Форма прогибов в упругой стадии имеет вид (4.11)
^(*) = (х4/2—/л3 + /3 х/2).
Максимальный изгибающий момент в середине пролета
М(/) = /Ир
где Afp = рР/8, Mq — g/2/8 _ статическая нагрузка) Т (/) —*
^УПКЦИ?/п/И,яМИЧН0СТН’ 0пРеДеляемая при ^нагрузке вида р (1 - //0) по формуле (6.29) или (6.37) РУ
Племя конца упругой стадии т для балки, армированной любыми сталями, определяем из уравнения М (т) = /И£, которое представим в виде
Т(т)=^м, W &М=(Л^ — ^tg)/.Wp
В рассматриваемом расчете при определении момента внутренних сил Л1§ используем коэффициенты упрочнения для арматуры, принимаемые приближенно по табл. 2, § 12.
Полные перемещения прогона в пластической стадии у(х, t) = u(t)+pF(x) Т (т)-|~<р (/) х,
(6.41)
где <р (/) — угол поворота половины балки
Динамическая нагрузка на балку, определяемая с учетом инерционных сил вследствие движения сооружения, р(0 — (/).
Тогда из (4.69) получим уравнение движения балки в / /\ пластической стадии при нагрузке р (I) = р I I —
24
" Р/2 Л 1 \ /2
<Г~ 8 \ О 8
и Т (т).
(6.42)
Начальные условия при / = т ср = 0, <р = ср0.
Начальная угловая скорость <р0 определяется из равенства количеств движения в конце упругой и в начале пластической стадии. Учитывая выражения (6.19), (6.41), (6.32), найдем
i
4р р . р/3 юг (т) „ tn
То =---- F W dx т <т) =-----’ (6 *43)
Iй J оОЬ
О
где г (т), выраженное в безразмерных величинах, равно:
. - 1 --COST - , , . - ,
= sin т--------— -[-Do {(<71 d2 — q2di) cos т sin т 4-
юО
+ l(?2^i—Qx d2) cos t— (<д dy q2 d2) sin q2 H e q T}, t =
л2
,= ют, Ю = —~1/ -----•
I2 у П1б
Запишем уравнение (6.42) в виде
Ф(0 =
24Л1р /а
3 .
I и (6.41)
Интегрируя (6.44), находим
24Л1» Г/ т , \ q (/) <=----(*— “ Лм1(/— т) —
///О / L \ u /
- <Z~oT— — -y-(w (/) -« (т)] +ф0;
3 3
— — \u{t)~u (х)j -I- — и (Т) (/— т) 4-ф,, (/-т).
Из этих выражений находятся время /т достижения максимального угла поворота и его значение cpnl — q (/,„). Определяется максимальный у юл раскрытия в шарнире пластичности
Фмякс = 2qm
(6.45)
и проверяется условие прочности балки
Фмакс Фпр*
4 Расчет центрально нагруженной колонны и фундамента. Полученные выше зависимости позволяют провести расчет колонны и фундамента рассматриваемого сооружения на особое сочетание статической и кратковременной динамической нагрузок.
Площадь подошвы фундамента определяют расчетом на действие продольной силы
Л'ф = л'ф +&PF„ 4п.ф,
k Г Д ЛЬН ила 01 нормативной статической нагрузки;
Дам^н1аК°пав^1Ь1йИеи1и/1ИНаМИЧ,10С7И для Уси<лия под подошвой фун-S (/) (б’з9). большему значению функции динамичности
еита^Я ЛписЧетаЯ чаСЧе10В постРоены графики коэффициент параметров: Значе"ж *д.Ф определяют в завистости
91 0 = s0 ooO/Sj, k = — 1
Расчетное сопротивление грунта основания
где R„ - нормативное сопротивление грунта; ь - коэффициент динамического упрочнения грунта (принимают = 5 если ол -< 15 кгс/см2, такое ограничение предельного сопротивления та обусловлено тем, что при больших давлениях возможно нитей-сввное выпирание грунта из-под фундамента).
Рис. 53. Коэффициенты динамичности для усилия под подошвой фундаментов
Усилие под подошвой фундамента Nф зависит от разм ров фундамента, которые поэтому необходимо предвари тельно определить. Если интенсивность максимальной дин мической нагрузки Др на перекрытие превосходит ин сивность статической нагрузки не больше чем в Р_»
предварительные размеры фундамента определяю пповеоя-на действие только статической нагрузки и 3 ' « на.
ют на совместное действие статической и дп“* ста.
грузок. Если превышение динамической Н^ГРУ размеры тической более значительно, то предвари естное дей-фундамента следует определять Р^четом " приняв в фор-ствие динамической и статической нагрузок,
муле для N* значение коэффициента динамичности *аф = ~ п'' п^л тя сипа от динамической нагрузки в сечениях Пр0Топнедепяется по формуле (6.15). Наибольшее зна-чени" продольная сита (6.15) принимает в сечении колонны “одстави^НбНб) выражение (6.39), получим
S(/) =
У
/ “ О — Др/ U SJ (/)«
Л'К(П
т
т
II
(6.46)
где тф — масса фундамента
Обозначим максимальное значение фукции Si (/) через k Тогда полное значение расчетной продольной си-ы в нижнем сечении колонны от совместного действия динамической и статической нагрузок
Л1{= Д к1 Т Др/7п /’д.к (6.47)
Где _ продольная сила в нижнем сечении колонны от расчетной статической нагрузки.
Продольная сила (6.47) применяется при расчете фундамента на продавливание колонной и при проверке прочности колонны.
§ 25. Расчет сооружения с учетом влияния деформаций перекрытия на перемещение всего сооружения
В полученных выше выражениях не учитывалось влияние перемещения перекрытия, вызываемое его деформацией, на общее перемещение сооружения. При учете этого влияния будем исходить из следующих предпосылок: колонна и фундамент представляют собой жесткое тело, нагрузка на колонну (центрально-приложенная продольная сила) создается опорной реакцией прогона. Считаем, что на колонну симметрично опираются две балки. Условия закрепления обоих концов балок предполагаются одинаковыми.
Расчетные формулы будут зависеть от того, в какой стадии (упругой или пластической) работают балки перекрытия.
1. Работа балок перекрытия в упругой стадии (случай 16). При работе балок в упругой стадии выражение для пере-150
мещенпя принимаем в виде (6.19). Уравнение для функции 7 {/) совпадает с уравнением (6.20).
Условие динамического равновесия колонны
2(?(0, и=0, (6.48)
где т <= + w(|> (/лн — масса колонны; гпф —масса фундамента,;
д _ усилие под подои вой фундамента, принимаемое по формуле (6?2); Q (0, 0 — поперечная сила на опоре балки:
(?(0,/)= -ВрА'”(0)Г(/)=-у-7'(/). 6.49)
Подставив (6.2) и (6.49) в (6.48), получим вместе с (6.20) следующую систему:
« (/) 4-/-J н (t)+rou (/) — yT(t) = O-
Ъи (!) 4-Г(()+(D2 Т — f(t) , (6.50)
где ri=Ci/mL; r0=c0//nl; li = (Hz mG/p-, y — plmx.
Начальные условия при t — 0 и = и = T = T = 0. Представим перемещение колонны в виде
ы(0 =------t'(Z), (6.51)
Со
где U (() — функция динамичности для перемещения колонны.
Подставив (6.51) в уравнения (6.50), получим систему уравнений для функций динамичности I) (/) и Т (/) (учитывая, что pl = &pFu):
U (04- о 0 (О+ го U Т (Z) = 0;
*2^(0 + Г(0 + <о27(0 = (0г/(П, (6.52)
со2 mg I (л2 тп
где Л2 =-------=---------,
Со Со
тп = т^1—масса перекрытия.
Для решения системы (6.52) найдем вначале общее решение соответствующей однородной системы. Полагая
U = Cesi, Т = Best ,
получим систему уравнений для коэффициентов С, В:
С (s24-fl s4-r0)—г0В —Ом a2$24-£(s24-cu2) = 0. I J
Чтобы существовало ненулевое решение этой однородной системы линейных алгебраических уравнений, необхо
димо равенство нулю ее определителя. Из этого условия находим уравнение для определения *>:
(s,+ r1s-t-r«)(sa + <»’)+®’!-^!!-’2 = °- (6.54)
При решении этого уравнения примем:
s=(a 4-ф) со:
i = — 1 .
Подставим это выражение в (6.54) и после преобразований получим для определения новых неизвестных аир два уравнения:
(а2 - Р2 +1И Л! + л? а + а2 - Р2) - 2аР2 (л 2 + 2а) 4-
4~(а2 —Р2) л3 = 0, (6.55)
л«>+ 2а (1 4- Л1 4- л34-л9 а)
= ----\Т+4а •
гп Р«1 Гф . 2D mi со2
П poi тп
tl 2 — — ~ ----> Л3 —
со со тх
(6.57)
В уравнения (6.55), (6.56) величина р входит только во второй степени. Поэтому этим уравнениям удовлетворяют значения + р, т. е. уравнение (6.54) имеет две пары сопряженных корней:
(«1 ± фх) о»; (а2 ± /Р2) «о-
Поэтому общее решение однородной системы дифференциальных уравнений будет иметь вид:
(/<,= еа' (Cl sin Pj to/-J-C2 cos p1(o/) +
(C3 sin p2 co/ + C4 cos p2 co/); (6.58)
7'0 = ea’ \By sin р, co/ -J- В.г cos px co/)4-
4-Л» (£?a sin p2 co/B2 cos p2 co/), 6.59)
сесп™^/ТлПР°ИЗП0ЛЬ1,ь,е постоянные; Bi — выражаются через Ч согласно уравнениям (6.53).
— //0ИДеМ частное PeilieiI,ie системы (6.52) при /(/)=!-получим; ПРИНЯТЬ /7= Т-Ви + B.t, ТО легко
Л-1-//0; . (6.60)
Из суммы решений (6.58), (6.59), (6.60) при удовлетвори нулевым начальным условиям получим следующие выражения:
п >
11(П = 1 4-—-------——Л, 2 (Dt соь рг со/ — Ei sin рг ш/)е'
nxwO 0 4=1.2
af- cot
• •
.6.61)
7'^=1__------V (Л/ cos р» cot — Bi bin p, cd/) e*1 °*’ (6.62)
6 ЫЬ2
В этих формулах:
п = Cl 1,1
‘ h(cf+d?) ₽|(л;+??)®е ’
е,=________±_____________«!-------
₽<(c?+rff) ’
А = _ _______fi .
