/
Автор: Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Суворова С.Б. Теляковский С.А. Нешков К.И. Муравин К.С. Монахов В.М.
Теги: алгебра математика 8 класс точные науки
Год: 1986
Текст
•••
,-·· .. =......-
•~ •••
•
•••
••••••
••••••
•• •••
ЕДИНИЦЫ
ДЕСЯТКИ
о123456189
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 9100 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1164 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
-6
3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
1 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5176 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
х,=-4,8
х2 =0,7
х =41
з'
х
АЛfЕБРА
МОСКВА <<ПРОСВЕЩЕНИЕ•> 1986
УЧЕБНИК
ДЛЯ 8 КЛАССА
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Под редакцией
С.А.ТЕЛЯКОВСКОГО
•
Утверждено
Мииистерством
просвещеиия
СССР
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ББК 22.14я72
А45
No
1
2
3
4
5
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, В. М. Монахов,
К. С. Муравин, К. И. Нешков, С. Б. Суворова
Настоящий учебник является переработанным вариантом
учебника авторов 'ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, В. М. Мо
нахова, К. С. Муравина, С. Б. Суворовой.
Переработку осуществили Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Мин
дюк, В. М. Монахов, К. И. Нешков, С. Б. Суворова.
Сведения о пользовании учебником
Состояние учебника
Фамилия и имя
Учебный
ученика
год
в начале
в конце
года
года
4306020400-308
А 103 (О3)_86 ииф. письмо - 86
© Издательство <•Просвещение•, 1986, с изменениями
© Издательство •Просвещение•, 1982, с изменениями
ГЛАВА D
КВдДРд ТИЧНдЯ ФУНКЦИЯ
§ 1. КВАДРАТНЫИ ТРЕХЧЛЕН
1. КВАДРАТНЫИ ТРЕХЧЛЕН И ЕГО КОРНИ
Выражение 3х 2 - 2х - 5 является многочленом вто
рой степени с одной переменной. Такие многочлены называют
квадратными трехчленами.
Определение. Квадратным трехчленом назыnается
многочлен вида ах2 + Ьх + с, где х - переменная, а, Ь и с
-
числа, причем а -=1:- О.
Значение квадратного трехчлена зависит от значения пе-
ременной. Так, например,
если х=5,то 3х2..:_2х-5=60;
еслих=1,то 3.х2-2х-5=- 4;
если Х=-1, то 3х2-2х-5=0;
если х=О, то 3х2-2х-5=- 5.
Мы видим, что значение переменной х, равное - 1, обра
щает квадратный трехчлен 3х2 - 2х - 5 в нуль. Такое зна
чение переменной называют корнем квадратного трехчлена.
Определение. Корнем квадратного трехчлена назы
вается значение переменной, при котором значение этого трех
члена равно нулю.
Число - 1 является корнем квадратного трехчлена
3х2 - 2х-5 _. Имеет ли этот трехчлен другие корни? Чтобы
ответить на этот вопрос, достаточно решить :kвадра тное ура в -
нение
3х2-2х-5-О.
Найдем дискриминант:
D= Ь2-4ас=(-2)2-4•3(- 5)= 64.
3
Так как D > О, то уравнение имеет два разJШчных кор
ня. Применив формулу корней, получим:
- Ь±-/D 2±8
Х= 2а
6'
2
х1=13, х2=-1.
Следовательно, квадратный трехчлен 3х 2 - 2х - 5 имеет два
2
корня:13и-1.
Квадратный трехчлен ах 2 +ьх+с имеет те же самые корни,
что и квадратное уравнение ах 2 +ьх+с=О.
Дискриминант квадратного уравнения называют также
дискриминантом соответствующего квадратного трехчлена.
Число корней квадратного трехчлена, как и число корней
квадратного уравнения, зависит от его дискриминанта:
при D > О квадратный трехчле_н имеет два различных корня;
•при D = О квадратный трехчлен имеет один корень;
при D < О квадратный трехчлен не имеет корней.
Из теоремы Виета следует, что если квадратный трехчлен
ах2+Ьх+с имеет корни хI и х2, то
ь
с
Х1+х2=--,
Х1Х2=-.
а
а
1. Какие из чисел 1, 2, 3--/2, -
7 +-/2 являются корнями
квадр атного трехчлена х2 - 6х + 7?
2 . При каком значении переменной обращается в нуль
квадратный трехчлен:
а) х2+5х-14;
б) х2-3х-40;
в) -6х2 -х+1;
г) О,5х2 -х-1?
3. Найдите корни
а) 2х2 +х-6;
квадратного трехчлена:
4
6) 9х~-9х+2;
в) О,2х2+3х- 20;
4 . Найдите корни
~12х2-7х-12;
6) -'--1,5х2 +х+8;
5. Сколько корней
а) 5х2 - 8х+3;
б) 9х2 +6х+1;
)
1•)
1
1
г - 2х--4х+в ~
д) о,1х2 +0,6х+О,2;
е) - О,3х2+1,5х- 0,9.
квадратного трехчлена:
в) 1,5х 2 +4х+2,5;
)2?
г 3 х-+4х+1.
имеет квадратный трехчлен:
в) - 7х2 +6х-2;
г) -10х2+15х-3?
6. Имеет ли квадратщ,1й трехчлен корни:
;т -4х2-·4х+3; в) 9х2-12х+4;
6) 4х2 - 4х+3;
• г) 9х2- 12.х-4?
7. Докажите, что квадратные трехчлены имеют одни и
те же корни:
а)+x2+2x- l и х2+6х-3;
6) -7х2+3х+5 и 7х2-3х-5.
8. Докажите, что квадратный трехчлен имеет корни, и най
дите их сумму и произведение:
а) 2х2-10х+ 3;
в) О,5х2 +6х + 1;
6) _!__х 2 +7х-2· г) _ _!__х 2 +_!__х+_!__
3
'
2
3
2•
Упражнения для повторения
9. Решите квадратное уравнение:
а) 2х 2 -5х-3=0;
г) 3х2 -3х+1=0;
6) 3х 2 -8х+5=0;
д) х 2 +9х+2О,25=0;
в) 36х 2 -12х+1=0;
е) х2 - 12х+32=0.
10. Найдите корни уравнения:
а)3х2- l0x+ 3=О;
д)О,6х2- 3,6х =О;
6) х 2 -8х-84=0;
е) х2 -5=0;
в) 16х 2 +8х+1=0;
ж) 2х2 +7х=0;
г) х2 +14х+33=0;
з) О,5х2 +4=0.
11. Решите уравнение:
а) (х-1)2 +(х+1)2=(х+2) 2 -2х+2;
6) (2х-3)(2х+3)-1=5х+(х-2)2.
2. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕJ!И
Пусть требуется разложить на множители квадратный трех
член 3х 2 - 21х + 30. Вынесем сначала за скобки число 3.
Получим:
3х2-21х+ 30=3(х2-7х+10).
Разложим теперь на множители многочлен х 2 - 7 х + 10. Пред
ставим - 7 х в виде суммы одночленов - 2х и
-
5х и при
меним способ группировки:
х2-7х+10=х2-2х-5х+l0= x (х -2)-5 (х-2)=
=(х-2)(х-5).
Значит,
3х2-21х+30=3(х-2)(х-5).
5
Так как при х=2 и х=5 произв.едение 3(х-2)(х-5)
обращается в нуль, то при ·этих :значениях х обращается в
нуль и квадратный трехчлен 3х2 -21х+зо, т. е. числа 2 и , 5
· явля-ют ся
его корнями.
Таким образом, мы разложили квадратный трехчлен
3х 2 - 21х + 30 на три множителя. Первый множитель равен
:коэффициенту при х2, второй множитель представляет собой
разность между переменной х и одним корнем трехчлена, и
третий - ·разность между переменной х и другим корнем.
Такое разложение можно получить для любого :квадрат
. ного
трехчлена, имеющего корни. ·при этом считают, что если
дискриминант к-вадра тного трехчлена равен нулю, ·то этот
трехчлен имеет два равных корня.
Т е о р е м а. Если х.1 и х2 -'- :корн.и квадратного трехчлена
ах2 +ьх+с, то ах 2 +ьх+с=а (х-х1) (х-х2).
Доказательство. 'Вынесем за ско'б1<у в многочлене
ах2 + Ьх + с множитель а. Получим:
ах2+·ьх+с=а(х2+: х+ :) ,
Так как числа х 1 и х 2 являются корнями 'Квадратного
трехчлена ах 2 + Ьх + с, то по теореме Виета имеем:
Отсюда
Поэтому
Итак,
Заметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней,
то его нельзя разложить на множители, являющиеся много
членами первой степени.
Докажем это. Пусть трехчлен ах2 + Ьх + с не имеет корней. Лредполо- •
жим, что его можно представить в виде произведения многочленов первой
степени:
6
ах2+Ьх+с=(kx+т)(рх+q),
гдеk,т,ри q- некоторые ч·исла, причемk=I=ОиP=I=О.
т-
q
Прои~ведение (kх+т) (px+q) обращается в нуль при Х= -k их = -р .
Следов,ательно, при этих значениях х обращ~ется в нуль ~ трехчлен ах2 +
т
q
,.+ьх+с, . т. е. числа --k и -- явщцотся. его корнями. Мы пришли , к
р
-
-
-' ·ПрОТИВОifеЧИЮ, ТЗ:К Как ПО УСЛОВИЮ ЭТ0Т Трехчлен КОрНеЙ Не имеет;
Пр им ер 1. Разложим на м;ножители квадр1:1,тный трех
чл.ен 2х 2 -5х-3.
Найдем его корни. Для этого решим уравнение 2х2 _: _ _ 5х
__:_
-
3 = О . Его дискриминант D равен 49.
Отсюда
Воспользовавшись теоремой о разложении квадратного
трехчлена на множители, будем иметь:
Полученное произведение можно записать иначе, если пере
множить первый и второй множители:
2х2 -5х-3 = (2х+ 1) (х-3).
Пр им ер 2. Разложим на множители квадратный трех
член -25х 2 +1Ох-1.
Дискриминант- этого квадратного трехчл_ена. равен нулю,
поэтому трехчлен имеет два равных корня.:
Значит,
2
(
1)'( - 1)
-25х +1ох-1= - 25 х-5 х-5
/
Полученный результат можно записа тъ так:
- 25(х - ~)(х- ~)=-(5х-1)(5х-1),=-(5х-1)2.
7
Отсюда
-25х2+1Ох-1=-(5х-1)2.
Пр им ер 3. Сократим дробь
? зх+2
.
Зх--lЗх-10
Разложим на множители знаменатель д роби:
Поэтому
3х2-13х-10= 0,
D= l69+ 120= 289,
13+17
Х=~•
2
Х1=-3, Х2=5.
3х2-13х-10=3(х+ ~)(х-5)=(3х+2)(х-5).
Значит,
зх+2
зх+2
1
Зх'-13-10 (Зх+2)(х-5) х-5
12. Разложите на множители квадратный трехчлен :
а) 3х2-24х+21; г) х2-11х+зо; ж) 2х2-5х+3;
6) 5х2+1ох-15; д) -у2+6у-5; з) 5у2+2у-3;
в) ___!_х2+--.!_х+___!_._ е) -х2-5х+6; и) -2х2+5х+7.
6
2
3'
13. Разложите на множители квадратный трехчлен:
.
1
а) 2х2-2х+2;
в) 16а 2 +24а+9;
б) - 9х2 + 12х-4;
г) О,25т2-2т +4.
14. Разложите на множители квадратный трехчлен :
а) 2х2+12х-14; в) 3х2+5х-2; д) -1⁄4-а2-2а+4;
б)
2
)
о
22
-3т +15т-18; г 6х--1зх+6; е) -3т +4т-6.
15. Докажите тождес тво:
а) 10x2+ 19x- 2 = 10(x- O,l)(x+ 2);
б) О,5(х-6)(х-5)=0,5х2-5,5х+15.
16. Можно ли представить квадратный трехчлен в виде
произведения многочленов первой степени:
а) - 3y2 +3y+ll;
в)x2- 7y+ll; .
б) 4Ь2-9Ь+7;
г) 3у2-12у+12?
8
17. Сократите дробь:
а) 7х2 +х- 8.
7х-7
5а+ 10
.
б) 2а2 +1за+1s'
в) ь2-sь+1s.
ь2-2s
г) у2-5у-36.
81-у2
18. Сократи те д робь:
Зх-12
а)---·
х2+х-20'
б) 2х2 +1х+з;
х2 +3х
с2-с-110
д) 22 +9с-с'
5а'+sа+з
е) 14+3a-lla2 •
) 2т2-5т-3
в
.,
.
2т--3т- 2
19. Чем отличается г рафик функции
фика функции у=х+ 2?
х2 +х-2
у= х-1 от
20. Постройте график функции:
б)
-2х 2 +7х-3
у= 2х-1
Упражнения для повторения
· 2 1 . Решите уравнение:
а)3(х+ 4)2 = lOx+з2;
б) 31х+77 = 15(х+1)2;
22. Найдите корни уравнения:
х
4
20
б)•2х
5•_
25
а) х+4+х-4=х2-16;
х+5-5-х-х2-25°
гра-
23. Катер прошел 12 км по озеру и 11 км по реке, дви
гаясь против течения. На весь путь он затратил 1 ч . Какова
скорость движения катера по озеру, если известно, что ско
рость течения реки 2 км/ч?
24. Найдите область определения функции:
5
19
а) у ----·
б)-----
-
х'-6х-7'
2х-2-24х+72 •.
25. Постройте график функции:
1
а) у=2х-5;
б) у= -2х+2.
§ 2. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
3. ГРАФИК ФУНКЦИИ у = ах 2
Рассмотрим, как зависит площадь поверхности куба от
длины его ребра.
Пусть ребро куба равно х см. Поверхность куба состоит
из шести равных квадратов, площадь каждого из которых
х2 см 2• Значит,. площадь поверхности куба равна 6х 2 см 2 •
9
\
1
\
\\
~
у
11
JS 'V=1,5x 2
/
~
1/ У=Х2
70
I
1
IJ;
5I
11
п
1
',j
1
Обозначим площадь поверхности ку
ба . (в квадратных сантиметрах) бук
вой у. Тогд~
2
•у=6х ..
В этом примере мы встретились с
функцией, которая задается формулой
вида у = ах 2, где х - _Iiезависиr.щя пе
ременная" а -
. н ек.оторое
число.
-4-3-2-7О 123L;
х
Рассмотрим функцию у = ах2 при
а =ft О. Выясним, · что представляет со
бой ее график и каковы свойства этой
функции.
111
Рис. 1
При а. 1 формула у=ах2 прини-
/
мает вид у = х 2 • Графиком функции
• у= х 2 является, как известно, парабола (рис. 1),
Построим график функции у = 1,5х2•. Составим таблицу зна
чений этой функции:
х
-3
-
2
-1
о
1
2
3
у
13,5
6
1,5
о
1,5
6
13,5
1
Построим точки, координаты которых указаны в таблице.
Соединив их плавной линией, · получим график функции
у '- l,5x2 (см. рис. 1).
При любом X=;FO значение функции у=1,5х 2 больше соот
ветствующего значения функции у • х 2 в 1,5 раза. _ Если пере
ме.стить каждую точку графика функции у = х 2 вверх так,_ что
бы расстояние от этой точки до оси х увеличилось в 1,5 раза,
то график функции у = х2 перейдет в график функции у = 1,5х 2•
Иными словами, график функц;ии у = 1,5х2 можно _получить из
параболы у = х2 растяжением от оси х в 1,5 раза.
Построим теперь, vрафик функции yr = 0,5x2• Для этого соста
вим таблицу ее значений:
х
-3
-2
-
1
о
1
2
:
3
у
4,5
'
2
0,5
о
0,5
2
4,5
,,
10
При любом х =;Ь О значение функции
у= О,5х 2 меньше соответствующР.го зна
чения функции у= х2 в 2 раза. Если
переместить каждую точку графика
функции у= х2 вниз так, чтобы рас
стояние от этой точки до оси х умень
шилось в ·2 раза, то график функции
у =х2 перейдет в график функции
у=О,5 х2• Таким образом, график функ
ции у=0,5х2 можно получить из па
раболы у= х2 с~атием к оси х в 2 раза.
График функции у= О,5х2 изобра
жен на рисунке 2.
Построим rрафик функции у=
= -0,5.~?. Составим таблицу значений
этой функции:
х
-3
-2
-1о
1
2
3
у
- 4,5
-2
-0,5 о -0,5
-2
. -4,5
'
Отметим точки, . координаты кото
рых указаны в таблице. Соединив эти
точки плавной линией, получим график
функции у= - о"5х2 (рис. 3).
Рассмотрим графики функций у=
= - О,5х2 и у= О,5х2 (рис. 4). При лю
бом х значения этих функций являются
противоположными числами. Значит,
соответствующие точки графиков сим
метричны относительно оси х. Иными
словами, график функции у= - О,5х 2
может быть получен из графика фуюt
ции у= О,5х2 с помощью симметрии от
носительно оси х.
График функции у= ах2 при любом
значении а =;Ь О, как и график функции
: у -= х2., называют параболой.
\\
у
у_=х-2
,
j
\.
10
/
1
/
'
\
\\
II
• 1\ 5 /,У=05х2
\
.J.
'\
/1
1\ .r,
"- ;·~
-4-3-2-1 О
·1 23!+ х
Рис. 2
у
о1
1"
"
х
J.1 )
\
·'f
'
J
\'
,., ·
1
-
у=-0,5х 2
1\
/
1\1
/,
\
Рис. 3
\·
у
•1
\
,
-
-~
-
/
i'
о-11
\'
1
'
•'
'5
/
Y. =D5x 2
\
J -;,::_~
1
I
'
"
)
·О
- 4-J -2-7'
2.J4 .х
~_j_l
•'
'
/
\ Y.=::.P.2 .i
~--
-;-5
J
\
/
\·
."j ->-
-/0
\
\
,
\
Рис. 4
11
1\'
у
11IJ /
'
У=3х2-11 ,
у
-
11
\i\
У=Х2 ~~
о:7
;
,,\
-...
-
х
\\
1'/
·2
•11
'
/ У.=0.5х
1/V
,
D r-..
/
-1~
1"-.
\
/
I
/
'
'1
.
-,·
\
1
/
j1
\.
\
1
1/
j
I
\\
,.
\
1J
)
f1
''
\
/
/ У=0.1х 2
/
\
о
у=-025х•
\\'
777
V
'r-...
'
т7
7
.,
r-..
'\1\
)/
_,,,.
/
1
\1_J
1
/
У=-х2
.....
"'\
<,,
~
о7
х
/
т·u
У=-5х2 \
1
'
1
11
Рис. 5
Рис. 6
На рисунках 5 1 и 6 построены график~ функций у = ах 2
при а>О и а<О.
Сформулируем свойства функции у = ах 2 при а =1=- О:
1. При любом а, если х= О , то у=О. Значит, график функ
. ции
проходит через начало координат .
2. При а>О, если х=/=-0, то у>О; при а<О, если х=/=-0,
то у< О. Поэтому при а> О график функции расположен в
верхней полуплоскости, при а< О - в нижней полуплоскости.
3. Противоположным значениям арzумента соответствуют
равные значения функции. Отсюда следует, что график
функции симметричен относительно оси ординат.
4. При а> О функция убывает в промежут1се ( - оо; О]
и возрастает в промежутке [О; + = ); при а<О' функция
возрастает в промежутке ( - оо; О] и убывает в промежутке
[О; + оо).
Свойства 1 - 3 очевидны, докажем свойство 4. Пусть Х1 и
х 2 - два значения аргумента, причем х2 > Х1, а У1 и У2 - со
ответствующие им значения функции. Составим разность У2 и
у I и преобразуем ее:
у2 - У1 =аХ~ -аХТ =а (х~ - ХТ)=а (Х2 -Х1) (х2+х1).
Рассмотрим случай, когда а> О.
Таккака>Оих2-х,> О,топроизведениеа(х2-Х1)(х2+х1)
имеет тот же знак; что и множитель х 2 +х , .
Если числа х 2 и х 1 принадлежат промежутку (- оо; О],
ТО х2 + х1<0. в этом случае У.2 - У1<0, т. е. У2<У1- Зна-
12
~ит, при а> О в промежутке (- оо; О] функция у=ах2 убывает.
Если числа 'х2 и х, принадлежат промежутку [О; + оо ),
то х2+х,>О. В этом случае У2 - У1>0, т. е. У2>у,. Значит,
:при а>О в промежутке [О ; + оо) функция у=ах 2 возрастает.
Для случая а< О доказательство аналогично.
Из рассмотренных свойств следует, что при а> О ветви
параболы у = ах 2 направлены вверх, а при а< О - вниз.
Ось у является осью симметрии параболы. Точку пересечения
параболы с ее осью симметрии называют вершиной параболы.
Вершина параболы у = ах 2 совпадает с началом координат.
26. Постройте график функции у =-1⁄4- х 2• Найдите по гра-
фику:
а) значение у при х= - 2;5; - 1,5; 3,5;
б) значения х, при которых у = 5; 3; 2.
27. Постройте график функции у = - 2х 2 и найдите по
графику :
а) значение у при Х= -1,5; 0,6; 1,5;
б) значения х, при которых у= - 1; - 3; - 4,5.
28. Постройте график функции:
;т-у=2х2; б) у= -х2•
29. Постройте в одной системе координат графики функций
?
18?
1?
у=х-, у= ' х- и У=зх-.
30. Постройте в одной системе координат графики функций
-
2
2
у=0,4х и у= -0,4х.
·
31 . Принадлежит ли графику функции у= -100х 2 точка:
а)М(1,5; - 225); б) К(- 3; - 900); в) Р(2; 400);
г) Q(- 0,01; - 1)?
32. Используя график функции у= - О,6х 2 (рис. 7),
выясните, при каких значениях х:
а) у= О; б) у< О. В каком промежутке
эта функция возрастает и в каком убы
вает?
33. Постройте график функции у =
= 1,2х 2. Найдите промежутки возрас
тания и убывания этой функции.
34. Найдите, при каком значении х
ф~нкция у= 125х 2 обращается в нуль.
При каких значениях х эта функция
принимает положительные значения,
в каком промежутке она возрастает и
в каком убывает?
35. Найдите значения х, при кото 0
j
/
/
/
/
/
у
о1
~1
-х
\
\
'
\062-
У-.' х
\1
1
'1\
Рис. 7
13
рых • ФУнкция у= -35х 2 : а) равна нулю; б) меньше · нуля.
В каком промежутке эта функция возрастает и в каком убы
вает?
36. Как расположен в координатной плос1<ости график
··функции: а) у= -15х2; б) у= 6,3х2?
•
•
•
,,
37. Пересекаются ли парабола у=2х2 и прямая: а) у=50;
6) у=100; в) у= -25; г) у=1-4х-20? Если точки пересече
ния . существуют, то найдите их координаты.
38. Найдите координаты точек пересечения графиков
функций у..:_ -'- х 2 и у..:_ 2х - 3 . Выполните графическую ил
люстрацию.
39. Площадь круга S (в квадратных сантиметрах) вычис
ляется по формуле S=nr2 , где r ::._
радиус круга (в сантимет
рах). Постройте график функции S = ,i;r2 и найдите по графи
ку: а) площадь круга, если его радиус равен 1,3 см; 0,8 см;
2,1 см; б) радиус круга, площадь которого равна 1,8 см2 ;
2,5 ·см:2; 6,5 см2•
•
Упражщ~ния для повторения
40. Сколько корней имеет квадратный трехчлен:
а) 3т2 -8т+2; 6) --1⁄2-у 2 +6у-18; в) т2 -3т+3?
41. Сократите дробь:
а) 2а-1 . б) а2+5а-14;
10а2 -а-2'
а2 +7а-18
• 42. Решите уравнение:
в) 6а2 - 5а+1
1-4а 2
)х
4
18
)5
Зх-3 2(х2+4)
а х-3+х+з=х2 -9; 6 х-1+2(х+1) х2 -1 •
43. Турист прошел 3 км в гору и 5 км по равнине, затра
тив на весь путь 2 ч. Какова скорость туриста при подъеме
в гору, если она на 2 км/ч меньше, чем при движении по
. равнине?
4. ГРАФИК ФУНКЦИИ у = ах2 +ьх + с
Каждая из функций у=- 5х2+2х+8, у=х2-12х+7
задана формулой, правая часть которой является квадратным
,·
'
•
\
: трехчленом.
Такие функции называют квадраmчными функциями.
О п р е д е л .е н и е~ Квадратичной фуикцией называется
: функция, которую можно задать формулой вида у = ах 2 +ьх+с,
где х - независимая переменная, ·а, Ь и .с
-
числа, причем
а',,!=О .
••
Выя:сним, что представляет собой график квадрати:чной
функции . ..
,14
Начнем с примера. Пусть функция задана формулой
у =+х2 - 5х +15 ; . Покажем, что график этой функции мо-
•
б
ф
ф
12
жет ыть получен из гра ика ункции у= 2 х с -помощью
некоторого параллельного переноса.
Вынесем в выражении _! _ х2 - 5х + 15_! _ множитель 1 за
-
2
2
2
скобки и выделим затем из трехчлена квадрат двучлена:
1
1
1
•
.
2х2-5х+15;2=2(х2-1Ох+31)=
r
= -1⁄2 ((х2-1Ох+25)+6)=-1⁄2(х-5)2+3.
Пос;троим в одной системе координат графики функций
у=-1⁄2х2 и у=-1⁄2(х-5)2+3.
Для постро.ения графика функции у = _!_х2 восиользуемся
2
таблицей ее значений:
х
-
3
-2
-
1
о
1
2
3,,
(1)
у
4,5
2
0,5
о
0,5
2
4,5
12
График функции у= 2 х изображен на рисунке 8.
Составим теперь таблицу значений функции у= ; . (х - 5)2 +
+ 3. При составлении таблицы (1) мы возводил.и в квадрат
числа -3, -2, -1, О, 1, 2 и 3 и полученные результаты
1
умножали на 2 . Для функции
у = _!_ (х- 5)2 + 3 возьмем значения
2
аргумента на 5 большие, чем соот
ветствующие числа первой строки
таблицы (1), т. е. значения аргумен-
та,равные2,3,4,5,6,7и8.Тогда
для ·вычисления значений вы раже-·
ния ~ (х-5)2 нужно буде; возводить
вквадраттежечисла-3, - 2, -1,
у
,_у= 1х2
\"-2
'
\
'
~-~-7
о
•.11111
, y=j(x- 5)2+3J
\
/•
I
'
/
\J
/
.
1/
\·J
J
.J
,
~
J/
i,v
7
х
Рис. 8.
15
О, 1, 2 и 3, что и при составлении таблицы (1), и _каждый ре
зультат умножать на +. Поэтому, чтобы найти значения
функции у=+ (х-5)2+3 для х, равных 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8,
достаточно к каждому числу второй строки таблицы (1) при
бавить число 3. Получим таблицу:
х
2
3
4
5
6
7
8
(2)
у
7,5
5
3,5
3
3,5
5
7,5
Построи-м точки, координаты которых указаны в табли
це (2), и соединим их плавной линией. Получим график функции
у=+ (х-5)2 + 3 (см. рис. 8).
:Каждая из точек (2; 7,5), (3; 5), (4; 3,5), (5; 3) и т. д. графи
ка функции у=+ (х-5)2 + 3 получается из соответствующей
точки (-3; 4,5), (-2; 2), (-1; 0,5), (О; О) и т. д. графика
функции у=+ х2 в результате параллельного переноса, при
котором точка (хо; у 0 ) переходит в точку (хо+ 5; Уо + 3). Вооб
ще, любая точка графика функции у=+ (х - 5) 2 + 3 может
быть получена при указанном параллельном переносе из соот-
u
ФФ
1-,и
ветствующеи точки гра ика ункции у= 2 х-. на че говоря,
при этом параллельном переносе график функции у •+х2
переходит в график функции у=+ (х - 5)2 + 3.
Из свойств параллельного переноса следует, что графи
ком функции у=+ (х-5)2+3, а значит, и функции
у=2-х2 -5х+152.. является парабола, равная параболе
2•
2
1?Е
..
Y=zx- .
е вершиной служит точка (5; 3), В, которую пере- '
ходит точка (О; О) - вершина параболы у =+х2, а осью сим
метрии - прямая :х = 5, параллельная оси у. Направление,",
16
1·?
•1
ветвей параболы у= - х- - 5х+15- совпадает с направле-
2
2
1?
нием ветвей параболы у = 2 х-, т. е. ветви параболы
,·
1
1
у= 2 х 2 -5х+ 15 2 направлены вверх.
Рассуждения, которые мы провели, рассматривая функцию
у =-1⁄2-х2 - 5х +15-1⁄2-,
можно провести и для произвольной
квадратичной функции у= ах2 + Ьх +с.
Преобразуем квадратный трехчлен ах 2 +Ьх+с . Имеем:
ах~+ Ьх+с=а (х2 +~х+~) = а(х 2 + 2х~+ ь2, _ _tc_+~) =
а
а
2а4а·4а2а
=а(_(х+~)
2
_
_
Ъ'_-_4а_с) = а ( х +~)
2
_
_
ь'_-_4_а_с
2а
4а'
2а
4а•
Получили формулу
(+Ь)2 Ь2-4ас
у=аХ2а-4а
•
Эта формула имеет вид у=а (х-т)2+п, где
ь' -4ас
n=----
4a
ь
m=- 2а
и
Можно доказать, что график функции у=а (х-т)2+п по
лучается из графика функции у= ах2 с помощью параллель
ного переноса, при котором точка (х0 ; у 0 ) переходит в точку
(хо+ т; у 0 + п). 3на чит, график любо_й квадратичной функции
получается и.з графика функции у= ах 2 с помощью указан-
ного параллельного переноса.
Отсюда следует, что график функции у= ах2 + Ьх +с есть
парабола, равная параболе у=ах2 • Ее вершиной является
)
Ь
Ь2 -4ас
точка(т;п,гдет= - 2а,п= -
4а • Осью симметрии
параболы служит прямая х = т, параллельная оси у. При
а> О ветви параболы направлены вверх, при а< О - вниз.
Для построения графика квадратичной функции находят
координаты нескольких точек соответствующей параболы. При
ь
это:t-1 удобно абсциссу т вершины находить по формуле т = - 2 а,
а ординату п вычислять, подставив найденное значение абс
циссы в формулу у=ах2 +ьх+с. При x=m имеем
у=ах 2 +ьх+с=а (х-т)2+п=п.
17
Приведем примеры построения графиков квадратичных
функций.
Пример 1. Построим график функции у=О,5х2+3х+
+ о,5.
i
Графиком функции у= 0,5х2 + 3х + 0,5 является парабо
ла, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты т
и п вершиНЬ\ ::}iтой параболы:
Ь
3
2
m= --=---
-
3,n=0.5(-3)+3(-3)+0,5= - 4.
2а
2·0,5
Значит, вершиной параболы является точка ( - 3; - 4).
Составим таблицу значений функции:
х
-
7-6
-5
-
4-3
-
2-1
о
1
у
4
0,5
-
2 -3,5
-
4 -3,5
-
2 0,5
4
Построив точки, координаты которых у1<азаны в таблице,
и соединив их плавной линией, получим график функции
у =О,5х2+3х+0,5 (рис. 9).
При составлении таблицы и построении графика можно
было бы учитывать, что прямая х = - 3 является осью сим
метрии параболы. В этом случае удобно брать точки с абсцис
сами-4и
-
2, -5 и -1, - 6 и О, симметричные отно
сительно прямой х = - 3 (эти точки имеют одинаковые орди
наты). ·
-Пример 2. Построим график функции у = - 2х2 +12х -
-
19.
Графиком этой функции является парабола, ветви коте
. рой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины:
Ь
12
2
m= --=
~--
3;n= -
2·3 +12-3 - 19= -1.
2а
2•(-2)
Вычислив координаты еще нескольких точек, получим таб
лицу: .
1
х
1
2
1
3
4
1
5
у
-9
-
3
-
1
-
3
-
9
18
-
\1.111у,
у1
у
'
y=
0
0,5x 2 +Jx+0,5 ~~
,·
f-7
1
1
у= 3⁄4х2 +х+1. .
/
:\
l
о7
х
\J
J
'
1Lf--
/1'\
'
"
J
:\
о7Х
'
,
1
1
'
f\.
j
\
\
'\
7/
N
V
,,
2x2 f72x-79
J,11,3,,·
о1.Х'
1
1
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
Соединив плавной линией точки, координаты 1-юторых у~-ш
. заны
в таблице, получим график функции у= - 2х 2 +
+ 12х - 19 (рис. 10).
.
Пр им е р 3. Построим график функции. у=
~-х2+х+1.
Графиком функции у = ~ х2 + х + 1 является парабола, вет
ви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:
Ь
1
m=--= --
--
2a
Вычислим координаты еще нескольких точен:, получим таб
лицу:
х
у
•
1
График функции у = 4 х2+ х +1 изображен на рисунке 11.
44. С помощью шаблона параболы ·· у=х2 постройте гра
фик функции:
.а) у = (х-2)2+4;
б) у = (х+1)2-3;
в) у=х2+1,5;
г) у=х2-4,5;
д) у = (х+3)2;
е) у=(х-5,5)2.
45. Используя шаблон параболы у = х2, постройт.е график
функции:
а) у=-х2;
L" 6) у_=-(х+2)2+1;
в) у=-х2+3; -
г) у=-(х-1,5}2•
19
?
.
•
46. Изготовьте шаблон параболы у = 0,5х - . Используя .этот
шаблон, постройте график функции:
а) у=О,5(х-1)2+2; в) у=О,5х2-6; д) у=-О,5х2;
б) у=О,5 (х+2,5)2 - 3; г) у=О,5 (х+3)2; е) у = -0~5х2 +4.
47. :Квадратичная функция задана формулой у=-----' 3х 2 -
-
6х+3. Найдите координаты вершины параболы, являющей
ся графиком этой функции. :Куда направлены ветви параболы,
кекая прямая является ее осью симметрии?
48. :Квадратичная функция задана формулой у=х 2 -
- 4х+ 7. Найдите координаты вершины параболы, являющей
ся графиком этой функции. :Куда направлены ветви параболы
и кан:ая прямая является ее осью симметрии?
49. Постройте график функции :
а) у=х2+2х-3; в) у=-2х2-5х-2; д) у=х2-4х; •
б) у=1⁄2х2 -2х+1; г) у=-+х2 +х-1; е) у=-х2 + 5-
50. Постройте график функции:
~у=3х2 +6х+1;
в) у=х2 +1;
6) у= -О,5х2 +2х+7; г) у= -х2 +2х.
51. Постройте в одной системе координат графин:и функ-
ций:
а) у=х2; у=х2 -5; у=х2+3,5;
б) у=-1,5х2; у=-1,5х2+2; у=-1,5х2-1;
в) у=1⁄2х2; у=1⁄2 (х - 4)2; у=1⁄2(х+3)2•
52. Постройте график функции у= - х 2 + 2х + 8 и найдите
с помощью графика :
а) значение функции при х=2,5; О; -0,5; -3;
6) значения аргумента, при которых у . 6 ; О ; -2.
53. На чертите график функции у= 2х 2 + 8х + 2 . Пользуясь
этимграфиком, найдите:
а) значение у при Х= -2,3; - 0,5; 1,2;
б) значениях, при которых у= -4; -1; 1,7; О.
54. Постройте график функции :
а) у=(х-2)(х+4);
в) y=(x-l)(x+l);
6) у=(3-х)(х+2);
г) у=-х(х+5).
55. Постройте график функции: а) у=1⁄2х2 -4х+4;
б) у= -х2 -4х-5; в) y=0,2x2 -x+l,25; г) у=2х2 +О,3.
Найдите по графику, при каких значениях х значение у
равно нулю , больше ну ля; меньше нуля . В каком промежут
ке функция возрастает и в каком убывает? :Каково наиболь
шее или наименьшее значение функции?
56. Начертите график функции : а) у= - х2 + 8х - 11;
12
•
б) У=тХ +3х+з. Найдите по графику, при каких значениях
20
х значение у равно нулю, больше нуля, меньше нуля. Каково
наибольшее или наименьшее значение функции?
•
57. Найдите координаты точек пересечени:~~ графиков
функций:
.J:. 1 а) у=3х2 +11х-41 и у= -1Ох+49;
6) у=9х2-2Ох+15 и у=4х2+ lOx-25~
Упражнения для повторения
• 58. Разложите на множители:
а) 9х 2 +3х-2; б) 2х 2 -2ах+х-:-а.
59. Решите неравенство:
а) 5х - 0,7<3х+5,1;
б) О,8х+ 4,5~5-1,2х;
в) 2х+4,2 ~ 4х+ 7,8;
г) Зх-2,6> 5,5х-3,1.
60. Решите систему неравенств:
_ а) { 4х-21<0.' в) { 5 - 4х~10,.
х+З,5>0,
1-Зх< -2,
б) { 5х-9~0,
2х+7~0;
г) {3х-6>5,
1-4х>8.
61. Найдите координаты точек пересечения графиков :
а) у=3х2 и у=4х; б) у=2х2 и у= -5х+3.
62. Теплоход прошел 120 км по течению реки и возвра
тился обратно , затратив на весь путь 9 ч. Какова скорость
теплохода в стоячей воде, если скорость течения 3 км/ч?
§ 3 . НЕРАВЕНСТВА ВТОРОИ СТЕПЕНИ
5. СВОИСТВА КВАДРАТИЧНОИ ФУНКЦИ И
Пользуясь графиком квадратичной функции, легко узнать, ·
при каких значениях аргумента эта функция обращается в
ну ль, в каких промежутках она принимает положительные
значения и в каких отрицательные, в каком промежутке она
возрастает и в каком убывает, каково
наибольшее или наименьшее значение
;
этой функции.
На . рисунке 12 изображен график
функции у= - О,5х 2 + 2х - 1. Исполь
зуя его, найдем, что:
1) у=О при х1:=::;О,6 и х2:=:::;3,4;
2) у>О, если хЕ (х1; х2); у<О, если
хЕ( - =; х1) или хЕ (х2; +=);
3) функция возрастает в промежут-
у
-~7
о
/
/
,
1
'
х
\
'
\
\
Рис. 12
21
ке (- оо; 2] и убывает в промежутке [2; + оо );
4) функция принимает наибольшее значение, равное числу
1, при Х=2.
При рассмотрении свойств квадратичной функции
у = ах 2 + Ьх + с важную роль играют лишь , некоторые то,чi<и
ее графика. К ним относятся вершина параболы и точки, в
которых паР..1:1.~ола пер-есекает ось х -или касается оси х. Поэтому
часто достат0:чно изобразить график функции схематически,
отметив те точки, которые важны в данном конкретном
случае.
Для нахождения промежутков, в которых квадратичная
функция сохраняет знак, достаточно начер тить ,параболу схе
матически, учитывая направление ветвей и отмечая точки
пересечения или касания этой параболы с о сью х (если они
имеются).
Для нахождения промежутков возрастания и убывания
квадратичной функции и ее наибольшего или наименьшего
значения следует отметить в ,координатной плоскости вершину
параболы и, учитывая направление ветвей, начер тить .эту па
раболу схематически.
Пр им ер 1. Найдем, при каких значениях аргумента
значение функции у = х2 + х - 2 равно нулю, больше нуля,
меньше ну ля.
Графиком функции у = х2 + х - 2 является парабола, ветви
которой направлены· вверх. Выясним, имеют ли парабола и
ось х общие точки. Решив уравнение х2 + х - 2 = О, найдем,
что его корнями являются числа - 2 и 1. Значит, у = 0 при
Х=-2иX=l.
Отметим в координатной плоскости точки ( - 2; О) и (1 .; . О)
и проведем через них схематически параболу (рис. .13). Ис
пользуя рисунок, получаем, что
у>О,еслихЕ(- оо;
-
2) или х,Е(1; +оо);
у< О, если хЕ (-2; 1).
П р и м е р 2. Найдем промежутки возрастания и убывания
функции у = х2 + 6х + 9 и ее наименьшее значение.
Гра·фиком функции у = Х-2 + 6х + 9 является парабола, вет
ви которой направлены вверх. Вычислим координаты вершиюя
параболы:
·ь
6
m=--
=--
= -3 n= (-3)2+6(- 3)+9= -0.
•2а •
2•'
22
у
.1
у
у
\
\
/
\
J
,
1
1/
•· .:
J
1\
J
'
,
О1'
-2,о~7
х
-з
о
х.
х
Рис. 13
Рис. 14
Pi:rc. 15
Отметим в .координатной плоскости вершину ( - 3; О) и
проведем через нее схематически параболу (рис. 14). Исполь
зуя рисунок, получаем, что функция у= х2 + 6х + 9 возрастает
в промежутке [.-: - 3; +оо) и убывает в промежутке ( - оо ; - 3 ].
Наименьшее значение функции равно О.
Пр им ер 3. Найдем, при каких значениях х значение
функции у= - 3х 2 + 6х - 4 равно нулю, больше нуля, меньше
нуля, а также промежутки возрастания и убывания этой
функции.
•• Графиком функции у = - 3х 2 + 6х - 4 является парабола,.
ветви которой направлены вниз.
Чтобы выяснить, имеют ЛИ ) парабола у ось х общие точ
ки,. решим уравнение - 3х 2 + 6х - 4 = О. Оно равносиль.но урав
.пению
3х2 - 6х + 4 = О. Находим дискриминант этого урав
нения:
D=36.- 48:= -12 .
Так как D< О, то уравнение корней не имеет. Это озна
чает, что парабола у= - 3х2 + 6х - 4 не имеет общих точек
·с осью х.
Вычислим координа.ты. вершины параболы:
m=- 2
.(~ 3)=1, n=-3 · 1 2 +6Ll-4=-1 .
~',
Отметим в • координатной плоскости вершину (1;.
-1) и
цщр.05..едем через нее схема тичееки параболу (рис. 15). Используя
рисунок, получаем, что функция у= - 3х2 + 6х - 4 возрастает
в промежутке (- оо; 1] и убывае.т в промежутке [1; + оо ).
Эта функция при любом значении х принимает отрицатель
ные значения.
23:
63. При каких значениях х квадратичная· функция при
нимает положительные значения и при каких отрицательные:
а) у=4х2 +х-3;
г) у · - х2 +1Ох----'25;
б) у = -6х2 +х+1;
д) у = -3х2 +3х-5;
е)у=-1⁄2-х2+ 4х+ 10?
64. Найдите . те значения
которых у< О, если:
х, при которых у> О, и те, при
а) у=2х2 +х. -6 ;
6) у=16х 2 -8х+1;
в) у=-9х2+12х-4;
г) у= - 0,5xl+5x-12 .
65. Для каждой из функций у= О,2х2 + Зх + 10 и
у= -10х2 +х +О ,6 найдете значениях, при которых:
а)у>О;
6) у<О;
в)у~О; г)у<_О.
66. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) y=0,2x2 +1,6x+l,2; в) у= -О ,7х 2 -2,8х+4,8;
6) у=4х 2 - 2Ох+25;
г) у= - 3,5х2 +2,3.
67. В каком промежутке возрастает и в каком убывает
функция:
,
а) у= -О,2х2-2х-2,5; в) у= -100х2+1;
б) у=6х2 -18х+16;
г) у=-1⁄2-х2 -2?
68. Дана функция у= - 0,4х2 + 2х - 1,6. При каких зна
чениях х значение у равно нулю, больше ну ля и меньше
нуля? В каком промежутке эта функция возрастает и в ка
ком убывает? Найдите наибольшее или наименьшее значение
этой функции .
69. При каких значениях, х значение функции у= О,2х2 +
+1,2х-3,2 равно нулю, больше нуля и меньше нуля? В ка
ком промежутке эта функция возрастает и в каком убывает?
Найдите наибольшее или наименьшее значение этой функции.
Упражнения для повторения
70. :Как расположен в , координатной плоскости график
функции: а) у=-8х 2 ; б) у=1,6х 2 ? В каком промежутке эта
функция возрастает и в каком убывает?
71. Найдите координаты точек пересечения графиков
функций:
а) у=5х2 -23 и у= -3х2 +1;
б) у= -3х2 -1Ох+2 и у=4х-3.
72. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) О,25х2 +2х - 5;
в) 2у2 +1sу+З6;
б) -х2 +11х-24;
г) -17х 2 +34х.
24
73. Сократите дробь:
.
4-х -
б) 4х 2 +зох-l6
а) ---- ·
3х2 +3х-60'
2х-1
• 7 4. После двух последовательных снижений цен на одно
и то же число процентов цена на пальто снизилась с 200 р.
до 162 р. На сколько процентов снижалась цена на пальто
каждый раз?
6. РЕШЕIПIЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОИ СТЕПЕIПI
С ОДНОИ ПЕРЕМЕННОИ
Неравенства вида ах2+Ьх +с> О и ах2+Ьх +с< О, где
х-переменнаяиа,Ьис
-
числа, ' причем а =I= О , называют ·
неравенствами второй степени с одной переменной .
Решение неравенства второй степени с одной переменной
можно свести к нахождению промежутков, в которых соответст
вующая квадратичная функция принимает положительные
или отрицательные значения.
Приведем примеры решения неравенств.
Пример 1. Решим неравенство 5х2+9х- 2< О.
Рассмотрим функцию у= 5х2 + 9х - 2 . Графиком этой
функции является _ парабола, ветви которо й направлены вверх .
Решим уравнение
Имеем :
5х2 +9х - 2=0.
D=81+40=121,
- 9+11
Х= 10
1
Х1=
-
2,Х2=5
.
Следовательно , парабола пересекает ось х в точка х с абсцис-
1
сами - 2 и 5 . Изобразив схематически эту параболу (рис. 16),
найдем,чтоу<О,еслихЕ(- 2; +).
Ответ: ( -2; -}) .
Пример 2. Решим неравенство 5х2+9х- 2>О.
График функции у= 5х2 + 9х - 2 схематически изоб р ажен
на рисунке 16. Из рисунка видно, что у> О в каждом из проме-
жутков(- 00; - 2)и(+; +00).
Говорят, что множество решений неравенства является
25
.
1'
у
j
у
-
у
I.
/
\
j
/
\
'
1/ --~ f--
1'-
j
\
j
0/
4
-7
-2\. 1
х
о
~
~
х
о1
х
5
j
1\
/.
•
'
'
j
\
I
\
Рис. 16
Рис. 17
Рис. 18 •
объединением промежутков ( - оо ; - 2) и ( ~, ; + оо} . Объеди
нение промежутков можно записать с помощью знака U сле
дующим образом: ( - оо;
-
2)U(+; +оо).
Пр им ер 3. Решим неравенство
-
: х2+2х-4<О.
Рассмотрим функцию у = - : х2 +2х - 4 . Графиком этой
функции является парабола, ветJ:!и которой направлены вниз.
Решим уравнение
Имеем:
х2-8х+16=0,
--°- = 16- 16= 0,
4
Х=4..
Значит, парабола касается оси х в точке с абсциссой 4.
Изобразив схематически эту параболу (рис. 17), найдем, что
у< О при любом х, не равном 4.
Ответ можно записать так: х =1=- 4, или так: (- оо; 4) и
(4; + оо ). Возможна и такая запись ответа: ( - оо; 4)U(4; + оо ).
Пример 4. Решим неравенство х2- 3х+4>О.
Рассмотрим функцию у= х2 - 3х +4. Графиком этой функ
ции является парабола, ветви которой направле ны вверх.
Решим уравнение.
Найдем дискриминант:
D=9-16= - 7.
26
Уравнение не имеет корней, так как D < О. Поэтому па
рабола не имеет. общих точек с осью х. Изобразив •параболу
схематически (рис. 18), найдем, что у> О при любом значении х.
t:Ответ:(-
=;+=).
75. Решите неравенство:
а) х2 -х-9O<0;
)
2
•
б 6х -7х+2>O;
в) -i2 -2x+48<O;
г) 8х2 +1ох - 3>O;
1•
-j~·-+-
.
?
J_1
д) 25х - ~1Ох+1::>О;
е) 4.9х2 -28х+4 < O;
ж) -х2 -12х-1OO<O;
з) 4х2 -4х+15<O.
76. Найдите множество решений неравенства:
а) 2х2 + 3х - '5;;;:,О;
в) зх+х2 :::;;;о;
б) - 6х2 +6х + З6;;;,,О; г) -х 2 +5:::;;;О.
77. Решите неравенство:
.а) 2х2+1зх-7>O;
б) - 9х2 +12х-4<O;
в) 6x2 -13x+s:::;;;o;
78. Решите неравенство:
г) -2х2 -5х+18:::;;;О;
д) 3х2 - 2х>О;
е) 8-х~<О.
а)х2<16;
в) О,2х2 > 1,8;
б) х2 ;;;:,з;
г) -5х2 :::;;;х;
д) 3х2 < -2х;
е) 7х<х2•
79. Решите неравенство:
;то,01х2 :::;;;1;
в)4х:::;;;-х2.;
)12 •
.
)12 1.
б 2х >.12,
г зХ· >g'
д) 5х2>2х;
е) -O,Зх< О,6х2•
80. Найдите множество решений неравенства:
а) 3х2+4ох+ 10< -х2+11х+з;
6) 9х2-х+9;;;:, 3х2+18х-6;
в)2х2+ sx- 111< (Зх-5)(2х+6);
г) (5х + 1)(3х - 1)>(4х-:-1)(х+2).
81. Решите неравенство:
;т2х(Зх-1)>-4х2+ 5х+ 9;
6) (5х+7)(х-2)<21х2- llx- 13. '
82. Найдите область определения функции:
а) у=✓2х-х2; 6) у= 24
✓х2 +4х+4
83. Докажите, что при любом значении переменной верно
неравенство:
12
а) 7х2-1ох+7>O; • в) 4х -8х+б4;;;:,О;
6) -6у2+11у - 1O<0; г) - 9у2 +6у- 1:::;;;О.
27
84. Докажите, чт_о при любом значении х верно нера-
венство:
а)4х2+ 12х+9~О,_ б) -5х2+8х-5<0.
85. Докажите, что: _
а) х2+7х-fт- 1 > -х2 + l0x-1 при любом х;
б) - 2х2+10х<18-2х при х =1=- 3.
86. Одна сторона прямоугольника на _7 . см больше другой.
Какой может быть эта сторона, если площадь прямоуголь-
ника меньше 60 см2? •
•
87. Длина прямоугольника на 5 см больше ширины. Ка
куюширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь
была больше 36 см 2 ?
Упражнения для повторения
88. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
у=х 2 -4х+1. Каково наименьшее значение этой функции?
В какой точке график этой функции пересекает ось у?
89. Найдите координаты точек пересечения графика функ-
ции с осями координат:
а) у= -10x2 -3x+l;
6) у=х 2 -35х+66;
в) у= -3,5х 2 +7х;
г) у •О,2х2 - 3,2.
90. Сократите дробь:
а) 2х2+х-6 . б) 8m3+27
6х 2 -11х+3'
6т 2 +1зт+6
91. Решите систему неравенств:
а) {2(х+2)>5(х - 1), б) {0,5m+3< - l
-
l,5m,
3+4х<2х+5;
2m-2,5<3,5m+0,5.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
К параграфу 1
92. Является ли число 10 - 2 -{5 корнем трехчлена
х2- 20х+ 80, а число -./2- 1 корнем трехчлена х2- 6х+ 1?
93. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) 2-х2+2-х-2·
)2
з
6
3
'
В -Х +4х-24;
б) -1⁄2-х2-+х-+;
г) О,_4х2 - х+О,2.
94. Найди те какой-нибудь кв адра т ный трехчлен, корнями
которогоявляютсячисла: а) - 7 и 2; 6) 3- -./2 и 3+ -./2.
95. При каком значении р выражение 2рх2 - 2х - 2р - 3
28
становится квадратным трехчленом, одним из корней кото
рого является число ну ль? Найдите второй корень.
96. Разложите на множители квадратный_ трехчлен:
а)-1⁄4-х2+ х-15; в) О,8х2- 19,8х-5; д) х2+ х-у2-4;
б) -6х2-5х+6; г)3,5-З1⁄2х+:х2; е) x2- 6x+ l.
97. Разложите на множители:
а) x2- 4x+l;
г) -2у3+3у2+2у;
б) х2 -х-,/3-5,5; д) тх 3 -т;
в) 6х3-х2+х; е) пу3+п.
98. Сократите дробь:
.
2т2 -8
а)---·
т2 +6т+8'
2т 2 -5т+2
б) тп-2п-3т+6 •
99. Упростите выражение:
) х+4_ 37х-12 .
) -т 2 +3т-7+т-2.
а
1
?
,
в
?
+з,
х-
4х--3х-1
2т-+7т+3 т
б) х-1
1-х
.
)9х2-4
_
х2+6х+5 2х2+3х-3
х+2 - х2 +зх+2' г х2 +4х-5 • 3х+2
х-1
100. Выполните действие:
а) х 2 +4х+З.х 2 -5х.
х-5
х+з '
б) х2 -16:х 2 +зх-4;
4х-12
х-3
101. Решите уравнение:
а)
35х
х+2 +3х-1=О ·
4+1Ох-6х2 • 3х+1 х-2
'
б) 25х-21
2х-3 х+4
2х2 +5х-12+ х+4 +3-2х=О;
в) 13
+ - 1-=_6_.
2у2 +у-21 2у+7 у2 -9'
г) -2_х_+'----9-
х -Зх-10
К параграфу. 2
х+15
х2 -25
102. При каком значении а график функции у =ах2 про
ходит через точку: а) (5;- 7); б) (--уЗ; 9); в) ( -+; -+) ;
г) (100; 10)?
103. Постройте график функции:
а) у=(3х+1)2-10х2 -6х-1;
б) у=х2+2х+4-( ~ х+2)2•
29
104. • Постройте·
график функции, заданной формулой
у= - 0, 25х2, где хЕ[-6; 2] ; Каково наибольшее и наименьшее
значение этой функции?
105. При каких значениях а множеством значений фун;IS
ции у =ах2 является промежуток: а) [О; + оо); б) (- оо; О]?
106. Докажите , что графики функций у = ах 2 и, у = ах
пересеr<аются-. в точке (1 ; а). В какой еще точке пересекаются
эти графики , если а* О?
107. пастройте график функции:
а) у=х 2 +2х-15 ;
г) у=6х-2х2;
6) у= О,5х2-3х+4;
д)y=(2x- 7)(x+ l);,
в) у=4 - О,5х2;
е) у=(2-х)(х+6).•
108. Докажите, что график ом уравнения является парабола:
а)x(2y_:_3x+ 4)+ y(3x- 2y+ l) •(х-2у)(у-2х);
6) (2х-3у)2-(у-6х)2=2(2у+1)2-5(х+2)2•
109. Найдите значения а и Ь, при которых график функ-
ции·у .ах2+Ьх-18 проходит через точки M(l; 2) и N(2; 10).
1 1О. Найдите множество значений функции:
•
1
12•
а) у=3х2-О,·5х+16;
в) у=-тх +4х-5,5;
6) у=2х2+1,2х+2;
г)у=- 3x2- 2x- 4f.
111. Постройте график функции:
а) у=(2х2-3х-2)(х-4); •б) =(х+2)(15-2х-х2)
х-2
У
х+5
•
112. При каких значениях аргумента фующия f принимает
положительные значения и при
а)f(x)=2x2- 67x- 300;
б) f(х)=-3х2+38х-120;
каких отрицательные, если:
г) f(х)=--1⁄4-х2-2х-9;
в) f(x) = : х2-1Ох+100;
д)f(х)=6х2- 10х+11;
е)f(х)=- 5x2fx- 20?
113. Найдите промежутки возрастания и уб~rвания функ-
ции :
а) у = 10х2 -8х+13;
6) у=-8х2+1ох-13;
в) у=25х2+2ох+4;
г) у=-4х2+2ох-25;
д) у=(7х-1)(2-5х);
е)у=(бх-5)(6х+5).
114. Функция задана формулой:
а)у= 7(х-3)2+5;
в) у=4х2-(х+3)2.
б)у=- 0,1(х+4)2+3,2;
Являетсл ли эта функция квадра тичной? Каково наибо.дьшее
или наименьшее значение этой функции?
115. Пусть · h - высота (в •метрах), на которой нах одится ·
брошенный с земли вверх мяч, t - время поле та мяча ( в се-
30
I~ундах). Зависимость h от t выражается формулой h = ·24t -
-
4,9t2 : Какой наибольшей высот~ достиг мяч? В какой про
межуток времени он поднимался и в·- какой опу~кался? Чере_з
· 0колько . секунд после броска мяч упадет на землю?
,;> fr, 116. Задайте формулой какую-либо квадратичную функцию,
которая:
а) в промежутке ( - оо;
-
3] убывает, а в промежутке
[-3; + оо) возрастает;
,':, .;•
б) в промежутке ( - оо; 6 ] возрастает, а в .промежутке
[6; + оо) убывает.
К параграфу 3
117. Решите неравенство:
а) х2-5х+6<0;
б) -р2 +7р - 6~0;
в) 3у2 +2у+5 ~ о;·
118. Является ли число
х2 -26х+944> О?
г) 4р2-36р+81~0;
д) 3х2>7-4х;
е) -2т2 -10т~41.
1001 решением неравенства
119. Докажите, что при любом значении х верно неравен -
ство:
а) 2(х+1)(х-3)>(х+5)(х-7);
б) ~ (х+5)(х-7)~(х+ 2)(х - 4).
120. Найдите область определения функции:
а)у= 1
) _ ✓16-24х+9х2 •
✓144 - 9х2
ВУ- х+2 '
б) = ✓х2-х-42.
)
х-3
У
х-11 '
Г у = -;=====
✓-х2+х+зо
121. Найдите общие решения неравенств х2 + 6х - 7 ~ О и
х2 - 2х-15~0.
122. Решите систему неравенств:
а) {21х2+39х-6<0, д) {х2-3х-4<0,
х<О;
•
3х ~ 12>0;
б) {4х2+5х-6>0,
е){х2+7х+10<0,
х>О;
х - 1,5>0;
в) { х2 -144>0,
ж){ 2х2 + 5х+2<0,
х-3<0;
4х-3,6<0;
г) { х2 +5х<О,
з) {3х2-7х+128>0,
х+7> О;
5х-1,8<0.
123. Решите систему неравенств:
,,··., ~){х2 +х- 6<0, . б){х2+4х-5>0,
.r;
-х2+2х+3>О;
х2 -2х - ~<0.
·31
.,,
ГЛАВА
и
m
УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§ 4. УРАВНЕIПIЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
7. ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО СТЕПЕНЬ
В каждом из уравнений
2 (х 2 +1) (х-1)=6х-(х+7)
х4- 1
_
х2+1 = Зх2
4
2
(1)
(2)
левая и правая части являются целыми выражениями. Такие
уравнения называются целыми уравнениями.
В уравнении (1) раскроем скобки, перенесем все члены в
левую часть и приведем подобные члены. Получим:
2х3-2х2+2х-2=6х-х -7,
2х3- 2х2+2х-2 -6х+х+7=О,
2х3 -2х2 -3х+5 =0.
Выполним аналогичные преобразования в уравнении (2),
умножив предварительно обе его части на 4. Будем иметь:
х4 -1 - 2 (х2 +1)=12х2,
х4-1-2х2 - 2 = 12х2,
х4 -1 - 2х2 -2-12х2 =0,
х4-14х2-3=0.
В каждом из рассмотренных примеров мы выполняли такие
преобразования, которые приводят к уравнению, равносиль
ному данному. В ре~ультате получили уравнение, имеющее вид
Р (х)=О, где Р (х) - многочлен стандартного вида. Вообще
всякое целое уравнение можно заменить равносильным ему
уравнением, левая часть которого - многочлен стандартного
вида, а правая - ну ль.
Если уравнение с одной пере~енной . записано в виде.
Р (х)=О, где Р (х) - многочлен стандартного вида, то степень
32
этого многочлена называют степенью уравнения. Например,
уравнение х3 - 2х + 1 = О является уравнением третьей степени.
Степенью произвольного целого уравнения называют сте
пень равносильного ему уравненюr вида Р (х)=О, где Р (х) -
многочлен стандартного вида. Например, для уравнения
имеем:
(х3- 1)2+х5= х6- 2
х6-2х3+ 1+х5-х6+2=0,
х5-2х3+3= О.
(3)
Степень полученного уравнения равн а пяти. Значит; степень
равносильного ему уравнения (3) также равна пяти.
Уравнение первой степени можно привести к виду ах+ Ь = О,
где х - переменная, а и Ь
-
некоторые числа, причем а -=1=- О.
ь
ь
.
Отсюда.ах=-Ь, х=-- .
Число -- - корень уравнения.
а
а
Каждое уравнение первой степени имеет один корень.
Уравнение второй степени можно привести к виду
ах2+Ьх+с=0, где х- переменная,а, Ьис
-
числа, причем
а-=1=- О. :Корн и этого уравнения при D~О, где D= Ь2- 4ас, на
-
ь+-.jv
ходят, как известно, по формуле Х = 2--;;
.
Если D > О, то уравнение имеет два корня; если D = О,
то уравнение имеет один корень; если D < О, то уравнение
корней не имеет. Любое уравнение второй степени имеет не
более двух корней.
Уравнение третьей степени можно привести к виду
ах3 + Ьх2 + сх + d = О, уравнение четвертой степени - к виду
ах4+Ьх3+сх2+ dx+ е=О, где а, Ь, с и т. д. - некоторыечисла,
причем а -=1=- О. Можно доказать, что уравнение третьей степени
имеет не более трех корней, уравнение четвертой степени -
не более четырех корней. Вообще уравнение п-й степени
имеет не более п корней.
Для уравнений третьей и четвертой степеней известны фор
мулы корней, но эти формулы очень сложны. Для уравнений
пятой и более высоких степеней общих формул корней не
существует.
