С. И. НОВОСЕЛОВ
СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
АЛГЕБРЫ
ИЗДАНИ Е ШЕСТОЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для педагогических
институтов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
сВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва— 1 962

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга предназначается в качестве учебника для
физико-математических факультетов педагогических институтов
по разделу «Алгебра» специального курса элементарной матема-
математики. Книга содержит весь учебный материал, предусмотренный
программой указанного раздела.
Работа студента педвуза над элементарной математикой (как
одной из профилирующих дисциплин) не ограничивается изуче-
изучением курса, предусмотренного программой. Успешное прохожде-
прохождение методики преподавания математики и педагогической практи-
практики, занятия в спецсеминарах, а также выполнение курсовых работ
немыслимы в отрыве от углубленного изучения элементарной
математики. Это понятно, так как от будущего учителя требует-
требуется безупречное знание тех дисциплин, которые он станет препо-
преподавать по окончании института.
Указанные обстоятельства определили структуру настоящей
книги, в ней в систематическом изложении представлены все
разделы школьного курса алгебры, за исключением учения о чис-
числе, которое отнесено программой к разделу «Арифметика» и
должно войти в учебник по этому разделу.
При рассмотрении курса элементарной математики в педаго-
педагогических институтах могут иметь место две в равной мере недо-
недопустимые крайности.
Первая крайность заключается в отрыве курса элементарной
математики от нужд школы. Сюда относятся такие тенденции,
как пересказ (в упрощенном виде) в «элементарной» математике
того, что было пройдено в «высшей», как отнесение за счет
«элементарной» математики ряда вопросов из «высшей» матема-
математики, которые почему-либо не вошли в соответствующие курсы»
или как превращение курса «элементарной» математики в неси-
несистематический набор отдельных «изящных математических этю-
этюдов», «избранных» вопросов, «эвристических откровений», «не-
«неэлементарных задач в элементарном изложении» и т. д. и т. п.
Вторая крайность заключается в пересказе школьного курса
3

математики на научно-идейном уровне, немногим возвышаю-
возвышающемся над школьным.
В настоящей книге автор старался избегать обеих указанных
крайностей.
Как мы полагаем, предвузовскому курсу элементарной алгеб-
алгебры должны быть присущи следующие черты:
1. В этом курсе должно быть дано научное обоснование
ряда важных теоретических вопросов элементарной алгебры,
которые в школьном курсе с надлежащей полнотой и стро-
строгостью изложены быть не могут, а в высшей математике счита-
считаются известными.
К числу таких вопросов относится, например, обще'е учение
об эквивалентности уравнений и систем уравнений (а также не-
неравенств), обоснование учения об элементарных функциях, ряд
вопросов комбинаторики.
2. Должно быть дано обоснование ряда методов, широко
применяющихся в элементарной математике.
Так, например, в высшей алгебре излагаются общие методы
исследования линейных систем и устанавливаются общие фор-
формулы для их решения (все это, разумеется, будущий учитель
должен знать). Однако в практике (и не только школьной) реше-
решение и исследование конкретной линейной системы часто бывает
проще выполнить непосредственно «элементарными» методами,
которые применяются в школе. Очевидно, что научное обоснова-
обоснование этих методов должно быть известно учителю.
3. Элементарная алгебра должна воспитывать умение вы-
выполнять математическое исследование «прямыми методами»
(там, где это, разумеется, целесообразно) непосредственно
на основе определения и известных свойств исследуемых
объектов.
Мы весьма сомневаемся, чтобы без этого умения можно было
успешно применять методы современной науки. Так, например,
вряд ли будут полезны формулы и теоремы дифференциального
исчисления человеку, «не видящему» непосредственно наимень-
наименьшего значения функции х2 или оказывающемуся беспомощным
при необходимости непосредственно установить несложное нера-
неравенство.
В частности, в воспитании навыков непосредственного ис-
исследования функций элементарная математика имеет огромные
возможности.
4. Специальный курс элементарной алгебры должен спо-
способствовать выработке твердых навыков в выполнении тожде-
тождественных преобразований.
Пренебрежительное отношение к тождественным преобразо-
преобразованиям, как к чему-то «безыдейному», заслуживает реши-
решительного осуждения. Выработка твердых математических
навыков есть одна из задач обучения математике в школе.

В самом деле, по меньшей мере легкомысленно считать, что до-
достаточно одного «понимания идей», а навыки в их реализации
есть дело несущественное. Из сказанного ясно, что учитель школы
должен обладать известным мастерством в выполнении тож-
тождественных преобразований.
5. Педвузовский курс элементарной алгебры не должен
обходить и отдельные вопросы, важные (с точки зрения педа-
педагогической или по другим причинам) для школьной практики.
Мы подразумеваем такие вопросы, как, например, решение тек-
текстовых задач, рассмотрение отдельных частных приемов решения
уравнений, рациональных способов решения задач и т. п.
Все перечисленные условия могут быть удовлетворены лишь
при систематическом изложении основных разделов эле-
элементарной алгебры. Однако сист'ема расположения материала в
настоящей книге отлична от школьной. Настоящий учебник
рассчитан на лиц, прошедших школьный курс математики.
Студент педагогического института, уже изучавший ряд серьез-
серьезных математических дисциплин и обладающий достаточной мате-
математической культурой, сможет подойти к вопросам элементарной
математики с более высокой точки зрения. Указанные обстоятель-
обстоятельства позволяют в специальном курсе в систематическом
изложении всесторонне подойти к каждой теме и отказаться
от элементов концентризма, который, в силу возрастных особен-
особенностей учащихся, в известной мере неизбежен для курса алгебры
средней школы. Мы должны стремиться к тому, чтобы научно-
идейное содержание курса элементарной математики гармониро-
гармонировало с высоким уровнем, предъявляемым программными требова-
требованиями к дисциплинам «высшей» математики, значение которых в
образовании учителя невозможно недооценивать.
В настоящем курсе приведено большое число до конца решен-
решенных примеров и задач. Задачи, примеры и их решение напечата-
напечатаны в книге мелким шрифтом, чтобы отделить их от теоретическо-
теоретического материала.
При изучении элементарной математики невозможно огра-
ограничиться изучением теории, и приобретение твердых навыков
в решении примеров и задач является совершенно необходимым.
Поэтому напечатанные петитом примеры ни в коей мере
нельзя рассматривать как необязательный материал. Исходя из
потребностей будущего учителя, автор старался представить в
настоящей книге по возможности полно все основные виды уп-
упражнений по элементарной алгебре. Исключение представляют
лишь такие упражнения, как, например, «комбинированные» за-
задачи, небезызвестные искусственные задачи «на бином», на про-
прогрессии и т. п. Преувеличение значимости подобных упражнений
неоднократно подвергалось критике со стороны передовой педа-
педагогической мысли.
В четвертом издании книга подверглась переработке. В целях

разгрузки текста от материала, знакомого учащимся из прочих
математических дисциплин, а также от материала, не имеющего
принципиального значения, опущен ряд вопросов, как, например:
интерполяционные формулы, конечные разности, общее понятие
о линейной зависимости, результат двух квадратных трехчле-
трехчленов, общее выражение симметрических функций от корней квад-
квадратного трехчлена, возвратные последовательности и т. п. Су-
Существенно упрощено изложение теории рациональных функций,
упрощено изложение теории радикалов. Систематически изло-
изложены теоремы о средних величинах. Мною тщательно просмот-
просмотрено решение всех примеров, при этом я стремился к тому, что-
чтобы максимально упростить исследования и без ущерба для пол-
полноты сделать их по возможности удобообозримыми.
Считаю своим приятным долгом отметить большую работу,
выполненную кафедрой алгебры Московского областного педа-
педагогического института, выразившуюся в детальном просмотре
книги в рукописи и в серьезном ее критическом обсуждении.
С чувством глубокой признательности я вспоминаю моего
покойного учителя академика Николая Николаевича
Лузина, который принял живое участие в разработке про-
проспекта первого издания настоящей книги и оказал мне неоцени-
неоценимую помощь своими советами.
Пользуюсь случаем выразить мою глубокую благодарность
И. К. Андронову, Б. В. Кутузову, П. А. Ларичеву,
П. С. Моденову, чьи критические замечания и дружеские со-
советы оказали мне помощь и поддержку в работе над книгой.
Выражаю благораность Н. А. Меделяновскому за об-
образцовое выполнение иллюстраций.
1 ноября 1961 г. С. Новоселов

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. О содержании курса элементарной алгебры
Современная алгебра как наука представляет собой обшир-
обширный раздел математики, состоящий из большого числа различных
дисциплин (теория групп, колец, полей, линейная алгебра и т. д.),
находящихся в состоянии развития. В весьма общем виде содер*
жание современной алгебры можно характеризовать следующим
образом: основной ('объединяющей различные алгебраические
дисциплины) задачей алгебры является изучение алгебраических
операций над элементами множеств произвольной природы. При
этом, под операцией определенной в данном множестве ЗК,
понимается • соответствие, в силу которого произвольным
двум элементам а и Ь (взятым в определенном порядке) мно-
множества^ ставится в соответствие некоторый вполне определен-
определенный элемент с того же множества. Предметом изучения совре-
современной алгебры являются операции, обладающие некоторыми
вполне определенными, точно описанными ('посредством аксиом)
свойствами, и множества (произвольной природы), над элемен-
элементами которых установлены эти операции (кольца, поля, группы).
Представление, разумеется, не исчерпывающее, о задачах совре-
современной алгебры дается в курсе высшей алгебры.
Курс элементарной алгебры по своему содержанию значи-
значительно отличается от алгебры как науки (в собственном
смысле). Содержание элементарной алгебры определяется содер-
содержанием школьного курса алгебры. В средней школе
под названием «алгебра» понимается учебный предмет, неодно-
неоднородный по своему содержанию, в котором излагаются основные
сведения, относящиеся не только к алгебре (в собственном смыс-
смысле), но и к ряду других математических дисциплин. Известно, что
в школьную алгебру входят различные вопросы, как-то: развитие
учения о числе, учение об алгебраических выражениях (много-
(многочлены, рациональные выражения, иррациональные выражения),

учение об уравнениях, элементы учения о функциях, изучение
некоторых трансцендентных функций (показательная, логариф-
логарифмическая), понятие о методе координат и его применение к иссле-
исследованию функций, понятие о пределе (предел последовательно-
последовательности), суммирование простейших рядов (в частности прогрессий),
элементы приближенных вычислений и т. д. Некоторые из этих
вопросов относятся собственно к алгебре (учение о многочленах,
тождественные преобразования, алгебраические уравнения), не-
некоторые получают свое дальнейшее развитие в других матема-
математических дисциплинах. Например, понятие предела, а также изу-
изучение простейших трансцендентных функций относятся не к ал-
алгебре, а к математическому анализу. Такая неоднородность
школьного курса неизбежна, поскольку школьная математика
призвана дать необходимый комплекс общеобразователь-
общеобразовательных сведений и навыков, н'е ограничиваясь рамками какой-либо
одной математической дисциплины.
Курс элементарной математики педагогических институтов ста-
ставит своей целью углубленное изучение, развитие и обоснование
тех вопросов, которы'е входят в школьный курс математики, и
тех методов исследования, которые характерны для школьного
курса. Следует отметить также, что ряд важнейших вопросов
(как, например, общее учение о равносильности уравнений и не-
рав'енств) «высшая» математика не затрагивает, считая их из-
известными из «элементарной» математики, а школьный курс не
в состоянии изложить их с надлежащей строгостью и полнотой.
Указанные причины обусловливают необходимость изучения
«элементарной математики» в педвузах в виде самостоятельной
учебной дисциплины, весьма важной с точки зр'ения профессио-
профессиональной подготовки учителя школы.
Настоящий курс охватывает (в углубленном и научно обосно-
обоснованном изложении) вопросы школьной алгебры, за исключением
учения о числе и о приближенных вычислениях, что отнесено
программой к курсу арифметики.
В настоящей вводной главе указаны те сведения, которые
будут считаться известными из других дисциплин ('изучающихся
в педагогических институтах) и которые послужат основанием
для изложения курса элементарной алгебры в последующих
главах.
§ 2. Понятия кольца и поля
В элементарной алгебре рассматриваются различные кон-
конкретные множества, над элементами которых можно произво-
производить «арифметические действия». Так, например, действия могут
производиться над числами, над многочленами, над алгебраиче-
алгебраическими дробями и т. д. Соответствующие общие определения

и аксиомы формулируются в современной алгебре следующим
образом.
Определение. Кольцом называется множество R, в кото-
котором определены две операции (действия):
операция сложения, ставящая в соответствие всяким двум
элементам а и Ь элемент с, называемый их суммой:
с = а-\- Ъ
и операция умножения, ставящая в соответствие всяким двум
элементам аи Ь элемент d, называемый их произведением
d=ab.
Операции сложения и умножения характеризуются следу-
следующими свойствами.
Аксиомы сложения
1.Аксиома ассоциативности: для любых трех эле-
элементов а, Ь и с имеем:
(a+b)+c=a+(b + c).
2. Аксиома коммутативности: для любых элемен-
элементов а и Ь имеем:
a+b = b +а.
3. Аксиома обратного действия (для сложения):
для любых двух элементов а и Ь существует единственный эле-
элемент х, удовлетворяющий условию:
а+х= Ь.
Элемент х называется разностью элементов b и а и
обозначается так
х = b — а.
Аксиомы умножения
4. Аксиома ассоциативности: для любых трех эле-
элементов а, Ь и с имеем:
(ab) c=a (be).
5. Аксиома коммутативности: для любых двух
элементов а и Ь имеем:
ab = Ьа.
6. Аксиома дистрибутивности: для любых трех
элементов а, Ь и с имеем:
(а -}- Ь)с = ас + be.
Примечания: I. В настоящем списке аксиом мы не
имели в виду сформулировать минимальное число тре-
требований, определяющих понятие кольца, так например, в
аксиоме 3 можно не требовать однозначности вычитания.
9

Из условия существования хотя бы одного элемента х, удо-
удовлетворяющего уравнению а + х = 6, и из прочих аксиом кольца
можно доказать его единственность.
II. Мы ограничиваемся лишь коммутативными коль-
кольцами, тогда как в современной алгебре изучаются некомму-
некоммутативные кольца, для которых аксиома 5 >не имеет места.
Определение. Полем называется такое кольцо, содержа-
содержащее хотя бы один элемент, отличный от нуля, в котором
выполняется следующая аксиома обратного действия для умно-
умножения.
7. Для произвольных двух элементов а и Ь, из которых
афО, существует единственный элемент ху удовлетворяю-
удовлетворяющий условию,:
ах = Ъ.
Элемент х называется частным от деления b на а и обозна-
Ъ
чается так: х =—.
а
В арифметике аксиомы 1, 2, 4, 5 и 6 сложения и умножения
называются основными законами действий. Из этих за-
конов выводятся правила действий с любым числом компонен-
компонентов (правила умножения произведения на сумму, суммы на сум-
сумму и т. д.)*.
Из аксиом кольца и поля выводятся следующие положения
(доказательства см. в курсе высшей алгебры).
Во всяком кольце существует единственный элемент:
«нуль» данного кольца, сумма которого с любым элементом п
кольца равна а:
Для всякого элемента а кольца существует единственный
элемент—а, называемый противоположным относительно а,
удовлетворяющий условию:
а + (-а) = 0.
Во всяком поле существует единственный элемент «еди-
«единица» данного поля, удовлетворяющий следующему условию:
а . 1 = 1 . а = а,
где а— произвольный элемент поля.
Для всякого элемента аФ 0 поля существует единствен-
единственный элемент а, называемый обратным относительно а, удов-
удовлетворяющий условию'
а-а = 1.
* При определениях действий с любым числом компонентов и при дока-
доказательствах правил действий применяется принцип математической индукции
как средство, необходимое при установлении общих свойств конечных
множеств.
10

Произведение двух элементов поля равно нулю в том и
только в том случае, если по крайней мере один из сомножите-
сомножителей равен нулю.
§ 3. Основные числовые множества,
рассматриваемые в элементарной алгебре
Натуральный ряд чисел. Аксиомы, характеризу-
характеризующие натуральный ряд чисел
1, 2, 3, ..., п, ...,
формулируются в арифметике, там же устанавливаются посред-
посредством соответствующих определений действия сложения и умно-
умножения в множестве натуральных чисел. Множество натуральных
чисел не является кольцом (а следовательно, и полем),
так как не выполнена аксиома обратного действия для сложе-
сложения, а именно, не для всяких двух натуральных чисел а и 6 су-
существует число jc, удовлетворяющее условию
а + х = Ь.
Иными словами, в множестве натуральных чисел ие всегда
выполнимо вычитание.
Аксиома обратного действия для умножения также не выпол-
выполняется.
В курсе элементарной алгебры широкое применение имеет
метод доказательства, называемый in р и « ц и ti о м матема-
математической индукции. Принцип полной индукции основан
на следующей аксиоме натурального ряда.
Любое множество 93Z натуральных чисел, обладающее
свойствами:
1° число 1 принадлежит 90?,
2° если число п принадлежит^, то и непосредственно
следующее за ним число также принадлежит 90?,
совпадает с множеством всех натуральных чисел.
Обычно принципом математической индукции пользуются в
следующем виде:
если некоторое утверждение, относящееся к натуральным
числам, справедливо для числа 1 (п. 1°) и если из справедли-
справедливости этого утверждения для числа п следует его справед-
справедливость для числа п + 1, следующему за п (п. 2°), то утвер-
утверждение справедливо для произвольного натурального числа.
Принцип математической индукции вытекает из сформулиро-
сформулированной аксиомы: под множеством 90? следует подразумевать
множество всех натуральных чисел, для которых
справедливо данное утверждение; при соблюдении условий
принципа множество 90? совпадает с множеством всех натураль-
11

ных чисел, т. е. данное утверждение справедливо для произволь-
произвольного натурального числа.
Доказательства общих предложений, имеющих место для
всех натуральных чисел, путем непосредственной проверки
осуществить невозможно. В самом деле, натуральный ряд
есть бесконечное множество и нельзя выполнить бесконеч-
бесконечное множество испытаний (для каждого числа в отдельности).
Принцип математической индукции позволяет осуществлять до-
доказательства общих предложений, имеющих место для произ-
произвольного натурального числа.
Кольцо целых чисел. В множестве всех целых чисел
..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
выполнимы действия сложения и умножения, причем для сложе-
сложения выполняется аксиома обратного действия, а именно: разность
двух целых чисел также является целым числом. Следова-
Следовательно, множество всех целых чисел есть кольцо.
Кольцо целых чисел не является полем, так как для умно-
умножения не выполняется аксиома обратного действия, а именно,
не всегда одно целое число делится (нацело) на другое.
Поле рациональных чисел. Множество всех ра-
рациональных чисел состоит из всех целых и дробных чисел (поло-
(положительных, отрицательных чисел и числа 0). Всякое рациональ-
рациональное число г может быть представлено в виде дроби — , где m и
п
п — целые числа и п ~h 0 (число п можно считать положитель-
положительным). Множество всех рациональных чисел является полем, так
как в нем всегда выполнимы действия сложения и умноже-
умножения, а также обратные действия: вычитание и деление (кроме
деления на нуль).
Поле действительных чисел. Числа рациональ-
рациональные и иррациональные образуют все вместе множество дейст-
действительных чисел.
Всякая бесконечная десятичная дробь
Р, Qi Я2 -•• Яп--->
где р — целое неотрицательное число (целая часть), а 9ь 9г, •••>
<7„, ... — десятичные знаки (т. е. qn =0, 1,2,..., 9), изображает
положительное действительное число. Обратно, всякое положи-
положительное действительное число может быть представлено посред-
посредством бесконечной десятичной дроби.
Всякое положительное рациональное число может быть пред-
представлено в виде конечной, либо бесконечной периодиче-
периодической десятичной дроби. Обратно, всякая конечная, либо беско-
бесконечная периодическая десятичная дробь изображает рациональ-
рациональное число. Всякое рациональное число, изображающееся конеч-
конечной десятичной дробью, можно представить в виде бесконечной
12

периодической дроби с периодом 0 и с периодом 9. "Гак, напри-
например:
— = 0,2 = 0,2000... = 0,1999...
о
Всякая непериодическая (бесконечная) десятичная дробь
изображает иррациональное число.
Всякое отрицательное действительное число можно предста-
представить двояким образом: с отрицательной, либо с положительной
мантиссой (дробной частью), так, например:
— 2,79183... = —2 — 0,79183... = — 3 + A —0,79183...) =
= — 3 + 0,20816 ... = 3*,20816 ...
В множестве всех действительных чисел выполнимы че-
четыре арифметические действия (кроме деления на нуль), поэто-
поэтому множество всех действительных чисел является полем.
В поле действительных чисел выполнимо действие извлече-
извлечения корня из неотрицательных чисел: каково бы ни было
неотрицательное число а, существует единственное неотрицатель-
неотрицательное число х=у^ау удовлетворяющее условию хп=а.
Поле комплексных чисел. Всякое комплексное
число можно представить в виде
а + Ы,
где а и Ъ — действительные числа.
Два комплексные числа a + bi и a\ + b\i считаются равными
в том и только в том случае, если
а = аъ Ь — Ьъ
Если 6 = 0, то комплексное число считается равным действи-
действительному числу а:
a+0i= a.
Таким образом, действительные числа включаются в множе-
множество комплексных чисел.
Если b ?* 0, то комплексное число называется мнимым.
Мнимое число называется чисто мнимым, если а = 0.
В множестве комплексных чисел выполнимы четыре ариф-
арифметических действия (кроме деления на нуль), т. е. множество
комплексных чисел есть поле.
Число i, называемое мнимой единицей, обладает сле-
следующим свойством:
/2 = — 1.
Действия над комплексными числами выполняются по обыч-
обычным правилам с заменой i2 на— 1. Степени числа i находятся по
формулам:
*2 = — 1, i3 = —i, *4 = 1, ...*'4л+А=/*(где п и k — целые числа.)
13

Число p:=|/"a2-f № .называется модулем комплексного
числа z = а + Ы\ если zi= 0, то всякое число ф, определенное из
условий
а . Ь
cos 9 = — ¦, sin 9 = — ,
У а2+Ьг у аг + Ьг
называется аргументом комплексного числа z.
Всякие два значения аргумента ф1 и фг данного числа связаны
соотношением ф2 = ф1 + 2?я (где k — целое число).
Всякое комплексное число z можно представить в тригономет-
тригонометрической форме:
z = p (cos 9 + * sin <p). A)
Числу 0 в качестве аргумента «е приписывается никакого
числа, при z = 0 в формуле A) следует положить р=0, ав каче-
качестве ф можно взять любое число.
§ 4. Расположенные числовые поля
Поле рациональных и поле действительных чисел являются
расположенными полями:
числа этих полей связаны соотношениями взаимного рас-
расположения «равно», «больше», «меньше». Соотношения взаим-
взаимного расположения обладают следующими свойствами:
I. Для произвольных чисел а и b имеет место одно и только
одно из соотношений:
II. Свойство необратимости неравенств:
если а<&, о 6>а, если жг a>b, mo b <a.
III. Свойство транзитивности неравенств:
если а<^Ь и 6<с, то а < с.
IV. Свойство транзитивности равенства:
если а = b и b = с, то а = с.
V. Свойство рефлексивности равенства:
всегда а = а.
Прочие известные из арифметики свойства равенств и нера-
неравенств можно вывести из основных соотношений I—V.
Арифметические действия и соотношения взаимного располо-
расположения связаны между собой следующим образом:
Г. Закон мон отояности сложения:
если а<^Ьу то a -f с<^b + с.
14

2°. Закон мо.нотон.ности умножения:
если а < 6, то ас < be при с > 0 w ac^>bc при с < О,
Числа положительные являются большими нуля, а от-
отрицательные — меньшими 1нуля.
Число а больше числа Ъ в том и только в том случае, если
разность а—Ъ положительна:
' >0, если а>6,
а — Ъ
= 0, если а = 6,
<0, если а<6.
Если а<^6<с, то говорят, что число 6 расположено между
числами а и с.
Поле рациональных и поле действительных чисел обладают
следующим свойством плотности:
каковы бы ни были два различные действительные (или
рациональные) числа, существует бесконечное множество дейст-
действительных (рациональных) чисел, содержащихся между данными
числами.
В множестве всех действительных чисел рациональные и ирра-
иррациональные числа расположены всюду плотно, а именно, между
произвольными двумя различными действительными числами
расположено бесконечное множество как рациональных, так и
иррациональных чисел.
Поле действительных чисел обладает следующим свойством
непрерывности (принцип стягивающихся сегментов):
если две последовательности действительных чисел
аи аа, ..., ал>... {ап}
и
Ьъ Ь2, ..., bni... {bn}
обладают следующими свойствами:
Г последовательность {ап} не убывает:
Оч < «2 < «з < ... < ап < - • •:
2° последовательность [Ьп) не возрастает:
bL>b2>b3>...>bn>...;
3° при всех значениях п имеет место неравенство
4° каково бы ни было заданное (как угодно малое) число
е > 0 при всех достаточно больших значениях п имеет место не-
неравенство:
I Ьп — ап|<8, т. е. lim(bn — ап) = О,
15

то (при выполнении перечисленных условий) существует
единственное действительное число ?, заключенное при (произ-
(произвольном п) между числами ап и Ьп:
ап<Ь<Ьп.
Поле рациональных чисел свойством непрерывности не о б-
л а д а е т, а именно, для последовательностей {ап} и {Ьп} (ра-
(рациональных чисел) могут быть выполнены все перечисленные
условия 1° — 4°, однако, в поле рациональных чисел может
не существовать числа ? (рационального), удовлетворяющего
неравенствам ал<5<&л. В этом случае в поле действительных
чисел 5 является иррациональным числом.
Множество рациональных чисел яв-
М (а Ь) ляется недостаточным для изме-
- ' рения непрерывных величин. Так, на-
например, известно, что не всякий отре-
отрезок соизмерим с отрезком, выбранным
за единицу длины. Величины отрез-
отрезков, несоизмеримых с единичным от-
отрезком, не могут быть выражены ра-
рациональными числами. Множество
всех действительных чисел является
достаточным для измерения непрерыв-
Черт. 1 ных (скалярных) величин. Так, напри-
например, всякому отрезку (при произволь-
произвольно выбранном единичном отрезке) можно поставить в соответст-
соответствие вполне определенное положительное число — его длину, при
ыом длина отрезка, соизмеримого с единичным, есть рациональ-
но'е число, а несоизмеримого с единичным — иррациональное.
Обратно, каково бы ни было положительное действительное чис-
число, существует единственный отрезок, длина которого (при дан-
данной единице измерения) выражается данным числом. Между
множеством всех действительных чисел и мнооюеством всех точек
прямой линии можно установить взаимно однозначное соответст-
соответствие. Простейшим способом установления этого соответствия яв-
является введение координат на прямой линии.
При введении координат «а прямой выбирается начальная
точка (на прямой), выбирается единичный отрезок и устанавли-
устанавливается положительное направление (или направление «впра-
«вправо»). При этом способе изображения действительных чисел точ-
точками прямой линии сохраняется порядок следования элементов.
а именно, из двух различных действительных чисел большему
числу соответствует точка, расположенная (на прямой) «пра-
«правее».
Если а<Ь<^с, то число b изображается точкой, расположен-
расположенной внутри отрезка, концами которого служат точки, изобража-
изображающие числа а и с.
16

Поле комплексных чисел не является расположенным: о
именно, для двух различных комплексных чисел (из которых
хотя бы одно не является действительным) понятия «больше»,
«меньше» не устанавливаются никак. Как известно, эти понятия
нельзя распространить на комплексные числа так, чтобы сохра-
сохранились все те свойства, которые присущи этим понятиям в поле
действительных чисел.
Множество всех комплексных чисел и множество точек пло-
плоскости можно поставить во взаимно однозначное соответствие.
Обычно это соответствие устанавливается следующим образом.
На плоскости устанавливается прямоугольная декартова систе-
система координат, тогда число z—a + bi изображается точкой М с
абсциссой равной а и с ординатой равной b (черт. 1). Геомет-
Геометрическим изображением числа z = а 4- Ы можно также считать
вектор (направленный отрезок) ОМ, начало которого находится
в начале координат, а конец в точке М, изображающей число z.
Модуль комплексного числа P=|z| есть расстояние точки М.
изображающей число z, до начала координат, иначе говоря, Ы
есть длина вектора ОМ. Аргумент <р комплексного числа z есгь
величина угла, образованного вектором ОМ с действительной
осью (т. е. с осью Ох), аргумент определяется (не однозначно, а
с точностью до целого числа «полных оборотов», т. е. до слага-
слагаемого вида 2kn. Значение ф, взятое при условии 0 <ф<2я (в
пределах «первого оборота»), обычно называют главным
значением аргумента.
§ 5. Числовые промежутки
Пусть а и b — произвольные действительные числа, взятые
при условии О!<6.
Определения. Г. Интервалом (а, Ь) называется множество
всех действительных чисел х: удовлетворяющих неравенствам:
2°. Сегментом [а, Ь] называется множество всех действитель-
действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам:
Геометрически интервал (а, Ь) изображается на числовой
прямой множеством точек, лежащих между точками а и 6, т. е.
отрезком с концами в точках а и 6, при этом сами концы
исключаются (черт. 2). Сегмент [а, Ь] изображается отрез-
отрезком с концами в точках а и 6, причем сами концы а и b в к л ю-
чаются в отрезок (черт. 3).
В целях единообразия терминологии и обозначений вводятся
в рассмотрение «бесконечные» интервалы, посредством следую-
следующих определений-*
2 С. И Новоселов 17

1°. Множество всех действительных чисел называется интер-
интервалом от — оо (минус бесконечности) до +оо (плюс бесконеч-
бесконечности) и обозначается символом (—оо, +оо).
2°. Множество всех действительных чисел больших (мень-
(меньших) числа а называется интервалом от а до +оо (или от —оо
до а) и обозначается символом (а, + со) или (—со, а) (черт. 4).
(o,b) [a.b]
Черт. 2 Черт. 3
Принято символы +оо и —оо считать связанными с действи-
действительными числами и между собой соотношениями неравенств,
именно: всякое действительное число а считается меньшим, чем
+ оо, и большим, чем —оо, а символ —оо считается меньшим,
чем +оо-
— оо <а< + оо.
Множества чисел х9 удовлетворяющих следующим (неравенст-
(неравенствам:
+ со, a<x<+co, _оо<л;<а
соответственно суть: множество всех действительных чисел,
т. е. (—оо, +оо), множество всех действительных чисел больших
а, т. е. (а, +оо) и множество всех действительных чисел мень-
меньших а, т. е. (—оо, а) (черт. 4).
Черт. 5
b
Черт. 4 Черт. 6
Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам
называется полусегментом [а, Ь) (черт. 5), а множество
чисел, удовлетворяющих неравенствам а<Сх< 6, называется
полуинтервалом (а, Ь] (черт. 6).
Все рассмотренные виды интервалов, сегментов, полусегмен-
полусегментов и полуинтервалов (конечных и бесконечных) объединяются
общим термином «промежуток».
18

§ 6. Основные понятия учения о функциях
В настоящем параграфе дается краткое (конспективное)
перечисление основных понятий и положений, относящихся к об-
общему учению о функциях. Систематическое изложение общего
учения о функциях содержится в пособиях по математическому
анализу.
Общее понятие функции. Пусть'ЗЛ и ЭТ— два мно-
множества, элементами которых могут быть любые объекты.
Если каждому элементу х множествами ставится в cooi-
ветствие некоторый элемент у множества 9? Л то говорят, что
задана функция
Элементы х множества ^называются значениями аргу-
аргумента, а соответствующие элементы у множества 9?—з наче-
ниями функции. Множество ЗЛ называется областью
определения функции или множеством значений
(допустимых) аргумента. Множество соответствующих значений
у = f(x) называется множеством значений функции.
Так, например, процесс измерения отрезков (или углов) ста-
ставит в соответствие (по определенному правилу) всякому отрезку
(углу) число — его меру. Следовательно, длина отрезка (мера
угла) есть функция отрезка (угла). Здесь значения аргумента
суть отрезки (углы), а значения функции — числа.
Если (в частности) областью определения функции является
натуральный ряд чисел, то такая функция .называется по сле-
следователь «остью (о последовательностях см. гл. VIII на-
настоящей книги).
Для числовых функций от числового аргумента мно-
множество УЯ —область определения, есть некоторое множество «чи-
«чисел, значения функции суть числа, а потому и множество зна-
значений функции есть также некоторое множество чисел.
Применительно к числовым функциям общее определение
понятия функции, в его современном панима^ии, впервые было
дано великим русским ученым Н. И. Лобачевским.
Ниже сформулирован ряд определений, относящихся к дей-
действительным функциям от действительного аргумента.
Ограниченные функции. Функция f(x) называется
ограниченной на данном числовом промежутке (содержащемся
в области ее определения), если существует такое число М > О,
что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному
промежутку, имеет место неравенство
\f(*)\<M.
Если числа М, удовлетворяющего этому условию, не су-
существует, то функция f(x) называется неограниченной.
2* 19

Если в данном промежутке выполняется неравенство
f(x)<M (или f(x)>M),
тде М — некоторое число (не обязательно положительное), то
функция /(х) называется ограниченной сверху (сни-
(снизу) в данном промежутке.
Четные и нечетные функции. Функция f(x) назы-
называется четной (нечетной), если ее значения равны (противо-
(противоположны) при произвольных двух противоположных значениях
аргумента:
/(*) =/(—*)> Для четной функции;
f(x) = —f(—х)} для нечетной функции.
График четной функции симметричен относительно оси OYy
а нечетной функции относительно начала координат.
Взаимно обрат-
X/ *2*з *» */ *б *7 ные функции. Соот-
^ ? ^ Р ^ ? ^ ветствие между значени-
значениями аргумента и значе-
значениями функции может не
быть взаимно однознач-
однозначным, именно всякому зна-
Y*f(x) У'-у2'"Уз У^Ув Уб Уг чению аргумента соответ-
соответствует единственное зна-
Черт. 7 чение функции, тогда как
всякое данное значение
функция может иметь при нескольких (быть может, при беско-
бесконечном множестве) значениях аргумента (черт. 7). Если всякому
данному значению функции у поставить в соответствие все зна-
значения аргумента х, при которых y=f(x), то в общем случае та-
такое соответствие не определяет функцию. В самом деле, в общем
случае нарушается основное требование: данному значению у со-
соответствует не одно, а некоторое множество значений х *.
В частных случаях функция у = f(x) может быть такой, что
всяким двум различным значениям аргумента соответствуют два
различных значения функции, тогда каждому значению у функ-
функции можно поставить в соответствие одно единственное число х,
то самое, при котором значение функции f(x) равно у. В рассмат-
рассматриваемом случае между множествами значений аргумента и зна-
значений функции устанавливается взаимно однозначное
* При изучении действительных функций от действительного аргумента
мы считаем правильным ограничиться лишь однозначными функциями. Поня-
Понятие многозначной функции встретится в данной книге лишь в § 46, где речь
идет о функциях комплексного аргумента.
20

соответствие. Следовательно, х можно рассматривать как функ-
функцию от аргумента у:
х = Т(у).
Областью определения функции f{y) является множество зна-
значений функции f(x).
Определение. Функции
у= f(x) и x = J(y),
устанавливающие взаимно однозначное соответствие между
множествами значений х и у, называются взаимно обратными.
Понятие предела функции. Понятие предела функ-
функции f(x) в данной точке а имеет смысл лишь в том случае, ког-
когда в любой окрестности точки а содержатся точки, принадлежа-
принадлежащие области определения функции f(x)f отличные от а, т. е. а
есть предельная точка для области определения функции f(x).
В математическом анализе принимаются следующие опреде-
определения:
Г. Число Ь называется пределом функции у = f (x) в точке
а, если при произвольном заданном числе г > 0 существуем
число б > О такое, что неравенство
\f(x)-b\<e A)
выполняется для всех значений аргумента, отличных от а
(т. е. х Ф а) и удовлетворяющих условию
0<\х-а\<Ъ. B)
Для обозначения предела пишут
= Ь.
2°. Число Ь называется пределом функции f(x) в бесконеч-
бесконечности (в минус бесконечности):
lim f(x)=b (или соответственно lim / (х) = 6),
X -> оо х -> — со
если при произвольном заданном е < 0 существует такое число
N > 0, что неравенство A) выполняется для всех значений аргу-
аргумента, удовлетворяющих неравенству х > N (или соответствен-
соответственно х < —N).
3°. Функция f(x) имеет в точке а бесконечный предел, рав-
равный + оо (или —оо):
lim f(x)= + oo (или lim f(x) = — оо),
х -> а х -> а
если при любом заданном М > 0 существует такое число б, чю
неравенство
f(x)>M (или f(x)< — M)
выполняется при всех значениях аргумента х Ф а, удовлетво-
удовлетворяющих, усювию B).
21

4°. Функция f(x) имеет в бесконечности предел, равный бес-
бесконечности (минус бесконечности):
lim f (х) = оо (или lim f(x) = — оо),
если при любом заданном М > О существует такое число N,
что неравенство
f(x)>M (или f(x)< — M) C)
выполняется при всех значениях аргумента, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию
5°. Аналогично
lim f (x) = оо (шш lim f(x) = — оо)
Х->—ОО #->—СЮ
означает выполнение неравенства C) яра условии лс <—ЛЛ
Понятие предела распространяется на функции от любого
числа аргументов. Пусть Л (аь а2, ..., ап) —данная точка.
Запись
Wmf(xu x2, ..., хп)^Ь
ХА
означает, что при любом е > 0 существует такое число б > О,
что неравенство
!f(*i, ** ..., хп)—Ь\<г
выполняется в произвольной точке X (хи х2, ..., хп), удаленной
от точки А на расстояние меньшее б, т. е.
V (*i - ^iJ + (*2
Если предел функции в данной точке является числом,
т. е. этот предел отличен от ±оо, то говорят, что функция имеет
конечный предел.
6°. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если
ее предел в точке а равен ее значению в точке а;
\\mf{x) = f(a).
х-> а
Это определение применимо к функциям с произвольным чис-
числом аргументов.
В элементарной математике обычно рассматриваются функ-
функции в числовых промежутках. Исключение составляют последо-
последовательности, для которых областью определения служит беско-
бесконечное множество дискретных точек 1, 2, ..., л,... (см. ниже, § 112).
Принцип продолжения по непрерывности.
Пусть у= f(x) —данная функция. Если при х = а функция f(x)
не определена и, таким образом, f(a) не имеет смысла, но предел
22

(конечный) lim f(x) = А существует, то принято значение х = а
х-*а
включать в область определения функции, при этом считается:
х->а
Это дополнительное определение называется принципом
продолжения по непрерывности, так как при дан-
данном соглашении мы 'получим функцию, непрерывную в точке а.
Так, например f(x) = -2- при подстановке х = 0 теряет
х
смысл, но lim =1 , поэтому следует считать / @) = 1.
о х
Принцип продолжения по непрерывности применяется к функ-
функциям с любым числом аргументов.
Принцип продолжения по непрерывности является соглаше-
соглашением, которое можно принять, а можно и не принимать. Матема-
Математический анализ широко пользуется этим принципом, тогда как
элементарная математика обычно его не принимает. Отказ эле-
элементарной математики от принципа продолжения по непрерыв-
непрерывности обусловлен тем, что школьный (курс математики не содер-
содержит достаточных сведений по теории пределов и не располагает
соответствующим аппаратом.
§ 7. Монотонные функции
Определение. Функция f(x) называется возрастающей
(убывающей) на данном промежутке, если при произвольных
двух различных значениях аргумента, принадлежащих данному
промежутку, большему значению аргумента соответствует боль-
большее (меньшее) значение функции:
f(*i)<f(*2), если XiOs,
для возрастающей функции и
f (*i) > / (*2), если л^Оз,
для убывающей функции.
Функция возрастающая или убывающая в некотором про-
промежутке называется монотонной (строго) в этом промежутке.
К монотонным функциям относятся также функции неубы-
неубывающая и возрастающая. Первая характеризуется
условием:
/(*i)</(*2), если *i<*2,
а вторая условием:
если х1 < х2.
23

Можно рассматривать ограниченные и монотонные функции
не только в промежутке, но на любом числовом множестве, со-
содержащемся в области определения.
Теорема. Всякая возрастающая (или убывающая) функция
имеет обратную функцию. При этом обратная функция также
возрастает (убывает).
Доказательство. Предположим для определенности,
что функция f(x) возрастает, тогда из неравенства Х\ <С х2 следу-
следует: f(x\) <f(*2), а потому двум различным значениям аргумента
соответствуют различные значения функции. Следовательно, об-
обратная функция х =f(y) существует. Докажем, что обратная
функция возрастает. Пусть У\<Су2 и^ Х\ = f(t/\) и х2 = /(г/2) —
соответствующие значения функции f(y). По условию
но это возможно лишь, если
так как, предположив противное: Х\^ х2у мы (в силу возраста-
кия f(x) получили бы #1>- у2.
Определение. Функция f(x) на сегменте а < х < Ъ возра-
возрастает (убывает) от m до Л1, если
1° функция f(x) возрастает (убывает) на сегменте [ а, &];
2° в концах сегмента а и Ь имеет значения, равные (со-
(соответственно) m и М;
3° всякое значение с, промежуточное между m и М,
т<Сс<^М (для возрастающей функции),
т>с>Л1 (для убывающей функции)
функция f(x) имеет при некотором значении х = | в интервале
(а, Ь):
/($) = с, где а<е<6.
В силу монотонности функции значение х = 5 един-
единственно.
Из математического анализа известно, что если функция f(x)
возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте [а, Ь\ то она воз-
возрастает (убывает) на этом сегменте от f(a) до f(b).
Аналогично определяется понятие функции, возрастающей
(убывающей) от m до М в интервале (а, Ь)\ в этом случае усло-
условие 2° заменяется следующим условием:
lim / (х) = m, lim f (х) = М.
х-> а *-> b
24

§ 8, Понятие аналитического выражения
Под аналитическим выражением подразумевается символи-
символическая запись ряда м тематических операций, которые следует
произвести в определенном порядке над числами, обозначенны-
обозначенными буква ни (аргументами) или цифрами, чтобы получить чис-
численное значение данного выражения.
Примерами аналитических выражений могут служить:
х — ух I-у
В элементарной математике обычно считают, что все
входящие в состав аналитического выражения числа и значения
аргументов принадлежат данному числовому полю, а именно
либо полю рациональных, либо полю действительных, либо полю
комплексных чисел.
При этом говорят, что аналитическое выражение рассмат-
рассматривается над данным числовым полем.
Аналитические выражения могут быть предметом содержа-
содержательного исследования, если точно указано, какие именно мате-
математические операции над числами и аргументами считаются до-
допустимыми.
В курсе элементарной математики рассматриваются следую-
следующие алгебраические операции: четыре арифметические
действия (в частности, возведение в целую степень), извлечение
корня, а также следующие простейшие трансцендентные
операции: ха (где а — данное иррациональное число), ах', loga.xr
(где а — данное число), sinx, cosjc и т. д., arcsinx, arccosx и т.д.
Аналитические выражения, рассматриваемые в элементарной
математике, строятся посредством последовательного примене-
применения указанных простейших операций в любых комбинациях,.од-
комбинациях,.однако, в конечном числе раз *.
Примерами таких выражений могут служить:
*3 + У3 — ху, У х+ arctglO4 , хх — sin
lg (! + Vx — У) + х2+ у2+ z2 и т. п.
Если в аналитическом выражении U (х, у,..., z), содержащем
аргументы х, у,..., 2, придать каждому из этих аргументов
некоторое вполне определенное численное значение: х = а,
У = Ь,..., z = с (из того поля, над которым данное выражение
рассматривается), то возможен один из следующих случаев.
* Это значит, что операции, связанные с предельными переходами, как,,
например: суммирование бесконечных рядов, вычисление бесконечных произве-
произведений и т п., элементарной математикой (как правило) не рассматриваются.
25

Случай Г. При системе значений аргументов х = а,
у = 6,..., z = с в результате выполнения всех указанных в дан-
данном выражении математических операций получается некоторое
определенное число из того поля, над которым выражение
U (х, у,..., z) рассматривается.
Определение.. Система чисел а, Ь, ..., с называется допусти-
допустимой системой значений аргументов, если при х = а, у = ft, ...,
2 = с все математические операции, указанные в данном анали-
аналитическом выражении, выполнимы (в данном поле).
Соответствующее значение выражения U (х, у,..., г) обозна-
обозначается символом U (а, Ь,..., с) и называется его значением в
точке (а, 6,..., с).
Случай 2°. При х = а, у = 6,..., z = с всех операций ука-
указанных выражений U (ху у,..., z) в данном числовом поле выпол-
выполнить невозможно.,
В этом случае значение U (а, 6,..., с) (в данном числовом
поле) ие имеет смысла.
Выражения, не имеющие смысла ни при каких системах зна-
значений аргументов, в дальнейшем рассматриваться же будут.
Примечание. В 'некоторых разделах математики
рассматриваются многозначные выражения, т. е. такие
выражения, для которых (при данной (допустимой) систе-
системе значений аргументов получается не одно, а (вообще го-
говоря) несколько (или даже бесконечное множество) ана-
чений. Как правило многозначные выражения в настоящем
курсе рассматриваться не будут, за исключением лишь ир-
иррациональных выражений над полем комплексных чисел
(см. гл. III, § 46).
Примеры
1. Для выражения допустимой является любая система неравных
х у
чисел хну (например, х = 2, у = 3 или х = 1, у = 5 и т. д.), при х = у
деление невыполнимо, и выражение теряет смысл.
2. Для выражения
V— 1 — X* — У2 — 22 ,
рассматриваемого над полем действительных чисел, ни одна система чисел
(действительных) х, yf z не является допустимой; над полем комплексных
чисел это выражение можно рассматривать при любых ху у и г.
3. Значение выражения х2+у2—z2 в точке A, 2, —2) равно
1+2*—(—2J=1, в точке ( , О, V2
равно
4. Выражение -—;— ; не имеет смысла ни при каких
(х + У)г — х* — 2ху —up v
26

системах значений аргументов х и у, а потому, как лишенное смысла, оно
должно быть исключено из рассмотрения.
5. Выражение x2+\gx имеет смысл при всех положительных значениях х.
Определение. . Областью определения аналитического вира-
жения называется множество всех допустимых систем значе-
значений аргументов.
Иными словами, область определения есть множество всех
точек, в которых данное выражение имеет смысл.
Иногда, согласно специальному указанию или в соответствии
с конкретным смыслом аргументов, на допустимые значения ар-
аргументов налагаются дополнительные условия. Имен-
Именно допустимыми считаются не все, а лишь некоторые системы
значений аргументов, при которых данное выражение имев!
смысл. Так, например, если при решении текстовой задачи че-
через х обозначено количество людей, то для аргумента х допу-
допустимыми являются лишь целые неотрицательные значения.
Примеры
х2 + 1
1. Областью определения выражения — служит множество всех
X \Х 1)
чисел, отличных от 0 и 1. В поле действительных чисел это есть совокупность
трех интервалов (—оо, 0), @,1) и A, +о°).
2. Областью определения выражения ! 1 служит множество
всех систем трех чисел (*, г/, z), ни одного из которых не равно 0.
3. В поле действительных чисел область определения выражения у 1—х1
находится из условия 1—х2^-0, при котором значение корня действительно*,
это есть сегмент [—1, 1].
4. В формуле для площади круга яг2 буква я обозначает определенное
число, а г — длина радиуса — есть аргумент: для г допустимым является про-
произвольное положительное значение.
5. В выражении для произвольного двузначного числа в десятичной сис-
системе: Юх+у допустимые системы значений аргументов суть пары чисел хну,
где х — любое целое число не меньше 1 и не больше 9, т. е. *=1, 2, 3,...,9,
а у — любое целое неотрицательное число не больше 9, т. е.
t/ = 0, 1, 2, 3, . . ., 9.
§ 9. Элементарные функции
Так как всякой допустимой системе значений аргументов со-
соответствует некоторое значение аналитического выражения
U (х, у,..., г), то это выражение определяет функцию от аргу-
аргументов х, у,..., z. Областью определения этой функции является
область определений данного выражения. Выражение, не имею-
гдее смысла ни при каких системах значений аргументов, не оп-
определяет никакой функции.
Функция, определяемая посредством аналитического выраже-
выражения, .называется также функцией, заданной формулой.
27

Не следует отождествлять понятия функции и аналитичес-
аналитического выражения. Как известно, U есть функция от аргументов
х} у,..., z, если каждой допустимой системе значений аргументов
соответствует некоторое определенное значение U. Это опреде-
определение не предполагает, что закон соответствия функции задает-
задается формулой. Так, например, поставим в соответствие всякому
действительному числу х число у, положив:
A, если х — рациональное число,
\0, если х--иррациональное число.
Здесь функция задается не формулой, а непосредственным
описанием закона соответствия.
Определение. Функция называется элементарной, если ее
можно задать выражением, составленным посредством последо-
последовательного выполнения простейших операций элементарной ма-
математики (эти операции перечислены на стр. 25).
Примеры
Примерами элементарных функций могут служить:
, /4--*
х3 + Зх2 -4- 1, 1/ — —2x4-3,
arctg -^-
sin У ху + 2 у , lg A + Ух — у)+ х*у*г* и т. п.
§ 10. Тождественные преобразования, действия
над аналитическими выражениями
При совместном рассмотрении двух или несколь-
нескольких аналитических выражений от данных аргументов допустимы-
допустимыми считаются все те системы значений аргументов, при которых
каждое из рассматриваемых выражений имеет смысл. Иными
словами, при совместном задании нескольких аналитических
выражений они рассматриваются в общей части их областей
определения.
Примеры
X п
1. Выражение имеет смысл, если х ф у; выражение —,— имеет
х— У х+у
смысл, если х =h—у. При совместном рассмотрении этих выражений счи-
считается, что х ф ± у.
2. Выражение lg (*+l) имеет смысл при х> —1, а выражение lg (х—1)
— при х > 1; совместно эти выражения можно рассматривать при х > 1.
3. Выражения lg л' и lg ( -x) рассматривать совместно не имеет смысла»
так как области их определении т. е множество положительных чисел (для
первого выражения) и у ~>жество отрицательных "исел (для второго выраже-
выражения) не имеют общей части.
28

Определение. Два аналитических выражения 1)(х, у, ..., г)
и V (х, у,.., г) от данных аргументов, рассматриваемые совмест-
совместно, называются тождественными, если их значения равны при
произвольной допустимой системе значений аргументов.
Равенство
U(x, У, ..., z)=V(x, у, ..., г),
имеющее место при всех допустимых системах значений ар-
аргументов, называется тождеством.
Следовательно, два тождественных выражения определяют
в общей части их областей определения одну и ту же функцию.
Примеры
1. Выражения \+2х+х2 и A+хJ тождественны, их значения равны
при произвольных значениях х.
2. Для выражения 2 lg л: областью определения служит интервал 0<*<оо.
Выражение \g х2 имеет смысл при всех значениях х=/=0, областью его
определения служит совокупность двух интервалов —оо < я < О и 0 < * <оо.
Тождество \gx2=2\gx есть равенство, справедливое в общей части областей
определения выражений \gx2 и 2 lgx, т. е. в интервале @, оо).
Для обозначения тождественности двух выражений наряду со
знаком равенства применяется символ = :
U(x9 у, ..., z) = V(x, у, ..., г).
Примечание. Введение специального знака = обус-
обусловлено тем, что знак равенства может применяться в раз-
различных смыслах, например для обозначения равенства чи-
чисел или для обозначения уравнения (см. гл. IV, §47).
Простейшими и вместе с тем основными алгебраическими
тождествами являются равенства, выражающие законы арифме-
арифметических действий:
а + Ь = b + a, (a+b) + c = a+(b + c),
ab=ba, (ab) c = a(bc),
(a+ b)c = ac -f be.
Эти тождества имеют место в произвольном числовом
поле. Тождествами являются также равенства, вытекающие как
следствия из законов арифметических действий. Примерами та-
таких тождеств являются известные из арифметики равенства, вы-
выражающие правила действия с любым числом компонентов: пе-
перестановка и группировка слагаемых и сомножителей, умноже-
умножение суммы на число, умножение суммы на сумму и т. п.
Определение. Замена аналитического выражения другим
тождественным ему выражением называется тождественным
преобразованием данного выражения.
29

Соотношение тождественности аналитических выражений,
рассматриваемых на одном и том же множестве до-
допустимых систем значений аргументов, обладает следующими
основными свойствами, характеризующими соотношение эквива-
эквивалентности:
I. Свойство обратимости: если U^V, w V =={].
II. Свойство рефлексивности: U^U.
III. Свойствотранзитивности: если U= V и V = Wy
Пусть U (х, у, ..., z) и V (х, у, ..., z) два тождественных анали-
аналитических выражения; если эти выражения рассматривать не сов-
совместно, а по отдельности, то их области определения
могут оказаться различными. В этом случае преобразование>
заключающееся в замене аналитического выражения другим,,
ему тождественным, может привести к изменению области оп-
определения. При таком расширенном толковании понятия тожде-
тождественного преобразования основные свойства I, II, III не могут
безоговорочно применяться.
Примеры
х+\ 1
1. Тождественное преобразование — = расширяет область
X ~~— 1 X —~~ 1
определения левой части, так как лева?, часть имеет смысл при всех значе-
ниях х ф ±1, а правая часть при всех значениях х=?*\.
2. При преобразовании
lg*2 = 21g*
область определения выражения lg х2 сужается: из двух интервалов (— оо, 0)
и @, оо) исключается первый интервал.
3. Из тождеств:
Ю1^ =, и -
не следует, что их левые части также тождественны. В самом деле, левая?
часть первого тождества определена в интервале @, оо), а левая часть вто-
второго— в интервале (—оо, 0), но эти интервалы не имеют ни одной общей
точки и выражения:
101** и -
не имеет смысла рассматривать совместно.
Определение.Пусть U (x, y,...,z) и V (х, y,...,z) два анали-
аналитических выражения, рассматриваемых совместно; выражения:
Щх, У у ..., z)+V(x9 у, ...,г); U(x, yy ..., z)-V(xt у, ...,zj;
*/(*, У> ¦¦-.*)
V(x, у, . . .,г)
(последнее выражение рассматривается лишь при условии, есл»
V не равно тождественно нулю), значения которых равны (со-
(соответственно) сумме, произведению и частному значений U ш
30

V, называются соответственно суммой, произведением и частным
выражений U и V.
Этот общий принцип кладется в основу определения действий
над различными частного вида аналитическими выраже-
выражениями.
§ 11. Аналитические выражения, содержащие параметры
Рассмотрим некоторое аналитическое выражение, содержа-
содержащее две группы аргументов. Будем для определенности аргумен-
аргументы одной группы обозначать последними буквами алфавита,
капр. л:, у, ..., г, и по-прежнему называть их аргументами, а
аргументы другой группы обозначать первыми буквами алфави-
алфавита, напр, а, 6,..., с, и называть их параметрами.
Нижеследующие выражения могут служить примерами выра-
выражений, содержащих параметры:
2 , arctgf —
Если параметрам а, 6,..., с придана некоторая система чи-
численных значений, то получится выражение, содержащее только
лишь аргументы лс, у,..., z. При этом возможен один из следу-
следующих двух случаев.
Случай 1°. Полученное выражение определяет некоторую
функцию от аргументов х, y,...,z (над данным полем). В этом
случае данная система численных значений параметров называ-
называется допустимой.
Случай 2°. Полученное после подстановки значений пара-
параметров выражение «е определяет никакой функции от аргумен-
аргументов лс, у,..., z иад данным числовым полем, обратившись в выра-
выражение, лишенное смысла при всех значениях аргументов х, у,..., z
(из данного числового поля). В этом случае данная система зна-
значений параметров не считается допустимой.
В некоторых случаях >на допустимые значения параметров, в
соответствии с их конкретным смыслом, налагаются дополни-
дополнительные ограничения.
Примеры
1. Для аналитического выражения
допустимой является произвольная система двух чисел (из данного поля)
а и 6, из которых ни одно не равно нулю. Так, например, при а=2, 6=3 по-
получим функцию:
х2 у*_
4 + 9 '
Системы значений параметров @, 2), C, 0), @, 0) не являются допустимыми.
31

2. Для выражения \g(x— а) допустимой является произвольное действи-
действительное значение а. Область определения функции \g(x— а) (при данном а)
есть интервал (а, оо). Эта область определения различна для различных зна-
значений а. Так при а = 1, а = —2 иа = 0 получим функции \g(x—1), Ig(*-f2)
и lg х. _
3. Для выражения ах + а х множеством допустимых значений а служит
интервал 0<а<оо, так как функция ах (в элементарной математике) рас-
рассматривается лишь при положительном основании.
4. Рассмотрим круговой конус с радиусом основания г, объем этого кону-
конуса выразится через высоту х по формуле v= ~rnr2x. Здесь не смыслу зада-
чи для параметра г допустимыми являются лишь положительные значения,
но выражение~г~ тсг2ху рассматриваемое вне связи с данной задачей, имеет
о
смысл при произвольных значениях х и г.

ГЛАВА I
МНОГОЧЛЕНЫ
§ 12. Многочлены
Определение. Целым рациональным выражением или мно-
многочленом называется выражение, составленное из аргументов
и из чисел посредством только лишь действий сложения и
умножения.
Тем же термином «многочлен» называется функция, опре-
определяемая целым рациональным выражением.
Числа, входящие в состав многочлена, а также допустимые
значения аргументов будем считать принадлежащими некоторо-
некоторому числовому полю (это поле должно быть указано).
Возведение в целую положительную степень п > 1 является
частным случаем умножения:
п раз
Хп = X • X . . . X,
при п = 0 и при п = 1 считают (соответственно) х° = I х1 =х.
Следовательно, степени (целые положительные) аргументов
и целых рациональных выражений от аргументов в свою оче-
очередь являются многочленами.
Деление на число (из данного числового поля) можно рас-
рассматривать как умножение на обратное число. Так, например,
X 1 ^
— = —х. Поэтому, целое рациональное выражение может со-
содержать действие деления на определенные числа (из данного
поля); однако не может содержать деления на аргументы и на
выражения, содержащие аргументы.
Примеры
1. Примерами многочленов могут служить:
х, х\ (х-у)\ х* + 2ах*-а\ ±. + JL+JLf
(ах + by)* [(х - у)* + 3 (аН + Ь*у*)*]
4
3 С. И. Новоселов 33

2. Выражения
. + + ,,
х — у х у
содержат аргументы в знаменателях, а потому не являются многочленами.
3. Выражения
2*+ 2""*, sinx+cosx, igx — tgy
содержат трансцендентные операции над аргументами, а потому не являются
многочленами.
Для многочлена допустимой является произвольная система
чисел, взятых в качестве значений аргументов из данного
числового поля. В самом деле, действия сложения и умножения
выполнимы, каковы бы ни были числа-компоненты из данного
числового поля. Таким образом, областью определения много-
многочлена от данных аргументов х, у,..., z является множество про-
произвольных систем численных значений (из данного поля) этих
аргументов 4
Один и тот же многочлен можно рассматривать над различ-
различными числовыми полями. Допустим, например, что в состав цело-
целого рационального выражения, кроме аргументов, входят лишь
рациональные числа. Рассматривая данный многочлен .над полем
рациональных чисел, мы считаем для аргументов допус-
допустимыми произвольные рациональные значения. Так как
рациональные числа входят в состав поля действительных (а
также комплексных чисел), то этот же многочлен можно рас-
рассматривать над полем действительных (комплекс-
(комплексных) чисел, считая для аргументов допустимыми произвольные
действительные (комплексные) значения.
Численные значения многочлена при произвольных числен-
численных значениях аргументов принадлежат тому же числовому
полю, над которым рассматривается многочлен.
Многочлены можно рассматривать над числовыми кольца-
м и. Допустим, например, что числа, входящие в состав целого
рационального выражения, являются целыми, тогда при рас-
рассмотрении данного многочлена над кольцом целых чисел для ар-
аргументов считаются допустимыми произвольные целые значения.
Примеры
1. Многочлен
Р (х) = хв + х2 + 2х + 1
имеет целые коэффициенты; рассматривая его над кольцом целых чисел, счи-
считаем для х допустимыми лишь целые значения.
Так, например:
РA) 5, Р @) = 1, Р(—1\ = —1.
При рассмотрении этого многочлена над полем рациональных чисел для х
допустимы не только целые, но и произвольные дробные значения.
Так, например:
19
27
34

При рассмотрении этого многочлена над полем действительных чисел
допустимыми для х считаются произвольные действительные (рациональные
и иррациональные) значения.
Так, например:
Р (Y~2) = (]/7)з + (J/ 7J + 2 У 2 + 1 = 3 + 4 У 7,
Р(тс) = тс3 -J-те1+.2 тс + 1,
вычислив с точностью до 0,01, получим:
Р (тс) =^31,006+9,870+6,283+1 «48,17.
При рассмотрении Р (х) над полем комплексных чисел для х считаются
допустимыми произвольные комплексные значения:
Р A + о = A + о» + A + О2 +2A+<)+1 =
= (- 2 + 2«) + 2« + B + 2() + 1 = 1 + 6«.
2. Многочлен
2 + 3
можно рассматривать над полем рациональных, над полем действительных,
а также над полем комплексных чисел.
3. Многочлен
х2 + У 2 ху + у2
можно рассматривать над полем действительных и над полем комплексных
чисел *.
4. Многочлен x2+iy2 рассматривается над полем комплексных чисел.
Тождественные преобразования многочленов выполняются
на основании законов арифметических действий и вытекаю-
вытекающих из этих законов правил действий с любым числом ком-
компонентов.
Пример
На нижеследующем примере показано применение законов действий к
тождественному преобразованию многочленов
р (а, Ь)=[а (а + 26) + ab] • [(а2 — Ь) 2а].
Имеем:
a (a-\-2b) -\-ab = (а2 + a-2b) -f- ah = (дистрибутивность)
= (а8 + 2ab) + ab = (коммутативность умножения)
= а2 -\- Bab + аЬ) = (ассоциативность сложения)
= а2 + B + 1) аЪ — (дистрибутивность)
= а* + 3а&,
Далее:
^а2 — Ь) 2а = а2 Bа) — Ь Bа) = (дистрибутивность)
= Bа) а2 — Bа) Ь = (коммутативность умножения)
= 2 (а • а2) — 2 (ab) = (ассоциативность умножения)
= 2а3 — 2аЬ.
* Разумеется, что многочлены в примерах 1, 2 и 3 можно рассматривать
над промежуточными полями, так, например, х2+ У 2ху+у2 можно рассмат-
рассматривать над полем чисел вида а+ЬУ 2, промежуточном между полями рацио-
рациональных и действительных чисел (а и Ь — рациональные числа).
3* 35

Далее:
р (а, Ь)= (а2 + ЪаЬ) Bа3 — 2аЬ) =
= а* Bа») + я2 (- 2ab) + Sab Bа«) + ЗаЬ (— 2ab) =
(умножение суммы на сумму)
= а«2а8 + а>*( — 2)аЬ+Ш-2*а* + ЪаЬ (—2) аб =
(ассоциативность умножения)
= 2а*а3 + (— 2) аЧЪ + 3. 2ааЧ + 3 (—2) аабб ==
(коммутативность умножения)
«= 2 (а*а8) + (—2) (а2а) 6 + C.2) {аа*) b + (— 3- 2) (аа) F6) =
(ассоциативность умножения)
§ 13. Представление многочлена в каноническом виде
Согласно определению, всякий многочлен составляется из
чисел и аргументов при помощи действий сложения и умножения,
поэтому применением законов этих действий (раскрытие скобок,
умножение суммы на сумму) многочлен можно преобразовать
в тождественную ему сумму слагаемых (членов), каждое из ко-
которых является либо произведением числового коэффициента и
степеней аргументов х, у,..., z, либо числом (обозначенным
буквой или цифрами). Итак, многочлен от аргументов х, y,...,z
может быть преобразован в сумму членов вида
Axkyl ... ifi. A)
Примечание. Чтобы не делать частых оговорок усло-
условимся произведение A) также рассматривать как сумму,
содержащую лишь одно слагаемое.
Разумеется, что данный член может не содержать некоторых
аргументов. Если член A) ,не содержит какого-либо аргумента,
то показатель степени этого аргумента считается равным нулю.
Если данный член является числом (не содержит аргументов),
то показатели степени всех аргументов следует считать равными
нулю: k =*/ = ... = q = 0.
Определение. Одночленом от аргументов х, у,..., z называет-
называется произведение, состоящее из числового коэффициента и целых
неотрицательных степеней аргументов:
Axkyl ... zq. A)
Одночлен, будучи целой рациональной функцией, является
частным (простейшим) случаем многочлена. Рассмот-
Рассмотрим следующие два возможные случая.
Случай 1°. А Ф 0. В этом случае показатель степени, с кото-
которым данный аргумент входит в одночлен A), называется сте-
степенью одночлена относительно этого аргумента. Так, k есть сте-
степень одночлена A) относительно х, I есть степень этого одночле-
иа относительно у и т. д.
Определение.Сумма всех показателей степени k + / + ... + q,
с которыми входят аргументы в одночлен A), называется сте-
36

пенью данного одночлена (относительно совокупности аргумен-
аргументов).
Всякое отличное от нуля число можно рассматривать как
одночлен нулевой степени.
Случай 2°. А = 0. В этом случае одночлен называется нуль-
одночленом. Нуль-одночлену не приписывается никакой
пепени. Все нуль-одночлены имеют значение, тождественно
равное нулю. Одночлен, отличный от нуль-одночлена, будем на-
называть отличным от нуля.
Определение. Два отличные от нуля одночлена от одних
и тех же аргументов:
называются подобными, если каждый из аргументов содер-
содержится в обоих одночленах в одной и той же степени:
Таким образом, подобные члены могут отличаться лишь чи-
числовыми сомножителями — коэффициентами.
Нуль-одночлен считается подобным всякому одночлену.
Сумму нескольких подобных одночленов (в силу закона ди-
дистрибутивности) можно заменить тождественным ей одночле-
одночленом с коэффициентом, равным сумме коэффициентов одночле-
одночленов-слагаемых. Для этого достаточно вынести за скобку буквен-
буквенные сомножители (каждый в соответствующей степени). Так,
например:
2x2y3z — 3x2ysz + 9x2ysz = B — 3 + 9) x2ysz = 8x2y3z.
Произведение двух одночленов (в силу законов коммутатив-
коммутативности и ассоциативности умножения) можно представить в виде
одночлена, коэффициент которого равен произведению коэффи-
коэффициентов одночленов-сомножителей, а каждый из аргументов, со-
содержащихся в одном из сомножителей, входит в одночлен-произ-
одночлен-произведение с показателем степени, равным сумме показателей дан-
данного аргумента в обоих сомножителях *.
Пример
(— Ьх*у*ги) (— x*z*v*) =
3
= (— 5) хгу3ги — x*z*vb = (ассоциативность умножения)
= I —5 • —1 x*x3y3zz*uv* = (коммутативность умножения)
= I — 5 • —1 (х1*3) уъ B24) uvb = (ассоциативность умножения)
15
= — x5yzzbuvb.
* В частности, аргумент, содержащийся лишь в одном из сомножителей,
входит в произведение с неизменным показателем, так как показатель, с кото-
которым этот аргумент входит в другой сомножитель, следует считать равным
нулю.
37

Всякий многочлен после выполнения надлежащих преобра-
преобразований можно представить в виде суммы одночленов; в этой
сумме можно сгруппировать подобные члены (свойство комму-
коммутативности сложения) и каждую группу подобных членов можно
заменить одним одночленом — их суммой (свойство ассоциатив-
ассоциативности сложения). Эта операция известна из школьного курса
алгебры под названием приведения подобных чле-
членов. В результате приведения подобных членов может пред-
представиться один из двух случаев:
Случай Г. Многочлен представится в виде суммы попарно
неподобных одночленов:
ги + ... + А8хк*У '• ... г
\
где ху y,...,z — аргументы, Ль Л 2,..., As —коэффициенты. Нуль-
одночлены принято не писать, и каждый из коэффициентов
Ль Лг,..., As можно считать отличным от нуля.
Случай 2°. Коэффициенты всех одночленов-слагаемых
равны нулю А\ = Л2 = ... = А5 =0. Многочлен, все коэффи-
коэффициенты которого равны нулю, называется н у л ь-м н о г о ч л е-
у о м. Значение нуль-многочлена при всех значениях аргументов
равно нулю. Обычно нуль-многочлен обозначается тем же симво-
символом 0, как и число нуль в арифметике.
Определение. Представление многочлена в виде тождествен-
тождественной ему суммы попарно неподобных одночленов или в виде
нуль-многочлена называется каноническим представлением дан-
данного многочлена.
Многочлен, заданный в виде суммы попарно неподобных
одночленов, называется заданным в каноническом виде.
Приведение многочлена к каноническому виду в школьном
курсе называют упрощением целого выражения.
По числу одночленов-слагаемых (отличных от нуля) много-
многочлены, заданные в каноническом виде, разделяются на одно-
одночлены, двучлены, трехчлены и т. д.
Примечания: I. Всякий одночлен, будучи целым
рациональным выражением, является частным случа-
е м многочлена.
II. В каноническом представлении многочлена от нес-
нескольких аргументов некоторые аргументы могут не содер-
содержаться. Если, например, для многочлена от двух аргумен-
аргументов Р(х, у) получится следующее каноническое представ-
представление:
Р(х, У) = а0 + агх + ... + akx\
то при данном х многочлен Р(ху у) имеет одно и то же зна-
значение, каково бы ни было значение у.
38

Пример
Многочлен от двух аргументов
Р = (*- У)% + (х + уJ- 2у* + х
имеет следующее каноническое представление (не содержащее у):
Р = 2х2+х.
Определение. Степенью многочлена, заданного в каноничес-
каноническом виде и отличного от нуль-многочлена, называется наиболь-
наибольшая из степеней (относительно совокупности аргументов) одно-
одночленов-слагаемых, входящих в состав многочлена. Нуль-много-
Нуль-многочлену не приписывается никакой степени.
Примеры
1. Многочлен 2x+y+2>z+2 имеет первую степень.
2. Многочлен х2+Зху+у2 + 2х-{-у+\ имеет вторую степень.
3. Многочлен хуг—1 имеет третью степень.
Определение. Многочлен, заданный в каноническом виде,
называется однородным многочленом или формой степени п,
если все его члены имеют одну и ту же степень, равную п:
*i + k + • •. ¦+ <7i = К + 12 + ... + q2 = ... = п.
Всякий одночлен также считается однородным многочленом.
Примеры
1. Многочлены
ах, ахх -г Ьху, ахх + Ьху + схг, а
суть однородные многочлены 1-й степени, или линейные формы от одного,
двух, трех и п аргументов (соответственно). Примерами конкретных линей-
линейных форм могут служить
х — у, 2х + — у — z, Зх+у — z+2u.
2. Многочлены
апх*+2а12ху + а^У**
аг1х* + 2а12ху + aZ2y2 + 2ai3xz + 2a23yz +
суть однородные многочлены второй степени или квадратичные формы.
3. Многочлены
х*, х3 + t/3 + г3 — Зхуг, х%у + у2х + г%у
суть однородные многочлены третьей степени (кубические формы).
4. Всякое отличное от нуля число можно рассматривать как однородный
многочлен нулевой степени.
Теорема. При замене аргументов х, у, ..., z однородного мно-
многочлена степени п пропорциональными числами tx, ty, ...,tz мно-
многочлен умножается на множитель tn:
P(tx, ty, ..., tz) = tnP{x, у, ..., z).
39

Доказательство. Рассмотрим какой-либо отдельный
член однородного многочлена:
Axkyl •.. z?, где k+ 1+ ... + q = п.
При замене
х, у, ..., г на tx, ty, ..., /z
получим:
A{txf(tyI .. ¦ (tz) •= ,* + ' + •••+• Лх? ...*• = ЛАгУ ... 2«.
Итак, каждый член приобретает множитель tn , следователь-
следовательно, tn будет множителем всего многочлена, ч. т. д.
§ 14. Различные способы расположения членов многочлена
В каноническом представлении многочленов с одним ар-
аргументом принято располагать члены в определенном поряд-
порядке одним из следующих двух способов:
1° по убывающим степеням аргумента:
ап*П + ап- \хП~ ' + • • • + а\х + ао (рДе ап ф °);
2° по возрастающим степеням аргумента:
ао + а1х+ ... + апхп.
При втором способе не исключается возможность (в частных
случаях) равенства нулю нескольких первых коэффициентов*
если первые k коэффициентов равны нулю, то в каноническом
представлении на первом месте будет находиться член akxk>
где aki=0.
Для многочленов с несколькими аргументами
одну и ту же степень могут иметь несколько неподобных чле-
членов. Так, например, первый и третий члены многочлена
х2 + х + 2ху + 2у + 1
имеют вторую степень, а второй и четвертый члены имеют пер-
первую степень.
Ниже указаны наиболее часто встречающиеся способы распо-
расположения членов многочлена с несколькими аргумен-
аргументами, заданного в каноническом виде.
Лексикографическое (словарное) расположе
н и е.
При этом способе сначала устанавливается некоторый п о-
рядок расположения для аргументов. Условимся
во всех членах многочлена от данных т аргументов х, у, ..., z на
первом месте писать некоторый определенный аргумент, напри-
например х, «а втором месте аргумент у и т. д., на m-м месте аргу-
аргумент z. Всякому члену Ахк у1 ...zq многочлена соответствует си-
40

стема т неотрицательных чисел — показателей, написанных в
установленном порядке: k, I, ..., q.
Пусть
— два неподобные одночлена от данных аргументов. Если
k\ Ф k2, то старшим считается тот одночлен, для которого пока-
показатель степени аргумента х больше. Так, если &i>&2, то К\
старше, чем К2. Если k\ = k2, но 1\ Ф /2, то старшим считается
одночлен, для которого показатель степени аргумента у имеет
большее значение, и т. д. Итак, из двух неподобных одночле-
одночленов К\ и К2 старшим считается тот, у которого первый по поряд-
порядку показатель степени больше показателя степени при том же
аргументе у другого одночлена, а все предыдущие показатели
равны. При лексикографическом расположении многочлена
одночлены выписываются слева направо в порядке стар-
старшинства.
Пример
Чтобы лексикографически расположить многочлен
ах3 + by9 + сгъ + dxfy + ez2y +fx + ky+l,
установим для аргументов следующий порядок: х, г/, z, тогда получим сле-
следующее лексикографическое расположение членов
ах3 + dx2y + fx + by* + eyz2 + ky-\- cz3 + I.
Приняв для аргументов порядок z, x, у, получим следующее лексикогра-
лексикографическое расположение членов того же многочлена
cz3 + ez*y + ax8 -f dx2y + fx+by* + ky + I.
Расположение многочлена по степеням
данного аргумента.
Примем данный аргумент, например х, за первый, тогда при
лексикографическом расположении членов степень относительно-
относительного аргумента х всякого последующего члена будет «е больше
степени предыдущего члена. Разобьем все члены ;на группы, от-
относя к одной и той же группе одночлены одинаковой степени
относительно х. Вынеся за скобки в каждой группе членов со-
соответствующую степень аргумента х, получим:
Р(х, У, ..., г)=Рп(У, ...> г)хп + рп_х(у, ..., z)xn~l + ...
•.. + Ро(У, ..., 2).
В этой форме записи коэффициентами (при степенях данно-
данного аргумента) являются многочлены
Р„(", •-.,*), Рп-\(У* •••> *)> •••> Р0(У> •••> z)
от прочих аргументов. При этом коэффициент рп (у,..., г) всегда
считается отличным от нуль-многочлена. Число п называется
41

степенью, а 'слагаемое рп {у, ..., z)xn старшим членом многочле-
многочлена относительно аргумента х. Аналогично определя-
определяется младший от н о С1И т е л ь'н о х член многочлена.
Пример
Расположим многочлен
2х* +3jc3z — 4jcr/2 + 2у — z — 2хуг + 1
по степеням х:
Cz + 2) х3 — 2 (уг + 2у2) х + Bу — г+\).
Расположим тот же многочлен по степеням у кг, получим соответственно
C*» — 2ху — 1) г + B*з — 4ху* +2у+\).
Расположение по однородным многочленам.
Всякий многочлен, отличный от нуль-многочлена, задан-
заданный в каноническом виде, можно представить в виде
суммы однородных многочленов. В самом деле, достаточно, поль-
пользуясь законами коммутативности и ассоциативности сложения,
разбить члены данного многочлена на группы, состоящие из од-
одночленов одной и той же степени. Эти группы образуют (каж-
(каждая) однородные многочлены, составляющие в сумме данный
многочлен. Обычно однородные многочлены располагают по
убывающим (или по возрастающим) степеням, тогда в общем
случае многочлен Р(ху у, ..., г) степени п можно представить в
следующем виде:
Р(Х, У, ..., 2)- PJX, У, ..., z) + Pn_l(Xyy,...iZ)± ... + P0,
где Pk (х, у,..., z) — однородный многочлен степени k.
Однородный многочлен наибольшей (наименьшей) степени,
входящей в состав многочлена Р, заданного в каноническом
виде, называют группой старших (младших) членов.
Члены однородных многочленов Pk (х, у,..., z) обычно распола-
располагают в лексикографическом порядке.
Примеры
1. Ниже дано в общем виде расположение многочленов второй степени
от двух и трех аргументов по однородным многочленам:
(апх* + а12ру + а22у*) + <ахх + а2у) + а0
и
(апх* + а12ху + а22У2 + ai&z + агъуг + c33z2) + (аух + а2у + a3z) + a0.
2. Расположив многочлен
хуг + 2 + 2х2 + Зу* + х*—у*+х — у
по однородным многочленам, получим:
(х3 + хуг - у3) + Bх2 + 3*/*) + (х - у) + 2.
42

§ 15. Теорема о многочлене, тождественно равном нулю
Теорема. Если при произвольных значениях аргументов (из
того числового поля, над которым рассматривается многочлен)
значение многочлена, заданного в каноническом виде, равно
нулю, то все его коэффициенты равны нулю.
Теорема утверждает, что никакой многочлен, представлен-
представленный в каноническом виде, кроме нуль-многочлена, не может
быть тождественно равным нулю.
Доказательство. 1°. Сначала докажем теорему для
многочленов с одним аргументом. Применим метод математиче-
математической индукции. Для многочленов первой степени
Р (х) = ахх + а0
теорема верна. В самом деле, если при всех значениях х значе-
значение двучлена Р(х) равно нулю, то, положив (в частности) х = О,
получим а0 = 0 и, следовательно, Р(х) = а\Х^ 0. Положив
х = 1, получим а\ = 0. Следовательно, Р(х) есть нуль-многочлен.
Предположим, что теорема верна для многочленов степени,
низшей чем я, докажем, что в этом предположении она будет
верна для многочленов степени п. Пусть при всех значениях х
(из данного поля)
Р (х) = апхп + ап _ 1 хп ~ 1 + ... + а0 = 0, A)
докажем, что ап = an-i = ... = a0 = 0.
Заменив в тождестве A) х на 2х, получим тождество:
РBх) = 2папхп +2n-lan_lXn-l + ... + 2a{x + a0. B)
Умножим тождество A) на 2Л и вычтем из него (почленно)
тождество B), тогда получим:
+ Bn-l)a0 = 0. C)
По предположению многочлен степени, низшей чем я, может
быть тождественным нулю лишь при условии, если все его коэф-
коэффициенты равны еулю, следовательно, из тождества C) получим
2»->B-l)an_i==0> 2"-2B2-l)an_2 = 0
2n-*B*-l)an_ft = 0, .... B"-l)ao = 0.
Так как 2n~k+ 0 и 2* — \Ф 0, то ап-\ = ап-2= ... = а\ ¦¦=
= а0 = 0; но тогда тождество A) примет вид:
положив х = 1, получим ап = 0.
43

Будучи верной для многочленов первой степени, теорема вер-
верна для многочленов любой степени.
2°. Для доказательства теоремы в общем случае снова вос-
воспользуемся методом математической индукции. Допустим, что
теорема справедлива для многочленов с числом аргументов мень-
меньшим, чем т, докажем, что при этом предположении она будет
справедлива для многочленов от т аргументов. Расположим
данный многочлен Р(х, у, ..., г) по степеням одного из аргумен-
аргументов, например, х:
Р(х, у,..., г) = рп{у, ..., z)xn + pn_l(y, ..., г)хп-1 +
+ ... +Ро(#, .'•., *)•
По условию Р(х, у,..., г) = 0 при всех значениях аргументов
(из данного поля); докажем, что Р(х, у,...,г) есть нуль-много-
нуль-многочлен. Фиксируем произвольно значения аргументов у,..., г, тог-
тогда Р(ху у,..., г) можно рассматривать как многочлен с одним
аргументом х, который равен нулю при всех значениях х, сле-
следовательно, все его коэффициенты равны нулю:
Рп(У, ••-, z) = Рп-\(У> •-.,*)=... =Р0(У> •.., 2)=0.
Так как значения т— 1 аргументов у, ..., z можно выбирать
произвольно, то последние равенства суть тождества. По пред-
предположению это возможно лишь, если каждый из многочленов
рп , рЛ_1,..., ро от т—1 аргументов является нуль-многочле-
нуль-многочленом, но тогда все коэффициенты многочлена Р(х, у> ..., г) также
равны нулю.
Будучи верной для многочленов с одним аргументом, теоре-
теорема верна для многочленов с любым числом аргументов, ч. т. д.
§ 16. Теорема о тождественности многочленов
Теорема. Необходимым и достаточным условием тождест-
тождественности двух многочленов (над некоторым числовым полем),
заданных в каноническом виде, является равенство коэффи-
коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одина-
одинаковых степенях (т. е. коэффициентов подобных членов).
Доказательство. Условие достаточно. Если
все соответственные коэффициенты двух многочленов
Р = Л^'//' ...z'« + i4a*Vf... г^2 + ... (А)
и
Q = Вхх*ч/* ...zQl + B2xk*yh ... zu + ... (В)
равны:
А, = Ви А2 - В2, ...,
то мы имеем одно и то же, а не два различных выражения,
44

поэтому значения данных многочленов рав.ны при всех значениях
аргументов.
Условие необходимо. Предположим, что при всех
значениях аргументов значения многочленов (А) и (В) равны,
докажем, что при этом условии многочлены состоят из одних и
тех же одночленов. Рассмотрим какой-либо член одного из мно-
многочленов, например Aixkiyll...zul , в другом многочлене либо со-
содержится член B\Xklylx ...гйх , подобный данному, либо такого
члена не содержится. В последнем случае член Вхх 1 у 1...zQl все
же может быть написан, если считать В\ = 0. Добавив (в случае
надобности) в каждом из данных многочленов недостающее ко-
количество членов с коэффициентами равными нулю, можно счи-
считать, что каждому члену одного многочлена соответствует по-
подобный член другого. По условию значения многочленов (А)
и (В) одинаковы при всех значениях аргументов, поэтому, вы-
выполнив почленное вычитание, получим при всех значениях аргу-
аргументов:
/> — Q = (Ai -A) *V' • • • *х + (Л>— B2)*V'... 2* + ... =0.
Это возможно лишь при условии А\ — Bi = Л2— В2 = ... = 0,
откуда А\ = Ви А2 = В2,..., ч. т. д.
Примеры
1. Расположить многочлен х2+Зх+2 по степеням х—1.
Решение. Ищем для данного многочлена выражение в следующем
виде:
*2 + Зх + 2 = А (* — 1J + В(х — 1) + С.
Раскрыв скобки и перегруппировав члены в правой части, получим:
*2 ¦+- Зх + 2 = Лх2 + (Б — 2Л) х -f А - В + С.
По теореме о тождественности должны быть равны соответственные ко
эффициенты:
Л=1, —2Л + В = 3, Л— Ь + С = 2,
откуда Л = 1, В = 5, С=б и
jc»+3jc + 2 = (х— 1J + 5(х— 1) + 6.
2. Доказать, что если при произвольных значениях аргументов и при
произвольном / имеет место тождество
P{tx, ty, ..., tz) = tkP(x> у. ..., z),
то Р(х, #,..., z) есть однородный многочлен степени k.
Доказательство. Расположим многочлен Р по степеням однород-
однородных многочленов:
Р(х, у, ..., г) = Рп(х, у, ..., z)+Pn_l(x1y...
Заменив аргументы пропорциональными числами tx, ty, ..., tz, получим
тождество:
tkP(x, у, .... z)=tnPn(x, у, .... z) + tn-1 Pn_x(x,y г) + ... + Ро
По теореме о тождественности многочленов это возможно (при произ-
произвольном /), если
Р(х9 у, .... г) = Рк(х,у,..., г).
45

§ 17. Единственность канонического представления многочлена.
Действия над многочленами
Теорема. Всякое целое рациональное выражение может быть
единственным образом (с точностью до порядка следования од-
ночлено в-слагаемых) представлено в каноническом виде.
Доказательство. Как известно (см. § 13) всякое целое
рациональное выражение можно представить в каноническом
виде. Два канонические представления данного выражения суть
многочлены, тождественные этому выражению, а потому тож-
тождественные между собой. В силу теоремы о тождественности,
эти два многочлена состоят из одних и тех же одночленов-сла-
одночленов-слагаемых и могут отличаться лишь порядком, в котором они напи-
написаны, ч. т. д.
Пусть
Р(х, У,..., г) = Axxk*yh ... z<* + A2xk*y1' ... zq* + ... '
Q(x, У, ..., z) = BlXklyli ... z9' +B2xk*yU ... z** + ...
два многочлена от аргументов xt у,..., z, заданные в канони-
каноническом виде; сумма и произведение многочленов суть также
целые рациональные функции от тех же аргументов:
Р + Q = (Л^У'... а* + ...) + (В,**''/' + .../' + ...),
Для получения канонического представления суммы Р + Q
и произведения PQ следует воспользоваться общими правилами
сложения и умножения двух сумм:
Р + Q = ALxkt yh ... zg* + A2xk* yh ... zq* + ... +
+B2xk> yl*...zq* +... (P + Q)
и
PQ =
ixh*+k* r/' + /; ... zffi + ^ +... (PQ)
(в правой части последнего равенства следует составить сумму
произведений каждого члена Р на каждый член Q), после чего
выполнить приведение подобных членов в правых частях ра-
равенств (Р + Q) и (PQ). Канонические представления многочле-
многочленов Р + Q и PQ обычно и называют суммой и произве-
произведением данных многочленов. В силу теоремы о един-
единственности канонического представления не существует никаких
многочленов с другими коэффициентами, значения которых при
46

всех значениях аргументов равны (соответственно) сумме и
произведению значений многочленов Р и Q.
Основные, характеристические свойства сложения и умноже-
умножения остаются в силе для многочленов, т. е. имеют место тож-
тождества:
PQ = QPy (PQ) R^P (QR), (P + Q)R = PR + QR,
где P, Q и R произвольные многочлены (для краткости аргу-
аргументы не написаны). Так, например, многочлены Р + Q и Q + Р
тождественны, так как (в силу закона коммутативности сложе-
сложения чисел) их значения равны при произвольных значе-
значениях аргументов.
Два многочлена называются взаимно противопо-
противоположными» если их сумма тождественна нуль-многочлену. Если
Р(Ху уу ..., г) = AlXkl г/1 ... z*' + A2xk* t/' ... z*2 + ...
— данный многочлен, то противоположный многочлен
— Р(х9 уу ..., г) = Cxxkl ytl..: zQt + C2xk* у1*... zq* + ...
находится из условия:
Р -I- (-P) = (Аг + Сг)**' t/\..zQi + (Л2 + С)**¦ yl\..,zq* + ... = О,
откуда
/i + C1 = i42 + C2=... = 0 и Сг = —Аи С2=-Л2>...
Следовательно, многочлен — Р, противоположный Р, полу-
получается заменой коэффициентов Р противоположными числами.
Вычитание многочленов определяется как операция обратная
относительно сложения многочленов. Многочленом-разностью
Р(х, У, ..., z)—Q(x, у,..., г)
называется многочлен R(x, у, ..., z)t удовлетворяющий условию
Р (х, уу ..., z) = Q (х, у, ..., г) + /? (х, у, ..., z).
Прибавив к обеим частям этого тождества по —Q, получим:
Я(хэ г/, ..., 2)-Р + (—Q).
Полученный многочлен удовлетворяет поставленному усло-
условию, так как
Q+ R = Q + [P + (-Q)]^P.
Итак, вычитание многочлена Q равносильно прибавлению
противоположного многочлена, т. е. —Q.
47

Коэффициенты многочленов суммы, произведения и разности
получаются из коэффициентов данных многочленов посредством
действий сложения, вычитания и умножения. Следовательно.
если коэффициенты данных многочленов принадлежат некото-
некоторому числовому кольцу (в частности полю), то коэффициенты
их суммы, разности и произведения принадлежат тому же кольцу.
Так, например, сумма, разность и произведение многочленов с
целыми коэффициентами суть многочлены с целыми коэф-
коэффициентами. Сумма, разность и произведение многочленов счет-
счетными коэффициентами суть многочлены с четными коэффи-
коэффициентами. Сумма, разность и произведение многочленов с ра-
рациональными, действительными или комплекс-
комплексными коэффициентами суть многочлены соответственно с ра-
рациональными, действительными или комплекс-
комплексными коэффициентами.
В множестве всех многочленов от данных аргументоз
х, у, .. . , 2, рассматриваемых над данным числовым кольцом
(в частности полем), выполнимы операции сложения и умноже-
умножения, обладающие характеристическими свойствами этих опера-
операций, а также однозначно выполнимая операция обратная сложе-
сложению — вычитание. Следовательно, множество всех многочленов
от данных аргументов над данным числовым кольцом, в свою
очередь, образует кольцо (относительно операций сложения и
умножения многочленов). Это множество называется кольцом
многочленов над данным числовым кольцом (в частности над
данным полем).
В кольце многочленов нулем является нуль-многочлен. Вся-
Всякий многочлен, отличный от нуль-многочлена, будем кратко на-
называть отличным от нуля.
При выполнении действий над многочленами, заданными в
каноническом виде, рекомендуется применять форму записи, об-
облегчающую получение окончательного результата в канони-
каноническом виде. При сложении многочленов рекомендуется под-
подписывать подобные члены под подобными, при этой форме запи-
записи сложение многочленов сводится к сложению (по столбцам)
коэффициентов. При умножении многочленов от одного аргу-
аргумента рекомендуется, расположив сомножители по убывающим
или по возрастающим степеням аргумента, составлять «частные
произведения» множимого на каждый член многочлена-множи-
многочлена-множителя и при сложении частных произведений подписывать подоб-
подобные члены под подобными.
Ниже приводится схема умножения многочлена
а хп -J- а хп~1 -4- 4- а х 4- а (Р)
П ' П— 1 ' 1 U x '
на многочлен
bm *m + bm_, xm-l+...+blx+ b0; (Q)
48

Члены
множи-
множителя
P-Q
Члены
множи-
множимого
m-1
п ,
«,* + «.
+(<*А 4
° l *"д
aobLx
афох +
-агЬ0)х-
a0b0
i- aobo
Член произведения, содержащий xk% имеет коэффициент
akbo + ak-i bi + ak-2 b2 + • • • + aobk
(при этома^, при k>n и bk при &>m считаются равными нулю),
равный сумме всевозможных произведений afij, взятых при
условии i+j=*k.
В самом деле, из всевозможных произведений
степень k имеют члены, для которых i+j = k.
Примеры
1. Выполнить следующие действия над многочленами
Dл:3 — 5а2л: — 8а3 — 4ал:2) + Bа2^ — л:3 + 4а3 -f • 2х2) — (9а3 — 5ал:? + 5л:3),
где х и а — аргументы.
Решение. Подписав подобные члены друг под другом, производим
сложение коэффициентов по столбцам. Для определенности выписываем
члены в лексикографическом порядке.
I
11
III
слаг.
слаг.
слаг.
4л:3 — 4л:2а
л \
— 5л:3 + 5л:2а
—
2л:2+
5ха2 ¦
-4а3
-9а8
— 2л:3 + х2а + 2л:2 — Зха2 — 1 За3
2. Найти произведение многочленов (от аргумента х)
Х4 _ Зд;за2 4- 2л:а3 — а4 и 2л:3 + х2а — За3;
имеем:
множимое л;4 — Зл:2а2 + 2ха3 — а4
члены
множи-
множителя
х2а
—За3
произведение
2Х1
+4л;4а3 —2л:3а4
+хба —Зл:4а« + 2х3а4 — л:2аб
— Зл:4а3 + 9;с2а5 — бха* + За7
2л:7 + л:ва — 6л:ба2 —
За7
Примечание. Из приведенного образца записи видно, что при
выписывании членов частных произведений, в случае, когда степени
аргумента в сомножителях имеют пропуски, надо оставлять места для
«недостающих» членов, так как они могут оказаться в следующих
частных произведениях.
4 С. И. Новоселов 49

§ 18. Теорема о произведении многочленов
Теорема. Если каждый из двух многочленов-сомножите-
многочленов-сомножителей, заданных в каноническом виде, отличен от нуля, то:
1° многочлен-произведение также отличен от нуля;
2° если хотя бы один из сомножителей не является одночле-
одночленом, то каноническое представление многочлена-произведения
содержит не менее двух членов;
3° степень многочлена-произведения равна сумме степеней
сомножителей.
Доказательство. Для многочленов с одним аргумен-
аргументом теорема верна. В самом деле, произведение старших членов
anbmxnJ>~m многочленов
V (*) =&m * +°m-.\ X + • • • + bm-l X
где ял^0 nbmi=O есть отличный от нуля старший член произве-
произведения P(x)Q(x) (см. предыдущий параграф). Следовательно,
произведение PQ отлично от нуля (пункт 1°) и имеет степень
равную п + т (пункт 3°). Если хотя бы один из многочленов Р
и Q не является одночленом, то в нем содержатся по крайней
мере два члена. В этом случае произведение младших членов
а„ ьЬт ,
не имеет себе подобных среди прочих произведений членов со-
сомножителей и является отличным от нуля младшим членом про-
произведения. Следовательно, произведение содержит по крайней
мере два члена: старший и младший (пункт 2°).
Для многочленов с несколькими аргументами доказательства
аналогично. Расположим лексикографически члены
множимого и множителя (приняв за нормальный один и тот же
порядок следования аргументов):
Р - Axk ylzm ... ип +... + Bxkl yli zmi...uni + ...;
Q = Cxp yqzr ...и* +... + DxPl ygi zri... iix + ...
Произведение старших членов многочленов множимого и
множителя
ACxk+pyl+q...un+t A)
есть отличный от нуля член произведения. Этот член не имеет
себе подобных среди прочих членов произведения. В самом деле,
составим произведение каких-либо двух членов данных сомно-
50

жителей, причем хотя бы один из этих членов выберем отличным
от соответствующего старшего члена:
BDxkl+Pl ylt+u гт*+г*... ия>+'\ B)
Сравним полученный одночлен с произведением старших членов.
Если k>ku либо р>рь то k+p>kx + px и член A) старше
члена B); если k = kx и р = ри но I > 1\> либо q > qu то k + p =
—&1+Р1, I + Я > h + Я\ ъ член A) старше члена B); если k=ku
/7 = рх, / = Zi, q = <7ь но т>ть либо г>гь то и в этом
случае член A) старше члена B). Это поочередное сравнение
показателей закончится как только наступит неравенство пока-
показателей, но это неравенство должно наступить, так как хотя бы
один из одночленов был взят отличным от старшего члена со-
соответствующего многочлена. Итак, каноническое представле-
представление PQ наверное содержит член отличный от нуля, следова-
следовательно, PQ ^0 (пункт 1°).
Если хотя бы один из многочленов Р и Q 1не является одно-
одночленом, то произведение младших членов в их лексикографиче-
лексикографическом расположении является неподобным прочим членам млад-
младшим членом произведения (доказательство аналогично). В этом
случае Р* Q содержит по крайней мере два члена (пункт 2°).
Докажем ('пункт 3°), что степень (относительно совокупности
аргументов) произведения PQ равна сумме степеней сомножи-
сомножителей. Предположим сначала, что Р(ху у, ..., z) и Q(xy у, ..., z)
являются однородными многочленами степени N и М соот-
соответственно. Согласно доказанному (пункт 2°) PQ^O. Докажем,
что каждый член многочлена-произведения PQ имеет степень
равную N + М. В самом деле, всевозможные произведения каж-
каждого члена AxkyK..zq многочлена Р на каждый член Bktylt...zqt
многочлена Q имеют одну и ту же степень N+M, так как
(Axkyl . . .z')(Bxk*yl* . . .2fl)
Следовательно, произведение PQ есть однородный многочлен
степени N+M.
Пусть Р (х, уу ..., z) произвольный многочлен степени N,
а Q(x, У у ..., z) произвольный многочлен степени М. Располо-
Расположим каждый из сомножителей по однородным многочленам
Р(х,У, • • .,*)=* PN(x, У, . • .
Q(x,y, . . .,z)=QM(x,yf . . .
где (по условию) Prf^O и qm=? 0. Многочлен-произведение
4* 51

также представим в виде суммы однородных многочленов
Р (х, У,-, *) Q (х, у,..., г) = PNQM + (PN_XQM + PNQM_{) +
Однородный многочлен PNQM имеет степень N+M, а каждое
из прочих слагаемых либо имеет более низкую степень, либо
обращается в нуль. Следовательно, степень произведения PQ
равна N+M (пункт 3°).
Примечание, При доказательстве установлено следую-
следующее предложение, имеющее самостоятельное значение: произ-
произведение однородных многочленов также является однород-
однородным многочленом.
Пример
Нижеследующий пример показывает, что многочлен-произведение может
содержать два члена (т. е. наименьшее возможное число членов, если хотя
бы один из сомножителей не является одночленом)
(х3 + 2х2у + 2ху2 + г/3) Гх3 — 2х2у + 2ху* — г/3> = х* — уь.
§ 19. Формулы сокращенного умножения
Наиболее часто встречающиеся произведения рекомендуется
запомнить и пользоваться ими в качестве готовых формул
при выполнении действий над многочленами. Эти формулы на-
называются формулами сокращенного умножения. Ниже
приводится перечень основных формул сокращенного умноже-
умножения.
1. Умножением двучлена х + у на себя получим формулу:
(х+ уJ = х2+2ху+ у\ A)
2. Заменив у на —у, получим:
(х — yf = х2 — 2ху + у2. B)
Аналогично непосредственным умножением устанавливаются
формулы:
3. (х + у)(х-у) = х2-у2. C)
4. (х + уK = х'3+ Зх2у + Ъху2 + у\ D)
5. (х — #K = х3— Зх2у+3ху2— у3. E)
6. (х — у) (х2 +ху+ у2) = х3 — у3. F)
7. (х + у) (х2 — ху+ у2) = х3 + у3. G)
8. (х + а) (х + Ь) = х2 + (а + b)x + ab. (8)
Формулы A) — ('8) известны из школьного курса, ими широко
пользуются в различных преобразованиях и вычислениях.
9. Для представления в каноническом виде квадрата суммы
Х\+Х2 + ...+хп с любым числом слагаемых умножим эту сумму
52

самоё на себя. При умножении надо составить сумму 2**к;- все-
всевозможных произведений каждого члена данной суммы Х\\-х2 +
+ ... + хп на каждый член той же суммы. В сумме ^xtXj содер-
содержатся квадраты каждого из слагаемых хи х2>..., хп: при / = /
имеем xtXj =xf. Если 1ф1, то произведению xtXj r-го члена мно-
множимого на /-й член множителя соответствует равное (в силу за-
закона коммутативности) произведение /-го члена множимого на
i-й член множителя. Объединив равные слагаемые, получим тож-
тождество:
(*, + х2 + х3+ ... + хпу = х\ + х\ + ... + xl +
+ 2х{х2+2хххъ+ . . . + 2хп_{хп. (9)
10. Выполним следующее умножение:
xV + xyn~l
Х*у«-> _Ху"-*-у»
\ХП -У"
Отсюда формула:
(х - у) (Xя-1 + *»-* у+- ...+ хуп~2 + уп~1) = х - / (Ю)
или кратко
Формулы C) и F) являются частными случаями последней
формулы (при л=2 и п = 3).
Аналогично устанавливаются следующие формулы:
(*+'у)(*"-'-jc^V+x1*-"*2- • . .-у2* )»*•*-у8*;
(И)
так, например, при 6=3:
(х + У) (х5 — х4у + xsy* — x2ys + xy* — у5) = хл — у\
12.
(Х +y)(x2k- xu-'y + x2k~2 у2-. . -ь у2") = /*+' + /й+1 • A2)
Так, например (при k=2):
(х + у) (х* — xsy + х*у* -ху3+ у*) =х5+ у*.
13. Формула бинома Ньютона дает каноническое пред-
представление натуральной степени двучлена х+у. Канонические
представление (х+у)п имеет вид:
у
53

числа С* (пока неизвестные) называются биномиальными
коэффициентами. Чтобы получить удобное правило вычис-
вычисления биномиальных коэффициентов, установим рекуррентное
соотношение, характеризующее закон их образования. Умножив
написанное тождество на х+у, получим:
(х+У)п+{ =
= С°хп 4- С] г"-1 // 4- ... + Cknxn~k ук + ... + Сп уп
С\хп у 4-... + С?х/1+1-/У +...4- Сппхуп
4 С°пхпу+ ... + С*- C
Согласно принятому обозначению, коэффициент при xn~^~'X~k yk
в каноническом представлении (*4t/)n+1 есть Сл-и, следователь-
следовательно,
CJ1+1=CJJ и, так как, С} = 1,
и аналогично С\ =С\ =С\=...= \\
при КА< п получим:
Условимся считать Cg = 1.
В силу формулы (С) последовательное вычисление биноми-
биномиальных коэффициентов можно осуществить при помощи следую-
следующей таблицы, называемой арифметическим треуголь-
треугольником. В строках этой таблицы написаны биномиальные коэф-
коэффициенты для п = 0,1, 2, 3,...
/\
/ V'\
/ V \' \
,' \^ Ч5У V Ч,
/ Ч5^ V \/ Ч5Х \
f 5 /5 Z0 15 6 1
/ \ у \ у \ у \ у ч у ч У \
• •••••••
биномиальных коэффициентов
(Треугольник Паскаля)
Чтобы получить последующую строку таблицы, достаточно
сложить рядом стоящие члены предыдущей строки, как показа-
54

но на схеме при помощи стрелок. Так, например, воспользовав-
воспользовавшись этой таблицей, получим:
(х + уM = х5 + 5х*у + 10Л/2 +10х2у3+5хуА + у5.
Докажем, что при 0<&< п имеет место следующая формула
для биномиальных коэффициентов:
СЛ= n(n-\)...(n-k+\)
Воспользуемся методом математической индукции. При п— 1
формула верна:
С! 1
Допустим, что формула верна для некоторого натурального
п (при &=1, 2,..., /г), докажем, что в этом предположении она
верна и для /г+1. В самом деле, при 1<&< п имеем:
C*fi = C* + C^ = [в силу (С)]
_ гг (лг — 1)... (п — fe + 1) , п (п— 1).. .(/г — к + 2) _
~~ 1 • 2...Л ^ 1 • 2... (/г — 1) """"
(по предположению)
= {n+\)n(n-\)...[(n+\)-k+\]
\-2...k
При k= 1 получим:
ci+i = ei + Cn= [в силу (С)]
= — + 1 = (по предположению)
При k=n+l имеем:
Сп+\ ^ (/I + 1) п (п - 1)... Цп + 1) -- (п + 1) + 1] =
л+1 1 -2 • з...п(л+ 1)
Итак, будучи верной для некоторого натурального /г, формула
верна и для /г+1, но формула справедлива при /г=1, следова-
следовательно, она справедлива при произвольном натуральном п.
В окончательном виде формула бинома Ньютона записывается
так:
(х+у)п =хя+ nx"-1 y+ -^ll*-1 У2+...+
55

Формулы A), B), D) и E) суть частные случаи формулы
бинома Ньютона.
Тождества 1 —13 установлены на основании законов ариф-
арифметических действий, они носят общий характер, именно,
под х и у можно подразумевать числа произвольного поля
(числового); х и у могут быть не непосредственными аргумента-
аргументами, а некоторыми выражениями (не обязательно целыми), со-
содержащими аргументы.
§ 20. Примеры тождественных преобразований многочленов
На нижеследующих примерах показано применение правил
действий над многочленами и формул сокращенного умножения
к тождественным преобразованиям целых, рациональных выра-
выражений.
Примеры
1. Тождество Лагранжа. Так называется следующее тождество:
<*? + х\ f .. . + **) (a2 +a22 +...+ а2п) - (ах хх + а2 х2 +.. .+апхп)*=
- (хх а2 - а, х2 )« + (хх аг - хг ах J +... + (хп_{ ап - хп ап_х )«
или в сокращенном обозначении
2 42 «5-(&-.)*-2
xkxl
akat
Доказательство. Произведение Л^ xj У^ aj равно сумме всевозмож-
всевозможных произведений х2 а2, где i= 1, 2,..., я и / =1, 2,..., л; выражение
(Уа1 xiJ Равно сумме квадратов а\х\ + с\х\ + .. .-\-ап х2п плюс сумма
удвоенных произведений:
Kk xl akal —2 (хх х2 ах а2 + хх хг а{аг +... + хп—\ хп ап—\ пп )•
При выполнении вычитания в левой части сократятся все слагаемые ви-
вида х2 af ; перегруппировав оставшиеся члены, представим левую часть в ви-
виде суммы слагаемых:
4al-2xkxiakai+ А а1>
откуда следует справедливость тождества.
В частности, при п = 3 тождество Лагранжа примет вид:
fl2 _J_ ^2 _|_ С2) (V2 _|_ f/2 __J_ Z2) — (ах _j_ by -f- ??J =
= Fx — ar/J + (ex — gzJ + (cy - &zJ.
Примечание. Из тождества Лагранжа следует, что равенство
при действительных */ и ay возможно лишь, если каждое из неот-
неотрицательных слагаемых в правой части тождества обращается в нуль, т. е.
56

если
Х\ Х2 __ ХП
а, а2 ап
2. Тождество Эйлера. Так называется следующее тождество:
(ах + by + cz + ШJ+ фх — ay + dz — ctJ +
+ (ex — dy — az -f- btJ + (dx + cz/ — bz — afJ =
= (a2 + b2 + c2 + d2)(*2 + */2 -f z2 -f- /2).
Доказательство. По возведении в квадрат многочленов в левой
части сократятся все удвоенные произведения. Выпишем, например, члены,,
содержащие произведение ху:
2abxy — 2abxy — 2cdxy + 2cdxy.
Аналогично сократятся члены, содержащие прочие произведения аргу-
аргументов. Таким образом, в правой части останутся всевозможные произведе-
произведения а2*2, б2*2,..., d2t2 (всего 16 членов); сумма этих произведений равна про-
произведению, написанному в правой части.
3. Представить в каноническом виде многочлен:
Решение. Сгруппируем сомножители так, чтобы можно было приме-
применить формулу C) умножения суммы на разность (см. предыдущий параграф)
{[(а + Ь) + с].[(а+Ь)-с]} {[с + (а-Ь)] . [с- (а-&)]} =
= [(а + ^J — с2] [с2 —(а — ЬJ] = (формула 3)
= Bab -f а2 + Ь2 — с2) Bab — а2 — Ъ2 + с2) = (формулы 1 и 2)
= 4а2Ь2 — (а2 + Ь2 — с2J = (формула 3)
= Аа2Ь2 — (а* + Ь* + с* + 2а2Ь2 — 2а2с2 — 2Ь2с2) = (формула 9)
= 2а2Ь2 + 2аЧ2 + 2Ь2с2 — а* — Ь* — с*.
4. Воспользовавшись тождествами:
(следующими из формул 1 и 2), представить в каноническом виде многочлены:
1°. Sl== (a + b+c — dJ + (a + b — с f dJ+
+ (a - b + с + dJ + (-a + b + с + d)*.
2°. S%=[a(x+y) + b(x-y)\*-[a(x-y) + b(x + y)\*.
Решение.
1°. S, = [(a + b) + (c-d)]2 + [(a + b)- (c-d)]* -f
+ [( + d) (b)]2 + [(+d)(b]*
+ [ + ) + ()] + [(+)
= 2 (a + bJ + 2 (c— d)* + 2 (c + d)« + 2 (a — 6J =
2°. S8 = [x(a + 6) + y(a-6)]«-[x(a + 6)-y(a-
= Axy (a + b) (a — b) = 4a2*# —
Примечание. Преобразование многочлена ^ можно выпол-
выполнить другим способом, показав непосредственно, что все удвоенные
произведения сокращаются (см. пример 2).
5. Доказать, что многочлен
можно представить в виде квадрата трехчлена второй степени.
57

Решение.
Р = [(X + 1) (х + 4)] [(х +2) Oc-f 3)] -f I -
= (а;2 + 5а: + 4) (х* + Бх + 6) + 1 = (формула 8)
=-- [(*'+ 5*) 4- 4] [(х* + 5х)+ 6] + 1 =
= (х2 + БхJ + 10 (х* + 5х) + 25 = (формула 8)
6. Представить в каноническом виде многочлен:
Q={x + y + zY-(x->ry-z)*-(x-y + z)*-{
Решение.
<2 = [(х+У) + гГ-*[(х + у)-г]*-{[г+(х-у)]* + [г-(х-у)]*}
=2z {[(х + у)+ г]2 + l(x + y) + z] [(х + y)-z] -f- [(x + у) - г]2} -
2{[ + ()]2[+^)][и]+[()]2
(формулы 6 и 7).
Сгруппировав в каждой фигурной скобке первое и третье слагаемые и
применив ко второму формулу 3, получим:
Q = 2z [2 (х + уJ + 2га + (х + уJ - zal ~ 2г [2г2 -f 2 (х - уJ -г2 + 0с~#
= 2г [3 (^ + (/)» — 3 (а: — у)*] = 24xyz.
7. Представить в каноническом виде многочлены:
РЛх, У) = {х + у)п + (х~у)п и Р2{х, у) = (х+ у)п-(х-у)п.
Решение.
= хп+пхп~1 П{"{)
п= хп+пхп~1у+
у+ П(\'~2 *п~2
Следовательно,
1.2 " ' 1-2-3-4 " '
Последний член равен 2уп при п четном и 2пхуп~~1 при п нечетном.
Р2(*> у) = 2пх у+2 j #2 .3 * У +'"
Последний член равен 2уп при л нечетном и 2пхуп~1 при л четном.
Из последних выражений для Pi и Р2 следует, что
есть действительное число, равное
2е.
—3Z" t(a + ^ V k )n — (a — b V~~k )n] (где a, b и ^—рациональные числа)
58

есть рациональное число, равное
У
1-2-3
Круговая перестановка аргументов.
Пусть
*, У, г, ..., и A)
— система букв, заданных в определенном порядке. Замена пер-
первой буквы второй, второй буквы третьей и т. д. и, наконец,
последней буквы первой называется круговой перестановкой дан-
данных букв. На чертеже 8 изображена схема круговой перестанов-
перестановки четырех букв. Круговая перестановка
переводит расположение букв A) в сле-
следующее расположение
У, *, ..., и, х.
и
Применив повторно круговую переста-
перестановку, получим
Z, . . ., U, X, У И Т. Д.
Применение круговой перестановки об-
облегчает преобразование сумм (или произ- Черт. 8
ведений), в которых всякое последую-
последующее слагаемое получается из 'предыдущего -круговой перестанов-
перестановкой аргументов. Для таких сумм достаточно преобразовать
лишь первое слагаемое, а результаты преобразования прочих
слагаемых получаются путем (последовательного применения
круговой перестановки аргументов.
Пример
Доказать тождество
s(s — 26) (s — 2с) + s (s — 2с) (s — 2а) + s (s — 2а) (s — 26) — Sabc =
= (s — 2a) (s — 26; (s — 2c) t где s = a + 6 + c.
Решение. Второе и третье слагаемые в левой части получаются иа
первого круговой перестановкой букв. Преобразуем первое слагаемое:
(s — 26) (s — 2с) = (а — 6 + с) (а + 6 —с) =
= а2 — F — сJ = а2 — б2 — с2 + 26с.
Выполнив последовательно круговую перестановку букв, получим:
(s — 2с) (s — 2а) = б2 — с2 — а2 + 2са,
(s — 2а) (s — 26) = с2 — а2 —б2 4- 2а6,
откуда
; — 26) (s — 2с) -г (s — 2с) (s — 2а) + (s — 2а) (s — 26) =
+ 0/ч/у
59

Левая часть доказываемого тождества примет вид:
(а + Ь + с) Bab + 2Ьс + 2са — а2 — б2 — с2) — 8abc =
= [a f- (b + с)] [— (b — cf + 2a (b + c) — a2] — Sabc =
= _ аз 4. Q2 ^ + C) + a (b __ CJ _ F + c) (b-c) =
(располагаем по ст епеням a)
= a2(b + c — a) +-(b —cJ (a — b — c) = (b + с — a) [a2 — (b — cJ] =
=5 ф + с — a) (a + b — 0 (a — b + c) = (s — 2a) (s — 26) (s — 2c).
§ 21. Симметрические многочлены
Определение. Многочлен Р(х, у,..., г) от данных аргументов
х, у, ..., z называется симметрическим, если он не изменяется при
любой перестановке его аргументов
Р(х, У, ..., г)^Р{У, х, ... г)^Р(у, г, ..., х) = ...
Если в каноническом представлении симметрического много-
многочлена содержится юдночлен Axkyl ... z**, то в нем содержатся все
одночлены, получающиеся из данного при произвольной пере-
перестановке аргументов. Докажем, например, что многочлен Р со-
содержит чле/н Aykxl ... 2^, .получающийся перестановкой аргумен-
аргументов х и у. В самом деле, пусть
Р(х, У, ..., * = Axkyl ... zq+ . . .
Переставив 'аргументы х и у, получим:
Р(х,у,...,г) = Р(у,х....,г)= Aykxl ...* + ...
Следовательно, всякий симметрический многочлен можно
представить в виде суммы таких многочленов (симметрических),
каждый из которых может быть получен из любого содержаще-
содержащегося в нем члена путем всевозможных перестановок аргументов.
Примеры
1. Найти общий вид симметрических многочленов 2-й степени с тремя ар-
аргументами.
Решение. Искомый многочлен может содержать член Ах2, тогда он и
содержит члены Лу2 и Az2, получающиеся из первого заменой агрументов. По
той же причине многочлен вместе с членом Вху должен содержать члены Вуг
и Bzx. В общем случае искомый многочлен содержит члены первой степени
Сх, Су, Cz и свободный член D. Общий вид искомого многочлена таков:
Р (х, у, г) = А (х2 -и у* + z2) + B (xy + уг +хг)+С(х +у + г) +D,
никаких других членов симметрический многочлен второй степени в канони-
каноническом виде содержать не может.
2. Аналогично докажем, что симметрический многочлен третьей степени
с тремя аргументами имеет вид:
А (л* + */з + z3) + В (х*у + x2z + у*х + y2z +z4 +г*у)+
+ Cxyz + D (x2 + y* + z2) + E (xy +yz + xz) + F(x+y+z) + G.
Нижеследующие многочлены от п аргументов Х\, *ъ...» хп на-
называются основными симметрическими функ-
функциями.
60

Сумма аргументов:
р1=х1+х2+... +хп.
Сумма всевозможных произведений аргументов, взятых по
два:
р2 = ХХХ2 4- ХхХг + . . . + *л-1 Хп
Сумма всевозможных произведений аргументов, взятых по k:
Рк ~ х\ Х2 • • • xk + Х2хг • • • xk+\ + • • •
Произведение аргументов:
Рп = *1*2 • • • Хп-
В высшей алгебре доказывается, что всякий симметрический
многочлен можно представить в виде многочлена от основных
симметрических функций.
Примеры
1. Выразить сумму квадратов аргументов через основные симметрические
функции.
Решение.
х2 + у* + ... + ы2 + D2 =
=р?—2р2 .
2. Выразить через основные симметрические функции следующий симмет-
симметрический многочлен:
S = Xy2Jr xz2 + ух2 + yz2 + z^2 + zy2.
Решение.
Произведение
PiP2 = (х + У +-г)(ху+ хг + yz)
состоит из 9 членов, среди которых содержатся все 6 членов многочлена S.
Остальные три члена одинаковы и каждый из них равен p3=xyz. Следова-
Следовательно,
5 = Р1Р2— Зр3.
§ 22. Метод неопределенных коэффициентов
Метод неопределенных коэффициентов обычно применяется
в тех случаях, когда известно, что в результате преобразования
данного выражения должно получиться некоторое выражение
определенного вида с коэффициентами, подлежащими вычисле-
вычислению. Искомые числовые коэффициенты обозначаются буквами,
их рассматривают как неизвестные. В случае многочленов соот-
соответственные коэффициенты в каноническом представлении дан-
данного и преобразованного выражений должны быть одинаковы.
Приравняв эти коэффициенты, получим уравнения для нахожде-
нахождения неизвестных коэффициентов. Уравнения для нахождения
искомых коэффициентов можно получить другим способом, при-
61