P/(cf-K?) P/0’4-v?)uO ’
в п ъ_____________________________
/= Pi 0Z 4-tf) ^0 ’
Q = a» Р/4-«/Ь/; d, = at a( — pi bf, ai = (ai—aa)8 —Pi+P|; °9 = (ai — «гР+Р? — P2;
bi = ?Pi (ai —a2); ba = ?Pa (a2 —ap ;
hi= bl (Ct“ — P/) + 2otj Pi Qi ; Ql = Oi (o.f Pf ) ^CLi Pi bi, gi = ?i Ci— fi de, ri = ei hi—fi qt} gi = ?i 4" fi Ci> ri — ’i Qi 4~ f i ^i J
Ci = «1 + a, n2 4* a? — Pf; fi = Pi («2 4" 2ctz).
Прогиб и усилия в балке от действия динамической нагрузки определяются по формулам
у (х t)=yc-x (х) Т (t); Л! х, //=Л4ст Т (t);
Q(x, t)=Qc?(x)T (t\ (6.64)
где уст(х\, /Ист (r); QCT (*) - прогиб, изгибающий момент и поперечная сила, вызванные статическим действием нагрузки р.
Усилие под подошвой фундамента определяется из 1(6.2), (6.51), (6.61):
Л^ф= —ДрГп (/),
= V (F/Cosp/W/ —
/=1.2 ..
— G[ sin Р/ co/) еИ/ G>/ > Pi = («!+ °Л «2) Di—"2 Pi Pi> Gi = n2 Pi Di 4- (n, 4- a, n2) Ei .
(6.66)
Усилие в любом сечении колонны
Лк(«/)=Л’ф—/«к(!/) « = Н —
(у)
/ЛХ
(у)
•2Q(0, /) =
= —ЬрГ1}
Шк (у) \ тк (у)
- — s(/)4- - T(t),
nit ] nil
(6.67)
где т1{ (у) — масса фундамента и части колонны от фундамента до рассматриваемого сечения
При расчетах требуются довольно трудоемкие вычисле нпя при нахождении корней системы уравнений (6.55), (6.56). Поэтому преобразуем их к более удобной для вычислении форме.
Уравнение (6.55) представим в вн ю
(aa —Р2) (/h 4-n.,a f-1 p nj)4- (a2 — p’)a4 я^/ьа-
—W (ла4-2а) = 0
(6.68)
Из уравнения (6.56) имеем
2а (1 4 Щ 4 «з+ 'ьа)= — (а2 — p-j (л24- 4а)~
Подставим эго выражение в (6.68), и после преобразований получим следующее уравнение:
('»2 4-2а) (а2 -рр2)3—л2 (а2 4- (Р) - 2ал, =0 ,
(6.69)
которое решается совместно с уравнением (6.56).
Преобразованная система (6.56), (6.69) имеет дополникоторое в расчетах не
тельное решение а = О, (4 = 1, должно учитываться.
Nравнение (6.69) позволяет сделать ряд выводов о значениях корней 04, а2. Анализ графиков функции из (6.69) показывает, что должно быть а < 0, т. е. <Xj < 0 и а., < 0.
Пз уравнения (6.69) можно получить, что если ах принадлежит решению системы (6.56), (6.69), то для решения будет 7
второго
а2 = —л2/2—ctj .
(6.70)
^1Я этого получим из (6.69)
л„+1 /1^ 4-8nt а (/1г-|-2а)
аа ~ 2(/i2+2a)
(6.71)
Знак плюс перец корнем принят нз условия, что а о р = 1. Пусть at, Р, решение уравнения (6.69), г.
при e.
a? 1-01 =
Л8 -I- |Л/Ч t- «1 ('*2 4- ^al) 2 (w2 |-2a,)
Из (6.70) имеем:
л24-2а,= — 2a,,
a2 (л2 |-?a2) = —a2 2a, = a, (ла |-2a,) .
Тогда _____________________
n> + ) rn| р8л, a2 (л2 4- 2a->)
= 2(лг-р2а.>) “
n.> 4) "2 T&h ai T (n.»4~ 2a,)
= —--------------- — — l«। г I 11•
- 4a, 2a,
Подставим эго выражение в (6.69), выразив a2 через a,:
(л?4-2а,)а n2(H24-2ail 2 ,2
— 7п я (ai 0Г)24- „ (ai Pi' •
(2а, ? 2а,
4- 2л, (-J- а,)*= — (П\ --- [(«^'’«^(aJ + P?)2 — \ 2 / 2а,
— л2(а? 4-01)— 2л, «11
т. е. выражение (6.70) принадлежит второму решению системы (6.56), (6.69). Таким образом, непосредственно из системы (6.56), (6.69) или (6.55), (6.56) достаточно найти лин.ь одно решение 04, р ь второе находится по формулам (6.56), (6.70). Отмстим, что система (6.56), (6.69) легко сводится к одному уравнению относительно се,, если в выражении (6.71) исключить р2 по формуле (6.56). Полученное уравнение решается подбором. При этом полезно иметь предварите тьные оценки для величин а. Из условия, что в (6.71) выражение под корнем должно быть положительно, получим для большего значения а:
п.>
а, < 0 .
(6.7ч)
Безоззмерные параметры (6.5: ) могут быть выражены через парХн I ** <G-35>> <6'33>’ (6'36)' Имеем:
т = гпф + ти + ти = тх + п3 тх = (1 + ^з) "к,
2 tn nil ( I 4" л,з) * + П3 и
So
рЛфО, р/ф о(н лз)»г
2rn i D(o‘J 2т
(1 + «зНо S2
51 -• , (O./d) ( । — $2) 51
Р^1 ^ф Р^Ф D • 2(\ + л3) s0 2(1 + п3) So 2s0
тх (о 2т Si (1—S2) Sj
Проведенные расчеты показали, что от значения s0 (6.35) зависят как характер изменения во времени всех усилий и перемещений, так и их наибольшие величины. При малых величинах s0 (s0 < 1) максимальные значения усилий и перемещения в конструкциях перекрытия достигаются не при первом, а при последующих (в основном при втором) максимумах; при больших значениях s0 максимальные значения достигаются при первом максимуме.
Для количественной оценки влияния параметров (6.73) на усилия в элементах сооружения были определены максимальные значения функций (6.62) Тт и (6.66) Sm (табл. 3).
Таблица 3. Значения S,n, Tm
Функция 5<'); 1) 0 0
1 1 .5 2.25 3 4.5 6 12
Да 1,237 1 1,248 1,296 1,336 1,586 1,736 1,938
Tm 1,227 1,236 1,287 1,306 1,567 1,719 1,93
Эти значения являются коэффициентами динамичности иля прогона перекрытия (/?д.„р) и для усилия под подошвой
фундамента (kn ф). Были приняты следующие значения параметров: s, = 3,5; s2 = %; wO = оо; для параметра s0 принято семь значений от = ‘/„ ДО ^7) = 4. При этом п = 2, параметры н, и п2 принимались в зависимости от значения’*0 по формулам:
/ 5(0 \а
s(')
где „и* = 0,095, п'1' ~ 0,57.
С ростом величины $0 происходит увеличение коэффициентов динамичности. При этом значения Sm и Тт близки друг к другу. При больших величинах s0 влияние сме щен и я’ сооружения на работу его элементов несущественно и может не учитываться.
Сравнение результатов расчета по обоим методам (с учетом влияния перекрытия на смещение сооружения и без учета) показывает, что оба метода дают близкие результаты три s0<l. При больших величинах наблюдается значительное расхождение, особенно для Sm.
Как видно из (6.35), увеличение s0 соответствует увели тению Gj или уменьшению со. Поэтому в расчетах необходимо учитывать взаимное влияние перекрытия и колонны при достаточно плотных грунтах и при перекрытиях, обладаю щих малой частотой собственных колебаний.
Расчет прогона перекрытия по предельном) состоянию 16 ведется исходя из условия (6.40).
2. Расчет балок перекрытий в пластической стадии Рассмотрим шарнирно опертый прогон. Время конца упругой стадии, соответствующее моменту возникновения в середине пролета шарнира пластичности, определяется из уравнения
мд-Л19
Г(т) = /ем=---------, (6.74)
/Ир
где Т (т) принимается по формуле (6.62)
В пластической стадии перемещения балки представляют в виде (6.41), и уравнение ее движения совпадает с уравнением (6.42). Уравнение движения колонны получают из
уравнения (6.48), в котором ределяют из выражения
поперечную силу на опоре оп-
//2
С71б IJ (X, t) dX =
О
p(t)l 1
= 2 ~ 2
тс> I2
и (0 ——7---------Ч </)•
О
(6.75)
Уравнения (6.42) и (6.48), в которые подставлены выражения (6.2) и (6.74), дают следующую систему уравнений при нагрузке вида р (1 //0):
/2 .. I I .
ma-\-C\U-\-cou 4" 0 j •
3 - - 24,Ир / , t X
— и 4-гр = -----— 1 —н ) (6.76)
где т = тф -р + тп-
Начальные условия для системы (6.76)
при l — x и=и ; u = uu; <р = 0; (р = (Го« (6.77)
Здесь //0 = и (т), где и (т) опредетяется по формулам
(6.51), и (6.61) при t — т:
«,,= и (т =
\pFn ю
Си
V'(t),
где
|/(T) = n1 2
/=1.2
[(₽/ Di +«/ Et) sin pi cox 4-
4-(Pi Et — at Dt) cos Pi со/] еК/ <0T ——~ ; (6.78)
coO
начальная угловая скорость определяется из выражения (6.43), в котором г (т), получаемое в результате дифференцирования функции (6.62), равно
r T^SRPi Л4-«г #i) sin Pi сот4~
+ (Pi Bt —at Ap cos Pi cot] wx__L_ (6.79)
CO0
Решение системы (6.76) получается в виде суммы общего решения однородной системы и некоторого частного решения. Общее решение ищется в виде
u(t) = Ces't q = Best.
Коэффициенты С и В определяют из следующей системы уравнении:
C (znsa4- Cl s 4-c0) -4- 4 s2 В — 3 — ?C4-S2 /3 = 0. / о; i (6.80)
Отсюда следует, чго имеется кратный нулевой корень
s2 = 0, а два других корня определяются из уравнения (mi 4-0,25/пп) s-|-Сэ=0. (ь.81)
Представив s в виде
S = f/(O, получим из (6.81) следующее уравнение для у*. (14~0,25п3) И + //4-^ = 0, (6.82)
где п2, л3 определяются по формулам (6 57).
Расчеты показывают, что уравнение (6.81) в большинстве случаев имеет комплексные корни, которые запишем в ви-1де
У1 = Y1 -ь ^2'. У г = Т1 — »Y? (Y1 < °) •
Общее решение тогда будет иметь вид и — (Cj sin уа cd/ -|" Сй cos y2 ,o/) eVl ' *
<p = sin Ya «®7 + ^2 co Y; v‘ B:i I B4 , (6.83)
Где7=/ —1 .
Здесь произвольные постоянные Clt С2, Вз, Коэффициенты Blt В2 выражаются через С}, С2 по формулам, которые следуют из уравнений (6.80):
Ср в2=- —С2. (6.84)
с ь
Частное решение системы (6.76) ищем в виде: « = <р= А2/'54-^373.