На практике для решения уравнений третьей и более высо
ких степеней используют различные методы, позволяющие
находить приближенные значения корней с любой точностью.
2 За1щз . 201
33
Заметим, что иногда удается решить уравнение третьей или
более высокой степени, применяя :какой-либо специальн~й
прием. Например, некоторые уравнения нетрудно решить с
помощью разложения многочлена на множители.
Пример. Решимуравнение
х3 -8х2 -х+8=0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
(х3-8х2)-(х-8)=0,
х2(х-8)-(х-8)=0,
(х-8)(х 2 - 1)=0,
(х-8) (х-1) (х+ 1)--: -0.
Из условия равенства нулю произведения следует, что
х-8=0 или х-1=0 или х+1=0.
Отсюда находим, что уравнение х3 - 8х 2 - х +8 = О имеет три
корня:
34
124. Какова степень уравнения:
а) 2х2-6х5+1=0;
г) (x+S)(x-7)=0;
б) х6- 4х3- 3=О;
д);-:=5;
в) +х5=0;
е) 5х3 -5х(х 2 +4)=1?
125. Решите уравнение:
а) (8х -1)(2 х-3)-(4х - 1)2=38;
б) (lбx-l)?+lEx)_(3x + 1)(25x-2)=20:;
в) О,5у 3 -О,5у (y+l) (у - 3) =7;
) 4_ 2_(1+2х 2)(2х 2 -1)
ГХ
Х-
4
.
126. Решите уравнение:
а) (6-x)(x+6)-(x - ll)x = 36;
б) 1-Зу 3-у _
.
11--5--О ,
в) gх2_(12х -1 1)(Зх+8) l·
4
'
г) (у+1)2
12
1-у2
24=4.
127. Докажите, что уравнение 5х6 + 6х-4 + х2 + 4 = О не имеет
Й:корней.
128. Может ли уравнение 12х5 + 7х3 + llx - 3 = 121 иметь
отрицательные корни?
129. При каких значениях а корнем уравнения ах-8=0
является целое число?
130. При каких значениях р корень уравнения 9х = р - 2
отрицателен?
131. При каких значениях Ь уравнение имеет два корня:
а) 2х2 +6х+Ь=0;
в) 3х 2 +Ьх+3=0;
6) 5х2-4х+3Ь=0;
г) х2-Ьх+5=0?
132. При каких значениях v уравнение имеет один корень:
а) 3x2 -6x+2v = 0;
в) x 2 -3vx+18=0;
6) 5х2+ 2vx+5=0;
г) 2x2 - 12x+3v =0?
133. При каких значениях t уравнение не имеет корней:
а) 6x2+tx+6= 0;
в) 2x2 -15x+t = 0;
6)12x2+4x- t=0;
г) 2x2 +tx+18=0?
134. Решите уравнение:
а) у 3 -6у=0;
6) 6х4+3,6х2=О;
в) х3+3х=3,5х2;
г) х3 - 0,lx = О,3х2;
135. Решите уравнение:
а) О,7х4-х3= 0;
6) О,5х3- 72х=О;
в) х3+4х=5х2;
д) 9х3-18х2-х+2=0;
е) у4 - у3 - 16у2+16у=0;
ж)рз-Р2=р-1;
з) х4-х2=3х3-3х.
г) 3х3-х2+18х-6=0;
д) 2х4-18х2= 5х3- 45х;
е) 3у2 -2у=2у3 -3.
Упражнения для повторения
136. Разложите на множители многочлен :
а) 6аЬ-9Ь+2а-3; 6) 12х3 -21х 2 - 16х+28.
137. Постройте график функции у = х2 - 3.
138. Решите неравенство:
а) х2 - 1Ох+21<0;
6) х2-8х+16>О;
в) 3х2 -14х+16~0;
г) 5x2 - 6x+l~O .
8. УРАВНЕIШЯ, ПРИВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ
Уравнения, степень которых выше двух, иногда удается
решить, введя новую переменную.
2*
Рассмотрим примеры решения уравнений этим методо м.
Пример 1. Решимуравнение
(1)
35
Если левую часть этого уравнения преобразовать в много
член стандартного вида, то получится уравнение
х4-10х3- 5х2+150х-216= О,
для которого трудно найти способ решения.
Однако можно воспользоваться следующей особенностью
уравнения (1): в его левой части переменная х входит толь
ко в выражение х 2 - 5х, которое встречается в уравнении
дважды - один раз в квадра1'е, другой раз в первой степени.
Это позволяет решить данное уравнение с помощью введения
новой переменной. Обозначим х 2 - 5х через у:
х2 - 5х=у.
Тогда уравнение (1) сведется к квадратному уравнению
с переменной у:
(2)
Решив уравнение (2), найдем, что оно имеет два корня:
Yi=- 6,
У2=36.
Отсюда
х2-5х= -6 или х2-5х=36.
Решив уравнение х 2 - 5х =
-
6, найдем, что
Решив уравнение х2 - 5х = 36, найдем, что
Х3=- 4,
Значит, уравнение (1) имеет четыре корня:
Х1=2, Х2=3, Хз=-4,Х4=9.
Метод введения новой переменной позволяет легко решать
уравнения четвертой степени, имеющие вид ах 4 + Ьх 2 +с= О.
Уравнения вида ах4 + Ьх 2 + с= О, где а#- О, являющиеся квад
ратными относительно х 2 , называют биквадратными урав
нениями.
Пр им ер 2. Решим биквадратное уравнение
4х4- 5х2+1=О.
(3)
Для этого введем новую переменную, обозначив х 2 через у:
Х2=у.
36
Полу чим квадратное уравнение с пере менной у:
4у2-5у+1= 0.
Решив его , найдем, что
Значит,
Х2= ~ ИЛИ Х2=1.
Из уравнения х2 = : находим, что
1
1
Х1=-2,Х2=2.
Из уравнения х 2 = '1 находим, что
х3=- 1,х4=1.
Итак, уравнение (3) имеет четыре корня:
1
1
Х1=-2
, Х2=2,Хз=- 1,Х4=1.
139. Решите уравнение , используя введение новой пере-
менной :
а) (5х2-4)2+6 (5х2-4)-7=0;
6) (х2 -9)2 -8 (х2 -9)+7=0;
в) 2(у2-\-2у)2-7(у2+2у)= - 3;
г) (Р2 +2Р+4)2-7 (Р 2 +2р+4)= -12 .
140. Реши те уравнение:
а) (р2-5)2-3(р2-5)-4=0;
6) (х2+2х+3)2-2~х2+2х+3)=3;
в) (2а2+3а)2-7(2а +за)= - 10.
141. Решите биквад р атное уравнение:
а) х4+х2-2=0;
г) 16х4-10х2+1=0;
б) у4-7у2-144=0;
д) р4+2р2+3=0;
в)3624- 1322+ 1=0;
е) 9у4-6у2+1=0.
142. Найди те корни бик ва дратного уравнения:
а) х4-25х2+144=0;
г)t4- 2t2- 3=0;
6) y4+ 14if2+ 48=0;
д) 2х4-9х2+4=0;
в) х4-4х -[-4 = 0;
е) 5у4-5у2+2=0.
143. Найди те координаты точеr{ пересечения с осью абсцисс
графика функции:
а) у=х4-10х2+9;
б) у=х4- 2х2- 3;
в) у=х4 -[-2х2 +6;
г) у=х4 +36х2•
37
144. Реши те уравнение:
а) (x2 -l)(x2 +1)-4(x2 - 11)= 0;
6)3x2(x- l)(x+ l)- 10x2+4=0.
145. Решите уравнение:
а) х5+х4-6х3-6х2+Бх+Б=0;
6) х5- х4- 2х3+2х2- 3х+3=О.
Упражнения для повторения
146. Постройте график функции:
4
а) у=-; 6) у= - 3х+6.
х
147. При каких значениях р;
а) уравнение 3х2 +2рх+5 = 0 имеет два корня;
6) уравнение 6х2 - 4х +р = О не имеет корней?
148. Решите неравенство:
а) 25х2 +6х~О;
6) х2 -169>0;
в) у2<lOy+24;
г) 15у2 -30>22у+7.
9. ГРАФИЧЕСКИИ СПОСОБ Р};:ШЕIШЯ УРАВНЕIШИ
Пусть требуется решить уравнение
5,5-0,5х 2 = _!?_.х
Построим в одной системе координат графики функций
у=5,5 - О,5х2 и у = _!?_ (рис. 19). Мы видим, что графики
х
пересекаются в трех точках: А, В и С. Нетрудно понять, что
других точек пересечения у графиков нет.
Абсциссы точек пересечения
графиков
функций
у=5,5 - О,5х 2 и у = ~ являются теми значениями х, при
2
5
которых выражения 5,5 - О,5х и
-
принимаю'l' равные
х
.значения, т. е. являются корнями уравнения 5,5 -О,5х2 = _!? _.
х
С помощью рисунка можно найти приближенные значения
этих корней. Абсцисса точiш А приближенно равна - 3,7;
абсцисса точки В приближенно равна 1,0; абсцисса точки С
приближенно равна 2,7. Значит, уравнение имеет корни:
х 1 ~ - 3,7, Х2 ~1,О, х3 ~2,7. Выполнив проверку, можно убе
диться, что числа - 3, 7 и 2, 7 являются приближенными
значениями корней, а число 1,0 - точным значением, т. е.
X2= l.
38
у
7
6
5
1. ,.
у 5,5 О,5х2
J
2
-4
-3
-2
-
1D
-1
А
2
-3
Рис. 19
5
ух
в
2
с
3
ч
5х
Рассмотренный способ решения уравнений называется
графическим.
Приведем еще один пример. Решим уравнение
х3+х-4=0.
Приближенные значения :корней можно найти с помощью
графика функции у = х 3 + х - 4 . Корнями уравнения являются
абсциссы тех то чек графика, у 1~оторых ордината равна нулю,
т. е. абсциссы точек пересечения графика с осью х.
39
у
8
ухЗ
7
y--x+Zr
б
5
4
з
2
•~
- ::r
,
г
,_
1
-4
-3
-2
-1 11о
2!J4
5х
-2
-з
-4
Рис. 20
Однако удобно поступить иначе. Представим данное урав
нение в виде
и построим в одной системе координат графики функций
у= х 3 и у= - х + 4 (рис. 20). Графики пересекаются в одной
точке, абсцисса которой приближенно равна 1,4. Значит, урав
нение х3 + х - 4 = О имеет единственный корень х ~ 1,4.
40
149. Постройте график функции у = х2 и, используя его,
ре шите уравнение:
а) х2=х+2;
6) х2=-О,4х+2.
150. Решите графически уравнение, предварительно пред
ставив его в виде х2=ах+Ь:
а) х 2 +1,5х-2,5=0;
6) х2-2х-3=0.
151. Решите уравнение сначала графичЕ;ски, а затем ана
литически, используя формулу корней квадратного уравнения:
а) х2 =0,5х+з;
6) х2 - Зх+2=0.
152. Постройте графю< функции у=~ и, используя его,
х
решите уравнение:
8
а)7=-х+6; 6)~=-х;
х
8
в)-
=2x+l.
х
153. Решите графически уравнеющ:
6
6
а)- =х; б)
-
= -х+6.
х
х
154. С помощью графиков выясните, с1<олько решений
1
может иметь уравнение - =ах+Ь, где а и Ь
-
некоторы е
х
числа.
155. Реши те графически уравнение:
а) ~=0,5х2-10; б) ..!_=0,25х2-4.
х
х
5
2
156. С помощью графиков функций у = -
иу=х+1ре
х
'>
2
шите уравнение ~= х + 1.
х
157. Ре шите графически уравнение:
а) О,5х3=2х-1; б) О,5х3=х2-6х+9.
158. Пос тройте график функции у = х 3 и, используя его,
_реши те урав не ние:
а) х3-4х=0;
6) х3+2х-4=0.
Упражнения для повторения
159. Ре ши те уравнение:
а) х4-8х2+15=0;
б) х4+5х2-14=0;
в) у4+15у2+56=0;
г)z4-7z2+6=0.
НЮ. Найдите корни уравнения:
а) 2х3-14х2+х-7=0; в) х3+4х2-15х-60=0;
6) 4х3+5х2=64х+8О;
г) х3+21х=8х2+168.
161. Найдите, при каких значениях х: '
а) трехчлен - х2 + 6х - 8 принимает положительные ·зна
чеюrя;
6) трехчлен 2х2 - 9х - 45 принимает отрицательные зна
чения.
162. Два автомобиля выехали одновременно из пункта А
в пункт В, расстояние между которыми 540 км. Первый ав
томобиль ехал со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и
поэтому прибыл в пункт В на 45 мин раньше второго. Найди
те скорость каждого автомобиля.
§ 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
10. ГРАФИЧЕСКИИ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
В этом параграфе мы будем рассматривать уравнения с
двумя переменными и их системы.
Введем сначала понятие степени целого уравнения с не
сколькими переменными. Степень уравнения с нес1юлькими
переменными определяется аналогично степени уравнения с
одной переменной.
Если левая часть уравнения с несколькими переменными
представляет собой многочлен стандартного вида, а правая -
1
число ну ль, то степенью уравнения называют степень этого
многочлена.
Например,
2х - 5у - 3 = О - уравнение первой степени,
16х4у + 4х3у3 + 27ху + 1 = О - уравнение шестой степени.
Степенью . произвольного целого уравнения с нес1~олькими
переменными называют степень равносильного ему уравне
ния, левая часть которого - многочлен стандартного вида, а
правая - ну ль. Так, чтобы определить степен ь уравнения
(хз+у)2=хб- 1,
представим его в виде
2х3у+v2+1= 0.
Полученное уравнение, а значит, и исходное является уравне
нием четвертой степени.
Ранее мы рассматривали системы уравнений первой сте
пени с двумя переменными. Теперь мы займемся решением
систем, составленных из двух уравнений второй степени или
из одного уравнения первой, а другого второй степени.
42
,у
ц,
б
у xz +2х+5
5
в
с
+1,
4
.3
~1-
.,_
т--
2
f
,Г
-5
-4-
-3
_,,
-7о
2t3
5х
-7
-2
.J ..
'
-J
D
i±
:::
-Lf
,_
А
-5
-t
,:r .
'-6
Рис. 21
Рассмотрим пример решения системы уравне ний с двумя
переменными графичесю1м способоl\-I,
Пусть требуется решить систему уравнений
{х2+у2=25,
у= -х2 +2х+5.
Построим в одной системе координат графики уравнений
о
~
2
х- + у· = 25 и у = -х + 2х+5 (рис. 21). :Координаты любой
точки построенной окружности являются решением уравне
ния х 2 + у 2 = 25, а координаты любой точки параболы являются
решением уравнения у = - х2 + 2х + 5. Значит, :координаты
43
каждой из тоя:е1~ пересечения окружности и параболы удовле
творяют как первому уравнению системы, так и второму, т . е.
являются решением рассматриваемой системы. Используя
рисунок, находим приближенные значения координат точек
пересечения графиков: А ( - 2,2; - 4,5), В (О; 5), С (2,2; 4,5),
D (4; - 3). Следовательно, система уравнений имеет четыре
решения:
Х1~-2,2, Yi~ - 4,5;
Хз ~ 2,2, Уз~ 4,5;
Х2~0, У2~5;
Х4~4, У4~ -3 .
С помощью проверки можно убедиться, что второе и четвер
тое из этих решений являются ·rочньп1rи, а первое и третье -
приближенными.
Заметим, что так :как решением системы уравнений с
двумя переменными является пара чисел, то при графиче
ском способе решения систем находят обе координаты точек
пересечения графиков - абсциссу и ординату.
163. Является ли пара чисел (-1; 3) решением уравнения:
а) х2 -у+2=0;
6) ху+у=б?
164. Является ли решением системы уравнений
{х2+у2= 5,
6х+5у= - 4
пара чисел: а) (- 2; 1); 6) (1; - 2)?
165. Определите степень уравнения:
а) х2+у2 +2х=0;
г) х(1 - у)=4;
б) х-у - 1,2=0;
д) (х2 - 2у2)2=5у;
в) х5-5х4у2+х2у=О; е) 7x8- 12xy+ y--:- 7x2 (x6+ l).
166. Реши те графически систему уравнений
{у-х2=0,
2х-у+3=0
и сделайте проверку.
167. Покажи те с помощью графиков, что система урав
нений
{х2+У2=25,
у=х2-6
имеет че тыре решения, и найдите их.
168. Решите графически систему уравнений:
{ х2+у2=100,
у=+х2-10.
44
169. С помощью графиков решите систему уравнений:
а){ху=6, _
.
б) { (х-3/+(у-4)2 =4,
2х-3у-6,
у-х=0.
170. Решите графически систему уравнений:
а) {х2+у2=16,
б) { ху=8,
х+у+2 = 0;
х+у+3 = 0.
171. Изобразив схематически графики уравнений, выясни
те, имеет ли решения система уравнений, и если имеет, то
сколько:
а){у=х3,
ху = -12;
б){у=х2+в,
у=-х2+12;
172. Решите графически
а) {t ;(+(у-5)2=9,
в){ :
~
2
71,
х
г){х2+у2=9,
(х-10)2+у2= 16.
систему уравнений:
б) {у-х2=0,
х+у=6.
Упражнения для повторения
173. Решите систему
а) {llx- 9y= 37,
Х=1+2у;
уравнений способом подстановки:
б){ 16х-4у=5,
3х-у=2.
174. Решите систему
а) {5х + 2у=30,
3х+4у=-3;
способом сложения уравнений:
б) {2х- у=85,
5х-2у = 127.
175. Из колхоза в город, находящийся на расстоянии
72 км, отправился велосипедист. Спустя 15 мин навстречу
ему из города выехал другой велосипедист, проезжающий в
час на 2 км больше первого. Найдите, с какой скоростью ехал
каждый велосипедист, если известно, что они встретились на
середине пути.
11. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ ВТОРОИ СТЕПЕНИ
Рассмотрим сначала системы уравнений с двумя перемен
ными, составленные из одного уравнения второй степени и
одного уравнения первой степени. Такую систему всегда мож
но решить, воспользовавшись способом подстановки. Для
этого из уравнения первой степени выражают одну перемен
ную через другую и найденное выражение подставляют в
уравнение второй степени. Подучают уравнение с одной пе-
45
ременной, степень которого не выше двух. Решив его, находят
значения этой переменной, а затем вычисляют соответствую
щие значени.я другой переменной.
Пр им ер 1. Решим систему уравнений
(23
22-2
tх- ху-у
-
,
x+2y=l .
Выразим из второго уравнения переменную х через у:
X= l -2y.
Подставив в первое уравнение вместо х выражение 1-2у,
получим уравнение с переменной у:
(1-2у)2 -3 (1-2у) у-2у 2 =2.
После упрощения это уравнение примет вид:
8у2 -7у-1 = 0.
Решив его, найдем, что
1
у,=-:--, Y2= l.
.
8
Соответствующие . зна чени.я х можно найти, подставив
найденные значения у в одно из уравнений системы, напри
мер во второе уравнение. Удобнее, однако, воспользоваться
формулой х= 1 - 2у.
1
Подставив в формулу х = 1 - 2у значение у, =
-
8,по-
лучим:
х,=1-2•(- ~)=1~.
Подставив в формулу х = 1 - 2у значение у2 = 1, получим:
Х2=1-2•1=- 1.
И так, система имеет два решения:
1
1
•
х,=14,у,=-виX2=-l,Y2=l.
Ответ:(1~;- ~),(-1;1).
Если система составлена из двух уравнений второй степе
ни с двум.я переменными, то найти ее решения обычно бывает
трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить,
используя способ подстановки или способ сложения уравне
ний. Рассмотрим примеры.
46
П р и м е р 2. Решим систему уравнений
{ х2-у2=5,
ху=6.
Выразим из второго уравнения переменную у через х:
6
У=-;-.
Подставив в первое уравнение вместо у выражение
получим уравнение
Решив его, найдем, что
6
х'
Х1=
-
3, Х2=3.
6
И3 формулы у = -;- находим соответствующие значения у:
У1= - 2,У2=2.
Значит, система имеет два решения:
Х1= - 3,У1= -2ИХ2=3,У2=2.
Ответ: (- 3; - 2), (3; 2).
П р и м е р 3. Решим систему уравнений
{ х2-!-у2=313,
х2-у2=25.
Сложив почленно уравнения системы, найдем, что
2х2 = 338.
Отсюда
Х2 = 169,
Х1 = - 13, Х2=13.
Подс'l'авив в первое уравнение вместо х число -13, по
лучим:
169+у2= 313,
у2 = 144,
У 1= - 12, У2=12.
Мы нашли два решения системы: (-13; -12) и (- 13; 12).
Аналогично, подставив в первое уравнение вм:есто х число
13, найдем еще два решения:
(13; - 12) и (13;12).
47
Итак, система имеет четыре решения.
Ответ:(- 13; -12),(-13;12),(13; - 12),(13;12).
П р и м е р 4. Решим систему уравнений:
{ 3x+l0y - xy=4,
2х+Бу-ху=2.
Оба уравнения содержат произведение ху, взятое со зна
ком <<минус,>. Умножив второе уравнение на - 1, получим:
{3х+l0y-xy= 4,
-2х-5у+ху= - 2 .
Сложив почленно уравнения, будем иметь:
х+5у=2.
Отсюда
Х=2 - 5у.
Подставив во второе уравнение вместо х выражение 2 -- 5у,
получим:
2 (2-5у)+5у-(2-5у) у=2,
4- lOy+5у-2у+5у2=2,
5у2-7у+2=0.
Решив полученное уравнение, найдем, что
Y1=l, У2=0,4.
По формуле х = 2 - 5у вычислим соответствующие зна
чениях:
Х1=2-5,1=-3,
Х2= 2 - 5 •0,4=0.
И так, мы нашли, что система имеет два решения:
Xi=-3, Y1=l и Х2=0, У2=0,4.
Ответ:(- 3;1),(О;0,4).
176. Решите с пособом по д становки
а) {х2-2у2=7, в) {х2-5ху=10,
х=у+2;
х-5у=1;
б) {х2-2ху=7, г) {5ху-у2=9,
Х=3у+2;
2х-у=3;
систему уравнений:
д){х2+у2 10?,
3х-2у-2,
е) {2х2-3у2=24,
2х-3у=0.
177. Решите систему уравнений, используя способ подста-
новки:
48
а) {2ху-у=7,
х-5у=2;
6) {х2+2у= 18,
3х=2у;
в) fх2+4у=10,
lх-2у=- 5;
г) { 2х2 - ху=33,
4х-у= 17;
д){х-у
-
4=о,
х2 +/=8,5;
178. Решите систему уравнений :
е) { х-2у~1=0,
5ху+у =16.
а) {2х+4у=5(х-у), б) { u;-v 2 6 (и+v),
х2 -у2=6;
и-v =6.
1 79. Решите систему уравнений:
а){6(у-х)-50=у, б){P+5t=2(p+t),
у -ху=24;
pt-t=lO.
180. Решите систему уравнений
{у=0,5х2- 2,
у-х=2
сна чала графическим способом, а за тем аналитическим.
181. Решите систему уравнений графически и аналити
чески:
а) [х2+у2=25, б) {у=х2+1,
l х-у=5;
х+2у=5.
182. Решите си стему уравнений:
а) f х2 +ху-у2 =11, б) { х2 +ху-3у=9,
l х-2у=1;
3х+2у= -1.
183. Решите систему уравнений:
а) { х2 +у2 +3ху=-1, б) { и +2v=4,
х +2у= 0;
и2+иv-v= - 5.
184. Решите систему уравнений:
а) { x+y=lO,
в){ 2х+у=5,
1
1
5
1
1
+
-
+-=1,2;
~ у=12;
ху
б){~-у16, 3
г) { yl- 2\ 3,0,1.
у-~-20'
ху
185. Не выполняя построения, определите, пересекает ли
парабола у=х2- 8х+16 прямую 2х- 3у=О, и если да, то в
каких точках.
186. Не выполняя построения, найдите, в каких точках
пересекаются окружность (х - 5)2 + (у - 4)2 = 65 и прямая
3х-у+6=0.
187. Докажите, что прямая х - у = 4 имеет одну общую
точку с параболой у = х2 - 5х + 5, и найдите координаты этой
точки .
188. Докажите, что парабола у = 2х 2 - 5х + 1 и прямая
2х +у+ 3 = О не пересекаются.
189. Решите способом подстановки систему уравнений:
а) {х2+у2=12, б) {х2-у2=9,
ху=-6;
ху=20.
49
190. Решите систему, используя способ сложения урав-
нений:
а){х2-у2=7,
х2+У2=25;
б) {х2+2у2=228,
3х2-2у2=172.
191. Решите систему уравнений:
а) {x2+y2= l8,
в) {х2+у2=61,
ху=9;
х2-у2 = 11;
б){х2- У2•11,
г){х2- 2Ц2= 14,
ху=30,
х2 +2у- = 18.
192. Решите систему уравнений:
а) { xy+3x-4y=l2,
в) { х2 +3х-4у=20,
ху+2х-2у=9;
х2 - 2х+у= -5;
6) { 2х-3ху+4у=0, г) { у2 + Зх-у=1,
х+Зху-3у=1;
у2 +6х-2у=1.
193. Решите систему уравнений:
а) {ху+х=56, б) {3х-ху=10,
ху+у=54;
у+ху=6.
194. Не выполняя построения, найдите коорд:инаты точек
пеnесечения :
•
2
?
а) окружности х +у2 = 36 и парабоf':,r у=х-+6;
б) окружностей х2 + у2 = 16 и (х-2 /+ у~= 36.
Упражнения для повторс:юiя
195. Построив схематически графики уравнений, выяс
ните, сколько решений имеет система уравнений:
а) { у=х3.
у=15х;
196. Решите систему уравнений:
а) {13х-14у=30, в) {4х-6у=3,
х-у=2;
15x - 7y=l9;
б) { 2х+у=0,
г){3х+6у=8,
6х - 7у=6;
9х-12у=-11.
197. Реши те неравенство:
а) О,2х(х-1)-х(0,2х+О,5)<0,6х-4;
б) 1,2х(3- х)+О,4х(3х- 1)<х+1,1.
198. При I{аких значениях х:
а) трехчлен - х2 - 2х + 168 при:н:им:ает положительные
значения;
б) трехчлен 15х2 + х-2 принимае'l' отрицательные зна
чения? ·
50
12. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВIШНИИ
ВТОРОИ СТЕПЕНИ
3 а д а ч а. Периметр прямоугольника равен 80 дм. Если
основание прямоугольника увеличить на 8 дм, а высоту -
на 2 дм, то площадь прямоугольника увеличится в полтора
раза. Каковы стороны прямоугольника?
Р е ш е н и е. Пусть основание прямоугольника равно х дм,
а высота равна у дм.
По условию задачи периметр прямоугольника равен
80дм,т.е.
2х+2у = 80.
Площадь прямоугольника равна ху дм2• После увеличе
ния сторон основание прямоугольника будет равно (х + 8) дм,
высота (у+2) дм, а площадь будет равна (х+8)(у + 2) дм2.
По условию задачи площадь прямоугольника увеличится в
полтора раза, т. е.
(х+ 8) (у +2) = 1,5ху.
Итак, имеем систему уравнений
{ 2х+2у = 80,
(х+8)(у+2)= 1,5ху.
Решив ее, найдем, что
Х1=28,У1=12иХ2=24,Y2=l6.
Задача имеет два решения. Стороны прямоугольника
равны28дми12дмилиониравны24дми16дм.
199. Сумма двух чисел равна 20, а их произведение рав
но 96. Найдите эти числа.
200. Разность двух чисел равна 6, а их произведение рав
но 216. Найдите эти числа.
201. Периметр прямоугольника равен 82 см, а его диаго
наль равна 29 см. Найдите стороны прямоугольника.
202. Одна из сторон прямоугольника на 14 см больше
другой. Найдите стороны прямоугольника, если его диаго
наль равна 26 см.
203. Прямоугольный участок земли площадью 24 а обне
сен изгородью, длина которой равна 200 м. Найдите длину
и ширину этого участка.
2 04. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см,
а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого тре
угольника.
205. Из некоторого пункта вышли одновременно два отря
да. Один направился на север, а другой - на восток. Спустя
51
4 ч расстояние между отрядами было равно 24 км, причем
первый отряд прошел на 4,8 км больше, чем второй. С какой
скоростью шел каждый отряд?
206. От вершины прямого угла по его сторонам начинают
одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между
ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое
тело , если известно, что первое прошло за 6 с такое же рас
стояние, какое второе прошло за 8 с?
207. На каждой из сторон прямоугольника посТРоен
квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см 2 • !-Iай
дите стороны прямоугольника, если известно, что его пло
щадь равна 30 см2•
208. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2,
а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?
209. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см.
Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза
увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.
210. Два экскаватора, работая одновременно, выполняют
некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один эк
скаватор, работая отдельно, может выполнить этот объем ра
бот на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется
каждому экскаватору в отдельности для выполнения того
же объема земляных работ?
211. Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с
участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же ра
боте двух комбайнеров они закончат уборку урожая за 35 ч.
Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы
одному убрать урожай?
212. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать
некоторый участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За
сколько часов может заасфальтировать участок каждая бри
гада, если известно, что за 24 ч совместной работы они заас
фальтировали 5 таких участков?
213. Рационализаторы цеха разработали и внедрили в
производство усовершенствованный тип детали . Определите
массу детали нового и старого типов, если известно, что де
таль нового типа на 0,2 кг легче детали старого типа, причем
из 22 кг металла стали делать деталей нового типа на две
больше, чем делали деталей старого типа из 24 кг металла.
214. Из пунктов А и В, расстояние между которыми рав
но 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пе
шехода. Через 4 ч им осталось пройти до встречи 4 км. Если
бы из пункта А пешеход вышел на 1 ч раньше, то встреча про
изошла бы на середине пути. С какой скоростью шел каждый
пешеход?
215. Два поезда выходят одновременно из пунктов М и N,
расстояние между которыми равно 45 км, и встречаются через
20 мин. Поезд, вышедший из М, прибывает на станцию N на
52
9 мин раньше, чем другой поезд прибывает в М. Какова
~!<орость каждого поезда?
216. Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А
и В, расстояние между которыми равно 28 км, и встретились
через час. С какой скоростью двигал_ся каждый велосипедист,
если один прибыл в пункт В на 35 мин позже, чем другой в
пункт А?
Упражнения для повторения
217. Решите систему
а) {3х+у+4=0,
х2-у2=2;
уравнений:
б) f Y_; -f- -3x=2,
l х--ху = 3,36.
218. Не выполняя построения, найдите координаты точек
пересечения :
а) параболы у=х2 -3х+3 и прямой 2х-у - 1 = 0;
б) параболы у=2х2- х+1 и прямой х= 1,5.
219. Не выполняя построения, выясните, имеют ли общие
точки (если г,меют, то найди'J.'е их координаты):
а) оI<ружность х2 + у2 = 100 и прямая х+ у= 14;
б) окружность х2+у2= 64 и прямая х- у=12.
220. Ре шите неравенство:
а) х2-6х<0; б) 8х+х2~О; в) х2~4; г) х2>6.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ R ГЛАВЕ II
К параграфу 4
221. Решите уравнение:
а)х5- х3= О; б) х6= 4х4; в) О,5х0= 32х;
222. Найдите корни уравнения:
а) (а-2)(а+2)(а2 +4)=25а 2 - 16;
б) (x-l)(x+l)(x2+ 1)= 6x2-1.
223. Решите уравнение:
а) х3-х2-4(х-1)2=0;
б) 2у 3 +2у 2 -(у+1)2=0;
в) 5х3-19х2-38х+ 40= 0;
г)6x3- 3lx2- 3lx+6=0.
224. Решите у ра внение, используя метод введения новой
пере менной :
а) (х2 +6х)2-5 (х2 +6х) = 24;
б) (х2 - 2х- 5)2 -2 (х2 -2х-5)= 3;
в) (х2 +3х-25)2-2 (х 2 +3х-25)= -7 ;
г) (у+2)4 -(у+2;2=12.
225. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обрат
ных дробей через t, а другую через +:
а)х'-1+х+7=25.
б) х2-3х+ :-2 2,5.
х+7 х2 -1
'
'
х-2 х--Зх
53
226. Укажите подстановку, переводящую данное уравнение
в квадратное относительно новой переменной, и, используя ее,
решите уравнение:
а)(х2+2х)(х2+ 2х+2)= 3;
6) (х2 -х-16)(х 2 -х+2)=88;
в) (2х2 +7х-8)(2х2 +7х-3) - 6 = 0.
227. Решите биквадратное уравнение и вычислите сумму и
произведение его корней:
а) х4 -15х2 +50=0;
6) х4 -х2 -12 =0;
в) 36у4 -13у 2 +1=0;
г) 16у4+15у2-1=0.
228. Докажите, что:
а) число ✓з +-fi является корнем биквадратного уравне
ния х4-6х2+2=0;
6) число М является корнем 6иквадра тного уравнения
х4- 3х2+1=О.
229. При каких значениях с не имеет корней уравнение:
а) х4-12х2+с=О; 6) х4+сх2+ 100=0?
230. При каких значениях k уравнение x 4 -13x2 +k=0
имеет: а) четыре корня; 6) два корня?
231. Разложите на множители трехчлен:
а) х4- 20х2+ 64;
в)х4- 5х2- 36;
д) 9х4-10х2+ 1;
6) х4-17х2+16; г) х4-3х2-4;
е) 4х4 - 17х2+"71.
232. С помощью графиков выясните, имеет ли уравнение
корни и сколько:
а) ~=-х; б)х2=-6; в)х3=(х-4)2; г) х2=~.
х
х
х
233. Решите уравнение х3 = х двумя способами: графиче
ским и аналитическим.
234. Решите графически уравнение:
а)х2+1= ~;
в) _о__=6,5 - О,5х2;
х
х
6) _о__ =х2+2; г) --°--=0,5х3.
х
х
235. Используя график функции у = х2, решите уравнение:
а) х2-3х+4=0; 6) 2х2+4х+1= 0.
R параграфу 5
236. Решите графически систему уравнений:
а){у+х+х2=0, б) {х2+у2=25, в) {х+у=8,
х-у=10;
у=2х2-14;
(х+1)2+у2=81;
54
,.•1 г) {(х-2/+у2= 9,
у=х _:_4х+4;
д){х2+у2=10,
ху=3;
е){у=-х2+4,
у=[х[ .
237. Изобразив схематически графики уравнений, определи
те, имеет ли решения система уравнений и сколько:
а) {х2-~+11=0,
в){ у=[х[,
у+х=4;
13
б) { (х + з)2+(у+4)2 = 1,
2х -у=О.
(х-2)2+(у-1)2=4;
238. Сколько решений может иметь система уравнений
{х2+Y2= r2,
у=-х2+4?
239. При каких значениях r не имеет решений система
уравнений
{х2+y2= r2,
х+у=6?
240. При каких з начениях с имеет решения система
уравнений
{х2+у2=100,
х+у=с?
241. Решите систему уравнений:
а){х+3у=- 1;
г){2х2-3у2-5х-2у=26,
х2+2ху+у=3;
х-у=4;
б) {2х-у=1,
д) {4х2-9у2+х-40у=19,
ху-у2+3х=- 1;
2х-3у=5;
в) {2х+у-11=0,
е){3x2+ y2+ sx+ 13y=5,
2х+5у-у2-6=0;
х-у+2 = 0.
242. Найдите все решения систе мы уравнений:
а){х-у=4,
в) {2х-у=5,
(х-1)(у+1)=2ху+3;
(х+1)(у+4)=2ху-1;
б){y-x=l,
г){·x+y=l,
(2у+1)(х-1)=ху+ 1;
(х-1)(у+5)=у2- 12.
243. Решите сис тему уравнений:
а) {х2+у2=40, б) {х2+у2=52,
ху=- 12;
ху=24.
244. Решите систему уравнений:
а){х+у+ху=5, б) {x+xy+ y= lO,
ху+х-у=13;
ху-2х-2у=2.
245. Решите систему уравнений:
а) {(х+у)(х-у)=О, б) {х2+у2=25,
2х-у=1;
(х-3)(у-5)=0;
55
246. Реши те систему
а){ __l__+.2._=__l__
ху6'
2х-у=5;
б){ __l__
-
__ l_
ху20'
x+2y = l4;
1
г) {х2-у2=50,
х(у+1)= 0.
уравнений:
в){ х+у=14,
_::._+JL-2__l__.
ух-12'
г){ х-у=2,
х
у
5
у-~=6 .
247. Имеет ли решения система уравнений
t
( х2-3ху+у2+х+2у=8,
2х-5у=-1,
3у-х=2?
248. Имеют ли общие точки граф ики уравнений:
; - ~ = 1, х2-!--ху-2у2-х+у=5 и х+у=7?
249. Решите систему уравнений:
а) { x 2 +y2 +x+y=l8,
в){(х+у)2-2(х+у)=15,
х2-у2+х-у=6;
х+ху+У=11;
б) {х2у2 +ху= 72,
г) {(х+у)2 -4(х+у) = 45,
х+у=6;
(х- у)2 -2(х-у)=3 .
➔:h
250. Перемножив квадратные трехчлены х 2 + Ьх + 4 и
ах2 + х - 3; получили многочлен стандартного вид а ах 4 - 9х 3 +
+сх- 12. Найдите коэ ффициенты а, Ь и с.
251. Перемножив квадратные трехчлены х 2 - 3х + q и
3х 2 - 2х + с, получи ли многочлен стандартного вида
3х4 - llx3 + пх2 - 24. Найдите коэффициенты п, с и q.
252. Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше
их разности. Найдите эти числа, если известно, что разность
их квадратов равна 180.
253. Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы.
Если к первому числу прибавить удвоенное второе. число, то
получится 100. Найдите эти числа.
254. Разность квадратов двух чисел равна 100. Если из
утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то
получится 30. Найдите эти числа.
255. Найдите двузначное число, которое в 4 раза больше
суммы его цифр и в 2 раза больше произведения его цифр.
256. Если к числителю обыкновенной дроби прибавить 2,
а к знаменателю прибавить 3, то значение дроби не изме
нится. Если же к числителю прибавить 1, а к знаменателю
прибавить 6, то значение дроби уменьшится на f. Найдите
эту дробь.
56
257. Если к числителю обыкновенной дроби прибавить 1,
а к знаменателю прибавить 3, то получится дробь, равная
+. Если же из числителя вычесть 1, а к знаrv1енателю при
бавить 1, то получится дробь, при умножении 1соторой на
первоначальную
дробь.
1
получается 5 . Найдите первоначальную
258. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 м.
Если каждый катет увеличить на 3 м, то гипотенуза уве
личится на 4 м. Чему равна площадь этого треугольника?
259. При совмес1·ном действии двух труб ба~, может быть
заполнен за 12 мин . Если сначала пол бака наполнить через
одну трубу, а за тем полбака - через другую , то бак наполнится
за 25 мин. 3а сколько минут каждая труба , работая одна , могла
бы наполнить бак?
260. При одновременном действии двух труб бассейн напол
няется за 40 ч. Если бы одну треть бассейна наполнила первая
труба , а затем оставшуюся часть - вторая труба, то для напол
нения бассейна понадобилось бы 78 ч. 3а сколько времени могла
бы наполнить бассейн каждая труба?
261. Через час после выхода туриста из пункта А навстречу
ему из пункта В вышел другой турист. До встречи второй
турист прошел на 2 1,м меньше первого, но пришел в пункт А на
6 мин раньше, чем первый турист пришел в пункт В. Зная,
что первый турист шел после встречи 2 ч 30 мин, найдите
скорос1ъ каждого туриста и расстояние между пунктами А и В.
262. Через полчаса после выхода автобуса из пункта А на
встречу ему из пункта В выехал мотоциклист, который прибыл
в пункт А через час после встречи с автобусом и на полчаса
раньше, чем автобус прибыл в пункт В. Зная, что расстояние
между пунктами А и В равно 90 км, найдите скорости
автобуса и мотоциклиста .
263. Два электропоезда выходят одновременно навстречу
друг другу из городов А и В, расстояние между которыми
112 км, и встречаю·rся через 56 мин. Продолжая движение
с той же скоростью, поезд, вышедший из А, приходит в
В на 15 мин раньше, чем другой поезд приходит в А. Найдите
скорость каждого поезда .
264. Из городов А и В, расстояние между которыми 80 км,
одновременно навстречу друг другу выезжают два автомобиля.
Один из автомобилей прибывает в В через 20 мин после встречи,
а другой - в А через 45 мин после встречи. Найдите скорость
каждого автомобиля.
265. Из двух городов, расстояние между которыми равно
270 км, одновременно навстречу друг другу выходят два поезда
и встречаются через 3 ч. .На весь путь один из поездов
тратит на 1 ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость
каждого поезда.
57
ГЛАВА Ш1
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИИ
§ 6. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
13. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ·
Будем выписывать в порядке возрастания поло
жительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4,
третье 6, четвертое 8 и т. д. Получим последовательность
2;4;6;8;....
Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности
будет число 10, на десятом - число 20, на сотом - число 200.
Вообще для любого номера п можно указать соответствующее
ему положительное четное число; оно равно 2n.
Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписы
вать в порядке убывания правильные дроби с числителем,
равным 1:
11111
2;3'4;5;6;
Для любого номера п мы можем указать соответствующую
1
ему дробь; она равна n+l. Так, на шестом месте должна
1
1
стоять дробь 7 , на тридцатом - дробь 31 , на тысячном -
1
дробь 1001 •
Числа, образующие последовательность, называют соответ
ственно первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. членами
последовательности. Члены последовательности обычно обозна
чают буквами с индексами, указывающими порядковый номер
члена. Например, а1, а2, аз, а4 и т. д. (читают: «а первое,
а второе, а третье, а четвертое,> и т. д.). Вообще член после
довательности с номером п, или, как говорят, п-й член после-
58
довательности, обозначают ап, Саму последовательность будем
обозначать так: (ап),
Заметим, что последовательность может содержать 1<онечное
число членов. В таком случае ее называют конечной.
Примером конечной последовательности служит последователь
ность двузначных чисел:
10; 11; 12; 13; ... ; 98; 99.
Чтобы задать последовательность, нужно указать способ,
позволяющий найти член последовательности с любым но
мером.
Часто последовательность задают с помощью формулы, вы
ражающей ее п-й член как функцию номера п. Такую формулу
называют формулой п-го члена последовательности. Например,
последовательность положительных четных чисел можно за
дать формулой ап = 2n , последовательность правильных
дробей с числителем, равным 1,- формулой
Ьп = п~l.
Пр им ер 1. Пусть последовательность задана формулой
Уп = п 2 - 3n. Вычислим первые пять ее членов.
Подставляя вместо п натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5,
получаем:
У1=- 2, У2= - 2, Уз=О, у4=4, у5=10.
Пр им ер 2. Пусть последовательность задана формулой
;с11 = (- 1)п •1О. Все члены этой последовательности с нечетными
номерами равны - 10, а с четными номерами равны 10:
Х1=
-
10,Х2=10,Хз= -10,Х4=10, ... ,
Пр им ер 3. Формулой Сп = 5 задается последовательность,
все члены которой равны 5:
С1=5,С2=5,Сз=5,С4=5, ....
Рассмотрим еще один способ задания последовательности.
П р и м е р 4. Пусть первый член последовательности (ап)
равен 3, а каждый следующий член равен квадрату преды
дущего, т. е.
с помощью формулы
можно по известному
первому члену последова·rельности вычислить второй, затем по
известному второму найти третий, по известному тре-rьему -
четвертый и т. д. Получим последовательность
3; 9; 81; 6561; ....
59
Формулу, выражающую любой член последовательности,
начиная с некоторого, через предыдущие (один или нескольк'Ф~,
называют рекуррентной (от латинского слова recurro - воз
вращаться).
266. Выпишите несколько первых членов последовательно
сти натуральных чисел, кратных 3, взятых в порядке возраста
ния. Укажите ее первый, пятый, десятый, сотый и п-й члены.
267. Известно, что (сп)
-
последовательность, все члены
которой с нечетными номерами равны - 1, а с четными
О. Выпишите первые восемь членов этой последовательности.
Найдите с 10 , с25 , с200 , с253 , С211, С21,+ 1 (k - произвольное натураль
ное число).
268. Пусть (ап) - последовательность квадратов натураль
ныхчисел, взятых в порядке возрастания. Выпишите первые
десять ее членов. Найдите а20, а 25 , а 40 , а".
269. Назовите член последовательности
который :
а) следует за С10, С25, Ck, Сk+З, Ck-4, C2k;
6) предшествует с50, с99, ck, Ck+ 7 , с,,_ 1, C2k•
Для каждого ли члена последовательности можно указать
следующий член, предыдущий член?
270; Выпишите члены последовательности (Ьп), которые
расположены между :
а) Ь20 и Ь25; 6) Ь11 и Ь1,--1-5 ; в) ь,,_3 и bk--/ -4•
271. Найдите первые пять членов последовательности, задан
ной формулой п - го члена:
а) x"=3n - 7;
в) x"=n
2 -6n+8;
6) х"=п2 +1; г)
п.
Хп= 2п+1'
д) Х"=2"- 1 ;
е) X"=0,5•4;i.
272. Найдите первые шесть членов последовательности, за
данной формулой:
а) Уп=2-п;
6) Уп=9 -n2;
в) у"=п~1 ;
г) у"=(-1)''+17,
273. Последовательность (Ьп) задана
Найдите:
а) Ь5;
6) Ь1о;
в) b2k;
г) Ь211+1;
д) Ь20 + Ьзо;
е) Ь10-Ь6•
274. Последовательность (ап) задана
Найдите:
а) а5; 6) а2•а10; в) а1-2.
60
формулой Ьп = 3n + 2.
формулой а"= п 2 - 4.
275. Найдите номер члена последовательности (х 11 ), задан
. ~,ой формулой х,, = 7 - 2n, равного:
а)-13;б)-43;11),-
61.
,__
·- .... 1
.;,
''-
276. Последовательность (ап) задана формулой с,,= 4п-1.
Найдите номер члена этой последовательности, равного:
а) 91; б) 399.
277. Вычислите второй, третий, четвертый и пятый члены
последовательн ости (Ьп), если известно, что :
а) первый член равен 10, а каждый следующий на 5 больше
предьщущег о, т. е. Ь1=10 и Ь,, +1=Ь п+Б;
б) первый член равен 40, а каждый следующий равен
предыдущему, деленному на 2, т. е. Ь1= 40 и Ь,,+1= ь; .
278. Выпиш ите первые пять членов последовательности
(ап), если:
а) a1=l, a,,+1=a,,+l;
б ) а1=1000, ап+1=0,1ап;
)
16
l-
в а1=27, ап+1=- ,ьа";
г) а1=0, а"+1=2ап+4;
д)а1=6,ап+I = -a,z;
1
е) а1=3, ап+ 1=- .
Gп
279. Выпишите первые шесть членов последовательнос·rи
(у11), если :
а) У1= 10; Yп+1=Y,z+l 0;
б) У1=10, YIZ+1= l0y,z;
в) У 1= 2, У"+1=У"+2;
г) У1=2, У"+1=2Уп•
Задайте последовательность формулой п - го члена.
Упражнения для повторения
280. Существует -л и прямоугольник с периметром, равным
Р см, и пл ощадью, равной S см2, если:
а)Р=40,8=84;
б) Р=40, 8 =1 05?
281. Решите уравнение:
а) 4х4+4х2-15=0; б) 2х4-х2-36=0.
282. Упростите выражение:
283. Представьте выражение в виде степени с основанием
3 и найдите его значение:
в)9-~-(~)- 3 ;
г) (-3 - 3 )2-273.
61
14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОИ ПРОГРЕССИИ.
ФОРМУЛА n - ГО ЧЛЕНА АРИФМЕI'ИЧЕСКОИ ПРОГРЕССИИ
·t
Рассмотрим последовательность -натуральных чисел, кото
рые при делении на 4 дают в остатке 1:
1; 5; 9; 13; 17; 21; ....
Каждый ее член, начиная со второго, получается прибав
лением к предыдущему члену числа 4. Эта последователь
ность является примером арифметической прогрессии.
О п р е д е л е н и е. Арифметической прогрессией назьmает
ся последовательность, в которой каждый член, начиная со
второго, равен предьщущему члену, сложенному с одним и тем
же числом.
Иначе говоря, последовательность (ап) - арифметическая
прогрессия, если для любого натурального п выполняется
условие
ап+l=а11+d,
где d - некоторое число.
Из определения' арифметической прогрессии следует, что
разность между любым ее членом, начиная со второго, и
предыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном
п верно равенство
Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно ука
зать ее первый член и разность.
Приведем примеры.
Если а 1 = 1 и d = 1, то получим арифметическую прогрессию
1;2;3;4;5;...'
члены которой - последовательные натуральные числа.
Если а 1 = 1 и d = 2, то получим арифметическую прогрессию
1;3;5;7;9;... ,
которая является последовательностью положительных нечет
ных чисел.
Если а1=
-
2иd=
-
2, то заданная арифметическая
прогрессия
-2;-4;-6;-8;-10;...
является последовательностью отрицательных четных чисел.
62
Если а 1 = 7 и d = О, то имеем арифметическую про
грессию
, ldHcU.Ьч ·f;i~ R Т; 7 ;,Jd11:.i.; ••• '
все члены которой равны между собой.
Зная первый член и разность арифметической прогрессии,
можно найти любой ее член, вычисляя последовательно
второй, третий, четвертый и т. д. члены. Однако для нахождения
члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен.
Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычисли
тельной работы.
По определению арифметической прогрессии
а2=а1 +d,
аз = а2+d = (а1 +d)+d=a1 + 2d,
а4=аз+d=(а1 +2d)+d=a1 +3d,
a 5 =a4 +d=(a1 + 3d) +d=a1 +4d.
Точно так же находим, что а6 = а1 +5d, а7 =а1 +6d, и вообще,
чтобы найти ап, нужно к а 1 прибавить (п-1) d, т. е.
ап=а1+d(п-1).
Мы получили формулу n-го члена арифмет11чееко:й про
грессии.
Приведем примеры решения задач с использованием этой
формулы.
Пр им ер 1. Последовательность (сп)
-
арифме'l'Ическая
прогрессия, в которой с 1 = 2,3 и d = 0,45. Найдем десятый и
сотый члены этой прогрессии.
Имеем:
С10 = 2,3 + 0,45 •9 = 2,3 + 4,05-:- 6,35;
С100= 2,3+0,45•99 = 2,3+44,55 = 46,85.
Пр им ер 2. Выясним, является ли число 71 членом ариф
метичес1юй прогрессии (хп)
-
10; - 5,5; - 1; 3,5; ....
В данной арифметической прогрессии х 1 = -10 и
d = x2-X1 = - 5,5-( -10)= 4,5. Запишем . формулу п-го чле
на прогре ссии:
Хп = - 10+4,5 (п-1), т. е.
Хп = 4,5n - 14,5.
Число 71 является членом арифметической прогр ессии (хп),
63
если существует такое натуральное число п, при котором
значение выражения 4,5n - 14,5 равно 71. Решим уравнение
4,5п - 14,5=71.
Получим:
4,5n=85,5,
n=l9.
Значит, число 71 является членом данной арифметической
прогрессии.
Формулу п-го члена арифметической прогрессии ап = а 1 +
+d (п -1) можно записать иначе:
an=dn+(ar - d).
Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия Jltoжeт
быть задана формулой вида
a11=kn+Ь,
где k и Ь - пе-которые числа.
Верно и обратное: последовательность (ап), заданная фор
мулой вида
ап=kn+Ь,
где k и Ь - некоторые числа, является арифметической про
грессией.
Действительно, найдем разность (п + 1)-го и п-го членов
последовательности (ап):
ап+r -ап=k (п+l) + Ь-(kп+ b) = kn+k+ b-kn-b = k.
Значит, при любом п справедливо равенство ап +r = ап + k,
и по определению последовательность (ап) является арифме
тической прогрессией. Заметим, что разность этой прогрессии
равна k.
284. Выпишите первые пять членов арифметической про
грессии (ап), если:
а)а1=10,d=4;6)ar= l,7,d=-0,2;в)ar=-3,5,d=0,6.
285. Последовательность (сп) - арифметическая прогрес-
сия. Найдите:
64
а) разность и третий ее член, если Cr = 240, с2 = 190;
6) разность и четвертый ее член, если с2 = - 19, сз = - 11,5;
в) разность и первый ее член, если С4 = 23, с5 = 26,5.
286. Последовательность ( Ьп) - арифметическая прогрес-
сия, первый член которой равен Ь1, а разность равна d. Вы
разите через Ь I и d:
а) Ь7; б) Ь26; в) Ь231; г) Ьk; д) Ьн5; е) Ь2k•
287. Последовательность (с") - арифметическая прогрес-
сия. Найд11те:
а)с5,еслис1=20иd=3;
6) с21,еслиС1=5,8иd= -1,5;
в) Ь41+Ь61, если Ь1=25,6 и d= - 0,4;
5
1
г) Ь46-Ь16, если Ь1=-16 иd=3
.
288. Последовательность (ап) - арифметическая прогрес-
сия. Найдите:
а) а11, если а1 = -3 и d=0,7;
6)а26,еслиа1=18иd= - 0,6.
289. Напишите формулу п-го члена арифметической про-
грессии (ап), если:
а)а1=3,d=5;
в) а1=7, d= l;
6)а1=- 9,5,d=l,5;
г)а1=8,2,d= - 1.
290. Найдите десятый и п-й члены арифметической про
грессии:
1
а)3;-1;...,
б) 2,3; 1; ....
291. Найдите 15, 37 и п-й члены арифметической про
грессии:
а) 3; 7; ...;
6)-5;-1;....
292. Тело в первую секунду своего движения прошло 7 м,
а за каждую следующую секунду - на 3 м больше, чем за пре
дыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?
293. Поезд, отойдя от станции, равномерно увеличивал ско-
рость на 50 м в минуту. Какова была скорость поезда в конце
двадцатой минуты?
294. Найдите первый член арифметической прогрессии,
если:
а) а 10=1 31, d=12;
б) а56=-250,d= - 5.
295. Найдите разность арифметической прогрессии, если:
а)Ь1=2, Ь10=92; б) Ь1 = - 7, Ь16=2.
296. Последовательность (с") - арифметическая прогрес-
сия. Найдите:
а) с1, если с36 = 26 и d=0,7;
б)d,еслис1=- 10ис15=1,2.
297. Между числами 7 и 35 вставьте шесть таких чисел,
чтобы они вместе с данными числами образовали арифметиче
скую прогрессию.
3 Заказ 201
65
298. Между числами 1 и 16 вставьте восемь таких чисел,
чтобы они вместе с данными числами образовали арифмети
ческую прогрессию.
299. Найдите первый член и разность арифметической
прогрессии (сп), если:
а) с5=27, с27=60;
б) с20=0, с66=- 92.
300. Найдите первый член и разность арифметической
прогрессии (хп), если:
а) Х47=71, Х74=47; 6) Хв=1, Х25=9,5.
301. В арифметической прогрессии (хп) первый член ра
вен 1,7, а разнос ть равна 0,3. Найдите номер члена, равного:
а) 32; 6) 46,7.
302. Содержи'!' ли арифметичесн.ая прогрессия 3; 10; ...
число: а) 143; б) 551; в) 207; г) 269?
303. Является ли членом арифметической прогрессии
(ап):-i"которой а1=32 и d= - 1,5, число: а) О; б) - 28?
304. В арифметической прогрессии (х11 ) первый член ра
вен 8,7, а разность равна - 0,3. Для каких членов прогрессии
выполняется условие:
а) Хп?:,О; б) Х;,<О; в) Хп>5;
г) Х;, < -10?
305. Найди те:
а) первый отрицательный член арифметической прогрес
сии 5,3; 5,12; ... ;
6) первый положительный член арифметической прогрес
сии - 10,4; -9,65; ... .
306. Найдите номера отрицательных членов арифметиче
ской прогрессии - 20,3; - 18,7; .... Чему равен первый поло
жительный член этой прогрессии?
307. Является ли последовательность (ап) арифметической
прогрессией, если она задана формулой:
а) an=2n-5;
в) ап=n+4;
д) ап = -0,5п+l;
6) a,,=n2 -5;
г) ап=п:4;
е) an=6n?
Если последовательность - арифметическая прогрессия,
найдите ее первый член и разность.
308. Докажите, что последовательность сумм внутренних
углов треугольника, выпуклого четырехугольника, выпуклого
пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией.
Чему равна ее разность?
Упражнения для повторения
309. Существует ли прямоугольный треугольник, сумма ка
тетов которого (в дм) равна k, а площадь (в дм 2) равна S, если:
а)k=60,8=400;
б)k=60,8=500?
66
310. Решите систему уравнений:
а){x2-2v2= 14,
6) { 3ху-2у 2 =30,
2х-3у=1;
3х-2у=10.
311. Решите уравнение:
а) х3 +4х 2 -32х=0;
6) х3 -10х 2 +4х-40=0.
312. Найдите знач ение выражения :
а) 125- 1
. 252;
6) о,01-(10 3)2 -(о,1г 2 ;
15. ФОРМУЛА СУММЫ n ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
АРИФМЕТИЧЕСКОИ ПРОГРЕССИИ
Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных
чисел. Покажем, как можно решить эту задачу, не выполняя
непосредственного сложения чисел.
Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды,
расположив в первом с лучае слагаемые в порядке возраста
ния, а во втором - в порядке убывания:
S= 1+ 2 + з+ ... +98+99+100,
S=l00+99+98+··· + з + 2+ 1.
Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, в сум
ме дает 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив
равенства почленно, получим:
2S= 101 -100,
S= 101-100= 5050.
2
Итак,
1+2+з +-·· + 99+100=5050.
С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму
первых членов любой арифметической прогрессии.
Обозначим сумму п первых членов арифметической про
грессии (ап) через S" и запишем. эту сумму дважды , располо
жив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их
номеров, а во втором случае в порядке убывания :
3*
Sn=a,+a2 +а з +а4 + .. ·+а"_,+ап,
(1)
Sп=ап+ап-1+ап-2+ап-з+ .. ·+а2 +lil1 .
(2)
Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных
67
друг под другом, равна а 1 +а". Действительно,
ит.д.
а2+ап-1 = (а1 +d)+(a" - d)=a1 +а11,
аз+ап-2=(а2+d)+(а11-1- d)= a2+ап-1=а1+а11,
а4+ап-з=(аз+d)+(a11-2 - d)=аз+а,,_2=а1+ап
Число таких пар равно п . Поэтому, сложив почленно ра
венства (1) и (2), получим:
2Sn = (a1 +ап) п.
Разделив обе части последнего равенства на 2, получим
формулу суммы п первых членов ар ифметической пр огрес
сии:
S _(а,+ап)n
п-
2
•
(I)
Приведем примеры.
Пр им ер 1. Найдем сумму первых двадцати членов
арифметической прогрессии 1; 3,5; .. ..
В данной арифметической прогрессии а 1 = 1, d = 3,5 - 1 = 2,5.
По формуле п-го члена найдем двадцатый член прогрессии:
а20= 1+2,5 •19= 48,5.
Тепер ь вычислим сумму первых двадцати членов:
Заметим, что если заданы первый член и разность ариф
метической прогрессии, то удобно пользоваться формулой сум
мы, представленной в другом виде. Подставим в формулу (I)
вместо ап выражение а 1+ d (п - 1), получим :
т. е.
Sn = (a,+a,+d(n - 1))n,
2
2a, + d (п-1)
2
п.
(П)
Если для решения рассмотрен ной задачи воспользоватьс я
формулой (II), т о вычисления будут выгляд ет ь так:
68
П р и м е р 2. Найдем сумму первых тридцати членов по
следовательности (а,,), заданной формулой а,, = 5n - 4 .
Последовательность (а,,) является арифметической прогрес
сией, так как она задана формулой вида а,,=kп+ь , где k = 5
иЬ=-4.
Найдем первый и тридцатый члены этой арифметической
прогрессии:
а1=5•l -4=1, аза=5•30_:_4=146.
Теперь по формуле (I) вычислим Sзо:
S30 = (l+l45)·ЗO 147 •15 = 2205.
2
Пример 3. Найдем сумму 1+2+3+•••+п, слагаемы
ми в ко·rорой являются все натуральные числа от 1 до п.
ф
Sn
_
_
(а1+а,)п
Применив ормулу
2
к арифметической про-
грессии 1; 2; 3; ... , получим, что
(l+п)п
2
П р и м е р 4. Найдем сумму всех натуральных чисел,
кратных шести и не пр евосходящих 250.
Натуральные числа, кратные шес ти, образуют арифметиче
скую прогрессию, которую можно задать формулой а,, = 6n .
Чтобы выяснить, сколько членов этой прогрессии не превос -
2
ходит 250, решим неравенство 6n < 250. Получим п :(; 41 3 .
Значит, число членов прогрессии, сумму которых надо най
ти, равно 41.
Имеем:а1=6,а41=6•41=246,
(6+246)-41
2
5166.
313. Найдите сумму двухсот первых членов арифметиче
ской прогрессии, если:
а)а1=10,а200=350;
314. Найдите сумму
с кой прогрессии:
а)-23;-20;...,
б) 9; 5; ...;
б) а1=6,5,а200=7,5.
восьми первых членов арифметиче-
в)-2,6;О;
г) 14,2; 9,6;
... ,
69
315. Вычислите сумму девяти перв:ых членов арифмети
ческой прогрессии (Ъп), если:
а) Ь1=-17, d=6.;
б) Ь1=6,4, d=~0,8.
316. Найдите сумму пятидесяти, e·ra, п первых членов по
следовательности (хп), если:
а) Xn =4n+2;
б) Xn=2n+3.
317. Апифметичес1<.ая прогрессия задана формулой
ап 3n + i Найдите _сумму сорока первых ее членов.