равняв значения данного и преобразованного выражений при
частных значениях аргументов.
Для примера выведем формулу куба трехчлена. Многочлен
(х+y + zK есть однородный симметрический много-
многочлен третьей степени с тремя аргументами, поэтому его канони-
каноническое представление имеет вид (см. пример 2, стр. 60):
(* + У + гK = А (*3 + у3 + z3) +
+ В(х2у+ у2х + x2z + z2x + y2z + z2y) +Схугу
где Л, В и С искомые числовые коэффициенты. Коэффициенты
при х3 в каноническом представлении левой части равен 1*, по-
поэтому Л = 1. К тому же результату придем, положив х=1, y=z—
= 0.
Положив х = у=1, 2=0, получим: 8 = 2Л+2В, откуда В = 3.
Положив x = y = z=ly получим: 27 = ЗЛ + 6В + С, откуда С=6.
Следовательно,
( )*
( у+)
= x3 + y3+z*+3 (х2у + у2х + x2z + z2x + y2z + z2y) + 6xyz.
Примечание. Воспользовавшись формулой A) (см»
пример 2, стр. 61), последнее тождество можно представить
в следующем виде:
(х + у + zf = х3 + у* + zs + 3 (х + у + z) (ху +
yz + гх) — 3xyz.
Примеры
1. Представить в каноническом виде произведение
(х + 2)(х + 3)(х-5).
Решение. Произведение есть многочлен 3-й степени, коэффициент при
старшем члене равен 1, а свободный член равен — 30. Положим:
(х + 2) (х + 3) (х — 5) = х3 + Ах2 + Вх — 30.
Дли вычисления А и В положим
х=— 2 и х = — 3,
получим:
4А — 2В — 38= 0,
9Л —ЗБ —57 = 0.
Откуда
Л = 0, В = —19.
Следовательно,
(х + 2) (х + 3) (х — 5) = х3 — 19* — 30.
2. Расположить многочлен
Р(х) = спхп -J- сп_х хп-1 + ... + с{ х +с0 A)
по убывающим степеням разности х — а.
* Так как коэффициент при старшем члене (относительно х) произведе-
произведения равен произведению коэффициентов старших членов сомножителей.
62

Решение. Положим
Р(х) = Ап (x-af + Ап_х (х-а)п-[ + ... + Л, (х-аН Ло . B)
где Ai искомые коэффициенты. Подсчитав (по формуле бинома Ньютона)
коэффициенты при степенях х в правой части B) и приравняв их соответст-
соответственным коэффициентом в выражении A). получим:
Ап^сп> ~паАп + Лл-1 - сп-\ .
П \~ ] а2А (» !) аЛ
\2 п - (» - !) аЛл-1 + Ап-2 = *и-2 и т- Д-
Откуда последовательно находим:
Лл = сп > Лл-1 = ^л-1 + ла*я и т. д.
3. Найти условия, при которых многочлен
ах9 + Ьх2 + сх + d
является кубом двучлена первой степени.
Решение. По условию
(Ах + Б)8 = А3х* + ЗА*Вх2 + ЗЛЯ2* + В3 = ах9 + Ьх2 + сх +- d.
Откуда (необходимые и достаточные условия)
А*=а, 3A2B = bf 3AB2 = c, B*=d. A)
Из первого и четвертого равенств имеем: A=yra B=j/~d ; подставив
во второе и третье, получим:
з(V—>2 кТ= ь. з У~ (У-rf =е;
возведя в куб, получим следующие необходимые условия:
27a2d = 63 и 27ad2 = c*. B)
Для многочленов над полем действительных чисел условия B) доста-
3/-— b
точны. В самом деле, положив Л= у а ( где а^О) и 8=— го.
4V~a)
гласно B), получим:
б3
В*= = d и 27ad2 = 27Л3Бв = с3, откуда с = ЗЛБ2.
27а2
Для многочленов над полем комплексных чисел эти условия недоста-
недостаточны. Примером может служить многочлен, не являющийся точным кубом
х9 + Зх2 + 3 е х + 1,
где е мнимый кубический корень из 1, но для которого выполнены усло-
условия B).
§ 23. Условные тождества
Условным тождеством будем называть равенство, справедли-
справедливое при всех значениях аргументов, удовлетворяющих одному
или нескольким уравнениям (условиям).
63

Примеры
1. Доказать, что
E* - Зу + 4z) Eх - Зг/ - 4г) = C* - ЪуJ A)
при условии
Ж« = ^ + 2«.
Решение. Преобразуем левую часть A):
E* — Зг/J — 16z2 = E* — 3$/J — 16 (х2 — г/2) = (Зх — 5 г/J.
2. Доказать, что
х3 + у3 + z* = Зхг/z
при условии
Решение. Для доказательства достаточно принять во внимание фор-
формулу куба трехчлена (стр. 62).
3. Доказать, что
_{_ у
Ъ J_
при условии
Решение. Вычислим произведение
(*8 + УЪ + 2») (X2 + Г/2 + Z2) =
= X6 + У5 + Z5 + Х2У2 (X+IJ)+ X2Z3 (X + 2) + #2Z2 (t/ + 2) =
— х5 + г/5 + z5 — x2y2z — x2z2// — y2z2x = (в силу заданного условия)
= х5 + уь + z5 — x//z (хг/ + г/z + zx).
Тлк как при условии х + у + z = 0 имеем (х + у + zJ = О,
откуда
ха -f г/2 + Z2 = _2 (д;^ 4- уг + zx)
и
х3 _|~ г/3 -|- 23 = Зхуг (см. предыдущий пример),
то
v3 ' пЗ _i_ Z3 v2 I ,#2 _J_ Z2
</6 +г=+ ^^ J ^
(x* + y» + г3) (x2 + у* + г2) = *5 + </6 +г=+ ^^ ,
о 2,
откуда и вытекает доказываемое условное тождество.
§ 24. Делимость многочленов
Определение. Многочлен F(x, у,..., г) делится на многочлен
Ф(х, у,..., z)f если существует такой многочлен Q(xf у,..., г), что
имеет место тождество:
F(x, У,-.., *) = Q(x, у,..., г)Ф(ху у,..., г). A)
Многочлены Ф(х, у,..., г) и Q(xf у,..., г) называются делите-
делителями многочлена F(xf y,...,z).
Пусть сф 0 — произвольное число из числового поля, над ко-
которым рассматривается многочлен; имеем:
64

Следовательно, всякое отличное от нуля число (из данного
поля), а также всякий многочлен, отличающийся от данного
числовым множителем, неравным нулю, суть делители данного
многочлена. Эти делители называются тривиальными де-
делителями. Все прочие делители данного многочлена называ-
называются его нетривиальными делителями. В дальнейшем под
делителями многочлена будем подразумевать его нетриви-
нетривиальные делители.
Примеры
1. Многочлены:
х + У> х — у, х3 {- х2у + ху2 f if, xs — х2у-'\- ху2 — у3,
х2—у2, х2 + у2
являются нетривиальными делителями многочлена х4 — у4:
л-4 — у* = (х + //) (х3 — х2у + ху2 — у3),
х* — у*=(х — у) (х3 f х2у + ху* f у3),
**^*/*==(*2--*/2)(*а + */2).
Примерами тривиальных делителей данного многочлена могут служить:
х* if 1
2, Y~2' У*~Х*> 3^4-3r/4, — ит п
2. Доказать, что многочлен пхп~^{ — (п + \)хп + 1 делится на (х — IJ
и найти частное.
Решение. Представим Р(х) в виде:
Р (*) = я*л (* — !) — (*"—1).
Двучлен xrt—1 делится на х — 1 в силу тождества A0) (§ 19).
Имеем
Р(х) = (х-\)(пхп —хп~1 —хп~2-^ ... —1) =
= {х—\)[п(хп -.хп~1) + (п— \)(хп-1 —хп~2) 4- ... +(х—\)] =
= (х-\J[(пхп-1 + (п—1) х"~2+ ... + 1].
Частным является многочлен, заключенный в квадратные скобки.
Теорема. Если многочлен Р(х, у,..., г) делится на многочлен
Ф(х, у, ..., г), то существует лишь один единственный много-
многочлен-частное.
Доказательство. Допустим противное, что при делении
многочлена Р на Ф можно получить два различных частных Qi
и Q2, тогда имеем: P^OQX и P=OQ2, откуда OQi =
=OQ2 или O('Qi—Q2)=0. По условию Ф^О, а потому Qi = Q2,
так как в противном случае произведение Ф(С^1—Q2)^0, ч. т. д.
В кольце многочленов действие деления выполнимо н е
всегда. Ниже указывается ряд признаков невыполнимости
деления. Деление, наверное, невыполнимо в следующих случаях.
1°. Если многочлен-делимое F(x, у,..., z) есть одночлен, а де-
делитель Ф(х, у,..., z) не является одночленом.
5 С. PI Новоселов 65

В самом деле, каким бы ни был многочлен Q, произведение
Q(D (в каноническом представлении) содержит по крайней меро
два члена и не может быть тождественно одночлену.
2°. Если степень делимого F относительно совокупности аргу-
аргументов ниже степени делителя Ф.
В самом деле, каков бы ни был многочлен Q, тождество A)
не может выполняться, так как степень произведения QQ) больше
степени делителя Ф, а, следовательно, и подавно больше сте-
степени F.
3°. Если группа старших (или младших) членов делимого
F не делится на группу старших (соответственно младших)
членов делителя Ф.
В самом деле, каким бы ни был многочлен Q, тождество i'l)
не может иметь места, так как в противном случае группа стар-
старших (младших) членов Т7, будучи равной произведению гр^пп
старших ('младших) членов многочленов Q и Ф, должна делиться
на группу старших (младших) членов делителя Ф. В частности,
деление невыполнимо, если степень группы младших членов
делимого ниже степени группы младших членов делителя.
Предположим, что многочлены F и Ф расположены по убы-
убывающим степеням некоторого аргумента, например х:
F(x, #,..., z)=Fn(y,...iz)x"+Fn_l(y1...i z)x"-i+...+
+ Fk(yy..., z)xk\
В частности, для многочлена с одним аргументом коэффи-
коэффициенты суть числа данного поля.
Известно, что ('стр. 48) старший (младший) относительно
данного аргумента член произведения равен произведению стар-
старших (младших) членов сомножителей, поэтому деление невыпол-
невыполнимо в следующем случае.
4°. Если старший (младший) относительно данного аргумента
член Fn(y, ..., z)xn (или (Fk(y, ..., z)xh) делимого не делится на
старший (младший) член Фт(у, ..., г)хт (соответственно
Q)i(y, ..., z)xl) делителя.
В частности, делени'е невыполнимо, если
а) степень делимого относительно данного аргумента меньше
степени делителя относительно того же аргумента, т. е. п<Сгп и, в
частности, если делимое не содержит аргумент, содержащийся в
делителе (т. е. л = 0, т>0);
b) если k < /;
c) Fn(y9 ..., z) не делится на Фт(у, ..., г);
d) Fk(y, ... , z) не делится на Фь (у,..., г)
66

Для многочленов с одним аргументом над числовым полем
последние два признака 4° с) и 4° d) применения не имеют, так
как в этом случае коэффициенты суть числа поля, а в поле поня-
понятие «не делится» теряет смысл-
Перечисленными простейшими признаками не исчерпы-
исчерпываются всевозможные случаи невыполнимости деления много-
многочленов.
Примеры
1. Одночлен xyz не делится на х— у + z (признак 1°).
2. Многочлен x + y + z не делится на ху-\-yz+zx, так как степень
первого многочлена равна 1, а второго равна 2 (признак 2°).
3. Многочлен xAy2z2 + 2х3— Зу3 + 1 не делится на многочлен х2 — у2 +
+ 2х—у + 3, так как группа старших членов первого многочлена xAy2z2 не
делится на х2 — у2 (признак 3°).
4. Многочлен
а4 __ /;4 + 2а* -j- b2
не делится на многочлен а2 + Ь2 + а + Ь, так как группа младших членов
первого многочлена Ь2 не делится на а + Ь (признак 3°).
5. Многочлен хАу4 + х6 — уъ + 4 не делится на х2у3 + х3у + 2, так как
старший относительно х член 1-го многочлена х6 не делится на старший член
относительно х 2-го многочлена х3у.
6. Многочлен а5—65 + 4(а3 + 63) не делится на а—Ь + с, так как второй
многочлен содержит аргумент, не содержащийся в первом.
7. Если многочлен f (х, у,..., г) делится на многочлен ф(х, */,...,?)
той же степени, то частное есть многочлен нулевой степени, т. е. число.
Следовательно, в этом случае коэффициенты многочленов F и Ф пропорцио-
пропорциональны, т. е. Ф есть тривиальный делитель.
Многочлен х6 — у6 + Зх2у2 + 6х2 — 2у2 не делится на х6 + у6 + х2 + у2,
так как коэффициенты данных многочленов не пропорциональны.
Многочлен х6 — у6 + Ъх2у2 + х2 — у2 не делится па х3 — У3 + х2 + у2, гак
как группа младших членов х2 — у2 не делится на х2 + у2.
§ 25. Деление с остатком
Ограничимся рассмотрением многочленов с одним аргу-
аргументом над данным числовым полем.
Теорема. Каковы бы ни были два многочлена (над данным
полем)
f (х) - апхп + ап_{ х"-1 + ... + а{х+а0
и
9 (х) = Ьтх™ + Ът_хх™-^ + .тт+Ь{х + Ь0,
причем ф('л;)^еО, существует (над тем же полем) единственная
пара многочленов q(x) и г(х), удовлетворяющих следующим
условиям:
1°. степень г(х) меньше m или г(Х)=О,
2°. имеет место тождество:
Многочлены q(x) и г(х) называются соответственно непол-
неполным частным и остатком.
5* 67

т
Нахождение многочленов q(x) и г(х) называется делением
с остатком многочлена f(x) на многочлен ф(л').
Доказательство. Если т>п, то тождество A) удовлет-
удовлетворяется при q(x) = 0 и r(x) = f(x). Пусть п > т\ разделим
старший член ачхп многочлена f(x) на старший член Ът х
многочлена ф(*), умножим полученное частное на у(х) и вычтем
произведение из f(x):
[апх* + ап_х х»-1 + ... -!- а0] - -^-х»-"Чьтхт 4 Ьт__хх™^ +
где а;_, - ап-1 - Ьт-1 ^-, и т. д., откуда:
где /?i(jc) многочлен, находящийся в правой части тождества B).
Этот многочлен называется первым остатком от деления
f(x) на (р(х). Пусть пх степень первого остатка и а'п его стар-
старший коэффициент (если п'п_{Ф 0, то П\ — п—1).
Если П\ > ту то, поступив с R\ (x) так же, как с f(x), получим:
<p(x)+R2(x).
Многочлен R%{x) называется вторым остатком отделе-
отделения f(x) на ф(л:) и т. д. Для получения последующего остатка
надо старший член предыдущего остатка разделить на старший
член многочлена ф(#), умножить на полученное частное много-
многочлен Ц)(х) и вычесть произведение из предыдущего остатка. Опи-
Описанный процесс можно продолжать, пока не получится в остатке
многочлен Rkix) степени более низкой, чем т, либо Rk=0.
В результате этого процесса получится тождество A), где
q(x) - — хп-т+ -€^-хп>~т-\ . . . и r(x) = Rh(x).
Докажем, что q(x) и г(х) есть единственная пара мно-
многочленов, удовлетворяющих тождеству A). Допустим (против-
(противное), что существует другая пара многочленов q\(x) и Г\(х), где
степень Г\ меньше т (либо Г\= 0) и
f(x)^qi(x)r(x) + r1(x). C)
Из тождеств A) и C) получим:
Я (х) ? (*) + г (х) = Я\. (х) ? (х) + ri (x)
58

и, следовательно,
— Яг Ш ? (*) = 'i И - г (х). D)
Последнее тождество возможно лишь при q(x) = q\(x) В са-
самом деле, если многочлены q(x) и qi(x) различны, то левая
часть тождества D) содержит аргумент х в степени не мень-
меньшей т, тогда как правая часть есть многочлен степени низшей,
чем т (либо нуль-многочлен), что невозможно. Следовательно,
q(x) = q\(xO но тогда и г(х)~ г{(х), ч. т. д.
Согласно изложенному, деление с остатком заключается в
переходе от делимого к первому остатку, от первого остатка ко
второму и т. д. при помощи единообразного выполнения одних
и тех же операций. Обычно эти операции выполняются при по-
помощи известной схемы (деление «углом»), в которой вычисления
располагаются в порядке, показанном на следующем примере.
Пример
2Л4 ц Зх3 — 4л'2 + 6х — 8
8хб +!2х5— 16х4^
4х5 4х4 4-
— __ 4х5 —6х4 +
2х4 4-
~ 2х4 Л-
В этом приме ре:
делимое:
делитель:
первый остаток:
второй остаток:
неполное частное:
остаток:
- 24х3-
- 15х3 —
- 8х3 -
8х3
Зх3 —
5х3 —
8х64
2х44
—4х?
2х4 --1
4х2
5х3 -
- 32х2
-18х2-
12х2-
6х2 4-
4х2 +
2х2 -t-
-8х5 —
-Зх3-
— 4х4
-8х3-
— 2x4-
- 2х2 4
-ЗОх
|- 16х
14х — 10
6х — 8
8х— 2
4х2-
20х4 + 40х3 — 50х2 f
4х2-; 6х —8,
4- 16х3—18х2 +
6х-+ 14х— 10,
1,
8х —2.
ЗОх-
-2х +
ЗОх -
-10,
1
10,
При делении многочленов с остатком можно применять пред-
предложенную М. В. Я к о в к и н ы м более экономную схему записи *.
Так как для нахождения членов неполного частного надо
делить старшие члены промежуточных остатков на старший член
делителя, то нет надоОности находить сами эти остатки, а доста-
достаточно знать лишь их старшие члены. Деление по схеме
М. В. Яковкина (с незначительным видоизменением) для рас-
рассмотренного выше примера расположится так:
8х6 f 8х5 — 20л4 + 40х3 — 50х2 + ЗОх — 10
— Зх3
~6х
8
I9v5 ! ifiv-4 94 r's 4- 32г
у-2
\2х2— 16х
4л:2— 6х-
С2 _ 2х -н 1 I | 5х3 — 2х2 + 8х — 2
*М В Яковкин. О схеме деления многочлена, журнал «Математика
в школе», № 5, 1954.
69

Здесь в верхней левой клетке записан старший член делителя, а затем
в столбец записаны прочие члены делителя с обратными знаками. Делимое
выписано в верхней строке. В нижней строке 4х2 есть старший член частного.
Произведение старшего члена делителя на старший член частного не пишем,
так как при вычитании из делимого это произведение сократится, произведе-
произведение же старшего члена частного на прочие члены делителя, взятое с обрат-
обратным знаком, записано во второй строке. Далее делим старший член первого
остатка: 8х5—12х5 = —4х5 на старший член делителя, получаем второй член
частного —2х и продолжаем далее описанный процесс. Остаток 5*3 — 2х2 +
4- 8х — 2 получается сложением записанных «в столбец» подобных между
собой членов.
Следствие. Необходимым и достаточным условием дели-
делимости многочлена f(x) на ф(х) является тождественное равенст-
равенство нулю остатка.
Это предложение устанавливает связь между операциями
деления и деления с остатком в кольце многочленов.
Условие необходимо. Если многочлен f(x) делится на
ф(х), то имеет место тождество:
Сопоставив с A), получим q(x)=Q(x) и г(х) ~0.
Условие достаточно. Если в тождестве A) г(х) =0,
то f(x) = q(x)y(x) и, следовательно, f(x) делится на ф(лг), ч. т. д.
П р и м е ч а н и е. Не следует смешивать понятия дели-
делимости многочленов с делимостью их значений.
Поясним это примерами.
1°. Многочлен f(x) = x2—1 делится на ф(х)=х+1, так
как
х2— 1 - (х—1)(х+ 1),
но не имеет смысла говорить о делимости их значений при
х = —1, так как ф(—1) = 0.
2°. Многочлен f(x) = хъ + х2 + 2х не делится на
имеем:
х* — х2 + 2х= {х- \)(х2 + 1)-г (*+ 1).
Рассмотрим эти многочлены над полем рациональных
чисел. Так как при всех значениях аргумента ц)(х) ф 0, то
деление на значение ф(я') (в числовом поле) всегда выпол-
выполнимо, например:
1M-JL
10'
Рассмотрим ту же пару многочленов над кольцом целых
чисел. Положив х = 1, получим /A)=2ифA)=2. В коль-
70

це целых чисел значение /A) делится на фA), неполное
частное есть 1, остаток равен 0. Неполное частное х—1 и
остаток х + 1 от деления / (х) на ф (х) в к о л ь ц е много-
многочленов имеют при х = 1 соответственно значения 0 и 2.
Примеры
1. Найти неполное частное и остаток от деления двучлена хп—ап на
ХР—ар (п и р — натуральные числа и а^О). При каком условии первый
двучлен делится на второй?
Решение. Разделим с остатком число п на р:
п = kp -{- г, где 0 < г < р,
откуда
vn J4 <Мр jr nkp rX *,? (vkp nkp\ i_ ~kp t ^.т „т \
x —a —x x —a a —x \x —a ) -j-a {x —a ).
Двучлен xkp —akp делится на хр—qp, так как (формула 10, § 19)
Следовательно, неполное частное равно:
/ (хР (k-\) + хр (Л-2) аР+ ттт+аР (Л-D) = хп-р _ь ар хп-2р + t_ +
+aP(n-\)xr 9
остаток равен akp(xr—аг).
Деление выполняется нацело, если хг—аг==0; последнее возможно лиши
при условии г = 0. Значит, число п должно быть кратным р.
2. При каких значениях а и Ь многочлен
л:3 + 8х2 + 5л;+а делится на трехчлен х2-\-Ъх + Ъ.
Решение. Применим метод неопределенных коэффициентов. Пусть
Ах+В частное от деления первого многочлена на второй:
х3 + 8х2 + Ъх + а = (Ах + В) (х2 + 2>х + Ь).
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях аргумента, получим
\=А, 8=ЗЛ + Б, 5=Л6 + 3?, а=ВЬ,
откуда
Л=1, Б = 5, Ь= —10, а=—50.
При делении с остатком многочлена f(x) на ф(х) над коэф-
коэффициентами /('*) и ц)(х) выполняются в определенной последо-
последовательности четыре арифметические действия, по-
поэтому коэффициенты неполного частного и остатка принадле-
принадлежат тому же числовому полю, над которым рассматриваю! ся
данные многочлены. При этом действие деления производится
лишь при делении старших коэффициентов f(x) и промежуточ-
промежуточных остатков на старший коэффициент bm многочлена ф(х)
Если bm =±1, то коэффициенты неполного частного и остат-
остатка (и всех промежуточных остатков) выражаются через коэф-
коэффициенты f(x) и ф(х) посредством сложения, вычитания и
умножения. В этом частном случае, если коэффициенты много-
многочленов f(x) и q(x) принадлежат некоторому кольцу, то и коэф-
коэффициенты частного, промежуточных остатков и остатка принад-
принадлежат тому же кольцу. Так, например, при делении с остатком
многочлена с целыми коэффициентами в общем случае получа-
получаются многочлены (неполное частное и остаток) с дробными
коэффициентами. Однако, если bm =±1, то в этом случае полу-
получаются многочлены с целыми коэффициентами.
71

Будем под f(x) и ф(х) подразумевать многочлены от н е-
скольких аргументов х, у,..., г, расположенные по сте-
степеням аргумента х, тогда коэффициенты а„, ..., а0, Ьт, ..., Ьо
суть многочлены от прочих аргументов. В этом слу-
случае деление с остатком приводит к выражениям, не являю-
являющимся многочленами (относительно совокупности аргументов),
так как коэффициенты получаются в виде дробных выражений
относительно аргументов у, ..., г. Если коэффициент Ьт является
числом, то коэффициент частного и остатков не содержит
аргументов в знаменателях, поэтому в данном частном случае
в результате деления с остатком получатся многочлены, располо-
расположенные по степеням х.
Пример
х3у + Зл:2 (у — 1) + ху2 — 1
хъу + 2х2у2 — ху
х2 4- 2ху — у
ху + (-2#2 + Ъу -3)
х2 (—2у2 + Ъу — 3) -|- 2л#2 — 1
х2 (~2у2 + 3у— 3) + 2л: (—2^3 + Зг/2 - Ъу) + B*/3 - 3j/2 -г Зу)
2л- Bг/а — 2//2 + 3f/) + (—2у3 4- Зг/2 — Ъу — 1)
Этот пример показывает, что коэффициентами «неполного частною» и
«остатка» при делении с остатком данных многочленов, расположенных по
степеням х, служат многочлены от у.
§ 26. Теорема Безу
Теорема. Остаток от деления многочлена
Р (х) = апхп + ап_х хп~1 + ... + ахх + а0
на двучлен х—а равен значению многочлена Р(х) при >: = а.
Доказательство. Неполное частное есть многочлен п— 1
степени, а остаток, будучи многочленом степени ниже 1, есгь
число. Следовательно, в тождестве
Р (х) = (х—а) (сп_{ x"-i + сп_2 х»-2 +... + cQ) + R
значение R одно и то же при всех значениях аргумента х. Поло-
Положив х = а, получим P(a)=R, ч. т. д.
Рассуждение остается в силе и в том случае, когда Р(х, у,..., г)
есть многочлен от нескольких аргументов, а деление про-
происходит на разность х—А(у,..., z)y где А (у,..., г) многочлен.
В данном случае коэффициенты Си и остаток R суть многочлены
от у, ..., z, причем:
R(y, .•¦, г) = Р[А(у, ... , г), у, ... , z).
Примеры
1. Остаток от деления многочлена 2хг—Зх2—х+\
на х—2 равен 2- 23—3 • 22—2+1=3.
Остаток от деления того же многочлена на х+\ равен
2 (—IK — 3 (—IJ — (—1) + 1 = —?
72

2. Найти остаток от деления многочлена Р(х) на (х — а) (х — Ь), где
афЪ.
Решение. Делитель есть многочлен второй степени, остаток должен
быть двучленом первой степени:
P(x) = Q (х) (х — а)(х — Ь) + (Ах + В).
Положив х = а и х = Ь, получим:
Аа + В = Р (а), АЪ + В - Р (Ь).
Из этих уравнений найдем*
Р(а) — Р (Ь) ЬР (а) - аР (Ь)
А = и В = ¦— ,
Р(а) — Р (Ь)
?Р (а) —
а —
—а
Для вычисления коэффициентов неполного частного и остатка
от деления Р(х) на х—а можно воспользоваться методом не-
неопределенных коэффициентов. Умножим искомое неполное част-
частное на делитель:
К -J- . . . , A{X-t Ло
ln—2 •
п-2
V2 + А0Х
Сумма полученного произведения и остатка R юлжна быть
тождественна Р(х), следовательно,
4-i = an>An-2—aAn-i - ап-х . • • • > Ао -аАх = °
-^о= Не-
Неоткуда находим последовательно:
- а0 + аА0.
- ^2 + аА
п_2,...
Вычисления обычно располагают в виде следующей схемы
Горнера:
ап
ап-\
АП—2
°п-2
(= «^л_2 + ап-2 )
. . .
R
(=аА0 + а0)
Коэффициенты неполного частного и остаток вычисляются
путем последовательного заполнения второй строки таблицы
73

Примеры
1. Вычислить неполное частное и остаток от деления многочлена
— jc3 — х2 + 3* — 2 на х — 2. Составляем таблицу
2
2
1
3
1
5
3
13
—2
24
1
1
0
— 1
— 1
0
2
2
—3
—5
Неполное частное: 2а:3 + Зх2 + Бх + 13. Остаток: 24.
2. Вычислить неполное частное и остаток от деления хА — х2 + 2х
«а * + 1
— 1
Неполное частное: л;3 — х2 + 2, остаток: —5.
§ 27. Теоремы о корнях многочлена
Рассмотрим многочлен Р(х) положительной степени (т. е. не
являющийся числом) от одного аргумента над некоторым число-
числовым полем.
Определение. Число а называется корнем многочлена Р(х),
если значение Р(х) в точке х = а равно нулю.
Иными словами, корень многочлена Р(х) есть корень уравне-
уравнения
Р(*) = 0.
Основная теорема алгебры комплексных насел.Всякий
многочлен Р(х) положительной степени имеет в поле комплекс-
комплексных чисел хотя бы один корень.
Доказательство основной теоремы известно из курса
высшей алгебры. Эта теорема утверждает, что для всякого мно-
многочлена положительной степени
<*пхП + an-i хП~1 +... + ахх + а0
с комплексными коэффициентами существует, по крайней мере,
одно комплексное (в частности может быть действительное)
число а такое, что при х = а значение многочлена равно нулю.
В частности, всякий многочлен с действительными коэффи-
коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень, этот корень
может быть, а может не быть действительным.
Теорема. Если многочлен Р(х) положительной степени с
действительными коэффициентами имеет мнимый корень а = |+т]/
(где г) =^0), то сопряженное комплексное число g — r\i также
является корнем Р(х).
74

Доказательство. Пусть x = % + r[i некоторое комплексное
значение аргумента, а
U + IV = Р (S + 7] /)
соответствующее значение многочлена. Сопряженному значению
аргумента х = § — r\i соответствует сопряженное значение много-
многочлена, так как при замене х сопряженным числом х ^каждый
член многочлена akxk заменится сопряженным числом akxk. Сле-
Следовательно,
Если t= + Ц1 есть корень многочлена, то w + vi = О, т. е.
и = v = 0. Но когда | — x\i также является корнем многочлена,
так как
Р (с — 7) /) = U — IV = О, Ч. Т. Д
§ 28. Разложение многочлена на множители
Определение. Многочлен положительной степени Р(х, у, ..., z)
называется неразложимым, или неприводимым над данным
числовым полем, если он не имеет нетривиальных делителей с
коэффициентами из этого поля.
Многочлен Р(х, у, ..., z) называется разложимым (или
приводимым) над данным полем, если он имеет нетривиаль-
нетривиальные делители с коэффициентами из этого поля.
Теорема. Всякий многочлен Р(х, у, ..., z) положительной
степени (над данным полем) может быть представлен в виде
произведения неразложимых множителей:
Р (х, У, . • •, г) = pL(x, у,..., г)-р2(х, у,...,г)...рк(х,у,...,г), (Р)
где
Pi (х,у,..., г), р2 (х,у,..., г), ..., pk (х, у,..., г)
неразложимые (над данным полем) многочлены.
Это разложение является единственным с точностью до чис-
числовых множителей (из данного поля).
Доказательство дается в курсе высшей алгебры; в за-
задачи элементарной алгебры входит лишь рассмотрение различных
частных приемов практического разложения многочленов
на множители.
Разъяснения: 1°. Слова «с точностью до числовых мно-
множителей» означают, что в двух разложениях данного многочлена
неприводимые многочлены-сомножители либо (соответственно)
тождественны, либо могут отличаться лишь числовыми множи-
множителями. Такие разложения не рассматриваются как
75

различные, например, следующие разложения квадратного
тр'ехчлена*
= (* —3)(* —5)-= (За:—9) (-| -) -
и т. п. различными не считаются.
2°. Если сам многочлен Р является неразложимым, то пра-
правая часть тождества (Р) рассматривается как состоящая из
«одного множителя» и «разложение» принимает вид:
Р(х, у, ... , z)= Р(х, у, ... , z).
3°. В формуле (Р) среди неразложимых сомножителей могут
встречаться одинаковые (с точностью до числовых множителей).
Объединив вместе одинаковые сомножители, получим канони-
каноническое разложение многочлена на множители:
Р(х, у, ..., г) = Ср\*(х, у, ... , г)р**(х, у, ... ,г).. .p*ss(x, у,.. .,г).
где С — числовой множитель, а си, (Х2, •••, cxs- —некоторые нату-
натуральные числа.
Всякий многочлен первой степени является неразложимым,
так как в противном случае он мог бы быть представлен в виде
произведения не менее двух сомножителей степени не ниже пер-
первой, что невозможно
Разложение на множители многочленов от
одного аргумента.
Теорема. Число а есть корень многочлена Р(х) в том и толь-
только в том случае, если Р(х) делится на разность х—а.
Доказательство. Если а есть корень многочлена Р(х)*
то Р(а) = О, но Р(а) есть остаток от деления Р(х) на (х — я).
Следовательно, Р(х) делится на (х — а). Обратно, если Р(х)
делится на х — а, то
P(x) = (x — a)Q(x), A)
откуда Р{п) =0, т. е. число а есть корень многочлена Р(х)
ч. т. д.
Следствие. Если многочлен Р(х) имеет в данном число-
числовом поле корень х = а, то он является разложимым над этим
полем, так как х — а есть его нетривиальный делитель.
Теорема. Всякий многочлен Рп(х) степени п(где /I > 0)
разлагается над полем комплексных чисел на п линейных мно-
множителей.
Доказательство. В самом деле, в силу основной тео-
теоремы многочлен
76

в поле комплексных чисел имеет хотя бы один корень х = Х\
л, следовательно, делится на разность х — х\\
Рп{х)^{х-х{)Рп_{{х).
В силу той же теоремы многочлен Рп-\ (х) имеет хотя бы
один корень Х2, а потому делится на разность х — х% Следова-
Следовательно, имеем:
Рп(х) = (x—xl)(x — х2) Р„_2 (х).
После п-то шага получим:
Рп (*) = (х-хг) (Х-х2)...(х- хп) Ро, (*)
где Ро — многочлен нулевой степени, т. е. отличное от нуля чис-
число, ч. т. д.
Сравнив коэффициенты /при старшем члене в обеих частях
этого тождества, получим Р0 = ап. Числа х\, *2, •¦•» хп СУТЬ
корни многочлена Рп.
Если корень х{ встречается ai раз, х2 встречается а2 раз и
т. д. хк встречается a/t- раз, то разложение примет вид:
Рп (х) =^ап(х- Xlf* (х ~ х2)а\ ..(х- xkfk ,
где cti + a2 + ... + ak = п\ число с^ называется кратностью корня
xt , а сам корень хь называется at -кратным корнем данного мно-
многочлена. Если кратность корня равна 1, то корень называется
простым.
Принято каждый корень считать столько раз, какова его
кратность.
Теорема. Всякий многочлен Рп (х) степени п в поле комплек-
комплексных чисел имеет п корней, при этом каждый корень считается
столько раз, какова его кратность.
Доказательство. В самом деле, числа хи х2у ..., хп
суть корни многочлена Рп (х). Кроме этих чисел многочлен Рп(х)
не имеет никаких других корней, так как ни при каком значе-
значении х, отличном от х} (i = 1, 2, 3, ..., п) ни один из сомножи-
сомножителей в правой части не обращается в нуль, а потому и Рп (х) ф О,
ч. т. д.
Следствие. Многочлен Рп (х) степени п в данном числовом
поле имеет не более чем п корней.
В самом деле, в поле комплексных чисел многочлен имеет
в точности п корней. Среди п комплексных корней содержатся
(б частности) в се действительные и (в частности) .все «рациональ-
«рациональные корни. Число таких корней не больше их общего числа,
т. е. п.
Теорема. Над полем действительных чисел:
1°. неразложимыми являются только двучлены первой сте-
степени и квадратные трехчлены с мнимыми корнями;
2°. всякий многочлен с действительными коэффициентами
77

степени выше 2-й разлагается в общем случае на множители
первой степени и неразложимые квадратные трехчлены.
В частных случаях в каноническом разложении много-
многочлена над полем действительных чисел могут отсутствовать-
аибо множители 1-й степени, либо квадратные трехчлены.
Доказательство. Предположим, что квадратный трех-
трехчлен с действительными коэффициентами
ах2 + Ьх + с
имеет мнимые корни. Если бы этот трехчлен был приводимым
над полем действительных чисел, то имело бы место разложение:
ах2 + Ьх + с = (kx -r I) (mx f я), A >
где /г, /, m и п — действительные числа. Но тогда, вопреки пред-
предположению, трехчлен имел бы два действительные корня:
У — l U Y — П
k m
Следовательно, над полем действительных чисел трехчлен
(*1) неразложим.
Если многочлен Р(х) с действительными коэффициентами
имеет мнимый корень a = % + v\i, то он имеет и сопряженный
корень а= ? — т)*', а потому делится на произведение
(а: — а) (а:—а) = х2 — (х4- а)х -}- аа =
= х*-2;х + (^:2 +ТJ) = х2 + рх + q9
где р = —2§, q = g2 + т]2, т. е. на квадратный трехчлен с мни-
мнимыми корнями *.
Частное от деления многочлена Р(х) на тр'ехчлен x2 + px + q
есть многочлен Q(x) с действительными коэффициентами.
Имеем:
P(x) = (x2-rPx+q)Q(x).
Если ai есть мнимый корень многочлена Q(x), то ai также
есть корень Q(x) и Q(x) делится на трехчл'ен
(х ~ лх) (х — ai) - х2 -г рхх + qv
В этом случае, а, а, сп и ai суть корни многочлена Р(х) и он
делится на произведение трехчленов
(x*+px+q)(x*+plx + q1).
Имеем:
Р (х) = (х2 + рх + 9) (х2 + Plx + 9i) Q2 (x).
Если, в частности, а есть кратный корень многочлена Р(х)9
то cti = а и ai = а суть также корни многочлена Q(x). В этом
случае Р(х) делится на (А:2+рх + ^J.
* Действительных корней этот трехчлен не имеет, так как (х—а) (х—а) =
(х—5J+Л2>0 ПРИ произвольном действительном х.
78

Описанный процесс попарного выделения сопряженных мни-
мнимых корней можно продолжать, пока не будут исчерпаны все
мнимые корни многочлена Р(х). Из сказанного следует, что
мнимые корни многочлена Р(х) попарно сопряжены; при этом
наличие кратного корня влечет за собой наличие сопряженного
корня той же кратности.
Если в разложении многочлена Р{х) на множители
Р (х) = ао(х — Xj)(x — х2).. .(х - х„)
над полем комплексных чисел выделить действительные дву-
двучлены первой степени, соответствующие действительным корням,,
и квадратные трехчлены, соответствующие парам мнимых сопря-
сопряженных корней, то получится следующее разложение Р{х) на
множители над полем действительных чисел:
Р (х) = ао(х- хгр (х - х2)а\ ..(х- xkfk (Xz + PlX+ QlI*...
. • • (*2 + Ртх + qm)\ ч. т. д.
В этом разложении каждый неразложимый (над полем дей-
действительных чисел) множитель берется в степени, равной крат-
кратности соответствующего корня.
Следствий. Всякий многочлен с действительными коэф-
коэффициентами нечетной степени имеет по крайней мере один дей-
действительный корень.
В самом деле, если бы все корни многочлена нечетной сте-
степени были бы мнимые, то их число (равное степени многочлена)
было бы нечетным, что невозможно.
Примеры
1. При каких условиях многочлен с действительными коэффициентами
Р (х) = а0 + агх + а2х2 +... + апхп
делится на двучлен х2 + 1?
Решение. Для делимости на х2 + 1 необходимо и достаточно, чтобы
число i было корнем Р(х). Это ясно, так как наличие корня г", а следова-
следовательно, и сопряженного ему корня —i равносильно делимости на
(*—/)(* + *) = *а + 1.
Искомое условие запишется так:
р @ = я0 + i + /2 + '3 +
= (Go — а2 + а\ —• • • ) + *" («1 — «3 + «5 — • • • ) = 0 .
Откуда
Go — ct2 + a4—.. .= О ч и ax —а3 + а5—... =-- 0.
2. Доказать, что трехчлен xZn + x3m+1 + х2р+2 (где n, m и р любые
натуральные числа) делится на квадратный трехчлен х2 + х + 1.
Решение. Пусть е = ~~ "*"^3 —мнимый кубический корень из 1.
Имеем:
?3—1=0 или (е— 1)(е2 + е +П=0,
но так как е— 1 =?0, то е2 + е + 1 =0.
79

Докажем, что е есть корень данного трехчлена:
?3/г + g3m+l + ?3*+2 = { + ?Зт? +(^р)в2 ^ { 4 ? + ?2 = 0.
—1—*/з
Отсюда следует, что трехчлен имеет и сопряженный корень е2= ¦—¦—
и делится на
(х — е) (х — ?2) = х2 — (е + ?2) х + ?3 -- х2 -ь v j- 1.
Над полем рациональных чисел существуют неразложимые многочлены
любой степени.
Существуют многочлены с несколькими аргументами произвольной сте-
степени, неразложимые над каким угодно полем. Примером может
служить многочлен
Q(x, у)=Р(х) + у,
где Р(х)—произвольный многочлеч с одним аргументом. В самом деле, для
многочлена Q(x, у) единственно возможное разложение па множители име-
имеет вид:
Q (х, У) = Pi (х) [р2 М У + Рз (х)].
Откуда Pi(x)p2(x)=i 1 и, следовательно, р\(х) и р2{х) суть числа данно-
данного поля Итак, многочлен может иметь лишь тривиальные делители.
Геометрическая интерпретация. Если многочлен Р(х, у)
является разложимым
Р(х,у) = Рг(х,у)Р2(х,у),
то линия, определяемая уравнением Р(х, у) = 0, распадается на две линии
Pi(x, y) = 0, P2(.v, y) = 0
(каждая из этих линий может распадаться в свою очередь). Если многочлен
Р(х, у) неразложим, то соответствующая линия является нераспадающейся
на пару (или большее число) линий более низкого порядка. В частности (как
известно из курса аналитической геометрии) уравнением
апх2 + 2а12ху + а22У* + 2а±х+ 2а2у + а0 = О
с неразложимой левой частью изображается нераспадающаяся линия второго
порядка (т. е. эллипс, гипербола или парабола). Если левая часть разлагается
на два линейные множителя, то линия распадается на пару прямых. Изве-
Известное из аналитической геометрии условие распадения линии второго порядка
ап а12 ах
ап а22 а2
#1 а2 а0
= 0
является необходимым и достаточным условием разложимости многочлена
второй степени (над полем комплексных чисел) с двумя аргументами на ли
нейные множители.
§ 29. Различные способщ разложения многочленов
на множители
В задачу элементарной алгебры входят установление и систе-
систематизация различных частных приемов разложения многочле-
многочленов на множители. В практике разложения многочленов отдель-
80

ные приемы применяются в различных их комбинациях, и умение
целесообразно ими пользоваться приобретается лишь в резуль-
результате длительного опыта. Элементарные частные приемы в общем
случае не дают возможности установить неразложимость или
разложимость данного многочлена и выполнить окончательное
разложение на множители. Однако в практическом применении
к различным конкретным случаям частные приемы разложения
на множители имеют весьма важное значение.
Задача разложения многочлена на неприводимые множители
н'е может ставиться без указания того числового поля, над кото-
которым требуется выполнить разложение. Для различных полей
окончательные результаты разложения одного и того же мно-
многочлена могут быть различными. В учебной литературе нередко
числовое поле, над которым требуется выполнить разложение,
явно не указывается, поскольку бывает яоно, о каком числовом
поле идет речь*.
Простейшие методы разложения основываются на непосред-
непосредственном применении законов арифметических действий.
Непосредственное применение закона дистрибутивности изве-
известно в учебной литературе под названием вынесения об-
обид,'его множителя за скобки.
Примеры
1. Разложить на множители
Bа2 — Зах) Eс + 2d) — Fа2 - 4ах) Eс + 2d) =
= [Bа2 — Зад:) — Fа2 — 4ах)] Eс + 2d) = (дистрибутивность)
= (ах — 4а2) Eс + 2а*) = а (х — 4а) Eс +- 2d). (дистрибутивность)
Обычно применению закона дистрибутивности предшествуют
преобразования, основанные на законах коммутативности ^пере-
^перестановка членов) и ассоциативности (группировка членов). Этот
прием в учебной литературе называется методом группи-
группировки. Иногда целесообразно применение «искусственных» пре-
преобразований, заключающихся в разбиении некоторых слагае-
слагаемых на сумму двух или нескольких подобных членов, или в вве-
введении сокращающихся членов.
2. (ау + bxf + (ах -|- by)* — (а» + Ь*) (х3 + у*) =
= За2*? ху* + Заб3 ух2 + За26 х2у + ЗаЬ2 ху2 =
(раскрытие скобок и приведение подобных)
= ЗаЬ ху (ау + Ьх + ах + by) = (дистрибутивность)
= ЗаЬ ху [(ах + ay) + (bx + by)] = (коммутативность и ассоциативность)
= ЗаЬ ху [а(х + у) + Ь(х + у)] = ЗаЬ ху (х + у)(а + Ь). (дистрибутивность)
3. х3 + 6х2 -S-llx + 6. Разобьем второй и третий члены на сумму двух
слагаемых
6х2=3х2 + 3х2 и 11х=9х + 2х.
* Так, например, в задачах для VI и VII классов ни о каком ином поле,
кроме поля рациональных чисел, речи быть не может,
6 С И. Новоселов 81

Получим:
Х3 + 6х2 + Их+6 = х3 f Зх2 + 3х2-!- 9х-4-2х + 6 =
= х2 (х + 3) + Зх (х + 3) + 2 (х + 3) =
= (* + 3) (х2 + Зх + 2) = (х + 3) (х2 + 2х+ х + 2) = (х+ 3) (х + 2) (х+ 1).
4. Р = be (b + с) + са (с — а) — аб (а + Ь).
Решение. Заметив, что выражение в третьей скобке есть разность
выражений в первых двух
а + b = (b + с) - (с - а),
получим
Р =, be (b + с) + са (с — а) — ab {{Ь + с) — (с — а)] =
= [be (b+c)~ ab (b + с)] + [са {с — а) + ab (с — а)] =
= Ь (Ь + с) (с — а) + а (с — а) (с + Ь) = ф + с) (с — а)(Ь + а).
При разложении многочленов на множители формулы сокра-
сокращенного умножения применяются для представления суммы в
виде произведения.
Так, например, формулой
х2 + (a -f- Ь) х + ab = (х + а) (х + Ь)
удобно пользоваться для разложения на множители квадратного
трехчлена x2+px~\-q, если нетрудно непосредственно подобрать
числа а и Ь, сумма которых равна р, а произведение равно q.
При разложении многочленов на множители часто пользуются
преобразованием, называемым выделением полного
квадрата. Это преобразование заключается в дополнении (пу-
(путем введ'ения сокращающихся членов) некоторой группы слагае-
слагаемых до квадрата многочлена.
Примеры
5. Разложить на множители трехчлен х2 + 6х + 8.
Решение. Заметив, что 6 = 2 + 4 и 8 = 2- 4, получим:
х2 + 6х + 8 = (х + 2) (х + 4).
6. Разложить на множители трехчлен 9х2 + 12х + 3.
Решение. Применим преобразование выделения полного квадрата:
9х2 + 12х + 3 = [(ЗхJ + 2 • 2 • (Зх) + 4] — 4 + 3=
= (Зх + 2)? - 1 = (Зх + 3) (Зх + 1) = 3 (х + 1) (Зх +¦ I)
7. Двухчлен х2 + 1 над полем действительных чисел неразложим. Над
полем комплексных чисел имеем:
х2 + 1 :_-- х2 — i2 = (x+ i) (х — /).
8. Трехчлены
х2 + ху + у2 и х2 — ху + у2
над полем действительных чисел неразложимы. Рассмотрим для определен-
определенности первый трехчлен. Применив преобразование выделения полного квад-
квадрата, получим:
Над полем комплексных чисел получим следующее разложение на линей-
линейные множители:
82

Аналогично для другого трехчлена получим:
у VI
f
[ j
9. 4xz2 — Зху* + 4z2y — Ъу* = 4z2 (x + у) — 3y2 (x + y) = Dz2 — 3y2)(x+y).
Это разложение следует рассматривать как окончательное над полем
рациональных чисел. Над полем действительных чисел разло-
разложение может быть продолжено. Рассматривая первый множитель как раз-
разность квадратов, получим:
10. Разложить на множители х4 + х2у2 + у4.
Решение. Выделим полный квадрат:
х4 + х2у2 + у*= (х4 + 2х2у2 + #4) - xV =
= (х2 + у2J- х2у2 = (х2 + у2 + ху) (х2 + у2 - ху).
Полученное разложение полезно запомнить. Над полем комплексных
чисел разложение может быть продолжено (см. пример 8).
11. Разложить на множители над полем действительных и комплексных
чисел х4 + у4.
Решение. Имеем:
х* + г/4 = (х4 + 2х2у2 + у*) — 2х2у2 = (x2 + y2J — (V 2 ху)* =
- (х* + )/~2~ ху + у2) (х* - V 2 ху + У1).
Применив преобразование выделения полного квадрата к каждому из
квадратных трехчленов, получим следующее разложение над полем комплек-
комплексных чисел:
(
V2 \( V2 V
12. Разложить на множители S = а6 — б6 + а4 + a2b2 +
Решение. Имеем:
= (а — b) (a2 + ab + Ь2) (а + b) (as — ab + b*).
и
a4 + a2b2 + 64 = (a2 + ab + 62) (a2 — a6 + 62j.
Следовательно,
S=(a* + ab + b2) (a2 — ab + b2) [(a — b) {a + b) + 1] =
= (a2 + «6 + b2) {a2 — a6 + 62) (a2 — b2 + 1).
Над полем комплексных чисел первые два трехчлена разложимы (см. при-
пример 8), а третий неразложим (см. стр. 80 «Геометрическая интерпретация»).
13. Разложить на множители (х + уL+х4 + у4.
Решение. Применим дважды преобразование выделения полного
квадрата:
= (х + У)* — 4ху (х + уJ + 2х2у2.
Откуда
х> + у* + (х + у)*=2[{х + уу-2ху(х + уJ + х*у2\ =
= 2[(х + уI — ху}2 = 2 (х2 + ху + у2J.
14. Разложить на множители Р (х) = (х + уM — хь — у5.
Решение.
f 2х2у + 2#2х + г/3) = Бху [(х3 Jr i/3) + 2ху (х +
= Бху (х + У) (х2 + ху + #2).
6*

15. Разложить на множители
Р (а, Ь, с) = 2аЧ* + 2а-с2 + 2Ь*с2 — а4 — б4 — с4.
Решение. Применим преобразование выделения полного квадрата:
а* + б4 + с4
= (Л4 4- б4 + с* + 2а* б2 — 2а2са — 2Ь2с2) — 4а262 =- (а2 + Ь* — с2J — 4a2f>2.
Следовательно,
Р (a, b с) = 4а?62 — (а2 4 6?—?*J = Bа&—а2 ~ б2 + с2) Bя& + а2 + Ь2 —с2) =
=- [ С2 _ (д _ ^J] [(я 4 бJ — б2] = (с 4 а — Ь) (с — а + b) (a + b + с)(а + Ь-с).
Знание корней многочлена f(x) позволяет или произвести полностью
разложение на множители, или выделить ряд множителей первой степени и
свести задачу к разложению на множители многочлена более низкой степени.
Примеры
16. Разложить на множители Р (х) = х* + 6х4 + 13л:3 + 14х2 + \2х + 8.
Решение. Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что
многочлен обращается в нуль при х = —2, следовательно, он делится на
х + 2. Выполнив деление (по схеме Горнера):
1
1
6
4
13
5
14
4
12
4
8
0
при х
получим:
Р (Х) = (х 4 2) (х4 + 4х3 + 5х2 4 4* + 4).
Подстановкой убедимся, что второй множитель также обращается в нуль
2. Выполнив деление на х + 2, получим:
Р (х) = (х + 2J (х3 + 2x2 4 х + 2).
Второй множитель легко разлагается способом группировки:
х* + 2х°- + х + 2 = (х + 2) (х* + \).
Имеем окончательно (над полями рациональных и действительных чисел):
17. Разложить многочлен х2п—1 на множители над полем действитель-
действительных чисел.
Решение. Найдем сначала линейные множители, на которые разлагает-
разлагается данный многочлен над полем комплексных чисел. Корнями многочлена слу-
служат значения комплексных корней
степени 2п из 1.
Соответствующие точки располо-
расположены в вершинах правильного 2п-
угольника, их можно занумеровать,
как показано на чертеже 9.
Имеем:
те те
е0 = 1 е, = cos + / sin ,
п п
2% 2к
Ъ
е2 =^ cos
п
sin -
п
~г
тс . . я
е . = cos —— i sin —,
~~1 п п
— cos-
• — / sin *
Черт. 9

Среди этих чисел содержатся два действительные: е0 = 1 и еп = — 1.
Корни ?? и е-? (где 0<k<n) дают в разложении х2п—1 два сопряженные
комплексные сомножителя: их произведение дает неразложимый (над полем
действительных чисел) квадратный трехчлен:
/ къ kit \ ( kit kiz \
(х — е J (х — г Л = [х — cos — / sin х — cos + i sin =
v ^ Л \ n n j \ n n ]
I kiz \2 кк kiz
= \x — cos + sin2 — x2 — 2x cos h 1.
\ n J n n
Следовательно,
x2rt — 1 = (л: — 1) (x + 1) (x2 — 2x cos — + \) (x2 — 2x cos — + 1
V n \ n
I (n— 1)ti N
... Ijc2 — 2xcos— + 1
или сокращенно:
Х2п \ — (х 1) (х 4- Г
Разделив обе части на х2—1, получим следующее разложение:
п— 1
При разложении на множители многочленов от нескольких аргументов не-
нередко применяется следующая обобщенная теорема Безу.
Теорема. Для делимости многочлена Р(х, у, ..., z) на разность
х—Л(у, ..., г) (где Л(у, ..., z)—многочлен) необходимо и достаточно,
чтобы результат подстановки х= Л (у, ..., z) в Р(х, у,..., z) был тож-
тождественно (относительно у,..., z) равен нулю.
Доказательство. Разделив с остатком многочлен Р(х, у, ..., z) на
х — А (у,..., г), получим:
Р(х, у г)=[х-А(у, ..., 2)]Q(x у,, ..., z) + R(y, ..., z),
где R (у, ..., z) = Р (А (у, ..., г), у,... ,z), следовательно, многочлен Р раз-
разделится на х—А в том и только в том случае, ески Р (А (у,. . ,2), у,.. .,z)=0
Примеры
18. Найти значение коэффициента /г, при котором многочлен
Р{х, У, г) =х*+у*+ z3+kxyz
делится на трехчлен х + у + z, и выполнить разложение на множители.
Решение. Требуется найти k, при котором многочлен делится на раз-
разность х—(—у — z). Необходимым достаточным условием делимости является:
Р(-У — г, у, z) = -{y + z)* + y* + z*-k(y + z)yz =
Следовательно, k = —3 и Р(х, у, z) = хъ + у3 + z3 — 3xyz. Так как при
любой перестановке аргументов делимое и делитель не изменяются, то не из-
изменяется и частное. Частное является однородным многочленом, так как в
противном случае произведение делителя на частное содержало бы различные
между собой группы старших и младших членов и не могло бы быть тожде-
тождественным однородному многочлену Р(х, у, г). Итак, искомое частное есть
85

однородный симметрический многочлен второй степени. Применим метод не-
неопределенных коэффициентов:
х3 + #3 4 г3 — Ъхуг = (х + у + г)[А (ха + у2 + г2) + В (ху + хг+ уг)].
Сравнив коэффициенты при хъ, получим 1 = Л.
Положив в последнем тождестве jc= I, y=l, 2=0, получим
2 = 2BЛ + ?), откуда В = — 1.
Итак, имеем тождество
*3 + j/8 _|_ гз _ 3x«/z = (л: + г/ + z) (х2 + у2 + z2 — ху — хг — уг).
Над полем комплексных чисел возможно дальнейшее разложение. Доста-
Достаточно принять во внимание, что
(X + ? у + S2Z) (X + г*У + ? Z) ЕЕ X* + ?3f/2 + ?322 + (г2 + s) (/
= ,v2 + у2 + z2 — yz — xz — xy,
где __ _
-1 + 1^3 _ -\-iVz
? = И ?2 =
2 2
— мнимые кубические корни из 1.
19. Разложить на множители
Р = (Ь-с)(Ь + су + (с - а) (с + а)« + (а - 6) (а + 6)*.
Решение. Рассмотрим Р как многочлен от аргумента а. Нетрудно
заметить, что Р(а, 6, с) обращается в нуль при подстановке а = Ь, а также
при подстановке а = с. Аналогично рассматривая Р(а, 6, с) как многочлен от
аргумента Ъ, заметим, что он обращается в нуль при b = с. Следовательно,
Р(а, Ь, с) делится на линейные двучлены а — 6, а — с и Ъ — с. Эти двучлены
не делятся друг на друга, так как каждый из них содержит аргумент, не со-
содержащийся в другом. В разложении на неприводимые множители Р(а, bt с)
содержится каждый из указанных двучленов, а потому Р(а, 6, с) делится на
произведение (а—Ь) (Ь—с) (с—а). Частное является однородным симмет-
симметрическим многочленом второй степени. В самом деле, при любой перестанов-
перестановке аргументов делимое и делитель либо оба меняют знак, либо оба не меня-
меняются, а потому частное не изменяется. Применим метод неопределенных
коэффициентов:
(Ь - с) ф 4- с)* + (с - а) (с + а)* + (а - Ь) (а 4 6)« ее"
ее {а - Ь) ф — с) (с — а) [А (а2 + Ь2 + с2) + В (ab + be + са)].
Сравнив коэффициенты при с46, получим 3 = — А. Положив я=1,
Ь = — 1, с=0, получим: —2 = 2 BА — Б), откуда В =¦ — 5. Итак,
Р = — (а — Ь) ф — с) (с — а) [3 (а2 + Ь2 + с2) + 5 (ab + be + са)].
§ 30. Деление с остатком многочленов,
расположенных по возрастающим степеням аргумента
Рассмотрим два многочлена от одного аргумента х, распо-
расположенные по возрастающим степеням х:
f (x) =cio + агх + а2х2 + ... + апхп\
? (х) = Ьо + bLx + b2x2 + ... + Ътхт, где 60 ф 0.
86

Разделив младший член многочлена f(x) на 60, умножим част,
ное на ф(х) и вычтем из f{x):
f(x)--^-y(x) = a\x + a'2x2+ ... - xRt(x).
Полученный многочлен xR\(x) назовем первым остатком.
Имеем:
°0
Применив описанный процесс к xR\(x) и ф(х), получим второй
остаток:
xRx '— ср (а:) = а2х2 +...== x2R2 (x).
Ьо
Откуда
а\ х
b0 b0
После k-то шага получим:
f(x) = qk_l(x)9(x) + xkRk(xI A)
где <7*-i(*) есть многочлен степени не выше чем к — 1 или нуль-
многочлен, a xkRk(x), &-й остаток, есть многочлен степени не
ниже к или нуль-многочлен.
Существует лишь единственная пара многочленов q к_х(к) и
Rk(x), удовлетворяющая (при перечисленных условиях) тожде-
тождеству A). Допустим противное, что, кроме qk__x(x) и Rk(x), су-
существует другая пара многочленов q'k_{ (x) ('степени не выше
k—1 или нуль-многочлен) и R'k таких, что имеет место тожде-
тождество
f(x) = q'k_l(x)<f(x) + x*R'k(x). (Г)
Из тождеств A) и (V) получим:
l4k^i(x)-q'k^l(x)]V(x)^
Если R'k и Rk не тождественны, то младший член правой
части этого тождества имеет степень не меньшую к, но тогда
левая часть отлична от нуля и (так как Ьо Ф 0) ее младший
член имеет степень меньшую /е, что невозможно. Следовательно,
Если многочлен f(x) делится на ф(^), то имеет место тожде-
тождество
гДе qп-т — многочлен степени п — т9 следовательно, остаток
Л ('а также все последующие остатки) есть нуль-много^
87

член. Обратно, если в процессе деления получится остаток, тож-
тождественный нулю, то многочлен f(x) делится на cp(x).
Если многочлен f(x) не делится на ф(х), то процесс деления
f(x) на ф(#), 'расположенных по возрастающим степеням арту-
мента, является бесконечным, он дает бесконечную последова-
последовательность остатков, ни один из которых не рав'ен нулю*.
При выполнении деления многочленов, расположенных по
возрастающим степеням аргумента, последовательное вычисле-
вычисление частных и остатков удобно производить путем «деления
углом».
Примечание. Если окажется, что остаток Rn_m+l от-
отличен от нуля, то многочлен f(x) не делится на ср(х). В са-
самом дел'е, последующие частные имеют степени больше, чем
п—т, и при их умножении на cp(x) будут получаться мно-
многочлены степени большей, чем /(х), а потому не тождествен-
тождественные f{x).
Примеры
1. Ниже показана запись при «делении углом» многочленов, располо-
расположенных по возрастающим степеням
1-х
1 -4- V
X2
\+х-
1 — 2* + *2 f Xs 4- ...
— 2х-
-л;2
-2л;2
. .л;2
-2x3
+ 2л;3
л;3 —
л;4
л;4
хК, (х)
&R2 (x)
Последовательные частные суть
1, 1 — 2л;, \—2х + х
2. Пусть
d0, diy d2, ..., dp. ..
1— 2л: + л;2 -f х3 и т. д.
последовательность коэффициентов частных.
Доказать, что если n<m, то любые т последовательных чисел
влетворяют одному и тому же уравнению:
удо-
удоdb
р т
J=0,
tn о
* В частном получается степенной ряд, дающий представление алгебраи-
f(x)
ческой дроби—— в круге (на комплексной плоскости) сходимости с цент-
у(х)
у()
ром в точке 0 и с радиусом, равным расстоянию от точки 0 до ближайшего
корня знаменателя ()

Решение. Выберем число N достаточно большим (большим, чем р + т).
Перепишем тождество A) так (положим k — N+\):
... +апхп = (do + dxx + d^ + ... + dpx>+...+dNx") X
X F0 + blX + b2x2 + ... + bmxm) ±xN+1RN+i (x);
приравняв нулю коэффициенты при хт , хт+1 , ..., хт^~р , в правой части
получим тождества
+-.+dmb0 =0,

ГЛАВА И
ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 31. Рациональные выражения и рациональные функции
Определение. Рациональным выражением от аргументов
х, у, ..., z называется выражение, составленное из аргумен-
аргументов и из чисел данного поля при помощи действий сложения,
вычитания, умножения и деления.
При этом выражения, не имеющие числового значения ни при
каких значениях аргументов (т. е. выражения, лишенные смыс-
смысла) , рациональными не считаются.
Всякий многочлен является рациональным (целым) выраже-
выражением.
Определение. Рациональное выражение называется дробным,
если оно содержит действие деления на выражения, содержащие
аргументы.
Числа, входящие в состав рационального выражения, а также
допустимые значения аргументов считаются принадлежащими не-
некоторому числовому лолю; кратко говорят, что рациональное вы-
выражение рассматривается над данным полем.
Примеры
1. Примерами рациональных выражений могут служить
ах + Ьу 1 1 а l b x + y
Первое л третье выражения — дробные, второе выражение — целое (т. е.
многочлен).
2. Выражения
а х — 1 х2 -4- у2
О ' х — х ' (х + уJ — х2 — 2ху — у2
не считаются рациональными, так как они не имеют численного значения ни
при каких значениях аргументов.
90

3. Выражения
sin x— 1
2х_2-х \х+1 ) cosx+1
содержат трансцендентные операции над аргументом, а потому не являются
рациональными.
§ 32. Алгебраические дроби
Определениещ Отношение двух многочленов у на-
Q(x,y,...,z)
зывается алгебраической или рациональной дробью.
По количеству аргументов, содержащихся в многочленах чис-
числителе и знаменателе, алгебраические дроби разделяются на дро-
дроби от одного, от двух, от трех и т. д. аргументов.
Всякий многочлен Р(ху уу ..., z) можно рассматривать как
рациональную дробь со знаменателем, равным единице:
п / \ Р (ху У,..., г)
Р(х,У,...,г)= к >у|—^-.
Таким образом, множество многочленов включается как часть
в множество всех рациональных дробей.
Произвольной системе значений аргументов (из данного чис-
числового поля), при которой знаменатель алгебраической дроби не
обращается в нуль, соответствует вполне определенное значение
дроби, вс'е эти системы образуют множество допустимых систем
значений аргументов или область определения алгебраи-
алгебраической дроби ('рассматриваемой надданным полем). В частности,
А Р(Х) *
для дроби одного аргумента——допустимым является любое
значение х (из данного поля) за исключением корней знаменателя.
При совместном задании нескольких дробей:
Р(х,у,...,г) /Чрс, */,..., г) Р2(х,У,..,,г)
Q(x, «/,..., г) ' Q1(xt «/,..., г) ' Q2{x, «/,..., z) ' ""
допустимой является произвольная система численных значений
аргументов (из данного числового поля), при которой ни один
из знаменателей Q, Qb Q2, ... не обращается в нуль.
Примеры
1. Примерами алгебраических дробей могут служить
х*- 1 . . х + у ,
——-—-j-— (от одного аргумента), (Ът двух аргументов),
X ~\~ X г* 1 X— У
(от трех аргументов).
1 — X — У 2
X + 1
2. Областью определения дроби —-—, рассматриваемой над по-
\Х *¦) \Х "г 1 /
•нем рациональных (действительных) чисел, является множество всех ра-
рациональных (действительных) чисел, отличных от 1. Область определения этой
дроби, рассматриваемой над полем комплексных чисел, является множество
всех комплексных чисел, отличных от 1, i и от —/.
91

3. Областью определения дроби (над любым полем) является мно-
х у
жество всевозможных пар неравных чисел х и у (т. е. х^у) из данного поля.
х2—у2
4. Областью определения дроби 2 , рассматриваемой над полем дей-
действительных чисел, является множество всех точек (х, у), отличных от точки
х = у = 0.
Область определения той же дроби над полем комплексных чисел яв-
является множество всевозможных пар комплексных чисел х и у, удовлетво-
удовлетворяющих условию хф[у.
х-\-у-\-г
5. Дробь " : ;:—_ определена для всех значений х, у, z, кроме
\—x2~y2—z2
значений, удовлетворяющих уравнению x2+y2-\-z2=l (поверхность единич-
единичной сферы в координатном пространстве).
6. При совместном рассмотрении дробей и допустимые зна-
х+у х-у
чения аргументов определяются из условий хфу и х ф—у (или в поле
действительных чисел |л:| ^=\у\ ).
§ 33. Тождественность алгебраических дробей
По общему определению тождественности двух аналитических
выражений две алгебраические дроби считаются тождествен-
тождественными, если при их совместном рассмотрении их значения равны
для произвольной допустимой системы значений аргументов.
Иначе это определение можно сформулировать так:
Определение. Две алгебраические дроби:
Я (*,*/,..., г) и Р1(х, у,..., г)
Q(x,y,..., z) Qi (*,«/,..., z)
тождественны, если равенство
Р() Pj )
Дроби ~ и —j—- тождественны, так как при совместном их рас-
Q(x,y,...,z) Q^x, У,..., г)
выполняется при произвольной системе значений аргументов
х, у, ..., г, при которой каждый из знаменателей данных дробей
отличен от нуля:
Q (х,у, ..., 2) ф 0 и Qx (х,у,..., г) ф 0.
Пример
х—у 1
х2—у2 х-\-у
смотрении следует считать хф ±у, но тогда
х — у х — у 1_
х2 — У2 ~~ (х — у) {х + у) ~ х + у '
Тождественное преобразование алгебраической дроби может
изменить ее область определения. Так, например, при замене дро-
дроби дробью значения х = у^О (недопустимые для
х2—у2 х-у
первой дроби) становятся допустимыми.
92

Теорема .Необходимым, и достаточным условием тождествен-
тождественности двух дробей
Р(х,у,...,г) „Р3 (*,#,..., г) ,j.
Q(x,y,...,z) Qx(x, «/,..., zj
является выполнение тождества
P(x9y,...,z)Q1(x9y9...9z) = P1(x9y9...9z)Q(x9y9 ...,z). B)
Р а зъя си ен1И е. Тождество A) есть равенство, справедли-
справедливое при всех допустимых 'системах значений аргументов, т. е.
при всех системах чисел х, у, ..., 2, при которых Q=r= 0 и Qi ?= 0.
В тождестве B) левая и правая части суть многочл'ены;
согласно определению тождественности многочленов, это есть
равенство, справедливое при произвольной системе зна-
значений аргументов из данного числового поля.
Д ю к а з а т е л ь с т ,в о. Условие достаточно. В самом
деле, если имеет место тождество B), то произведения PQk и
P\*Q, будучи равными при всех системах значений аргумен-
аргументов, paiBHbi ('в частности) и при допустимых (для данных
дробей) системах. Но если Q ^0 и Q\ Ф 0, то из равенства PQi =
р р
= PiQ следует равенство —¦= —Ц т. е. тождество A).
Q Qi
Условие необходимо. Требуется доказать, что если
дроби—и—Нравны'при произвольных допустимых сч-
Q Qi
стемах значений аргументов, то равенство PQ\ = QP\ выполня-
выполняется при всех системах значений аргументов (из данного чис-
числового поля).
Рассмотрим сначала дроби от одного аргумента -1—и—---.
Q(x) Qi(x)
Множество недопустимых значений аргумента состоит
из всех корней двух алгебраических уравнений:
Q(x)=0 и Q1(x)=0.
Каждо'е из этих уравнений имеет конечное множество корней
(число различных корней не больше степени левой части), поэто-
поэтому множество недопустимых значений аргумента конечно, а мно-
множество его допустимых значений бесконечно (из всех чисел дан-
данного поля следует исключить недопустимые значения). Из тож-
тождества
Р(х) __ Рх{х)
Q(x) " QxW
следует, что при всех допустимых значениях аргумента
Следовательно, значение многочлена
R(x) = P(x)Qx(x)-Px(x)Q(x)
93

равно нулю при всяком допустимом значении аргумента. Итак,
многочлен R(x) имеет бесконечной множество корней. Следова-
Следовательно, R(x) = 0, так как всякий отличный от нуля многочлен
имеет лишь конечное множество корней, откуда P{Q = PQi.
Рассмотрим две дроби от нескольких аргументов. Ограничим-
Ограничимся случаем двух аргументов (доказательство можно распростра-
распространить на дроби от любого числа аргументов).
Пусть R(xy у) —произвольный отличный от нуля многочлен от
аргументов х и у. Множество всех точек (х, у) плоскости, удов-
удовлетворяющих уравнению
называется, как известно, алгебраической линией*.
Расположим многочлен R(x, у) по степеням одного из аргу-
м'ентов, например у:
) ) Qo (x)
(где (}т(х)ф0).
При данном значении аргумента х = х0 возможен один из двух
следующих случаев:
1°. Не все коэффициенты
Qm(x)9 Qm-i (*),...,
Qo(x)
Черт. 10
обращаются в нуль. В этом случае
уравнение R(xo> у) = 0 имеет лишь ко-
конечное множество решений (число кор-
корней не больше чем т). Геометрически
это обозначает, что параллель оси ор-
ординат х = х0 может пересекать алге-
алгебраическую линию лишь в конечном
числе точек. Для поля действительных
чисел этот случай пояснен на черте-
чертеже 10.
2°. Все коэффициенты Qm(x0),
Qm-i (xo)> ..., Qo(xo) обращаются в
нуль. В этом случае R(x0, у) есть нуль-
многочлен от у. Геометрически это оз-
означает, что прямая линия х = х0 входит
в состав алгебраической линии **.
* Принятое ниже изложение является геометрическим лишь по форме.
Так, например, при рассмотрении многочленов над полем комплексных чисел
под «точкой» (х, у) следует понимать пару комплексных чисел х = а + bi,
у = с + di, а под «плоскостью» — множество всех этих «точек».
** Так, например, прямая х = 1 входит в состав линии второго порядка
х2+2ху—2у—\ = 0 (проверить!).
94

Множество таких особых значений х конечно, так как вся-
всякое особое значение является общим корнем всех коэффициентов
Q, (х), а каждый нетождественный нулю коэффициент имеет ко-
конечное число корней.
Итак, всякая параллель оси ординат х = х0 имеет с алгебраи-
алгебраической линией конечное множество точек пересечения, за исклю-
исключением, быть может, конечного множества параллелей, входя-
входящих в состав линии.
Если из плоскости удалить все точки алгебраической Линии,
то оставшееся 'мкожесрзо точек "плоскости не будет алгебраиче-
алгебраической линией. В самом деле, на всякой параллели оси ординат
останется бесконечное множество точек, за исключением, быть
может, конечного множества параллелей, которые будут пол-
полностью удалены из плоскости.
Рассмотрим совместно две алгебраические дроби от двух аргу-
аргументов
Р <х, у) и Pi(x, у)
Q(x, у) Qi(x,y) '
Множество допустимых систем значений аргументов есть множе-
множество всех точек плоскости, за вычетом точек, принадлежащих хотя
бы одной из двух алгебраических линий Q(x, у) = О, Q\(x, у) = О,
т. е. точек, образующих алгебраическую линию Q(x, y)-Q\(x.y) = 0.
Если данные дроби тождественны, то многочлен
R (х, у) = Р (х, у) Qx (х, у) - Рг (х, у) Q (х, у)
равен нулю при всех допустимых системах значений аргументов,
т. е. во всей плоскости, за исключением, быть может, точек алге-
алгебраической линии Q-Qi = 0. Но при этих условиях R(x9 у) есть
нуль-многочлен. В самом деле, если Я(х,у)Ф 0, то равенство
R(x>y) = 0 может выполняться лишь вдоль некоторой алгебраи-
алгебраической линии, а не во всех точках плоскости за вычетом ал-
алгебраической линии Q-Qi = 0. Следовательно, R(x,y) -л 0, т. е
PQx = PiQ, ч. т. д.
§ 34. Сокращение алгебраических дробей
Теорема. Если числитель и знаменатель алгебраической
дроби имеют общий нетривиальный делитель К(х, у, ..., z), то,
разделив числитель и знаменатель на этот делитель, получим
дробь, тождественную данной:
К(х, у, ..., г)Р(х, у, ..., г) __ Р(х, у, ..., z)
К(х, у, ..., z)Q(x, у, ..., г) ~ Q(x, у. ..., г)
Это тождественное преобразование называется сокраще-
сокращением дроби на делит'ель /С.
95

Доказательство. В самом деле, при всех допустимых
системах значений аргументов, т. е. системах, определяющихся
условиями С}ф О, К Ф 0 значения дробей равны, ч. т. д.
Другое доказательство. Дроби тождественны, ибо
выполняется (см. предыдущий параграф) необходимое и доста-
достаточное условие тождественности алгебраических дробей:
Q, ч.т.д.
При сокращении дроби область ее определения может расши-
КР
риться. В самом деле, область определения дроби — находится
KQ
р
из двух условий К Ф О, Q ^0; для дроби же —, полученной
после сокращения, условие КФ 0 отпадает.
Определение. Алгебраическая дробь р Уч' ' ' называется
q(x, у, . . . ,г)
несократимой, если многочлены — числитель и знаменатель не
имеют ни одного общего (многочленного) делителя положитель-
положительной степени.
Два многочлена, не имеющие общих делителей, кроме число-
числовых, называются взаимно простыми. Значит, числитель и
знаменатель несократимой дроби взаимно просты.
Рассмотрим разложения числителя и знаменателя несокра-
несократимой дроби на неприводимые множители:
Эти разложения не содержат ни одного общего (с точностью
до числовых множителей) множителя. В самом деле, если р t= qj9
то числитель и знаменатель (вопреки предположению) имели бы
общий нетривиальный делитель. Обратно, если в разложениях
многочленов р и q не содержится ни одного общего неприводи-
неприводимого множителя, то дробь— несократима. В самом деле, если бы
я
дробь не была несократимой, то многочлены р и q имели бы об-
общий делитель s(x, у,...,г):
Но тогда (вопреки предположению) неприводимые множите-
множители, на которые разлагается s(x, у, ..., z), явились бы общими в
разложениях числителя и знаменателя.
Примеры
, п , x*+bxy+6tj*
1. Дробь — —- несократима, так как разложения числителя и
знаменателя:
х2 + Ъху + б?/2 = (х + 2у) (х + Зу)
и
х2 — ху — 2у2 = (х — 2у) {х + У)
не содержат общих неприводимых множителей.
96

2 Дробь сократима, так как числитель и знаменатель имеют
F х4—у*
общий нетривиальный делитель х + у.
Тождественность алгебраических дробей обладает характери-
характеристическими свойствами соотношения эквивалентности.
I. Обратимость:
Р Р1 Рх Р
если — == ——, то —— = —.
Q Qi Qi Q
II. Рефлексивность:
Q Q
III. Транзитивность:
Рл Р2 Р2 Р" Р1 Р3
если —— s= —=- и —— = —— , то -——¦ = —--.
Qi Q2 Q2 Q3 Qi <Эз
Доказательство. Справедливость свойств I и II очевид-
очевидна; докажем выполнение свойств III. В самом деле, в силу необ-
необходимого и достаточного условия тождественности дробей имеем
перемножив эти тождества, получим:
(PiQ«) (P2Q3) = (^2Qi) (P3Q2), или PXQ3. P2Q2 = P3Q1 • P2Q2.
Откуда, разделив обе части на P2Q2, получим:
PLQ3 = P3Qi> или —^ — —~ » ч« т* Д
Определение. Каноническим представлением алгебраической
Р(х и z)
дроби **>•••*; называется всякая тождественная ей несокра-
Q(xt у, .. .,z)
тимая алгебраическая дробь.
Пример
Каноническим представлением дроби
(х
2 х-у)
служит несократимая дробь __ —- . Умножив числитель и знаменатель
V2 х-у
на произвольный отличный от нуля числовой множитель, например, на У2,
получим дробь
2х
ем данной дроби.
получим дробь г?— , являющуюся также каноническим представлени-
2х—У2
Теорема. Для всякой алгебраической дроби
Р(Х, У ,2) .
Q(x, у, . . .,г)
1° существует каноническое представление в виде несократи-
7 С. И Новоселов 97

мой дроби P(±JL^):
Я(х,У,...,г)
Р(х,у, ..., г) ^ р(х, у, .,. г) .
Q(x, у, ..., г) Я(х, у...., г) '
2° это каноническое представление единственно с точностью
до общих (отличных от нуля) числовых множителей (из данного
поля) числителя и знаменателя.
Доказательство. Д° Разложим многочлены Р(ху у,..., г)
и Q(x, у,..., г) на неприводимые множители (это разложение
единственно). Обозначив через К(х, у,..., г) произведение всех
общих множителей многочленов Р и Q, имеем:
...., z)=p1p2...piK,
р
(если сама данная дробь— несократима, то считаем К = 1).
Положим:
р(х,у,...9г) = рхр2. ..рь q(x,y,...,z) = qxq2.. .qmf
где pt n qk неразложимые многочлены; в частности, мно-
многочлен р(х, г/,..., г) или q(x, r/,..., г) может оказаться числом ('так
будет, если один из многочленов Р и Q делится на другой).
Дробь — несократима ni
2°. Допустим, что существует другая несократимая дробь —_,
В
тождественная дроби —^-; тогда имеем
Разложим многочлены р и q на неприводимые множители
В силу тождества A) имеем
(PlP2y.
Р Я Р Я
В силу единственности разложения многочлена на множители
левая и правая части этого тождества содержат одни и те же
(с точностью до числовых множителей) неприводимые многочле-
ны-сомнож,ители. Группы р и q не 'имеют -ни одного общего сомно-
сомножителя, поэтому все множители группы р содержатся среди
98

группы множителей р (различие в числовых множителях не при-
принимается во внимание). Аналогично докажем, что все множители
группы р содержатся среди сомножителей р. Следовательно, мно-
многочлены р и р могут отличаться лишь числовым множителем
р = Ср (где С Ф 0), но тогда и q = Cq, ч. т. д.
При рассмотрении несократимой алгебраической дроби над
полем рациональных чисел коэффициенты числителя и зна-
знаменателя обычно умножают на наименьшее общее кратное зна-
знаменателей этих коэффициентов (разумеется, если среди
коэффициентов содержатся дробные числа). В соответствии с
этим каноническим представлением дроби с рациональными ко-
коэффициентами считается тождественная ей несократимая дробь
с целыми взаимно простыми коэффициентами.
Пример
1 5
— х2 — — ху + у2
о о
Каноническим представлением дроби служит дробь
— х2 — ху + —у2
о 3
х-гу
с целыми взаимно простыми коэффициентами.
х—Ау
Для приведения алгебраической дроби к каноническому виду
достаточно разделить числитель и знаменатель на многочлен,
служащий их наибольшим общим делителем. На практике, обыч-
обычно, разложив числитель и знаменатель на неприводимые множи-
множители, сокращают дробь на общие множители числителя и знаме-
знаменателя.
Теорема. Две тождественные алгебраические дроби имеют
одно и то же (с точностью до числовых множителей числителя и
знаменателя) каноническое представление.
Доказательство. Пусть— и— суть канонические
Я\ Я2
представления двух тождественных дробей
и
Qi <7i ' Qi Q2 Qi ~~ Q2 '
тогда — = — (mo свойству транзитивности), но, если две несо-
Я\ Яъ
кратимые дроби — и— тождественны, то их числители и знаме-
9i Я2
натели могут отличаться лишь общим числовым множителем
(см. стр. 98 пункт 2° доказательства).
Следствие. Все тождественные между собой алгебраиче-
7* 99

ские дроби имеют единственное (с точностью до общих числовых
множителей числителя и знаменателя) каноническое представ-
представление.
§ 35. Рациональные функции
Соотношение тождественности {'обладающее свойствами сим-
симметрии, рефлексивности и транзитивности) позволяет разбить
множество всех алгебраических дробей от данных аргументов
(над данным числовым полем) на классы тождественных дробей.
При этом разбиении все тождественные между собой дроби отно-
относятся к одному классу, дроби же, содержащиеся в различных
классах, не тождественны. Каждый класс тождественных дробей
содержит единственную (с точностью до числовых множителей
числителя и знаменателя) несократимую дробь. Различные тож-
тождественные между собой дроби (рассматриваемые по отдель-
отдельности) могут иметь различные области определения. Среди
дробей данного класса наиболее широкую область определения
Р
имеет несократимая дробь, так как при переходе от дроби —=
kp p
~ ~kq К несокРатимои ДР°^И — область определения первой дроби
может лишь расшириться (стр. 96).
Примем следующее дополнительное определение.
Определение (принцип продолжения). Если алгебраическая
дробь ^ХуУ''' 'yZ) теряет смысл в точке (xQy yOi..., z0), но тождест-
Q(x,y, ... ,2)
венная ей несократимая дробь {<•¦'>*) не теряет смысла в
q(x, у,.. . а)
р
данной точке: q(x0, уоУ..., г0) ф О, то значение дроби — при
х = *о, У = Уоу ••-, z = Zq считается равным значению тождествен-
тождественной несократимой дроби в точке (xq, y0, ..., zQ):
Р(х0, [/о ?о) ^_ Р {х0, г/о,..., г0)
Б силу принципа продолжения для всех тождественных меж-
между собой алгебраических дробей устанавливается одна и та же
область определения, это 'есть область определения несократи-
несократимой дроби тождественной данным дробям.
Принцип продолжения позволяет беспрепятственно сокращать
числитель и знаменатель дроби на общие многочленные множи-
множители.
Рассмотрим, например, дробь от одного аргумента:
Р(х)
П[х) = -i-^, если Q(x0) = 0, то знаменатель делится на (х—xo)h
(где k — кратность корня х0). Предположим, что числитель де-
100

лится на (х—х0I (I = 0, если Р не делится на х—хо)\ сократив
числитель и знаменатель на общие множители, получим
если />&,
я (х)
-^ , если /</г,
где р(х) и q(x) взаимно простые многочлены, не обращающиеся
d(х )
в нуль в точке х0. Имеем R(x0) = ——, если l = k и R(x0) =0, если
я(х0)
I > й; если же k > I, со R(x0) не имеет смысла.
Определение. Всякая функция f(x, у,..., г), определяемая
Р(х и z)
алгебраической дробью J , называется рациональной
Q(x% у,.. .,г)
функцией.
В силу принципа продолжения все тождественные между со-
собой дроби определяют одну и ту же функцию, которую обычно
изображают при помощи соответствующей несократимой дроби.
Примеры
хп ап
1. Дробь тождественна многочлену хп-\-ахп~1 +... + а".
х—а
Областью ее определения служит множество всех чисел поля, над кото-
х3—8
рым эта дробь рассматривается. Например, значение дроби — в точке
к = 2 равно значению трехчлена х2 + 2х + 4 при х = 2, т. е. числу 12.
JC3—Г/3 х2+ху+у2
2. Дробь — тождественна несократимой дроби ; . Об-
х2—у2 х+у
ластью определения обеих дробей является множество всех чисел (данного
поля), удовлетворяющих условию х Ф —у. В частности, при х = 2, у = 2 обе
дроби имеют значение, равное числу 3. При х = 2, у = —2 обе дроби теряют
смысл.
3. Имеем:
*4— у* (х2 — у2) (х2 + У2) х?- у2
х*Л-х*у + 2х1у2 ±ху3 + у* ~~ (х2 + у2) (х2 + ху + у2) ~ х2 + ху + у2'
Данная дробь, рассматриваемая над полем действительных чисел, имеет
смысл при всех значениях х и у, кроме х = у = 0. Над полем комплексных
чисел данная дробь адмеет смысл при всех х и у, кроме х = гу и х=г2у, где
е и е2 мнимые кубические корни из 1.
Установленный выше «алгебраический принцип» продолжения и принцип
продолжения по непрерывности (см. § 6) находятся в следующем взаи-
взаимоотношении. В случаях, когда применим алгебраический принцип, к тому
же результату приводит и принцип продолжения по непрерывности.
В самом деле, пусть
Р(х, у,..., г) = К(х, у,..., г)р{х, у,..., г),
Q(x9 #,..., г) = К(х, y,...t z)q(xy */,..., 2),
р
дробь — несократима и q(xOy уОу ..., г0) ф 0.
q
101

Применим принцип продолжения по непрерывности: равенство
Р{х, у, ..., г) р(х, у, ..., г)
Q(x, у, ..., г) ~ Q(xt у, ..., г)
имеет место во всех точках (х} у, ..., z) окрестности точки (х0, уОу ..., z0),
в которых Q{x, */,..., г) Ф 0.
Переходя к пределу в точке (х0, уОу ..., z0), получим:
У> ••» г) Р(*о, Уо, . • , *о)
lim = Jim=
Q(x, у, ..., z) q(x, у, ..., z) q(x0, yOy ..., z0)
Согласно обоим принципам продолжения следует считать:
Р (Хъ, уОу .. • , z0)
v»c \Xq , У\) , ...» Zq) Q [Xq у Уи j ...» Zq)
§ 36. Поле рациональных функций
Рассмотрим совместно две алгебраические дроби — и — , со-
составим две новые алгебраические дроби
PQi + P^ тт РР, /1Ч
QQi " QQi 1 A)
значения которых (соответственно) равны сумме и произведению
значений данных дробей при произвольных допустимых (для
них) системах аргументов (Q^ 0, Q\ Ф 0). Дроби A) называ-
называются суммой и произведением данных дробей (соответственно).
р р
Теорема. Если дроби-компоненты — и — заменить тождест-
тождественными дробями, то дроби-сумма и произведение также заме-
заменятся тождественными им дробями:
Р Р' Р1 _ р\
It
Q Q' Q{ Q\
P'Q'i + P'iQ' PP\ P'p'\
Q'Q\ QQl Q'Q\
Доказательство. Так как значения совместно рассматри-
рассматриваемых дробей-сумм (произведений) при всех допустимых для
них системах значений аргументов (Q^ 0, Q'' Ф 0, Q\ ?=0, Q/^0)
равны между собой, будучи равными сумме (произведению)
значений дробей компонентов:
P'Q\ \-P\Q' ^jP^j^^ p' p\
QQl ~ Q'Ql ~~ "О" ' Q, Q' Q\
то обе рассматриваемые дроби-суммы (произведения) тождест-
тождественны, ч. т. д.
Следствие. Каковы бы ни были две алгебраические дроби,
взятые из двух данных классов тождественных между собой
102

дробей, каноническое представление их суммы (произведения)
одно и то же (с точностью ~ до общих числовых множителей
числителя и знаменателя) независимо от выбора дробей и,
таким образом, определяется заданием лишь самих классов.
Дробь-сумма (произведение) двух данных дробей определяет
некоторую рациональную функцию; эта функция есть сумма
(произведение) рациональных функций, определяемых дробями-
слагаемыми (сомножителями).
Сложение и умножение алгебраических дробей подчиняются
основным законам арифметических действий:
M\{ R .
+
q q U + Т)= IT + Т) ^ Т'
' Q ' N ~ N ' Q ' } Q \N ' S)~~\Q ' Nj ' S '
} Q\N S )~ Q ' N Q ' S '
В самом деле, значения правой и левой частей каждого из
этих тождеств одинаковы при всех допустимых значениях аргу-
аргументов (в силу законов действий над числами). В справедливости
этих тождеств можно убедиться и непосредственной проверкой
на основании определений действий.
Р
Для дроби— существует ей противоположная, т. е. дробь
X р . X _ Л
— удовлетворяющая условию — ~\ = 0.
В самом деле, по условию должно быть:
Р , X PY4-QX Л
— t-Y = —^г— = °>
этому последнему условию удовлетворяет всякая дробь — , тож-«
р
дественная дроби — . Никаких других дробей, удовлетворяю-
удовлетворяющих данному условию, не существует, так как все искомые
дроби при всех допустимых значениях аргументов должны иметь
равные значения, эти значения противоположны значениям дро-
*¦§•
Аналогично докажем, что если Р # 0, то для данной дроби
Р . . Q
— существует обратная дробь-1- :
±..± = 1
Этому условию удовлетворяют все дроби, тождественные —.
103

Из изложенного следует, что в множестве всех рациональных
функций выполнимо действие вычитания, а также действие деле-
деления (кроме деления на функцию, тождественно равную нулю).
Дроби, изображающие результаты этих обратных действий, по-
получаются по обычным правилам вычитания и деления дробей.
Так (по определению вычитания), разность двух дробей —
М , X М . X р
и— есть дробь —, удовлетворяющая условию Ь — = —.
Но этому условию удовлетворяет дробь (а также всякая тож-
тождественная ей дробь):
X _ ^Р_ /_ Мл = Р_ —ЛЯ = PN — QM
Y " Q \ N / Q N ~~ QN
так как
iV У tf L Q \ N )\ Q'
Выполнимость действия деления можно доказать аналогично:
Р М Р N PN M I PN \ Р
— :— = —• — = , так как —| == —.
Q N Q M QM N \QM j Q
Теорема. Множество всех рациональных функций образует
поле.
Доказательство. В самом деле, как доказано выше, в
результате выполнения действий сложения, вычитания, умноже-
умножения и деления (кроме деления на функцию, тождественно равную
нулю) над рациональными функциями получаются функции,
изобразимые алгебраическими дробями, т. е. также рациональ-
рациональные функции, ч. т. д. *.
При выполнении действий над рациональными функциями вы-
выполняют соответствующие действия над изображающими их ал-
алгебраическими дробями и получают дробь, изображающую
результат действия над рациональными функциями.
Из изложенного следует, что для алгебраических дробей
остаются в силе те же правила, которые имеют место для ариф-
арифметических дробей, изображающих рациональные числа. В част-
частности, при сложении дробей поступают следующим образом:
* Нередко эту теорему формулируют ошибочно, говоря, что алгебраи-
алгебраические дроби образуют поле. Поле образуют не сами дроби, аклассы тож-
тождественных между собой дробей.
Эта ошибка аналогична довольно грубой ошибке, допускаемой в неко-
некоторых руководствах по теоретической арифметике, где, например, рациональ^
ные числа определяются как пары, а не как классы равных пар вто-
второй ступени. См., например, книгу И. В. Арнольда, Теоретическая ариф-
арифметика (Учпедгиз, 1939, стр. 128), где сказано: «Рациональными числами на-
называются пары (а, Ь) целых чисел а и Ь...ъ. В более поздней литературе по
теоретической арифметике (например, И. В. Проскуряков, Числа и много-
многочлены. Изд. АПН), эта грубая ошибка не повторяется.
104

разлагают знаменатели дробей-компонентов на неприводимые
множители, составляют наименьшее общее кратное многочленов-
знаменателей, для ч'его составляется произведение многочленных
множителей, содержащихся в разложении хотя бы одного из
многочленов-знаменателей, при этом каждый множитель берется
в наибольшей степени, с которой он входит в разложения; далее
дроби-слагаемые приводятся к общему знаменателю путем умно-
умножения числителя и знаменателя каждой дроби на множитель^
дополняющий знаменатель этой дроби до наименьшего общего
кратного знаменателей, при этом дроби-компоненты заменяются
(соответственно) тождественными дробями; далее составляют
дробь-сумму с числителем, равным сумме числителей и со зна-
знаменателем, равным общему знаменателю дробей-слагаемых.
В самом деле, при сложении дробей с общим знаменателем!
общее правило сложения упрощается:
Р м _ PQ + MQ
"о" Q " Q2 ~
Пример
Найти сумму дробей:
Приводим дроби-слагаемые к общему знаменателю.
Разлагаем на множители знаменатели:
х2 — у2 = (х — у) (х + у),
х8 — уъ = (х — у) (х2 + ху+ у2),
х* — г/4 = (v — у) (х + у) (х2 + */3).
Находим наименьшее общее кратное знаменателей
Q = (x + y)(x — y) (х2 + у2) (х2 + ху + у2) = хб + хбг/ + хV —дся?/* — *0В—#•
Умножив числитель и знаменатель каждой из дробей на соответствую-
соответствующий дополнительный множитель, получим
X X (X2 + У2) (X2 -Ь ху + У2)
X*
хз
X4
х2у
-у*
(х+У)(х-у)(х2
хб + х*у + 2хву2 ¦
Q
ху(х+{
(X +у)(х — У) (X2
х*у + х3у2 + л
Q
х2у (х2
(х + у) (х - г/) (х'
х*у + х3г/2 -
+ ^3 +
У)(х* + У
+ У2) (х2
2уЗ Д. ^^4
4- хг/ + у'
2 | /<2\ /у!
+ ху + у2)
ху*
+ ху + у2)
2)
2 + ху + */2^
105

Складываем числители дробей, получившихся после приведения данных
дробей к общему знаменателю,
хъ + х*у + 2х3у2 + х2у* + ху*
х*у 4- х*у2 + х2уъ + ху*
х*у + х*у2 + х2у3
х* + Зх*у + Ах
•Следовательно,
х5 4 Зх*у + '
;3f/2 + Зх2у* Н
4х8#2 + 3^2г/3
-2д:г/4
4 2ху*
§ 37. Тождественные преобразования рациональных выражений
Всякое рациональное выражение (от данных аргументов)
составляется из аргументов и из чисел некоторого поля посред-
посредством четырех арифметических действий; в результате после-
последовательного выполнения (в надлежащем порядке) указанных
действий над многочленами и алгебраическими дробями данное
рациональное выражение можно представить в виде некоторой
алгебраической дроби. В самом деле, в результате сложения,
вычитания, умножения и деления алгебраических дробей (в част-
частности многочленов) мы снова получим алгебраическую дробь, а
потому последовательное применение этих операций в любом
количестве и в любых комбинациях позволяет всякое сложное
рационально'е выражение представить в виде отношения двух
многочленов и окончательно в виде некоторой несократимой дро-
дроби. Исключение может представиться, если в процессе преобра-
преобразований обнаружится, что данное выражение не име'ет смысла
ни при каких значениях аргументов, но тогда его нельзя рас-
рассматривать как рациональное выражение (так будет, если хотя
бы в одном из знаменателей получится нуль-многочлен).
При вс'ех системах значений аргументов, допустимых для
данного и для преобразованного выражений, их значения одина-
одинаковы. В процессе выполнения тождественных преобразований
алгебраические дроби можно заменять тождественными и, в
частности, производить сокращение дробей, так как замена
дробей-камшонентов тождественными дробями приводит к тож-
тождественным результатам. Следовательно, несократимые дроби,
которые могут получиться в качестве окончательного результата
преобразования (различными способами) данного выражения,
тождественны между собой.
Определение. Представление рационального выражения в ви-
виде тождественной ему несократимой дроби называется канони-
каноническим представлением данного выражения.
В каноническом представлении рационального выражения
ж*.* *)= pfy г)
q(x, «/,..., г)
106

многочлены р(х, у,..., z) и q{x, у,..., z) определяются единствен-
единственным образом с точностью до общих числовых множителей.
Принцип (алгебраический) продолжения принято применять
к произвольным рациональным выражениям, а именно, если при
подстановке х = х0, у = */о,..-, z = z0 рациональное выражение
Я(х, у, ..., z) теряет смысл, а его каноническое представление
R(x и z)= p{x, у,..., z)
Q(x, у,..., г)
в точке (xq> уо,..., 2о) смысла не теряет, то принято считать:
•*\ \ о» Уоу • • •» о/ ~. г •
Всякое рациональное выражение определяет единственную
рациональную функцию, изображающуюся его каноническим
представлением. Обычно в элементарной алг'ебре приведение к
каноническому виду называется упрощением рационального
выражения.
§ 38. Примеры тождественных преобразований
рациональных выражений
Тождественные преобразования рациональных выражений
как по своей цели, так и по методам выполнения могут быть весь-
весьма разнообразными. Различные частные свойства преобразуемых
выражений позволяют рационализировать вычисления. Эти упро-
упрощающие моменты никакой общей теорией предусмотрены быть
не могут. Навыки в рациональном выполнении преобразований
достигаются практикой.
Примеры
На примерах 1—4 показано непосредственное выполнение действия над
алгебраическими дробями.
1. Упростить выражения
Решение. Выполняем действия:
х — 2 х — 2 — (х — 1) + (х — 1) (х — 2)
Ф (х) =
х (*_!)(*-2)
х_ 2){х2—Зх+\) х2-~Зх+\ х* — Зх+\
х(х — \)(х — 2) х(х—\) х2-х
При х = 2 следует считать значение Ф(х) равным ——. При х = 0 и
х = 1 выражение Ф(х) не имеет смысла.
107

2. Упростить
(Л )г \* 31 ( + )* \р2 ' {q21 (P + qM \ p q J'
Решение. Сложим сперва второе и третье слагаемые:
3
L I P2 + q2
,
(р + q)* \ р2 q2 } (p + qM \ р я
3
(Р + <7)
Следовательно,
р» +
1
pq
1 \
<73 /
-г
3
(Р
(Р +
3
^7JР
1
q)*p*q* " (p+qJp2q2
3. Упростить выражение
— 4- —
х« 3 \ у ^ г
7Т7-Т7Т 11^1
у z J yz zx xy
Решение. Выполняем действия в следующем порядке:
ч У2 — уг + г2 , х1 3
b)
1
с
о —
X
-у<
2
У
сз +
¦% + г
г/г — у г 4
! 4- г2) (у + гL-
X (f/ + Z)
2
z
11 ""
г/3 + z3 — 3xf/z
1
-z2 jc
л:3 — 3xf/z
2х (у + z)
x+y + z
Х+У-
1
2
-г)
+
* ЗУ*
k У+ z
х* + у3 + г3 — Зхуг
Х(У + 2)
-+(Х + У + 2J=:
(x+y + zJ.
x + y + z
Воспользовавшись тождеством, выведенным в примере 18 (стр. 84) па-
параграфа 29, получим:
S = 2 (х2 + у2 + г2 - ху — xz - у г) + (х + у + гJ = 3(*2 + у2 + 2»).
108

Следовательно, выражение S тождественно многочлену 3 (х2 + у2 + г2).
4. Упростить выражение
s- х + х- +
х (* — у) (х,— г) (х — О У (у — х) (у — г) {у — t)
+ +
+ г(г-л:)(г-г/)B-0 + f (f _x)tf-y) (/-г)
Решение. Общим кратным знаменателей данных дробей является
многочлен
Q=xyzt(x-y)(x-z)(x-t){y-z)(y-t){z-t).
После приведения дробей к общему знаменателю получим следующий
числитель:
Р (х, у, z, t) = yzt (у - z) (у - t) (г -1) - xzt (х -z)(x-1) (z-i) +
+ xyt (x — y)(x — t) (y — t) — xyz (x — y)(x — z) (y — z)t
Заметим, что при х — у числитель обращается тождественно в нуль отно-
относительно прочих аргументов:
Р(х, x,z,t) = 0.
Следовательно, числитель делится на разность х—у. Аналогично убе-
убедимся, что числитель делится на все прочие двучленные множители знаме-
знаменателя. Следовательно, Р(х, у, z, t) делится на произведение всех двучлен-
двучленных множителей знаменателя. Частное есть многочлен нулевой степени, т. е.
число. Итак, имеем:
Р (х, у, 2, 0 = К (х — у) (х - z) (х — /) (у — z) (у — /) (z — /).
Для вычисления К положим х = 0, у = I, z = — 1, / = 2. Получим
Р@, 1,-1, 2) = К(—1) • 1 -(—2) • 2 • (—1) • (-3) или —12=/С- 12.
Откуда /С = — 1 и, следовательно, S = — .
xyzt
На примерах 5 и б показан часто встречающийся прием разбиения дроби
на сумму двух дробей более простого вида.
5. Доказать тождество
b — с с — а а — b
{a-b)(a-c) (b — c)(b-a) (c-a)(c-b)
a — b b — с с — а*
Решение. Замечаем, что дроби-слагаемые в левой части получаются
друг из друга круговой перестановкой букв. Преобразуем первое слагаемое,
разбив его на две дроби:
b — с (а — с) + Ф — а) I 1
(а — Ь) (а — с) (а — Ь) {а — с)л а — b a — с
Выполнив круговую перестановку букв, получим:
с — а 1 1
ф—.с) ф — a) b — c b — а1
а — Ь 1] 1
(с — а) (с — Ь) ~с — а с — Ь'
109

Доказываемое тождество устанавливается почленным сложением полу-
полученных тождеств.
6. Вычислить сумму
s= ,\ + , ^ *3, , ... +...+
Х\ \Х\ ~р Х2) \%1 ~Т~ Х2) \Х\ "
х„
... +хп)
Решение. Замечаем, что
(хх + х2 + ... + xk _ j) (х± + х2 + ... + xk)
xk _
... +¦ х) (х±
1
xk_
хг + х2 + • • • + хк_ j х1 + х2-\- ... -\-xk
Положив k = 2, 3,... , п и просуммировав, получим:
1 1
/ 1 1 \ /
\ хг хг+х2 ) [ хх
+ х2 Хг + х2 + х3
I
хх *i + Хо + ... + хп ~ х1(х1-\- х2+ ... + хп) '
В примерах 7, 8 и 9 показано установление равенств, справедливых при
некоторых условиях.
7. Вычислить значение рационального выражения
х14+—— при условии х2-\-х+\=0.
Решение. Заметим, что из условия
х2 + х + 1 =0 следует х4 — = — 1 и х3 = — х2 — х = \.
х
Имеем:
1 1 1 / 1 \2
122+*+ \Х+—} -2 = -1.
= ХХ+= Х+ = \Х+
а:14 х12 • х2 х2 \ х
8. Доказать, что из равенства
J_ J_ J 1
a b с = a + b + c A)
вытекают следующие равенства:
1 +А+ 1
а2п + 1 I ^2п + 1 . С2п +
1 /1 1 1 \2л + 1
=( h + 1
a b с
ПО

Решение. Из условия A) имеем
a b с а + 6+ с
После приведения дробей к общему знаменателю и сложения получим,
приравняв нулю числитель:
(be + са + ab) (а + 6 + с) — abc = 0.
Имеем:
(be + са + ab) (a + b + с) — abc = [с (а + b) + ab] [(а + Ь) + с] — abc =
= с (а + b)* + ab (а + Ь) + с2 (а + Ь) =
= (а + Ь) [с (а + b) + ab + с2] = (а + Ь) (а + с) ф + с) = 0.
Следовательно, должно иметь место хотя бы одно из равенств а = —br
а = —с, 6 = —с. При этом условии подлежащие доказательству равенства
устанавливаются непосредственной проверкой.
9. Доказать, что
a b с
ф _ сJ (с — аJ (а — бJ
при условии
a b
b — с с — а а—Ь
Решение. Докажем следующее тождество:
abc
=-°-
-г
ф — сJ (с —аJ (а —бJ
1 \ / а Ъ /? \
C)
— с с — а а — b t
В самом деле, разность между правой и левой частями C) равна
_1 Г b с I 1 Г с а Л
) — с i с — а а — b \ с — а [ а — b b — с \
Преобразуем первое слагаемое:
1 [ b с "| ab — b2 + с2 — ас
b — с I с — а а — b \ ф — с) (с — а) (а — Ь)
Прочие слагаемые получаются из первого последовательной круговой
перестановкой букв. При круговой перестановке знаменатель дроби не ме-
меняется, а для числителей второго и третьего слагаемых получаются следую
щие выражения:
be — с2 + a2— ab и са — а2 + 6a — cb.
Сумма этих трех числителей, а следовательно, и сумма D) тождествен-
тождественно, равны нулю. Отсюда следует тождество C). Если выполнено условие B),
то имеет место равенство A).
На примерах 10, 11 и 12 показаны искусственные преобразования, рассчи
тайные на использование «специфических» свойств рассматриваемых выраже-
111

10. Представить в виде дроби с двучленными числителем и знаменателем
следующее произведение:
S~(x+tft(x* + y>)(x
Решение. Умножим 5 на х—у:
(х- y)S = i(x
Следовательно,
11. Вычислить сумму
2х — а ( 4**
<j — 1
л;2 — ал; + а2 л;4 —
Решение. Составим
2х + а
л;2 + ах +а2
2л; Bл;2 + а2)
х4 + а2л;2 + «4
»+!/«) . . .(Х-
л; —
— 2а2х
тождества:
2х — а
х2 — ах-\- а2
2х Bл;2 — а2
Х4 _ а2хг +
1/
2
)
а4
Vя-!-2я
2л; Bл;2 +- а-
л;4 + а2х2 +
4л;3 Bл;4 +
Л;8 _|_ а4х4
а )
I JH— 1
л;2
г)
а4 '
а4)
+ а8
После почленного сложения, сократив одинаковые дроби в обеих частях,
получим:
2"*»*-' Bx2
+
12. Доказать тождество:
(л; — Ь) {х — с) (х — с)(х — а) ^ {х — а) (х — b)
(а — Ь) {а — с) ф — с)(Ь — а) ' (C — a)(c — b)
Решение. Допустимыми системами значений аргументов являются
системы чисел х, а, 6, с, взятые при условиях аф Ь> аф с и Ь =fc с. При про-
произвольной допустимой системе значений a, b и с левая часть его многочлен
не выше второй степени относительно х. Левая часть, будучи многочленом
не выше второй степени, при трех различных значениях x = a, х = b и х = с
имеет значение, равное 1. Следовательно, при произвольной допустимой систе-
системе значений аргументов ху a, b и с левая часть равна 1.
В примере 13 показано применение метода математической индукции.
13. Доказать тождество
1+ 1. { ai.+ l j (airt-Л) (+1) [_(Д1
а" аа aaa '"
112

Доказательство методом математической индукции. Предположим,
что доказываемое тождество верно для некоторого /г, докажем, что в этом
предположении оно верно для п + 1. Положим
ал = 1 -+- -f- + . . -i
По предположению
ап+1
ага2 . .. алая+1
Но тогда
"+' "
a,a2...an+I on+2
1) (ai
fa + 1) fa + !)... (Дя+1 + 1) (Дд+2 + 1)
flifl2---VlV2
Итак, формула верна для Sv+\ в предположении, что она верна для 5П.
Но при п ~ \ формула верна:
s = 1 + l + Ql +! -(Qi"
Следовательно, она верна при произвольном натуральном л.
8 С. И. Новоселов

ГЛАВА III
РАДИКАЛЫ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 39. Радикалы над полем действительных чисел
Действие извлечения корня однозначно выполнимо в множе-
множестве всех неотрицательных действительных чисел.
Теорема. Каково бы ни было неотрицательное действитель-
действительное число А, существует единственное неотрицательное действи-
действительное числоху п-я степень которого равна А.
Доказательство. Рассмотрим последовательность п-х
степеней целых неотрицательных чисел:
О, 1", 2я,..., #»,... {?«}
Пусть N > 0 —любое заданное (как угодно большое) число.
Докажем, что при всех достаточно больших значениях k имеет
место неравенство kn > N.
В самом деле, пусть k любое натуральное число, большее 1 и
большее N:
\<k и N<k.
Перемножив почленно эти неравенства, получим N < k2. Пе-
Перемножив почленно последнее неравенство и 1 < k> получим.
N < k3 и т. д. и, наконец, N <kn .
В частности, в последовательности \kn\ существуют числа
большие А. Обозначим через р + 1 наименьшее из этих чисел:
рп<:А<(р+ \)\
Разделим сегмент [р, р + 1] на десять равных частей точками:
Р> Р +—, Р+-^ у •••> Р + L Пусть р + -^-tl наименьшее из.
этих чисел, n-я степень которого больше А\ имеем:
114

Далее делим вновь полученный сегмент на 10 равных частей
и так далее неограниченно. В результате получится действитель-
действительное число ху определяемое десятичной дробью
Его приближенные значения по недостатку и по избытку:
хт = Р>ЯхЯ2-Чт и *?=P><7i<72...(<7m+ 1)
обладают следующим свойством:
(д?)"<Л <(*+)*. A)
По правилу умножения действительных чисел, хп есть един-
единственное действительное число, удовлетворяющее неравенствам:
при всех значениях т.
Сопоставив A) и B), получим хп = Л. Никакого другого не*
отрицательного числа у, п-я степень которого равна Л, не су-
существует. В самом деле, если у < я, то уп<хп (монотонность
умножения), т. е. уп< Л, если же у > х, то уп > Л, ч. т. д.
Определение. Неотрицательное число ху п-я степень которо-
которого равна А.
хп = Л, где Л >0,
называется арифметическим корнем степени п из числа А.
Это число обозначается так:
Натуральное число п называется показателем корня.
Следствие. Если а>0, то согласно определению корня
П Г
у ап -¦= а.
Выражение JV Л, обозначающее результат извлечения корня^
называется также радикалом*.
Действие извлечения корня я-ой степени из числа а можно
толковать как разбиение числа а на п равных между собой со-
сомножителей:
п раз
п / п г п г
а = у а • у а'"-у а •
* Тем же термином «радикал», по сложившейся традиции, называется к
сам символ у .
8' 115

Теорема. Соотношений
п / ^ п г п / п / п / п г
у * <у У > либ<> у х>у У , либо V х = у у
(где л: > 0 и у > 0) имеет место в том и только в том случае,
если числа х и у связаны тем же соотношением, т. е. (соответ-
(соответственно) :
х<СУу либо х > у, либо х = у.
Доказательство. Пусть, например, у х <^у У > тогда
(воспользовавшись законном монотонности умножения), умножив
почленно это неравенство само на себя п раз, получим
.п /
(V
[ у) *т*е*х<у'
Аналогично:
если
и если у х = у у ,то х --= у.
Следовательно, числа х и у связаны тем же соотношением, что
п/ п/
и числа у х и у у .
Полученное условие является и достаточным. В самом деле,
п/—¦ пг
пусть, например, х < у, тогда, допустив что у х > у у, мы по-
получили бы следствие х > у, противоречащее условию. Следова-
п/ п/
тельно, числа у х и у у связаны тем же соотношением, что и
числа х и у, ч. т. д.
Эта теорема позволяет устанавливать свойства действия из-
извлечения корня путем проверки.
Ниже изложены теоремы, на основании которых выполняются
тождественные преобразования арифметических корней. В учеб-
«ой литературе эти теоремы называют правилами действий Had
радикалами.
I. Правило извлечения корня из произведения: корень
из произведения равен произведению корней той же степени из
каждого сомножителя:
Доказательство. Разбив каждое из чисел аь а2, ...,
116

на п равных сомножителей и перемножив, получим
п раз
а2
1- у7~ ах . . !\/~ аг
п г п/ п г
у а2 • у а2 . . .у а2
п/ пг п г
Сгруппировав сомножители по столбцам, представим аи й2, ..., ап
в виде произведения п равных сомножителей:
аь а2,..., ak -
откуда следует равенство (I), ч. т. д.
Правило I можно доказать проверкой, путем возведения обе-
обеих частей в п-ю степень:
, а2)..., ak У = аи а2, ...,ak (по определению корня)
У<*1 Va2 • • • Vak У= {Vai )" {Vй* У - • • {Vak У^ага2...а
(возведение в степень произведения).
Правило I можно сформулировать иначе: произведение кор-
корней данной степени равно корню той же степени из произведе-
произведения подкоренных чисел:
пг пг~ п/ * п/
У п1 У а2 • • • У пк = У ^1а2--'ак-
II. Правило извлечения корня из дроби. Корень из ча-
частного равен корню той же степени из числителя, деленному на
корень из знаменателя:
Доказательство. Имеем:
п/ пг п/ / п/ \п
а -{/ а у а ,..у а [\ а \
У а п Г а
откуда = ¦/ —-, ч. т. д.
ут V b
Правило II можно сформулировать иначе: частное корней дан-
данной степени равно корню той же степени из частного подкорен-
ных чисел.
117

III. Правило возведения корня в степень. При возве-
возведении корня в степень достаточно возвести в степень подкорен-
подкоренное число:
= f^. (in)
Доказательство. Применим правило (I), положив:
п\ = а2 = ... = ak = a.
V. Теорема об извлечении корня из степени. Для
извлечения корня из k -й степени числа а достаточно возвести в
я-ю степень корень из а:
Это правило является лишь иной словесной формулировкой
предыдущего правила.
V. Правило вынесения множителя за знак радика-
радикала. Так называется следующее тождество:
у. (V)
Доказательство.
п/ ~~ п/ п/~~ п/~~~1
у апЪ = yanyb=ayb.
VI. Правило введения множителя под знак радика-
радикала:
а }/гТ=у/^Ь. (VI)
Это правило является лишь иной записью предыдущего тож-
тождества.
Кратко правило V и VI можно формулировать так: при выне-
вынесении за знак корня множителя из него извлекается корень,
при введении под знак корня множителя он возводится в сте-
степень, равную показателю корня,
VII. Правило извлечения корня из корня. При извле-
извлечении корня из корня можно перемножить показатели корней,
оставив без изменения подкоренное число:
(VH)
Доказательство. Обозначим у л/~а = а, число а мож-
можно получить путем следующих двух последовательных разбие-
разбиений: сперва число а разбивается и a k равных сомножителей
k I—
у а , а затем каждый из этих сомножителей разбивается на п
И8

сомножителей, равных а= у(г/~а)
У а
а =(*)
(п)
а-а.а...а
а-а-а...а
а -
a.a-а...а
Таким образом, число а разбивается на nk сомножителей, рав-
равных а, и, следовательно,
а ==
а =
а,
ч. т. д.
Равенство (VII) можно доказать также проверкой путем воз-
возведения обеих его частей в степень nk.
VIII. Правило умножения показателя степени и по-
показателя корня* Величина корня не изменяется, если пока-
показатель корня умножить на произвольное натуральное число k,
а подкоренное число возвести в ту же степень k:
|ЛГ=у^Г (VIII)
Доказательство. Имеем (по предыдущему правилу):
nk' п г 7 п г
у ak - у у^Г = у а, q т ^
Иначе правило VIII формулируют так: показатель степени
и показатель корня можно сократить на общий множитель.
IX. Правило приведения радикалов к общему пока-
показателю. Радикалы (взятые в любом числе) можно заменить
соответственно равными радикалами с общим показателем
корня.
Доказательство. Пусть
— данные радикалы, п — общее кратное показателей, a du d2, ...,
uk — соответствующие дополнительные множители:
п = пхйъ п = n2d2,..., п = nkdk%
Воспользовавшись правилом VIII, можно заменить данные
радикалы соответственно равными радикалами с общим показа-
показателем корня:
.т.д.
119