Определив коэффициенты этих выражений из (6.76) и взяв сумму общего и частного решений, получим решение системы (6.76) в виде:
з — — — -
<р(/) = — — (Cl sir Ya ю/ 4“С2 cos y2 cd7) eY1 тЦ-
4~ 13 ' "" ~30~)/2+ (6.85)
rriQ \ «50 j
, (0 C i , —
(f) = — —' KYi <^1— Y2 W sin y3 (0/ 4-I
+(y2 ci + Y1 сг) cos y2 ut ] eVl +
16—*m)/-
I I I I I I I I
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
u (t)=(C\ sin y.2 (0/ + C2 cos y2 co/) ev w/ 4
dI / Ci t \
, 6+3W---------"Г Г’
4c0 \ cb(o 6 /
и (/) — co f(ух Cj —y2 C2) sin y2 0/ 4-4- (?2 G. 4 Yi C2) cos y2 co/ ] eV1
т 6=1--
Удовлетворяя начальным условиям
C2= (/(т)-0 25(6 + 3*м+-
Co
Pl Г
(6 86)
4co0 ’
(6.77), находим:
n2 )
10O J ’
0,25 ~
(oO
c0
P.* _ _ _ и (T)—0,25 ( 64^m4
wO [ \
n2 Ml
+ —~ ?.
ГЦ (О© / J
Cl 2
где — = —— = --------согласно (6.57) и (6.73);
Co ШЯ1 So co
В4 = ~y C2;
Pl
C() ?2
Зсо
3(0p
Co
0,25 ~ (00
Из выражения (6.85) находится максимальный угол поворота балки <pm = <р (tm). Максимальный прогиб балки, определяемый с учетом действия статической нагрузки qt
/ а \ /
!/макс=~Г---- I Т (т) 4- —— I I гп — (6-87)
384В \ k р 2 • vu '
I I
I
Рис. 54. Коэффициенты динамичности по перемещениям для перекрытия с учетом влияния податливости основания при <$1=3,5, Л"2'=‘2/3. Пунктиром показаны графики А?ц при неподатливых опорах
а — 0)0=25, б — (1)0 — 100. в — ojG = 200
Это выражение можно представить с помощью коэффициента динамичности по перемещениям ku в обычном виде
5 Р1' ( Q \
!/макс= 384 в |^п+ — I, (6.88)
где
^п=^м+°» 591г2 (б— /гм — • • - - г2-|-1,28 г (т) г +
1,18л» Л1
О, 5 (1)0
г — W (г) ; (6.89)
г=ш/; Д = 6-р36м4--
til (1)0
-----Т. (Ыт)-0.25Д) (об
sin у2 г Тг
+ (V (т)—0.25Л) cos y2 eVl 2
Максимальный угол раскрытия в шарнире пластичности
(6.90)
р/з Фмакс= ig
Условие прочности прогона при расчете по предельному состоянию 1а имеет видфмакс ^Фпр- В формуле (6.89) под 2 понимается относительная величина времени, при которой угол поворота прогона достигает максимального значения. На рис. 54 построены графики коэффициентов динамичности kn при некоторых значениях параметров s0, slt s2, <о0. Величина Z?M0 соответствует границе между упругой и пластической стадией.
§ 26. Расчет конструкций с учетом ограниченности горизонтальных перемещений опорных сечений
В предыдущих параграфах этой главы рассмотрен расчет конструкций сооружения с учетом их совместной работы вследствие взаимного влияния вертикальных перемещений перекрытия и колонн. Эти явления проявляются главным образом при действии динамических нагрузок, когда происходит изменение инерционных сил конструкций. Однако совместная работа конструкций сооружения проявляется также и во взаимном влиянии горизонтальных перемещений отдельных конструкций. В изгибаемых конструкциях (балках, плитах) происходит укорочение верхних волокон и удлинение нижних, вследствие чего возникают горизонтальные перемещения опорных сечений. Если примыкающие к опорам балки конструкции сооружения оказывают сопротивление этим горизонтальным перемещениям, то в балке и в примыкающих конструкциях возникают горизонтальные усилия, которые могут оказать заметное влияние на их несущую способность. Влияние горизонтальных перемещений проявляется при действии как динамических так и статических нагрузок.
При ограничении горизонтального перемещения верхней части опорного сечения в балке возникают ра-тщ чваю-щие усилия. Наличие ограниченного горизонтального сме-162
пределенной интенсивностью р (1 — vnDVroft стадии,
прогибов и усилий в балке при ее работе У в с jg’
а также условие конца упругой стадии У п0 фОр, В пластической стадии прогиб балки определяется фор
Ьм\7’1П /Л СО\ ,г пп
• ,,/v п = п..(г>-1-сс(Пх.
..а нижней части опорного сечения может привести к Ще«нкновению растягивающих и сжимающих усилии. Распивающие усилия возникают лишь в гибких конструк-X в которых горизонтальное перемещение нижней час-ти опорного сечения, вызванное искривлением нижних во-к н вследствие прогиба, больше горизонтального перемещения нижней части опорного сечения, вызванного удлинением нижних волокон вследствие их деформации.
В железобетонных конструкциях, характеризующихся довольно большой жесткостью, ограниченность горизонтальных перемещений опорного сечения обычно приводит к возникновению сжимающих усилий, так называемого распора. Такое явление имеет место в сборных железобетонных балках и плитах, если зазоры между торцами элементов на опорах заполнены раствором, в монолитных рамах, плитах, окаймленных по контуру балками и т.п.
Величина распора зависит от податтивости примыкающих элементов, конструкции опорного узла и качества его выполнения, а также от стадии работы балки — упругой или пластической. При жестком опорном узле, когда нижняя часть балки соединена с опорной конструкцией расчетной сваркой между стальными закладными деталями, распор возникает уже в упругой стадии. В обетонированном опорном узле вследствие возможной начальной податливости стыка распор в упругой стадии незначителен и может не учитываться при расчете конструкции в этой стадии. В этом случае распор оказывает основное влияние при работе балки в пластической стадии.
Расчет балочных конструкций с учетом влияния распора в упругой и пластической стадиях изложен в работе [11]. Однако там были рассмотрены балки большой жесткости, когда мож! о не учитывать дополнительные изгибающие моменты, возникающие от распора вследствие прогибов балки.
Ниже будет рассмотрен расчет шарнирно опертой балки с учетом влияния распора только в пластической стадии, но с учетом влияния прогиба на изгибающие моменты.
Динамическая нагрузка предполагается равномерно распределенной интенсивностью р (1 — t 6)- Зависимости для прогибов и усилий в балке при ее работе в упругой стадии, а также условие конца упругой стадии получены в §^1о.
муле (4.68), т. е.
у (х, t) = (х)+ Д (О х где у0 (%) — прогиб в копне упругой стадии.
Величина распора, возникающего в опорных сечениях балки, зависит от их горизонтальных перемещений.
Выражения пая этих перемещений в пластической ста-дни балки получены в § 22, где они рассматривались как вертикальные (см. рис. 49). Обозначив горизонтальное перемещение волокна опорного сечения балки на расстоянии у от
Рис. 55. Расчетная схема балки с распором в пластической стадии
верха балки через и (у) и принимая его положительным по направлению к опорам (рис. 55), получим из формулы (5.47)
и (#) = (*/— /о— х) ф——— <р2, (6.92)
где fQ— прогиб среднего сечения балки в конце упругой стадии: /о = т/о(//2), (6.93)
'х высота сжатой зоны в шарнире пластичности балки.
В ледствие сопротивления примыкающих конструкций bi р ы с ч ниях па участках, где и (//) у> 0, возникают сжимающие напряжения, равнодействующей которых является распор А/. При расчетах необходимо знагь точку его приложения в опорном сечении.
I Для этого учтем, что и (у)^0 на участке опорного сечения от его низа (у = А) до волокна, с координатой
. , , I
Уо—/о + *+~ф, (G.94)
где и (у0) = 0.
Если принять, что напряжения в опорном сечении распределены по линейному закону, то координата точки приложения распора Н будет равна:
Уе=уЛ-О-У^— h + —= ТЛ + — + — <р. (6.95)
I
Где — высота балки.
Как видно из (6.95), координата точки приложения рас-I пора зависит от угла поворота балки.
I В формулы для горизонтальных перемещений входит высота сжатой зоны х. Будем принимать ее постоянной и равной ее значению в упругой стадии, определяемой в пред-
I положении линейного закона изменения напряжений в I сжатой зоне по формуле (3.7) § 13.
Величина распора зависит от горизонтального переме-I щения примыкающих (опорных) конструкций. Учитывая возможное обмятие концов балок, можно принять, что перемещение опорной конструкции равно перемещению волокна балки на уровне нижней арматуры. Приняв в (6.92) у = h0, получим
। z
«оп = (Л0— /о—*)ф — -у 4я- (6.96)
Тогда значение распора
Г / 1
Н=сиоп=с (h0—/о—*)Ф—— Ф2 » (6.97)
где с — распор от единичного перемещения (жесткость опорной конструкции).
Величина с зависит от вида опорной конструкции.
Например, если балка опирается на стены высотой /7СТ, жесткостью Вст, то
с=ЗВст///"т. (6.98)
Отметим особенности в изменении величины распора (6.97) в зависимости от угла поворота половины балки ср. При изменении угла ф от 0 до ф=ф1, при котором dH/dy— = 0, распор возрастает. Угол
<Pi = [2(h0—f0—x}H. (6.99)
При дальнейшем увеличении <р распор уменьшается и становится равным нулю при <р = <р2-’ 4(ho-fo-*)
Ф2 =-------------• (6.100)
При ф > <р2 распор меняет знак, т. е. в балке возникнут тродольные растягивающие усилия, если опорные закрепления позволяют воспринять эти усилия. В противном случае при ср > ср2 продольные силы в балке отсутствуют.
Однако обращение в ноль распора в балке до ее разрушения возможно лишь в достаточно гибких балках Из условия 2 ср2 < фпр, приняв среднее значение фпр, согласно § 15, 0,05 и h0 — f0 — х & 0,7 /i0, получим, что обращение в ноль распора в процессе работы балки возможно при h/l
1/100. Поэтому в балках и прогонах перекрытий обычно возникает распор.
По отношению к изменению величины распора возможны два наиболее важных случая, зависящих от свойств опорных конструкций. Обозначим через 7/пр предельное значение распора, который может быть воспринят опорными конструкциями. Эта величина определяется в каждом конкретном случае в зависимости от свойств примыкающих к балке конструкций.
Первый случай наблюдается, если распор не достигает предельной величины вплоть до разрушения балки, т. е.
Ямакс ‘С Нпр > (6-101)
где Ямакс — распор в момент достижения балкой предельных деформаций.