318. Найдите:
а) сумму 2 + 4 + 6 + -•• + 2n, слагае1'>1ыми которой являются
все четные натуральные числа от 2 до 2n;
б) сумму 1+3+5+ ... +(2п-1), слагаемыми которой
являются все нечетные натуральные числа от 1 до 2n - 1.
319. Найдите сумму:
а) всех натуральных чисел, не превосходящих 150;
б) -всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно;
в) всех двузначных чисел.
320. Найдите сумму:
а) всех натуральных чисел от 25 до 150 включительно;
б) всех трехзначных чисел.
321. Найдите сумму:
а) всех натуральных нечетных чисел, не превосходя
щих 149;
б) всех натуральных чисел, кратных 5, не тrревосходящих
22-5;
в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходя-
щих 300;
г) всех четных чисел от 100 до 500 включительно;
д) всех двузначных чисел, кратных 6.
322. Найдите сумму:
а) всех натуральных четных чисел, не превосходящих 200;
б) всех натуральных чисел, кратных 3, не превосходя-
щих 333;
в) всех натуральных чисел, кратных 7, не превосходящих
130;
г) всех нечетных чисел от 101 до 199 включительно;
д) всех двузначных чисел, кратных 4.
323. Найдите сумму членов арифметической прогрессии
с десятого по двадцатый включительно, если первый член
равен 7 и разность равна 15.
324. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с
одиннадцатого по двадцать пятый шслючительно, если первый
член равен 2 и разность равна 8.
325. Найдите сумму двадцати первых членов арифметиче
ской прогрессии (сп), если с 7 =18,5 и с 17 = - 26,5.
70
326. Найдите сумму пя•rнадцати первых
членов арифметической прогрессии (Ьп), ес
ли Ь:=4,2 и Ь1 0 =15,9.
327. При свободном падении тело про
ходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую
следующую на 9,8 м больше. Найдите глу
бину шахты, если свободно падающее тело
достигло ее дна через 5 с после начала па-
дения.
Рис. 22
328. Какое расстояние пройдет свободно падающее тело:
а) за седьмую секунду после начала падения;
б) за семь секунд после начала падения?
329. Шары расположены в форме треугольника так, что
впервомряду1шар,вовтором-2,втретьем-3ит.д.
(рис. 22). Во сколько рядов размещены шары, если их число
равно 120? Сколько потребуется шаров, чтобы составить тре
угольник из 30 рядов?
Упражнения для повторен,ия
330. В арифметической прогрессии а 7 = 8 и а 11 = 12,8. Най
дитеа1иd.
331. Является ли членом арифметической прогрессии
20,7; 18,3; ... число: а)
-
1,3; б) - 3,3?
332. Решите систему уравнений:
а){9х2+9у2=13,.
б) .{ х2 +у2=29,
3ху=2;
у2-4х2=9.
l n-1
333. Найдите значение выражения 96 { 2 ) при п = 5,
n=7, n=l.
334. Представьте вь~ражение в виде степени с основа
нием 2:
а) 16-2";
б)8·2"-1;
в) 85 -4";
г) 163 ,4"- 8
•
§ 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОИ ПРОГРЕССИИ.
ФОРМУЛА n - ГО ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧЕСКОИ ПРОГРЕССИИ
Рассмотрим последовательность, членами которой явля
ются степени числа 2 с натуральными показателями:
2; 22; 23; 24; 25; 26; ••••
Rа:ждый член этой последовательности, начиная со второго,
получается умножением предыдущего. члена на 2. Эта по
следовательность является примером геометрической прогрес
сии.
71
О п р е д е л е н и е. Геометрической прогрессией называет
ся последовательность отлюп1ых от нуля чисел, в :которой
:каждый член, начиная со второго, равен предьщущему члену,
умноженному на одно и то же число.
Иначе говоря, последовательность (Ьп) - геометрическая
прогрессия, если для любого натурального п выполняются
условия
Ьп=;ЬО И Ь"+1=Ьп•q,
где q - некоторое число. Обозначим, например, через (Ьп) по
следовательность натуральных степеней числа 2. В этом слу
чае для любого натурального п верно равенство Ьп+ 1 = Ьп • 2;
здесь q=2.
Из определения геометрической прогрессии следует, что
отношени:е любого ее члена, начиная со второго, к предыду
щему члену равно q, т. е. при любом натуральном п верно
равенство
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Очевидно, что знаменатель геометрической прогрессии отли
чен от нуля.
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно ука
зать ее первый член и знаменатель.
Приведем примеры.
Если Ь 1 = 1 и q = 0,1, то получим геометрическую прогрес
сию
1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ....
Условиями Ь 1 =
-
2 и q = 3 задается геометрическая про
грессия
-2; -6; -18; -54; -162; ....
ЕслиЬ1=4иq=
-
3, то имеем прогрессию
4; -12; 36; -108; 324; ....
Если Ь 1 = 8 и q = 1, то получим геометрическу~ прогрессию
8;8;8;8;8;....
Зная первый член и знаменатель геометрической прогрес-
72
сии, можно найти последовательно второй, третий и вообще
любой ее член:
b2 = b1q,
Ьз=b2q= (b1q)q= b1q2,
Ь4=Ьзq= (b1q2) q= b1q3,
b5= b4q=(b1q3) q= b1q4.
Точно так же находим, что b6 = b1q5, b7 = b1q6 и т. д. Вообще,
чтобы найти Ьп, мы должны Ь1 умножить на qп-i, т. е.
Ьп=b1qn- l.
Мы получили формулу п-го члена геометрической прогрессии.
Приведем примеры решения задач с использованием этой .
формулы.
Пр им ер 1. В геометрической прогрессии Ь 1 = 0,8 и q = -1⁄2- ·
Найдем Ь10,
По формуле п-го члена геометрической прогрессии
( 1)10- 1 2з1
1
1
Ь1о=О,8• 2
= 10·~=
26 -10 = 540.
П р и м е р 2. Найдем восьмой член геометрической про
грессии (Ьп), если Ь1 = 162 и Ь3 = 18.
Зная первый и третий члены геометрической прогрессии,
можно найти ее знаменатель. Так как Ьз= b 1q 2, то
2
Ьз181
q =ь;- 162 g'
Решив .уравнение
найдем, что
1
1
q=3 илиq= -
3.
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворя
ющие условию задачи.
1
Если q=3
,то
1
1)7 2.з•
2
b8= b1q = 162-(3 =з7=27•
73
1
Если q= --
3,то
Ьв=Ь1q7=162·(- ~)7=-\:•=-. . :221·
Задача имеет два решения:
П р и м ер 3. После н:аждого движения поршня. разрежа
ющего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем
воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после
шести движений поршня, если первоначальное давление было
750 мм рт. ст.
Так как после каждого движения поршня из сосуда удаля
ется 20% имевшегося воздуха, то остается 80% воздуха. Что
бы узнать давление воздуха в сосуде - после очередного дви
жения поршня, нужно давление после предыдущего движения
поршня умножить на 0,8.
Мы имеем геометрическую прогрессию, первый член кото
рой равен 7 50, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее
давление воздуха в сосуде (в мм рт. ст.) после шести движений
поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно
Произведя вычисления, получим;
750-(0,8)6 ~750•0,26~200 (мм рт. ст.).
335. Найдите первые пять членов геометрической прогрес-
сии (ь п), если:
а) Ь1=6, q=2;
б) Ь1=
-
16; q= +;
в}Ь1=- 24, q= -1,5;
г) Ь1 = 0,4, q=-y2.
336. Последовательность (сп) - г_еометрическая прогрес-
сия. Найдите:
а) знаменатель и третий ее член, если С1 = 8,21= -16;
б) знаменатель и четвертый ее. член, если с2 = · 2
2, с3=4;
в) знаменатель и первый ее член, еслк с3 =3 3, с 4 = 2.7.
337. Является ли арифметической или геометрической про-
грессией последовательность (an), заданная условиями;
а)а1= 5, lin+1= 4ап;
74
1
г) а1= -8, а11+1=а11 - т;
Если последовательность - арифметическая прогрессия,
то укажите ее разность, если геометрическая, то укажите ее
знамен атель.
33 8 . Последовательность (с ,,)
-
геометрическая nрогрессия,
первый член которой равен с 1 , а знаменатель равен q. Выра
зите через с1 и q:
а) с6; б) с20; в) ci25; г) с"; д) Сп+з; е) С211•
339. Последовательнос·rь (х 11) - геометрическая прогрес
сия. Найди те:
1
а)Х7,еслиХ1=96Иq=2;
б) х6,еслих1= 0,125 и q=
-
2;
в)х9,еслих1= 4 -~иа = -~
;
-у,;,
•
. ;/2
г) х7, если х1=0,003 и q= -f[o.
,340. Последовательность (Ь11) - геометрическая прогрес
сия. Найдите:
1
а)Ь8,еслиЬ1=256иq=2;
3
2
б)Ь5,еслиЬ1=4иq=3;
в) Ь4, если Ь1=1,8 иq=./;;
г) Ь6,если Ь1=-125 иq=-0,6.
341. Найдите седьмой и п - й чл ены геометрич еской про
грессии:
а) 2·
-
6·...,
б)__:_40; ~20; ... '
в) - 0,125; 0,25; .. .;
г) - 10;10;....
34 2 . Найдите ш естой и п-й члены геометр ической про
грессии:
а) 48;
б) 64.
9'
12; ... ;
32
в) - 0,001; - 0,01;
г) - 100; 10; ....
... ,
343. Напи ш ите формулу п-го члена геометрической про
грессии, ес ли:
1
а) Ь~=-81, q=3 ;
в) Ь 1= 3, Ь11+1 = -2Ь11;
б) Ь~=-2, q=2;
г) Ь1=25, Ь11+1=5Ьп.
344. Напи шите формулу п -г о члена геометрической про
грессии, если :
75
345. Докажите, что последовательность (сп) является гео-
метрической прогрессией, если:
а) Сп=4";
6) Сп= -5•3п ;
Задайте эту прогрессию с помощью рекуррентной формулы.
346. Докажите, что последовательность, заданй:ая форму
лой ап = 3 (- 4)" , является геометрической прогрессией, и най
дите q, а1, а7.
347. Найдите первый член геометрической прогрессии (Ьп),
если:
а) Ь 8 =384, q=2;
348. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (сп),
если:
а) С5=-6, С7=-54;
349. Последовательность (хп) - геометрическая прогрес
сия. Найдите:
а) Х1, если х6=0,32, q=0,2; 6) q, если х3=- 162,х5=-18.
350. Последовательность (Ьп) - геометрическая прогрес
сия. Найдите:
а) Ь6, если Ь1=1.25, Ь3=5;
2
6) Ь7, если Ь1=-9, Ь3=-2;
в) Ь1, если Ь4=-1, Ь6=- 100;
2
2
г) Ь1, если Ь4=63, Ь6=263.
15
351. Между числами 60 и 16 вставьте такие пять чисел,
чтобы они вместе с данными числами образовали геометри
ческую прогрессию.
352. Между числами 1 и 16 вставьте такие три числа,
• чтобы они вместе с данными числами образовали геометри
ческую прогрессию.
353. На опытном лесном участке ежегодный прирост дре
весины составляет 10%, Какое количество древесины будет
на участке через 6 лет, если ее первоначальное количество
было равно 2,0, 104 м3?
354. В какую сумму обратился вклад в 1000 р., положен
ный в сберкассу на 4 •года, если ежегодно он увеличивался
на 2%?
355. Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см.
Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго
треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры
треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найди
те периметр шестого треугольника.
76
356. В равносторонний треугольник, сторона которого рав
на 16 см, вписан другой треугольни:к, вершинами которого
являются середины сторон первого. Во второй треугольник та
ким же способом вписан третий и т. д. Докажите, что пери
метры треугольников образуют геометрическую прогрессию.
Найдите периметр восьмого треугольника.
Упражнения для повторения
357. Найдите сумму тридцати первых членов арифмети
ческой прогрессии, первый член которой равен - 45,6, а пят
надцатый чл ен равен 2.
358. Упростите выражение:
а)27•32л-1 •
в)
16•82л - З
gr1+ 1
'
4Зл-2
б)
3z.4л-l
г)
z5зл-1
z2л+ 1
1000 • 1252"- 2
359. Найдите координаты точек, принадлежащих:
а) графику уравнения х2 + х + у = 30, у которых сумма
координат равна 5;
б) графику уравнения х2 + 4у = 20, у которых ордината
равна удвоенной абсциссе.
17. ФОРМУЛА СУММЫ n ПЕРВЫХ Ч,ЛЕНОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОИ ПРОГРЕССИИ
Древняя индийская легенда рассказывает, что изобрt3/J:а
тель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько
пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клет
ку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в два
раза больше, т . е. 2 зерна, на третью - еще в два раза боль
ше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен
был получить изобретатель шахмат?
Число зерен, о которых идет речь, является суммой шести
десяти четырех членов геометрической прогрессии, первый
член которой равен 1, а знаменатель равен 2 . Обозначим эту
сумму через S:
8=1+2+22+23+ ···+262+ 263.
Умножим обе части записанного равенства на знаменатель
прогрессии, получим:
28=2+22+ 23+ 24+ •·· + 263+ 264.
77
Вычтем из второго равенства первое и проведем упрощения:
2S-8=(2+22+ ... + 263+ 264)-(1+ 2+22+ ... + 263),
8=264 -1.
Масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн.
Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной
человечеством до настоящего времени.
Выведем теперь формулу суммы п первых членов произ
вольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же
приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.
Пусть дана геометрическая прогрессия ( Ь,,). Обозначим
сумму п первых ее членов через S,,:
Умножим обе части этого равенства на q:
Учитывая, что
b1q=b2, Ь2q=Ьз, Ьзq=Ь4, ... , b,, _ ,q=b,,,
получим:
(1)
(2)
Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем
подобные члены:
S"q-S,,=(Ь2+ Ьз+ •.. + Ь,,+ Ьпq)-(Ь1 + Ь2+ ••• + Ьп-1 + Ь,,),
S"q-S,,=bпq...:...ь,,
Sп(q-1) = b"q-b,.
Пусть q =1= 1. Тогда
(1)
Мы получили • формулу суммы п первых членов геометри
ческой прогрессии, в которой q =1= 1. Если q = 1, то все члены
прогрессии равны перnому члену и Sп = nb 1 .
Заметим, что цри решении многих задач удобно пользо
ваться формулой суммы п первых членов геометрической
прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в форму
лу (1) вместо Ь" выражение Ь 1 q" - г. Получим:
78
ь,(q"- 1)
S,, =--..;;...-,
1,...._, если q =1= 1.
q-
(11)
Пр и :мер 1. Найдем сумму первых десяти членов геомет
ричесr,ой прогрессии (Ьп), в которой Ь 1 = 3 и q = +.
Так I{ак известны первый член и знаменатель прогрессии,
то для решения задачи удобцо воспользоваться формулой (II).
Получим:
S10
Пример 2. Найдем сумму 1+x+x2 +- ·•+x"- 1 (x=,i=l),
слагаемые которой являются последовательными членами
геометрической прогрессии
1; х; х2;
Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель равен х.
/ Так как х"- 1 является членом этой прогрессии с номером п,
то задача состоит в нахождении суммы п первых ее членов.
Воспользуемся формулой (1):
Та~<им образом,
1·++2+ +п-1х"-1
хх
...
х
=--.
х-1
Умножим левую и правую части последнего равенства на
х-1. Получим тождество
х"-1 =(х-1) (1 +х+х2+ •· · +х"- 1).
В частности, при п = 2 и п = 3 приходим к известным
формулам:
х2- 1 =(х-1) (х+ 1),
х3-1=(х-1)(х2+х+1).
П р и м е р 3. Найдем сумму шести первых членов геомет
рической прогрессии (Ь"), если известно, что Ь 3 =12 и Ь 5 =48.
Зная Ьз и Ь 5 , можно найти знаменатель прогрессии q.
Так как
79
то
Значит,
q=2илиq=-2.
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяю
щие условию задачи.
=- 63.
S _ 3(26-1)
Еслиq=2,тоЬ1=3и 6-
2_1
189.
360. Найдите сумму пяти первых членов геометрической
прогрессии, у которой:
а) Ь1=8, q=-}-;
б) Ь1=500,q=+.
361. Найдите сумму шести первых членов геометрической
прогрессии:
а)3; -6;...,
в) 54; 36; ...;
1
д)1;-2;...;
б)-6;-2;...; г)-32;16;...;
е) 8; 8; ....
362. Вычислите сумму девяти первых членов геометриче
ской прогрессии, если:
а)а1=-4,q=3;
б)a1=l,q=-2.
363. Докажите, что последовательность (Ьп) является гео
метрической прогрессией, и найдите сумму п первых ее чле
нов, если:
а) Ъп = 1,5•4п;
б) Ъп=3·2"-1;
364. Найдите сумму п первых членов геометрической про-
грессии:
а) 1; 3; 32; ...;
г)1;-х;х2;..., гдеx=j=- l;
б)2;22; 23; ...,
д)1; х3; х6; ...,
где x=I= l;
1
1
1
з6
в)2;-4;8;...,
е)1;-х;х;..., гдеx=I=- 1.
365. Найдите сумму, слагаемыми которой являются после-
довательные члены геометрической прогрессии:
80
а) 4+42+ 43 +··· +4";
б) l+x2+x4+ ··· +х2"-2, где x=I= +l;
в) х3+х6+х9+··· +х3", где x=/=l.
366. Найдите сумму семи первых членов геометрической
прогрессии (Ь п), если:
а) Ь7=72,9, q= l,5;
367. Найдите сумму
прогрессии (х11 ), если:
пяти первых членов геометрической
1
1
а) Xs=lg, q=з;
б) Х4=121,5, q= - 3.
368. Найдите сумму семи первых членов геометрической
прогрессии, первый член которой равен 2, а пятый равен 162,
если известно, что ее члены с нечетными номерами положи
тельны, а с четными отрицательны.
369. Найдите сумму семи первых членов геометрической
прогрессии ( Ь п), в которой Ь2 = 6 и Ь4 = 54, если известно, что
все ее члены положительны.
Упражнения для повторения
370. Найдите первый член геометрической прогрессии (Ьп),
если Ь 7 = 0,012 и q = 0,2. Запишите формулу п-го члена этой
прогрессии.
371. Найдите первый член геометрической прогрессии (сп),
1
если Сз=120 И С5=33.
372. Разложите на множители разность:
а) 4п_4п-2; б) 9" - 32" -
1•
373. Сократите дробь:
9"+7•9" -'
.
а)8
,
32п+1_ 32п- 1
б) ---
4•3"
18. СУММА БЕСКОНЕЧНОИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОИ ПРОГРЕССИИ
ПРИ lql <1
1
Мы знаем, что число 3 обращается в бесконечную деся-
тичную периодическую дробь 0,3333....
Если по аналогии с конечной десятичной дробью разложить
бесконечную десятичную дробь 0,3333... по разрядам, то по
лучим сумму с бесконечным числом слагаемых:
0,3+0,03+0,003+0,0003+···.
Слагаемые в этой сумме являются членами геометриче
ской прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ... , у которой q = 0,1.
81
По формуле суммы п первых членов геоме'l'рической прогрес
сии имеем:
S _ 0,3·((0,1)" -1)
п- 0,1 -1
0,3((0,1)" - 1) (О,1)"-1
- 0,9
-3
1 (0,1)"
----
3
3
При неограниченном увеличении числа слагаемых п выра
жение (O,l)n становится сколь угодно близким к нулю, а зна
(0,1)"
чит, и вся дробь 3 неограниченно приближается к нулю.
Действительно,
(0,1)" 0,01
1
еслиn=2,то-3
-=-
3-=
300 ;
(0,1)" 0,001
1
еслиn=3,то -3
-= ~=
3000 ;
если n=4,
(0,1)" 0,0001
1
то -3-=
--
3--= 30000 ;
если n=5,
(0,1)" 0,00001
1
то-3-=
3
300000 и т. д.
1 (О1)"
Поэтому при неограниченном увеличении п разность 3 --'
3-
1
становится сколь угодно близкой к числу 3 или, как гово-
1
рят, стремится к числу з-·
Таким образом, сумма п первых членов геометрической
прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ... при неограниченном
1
увеличении п стремится .1t числу 3 . Это У'i'верждение запи-
сывают в виде равенства
1
о,з + о,оз+о,ооз+о,0003+ .•. = 3 .
ч
1
u
б
u
u
исло 3 :называют суммон: есков:ечнои геометрическои
прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ....
Рассмотрим -т.еперь произвольную геометрическую прогрес
сию
у RO'l'OpOЙ Iq 1< 1.
Запишем формулу суммы п первых членов прогрессии:
82
S ,,=b,(q"-1) .
q-1
Преобразуем выражение в правой части равенства:
Значит,
Можно доказать, что если I q1 < 1, то при неограниченном
увеличении п множитель qn стремится к нулю, а значит, стре-
Ь1
п
•
мится к нулю и произведение 1 _ q • q . Поэтому при неограни-
.
ь
ченном увеличении п сумма 8n стремится к числу -1
-
1-.
-q
Ь1
Число -1
--
называют суммой бесконечной геометриче
-q
ской прогрессии (Ьп), у :которой lql < 1.
Это записывают так:
о
Ь1
ь,+ь,q+ь,q-+•·· =-
1-.
-q
Обозначив сумму прогрессии (Ьп) буквой S, получим фор
мулу
S = -Ь_1_.
1-q
Заметим, что если I q 1 >-1, то сумма п первых членов гео
метрической прогрессии 8 11 при неограниченном увеличении п
не стремится ни к какому числу. Бесконечная геометриче
ская прогрессия имеет сумму только при I q 1 < 1.
Пр им ер 1. Найдем сумму бесконечной геометрической
,
4
прогрессии 12; -4; 3 ; ....
уu
1
этои прогрессии q = -
3 , значит,
Ь1
нено. По формуле 8 =-- получим:
1-q
8 =_Е_=~= 9.
1
4
1+з 3
условие Iq l < 1 выnол-
П р и м ер 2. Дан квадрат, сторона которого равна 4 см.
Середины его сторон являются вершинами второго квадрата,
83
середины сторон второго квадрата являются
вершинами третьего квадрата и т. д. (рис. 23).
Найдем сумму площадей всех квадратов.
Из геометрических соображений .ясно, что
площадь каждого следующего квадрата
равна половине площади предыдущего. Та
ким образом, последовательность площадей
Рис. 23
квадратов является геометрической прогрес
сией, первый член которой равен 16, а знаменатель равен т·
Найдем сумму этой геометрической прогрессии:
16
S= --
1 =32.
1--
2
Значит, сумма площадей всех квадратов равна 32 см 2 •
П р и м е р 3. Представим бесконечную десятичную перио
дическую дробь 0,(18) в виде обыкновенной дроби.
Запишем число 0,(18) в виде суммы:
0,(18) = 0,18 + 0,0018 + 0,000018 + ··· .
Слагаемые в правой части равенства - члены геометрической
прогрессии, у которой первый член равен 0,18, а знаменатель
равен 0,01, т. е. 1q 1 < 1. Найдем сумму этой прогрессии :
Значит,
S= 0,18
1- 0,01
Заметим, что аналогичным образом можно представить
в виде обыкновенной дроби любую бесконечную десятичную
периодическую дробь.
Из курса VII класса нам известно, что каждая бесконеч
ная десятичная ,..р:ериодическая дробь является числом рацио
нальным, т. е. она может быть представлена в виде дроби
.!!!:.. , где т - целое число, а п
-
натуральное. Теперь мы узна-
п
.
т
ли способ, с помощью которого такая дробь - может быть
п
найдена.
84
374. Проверьте, что знаменатель q данной геометрической
прогрессии удовлетворяет условию I q 1 < 1, и найдите сумму
этой прогрессии:
г) -13·
-
1•2-•
-yt.>,
' -/3, ...,
д) 2-{2; 2; -{2; ...;
а)9;3;1;...,
б) 2·
1
1
'
2
;
8
;...,
в):;245;1:5;...,
е)3{5; 3; зj5;....
375. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрес
сии:
а)1. 1
.
1 ..------: - •
'
10' 100 '
••• '
1
1
1
376. Найдите сумму, слагаемые которой являются членами
бесконечной геометрической прогрессии ( 1 а 1 < 1):
а) 1+а+а2+а3+...;
в) 1+а2+а4+а6+...;
б) 1-а+а2-а3+ ...;
г) а-а4+а7-а10+... .
377. В окружность, радиус которой равен · 5 см, вписан
правильный треугольник; в треугольник вписана окруж
ность; в окружность снова вписан правильный треугольник
и т~ д. Найдите суммы длин окружностей и площадей кругов.
378. В квадрат вписан круг; в этот круг вписан второй
квадрат; во второй квадрат снова вписан круг и т. д. Найдите
сумму площадей всех кругов, если сторона первого квадрата
равна 8 см.
379. Представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(6); б) •0,(1); в) 0,(36); г) 1,(81); д) 0,2(3); е) 0,32(45).
380.: Представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(5);
б) 1,(72);
в) 0,4(6);
г) 0,01(12).
Упражнения для повторения
381. Найдите сумму шести первых членов геометрической
прогрессии (хп), если Х1 = 0,375 и х2 = О,75.
382. Найдите значение выражения:
383. Существуют ли такие значения х, при которых
функция у=4х 2 -5х+7 прин имает значение, равное: а) 3;
6) 6?
384. Решите уравнение:
а) х4 -10х2 +9=0; б) х3 -0,16х=0.
85
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
К параграфу 6
385. Вычислите первые пять членов последовательности
(сп), заданной формулой:
3п- 1
(1)(-1)"
а) Сп= -4•3п;
в) Сп=Зп-l;
д) Сп= --;-
;
Сп =-5_.
(-l)л-1.
)
1+( - l)"
б)
г)Сп~~- '
е Сп=----
2"+1 '
2n
п
386. Найдите пятый, восьмой, пятидесятый члены после
довательности, каждый член которой равен разности между
его утроенным номером и единицей. Являются ли числа 20,
179, 1501 членами этой последовательности?
387. Укажите номера членов последовательности (хп), за
данной формулой Хп = 3n + 2, для которых верно неравенство:
а)Хп~29; б)Хп~47; в)хп>100; г)80~Хп~180.
388. Напишите формулу п-го члена последовательности,
если известно, что:
а) все члены этой последовательности -с нечетными номе
рами равны - 8, а с четными равны 8;
6) вс е члены с нечетными номерами равны 5, а с четными
равны - 5.
389. Выпишите несколько первых членов последователь
ности (ап) и подберите формул_у ее п-го члена, если:
а) (ап) - последовательность натуральных чисел, крат
ных 5;
б) (ап) - последовательность натуральных чисел, которые
при делении на 5 дают в остатке 1.
390. Вычислит е несколько первых членов последователь-
ности (а 11 ), если:
а) а1=2, ап+_1.•.а11=l;
в) а1=1, а2=2, ап•а,,+1•ап+2=6;
б)а1=5,ап+1•ап=- 5; г) a1=l,ап+1•ап=n.
391. Найдите члены арифметической прогрессии (ап), обо-
значенные буквами:
а) а1; а2; - 19; - 11,5; а5; ...;
б)а1;-7,5;аз;-2,5;а5;а6;5;
392. Докажите, что для любых чисел а и Ь значения вы
ражений (а + Ь)2, а2 + Ь2 и (а - Ь)2 образуют арифметическую
прогрессию.
1
1
1
393. Докажите, что если числа ь + с , а+ с и а+ ь образу-
ют арифметическую прогрессию, то числа а 2, Ь 2 и с 2 также
образую'!' арифметическую прогрессию.
394. Периметр треугольника равен 24 см, причем длины
ег о сторон образ уют ариф м етическую прогрессию. Можн о ли
86
определить длину хотя бы одной из сторон? :Какие целые зна
чения могут принимать длины сторон треугольника, выражен
ные в сантиметрах?
395. Углы некоторого тр'еугольника образуют арифмети
ческую прогрессию. Докажите, что один из них равен 60°.
396. Докажите, что любой член арифметической прогрес
сии, рчиная со второго, является средним арифметическим
/
Gп-1+ап+1
_7дшествующего :и последующего членов, т. е. а11
2
.
397. Последовательность (ап) - арифметическая прогрес
сия. .Является ли арифметической прогрессией последова
тельность:
)
) 1.1
..
1.
а а1; аз; ...; а2п-1;· ... ,
в-,
-
, ...,
, ...,
а1
а2
ап
б)а+1•а+1·
•а+1·
г) а2• а2• • а2• ....?.
1
,
2
,
••• ,
п.
,
••• ,
1,
-
2, •••,
"'
398. Последовательность (ап) - арифметическая прогрес
сия. Найдите:
а)а12,еслиа1= 9-/3-2 иd=2 - -/3;
5,/3- 7
-
/3- 2
б) а8, если. а1 =
3
иd= -
3-
.
399. Найдите номер члена арифметической прогрессии (ап):
а) равного - 2,94, еслиа1=1,26 иd =· -0,3;
б) равного. - 9,7, если а5=-3,7 и d= - 0,6.
400~ .Является ли членом арифметической прогрессии (Ьп),
вкоторойЬ1=2: иd= : ,число:
а)14: ; б)8,35?
401. Найдите:
а) первый отрицательный член арифметической прогрес-
7
СИИ l2; 0,55; ... ,
б) первый положительный член арифметической прогрес
сии-3~
·
-
3~·
2'
9'
402. Докажите, что если (Ь 11) - арифметическая- прогрес
сия, то:
а) Ьз+Ь11=Ь5+Ь9;
ат~-ап
403. Выведите формулу d = -- , где d - разность ариф
m-п
метической прогрессии, ат и а,, - ее· члены ( т =1= п).
404. Последовательность (а 11) - арифметическая прогрес-
сия. Найдите:
а) d, если а20=1,7 и а37=0;
б) а100, если а10=270 иd= - 3.
405. Найдит е сумму десяти п ервых членов арифметиче
с1еой пр огрессии:
)6,5.
•
а7'6 ' •••,
б) - -у8; - -{2; ....
87
406. Найдите сумму, слагаемыми которой являются после-
довательные члены арифметической прогрессии:
а) 2+в+10+ · ·· +198;
б) 95+85 + 75+···+(-155).
407. На одной стороне угла от вершины отложены десять
равных отрезков и через их концы (кроме вершины угла) про
ведены параллельные прямые. Найдите сумму длин всех па
раллельных отрезков , заключенных между сторонами угла,
если длина наименьшего из них равна 2 см.
408. Основания трапеции равны 11 и 26 см. Боковая сто
рона трапеции разделена на 10 равных отрезков и через точ
ки деления проведены прямые, параллельные основаниям.
Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, заклю
ченных между боковыми сторонами трапеции.
409. В арифметической прогрессии:
а)а1= - 19,d=2,Sn=384;найдитепиап;
б)d= -1⁄2-, n=37, Sn= 209: ; найдите а1 и ап;
в) d=2,5, ап = 27, Sn = 157,5; найдите а1 и п.
410. Найдите первый член и разность арифметической про-
грессии (ап), если а 5 = 5,5 и S20 = 130.
411. Найдите сумму:
а) натуральных чисел, некратных 5 и меньших 200;
б) натуральных чисел, некратных 15 и меньших 120.
412. Найдите натуральное число:
1
а) равное 10 суммы всех предшествующих ему натураль-
ных чисел;
1
б) равное 6 с уммы всех предшествующих ему натураль-
ных нечетных чисел .
413. Найдите сумму:
а) 1+2+ ... +19+20+19+ ... +2+1;
б)1+2+...+(п-1)+п+(п-1)+...+2+1;
в) 1- 3+5- 7+ ... +97- 99;
г) 1-2+3 - 4+5-
...
-
198+ 199- 200.
414. Упростите выражение:
?
3
11- 1
n
Х•Х-•Х • ...
•Х
•Х
а) __:.:___:.:___.:___
_
_
_
.
З5
2n-З2n-1
'
Х•Х•Х•.,.•Х
•Х
415. Найдите сумму всех положительных членов ариф
метической прогрессии:
а) 47; 39; ...;
б) 23,2; 21,7; ... ;
416. Найдите сумму всех отрицательных членов последо
вательности, заданной формулой:
а) ап=1,5п-48;
б) ап = 2,8п-125.
88
417. Найдите сумму всех положительных двузначных чи-
сел, являющихся членами последовательности (ап), если:
а) ап=7+3п;
б) а,,=217-4п.
418. В арифметической прогрессии:
а) S10 = 100; Sзо = 900; найдите S40;
б) S15= 825= 150; найдите S30•
419. Запишите формулу . суммы п первых членов после
довательности (ап), если:
а) ап = 2п+1; б) а,,=3-п.
420. Сумма п первых членов последовательности (Ь,,) мо
жет быть найдена по формуле S,, = п 2 - 2n + 5. Найдите пять
первых членов этой последовательности. Является ли после
довательность (Ь,,) арифметической прогрессией?
421. Является ли арифметической прогрессией последова
тельность (а,,) , сумма п первых членов которой может быть
найдена по формуле:
а)S,,= n2- 2n; б)S,,= - 4n2+11; в)S,,= 7n-1?
422. Известна сумма S" первых п членов арифметической
прогрессии (а,,). Найдите:
п2
а) первые четыре члена прогрессии, если S., =
4-п;
б) первый член и разность прогрессии, если S,, = 2п 2 + 3n.
К параграфу 7
423. Найдите члены геометрической прогрессии (Ь,,), обо
значенные буквами:
а)Ь1;Ь2;225;-135;81;Ь6;•••;
б)Ь1;Ь2;Ьз;36;54;...;
)1••1
•Ь•Ь•4·
•
~8'Ь2,2' 4, s,
-
'•••'
f) -уЗ; Ь2; Ьз; 18-{2; Ь5; 108-{2;
424. Докажите, что для любых чисел а и Ь (lal =1= 1ЬI)
значения выражений (а+Ь)2, а2 -Ь 2 и (а-Ь)2 образуют гео
метрическую прогрессию.
425. Докажите, что если числа а, Ь, с и d образуют гео
метрическую прогрессию, то верно равенство
(а- d)2=(Ь-с)2+(с-а)2+(d-Ь)2•
426. Последовате,льность (Ьп)
-
геометрическая прогрес
сия. Будет ли геометрической прогрессией последователь
ность:
а) 2Ь1; 2Ь2; ... ; 2Ь,,; ... ;
6) Ь1; Ьз; ... ; Ь2,,-1; ... ;
в) bi - 1; b2-l; ...; Ь,,-1; ... ,
1
1
г) -ь; -ь;
1
2
... '
1
... ,
д)ьз.ьз. .ьз. ?
1, 2,
•••,
,
••,•
89
427. Могут ли три последовательных члена геометриче
сн:ой прогрессии составлять арифметическую прогрессию?
428. Докажите, что любой член геометрической прогрес
сии, начиная со второго, является средним пропорциональ
ным предшествующего и последующего членов, т. е. что
Ьп+ 1
Ьп
~- ь=-: .
429. Дщ{ажите, что последовательность (хп) является гео
метрической прогрессией, если:
а) Хп=-3п; б) Хп=0,1-10п; в) Хп =2Ь\ где Ь=,'=О.
430. Известны первый член
ской прогрессии (Ьп), Найдите Ьп,
и &наменатель геометриче
если:
б)Ь1=~,q• -./6, n=5.
15
431. Между числами 8 и 240 вставьте шесть таких чи-
сел, которые вместе с данными числами образуют геомет
рическую прогрессию.
432. Найдите номер п члена геометрической •прогрессии
(Ьп), если:
а) Ь 1 =2, q=3, Ьп = 162; б) Ь1=2, q=O,l, Ьп=О,002.
433. Последовательность (Ьп) - геометрическая прогрес
сия. Докажите, что:
а) если Ь1> О и q> 1, то каждый следующий член про
грессии больше предьrдущего;
6) если Ь1> О и О< q < 1, то каждый следующий член
прогрессии меньше предьrдущего;
в) если Ь1 < О и q > 1, то каждый следующий член про
грессии меньше предьrдущего;
г) если Ь1< О и О< q< 1, то каждый следующий член про
грессии больше предыдущего.
Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.
434. Докажите, что в геометрической прогрессии (ап)
apar=атап, если р+r= т+п.
435. Если для натуральных чисел п, р и r верно равенство
n = p~r , то в геометрической прогрессии (Ьп) Ь~ = Ьр• Ь,. До
кажите это.
436. Докажите, что если q - знаменатель геометрической
прогрессии (сп), то .!!.::._=qп-т.
Ст
90
437. В rеометрической прогрессии (Ьп):
а) q=0,5, Ьп=2, Sп=254; найдите Ь1 ип;
6) q= 3, Ьп=567,Sn= 847;найдите Ь1 ип;
в)q=2,n=8,Sn=165;найдитеЬ1иЬп;
1
7
г)Ь,1=2,Ьп=8,Sn= 38;найдитеqип.
438. Докажите, что если сумму п первых -членов после
довательности (ап) можно найти по формуле Sn = 3n - 1, то
(ап) - геометрическая прогрессия. Найдите 8 4 , а1 , а 4 •
439. Является ли геометрической прогрессией последова
тельность, сумма первых п членов которой может быть най
дена по формуле:
а) S11= n2-1;
б) S11 =2n-1 ;
в) Sn=3"+1?
440. Сумма первых четырех членов геометрической про
грессии равна 30, а сумма следующих четырех равна 480.
Найдите сумму первых двенадцати членов.
441. В геометрической прогрессии S 3 =40, S 6 =60. Найди
те S9•
442. Упростите выражение, применив формулу суммы п
первых членов геометрической прогрессии:
а) 1+х+х2+х3+х4, где x=;f,1 и xc,i=O;
б) 1-х+х2-х3+х4-х5+х6, где x=ft - 1 и xc,i=O.
443. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрес-
сии:
2--/2
а)1
•
1••
6)1·,
'2'...,
' ....
2--/2
2+-/2
444. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрес-
сии: -
а) 1 +sin 30°+sin2 30°+sin3 30° + ... ;
6) 1-cos 30°+ cos2 30°- cos3 30°+ ... .
445. Последовательность ( Ьп) - бесконечная геометриче
с1tая прогрессия, причем ·1 q 1 < 1. Найдите:
а) Ь1,еслиq=~ иS=4,5;
2
2
б)S,еслиЬз=13 иq=3 .
446. Второй член бесRонечной геометрической прогр-ессии
равен 18, а ее сумма равна 81. Найдите третий члеN.
447. Представьте бесконечную десятичную периодическую
дробь в виде обыкновенной дроби:
а) 2,01 (06);
б) 5,25 (21);
в) 0,00 (1);
г) 0,28 (30).
448. В окружность, радиус которой равен R, вписан квад
рат; в этот квадрат вписана окружность; в окружность снова
вписан квадрат и т. д. Найдите сумму: а) длин он:ружно
стей; б) площадей кругов; в) периметров квадратов; г) пло
щадей квадратов.
449. В правильный треугольник, сторона которого равна а,
вписана окружнос •rь ; в нее вписан правильный треугольник;
в этот треугольник опять вписана окружность и т. д. Найдите
сумму: а) периметров треугольников; б) площадей треугольни
ков; в) длин окружностей; г) площадей кругов.
91
ГЛАВА П!J
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 8. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
19. ЧЕГНЫЕ И НЕЧFГНЫЕ ФУНКЦИИ
Сравним значения функции f (х) = ~ х 4 -х2 при
двух противоположных значениях аргумента, например при
Х=3ИХ=-3:
f(3)=__!_,34- 32=__!_,81- 9=1__!_
8
8
8'
f(-3)=1⁄2•(- 3)4- ( - 3)2= ~ ,34-32= 1+.
Мы видим, что f (- 3) = f (3) . Значения этой функции рав
ны и при любых других противоположных значениях аргу~
мента. Действительно,
f(-х)= ~ (-х)4-(-х)2=1⁄2х4-х2,т.е.f(-x)= f(х).
При этом рассматриваемая функция такова, что для каж
дого значения аргумента х противоположное ему число - х
также принадлежит ее области определения.
Функции, обладающие такими свойствами, называют чет
ными функциями.
Определение. Функция у = f (х) называется четной, ес
ли области определения этой функции наряду с каждым чис
лом х принадлежит и противоположное ему число - х и
при этом верно равенство
f (-х)=f (х).
На рисунке 24 построен график функции f (х) =]_ х4 - х2•
8
График этой функции симметричен относительно оси у.
92
'J
i
у
1
1
7!!
·· 1·---~
--+-
1
--
5-~
-
-
.
'
!+-
1
5
~
·-~
I,.
1
1 -~:_с
5
1
4
\J
4
-+
1
1
L
3
'
2
I
,-
~•
2
1
-J
-2
-7о
72J4х
~~-•--
1
\
j --L--
о
-3\-2
-7
12IJ
х
\
1
т',
i
i2I
1
\
l
7
...
,,
Г7 ,1
1'\. 1
-fз '
,_
\']
12
I\.J
1
~4
Рис. 24
Рис. 25
Вообще, zрафи,с любой четной функции си,V!,метричеп от
носительно оси ординат. Это следует из того, что если
у = f (х) - четная функция, то любым противоположным зна
чениям аргумента х и - х соответствует одно и то же зна
чение фующии, а точки (х; у) и (-х; у) симметричны отно
сительно оси ординат.
Рассмотрим теперь функцию g (х)= х3 - 4х и сравним ее
значения при двух противоположных значениях аргумента,
например прих=5 их=- 5:
g(5)= 53- 4.5 = 125-20= 105,
g (-5)=(-5)3-4-( - 5) = -1 25 + 20 = -105.
Мы видим, что g ( - 5) = - g (5). Эта функция принимает
противоположные значения и при любых других противопо
ложных значениях аргумента. Действительно,
g(-х)=(-х)3-4(-х)=-х3+4х=-(х3-4х), т.е.
g (-х)= -g (х).
При этом для каждого значения аргумента х противопо
ложное ему число - х также принадлежит области определе
ния функции.
Функции, обладающие такими свойствами, называют не
четными функциями.
93
Определение. Функция у = g (х) назьmается нечетной,
если области опре.т,~;ел:ения этой функции наряду с каждым
числом х принадлежит и противоположное ему число - х
и при этом верно равенство
g(-х)=- g(х).
На рисунке 25 построен график функции g (х) = х3 - 4х.
Ее график симметричен относительно начала координат.
Графщс любой н.ечетиой фующии симметричен, оrноси
тельно начала координат. Это следует из того, что если
у= g (х) - нечетная функция, то любым противоположным
значениям аргумен•rа х и - х соответствуют противополож
ныезначенияфункцииуи-у,аточки(х;у)и(-х;-у)
симметричны относительно начала координат.
С примерами четных и нечетных функций мы уже встре
чались. Так, функция, заданная формулой у = ах 2 , является
четной. Функции у = х3, y=kx, у = .!:._ являются нечетными.
х
3аме,тим, что не всякая. функция явля.ется четной или
нечетной. Например, каждая из функций у = 3х + 1, у = х4 + х,
у = (х-1)2 не явл.нется ни четной, ни неч.етной.
94
450. Докажите, что четной является функция:
а} р(х)=х4;
в) p(x)=lxl;
б)р(х)= -
3х6;
г) р(х)=-2
-
1-.
х+1
451. Докажите, что нечетной является функция:
а) g(х)=х5;
в)g(х)=~•
хз'
б) g(x)= - 4x3;
г)g(x)=xlxl.
452. Является ли четной
а}f(x)=3x4- x2+5;
б) f(x)= x7+ 2x3;
в) f (х)=(х-3)2+(х+3)2;
или нечетной функция:
r) f (х)=2х3-1;
д) f(х)=х2+х+1;
е)f(x)=-5
-
1-?
х-х
4!53. Является ли четной или нечетной функция:
а)g(x)=5x3;
в) g (x)=(x - 2)2;
8
1
6) g (х)=-4- ;
г) g(х)=х+-:-?
х-1
х
454. Является ли четной или нечет
ной функция, если ее графиком служит
ломаная ABCD, координаты вершин
.~еторой равны:
а) А(-4; 4), Е(-12 -;;-2), С(1; -2),
D (4; 4);
б)А(-5;-3),В(- 2;- 3), С(2;3),
D (5; 3);
в)А(-5;5),В(О;О),С(4;4),D(5;4)?
455. На рисунке 26 изображена
часть графика функции f, область
определения
которой - промежуток
[-3; 3]. Постройте график этой функ
ции зная, что:
а) f - четная функция; 6) f - не
четная функция.
456. Известно, что функция g в про
межутке. (О; + оо) принимае'!' отрица
тельные значения. Какие значения при
нимает функция в промежутке ( - оо; О),
если:
а) g - четная функция; 6) g - не
четная функция?
457. Известно, что некоторая функ
у
'
f---f- - .3
f-- 2
;:;f---
f-- -
:,,
·~
-----· -1-
1J
I/
,
-2
-1о12зх
f-- -
1--7
Рис. 26
у
2
1'\. 7
/ i"-
-2'-1о12х
iт1
2
Рис. 27
ция возрастает в промежутке (О; + оо ). Как изменяется (воз
растает или убывает) эта функция в промежутке ( - оо; О)~ если
она является:
а) четной функцией; 6) нечетной функцией?
458. На рисунке 27 изображена часть графика некоторой
функции, область определения которой -: промежуток [ - 2; 2].
Постройте график этой функции, зная, что она является:
а) четной функцией; 6) нечетной функцией.
Выясните, какие значения принимает эта функция в про
межутке ( - 2; 2]; в каком промежутке она возрастает, в ка
ком убывает.
Упражнения для повторения
459. Найдите сумму 20 первых членов арифметической
прогрессии (Ьп), зная, что Ь1 = - 10, Ь 9 = 14.
460. Представьте в виде дроби:
95
20. ФУНКЦИЯ у= Хп
Рассмотрим функцию, заданную формулой у=х\ где х -
независимая переменная, а п - натуральное число. Такую
функцию называют степенной функцией с натуральным по
казателеl'.'i,
Степенные функции при n = 1, 2 и 3, т. е. функции у=х,
у = х2 и у=х3, мы уже рассматривали. Их свойства и гра
фики нам известны. Выясним теперь свойства степенной функ
ции и особенности ее графика при любом натуральном п.
Выражение хп, где п - натуральное число, имеет смысл
при любом х. Поэтому областью определения степенной функ
ции с натуральным показателем является множество всех
действительных чисел,
Сначала рассмотрим случай, когда показатель п - четное
число. Свойства функции у= хп при четном п аналогичны
свойствам функции у= х 2•
1. Если х = О, то у=О. График функции проходит через
начало координат.
2. Если х =1= О, то у> О. Это следует из того, что четная
степен~ как положительного, так и отрицательного числа по
ложительна. График функции расположен в первой и вто
рой координатных четвертях.
3. Фун кция является •tетпой. Это следует из того, что при
четном п равенство ( - х)п = хп верно для любого х. График
функции симметричен относительно оси ординат.
4. Фуикция возрастает в промежутке [О; + оо) и убыва
ет в промежутке ( - оо; О].
.\
у
~J
\
5
,
J
у
5
1
4
1 -1 ~=х2-
\
3
'
/
---
4
у=х4~-
1
3
2
\
I
12
'
1
1
'\
1
~
'1,. _
..,
-,f';
--2
-1о12
'
1/
-2
-1
о
112
iх
1
11
11
а)
бJ
Рис. 28
96
Дейс т вительно, . пусть Х2 > х, ~ О. Ес
ли х1= О, то очевидно, что Х2>х?.
Если х , > О, то, перемножив почле нно п
одинаковых неравенств Х2 > х , , полу
чим верное н еравенство Х2 > х?. Значит,
в промежутке [О; + оо) функция воз
растает. Из того, что в промежутке
[О; + оо ) функция возрастает и ее гра
фик симметричен относительно оси
ординат, следует, что в промежутке
(- оо; О] она убывает.
На рисунке 28 изображены графи
ки функций у=х2 и у=х4• На рисун-
ке 29 показано, как выглядит график
функции у = х" с четным показа те
лем п.
у
о
У=Х~
п-чет .
Рис. 29
х
Рассмотрим теперь свойства степенной функции с нату
ральным показателем при нечетном п. Эти св ойства анало
гичны свойствам функции у = х3•
1. Если х = О, то у = О. Графш<. функции проходит через
начало координат.
2. Еслих>О,тоу>О; ecm.t х< О, то у<О. График функ
ции рас п оложен в первой и третьей координатных четвертях.
у
у
1
у=хз -f-
у=х5 ~-
I
'
7
1
/
IJ
~о
1
х
/О1
х
•
I
I
•
а)
6)
Рис. 30
4 Заказ 201
97
у
п-нечет.
/
j=X~
3. Функция явпяется печет1~ой. Гра
фик функции симметричен относитель
но начала координат.
4. Фующия возрастает 1ta всей об
ласти определения.
Доказательство этих свойств анало
гично доказательству свойств степен
х ной функции с четным пщшзателем.
На рисунке 30 изображены графи
ки функций у=х3 и у=х5• На рисун
ке 31 показано, как выглядит график
функции у= х" с нечеrным показате-
лем п, большим 1.
Рис. 3l
Отметим одну особенность графи-
ков степенных функций, рассмотрев их в промежутке (О; + оо ).
:Каждый график (рис. 32) проходит через точку (1; 1). В про
межутке (О; 1) график расположен тем ближе к оси х, чем
больше п. В промежутке (1; + оо) график расположен тем
дальше от оси х, чем больше п.
Рассмотрим теперь, какие значения может принимать сте"
пенная функция.
Мы установили, что при х ~ О и любом натуральном
п значения функции у= х" неотрицательны. Можно доказать,
что любое неотрицательное число является значением функ
циИ'· у= х" при некотором х ~ О. Отсюда следует, что зна "
чениями степенной функции с четным показателем являют
ся все неотрицательные числа и только они, а значениями
у
У=Х5 -7
I
2
!J
~
Ir
7,-+-
j
г
/j
/1
/
arr~
., .,
_L
с-·
7
Рпс. 32
98
У=Х2
--
1
х
степенной функции с нечетным пока
зателем являются все действительные
числа.
Все значения, которые может при
нимать функция, образуют область зна
чений: функции.
Таким образом, областью зпачений
степенпой функции с четным показате
леllt является л~пожество неотрицатель
ных чисеп, а областью знац,е1~ий сте
пеипой фупкчии с пеr~етным похазате
лет,~ - ,'}f,1tо:11сество всех действительных
чисел.
461. Функция задана формулой у = х 36• Сравните с нулем
значение этой функции при Х = 3; О; 5.
462. Сравните с нулем значение функции у = х 49 при
х -9;О;7.
463. Функция задана формулой f (х) = х20• Сра-вните:
а) f (3,7) и f (4,2);
в)f(- 7)иf(6);
б)f(-5,2)иf(-6,5);
г)f(31)иf(-28).
464. Функция задана формулой g(x) = x 35• Сравните:
а) g (8,9) и g (7,6);
в)g(- 10)иg(7);
6)g(- 4,6)иg(- 5,7);
г)g(- 63)иg(63).
465. Сравните значение степеней:
а)56и76;
в)0,86и1;
6) 0,36 и 0,26;
г)(-8)6и(-9)6;
466. Сравните:
а)27и37;
в) 0,837 и 1;
г)(-5)7и(-6)7;
д)(-+)7и(- ~)\
467. Принадлежит ли гра
фику функции у = х 10 точка:
А (2; 1024),
В(- 2; 1024),
С (- 3; - 79401)?
468. Принадлежит ли гра
фику функции у = х 7 точка:
А (2; 128),
В(- 2; - 128),
С(- 3; 2187)?
469. И спользуя
микро-
кал ькулятор, н айдите с точ
ностью до 0,01 значение функ
ции у= х5 при:
а) Х=О,72;
6) Х=2,6;
в)Х=- 3,4.
470. Пользуясь
рисун-
ком 29 или рисунком 31, вы
ясните, сколько решений име
ет уравнение:
а) х16=2; в) х8=-3;
б) х34=0; г) х21= -7.
471. На рисунке 33 изо-
бражен график функции
у= х4. Найдите по графику
значение х, при котором :
а) у=5; 6) у=3,5; в) у=8. ,
4*
-7
е) (- 0,9)7 и (-1)7.
у
у-х4
8
7
6
5
4
3
2
о
2
Рис. 33
х
99
472. Пользуяс ь графиком (см. рис. 33), решите уравнение:
а) х4=6;
6) х4=8,5.
473. Решите графически уравнение:
а) х3=2;
6)х3=4; в)х3=- 5.
474. Укажите какое - нибудь значение аргумента, при кото
ром значение функции у = х6 больше, чем 26; 106; 1012; 1018•
475. Укажите какое-нибудь значение аргумента, при ко-
тором значение функции у= х5 меньше, чем - 35; - 105;
-1021.
476. В каких координатных четвертях расположен график
функции: а) у=х 40 ; 6) у=х 123 ?
477. Деревянный куб, ребро которого 10 см, имеет массу,
равную 700 г. Выразите формулой зависимость массы т
этого куба (в г) от длины х его ребра (в см). Постройте
график этой зависимости. Пользуясь графиком, найдите:
а) массу куба, ребро которого равно 2 см, 5 см;
6) ребро куба, масса которого равна 30 г, 100 г.
Упражнения для повторения
478. Используя график функции у= х 3 и график линейной
функции, решите уравнение:
а) х3=х+1;
6) х3=2х; в) х3=2х+1.
479. Найдите сумму тринадцати первых членов геометри
ческой прогрессии (сп), зная, что с9 = 81, q = -{3.
480. Среди функций у=х12-х6, у=х9-х5, у=х10-х5,
х
у
4
2
укажите т е , которые являются:
х+х+1
а) четными; 6) нечетными.
481. Упростите выражение:
а) 1-у+ у2+6у.б+у. б) 4х2-49
1+у у2-1 •1+у'
2х+5 4х2+14х
1
4х2 - 10х
§ 9. КОРЕНЬ n- И СТЕПЕНИ
21. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЯ n-И СТЕПЕНИ
Как извест н о, квадратн ы м корнем из числа а на з ывается
такое число, ква драт которого равен а. Анало гично опреде
ляется корень любой натуральной степени п.
Корнем п-й степени из числа а назьшается та1,:ое число,
п-я степень :которого равна а.
Например, корнем пятой степени из 32 является число 2,
так как 25 = 32; корнем четвертой степени ИЗ 81 ЯВЛЯЮТСЯ
100
У=й
х
Рис. 34
Рис. 35
числа3и - 3,таккак34=81и(- 3)4=81.:Кореньвторой
степени из числа принято называть квадратным корнем,
а корень третьей степени - кубическим корнем.
Выясним, всегда ли существует корень п-й степени из чис
ла а.
Из свойств степенной функции с нечетным показателем
следует, что при нечетном п для любого числа а существует
единственное число, п-я степень которого равна а (рис. 34 и
35). Иначе говоря, если п
-
нечетное натуральное число, то
корень п-й степени из любого числа существует и притом
только один. Для записи корня нечетной степени п из
числа а используют обозначение -v"a, (читают: <,:Корень п-й
степени из ai, ). Число п наз ывают показателем корня, выра
жение, стоящее под знаком корня,- подкоренным выраже
нием.
Приведем примеры.
з ~---
Запись -у - 125 означает кубический корень из - 125.
з~---
-
Из определения корня следует, что -у - 125 = - :э, так как
( - 5)3 = - 125. Запись -!/во означает корень седьмой степени
из 80. Число -!/во иррациональное. Его значение с точностью
до 0,01 равно 1,87.
Из свойств степенной функции с четным пок~зателем сле
дует, что если п - четное число, то при а ;:i: ·o ·~существуют
два противоположных числа, п-я степень которых равна а
101
о
(а> О!
'Га. х
(рис. 36). При а= О такое число
одно (числ о О), при а< О ТЭJ.(ИХ
чисел нет. Другими слов ами, если
п - четное число, то существуют
два корня п-й степени из поло
жительного числа а. Эти корни
являются противоположными чис
лами. Есл и а= О, то корень п-й
степени из а равен нулю. Если
а<О и п- четное число, то ко-
рень п-й степени из а не сущест
вует.
В случае че·rного п знаком -':/а
Рис. 36
обозначают неотрицательный ко-
рень п-й степени из а. Отрица
тельный корень п-й степени из а ( при а> О) записывают так:
--':/а. Выражение -':/а при а< О и четном п не имеет смысла.
Например, запись -v'64 означает неотрицательный корень
6-
шестой степени из 64. Имеем -у64 = 2, так как 2 - неотрица-
тельное число и 26 = 64.
Если п = 2, то показатель корня не пишется.
Итак, если п - нечетное число, то выражение -Та имеет
смысл при любом а; если п - четное число, то выражение
-Та имеет смысл лишь при а;?:= О.
Из определения корня п-й степени следует, что при всех
значениях а, при которых выражение ~ имеет смысл, верно
равенство (~/=а.
•
На рисунках 37 и 38 построены графики функций у=~
и у=-:;-;:. Функция у=~ определена для всех х, функция
у
у
2
зi/,_
У=х-
2
4
Y=VX -·-
,-, -
-
1.
!-"'-
1
~
7/
-4
-J
-2
-1о12Jх
о72345Б7х
,
.
--
1
~
-2
Рис. 37
Рис. 38
102
у = ~ определена для х ;;;?= О. :Каждая из этих функций
является возрастаю щей.
Вообще, функция, заданная формулой у = -:,r;, при нечетном п опре
делена на множестве всех действительны х чисел, при четном п - на мно
ж еств.е неотр ица тельны х чисел. Дл я любого натурального п зта функция
яв ля ется возрастающей .
Выражение -у-;, при а;;;?= О имеет смысл 1шк при четном, так
и при нечетном п, и значение этого выражения является
числом н еотрицат ельным. Его назы в ают ар ифметическим
корнем п-й степени из числа а.
О п ре д е л ение. Ариф~1етическим корнем п-й степени из
неотрицательного числа а называется неотрицательное число,
п-я степень которого равна а.
:Корень нечетной степени из отрицательного числа можно
выразить через арифметический корень этой же степени.
Например, -{./ 8 - -{/8,-{/ 29 -
~.
пг
Вообще если а < О и п - нечетное число, то
,Jа=
=-
~
. Действительно,
при нечетном п
(::Га)п=аи(- -V а)п=-(-а)=а.
С помощью знака корня п-й степени записываются реше
ния уравнения хп = а. Приведем примеры .
Пример 1. Решимуравнениех6=7.
Это ур авнение и меет два корня , которые являются проти во·•
положными числами (см. рис. 36). Положительный корень
есть ~~'Iожительное число, шестая ст·епенf_которого равна 7,
т. е. -у7 . Отрицательный корень равен --у7 .
Пример 2. Решим уравнение х4=81.
Ур авн ение имеет два корня:
Х1=---vы= - 3 И Х2=--VЫ=3.
Пример 3. Решимуравнениех3=5.
Уравне н ие им еет единствен н ы й корень (см. рис. 34). Эуо_т
корень есть число, третья степень которого равна 5, т. е. -у5.
Пример 4. Решим уравнениех5= - 50.
Ур а в нение имее'r единственный корен ь ( см. рис. 35). Этот
корен ь есть число, пя·rая степечь ко·rорого равна - 50, т. е.
_5г-m
'i---
x='/-иv.Выразив-у -
- 50 через арифметический корс:нь,
5,;:,,- -
получ им Х=---= --\; ЬО.
103
482. Докажите, что:
а) число 1⁄2есть арифметический корень четвертой степени
1
из 16;
б) число 3 есть арифметический кубический корень из 27;
в) число - 2 не является арифметическим корнем четвертой
степени из 16;
г) число 0,1 не является арифметическим корнем пятой
степени из 0,0001.
104
483. Докажите, что верно равенство:
а) ✓361 = 19;
д)-yi=1;
б) ~=7;
е) -уо =0;
у
4
з
2
-7
о
Рис. 39
ж) ✓7-4 ~
= 2- ,/3;
з) ✓9-4./5= ./5-2.
2х
484. Найдите
выражения:
а)~;
б) {132;
в) '-1/I;
_з~
г) -У -i-;
значение
.4~
д)v515;
_зг;:
е) у 3i-;
ж) -V - 0,027;
з) -V0,0625.
485. Вычислите:
а) {"ы2;
)-4г;;;.
дyiif;,
б) -V1331;
г) -V-128;
е) -vo,00001;
_4с;:;;
ж)v1~;
_5~
з) v 1Т2.
486. На рисунке 39 по
строен график функции
у = х3• С помощью этого гра
фика найдите:
а) -V5;
6)-lf=i;
487. По графику функции у = х 4 (см. рис. 33) найдите:
4Г
. 4[;
_ 4/-
а) -у2;
б)-у5;
в) у8.
_зг
488. Используя график функции у = -ух (см. рис. 37),
сравните:
а).;jзи~2; б)Г-4- и ~; в)~ 0,3 и -v'o,6.
489. Используя график функции у = $ (см. рис. 38),
сравните:
4[;
- 41-
- 4г,::-;-
. 4г:;-;;-
-
4/-
а)-уаи-у3;б)-уО,5 и-уО,8;в)Ои-уО,02.
490. Укажите два последовательных целых числа, между
которыми заключено число:
_ 3r;;-;; -
_3r;;;:
4(~
_4г;-;;
а) -у.:,,а ; б) -у20; в) -у9; г) -у52.
491. Принадлежит ли графику функции у = -:.(х
Е(81; 3); F(81; -3); К( - 16; - 2); L(0,0001; 0,1)?
_ зг_
~92. Принадлежит ли графику функции у = -ух
А(8;2);В(216;6);С(27; - 3);D(-125; - 5)?
493. Оцените значение выражения~. если:
а) 13⁄4Х3⁄48; б) -l3⁄4X3⁄4l;
в) - 273⁄4Х3⁄40.
4Г
494. Оцените значение выражения -ух, если:
а) O3⁄4X3⁄4l;
б) 1<х<81;
в) 2563⁄4Х3⁄4625.