X. Правило сравнения радикалов. Чтобы установить,
какое из чисел ТА А или у^ В является большим, достаточно
установить, которое из чисел Ап или Вт являртся большим.
Доказательство. По приведении радикалов к общему
показателю, получим:
тп/ пт/
у Ап и у Вт ,
следовательно, достаточно сравнить между собой подкорен-
подкоренные числа, ч. т. д. _
Так, например, у 3> у 2, так как З2 > 23.
Для радикалов, не являющихся арифметическими, свойства
I—X имеют место не во всех случаях.
Четная степень всякого действительного числа неотрицатель-
неотрицательна, поэтому в поле действительных чисел уравнение
x2k = а, где а < О
не имеет решений. Следовательно, действие извлечения корня
четной степени из отрицательных чисел невыполнимо в поле дей-
2k /~ —
ствительных чисел, а потому символ у а при а < 0 не имеет
смысла (в поле действительных чисел).
Теорема. В поле действительных чисел однозначно выполни-
выполнимо действие извлечения корня нечетной степени. При этом
2k+\/
У — а = — у а .
Доказательство. Пусть а — произвольное данное не-
неотрицательное число, а> 0, как доказано выше, действие
извлечения корня однозначно выполнимо в множестве всех
неотрицательных чисел, т. е. уравнение
x2k+i = а A)
в множестве всех неотрицательных чисел имеет единственное
решение х = уа • Так как при х < 0 уравнение A) не
2А-М У
удовлетворяется (левая часть отрицательна), то у а явля-
является единственным решением этого уравнения и в поле всех
действительных чисел.
Рассмотрим уравнение
x2k+l =-а
с отрицательной правой частью. Очевидно, что решениел*
этого уравнения может быть лишь отрицательное число х < 0.
Так как
= а, откуда | *|=
120

2k+\ /
Из условия х < 0 получим х = — у а .
В самом деле,
Bk+\/ \2ft+l
= — (^ у a J = — а,
— 243 =-3, У^2=-
ч. т. д
Извлечение корня нечетной степени из отрицательного числа
— а можно толковать как разбиение этого числа на 2k + 1 рав-
равных между собой отрицательных сомножителей:
Bft-H) раз
2ft + l/ \ / 2ft+l/ \ ,
Уа)Л- Vй )••-[-
Если а и b два отрицательные числа и а < 6, то и
+1/ ^ 2Л+1/"Т~
f fl < У & •
В самом деле,
2ft+ 1/ 2ft+l/"— 2ft+l/"— 2ft+l/" —
но \a\ > |Ь|, а потому и
|а|> ]/ |6|, откуда— у |а|<— у |6|, т. е.
2ft+l/- 2Л+1/
V а < у 6 .
Доказательства правил I—X действий над радикалами оста-
остаются в силе применительно к радикалам с нечетными показате-
показателями корня при произвольных действительных
подкоренных числах, значит, остаются в силе и сами эти правила.
При применении этих правил надо следить за тем, чтобы при
отрицательных подкоренных числах показатели корней
были всегда нечетными. Так например, при а < 0 равенство
пк/ п /
у ak = у а
справедливо, если п и k — нечетные числа.
Например:
При применении правила IX приведения радикалов к общему
показателю в качестве общего кратного показателей следуетг
брать нечетное число. Так, например,
121

Для радикалов с произвольными натуральными показателя-
показателями и при произвольных действительных подкоренных числах
правила действий имеют место не во всех случаях и могут при-
применяться лишь с указанными ниже коррективами.
Основное тождество
п /
ап = ау
справедливое при а ^> 0, остается в силе при произвольном
а, если п = 2k + 1 — нечетное число.
В случае четного п = 2k, имеем a2k = \a\2k, а потому:
а, если а ^> U,
aZR = г/ |аа* = \а\ = <; ^ Л
— а, если а<0.
Так, например,
= 2.
Правила I и II при отрицательных подкоренных чис-
числах и при четном показателе корня места не имеют. Так,
например, равенство
V~& = VTVT
*fte имеет места, если хотя бы одно из чисел а или Ь отрицатель-
отрицательно, ибо тогда соответствующий радикал в правой части, а зна-
значит, и правая часть, теряют смысл.
Если а < 0 и b <; 0, то ab > 0; в этом случае
Если же а и b разных знаков, то и левая часть теряет смысл.
Правила III и IV
(п / \k п/—~
[у а ) = у ak
при а < 0 и при четном п места не имеют, так как у а те-
теряет смысл.
Правило V вынесения множителя за знак радикала при чет-
четном п = 2k и произвольном а применяется в следую-
следующем виде:
12k/
a v b , если а ^ 0,
— а у b , если а < 0.
Так, например,
|— 2J3 = 2
И22

Правило VI введения множителя под знак радикала чет-
четной степени применяется в следующем виде:
2пг— \ |^a2/lfc , если а>0,
ал/ h = » о •
Так, например,
о
Правило VII извлечения корня из корня при а<0 неприме-
неприменимо, если хотя бы одно из чисел п или k четно, так как з этом
случае выражения 1/ -¦/а и т/^а оба теряют смысл.
Правило VIII у а—уак при а<0 и при четном п
места не имеет, так как у а теряет смысл. При четном
k = 2т правая часть смысла не теряет и ее преобразование вы-
выполняется следующим образом:
от /¦¦
а, если а>-0,
п
2тп
у —а
у если
Так, например,
/(=2?=
При ^ нечетном, й четном и а<0 правило места не имеет,
так как у а < 0, но а* > 0 и }/ а* > 0.
Так, например,
J/_2<0, но {/г(_2)*--6/4
§ 40. Преобразование выражений, содержащих радикалы
Определение.Выражение, составленное из чисел (обозначен-
(обозначенных буквами или цифрами) при помощи алгебраических дейст-
действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в
степень и извлечение корня), называется алгебраическим выра-
выражением.
Алгебраическое выражение называется выражением, содер-
содержащим радикалы, если оно содержит символы (один или несколь-
несколько) извлечения корня.
Алгебраическое выражение, содержащее действие извлече-
извлечения корня из выражений, в которые входят аргументы, называет-
называется иррациональным относительно данных аргументов.
123

Мы рассматриваем алгебраические выражения по внешне-
м у виду. Не исключена возможность, что иррациональное выра-
выражение окажется тождественным некоторому рациональному вы-
выражению. Так, например, выражение у (х2+IJ—1, данное
s иррациональном виде, тождественно рациональному выраже-
выражению х2.
Примерами числовых и буквенных выражений, содержащих
радикалы, могут служить:
/I-
Тождественные преобразования выражений, содержащих
радикалы, выполняются на основании общих законов арифмети-
арифметических действий и правил действий над радикалами. В предыду-
предыдущем параграфе перечислены эти правила и указаны условия их
применимости.
Ниже указаны наиболее часто встречающиеся тождествен-
тождественные преобразования, которыми обычно пользуются при выполне-
выполнении различных преобразований выражений, содержащих радика-
радикалы. Для определенности будем предполагать радикалы арифме-
арифметическими, в соответствии с этим буквы, содержащиеся под ра-
радикалами, обозначают неотрицательные числа. Для радикалов,
не являющихся арифметическими, следует учитывать указания,
данные в предыдущем параграфе.
1°. Упрощение радикалов вида у XmYn...Zp+
Разделив с остатком числа т, пу ..., р на k> получим:
т = qk+ и% п = rk -ь vy... , р = sk+ w и
V XmYn...Zp = ¦prxqkXuYrkYz>.. ZskZw =
^XqYr...Zs V XUYV---ZW ,
где и, v, ..., w — неотрицательные числа меньше k.
2°. Упрощение радикалов вида
k f
ут уп
Л -^4г, где Z Ф 0, ..., Т ф О.
Умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения
на Zk~p ... Тк~я . Имеем:
Xm Yn
•у tTl -к/П yh—p rpk—Q
124

3°. Возведение в степень радикала.
При k < п имеем:
!]/" xf"+k = X2]fxk и в общем виде
(Ух)"*" = п
4°. В силу закона дистрибутивности:
ах n/Y+ a2 YY+ ... + ak J/ЗГ- (аг + а2+ ...+
Это преобразование в учебной литературе называется при-
приведением подобных радикалов.
5°. При умножении (делении) радикалов с различными пока-
показателями можно пользоваться правилами I и II умножения и де-
деления радикалов (см. предыдущий параграф), предварительно
приведя данные радикалы к общему показателю:
и аналогично:
у
?лут(я—1)
6°. Из 3° следует, что всякий многочлен от радикала n-й сте-
степени может быть представлен в виде многочлена степени не
выше, чем п— 1, от того же радикала. В самом деле, если в вы-
выражении
F (X) — а0 + ахх -+- а2^ + ... + а„х + ал+1 х ^ + ...
сделать подстановку х — у X и воспользоваться преобразова-
преобразованием 3° для членов степени большей п, то получим:
Р ("/F) =-- К + апХ + а2а X2 +...)+ (а, + ап+1 X + ...)f
7°. Формула преобразования «сложного» квад-
квадратного радикала. Так называется следующая формула:
где А > О, В > 0 и Л2 > В, а знаки берутся либо верхние, либо
нижние.
125

Доказательство. Положим:
Возведя в квадрат, получим:
х2 = 2А 4- 2 у А2 —В, откуда х = у 2А + 2
Следовательно,
— • B)
Аналогично найдем:
после почленного сложения и вычитания получим формулу A),
ч. т. д.
Примеры
1. Упростить выражение
Р = BУ~8~+зУ~5~ — 7 УТ Ч(У 7i~—5У7о~-2У~2~).
Решение. Так как
]/~8~ = У^з~= 2 У~2~; У 72 =
= 2
то
2 У 8 +2>V~b—lV 2 =3<УГ~5~ — У 2 )
и
У 72 — 5У20~— 2 У~2~:= 2 B У 2 — 5 У "б").
Р =_6 ( УТ" — У 2 ) B У^Г-- 5 _/Т") =
= 6 <2 У 5 У2-2У2 У 2 -Ъ_У 5 Уб Л-^У^У 5 ) =
= 6 G У10 —29).
2. Установить, какое из чисел 2 т/ з -/^15" или 1/ 30 +у 3 является
большим.
Решение. Оба числа положительны, так как
8>У15, ибо 82>15.
Пусть
2 V 8 —УТбГ v Узо"+ V з,
где V означает неизвестный знак >, <, =; возвысив обе части в квадрат,,
получим:
4 (8 - J/Тб") V 30 + 2 |/з(Г |ЛТ + /~IT
J26

откуда
Так как левая часть последнего соотношения (эквивалентного данному) отри
цательна, а правая положительна, то знак V обозначает <, следовательно.
3. Преобразовать произведение
X
X
V°—
Решение. Все подкоренные выражения положительны, чтобы в
убедиться, достаточно проверить, что
2>V
возведя в квадрат, получим:
возведя в квадрат вторично, получим верное соотношение
2 > 1Лз*.
Произведение третьего и четвертого множителей равно
Умножив на второй сомножитель, получим произведение
и, наконец,
4. Представить т/ g
I/9 V %
V z — у о
\ + VT ¦ К2-УТ
ii/3^1]-i/2" в виДе AV*
рациональные числа.
Решение. Примем во внимание следующее положение* если при раци-
рациональных- коэффициентах т, ть /г, пх имеет место равенстве»
т VY + п V 3 = тг У~Т + пх VX A>
то т == mi и /г = п\. В самом деле, если /п = Ш! то из A) следует, что п = nh
* В данном случае доказательство неравенства проверкой возможно, так
как числа, возводимые в квадрат, положительны.
127

и аналогично, если п — nh то т = гп\. Допустим, что гафт^ и пфПи тогда
из A) получим:
ут
2
последнее невозможно, так как —- не является точным квадратом (см. ни-
ниже § 41).
Применим метод неопределенных коэффициентов. Если
з / zz: —
V 9 "У 3 — 11 У 2 = А П +BV 3, B)
то, возведя обе части в куб, получим:
9 УГ — 11 У 2 = 2Л3У 2 +6Л2Б У~3~ 4-9ЛБ? У ~2~ -f ЗБ3 Уз. C)
При рациональных Л и Б это возможно, если система уравнений
2Л*Б + ~"
имеет рациональное решение. Непосредственным подбором находим следую-
следующее рациональное решение Л = —1, В = 1. При этих значениях коэффи-
коэффициентов имеет место равенство C), но если равны кубы, то равны и основа-
основания; следовательно, из равенства C) следует B). Итак, имеем:
ЗА
У 9 У
5. Доказать равенство
3 /~5~РЕ
-& s г-^ 5 /-т 5 AT 5 AT
Решение. Упростим левую и правую части доказываемого равенства:
левая часть равна
правая часть равна
Достаточно доказать, что
вычисляем левую часть, имеем последовательно (можно воспользоваться
формулой куба трехчлена, стр. 62):
5/~Т - 5/Т~J= 1 + 5/Т + {/~зГ+ 2 \ГТ-
2
- 2 |/Т"= 1 + 2 {/Г - j/T- 2 {/IT +
128

X
-2Узз
5/34
1+2
ут
5 r~
V
5 Г
-2 J/^Г -f
+6-3 {/Т
10 - 5 у З3 = 5 B
6. Упростить выражение
30
Г П + 4У 2.
Решение. Применяем последовательно формулу преобразования слож-
сложного радикала.
S "" К 13 + 30 ( V 2 + 1) = V 43 + 30 V 2 = 1/ "
7. Преобразовать, пользуясь формулой сложного радикала, выражение
vt+ 2 ут
Положив А = 4V 2, В=24, получим:
*У1
8. Доказать, что при /г>2 имеет место неравенство
у п > у п+ 1.
9 С. И. Новоселов
129

Р ° ш е н и е. Достаточно доказать, что яп+' >(л+1)"
или что
п ^ п \ п
Имеем:
1 / ) \п 3
— I I -f- 1 < — ^С 1 (см. ниже, стр. 215), если п ;> 3, ч. т. д.
п \ к I п
В примерах 9—13 показаны преобразования буквенных выражений, со-
содержащих радикалы
9. Преобразовать
г~
—aW\/
где а, 6, с и d положительны.
Решение.
у (а2су
ас2
4 А ] y
а2с ас2 а2с
(правила V и II предыдущего параграфа)
: а2с У 3d + 4а°~с У 3d — а2с УзёГ= {а2с + АаЧ — а2с) УзсГ= 4а*сУгсГ
(дистрибутивность1!.
10. Преобразовать:
d2
5
5 / a*b* \ Dа2 ah23 Г ah\
\/ —)¦¦[--ту щ=
(правило
6а2Ь2
d
15
6a2b*
/5 /"^ 3 г^\
I "I/ : 1/ — I = (свойства умножения и деления)
\V ci V cdi
у Ы : у Ы = (правило 1х)
ra*b*c*d™ 6a2b* ХЪ Гabd^
(правило И)
130

11. Упростить выражение:
л3—З/i+(н2— 1)V я2— 4 —2
я3 — Зя + (л2 — 1) V я2 — 4 + 2
Решение. Радикал -у/ п2—4 имеет действительное значение, если
п2>4, откуда /г>2 или я<С—2. Преобразуем отдельно числитель и знаме-
знаменатель; числитель равен
/гз_зп —2+ (я2 — 1) V я2 —4 = (я -f 1J<я — 2L- (я2 — \)у я2—4;
знаменатель равен
р
_ зя + 2 + (я2 — 1) |Лг? — 4 = (я — IJ (я 1-2) -'- (я2 — 1) Уп2 — 4
При /г> 2 имеем:
У п2 - 4 = У я + 2 У /? — 2
п — 2 = 1/(я — 2J и я + 2 = У" (я + 2J
Следовательно,
(я + 1) Уп — 2 [(я + 1)УОг — 2 + (п — 1) "К/г + 2 ]
(/г-1) Уп +2 [(я - 1)У^я + 2 4- (я + \)У п-2 ]
_я+1 / л
~ п — 1 ^ я
/г —2
+ 2
При п < —2 (значение я = —2 исключается как обращающее в 0 знаме-
знаменатель) соотношения A) должны быть заменены следующим:
Уп* - 4 = У | п + 2 | |/~ | я - 2 | ;
Л_2 = -|/7-?| = - A/ | я - 2 | J; я + 2 - -
Следовательно,
/г + 2 | J.
(/I + 1) У\п - 2[[ - (я + 1) У\п - 2[ + (я - \)У\п + 2|]
(/г-1) У\п + 2| |- (/2 - 1) У\п + 2| + (я 4-1) ~|/|я - 2| ]
я+ 1
я— 1
я —2
_," + 1 л/«~2 __/г + 1 л[2-п
п—\ у п + 2 п — \ у —п—2
12 Для сравнения преобразуем выражение (см. пример 9):
— аЧ* 1/ —-,
^/ а*с2
не ставя никаких дополнительных условий.
Каждое из слагаемых имеет вполне определенное действительное значе-
значение, если а^О, с^=0 и d>0, при этих условиях имеем:
1
= — \а*с*\ У 3d + — 2|а3
\с\-а*\ с
3d
9*
131

Так как
то
а при а > 0
— а при а<0
4а2с V3d, если
— 4a2c\^3d, если
— 2а2с V3d, если
если
а >0,
а<0,
а>0,
а<0,
с при
спри
с > О
с > О
О О
с<0,
13. Преобразовать
Q=
2Ь Vx2 — 1
где а>0, &>0.
Решение. Вычисляем
4аЬ
Выполнив подстановку, получим
2Ь
\а-Ь\
2b\a —
2b I a — b I
Ho
поэтому
(a + 6) — | a — b |
_ (a — b (при a
- \b ^
a
O— J b
— ^ (при а ^ b)
(b —a) (при a < 6).
Выполнить данное преобразование, если а < 0, ? < 0. При этих условиях
a b
радикалы также действительны, так как выражения —~, и ab не меня-
меняются при замене чисел а и b противоположными. В данном случае будем
иметь:
132

Следовательно,
п = 2b\a — b\ ( __ — (а — Ь) при а > b
i-a-b)~\a~b\ | а
Сопряженные множители
Пусть S — данное выражение, содержащее радикалы.
Определение. Сопряженным множителем относительно S
называется всякое выражение М, неравное тождественно нулю,
такое, что произведение SM не содержит радикалов.
Выражение 5 можно рассматривать как сопряженный мно-
множитель для выражения М.
Вопрос об отыскании сопряженных множителей в общем ви-
виде рассматривается в курсе «Высшей алгебры», в теории симмет-
симметрических функций *. В элементарной алгебре устанавливаются
приемы нахождения сопряженных множителей лишь для част-
частного вида выражений, содержащих радикалы.
1. Для выражения
5 -
где р, q и г — натуральные числа, меньшие п, достаточно поло-
положить
М — у vn—p уп~~й Zn~~r
В самом деле,
2. Для выражения
сопряженный множитель определяется на основании тождества
хп-уп=(х-у)(хп-1 +хп-2у+хп-3 у2+... + уп->).
Положив х = |/ X у у = ]/ Y
и
М = У хп~х + Vxn~2 Y + У Хп~г У2 + .. . + У Yn
получим
В частности (при п = 2), для выражения S = yX—yY до.
* См., например, книгу проф. А. К. С у ш к е в и ч а, Основы высшей ал-
алгебры, учебник для университетов.
133

статочно положить М = у Х+у У:
sm = (УТ- УТ) (\Пс + УТ) = х - y.
Для выражения
S — у X — у Y достаточно положить М = у X2 + у XY
3. Для S = у Х~\~у Y сопряженный множитель находится
на основании тождества
(знак + при п нечетном, — при п четном).
Так, например, для у Х-\-у Y следует положить:
М =
4. Нахождение сопряженных множителей
для выражений, содержащих квадратные ра-
радикалы.
Всякий многочлен от квадратного радикала у X можно пред-
представить в виде:
р (УТ) = рг (X) 4- р2 (X) /У,
где Pi и Р2 многочлены* относительно X (см. п. 6°, стр. 125).
В качестве сопряженного множителя можно взять выражение
так как
Р (У Y) М = Р\ (X) — Р\ (X) X.
Рассмотрим общий случай, когда выражение S является мно-
многочленом от нескольких квадратных радикалов:
где Р(х, у, ..., z) есть многочлен от аргументов х, у, ..., z. Нахож-
Нахождение сопряженного множителя можно выполнить последова-
последовательным применением изложенного приема. Будем рассматри-
* Коэффициенты многочлена могут быть рациональными функциями от
аргументов, содержащихся в выражении X.
134

вать'Р(х, у, ..., z) как многочлен от аргумента х, в соответст-
соответствии с этим представим S в следующем виде:
s = p1 + p2 )/~Ty
где Pi и P<i суть многочлены от X и от прочих радикалов. Поло-
Положив Mx = Pi—Р2у X, получим выражение:
SMx = Р\ — Р\ХУ
не содержащее радикала у X и являющееся многочленом отно-
относительно прочих радикалов. Для полученного выражения можно
(в силу изложенного) найти множитель Му такой, что
SMxMy
не содержит радикалов у X и у У и является многочленом от-
относительно прочих радикалов. Применяя это рассуждение по-
последовательно к прочим радикалам, окончательно получим выра-
выражение
SMxM
y ...
не содержащее радикалов.
Достаточно положить
М = МхМу ...Мг.
5. Преобразование дробных выражений, со-
содержащих радикалы. Дробным выражением, содержащим
радикалы, будем называть выражение вида S = —L , где хотя бы
одно из выражений Si или S2 содержит радикалы. Знание со-
сопряженных множителей позволяет освобождать от радикалов
числитель, либо знаменатель выражения S. Если М2 сопряжен-
сопряженный множитель знаменателя, то имеет место равенство
S2MZ
(разумеется при условии М2^0). Правая часть последнего есть
выражение, не содержащее радикалов в знаменателе. Аналогич-
Аналогично, если Mi есть сопряженный множитель числителя, то
и, следовательно, S представлено в виде выражения, не содер-
содержащего радикалов в числителе.
Примеры
1. Освободить от иррациональности знаменатель
1
а-уТ
135

Решение.
! an-l+an-2y—+^+ybn-l
п г ( п / \ / л г пг \
а—у/ b [а—у b)[an-l + an-2y Ь т . . . +у Ьп~х )
ал-1+а л-2 y ь + .. + Y ъп~х
ап-Ь
2. Перенести иррациональность из числителя в знаменатель
у а —у а а —у а2
а—\ (а— 1) I у а
з /—~
- а
(а-1)(/Г +
а3
(а-1)(/Т + ^
V")
— а2
^") (а
(а»--1
а
- а
'у7
(]/ 7 +1/7) (а + у^ а- у~)
3. Найти сопряженный множитель для выражения
Решение. Умножив данное выражение на М1 = у/"А-\-л/~~В V~C,
получим
[VT + VT + VT) [VT+VT- V^) = ("Кл" + V в") 2-с=
Умножив полученное произведение на М2 = Л + В — С — 2угАВ полу-
получим в произведении рациональное выражение
(Л 4- Б —СJ —4ЛБ.
Следовательно, можно положить
М = МХМ2 = (V^~+ V"^" — V^L^) (^ + В — С — 2
4. Освободить знаменатель дроби
1
з /— , з г—, з
от радикалов.
Решение. Воспользуемся тождеством (см. стр. 86)
(x + y + z) (х2 + у2 + z2 — *«/ — уг — xz) = х3 + t/3 + z^ — Ъхуг\
136

положим:
3
X :
3 / 3 г— 3 /
= У а> У= у b> 2= у С.
Умножив числитель и знаменатель на
3 /—~ . 3 АТТ" , 3 /—Г~ 3/—Г 3 AT— 3/ Г~
У а ~т У ^ -г у сг — у CLO — у ос — у ао,
получим:
+ j/b+ |/T (a + b + c) - 3 ^/^7
Для окончательного освобождения знаменателя от радикалов следует ум-
умножить числитель и знаменатель на
(а + Ь + cf + 3 У~аЬс (а + b + с) + 9 У
5. Найти сопряженный множитель для выражения вида
Решение. Применим метод неопределенных коэффициентов.
Умножим данное выражение на выражение того же вида с неопреде-
неопределенными коэффициентами Л, Б и С:
(a + b \TT+cyifi) (Л + В|/"Т+ Cyifi) =
---- (аА -4- kcB + kbC) + FЛ + аВ + 6сС) ^ k +
+ (сЛ + 6Б + аС)
В качестве коэффициентов Л, Б и С можно взять любое нетриви-
нетривиальное решение линейной однородной системы:
сЛ 4- Ь/3 + аС = О
если только аА + &сБ + kbC ф 0.
Так, например, для выражения:
ищем коэффициенты сопряженного множителя из системы
д _|_ g _[_ 4С = 0\
2Л+ Б+ С-- 0/ ;
откуда
Л Б С
— 3 ~~ 7 ~ — 1 '
Следовательно, можно положить Л = 3, Б = —7, С = 1.
Так как aA + kcB + kcC = —21 ф 0. то в качестве сопряженного множи-
множителя можно взять выражение
137

Изложенный метод неопределенных коэффициентов применим к отыска-
отысканию сопряженных множителей для выражений вида:
«o + fli \/k+a2 у k2 + . . . +ап_Л/Г kn-\ .
§ 41. Извлечение корня из чисел
В настоящем параграфе будет рассматриваться извлечение
корня из положительных чисел, таким образом, все радикалы
будут предполагаться арифметическими.
Теорема. Если натуральное число N не является п-й сте-
степенью никакого натурального числа, то У N есть иррациональ-
иррациональное число.
Доказательство. По условию число N не содержится в
последовательности
О", 1", 2я, 3*,...,?*,... {kn}
п-х степеней целых неотрицательных чисел, следовательно, у N
не может быть целым числом. Докажем, что у Мне может быть
дробным числом. Допустим, что у N = —, где р и gвзаимно
простые числа и q т= 1, но тогда
Последнее равенство невозможно, так как рп и qn также вза-
взаимно просты и qn=?\, а потому (вопреки условию) N не может
быть целым числом. Будучи числом действительным, у N не яв-
является ни целым, ни дробным, следовательно, у N есть ирра-
иррациональное число, ч. т. д.
Теорема. Если числитель и знаменатель несократимой дроби
Р
— (где Q?= 1) не являются (каждый) точными п-ми степенями,
тоЛ/ —есть иррациональное число*.
Доказательство. Допустим, что 1/ — естьрациональ-
V Q
ное число:
* «Точная /1-я степень», значит, n-я степень некоторого натурального
числа.
138

где р и q взаимно простые числа, тогда
_Р_ _ рп
Q " яп
Так как рп и ^"также взаимно просты, то Р = рп и Q=qn, т. е.
(вопреки предположению) Р и Q суть также n-ые степени.
/"""
,]/ —
/я
Следовательно,]/ —есть иррациональное число, ч. т. д.
Если действительное число а не является точной п-й сте-
степенью натурального числа, то в последовательности [kn] найдет-
найдется наибольшее число kn меньшее а:
Определение. Число k называется значением у а с точ-
точностью до 1 по недостатку, a k+l значением у N с точностью
до 1 по избытку, если kn<^ a< (k + \)п.
Имеем
Обозначим через N целую часть числа а:
а = N + р, где 0 < р < 1^
Правило. Для нахождения значения у си с точностью до 1
(по недостатку или по избытку) достаточно найти значение кор-
корня п-й степени с точностью до 1 из целой части числа а.
Доказательство. Пусть k значение у N по недостатку
с точностью до 1:
(случай, когда N есть точная п-я степень, не исключается).
Так как
(равенство при k = 0)
и 0 << C<М, то &"^Л/ + [3 <<(& + 1)",
откуда
& < у N + Э <^ f 1; т.е. &< у а <fe + 1.
Следовательно, й и k+l суть значения корня с точностью
до 1 и для числа а, ч. т. д.
Определение. Число г называется значением у си по недо-
недостатку с точностью до —, если имеют место неравенства:
m
~<г+ —
пг
139

Число r-\— называется приближенным значением i/ а по
избытку с той же точностью.
Правило. Для нахождения приближенного значения у а с
точностью до — достаточно найти значение корня п-й степени
m
с точностью до 1 из числа afnn и результат разделить на т.
Доказательство. Пусть
тогда K^/KHl H^</
о k k , I
Следовательно, r = —и 1 суть искомые приближенные
m m m
значения корня, ч. т. д.
Из изложенных правил следует, что на практике для вычис-
вычисления корней из чисел с заданной степенью точности достаточно
уметь находить корни из натуральных чисел с точностью до I.
Правило извлечения квадратного корня с точностью до I
из натуральных чисел подробно излагается б школьном курсе
алгебры (см., например, учебник алгебры А. П. Киселева). Для
извлечения корней более высокой степени (а также и квадрат-
квадратных) пользуются различными средствами: непосредственными
испытаниями (см. пример 2), таблицами степеней натуральных
чисел, логарифмическими таблицами.
Для извлечения корней из чисел, близких к I, применяется
следующая приближенная формула
+ *^l+ -^-, где |<х|< I. (I)
Установим оценку погрешности этой формулы, считая а>0.
Имеем:
( )
140

Итак, при а>0 формула дает значение корня с избытком с
точностью большей, чем а2 *.
Для квадратного корня оценку погрешности легко уточнить:
„2
Для вычисления дробного числового выражения, содержа-
содержащего рациональные числа и числовые радикалы, удобно заме-
заменить это выражение выражением, имеющим рациональный зна-
знаменатель, так как действие деления на рациональное число вы-
выполняется без затруднений.
Примеры
з /
1. Числа у 2 , у 3 , т/ 11 , |/ иррациональны.
3 г-
2. Вычислить у 72351 с точностью до 1.
Решение. Применяем непосредственно метод испытаний. Так как
103< 72351 < 1003,
то искомый корень есть двузначное число. Испытываем число 50, имеем
E0K = 125 000, следовательно, искомый корень меньше 50. Испытываем
число 40; имеем: 403 = 64 000, и, следовательно,
403< 72351 < 503.
Так как 413 = 68 921 и 423 = 74088, то 41 < у /2351 < 42.
3. Найти у 2,5с точностью до 0,1. Здесь а = 2,5, п = 2, т = Ю.
атп = 250 и 152 < 250 < 162.
Искомые приближенные значения суть 1,5 и 1,6.
5/
4. Вычислить с точностью до 0,001 корень у 2^5.
Решение. Имеем: 245 = 243 + 2 = З5 + 2.
Следовательно,
6/2i5 = 3l6/l + - ~
зб
2
Применим формулу A), положив а = -^г*
с ошибкой меньшей, чем
1
5. Вычислить —— — с точностью до 0,001.
/5+/2
* В курсе анализа, в теории рядов, дается более точная оценка погреш-
погрешности.
14J

Решение. Умножив числитель и знаменатель на у 5—у 2 , получим:
[ __УТ-УТ __ 2,2361-1,4142 _^о ^
^Т + "/Т 5-2 3
(с точностью до 0,001).
§ 42. Извлечение корня методом последовательных приближений
Рассмотрим функцию
т — \ N
f() +
т тхт-1
в интервале 0<#<^оо, где N>0 — данное положительное
число, т — данное натуральное число.
Теорема. В интервале 0 < х < оо наименьшее значение
функции f(x) равно y/~N при значении аргумента x=yrJJ.
Доказательство. Представим f(x) в виде суммы двух
слагаемых
пг~ 1 N
(/+V, где U= x,V = .
m m*
Произведение
Um~lV = (m~1)m~1 N = const
постоянно. Следовательно (см. ниже стр. 227 § 60), сумма
f(x) = U+V имеет наименьшее значение при условии
U V х N
= — , откуда — = и х =
т— 1 1 т тхт—\
Наименьшее значение функции f(x) равно:
График функции f(x) при т = 3 и N = 2 представлен на чер-
чертеже 11.
Другое доказательство. Вычислим производную:
г// ч т— 1 т— 1 N __ m — 1 хт — N
т т хт т хт
Из выражения для производной видно, что f'(x)<^0 в интервале
0<л:< у N, в этом интервале функция f(x) убывает f'(x) >0
в интервалеу N <^х<оо, в этом интервале функция возрастает;
f'(x)=O при х=у N, при этом значении аргумента функция
т/
имеет наименьшее значение, равное у N , ч. т. д.
142

Если аргументу х придать произвольное положительное зна-
чение а ^у N , то соответствующее значение функции будет
больше, чем наименьшее ее значение, равное у N.
Докажем, что при произвольном значении аргумента, ббль-
шем чем у N, имеет ме-
место неравенство:
/(*)<*. 0)
В самом деле
г / \ Ttl — 1
х — f(x) ~х х —
пг
N
шх тпх
откуда f(x) <x.
Изученные свойства
функции f(x) позволяют
выполнять приближенное
извлечение корня произ-
произвольной степени из чисел
с любой заданной сте-
степенью точности. Этот спо-
способ приближенного извле- Черт. И
чения корня удобен при
вычислениях на арифмо-
арифмометре.
Пусть а произвольное положительное число, выбранное по
возможности близко к значению \' N . Например, можно поло-
положить а равным целому числу, m-я степень которого наиболее
близка к N.
Составим последовательность чисел:
хл =
X ==z
m— I
N
-t-
N
mx
m—\
т— 1
m
N
[*n)
Эта (последовательность является убывающей и ограничен-
ограничения

ной, так как. в силу неравенств A), имеем:
а потому эта последовательность имеет предел.
Пусть lim xn = х, тогда
1. т— 1 1. , N
Хп = ~^г Xn~i ^—; ^гэ
т — 1 . N т/ 77
т. е. х = х Н , откуда х = у N.
tti tnx
т/—
Если за приближенное значение у N взять хп , то допущен-
допущенная при этом погрешность а будет иметь следующую оценку:
а = хп— V N = Хп <хп
п f п тг' " п Ym—\
у Nm—1 лп
(принять во внимание, что xn>"i/ N)
На чертеже 13 пояснен процесс последовательного приближе-
приближения при вычислении кубического корня.
Примеры
(Вычисления выполнены на арифмометре).
1 Вычислить-/35 с шестью значащими цифрами.
Решение. Составим функцию
положив в общей формуле т = 2, N = 135. Положим а = 12 (ближайшее це-
целое значение >/^135). Имеем:
1 ,135 п t 135 93
1 ' w 2 2-а 2-12 8
1-93 4-135
f() +
=5,8125+5,8065
*2 f(xi) jJ+ ^
« 11,6190 «11,62 (с избытком).
Положив л:з = 11,62, продолжим вычисления
11,62 135
x* = f(x2) = —?—+ 2 ч б2 - 5,81+5,80895^ 11,61895
с ошибкой, меньшей чем
135
Хз — ^ 11,61895—11,61890 = 0,00005.
Округлив результат, получим: х^\ 1,6189 (все шесть цифр — верные,
учесть, что приближенное значение х3 с избытком).
Примечание. Так как хи х2, хэ,... суть приближенные значения
корня с избытком, то, чтобы избежать ошибок в оценке погрешностей,
обусловленных округлением промежуточных результатов, это округле-
округление надо производить, заменяя значения *ь х2,... их приближенными
значениями с избытком.
144

3/
2. Вычислитьу 149 с пятью значащими цифрами.
Решение. Составим функцию (т = 3, N = 149)
2 149
10 , 149
Положим а = 5, имеем: лгх = —-— i — = 5,32;
о /О
с ошибкой, меньшей чем
149 149
х2 — — ^ 5,30153 —————-- «5,30153—5,30117 < 0,0004.
у2 28,106о
Так как пятая значащая цифра не надежна, продолжаем вычисления, поло-
положив х2 = 5,302; получим:
с ошибкой, меньшей чем
3 г
Поэтому можно положить:!/ 149 « 5,3015.
§ 43. Обобщение понятия степени
По определению натуральной степени числа а имеем:
га раз
ап = а-а.. .а при п>> 1 и а1 = а при п = 1.
Символы а0, а\ а2 у а и т. п. не имеют смысла (со-
(согласно этому определению), ибо не имеет смысла умножать
число а само на себя 0 или —1, или —, или У 2 раз. Символу
atl, где п .не является натуральным числом, можно придать
смысл лишь по определению, условившись приписывать
ему вполне определенное значение в случае, когда п не есть на-
натуральное число.
Известны следующие основные свойства степени, вытекаю-
вытекающие непосредственно из свойств умножения:
апат = ап+т, (I)
(ат)п=апт (II)
(где пит натуральные числа). Будем руководствоваться сле-
следующим принципом:
10 С. И. Новоселов 145

при обобщении понятия степени принимаются такие опреде-
определения, при которых сохраняются свойства (I) и (II).
Докажем, что если принять за основу этот принцип, то полу-
получится единственно возможная система определений, посредст-
посредством которых понятие степени распространяется для случая про-
произвольного рационального показателя.
Нулевой показатель. Если (пока формально) в со-
соотношении (I) положить т = 0. то получим:
ancfl я ап.
Если а^О, то найдем единственно возможное значение а°=1.
Это рассуждение не является доказательством равенства
а°=\ (так как при т = 0 выражение aw утрачивает смысл),
оно лишь показывает, какое определение следует принять для
а0, чтобы сохранилось свойство (I).
Определение. Если а Ф 0. то считают а°= 1. Символу 0°
не приписывается никакого численного значения.
Справедливость свойства (II) проверяется непосредственно:
(а°)п = 1" = aOnt (О0 - 1 = аОт, (а0H = 1° = 1 = а0*0.
Отрицательный показатель. Если в равенстве (I)
положить т = —п, то получим:
Откуда а~п= — (где аФО); следовательно, чтобы сохра-
сохранилось свойство (I), надо принять следующее определение.
Определение. Если афО, то считают агп = —.
ап
Свойство (I) сохраняется при любых целых пит. Пусть,
например, число п положительно, а т отрицательно, /л = —ти
имеем:
аШх п (если п<т1)ш
Но во втором случае
1
Итак, в обоих случаях
апат = ап-т\= ап + (~ щ) » ап+т.
Прочие возможные случаи предлагаем разобрать учащимся.
Справедливость свойства (II) проверяется непосредственно.
146

Пусть, например, оба показателя отрицательны, тогда имеем:
(а—т\—п i. м "_ 1 __ 1 _ „тп Л(—т) (—п)
Прочие возможные случаи предлагаем разобрать учащимся.
Дробный показатель. Пусть а — неотрицательное
число, a>U. Положим в равенстве (II) т = —, тогда получим:
п
L IL
(ап)п^ап =а.
1
Откуда а п = у а • Заменив в равенстве (II) п на—,получим:
п
1_ т J_
(ат) п -- о п и вместе с тем (ат) п = у ат. Согласно принципу
обобщения понятия степени, надо принять следующее опреде-
определение.
т
— пг
Определение. Если а>0, то считают ап =у аТП и, в на-
- "Г"
стности, ап=ау а , где m и п — произвольные натуральные
числа.
Теорема. Если — = —, то и ап= аПх
П Hi
Доказательство. Имеем тпх = т{п, следовательно.
m. f пп
и у атП1 _
откуда
У ат = V ат\ т. е. ап = ап\ ч. т. д.
Проверим справедливость свойств (I) и (II) для произволь-
произвольных положительных дробных степеней п=—,т=—-.
Я s
Имеем:
_
fs/ as/ as/ as/
ap • V ar = V aps ¦ V ari=V a
ps+rq _? r_
= a iS = a
Р Г s г — рг р г
II. (a q ) ' = К (V^ aY = У "о*7 = а^" = а~ '~.
Ю* Й7

Понятие степени для дробного отрицательного показателя
распространяется при помощи определения:
р_
а * = -+—.
Р
а д
Проверкой можно установить, что основные свойства (I) и
(II) остаются в силе для произвольного рационального (как по-
положительного, так и отрицательного и нулевого) показателя
(предлагаем учащимся сделать проверку).
Если придерживаться определения ап = у а и ПРИ отРИ1*а-
тельном а, то ап (при а<0) следует рассматривать лишь для
п/—
иечетных зна 4ений /г, ибо при п четном у а не имеет смысла
(в поле действительных чисел).
т
При а<0 дробная степень ап рассматривается лишь при
-. т
следующих условиях: дробь — несократима, а знаменатель
п
n = 2k+\ нечетное число; тогда имеем:
1
a 2k+l - [а 2*+1 ) - (О 2*+l - Vат.
§ 44. Степенная функция с рациональным показателем
Определение. Степенной функцией называется функция,
заданная формулой у = хп, где х— аргумент, а п — данное
число.
Областью определения степенной функции является множе-
множество всех значений аргумента х при которых выражение хп
имеет смысл.
Степенная функция с натуральным
показателем
Пусть п — (Произвольное натуральное чоясло. Областью опре-
определения функции хп является интервал —оо<х<оо, так как
степень имеет 'смысл при в'сех значениях х.
Теорема. На полусегменте 0 <х<оо функция хп возрастает
от 0 до оо.
Доказательство. Требуется доказать нижеследующие
положения Г, 2° -и 3°.
1°. На полусегменте [0, оо] функция хп возрастает.
В самом деле, в силу свойства монотонности умножения, из
148

двух различных неотрицательных значений х аргумента больше-
большему значению х соответствует большее значение хп:
если хх < х2, то хпх < х\,
2°. При х = 0 значение функции хп равно нулю (это очевидно)
и lim xn =оо.
X—»оо
В самом деле, пусть N произвольное (как угодно большое)
п г
число; неравенство xn^>N выполняется при х> у N, значит,
lim xn = оо.
3°. Пусть k произвольное неотрицательное число; (на полу-
полусегменте 0< х<оо существует значение аргумента х, 'при кото-
котором х11 —k.
В самом деле, по доказанному в § 39 таким значением (и
V
притом единственным) является х = у #> ч. т. д.
При четном, п = 2&, функция хп = x2k является четной.
В самом деле, значения функции x2k в противоположных
точках х ,и —х одинаковы:
(-*J*-=***.
Теорема. При четном n = 2k функция хп = x2k в полуин-
полуинтервале — оо <^ х ^ 0 убывает от оо до 0.
Доказательство. 1°. Функция д- убывает в полуинтер-
полуинтервале —оо<д;<ГО.
В самом деле, пусть Xi<x2^0, тогда противоположные
числа —хх и —х2 неотрицательны и 0<;—х2 <—хи Следова-
Следовательно (в силу 2°):
Но так как (- xxfk = x\k и (- x2fk = х\\ то х?> х\\
Итак, большему значению аргумента в полуинтервале (— оо, 0]
соответствует меньшее значение функции, т. е. x2k убывает в
этом полуинтервале.
2°. При х--=0 функция xk обращается в нуль. Так как при
— 2\/ N имеем x2k>(— yf N fk = N, то Wmx2k=oo.
3°. Данное значение m > 0 функция x2k имеет при
х = — у m в полуинтервале (— оо, 0].
На чертеже 12 изображены графики функций у = х2 и у= а:4.
При п нечетном, /г = 2k + 1, функция хп = х2^4 является
нечетной.
149

В самом деле, значения x2k+l и (— хJк+{ суть противополож-
противоположные числа: (-xfk+l=-x2k+l.
Теорема. При нечетном n = 2k + 1 функция x2k+l в полуин-
полуинтервале — оо << х < 0 возрастает от — оо до 0.
с)у--х2 Ь) у=х4
Черт. 12
Доказательство. Г. Если хх < х2 <0, то 0 <— х2 <—хи
а потому (—Х1Jк+1>(—х2JШ или, что то же —х{2Ш>—х1ш9
откуда x2ik^1 <С хТ^1 - Следовательно, в полуинтервале
— оо <^х<С® функция х2к^~х возрастает.
2°. Произвольное отрицательнэе значение —т (где т>0)
функция дг ^ имеет при х = — у т.
3°. При х = 0 функция х + обращается в нуль. Так как при
а-<— y~N имеем х2?+[ << — N, то \\mx2k+l = — оо, ч. т. д.
Так как в полуинтервале (— сю, 0] функция х2к^1 возрастает
от — оо до 0, а на полусегменте [0, оо] она возрастает от 0 до оо,
то в интервале (— со, оо) (т. е. на множестве всех действительных
чисел) она возрастает от — оо до ос.
Графики функций у = х и у = х3 представлены на чертеже 13.
Степенная функция с целым отрицательным пока-
показателем
Рассмотрим функцию у = хп, где п =—k, ak — натуральное
число.
Г. Выражение—- теряет смысл лишь при #=0t поэтому
область определения данной функции есть множество всех
150

действительных чисел, отличных от нуля; оно состоит из
двух интервалов (—<х>, 0) и @, + оо) (число 0 исключается).
Теорема. В интервале @, оо) функция -у убывает от оо до 0.
Доказательство. Требуется доказать следующие поло-
положения:
10 В интервале 0<Гх<оо функция —
при 0<д:1<л:2 имеем 0<>?<л;2, откуда — > — ,
А 4
т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее зна-
значение функции.
Г. В интервале 0<х<оо функция-^- убывает. В самом деле,
а) у=х
Ь)у=х3
Черт. 13
2°. Пусть т произвольное положительное число; в интервале
0<#<oo существует значение аргумента х, при котором — = т.
В самом деле, если — =т, тол;*= —; последнее равеи-
хк т
ство выполняется при единственном положительном значении
1
г
m
3°. lim
——= оо и lim —;—= 0.
151

В самом деле, неравенство ^ >N выполняется при всех по-
положительных значениях, меньших ¦, где N— произвольное
(как угодно большое) положительное число, т. е. Игл—- = °°.
*->о х*
Неравенство —^<С 8 выполняется при всех значениях х, боль-
больших —=—, где е произвольное (как угодно малое) положитель-
V?
ное число, т. е. lim lim —— _ п ч т п
При четном k = 21 функция x~~k четная:
~ (— хJ1 ~~ х21 ~~ Х '
В интервале —оо<х<0 функция у = х~21 возрастает от
О до +оо (подробнее рассуж-
рассуждения предлагаем провести
учащимся). На чертеже 14
представлен график функции
При нечетном k = 2/ + 1
функция xrk нечетная:
Черт. 14
1
(Г
В интервале (— оо, 0) эта
функция убывает от 0 до — оо.
Графики функций у= -1- и
I x
У—^ представлены на чер-
чертеже 15.
Степенная функция
с дробным показателем
Положим п=~> где k — натуральное число.
Рассмотрим функцию
k/
у = хп — у х на полусегменте 0<л:<оо.
Теорема. На полусегменте 0<;d<oo функция ух возрастает
от 0 до оо.
Доказательство. 1°. На полусегменте [0, оо) функция
* r k/ k/
У х возрастает, так как при 0<х{<^х2 имеем 0 < у хх < у х2
(см. стр. 116),
152

2°. Пусть т — произвольное неотрицательное число; на полу-
полусегменте СКл;<'Х) существует (и притом единственное) значе-
значение аргумента х = т*, при котором значение функции У*
равно т. .
3°. При х = 0 имеем у = 0. Так как при всех значениях х> N*
имеем \/ х > N, то lim
X -> со
x = оо, ч. т.д.
Черт. 15
Взаимно обратные функции у=У х и х= yk устанавливают
взаимно однозначное соответствие между значениями х на по-
полусегменте 0<х<оо и значениями у на полусегменте 0<у<оо.
Схема этого соответствия представлена на чертеже 16.
Черт. 16
Для построения графика функции у=у х достаточно^постро-
график функции х == ук для положительных значений у.
ить
Так, при & = 2 имеем у
= У ^; графиком является часть пара-
153

болы, изображенной на чертеже 12а, но расположенная, как по-
показано на чертеже 17.
р_
Исследование функции у = х9 с дробным положительным по-
показателем (где дробь — предполагается несократимой) не пред-
v—
ставляет затруднений. В самом деле, у=У хр\ можно разбить
вычисление значения у на два шага:
и=*хр и y=i/ и.
1°. Если q — число четное (р— нечетное), то область опреде-
р
ления функции х* =у^хР есть полусегмент 0<х;<оо; если
q — число нечетное, то область определения есть интервал
—оо<\*;< + оо.
Черт. 17
Черт. 18
2°. При q нечетном xq *рть нечетная функция, если р не-
нечетно, и четная, если р четно. В самом деле, в первом случае
Р^= ,7 =^=-
и во втором
3°. Функция х9 возрастает в промежутке 0<д:< + оо. В са-
самом деле, если 0<a:i<x2, to (согласно изложенному выше)
4°. При q нечетном и р четном функция xq убывает в интер-
интервале (—оо, 0), а при q нечетном и р нечетном возрастает в этом
интервале (доказательство предоставляем учащимся).
154

5°. lim x q = + сю. В самом деле, если *>i/ Ng, товыпол-
X -> со У
X -> со
няется неравенство
р (
— I -f- ж (если q нечетное и р четное),
6°. lim х q = ) . ч
^^_оо I — сю (если q нечетное и р нечетное).
На чертежах 18 и 19 представлены соответственно графики
1 2
функции у = хъ и у =
Черт. 19
При дробном отрицательном /г функцию у= хп мож,но иссле-
исследовать тем же способом, так и при целом отрицательном, при-
приняв во внимание, что
р
х 9 =
1
v-
§ 45. Явные алгебраические функции
над полем действительных чисел
Определение. Функции, определяемые алгебраическими вы-
выражениями, называются явными алгебраическими функциями*.
Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной, на-
называется иррациональной.
Согласно этому определению, закон соответствия явной ал-
алгебраической функции можно задать формулой, содержащей
лишь алгебраические действия над аргументами и числами дан-
ного поля. Как известно, закон соответствия рациональной
функции можно задать посредством лишь четырех арифметиче-
* Так как в дальнейшем будут рассматриваться только лишь явные
функции, то явные алгебраические функции будем кратко называть алге-
алгебраическими,
155

ских действий, в отличие от этого, закон соответствия иррацио-
иррациональной функции нельзя задать при помощи лишь четырех ариф-
арифметических действий: формулы, изображающие иррациональную
функцию, непременно содержат аргументы под знаками ра-
радикалов.
В настоящем параграфе будут рассматриваться алгебраичес-
алгебраические функции над 'полем действительных чисел, именно,
все данные числа будут предполагаться действительными, а до-
допустимые значения для аргументов должны быть таковы, чтобы
действия, содержащиеся в формуле (изображающей функцию),,
были выполнимы в поле действительных чисел.
Не всякая функция, заданная иррациональным выражением.
является иррациональной. Так, например, функция, заданная
з /—
формулой у = V х9, на самом деле является рациональной,,
так как ее закон соответствия можно задать формулой
у = х3.
Таким образом, при классификации функции существенен,
характер закона соответствия функции, а не внешний вид фор-
формулы, его изображающей.
При установлении области определения явной алгебраической
функции, рассматриваемой над полем действительных чисел,
надлежит руководствоваться следующими правилами.
1°. Значения выражений, содержащихся в качестве делите-
делителей в формуле, изображающей алгебраическую функцию, долж-
должны быть отличными от нуля,
2°. Подкоренные выражения радикалов четной степени долж-
должны быть неотрицательными.
Если выражение, изображающее алгебраическую функцию,
содержит радикалы четных степеней:
у fix, . • ••*). у<?(х,. . .,г), у Ь(х> . • .,2), . . .,
то допустимые системы значений аргументов должны удовлет-
удовлетворять системе неравенств:
/(*, . . .,г)>0, ф(х, . . .,2)>0, . . ., 6(я, . . .,г)>0.
Примеры
1. Функция
X —
является рациональной над полем действительных чисел, так как в изобра-
изображающей ее формуле аргумент не содержится под знаком радикала.
Ниже даны примеры установления областей определения и исследования
иррациональных функций.
156

2. Область определения функции
/ (х) = V 1 + -V - V 1 - х
устанавливается системой неравенств 1 + х > 0, 1—х > 0, это_есть сегмент
— 1 <*< 1. На этом сегменте >/"Н х возрастает от 0__до у/~2 ^ a j/'l—х
убывает от уЛ2 до 0, функция f(x) возрастает от—у^2 до >^2 . Функция
f(x) нечетная, так как
/(-*)-= V \-х - V 1+х = - / (х),
график представлен на чертеже 20.
y=vi+x-vi-x
VI* ж -Vt х
Черт. 20 Черт. 21
3. Для установления области определения функции
у
к неравенствам 1+х>0, 1 —х>0 надо присоединить условие:
]/ 1+х фу\ — х , откуда jc ^= 0.
Область определения есть совокупность двух промежутков
- 1<х<0 и 0 <*<1.
Так как ср(я) = ~— (при х фО), где f(x) —функция, рассмотренная в пре-
f(x)
дыдущем примере, то на полусегменте [—1; 0) функция ср(*) убывает от
— —ти- до —оо, а в полуинтервале @; 1] убывает от оо до —гг график пред-
представлен на чертеже 21.
k
k/
4. Область определения функции / (х) =1/ х2П — а2п (где а
137

при четном k устанавливается из условия хт—а2Л>С, слгода хт > а2п »
\х\>\а\.
Область определения есть множество двух промежутков — оо < х < — \а\\
и |<з|< х < + °°> функция четная; в промежутке И<*<+ос возрастает
от 0 до +°°» а в промежутке (—оо, — |о| ] убывает от + оо до 0.
При нечетном k область опре-
определения есть интервал (—оо, Н-оо).
Так как х2п возрастает от О
до +оо в промежутке [0, + оо) и
убывает от +оо до 0 в промежут-
промежутке (—^оо, 0], то }(х) возрастает от
— i/ а2П до +оо в первом проме-
промежутке и убывает от +оо до»
_т/ °^п во втором. Наименьшее
значение }(х) есть —т/ а2п; фун-
функция четная (черт. 22).
Черт. 22
5. Область определения функции у а2п — х2П есть сегмент —|а|.<;с<|а|,
функция четная, на сегменте [0, \а\ ] убывает от у \а\п до 0, а на
сегменте \\а\ , 0] возрастает от 0 до у \а\п.
6. Область определения функции у х-\-у —х определяется системой не-
неравенств х > 0, х < 0, имеющей единственное решение х = 0. Область-
определения СОСТОИТ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ X = 0.
7. Выражение^—а2 — х2при аф 0 не определяет над полем действи-
действительных чисел никакой функции, так как — а2 — х2 < 0 при произвольном
действительном х.
8. Область определения функции y—y^x—l y^x-f-l устанавливается
системой неравенств х— 1 > 0, х + 1 >• 0, откуда 1 >< х < + оо. Для функ-
функции ^х2—\ (см. пример 5) область определения есть совокупность
двух промежутков (—«>, —1] и [1, +°о) (черт. 23); тождественное пре-
преобразование
158

сужает область определения левой части, так как из этой области исключает-
исключается полуинтервал (—оо, —1].
9. Область определения функции
устанавливается условием
X— 1
X— 1
х+ 1
0. Следовательно, либо (числитель не-
х + \
отрицателен, знаменатель положителен) х — 1 > 0, х -f 1 > 0, откуда х > 1,
либо (числитель неположителен, знаменатель отрицателен) х — 1 < О,
х+ КО, откуда х<—1. Область определения состоит из двух промежутков
— оо<*< — 1 и 1 <! х<оо. Исключив целую часть из подкоренной дроби,
получим:
¦1
х+
= 1 —-
и /(*) =
х+1
Г"
На полусегменте 1 <! х < + оо дробь
убывает от 1 до 0, а, следо-
х+1
вательно, f(x) возрастает от 0 до 1. В интервале —оо < х < — 1 дробь
¦убывает от 0 до —оо, а, следовательно, f(x) возрастает от 1 до 4- «>•
^ам-етим, что
график представлен на чертеже 24.
10. Рассмотрим функцию f (х) =
область определения есть интервал (—оо, +оо), функция нечетная, возраста-
возрастает в интервале (—оо, +оо). В самом деле, при "^ п
/ {х) = 1
159

Так как —у убывает, то знаменатель также убывает, a f(x) возрастает.
При х < 0 имеем:
х — 1
/¦?¦+' V'
Так как —возрастает, то \f (х)\ убывает, f(x) < 0, а потому f(x) возрастает.
Имеем
f @) = 0, limf (*) = 1 и limf(*) = —1.
* -* + оо *-> — оо
Итак, в интервале (—оо, + оо) функция f(x) возрастает от —1 до 1
(черт. 25).
Черт. 25
/ = 1
Черт. 26
11. Исследовать функцию f(x) = /х2+1 —х.
Область определения — интервал (—оо, + оо). В промежутке
оо<л'<0 функция убывает от +°° до 1, так как при *<0 оба слагаемые
~ и —х убывают:
В промежутке 0 < х < оо функция убывает от 1 до 0. В самом деле (пе-
(переносим иррациональность в знаменатель)
/(*)=
\+х
в интервале @, +оо) знаменатель возрастает от 1 до +оо. Итак, в интер-
интервале (—оо, + оо) функция f(x) убывает от + оо до 0 (черт. 26). Заметим,
что f(x) есть разность между ординатой верхней ветви гиперболы у2 = х2 + 1
и ординатой одной из ее асимптот у = х (черт. 27).
При помощи выражений, содержащих радикалы, могут быть заданы раз-
различные «разрывные линии», состоящие из отдельных дуг, ломаные линии
и т. п.
160

12. Функция у = j^x2 имеет графиком линию, состоящую из биссектрис I
и II квадрантов координатной плоскости. В самом деле,
у=У х* — |jc| =
13. Функция у =
х> если
(черт. 28)
— х% если х < 0.
графически изображается двумя прямолинейными
лучами, так как
\А
1, если х > 0
— 1, если х < 0.
(черт. 29)
Область определения состоит из двух интервалов (—оо, 0) и @, + оо),
В точке 0 функция не имеет значения.
14. Исследовать функцию
/(*) =
2х
V
1 —
а —
Область определения устанавливается условием
1 — х2^ / 2х у
откуда хф 0, следовательно, область определения состоит из двух интервалов
(—оо, 0) и @, + оо).
Имеем:
2х(\ + х*) ( — A +х2)у если х <0
2 |*| 1 1 + л;1, если л; > 0.
График представлен на чертеже 30.
15. Исследовать функцию
Имеем:
У = У (х + 2? +V (х-2)* .
х + 2 при л:>— 2
11 С. И. Новоселов
161

-(*-2) прид:<2
* —2 при л: > 2.
Область определения есть интервал (—оо, -f °°).
Имеем:
{— 2х при х< —2
4 при—2<х<2
2х при х > 2.
Черт. 30
Графиком является ломаная, состоящая
из трех звеньев (черт. 31).
16. Рассмотрим функцию, заданную формулой
Черт. 29
Черт. 31
где а — данное отличное от нуля число.
Допустимые значения аргумента определяются из условий:
1 — ¦
1 +
>0 и
162

Эти условия выполняются, если \х\ > \а\ . Следовательно, область определе-
определения состоит из двух интервалов:
— оо < х < — \а\
\а\ < х < + оо.
При выполнении тождественных преобразований считаем \х\ > \а\ , а потому
х2—а2>0; имеем:
X
а
(х2 — а2) (х8 +
/Xl-gt |д| ^
Если а > 0, то у =—г =
* (
Если а < 0, то 1/ = —— = |
График изображен на чертеже 32.
-а
а>о
Черт. 32
при
а
> а
-1,
1,
при дс <—-а.
если х > — а
если х < а.
-а
а<о
Примечание Применение принципа продолжения по непре-
непрерывности позволяет присоединить точки х = ± а к области определе-
определения. Так, например, при а > 0 имеем:
lim у — lim 1 = 1 и lim у = — 1.
Поэтому в точках аи — а следует считать у = 1 и
ственно).
17. Рассмотрим функцию
= — 1 (соответ-
(соответ«/ = ¦
t— х
а + х
(где а данное число).
A)
Если а — 0, то дроби, находящиеся под радикалами, обращаются в —1,
поэтому над полем действительных чисел данную функцию следует рассмат-
рассматривать при а ф 0. Радикалы действительны, если
а — х
11*
163

Откуда (числитель и знаменатель положительны)
а + х>0 и а — х>0
или (числитель и знаменатель отрицательны)
а + х <0 и с — х < 0.
B)
C
Ни одно из равенств а + х = 0 к а — х = 0 не может выполняться, так
как при х = а или х = — а теряет смысл одно из подкоренных выражений.
Если а > 0, то из системы неравенств B) найдем —а < х < а, а система
<3) не имеет решений.
Если а < 0, то из системы B) находим а < х <—а, а система A) не
имеет решений.
Итак, радикалы действительны, если— | а\ <* < | а |. Знаменатель дан-
данного выражения у обращается в нуль, если
а — х
а-Ь.
или
а + х а — х
V J
1> -' !
а — х
откуда *=0; а потому *=0
не является допустимым значе-
чием аргумента. Следователь-
Следовательно, областью определения фун-
функции является множество двух
интервалов — \а\ < х < 0 и
0<*<\а\ . В каждом из этих
интервалов имеем (умножаем
числитель и знаменатель на
Черт. 33
— 1
Графически функция изображается частью гиперболы у = "—, содержа-
содержащейся в полосе, ограниченной прямыми х = ± \а\ (черт. 33}.
Преобразования, которые применялись в настоящем примере, изменяют
область определения первоначально данного выражения, а именно, для дан-
данного выражения область определения состоит из двух интервалов (— \а\, 0)
а
и @, |я| ), тогда как для преобразованного выражения — областью определе-
х
ния является совокупность двух интервалов (—с», 0) и @, + оо). Следова-
а
тельно, функция, заданная выражением A), есть функция—, но рассматри-
рассматриваемая в части области ее определения, состоящей из двух интервалов
<- |а|,0) и @, |а| ).
Примечание. Если применить принцип продолжения по непре-
непрерывности, то получим следующие значения функции в точках
164

а а
г/== lim —=1 и у—\\т— = —1.
X дг-> — а X
±а:
18. Исследовать функцию
f (х) _ у Х_^2\/Г х 1 -
Область определения находится из условий:
х— \ >0 и х — 2 У л
Из первого условия най-
найдем: х ^> 1: из второго
х >2угх—\ откуда
х9^4х—4* или
xt _ лх + 4 =-- (х — 2)а > 0,
последнее неравенство выпол-
выполняется при всех действитель-
действительных х. Следовательно, область
определения есть промежуток
1 <! х < -f 00. Применив к
каждому радикалу формулу
преобразования сложного ра-
радикала, получим (положить
А = х, В = А(х— 1)):
= 2
[x — 2 V х— 1.
Черт. 34
(если х < 2)
— 1 (если х>2).
График состоит из прямолинейного отрезка и части параболы (черт. 34).
Примечание. Выполненное преобразование расширяет область
определения первоначального данного выражения до множества всех
действительных чисел. Аналогичный случай имел место в предыду-
предыдущем примере.
§ 46. Функция
от комплексного аргумента
Докажем, что в 'поле комплексных чисел выполнимо действие
извлечение корня. Пусть г = а + Ы — данное комплексное число.
Теорема. Если гф 0, то существует п различных комплекс-
комплексных чисел, удовлетворяющих условию wn = z.
При 2 = 0 этому условию удовлетворяет единственное чис-
число w = 0.
Доказательство. Пусть z — p (coscp + i sirup) — данное
отличное от (нуля комплексное число. Будем 'искать комплексное
* Почленное возведение в квадрат неравенства возможно, так как при
х >• 1 обе части неотрицательны.
165

число w = r(cost|) + i sini|)), /г-я степень которого равна z:
wn = г.
Согласно правилу возведения в степень мы должны иметь:
\z\ = \w\n и arg г = п arg ш. A)
Под символом argz можно подразумевать произвольное
значение аргумента числа z. Если ср — главное значение аргумен-
аргумента 2, то общее выражение для аргумента z будет:
arg г = ф + 2& тс, где 0 < ф << 2тс.
Условие A) можно переписать следующим образом:
гп = р и /г ф = ф + 2k ъу откуда г = т/ р и ф = 1 — .
У п п
По теореме о существовании арифметического корня (см.
л/—
§ 39) для модуля w получаем единственное значение М=У р.
Аргумент я|) определяется неоднозначно. В самом деле, полагая
k = 0, +1, '+2, ..., получим бесконечное множество значений
для я|г.
9 2те ср
"~1 п п п
9 , 2ти , 9 ,
мл л л
и соответственно
Докажем, что среди значений w имеется лишь п отличных
друг от друга чисел. Полагая k = 0, 1, 2,..., п—1, получим п
значений корня w0, oil,..., wn-\. Ясно, что wr=^wn , если r^=s
(где 0^/*^/г — 1 и O^s^/г—1). В самом деле,
9 , 2тсг ф . 2ns
arg Дог = 1 и arg^s == -^—(- — не могут отличаться на
s п п п л
кратное 2я, ибо
arg wr — arg ws = TC ^r ~"s^, но |г — s|< /г и Г""s
л
Нетрудно видеть, что шл = до0. В самом деле,
166
= |wo| и arga»n= -2-+ -?!1?- = — + 2« = argto0 +
/г /г /г

Аналогично можно установить, это wQ = w2n = . . . == w _n~
*= w—2n- • •» что wi== wn+\~ w2n+\ • • • и во°бще, что wk = wlt если
k — / есть число, кратное л, ч. т. д.
л/—
Символом У z обозначается множество всех корней п-и
степени из г\ при гф 0 этот символ имеет п различных значений.
В дальнейшем при одновременном рассмотрении комплекс-
комплексных и арифметических радикалов последние будем обозначать
у
символом У .
4-
В частности при z = 1 имеем ф = 0, р = 1, откуда найдем
п/—
следующие значения л значений у 1:
2tz . . . 2iz 4тс . . 4тг 9
cos 1- г sin = е; cos 1- i sin =?, • • •,
п п п п
2kn . . . 2kп ъ 2пп . . . 2mz n Л
cos \- г sin = г*, ..., cos 1- i sin = еп = 1.
п п п п
Таким образом, комплексные корни из 1 суть степени е, где
б — первое мнимое значение корня из 1 (при k = 1). Из выра-
жения для &-го значения корня У z найдем:
Г / ф
cos —
L V п
2k-n \ . . . / ф . 2/гтг
+ tsin p+
Л/" / ф , • • 9 \ / 2/j7U...2/j
= у р cos — + tsin -1-) cos h t sin
4-V J
Следовательно, все значения у z можно получить из на-
начального значения w0 последовательным умножением его на
значения корня п-й степени из 1, г. е. на е, е2, е3, ..., гп~1:
п 1
Z —' ХЮ S ХЮ 6 ХЮ
Геометрическая интерпретация. Умножение ка
число е геометрически означает поворот радиуса-вектора множи-
множимого на ю часть полного оборота. Отсюда ясно, что концы
п
радиусов-векторов, изображающих числа wOi wu ..., wn-U суть
вершины правильного л-угольника с центром в начале коорди-
координат (черт. 35, где л = 6).
Извлечение квадратного корня можно выполнить алгебраи-
алгебраически без перехода к тригонометрической форме. Пусть
х = х + iy и w = и + iv.
Вычислим и и v из условий w2 = z или
{и + ivf = х + yi.
167

Следовательно,
и2 — v2 + 2uvi = x + yi.
Откуда получаем систему уравнений:
и2 — v2 = х, A)
2uv = у. B)
Возведя обе части -каждого из этих уравнений в квадрат и
сложив, получим:
(u2+v2J= х2+ у2.
Откуда
u2+v2= V х2+ у2 C)
(берем арифметическое значе-
2 2
V ние корня, так как
w из уравнений A) и C) найдем:
(V
У2-х).
« = ±1/ ±—2
+
V^Tjz^.
Из уравнения B) следует, что при у > 0 числа и и v должны
быть одинаковы по знаку, а потому радикалы следует взять с
одним и тем же знаком. Если у < 0, то радикалы следует взять
с противоположными знаками. Итак,
Ух + iy = +
если 1/>0и
+
если у < 0.
168

Применение этого способа к корням степени выше второй
встречает трудности, связанные с необходимостью решать си-
системы уравнений высших степеней. Так, например, в случае ку-
кубического корня, положив
х + iy = (и + ivf
и возведя в куб, получим
x+iy^u* — 3uv2 + i Cu2v — v3).
Откуда для определения и и v получим систему уравнений:
и* _ 3uv2 = х, 3u2v — v*= у.
Попытка решить эту систему снова привела бы к необходимо-
необходимости извлекать кубические корни из мнимых чисел, т. е. по сути
дела мы возвратимся к первоначальной задаче.
Примеры
1. Ниже даны значения комплексных корней из 1.
При п = 2
г = cos (- i sin — = — 1, е2 = I.
При п = 3
2* . . 2* 1 V 3
е = cos — — t sm — = — — + /-
3 * 3 2 ' 2
При п = 4
2тг 2т:
e = cos + /sin =/; е2 = — 1, ?3=—/, ?4 _ \
4 4
При я = 5
2тг 2тг
е = cos — + / sin —- =
5 5
V"
8
5 —
4
V
1/
10 4-2
4
10-2^1"
-1 К 10+21/" 5
-/ ; е»=1.
2ти # тс тс
* Как известно cos — = sin —— , но sin — есть половина стороны
прав/ильного десятиугольника, вписанного в единичный круг, а потому
Sln^=
169-

При п = 6
cos — +/sin— = — + i—?~\ в2==- Y + i~2~'' s8:=~1;
1 f 3 1 V 3
2. Найти у l + i.
Решение. Представим подкоренное выражение в тригонометриче-
тригонометрической форме:
У 2 V 2
Следовательно,
но
cos — =
12
sin — =
Откуда
ini=y -
^2+'5
Для нахождения W\ и ш2 следует умножить wQ на
— 1 + i У~г~ —l — l
s=
и е^ .
3. Для извлечения квадратного корня применим формулу (стр. 168):
У—5— 12/= ±
Всякому комплексному числу гф 0 можно поставить в соот-
соответствие п различных чисел — значений корня у г, поэтому
л/—
выражение w = у z определяет п-значную функцию комплекс-
комплексного аргумента z.
170

Рассмотрим две координатные плоскости — плоскость XOY
для изображения значений z = х + iy и плоскость UOV для изо-
изображения соответствующих значений w = и + iv\ каждой точке
плоскости гф О на плоскости UOV соответствует множество п
различных точек.
Функция, обратная относительно w = у г, есть z = wn} эта
функция однозначна, причем в п различных точках w, zwy &2w,
п/—
..., е"^ (где е аначение у 1 ) образующих вершины правиль-
правильного n-угольника (с центром в w = 0), эта функция имеет одно
и то же значение.
Возьмем в качестве аргумента z главное его значение
ф < 2я и рассмотрим соответствующее значение:
wt
п/ / ср 9 \
=: у р cos h f sin — .
Для главного значения
argt0o=— имеют место
п
неравенства 0 ^ -*— <С —
п п
На плоскости UOV эти
неравенства определяют
угол, образованный луча-
ми arg^ = O и
Внутренюю область этого
угла с присоединенной
стороной arg w = 0 обо-
обозначим через DQ. Итак,
значение w0 содержится в
Do (черт. 36).
Если в качестве аргу-
аргумента z взять значение
<р + 2jt, то получим соот-
соответствующее знач'ение
корня:
v0 =
Черт. 36
7
T
Это'значение содержится в угле ?)ь определяемом неравен-
неравенствами
— , так как — < -1-- + —
171

Значение корня
р
содержится в угле
определяемом неравенствами:
2k n
<: arg w <
2 (*+!)*:
Пусть 2=? 0 — данное комплексное число; возьмем в качестве
arg г главное его значение: 0^ <р < 2л. Рассмотрим окружность
Кг радиуса р = \z\ с центром в начале координат (черт. 37).
Положение произвольной точки Z этой окружности определяется
t=2n
Черт. 37
центральным углом ^, который будем отсчитывать от радиуса-
вектора точки г. Сегменту 0 ^/^ 2л соответствует полная ок-
окружность Кг , при этом концам сегмента t = 0 и t — 2л соот-
соответствует одна и та же точка г. По условию \Z\ = |г| == р, а в
качестве аргумента Z возьмем следующее, вполне определенное
значение ф + t, где 0'^ t<^2л. На плоскости UOV точке z co-
ответствует точка wOf лежащая в DQy а точке Z точка W = У Z,
п/—
лежащая на окружности /Cw радиуса Ур с центром в начале
п/ +
координат, ибо \W\ = У р.
При этом, так как в качестве arg Z выбрано вполне опреде-
определенное значение ф + t, то и точка W (при Z =? z) определяется
единственным образом:
172

Если точка Z расположена на дуге zA (черт. 37), то
2тг, а потому 0<arg№= 2±! ?И
п п
Следовательно, точка № расположена иа дуге окружности
/Cw , содержащейся в DQ. Если точка Z расположена на дуге Лг,
то 2тг < ф + t < 4тс, а потому
z
и, следовательно, точка W расположена на дуге окружности
в области D\. Значению t = О соответствует точка W =
а значению t = 2я точка W = W\. Итак, полной окружности К,
соответствует в плоскости UOV дуга окружности Kw , соединяю-
соединяющая точки w0 и w\. Начальной точке z соответствуют две раз-
различные точки ш0 и шь
Все сказанное кратко принято описывать так: если точка z,
описав в плоскости XOY окружность с центром в точке О,
возвращается в первоначальное положение, то значение w0 кор-
п /
ня У z переходит в значение W\.
Заметим, что вместо окружности Kz может быть взята лю-
любая простая замкнутая линия, содержащая начало во
внутренней области.
Аналогично устанавливается, что при обходе точкой z окруж-
окружности Кг значение W\ переходит в w^ w2 переходит в w$ и т. д.
Wk переходит в Wk+\, Wn—i переходит в w0.
гу—
Значения wOy wu ..., wn-\ корня У z называются ветвями
многозначной функции w = У z , эти ветви переходят друг в
друга (в круговом порядке) при обходе точки z вокруг начала
координат по простой замкнутой линии.
Аналитические выражения, содержащие комплексные ради-
радикалы, имеют иной смысл, чем выражения, содержащие действи-
действительные радикалы.
1°. В соответствии с определением комплексного радикала,
л/—
У А есть множество всех решений уравнения
Zn=A
(а не некоторое определенное его решение).
2°. Пусть дано некоторое выражение
У{У А, У В, . . .,ус )> (W)
содержащее комплексные радикалы.
В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда выражение
(W) является рациональной функцией относительно радикалов
173

nj тг p/
у А, у В, . . .,у С. Это значит, что функция W(x9 у, ..., z)
есть рациональная функция от аргументов х, у, ..., z, а выраже-
выражение (w) получается заменой:
л л- т j р /
х = у Л, у = у В, . . ., z=y С.
Если для каждого из радикалов взять некоторое определен-
определенное значение, то выражение (W) также получит некоторое опре-
определенное значение (если только оно \ке утратит смысла). Выра-
Выражение (W), содержащее комплексные радикалы, рассматривает-
рассматривается как многозначное: множество его значений есть то множест-
множество чисел, которое получится, если каждому из радикалов
п / т г р г
у Л, у В, . . .,1/ С придавать все возможные для него-
значения.
п г т/ р г
Заметим, что радикалы у Л, у Ву у С могут быть слож-
сложными, т. е. подкоренные выражения Л, В,..., С в свою очередь
могут содержать радикалы.
Если выражение (W) содержит аргументы, то оно определяет
в общем случае многозначную функцию от этих аргументов.
Равенство двух выражений, содержащих радикалы, понимает-
ся в следующем смысле: множество всех значений первого вы-
выражения и множество всех значений второго выражения совпа-
совпадают (т. е. состоят из одних и тех же чисел).
Пример
Найти все значения выражения у 25 + 1/ /.
Решение. В поле комплексных чисел радикал >/5 имеет два значе-
значения:
1/25=5,-5,
3 г—
а радикал у i имеет три значения:
f~T / тс , 2k ъ \ , . . / тг , 2k тс"
1 =c^T+-r-)+lsinlir+—
2 2 2^2'
Комбинируя все возможные значения слагаемых, получим шесть значе-
значений данного выражения:
?!±f- + i±., ^ + i.
, /+f. -Ю-/Т +-f ¦-»-*¦
174

Действия над радикалами в поле комплексных чисел имеют
иной смысл по сравнению с действиями над арифметическими
радикалами в поле действительных чисел.
I. Рассмотрим умножение корней одинаковой степени. Пусть
zx = Pi (cos 9i + / sin <px), z2 = p2 (cos <p2 -f i sin <p2),
где ф1 и ф2 какие-либо значения аргументов сомножителей.
Имеем:
= Р1Р2 [cos (9l + Фа) + * sin (фх + ф2)]
cos Ь±2Ь* + i sin
+ i sin
+
L*], B)
где ky kx и k2 — произвольные целые числа. Формулы A) и B)
определяют (каждая) некоторое множество (конечное) чисел;
докажем, что оба эти множества состоят из одних и тех же чисел.
В самом деле:
1°. у р!р2 = у pi у р2, в силу свойств арифметических ра-
радикалов.
2°. Так как k\ + k2 есть целое число, то можно положить
k = k\ + k2, следовательно, всякое число из множества значений
п / п/ п/
У zxy z2 содержится в множестве значений У zxz2.
3°. Так как всякое целое число k можно (бесконечным мно-
множеством способов) разбить на два целые слагаемые kx + k2 = k,
п/
то всякое число множества У ггг2 содержится в множестве чи-
сел У zy z2. Следовательно,
175.

П. В силу определения корня имеет место тождество
\У z) =z для любого значения радикала, но у k") имеет п зна-
значений:
¦2kiz
= p^COS —
I7—\ V—
а потому символыVK z )n w У (zn) имеют различный смысл.
III. Правило сокращения показателей не имеет места, сим-
символы
— п /
zk и у z
п i—
различны: первый имеет nk, а второй п значений. Значения У z
nk/—
содержатся среди значений У zn . В самом деле
пкГ~Т п/ Г / <Р I 2^х те \ . . . / ср 2kiK \1
1/ zk == 1/ р cos — И i— + i sin (-*-- Н — .
Если fej делится на k, то получается одно из значений радика-
п/
ла У z.
п/ п / ,/и
IV. Символы: у zm и (У z J не всегда имеют одинако-
одинаковый смысл.
Имеем:
^ J sin OT? + 2feTC] A)
= -j/ F [cos (y + ^ TC) m + i sin (? + ^ *>m]. B)
/ n/—\m n/
Значения [у z) содержатся среди значений у zm , а так
как k\m есть целое число (можно положить k\tn = k).
п г-—
Обратное не всегда имеет место. Значение у zm содержится
(п/—\т
среди значений [У г) тогда и только тогда, если существует
такое число k\, что числа k и k\tn при делении на п имеют оди-
одинаковые остатки, т. е. разность k — tnkx кратна п:
k — mkL = qn или kxm + qn = k.
476

Это значит, что линейное уравнение
тх+ ny = k C)
должно иметь решения в целых числах *.
Возможны следующие два случая:
Г. Числа тип взаимно просты, тогда уравнение B) имеет
п/
решение при любом &; значит, любое значение У zm содержит-
/ пг-\т
ся среди значений \у z) .В этом случае
2°. Числа т и п не взаимно просты, тогда уравнение C) имеет
решения не при всех k, а лишь при тех, которые делятся на об-
общий наибольший делитель d чисел тип. Сократив на d, полу-
получим уравнение:
имеющие решение в целых числах. В этом случае не все значе-
п/ / п/—\т
иия у zm содержатся среди значений [У z) .
Дробная степень комплексного числа. Пусть
п натуральное число; я степень числа z определяется, как и
в поле действительных чисел, посредством равенства
г" = V z;
это есть /г-значная функция от аргумента z.
Дробная степень — числа z рассматривается лишь при усло-
условии, что числа тип взаимно просты, в этом случае полагаем:
AV z) ¦
Это есть n-значная функция от аргумента z.
Возможна следующая постановка вопроса: нельзя ли из мно-
V "
жества значений корня у z выделить одно, которое считать
«главным» значением, назвать его «арифметическим» корнем и
обозначить символом у z . Можно было бы, например, в каче-
качестве такого «арифметического» корня принять значение w0 с
наименьшим неотрицательным аргументом. Однако выделение
«главного» значения комплексного радикала являлось бы бес-
бесперспективным, бесплодным обобщением ради самого обобще-
* О решении линейных уравнений в целых числах см. § 73, стр. 283
«Неопределенные уравнения».
12 С. И. Новоселов 177

ния *. В самом деле, понятие арифметического корня в поле дей-
действительных чисел ценно тем, что эти корни обладают рядом
свойств, выражающихся правилами действия над радикалами.
Если же ввести понятие «арифметического» комплексного ради-
радикала, то эти радикалы в общем случае не будут обладать указан-
указанными свойствами, а потому и само понятие «арифметического
корня» обесценится.
Поясним сказанное на примере извлечения квадратного корня.
Уравнению w2 = z удовлетворяют два взаимно противополож-
противоположные комплексные числа:
w
= V р (cos — + isin — j и — w = р (cos — + те) -f-
изображающиеся на координатной плоскости точками, симмет-
симметричными относительно начала координат. Примем например за
«главное» значение корня то значение w, которое изображается
точкой в верхней полуплоскости:
/p [cos -2- + i sin -?- \.
Равенство
имеет место не всегда. В самом деле, левая часть изображается
(по условию) точкой верхней полуплоскости, тогда как этого
нельзя сказать про правую часть. Пусть, например, аргументы
чисел у ?г и у z2 соответственно суть -jp^ и~ л> тогда аргу-
/¦-/"" 2.53
ментом произведения У z^y z2 явится сумма —тс п—^-тс ==~2~7Z>
т. е. это произведение изобразится точкой в нижней полупло-
полуплоскости, а потому
V zLz2 ФУ zx
Примеры
1. На неправильном применении к радикалам в поле комплексных чисел
правил действия над действительными радикалами основан ряд «парадоксов».
Рассмотрим одно из таких ошибочных рассуждений.
Известно, что t'2=—1, но с другой стороны,
r—\ = i; следовательно,
у —1 V— 1 = i2 = 1
* С таким обобщением можно познакомиться, например, по книге*
И. В. Арнольда. Теоретическая арифметика. Учпедгиз, 1939, стр. 330—332.
178

Ошибочность рассуждений очевидна.
Во-первых, у — 1 = ± i (а не I)
и
Во-вторых, в поле комплексных чисел у 1 = ±1 (а не 1).
/ 3/—\з з г— 3/
2. Имеем \у 1) =1, тогда как у \ъ ~у \ = вг2\
3/—
3. В поле комплексных чисел у 8 имеет три значения:
о
у 8 = — 1 -I- /1/ 3, — 1 — / "К 3, 2,
6/
Л V 64 имеет б значений:
/ 3 А'—'
Среди шести значений т/ 64 содержатся значения у 8.
4. Числа 2 и 3 взаимно просты; символы (т/ 8| и у 82 в поле ком-
комплексных чисел имеют одни и те же значения. В самом деле:
V— 3/ —
У 8 =2е, 2е2, 2, а поэтому (у 8 J = 4е2,^4г,[4.
Вычисляем
з
= 4ef 4e2, 4.
Получаются одни и те же числа, но записанные в различных порядках.
12*

ГЛАВА IV
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 47. Уравнения и системы уравнений
Пусть F\(x, уу ..., г) и F2(xy у, ..., z)— функции, рассматри-
рассматриваемые совместно в общей части их областей определения
(эта общая часть предполагается непустой).
Определение. Уравнением называется равенство
Fi(x, J/, . . ., z) = F2(x,y, . . ., г), (F)
выражающее следующее суждение:
значение функции F\(x, у, ..., г) равно значению функции
F2(x, у, ..., г).
Общая часть областей определения функций F{ и F2 назы-
называется областью определения уравнения (F) или
множеством допустимых систем значений аргументов.
Пусть х = а, у = ft,..., z — с некоторая система значений
аргументов из области определения уравнения; возможен один
из следующих случаев.
Случай 1°. При системе значений аргументов (а, Ъ, ..., с)
данное суждение истинно, т. е. в точке (а, Ь, ..., с) значения
функций F{ и F2 равны:
Fx(ay b, . . .,c)-F2(a, 6, . . ., с).
Определение. Система чисел (a, ft, ..., с) называется решени-
решением уравнения (F), если значения функций Fx и F2 при х = а,
у = Ь> ..., z = с равны.
Говорят также, что данная система чисел удовлетворя-
удовлетворяет уравнению (F).
Случай 2°. При системе значений аргументов (а, 6, ..., с)
данное суждение л о ж н о, т. е. значения функций Fx и F2 в точ-
точке (а, 6, ..., с) различны:
Fx(a, by . . ., с)Ф F2{ay by . . ., с).
180

В этом случае говорят, что система чисел (а, 6, ..., с) не
удовлетворяет уравнению (F).
Функция F\ называется левой частью уравнения (F), а
функция F2 называется правой частью уравнения.
Аргументы х, у, ..., z называются неизвестными.
Для уравнения с одним неизвестным
всякое его решение х = а называется также корнем.
Примечание. В частных случаях правая или левая
часть уравнения может быть числом, тогда она рассмат-
рассматривается как постоянная функция, имеющая одно и то же
значение при всех значениях аргументов. Так, например, в
уравнении х + у = 2 правая часть постоянна.
Случай I. Существует хотя бы одно решение уравнения
(F), однако, значения функций F\ и F2 равны не при всех
(допустимых) системах значений аргументов.
В этом случае множество решений уравнения образует пра-
правильную часть области определения уравнения.
Случай II. Не существует ни одной системы значений не-
неизвестных, при которых значения правой и левой частей равны.
В этом случае уравнение называется противоречивым. Проти-
Противоречивое уравнение не имеет решений. Чтобы не исключать
этот случай из рассмотрения, говорят, что множество решений
противоречивого уравнения является пустым.
Случай III. Всякая (допустимая) система значений неиз-
неизвестных является решением уравнения, иными словами, значе-
значения функций Fx и F2 равны по всей области определения урав-
уравнения.
В этом случае говорят, что уравнение (F) удовлетворя-
удовлетворяется тождественно.
Примечание. Уравнение, удовлетворяющееся тож-
тождественно, мы не называем тождеством. Понятия
уравнения и тождества существенно различны. Тождество
есть равенство, выражающее имеющее место соот-
соотношение тождественности двух выражений (см. стр. 29).
Уравнение же есть равенство, выражающее суждение
о равенстве численных значений двух функций.
Решить уравнение — это значит найти множество всех е~о
решений.
Множество всех решений уравнения может быть как конеч-
конечным, так и бесконечным.
Элементарная математика ограничивается изучением лишь
частного вида уравнений, в которых правая и левая части явля-
являются элементарными функциями. Иными словами,
181

левая и правая части уравнений задаются формулами, содержа-
содержащими элементарные математические операции (эти операции
перечислены на стр. 25).
Решением уравнения является система чисел х = а, у — Ъу
-.., г = с, при подстановке которых в аналитические выражения
F\(xy у у ..., г) и F2(xy у у ..., г) получается одно и то же число.
Уравнения, изучаемые в элементарной математике, рассмат-
рассматриваются обычно над некоторым числовым полем,
т. е. указывается (либо подразумевается), какому числовому по-
полю должны принадлежать допустимые значения неизвестных и
числа, входящие в состав аналитических выражений. Множества
решений одного и того же уравнения, рассматриваемого над
различными числовыми полями, могут быть различными.
Уравнения, рассматриваемые в элементарной математике,
классифицируются ino характеру математических операций, вы-
выполняемых над неизвестными.
Уравнение
Fi(x,y, • • .J) = F2{x,y, . . .,2) (F)
называется целым алгебраическим или, кратко, алгеб-
алгебраическим, если F\ и F2 — многочлены.
Уравнение (F) .называется дробным (дробным алгебраи-
алгебраическим или рациональным), если (F\) и (F2) являются рацио-
рациональными функциями, но хотя бы одна из них не является
многочленом.
Уравнение (F) называется иррациональным (ирра-
(иррациональным алгебраическим), если F\ и F2 являются алгебра-
алгебраическими выражениями, причем хотя бы одна из функций
F\ и F2 неявляется рациональной (содержит действие
извлечение корня из выражений от неизвестных).
Элементарная теория 'перечисленного вида уравнений изложе-
изложена в главах V и VI
В частности уравнение F(x, у, .., г) = 0 называется алгеб-
алгебраическим уравнением степени /г, если F(x, r/, ..., г) есть много-
многочлен степени п.
Уравнение называется трансцендентным, если в
правой или левой его части (кроме алгебраических) содержатся
трансцендентные опсфации над неизвестными.
Примеры
1. Система чисел х=0, #=0 есть решение уравнения
х2 — у2 — 2ху,
так как при х=у = 0 значения правой и левой части равны. Система чисел
*=2, у=\ не есть решение этого уравнения, так как при х=2, у=\
(х2 — г/2) = 3 а B*0) = 4.
2. В поле действительных чисел уравнение х2+у2 = 0 имеет единствен-
единственное решение х=у = 0. В поле комплексных чисел это уравнение имеет бес-
182

конечное множество решений, ему удовлетворяет любая пара чисел х, y = ix,
где х— произвольное число.
3. Уравнение
1*1 + \У\ + И = - 1
яе имеет решений (ни в каком числовом поле), так как значение левой части
неотрицательно при произвольных значениях неизвестных.
4. Уравнение
х2+2х + 1—(* + 1J=0
удовлетворяется тождественно при всех значениях неизвестного.
5. Уравнение
||
имеет бесконечное множество решений, множество всех его решений есть
множество всех неотрицательных чисел (как в поле действительных, так и
в поле комплексных чисел).
6. Нижеследующие уравнения являются алгебраическими
х2 + Зх + 1 = 0, х2 — 2ху + 1 = х* — у*.
Нижеследующие уравнения являются дробными:
* — 1 = j х x + y+z _ х j
' x* + y* + z* у
Нижеследующие уравнения являются иррациональными:
Нижеследующие уравнения являются трансцендентными:
х
2У —х=0, sin х= х+1, arctgA:—arctg у = х + у.
Уравнения
х + у = 2, х2 + х~ 1 = 0, х3 — у3 — х — 1 = 0, ху—1 = 0
являются алгебраическими, степени которых соответственно равны 1, 2, 3 и 2.
7. Областью определения уравнения
lg X = X ~ 1
(над полем действительных чисел) является множество всех положительных
чисел, т. е. интервал @, оо). В самом деле, область определения левой части
есть множество всех положительных чисел, а правой части — множество всех
действительных чисел, общей частью этих множеств является множество
всех положительных чисел.
8. Область определения уравнения
находится из условий х — у=?0 и х+у>0, или что то же уфх и у>—х.
На чертеже 38 соответствующее множество точек заштриховано.
183

Определение. Системой k уравнений с неизвестными х,у,...,
..., z называется множество k равенств
Fx(x,y, . . .,z)= F\(x, у, . . .,г)
F2(x,y, . . .,z) = F'2(x, у z)
Черт. 38
• > г) = Fk (х> У> - • • > г)
выражающих следующее суждение:
при данной системе значений неиз-
неизвестных удовлетворяется каждое из
заданных уравнений (F).
При этом всегда правые и левые
части всех уравнений системы рас-
сматриваются совместно в об-
общей части их областей определения,
называемой областью опреде-
определения системы (F). Область опре-
определения системы предполагается н е-
пустым множеством.
Пусть ('а, &, ..., с) — данная (до-
(допустимая) система значений неизве-
неизвестных, тогда -при х = а, у = Ь, ..., z = c
имеет место один из следующих слу-
случаев:
1°. Данное суждение истинно; в этом случае зна-
значение левой части каждого из уравнений системы (F) равно
значению правой части; система чисел х = а, у = 6, ..., z = с
«называется решением системы уравнений (F).
2°. Данное суждение ложно, в этом случае хотя
бы для одного уравнения системы (F) значение левой час*
ти не рав.но значению правой части.
Решить систему уравнений — значит найти множество
всех ее решений.
Система, не имеющая решений, называется противоре-
противоречивой.
Каждое уравнение системы, рассматриваемое в отдельности,
имеет некоторое вполне определенное множество решений (в ча-
частности, быть может, пустое); всякое решение систе\Гы содер-
содержится в множестве решений каждого из уравнений, рассматри-
рассматриваемого в отдельности. Пусть З^, 9R2 ¦-•> ^k множества реше-
решений каждого из уравнений (в отдельности) системы (F), тогда
множество 5И всех решений системы есть общая часть этих
множеств (черт. 39).
Следствие. Если хотя бы одно из уравнений системы (F)
противоречиво, то и данная система является противоречивой.
Пусть, например, уравнение Ft = Ft противоречиво, тогда и
вся система (F) «е имеет ни одного решения. В самом деле, в
184

противном случае, всякое решение системы (F) было бы реше-
решением /-го уравнения, но последнее, по предположению, не имеет
решений.
Черт. 39
Геометрическая интерпретация
В частности система уравнений
Л (*,?) = 0, F2 = (x,y) = 0
изображает множество точек пере-
пересечения линий * (черт. 40)
F1(xyy) = 0 и F2(x,y) = 0.
Система уравнений
F, (х, у, г) - 0, F2(x,y,z) = 0
изображает линию пересечения по-
поверхностей Fx = 0 и ^2 = 0 (в пред-
предположении, что поверхности дейст- Черт. 40
вительно пересекаются по линии).
Если множество всех решений уравнения (или системы урав-
уравнений) можно задать при помощи одной или нескольких (ко-
(конечного числа) формул, то совокупность этих формул называют
общим решением данного уравнения (системы).
* Условия, которым должна удовлетворять функция F, чтобы уравнение
F (х> #)=0 'изображало линию, или уравнение F (х, у, г)=0 изображало по-
поверхность, устанавливаются в курсе математического анализа (см., например,
М. К. Гребенча и С. И. Новоселов. Курс математического анализа,
т. II, § 40). Мы предполагаем эти условия выполненными.
185

Примеры
1. х — 1 = 0 )
\ система двух уравнении с одним неизвестным.
хг = 1 J
} система двух уравнении с двумя неизвестными.
х—у=1J
3. х + 2у + г = 1 1
\ система двух уравнении с тремя неизвестными.
х + 2у + z = 5 J
4. х2 +y2 + z2=\, x + y + z = O, x = y + z
система трех уравнений с тремя неизвестными.
5. В предыдущих примерах, в примере 1, х=\ есть решение системы;
в примере 2, х = 2, у = 1 есть решение системы, а л: = 1, у = 2 не есть
решение системы (последняя пара чисел является решеним первого, но не
второго уравнения); в примере 3 система не имеет решений, так как в про-
противном случае для всякого решения системы многочлен x+2y+z имел бы
два различные значения 1 и 5.
6. Система уравнений
х2+ 1 = 0, х — у+ 1 =0,
рассматриваемая над полем действительных чисел, не имеет решений, так как
первое уравнение не имеет решений в поле действительных чисел. Эта же си-
система имеет в поле комплексных чисел два решения. В самом деле, первое
уравнение имеет бесконечное множество решений:
х= it у и х= — i, у,
где у — произвольное число. Второе уравнение имеет бесконечное множество
решений xt у=х+\, где х — произвольное число. Общим для этих множеств
•являются следующие две пары чисел:
x=/,f/ = 14-t и * = -—/,#= 1 — /,
лающие два различные решения системы.
7. Общее решение уравнения ax-{-by-\-c=Q при афО дается формулой
— by — с
х
а
¦где у—произвольное число. При Ьф$ общее решение этого же уравнения
может быть представлено в виде
ах-\- с
у=— , где х—произвольное число.
Ь
8. Общее решение квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0,
где аф 0, дается следующей формулой
±Y 4ac
Та•
9. Формула
х = (— \)п arc sin m + п it,
где п — произвольное целое число и \т\ <! 1, дает общее решение уравнения
sin x=m.
186

10. Систему уравнений
X — lg (— У) = 2 J
ие имеет смысла рассматривать. В самом деле, для первого уравнения мно-
множество допустимых систем значений для неизвестных определяется из усло-
условия у>0 (верхняя полуплоскость), а для второго уравнения из условия у<0
(нижняя полуплоскость). Области определения левых частей уравнения не
-имеют общих точек.
§ 48. Эквивалентность уравнений и систем уравнений
Определение. Уравнения (или системы)
« Fi = F2 (F)
Ф1==Ф2 (Ф)
с одними и теми же неизвестными х, у, ..., z называются эквива-
эквивалентными над некоторым числовым полем, если множество всех
решений в данном числовом поле первого уравнения (системы)
и множество всех решений второго уравнения (системы) в том
же числовом поле одинаковы.
Следовательно, если всякое решение уравнения (или систе-
системы) уравнений (F) является решением уравнения (или системы)
(Ф), и обратно — всякое решение уравнения (или системы) (ф)
является решением уравнения (или системы) (F), то данные
уравнения (или системы) эквивалентны над тем числовым по-
полем, над которым они рассматриваются.
Противоречивые уравнения (системы) эквивалентны, так как
множество их решений в данном поле пусто: уравнения (си-
(системы) не имеют решений.
Примечание. Для алгебраических уравне-
уравнений возможно учитывать также кратности корней и счи-
считать уравнения
FL=F2 и Фх = Фа
эквивалентными лишь в том случае, когда всякий корень
одного уравнения является корнем той же кратно-
кратности другого уравнения. Во избежание неясностей следует
делать специальную оговорку в рассуждениях, в которых
учитываются кратности корней.
Если не сделано никаких оговорок, то будем считать,
что кратности корией не учитываются.
При решении уравнений (или систем уравнений) возможно
данное уравнение (систему) заменить эквивалентным уравне-
уравнением (системой), ибо при такой замене множество решений
уравнения (системы) остается неизменным.
187

Понятие эквивалентности является относительным,
так как данная пара уравнений (систем), рассматриваемая над,
одним полем, может быть, а над другим полем может ие быть
эквивалентной.
Геометрически замена системы уравнений
F\(x, у) = F\(x, у) ) ,j
у) = р'2 (х, у) \ "
эквивалентной системой
*1 (X, У) = Ф] (X, У)
®2 (X, У) = Ф'2 (X, У)
означает замену двух линий, заданных
уравнениями A), двумя другими линиями,
заданными уравнениями B), причем лини»
B) пересекаются между собой в тех же
Черт. 41 точках, в которых пересекаются между со-
собой линии A).
Определение. Уравнение (или система уравнений) (ф) на-
называется следствием уравнения (системы) (F), если множество
всех решений уравнения (системы) (F) есть часть множества
всех решений уравнения (системы) (Ф).
Иными словами, если уравнение (система) (Ф) есть следст-
следствие уравнения (системы) (F), то всякое решение уравнения (сис-
(системы) (F) есть решение уравнения системы (Ф). Таким образом,
все решения данного уравнения (системы) удовлетворяют вся-
всякому его следствию.
ПустьSRF есть множество всех решений уравнения (системы)
(F),3R<i>— множество всех решений уравнения (системы) (Ф).
Если (Ф) есть следствие (F), то множество ^ф может быть
более широким, чем множество УЛр (схематическое пояснение
см. черт. 41), в этом случае уравнение (система) (Ф) имеет
решения, не являющиеся решениями (F). Такие решения
называются посторонними для уравнения (системы) (F).
Может оказаться, что множество ЗЙф совпадает с мно-
множеством 30fZF *, в этом случае уравнения (системы) (F) и (Ф1
эквивалентны.
Обычно, «а практике уравнение (систему) (Ф) получают из.
уравнения (системы) (F) при помощи некоторых математичес-
математических операций и общих свойств равенств. Тогда уравнение (си-
(систему) (Ф) называют также в ыводным уравнением (систе-
(системой).
* Как известно из элементов теории множеств, всякое множество считается
частью (т. н. несобственной частью) самого себя.
188

Если найдены все решения уравнения (системы) (Ф), выве-
выведенного в качестве следствия из уравнения (системы) (F), то
для нахождения решений уравнения (системы) (F) достаточно
подвергнуть испытанию решения (Ф) посредством подстановки
в (F) и затем отбросить все посторонние решения.
Примеры
1. Уравнения
jca Ч- 1 = 0. *4 + 1=О, х2п+ 1 =0 (где п> 2)
над полем действительных чисел эквивалентны, так как ни одно из них не име-
имеет решений (действительных). Над полем комплексных чисел эти уравнения
не эквивалентны. В самом деле, первое имеет два решения:
второе—четыре решения:
VI
* = ± 0±9.
а третье уравнение имеет 2п решений:
х ='cos —— + i sin—— (где 6=0, 1,2, .., 2л—1).
п а
2. Рассмотрим уравнения
ха+ у* = 0 и |*| + | у |=0.
Над полем действительных чисел они эквивалентны, так как в этом поле каж-
каждое из них имеет единственное решение х — у = 0. Надполем комплексных чисел
эти уравнения не эквивалентны, так как первое имеет бесконечное множество
решений x=iy, а второе — одно решение х=у=0.
3. Над полем действительных чисел система уравнений
эквивалентна уравнению
единственным решением как системы A), так и уравнения B); служит
4. Уравнение
Xi (ci\X + Ьгу + Ci) + Х2 (а2х + Ь2у + с2) — О,
где Xi и ?и2 произвольные данные числа, есть следствие системы
fli* + M + c1 = (
О2* + &2# -f C2 = (
В самом деле, если левые части уравнений B) обращаются в нуль (каж-
(каждая), то обращается в нуль левая часть уравнения A). В общем случае си-
система B) и уравнение A) не эквивалентны. Множество решений первого
уравнения B) изображается прямой а\х+Ь\у + с\ = 0, множество решений вто-
второго уравнения — прямой а2х + Ь2у + с2 = 0. . При axb2 — Ьха2 Ф 0 решение
системы единственно и изображается точкой М (черт. 42) пересечения этих
прямых. Если Xi или Х2 отличны от нуля, то множество решений уравнения
A) изображается прямой линией, проходящей через точку М. Эта прямая
содержит бесконечное множество точек, отличных от точки М.
189

5. Над полем действительных чисел уравнение
V fax + Ь^у + CiJ + (а2х
c2J =0
эквивалентно системе уравнений B) (см. предыдущий пример).
Черт. 42
Пусть дана система п уравнений
Fi = F\, F2=F2, ..., Fn=F'n (Fn)
с неизвестными х, г/, ..., г. Рассмотрим систему, которую обра-
образуют некоторые k (где k<^n) уравнений, выбранные из системы
(Fn ). Для определенности рассмотрим систему, образованную
k первыми уравнениями данной системы (Fn ):
FX^FU F2=F2y ... Fk=Fk; (Fk)
рассмотрим также вторую систему, образованную оставшимися
уравнениями:
Fk+l = Fk+l, Fk+2 = ft+2, . • . , f n = Fn. (Fn-k)
Теорема. Если система уравнений
эквивалентна системе
), то система уравнений
Ф2 ^ Ф2) ф; = ф; |
Fk+2 = F^+2, ..., Fn = F'n ]
эквивалентна системе (Fn).
190

Иными словами, любое множество уравнений, входящих &
состав системы, можно заменить другими уравнениями при ус-
условии, что заменяемые и заменяющие уравнения образуют эк-
эквивалентные системы.
Доказательство. Множество УЯ всех решений данной
системы (Fn) является общей частью двух множеств, множест-
множества УЯк всех решений системы (F^,) и множества УЛп-k решений
системы (F/i-л) оставшихся уравнений. В силу эквивалентнос-
эквивалентности систем (F^) и (Ф7) они имеют одно и то же множество 90^
всех решений. При замене уравнений (F*) уравнениями (Ф;)
оба множества ЗЛ* и 39?л_^ не изменятся, а потому не изменит-
изменится и их общая часть. Следовательно, системы (Fn) и (Ф, F), как
имеющие одно и то же множество всех решений, эквивалентны,
ч. т. д.
В частности, всякое уравнение, входящее в состав системы
уравнений, можно заменить эквивалентным уравнением.
Теорема. Если какое-либо из уравнений, содержащихся в
системе, есть следствие прочих уравнений (той же системы), то-
это уравнение может быть отброшено.
Доказательство. Пусть, например, последнее уравне-
уравнение системы
Fx=F'u F2 = F*2, ..., ^-1=^-1, Fn=*F'n (Fn>
есть следствие предыдущих (или некоторых из предыдущих);
требуется доказать, что система (Fn) эквивалентна системе
В самом деле, всякое решение системы (Fn_j ) есть решение
системы (Fn), так как уравнение Fn = F* , будучи следствием
уравнений (Fn—i ), удовлетворяется произвольным решением си-
системы уравнений (Fn_j). Обратно, всякое решение системы (Fn)
есть решение системы (Fn_j), так как всякое решение системы
(Fn) есть решение общее для всех уравнений (Fn_j), ч. т. д.
Следствие. Всякое уравнение системы, удовлетворяюще-
удовлетворяющееся тождественно, может быть отброшено.
В самом деле, для всякого уравнения, удовлетворяющегося
тождественно, множеством всех решений служит вся область
определения системы; это уравнение удовлетворяется решениями
прочих уравнений системы, а потому является их следствием.
§ 49. Преобразование уравнений
При решении уравнений широко применяются тождествен-
тождественные преобразования левой и правой частей данного уравнения.
Если тождественные преобразования не изменяют область опре-
определения уравнения, то данное и преобразованные уравнения эк-

бивалентны. Если тождественные преобразования изменяют об-
область определения уравнения, то может измениться и множество
всех его решений. Следовательно, выполнение тождественных
преобразований частей уравнения может привести к уравнению,
не эквивалентному данному.
В частности, если в результате преобразования область опре-
определения уравнения расширяется, то может расшириться и мно-
множество всех его решений. Посторонними (для данного уравне-
уравнения) будут решения преобразованного уравнения, принадлежа-
принадлежащие множеству систем значений неизвестных, на которое рас-
расширилась область определения уравнения; если таких решений
не окажется, то данное и преобразованное уравнения эквива-
эквивалентны.
Если тождественное преобразование сужает область опреде-
определения уравнения, то возможна потеря решений. Потерянными
окажутся решения данного уравнения, принадлежащие множеа -
ву систем значений неизвестных, на которое сужается область
его определения. Если ни одна из систем значений неизвестных,
исключающихся из области определения данного уравнения, не
удовлетворяет этому уравнению, то преобразованное уравнение
эквивалентно данному.
Так, например уравнения
над полем действительных чисел в общем случае не эквивалент-
эквивалентны, так как для первого уравнения допустимые значения неизве-
неизвестного должны удовлетворять условиям f(x) > 0, ф(х) >0, а
для второго лишь одному условию f(x) ф (х) >0.
То же относится и к уравнениям
для первого уравнения функции f(x) и у(х) должны удовлетво-
удовлетворять условиям f(x) > 0 и ф(х) > 0, а для второго — условию
f(x) V(х) >0.
Пример. Уравнения
Vx—\ VVfl =2 V<2 A)
и
Vx2— l=2l/2 B)
над полем действительных чисел не эквивалентны: первое уравнение имеет
единственное решение х = 3, второе уравнение имеет два решения хх = —3
и х2 = 3. Область определения уравнения A) есть полусегмент l<x<-f-oo,
область определения уравнения B) состоит из двух промежутков
—oo<*< —1 и 1 <х< + оо. Корень Х\ — —3 принадлежит полуинтервалу
— оо < х < —1, на который расширилась область определения уравнения.
При переходе от уравнения B) к уравнению A) область определения су-
сужается и происходит потеря корня Х\ = —3.
192

В практике решения уравнений обычно из данного уравне-
уравнения (системы) в качестве следствий выводят другие уравнения
(системы) так, чтобы получить уравнение (систему), решения
которого известны. Поэтому, существенно установить в общем
виде, какие операции приводят к уравнению (системе), эквива-
эквивалентному либо >не эквивалентному данному уравнению (системе).
Общий признак. Если уравнение (система)
*1 = Ф2 (•)
есть следствие уравнения (системы)
F, = F2, (F)
a (F) есть следствие (Ф), то уравнения (системы) (F) и (Ф)
эквивалентны.
Этот признак является лишь иным словесным выражением
определения понятия эквивалентности, так как по условию вся-
всякое решение уравнения (системы) (F) должно быть решением
(Ф) и обратно, всякое решение (Ф) должно быть решением (F).
Теорема. Уравнения
и F(x, у, ..., z) = F^x, у, ..., z) (F)
F (х, у, ..., z) -f о. (х, у, ,.., z) = Fx (*,*/,..., г) - j- со (х, у, ... , г)
(F + co)
эквивалентны, если функция со (я, у, ..., z) имеет смысл в области
определения уравнения (F).
Эту теорему формулируют в виде правила: к обеим частяч
уравнения можно прибавить одно и то же слагаемое.
Доказательство. Если при некоторых значениях неиз-
неизвестных значения выражений F и Fx одинаковы, то одинаковы
также и значения выражений F + со и F\ + со, поэтому всякое
решение уравнения (F) является решением (F + со), т. е. урав-
уравнение (F + co) является следствием уравнения (F). Обратно, урав-
уравнение (F) есть следствие (F + со), так как, чтобы получить (F),
достаточно к обеим частям уравнения (F + со) прибавить
— со(х, у, ..., z). Следовательно, уравнения (F) и (F + со) эквива-
эквивалентны, ч. т. д.
Следствие. Прибавив к обеим частям уравнения
F (х, У, .. ., z) -f а (л:, //, ..., г) = Ф (х, у, ... , г)
одно и то же выражение—а(х, у,...,г), получим эквивалентное
уравнение:
F (х, у, ... , г) = Ф (х, у, ..., г) — а (х, у, ..., z),
в котором слагаемое а находится с противоположным знаком
в другой части. Правило переноса формулируют так: слагаемое
можно перенести из одной части уравнения в другую с противо-
противоположным знаком. В частности, всякое уравнение
13 С. И. Новоселов 193

мож,но заменить эквивалентным уравнением вида
В самом деле, для этого достаточно перенести функцию F2 в
левую часть:
F.-F^O.
Если область определения функции со(л:, у, ..., г) уже области
определения данного уравнения, т. е. если слагаемое со имеет
смысл не при всех допустимых системах значений неиз-
неизвестных, то при переходе от уравнения (F) к уравнению (F + со)
произойдет сужение области определения. Потеря решений про-
произойдет, если слагаемое со(л:, у, ..., г) теряет смысл при каких-
либо системах значений неизвестных, являющихся решениями
данного уравнения. Уравнения (F) и (F + со) эквивалентны, если
слагаемое со(л:, у, ..., z) имеет смысл при всех системах значении
неизвестных, удовлетворяющих данному уравнению.
Примеры
1. Уравнения х + 1 = 0 и log х + х + 1 = log x не эквивалентны. В самом
деле, единственное решение первого уравнения х = —1 не удовлетворяет
второму, так как log (—1) не имеет смысла.
2. Уравнения х2 = 1 и .х2 -4- = 1 4 эквивалентны, так как при
х—2 х—2
переходе от первого уравнения ко второму из области определения исклю-
исключается число 2, не удовлетворяющее первому уравнению.
3. Прибавив к обеим частям уравнения jc + = — слагаемое ——>
XX X
получим х = 0, что не является решением данного уравнения.
Причиной появления постороннего решения является выполнение тож-
тождественных преобразований. Прибавив к обеим частям данного уравнения
слагаемое — —', получим уравнение
х
эквивалентное данному с той же областью определения, состоящей из всех
чисел (данного поля), отличных от нуля; выполнив тождественные преобра-
преобразования, получим уравнение х — 0, областью определения которого служит
множество всех чисел (данного поля).
Теорема. У равнения
F{x, у, ..., г)- Fx(x, у, ...,г) (F)
и
ю(х, у, ..., z)F(x, у, ..., г)= ш(х, у, ..., z)FL(x, у, ..., z) (coF)
эквивалентны, если функция co(x, у, ..., z) имеет смысл и от-
отлична от нуля при всех системах значений аргументов, допусти-
допустимых для уравнения (F).
194

Эту теорему формулируют в виде правила: уравнение можно
умножить на любое неравное нулю выражение.
Доказательство. Если значения обеих частей уравне-
уравнения (F) равны, то равны и значения обеих частей уравнения
(coF). Поэтому уравнение (coF) есть следствие (F). Обратно,
уравнение (F) есть следствие уравнения (coF). В самом деле,
выражение — имеет смысл при всех допустимых системах зна-
чений неизвестных, ибо со(х, у, ..., г) Ф 0; умножив (coF) почлен-
iKO на —, получим в качестве следствия (F), ч. т. д.
Следствие. Обе части уравнения можно умножить на
произвольное, отличное от нуля, число.
Если множитель (o(x, у, ..., г) может обращаться в нуль при
некоторых допустимых значениях неизвестного, то в общем слу-
случае уравнения (F) и (coF) неэквивалентны. В самом деле, урав-
уравнению (coF) удовлетворяют все числа, обращающие в нуль о>,
т. е. все корни уравнения со = 0. Но среди корней последнего
уравнения могут быть числа, не являющиеся корнями уравне-
уравнения (F).
Так, например, уравнение Зх + 1 = 2х имеет корень х = —I,
•но уравнение
(х — 2)C* + \) = (х — 2). 2х9
кроме х = —1, имеет корень х = 2.
При переходе от уравнения (F) к уравнению (coF), где
о (л:, у у ..., z) Ф 0, произойдет потеря решений, если множитель о)
теряет смысл при некоторых системах значений неизвестных, яв-
являющихся решениями уравнения (F); потери решений не про*
изойдет, если множитель со не теряет смысла ни при каких систе-
системах значений неизвестных, удовлетворяющих уравнению (V).
В практике решения уравнений существенно иметь в виду
следующее положение: при выполнении над обеими частями
уравнения некоторой операции, для которой обратная операция
не является однозначной, может получиться уравнение, не экви-
эквивалентное данному.
Поясним сказанное на нижеследующих двух примерах.
I. Если обе части уравнения возвести в некоторую (целую
положительную) степень, то в общем случае получится уравне-
уравнение, не эквивалентное данному. В самом деле, уравнение
[F, (*, у, ..., z)]n = [F2 (х, у, ..., г)\п (Fn)
есть следствие уравнения
Fi(x, У, .... ^) = F2(xy у, ..., zl (F)
Но, кроме решений уравнений (F), уравнению (Fn) удовлет-
удовлетворяют решения любого из уравнений.
Fi(x, У, ..., z)=BF2(xfy, _,*), (*F)
13* 195

где е — произвольное значение корня п-й степени из 1. В самом
деле, по возведении обеих частей уравнения (eF) в п-ю степень
получим в качестве следствия уравнение (Fn ).
Обратно, всякое решение (в данном числовом поле) уравне-
уравнения (Fn ) удовлетворяет уравнению (eF), где е некоторое, впол-
1не определенное (в общем случае) значение корня из 1 (е при-
принадлежит тому полю, над которым рассматривается уравнение).
В самом деле, если при данной системе значений неизвестных
Fn ( F \n F
рп __ рпф§ то имеем——= I —— I ¦= 1; следовательно, —— = г
Fn \ F I Fn
и F\ = eF2 (где е одно из значений у 1 ).
Если е Ф 1, то рассматриваемое решение уравнения (Fn) яв-
является посторонним для уравнения (F).
Если F\ = F2 = 0, то уравнение (eF) удовлетворяется при лю-
любом е (из данного поля).
Над полем действительных чисел при нечетном п уравнения
п/
(F) и (Fn) эквивалентны. В самом деле, У 1 при нечетном п
имеет лишь одно действительное значение. При п четном V 1
имеет два действительные значения ±1, поэтому все решения
уравнения (Fn) удовлетворяют одному из уравнений (F) и
Fx = ~F2.
II. Уравнения
Р1^= F2 и sin Fi ~ sin F2
в общем случае не эквивалентны. В самом деле, из равенства
значений синусов следует, что
/4 = (-!)"• ^2 + 1* (!)
(где п — любое целое число). Кроме решений первого уравнения,
второму уравнению удовлетворяют решения каждого из уравне-
уравнений A), которые получаются при п = +1, +2, ±3, ...
Никакой общей теорией невозможно предусмотреть многообразие преоб-
преобразований, выполнение которых мэжет привести к уравнению, не эквивалент-
эквивалентному данному. В каждом конкретном случае должно производиться спе-
специальное исследование. Ниже в качестве образца рассмотрен ряд конкрет-
конкретных примеров преобразования уравнений. Этими примерами не исчерпывают-
исчерпываются различные преобразования, применяющиеся в практике решения уравне-
уравнений.
1°. Если обе части данного уравнения
IWJiW- m
заменить обратными по величине выражениями, то получится уравнение
Область определения находится из условий: для уравнения (I)
196

для уравнения (II)
fW^O; П(х)фО (b)
(кроме подразумевающегося условия: все функции /, fb ф, ф! должны иметь
смысл). Всякое значение х (если оно существует), при котором выполнено
условие (Ь) и
Ч(х)=ъ(х) = 0*,
служит корнем уравнения (II), но не является корнем уравнения (I). Всякое
значение х, при котором выполнено условие (а) и
f(x) = fk(x) = O,
служит корнем уравнения (I), но не является корнем уравнения (II). Следо-
Следовательно, уравнения (I) и (II) могут не быть эквивалентными.
Так, например, заменим уравнение —=—— уравнением х = х2. Послед*
X X
нее уравнение имеет два решения Х\ = 1 и х2 = О, однако, данному уравне-
уравнению удовлетворяет лишь первый корень хх = 1, а второй является посторон-
посторонним.
2°. Составим из равенства (I) следующую производную пропорцию:
f (*) + ?(*) _ fl (*)+?!(*)
Для уравнения (III) область определения находится из условий
f(x)*4(xY, П(х)Ф ?i W. (с)
Всякое значение х, для которого выполнено условие (с), и
служит корнем уравнения (III), но не является корнем уравнения (I). Всякое
значение jc, для которого выполнено условие (а) и
f (х) = <р (х) и fx (х) — срх (л:),
служит корнем уравнения (I), но не является корнем уравнения (III) **.
Рассмотрим, например, уравнение
х2 ~х + 2 х + \
х* + х + 2 ~ Зх+1 A)
Составив указанным способом производную пропорцию, получим:
2х2 + 4 \х + 2
-2х = -2х в B)
Для последнего уравнения х == 0 не есть допустимое значение неизвест-
неизвестного. Умножив обе части на —2х, получим
2х2 + 4 = 4х + 2,
откуда
2 (х IJ = 0 и х = 1
Кроме корня * = 1, данное уравнение имеет корень х = 0.
* Заметим, что значения х, при которых ф! (х) =0, но ф1(*) =?0 или
ф1 = 0, ф=г 0, или f = 0, fi т^ 0, или f ^ 0, /i = 0, не могут служить решения-
решениями ни уравнения (I), ни уравнения (II).
** Следует заметить, что значения х, при которых ф = 0, ф^О или ф^0,
Ф1 = 0, или f — ф Ф 0, f 1 — ф! = 0, или f — ф = 0, f 1 — ф Ф 0, не могут слу-
служить решениями чи уравнения (I), ни уравнения (III).
197