Второй случай наблюдается, когда распор достигает предельного значения раньше, чем конструкция получит наибольший прогиб, и сохраняет свою величину при дальнейшем деформировании балки. Угол поворота балки (рпр в момент достижения распором предельного значения 7/пр, определяемого из уравнения (6.97) при Н = На$, равен:
Ло-Zo-X- у .
(6.102)
Получим уравнение движения балки с распором в пластической стадии. В § 22 приведены уравнения движения вне-центрепно-сжатых элементов в различных формах. В рассматриваемой задаче наиболее удобным является уравнение движения, выражающее сумму моментов всех сил относительно равнодействующей сжатой зоны бетона в шарнире пластичности. Момент распора в этом случае [с учетом
и уравнение движения балки имеет вид
/з 5 2 pl% [ t \
ТГ -Л'"- (6ЮЗ)
24 12 о о \ И /
Здесь
МО = МР Т(т) = Л1Д-Л4у; Мр = рР/8 ,
где д]Д _ момент внутренних сил в среднем сечении балки относительно равнодействующей напряжений в бетоне сжатой зоны; д] = qP/8 — изгибающий момент от действия статической нагрузки.
Момент сохраняется постоянным, так как высота сжатой зоны х постоянна и влияние продольной силы Н проявляется лишь в увеличении напряжений в бетоне сжатой зоны.
Подставив в уравнение (6.103) выражение (6.97), получим следующее нелинейное дифференциальное уравнение:
a2<P2+a3<Ps= | I — kM— h (6.Ю4)
mn I3 \ 6 6 /
МЛ—MQ
7 . , о 4
где/ = / —т; = ----------;
Mp
16c
=ho—fo~-x)(h—foy, m6l3-
O2— [2 (A—/0) Ц-6 (/zo—fo—*)];
m.p ia
• 2,5c
a3=----— ; (6.105)
nip I
5 pl*
384 В k^'
Начальными условиями будут:
pl3 or
при t = 0 <p = 0 , cp0 =
oUZj
л2 Г В . 1—cos сот
где co = ——- 1 / -----'» г = sin сот — -
I2 [/ mC) co0
Уравнение (6.104) справедливо, когда распор не достигает предельной величины Ипр в течение всего процесса деформирования балки. Для проверки условия прочности балки необходимо определить максимальный угол поворота срт, т. е. значение ср (tm) в момент времени tm, при котором ср (/) = 0.
Решение нелинейных дифференциальных уравнений типа (6.104) в общем случае возможно лишь численными методами. Но в рассматриваемом случае возможно получить приближенное аналитическое решение, применив метод [111 разложения в степенные ряды по ср двух функций: ф(ф) = ф2/2; Й(ф)= 1—7/0. (6.106)
В этом методе ищется обратная зависимость 7 = 7 (ф).
Для уравнения (6.104) достаточно ограничиться членами этих рядов вплоть до ср4, в этом случае имеем:
Фп Ф'" Ф""
Ф(ф)=Фо+Фгф+-у-фа + -у- Ф8+ -ф1; (6.107)
П(ф)-=1+й£ф+ (6.108)
2 6 24
Коэффициенты этих рядов вычисляются по формулам:
Фл / Т \
Фо= —; Фо = Л 1—— — Лм ; z \ и /
е/ Фо '
Фо = —°1»
Щ Фо . ,,, йо= , ф0 — Лйо 4-2аа;
й«"----^-(^фг+зщфО; <6109)
ф-"- = Лй;"-6а8
где X _ _
/пб /я
Максимальный угол поворота находят из уравнения
Ф(Ф)=0. (6.110)
Если требуется знание зависимости <р = <р (/) или только времени tm достижения максимального угла повооотя то вычисляют коэффициент
Q-o"- (QJ ф"- + 4Q; Ф; + 5Q--
и используют формулы
I- — =Й(ф);7т=0[1-О«рга)Ь (6.111)
6
Значение распора в момент 7 — 1т[Н (7т)] определяют по формуле (6.95) при ср = фт.
Прочность балки проверяется из условия
'Рмакс = 2фпг < Фпр » (6.112)
где предельный угол раскрытия фпр в шарнире пластичности определяется согласно § 15 как для внецентренно-сжатого элемента продольной силой Н
Рассмотрим теперь случай, когда опорные конструкции способны воспринять распор ограниченной величины //пР. Тогда зависимости (6.107), (6.108) справедливы лишь при ф < Фпр» где ф(Пр определяется по формуле (6.102). Поэтому если <рт > фпр’, где фт получен из решения уравнения (6.110), то при ф > фп’р’ вместо уравнения (6.104) необходимо рассмотреть уравнение (6.103) при Н — Нпр.
Преобразуем это уравнение к виду
Л*б ‘ \ V /
k^ — k 4- 2 Яцр м м + 3 мр
Мр = рР/8.
Уравнение (6.113) справедливо при где — время достижения распором величины //Пр, определяемое по формуле
/1=т+е[1-п(ф!1;))]- <6JI4)
Начальными условиями для уравнения (6.113) будут при = ____________________________________
• <6JI5>
Решение уравнения (6.113) при условиях (6.115), полученное так же, как в § 22, имеет вид
2,4 М р /с 1
Ф(0=Л sh Л (/ — /!) +X
/ / А
v /1_ьО) — — ,
X I 1 к м Q Г
Де
1 /• 2,4 Л1р V
А~ х V1 Нирю )'
в= to 2лл|'’. Л_ А._мв). (6-117)
'"I' nuvi ко/
Угловая скорость
2,4Л4Р
m(0=X[4chX(/-/1)4-Bshl(/-/1)]+——— . (6.П8) т/ up ‘V
Определив из уравнения <р(0=0 время 1тп, из выражения (6.116) находим значение максимального угла поворота фт = ср (tm).
Выражения (6.113) — (6.118), очевидно, справедливы, ёсли в течение всего процесса деформирования горизонтально перемещения опорной конструкции (6.94) возрастают, ^гак как в противном случае распор будет уменьшаться, Цоэтому необходима проверка условия
(6.119)
где д'!
определяют по формуле (6.99).
Прочность балки проверяется согласно (6.112), причем
предельный угол раскрытия определяется как для внецент ренно-сжатого элемента продольной силой /7пр.
§ 27. Примеры расчетов
Приведены примеры наиболее характерных расчетов конструкций специальных сооружений. Динамическая нагрузка во всех примерах принята мгновенно возрастающей вида Др (1 — t 0). При определении предельных внутренних усилий конструкций используются сопротивления бетона и арматуры для второй группы предельных состояний (СНиП 11-21-75). Эти сопротивления принимаются при расчетах специальных сооружений по первой группе предельных состояний на особое сочетание статических и динамических нагрузок, когда может быть несколько снижена степень надежности сооружения.
Для сокращения вычислений введены следующие упрощения: параметры нагрузки Др и 6 выбираются независимо друг от друга, коэффициенты упрочнения для арматурных сталей принимаются по табл. 2 без последующего уточнения.
Пример 1. Расчет шарнирно опертой балки. Рассматривается отдельно стоящее сооружение каркасно-панельной схемы с полным
расположены в поперечном направлении г. _____^.Ллппл-ИППА ПНТППР ПИТАН И I
ИЦ''-г- -
сечения ft 25 м, п
каркасом. Ширина сооружения 12 м, сетка колонн 4X4 м, ригели расположены в поперечном направлении—три пролета по 4 м. перекрытие сборно-монолитное, ригели сборные прямоугольного сечения ft = 25 м, h ° 50 см, колонны 60X60 см, высотой 320 см, фундаменты под колонны столбчатые, квадратные в плане 240Х /240 см, высотой 160 см. Грунт основания — плотные глины.
Постоянная статическая нагрузка, включающая собственный вес перекрытия, 15 кН/м2.
Ригели принимаем разрезной конструкции. Бетон марки 400 (/?г п «= 22,5 МПа; RрЦ = 1,8 МПа; /?пр = 17,5 МПа; £б = «=3,3-104 МПа), рабочая продольная арматура класса А-1П 4025, Fa •= 19,63 см2 (/?а11 = 400 МПа; /?ас = 400 МПа; /?а = 340 МПа;
fа = 2 » 10б МПа). Э4фективное время действия динамической нагрузки 0 = 0,45 с.
Определить предельные интенсивности Ар нагрузки при расчете ригеля по предельным состояниям 1а и 16.
1. Геометрические и дефор мат ив ные характеристики ригеля. Определяем момент инерции и мо-Еа менты сопротивления приведенного сечения. Имеем п = =
«= 6,06; а *= 0,03 м:
Гп «= 0,25 • 0,54-6,06 . 19,63 . 10—* = 0,144 м2;
«= 0,25 • 0,5 . 0,25-ф6,06 • 19,63 • 10~« . 0,03=0,0316 м2;
0,0316 0,25 0,53
Уй= "о“14Г=0,2 9 М; ,п=-------12----+ 6,06-19,63«10~4 X
X 0,189» =0,00306 м4;
0,00306
Го =—1-------=0,014 м3; Гт=1,75 Го = 0,0245 м3.
0,219
Жесткость приведенного сечения без трещин ^ = 3,3 • 101 х X 103 . 0,00306= 1,01 ‘ 105 кН • м2.
Принимаем коэффициенты упрочнения = 1, 2; = 1,2.
Находим предельные моменты:
Л1? = 1,2 • 1,8 • 103 . 0,0245=52,9 кН • м; относительная высота сжатой зоны при разрушении:
=0’0,67; 5=^0.0167=0,297;
1,2 . 22,5 • ю3 • 0,25 • 0,472 » 0,297 (1 — 0,5 . 0,297)= = 377,1 кН • м.
Определяем жесткость сечения в стадии с трещинами по формуле (3.16). Имеем пр -= 6,06 * 0,0167=0,101;
£т = | = 0,297;
2i==0,47(1-0,5-0,297)=0,415 м;
_0Л7-0,415-2-10ь Юз. 19,63-lO^L = (),Г34.1()5; 14-0,101/0,297
_L = _ 52’92._ = 0,524-10-3;
Р1 1,01-105
377,1_ = 7 62. ю-з;
р0 0,534- 10&
52,9
1 — ~
£ = 0,534-Ю6 -----3Л’ -=0,506-105 кН-м2.
0,524
1— 7,062
Частота колебаний балки согласно (4.56) равна расчетный пролет 1= 4—0,28=3,72 и погонная масса т <= 1,5 • 4=6 т/м;
л2 л [ 0,506-105
<о=-------- I/ -----------=65,6 рад/с.
3,722 |/ 6
Наилем величину параметра s0 (6,35), характеризующего влияние податливости основания на работу перекрытия Для глины плотной по табл. 2.1 имеем аг = 500 м/с. Тогда $0 = 500/(65,6 X X 2,4)=3,18. Из результатов гл. 6 следует, что при $0 > 3 конструкции перекрытий можно рассчитывать без учета вертикальных смещений опор.
2. Расчет по предельно му состоянию 16. Предельную нагрузку находим из условия (4.52), т. е.