495. Им,qет ли смысл выражение:
а) -V~9; в)~;
д)-V(- 2)3 ;
б) -V
-
0,28 ;
г)-V(- 3)3 ;
е)~(-7)2?
496. Найдите значение выражения:
а)-V - 32;
д) -{/з2 +~;
б) ~;
е)~--V - 125;
в)-
~;
ж) 12 - 6 -V0,125;
г) -4- -:/2:i;
з) 1+10-уО,0081.
точка: .
точка:
497. Выразите корень п-й степени из отрицательного чис
ла через арифметический корень той же степени:
_з/ --
_ si--
_11г-;;
1 7г-;:
а) у-31;
б) -у -17;
в)-у-2;
г)-у - 6.
498. Вычислите:
а)-V - 125;
в)-5-уlб; д)V- 3~ +✓2,25 ;
б) -V(J;
г)-3-V 64;
е) 3-VU, - 4-;{ii.
499. Найдите значение выражения:
а) (.,/10)2;
б) ("V5)3;
в) (- -fli.)4;
г) (2~)5;
105
д) -у2"; е) ~;
500. Вычисли те :
а) (-;/7) 4 ;
в) (2-V3)4;
б) (~)7; г) (-з-{/2)3;
_ 6/-
ж) -у253;'
д) -у75;
е) 5~( 2)3;
501. При каких значениях а верно равенство:
а) ✓~=а; б) W=-а; в) -{[cJ=a?
502. Решите уравнение:
а) х3=4;
г) х4= -10; ж) х6=64;
б) Х3= -4; д) х3=8;
з)Х8=- 1;
в) Х4=10; е) х5=-32; и) х3-27=0;
503. Найдите корни уравнения:
а) 16х4-1=0;
г) О,02х6- 1,28=0;
б) _1_х5+4 = О;
д) О,3х9- 2,4 = О;
8
38
3
в) -O,Olx3 +10=0;
е)-4х+124=0.
504. Решите уравнение:
а) х5 =8;
г) х10+6=0;
б) Х7=-5;
д) 0,03х3 +0,81 = 0;
в) х4-19=0; е) 16х4-625=0.
.
Упражнения для повторения
505. Постройте график функции:
а) у=(х-2)2; б) у= --1⁄2х2+5;
506. Решите урав нен ие:
)х
8
14
а х-2-,х+5 х2+3х- 10;
б)у+1+
17
2у-3 у+7 2у2+11у-21 о.
507. Упростите выражение:
( а-5
12а-61)
За-18
а2-5а+25 - а3+125 : 2a2 -10a+so
к)х5+1= 0;
Л) Х10+1= 0;
м) х10-1=0.
22. СВОИСТВА АРИФМЕ Т""!IЧЕСКОГО КОРНЯ n- И СТЕПЕНИ
Нам известны следующ ие свойства арифметического квад
ратного корн.я:
если а~О и Ь~О, то-;;;;; =-ус;,,-{ь;
еслиа~ОиЬ>Ото\G= _:/i,_.
-
'
vь -1ь·
Аналогичными свойствами обладает арифrvrетичес1-:ий
корень п-й степени и при п > 2.
106
Теорема 1. Если а?О и Ь?О, ТО~=-;;;,.-;;ь.
Докажем, что при указанных значениях переменных вы-
полняются два условия: 1) .;_;;;,.--уь?О И 2) (--r;,-;Jь)"=ab.
При а? О и Ь? О каждое из выражений -уаЬ и :.,;-;; . --VЬ
имеет смысл. Значение выражения -уа · -Vb неотрицательно,
так как по определению арифметического корня ·--::r;,? О
пг.
и -у Ь ? О. Кроме того, по свойству степени произведения
(--::r;, •-уЬ)" = (-::{ct )" • (--VЬ)"=а Ь.
Значит, по определению арифметичесн:ого корн.я п-й степени
при а? О и Ь? О верно равенство --r;ь =-у;; •--VЬ•
Доказанная теорема распространяется на случай, когда чис
ло множи'l·елей под знаком корня больше двух. Например, если
а?О, Ь?О и С?О, то ~/а;; =--::r;,.-уь.-{(с. Действительно,
-:.Гаьс= -V(ab) с =--r;ь ._;:[с =--r; ·-УЬ .::(с.
Таким образом, арифметический корень п-й степени облада
ет свойс'l·вом: при любоJ1t натуральном п корень из произ
ведения тготрицательных множителей равен произведению
корней из этих lltножителей.
Теорема2. Если а?О и Ь>О,то~=~ .
Доказательство проводится аналогично доказательству тео
ремы 1.
Таким образом, справедливо еще одно свойство арифметичес
кого корня п-й степени: при любом натуральном п корень из
дроби, числитель которой неотрицателен, а знамеиатель
положителен, равен корню из числителя, делени,ому на корень
из знал~епателя.
_"г::._ нг:. _"r-
"Га
✓"а
Поменяв в каждом равенстве -уаЬ=-уа•-уЬ и V-f,-=,,.
ь -::rь
местами их левые и правые части, получим равенства, выра-
жающие правила умножения и деления арифметических
корней п-й степени:
"Г:. -"Г~.
'7' -
-уи·-уЬ=._аЬ, где а?О и Ь?О;
-va /'f-a
ОЬО
;μ,=VЪ'гдеа? и > .
Приведем примеры применения доrtазанных свойств.
107
~~-
-
п р и м е р 1. Найдем значение выражения ✓ 16 •81
По теореме о корне из произведения имеем:
~16-81 =--.Jlб·-y'Sl = 2 •3 =6.
Пример
з
з
2. Перемножим корни ;J2 и -:/4.
;;2.-✓-4=~ =✓8 = 2.
Пример 3.
_ зГ,о
Найдем значение выражения у 2f7 •
По теореме о корне из дроби имеем:
_зG '--_з {ы --v'М
_ __!_
_
_!. _
у2#-уТ7 -
.;/27 - 3
-
13•
Рассмотрим другие свойства корня п-й степени. Начнем с
примера. Сравним значения выражений~ и -V(М:
~
= -/4=2, ~
= ~=2.
Мы видим, что значения этих выражений равны, т. е.
~
= -lf&i.
Теорема 3. Если п и k
-
натуральные числа и
_п(kг · пkс
а;;:о, то -у-уа = -уа.
Так как а;;: О, то выражения #о и •п1/а имеют смысл
и неотрицательны. Кроме того,
След ов ательно, по оп р еделению арифметического корня
•
_п{kг ·пk
равенство -у-':/а = Va верно.
Теорема 4. Если п, k и т- натуральные числа и
а;;:о, то ~ =W"•
По теореме 3 имеем:
п lг;;;;, _ ll Г7G,
-уа· = -у-уат .. =
Мы доказали, что арифметический корень п-й степени
обладает свойством: если показатель корня и показатель
степени подкоренного выражения умножить или разделить на
одпо и то же натуральное число, то значение корня не
изменится.
108
Это свойство :корня иногда называют основным свойством
:корня .
Приведем пример применения теорем 3 и 4 .
Упростим выражение ~-
Внесем множитель 2 под знак квадратного корня. Получим:
По теореме о корне из корня имеем :
Применяя основное свойство корня, получим :
Итак,
~ =-/2.
508. Найдите значение выражения :
а) --:/8Т7; в) -V625 • 16; д) ~
;
6) -Vlб-0,0001; г) -V0,0016-81; е) W.;
509. Вычислите :
а)~; в) --vз 10 . о,5 15;
6) -{/26. 312;
г)~;
бг:;;
д)--у~
-3- ;
_зг;;;
е)Yw·
510. Найдите значение корня:
а) --J125-27;
в) -у 10000. 8\;
6) -310,001,125·,
) _4г;;
у
Г --Уifs•
511. Вычислите:
6) -v'48, 162;
-
4 г;;;,
в) --у ffj; ;
512. Найдите значение выражения:
_з~
_ 4~-
_з Гм
а) -y7t>•45;
6) у-54-24; в) -Vois .
513. Вычислите:
-
4 г-;;;
г) --У~ .
а) --JlOO--v'!O; в) --V3 2 • 5 3 -~ ; д) -{/9+-ff:Y •-V9--yl7;
б) ,j50--y12oo; г) -{/2 4 .73 .- {/2 3 .492 ; е) -V10--y19 --v1o+ ✓i9.
109
514. Найдите значение дроби:
а) ,/54 ; б) -;/3 ; в) -,J256;
-;/2
~
-;/2
515. Вычислите:
а) ,/26·-/5; б) -ffГ-з.~i;
-Тз
г)-.
щ
516. Представьте выражение в виде одночлена (буквами
обозначены неотрицательные числа):
а)~; б) ~;
в) -V81c4 ;
г) -V32x 10 •
517. Вынесите множитель за знак корня (буквами обозна
чены неотрицательные числа):
а) -{ia; б) -{lsь; в) "\f'24c; г) ~; д) ~
6; е)~-
518. Внесите множитель под знак корня:
а) 3 -{2;
Зге
б) 5 ,J3;
~5Г,
в) 2уi-;
г)а-{/5,гдеа>О;
д) Ь .!!/2, где Ь <0;
,ог--
е) с-'у3с2, где с~О.
519. Вынесите множитель за знак корня:
а)-Vlбc; б).;J2'iy; в)~. где х>О; г) ~
6,гдеа<О.
520. Внесите множитель1+о знак корня:
3
41
3
а)2--/3; б)2..::{5; в)3 9 ; г)а-у?,,гдеа>О.
521. Представьте выражение в виде дроби:
а)~ 5;
д) ~, где а~О;
_з (';_
- 4г-;,
б) '\ji:f;
е) '\/-;,, где Ь<О;
в)N ; ж)~;
г)~; з)-ifJ,,гдеЬ>О.
522. Приведите выражение 1, виду а --':/ь, где а - рацио
нальное число, Ь - натуральное:
3
2•
3
а)- ;
б)- ;
в)- ;
./5
-;/2
-Тз
523. Приведите выражение к
нальное число, Ь - натуральное:
\2.
1
15
а1-,/3 , б) ,/2;
в)~;
110
7
г) -з-;
щ
д),1s.
-у1216
виду а --':/ь, где а - рацио-
3
г) -·
•lr,;
'
-уб
)10
д-
.
-vs
ж) -{j76; к)~;
524. Упростите выражение:
а) -v-Jз; г) Щъ, где Ь~О;
6) -{ff; д) ~. где с~О;
в) --r:Jz; е) ~. где
х~О;
525. Упростите:
12г;:,.
_ 5С4Е
з) --yv; л) -уа-уа, где а~О;
J8/-
_4~
и) -у363; м) ·-у Ь--у Ь3, где Ь~О.
а) -flz; в) --r;;:fa, где а~ О;
6) -lff{z; г) -vr};
12г;;;-;,,
д) 'у L;O-;
е)~.
526. Вычислите с помощью таблиц квадратных корней:
а) -vis; 6) 41,62;
в) \/3,124;
г) 46,25.
527. Сравните числа:
а) ..:/3 и ~;
в) -✓8 и ./3;
6
Зг,, 12ш
6) ../2 и -v7; г) -у2 и -у45;
528. Определите знак разности:
д) --V5 и~;
е) -{fi и -/з-r2.
а) ../2 -
. .:/3; б) ..:/3 - -;{4; в) -;{4--{/5;
529. Докажите, что значение выражения есть число рацио
нальное:
а) 9-4 -/5 + 9+4-/5;
9+4-/5 9- 4-/5
530. Упростите выражение:
а) (3+2-у6)2 +(3-2-у6)2; 6) (✓7 +2-{[6+ ✓1-2-{[б ) 2•
531. Найдите значение выражения:
а) -V7 + -/22•-V7 -
- /22;
6) -V7 - 4-{3-✓2+-{з .
Упражнения для повторения
532. Упростите выражение:
)( а-Ь
1 .а+Ь) (а+Ь) 2 ,
а а2-аЬ-а2-Ь20 (Ь-а)2 ·-ь-2 -·
6) (-1
___
3_+
3 _\.(2
_
4у-1)
2у+1 ву3+1 4y2 -2y+iJ У 2v+1 •
533. Найдите пятый член геоме•rрической прогрессии (сп),
в которой:
а) С1=3-у3, q = .,}з;
б) С 1 = -уЗ+-/?,, q=-уЗ - ../2;
534. Решите уравнение:
а) Х4=36; 6) Х5=1024;
111
535. Докажите, что при любом значении а верно нера
венство:
а) а4 +1;;:?= а3 +а;
§ 10. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ:
И ЕЕ СВОЙСТВА
23. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Мы знаем, что выражение а" при а =1= О имеет смысл, если
п - целое число. Например, ( - 3) 5 означает произведение пя
ти множителей, каждый из которых равен -3 . Число 2 - 6
означает число, обратное степени 26 • Введем теперь понятие
степени, у которой показатель не целое, а дробное число.
111
Равенство -у;;;, = ап, где а> О, т - целое число и п
-
натуральное, верно, если т делится на п (т. е. если : - це
лое число). Это следует из определения арифметического корня.
21
Например, --у52'=57= 53
,
так как (53)7= 521
•
Если принять,
что это равенство имеет место и в том случае, когда .!!!:.. _
-
дроб-
п
ное число, то все свойства, верные для целого показателя
степени, будут выполняться и для дробного показателя с по
ложительным основанием. Доказано это будет в следующем
пункте.
Определение. Если а- положительное число, т
п
дробное число (m - целое, п
-
натуральное), то
Согласно определению имеем:
13
{__вг;::-;;;,, 1) 1,3_ 1) io _ }__o ~)13
_
_!_
~ _61--
0,7
-
1Jо,7·,(3 -(3 -V(i-) ,5 6=56=у5-1
•
Степень с основанием, равным нулю, определяется только
для положительного дробного показателя: если~ - дробное
п 111
положительное ч11сло (m и п - натуральные), то О" = О.
Для отрицательных оснований степень с дробным: показа
телем не рассматривается.
112
з
Такиевыражения,как(- 2)4, (- 8)3, О-2
,
не имеют
смысла.
Мы знаем, что одно и то же дробное число можно пред
ставить в виде дроби с целым числителем и натуральным зна
менател ем разными способами. Например, дробное число О, 75
можно представить в виде дроби так:
36912
4'8'12'Т6ит.д.
Значение степени с дробным показателем r не зависит от
способа записи числа r в виде дроби; представляя r в виде от
ношения целого числа к натуральному разными способами,
всегда будем получать один и тот же результат. Например,
6
З
28 =-v"i:6 = ~=24.
Покажем это в общем случае.
Пусть а> О, т - целое, п и k - натуральные числа. Поль
зуясь определением степени с дробным показателем и основ
ным свойством корня, получим:
'! .!. .!! п!г
п- !!.!. .
anll =
~
= -vam=an •
Это свойство позволяет понять, почему не рассматриваются степени с
дробным показателем для отрицательного основания.
Распространение степени с дробным показателем на отрицательные
основания привело бы к тому, что операция возведения числа в дробную
степень стала бы зависеть от того, в каком виде представлен дробный пока-
1
затель. Так, мы должны были бы принять, что (- 1)3 =-V=Y = - 1, а
1⁄46~ 6
(-1) =-y(-1)-= -yl=l.
536. Замените степени с дробными показателями корнями:
З
1
1
а) 75 51 6-3 10- 0.5.
,
,
'
,
2
1
б)2,5-3
,
(-1⁄4-) - 2
,
0,5°· 5 ;
в) ао.5, bt.2, СО.6;
1
1
1
2
215
г)3х,(3х)
,
5у,-у 3;
2
2
2
2
2
д) (аЬ)3
,
аЬ3
,
(а+ Ь)3
,
а3+Ь3;
1
\ е) ху- 1 • 5, 4(х-уГ'· 5, 2х(х+у)- 8
113
537. Используя таблицу квадратных корней, найдите зна
чение выражения в виде десятичной дроби с двумя знаками
после запятой:
1
1
1
1
1
1
а)1722 ; б)2,72
;
в)0,83°·5; г) 32 +22 ; д) 292
-
62
.
538. Замените н:орнями степени с дробными пон:азателями:
1
3
1
1
1
1
3
а)32,124,293,37 4;
2
в) 5а3 (2Ь)4 -с4•
'
/
'
,
1
3
1
1
б) 3 30,б 8 5-О.5 ( ...!_)-3.
'
,
'
'\
3
,
)0()52
2
гху-'
х+у'х+у.
539. Замените арифметический корень степенью с дроб
ным показа тел ем:
ж)_./ ;и)--V7+а;
vз-2
а) -fi; в)~; д) W.;
6) ../0:2; г) -';/733 ; е) ~;
з) .;/2ь; к) --Vx2+ у2•
J- 540. Замените степенями с дробным показателем арифме-
тические корни:
_Гr:_ ~ _5Г,;i,, _В~ _9/
?
а) --yu, --у17-, --у3-, --у7
-,
уО,125-;
_71- л- ~2~
~ 1 1- _зг--;_
б) уа4, уа9, --уЬ- 5, у5с2, --уа- Ь.
у 541. Вычислите:
1
1
2
а)1002;в)9-2;
5
д) о6;
1_!_
ж)83
и)(3~)-3;
1
1
3
3
б)83;
г)27-3;е)814; з)0,252; к)0,01-2
•
5•
542. Найдите значение выражения:
1
1
3
а)273; в)25-2; д)0,162;
1
1
б)252; г)32-5 ' е)0,64-1•5;
2
ж) 0,001- 3 ;
1 _!_
з)0,008 3•
1
1
2
4
з; 09?
543.
544.
жении:
Имеетлисмыслвыражение: 7- 3 ; (- 7)3; О
Укажите допустимые значения пере:м:енной в выра-
1
1
3
4
1
а)х2;б)(у-1)3;в)(а+2)5;г) Ь 7; д) (с-5)-з
1
1
1
545 о
u
2
з
6
.
цените значения выражении х , х
их,если:
а) 0<х<1;
б) 1 <х<64; в) 64<х< 1 ООО ООО.
546. Постройте график функции:
1
1
а) у=х2; б) у=х3.
114
547. Сравните:
1
1
1
1
а)22и32;
в)52и5з·;
1
1
1
2
6)О32
'
и0,52; г)7зи76.
Упражнения для повторения
548. Длина одной из сторон прямоугольника на 4 см боль
ше, чем длина другой стороны. Найдите длину диагонали
этого прямоугольника, если известно, что его площадь равна
21 см2• (Ответ дайте с точностью до 0,1 см.)
549. В прямоугольно~ треугольнике один из катетов на
2 см длиннее другого. Найдите длину гипотенузы этого тре
угольника, если известно, что его площадь равна 84 см 2•
(Ответ дайте с точностью до 0,1 см.)
24. СВОИСТВА СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Известные нам свойства степени с целым показателем
справедливы и для степени с любым рациональным показа
телем. Перечислим их.
Для любого а>О и любых рациональных
aPaq =ap+q,
аР :aq = ap-q'
(aP)q = a 1,q;
чиселриq:
(1)
(2)
(3)
для любых а> О и Ь > О и любого рационального числа р:
(аЬ)Р=а"ЬР,
(4)
(5)
r.- ~
Эти свойства можно доказать, опираясь на определение
! степени с дробным показателем, свойства корня п-й степени
~ и свойства степени с целым показателем.
Докажем свойство (1). Сначала покажем на частном при
мере способ доказательства этого свойства .
2
1
Пусть, например, р=3 , q = 5 . Докажем, что при а>О
При ведем дроби 2
3
21
21
-
-
-
+-
а 3а5=аз s
1
и 5 к общему знаменателю . Тогда
2
1
10З
а3а-5=а15а15.
115
10
15 ~5Cio
Так как а =-уа·
3
15 15Гз
и а =-уа-, то по свойству арифмети-
ческого корня имеем:
~ 5г::-iо 15Гз ~ 5/---ТОЗ l 5Г:!з
-уа •--уа-=уа а =-va .
Переходя к степени с дробным показа.телем, получим:
13
~=а\5.
21
13
зs is
13
2
1
Следовательно, а а =а . Но 15=3 +5 ,поэтому
Проведем теперь доказательство свойства (1) в общем виде.
Представим рациональные числа р и q в виде дробей с оди-
k
т
наковыми знаменателями: р =- и q= -
, гдеkит- целые
п
п
числа, а п - натуральное число. Тогда при а> О
!:. _
:!!._
пп-11
11
k+т !!. _
+!!!..
apaq =a"a" =#--уат=~= ~ =а 11 =а11 11 =аР+~
Значит, aPaq =ap+q.
Из свойства (1) следует, что для любого положительного а
и дюбого рационального р
-р1
а=-.
аР
Действительно, аР -а-Р = а 0 = 1.
Свойство (2) следует из свойства (1) и определения част
ного .
Докажем свойство (3), т. е. докажем, что при а> О и любых
рациональных р и q
ПустьР=тиq=;,гдеlит-целые,аkип-
натуральные числа. Тогда при а > О
1т
т
~--
lm
(аР)Ь=(а 7,) ,i = (!lf;!J n=1(-J:.Гai)m = ~ ·пwт = а nk =
lт
=а fi'ri=aPq.
116
1
Из свойства (3) следует: при любом рациопальпом р и
любом патуральпом п
(а>О).
Действительно, по определению степени с дробным показа
телем и свойству (3) имеем:
1
1
р
-::r;;=(аР?=ар.ri = аri.
Докажем свойство (4), т. е. докажем, что при а> О и Ь > О
и любом рациональном р
l
Пусть P=k, где l - целое число и k - натуральное чис-
ло. Тогда
а
Свойство (5) можно доказать, представив дробь ь в виде
произведения аЬ~ 1 и применив свойство (4).
550. Представьте в виде степени с рациональным показате-
лем:
11
з
11
а) с2с:з ;
г) х2:х2 ;
1
1
5
1
ж)(Ь 2 ):з;
З4
6)ь-:зь2;
д) уб:у:З;
21
1
1
з) (а2)9;
11
в) а:за6;
е)z5:z
-2
и) (с- 2):З.
551. Упростите выражение:
12
З
1
2З
а)х2х5;
6) у -0.б у'·2;
в) а5:а'0 ;
г) ь -0. 2: ь-0.7;
д) (тз) в;
е) (no.4)-2 .s .
552. Представьте в виде степени:
215
-
-
-
а) хо.2х- 'xo.s; 6) аз абаз ; в) уо·ву-sу1·2;
553. Упростите:
2
2
а) (х з)о.s,х -s;
5
6) (у 8 '!°'4, УО.25;
1
в) (а :З)
5
г) (с12)1•2•(с
З
51
г) Ь8Ь- 24Ь:з.
117
554. Представьте в виде степени:
З5
5
а) с2с- 1.5СО,З;
в) у'·7у2.8у-1·5;
д) (b--:f)g ,bi2;
1з2
б) х2х~х7;
г) (ao.a)o.s . ао.в;
е) (то.з)1.2,(т-о.-1)0.4.
555. Вычислите:
1
4
4
4
2
а) 55 ,5-О.25,55 .5-О.75;
б)9-3
· 273.33
556. Найдите значение выражения:
а) 2,.з.2-0.1.21.4;
в) 4 0.1. 2 -о.4;
4
1
З
б)7-3 •712•7 4 ;
г) 25°· 3 ,5 1·4.
557. Вычислите:
1
1
)1О011)-2 •
в,\ '
.' 49
'
1
а) (81,16) 4 ;
1
б)(81·16)-4;
г)(2\ •125- ') -3;
558. Найдите значение выражения:
--
1
1
1
1
-
1 1)--
49_\ .., ..
а)(27.8)3; б)(125.64 з;в)Сш2 ;
363)6
г) (-
.,
.
125-
559. Упростите выражен,ие:
2
1
а) (125х6)-3; в) (х-2)-2;
1
2
б) (27х3)- 3•
г) (64с 12)- 3;
1
1
д)(а-:i) - 12;
е) (ь-6)- 3
560. Упростите выражение:
5
1
11
а) а3•Ь-6-(а-3Ь3)4;
З
2
б) (с--у у-о.4)з,с 'У уо.2;
1
2
1
-
--
1-
в) (а4х з)s,ао .1хо.в;
5
21
г) p -' q4(p--yq~)-з.s.
561. Представьте в виде :квадрата (х > О):
1
1
х6,х40,х23,х-'4, х5,х-3,х,х4, х-1,х3, х-0•9.
562. Представьте в виде :куба (у> О):
1
1
2
у6, у-21, у7, у, у2, y-1.s, у з, уо·2, у-9
563. Известно, что а - положительное число. Предс1·авьте а
в виде:
118
а) :квадрата; б) :куба; в) седьмой степени.
1
564. Зная, что 3 2 ~ 1,73, найдите:
З
5
1
а)зУ; б)32;
в)3-2•
1
565. Зная, что 4,31 2 = а, найдите:
1
1
1
1
а) 4312 ;
б)431002;
в) 0,0431 2 ;
г) 0,000431 2 .
566. Объем куба равен V . Используя дробные показатели
степени, выразите:
а) длину а ребра куба через его объем V;
б) площадь S грани куба через его объем V;
в) площадь поверхности Р куба через его объем V.
567.Зная, что х>О и у>О, выразите х через у:
2
а) у=Х3;
-1
б) у=х7;
3
)
-- :,
ву=х-;
-1
хз
е) у=-6-.
568. Представьте выражение в виде степени с дробным по
казателем:
lr
15Г.:
а) -ух• -ух;
_в/- i ·>
6) уа3•'-Та,;
569. Докажите ,
3--
что при любом а> О верно равенство:
) .;}а2,/а -1 ·
а--т,=:;;:::-,
~
4г:зЕi
6) -уба" -уа·= 1.
~
570. Укажите значения х, при которых верно равенство:
1
а) (х3)3=х;
1
б)(х 5)5=х-1;
2
9
в) х7-х 7 =х;
1
1
г)(х2)4=(- х)2;
571. Решите уравнение:
1
а) Х2 =5;
2
6) х3 =4;
1
д) (х-1) -:i- = -х;
1
1
е) (х2)5=( - х)з .
Упражнения для повторения
572. Решите неравенство:
а) (2, 5х+1 )(4х -3)-5х(2х+7)<4;
б) (3- 4х)2-(8х - 1) (2х + 9)-11 > О.
573. Найдите первый член и разность арифметической про
• грессии (а"), если :
а){а1+а1,_ ,,о , ~,
а9 -а5 -"",4,
б) { a2+a4=l8,
аз•а 5 =144.
119
574. На строительстве работали две бригады. После 5 дней
совместной работы вторую бригаду перевели на другой объект.
После чего оставшуюся часть работы первая бригада закончила
за 9 дней. За сколько .ц,ней могла бы выполнить всю работу
каждая бригада, работая отдель}J:о, если известно, что второй
бригаде на выполнение всей работы потребовалось бы на 12 дней
меньше, чем одной первой бригаде?
25. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИИ,
СОДЕРЖАЩИХ СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Рассмотрим примеры, в которых используются тождествен
ные преобразования выражений, содержащих степени с дроб
ными показателями.
Пр им ер 1. Найдем значение выражения
1
1
1
(x-:i -6) 2 -12х 4 (х- 4 -1) при х=12,25 .
Предварительно упростим это выражение:
1
1
1
1
1
(х4 -6)2-12х4 (х- 4
-l)=x2 -12х4 +36-12х0+12х4 =
1
2
=Х +24.
1
Подставим в выражение х 2 + 24 данное значение х и вы
полним вычисления:
1
1
1
х 2 +24=(12,25)2 +24=(3,5 2) 2 +24=3,5+24=27,5.
Пр им ер 2. Упростим выражение
1
1
а2-Ь2
1
а•-Ь•
1
1
Представим числитель а 2 - Ь 2 в виде разности квадратов
и разложим ее на множители. Получим:
-
-
-
(а,+Ь')(а•- Ь,)
а4_ь4
а4-Ь4
Пр им ер 3. Сократим дробь
З
1
х•-25х 4
х2+Бх4
120
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Получим:
1
1
1
1
-
-
-
-
-
1
х'-25х4 х4(х2-25) (х4- 5)(х4+5) Х4-5.
1
1
1
1
1
-
-
х' (х4 +5)
-
х2+5х4
х4+5
575. Представьте выражение в виде суммы:
11
1
1
а) а2х2 (а2+х2);
11
1
1
б) с- зуз (сз_уз);
1
1
е)(а2- 3)(а2+3);
1
ж) (l+x2 )2;
2
1
1
1
в) (а 3 -l)(аз+2);
-:;
1?
з)(Р-- q
- )~;
З
1
1
1
2
11
2
г) (х 4+2)(х 4 - 3); и) (а3-Ьз)(а3+а3Ь3+Ь3);
1
1
1
1
д)(1+Ь2)(1-Ь2);
к) (х 2 +1)(х-х 2 +1).
576. Выполните действия :
11
2
3
1
а) Ь3с4(Ь3+с4);
д) (1-Ь2)2;
1
1
б) хо·5уо.5 (х-о.5_ у1·5);
е) (а2 +2Ь2)2;
1
1
2
11
2
в) (2-у1•5)(2+у1•5);
ж) (хз +Уз)(хз - х зуз +Уз);
1
1
11
г) (3Pa.5+q-')(3Pa.5_q-'); з) (а2 - Ь2 ) (а+ а2 Ь 2 +Ь).
577. Упростите выражение:
1
1
1
1
7
а) (l+c2 )2-2c2 ;
г) (х4 - хз)2+2х12;
1
1
2
1
13
б) -{ь+-{ё-(Ь 4 +с-:;- )2;
д) (уз +зу5)2-буis;
1
1
1
1
1
1
1
в) (аз+Ьз)2_(аз_Ьз)2;
е)(х4+1)(х4- 1)(х2+1).
578. Упростите:
1
1
11
3
1
а) (х2 -у2)2+2х2у2;
1
1
в) (а2 +5а2)2-10а2;
1
1
1
1
1
1
б) -fm+-/п--(т-:;-- п-:;-)2; г) (а4 + Ь4
)(а
8
+ Ь8)(а8
-
Ь8
).
579. Вынесите за скобки общий множитель:
1
')
а) х-2х-;
1
б) у+3у3 ;
1
1
в)а2- 5а4;
1
1
г)аз+а6;
3
1
1
1
д) Ь4 -2Ь
4
;
ж) (аЬ)з - (ас)з;
5
2
1
1
е) с3+бсз; з) 62-22.
121
580. Разложите на множители:
1
-:,
а) 2+,2-;
1
бУ 3-32 •
'
1
-:,
в\а+а-;
1
г\ Ь3 -Ь;
1
д)153+203;
1
1
е, (2а)2 - (5а):f.
581. Разложите на множители разность а - Ь, где а? О
и Ь? О, представив ее:
а) в виде разности квадратов; б) в виде разности кубов.
582. Разложите на множители сумму а+ Ь, где а? О и
Ь? О , представив ее в виде суммы кубов.
583. Пользуясь тождеством а2 -Ь 2 =(а-Ь)(а+Ь), разложи
те на мн ожители выражение:
2
в) у5 -9;
д) х-2, где х?О;
4
4
б) 5-у4; г) а3-Ь3; е) 10-у, где у?О,
584. Представьте выражение в виде разности квадратов и
разложите его на множители:
1
1
1
1
а) хz-уz;
в) а8-Ь8;
1
1
1
1
б) х4_у4;
г)а3- Ь3.
585. Пользуясь тождеством а3 +Ь 3 =(а+Ь)(а 2 +аЬ+Ь 2),
разложите на множители выражение:
1
а) (х2)3-8;
1
б) (у2)3+ 27;
3
в) п2 +1;
6
г) т5 -125;
д) 125-Ь, где Ь?О;
е) у+2, где у?О,
586. Применяя формулу разности квадратов или разности
кубов, разложите на множители:
4
а) а3 -1;
3
б)Ь-2- 1;
в) х-4, где х?О;
г) 5- у,гдеу?О.
587. Представьте выражение в виде суммы кубов и разло
жи т е его па множители:
) -IJ_ь-t
ва
1
•
588. Представьте выражение в виде разности :кубов и раз
ложите его на множи'l·ели:
1
!
а) хz-уz;
122
589. Сократите дробь:
а)s+52
в)п
--, -;
1
;
3.5 2
п-п 2
1
1
д)
Ьз -Ь2
ж) с2 -3.
1
;
с-9 '
ь2 -ьз
11
б) 2-22
г) х+2х 2
--, -
2х
5•2 2
е) а-Ь
з) а-2а2Ь2+Ь
1;
Ь-а
а2-Ь2
590. Сократите дробь:
11
а) 3+32
;
в) х-у
;
- -,-
1
32
х2 +У2
с+2с2d 2+d.
д)
c-d
б) 10
г)ь2-5
1
;
Ь-25 '
е)
10-10 2
591. Найдите значение выраж ения:
а-4а 2
а)
, при а=81;
х
2х+16
в)-,---2--п ри х = 27 ;
-
-
а4+2а2
х3-2 х3-4
-
-
х2-9х 6
б)
, при х=64;
г) _в_+у-Ву'
25
'
'
приу= •
-
-
х3-Зх6
у2-4
592. Упростите выражение:
а
Ь
а)----+-,--
б) -{х __3_+_х_.
.'..
.'..
36-х'
х2-6 х2+6
г)2
2р2
p-p2q2+q
3
р2-q2 р2+q2
р2 -q2
593. Упростите выражение:
а) ,-{х
,+
-fy
х2+У2 Х2-у2
1
б)
а2+ь2
az
+
ь
1
1
11
az
аz-Ьz а-а2Ь2
q2
р2
\ •pq2+р2q•
в)(---,+ _ _t_l
p-q
p-p2q2 q-p2q2
12·3
Упражнения для повторения
594. Решите систему неравенств:
а) { 4(х-1)-2(х+1)>0, б) .{ 3х+8 - (2х - 5)<0,
3х-1 - 4 (х-10)<0;
2 (бх - 4)-3 (x+l)>0.
595. а) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 7.
б) Найдите сумму всех двузначных чисел, некратных 3.
596. Турист отправился пешком из города на турбазу. Если
5
бы он проходил в час на 1 км больше, то затратил бы 6 того
времени, которое ему необходимо теперь, а если бы он проходил
5
в час на 1 км меньше, то пробыл бы в дороге на 6 ч дольше,
чем теперь. Найдите расстояние от города до турбазы.
597. Пройдя путь АВ, пешеход рассчитал, что он мог бы
прийти в В на 1 ч раньше, если бы проходил в час на 0,8 км
больше, и на полтора часа позже, если бы проходил в час
на 0,8 км меньше, чем в действительности. Найдите рас
стояние АВ.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
К параграфу 8
598. Может ли график нечетной функции пересекать ось у
в точке, отличной от начала координат?
599. Может ли график нечетной функции не проходить через
на чало координат?
600. Является ли четной или нечетной функция:
а) f(х)=-1-;
•
х3 +2х
1
б) f(х)=-2-
;
х+7
в) f(х)=-1-;
х'+зх
г) f(x)=lx+Зl+lx-31;
д) f(х)=lx+ 51- lx-51;
е) f(x) =l x+ll+ lx - 21?
601. Может ли быть четной или нечетной функция f, если
областью ее определения является:
а) [-10; 10]; в) [- 5; - 2]U[2; 5];
6) (- 8; 12);
г) (- оо; 5)?
602. Постройте график функции, используя свойства чет
ной или нечетной функции (сначала постройте часть графика
для положительных значений аргумента, а затем для отри
цательных):
12
а) у-
•
б) у= хIх1·,
-~,
г) у=✓9- х2•
124
603. Известно, что у = f (х) и у = g (х) - четные функции.
Является ли четной функция:
а) y=f(x)+g(x);
в) y = f(x)-g(x);
б) y=f(x) - g(x);
г) y=f((x)?
gх)
604. Известно, что у= f (х) и у= g (х) - нечетные функции.
Является ли нечетной функция:
а) y=f(x)+g(x);
в) y=f(x)-g(x);
б) y = f(x)-g(x);
г) у=:~;)?
605. Значения функции f вычисляются по формуле
f(x)=x - 2, если х;;;,,О, и по формуле f (х)= -х - 2, если х<О.
Постройте ее график.
606. Постройте график функции
g(x)={ х 2 +?, если х>О,
-х -1, если х<О.
607. Постройте граф юс функции f, зная, что она четная
и что ее значения при х;;;,, О могут быть найдены по формуле:
1
а) f(х)=тх-1;
в) f (х)=-/х.
608. Постройте график функции g, зная, что она нечетная
и что ее значения при х;;;,, О могут быть найдены по формуле:
а) g(x)=x2 ;
б) g(x)=x2 -4x;
в) g(x)=-fx.
609. Докажите, что:
а) если график некоторой функции симметричен относи
тельно оси ординат, то эта функция четная;
б) если график некоторой фу~-ш:ции симметричен относи
тельно начала r<оординат, то эта функция нечетная.
610. Существую'l' .тш такие значения коэффициентов k и Ь,
при которых линейна.я функция у= kx + Ь является:
а) четной функцией; б) нечетной функцией?
611. Найдутся ли такие значения коэффициентов а, Ь и с,
при которых квадратичная функция у= ах 2 + Ьх +с являе·rся
четной функцией?
612. Объя:сняте, почему
а) 5100>4100;
верно неравенство:
б) 0,87 100 <0,89 100 ;
в) 1,5251< 1,6251;
( ~)261 (~)261
г)3
>5
•
613. Сравните значения С'l'епеней :
(4\17
1 g)l7
а) 210 и 310;
в)Т) И(т ; д)321и87;
б)0,35 и 0,25;
г)(:)
10
и(:)
2
°; е) 12503 и 366•
125
614. Даны функции f (х)=х7 и g (х)= х 10• Сравните с ну
лем:
а) f(25)- f(12);
в) f(0)·f(60); д) g( - 9)-g( - 17);
6) f(-30)- 1(- 20); г) g(17)- g(5); е) g(38)-g(О).
615. Докажите, что при натуральном п:
а) если хЕ(О; 1], то хп+ 1~хп;
6) если xE(l; + оо), то хп+ 1 >хп.
616. Найдите п, если известно, что график функции
у = хп проходит через точку:
а)А(2;8); б)В(3,5;12,25);в) С(-3;81); г) D(- 2; , 32).
617. Найдется ли такое натуральное значение п, при ко-
тором график функции у= хп проходит через точку:
а)А(2;5); б)В(-{3;81); в)С(- 5;415); г) D(- 7; -343)?
618. Постройте графдк функции:
а) у=(х-3)4;
в) у= -х4;
6) у=(х-3)4+2;
г) у=-х4+5.
619. Сколько корней имеет уравнение:
а) х1{)=2;
в) х10=-3;
д) х7=0;
6)х 10 =0;
г)х 7 =5;
е)х7 =- 1?
К параграфу 9
620. Найдите значение выражения:
а) - 0,5 :V1024; в) 1,5 ~;
-
27~
...
5Г::ИГ ~ ~
6)-3✓-2187; г)-у 132 ·-у 59 ;
621. Решите уравнение:
а) -vx= 0,2;
в)-1а=- 1;
•. зг.. 1
_4г
б) -уу=2;
г)-у=2;
д) ~ - 125--v'о,Г;
е) ~--V0,1253•
д)-VX=1;
е) -:{у=- 2.
622. При каких значениях переменной имеет смысл выра-
жение:
а) -$=2 ;
б) 4/ 9-х.
'у5'
в)4хТТ;
г) -V(a -5)(a-2);
6 23. Решите уравнение:
а)х6= 12;
в)х7=-3;
б) х9=5;
г) х11=2;
д)--Jx+1=2;
е) -:)х 2=1.
624. Найдите знамена•rель геометрической прогрессии (Ьп),
у IЮТОроЙ:
1
а) Ь1==3, Ь6=96;
в)Ь1=
-
3 , Ь8=729;
б) Ь1=O,2, Ь11=2O4,8;
г) Ь1= 1, Ь10=3.
126
625. Решите уравнение:
а)х8+6х4- 7=О;
б) х12-9х6+14=0;
в) x 6 +1lx3 +24=0;
г) х14-5х7+6=0.
626. Решите уравнение и неравенства:
зг
згw
_
зг..
.. 4с
4с
_4с
а) -ух=5, -ух>о, -vx<5; б) -ух=2, -ух>2, vx<2.
627. Изобразив схематически график функции у = .'ifx;,
сравните значения корней:
а) ,)23 и --;/27; б) --r=s и ,J-4;
628. Определите знак разности:
а) ~ --{ft; б) --v{ - --v{; в) 1 - -V0,99; г) --V0,28_:. ~.
629. Докажите, что функция f четная, и постройте ее гра-
фик, если:
а) f (x)=-JixТ; б) f (х)=-VТхТ.
630. Оцените значение выражения !!}х, зная, что:
а) 0<x<l;
б) l<x<l000;
в) _ 1000<х<10 10•
631. Найдите область определения функции:
а) у = ~; б) у=-;)5_:.2х; в) y=;J~Bx-+ -1 .
632. Пользуясь графиками функций у=х, у=-{х и у=.;,{х,
решите уравнение и неравенства:
а)-{х=х,-{х<х,-{х>х; б).;,{х=х,.;,{х<х,.;,{х>х.
633. Постройте график функции:
а) у= --{х; б) у= _-fx;
в) у=-{=х; г) y=.;J"=x.
Чем отличаются друг от друга графики функций у= --{х и
у=-{=х; у= -.;,{х и y = .;J"=x?
634. Сколько корней имееr уравнение:
.6С
Sc
•
_7С
а) -ух=1000;
б) -ух = -10;
в) -ух= -100?
635. Найдите значение выражения:
_з[бi. 27 __4Г--SГ.
5~.
а)V125' б)V16-625' в)У7'°'
636. Вынесите множитель за знак корн.я:
а) ✓16х3у; б) ,V81ab7 ;
в) -V125a5x 3;
637. Упростите выражение:
-
· Г'5
3Гs
_4 Гз
а)ауа; б)ху~; в)Ь-уь3;
638. Определите зню, разности:
а) .;J2- -✓2; б) -{-f - -v{; в) 4з-:;rз;
_6~
г) V;i:--;;i-6 •
2.5
_5/1
г) 2су Ш-,.
639. Расположите в порядке возрастания числа:
а) ,/2,.;/3,--Vf,;
б) -{oJ,,--VO,З, --voJ,.
640. Докажите, что верно равенство:
_6[;,
-
3
б) V3- 2,/2:-у,/2-1 =1.
641. Представьте выражение в виде дроби с натуральным
знамена тел ем:
4з
42
1
а) 3/<it: ;
б) _зг,;:, ; в) ~;
-у25
-ylO
-у2-1
2
г) 4з-1;
642. Оцените значение выражения -{х •-{/у, если:
а) 0<х<1 и 1<у<8;
1
б) l<x<25 и 8 <у<64.
643. Решите уравнение:
3
6
1()-
4
а) {х-2-ух=О; в) -vx+5= 0;
д) -/х-5-ух+6=0;
6
_ бЕ. i _ЗГ..
_ 4Г..
8-
6) -ух-0,1=0; г) -vxт-2-vx-1=0; е) -ух-2-ух-3=0.
К параграфу 1О
6 44. Упростите выражение,
дробным показателем:
заменив корень степенью с
128
а) 2,5 {46;
в) а./а;
з
_зг
б)-8
-:/2 ;
г)-Ь-у
, где
645. Сравните числа:
д)(х+1)2 -vх+1;
е) (у-5)3✓У 5.
1
1
1
1
1
1
1
1
а)82и83;б)56и88;в)33и54;г)312и416.
646. Решите уравнение:
1
1
а) (х-2)2= 4;
1
б) (х-2)2=4 2 ;
д)(а-5)3= 0;
е) (а-5)0=2...
2
3
1
647. Оцените значения выражений х 5 и х 5 , зная, что;
1
а) 32 <x<l;
б) 1<х<32; в) 32 <х<1000 .
648. Найдите значение выражения:
1
1)2
1
1
-
3433 ;
(l)-0,25 •
а)(49
;
в)164 ;
д)
ж) 16
,
1
1
(1~
4
•
2
1
б) О812•
е)0,0013;
з) 0,000001
-
3
'
'
г) 62-
'
649. Упростите выражение:
З
5
х1х21
а)--,- ;
2
1
в) (Ьз Ь- 4)1.2;
хб
з
г) (x-1,s xo·g)-s
1
(64ь-з)-3
е) 125а6
650. Упростите выражение, используя степени с дробными
. показателями
(значения переменных положительны):
i
а)f; б)Щ; в)~.
651. Найдите значение выражения:
а)( а~а2-~) - ~
приа=125;
а2•
6)( ~\J -3⁄4
ЬбС2
при Ь=О,001, с=25.
652. Найдите два каких -либо решения уравнения:
1
•
12
а) х3у2= 32;
б)х-2у3=9.
,,/ 653. Найдите зависимость между переменными х и у, если:
1
1
1
а)x=t2,
б)x=t3,
в)x= 3t2,
•
1
1
1
y=t-2;
y=t6;
y=2t-3
,r 654. Упростите выражение:
1
1
1
а) (xo.s _ yo.s),xo,sy+(xyз)°.s;
в) (l - y4)(l+y 4 )+(yв)iб;
11
1
11
1
1
1
б) аЬz(az+Ьz)- (azЬБ)з;
г) (Р2 +q 2)2-(4Pq)2 .
,.,
655. Представьте выражение в виде произведения двух
множителей, один из которых равен у - 0• 6 :
2
1
а) У2+У-о.б; б) у-1-у-0·4; в) Зу-l; г) у-з+ yz.
656. Пользуясь тождеством а 2 - Ь 2 = (а - Ь) (а+ Ь), раз
ложите на множители:
2
а)у9- 9;
1
б) а16-16;
в) 9с0•3-4;
1
г)2х3- 49;
1
д)Ь5- 1;
е) yl.5 _ y2;
1
ж) z2 - 0,25;
з) и1•2-12;
11
и)а2Ь4- 49.
657. Пользуясь тождеством а3+ Ь3=(а+ Ь) (а2+аЪ+ Ь2),
разложите на множители:
а) x+l000, где х)',О;
б) а0• 9 -8Ь, где Ь)',О;
5 Заказ 201
1
в) 27у3-1;
г) а2,4 + ьо.s.
129
130
658. Разложите на множители:
4
2
а) x-y+-fx+-{y;
г) 2ь2+ьз +ьз +2;
1
б) u----/и+-fv-v;
д) х-5х 2 +4;
2
1
1
1
в) а+2а3+2а3 +1;
е) у2-13у4+36.
659. Выполните подстановку и упростите выражение:
ху
-
-Гаь - -Гаь
х2+у2•
где Х-а+ь' У-а-Ь.
660. Докажи1;е, что значение выраженlfя не зависит от п:
а)
(9"-9"-1)2
(В"-2+ ·1.в"-з) з
i'
б)
(27п- 1
-
19.27п- 2) 3
661. Решите уравнение:
1
1
1
а)х-6х2- 55=О;
в) 3х 2 +7x-;i;+l=0;
2
1
3
3
б)у3- 1Оу3+24=О;
г) 7у4+у8=8.
662. Найдите зависимость между переменными х и у, если:
1
1
а)х=t2- 1,
б) х=(а+1)2,
у=(а-1) 2 , где a>l.
в ( ao·s+2· _ цo.s_z\_ao·s+1.
) а+2а0•5+1 а-1 / а0•5 '
)( х~+зу~ +)-зу{) ) _у2
г
1
1
х-у
2
(х2 -у2)2
664. Найдите значение выражения
( а{ 25-15а{){ 2а{
-
1--+
1
+-1
-.
а2+5 (а2+5)2
а2+5
а) при а=З,75; б} при а=56,25.
ГЛАВА
УРИГОНОМЕТР.ИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
И ИХ ПРЕОБРАЗО·ВАНИЯ
§ 11. ТРИГО НО МЕТРИЧЕС КИ Е ФУНl}Ц ИИ
ЛЮБОГО АРГУМЕНТА
26. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕН СА
И КОТАНГЕНСА
Отметим на оси х справа от на чала координат
точку А (рис. 40) и проведем чер.ез нее окружность с центром
в точке О. Радиус ОА будем называть начальным радиусом.
Повернем начальный радиус <>коло точки О на 70° про
тив часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОВ.
Говорят, что угол поворота равен 70°.
Если повернуть
начальный радиус около точки О на 70° по часовой стрелке,
то он перейдет в радиус ОС. В этом случае говорят, что угол
поворота равен - 70°. Углы поворота в 70° и -70° показа
ны на рисунке 40 стрелками.
Вообще при повороте против часовой стрелки угол пово
рота считают положительным, а при повороте по часовой
стрелке - отрицательным.
Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах
выражается числом от О до 180. Что касается угла поворота,
у
у
у
А
х
Рис. 40
Рис. 41
Рис. 42
5*
131
то он может выражаться в градусах каким угодно числом от
-
CXJ до+ CXJ • Так, если начальный радиус повернуть против
часовой стрелки на 180°, а потом еще на 30°, то угол пово
рота будет равен 210°. Если начальный радиус сделает полный
оборот против часовой стрелки, то угол поворота будет ра
вен 360°; если он сделает полтора оборота в том же направ
лении, то угол пов()рота будет равен 540° и т. д. На рисунке
41 стрелками показаны углы поворота в 405° и -200°.
Рассмотрим радиусы ОА и ОВ (рис. 42). Существует сколько
угодно углов поворота, при которьiх начальный радиус ОА
переходит в радиус ОВ. Так, если LAOB = 130°, то соответ
ствующие углы поворота будут равны 130° + 360°n, где п - лю
бое целое число. Например, при п = О,, 1, -1; 2,
-
2 полу
чаем углы поворота: 130°, 490°, -
230°, 850°, -590°.
Пусть при повороте на угол а начальный радиус ОА перехо
дит в радиус ОВ. В зависимости от того, в какой коорди
натной четверти окажется радиус 0В, угол а называют углом
этой четверти. Так, если ОO < а < 90°, то а - угол I четверти;
если 90°<а < 180°, то а - угол II четверти; если 180°<а<
<270°, то а - угол III четверти; если 270°<а<360°, то а -
угол , IV четверти. Очевидно, что при прибавлении к уг__лу
целого числа оборотов получается угол той же четверти.
Например, угол в 430° является углом I четверти, так как
430°= 360°+ 70° и 0°< 70°< 90°; угол в 920° является уг
лом III четверти, так как 920° = 360°-2 + 200° и 180° < 200°<
< 270°.
Углы 0°, + 90°, + 180°, + 270°, + 360°, .... н е относятся ни
к какой четверти.
132
В курсе геометрии были определены синус, косинус и
тангенс угла а при 0° <а< 180°. Те-
у
х
Рис. 43
перь мы распространим эти опреде
ления на случай произвольного уг
ла а. Кроме того, определим еще ко
тангенс угла а, который обозначают
ctg а.
Пусть при повороте около точки О
на угол а начальный радиус ОА пе
реходит в радиус ОВ (рис. _43).
Синусом угла а назьmается отно
шение ординаты точки В к радиусу.
Косинусом угла а назьшается отношение абсциссы точки В
к радиусу.
Тангенсом угла а называется отношение ординаты точки В
к ее абсциссе.
Котангенсом угла а назьшается отношение абсциссы точки
В к ее ординате.
Если координаты точки В равны х и у, а длина на чаль
ного радиуса равна R, то
•
у
xt
у
t
х
sша=я,cosа=я• gа=х•сgа=у:
В курсе геометрии было показано, что значения синуса,
косинуса и тангенса угла а, где О O ~ а ~ 180°, зависят только
от а. И в общем случае sinа,_ cosа, tgа, а также ctgа
зависят только от угла а.
Покажем, например, что sin а. зависит лишь от значений а..
Пусть при повороте луча ОА1 около точки О на угол а. (рис. 44)
радиусы OA 1 = R 1 и OA2=R, зайr.iут положение ОБ ~ и ОБ,. Обозначим
координаты точки Б 1 через Х1 и У1, а координаты точки Б2 через х, и у,.
Опустим перпендикуляры из точек Б1 и Б2 на ось х. Прямоуголь
ные треугольники ОБ1С1 и ОБ2С2 подобны. Отсюда
Б1С1 Б2С2
ly1I ly,I
0В1 = ОБ, 'т. е. Ri= Jf;'
Так как точки В1 и Б, принадле_жат одной и той же координат
ной четверти, то их ординаты у 1 . и у, имеют одинаковые знаки. Поэтому
У1 у,
Ri=R,.
Заметим, что это равенство верно и в том случае, когда точки
Б 1 и Б, попадают на о'дну из осей координат. Таким образом, для любого
угла а. отношение ~ не зависит от длины радиуса R. Следовательно, и sin а.
не зависит от радиуса ' R, а зависит только от угла а..
Так как дроби ~ и . ~ имеют смысл
при любом значении а, то выражения
sin а и cos а имеют смысл при любом а.
Для тангенса исключаются углы, при
которых дробь JL не имеет смысла. Это
х
углы, равные +90°, +270°, +450°, ....
Для котангенса исключаются углы, при
которых не имеет смысла дробь
х
у'
у
Рис. 44
133
у
в
А
о
1
2
3
х
-
Рис. 45
т~ е.. углы, равные 0°, + 1.80°, + 3-60°,
Из определения следует, что синус и косинус могут прини
мать , любые значения от -1 до 1, а тангенс и котангенс -
любые значения от - оо до+ оо .
Пр им ер 1. Найдем с помощью чертежа приближенные
/
.
значения sin 110°, cos 110°, tg 110° и ctg 110°.
На чертим окружность с центром в на чале · координат и
радиусом ОА =R = 3 (рис. 45). Повернем радиус ОА на 110°.
Получим радиус ОВ. Найдем по рисунку координаты х и у
точки В: х;::::;: - 1,05, у;::::;: 2,80. Отсюда
• 110° у 2'80 о93
sш
~R;::::::-з-;:::::: '
,
cos 110°=~;:::::: - 1
'
05= -О 35
-
R
3
'
'
t 1100=..JL~ _2,80~ -2 7
g
х~ 1,05 ~
''
В таблице приведены известные вам из курса геометрии
значения синуса, косинуса и тангенса углов О O ,
30 °,
45 °,
60° и 90°. Прочерк сделан в том случае, когда выражение
не имеет смысла.
134
а
оо
30°
45°
60°
90°
о
1
- ,/2
✓3
sin а
1
2
2
2
1
-
/3
,/2
1
о
cos а
-
2
2
2
tgа
о
--j3
1,
--j3
3
-
ctg а
-
--j3
1
--j3
о
3
Значения котангенса могут быть получены из значений
тангенса того же угла, так как значение котангенса является
числом, обратным значению тангенса. Поэтому, например,
ctg 30°= _!_=~ =
./3 .
--jз ./3
3
П р и м е р 2. Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс
углов 180° и 270°.
При повороте на 180 ° около точки О радиус ОА = R = 1
(рис. 46) переходит в радиус ОВ, а при повороте на 270° -
в радиус ОС.
Так как точка В имеет координаты х= - 1 и у=О, то
sin180°= -°-- = 0\ cos 180°=-l = - 1, tg 180°=_о___.,=0.
1
1
-
1
Так как точка С Щ'dеет координаты х=О и у= - 1, то
sin270°=-/ = - 1,cos270°=~ =0,ctg270°= ~1=0.
Напомним , что выра,щiния ctg 180°
у
и tg 270° не имеют СМЬ!сла.
665. Начертите окружность с це;итром
в начале координат и изобразите ;угол
поворота, равный 150°,
210°,
5'4.0°,
-
45°, -
135°, -
720°.
666. Чему равны углы поворота, по~
казанные стрелками на рисунке 47?
667. Углом какой четверти яв_ляется
с
Рис. 46
А
х
135
у
А
х
Рис. 47
угол а, если:
а) а=283°;
б) а=190°;
в) а=100°;
г)а=- 20°;
д) а=- 110°;
е) а= 4200°?
668. Определите, углом какой чет-
верти является угол
а) а=179°;
б) а=325°;
в) а=- 150°;
а, если:
г)а =- 10°;
д) С(, = 800°;
е) а=10000°.
669. На рисунке 48 стрелками показаны углы поворота
в 35°, 160°, 230° и - 70°. Найдите приближенное значение
синуса, косинуса , тангенса и котангенса каждого из этих углов.
670. Начертите окружность с центром в начале координат
и радиусом R = 5 см. Поверните начальный радиус на угол а
и найдите приближенное значение sin а, cos а, tg а и ctg а,
если а = 50°, 175°, - 100°.
671. Найдите значение выражения:
а) 2 cos 60°+-fi co s 30°;
б)5sin30°- ctg45°;
в) 2sin30°+ 6cos60°- 4tg45°;
у
+-
2
Рис. 48
136
г) 3tg45° -tg·60°;
д) 4tg 60°-sin 60°;
е) 12sin60° -cos 60°.
3
х_
672. Вычислите:
а) 2sin 60°•ctg 60°;
в) 7tg 30°•ctg 30°;
б)2sin45°- 4cos30°;
г)6ctg60°- 2sin60°.
673. Укажите несколько значений сх, при которых:
а)sincx= l; б) coscx=-1; в) sincx= 0; г) tgcx= 0.
674. Укажите несколько значений р, при которых:
а)sinР=- 1; б) cosP=l; в) cosР=О; г) ctg{)=0.
675. Каковы ~аибольшее и наименьшее значения выраже-
.._ ния:
а) 1+ sinсх;
б) 2- cos сх?
676. Укажите наибольшее и наименьшее значения выра
жения:
а) 1- sinсх;
б) 2+ cos сх.
677. Укажите несколько уrлов сх, при которых не имеет
смысла выражение:
а) tg сх;
б) ctg сх.
678. Может ли sin сх принимать значение, равное:
а)-12 ·,
б)1
)1+-VЗ. )1--VЗ?
У"
--/2; в-2
-
'
г2•
679. Найдите значение выражения:
а)2cos0°- 4sin90°+ 5tg180°;
б)2ctg90°- 3cos270°+ 5sin0°;
в)tg360°-
: sin 270° -+ cos 180°.
680. Вычислите:
а)sin0°+ 2cos60°;
б) tg 45°•sin 60°•ctg 30°;
в) 4sin90° - 3cos180°;
г)3ctg90°- 3sin270°.
681. Найди те значение выражения sin сх + cos сх, если:
а) сх=0°;
б) сх=45°;
в) сх=90°;
г) сх = 180°.
682. Найдите значение выражения cos 2сх + cos 3сх, если:
а)cx=l5°;
б) сх=30°;
в) сх=90°.
683. Найдите значение выражения:
а)sinсх+ sin2сх+ sin3сх
при а=30°;
б)tg;+tg; присх=90°.
Упражнения для повторения
✓ 684. Упростите выражение:
,
а) (2х0•75+ 3х0•25)2-4х0•5(х+ 2,25);
137
685. Докажите, что:
а) прямая 2х - 3у = 2 пересекает окружность х2 +у2 = 20;
6) прямая х+7у = 50 касается окружности х2 +у2 = 50.
686. Представьте •В виде степен:!;f с основанием 10:
а) --Jio;
в) 10 --jio;
д) 0,1 --jlO;
б) 4ioo; г) 0,1,jo,l;
е) 100 ~0,001.
27. СВОИСТВА СИН~'СА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА
(
Выясним, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и
котангенс в I<аждой из четвертей.
Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол а,
точка А перешла в точку В с координатами х и у (см.
рис. 43).
Знакsinа,зависитотзнакау,таккак sinа,=~.ВIиII
четвертях у> О, поэтому в этих четвертях sin а> О. В III и
IV четвертях у< О, поэтому в этих четвертях sin а< О.
Знак cos а зависит от знака х, так как
В I и IV четвертях х > О, поэтому в этих четвертях cos а,> О.
Во II и III четвертях х < О, поэтому в этих четвертях
cos а< О.
Знаки tg а. и ctg а, зависят от знаков х и у, так как
tgа,=JL., а ctgа,=~.ВIиIIIчетвертяххиуимеютодина-
х
у
ковые знаки. Поэтому в этих четвертях tg а,> О и ctg а,> О.
Во II и IV четвертях х и: у имеют разные знаки. Поэтому
в этих четвертях tg а,< О и ctg а,< О.
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждой
из четвертей показаны на рисунке 49.
Знаки синуса
у
х
-
138
Знаки косинуса
у
Рис. 49
х
Знаки тангенса
и котангенса
у
х
Значения синуса, косинуса, танzен
са и котангенса не изменяются при
прибавлении к уzлу целоzо числа обо
ротов.
В самом деле, если при повороте
радиуса ОА на угол а мы получили
радиус ОВ (см. рис. 43), то тот же ра
диус получится и при повороте ОА на
угол, отличающийся от а на целое
число -оборотов. Это позволяет свести
нахождение значений синуса, косинуса,
у
А
х
Рис. 50
тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений
для неотрицательного угла, меньшего 360°.
Например,
sin 785° = sin(2 •360°+65°) = sin 65°,
Выведем теперь формулы, выражающие зависимость между
синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противопо
ложных углов.
Пусть при повороте на угол а радиус ОА переходит в
радиус ОВ, а при повороте на угол - а переходит в радиус
_ОС
(рис. 50). Соединив отрезком точки В и С, получим равно
бедренный треугольник ВОС. Луч ОК является биссектрисой
угла ВОС. Значит, отрезок ОК является медианой и высотой
треугольника БОС. Отсюда следует, что точки В и С сим
метричны относительно оси абсцисс.
Пусть координаты точки В равны х и у, тогда коорди
наты точки С равны х и - у. Пользуясь этим, найдем, что
sin(- а)=~У =
-
~=
-
sin а,
х
cos (-а)=н= cos а,
-у
у
tg (-а)= - =--= -tg а,
х
х
ctg (-а)=~=-~= -ctg а.
-у
у
Получаем формулы:
sin(- а) =
-
sin а,
tg (--а)=
-
tg а,
cos (- а)=cosа,
ctg (- а)=
-
ctg а.