3°. Уравнения
над полем действительных чисел в общем случае не эквивалентны, так как
для второго уравнения допустимые зна^ -ния неизвестного должны удовлет-
удовлетворять дополнительным условиям
/(х)>0, <р(х)>0.
Аналогичное замечание относится к уравнениям (основание логарифмов
произвольное)
для второго уравнения допустимые значения неизвестного цолжпы удовлетво-
удовлетворять дополнительным условиям f (х) > 0 и ф(я) > 0.
Так, например, логарифмируя обе части уравнения
хъ = х, получим: 31og х = log х,
откуда 21og х=0 и х=\. Кроме этого, данное уравнение имеет еще два
решения х = 0 и х = —1, не являющиеся решениями второго уравнения.
§ 50. Совокупность уравнений
Определение. Совокупностью k уравнений
Fi{*> У, •... *)'¦= Фх(*, у, ..., г),
^2 (*, 0, ...,*)-= Ф2 (х, у, ..., г),
*¦*(*, У, .... г) = Фл(х, у, ..., г)
называется следующее суждение: при данной системе значе-
значений неизвестных удовлетворяется хотя бы одно из уравнений
данной совокупности.
Систему чисел (а, Ъ, ..., с), при которой высказанное сужде-
суждение истинно, будем называть решением данной совокупности
уравнений; при подстановке х = а, у = Ь, ..., z = с хотя бы
одно (но не обязательно все) из данных равенств окажется
верным.
Чтобы решить совокупность уравнений, достаточно решить
каждое из уравнений Fl = Ф1 в отдельности, а затем объеди-
объединить в одно множество все полученные решения. Таким образом,
если УЯЪ ЗЯ2> • • • > 3W* суть множества всех уравнений F\ = Фь
F2 = ф2, ..., Fk = Ф^ (соответственно), то множество ^Я всех
решений данной совокупности есть сумма (в теоретико-множес'1-
венном смысле) этих множеств:
В предыдущих рассуждениях предполагается, что левые и
правые части всех данных уравнений рассматриваются совмест-
совместно в общей части их областей определения. Если (некоторая систе-
система чисел удовлетворяет какому-либо из уравнений данной сово-
совокупности, например, первому, но при этом теряют смысл левая
198

или правая часть, хотя бы одного из прочих уравнений совокуп-
совокупности, то такая система чисел не считается решением совокупно-
совокупности.
Геометрическая ин-
интерпретация. Совокуп-
Совокупность уравнений F\(x, y)=0,
^2(*, У) = 0 изображает па-
пару линий, т. е. линию, со-
составленную из точек обеих
данных линий.
Теорема.. Если левая
часть уравнения
F (#, у, ..., z) = О (F)
разлагается на множители:
F(xy у, ..., z) =Fx(x9 */,...,
..., г) - F2(x, у, ..., г) ...
• -.Fk(x, у, ..., г),
то уравнение (F) эквивалент- Черт. 43
но совокупности уравнений,
полученной поочередным приравниванием нулю сомножителей
левой части:
F, = О, F2 = 0,
Fk = 0.
Доказательство. Всякое решение уравнения (F) удов-
удовлетворяет хотя бы одному из уравнений совокупности (F/) так
как для равенства произведения нулю необходимо, чтобы хотя
бы один из сомножителей был равен нулю. Обратно, всякое ре-
решение совокупности уравнений (F^ есть решение уравнения (F),
так как, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то и
произведение равно нулю, ч. т. д.
Примеры
1. Решить уравнение (х— 1) (х + IJ (х2 + 1) = 0.
Решение. Приравняв поочередно нулю сомножители, получим сово-
совокупность уравнений:
х— 1=0, (jt-f 1J = 0, х2+1=0.
Взяв множество решений всех этих уравнений, получим корни данного урав-
уравнения х = 1, х = —1 (двукратный корень) и х = ± i.
2. Решить уравнение
Решение. Приравняв поочередно нулю сомножители, получим три
уравнения:
1) х— 1=0, откуда х—\\
2) х2 + 1 = 0, откуда х = i и х = — г,
^ ~~t iT7 = ^» не имеет решений.
199

Решения данного уравнения суть х = i и х = —i. Корень первого урав-
уравнения х = 1 следует исключить. В самом деле, число 1 не принадлежит мно-
множеству допустимых значений неизвестного, ибо при х = 1 левая часть исход-
исходного уравнения теряет смысл.
3. Решить уравнение
Решение. Приравняв нулю по отдельности сомножители, получим:
^-{-1=0, откуда х =%—1; logx=0, откуда х — 1.
Но х = —1 не есть допустимое значение для неизвестного, ибо при
х =—1 теряет смысл log*, а следовательно, и вся левая часть исходного
уравнения.
§ 51. Основные способы решения систем уравнений
Одним из основных методов решения систем уравнений яв-
является метод подстановки.
Допустим, что известно общее решение одного из уравнений
системы:
Fi(x9 у, ..., z) = 0
F2 (х, у, .,., z) = 0 (р
Fn(x, у, ...,г)=0
например, уравнения
Предположим, далее, что общее решение уравнения (Fi) за-
задано формулой, выражающей одно неизвестное, например х, че-
через другие*:
х=х(у, ..., г): (х)
Всякое частное решение уравнения (Fi) получается, если не-
неизвестным у, .. ., z придать некоторую определенную (допусти-
(допустимую) систему численных значений. При всех (допустимых) зна-
значениях у, ..., z имеет место тождество (относительно у, ..., z)
F!(x(y, ..., г), у, .,., z)=0. A)
Теорема 1.Если х = х(у, ..., z) есть общее решение уравне-
уравнения (Fi), то система (F) эквивалентна систсче:
Fn(x(y, ..., г), г/,..., г) = 0
(F)
* Элементарная математика ограничивается рассмотрением лишь этого
частного случая.
200

Доказательство. Всякое решение системы (F) х — аг
у = Ь, ..., z = c есть решение системы (?'). В самом деле, си-
система чисел х = а, у = Ь, ..., z = c есть решение уравнения fi = 0,
следовательно, оно (решение) содержится в формуле общего
решения этого уравнения:
а = *(Ь, ..., с).
Итак, последнее уравнение системы (F') удовлетворяется;
подставив в прочие уравнения значения у = Ь, ..., z = c, получим:
F*[x(b, ..., с), 6, ..., c)=F2(a, Ъ, ..., с) = О,
Fn(x(b, .... с), 6, ...,c)=Fn(a,b, ..., с) = 0.
В самом деле F2(a, Ъ> ..., с) = ... = Fn(а, 6, ..., с) = 0, так
как по условию (а, 6, ..., с) есть решение системы (F).
Обратно, всякое решение системы (F') есть решение системы
(F). В самом деле, если система чисел (а, 6, ... , с) удовлетво-
удовлетворяет уравнениям (F'), то имеем:
а = х(Ь, ..., с).
Положив в тождестве A) у = Ьу ..., z = c, получим:
Fxixib, ..., с), 6, ..., с) = Л(а, 6, .... с) = 0.
Следовательно, первое уравнение системы (F) удовлетворя-
естся. Так как система чисел у = 6, ..., z = с удовлетворяет пер-
первым п—1 уравнениям (F'), то имеем:
F*[x(b> ..., с\ Ъ, ..., c) = F2(a4 6, ..., с) = О,
Следовательно, удовлетворяются и все прочие уравнения си-
сгемы (F).
Если одна из систем (F) или (F') противоречива, то и дру-
другая противоречива, так как в противном случае всякое решение
непротиворечивой системы оказалось бы решением противоре-
противоречивой системы.
Из изложенного следует эквивалентность систем (F) и (F/)>
ч. т. д.
Доказанная теорема служит обоснованием способа подста-
подстановки. Этот способ излагается в виде следующего правила.
Правило. При решении системы уравнений методом под-
подстановки следует:
1°. Решить одно из уравнений системы относительно
какого-нибудь неизвестного, выразив его через прочие неизвест-
неизвестные (формула (х)).
2°. Исключить это неизвестное, подставив найденное выра-
выражение в прочие уравнения системы.
201

После подстановки получится система, в которой число урав-
уравнений и неизвестных на 1 меньше, чем в первоначальной систе-
системе (первые п— 1 уравнений системы (F)').
3°. Решить полученную систему (относительно неизвестных
У, ...* г).
4°. Для каждого решения последней системы вычислить соот-
соответствующее значение исключенного неизвестного (подстановкой
в формулу (х)). (Примеры применения способа подстановки
см. в следующих параграфах: 69, 70, 74, 88, 90, 95.)
Для решения системы уравнений, о которой говорится в
пункте 3°, в свою очередь, можно применить метод подстановки,
это еще раз понизит на 1 число уравнений и число неизвестных
и т. д.
В практике решения систем уравнений широко применяется
следующий способ: некоторые из уравнений, входящие в состав
системы, умножаются (почленно) на специально подобранные
множители, а затем почленно складываются. Эта операция «ком-
«комбинирования» может повторяться несколько раз применительно
к разным уравнениям, входящим в состав системы. Множители
подбираются так, чтобы в результате «комбинирования» получи-
получилась (как следствие) система уравнений, решающаяся уже изве-
известным методом.
Так, например, складывая и вычитая уравнения
^1 = 0, F2 = 0, } (F)
в качестве следствия из (F) получим систему:
7^ + ^=0, /ч-^ = 0. } (F')
Системы: (F) и (F') эквивалентны. В самом деле, систему
(F) в свою очередь можно вывести в качестве следствия из си-
системы (F'); для этого достаточно разделить почленно на 2 урав-
уравнения (F') и затем сложить и вычесть:
-j (/Ч + F2) + ±-(FL-F2) = Fx = 0,
(F+ FJ^iF F)^ F 0
Теорема //. Системы уравнений
Л = 0, Ft=O, ..., Fn = 0 } (F)
и F, = О, }
«мЛ + п?л + «зз^з = О, [ (mF)
^ -I- /и F-4- -l-m F — О
202

эквивалентны, если каждый из «диагональных» множителей
W-22, т>гг, . • • > тПп отличен ui нуля.
Разъяснение. Множители mik могут быть числами или
функциями от неизвестных, в последнем случае условие теоремы
требует, чтобы каждый из множителей т22, я*зз, • • > тпп был
отличным от нуля во всей области определения системы.
Доказательство. Всякое решение системы (F) есть ре-
решение системы (mF), так как при всех значениях неизвестных,
при которых функции Fu F2i ..., Fn обращаются в нуль (каж-
(каждая), обращаются в нуль и левые части всех уравнений системы
(mF). Обратно, всякое решение системы (mF) есть решение си-
системы (F). В самом деле, пусть при некоторых значениях неиз-
неизвестных обращаются в щлъ левые части (mF). Если F± = 0, то
второе равенство системы (mF) принимает вид m^F2 = 0, но
так как т22^0, то F2 = 0. Далее, из равенств /гг = /72 = 0 и из
третьего равенства (mF) следует тъъръ = 0, откуда ^з = 0, и так
далее, и, наконец, из равенств /7i = /72= ••• = /7rt_i =0 вытекает
tnnnFn =0, откуда Fn =0. Итак, всякое решение системы (mF)
есть решение системы (F).
Из изложенного следует эквивалентность систем (F) и (mF),
ч. т. д. (Примеры применения способа комбинирования уравне-
уравнений см. в параграфах 70, 71, 74, 90.)
В частности, системы:
эквивалентны. Нижеследующие системы
/4=0,
F2=0 I
Z7! —^2=0,
и т. п. эквивалентны системе
Ft = 0, F2= 0, /-3 = 0.}
Доказанная теорема является частным случаем следующей общей тео-
теоремы.
Теорема. Если детерминант
ГП22 ... m2n
тП1 m*2 • • • mnt
отличен от нуля в области определения системы (F), то системы
/г1=0, /72=0> ...yFn — Q \
(F)
203

-+- m2nFn = 0
(mF>
эквивалентны.
Доказательство. При выполнении равенств (F) выполняются так-
также равенства (mF). Обратно, если значения функций F/ удовлетворяют си-
системе линейных однородных уравнений (mF) с неравным нулю детер-
детерминантом, то F\ = F2 == ... = Fn = 0. Следовательно, системы (F) и (mF)
эквивалентны, ч. т. д.
Различные частные приемы, применяющиеся при решении
систем уравнений, невозможно предусмотреть общей теорией.
При применении этих приемов вопрос об эквивалентности сис-
систем, получающихся из данной системы, подлежит специальному
исследованию.
Примеры
1. Для решения системы
F1F2 = 0, Ф=0) A)
достаточно решить совокупность двух систем
F9 = 0
В самом деле, всякое решение системы A) удовлетворяет уравнению
F\F2 = 0, откуда F\ = 0, или F2 = 0 и, кроме того, Ф = 0. Следовательно,
удовлетворяется хотя бы одна из систем B) или B'). Обратно, если удовлет-
удовлетворяется система B) или B7) то Л = 0 или F2 = 0 и, следовательно, FXF2 — О
и так как Ф = 0, то удовлетворяется система A).
2. Рассмотрим две системы:
F Ф = F, Ф
(i ;
Система B) есть следствие системы A), так как из равенств (I) вытека-
вытекают равенства B). В общем случае системы A) и B) не эквивалентны. В са-
самом деле, пусть удовлетворяется система B), причем F = F{-? 0, тогда из
первого уравнения B) получим Ф = Фь т. е. удовлетворяется система A).
Если же F — F\ = 0, то удовлетворяются оба уравнения B), однако, урав-
уравнение Ф = Ф1 может не удовлетворяться, такие решения явятся посторонни*
ми для системы A).
§ 52. Решение уравнений при дополнительных условиях
Нередко на допустимые значения неизвестных налагаются
дополнительные условия; эти дополнительные условия
могут быть различными. Так, например, можно поставить усло-
условие, чтобы некоторые из неизвестных были либо целыми, либо
положительными, либо рациональными числами, чтобы значения
204

неизвестных удовлетворяли .некоторым неравенствам и т. п. Раз-
Различные условия обычно возникают при решении задач посредст-
посредством составления уравнений, эти условия устанавливаются в со-
соответствии со смыслом задачи. Так, например, если неизвестное
обозначает число людей, то допустимыми его значениями явля-
являются натуральные числа, если неизвестное обозначает длину от-
отрезка, то его допустимые значения положительны, если неизвест-
неизвестное обозначает цифру в десятичной системе нумерации, то его
допустимые значения суть 0, 1, 2, 3, ... , 9 и т. п.
Не исключена возможность, что выражения, служащие пра-
правой и левой частями уравнения, имеют более широкую область
определения, чем множество допустимых систем значений неиз-
неизвестных, определяемое условиями задачи. Если
откинуть эти условия, то множество допустимых систем значе-
значений аргументов расширится. Будем рассматривать уравнение
(или систему) при расширенном множестве допустимых значе-
значений неизвестных, а откинутые условия как дополнительные. В
множестве всех решений (без дополнительных условий) уравне-
уравнения (системы) в частности содержатся все его решения, удовлет-
удовлетворяющие дополнительным условиям. Отсюда вытекает следу-
следующее часто применяющееся правило решения уравнений (сис-
(систем) при дополнительных условиях.
Правило. Чтобы решить уравнение (систему) при дополни-
дополнительных условиях, достаточно решить данное уравнение (систе-
(систему) без этих условий, и из полученного множества всех решений
выбрать решения, удовлетворяющие дополнительным условиям.
Примеры
1. Найти такое число /г, чтобы
1 +2+34- ... +п= 15.
Решение. По смыслу задачи п должно быть натуральным числом. Вы-
Выполнив суммирование, получим:
( + 0
1.2
следовательно, д должно удовлетворять квадратному уравнению:
п« + п — 30=0. A)
Это последнее уравнение можно рассматривать над полем комплексных
чисел, считая для д допустимыми произвольные комплексные значения. В этом
поле данное квадратное уравнение имеет два решения д = 5 и д = —6, из
которых натуральным является число 5. Итак, д = 5 есть единственное реше-
решение уравнения A) при данном дополнительном условии.
2. Задача. Имеется 32 сосуда двух размеров. Из двух различных со-
сосудов объем большего на два литра больше объема меньшего. Общий объем
больших и общий объем малых сосудов один и тот же — 60 л. Определить
количество больших и малых сосудов.
Решение. Пусть х — число больших сосудов, тогда
о2 — х — число малых сосудоь,
60
— объем большого сосуда,
60
— — объем малого сосуда.
о2 — х
205

По условию
60 _ 60
х 32 — х ~~
Откуда
х2 — 92л; + 960 = 0.
По смыслу задачи неизвестное х должно удовлетворять следующим до-
дополнительным условиям:
a) х — натуральное число;
b) х<32.
Решив квадратное уравнение без учета дополнительных условий, по-
получим два решения:
Xi = 12, х2=^80.
Из этих двух чисел условию а) удовлетворяют оба, условию Ь) удовле-
удовлетворяет первое.
Следовательно, больших сосудов было 12, малых сосудов было
32-12 = 20.
3. Вычислить углы А, В и С треугольника, выраженные в градусах, если
А + В = 120° и А — С - 130°.
Решение. Для А, В к С имеем систему уравнений
Л+? = 120; Л —С = 130; Л + Б+С=180
при дополнительных условиях Л > 0, В > 0, С > 0. Решив систему без учета
дополнительных условий, получим единственное решение Л = 190, В — —70,
С = 60. Задача не имеет решений, так как полученное решение не удовлет-
удовлетворяет дополнительным условиям.
§ 53. Уравнения, содержащие параметры
Рассмотрим уравнение
F(x, у, ..., г; а, р, ..., т) = 0 (F)
с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами а, ?$, ..., т*> при
всякой допустимой системе значений параметров сю, Ро, • • •, уо
уравнение (F) обращается в уравнение
F(x, У, ..., г\ сс0, р0, ..., to) = 0 (Fo)
с неизвестными х> у, . . ., z, не содержащее параметров. Урав-
Уравнение (Fo) имеет .некоторое вполне определенное множества
(быть может, пустое) решений.
Аналогично рассматриваются системы уравнений, содер-
содержащих параметры. Допустимыми системами значений парамет-
параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в
отдельности.
Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее-
параметры, это значит, для каждой допустимой системы значе-
значений параметров найти множество всех решений данного урав-
уравнения (системы).
Понятие эквивалентности применительно к уравнению, со-
содержащим параметры, устанавливается следующим образом1.
206

Определение. Два уравнения (системы)
F(x9 у, . . . ,z; а, ?, . . . Т) = О, (F)
Ф(*. у, . . . ,?; а, В, . . ., Т) = О (Ф)
с неизвестным х, y,,..f z и с параметрами а, C,..., у называются
эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество
допустимых систем значений параметров одно и то же и при вся-
всякой допустимой системе значений параметров оба уравнения
(системы уравнений) эквивалентны.
Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой
системе значений параметров имеют одно и то же множество
решений.
Преобразование уравнения, изменяющее множество допусти-
допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не
эквивалентному данному уравнению.
Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в
уравнении
F(x, у,. . .,*; О, . . ., T) = 0 (F)
задано в виде некоторой функции от параметров:
Говорят, что сист'ема функций (X), заданных совместно, удов-
удовлетворяет уравнению (F), если при подстановке этих функций
вместо неизвестных х, у,..., z в уравнение (Р) левая его часть
обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях
параметров:
Р, • • -Л), 0(«, ?, • • .,7). • • ., 2(а, р, . . .,Т);
а, ?, • • . , 7^ 0.
При всякой допустимой сист'еме численных значений парамет-
параметров а = с*о, р = Cо,—, 7 = 7о соответствующие значения функций (X)
образуют решение уравнения
F(x, у, . . . , г; а0, %, . . . д0) = 0.
Примеры
1. Уравнение
V 1 — а2х* + (Ь - а) х + ]/* б2 — а* ,= 0,
рассматриваемое над полем действительных чисел, содержит два параметра
а и Ь. Допустимые значения параметров определяются из условий:
М<1 И |6|>|а|.
Так, например, системы а = 0, 6=1; а——, 6= — ];
а = — —-, 6 = —- — допустимые.
3 2
207

Положив а — О, 6 =¦ 1, получим уравнение _л? + х + 1 =* 0; положив
1 и 1 "^ з )/"з
= —, 6 = — 1, получим —-— х2 — — х + —-— = U,
Системы а — 2 6 = 0; а = *—, 6 = — не являются допустимыми.
" 2 4
2. Для уравнения
а* + х + 1 = О
допустимые значения а определяются условием а > 0, так как функция а
в элементарной математике рассматривается лишь при положительном осно-
основании.
Черт. 44
3. Для уравнения
т— 1
-4-1=0.
A)
множество допустимых значений параметра т определяется условием т ф 1.
Умножив уравнение нат-1, получим:
jc -{- ш — 1 = 0. (^j
Для последнего уравнения т = 1 является допустимым значением пара-
параметра. При этом значении левая часть уравнения A) теряет смысл, а урав-
уравнение B) имеет решение х = 0. Уравнения A) и B) не эквивалентны.
4. Рассмотрим два уравнения:
lgx-\-\gy=\ga П) и ху=а. B)
Для первого уравнения допустимые значения неизвестных и параметра
определяются из условий
х>0, у>0, а>0.
Для второго уравнения допустимыми являются произвольные значения
неизвестных и параметра. Урвнения A) и B) не эквивалентны. На чертеже 44
208

показаны линии (гиперболы), изображающие данные уравнения при различ-
различных значениях параметра.
5. При решении квадратного уравнения.
ах2 + Ьх т- с = О
в общем виде коэффициенты а, Ь и с рассматриваются как параметры.
6 Задача. Разделать данный отрезок, равный а, на две части так,
чтобы большая часть была средней пропорциональной между всем отрез-
отрезком и меньшей частью.
Решение. Пусть х— длина большей части, тогда а — х длина мень-
меньшей части.
По условию х2 = а(а — х), откуда
х2+ях — а2 = 0. A)
Согласно смыслу задачи для параметра а допустимым является произ-
произвольное положительное значение, а неизвестное х должно удовлетворять до-
дополнительному условию 0<х<а. Решив уравнение A) без учета дополни-
дополнительного условия для неизвестного, получим:
у -l), x<,= _-|-(j/JF+ 1);
условию 0<х<а удовлетворяет первое решение, оно и дает ответ на вопрос
задачи.
7. Функция параметра х = а2 удовлетворяет уравнению
*3 — rte = o.
В поле действительных чисел эта функция дает общее решение уравне-
уравнения. В поле комплексных чисел общее решение уравнения может быть задано
следующими функциями:
х = а2, х = га2, х = г2а2 (где е и е2 — мнимые кубические корни из 1).
8. Функции
— m — V m2 + n2 — m+Vm2 + n2
х ^ и у2 = A)
п п
удовлетворяют уравнению (как легко проверить):
пх2 + 2пгх — п = 0 B)
и при п т^ 0 дают все решения уравнения B). Однако эти функции не дают
общего решения уравнения B), так как при п = 0 и тф 0 уравнение имеет
решение х = 0, при т = п = 0 уравнение удовлетворяется тождественно,
тогда как при п = 0 формулы A) теряют смысл.
§ 54. Об исследовании уравнений
Необходимо различать два вида исследования уравнений:
основное исследование и дополнительное исследование.
Основным исследованием будем называть всякое исследование,
входящее в процесс решения уравнения в качестве составной
его части. Таким образом, основное исследование вытекает
из требования «решить уравнений». Например, к основному ис-
исследованию относятся следующие вопросы: выявить посторонние
решения, найти множество допустимых значений параметров,
исследовать, дают ли найденные функции от параметров общее
14 С. И. Новоселов 209

решение, при всех ли значениях параметров эти функции удовле-
удовлетворяют уравнению.
К дополнительному исследованию будем относить всякое
исследование не вытекающее из требования «решить уравнение».
В отличие от основного, дополнительное исследование не имеет
определенного содержания, если не указано, какие именно свой-
свойства уравнений и их решений подлежат исследованию. К допол-
дополнительному исследованию относятся, например, такие вопросы:
выделить решения, удовлетворяющие дополнительным условиям;
установить те или иные свойства функций, удовлетворяющих
уравнению (системе); при решении задач посредством составле-
составления уравнений установить дополнительные условия, которым
должны удовлетворять допустимые значения неизвестных и пара-
параметров, исходя из их конкретного смысла. (Примеры исследова-
исследования уравнений даны в следующих параграфах: 73, 78, 86, 87, 88,
90, 93, 95, 106) *.
§ 55. Особые случаи решения уравнений
Рассмотрим уравнение
?(*), @
в котором правая и левая части заданы при помощи аналитиче-
аналитических выражений. Пусть при значении х = а хотя бы одно из
выражений f(x) или <р(я) теряет смысл. Если основываться не-
непосредственно на определении корня уравнения, как такого зна-
значения аргумента ху при котором значения функций f(x) и ср(л')
равны, то число а нельзя считать принадлежащим множеству
допустимых значений неизвестного, а значит, нельзя его считать
корнем уравнения. Принцип продолжения функции по непрерыв-
непрерывности (см. § 6) позволяет расширить понятие корня уравнения.
Дополнитель ное определение. Если в точке х = а, хотя
бы одно из выражений f(x) и у(х) теряет смысл, и если предел
разности f(x) —<р(Х) в точке а равен нулю:
то число а считается корнем (особым) уравнения ({).
Определение распространяется на уравнения с несколькими
неизвестными, а именно, если предел /—ср в точке (а, 6,..., с) ра-
равен нулю:
1if(*,y, . . . , z) — ср (х, #, . . . ,z)]-=0,
* К сожалению в учебной литературе (особенно в старой) основное ис-
исследование не разграничивается от дополнительного и постановка вопроса оО
исследовании уравнений делается неопределенной. Так, например, в учебнике
алгебры Киселева в исследование упорно включаются случаи «положитель-
«положительных, отрицательных и нулевых корней». Однако исследование этих случае»
никак не вытекает из требования «решить уравнение».
210

то х = а, у = Ь, .,., z = с считается решением (особым) уравнения'
/=Ф.
Понятие особого решения может вводиться, может и не вво-
вводиться, это зависит от того, принимается или нет принцип про-
продолжения по непрерывности (подробности см. стр. 22), в зависи-
зависимости от этого на особые решения возможны две точки зрения.
I. Согласно п'ервой точке зрения дополнительное определение
решения в особом случае не принимается, а потому х = а не счи-
считается корнем уравнения (f).
II. Согласно второй точке зрения сформулированное дополни-
дополнительное определение принимается, и число а считается корнем
уравнения (f).
Возможно придерживаться как той, так и другой точек зре-
зрения, но, во избежание недоразумений (там, где они могут воз-
возникнуть) надо указывать, какая из этих точек зрения прини-
принимается.
В школьном курсе математики обычно принимается пер-
первая точка зрения, т. е. особые решения не рассматрива-
рассматриваются.
Примечание. Следует иметь в виду, что связанное
с особыми случаями решений уравнений наивное протаски-
вани'е (характерное для старых учебников) всякого рода
«раскрытия неопределенностей, «бесконечных корней* и
т. п. как чего-то очевидного само по себе», есть глубоко
ошибочная, антинаучная точка зрения.
Примеры
1. Согласно дополнительному определению, число х = 0 следует считать
корнем уравнения
в
о
V
самом деле,
х-* 0
П п
Решить уравнение
1
V
V
1 -
+ х2
1 + Х
1+х
- cos 2x
-V
X
2
X
2х
2 +
1-
V 1
1/ 1
sin
X2
— X2
— X2
2х
=0.
2 sin л: 1 + cos 2л: ^
Решение. После преобразований получим:
sin 2х • sin х (cos л: — 1) = 0, B)
откуда
х = п —^ , х =. пъ и х = 2м 7г.
14* 211

Две последние формулы решений содержатся в первой, поэтому формула
те
х = п— дает общее решение уравнения B). Переход от уравнения A) к
уравнению B) был связан с расширением области определения, поэтому воз-
можно появление посторонних решений. Подстановка х = п—в уравнение A)
показывает, что здесь имеет место особый случай. Именно, при четном
п = 2k теряет смысл левая часть, а при нечетном п — 2k + 1 — правая.
Имеем (при х =/= п —):
1 — cos 2x sin 2x
sinx — tg*.
f(x) y(x) =
2 sm x 1 + cos 2x
При нечетном п получим:
lim |f (x) — ^ (x)\ — lim Isin x — tg x\ = oo .
2k + 1
7T
Следовательно, числа B/г+1)~- не являются корнями уравнения.
При четном п имеем:
lim (sin x — tg x) — 0.
X-> k n
Следовательно, числа х = kn являются особыми решениями уравне-
уравнения A). Согласно первой точке зрения уравнение A) не имеет решений.
§ 56. Основные свойства неравенств
Учение о неравенствах основыва'ется на характеристических
свойствах неравенств и на законах монотонности арифметических
действий. Разумеется, что учение о неравенствах относится лишь
к расположенным числовым полям (например, поле рацио-
рациональных чисел или действительных чисел), в которых определены
понятия «больше», «меньше», «равно»; к полю же комплексных
чисел оно неприменимо. Отметим основные свойства неравенств
и важнейшие следствия из них.
I. Из неравенства А<В следует неравенство В>А и обрат-
обратно — из второго неравенства следует первое (свойство необра-
необратимости). Это свойство можно формулировать в виде следующего
правила. При перестановке правой и левой частей неравенства
смысл знака неравенства изменяется на противоположный.
II Из А<В и В<С следует А<С (свойство транзитивности
§4).
III. Если А<В, то В—Л>0 и обратно — из второго неравен-
неравенства следует первое (см. § 4).
IV. Если Л<?, то А + С<В + С (свойство монотонности сло-
сложения, § 4).
212

Отсюда правило: К обеим частям неравенства можно приба-
прибавить поровну.
V. Если А<В и С<Д то A + C<B + D.
Доказательство. Из А<В следует А + С<В + С из
C<D следует B + C<B+D. В силу транзитивности (свойство
II) получим:
A + C<B + D, ч. т. д.
Отсюда правило. Неравенства одинакового смысла можно
складывать почленно.
VI. Если А<В, то Am<Bm при т>0 и Am>Bm при т<0
('свойство монотонности умножения § 4).
Отсюда правило. При умножении обеих частей неравенства
на положительный множитель смысл знака неравенства не ме-
меняется, а при умножении на отрицательный множитель смысл
знака неравенства изменяется на противоположный.
VII. В частности, при m = —1, получим: если А < В, то
—А > —В.
Правило. При изменении знака обеих частей неравенства
смысл знака неравенства изменяется на противоположный.
VIII. Если А<В и ОД то
A—C<:B~D. A)
Доказательство. По свойству VII имеем —С<—Д сло-
сложив почленно с неравенством А <^ В, получим A), ч. т. д.
Правило. Неравенства противоположного смысла можно вы-
вычитать почленно.
IX. Если А<сВ и С<Д где А, В, С и D положительные числа,
то AC<BD.
Доказательство. Из А<В следует АС<ВС\ из C<D
следу'ет BC<BD, откуда AC<BD, ч. т. д.
Правило. Неравенства одинакового смысла с положительными
частями можно почленно перемножать.
Примечание. Если в IX Л, В, С и D отрицательны,
то — Л>— В>0 и — О — ?>>0, откуда ЛС>?Д следова-
следовательно, при почленном перемножении смысл знака неравен-
неравенства изменяется на противоположный. При перемножении
неравенств с произвольными числами Л, В, С и D могут
представиться разнообразные случаи. Так, например, —2<4
и —2<3: имеем (—2)-(—2)<4-3. С другой стороны,
—4<2 и —6<1; но в данном случае (—4)-(— 6)>2-1.
X. Из IX следует, что если А<В, где А и В положительные
числа, то Ап <С Вп (п — натуральное число).
Правило. Обе части неравенства с положительными членами
можно возвести в одну и ту же степень.
XI. Если А<В и числа А и В одного знака, то
~А ~В'
213

Доказательство Имеем: — = >0, так как
Л В АВ
В — Л>0 и ЛВ>0, ибо А и В числа одного знака, ч т. д.
Примечание Для чисел разных знаков свойство XI
не имеет места.
§ 57. Тождественные неравенства
Пусть F\(x, у у ..., г) и F2{x, у, ..., г) некоторые аналитические
выражения, заданные совместно.
Определение. Неравенство
Fx(x, у, . . ., z) \' F2(x, у, . . . , г)*
выполняется тождественно, если оно имеет место для значений
F\ и F2 при произвольных допустимых системах значений аргу-
аргументов.
Под доказательством неравенства обычно понимают доказа-
доказательство утверждения, что данное неравенство выполняется тож-
тождественно при всех системах допустимых зна-чений, входящих в
него аргументов.
Общих способов доказательства неравенств установить не-
невозможно ввиду большого разнообразия как самих неравенств,
так и применяемых в доказательствах методов. Наряду с весьма
примитивными способами нередко применяются остроумные и
искусственные приемы, так что не представляется возможным
выработать определенную рец'ептуру.
§ 58. Некоторые замечательные неравенства
Ниже приведен ряд примеров на доказательство некоторых
замечательных неравенств и на применение характерных методов
Примеры
1. Доказать, что при всех натуральных значениях п:
<3
¦ 1 1 -2 ' 1-2-3 1 -2 . .
Доказательство. При п—\ и п = 2 неравенство очевидно непо-
непосредственно. Для доказательства в общем виде заменим в знаменателях, на-
начиная с 4-го слагаемого, числа 3, 4,... ,я меньшим числом 2. Будем иметь
неравенства:
1 1
1 • 2 • . . Л 2k~1'
* Знак V может обозначать любой из знаков >, <, >:, <, тогда сим-
символом V обозначается знак противоположного смысла, т. е. соответственно
<, >, <, >.
214

Следовательно,
1 1 • 2 1 -2• 3 1-2. ..л
1 1 2п 1
<1 + 1+т+ • • •+^ = 1+т~Х=3~^г=гг'
"" 2
Отбросив отрицательное слагаемое — 9п~\ » ПОЛУЧИМ A)» ч- т- д-
Примечание. При произвольном натуральном п имеет место
неравенство:
1 \п
—
п
В самом деле-
1-2
1.2 . . .
-2) ¦ ¦ .2-1
2 +
1 • 2 . . . (n-l)/г пл 1 - 2
1 / 1
1 • 2 . . . к \ п
1-2 . . .я \ п } \ п ) \ п
Н +Н I
Т1.2Т ^ 1.2 ...ft Т 1 -2 . . .п
2. Доказать неравенство
при всех натуральных /г.
Доказательство. Задача аналогична предыдущей, однако, реше-
решение строится на иных принципах. Примем во внимание, что
J_ \_ 1 1_ J_
к2 ~~ к • kK (k—\)k~k — \~~ к
Положив последовательно к =2, 3,...л и подставив в левую часть
неравенства A), получим:
/1 1 \ 1
. . •+ --— =2—<2.
\п — \ п п
215

3. Теорема об абсолютной величине суммы: абсолютная величина сум-
суммы не больше, чем сумма абсолютных величин слагаемых:
|(z1 + a2+ • • • + яп| < lail + N + • • •+ |а«|.
Доказательство вытекает из правила сложения положительных и
отрицательных чисел. Если слагаемые суть числа одинакового знака (возмож-
(возможно, что среди них имеются равные нулю), то абсолютная величина суммы
равна сумме абсолютных величин слагаемых. В этом случае имеем равенство*
|ах -Ь а2 4- . • . + ап\ = \аг\ + \а2\ +...-}- \ап\
Если среди слагаемых имеются и положительные и отрицательные числа,
то для вычисления абсолютной величины суммы можно сложить отдельно
абсолютные величины положительных и абсолютные величины отрицательных
слагаемых и из большей суммы вычесть меньшую. Для вычисления же сум-
суммы абсолютных величин достаточно сумму абсолютных величин положитель-
положительных слагаемых сложить с суммой абсолютных величин отрицательных сла-
слагаемых. В этом случае имеем неравенство:
\п1 + а2+ . . .+ая1<|а1| + |аз|Д. . . . + |ол|.
Так, например,
|2 + 5+ 1| = 8 и |2| 4- |5| + |1| = 8 (имеем равенство),
|2 + 5 — 1| = 6 и |2| + |5| + | — 1| = 8 (имеем неравенство)
4. Неравенство Буняковского.
При всех значениях а,- и Ъ-ь выполняется неравенство
(Ol6,+a262+ . . . + anbn J < (of + а\ + . . . + а2п) №2 +
или (в сокращенной записи):
)
/ = 1 / = 1 / = 1
Равенство имеет место лишь при условии, если числа о/ и Ь[ пропор-
пропорциональны:
ui = kbi, а2 = kb2, . . . , ап — kbn.
Доказательство. Воспользуемся тождеством Лагранжа (см. § 20,
пример 1, стр. 56):
a'? Z bf - (Z °l bif = (Q' 62 - а2
Правая часть этого тождества, будучи суммой квадратов, неотрицательна,
а поэтому:
Отсюда следует неравенство Буняковского. Равенство возможно лишь,
если каждое из слагаемых в правой части равно нулю, но тогда
а, Ь2 = а2Ь1\ alb3 = a3bl, . . . , ап_ j Ьп = ап Ьп _ ,
Если последние равенства имеют место, то числа а/ и 6/ пропорциональны:
al=kbi. ч. т. д.
216

5. При всех действительных а-ь и b-t справедливо неравенство
У (а, - b,)t + (а„ - 62)* + • • • + (on - *«J <
или кратко
= 1
Равенство имеет место лишь, если числа at и Ь[ пропорциональны.
Доказательство. В самом деле
п п п п
i=1 /=1 /=1 *=1
п п п
и2- + 2_. bf + 2 У^ |af-| \b;\ <! (теорема об абсолютной величине суммы)
i = 1 / = 1 / = 1
af + У' 6? -J- 2 1/ ^ а? 1/ У^ 6? = (в силу неравенства
Буняковского)
Отсюда и вытекает доказываемое неравенство, ч, т. д.
При п = 2 неравенство примет вид:
Геометрическая интерпретация. Пусть Л (аь а2) и ^ (^ь ^2) —
две точки плоскости. Неравенство A) выражает, что сумма отрезков О А и О В
не больше отрезка ЛВ (черт. 45). Аналогичную интерпретацию имеет нера-
неравенство при п = 3.
6. Теорема об абсолютной величине суммы имеет место для произ-
произвольных комплексных чисел
|Zl+*2+ • • • +Z/1I < [Zi| + Ы + • • .+|2Л|.
Доказательство. Докажем неравенство для случая двух слагаемых^
Положив Z\ = a\ + b\i, z2 = a2 + b2i, имеем:
l«i + г8
= I (аг -t a,) + i (b, + Ьг)\= V(at + a,)» + F, + 62)г
Следовательно,
достаточно в неравенстве A) (см предыдущий пример) заменить Ьх на — а2г
п2 на Ь\ и /?2 на — Ь2.
217

Для суммы с любым числом слагаемых теорема распространяется мето-
методом математической индукции. Допустим, что
|г2|
тогда
\гх+ z2+ ...+-*„+ zn+ j| = | (zj -r z2+ • • . + zn) + zn+ ,|<
•< |Zj + z2 + . . . + zn\ -f |zn + jI <; (случай двух слагаемых)
•^ lzil + I22l"^ • • • ~f~ l2/il + \zn + il (по предположению).
D
Черт. 45
Черт. 46
Итак, теорема верна для суммы п + 1 слагаемых, если она верна для
суммы п слагаемых; будучи верной для суммы двух слагаемых, теорема спра-
справедлива для суммы любого числа слагаемых, ч. т. д.
Геометрическая интерпретация. Длина замыкающей (черт. 46)
не меньше суммы длин звеньев ломаной линии.
7. Теорема о выпуклых функциях.
Определение. Функция y=f(x) называется выпуклой (вогнутой) в не-
некотором промежутке, если для любой пары различных значений аргумента
Х\ и х2 из этого промежутка выполняется неравенство:
f
xs + х2
(для вогнутой функции выполняется неравенство противоположного смысла).
Геометрическая интерпретация. Середина любой хорды гра-
графика выпуклой (вогнутой) функции лежит выше (ниже) соответствующей
точки дуги (черт. 47).
Теорема. Если функция f (x) выпукла (вогнута) . в некотором проме-
промежутке, то для п произвольных значений аргумента хь х2, •••, хп из этого про-
промежутка имеет место неравенство:
f
х2
. + хп
f(*2)+
A)
=хп (для вогнутой функции неравенство противо-
противоравенство при х{ = х2
положного смысла).
Доказательство. Докажем, что неравенство справедливо для чисел
вида п = 2*. В самом деле, по условию (а) неравенство A) справедливо при
218

k=\. Допустим, что неравенство справедливо для некоторого k, докажем,
что оно справедливо для /е+1. По предположению
Черт. 47
при любых хи х2, ...,х2к, не равных между собой.
Имеем:
(по условию)
(в силу предположения B)
В силу принципа математической индукции теорема верна для любых чи-
чисел вида п = 2к, т. е. п = 2, 4, 8, ..., 2*, ...
Докажем, что, если неравенство верно для некоторого числа п, то оно
верно и для п — 1. Допустым, что некоторого п при произвольных х% из
данного промежутка имеет место A). Положив в этом неравенстве
получим:
я— 1
/г— 1
219

n—\
Откуда после преобразований получим:
/ ,4^2+ • • '+Хп-\ \
Будучи верной для всех чисел вида 2\ теорема верна и для любых мень-
меньших чисел, а значит, и для всех
натуральных чисел, так как среди
чисел '2h содержатся как угодна
большие, ч т. д.
Для вогнутой функции неравен-
неравенства надо заменить неравенствами
противоположного смысла. Из дока-
•занной теоремы вытекает ряд нера-
неравенств*
а) при 0 < х функция f(x) = хт
.о выпукла.
' В самом деле, при т = 2 и ххф х2
х\ + (х] + х\)
Да*1ее применим метод математической индукции. Допустим, что при
О < х2, 0 < Х\ и xi ф х2:
+х2
vm — 1 , vm —
1 ~т~ 2
Умножив на , получим:
+ ^2)
Так как числа хх —х2 и х™ х — х™ 1 одного знака, то
откуда х2х™~~ 1 + ххх™~ 1 < х™ + х™, а поэто му
220

т
<
Следовательно ( силу принципа математической индукции), неравенство
верно при любом т>2 (при т= 1 — равенство). По теореме о выпуклой
функции имеем при произвольных положительных хи х2,...,хп:
-+*п
п I п
равенство, если х{ = х2 = ... = хп.
Ь) В промежутке от 0 до я функция f(x) — sin x вогнута (черт. 48).
В самом деле,
/ (*i) + / U2) sin хг + sin x2 . хг + х2 хх — х2
= _=sin___cos-___<
так как, если 0 <; хх <! тг, 0 < х2 <1 тг и ххФ х2, то 0 < cos — < 1.
Следовательно, при произвольных xiy х2,...,хп в промежутке от 0 до я
имеем:
sin хх + sin х2А- . + sin хп . хг + *2 + • • • + хп
< sin ,
п п
равенство, если х{ = х2 = ... = хп.
§ 59. Средние величины
Пусть аи а2, ..., ап — п данных действительных чисел; сред-
нии этих чисел называется всякое число М, не большее, чем наи-
наибольшее, и не меньшее, чем наименьшее из данных чисел at
min a <; М < max a,
где min а и max а наибольшее и наименьшее из чисел at.
Теория средних величин имеет многочисленные применения в
теории вероятностей, в математической статистике, при мате-
матич'ехкой обработке результатов наблюдений.
Определение. 1°. Средним арифметическим чисел at называ-
называется число:
«1 + й2 + . . . -f an
2°. Средним геометрическим положительных чисел at назы-
называется число:
у а{а2 . . . ап -= у^Па^ .
221

3°. Средним гармоническим положительных чисел называется
число, обратное среднему арифметическому чисел обратных дан-
данным:
п п
а{ а2 ап
4°. Средним квадратическим называется квадратный корень
из среднего арифметического квадратов данных чисел:
Теорема о среднем арифметическом и среднем геометриче-
геометрическом. Среднее арифметическое неотрицательных чисел не мень-
меньше среднего геометрического этик чисел:
у а
Равенство имеет место при условии ах = а2 =... = ап.
Доказательство методом математической индукции.
Докажем справедливость неравенства при п = 2
В самом деле, при любых действительных х\ и х2 имеем
2
— 2х{х2 > 0, откуда х{х2 <
х
Положив Х\ = > at и х2 = у &ъ получим неравенство ('1).
Равенство возможно лишь при условии Х\ — х2 — 0, т. е.
Xi = х2, а следовательно, а! = а2.
Для доказательства неравенства в общем виде установим не-
некоторое вспомогательной неравенство. Если х\ и х2 неотрицатель-
неотрицательные числа, то при Х\<х2 имеем х1~1 <х"~\ если же х{>х2, то
п-1ч п— 1
Следовательно, при любых неотрицательных х\ и лс2
{х1~х — ^""^(^i — *2)>0 (равенство, если Х\ = х2).
Раскрыв скобки и перенеся часть членов в правую часть, получим:
*?+ х2^х\х2~~ { + х2хГ\~ 1 (равенство, если х{ = х2).
Взяв /г неотрицательных чисел х\, х2, ..., .гя, написав соответ-
соответствующие неравенства и сложив их почленно, получим:
222

(равенство, если х\ = x2 = ... = хл). Выполнив приведение подоб-
подобных членов, получим:
+ . . - + ^!), B)
Допустим, что для любых п—1 положительных чисел среднее
арифметическое не меньше их среднего геометрического. Следо-
Следовательно, в частности:
*Г1 + *Г'+ • • •+ ЯГ1 >("- 0*2*3 •••*!!.
(равенства при х\ = х2 = ... = хп_{),
Пользуясь последними неравенствами, можно усилить нера-
неравенство B):
(п—1)(*" + *2 "I" • • • + х„) ^ п (п—1)х{х2 . . . хп
(равенство при Х\ = х2 = ... = хп). Положив в последнем соотно-
соотношении xf = п\, хп2 = а2, ..., Л'? = а/п получим:
(равенство при а\ = а2 = ... =ап).
Следовательно, среднее арифметическое п положительных чи-
чисел не меньше их среднего геометрического в предположении,
что соответствующее неравенство справедливо для п—1 чисел.
Но при п = 2 справедливость неравенства установлена непосред-
непосредственной проверкой. Следовательно, оно имеет место при любом
натуральном п^>2, ч. т. д.
22а

Теорема. Среднее гармоническое положительных чисел не
больше их среднего геометрического:
J_ _1_
^2 O-Tl
,ап. A)
Доказательство. Среднее геометрическое чисел — не
больше их среднего арифметического:
— + — —
- . ... ^ Ql п2 ' On
^равенство при ai = a2 = ... = ап).
Взяв обратные величины от об'еих частей последнего неравен-
неравенства и изменив смысл знака неравенства, получим A), ч. т. д.
Теорема. Среднее квадратическое не меньше абсолютной
величины среднего арифметического данных чисел
.+ап\ <Л/ а\+а\+
(равенство при ах = а2 = ... = ап).
Доказательство. Рассмотрим квадрат суммы:
Воспользовавшись неравенством 2aiaj<a2iJraj (равенство при
ai = a?), заменим каждое удвоенное 'произведение суммой квад-
квадратов сомножителей, тогда получим неравенство
Чтобы получить требуемое неравенство, извлечем корень из
обеих частей последнего неравенства, а затем почленно разделим
на л, ч. т. д.
Среднее арифметическое заключено между наименьшим и
наибольшим из данных чисел. В самом деле, если в сумме
п\ + а2 + ... + ап заменить каждое слагаемое наименьшим, а за-
затем наибольшим числом, то получим:
<1 + 2+ +nC n max a
ЛИИ
<тах«.
П
Аналогично доказывается такое же утверждение относительно
среднего геометрического и среднего гармонического:
224

я/™ fi
in a < у II a, <maxa и mina< < max a.
min a
Среднее квадратич'еское заключено между наименьшей и наи-
наибольшей из абсолютных величин данных чисел:
1 2 ' ' ' ^L_<max \a
При положительных числах at среднее гармоническое, среднее
геометрическое, среднее арифметическое и среднее квадратичес-
ское связаны между собой следующими неравенствами:
mina
2i
Теорема. Если знаменатели дробей
а1 а2 ап
bi ' b2 bn
положительны, то имеет место неравенство:
где min — и тах— наименьшая и наибольшая из данных дро-
Ь b
Доказательство. Обозначим для краткости m = min— и
Ь
М = max —;
о
имеем:
тйх < ах < МЬЪ
mb2 < а2
Сложив почленно и разделив на Ь\ + Ь2 + ... +6П, получим:
^ ^ м, ч. т. д.
Равенство имеет место лишь, когда дроби —равны между со-
бой.
15 С. И. Новоселов 225

В частности,
min a < *'fli + **fl'4- - - -+*"*" < max a,
*1 + *2 + • • • + kn
где ^ произвольные положительные числа, a min а и max а
наименьшее и наибольшее из чисел аь а2, ..., ал.
Неравенство Бернулли. При h > О и при любом рацио-
рациональном г > 1 имеет место неравенство
A + й)'>1 + гА.
Доказательство. Положив г=—, где р><7. напишем
неравенство, выражающее, что средне'е геометрическое чисел
q раз р — ^ раз
A +гЛ). A +гЛ), . . . , A4-W0. 1,1, . . .,1
меньше их среднего арифметического
Откуда
т.е. 1 + гА<A + АГ, ч. т. д.
При натуральном г = лг неравенство Бернулли может быть
доказано непосредственно. По формуле бинома Ньютона имеем:
отбросив положительные слагаемые, начиная с третьего, получим:
A + /г)*> 1 + nh.
§ 60. Задачи на экстремум,
решаемые применением неравенств
Лемма 1°. Если сумма п положительных чисел Х\> х<±, ..., хп
имеет данное значение S, то произведение
имеет наибольшее значение, при условиях
Х1 __ Х2 __ _
/1 v
V JL >
пг1 ш2 тп
еде m\y m2, ..., шп —любые заданные положительные рациональ-
рациональные числа.
226

Доказательство. Предположим, что ти т2, ..., тп
— натуральные числа. Рассмотрим тх -\- т2 + ... + тп чисел
mi раз т2 раз
-^ Х\ e Х2 Х2 Хо
, • • . , , > , • • . ,
1 тг т2 гп2 т2
тп раз
лп лп
хп .
напишем, что их ср'еднее геометрическое не больше среднего
арифметического:
4-1 4~ т., -\- • • • i tn n г*
1/(—Г(-
Х\ . Х2
т1 — f/По -
'«Л
т1
откуда
1 X
' ' ' + тп, B)
Наибольшее значение для х^1 х^...л'^ получается, когда по-
последнее неравенство обратится в равенство, что будет иметь место
при условии (см. стр. 222)
V Г Y Y -4- V —1— —1_ г' С
•*! -^2 ЛП __ л\ 1^ Л2 1^ • • • ~Т~ Л>п о
W-1 t7l2 ПЪц ffli "г tfl2 -f~ . . . ~}~ tn>n
Пусть тх =— , m2=p\ ..., mn = — —дробные числа. Обо-
Qi Q2 Яп
значим через N наименьшее общее кратное знаменателей этих
дробей, а через du d2, ..., dn — соответствующие дополнительные
множители. Имеем:
При данной сумме произведение, находящееся под знаком кор-
корня, имеет наибольшее значение, если
Pn
Разделив знаменатели на N, получим равенства A), ч. т. д.
Следствие. При данной сумме х\+х2 + ...-{-хп произведе-
произведение чисел х\Х2...хп имеет наибольшее значение, если эти числа
равны х\ = х2 = ... = хпщ
15* 227

Лемма 2°. При данном произведении Р = х™*х™*...х%псумма
S = х\-+-Х2 + ...+х имеет наименьшее значение, если положи-
положительные числа хи *2, -., хп удовлетворяют условию A).
Доказательство. Перепишем неравенство B) следую-
следующим образом:
S >(т1~гт2+ . . . + тЛ
т\ 1т2
. тп
При условии A) это неравенство обращается в равенство, и
тогда при данном Р сумма S получает наименьшее значение,
ч. т. д.
Черт. 50
Задачи отыскания максимума Р при данном S и минимума 5
при данном Р называются взаимными. Как для той, так и
для другой задачи решение дается условиями (I).
Примеры
1. Из всех прямоугольников с данным периметром найти тот прямо-
прямоугольник, площадь которого является наибольшей.
Решение. Пусть х и у — длины взаимно-перпендикулярных сторон пря-
прямоугольника, 2s — его периметр и р — площадь. Имеем: x+y=s, но при
s
данной сумме произведение р имеет наибольшее значение, если х—у — ~гЛ т. е.
если прямоугольник является квадратом.
Взаимная задача формулируется следующим образом: из всех прямоуголь-
прямоугольников с данной площадью найти тот, который имеет наименьший пери-
периметр. Решение этой задачи также дает квадрат.
2. Из данного квадрата со стороной а вырезать по углам такие квад-
квадраты со стороной х, чтобы после сгибания по пунктирным линиям
(черт. 49) получилась коробка наибольшего объема.
Решение. Площадь основания коробки равна (а — 2хJ, высота равна х.
Отсюда найдем объем: v = х (а—2хJ. Положим а—2х = у, тогда имеем
2v = Bx) у2
228

Сумма сомножителей 2л* и у равна а, следовательно, 2v (а также и v)
имеет наибольшее значение, если
2х у а — 2х а
~г=т'т-е-2х=—i— •откуда *=ir
3. Найти цилиндр наибольшего объема, вписанный в шар данного ра-
радиуса R
Решение. Пусть хну — радиус основания и высота искомого цилинд-
цилиндра; имеем: v = nx2y Из чертежа 50, на котором фигура изображена в раз-
разрезе, найдем:
4Я2 = 4х2 + У\ откуда v = ^~ у DR* — у2) = ~^- (у2) 2 f(AR2 - у2).
4 4|
Сумма сомножителей у2 и 4R2— у2 постоянна, поэтому максимальное зна-
значение объема получится, если
i<i , откуда „.,,„., ,-
4. Из всех прямоугольных параллелепипедов с данным объемом найти
тот, который имеет наименьшую полную поверхность.
Решение. Пусть х, у и z — ребра искомого параллелепипеда, v — его
объем, а 25 — полная поверхность.
Имеем: v—xyz. Ищем минимум:
s = ху + хг + уг.
Так как значение v дано, то данным можно считать также и значение
v2=(xy) (xz) (yz). Минимум суммы s при данном произведении реализуется,
если xy = xz = yz, откуда x—y = z.
Следовательно, решение задачи дает куб.
Взаимная задача формулируется следующим образом: из всех прямоуголь-
прямоугольных параллелепипедов с данной полной поверхностью найти тот, который
имеет наибольший объем. Решение этой задачи также дает куб.
5. Найти наименьшее значение суммы S = х2 + у2 + z2 при заданном
значении ах •+• by + cz = р. (где хотя бы одно из чисел a, b и с отлично
от нуля).
Решение. Пусть ax+by + cz=p. В силу неравенства Буняковского
(см. § 58, стр. 216) имеем:
(*2 + у2 л. гг) (fl« + Ь2 + с») > (ах + by+ czJ,
откуда
2
наименьшее значение S будет реализовано, когда неравенство обратится в ра-
равенство, что будет иметь место при
a b с
, Из этих соотношений и из уравнения ax+by + cz = p найдем:
ар Ьр ср
Х У Z
Геометрическая интерпретация. На данной плоскости
ax+by-{-cz=p ищется точка, для которой расстояние от начала координат yS
229

имеет наименьшее значение. Соотношения A) показывают, что искомой точкой
служит основание перпендикуляра, опущенного из точки О на данную
плоскость.
§ 61. Неравенства, содержащие неизвестные,
задание элементарных областей при помощи неравенств
Пусть Fi(x, у, ..., z) и F2(x, у, ..., г) —функции от аргументов
х, уу ..., z, рассматриваемые совместно в общей части их областей
определения.
Неравенство
Fi(x, У,..., z)<F2(x, у,..., г), (F)
выражающее следующее суждение: значение функции F{ меньше
значения функции F2, называется неравенством с неизвестными
ху у, ..., z.
Неравенства, содержащие неизвестные, могут быть различ-
различных видов:
Л > ^2. F, < F2, Ft > F2.
Если при некоторой системе значений неизвестных х = а,
у — Ъ,..., z = c высказанное суждение истинно, т. е. значение
функции Л меньше значения функции F2:
Fx(a9 b, ... , c)<F2(a, 6, .. . , с),
то система чисел (а, &,..., с) называется решением нера-
неравенства (F), говорят также, что эта система чисел удовлетво-
удовлетворяет неравенству (F).
Можно рассматривать системы неравенств, содержащие неиз-
неизвестные. Решением системы неравенств называется система зна-
значений неизвестных, удовлетворяющая каждому неравенству
данной системы неравенств.
Решить неравенство (систему) — значит найти множество
всех его решений.
Множество всех решений системы неравенств есть общая
часть множеств решений каждого неравенства системы, взя-
взятого в отдельности.
Можно рассматривать также совокупности неравенств,
содержащие неизвестные. Решением совокупности неравенств на-
называется такая система значений неизвестных, при которой удов-
удовлетворяется хотя бы одно из неравенств совокупности.
Систему двух неравенств F{ < F2, F2 < Fz принято записывать
«цепочкой»:
FL<F2<F3.
Понятие эквивалентности, сформулированное примени-
применительно к уравнениям, распространяется на неравенства (системы
230

если они имеют одно и то
=1 W
Черт. 51
и совокупности неравенств): достаточно в определении (стр. 187)
заменить слово «уравнение» словом «неравенство».
Таким образом (по определению), два неравенства (системы
либо совокупности) эквивалентны,
же множество всех решений.
Если неравенство (система
или совокупность) является след-
следствием данного неравенства (си-
(системы или совокупности), то (по
определению) множество всех его
решений содержит как часть мно-
множество всех решений данного не-
неравенства (системы или совокуп-
совокупности).
Заданием неравенства (систе-,
мы или совокупности неравен-
неравенств), содержащего неизвестные,
определяется множество всех его
решений. В математике часто неравенствами пользуются как
средством задания числовых и точечных множеств.
В § 5 (см. стр. 17 и 18) были сформулированы определения
различных видов числовых промежутков: сегменты, интервалы,
полусегменты (конечные и бесконечные), все эти промежутки
определялись как множества всех действительных чисел, удов-
удовлетворяющих некоторым неравенствам.
Элементарные области на плоскости. Пусть
f\(x) и U(x) две функции, непрерывные на сегменте [а, Ь] и удо-
удовлетворяющие неравенству /i(*)<72(x) в интервале (а, Ь). Рас-
Рассмотрим множество точек (х, у) плоскости, содержащихся
внутри фигуры, ограниченной снизу линией y = f\(x), сверху ли-
линией у= /гС*)» слева и справа параллелями оси ординат х =- а
и х = Ъ (черт. 51) (линии, ограничивающие данную фигуру, к
рассматриваемому множеству не причисляются).
Аналитически это множество можно характеризовать следу-
следующей системой неравенств:
a<Cx<Cby fi(x) <Zy<i f2(x), (Di)
которой удовлетворяют координаты принадлежащих ему точек.
В самом деле, при любом данном х, содержащемся в интервале
(а, Ь)у значения у содержатся между числами /i(x) и /г(х).
Примечание. Входящие в состав границы боковые
отрезки могут (один или оба) выродиться в точку, так бу-
будет, если верхняя и нижняя дуги имеют общие концы (один
или оба, черт. 52).
Аналогично, системой неравенств
c<y<dy ?i(#)<*< ?2(#) (D2)
внутри
231
характеризуется множество точек плоскости, лежащих

фигуры, ограниченной слева и справа линиями * = ф1
х = Ф2(#) (соответственно), а снизу и сверху прямыми и
j/ = d (черт. 53). *
Системой неравенств
и
и
определяется фигура, ограниченная снизу линией y=*f(x), а с
боков прямыми х = а и х=Ь (черт. 54).
a b
a b
a
M/xp
г b
Черт. 52
Система неравенств
а<д;<+оо, fi'(x)<y<f2(x)
определяет фигуру, изображенную на черт. 55
Черт. 53
Черт. 54
Определение. Элементарной областью (открытой) называет-
называется множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих
системе неравенств вида:
a<x<bf h(x)<y<:f2 (x) (D2)
или
c<y<d, zг{у)< х< ср2{у). (D2)
Множество точек, получающихся присоединением к эле-
элементарной области ограничивающих ее линии, называется
замкнутой элементарной областью.
232

Примечание. В неравенствах, определяющих эле-
элементарные области, могут участвовать символы ±оо.
Для получения системы неравенств, определяющих замкну-
замкнутую элементарную область, достаточно в неравенствах, опреде-
определяющих соответствующую область (открытую), заменить знаки
<знаками < за исключением, разумеется, знаков, относящих-
z=ft;x.y} \
Черт. 55
Черт. 56
ся к символам ± оо, и также случаев, когда равенство влечет
за собой невыполнимые действия.
Системы неравенств могут служить для задания точечных
множеств в пространстве. Рассмотрим, например, мно-
множество точек, содержащихся внутри тела, ограниченного снизу
поверхностью z = f\(ху у), сверху поверхностью z = f2(xy у), с бо-
боков цилиндрической поверхностью с образующими параллель-
параллельными оси OZ.
Если проекцией рассматриваемого тела на плоскость XOY
служит элементарная плоская область (черт. 56), то данное мно-
множество характеризуется системой неравенств:
fi(x, y)<*<h{*> У\
где х и у, координаты проекции на XOY произвольной точки мно-
множества, удовлетворяют системе неравенств, характеризующей
плоскую область, служащую ^проекцией тела, т. е. системе нера-
неравенств вида (Di) или (D2).
Примеры
1. Система неравенств
а<х < Ь, с < y<d
определяет множество точек, лежащих внутри прямоугольника. Системы не-
неравенств
определяют соответствующий замкнутый прямоугольник (черт. 57).
2. Множество точек, лежащих внутри окружности
233

определяется системой неравенств:
, - У\ - х2 < У V\ - х2 (черт. 58).
3. Система неравенств
определяет замкнутую область, образованную точками, лежащими в первом
квадранте выше гиперболы у=—и на самой гиперболе (черт, 59), эту систему
х
неравенств сокращенно можно записать так:
0
4. Система неравенств
г/
ш
i
i
а
Щ
[
1
1
\
ь
Черт. 57
О
Черт. 59
Черт. 60
определяет изображенный на чертеже 60 треугольник (замкнутый), этот же
треугольник можно задать системой неравенств:
0 < У< 1, У < х <\.
5. Система неравенств
1 < х, - Vx* - 1 < у <
234

определяет область, ограниченную ветвью гиперболы х2 — #2=1;
область можно (черт. 61) задать системой неравенств:
эту же
— оо < у < оо,
У* < х
оо.
6. Рассмотрим область, ограниченную сверху прямой у = х, а снизу пара-
параболой у = х2 (черт. 62). Прямая и парабола пересекаются в двух точках
(О, 0) и A, 1). Рассматриваемую область можно задать системой неравенств:
, х2<у<х
Черт. 61
Черт. 62
0 < */< 1, y<x<Vy •
7 Множество точек, содержащихся внутри тетраэдра, ограниченного пло*
скостями x + z/ + z=l, х = 0, у=0, z = 0, можно задать системой неравенств:
0<г<1-л; — у, 0<//<1 — х, 0<х<\.
§ 62. Решение неравенств
Во многих случаях (но, разумеется, не во всех) множество
всех решений неравенства (системы или совокупности) с одним
неизвестным состоит из конечного числа числовых промежут-
промежутков. Аналогично для неравенств с двумя (или большим числом)
неизвестными множество всех решений может состоять из ко-
конечного числа элементарных областей. В этом случае (наиболее
важном в приложениях) задача решения неравенства (системы
или совокупности) ставится так: установить неравенства, опре-
определяющие промежутки или элементарные области, в которых
удовлетворяется данное неравенство (система или совокуп-
совокупность).
235

Таким образом, в рассматриваемом случае неравенства за-
заменяются новыми неравенствами, характеризующими все те
промежутки или элементарные области, в которых выполняются
данные неравенства.
Некоторые положения теории эквивалентности уравнений
имеют место, а некоторые не имеют места применительно к не-
неравенствам.
1°. Применительно к неравенствам остается в силе общий
признак эквивалентности (стр. 193).
2°. Теорема. Неравенства
F1 V F2 (F)
и
^i + ю V F2 + <*>
эквивалентны, если функция ы(х, y,...,z) имеет смысл в облас-
области определения неравенства (F).
Доказательство, данное на стр. 193 для уравнений, остается
в силе для неравенств (надо лишь в рассуждениях знак равен-
равенства заменить знаком неравенства).
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной
части неравенства в другую с противоположным знаком.
3°. Имеет место теорема: неравенства
Fx{xy у, ...9z)<F2(x, yt ... , г)
и
F2(x, у9 ... , z)>F1(xf у, ... , z)
эквивалентны.
Доказательство. В силу свойства I (см. § 56) второе
неравенство вытекает из первого, а первое из второго.
4°. Теорема. Если функция co(jt, #,..., z) положительна в об-
области определения неравенства
то это неравенство и неравенство
со F± < a) F2
эквивалентны. Если функция со (х, у,.. .,z) отрицательна, то не-
неравенства
Fi<F2 и о) F± > a) F2
эквивалентны.
Доказательство из F\<F2 при со>0 следует cof^W^
(см. § 56, свойство VI), а при со<0 следует ®Fi>(uF2. Обратно,
И3 1 1
со Ft < со F2 при со > 0 следует — (со Fx) < — (со F2),
О) (О
т. е. Fi</72» ПРИ со<0 из co/7l>coF2 следует
(О (О
236

т. е. Л < F2, ч. т. д.
Формулировка этой теоремы в виде правила та же, что фор-
формулировка свойства VI на стр. 213.
При почленном умножении и возведении в степень нера-
неравенств следует руководствоваться правилами IX и X, изложен-
изложенными в § 56.
5°. Теорема. Неравенство
</,..., г) >()
Ф(Х, у, . . ., 2)
эквивалентно неравенству
F (х у, ..., г) Ф (х */,..., z) ^> 0.
Доказательство очевидно, так как значения частного
— и произведения f-Ф суть числа одного и того же знака,
ч. т. д.
На основании этой теоремы можно производить освобожде-
освобождение неравенств от знаменателей. (Примеры решения неравенств
рассмотрены в параграфах 75, 91, 92, 93, 106).
Теорема о «комбинировании» (стр. 202 и 203), справедливая
для систем уравнений, не имеет места для систем неравенсгв.
Так, например, системы:
не эквивалентны. В самом деле, вторая система есть следствие
первой. Однако первая система не есть следствие второй, так
как из условия jFi + jF2>0 при Л>0 следует, что F2>—Fh но не
следует, что F2>0.
Пример
Рассмотрим систему неравенств
х— у >0, х + у > 0.
Эта система эквивалентна системе
у<х, у> — х, т. е. — х<у < х.
Последнее возможно, если—х<х, т. е. при х>0. Итак, имеем элементарную
область (черт. 63):
0<.х<+оо, — х<у<х, (Dx)
Вторая система принимает вид х — у>0, 2л:>0, откуда (черт. 64):
0<*< + оо, у < х. (D2)
Элементарная область (Di) есть часть (D2) (вторая система — следствие пер-
первой).
Неполное решение неравенств
Задача неполного решения неравенства, содержащего неиз-
неизвестное, заключается в следующем: установить, что существует
237

некоторое непустое множество значений неизвестного х, удов-
удовлетворяющих данному неравенству
и указать такое множество.
Таким образом, при неполном решении неравенства не тре-
требуется находить множество всех его решений, а достаточно (во-
Черт. 63
Черт. 64
обще говоря) найти некоторую непустую часть этого мно-
множества. При такой постановке вопроса в процессе неполного
решения неравенства возможно, в целях упрощения, произво-
производить над данным неравенством ряд операций сужающих мно-
множество всех его решений.
Неполное решение неравенств широко применяется в теории
пределов. Так, например, чтобы доказать, что lim f(x) = А, досга-
точно доказать, что при произвольном заданном е неравенство
\f(x) —А\ <е выполняется при всех значениях хфа в некото-
некотором интервале, содержащем точку а, при этом вовсе не требует-
требуется находить множество всех значений аргумента, удовлетворя-
удовлетворяющих неравенству A).
Примеры
1. Доказать, что при всех достаточно больших положительных значениях
аргумента х выполняются неравенства
0<
г5-5
< 0,0001.
Решение. Найдем такой интервал (N, сю), в котором наверное вы-
х
полняются неравенства A). Будем считать, что х>/5, тогда дробь
ложительна, а потому достаточно выполнения неравенств:
*2—5
по-
> 104 или x > 104 + —t
X
238

Последнее неравенство наверное выполняется, если х>1001, так как тогда
5 5
— <1 и х>1001>104+—. Итак, неравенства A) выполняются в интервале
A001, оо).
2. Найти интервал, содержащий точку х—\, в котором наверное выпол-
выполняется неравенство
1*» + * —2| < 0,0001. A)
Решение. Имеем*
|*з + х _ 2| = \х — 11 \х2 + х + 2|.
Возьмем какой-либо определенный интервал, содержащий точку х=\, напри-
например, интервал 0<jc<2. В этом интервале
\х*+ х + 2\ < 8, а потому \х3 4- х + 2| < 8\х — 1|.
0.0001
Неравенство A) наверное выполняется, если \х—1| <—г—, т. е. в интер-
интерес
вале
0,9999875 <х< 1,0000125.
§ 63. Неравенства, содержащие абсолютную величину
Пусть h данное положительное число; неравенство
\x\<h A)
справедливо при положительном ху если x<h; при отрицатель-
отрицательном х, если — к<х и при х = 0. Ни при каких других значениях
х неравенство A) места не имеет (это следует из определения
соотношений «больше» и «меньше» для положительных и отри-
отрицательных чисел). Неравенство A) равносильно системе нера-
неравенств:
— h<x<h. B)
Геометрически неравенство A) выражает, что точка х рас-
расположена на числовой прямой на расстоянии, меньшем h, от на-
начала координат. Точка х должна быть заключена в интервале
(—Л, h) (черт. 65), это и выражают неравенства B).
Если а > 0, то неравенство \х\ > а выполняется либо если
х > а, либо если х < —а. Таким образом, данное неравенство
эквивалентно совокупности двух неравенств:
общее решение есть совокупность двух интервалов (—оо, —а)
и (а, оо). Геометрически неравенство \х\ >а выражает, что точ
ка х расположена на числовой оси на расстоянии большем а от
начала координат (черт. 66).
239

При а<0 неравенство \х\>а удовлетворяется тождественно.
При а = 0 получим неравенство |*|>0, удовлетворяющееся
всеми значениями неизвестного, отличными от нуля; общее ре-
щение есть совокупность двух интервалов (—оо, 0) и @, оо). Не-
Неравенство
\x — a\<h (где]Л>0)
выполняется, если — h<x— а <й, откуда
a — h<x<a+h.
Соответствующая точка х
должна быть расположена в
интервале длины 2ft с середи-
серединой в точке а. При выполнении
неравенства \х—а\ >h точка
х расположена вне этого интер-
интервала (черт. 67).
а-Ь
a+h
Черт. 67
Черт. 68
Пусть а —данное комплексное число. Выражение \г—а
равно длине отрезка, соединяющего точки г и а. Следовательно,
неравенство
\z-a\<h
выполняется для всех точек, лежащих внутри круга радиуса h
с центром в точке а (черт. 68).
Примеры
1 Неравенство \х — 2| <1 выражает интервал 1<х<3. В комплексной
плоскости неравенство |г —2| <1 выражает внутренность круга радиуса 1
с центром в точке 2.
2. Система неравенств
равносильна следующей системе двух неравенств
1<|х — 4) и \х — 4|<2.
Первое изображается совокупно-
совокупностью двух интервалов
— оо<х<3 и 5<*<+оо,
2 3 5 б второе — интервалом 2<#<6.
Общую часть составляют два
Черт. 69 интервала 2<х<3 и 5<х<6
(черт. 69).
3. В комплексной плоскости неравенство \<\х — 4| изображает множест-
множество точек, лежащих вне круга К\ радиуса 1 с центром в точке 4. Неревенство
240

I * — 4| <2 изображает внутренность круга /С2 радиуса 2 с центром в точке 4.
Система неравенств
1 < |лг — 4|< 2
изображает множество точек, лежащих внутри кольца, ограниченного кругами
Кх и К2 (черт. 70).
Черт. 70
Черт. 71
4. Неравенство
2—1
24-1
ИЛИ |z —
выражает, что расстояние точки z до точки 1 не больше расстояния z до точки
—1. Множество точек z есть правая полуплоскость, включая мнимую ось
(черт. 71).
§ 64. Смешанные системы
Определение. Смешанной системой с неизвестными х, у,
..., z называется множество соотношений, из которых неко-
некоторые являются уравнениями, а некоторые неравенствами:
Ф\(х,у9 .. . ,
г)>ф1(х,у,.ии,г)
(Ф)
(?,Ф)
выражающих следующее суждение: при данной системе значе-
16 С. И. Новоселов 241

пай неизвестных удовлетворяется каждое из заданных cooi-
ношений.
Определения основных понятий,
относящихся к системам уравнений и
неравенств (решение, эквивалентность,
следствие и т. д.), распространяются
и на смешанные системы.
Пример
Уравнение х — у = 0 или у = х определяет
биссектрису I и III квадрантов.
Неравенство лс^О определяет правую по-
полуплоскость (включая О У).
Смешанная система х — у = 0, х>0
определяет биссектрису первого квадранта
координатной плоскости (черт. 72).
Черт. 72
§ 65. О решении и исследовании текстовых задач
на составление уравнений и неравенств
В текстовых задачах соотношения между искомыми величи-
величинами, числовыми данными и параметрами (при решении задач
в общем виде) не задаются заранее, а устанавливаются из ус-
условия задачи, сформулированного словесно.
Искомые величины или другие величины, зная которые мож-
можно определить искомые, обозначают буквами — эти величины
называются неизвестными. Все независимые между собой
соотношения между данными и неизвестными величинами, либо
непосредственно сформулированные в условии (в словесной
форме), либо вытекающие из смысла задачи (например, физи-
физические законы, которым подчиняются рассматриваемые вели-
величины), либо следующие из условия путем некоторых рассужде-
рассуждений, записывают в виде равенств и неравенств.
Таким образом, по условиям данной задачи составляются
соотношения (уравнения и неравенства) с данными неизвестны-
неизвестными; эти соотношения в общем случае образуют некоторую сме-
смешанную систему. В частных случаях эта система может
не содержать неравенств либо уравнений, может состоять лишь
из одного уравнения или неравенства.
Если величины, считающиеся известными, задаются в
общем виде и обозначаются буквами, то полученные уравнения
(неравенства) содержат параметры. Не всегда условия, ко-
которым должны удовлетворять неизвестные и параметры, выра-
выражаются при помощи равенств и неравенств. Так, например, усло-
условия быть целым или рациональным числом не задаются при по-
помощи равенств и неравенств. Эти условия, налагающиеся на
допустимые значения неизвестных и параметров, суть те допол-
242

нительные условия, при которых следует решать смешанную си-
систему.
Таким образом, в общем случае решение задачи сводится к
решению полученной смешанной системы в некотором числовом
поле при определенных дополнительных условиях. Последними
условиями из множества всех решений (в данном поле) смешан-
смешанной системы выделяются те решения, для которых значения не-
неизвестных (в соответствии с их конкретным смыслом) являются
допустимыми.
Если рассуждения, на основе которых были составлены со-
соотношения (уравнения, неравенства), неприменимы в некото-
некоторых «особых случаях», то эти случаи следует рассмотреть от-
отдельно.
Обычно в решение и исследование задачи включается истол-
истолкование, на основе ее конкретного смысла, случаев, когда полу-
полученная система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное
множество решений. Нередко в исследование задачи включают-
включаются дополнительные вопросы, относящиеся к конкретному истол-
истолкованию решения. Так, например, если некоторое неизвестное
обозначает величину, которая отсчитывается в двух противопо-
противоположных нап явлениях, то можно поставить вопрос, при каких
условиях этс неизвестное положительно (отсчитывается в уста-
установленном положительном направлении) или отрицательно (от-
(отсчитывается в противоположном направлении) и т. п.
Таковы общие указания, относящиеся к решению и исследо-
исследованию текстовых задач.
Решение одной и той же задачи может быть более простым
или более сложным в зависимости от выбора величин принятых
за неизвестные, а также от выбора независимых соотношений,
на основе которых составляется соответствующая смешанная си-
система.
Изложенные указания не являются «абсолютными» и не
могут претендовать на исчерпывающую полноту, так как много-
многообразие различных соотношений действительности, изучающих-
изучающихся методами математики, не может быть уложено в рамки раз
и навсегда установленных правил. Различные задачи, возника-
возникающие при решении практических и теоретических вопросов,
имеют свои индивидуальные особенности, вносящие
самые разнообразные моменты в их решение и исследование.
Задача. В одном сосуде объемом vx литров в начале наблюдения имеется
ах литров води, а в другом объемом v2 литров имеется а2 литров. Каждую
минуту в первый сосуд поступает поШ\ литров, а во второй пот*> лит-
литров воды. Через сколько минут в обоих сосудах будет одинаковое количе-
количество воды?
Решение. Парамеры тх и т2 можно считать как положительны-
положительными, так и отрицательными. Например, случай т\<0 будем толковать
гак. из первого сосуда выкачиваются т{ л в минуту.
Будем решать задачу при следующих условиях: поступление (выкачи-
16* 243

вание) воды в сосуды прекращается, как только один из них будет либо на-
наполнен, либо опорожнен.
Допустимые значения параметров определяются следующими условиями:
О < «1 < vL, 0 < а2 <, v2.
Пусть х — искомое количество минут, за которое объемы воды в обоих
сосудах сравняются. Время х можно считать отрицательным, если про-
процесс течения жидкости происходит до и а ч а л а наблюдения. За время х ми-
минут в первый сосуд поступает тхх лив нем окажется а2 + т\Х л воды, ана-
аналогично по прошествии времени х во втором сосуде окажется а2+т2х л
воды. По условию задачи объемы воды в обоих сосудах должны быть равны,
это условие выражается уравнением:
01 +т1х = а2+т2х. A)
Кроме того, количество воды в каждом из сосудов не отрицательно и не
может быть большим чем объем сосуда, эти условия выражаются неравенст-
неравенствами:
О < ах + тхх < i\ , 0 < я2 + rn2x < v2. B)
Итак, требуется решить смешанную систему, состоящую из уравнения A)
тя неравенств B).
Решив уравнение A), получим:
ю Q2 — fli
1°. х = , если тх Ф т2.
т1 — т2
2°. Не существует решений, если Ш\ = т2, а2 Ф сц.
3°. Уравнение удовлетворяется тождественно, т\ = т2 и ах = а2.
В случае 1°, если значение х удовлетворяет обоим неравенствам B), то
задача имеет единственное решение. Если х>0, то количества воды сравня-
сравняются в будущем, х<0 означает, ч;о равенство объемов имело место до начала
наблюдения. Если значение х не удовлетворяет 'неравенствам B), то равенст-
равенство объемов наступить не может, например, один из сосудов наполнится или
опорожнится до того момента, когда сравняются объемы.
В случае 2° в начале наблюдения в сосудах было различное количество
воды и каждую минуту в них поступает одинаковое количество жидкости.
Следовательно, объемы никогда не могут сравняться.
Случай 3° отличается от предыдущего тем, что в начале наблюдения в со-
сосудах было одинаковое количество воды, но тогда в обоих сосудах одинако-
ьое количество воды будет в течение всего опыта.
Положим, например:
ах = 1, а2= 5, vx= Ш, v2 ^= 20, mv = 8 н т2 = 2,
2 2 2
имеем; х = — и 0 <1+8-— <10, 0<5+2- —- < 20, объемы сравняются
3 о о
2
через — мин.
о
Положим: ui = 32, 02 = 20, тх = А, m2=l, Ui = 40, и2 = 30, тогда х= —4; име-
имеем 0<32 — 4-4<40 и 0<20 —4rl<30. В первом сосуде было воды больше,
чем во втором, и в него ежеминутно поступает большее количество литров.
Объемы в будущем сравняться не могут. Если поступление воды имело ме-
место до начала наблюдения, то объемы были равны 4 мин тому назад.
Положим: а! = 20, а2 = 30, mi=15, га2=10, 1^ = 30, у2=100.
Имеем х — 2, условие п\ + тхх < vx не выполняется: 20 + 15.2 > 30, т. е,
первый сосуд наполнится раньше, чем наступит равенство объемов.
Предлагаем учащимся самостоятельно привести ряд числовых данных и
дать конкретное толкование результатов.
244

Сопоставление различных текстовых задач, приводящихся
обычно в сборниках упражнений по элементарной алгебре, по-
показывает, что многие задачи отличаются друг от друга лишь
фабулой, тогда как некоторые соотношения между данными и
искомыми величинами, а также рассуждения, посредством ко*
торых устанавливаются эти соотношения, остаются одними и
теми же. Две такие задачи дают лишь две различные конкрет-
конкретные интерпретации одного и того же математического рассужде-
рассуждения, одних и тех же соотношений.
Задача Из пунктов Ах и А2, находящихся на расстояниях ах и а2 от
пункта О, выходят два курьера и движутся со скоростями Ш\ и tn2 (соот-
(соответственно). Вычислить момент встречи курьеров. Пункты А\, А* и О рас-
расположены на прямолинейной дороге, по которой и происходит движение.
Решение. Пусть х искомое время; за х час первый курьер пройдет
расстояние т\х км и окажется на расстоянии а\ -Ь т\Х км от точки О. Ана-
Аналогично второй курьер окажется на расстоянии а2 + гп2х от точки О. В момент
встречи должно иметь место равенство:
ах -\- пгхх = а2 + пг2х. A)
В этой задаче и в рассмотренной выше задаче о наполнении сосудов по-
получается одно и то же уравнение, для составления которого применяются одни
и те же рассуждения. Вместо объемов воды сравниваются расстояния, вместо
скоростей течения воды даются скорости движения курьеров.
При решении теоретических и практических задач (в науке,
в технике, в обыденной жизни) в ряде случаев приходится поль-
пользоваться по сути дела одними и теми же рассуждениями, при-
приводящими к одним и тем же соотношениям. Одна из целей реше-
решения текстовых задач в курсе алгебры заключается в усвоении
характерных наиболее часто встречающихся рассуждений при
решении задач элементарными математическими методами* и
в приобретении навыков в составлении соотношений, выража-
выражающих зависимости между величинами.
Так как в действительности никакое явление не протекает
изолированно от других явлений, то и решение практических
задач нередко осложняется необходимостью учитывать явления,
связанные с данным. Чтобы наиболее отчетливо выделить сами
рассуждения данного типа и показать их применение к решению
различных задач составляются «абстрактные» задачи, в усло-
условиях которых соотношения между данными и искомыми величи-
величинами даются в упрощенном, схематическом описании без уче-
учета ряда дополнительных условий, имеющих место в действи-
действительности. В «абстрактных» задачах нередко и сама фабула при-
приспосабливается к требуемым математическому содержанию и
степени сложности. Таковы, например, известные задачи «на
смешение», «на курьеров», «на бассейны» и т. п.**.
* Как известно из методики математики, эта цель не является единственной.
** О количестве и месте «абстрактных» задач среди прочих упражнений
трактуется в методике математики.
245

Рассмотренная в виде примера (стр. 243) задача о наполнении
сосудов нередко дается (например, в школьных задачниках) без
указания объемов самих сосудов, тогда отпадают и дополнитель-
дополнительные условия для неизвестного. Эта задача соответствует лишь
абстрактно мыслимому случаю сосудов неограниченной вмес-
вместимости. Цель такой задачи показать сами рассуждения, приво-
приводящие к составлению уравнения, не осложняя их установлением
неравенств, характеризующих дополнительные условия.
Примеры решения и исследования текстовых задач даны ни-
ниже в § 78 и 95.
§ 66. Понятие об элементарных графических
и приближенных методах решения уравнений
Решение уравнения f(*)=0 можно толковать геометрически
как отыскание точек пересечения графика функции y = f(x) с
осью абсцисс. Если на-
начерчен график функции
/ (х),то, выполнивсоот-
--!''*) ^S* ветствующие измере-
измерения, можно определить
искомые корни уравне-
уравнения. На практике по-
построение графика
(пользуясь известными
свойствами функции и
таблицей ее значений),
а также измерение от-
отрезков (линейкой или
Черт. 73
на миллиметровой бумаге) могут быть выполнены лишь при-
приближенно.
Графический способ решения уравнений «в чистом виде» не
обладает большой точностью и может служить лишь для гру-
грубых расчетов.
Нередко графический способ применяется в следующем ви-
виде: представив данное уравнение в виде равенства двух функций
строят отдельно графики функций f(x) и у(х) и затем при по-
помощи измерений находят абсциссы точек пересечения графиков
(черт. 73).
Графический метод играет незаменимую роль в качестве
вспомогательного средства при приближенном решении уравне-
уравнений. Знание графиков функций f(x) и ф(х) нередко позволяет
определить число решений уравнения A), отыскать «в первом
приближении» те промежутки, в которых содержатся искомые
корни и определить «примерно» их численные значения. Резуль-
246

таты, полученные графическим путем, подвергаются последую-
последующей проверке и уточнению вычислительными методами.
Таким образом, графические методы во многих случаях по-
помогают наметить путь последующей вычислительной работы.
Примеры
1. Определить число корней уравнений 2Х = Ах. Из чертежа 74, на котором
представлены графики функций у = 2х и у = 4х, видно, что уравнение имеет
два корня. Большего числа корней не может быть, так как показательная ли-
линия всюду выпукла и не может пересе-
пересекаться с прямой более чем в двух точках
(см. ниже, § 99). Значение большего
корня х = 4 находится непосредственно.
Второй корень (как показывает чертеж)
заключен в интервале @,1). Проверим
Черт, 74
это вычислением, положив f (х) = 2х — \х, имеем: / @) = 1 > 0, а
f(\)=—2<0. Следовательно (в силу непрерывности), в некоторой точке ин-
интервала @,1) функция должна обращаться в нуль.
2. Рассмотрим уравнение 2х = х2 Наличие двух положительных корней
х = 2 и х ~ 4 усматривается непосредственно. Других положительных корней
247

нет, ибо при х > 0 данное уравнение эквивалентно уравнению х = 2 log2x и
линия у = 2\og2x> будучи выпуклой, не может иметь более двух точек пере-
пересечения с прямой у = х. Наличие корня в интервале (—1, 0) ясно из чер-
чертежа 75. В самом деле, положив f(x) =2Х—х2, имеем:
f (_ 1) = _ 1 < о, и /@) = 1 >0
3. Определить число корней уравнения
Определим сначала число неотрицательных корней. При х^> 0 соответствую-
соответствующие точки пересечения синусоиды у = sin х и прямой у —77^х должны быть
расположены в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 100, у = 0
и у = 1. Определим, сколько целых полупериодов синуса содержит сегмент
[0, 100] Как показывает несложный расчет: 31я<100<32я. Разобьем весь
прямоугольник с основанием [0, 100] на 32 прямоугольника, основанием кото-
которых служат сегменты.
[0, те], [те, 2те], ..., [ЗОтт, 31те], [31те, 100].
Точки пересечения прямой у = 0,01 х и синусоиды содержатся в прямо-
прямоугольниках 1-м, 3-м и т. д. в 31-м по две в каждом. Таким образом, уравнение
/¦'
Черт. 76
имеет 32 неотрицательных корня. Уравнение имеет 63 действительных корня,
из них 31 положительный, 31 отрицательный и 1, равный нулю (черт. 76, мас-
масштабные единицы осей взяты различными).
Предположим, что:
Г. Найден такой сегмент а < х < 6, внутри которого содер-
содержится единственный корень я = | уравнения /(д:)=0 (функция
f(x) предполагается непрерывной).
2°. Значения функции f(x) в точках а и b противоположны
по знаку.
Корень | считается отделенным, если выполнены перечислен-
перечисленные условия (черт. 77).
Во многих случаях (см. приведенные выше примеры) отде-
отделение корней может быть достигнуто применением графическо-
графического способа.
В курсе высшей алгебры излагаются методы отделения кор-
корней многочленов.
243

Существуют различные методы приближенного вычисления
отделенного корня, если точное его значение неизвестно. Эти
методы позволяют вычислить корень с любой заданной степенью
точности. Изложение наиболее распространенного из этих мето-
методов (способ «хорд и касательных») дано в курсе высшей ал-
алгебры.
Черт. 77
Ниже мы остановимся на элементарном способе прибли-
приближенного вычисления корня. Пусть Х\— любая точка, взятая
внутри сегмента а < х < 6, в частности, можно взять его сере-
середину х\= -^-z—. Если f(xi)=O, то 1 = х{ и, значит, корень най-
найден. Допустим, что f(xi)^0\ положим для определенности, что
/(а)<0, f(b)>0 и /Ui)<0 (черт. 78). В этом случае искомый
корень % содержится в интервале (х\ч Ь). Повторив процесс
Черт. 78
Черт. 79
деления промежутка достаточное число раз, можно получить
как угодно малый промежуток, содержащий искомый корень, и
тем самым вычислись ? с любой заданной степенью точности.
К числу элементарных методов относится способ линейной
интерполяции, называемый иначе «способом хорд» или правилом
«ложного положения». Заменим (приближенно) дугу (кривую)
АВ графика хордой (черт. 79), тогда абсцисса Х\ точки пересе-
пересечения хорды АВ с осью ОХ рассматривается как приближенное
значение корня |.
249

Заменив дугу хордой, мы можем считать приращение функ-
функции пропорциональным приращению аргумента:
b-a f(b)-f(a) '
Но приближенно ?> = х\ (при замене дуги хордой) и f(*i)=0,
откуда
(b -a)f {a)
хг =а ил-1 .
f(b)~f(a)
Поправка Дх, которую надо прибавить к а, чтобы получить
приближенное значение корня хи равна:
Л (b — a)f {a)
f(b)-f(a)
Способ линейной интерполяции можно комбинировать со спо-
способом деления промежутка. При вычислениях следует пользо-
пользоваться имеющимися в распоряжении средствами (таблицы лога-
логарифмов, таблицы значений функций, счетная линейка, арифмо-
арифмометр) и руководствоваться общими правилами приближенных
вычислений.
Пример.
1 Вычислить меньший корень уравнения 2х = 4л: с точностью до 0,01.
Решение. В примере 1, стр. 247, показано, что искомый корень содер-
содержится в интервале @,1). Имеем /@) = 1 и /A) =—2, где f(x) =2*— Ах.
При помощи линейной интерполяции получим:
Вычислим значение f(xi)
= 0,2599 —1,3333=—0,0734.
О
Следовательно, искомый корень лежит в интервале @, — (.Так как
V 3 /
значение / — j «близко к нулю», то естественно предположить, что иско-
мый корень близок к~т~. Положим х% — 0,3, имеем:
о
f @,3) = 2°'3 — 0,3- 4= 1,2311 —1,2=0,0311 (> 0)
(при вычислении дробных степеней числа 2 можно воспользоваться таблицами
логарифмов). Следовательно, корень заключен в интервале @,3; 0,333...). При-
Применим снова линейную интерполяцию:
^0,3- @.333...-0.3Ж0.3) 0,0333-0,0311
/@,33...)—ДО,3) —0,0734 — 0,0311
Отсюда естественно ожидать, что х = 0,30 есть искомое приближенное
значение корня. Для проверки вычислим /@,31), имеем:
/@,31) ==20'31 - 0,31-4= 1,237—1,24 < 0.
Итак, /@,30) > 0, а /@,31) < 0. Значит, g~= 0,30 и Г*" = 0,31 суть иско-
искомые приближенные значения корня с недостатком и избытком.

ГЛАВА V
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ
СТЕПЕНИ
§ 67. Линейные уравнения
Определение. Линейным уравнением с неизвестными
х, у, ..., z называется уравнение вида:
ах+by + . . . + cz = dy (L)
где коэффициенты а, Ь, ..., с и свободный член d суть числа
данного поля (или некоторые функции параметров).
К каноническому виду (L) может быть приведено всякое
уравнение первой степени, т. е. уравнение:
FL(x, у, . . . ,г) = F2(x9 у, . . .,г),
левая и правая части которого суть многочлены первой степени
от неизвестных.
При рассмотрении линейного уравнения (L)'надполем рацио-
рациональных чисел обычно умножают обе части на общее наименьшее
кратное знаменателей чисел а, Ь,..., с, d, а затем полученное
уравнение с целыми коэффициентами сокращают на общие (от-
(отличные от ±1) делители этих чисел (если эти делители имеют-
имеются). Каноническим ведом линейного уравнения над полем ра-
рациональных чисел считается уравнение (L), в котором а, &,...,
end суть целые, взаимно простые (в своей совокупности) чис-
числа *.
Примеры
1. Примеры линейных уравнений:
* Известное из школьных учебников правило: «освободить уравнение от
дробей, сократить на общий множитель, перенести неизвестное в одну,
а данные числа в другую часть» относится к уравнениям над полем рацио-
рациональных чисел.
251

над полем рациональных чисел:
2а: =5, За: — 2#=4, х + у — 2=1;
над полем действительных чисел:
над полем комплексных чисел:
C+0 а:— # +
Три первые уравнения можно рассматривать также над полем действи-
действительных и полем комплексных чисел, а четвертое и пятое над полем ком-
комплексных чисел.
2. Привести уравнение над полем рациональных чисел
3
0,2* + 0,1у 4л: — у *+ 2 а: — у
2 ~~ 10 ~~" 30 + 5
к каноническому виду.
Решение. Имеем последовательно:
умножаем на 20:
с
и окончательно:
3. Уравнение
2х+ у
20
у*х + у~
— \2х +
7у
4х —
10
= 1,
У
У)
2*+ 1
"~ 20 "*"
= 2х + 1 Ч
либо 12а:-
х — у
5
- 4 (л: —
-7у = •
У)\
-1
а:3 —За:2 + 2 = (*— IK +2jc
эквивалентно линейному уравнению; имеем последовательно:
а:3 — За:2 + 2 = х3 -^ Зх2 + 5х — 1
и (после переноса членов, содержащих х, в левую часть)
— 5а: = — 3 и, наконец, ох — 3
Линейное уравнение с одним неизвестным.
Линейное уравнение с одним неизвестным имеет следующий вид:
ах = ЪУ (L)
где а и Ъ числа данного поля.
Случай 1°. аф 0. Во всяком числовом поле при произ-
произвольном а ф 0 уравнение (L) имеет единственное решение (вы-
(выполнимость деления):
Это решение принадлежит тому же числовому полю, кото-
рому принадлежат а и 6.
Случай 2°. а = 0, Ъ Ф 0. В этом случае уравнение не имеет
решений. В самом деле, 0х = 0 при произвольном х\ следова-
следовательно, если Ь Ф 0, то равенство (L) не может выполняться ни
при каком значении х.
252

Случай 3°. а = b = 0. В этом случае уравнение (L) при-
примет вид Ojc = 0 и удовлетворяется тождественно; его решением
служит произвольное число х данного поля.
Примеры
1. Решить уравнение
х— 4 3* — 2 2% + 1
5 + 10 " 3 ~~
Решение. Приводим уравнение к каноническому виду:
6 (х — 4) + 3 Cjc — 2) = 10B*+ 1) —210,
15л: —30= 20л: —200,
2>х — 6 = 4* — 40,
— *=— 34; х = 34*.
2. Решить уравнение
Решение. Приводим к каноническому виду:
B+ У2)х = 4 + Уг,
откуда
х =
2+У2 2
Зная приближенные значения У 2, можно вычислить корень уравнения
с любой степенью точности. Так, например:
х « 3 — 1,41 = 1,59 с точностью до 0,01 (с избытком).
3 Решить уравнение
Решение. Приводим к каноническому виду:
2 A — i) х = - 1 -г 21:
откуда
1 + 2/ A
0 __ _1_ , J_.
2^1 — 0 4 ~~ 4 4 1'
4. Уравнение
5* —15=2* —25 + 3*
не имеет решений; после приведения к каноническому виду получается про-
противоречивое уравнение
0x^ — 10.
Линейное уравнение с несколькими неиз-
неизвестными. Рассмотрим уравнение с неизвестными х, у,..., z:
ах-г by + . . . + cz = d. (L)
* Здесь дано решение в подробной записи; по мере приобретения
навыков, рекомендуется несложные промежуточные вычисления делать в уме
и применять менее подробные записи.
253

Случай 1°. Хотя бы один из коэффициентов при неиз-
неизвестных отличен от нуля. Уравнение (L) имеет бесконечное
множество решений. Если, например, уравнение (L) содержит
неизвестное ху т. е. а ф 0, то общее решение можно представить
в виде:
(х)
где у, . . . , z произвольные числа поля, над которым рассматри-
рассматривается уравнение. В самом деле, уравнения (х) и (L) эквива-
эквивалентны, так как (х) можно получить из (L) переносом в правую
часть слагаемых by, . . . , cz и умножением на отличное от нуля
число —. Уравнение (х) дает выражение для значения х через
значения прочих неизвестных у, . . ., г, которые могут быть вы-
выбраны произвольно.
Случай 2°. Все коэффициенты при неизвестных равны
нулю: а=Ь = ... = с = Оу но йф 0. Уравнение не имеет ре-
решений.
Случай 3°. Все коэффициенты при неизвестных и сво-
свободный член равны нулю: а = Ъ = . . . =с = d = 0. Уравнение
удовлетворяется тождественно произвольной системой чисел
(*,#,..., z) из данного поля.
Рассмотренные случаи 1°, 2° и 3° дают необходимые и доста-
достаточные условия того, чтобы линейное уравнение (соответствен-
(соответственно) имело решения, но не удовлетворялось тождественно; было
противоречиво; удовлетворялось тождественно. В самом деле,
для каждого данного уравнения имеет место один из взаим-
взаимно исключающих друг друга трех случаев 1°, 2° и 3°, а по-
потому эти случаи выражают соответствующие необходимые
и достаточные условия.
Геометрическая интерпретация. Из аналитиче-
аналитической геометрии известно, что уравнение с двумя неизвестными
ах + by = с
изображает прямую линию, если хотя бы один из коэффициентов
при неизвестных отличен от нуля; ему удовлетворяет произ-
произвольная точка этой прямой линии*.
Аналогично уравнение
ах -\- by -f cz = d
изображает плоскость в пространстве, если хотя бы один из
коэффициентов при неизвестных отличен от нуля.
* Элементарное доказательство утверждения, что график линейной
функции ах + by = с есть прямая линия, известно из школьного учебника
алгебры.
254

Примеры
1. Общее решение уравнения 2х — у = 3 можно представить в виде:
у = 2х — 3, где х — произвольное число или
У . 3
х= j , у—произвольное число.
2. Приведя уравнение
2 [х — 2у + z) + Зх = х — 4у — 3
к каноническому виду, получим
4а: + 2г = — 3,
последнее уравнение не содержит у. Общее решение можно записать в
1 3 3
виде: х — — z , у и г — произвольные числа, или г = —2х — — , х и у
— произвольные числа.
§ 68. Линейные системы
Пусть дана система линейных уравнений (или кратко ли-
линейная система):
a1x+bly + . . .+ ^2 = ^ A), |
ахх + Ь2у + . . . + с%г = d2 B), i
апх + ЬпУ+ • • -+CnZ = dn (n). )
Признаки, позволяющие по значениям коэффициентов судить,
имеет ли данная система решения, а также формулы общего ре-
решения устанавливаются в курсе высшей алгебры. В эле|Мен-
тарной алгебре изучаются элементарные методы реше-
решения и исследогаа/ния линейных систем, эти методы излагаются
в виде правил, позволяющих в каждом конкретном случае уста-
установить, имеет ли данная система решения и найти эти решения.
Таким образом, элементарная алгебра дает алгоритм, позволяю-
позволяющий в каждом конкретном случае выполнить решение и иссле-
исследование линейной системы.
Ограничимся случаем, когда не все коэффициенты при не-
неизвестных равны нулю. Если все коэффициенты при неизвест-
неизвестных равны нулю, то вопрос об исследовании системы решается
непосредственно, именно: если хотя бы один из свободных чле-
членов отличен от нуля, то система противоречива, если же и все
свободные члены равны нулю, то система удовлетворяется
тождественно.
Если некоторые из уравнений (L) удовлетворяются тожде-
тождественно, то эти уравнения можно отбросить.
255

§69. Треугольные системы
Определение. Линейная система называется полной тре-
треугольной, если ее уравнения можно записать в таком порядке
(каноническом), что
1° первое уравнение содержит только одно неизвестное;
2° в каждом последующем уравнении могут содержаться не-
неизвестные, содержащиеся в предыдущих уравнениях, и, кроме
того, содержится только лишь одно неизвестное, не входящее
в предыдущие уравнения.
В канонической записи треугольной системы при переходе
от предыдущего уравнения к последующему, к неизвестным,
содержащимся в предыдущих уравнениях, присоединяется
только одно новое неизвестное, причем первое уравнение
содержит лишь одно неизвестное.
В общем виде полная треугольная система записывается так:
ап\\ = dl9
^21*^"l ~T~ ^22*^2 ^~" ^2>
^31-^1 I ^32-^2 I ^33-^3 = ^3>
а„пхп = dn,
(А)
где ни один из «диагональных» коэффициентов 0ц, а22>. • • > аг.п
не равен нулю. В полной треугольной системе число уравне-
уравнений равно числу неизвестных.
Пример
Система уравнений
х = 2, у — и + г — 0, х — 2у=±, х — 3у — г = \
— полная треугольная, ее можно записать так:
х =2,
х — 2у =4,
х — Зу—z = 1,
у+ г — и =0.
Определение. Линейная система называется усеченной
треугольной, если она является полной треугольной относитель-
относительно некоторой совокупности неизвестных, причем в уравнениях
системы содержатся неизвестные, не принадлежащие этой сово-
совокупности.
Если усеченная система является полной треугольной отно-
относительно неизвестных, jcb x2,..., хп, то в ее уравнениях, кроме
этих неизвестных, содержатся некоторые другие неизвестные;
обозначим их через t\, U, • • •» tu.
256

Канонической записью усеченной треугольной системы счи
тается следующая ее запись:
c12t2 + • • • + clktk + апхг = dv У
c,2t2 + . . . + c2ktk -f a2lxl 4- a22x2 = d
ап1хг + an2x2
(A)
где диагональные коэффициенты an, а2з, ••., алл отличны от
нуля (каждый).
В усеченной системе число неизвестных больше числа
уравнений.
Примеры
Система уравнений
х — у -г z -\- w —0, z — и = 0,
х 4- 2у + 3! -f " = 3, х -г ^ + и = 1
является усеченной треугольной; она полная относительно неизвестных х, у,
z, w,
t ru-{ х = 1, |
3/ + и + а: + 2у =3,
+ г =0,
Эту же систему можно рассматривать как полную относительно других
неизвестных, например: t, z,y, w, тогда получится следующая каноническая
запись.
x + u + t =-1, J
i (^ )
x + u+3t +2ij =3'
X _|_2— f/ + 0U=O. J
Эту систему нельзя рассматривать как полную относительно х, у, t, w,
так как уравнение z — и — 0 не содержит этих аргументов.
Эту систему нельзя также рассматривать как полную треугольную отно-
относительно а, х, у, t. В самом деле, за первое уравнение следует взять
г — и = 0, но тогда все прочие уравнения содержат (каждое) не менее двух
неизвестных х, у, t.
Теорема. 1°. Всякая полная треугольная система имеет
единственное решение.
2°. Всякая усеченная треугольная система имеет беско-
бесконечное множество решений.
Доказательство. ld. Решим систему способом подста-
подстановки (§ 51), Первое уравнение имеет общее решение;
у . L_
17 С И. Новоселов 257

где х2, *з, ••- *п можно придавать произвольные значения из
данного числового поля. Подставив найденное значение для Х\,
получим следующую треугольную систему относительно
#22*^2 — ^*2 #21
#32*2 ~Г #33*3 = ^3 #31
«11
«11
вя2*2 1- ... + #„А = dn -*anl -±-
нз первого уравнения находим х2 и, подставив в прочие урав-
уравнения, получим треугольную систему относительно неизвестных
Лз, д:4, . .. , хп и т. д. После я-го шага получится вполне опре-
определенная система значений неизвестных, дающая единственное
решение системы (А).
2°. Перепишем усеченную систему (А) в следующем воде:
= dl — cnt1— . . . —clktk9
- B2'2Х2 ~ do '^21^1 • • • (
х2+ ' ' • + annxn = dn — Cnitx— - • • —cnktk.
Если неизвестным t\, t2, W придать некоторую (произволь-
(произвольную) систему значений
/ = /@) / - /@) f __ /@)
го получится полная треугольная система, имеющая единствен-
единственное решение
у — у@) у _ у@) у — у@)
1 Л1 » Л2 ~ 2 ' * * * ' n n '
Итак, всякой системе значений неизвестных t{ соответствует
единственное решение системы (А), следовательно, (А) имеет
бесконечное множество решений, ч. т. д.
Для решения усеченной системы достаточно, решив первое
уравнение относительно Х\\
Y — dl J±J_/ Clk /
an an au
подставить найденное выражение в прочие уравнения систе-
системы (А).
Тогда получится усеченная система с неизвестными л:2, лг3,
хп\ t\, h, • • •, tk\ из этой системы найдем х2 и составим усеченную
систему с неизвестными х3, х4, ..., хп, tu ..., tk и т. д. Оконча-
258

тельно получим общее решение, в котором неизвестные
х\, х2, ••-, *п выражены в виде линейных многочленов от неизвест-
неизвестных t\, t2,...,tk\ последним можно придавать произволь-
произвольные значения из данного числового поля.
Полную треугольную систему можно преобразовать в сле-
следующую эквивалентную систему, которую получим, решив (в от-
отдельности) первое уравнение относительно хи второе относи-
относительно х2 и т. д.; п-е относительно хп:
Чтобы решить эту систему, достаточно подставить значение
Х\ из первого уравнения во второе, затем значения хх и х2 под-
подставить в третье уравнение и т. д. Для усеченной системы в
правых частях будут содержаться неизвестные t\, t2,...,tk.
Примеры
1 Решить полную треугольную систему (см пример на стр. 256):
х =2,
х — 2у - 4,
х — Зу — z = 1,
у -!- z — и = 0.
Решение. Из первого уравнения имеем х = 2, подставив во второе,
получим 2 — 2у = 4 и у = —1, подставив значения х = 2 и i/ = —1 в третье,
получим z — 4; из последнего найдем и = 3.
Итак, jc = 2, у = —1, z = 4, и = 3 есть единственное решение системы.
2. Решить усеченную систему
i-\- и \-х = 1,
3/+ и + * + 2# =з,
-и +г =0,
х — У -\- z -\- w =0
(см. пример на стр. 257).
Решение. Из первого уравнения получим х — 1 — / — и.
Из второго получим
3 3 и J. 3_ _3_ _и_ 1
Из третьего найдем z — и\ и, наконец, из последнего
w = — х -|- у — г = — A — / — м) + A — /) — и = 0.
Итак, общее решение системы можно представить в следующем виде:
где неизвестным w и t можно придавать произвольные численные значения.
I7* 259
(А)

Общее решение данной системы можыо представить в другом виде. Вос-
Воспользовавшись записью системы в виде (А'), получим следующие выраже-
выражения неизвестных t, z, у, w через х и и (вычисления предоставляем уча-
учащимся) :
/=1 — х — ы, z=w, у = х + и, w=0.
§ 70. Исключение неизвестного
из двух линейных уравнений
Рассмотрим систему двух уравнений
A) alx + b1y+ . . .+^2=^, J
B) а2х± b2y + . . . + c2z = d2i J
кратко данную систему запишем так:
Lx (л\ у, . . . , z) = dv L2 (х, уч . . . , г) = d2. (L)
Теорема. Если каждое из уравнений (L) содержит неко-
некоторое неизвестное, то систему (L) можно заменить эквивалент-
эквивалентной системой двух линейных уравнений, одно из которых не
содержит данное неизвестное.
Составление этого последнего уравнения называется иск-
исключением данного неизвестного.
Доказательство заключается в установлении способа
^составления требуемой системы. Ниже дается описание двух
способов.
Допустим для определенности, что каждое из уравнений (L)
содержит неизвестное х (т. е. а\=? 0 и а2 Ф 0), которое тре-
требуется исключить.
Способ подстановки. Применим к системе (L) спо-
способ подстановки (см. § 51). Решив одно из уравнений, например
первое, относительно х, получим общее его решение:
По правилу, изложенному в § 51, найденное выражение для х
следует подставить во второе уравнение:
Умножив на ах Ф 0 и перенеся числовые слагаемые в правую
часть, получим уравнение:
^a^ — a^. A,2)
Последнее уравнение: во-первых, линейное; во-вторых, не содер-
содержит х; в-третьих, совместно с уравнением (\\) или эквива-
эквивалентным ему уравнением L\ = dx образует систему эквивалент-
эквивалентную (L) (теорема I, § 51).
260

Способ сравнения (или уравнивания) коэффициен-
коэффициентов. Умножим первое уравнение на числовой множитель ти а
второе на т2 и сложим их почленно:
m^ix, у,. . . , г) + m2L2(xlt у,. . ., г) = т^х + m2d2. (ml)
Если к этому уравнению присоединить одно из данных урав-
уравнений, например:
!,(*, у, . . ., z) = dlf A)
то получится система эквивалентная данной, если т2 Ф 0 (см.
§ 51, теорема II, стр. 202). Множители тх и т2 можно выбрать
так, чтобы уравнение (ml) не содержало х\ для этого достаточно
положить гп\ — а2, т2 = —а\.
Вычисления обычно располагаются так:
c9z = do
(а26, — аЛ) г/ + . . . + (а2сх -- ахс2) г = а^ — axd2
умножаем первое на а2, второе на п\ и вычитаем.
Полученное линейное уравнение не содержит х и совместно
с L\ — d\ образует систему эквивалентную (L) (§ 51, теорема II),
ч. т. д.
Примечание. При решении уравнений с целыми
коэффициентами обычно для уравнивания коэффициентов
данные уравнения умножаются (соответственно) на мно-
множители, дополняющие а\ и а2 до их наименьшего общего
кратного.
В результате исключения неизвестного х как одним, так и
другим способами получается одно и то же уравнение:
{alb2 — а26А) у + . . . + (лЛ — a^i) г = axd2 — a2dL*.
Для этого последнего уравнения могут представиться сле-
следующие случаи.
Случай 1°. Уравнение содержит хотя бы одно из неизвест-
неизвестных у, ..., z.
Случай 2°. Уравнение удовлетворяется тождественно;
в этом случае
a1b2 — a2b1=0}. . ., alc2~a2cl = 01 axd2~-¦ a2dt = 0,
откуда
A d
x
или, положив — = k, получим:
a2 = kax> b2 = kblt. . . , d2 =
* Возможное различие в общем (отличном от нуля) множителе для всех
коэффициентов не существенно.
261

Таким образом, второе уравнение системы (L) является след-
следствием первого, так как, умножив L\ = d\ на k, получим L2 = d2%
второе уравнение системы (L) мож-но отбросить.
Случай 3°. Уравнение противоречиво:
ахЬг — афх = . . . = а±с2 —- а2сх -= 0, но axd2 — a2dL Ф О,
т. е.
t? /"У г) Ь? /) Г* —— L? Г* ЛЛ С\ /7 ~7гг /?/7
^ —- KLl>y U у —- K-Uty . • • ^ С^о AvC'i . llvJ ^9 ^^ *^^*'1#
В этом случае система (L) противоречива.
Примеры
1. Исключить неизвестные х из уравнений
B) 2х - 7у + 5г = 2 J
Решение. Способ подста.новки. Решим одно из уравнений
(например, первое) относительно х:
5 2 1
Подставим во второе.
2(-т"+тг+т)-7*+Бг=2
Приведя к каноническому виду, получим:
— 31# -+- 19z = 4. A,2^
Система
5
х== ~"~з~
— 31// f- 19 = 4
эквивалентна данной.
Способ сравнения коэффициентов Умножим первое урав
ние на 2, а второе на 3 и вычтем почленно:
Зх + Ъу — 2z = 1
2 1
I
: = 2
Система
^ — 19z = — 4.
5«/ — 2г — 1, |
Иг/—Пг=—4 J
эквивалентна данной. Система
2л: — 7 у + 5z = 2,
31// — 19z-- —4
также эквивалентна данной.
2. Для исключения неизвестного л: из уравнений
A/2 + 1)х f y= \Л
х + \У2 —\)у = 2 |
262

умножим второе уравнение на j 2+ 1, тогда получим:
По вычитании из полученного уравнения первого, получим противоречи-
противоречивое следствие
2 У 2 + 1 = О
Данная система противоречива. В этом примере коэффициенты при неиз-
неизвестных пропорциональны:
V 2 4- 1 1 тат, . 1 -./ —
1 т /— 9 '
1 У 2 -1 2
3. Исключение какого-либо неизвестного из уравнений
х— У+ 2 = 2, |
Зл: — Зу ^ Зг = 6 J
приведет к тождеству 0 =- 0. В данном случае одно из уравнений есть след
ствие другого, чтобы получить второе уравнение достаточно первое умно-
умножить на 3.
§ 71. Исследование и решение системы линейных уравнений
элементарными методами
Рассмотрим систему k линейных уравнений с п неизвестными
Х\, х2, ..., хп:
A) anxL + аих2 + . . . -!- altxn - dlf
B) а2Лхх + a22xz + . . . + а2лхл - d2,
(L)
Рассмотрим какое-либо неизвестное и уравнение, его содержа-
содержащее. Допустим для определенности, что неизвестное х\ содер-
содержится в первом уравнении (т. е. ацфО) *. Перепишем без изме-
изменения это уравнение:
au*i + «12^2 + . • • + а1пхп = db A0
а также все уравнения системы, не содержащие неизвестного х\.
Прочие уравнения системы содержат неизвестное хх\ возьмем
первое по порядку из этих уравнений. Допустим, например, чго
второе уравнение
anxL + а22х, -г . . . + а2пхп = dz B)
содержит ATi. Исключив х\ из уравнений (li) и B), получим урав-
уравнение, не содержащее Х\, которым можно в системе (L) заме-
* Это предположение не умаляет общности рассуждений, так как всегда
можно перенумеровать надлежащим образом как уравнения, так и неиз-
неизвестные.
263

нить уравнение B). Эта замена возможна, так как система двух
уравнений A) и B) эквивалентна системе, состоящей из (Ь) и
из полученного уравнения (не содержащего х\).
Так же следует поступить с прочими уравнениями системы
(L), содержащими Х\\ каждое из них следует заменить уравне-
уравнением, которое получится в результате исключения из него и из
(h) неизвестного Х\. Итак, окончательно получится система эк-
эквивалентная (L), состоящая из уравнения A0 и из уравнений
не содержащих х}.
Переход к системе уравнений (L7), не содержащих х\ и об-
образующих вместе с уравнением A0 систему, эквивалентную
(L), называется исключением неизвестного Х\ из уравне-
уравнений (L).
Если хотя бы одно из уравнений (L7) противоречиво, то си-
система (L) также противоречива и ее исследование можно счи-
считать оконченным. Если некоторые из полученных уравнений
удовлетворяются тождественно, то их следует отбросить. В част-
частности, если все уравнения (L') удовлетворятся тождественно,
то все они могут быть отброшены и исследование системы (L)
можно считать законченным, так как в этом случае система (L)
эквивалентна одному уравнению A0, а все прочие уравнения
(L) являются его следствиями.
Если не все уравнения (L7) удовлетворяются тождественно,
то к этой системе снова можно применить процесс исключения
одного из неизвестных.
Так, например, если первое уравнение (L7) содержит неиз-
неизвестное ЛГ2, то, исключив это неизвестное, получим уравнение:
и систему уравнений
аГ2Ъхъ + . . .+а'2пхп = <Г2. (L")
не содержащих х2. Система, состоящая из уравнений A2) и (L"),
эквивалентна (L'), а система, состоящая из уравнений A0, (Ь)
и (L"), эквивалентна (L).
Исключение неизвестных (в общем случае) можно продол-
продолжать далее, при этом будут получаться уравнения A0, (Ь), (Ь)
и т. д., из которых каждое предыдущее содержит одно из неиз-
неизвестных, не содержащееся ни в каком из последующих.
264