Мр<(/ИД-Л4д)Мд; /Ир = д/2/8.
Коэффициент динамичности равен (4.26):
соО = 65,6 - 0,45=29; kn = 2 (1 — arc tg 29/29)= 1,89.
Изгибающий момент от статической нагрузки q — 15-4=60 кН/м; Mq = 60 ; 3,722/8= 103,8 кН - м. Тогда /И D= (377,1 —103,8)/1,89= = 273,3/1,89=144,6 кН - м. Р= 8 - 144,6/3,722=85,1 кН/м2;
Др = 84/4=21 кН/м2.
3. Расчет по предельному состоянию 1а. Проверяем условие (3.8) возможности работы конструкции в пластической стадии. По формуле (3.11) находим:
£о= 0.85—0,008 - 1,2 . 17,5=0,682;
__________0,682__________
~ °1682 \=
400 \ 1.1 /
te 0 297, то условие (3 8) удовлетворяется Предельную 1ак к • р/з
нагрузку определяем из выражений (4.87), (4.83), т. е. уд-^п~
— М = ^'«Р* ,
где = (^о — А1д)//Ир ' 273,3/Мр.
Предельный угол раскрытия в шарнире пластичности согласно
(3.26) равен:
( 0,СО- 2
= ( ОД97
1,2-400
2-10* (1—0,3b
0,90,8
3,72 \-т------ 4 =0,00848,
0,47 /
I где t = 0,36 определена из уравнения (3.7) при р' = 0.
I Нагрузку р находим подбором с использованием графиков I рис. 3.9. Имеем Л1р = р - 3,722/8=1,73 р\ £м = 157,98/р:
Фм„..., =-р'3>.7‘2-- (£ £ ) = п-5,3-10—5(& _ £м)=0,00848.
*Maht 19,2-0,506-105 м ' u
Отсюда находим: при р = 122 Лм = 1,3, Лп = 2,6
Фмакс = 0,00814. Таким образом, нагрузку р = 122 кН/м;
hp = 122/4=30,5 кН/м2 можно считать предельной.
Пример 2. Расчет неразрезной балки. Рассматриваем сооружение примера 1, но считаем, что ригель является неразрезной трехпролетной балкой с крайними шарнирными опорами. Расчетные пролеты ригеля Zcp = 4 м, /ьр = 3,8b, поперечное сечение 0,25Х Х0,5 м2, бетон марки 400. Рабочая продольная арматура класса А-Ill принята: в крайних пролетах 4025, Fa <= 19,63 см3, р = = 0,0167; на опорах 4022, FR = 15,2 см2, р = 0,0129; в среднем пролете 4020, Fa = 12,56 см2, р = 0,0107.
Статическая нагрузка q = 60 кН/м, время действия динамической нагрузки 0 = 0,45 с. Расчет проводится по предельным состояниям 16 и 1а.
1. Геометрические и деформативные характеристики ригеля. Определяем жесткости сечений ригеля
Крайние пролеты:
8"р = 0,506 105 кН - м2; Л1£рк£ = 377,1 кН - м (пример 1).
Опорные сечения: Fu *= 0,134 м2; Sn = 0,0315 м3; z/0 = 0,235 м; /п = 0,00304 м4; ft", = 0,0226 м3; В°" = Ю5 кН - м2; A4J = | <= 48 8 кН - м;
& = 0,229; Л1“п д = 202,4 кН - м; пр = 0,0781;
Вс = 0,44 - 105; fi°" == 0,397 - 10ь кН - м2.
I Средний пролет: Гп = 0,1326 м-; Sn=-0,03148; ро = 0,237 м; /п = =• 0,0029/ м4; й г = 0,0219; =0,722 . 10&; Л1* = 47,3 кН-м;
Ес. 0,172; Л1£рСр — 2Г(>,5 кН-м; лр = 0,0648; Во -- 0,37b- 105;
£,,р =0 341 - 10& кН • м2. ср •
Частоту колебании балки находим по формуле (4 19) с и зеванием средней величины пролетной жесткости
пп 2-0,506 + 0,341 Впр =
10» = 0,45-105 кН.м2>
3
Тогда при т = 6 т/м юн =
0,45-105
- = 100 рад/с
По формулам (4.91) и (4.137) определим коэффициенты перераспределения моментов.
Для среднего пролета:
0,397
= 1,164; ^ =
0,341
для крайних 0,397
пролетов:
0,27 + 0,73.1,164
—--------!---------= ] 029;
0,46 + 0,54 • 1,164
0,26 + 0,7-1-0,78о л —----------------=0,924.
0,58 + 0,42-0,785
Для неразрезной балки согласно §21:
= 1,2 . 1,029=1,235; k" = 0,8 . 0,925=0,739.
Для опорных сечений применяются средние величины:
л =0.785; &а =
0,506 2
*ср = ~';2 2 = 0,977; ^\оп = 1,2.0,977=1,172;
k” оп=0,8-0,977 = 0, 781.
о предельному состоянию 16.
2. Расчетп
Найдем предельную величину динамической нагрузки из условия (4.145) или (4.103).
Л1°п*д + Ч°П<Л1°" +
О - 3,86+4
Расчетный пролет / =--------=3,93 м Согласно выражениям
(4.146) имеем:
Л.ОП _ ЧЦ .„ _ 60-3,93»
« 8 *2. on - 8
Коэффициент динамичности
Тогда
0,781 =90 кН-м, Л1°п=1,5 р при сон0 = 45 равен: k — 1,93.
ЛГ’П =
с02,4 — 90
1,93
ил НО
= 110; р = —— = 73,4 кН/м;
• ,о
73,4
Др = —-— = 18 кН/м2.
4
3. Р а с ч Условие (3.8) няется для всех сечений ригеля.
п ° П_Р е д^е льн°му состоянию 1а.
е т
возможности работы в пластической стадии выпол-
I
I Проведем расчет ригеля по состоянию 1а на действие динами-ческой нагрузки интенсивностью Др = 37,5 кН м2. Погонная динамическая нагрузка р= 150 кН м. Отдельно рассчитываем край-|иий и средний пролеты.
а) крайний пролет. Применяем формулы § 20 для балки с одним защемленным и другим шарнирным конном при I = 3,86 м и ^=^ = 0,739. Опорные моменты вычисляются при /= 3 93 и £а = 0,781.
। Находим коэффициенты \\ и v8:
= 0,637-0.245 • 0,739-(0,067-0,175 . 0,739) =0,535;
-) 4- 1,225 . 0,535-Ь(0,06 . 0,739 - 0,018) х
0,739 vs= 0,168—0,6(1 — jx ТЛз - °-ЗС8-
Находим время т. конца упругой стадии из уравнения (4.147). 302,4—90
Имеем Л1“п = 225 кН м; Aljj = 90 кН • м; fc°n =-------^5— “=
1= 0,944.
Решаем уравнение
Имеем
! , (Онт1 sin и)., т.
I — ——— — cos со,! Tj 4- --—-----= 0,944
I 45 45
и находим сон тг = 1,527; cos со,, т, =0,0438; in сон rt =0,999.
Находим функцию динамичности (/) в упругопластической стадии по формуле (4.111) при (Oj = сои.
со. 18,5 со
— =-------~ =1,874; соО = соцО------=45/1,874 = 24;
СО СО,|
сотЛ =0,815;
« 0,999-0,9562/45=0,978; сч = 1,874 . 0,978 . 0,3684-1/24= 1= 0,716; са= 1-0,944-0,815/24=0,022;
Га (/) = 0,716 sin оо (/ — гх)—0,022 cos со (/ — тх) 4- 0,056 — со//24.
Время конца упругопластической стадии и положение пролетного шарнира пластичности определяются из системы уравнений (4 151), (4.152). Получим при ц = 1г
60-3,862 / 0,739 V
8 V 4 /
MjjP =150 • 1,238 = 185,7 кН . м;
fenP в (377,1-74,3)7185,7=302,8/185,7= 1,631; м
7ф (/) = 0,944 4- 1.453 Tt (/), и уравнение (4.151) приводится к виду Та (tJ= (1,631-0,944)/!,453=0,473.
60.1,238 = 74,3 кН-м;
Л1пр
!о формуле (4.152) уточняем q:
0,944 4-0,4 4-0,473/0,8152
*| = 0,9444-0,44-0,473
= 1,9242/1,817= 1,059.
Тогда 2 т) - 0.9965; A1JP = 74,3 . 0.9905=74; = 1,634;
т ♦ (Л = 0,941 4- 1,477 Т2 (/) и уравнение (4.151) примет вид 7\ (т2)= (1,634- 0,941)/1,477= 0,469.
Решая это уравнение, получим сот2=1,58;
sin со (т2 — т,)= 0,6925; cos со (т2 — и) = 0,7214.
Определяем >глы раскрытия в шарнирах пластичности по формулам (4 158), (4.159), Имеем:
£0 = 0,5(1-0,739/4)1,059=0,431; 6= 1 — 1,58/24=0,934;
0,739-0,944 0,6646-1,034 • ,
=--------------4“------------------- ’.413;
м 4-0,568 4-0,432.0,568
1
г2 = 0,716-0,72144-0,022-0,6925— — = 0,49;
/ / 2 17-0 49 4
s = 45 1—0,479 4- у 0,229444- ’ 1 = 1,99;
0 335 / 1 99 \
/г°п =4,45-0,4694-—---- —0,429——— I 992ф-
’ ’ т о>568 3,45 )
1,13-0,49-1,99 0,568
= 2,875;
- 2,875 - 2,087
-2.44.0,432 -=°'747;
,оп 150.3-863-2,875
Чмакс.кр- 106,8-0,506.105 = °’0046 рад;
,пр 150 - 3,863-0,747
^макс— 43,8-0,506-10ь =0’0029 Рад'
б) средний пролет. Рассчитываем по формулам § 19 для балки с защемленными концами при I = 4 м и L = k" = 1 235 Опорные моменты определяются при / = 3,93 м и = 1,172.
Время конца упругой стадии находится из уравнения (4.105). Имеем: Л1] =90 кН-м; Л1°п = 225 кН-м; =0,944 и 0^= “ формулКеаК(4.11Г):КРаЙНеГ° П₽°ЛеТа' Определим Функцию Т2 (/)
v3 = 0,184 — 0,13.1,235 ф- (0,184-1,235 — 0 071) —-— =.