Пример. Найдем cos(-45°) и tg( - 60°).
139
Имеем:
COS(- 45°)= COS45°=f;
tg(- 60°)= - tg60°= - ./3.
687. Какой знак имеют sin а, cos а, tg а и ctg а, если:
а) а=48°;
б) а=137°;
в) а=200°;
г) а=306°?
688. Какой знак имеет:
а) sin 179°; в) tg 175°;
б) cos 280°; г) ctg 359°;
д) cos 410°;
ё) tg 500°;
ж) sin(- 75°);
з) cos ( - 116°)?
t;J 689. Выясните, какой знак имеет:
а) cos 305°;
б) sin 109°;
в) tg 145°;
г) ctg 288°;
д) cos (- 25°);
е) tg ( -10°).
690. Углом какой четверти является угол а, если:
а)sinа>Ои cosа>О; г) sinа>Оиtgа>О;
б)sinа<Оиcosа>О; д)tgа<Оиcosа>О;
в)sinа<Ои cosа<О; е) ctgа>_Оиsinа<О?
691. Определите знак выражения:
а) sin100°•cos300°;
в) cos320°•ctgl7°;
б) sin 190°-tg 200°;
г) tg 170°-cos 400°.
692. В каких четвертях имеют один~ковые знаки:
а)sinаиcosа;
б)tgаиctgа;
в)cosаиtgа?
693. Найдите значения синуса, косинуса, тангенса и ко
тангенса угла а, если:
140
а) а=750°; б) а=810°;
в) а = 1260°.
694. Найдите:
а) sin 390°;
б) cos 420°;
в) tg 540°;
г) ctg 450°.
695. Найдите значение выражения:
а) sin 405°;
б) cos 720°;
в) tg 390°;
г) ctg 630°.
696. Найдите значение выражения:
а) sin( - 30°);
в) tg( - 45°);
д) cos(-90°);
б) cos( - 60°);
г) ctg( - 30°);
е) sin(-45°).
697. Вычислите:
а) sin ( - 720°);
б) cos(- 405°);
698. Найдите:
а) sin (- 60°);
б) cos ( - 180°);
в) cos ( - 780°);
г) ctg ( - 1110°).
в) sin (- 90°);
г) tg (- 900°).
Упражнения для повторения
699. Последовательность ( Ьп) - геометрическая прогрессия,
у :которой Ь1= 10-2
•
2 и q = 10°·3. Найдите Ь10, Ь7, Ь1з.
700. Упростите выражение:
а+ь . а3-Ь3 ·(
_
1+ь)
а)2
2
2
2•1
ь
а+аь+ь ь-а_
а+~
а-Ь
28. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Угол поворота может быть измерен в градусах, минутах,
секундах. Наряду с этими единицами используется еще одна
единица, называемая радианом. Один радиан приближенно
равен 5 7 °. Точное значение радиана в градусах выражается
180
дробью -
:
-
л
1
-( 180)о_180° ~ 570
рад - -- ---~
.
л
л
Повернем начальный радиус ОА, равный R, на 180°
(рис. 51). При этом точка А опишет полуокружность, длина
которой равна лR. Углу поворота в 1 ° соответствует дуга,
u
nRу
l
-
длина которои 180 .
глу поворота в
рад соответствует
180°
дуга, длина которой равна R. Действительно, 1 рад = --,
л
10
u
nR
а
соответствует дуга длинои 180 . Поэтому
nR _180=R.
180 л
Таким образом, угол в один ра-
диан - это угол поворота, при котором
конец начального радиуса описывает
дугу, длина которой равна радиусу.
На рисунке 52 изображен угол в
1 радиан.
Из равенства
ем, что
180°
1 рад= -- получа
л
1 ° = 1:орад;:::::;O,O17 рад.
в
у
х
Рис. 51
141
о
А
Рис. 52
Рассмотрим примеры перехода от
радианной меры к градусной и от гра
дусной меры к радианной.
Пример 1. Выразим в градусах
4,5 рад.
180°
Так как 1 рад= --, то
n
180° 810°
4,5 рад'---4,5 •-
=-
~
258°.
n
n
Пр им ер 2. Найдем радианную меру угла в 72°.
т
lo
n
ак как
=
180 рад, то
72° = 72- 1;0 рад = 2; рад~l,3 рад.
При записи радианной меры угла обозначение <,рад,> обыч
но опускают. Например, вместо равенства 72° = Zn рад пишут:
5
72o = 2n.
5
Выразим в радианной мере углы 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°·
. и 360°. Получим:
30°= 1~0·30= ; ' 90°= 1~0·90= ; '
о.л
Jt°
л
45 = 180-45= 4
,
18O°= 180-18O=л,
60° = 1~0·60 = ;' 270°=1~0•270 = -
~л,
360° = 1~0
- 360= 2л.
Радианная мера угла часто используется в тригонометри
ческих выражениях. Так, запись sin 1 означает синус угла в
1 радиан, запись sin ( - 2,5) означает синус угла в - 2,5 ради-
ана, запись sin : означает синус угла в : радиан. Вообще
запись sin х, где • х - произвольное действительное число,
означает синус угла, равного х радианам.
Каждому числу х соответствует определенное значение си
нуса. Таким образом, синус является функцией с областью
определения ( - оо , + оо ). Точно так же косинус есть функ
ция с областью определения ( - оо _, + оо ). Областью значе
ний как синуса, так и косинуса является промежуток [ - 1; 1 ].
142
л
3
5
7
Каждому числу, кроме +2 , + 2л, + 2л" + 2л, ..., со-
ответствует определенное значение тангенс·а. Тангенс являет
ся функцией, область определения которой состоит из всех
л_+~7Т+5
7
Об
чисел,кроме+2, _
2"' _
2л, + 2л, ... . ласть значе-
ний этой функции есть множество действительных чисел.
Котангенс является функцией, область определения кото
рой состоит из всех чисел, кроме О, + л, + 2л, ± 3л, .... Область
значений котангенса - множество действительных чисел.
Синус, косинус, тангенс и котангенс называют тригоно
метрическими функциями.
Заметим, что косинус является четной функцией, так как
cos ( - а) = cos а. Синус, тангенс и котангенс являются нечет
ными функциями, так как sin ( - а) =
-
sinа,tg(- а)=
-
tg а,
ctg(- а)=
-
ctg а.
701. Найдите градусную мер~ угла, радианная мера кото
рого равна:
а)0,5; в);; д)
3
9
4л;
ж) --л·
2'
б)10; г)~;
е)5
з) 12л.
- тл;
702. Выразите в градусах угол, радианна_я мера которого
равна:
5
1
а) 0,2; в) 2л;
д) -тл;
3
5
б) 3,1; г) -тл; е) 4л.
703. Найд ите радианную меру угла, равного:
а) 135°;
в) 36°;
д) 240°;
ж) - 120°;
б) 210°;
г) 150°;
е) 300°;
з) - 225°.
704. Выразите
а) а=54°;
б) а=200°;
угол а в радианах, если:
в) а=225°;
д)а=- 45°;
г) а=390°; е) а=- 60°.
705. Выразите в радианах угол, смежный с углом а, если:
)
5л
а а=-;
6
11
б) а=12л;
в) а=0,3л.
706. Выразите в радианах углы равнобедренного прямо
угольного треугольника.
707. Углом какой четверти является угол а, если:
а) а=Зл;4
б) а=1,8л;
в) а=О,6л; г) а=1?
143
708. Заполните таблицу:
о
л
л
л
л
3
2л
а
-
-
-
л·
2л
6
4
3
2
sin а
cos а
tgа
ctg а
709. Определите знак выражения:
а) 5л
sin6 ; в)sin1;
д)tg:;
)2л
жctg3;
б) .Зл
cos4; г)cos0,9; е)tg3;
з) ctg 0,2.
710. Какой знак имеет каждая из тригонометрических
функций в промежутке:
144
711. Найдите значение выражения:
а)2sinл-2cos3; +3tg: -ctg~;
б)sin(- :)+3cos;-tg;+ctg;;
в)2sin: - 3tg;+ctg(-3;)- tgл;
г) 3tg(-:)+2sin: -3tg0-2ctg: .
712. Вычислите:
г)(:л;2л)?
а) sin2..::.. + sin2..::.. •
4
3'
) 2л. лt2л
вtg4sш3g3;
б) cos2..:: .. -
cos2 ..::.. •
6
4'
)tЛ
2Л·.
Л
г g6 cos6sш3.
713. Найдите значение выражения:
а)5sin; +4cosО-3sin3;+cosл;
б) sin(-л)-cos(- 3;)+2sin2л-tgл;
в) 3-sin2 ..::.. + 2 cos2 ..::.. -
5 tg2 ..::.. •
3
2
4'
г)3sin2;-4tg2: -
3cos2;+3ctg2;•
714. Найдите значение:
~
) 13л
..,
а) sin 2,5л;
вtg6;
б)cos(- 9:);
715. Найдите:
7л
а) ctg3 ;
17л
б)cos4 ;
)•( 25л)
ВSlll--6
-
•
Упражнения для повторения
716. Упростите выражение:
( а-3
ба-18) 5а-15
а) а2-За+9 а3+27 :4а3+108;
( х-3
х-3 ~ 2х3-128
б) х3-64+х2+4х+16} • 3-х
•
717. Решите неравенство:
а) 6х-10х2<0; б) 7х2~-2х.
§ 12. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
29. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
ОДНОГО И ТОГО ЖЕ АРГУМЕНТА
Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол а по
лучен радиус ОВ (рис. 53). Тогда по определению
sin а • JL • cos а=..!.._
R'
R'
где х - абсцисса точки В, а у
-
ее ордината.
Отсюда следует, что
x=Rcosа,y=Rsinа.
Так как точка В принадлежит
окружности, то ее координаты удов
летворяют уравнению х 2 + y 2 =R2 •
Воспользовавшись тем, что х =
= R cosа,y=Rsinа,получим:
(Rcosa)2+(Rsina)2= R2•
Отсюда
(1)
у
Ах
Рис. 53
145
Формула (1) выражает соотношение между синусом и ко
синусом одного аргумента.
Выясним теперь, как связаны между собой тангенс, синус
и косинус одного и того же аргумента.
Поопределениюtgа,=JL.Таккаку=Rsinа,х=R cosа,то
х
Таким образом,
Аналогично
т. е.
t_у
_
Rsinа _ sinа
gа-
~
-
Rcosа- cosа•
t а=sinа.
g
cos а
ctgа=--=-=R cosа=cosа
У Rsinа
sinа'
ctga=c~sа.
s1n а
(2)
(3)
Равенство (1) верно при любых значениях а. Равенство (2)
верно при всех значениях а, _при которых cos а =I=- О, а равен
·ство (3) верно при всех значениях а,, при которых sin а =I=- О.
С помощью формул (1) - (3) можно получить другие фор-
мулы, выражающие соотношения
скими функциями одного и того же
Из равенств (2) и (3) получим:
между тригономе т риче
аргумента.
т. е.
tgа.ctgа,=sinа . c~sа =l,
cosа s1nа
tgа•ctgа=1.
(4)
Равенство (4) показывает, как связаны между собой тан
генс и котангенс одного аргумента. Оно верно пpIL всех зна
чениях сх, при которых tg а, и ctg а имеют смысл.
Заметим, что формулу (4) можно получить и непосред
ственно из определения тангенса и котангенса.
Выведем теперь формулы, выражающие соотношения
между тангенсом и косинусом, а также между котангенсом
и синусом одного и того же аргумента .
Разделив обе части равенства (1) на cos 2 сх, получим:
sin2
a+l= -1-
cos2а
cos2а '
146
т. е.
1+tg2 a = -;-.
cos- С(,
(5)
Если обе части равенства (1) разделить на sin2 а, то будем
иметь:
т. е.
1
2
1
+ctgа= - .-
2-.
•
s1n а.
(6)
Равенство (5) верно, когда cos а =1= О, а равенство (6), ког
даsinа=1=О.
Равенства (1) - (6) являются тождествами. Их называют
основными тригонометрическими тождествами. Рассмотрим
примеры использования этих тождеств для нахождения зна
чений тригонометрических функций по известному значению
ОДНОЙ ИЗ НИХ.
Пример 1. Найдем·cosа, tgа иctgа, если известно,
.
5
п
что sша=13и2 <a<n.
Найдем сначала cos а. Из формулы sin2 a+cos2 a=l по
лучаем, что
cos2а=1- sin2а.
Так как а, является углом II четверти, то его косинус от
рицателен. Значит,
cosа=-✓1-sin2а.,=-~~= -
~
-уJ.-ш
13•
Зная синус и косинус угла а, можно найти его тангенс:
5
t rx= sina=
13=
-
~.
g
cos а
12
12
__
,
13
Для отыскания котангенса угла а удобно воспользоваться
формулой tg а • ctg а., = 1. Имеем:
1
12
2
ctg а =-=--= -2 -
.
tgа
5
5
Итак,
_
12t
5
t
22
cosа=-13,gа=-12
, сgа=- 5
.
147
Пример 2. Известно, что tgа=2иО<а<;.Найдем
sinа, cosаи ctgа.
Воспользовавшись формулой 1 + tg2 а= - 1
-
2-
,
найдем cos а.
cos а
Имеем:
cos2 а=
1?
l+tg- а
1
5
По условию угол а .являете.я углом I четверти, поэтому
его косинус положителен. Значит,
.
-
Г~ - ../5
cosа=у5 =т·
Зная cos а и tg а, можно найти sin а. Из формулы tg а=
sin а
= cos а получим:
sinа=tgа•cosа=2.-../5=2
-../5 .
5
5
По известному tg а легко найти ctg а:
ctg а =-1
-=J__.
tgа
2
Итак,
.
2-.. /5
-{5
1
s1n а=-5-, cosrх=т, ctgrх=т·
718. Известно, что ; <а< л.
а) sinа,если cosа= - 0,6;
Найдите:
в) tgа, если cosа=-~·
17'
6) cosа, если sinа=-1⁄2-;
г) sinа,если ctgа=- 2.
719. Зная, что О< а< ; , найдите:
а) cosа,если sinа=0,6; в) cosа,если tgа=3;
6).
1
)t
.
12
Sin а, если cos а=4;
г сgа,еслиSlnа=13.
720. Может
.ли
дл.я какого-либо угла ~ выполняться
условие:
)•"Р.9
Р. 40
а Sin1J =
41,cos1J =
41;
5
в)tg~=9 ,ctg~= 1,8;
6)•R
З COSР.= _!_ .,
Sln JJ=4•
JJ
4
г)tg~=-у2-1, ctg~= -v2+1?
721. Находя по таблицам значения синуса и косинуса не
которого угла а, ученик получил, что sin а~ 0,33, а cos а~ 0,63.
Докажите, что он допустил ошибку.
148
722. Найдите:
)t
.
9
л
•
а gа,еслиSШCG=41И2 <a<:rr;
1
Зл
б) cosa, если ctga= 3 и·:п:<а<2.
723. Известно, что а - угол II четверти. Найдите:
4
а)ctgа,еслиcosа=-5 ;
б)sinа,если tgа=-1.
724. Найдите значения тригонометрических функций уг
ла а, если известно, что:
)•
3
О
л
а sша.=5 и <а<2;
8
б) cosа=17 и а- угол I четверти;
.jз л
в) tgа=-тит<а<:п:;
г)ctgа=- 2,5иа- уголIVчетверти.
725. Вычислите значения
угла ~.
зная, что:
тригонометрических функций
)•А40
ЛА
аsш"'=41и2<"'<:rr;
4
Зл
2
б)cos~=5и2<~<:rr;
726. Зная, что:
л
.
а)_sinа=О,62 и2 <a<:rr;
б)tgа=- 2,1 и3; <a<2:rr;
Зл
в) cosа= - 0,23и :rr<a<т;
г) ctgа=2,2
в)tg~=1
г)ctg~= 3
Зл
и :п:<~<2;
иО<~<;.
вычислите значения остальных тригонометрических функций
угла а (ответ округлите, оставив в нем две значащие_ цифры).
При вычислениях можно использовать микрокалькулятор.
727. Найд ите значения тригонометрических функций угла
а, если известно, что:
).
8
а Slnа=17;
б)cosа= - .jз .
.
2
728. Выразите тригонометрические функции угла а:
а) через sin а;
б) через cos а.
149
Упражнения для повторения
729. Найдите значение выражения
х-2_ у-2 х2у2
----•-- при х=
-0,12 и у=О,5.
х-'-у ' х+у
730. Решите неравенство:
а) х2 - х-56<0;
в) 4х2~ -1;
2
1
2
б) 3х -29х - 10>0; г) 4-х+х >0.
731. Решите уравнение:
2
1
2х-1
а) х2 -х+1 --х---: -1
х3+1
б) Зх-30
10 - +-2-=О.
х3 -8
х2 +2х+4 х-2
30. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
К ПРЕОБР А3OВАНИЮ ВЫРАЖЕНИИ
Установленные соотношения между тригонометрическими
функциями одного и того же аргумента позволяют упрощать
тригонометрические выражения и доказывать тригонометри
ческие тождества.
Пр им е_р 1. Упростим выражение ctg2 а (cos 2 а - 1).
Воспользовавшись форму лами ctg а,= c~s а и sin2 а,+ cos2 а=
Slll Ct
= 1, получим :
2
ctg2а,(cos2а,-1)=с~\ et (- sin2а)= - cos2а.
Slll Ct
Пр им ер 2. Упростим выражение
Имеем:
sinа +1+cosа
1+cosа
sin а
sinа +1+ cosа
1+cosа
sin а
sin2 а+(1+ cos а)2
sinа(1+ cosа)
sin2а+1+2cosа+cos2а
sinа(1+cosа)
_
(sin2 a+cos2 а)+ 1 +2 cos а
2+2CQS Ct
2(1+cosa)
2
-
sina(l+cosa)
sinа(1+ cosа)
sinа(1+cosа)
sin а
Пр им ер 3. Докажем тождество tg2 а - sin2 а= tg2 а• sin2 а.
Преобразуем левую часть данного равенства:
2
•
2
sin2 а
.
.
(1
)
tg а,- Slll а,= --?-
-
Slll2 а, = sin2 а, ---- 1
=
cos- а
cos2 а
=
sin2 ~(1+tg2а,-1)= tg2а•sin2 а.
Мы получили выражение, стоящее в правой части равен
ства. Таким образом, тождество доказано.
150
732. Упростите выражение:
. а) 1- cos2a;
г)sinа·ctgа;
б)2- sin2а- cos2а;
д) -.-
1-?-- 1;
s1n- а
в) (1-sina.,)(l+sina); е) 1 - со:2 а .
733. Преобразуйте выражение. :
а) 1- sin2 а;
г) (1- cos а) (cos а+ 1);
б) cos 2a-1;
д)sin2а- tgа•ctgа;
в)cosа•tgа;
е)sin2а+cos2а+ctg2а.
734. Упростите выражение:
а) 1 - sin2 a-cos2 а;
г) ctg2 а (cos 2 а-1)+1;
.
б) sin B+cos B-tg В;
д) (sin B+cos ~)2+(sin B- cos В) 2 ;
) sin2 a-1
1+1
в ---;
е)------.
1- cos2а,
1+cosа 1-cosа
,/ 735. Преобразуйте выражение:
а) sin 2 B+cos2 B+tg·2 B;
в) cos2 y-(ctg2 y + l)sin2 y;
б)sin2х-1
г) 1- ctgВ
2
1 + tgхctgх;
tВ1
cosх-.
g-
736. Упростите выражение:
cos2а-1
а) sin а,
б) 2-sin2 B-cos2 В
2+sin 2 B+cos2 В
в) l+tg2 В (sin2~ -
1);
tg а,
г) tgа., ctga+-t- .
сgа,
737. Докажите, что при всех допустимых значениях В
значение выражения не зависит от В :
а)1+2sinВcosВ.
1
+1
(sinB+cosВ)2 ' в) 1+tg2В
1 +ctg2 В
б) sin2 B- cos2 в+1
г) l+sinв 1-sinв
sin2 В
cos В
cos В
738. Докажите, что при всех допустимых значениях
а выражение принимает одно и то же значение:
а) (sinа+cosа)2- 2 sin acosа;
7•2
2
б)-SШа,-cosа,•
3sin2а+зcos2а '
в) sin4 а+cos4 а+2sin2 а cos2 а;
sin4а,- cos4а
г) ----
sin2а,-cos2а, •
739. Упростите выражение:
а) tg( - a)cosa+sina;
в) cos2 rxtg2 ( - rx)-1;
б)ctg(-а)sinа;
) 1-tg(-а)
cos а,
Гsinа,+cos(-а) •
151
7 40. Преобразуйте выражение:
а) ctgasin(-a)-cos(-a); в) tg(-/3)ctg/3+sin2 /3;
б) 1-sin2 (-x);
г) tg·(-x)+l
cos х
1-.ctgх •
7 41. Упростите выражение:
а) cosх
cos х
1- sinх+1+ sinх;
б) cosа +tgа.
1+sinа
'
tg2q, -1
в) ---+cos2 ер;
tg2 ер+ 1
sin3 а+ cos3 а
.
г).+
+sшаcosа.
ыnа cosа
7 42. Найдите наибольшее значение выражения:
а) 1- (cos2 а -sin2 а);
в)cos2аtg2а+5cos2а-;-1;
•б)J- sinаcosаtgа;
г)sinа+3sin2а+3cos"а.
7 43. Зная, что sin а+ cos а= 0,8, найдите sin а cos а.
744. Зная, что tg а+ ctg а= 2,3, найдите tg2 а + ctg2 а.
7 45. Докажите тождество:
а) (tg a+ctg a,)2-(tg a-ctg а,) 2 =4;
б) (2+sin /3) (2 - sin /3)+(2+cos /3) (2-cos /3)=7;
в)
sin а
1
ctg а+ l+
sin а
cos а,
г)1-2sinхcosх
sin x-cos х
sin x-cos х.
V
746. Докажите, что при всех допустимых значениях а
верно равенство:
а)(sinа+cosа)2+(sinа- cosа)2=2;
б)1- sin2а
1
1-cos2 а tg2 а'
в)sin4а- cos'1а=sin2а- cos2а;
г) ctgа
cos2 а.
ctg a+tg а
747. Докажите тождество:
cos3а- sin3а
а) - ---- cos a-sinа;
1+sinа cosа
) cosr,
cos r,
2tg/3;
В1-siнf, 1+sinf,
6)(1+tg·а)2+(1- tgа.,)2=+;г)
СОfЗ а
tg a+tg f,
tgа,tg/3.
ctg а +ctg f,
7 48. Докажите тождество:
а) (sin/3+ sinа)(sinа- sin/3)-(cosа+cos/3)(cos/3- cosа)=
=0;
б)ctg2а- cos2•а=ctg2аcos2а;
v·
в) 1-4 sin2a cos2 а·+2 ..
l
_
,
s1nаcosа= ;
(sin a+cos а)·
✓г)
'
•
?
cos·а - s1n-а
ctg2а- tg2а
sin2 а cos2 а.
152
';
749. Упростите •выражение и найдите его значение:
а) 1- sinаcosаtgа, еслиsiпа=о,7;
б)cos4а+sin2а cos2а, если tgа=2.
750. Найдите значение выражения, предварительно упро
стив его:
sin а
sin а
.
1
1+
+1
, если
юnа=--8
.
cos С1,
-cos С1,
'
Упражнения для повторения
751. Найдите значение выражения:
а) cos8,5л;б) tg 9л; в) sin(- 3,5л); г) ctg9: ; д) cos( - 1:л)
752. Разность катетов прямоугольного треугольника равна
5 дм. Если больший катет увеличить на 4 дм, а другой
уменьшить на 8 дм, то полученный прямоугольный тре
угольник будет иметь гипотенузу той же длины, что и перво
начальный треугольник. Найдите длины катетов данного тре
угольника.
753. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна
79 см. Если один из катетов увеличить на 23 см, а дру
гой уменьшить на 11 см, то новый прямоугольный треуголь
ник будет иметь гипотенузу той же длины, что и данный.
Найдите длины катетов данного треугольника.
754. Запишите · число в стандарТ!{ОМ виде и укажите его
порядок:
а) 650; б) 13750; в) 0,81; г) 0,00895.
31. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
л
Тригонометрические функции углов вида 2 k + а, где k -
произвольное целое число, могут быть выражены через функ
ции угла а с помощью формул, которые называют форму
лами приведения. Рассмотрим формулы приведения для 'углов
л
2- ~+,.,
2
k
2+а,л+а, 2"_,._,,,
и л + а, которые получаются при ,
равных 1, 2, 3 и 4. Углы, соответствующие остальным целым
значениям k, могут быть получены из указанных углов при
бавлением целого числа оборотов.
Выведем сначала формулы приведения для синуса и ко
синуса.
Докажем, что для любого а
sin(; + a) = cosa и cos(; +a) = -sincx.
(1)
153
у
Рис. 54
Повернем радиус ОА, равный R, на
л
угол а и на угол т+а, при этом ра-
диус ОА перейдет соответственно в ра
диусы ОВ1 и ОВ2 (рис . 54).
Опустим из точки В1 перпендикуля
ры В1С1 и B1D1 на оси координат. По
лучим прямоугольник OD1B1C1,
Повернем прямоугольник OD1B1C1
о
л·т
около точки
на угол 2 . огда точ-
ка В I перейдет в точку В2, точка С 1
перейдет в точку С2 на оси у, точка D1 - в точку D2 на оси х,
а прямоугольник OD1B 1C1 перейдет в равный ему прямо
угольник OD2B2C2 .
Отсюда следует, что ордината точки В2 равна абсциссе
точки В1, а абсцисса точки В2 равна числу, противополож
ному ординате точки В1. Обозначим координаты точки В 1 че
рез Х1 и у1, а координаты точки В2 через Х2 и у2. Тогда
у2=Х1 И Х2=-у1.
Поэтому
У2
Х1
Х2
У1
R
R и R--R.
Значит,
sin(;+а)=cosаиcos(;+а)= - sinа.
Из формул (1) следует, что
sin(;- a)=cosaи cos(;-a)=sina.
Действительно, представим разность ; - а в виде суммы
; +(- а). Тогда
sin(;- a)=sin(;+(- a))=cos(- a)=cosa,
cos( ;-a)=cos(; + ( - a)) = -sin(-a) = sina.
Докажем теперь формулы приведения для синуса и ко
синуса угла л + а:
sin(л+a) =- sina и cos(л + a) = -cosa.
(2)
154
Представим
в
виде
у
л2 +( л2 +"')
.__,,,
и дважды - воспользу-
емся формулами (1). Получим:
sin(л+а)=sin( ; +(.; +а))=
Ах
= cos(;+а)= - sinа,
cos(л + a) = cos(; +(; +а))=
= - sin(;+а)=
-
cos а.
Рис. 55
Заметим, что к формулам (2) легко прийти и из геомет
рических соображений (рис. 55). При повороте радиуса ОА
на угол а и на угол л + а точка А перейдет соответственно
в точки В1 и В2, которые симметри<Jны относительно начала
координат. Абсциссы, а также ординаты симметричных отно
сительно начала координат точек равны по модулю и про
тивоположны по знаку. Отсюда следует, что sin (л+а) и
sin а, а также cos (л + а) и •cos а - противоположные числа.
Теперь можно доказать, что
sin(л-а)=sinа и cos(л-а)=- cosа.
Для этого достаточцо представить л - а в виде суммы
л -t-( - а) и применить формулы (2).
3
Формулы приведения для синуса и косинуса угла 2 л + а
имеют вид:
sin(fл+а)= - cosа и cos( :л+а)= sinа.
(3)
Чтобы доказать формулы (3), достаточно представить
: л + а в виде ; + (л + а) и применить последовательно фор
мулы (1) и (2).
Из формул (3) нетрудно получить, что
sin(:л-а)= - cosаиcos-(:л-а)= - sinа.
Рассмотрим, наконец, формулы приведения для синуса и
косинуса угла 2л + а. Мы знаем, что при изменении угла а
на целое число оборотов значения синуса и косинуса не из
меняются. Поэтому
sin ( 2л+a) = sin а и cos (2л+а)=соs а.
(4)
155
С праве дливы также формулы
sin (2л-а.)= -sin а и cos (2л - а.)= cos а.
Формулы приведения для тангенса и котангенса можно
получить с помощью формул приведения для синуса и ко
синуса. Например:
n
sin( ;+а)
tg( - +a.) =-----
=
cosa = - ctgа,
2
cos(;+а)
-
smа
ct (л+а.) = cos(n+a)
g
sin (n +a)
= - cosa= ctgа,.
-
sma
Все формулы приведения сведем в две таблицы, поместив
впервойизнихформулыдляугловл+а.и2л+а.,аво
второй-;- для; углов ; -+а. иf л+а:
-
х
п+а п-а 2п+а 2п-а
п
п
3
3
х
z +a 2-а zп+а 2п-а
siriх - sinа sinа
sinа -sinа
sinх cosа
cos а
-cos а - cosa
cosх -cosа-cosа cosа
cos а
cosх - sinа sinа
sin а
-sinа
tgх tgа -tgа tgа -tgа
tgх -ctgа ctgа -ctgа ctgа
ctgх ctgа -ctgа ctgа -ctga ctgх - tgа tgа
-tgа
tgа
Из таблиц видны закономерности, которые имеют место
для формул приведения:
функция в правой части равенства берется с тем же зна
ком, какой имеет исходная функция, если считать, что угол
сх является углом I четверти;
для углов л + а. и 2л + а. название исходной функции со-
•
п
_!_л+~
храняется; для углов т+ сх и 2 _
..,,
название исходной
функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус,
тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).
Указанные закономерности позволяют записать любую
формулу приведения, не прибегая к таблицам. Выразим, на
пример, tg (л-а.) через функцию угла а.. Если считать,
что сх - угол I четверти, то л - а. будет углом II четверти.
156
Во второй четверти тангенс отрицателен, значит, в правой
части равенства следует поставить знак <<минус>). Так как
угол а. вычитается из л, то название <<тангенс,> сохраняется.
Поэтому tg (л-а.)= -tg а..
С помощью формул приведения нахождение значения три
гонометрической функции любого угла можно свести к на
хождению значения тригонометрической функции угла от О
л
до 2 . Приведем примеры.
Пр им ер 1. Найдем значение cos 8;.
Имеем:
cos8;---'cos(2л+2;)=cos2;=cos(л- ;)= - cos; = -+.
Пр им ер 2 . Найдем значение sin (- 560°).
Имеем:
sin(- 560°)= - sin560°= -sin(360°+ 200°)= -sin200°=
= -sin (180°+20°)= -( -sin 20°)=sin 20°.
По таблице синусов находим, что sin 20° ~ 0,3420. Зна
чит, sin ( - 560°) ~ 0,3420.
755. Замените тригонометри.ческой функцией угла а.:
а)sin(~- а.) •
.
•
2
'
б)cos( : л+а.) ;
в) tg(3;-a.);
г) ctg(л+ а.);
756. Приведите
а)sin(;+а.);
б)cos(32л- а.) ;
в) tg(л+cx);
к
д) cos (2л - а.);
е) sin (2л + сх);
ж) tg(180°-f);
з) sin (180° + а);
.тригонометрической
г)cos(2л+а);
д) ctg(л - a);
е)sin(л+а);
и) ctg (360° - а);
к) cos (90°-а.);
л) sin (270° - а.);
м) tg (270° + а).
функции угла а :
ж) sin (360° + а);
з) cos (90° + а);
и) tg(90°-cx).
757. Выразите sin сх, cos а, tg сх и ctg а через тригоно
метрическую функцию угла от 0° до 90°, если:
а) сх = 130°; б) сх = 190°; в) а= -320°; г) а= -590°.
758. Приведите к тригонометрической функции угла из
промежутка ( О; ; ) :
157
а)соs0,7л; 6)ctg( - :л); в)sinl,6л; г)tg( _:_ 9;).
759. Приведите к тригонометрической функции угла от
0° ДО 90°:
158
а) tg 137°; 6) sin ( - 178°); в) sin 680°; г) cos (-1000°),
760. С помощью таблиц найдите:
а) sin 218°;
б) cos (-429°); · в) tg (- 735°).
761. Найди·rе sin а, cos а, tg а и ctg а, если:
а)а=:л;
6)а=:л;•в)а •:л.
762. Найдите значение выражения:
а) sin240°;
в) tg300°;
д) ctg( - 225°);
б) cos ( - 210°);
г) sin 330°;
е) sin 315°.
763. Найдите:
а) cos 120°;
б) sin ( -150°);
в) tg(- 225°);
г) COS ( - 225°);
764. Упростите выражение:
а) sin(а- ;); в) ctg(а-360°);
6) cos(а- л);
г) tg (-а+ 2700).
765. Упростите выражение:
а)sin(а- 3;); б) cos(а- 3;);
766. Преобразуйте выражение:
а) sin2(л+a); в) cos2( 3; - a);
6) tg2( ; +а) ; г) ctg2(2л-а).
в) tg(а- 2л).
767. Докажите, что если А, В и С - углы треугольника, то
.
л+в
s1n 2
с
соsт.
768. Докажите, что если а+~ + у = 180°, то
tg а1~= ctg1⁄2.
769. Упростите выражение:
а) sin (90° - a) + cos (180°-+a)+tg (270°+a) + ctg (360° + а);
б)sin( ; +а)- cos(а-л)+ tg(л-а)+ ctg(5;-а)
.
770. Преобразуйте выражение:
) cos(-a)•cos(l80°+a).
б
sin( - a)-ctg( - a)
а i sin(-a)•sin(90°+a) '
) cos(360° - a)•tg(l80°+a)
В]
siц. (л + et) •cos (2л -et) .
tg(л- Gt)•cos(Gt- л)
sin (л + et) •sin (а+ 2л)
г) -------
tg(л+ et)·cos(1,5л+ et)
771. Упростите выражение:
а) sin 2 (180°-x)+sin2 (270°_:_х);
б)sin(л-х) cos(х- ;) - sin(х+;) cos(л-х).
77~ Упростите выражение:
а) cos2 (л+х)+соs 2 (; +х) ;
б) sin(л+x)cos(; +x)-cos (2л+x)sin( 3; -x) .
773. Докажите, что:
а) tg (л-а)
cos (л+а)
sin( {л+а)
tg(~л+a)
ctg ( i-a)
б) sin (л-а).
tg(л+et) tg (; +а)
774. Докажите, что:
tg2 а.,;
cos(2л-а)
----- = sinа.
sin(- а)
а) sin( ~ л_ +a)•ctg( ; - a)+sin(л-a)+ctg( ~ л-а) =
=tga.,;
б) ctg2 (2л - a.,)-sin(a -~). 1
2
cos et
1
sin2 et
Упражнения для повторения
775. Известно, что ; <а.,< л. Найдите:
а) sinа.,и ctgа.,, если cosа.,=- 0,8;
б)sinа.,и cosа.,,если tgа=-5.
776. От станций А и В, расстояние между которыми
75 км, отправились одновременно товарный и скорый поезда
и встретились через полчаса. Товарный поезд прибыл в В
на 25 мин позже, чем скорый в А. :Какова скорость каж
дого поезда?
777. За 70 км до конечной станции поезд опаздывал на
10 мин. Чтобы прийти в пункт назначения вовремя, поезд
увеличил скорость на 10 км/ч. С какой скоростью шел по
езд последние 70 км?
778. Найдите _ значение выражения:
2
3
2
1
а) 273 -164
б)
814
125з1
159
§ 13. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
,
32. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Выведем формулы, позволяющие выражать тригонометри
ческие функции суммы и разности двух углов через тригоно
метрические функции этих углов.
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угщr
а и на угол f3 (рис. 56). Получим радиусы ОБ и ОС.
Найдем скалярное произведение векторов ОБ и ОС. Пусть
координаты точки В равны Х1 и У1 , а координаты точки
С равны Х2 и у 2 . Эти же коорд_инаты имеют соответственно
и векторы ОБ и ОС . По определению скалярного произведе
ния векторов имеем:
Выразим скалярное произведение ОБ• ОС через тригономет
рические функции углов а и f3. Из определения косинуса и
синуса следует, что
Х1=R cosа,У1=R sinа,X2=Rcosf3, y2=R sinf3.
Подставив значения Х1, х2, у1 и у2 в правую часть ра
венства ОВ - ОС = х1х2+ У1У2, получим: ОВ·ОС R 2 cos а cos f3+
+R2 sinа sinf3=R2(cosа cosf3+sinа sinf3).
Значит,
ОБ·ОС R2(cos а cosf3+sinа sinf3).
По теореме о скалярном произведении векторов имеем:
ОБ-ОС= IOBI • IOC\ ·COS LBOC.
Угол БОС между векторами ОБ и ОС может быть равен
а-(3 (см. рис. 56), 2л - (а - f3 ) (рис. 57) либо может отли-
у
у
А
х
х
Рис. 56
Рис, 57
160
чаться от этих значений на целое число оборотов. В любом
из ЭТИХ случаев cos L вое = cos (а - 13); Поэтому
ОБ-ОС=IOБI•IOC1-cos (а-13)=R2 cos (а - (3).
Значит,
ОБ-OС=R2cos(а-l3).
--
Так как ОБ•ОС равно также•R2(cosа cos13+ sinа sin13), то
cos(а- 13)=cosаcos13+ sinаsin13.
(1)
Косинус разности двух углов равен произведению коси
нусов этих углов плюс произведение синусов этих углов.
Формулу (1) называют формулой косинуса разности.
С помощью формулы (1) легко получить форм улу коси
нуса суммы:
cos(а+ 13)= cos(а~(- 13))= cosа cos(- {3)+ sinа sin(- 13)=
= cosаcos13- sinаsin13.
Значит,
cos(а+13)= cosа cos13- sinа sin13.
(2)
Косинус суммы двух углов равен произведению косину
сов этих углов минус произведение синусов этих углов.
Выведем теперь фо рмулы синуса суммы и синуса разности.
Используя формулу (1) и формулы приведения, получим:
sin(a+l3) = cos(; - (а+13)) = cos(( ; - а) - 13)- =
= cos(;-а) cos13+sin( ; -а) sin13= sinа cos13+cosа sin13.
Значит,
_
sin(а+{3)-sinа cos13+ cosаsin13.
(3)
Синус суммы двух углов равен произведению синуса пер
вого угла на косинус второго плюс произведение косинуса
первого угла на синус второго;
Для синуса разности имеем:
sin(а- 13)= sin(а+(:___{3))= sinа cos(- 13)+ cosа sin(- 13)=
= sinаcos13- cosаsin13.
Значит,
6 Заказ 201
sin(а.- 13)= sinа cos13- cosа sin(3.
(4)
161
Сц,нус разности - двух уи~ов равен произведению синуса -
первого угла на косинус второго минус произведение коси
нуса первого угла на синус второго.
Формулы (1)-(4) называют формулами сложения.
Приведем примеры использования формул сложения.
Пример 1.Вычислим cos15°и sin15°.
Представим 15° в виде разности 45 ° - 30 °. .То гда
COS 15°= ~0S(45° - 30°) =
= COS 45° COS 30°+sin 45° sin 30° =
-
--./2. ,/3+./2.J___ --/6+./2 .
-
22
22-
4
'
sin l5°= sin(45° - 30°) =
= sin45°cos30°- cos45°sin30°=
- -./2 ,/3
./21 --/6-
- -./2
=2•2-2•2=
4
•
Пр им ер 2. Упростим выражение cos (а + В) + cos (а- В).
Воспользовавшись формулами косинуса суммы и косинуса
разности, nолучим:
cos (ех, +В)+ cos (а -
~)= cosаcosВ- sinаsinВ+cosаcos~+
+ sinаsin~=2cosаcosВ·
Используя формулы (1)-(4), можно вывести формулы сло
жения для тангенса и котан-генса. Выведем, например, фор
мулу тангенса суммы:
tg(a+ ~) = sin(a+ /3)
sinacos/3 + cosasin/3
cos(а+/3)
cosаcos/3 - sinаsin/3
Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на
произведение cos ех, cos ~. предполагая, что cos ех, =1= О и cos ~ =1= О.
Получим:
162
sin а, cos /3
cosаsin13
cosаcos/3
cosаcos/3
cosаcos/3
sinаsin13
cosаcos/3
cosаcos/3
Значит,
tg(ех,+ ~)
sinа+ sin/3
cos а
cos/3 _ tgа+tg/3
1-
~
sin13 - 1 - tgаtg13•
cosа cos/3
tga+tg/3
l - tgatg/3°
Аналогично можно доказать, что
.
tga- tg/3
.tg(ех,-~) = 1+tgаtg13.
)
(5)
(6)
779. С помощью. формул сложения преобразуйте выражение:
а) cos(: - (j)); • в) sin((j)+:);
б)cos(: +(j)); г)sin((j)- :).
780. Используя формулы сложения, .проверьте, что:
а)sin(;+а)=cosа;
в) cos(л- а)=
-
cos а;
б) sin(л+a) = -sina; г) cos( 3
2n+a)=sina.
781. Представив 105° как сумму 60°+45°, вычислите:
а) sin 105°;
б) cos 105°.
782. Представив 75° как сумму 30° + 45 °, вычислите:
а) sin 75°;
б) cos 75°.
783. Упростите выражение:
а) -/2 sin(: +a)-cos а;
в) 2 cos(; -а)---/3 sin а;
•б) -/2sin(а- : )- sinа;
г)-{зcosа- 2cos(а- ;).
784.Зная,что sinа=1
8
7,cosВ=:,аиВ -углыIчетвер
ти, найдите значение выражения:
а) sin (а+ В);
б)cos(а+В); в) cos(а- В).
785.,Найдите sin(а+В), если sinа=:1, sinВ=-~~,а
-
угол II четверти, а В - угол IV четверти.
А
II
•
4
786. Известно, что а и ,, -
углы _ четверти и Slll а =т,
А
15Нu
cos;,= -
17 . аидите:
6*
а) sin(a + В);
в)cos(а- В);
б)sin(а- В);
г) cos (а+ В),
787. Упростите выражение:
а) cos 24° cos 31°-sin24° sin31°;
б) sin38° cos 12°+ cos 38° sin12°;
в) sin 137° cos 52° - cos 137° sin 52°.
788. Найдите значение выражения:
а) cos 107° cos 17° + sin 107° sinl 7°;
б) cos 36° cos 24° - sin 36° sin 24°;
в) sin 63° cos 27°+cos-63° sin 27°;
г)sin51°cos21°- cos51°sin21°.
789. Вычислите:
а)sin21°cos9°+ cos21°sin9°;
б) cos 18° cos 63°+sin 18° sin 63°;
в) sin 278° cos 68°-cos 278° siп 68°;
г) cos 32° cos 58°-sin 32° siп 58°.
163
790. Упростите выражение:
а) cos 2ер cos ер+ sin 2ер sin ер;
б) sin Зу cos y-cos Зу sin у;
в) sin( а+;) cos( а-;) +cos( а+;) sin( а-;);
г)cos( : +13)cos( : - 13)- sin( : +13)si~( : - 13)•
791. Упростите:
а) cos(60°-a)+cos(60°+a); б) sin(30°-a) + sin(З0°+a).
792. Упростите:
а) sin (а+ 60°)-sin (а - 60°);
б) соs(ЗО 0 +а)-соs(ЗО 0 -а).
793. Докажите тождество:
а) sin (а+ 13)+sin (а-fЗ) = 2 sin а cos l3;
б) cos (a-13)-cos (а+13) = 2 sin а sin l3;
в) sin(а+ 13) sin(а -13)= sin2 а - sin2 13.
794. Докажите тождество:
а)sin(а+13)-sin(а- fЗ) = 2cosа sinl3;
б) cos(а+13)cos(а-13)= cos 2 а- sin2 13.
795. Упростите:
а) sin(а.+B)- cosа. sinВ
sin(а.-В)+cosа, sinВ
796. Упростите:
) cos (а.+ B)+sin а sin В
а cos(a. -B)-sina.sinB
б) sin(a. -
B)+2cosa.sinB
-~~~---
-' --
2cosаcosВ- cos(а- В)
б) cos(а- В)-2sinа, sin{3
2sina.cosB-sin(a. -
B)•
4
797. Синусы двух острых углов треугольника равны 5
5Нu
и 13 . аидите косинус третьего угла треугольника.
1
2
798. Косинусы двух углов треугольника равны 3 и 3 .
Найдите синус третьего угла· треугольника.
799.Зная,чтоtgct= : иtg13.
- 1⁄4,~найдите tg (а + 13).
800. Вычислите: а) tg 15°; б) tg 75°.
801. Используя формулу tg ( - 13) = ~ tg 13, выразите
tg(а-13) через tgа и tg13.
1
1
u
802. Известно, что tg CG = т, tg 13 = т· Наидите:
а)tg(а+13); б) tg(а- 13).
803. Докажите, что если а, 13 и у - углы треугольника,
тоsinу=sinа cos13+ cosа sin13.
164
Упражнения для повторения
804, Найдите значение:
а) sin480°; б) cos(-570"); в) tg(-750°); г) ctg495°.
805. Упростите выражение
806. Решите неравенство:
а) (х+4) (х+5)-5~ 7; б) 6-(2х+ 1,5) (4-х);?::О.
807. Два автопогрузчика выполнили работу за .20 ч. За
сколько часов может выполнить эту работу каждый авто
погрузчик, работая один, если известно, что второй может
выполнить ее на 9 ч быстрее, чем первый?
33. ФОРМУЛЫ ДВОИНОГО УГЛА
Формулы сложения позволяют выразить sin 2а, cos 2а
и tg 2а через тригонометрические функции угла а.
Положим в формулах
sin(а+13)= sinа cos13+ cosa.sin13,
cos(а+13)= cosа cos13- sinаsin13,
t (а )_ tgа+tgf>
g +13- 1 -tgatgf>
f3 равным а. Получим тождества:
sin2а=2sinаcosа,
cos2а=cos2а- sin2а,
tg2а= 2tgа .
•
1-tg2 а
(1)
(2)
(3)
Эти тождества называются формулами двойного угла.
Приведем примеры применени:я формул двойного угла для
нахождения значений тригонометрических функций и пре
образования тригонометрических выражений.
Пр им ер 1. Найдем значение sin 2а, зная, что cos а =
=- 0,8иа - уголIIчетверти.·
Сначала вычислим sin а. Так как а:._ угол II четверти,
то sin а> О. Поэтому
sinа=✓1-cos2 а =✓1 - 0,64=✓о,36 = 0,6.
165
По формуле_ синуса двой.ного угла :
sin2а.=2 sinа cosа.=2·0,6-(-0,8)= - 0,96.
Пр им ер 2. Упростим выражение
sinа, cos3а~sin3а, cosа.
Вынесем за скобки sin. а cos а и воспользуемся формулами
двойного угла:
sinа,cos3a. -
sin3аcosa. = sinаcos~(cos2a. -
sin2 а) =
1'(2•
)2
1•2
2
1•4
=
2 юnа,COSа,COS а.=2Slll а,COS а.=4Sln а.
Из формулы (2) следует, что
1- cos2а.=2sin2а.
(4)
Действительно, выразив cos 2а. через sin а, получим:
cos2a.= (1- sin2a.) - sin2а.=1-2sin2а.
Отсюда 1-cos 2а. = 2 sin2 а.
Аналогично, выразив cos 2а. через cos а, получим:
l+cos2а.=2cos2а.
(5)
Формулы (4) и (5) часто используются в вычислениях и
преобразованиях.
1-cos а
Пр им ер 3. Упростим выражение
1 +c~s а.
Применим формулы (4) и (5) к выражениям 1 - cos а, и
1 + cos а, представив а, в виде произведения 2 • ~ . Получим:
166
1-cosа
1+cosа
.
оа
2sш·2
2cos2 ;
808. Упростите выражение:
2а
tg 2·
sin 2а
а)
б) •cos 2а
cos a-sin а
sin а
в)cos2/3+ sin2 /3; г)
sin ~
2 cos2 1..
2
809. Сократите .дробь:
а) sin 40° ..
б) sin 100°
sin 20° '
cos 50° '
)
cos 80°
.
в cos 40°+ sin40°'
_
810. Упростите:
sin 4q,
а)--- б) cos2qJ- cos2qJ;
2cos 2q,
sin q,
в)--q,
2sin22
г) cos 36°+sin 2 18°
cos 18°
cos q,
г) ----
соs ..Т. + sin ..Т.
.2
2
811. Пусть sin а= 1
5
3 и а - угол·· II четверти. Найдите:
а) sin 2а;
б) cos 2а;
в) tg 2а.
3
812. Известно~ что tga= 4 и 180°<а<270°. Найдите:
а) sin 2а;
б) cos 2а;
в) tg 2а.
813.Пусть cosа _-
0,6 и а - угол III четверти. • Най
дите:
а).sin2а;
б)cos2а; в)tg2а.
814. Используя формулы двойного угла, выразите sin а;,
cos а и tg а через тригонометричесщ~:е функции угла ; .
815. Найдите значения sin а, cos '(Х и tg а, если известно,
•
а9О
<
ЧТОSШ2=41И <Ct Л.
816. Косинус угла при основании равнобедренного тре
угольника равен 0;8. Найдите синус и косинус угла при
вершине этого треугольника.
817. Упростите выражение:
а) 2 sin 20° cos 20°;
б) 2л
.2л.
cos 10 -sш 10,
2tg5°
в)-~-·
1- tg25°'
818. Вычислите:
а) 2 sin 15° cos 15°;
б) cos2 15° - sin2 15°;
в) 2tg15° .
1-tg215°'
). л-а
л-а
г sin.-
2 -cos-2
-;
д) 2cos 2 л+a_2sin 2 л+a.
4
4'
Зл-а
4tg-2-
e) ----
1 t 2Зл-а
-g
-2-
г) 2 sin 105° cos·l05°;
)
27л
.
27л
дcos12-sш12;
) 2tg75°
е 1-tg2 75°
0
819. Найдите значение · выражения:
а) 2 sin 165° cos 165,0 ;
в) 2tg:40° •
б) 2750
•
2750,
1-tg·240°
cos
-
s1n
,
820. Докажите тождество:
а) 1-(sin a-cos a)2 =sin 2о:; в) ctg o: - sin 2a=ctga. cos 2а;
б)cos4о:- sin4c.t=cos2а.;
а
а
821. До1tажите тождество:
а) (sin сх+cos о:)2- sin 2а = 1;
б)4sinсхcosо:cos2а= sin4о:;
г)ctg2 - tg2 ....:.2 ctgа.
в) sin 2a-tg a=cos 2а tg а;
г) (tg о:+ ctg а). sin 2сх.- = 2.
16'7
168
822. Упростите выражение:
)4.а
•
л-а• .
(3л )
а
sш2SШ-2-SШ 2-а,
в)sin2аctgа.
.sin2а
'
6) (sin 13 +cos 13)2.
1+sin213 '
)( cos13
cos13) .
г l..L. 13+1 . 13 sш2~.
1 Slll
-SШ
823. Упростите:
)
а
2л+а
2л+а.
а 4cos4 cos- 4
-cos-2
-
,
1
1
В)1- tgа 1+ tgа'
2cos2аtgа .
6)cos2а- sin2а'
)( sinа
sinа )
г1+cosа+1- cosа
sin 2а.
824. Упростите выражение:
a)l+cos4a; г)l-cos2a
sin 2а
)1- cos2а+sin2а
ж ------- ·
1+cos2а+sin2а'
6) 1-cos 4а;
д)tgа(1+cos2а);
в)1+cos2а.
е) 2sinа+sin2а .
2cosа '
2sinа- sin2а '
825. Упростите:
) sin2{3 .
а 1+cos2{3'
6) 1-cos 2{3.
2sinf3 '
в)ctg~(1- cos2В);
) 1+cos4{3 .
Г
•)
2
,
cos·{3- sin f3
826. Докажите тождество:
•
2(л а)
а) 1+sinа=2cos 4 - 2
6)1- sinа=2sin2(: - ~)•
827. Упростите выражение:
) 1+cos2ср .
2 2л-а
а 1-cos 2ср'
в) cosа,- sin -2-;
6) 1-sin2cp,
2 л-а
1+sin2ср, г)2cos - 2
-+ cosа,,
1 +sin( ; -2а)
з)
2
1-sin('; +213)
д) 2sinf3
е) l+cos(л+f3)
sin(л-/3) •
828. Существует ли такой угол х, при котором:
а) sin х cos x=f;
6)sinхcosх=:?
Упражнения для повторения
829. Упростите
а) cos (3л - сх);
6) ctg (5л + сх);
выражение:
в)sin(л+сх)cos(а,- ; ) ;
г) tg (J1;-a) sin( а+;).
830. Упростите · выражение:
а) sin(a- f3) .
tga- tgf3 '
6) ctg a+ctg f3
sin (а+ {3)
831. Решите неравенство:
а) х(х+5)~2х2+4;
б) 10- (2х - 1) (3-х)~ 1- 7х.
832. Два сварщика, работая вместе, могут выполнить за
дание за 30 ч. За сколько часов сможет выполнить это за
дание каждый сварщик, если известно, что первому на вы
полнение всей работы потребуется времени на 11 ч больше,
чем второму?
34. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РА3НОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
Сумму и разность синусов или косинусов можно. представить
в виде произведения. Формулы, на которых основано такое
преобразование, могут бы_ть получены из формул · сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin а+ sin 13,
положим а •х+у и f3= х - у и воспользуемся формулами
синуса суммы и синуса разности. Получим:
sinа+sin13= sin(х+у)+sin(х-у)=
= sinхcosу+cosхsinу+sinхcosу- cosхsinу=
= 2sinхcosу.
Из равенств а=х+у и 13= х - у находим, что х=а.+f3
2
а-(3
и у=-2-. Поэтому
sinа+sinf3=2 sinа.113cosа.;f3.
Мы получили формулу сумм ы синусов двух углов.
Су,wма синусов двух углов равна удвоенному произведению
сину_са полусуммы зтих углов на косинус их полуразпости.
Аналогично можно вывести формулы разности синусов,~
суммы и разности косинусов.
Формула разности . синусов :
•
•
А2.а.-(3
a.+f3
s1nа-
.s1n1--' =
sin- 2
-
cos-2
-
.
Разность синусов двух углов равпа удвоенному произве
дению синуса полуразности зтих углов па косипус их полу
суммы.
Формула суммы косинусов :
cos (Х+cos13=2 cosа.tf3cosа.;f3.
169
Сумма косинусов двух углов ра-вна -уд-военнr,му . проиаве
дению косинуса .полусум-мь~ этих углов па. косинус их полу
разпости.
Формула. разности косинусов:
cosа- cos~= - 2sinа1~sinа;-~.
Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком
((Миnус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих
углов на синус их полуразности.
Учитывая,.что - sinа;-~ = sin( - а.;- ~) = sin. ~-;а,формулу
разности косинусов можно записать в другом виде:
cosа- cos~=2sinаt~sin~-;а.
Приведем примеры применения полученных формул.
Пр им ер 1._Упростим
сумму sin 10°+sin 50°.
Воспользовавшись формулой суммы синусов, получим:
10° + 50°
10° - 50°
sin1ОO+ sin50°=2sin
2
• cos
2
=
.
1
=2 sin 30°•COS(-20°) = 2• 2
•COS 20°=COS 20°.
П р и м е р 2. Представим в виде произведения разность
cos О,3л - sin О,6л.
Воспользовавшись формулой приведения, представим дан
ное выражение в виде разности косинусов. Тогда
cos 0,3л-sin О,6л=соs 0,3л-sin (О,5л+О,lл)=
ОЗ
О1.
2 . О,Зл+О,lл
.
О,Зл-0,lл
=cos , л-соs
·
,л=-
s1n
2
s1n
2
=
= - 2sinО,2лsinО,lл.
П р и м е р 3. Представим в виде произведения выражение
1-sin а.
Так как 1 = sin ; , то данное выражение можно предста
вить в виде разности · синусов. Поэтому
_::__а ..::.+а
л...
2.2
2
1- sinа=sin2 - sша= sin.--
2- cos --2
-
=
2 .(л а) (л--!а)
=
s1n ,. ___
. cos
-
--
.
4
2
4
2
170
Эту зада чу можно р.ешить иначе:
1- sinа=1- cos(;-а)=1- cos(2(: - ;))-
=2sin2(:- ;)•
С помощью формул приведения первое из полученных вы
ражений можно преобразовать во второе и наоборот.
833. С помощью формул преобразования суммы тригоно
метрических функций в произведение разложите на множители
выражение:
а)sinЗа+sinа;
б)sin~- sin5~;
в)cos2х+ cos3х;
г)cosу-cos3у. •
834. Представьте в виде произведения:
а) sin 40° + sin 16°;
) llл
Зл
б) sin 20° - sin 40°;
еcos~+ cos4 ;
в) cos 46° - cos 74°;
г) cos 15° + cos 45°;
)•2л+.л
Д SШ5
SШ5;
ж) cos(; - а) +cos а;
з)sin(;+а)-sin(;-а)
.
835. Представьте в виде произведения:
а) sin 12° + sin 20°;
г)sin~- sin~•
6
9'
-б) sin 52° - sin32°;
д) sin a ~ sin( а+;);
в) cos 1л0 - cos 2л0 ; е) cos(: +a)-cos(: -а) .
-83 6. Представьте в
а) sin 15°+cos 65°;
б) cos 40° - sin 16°;
837. Представьте в
а) cos 18° - sin 22°;
виде произведения выражение:
в) cos 50°+sin 80°;
г) .sin 40° - cos_40°.
виде произведения:
б) cos"36°+ sin 36°.
838. Докажите, что:
а)t a+t В=sin(a.+1:1) ;
g
g
cos а, cos j:I
б\t
t13
sin(a. -
fj)
Jga-_
g_ =----
-
COS а -COS -j:\
839. С помощью формул, доказанных в предыдущем
ражнении, преобразуйте сумму или разность:
)
л
л
а)tg2a+ tgа;
г tg 12 +tg-:-З-;
б)tg3~ -
tg В;
4л
3л
д) tg.5-,tg 5;
в) ctg2х+ tg4х;
5л
л
е)tg8-ctg8.
V
уп
v
171
840. Представьте в виде произведения:
а)sin2x- sin2у;
б)cos2x- cos2у.
841. Представьте в виде произведения:
а) sin x+cos у;
б) cos x-sin у.
842. Докажите, что:
а)sina+cosа=-/2cos(:-а) ;
б)sinа- cosа= - -/2cos( : +а).
843. Представьте в виде произведения:
а)1⁄2+cosа; в) 1+s1nа; д) 2sin a+l;
б)1
•
)•
1)12
2-Slnа; ГSlllа-; е, -
COS а;
844. Представьте в виде произведения:
а) sin а-f;
б) 1+cos а;
в)1+2cosа;
г)-/3 - 2cosа.
845. Докажите, что:
_
ж)-у2+2cosа;
з)2sinа--/3.
а)sin2а+ sinба
tg 4а;
cos2а+ cosба
б)cos2а- cos4а
tgЗаtgа.
cos2а+cos4а
846. Докажите, что: .
а) sina+sin5a tgЗa;
cos a+cos 5а
б) sin2a+ sinа
sin2a- sinа
За
tg2
tg --5:.
2
847. Вычислите значение выражения, предварительно упро-
стив его:
172
) cos.б8° - cos 22°
а sinб8° - sin22°;
б) sin 1зo 0 + sinll0°.
cos 130° + cos 110°
848. Разложите на множители:
а)sinх+ sin2х+ sin3х+ sin4х;
б) cos 2y- cos 4y-cos 6y+ cos Ву.
849. Представьте в виде произведения выражение
cosх+ cos2х+ cos3х+ cos4х.
850. Проверьте, что:
а) sin 87°-sin 59°-sin 93°+ sin 61°= sin 1°;
б) cos 115° - cos 35°+cos 65° + cos 25° = sin 5°.
851. Докажите, что верно равенство:
а) sin10°+ sin50°- cos 20°= 0;
б) cos 85°+ cos 35° - cos.25°= 0.
Упражнения для повторения
852. Докажите, что:
а)cos2а- sin(л+а)•sin(4л+а.)=cos2а.;
б) 4sinа cos a.+ sin(2a.-л)=sin2а..
853. Упростите выражение:
cos(3; - 2a)
6) l+
2 •ctg (л+а.).
cos а
а) 1- cos2a •t (~+а.).
sin(n+ 2a) g 2
'
854. Напишите уравнение прямой, которая:
а) проходит через начало координат и точку А (0,6 ; - 2, 7);
б) пересекает оси координат в точках В (О; 4) и С ( - 2,5; О).
855. Упростите выражение:
( 2аЬ
а-Ь\ 2а
Ь
а) а2-ь2+2а+2ь) 0а+ь+ь_а;
у хз..:...xyz( х
у\
б)х-у- xz+ y2. (x-y)z- xz
-
y-iJ •
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
К параграфу 11
856. Найдите значени е выражения:
а)sinа,- cos2а.- cosЗа. при а,=30°;
6)sin2а.+tgа,- 2ctgа,приа,=45°;
в) tg (90° - a.) + sin(45° + a.) + cos(180° - 2a.) при а.=45°.
857. Проверьте, что верно неравенство:
а) cos60°+cos45°>l;
б) sin60° + cos60°>l.
858. Найдите значение выражения:
sin 2а
о
а). (lБо+) . · ,еслиа. = 30;
S lll
а- Slllа
)
2sinаcos~
о
б (+~)+ ( ~),еслиа. = 60,(3 = 30° , ·
cos а
cos а-
859. Вычислите:
а) tg245° -cos 30°•ctg2 30°;
6) tg230°+ 2sin60°- tg45°+ cos230°;
в) ctg2 45°+cos 60° - sin2 60° + : ctg2 60°.
860. Докажите, что
cos30<tg60°- 1= ctg260°(1+ sin245°).
861 . В каких четв ертях является положительныщ значение
выражения :
а) tg х•sin_х;
б)cosх.
ctgx'
в) sin x•cos x•tg х?