Так как число неизвестных конечно, то описанный процесс
исключения неизвестных закончится. При этом возможен один
из следующих двух случаев: либо получится треугольная систе-
система, эквивалентная данной, либо на некотором шаге получится
противоречивое уравнение.
В первом случае данная система имеет единственное ре-
решение, если в результате исключения неизвестных получится
полная треугольная система и бесконечное множество ре-
решений, если получится усеченная система.
Во втором случае данная система противоречива.
Поясним изложенное на примере исследования, в общем ви-
виде, системы двух уравнений с двумя неизвестными и системы
трех уравнений с тремя неизвестными.
1) Дана система
A) аАх + Ьгу = съ
B) ах + b2y = c2.
Представляет интерес рассмотрение лишь случая, когда хо-
хотя бы одно из чисел ах и Ъ\ отлично от нуля, так как при
О-\ = Ь\ = 0 первое уравнение либо противоречиво (тогда и си-
система противоречива), либо удовлетворяется тождественно (и
может быть отброшено). Это замечание относится и ко второму
уравнению.
Если а\ 0, то, решив первое уравнение, получим
х = ~с±—^у. (Г)
ах ах
Подставив во второе уравнение, получим
или
(axb2 — a2bx) у = а±с2 — агсх. A,2)
Могут представиться следующие случаи:
а) если аф2 — a2bl ф 0, то уравнений (Г) и A,2) образуют
треугольную систему. Из A,2) найдем
подставив в (Г), получим (после преобразований)
- Ь2 — blc2
X =
— a2bl
В этом случае система имеет единственное решение;
b) если axb2 — а2Ь\ = 0, но а\С2—а2с\ ?=0, то уравнение A, 2)
противоречиво, а значит, и данная система противоречива;
c) если ахЬ2—a2b\ = ахс2—а2с\ — 0, то второе уравнение си-
265

стемы есть следствие первого:
Общее решение дается формулой (Г), где неизвестному у
можно придавать произвольные значения.
Из сопоставления рассмотренных случаев следует, что, если
aib2 — a2b{^0, то система имеет единственное решение; если
п\Ь2 — a2bi = 0, то система либо противоречива, либо имеет бес-
бесконечное множество решений.
Примечание. При исключении неизвестных методом
сравнения коэффициентов лишь незначительно видоизменя-
видоизменяются выкладки (предоставляем учащимся произвести со-
сопоставление).
Геометрическая интерпретация. Каждое из
уравнений A) и B) в отдельности изображает прямую линию.
В случае а) прямые A) и B) пересекаются в одной точке. В слу-
случае Ь) прямые не пересекаются (система противоречива), т. е.
они параллельны. В случае с) уравнения A) и B) эквивалент-
эквивалентны, они изображают одну и ту же прямую линию.
II. Дана система:
A) а±х + bxy -t- cxz = dlt J
B) a2x + b2y -r c2z = d2, \ (L)
C) a3x + bsy + czz = d3. i
Предположим (для определенности), что первое уравнение
содержит неизвестное х\ (т. е. а\^=0). Исключив х\ из уравнений
A) и B), получим (методом сравнения коэффициентов):
(&ia2—-&2ai) У + (cia2 —c<fL\)z = dxa2 — d2a±*. A,2)
Аналогично, исключив х из уравнений A) и C), получим:
(Ьха3 — Ь3аг) у + (сха3 — c3ax) z = dxas — d3av A,3)
Кратко будем записывать уравнения A, 2) и A, 3) так:
A.2) B2y + C2z = D2, |
A.3) B3y+C3z = D3, j
где B2 = bia2 — b2a\... и т. д. Уравнения A), A,2) и A,3) обра-
образуют систему, эквивалентную (L).
а) Хотя бы одно из уравнений A, 2) или A, 3) противоречи-
противоречиво. В этом случае система противоречива: так, если A, 2) про-
противоречиво, то
^2 = Ь2 __ с2 d2
Ь d '
*) Если B) не содержит х (т. е. а2 = 0), то его следует оставить без из-
изменения. Однако в этом случае A, 2) принимает вид — b2ary — с2ахг =
— —d2au т. е. получается уравнение, отличающееся от B) лишь числовым
множителем —аи
266

b) Оба уравнения A, 2) и A,3) удовлетворяются тождест-
тождественно:
Bz=~~C2-= D2 --¦= В3 = С3 = D3 = 0.
В этом случае:
ах: bL: сх: dL = а2: Ь2: с2: d2 и ах : bL: cL: dx = а3: 63: сх •' ^з-
Уравнения B) и C) суть следствия A) и система эквива-
эквивалентна одному уравнению:
01*-г М т cxz = dx.
Общее решение (L) можно представить в виде:
с) Одно из уравнений A, 2) и A, 3) непротиворечиво и не
удовлетворяется тождественно, а другое удовлетворяется тож-
тождественно.
Пусть, например: В2т^Э, но В3 = Сз = О<6 = 0.
В этом случае уравнения
ахх+ bvy -t-^z = di, A)
В2у + С2г=- D2 A,2)
образуют усеченную треугольную систему. Решив A, 2) относи
тельно у, получим:
подставив в A), найдем:
где z — произвольное число. Система имеет бесконечное множе-
множество решений.
Если ни одно из уравнений A, 2) и A, 3) не противоречиво и
не удовлетворяется тождественно, то дальнейшее исследование
системы (L) сводится к исследованию системы (I/). Пусть, на-
например: В2Ф^. Исключив у из уравнений A, 2) и A,3), получим
уравнение:
(B3C2-B2C3)z = B3D2-B2D3. A,2,3)
Уравнения A), A, 2) и A, 2, 3) образуют систему, эквива-
эквивалентную (L). Возможны следующие случаи:
d) Уравнение A, 2, 3) противоречиво, тогда и система (L)
противоречива. В этом случае:
В3 = кВъ С3 = kC2, но D3 ^ kD2
(где k — коэффициент пропорциональности).
267

Равенство B^ = kB2 в развернутом виде перепишется так:
Ьуаъ — b3aL = k (bLa2 — b2a1),
откуда
Обозначим — — = /,
тогда
Из соотношения C3 = kC2 найдем:
c3 = lcx + kc2.
Наконец, примем во внимание очевидное тождество
а3 = lax -j- ka2.
Так как В^фаВъ, то d3^= ld\ + ^d2. Итак, если левую часть
уравнения A) умножить на /, а левую часть B) на k, затем их
сложить, то получится левая часть уравнения C). Однако правая
часть C) не получается этим путем из правах частей A) и B).
е) Уравнение A, 2, 3) удовлетворяется тождественно. Систе-
Система (L) эквивалентна системе, состоящей из двух уравнений
A) и A,2). Следовательно, имеем то же, что в случае с). Систе-
Система (L) имеет бесконечное множество решений. К равенствам,
имевшим место в предыдущем случае, присоединится D^ — kD
откуда найдем:
Третье уравнение есть следствие первых двух, чтобы его по-
получить, достаточно уравнения A) и B) умножить на I и k (соот-
(соответственно) и сложить.
f) Уравнение A, 2, 3) непротиворечиво и не удовлетворяется
тождественно: В3С2 — ВгСз^О. Система (L) эквивалентна треу-
треугольной системе уравнений A), A, 2) и A, 2, 3). В этом случае
система имеет единственное решение. Из A, 2, 3) найдем:
2 = В3Р2 — Б2Р3 =
4- афзйх + аФ\&ъ
Далее, из A, 2 ) найдем у и, наконец, из A) х. Для неиз-
неизвестных получаются выражения с одним и тем же знаменателем,
для получения числителя достаточно в выражении знаменателя
заменить коэффициенты при соответствующем неизвестном сво-
свободными членами.
Геометрическая интерпретация. Каждое из урав-
уравнений A), B) и C), взятое в отдельности, изображает плос-
268

кость. В случае а) среди плоскостей A), B) и C) имеется хотя
бы одна пара параллельных. В случае Ь) все три уравнения изо-
изображают одну и ту же плоскость (плоскости совпадают). В слу-
случае с) два уравнения изображают одну и ту же плоскость (две
плоскости совпадают), а третья плоскость пересекает ее по пря-
прямой линии. 6 случае d) плоскости, изображаемые данными урав-
уравнениями, попарно пересекаются, образуя грани призмы. В слу-
случае е) все три плоскости проходят через одну прямую. В случае
f) три плоскости пересекаются в одной точке. На чертеже 80
дано пояснение рассмотренных случаев.
Сопоставим изложенное исследование с общими теоремами об исследо-
исследовании линейных систем, известными из высшей алгебры. Коэффициенты В2,
С2, В2, С3 суть миноры (с точностью до знаков) матрицы системы
аз
a D., и D3 миноры расширенной матрицы
«2
коэффициент уравнения A, 2, 3) с точностью до множителя ах(а{ф 0 по
предположению) есть детерминант системы. Имеем в рассмотренных случаях
Случай
а
b
с
d
е
f
Ранг матр.
системы
1 ПЛИ 2
1
2
2
2
3
Ранг расши-
расширенной
матрицы
2 или 3
1
2
3
2
3
Резулыат исследования
система противоречива
бесконечное множество решений
— — — — — — — — —
система противоречива
бесконечное множество решений
единственное решение
Однородные линейные системы.
Определение* Линейная система называется однородной, если
все свободные члены равны нулю.
Однородная линейная система имеет вид:
а22х2
. 4- а1пхп = 0,
. + аЛпхп = 0,
aklxx + ak2x2
• aknxn = 0.
(L)
269

Однородная система не может быть противоречивой, так как
она имеет нулевое или тривиальное решение:
Х± :—: Хо :== . . . г= Хп ^^ U.
Черт. 80
Если исключение неизвестных приведет к полной треу-
треугольной системе, то однородная система имеет единственное
фивиальное решение; если исключение неизвестных приведет к
> сеченной треугольной системе, то однородная система

имеет бесконечное множество решений, среди которых содер-
содержатся нетривиальные решения.
Геометрическая интерпретация. Уравнения
ахх + bxij = О,
а2х 4 Ь2у = О
изображают прямые, проходящие через начало координат. Если
#i&2 — «2&i^0, то эти прямые различны и начало координат есть
их единственная общая точка. Если axb2—a2bl = 0, то прямые
совпадают, система имеет бесконечное множество решений.
Аналогично, плоскости, изображающиеся уравнениями
агх + Ьху + схг = О,
а2х + b2y + c2z = О,
а*х + Ьяу + csz = О
проходят через начало координат. Эти плоскости могут пересе-
пересекаться лишь в одной точке (тривиальное решение), пересекаться
по прямой или совпадать, в двух последних случаях система
имеет нетривиальные решения.
Примеры
.. Исследовать
систему
2х —
Зх +
4х +
Зу +
±у-
ЬуЛ-
52 =
22 =
62-
4,
5,
15.
A)
B)
C)
Исключив х из A)
2х — Зу + 5z = 4
Зх + 4// — 22 -- 5
— 17// '- 192=2
и B), а затем из A) и C), получим*
3 2х — Зу + 52 = 4 v
_2^ 4.v + 5j/ -{- 62 = 15
A,2) и —11// + 42 =—7
A.3)
Исключив г/ из A, 2) и A, 3), получим:
\7у— 192=—2 11
11 у — \z = 7
11
17
— 1412 = — 141
ИЛИ 2 = 1
A,2.3)
Полная треугольная система
г=1, — 17//+ 192= 2, 2х —3//+5г=4,
составленная из уравнений A), A, 2) A, 2, 3), эквивалентна данной.
треугольной системы найдем единственное решение
х г_- 1, */=1, г = 1.
2. Присоединим к уравнениям, рассмотренным в предыдущем
новое четвертое уравнение
7Х — 2у — 32 =* 2;
исследовать, имеет ли система уравнений A) — D) решения.
Из
примере.
271

Решение. Единственное возможное решение системы A) — D) есть
х = у = z = 1, так как это единственная система чисел, удовлетворяющая
первым трем уравнениям; проверкой убедимся, что уравнение D) при
х = у = z — 1 также удовлетворяется.
Исключение неизвестного х из уравнений A) и D) приведет к уравне-
уравнению
— 17*/+412=24 A,4)
Это уравнение присоединится к A, 2) и A,3). Исключив z из A,2) и
A, 4), получим:
222=22 A,2,4)
Уравнение A, 2, 4) есть следствие A, 2, 3) и может быть отброшено.
3. Видоизменим предыдущий пример: вместо уравнения D) возьмем
•уравнение
7х — 2у — 32 = 1 (,4*')
«и присоединим его к уравнениям примера A). Получится противоречивая си-
система, так как х = у = z = 1 не удовлетворяет Dх). В этом случае уравне-
«ие A, 4) заменится уравнением
— \7у + 412^ 26,
а уравнение A^ 2, 4) заменится уравнением
2224 11
лослелнее уравнение и уравнение A, 2, 3) образуют противоречивую систему.
4. Решить систему
2х +
Зх +
4х +
5х +
Зу
У
*У
2у
+ 42 +
+ 22 +
+ 32 +
+ 2 +
Би —
Аи =
7м =
4м =
— 2,
1,
1,
4.
A)
B)
C)
D)
Решение. Исключаем неизвестное у, комбинируя уравнения B) по-
поочередно с прочими уравнениями:
- 5u=— 2
f- 6у + 32 ¦
7м = 1
Аи = 1
7х+
Исключаем неизвестное ху комбинируя B, 4)
« B, 3),
5 B,
?х + 2у +
3*+ у +
1);
2 +
22 +
\Ах
Аи =-
Аи =
+
4
1
1
2
17ы = 5
B,4).
с уравнениями
B,3)
1)
1х + 22 + 1и = 5
х ^ 32 + 4м = — 2
14* +'92+ 17м= 5
х+ 32 + 4м = — 2
1
14
¦21и--= —19 B,4,1);
Исключив (z) из B, 4, 1) и B, 4,
' ! = —19 ^
192 +
33z+39m = —33
33
19
ЗЗг + 39w = — 33
получим;
B,4,3).
48i/=0 , илим=0 B,4,3,1).
Уравнения B), B, 4), B, 4, 3) и B, 4, 3, 1) образуют полную треуголь-
треугольную систему: !
и^О, 332-4-39w = — 33, xf3z+ Au= — 2, Зх + у + 22 + Аи = 1,
272

из которой найдем единственное решение:
и = 0, 2= — 1, х = 1, у=
5. Решить систему уравнений
2х— у + 3г=\, A)
4х — 2у— z=— 3, B)
2х— t/_ 4г = —4, C)
10*— Ъу— 6z = — 10. D)
Решение. Исключаем у, комбинируя первое уравнение с прочими,
Ах — 2у — г = — 3
2л: — </ — 4г = — 4
2х — у + Зг = 1
7г = 5 A, 2);
IOjc — 5i/ — 6г = — 10
2л: — </ + Зг = 1
7г= 5
A, 3),
21?= 15
A,4).
Уравнения A, 3) и A, 4) суть следствия A, 2), а потому могут быть от-
отброшены. Система эквивалентна усеченной треугольной системе двух уравне-
уравнений A) и A, 2), из которых найдем:
5 8
где х — произвольное число.
6. Исследовать однородную систему двух уравнений с тремя неизвест-
неизвестными
а2х + b2y + c2z = 0 J
(хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля).
Решение. Г. Если коэффициенты при неизвестных пропорциональны
п\ : Ь\ : С\ = а2 : Ъч: Сг, то одно из уравнений есть следствие другого. Пусть,
например, ах ф 0, тогда найдем общее решение:
Система имеет бесконечное множество решений, два неизвестные произ-
произвольны.
2°. Предположим, что коэффициенты данных уравнений непропорцио-
непропорциональны, пусть, например, аф2 — о.2Ь\ф 0. Решим систему относительно не-
неизвестных х и у (см. стр 265):
(Ь^Ссу — Ь2сЛ z
х = ; у =
где z — произвольное число. Откуда
X У
— Ь2сг
у= {с1а2 — c2aY)t\ г= (аф, — а2/?,)/,
где / (коэффициент пропорциональности)—произвольное число. Система
имеет бесконечное множество решений: одно неизвестное произвольно.
18 С. И. Новоселов 273

Итак, всякая однородная система двух линейных уравнений с тремя
неизвестными имеет бесконечное множество решений.
Геометрическая интерпретация. Две плоскости, проходя-
проходящие через начало координат, либо пересекаются по прямой (случай 2°), ли-
либо совпадают (случай 1°).
§ 72. Метод неопределенных коэффициентов
Для исключения неизвестных из линейных уравнений можно
применять метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим систему линейных уравнений
> . . - CiZ -f- кЛи Л- . . . -4- 1ЛХ) = а,,
а2х -j- Ь2у + . . . + c2z + k2u + . . . + kv = ^2>
или в сокращенной записи:
Lx = dv L2 = d2,. . . , Ln = dn.
Поставим следующую задачу: в качестве следствия из данных
уравнений получить линейное уравнение, не содержащее неиз-
неизвестных х, у, ..., z. Умножив данные уравнения на некоторые
числовые множители Х\, Хг, ..., Хп (соответственно) и сложив по-
членно, получим линейное уравнение:
По условию последнее уравнение не должно содержать не-
неизвестных х, у,..., г. Приравняем коэффициенты при этих неиз-
неизвестных нулю:
Получилась система однородных уравнений относительно не-
неопределенных коэффициентов X], Хг, ...Дл. Тривиальное решение
этой системы исключается из рассмотрения, так как при
Xi = %2 = _ = хп = 0 уравнение (И.) удовлетворяется тождествен-
тождественно. Всякое нетривиальное решение системы (Х) приводит к урав-
уравнению {XL)y не содержащему неизвестных х, у, ..., г. Отметим
следующие возможные случаи:
Г. Уравнение {XL) содержит неизвестные ы,..., и (хотя бы
одно).
2°. Уравнение (XL) противоречиво, т. е.
274

В этом случае система (L) противоречива, так как уравне-
уравнение (XL), будучи следствием (L), противоречиво.
3°. Уравнение (^L) удовлетворяется тождественно, т. е.
В этом случае система (L) содержит уравнения, которые мо-
могут быть получены в качестве следствия из прочих уравнений.
В самом деле, по предложению не все множители Xt равны
нулю (решение нетривиальное), пусть, например ХпФ 0, тогда:
Ln = —" —^i~~ Т~^2—-. • . - ?л_1
Последнее уравнение может быть получено посредством умно-
1 О #t 1
жения предыдущих уравнений на множители , ,...,—:^-
(соответственно) и почленного сложения.
Применение метода неопределенных коэффициентов к реше-
решению систем линейных уравнений основано на следующем част-
частном случае теоремы II (§ 51). Если кпф0, то системы
F, = О, F2 - 0, . . ., Fn-i =0, Fn - 0
^=0,^ = 0,. . . , ^л_, =0, ^1F1 + &2F2+. . . +*Л = 0
эквивалентны (в нашем случае ^22 = ^зз= • • • =^п_1л_1 = 1
и mnn=kn =?0, см. стр. 202). Из теоремы II (§ 51) также сле-
следует, что, если Xi?= 0, то система (L) эквивалентна системе, в
которой i-e уравнение заменено уравнением
> 1 ^i + • . .+Х,^-Ь . .+ХЯ?Л = М1 + . . .+\ndn9 (XL)
а все прочие уравнения (L) оставлены без изменения.
Пример
Решить систему
Зх—4у+ Ъг =13, A)
Зл: — г — 2и = 5, B)
7у— 8z + 4« = 21, C)
Зх + Юг— 4и=19. D)
Решение. Исключим из этих уравнений неизвестные у, z и и (можно
взять три другие неизвестные). Приравняем нулю коэффициенты при у, z к и
в уравнении, которое получится, если данные уравнения умножить на коэф-
коэффициенты ?i, |x, v, о и сложить:
— 4Х+ 7v ^-0,
5Х— fx — 8v+ 10 а=- 0, (X)
— 2ц. +4v— 4a = 0.
18* 275

Исключив \i из последних двух уравнений, получим:
Ы— 10 v
Это уравнение совместно с первым и третьим образует усеченную тре-
треугольную систему, из которой найдем:
7 43 5
А. = — v, И= — v, п — — V.
4 ' 24 ' 48
Достаточно знать какое-либо частное решение системы (Х)\ положив
v = 48, получим:
А = 84, р. = 86, v = 48, a = 5.
Умножив данные уравнения на найденные коэффициенты и сложив, по-
получим :
CX+3+3I3X 5 1
или, после подстановки значений коэффициентов и сокращения,
* = 5.
Последним уравнением можно заменить любое из уравнений данной си-
системы (например, третье), так как ни один из множителей X, ц> v, о* не равен
нулю. Положив х = 5в уравнениях B) и D), получим:
z+2u= 10,
Ъг — 2.7= 2.
Откуда 2 = 2 и и = А. Из A) найдем у=2>. Система имеет единствен-
единственное решение:
х = 5, у= 3, г= 2, и — 4.
§ 73. Линейные системы, содержащие параметры.
Решение линейных систем при дополнительных условиях
Линейное уравнение, содержащее параметры, имеет вид:
ах 4- by -f- • . . + cz = d,
где коэффициенты а, 6,..., с, d суть данные функции от па-
параметров.
Если не задано никаких дополнительных условий, то иссле-
исследование системы уравнений (в частности одного уравнения) за-
заключается в установлении, при каких значениях параметров
система имеет решение, при каких противоречива. В первом слу-
случае надо установить, в каких случаях система имеет единствен-
единственное решение, в каких бесконечное множество решений, сколь-
скольким неизвестным можно придавать произвольные значения и со-
составить формулы решения.
При исключении неизвестных из системы (заданной в общем
виде), в которой число уравнений больше числа неизвестных,
получаются соотношения (одно или несколько) между коэффи-
коэффициентами данных уравнений, эти соотношения, не содержащие
неизвестных, дают условия (необходимые) существования реше-
решения системы.
276

Если коэффициенты суть рациональные функции от парамет-
параметров, то формулы решения также являются рациональными от-
относительно параметров, так как при исключении неизвестных и
решении линейных уравнений над коэффициентами производят-
производятся лишь арифметические действия.
Примеры
1. Исследовать уравнение
т2 (х — 2) — Зт = х + 1.
Решение. Приведя уравнение к каноническому виду, получим:
(т2— I)x = 2m2-f 3m+ 1.
Если тф ±1, то уравнение имеет единственное решение
2т2 + Зт -+ 1 __ 2т + 1
Х ~ т2—\ ~~ т— 1
Если т = 1, то 2т2 + Зт + 1 = б ф О, уравнение не имеет решений.
Если т=—1, то 2m2 + 3ra+l=0 и данное уравнение удовлетворяется
тождественно.
2. Решить систему:
(m-lJx+(m2-l)*/=(m + lJ, (I) |
Bm-l)*+(m + l) t/ = m2-l. B) J
Решение. Наиболее простым из коэффициентов при неизвестных яв-
является m + 1, поэтому будем исключать неизвестное у, пользуясь вторым
уравнением.
Если тф —1, то второе уравнение содержит у\ умножим почленно урав-
уравнение B) на m—1 и вычтем из первого:
(т2 — 1) у + (т — IJ х = (т + IJ
(т+\)у + Bт — 1) х = т2 — 1
1
(т-1)
— т{т— \)х = т\т+ 1)C— т) | B,
Треугольная система:
(т + 1) у + Bт — 1) х- т2 — 1,
— т(т —1)х = т(т + 1)C — т) '
(при тф —1) эквивалентна системе (А).
Если тф 0 и т Ф 1, то из второго уравнения (В) найдем х, и, подста-
подставив в первое уравнение этой системы, найдем у. В этом случае система
имеет единственное решение:
—3) — m2 + 5m —2
У= Z—1 (гдет^ + 1 и тфО).
т 1
т—1 т— 1
Особые случаи. I. Если тф—1, то можно вывести систему (В),
но формулы решения нельзя получить при т = 0 и при т = 1.
Случай 1°. m = 0. Второе уравнение системы (В) удовлетворяется
тождественно. Система (А) эквивалентна одному уравнению
х — у= 1,
из которого найдем бесконечное множество решений:
У—х— 1, х—произвольное число данного поля.
277

Случай 2°. m = 1. Второе уравнение системы (В) противоречиво;
система не имеет решений.
II. При т = —1 система (В) не может быть выведена, так как второе
уравнение не содержит у.
Случай 3°. т = —1. Система (А) примет вид:
4х=0, — 3*=0.
Откуда найдем бесконечное множество решений:
x = Qt у — произвольное число.
Примечание. На основании результатов исследования линей-
линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными можно сделать
следующее заключение: система (А) имеет единственное решение, если
alb2 — a2bl = (m—lJ(m + 1) — Bт—\)(т*—\) =
= (m + l)m(m—1) ф О,
т. е. если тф —1, тф 0 и тф 1. При т = —1, т = 0, и т=\ система
является либо противоречивой, либо имеет бесконечное множество ре-
решений, (что согласуется с результатами выполненного решения).
3. Решить систему:
у
т — а
п — а
т — Ъ
= 1,
¦= 1.
(А)
Решение. Допустимые значения параметров определяются следую-
следующими условиями: тф а, т ф Ьу пфа, пф Ь.
Умножив первое уравнение на —(т—а)ф 0, а второе на п—афО и
сложив почленно, исключим х и составим систему, эквивалентную данной:
У
m—~ a m — b
(п — т){а — Ь)
= 1,
IB)
{т-Ь)(п-Ь)У=П-т- ,
Если пф т и афЬ, то из треугольной системы (В) найдем единствен-
единственное решение:
(т — b){n — b) (т — а)(п — а)
у=
а — Ь
х =
Ъ — а
Полученные выражения для неизвестных не теряют смысла, если напри-
например т=а, но соответствующие значения х и у нельзя считать решениями,
ибо такая система параметров не принадлежит области определения системы
уравнений (Л). В процессе выполнения преобразований произошло расши
рение области определения рассматриваемых функций параметров.
Особые случаи. Сл.учай 1°. т = п. Второе уравнение системы (В)
удовлетворяется тождественно. Система имеет бесконечное множество реше-
решений:
т — а
х = т — а+ —у (глет Фа, тфо).
т — b
Случай 2°. а=Ь. При тфп система противоречива.
т=п включается в предыдущий.
4. Решить систему уравнений:
2х+ Зг/- 42=5, A)
2ах + ЪЬу + (Ь — Ъа) г = 2а + 36, B)
Ьх + Зау + (а — 6) z=a-\-4b. C)
278
Случай а=Ь,

Решение. Уравнение A) содержит все три неизвестные. Исключив х из
B) а затем из уравнений C), получим систему, эквивалентную
(В)
уравнения B)
данной:
2х + Зу— 42-5, A)
3(Ь — а)у+ (Ь — a) z = 3 F - а), A,2)
3 Bа — 6) у + 2 (а + 6) z - Bа + 36). A, 3)
Если аф Ь, то уравнение A, 2) содержит у и эквивалентно следующему
Зу+г=3. A, 2)
Исключив у из уравнений A, 2х) и A, 3), получим систему, эквивалентную
данной:
I
уравнению
—4г = 5,
I
I
(С)
ЗУ+ г= 3,
36г= — 4а+ 66. !
Если & фО, то из треугольной системы (С) найдем единственное решение:
— 4а + 66 4а+ 36 — 10а + 186
2 У X
36
96
36
где аф Ь и & =? 0.
Особые случаи. I. Систему (С) можно вывести при условии аф О,
но формулы ее решения нельзя получить при 6 = 0.
Случай 1°. 6 = 0, а ф 6, т. е. а 0, третье уравнение системы (С)
противоречиво. Данная система не имеет решений.
II. При & = а можно вывести систему (В), но нельзя вывести систему (С).
Если а=6, то система (В) примет вид (второе уравнение этой системы
удовлетворяется тождественно):
2х + 3у — 4г = 5,
= 5а.
Случай 2°. Если а=6=?0, то получим бесконечное множество решений:
5—42
у =
х = 4г B — произвольное число).
Случай 3°. Если а = Ь = 0, то данная
уравнению:
2 + З4
система эквивалентна одному
откуда найдем бесконечное множество решений л: = •
5. Решить систему
ах + by + cz = m,
a2x -4- 62г/ + c2z = т2, (А)
а3х -\- Ьъу + c3z = m3.
Решение. Если а^=0, то воспользовавшись первым уравнением,
исключим х из второго, а затем из третьего уравнения, тогда получим сис-
систему:
ах + by +
С2 = т,
6 F — a ) г/ + с (с —a)z =m (m — a),
6 (б2 — а2) г/ + с (с2 — a2)z = m (т2 — а2).
(В)

Второе уравнение содержит у, если Ь ф О, Ь ф а\ исключив у из послед-
последнего уравнения, получим треугольную систему
ах + by + cz — tn, \
b(b — a)y-\- c(c — a)z = m(m—а), > (С)
с {с — а) (с — b) z = т (т — а) (т — b) J
Если сф О, сф а и с ф Ь, то из системы (С) найдем единственное
решение (элементарные выкладки опускаем):
т(т — а){т — Ь) т(т — а) (т — с) т(т — Ь) (т — с)
с (с— а) (с— ЬУ У~ Ь(Ь — с)(Ь — а) ' * ~ а(а — Ь)(а — с) '
где
афО, ЬфО, афЬ, сфО, сфа, сфЬ.
Примечание. Заметив, что система уравнений не изменяется
при любой перестановке аргументов х, у, z вместе с параметрами a, b
и с (соответственно), можно непосредственно написать формулы для
I/ и х из первой формулы путем надлежащей перестановки параметров.
Особые случаи. Из изложенного выше следует, что особые случаи
имеют место, если хотя бы один из параметров а, Ъ и с равен нулю, либо ес-
если среди значений этих параметров имеются равные между собой. Так как
исходная система (А) симметрична относительно параметров а, Ь и с (см.
примечание), то можно сократить число подлежащих рассмотрению особых
случаев (рекомендуем учащимся для каждого рассмотренного ниже особо-
особого случая переписывать исходную систему (А)).
Случай 1°. Один из параметров a, b и с равен нулю, два остальные
отличны друг от друга.
Пусть, например, с = 0, а ф 0, Ьф 0, афЬ. Система (С) примет вид:
ах + by = т,
Ьф — а)у = т(т — a),
О г = т (п — а) (т — Ь)
Если тф 0, тф а, тф Ь, то последнее уравнение противоречиво. Си-
Система не имеет решений.
Если т=0, либо т = а, либо т = Ь, то последнее уравнение удовле-
удовлетворяется тождественно. Система имеет бесконечное множество решений:
т (т — а) т (т — Ь)
у = , х = , z—произвольное число
Ьф — а) а {а — Ь)
Случай 2°. Значения двух параметров а, Ь и с равны нулю, третий
отличен от нуля. Пусть, например Ь = с=О, а ф 0, система (В) примет вид:
ах = т, Оу + Oz = т(т — а ), 0у + 0г = т(т2—а2)\
при т ФО и тфа система противоречива. При т = 0 или т = а система
имеет бесконечное множество решений:
т
х — —, у и z произвольны.
а
Случай 3°. а = Ь = с = 0. *При т ф 0 система противоречива, при
т = 0 удовлетворяется тождественно.
Случай 4°. Два параметра а, Ь, с отличны от нуля и равны между
собой, третий им неравен и отличен от нуля.
Пусть, например, а=сфО, ЬфО, Ьфа.
280

Система (С) примет вид:
ах + by + az= m,
Ь (Ь — а) у = т (т — а),
0-z= т(т — а)(т — Ь)
Если тфО, тфа, т^Ь, то система противоречива.
Если т = 0, либо т = а, либо т = Ь, то система имеет бесконечное мно^
жество решений:
т (т — а) т (т — Ь)
if = —— х = — г; (г — произвольное число)
1 b(b — a) а(а-Ь)
Случай 5°. Два параметра a, b и с отличны от нуля и равны между
собой, третий параметр равен нулю. Пусть, например, а=с=?0, 6 = 0, систе-
система (В) примет вид:
ах + az = т, Оу + Ог = m (m ~ а), Of/ -f- Ог = /п (т2 — а2)
При тф§ и т ф а система противоречива, при т = 0 или т = а система»
имеет бесконечное множество решений:
т
х = — — г; г/ и z произвольны.
а
Случай 6°. а=Ь = сфО.
Система (В) примет вид:
ах + ay -\- clz = т, Of/ + Ог — m (m — а), Оу + Ог = m (m2 — а2)
Система противоречива при тфО и
Если т=0 или т = а, то система имеет бесконечное множество решенийг
т
х — — у — г; у и г произвольны
а
6. Исключить неизвестное х из уравнений
Я]* = &J и а2х = 62 •
Решение. Исключив х по обычным правилам, получим:
0 = Ь1а2 — аф2 •
Это равенство есть необходимое условие совместности системы»
двух уравнений с одним неизвестным. Полученное условие не является до-
достаточным, так, например, оно выполняется при а{ = а2=0, bl = b2=\y но*
каждое из уравнений противоречиво.
7. Исключить неизвестные х, у, и z из однородной системы:
ax + cy + bz=0, A)
сх + by + az =r. 0, B)
bx + ay 4- cz = 0 C>
Исключением неизвестных из однородной системы называется вывод
соотношений между параметрами, при которых система имеет нетривиальные
решения.
Решение Г. Если система содержит одно независимое уравнение, то
с b a b а с
а с Ъ а с b
В этом случае система имеет бесконечное множество решений (два не-
неизвестные произвольны).
281'

2°. Если система содержит два (по крайней мере) независимые уравне-
уравнения, например A) и B) (см. пример 6, стр. 273), то составим общее решение
системы двух уравнений A) и B):
х = (ас — б2)/, y = (bc — a2)t, z= (ab — c2)t,
где t произвольное число. Подставив в уравнение C), получим
(Sabc — а3 — б3 — с3) t = 0. D)
Если ЗаЬс — а3 — Ьъ — с3 ф О, то из уравнения D) найдем t = 0, в этом
случае система имеет единственное тривиальное решение.
Если
Sabc — a3 — 63 — с3 = 0, E)
то уравнение C) удовлетворяется всеми решениями системы уравнений A)
и B), следовательно, имеет нетривиальные решения. Заметим, что в случае
1° равенство E) также выполняется.
Итак, равенство E) есть искомый результат исключения неизвестных.
При решении уравнений и систем линейных уравнений, при
дополнительных условиях поступают по общему правилу: нахо-
находят значения параметров, при которых решение удовлетворяет
поставленным условиям.
Ниже приведены примеры решений линейных уравнений при
различных дополнительных условиях.
Примеры
1. Найти целые положительные решения
2ах=(а f \)х+ 18. A)
Решение. Приведем уравнение к каноническому виду:
18
(а—1)я = 18, откуда х — ,
а — 1
где аф\. При а=\ уравнение не имеет решений. По условию х — нату-
натуральное число. Следовательно, а — 1 должно быть положительным делите-
делителем числа 18:
X) а — 1 = 1, а=2, * = 18; 4) а — 1 = 6, я= 7, х =. 3;
2) а— 1=2, а = 3, х = 9; 5)а— 1= 9, а=10, х = 2;
3) а— 1=3, а=4, х = 6; 6) а—1=18, а=19, jc = 1-
2. Найти рациональные решения уравнения
х+ V2= xV 2+ а2,
где а — рациональный параметр.
Решение. Имеем:
А;A__У) = а2--УГ2.
Откуда
х = q2~^J =_ (а*_ /7) A + /7) = B - а*) + A - а
1-^2
неизвестное л: есть рациональное число лишь в том случае, если а2=1, откуда
а=±\ и х=1.
3. Найти действительные решения системы уравнений
= 2а—\, )
где а — комплексный параметр.
282

Решение. При произвольном а система имеет единственное решение:
2а
х= — г = а(\ -f /), у = (а— 1)— ш\
1 — i
Пусть а=а+ф (где аир действительные числа), имеем:
X = (а + / Р) A + /) = (а - И + / {а + ?),
г/ = (а + / р - 1) - / (а + / $ = а + р - 1+ / (_ а + ji),
числа л: и */ действительны, если а + Р = 0 и —а + В = 0. Откуда а = О,
Р = 0, т. е. а = 0, при а = 0 получим х=0, г/ =—1.
4. Неопределенные уравнения первой степени с двумя неизвестны ни *.
Так называются уравнения вида
ах-\-Ьу= с,
где а, 6 и с — целые числа. Под решением неопределенного уравнения по-
понимают его решение в целых числах, т. е. решение A) при дополни-
дополнительном условии: хну суть целые числа. Числа а, Ъ и с будем предпола-
предполагать взаимно простыми.
Теорема 1°. При взаимно простых ау Ь и с уравнение A) имеет целые
решения в том и только в том случае, если а и b взаимно просты.
2°. Если а и b взаимно просты, то существует бесконечное множество
решений A)
Доказательство. Если а и Ь не взаимно просты, то они имеют
общий нетривиальный делитель:
a--aYd, b = bxd, где d [> 1.
В этом случае при любых целых х и у правая часть делится на d, но ле-
левая, т. е. число с, не делится на d (так как а, Ъ и с взаимно просты). В этом
случае уравнение не имеет целых решений.
Предположим, что а и Ъ взаимно просты. Рассмотрим общее решение A):
с — Ьц
х= (гдеа>0). B)
а
Полагая последовательно: у=0, 1, 2, ..., а—1, получим соответствующие
значения с—by. Эти значения дают при делении на а различные остатки. В
самом деле, если при 0< f/i,<a—1, 0< у2 < а—1 и у} Ф у2 числа с—Ьу\
и с—Ьу2 равноостаточны, то их разность делится на а:
[с — Ьух) — (с — by2) =b(y2 — уг) = da,
что невозможно, так как а и Ъ взаимно просты и | у2—у\\<а. Следова-
Следовательно, среди а различных неотрицательных остатков от деления с—by на а
содержится каждое из чисел 0, 1, 2, ..., а—1. Но если остаток при у = у\
равен нулю, то левая часть B) есть целое число Х\ и пара чисел Х\у у\ есть
целое решение уравнения A). Докажем, что в этом случае уравнение A)
имеет бесконечное множество целых решений. В самом деле, пусть
ах-\- by = с (где х и у — целые числа),
имеем:
a*i+ Ьуг= с,
откуда
а(х — х1) = — Ь(у—у1). C)
* Неопределенные уравнения изучаются в теории чисел, в настоящей же
книге эти уравнения приведены лишь как пример уравнений, решаемых при
дополнительных условиях.
28?

Так как Ъ не делится на а, то у—у\ делится на а, т. е. y=yi + at, где /
— целое число. Из C) получим х = хх—Ы. Проверкой убедимся, что
х = Xj — btt у= ух + at D)
при любом целом t есть решение уравнения A), а поэтому формулы D) да-
дают общее решение A) в целых числах.
Итак, для решения неопределенного уравнения достаточно путем не бо-
более чем а испытаний, полагая последовательно f/ = 0, 1, 2,..., а— 1, найти одно
целое решение уравнения и составить формулы общего решения D).
Пример
Решить в целых числах уравнение
8x4- 13t/ = 159.
Решение. Имеем:
159-13У 1О , 7-5*/
*•= =19 — у + .
Полагая последовательно #=0, 1, 2,..., 7, при f/ = 3, получим целое
число х = 15. Общее решение есть:
х - 15 — 13/, */=3 + 8^, где / — произвольное целое число.
§ 74. Различные частные способы решения
линейных систем
Общая схема исследования и решения линейных систем, из-
изложенная в предыдущих параграфах, применима к произ-
произвольной линейной системе, этой схемы мы придерживались
при рассмотрении конкретных примеров. Однако в ряде случаев,
пользуясь специфическими свойствами уравнения или системы,
можно применять частные приемы, вносящие упрощения в про-
процесс решения и исследования. Во многих случаях целесообразно
применение специальных линейных комбинаций, введение вспо-
вспомогательных неизвестных, составление производных пропорций
и т. п. Эти частные приемы общей теорией нельзя предусмотреть,
ряд таких приемов пояснен ниже на примерах.
Примеры
1. Часто встречающаяся линейная система вида:
ax+by = clt
ах — by = с*,
где афОи 6=?0, решается непосредственно путем почленного сложения и вы-
вычитания данных уравнений (см. § 51):
2ах = сг + с2 , 2Ьу = сг — с2,
откуда
2а ' 2Ь
* При несложных численных коэффициентах вычисления рекомендуется
выполнять в уме.
284

2. Решить систему
х + у х — у
ах + by — а — с, где а Ф + Ь.
а + Ь а — Ъ
'Решение. Воспользуемся следующей производной пропорцией:
А С А + С А —С
T0 B*±D
Применив к первому уравнению эту производную пропорцию, получим
х у
— = -7- при условии а Ф 0 и Ъ ф 0.
а о
Положив
х = ка, у =zkb
« подставив во второе уравнение системы, получим:
/г(аН62) = а- с. A)
При рассмотрении системы над полем действительных чисел а2+Ь2фО,
так как равенство а2+62 = 0 возможно лишь, если а=Ь = 0, что противо-
противоречит условию. Уравнение A) имеет единственное решение.
Имеем:
k== ac
а2 + 63 '
откуда
*(*-с) Ь(а-с)
Х~ а2 + Ь* ' У~ аг+Ь2 ' Ы
При рассмотрении системы над полем комплексных чисел уравнение A)
противоречиво если Ь = ± ai ф 0 и с ф а. В этом случае система (как име-
имеющая противоречивое следствие) противоречива. Предлагаем учащимся про-
проверить, что при а= ±Ы(ф 0) а с = а данная система имеет бесконечное
множество решений.
Наконец, следует рассмотреть случаи, когда невозможен переход к про-
производной пропорции.
Iе. Если а = 0, Ь 0, то данная система примет вид:
х+у х — у
= , Ьуяяе,
с
откуда * — 0, .у = —-—.
о
2°. Если а ф 0, 6 = 0, то система имеет единственное решение
а — с
х= , 0=0.
а
В случаях 1° и 2° окончательные формулы B) дают тот же результат»
и можно эти случаи не выделять в качестве особых.
3. Решить систему
*i — ai _ х2 — а2 ^ _ хп — ап
nil m2 ' mtl
AlXl + A2x2+ . . .+Anxn=D, B)
<где m-= 0, m2 ф0у...,тпф0.
285

Решение. Введем новое неизвестное t, положив
*i — «1 *2 — «2 хп — <*п
Откуда
Х\ = п\ ~г fflit t Х2 = п2 -\- fll'J , . . . , Хп = пп -\- tnnt. C
Решение системы A), B) и системы C), B) суть равносильные задачи,
поскольку уравнения A) являются результатом исключения неизвестного t
из C) (см. § 51). Подставив в последнее уравнение, получим:
t(A1m.+Aim>+ . . . + Аптп) — D — (a1AM-{- . . .+ апАп). D)
Если A1mi+A.2m2 . . . + Аптлф0, то уравнение D) имеет единственное
решение
D — (Qx-4! + Q2^2 + . ¦ . + апАп)
Aitrii + А2т2 + ...-;- Аптп
Из равенств C) найдем выражения для неизвестных xh x2,....,xn.
В этом случае система имеет единственное решение.
Если
- . . . + Аптп = 0, но D Ф Ахах + А2а2 + . . .Ц-Апап,
то уравнение D) противоречиво, в этом случае данная система противоре-
противоречива.
Если Ахтх + ... +Аптп = 0 и D = ахАх + ... + апАп, то уравнение D)
удовлетворяется тождественно, в этом случае система имеет бесконечное
множество решений. Общее решение может быть задано формулами C), где
/ — произвольное число.
При п = 3 решение системы можно геометрически истолковать как оты-
отыскание точек пересечения прямой и плоскости.
4. Решить систему
X У У Z
Решение. Умножив знаменатели обеих частей первого уравнения на 2,
а второго на 3, получим:
— = —= — или х=4/, у--^&, z = 9<.
4 6 9
Из третьего уравнения найдем;
19* = 38, / = 2и*=8, у =12, z=18.
Примечание, Можно не вводить коэффициент пропорцио-
пропорциональности /, а воспользоваться свойством равных отношений:
jc_ у z х + у + г __ 38 _
4~6~9~ 19 -" 19 ~~ "
5. Решить систему уравнений
¦хх =аа,
=ап.)
286

Решение. В этой системе левая часть каждого последующего уравне-
уравнения получается из левой части предыдущего круговой перестановкой неиз-
неизвестных. Сложив почленно данные уравнения, получим:
(п — 1)(хг + х2 + . . . + хп) = ал + а2 4 . . . + ап.
Откуда
4*4 4
0)
Вычитая последовательно из уравнений A) уравнения данной системы,
получим единственное решение:
_ Q> + g2 4 • ¦ . + ап _
1 /г— 1 *'
__ Ql + Q2 + • ¦ • + пП _
П— 1
ах+а2+ . . .4
/г—1
6. Решить систему уравнений
kx+y + z=a,
— ап
х + у + kz= с.
Решение. Сложив почленно, получим:
Если кф —2, то из A) найдем:
а + Ь + с
x + y+z= k + 2 . B)
Вычитая B) из первого уравнения, получим:
„ .. а + Ь + с
Если k ф\, то
а + Ь + с
аналогичные выражения найдем для прочих неизвестных.
Итак, если кф —2, и к ф 1, то система имеет единственное решение.
Если к = —2 и а + b + с 0, то уравнение A) противоречиво, в этом
случае и система противоречива.
При к = —2 и а + b + с = 0 система примет вид:
— 2х -\ у + z= а,
х+у —2z=—a — b.
Третье уравнение есть следствие первых двух и может быть отброшено.
Система имеет бесконечное множество решений (предоставляем учащимся
составить формулы общего решения).
287

При k = 1 система противоречива, если среди чисел a, b и с хотя бы
два различны между собой. Система содержит лишь одно независимое урав-
уравнение, если а = b = с.
7. Решить систему
х + ау + аЧ + а* = О, A)
x+by + b2z + b*=0, B)
x + cy + c*z + с* = 0, C)
где a, b yl с попарно различные числа.
Решение. Обычный процесс исключения неизвестных приводит к
уравнениям *
у + (а + b) г + (а2 + ab + Ь2) = 0, A,2)
у + (а + с) z + (а2 + ас + с2) = 0 A,3)
«, наконец,
F — c)z + (a6 — ac+ Ь2 — с2)= 0 A,2,3)
«з A, 2, 3), A, 2) и A) найдем единственное решение:
х = — abc, у = ab -+- be + ас > z = — (а + 6 + с). D;
Второй способ. Уравнения A), B) и C) показывают, что числа
л, b и с должны быть корнями многочлена третьей степени:
Xs + zX24- yX + x=0.
Следовательно, этот многочлен может быть представлен в виде:
(X — а) (X — Ь) (X — с) = Хз — (а + b -f- с) X2 + (ab + ас + be) X — abc
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях X, получим фор-
формулы D).
8. Решить систему
х+ у +z +u =k, A)
ах + by +cz +du -=1, B)
а2х \- Ь2у +• c2z + d2u = m, C)'
а?х + b*y +• x3z + daw = л, D)
•где а, Ь, с и d попарно различные числа.
Решение. Для исключения неизвестных у, z и и применим метод не-
неопределенных коэффициентов. Имеем:
(X + р. а + va2+ ca3) *=X& + n./ + vm + an, E)
где X, [1, у, о* определяются из уравнений:
^ + и^ + ч62 + а63 = 0,
X+p.c + vc2 + ac3 =0,
X + M-i-vrf2 + ad3 = 0.
Положим a = 1, тогда для определения X, \х и у получим систему, рас-
рассмотренную в предыдущем примере.
Итак,
X = — bed, \>- = bc + cd + bd, v = — F + с + d), a = 1
Коэффициент при л: в уравнении E) равен результату подстановки X = а
в многочлен
Хз + v X2 +{х X + X = (X — Ь) (X — с) (X — d).
* Сокращение на а — Ь, а — с и b—с возможно, так как по условию
b, b?= с и а фс.
288

Следовательно,
из E) получим:
(а — b) (a — с) (а — d)
аналогичные выражения найдем для прочих неизвестных.
§ 75. Неравенства первой степени
Неравенство первой степени (или линейное неравенство) с
неизвестными х, у, ..., z после переноса всех членов в одну
часть примет следующий вид (канонический вид):
ах + by + . . . + cz + d V 0,
где V может обозначать любой из символов ]>, <, ^>, <С .
Ниже будут рассматриваться неравенства над полем дей-
действительных чисел; для неизвестных и коэффициентов счи-
считаются допустимыми произвольные действительные значения.
Линейное неравенство с одним неизвестным имеет следую-
следующий канонический вид:
ах + b V 0.
Для определенности рассмотрим неравенство
имеем: ах>—Ь, откуда
х у 9 если а>0 и х < , если а < 0.
а а
При а < 0 решением является любое число х большее, чем
; множество всех решений есть бесконечный интервал
а
(черт. 81).
При а < 0 решением является любое число х большее, чем
, множество всех решений есть бесконечный интервал
а
-«=,—) (черт. 82).
Черт. 81 Черт. 82
Если а = 0, то при 6>0 неравенство удовлетворяется тож-
тождественно произвольным действительным значением х. При
b <0 и а = 0 данное неравенство не имеет решений.
19 С. И. Новоселов ngQ

Примеры
1. Решить неравенство
2 — Зх< 14 — 5*.
Решение. Перенеся члены, содержащие х, в левую часть, а не содер-
содержащие х — в правую, получим:
5л: — Зл:<14 — 2 или 2х<12,
откуда
*<6
2. Решить неравенство
37 — 2х , 3* —8
+ 9
4
Решение. Умножив обе части на 12, получим:
148 —8.x+ 108 <9л: — 24— 12* или 256— 8х < — 3* — 24,
откуда
— 5л: < — 280 и л:>56.
3. Решить неравенство
2 (* — 1) — * > 3 (* — 1) — 2 * — 5.
Решение. Имеем:
* — 2 > * — 8.
По сокращении получим неравенство — 2 > — 8, верное при всех значе-
значениях х. Данное неравенство, как эквивалентное полученному, удовлетво-
удовлетворяется тождественно.
4. Решить неравенство
2л: — 2 < (* — 3) — E — *).
Решение. Имеем 2л: — 2 < 2л: — 8 или —2 < —8. Следствием является
неверное суждение. Значит, данное неравенство не имеет решений.
Неравенства с несколькими неизвестными.
Рассмотрим линейное неравенство
ах + by + . . . + cz + d > 0.
Решив относительно одного из неизвестных (содержащегося в
левой части), например, относительно х (при а =? 0), получим:
. —by— . . .—cz — d , ч Л,
х > - (при а > 0)
а
и
^ —by— . . .—cz — d , . пч
х< (при а<0).
а
Неравенство имеет бесконечное множество решений; прида-
придавая неизвестным (каждому) t/,...yz произвольные численные
значения и взяв для неизвестного х любое значение большее
(при дГ>0) или меньшее (при а<0), чем соответствующее зна-
значение """ У—"-~сг~~— ^ получим систему чисел х, у,..., z, являю-
а
290

щуюся решением данного неравенства. Множество всех его ре-
решений можно задать посредством следующей системы нера-
неравенств (полагаем для определенности а>0):
— оо<#<+оо, . . #>_oo<Z<+oo,
<*<+оо.
а
Геометрическая интерпретация. Рассмотрим не-
неравенство с двумя неизвестными
Ах+ Ву+С>0 (или<0).
Решив относительно у, получим неравенство, эквивалентное
/ А С \
данному полагаем k = , Ь = :
\ В В I
или
y>kx + b (при ?>0)
(D
y<kx+b (при Я<0). (II)
Прямая y=kx + b разбивает координатную плоскость на
две полуплоскости I и II, расположенные соответственно выше
и ниже данной прямой (черт. 83). Неравенству (I) удовлетворя-
удовлетворяют все точки, расположенные в полуплоскости i, т. е. выше пря-
В>0
В<0
Черт. 83
Черт. 84
мой y = kx + b. Неравенству (II) удовлетворяют все точки, распо-
расположенные в полуплоскости II, т. е. ниже прямой y=kx+b.
Прямая
Ах+ Ву+С = 0 A)
делит координатную плоскость на две полуплоскости, в одной
из них выполняется неравенство
Ах+Ву+С>09 A)
а в другой
Ах+Ву+С<0. B)
19* 291

Если ?>0 или (В<0), то неравенство A) выполняется в
верхней (нижней) полуплоскости относительно прямой A), а
неравенство B) в нижней (верхней) полуплоскости (черт. 84).
Аналогично пока-
покажем, что если Л>0
(или Л<0), неравенст-
неравенство A) выполняется в
правой (левой) полу-
полуплоскости относитель-
относительно прямой A) и нера-
неравенство B) в левой
(правой) полуплоско-
полуплоскости (черт. 85).
Аналогичное толко-
толкование имеет множест-
множество всех решений ли-
линейного неравенства с
А>0
Черт. 85
тремя неизвестными, неравенству
z > ах + by + с (или г < ах + by + с)
удовлетворяют точки пространства, расположенные выше (ниже)
плоскости z = ах + by + с.
Пример
Неравенство
2х+ у+\ >0
Зд; — 2у + 3 > 0
х—у—1<0
— 2л: — у — 3<3
Множество решений
полуплоскость верхняя (правая)
относительно
2х-\ 0+1=0
нижняя (правая)
относительно
Зх—2у +3 = 0
верхняя (левая)
(относительно)
х—у—1=0
верхняя (правая)
относительно
2х 4- у -Ь 6 = 0
§ 76. Системы линейных неравенств
Рассмотрим систему линейных неравенств с одним неизвест-
неизвестным!
a2x+&2<0, . . .,
• Какой из знаков < или > фигурирует в каждом из этих неравенств,
несущественно.
292

Множество всех решений каждого из этих неравенств, взя-
взятого в отдельности, есть бесконечный интервал вида (—оо, а)
или (а, 4-оо). Всего получится (по числу неравенств) п интерва-
интервалов (некоторые из них могут совпадать). Множество решений
системы есть общая часть всех полученных интервалов. Если
это множество пустое (интервалы не имеют общей части), то
система неравенств противоречива. Если это множество не пус-
пустое, то общей частью интервалов является некоторый интервал;
произвольное число ху принадлежащее этому интервалу, являет-
является решением системы.
Рассмотрим систему двух неравенств с одним неизвестным.
Решив каждое неравенство в отдельности, можно заменить
данную систему системой простейших неравенств. В зависимо-
зависимости от коэффициентов могут получиться либо два неравенства
одинакового смысла:
1°. Х<*\ или 2°. Х>«\,
либо неравенства противоположного смысла
3°. Х>«\ илч 4°. *<"
Предположим, что ат^Р, пусть для определенности а<р.
Тогда в случае 1° обоим неравенствам удовлетворяет любое
число х, меньшее а. Интервал (—оо, а) есть общая часть двух
интервалов (—оо, а) и (—оо, р) (черт. 86). Аналогично в слу-
случае 2° получим х>Р, т. е. интервал (Р, +оо) (черт. 87). В слу-
Черт. 86 Черт. 87
чае 3° обоим неравенствам удовлетворяет любое число, содер-
содержащееся между а и р, т. е. а<х<р. Интервал (а, Р) является
общей частью двух бесконечных интервалов (а, + ос) и (—оо, р)
(черт. 88). В случае 4° система не имеет решений, так как не
существует ни одного числа большего, чем Р, но меньшего, чем
а. В данном случае интервалы (—оо, а) и (р, +оо) не имеют
общих точек (черт. 89).
Черт. 88 Черт. 89
293

Неравенство
\ах + b\ < ky где k > О,
эквивалентно следующей системе линейных неравенств
— k<Cax+ b<Ck или —k — b<Cax<Ck—b,
откуда
k+b . .k—b . n ^—6 . ^ —k—b ^Л
!— < x < при a > 0 и < a: < при а < 0.
Примеры
1. Решить систему неравенств
3 + jc>4+2a;, I
х — 3 < 4jc — 1. J
5х
Решение. Решим первое неравенство:
х — 2х > 4 — 3,
откуда * <—1. Аналогично, решив второе неравенство, получим х < 2.
Итак, должны выполняться следующие два неравенства: * < —1 и х < 2, что
будет иметь место, если х < —1. Множество всех решений есть интервал
(-оо, -1).
2. Решить систему:
3+Л + 2
Ъх — 3 < Ах — 1.
Решение. Решив данные неравенства, получим соответственно
—1 и х < 2. Множество всех решений данной системы есть интервал
<х<2.
3. Решить систему:
5* — 3 > Ах — 1.
Решение. Решения первого и второго неравенств соответственно
суть интервалы (—оо, —1) и B, + оо), не имеющие общих точек. Система
не имеет решений.
4. Решить систему:
3 +
Ъх — 3 < Ах — 1,
7 + 2* > 6+ 3*.
Решение. Решив каждое из данных неравенств, получим соответст-
соответственно три интервала (—1, +°°). (—°°»2) и (—оо, 1). Множество всех ре-
решений системы есть общая часть этих интервалов, т. е. интервал (—1, 1)
(черт. 90).
5. Решить неравенство j 3 — 2х\ <1.
Решение. Неравенство эквива-
эквивалентно системе
Черт. 90
или — 4<— 2х<— 2,
откуда
294
1 <х<2

Рассмотрим линейную систему неравенств с двумя неизвест-
неизвестными
АгХ+В^+С^О,
Л2х+В2у+С2>\0,
Akx+Bky+Ck>{
(вместо знака ]> можно взять во всех или в некоторых неравен-
неравенствах знак противоположного смысла). Каждое неравенство,
взятое в отдельности, определяет некоторую полуплоскость.
Множество всех решений системы (L) изображается общей
частью всех этих полуплоскостей. В частности, это может быть
многоугольник или бесконечная область, ограниченная некото-
некоторой ломаной линией, или, наконец, пустое множество. В послед-
последнем случае полуплоскости, определяемые неравенствами (L), не
имеют общей части, система (L) противоречива. Под решением
системы неравенств (L) обычно понимают установление нера-
неравенств, определяющих элементарные области (см. § 61), из ко-
которых составляется многоугольная область, определяемая си-
системой (L).
Рассмотрим систему двух неравенств; предположим сначала,
что прямые
- Lx = U и Л2х-
непараллельны. Допустим, например, что, решив каждое
неравенство относительно ц, мы получили два неравенства про-
транзитивности) выполнение условия
У < Кх + t>i и у > k2x + b2y где kx ф k2.
Чтобы при некотором значении х оба последние неравенства
могли иметь место, необходимо и достаточно (в силу закона
транзитивности) выполнение условия
k2x + b2 < kxx 4- bx или (k2 — kx) x << bi — b2)
откуда
x> bl~b\ если kx>k2 и x<C bl~h , если kx<k2.
k2 ki k2 ky
Общее решение системы имеет вид:
? ?о
— =- < х << 4- с», k2x 4- b2 < у < kxx 4- bit если kx > k2
и
— со <х< 1 ~~ 2 , k2x4- b2<у <kxx4- Ьъ если kx<^k2.
R2 — kl
Данная система неравенств определяет на плоскости множе-
29S

ство точек, лежащих выше прямой y = k2x+b2, но ниже прямой
k b\, т. е. внутренность некоторого угла (черт. 91).
к, > и,
Черт. 91
Допустим, что, решив относительно у каждое неравенство,
мы получили два неравенства одинакового смысла, например,
y>klx+bl и y>k2x+ b2.
В этом случае при всяком данном значении х значение у
должно быть любым числом большим, чем наибольшее из двух
чисел k\X-\-bx и k2x-\-b2. Выясним, какое из этих двух чисел
является большим. Пусть для определенности k\ > k2, имеем:
kxx -j b1 > k2x -f b2 при x > —2~~ '
И
Кх ^r b±K k2x-f- b2 при л:< —2~ * .
Обшее решение системы представится в виде:
k±x+bl9 если л:> b*~bKy
У> kl2*b*
k2x-\-b2, если х<— — .
Данная система неравенств определяет множество точек
плоскости, лежащих выше каждой из прямых y — k\x+b\ и
y = k2x + b2 (черт. 92).
Аналогично можно решать каждое из неравенств относи-
относительно неизвестного х.
Этот способ неприменим, если одно из неравенств (например
первое) не содержит ху а другое не содержит у. В данном
случае, решив первое неравенство относительно х% а второе
относительно у, получим, например, такую систему неравенств:
*>а,
296

(разумеется, могут получиться неравенства со знаками противо-
противоположного смысла). Первое неравенство определяет правую
полуплоскость относительно прямой х = а, а второе верхнюю
полуплоскость относительно прямой // = C. Система этих нера-
неравенств определяет внутреннюю область прямого угла:
ос (черт. 93).
Черт. 92
Черт. 93
На чертеже 94 пояснены различные случаи, когда прямые
Aix+B1y+C1 = О и А2х + В2у+ С2 = 0
параллельны.
В случаях а) и е) общее решение системы может быть зада-
задано неравенством //>?* +6,
в случае Ь) неравенством у < kx + &ь
в случае с) неравенствами kx+bi<y<kx + by
в случаях d) и /) система не имеет решений.
Система трех неравенств с двумя неизвестными может опре-
определять на плоскости треугольник, «срезанный угол», угол и т. п.
Некоторые из возможных случаев представлены на чертеже 95.
Примеры
1. Решить систему
у — х+ 1 >0,
2х — у — 3 >0.
Решение. Решив неравенства относительно у, получим:
у>х—\ и у<2х — 3.
Откуда
следовательно,
х— \<2х— 3 и х>2\
х— 1<г/<2лг—3 (черт. 96).
Решением системы служит любая пара чисел (х, у), где *>2, а у — лю-
любое число большее, чем значение х—1, но меньшее, чем значение 2х — 3.
297

Если решать неравенства относительно х, то получим:
х<у+1 и
откуда
и, следовательно,
Ъ>Ь,
2. Решить систему
57JC О у ~"~~ Z <^ U .
Решение. Решив относительно уу получим:
у>2х-\-\ и у>3х — -
ужх+о
у< кх + /6,
2_
з""
Решение относительно х также приведет к неравенствам одинакового
смысла. Составим неравенства:
2 5 2 5
эх — — > 2х + 1, откуда * > —- и Зх — —¦ < 2х +-1, откуда х < -— .
о 3 3 о
298

Решение можно представить в следующем виде:
_2_
~3
У>
2 5
Зх — — , если х > — ,
о
2*+ 1,
если х t
(черт. 97).
3. Решить систему
2х— Зг/ + 6>0, х — 3<0.
Решение. Система определяет часть
плоскости, лежащую левее прямой х—3 = 0
и ниже прямой 2х—Зу-\-6 = 0'
2*+ 6
— оо<х<3, у<—-—,
Черт. 95
Черт. 96
Решение можно представить в другом виде, имеем:
Зу —6
х<3 и х>—-—,
< 3 и у < 4 и окончательно:
— оо<г/<4, У"~ < х<3.
откуда
/ — 6
4. Система неравенств
> — х — -
или
2 *
х+у—1>0
определяет полуплоскость верхнюю относительно прямой х + у — 1 =0
299

4. Неравенство / 2х-3*/ + 1/ <4 эквивалентно системе неравенств
_ 4 < 2х— Ъу + 1, \ 2х — Зг/ + 5 > 0, j
2х_3*/+1<4, J ИЛИ 2х —3r/—3<0. J
Неравенство определяет на плоскости полосу, ограниченную двумя па-
параллельными прямыми (черт. 98) :
2 _2_ Ь__
— ос < X < оо , —• X— 1 < У < g *+ ^ '
5. Решить систему трех неравенств:
A) х-2у+1< 0, |
B) 2х — у— 1 <0, >
C) х —г/+ 1 >0. J
Решение. Обозначим левые части
неравенств через Lu L2, Lz соответ-
Черт. 97
Черт. 98
ственно. Геометрически система определяет множество точек, лежапци
выше каждой из прямых Ц = 0, L2 = 0, но ниже прямой U = 0. Решив си-
систему неравенств A) и B), получим:
если х «С 1,
У>
2х — 1, если х > 1.
Решив третье неравенство C) относительно у, получим:
У<х+\.
Для нахождения решений системы (L) решаем совокупность следующих
двух систем неравенств
а) у
х<\,
Ъ) у>2х — 1, у < х+1, х>\
Из первых двух неравенств системы а) получим:
X "\" 1
< х + 1, откуда х > — 1.
300

A)
о
Следовательно, система неравенств а) определяет треугольник:
х+1
—?—<У<х+1> —1<*<1.
Таким же образом решим систе-
систему Ь):
2х — 1 < х + 1, откуда х < 2.
Следовательно, получим треу-
треугольник:
2х— 1 < # < *+1, 1<л:<2
B)
Решение сиаемы (L) дает
две элементарные области A) и
B), составляющие вместе внут-
внутренность треугольника, изобра-
изображенного на чертеже 99.
На чертеже 100 изображены раз-
различные области, на которые делят
плоскость прямые Li=0, Z,2 = 0 и
L3=0. В каждой из этих областей
указаны соответствующие нера-
неравенства. Из геометрической интер-
интерпретации следует, например, что
система
L1>0, L2>0, L3<0
не имеет решений (предлагаем про-
проверить это алгебраически).
Аналогично можно рассматривать системы неравенств с тре-
тремя неизвестными. Каждое неравенство вида Ax + By + Cz + D \/0
определяет одно из двух полупространств, на которые плоскость
Ax + By + Cz+D = 0 разбивает все пространство. Система не-
неравенств определяет общую часть полупространств, определен-
определенных каждым неравенством в отдельности.
Пример
Рассмотрим систему неравенств
Ах— г/ — z+ 1 >0,
х — у + г + 2>0.
Решив относительно z каждое из неравенств, получим:
z < 4х — у + 1,
2 > — Х + У — 2.
Неравенства могут выполняться совместно при условии:
— х + у — 2 < 4х — Н- 1.
откуда
5 , 3
A)
301

Общее решение системы имеет вид:
5 3
— х + —
— оо<х<
,— оо<
Геометрическая интерпретация. Система A) определяет мно-
множество точек пространства, расположенных ниже плоскости z = 4х — у + 1
и выше плоскости z = —х + у — 2. Это есть множество точек внутренних
5 3
относительно некоторого двугранного угла. Прямая у= х-\- —-есть проек-
5 3
ция на плоскость XOY ребра двугранного угла. Полуплоскость у <— х + •
есть проекция иа XOY рассматриваемого двугранного угла.
2. Видоизменим предыдущий пример следующим образом:
4х — у— г+\
x-y+z+2
<0,J
>0, J
откуда
302
г>4х— у-\-\ и z> — *-f# — 2.

Выясним, которое из выражений в правых частях последних неравенств
является большим. Неравенство
4х — у+\> — х + у — 2
имеет место, если
5 ?
Неравенство
4х—у+\< — х+у—2
имеет место, если
5 3
+
Следовательно,
5 3
z > 4х — у + \, если УК~ х + —
и
5 3
z> — *+*/ — 2, если #>-т~~* + —~ .
Итак, имеем две элементарные области:
5 3
— оо < л; < + оо; — оо<#< — * + —; 4х—t/+l<z<+oo
и
5 3
— oo<X<+oo; — х+ — < */< + оо; — * + t/ — 2 < Z < + оо .
Геометрическая интерпретация. Систем а определяет дву-
двугранный угол, внутренние точки которого лежат выше каждой из плоскостей
z = Ax— у+\ и z = — х+у —2.
§ 77. Смешанные системы
Распространенным видом смешанных систем являются урав-
уравнения, содержащие параметры, заданные при дополнительных
условиях, выраженных посредством неравенств, содержащих не-
неизвестные. К такого рода смешанным системам приводятся мно-
многие текстовые задачи. В данном случае обычно поступают так:
находят общее решение уравнения (или системы уравнений),
выразив неизвестные через параметры, а затем составляют соот-
соответствующие неравенства относительно параметров.
Примеры
1. Найти положительные решения уравнения
5ta —9= \0x-Zk.
Решение. Требуется решить смешанную систему
5/гх — 9= 10х — 3k, x>0.
Решим уравнение
3 C - k)
при k = 2 уравнение не имеет решений.
303

Неравенство х > О выполняется, если 2 < k < 3 (числитель и знамена-
знаменатель положительны), либо, если k > 3 и k < 2 (числитель и знаменатель отри-
отрицательны) последняя система неравенств противоречива.
Итак,
3 C — k)
Х"Щ=^' где 2<*<3-
2. Найти решения уравнения
г(х+ 1)= 4 +ах,
большие —1.
Решение. Решаем смешанную систему:
C — а) х = 1, х ;> — 1.
Решим уравнение х ^ , где а ф 3. При а = 3 уравнение противо-
о — а
речиво.
Решим неравенство
~1' откуда
Последнее имеет место, если (числитель и знаменатель отрицательны)
а > 4 и а > 3, т. е. при а > 4,
или (числитель и знаменатель положительны)
а<4 и а<3, т.е. при а < ^.
Итак: л; = , где а < 3, либо а>4.
3 — а
3. Найти решения системы
6х — ky = 4
при условиях х < 0, у > 0.
Решение. 1°. Система имеет единственное решение при k ф 2,
_ fe + 2
неравенство л: < 0 выполняется, если k < — 2. Неравенство у > 0 удовлетво-
удовлетворяется тождественно.
2°. & = 2. Система содержит одно независимое уравнение:
Зх — у =2, откуда */ = Зх — 2,
где х — произвольное число. Согласно условиям х < 0 и Зх — 2 >0, откуда
найдем jc < 0 и х>—, что невозможно.
Итак,
х = ~— , 0 = 2, где k<—2.
о
Решим ту же систему при условиях х > 0, у < 0. Если кф 2, то # = 2,
следовательно, условие t/ < 0 не выполняется.
При & = 2 имеем условия х>0 и Зх — 2 < 0, откуда найдем, 0 < х < —.
304

Итак,
=3x — 2, 0
_2_
3 '
:=2
(черт. 101).
На нижеследующих примерах показано решение линейных смешанных
систем с двумя неизвестными.
4. Решить систему
2х — у+\=-0, х+ г/ + 2 >0.
Решение. Общее решение уравнения дается формулой
у==2х+\.
Подставим в неравенство:
к + у + 2 = х + Bх+\) + 2=Зх + 3>0, откуда х > — 1.
Следовательно,
у = 2х+\, где х > — 1.
Черт. 101
Черт. 102
Геометрическая интерпретация. Множество решений сме-
смешанной системы изображается частью прямой линии 2х — у + 1 = 0, лежа-
лежащей в полуплоскости х + у + 2 > 0, это есть луч (черт. 102).
5. Решить систему:
х— у + 1 = 0, 2х— г/ + 2 > 0, х— 2i/ + 4 > 0.
Решение. Общее решение уравнения есть
подставим в первое неравенство
2х — (х +1) + 2 = х + 1 > 0,
откуда л: > — 1,
а затем во второе
х — 2{х + \) + л=: — х + 2>0, откуда х < 2,
Следовательно,
# = х + 1.
Геометрическая интерпретация. Множество решений сме
шанной системы изображается отрезком прямой, содержащимся внутри угла,
определяемого двумя данными неравенствами (черт. 103).
20 С И. Новоселов 305
где — 1 < х < 2.

§ 78. Примеры решения
и исследования текстовых задач на составление
уравнений и неравенств
Ниже рассмотрены примеры решения задач посредством со-
составления линейных уравнений и неравенств. Общие указания
относительно решения и исследования текстовых задач изло-
изложены в § 65.
Примеры
1. Найти стоимость 1 кг товара, если известно, что уменьшив стои-
стоимость k кг товара на 5 руб., получим стоимость п кг товара, увеличенную
на 2 руб.
о* }/*2 Решение. Пусть х
— стоимость 1 кг товара, тогда
kx — стоимость k кг, пх — сто-
стоимость п кг. По условию
kx — 5 = пх + 2 или
(fc—л)х = 7, где х>0. A)
Допустимые значения пара-
параметров и определяются из ус-
условий
k >0, п > 0.
Решим смешанную систему
A). Решаем уравнение
1°. х = при кфп.
к — п
2°. При к = п уравнение
не имеет решений.
В случае 1° неравенство
х > 0 выполняется при к > п.
Если к < п, то уравнение имеет
отрицательное решение, не соответствующее смыслу задачи.
Итак, имеем: х = — при к > п\ при к < п задача не имеет решения.
k—п
В случае 2° к и п кг товара имеют одинаковую стоимость и условие
задачи противоречиво.
2. Кусок сплава из двух металлов имеет удельный вес d. Удельный
вес первого металла равен dlf а второго d2. Сколько граммов надо взять
того и другого металла, чтобы кусок сплава весил а кг?
Решение. Пусть х — вес первого металла в сплаве, у — вес второго
мет злла; по условию
х+ у=а.
Объем куска сплава равен сумме объемов содержащихся в нем метал-
металле у
лов; имеем:-— — объем первого металла,—- —объем второго металла,
«1 d2
а
— — объем сплава. Следовательно,
d
х и а
Черт. 103
306

приняв во внимание, что х > 0, у > О,
получим смешанную систему:
dd2x + ddxy = adxd2,
х -f у = о, * > 0, t/ > О
Все параметры положительны.
Решив систему уравнений, получим:
Г. если d2=h d\, то
ad1 (de> — d) ad2 (d — d^
2°. Система не имеет решений, если d\ = d2 Ф d.
3°. Система имеет бесконечное множество решений, если d\ — d2 — d,
у = а — х (х — любое число).
В случае 1° положим для определенности 0 < dx < d2. Неравенства вы-
выполняются, если d\ < d < d2, и задача имеет единственное решение.
Если, например, d\ < d2 < d, то х < 0; задача не имеет решений, так как
нельзя составить сплава с удельным весом большим, чем d2.
В случае 2° оба металла имеют одинаковый удельный вес d\ и нельзя со-
составить сплава с удельным весом d=? d\.
В случае 3° существует бесконечное множество решений, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенствам *> 0, у > 0, т. е. х > 0, а — х > 0, откуда у = а—х,
где х — произвольное число интервала 0 < х < а. В этом случае, в силу ра-
равенства удельных весов, не существенно, какие количества металлов взяты.
3. Из пункта Р дороги, соединяющей города А и В, выходят одновре-
одновременно пешеход М в направлении к А, пешеход N в направлении к В и поезд
в направлении к В. Поезд приходит в В, стоит там п мин, а затем отправ-
отправляется в А. По пути в А поезд встречает N, который садится на поезд и при-
прибывает в А одновременно с М. Определить положение пункта Р и пункта Q
встречи поезда с N, если скорость пешеходов v км в час, скорость поезда V
км в час, расстояние от А до В d км.
Решение Пусть (черт. 104) АР = х, AQ = у, где Q точка встречи
.V
поезда с N. Время (в часах), которое М шел из Р в Л, равно—^в течение
"О
У—х у
того же времени N шел из Р в Q часов и ехал на поезде — часов, сле-
следовательно:
v ~ v V '
Черт. 104
У—х
За время , в течение которого N шел из Р в Q, поезд прошел из
d—х п d—у
Р в В —— часов, стоял в В — час шел из В в О час, сле-
V Ь0 V
довательно:
у — х d — х п d— у
~^^~Г' + ~бо+~Т~- B)
По смыслу задачи допустимые значения параметров удовлетворяют
условиям 0 < v < V, п > 0.
Неизвестные должны удовлетворять неравенствам 0 < х < у < d.
20* 307

Итак, требуется решить смешанную систему
jc_ у — х у У —х d— х п d— у
v ~ v V ; и ~~ V 60 + V '
0< х < у < d.
Сложив уравнения A) и B), получим уравнение:
х d — x,n,d v I л , , nV
v V ' 60 ' V ' -" ~ V + v V 60
из A) получим:
' nV
У 2У
Неравенства 0 < х < у выполняются всегда, так как = > 1 при
0 < v < V. Неравенство у < d принимает вид:
откуда
Ш (V — vJ
Последнее условие ограничивает стоянку поезда в пункте Б, если оно не
соблюдается, то N прибудет в В раньше, чем из В выйдет поезд и задача
(в данной постановке вопроса) потеряет смысл.
4. Бассейн может быть наполнен двумя кранами I и II следующим
образом: если кран I открыть на t\ час, а затем, закрыв его, открыть
кран II, то для наполнения бассейна кран II должен работать t2 час.
Если в течение Т\ час будут работать оба крана, а затем кран I будет за-
закрыт, то для наполнения бассейна кран II должен работать еще Т2 час. Во
сколько часов каждый кран, будучи открыт один, наполнит бассейн?
Решение. Пусть х и у времена наполнения бассейна кранами I и II
в отдельности, тогда х' = —и у' —— суть части бассейна, которые наполня-
х у
ются кранами / и // в единицу времени *.
По условию задачи в течение первого опыта:
кран I действовал t\ час и наполнил x't\ часть бассейна;
кран II действовал t2 час и наполнил y't2 часть бассейна.
В течении второго опыта:
кран I действовал Тх час и наполнил Тхх' часть бассейна;
кран II действовал Т\ + Т2 час и наполнил G^ + Т2)у' часть бассейна.
По смыслу задачи х > 0, у > 0, а следовательно, и х' > 0, у' > 0.
Так как в течение первого, а также и в течение второго опыта был на-
наполнен весь бассейн, то получим следующую смешанную систему:
y
\
f>0, j
где параметры th t2, Tx и Т2 положительны.
Решим систему уравнений.
* Здесь слово «часть» понимается в широком смысле, так, если *=~;'
то х1 «= 2, т. е. в 1 час может быть наполнен бассейн по объему вдвое боль-
больший данного.
308

Случай 1°. Если U (Ti + T2) — 7V2 A 0, то
у)=
к (Ti + тг) - ту, т,и - к G4 + г2)
Неравенства х' > 0, у' > О выполняются, если
(В)
В случае (А) числитель и знаменатель в выражении для хг положитель-
положительны, а в выражении для у' отрицательны. В случае (В) знаки распределяют-
распределяются противоположным образом. Если не выполняется ни одна из систем не-
неравенств (А) и (В), то условие задачи противоречиво. Так, например, при
Тх + Т2 > t2 и Т\ > U выходит, что для наполнения одного и того же бас-
бассейна в течение второго опыта каждый из кранов действовал большее вре-
время, чем в течение первого опыта (прочие возможные случаи невыполнения
совокупности неравенств (Л) и (В), например, Т\ + Т2 < t2, t{ > Гь
Т\ + Т2 = t2, tx ф Т{ и т. д. рекомендуем истолковать учащимся).
Итак, в случае 1° и при выполнении неравенств (А) или (В) задача
имеет единственное решение:
_1A + *I9 ^УаМЧ + а)
х' Tx + T2-t2 ' У у' 7Ч-/,
Случай 2°. Если
Тг _ Т, + Т2
то система не имеет решений. Так, например, если коэффициент пропорцио-
пропорциональности больше 1, то T\>i\, T\ + T2>t2, и, как показано в предыдущем
случае, условие задачи противоречиво.
Случай 3°. Если
то система уравнений имеет бесконечное множество решений. В самом деле,
в течение первого и второго опытов каждый кран действовал одинаковое
время, т. е. второй опыт по существу не отличается от первого, этих данных
недостаточно для решения задачи.
5. Даны две стороны а и Ъ треугольника ABC, сумма высот па и hb
опущенных на эти стороны, равна третьей стороне hc. Вычислить третью
сторону.
Решение. Обозначим х — с, по условию задачи
ha + hb = hc. A)
Произведение стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону,
равно удвоенной площади треугольника, поэтому имеем; haa = hbb = hc x.
Откуда найдем:
hcx hcx
ha = , hb = —-— •
a b
Подставив в равенство A), получим уравнение:
X X
+ —— = 1 или bx-\-ax=-ab.
а о
Обозначим для определенности через а большую из двух сторон а и
Ь. Так как в треугольнике всякая сторона меньше суммы, но больше разно-
309

сти двух других сторон, то имеем:
a — b < х < а-\- b
Решение задачи приводится к решению смешанной системы:
Ьх + ах = ab, \
(где а >0,'б >0). |
Решив уравнение, получим:
ob
Подставив в х систему неравенств, получим:
ab
а—Ь<——— <а+Ь или а2 — Ь2 < ab < (а + бJ,
а + о
Неравенство ab < (а + ЬJ выполняется тождественно, поэтому достаточно
выполнения следующего неравенства:
az — b2<ab или a2 — ab — 62<0.
Разложим левую часть на множители:
а-—) -тЬ*[а 6 Да
Заметим, что при а > 0 и b > 0 первый множитель положителен, поэтому не-
неравенство эквивалентно следующему линейному неравенству:
УТ-i , 1^"Г+1
а — о<0, откуда а< о.
Итак,
ab n , У~?±1и
, где 0<6<а< Ь.
6. Какими способами можно выдать 78 рг/б., имея лишь 5-рублевые и
Ъ-рублевые денежные знаки.
Решение. Пусть х и у искомые количества 5-рублевых и 3-рублевых
дензнаков, имеем:
Ъх + 3у= 78;
требуется решить это уравнение при дополнительных условиях х и у — суть
целые неотрицательные числа.
Решим данное уравнение в целых числах. Испытание показывает, что
л* = 0, у = 26 есть решение уравнения, следовательно (стр. 284), его оощее
решение запишется в виде:
х=3/, у = 26 — 5>.
Чтобы решить уравнение в целых неотрицательных числах, надо присо-
присоединить неравенства:
х>0, */>0 или 3/>0, 26 — 5/>0,
26
откуда 0<7<—. Существует 6 целых значений t, удовлетворяющих этим
о
неравенствам:
*1==0, Г2=1, /8 ==2, *4=3, /5-4, *6 = 5,
310

*2 == ^, 02 — ? 1; *з —= 6, 0з ——
v I Q ,. ?. v 1С ,. . I
Л5 — 1 ^ > Уъ — и> Л6 — 1<-;>  — J
зубцами
откуда найдем 6 решений:
v Г\ ii ОА-
Л^ = U , Hi z== ZO,
v Q ,, 11.
Л л — V , 1/4 — ••••*•»
7. Зубчатое колесо lea зубцами вращает колесо II с b зубцами.
Вначале первый зубец колеса I зацепляет последний зубец второго. Сколько
оборотов должно сделать первое колесо, чтобы зацепить первым зубцом
k-й зубец второго (черт. 105)?
Решение. Если колесо / обернулось * раз, то через начальное поло-
положение О пройдут ах его зубцов (каждый зубец считается столько раз, сколь-
сколько он проходит через О). Столько же зубцов колеса // пройдут через О.
Если за это время колесо // сделало у полных оборотов и первый зубец за-
зацепил k-й зубец второго, то
ах — by + /г или ах — by = k. (I)
Получилось неопределенное уравнение, исследование которого было про-
проведено в § 73. Это уравнение надо решить при условиях *>. 0, 0> 0.
Пусть, например:
а = 84, 6 = 222, k= 18.
Уравнение A) примет вид:
84* — 2220 = 18 или >14* — 370 = 3.
Решив последнее уравнение це-,
лых чисел, получим*
х = 24 + 37/, 0=9 + 14/.
Из условия * > 0, 0 > 0 найдем
t > 0. Следовательно, после двадцати
четырех оборотов колеса / первый его
зубец впервые зацепит 18-й и зубец
колеса //. Далее 18-й зубец колеса // Черт. 105
первый зубец будет зацеплять каждый
раз после 37 оборотов /. Положим k = 5, оставив без изменения все прочие
данные, тогда получим уравнение:
84* —2220 = 5.
Это уравнение не имеет решений в целых числах, следовательно, 1-й зу-
зубец колеса / никогда не зацепляет 5-го зубца колеса //.
8 Надо купить 20 м ткани двух сортов. Метр ткани первого сорта
стоит 15 руб., а метр второго сорта 12 руб. Сколько метров ткани того
и другого сорта следует купить, чтобы стоимость всей покупки не превы-
превышала 276 руб?
Решение. Если куплено * м ткани первого сорта и у м ткани второго
сорта, то стоимость всей покупки равна 15* + 120. Согласно условию задачи
требуется решить смешанную систему:
Из уравнения найдем:
<,
=20, л>0,
= 20 — х
\
A)
и, подставив в первое неравенство, получим:
15*+240— 12* <276,
откуда
311

следовательно,
0<х<12, // = 20 — х.
В частности, при х — 12, у = 8 стоимость покупки составит в точности
276 руб. При х = 10, г/ = 10 стоимость покупки будет 15. 10 + 12 - 10 =
= 270 руб. < 276 руб. и т. д. *.
9. Газ в количествь а м3 последовательно пропускают через п фильт-
фильтров, каждый из которых поглощает /?°/о объема примесей, содержащихся
в газе. Затем газ поступает в резервуар, в котором находится b м3 газа,
содержащего q°lo примесей. Какой процент примесей допустим в газе до
очистки, если количество примеси в газе, собравшемся в резервуаре, не
должно превышать г°/о?
Решение. Пусть х — искомый процент, тогда газ, не прошедший через
ах ах [ х \
фильтры, содержит— примесей и а— — =а I 1— 1 чистого газа. При
1UU 1UU \ 100/
прохождении через фильтры количество чистого газа не меняется, а коли-
количество примесей меняется следующим образом: первый фильтр поглотит
бывшего первоначально объема примесей, таким образом будет поглощено
ах р
— ¦ —, а останется
ах ах р ах / р
A
ах I р \ р
Второй фильтр поглотит — II— — ) —— ж3 и останется
1UU \ 1UU/ 1UU
ах ( р \2
—~т I 1—~~1 ж3 примеси и т. д. После прохождения через последний п-и
ах ( Р \п
фильтр остается—-II—-~| примесей. В резервуаре (куда поступает газ)
первоначально содержится —- примесей, а по окончании опыта в резерва
100
ре окажется
юо V1
После окончания опыта общий объем газа в резервуаре составится из
первоначального объема плюс объем чистого газа и примесей, прошедших
через фильтры:
По условию задачи имеем неравенство:
ах 1 р \п bq г Г / х \ ах f p \п]
шо I1 ~~шоу +шо<1оо[ "^ аv Too iool ~~Тоо/ J'
* Текст настоящей задачи с соответствующими изменениями взят из
школьного задачника. Этот пример показывает, что (при соответствующей
переделке условия) задачи на составление уравнений можно предлагать как
задачи на составление неравенств.
312

Это неравенство надо решить при допустимых зь^чениях параметров
0<р <100, 0 < q < 100. 0< г<100,
п — натуральное число, и при дополнительном условии 0< х < 100 для не-
неизвестного. Решив неравенство, получим:
х <
[\~ loo/ v Too/+ Too
и 0<х< 100. В частности, чтобы задача имела решение, необходимо»
выполнение условия г{а + Ь) —bq > 0, откуда

ГЛАВА VI
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ
СТЕПЕНЕЙ
§ 79. Квадратный трехчлен, выделение полных квадратов
Квадратным трехчленом (над данным числовым полем) на-
называется многочлен второй степени от одного аргумента:
ах2 + Ьх + с,
где аф О, при а = О этот многочлен не являетоя многочленом
второй степени.
При исследовании квадратного трехчлена широко пользуют-
пользуются преобразованием выделения полного квадрата:
ах2 + Ьх + с = а (х2+~х + —\ =
= а\(х2+2±х+^) + -^-*Ц =
|А 2а 4а2/ a 4aaJ
, Ъ \2 , Aac — t
где А = Ь2 — 4ас называется дискриминантом трехчлена.
Преобразование выделения полных квадратов применяется
к многочленам второй степени с несколькими аргумента-
аргументами. Если многочлен второй степени содержит член с квадратом
некоторого аргумента, например х, то он может быть представ-
представлен в виде
ах2 +Ьх+с,
где а — число, Ь — многочлен первой степени, а с — многочлен
второй степени относительно прочих аргументов. В правой части
314

тождества
1 Ъ \ 2
ах2 + bx + с == at х-\ )
V 2а I
<л: + — есть квадрат многочлена первой степени, а второе
слагаемое — многочлен не выше второй степени, не содержащий
аргумента х.
Практика выделения полных квадратов для многочленов с
несколькими аргументами показана ниже на примерах (в общем
виде вопрос рассматривается в высшей алгебре).
Примеры
1. Выделить полные квадраты в многочлене
р = 2х2 — Зу2 — Ах — Ьу + 1.
Решение. Данный многочлен не содержит членов с произведением ар-
аргументов, поэтому можно дополнить до полных квадратов (отдельно) груп-
группу членов, содержащих х, и группу членов, содержащих у.
Р - 2 (х2 — 2х) — 3 О/2 f 2у) + 1 =
= [2(ха-2х+1) - 2] - [3 (у2 + 2у f 1) - 3] + 1 = 2 (jc - IJ - 3 (у + IJ + 2.
2. Выделить полные квадраты в многочлене
F = 2х2 + бху + у2 + 2x2 — г2 + 1.
Решение. Расположив многочлен по степени х, применим преобразо-
преобразование выделения полного квадрата:
F = 2 [х2 + jc C(/ + г)] + (/2 — z2 + 1 =
3 2 12 7 3
х+ - t/+ -J -—у*-3уг- -
Далее рассмотрим многочлен с двумя аргументами
и снова применим к нему изложенный прием:
3 \2 6
имеем окончательно
. 3 \2 6
1.
315

3. Преобразование выделения полного квадрата непосредственно непри-
неприменимо, например, к такому многочлену:
F*= ху + х,
не содержащему квадратов аргументов. В этом случае введем новые аргу-
аргументы и и v, положив
X = U -\- V, У — 11 — V,
тогда получим
так как
х+у х—у
—:—, v ~ —-—.
§ 80. Корни квадратного трехчлена
Корни квадратного трехчлена (согласно общему определе-
определению корня многочлена)
ах2+Ьх+с (I)
суть значения аргумента, при которых значение трехчлена равно
нулю, т. е. корни квадратного уравнения
ax2+bx+t -0. (II)
Трехчлен над полем действительных чисел.
Рассмотрим квадратный трехчлен над полем действительных чи-
чисел, считая ау Ь, с я допустимые значения для неизвестного дей-
действительными числами.
Теорема. Необходимым и достаточным условием, чтобы
1°. трехчлен (I) в поле действительных чисел имел два раз-
различные корня,
2°. не имел корней,
3°. имел двукратный корень
является соответственное выполнение следующих условий:
1°. б2 — 4ас>0; 2°. Ь2 — 4ас<0; 3°. Ь2
Таким образом, признак, обычно формулируемый в следую-
следующем виде:
если дискриминант положителен, то квадратное уравнение
имеет два различные действительные корня,
если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет дей-
действительных корней,
если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет дву-
двукратный действительный корень,
является необходимым и достаточным признаком
перечисленных трех возможных случаев.
316

Доказательство. Из тождества
следует, что корнями трехчлена являются те значения х, при
которых
[ Х ~2а) ~~~4а~*~
ИЛИ
/ *. \ О А
B)
2а I 4а2
уравнение B) эквивалентно уравнению (II).
Г. А>0. Из последнего равенства получим:
откуда
Хх = - И Х« ==
2а ы 2а
Таким образом, существуют два различные действитель-
действительные корня трехчлена.
2°. А < 0. Равенства A) и B) не могут иметь места ни при
каком действительном х, ибо ни при каком х квадрат действи-
действительного числа х Н не может быть отрицательным. Пере-
Переход к равенству C) невозможен, ибо (в поле действительных
чисел) при А < 0 выражение V А не имеет смысла. Трехчлен
не имеет корней в поле действительных чисел.
3°. А = 0. В этом случае
2а)
следовательно, трехчлен имеет двукратный действительный ко-
корень
__ ь
х — «
2а
Перечисленные признаки исчерпывают все возможные,
имеющие место и взаимно исключающие друг друга
случаи (относительно знака А) *, поэтому они (признаки) явля-
являются необходимыми и достаточными условиями, ч. т. д.
* Так, например, если оба корня действительны и различны, то А > 0,
ибо при А < 0 уравнение не имело бы действительных корней, а при А = 0
был бы двукратный корень.
317

Примечание. В частности, если коэффициенты трех-
трехчлена рациональны, то его корни рациональны, в том и
только в том случае, когда у Л —рациональное число,
т. е. когда дискриминант является точным квадратом ра-
рационального числа (см. § 41).
Трехчлен над полем комплексных чисел. Рас-
Рассмотрим трехчлен (I) с произвольными комплексными коэффи-
коэффициентами, считая для аргумента допустимым произвольные
комплексные значения.
Теорема. 1°. Чтобы квадратный трехчлен в поле комплекс-
комплексных чисел имел два различные корня, необходимо и достаточно
выполнение условия Д = Ъ2 — 4ас ф 0.
2°. Чтобы трехчлен имел двукратный корень, необходимо
и достаточно выполнение условия Ь2 — 4ас = 0.
Доказательство. В поле комплексных чисел уравнение
х -] ) = —
2а ) 4аа
всегда имеет решение, так как в этом поле выполнимо действие
извлечения корня. Из B) найдем:
Х 2а ' У 4а*
1°. Если А=^= 0, то в поле комплексных чисел радикал имеет
два различные значения; трехчлен имеет два различные корня.
2°. Если А = 0, то радикал имеет единственное значение, рав-
равное нулю; трехчлен имеет двукратный корень х = .
Так как Г и 2° исчерпывают все возможные, имеющие место
и взаимно исключающие друг друга случаи, то полученные при-
признаки являются необходимыми и достаточными условиями, ч. т. д.
Обычно формулу корней квадратного уравнения пишут в виде
X - - . (х)
Для квадратного уравнения над полем действительных
чисел формула применяется при условии в Ь2 — 4ас^> 0, а ра-
радикал подразумевается арифметическим.
Для трехчлена над полем комплексных чисел постановка зна-
знаков ± излишня, так как всякий квадратный комплексный ради-
радикал имеет два (в общем случае различные) значения. Однако,
в целях единообразия записи, формулу во всех случаях принято
писать в виде (х).
Для уравнения с действительными коэффициентами, рассмат-
рассматриваемого над полем комплексных чисел, в случае
318

b2 — 4ac < 0 формула (х) дает два мнимые сопряженные корня:
— b±i V±ac — b*
Х= Та
Корни квадратного трехчлена будем обозначать так:
— Ъ— Vb2 — Aac —b + Vb2 — 4ac
Хх = - И Х2 = —
2а 2 2а
В случае двукратного корня
Для квадратного трехчлена над полем действительных чисел^
имеющего действительные различные корни (Ь2— Аас > 0), то х^
является меньшим, а х2 большим корнем.
Нередко пользуются упрощенными формулами корней. Обо-
Обозначим коэффициент при х через 26, тогда формула (х) примет-
более простой вид:
X —
в этом случае дискриминантом трехчлена называют выраже-
выражение Ъ2 — ас.
Для «приведенного» трехчлена х2 + рх + q формула (х) при-
примет вид:
X = — -
2
Всякий квадратный трехчлен над полем комплексных чисел
разлагается над этим полем на два линейные множителя:
ах2 + Ьх -+- с = а (х — хг) (х — х2), D),
где хх и х2 суть корни трехчлена (см. § 28).
Трехчлен над полем действительных чисел разлагается на.
линейные множители, если он имеет действительные корни, т. е%
если Ъ2 — \ас > 0. Бели же Ь2 — 4ас < 0, то над полем дейст*
вительных чисел трехчлен неразложим (см. § 28). Этот
трехчлен в поле комплексных чисел имеет мнимые корни.
Выполнив умножение в правой части тождества D) и прирав-
приравняв соответственные коэффициенты (в обеих частях), получим:
Ь= —а(х1+х2), с=ах&ъ
откуда
, b с /~ч
Xj ~j~ Хо ==:- ¦ И Х-^Х^ -==- . \д /•*
а а

В частности, для приведенного трехчлена х2 + рх + q имеем:
Р = — (*i + *2)> Я -= *i*2.
Зти равенства известны в элементарной алгебре под названи-
названием теоремы В и е т а:
Если Х\ и х2 корни квадратного трехчлена х2 + рх + q, то ко-
коэффициент р равен сумме корней с обратным знаком, а свобод-
свободный член q равен произведению корней.
Справедлива и обратная теорема:
если р = —(х{ + х2) и q = ххх2, то числа хх и х2 суть корни трех-
трехчлена х2 + рх + q. В самом деле, проверим, например, что Х\
•есть корень данного трехчлена:
х2 + рх{ + q = х2 — (хх -г х2) хх + хх х2 = 0, ч.т.д.
Формулы D) и E) можно получить непосредственно из фор-
формул корней:
ХЛ =
2а ' ~* 2а
Сложив и перемножив Х\ и х2, получим формулы E); заме-
заменив в трехчлене коэффициенты ft и с их выражениями через кор-
корни, получим разложение трехчлена на линейные множители:
ах2 -f- Ьх \- с =]а [х2 — (хх + х2) х -f- xxx2] =
= а [х (х — xx) — х2 (х — х±)] — а(х — х±) (х — х2).
В силу теоремы обратной теореме Виета задача нахожде-
нахождения двух чисел х и у по заданным их сумме и произведению
х + у = 5, ху = Р приводится к квадратному уравнению. Имен-
Именно искомые числа х и у суть корни квадратного уравнения
2*—Sz + P = 0.
Однородный квадратный трехчлен. Однородный
квадратный трехчлен (бинарная квадратичная форма)
F (х> У) = ах* + Ьху + су2
выделением полного квадрата преобразуется к виду
Х+ Та
Положив у = tx (или х = ty), получим:
F (х, у) = x2(a±bt+ ct2) = x2c (t - tj (t - h\
где t\ и t2 — корни квадратного уравнения ct2 + bt + a = 0.
Следовательно,
F (*, y)=c(y — txx) (y —t2x),
320

т. е. однородный квадратный трехчлен с двумя аргументами
разлагается над полем комплексных чисел на два линейные
однородные множителя.
Однородный трехчлен над полем действительных чисел раз-
разлагается на два действительные множителя, если А>0. Если
А < 0, то такой трехчлен над полем действительных чисел не-
неразложим. Если А<^0, то уравнение F(x, у) = 0 в поле дейст-
действительных чисел удовлетворяется лишь при условии
У = 0, х+-±-у = 09
эта система имеет единственное тривиальное решение х = у = 0.
Если А> 0, то уравнение F(x, у) = 0 имеет бесконечное мно-
множество решений у = t\X, у = t2x (где х — произвольное число),
геометрически это означает, что линия F(x, у) = 0 распадается
на две прямые линии.
Примеры
1. Трехчлен х2—Зх+2 в поле действительных чисел имеет два действи-
действительные корня, так как А = 9 — 8= 1 > 0*
2 2
Имеет место следующее разложение:
Х2 _ зл; -f 2 = (х — 1) (х — 2).
2. Трехчлен Зх2—4х+2 в поле действительных чисел не имеет корней:
Д = 4 — 3-2 = —2<0, а в поле комплексных чисел имеет два корня:
2 — / j/T" 2 + / VT"
Над полем действительных чисел трехчлен неразложим, над полем ком*
плексных чисел имеет место разложение:
/ 2-iVT
Зх»-4лс+2 = 3 Ье- 7.
3. Трехчлен 9x2+d*+1 имеет двукратный корень, так как Д=0:
1
Имеет место разложение
4. Трехчлен х2—3x+C+i) в поле комплексных чисел имеет два различ-
ные корня, так как А = 9—4C+0=—3—4/^0. Имеем:
VЬ2 — Аас = V—3 — 4*_=2± A — 2i), xx = 1 + i, x2 = 2—
i) = (x—l—i){x — 2 + i).
21 С. И. Новоселов 321

5. Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами,
если известен один из его корней:
Решение. Имеем:
i'T-УТ (VT-VTJ
V 3 +V 5 -2
--4 + VT57
Формула корней квадратного уравнения показывает, что если коэффици-
коэффициенты рациональны, а корни иррациональны, то один корень получается из
другого переменой знака перед радикалом, поэтому зная один корень, можно
найти другой; имеем:
если
д:2 = — 4 + УТбТ то х1=—4 — У15.
Следовательно, р= — (хх -\- х2) = 8, q = 1.
Зная коэффициенты, составим уравнение:
ха + 8х+1 = 0.
6. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами,
если известен один из его корней:
1
х =
Решение. Имеем:
1 2 — iV~$~ __2_ У 5
2 + i V 5 9 9 9
Квадратный трехчлен с действительными корнями, имеющий мнимый ко-
корень, имеет также и сопряженный корень. Поэтому
2 У 5 2 V Ъ
9 9 ' * 9
Следовательно, р = — (хг + х2) — — —, ххх2 = -—
Искомое уравнение таково:
9х2 — 4х + \ = 0.
7. Найти условие, при котором квадратный трехчлен
ах2 + Ьх + с
является полным квадратом, т. е. квадратом двучлена первой степени.
Решение. Если
ax + bx + с = (cuc + fiJ,
то трехчлен имеет двукратный корень *= ——, а потому необходимо, чтобы
а
д = Ь2—4ас = 0.
322

Для трехчлена над полем комплесных чисел это условие является
и достаточным, так как при А—О имеем:
Трехчлен является квадратом двучлена
2 У а
Для трехчлена над полем действительных чисел, кроме А = 0, должно
быть выполнено условие а>0.
8. Вывести условие, при котором корни квадратного уравнения
ах2 + Ьх + с = О
удовлетворяют линейному уравнению
Ахх + Вх2= С
с данными коэффициентами Л, В и С.
Решение. Искомое условие получится, если исключить х\ и х2 урав-
уравнений
а (хх -4- х2) = —Ь\ Ахх + Вхг = С; ах1х2 = с.
Первые два соотношения образуют систему линейных уравнений относи-
относительно Х\ и Х2, из этой системы найдем:
Са + Bb —АЪ — Са
Х1 — . я D4 > Х2 —
а (А —В)' 2 а(А — В)У
если А^=В. Подставив в третье соотношение, получим:
(аС -Ь ЬВ) (ЬА + аС) + ас(А — ВJ = 0. A)
Если Л = В, то система первых двух уравнений противоречива при
а Ь a b
— Ф— ~Т" и второе уравнение есть следствие первого при—- = — —.
A G А С
В частности, чтобы отношение корней было равно данному числу k:
хх : х2 = k или хх — kx2 = 0,
необходимо выполнение условия
ac(l +kJ — kb2 = 0 (положить А = 1, Б = — k, C = 0).
Так, например, уравнение имеет один корень, вдвое больший другого
(?=2), если 9ас—262=0.
§ 81. Квадратные уравнения, содержащие параметры
Квадратное уравнение с параметрами а, р, ..., т имеет вид:
я(а, р, ..., т)*2+ й (а, Р, ..., т)*+ с(а, Р Т) = 0t A)
где коэффициенты а(а, р, ..., т)» й(а, р, .. ., т), с(а, р,..., у)
суть данные функции от параметров, рассматриваемые совмест-
совместно в общей части их областей определения. В частности, .неко-
.некоторые из этих коэффициентов могут быть постоянными. При
всех допустимых системах значений параметров, при которых
21* 323

а (а, E, ..., *{)=/= 0, формула корней квадратного уравнения да-
дает выражение этих корней через параметры. При решении урав-
уравнения A) в поле действительных чисел на допустимые значения
параметров налагается дополнительное ограничение в виде не-
неравенства
А (а, р, ...,т) =62(а, р, ..., у) — 4а(а, р, ..., тИа, Р, • • • Л)>0,
выражающего действительность корней.
Системы значений параметров, при которых старший коэф-
коэффициент равен нулю: а (а, р, ..., т) = 0, следует рассматривать
отдельно в качестве особых случаев; при этих значениях урав-
уравнение A) становится линейным.
Примеры
1. Дано уравнение
а) решить это уравнение в поле комплексных и в поле действительных
"чисел;
Ь) найтч значения т, при которых трехчлен х2—2B+т)х+\2 + т2
является полным квадратом.
Решение, а) Имеем:
а=1, 2Ь = — 2B + т), с = 12 + т2,
А = B + т)« — A2 + т2) = 4 (т — 2).
По формуле корней квадратного уравнения получим:
Корни действительны и различны при действительное т>2, при т=2 урав-
уравнение имеет двукратный корень х=А. Особых случаев нет, так как а=\фО.
Ъ) трехчлен является полным квадратным при условии А = 4 (т—2)= О,
т. е. при т = 2. Если т = 2, то трехчлен примет вид:
х2 — 8х+ 16 = (х — 4)а.
2. Решить уравнение:
(m2-f тп — 2пг)х* + 3n2x — (m2 — mn —2/г2) = 0.
Решение. Имеем:
а = (т* -\-тп— 2п2) — (т — п) (т + 2/г), «^ = Зп2,
с=-(т2-тл- 2/г2) = — (т + п) (т — 2/г);
Д = Ь2 — Аас = 9/г4 -f- 4 (т2 — /г2) (т* — 4/г2) = 25п4 — 20/тгг/гя + 4т2 =
— E/г2 — 2т2J.
Если а ф 0, т. е. т Ф п и т=? — 2п, то
— 3/г2 + {Ъп2 — 2т2)
"" 2 (т — /г) (т + 2/г)
Откуда
— Зпг + E/г2 — 2та) (т + п)
Xl~ 2(т — п)(т + 2п) ~ т + 2/г '
_> 3/г2 — E/г2 — 2т2) т — 2/г
2 (т — я) (т + 2/г) т — /г
324

Особые случаи. Случай 1°. m=n. Уравнение примет вид:
Зт*х + 2т2 = О
Если тфО, то уравнение имеет единственное решение
2
Если m=/i=0, то уравнение удовлетворяется тождественно.
Случай 2°. т ——2п. Уравнение примет вид:
Зп2х — 4л2 = 0.
4
Если пф 0, то х—~—.
Если /1=0, то уравнение удовлетворяется тождественно.
§ 82. Симметрические функции корней квадратного трехчлена
Из формул Х\ + Х2 = —р, #1*2 = <7> устанавливающих связь
между коэффициентами квадратного трехчлена х2 + рх + q и
его корнями, следует, что коэффициенты приведенного трехчле-
трехчлена суть симметрические функции его корней. Из высшей алгебры
известно, что для любого многочлена (с коэффициентом при
старшем члене, равном 1) коэффициенты являются симметриче-
симметрическими многочленами от корней и что всякая целая рациональ-
рациональная симметрическая функция от корней может быть выражена
через коэффициенты многочлена. Для квадратного трехчлена
возможность выражения симметрических функций от корней че-
через коэффициенты можно установить элементарно без привле-
привлечения общей теории симметрических функций. Найдем выраже-
выражения для суммы одинаковых степеней корней квадратного трех-
трехчлена; положим:
Sl = х\ + *2' S2 — А + xl> S3 = А + *2'- • • > Sk==: A + *2' •'
имеем si = —р. Для вычисления s2 напишем условия, ч.о числа
Х\ и х2 удовлетворяют квадратному уравнению:
х*+рх +G = 0,
т. е.
*? + Р*, + <7 = 0 A)
x* + px2 + q = 0. B)
Сложив почленно, получим:
s2-p2+ 2G = 0.
325

Умножив A) на Х\у а B) на х2 и сложив, получим:
s3 + ps2 + QSi = 0.
Умножив A) и B) на х\~~2 и xk2~9' и сложив, получим:
sk+psk_, + qsk_2 =0.
Из полученных равенств находим последовательно:
s2 = p2 — 2q\
s3 = — ps2 — qs1 = — p3+ 3qp;
Si = p*~-4p2q+ 2q2 и т. д.
Теорема. Произвольный симметрический многочлен Ф(хих2)
от корней квадратного трехчлена х2 + рх + q можно выразить
через коэффициенты ри q.
Доказательство. Члены многочлена Ф(*ь х2) имеют
вид: Ах\ х12; если k = /, то данный член равен Aqk\ если один из
показателей, например /, равен нулю (но ft=?0), то симметри-
симметрический многочлен, содержащий член Ах\ , содержит также Axk2
сумма этих членов равна Ask ; если k=? /, пусть, например
0 < / < ky то симметрический многочлен содержит члены Ах\ х2
и АхъХ\. Сумма этих членов равна:
Зная выражения для сумм sk> можно выразить через коэффи-
коэффициенты произвольный симметрический многочлен корней, ч. т. д.
Если требуется выразить симметрические функции корней
трехчлена (неприведенного) ах2 + Ъх + с, то достаточно в об-
л. be
щих формулах положить р = — и q = — .
а а
Примеры
1. Выразить дробную симметрическую функцию от корней квадратного
трехчлена
9 9
АХ 1 оХ | Xп ~\~ Z,Xn
= к3 Яг2 х Ъх2 х 4- хг
через коэффициенты. Вычислить значение этой функции от корней уравнения
2х2+х—2=0, не решая это уравнение.
Решение. Имеем:
2х\ — лхх х2 + 2х2 = 2s2 — 3q = 2p2 — 7q,
Л| — oAj лп — *^Л9 1 ""•" ло — 3 — «-)Л[ Л2 V 1 "^ 2' —
= (— р3 + 3/?^) + 3pq = бр^ — р3.
326

Следовательно,
„__ 2p2-7g
6pq — р3 '
Ь с
или, положив р = —, q = — , получим;
а а
S = -
Вычислим значение S от корней данного уравнения, положив
12
5
2. Выразить через коэффициенты
s j = j/ хг + У х« и s j =
т т
в предположении, что трехчлен х2+рх+^ имеет положительные корни.
Решение.
+2
5J_= ^ 4 4 у^ jcf "j/" х2 + 6 у^ а:? х\ + 4
4
= — р +4 s
откуда
|- Р +6 Vl+ 4
3. Составить квадратное уравнение, корнями которого служат
5i= -^i + —; 52 = ^2 + —.
хх х2
где Хх и х2 — корни данного уравнения
ах2 + Ьх + с = 0 (где с =? 0).
Решение. Найдем коэффициенты искомого уравнения:
Pi = -

эти коэффициенты суть симметричные (дробные) функции корней данного
уравнения, а потому рационально выражаются через его коэффициенты. За-
Заменив
Ъ с 2 2 б2 — 2ас
> хххъ = —-, хх + х2 = ~ ,
получим:
be + ab (а — сJ + Ь2
q
+
р 1 q
ас ас
Зная коэффициенты, составим уравнение:
асх2 + (be +ab)x + {a~cJ + b2 = 0.
4. Составить квадратное уравнение, корни которого равны корням данно-
данного трехчлена x2-\-px-\-q, сложенным с данным числом X.
Решение. По условию корни искомого уравнения должны быть
5i = *i + X и 52 = *2 + X.
Найдем коэффициенты искомого уравнения
\) = X2 + X
Зная коэффициенты, составим уравнение:
5. Найти условие, при котором один из корней уравнения
х2 + рх + q = О
равен кубу другого.
Решение. По условию должно иметь место одно из соотношений:
*?—х2=0 или х| — хх = 0.
Перемножив, получим:
(xf — х2){х\ — хх) = х\ х\— (х\ +х\) +Xlx2 = q* — sA+q=0
или окончательно:
2q — 2q* + q = 0. A)
Другое решение. Пусть дано соотношение JCi3 — х2 = 0.
^Разделив с остатком х3 на x2+pjc+^, получим:
Положив x = xh получим:
*? =(P2 — <7)^i + W-
Данное соотношение перепишется так:
(p2 — q)x1 — x2=:—pq.
Положив в условии A) (см. сгр. 323, пример 8)
а = 1 f b=p, c=q, А = р2 — qt B = — 1, c=—pqy
получим искомое соотношение.
328

§ 83. Квадратный трехчлен над полем действительных чисел,
неравенства второй степени, наибольшие
и наименьшие значения
Рассмотрим функцию
у — ах2 + Ьх + с,
определяемую квадратным трехчленом с действительными коэф-
коэффициентами. Имеем:
Черт. 106
Случай 1°. а>0. Слагаемое а (х-\ J положительно
Ь " Ь
при x=h и равно нулю при х = — —; трехчлен имеет при
Ъ Аас—Ь2 Д
х = наименьшее значение, равное утщ =——— = ——.
В полуинтервале —oo<jc< функция у убывает от +оо до
-~, а на полусегменте — -^
возрастает от — —
329

до +оо. График трехчлена (парабола) можно получить из па-
параболы У = X2 путем следующих преобразований (черт. 106):
a) х = X—— —параллельный перенос в направлении оси
абсцисс;
b) Y\ = aY —растяжение от оси ординат в а раз;
с)
У —перенос в направлении оси ординат.
Аи
Черт. 107
Случай 2°. а<0. В этом случае а (х-\ ) < 0, трехчлен
имеет при х = наибольшее значение утах = . В по-
2а 4а
луинтервале —oo<jt< функция у возрастает от —оо до
2а
Д Ь ^ . , л Д
——, на полусегменте <^л;< + оо убывает от до —оо.
4а 2а 4а
График можно получить из параболы У = X2 посредством тех же
преобразований, но со следующим различием. Преобразование
b) Y\ = aY состоит из растяжения от оси абсцисс в |а| раз и из
зеркального отражения в оси абсцисс:
— \а\ Y
(черт. 107)
Итак, при х = квадратный трехчлен имеет экстре-
экстремум, равный ; при а>0 —это есть минимум, а при а<0
4а
— максимум.
Знак квадратного трехчлена. Квадратные
н ер а в енства.
330

Теорема.
1°. Квадратный трехчлен с действительными различными
корнями может иметь как положительные, так и отрицательные
значения.
2°. Трехчлен с мнимыми корнями не может иметь значений,
различных по знаку, и обращаться в нуль.
3°. Трехчлен, имеющий двойной корень, обращается в нуль
при единственном значении аргумента и не может иметь чис-
численных значений, различной по знаку.
Доказательство. Случай 1°. Д>0, корни трехчле-
трехчлена действительны и различны: Х\ < х2\ имеем:
ах2 -г- Ьх+ с = а(х — хг) (х — х2).
Если а > 0, то знак трехчлена совпадает со знаком произ-
произведения:
(л:— хх)(х — х2\ A)
если же а < 0, то знак трехчлена противоположен знаку этого
произведения. При любом значении х<^Х\ имеем х — #i<0 и
х — х2 < О, поэтому произведение A) положительно. При любом
значении х, заключенном между хх и х2, имеем х — х\ > 0 и
х — х2 < 0, поэтому произведение A) отрицательно. При любом
значении х > х2 имеем х — Х\ > 0 и х — х2 > 0, поэтому произ-
произведение A) положительно.
Знак трехчлена у = ах2 + Ъх + с в различных промежутках
определяется по следующей таблице:
X — Хг
X — Х2
у(а> 0)
У (а < 0)
— ОО < X < Xt
—
—
—
ХХ < X < Xt
4-
—
—
+
Xt < Х<оо
-4-
¦+
+
—
Случай 2°. Д = Ь2 — Аас < 0, трехчлен не имеет действи-
действительных корней. Из равенства
. Ь \2 4ас — Ь2 ]
^ 2а] ^ 4а2 J
у = а
следует, что знак у при всех значениях х одинаков со знаком
числа а, так как
а
>, >0.
2а) 4а* ^
Случай 3°. А = Ь2 — Аас = 0. В этом случае
331

знак трехчлена одинаков со знаком числа а при всех х ^ — —,
а при jc = — — значение у = 0, ч. т. д.
Квадратным неравенством, или неравенством второй сте-
степени (с одним неизвестным), называется неравенство, которое
после переноса всех его членов в левую часть примет вид:
Из изложенного исследования знака квадратного трехчл'ена
следует, что:
1°. Если А>0, то неравенство ax2+bx + c>0 выполняется при
а>0 в двух интервалах:
и д:2<д:<+ос,
а при а<0 в интервале Х\<х<х2.
Неравенство ах2 + Ьх + с<0 выполняется при а>0 в интервале
Х)<х<х2 и при а<0 в интервалах
— оо<л:<л:1 и х2 < х < + [оо"^ (черт. 108).
0>0
Черт. 108
2°. Если Л<0, то неравенство ax2 + bx + c>0 при а>0 выпол-
выполняется тождественно и при а<0 не выполняется ни при каком
значении х.
Неравенство ах + Ьх-\-с<0 при а>0 не выполняется ни при
каких значениях х и при а<0 выполняется тождественно
(черт. 109).
3°. Если А = 0, то неравенство ax2-\-bx + c>0 при а>0 выпол-
-, / Ь \ I Ъ \
няется в двух интервалах —оо, и — — ,+ со и при
а<0 не выполняется ни при каких значениях х.
* Здесь символ V может означать любой из знаков: <, >,>,<! •
332

Неравенство ax2 + bx-\-c<0 при а>0 не выполняется ни при
каких значениях л и при а<0 выполняется в двух интервалах
г. ПО).
(-
а >о
Черт. 109
Черт. ПО
Результаты изложенного исследования кратко можно сфор-
сформулировать следующим образом:
Значения трехчлена ]{х)=ах2АгЬх-\-с
333