= 0,1576; ’ 1-164
Q= 1,874.0,978.0,1576 4- 1/24 = 0,33;
с2“ 0,022;
т2 « = 0,33 sin <0 (/ - гх) - 0,022 cos ш (/ _ Tj) + 0 056 _ 176
Найдем правую часть уравнения (4.117). Согласно (4 118) име-
ем:
ЧР =
60-16
5^ = —^—(3 — 2.1,235) =21,2 кН-м; М^р = 53 кН-м;
256,5 - 21,2
__—=4,44;
(3— 2-1,235)
--------------~ (4,44 —
—0,914) =0,618
Получим максимальное значение функции Т2 (I). По формуле (4.112) найдем
<0 (/т1 —Т])
1g ---------
ь Q
0,022+ Р 0,022а + 0,332 —1/242
0,33+1/24
= 0,35/0,372 = 0,941;
<» Rmi - *4) = 1,51; ©/т1 = 1,51 + 0,815 = 2,325;
sin со (/ml — xj) = 0,998; cos со (Zml — тД = 0,0608;
Т\ (tml) = 0,33-0,998 - 0,022.0,0608 + 0,056 — 2,325/24 = 0,287.
Сравнение Т2 (tml) и Т2 (т2) показывает, что уравнение (4.П7) не может иметь решения, т. е. средний пролет работает только в упругопластической стадии.
Найдем по формуле (4.114) угол раскрытия в опорных шарнирах пластичности. Согласно (4.115),
k™ = 8.0,287 = 2,3
150.43.2,3 --------------= 0,0033 рад. 192-0,34] • 105
в) проверка прочности нераэрезного ригеля. В результате расчетов получены следующие значения углов раскрытия:
опорных шарнирах пластичности
фоп ^оп , ^оп 0,0046 + 0,0033 = 0,0079 рад;
тмакс тмакс. кр т ч2 макс ’ 1 ’ ’ г ***
в пролетных шарнирах пластичности крайних пролетов
Скс = °.0()29 Рад-
ф°п
Y2 макс
Найдем предельные углы раскрытия в этих шарнирах пластичности по формуле (3.26).
Для опорного шарнира £ = 0,229; /0 « 0,55« /= 2,2 м; L, = «= 0,324;
оп _( 0,0032 1,2-400
^пр \ 0,229 “ 2-106.0,676
Для сечения в крайнем пролете -= 0,37;
/22 \1/4
10 7.0,81-77--) =0,0086 рад;
I ’ \ 0,47 /
£ = 0,297 10 = 0,7 I ,= 2,8;
фпР = » пр
0,0032 0,297
-L2-400 \ / 2,8 \1/4
2. 106-0,63 J ’ ' ^О.ОО/в рад.
и
в
Сравнение полученных при расчете углов раскрытия с их пре-цельными величинами показывает, что выполняются условия прочности, т. е. ригель выдержит действующие нагрузки.
Пример 3. Расчет колонны каркаса многоэтажного промышленного здания на действие горизонтальной динамической нагрузки вида р (1 — Z/0).
Рассматривается четырехэтажпое промышленное здание с сеткой колонн 6X6 м и высотой этажа 6 м Поперечное сечение колонн прямоугольное, Ь *= 40 см, /1= СО см, I «= 6 м. Ригели приняты типовые высотой h = ^0 см и шириной ребра 30 см Временная нагрузка на перекрытия 20 кН/м2. Марка бетона конструкций 300, продольная арматура колонн — стержневая класса A-IH.
Проверить прочность крайней колонны второго этажа при расчете по предельному состоянию 1а на совместное действие статической нагрузки и поперечной динамической нагрузки максимальном интенсивностью р = 250 кН/м и с эффективным временем действия 0 = 0,3 с.
Для рассматриваемой колонны продольная сила от действия статической нагрузки N «= 1СС0 кН. Изгибавшими моментами, вызываемыми этой нагрузкой, пренебрегаем ввиду их малой величины. Продольная арматура 8 0 25 класса А-Ш; Fa «= Fa в 19,63 см2; а •= а' «= 3,5 см; h0 = 56,5 см; р «= р' = Fa/(bha) = 0,00 ;
Яа11 = 4С0 МПа; ky •= 1,2; Rac = 400 МПа; Ra <= 340 МПа; jEa«=2-I05 МПа. Бетон марки 300: £о»=2,9-1О7 кН/м2 = = 2,9. 104 МПа; /?пр11 = 17 МПа; /?р11 = 1,5 МПа; 1,2; /?пр и 13,5 МПа.
1. Жесткость опорных закреплений колонны относительно угловых д е ф о р м а-ц и й. При повороте узла рамы на угол на конце колонны возникает изгибающий момент М ° 2Л1/, где Л1/ «= ct (р — изгибающий момент в Атом элементе, заделанном в узле (ригели, колонна соседнего этажа). Угловую жесткость ct элемента найдем с учетом упругого закрепления его обоих концов. Для этого рассмотрим стержень длиной I с унругозаделанными концами, так что Мя =* *= сасра; Alg *= СбФб» где <Ра> <Рб — углы поворота левого и правого концов; са, го — соответствующие угловые жесткости.
Используя формулы строительной механики:
2£7 2Е1
ма^=> (Зфа + Ч'б); Л1б=— —— (<Га4 2Чб).
найдем
2Е1 4EI
^6=——— (foi> где с = с0-\~——
и
Примем са — сб, тогда легко получим
Он “ 3,464 EI/1, Поэтому для Аго элемента узла О — 3,46-1 Eli/lt.
Для элементов, стыкуемых в узле, необходимо учесть влияние податливости стыка. Обозначим коэффициент жесткости стыка i-ro элемента s,. Тогда
Mt=Ci (y—Mi/si) и Mt =------------ф.
В результате имеем
%
ci
Коэффициент s, можно определять по эмпирической формуле [1] Si = 7 • 10й hf кН -м,
где ht — высота стыкуемого элемента.
При вычислении жесткостей сходящихся в узле эчементов не учитываем влияние арматуры. Для рассматриваемой колонны в каждом ее конце сходятся один стыкуемый ригель и колонна: ригель: b = 0,3 м; h = 0,8 м; бетон М 300 — Е§ = 2,9-107 кН/м2;
£7 р = 2,9 • 107 - 33- = 0,37-10Д кН-м2; sp = 7- ЮЗ-0,82 =
= 4,5-105 кН-м;
с 3 464 °’’:7'10— = 2 14.Ю5 кН-м; -^ = 0.476;
р 6 sp
2.9-107.0,4-0,63
колонна: ск = 3,464 ------—— =1,21-10° кН-м.
Жесткость закрепления концов колонны
„ 9 14.105
с -с г _______£р_____1 21-105-1-—-------=2,66-105 кН-м.
с„ ’ ^1-4-0,476
1-ф -ДР-
SP
2 Работа колонны в стадии без т р е Щ и »• Геометрические характеристики поперечного сечения к л
тя coz 0,4-0,бз 2.10—4.0 2652 = 0,0091 м4;
Имеем: п = 6,9; /„ =------—------рь,у-оу,^-
FD = 0,268 м«; -^^-=0,03 м»; 1,75 Г„=0,0525 м»;
Жест кость X 105 кн-м2.
г _0 8_2121 = о,О895 м.
Гу ’ 0,268
р = 2 9-107-0,0091 = 2,64X
колонны без трещин и>
Вычисляем коэффициенты по формулам (5.9):
/с
.. / 1000 . 2,66.105.6
| 2 64 105 2.2,64-105
= 3,0227; ^ = 4,0227; = 4,05751; Л1 = 2бЬ,2Сб24; D1 =
= —266,24053.
Частота колебаний согласно (5.13), (5.12), (5.11),
Sj = 15,7; т = 0,4-0,6-2,5 = 0,6 т/м;
2,64.105 ,
---------= 290 с-1;
15,7 “i= —
0,6
тг2.2 64 105
Д/О) = л -£12--------= 0,72-105 кН;
кр Ь2
(/0 — /); CO/V1 = CD1 -= 290 С-1.
Изгибающие моменты в сечениях колонны определяем по формулам (5.16) (5.17), (5.22): Л1?п (/) = — 0,0622 рР7\ (/); Al'i р(0= = 0,0628 рГ2 7, (/);
Л (') = !- —-со <dni
' -|- sin (Одд //87 .
Время конца стадии без трещин находится из уравнения (5 24), в котором M1N = 1000 0,0895 + 1.2-1,5-103. 0,0525 = 184 кН-м.
При р = 250 кН м и I — 6 уравнение будет
181
0,0628 • 2"»0 • 36
= 0,325.
Решая это уравнение, получаем (oNl «= 0,83; cos /j = 0,675; sin wN} iy = 0,731
Выявим случаи внецентренного сжатия колонны. Находим
по формуле (3.11), Во = 0,85 — 0,008 • 1,2 - 13,5 «= 0,837;
0.837
------7ГТ------------------=0-671-
1+^Г"(|-о.87з/‘.1)
Высоты сжатой зоны в пролетном (хг) и в опорном (х2) сечениях колонны из (5.26);
10004- 1.2-400-103-19,63-10-4 — 400- Юз. 19 63 -10—4
*1 — хг— ~ -------—----------------------- —
1,2-17 103-0,4
= 0, 142 м.
Так как | = 0,142/0,565 = 0,252 < Е“ то в колонне осуществ-ляется случай I внецентренно^Вежагия.
3 Работа колонны в сталии с трещина* м и. Найдем жесткость колонны по формуле (5.27). Вначале определим предельные моменты: н
Msnp «= 1,2*17-103-0,4 *0,142 (0,565—0,071) + 400*103х
X 19,63*10-4 (0,565 — 0,035) = 989 кН*м; Мпр = 989 — ЮООх у (0,3 — 0,035) = 724 кН *м.
Используя формулы СНиП 11-21-75, найдем:
, 0,5*6,9.19,63
’----------П П
рл = 0,0087*6,9 = 0,06;
0,565 * 0,5*2* 105* 103* 19,63*10-*
z1 = 0,5; Во= 1-{-0,06(0,03 + 0,252) = 1, П • 105 кН-м2.
По формулам (5.27) и (5.28):
989 1000
1.11-Ю5
1
Ро
0,565.2-108.19,63.10-*
= 44-10-*;
Pi
В2 =
1600
1--------
724
184
--------= 7-10-4;
2,64-105
1,11-105 (1 — 184/724)
1,11*105 —------------—0,3+0,035
0,565.2*10**19,63
7
1— —
44
= 1,47*105 кН*м2.
Вычисляем коэффициенты по формулам (5.31):
—
-1-000 --=0,08248; х2 = 0,2474; г2 = 5,428б; а,=
1,47-105
= 6,42857; В2 = 6,54213; Л2= 148,98625; Р2= —148.94873.
Частота колебаний:
'•47-'-gL =235;
0,6
17,1
sB = 17,l; <о2=—
л2*1 47-Ю5
N(2) = - = 4-104 кН;
кр
36
10:|
4* IU*
230 е-1.
Определяем начальную скорость Т2 (Z) согласно (5.34):
1—coscoN1 Zj
Si"
= 213;
1 (6) — C07VI
A(O = nmJT A (6) =0,7148-213= 152,25.