173
862. Имеет ли смысл выражение:
а) ✓sin <р, если <р= 170°;
в) --/tii7i, если <р= 230°;
б) ✓cos <р, если <р = 160°;
г) ✓ctg <р; если <р= 340°?
863. Углом какой четверти является угол а, если:
а) lsin а.1 =sin а.;
в) ltg а.1 =tg а.;
б) lcos а.1 = -cos а;
г) lctg_a.l = -ctg а.?
864. Запишите общую формулу всех углов а, для которых:
а)sinа.=1;
в)sinа= - 1;
д)cosа.=1;
б) sina.=0;
г) cosa.=0;
е) cosa.=-1.
865. Укажите наибольшее и наименьшее значения выра-
жения :
а)1+2sinа.;
б) 1-3 cos а;
866. Вычислите:
в) 1sin а.1;
г)1sin~1
д)3+4sinа.;
е) 2 cos2 а..
а) 3sin(- 90°)+2cos0°- 3sin(- 270°);
б) 2 cos(-270°)-1⁄2tg 180°-sin(-90°).
867. Найдите значение выражения
а) а.= -45°;
в) а.= -360°;
б) а.= - 90°;
г) а.= -180°;
868. Определите знак выражения:
sin а. + cos а, если:.
д) ·а.= - 420°;
е) а.= -1710°.
а)
5л
2л
sin -
· COS
-
•
в)
5л
Зл
cosт+cos4;
6
3'
б)·t 5л
л
g -•ctg- ·
4
5'
г)tg;+ctg;.
869. В равнобедренном треугольнике угол при вершине ра
п
вен 9 . Найдите углы при основании.
870. ~'глы треугольника пропорциональны числам 1, 2 и 3.
Найдите их радианную меру.
871. Найдите значение выражения:
л
л
sin 2 +cos (-л)+tg 4
а) ---~---
2sin..:: - cosЗл
6
2
(л)
Зл
cos-2+sin2•
3sin; +2tg(- :)+cos(- ;)
~
()'
5tgО+бsin . -
;
sin( - :) +cos( - :)-1
г)
Зл ·( •Зл)
sin-+cos --
2.
2
174
87;2. Верно ли, .Ч!!'О:
а)sin(; + ;)-:--sin ; +sin ·; ;
6)
n+
nl?
cos 6
cos3<·
К параграфу 12
873. Может ли для какого-либо угла а выполняться ус
ловие:
.
·2
- -./2i
з
з-fi
а)sinа= - 5 ,cosа= -5
-
;
г)cosа=4
, ctgа= -
1-;
6) cos а=--1⁄4-, tg а= -2-уб; д) sin а=-1⁄2-, tg а= .f;;
в) sina-: - -f;, ctga=3;
е) cosa= ~- : ctg·a=-f?
874. Могут ли синус и косинус некоторого угла равняться
а
Ь
•
соответственно --- и
--- , где а и Ь - ·некоторые числа,
. ✓а2+ь2
✓а2+ь2
причем а=1=О или Ь =1=О?
.875. Могут ли тангенс и .котангенс некоторого угла рав-
1
а
няться соответс!l'венно а+- и - 2
--,
где а - число, не рав-
а
а+1
ное нулю?
876. Упростиrе выражение:
а) cos2 a.-ctg2 а.
в) 1 +tg y+tg2у .
tg2а- sin2а '
1+ ctgу+ctg2у '
6) _1
__
tg2 а- sin2 а;
г) tgУ ctg2у-1
cos2а
1-tg2 у ctg_У
877. Докажите, что при всех допустимых значениях ~
значение выражения не зависят от р:
V а) sin4 p-cos4р+2cos2р; в) sin ~+tg~ cos ~;
6) sin2 ~
tg~
cos р;
2
1-cos~
)
.
+ C.0S2 р.
г(1+ ctg·~J2+(1- ctg~)2
878. Докажите, что при всех допустимых значениях а. дан-
ное выражение принимает одно и то же значение:
а) sin4а+cos4а+2 sin2а. cos2а.; в) cos4а.-sin4а+2 sin2а;
6)cos2а+.
)1+•1
--.-
s1n а;
г
2
----.
1+sша
• 1-tg.а 1-ctg2а
879. Упростите выражение:
а) (tgа+ctgа.) (1 +cos а)(1--cos а.);
б) (sin а+c~s а.)2-1 ;
ctg а.-sш а сов а;
в) sin4 а+ sin2 а. cos2 а.+ cos2 а.;
г) sin2 а+ sin2 а cos2 а+ cos4 а..
175.
880. Докажите,
tg2a- sin2а
а)ctg2а- cos2а
что равенство является тождеством:
tg6 а;
) tgf3
ctgf3 .
в1- tg2f3 ctg2f3- 1 '
tg f3
б) tg f3+ctg f3
siri2. а - cos2а+cos4а
4
г) ------- tg а.
cos2 a - sin2 a+sin4 а
sin2 ~;
\
v 881. Докажите тождество:
не
а) cos4 у- sin4 '\' = 1-2 sin2 у;
) 1-2sin2 a
6.
= ctg a-tg а;
)tgа sinа
в-.
-
-
--=cos а·
sша ctgа
'
smаcosа
г) tg2 y+l
1
tg2у-1
sin2y- cos2 у•
882. Докажите, что значение выражения
(аsinа+Ь)(а sinа-Ь)+(а cosа+Ь)(а cosа-Ь)
зависит от а.
883. Упростите выражение:
а)-~+-~;
v'~ v'~
б) (✓ 1-s~na
l+sina
✓l+s~nа:\(✓1-cosа
1-sin а)
l+cos а
884. Выразите:
а)sin4а- sin2а+cos2а через cosа;
6) cos4а- cos2а+sin2а через sinа.
✓ l+cos а)
1-cosа
885Нu
дробиsinа+cosа если tgа=3.
•
аидите значение
sina- cosа,
886. Найдите значение выражения
ctga+ tgа
ctga-tgа '
если
.
1
s1n а=з·
887. •Зная, что sin а + cos а = а, найдите:
а)sinаcosа;
6)sin3a+cos3а.
888. Зная, что tg а + ctg а = т, найдите:
а) tg2 а+ ctg2 а;
6) tg3а+ctg3а.
889. Найдите значение дроби sin x + cos х
если известно,
.sinx- cosх'
что sinхcosх=0,4.
890. Докажите, что значение дроби sin a + tg а не r,1ожет
cosa+ctgа
быть отрицательным числом.
891. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла,
равного
а) 930 °;
.176
6) -510°;
в) 27n
т·
892. Найдите значение выражения cos a + cos2a + cos 3а,
если:
)
7п
а а=6; •б)а=- 120°.
893. Пользуясь таблицей синусов, найдите значение вы-
ражения sin a + sin 2a + sin 3а, если:
а) а=55°; б) а=-114°; в) а=-239°; г) а=0,6л.
894. Докажите, что:
а) cos (60° - a) = sin (30°+а);
б) ctg( 80°- ;) = tg( 10°+ ;)
, в) sin(30° - 2a) = cos(60°+2a);
г) cos (a+60°) = sin (30°-а).
895. Тангенс острого угла параллелограмма равен 1 0,7.
Найдите тангенс тупого угла этого параллелограмма.
896. Тангенс внешнего угла прямоугольного треугольника,
не смежного с прямым углом, равен k. Найдите
- тангенсы
острых углов треугольника.
897. Косинус одного из смежных углов равен -f. Найдите
синус второго угла .
898. Докажите, что если а + (3 +у = л, Т():
а) sin(a + f3) = siny;
в) sin2(a+f3) = -sin2y;
б) cos(a + f3) =- cosy;
г) cos2(a + f3) = cos2y.
899. Найдите значение выражения:
а) tg15°tg30°tg45°tg60°tg75°;
б) ctg 18° ctg 36° ctg 54° ctg 72°.
900. Найдите:
а)tg(270°-а), если tgа=: ;
_б) sin(180°+ а), если cosа=0,8и 0°<а<90°;
в)ctg(360°- а), если sinа=-~ и90°<а<180°;
г) sin (270° + а), если sin а = - : и 180~<а<270°.
901. Найдите угол а, если:
1
а) sina=т и 90°<а<180°;
б) cosа= - f И 180°<а<270°;
в)tgа=- 1и90°<а<180°;•
г)ctgа=---Jз и 270°<а<360°.
177-
-
- 902. С помощью таблиц ·найдите угол .{J. ,, :есл и:
а) sin а.= 0,6428 и 90° <а.< 180°;
б) sin а.= -0,7547 и 180°<а.<270°;
в) cos а.= 0,5150 и 270° <а.< 360°;
г) tg·a. =
- 1,3764 и ·90° <а.< 180°.
903. Докажите, что tg 1°•tg 2°, tg 3°, ... , tg 88°, tg 89° =1.
904. Упростите выражение:
а) sin(720°-a.)+cos(-a.+3600°);
б) tg(1800°-a.)-ctg(-a .- 2520°).
905. Упростите выражение:
2
2
а) ( sin(л+a.)+cos(; +а.))+( cos(2n-a .)-sin( 3
2n-a .));
2
2
б) ( tg(; -a.) -ctg(; +а.}) -( ctg (л+a.)+ .c:tg( 32n+a.))
.
906. Докажит.е, что
tg( {-п-а) •соs( {-п-а) +cos(a.-2:..\ • sin(n-a)+
cos(2n-a)
2;
+cos(л+a.)•sin( а.-;) =0.
907. Упростите вы_ражение:
а) sin 160° • COS 110° +sin 250° • COS 340° + ·tg 110° • tg 340°;
б) tg 18°,tg 288°+sin 32° , sin 148°-sin 302°,sin 122°.
908. Докажите, что:
cos2 (n-a)+sin2( ; -а) +cos (n+a)•cos (2n-a)
а) ------'- --'------- ---
cos 2 а.;
tg 2( а-;) •ctg2(: n+a)
К параграфу 13
909. .На йдит е зн ач ени е вы ра же ни я sin (а.+30°), зная, что
4
tg а.= 3 и а. - угол III четверти.
910. Зная, что cos а.=~~ ,и а. - угол IV -четверти, .найдите:
а)sin(~+а.); б)sin( : - а.)
.
J
911. Вычислите:
а) cos34°cos56°-sin34°sin124°;
б) sin 153°cos63°+cos27°sinl17°;
в) cos 311 о cos 19°+sin 131° sin 19°;
г) sin 14° cos 346°-cos 14° sin 166°.
912. Упростите:
а) cos(; +а) cos a+sin( ; +а) sin а;
б) sinasin(a+B)+cosacos(a+B); .
в) cos (36°+а) cos (54°+a)-sin (36°+а) sin (54°+а);
г) sin В cos (а+ B)-cos В sin (а+ В).
913. Известно, что sin а= : и а ~ угол I четверти. Вы-
числите:
а) cos2 (45°-а);
б) cos2 (60° + а);
в) sin 2 60°+sin (ЗО 0 +а) sin (30°-а).
914. Упростите:
а) cos2 а+ cos2 (60° +а)+ cos2 (60° _:_ а);
б) sill(a.+13) • sin(a.-13).
.
sin а.+ sin 13
'
в) sin 2 a+sin 2 (120°+a)+sin2 (120°-а);
г) cos(а.+13)•со~(а. - 13).
COSа.- Sl!ll3
915. Найдите tg (а+ В) и tg(a-B),
tgВ=О,28.
916. Найдите tg (а+ В), если известно,
cosВ=;5, причем а и В - углыГчетверти.
1
если tg а=т ,
3
что cos а=т·
917.Найдите tg(:- а),если sinа=- 1\ и а-угол
III четверти.
918. Докажите тождество:
tg2 а. -tg2 13
а) tg(a+B)tg(a-B)= 1 t 2 t 2А ;
-
gа.•gt'
б) tg a•tg(: -а) = 1\::-c:gg:;
в)t (_::_+а)= cosа.+s~nа.;
g4
COS а. - SШа.
i79
919. "'Известно, что tg (45 °+а) = а. Найдите:
а)tgа; 6) ctgа.
•
920. Найдите tg а· tg 13,
tg(а+13)= 6.
921. Вычислите:
зная, что
) tg 99°+tg 36° ,
а 1-tg99°-tg36°'
в) tg 1 °+tg 224°
1 + tgl 0 -tg136°
) . tg248°-tgl88°
.
6 1+tg 248°-tg 188°'
г) tg260° - tg35°
1 - tg 80°-tg 145°
922. Упростите выражение:
а) 1+tg(45°-a .);
6) 1+ ctg(45°- a.);
1 - tg(45°-a .)
tg(45°+a.) - 1
в)tg(:+а)•tg(:-а)+sin(;+а)+sin(;-а)
г)ctg(: -a) •ctg(:+а) + cos(;-а) + cos(;+а).
923. Докажите тождество:
а) tg a.+tg ~ sin (а.+~).
6)ctga- tg~
tga.-tg~ sin(а-~)'
ctga+tg~
cos(а+~)
cos(a -
~)•
и
924. Выведите формулы котангенса суммы и котангенса
разности:
t ( +С\) ctgаctg~- 1
ctg(а_ С\)
ctgаctg~+1
сgа 1' = ctga+ctg~'
1'
ctg ~-ctg а
925. Зная, что ctgа=3 и ctg13= 2, найдите:
а) ctg(a+l3); 6) ctg(a-l3).
9-26. Известно, что tg (а+ 13) = а, tg 13 = ь.· Найдите tg а.
927. Зная, что а и 13 - острые углы, причем sin а = 0,1-у2 и
sin 13 = 0,6, докажите, что а+ 13 = 45 °.
5
3
928. Докажите, что а+13= 45°, если tgа=11, tg13=8 ,
а и 13 - острые углы.
Зл
4
929. Докажите, что а+13=4 , если tgа=3 , tg13= 7,
л
а и 13 - положительные углы, меньшие 2 .
930. Известно, что а, 13 и у - положительные углы, мень-
л
1
1
1
шие2 ,причемtgа=2 ,tg13=5
, tg у= 8 . Докажите, что
ci+l3+Y = : .
931. Известно, что tg ; = - 3 . Вычислите:
а) sin а;
6)cosа; в) tgа;
г) ctg а.
180
932нV
4
•
1- ,/3
.
аидите значение cos а, если . s1n а = - 2
-.
933. Докажите тождество:
а) sinЗа=З.sinа~4sin3а;
б)cosЗа=4cos3а-Зcosа;
934; Выразите:
в) si~Зa _ cosЗa= 2 ;
s1n а
cos а
cos a-cos За
г) ---- tga .
sin a+sin За
а)sin4ачерез sinаи cosа;6)cos4ачерез cosа.
935. Найдите значение выражения:
а) 4 sin 15° cos 15° (cos 2 15°-sin2 l5°);
б) 4 sin2 75° cos2 75° - (sin2 75°-cos2 75°)2;
в)·16.2n
2n
-
sш 12cos12;
).n
зn
.3n
n
г sш16cos16- sш 16cos16.
936. I{аково соотношение между а и Ь, если
a=sina+cosа,b=cosa- sinа?
1-
./3
937.Если cosх= - 2
-
, то верно равенство cos 2х = 2 cos х.
Докажите это.
938. Найдите значение выражения
1
sin 4а
sinа '
если cosа=
- -т·
939. Докажите тождество:
а)cos2а- ctg(:+а) .sin2а•ctg(:+а)
6)C+~ga+ ·tg2а)·(cos2a -
~)=cos2а;
в)sin4f3+cos4/3
940. Упростите:
з+соs4~
4
1•
1
а)1+ctgа 1- ctgа'
б) 1-tg2 а.
l+ tg2а'
tg2(45°+ a)- l.
в)tg2(45°+а)+1'
г) (tg2а- 2_tgа)(ctgа- tgа);
) tgа
.
д tg 2a-tg а'
е) tga + 2tg2a+4ctg4a.
941. Воспользовавшись формулами преобразования суммы
тригонометрических функций В- произведение, преобразуйте
выражение:
а) s ina +sin~.
cos a +cos ~'
б)sina-sin~;
cosa- cos~
)sina+cosа
11'
•
.
s1na- cosа
181
942: Преобразуйте в произведение:
а)cos2а+ cos5а+ cosа;
б)sinа+sin2а..+ sinЗа.
943. Представьте в виде произведения:
а) sin 19°+sin 25° +sin 31 °;
б) sin 16°+sin 24° + sin 40°.
944. Покажите, что:
а)sin22°+ sin8°
sin 30°
б) cos20°- cos50°
cos31°+ sin11°
si1,112°- sin2° .
cos 70°-cos 80°'
sin 80° -sin 70°
sin 29°-sin 19°
945. Упростите выражение:
sin( ~+а) +sin( ~-а)
а) sin(: +a)-sin(: -а)
946. Докажите, что:
б)
cos( а+ ;)-cos( а -;)
cos( а+;) +cos( а-;)
а)sinа+ cosа- sin(а- ;)+ cos(а- ;)= -j6cos(а- 1n2);
v.б)cos(;-а)
-
cos(;-а)
-
cos(;+а)+cos(;+а)-
= (-уЗ-1) sin а.
·J . 947. Докажите, что при любых а и ~
• 182
cos2 а., - sin2 ~ = cos (а+~) cos (а-~).
9 48. Преобразуйте в произведение:
а)✓1+cos2а..-✓1- cos2а.., где О<а< ~;
б) ✓1+cos a.+ ✓1 - cos а, где О<а<л.
949. Докажите тождество
1 +cos a+cos 2a+cos За
2cos 2 a+cosa-1
950. Упростите выражение:
2cosа:
а) cosa+2cos2a+cos3a.
sinа+2sin2а+ sin3а '
б) sin 4а+2 cos 3a-sin 2а
cos4а- 2sinЗа- cos2а•
9 51. Докажите тождество :
а) cos a - cos 3a+cos 5a-cos 7а
sin a+.gin 3a+sin 5a+sin 7а
б) cos a-.cos_2a-cos 4a+.cos 5а
sin а - sin 2a-sin 4а+ sin 5а
tg а;
ctg 3а.
Докажите, что если А, В и С - углы треугольника ,, то
•А+•В+•С4А
в
С
Slll
SШ-SШ
=
COS2 ·COS2 •COS2 .
ГЛАВА
ОРГ дНИЗдЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ •
§ 14. ПРИБЛИ:ЖЕННЬШ ВЫЧИСЛЕНИЯ
35. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ
ЗНАЧЕНИИ
Пусть приближенное значение х равно 12,73 с
точностью до 0,01 и приближенное значение у равно 3,6381
с точностью до 0,0001, т. е.
Х = 12,73 + 0,01,
у = 3,6381 + 0,0001.
Это означает, что
12,73 - 0,01 ::;;;; х,:;;;; 12,73 + 0,01;
3,6381 - 0,0001,:;;;; у,:;;;; 3,6381 + 0,0001.
Сложив почленно неравенства, получим:
(12,73 + 3,6381) - (0,01 + 0,0001)~ х+ у,:;;;;(12,73 + 3,6381) +
+ (О,01 + О,0001);
16,3681 - 0,0101,:;;;; х + у~ 16,3681 + 0,0101.
Значит,
х + у = 16,3681 + 0,0101.
Мы записали приближенное. знач·ение суммы в виде х + у =
=a+h,-где а=lб,3681
и h = 0,0101. Возьмем значение h с
одной значащей цифрой, как и для слагаемого х, которое
известно с меньшей точностью. Получим число 0,02, так как
:цри округлении погрешность берут с :избытком. Теперь млад
шим разрядом h является разряд сотых. Поэтому и прибли
женное значение х+ у, т. е. число 16,3681, следует округлить
ДО СОТЫХ:
х+у~lб,37.
Находя приближенное значение суммы чисел х и у, мы
183
сложили их приближенные значения и полученный резуль
тат округлили . так, чтобы в нем сохранилось два десятичных
знака, т. е. столько, сколько их _ было в. приближенном· зна
чении слагаемого с меньшим числом десятичных знаков.
Таким же образом поступают при нахождении приближен
ного значения разности. Из приближенного значения у·мень
шаемого вычитают приближенное значение вычитаемого и
округляют результат по меньшему числу десятичных знаков
в приближенных данных.
В сумме и разпости приближепных значепий сохраняют
столько десятичных знаков, сколько их содержится в том из
приближенных данных, в котором меньше десятичных знаков.
Пр им ер 1. Найдем приближенное значение разности а
и Ь, если а~8,1956 и, ь~2,3.
Найдем разность приближенных значе ний а и Ь:
8,1956 - 2,3 = 5,8956.
Округлим эту разность до десятых, так как в приближ ен
ном значении Ь один десятичный -знак, а в приближенном
значении а десятичных знаков больше:
5,8956 ~ 5,9.
Значит,
а - Ь~5,9.
Заметим, что для упрощения вычислений можно сначала
округлить приближенное значение 8,1956 до десятых, а затем
_
выполнить вычитание:
8,1956 ~ 8,2;
8,2 -'- 2,3 = 5,9;
а - Ь~5,9.
Пр им ер 2. Найдем приближенное значение суммы р, q
и s, если р~3,1-416, q~l,7 и s~7,45.
_
Наименьшее число десятичных знаков в приближенном
значении q - одно, поэтому в сумме следует сохранить один
десятичный знак. Для упрощения вычислений округлим до де
сятых 3,1416 и 7,45, а затем выполним сложение:
3,1416~3,1;
7,45~7,5;
3,1+1,7+7,5=12,3.
Значит,
953. Найдите приближенное значение суммы х и у, если:
а) х~12,4 и у~3,1678;
в) х~3,67и у~2,134;
б) х~45,116 и у~22,3;
г) х~15,6 и у~19.
954. Найдите приближенное значение разности а и Ь, если:
а) а~5,64 и b~l,2316;
в) а~16,20 и Ь~8,563;
б) а~31,6423 и Ь~12,6; г) а~6,385и Ь~0,29.
955. Найдите приближенные значениях+ у и х - у, если:
а) х~34,12 и у~19,6;
в) х~4,1608 и y~l,09;
б) х~60,1 и у~25,384;
г) х~6 и у~2,777.
956. Известно, что а~ 26,1042, Ь ~ 8,98 и с~ 3,65. Найдите
приближенное значение выражения:
а) а+ь+с; б) а+Ь-с; в) а - Ь+с; г) а~Ь-с.
957. Найдите приближенное значение выражения х + у - z,
если:
а) х~7,612, у~3,42 и z~5,368;
б) х~9,1, у~8,89 и z~0;8517.
958. Масса бутылки с маслом 1,63 кг, масса пустой бу
тылки 0,706 кг. Сколько масла содержится в бутылке?
• 959. Найдите периметр четырехугольника, стороны кото
рого приближенно равны 3,26; 6,12; 7 ,50 и 4,32 дм.
960. Масса легкового автомобиля 0,95 т, масса шофера
7 5 кг, а пассажира 68 кг. Какова масса автомобиля с людьми?
961. Электрическая цепь состоит из трех последовательно
соединенных проводников, сопротивления которых R 1~
~5,26 Ом, R 2~3,815 Ом и R 3 ~4,70 Ом. Вычислите сопро
тивление всей цепи R (в омах) по формуле R = R1+R2+Rз,
962. На земельном участке площадью 600 м2 построены
дом , занимающий 56,5 м2, и сарай, занимающий 16,3 м 2.
Найдите площадь участка, свободного от строений.
963. Масса Земли 5,976 • 1021 т, а масса Венеры 4,88 · 1021 т.
На сколько тонн масса Земли больше массы Венеры?
964. Найдите приближенное значение разности х и у, если :
а) х~ 3,462-105 и y~l,8-105; б) х~8,6 - 103 и y~l,27 -103•
965. Вычислите приближенное значение суммы а и Ь, если :
а) а~9,24-104 и Ь~8,4-10 4; б) a~l,51 -1 03 и Ь~2,075 ,103•
Упражнения для повторения
986. В каком промежутке функция у= - х 4 убывает и в
каком возраста~т?
967. Упростите выражение:
а) (2xo,1s + 3xo,2s)2 - 4xo,s (х + 2,25) ;
185
·
36. УМН~ЖЕНИЕ . И ДЕЛЕНИЕ ПР-ИБЛЩКЕННЫ)(; 3Ю\ ЧЕНИИ '
Пусть х=9,54+0,01 и у=7,6+0,1. Это означает, что
9,54- 0,013⁄4 х3⁄4 9,54+ 0,01,
7,6 - 0,13⁄4У3⁄47,6+ 0,1.
Поэтому для произведения ху верно двойное неравенство
(9,54 - 0,01) (7,6-0,l)3⁄4XY3⁄4(9,54+0,01) (7,6+0,1).
Запишем приближенное значение произведения в виде ху =
=а+ h, причем в качестве а возьмем произведение 9,54, 7,6.
Для этого раскроем скобки и выполним соьтветствующие
действия. Получим:
9,54 •7,6-1,029 3⁄4 ху 3⁄4 9,54 •7,6 + 1,031.
Заменим в левой части вычитаемое 1,029 большим числом
1,031:
Значит, .
9,54, 7,6 - 1,031 ~ХУ3⁄4 9,54,7,6 + 1,031.
ху= 9,54•7,6+ 1,031,
ху = 70,596 + 1,031.
Если значение h взять с одной значащей цифрой, то эта
цифра будет в разряде единиц. Поэтому значение ху, т. е.
число 70,596, следует округлить до единиц: ху ~ ·11 .
Находя приближенное значение произведения х и у, мы
перемножили их приближенные значения и округлили полу
ченный результат, сохранив в нем две значащие цифры, т. е.
столько, сколько их было в приближенном значении множи-
теля с меньшим числом значащих циф_р.
.
Аналогичным образом поступают при нахождении прибли- ·
женного значения частного. Приближенное значение делимо
го делят на приближенное значение делителя и округляют
результат по меньшему числу значащих цифр в приближен- .
ных данных.
В произведении и частно.11~ приближенных значений сохра
няют столько значащих цифр, сколько их содержится в том
из приблf;f,женных данных, в котором 11~епьше значащих цифр.
II р им ер 1. Найдем приближенное значение частного а
и Ь, если а~4,17 и b~l,6.
Вычислим частное приближенных значений а и Ь:
4,17: 1,6 = 2,60625.
1'86
Округлим ·это - част.н.ое, сохранив в нем две , значащие цифры,
так как в приближенном значении Ь две значащие цифры,
а в приближенном значении а значащих цифр больше:
2,60625::::::; 2,6.
Значит,
а: Ь::::::; 2,6.
Заметим, что для упрощения вычислений можно сна чала
округлить приближенное зна.чение 4,17, сохранив в нем две
значащие цифры, а затем найти три значащие цифры частного
и округлить результат:
4,17::::::; 4,2; 4,2: 1,6 = 2,62... ::::::; 2,6;
а: Ь::::::;2,6.
Пр им ер 2. Найдем приближенное значение произведе
ния а и Ь, если а::::::;0,73 и Ь::::::;5,267.
В числе 0,73 две значащие цифры. Поэтому в произведе
нии следует сохранить две значащие цифры. Для упрощения
вычислений округлим число 5,267, выполним умножение и
округлим результат:
5,267::::::; 5,3; о, 73 • 5,3 - 3,869::::::; 3,9.
Значит,
аЬ::::::; 3,9.
Заметим, что сформулированные в этом параграфе правила
позволяют значительно уменьшить работу по выполнению дей
ствий над приближенными значениями. Они применяются
тогда, когда при нахождении приближенного значени:я нет
необходимости иметь точные сведения о погрешности.
При нахождении приближенного значения выражений, со
держащих несколько действий, погрешность, возникающая по
мере их выполнения, может увеличиваться. Поэтому иногда в
, промежуточных результатах сохраняют на одну цифру больше,
чем рекомендуют правила действий над приближенными зна
чениями.
968. Найдите приближенное значение произведения р и q,
если:
а) р::::::;46,'5 и q::::::;0,72;
б) р::::::; 0,0638 и q::::::; 18,4;
в) р::::::; 15,94 и q::::::; 0,85;
г) р::::::; 0,43 и q::::::; 72,845.
J.87
969. Вычислите приближенное значение частного х и у,
если:
а) х~18,28 и у~0,54;
б) х~О,36 и у~О,0238;
в) х~ 731,8 и у~ 12,5;
г) х~О,816 и у~О,5.
970. Найдите приближенные значения выражений ху и~,
--
у
если:
а) х~2,05иу~1,2;
б) х~0,6иу~7,5.
971. Вычислите приближенное значение произведения а и Ь,
если:
а
а) а~2,2-103 и Ь~3,41•10 4 ;
б) a~l,154-108 и ь~6,9-10- 5 ;
в) а~8,42•10- 4 и ь~9,81-10 5 ;
г) а~7,605 •10-2 и Ь ~1,8·10-з.
972. Найдите приближенное значение частного х и у, если:
а) х~8,75-10 6 и у~5,4-10 4 ; б) х~4,3-10 5 и у~6,95-10 2 •
973. Вычислите приближенные значения выражений аЬ и
ь' если:
а) а~9,3-10 4 и Ь~3,12-10 6 ; б) а~2,15•10 5 и ь~7,11•10 3•
974. Найдите площадь комнаты, длина которой 5,85 м и
ширина 3,75 м.
975. Длина прямоугольного участка равна 254 м и ширина
194м':""Какова площадь участка?
976. Наблюдатель услышал гром через 4,7 с после того, . как
увидел вспышку молнии. На каком расстоянии от наблюда
теля произошел ра:зряд (скорость звука в воздухе приближенно
равна 332 м/с)?
977. Найдите периметр квадрата со стороной с, если:
а) с~6,29 м; б) с~О,85 м.
•
978. Площадь прямоугольной площадки равна 150 м 2, ее
длина 16,3 м. Найдите ширину площадки.
979. Масса медной пластинки 325 г. Плотность меди
8,9 г/см 3 • Найдите объем пластинки.
980. Найдите периметр и площадь прямоугольника со
сторонами а и ь, если а~ 15,4 см и ь~в,7 см.
981. Вычислите приближенное значение выражения:
а) ху-5у, если х~46,24 и у~25,2;
б) х+у, если х~ 10,20 и у~ 2,08.
х-у
.
•
982. Найдите приближенное значение выражения:
2
б) аЬ
а) х -2х, если х~З,7;
а- Ь, если а~2,54 и b~l,34.
188
983. Какова площадь круга, радиус которого r, если:
а) r~ 8,3 см;
б) r~ 25,1 м?
984. Основание треугольника равно а см, а высота равна
h см. Найдите площадь треугольника, если а~ 2,3 и h ~ 6,7.
985. Прямоугольный участок имеет размер 112 Х 348 м.
Предполагаемый урожай картофеля равен 18 т с гектара.
Сколько картофеля планируют собрать с этого участка?
Упражнения для повторения
986. Постройте график функции:
а) у'-3х-1; б) у=-5х-1•
987. Найдите координаты точек пересечения графика
х2-1
функции у = 2 + 1 с осями координат.
Х.
11
а+ь+а2ь2
988. Сократите дробь
3
3
а2-Ь2
§ 15. АЛГОРИТМЫ
37. ВЫЧИСЛЕНИЯ НА МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРЕ
Вам уже приходилось использовать микрокалькулятор для
выполнения вычислений. Нашей промышленностью выпуска
ются различные микрокалькуляторы. Большинство из них
позволяет не только выполнять арифметические действия, но
и находить значения некоторых функций.
Рассмотрим, например, как выполняются вычисления на
микрокалькуляторе М~Ш-2.
На лицевой панели микрокалькулятора (рис. 58) находится
клавиатура, с помощью которой вводятся числа и выпол
няются операции. Клавиши имеют двойное обозначение. Пе
реход к выполнению операции, обозначенной над клавишей,
осуществляется нажатием клавиши 0 .
С помощью микрокалькулятора легко найти значение
числового выражения, если порядок выполнения действий
совпадает с порядком их записи .
Пр им ер 1. Найдем значение выражения
4,24 •5,17 - 8,36.
Для того чтобы найти значение данного выражения , надо
ввести число 4,24, нажать _ :клавишу 0 , ввести число 5,1 7,
нажать клавишу В, ввести число 8,36 и нажать клави-
189
Рис. 58
шу I j. Описанную последовательность операций удобно за
писать в виде схемы: ·
4,24 ~ 5,17 [:J8;36 в.
Выполнив указанные действия, получим, что значение данного
выражения равно 13,5608..
Если порядок выполнения действий не совпадает с порядком·
их записи, то некоторые промежуточные результаты при
ходится вводить в память или выписывать на бумаге.
Чтобы ввести в память число, . которое высвечено - на
экране калькулятора, надо наЖ'ать клавишу· 0 .
Для извлечения результата из памяти нажимают клави-
шу Iипj.
П р и м е р 2. Найдем значение выражения
(0,86+ 1,54) (18,33 - 7,18).
Для этого надо вычислить сумму чисел 0,86 и 1,54 и ввести .
ее в память, затем найти разность чисел 18,33 и 7,18 и умно
жить ее на извлеченное из памяти значение суммы чисел 0,86
и 1,54. Программа вычислений будет выглядеть так:
о,86 [±] 1,54 В @] 18,33 EJ 7 ,18 (3_~1 1ипl
Произведя указанные действия, получим число 26,76.
190,
Г-1
о.
Большинство моделей микрокалькуляторов ,позволяет при
выполнении однотипных арифметических действий, в ко
торых один из компонентов повторяется, не вводить его повтор
но. Так, для вычисления степени ап с натуральным показа-
телем достаточно ввести число а, нажать клавишу [2] , а за-
·_тем п-1 _раз нажать . клавишу_ ! 1·
Пр И ' М ер 3. Вычислим значение · степени 2,7 5•
Составим программу вычислений:
2•1
~
ВGB-G·
·в :результате вычислений найдем, что 2,7 5 = 143,48907.
При нахождении значений некоторых выражений с по
мощью микрокалькулятора для упрощения схемы вычисле
ний бывает удобно · эти выражения предварительно преобра
зовать.
Пр им ер 4. Найдем значение выражения а- Ь3 при
а-_580,1, Ь = 8,3.
Для нахождения значения выражения (1,_ Ь3 его удобно
представить в виде - Ь 3 +а. Тогда вычисления можно выпол
нить в такой последовательности: найти значение степени ti,
воспользоваться клавишей IJ j, которая служит для uзме
нения знака числа, и прибавить к результату число а. Схема
вычислений запишется так:
Выполнив вычисления ,для данных значений а и Ь, полу
чим число 8,313.
Пр им ер 5. Воспользовавшись формулой объема шара
• .V:= : л:r3, найдем массу т стального шара .ра-диуса r.~ 1~7 см
( плотность стали р -
~ 7,8q:з).
Так как m = pV, то ~ масса -шара вычисляется по формуле
4з
m=зл:r р.
; 191
Учитывая, что первым удобно выполнить действие возве
дения в степень, перепишем эту формулу в другом виде:
r3•4лр
m =--з-
Вычисления проведем по программе
1•1 0ВВ~ 4~0G0 1•8GзВ·
Приближенные значения r и р даны с двумя значащими
цифрами, поэтому в ответе надо взять две значащие цифры.
Получим, что т ~ 1,6-102 г. .
Пример 6.Найдемзначениемногочлена 5х3+2х2- 7х+4
приx=l,2.
Дан_ный многочлен удобно преобразовать следующим об
разом :
5х3+2х2-7х+4=(5х2+2х-7)х+4=((5х+2)х-7)х+4.
В результате получаем такую схему вычислений:
Выполнив вычисления для х = 1,2, найдем, что значение
многочлена равно 7,12.
Микрокалькулятор позволяет находить значение некото-
рых функций. Для этого используют клавишу 0 и клавишу
с обозначением соответствующей функции.
При вычислении значений тригонометрических функций
в зависимости от того, в каких е диницах выражен ар г умент,
надо установить переключатель· <<ГРАД - РАД,> в нужное
положение.
Пр им ер 7. Найдем значение выражения sin 82°.
Вычисления выполним по программе
82 0 Jsinl.
В результа те выполнения действ ий подучаем ответ в стан
дартном виде. На экране он будет выглядеть так:
1 19191о12171-1о111
Эта запись означает, что sin 82° ~ 9,9027 •10- 1
,
•т.
е.
sin 82°~0,99027.
192
989. Вы числите:
а) 23,7-0,26 + 9,85;
б) 112,3 - 49,8 .
1,67
'
в) (68,27 - 1, 76) •0,985;
) 8,17+62,38
г
9,65
•
990. Найдите приближенное значение выражения:
а) (а+Ь)с, где а::::::::25,6, Ь::::::::8,32, с::::::::9,7;
б)~-с,
.
где а:::::::; 49, 7, Ь:::::::; 6,8, с:::::::; 0,342.
991. Опытное поле имеет форму прямоугольника дли~
ной 365 м и шириной 175 м. Часть поля засеяли пшеницей,
а остальную часть овсом. Сколько гектаров засеяли пшеницей,
если овсом засеяно 2, 7 га?
992. Объем сплава, состоящего из двух металлов, равен
0,056 м3 • Найдите плотность сплава, если в нем содержится
185 кг одного металла и 275 кг другого.
993. Найдите значение выражения:
а) (2364 - 1989) (7,8 + 25,3); в) 63,8 • 3,12-14,1 •7,88;
б) 18,35+7,96;
32,6-29,7
) 6,344-2,912
Г 9,932 -7,48 •
994. Найдите приближенное значение выражения:
аЬ
а) cJ' где а::::::::5,73, Ь::::::::7,49, с::::::::6,45, d::::::::9,21;
а+ь
б) а - с, где а::::::::31,47, Ь::::::::12,06, с::::::::8,59.
995. Выполните действия и ответ округлите до сотых:
а) (6,44 + О,78) (9,3 - 4,78)- 6,23;
б) 77,9-0 ,83 - 52,4;
84,7 - 12,3
в) (37,42-4,19 - 13,6) ·0,087.
996. Найдите значение выражения и ответ округлите до
десятых:
а) 48,9-27,6 - 748,7;
б) о,617 - 0,128 .
0,39
'
в) (64,77 + 121,9)(4,45 - 3,96);
г) 29,7 + 38,8
79,5 · 20,3 - 605,1 •
997. Найдите значение выражения (3,82 + х) (у - 0,67),
если:
а) х=2,19, у=8,74; в) х=- 4,706, у=2,312;
б) х=5,48, у=- 7,16; г) х=- 8,622, у=О,477.
998. Найдите значение выражения (716,2-х) (1,429+х)
при х = 62,45; 11,7; 0,916; - 32,8.
•
999. Вычислите:
а) 4,153;
б) 0,985;
в) 1,42.6 ; г) 8,3 -1,674 ; д) 23,1: 2,083•
1000. Выполните действия:
а) 8,494 ; б) 1,0623 ; в) 27,4-1,735 ; г) (1,39 + 7,083)3.
7 Заказ 201
193
Рис. 59
1001. Найд ите знач ение много
члена:
а) 3,5х3- 2,1х2+ 1,.9х- 16,7
при х=- 6,9; - 2,4; 3,1;
• б) 0,82х4 - 3,4х2+ 7,4х
при х = - 0,53; 0,62; 1,7.
1002. Построй те график функ
ции у = 2,15х3 - 3,64х2 + О,69х +
+ О,38 в промежутке [ - 0,6; 1;8],
составив таблицу значений функции с шагом 0,2.
1003. Вычислите :
а)✓12,5; б) 3,7 ✓66,7; в) ✓219,3- ✓45,8; г) ✓о,248 - ✓3,947.
1004. Найдите ,корень уравнения ах+ Ь = О, -если:
а) а=13,9, Ь=145,95;
б) а=б,48, Ь=3,564.
1005. Решите уравнение ах 2 = Ь и округлите найденные
корни до тысячных, если:
а) а=4,75, Ь=42,6; 6) а=О,86, Ь=О,51.
1006. Металлическая пластина имеет форму кольца
(рис. 59), у которо.го радиус внутренней окружности равен r,
а радиус внешней окружности равен R . Найдите площадь
пластины, если r;::::; 8,6 см и R;::;;; 32,4 см.
1007. Найдите значение функции:
а) y=sinx при x = l7°, '26°, 48°, 73"';
б) у= .COS-X при Х= 14°, 31°, 52°, 87°;
в) y= tgх при х=5°, 27°, 63°, 88°.
1008. Найдите значение функции:
а) y= sinх ПРИ.х=29°, 56°;
б)y=cosх при х=42°,76°;
в)y=tgx при x=l4°, 68°.
1009. Найдите по формуле S = -1⁄2-аь sin а площадь тре
угольника, если:
194
а-) а;::;;; 3,5 см, Ь;::;;; 6,8 см, а;::;;; 49°i
6) а;::::;62,4 м, Ь;::::;52,7 м, а;::::;135°.
-Упражнения для повторения
1010. Сократите дробь:
27а3 - Ь3
2а - 2Ь + 3ах-3Ьх
х2-3х
а) --,----,,-
--:: • б) ----
-
-
• в) ----
27а3+9а2Ь+3аЬ2 ' 2а-211+ах-Ьх ' х2-5х+6 •
1011. Зная, что tg ~ = 3, найдите значение выражения:
а)3sinр+5cosР .
4cosP-sin~ '
. б) ctgрcosр+sinР
sin Р
1012. В арифметической . прогрессии (ап) сумма седьмого
и десятого членов равна - 9, а сумма четвертого и шестого
равна 2. Найдите сумму первых девяти членов этой про
грессии.
38. ПОНЯТИЕ АЛГОРИТМА
В современных условиях мощным средством, с помощью
которого выполняются самые разнообразные сложные вычис
ления и решаются другие задачи, являются электронные вы
числительные машины. Простейшим электронно-вычисли
тельным устрьйством является микрокалькулятор.
Для решения задачи на ЭВМ составляется программа, в ос
нову которой кладется точное пред1;:шсание о последователь
ности действий, необходимых для получения результата.
Такое предписание называют алгоритмом.
Алгоритм - это точное предписание, инструкция для вы
полнения последовательных действий, направленных на ре
шение . какой-либо задачи.
Пр им ер 1. Пусть требуется найти значение у по фор
муле
у=(3х-2) (8х+5).
(1)
Из формулы (1) видно, какие действия необходимо вы
полнить, чтобы решить поставленную задачу. Однако после
довательность выполнения этих действий в известной степени
произвольна: можно, например, сна чала вычислить разность,
а затем сумму или сначала вычислить сумму, а затем раз
ность. Формула оставляет некоторую свободу выбора в ходе
решения задачи. Поэтому нельзя считать, что этой формулой
определяется алгоритм решения поставленной задачи . Поня
тие алгоритма требует, чтобы точно были определены не только
сами действия, но и последовательность их выполнения, что
принципиально важно, если исполнителем алго_ритма пред
полагается машина.
Составим алгоритм вычисления по формуле (1). Рассмот
рим последовательность действий, которые должен выполнить
исполнитель:
1) умножить 3 на х;
2) из этого произведения вычесть ·2;
3) умножить 8 на х;
4) к этому .произве дению прибавить 5;
7*
195
Ь:= а-2
с:=8·х
d:=c+S
Рис. 60
Начало
Ь:=а-2
с:=8.х
d:= -C+5
kонец
Рис. 61
5) умножить полученную разность · на
сумму .
Такое описание действий не только зани
мает много места, но и приводит к трудностям,
связанным с обозначением результатов проме
жуточны х действий . Та к , уже во втором дей
ствии выражение 3 • х нам пришлось обозна
чить словом <<произведение,> . От этих труд
ностей можно избавиться, если для проме
жуточных результатов ввести · специальные
обозначения а, Ь, с, ....
Тогда рассматриваемый алгоритм мож
но записать так:
1) умножить 3 на х, результат обозна
чить а;
2) вычесть из а число 2, результат обозна
чить Ь;
3) умножить 8 на х, результат обозна
чить с;
4) сложить с и 5, результат обозначить d;
5) ум·ножить Ь - на d, считать результат
значением у.
Эту последовательность действий можно
наглядно изобразить с помощью схемы
(рис. 60).
Стрелками на этой схеме задана последо
вательность выполнения отдельных команд .
Запись вида а: = 3 •х читаете.я так: <<Присво
им переменной а значение выражения 3 •х ,>.
Если исполнителем алгоритма .являет с я
машина, то схема должна быть дополнена
командами о начале и конце работы (рис. 61).
П р и м е р 2. Пусть требуете.я найти зна
чение у по формуле
7х-4
У=5х+з•
7х-4
3
3
Выражение sх+з имеет смысл при x =I= -
5.Длях= -5
задача не имеет решения. Чтобы исполнитель-автомат мог
196
Рис. 62
Рис. 63
дать ответ в любом случае, в алгоритме необходимо преду
смотреть две ветви для получения результата: одна ветвь -
3
для х, равного - 5
, другая ветвь - для любого х, не рав-
3у
V
,
ного-5
.
казание исполнителю , какои ветвью_ воспользо-
ваться, задается специальной командой ветвления, показан
ной на рисунке 62.
Вид _ команды ветвления для рассматриваемого примера
представлен на рисунке 63.
Выполняя эту команду, ис-
полнитель-автома т в случае,
если
3
Х=-5• продолжает
процесс вычислений по ветви
<,да,>, в случае, если x=I=
3
=1= -
5 ,- по ветви <,нет,>.
Весь алгоритм, которым
исполнитель может восполь
зоваться для любых значений
х, показан на рисунке .64.
В примере 1 был рассмот
рен линейный алгоритм, а в
примере 2 - разветвляющий
ся алгоритм.
Часто встречаются также
циклические алгоритмы. Это
такие алгоритмы, в которых
одна и та же команда повто
ряется несколько раз подряд.
Начало
о8 нет
т ет: решения
Конец
Рис. 64
197
1013.. Составьте алгоритм вычисления по формуле:
а) у=Зх(х-8);
в) у = (х+9)(4х - 1);
б) у=2(х+3)+1;
г) у=(х-1)(х + 5)-2.
1014. Какие случаи надо предусмотреть при составлении
алгоритма вычисления значения у по формуле у = ~: ~ ~ ?
Составьте этот алгоритм.
1015. Составьте алгоритм вычисления по формуле:
2х+5
2
а)у=3х+9; б)у=х+в- l.
1016. Составьте алгоритм вычисления по формуле:
)
6х-1
а) у=2(х-3)+1; б у = 2х+в·
1017. Зиа чеи:ие выражения . 5х 2 - 8х + 2 3 можно найти,
пользуясь формулами
у=5х2 -8х+23 и у=х(5х-8)+23.
Составьте алгоритмы вычисления для каждой из этих фор
мул и выясните, какой из алгоритмов содержит меньшее число
команд.
1018. Соста:вьте алгоритм решения уравнения:
а) ах=25; б) ах=Ь.
1019. Составьте алгоритм вычисления по формуле
y = 2·lxl +5.
1020. Составьте алгоритм вычисления значения у по фор-
муле
y=31xl-7.
Упражнения для повторения
1021. Проходит ли пря:мая -7,5х+у=12 через точку
( - 20; -138)?
1022. Проходит ли прямая О,5х - у= 5 через · точку пере
сечения прямых у-2х = --' -8 и 3у+7х=2?
1023. Найдите координаты точки пересечения прямых
х- у=l и 3х - 2у =6, Чему равно расстояние от точки пере
сечения прямых: а) до оси х; б) до оси у; в) до начала :коор
динат?
1024. Завод должен изготовить 800 деталей к опрэделен- -
ному сроку. Работая точно по графику, завод выполнил 25%
заказа, а затем стал изготовлять ежедневно по 10 деталей
сверх нормы и выполнил задание на 2 дня раньше. Сколько
дней понадобилоdь заводу для выполнения заказа?
1025. Бригада рабочих должна была по плану изготовить
к некоторому сроку 250 деталей. Изготовляя в день. по 5 дета
лей сверх нормы, бригада уже за один день до срока перевы
полнила задание на 8%, Сколько дней работала бригада?
198
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ :К ГЛАВЕ VI
:К параграфу 14
1026. Найдите приближенное значение суммы х и у, если:
а) х::::::::9,26,10 4 и у::::::::7,1,10 3 ;
б) х::::::::6,4\10 5 и у::::::::4,25-10 6 ;
в) х::::::::3,705,10- 2 и у::::::::4,6,10- 4 ;
г) х::::::::9,38,10- 3 и у::::::::8,673-10- 1 •
1027. Найдите приближенное значение разности х и у, если:
а) х::::::::7,58-10 5 и у::::::::2,4-10 3 ;
б) х::::::::2,4,10 4 и у::::::::1,06,10 2 ;
в) х::::::::6,8-10- 2 и у::::::::3,5,10- 3 ;
г) х::::::::5,381,10- 1 и у::::::::1,2-10 - 2 •
1028. Найдите приближенное значение выражения x-y+z,
если х::::::::8,35,10 2 ; у::::::::4,1-10°; z::::::::6,3-10 2 •
•.
1029. Масса Земли 5,976 • 1021 т, а масса Луны 7,35 • 1019 т.
. :Какова
масса Земли и Луны? На сколько тонн масса Земли
больше массы Луны?
1030. Атомный ледокол <,Ленин,> в аfктическую навигацию .
1960 года прошел за один рейс 8,16 - 10 морских миль . Выра
зите пройденное расстояние в километрах, зная, что 1 мор
ская мил.я равна (приближенно) 1,852 км.
1031. Вычислите площадь кругового кольца (см. рис. 59), где
R::::::: 32,5 мм, r:::::::: 20,2 мм.
К параграфу 15
1032. Найдите приближенное значение выражения :
) 35,48-х
5 96~
168
а 18,4 +У, если х::::::::, ~, у:::::::~, ;
б) ab+cd, если а::::::::48,07, Ь::::::::1,96, с::::::::32,6, d::::::::0,87.
1033. Найдите значение выражения и ответ округлите до
сотых:
) 4,919-5 ,718 - 12,67.
85,85+43,666
а 3,561 + о,4289
б) 26,32 - 3,123. 4,609 •
1034. Найдите значение многочлена 7,61х 4 - 8,06х 3 +
+ 3,73х2 +х - 10,82 при х = - 1,2; 0,8; 1,4; 1,6.
1035. Составьте алгоритм нахождения п-го члена арифмети
ческой прогрессии.
1036. Составьте алгоритм для вычисления значения выра
жения (4х+ 1) (2 - 3х) - (3 - 6х) (2х + 5) и выражения, получен
ного в результате его упрощения.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ П ОВТОРЕНИЯ
l<YPCA VI - VIII КЛАССОВ
Вычисления
.,,
10 3 7. Вычислите:
а) 5J___ 3 ...!... •6·
3
3'
6) 49:(1~ +1211) ;
г)0,4•(5,25~7 ~);
д)(6+- 7,5):1,4;
в)16,92:(зf- :);
3
1
1
е)27-33-13-2.
10 38. Найдите значение дроби :
а) 12, 8 :О,64+3,05 : 0,05 .
б) 203,4:9-(5,3 9 - 7 ,39)
24
371
83:l9- l
14 ·9
-
3
1039. Вычислите :
а)(1,62- 2,2 -1
~) : 1,4;
6) (1...!.... о 27 - з...!... .о 15) - 1500 -(
-
01)3 •
9'
3'
-
"
в)( 634 •5+-
~):( - ~)з+(-1)5;
г)(12:•2-27):(- :)
3
•
1040. Найдите значение выражения:
х'
) 3х-2у
а)16_5х2прих=- 4; •
в х+у при Х=14,4, у=З,6;
(а-Ь)2
г) 2аЬ при а=4,5, Ь = 3,6.
1041. а) Замените дробь 5 десятичной дробью с двумя
11
знаками после запятой. Найдите абсолютную и относительную
погрешности полученного приближенного значения.
200
б) Докажите, что число 0,17 является приближенным
3
значением дроби 17 с точностью до 0,01.
1042. Измеряя вольтметром напряжение в цепи, получили,
что И ~ 120 + 0,5 В. Докажите, что относительная погреш
ность приближенного значения не превосходит 0,5%.
1043. Зная, что х ~ 16,5 и у~ 7,2, найдите значение вы
ражения:
в) ху;
г)х
у
д) х(х-у);
е) ___Е!__
х+у .
1044. У,простите выражение:
а) (-у'14 - 2 -уЗБ) •+-,/7 + -fio;
в) 5-2,/6+5+2-v'б.
5+2,/6 5-2-у'б'
б)(-1⁄2--у'з9 -
-1⁄2- -/26):-1⁄4-Щ+-Щ; г) viТ+з+-,/П-з.
-{[1- 3 -,/П+3
1045. а) Найдите значение многочлена 3х 2 - 6х - 5 при
Х=1+-,Р.
•
х2-х-5
_~
б) Найдитезначениедроби x- l при х=-vБ+1.
1046. Найдите значение выражения:
а) о,з-з+( ~)-
1
+(- 0,5)-2
-
: +(- 1)-8
-6;
(~-2 (1)-1 (6)01
б)3)-9
+17-8
-
0,25- 2
-16.
1047. Вычислите:
-
-
27з-814•5
а)
362
1048. Найдите пятнадцатый член и сумму первых пятнад
цати членов арифметической прогрессии (сп), если с 1 = 0,5 и
q=l,8.
1049. Найдите десятый член и сумму первых десяти членов
1
геоме трической прогрессии (Ьп), если Ь1 = 64 и q = 2.
- fj.
Зл
1050.Зная, что cosа,=3 и 2 <а,<2л, найдите sinа,
,1Jgа,иctgа,.
3
1051. Известно, что tg а, = - 4 и а ..:_ угол II четверти.
Найдите sin а, cos а, и ctg а,.
201
Тождественные преобразования
1052. Преобразуйте в многочлен:
а) (х-2у)(х+2у)+4у 2 ;
б) (2а - 3Ь)(2а+3Ь)-3а 2 ;
в) (5х -1) + lOx;
г) (Зу+4z)2- 8z(Зу-2z);
д) (т - 2п) (т2 +2тп+4п2)+6п3•
е) (с2+4d)(с4-4c2d+16d2)- c2 (с4-1);
ж) (3х-4у)2-(2х-7у)(4х+2у);
з) 2х (2х+3)2 - (2х - 3) (4х2 +6х+9).
1053. Упростите выражение и найдите его значение:
а) аЬ2+(2а - 3Ь)(а2- 3аЬ+4Ь2)-6Ь2 (3а- 2Ь)приа=- ~;
1
b=-g;
б)ас2+(а+2с)(2а2- 5ас
-
3с2)- 2с3+ас(а+12с)при
1
1
а =- 3• С=-6;
202
в) х (2х-3)2-(х 2 - 5х) (4_х-1) при х = 2,4;
г) (у-+3) (у+12)-у (у+6)2 при у=0,85.
1054. Докажите тождество:
а) (а+2Ь)(а- 2Ь)(а2+4Ь2) = а4- 16Ь4;
б) (x-l)(x+l)(x2 +l)(x4 +l) = x 8 -l;
в) (у+1)(у-1)(у2-у+1)(у2+f+ 1)= у6-1;
г) (с2-с-2)(с2+с-2)=с4-5с +4.
1055. Разложите на множители :
а) l2x3 -3x2 y-l8xy2 ;
в) 8ab-l4a-l2b+21;
б) 42а5-6а4+3Оа3;
г) х2 - 5х-9ху + 45у.
1056. Разложите на множители:
а) х4- 25у2;
г) х9-27;
б) 4Ь2-O,Olc6;
д) 9аЬ2- 16ас2;
в) 8а3+с3;
е) - 20ху3+45х3у.
1057. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2-х-42;
г) 16Ь2- 24Ь +9;
б) у 2 +9у+18;
д) 6х2 -х-1;
в) 81х2+18х+1;
е) 3а 2 -13а-10.
1058. Сократите дробь :
а) 15а2-10аЬ
а3-9аЬ2
ж) х2-3х
8Ь2-12аЬ
;
г)
•
х2-5х+6'
а2-3аЬ '
6) 25х2-20ху .
д) 4с2+ 10cd2
з) у2-5у-24.
16у2-20ху '
8с3 - 25cd'' '
7у-56 '
в) ах+2х-3а-6 е) 24х4+зху3•
и) а 2 -1Оа+9
ах-8а+2х-16'
12х2+бху '
а2 - 6а-27
1059. Упростите:
3
а)_2
_
_
_
1_ _х+1.
х2-3х х2+3х х2-9'
в) а2+16а+12 2-За
'
а3-8
а2+2а+4 а-2'
6)2у+1+у+2_
_!__
.
y2-j-3y 3у-у2 у '
2
4ь2+1s
1
г) 4Ь2-6Ь+9+8Ь3+27 2Ь+3.
-
1060. Представьте в виде дроби:
аЬ2-16а 20Ь5 •
а) 5Ь3 • а2ь+4а2 '
р3-125
4р
.
в) 8р2 • р2+5р+25'
9т 2 - 12тп+4п 2 3т+6п
г) 3тз+24пз • 2п - 3т.
1061. Упростите :
)х2- 4х.24- бх
.
а -.-
-
.--
-.'
х-+7х 49 - х-
(а+ь)2-2аь,а2+ ь2 .
в) 4аz
• -----;ь
у3 -16у. 4-у .
б) 2у+1в· 1?+9у'
1062. Упростите выражение:
г) 5с3 -5.(с+1) 2 - с
с+2 • 13с+26
•
( х-3
бх - 18)' 5х-15
а) х2-Зх+9 х3+27 : 4х3 +108;
б)5х(ху+у2·+ +2} у•
--·
ху у ---,
х+у 5х2-5ху
х-у
в)(а+1+-
4__2) :a+l_ а2-5а+3;•
2а а+з
а+3
2а
г) (4х+12+-х_\.х+з__5 _
.
х2-3х 9-х2} х+6 х-3'
д а-5+4(a+l).( ~-
а+4)
) 6-3а а2+4а•а2-16 а2-4а
4Ь
12(4Ь
2ь+1 2Ь-1)
е) 2ь-1-2ь+1· 4ь2-1+з-бь+4ь+2
(Зх
1 ) х3-3х2 3х+9
ж) х3-27+х-3 •(х+3)2 +х2+3х+9;
(49
а+з· ) а4 +27а 4а-а 2
з) а3+27-а2-3а+9 •16-а2 + а+4 •
203
1063. Упрос тите выражение:
а) (4х-2уз)2. (О,5х2у- 1)3;
(с"\-2(12з-2)4•
в) 6х2у-5) \зсху '
6) (О,25а-3Ь4Г2-(2а5Ь-6)- 1;
(
o,1a-2)s ( ьs )-з
г) ь-'с3 • 10а1с6 •
1064. Вынесите множитель из-под знака корня:
а)~~гдех>О; г)~;
6) ~' где у<О;
д) ~' где с<О;
в) ~;
е) -1хвуs;
1065. Внесите множитель под знак корня:
вг--:-;;
ж) ,)За16;
з) -у2ь 10с;
и) -{/ 128х 9•
а) х-/3, где х>О;
6) у✓5, где у< О;
в) а .;/2а;
г) ь-vзi};
д) 2с -;/зс;
1066. Упростите выражение:
а) -/5fu + ✓з2х - -v98x;
е) т~, где m<O.
6) (-va+ ✓2) (-va- ✓2) - -va (-va- ✓2);
в) (-fx+-fy)2-(✓x--fy)2;
г) (-fx - ✓y)(x+-{xy+y).
1067. Сократите дробь:
5+✓У.
а,/а- 1 ,
а) 5 ✓у+у' в) а+,Га,+1'
б) Зх-6; г) Ь--{ь+1.
✓х+--/2
ь-fб+1 '
д) х✓"х+У✓У .
. Jxy+y '
) c- -/cd
е ----' --.
c-{ё- d-yd
1068. Замените выражение дробью с целым знамена
телем:
204
)3х
а ------:--Г.: ;
7 -ух
5
6) .Ct. ;
-уаЬ
4
в) --;;:- ;
-ус-1
1069. Сократите дробь:
2
1
-
-
·
х3-3х3
а) ---- •
1
'
2
2
р3 4qз
б) 1-
1'
-
-
5р3+lOq3
1
1
ху2-х2.
в) --" ---
'
1'
1070. Найдите значение выражения:
при Х=12,8, у=5;
-
-
-
аз-ьз
аз-ьз
б)22+
2
2
при а=0,05, Ь = 0,4.
аЬ3-а3Ь аЬ3+а3Ь
1071. Упростите 'выраже ни е:
3
3
а) х-у
+
х2 -у2
в) т2-2
+ бт2 +-1
_
.
11
3
1'
Х2-у2
х+х2у2+у
т+2т2+4 т2-8 т2-2
.,
.,
а+ь
аз-Ьз
-
-
-
рз
б)
Рз+Р•+рз
2'
г)
р-1
--
1- +1.
а3+ь3 аз-Ьз
р3-1
1072. Упростите:
б) у-1 ·(L+_l _)
-
_1_
у-1
_1_
•
Уз+Уз
уз-1
1073. Докажи те тождес тво:
а)(l+ ctg2cx)(l- sin2cx)= ctg2cx;
б)(1+tg2а)(1- cos2а)=tg2а;
В) sinа+cosаtgа
cos a+sin a ctga
1
1
г) -
tg2а+1
2tgа;
cos 2сх.
1074. Упрос тите выражение:
а)1+sin(л-а) cos(3;- а);
б)1- tg(3;- а)ctg(;+а);
значение sin (60° - а),
если cosа=0,8
-1075. Найдите
Зл
и т <сх<2л.
1076. Найдите значение cos (30° - а),
если .
1
Slllа.=5 И
л
2 <сх<л.
1077. Найдите значение tg (45 ° - а), если tg а, = ✓z.
1078. Упростите выражение:
а) sin (а- В).
tga- tgB'
б) cos(a-B).
tg a+ctg В'
в) l+tg а, tg 2сх;
г) ctgа- ctg2сх.
1079. Докажите, что з начение выражения не зависит от а,:
а) cos(38°+ а)cos(52° - cx)- sin(38°+ а) sin(52°-сх);
б)sin(1л0-а) cos(1л5+а)+ cos(1~ -
а,)sin(1л5+а,).