одинаковы по знаку с числом а для всех значений ху кроме зна-
значений, принадлежащих сегменту корней Х\ <х< х2. В интервале
(х\, х2) значения тоегчлена и число а противоположны и по
знаку.
Это правило применимо и к трехчлену с мнимыми корнями,
если принять во внимание, что в этом случае, в поле действи-
действительных чисел, нет корней, нет и значений аргумента, принадле-
принадлежащих сегменту [х\, х2]. Для трехчлена с кратным корнем сег-
сегмент корней обращается в точку.
Следовательно, неравенство
af(x)>0
выполняется при всех значениях аргумента вне сегмента корней,
т. е. для трехчлена с действительными корнями в двух интерва-
интервалах ( — оо, Х\) и (х2, +оо), а для трехчлена с мнимыми корнями
в интервале (—оо, +оо).
Для трехчлена с действительными корнями неравенство
af(x)<0
выполняется в интервале корней Х)<х<х2.
Расположений данного числа относительно
корней трехчлена. Предположим, что квадратный трех-
трехчлен f(x) имеет два различные действительные корня; пусть
а — произвольное действительное число, неравное ни одному из
корней f(x). Следовательно, а содержится в одном из трех
интервалов (—оо, *i), (xu х2), (х2, +оо).
Теорема.Число а принадлежит интервалу (—оо, х\) в том
и только в том случае, если af(a)>0ua< ;
2а
интервалу (хи х2), если а/(а)<0;
интервалу (х2, + оо), если а/(а)>0 и а> —.
Доказательство. Принадлежность числа а интервалу
х\<х<х2 характеризуется условием a/(a)<0, a одному из интер-
интервалов—oo<jc<jci и JC2<^<^ + oo условием а/(а)>0. Установим,
какому из интервалов (—оо, х\) или (х2, +оо) принадлежит
число а, если а/(а)>0. Интервал (—оо, х\) расположен левее, а
интервал (х2, +оо) — правее средины интервала корней, т. е..
точки — 2— = •
2 2а
— оо<д:1< <^2<+°° (черт. 111).
Ь Ъ
Следовательно, неравенства <х<^ и <х>—— служат
признаками принадлежности числа а интервалам (—оо, х\) ш
(*2, + °°) (соответственно), ч. т. д.
334

Знаки корней трехчлена. В частности, при а = 0
предыдущий признак устанавливает условия, при которых:
0<л:1<л:2, т. е. оба корня положительны;
Х\<(хх2, т. е. корни разных знаков;
Х\<х2<07 корни отрицательны.
Однако для определения знаков корней Х\ и х% (если только
эти корни действительны) удобнее непосредственно пользоваться
формулами зависимости между
корнями и коэффициентами:
b _
Jo 2
Черт. Ill
из которых следует, что
оба корня положительны, если —>0, —<0;
а а
оба корня отрицательны, если — >0, — >0;
а а
меньший корень отрицателен, больший положителен, если
а
один корень равен нулю, если с = 0, а другой корень положи-
положителен при — <0 и отрицателен при—>0;
а а
оба корня равны нулю, если 6 = с = 0;
Примеры
1. Найти наибольшие и наименьшие значения следующих трехчленов *.
Трехчлен
ха + х + 1
2х* — Бх + 2
10 + Ах Зх2
Характер
экстремума
min
min
max
b
1
5
2
Л
3
9
34
у =
(Рекомендуем учащимся построить графики этих трехчленов.)
2. Решить неравенство
*2 + 6<5*.
Решение. Данное неравенство эквивалентно неравенству
* При решении примеров можно не пользоваться готовыми формулами,
а находить экстремум непосредственно выделением полного квадрата в каж-
каждом конкретном случае.
335

Трехчлен х2—5х+6 имеет корни *i=2, *2=3.
Неравенство выполняется в интервале 2<*<3.
3. Найти область определения функции, заданной формулой:
Решение. Область определения находится из условия
1 3
Корни трехчлена 4*2 — 8х + 3 суть х1 —— , х2 =— . Неравенство вы-
1 3
полняется в совокупности промежутков —оо < х <J и ^ х
оо. Иско-
Искомая область определения состоит из этих двух промежутков.
4. Неравенство
х*-х+\ >0
выполняется при всех^[значениях ху [так как
Д < 0 и а= 1 >0.
5. Решить неравенство
q
Решение. После переноса членов в одну
часть и приведения к общему знаменателю по-
получим неравенство, эквивалентное данному:
х2 — 2ах — 24а2
0
Корни трехчлена х2 — 2ах — 24а2 суть
— 4а и 6а.
1°. Если 2а+ 1 >0, т. е. а > — — , то
умножив на 2а+1, получим неравенство:
х2 — 2ах — 24а2 > 0.
При а>0 меньший корень есть —4а,
больший есть 6а; в этом случае получим сово-
совокупность двух интервалов:
— оо < х < — 4а и 6а<х<+оо.
При ——?< а < 0 меньший корень есть 6а,
больший —4а; в этом случае получим совокупность двух интервалов:
— оо<л:<6а и — 4а < х]<л+ оо.
1
2°. Если 2а + 1 < 0, т. е. а < — — , то
умножив на 2а+1, получим неравенство
х2 — 2ах — 24аа<0,
из которого найдем интервал: 6а<*<—4а.
3°. При а = 0 неравенство примет вид х2>0 и удовлетворяется всеми
значениями хф 0. Имеем совокупность двух интервалов (-— оо, 0) и @, +оо).
Результат исследования графически изображен на чертеже 112.
336

6. Исследовать корни квадратного уравнения:
Х2 — (8/г — 2U + A5/г2 — 2k — 7) = О
в зависимости от значений параметра k.
Решение. Составим дискриминант:
д = D/г — IJ — A5/г2 — 2/г — 7) = /г2 — 6/г + 8.
A) Если ?2—6?+8>0, то корни уравнения A) действительны и различны.
B) Если k2—6&-f 8<0, то корни уравнения A), мнимые сопряженные.
C) Если k2—66+8=0, то уравнение имеет двукратный корень.
Корни трехчлена k2—66+8 суть &i = 2, ?2=4.
Случай А) имеет место, если k<2 или &>4. Случай В) имеет место,
если 2<&<4. Случай С) имеет место, если k — 2 или & = 4.
7. Не решая уравнения
2х2-\-х — 1 =0,
определить, в каком интервале относительно его корней содержится число 1.
Решение. Полагаем f(x)=2x2+x—\. д=9>0; корни действи-
действительны. Та»х как f(l)=2>0 (умножение f(x) на а=2 излишне, ибо а>0)
Ъ 1
и 1>—-т— = — —, то число 1 больше большего корня.
2а 4
8. Исследовать, при каких значениях параметра т уравнение
4х2 + (т — 2) х + т — 5 = 0
имеет положительные корни, отрицательные корни, один положительный и
один отрицательный корень.
Решение. Уравнение имеет действительные корни, если
Д --=• (т — 2J — 16 (т — 5) = т2 — 20т + 84 > 0.
Корни трехчлена т2—20т+84 суть т\ = 6 и /722=14. Следовательно,
корни уравнения действительны при значениях параметра в совокупности
двух промежутков —оо <т< 6 и 14<т<+оо:
1°. Корни трехчлена положительны, если т удовлетворяет системе нера-
неравенств т—5>0, т—2<0, Д.> 0, эта система противоречива.
2°. Корни отрицательны, если т удовлетворяет системе неравенств
т — 5>0, т — 2>0, откуда т > 5. Приняв во внимание условие Д>и дей-
действительности корней, получим совокупность двух промежутков
5<т<6 и 14<т< + оо.
При т = 6 и т=14 трехчлен имеет двукратный отрицательный корень.
3°. Корни противоположны по знаку, если т — 5<0, А > 0. Из этой си-
системы получим интервал —оо<т<5.
4°. При т = 5 один корень уравнения равен нулю, другой положителен.
9. Даны два действительные числа аир, причем а<р; определить рас-
расположение корней трехчлена с действительными корнями
/ (х) = ctx2 + bx + c
относительно данных чисел.
Решение.
1°. Если а/(а)<0, а/(р)<0, то числа а и P расположены в интервале
корней:
*1 < ° < ? < *2
2°. Если af (a) < 0, af(P)>0, то
*i < а< а-2< р.
3°. Если af (a) > 0, af (p) < 0, то
a < Хх < р < Х2ч
22 С. И. Новоселов 337

4°. Если а/(а) > 0, а/(р)>0, то
или а) а < р < хг < л:2, или Ь) а < хх < х2 <? , или с) хх <х2 < а < E.
Xj + Хо 6
Случай а) характеризуется условием 3 < или 3 < — —. Аиало-
? ZiCL
Ъ
гично, случай с) характеризуется условием а > — —¦; случай Ь) характера*
2а
Ь
зуется условием а < — < р.
10. При каких значениях X корни уравнения
Хха+BХ—1)* + 1 = 0
различны и содержатся в интервале (—1, 1).
Решение. Пусть ХфО. Корни действительны и различны при условие
Д = 4Х2—8Х+1>0.
Корни трехчлена
4х* — 8ХЧ-1 суть X =
Для X получим совокупность трех (принять во внимание условие Хт^О) интер-
интервалов
2 — "J/T 2 4- У~3~
— оо<Х<0, 0<Х< и <Х<оо. A>
Расположение чисел —1<a:i<x2<1 имеет место, если X удовлетворяет
системе неравенств (см. предыдущий пример):
Xf(l) = 3X2>0, Xf (—1) = ХB —X) >0t -1 <- 2Х2~1 < 1. Д >0.
Из второго неравенства найдем интервал 0 < X < 2. В этом интервале
2\ 1
первое неравенство выполняется. Из неравенств — 1 < — < 1 найдем
— 2Х < — 2Х + 1 < 2Х, откуда X > (принять во снимание, что X > 0).
4
1
Интервал < X < 2 с совокупностью интервалов A) Aде А > 0) имеет
общую часть в виде интервала
2+J/7
< X < 2.
z
При этих значениях X оба корня содержатся в интервале (—1, 1). В осо-
особом случае Х=0 уравнение имеет единственное решение х—\.
§ 84. Алгебраические уравнения
над полем рациональных чисел
Алгебраическое уразнение с одним неизвестным над полем
рациональных чисел имеет следующий вид:
Vn + ап_ х хп~ 1 + ... + ахх + а0 = 0. (Р)
где коэффициенты ak и допустимые значения неизвестного суть
рациональные числа.
338

Каноническим видом алгебраического уравнения над полем
рациональных чисел считается уравнение (Р), в котором коэф-
коэффициенты ап , ап_х, ..., а0 суть целые взаимно простые (в сово-
совокупности) числа. К этому виду можно привнести всякое алгебраи-
алгебраическое уравнение над полем рациональных чисел: достаточно
перенести все члены в левую часть, умножить уравнение на
общее кратное знаменателей коэффициентов (если не все коэф-
коэффициенты целые) и сократить на общий, отличный от ±1, мно-
множитель всех коэффициентов (если такой множитель имеется).
Теорема. Если уравнение с целыми коэффициентами
fl/+ ап_ххп-х+ ... + ахх+а0 =0 (Р)
имеет рациональный корень —, где р и q взаимно просты, то
Я
а0 делится нар, а ап делится на д.
Доказательство. Подставив в уравнение х=—и умно-
Ч
жив на qn , получим:
anPn+an_xpn-'q-r ... + ахрчп~ 2 + aQqn = 0.
Откуда
Выражение, заключенное в скобки, в правой части есть целое
число, следовательно, произведение aoqn делится на р, а так как
р и q взаимно просты, то а0 делится на р. Аналогично, из ра-
равенства
следует, что ап ' делится на q, ч. т. д.
Итак, рациональным корнем уравнения (Р) может быть лишь
такая дробь—, числитель которой есть делитель а0, а знаме-
знаменатель делитель ап . Если составить всевозможные отношения
делителей свободного члена к делителям коэффициента старше-
старшего члена, то все рациональные корни уравнения (Р) следует
искать лишь среди этого (конечного) множества чисел. Следо-
Следовательно, все рациональные корни уравнения (Р) можно найти
конечным числом испытаний.
Следствие I. Всякий целый корень многочлена с целыми
коэффициентами есть dez-итель свободного члена.
R самом деле, рациональный корень х = — уравнения (Р) яв-
является целым, если q=\, тогда имеем х = р, где р — делитель
числа по.
22* 339

Таким образом, при отыскании целых корней многочлена с
целыми коэффициентами достаточно испытать лишь делители
свободного члена.
Следствие II. Всякий рациональный корень многочлена
Р(х) с целыми коэффициентами и с коэффициентом при стар-
старшем члене, равном единице, есть целое число.
В самом деле, если ап = 1, то рациональными корнями урав-
уравнения (Р) могут быть только целые числа, так как для знамена-
знаменателя q возможны лишь значения q=±l (делители ап ).
Если многочлен с целыми коэффициентами и с коэффициен-
коэффициентом при старшем члене, равном 1, не имеет целых корней, то он
н'е имеет и дробных корней.
Если свободный член многочлена с целыми коэффициентами
имеет большое количество делителей, то следующий признак
позволяет сократить число испытаний при нахождении целых
корней.
Если а — корень многочлена Р(х), то P(k) делится на k — а,
где k — произвольное целое число.
Доказательство. Если а — корень многочлена Р(л'), то
Р(х) делится на х—а:
Р (х) = (х -а) (Ьп __ х Хп~ 1 + Ьп_ 2хп- 2 + . . . + 60).
Так как а — целое число, то коэффициенты частного Ьп_{у
b п__о, •-., Ьо также целые числа (см. § 26, деление на х—а).
Положив x = k, получим:
где N - bn _ xkn ~ l -f bn _ 2kn ~2 + ... -f b0— целое число, т. е. P(k)
делится на (k—a), ч. т. д.
Положив в частности &=±1, получим:
Следовательно, испытанию подлежат лишь те делители сво-
о ЯA) p(_i)
бодного члена, для которых каждое из отношении —^— и -J—-
a—I 1 + a
есть целое число.
Нахождение рациональных корней многочлена с целыми ко-
коэффициентами можно свести к нахождению целых корней. Пусть
требуется найти рациональные корни многочлена с целыми ко-
коэффициентами
Р(х) = апхп + ап__{хп-1+ ... + а1х+а0.
Умножив Р(х) на ап~х , получим многочлен, имеющий те же
корни:
апп~ 1Р (х) = аппхп ~\-ап-Х апп^хп~ х + ... + aiann~lx f aQann' l.
340

Заменив аргумент х аргументом у = апх, представим данный
многочлен в виде:
апп~1 P(x) = Q (у) =yn+an-iyn-' + .. . + aLann~2y + a,an~\ A)
Все рациональные корни последнего многочлена суть целые
-шела. Отыскав все целые корни этого многочлен i, из соотно-
соотношения х=-^- найдем все рациональные корни многочлена Р(х).
а п
Примеры
1. Найти целые корни уравнения
х* + 2*3 _ 4х2 — Ъх — 6 = 0.
Решение Выписываем делители числа —6: +1, +2. +3, +6.
Подставив х= ± 1, получим РA) = — 12 и Р (—1) = — 6, следовательно,
+ 1 не являются корнями. Составим отношения и ; при
а — 1 а -|- 1
а=2 получим целые числа, поэтому число 2 подлежит испытанию. Ана-
Аналогично убедимся, что испытанию подлежат числа —2 и —3. Числа же 3 и
Р(—\) 3
±6 испытанию не подлежат. Так, при а = 3 отношение =——г- яв-
является дробным. Разделив данный многочлен на х—2, получим в частном
х3-\-4х2-\-4х+3 и 0 в остатке, следовательно, 2 есть корень Число —2 не
может быть корнем, ибо свободный член частного 3 не делится на —2. Де-
Делим частное на х + 3, получим второе частное х2 + х + 1 и 0 в остатке,
следовательно, —3 есть корень. Больше целых корней нет.
2. Найти рациональные корни многочлена:
р
Решение. Если х= корень многочлена, то для р и q возможны сле-
Я
дующие значения: р=±1; ±3; q=±\; ±2; ±4.
Ищем целые корни многочлена:
16Р (х) = DхK — 7 (АхJ — 4 (Ах) + 3 • 42 = г/3 — 7г/2 — 4г/ + 48 = Q (#),
где # = 4—, для у возможны следующие значения: +1, +4, +2, +12, ±6,
Я
+ 3 в соответствии с возможными значгниями р и q.
Q(—1) 44
При а = 2 отношение — — дробное, при а « — 2 отношение
а + 1 3
Q A) 38
= дробное, поэтому числа +2 отбрасываем. При а = 3 оба отноше-
9A) 38 9(—1) 44 ^
ния = —• и = — целые. Разделив Q (у) на у — 3, получим:
а — 1 2 а + 1 4
Q (//) г= (у — 3) (w2 — Ау — 16).
Квадратный трехчлен в скобках не имеет целых корней, поэтому един-
у з
ственным рациональным корнем является х =¦ — ^"й"*
3. Доказать, что если многочлен
341

с целыми коэффициентами при х=0 и при х=\ имеет нечетные значения,
то он не имеет целых корней.
Решение. Пусть, вопреки утверждению, а — целый корень: Р(а)=0.
Р(\)
Отношение при нечетном РA) может быть целым числом, если а есть
а— 1
четное число. Из условия
ап7'П + ап-1аП~{ +• • -+ао = ° найДем ао = —а (а\ + а2а +•••+ а-П~1ап)>
следовательно, а0 есть четное число. Но с другой стороны /@) = а0, а поэ-
поэтому не может быть четным числом. Это противоречие доказывает теорему.
§ 85. Двучленные уравнения
Определение. Уравнение вида
хп — а = 0 (где а — данное число)
называется двучленным уравнением.
Уравнение вида
рхп + q = 0,
где р Ф 0, эквивалентно двучленному уравнению
хп + -?- = 0 /здесь а = — -
я \ я
Двучленное уравнение решается непосредственно извлече-
извлечением корня степени п из числа а:
ПГ
х = у а .
На основании известных свойств извлечения корня (см. § 39
и 46) имеем:
1. Если а = 0, то уравнение имеет (в любом числовом поле)
единственное решение х = 0.
2. Если а^ 0 — действительное число, то в поле действитель-
действительных чисел при нечетном п = 2k + 1 уравнение имеет единствен-
единственное решение
х =
Если а> 0 и п = 2k — четное число, то уравнение в поле дей-
действительных чисел имеет два решения
2kr
х = ±у а .
Если а < 0 и п = 2k — четное число, то в поле действитель-
действительных чисел уравнение не имеет решений.
3. Если а Ф 0 произвольное комплексное (в частности дей-
действительное) число, то в поле комплексных чисел двучленное
уравнение имеет п корней; этими корнями являются п разлил-
п/
уых значений радикала у а .
342

§ 86. Частные виды алгебраических уравнений высших степеней,
решаемых элементарными методами
Задача алгебраического решения уравнения ставится
следующим образом: построить формулу, выражающую значе-
значения корней уравнения через его коэффициенты посредством ше-
шести алгебраических действий.
Алгебраическое решение уравнения носит название решения
уравнения в радикалах, ибо общая формула, выражающая
корни уравнения данной степени п > 1 через коэффициенты
(если только эта формула может быть построена), кроме рацио-
рациональных операций над коэффициентами, непременно должна
содержать действие извлечения корня. В самом деле, общая
формула решения уравнения некоторой степени п (где п> 1)
должна давать все п корней. Если бы эта формула не содержала
радикалов, то она являлась бы рациональным выражением от-
относительно коэффициентов. Поэтому, в силу однозначности ра-
рациональных операций, можно было бы по этой формуле вычис-
вычислить лишь один, а не п корней уравнения. Действие извлечения
*\орня можно толковать как решение двучленного уравнения,
поэтому задачу решений уравнения в радикалах можно сфор-
сформулировать следующим образом:
выразить корни данного уравнения через его коэффициенты
посредством последовательного выполнения ряда рациональных
операций и решения двучленных уравнений.
Из курса высшей алгебры известно, что
в о-п ервых, в общем виде в радикалах могут быть решены
уравнения степени не выше 4-й. Уравнения же 5-й и более вы-
высоких степеней в общем виде не могут быть решены в радика-
радикалах;
во-вторых, существуют (как доказал Э. Галуа) конкрет-
конкретные уравнения (с числовыми коэффициентами), неразрешимые
в радикалах.
Для уравнения 2-й степени в § 80 была выведена формула,
выражающая в общем виде, посредством алгебраических дей-
действий, значения корней через коэффициенты. Для уравнения 3-й
и 4-й степеней соответствующие формулы приводятся в курсе
высшей алгебры.
В ряде частных случаев уравнения высших степеней могуг
быть решены в радикалах; в задачу элементарной алгебры вхо-
входит лишь указание отдельных видов уравнений высших степеней,
решаемых алгебраически, и элементарных приемов решения этих
уравнений. В практике решения уравнений умение пользоваться
частными приемами имеет большое значение. Общие формулы
решения уравнений 3-й и 4-й степеней достаточно громоздки;
кроме того, препятствием при пользовании этими формулами
являются так называемые «неприводимые случаи». Так, напри-
34а

мер, известно, что если кубическое уравнение имеет три различ-
различные действительные корня, то эти корни в общем случае не вы-
выражаются посредством действительных радикалов.
При решении уравнения степеней выше первой с параметрами
в качестве особых случаев надо рассматривать системы значе-
значений параметров, при которых коэффициент при старшем члене
обращается в нуль и получается уравнение более низкой степени.
Разложение левой части уравнения
на множители
Пусть Р(х)—данный многочлен от аргумента х\ если извест-
известно разложение Р(х) на множители:
Р(х) = Рг(х)Р2(х)...Рк(х)9
где ни один из множителей в правой части не является триви-
тривиальным делителем Р(х), то уравнение
Р (х) = О
эквивалентно совокупности уравнений (см. § 50):
PiW = 0, Ра(*) = 0, ..., Pk(x) = 0.
Множество корней данного уравнения получается объедине-
объединением в одно множество корней уравнений Pt (x) =0 (i = 1,
2...„ft).
Если посредством применения известных методов удастся
разложить многочлен Р(х) на множители (нетривиальные), то
решение уравнения Р(х) = 0 сведется к решению нескольких
уравнений более низких степеней.
Примеры
1. .Решить уравнение
х4 + 2л:3 + 5х2 + Ах — 12 = 0.
Решение. Разложим левую часть на множители:
х4 + 2х3 + 5х2 + 4х — 12 = (л-4 + 2х3) -4- Eх2 + 10*) — Fх + 12)=
= (х 4- 2) (х3 + 5л: — 6) = (х -+- 2) (х — 1) (х2 + х + 6).
Решение уравнения сводится к решению совокупности двух уравнений
1-й степейи и одного уравнения 2-й степени:
х + 2 = 0, х—1=0, л:2 + ,
откуда
— 1 + i 1/23
2 1
В примерах 2—4 показано применение способа разложения на множите
ли к извлечению корней в поле комплексных чисел.

2. Вычислить значение кубического корня из 1.
Решение. Требуется решить уравнение
хз —1 = 0 или (х — 1)(х2 + х+ 1)=-0,
откуда
х—1=0 и л;2 + л;+1 = 0,
следовательно,
i -1 + / УТ -1 - / У!
1Х
3. Вычислить у 1 .
Решим уравнение
л:4—1 =0 или (л: — 1)
откуда
хх — 1, х2 = — 1, *3 = ' t *4 = — /.
4/
4. Вычислить у — 1 .
Решение. Решим уравн^лие л:4+1 = 0. Разложим левую часть яэ
множители (стр. 83) _ _
{х* + хУ2+ 1)(х*—хУ2+ 1) = 0.
Решив совокупность квадратных уравнений
х*+хУТ+1=0 и л:2 — хТ^г + 1=0,
найдем:
5. Решить уравнение
(9а + 6 — х2J + (а + 56 — Зх2J = Gа — 6 + х2J + Gа + ЗЬ — 5х2J.
Решение. Имеем:
[voQ + ^ _ Л2J _ Gа _ ^ + л2J] — [Gа -J- ЗЬ - 5л2J - (а + ЪЬ - Зх?J] = О,
Разложив левую часть на множители, получим:
32а (а + Ь — х2) — 16 (а + Ъ — х2) (За — Ь — х2) = 0
1 б (а + Ь — л:2) (а;2 + Ь — а) - 0,
откуда
л:1>2 = + |Ла + ^ и хЗА = ±Уа — Ь .
Трехчленные уравнения. Трехчленным уравнением
называется уравнение вида:
ах2п + Ьхп + с = 0 (где а =? 0).
Трехчленные уравнения решаются в радикалах. Введем новое
неизвестное у = хп , тогда получим вспомогательное квадратное
уравнение
ay2+by+c----0,
345

откуда
— b + V b2 — Aac m/—b-b\/b2 — Aac
2a
Частным случаем трехчленного уравнения (п = 2) является
биквадратное уравнение*
ахА-{- Ьх2 + с = 0.
Формула решения биквадратного уравнения
— Aac
2а
дает все четыре корня уравнения (среди корней могут быть и
кратные). Исследуем корни биквадратного уравнения с действи-
действительными коэффициентами. Не нарушая общности, будем счи-
считать, что а > 0.
Случай Г. Ь2 — Аас > 0, с > 0, b < 0; корни вспомогатель-
вспомогательного квадратного уравнения
ay2 + by + с = 0
^положительны, для х2 получим два различные положительные
значения. Биквадратное уравнение имеет четыре действительные
корня.
Случай 2°. Ь2 — Аас > 0, с < 0. Для х2 получим два зна-
значения разных знаков, биквадратное уравнение имеет два дей-
действительные и два чисто мнимые корня.
Случай 3°. о2 — Аас > 0, с > 0, b > 0. Для х2 получим два
отрицательные значения, биквадратное уравнение имеет чисто
мнимые корни.
Случай 4°. с = 0. Вспомогательное уравнение примет вид
ау2 + by = 0, откуда у = х2 = 0иу = х2 = .
а
Если Ь^ 0, то биквадратное уравнение имеет двукратный
корень х = 0, прочие два корня действительны, если b < 0 и
.мнимы, если b > 0.
Если b = с = 0, то биквадратное уравнение имеет четырех-
четырехкратный корень х = 0.
Случай 5°. б2 — Аас < 0. Для х2 получаются два мнимые
сопряженные значения, биквадратное уравнение имеет четыре
мнимые различные (попарно сопряженные) корня.
С л у ч а й 6°. Ь2 — Аас = 0. Вспомогательное уравнение имеет
двукратный корень
У ~ 2а'
При 6 > 0 биквадратное уравнение имеет два мнимые дву-
346

кратные корня, а при Ь<0 — два действительные двукратные
корня.
Примеры
1. Решить уравнение
Решение. Определяем z=x3 из квадратного уравнения:
z2 — 32+2 = 0.
Имеем: Zi=l, z2=2, следовательно, получим совокупность двух уравне-
уравнений: хъ — 1 и хъ = 2, из которой найдем:
3/ 3/ 3 г—
Л-? — 1 | Л2 51 Лд — Б } Л^ t/ ? , Д-g — г > в г >
где е и е2 — мнимые кубические корни из 1. В поле действительных чисел
Ъг—
данное уравнение имеет два решения х=\ и х— у 2.
2. Разложить на множители биквадратный трехчлен
[-9.'
Решение. Решим уравнение:
Зх4 + 26;с2 —9 = 0;
имеем:
— 13 ± l^ToR
^^ з •
откуда
1 1
х1=3/, х2 = — 3i, х3 = zz"» х4 =——— •
Над полем комплексных чисел:
—9 = 3{x
3i)(x zr| (x +
_^V Vs)\ Уъ
= (х + 30 (х - 3i) (VIх - 1) (УТ* + 1);
над полем действительных чисел-
Зх* + 26х2 — 9 = (х2 + 9) (У~3х + 1) (УТх — 1);
над полем рациональных чисел:
Зх4 + 26х2 — 9 = (х2 + 9) (Зх? — 1).
6/-—
3. Найти значения у —1 в поле комплексных чисел.
Решение. Решим уравнение х64-1=0.
Имеем:
данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений.
х4— х*+1=0 и х2+1 = 0. A)
347

Первое есть биквадратное уравнение, из которого найдем:
Следовательно,
, -,/-/
; X3.4=±f/ 2
-/1/3"
2
По правилу извлечения квадратного корня из комплексного числа полу-
получим:
Решив второе уравнение A), найдем: х 5 б = ± L
4. Решить уравнение
х*— 2 (а2 + 4ab — b2) x* + (a — b)*=^0.
Решение. Находим:
х* = (а2 + 4а6—б2) +)/" (а2 + 4а6 — б2J — (а — Ь)*.
Разложив подкоренное выражение на множители, получим:
х2 = а (а + Ь) + Ь (За — 6) ± 2 1^ аб (а + 6) (За —
откуда
x = ±[V a(a+b) ± V Ъ (За — 6)].
Графический способ решения уравнения
четвертой степени
Рассмотрим систему уравнений:
(х-аJ-Ь(</-?J = Я2, \
Исключив неизвестное у, получим уравнение:
X4 + A — 2?) X2— 2а а: + а2 + Р2 — ^2 = 0.
Отсюда вытекает следующий графический способ нахожде-
нахождения действительных корней уравнения вида
х4 + рх2 + qx + г = 0.
Из условий:
1—2р = р, ~2а = 9, а2+р2-^2 = г
найдем значения параметров а, |3 и /?, а затем построим пара-
параболу у = х2 и окружность с центром в точке (а, Р) и с радиусом
равным R. Искомые корни суть абсциссы точек пересечения па-
параболы и окружности.
348

Всякое уравнение четвертой степени
х4 + bxz 4- сх2 + dx + е = О
(без ущерба для общности, коэффициент при старшем члене
можно считать равным 1) подстановкой х = z можно при-
привести к виду A) и, следовательно, найти графически его дей-
действительные корни указанным построением.
1
I
\
\
\
\
\
\
I
1
Черт. 113
На чертеже ИЗ представлено графическое решение уравне-
уравнения
X4_3x2—2х — 4 = 0;
имеем:
1—23=—3, —2а = -2, а2+Р2 — R2 = — 4,
откуда
р = 2, а=1, R = 3.
Возвратные уравнения. Возвратным уравнением на-
называется уравнение вида:
ахп
bxn ~
сх
п " 2
сх2
Ьх -\- а = 0,
в котором коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и от
конца, одинаковы. Ни один из корней возвратного уравнения не
равен нулю. В самом деле, если бы х = 0 был корнем уравнения,
349

то мы имели бы а = О, т. е. уравнение имело бы более низкую
степень.
Возвратное уравнение обладает следующим свойством: если
число а есть корень, то обратное число — также является его»
а
корнем. В самом деле,
а 1~ о h ... + о f- a = = IL
ап ап~1 а ап
Рассмотрим сначала возвратное уравнение четной степени"
(n = 2k). Разделив уравнение почленно на xk и сгруппировав
члены, как показано ниже, получим:
Уравнение A) эквивалентно данному возвратному уравне-
уравнению. В самом деле, при переходе к уравнению A) происходит
сужение области определения, так как из нее исключается зна-
значение х = 0. Однако потери решений не происходит, так как это
значение «е удовлетворяет данному уравнению.
Положив х Н = г/, зайдем последовательно:
х
k{k~X) xk-4
1-2 1-2
Откуда найдем последовательно:
x+— = y, x2+-±- = y2—2, x3+^-=if — 3y и т.д. B)
X X2 X3
Подставив в A), получим уравнение k-и степени относитель-
относительно у. Соответствующие значения х найдем из квадратного урав-
мения
х2 ~ ху + 1 = 0.
В частности, решение возвратного уравнения четвертой сте-
степени в общем случае сводится к решению трех квадратных урав-
уравнений: одного для определения вспомогательного неизвестного
у и совокупности двух для определения х.
Решение возвратного уравнения нечетной степени (n = 2k+iy
приводится к решению возвратного уравнения четной степени.
Как видно непосредственно, уравнение
ax2k+{ 4- bx2k + cx2k~l + ... + ex2 + bx + a = 0
350

имеет корень х =—1, следовательно, его левая часть делится*
на х + 1. Представим левую часть в виде суммы слагаемых, каж-
каждое из которых делится на х + 1:
a(xik+l+ l) + bx(x2k-l + \) + cx2(x2k-3+ l)+ ...+
+ lxk(x+ l) = 0.
Разделив каждый член ,на д; + 1, представим частное в сле-
следующем виде:
ах2к _ aJCa*-i + ax^-2 _ ... _ ajc + a +
+ lxk.
Коэффициенты членов частного, равноотстоящих от начала-
и конца, равны между собой; следовательно, данное уравнение
можно представить в виде
(х+ l)(ax2k + b,x2k~x + ... + М + a) = 0.
Таким образом, задача сводится к решению возвратного.
уравнения четной степени:
ax2k + bix2k~l+ ... + b1x+a=0.
Уравнение
ах* + Ьх3 + сх2 — Ьх + а = 0,
в котором коэффициенты членов, равноотстоящих от начала я-
от конца при четных степенях х, равны, а при .нечетных
степенях противоположны по знаку, подстановкой у = х — —
приведется к уравнению 2-й степени (предоставляем учащимся
провести соответствующие рассуждения).
Примеры
5/
1. Вычислить значения у 1 в поле комплексных чисел.
Решение. Решаем уравнение хъ—1=0. Левая часть разлагается нэ
множители:
х5 — 1 = (х — 1) (х4 + г3 -Ь х2 + х + 1),
откуда получим совокупность двух уравнений:
х — 1 = 0; х4 + х3 + х2 + jc + 1 = 0.
ПерЕое дает л^ = 1. Второе уравнение возвратное: положив хН = уг,
получим:
35L

откуда
У* « =
1,2 2
Для определения * получим совокупность двух квадратных уравнений:
2х2 — (— \-\ 1^5)*+ 2=0, 2<г2 + A + УЛ5)х + 2 = 0,
из которой найдем:
2. Решить уравнение
2^5 _f_ 5^4 _ 1з^з _ i3x2 + эх + 2 = 0.
Решение. Один из корней данного уравнения Х\ = 1 — известен. Раз-
Разделив левую часть на х 4- 1, получим для определения других корней воз-
возвратное уравнение:
2х4 + Зх3 — \6х2 + Зх + 2 = 0.
Положим г/ = х + ,
X
тогда получим:
2 (х*
откуда
Для определения л: имеем совокупность двух уравнений*
,v2 + 4.v+l=0 и 2х2 — 5^ + 2 = 0,
из которой найдем:
На нижеследующих примерах показаны различные частные
приемы решения уравнений высших степеней, основанные на
частных свойствах рассматриваемых уравнений. Эти приемы не-
невозможно предусмотреть общей теорией.
Примеры
1. Решить уравнение
(а — Х)ь (х — by + (а — хJ (х — b)* =- a2b2 (a — b).
Решение. Разложим на множители левую часть:
(а _ Ь) (а — хJ [х — bJ = a2b2 (a — b).
Если а ф Ь, то
(x
352

откуда
xi=--0, x2 = a + b, x34 = — (a + b ± Va2 —
Особый случай а = b. Уравнение удовлетворяется тождественно.
2. Решить уравнение
(х + а) (х -f а + 1) (х + а + 2) (х + а + 3) = Ь.
Решение. Перемножим в левой части первый и четвертый, второй и
третий множители:
[х2 + Bа + 3) х + а2 + За] [х* + Bа + 3) х + а2 + За + 2] = 6.
Введем вспомогательное неизвестное, положив
у = х2 + Bа + 3) л: + а2 + За,
по '1учим
г/2 + 2// — Ь = 0, откуда у = —1+)Л + 6.
Для определения лс получим совокупность двух квадратных уравнений:
х2 + Bа + 3) х + а2 + За + 1 + ")Л 4- b = О,
х2 + Bа + 3) л: + а2 + За + 1 — 1Л + ft = 0.
3. Решить уравнение
а + Ь
Решение. Положив у = х + , получим:
2
ли после упрощений:
' а — Ь *2 _ / а — b \4
т. е. биквадратное уравнение.
4. Решить уравнение
(х + Л) (х + 2/г) (х + ЗА) (х + 4Л) = (х + /z)* + (х + 2hf + (х + ЗАJ + (х + 4/z)?.
Решение. Введем вспомогательное неизвестное, положив
5
у = х + — h.
Преобразованное уравнение примет вид:
откуда
/ А2 \ / 9 \
у2 — III/2— — А2 = 4r/2 + 5/?2.
\ 4 А 4 /
23 С И. Новоселов 353

Для нахождения у получилось биквадратное уравнение
5. Решить уравнение
х* —2а:3 -Ь х — а^=0.
Решение. Для разложения левой части на множители применим метод
неопределенных коэффициентов, положив:
х* — 2*з + х — а = (х2 — х + Л) (х2 — х 4- В);
сравнив коэффициенты при х2, х и свободный член, получим систему уравне-
уравнений:
Л + В + 1=0, — А — Я=1, ЛВ = — а.
Коэффициенты Л н 5 суть корни квадратного уравнения
Можно положить
Приравняв каждый множитель нулю, получим для определения х сово-
совокупность двух квадратных уравнений:
, — 1 ± Vl -Ь 4а
х2 — х Н = 0.
6. Решить уравнение
х* — 12% + 323 = О,
Решение. Заметив, что 323= 182—1, представим уравнение в виде:
х* + 182 = 12х + 1.
Прибавив к обеим частям 36jc2, получим:
(х*+ 18)а = F*+1J. *
Отсюда получим совокуиность двух квадратных уравнений:
*2 + 18
7. Решить уравнение
7=^, ^е а=^1.
1 — а* 1 — а
Решение. Непосредственно очевидны два корня: х = 1 и х — а, сле-
следовательно, левая часть уравнения
(*4 — 1) (а — 1) — (х — 1) (а4 — П =* О
разделится на х— 1 и х — а. Разделив на х— 1 и сократив на а— 1, получим:
х3 + х2 + х — (а3 + а + а) = 0.
Разделив на х — а, получим
х2 + (а + 1) х + (а2 + а + 1) = 0.
Корни уравнения суть:
— a—\±i Уъа* + 2а + 3
=а и *34^ 2
При действительном а корни *з,4 мнимы, так как трехчлен (от парамет-
параметра а) под радикалом знакоположителен.
354

8. Решить уравнение
(а __ X)s + F — хK = (а + b — 2х)8.
Решение. Так как а + Ъ — 2х = (а — х) + (Ь — х), то уравнение можно
представить в следующем виде:
(а — *)« + F - хK = [(а - х) + (fr - х)]3.
Откуда
3 (а — х) ф — х) (а + Ь—2х) = 0
и, следовательно,
х1=а, х2 Ь, х3.
9. Решить уравнение
32.v« — 48х3 — \0х* + 2\х + 5 = 0.
Решение. Представим левую часть в виде
2 A6** — 24*3 + 9х2) — 7 Dх2 — Зх) + 5 =- 0.
Положив у = 4х2 — Зх, получим:
5
откуда //j = 1, у2 = — . Для определения дс получим совокупность двух квад-
ратных^гу равнений:
4х2 —Зх— 1=0 и 8х2 —бх—5 = 0.
10. Решить уравнение
x4 + ax3 + foc2+ orfx + ^2 = 0, где d ф 0.
Решение. Представим левую часть в виде
(JC4 + d*) + ax (Х2 + а) + ^2 = 0,
разделив на х2, получим:
Уравнение решается" подстановкой у — х-\ по тому же способу как
возврат ное.
§ 87. Дробные уравнения
Определение.Дробным рациональным уравнением назы-
называется уравнение вида
/?х (х, у у ..., г) = R2 (х,у, ..., г), (R)
где левая и правая части суть некоторые рациональные выра-
выражения от неизвестных х, у, ..., г.
Заменим это уравнение эквивалентным уравнением
Ri(x;y,...,z) — R2(x,y, ••• г)~-0 A)
23* 355

и приведем левую часть последнего уравнения к каноническому
виду, тогда получим уравнение
%*-' г;=о, (ад
Q(x, У, ..., 2)
где числитель и знаменатель суть многочлены от неизвестных.
Уравнение (P/Q) будем называть к а н о ни ч е с к и м видом
рационального уравнения.
Всякая система значений неизвестных, удовлетворяющая
уравнению (P/Q), обращает в нуль числитель левой части этого
уравнения:
Р(х, у% ..., г) = 0. (Р)
Всякое решение данного уравнения (R) удовлетворяет также
и уравнению (Р), однако, обратного (в общем случае) утверж-
утверждать нельзя. В самом деле, так как при приведении рациональ-
рационального выражения к каноническому виду может расшириться его
область определения, то область определения уравнения (P/Q)
может оказаться шире области определения данного уравнения
(R). Далее, так как область определения уравнения (Р) в общем
случае шире области определения уравнения (P/Q), то при пере-
переходе от уравнения (R) к уравнению (Р) область определения
может измениться лишь в сторону ее расширения, а потому воз-
возможно появление посторонних решений. Посторонним бу-
будет всякое такое решение алгебраического уравнения (Р), при
котором хотя бы одно из выражений Ri(x, у, ..., z)> либо
/?2(*, у, ..., z) теряет смысл. Следовательно, решения уравнения
(Р) должны быть подвергнуты проверке путем подстановки в
данное уравнение.
Изложенное служит обоснованием нижеследующего правила
решения дробных уравнений, которое обычно применяется в
практике средней школы.
Правило» Для решения дробного уравнения с одним неиз-
неизвестным достаточно:
1° перенести все члены в левую часть;
2° полученное в левой части выражение представить в виде
алгебраической дроби;
3° решить алгебраическое уравнение, приравняв нулю числи-
числитель полученной алгебраической дроби;
4° найденные решения проверить путем подстановки в дан-
данное уравнение.
Примеры
1. Решить уравнение
1+JC 1-Х
\ — х~ \ + х 3
356

Решение Приводим левую часть к каноническому виду:
2 3
х+ 1 ~ 14 — х
Перенеся все члены в левую часть, после приведения к канионическому
виду получим
5E-х)
(х fl) A4-х)
= 0, откуда 5 — х = 0.
Уравнение имеет единственное решение х = 5, в чем убедимся проверкой,
2. Решить уравнение
х — 3 2х
~ х2 + х — 2 ~~ х2 + х — 2 '
Решение. После переноса всех членов в левую часть, преобразования и
сокращения получим уравнение
*-=± = 0
х + 2
имеющее единственное решение х «= 1. Это решение является посторонним
для данного уравнения, так как при подстановке х = 1 его левая и правая
части теряют смысл.
Примечание. Если принять дополнительное определение об особых
решениях, что число х = 1 следует считать особым корнем данного
уравнения, так как
х— 1
lim =0.
+2
3. Решить уравнение
3 1
х х — 1 х — 2 х — 3 х — 4 х — 5
Решение. Сложим попарно следующие дроби: 1-ю и 6-ю, 2-ю и 5-ю,
3-ю и 4-ю, заметив, что для каждой пары свободные члены знаменателей име-
имеют одинаковую сумму —5:
3 B* — 5) 2х — 5 4 {2х — 5)
г ~~^——гт о
jc2 — 5.v х2 — 5х + 4 х2 — 5л;+ 6
5
Откуда 2х — 5 = 0 и Х\ =—- Для нахождения прочих корней получим
уравнение:
Введем вспомогательное неизвестное
у = х2 — Ъх.
Уравнение примет вид:
— -f Н = 0 или ——-— = 0,
откуда
9
1 2 » 2
357

Для определения х получим совокупность двух квадратных уравнений
х2 — 5х + 2 = 0 и 2х2 — 10х + 9 = 0.
Откуда найдем:
5 + УТГ 5 + V~i
Х2,з— 2 ' ^.б" 2
Ни один из найденных корней не равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, поэтому все эти
корни принадлежат области определения данного уравнения, а поэтому явля-
являются его решениями.
На нижеследующих двух примерах показано решение и исследование
дробных уравнений, содержащих параметры.
4. Решить уравнение
х-[- 2а — b х + а а 2х + 2а — Ъ
а ' (
х + 2Ь — а х + Ь Ь 2 +
Решение. Допустимые значения параметров определяются условием
ЬфО, a — произвольное число. При данной допустимой системе значений па-
параметров область определения уравнения находится из условий:
, хф — Ъ, хф — Ь-\ .
Перенесем все члены в левую часть, приведем полученную разность к
общему знаменателю и приравняем нулю числитель, тогда получим алгебраи-
алгебраическое уравнение:
Ъ(х + 2а — Ь)Bх + 2b — a)(x + a) — a(x + 2b — a)Bx + 2a — b)(x + b) = 0. B)
Левая часть есть многочлен третьей степени, для приведения его к канониче-
каноническому виду применим метод неопределенных коэффициентов, положив:
Ь (х + 2а — Ь) Bх + 2Ь — а) (х + а) — а (х -f 2b — а) Bх + 2a — b)[x + b) =
Приравняв коэффициенты при х3, получим:
26 — 2а = А, т.е. А = 2 ф — а).
Положив х = 0, получим D = 0.
Положив * = — а, а затем х = —6, получим:
+ 2ab ф — af = — 2а3 F — а) + Ба2 — Са,
— 2а6 (а — ЬJ = — 263 ф — а) + БЬ2 — СЬ
или
а2Б - аС = 2а (Ь — а) (а2 — аб + б2),
Ь2В — ЬС=2Ьф — а) (а2 — ab + b2).
Исключим С, для чего умножим почленно первое уравнение на Ь, второе
на а и вычтем, тогда получим:
ab(a — Ь) В = 0.
Откуда при аф 0 и аф Ь получим В = 0 и далее
С = — 2 ф — а) (а2 — ab + Ь2).
Случаи а = 0 и а = b должны рассматриваться как особые.
Подставив значения коэффициентов А, В, С и D, приведем уравнение B)
к следующему виду:
2 ф — а) х (х2 — а2 + ab2 — b2) = 0, C>
358

откуда (так как аф Ь)
= — У а* — ah
Особые случаи. В качестве особых должны быть рассмотрены сле-
следующие случаи: а = О, а = Ь, а также случай, когда при значениях Х\, х2 и х$
в уравнении A) хотя бы один из знаменателей обращается в нуль.
х — b х
Случай Г. а = 0. Уравнение A) примет вид: —ГТГ ' —ТТ=^' 0ТКУДа
X ~\~ 2,0 X ~~у~ О
х = 0 и х = Ь.
Корень х — —Ь, который получится по формулам C), при а = 0 оказы-
оказывается посторонним.
Случай 2°. а = Ь (=?0). Уравнение A) удовлетворяется во всей области
Ь
определения, т. е. при х Ф—о и х Ф— —.
Случай 3°. Если при * = 0 обращается в нуль знаменатель х — 2Ь— а, то
а = 2Ь. При а — 2Ь уравнение A) примет вид:
х + ЗЬ x+2h 2x — 3b
A )
х х + b ^ x * A )
После приведения к каноническому виду приравняем нулю числитель, тогда
получим:
х(ха —3&я) = 0, откуда x=±Vsb
(х = 0 — посторонний корень).
Случай 4°. При х = 0 знаменатель х + Ъ обращается в нуль, тогда Ь = 0.
этот случай невозможен, так как по условию b Ф0.
Случай 5°. Если х = 0, знаменатель 2х + 2Ь — а обращается в нуль, то
а=2Ь, т. е. имеет место случай 3°.
Случай 6°. Если х=х2 з=±Уа2 — ab + b2, знаменатель х — 2Ь — а
обращается в нуль, то
+ Va2 -ab + b* = 2b — a.
Откуда по возведении обеих частей в квадрат получим либо 6 = 0, что невоз-
невозможно, либо а = Ь, т. е. случай 2°.
Случай 7°. Если при х = *2,з имеем л; + & — 0, то ±у а2 —ab+b2 =b,
откуда, либо а = 6, т. е. имеет место случай 2°, либо а = 0, т. е. имеет место
случай (Г).
Случай 8°. Если при х = х2,ъ имеем 2х + 26 — а = 0, т. е.
± 2 Уа% + ab + b* =2b — a,
то а = 0, т. е. имеет место случай 1°.
Итак, особыми следует считать следующие системы значений параметров:
а = 0, ЬфО (произвольное); а = Ь(Ф0) и а = 2b (ф 0).
5. Решить уравнение:
х2 + 2ах + ас ах
х2 + 2сх + ас (х+ а) (х + с)
Решение. Составив производную пропорцию, получим:
2х2 + 2 (а + с) х 4- 2ас ах + (х + а) (х + с)
B)
2 (а — с)х " ах — (х + а) (х + с) '
359

где а Фс Случай а = с должен быть рассмотрен как особый. Введем вспомо-
вспомогательное неизестное> положив
(х + а) (х + с)
= у ттЛи (х + а) (х + с) = ху, C)
подставив в уравнение, получим:
У а + У
= . D)
а~ с а — у
Приведем последнее уравнение к каноническому виду и приравняем нулю
чиелитель:
У2 — су + а(а~ с) = 0. E)
Из уравнения E) найдем в общем случае два значения у и, подставив в C),
получим совокупность двух квадратных уравнений для определения х (вы-
(выкладки опускаем).
Решение уравнения E) не принадлежит области определения уравнения
D), если у = а удовлетворяет уравнению E):
а2 — ас + а (а — с) — 0 или а {а — с) = 0,
откуда получим особый случай а «» 0.
Формула подстановки C) теряет смысл при х — 0 (сужение области опре-
определения). Однако потеря корня не может иметь места, так как при х = 0
уравнение A) не удовлетворяется (проверить!).
При решении уравнения посредством производной пропорции (см.
стр. 197) могут быть потеряны решения, удовлетворяющие условиям:
2 (а — с)х= 0, ах — (х+ а)(х + с)=0,
откуда х — 0, значит, потеря решений не может иметь места.
Значения х, найденные из B), удовлетворяющие условию
х2 + 2сх + ас = (х + а) (х + с) = 0,
могут появиться в качестве посторонних корней. Из этого условия следует
х(а — с) =0, откуда х = 0 не есть корень уравнения B).
Особые случаи. Из изложенного следует, что подлежат особому рас-
рассмотрению следующие случаи а = с и а = 0, с ф 0.
Случай Г. а = с, уравнение A) примет вид:
ах
1 6)
из которого в общем случае найдем два корня:
— а 4- / ]/ 3 а
х2 + ах + а2==0 и *1>2 = =—-
Посторонние решения возможны, если х12 — — а или —a±iy а =—2а,
откуда а = 0, но при а = 0 уравнение F) противоречиво.
х2
Случай 2°. а = 0, с ф 0. Уравнение A) примет вид: —-— =0,это урав-
уравнение не имеет решений.
6. Нижеследующая система дробных уравнений обычно решается посред-
посредством введения новых неизвестных:
¦+
а2х + Ь2у + с2
- сх а2х ¦
360
A)

Положим
1
— и, = и,
ахх + Ьгу + сх а2х + Ъ2у + с2
тогда получим
,v=Du Л
2v = D%. f
Систему (А) надо решать при дополнительных условиях: числа и а и
(каждое) отличны от нуля: и фОу а также v ф П.
Положим: Д = А\В2 — A2BU k\=DxB2— D2BU A2 = AXD2— A2D\.
Случай 1°. Дт^О, А\ ф О, Л2 Ф О, система (А) имеет единственное решение
DlB2 — D2B1
и _ ___ ^
для нахождения х и у получим линейную систему:
(L)
^ — — clt
а2х-\-Ъ2у = —— c2t
v
которая решается и исследуется обычными способами.
Случай 2°. Д ф О, Ai = О В этом случае и = 0, дополнительное условие
иф О не выполняется, система A) не имеет решений.
Случай 3°. Д ф О, Дг = 0, имеем v = О, система A) не имеет решений.
Случай 4° Д = 0, но Д1 Ф 0 или Д2 Ф 0, система (А) противоречива,
система A) также противоречива
Случай 5° Д = Ai = Д2 == 0, но хотя бы один из коэффициентов системы
(А) отличен от нуля. Система (А) содержит одно независимое уравнение. Из
первого уравнения получим (если, например, ВгфО).
Ал Д
В этом случае система (L) будет содержать параметр и, допустимые зна-
значения которого определяются условиями и ф 0, ku -\- 1ф 0 (т е. иФ 0).
Случай равенства нулю всех коэффициентов при неизвестных системы (А)
не представляет интереса.
§ 88. Системы уравнений высших степеней
Вопрос о решении систем уравнений высших степеней в об-
общем виде трактуется в курсе высшей алгебры в теории ис-
исключения. Однако применение общих правил исключения не-
неизвестных (при помощи результантов) на практике оказывается
чрезвычайно громоздким. Поэтому в практике решения систем
уравнений высших степеней стараются избежать этих общих
правил, а применять различные частные приемы, позволяющие
в ряде конкретных случаев упростить процесс решения системы
В задачу курса элеметарной алгебры входит лишь установление
некоторых частных приемов решения систем алгебраических
361

уравнений высших степеней, наиболее часто встречающихся на
практике.
Системы, содержащие линейные уравнения.
Рассмотрим систему
(L, (х, у,..., w, vt ...,«>) = О, L2(xt yt ...,u, v, .... ад) = 0,\
t(L рч! ...,Lk(x,y, ...,w, v, ...,00 = 0,1 ( *
|Л(^^ ...,и,1г,...,ш) = 0,/2(л:, г/, ... ,w,of ...,ш) = 0,1
I ..;Fm(X,y,...9U,V, ...,^)-0|(F)
уравнений с неизвестными х, у,..., uf v,..., о>, в которой урав-
уравнения (L) являются линейными, прочие же уравнения (F) — ал-
-1ебраическими степени выше 1.
Рассмотрим отдельно линейную систему (L).
Если система (L) противоречива, то и система (L, F) проти-
противоречива.
Если система (L) имеет единственное решение, то достаточно
найденные из (L) численные значения неизвестных подставить
в уравнения (F). Если все уравнения (F) удовлетворяются, то
решение (L) является единственным решением системы (L, F);
если же хотя бы одно из уравнений (F) не удовлетворяется, то
система (L, F) не имеет решений.
Если система (L) имеет бесконечное множество решений, то
формулы общего решения выражают некоторые неизвестные
в виде линейных функций от прочих неизвестных, последним
можно придавать произвольные значения. Пусть, например, из
системы (L) неизвестные и, v, ..., w выражены через неизвест-
неизвестные х, у, ...; подставив выражения и, v, ..., w в уравнения (F),
получим систему т уравнений (по числу уравнений (F)) с не-
неизвестными х, у, .... В данном случае решение системы (L, F)
сводится к решению системы меньшего числа уравнений с мень-
меньшим числом неизвестных. Так как неизвестные и, t>, ..., w яв-
являются линейными функциями от неизвестных х, у, ..., то
при подстановке в уравнения (F) степень каждого из этих урав-
уравнений не повысится. Следовательно, получится система уравне-
уравнений, степени которых не превышают степеней соответственных
уравнений первоначальной системы.
Геометрическая интерпретация. Решение систе-
системы уравнений
~0 A),
геометрически интерпретируется как нахождение точки пересе-
пересечения линии (ф) с прямой линией A). Число этих точек не пре-
превышает степени многочлена <р (х, у),
362

Примеры
1. Решить систему уравнений
л: — 2^ — 8z = — 13, A)
Бх + Зу— 2 = 0, B)
2jc2 + Ay2 — г2 + 6yz — 8хг + \Бху + Ых + \8у + 8 = 0. (Я)
Решение. Найдем общее решение системы уравнения A) и B). Умно- ,
жив A) на 5, вычитаем из B), получим (после сокращения)
0 + 3z=5. A, 2)
Из уравнений A) и A, 2) получим искомое общее решение в следующем
виде:
х = — 3+2z, # = 5 —3z.
Подставив в уравнение C) после упрощения, получим:
г2 — 32 + 2 = 0, откуда гх = 1, 22 = 2.
Система имеет два решения:
*i = — 1, l/i = 2, г1=\ и *2=1, У*=* — 1, 22 = 2
2. Найти значения параметра т, при которых система уравнений
х — ту — B + т) = 0 и х2 + 9у2 — 9 = 0
имеет единственное решение.
Решение. Общее решение первого уравнения можно представить в виде:
х = ту + т 4- 2.
Подставив во второе уравнение, получим квадратное уравнение относи-
относительно у:
у2 (т2 + 9) + 2т (т + 2) у 4- т2 + 4т - 5 - 0. A)
Слгучай 1°. т2+9=0, т. е. m = ±3t, при каждом и^ этих значений m
уравнение A) линейное t коэффициентом, при у, отличном от нуля, и обра-
образующее совместно с первым уравнением системы линейную треугольную
систему, последняя имеет единственное решение.
Случай 2°. Квадратное уравнение A) имеет двукратный корень, если
А = т2 (т + 2)а — (т2 + 9) (т2 + +т — 5) = 45 — 36т = 0,
4
откуда /п=-т-.
о
Примечание. Случаи 1° и 2° имеют различный геометрический
смысл, в случае 1° прямая х — ту — B + т) =0 имеет асимптотическое
направление относительно линии, изображающей второе уравнение,
а в случае 2° касается этой линии. Во втором случае (в отличие от пер-
первого) говорят, что система имеет двукратное решение (двукратная точка
пересечения).
Система двух уравнений второй степени
с двумя неизвестными.
Рассмотрим систему двух уравнений
an*2 + 2а12ху н- а^у* + 2сцх + 2а2у + а0 = 0, (F) \
аих2 + 2а\2ху+ а\2у* + 2а\х + 2а'2у + а'о = 0 (F)j (F> F }
«ли в сокращенной записи:
F = 0, Г = 0.
363

Допустим, что оба уравнения содержат члены с квадратами
обоих неизвестных, т. е. ни один из коэффициентов ац, а'ц, а22»
а!ж не равен нулю. Из уравнений A) и B) можно исключить
квадрат одного из неизвестных. Так, например, уравнение
a'22F~a22F = 0
не содержит у2 и вместе с одним из уравнений (F) или (F/) со-
составляет систему, эквивалентную системе (F, F'). На основании
изложенного достаточно рассмотреть систему (F, F'), с которой
одно из уравнений, например, (F') не содержит у2, т. е. а'22 = 0:
а\ {х* + 2а\2ху + 2а\х + 2а'2у + а0' = 0. (F')
Правая часть (F') есть многочлен первой степени относи-
гельно у:
2(а'12х+а'2)у+ (а\ {х2 + 2а\ х + а'о) = 0.
Если х ф———, то из (F') найдем:
а\2
__ _
\2
аих2
Подставив в уравнение (F), получим дробное уравнение:
\, х2 4- 2а\ х + а'о ( а\ i х2 + 2а', х + ап \ 2
апх2 - 2а12х
хх2 + 2а\х-
а0 - 0,
\2х
которое в общем случае приводится к алгебраическому уравне-
уравнению четвертой степени. Следовательно, в общем случае система
(F, F/) имеет четыре решения.
Изложенным приемом не могут быть найдены решения (если
они существуют), для которых неизвестное х имеет значение
а2
х— . Если это значение х не удовлетворяет уравнению
'0=0% A)
то (F'), а следовательно, и система (F, F') не -имеет решений
а2 \ а2
—>У\- Если значение х = — удовлетворяет урав-
а\2 } ^ а\2
нению A), то (F') при х= ^- удовлетворяется тождествен-
тождественна
364

мо относительно у. Подставив х = ;—в уравнение (F), по-
«12
лучим квадратное (в общем случае) уравнение для определения
соответствующего значения у.
а2
Примечание. Прямая х = имеет асимптотиче-
а\2
ское направление относительно линии второго порядка, за-
заданной уравнением
п
х2 + 2а\2ху + 2а\х + 2а'2у + а'о = 0.
Если значение х = ^-удовлетворяет уравнению A), то
а12
а2
линия (F') является распадающейся и прямая х = входит
а '9
в ее состав. Для нахождения решений вида х = — доста-
«12
а2
точно в этом случае найти точки пересечения прямой х =
а\2
и линии (F).
Геометрическая интерпретация. Каждое из урав-
уравнений (F) и (F0 в отдельности изображает линию второго по-
порядка, решение системы (F, F') есть нахождение точек пересе-
пересечения этих линий. Две линии второго порядка могут иметь не
больше четырех точек пересечения (черт. 114), некоторые точки
могут быть кратными (касание). Если каждая из линий распа-
распадается на пару прямых, причем обе пары имеют общую прямую,
то система (FP) имеет бесконечное множество решений.
Примеры
1. Решить систему
х2 + 2ху — 8г/2 — 6х + 18*/ — 7 = 0,
2х2 — Ъху — Юг/2 — Ъх + 9у + 7 = 0.
Решение. Умножим A) на 2 и вычтем из него B):
Ъху — 2у2 — Ъх + 9у — 7 =» 0. A,2)
Откуда
l) 229 + 7 и х= ^Т"!
.Подставив найденное выражение для х в A), получим:
j/*-3f/3 + J/2 + 3j/-2 ^q
У-I ™
365

Числитель имеет корни:
01 = —!* 02 =-2 и 03,4 = *-
Для корней t/i*—1 и #2=2 найдем соответствующие решения системы:
*1 = — 3, Ух=— 1 И Х2= — 1, 02=2.
При значении у = 1 уравнение A, 2) удовлетворяется тождественно, поло-
положив в уравнении A) или B) 0=1, получим квадратное уравнение:
и найдем еще два решения системы:
*а = 3, 0з = 1 и
=1, 04=1.
Черт. 114
§ 89. Уравнения однородные и приводящиеся
к однородным
Однородным уравнением называется уравнение вида:
f(x9y, ...,z) = 0, (f)
где f (x, yy , z) — однородный многочлен.
Всякое однородное уравнение, а также всякая система одно-
однородных уравнений, имеет тривиальное решение х=у=...=
= 2 = 0. Существование нетривиальных решений однородных
уравнений и систем подлежит специальному исследованию. Если
однородное уравнение (дли однородная система) имеет нетри*
виальное решение х = а, у = Ь, ..., z = с, то оно (или систе-
366

ма) имеет бесконечное множество нетривиальных решений
г = at, у = bty ..., z = ct, где t — неравное 0 число. В самом де-
деле, если система чисел (а, 6, ..., с) удовлетворяет однородному
уравнению (f), то
f(a,b, ...,cj = Of
но тогда
f(ta,tb,...t <c) = tnf(ayb, ...,с) = 0
при произвольном t. Всякому значению t+ 0 соответствует не-
нетривиальное решение уравнения (системы).
Рассмотрим однородное уравнение с двумя неизвестными
апхп + ап_-1хп-1У+ап_2х«-*у*+ . . . + axxy»-l + aoyn = 0. A).
Если в этом уравнении несколько первых коэффициентов,
например ал, а„_,, .... ал_л+, , равны нулю, a cin_k^ 0, то все
члены левой части имеют общий множитель yk. Аналогично^
если несколько коэффициентов, считая (по порядку) от конца,
обращаются в нуль, то члены левой части имеют общий множи-
множитель вида х1. Следовательно, уравнение примет вид:
xlykf(xy y) = 0y
где f(x, у) —однородный многочлен с крайними коэффициен-
коэффициентами, отличными от нуля. Приравняв нулю первый множитель
(если 1Ф 0), получим бесконечное множество решений вида:
х — 0, у, где у—произвольное число;
аналогично получим (если k ф 0) бесконечное множество реше-
решений вида:
х, у = 0, где х—произвольное число.
Приравняв нулю третий множитель, получим уравнение вида
A) с коэффициентами крайних членов, отличными от нуля.
Итак, рассмотрим уравнение A), считая коэффициенты
крайних членов отличными от нуля. Введем новое неизвестное*
положив:
у =z tx, или / == — .
X
Подставив в A) и сократив на хпу получим уравнение:
an+an_{t+ . . . + д0*» = (). (t)
Пусть tu t2,...,tn — корни уравнения (t) в поле комплексных
чисел. Всякому корню tt соответствует бесконечное множества
решений уравнения A):
у = txxy где х—произвольное число.
36?

Изложенным методом нельзя найти решения вида х = О, у>
где уФ 0, но никакая такая пара чисел не удовлетворяет урав-
уравнению A)( так как а0Ф 0).
Левую часть однородного, уравнения можно разложить на
линейные множители:
xn(t — h){t — U) - . .(* — /*) =
= {xt ~ xtx) (xt — xQ . . .(xt— xtn) =
= (y — tix)ty — t2x) . . .(y—tnx)
(среди этих множителей могут быть одинаковые). Чтобы полу-
получить разложение однородного 'многочлена над полем действи-
действительных чисел, .достаточно объединить попарно множители, со-
соответствующие 1мни!мым сопряженным корням уравнения (t).
Пара мнимых сопряженных корней дает трехчлен
(У — tx)(у—Тх) - у2 -г- рху + qx2.
В поле действительных чисел всякий такой трехчлен обра-
обращается в нуль лишь в одной точке х = у = 0. Итак, всякий одно-
однородный многочлен f(x, у) над полем комплексных чисел
разлагается на произведение линейных однородных множителей
вида ах + by*.
Приравняв отдельно каждый из этих множителей нулю, по-
получим бесконечное множество решений однородного уравнения.
Надполем действительных чисел однородный много-
многочлен разлагается на произведение линейных множителей и одно-
однородных трехчленов второй степени Ах2 -\- Вху + Су2 таких, что
уравнение
Ах2 + Вху + Су2 = 0 (*)
в поле действительных чисел имеет лишь тривиальное решение
Геометрическая интерпретация. Линия, изобра-
изображаемая однородным уравнением f(x, у) ==0, распадается на
прямые линии по числу действительных линейных сомножите-
сомножителей левой части. Уравнение (*) геометрически изображает одну
точку О@, 0).
Рассмотрим систему однородных уравнений с двумя неиз-
неизвестными
/(*, 0) = О, <?(х, 0) = О.
Если члены многочлена /(*, у) имеют общий множитель х'*,
а члены ф(#, у) общий множитель х 2, то система имеет беско-
бесконечное множество решений вида х = 0, у (где у — произвольное
число). Произвольному значению уф 0 соответствует нетри-
нетривиальное решение. Для нахождения прочих нетривиальных ре-
* В частности, при а = 0 получим множители вида у, а при Ь = 0 множи-
множители вида х.
368

шений достаточно, сократив уравнения на множители х1* и х7>
исследовать полученную однородную систему. Итак, предполо-
предположим, что ни один из многочленов / и ф не делится на одночлен
вида хк (где k> 0). Пусть тх и т2 степени многочленов f и ф.
Положив у = tx, получим:
xmif(\y t) = 0
При х = 0 получим тривиальное решение системы. Нетри-
Нетривиальные решения могут получиться, если два уравнения
/A, /)=0 и ?A, /) = 0
имеют хотя бы один общий корень. Если tx — общий корень этих
уравнений, то данная система имеет бесконечное множество не-
нетривиальных решений: ей удовлетворяет любая пара чисел,
х, у = txx (при произвольном значении хФ 0).
Рассмотрим систему (неоднородную):
f(x, У) = а; <f(x, y) = by
где f(x, у) и ф(х, у) —однородные многочлены одной и той же
степени п и, по крайней мере, одно из чисел а или b отлично
от нуля. Эта система не может иметь тривиального решения.
Введем новое неизвестное, положив у = tx, этой подстановкой
можно найти решения, для которых х ф 0, решения же вида
х = 0, у Ф 0 (если они существуют) находятся путем непо-
непосредственного испытания. Итак, считаем х =^= 0; выполнив под-
подстановку у = tx, получим:
, t)~b9 B)
где п — степень данных многочленов. Умножив первое уравне-
уравнение на Ь, а второе на а, после вычитания и сокращения па хп по-
получим уравнение с одним неизвестным t:
bf(l, /) —асрA, 0 = 0.
Для каждого корня этого уравнения соответствующие зна-
значения х и у можно определить, воспользовавшись одним из
уравнений B) и соотношением у = tx.
Рассмотрим систему уравнений
f(x, У) = 0, <?(х, у) = 0,
в которой первое уравнение однородное, а второе неоднородное.
Решения, для которых х = 0, находятся непосредственным ис-
испытанием. Для нахождения прочих решений системы решаем
первое уравнение (при дополнительном условии хФО). Приме-
Применив подстановку у = tx, получим:
У = tiX, У = t2x, . . . , У = tkx.
24 С. И. Новоселов 359

Подставив у = ttx в уравнение ф(х, у) = О, получим урав-
уравнение с одним неизвестным ху ф(л;, t{X) = 0; каждому корню
этого уравнения соответствует значение
Геометрическая интерпре-
интерпретация. Решение данной системы озна-
означает нахождение точек пересечения пря-
прямых y=ttX, изображающих уравнение
f{x, у)=0 с линией ф (л:, у)=0 (черт.
115).
Примечание. При решении
рассмотренных видов уравнений для
нахождения решений, удовлетворя-
удовлетворяющих условию у=?0, можно пользо-
пользоваться подстановкой x = ty.
В зависимости от удобства мож-
можно применять любую из подстано-
подстаноЧерт. ИГ.
вок: или у = tx, или х = ty.
Примеры
1. Решить однородное уравнение
ух* + Зх2у2 + Ьху* + 6t/4 = 0.
Решение. Вынеся множитель у, получим бесконечное множестзо реше-
решений вида у — 0, х — произвольное число. Для нахождения прочих решений
имеем уравнение
- 6г/3 = 0. A)
Положив x=ty, получим уравнение:
/8 + 3*2+ 5/+6 = 0.
Это уравнение имеет корень t = —2; разделив левую часть на t + 2, по-
получим:
В поле комплексных чисел уравнение A) имеет следующие решения:
х = — 2у, х =
— 1 + VT\i
У> * = ¦
(где у — произвольное число).
В поле действительных чисел это же уравнение имеет решения:
х = — 2у (где ^/—произвольное число)
2. Решить систему уравнений
ЗЛ/+ Ьху* + 6у* = 0,
22 г 0
Решение Левая часть второго ^уравнения разлагается на множители
(х + 2t/) (г/—л')=0, подстановка .х=/0 дает два корня t\=—2 и /2=1, си-
система имеет бесконечное множество решений:
х = — 2# (см. предыдуший примео).
370

3. Решить систему
хз + у3 = 1, х2у + 2ху* + </8 = 2.
Решение. Система не имеет решений вида л: = О, t/, так как, положив
х = О, получим уравнения t/3 = 1 и уг — 2, не имеющие общих решений.
Положив у = tx, получим:
хз (l-f/3)=lt х3 (* -f- 2/2 + /3) = 2,
откуда
2х3 A + /8) = *з (/ + 2/2 + *3), A)
Сократив на д;3, получим:
/з _ 2/« — / Д- 2 = 0 или (*,+ I) (/ — 1) (/ — 2) = 0.
Корни последнего уравнения суть:
/1 = _1, /2==1, /3 = 2.
При / = —1 система A) становится противоречивой.
При / = 1 из первого уравнения A) получим:
2x3 = i и Xl =
и соответственно
При t = 2 получим:
1
9*3 = 1, откуда х^=
и соответственно:
2 2 s 2 е2
3. Решить систему
2у2 + ху — х2 =*0, (\)
х* — ху — у2 + 3х + 7у + 3 = 0. B)
Решение. Разложим левую часть первого уравнения на линейные мно-
множители:
Bу — х)(у+х)~0,
откуда у = —х и х = 2у.
Подставив у = —х в уравнение B), получим Х\ = 1, х2 = 3. Откуда най-
найдем два решения системы: хх = 1, #i = —1 и х2 = 3, г/2 = —3.
Подставив х = 2у в уравнение B), получим:
,/2+ 13^+ 3 = 0,
отсюда найдем еще два решения системы:
24* 371

§ 90. Примеры решения систем уравнений
На нижеследующих примерах показаны различные частные
приемы решения систем уравнений.
1 Решить систему
х+ у = р9 xy = q.
Решение. Числа х и у суть корни Z\ и z2 квадратного уравнения
z2 — pz + q = 0.
Система имеет два различные решения: х = 2Ь у = г2 и х — z2, у = Zi,
если р2 — 4q ф 0 и единственное решение х = у = z, если р2 — 4<7 = 0 (в пос-
последнем случае при q=?Q прямая касается гиперболы).
2. Решить систему
х — у = р, xy = q.
Решение. Система приводится к предыдущей, если положить —y = v:
х 4- и = ру xv = — q
3. Решить систему
Решение. Возведем второе уравнение в степень п, тогда получим
хп + уп = р, хяуя = ^п. B)
Пусть Z\ и г2 — корни квадратного уравнения:
г2 -рг + д^-^О, C)
тогда можно положить: х11 =• zlt уп = г2 или хп = z%, уп — zx.
Следовательно,
;, 1.^ = |/ г2 или х = |/ г2 , у = у zx .
/г/ п/
Взяв какое-нибудь значение для у гх и положив х=у zx , нельзя для
i/ взять произвольное значение корня, ибо значения х и у связаны соот-
соотношением ху = q, которое определит соответствующее значение для у.
Положив х = zky г (где е — мнимый корень п-й степени из 1), получим
соответствующее значение:
f.7
Если корни квадратного уравнения C) различны, то система имеет 2л
решений, если квадратное уравнение имеет двукратный корень, то система
имеет п (различных) решений
372

Геометрическая интерпретация Положим п = 2, требуется
найти точки пересечения окружности х2+у2 = р и гиперболы xy = q (черт. 116).
Переход к уравнению х2у2 = q2 означает замену данной гиперболы парой
сопряженных гипербол ху = ± q. Точки пересечения гиперболы ху = —q
с окружностью суть посторонние решения.
р
Черт. 116
Для примера решим этим способ* м систему
х*-\- у* = б, ху = 2
Возведя в куб второе уравнение, имеем:
Л/3 =8.
Составим вспомогательное квадратное уравнение z2 — *\г + 8 = 0, из кото-
которого Z\ = 2, z2 = 4. Следовательно, х3 = 2, у3 = 4, либо х3 — 4, у* = 2.
Откуда получим:
Х3 -
4. Систему
О у-
= г у 2 , у2 =
/ 4
4 ;
x, = е«
можно решить следующим способом: умножив второе уравнение на 2.
а затем на —2, сложим с предыдущим, тогда получим систему, эквивалентную
данной:
B)
373

Из этих уравнений найдем:
Возможны четыре комби-
комбинации знаков, каждая комби-
ция дает линейную систем>,
имеющую единственное реше-
решение. Следовательно, решение
данной системы сводится к ре-
решению четырех линейных си
стем.
Геометрическая ин-
интерпретация. Каждое из
уравнений системы B) изобра-
изображает пару параллельных пря-
прямых Таким образом, данные
окружности и гиперболы заме
няются двумя парями парал-
параллельных прямых, пересекаю-
пересекающихся в тех же точках (черт.
117).
5. Решить систему:
ахп + Ьуп = р, ху = q. A)
Решение. Применим ме-
метод подстановки. Пусть q^O,
тогда второе уравнение (а
следовательно, и система) не
имеет решений вида @, у),
q
Взяв общее решение второго уравнения у = —~и подставив в первое, получим
Черт.
систему, эквивалентную данной:
= — , ах2П — рхп + bqn = О
х
B)
Если а ф 0 и Ь Ф О, то из второго уравнения найдем в общем случае 2п
отличных от нуля значений х, подставив в первое уравнение, получим соот-
соответствующие значения г/.
Если второе уравнение имеет двукратный корень, то число решений си-
системы равно п
Особые случаи. Случай Г. q = О, система примет вид:
эта система эквивалентна совокупности двух систем*
ахп + byn= j
х — I
Уп = рЛ
0 = 0. /
Система (I) при b Ф0, рфО имеет п решений х — 0, у = I/ т~, при
р = 0, b Ф 0 — единственное решение х — у — 0, при & = 0, р ф 0 — противо-
противоречива, при b = р = 0 — бесконечное множество решений х = 0, 1/—произволь-
1/—произвольное число. Аналогично исследуется система (II).
Случай 2°. а = 0, q ф 0. Система (I) примет вид:
374

Если b ФО, PrO, то система имеет п решений, если р = 0, b ф О либо
Ъ = 0, р ф 0, то система противоречива, если b — р = 0, то система имеет бес-
конечное множество решений х = —, у (где у — произвольное число, нерав-
неравное нулю).
Случай 3°, Ъ — 0, дфО (второе уравнение B) имеет нулевое решение) ис-
исследуется так же, как предыдущий.
6 Решить систему
хп -\- уп =^ а, хп — уп = Ь.
Решение. Складывая и вычитая данные уравнения, получим:
а-\-Ь „ а — Ь п
хп — , у11 = , откуда х =
п г
-у-
Если b Ф ±а, то система в поле комплексных чисел имеет п2 решений,
которые получим, комбинируя всеми возможными способами л значений для х
и п значений для у.
Если b = аф 0, то х имеет п различных значений, а у = 0 единственное
значение, система имеет п (различных) решений.
Если Ь=—афО, то система имеет п различных решений (рассуждения
аналогичны предыдущим).
Если а = Ь = 0, то система имеет единственное решение х = у = 0.
7. Решить систему
х2— г/2 = а> * + #= 6.
Решение. Переписав первое уравнение в виде (х ~\- у) (х — у) = а и
воспользовавшись вторым, заменим данную систему системой уравнений 1-й
Ь(х^ у)= а, х + у == Ь.
Если Ьф 0, то система имеет единственное решение. Если 6 = 0, то при
а Ф 0 система противоречива. Если а = 6 = 0, то система имеет бесконечное
множество решений: х = —у (черт. 118).
8. Решить систему
хп + уп=а, х-\-у = Ь.
Рассмотрим случаи п = 2, п = 3, л = 4:
а) л = 2. Имеем:
x2-f r/2 = (x + r/J —2х*/.
Положим a = * + */, t = xy, тогда система перепишется в виде
Подставив в первое значение и, получим.
__ b2 —a
~ 2
и система приводится к уже рассмотренной:
у=Ь\ ху=
Ь) п = 3. Имеем:
у2-ху) = (х+у)[(х + уУ -Зху] ^и\и*- Щ.
375

Система примет вид:
и [и2 — 3t]= a\ u = b.
Эта система решается подобно предыдущей
При Ь т^О из 1-го уравнения находим единственное значение для t. Если
Ь — 0, но а Ф0, то система A) (а следовательно, и дачная система) противо
речива. Если а = b = 0, то данная система примет вид:
\
\
Черт. 118
откуда получим бесконечное множество решений х = —у.
с) л = 4. Имеем:
** + ?* = (я* + #2J — 2x2f/2 = [(^+f/J — 2ху]2 — 2х2у* = [и2 — 2/J — 2/2.
Данная система может быть переписана в виде:
(г/2 — 2<J — 2/2=а, и^б,
Подставив в первое м = 6, получим квадратное уравнение:
2/2 __ 462/+ 6* — а = 0.
Если дискриминант А = 2(Ь* + а)=?0, то это уравнение имеет два решения
t = tx и / = /2,
откуда получим дзе линейные системы:
каждая из которых дает два решения.
376

Если Л = 0, то а = —ЬА, квадратное уравнение имеет двойной корень
i = Ь2 и для определения х и у получим систему уравнений:
х + у= Ъу ху=Ь2.
Следовательно, х и у являются корнями квадратного уравнения
z2 — bz f Ь2 = 0.
d) При произвольном натуральном п сумма хп+ у п может быть представ-
представлена в виде многочлена от основных симметрических функций х + у = и
и ху = v (см. стр. 326). Подставив значение и = Ь, получим уравнение степени
п
не выше — для определения t.
9. Решить систему
(х2 + У2) (х — у)= 447, ху(х — у)= 210.
Решение. Получим х — у = v, ху = t\ имеем:
х2 + у2 = (х — уJ Н- 2ху =v2+ 2t.
В новых неизвестных система примет вид-
v3 + 2^ = 447, tv =210.
Воспользовавшись вторым уравнением, получим:
v3 + 420 = 447, откуда v* = 27
и 0i = 3, 02=38, 03=3е2 (где е и е2 — кубические мнимые корни из 1), из
второго уравнения получим соответственно:
210
/1 = 70, /, = = 70е2 и /3=70г.
3 s
Взяв первое решение V\ = 3, tx = 70, получим х — у = 3, ху = 70; числа
х и —у суть корни квадратного уравнения:
г2 — 3z — 70 = 0, из которого: гх = 10 и z2 = — 7,
следовательно,
Ч = Ю, ух = 7 и *2 ^ — 7, г/2 = — 10
суть два решения системы. Поступив аналогично с решениями w2, y2 и w3, у3
вспомогательной системы, найдем 4 мнимые решения данной системы.
10. Решим систему
х + у + z = 0, х2 -j- г/2 — z2 = 20, х4 + г/4 — г4 - 560.
Решение. Решаем систему методом подстановки. Из первого найдем
2 = —(х+у). Преобразуем левую часть второго: х2+у2—z2=(x±yJ —
—2ху—z2, выполнив подстановку, получим:
(— zJ — 2ху — z2 = 20 или ху = — 10.
Преобразуем левую часть третьего уравнения:
Х4 _(_ у* _ Z4 = (Х2 _f_ ^2J _ 2*2^2 __ Z4 = [(^ _|' #J — 2xt/]2 — 2x2f/2 — Z*.
Выполнив подстановку, получим:
(z2 — 2хуJ — 2х*у2 — z4 = 560
или — 4xyz2—2x2y2=560.
Система
г= — (х + у), хг/= — 10, — Ахуг2 + 2д:21/2 = 560
эквивалентна данной.
377

Воспользовавшись вторым уравнением, исключим х и у из третьего:
40z2 + 200 = 560, откуда z = ± 3.
Для нахождения х и у получим совокупность двух систем уравнений:
из которых найдем:
*i=-5, #i = —2, zx = — 3; *з = — 5, У* = 2, z3 = 3;
*2 =—2, г/2 =5, z2 =— 3; х4 = 2 г/4 = —5, z4 = 3.
11. Решить систему
yz = ax, zx^by, xy—cz. (A)
Решение. Перемножив почленно данные уравнения, получим следствие*
(хугJ = abc (хуг) или (xr/z) (xyz — ate) = 0,
последнее уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений
xyz = 0 A) и xyz—abc. B)
Случай 1° Ни одно из чисел а, Ь, с не равно нулю: афО, Ьф 0, с фО.
Уравнение A) дает тривиальное решение системы (A) x=y=z=0. В самом
деле, уравнение A) удовлетворяется лишь при условии, если значение хотя бы
одного из неизвестных равно нулю. Положив, например, х -— 0 и подставив в
уравнения системы (А), получим у = z = 0.
Рассмотрим уравнение B). В силу первого уравнения системы (Л) полу-
получим х2 = be и аналогично у2 = ас, z2 = ab. Откуда:
x=±Vbc, y=±Yac, z=±Vab. C)
В этих формулах каждая из правых частей имеет два значения, однако эти
значения нельзя выбирать произвольно, их надо брать так, чтобы соблюдалось
условие xyz = abc. При таком выборе значений правых частей формулы C)
дают решение системы (А). Так, например,
abc be x2
yz — = а = а = ах.
XXX
Случай 2°. Одно из чисел a, b и с равно нулю. Пусть, например, а — 0,
т^ 0, с^0 Система (А) примет вид:
t/z = O, zx—by, xy=cz.
Первое уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений z = 0 и у = 0.
Подставив во второе уравнение z = 0, получим у = 0, третье удовлетворяется
при произвольном х. Итак, получим бесконечное множество решений:
г = у = 0, х—произвольное число.
То же множество решений получим, воспользовавшись уравнением у = 0.
Случай 3°. Два числа a, b и с равны цулю, пусть, например, а = Ь = 0,
с ф 0. Система (А) примет вид:
yz = 0, zx = 0, ху — czy
откуда получим две серии решений:
a) t/ = 0, z=0, x—произвольное число;
b) z = 0, х = 0, у—произвольное число.
Случай 4°. а=Ь=с=0. Система (А) примет вид:
у г = 0, zx = 0, ху — 0,
378

откуда найдем следующие серии решений:
г/ = 0, 2 = 0, х—произвольное число,
2=0, х = 0, у—произвольное число,
х = 0, у = 0, 2—произвольное число.
12. Решить систему уравнений
f/2 ZX XIJ X2 + у2 + Z2
bz + cy cx + az ay + bx a2 + b? + с2 (
Решение. Множество допустимых систем значений параметров опреде-
определяется следующим условием: из трех чисел, a, b и с два должны быть отлич-
отличными от нуля. При решении системы над полем комплексных чисел, кроме
того, следует поставить условие а2 + Ь2 + с2 =? 0. При выполнении этих усло-
условий ни один из знаменателей не тождественен нулю.
Система не имеет решений, для которых хотя бы одно из неизвестных
равно нулю. В самом деле, положив, например, х = 0, получили бы у = г = и,
но точка х = у = г = 0 .не принадлежит области определения систе-
системы. Взяв обратные величины от данных отношений, получим:
b с с a a b о? -j- b2 -\- с2
у z г х х у х2 \- у2 + г2
обозначим
be с a a b
— + — = t, —-\ — t, —+— = i
У 2 2 X X У
_
B)
х2 Л- У2 + г2
Сложив первые три равенства, получим:
х у <z 2
Вычитая поочередно первое, второе и третье равенства B), найдем:
а _Ь_ с t
х ~ у ~ z ~~ 2
Из четвертого равенства найдем:
/2
— = /, откуда i — 4 и / = 0.
4
При t = 0 получим следствие а2 + &я + с2 = 0, прс тиворечащее условию. При
¦ = 4 получим единственное решение системы B):
a b с
х=—, # = — , 2= —.
2 ' У 2 ' 2
При изложенном способе решения системы потеря решений не может
иметь места. В самом деле, потерянными могут быть решения, не принадлежа-
принадлежащие области определения системы B), т. е. такие, у которых хотя бы одно из
неизвестных равно нулю, но таких решений система A) не имеет.
Посторонними могут быть решения, не принадлежащие области определе-
«ия системы A), т. е. такие, которые обращают в нуль хотя бы один из зна-
знаменателей отношений A). При найденных значениях неизвестных имеем:
bz-\-cy = bc, cx-{-az — ac, ay-\-bx=ab.
379

Если ни один из параметров не равен нулю, то система имеет единствен-
единственное решение
Если один из параметров равен нулю, то найденное решение является
посторонним, система не имеет решений.
13 Решить систему.
*2 — уг— а = 0, ] A)
y2-xz — Ь = 0, } B)
г* — ху — с = 0. J C)
Решение. Умножим уравнения A), B) и C) соответственно на уУ z
и л; и сложим, а затем умножим их на z, x и у и сложим:
сх-\- ay + bz = 0, {4)
bx + cy+ az = 0. E)
Допустим, что хотя бы одно из чисел а, 6, с отлично от нуля, пусть, на-
например, с ф 0.
Найдем общее решение системы линейных однородных уравнений D)
E) (см. § 71, стр. 273):
x=(a2 — bc)f, y={b2—ac)t, z=(c2 — ab)t F)
при условии, что хотя бы одно из чисел
а2— Ьсу Ь2 — ас, с2 — ab
отлично от нуля. Подставив значения х, у и z в уравнение C), получим:
t2 [(с2 — abJ — (а2 — be) (b2 — ас)] = с или t*c (а3 + Ь3 + с3 — ЗаЬс) = с.
Последнее уравнение имеет два решения:
. если я3 -J- Ь3 + с3 — ЗаЬс ф 0.
±Y a3 + b*+ с3 — ЗаЬс
При данном способе решения система уравнений
F1==0, F2 = 0, F3 = 0 (F)
заменяется системой:
yF, + zF2 + *FS = 0 (Г), Ч
zF! + xF2 + yF3 = 0 B'), > (F')
F3=0 C'). J
Всякое решение системы (Fr) удовлетворяет системе
yFi + zF2 = 0,
F + F 0
Если последняя система, линейная однородная относительно F\ и F2,
имеет лишь тривиальное решение F\ = F2 = 0, то системы (F) и (F') эквива-
эквивалентны. Нетривиальные решения (F") возможны, если система (Р) имеет
решения, удовлетворяющие условию
z2 — ху = t2c (а3 + Ь3 + с3 — ЪаЬс) - 0,
откуда
а3 4- б3 + с3 — Забс = 0, ибо с =? 0 и / Ф 0
(так как при / = 0 получим х = у = z = 0, что не удовлетворяет уравнению
C)). Итак, данная система в общем случае имеет два решения, определенные
формулами F); нижеследующие особые случаи подлежат специальному рас-
рассмотрению.
380

Случай 1°. а = Ь = с = 0, данная система имеет нулевое решение
х = у = z = 0. Пусть х, у, z есть ненулевое решение, предположим, например,
что х ф 0, тогда из условия х2 = yz следует, что у ф 0 и z^O, из уравнений
A), B) и C) при а = Ъ = с = 0 найдем:
х z yx z у
у х z у х z
положив х = ty, получим у = tz, откуда Р = 1, ^ = 1, t2 = 8, /3 = ?2- Следо-
Следовательно, получим три серии решений, состоящих каждая из бесконечного
множества решений
х— y—z\ x = ez, у = e2z; x= е2г; у=вг,
где е и е2 — комплексные кубические корни из 1. а 2 — произвольное число
Случай 2°. Хотя бы одно из чисел а, 6, с не равно нулю (например,
с ф 0), но а2 — be = Ь2 — ас = с2 — ab — 0. Решив последнюю систему относи-
относительно а, 6 и с (см. предыдущий случай), получим а = tc, b = /2с, где *3 = 1,
т е. f = 1, 8, г2. В этом случае данная система примет вид:
х2 — yz—tCy у2 — xz = t2c, z2 — ху=с.
При / = 1 уравнения D) и E) совпадают:
х + у +2 = 0, D')
присоединив к D') два уравнения данной системы, например B) и C):
У2 — xz = с B)
и
г* — ху = с, C)
получим систему, эквивалентную данной. В самом деле, обратимся к первым
двум уравнениям системы (F'). В данном случае имеем:
yFx + zF2 + xFo = zFx +-xF?±yFs = -c(x+y+z) = O.
В рассматриваемом случае система B), C), D;) есть следствие системы
A), B), C); покажем обратное, что система A), B), C) есть следствие си-
системы B), C), D7).
Если F2 = F3 = 0 и выполняется D'), то при FY Ф0 это возможно, когда
у = z = 0, это противоречит условию у2 — zx = с ф0. Следовательно, F\ = 0.
Вычтя C) из B), получим:
Это уравнение есть следствие D'). В данном случае система эквивалентна
системе двух уравнений:
х -\- у -*- z = 0, у2 — xz — с,
а C) есть следствие этих уравнений. Имеем z = —х — у. Подставив во
второе, получим квадратное уравнение, из которого у выразится через х.
Система имеет бесконечное множество решений.
При t = г данная система примет вид:
X2— yz = С е, (l)
у2 — zx=ce2, B)
z2 — ху=с. C)
Уравнение D) примет вид:
X+Sf/+?2Z=0, (Г)
а E) получится из D) умножением на е2. Присоединив уравнения B) и C)
381

так же, как в предыдущем случае, докажем, что система уравнений D"),
B) и C) эквивалентна данной. Умножив C) на 8, вычтя из B), получим
е (у — в г) {х + в у + е2г) = О,
т. е. следствие D"), как и в предыдущем случае, докажем, что система имеет
бесконечное множество решений.
Аналогично рассматривается случай t = е2.
Случай 3° а3 + Ьг + с3 — ЗаЬс = 0, но хотя бы одно из чисел а2 — Ьсу
Ь2 — ас, с2 — ab отлично от нуля, при этом хотя бы одно из чисел а, Ь и с
также (например, с) должно быть отличным от нуля. В этом случае подста-
подстановка общего решения F) однородной системы в уравнение системы C) ведет
к противоречивому следствию. Система не имеет "решений.
§ 91. Неравенства и системы неравенств высших степеней
с одним неизвестным
Алгебраическое неравенство после переноса всех членов
в одну часть примет вид Р(х) V 0, где Р(х) —многочлен над
полем действительных чисел. Рассмотрим для определен-
определенности неравенство
Р{х)>0. (Р)
Многочлен Р(х) разлагается над полем действительных чи-
чисел на произведение линейных сомножителей и знакополо-
знакоположительных квадратных трехчленов (с мнимыми корнями):
Р(х) = а(х — xtf1 (х-х2) ...(х — xk)*k(х2 + Plx + qj1 .. .
Неравенство (Р) эквивалентно неравенству
а(х — хх)«1 (х — х2)а2 ... (а: — xkfk > 0.
Предположим, что действительные корни многочлена Р(х)
расположены в порядке возрастания:
*1 < Х2 < • • • < *k'
Корни хи х2у ..., Xk суть общие граничные точки следующих
интервалов:
(— °°, *i), (*ь х2), ... , (xk, + оо).
В этих интервалах каждый из сомножителей в левой части
неравенства A) знакопостоянен. Знак многочлена Р(х) в каж-
каждом интервале определяется по числу отрицательных сомножи-
сомножителей. Неравенство (Р) выполняется в тех интервалах, в кото-
которых число отрицательных сомножителей четно (в частности,
когда их нет). В прочих интервалах имеет место неравенство
Р(х) <0. Так, например, в случае простых корней
ai = CZ2 = ...aft = 1 имеем следующее распределение знаков.
382

X —— Х-±
X — Д^2
. . .
X — Xfo
С-оо, xL)
—
—
—
(*, х2)
+
—
+
+
—
Для Р (х) имеем:
Р(х)
а >0, к четное
а>0, к нечетное
а < 0, к четное
а < 0, к нечетное
(— оо , Хх)
(хи хг)
1
(х.г. х3)
+ 11 +
1
Если разложение Р(х) не содержит линейных множителей,
то неравенство Р(х) >0 эквивалентно неравенству а > 0, пос-
последнее либо удовлетворяется тождественно (если а>0), либо
противоречиво (если а<0).
Черт. 119
Геометрическая интерпретация. Неравенство
Р(х) > 0 удовлетворяется в тех промежутках, в которых график
функции у = Р(х) лежит выше оси абсцисс (черт. 119).
Системы неравенств. Рассмотрим, например, следую-
следующую систему алгебраических неравенств:
<PiW>0, <p2(*)>0, . . .,
383

Общим решением каждого из этих неравенств в отдельности
служит некоторая совокупность интервалов. Пусть
Ль А2, ..., А, (А)
— совокупность интервалов, являющихся общими решениями
данных неравенств (соответственно), рассматриваемых в от-
отдельности. Решением системы неравенств является общая часть
совокупностей интервалов (А). Если эта общая часть есть пу-
пустое множество, то система (qp) не имеет решений.
Черт. 120
Геометрическая интерпретация. Система (qp)
удовлетворяется в промежутках, в которых все графики
У = Ц)\(х), У = ф2(#), ..., У = q>k(x) лежат выше оси абсцисс
(черт. 120).
Дробные неравенства. Рассмотрим сначала неравен-
неравенство
^ о,
где левая часть — несократимая дробь (над полем действитель-
действительных чисел). Необходимым и достаточным условием справедли-
справедливости этого неравенства является выполнение одного из сле-
следующих двух условий:
Р(х)>0Л или Р(х)<0Л
Q.(x)>Oj ИИ Q(x)<O.f
Таким образом, задача приводится к решению совокупности
двух систем алгебраических неравенств. Эти же условия явля-
являются необходимыми и достаточными для выполнения неравен-
неравенства
P(x)Q(x)>0, (PQ)
384

так как значения дроби — и произведения PQ одинаковы по
знаку.
Итак, дробное неравенство I—] эквивалентно целому алге-
алгебраическому неравенству (PQ).
Р
Примечание. Неравенство — ^0 в общем случае
не эквивалентно неравенству PQ ^> 0, именно: значения
неизвестного, при которых Q = 0, являются решениями
второго, но не являются решениями первого неравенства.
При решении дробных неравенств можно поступать так же,
как и при решении целых алгебраических неравенств: найти
корни числителя и знаменателя, разложив Р(х) и Q(x) на
множители (над полем действительных чисел), опустить в
числителе и знаменателе знакоположительные квадратные
трехчлены и определить знак дроби по знакам линейных со-
сомножителей в каждом из интервалов,
множество всех действительных чисел
знаменателя.
Дробное неравенство
Ri(x)>R2(x)9 (R)
где R\(x) и #2(*) —рациональные функции, после перенесения
/?2(*) в левую часть и приведения разности R\(x)—ЯгМ к
каноническому виду, запишется так:
Р)
на которые делится
корнями числителя и
Из решений этого последнего неравенства следует исключить
те значения х (если такие значения существуют), которые не
принадлежат области определения неравенства (R).
Примеры
1. Решить неравенство
*з_2л;2-- х + 2>0.
Решение. Разложим левую часть на множители*
Я(*)=(*+1)(*—1)(* —2)>0
и определим знак Р(х):
х+1
х—\
х — 2
Р(х)
(-°о, -1)
—
—
—
—
(-1, 1)
+
—
+
A, 2)
+
+
—
—
B, + оо)
+
+
+
+
25 С. И. Новоселов
385

неравенство Р(х) > 0 выполняется в интервалах — 1 < х < 1 и 2<*<+оо.
2. Решить неравенство
х4 —Зх3 — х + 3 < 0.
Решение Разложим левую часть на множители.
Трехчлен х2 + х + 1 знакоположителен, неравенство эквивалентно квад-
квадратному неравенству
из которого найдем 1 < х < 3.
3. Решить неравенство
х—4 х—2
1 + — >
х—1 '
Решение. После переноса всех членов в одну часть получим:
Q (*-l)(x-3) ^ *
Корни числителя суть 2±У 3, а корни знаменателя 1 и 3. Обозначим
для краткости:
Р
Определим знак дроби -— в различных интервалах:
X — Х\
х — хг
х — х3
X — ХА
р
(—со, хг)
—
—
—
—
(хЛу х2)
—
—
—
—
(*2. ^з)
+
—
—
+
+
—
—
(х4, + оо)
+
+
+
+
+
неравенство 'ТГ^>^ выполняется в совокупности интервалов:
(_oo,2~l/3), A,3) и B 4-1/Г, +оо).
4. Найти область определения функции
г-
-л/
— х
х2 — Бх + б
386

Решение. Для нахождения области определения решим систему
неравенств:
1-х
*2_5х + 6 f
Корни квадратного трехчлена х2 — Бх + б суть 2 и 3, корни многочлена
суть: л: = О (двукратный), л: = —1, * = 1. В различных интервалах имеем
следующее распределение знаков:
1-х
хъ _ 5л: -f 6
(-оо,-1)
+
+
+
(-1, 0)
+
+
—
@, 1)
+
—
0. 2)
—
+
B, 3)
__
—
+
C, + оо )
—
+
+
Система неравенств выполняется в промежутках (—оо, —1) и B, 3)\
искомая область определения состоит из двух промежутков и из двух точек
* = 0 и х = 1.
5. Решить неравенство
|х2— Бх — 4|< 10.
Решение. Данное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:
_10 < х2 — Бх— 4< 10 или x* — 5x+lt>li
Решив первое неравенство, получим интервал (—2, 7). Решив второе не-
неравенство, получим совокупность двух интервалов: (—оо, 2) и C, оо). Интер-
Интервал (—2, 7) имеет с этой совокупностью общую часть в виде двух интервалов
(-2, 2) и C, 7).
6. Решить неравенство
2ах + 3
Бх — Аа
Решение. Имеем:
2(а — 10) л: + C + 16а)
Бх — 4а
Неравенство эквивалентно совокупности двух систем неравенств:
2 (а — Ю) л:+C+16а) > 0,1
5* — 4а < 0 J
A)
(А)
2 (а—10)*+ C+ 16а)<0
5* —4а >0.
25*
(Е)
387