0,0b45
Функция T2 (O’
152,25
C1 = 230
1 0,83
—-------= 0,663; с2=1-—— -0,325=0,666;
230-0,3 87 ’
ИЗ
T2 (/) = 0,663 sin coN2 (/ —ZJ —0,666 cos cdn2 (Z— ti)-|-0,675 — .
0,3 (5.38)
Изгибающие моменты в пролетном и опорном сечениях равны (5.37), (5.38):
Л1пр (/) « 0,055 pZ2 Т2 (Z) 4- 184 = 495Т2 (Z) 4" 184;
Л10П (/) = — 0,07р/2 Л (Z) — 184= — [630 Т2 (Z) 4" 184].
Вычисления показывают, что для пролетного и опорного сечения выполняется условие | Л! (г, Zm) | > Л111Г, т. е. в колонне возникает пластическая сталия.
4. Работа колонны в пластической стадии. Время конца упругой стадии находим из уравнения
| А1оп (т) | = 630 7\ (т) 4- 184 =Л1ир = 724,
т. е. Т2 (т) = 0,857.
Решая это уравнение, получаем: Gl>N2 (т — Zx) •= 1,01;
ю№ т — 1 >014- Сйл'2--- — 1 > 868;
WN1
sin oN2 (т — tx) = 0,8468; cos coN2 (т — ZJ = 0,532.
Находим начальную угловую скорость по формуле (5.55)
г2 = 0,663-0,5324-0,666-0,8468——= 0 90^-
69
8-250-0,902-230-0,06449
70-------------------------=°.814 с-‘.
Определяем коэффициенты уравнения (5.57):
12_ 12‘1000
0,6-36 ~555’ ^ = 23>5; хх = х2 = 0,142 м;
250-62
Л;р=495 кНм; Mjn = Mj₽ = 495 кН-м; Мр = — = 1125 кН-м.
Прогиб /о определяем на основе (5.60):
Hi + Di) Л (G)+ Иг+^г) Т2 (т)==0,01 м.
Тогда М5 = 1000 (0,6-0,142-0,01) + 2-495 = 1440 кН-м;
Мп>= 1440/1125= 1,28. м
Вычисляем коэффициенты (5.58):
А 23,5
2-1125 °,814~ 1000-6.0,3.
—0,01855;
1,668
230
= 0,0073 cj
2-1125 /
1000-6 V
0,0073 0,3
— 1,28 = —0,114125.
т =
Время tm достижения максимального угла поворота находим из уравнения
ф (/)=__ 0,436 ch X (/ —т) — 2,682 sh X (/— т) + 1,25=0,
решая которое имеем: X (tm — т) = 0,292, т. е.
0,292
/т = —-—-|-т = 0,0197 с.
Л
Максимальный угол поворота равен:
2-1125 /
<рт=-0,01855-0,2962- 0,114125-1,0429-
0 0197 \
— —------— 1,28 =0,00511 рад.
0,3 )
Углы раскрытия в шарнирах пластичности.»
Скс = 2.0,0051 = 0,0102 рад; <акс = 0,00511 рад.
Находим предельные углы раскрытия в шарнирах пластичности по формуле (3.29). Имеем:
ЛГпр = ^6) Лпр „ Гб + Дас (fa + r;)=6470 кН;
£ = 0,252; Еу = 0,4;
для пролетного сечения 10 = 0,5 м; I = 3 м; Сп = о 9- =.
0,9: ’ ’ 6
„„ { 0,0032 1,2-400 \ Л /3 \—/
^ПР=|—----------——---------- 0,9-0,9-------14 114-
Nnp \ 0,252 2-105-0,6/ \0,565/ \ т
0,5-1000
6470
= 0,0108 рад;
I
1.5
-1,078
0,э65
для опорного сечения /0 = 0,25 м; I •= 1,5 м; См = 0,7; Сс = = 0,9:
пп /0,0032 1,2-400 \ , лл
il n = I-----—----------I 0,7 • 0,9
Ър \ 0,252 2-105-0,6/
= 0,0071 рад.
Условия прочности колонны удовлетворяются.
Пример 4. Расчет двухшарнирной арки кругового очертания. Покрытие сооружения пролетом /«= 12 м образовано двухшарнирными железобетонными арками с шагом 3 м, по которым укладываются железобетонные плиты. Характеристики арки: пролет I = 12 м, стрела подъема / = 2,2 м, поперечное сечение прямоугольное b = 25 см, h = 50 см, бетон марки 300, продольная арматура 8 0 20 класса А-1П, F& •= F*=12,5 см’, а=а'«=3,5 см, /1=6,9.
Радиус оси арки
Z» \
~4-р1«9,282 м.
Центральный угол
sin а0 =
2R
= 0,646425; cos а0 = 0,762977;
а0 = 0,702889 рад ~ 40°.
Вычисляем жесткость сечения арки В. Имеем:
0,25.0,53
1п°------—----4-6,9-25-10—4-0,215» = 0,0034 м4;
В = 2,9-107 - 0,0034 = 0,986 . 105 кН-м2.
Полная статическая нагрузка дст = 15 кН/м2, погонная статическая нагрузка на арку q = 15.3= 45 кН/м.
Динамическая нагрузка на арку принята в виде (5.73).
Параметры динамической нагрузки: рп = 0; 0 = 0,3 с;
Р = 200 кН/м (Др « 67 кН/м2).
Проверить прочность арки на совместное действие статической ди] дической нагрузок. Предполагаем, что арка работает в упругой стадии по случаю II внецентренного сжатия.
По формуле (5.84) находим частоту колебаний апки-х> 40° из табл 5.1 имеем: X2 = 42,59:
при сс0=>
42,59 , Г 0,986-105 т=4,5 т/м; <о= - — |/ ——-----------------=73,2 рад/с.
Вычисляем коэффициенты (5.80): as = —10,4086;
— 2,122243; a, = 8,286594.
Усилия будем определять в двух наиболее опасных сечениях при а = 0 и а ° в которых изгибающий момент (5.83) достигает экстремальных значений Угол а, находим из уравнения
dM0 2а
~=7T+2a'sina=0-
отсюда cxj в 0,5305.
Выражения для изгибающего момента и продольной силы, вывиваемые динамической нагрузкой, будут иметь вид:
Л4(а, 0е 200.9,2822 Мо (а) Т (t) ~ 1,723.10’ Мо (а) 7 (/) кНм.
а8 где М о (а) = ——-—4,238445 4- 4,244486 cos а;
«о
„ , (at sin со/
Т (/) = 1 — —— — cos со/ 4---------;
4 22 22
N (а, /) = 200 . 9,282 No (а, /) = 1856,4 No (а, /) кН,
где
Wo (ос, /)= (1 — —^4-2 (2,024^2,122 cos а) Г (/) —
\ г/? / \ 99 /
—1813,9 w0 (а)
cos со/ —
sin со/
22
здесь
“’о (а) « 8,286594 4- 2,122243 (cos а — а sin а) — 10,4086 cos а — - сса/а2.
Рассмотрим два момента времени / = 0 и / = /т, где 'П1 время достижения функций Т (/) максимального значения. Из выражений (4.25), (4.26) имеем при со 0 D 73,2-0,3 ° 22, со/П1 в 7 2 arctg,-22 = 3,05, «т = 0,0417 с, *д = 2 (1 - 1,525/22) = 1,881.
При t « о имеем: 7 (/) » 0 и Л4 (а, /) « 0. пР°лольмая сила “ 0,000237, No (0,0) = 1 - 0,13 - 0,57, W (0.0) 1856,4-0,57 = 1058,2 кН; z Л. nfifn
а - «j e o,53O5; w0 (а,) — — 0,000113; ^(оц, 0) • O.boJ.
0)«- 1212,2 кН.
При / «=» (т найдем М и N.
В сечении а = О Л^о1 ') — 0,00604, Л1 (0, tm) 1,723-Ю4х X 0,00604-1,881 = 195,75 кН-м;
(0, tm) = 0,9217; N (0, t,n) = 1711 кН;
в сечении а = ctj = 0,5305
М0(а1)« — 0,00771; М (ах, /т)= -1,723-Ю1 . 0,00771-1,881 = = — 250 кН-м;
No (aj, tm) = 0.894; N (alt tm) = 1660 кН.
Найдем усилия от статической нагрузки. Определим распор по приближенной формуле
о/2 45-122
/7=-^-=------------=368 кН.
8/ 8-2,2
Усилия в сечениях арки равны:
/ I \
NC? = H cos a + Qo sin a'. = "у ~~x 1 9’.
ах
Л1б=— (l-x), .
где
х= —- —sin а; у = R cos а — (R— f). 2
При a = 0 x = 1/2 = 6; у = f = 2.2; iVCT = H = 368 кН; Nl$ = = qZ2/8 = 810 кН-м; Мст = 810—368-2,2 = 0,4 кН.-м;
при a — cq х— 1,3 у = 0,92; Qg = 211,5 кН; Alg = 313 кН • м; Ncr — 425 кН; Л1ст = — 25 кН-м.
Окончательно имеем значения усилий в момент t = /т:
при a = 0 N = 1711 + 368 = 2079 кН, Л1 = 195,8+ 0,4 = = 196,2 кН -м;
при a = cq N = 1660 + 425 = 2085 кН, Al = — 250 — 25 = — 275 кН -м.
Отсюда видно, что наиболее опасным является сечение арки при a = «^Проверяем прочность этого сечения. Имеем N = 2085 кН, Л1 = 275 кН-м. Определим относительную высоту сжатой зоны для случая П внецентренного сжатия по формуле (5.62). Согласно примеру 3, — 0,671. Тогда
2-400-103-12,5-10—4
1—0,671
= 3040;
2085 + 3040 - 400-103-25-10~4 1,2-17-103-0,25-0,465 + 3040
= 0,762 >
т. е. предположение о случае внецентренного сжатия справедливо. Определим по формуле (5.25) предельную величину момента
Л/пр = 1,2-17-103-0,25-0,4652-0,762 (1 — 0,381) +
+ 400-103-12,5-Ю-4 (0,465—0,035) — 2085 (0,25 — 0,035) = 287,5 кН -м.
удов1етвоКраяетЛся= 275 ^“р = 287,5’ ™ Условие пР°ч»ости арки
Пример 5. Расчет ригеля перекрытия с учетом влияния смещения опор вследствие податливости грунтового основания.
Рассматриваем сооружение примера 2 с измененным грунтом основания. Принимаем, что грунт основания — песок ненарушенный.
Определим предельную величину динамической нагрузки Др (0=0,45 с), воспринимаемую неразрезным ригелем при расчете по предельному состоянию 16.
Нагрузка определяется из условия (6.40), которое, согласно (4.88), представим в виде
*«= (Л1°оп- я—;л/°п)/л1°п>*м0
ИЛИ
м°п=(л^”д-л1™)Ам0.
Здесь 6МО — наименьшая величина коэффициента динамично» сти по изгибающему моменту, при котором конструкция работает в упругой стадии. Значение /?м0 находим по графикам рис. 54.