205
•
3
1080.Зная,чтоtgа..=- 4
, найдите значение вы ражения:
а) sin 2а..;
6) cos 2а..;
в) tg 2а...
1081. Упростите выражение:
(sin~- cos ~)
2
.
а)1.
.
,
-
s1n а.
в)cosа.,- 2sin2~ ;
б)
1 +sin 4а.
.
(cos 2а. + sin 2а.)2 '.
1082. Представьте в виде произведения:
а) sin 3а + sin 5а..;
г) cos lOa.. + cos 4а..;
• 6) cos 5a.. -cos 7а..;
д) l+sin a..+cos а..;
в) sin ба.. - sin 8а..;
е) 1-sin а.. - cos а...
Уравнения и системы уравнений
1083. Решите уравнение:
а) 3x(x-1)-17=x(1+3x)+l; в) зх+1
2
1084,, Решите квадратное уравнение:
а) 2,5х2+4х=0;
6) 6у2-0,24=0;
в) 0,2t2 -t - 4,8-:-0;
г) 3+и2+3и-3=0,
2х-З
-
5-;
1085. Существует ли значение переменной t, при котором
значение квадратного трехчлена t 2 - 2t + 2 равно: а) 10;
6)О;в)1;г)3?
В случае положительного ответа укажите это значение t.
1086. При каких значениях t не имеет корней уравнение:
а)5х2-4х -t=О;
в)х2--,-tx+1= О;
6)tx2- 2х+6=О;
г)4х2+tx+ 1= 0?
1087. При каких значениях а уравнение имеет, хотя бы
один корень:
206
а) ах2-12х+9=0;
6) 5х2-х+а=0;
в) 18xl+ax+ 8= 0;
г) (а-1)х 2 -6х-3=0?
1088. Решите уравнение:
а) О,3х (х+13)- 2х (О,9-0,2х)=О;
6) 1,5х(х+4)- х(7- О,5х) =0,5(10-2х);
) (2х+1)2_х-1_ .
В25
3 -Х,
г) (3х+2)2 х+5_ 2,
11 --4--Х'
д)(2- х)2_ 2х=(7+2х)2;
3
5
е) (6-х)2+ _ 7
_
(2х-1) 2
8
Х-
3'
1089. Садовый участок, имеющий форму прямоугольника,
требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди,
если: известно, что длина участка на 15 м больше его
ширины, а площадь его равна 700 .м 2•
1090. Найдите два натуральных числа, если известно,
что первое на 6 меньше удвоенного второго, а их произ
ведение равно 20.
1091. Все ученики одного класса об~енялись фотогра
фиями. Сколько учеников было в этом классе, если всего
было передано 600 карточек?
1092. Цифра десятков двузначного числа на 3 меньше
цифры единиц, а произведение этого двузначного числа на
сумму его цифр равно 70. Найдите это число.
1093. Решите уравнение:
)х
5
18
ах-3
-
х+3= х2- 9;
б -2.0__~-~-
) х2-16 х-4 - х+4'
)1
1
3
в х2- 9+Зх-х2=2х+6;
2
1
7
г) 4-х2- 2х-4
-
2х2+4х
3
5
14
д) -----= --;
(2 -х)2 (х+2)2 х2-4
2•
1
4
е) 1-х2-1-х+(х+1)2= О;
Ж _2_+
3
15.
) х2+5х 2х-10 х2-25'
О;з)_
·_5 __
1
+29•О
2х+6 6х2 - 18х 3х2 -27
•
1094. :Колхозный сад имеет площадь 29,25 га. Найдите
периметр сада, если известно, что сад -имеет форму пря
моугольника, одна сторона которого на 200 . м длиннее
другой.
1095. Две бригады, работая вместе, выполняют работу за
6 ч. Одной первой бригаде на ту же работу требуется на 5 ч
больше, чем второй. За какое вр·емя может выполнить всю
работу каждая бригада, работая отдельно?
1096. Два мотоциклиста выехали одновременно из одного
пункта в другой, расстояние между которыми 160 км . Скорость
первого была на 8 км/ч больше скорости второго, поэтому он
приехал к месту назначения на 40 мин раньше. Найдите
скорости мотоциклистов.
1097. Моторная лодка прошла 28 км по течению реки и
25 км против течения, затратив на весь путь столько же
времени, сколько ей понадобилось бы на прохождение 54 км
в стоячей воде. Найдите собственную скорость лодки, если
известно, что скорость течения равна 2 км/ч.
1098. :Катер прошел по течению реки 160 км и столько же
против течения, затратив на весь путь 26 ч. Найдите
скоро(,~ть катера в стоячей воде, если скорость течения
• реки 3 км/ч.
207
1099. Скорый поезд должен был пройти расстояние MN,
равное 300 км, с некоторой средней скоро стью. Однако
вначале его скорость была меньше расчетной на 8 км/ч, и поэ
тому, чтобы прийти в N по расписанию, он шел от
станции К, отстоящей от М на 180 км, со скоростью,
превышающей расчетную скорость на 16 км/ч. Какое время_
затратил поезд на путь из М в N?
1100. От станции в совхоз, расстояние до которого 12 км,
выехал трактор, а через полчаса от станции в том же направ
лении выехал грузовик. Когда грузовик прибыл в совхоз,
трактору оставалось ехать до совхоза еще 3 км. Найдите
скорости трактора и грузовика, если известно, что скорость
грузовика на 20 км/ч больше скорости трактора.
1101. Из пункта М в пункт N, расстояние до которого
42 км, выехал велосипедист, а через час навстречу ему
из N в М со скоростью, превышающей скорость. велосипедиста
на 48 км/ч, выехал мотоциклист. Найдите скорости велоси
педиста и мотоциклиста, зная, что они встретились в 17 н:м
от пункта М.
1102. Решите биквадратное уращ1ение:
а) 9х4-13х2+4=0; в) х4-21х2-100=0;
б) 4х4+17х2+4=0; г) 3х4+2х2-1=0.
1103. Решите уравнение введением новой переменной:
а) (3х+ 2)2+ 5(Зх+2)=О;
б) 4(5-х2)2-9_(5-х2)+2=0.
1104. Решите уравнение:
а) х4-16х2=0; д) х3+6х2-16х=0;
б) х=х3;
е) х4+х3-6х2=0;
в) 1,2х3+х=0; ж) х3+х2=9х+9;
г) О,4х4=х3;
з) 2х3+8х=х2+4.
1105. Приведите
а) 2-х3=1;
8.
б) 1000х3+ 1= О;
в) 2\х 3 = 0,001;
уравнение к виду хп = а
г) 2-х4-16=0;
9
д)l+x5=0;
е) х8-16=0.
и решите его:
1106. Изобразив схематически графики, . выясните, имеет
ли уравнение корни:
208
а) х3=-2х+1; б) -ух=5х-1; в) .i._ = 7x; г) 4-х2=2-.
х
х
1107. Решите графически
а) х3=3~2х;
б) х3=х+2;
уравнение:
в) х2-2х-8=-°-;х
г) х3=-ух.
с:
1108. Решите систему двух линейных уравнений:
а){4х-у=17,
в) {5х=у+5о,
у+6х = 23;
- 3,4х+2,6у = 14;
б){6х - 10у 1~,
г){8х - 4у 6,
5у+7х - 19,
13х+6у -- 1.
1109. Решите систему уравнений:
а){ х--;у+х!у =1,
х-у + х+у =l·
3
4
'
б) { x+t+4+x - t-4
х+у+4 _ х-у-4
11
7
1110. а) Решите систему уравнений
{ах-5у=6,
х-3 , 5у=6,
у,
1.
если известно, что одним из решений уравнения ах- 5у = 6
служит пара чисел ( - 6; - 6).
б) Решите систему уравнений
{ 4х+9у _в,
х-Ьу - 5,
зная, что пара чисел (15; 10) служит одним из решений
уравнения х - Ьу = 5.
1111. Найдите расстояние от точки пересечения прямых
3х-у=5 и 2х+у=10: а) до оси абсцисс; б) до оси ординат;
в) до начала координат.
1112. Подберите значения k и Ь так, чтобы система
{y=kx+Ь, •
у=2,5х-3
а) не имела решений;
б) имела бесконечно мно го решений;
в) имела · единственным решением пару чисел, в которой
Х=4.
1113. Проходит ли через точку пересечения прямых
3х-у=3 и5х-3у=1:
r
а) прямая 7х-3у=5; б) прямая 12х-7у=3?
1114. а)ПрикакихзначенияхаиЬпарабола у=ах2+ Ьх+ 4
проходит через точки Е ( -1; 2) и D (2; 5)?
б) При каких значениях а и с парабола у = ах 2 +4х+с
пересекает оси координат в точках А (1; О) и В (О; 4)?
1115. За 3 футбольных мяча и 15 хоккейных клюшек
детская спортшкола заплатила 48 р. После снижения цен на
мячи на 20%, а на клюшки на 10% за 2 футбольных мяча
и 10 хоккейных клюшек заплатили 27 р. 20 к. Сколько стоил
футбольный мяч и сколько стоила хоккейная клюшка перво
начально?
209
1116: Две бригады изготовили за месяц 140 деталей. В
следующем месяце производительность труда первой бригады
возросла на 15%, а второй - на 20%, и поэтому они из
готовили на • 24 детали больше, чем з·а предыдущий месяц.
Сколько деталей изготовила каждая бригада в отдельности за
два месяца?
1117. Два пешехода отправились одновременно из пунктов
М и N, расстояние между которыми 38 км, навстречу друг
другу. Через 4 ч расстояние между ними сократилось до
2 км, а еще через 3 ч первому осталось пройти до пункта N
на 7 км меньше, чем второму до М. Какова скорость каждого
из пешеходов?
1118. Если к числителю и знаменателю дроби прибавить
1
по 1, то получится дробь , равная 3 , а если из числителя ,
и знаменателя вычесть по 3, то полу~ится дробь, равная ~ .
Найдите исходную дробь.
11 19. Из городов А и В, расстояние между которыми 200 км,
одновременно выехали навстречу друг другу автомобиль и
автобус и встретились через 2 ч. Автомобиль прибыл в В
на 1 ч 40 мин раньше, чем автобус прибыл в А . Найдите
скорости автомобиля и автобуса.
1120. Решите графически систему уравнений:
а){у=х2_ -3х,
в){ху=l,
2у-х=4;
х2+у2=9;
6) { х2+у\ 1~,
г){ ху=-2,
у=2х -8,
+в12
у
=тх.
1121. Решите систему
а) { х2 +у+8=ху,
у-2х=0;
б){х2 -у2 =16,
х+у=8;
в) { х+у·=5,
х 2 -ху+у2=13;
уравнений сn;особом подстановки:
г){х2+у2+3ху=1,
3у+х=0;
.
д) {2х2+5х-3у= -12,
2у-7х=8 ;
е) { у 2 -6/+у=0,
2х- 2 у=1.
1122. Решите систему уравнений :
а) { x+xy+y=ll,
в) { х2+у2=34,
х-ху+у=1;
.
ху=15;
6) { 2х-у-ху _ 14,.
г) { х2-у2=12,
х+2у+ху- -7,
ху=8.
1123. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли:
а) nарабола у=х2 -6х+В и прямая х+у=4;
'
3
_ б) прямая х +у= 4 и гипербола у =х;
210
в) окружности х2 +у2=4 и (х-3)2+у 2 =1.
Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения.
Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.
1124. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
41 см, а его площадь равна 180 см 2 • Найдите катетьf этого
треугольника.
1125. Площадь прямоугольного - треугольника равна 44 см 2 •
Если один из его катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить·
на 2 см, то его площадь будет равна 50 см 2 • Найдите катеты
этого треугольника.
1126. Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую
работу за 1О дней. После 7 дней совместной работы один из
них был переведен на другой участок, а другой закончил
работу, проработав еще 9 дней. За сколько дней каждый
рабочий отдельно мог выполнить всю работу?
•
1127. Двое рабочих, работая вместе, выполнили работу за
2 дня. Сколько времени нужно каждому из них на выполнение
всей работы, если известно, что если бы первый проработал
2 дня, а второй один, то всего было бы сделано : всей работы?
1128. Найдите номер члена арифметической прогрессии (Ьп),
равного · 3, если Ь 1= 48,5 и d = - 1,3. Является ли членом этой
прогрессии число - 3,5; 15?
1129. В арифметической прогрессии четырнадцатый член
равен 140, а сумма первых четырнадцати членов равна 1050.
Найдите первый член и разность этой прогрессии.
1130. Последовательность (ап) - арифметщ1еская прогрес
сия. Извест~о, что а 6 = -6 и а 16 = 17,5. Найдите сумму первых
шестнадцати членов этой прогрессии .
1131. В арифметической прогрессиu: первый член равен 28,
а сумма двадцати пяти первых членов равна 925. Найдите
разность и тридцатый член этой прогрессии.
1132. В арифметической прогрессии (а,,) сумма шестого и
десятого членов равна 5,9, а разность двенадцатого и четвертого
членов равна 2. Найдите двадцать пятый член этой прогрессии.
1133. Последовательность (х11) - геометрическая прогрес
сия. Найдите:
а) Х1, если х8 =-128 и q=-4;
6) q, если Х1=162 и х9=2;
.
-/2
1
в) Х1, если Хз=2 И Хе=4.
1134. Найдите пятый член геометрической
2
еслиизвестно, что Ь1= 6 и Ьз=3
.
прогрессии ( Ьп),
1135. Найдите сумму шести первых
1
прогрессии (Ь11), в которой Ь 6 = 2
членов геометрической
1
и q=2·
211
1136. Найдите сумму семи первых членов геометрической
прогрессии (Ьп ) , если известно, что все члены последователь
ности положительны и Ьз= 20, Ь 5 = 80.
Неравенства
1137. Докажите, что при любом значении переменной верно
неравенство :
а) (а+3)2 +(а - 5)2>2 (а2 - 2а);
б) а(а+1)+ За>4(а-0,5);
в)(бЬ+1)2-(9Ь+ 3)(4Ь-1)> 9Ь;
г) 30Ь<(5Ь + 3)2 - (4Ь - 1)(4Ь+1).
1138. Докажите, что при л юбых х:
а) трехчлен х 2 - 3х + 200 принимает положительные зна че
ния;
6) трехчлен - х 2 + 22х - 125 принимает отрицательные
значения.
1139. Пусть а и Ь - длины сторон прямоугольника
(в см), причем 2,43⁄4а3⁄42,5, 4,63⁄4Ь3⁄44,7.
Оцените периметр и площадь этого прямоугольника.
1140. Зная, что 2,6<-fi<2,7, 2,2<-у5<2,3, оцените з на- .
чение выражения:
а) -fi+ -/5; 6) -fi- -/5; в) ./35.
1141. Решите неравенство:
а) 0,4(y- l)+ y>0,2y+ 5;
6) 0,2x-0,6>3(x + l);
в) х- (1,6х - 3)> 3(О,2х+2);
г) х - 4 (1,7 - х)<О,6+ 1,3х;
д) 0,2 (Зу+ 1)<0,7y - 1 - (0, ly+4);
е) 7 (х - 0,4)<2 (2х+3) - (1,5 - 3х);
ж) (О,бу-1)(О,4у+ 4)-(1,2у+ 1)(О,2у-1)<4;
з) (0,2х+ 3)(О,2х-3)-(0,4х+ 1)(0,lx+ 1)> 1.
1142. Найдите множество . решений неравенства:
1
7
)l l~
17- 3х
.
а) О8х<-х--·
г-,ох>2
,
•
'
3
15'
6) 5х;З < 1,25х+ 1;
в) 1,бу+ 2> З-~,lу ;
) 4x+l 19-х
>О·
д -3---2- - х
'
) 5у-1 у+1<2
е_5
___
3_
у.
1143. При :каких значениях Ь:
12-1 5Ь
а) значения дроби
5'
меньше соотве тствующих зна-
чений дроби ll - о,s ь
2
'.
212
б) знатrен·т1" дроби 1•\+ ь б
-
,,,
олыuе , соотве тст вующих зна-
v
2б+зь
чении дроби ' 2
?
1144. Решите систему неравенств:
а) { 5х-2>2х+1,
в) { 12у-1<3-2у,
2х+3<18-3х;
5у<2-11у;
б) { 4у+5>у+17,
г) { 8х+1>5х-1,
y-l>2y-3;
9х+9_ <8х+8.
1145. Решите систему неравенств:
а) { 2х-3 (x+l)<x+8,
•
6х (х-1)-(2х + 2) (3х- 3) > О;
б) f 10(х-1)-5(х+1)>4х-11,
l х 2 -(х+2)(х-2)<3х;
4х-1
х----~-< 10,
.,
х
4х-1-з< 10;
2y+l
2-у
Зу--2-> 4- -з--У,
5у-1
-3--(у-1)>3у.
1146. Найдите целые решения системы неравенств:
а) { 12х2 -(2х-3) (6х+ч>х,
(5х-1) (5х+ 1)- 25х- > х-6;
6) { (6x+l)~ -
(2x+1)(18x-1)<8,
1-О,5х~х - 4.
1147. Решите двойное неравенство:
а) -6~3х-2~18; в) 0<2-5у<3;
6) -3<4у;1<7; г) -3~7~2х<0.
1148. а) При каких значениях а значения двучлена
17 - 5а принадлежат числовому промежутку [О; 1]?
2Ь-1
6) При каких значениях Ь значения дроби - 3
-
принад-
лежат числовому промежутку ( - 1; 1)?
1149. Решите неравенство:
а) х2 - 2х-48>0;
д) х2 - О,64<0;
6) 3х2-4х - 15>0;- е) х2- 3,6х>О;
в) 2х2 +6х+17>0; ж) 0,2х 2 <1,8;
г)4х2-х+5< О;
з) О,5х2 < 1,6х.
-;si f150. Решите неравенство:
а) (2x+l)(x +4)-3x(x+2)<0;
б) (Зх-2)2-4х(2х-3)>О;
213
в) (1-6х)(1 + 6х)+7х(5х - 2)>14;
г) (5х+2)(х-1)-(2х+1)(2х-:-1)<27.
1151. При каких значениях х имеет смысл выражение:
а) ✓12х- 4; в) ✓х2+зх+2; д) ✓12-5x+✓2x - l;
б) ✓з-О,6х; г) ✓4х2+12х+9; е) ✓х2+4+✓зх- 17?
Функции
1152. Найдите область определения функции , заданной
формулой:
1
а)у=2х-5;
3
г) у---- ·
-
4х 2 -4х+1'
д) у= ✓3х-9;
е)у=_1
__
✓ -4х+2
1153. Функция задана формулой у= - х 2 + 3. :Какова
область определения этой функции? Найдется ли такое
значение аргумента, при котором значение этой функции
равно-1;1;5?
.
1154. Функция f, областью определения которой является
промежуток [ - 4; 5], задана графиком (рис. 65). Какие значе
ния принимает функция? Найдите f (- 3); f (-1,5); f (-1);
f (1); f (3,5). Найдите координаты точек, в которых график
функции f пересекает оси координат;
1155. Функция f задана формулой у_= 6 -; 2х. При каких
значениях аргумента х: а) f (х) > О; б) f (х) < О?
1156. Найдите по графику функции f (см . рис. 65) значения
аргумента, при которых: а) f(х)= О; б) f(х)>О; в) f(х)<О.
При КаI{ИХ значениях аргумента f (х);;?= О?
у
'
,тз 1'.
j
2
. '\,
-
,
/
j
7
i/
'-
J
-4
-3
-2
-7о723,45
х
f
7
\
I
J
1
\.
.)
/
1
-т2
1
Рис. 65
214
у
з
Е
ГА
2
7
\
1с
/
\
'
L--.... - ·
"'
~
7
43~2
-1о,
\2
3'
,,.
~
т
'
т
\
1~
'
'l
1Т
\ -к2
D
~/1
в,з
Рис. 66
.
1157. Ломаная ABCDE является графиком функции f
( рис. 66). В каких промежутках функция f возрастает и в
каких убывает? В I<аких промежутках эта функция прини
иает положительные значения и в каr<их отрицательные?
1158. Функции заданы формулами у = - 3х + 4, у= 2х 2 +
2
5
'7
1
_С.
+зх, у=5х, у=-х, у=-, у=--, у=-5х,. у=-ух.
х
х
I{акая из этих функций является: а) линейной; б) квадратич- •
ной; в) прямой пропорциональностью; г) обратной пропор
циональностью?
1159. Постройте график функции:
а)у=- 2,lx; б) у=2х-3; в) у=- 5; г) у=-х+4.
1160. Постройте график функции:
а) у=2х2- 2;
д) у=х2+х-6;
б) у=-х2+1,5; е) у=-О,5х2+1,5х+2;
в) у=х2-4х;
ж) у=3х2-6х+5;
г) у=1,5х2+,6х; з) у=-2х2+6х-6.
1161. Постройте график функции у = - О,5х 2 + х + 1,5.
Найдите по графику, при каких значениях х значение у
равно нулю, больше нуля, меньше нуля. В каком промежутке
эта функция возрастает и в каком убывает? :Каково наибольшее
или наименьшее значение этой функции?
1162. Изобразите схематически график функции, заданной
формулой:
а)y=kx- 2приk>O;
б)y=kx+3приk<O;
в) у =}!_ при k>O;
х
k
г) у=- при k<O;
х
д) у=ах2+1 при а>О;
е) у=ах2+4 при а<О;
ж) у=ах2-4 при а>О;
з) у=ах2-х при а<О.
215
1163. Каково взаимное расположение графиков линейных
функций:
а) у=7х+16 и у=7х-25 ;
б) у=3,5х-4 и у= -5х-4;
в) у= - 2,8х и у=-, 2,8х+ 11;
г) у=0,6х+8 и у= - 0,бх?
11 64. Найдите координаты точек пересечения графиков
функций:
а) у=2х - 11 и у=-5х+3;
б) у=-Зх-10 и,у=х2-13х+6;
25
в) у=_!_ и у=-2х+4;
х
3
г)у=-хиу=-х;
д) у=-3х2+х-3 и у=-х2+х-5;
е) у=4х2+3х+6 и у 3х2-3х-3.
1165. Какие из линейных функций у = - 3х + 9, у = 5х,
у=-7,у=9х-1, у=-х-100, у ..1+5х являются: а)воз
растающими; б) убывающими?
1166. В каком промежутке возрастает и в каком убывает
квадратичная функция:
а) у___с 2х2 + 1Ох-7;
б) у = .:._3х2+ х+5;
в) у=4х2+2х;
г) у=8х-5х2?
1167. Найдите промежутки возрастания и промежутки
убывания функции:
а) у= -1,2х+17;
3
б) у=--;
х
5
в) у=-;
х
г) у=-7х2+21х-5;
д) у = (х-5)(х+4);
1168. При каких •значениях аргумента х значения f (х)
больше нуля, если :
216
а) f(x)=3,2x+16;
б) f (х)= -1,5х- 30;
в) f(x)=_r}__;
х
15
г) f(х)=--;
х
д) f(x) = 2x2 +x-6;
е) f (x)=l,44x 2 -2,4x+l;,
ж) f(x)=3x 2 - x+2;
з) f(x)= -5x2+5x- 3?
Упражнения на все темы .
1169. а) Упростите выражение
(9х'+8 _1
_+
4
).Зх-1 •
27х3-1 3х-1 9х'+зх+1 зх+1 •
б) Постройте график функции у = х2 - 4х - 5 и найдите,
при каких значениях х функция принимает отрицательные
значения.
в) Зная, что sin а= - ~~ и 270°<а<360° , найдите cos а,
tgаиctgа.
г) Расстояние от города А до города В поезд должен про
ходить по расписанию за 4 ч 30 мин . По техническим причинам
он был задержан с отправлением из города · А на 30 мин.
Увеличив скорость на 10 км/ч, поезд прибыл в город В вовремя.
Найдите расстояние между городами А и В .
1170. а) Упростите выражение
(~
-
х-3) -~-~
9-х2 9+3х х+з 3-х •
б) Решите нер!lвенство
(1-х)(3- 4х)-(2х+1)(2х-1)<11.
• в) Найдите
функций ,
координаты точек пересечения графиков
г) Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и воз
вратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость
моторной лодки в стоячей воде, зная , что скорость течения
. реки
равна 3 км/ч .
1171. а) Упростите выражение
1
а-з#
(а ,-),
и найдите его значение при а = 121.
б) Ре.шите систему уравнений
{х2+3ху+у2=11,
2х+у=3.
в) Постройте график функции у = х2 + 4х . Пр и каких
значениях х функция возрастает?
.г)
Токарь должен был обработать 240 деталей к определен
ному сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в
час на 2 детали больше , чем предполагалось по плану, и по
тому выполнил задание на 4 ч раньше срока . Сколько
деталей в час должен был обрабатывать токарь?
1172. а) . Вычислите:
1
•
8- з +( ~)-1+( - 0,s)-2,410+( - 1)10.7 ,
217
б) Найдите область определения функции .
у=✓27-12х - 4х2•
в) Решите систему ,Уравнений
{
3х-2у х-у 5
--
3---2 -=
'
7х+3у = 38.
г) Мастер и ученик изготовили в первый день 100 деталей.
Во второй день мастер изготовил деталей на 20% больше,
а ученик - на 10% больше, чем в первый день. Всего во
второй день мастер и ученик изготовили 116 деталей. Сколько
деталей изготовил мастер и сколько ученик в первый день?
1173. а) Упростите выражение
(1-cos а) (1 +cos а)
sin a+sin (л-а;)
tg а cos (л+а)
2
6) Упростите:
(5 - 2-{6) 2 -(3-/2 - 2-/3) (4-/2 + 8-/3).
в) Решите графически уравнение
.!3. = х2- 4х.
х
г) В арифметической прогрессии (ап) сумма пятого и деся
того членов равна - 9, а сумма четвертого и шестого членов
равна -
·4 , Найдите сумму первых десяти членов этой
прогрессии.
1174. а) Упростите выражение
2sinа; sin(i +а)
2 cos2 а.;-1
6) Решите неравенство
(Зх-1)2-(х-6)(х+2)>4.
в) Решите уравнение
1
12
3
(х-2)2 х2-4 х+2
г) Пятый член геометрической прогрессии (Ьп) равен
11
.
1нu
2 , а знаменатель прогрессии равен - 2
.
аидите сумму
пяти первых членов этой прогрессии.
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
1175. Между числами ~ и ; найдите какое-либо число:
являющеесяквадратом рационального числа. Сколько решении
имеет эта задача?
1176. :Какая из дробей ближе к единице : правильиая или
обратная ей неправильная?
1177. Если четное. число оканчивае.тся цифрой,. отличной от
нуля, то четвертая степень этого числа оканчивается цифрой 6.
Докажите это.
1178. Какой. цифрой оканчивается число:
а) 2_1000; б) 3 1000; в) 7 1000?
1179. Докажите, что ни при каком натуральном п значение
выражения п2 +5п+16 не делится на 169.
1180. Дано многозначное число аЬс . . . kxyz. Отделив от
него трехзначное число, образованное тремя последними циф-
рами, получим два числа: аЬс ... k и xyz. Докажите, что если
разность полученных чисел делится на 7 (или на 11, или на 13),
то и данное число делится на 7 (или на 11, или на 13).
1181. Докажите, что сумма кубов трех последовательных
натуральных чисел делится на 9.
1182. Докажите, что значение выражения п 5 - 5п 3 + 4n де
дится на 120 при любых натуральных п.
1183. Докажите, что если в прямоугольном треугольнике
длины сторон - целые числа, то его площадь также выражает
ся целым числом .
1184. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяю-
щие уравнению: а) х2 -у2 =105; б) 2х2 +5ху-12у2=28.
1185. Докажите, что выражение (а 2 +Ь 2)3 может быть пред
ставлено в виде суммы квадратов двух целых выражений.
1186. Найдите · все решения уравнения
х2+5у2+4ху+2у+ 1=0.
219
1187. Найдите все п ары (х; у) целых чисел, которые
являются решениями уравн ·ения
R+R= ,/5.
1188. Проверьте, что верно равенство:
6)#. = 5~.
Укажите условие, при котором выполняется подмеченная
закономерность. Приведите примеры.
1189. Найдите значение выражения
1+1+.1+...+
1
.
,fi.+ ,/2 ' ,/2+../3
.,,/3+,[4
,/99 + ,/1оо
1190. Из первых' ста натуральных чисел произвольно взя
то 51 число. Докажите, что среди взятых чисел наверняка
есть два таи.их числа, из которых одно кратно другому.
Указ ан и е. Любое натуральное число можно предста
вить в виде 2n • р, где п - целое неотрицательное число, а
р - нечетное число.
1191. Имеется 13 монет одного достоинства, среди которых
одна фальшивая, отличающаяся массой от остальных. Можно
ли с помощью трех взвешиваний на рычажных весах без
гирь обнаружить фальшивую монету?
1192. Расстояние между пунктами А и В 60 км. Из А в
В выходит автомобиль, а из В в •том же направлении одно
временно с первым автомобилем выходит второй~ Если ско
рость первого автомобиля увеличить на 10 км/ч, а второго -
на 8 км/ч, то первый автомобиль догонит в торой в том же
месте, но на час раньше. :Какова скорость каждого ав томо
биля?
1193. Постройте график уравнения:
а) lxl+lyl=4;
б)lxl-lyl=4.
1194. а) Найдите сумму кубов корней уравнения
2х2- 5х+1=О.
Х1
Х?
б) Найдите значение выражения -+ _::_ ,
гдехIих2-
Х2
Xt
корни уравнения 2х2 - 11х + 13 = 0.
1195. Длины сторон треугольника АВС рав ны а см, Ь см
и с см. Зная, что а3 = Ь3 + с3, определите, является ли угол А
острым, прямым или тупым.
1196. Докажите, что при всех положительных значениях а,
Ь и с верно неравенс тво
1197. Докажите, что если x+y+z = 7 и Х?О, у?О, Z?0,
то ..(х+-т+ -Jz< 5.
220
1198. Докажите, что если а+ Ь~ 1, то верно неравенство
4ь41
а+ ~в·
1199. Докажите, что при любых значениях . х и у верно
неравенство:
а) (х - 3у)2 +1О(х-3у)+26>0;
б) 4ху+24х-10у-5х 2 - у 2 - 30<0.
1200. Докажите, что если а, Ь и с - длины сторон неко
торого треуголь!fика, то при любом значении х верно нера
венство
1201. Найдите наименьшее целое число, которое надо
прибавить к выражению (а+ 2) (а+ 5) (а+ 8) (а+ 11), чтобы по
лученная сумма была положительной при любом значении а.
1202. Докажите, что если а> О и Ь > О, то
а+ь
а
ь
1+а+ь<1+а + 1+ь·
1203. Постройте график функции:
а) y=lx2-4xl;
в) y=lx2-5x+бl;
б)y= x2- 4lxl;
г) y=x2 -5lxl +6.
1204. Решите систему
а) {х2+ху+х=14,
•
у 2 +ху+у=28;
уравнений:
б){хз+хзуз+уз=17,
х+ху+у = 5.
1205 р
2+4х2_5
.
ешите уравнение х (х+ 2)2 - •
1206. Постройте график функции:
(х2 - 5х+6)(1-х)
б) У х4 -13х2 +36
а)у= х-3 ;
4-х2
1207. Существует ли равносторонний треугольник, верши
ны которого на координатной плоскости находятся в точках
с целыми координатами?
1208. Найдется ли в арифметической прогрессии 2; 5; 8; ...
такой член, который равен квадрату натурального числа?
1209. Сколько последовательных натуральных чисел, на
чиная с 1, надо сложить, чтобы получить трехзначное число,
записываемое одинаковыми цифрами?
1210. Найдите сумму всех несократимых дробей вида ; ,
где п - натуральное число, п ~ 50.
1211. Имеются две арифметические прогрессии - (ап):
1; 5; 9; 13; 17; ... и (Ьп): 2; 5; 8; 11; 14; ... . Докажите, что
если выписать подряд все одинаковые члены обеих прогрес
сий, то полученная последовательность также будет арифме
тической прогрессией. Чему равна разность этой прогрессии?
221
121~ . Докаж ите,
что если длины сторон прямоугольного
треугольника образуют арифметическую прогрессию, то раз
ность этой прогрессии равна радиусу вписанного в этот тре
угольник круга.
1213. Могут ли длины сторон прямоугольного треуголь
ника образовывать геометрическую прогрессию? Если могу'l',
то найдите величины углов этого треугольника.
1214. В арифметической прогрессии Sm = S 11 , причем т -=1=- п.
Докажите, что Sт+п= О.
1215. В треугольной таблице помещены последовательные
нечетные числа тан:, что в первой строке находится одно
число, во второй - два , в третьей
-
триит.д.
1
3
5
7
911
13151719
2123252729
Докажите, что сумма чисел в п~й строке равна n 3 •
1216. Докажите, что если f - линейная функция и х,, Х2,
х3, ••• -
арифметическая прогрессия, то последовательность
f (х1), f (х2), f (хз), ... также является арифметической прогрес
сией.
1217. Докажите, что
2л
6л
1
cos5cos5=-4.
1218. Дана последовательность (ап), в которой ап= - 4 при
нечетном п и а"= 7 при четном п. Напишите формулу п-го
члена.
1219. Докажите тождество:
.
2п+1
1
sin-2
-
х
2 +cos x+cos 2x+cos 3x+ ... +cos nx=---.
2 sin;
1220. Докажите, что если О< а< ; , то sin а+ cos а> 1.
1221. Докажите, что наибольшее значение выраж.ения
sinх+ ,/2cosхравно ./3.
1222. Зная, что tg а+ ctg а= 5, найдите значение выра
жения
2
1
1
2
tg а+-.-
· --+ctg а.
s1nа cosа
1223. Докажите, что 8 cos 20° cos 40° cos 80° = 1 ..
1224. Докажите, что из всех прямоугольников с данной
диагональю наибольшую площадь имеет квадрат.
222
СВЕДЕНИЯ ИЗ НУРСА АЛГЕБРЫ
VI-VII КЛАССОВ
Выражения и их преобразования
1. Выражения, составленные из чисел и пере
менных с помощью действий сложения, вычитания и умно
жения, называют целыми выражениями. При этом произве
дение одинаковых множителей может быть записано в виде
степени. К целым выражениям относятся и выражения,
в которых, кроме действий сложения, вычитания и умноже
ния, используется деление на число, отличное от нуля. Напри-
мер, выражения а2 +3аЬ-2Ь 2, (х-у)(2х+у 2), т-;, а 2 :7-
целые.
Выражения, составленные из чисел и переменных, в ко
торых, кроме действий сложения, вычитания и умножения,
используется деление на выражение с переменными, называют
1
дробными выражениями. Например, выражения х + х _ 1
,
а+2
.
_
-ь-, 5m. п
-
дробные.
Целые и дробные выражения называют рациональными
выражениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях вхо
дящих в него переменных. Дробное выражение при некото
рых значениях переменных может не иметь смысла. Напри-
1
мер, выражение а+ --2 не имеет смысла при а= 2, выраже-·
а-
3
ние -- не имеет смысла при х =у.
х-у
Значения переменных, при которых выражение имеет
смысл, называют допустимыми значениями переменных.
223
2. Равенство, верное при всех допустимых значениях вхо
дящих в него переменных, называется тождеством.
Два выражения, принимающие равные значения при всех
допустимых для них значениях переменных, называют
тождественно равными, а замену одного выражения другим,
тождественно р~вным ему,- тождественным преобразованием
выражения.
3. Одночленами называют произведения чисел, перемен
ных и их степеней, а также сами числа, переменные и их
степени. Например, 8а 3 Ь, -1,5xy2z8, 12, с, т 10 - одночлены.
Степенью одночлена называется сумма показа тел ей степе
ней всех входящих в него переменных. Например, степень од
ночлена 9а 7 Ь равна 8.
4. Многочленом называется сумма одночленов. Например,
у4 -8у 3 +2у-3, 4а 4Ь+11а 2 Ь 2 -аЬ+3Ь-1 - многочлены. Од
ночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.
Степенью многочлена стандартного вида называют наиболь
шую из степеней входящих в него одночленов. Например,
степень многочлена 18а 6 - 7а4 Ь 3 + 1 равна степени одночлена
-7а4Ь3, т. е. равна 7.
•
Степенью многочлена, не записанного в стандартном виде,
называют степень тождественно равного ему многочлена стан
дартного вида.
5. При сложении многочленов пользуются правилом рас
крытия скобок: если перед скобками стоит знак «плюс,>, то
скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого,
заключенного в скобки. Например, (5х2 - 3ху) + (4ху - 2х 2+ 1}:=
=5х2-3ху+4ху-2х2+1=3х2+ху+1.
При вычитании многочленов пользуются правилом раскры -- ·
тия скобок: если перед скобками стоит знак <<минус», то
скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого,
·заключенного в скобки. Например, (8а 2 - 3аЬ) - (7а 2 - 4аЬ + 5) =
=8а2-3аЬ:_7а2+4аЬ-5=а2+аЬ-5.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить
этот одночлен на каждый член многочлена и полученные
произведения сложить. Например, 2х 2 (3х 3 - ху + 5у 2) =
= 6х5- 2х3у+1Ох2у2•
•
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно ~аждый
член одного многочлена умножить на каждый член другого
многочлена и полученные произведения сложить. Например,
224
(2а-3)(3а2+а-4)=ба3+2а2-8а-9а2-За+12= баз-7a2-
-
lla + 12.
6. Формулы . сокращенного умножения.
а) (а - Ь)(а+Ь)=а2- Ь2•
Произведение разности двух выражений и их суммы рав
но разности квадратов этих выражений.
б) (а+Ь)2 = а2 +2аЬ+Ь2•
:Квадрат суммы · двух выражений равен квадрату первого
выражения плюс удвоенное произведение первого и второго
выражений плюс квадрат второго выражения.
в) (а-Ь)2=а2-2аЬ+Ь2•
:Квадрат разности двух выражений равен квадрату пер
вого выражения минус удвоенное произведение первого и
второго выражений плюс квадрат второго выражения.
г) (а+Ь)(а2-аЬ+Ь2)=аз+Ь3.
Произведение суммы двух выражений и неполного квад
рата их разности равно сумме кубов этих выражений.
д) (а-Ь)(а2+аь+Ь2)=аз-ьз.
Произведение разности двух выражений и неполного
-Rвадра та их суммы равно разности кубов этих выражений.
7. Разложением многочлена на множители называют пред
ставление многочлена в виде произведения многочленов.
Для разложения многочленов на множители применяют
следующие способы: вынесение множителя за скобки, груп
пировку, использование формул сокращенного умножения.
Например, многочлен 8аз - баЬ можно разложить на множи
тели, вынося 2а за скобки: 8аз - баЬ = 2а (4а2 - 3Ь); многочлен
2а Ь + 1 О Ь - За -15 можно ' разложить на множители, исполь
зуя группировку: 2аЬ+ 10Ь - 3а - 15 = (2аЬ + 10Ь)-(3а+ 15)=
=2Ь(а+5)-3(а+5)=(а+5)(2Ь-3); многочлен 9а2-25Ь4
можно разложить на множители, используя формулу раз
ности квадратов двух выражений: 9а 2--25Ь 4 = (3а)2-(5Ь 2)2 =
=(За- 5Ь2)(За+5Ь2).
8. Рациональной дробью называется рациьнальное выра
а
жение вида ь .
При любых значениях а, Ь и с, где b=t=O и c.=t=O,
а
ас
а
ас
ь . Ьс. Свойство дроби, выраженное тождеством ь = Ьс, на-
зывают основным свойством дроби. Основное свойство дроби
используется для сокращения дробей. Например,
8 За~аз 201
225
х2 +2ху х(х+2у) _ х
.
4у2+2ху 2у(х+2у) - 2у '
а3-8
(а - 2)(а 2 +2а+4) а-2
3а2+ба+ 12
3 (а2+2а+4)
3
Если изменить знак числителя (или знаменателя) дроби,
v
-а
а
а
а
то изменится и знак это и дроби: ь =
-
ь;_ь=
-
ь.Если
у дроби изменен знак числителя или знаменателя, то чтобы
получиrь выражение, тождественно равное данной дроби, надо
изменить знак и перед дробью:
а
ь
9. Действия над рациональными дробями .
а) Если с=FО, то
~+J:.= а+ Ь и
с
с
с
с
а
---
/j
с
а-Ь
с
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нуж
но сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
Например,
3х-8у + 2х-7у = 3х-Ву+2х-7у = 5х-15у
5ху
5ху
5ху
5ху
5(х-3у) х - 3у
5ху
ху
Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми зна
менателями, нужно из числителя первой дроби вычесть чис
литель второй дроби, а знаменатель оставить тем же. Например,
х2
4
3х-6 Зх-6
(х-2)(х+2)
3 (х-2)
х+2
3
б) Чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с раз
ными знаменателями, нужно привести их к общему знамена
телю и затем применить правило сложения или вычитания
дробей с одинаковыми знаменателями . Например,
а2
Ь2
Ь
а2
Ь2
аЬ-Ь 2 + аЬ-а2 --;;:-= Ь (а-Ь) +а (Ь-а)
Ь а3-Ь3-:-аЬ2+Ь3
а
аЬ(а-Ь)
_ а(а 2 -Ь 2) (а-Ь)(а+Ь)
-
аЬ(а-Ь)
Ь(а-Ь)
а+ь
-ь- ·
в) Если Ь =,"= 0 и d=,"=0, то
226
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их
числители и перемножить их зна~ена тели и первое произве
дение записать числителем, а второе знаменателем дроби.
Например,
с2:....-4 с
(с2 - 4)с с(с-2)(с+2)
---;;,• Зс-6 = с2(Зс-6)= Зс'(с-2)
г) Если Ь=1=О,с=1=Оиd=1=О, то
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую
дробь умножить на дробь, обратную второй. Например,
х3 - 8,х,- 2 х3 -8 6 _6(х-2)(х2 +2х+4)
12х•6
-
12·х х-2
12х(х-2)
10. -Степень с целым показателем.
Если п - натуральное число, большее 1, и а - любое чис
ло, то
ап=а•а• ... •а.
~
п раз
Если п=1 иа любое число, то
а'=а.
Если п = О и а число, отличное от нуля, то
а0 =1.
Если п - целое отрицательное_ число и а
-
отличное от
нуля число, то
п
1
а=--.
а-п
11. Свойства степени с целым показателем.
а) а тап= ат+п, где a=;i= О, т и п - целые числа.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями осно
вание оставляют прежним, а показатели складывают.
б) ат:ап=ат-п, где a=;i=O, т и п - целые числа.
При делении степеней с одинаковыми основаниями осно-
-
ванне оставляют прежним, а из показателя степени делимого
вычитают показатель степени делителя .
в) (ат)п=атп, где a=;i=O, т и п - целые числа.
8*
227
При возведении степени в степень основание оставляют
прежним, а показатели перемножают.
г) (аЬ/=апЬ", где а+о и ь+о, п - целое число.
При возведении в степень произведения возводят в эту
степень каждый множитель и результаты перемножают.
д)(~)."= :: , где а+О и Ь+О,п-целоечисл~.
При возведении в степень дроби возводят в эту степень
числитель и знаменатель и первый результат записывают в
числителе, а второй - в знаменателе дроби.
12. Квадратным корнем из числа а называется число, квад
рат которого равен а.
Арифметическим квадратным корнем из числа а . назы
вается неотрицательное число, квадрат которого равен а. Ариф-
метический квадратный корень из а обоз начают --/а. Выраже
ние, стоящее под знаком корня, называют подкоренным вы
ражением.
Свойства арифметического квадратного корня.
а) Если а;;;,,О и Ь;;;,,О, то
Корень из произведения неотрицательных множителей ра
вен произведению корней из этих множителей.
б) Если а;;;,,о и Ь>О, то
~
=~-
Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а зна
менатель • положителен, равен корню из числителя, деленно
му на корень из знамена тел я.
в) При любом значении а
-va2 = lal.
Уравнения
13. Корнем уравнения с одной переменной называется зна
чение переменной, при котором уравнение обращается в вер
ное равенс тво . Например , _ число 2 - корень уравнения
х3- х=4х2- 10,таккакравенство23- 2=4•22- 10- верное.
Решить уравнение с одной переменной - значит найти все
его корни или доказать, что их нет .
14. Уравнения, в которых левая и правая части являют
ся рациональными выражениями, называются рациональны-
228
ми. Если и левая и правая части_ рационального у.равнения
являются целыми выражениями, то уравнение называют це
лым. Рациональное уравнение, в котором левая или правая
часть является дробным выражением, называют дробным.
15. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те
же корнщ назыв .аются равносильными. Например, уравнения
х2= 25 и (х- 5)(х+5)= О равносильные. Каждое из них
имеет два корня: :__ 5 и 5. Уравнения, не имеющие корней,
также считают равносильными.
ц ,, Уравнения обладают следующими свойствами:
·если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же
число, то получится уравнение, равносильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно
и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение,
равносильное данному.
В уравнении можно переносить слагаемые из одной части
в другую, изменяя их знаки. При этом получаются уравне
ния, равносильные исходному.
• 16. Линейным уравнением с одной переменной называет~
ся уравнение вида ах = Ь, где х - переменная, а и Ь
-
числа.
Число а называется коэффициентом при переменной, число
Ь - свободным членом.
Если а -=1= О, то уравнение ах= Ь имеет единственный ко
ь
рень -
.
Например, уравнение 5х = 3 имеет корень 0,6. Если
а
-
а = О и Ь -=1= О, то уравнение ах = Ь не имеет корней. Напри-
мер, уравнение О•х=9 не имеет корней. Если а=О и Ь =О,
то корнем уравнения ах = Ь является любое число.
17. Квадратным уравнением называется уравнение вида
ах2+Ьх+с=О, где х- переменная, а, Ь и с
-
некоторые
числа, причем а -=1= О. Число а называют первым коэффициен
том, Ь-
· вторым
коэффициентом и с - свободным членом.
Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент ра
вен 1, называют приведенным квадратным уравнением.
18. Если в квадратном уравнении ах 2 + Ьх+с=О ~отя бы
один из коэффициентов Ь или с равен нулю, то такое урав
нение называют неполным квадратным уравнением.
Неполное квадратное уравнение вида ах 2 + Ьх = О имеет
ь
двакорня:Ои--
.
Такие уравнения обычно решают раз-
.
а
ложением левой его части на множители. Например,
3х2-15х=0,3х(х-5)=0,х1=0 и х2=5.
Неполное квадрат~ое уравнение вида ах 2 +с= О имеет два
корня: - ~ и~ ' если -+>о, и не имеет корней,
229
если -
~ < О. Решают такие уравнения, сводя их к уравне~
а
.
ниям вида х2= т. Например, О,5х2- 18= О, О,5х2= 18,
Х2=36, Х1 = - 6, Х2=6.
•
19. Выражение D = Ь 2-- 4ас называют дискриминантом
квадратного уравнения ах 2 + Ьх + с • О.
Если D > О, то квадра'l'ное уравнение имеет д·ва корня;
если D = О, то один корень; если D < О, то квадратное ура:~щ:?Ь
ние корней не имеет.
:Корни квадратного уравнения ах 2 + Ьх +с = О при D:;;,, О
находят по формуле
х
- Ь±-/D
2а
:Корни квадратного уравнения вида ах 2 + 2kx +с= О при
D:;;:,O можно находить по формуле
-k±✓k2-ac
Х=
.
.
а
20. Теорема Виета: сумма корней приведенного квадрат
ного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с про
тивоположным знаком, а произведение корней равно свобод
ному члену. Иначе говоря, если х 1 и х2 - корни уравнения
x 2+px+q=0, то х1+х2= -р и X1X2=q.
Теорема, обратная теореме Виета: е.сли числа тип таковы,
что их сумма равна - р, а произведение равно q, то эти
числа являются корнями уравнения х 2 + рх + q = О.
21. При решении дробных рациональных уравнений обычно
поступают следующим образом:
1) находят .общий знаменатель дробей, входящих в _уравне
ние; 2) заменяют данное уравнение целым, умножив обе его
части на _ общий знаменатель; 3) решают получившееся целое
уравнение; 4) исключают из_ его ЕОр~ей те, которые обращают
в ну ль общий знаменатель.
Решим, например, _уравнение
2х __2 __ х+1
х-2 х2-2х 2-х•
Умножив на общий ·знаменатель дробей, т. е. на х (х---:- 2), обе
части уравнения, полу'Чим 2х2 = 2 + х (х + 1). Это уравнение
приводится к квадратному уравнению х 2 - х - 2 = О, имеюще
му корни 2 и - 1 . При Х = 2 общий знаменатель дробей
230
исходного уравнения обращается в нуль, этот ~корень нужно
исключить. При х= - 1 общий знаменатель х(х - 2) в нуль
не обращается, следовательно, число - 1 является кор-нем
исходного уравнения.
22. Решением уравнения с· двумя переменными называет
ся пара значений переменных, обращающая это- уравнение
в верное равенство. Например, wapa чисел- Х = - 5, У' = 3 явл·яет
ся решением уравнения х 2 - 4-у, = 13. Это· решение· можно за
писать так: ( - 5; 3).
Линейным уравнением с двумя. переменными называется
уравнениевидаах+Ьу=с,гдехиу - переменные,а, Ьи9
-
чиела.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же
решения, называют· равносильными. Уравнения, не имеющие
решений, также считают равносильными.
23. :Каждое решение (х; у) уравнения с двумя переменными
можно изобразить в координатной плоскости точкой с коорди
натами х и у. Все такие точки образуют график уравнения.
Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в
котором хотя бы ОДИН из коэффициентов при переменньгх не
равен нулю, является прямая.
24. Решением системы уравнений с двумя переменными
называется пара значений переменных, обращающая каждое
уравнение системы в верное равенство. Например, пара чи
сел х = 3, у= 8 - решение системы
{ 3х-у= 1,
х+2у=19 .
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни
и те же решения, называются равносильными. Системы урав
нений, не имеющие решений, также считают равносильными .
Решить систему уравнений - значит найти все ее решения
или доказать, что решений нет.
Для решения систем уравнений с двумя переменными и с
пользуются способ подстановки, способ сложения , графический
способ.
Неравенства
25. Число а больше числа Ь, если разность а - Ь
-
по
ложительное число; пишут а> Ь. Число а меньше числа Ь,
если разноСТl;1 а - Ь
-
отрицательное число; пишут а< Ь.
231
Если а>Ь, то Ь<а; если а<Ь, то Ь>а.
ЕслиабольшеЬилиаравноЬ,топишута?Ь.Еслиа
меньше Ь или а равно Ь - пишут а:::;;; Ь.
Неравенства, составленные с помощью знаков > или < ·;
называют строгими; неравенства, составленные с помощью
знаков ? или ::::;;; , называют нестрогими.
26. Свойства числовых неравенств.
а) Еслиа<ЬиЬ<с,тоа<с.
6) Еслиа<Ьис- любоечисло,то
Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно
и то же число, то получится верное неравенство.
в) Если а< Ь и с - положительное число, то
ас< Ьс;
если а< Ь и с - отрицательное число, то
ас> Ьс.
Если обе части верного неравенства умножить или · разде
лить на одно и то же положительное число, то получится
верное неравенство;
если обе части верного неравенства умножить или раз
делить на одно и то же отрицательное число и изменить
знак неравенства на противоположный, то получится верное
неравенство.
27. Сложение и умножение числовых неравенств.
а) Еслиа<Ьиc<d,то
а+с<Ь+d.
Если сложить почленно верные неравенства одного знака,
то получится верное неравенство.
6) Если а<Ь и с<d, где а, Ь, с и d - положительные
числа, то
ас< bd.
Если перемножить почленно верные неравенства одного
знака, левые и правые части которых - положительные числа,
то получится верное неравенство.
Если а и Ь - положительные числа, а< Ь и п
-
натураль
ное число, то а"< ьп.
232
28. Решением неравенства с одной переменной называет
ся значение переменной, которое обращает его в верное число
вое неравенство. Например, число 1,8 ·-
решение неравенства
5х < 10. Этому неравенству удовлетворяет и любое другое чис-
. 'ло,
меньшее 2.
Решить неравенство с одной переменной_:__ значит найти
все его решения или доказать, что их нет.
29. Неравенства, имеющие одни и те же решения, назы
ваются равносильными. Неравенства, не имеющие решений,
также считаются равносильными.
Неравенства с одной переменной обладают следующими
свойствами:
если из одной части неравенства перенести в другую сла
гаемое с противоположным знаком, то получится равно
сильное ему неравенство;
если обе части неравенства умножить или разделить на одно
и то же положительное число, то получится равносильное
ему неравенство;
если обе части неравенства умножить или разделить на одно
и то же отрицательное. число, изменив при этом знак нера
венства на противоположны.й, то получится равносильное ему
неравенство.
30. Числовой промежуток [а; Ь]
-
это множество всех чи
сел, удовлетворяющих двойному неравенству а3⁄4 х 3⁄4 Ь.
Числовой промежуток (а; Ь) - это множество всех чисел,
удовлетворяrощих двойному · неравенству а< х < ь.
Числовой промежуток [а; Ь) - это множество всех чисел,
удовлетворяющих двойному неравенству а3⁄4 х < Ь.
Числовой промежуток (а; Ь] - это множество всех чисел,
удовлетворяющих двойному неравенству а< х 3⁄4 Ь.
Числовой промежуток [а; + оо) или (а; + оо) - это мно
· жество всех чисел, удовлетворяющих соответственно неравенст
ву .х?а или х>а.
Числовой промежуток (- оо ; Ь] или (- оо ; Ь) - это мно
жество всех чисел, удовлетворяющих соответственно неравен
ствуХ3⁄4ЬИЛИх<Ь.
Числовой промежуток ( - оо ; + оо) - это множество всех
действительных чисел.
31. Неравенства вида ах> Ь и ах< Ь, где а и Ь
-
не
которые числа, а х - переменная, называются линейными.
233
32. Если ставится задача найти общие решения нескольких
неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.
Решением системы неравенств с одной переменной назы -
- вае тся
значение переменной, при котором верно· каждое. из
неравенств системы.
Решить систему неравенств - значит найти все ее· реш.ения
или доказать, что решений нет.
Функции
33. Зависимость переменной у от переменной х называет
ся функцией, если каждому значению х соответствует един
ственное значение у. Переменную х называют независимой
переменной или аргументом, а переменную у - зависимой
переменной . Говорят также, что у является функцией от х.
Это можно записать в виде формулы Y=f(x).
Все значения, :которые принимает независимая перемен
ная, образуют область определения функции.
Графиком функции называете.я множество точек плоскости,
абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты -
соответствующим значениям функции.
34. Чтобы ответить на вопрос, при каких значениях ар
гумента функция у= f (х) обращается в нуль, в каких про
межутках она принимает положительные значения и в каких
отрицательные, нужно решить уравнение f (х)=О и соответ
ственно неравенства f (х)> О и f (х)<О .
Функция называется возрастающей в некотором промежут
ке , если большему значению аргумента из этого промежутка
соответствует большее значение функции. Если функция возра
стает на всей области определения, то ее называют возра
стающей функцией .
Функция называется убывающей в некотором промежутке,
если большему значению аргумента из этого промежутка соот
ветствует меньшее значение функции. Если функция убывает
на всей области определения, то ее называют убывающей функ
цией .
35. Переменная у пропорциональна переменной х, если при
увеличении значений х в несколько раз соответствующие зна
чения у увеличиваются во столько же раз .
Если переменная у пропорциональна переменной х, то для
234
всех пар соответственных значений х и у отношение JL равно
х
одному и тому же числу. Это число называют коэффициентом
пропорциональности.
Переменная у обратно пропорциональна _перемеН!f ОЙ х, ес
ли при увеличении значений х в несколько раз соответствую
щие значения у уменьшаются во столько же раз.
Если переменная у обратно пропорциональна переменной х,
то для всех пар соответственных значений х и у произведе
ние ху равно одному и тому же числу .
36. Прямой пропорциональнос_:rыо называется функция, ко
торую . можно задать формулой вида y=kx, где х - неза
висимая переменная и k - не равное нулю число. Областью
определения функции является множество всех действитель
ных чисел.
При k > О функция у= kx является возрастающей, при
k < О - убывающей.
График прямой пропорциональности есть прямая, прохо
дящая через начало координат. При k > О график расположен
в первой и третьей координатных четвертях, при k < О - во
второй и четвертой координатных четвертях.
37. Обратной пропорциональностью называется функция,
ф
u
k
которую можно задать ормулои вида у = 7 , где х - незави-
симая переменная, k - не равное нулю число . Областью опре
деления функции является множество всех действительных
чисел, отличных от нуля.
k
При k > О функция у= - принимает отрицательные зна-
х
чения, если х < О, и положительные значения, если х > О.
Функция убывает в каждом из промежутков ( - оо; О) и
(О; +оо).
k
При k<O функция у= - принимает положительные зна-
х
чения, если х < О, и отрицательные значения, если х > О,
Функция возрастает в каждом из промежутков ( - оо; О) и
(О; +оо).
Графиком обратной пропорциональности .является гипер
бола. При k > О график расположен в первой и третьей коор
динатных четвертях, при k < О - во второй и четвертой коор
динатных четвертях.
235
38. Линейной функцией называется функция, которую
можно задать формулой вида у= kx + Ь, гд"е х - независимая
:r;еременная, k и Ь - числа. Областью определения функции
является множество всех действительных чисел.
При k > О функция у= kx + Ь является возрастающей, при
k < О - убывающей.
Графиком линейной функции является прямая.
Графики двух линейных функций, заданных формулами
вида у= kx + Ь, пересекаются, если коэффициенты k различны,
и параллельны, если коэффициенты k одинаковы .
39. Областью определения функции у= х 2 является мно
жество всех действительных чисел. Функция обращается в
нуль при х=О, а при x=;l=0 принимает положительные зна-·
чения. Функция убывает в промежутке ( -
=; О] и возрастает
в промежутке [О; + = ). График функции у= х 2 - парабола.
Этот график проходит через начало координат и расположен
в первой и второй координатных четвертях.
40. Областью определения функ·ции у= х 3 является мно
жество всех действительных чисел. Функция обращается в
ну ль · при х = О, принимает отрицательные значения, если
х < О, и положительные значения, если х > О. Функция яв
ляется возрастающей. График функции у= х3 проходит через
начало координат и расположен в первой и третьей коорди
натных четвертях.
41. Область опр~деления функции y=-fx - множество не
отрицательных чисел. Функция обращается в нуль при х = О,
при х > О функция принимает положительные значения. Функ
ция является возрастающей. График функции у =-fx распо
ложен в первой координатной четверти.
• Действительные числа. Приближенные вычисления
42. Число, которое можно представить в виде дроби т
п'
гдет- целоечисло,ап
-
натуральное, называют рацио
нальным числом.
Каждое рациональное число может быть представлено в
виде бесконечной десятичной периодической дроби. Например,
7
3
212 = 2,58(3); 8 = 0,375(0); - 5 =
-
5,(0).
236
Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь
представляет некоторое рациональное число. Например, 0,(6)=
2
2
=
3 ; 1,(18)=111.
43. Числа, которые нельзя представить в виде дроби !!!:._ ,
п
гдет- целоечисло,ап
-
натуральное, называют иррацио
нальными числами. Например, числа -{з, л, -
./8:{ ирра
циональные.
Каждое иррациональное число может быть представлено
в виде бесконечной десятичн.ой непериодической дроби.
Рациональные и иррациональные числа образуют мно
жество действительных- чисел.
Каждому действительному числу соответствует точка на
координатной прямой, и каждой точке координатной прямой
соответствует некоторое действительное число.
44. Стандартным видом числа а называют его запись в
виде а-10", где l3⁄4a<l0 и п-целое число . Число п
называют порядком числа. Например, 7 3 ООО= 7,3 • 104 ;
0,0026= 2,6 · 10-з.
45. Значащими цифрами числа называют все его цифры,
кроме нулей, стоящих вначале . Например, в числе 0,023
две значащие цифры: 2 и 3; в числе 0,807 три значащие
цифры: 8, О и 7; в числе 130 три значащие цифры: 1, 3 и О.
46. Абсо.лютной погрешностью приближенного значения
числа называется модуль разности числа и его приближен
ного значения . Например, абсолютная погрешность приближен-
1
.
11
11
3
1
ного значения 0,3 числа 3 равна 3 - 0,3 =3 - 10=30•
Если абсолютная погрешность приближенного значения не
превосходит некоторого числа h , то это значение называют
приближенным значением с точностью до h. Например, 1,41
является приближенным значением -. /2 с точностью до 0,01 .
Если число х приближенно равно а с точностью до lz,
то пишут: х =а+ h. При этом число h обычно берут с одной
или двумя значащими цифра.ми. Например, -/3 . 1,73+0,01.
4 7. Относительной погрешностью приближенного значения
называется отношение · абсолютной погрешности к модулю
приближенного значения.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгоритм 195
Биквадратное уравнение 36
Графический способ решения урав-
нения с одной переменной 39
-
-
-
системы уравнений 43
Дискриминант квадратного трехчле
на4
Знаменатель геометрической прогрес-
сии 72
Квадратный трехчлен 3
Корень п-й степени 100
-
-
-
арифметический 103
Косинус угла 133
I~отангенс угла 133
Неравенство второй степени с одной
переменной 25
Облас'rь значений функции 98
Последовательность 58
· Прогрессия
арифметическая 62
-
геометрическая 72
Радиан 141
Разность арифметической прогрес-
сии 62
Свойства арифметического корня п-й
, степени 106
-
степени с рациональным показа те
лем 115
·-
степенной функции с натураль
ным показателем 97
238
Синус угла 132
Степень с дробным показателем 112
-
:ура:11нения с одной переменной 33
-
уравнения с несколькими перемен-
ными 42
Сумма бесконечной геометрической
прогрессии 83
Та-нгенс угла 133
Угол поворота 131
Формула п-го члена . арифметиче-
ской прогрессии 63
-
-
-
геометрической прогрессии 73
-
разности косинусов 170
-
-
синусов 169
-
суммы косинусов 169
-
-
п первых членов ариф!',iетиче-
ской прогрессии 68
-
-
-
-
-
геометрической прогрес-
сии 78
-
-
синусов 169
Формулы двойного угла 165
-
приведения 153
-
сложения 160
Функция квадратичная 14
-
нечетная 94
-
степенная с натуральным показа-
телем 96
-
четная 92
,_
ОТВЕТЫ
Глава I
12
- 1+./5
i 5+-fiз
3. а)
-
2;1,5;б)3 ;3 ;в)-20;5;г)
4 ;д) -3±-у7; е) -=z-- .