Случай Г. а<10; имеем: а— 10 < U
Из системы неравенств (А) получим:
3+ 16а
Х<2A0— а)
3 + 16а
4а
5
Сравним между собой числа
4а
2A0—а) 5
4а 3+16а —8а2— 15 ) < 0 , при а <\\0,
~~~2(\0 — а)== 10A0 — a) J >0 при" а > 10.
4а
Поэтому, при а < 10 получим интервал — оо < х < .
5
Из системы неравенств (В) получим:
3 + 16а 4а
х>
откуда получим интервал
2 A0 — а)
3+16а
И X >
<Х
2 A0 — а)
Случай 2°. а= 10, неравенство A), эквивалентное данному, выполняется
при х < 8.
Случай 3°. а > 10; из системы неравенств (А) получим:
3 + 16а 4а
х> — и х < .
2 (а— 10) 5
Откуда получим интервал
3+16а
_4а_
5
Неравенства (В) противоречивы. Итак, имеем окончательно:
Значения параметра
1°.
а < 10
2°. а =10
3°. а > 10
Решение неравенства
совокупность двух интервалов:
4а 3 + 16а
°°<Х< 5 И2A0-в><ДС< + О°
интервал — оо < х < 8
3 + 16а 4а
интервал 2(fl_10)<*< g
§ 92. Неравенства и системы неравенств с несколькими
неизвестными, смешанные системы
Алгебраическое решение неравенств (и систем) высших сте-
степеней с несколькими неизвестными обычно сопряжено со значи-
значительными трудностями.
388

При решении неравенств и систем с двумя (и тремя) неиз-
неизвестными обычно пользуются геометрическими интерпретация-
интерпретациями, которые во многих случаях дают представление о характере
общего решения неравенства (системы) и позволяют наметить
путь алгебраического решения.
Рассмотрим неравенство
Р(х, у)>0,
где Р(х, у) —многочлен от двух аргументов. Если уравнение
Р(х, у) = 0 определяет некоторую линию (действительную) на
Черт. 121
плоскости, то множество точек плоскости, не лежащих на этой
линии, состоит из некоторого конечного числа областей Gu
G2,..,Gk (черт. 121) *, ограниченных линией Р = 0.
В каждой из областей Gt много-
многочлен Р(х, у) отличен от нуля, так как
точки, в которых Р(х, */)=0, принад-
принадлежат границам этих областей.
Теорема. В каждой из областей Gh
на которые линия Р(х, у)=0 делит
плоскость, многочлен Р (х, у) либо по-
положителен, либо отрицателен.
Доказательство. Если бы в
двух различных точках М\ и М2 одной
и той же области G h значения Р(х, у)
были противоположны по знаку, то
согласно теореме о промежуточном
Черт. 122
* Под областью мы понимаем открытое связное множество. Это зна-
значит, что всякая точка области содержится в ней вместе с некоторой своей
окрестностью и всякие две точки области можно соединить простой дугой,
содержащейся в области (черт. 122).
389

значении (доказываемой в курсе математического анализа) в
области Gt существовали бы точки (внутренние), в которых
Р(х> У) =0> н0> с Другой стороны, таких точек область Gt не со-
содержит, ч. т. д.
Таким образом, общее решение неравенства (Р) образует со-
совокупность тех областей G/, в которых значение многочлена
Р(х, у) положительно. Для установления, какое из неравенств
Р > 0 или Р < 0 выполняется в данной области, достаточно вы-
вычислить значение Р(х, у) в какой-нибудь определенной точке
этой области. Если многочлен Р(л:, у) не обращается «в нуль
ни в какой точке плоскости, то уравнение Р (х, у) = 0 не опре-
определяет никакой линии. В этом случае множество областей G t
состоит из одной области (вся плоскость) и неравенство
Р(х> У) > 0 либо выполняется тождественно, либо противоре-
противоречиво.
Алгебраическая линия
Р(х> У) = С,
вдоль которой значение многочлена постоянно, называется ли-
линией уровня. При всевозможных положительных (отрицатель-
(отрицательных) значениях параметра С линии уровня заполняют те обла-
области, в которых выполняется неравенство Р > 0 (соответственно
Р<0).
Аналогично решение алгебраического неравенства с тремя
(с большим числом) неизвестными Р(х, у, г) > 0 заключается в
отыскании тех областей пространства (многомерного простран-
пространства), на которые делит все пространство алгебраическая по-
поверхность Р(х, у, z) = 0 и в которых значение многочлена Р
положительно.
Решение системы алгебраических неравенств
Pi(x, У, . . ., г)>09 Р2{х} у, . . ., z)>0, . . .
. . •> Pk(x> У> • • •. *)>О
заключается в отыскании для каждого из неравенств совокуп-
совокупности областей, в которых оно выполняется и в нахождении об-
общей части всех этих совокупностей областей.
Решение алгебраического неравенства с двумя (или боль-
большим числом) неизвестными:
*<**> О,
Р(х, У)
выполняется по правилам, установленным для дробных нера-
неравенств с одним неизвестным (только вместо интервалов на ко-
координатной прямой следует рассматривать области на коорди-
координатной плоскости). Левую часть дробного неравенства следует
390

рассматривать в областях, на которые плоскость делится парой
алгебраических линий
Р(х, у) = а Q(x, у) = 0,
г. е. линией
Р(х, у) Q(x, y)~0.
Примеры
1. Решить неравенство
Р(*, у)=у* + рху + qx*>0.
Случай 1°. Левая часть над полем действительных чисел разлагается
на различные линейные множители:
(у — kYx\ (у — k2x) > 0, где kL < k2
Линия Р(х, у)=0 распадается на пару прямых, которая делит пло-
плоскость на 4 области (вертикальные углы). Неравенство выполняется в двух
вертикальных углах, лежащих выше и ниже прямых у = kxx и у = k2x.
п
ш
(В)
Черт. 123
Алгебраическое решение. Неравенство эквивалентно совокуп
¦ости двух систем неравенств:
у-^Х>Од>) (А) и yyZ;lX<°>
(В)
так как при *>0 имеем kxx^>k2x, а при х < 0 имеем k2x < k{x, то
У > k2X При X >0Д /дч „ |/ < &!* ПрИ X >0Д /г>\
|/ > kiX при х<0 ) w у <k2x при а: < 0. / ^ь^
Линиями уровня при С^=0 являются гиперболы
при С < 0 эти гиперболы располагаются в вертикальных углах I и III
(черт. 123), а при С>0 — в вертикальных углах II и IV.
391

Случай 2°. Трехчлен у2 + рху + qx2 не разлагается на действитель-
действительные множители; в этом случае неравенство
выполняется во всех точках плоскости, отличных от @, 0). Линии уровня
У2 + рху + qx2=C (где С > 0)
суть подобные эллипсы с общим цен-
центром в начале координат (черт. 124).
Случай 3°. q — — =.0.
4
Неравенство
выполняется во всей плоскости за ис-
р
ключением прямой у=*—"о"*» т- е*
р
в двух полуплоскостях у > —-г" х
и у <
-х. Линии уровня при
Черт. 124
С > 0 суть пары параллельных пря-
прямых
У+— х = *±С (черт. 125).
2. Неравенство
Р(х, У) = ^Г + ^-1>0 (где а>0 и Ь > 0)
выполняется вне эллипса
X X
— + 77" = 1. В самом деле, этот эллипс делит плоскость на две области —
а* о2
внешнюю (неограниченную) и внутреннюю (ограниченную). В точке @, 0)
внутренней области имеем: Р(х, у) = —1 < 0, а в точке х = 2а, у = 0 внеш-
внешней области Р(*, #) = 3 > 0
Алгебраическое решение. Имеем:
* B2)
1хли |х| > а, т. е х <—а или х > а, то последнее неравенство выпол-
выполняется при всех значениях у; получим две элементарные области.
а<х< + соЛ | и — оо<*< — а,
-оо<г/< + оо/1 и _оо<//< + оо.
|^|<а, то неравенство выполняется в двух областях (с присое-
присоединенными лучами х = ±а, #=?0 (черт. 126):
+ оо III и —оо<у<— у а2 — .
IV
392

Эти области в сумме составляют внешнюю область относительно эллипса.
3. Гипербола
а* V ~
делит плоскость на три части I, II и III (черт. 127). Взяв в части II точку
(О, 0), получим Р(х, у) <0. В точках (±2а, 0), лежащих в областях I и III,
получим Р(±2а, 0) «= 3 > 0. Следовательно, неравенство Р(х, у) > 0 выпол-
выполняется в двух областях I и III, ограниченных правой и левой ветвями ги-
гиперболы.
4- +
4-4-4-
'+ + ¦+- 4-
4- 4-
Черт. 125
Предоставляем учащимся выполнить алгебраическое решение.
4. Решить неравенство
л
I
Решение. Случай 1°. х>0, у>0 (первый квадрант на координат-
координатной плоскости), имеем | дг / =х,\у\ = у, неравенство примет вид х + у < 1
или 0 < у < 1 — х. Это есть треугольник (с исключенной гипотенузой):
0 < * < 1, 0 < t/ < 1 — х (черт. 128).
Случай 2°. jc<0, у>0 (второй квадрант), \х\=*—х, \ у \ -= У»
неравенство примет вид: у — х < 1, откуда получаем треугольник:
393

Аналогично рассматриваются прочие случаи.
Случай 3°. х <Г0, у < О, имеем треугольник
0>t/>—x—1, — 1<
Случай 4° х>0, t/< 0, имеем треугольник
0>*/>х—1, 0<х<1.
+ ш+
Черт. 127
Эти треугольники в сумме определяют квадрат, ограниченный прямыми
±x±l:
х — \<у<— х + 1, если 0 < х < 1;
— х— \ < у < х + 1, если — 1 < х < О.
5. Решить неравенство
(х2 + у2J < а2 (х2 - г/2), где а > О.
Решение. Имеем:
у* + Bх2 + а2) у2 + х2 (х2 —а2) < О. A)
Составим квадратное уравнение, положив
г2 + Bл:2 + а2) г + х* (х2 — а2) = 0.
Так как
А = Bх2 + а2J — 4л:2 (х2 - а2)*= а2 (8л:2 + а2) > О
и Zi+z2=—Bл:2+я2)<0, то корни этого урав-
Черт. 128 нения действительны и различны, причем мень-
меньший корень отрицателен
Если 0<|х|<а, то zxz2 = х2(х2 — а2) < 0 и z{ < 0 < z2; если \х\>а,
то Z\ < z2 < 0; если х = ±а или х = 0, то z2 = 0.
Неравенство A) выполняется, если z == у2 содержится между корнями Z\
и г2, но так как #2>0, то должны выполняться неравенства 0< у2 < 2^. Это
возможно, если 0 < | х | < а. Если же | х | > а или х = 0, то z2< 0 и нера-
неравенство A) не может выполняться.
394

Итак, имеем | у \ < у г2, если 0 < | х | <а, откуда получим две области
/а V 8jc2 + а2 — Bх2 + а2) 1 / а V 8** + а2 — Bл:2 + а2)
2 <У< V 2 •
где
—-а<х<0 и 0<х<а
Геометрическая интерпретация. Уравнение
Р{х, у) = (х2 + у2J — а2(^ — у2) = О
изображает лемнискату Бернулли (черт. 129). Неравенство Р(х, у) < 0 выпол-
выполняется внутри двух областей, ограниченных петлями лемнискаты. Неравенство
Р(Ху у) > 0 выполняется в области внешней относительно петель.
-о 1 У
f I
Ч 10
Черт. 129
6. Решить систему
у — х>0, у — х3<0.
Решение. Данная система может быть переписана так:
х<у<х*.
Эти неравенства могут выполняться при условии
х < jc3 или (jc3 — jc) = (x + 1) jc (jc—1) > 0, откуда
1 < jc < + оо. Следовательно, получим две области
jc< //< х3,\ /Тч х<у<х3, \
-1 <Jt<0 | ( j и 1<jc< + oo.I
—1 <х<0 и
(И)
Общее решение состоит из двух областей, образованных точками, лежа-
лежащими выше прямой у = jc, но ниже кубической параболы у = jc8 (черт. 130).
7. Решить систему неравенств
t/2 — 2a%<0, x2+ t/2 — 2ax >0, гдеа>0.
Геометрическое решение. Линия у2 = 2ах есть парабола, линия
х2 + у2 — 2ах — 0 есть окружность радиуса а с центром в точке (а, 0). Окруж-
Окружность и парабола касаются оси ординат в точке @, 0).
Из уравнений окружности и параболы имеем (соответственно):
y=±V2ax ,
так как У 2ах — х2<У 2ах, то окружность расположена между ветвями
параболы (черт. 131).
395

Первое неравенство системы определяет область, заключенную между вет-
ветвями параболы, второе определяет внешнюю область относительно окружно-
окружности. Множество всех решений системы образует область внешнюю относи-
относительно окружности и заключенную между ветвями параболы.
Алгебраическое решение
Перепишем систему в следующем
виде:
2ах]— х2 < у2 < 2ах
Черт. 130
Черт. 131
Из неравенств 0 < у2 < 2ах следует х > 0. При х > 0 имеем:
2ах- х2-хBа — х) \
zax х -x(za *>J
Следовательно, при 0 < х < 2а имеем:
' если °<*<
<Of если х>2а.
У 2ах — х2 < \у\ < У2ах ,
т. е. получим две элементарные области I и II (черт. 133):
— У 2ах < у < — У^
— х2 , 0 < х < 2а
О)
— х2 < у < Y2ax ,
0 < х < 2а.
(И)
В интервале 2а < х < +оо неравенство 2ах — х2 < г/2 выполняется тожде-
тождественно. Следовательно, при х > 2а имеем:
\у\< у2ах , т. е. получим элементарную область III;
— У 2ах < у <
8. Решить неравенство
, у)
2а < х < + оо.
(III)
Q{x, У)
у*-.
-0.
Геометрическое решение. Линии Р(х, у) = 0 и Q(х, у) — 0 суть
окружность и пара прямых. На чертеже 132 показано распределение знаков
числителя и знаменателя в различных частях плоскости. Система неравенств
396

Р < О, Q < О выполняется в двух круговых секторах, а система Р > О, Q > О
в двух «срезанных» углах (черт. 133). Дробное неравенство ~7Г>0 выпол-
выполняется в указанных четырех областях Чтобы записать решение в виде не-
неравенств
а<х<Ь9
надо эти неравенства записать отдельно для каждой из десяти элементарных
областей, изображенных на черт. 135 (предоставляем это учащимся).
¦+¦ 4- •+-
+\ ~ -
+• -+¦ -f
4- ¦+¦
4- 4-
4-
Р>0
V
к
-\- 4-
4 -Ь 4-
Черт. 133
Алгебраическое решение. Установим, например, области, в ко-
которых Р < О, Q < 0. Имеем:
у2 < 1 — х9 и у2 < х2.
Так как г/2 >0, то 1 — х2 > 0, откуда 0 < | х [ < 1. Так как 0< г/2 < х\
то |*| =? 0 (равенство * = 0 исключается). Определяем, какое из двух вы-
выражений 1 — х2 и х2 является большим. Неравенство 1 — х2 < х2 или х2 > ~
выполняется при
397

неравенство 1 — х2^>х2 выполняется при \х\ <? V * :
2
откуда получим:
1*1, если 0 <
V 1 — х2, если
Следовательно, при х > 0:
— х< у< х, О <
и — У\ — х2 < у < У 1-х2,
а при х < О
VT
(область V)
VT
х< у < —х, — -
< х < 1 (область IV),
(область VI)
и — "|Л — х2< у < ]Л — *2, — 1 <*<—¦?—(областьVII).
+ + 4-
9. Решить неравенство
Р__ (а — х)у2 — X
Q =
¦>о
а — х
(где а > 0),
Решение. Решим неравенст-
неравенство
Р = (а — х) у2 — х3 > 0 « 0) .
Расположение линии
Р(х, */) = 0 или
(циссоиды) показано на чертеже
134. В самом деле, функция
Черт. 134
имеет областью определения полу-
полусегмент 0 < х < а, возрастает
(ибо х возрастает, а а — х убыва-
убывает) и
398

Определим знаки Р(х, у) в двух областях, на которые циссоида делит
плоскость. Если х < О, у = О, то Р(х> у) > 0, если же х > О, у — О, то
Р(х, г/) < 0. Следовательно, слева от циссоиды Р>0 и справа Р < 0.
Рассмотрим знаменатель; имеем Q>0, если х<а, и Q<0, если Л'>а.
Данное дробное неравенство выполняется справа от прямой х = а (где
Р<0 и Q<0 (и слева от циссоиды), где Р > 0, Q>0). Алгебраически ре-
решение запишется так:
а <х < + оо,
— оо < х< 0,
— оо < у < + оо,
— оо < у < -f оо ,
(I)
(И
о.
/ х
\ а — х
0<х< а,
Черт. 135 Черт. 136
Смешанные системы. Решение смешанной алгебраиче-
алгебраической системы
f(x, y) = 0f (f)
имеет следующую геометрическую интерпретацию. Уравнение (f)
^если оно имеет решения в поле действительных чисел) опреде-
определяет некоторую алгебраическую линию, а неравенство (ф) —со-
—совокупность областей Gi,- G2, ..., Gn. Обоим соотношениям (f) и
(ф) удовлетворяют те дуги линии (f), которые принадлежат об-
областям Gi, G2, ..., Gn (черт. 135). Мы ограничимся рассмотре-
рассмотрением конкретных примеров решения смешанных систем.
Примеры
1. Решить систему
+ <, 0
Геометрическое решение. Неравенство определяет круг, урав-
уравнение определяет прямую линию, а смешанная система определяет хорду дан-
399

ного круга. Найдем точки пересечения окружности х2 4- у2 = 4 и прямой
х — у + 1 = 0:
(черт. 136).
Общее решение смешанной системы можно представить в виде:
у = х+\, где <*< . A)
Алгебраическое решение. Найдем общее решение уравнения*
у =г х + 1. В силу данного неравенства
х* + (х+ 1)*<4 или 2х* + 2л: — 3<0.
Решив последнее неравенство, для значений х получим сегмент:
2 2 J*
общее решение можно представить в виде соотношений A).
§ 93. Иррациональные уравнения
Определение. Уравнение
f(x, у, . . ., г) = 0 (f)
называется иррациональным, если его левая часть есть алге-
алгебраическая иррациональная функция от неизвестных.
Преположим, что / (х, у, ..., z) является явной иррациональ-
иррациональной функцией, т. е. может быть задана выражением, содержа-
содержащим радикалы.
Будем рассматривать иррациональное уравнение над полем
комплексных чисел. Всякий радикал у R (х, у,... ,г),содержа-
,г),содержащийся в левой части, при любой системе комплексных значений
аргументов имеет п различных значений, если R(xf у, ... , г) Ф 0
Таким образом, всякой данной (допустимой) системе комплекс-
комплексных значений аргументов соответствует некоторое множество
(конечное) значений выражения f(x, у, ..., г) (число значений
зависит от количества радикалов и от их степеней).
Определение. Решением в поле комплексных чисел ирра-
иррационального уравнения f(x, у, ..., z) = 0 называется система
значений неизвестных, при которой хотя бы одно из значений
иррационального f(x, у, ..., г) равно нулю.
Если х = а, у = Ь, ... , z = с есть решение иррационального
уравнения (f), то при данных значениях неизвестных существует
400

такая система значений радикалов (содержащихся в левой ча-
части), что значение левой части равно нулю. Таким образом,
в общем случае при х = а, y = b, ...,z=c для каждого из ра-
радикалов следует взять некоторое вполне определенное значение
и нельзя значения радикалов выбирать произвольно.
Теорема.Решение иррационального уравнения (или системы
иррациональных уравнений) в поле комплексных чисел равно-
равносильно решению некоторой системы рациональных уравнений.
Доказательство. Рассмотрим уравнение, содержащее
один радикал:
f[x, у, . . ., гУ R(xy уу . . ., z)j=O, (f)
где R(x, у, ... > z) —рациональная функция от неизвестных. Вве-
Введем новое неизвестное иу положив:
un = R(x, у, . . ., г). (и)
Решение данного уравнения равносильно решению рациональ-
рациональной системы
f(x, (/,..., г, и) = 0, un = R(x, у, . . ., z). (f, u)
В самом деле, выражение f(x, у, . .. , 2. и) не содержит ни-
никаких других радикалов, а потому является рациональным отно-
относительно х, у, ... , гч и.
По определению корня п-й степени в поле комплексных чисел
всякое значение и радикала у R (х, у,..., г^есть решение урав-
уравнения (и).
Вместо уравнения (f) можно рассматривать систему уравне-
уравнений, содержащих данный радикал: достаточно присоединить
уравнение (и) и заменить во всех уравнениях системы радикал
новым неизвестным.
Если левая часть иррационального уравнения (или системы)
содержит п простых радикалов
у R у я у
f(x, У, . . ., г; у
(все подкоренные выражения рациональны), то для получения
рациональной системы уравнений достаточно ввести новые неиз-
неизвестные, положив:
u** = Rl9 u*>,=R2, . . ., ukn^Rn.
Наконец, левая часть иррационального уравнения может со-
содержать сложные радикалы, подкоренные выражения которых
в свою очередь содержат радикалы, однако, действие извлече-
извлечения корня должно выполняться конечное число раз. Пусть,
26 С. И. Новоселов 401

например, yR± —сложный радикал. Той же подстановкой по-
получим систему уравнений:
, У, . . ., z, иъ
в которой действие извлечения корня выполняется на 1 меньшее
число раз. Введение новых неизвестных можно продолжать да-
далее: после каждой подстановки уменьшается число символов из-
извлечения корня и увеличивается число уравнений. Так как число
радикалов конечное, то после конечного числа шагов процесс
закончится и полученная система уравнений окажется рацио-
рациональной, ч. т. д.
Если после замены данного иррационального уравнения (или
системы) системой рациональных уравнений исключить вновь
введенные неизвестные, то получится алгебраическое уравнение
(или система уравнений), содержащее лишь первоначальные не-
неизвестные.
Рассмотрим, например, уравнение с одним неизвестным
/ U VTw) = о, (f)
где f(x, у)—многочлен от аргументов х и у, а Р(х)—много-
Р(х)—многочлен. Заменим данное уравнение системой
f(x, У) = 0, у*-Р(х) = 0. (f, u)
Если из уравнений (f, u) исключить неизвестное у, то полу-
получится алгебраическое уравнение относительно х:
*"(*) = О, (F)
где F(x) —многочлен от х.
Переход от иррационального уравнения (f) к уравнению (F),
являющемуся следствием (f) и не содержащему радикалов, на-
называется исключением радикалов.
Если при исключении радикалов применялись преобразова-
преобразования, могущие повлечь за собой появление посторонних решений,
то последние надо устранить проверкой.
Во многих случаях при исключении радикалов не вводят но-
новых неизвестных и выполняют ряд преобразований непосредст-
непосредственно над данным уравнением. При таком способе решения под-
подлежит специальному исследованию, какие значения радикалов
должны быть взяты при найденных значениях неизвестных. При
введении новых неизвестных этот вопрос не требует дополнитель-
дополнительных исследований, так как значения радикалов являются зна-
значениями вспомогательных неизвестных.
Пусть
f(x, У z) = 0 (f)
— иррациональное уравнение; если известен сопряженный мно-
402

житель (см. § 40) f\ (х, у, ... , г) в левой части, то, умножив
уравнение (f) на этот множитель, получим уравнение, не содер-
содержащее радикалов:
f(x, У, . . ., *)-Ы*. У> • * •> z) = 0- (ffi>
При этом способе исключения радикалов могут появиться по-
посторонние решения, ими будут те решения уравнения
h(x, У, . . ., г) = 0, fli)
которые не удовлетворяют уравнению (f).
Во многих случаях исключение радикалов может быть достиг-
достигнуто посредством последовательного возведения обеих частей
уравнения в степень. Так, например, уравнение вида:
после возведения обеих частей в п-ю степень преобразуется в
алгебраическое уравнение
ПП / ч р / ч рП / ч /РП)
Над полем комплексных чисел уравнения (Р) и (Рл) эквива-
эквивалентны (под у Р\ (х) можно подразумевать любое значение ра-
радикала).
Если уравнение содержит только лишь квадратные ради-
радикалы, то их можно исключить посредством последовательного
возведения уравнения в квадрат. В самом деле, уравнение
f{x, У, . . ., г, у Rx{x, у, . . ., г), УД2(х, У> . . .,*),...
*> У. .... ^)) = 0.
где f(x, у, ... , z, ии •.. , uk)—многочлен, может быть пред-
представлено в виде:
+Q = 0 или
где Р и Q суть многочлены относительно неизвестных и прочих
квадратных радикалов. Возведя обе части в квадрат, получим
уравнение:
P2Ri = Q2,
не содержащее радикала V Rx. . Этот прием можно последова-
последовательно применять к оставшимся радикалам, пока не получится
уравнение, не содержащее радикалов *.
При решении иррациональных уравнений в поле действитель-
действительных чисел допустимые значения для неизвестных и для радика-
* Общие методы исключения неизвестных излагаются в высшей алгебре.
26* 403

лов должны удовлетворять дополнительным условиям, вытекаю-
вытекающим из условий выполнимости извлечения корня и из смысла
символа у/ Л в поле действительных чисел, именно:
1°. Системы значений неизвестных должны принадлежать
области определения уравнения (системы) над полем действи-
действительных чисел, в силу чего значения всех подкоренных выра-
выражений для всех радикалов должны быть действительны, а для
радикалов четной степени неотрицательны;
2°. Значения радикалов четной степени неотрицательны, т. е.
оЬ/ 2k/ '
у А всегда обозначает арифметический корень у А ; значе-
+
ние корня нечетной степени у А (при действительном А)
есть единственное действительное его значение.
Решение в поле действительных чисел иррационального урав-
уравнения
F[x ,у, . . .,*,"/"#(*, У, . . .*) -О,
содержащего радикал четной степени, равносильно решению
смешанной системы:
F(x, у, . . ., z, ы)=0, u*k = R{x,yy . . ., z), и > О,
так как для всякого решения этой системы значения вспомога-
вспомогательного неизвестного и и подкоренного выражения R неотри-
неотрицательны.
Если иррациональное уравнение (система) содержит несколь-
несколько радикалов четных степеней, то при замене этого уравнения
рациональной системой необходимо присоединить неравен-
неравенства, выражающие неотрицательность вспомогательных неизвест-
неизвестных, которыми обозначены радикалы четных степеней.
Решение иррационального уравнения в поле действительных
чисел методом исключения радикалов может привести к появле-
появлению посторонних решений. В самом деле, этим методом на-
хрдяаред все решения иррационального уравнения в поле ком-
п'лё-к'слых чисел и из множества этих решений следует вы-
выбрать' лишь те, которые удовлетворяют условиям 1° и 2°. Поэ-
Поэтому при решении иррациональных уравнений в поле действи-
действительных чисел посредством исключения радикалов необходима
проверка решений путем подстановки в данное уравнение (если
в *п,р оцессерешения не производилось исследование выпол-
выполнимости условий 1° и 2°).
Если в данном уравнении какое-либо значение радикала за-
заменить другим его значением, то уравнение, получающееся в ре-
зутьтате исключения радикала, не изменится. Из всех ком-
2k/
плексных значений радикала четной степени у А ( где А > 0)
404

2 л/ Т
два его значения действительны: ± у А. Поэтому при решении
+
уравнения, содержащего действительные радикалы четной степе-
степени, посредством исключения радикалов могут появиться посто-
посторонние решения, принадлежащие уравнениям, получающимся из
данного изменением знаков перед радикалами четной степени
на противоположные.
Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень при-
приводит к уравнению, эквивалентному данному над полем действи-
действительных чисел. Возведение обеих частей уравнения в четную сте-
степень в общем случае приводит к уравнению, не эквивалентному
данному (см. § 49 стр. 195). Уравнение
[F(x, у, . . .г)]* = [Ф(х, у, . . г)р (F«*)
эквивалентно над полем действительных чисел совокупности двух
уравнений:
? = Фи F = — Ф.
Если уравнение F = —Ф в поле действительных чисел не
имеет решений, то в этом частном случае уравнение эквивалент-
эквивалентно уравнению (F2k).
Следствие. Уравнение
VP(x,y, . . .,z) = Q(*, у, . . .,*) A)
над полем действительных чисел эквивалентно смешанной си-
системе:
Q(x, У, . „z)>0. J
В самом деле, уравнение Р = Q2fe эквивалентно совокупности
двух уравнений:
2k/ 2k/
но при выполнении неравенства Q > О второе уравнение не имеет
2к ——
решений, так как у Р> 0 (по определению арифметического
радикала), если же Q = 0, то оба уравнения совпадают.
Примечание. При решении иррациональных уравне-
уравнений в поле действительных чисел появление посторонних
решений может произойти не только вследствие почленного
возведения обеих частей в степень, но и вследствие рас-
расширения области определения уравнения при
выполнении тождественных преобразований,
405

Примеры
1. Решить уравнение
x + Y х— 1 = 7.
Решение. Решим уравнение з поле комплексных чисел. Положив
ух — 1 = у, получим систему:
Подставив у из первого во второе, исключим радикал и получим квадрат-
квадратное уравнение
д;2_ 15Х-4- 50 = 0.
Отсюда х = 5 и х = 10.
При х = 5 имеем у = 2, т. е. значение радикала следует взять равным
числу 2.
При х = 10 имеем */ = —3, т. е. значение радикала следует взять равным
числу —3. Исключить радикал можно возведением в квадрат обеих частей
уравнения
V х—\ = 7 — х,
после выполнения преобразований получим то же самое квадратное уравне-
уравнение B). В поле комплексных чисел уравнение имеет два решения.
При решении того же уравнения в поле действительных чисел надо при-
присоединить неравенство */> 0; этому условию удовлетворяет лишь решение
х — 5. Таким образом, в поле действительных чисел уравнение имеет един-
единственное решение.
Значение х = 10 служит решением уравнения
Примечание. Уравнения
х+Ух—1=7 и х—Vх—1=7
над полем комплексных чисел не являются различными, так как мно-
множество значений обоих радикалов является одной и той же парой вза-
взаимно противоположных чисел. Над полем действительных чисел эти
уравнения различны, так как в этом поле квадратные радикалы неот-
неотрицательны и
2. Решить в поле действительных чисел уравнение
+ Vbx + 1 ~ V 12*+13.
Решение. Обе части уравнения неотрицательны, поэтому возведем
уравнение почленно в квадрат и заменим его эквивалентной смешанной си-
системой; после преобразований получим:
2 У<1х + 3 Vbx + 1 = 5* + 9,
—3 1 13
406

Снова возведем в квадрат и составим смешанную систему:
4 Bх + 3) E* + 1) = 25х2 + 90л; + 81,
1 9
15х2 —22к —69 = 0,
или
х > — -
5
23
Корни квадратного уравнения суть Х\ = — -— и х2 = 3, из которых
неравенству удовлетворяет х2.
В поле действительных чисел уравнение имеет единственное решение
3. Решить уравнение
/
1 у 1
Решение. Областью определения уравнения в поле комплексных чисел
является множество всех чисел, отличных от нуля: х =? 0. Для решения урав-
уравнения в поле комплексных чисел составим рациональную систему:
х— 1 1 1
и — V = , и2 = л: — > и2 =^ 1 — . (А)
л: л л:
Вычтем почленно третье уравнение из второго, получим:
(и + v) (и — v) — х — 1.
Заменив третье уравнение этим последним уравнением, получим систему, экви-
эквивалентную данной:
х 1 1
u — v= , и2 = х — — , (u+v){u — v) = x—\. (В)
Подставив разность и — v из первого уравнения в третье, заменим си-
систему эквивалентной ей системой:
х—\ 1 х—1
u — v= , и2 = х — — , (и + v) = х — 1. (С)
д; хх
При х = 1 последнее уравнение удовлетворяется тождественно, а из первых
двух найдем u = v — 0. Итак, имеем решение системы (Л) Х\=\у и\=х)\ = Ь.
Для нахождения прочих решений сократим последнее уравнение на л:—I
и умножим на х, получим:
и + v = х
Из этого уравнения и из первого уравнения системы найдем:
х2 4- х — 1 х2 — х + 1
"= Тх ' U= Тх •
Подставим во второе уравнение системы:
(U'V)
2х
После упрощения получим:
х* — 2х3 — х2 -f 2х + 1 = 0;
407

1
это уравнение решается подстановкой z = х— —, которая дает квадратное
уравнение
г1 — 2z + 1 = 0; из последнего найдем; z = 1.
Из квадратного уравнения
Х2 — у — 1=0 найдем х2 — , х3 — , формулы
Си, v) дадут соответствующие значения радикалов. В поле комплексных чисел
уравнение имеет три решения.
Для решения того же уравнения в поле действительных чисел ставим
следующие условия: числа х, и, v действительны и «> 0, v> 0 Корень х{ = )
удовлетворяет этим условиям. Для исследования корней х2 и хъ воспользуемся
формулами (u, v); приняв во внимание, что х2 и х3 суть корни квадратного
уравнения х2 — х — 1 =0, имеем:
(* + l) + .v— 1 х + \— х+\ 1
и = — 1 и v = = — .
2х 2х х
Следовательно, при х = х2, и > 0, v < 0, так как х2 < 0, а при х = х3.
и > 0, v > 0, так как хг > 0 В поле действительных чисел уравнение имеет
i+VT
два корня: хг = 1 и х3 —
4. Для решения уравнения
+ 5л; — 9 = 1 A)
применим следующий прием: из тождества
+ Бх — 2J — (У***2 + Sx — 9J = 7
в силу A), следует:
V2x2 + 5jc — 2 + У2*2 -f- 5jc — 9 = 7. B)
Из системы уравнений A) и B) найдем:
У 2х2 + Ъх — 2 = 4, откуда ^ = 2; х2 — — .
Оба корня удовлетворярот уравнению A)
5. Решить уравнение
V а -\- х + У а— х а
= — . A)
Va + xVax x
(где аф 0)
Решение. Образуем производную пропорцию:
Уа-.
а — х
B)
Положив /= ¦ , получим: /2 = /1, откуда t} = 0, /, - I
408

Найдем корни уравнения B):
хк = — а (при t = 0) и Хсу — 0 (при / = 1).
Значение х\ — —а не является особым для уравнений A) и B), оно
удовлетворяет обоим этим уравнениям.
Значение х = а, не принадлежащее области определения уравнения B),
\тшвлетворяет уравнению A) (т. е. имеет место потеря корня)
Корень х = 0 уравнения B) не удовлетворяет уравнению A), это есть
постороннее решение.
6 Решить уравнение*
C9 — х) л/~х — 6 — (х — 6) V/~39 — х
-30.
j/~39 — х — ]/х -
Решение. Заметив, что при х = 39 уравнение не удовлетворяется, раз-
разделим числитель и знаменатель левой части на т/ 39 — х:
C9-х)
39— = зо.
-V—
У 39 — .
Положив
получим систему:
C9 — х) (и — и
B.=
1-й 39— л:
Из второго уравнения
39w5 + 6 33
х — п 39 — х = , если и5 =? — 1.
1 + и5 1 -4- и6
Подставив в первое, получим*
33иA — и*) 3(w+ ПA0и« — 21w3+ \0u2—2\u + 10)
= 30, или = 0
(l-fw5)(l — и) 1+w5
Для определения и получаем возвратное уравнение:
—21и+ 10 = 0.
1
Посредством обычной подстановки г = и + — найдем:
и
1 - 1 + 2 iV 6
"l^2»  = -^-. "з,4= g '
Откуда
39(-1 ±2/УТM +6.
55 + (— 1 ± 2 V 6/ M
40 Р

При особых значениях и5 = —1 второе уравнение системы A) противоре-
противоречиво, уравнение не имеет решений данного вида.
7. Рассмотрим уравнение
V А{х, </,..., z) f V В(х, у, . . ., z)-Vc(x, у, . . ., z) = 0 A)
над полем действительных чисел (Л, В и С — рациональные выражения).
Исключение радикалов можно выполнить двумя способами.
Первый способ. Применив метод последовательного возведения в
квадрат, получим:
[V~A~ + V~B~J--=C или 2|/~AV~iF=C — Л — В. 0)
Возведя снова обе части в квадрат A'), получим:
С2 + Л2 + В2 — 2СА — 2СВ — 2АВ = 0. (R)
Второй способ. Умножив обе части A) на сопряженный множитель
- V ~А + V~B + V~C)(V~A - V~B +
получим то же самое уравнение (R)
Предположим, что система чисел х, у, ..., z есть решение смешанной си-
системы, состоящей из уравнения (R) и из неравенств
Л>0, ?>0, С>0,
которыми задается область определения уравнения A). Так как левая часть
(R) обращается в нуль, то обращается в нуль хотя бы один из ее сомножите-
сомножителей, т. е. система чисел х, у, ..., z есть решение хотя бы одного из уравнений:
V~A+ V~B — 1/~с"=0, A)
-V~A +V~B +V~C =0, B)
V~~& -V~B'+ V~C"=0, C)
V~A + V~B+ V~C= 0. D)
Если удовлетворяется уравнение A), то из A') следует, что значение
С — Л —В, равное 2 у АВ , неотрицательно, т. е.
А + В<СС (а)
Аналогично, если удовлетворяется уравнение B), то
, (Ь)
если удовлетворяется C), то
А+С<В. (с)
Если Л > 0, В > 0 и С > 0, то соотношения (а), (Ь) и (с) взаимно исклю-
исключают друг друга. В самом деле, если, например, выполняются неравенства
(а), (Ь), то
2Б + А + С^А + С, откуда 2В<0.
В этом случае неравенства (а), (Ь) и (с) служат признаками, позволяю-
позволяющими судить, какое из уравнений A), B) или C) удовлетворяется рассмат-
рассматриваемым решением уравнения (R).
В качестве примера рассмотрим уравнение
x — yc + x = 0. A)
Уравнение (R) примет вид:
/ (х) = Зх2 + 2 (а + Ъ + с) х — {а2 + Ъ2 + с2 — 2Ьс — 2ас—2ab) = 0, (R)
410

это квадратное уравнение с неотрицательным дискриминантом:
д = 4 (а2 + Ь2 + с2 — be — ас — аЬ) = Bа — Ь — сJ + 3 (Ь — сJ
(применить преобразование выделения полных квадратов). Следовательно, при
произвольных а, Ъ и с корни (R) действительны. В данном примере
А = а + х, В=Ь + х, С = с+х.
Предположим для определенности, что а < Ъ < с. Положив в левой ча-
части (R) х = —а, получим:
f (_ а) = — (Ь — сJ < 0, и аналогично / (— Ь) < 0, f (— с) < и.
Следовательно.
хх < — с < — Ь < — а < х2,
где х\ и х2 — корни уравнения (R), а потому при х = Х\ все радикалы мни-
мнимые, а при л: = х2 все три радикала действительны. Согласно изложенному,
число х2 есть корень одного из уравнений A), B), C). Докажем, что при дан-
данном расположении чисел а<Ь<с удовлетворяется уравнение A). В самом
деле, уравнение B)
+ Vb + x + Vc + x = 0
не может удовлетворяться, так как
[У
с + x2 —
Так же докажем, что не может удовлетворяться уравнение C).
8. Решить в поле действительных чисел уравнение
х + Ух(а-х) = Ь} A)
где а и Ь — положительные параметры.
Решение. Уединив радикал, получим:
У Х(а — х) =b — x. B)
Возведем почленно уравнение B) в квадрат и составим смешанную систему,
эквивалентную этому уравнению:
найдем корни квадратного уравнения:
_ 26 + а — У а2 + 4а6 — 462 2Ь + а + У а2 + 4а6 — 462
1 4 ' 2 4
Эти корни действительны при условии:
а2 + 4а6 - 462 = [а + 2 A + УТ ) Ь] [а — 2 fl/T — 1) 6] > 0 .
При а > 0, b > 0 последнее неравенство выполняется, если
а > 2 (У~2~— 1) 6 « 0,826. D)
Чтобы выяснить, удовлетворяют ли корни квадратного уравнения неравенства
смешанной системы C), определим положение числа Ъ относительно корней
этого уравнения.
Имеем:
411
}(Ь)=Ьф-а){<°'
>0, если

При а > 6 имеем: Х\ < 6 < л:2; неравенству удовлетворяет хх
При а<6 число 6 не меньшее большего корня, так как
*! + х2 26 4- а
—5—= —<*
(равенство х2 = 6 при 6 = а) ц х{ <х2<6; оба корня удовлетворяют нера-
неравенству 6 — х >0
Из изложенного следует, что в поле действительных чисел уравнение A):
I) не имеет решений, если а <2(у 2 —1N;
II) имеет единственное решение х = хи если а > 6;
III) имеет два решения х = хх и х = х2, если 2(у 2 — 1N<а<6;
IV) имеет единственное решение
6, если a =
— П6
9. Решить в поле действительных чисел уравнение
У Ъ + х — 4 Vx+ 1 + У 1
104-х —<
Решение Положив у х -\- 1 = у, получим:
V (У-2)* + V (У- ЗJ = 1.
Уравнение A) можно записать в виде
= 1.
A)
— 3 = 1.
Радикал у х + 1 действителен, если —1 < х:
—2f если
1 >2, т. е. л:>3,
— 3] =
2 — Ух+\,
УхАг 1 — 3,
з-УТ+1,
если —
если х >
если —
Следовательно, левая часть уравнения A) равна
5 — 2 У
1, если — 1<х<
1, если 3 < а: < 8;
2|Лс+1—5, если 8 < х
На сегменте 3<^x<^8 уравнение удовлетворяется тождественно. В ин-
интервале — 1 < х < 3 уравнение 5—2У* + 1 = 1 не имеет решений, так как
единственным его решением служит х — 3
Аналогично, уравнение A) не имеет решений в интервале 8 < х < + оо.
Итак, уравнение A) имеет бесконечное множество решений: 3 < х < 8
В результате освобождения уравнения A) от радикалов получится тож-
тождество. В поле комплексных чисел при всяком х значения радикалов
могут быть взяты так, что их сумма равна 1.
412

§ 94. Иррациональные неравенства
Иррациональным неравенством называется неравенство вида
fix, у, . . ., г) V0,
где /(*, г/, ... , г)—иррациональная функция от неизвестных.
Будем считать f(x, у, ... , z) явной алгебраической функцией.
Рассмотрим, например, неравенство вида:
f[x,y, . . ., г,У Rv У R2t У Rk)>0.
Решение иррационального неравенства равносильно решению
в поле действительных чисел следующей смешанной системы:
f(x, у, . . ., z, мь и2, . . ., w*)>°>
с присоединением неравенств, которым должны удовлетворять
значения радикалов в поле действительных чисел. Именно, если,
например, п\ = 2k — четное число, то кроме уравнения и\к = Ru
следует присоединить неравенство и\ ^> 0, при выполнении
2 kr
которого радикал У R\ является арифметическим.
В частности, решение неравенства
f(x,V<t(x))>0 (i)
можно заменить решением смешанной системы
f(x, у)>0, j/8 =?(*), y>0,
геометрически это значит, что отыскиваются дуги алгебраической
линии #2 = ф(х), лежащие в верхней полуплоскости (у^>0) и
содержащиеся в областях, определяемых неравенством
/(х, у)>0. Решением неравенства (f) служит множество соответ-
соответствующих этим дугам промежутков, в которых должен содер-
содержаться аргумент х (т. е. проекции этих дуг на ось абсцисс)
(черт. 137).
При решении иррациональных неравенств нередко пользуются
способом «уединения» радикала с последующим возведением
обеих частей неравенства в степень, равную степени радикала.
При таком способе решения надо иметь в виду следующее:
1°. Неравенство
2пг
У <?(х, у, . . ., 2)<f(x, у, . . ., г)
эквивалентно системе неравенств:
? < fn> f J>0, <р > О
(для краткости аргументы не пишем).
413

2°. Неравенство
2п/
2n/
У ?(*, у, . . ., z)>f(x, у, . . ., z) A)
эквивалентно совокупности следующих двух систем неравенств:
(Л) и ^} (В)
В самом деле, неравенство A) удовлетворяется всеми допус-
допустимыми системами значений неизвестных, при которых правая
Черт. 137
часть отрицательна, а при неотрицательной правой части возмож-
возможно почленное возведение неравенства в степень.
3°. Неравенства
эквивалентны.
Примеры
1. Решить неравенство
Ух2— Зх + 2 — 3 — JO0.
Алгебраическое решение. Уединим радикал:
У Х2 _ зх + 2 > 3 + х.
Это неравенство эквивалентно совокупности двух систем рациональных
неравенств:
—Зх+2>C+*)«§
(В)
414

Решим систему (А): квадратное неравенство выполняется в двух интерва-
интервалах— оо < х < 1 и 2< х < оо; общей частью совокупности этих интервалов
и интервала х < —3 является интервал — оо < х < —3,
Решим систему (В): первое неравенство эквивалентно линейному неравен-
неравенству — g# — 7 > 0, откуда —оо <х<— ; общей частью этого интервала
и полусегмента —3 -О < оо является полусегмент —
7
—
Интервал (—оо, —3) (общее решение Л) и полусегмент I — 3,—-—
\ У
(общее решение В) в сумме составляют интервал —оо < х < —
9
Черт. 138
Геометрическое решение. Заменим неравенство смешанной
системой
у — 3 — х>0, */2-= х2 — Зх-{- 2, */>0.
Уравнение у2 = х2 — Ъх + 2 изображает гиперболу (черт. 138) Ищем части
гиперболы, расположенные в верхней полуплоскости выше прямой у = х + 3
9 ' 9
гипербола и прямая пересекаются в одной точке
Поставленным условиям удовлетворяет часть гиперболы, соответствующая
7
интервалу — со < х < — -— .
2 Решить смешанную систему
*2 + #2 = 4,
415

Геометрическое решение. Смешанная система определяет дугу
М\ЛМ окружности х2 + у2 = 4, лежащую ниже секущей у = х + 1 (черт. 139).
Алгебраическое решение Найдем общее решение уравнения
у= ± У4 — х\ где — 2<x<2.
Взяв перед радикалом знак — (нижняя ветвь) и подставив в неравенство,
получим иррациональное неравенство
— X2 > - X — 1 .
Это неравенство эквивалентно со-
совокупности двух систем неравенств:
— 2<*<2,
— х — 1 < О
4 — х2>(~х — IJ,
— х — 1 > О
} (А)
Черт. 139
Решив систему (А), получим
полуинтервал —1<х<2. Реша-
Решаем систему (В), из квадратного
неравенства
4 — х2 — (х + IJ =
— 2jc2 — 2х + 3 > О
найдем интервал х1 =
< х <
—х2. Общей частью
2 ^' ^ 2
этого интервала и полуинтервала —oo<jt<.—1 является полуинтервал
Множества всех решений систем (А) и (В) составляют в сумме полу-
полуинтервал Х\ < х < 2.
Взяв перед радикалом знак +, получим:
V 4 — х2 < х + 1.
Заменим это неравенство эквивалентной ему смешанной системой
— 2<x<2, х+1>0Л — 1<*<2,
4— х2 < (х + IJ J ИЛН — 2х2 — 2х + 3 < 0.
Из квадратного неравенства получим совокупность двух интервалов
(—оо, х\) и (х2, -f °°)> которая с сегментом [—1, 2] имеет общую часть в
виде полуинтервала (х2, 2].
Множество всех решений смешанной системы можно представить в
виде:
У = — V± —
"" ~
< х < 2 (дуга М,Л)
(дуга ЛУИ).
416

3. Решить неравенство
V 25 — х2 + V х* + 7х > 3. (А)
Решение. Так как левая и правая части данного неравенства неотри-
неотрицательны, то по возведении обеих его частей в квадрат можно составить эк-
эквивалентную ему систему неравенств:
25 + 7X + 2V 25 — х2 У х2 + 7х >9, \
— 5<х<5, х2 +-7х>0. | (В)
Третье неравенство данной системы определяет совокупность двух промежут-
промежутков (—оо, —7] и [0, оо), которая имеет с сегментом общую часть в виде сег-
сегмента [0, 5], поэтому данная система эквивалентна следующей системе нера-
неравенств:
2 Т^ 25 — х2 У х2 + 7х > — 7х— 16, 0<х<5. (С)
Так как правая часть первого неравенства на сегменте [0, 5] отрицательна,
то множеством всех решений системы (А), (С), а следовательно, и эквивалент-
эквивалентного ему данного неравенства, служит сегмент 0<<;5
4. Решить неравенство
Ух
х + 6 — Vzx — 5 > Vx+l.
Решение. Неравенство, эквивалентное данному,
Ух + 6 > Ух+\
имеет неотрицательные левую и правую части, а потому по возведении обеих
частей в квадрат можно заменить неравенство эквивалентной ему системой
неравенств:
х + 6> 3*—4 + 2У*+ 1 У2х — Ьу х> — 6, *> —1, х> —
или
5
5 —х> Ух-\- I'V 2x — 5, х>
По возведении обеих частей в квадрат получим (после преобразований) си-
систему
5
или —10<х<3, х < 5, —<х.
Множеством всех решений последней системы, а следовательно, и экви-
5
валентной ей данной системы служит полусегмент ~ -<! х < 3.
5. Решение иррациональных неравенств, содержащих параметры, может
представить значительные трудности. Мы ограничимся рассмотрением лишь
одного из классических примеров.
Решить неравенство
V
Зх + а
<а-\. A)
х — а
Решение. Левая часть неотрицательна, поэтому при а< 1 неравенство
не имеет решений.
27 С. И. Новоселов 417

Предположим, что а> 1, тогда обе части неравенства A) неотрицатель-
неотрицательны, и это неравенство можно заменить эквивалентной ему системой:
<(), %
х — а х — а
При а > 1 второе неравенство выполняется в совокупности двух проме-
а
жуткава < х < ооТ и — ос < х < — — . После преобразований первое нера-
о
венство примет вид:
х B + 2а — а2) + а (а2 — 2а + 2)
X — а
следовательно, данная система эквивалентна совокупности четырех систем ли-
линейных неравенств:
хB + 2а — а2) + а{а2 — 2а + 2)>0, х — а<0, — оо<л:< — — ; (А)
о
хB + 2а — а2) + а(а2 — 2а + 2)>0, х — а<0, а<х<оо; (В)
хB +2а — а2) + а (а2 — 2а + 2) < 0, х — а>0, — oo<x< — — ; (С)
«3
а —а2)+а(а2 —2а + 2)<0, х —а>0, а<л'<ос. (D)
Системы (В) и (С) противоречивы, поэтому достаточно решить совокуп-
совокупность систем неравенств (А) и (D), заменив их эквивалентными системами:
х{2 + 2а — а2)+ а(а2 — 2а + 2) >0, — оо < х < — — (I)
«3
и
хB + 2а —а2)Ч- а (а2 — 2а + 2)<0, а<х< оо. (II)
Вычислим корни квадратных трехчленов
— а2 + 2а + 2 и а2 — 2а + 2
в интервале 1 < а < оо.
В интервале A, оо) содержится один корень а = 1 + |/ 3 первого трех-
трехчлена.
Второй трехчлен имеет мнимые корни, а потому он знакоположителен.
Случай 1°. 1 < а < 1 + V 3 , в этом интервале — а2 + 2а + 2 > 0. Си-
Систему (I) можно переписать в следующем виде:
а (а2 — 2а + 2) а
а2-2а+2 <Х<~Т'
Последние неравенства могут выполняться при условии:
а (а2— 2а+ 2) а 4а (а—IJ
<Т ИЛИ <0
Последнее условие выполняется (числитель положителен, знаменатель от-
отрицателен).
Система (II) противоречива.
Случай 2°. a=l + V_3,j тогда — а\+ 2а + 2 = 0.
418

а
Система (I) удовлетворяется в полуинтервале —оо < л:<! — ~^~, так как
первое неравенство удовлетворяется тождественно; система (II) противоре-
противоречива.
Случай 3°. 1 + Уз < а < Ч-[оо, в этом интервале — а2 + 2а+2< 0.
а (а2 — 2а + 2) а
Из неравенств системы (I) получим: х < —и х <——¦ -. Система
а
удовлетворяется в полуинтервале — оо < х <J — , так как правая часть пер-
первого неравенства положительна.
а ^а2 —:2а +[2)
Из неравенств системы (II) получим:
а — z,cl — z,
< х и х < а. Откуда
получим интервал:
а (а2 — 2а + 2)
г
< х < оо , так как
а2 — 2а'д+ 2
> 1 и
а2 — 2a + 2
G*a2_2a-2 >a'
Итак, имеем следующий окончательный результат:
Значения параметра
1°. \<а< 1+УТ
2°. д= 1 +"|Лз"
3°. а > 1 + VY
4°. а< 1
Решение неравенства
а (а2 _ 2а + 2) а
полуинтервал: < х <J —
у F а2_2а — 2 ^ 3
1+"КТ
полуинтервал: — оо < л; <^
о
совокупность двух промежутков:
а а (а2—2а+ 2)
"<Х< 3 " а2-2а-2' <*<+°°
не имеет решений
§ 95. Примеры решения текстовых задач
Общие указания, относящиеся к решению и -исследованию
текстовых задач, изложены в § 65. После записи посредством
уравнений и неравенств всех условий, данных в задаче, допол-
дополнительных условий для неизвестных и параметров нередко полу-
получаются зависимые соотношения, из которых некоторые являются
27* 419

следствиями прочих соотношений. Во избежание бесполезных
«исследований», которые в случае уравнений и неравенств выс-
высших степеней могут явиться достаточно трудоемкими, рекоменду-
рекомендуется ограничиваться исследованием выполнения независи-
независимых условий. Исследование условий, которые выполняются сами
собой при соблюдении прочих, является излишним. При реше-
решении уравнений и неравенств, в целях рационализации работы, ре-
рекомендуется в процессе самого решения отбрасывать те соотно-
соотношения, которые заведомо не могут удовлетворять условию за-
задачи.
Примеры
1. Из двух городов Л и В, расстояние между которыми s км, одновре
менно навстречу друг другу вышли два поезда и встретились через t час
Известно, что первый поезд проезжает m км на q час быстрее второго. Найти
скорость каждого поезда
Решение. Пусть v\ и v2 — искомые скорости первого и второго поездов
(соответственно). По смыслу задачи v2 < vb а допустимые значения всех па-
параметров положительны:
s>0, ra>0, ?>0, <7>0.
Так как встреча произошла через t час, то
m o m
Расстояние m км первый поезд пройдет за —, а второй за час\ со-
V\ l>2
гласно условию:
m m
= q.
V2 Vi
Имеем смешанную систему:
m m
t( + )
(i + 2), =q, 0<1>2<1>1. A)
v2 vt
Из первого уравнения системы A) выразим v2 через V\ и, подставив во
второе, получим квадратное уравнение
qtv\ + Bmt — qs)vl—ms = 0; B)
корни уравнения B) действительны:
Д = Bmt — qsJ + 4mstq = q2s2 + 4m2t* > 0.
ms
Так как произведение корней уравнения B) — —— отрицательно, то
больший корень положителен, а меньший отоицателен, поэтому берем боль»
ший корень:
qs
— 2mt + V Q2
2qt
Для v2 найдем:
s_ qs + 2mt — У q2s2 + 4m2/2
/ 2qt
420

Неравенства 0 < v2 < V\ при q > О и V\ > 0 выполняются в силу второго
уравнения (П
Примечание. Сравнительная простота решения задачи нередко
зависит от выбора неизвестного; так, если в данной задаче за основное
неизвестное взять v2, то вместо B) получится уравнение*
qtvl — Bmt + qs) v2 + ms = 0,
имеющее два положительные корня:
qs + 2mt ± У q2s2 -f 4m2t2
Для исследования пригодности корней следует воспользоваться усло-
условием-
s qs — 2т! — (± У Q2s2 + 4m2/2)
Vl~~ t ~V*~ 2qt
Отсюда очевидно, что перед радикалом следует взять знак —. При
втором способе выбора неизвестного исследование несколько более гро-
громоздко.
2. Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала кран I был от-
открыт часть того времени, за которое наполняет бассейн один кран П.
Затем кран II был открыт — часть времени, за которое наполняет бассейн
п
кран I. После этого оказалось наполненной — часть бассейна. Оба крана
k
вместе наполняют бассейн за а час. Сколько времени требуется для напол-
наполнения бассейна каждым краном в отдельности?
Решение. Пусть хну — искомые времена наполнения бассейна кра-
кранами I и II (соответственно). В 1 час кран I наполнит — часть бассейна,
у 1 у
а за время наполнится • часть; аналогично кран II за время его
п п х
1 X
действия наполнит •—¦ часть бассейна. По условию задачи:
п у
1 у , 1 х 1 1 1 1
Ь =-Г> — + ~ = — > х>°> У>°- 0)
п х п у k х у а
По смыслу задачи значения всех параметров положительны п > 0, k > О,
d>0. Заметив, что нулевые значения неизвестных не могут удовлетворять
системе A), умножим уравнения почленно на ху
п 1
х2-\-у2 ——ху, х-{-у = —ху. B)
k a
Первое уравнение этой системы перепишем в виде:
или в силу B)
421

Сократив на ху, так как ху ^0, а затем, подставив ху во второе уравне-
уравнение B), получим:
Следовательно, х и у суть корни квадратного уравнения
kz2 — а (п + 2k) z+a2(n + 2k) = 0. C)
Найдем дискриминант уравнения C):
А = а2 (п + 2kJ — 4а2/г (/г + 2k) = а2 (п + 2Л) (п — 2k).
Уравнение имеет действительные корни, если п >2/г. При соблюдении
этого условия оба корня уравнения C) положительны, т. е. удовлетворяют
неравенствам системы A).
Итак, при д^>2/г один кран наполняет бассейн за
(Д + 2k) — V п? — 4/г2 (п 4- 2/г) + У л2 — 4/г2
а—- , а другой за а час.
При п < 2k задача не имеет решения.
У х
Примечание. Так как — + > 2, то условие п > 2k сле-
х у
дует из первого уравнения системы A).
3. Два курьера I и II выехали одновременно из городов (соответственно)
А и В навстречу друг другу, при встрече оказалось, что I проехал на k км
больше II. Продолжая путь, I прибыл в В через а час, а II в А через b час
после встречи. Найти расстояние между городами.
Решение. Пусть М—пункт встре-
х+к чи (черт 140); обозначим х = МВ.
* ^— ^\.М х В П° смыслу задачи х>0, x + k>0,
g^ m'^ "* ибо эти числа обозначают расстояния,
пройденные курьерами, и а>0, 6>0. Чи-
Черт. 140 сло k возможно считать как поло-
положительным, так и отрицательным, если
толковать, что при /г<0 курьер I проехал расстояние на k км меньше, чем И.
Скорости курьеров I и II соответственно равны:
ВМ х AM x-\-k
Vo =
а а ~ b b
Курьер I прошел путь AM за то же время, за которое II прошел MB,
х х -\-k
откуда = . Подставим выражения V\ и v2 и составим смеша-
ную систему:
2y x>0, x + k>0\
эта система эквивалентна следующей:
x>0. B)
В самом деле, система B) есть следствие A), так как при положительных ле-
левой и правой частях равенства возможно почленное извлечение корня (ариф-
(арифметического), а отбрасывание второго неравенства не может сузить множест-
множества всех решений системы. Обратно, из системы B) следует система A). В са-
самом деле, в отношении уравнения это очевидно, а при выполнении уравнения
и неравенства системы B) левая часть уравнения положительна и ]^а>0, от-
откуда x+k>0.
422

Найдем решение уравнения B) в поле действительных чисел:
ka
*=—Г—— , если а фЪ. C)
У Ь —Vа
Неравенство х>0 выполняется при &>0, если Ь>а, и при &<0, если
а>Ь (толкование представляем учащимся). В этом случае
Если &>0, но a>b или k<0, но b>a, то задача не имеет решения
(дать толкование).
Если а=Ь, но &=?0, задача не имеет решения (дать толкование). Если
а = Ь, к = 0, то задача имеет бесконечное множество решений Ль = 2х, где
х произвольное положительное число.
4. Камень брошен вертикально вверх с поверхности земли с начальной
скоростью v0. Определить, сколько времени камень будет находиться над
изгородью высотой \>.
Решение. Согласно законам физики (сопротивлением воздуха прене-
пренебрегаем), в момент времени t камень будет находиться на расстоянии
от поверхности земли, где g — ускорение силы тяжести, а у0 — начальная
скорость.
Если в момент времени t камень находится над изгородью, то должно
выполняться неравенство
?/2
vQt — —-—>h или gt2 — 2v0t + 2h<0, где / > 0.
Допустимые значения параметров: vo>O, h>0. Составим дискриминант квад-
квадратного трехчлена
Случай 1°. Если Л<0, т. е. v0 <V 2gh, то трехчлен неотрицателен и,
следовательно, неравенство выполняться не может; задача не имеет решения
(камень не поднимается выше изгороди).
Случай 2°. Если А>0, т. е. vo>y2ghy то корни t\ и t2 трехчлена по*
ложительны и различны, неравенство будет выполняться для значений t, со-
содержащихся между корнями трехчлена:
*о - V vl - S
Интервал (tu t2) есть тот промежуток времени, в течение которого ка-
камень будет находиться над изгородью, величина этого промежутка равна
j-2gA.
5. Лодка спускается по течению реки на расстояние, равное Si км, а за-
затем поднимается против течения реки на расстояние, равное s2 км. Скорость
течения реки равна v м в час. Какова должна быть собственная скорость лод-
лодки, чтобы путешествие продолжалось не более, чем t час?
423

Решение. Пусть х — искомая собственная скорость лодки, тогда по
смыслу задачи t>>0, Si>0, s2>0, />0 и x>v (в противном случае невозможно
движение против течения).
Времена движения лодки по течению, против течения и всего путешест-
путешествия соответственно равны:
S2 Sj So
X + V* X — V X-\~V X—V '
Согласно условию задачи требуется решить систему неравенств:
s2
X—V
V < X
< t
tx2 __ (S]P.f 5g) x + v El-__ Sg) _Jtv
(x +V)(x — v)
или
V < X.
Эта система эквивалентна следующей:
tX2 — (sx + So) X + iffo — S?) — tv2 > 0f V < X.
Так как f(v)=—s2v<0, где f(x) — левая часть квадратного неравенства, то
корни хх и х2 трехчлена f(x) действительны, различны и число v заключено
между корнями X\<,v<.x2. В самом деле, если бы корни трехчлена были мни-
мнимые, то он не мог бы иметь отрицательных значений. Следовательно, усло-
условию задачи удовлетворяет любое значение х, большее большего корня трех-
трехчлена f(x):
si + s2 + у (s1 + s24,2 — 4tv (Sj — s2 — tv)
x> _ .
6 Малый предмет находится на расстоянии d от экрана. На какол рас-
расстоянии х от предмета следует поставить выпуклую линзу, чтобы на экране
получилось отчетливое изображение?
Решение. Пусть F—фокусное расстояние линзы, по смыслу задачи
F>0, d>0 и 0<x<d.
На расстоянии законов оптики можно составить следующую смешанную
систему:
1 1 1
— + — =—, 0<x<d.
х d — х F
Эта смешанная система эквивалентна следующей:
х2 — dx + dF = 0, 0<x<d. A)
Так как А = d2 — 4dF = d(d — 4F), то корни уравнения действительны,
если d>4F, при этом условии оба корня положительны. Положив в левой
части уравнения х = d, получим f(d)=dF>0. Следовательно (при d ,^4F), чи-
xl -\- x2 d
ело d больше большего корня: так как = < d.
Итак, при d>4F задача имеет два решения:
— — at и х2 = — -
(выполнение условий 0<Xi<x2<d ясно и непосредственно из полученных
формул корней).
d
При d=4F задача имеет единственное решение х— —.
При d<4F задача не имеет решений.
424

7. В точке А круглого биллиарда на расстоянии а от центра находится
упругий шарик (размерами шарика можно пренебречь). В какую точку В бор-
борта надо пустить шарик, чтобы, дважды отразившись от борта, он снова вер-
вернулся в точку А?
Решение. Пусть точка А отлична от
дентра круга, а=^0; отразившись от борта в
точке В шарик ударяется о борт в точке С
и, снова отразившись в точке С, попадает в
точку А (черт. 141). Пусть ОВ и ОС — ра-
радиусы круга. По законам отражения
ZABO=ZOBC=a и ZBCO = ZOCA = $.
Гак как ОВ = ОС, то треугольник ВОС рав-
равнобедренный, а потому Za=Zp. В треу-
треугольниках АОС и АОВ имеем а = р, АО—
общая сторона, ОВ = ОС, следовательно, уг-
углы САО и ОАВ, лежащие против равных
сторон, либо равны, либо в сумме составля-
составляют я. Последнее невозможно, так как точка
А отлична от О и точки А, В и С ие лежат
на одной прямой. Следовательно, ZBAO =
--ZOAC, а потому диаметр ?>?, проходя-
Черт. 141
щий через точку А, перпендикулярен хорде ВС. Пусть х=ОК—расстояние
точки пересечения диаметра DE с хордой ВС. Задача сводится к следующей
геометрической задаче: найти точку К так, чтобы ВК^-DE и ZABO=/_OBK.
ВК х
Имеем:-—= — (по теореме о биссектрисе угла треугольника) и
АВ а
АВ2 = а2 + R2 + 2ах, ВК2 = R2 — х2.
Для определения х получим смешанную систему
= —, 0<x<R. A)
V R2 — x2 x
Допустимые системы значений параметров должны удовлетворять нера-
неравенствам 0<a<R.
После почленного возведения иррационального уравнения в квадрат и
освобождения от знаменателей получим:
х2 (а2 + R2 + 2ах) = a2 (R2 — х2).
Положительные корни этого уравнения должны быть меньшими R (левая
часть положительна). Выполнив преобразования и сократив на х+а, получим
смешанную систему, эквивалентную A):
2ах2-\- R2x — aR2 = О, 0< х.
Корни квадратного уравнения действительны и противоположны по знаку
xl<0<x2. Условию задачи удовлетворяет больший корень:
— R2 + V R* -4- SR2a2
Аа
Отложив на продолжении радиуса О А от точки О отрезок ОК=х2 и вос-
восставив перпендикуляр в точке К к радиусу ОК, получим в пересечении этого
перпендикуляра с окружностью две точки В и С, дающие решения задачи.
Случай а = 0 подлежит особому рассмотрению. Если а = 0, то шарик на-
находится в центре круга и в какую бы точку борта он ни был пущен, после от-
отражения он снова вернется в центр.
8. Вычислить радиус основания и высоту открытого сверху цилиндра,
вписанного в шар данного радиуса R и имеющего данную поверхность S.
425

Решение. Пусть х и у искомые радиус основания и высота цилиндра,
тогда имеем:
тс х2 + 2тг ху = S.
Рассмотрев осевое сечение цилиндра, получим (см. черт. 50 стр. 228):
4х2 + у* = 4R*.
Обозначив для удобства 5 = Jtm, составим смешанную систему:
x2 + 2xy = mt 4x2 + */2=4tf2, 0<x<R, 0<y<2R. (А)
Допустимые значения параметров: m>0, R>0.
Решив первое уравнение, получим:
т — х2
<»>
При х>0, i/>0, в силу второго уравнения смешанной системы (А), неравен-
неравенства x<R, y<2R выполняются сами собой. При х>0 неравенство у>0, в силу
уравнения A) выполняется тогда и только тогда, когда х<ут. Поэтому,
исключив из второго уравнения системы у, можно составить следующую сме-
смешанную систему, не содержащую у:
17х* — 2(m + SR2)x2 + m3 = 0, 0 < х < V~m~ (В)
которая вместе с уравнением A) образует систему, эквивалентную данной.
Решим вспомогательную систему:
/(z) = 17z2 — 2(m + 8R2)z + m2 = Q, 0<z<m,
*2 = z, x>0.
Корни квадратного уравнения действительны, если
Д = (т + SR2J — 17т2 > 0,
откуда
лг
m+8R2>mY 17 и m<
1/17—1
При выполнении этого условия из квадратного уравнения найдем два по-
положительные значения zx и Z2- Имеем:
Г < 0, если 0 < т < R2>
f(m)\ =0, если m = R2,
\ >0, если R2 < т.
Случай Г. Если 0<m<R2, то число т содержится в интервале корней
Zi<m<z2. Задача имеет одно решение:
+ 8R* — 1/~Д~
т
17
(значение у определяется из формулы A)).
Случай 2°. т = R2. Больший корень квадратного уравнения равен
г2 = х 2 — #2 и не дает решения задачи; меньший корень х{ = —jz~ дает
единственное решение задачи.
426

Случай 3°. Если R2 < т <
то число т лежит вне
интервала корней, будучи большим большего корня Z\<z2<mt так как
т + 8R2
< т.
Задача имеет два решения:
г
т + \
I /
— V А
17
Случаи 4. т —
корень. Задача имеет одно решение.
Случаи 5. т >
17
.,-/:
т
+ т2 + V а
17
; квадратное уравнение имеет двукратный
задача не имеет решении.
§ 96. Задачи на исследование функций
и нахождение наибольших и наименьших значений
Общие методы исследования функций на монотонность и на-
нахождения наибольших и наименьших значений для достаточно
обширного класса функций излагаются в дифференциальном
исчислении. Элементарная алгебра рассматривает приемы ис-
исследования функций и нахождения эсктремальных значений
«прямыми методами» путем непосредственного исследования
множества значений функций, применения неравенств, исследо-
исследования промежутков возрастания и убывания. Ряд таких элемен-
элементарных приемов изложен ниже.
Задачи, приводящиеся к нахождению экстре-
экстремума квадратного трехчлена. Как известно (см. § 83),
квадратный трехчлен
Р (х) = ах2+ Ьх+ с
в интервале (—оо, +оо) имеет минимум:
Утт = — -г~ при х = ^— , если а > О,
4а 2а
имеет максимум:
I/max =
4а
Аа
при л: =
2а
если а < 0.
Это свойство позволяет в ряде случаев непосредственно на-
находить экстремумы простейших функций от квадратного трех-
трехчлена, как, например, у Р (х), , Рк(х)и т. п.
Р (х)
Р (х)
427

Примеры
1. Найти наибольшее значение дроби у =
+ х + 1
Решение. Знаменатель х2+х-\-\ знакоположителен и имеет наимень-
3 1
шее значение—при х——-—, следовательно, дробь имеет наибольшее зна-
4 1
чение у — — при х=— —-. Посредством преобразования выделения полного-
о 2
квадрата представим дробь в виде:
Отсюда видно, что в полуинтервале (—оо, — — дробь возрастает от О
4 / 3
до— так как знаменатель убывает от +°° До— , а на полусегменте
«М 4 /
Г 1 \ \ ( 3
— -— , + оо J убывает от— до О I знаменатель возрастает от — до +оо
Черт. 142
4
функция имеет наибольшее значение */тах = V-
о
2. Требуется огородить проволокой данной длины /
прямоугольный участок, прилегающий к стене (черт. 142).
Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он
имел наибольшую площадь?
Решение. По условию 2х-\-у=1. Площадь участка
у равна:
s = ху = /х —2а;2,
где по смыслу задачи />0, х>0, у>0. Из условия у>0
следует
/
/—2x<0, а потому 0<х< ~. Трехчлен s имеет наибольшее
/2 ' /
значение smax= ~r при хтах = —; это значение содержится
в интервале
»yl- При -vmax = — имеем: */тах = ~г.
3. Снаряд вылетел из орудия с начальной скоростью v0 под углом а
к горизонту; определить наибольшую высоту подъема снаряда.
Решение. Выберем оси координат в плоскости траектории, как пока-
показано на чертеже 143. Составляющие начальной скорости по осям координат ОХ
и OY соответственно равны Uocos а и vq sin а. Вдоль оси OY действует сила
1яготения. Если бы не было этой силы, то за время t снаряд поднялся бы на
высоту tv0 sin а, но под действием силы тяготения он должен опуститься на
gt2
расстояние — (g — ускорение силы тяжести). Следовательно, в момент вре-
времени / снаряд окажется на высоте (сопротивление воздуха не учитывается):
у = /aosin a —¦
428

Будучи квадратным трехчленом от аргумента /, высота у имеет наиболь-
наибольшее значение:
Утих —
v\ sin2 а
при t —
Vo Sin a
sin a
lfnCOS<X
Черт. 143
4 Два тела I и II движутся по сторонам ОХ и 0Y прямого угла АО У со
скоростями V\ и v2 no направлению к вершине О.
В начале движения тело I находилось
в точке (а, 0), а тело II в точке (О, Ь), где
а > 0 и b > 0. Найти наименьшее расстоя-
расстояние между телами I и II (черт. 144). ^/
Решение. По прошествии времени
/ тело I будет находиться в точке (а—Uj/, 0),
а тело II в точке @, b — v2t), а расстоя-
расстояние между ними будет ^
-VJ =
-2 (avx + bv2) t + a2
Наименьшее значение 5 реализуется
при том же значении t, при котором под-
подкоренное выражение имеет наименьшее
значение. Следовательно,
smin —  /
(at), + bv2f - (of + v\) (a2 + b2)
(v{b —v2a)'
— o2a|
при
«?+«*
429

Исследование биквадратного трехчлена
у = ах* + Ьх2 + с (где а > 0).
Применим преобразование выделения полного квадрата
2а
Ь>о
4а
К.7
С<0
Черт. 145
с=о
Биквадратный трехчлен есть четная функция, поэтому доста-
достаточно исследовать ее на полусегменте 0 < х < + оо.
Если &>0, то х2-] >0 и на полусегменте 0<х<^+сх>
Ъ
возрастает от — до +оо; а следовательно, у возрастает от с до
+ оо. В полуинтервале —оо<лг<0 функция у убывает от +оо
до с. Наименьшее значение трехчлена равно с при х = О
(черт. 145).
Если &<0, то
(Щ2 Ь\
4а
Г'
На сегменте!О, 1/ -^-Ч слагаемое
V-V
2а
—~ до 0, а на полусегменте | \/ -^ , + ос
^ и- ) убывает от
возрастает от 0 до
оо. Следовательно, в первом промежутке функция убывает
4ас — Ь2 4ас — Ь2 _
от с до >а во втором возрастает от ——до +оо. В про-
4а
4а
межутках (— оо, —1 / -L- и — 1/ -L— ^ q трехчлен (соответ-
430

ственно) убывает от +оо до
4ас — I
и возрастает от
Аас —
4а 4а
до с. В точках х = ± 1 / — трехчлен имеет наименьшее значе-
значение, равное ас~~ и , а в точке х = 0 локальный максимум, рав-
равный с (черт. 146).
При 6 = 0 имеем:
оо , 4ас-Ь2=о
Черт. 146
у = ах4
431

График получается из параболы 4-го порядка У = X4 посредст-
посредством растяжения от оси абсцисс из переноса в направлении оси
ординат (черт. 147).
Возможные случаи при а<0 предлагаем рас-
рассмотреть учащимся; в качестве графиков получатся
те же линии, но с ветвями, «обращенными вниз».
Нахождение множества значений
функции
Для нахождения множества значений функции
/(я) можно поступать следующим образом. Пусть
у — данное действительное число; если существует
значение (хотя бы одно) аргумента, при котором
функция f(x) имеет значение, равное у, т. е. если
число у принадлежит множеству значений функции,
то уравнение
f(x)-y = O (f)
имеет в поле действительных чисел, хотя бы одно,
решение. Будем рассматривать (f) как уравнение, содержащее
действительный параметр у. Множество значений функции f(x)
есть множество всех значений параметра у> при которых урав-
уравнение (f) имеет решение (хотя бы одно) в >поле действительных
чисел.
Этим способом (в частности) .можно найти множество зна-
значений функции вида:
_
+ Ь2х + с2
Задача сводится к исследованию квадратного уравнения
(аг — а2у)х2 + {b1 — b2y) х+(сг — c2y) = О
с действительным параметром у. Это уравнение имеет действи-
действительные корни, если
\= (Ьг - b2yf - 4 (а, - а2у) (с, - с2у) > 0. (А)
Множество значений функции есть множество всех решений
квадратного неравенства (Д).
Если известно множество значений функции, то наибольшее
или наименьшее значение (если оно существует) находится не-
непосредственно. Например, множество значений функции у = х*к
есть множество всех неотрицательных чисел, т. е. полусегмент
0<#< + оо, наименьшее значение есть # = 0; наибольшее
значение не существует. Множество значений функцииу= -k
l-f-A,"
есть полуинтервал 0<г/<1, наибольшее значение есть у=1
при х = 0; наименьшее значение не существует (черт. 148).
432

Примеры
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=
Х2 5л: -4- 1
+
построить график.
Решение. Областью определения функции является интервал
— оо <* < + оо, так как х2 — х + 1 > 0. Найдем множество значений
функции, для чего исследуем квадратное уравнение:
A-У)х* + (у-Ъ)х+(\-у) = 0. A)
Корни этого уравнения действительные, если
(у - 5J - 4 A - у)* = -Зу2-2у + 21> 0.
B)
Это неравенство выполняется на сегменте корней — 3 ^ у < -г-. Следо-
«3
вательно, множество значений данной дроби есть сегмент
— 3, ——
L д J
наи-
Черт. 148
меньшее и наибольшее значение соответственно суть ут\п = — 3, утах = — .
«3
Из уравнения A) найдем соответствующие значения аргумента xmin = 1»
И JCmax — — 1.
Из уравнения A) следует, что всякое данное значение у ф 1, взятое
в интервале —3 < у < — , дробь имеет при двух различных значениях
«3
аргумента; значение у = 1 дробь имеет при х = 0. График данной функции
представлен на чертеже 149. Прямая у = 1 есть асимптота, ибо lim у = 1.
Х-+ ± оо
Точки пересечения линии с осью абсцисс находятся из уравнения х2—5х+1=0
2. Исследовать (элементарными средствами) функцию
Х2 _ 2х + 3
У = xz + 2х — 3 *
Решение. Корни знаменателя действительны: Х\ = —3, х2= 1.
Область определения функции состоит из грех интервалов (—оо, —3),
(—3, 1) и A, +оо). Найдем множество значений функции; составим
уравнение:
A _ у) Х2 _ 2 A + у) х + 3 A + у) = 0.
Составим условие действительности корней:
Д = (! + уJ — 3 A — у2) = 2 Bу2 + у — 1) > 0.
28 С. И. Новоселов 433

Решив это неравенство, найдем множество значений функции в виде
двух промежутков —<»<*/<—1, ~т~< #< + °°. Каждое данное значение
1, взятое в любом из интервалов (—
1) и (— , + оо j , дробь
имеет в двух точках. Значение у=\ дробь имеет в точке *=-т-.Прямая у » 1
есть асимптота, ибо lim y=*\. Исследуем дробь в каждом из интервалов
(—оо, —3), (—3, 1) и A, оо). Имеем:
Черт. 149
— 2х + 3
+ 2* — 3
х2 — 2х + 3
Знак у определяется знаком знаменателя, ибо х2—2
В интервале —оо<*<—3 имеем #>0, и так как числитель больше
знаменателя (в этом интервале —2х>2дг), то у > 1. Так как lim у =» I,
X -> — оо
a lim г/ = + оо (при х > —3), то в данном интервале множество значений у
х-> — з
есть интервал \<у< + оо (черт. 150).
В интервале — 3 < х < 1 имеем t/ < 0 и
lim у = — оо (при * > — 3),
*-* — з
lim у = — оо (при * < 1).
X -> 1
В этом интервале функция имеет наибольшее значение #тах*=—1 при
Хтах = 0, а множество всех значений у образует полуинтервал
— оо < «/<— 1.
434

В интервале A, -f °°) имеем у > 0 и \\т у = + °° (при х > 1) и lim у = 1.
* -*• 1 *->+<»
В этом интервале функция имеет наименьшее значение у т\й = — при
3
*min = 3. Если х >~Г~» то у < 1; прямую у = 1 линия пересекает лишь в одной
/ 3 \
точке
-3
Ч.-рт. 150
3. Из всех прямоугольных треугольников с данной высотой h, опущен-
опущенной на гипотенузь, найти тот, который имеет наименьший периметр.
решенй е. Пусть х и у — катеты, г — гипотенуза, 2р — периметр иско-
искомо*') треугольника. В силу известных соотношений между элементами прямо-
прямоугольного треугольника имеем:
xy=hz, x2 + y*^=z2t х+ у + г=2р,
где неизвестные х, t/, г, а также hup положительны. Определим множество
возможных значений р. Из второго соотношения имеем:
28*
435

или в силу прочих соотношений:
Bр — г}2 — 2hz = г2, откуда г -=
Подставив г в первое и третье соотношения, получим:
2ph + 2р* 2pa/i
« + Д, ?р, и ^X^
Следовательно, х и у суть корни квадратного уравнения
(/i + 2p)Z2-2p(M p)Z + 2p2fc=O. A)
Корни уравнения A) действительны, если
Д = Р2 (h + РJ - (h + 2р) 2р2Л = р2(р*- 2ph - Л2) > 0,
откуда
уГ 2
Второй множитель (заключенный в квадратные скобки) положителен,
а потому
p — h(V~T + \)>0 и р>/цУ~2~+ 1),
при этом условии А > 0 и оба корня уравнения A) положительны.
Следовательно, множество возможных значений р есть полусегмент
h (у 2+ 1)<р< +оо, наименьшее значение р есть pmin = h (у 2 + 1).
При этом значении р уравнение A) имеет двукратный корень:
*шт = Ут\п =
и искомая фигура есть равнобедренный прямоугольный треугольник.
Примеры непосредственного исследования
функций на возрастание и убывание
Чтобы непосредственно доказать, что в данном промежутке
функция f(x) возрастает (или убывает) следует установить
справедливость неравенства
(или
или, что то же,
/ (*2) — f (*i) > 0 (соответственно f {х2) — f (xj < 0)
при произвольных двух значениях Х\ < #2, взятых в данном
промежутке. Если в промежутке [а, с] функция возрастает
(убывает), а в промежутке [с, Ь] убывает (возрастает), то / (с)
является наибольшим (наименьшим) значением f(x) на сегменте
[а, Ь].
Примеры
1. Исследовать функцию
— (где k>Q).
х
436

Функция нечетная: f(—х) = — f(x); исследуем ее в интервале
О < х < + оо. Составим разность:
~ / (*i) - U + ) ( + ) ( > (l
Из рассмотрения этой разности очевидно, что
< 0, если 0 < xL < х2 < У k,
> 0, если Y k < xi < x2 .
Отсюда следует, что f(x) убывает в полуинтервале @, у k] и возрастает
на полусегменте[VX+ оо). Наименьшее значение в интервале @, + оо) равно
f [Yk ) = 2Y k. В интервале (— со, 0)
функция имеет наибольшее значение
~~ 2 Y k при х = — yk. Для пост-
построения графика (гиперболы) следует
принять во внимание, что lim у = + оо
(при х>0),чтоНт у «= + оо и что
X > -Ь оо
lim (^ — jc) = lim — =0 (черт. 151).
х -> -f оо X
Примечание. Найти наи-
наименьшее значение (не исследуя на
монотонность) }(х) в интервале
@, + оо) можно, приняв во вни-
внимание, что f(x) есть сумма двух
k
положительных слагаемых х и — ,
X
имеющих данное произведение
х- — = k. Наименьшее значение
х
X
имеет место при х = —-.откуда
к
2. Исследовать функцию:
Черт. 151
Решение. Функция нечетная f(—jc) =—/(л); исследуем ее в ингер-
:— , Так как (см. предыдущий пример)
+
вале @, + оо). Имеем:f (х)
х + — в полуинтервале @, 1] убывает от + ос до 2, а на полусегменте 11, +оо)
возрастает от 2 до + оо, то f(x) на сегменте [0, 1] возрастает от 0 до ~7Г#а
на полусегменте [1, + оо) убывает от — до С. В промежутках (— оо, —1] и
437

[—1;0] (соответственно) функция убывает от 0 до —~о~и В03Растает от —~Т~
доО.
Функция имеет минимум у min = —— и максимум */тах =~Г" (черт. 152).
x'-t
3. Исследовать функцию
Черт. 152
Черт. 153
X*- 1
Решение. Область определения состоит из трех интервалов (—оо,—1),
{—1, 1) и A, + оо). Составим уравнение:
438

Имеем: А = 1 + 4i/2 > 0; этому неравенству удовлетворяет произвольное
действительное значение у. Следовательно, множество значений функции есть
интервал — oo<i/< + oo. Из (I) следует, что всякое данное значение i/f=0
функция имеет в двух различных точках. Значение у — 0 дробь имеет при
х=0. Ось абсцисс есть асимптота графика, ибо lim у—О. В каждом из интер-
X-*-foo
валов (—оо, —1), (—1, 1) и A, + оо) функция убывает. В каком бы из этих
интервалов ни были взяты точки Х\ и хг, разность
отрицательная, если х\ < Х2. В самом деле, f(x2)—f(xi) <0 при выполне-
выполнении любого , из следующих трех условий: —оо < Х\ < х2 <—i, или
—1<*1<*2<1, или 1<jci<jc2+oo (это вытекает непосредственно из форму-
формулы B)). Следовательно, f(x2)<f(x\), если Х\<х2 (в трех указанных интерва-
интервалах). Значит, в этих интервалах функция убывает. Так как lim у = 0 и
lim ?/=—оо (при х<—I), то в интервале (—оо, —1) функция убывает от О
к->— 1
до —оо; аналогично докажем, что в интервале (—1, 1) функция убывает от
от —оо до + оо, а в интервале A, +оо) от +оо до 0 (черт. 153).

ГЛАВА VII
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 97. Показательная функция на множестве рациональных чисел
Пусть а > 0 — данное действительное число; каждому рацио-
рациональному числу г* соответствует единственное значение аг, по-
поэтому аг есть функция аргумента г.
Определение.Функция аг где множеством допустимых зна-
значений для аргумента г считается множество всех рациональных
чисел, называется показательной функцией на множестве ра-
рациональных чисел.
При а > 1 функция аг обладает следующими свойствами:
1°.
аг
> 1 (если г > 0),
< 1 (если г < 0),
= 1 (если г = 0).
Доказательство. Пусть г «= -?- (где р и q — натуральные
Я
числа), тогда аР > 1, а значит, \Г аР >\f 1 = 1.Еслиг = — s<0,
то аг = — < 1. Если г = 0, то аг= 1, ч. т. д.
2°. а' возрастает.
Доказательство. Если гг<1г2, то имеем:
* Степень с иррациональным показателем еще не определена, а потому
пока и не может рассматриваться.
440

ибо d% fl> 1 и afl>0), откуда d*>ar\ ч. т. д.
3°.
Доказательство. Требуется доказать, что при любом
заданном (как угодно большом) N существует такое число пу
что аг > N при произвольном рациональном г, большем я. По-
Положим а = 1 + Л, имеем h > О, так как а > 1. Пусть (в частно-
частности) п — натуральное число. Воспользуемся неравенством Бер-
нулли (стр. 226):
(\ +h)n>\ +nh или ая>1 + п(а— 1).
Выберем натуральное число я настолько большим, чтобы
имело место неравенство:
l+n(a— \)>Nf откуда ^1
а— 1
тогда получим и подавно an>N. В силу возрастания показа-
показательной функции неравенство ar > N будет выполняться при
произвольном г > л, ч. т. д.
Лемма. Предел последовательности у a, j/~a,...,
1:
а = 1.
Доказательство. Требуется доказать, что при произ-
произвольном положительном (как угодно малом) е существует такое
число N > 0, что неравенство \у а — I < 8 выполняется при
любых значениях п> N.
Так как у а > 1, то неравенство у а — 1 \ эквива-
эквивалентно следующему:
т/"а-1<е или а<A+е)п. A)
В силу неравенства Бернулли 1+пг< A+е)п. Следова-
Следовательно, если выполняется неравенство а < 1 + пе, откуда
я> (= #), то неравенство A) будет выполнено и подавно
ч. т. д.
4°. limar=l.
г->0
Доказательство. Требуется доказать, что при произ-
произвольном (как угодно малом) е существует такая окрестность
(—А, К) точки 0, что неравенство \af — 1| < е выполняется при
произвольном значении г из этой окрестности, т. е. при [г|<А.
441

Выберем натуральное число п настолько большим, чтобы вы-
выполнялось неравенство:
Пусть |г|<—. Если г>0, то при г < — имеем:
п п
0<аг— 1<а — 1<е.
Если г<0, то аг = а~|г| и а|г|>1; имеем:
1 <а'г'—1<ая —
Если г = О, то аг — 1 = 0 < е.
Итак,
|а — 11<е, если |г|< —, ч. т. д.
п
5°.
/•->-_ оо
Доказательство. Пусть г = —ky где & > 0; требуется
доказать, что при всех достаточно больших k имеют место нера-
неравенства:
0<flT*<e,
где е > 0 — любое заданное (как угодно малое) число. В силу
свойства 3°, lim ak =+oo, следовательно, при всех достаточно
d
больших значениях k будем иметь а*>—, но тогда 0 <—- <е,
е ак
т. е. О < а~~к < е, ч. т. д.
Если 0<а<1, то соответствующие свойства функции аг
формулируются следующим образом.
1°. < 1, если г>0,
> 1, если г<0,
= 1, если г = 0.
2° аг убывает. 3° lim ar = 0. 4° lim ar= 1.5°. lim ar = + оо.
г~>+оо r->0 /" — —оо
Для доказательства этих свойств аг при 0 < а < 1 достаточ-
достаточно принять во внимание, что
аг = и что —>1.
IV о
t a
442

Докажем, например, что аг при (а < 1) убывает. Так как
У
( * У
— возрастает:
1 Уш __../_ „ - ^ - или
If.
т. е. аг убывает (проверку справедливости остальных свойств
предоставляем учащимся).
При а = 1 специальное изучение свойств показательной
функции аг интереса не представляет, так как в этом случае
функция постоянна: ar = lr=l при всех рациональных значе-
значениях г.
§ 98. Степень с иррациональным показателем
Пусть a — любое данное иррациональное число. Представим
а в виде бесконечной десятичной дроби с положительной
мантиссой*:
-- qn ... ,
где р — целое число, а 9ь <7г> • • • > Рл> • • • — десятичные знаки.
Пусть <х7и а*—приближенные значения а по недостатку и
по избытку с точностью до — :
Имеем: а^ <а < at при произвольном п.
Теорема. При произвольном положительном а последова-
последовательность
\а~, ah [a>, а°Ч ...,[а"«, а'-], ...
есть последовательность стягивающихся сегментов.
Доказательство. Предположим для определенности,
что a > 1. Требуется доказать следующие утверждения:
1°. Последовательность
не убывает, а последовательность
cl a
не возрастает.
* Целая часть а, т. е. р может быть числом отрицательным: так, если
а=— 2,3751 то а=—2—0,3751 ... = 3,6248 .... имеем: р— 3, ^=6, q%=%
<7з=4 и т. д.
443

Это очевидно, так как при а> 1 функция ат возрастает и
последовательность приближенных значений {aJT} числа а по
недостатку не убывает, а последовательность { at} приближен-
приближенных значений а по избытку не возрастает.
2°. При всех значениях п имеем:
ап < а*.
Это очевидно, так как ат возрастает и о?" <а+.
lim(aan — а"") =0.
3°.
В самом деле,
0<aa" — а*" =а*« {а*"-*" — l)<ap + 1 (т/ а — 1)
=-^г и
как limj/a =
то при любом заданном е > 0 и при всех достаточно больших п
будем иметь:
л/ а — 1 < —-—, но тогда 0 < а а" — аа/| < е.
Случай 0 < а < 1 рассматривается аналогично; в этом слу-
случае последовательность [ а* п ] не возрастает, а последователь-
ность | ctn \ не убывает (предлагаем учащимся провести подроб-
подробно соответствующие рассуждения).
В случае а = 1 имеем: ап =а п =1.
Из доказанного следует, что две монотонные последователь-
последовательности {а п } и {а п} имеют общий предел:
limaan = limaan, ч. т. д.
Этот предел есть единственное действительное число, при а > 1
п
(при а < 1) большее (меньшее) всех чисел вида а и меньшее
(большее) всех чисел вида а
Определение.Иррациональной степенью а*, где а — ирра-
иррациональное число, положительного числа а называется общий
предел последовательностей а п\ и [а п ):
а* = lim а*п = lim a*n .
444

В силу изложенного а есть единственно.е действитель-
действительное число, удовлетворяющее неравенствам при произвольном на-
натуральном п:
аУ < я" < ап, если а> 1 и
аап > аа > аап, если а < 1.
Если а = 1, от а"л = аал = 1 и аа = lim aft/l = lim аа" = 1.
Следствие. аа есть предел функции аг в точке а:
аа = lim a,
г -> а
гйе а — произвольное действительное число.
В самом деле, выберем натуральное число п настолько боль-
большим, чтобы выполнялось неравенство а'а —а*п <е, тогда (счи-
(считаем для определенности а> 1):
При произвольном значении г, содержащемся в интервале
(а~, а+), в силу возрастания аг, будут выполняться нера-
неравенства
аа«"<аг<аа«.
Следовательно, имеем:
| d — аа |< а*п — а**1 < с, т. е. lim a = аа.
г-> а
Теорема. При любом а > 0 и при произвольном действи-
действительном а число а* положительно.
р
Доказательство. Если а = ~ рациональное число, где
р и q целые числа, причем q > 0, то аа=г/ а/7>0.
Если а иррациональное число (для определенности полагаем
а > 1), то имеем аа^>аап >0, ч. т. д.
В элементарной математике иррациональные степени отрица-
отрицательных чисел не рассматриваются, так как при а < 0 предел
limar не существует. В самом деле, пусть а < 0, a — данное
г-*а
иррациональное число, г =-^ несократимая дробь. Имеем:
Я
р
ат = а
> 0, если р четное, q нечетное,
0
р q
< 0, если р и q нечетные,
— не имеет смысла в поле действительных
чисел, если р нечетное, q—четное
и lim | аг | = lim | a \r > 0. Следовательно, lim а не существует.
445

Теорема. При произвольных действительных аир имев!
место равенство:
ааа*=аа + 9. A)
Доказательство методом предельного перехода. Для
рациональных показателей равенство A) справедливо. Пусть
хотя бы одно из чисел аир иррационально. Рассмотрим две
последовательности рациональных чисел {ап} и {фп}, сходя-
сходящиеся (соответственно) кайр:
lim аЛ = а и Нт рЛ = р, тогда lim (<xrt + Р„) = a + P.
Имеем:
aa = lim a**1; ap = lim aPn
и
aa ap = lim aa" lim ap" = Hm (aa" ap") = lim aa" + рл = aa + p, ч. т. д.
Метод предельного перехода можно применить для
доказательства справедливости прочих свойств действия возве-
возведения в степень в случае иррационального показателя:
a) a*' \bj 6"
при произвольном иррациональном а. Так, например,
(abf = Hm (а6)ал = lim (аал&ал) = lim аа" lim b*n = aaba.
Докажем справедливость равенства
(а ) — а
при произвольных действительных аир. Предположим сперва,
что а > 1, а > 0, р > 0, имеем:
1<аа«<а*<аа\
(aanfn <(аа)р/1 (монотонность степенной функции) или
uafn и аналогично
(aaft < аа« р«,
откуда
Так как
445
*¦•«¦<(*•/« -л лл

lima"" Рп = limcan Рл = aa\
то
(aaf - aap.
В случае a < 1, a > 0, p > О следует изменить лишь знак <
на >. Случай, когда хотя бы одно из чисел аир отрицательно,
рассматривается так же, как и для рациональных показателей.
Вычисление произвольной действительной степени положи-
положительного числа а можно выполнить элементарными спо-
способами с любой степенью точности. Один из таких способов
излагается ниже. Однако надо иметь в виду, что элементарные
способы вычисления аа связаны с чрезвычайно громоздкой вы-
вычислительной работой. При современных вычислительных сред-
средствах (таблицы, счетные машины) эти элементарные способы не
имеют никакого практического значения и могут служить
лишь учебно-педагогическим целям (и то лишь в незна-
незначительной мере).
Достаточно уметь вычислять аа при a > 0.
Разложим положительное число а в двоичную дробь (конеч-
(конечную или бесконечную):
где р — целое число, a pi, Р2, ..., рп, ... — двоичные знаки
(т. е. либо 0, либо 1).
Положим:
поэтому а *п есть приближенное значение a :
2 г—
Множители вида у а могут быть вычислены с любой сте-
степенью точности путем последовательного извлечения квадрат-
квадратного корня. Взяв достаточно большое значение п, можно вычис-
вычислить а с данной точностью.
Пример
Извлекая последовательно квадратный корень, найдем:
10 2 = ]/~1(Г = 3,16228..., 10 128 =1,01815,
10 4 = V 3,16228... =1,77828, 10 256 =1,00903,
447

10 8 =1,33352..., 10 512 =1,00451,
101в= 1,15478..., 101024 = 1,00225
1032 = 1,07461.... и т. д
1064 = 1,03663...,
При извлечении корня из чисел, близких к 1, следует пользоваться при-
приближенной формулой
У 1 + а = 1 + — (см. стр. 140),
так например:
1
101024 = \ 1,00451.. « 1,00225 с ошибкой меньшей
@,005J
8
< 0,000004.
Пользуясь составленной таблицей, можно приближенно вычислять про-
произвольные степени числа 10. Вычислим, например, 10 ол, имеем:
J__J 3_ _3___J L JL___J Ё_
10 16 ~ 80 ' 80 "" 32 "" 160 ' 160 "" 256 "" 1280 И Т" Д#
Следовательно,
16 32 255 "^ 512
10°fl«1016 • 1032 • 10256 • 1С512 •'• - 1.26.
Непроизводительность этой работы с точки зрения современной вы-
вычислительной техники очевидна (для сравнения предлагаем найти 100>1по
логарифмическим таблицам). Если не считаться с вычислительными трудно-
трудностями, то можно составить, например, следующую таблицу степеней числа
10 через 0,1:
k
10*
1,0
1,259
0,2
1,584
0,3
1,995
0,4
2,512
0,5
3,162
0,6
3,981
0,7
5,012
0,8
6,310
0,9
7,943
§ 99. Показательная функция
Определение. Функция, заданная формулой
у = аху где а > 0,
называется показательной функцией.
Областью определения показательной функции служит интер-
интервал— оо <х< +оо, так как (см. предыдущий параграф) сте-
448

пень ах (где а > 0) при произвольном данном действительном л*
имеет единственное значение.
При произвольном действительном х значение показательной
функции положительно: ах> 0 (см. предыдущий параграф).
Перечисленные в § 97 свойства 1°—5° показательной функ-
функции с рациональным показателем остаются в силе. Так, напри-
например, при а > 1 имеем:
1°. ах > 1 (если х> 0).
В самом деле, возьмем какое-нибудь положительное рацио-
рациональное приближенное значение числа х по недостатку 0<х~<х;
тогда получим
1<а*я <ах (где а> 1).
Аналогично легко доказать, что ах < 1, если х < 0.
Рассуждения, на которых основаны доказательства прочих
свойств 2°—5°, без изменения применимы к показательной
функции с произвольным действительным показателем. Следо-
Следовательно, при а > 1 функция у = ах возрастает и
\imax = + со, lima*=0, lima*=l;
X -> + оо х -> — оо л:->0
при а< 1 функция ах убывает и lim ах = 0, lima* = + оо;
л:-> + оо х -> — оо
при а = 1, ах = const = 1.
Примечание. Если а>0 и а^1, то равенство
степеней числа а:
имеет место лишь при условии равенства показателей
k= I.
В самом деле, при а=? 1 показательная функция а*
возрастает, либо убывает и, следовательно, равенство ее
значений невозможно при различных значениях аргумента.
Показательная функция при отрицательном основании а
в элементарной математике не рассматривается, так как не
рассматриваются иррациональные степени отрицательных чисел.
Теорема* Показательная функция ах непрерывна при про-
произвольном значении аргумента.
Доказательство. Требуется доказать, что абсолютная
величина приращения показательной функции ах—Сможет
быть сделана как угодно малой:
\ах~ах
29 С. И. Новоселов 449

при достаточно малом (по абсолютной величине) приращении
аргумента.
Имеем: \ах — ах\ = ах\ах~х-\
В силу свойства 4° при достаточно малом | X—х | , будем
иметь:
' ах
но тогда ] ах — ах | < е, ч. т. д.
Теорема. Если a > 0 и аф 1, то при любом данном поло-
положительном числе N существует единственное действительное
число а такое, что а-я степень числа а равна N:
аа = N.
Доказательство. Пусть для определенности а>1; как
известно, среди значений ах существуют и как угодно большие
и как угодно близкие к нулю. Рассмотрим целые степени числа а:
..., а-\ сГ\ а\ а, а2, ...
Пусть а^+Наименьшее из этих чисел, большее Л7, имеем:
Разделив сегмент от р до р + 1 на десять равных частей,
берем число q\ при условии
P + p+
а 10 <Л/<а 10 .
Продолжая неограниченно процесс деления сегмента на 10
равных частей, мы получим десятичную дробь, определяющую
некоторое действительное число а:
а = Р. ?1?2 • • • Яп • • •
В силу способа определения десятичных знаков числа а для
любых его приближенных значений имеем:
а*п < N < aa" .
Но единственное число, удовлетворяющее этим неравенствам,
есть aa, а потому аЛ = N.
Если а<1, то —>1 и по доказанному существует един-
а
ственное число а такое, что (—) = N, но тогда a"~a ess N, ч. т. д.
W
450

Если а=1, то теорема неверна, ибо 1* = 1 при любом
действительном х.
Теорема При а>1 (или а<\) функция ах в интервале
(— оо, -}- оо) возрастает (убывает) от О до + оо (от + оо до 0).
Доказательство. Достаточно сопоставить между собой
установленные выше свойства показательной функции:
во-первых, при а > 1(приа<1) функция ах возрастает
(убывает);
в о-в торых,
lim а* = сю; limdx=0, при а>1 и lima* = 0; lima* = oo,
*->оо X -> — оо ЛГ->оо Х->— оо^
при а < 1;
/=2'
Черт. 154
в-третьих, если а Ф 1 и N заданное положительное число, то
в интервале (—оо, оо) существует (и при том единственное)
р (, ) уу ( р
значение аргумента, при котором а* = N, ч. т. д.
Линия ах вогнута в интервале (—оо, + )
В самом деле, пусть Х\ < х2, тогда:
(см. стр. 218).
Так как среднее геометрическое чисел ах* и а*» (неравных и
положительных) меньше их среднего арифметического, то имеем:
V
Графики показательной функции (при^а = 2 и а = —(пред-
—(представлены на чертеже 154.
29* 451

§ 100. Логарифмы и их свойства
Определение. Логарифмом числа N при основании а > 0
и а ф\ называется показатель степени, при возвышении в ко-
которую числа а получается число N.
Для обозначения логарифма числа N при основании а упо-
употребляется символ log N. Таким образом, по определению лога-
логарифма имеем:
N = aXo**N. A)
Согласно теореме, показанной в § 99, существует единствен-
единственное действительное число а = \ogaN\ удовлетворяющее условию
у=х
Черт. 155
A) при произвольном положительном отличном от 1 основа-
основании а. Логарифмы при отрицательном основании в элементарной
математике не рассматриваются. Так как основание логарифмов
всегда считается положительным и отличным от 1, то в даль-
дальнейшем соответствующие оговорки делаться не будут.
Любая действительная степень положительного числа а есгь
положительное число, а потому ни при каком а степень аа не
может быть ни нулем, ни отрицательным числом. Следователь-
Следовательно, нуль и отрицательные числа не имеют (в поле действитель-
действительных чисел) логарифмов.
Тождество
х = alosax
имеет место лишь в интервале @, +оо). В самом деле, если
х < 0, то logax не имеет смысла, тогда как функция у = х
имеет смысл при всех значениях х. Различие между функциями
у = х и у — а °8а* графически показано на чертеже 155.
Теорема\°. Если два числа (при данном основании) имеют
один и тот же логарифм, то эти числа равны.
452

Доказательство. Пусть log^ = \ogaN2, тогда
N, = al0e*Ni = a]osaN> = #2, ч. т. д.
Теорема 2°. Логарифм произведения положительных со-
сомножителей равен сумме логарифмов сомножителей.
Доказательство. Пусть х > О, у > 0, имеем:
откуда ху = alogax + loeay . с другой стороны, по определению
логарифма ху = а108 а(ху\ Следовательно,
\oga(xy) = logax + \ogay, ч. т. д.
Примечание. Если х < 0, у < 0, то ху > 0 и
l°ga (*#) имеет смысл, но loga;c и \ogay не имеют действи-
действительных значений. В этом случае
х | + loga \y\.
Теорема 3°. Логарифм частного положительных чисел ра-
равен разности логарифмов делимого и делителя.
Доказательство. Имеем:
х = а10***, # - al0V, откуда ^ - alogr^" loV
ТеоремаА0. Логарифм степени положительного числа равен
показателю степени, умноженному на логарифм данного числа.
Доказательство. Пусть N>0 данное число и
k—произвольное действительное число, имеем:
откуда
\ogaNk = k\ogaNt ч. т. д.
Выражение loga Л/2" (п — целое число) имеет смысл при про-
произвольном действительном N Ф 0, а не только при положитель-
положительном N. В общем случае имеет место следующая формула:
2n\ogaN, если Л/>0,
2nhga(—N), если Л/<0.
Переход от одного основания логарифмов
к другому. Известны логарифмы чисел при основании а,
требуется найти логарифмы чисел при основании Ь.
453

Теорема. Логарифмы чисел при основании а и Ъ связаны
соотношением
Отсюда правило: логарифм числа «по новому основанию» Ь
равен логарифму того же числа по «старому основанию» а,
умноженному на число , обратное логарифму нового ос-
нования по старому. Множитель называется модулем
a
перехода от логарифмов по основанию а к логарифмам по
основанию Ь.
Доказательство. По определению логарифма имеем:
взяв от обеих частей логарифмы по основанию а, получим
\ogaN = \ogbN \ogab9
откуда следует B), ч. т. д.
Примеры
/
1. Найти log kal. Р е ш е н и е. Так как а1 = (ак) , то log kal = —.
В частности, log3 V 3 = —, log 81=8, log 4= — 4 и т. д.
2 Y~b *
YT
2. Найти основание х, при котором \ogxa = b (где а > 0).
1
Решение. По условию а = хь, откуда х— а .
3. Вычислить значение
log5 16
logs 4 '
Имеем:
logs 16 log5 2* 41og52
log5 4 ~ Iog522 ~ 2 log5 2
~ '
4. Известен logi5 3, вычислить
Решение.
Iog1525 = 2 log16 5 = 2 log15 — = 2 (log15 15 - log1B 3) = 2 A — log15 3).
и
5. Известны логарифмы чисел при основании а, найти логарифмы при
основании ak.
454

Решение. По формуле перехода от одного основания логарифмов к
другому имеем:
N = r
\ogaak
В частности,
\oga2N = °Q , log N = 2 logaiV, log i N=- \ogaN и т. д.
a
Формулу A) можно получить и непосредственно: если N = а]°ёаЫ, то
k
= (ak), откуда следует равенство A).
6. Найти соотношение между числами log a Ъ и log# a.
Решение. Если в равенстве log^A/ = —положить Л^ = а, то по-
log^
7. Доказать, что отношение логарифмов двух данных чисел одинаково
при любом основании.
Решение. Имеем:
и log^M = , откуда
\ogb
и log^M = , откуда = .
\ogab \ogab logaM \ogbM
8. Вычислить \ogabc .. . k*> зная loga^i togbX, ... , log^x (где лс =*= 1)
Решение. Имеем:
1 1
откуда
1 ¦ ! - + ...Н '
9. Доказать, что, если a, b и с — члены геометрической прогрессии, то
\ogqN \ogaN —
— \ogcN
Решение. Имеем по условию b=\ ас, следовательно,
1 1 2
\ogNa + \ogNc
2 2 logaW logc iV
\ogcN
455

Подставив в правую часть полученное выражение для log# N, после
преобразования, получим левую часть.
10. Доказать, что если (ас)loSa b= с2, то числа loga N, logb N и logc N
образуют арифметическую прогрессию.
Решение. В силу данного соотношения имеем:
loga (ас)]оёаЬ = 2 \ogac или loga6 A +
требуется доказать, что при этом условии
= \ogaN+\ogcN.
Преобразовав все логарифмы к основанию а, представим доказываемое
равенство в следующем виде:
Сократив на loga N, получим равенство, равносильное заданному соот-
соотношению.
§ 101. Логарифмическая функция
Определение. Функция, заданная формулой ^/ = log^x, на-
зывпется логарифмической функцией.
/=(д2х
Каждому положительному числу х соответствует единствен-
единственное действительное число у. Обратно, каждому действительному
числу у соответствует единственное положительное число х = аК
Таким образом, между значениями х (где 0 <х < +оо) и у
(где —оо<г/<+оо) устанавливается взаимно однозначное
соответствие (черт. 156). Следовательно, функции y = \ogax и
х = ау взаимно обратные.
Теорема.В интервале @, + оо) логарифмическая функция
у = \ogax при а > 1 возрастает от —оо до оо, а при 0<а<1
убывает от +оо до —оо.
Доказательство. 1°. Показательная функция х = ау
при а > 1 возрастает, а при а < 1 убывает, следовательно, и об-
обратная функция при а > 1 возрастает, а при а < 1 убывает.
2°. Любое заданное значение b функции у = logax имеет при
единственном значении аргумента х = аь\
у = log^a* = Ъ.
456

3°. lim lcg^jc = -f оо при а>1. В самом деле, если х>а ,
X -> оо
то log^jt>>yV, где Л/>>0 — произвольное (как угодн) большое)
число.
ЕслиО<а<1, то limloga.x:= — оо, так как lcgfl*< — Л/
л: -> -f-oo
при x^>a~N.
limlog^A: = — оо при а>]. В самом деле, logfl*<— N при
х -> О
0<*<а"".
Если а<1, то, limbg^x = + °°> так как logax^> N при
<<
Теорема. Логарифмическая функция непрерывна в интер-
интервале (О, +оо).
Доказательство. Докажем сначала, что функция
у = \ogax непрерывна в точке х = 1, т. е., что
Hmlogfl* = loga 1 =0.
д:-> 1
Положим х = 1 + h\ требуется доказать, что неравенство
l°ga ( 1 + А) | < 8, ИЛИ ЧТО ТО Же — 8 < lOga ( 1 + А) < 8 ( 1)
выполняется при всех достаточно малых значениях | А |. В самом
деле, система неравенства A) равносильна системе неравенств
(для определенности считаем а> 1):
а~?<1 + А<ае.
Последняя система выполняется, если |А| меньше наи-
наименьшего из чисел 1 —а~~г и а? — 1.
Пусть х произвольное значение аргумента. Составим прира-
приращение логарифма:
ЬУ = bga (х -I- А) — logaA: - log
По доказанному неравенство log A -J- —) <Ге имеет место
при всех достаточно малых значениях |А| (заменить в формуле
A) А на —J. Следовательно, функция \ogax непрерывна в точ-
точке Л', Ч. Т. Д.
Линия у = log^A; вогнута при а > 1 (выпукла при а < 1) в
интервале @, + оо) (см. стр. 218). Имеем при 0 < х\ < х2:
2 ; ~ь<ч 2
+ f (x*) __ gfli + g^2 I
457

В силу свойств средних арифметического и геометрического
и монотонности логарифма, имеем:
loga
_ г
¦ 1о§я У
при а]
при а<
Графики логарифмической функции ( при а = 2 на а = —I
представлены на чертеже 157.
Черт. 157
§ 102. Степенная функция
с произвольным действительным показателем
Областью определения степенной функции у = хп при ирра-
иррациональном п (случай рационального п рассмотрен выше) яв«
ляется при п > 0 полусегмент @, + оо), а при я< 0 — интервал
@, + оо) (см. определение степени с иррациональным показате-
показателем).
Для изучения свойств степенной функции у = хп в интервале
@, +оо) при любом действительном п (рациональном или ирра-
иррациональном) можно пользоваться следующим методом. Так как
в интервале @, +оо):
(считаем а> 1), значит, степенная функция может быть пред-
представлена в виде сложной функции:
ап = а", где и = п logax.
1.°. Отсюда вытекают следующие свойства степенной функ-
функции:
lim хп = | + оо (если п > 0),
*^ + со \ 0 (если п<0).
458

В самом деле, если п > 0, то lim и =
если /г<0, то \imu = —со и
2°.
оо к lim аи = + ос J
lima" =
Ы -> — оо
О (если я>0),
+- оо (если я<0).
Доказательство аналогично, если принять во внимание, что
lim и (х) =Л\т п loga х = ( — ос (если п > 0),
х~>0 \ + оо (если п<0).
3°. Функция л:"непрерывна в интервале @, +оо); это следует
из теоремы о непрерывности сложной функции: при л:>0 функ-
функция и(х) непрерывна и аи
также непрерывна. Если
п > 0, то хп непрерывна и в
точке 0, ибо по свойству 2°:
и 0п = 0.
к>с
4°. Функция хп при п > 0
возрастает, при /г < 0 убы-
убывает.
В самом деле, в первом
случае и(х) =п logax возра-
возрастает, а во втором убывает.
Сопоставим степенные
функции х яхп* при двух
различных действительных
значениях показателя степе-
степени.
Черт. 158
Предположим для определенности, что п\ < п2. Имеем:
хПш—хП1=
<0 (при *<1),
= о (при х = 1),
>0 (при х>1).
Следовательно, хп* <Схп^ в интервале 1<л:< + оо и xni^>xn*
в интервале 0<^<О-
Геометрическая интерпретация: в 'интервале @,1)
линия у = хп* лежит выше линии у = хп*9 а в интервале A, + оо)
линия y = xni лежит ниже линии у = хп*. Все линии у = хп про-
проходят через точку A,1) (черт. 158).
§ 103. Сложная показательная функция
Сложной показательной функцией называется функция вида
459

В общем случае значение функции ф(х) являются действи-
действительными числами — как рациональными, так и иррациональ-
иррациональными, и так как в поле действительных чисел рассматриваются
иррациональные степени лишь положительных чисел, то
область определения сложной показательной функции устанав-
устанавливается из условия f(x)>0. При некоторых конкретных чис-
численных значениях х, при которых f(x) <[ О, выражение \f(x)Y^
может иметь смысл в поле действительных чисел, однако, все
же эти значения х к области определения сложной показатель-
показательной функции не причисляются.
Так как в области определения сложной показательной
функции /(*)>0, то f(x) = a}ogaf{x)> а потому сложная показа-
показательная функция может быть представлена в следующем виде:
Исследование сложных показательных функций средствами
элементарной математики обычно сопряжено со значительными
трудностями.
Пример
Функция хх рассматривается при положительных значениях аргумента
0<*< + оо. Если положить * = —1, то получим (—1)-1 = — 1. Однако при
этом значении х данная функция не рассматривается и —1 не считается ее зна-
значением (в поле действительных чисел).
Имеем у = ах1о8ах, для определенности счи-
считаем, что а > 1. Так как lim(.v loga*) — 0, то
Черт. 159
\imy~l*. Согласно принципу продолжения по
непрерывности точку х=0 следует включить в
область определения и считать значение функции
хх равным 1 при х=0. Итак, областью опреде-
определения хх считается промежуток 0<*<+оо.
Исследование рассматриваемой функции на возра-
возрастание и убывание элементарными средствами
затруднительно. Применением методов диффе-
дифференциального «счисления без труда устанавли-
устанавливается (вычисления предлагаем провести учащим-
Г ! 1
ся), что ххв промежутке 0, — убывает от 0 до
L е 1
1
—) , а в промежутке ( , + оо ) возрастает от — до + оо
е ) \ е I \ е /
(черт. 159).
* Равенство нулю предела lim*loga* известно из курса математическо-
х -> О
го анализа, элементарное доказательство приведено ниже (см. § 108).
460

§ 104. Примеры исследования функций,
заданных формулами, содержащими логарифмические
и показательные операции
При установлении области определения функции, заданной
формулой, содержащей показательные и логарифмические опе-
операции, надлежит руководствоваться следующими положениями:
а/(х, у, ... z) имеет смысл при всех значениях аргументов,
при которых имеет,смысл f(x, у, ..., г).
Функция log/(а:, у, ..., г) имеет смысл при тех значениях
аргументов, при которых /(х, у, ..., 2) >0.
В нижеследующих примерах 1—7 показано установление об-
области определения функций.
Примеры
1.Функция
Область определения
1
— оо < X < + °°
совокупность двух интервалов
— оо < Х< 1 , 1 < Х< + оо
полуинтервал — оо < х < 1
совокупность двух интервалов
(_оо, 0) И @. +оо)
2. Найти область определения функции
Ух*- 1 -2*-5 .
Решение. Для нахождения искомой области определения надо ре-
решить систему неравенств:
х2 ^> 1, х > 0 при условии х Ф 5,
х2
откуда найти совокупность двух промежутков: 1<л;<5 и 5
3. Найти область определения функции
Решение. Искомая область определения устанавливается неравен-
неравенством
22*-f4 _4* —30>0 или 22дсA6 — 1)
2х !
откуда 2 > 2 и, следовательно, х >^~ .
461

4. Найти область определения функции
- . где а > О, C>0.
У ax—k$x
Решение. Требуется решить неравенство
*x — k$x>0 или ax>k$x,
[ а \х а
откуда ( — I >&. Положим-— = а\ если а>1, то найдем x>\ogak, если
\ Р / Р
а<1, то x<\ogak\ если а=1, то подкоренное выражение равно ах A—k)>
при ^<1 получим интервал —oo<jc< + oo, при /г>1 данное выражение не
определяет никакой функции (действительной).
5. Функция
Область определения
logo (— X)
logad-*2)
logaO-*2-*/2)
интервал (— со, 0)
интервал (— 1, 1)
внутренняя область круга
х2 + у2 < 1
6. Найти область определения функции log a (loga (loga x)).
Решение. Г. Пусть а>\; требуется решить неравенство \oga(\ogax) >0;
откуда loga х > 1 и, следовательно, получим интервал а < х < + оо.
2°. Пусть а < 1; из неравенства loga(loga*) > 0 следует 0 < logax < 1,
откуда (при а < 1) получим интервал а < * < 1.
7. Найти область определения функции
' — 8х+15
Решение. Искомая область определяется системой неравенств
—5X+16)—
Решим первое неравенство
1 —j
(* — 3) (х — 5)
. Составим таблицу
1 —
X —
X —
X
3
5
(-оо, 1)
+
—
—
A
, 3)
—
—
—
C,
—
+
—
5)
E, +оо)
—
+
+
462

Первое неравенство определяет совокупность промежутков (—сю, 1] и
C, 5).
Решим второе неравенство \g(x2—5х+16)>1, откуда
__5л: +16 > 10 или х2 —
6>0.
Неравенство определяет совокупность двух интервалов (—оо, 2) и C, оо).
Искомая область определения есть общая часть полученных двух сово-
совокупностей промежутков, т. е.
совокупность двух промежут-
промежутков— оо < * <1 и 3<х<5
Ниже приводятся примеры
исследования функций.
8. у=2 ~~х\
Область определения — ин-
интервал — оо < х < + оо; функ-
функция четная, исследуем ее на по-
полусегменте 0 < х < оо. На этом
полусегменте показатель степе-
степени — х2 убывает от 0 до — оо,
а у = 2~~**убывает От 1 до 0.
В полуинтервале (— оо, 0] фун-
функция у возрастает от 0 до 1.
График представлен на чертеже 160.
Для уточнения графика можно составить, например, такую таблицу зна-
значений функции:
Черт. 160
X
У
0
1
0,5
0,8
1
0,5
2
0,06
I
Ugx
Черт. 161
Черт. 162
9. Построить график y=\oga (—х), где а>1.
Область определения есть интервал (—оо, 0). В этом интервале у убы-
убывает от +оо до —оо. График симметричен линии y = [oga x относительно
оси ординат (черт. 161).
463

10. Исследовать функцию у= (для определенности считаем а>1).
1°ба*
Область определения состоит из двух интервалов 0<х<1 и l<x< + oo.
В первом интервале log a х<0 и возрастает от —оо до 0, а у убывает от 0
до —оо; во втором интервале log nx>0 и возрастает от 0 до +оо, а у убы-
убывает от + оо до 0 (черт. 162). Для уточнения графика предлагаем учащимся
Черт. 163
составить таблицу значений при * = 0,1; 0,2;...; 0,9; 1,1; 1,2;..., положив а=10.
11. Построить график y = \oga х2 (где а>1).
У=1дО-х2)
Черт. 164
Черт. 165
Область определения — множество всех действительных чисел, отличных
от нуля, т. е. совокупность дв>х интервалов (—оо, 0) и @, +оо). Функция
четная. Исследуем ее в интервале @, + оо). При х > 0 имеем loga*2 = 2 loga*.
Следовательно, в интервале @, Н-оо) график (черт. 163) можно получить
растяжением графика у = \oga x (пунктирная линия) в 2 раза от оси аос-
цисс.
12. Построить график i/=log2(l—х2).
Из условия 1—jc2>0 или jc2<1 найдем область определения данной фун-
функции в виде интервала —1<х<1. Линия симметричная относительно оси
464

0Y, поэтому достаточно исследовать данную функцию на полусегменте
0<jc<1. На этом полусегменте 1—х2 убывает от 1 до 0, значит, у убывает
от 0 до —со. График представлен на чертеже 164.
13. Исследовать функцию у — \oga (х2—1) (считаем а>1). Область опре-
определения есть совокупность из двух интервалов (—оо, —1) и A, + оо), функ-
функция четная. В интервале A, +оо) функция х2—1 возрастает от 0 до +оо,
a y—\oga (х2—1) возрастает от —оо до +°о. Имеем у<0, если л:3—1<1,
т. е. \х\ < У~~2~ и у>0, если \х] > ]/~2~; при \х\ = V~~2 у = 0 (черт. 165).
14. Исследовать функцию у-
(где а>0). Функция четная. Ис-
Исследуем ее при х>0. Положим и== ах\ имеем и>\ (при х>-0). На полу-
полусегменте 0<л:<1 функции и== ах возрастает от 1 до +оо, следовательно,
г/== -— 1и-\~ —I возрастает (см. выше, стр. 436, пример 1) от 1 до + оо.
График (цепная линия) представлен на чертеже 166.
Черт. 166
15. Исследовать функцию y = \oglx (где а>1).
Область определения — интервал @, +оо); в полуинтервале (O,1J функ-
функция \oga х возрастает от —оо до 0, а у убывает от +оо до 0. На полусег-
полусегменте [1, +°°) loga х возрастает от 0 до +оо, а i/ также возрастает от 0
до +оо (черт. 167; для уточнения линии составить таблицу значении при
10)
16. Исследовать функцию */=2
Область определения есть совокупность двух интерзалов —оо<*<0 и
. В первом интервале — убывает от 0 до —оо, а у убывает от 1
х
до 0. Во втором интервале — убывает от +оо до 0, а у убывает от +оо
до 1 (черт. 168).
17. Исследовать функцию у = 2
30 С. И. Новоселов
465

Функция -л 9 в полуинтервале (—°°, —1] убывает от 0 до — — (см.
пример 2, стр. 437), а у убывает от 1 до 2
2 _
.На сегменте[—1,1]
у=2™
Черт. 169
х 11 1
функция ? возрастает от — ~ до —-, а у возрастает от —— До
!, нако-
наконец, на полусегменте [1, +°°) у убывает от V 2 до К График представлен
на чертеже 169.
§ 105. Логарифмические вычисления
Свойства логарифмов:
\ogaNk ^
(где Лг и М положительны) показывают, что действиям умно-
умножения, деления и возведения в степень над положительны-
м и числами соответствуют действия сложения, вычитания и ум-
умножения над логарифмами данных чисел. Всякому выражению,
составленному из положительных чисел ху у, г, ..., w,
466

посредством действий умножения, деления и возведения в сте-
степень:
V(x,y, . . .,а>) = ху ¦ ¦ '% (V)
иРФ . . .wr
соответствует выражение:
logaV =^ k\ogax+ tlogay + . . . + mlogaz — p\ogau~
— Я bga V _ ... — Г logfl Ш. (log V)
При переходе от выражения (V) к выражению (logV) числа
заменяются их логарифмами, действие умножение — сложением,
деление — вычитанием, а возведение в степень — умножением
на показатель степени. Этот переход называется логарифми-
логарифмированием выражения (V).
Обратный переход от выражения (logV) к выражению (V)
называется потенцированием выражения (logV).
Примеры
1. Прологарифмировав выражение
5
y
получим
2 1 ЬЧг 2 2 3
l d + l l d + — loga 6 + —
5 5
2 1 ЬЧ 2 2
= — loga d + — loga -— = — logfl d + —
3 5 p 3 5
2. Дано соотношение между логарифмами
k logs * — — loga У — Р = О.
Потенцированием найти соответствующее соотношение между числами
Решение. Так как
p=log^a^ и logal=0,
то данное соотношение можно записать в виде:
k loga х— — \oga у — loga аР = loga 1,
п
откуда
п. ,
У
У п оР
3. Прологарифмировать выражение
где х и у произвольные отличные от нуля действительные числа.
30* 467

Решение.
\ogaV = 2k\oga\x\-2l\oga\y\.
Следовательно,
2k logax — 21 logay, если x > 0, у > 0
— 2l\oga(— у), если x >0, */<0,
(— *)•— 2/loga*/, если x < 0, */>0,
2/jloga(—x)~ 2/ loga(—*/), если x<0, #< 0.
Практическое значение логарифмирования заключается в
том, что оно заменяет умножение, деление и возведение в сте-
степень более легко выполнимыми действиями: сложением, вычи-
вычитанием и умножением. Чтобы вычисления посредством лога-
логарифмирования действительно облегчали счетную работу, необ-
необходимо указать способ, позволяющий без затруднений
находить логарифмы чисел и обратно, находить числа по их
логарифмам. В вычислительной практике обычно пользуются
заранее составленными таблицами, в которых значения лога-
логарифмов чисел (с данной степенью точности) даются в готовом
виде.
Для практических вычислений обычно пользуются деся-
десяти ч н ы м и логарифмами, т. е. логарифмами, вычисленными
при основании 10. Логарифм числа N при основании 10 обозна-
обозначается так:
т. е. lgA^ = Iog10#.
Кроме десятичных логарифмов, применяются натураль-
натуральные логарифмы, т. е. логарифмы при основании:
+ -Цп = 2,71828 . . .
При основании е ряд формул математического анализа полу-
получает наиболее простой вид. Логарифмы при этом основании
наиболее просто вычисляются (средствами математического
анализа).
Ниже указаны основные свойства десятичных логарифмов.
Теорема. Рациональное число г в том и только в том
случае имеет рациональный логарифм, если оно является це-
целой степенью числа 10:
г =10".
Доказательство. Всякое число вида 10л (где п — целое
число) имеет рациональный логарифм:
lg Ю" - п.
468

Обратно, пусть \gr = _P —рациональное число, докажем, что
1 р
г есть целая степень десяти. Пусть г= — , где Р и Q целые вза-
взаимно простые числа. По условию, имеем:
10 9 = —, откуда 10р = -^- .
Разложим числа Р и Q на простые множители:
Будем считать, что <7>0.
Случай 1°. р>0, имеем:
/а'М • "т\ A)
Так как числа Р и Q не имеют общих множителей, отличных
от 1, то равенство A) возможно лишь при условии Q = 1. От-
Откуда
2*.5*= Г/пРд . .п7*.
В силу единственности разложения натурального числа на
множители, последнее возможно лишь, если правая часть не
содержит никаких других множителей, кроме степеней чисел
2 и 5. Пусть, например, / = 2, т = 5, тогда
Р = 2Р5Р = 2*q • 5Р \
откуда
Р = a q, p = $q,
следовательно, lgr=— = a = p есть натуральное число, а потому
Я
г=-^-= 10 g = 10а.
Q
Случай 2°. р<0; положим р = —рЛ, равенство 10^ = —-
О9
перепишется так: 10*' = -^. Теми же рассуждениями, как и в
предыдущем случае, докажем, что Р= 1, — = 10а, где а —на-
—натуральное число, и
г = ~^~ = 10-а.
Q
Случай 3°. р = 0. Имеем lg r = 0iH г= 1 = 10°.
469

Следствие. Десятичные логарифмы положительных рацио-
рациональных чисел, отличных от
1
10*
—, 1, Ю,
10я,
иррациональны.
Десятичные логарифмы задаются в таблицах (с данной сте-
степенью точности) в виде десятичных дробей. Целая часть * ло-
логарифма называется его характеристикой, а дробная часть
мантиссой. Характеристика логарифма может быть любым
числом, а мантисса неотрицательна.
Пусть N = pk ... pipOy p_lp_2-" некоторое положительное
число, заданное десятичной дробью; условимся счет мест, кото-
которые занимают десятичные знаки, вести по следующей схеме:
Десятичные
знаки
№ места
Р2
2
Pi
1
Ро
0
Р~\
—1
Р-2
—2
. . .
р-п
—п
. . .
. . .
Так, если N=23,41, то нулевое место занимает 3, первое
место занимает 2; (—1)-е место 4, и (—2)-е место занимает 1.
Теорема, Если в изображении числа N десятичной дробью
первая по порядку (считая слева направо) значащая цифра
занимает п-е место, то характеристика логарифма N равна п.
Доказательство. Если рЛ^=0 первая значащая цифра,
ToN=lO»(pn+ А
10
100
• • )(где
откуда
и, следовательно, n<^lgN<n+l, ч. т. д.
Теорема. При умножении числа на 10п (где п—произволь-
п—произвольное целое число) мантисса логарифма данного числа не ме-
меняется, а к характеристике прибавляется число п.
Доказательство. Если lg N = р -f 0, рхр2 . . ,pk # . ,,
то \g(WnN) = \gl0n+lgN = n+p+0, РгР2 . . .рк . . .,ч.т.д
В таблицах десятичных логарифмов обычно даются
мантиссы логарифмов всех натуральных чисел в некотором
промежутке от 10n~] до 10п, т. е. мантиссы целых л-значных
* Под целой частью действительного числа а,