Вычисляем параметры s0, slt s2 [формулы (6.33), (6.35), (6.36)]. Подсчитаем массы частей сооружения. /Масса перекрытия, приходящаяся на среднюю колонну та = 1,5-16 = 24 т, масса колонны тк = 0,6-0,6-3,2-2,5 ==• 2,9 т, масса фундамента /?1ф = (2,4-2,4 X X 0,4 4- 1,6-1,6*0,6)2,5 = 9,6 т. Полная масса т = 36,5 т.
Характеристики грунта согласно табл. 1: at = 250 м/с; р = 1,7 т/м3. Тогда
250 . 2-36,5
s0 =------— 1 04; Si =------------= 3,1;
° 100-2,4 ’ ’ 1 1,7-2,42.2,2
При со0 = 45 по графикам рис. 54 (при sr «= 3,5) находим &мо = = 1,204 и Л4°п => (302,4 — 90)/1,201 = 176,4 кН-м; р = Mjn/1,5 = |«= 117,6 кН/м; Др = 117,6/4 = 29,4 кН/м2.
Сравнение с результатами примера 2 (Др =• 18 кН/м2) показывает, что учет смещения опор позволяет увеличить предельную нагрузку в упругой стадии в 1,63 раза.
I
I
Список литературы
1. Байков В.Н., Сигалов Э. Е. Железобетонные конструкции (Общий курс). М., Стройиздат, 19 6.
2. Баженов Ю. М. Бетон при динамическом нагружении. М.,Строй-издат, 1970.
3. Боданский М. Д.» Горшков Л. М., Морозов В. И., Расторгуев Б. С. Расчет конструкций убежищ. М.» Стройиздат, 1974.
4. Галушкин В. И., Морозов В. И., Никонов Б. И., Орлов Г. И. Приспособление подвалов существующих зданий под убежища. М., Стройиздат, 1971.
5. Гвоздев А. А. К расчету конструкций на действие взрывных волн.— Строительная промышленность, 1943, № 1—2, с. 18—21.
6. Дикович И. Л. Динамика упругопластических балок. Л., Суд-промгиз, 1962.
7. Залесов А. С., Фигаровский В. В. Практический метод расчета железобетонных конструкций но деформациям. М., Стройиздат, 1976.
8. Ильяшов А. С. Специальные вопросы архитекутурно-строи-тельного проектирования. М., Стройиздат, 1977.
9. Новое о прочности железобетона. М , Стройиздат, 1977.
10. Попов Н. Н., Расторгуев Б. С. Расчет железобетонных конструкций на действие кратковременных динамических нагрузок. М., Стройиздат, 1964.
11. Попов Н. Н., Расторгуев Б. С. Динамический расчет железобетонных конструкций. М , Стройиздат, 1974.
12. Попов Н. Н., Забегаев А. В. Расчет железобетонных конструкций на действие кратковременных динамических нагрузок с учетом смещения опор. Веб. трудов № 151 МИСИ им. В. В. Куйбышева. М , 1977.
13. Рабинович И. М., Синицын А. П., Лужин О. В., Теренин Б. М. Расчет сооружении на импульсивные воздействия. М., Стройиздат, 1970.
14. Руководство по проектированию строительных конструкций убежищ гражданской обороны. М., Стройиздат, 1974.
15. Справочник по динамике сооружений. М., Стройиздат, 1972.
16. Тихий М., Ракосник Й. Расчет железобетонных рамных конструкций в пластической стадии. М., Стройиздат, 1976.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие . ...................................... 3
Глава 1. Специальные сооружения (убежища)............ 5
§ 1. Характернапика поражающих факторов при ядерном взрыве ............................... 5
§ 2. Требования к убежищам и их классификация 9
§ 3. Выбор места расположения убежищ .... 11
§ 4. Объемно-планировочные решения...........12
§ 5. Конструктивные решения..................16
Глава II. Динамические нагрузки на специальные сооружения .............................................. 22
§ G Расчетные сочетания нагрузок............22
§ 7. Параметры воздушных волн при взрыве ядер-ных зарядов и обычных взрывчатых веществ . . 24
§ 8. Параметры воздушных волн при взрыве газо-воздушных смесей.............................29
§ 9. Взрывные волны в грунтах................31
§ 10. Расчетные динамические нагрузки........33
Глава 111 Основные положения расчета.................35
§ 11. Предельные состояния конструкций .... 35
§ 12. Прочностные свойства материалов........36
§ 13. Напряженно деформированное состояние железобетонных конструкций .... 43
§ 14. Методы динамического расчета конструкций 50
§ 15. Нормирование предельных состояний . . 52
Глава IV. Расчет изгибаемых железобетонных конструкций на действие воздушных взрывных волн ... 57
§ 16. Расчет конструкций в упругой стадии . 59
§ 17. Определение динамического предела текучести арматурной стали...................... 70
§ 18. Расчет шарнирно опертой балки..........74
§ 19 Расчет балки с защемленными концами . . .85
§20 Расчет балки с одним защемленным и другим шарнирно-опертым концом......................98
§21. Расчет неразрезных балок...............108
Глава V. Расчет внецентренно-сжатых элементов..........ПО
§22. Расчет колонн зданий и сооружений ... .111 § 23. Расчет двухшарнирных железобетонных арок кругового очертания......................... 129
Глава VI. Расчет железобетонного сооружения с учетом влияния совместной работы его элементов...................135
§ 24. Расчет сооружения без учета влияния деформаций перекрытия на перемещение всего сооружения .....................................136
§ 25. Расчет сооружения с учетом влияния деформаций перекрытия на перемещение всего сооружения ....................................... 150
§ 26. Расчет конструкций с учетом ограниченности горизонтальных перемещений опорных сечений .........................................162
§ 27. Примеры расчета........................170
Список литературы.....................................188
НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ПОПОВ БОРИС СЕРГЕЕВИЧ РАСТОРГУЕВ
Вопросы расчета и конструирования специальных сооружений
Редакция литературы по жилищно-коммунальному хозяйству
Зав редакцией М К Склярова
Редактор Н С Куприянова
Мл. редактор Г. А Морозова
Технический редактор М В. Павлова
Корректор Быкова В. А.
И Б № 1935
Сдано в набор 8.08.79 Подписано в печать 12.02.80 Т-00948
Формат 81Х108'/з2- Бумаге типографская 2. Гарнитура «Литературная». Печать высокая. Усл. псч л 10,08 Уч -изд. л. 9.85 Тираж 20.000 экз.
Изд. № AI 7236. Заказ № 1309 Цепа 35 коп.
Стройиздат, 101412. Москва, Каляевская, 23а.
Московская типография 4 Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 129041, Б Переяславская, 46
ИМЕЕТСЯ В НАЛИЧИИ И ВЫСЫЛАЕТСЯ
НАЛОЖЕННЫМ ПЛАТЕЖОМ БЕЗ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОПЛАТЫ
КРПЬГКШТ В И СЕРГЕЕВ Б. В ПРОМЫШЛЕННЫЕ ПЕЧИ И ТРУБЫ Гучевное?пособиеГдЛЯ ТЕХНИКУМОВ). 1971 77 к.
FRnriKHMOR В А САПЕРСОН К). Д. МЕХАНИЗАЦИЯ И АВТОМАТИЗАЦИЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ ДЕТАЛЕЙ НА ДОМОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОМБИНАТАХ. 1971. 59 К.
ШЕПКИН А. Е. СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ. (УЧЕБНИК ДЛЯ ВУЗОВ). 1978 1 Р. 10 К.
ШТЕЙНБЕРГ Ю. Г. СТРОНЦИЕВЫЕ ГЛАЗУРИ. ИЗД. 2-Е. ПЕРЕРАБ. И ДОП. 1967. 30 К
ШУКЛЕ Л. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ ГРУНТОВ. СОКР. ПЕР. С АНГЛ. Н. Н. МАСЛОВА. 1976. 2 Р. 14 К.
ИНСТРУКТИВНО-НОРМАТИВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
МЕТОДИКА ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ РАБОТЫ ОЧИСТНЫХ СООРУЖЕНИЙ ГОРОДСКОЙ КАНАЛИЗАЦИИ. ИЗД ЗЕ, ПЕРЕРАБ. И ДОП. 1977. 1 Р. 10 К.
СБОРНИК НОРМАТИВНЫХ ТРЕБОВАНИЙ ПО ПРОЕКТИРОВАНИЮ И СТРОИТЕЛЬСТВУ ПРЕДПРИЯТИЙ, ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ В УСЛОВИЯХ СЕВЕРНОЙ СТРОИТЕЛЬНО-КЛИМАТИЧЕСКОЙ ЗОНЫ, ВЕЧНОМЕРЗЛЫХ ГРУНТОВ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ТЕМПЕРАТУР (ИЗВЛЕЧЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ ИЗ ОБЩЕСОЮЗНЫХ НОРМАТИВНЫХ ДОКУМЕНТОВ). 1978. 90 К.
СБОРНИК СМЕТНЫХ НОРМ ЗАТРАТ И ТИПОВЫХ НАБОРОВ ОБОРУДОВАНИЯ И ПРЕДМЕТОВ ВНУТРЕННЕГО УБРАНСТВА ОБЩЕСТВЕННЫХ И АДМИНИСТРАТИВНЫХ ЗДАНИЙ.
ТОМ I. ОБЪЕКТЫ ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОГО НАЗНАЧЕНИЯ. ВЫП. 4. РОДИЛЬНЫЕ ДОМА 1977. 40 К.
СТРОИТЕЛЬНЫЕ НОРМЫ И ПРАВИЛА. ЧАСТЬ III. ПРАВИЛА ПРОИЗВОДСТВА И ПРИЕМКИ РАБОТ. ГЛАВА 43. МОСТЫ И ТРУБЫ СНиП 111-43-75. 1976. 30 К.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ПОКУПАТЕЛИ И СТРОИТЕЛЬНЫЕ ОРГАНИЗАЦИИ МОГУТ ПРИОБРЕСТИ ЭТИ ИЗДАНИЯ В КНИЖНЫХ МАГАЗИНАХ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКУЮ ЛИТЕРАТУРУ
В СЛУЧАЕ ОТСУТСТВИЯ КНИГ В МЕСТНЫХ КНИЖНЫХ МАГАЗИНАХ ЗАКАЗЫ НАПРАВЛЯЮТСЯ ПО АДРЕСАМ ’
117334, МОСКВА ЛЕНИНСКИЙ ПРОСПЕКТ, д 10. МАГАЗИН К» 115 ОТ
ДЕЛ «КНИГА - ПОЧТОЙ»; ’
19'027. ЛЕНИНГРАД, БОЛЬШЕОХТИНСКИЙ ПР., Д 3, МАГАЗИН № 19
«ДОМ СТРОИТЕЛЬНОЙ КНИГИ». № 19
Це но 35 кол