3
1
2
2
-б±VЗО
1
4. а)
-
4;13;б)-2;23;в)-1;-13;г)
2
-
9. а)
-
2;
2
1
••
_
1
3;б)1;13 ;в)6;г)корнейнет;д)-4,а;е)4;8.10.а)3 ;3;б)-6;14;
в)-
~; г) -3; -11; д) О; 6; е) ±-/5; ж) -3,5; О; з) корней нет. 11. а) 1±-/5;
1
•
б).-2;23.12.д)
-(y-l)(y-5)= (1 -y)(y-5); е) - (х -l )(х+ б)=
=(1-х)(х+б); ж)2(х-1)(х-1 ~) =(х-1) (2х-3); з) 5(у+1)(у- : ) =
•
•
.
(
(
1)
.
(
1)2
=(у+1)(5у - 3); и) -2 x+l) х-3 2 =(х+1)(7-2х). 13. а) 2 х-2 ;
б)- 9(х-:)2
= - ( 3х-2)2 ; в) (4а+3)2; г) (0,5т-2)2. 14. а) 2 (х+7) (х-1);
б) -3(т-2)(т-3)=(6 - 3т)(т-3); в) (х+2)(3х-1); г) б( х- :) Х . ,,
(
3)
1
(1
\2
2
2
х х - 2 =(3х-2)(2х-3); д) т(а-4) 2 = та-2) ; е) -_3 ( т-3).
1
5
Ь-3
у+4
с+ 10
5а+3
17•а) x+l7; б) 2а+9; в) Ь-5; г) - у+9; д)
-
с+2; е) 14-lla'
3
2х+1
т-3
2
1
•
18.а)х+5;б)-х-;в)т-2.21.а)
-23;-2;б)-2;215;в)-1;
1
23;г)2;23.22.а)
-
2; 2; б) О; 2,5. 23. 24 км/ч. 24. а) Все числа, ~,роме
-1
и 7; б) все числа, кроме б. 31. а) Да; б) да; в) нет; г) нет. 37. а) (-5; 50),
(5; 50); б) (- 5 -,/2; 100), (5-,/2; 100); в) нет; г) (2; 8), (5; 50). 38 . (-3; -9),
1
а+7
1-3а
(1; -1).41.а)5а+2;б)а+9;в)2a+l.42.а)
-
10; б) 3. 43. 3 км/ч.
47. ( - 1; 6), х=-1. 48. (2; 3), х=2. 57. а) (-10; 149), (3; 19); б) (2; 11),
(4; 79).58.а)(3х+ 2)(3х-1).59.а)(-оо; 2,9);б)[0,25; + оо); в)[-1,8; + оо);
239
/
г) (-оо; 0,2). 60. а)(
-3
~; 5 :) ; б) х~-3,5; в) х>l; . г) решен~й нет.
61.а)(О;О),(1~ ;5 ~) ;б)( -3; 18),( ~ ;{) .62.27км / ч.66.а)( -4; +оо)
и(-оо ; -4]; 6) [2,5; +оо ) и(-оо;2,5 ] ; в)( -оо; -2]и[-2; +оо ) ;
г) (-оо; О] и [О; +оо). 67. а) (-оо;
-5] и [-5; +оо); б) [1,5; +оо) и
(-оо; 1,5];в)(-оо;О]и[О; +оо);г)[О; +оо)и(-оо;О].71.а)(-,/3; - 8),
(,/3;-8);б)(-5;-23),(~;-1;).72.а)
-10;2;б)3;8;в)-6;-3;
1
г)О;2.73.а)
-
3(х+5); б) 2х+16. 74. На 10%. 75. а) (- 9; 10);
6)(-оо; ~)и(;; +оо); в) (-оо; -8) и (6; +оо); г) ( -оо; -1
~)
и(:;+оо);д)(-оо;
~)и(~ ; + оо) ;е)решенийнет;ж)(- оо; +оо);
з) решений нет. 76. а) (- оо;
-2,5] и [1; + оо); б) [-2; 3J; в) [-3; О];
г) (-оо; :--,/5] и [-у5; +оо ). 77. а) ( -оо;
- 7) и(-~; +со); б) х+;;
в)[~;1 ;] ; г)(-оо; -4
~] и [2; +со); д) (-со; О) и(;; +оо);
е) (-оо; -2 - -12) и (2-j2; +со). 78. а) (-4; 4); б) ( -оо; -,/3] и [,/3; +оо);
_в) (-оо; -3) и (3; +оо); г) (-оо; -
~] и (О; +оо); д) (-;;о);
е) (-оо; О) и (7; +оо). 79. а) [-10; 10]; б) (-оо; -2,/6) и (2,/6; +оо);
в)[- 4; О]; г)(- оо;
-
'f)и(f;+оо);д)(-оо;О)и(: ; +оо);
е) (-оо; -
~)и(О;+оо).80.а)(-7;- :);6)-(-оо;1~]и
[•2
)·
•
'(
9-,,/37)
(9+,,/37
)
13;+оо ;в)(-оо;+оо)(г)-оо;
-
2-2
-
и~;_+оо•
81. а) (- оо;
-1)и(4~;+оо);б)(-оо; :)и(:;+оо).82.а)[О;2];
б) х+ -2. 86 . Больше 7 см, но меньше 12 см. 87. Больше 4 см.
х+2
4т2-6т+9 •
90.а)3х_1;б) 3т+2
.
91. а) ( - оо; 1); б) решений нет. 93. а)
-
6;
2±-у22
4±-уб
5±,/17
-
1
2
2;б).6
; в)-2
-; г)-4-. 95. При Р=-:-12; -3
.
•
2 (т-2)
2т,--1
4(х-4)
х-1
т-3
98.а) т+4 ;б)п-3•99.а) 4x+l;б)x+l ;в)2т+1;г)х-1.
•
2
х-4
2(х-5)
2x+l
3
1
100.а)х+х;б)4(x-l);в)х-2;г)х-3•101. а)16;б)23;
в)-4;г) -8;109.а= -6,Ь=26.110.а)[214; +оо);б)[1,82; +оо);
в) ( - оо; 2,5]; г) ( - оо; -4~] . 113 . а) [:;+00),(-00; :J;
б)(-оо;:],[·:;+оо);в)[- :;+оо),(-оо;
-
:];г)(-оо;2~],
[2~;+оо);д)(-оо;~~] ,[~~; +оо);е)[О; +оо),(-оо;О].
240
114. а) Наимень ш ее 5; б) наибольшее 3,2; в) наименьшее - 12 . 117 . а) (2; 3);
б)[1; 6]; в)(-оо; +оо);г)(-оо; +оо); д)(-оо; - 2
~) и (1; +оо);
е)(-оо; + оо). 118. Да. 120. а)(-4; 4); б) (-оо;
-
6], [7; 11) и (11; + оо);
•
•
(3
)
в)хс;Ь-2;г)(-5;6).121.[-3;1].122.а)(-2;О);6)4;+оо;
в) (- оо;
-
12); г) (-5; О); д) решений нет; е) решений нет; ж) ( - 2;
.
.
-
~);
з) (- оо; 0,36). 123. а) (-1; 2); 6) (1; 4).
Глава II
.
1
125. а)
-
2;6)-1;в)-3;5;2;г)-0,5;0,5.126.а)О;5,5;б)-7;в)13;
1•
4
г)-63 ;5.130.Прир< 2.131.а)ПриЬ<4,5;б)приЬ<15;в)приЬ<-6
иприЬ>6;г)приЬ<-2 ,/5ипри_Ь>2,/5.132. а)Прии=1,5;б)прии=- 5
и при v=5; в) при v=-2- -/2 и при v=2--/2; г) при v=6 .. 133. а) При
-
1
•
1
•
-12<t<12;6)приt<- 3 ;в)приt>288-;г)при- 12<t<12.134.а)О;
_г,:;_ _ г,:;_
11
.
-yu;_,6;6)О;в)О;1,5;2;г)О;-0,2;0,5;д)2;-3;3;е)О;1;-4;4;
3
•
1
·
ж)1;-1;з)О;-1;1;3.135.а)О;17 ;6)0;- 12;1_2;в)О;1;4;г)3;д)О;-3;3;
2,5;е)1,5.138.а)(3;7);б)х-любое'ШСЛО,кроме4;в)(- оо;2]и[2: ; + оо);
[1]
_Г,,, _ri,:,
-2 -,/6 -2+ -уб
г)5;1.139.а)
-1;1;б)-
_,10;_,10;-4;4;в)
2
;
2
;
-3;1;г)-1;О;-2.140.а)
-2;2;-3;3;б)-2;О;в)-2;0,5;1;-2,5.
11
11
•
-- j2 --j2
-- j2
141. а)
-1;1;б)-4;4;в)-3;3;-2;2;г)-4;4;-2;
f;д) корней нет; е) - f; f.·142. а)
-3; 3; ~4; 4; б) мрней н~т;
в) ---/2; --/2; г) - , ./3; ,./3; д) ~f;f; -2; 2; е) корней нет. 143. а) (-3; О),
(-1; О), (1; О), (3 ; О) ; б) (-, ./3; О), (,./3; О); в) точек пересечения нет; г) (О; О).
144. а) Корней нет; б)
-
-1; ;f;- 2;:2. 145. а) -1; 1; --/5; ,/5; б) 1; -,./3; ,./3.
'
2
147. а) При Р< -,/15 и при р>,/15; б) при Р>з. 148, а) [-0,24; О];
б) (-оо; - 13) и (13; +оо); в) (-2; 12); г) (-оо; -1) и( 2 17
5 ; +оо).
159. а)
-, ./3; ,./3; -,/5; ,/5; б) ---/2; --/2; в) корней нет; г) -1; 1; -,/6; ,/6.
1
160.а)7;б)-14;-4;4;в)-4;-,/15;,/15;г)8.161.а)ПрихЕ(2;4);
(3
•1)
б)прихЕ(-3;7,5).162.90км/ч,80км/ч.173.а)(5;2);б) -4;-44 .
174. а) (9; -7,5); б) (-43; - 171). 175. 16 км/ч, 18 км/ч. 176. а) (3; 1),
(5;3);б)(-7; -3),(3; ~);в)(10;1,8);г)(-1,5;.
-6), (2; 1); д) (6; 8),
241
(-5 1
1
3 ; -8 18з);е)(6;4),( - 6; -4).17;.а)( -3; -1),(5,5;0,7);6)( - 6; -9),
(3; 4,5); в) (О; 2,5), ( -2; 1,5); г) (3; -5), (5,5; 5); д) (1,5; - 2,5), (2,5; -1,5);
е) (-3; -1), (1~~' 1
1
5
1). 178. а) x1=3f, y1=f;
х2=- 3'/;,
.
./3
,
.
у2=-2;б)U1=
-3,5, V1=2,5; U2=3,5, V2= -2,5 . 179. а) Х1= -5, У1=4;
1·
1
2
Х2=-23, у2=75; б) Р1=6, t1=2; Р2=-5, t2= - 13 . 180. ( -2; 0),j
(4;6).181.а)(5;О),(О; -5);б)(1;2),( -1~ ;3э.182.а)(-3;.
-2), (3; 1};
б)(3; -5),(5; -8).183.а)х1 = -2,у1 =1;х2==2,у2=-1;б)и1= -2,V1=3;
u2= -3, v2=3,5.184.а)(6; 4),(4; ~);б)(10; 4),(-4; -;О); в)(1~-; 2~),
(1:; 1:); г)(-2~; -2), (6; 15)~ 185. (2:; 1;), (6; 4).
186. ( - 2; О), (1,8; 11,4). 187. (3; -1). 189 . а) ( -./6; - ../6), (у6; -у6); б) ( - 5; --: 4);
(5; 4). 190. а) (-4; -3), (-4; 3), (4; -3), (4; 3); б) ( - 10; -8), ( -10; 8),
(10;-8);(10;8).191.а)(-3;-3),(3;3);б)(-6;-5),(6;5);
в) (-6; -5), (-6; 5), (6; -5), (6; 5); г) (-4; -1), ( -4; 1), (4; -1),
(4; 1). 192. а) (- 3; -3), (4; 0,5); б) (:; -~), (1; -2); в) (О; -5),
(1; -4); г)( -
~;
-1),('~ ; 1). 193. а) (-7; -9), (8; 6); б)( -: ; 18),
(5; 1). 194. а) (О; 6); б) (-4; О). 196. а) (- 2; - 4); б) (0,3; -0,6);
в)(1~; ~);г)(~;1~). 197. а)(з/3_;+(Х));б)(-сх,;
~)•
198.а)ПрихЕ(-14;12);б)прихЕ(- : ; ~) .199.8и12.200.18и12или
-12и -18.201.21см,2_0см.202.2·4см,10см.203.60м,40м.204.210см2•
205. 4,8 км/ч, 3,6 км/ч. 206. 0,16 м/с, 0,12 м/с. 207. 6 см, 5 см. 208. 8 см,
6см.209.5см,12см.210.10ч,6ч.211.60ч,84ч.212.8ч,12ч.
213. 1 кг, 1,2 кг. 214. 4 км/ч, 5 км/ч. 215. 75 км/ч, 60 км/ч. 216. 12 км/ч,
16 км/ч. 217. а) ( -1,5; 0,5); б) (1,2; -1,6), ( -0,7; 4,1). 218. а) (1; 1),
(4; 7); б) (1,5; 4). 219. а) (6; 8), (8; 6); б) lj:e имеют общих точек. 220. а) (О; 6);
6)(-сх,; -8]и[О; +сх, ) ;в)[ - 2;2];г)(-сх,;-у6)и(у6; +сх,).221.а)О; ,-1;1;
6)О;-2;2;в)О;-8;8;г)О;-2-у5;2./5.222.а)О;. -:5;5;б)О;-✓6;✓6.
1
1
223.а)1;2;б)-1;-2;1;в)-2;0,8;5;г)-1;6;6.224.а)
-3±./6;
-3±-у17; б) -2; 4; 1+./5; 1 - ✓5; в) корней нет; г) -4; О. 225. а)
-3; 5;
1+-/73 1-
- {73
7 ±-у33
-
4-;
-
4-;б)1;4;
4 .226.а)
-1--{2; -1+-{2; 6) -4; 5;
-7+ ✓55 -7- ✓55
_Гiг, _Гi _Гi _(и,
в)-4,5;1;
4
;
4
.
227. а)
-,,10; -,,5; ,,5; ,,10; 6) 2; -2;
1
111
11
в) 3;-2;3;2;г)-4;4.229.а)Прис>36;б)прис>-20.
230.а) ПриО<k< 42,25; б) при k=42,25 иприk< О. 239.ПриIrl< 3-{2.
240.Приlcl,;;;;10-{2.241.а)(5; - 2),( - 2; ~);б)(О; - 1),(3;5);в)(6; - 1),
242
(3;5);г)(6;2),(11;7);д)(4;1);е)(- 1~; : ) ,(- 5;- 3).242.а)(4;О),(О;-4);.
б)(2;3),(- 2;- 1);в)(О;-5),(5,5;6);г)(5; - 4),( - ~; :) .243.а)(-6;2),
(6;-2),(-2;6),(2;-6);б)(-4;-6),(4;6),(6;4),(-6;-4).
•
(1
1)
244. а)(- 3; -4); б) решений нет. 245..а) 3 ; - 3
,(1;1);б)(3;4),(3; - 4),
(О; 5); в) (7,/2; ,/2), (-7,/2; ,/2), (7,/2; -,/2), ( - 7,/2; - ,/2); г) (,$1; - 1),
(--у51; - 1). 246. а) (1,5; - 2), (10; 15); 6) (70; - 28), (4; 5); в) (6; 8), (8; 6);
г)(:;-1~),(6;4).248.Неимеют.249.а).(-4;-3),(-4;2);(3;-3);
(З; 2); б)(3- 3✓2: 3+3✓2),(3+3✓2: 3- 3✓2),(2; 4), (4; 2); в)(2; 3), (3; 12);
г)(-3;-2),(-1;-4),(4;5),(6;3).250.а=2,Ь=-5,с=19или
5
а=-4,Ь=8,С=-20.251.С=4,q= -6,n= -8илиС=-4,q=6,n=20.
252.18и12.253.60и20или25и37,5.254.10иОили26и24.
8
3
2
•
255. 36. 256. 12. 257. 5
.
258.30м.259.20мин,30мин.260.90ч
и72чили104чи65ч.261.4км/ч,5км/ч,22км.262.30км/ч,
45 км/ч. 263. 64 км/ч, 56 км/ч. 264. 96 км/ч, 64 Rм/ч. 265. 40 км/ч,
50 км/ч.
Глава III
273.д)154;е)12.274.б)О;в)10.275.а)10;6)25;в)34.276.а)23;б)100.
16
84
1
1
278.в)27;~9;3;-2;.3;г)О;4;12;28;60;е)3;3;3;3;3.279.а)10;
20; 30; 40; 50; 60; Уп= 10n; б) 10; 102; 103; 104; 105; . 106; Уп= 10n.
280. а) Существует; 6) не существует. 281. а) 0,5 .jб; - 0,5 .jб; 6) 1,5 ✓2:
.
Гс,
•
3 -4.
-2
2.
3-В
1•
1•
1.
-1,5'/4,282.6).4а,в)а •Ь,г)ЗаЬ
.
283.а)9,б)243,в)81,
г)27.285.б)d=7,5,с,= - 4;в)d=3,5,с,=12,5.287.в)11,2;г)10.288.а)4;
6) 3. 292. 28 м. 293. 60 км/ч. 294. а) 23; б) 25. 295. а) 10; 6) 0,6.
296.а)1,5;б)0,8.299.а)с, =21,d=l,5;б)с,=38,d= - 2.300.а)х, =120,
d= - 1;6)х,= - 2,5,d=0,5.302.а)Да;б)нет;в)нет;г)да.303.а)Нет;б)да.
304. а) Для первых тридцати членов; б) для всех членов, начиная с 31-го;
в) для первых тринадцати членов; г) для всех членов, начиная с 64-го.
305. а)
-0,1; б) 0,1. 309. а) Существует; б) не существует. 310. а) (8; 5),
(-16;-11);б)(5~;3).311.а)О;
-
8;4; б)10.312.а)5;б)1ОООООО;в)3
1
2;
г) 3. 315. а) 63; 6) 86,4. 316. б) S 50 =2700, S,oo=10 400; S11=(n+4) п. 317. 2540.
318.а)п(п+1);6)п2•319.а)11325;б)7070;в)4905.320.а)11025;6)494550.
321. а) 5625; в) 11 400; г) 60 300; д) 810. 322. а) 10 100; б) 18 648; в) 1197;
г) 7500; д) 1188. 323. 2387. 324. 2070 . 325. 55 . 326. 199,5. 327. 122,5 м.
328. а) 63,7 м; б) 240,1 м. 330. а,= 0,8, d = 1,2. 331. а) Нет; б) да.
332.а)(~;1),( - : ;-1),(1;:),( -1;- :);б)(2;5),(2;-5),
-[з
(-2; 5), ( -2; -5)._336. б) q=,/2, с,=4,/2; в) q= 3-y3, с,=9.339. б)
-4;
243
) -у2
-./3
243
S-'n
·п
·п-1
В 4 ;г)3.340.в) 5 ;г) 25 .343.а) Ьn=-3 ;б) Ьп=-2 ; в)Ьn = 3·( - 2) ;
г)Ь,.=5"+1• 344.а) Ь,.=4-(-3)"- 1; б) Ьп=2-33-'". 347.б)
-
3.348.а)3ИЛИ- 3;
•
1
1
1
1
б)0,6или-0,6.349.а)1000;б)3или-3
. 350.а)25или-25;б)-162;
.
5
5
4
з
27-./3
в) -0,001 или 0,001, г) 6 или - 6
.
353. 3,5 ·10 м . 355.
4
см.
356. 0,375 см. 357. 111 . 359. а) (5; О), (- 5; 10); б) (- 10; -20), (2; 4).
7
.
361.в)1479;г)-21.362.а)
-
39364; б) 171. 363, а) Sn = 2(4" -
1);
5"- 1
34
4
г) Sп=-4-. 366. а) 205,9; б) 25 81 . 367. а) 1349 ; б) - 274,5. 368. 1094.
3
4
15
369. 2186. 371. 4320. 374. б) 1,6; в) 1; г) ~; д) ~; е) --.
1+v3
-v2- 1
-/5- 1
1.
1.
4.
lООл 2
2
375.а)19,б) -3
,в)45,г)2.377.2Oлсми
-
3- см. 378. 32л см,
2
1
4
9
7
357
5
8
7
379.а)3;б)9;в)11;г)111;д)30;е)1100.380.а)9;б)111;в)15;
37
г)3300.382.а)1,25;б)63.391.а)а,= -34,а2= -26,5,а5=- 4;б)а,=-10,
аз=- 5, а5=0, а6=2,5.398. а) 20- 2 ,/3; б) 4,/3- 7. 399. а) 15; б) 15.
1
1
400. а) Является; б) является. 401. а)
-
60;б)9.404.а)
-
0,1; б) О.
405. а) 7,5; б) 25 ./2. 406. а) 5000; б) - 780. 407. 11О см. 408. 203,5 см.
•
1
2
409. а) n=32, аз2=43; б) а,=-3, а37=113; в) а1=4,5, n= 10.
17
2
•
410.а,=422, d=11
.
411. а) 16000; б) 6720. 412. а) 21; б) 24. 413. в)
-50;
г) -100. 414. а) х 2 ; б) х-206. 415. а) 162. 416. а)
-
744. 417. а) 1605;
1
б) 1210. 418. а) 1600. 423. в) Ь2= -4 , Ь4=-1; Ь5=2; г) Ь2=3-у2, Ьз=б-./3,
1
Ь5=36,/з. 430. а) 18 ; б) 12-уб. 432. а) 5; б) 4. 437. а) Ь,=128, n=1;
1
б) Ь1=7, n=5; в) Ь1=3, Ь8=384; г) q=2
, n=5. 441. 70. 443. а) 1+./2;
1+./2
1
б)2
.
444. а) 2; б) 2(2-,/3). 445. а) 1,5; б) 114 . 446. 6 или 12.
7
1
447. а) 2660 ; в) 900. 448. а) 2лR,(2+./2); б) 2лR2; в) SR(l+./2); г) 4R2•
а2 ,/3
2 ,/3
ла2
449.а)ба;б) -3
-
;в)-3
-
ла;г)9 .
Глава IV
3х-5
у-6
35
459. 370. 460. а) 3х_ 15 ; б) 7у+ 42 . 469. а) 0,19; б) 118,81; в) -454,
•
244 ·
г,;
.
3у-1
24
.
479. 1093+364>'" · 481 . а) -? - ; б)
2 • 484. д) 1,5; е) 1,5; ж) -0,3;
у--1
25-4х
2
.
.
.
.
.
з)0,5.485.б)11;ж)13;з)1,5.496.д)О;е)10;ж)9;з)4.498.д)О;
е)-6.499.в)12;г)-64;ж)-5;з)4.500.в)48;г)-54;ж)2;з)-3.
503. г)
-2;2; д)_~; е) -Щ;Щ.504.д)
-3;е) -2,5;2,5.506.а)1;б) -2.
· 2а-12
2•
•
•
2
•
95
507.За+15.508.д)1,5;е)3;ж)0,4;з)_-1,5.509.д)9;е)1121.
51р.а)°15;б)0,5;г)0,6.511.а)6;б)6;в).5;г)4.512.а)15;б)6;в)6.
5iз'.в)15;г)14;д)4;е)3.514.а)3;б)0,5;в)2;г)5.517.в)2.;/Зс;
г)а.;/7а; - д) 3Ь,/ь; е) с~. 518. 6)$; в) . -:/4; г) М д) -~
е)~519. а) 2,Тс; б) 3-{[у; в)5х-{zx; ~)
-
а~520. б) Щ; в)
- vf};
з~
-./24222а
- Vf,
а3-
-V7
г)-y'L.a. 521.а)5;б)3;в)Зг,:;;г)~-;д)- ;е)-Ь; ж)3 ;з)3 .
.
-
"5
"з ,/3
-у6 ь
522. б) -✓4; в)
- vz7; _г)
-fi; д) 3-)6. 523. в) 3-V25; г) 0,5-VШ; д) 5,v2.
524. в) 1°{2; г) -уь4; д) V-, е) ,VX; ж) ,v49; з) -Vf,; и) -Jв; к) Щ; л) -;{а;
м) -ifь2. 525. в) ~ г)
-{5;д)-{5;е)-/5.530.а)66;б)20.531.а)3;б)1.
3а+Ь
,/3
6f:,;,ё
532. а)
~; б) 1. 533. а) 3 ; б) 9,/3-11 ,./2; в) 6-{з; г) 2,'162.
534. а)
-.. / 6; ../6; б) 4; в) -V2,. 536. г) 3,/х; -,/Зх; ~ ,vy; -~ ;-д)
~;
а~ -{/(а+Ь)2; -f.{а.2 +-уь2• 538. в) 5-VO,; ,v2Ь; --ус3; г) х-уу; -{j(x+y)3;
1
1
./х+-{у.539.ж)32;и)(7+а)4;к)(х2+у2)6.541. ж) 16; з) 8; и) : ;
61
к) 100 ООО. 542. д) 0,064;- е) 1 64 ; ж) 100; з) 0,0016. 544. б) у;;;:, 1;
1
1
д) с>5.
545. а) 0<х2<1; 0<х3<1; 0<х6<1; б) l<x2 <8;
553.в)1;г)с.554.г)
.а;
д)1;е)mQ·2•555.а)1;б)9.556.а)4;
1
1
б)49;в)2;г)25.557.а)6;б)6;в)70;г)15;д)1;е)0,12.
7
1
558.а)6;б)20;в)12;г)1,2.560.б)
-
;в)а;г)q.565.а)lOa;б)lOOa;
.
су
2
2
З
в)0,la; г) 0,0la. 566. а) a=V3; б) S=V3; !!) P=6v"3 . 567. а) х=у2;
5
7
2
4
-
З
1
б)х=у';в)х=у-3;г)х=у-3; д)х=( ~)
4
; е) (6у)-2. 568. а) х6;
11
1
5
1
1
-
--
-
-
-
1
б)а24;в)у 21; г) Ь6;д)у6;е)х4•571.в)9;г)32;д)1;е)неимееткор-
ней. 572. а) (-/1 ; +=); б) (-оо; ; 4). 573. а) а1= ~3,8, d=0,6;
245
б)а1=2,d=3,5. 574. 24 дня и 12дней. 577.а) l+c; б) -2-VЬС; в) 4-vаБ;
1
2
2
г) х2+х3; д) у3+9у5; е) х-1. 578. а) х+у; б) 2-v,nn; в) а3+25а;
1
2
1
1
1
г)а2-Ь2.579.а)х2(х2- 2);б)у3(у3+3);в)а4(а4-5);г)а6(а6+1);
д)Ь4(Ь2-2);е)с3(с+6);ж)а3(Ь3-с3);з)22(32-1). 583. в) (у5-3)Х
1
1
1
!"'
Х(102+ у2). 584, в) (а16-Ь16)(а16+Ь16);г)(а6 - Ь6)(а6 + Ь6). 587.а)(х6)3+
1
11
1
+(уБJ3= (xti+y"ii)(xз-xtiy"ii+Yз). i 588.1 в) (аg)з - (Ьg)з = (аэ - bg) Х
_:
_2.
_1_
_:
_1_
Ь2 -а2
Х(а9+а9Ь9+Ь9).589. д) Ь6;з) 1 1; 590. е) т3+п3. 591.а) 1;
Ь2 +а2
-
ь+а
3
2
2q2
х+у
6)5;в)13;г)9.592.а)Ь-а;6)-1
-
;в)(1-у);г)-
.
-. 593. а)
--;
p-q
х-у
х2-6
р2+q2
6)О;в) 1
1 . 594, а) х> 39; 6) решений нет. 595. а) 728; 6) 3240.
q2-р2
597. 24 км. 600. г) Четная; д) нечетная. 601. а) Может; 6) нет; в) может; г) нет.
610.. а) Существуют; k=0; 6) существуют; Ь =0. 611. При Ь =0, 620. в) 3; г) 3,5;
1
•
с9м
д)-0,5;е)32.624.а)2;6)2или-2;в)-3;г)\,3.625.а)
-1; 1;
6) -42; 42; -
-':ft; -':ft; .в)
-
-VЗ; - 2; г) .!,/2; 4?,. 626. а) 125; (125; + оо );
45
(- оо; 125); 6) 16; (16; + оо); [О; 16). 635. в) 49; г) 1,35. 637. а)
.[sa;
6) 2 -VX; в) -VЗЬ; г) -Т2ё. 638. в) -VЗ- 2-vз > О; г)-v1⁄2 -~ < О. 641. г)-;J§+
+-ТЗ+ 1; д) -,J25 - -fJ.o+.J4. 643. а) О; 64; 6) 0,000001; в) не имеет корней;
г) 6~; д) 16 и 81; е) 6561. 646. а) 18; 6) 2-./ 2; 2+.[2; в) не имеет корней;
1
-
зу•
г)1;д)5;е)неимееткорней.649.а)х2;в)Ь2;д)-2
•
651.а)5;6)2.
2с
653. а) ху=1; 6) х=у2; в) х2у3=72. 654. а) ху; 6) аЬ; в) 1; г) p+ q.
Х(а3 +а3+1); r:)(Ь3+1)(2Ь3-Ь3+2). 662. а) ху-х+у=2;6)х2-у2=2.
663.а)1;6)10;в)~ l;·г)х+Зу.664.а)1;6)1,4.
а-
х-у
246
Глава V
671. а) 2,5; 6) 1,5; в) О; г) 3./3; д) 6;_е) 3./3. 672. а) 1; 6) -./?.-2,/3; в) 7; г) ./3.
•
.
-./? .+./3
1
679. а)
-
2;6)О;в)1.681.а)1;6)-./?.;в)1;г)-1.682.а) 2
;б)2;
•
3+./3
3+./3
-{2
-13
в) -1. 683. а)
-
2- ;6)-3
-. 684.а)12х;6)а- Ь.695.а)2;6)1;в)3;
3--./2
-
Гii
г) О. 699. 10°·5, 10-0
·', 101•4
• 700.а)/i;6)-аЬ.711.а)3;б)-2
-
; в),-у2-./3;
••
1
1
3,/3
3
3
г)-5+-./2.712.а)14;6)4;в)2';г)8.713.а)11;6)О;в)-24;
1
,/3
. {2;.
1
4
г)-34.715.а)3;б)2;в)-2
.
716. а) 5 (а -3) ; 6) 2(3-х).
717. а) (- оо; О) и (0,6;
[2J
2--/2
•
8
+оо);б) -7;0J.718.а)0,8;6)-3 ;в)-15;
,/5
.
г)5.719.а)0,8;
Щ
-{[о 5
9
- f[o
6) -4
-
; в) 10;г)12_.
722. а)
-
40;6)-10.
1
-
/2
4
3
1
.
15
723. а)
-13;6)2.724.а)cosа=5
, tgа=4,ctgа=13 ;(5)sша=17,
7
8
1
./3
tga=l8 , ctga=15 ; в) sina= 2
, cosci=-
2 , ctgci=- ./3; г) sina=
2,/29
5-- .,/29
2
9
4
=-
29, cosа=~, tgа=- 5
.
725. а) cosJЗ=- 41
, tgJЗ=- 49,
9
3
3
1
.
-./2
ctgJЗ=- 40;6)sinJЗ=-5
, tgJЗ=- 4
, ctgJЗ=-13;в)sшJЗ=- 2
,
-{2
'
-{[о
3-{[б
1
cosJЗ=-2
, ctg JЗ= 1; г) sin JЗ= 10, cos JЗ= 10, tg JЗ=3 :726.а) cosa,:::;:
,:::;: - 0,78, tg а,:::;: - 0,79, ctg а,:::;: - 1,3; б) sin а,:::;: - 0,90, cos а,=:,;: 0,43, ctg а,=:,;:
,:::;: - 0,48; в) sin а,:::;: - 0,97, tg а,:::;: 4,2, ctg а,:::;: 0,24; г ) sin а,:::;: 0,41, cos а,=:,;:
15
8
7
15.
,:::;:0,91,tgа,:::;:0,45.727.а)cosа=17,tgа=15,ctgа=18 илиcosа= - 17
,
8
7
1
./3
tga=-
15, ctga= -18; 6) sina=2
, tga=-
3,ctga=- ,/3или
sinа= -~ ,tgа=-J;, ctgа=./3.729.
-0,06.731.а)2;6)- ~
. 732. а) sin2 а;
6)1;в)cos2а; г)cosа;д) ctg2а;е) -tg2а.733.а)cos2а;6)-siп2а;в)sinа;
1
.
г) sin2a; д) -cos2a; е) -.-?-.
734. а) О; 6) ·2sшJЗ; в) -ctg2 a;
Slll" а,
г)sin2 а; д) 2; е)+ .735. а)
--\-; б) ~; в) - sin2у; г) ctgJЗ.
sша
cos JЗ
sшх
6).
)1
?
1
?
1•
73.а -sша;6-3;в)cos-JЗ;г)
-
?-
•
739.а)О;6)-1;в)-cos-а;г)
--.
.
cos- а
cos а
740. а)
-2cosа;б) cosх;в) -cos2JЗ; г) -tgх.741.а)-2-;6)-1
-; в) sin2 ер;
.
cos х
cos С(
г) 1. 742. а) 2; 6) 1; в) 4; г) 4. 743: -0,18. 744. 3,29. 749. а) 0,51; 6) 0,2.
750.
-16.752.15дми20дм.753.16сми63см.758.а)
- sin О,2л; 6) ctg 2;';
в) -cos О,lл; г) tg ~.
759. а)
-tg 43°; 6) -sin 2°; в) -sin 40°; г) sin 10 °.
247
.
-,/3
760. а)
-0,6157; 6) 0,3584; в) -0 ,2679. 762. а)
-
2;6)
1
./2
1
1
г)-2;д)-1;е)-2
. 763. а)
-
2;6)-2;в)-1;г)
764. а)
-
cosа;6) - cosа; в) ctgа.; г)ctgа. 765.а) cosа;6) - sinа; в)tgа.
769.а)О;6)2cosа.770.а)ctgа;6)ctgа;в)- cosа; г) -cosа.771.а)1;6)1.
772.а)1;6)1.776.60км/чи90км/ч.777.70км/ч. 778.а)3;6)10.
./6+ ./2
./2 -
./6
-
./6 + ./2
./6 -./2
'
781. а) 4
;6)
4
.
782. а)
4
;6)
4 .783.а)sша;
.
7.7
36
84
84
6)-cosа;в)cosа; г) -sша.784.а)85;6)85;в)85.785.1.786.а)
-'-
85;
36
77
13
0
•
0
1
•
1
6)-85;в)85; г)85.787.а)cos55;в)sш85.788.а)О;6)2;в)1;г)2.
789. а)0,5; 6)~; в) -0,5; г) О. 790. а) cos<р; 6)sin 2у; в) sin 2а; г) О. 791.а) 90s а;
6)cosа.792.а) -,/3 cosа;6)- sinа.795.а)1;6)tg(а+В)-796.а)1;6)ctg(а+f,).
16
4./2+--/5
3
-
797.
-
65 . 798.
9
, 799. 28 . 800. а) 2--,/3; 6) 2+✓3. 802. а) 1;
1
1
6)-7
.
805.4ху.806.а)[-8; -1];6)(-оо;О]и[3-; + оо).807.За45чи36ч.
4
.
808.в) cos2В; г) tg~ .809.6) 2sin50°; г) cos18°. 810.а) sin2<р; 6) sin2ер;
ер
rp
.
ер
120
119
1
в)ctg2;г)cos2 -sш2 .811.а)
-
169;6)169;в) - 1U9.812.а)0,96;
3
.
3
720
•
6) 0,28; в) 37 . 813 . а) 0,96; 6) -0,28; в) -37 . 815. sino:=1681
, cosa=
1519
720
1
а
=
1681 , tgo:= 1519 . 816. 0,96 и -0,28. 817. г) 2 sina; д) -2sin 2 ;
-,/3
• -,/3
-,/3
е)-2tgа.818.г)
-0,5;д)-2;е)-3
. 819. а)
-0,5;6) -2 ;в)--,/3.
822. а)
-sin2а;6)1;в)0,5;г)4sinВ-823.а)sinа;6)tg2а;в)tg2а;г)4c~sа.
824.в) cosа;г)tgа;д)sin2а;е) ctg2 ; ; ж)tgа;з)cos2а.825.а)tg~;
6)sinВ;в)sin2В;г)2cos~~;д) sinВ;е)tg~.827.а) ctg2ер;6)tg'(: - <р);
в) - 1; г) 1. 828. а) Существует; 6) не существует. 830. а) cos а• cos В;
1
6).
.
.
831.а)(-оо; 1]и[4; + оо).832.За66чи55ч.834.з) -,/3sinа.
SШ <Х•SШ f,
835. г) 2 sin 3"6
-cos ~~; д) -cos( а+;) ; е) -./2 sin а. 836. в)
-,/3 cos 20°;
г) -,/2sin5°.
837. а) 2sin25°-cos47°; 6) ,/2 cos 9°.
839.
л
tg5
д)~; е)
cos 5
248
, 3л.
2cos·8
840. а) sin (х +у)• sin (х- у); 6)
5л
2sin12
г)---
л
cos 12
- sin(x+y)X
(л х-у)
·"(" ·
ct.)
•
Хсо~4--2
-.
.
843.в)2sш-4+2 ;г)
2.2(л.ct,)
~Slll-
-
-
•
4••2
.
(а")(а.")
(л а).·(л а)
844 а)2sin - --'-
•C0S
-
+-
•6)2cds-+
-
·C 0S
-
--
.
•
28
28'
122
122
. в) 4cos(; + ;)-cos( ;- ;) ; г) -4sin( 1"2 + ;) •sin( 1"2
-
;).
5х
•
х
•
,,,,.847. а)
-1; 6) --,/3. 848 . а) 4sin 2 -cosx -cos 2 ; 6) -4cos5y-sin2y•siny.
•
5х
х
849. 4c0S2·COSX·COS2. 853. а) 1; 6) -1. 854. а) у=-4,5 х; 6) y=l,6x+4.
855. а) 1; 6) -1. 856. а) О; 6) О; в) 2. 858. а) -/6+-{з; 6) -,/3.
,
_
3;/3
12-{з + 1
,,
8.>9. а)
-
2-; 6)
12 ;в)1.866.а)
-4;6)1.867.а)О;6)-1;
1- ·/з
4л 4л
лл
в)1;г)-1;д)
2
е)1.869.9и9
870. 6
,
3,
л
1
5-,/3- 2
2.871.а)1;6)12,в)--2
-
;г)1.873.а)Да;6)да;в)нет;г)да;
д) да; е) нет, 874. Да. 875. Да. 876. а)
-
ctg6а;.6) cos'а; в) tg'у; г) 1.
•
2
•
2
879.а)tgа;6)2tg'а; в)1;г)1.883.а)-·
-
или---;6)4или-4.
cos а
cos а
4а;
sin·1 а.
2
а)
а'-1 ) а(3-а')
884. а) cos
6)
885. 2. 886. 17. 887.
2
;6
2
•
888. а) т'-2; 6) пi (т2-3). 889. 3
-3. 892. а)
1 --,/3
6) о.
или
2
;
1
4
2
895.
- 0,7. 896.
-k;-11
.
897. 5
.
900. а) 13 ; 6) -0,6; в) -{з;
3
г) 5 . 901. а) 150°; 6) 210°; в) 135°; г) 330°.
904. а) cosa-sina;
6)ctgа-tgа.905.а)4;6)4.907.а)О;6)О.
7,/2 • 23,Г2
910.а)34;6)34.911.а)О;
-, /3
6)1;в)2;г)О.912.
909.
3 + 4-,/3
10
.
1
а)2;6)cosр;
в) - sin 2а; г) -sin а. 913. а) 0,98; б) 0,43 -0,24-,/3; в) 0,64. 914. а) 1,5;
6) sin a-sinр; в) 1,5; г) cosа+siпВ- 915. :: , ~~ . 916.
-1~.
7
а-1
а+1
·1
917. 23
.
919.а) a+l;б)a-l
.
920. 3
.
921. а)
-1;б)-{з;в)1;г)1.
•
а-Ь
922. _ а) ctga; б) ctga; в) l+cosa; г) l+cosa. 925. а) 1; 6) -7 . 926. ab+l.
1
931. а)
-0,6; б) -0,8; в) 0,75; г) 1- . 932. 7-4 -,/3. 934 . а) 4sinacos3 a-
.
3
.
-4sin3 acosa; б ) 8cos 1 a-8cos'a+l. 935. а) f; б) -0,5; в) : ;
-/2
'
'
7
г)8 .936.а-+ь-=2.938.8
.
940.а)tg2а;6)cos2а;в) sin2а;г)2tg'а;
249
д) cos2а; е) ctg а. 941. а) tg.а+{3 ; 6)
2
a+f3
(л)
-
ctg-2
-
;в)ctgа-4
.
942. а) 4cos2а"cos(;+32а)cos(; - ~а);б)4sin2а•cos(~+ ;)Х
Xcos( ;- ~)• 943. а) 4sin25°•c.os33°,cos27°; б) 4sin20·0 •cosl2°,cos8°.
945. а) ctga; б) -,/3tga. 948. а) 2sin( :-а);. 6) 2sin( : + ;J.
950.а)ctg2а;6)- ctgЗа.
Глава VI
956. а) 38, 73; б) 31,43; в) 20,77; г) 13,47. 957. а) 5,66; б) 17 ,1 . 958. 0,92 кг.
959. 21,20 дм. 960. 1,09 т. 961. 13,78 Ом. 962. 527 м2. 963. На 1,10· 10 21 т.
964. а) 1,7,105; б) 7,3-103 • 9.65. а) 1,76,105 ; б) 3,59-103• 96.6. [О; + оо),.( - =; О].
967. а) 12х; 6) а- Ь. 971. а) 7,5-10 7 ; 6) 8,0-103 ; в) 8,26-102 ; г) 1,4-10- 4
•
.
а
972. а) 1,6 -10
2
;
6) 6,2 •102
•
973. _а) аЬ~ 2,9, 10 1 1, Ь~ 3,0-10 -
2
;
б) аЬ~ 1,53-10
9
,
а
ь~ 3,0-10. 974. 21,9 м2• 975. 4,93 га. 976. 1,6 км. 977. а) 25,2 м; 6) 3,4 м.
978. 9,2 м. 979. 37 см3. 980. 48,2 см, 1,3-102 см 2 • 981. а) 1,04-103 • 982. а) 6,3;
6) 2,84. 983. а) 220 см2; 6) 1980 м2• 984.. 7,7 см2• 985. 70 т. 987. (-1; О), (1; О),
1
(О; - 1). 988.
-
1 --1
• 989. а) 16,012; б) 37,42515; в) 65,51235; г) 7,3108808.
а2-Ь2
990. а) 3,3-102; б) 7,0. 991. 3,7 га. 992. 8 ,2 г/см 3 • 993. а) 12 412,5; 6) 9,0724138;
в) 87,948; г) 0,2486659. 994. а) 0,722; б) 1,90. 995. а) 26,40; б) 0,17; в) 12,46 .
996. а) 600,9; 6) 1,3; в) 91,5; г) 0,1 . 1003 . а) 3,5355339; б ) 30,217925;
в) 100,21946; г) - 1 ,4887098. 1004. а)
-
10,5; 6) - 0,55. 1005. а) ± 2,995;
3
2
?
•
3
?
За- Ь
6) ±0,770 . 1006 . 3 ,1-10 см .1009. а) 9,0 см-; б) 1,16 -10 м- . 1010. а) За;
3х+2 )х
)
1
4
6
6)--2; в--2
.
1011. а 14; 6) 1-9
. 1012.9. 1026.а)9,97-10 ;6)4,89-10 ;
х+
х-
в) 3,751-10 - 2 ; г) 8,767,10- 1
•
1027. а) 7,56,105 ; 6) 2,4-104 ; в) 6,5-10- 2 ;
г) 5,26. ~0- 1
•
1029. 6,050-10 21 т; на 5,903-1021 т. 1030. 1 ,51-104 км.
1031. 2 ,04 -103 мм 2 • 1032. а) 1,47; б) 123. 1033 . а) 3,87; б) 10,86.
Упражнения для повторения курса VI-VIII классов
2
5
5
4
1037. а)
-
143;6)21;в)7,05;г)-6;д)-6;е)-37.1038.а)16,2;
1
5
1
6) -147,6. 1039. а) 1,4; б) 1,3; в) 14 ; г) 39 . 1040. а)
-4;б)12;в)2;
г) 0,025. 1043. д) 1,5 -102; е) 5,0. 1044. а) ,/2; 6) 2,/3; в) 98; г) 20. 1045. а)
-
2;
10
5
5
б)1.1046.а)4827;б) -2628.1047.а)
- 72; б) 16 . 1048. 25,7; 196,5.
63
3
4
1
1049. 8; 15 64 . 1051. sina= 5
, cosa= -
5 , ctga=-13 . 1053. а) О;
1
6) - 27 ; в) 61,44; г) 7,95. 1057. а) (х - 7)(х+6); 6) (у+3)(у+6); в) (9х+_1 )2;
250
г) (4Ь-3)2; д) (3х+1)(2х-1); е) (3а+2)(а-5). 1058. ж) х~2; з) Yi 3;
а-1 .
1
10
1
5
4Ь3-16Ь2
и) +з·1059.а)--;.6)--2;в)--;г) 2
.1060. а) ----;
а.
х
9-у
а-2 4Ь -6Ь+9
а
6) Зх ..)р-5.) 2п-3т
1061 ) х-~ ··)
_
у3+4у2_
-- -~
2,
в
,
г2
2•
•
а
,
б
--- ,
2ху-4у
2р
т -2тп+4п
6
2
Ь
4х- 12
•
2~а
2
1
•
в) 4а; г) •65с- 65. 1062. а)
--
5- ;6)5ху;в)-2
-
;г)-х;д)6;е)2;
14а
8а
4х 16
а2с3
•
ж)1;з)--
·.
1063. а) 2х2у3; 6) -;,; в) -·
1-8;г)--1
-
0 • 1064.6) -Зу-/2;
а+4
ь-
9у
100Ь
в) а ;jБа; д) - Зс 1/2?; ж) а2 1/з. 1065. 6) - ,д;i?; в) ';/2а4;
1066. а) 2 -./2х; 6) -./2а- 2; в) 4 -уху; г) х -ух- у -{у. 1067.
1
х-,/ху+у
ус
3 -ух'
г)~г.:.ь+1 ; д)
г..;е)
1068. а)
-
-
;
"и
"у_
c+-, ./cd+d
7
4-{ё+ 4
в)
1;
с-
2 -{х- з-{у
г) 4х- 9у
1
1
1069.
хз
рз- 2q3
а) --g-:- ; 6)
5
а-а2ь2+ь
г)--1 --1 - 1070. а)
.1;6)10.1071.в)
2
---
1
а2- Ь2
т2-2
е) - 1/fm8.
в) -уа- 1;
5 -Гаь
6) --;
г)
аЬ
1
х2
в) -,
у2
1
-
-
1
с3 -1
1072. а)
-
1-;
у3+1
0
0
•
4-уЗ+3
6)-.-
1-
•
1074. а) cos· ci; 6) 2; в) cos· ci. 1075. -
1-0
-.
с3+1
1- 6-/2
1076.
_
1_0
_
у3
1077. 2,/2- 3. 1078. а) cos ci cos ~;
6) sin~cosci;
1
1
•
3
в)- -2
-
;г)-.-
2-
.
1080. а)
-
0,96; 6) 0,28; в) -3 -7
.
1081, а) 1; 6) 1;
cos ci
s1n ci
в) 2cosci-1; г) - 2ctgci. 1082. а) 2sin4cicosci; 6) 2sin6cisinci;
в)-2sincicos7ci;
г)2cosЗаcos7ci;
д) 2-/2cos ; cos(45°-
;);
е) 2,/2 sin ; sin(; -45°). 1083 . а)
-
4,5; 6) любое число; в) - 1; ·г) корней нет.
1
-
1086.а)!ТРИ t<- 0,8;6)приt>6 ;в)приtE(-2;2);г)при tE(- 4;4).
1
.
1087.а)Приа3⁄44;6)приа3⁄420;в)приа3⁄4- 24иприа;;;,24;г)приа;;;,- 2.
,
./10 1
5
1
26
.
1088. а) О;
-
3;6)±-2
-
;в)3;7;г)18;3;д)-187;-1;е)-35;2.
1089. 110 м. 1090. 4 и 5. 1091. 25 . 1092. 14. 1093. а)
-
1;в)1;2;г)-14;1;
1
1
д)-1;3;е)-5;ж)-13;з)-1;~.1094.2,2км.1095.15чи10ч.
3
1096. 48 км/ч и 40 км/ч. 1097. 12 км/ч. 1098. 13 км/ч. 1099. 3 4 ч .
2Ы
2
1100.10км/чи30км/ч.1101.12км/чи60км/ч.1102.а)±3,±1;
-/3
1
2
.
-/19
-
б)корнейнет;в)±5;_г).±3 .1103.а)
-23;-3;6)±-2
-; ±✓3.
1
'
1104.а)О;±4;6)О;±1;_в)О;г)О;22;д)-8;О;2;е)-3;О;2;ж)~1;±3;
1
''
г;;
-
Г<i
з)2.1105.а)2;6)-0,1;в)0,3;г)±2-у3;д) -1;е)±-12-1_108.а)(4;-1);
6) (2,45; 0,37); в) (15; 25); г) (0,32; - 0,86). 1109. а) (3; 9); 6) ( ~ ; ~) ;
.
··i
1111.а)4;б)3;в)5.1115.8р,1,6р.1116.172и132.1117.5"м/чи4км/ч.
1
.
1118. 23
.
1119.60км/чи40км/ч.1121.а)(- 2;- 4),(4;8);б)(5;3);в)(1;4),
(4;1);г)(3; -1),(-3;1);д)(О; 4),(2:;13_:);е)(1;2),( ~;
-
1 ~).
1122. а) (1; 5), (5; 1); 6) (3; -2),( -2 ~; 14); в) (-3; -5), ( -5; -3), (3; 5),
(5;3);г)(-4; -2),(4;2).1124.9сми40см.1125.11сми8см.1126.15дней,
30 дней. 1127. 3 дня, 6 дней. 1128. n=36 . 1129. а, = 10, d=l0. 1130 .
-
2.
-
-7
-/3
-/3
2
1
1132.7,2.1133.а)2 ;6)3 или- 3 ;в)--,/2. 1134.27.1135.312 .1136.635 .
2'
1141. а) у>4,5; б) х<-17;в)х<- 2,5; г) х<2; д) решений нет;
1
е)х- любоечисло;ж)у<23_;з)х<- 22.1142.а)(- оо;
-1); б) х - любое
число;в)( - ~~; +оо) ;г)решенийнет;д) (11; + оо); е) (-0,4; + оо).
1143. а) При Ь > -62; 6) при Ь< -0,76. 1144. а) (1; 3); 6) решений нет;
в)( - оо;
~) ; г) реш~ний нет. 1145. а)(- 5,5; 1); 6)(4; + оо);·в) (- 29; 3); г) ре
шенийнет.1146.а)О,1,2,3,4;6)-1,О,1,2,3.1147.а)[-1~;6~];
б) (- 2; 5,5); в) (- 0,2; 0,4 ); г) (3 ,5; 9,5]. 1148. а ) При 3,2<:;;; а<:;;; 3,4;
б)при -l<b<2.1149.a)( - oo ; -6) и (8; +оо );б) (-оо; -1_~) и (3; +оо);
в) х - любое число; г) решений нет; д) (-0,8; 0,8); е) (- оо; О) и (3,6; + оо);
ж) (-3; 3); з) (О; 3,2). 1150. а) (- оо;
-1)и(4;+оо);6)х-любое
число·; в) (-13;
'
1
-1); г) (-4; 7). 1151. а) При х;;,3 ; б) при х<:;;;5;
в) при х <:;;; -2 и при х;;,-1; г ) при любом х; д ) при 0,5<:;;;х<:;;;2,4; е) при
2
.
х;;, 5 3 . 1152. а) Все числа кроме 2,5; б) все числа·, кроме 2 и 3; в) все числа;
.
1
.
г)всечисла,кроме2;д)х;;,3;е)х<0,5.1155.а)Прих<3;6)прих>3.
1164. а) (2; - 7); 6) (2; -16), (8; . -34); в) точек пересе~ения нет; г) (- -{з;
-./ 3),
(-./3; - -./3); д) (-1; - 7), (1; ~ 5); е) (- 3; 33). 1166. а) Убывает в промежутке
(- оо;
-
2,5], возрас т ает в п ромежутке [ - .2,5; + оо ); 6) возрастает в про-
межутке(-оо;~],убываетвпромежутке[~; +оо);в)убываетв
252
промежутке( ~оо; - ~ ] , возрастает в промежутке[ - ~ ; + оо) ;г)возра
стает в промежутке ( - схо; 0,8], убывает в промежутке [0,8; + схо ). 1167. а) Убы
вает на всей области определения ( - схо; + схо ); б) возрастает· в проме
жутке ( - схо; О) и в промежутке (О; + схо ); в) убывает в промежутке ( - схо; О) и
в промежутке (О; + схо ); г) возрастает в промежутке ( - схо; 1,5], убывает
в промежутке [1,5; + схо ); д) убывает в промежутке ( - схо; 0,5], возраста
ет в промежутке [0,5; + схо ); е) возрастает в промежутке (- схо;
-
0,5] и
убываетвпромежутке[- 0,5; + схо). 1168.а)f(х)> Оприх> -5;6)f(х)> О
при х<-20; в ) f (x) >0 при х>О; г) f(x)>0 при х<О; д) f(x)>0 при
5
х<-2 и при x>l,5; е) f(x)> _0 при любом х, кроме 6 ; ж) f(x)>O
при любом х; з) не существует такого х, при котором f (х) > О.
1169. а) 9x 2 +~x+l; в) cosa. =
1~, tga= - 1 ~• ctga=-
1
8
5; г) 360 км.
1170. а) 2; 6) (-1; +схо ); в) (48; 15); г) 15 км/ч . 1171. а) 11; 6) (-1; 5),
(- 2; 7); г) 10 деталей. 1172. а) 9; 6) [- 4,5; 1,5]; в) (8; -6); г) 60 деталей,
40деталей. 1173.а) siп ~; 6) 73- 36-{б; г) -25.1174.а) tg2а; 6)х- любое
1
число; в)23 ;г)16,5.
Задачи повышенной трудности
1176. Правильная. 1178. а ) Цифрой 6; 6) цифрой 1; в) цифрой 1. 1184 . а) (53; 52),
(19; 16), (13; 8), (11; 4); 6) (8; 5). 1186 . (2; -1). 1187 . (1; 2), (2; 1).
1188. Равенство ✓п + х = п -[х, где п - натуральное число, верно, когда
п
7
Х= -, --· . 1189. 9. 1191 . . Можно. 1192. 50 км/ч и 40 км/ч. 1194. а) 11-8 ;
п·-1
17
(7
14)
6)226.1201.82.1204.а)
-
3;-3
, (2; 4); 6) (1; 2), (2; 1). 1205.
-1;2.
1207. Нет. 1208; Нет. 1209. 36 . 1210 . 200. 1222 . 28.
253
ГЛАВА
ГЛАВА
ОГЛАВЛЕНИЕ
DКВАДРАТИЧНАЯ· ФУНl{:ЦИЯ·
§ 1. Квадратный трехчлен
1. Квадратный трехчлен и его корни
3
2. Разложение квадратного трехчлена н а множители
5
§ 2. Квадратичная функция и ее график
3. График функции у~ ах 2 •
4. График функции у=ах 2 + Ьх+с
§ 3. Неравенства второй степени
5. Свойства квадратичной функции
6. Решение неравенств второй степени с одной пере
менной
Дополнительные упражнения к: главе I
1D УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
§ 4 . Уравнения с одной переменной
7. Целое уравнение и его степень
8. Уравнения, приводимые к квадратным
.
9. Графический способ решения уравнений
§ 5. Системы уравнений с двумя переменными
g
14
21
25
28
32
35
38
1 О. Графический способ решения систем уравнений
42
11. Решение систем уравнений второй степени
.
45
12. Решение задач с помощью систем уравнений второй
степени
ДоnоЛ1н~тельные упражнения к главе II
51
53
ГЛАВА [() АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕ ТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ
§ 6. Арифметическая прогрессия
254
13. Последовательности
58
14. Определение арифметической прогрессии. Формула
1•
п - го члена арифметической прогрессии .
62
15. Формула суммы п первых членов арифметической
прогрессии
§ 7. Геометрическая прогр ессия
16. Определ е ние геометрической прогрессии. Формула
п - го члена геометрической прогрессии .
67
71
ГЛАВА
ГЛАВА
ГЛАВА
17. Формула суммы п первых членов геометрической
прогрессии
18. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при
77
lql<l
81
l'i'1
Дополнительные упражнен.ия к главе III . ••
W СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЪНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
86
§ 8. Степенная фун1щия
19. Четные и нечетные функции
92
20. Функция у= х';
.
96
§ 9. Корень п-й степени
21 . Определение корня п-й степени
100
22. Свойства арифметического корня п-й степени
106
§ 10. Степень с рациональным по1,азателем и ее свойства
23. Определение степени с дробным показателем
112
24. Сво .йства степени с рациональным показателем 115
25. Преобразование выражений , содержащих степени
с дробными показателями
120
Дополнительные упражнения к главе IV
n.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 11. Тригонометрические функции любого аргумента
26. Определение синуса, косинуса, тангенса и котан-
124
генса
131
27. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса . 138
28 . Радианная мера угла
141
§ 12. Основные тригонометрические формулы
29. Соотношения между тригоно метрическими функ-
циями .одного и того же аргумента
145
30. Применение основных тригонометрических формул
к преобразованию выражений
150
31. Формулы приведения
153
§ 13. Формулы сложения и их следствия
32. Формулы сложения
33. Формулы двойного угла
34. Формулы суммы и разности тригонометрических
160
165
функций
169
nil
Дополнительные упражнения к главе V
W ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНЦй:
173
§ 14. Приближенные вычисления
35. Сложение и вы'!итание приближенных значений 183
255
36. Умножение и деление приближенных значений
186
§ 15. Алгор.иТ!',tЫ
37. Вычисления на микрокалькуляторе
189
38. Понятие алгоритма
195
Дополнительные упражнения к главе VI
199
Упражнения для повторения курса VI-VIII классов 200
Задачи повышенной трудности .
219
Сведения из курса алгебры VI-VII классов
223
Предметный указатель
Ответы .
Юрий Николаевич Макарычев
· Нора
Григорьевна Миндщк
Вадим Макариевич Монахов и др.
АЛГЕБРА
УЧЕБНИК ДЛЯ 8 КЛАССА СРЕДНЕИ ШКОЛЫ
Зав. редакцией Р. А. Хабиб
Редактор Л. М. Котова
238
239
Младшие редакторы Л. И. Заседателева, Е. А. Сафронова
Художник В. Л. Николаев
Художественный редакт.ор Е. Н. Карасик
Технический редактор Л. М. Абрамова
Корректоры О. С. Захарова, I{. А. Иванова
ИБ No 9318
Сдано в набор 25.09 .85. Подписано к печати 21.01 .86 . Формат 60 Х90 1 / 16 • Бум. кн. - журн. отеч.
Гарнит. школьная. Печать высокая. Усл. печ . л. lб+форзац 0,25. Усл. кр.-отт. 16,69. Уч.-изд. л.
12,9О+форзац 0,40. Тираж 3 500 ООО экз. Заказ No 201. Цена 25 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство
с Просвещение • Государственного комитета РСФСР по делам
издательств , полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьяной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглав~олиграфпрома
Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. ·
Саратов, ул. Чернышевского, 59.
~
у=2х2
у= 2(х-3) 2 +1
О
3
х
sina
cosa
tgaиctg а.
sin2с1. +cos2a. =1
tn rt = sinс1.
.."
-·
COSct
tgc1. ctg а.= 1
1
1+ tg2a. = cos2d.
1+ctg20(=si~2О(
sin(с1.+~) =sinс1. cos~+cosс1. sin~
sin(с1.- ~) =sinс1. cos~- cosс1. sin~
cos(c1.+~) =cosc1. cos~- sinc1. sin~
cos(с1.- ~) = cosс1. cos~+sinс1. sin~
tga.+ tg~
tg(cl.+~) = 1-tgс1.tg~
sin2с1. =2sin а. cos~
cos2c1. = cos 2 a. -sin 2 с1.
tg2 = 2tgd.
с1. 1- tg2с1.
sinс1. +sinR = 2 sin а.+~ cosа.-~
,.,
2
2
sinО(- sin~ =2sin0(-:/ cosО(2~
COSO( + cos~ = 2 cos 0(2~ cos О(-:}
COSO( - cos ~ =-2sin 0(2~ sin О(2_~
!5 к.