наибольшее целое число, не больше а.
470
как обычно, понимаем

чисел. Эти мантиссы даются с данным числом десятичных зна-
знаков и с погрешностью (согласно общим правилам округления),
не превосходящей 0,5 последнего десятичного знака. Таблицы
называются &-значными, если в них мантиссы задаются с k де-
десятичными знаками. Примерами могут служить четырехзначные
таблицы Брадиса, пятизначные таблицы Пржевальско-
Пржевальского, семизначные таблицы В era, в которых мантиссы даются
(соответственно) с четырьмя, пятью и семью знаками.
По таблицам, в которых содержатся логарифмы Аг-значных
целых чисел, непосредственно может быть найден лога-
логарифм любого числа, содержащего в своем десятичном изобра-
изображении п значащих (либо меньшее число) цифр. В самом деле,
все числа, имеющие одни и те же п значащие цифры, имеют од-
одну и ту же мантиссу и отличаются лишь значением характери-
характеристики, равной номеру места, занимаемого первой значащей циф-
цифрой. Так, например, числа: 1035; 1035 000; 1,035; 0,00135 имеют
одну и ту же мантиссу и их характеристики соответственно
суть 3, 6, 0, 3 (знак характеристики принято писать сверху).
Для нахождения мантисс логарифмов чисел с числом знаков
большим, чем /г, применяется линейная интерполяция.
Так, например, в таблицах Пржевальского непосредственно
даются пятизначные мантиссы четырехзначных чисел. Для вы-
вычисления же мантисс пятизначных чисел применяется линейная
интерполяция. Согласно общему принципу линейной интерполя-
интерполяции в рассматриваемом малом промежутке функция (в данном
случае логарифмическая) заменяется (приближенно) линейной
функцией, имеющей те же значения в концах промежутка, что
и данная функция. Для линейной функции приращение функции
пропорционально приращению аргумента; поэтому считают
(приближенно) приращение интерполируемой функции пропор-
пропорциональным приращению аргумента. Пусть, например, требует-
требуется по таблицам Пржевальского найти мантиссу логарифма чис-
числа 25 917. Находим мантиссы логарифмов чисел 25 910 и 25 920
непосредственно из таблиц (это мантиссы логарифмов четырех-
четырехзначных чисел 2591 и 2592). Пусть А разность между най-
найденными мантиссами; эта разность соответствует приращению
аргумента Ах = 10. Следовательно, согласно принципу интер-
интерполяции приращение функции (поправка) б, соответствующее
приращению аргумента Л# = 1, найдется из пропорции:
т = -( огкуда о = 7-.
Значения интерполяционных поправок обычно даются гото-
готовыми в виде небольших табличек (partes proportionates). Интер-
Интерполяционную погрешность, возникающую благодаря замене
данной функции линейной, удобнее всего оценить на основании
общих формул оценки интерполяционных погрешностей (эти
471

формулы приводятся в курсе математического анализа). Заме-
Заметим, что интерполяционные погрешности заметного влияния на
точность результатов вычислений не оказывают.
Для нахождения чисел по их логарифмам либо пользуются
готовыми таблицами (таблицы «антилогарифмов», см., напри-
например, таблицы Брадиса), либо пользуются теми же таблицами
логарифмов, но только с той лишь разницей, что данными счи-
считаются не числа, а мантиссы их логарифмов, а искомыми не
мантиссы логарифмов, а числа. Найдя в таблицах мантиссу,
наиболее близкую к данной, и соответствующее ей число, при-
применяют принцип линейной интерполяции.
При пользовании таблицами логарифмов в основном надле-
надлежит руководствоваться следующим принципом: при вычислени-
вычислениях над числами с k-значащими цифрами применяются k-значные
логарифмические таблицы.
Остановимся на четырехзначных логарифмических табли-
таблицах. В этих таблицах даются мантиссы логарифмов чисел от
1000 до 10 000. Оценим изменение мантиссы логарифма при
изменении числа на 1. Пусть у— число, а х — его логарифм,
x = \gy, по условию 1 000<у<Ю000. Если Д#=1, то
Так как 0,0001 <^.< 0,001, то lg 1,0001 < А х < lg 1,001,
у
откуда
0,00004 < А х < 0,00043.
Следовательно, изменение числа на 1 в начале таблицы (при
у, близком к 1000) вызывает изменение в четвертом знаке ман-
мантиссы примерно на 4 единицы (не более 5 единиц). В конце же
таблицы (при у близком к 10 000) изменение числа на 1 окажет
влияние лишь на пятый знак мантиссы.
Оценим изменение числа при изменении четвертого знака
мантиссы на 1 единицу. Рассмотрим функцию #=10*; положим
Ах=0,0001; имеем:
х— 10*= 10*A0Л* —1),
откуда
А у =loo,oooi _ ! ж 0,00023.
У
Следовательно, изменение мантиссы на 0,0001 вызывает из-
изменение числа с одной и той же относительной погрешностью»
приближенно равной 0,00023.
При указанном изменении мантиссы логарифма четвертая
значащая цифра числа изменится примерно на 2 единицы (не
472

более, чем на 3 единицы). В частности, округление мантиссы с
точностью до 0,5 четвертого знака может вызвать погрешность
не большую, чем 1—2 единицы четвертой значащей цифры
числа.
Из изложенного и следует, что при вычислениях посредст-
посредством четырехзначных таблиц получаются результаты с четырьмя
значащими цифрами, причем последняя цифра не вполне на-
надежна. Чтобы иметь, большую уверенность в четвертой цифре,
можно применять пятизначные таблицы. Однако применение,
например, семизначных таблиц явилось бы в данном случае
напрасной затратой труда. В самом деле, если число дано (при-
(приближенно) с четырьмя значащими цифрами, то ошибка при
округлении (не большая 0,5 четвертой значащей цифры) вызо-
вызовет, вообще говоря, изменение в четвертом знаке мантиссы ло-
логарифма, и производить вычисления с семью знаками не имеет
смысла. Вместе с тем вычисления по таблицам с меньшим чем 4
числом знаков не дадут требуемой точности. Так, например,
если применять трехзначные таблицы, то погрешности, допу-
допускаемые самими таблицами (например, округление мантиссы),
могут оказать влияние на третью значащую цифру и результат
вычисления будет слишком грубым.
Мы не останавливаемся на описании правил пользования ло-
логарифмическими таблицами, так как к каждым таблицам при-
прилагается соответствующее руководство (см., например, таблицы
Пржевальского или Вега), в котором и даются правила приме-
применения данных таблиц. Подробное описание обычных четырех-
четырехзначных таблиц и правила пользования ими изложены в школь-
школьном учебнике алгебры А. П. Киселева.
Для многих практических расчетов (например, в технике)
оказываются вполне достаточными четырехзначные таблицы, а
в повседневной практике инженера логарифмическая линейка
(см. раздел о приближенных вычислениях в курсе арифметики).
Необходимо заметить, что вычисления посредством многознач-
многозначных таблиц логарифмов в настоящее время в значительной
мере утратили свое значение. Применение счетных машин, на-
начиная от арифмометра и кончая современными счетно-аналити-
счетно-аналитическими машинами, дает возможность быстро и точно выпол-
выполнять сложные вычисления. Разработка проблем вычислительной
техники у нас в СССР ведется в широком масштабе. Ака-
Академией наук СССР и другими научно-исследовательскими уч-
учреждениями разработаны конструкции машин, позволяющих
механизировать сложнейшую вычислительную работу, которая
потребовала бы огромной затраты труда многих вычислителей.
Для составления таблиц логарифмов надо уметь вычислять
логарифмы чисел с данной степенью точности. В теории рядов
выводятся формулы, позволяющие вычислять логарифмы чисел
с любой заданной степенью точности и оценивать допускаемые
473

погрешности. Эти формулы приводятся в курсе математического
анализа, ими и пользуются в настоящее время при составлении
таблиц.
Логарифмы чисел можно вычислять и элементарными сред-
средствами, однако, соответствующие вычисления (при современных
вычислительных средствах) потребовали бы бессмысленной
затраты огромного труда*. Поэтому рассмотрение элементар-
элементарных способов вычисления логарифмов может служить (в весьма
скромных границах) лишь учебно-педагогическим целям.
Логарифмы чисел с точностью до 1 вычисляются непосред-
непосредственно. В самом деле, если первая значащая цифра занимает
п-е место, то
n<\gN<n + 1;
чтобы найти \gN с точностью до—, возведем число N в k-ю
k
степень и определим \gNk с точностью до 1:
/i<lgW*</i+ 1,
откуда
n<k\gN<n+\ и ^-^±^
k
Следовательно,— и —?— суть искомые приближенные значе-
k k
ния \gN с точностью до — с недостатком и с избытком.
k
Для вычисления логарифмов можно пользоваться таблицей
значений показательной функции. Так, в таблице степеней 10
(см. пример, стр. 448), которую возможно (в принципе) соста-
составить элементарными средствами, числа верхней строки являют-
являются приближенными значениями логарифмов соответствующих
чисел нижней строки.
Примеры
1. С точностью до 0,001 вычислить Ig2 (пример и вычисления заимство-
заимствованы из книги В. М. Б р а д и с а, Средства и способы элементарных вычис-
1ений. Изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1948). Имеем
28 = 2,56- 102. Применяя таблицу квадратов чисел, находим последовательно
216 = 6,554-104, 232 = 4,295-109, 264 = 1,844-Ю19,
2128 = 3,410-Ю28, 2256= 1,157-Ю77, 2512= 1,339-Ю154,
21<>2*=^ 1,739-10308, 22048 = 3,214-Ю616, 24096 = 1,033-Ю1233.
Следовательно,
1233 < 4096 lg2 < 1234,
откуда
0,3010 < Ig2< 0,3012 и Ig2 = 0,301.
* Примеры таких бесполезных вычислений см., например, в книге И. В.
Арнольда, Логарифмы в курсе элементарной алгебры. Изд Академии
педагогических наук РСФСР, 1949.
474

2. С точностью до 0,01 вычислить lg 3 (пример и вычисления заимство-
заимствованы из книги К. Ф. Лебединцева, Руководство алгебры, т. II, Госиздат,
1927). Непосредственными вычислениями находим 35 = 243 и 310=59049, сле-
следовательно,
59.103<310<60-103.
Возвысив в квадрат, получим:
348Ы06<320<3600-106. A)
После округления получим:
34.108<320<36-108.
Аналогично после возведения в квадрат и округления получим*
11-Ю18<3*°< 13-101»,
откуда
12Ы036< 380< 169-1036.
Заменив 121 на 100, а 169 на 200, усилим неравенства:
1038<380<2-1038;
перемножив почленно эти равенства и неравенства A), получим:
34-1046<3100<72-1046.
Заменив 34 на 10, а 72 на 100, усилим неравенства:
1O47<3ioo< 1948f
откуда
47<1001g3<48 и 0,47 <: lg 3 < 0,48.
§ 106. Показательные и логарифмические уравнения
и неравенства
Элементарными трансцендентными (или в даль-
дальнейшем трансцендентными) уравнениями называются уравне-
уравнения вида /(л')=0, где f(x) есть элементарная трансцендентная
функция.
В общем случае трансцендентное уравнение не может быть
решено элементарными средствами. Это значит, что нельзя
установить правила, позволяющего получить каждое решение
уравнения путем последовательного выполнения ряда арифме-
арифметических действий и элементарных операций над данными чис-
числами (коэффициенты, параметры и пр.). Однако в ряде частных
случаев общее решение трансцендентного уравнения можно по-
получить в виде формулы (или нескольких формул), содержащей
элементарные операции над известными числами. Элементарная
математика ограничивается рассмотрением лишь весьма част-
частных видов трансцендентных уравнений (и систем), допускаю-
допускающих решение элементарными средствами.
Многообразие различных видов элементарных трансцендент-
трансцендентных уравнений и приемов их решения (если таковое может быть
выполнено элементарно) делает затруднительным установление
достаточно целесообразной классификации этих уравнений.
475

3 элементарной алгебре под названием показательных
и логарифмических уравнений рассматриваются частные
виды уравнений, в которых неизвестные содержатся в показате-
показателях степени или под знаком логарифма.
Точное определение понятия показательного или логарифми-
логарифмического уравнения было бы плодотворным, если бы выделение
класса уравнений, носящих данное название, связывалось с ус-
установлением общих методов их исследования и решения. На
самом же деле речь идет о различных весьма частных видах
трансцендентных уравнений и специальных приемах их реше-
решения, так что установление дробной классификации в соответст-
соответствии с этими приемами не является целесообразным *.
В практических приложениях математики нередко требуется
вычислить решение уравнения приближенно с данной степеныо
точности. Общие указания относительно элементарных прибли-
приближенных методов решения уравнений даны в § 66; там же рас-
рассмотрено приближенное решение уравнения 2х = 4х, которое
элементарными средствами «точно» решено быть не может.
Простейшие уравнения. 1°. Простейшим показатель-
показательным уравнением называется уравнение:
ах = с (где а > О и а Ф 1).
При с>0 простейшее уравнение имеет единственное решение
При с<;0 уравнение не имеет решений, так как значение
показательной функции не может быть отрицательным или рав-
равным нулю.
2°. Простейшим логарифмическим уравнением называется
уравнение:
\ogax = c (где а>0 и аф\).
* Принятые во многих старых учебниках «определения» нельзя признать
удачными. Например, под определение показательного уравнения как уравне-
уравнения, содержащего иеизвестнюе в показателе степени, подойдут многие урав-
уравнения, неразрешимые элементарными средствами. Примером может слу-
служить уравнение
2х = 4х,
ли-нейное относительно х и 2х. Но с другой стороны, уравнение
Xх = X
приводится в школьных задачниках, так как оно без труда решается эле-
элементарными средствами.
Вопрос о том, следует или не следует считать данное уравнение, содер-
содержащее неизвестное в показателе степени, показательным, не имеет принци-
принципиального значения. И не может возникнуть никаких недоразумений, когда
название «показательное» или «логарифмическое» уравнение применяется
к тем уравнениям, которые рассматриваются в данных конкретных случаях.
476

При любом действительном с уравнение имеет единственное
решение
х = ас.
На нижеследующих примерах пояснено решение показатель-
показательных и логарифмических уравнений, приводящихся к простей-
простейшим.
Примеры
1.
Решение.
5х+1 = 23, откуда х = — .
о
2. . 7*'-5х + 2 = 49.
Решение. Прологарифмировав обе части по основанию 7, получим:
*2 —5х + 2 = 2,
откуда х, = 0, х2 = 5.
3. log3 (х2 + х + 4) = 1.
Решение. jc2+jc+4=3, откуда *2+х+1=0.
Уравнение не имеет решений в поле действительных чисел.
4. logaUogfr[logc*]} = 0.
Решение. Потенцируя последовательно, получим:
5. ab* =c, где c>0, а и b — положительные числа, отличные от 1.
Решение.
bx = loga c\
последнее уравнение не имеет решений, если loga?<^0, т. е. если
< 1, при а > 1,
> 1, при а < \.
Если с>1 при а>1, либо с<1 при а<1, то уравнение имеет единствен-
единственное решение
x=\ogb \oga с
Примечание. Если а = 1, то при сф 1 уравнение не имеет ре-
решений, а при с = 1 удовлетворяется тождественно. Если а ^ 1, Ь=1, то
уравнение не имеет решений при а Ф с и удовлетворяется тождествен-
тождественно при а = с.
Пусть п(х) некоторая трансцендентная функция, a F(u)
—алгебраическая функция аргумента и. Уравнение
при помощи подстановки t = u(x) преобразуется в алгебраиче-
алгебраическое уравнение относительно нового неизвестного t:
477

Если t\, ^2, '"Jk действительные корни этого уравнения, то
решение уравнения (F) сводится к решению k трансцендентных
уравнений:
В частности, этот прием применяется к решению показа-
показательных уравнений вида:
'„«"*+'„_ У"-1>ж+ • • .+ *,<»*+со~О. (f)
Положив ax=t и присоединив неравенство />0, получим ал-
алгебраическую смешанную систему:
cntn+cn_{tn-l+ . . .+c{t + co = Oy t>0.
Если t—tt есть решение этой системы, то для соответствую-
соответствующего решения данного уравнения (f) получим -простейшее урав-
уравнение
а* = ti9 откуда х = loga tt.
Примеры
1. Решить уравнение
— (ах + а-*) = т.
Решение. Умножим обе части на отличный от нуля множитель ах. По-
Положив ах = /, составим смешанную систему
/2__2/и*+ 1 = 0, t > 0.
Корни уравнения суть:
tA = т — у m* — 1 и /2 = т + V ^2 — 1 •
При |тг| < 1 корми мни.мые, при т<0 оба корня отрицательны, при
т > 1 оба корня положительны. Данное уравнение имеет два различные реше-
решения при т > 1:
X) = \oga(m—V m2—i) и x2=\oga(
одно решение х = 1 при т = 1 и не имеет решений при m < 1.
2. Решить уравнение
%2х + 5 __ з*-f 2 , ^
Решение. Так как
то данное уравнение примет вид:
35.32* —З2 3*-2 = 0.
Положив / = 3 , составим смешанную систему
35/2_з2/_ 2 = 0, />0,
478

Корни уравнения действительны и противоположны по знаку; решение
системы даст больший корень
32 + Уз4 + 8-35
2-35
откуда 3х = и х — — 2.
3. Решить систему уравнений
Решение. Если хотя бы одно из чисел Ь или с неположительно, то си-
система не имеет решений. Пусть Ь > О, с > О, положив
составим смешанную систему
u2 + v* = b, uv = c, u>0, v>0. B)
Умножив второе уравнение на 2, сложив с первым и приняв во внимание не-
неравенства, получим:
(и -f иJ = Ъ + 2с, откуда H + u
Присоединив второе уравнение, получим систему
и + v = Vb +2c, uv = c, u>0, v>0
эквивалентную B). Следовательно, и и v суть корни квадратного уравнения
Если А = b — 2с < 0, то корни квадратного уравнения мнимые, система
не имеет решений. Если b — 2с^0, то квадратное уравнение имеет положи-
положительные корни
VV+Yc ± УЬ - 2с
В этом случае система B) имеет два решения:
M1 = z1, Vi = z2 и ^2 = г2, V
откуда
* у = z.2 и ал
Данная система имеет два решения:
¦ч
4.
oga
Решить
\/b + 2c
систему
+ V i
2
— У i
2
i — 2c
> — 9c
У\ [
У
у
b
b
+
+ :
2c
2c-
— УЬ — 2с
2
f У b — 2c
2
Решение. Система приводится к предыдущей: достаточно принять во
внимание, что d = a oga и, следовательно, второе уравнение перепишется
так:
1
= с или
479

Операции логарифмирования и потенцирования, которые час-
часто применяются при решении показательных и логарифмических
уравнений элементарными средствами, могут изменить область
определения уравнения. Следовательно, при выполнении этих
операций можно получить уравнение не эквивалентное данному.
Рассмотрим преобразования, наиболее часто применяемые при
решении показательных и логарифмических уравнений.
1°. Уравнения
f(x,y. . . .,г) = <?(х.у9 . . .,г)иа/{х-у *> = а*<*.*.....*>
(где а>0иа^1) эквивалентны.
В самом деле, второе уравнение есть следствие первого.
Обратно, первое уравнение есть следствие второго, так как зна-
значения показательной функции (при данном основании) могут
быть равными, лишь, когда равны показатели степени, в кото-
которую возводится основание.
На этом основан следующий прием решения показательных
уравнений: представив уравнение в виде равенства степеней не-
некоторого положительного числа (основания), приравнивают по-
показатели степени правой и левой частей.
2°. Если функции f (х, у, . . ., z) и ср (х. у, . . ., г) п о л о-
жительны, то уравнения
f(x, у, . . ., *) = ?(*, У, . . ., г)
и logf.m(x, у, . . ., г) =logcp(x, г/, . . ., г)
эквивалентны (основание логарифмов произвольное). В самом
деле, второе уравнение есть следствие первого. Обратно, первое
уравнение есть следствие второго, так как из равенства лога-
логарифмов двух положительных чисел следует равенство этих чи-
чисел. На этом положении основан прием решения уравнений по-
посредством логарифмирования обеих частей.
В частности, логарифмирование обеих частей применяется
к решению уравнений вида
kaf{x'y z) = 1Ь9{Х'У z),
где k, I, а и Ъ — положительны. Прологарифмировав по произ-
произвольному основанию, получим уравнение:
logk+f(x,y, . . .fz)loga = log/ f <f(x, у, . . .,2)log6,
эквивалентное данному, так как обе части данного уравнения
положительны.
Если функции f(x, у, . . ., z) и ф(л", у, . . ., г) не являются
положительными, то при переходе от первого уравнения ко вто-
второму может произойти потеря решений. Всякая система значений
неизвестных х = а, х = Ь, ..., z = с, при которой
f(a9b, . . .,с) = 9(а,6, . . ., с)<0
480

есть решение первого, но не есть решение второго уравнения.
3°. При применении формул логарифмирования произведе-
произведения, частного и степени может произойти потеря решений.
Так, например, переход от уравнения
log Ьк. = bg 9
(где /i, f2, /з и ф функции от неизвестных) к уравнению
log fi -f- log f2 — log f3 = log ф
Еозможен лишь при условии:
fi>0, f2>0, /8>0, ф>0.
Всякая система значений неизвестных, при которой f\ > О,
/2<0, /3<0, либо Л<0, /2>0, f3<0, либо fi<0,/2<0,/3>0 и
- =ф>0, есть решение первого, но не есть решение второго
fa
уравнения.
При решении трансцендентных уравнений (и систем) нередко
применяются различные частные и «искусственные» приемы, об-
обусловленные специфическими свойствами рассматриваемых кон-
конкретных уравнений. Эти приемы общей теорией предусмотреть
нельзя.
Примеры
1. Решить уравнение
V
Х(Х-\)-— 4
2
9
2 =
Решение. Представив обе части в виде степеней числа 3, получим:
х(х-\) 1— — j j
3 2 =3 4 , откуда х(х — 1) — — = — .
Уравнение имеет два решения:
3 1
*!=— И Х2 = —— .
2. Решить уравнение
4х - 3* 2 = 3* ~2~ - 22х - 1 .
Решение. Запишем уравнение при помощи степеней чисел 2 и 3 так:
3* т г— 22х
22^= У 3 .3V — ,
3 2
откуда
Прологарифмировав (при произвольном основании), получим:
3
— log 3 + 2х log 2 = 3 log 2 + х log 3,
31 СИ. Новоселов 481

откуда
3. Решить уравнение
Xх = X.
Решение. Множество допустимых значений неизвестного есть множе-
множество положительных чисел. Так как при х > О обе части уравнения положи-
положительны, то, прологарифмировав, получим эквивалентное уравнение
х log* = log*, откуда (х — l)logx = 0 и х=\.
При подстановке х = — 1 обе части данного уравнения имеют одно и то
же значение —1. Однако здесь не имеет места потеря корня. В самом деле,
число —1 не принадлежит области определения функции хх, а потому не есть
корень данного уравнения в поле действительных чисел.
4. Решить уравнение
log (х - 1) + log (* - 2) = log (* + 2). A)
Решение. Множество допустимых значений неизвестного определяется
системой неравенств:
х—1>0, х— 2>0, х + 2>0,
откуда х > 2. Преобразовав левую часть, получим:
log [(х - 1) (х - 2)] = log (х + 2). B)
Для последнего уравнения множество допустимых значений х определяет-
определяется системой неравенств:
(д: — 1)(х — 2) > 0, х + 2>0,
откуда получим совокупность интервалов —2 <*<1 и 2<*< + оо. Реше-
Решения уравнений A) и B) содержатся среди корней квадратного уравнения:
из которого найдем Х\ — О и *2 = 4. Оба корня удовлетворяют уравнению B).
Уравнению A) удовлетворяет один корень х = 4. Постороннее решение х = О
появилось при переходе от уравнения A) к уравнению B), который повлек за
собой расширение области определения левой части.
5. Решить систему уравнений
хх + у^ух-у. Х2у==\.
Решение. Область определения уравнения* х > 0 и у > 0. Из второго
уравнения имеем у = х~2. Подставив в первое, получим:
хх + у _ х— 2(х — у)
Это равенство возможно в двух случаях: х = 1, тогда у = х~2 = 1; х Ф 1,
тогда х + у = — 2{х — у\ или Зх = у.
Система имеет два решении:
1 ъг—
х = у=1 и *=- , у = у 9.
6. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения: х > 0, х ф\, х ^~Х~» * ^~4~*
482

1
Воспользовавшись формулой logba = , перепишем уравнение в следу-
logb
ющем виде:
1 _J
log2x Iog22x~ Iog24x
ИЛИ
log2 x log2 2x = log2 Ax,
или
log2 x A + logo *) = 2 + log2 x.
Получилось квадратное уравнение относительно Iog2*:
(Iog2*J = 2,
откуда
logo x = ± УТ 2±
7. Решить систему уравнений
Решение. Область определения уравнения: х > О, у>0 и уф 1. Про-
Прологарифмировав первое уравнение по основанию с, получим:
0. A)
Если a =? 0, то из A) найдем (так как \og
logr х Ь
о.
подставив во второе уравнение данной системы, получим:
a\ogcx — a\ogcy = b. B)
Уравнения A) и B) образуют линейную систему относительно логарифмов
неизвестных:
alog^x — 61о&# = 0, ^
a logc х — a log^> у = b. )
Если афЬу то:
ь* ъ
откуда x =
где b ф 0, если b = 0, то полученное решение постороннее, т. к. у = 1.
Если а = Ьф 0, то система A), B) противоречива, данная система не
имеет решений.
При а=0 первое уравнение данной системы примет вид уъ = \. При Ь Ф О
это уравнение имеет решение f/=l, но тогда второе уравнение теряет смысл,
система не имеет решений.
При а = b = 0 первое уравнение удовлетворяется тождественно, из второ-
второго находим:
lo^jclog^ у —logy = log,*,
откуда
и х =
31* 483

где уФ 1 произвольное положительное число, неравное с. При у = с система
не имеет решений.
8. Доказать, что система
loga х ~ loga2 у = т,
¦приводится к линейной системе относительно loga* и \ogay.
Решение. В самом деле, достаточно принять по внимание, что
1
loga' У = ^ 1о^а У. 1о§с
9 Решить уравнение
log 2*
l0g(jT + /8)
1
t«* = yloge*
(основание
Решение. Область определения уравнения
* >0, х
Имеем последовательно:
log 2x = 2 log (;
Откуда получим квадратное
>—/г и х + 1
< + k)\ Iog2x =
2х = (х + /гJ.
уравнение:
Данное уравнение эквивалентно смешанной системе:
x2 + 2(k— \)x + k2 = 0, x^O, x> — k, x + k^\.
Корни квадратного уравнения действительны, если Л~1—2/г>0, откуда
S—. При &<—и k?=0 оба корня квадратного уравнения положительны.
Положив в левой части квадратного уравнения *=—k, получим:
> 0 при к > О,
< 0 пои k < 0.
При 0<k <~Г~ оба корня удовлетворяют неравенству х>—k.
При k<0 число — /г содержится между корнями уравнения и неравенству
х>—k удовлетворяет больший корень.
При Л=*0 корни квадратного уравнения суть 0 и 2, смешанной системе
удовлетворяет х=2.
Условие x+k=?\ соблюдается, если число 1—k не является корнем квад-
квадратного уравнения. Подстановкой убедимся, что число 1—k являе^я двукрат-
двукратным корнем уравнения при k = —, и тогда * = ~^~ (двукратный корень). В
этом случае левая часть данного уравнеьия теряет смысл.
Итак, если 0<k<— , то данное уравнение имеет два корня:
если &<0, то уравнение имеег один корень:
jc = 1 — k+Vl
484

10. Решить систему уравнений
хУ = ух, ах = ЬУ (где а > 0, Ъ > 0, аф\, ЬфХ).
Решение. Область определения уравнений: *>0, у>0. Если а>1,
Ь<\ или а<1, &>1, то ни при каких положительных значениях хну вто-
второе уравнение не может удовлетворяться, в этом случае система не имеет
решений.
Предположим, что а>1, Ь>\ (или что а<1, 6<1); прологарифмировав
уравнения по любому основанию, большему (соответственно меньшему) 1,
получим:
y\ogx = x\ogy, л: log a = y\ogb.
Подставим выражение для у из второго уравнения в первое, выполним-
преобразования и сократим на х (заметим, что значение *=0 не принадлежит
области определения уравнения), прологарифмировав затем второе уравне-
уравнение, получим систему линейных уравнений относительно log x и log у:
log a log х — log Meg у = 0,
log* — log у = log log b — log log a.
Если A = log b — log а Ф 0, то получим:
, log b (log log b — log log a)
log b— log a
откуда
log b log a
{ logb \ i<*b-loga i \ogb v logft-loga
X = I I и аналогично у —
V loga /
I
V loga
(в виде упражнений показать непосредственно, что найденные значения не
зависят от выбора основания логарифмов).
Если Д=0, то loga=log&, откуда а = Ь и \ogx=\og у. Система имеет
бесконечное множество решений у=х (где х — произвольное положитель-
положительное число).
При решении неравенств (или систем неравенств), содержа-
содержащих неизвестные в показателях степени или под знаком лога-
логарифма, надлежит руководствоваться общими свойствами нера-
неравенств, свойством монотонности показательной и логарифмиче-
логарифмической функций и допустимыми значениями для неизвестных.
Так,например, неравенство
при а>1 эквивалентно следующей системе неравенств:
f(x, У, ..., Z)<<p(*, у, ..., 2),
/(*, У, ..., 2)>0, <р(*. У, ..., 2)>0,
а при a << 1 системе:
/(^, у, ..., 2) > ср (л:, у, . .., г),
Мы ограничимся рассмотрением конкретных примеров.
* loglog а и loglog b имеют смысл, так как в силу выбора основания
логарифмов log a>0 и log 6>0.
485

Примеры
I. Решить неравенство
22-*- _ 2х — 6 < 0.
Решение. Положим 2х—z, получим систему неравенств:
z2 — г — 6<0, z>0.
Первое неравенство выполняется в интервале—2<2<3; общей частью
интервалов — 2<z<3 и 0<z<oo является интервал:
0 < г < 3 или 0 < 2х < 3;
откуда
— оо < X < log2 3.
2. Решить неравенство
x{\ogax + 1) > аЧ.
Решение. При а>\ прологарифмировав обе части, получим:
^°ga * 4 1) l°ga * > loga X + 2 или log** > 2.
Для значений loga* получаем два интервала:
откуда _
-/2
0<х<а и a
При 0 < а < 1 получим:
(loga*+ I) loga*< loga* + 2 и log^x < 2,
откуда _
— Vz <logaX< V 2
и, следовательно, _
-V ~2 УТ У 2 1
а >х>а , т е а <х< —.
3. Решить неравенство
8 1
log^—
8 1
Решение. Так « ак —¦ >—, то \ogxy есть убывающая функция от ар-
г умента у при данном х\ это имеет место при
0<*< 1.
4. Решить неравенство
log х + log (* + 1) < log Bx + 6),
где логарифмы взяты при произвольном основании, большем 1.
Решение. Множество допустимых значений х найдем из условий:
ж > 0, х+1>0, 2х + 6>0, откуда х > 0.
Произведя потенцирование, получим последовательно:
), x(x+\)<2x + 6, *2-*
Последнее неравенство удовлетворяется в интервале — 2<jc<3. Общим
решением данного неравенства является общая часть интервалов (—2, 3)
и @, +оо), т. е. интервал 0<jc<3.
486

5. Дана сходящаяся прогрессия с положительным знаменателем
\ + q+.. ,+qn + ... Найти значения п, при которых разность между сум-
суммой и П'й частной суммой прогрессии меньше данного числа е>0.
Решение. По условию 0<q<\. Составив разность между суммой про-
прогрессии и ее п~й частной суммой, получим:
J \—дп дп
l — q \-q
Требуется решить неравенство:
l — q
Прологарифмировав по любому основанию, большему 1, получим:
nlogq — log(l—<7)<loge, откуда п log q<\og 8-{-log(l—q)\
а потому
logs -f- log(l — a)
n> * ^ *y — Aаккак<7<1, то \ogq<0).
log Я
§107. О некоторых приложениях показательной функции
и логарифмов
Рассмотрим последовательность
s0, sl9 ..., sn, . •., Jsrt}
для которой значение sn определяется следующим условием:
всякий последующий член равен сумме, первое слагаемое кото-
которой равно предшествующему члену, а второе пропорционально
предшествующему с некоторым данным коэффициентом про-
пропорциональности к. Изложенное условие является словесным
описанием следующей рекуррентной формулы:
Sn = Sn-l + Ч-l ИЛИ Sn = Sn-1 0 + *)•
Следовательно, при переходе к последующему, предыдущий
член умножается на один и тот же множитель 1+&. Значит,
последовательность {s} есть геометрическая прогрессия со зна-
знаменателем 1+&, а потому имеем:
(I)
Формула (I) применяется к вычислению значений величин,
изменение которых характеризуется следующим правилом: при
переходе от предыдущего значения к последующему величина
получает приращение, пропорциональное ее предыдущему зна-
значению.
Формула (I) называется нередко формулой «сложных про-
процентов», благодаря интерпретации, которая вытекает из реше-
решения следующей задачи. Вклад помещен в сберкассу на следую-
следующих условиях. Сберкасса выплачивает р% годовых, причем
ежегодно к вкладу причисляются процентные деньги и в после-
487

дующий год проценты исчисляются с наращенного вклада.
Вычислить сумму, в которую обратится вклад по истечении
t лет.
Решение. По прошествии каждого года к сумме, находив-
шеися в кассе в истекшем году, прибавляется часть этой
суммы. В частности, через один год вклад составит:
а + -?- а = ('1 + -?-) а руб.
100 [ ^ 100/ "
Во второй год проценты будут исчисляться call-]——] руб.
и через два года вклад составит:
100/ \ 100/100 V 100
. и т> д
, положив so = а и k =. 1 -|—
что через п лет вклад составит:
По общей формуле (I) найдем, положив so = а и k =. 1 -|——
Формула (II) применяется не только для вычисления денеж-
денежных сумм (это только одна из возможных ее интерпретаций), по
этой формуле можно вычислять, например, количество населе-
населения, где р средний годовой прирост населения, выраженный в
процентах.
Коэффициент k может быть отрицательным, рассмотрим, на-
например, следующую задачу.
Сосуд, емкостью в v л, наполнен смесью спирта и воды. Из
сосуда отливают г л смеси и доливают сосуд водой. Какое ко-
количество спирта будет в сосуде после п-кратного повторения
этой операции, если первоначально раствор содержал а л
спирта.
Решение. Если sm — количество спирта в сосуде перед
началом m-и операции, то в одном литре смеси содержится
?m~* спирта; в г л смеси содержится ~sm_i л спирта.
После того, как будут отлиты г л смеси, в сосуде останется
sm = sm_1-~sm_1 = sm_1 (l - ^) л
спирта. Положив в формуле (I) so = a, k = , получим:
488

Задача о «непрерывном начислении процен-
процентов». Предположим, что с суммы а сложные проценты исчис-
исчисляются из расчета —^— годовых, но начисление производится
каждый раз по прошествии — части года. Если за год прира-
п
щение общей суммы составит а—— руб., то по прошествии —
100 п
части года это приращение должно составить а—— • — руб., и
100 л
процент будет исчисляться с суммы all -\—— • — )руб. В конце
\ 100 п I
второй части года вклад составит а 11 -\ — • —) руб. При та-
\ 100 п I
ком начислении процентов по прошествии года вклад составит:
100
а по прошествии t лет
Предположим, что начисление процентов производится че-
через все более и более мелкие части года, тогда, перейдя к пре-
пределу, получим:
, v 1 \nt
100 п 1 L \ «100,
Таким образом, получается следующая формула:
р л
роста вклада при «непрерывном» начислении процентов. Как не-
нетрудно видеть, скорость изменения вклада, т. е. , пропорции-
dt
кальна его размеру в данный момент времени:
р
— ^ а-?- ет* = р А
dt 100 100
Задача о «непрерывном» начислении процентов служит лишь
удобной фабулой для иллюстрации соответствующих математи-
математических рассуждений.
Мы пользуемся следующей формулой теории пределов:
lim (l+ —) =ek
п -> оо
489

Закону, в силу которого скорость изменения величины про-
пропорциональна ее значению во всякий данный момент, подчиня-
подчиняются многие величины, изучающиеся в физике, химии и естест-
естествознании. В качестве примеров укажем, что этому закону под-
подчиняется распад радиоактивных веществ, изменение количества
вещества, участвующего в химической реакции, размножение
микроорганизмов (органический рост), рост кристаллов и т. п.
Если у — значение данной величины в данный момент вре-
времени, у0 — значение в начальный момент, —-— скорость изме-
dt
нения у в момент времени /, то имеем:
-L= ky или
dt
Проинтегрировав, найдем:
t у
или kt = \ny — 1
М?
У*
откуда
У = У/*.
Для примера остановимся на следующем вопросе: какой
процент радия останется через t лет, если известно, что поло*
вина наличного его запаса распадается через 1600 лет.
Положив в общей формуле /=1600 и у= —у0, получим:
/ 1 \1600
откуда е = ( —
Следовательно, формула примет вид:
' _?_
/ 1 \1600 и I 1 \1600
*=мт) и 1t=b) ¦
Искомый процент оставшегося радия по отношению к его
первоначальному количеству равен:
1600
-М . 100.
§ 108. Рост показательной и логарифмической функций
Теорема.При произвольном k>0 и а>\
lim -^-=-|-oo.
490

Это свойство показательной функции формулируют условно
следующим образом. Показательная функция ах при а>1 рас-
растет в бесконечности быстрее любой положительной степени
аргумента.
Доказательство. Предположим сначала, что k — нату-
2х
ральное число и а = 2. Рассмотрим отношение —^- при нату-
х
ральных значениях аргумента х=1, 2, ..., /г, ... Докажем, что
2п
lim — = + оо. В самом деле, при /г> k, имеем:
2" A + 1)л1+^+С^+... + С^ Ckn+l (л —
л* n*
Так как
lim
то имеем также:
2п
lim—г- =
Пусть х — произвольное (достаточно большое) положитель-
положительное число; обозначим через п его целую часть: n<jt<n+l,
имеем:
9* 2п 1 2Л + 1
lim п = + сю и —> т- = --»--t-oof
* ( + l)k 2 ( + \)k
а потому
1 2х
lim —- = + сю.
X -> + оо ДГ
Предположим, что & произвольное положительное действи-
действительное число, пусть п любое натуральное число, большее k\
так как (при достаточно больших значениях х)
2х 2х 2х
— >—-> + оо той lim —-= + oo.
Xk Xn X-> + oo Xk
Пусть а — произвольное положительное число, имеем:
2ах а^2*у
lim ^— = lim —г— = + со (положим у = ох).
X-»+cojr y^ + oo У*
Если а>1—произвольное основание, то имеем ах=2х1о&*а\
положив a = log2a, получим (в силу предыдущего):
1. ах
ит —- = +°°, ч. т. д.
Х->оо Xя
491

Следствия. При а>\ и при любом k>0 имеем:
Hm i5i li("**) 0
i(x) 0.
ах
При а<1 и при любом &>0 имеем:
lim (a* **) = lim —^— = 0.
\ а I
Теорема. При а>\ и при произвольных положительныхk и
п имеем:
X -> + со ХЛ
Это свойство логарифмической функции условно формулируют
следующим образом: любая положительная степень логарифма
(при основании большем \) растет в бесконечности медленнее
любой положительной степени аргумента.
Доказательство. Положим \ogax = y и тогда л: = ау, имеем:
lim (log°x)k = lim Jt. = 0, ч. т. д.
х _> + со ЛЛ у-> + со Й^
Так, например, имеем в частности lim oga* = 0.
X -> + оо Л
Следствие. При любых положительных п и k имеем:
lim (** (loge xf) = 0 (где ^ > 0).
0
В самом деле, положим у= —, имеем lim у = + оо (гдех>0)
X 0
lim (^ (loge*)*) = lim ' °ga y' = lim (~!^^ = 0.
Л jc->+oo Уп Уп
§ 109. Трансцендентность показательной и логарифмической
функций
Свойство трансцендентности показательной функции
выражается следующей теоремой.
Теорема. При основании а, отличном от 1, функция ах не
удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению.
Доказательство. Требуется доказать следующее поло-
положение: не существует отличного от нуля многочлена Р(л,у)
такого, что в результате подстановки у = ах получится тож-
тождество:
Р(х, а*)=0 A)
в интервале (— оо, + оо).
492

Предположим противное, что многочлен Р(х, у) (отличный
от нуль-многочлена), для которого имеет место тождество A),
существует. Расположив Р(х, у) по степеням у,
Р (*, У) = РпМ Уп + P«-i (х) Уп~1 + ...+Ро(х)
и подставив у = ах, представим тождество A) в следующем
виде:
Pn(x)anx+Pn-i(x)a{n-l)x+ ...+ро(х) = О. B)
Пусть т — степень многочлена рп(х) (в частности, т = 0,
если рп (х) — число):
Pn(x) = bmxm + bm-lxm-1 + ... +b0
<где Ьтф0).
Для определенности будем считать, что а>1. Вынесем за
скобку апххт в левой части тождества B):
I ь° 1 Pn~l(x) 1 Рп-2{х) 1 +
Это равенство (вопреки предположению) тождественно вы-
выполняться не может, так как
х/|1= + ос,
г потому абсолютная величина левой части в бесконечности
имеет предел, равный +оо, и при достаточно больших значени-
значениях \х\ равной нулю быть не может, ч. т. д.
Примечание. Случай а<М сводится к рассмотрен-
рассмотренному, достаточно заменить а* на —, где ах = —> 1.
а\
Следствие. Логарифмическая функция трансцендентна.
В самом деле, допустим, что при подстановке y = \ogax в мно-
многочлен Р(х, у) получается тождество
Р(Х9 bgaX)EEE0. C)
Взаимно обратными функциями (показательной и догариф
мической) значения y^log^x и х = ау ставятся во взаимно од-
однозначное соответствие. Следовательно, если имеет место тож-
тождество C), то должно иметь место и тождество
но по доказанному последнее невозможно.
Из доказанного следует, что закон соответствия показатель-
показательной и логарифмической функций не может быть выражен по-
493

средством алгебраических действий над аргументом. В самом
деле, если бы, например, показательная функция у = ах могла
быть представлена формулой
a* = Q(x)9
где Q(x) некоторое алгебраическое выражение, то она
(вопреки доказанному) удовлетворяла бы некоторому алгебра-
алгебраическому уравнению:
Р(х9 у) = 0.
Это уравнение можно было бы получить, освободив урав-
уравнение
от радикалов (если последние содержатся в выражении Q(x)).
Итак, средствами элементарной математики невозможно по-
построить формулы, выражающие значения показательной и ло-
логарифмической функций при помощи алгебраических действий
над аргументом. Формулы, известные из математического ана-
анализа, выражающие значения показательной и логарифмической
функций непосредственно через значение аргумента, на-
например:
2 П 2 З
и т. п., кроме алгебраических действий, содержат операции
предельного перехода (суммирование рядов, бесконеч-
бесконечные произведения и пр.)- Эти формулы дают возможность при-
приближенно (с любой степенью точности) вычислять значения
показательной и логарифмической функции посредством алге-
алгебраических действий над аргументом.
§110. Характеристические свойства показательной
и логарифмической функций
Одним из способов задания функции может служить описа-
описание ее характеристических свойств, т. е. ряда таких ее
свойств, которые в своей совокупности определяют эту функцию
единственным образом. При таком способе задания функций
широко применяются функциональные уравнения,
т. е. соотношения, которым должна удовлетворять данная функ-
функция при всех значениях аргумента в области ее определения.
Так, например, линейная функция f(x) = kx удовлетворяет
следующему функциональному уравнению:
f(x + y) = f(x) + f(y), так как k(x +у) = kx +ky.
Теорема. Если функция f(x) обладает следующими свойст-
свойствами:
494

Г. Областью определения функции f(x) является множе-
множество всех действительных чисел.
2°. Функция f(x) монотонна (возрастает или убывает).
3°. Удовлетворяет функциональному уравнению:
f(x) f(y) = f(x + y), (f)
то f(x) есть показательная функция ах, где a=fi 1.
Следовательно, при основании а Ф 1 совокупность свойств
1°, 2°, 3° вполне определяет показательную функцию ах> так как
никакой другой функции, обладающей всеми перечисленными
свойствами, не существует. Эти свойства и составляют систему
характеристических свойств показательной функции.
Доказательство. Пусть f(x) какая-либо функция, мо-
монотонная в интервале (—оо, +оо) и удовлетворяющая функцио-
функциональному уравнению (f).
Из тождества (f) следует, что
f (*i) f (*.) • • • f (*„) = f (*i + x2 + ... + xn). A)
В самом деле, допустив, что равенство A) верно для п— 1
чисел:
f(xl)f(x2)...f(xn_l)= f(Xl+x2+ ... + *„_,),
получим для п чисел:
f(x1)f(x2) ... f(xn) = f(x1+x2+ ... + xn_x) f(xn) =-
= f(*i + X2+ ... + Xn).
Будучи верным при п = 2, тождество A) верно при произ-
произвольном натуральном п^> 2.
Положив в тождестве A) Х\ = х2 = ... = хп = 1, получим:
или f(n) = a\ где a =
Положив в тождестве A) хг = х2 = #.. = хп = —, где ^/г
— натуральное число, получим:
откуда
Так как по условию функция /(х) определена при произ-
произвольных действительных значениях лс, то У"а должен иметь
смысл (в поле действительных чисел) при произвольном нату-
натуральном /г, откуда
495

Положив в тождестве A) хг = х2 = ... = хп = — (т — нату
m
ральное число), получим:
Положив в тождестве (f) у = О, получим при произволь-
произвольном х:
и так как функция f(x), будучи возрастающей (либо убываю-
убывающей), не равна тождественно нулю, то
f @) = 1 = а0.
Положив в тождестве (f) y= —х, получим:
f(x)f(-x)=f(O) или f(-x)=-±-.
I \х)
Следовательно, при рациональном неотрицательном х = —:
т
т
и, значит, а > 0 (равенство а = 0 тем самым исключается).
Из изложенного вытекает, что при всех рациональных
значениях х функция / (х) имеет значение, равное а*% т. е. на
множестве рациональных чисел f(x) является показательной
функцией.
Пусть х = а — иррациональное число; тогда в силу предпо-
предположенной монотонности будем иметь:
если f(x) возрастает и
если f(x) убывает, где а^Г и а* десятичные приближенные зна-
значения а. Но так как
и единственным числом, содержащимся между а и а (при
всех значениях п) является а*, то /(а) = аа.
Итак, f(x) = ax при произвольном действительном значе-
значении х, ч. т. д.
496

Примечание. Обычно в курсах математического
анализа в совокупность характеристических свойств пока-
показательной функции вместо свойства 2° монотонности вклю-
включают свойство непрерывности:
2' функция f(x) непрерывна в интервале (—оо, оо) и не
равна тождественно нулю *.
Доказательство остается в силе, но со следующим из-
изменением.
Изложенными в тексте рассуждениями устанавливает-
устанавливается, что f(r) =аг, гдеа = /A) и г—рациональное число.
Далее рассуждают так: пусть а — иррациональное число,
тогда в силу предположенной непрерывности функции
f(x), имеем: lim f(x) =/(a).
ДГ->а
Предел lim / (x) можно вычислить, рассматривая
функцию f(x) на множестве рациональных чисел, тогда
получим: lim /(г) = lim ar = аа (по определению степени с
г-+а г->а
иррациональным показателем).
Следовательно, /(а) = аа.
Характеристические свойства
логарифмической функции
Теорема. Если функция f(x) обладает содержащими свой-
свойствами:
1°. областью определения функции f(x) является множе-
множество всех положительных чисел;
2°. функция f(x) монотонна;
3°. удовлетворяет функциональному уравнению
(О
то f(x) есть логарифмическая функция.
Доказательство. Положим в тождестве (f) у = 1:
откуда /A) = 0.
Из тождества A) следует (применить метод индукции):
f{xiX2...xn) = f(x1)+ f(x2)+ ... f(xn);
положив хг = х2 = ... = хп = х, получим:
* Предложение заменить условие непрерывности более близким элемен-
элементарной математике условием монотонности принадлежит редактору книги
П. С. Моденову.
32 И. С. Новоселов 497

Заменив в последнем равенстве х на у х, получим:
f (х) = nf (у^), откуда f (уУЦ) = -±- / (х).
Пусть г= ——положительное рациональное число, имеем:
<7
ч
Положим в тождестве (f) у = —:
х
откуда
ff±^ -f(x) или
Пусть г — положительное рациональное число, имеем:
f(x~r) = f ((/Г ') = - f(x') = -''f (*)•
Из изложенного следует, что при произвольном рациональ-
рациональном г
Пусть а — иррациональное число, а а~и а„+ —его десятич-
десятичные приближенные значения по недостатку и по избытку. Пусть
Л' > 0 произвольное данное число, тогда число ха заключено
.+
между значениями х*п и х*п
<х п, если х> 1,
хп^>х >хал, если х<1,
(Х„ ОС &л
х =х —х , если х==1.
В силу монотонности функции /(х), значение /(л:а) заклю-
заключено между числами f(xan ) и {хап), т. е. между числамиа~ f(x)
и а^~ /(^). Но единственное действительное число, заключен-
заключенное (при всех натуральных п) между этими последними числа-
числами есть а/ (х).
Следовательно,
х ; — а/ \х) U)
при произвольном действительном а.
Функция /(*), будучи возрастающей (или убывающей), не
равна тождественно нулю, поэтому существует такое значение
498

аргумента х = с, что f(c) ф 0. Положив в равенстве A) х = с
1
и а =77Г)» получим:
Обозначим с/(с) = а, тогда имеем:
=l и
где у — произвольное действительное число. Положив я = а?
или у = \ogax, получим:
следовательно, у = \ogax есть единственная монотонная функ-
функция, удовлетворяющая условиям теоремы, ч. т. д.
Две монотонные функции, удовлетворяющие функциональ-
функциональному уравнению (f), могут отличаться значением основания ло-
логарифмов а.
32*

ГЛАВА Vlll
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 111. Понятие последовательности
Пусть 9R —данное (конечное или бесконечное) множество
элементов
а, 6, с, ...
Если каждому числу натурального ряда
1, 2, 3, ..., п, ...
поставлен в соответствие некоторый элемент из множества 3R,
то говорят, что задана последовательность элементов
данного множества. Это соответствие есть функция, для которой
значениями аргумента служат числа натурального ряда, а зна-
значениями функции — элементы данного множества.
Определение. Функция, Оля которой областью определения
является множество всех натуральных чисел, называется по-
последовательностью (бесконечной).
Знаечния этой функции называются членами последова-
последовательности.
Кратко говорят: последовательность есть функция натураль-
натурального аргумента.
Членами последовательности могут быть какие угодно
предметы: числа, линии, фигуры и т. д.
Члены последовательности принято обозначать одной буквой
с индексом внизу, указывающим то натуральное число, которо-
которому данный член соответствует:
Члены последовательности принято называть так: их—пер-
их—первый член, и2 — второй член, ип —п-й член и т. д. Число п назьь
500

вается номером члена ип в данной последовательности. Член
ип-\ называется непосредственно предшествующим члену и п,
а член Un+i непосредственно следующим за un- Символы, обоз-
обозначающие члены последовательности, обычно пишут, распола-
располагая их в том порядке, как расположены числа натурального ря-
ряда: на первом месте пишут ии на втором пишут ич и т. д.:
иъ и2, и3у ... , ип> ...
Для обозначения последовательности пишут {ип}.
Различным значениям аргумента может соответствовать од-
одно и то же значение функции, в частности, в последовательность
один и тот же элемент множества SK может входить под раз-
различными номерами. Иными словами, на различных «местах» в
последовательности может находиться один и тот же элемент.
Иногда нvмepaция членов последовательности начинается
не с 1, а с какого-нибудь другого числа. Так, нередко нумеруют
члены последовательности, начиная с нуля:
Ц), иъ и2, ... , иПУ ...
Однако это пе имеет существенного значения. В самом деле,
номера членов:
О, 1, 2, ..., п, ...
в свою очередь образуют последовательность и соответствие
между числами натурального ряда и членами данной
последовательности задается не непосредственно, а при помощи
последовательности номеров:
1
ф
0
ф
«о
2
Ф
1
Ф
и 1
3 .
Ф
2 .
ф
. . П
Ф
.. п— 1
ф
• • н»_1
Кроме обычных последовательностей, рассматриваются дву-
двусторонние и конечные последовательности.
Определения. 1°. Функция, для которой областью определе-
определения является множество всех целых чисел, называется двусто-
двусторонней последовательностью.
2°. Функция, для которой областью определения является
множество п первых натуральных чисел, называется конечной
последовательностью.
Двусторонняя и конечная последовательности обычно записы-
записываются следующим образом:
. . ., и_п, . . , и 2, и_р и0, uv uv . . , ипУ . .
501

Понятие последовательности имеет широкое применение в
элементарной математике.
Примеры
1, В результате извлечения квадратного корня из числа 2 получается по-
последовательность рациональных приближенных значений по недостатку чи-
числа / 2:
1; 1,4: 1,41;
В этом примере члены последовательности суть числа. Множество УЯ , ко-
которому принадлежат члены последовательности, есть множество рациональ-
рациональных чисел.
2. Десятичные знаки числа я:
3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, ...
образуют последовательность, членами которой являются цифры 0, 1, 2, 3,..., 9.
Множество ЭД этих цифр конечное. Так как дробь, изображающая я, бес-
бесконечная непериодическая,
то по меньшей мере два зна-
знака должны повторяться бесконеч-
- ное число раз.
Черт. 170
Черт. 171
3. При определении длины окружности в элементарной геометрии посту-
поступают следующим образом: берется какой-либо правильный вписанный мно-
многоугольник. Путем последовательного удвоения числа сторон получается
последовательность правильных многоугольников, вписанных в дан-
данный круг. Здесь членами последовательности являются многоугольники, пери-
периметры этих многоугольников образуют числовую последовательность, пре-
предел которой (по определению) есть длина окружности.
4. На чертеже 170, изображены концентрические окружности /Сь /B, /Сз»-..,
Кп, ..-, радиусы которых равны 1, -—, —-, ...,—и т. д. единицы длины,
В данном примере членами последовательности являются окружности.
5. На чертеже 171 изображена последовательность правильных треуголь-
треугольников, в этой последовательности вершины всякого последующего треуголь-
треугольника расположены в срединах сторон предыдущего треугольника.
6. Пусть, например,
а = 1,13527 . . .
некоторое иррациональное число. Построим на числовой оси точки, изобра-
502

жающие приближенные значения а по недостатку и по избытку:
а^=1; «7 = 1,1; «7 = 1,13; «7 = 1,135; . . .
а+ = 2; а+=1,2; 4 = 1,14; а+= 1,136; . . .
На числовой прямой получатся две последовательности точек, изображаю-
изображающих числа а~ и а^. Отрезки с концами в точках а~ и а^" образуют
последовательность отрезков (черт. 172). Общей точкой всех этих
отрезков является точка, изображающая число а.
п ж Bп+ 1)*
7. Формула ип= определяет двустороннюю последовательность:
Зге тс те Зтс
значений аргументов функции <\пх, при которых |sinx[=»l.
Черт. 172
112. Числовые последовательности
Определение. Последовательность {ип} называется число-
числовой, если ее членами являются числа.
Последовательность может быть задана разнообразными
способами. Одним из возможных способов задания последова-
последовательности является задание ее посредством формулы.
При этом способе член ип задается посредством некоторого ана-
аналитического выражения:
un = f(n) (и)
от натурального аргумента п. Элементарная математика преи-
преимущественно ограничивается случаем, когда f(x) есть элемен-
элементарная функция, для которой множество всех натуральных чи-
чисел 1, 2, ..., /г, ... принадлежат области ее определения; в этом
случае значения f(x) при х = 1, 2, ..., л, ... образуют последо-
последовательность
). /B), • • ., f(n), . . .
Формула (и) называется формулой о б щег о члена по-
последовательности.
Не всегда последовательность задается формулой. Так, на-
например, последовательность десятичных приближенных значе-
значений у2 по недостатку задается не формулой, а описанием про-
процесса, позволяющего для всякого заданного натурального п
503

найти приближенное значение У 2 с точностью до * . Другим
примером является последовательность простых чисел
2, 3, 5, 7, ... ,ря, . . . {рп}
Никакие формулы (содержащие лишь элементарные опера-
операции) для общего члена последовательности простых чисел неиз-
неизвестны. Однако при помощи вполне определенного процесса (из-
(известное из арифметики «Эратосфеново решето») можно вычис-
вычислить простое число, находящееся на любом данном месте в по-
последовательности {рп}.
Заданием конечного множества первых членов последова-
последовательность не определяется однозначно. В самом деле,
если известны числевные значения лишь k первых членов
Щ> и>2,.., Hfc, то прочие члены uk+{f uk+2, ... можно выбирать как
угодно и получить сколько угодно различных последовательно-
последовательностей.
Пусть, например, даны 4 члена
1, 2, 3, 4, ...
Положив при k > 4, uk = 0, получим последовательность
1, 2, 3, 4, 0, 0, 0, . . .;
положив мл = 1, получим:
1, 2, 3, 4, 1, 1,1, . . .;
положив uk = (—1)*, получим
1, 2, 3, 4, -1, 1, -1, . . .
По данным k первым членам можно построить различные
формулы ип = /(/г), так что при п= 1, 2, ..., k получаются
(соответственно) числа ии Щ, иъ, ..., uk.
Так, в рассмотренном выше примере, положив ип= п либо
получим две различные последовательности, первые четыре чле-
члена которых одинаковы: 1, 2, 3, 4, а прочие члены различны.
В упражнениях, в которых по нескольким данным первым
членам предлагается составить формулы общего члена последо-
последовательности, требуется подобрать по возможности про-
простую, но отнюдь н е единственно возможную форму-
формулу для общего члена.
Примеры
1. Формулой ип=п2 определяется последовательность
12 О2 З2 «2
Формулой ип=(—l)*1 определяется последовательность
1, -1, 1, . . „(-I)", . . .
504

Формулой и=п определяется последовательность
1 — (—1)п
1, 0, 1, 0, 1, . . . , , . . .
2. Последовательности
{*/• \» + l}' \n!/. { 2" )
в развернутом виде можно записать (соответственно) следующим образом:
1
2 '
1
2 '
1
2 '
2
3 '
1
1 -2'
1
4 '
1
3
3
4
1 -
1
8
, . . . ,
, . . . ,
1
2-3 '
-, . - - ,
1
п
п
п + \ ' '
1
1 - 2-3 . . .п
1
2п t
3. В каждом из нижеследующих примеров дано конечное множество чле-
членов последовательности, по которым составляется одна из возможных фор-
формул для общего члена:
111 1
, , , . . .; можно положить и„ = ;
1 . 2 2-3' 3-4' п(п + \)
1, 3, 5, 7, . . .; можно положить ип = 2п—1;
1, 3, 7, 15, 31, . . .; можно положить ип = 2п — 1;
1 1 ЬЗ 1 1-3-5 1
1, . —, —— . , • —, . . . ; можно положить
2 22-4 3 2-4-6 4
1 .3-5 . . .Bп —3) 1
U Т
Un== 2-4-6 . . .Bл-2) Т
Одним из способов задания последовательности является ее
задание посредством рекуррентных соотношений. Фор-
Формула
un = f(uv и2, . . ., им).
выражающая ип через члены последовательности с меньшим
номером, называется рекуррентной формулой. Не-
Нередко рекуррентное соотношение задается посредством урав-
уравнения
F(uiy и29 . . ., ия) = 0.
Ниже указан один весьма распространенный частный
случай задания -последовательности при помощи рекуррент-
рекуррентных соотношений.
505

Пусть F (хи я2, ..., xk) некоторое аналитическое выражение
от аргументов хи х2, ..., хk. Рассмотрим произвольную (допу-
(допустимую) систему значений аргументов
*i = ^ь *2 = а*> • • • у xk=^ ak-
Последовательность {ип}9 определяемая системой уравнений
их = аъ и2= а2> . . ., г/Л = аЛ,
называется последовательностью, заданной посредством рекур-
рекуррентной формулы
Формула (F) определяет конкретную числовую последова-
последовательность, если задана «начальная» система значений
й ее первых членов. Начальная система может быть задана про-
произвольно из множества всех допустимых систем значений аргу-
аргументов функции F.
Нередко задание последовательности при помощи рекуррент-
рекуррентных соотношений позволяет найти формулу для общего члена.
Примеры
1. Последовательность определяется рекуррентной формулой
i\ начальными значениями: а{ = 0 и а2 = 1.
Составить формулу для общего члена.
Решение. Для последовательного вычисления членов имеем формулу
Из этой формулы следует, что все члены с нечетным индексом равны
«улю. В самом деле, если a2k-.\ = 0, то и
Bk— IJ
но так как п\ = 0, то (в силу принципа индукции)
Для вычисления Ягь имеем рекуррентную формулу

Следовательно.
2] - „ 2 • 22 J2 _2-_4 \__
а* = 3 • 2' п* = 3 • 5 ' 2 • 3 = 3 • 5 ' 3
Докажем, что
2 - 4 • 6 . . . Bk — 2) J__
а2*= 3-5 .. .B6-1) k '
В самом деле, допустим, что формула верна для а2к, тогда для агл+2 по-
получим:
2 -?2 2 • 4 • 6 . . .{2k —2) J
а (fc + 1)B/5 + i) "- 3-5 . . . B/г — 1) ' ? ~~
2-4-6 . . . B/г — 2) B/g) I
"~ 3 • 5 . . . B/г + 1) Bk + 1) /г + 1 '
будучи верной для а4, формула верна для произвольного a2k при k > ?.
2. Дано рекуррентное соотношение
Найти формулу для ип, если
и{ = а+ р, ы2 =
Решение. Имеем:
(а + В) (а3 — Ь3) а* — В4
Предположим, что при некотором значении индекса /г, а также при всех
меньших его значениях имеет место формула
an+l_pn+\
ип = .
Докажем, что в этом предположении формула верна для мЛ+ь
В самом деле*
Будучи верной при /г=1, 2, 3, формула (в силу принципа полной индук-
индукции) верна при произвольном п.
3. Найти общий член последовательности {ал}, определенной следующими
рекуррентными соотношениями
а0 = ах = 1,
аоав
я—л

Решение. Положив во второй и третьей строках а0 — а\ — I. найдем:
1 1
Предположим, что при всех значениях k, меньших я, имеем ah = —; до-
k\
1
кажем, что в этом предположении ап = — В самом деле:
п\
аОап+а\ап-\+ ' • '+akan~k+ • • • + апао'==
= an + -L_J_4- . . . + -L__^_+ . . J. _L_ +
И (и —1)! ^ k\ (n — k)\ T ^ It (n — 1)!
+ ая=2?аа.
Так как
1 l — ! , , J_ l
(n~\)\ ' k\ (n — k)\ 1! (n— 1)!
(см. ниже § 124), то уравнение для определения ап примет вид:
2п — 2 1
+ 2ап = ал 2 , откуда ая = —.
п! л л ' л /г!
4. Числа Фобоначчи определяются посредством следующего рекур-
рекуррентного соотношения:
и начальных условий ио=\, щ=*\. Производя вычисление по данной рекур-
рекуррентной формуле, получим последовательно:
щ = 2, uz = 3, w4 = 5, и5 = 8, щ = 13 и т. д.
Докажем, что общий член последовательности чисел Фибоначчи выра-
выражается формулой:
1 G1 -
В самом деле, положим:
Докажем, что ип = vn. Достаточно доказать, что последовательносгь [vn]
удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению и тем же начальным
условиям, что и {ип}. В самом деле, положив п=0 и п=1, получим:
1>0 = ъ = 1.
Составим сумму
\n+21
/ J
508

Имеем:
и аналогично
г7Г\п+\
1_УТ
2
и, следовательно,
2
Таким образом, при всех значениях п имеем un = vn.
§ 113. Прогрессии
Арифметическая прогрессия
Определение. Арифметической прогрессией называется
последовательность, заданная при помощи рекуррентной форму-
формулы:
Иными словами, арифметическая прогрессия есть последо-
последовательность, в которой всякий последующий член равен преды-
предыдущему, сложенному с данным числом d. Число d называется
разностью прогрессии.
Теорема. Общий член арифметической прогрессии выра-
выражается формулой:
Доказательство. Предположим, что формула верна для
некоторого п\ тогда
и„,. = и„ 4- d = и. + din — 1) 4- d = и. 4- nd.
n+l п • 1 ' v ' • 1 •
Итак, будучи верной для п, формула верна для п+ 1; фор-
формула верна при /г=1, следовательно, она верна и при произволь-
произвольном натуральном /г, ч. т. д.
Если в прогрессии счет членов вести с нуля:
Ц), иъ . . ., ип,
то формула {ип} примет вид:
и„ = и0 + nd, [и„У
так как теперь ип означает п + 1-й по счету член.
509

Формула {ип} показывает, что арифметическая прогрессия
есть последовательность значений линейной функции
/ (*) = Щ + dxt
соответствующая последовательности значений аргумента
х = 0, 1, 2, . . ., л, . . .
Если в формуле {ип} допустимыми значениями для п являют-
являются произвольные целые значения, то цолучится двусторонняя по-
последовательность
. . . , uo — nd, .. . ., и0 — d, uOi и0 + d, . . ., и0 + nd, ...,
называемая двусторонней арифметической прогрессией.
Если множеством допустимых значений п является конечное
множество последовательных чисел:
* = 0, 1, 2, .... л,
то соответствующая конечная последовательность
«о, Щ + d, и0 + 2d, . . ., ио+ nd
называется конечной арифметической прогрессией.
Теорема. При любом натуральном имеет место фор-
формула:
ир + ая = пР+ь + <W 0>
Доказательство. Так как
то
up+k + uq_k = uo + pd + uo + qd = up+ uq, ч. т. д.
Следствие. В конечной арифметической прогрессии
и0, иь иъ . . . , ип
сумма двух членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме
крайних членов
uk + un-k = "о + Ил-
Достаточно положить р = 0 и q=n.
Теорема. Характеристическим свойством арифметической
прогрессии является выполнение соотношения:
Следовательно: всякий член арифметической прогрессии есть
среднее арифметическое предыдущего и последующего членов.
510

Доказательство. Для всякой арифметической прогрессии
имеет место равенство B), достаточно положить в тождестве A>
р= q = n и /5=1. Обратно, всякая последовательность {ип},
удовлетворяющая условию B), есть арифметическая прогрессия.
В самом деле, равенство B) есть лишь иная запись рекуррент-
рекуррентной формулы:
Последнее равенство показывает, что разность между пре-
предыдущим и последующим членами последовательности есть одно,
и то же число:
т. е., что данная последовательность есть арифметическая про-
прогрессия со знаменателем d, ч. т. д.
Заданием двух начальных значений и0 и щ определяются
первый член прогрессии и0 и ее разность d = U\ — и0.
Геометрическая прогрессия
Определение. Геометрической прогрессией называется после-
последовательность, заданная при помощи рекуррентной формулы
Иными словами, геометрическая прогрессия есть последова-
последовательность, в которой всякий последующий член равен предыду^
щему, умноженному на данное отличное от нуля число q.
Число q называется знаменателем прогрессии.
Теорема. Общий член геометрической прогрессии выражается
формулой:
Доказательство. При п= 1 формула верна; предполо-
предположив ее верной для^л, получим
В силу принципа математической индукции формула верна
при произвольном я, ч. т. д.
Если в прогрессии вести счет членов от нуля: v0, vu...tvnf ...>.
то формула общего члена примет вид:
Если в формуле vn = voqn считать для п допустимыми -про*
извольные целые значения, то получится двусторонняя геометри-
геометрическая прогрессия:
Я
51k

Если множество допустимых значений п есть конечное мно-
множество чисел
О, 1, 2, . . . , п,
то получится конечная последовательность:
я* М> voQ2, • - . , voqn,
называемая конечной геометрической прогрессией.
Если знаменатель q геометрической прогрессии положителен,
то прогрессия является знакопостоянной последовательностью,
все ее члены имеют один и тот же знак: они положительны при
г;0>0 и отрицательны при v0 < 0. Если знаменатель q отрица-
отрицателен, то прогрессия является знакочередующейся последова-
последовательностью, в ней всякие два соседние члена противоположны по
знаку. Знакопостоянная прогрессия есть последовательность
значений функции voqx> соответствующая последовательности
значений аргумента: х = 0, 1, 2,..., /г, ...
Для всякой геометрической прогрессии при произвольном це-
целом k имеет место равенство:
Доказательство аналогично доказательству соответствующе-
соответствующего свойства арифметической прогрессии.
В конечной геометрической прогрессии произведение двух чле-
членов, равноотстоящих от концов, равно произведению крайних
членов.
Теорема. Характеристическим свойством знакоположительной
геометрической прогрессии является выполнение соотношения:
Следовательно, всякий член знакоположительной геометри-
геометрической прогрессии есть среднее геометрическое предыдущего и
последующего членов.
Доказательство. Для всякой знакоположительной гео-
геометрической прогрессии имеем:
Обратно, если знакоположительная последовательность {ип}
удовлетворяет условию
ИЛИ = ,
Yvn_{v ~ = vn
то отношение всякого последующего члена к предыдущему есть
одно и то же число:
v
0 t vn
Следовательно, {ип} есть геометрическая прогрессия.
512

§ 114. Суммирование конечных рядов
Всякой числовой последовательности
ukt u2i . . ., ипУ . . . {ип}
можно поставить в соответствие последовательность:
s. = «ь s2 = щ + иг, . . ., sn^u1 + uz+ . . . + ип> ..., {sn}
/г-й член sn которой равен сумме п первых членов данной пос-
последовательности {ип}.
Нахождение общего члена последовательности {sn}
sn-~=ai+a2+ . . ,+ип
называется суммированием «конечного ряда»:
ui + u2+ . . . + ип.
Если члены последовательности {ип} заданы формулой, со-
содержащей лишь элементарные операции (над натуральным ар-
аргументом), то общий член последовательности {sn} может не вы-
выражаться посредством формулы, содержащей элементарные опе-
операции. Суммирование конечных рядов элементарными средства-
средствами удается выполнить в сравнительно редких случаях, это сум-
суммирование даже для несложных последовательностей обычно
сопряжено со значительными трудностями.
Если известна функция f(x) такая, что
f(n)-f(n-l)=un9
то вычисление суммы sn 1выполняется непосредственно:
Суммирование арифметической прогрессии
Суммирование арифметической прогрессии проще всего вы-
выполняется на основании известного ее свойства: сумма членов,
равноотстоящих от концов, равна сумме крайних членов.
Имеем:
откуда
2 ( ( )
и,
33
следовательно
п (и1 +
2
С. И. Новоселов
•
ип)
, ИЛИ,
подставив
ип =
Н (п
-1).
513

получим:
__
п~~ 2 '
Положив Mi = l, d=l, получим, в частности, формулу для
суммы п первых членов натурального ряда:
1 + 2+3+ . . . + я=ле^и).
Суммирование геометрической прогрессии
Суммирование геометрической прогрессии выполняется не-
непосредственно на основании формулы сокращенного умножения:
(х—
Имеем:
Укажем также на следующий простой (принятый в учебни-
учебниках) способ суммирования геометрической прогрессии:
sn=v1+v1q+ . . . + Oi?"-1;
умножим на q:
Вычитая из второго равенства первое, получим:
(q — 1) sn -= i\ (qn — 1) и sn = ox .
Ниже приведены примеры суммирования конечных рядов эле-
элементарными средствами.
Примеры
1. Найти сумму
s = q -\-2q2 -\-3q3 + . . +nqn.
Решение. Умножив на qy вычтем s из qs:
я + Г
q-\
откуда
nqn+l _ qn+l-q
S"" q-\ "" (g-lJ '
514

При q — — 1 получим, в частности,
— 1+2 —3
Следовательно,
2. Найти сумму
Решение. Применив тот же прием, как в предыдущем примере, по-
получим:
+ ^+/++Vto + V +
= — q — З?2 — 5<?3 — ... —Bя — 1) дп + гс
— 2' - qn+l-Q
q-\
Откуда
3. Вычислить сумму
где { ап } арифметическая прогрессия.
Решение. Положив
/W = anan
составим разность:
f(n)-f(n-l) = anan+l ..•
= апап+\ •••fln + 4-iK + ran-l)=(HlLan+ I --an + k-\'
Следовательно, разность f (n) — f (n — 1) отличается от членов рассматри
ваемой суммы лишь числовым множителем (k-{-\)d.
Имеем:
{
Откуда
Положив в частности а0 =0, d= I, k — 2, получим:
п(пА- \)(п + 2)
1-2 + 2-3+...+я(п+1)= ^ ^3Д ^ >
При а0 = 0, d = 1, ife = 3 получим:
1.2-3 + 2.8.4+...+«(B + l)(B + 2)- "C
33* 515

4. Вычислить сумму
+
где {ая| арифметическая прогрессия.
Решение Положим:
апап+\ --ап+ k-2
имеем:
1 1
... ап + Л _ 2 а„ + j ап + 2... а„ + k _
d
лл+i л + л — 1 л л + 1 л + л— 1
Следовательно, имеем:
Итак,
1 / 1
(Л - \)d \ axa2 ... ak_ , an + ,
Положив ах = 1, rf = 1, k = 2, получим:
L,L, , i i i
,
л + 1 П + Г
Примечание. Последнюю сумму s нетрудно вычислить, не при-
прибегая к общей формуле, так как достаточно принять во внимание, что
11 1
и преобразовать каждый член суммы:
1 • 2 ' 2 • 3 ' " ' л (л + 1)
л + 1 л + 1
Положив в общей формуле а=1, d=\ и & = 3, получим:
1-2 3 ^ 2 • 3 • 4 ^ ' л (л + 1) (л+ 2) 2\2 (п + 1)(я+2)
516

§ 115. Сходящиеся последовательности и суммирование рядов
Согласно определению, принятому в математическом анализе,
последовательность {ип} называется сходящейся, если суще-
существует конечный предел:
и = \imun.
Посредством неравенств это определение записывается так:
при любом заданном (как угодно малом) е>0 существует
число N такое, что неравенство
К-и|<в A)
выполняется при всех значениях п> N.
Число N для данной сходящейся последовательности опреде-
определяется заданием е. Говорят, что неравенство A) выполняется
при всех достаточно больших значениях п.
Последовательность {ип} называется расходящейся к + оо,
(или к — оо), если
\imun= + оо (или \imun=—оо).
Посредством неравенств это определение записывается так:
при любом заданном М >0 (как угодно большом) существует
число N такое, что неравенство
ип>М (или ип< — М)
выполняется при всех значениях п> N. Число N для данной
последовательности определяется заданием М.
Последовательность {ип} называется колеблющейся, если
она не им,еет ни конечного, ни бесконечного предела. Колеблю-
Колеблющаяся последовательность считается расходящейся. При-
Примерами колеблющихся последовательностей могут служить
1,
1.
1,
1.
о,
- 2,
- ю.
2,
1.
3,
100, -
3, 1,
9,
- 4.
- 1000,
2, 3,
• • • э
.... A-
.... (-
.... 1,
1, 0,
1)"~
Ю)п.
2. 3,
и
т. п.
Общие признаки существования предела последовательности
устанавливаются в математическом анализе. Из этих общих при-
признаков значительное применение в элементарной математике (в
частности, в геометрии) имеет следующий признак.
Всякая монотонная (невозрастающая или неубывающая)
ограниченная последовательность имеет предел (конечный).
Доказательство этого признака дается в курсах математиче-
математического анализа.
В курсе математического анализа излагаются приемы на-
нахождения пределов функций (и в частности последовательно-
517

стей) на основании общих теорем о пределах. Ниже, не имея в
виду повторять материал курса математического анализа, мы
ограничимся рассмотрением ряда конкретных примеров на на-
нахождение пределов последовательностей элементарными сред-
средствами путем непосредственного решения (неполного)
соответствующих неравенств *.
Примеры
1. Доказать, что последовательность \ > сходится, и найти ее пре-
дел.
Решение. Имеем:
п (л+ 1)-1 t 1
1 — •
Л+1 Л+1 Л+1
Последовательность сходится к 1, так как
л
¦ —1
л + 1
Неравенство
выполняется при всех значениях л, удовлетворяющих условию л+1 >—,
т. е. при л > —— 1.
в
2. Доказать, что последовательность ч — > сходится к нулю.
Решение. Требуется доказать, что при всех достаточно больших зна-
л
чениях л выполняется неравенство -- < s (знак абсолютной величины из-
v*** Л2 + 1
лишен, так как члены последовательности положительны). В самом деле,
имеем:
л л 1
1 1
Если — < 8„ т. е. л > —, то доказываемое неравенство выполняется и Ha-
Hart ' е
давно.
Г2л2 + П
3. Доказать, что последовательность \~г~% ~Л сходится, и найти ее
предел.
Решение. Выделив целую часть, получим:
2Г.Ч-1 2+. 7
Зд2—2 3 3Cл2 —2) '
2
Последовательность сходится к — Составим разность
3
2д2 + 1 2
Зп2 — 2 3
3C/1*-2)
* Эти примеры имеют, главным образом, педагогическое значение.
518

(знак абсолютной величины излишен, так как правая часть последнего ра-
равенства положительна). Имеем:
7 3 / 7 .
¦ < TZ—Г" так как ¦— < 3 .
3(Зд2-2) Зд2-2 \ 3
3 3
Неравенство <е выполняется, если Зпа > —-|-2, откуда
oft ~~~ JL ?
п > 1 / пт— -\- —. При этих значениях п неравенство
+ 1 2
3/г2 — 2 3
выполняется и подавно и, следовательно,
2д2 + 1 2
4. Доказать, что последовательность \ t л\ расходится к + оо.
Решение. Имеем:
> —— = /г — 1.
д + 1 Д + 1
Если д— 1 > М, т. е., если п > М + 1, то и подавно >М. Сле-
п+\
довательно,
lim = 4- оо.
п + 1
5. Известно, что lim A,1)л = + оо. Указать значения д, при которых
наверное будет выполняться неравенство
A,1)" > 1000.
Решение. Применив неравенство Бернулли
A +h)n> I +nh, получим A +0,1)" > 1 + —.
Если 1 + — > 1000, т. е. д > 9990, то имеем и подавно A,1)л > W00.
6. Доказать, что последовательность -!—V при любом а>0 сходится
к нулю.
Решение. Пусть к любое натуральное число большее, чем 2а; при
п > k получим:
Ba)k
п\ \\ 2 *" к I \k + \ k + 2 n I k\ 2«-'
Неравенство
Ba)k _]_<в
выполняется, если 2п > .
519

Так как 2п = A + 1)л > 1 + п> т0 последнее неравенство имеет место и
подавно, если
Bа)* Bа)*
1 _|_ п > , откуда п > — — I.
ап
При этих значениях п неравенство —- < е наверное будет иметь место.
п!
7. Найти предел последовательности
= Va9 s^V a + Va, s3 = V a + Va + Va, ...,
где a > 0.
Решение. Данная последовательность возрастает:
Si < s2 < s3 ... < sn < . .
Для доказательства сходимости последовательности [s^J достаточно
установить ее ограниченность. Из рекуррентного соотношения
sn ^ у а + sn— 1 получим: s? = а + sn _^ ? A)
откуда
П S п
srt = Ь П~ < — + 1 = У а + 1, так как sn > Si = У"а
sn sn |/ а
и sn_1<srt.
Итак, все члены js^} меньше одного и того же числа |/"а + 1, следо-
следовательно, {s^} ограничена, а потому (в силу монотонности) lim s =s су-
существует. Перейдя к пределу в равенстве A), найдем lim s^ = a + lim sn_ j
или s2 = a + s. Последнее уравнение имеет единственный положительный
корень
S —•
Суммирование бесконечных рядов
Согласно определению, принятому в математическом анализе,
шой 5 бесконечного ряда
Согласно определению, п
суммой 5 бесконечного ряда
+
называется предел последовательности его частных сумм:
s = lim sw,
где
Si = Ul9 S2 = Ux + U29 . . ., Sn = Ui + U2+ . . . + Un9 . . .
Если limsn существует, то ряд называется сходящимся, ес-
если же этот предел не существует, то расходящимся. Рас-
520

ходящемуся ряду в качестве его суммы не приписывается ника-
никакого числа.
В анализе устанавливаются условия как необходимые, так и
достаточные сходимости и расходимости рядов. Аппарат ма-
математического анализа позволяет во многих случаях вычислить
сумму ряда. Средствами элементарной математики, путем не-
непосредственного суммирования можно вычислить сумму ряда
лишь в отдельных исключительных случаях. Мы огра-
ограничимся ниже указанием простейших случаев, в которых сумми-
суммирование ряда можно выполнить элементарными средствами.
Примечание. Наивная уверенность в том, что вся-
всякий ряд имеет сумму и что с рядами всегда можно об-
обращаться как с конечными суммами может привести к
«парадоксам». Один из таких «парадоксов» приведен ниже.
«Вычисляя» сумму ряда
s= 1-1+ 1-1+ ... + (_l)"-l+ ...
различными «способами», получим:
1-й способ:
2-й способ:
s= 1—A —1) —A —1) —... — A —П —...=
= 1—0—0—... —о— ... = 1;
3-й способ:
s=l_(l_l+l-l+... + l-l+ ...) = 1 _ s>
откуда 2s = 1 и s = —.
Следовательно,
s = 0 = 1 == —.
2
Несостоятельность этих рассуждений очевидна, в них
даже не ставится вопроса о том, какой смысл имеет «сум-
«сумма», не говоря уже о возможности применения законов
действий.
Суммирование прогрессий
Ряд, члены которого образуют арифметическую прогрессию,
расходится к + оо, если разность прогрессии положительна, и к
— оо, если разность отрицательна. В самом деле, п + 1-я част-
частная сумма ряда
ao + (a0+d)+(a0+2d)+ ... + (ао+nd) + ...
521

равна:
_ [2ao + nd](n + l)
S«~ 2 •
Если d > О, то lim sn — + °°, если же d < 0, то lim sn = —oo.
Рассмотрим ряд, члены которого образуют геометрическую
прогрессию
а + aq + aq2 + ... + aqn + ... (где а ф 0).
Сам этот ряд нередко называют тем же термином «геометри-
«геометрическая прогрессия», как и последовательность его членов; п-я
частная сумма геометрической прогрессии (при q^= 1) выра-
выражается формулой
n 1
Рассмотрим следующие возможные случаи:
а) |</|;>1. В этом случае имеем:
iml^ + o и |sJ>,a|.
Следовательно, lim \sn\ = + oo.
При а > 0, 7 > 1 прогрессия расходится к + оо, при а < 0,
9 > 1 — расходится к — оо.
При q < — 1 члены прогрессии и ее частные суммы образуют
знакопеременные расходящиеся последовательности;
b) \q\ < 1. В этом случае \\mqn=0. Прогрессия сходится,
так как
;
1—<7
с) при \q\ = 1 прогрессия расходится, так как, положив q=\
и q = — 1, получим расходящиеся ряды:
а + а+ а+ ... +а+ ...,
а — a + а — а+ ... + а— ...
Итак, геометрическая прогрессия является сходящейся при
МО
и расходящейся при |?|^-1 *.
Представление действительного числа в ви-
виде десятичной дроби. Всякое действительное число а мо-
может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби
* Мы полагаем, что вместо термина «бесконечно убывающая прогрессия»
(при \Я\ < 1) лучше пользоваться термином «сходящаяся прогрессия».
В самом деле, при—1 <^<0 члены прогрессии (а также все частные сум-
суммы) не образуют монотонной последовательности и традиционный школьный
термин не согласуется с общепринятой в анализе терминологией.
522

Последовательность
приближенных значений по недостатку числа а не убывает, а
последовательность
«0«Р+1, a, p+^ а„р++ ...+
приближенных значений числа а по избытку не возрастает. Обе
последовательности { а^"} и { aJ } ограничены: при всех значениях
п имеют место неравенства
Будучи монотонными и ограниченными обе рассматриваемые
последовательности сходятся, число а является общим пределом
последовательностей { а& } и { а^ }. В самом деле:
|a — a^|<|a+ ~a^| и |a — aj | <| a+ — a~| .
Так как lim(aj — a^") = lim—- = 0, то неравенства
I a — aJT | < е И | a — a J | < е
J.
10'
довательно,
lima^ = HmaJ = a.
Число осесть П'Я частная сумма ряда
р+ ю + юо + •••+ 10* + *••
Следовательно, этот ряд сходится к а. Из изложенного вы-
вытекает следующее представление действительного числа а в виде
ряда:
выполняются при всех значениях пу при которых — < е, еле-
10 100 10" ^
Если, в частности, число а представлено в виде конечной де-
десятичной дроби, то все члены ряда, начиная с некоторого но-
номера, равны нулю и ряд обращается в сумму конечного числа
членов.
Из арифметики известно, что число а рационалыно в том и
только в том случае, когда изображающая его десятичная дробь
является периодической (в частности конечной); непери-
непериодическая десятичная дробь изображает иррациональ-
иррациональное число. Ниже приводится обоснование правила преобразова-
523

ния периодической дроби в обыкновенную. Достаточно ограни-
ограничиться рассмотрением случая правильной периодической дроби.
Пусть
О, PiP2. • • Pk (Я1Я2 • • • Ят)
— периодическая дробь. Рассмотрим два целые числа: число
составленное цифрами, стоящими до периода, и число
составленное из цифр, образующих период. Число а может быть
представлено в виде следующего ряда:
a==fL+-ft-+ ....f-**-+_&_+ ... + -^ й +
10 100 Ю* Ю*+1 ЮЛ + т jQ« + m+l
+ ...+¦ Ят ^
Для суммирования этого ряда сгруппируем его члены сле-
следующим образом *:
1 ( Ял -f- I ^ ^ U
V*+! i^ + ^;
Pk
\ / 10*
В полученном выражении слагаемое, заключенное в скобки,
есть сходящаяся геометрическая прогрессия со знаменателем
——. Следовательно,
Р , Q Р , О
:"('-^)
t {\от— I)
и окончательно
(\0т — 1) 10* 999 ... 9000. .0
т раз k раз
Словесная формулировка полученного результата известна
из арифметики: числитель есть число, составленное цифрами,
стоящими от запятой до второго периода без числа, составленного
цифрами, стоящими до периода, знаменатель есть число, в изо-
изображении которого цифра 9 повторяется столько раз, сколько
* Из анализа известно, что сумма сходящегося ряда с положительными
членами не изменяется при произвольной группировке егь членов.
524

цифр в периоде, а затем 0 повторяется столько раз, сколько
цифр от запятой до периода.
Ниже приводятся частные примеры суммирования рядов эле-
элементарными средствами.
Примеры
1. Доказать, что при \q\<\ ряд q +¦ 2<72 +... + nqn+.. сходится и вычис-
вычислить его сумму.
Решение. Составим п-ю частную сумму данного ряда (см. пример 1,
стр. 514)
nqn + 1 qn + * - q
sn = _. — , __ .v2 •
Так как при | q \ < 1
\{m(nqn+]) = Q (см. § 108) и lim^n+1=0,
то имеем:
2. Вычислить сумму ряда
1 , 1
1 • 2 ' 2 -3 ' ••' ¦ п(п + \)
Решение. Имеем (см. стр. 516):
1
Следовательно,
3. Вычислить сумму ряда
s = lim sn =
1 +.. ¦ +-¦.-¦,¦... ¦.... „+..
1 . 2 ... k 2 • 3 .. (k+\) "' ' п (п + 1) ... (п + k — 1)
Решение. Имеем (см. стр. 516, пример 4, положить в общей формуле
= 1, d = 1):
s 1 Г 1 1
(k-\) [l -2 ... (k-\) (n + l)(n + 2) ... (n + k—\)
Откуда
В частности, при k = 2 получим ряд, рассмотренный в предыдущем при
мере.
4. Вычислить сумму ряда
q -j- 4<у2 _|_ 9<73 -)-... -f- n2qn -\~
где | q | < 1.
Решение. Воспользуемся формулой, выведенной в примере 2 на
стр. 515:
/- 1
525

Так как \q\ < 1, то lining + 1 = \\mn2qn+ l = о.
П -» оо
Следовательно,
поэтому при | q | < 1 ряд сходится и его сумма равна:
8 A - яK ¦

ГЛАВА IX
КОМБИНАТОРИКА
§ 116. Сочетания
Пусть Ж некоторое конечное множество, состоящее из п
элементов:
fat b, .-» с}.
Определение. Сочетанием из п элементов, взятых nok, назы-
называется всякая часть, содержащая k элементов данного множест-
множества Ж, состоящего из п элементов.
Два различные сочетания из данных п элементов, взятых по
ft, отличаются составом входящих в них элементов: именно,
если два сочетания различны, то в одном из них содержится
хотя бы один элемент, не содержащийся в другом.
Пример
Ниже выписаны всевозможные сочетания, составленные из 5 элементов
1, 2, 3, 4, по 3:
123, 124, 125, 134,135, 145
234, 235, 245
345
Так как в дальнейших рассуждениях индивидуальные свой-
свойства элементов данного множества не существенны, то возмож-
возможно в качестве множества ЯЛ выбрать какое-либо опреде-
определенное конечное множество, состоящее из п элементов. В ка-
качестве такого множества достаточно взять п первых чисел нату-
натурального ряда:
1, 2, 3, ..., я.
Это множество натуральных чисел будет служить предста-
представителем класса конечных множеств, содержащих п элементов.
527

Символом С* обозначается число различных сочетаний из
элементов, взятых по k.
Так, например, С1п есть число частей множества п элементов
1, 2,..., я, взятых по одному, эти части суть сами элементы
1, 2, 3, ..., я, количество таких частей равно п:
С*а=п.
Далее, С2п есть число частой рассматриваемого множества,
содержащих по 2 элемента, все такие части можно вписать в
следующую таблицу:
{». 2}, {1.3}, {1, 4} {!,„},
{2, 3}, {2, 4) {2, л},
{3, 4} {3, п\,
{я-1, п).
Число Сгп можно подсчитать непосредственно. Если каждый
элемент данного множества поочередно комбинировать с каж-
каждым из прочих элементов, то получаются пары элементов, кото-
которые можно выписать в следующую таблицу:
{1, 2}, {1, 3}, ..., {1, л},
{2, 1}, {2, 3}, ..., {2, /г},
{/2-1, 1|, \/i-lf 2}, .... {п-и п}у
[п9 1), {п, 2}, ..., [п9 /2-1}.
В этой таблице каждая пара .выписана 2 раза, так, например,
взяв элемент 1, присоединив к нему элемент 2, получим {1, 2}
ту же пару {2, 1} получим, взяв элемент 2 и присоединив к нему
1. Число всех строк таблицы равно п, число столбцов п— 1, об-
общее число всех пар п(п—]), из которых различными являются
n{jl~~ ' пар, следовательно:
с„ = ——.
Всякое множество содержит две несобственные части,
одной из которых является само данное множество, эта
часть есть единственное сочетание из п элементов по п, поэтому
Спп= 1.
Другая несобственная часть есть пустое множество, не
содержащее элементов, поэтому считаем:
Г° — 1
ип — 1.
528

В дальнейшем мы будем пользоваться следующим общепри-
общепринятым обозначением.
Если т — натуральное число, отличное от 1, то символом т\
обозначается произведение всех натуральных чисел, не боль-
больших т\
т\ = 1 -2... /71.
Если т = 1, то считаем 1! = 1.
Если т = О, то считается 0! = 1.
Для отрицательных и Для дробных значений т символу т\
(в элементарной алгебре) не приписывается никакого смысла.
Теорема. Число сочетаний из п элементов по к, где 0^ k <л
равно:
пь /7- / / / п\ пь п (" — \)...(п — к 4- 1)
Ck = или (при /е ф 0) Ск = —^ —^ =n-z-.
k\ (n —k)\ 1-2.. ./г
Доказательство. При & = 0, &=1и& = 2 формула спра-
справедлива, так как
= 1, С' = —^—. = л, С„2 =
1 С = п С
п 0!м! ' п 1! (п 1)! ' п
п С
— 1)! ' п 2\{п — 2)! 2
Предположим, что составлены всевозможные сочетания из п
элементов A, 2, ..., п } по k — 1, где k <Ся. Если к каждому из
этих сочетаний присоединить последовательно (по одному) каж-
каждый из п — k + 1 элементов, в него не вошедших, то составятся
всевозможные сочетания, взятые по k элементов, причем всякое
из этих последних сочетаний окажется взятым k раз. В самом
деле, рассмотрим произвольное сочетание, содержащее k элемен-
элементов данного множества. Без ущерба для общности рассмотрим
следующее сочетание:
{1, 2, ..., k-l, k).
При описанном процессе образования сочетаний по k элемен-
элементов это сочетание получится следующими k способами:
к сочетанию B, 3, ..., k—1, k) присоединяется 1,
A, 3, ..., ft—I, k] 2,
A, 4, ..., k— 1, k] 3,
A9 b 1 \ b
Таким образом каждое из С*~1 сочетаний по k—1 элемен-
элементов дает п—k+l новых сочетаний: всего составится (п—k+l)C%-1
сочетаний по k элементов, причем каждое из новых сочетаний
войдет k раз, следовательно,
Qk = П ~~ k + 1 Ck~X
п к п
34 С. И. Новоселов 529

Допустим, что формула числа сочетаний верна для сочета-
сочетаний по k—1 элементам:
С*-1 = - •
п (Л_?+1)!(?—1)! '
тогда формула будет верна и для числа сочетаний по k элемен-
элементам, так как
Qk = П — k * * Qk-\ - n\(n — k + \) tl\
п k п
k п (n — k+\)\(k—\)\k (n — k)\k\'
Будучи верной при k — 1 для произвольного натурального пу
формула верна при любом k, где 0 < k <; /г, а п произвольное
натуральное число, ч. т. д.
Примеры
1. Найти число диагоналей /г-угольника.
Решение. Вершины многоугольника образуют множество п точек пло-
плоскости, из которых никакие Т1ри не лежат на одной прямой Соединив все-
всевозможными способами попарно эти точки, получим:
п(п—\)
С"= 2
отрезков, из которых п отрезков являются сторонами многоугольника,
а прочие
п(п— 1) п(п — 3)
— п =
2 2
его диагоналями.
2. На плоскости даны п точек, из 'которых никакие три не лежат на одной
прямой за исключением т точек, лежащих на одной прямой.
a) Сколькими прямыми можно соединить эти точки?
b) Сколько существует различных треугольников с вершинами в данных
точках?
Решение, а) Если бы никакие три из данных точек не лежали на
о п(п — 1)
одной прямой, то существовало бы С л = различных прямых, соеди-
соединяющих (попарно) данные точки. В этом случае т точек определяли бы
т(т — 1)
различных прямых. В силу условия задачи эти последние прямые
сливаются в одну, следовательно, существует
п (п — 1) т (т — 1)
+ 1
различных прямых.
Ь) Рассуждениями, подобными изложенным, в предыдущем случае уста-
установим, что число различных треугольников равно Съп — Сът.
3. Дано множество состоящее из п белых и тп черных шаров, сколькими
способами из данного множества можно выбрать р шаров, чтобы среди них, по
крайней мере, два были белые.
Решение. Задача имеет решение при следующих условиях я>2, р<
•^ п + т. При этих условиях всевозможные комбинации р шаров можно раз-
разделить на группы, по числу содержащихся в них белых шаров. Рассмотрим
группу комбинаций, каждая из которых содержит k белых яр — k черных
530

шаров, где к </?. Так как р — к черных шаров выбираются из т шаров, то
должно быть р — &<т, откуда /с > р — т и, следовательно, допустимые зна-
значения для к определяются условиями р— p
Из п белых шаров можно отобрать к шаров Сп различными спосооами.
К отобранным k белым шарам можно присоединить p — k черных шаров
C%~k различными способами. Таким образом, рассматриваемая ipynna со-
содержит С nC%j~k различных комбинаций.
Полагая к = 2, 3,..., получим:
— 2
гр — 3
_ V^ rk rp
различных возможных комбинаций, где суммирование распространяется на
все допустимые значения к
4. Дано множество Ш, содержащее п элементов, множество всех частей
У1 разобъем на группы, отнеся к одной и той же группе части, содержащие
одинаковое количество элементов 3D?» Какая из групп является наиболее
многочисленной?
Решение. Группа всевозможных частей, содержащих к элементов дан-
данного множества, состоит из Сп частей. Следовательно, требуется опреде-
определить, какое из чиселСп, С^,. ., Сп, Спп является наибольшим. Сравним между
собой два соседние числа
Так как
С1г
если ;> 1, откуда
к
n — k + 1
если <С 1, откуда
Если Ckn — наибольшее число, то Ckn *< Ckn и Ckn > C^+1, откуда к < —
п
п
n U
+
2
+
о
> ^
1
1
п + 1
п + 1 лг — 1
и к + 1 > и, следовательно,
/г + 1
и, следовательно, < к < .
Если п = 2т четное, то из всех чисел С^т число С™т является наиболь
шим. Если п = 2т f 1 — нечетное число, то числа С^ и
между собой:
равны
-2т
(т + 1)! (т - 1I '
прочие же числа С\т меньше этих чисел.
§ 117. Перестановки
В математике и в ее приложениях нередко рассматриваются
множества (мы ограничиваемся лишь конечными множествами)
упорядоченные, элементы которых задаются «в определенном
порядке». Так, например, алфавит есть упорядоченное множест-
35 С. И. Новоселов 531

во букв: в алфавите буквы выписываются в определенном поряд-
порядке. Так, в русском алфавите буква б следует за а, в следует за б
и т. д., буква а (первая) не следует ни за какой буквой, а за бук-
буквой я (последняя) «не следует ни одной буквы.
Понятие упорядоченного конечного множества изучается
в арифметике, поэтому мы ограничимся лишь указанием ряда
необходимых для дальнейших положений.
Для упорядоченного конечного множества установлено поня-
понятие непосредственного следования элементов, при этом:
Г. Существует единственный первый элемент, не следующий
ни за одним элементом множества.
2°. Существует единственный последний элемент, за которым
не следует ни один элемент множества.
3°. За всяким элементом, отличным от последнего, непосред-
непосредственно следует единственный элемент упорядоченного мно-
множества.
4°. Конечное упорядоченное множество, содержащее п эле-
элементов, может быть приведено во взаимно однозначное соответ-
соответствие с п первыми числами натурального ряда
1, 2, ..., п9
причем первому элементу ставится в соответствие число 1, пос-
последнему число п; если некоторому элементу поставлено в соот-
соответствие число h, то непосредственно следующему за ним пос-
поставлено в соответствие число ft + 1. Это соответствие называется
нумерацией элементов данного мнооюества.
Отрезок 'натурального ряда 1, 2, ..., п, в котором непосред-
непосредственно следующим считается число на 1 большее предыдущего,
можно рассматривать как представителя различных конкрет-
конкретных упорядоченных множеств, содержащих п элементов.
Определение. Всякое упорядоченное множество (конечное),
называется перестановкой, образованной из его элементов.
При записи перестановки обычно символ, обозначающий пер-
первый элемент, пишется на первом месте; символ, обозначающий
второй элемент, на втором месте и т. д.
Всякое данное множество, содержащее более одного элемен-
элемента, может быть упорядочено несколькими способами. Иными сло-
словами, из данных п>\ элементов можно образовать различные
перестановки.
Пример
Ниже выписаны всевозможные перестановки из четырех элементов:
1234
1243
1324
1342
1432
1423
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3142
3214
3241
3412
3421
4123
4132
4213
4231
4312
4321
532

Теорема.Число всевозможных перестановок, которые могут
быть образованы из п элементов, равно:
п! = 1 - 2 .-• /г.
Доказательство. Допустим, что теорема верна для
множества, содержащего п—1 элементов, докажем, что при
этом предположении теорема верна для множества, содержаще-
содержащего п элементов. Предположим, что из данных п—1 элементов
{1, 2, , п—1} образованы всевозможные перестановки, и что
число этих перестановок (по предположению) равио (п—1)!.
Присоединим к данному множеству новый элемент п и составим
всевозможные перестановки из п элементов. Во всякой данной
перестановке из п элементов элемент п занимает некоторое впол-
вполне определенное место. Если п занимает k-e место, то переста-
перестановка имеет вид:
h> hi •••> ik—\, п, iki ..., tn-\>
где i'i, i2, ...,*n_i некоторая перестановка из n—1 элементов
1, 2, ..., п—1}. Число перестановок, в которых элемент п
занимает k-e место, равно (п—1)! (по числу перестановок из
п— 1 элементов). Эги перестановки различ-ны, так как они отли-
отличаются порядком следования элементов {1, 2, ..., п—1} . Эле-
Элемент п может занимать п различных мест 1-е, 2-е, ..., п—1-е
и наконец п-е (последнее). Каждому возможному положению
этого элемента (на данном месте) соответствует (п—1)!
перестановок из п—1 элементов, т. е. всего получается
(п — 1)! п = п\ различных перестановок из п элементов.
Будучи справедливой при пг= 1, теорема верна при произ-
произвольном натуральном п, ч. т. д.
Рассмотрим данное упорядоченное множество п элементов.
Без ущерба для общности возьмем отрезок натурального ряда
1, 2, 3, . .., п.
Эти элементы, расположенные в данном порядке, образуют
перестановку, которую будем называть начальной перестанов-
перестановкой. Пусть
некоторая перестановка из тех же элементов, отличная от на-
начальной. Переход от начальной перестановки к данной переста-
перестановке (i) можно толковать как установление взаимно однознач-
однозначного соответствия, в котором элементам данного множества
{1, 2, , п) ставятся в соответствие элементы того' же мно-
множества, именно: 1 соответствует i\, 2 соответствует н и т. д.
1, 2, ..., п
Т t t
I \ I
lit h у • •» 1п-
35* 533

Такое соответствие называется взаимно однозначным ото-
отображением множества {I, 2, ..., п] на себя. Иначе говорят, что
элементы данного множества «перенумеровываются», именно
элемент i\ получает № 1, элемент 1% получает №2 и т. д., in по-
получает № п. Из изложенного следует, что конечное множество,
содержащее п элементов, может быть взаимно однозначно ото-
отображено на себя п\ различными способами (по числу различных
перестановок).
Определение. Операция взаимно однозначного отображения
на себя конечного множества, содержащего п элементов, назы-
называется подстановкой (из данных п элементов).
Для обозначения подстановки пишут друг под другом (в две
строки) взаимно соответственные элементы, заключая обе стро-
строки в круглые скобки; так, символ
'1 2
обозначает подстановку, в которой 1 заменяется на i\, 2 заме-
заменяется на i2 и т. д., п заменяется in. Подстановка, в которой все
элементы ставятся в соответствие самим себе (элементы остают-
остаются на прежних местах), называется единичной:
^ /1, 2, ..., п\ ,ii9 /2, ..., in\
[1, 2, ..., nj \il9 i2, .. ., ij
В символе, обозначающем данную подстановку в верхней
(нижней) строке, элементы могут быть'.написаны в любом по-
порядке существенно лишь, чтобы взаимно соответственные эле-
элементы писались друг под другом.
Так, например, символы
/1, 2, 3, 4\ /3, 2, 1, 4\
U, 1, 3, 2) И [3, 1, 4, 2)
обозначают одну и ту же подстановку, заменяющую 1 на 4, 2 на
1, 4 на 2 оставляющую цифру 3 на прежнем месте.
Теория подстановок подробно излагается в высшей алгебре
(теория конечных групп).
Примеры
1. Сколько различных чисел можно составить из цифр
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
причем:
a) каждая цифра в обозначении числа встречается один раз и
b) цифра 0 не должна занимать первое место?
Решение. Если не принимать во внимание условия Ь), то из 10 цифр
можно составить 10! различных чисел, в которых каждая цифра содержится
один раз. Из общего количества полученных чисел 9! чисел начинаются циф-
цифрой 0. Следовательно, искомое количество чисел равно:
Ю! _ 9! = 9 . 9! = 1 . 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 92 = 3 265 920.
534

2. Дано т прописных букв А, Б, ..., К и п строчных букв а, Ъ, ..., /
Сколько перестановок можно сделать из этих букв так, чтобы каждая пере-
перестановка начиналась прописной, а кончалась строчной буквой?
Решение. Взяв одну из прописных букв (например А) и одну из
строчных букв (например, а), поставим их соответственно на первое и пос-
последнее места. Размещая прочие буквы всеми возможными способами, мы
получим (т + п—2)! различных перестановок (начинающихся буквой А и
кончающихся буквой а). Для расстановки на первое и последнее места мо-
может быть взята любая пара букв, одна из которых прописная, а другая
строчная. Число различных таких пар равно тп. Следовательно, число ис-
искомых перестановок равно т- п- (т + п—2)!
3. Даны k заглавных букв, т гласных и п согласных (всего k + m + n
букв). Сколько различных слов можно составить из этих букв, если в каждом
слове на первом месте должна стоять заглавная буква, среди же прочих букв
должно быть jx различных гласных (из числа данных т) и v различных со-
согласных (из числа данных я)?
Решение. Выберем одну заглавную букву, этот выбор можно сделать
k способами. Затем из т гласных выберем jx букв, это можно сделать С^
способами. Наконец, выберем v согласных, что можно сделать С\ способа-
способами. Итак, выбор необходимых букв для составления слова можно сделать
kC'^jC^n способами. Произведя указанный выбор, поставим заглавную букву
на первое место, тогда из прочих |i+v строчных букв можно составить
( v)! перестановок, каждая такая перестановка дает новое слово.
Итак, всего можно составить
различных слов.
4. На шахматной доске расставить 8 ладей так, чтобы ни одна из ни< не
могла бить другую.
Решение. Как известно из правил шахматной игры две ладьи могут
бить друг друга, если они находятся либо в одном вертикальном, либо в од-
одном горизонтальном ряду полей шахматной доски Символом (/, /) будем
обозначать поле, находящееся на пересечении /-го горизонтального и /-го
вертикального ряда, где для i и j возможны значения 1, 2,..., 8. Две ладьи,
находящиеся на полях (/, /) и (k, /), не могут бить друг друга в том и только
в том случае, если i ф k и j ф I. Если 8 ладей, расставленные на доске, за-
занимают поля
(«I, Jl), ('2, h), • • • , ('8, IS) (l,j)
и не могут бить друг друга, то среди чисел i\, i2, ...., is не может быть двух
равных, так как никакие две ладьи не могут стоять в одном горизонтальном
ряде. Следовательно, iu i2,..., is есть перестановка из чисел 1, 2,..., 8. Ана-
Аналогично установим, что /i, /2, ..., /в есть перестановка из тех же чисел. Рас-
Расположим символы (i, j) так, чтобы числа /ь i2t.., in следовали в натураль-
натуральном порядке
(I, к), B, /2), • • . , (8, /,). (i,j)
Всякой перестановке j\. j2, ..., js соответствует возможное расположение
людей.
Итак, существует 81 = 40 320 различных возможных расстановок ладей.
5. Даны п элементов 1, 2, ..., я; сколько имеется различных перестановок,
в которых k данных элементов 1, 2, ..., k не занимают k мест подряд?
Решение. Подсчитаем число различных перестановок, в которых эле-
элементы 1, 2, ..., k занимают подряд k мест. Допустим, что группа элементов
1, 2, ..., k занимает места, начиная с т-го. Число возможных таких переста-
перестановок равно k\ (п—k)\, по числу различных возможных способов расстано-
расстановок элементов 1, 2, ..., к на указанных местах и прочих n—k элементов. Для
535

т возможно любое из значений т=1, 2, ... (п—?+1). Следовательно, су-
существует
(п — к + 1) k\ (n — к)\ =k\(n — k + 1)!
перестановок, в которых элементы 1, 2, ..., k занимают k мест подряд, число
прочих перестановок равно м'—k\(n—?1)!
§ 118. Размещения
Определение. Размещением из п элементов по k называется
всякая упорядоченная часть данного множество п элементов, со-
содержащая k элементов.
Два различные размещения из данных п элементов, взятых
по k, различаются либо составом входящих в них элементов, ли-
либо при одном (и том же составе элементов порядком их располо-
расположения.
Число различных размещений, (взятых из п элементов по k,
обозначается символом А*.
Пример
Ниже выписаны всевозможные размещения, составленные из четырех
элементов по 3
123 124 134 234
132 142 143 243
2 13 2 14 3 14 3 2 4
231 241 341 342
3 12 412 413*413
321 421 431 431
Теорема. Число различных размещений, взятых из п эле-
элементов по k, выражается формулой:
Ak = п(п — \)(п — 2) (n — k+l) = .
Доказательство. Всякое размещение из п элементов по
k есть некоторая перестановка образования из k входящих в его
состав элементов. В самом деле, для образования данного раз-
размещения достаточно сначала выбрать k из элементов, входящих
в это размещение, а затем расположить их .в требуемом порядке.
Составим всевозможные сочетания из п данных элемен-
элементов, взятых по k. Таких сочетаний будет С^ . Далее взяв в отдель-
отдельности каждое сочетание, составим из его элементов всевозмож-
всевозможные перестановки; число таких перестановок (для данного со-
сочетания) будет k\ Таким образом, всего получится k\ Ckn всевоз-
всевозможных размещений из п элементов no k. Все эти размещения
различны, так как они либо составлены из различных сочетаний
и тогда они отличаются составом элементов, либо составлены из
одного и того же сочетания и тогда они отличаются порядком
следования элементов.
536

Ak = k\Ck = —, ч. т. д.
п п (k)\
Следовательно,
Ak = k\Ck =
(n~k)\
В частности при я = & значение А°п равно я!, т. е. числу пере-
перестановок из п элементов.
Примеры
1 Сколько различных натуральных чисел можно составить из цифр
О, 1,2, 3, 4, если в обозначении каждого числа каждая из данных цифр входит
не более одного раза?
Решение Из пяти данных цифр можно составить Л| = 5! различных
размещений; эти размещения дадут всевозможные пятизначные числа за ис-
исключением тех размещений, которые начинаются нулем. Количество этих по-
последних размещений равно А\. Таким образом, из данных цифр можно соста-
составить:
А\ — А\ = 5 • 4 3 • 2 • 1 — 4 • 3 • 2 • 1 = 96
различных пятизначных чисел. Количество различных четырехзначных чисел,
которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, равно А\ за вычетом коли-
количества тех размещений, которые начинаются нулем, т. е.
А\ — А\ = Ъ 4 • 3 • 2 — 4 • 3 • 2 = 96.
Аналогично количество различных трехзначных, двузначных и однознач-
однозначных чисел будет равно соответственно
Всего получится 260 натуральных чисел
2. На плоскости даны п точек, из которых никакие три не лежат на одной
прямой. Сколько можно провести различных &-звенных не замкнутых и зам-
замкнутых ломаных линий с вершинами в данных точках?
Решение. Если незамкнутая ломаная линия имеет k звеньев, то число
ее вершин равно k+l. Следовательно, незамкнутые &-звенные ломаные мож-
можно проводить, если n^k+l. Если Л, В, С, ..., Л, L — данные точки, то вся-
всякое размещение из этих п точек по k + \ определяет на плоскости ломаную
линию. Два различные размещения из одних и тех же /г+1 точек опреде-
определяют в общем случае две различные ломаны'е линии (черт. 173). До-
Допустим, что два различные размещения, например:
ABCDE и A1BlC1D1Ei
537

определяют одну и ту же ломаную ллнию Необходимым (но разумеется не
достаточным) условием совпадения двух ломаных является совпадение их
концов. Возможны два случая
1°. А=А{. В этом случае звенья, выходящие из точки Ли т. е ЛВ и АВ\
тоже должны совпадать, т. е. В = ВХ\ и* совпадения следующих звеньев най-
найдем С = С{ и т. д. В этом сл(учае данные размещения совпадают.
2°. А = Е{. Такими же рассуждениями, как в предыдущем случае, найдем,
что В = Z)lv.., E = А\. В этом случае данные размещения получаются друг
из друга изменением порядка следования элементов (вершины): последний
элемент Е ставится на первое место, а всякий предыдущий становится пос-
последующим. Геометрически зто значит, что одну и ту же ломаную можно
задать двумя способами, соответствующими двум различным направлениям
обхода вершин.
Черт. 174
Черт. 175
Итак, среди всевозможных размещений из п точек по k+l каждая ло-
ломаная встретится два раза. Следовательно, искомое число незамкнутых ло-
ломаных равно
J_ k+l п(п— 1)(п — 2) . . (n — k)
2 п — 2 "
Подсчитаем число различных &-звенных замкнутых ломаных Вся-
Всякое размещение из п точек по k
А. Р, . . . , ?
определяет замкнутую ломаную (в общем случае самопересекающуюся). Все
размещения, получающиеся из данного круговой перестановкой букв, напри-
например, ABCDE, BCDEA, CDEAB (черт. 174) определяют одну и ту же замкну-
замкнутую ломаную (безразлично с какой вершины начинается обход замкнутой
ломаной). Число различных размещений, получающихся из данного посред-
посредством последовательного выполнения круговой перестановки элементов, рав-
равно /г.
Размещение, получающееся из данного изменением порядка следования
элементов, а также все размещения, получающиеся из последнего посред-
посредством круговых перестановок, определяют ту же самую замкнутую ломаную
(вершины замкнутой ломаной обходятся в противоположном направлении
(черт. 175)).
Итак, среди всевозможных размещений из п точек по k каждая замкну-
замкнутая ломаная встретится 2п раз, а потому искомое число замкнутых лома
538

ных равно
Akn {п— \)(п~2)
2п
119. Размещения с повторениями
Термином «размещение с повторениями», составленным из
данных элементов:
аъ а29 . . ., ап (а)
по k в комбинаторике называется всякая конечная ^-членная
последовательность, членами которой являются данные
элементы (а).
Два размещения с повторениями:
av av . . ., а.ки а^а^ . . ., ajk
одинаковы б том и только в том случае, когда на одинаковых
местах находятся одни и те же элементы:
В размещении с повторениями (как и во всякой последова-
последовательности) один и тот же элемент может находиться на несколь-
нескольких различных местах (см. стр. 501). Если в размещении с повто-
повторениями а/х, ai_% ..., aik некоторый элемент занимает р различ-
различных мест, то говорят, что этот элемент повторяется в разме-
размещении р раз.
Пример
Ниже выписаны всевозможные размещения с повторениями из 4 элемен-
элементов 1, 2, 3, 4 по 3:
111 112 121 211 113 131 311 114 141 411 222 221 212 223 232
322 224 242 422 333 331 313 133 332 323 134 343 433 444 441
414 144 442 424 244 123 124 213 214 132 334 443 434 344 312
314 142 143 412 413 241 243 421 423 431 432 342 341 321 324
231 234 122 233
Теорема. Число всевозможных размещений с повторениями
из и элементов по k равно:
пК
Доказательство. Без ущерба для общности в качестве
п данных элементов (а) можно взять п первых чисел натураль-
натурального ряда. Будем составлять различные размещения с повторе-
повторениями, полагая последовательно &=1, 2, ..., п.
При k=\ получим п различных размещений:
1, 2, 3, ., п,
539

образованных самими данными числами. Если к каждому из
этих чисел приписать последовательно каждое число из того же
множества, то образуется п2 пар чисел
И, 12, 13, . . ., Ы,
21, 22, 23, . . ., 2/i,
п\, п2} пЗ, . . ., пп,
которые и являются всевозможными размещениями с повторе-
повторениями из п элементов по 2. Если к каждой 'написанной паре
приписать последовательно числа 1, 2, ..., я, то получится ns
всевозможных размещений с повторениями из п элементов по 3
и т. д. Допустим, что число всевозможных различных размеще-
размещений с повторениями из п элементов по k—1 равно nk~l. Взяв
произвольную k—1-членную последовательность !из чисел
1, 2, ..., п:
iv i2, . . ., ik_x (*)
будем на &-ом месте приписывать (последовательно) 1, 2, ..., п,
тогда данное размещение (*) даст п различных размещений с
повторениями из k элементов, всего же получится nk~~l-n=nk
размещений k-ото порядка. Из способа составления этих разме-
размещений видно, что все они различны. Всякое размещение с повто-
повторениями из п элементов по k содержится среди написанных nk
размещений k-то порядка, так как на последнем месте может
стоять любое число 1, 2, ..., п (в силу способа образования раз-
размещений), а на каждом из предыдущих мест может стоять лю-
любое из этих чисел (тю предположению были составлены всевоз-
всевозможные размещения /г—1-го порядка). Следовательно, искомое
число размещений k-то порядка равно nk. В силу принципа ма-
математической индукции это утверждение верно при произволь-
произвольном /?, ч. т. д.
Пример
Имеется п различных книг, каждая в р экземплярах; сколькими спосо-
способами можно сделать выбор книг из числа данных?
Решение. Перенумеруем в каком-либо порядке п данных книг. Если
первая книга берется в k{ экземплярах, вторая в k2 экземплярах и т. д. п-я
в kn экземплярах, то указанному выбору соответствует размещение с пов-
повторениями:
из р+1 чисел 0, 1, 2, ..., р, взятых по п (если ?< = 0, то /-я книга не берется
вовсе). Таким образом получается (р+1)'1 различных комбинаций, по числу
размещений с повторениями из р+1 элементов по п. Исключив из рассмот-
рассмотрения комбинацию 0, 0, ..., О, означающую, что не берется ни одна книга, мы
получим (р+1)п — 1 различных способов выбора книг.
540

§ 120. Перестановки с повторениями
Перестановки с повторениями являются частным видом
размещений с повторениями, а именно это суть такие размеще-
размещения, в которых для каждого элемента указывается число его
повторений.
Пусть \а, Ь, ..., с\ — некоторое данное множество (конечное)
элементов.
Определение. Перестановкой с повторениями, в которой
элемент а повторяется а раз, элемент Ь повторяется C раз и т. д.,
элемент с повторяется у раз, где а, C, ..., y — данные числа, на-
называется всякое размещение с повторениями, составленное из
данных элементов, в котором каждый из элементов повторяется
указанное число раз. Число гп = а + p + ...+y называется поряд-
порядком перестановки.
Теорема. Число различных перестановок с повторениями
аз элементов \а, Ъ, .., с\, в которых элементы а, 6, ..., с повто-
повторяются соответственно а, C, ..., y Раз> равно:
(а + 3+ - - .+7I
а! <j! . . Т|
Доказательство. Рассмотрим некоторую перестановку
с повторениями данного 'вида как функцию натурального аргу-
аргумента:
Рь Р-2> ... Рт, (I)
1, 2, . . ., т,
где ри Р2, ..., Рт элементы данного множества \а, Ъ, ..., с\, а сни-
снизу под элементами перестановки подписаны номера занимаемых
ими мест (т. е. значения аргумента). Обозначим номера тех а
мест, которые занимает элемент а в перестановке, следующим
образом: аи а2, ..., ав, обозначим через bu b2, ..., Ь^ номера мест,
которые занимает элемент 6, и так далее и, наконец, через
С\, С2, ..., с—номера мест, которые занимает элемент с. Переста-
Перестановка с повторениями (I) вполне определяется распределением
мест, на которых находятся элементы а, Ъ, ..., с
(av а,, . . ., аа)Fр Ъу . ., Ьр) , . . (ср с2, . . ., cj.
Рассмотрим произвольную подстановку
2 ш\ /i \
9 п2, . . . , nj ' \rii/
переводящую начальную перестановку 1, 2, ..., т в перестановку
П\, п2, ..., пт. Это подстановка преобразует перестановку с по-
повторениями (I) в следующую перестановку с повторениями
541

По числу различных подстановок, равному т\ = (а + Р +
+ ... +у)> получатся т\ соответствующих перестановок с пов-
повторениями. Путем надлежащего выбора подстановки/ г ) из пе-
перестановки (I) может быть получена любая перестановка с пов-
повторениями рассматриваемого вида.
В самом деле, пусть II заданная перестановка с повторения-
повторениями и
(avav • • -<Ж . • Л) . . <(ci, . . .^)
распределение мест занимаемых в ней элементами а, Ъ, ..., с.
Подстановка
'av а2 . . ,aabl . . . Ь» . . тсг . . .
переведет перестановку с повторениями (I) в перестановку с по-
повторениями (II).
Среди т\ перестановок с повторениями, которые получатся
посредством применения всевозможных подстановок/ * ), не все
перестановки различны. В самом деле, в записи распределения
мест, занимаемых каким-либо элементом, например, а, несуще-
несущественно, в каком порядке записываются номера этих мест. Ины-
Иными словами, вместо
av а2> • • •> аа
можно взять любую перестановку из этих чисел. Если же множе-
множества чисел
аа и а[а'2
различны (т. е. в одном из этих множеств есть число, не содер-
содержащееся в другом), то перестановки с повторениями (I) и (II)
также различны.
Из изложенного следует, что всякая данная перестановка (I)
может быть записана а! р! ... y' способами, так как в распре-
распределении мест, занимаемых элементом а, можно взять любую пе-
перестановку из чисел п\п2 ... оа (таких перестановок а!), в распре-
распределении мест, занимаемых 6, можно взять любую перестановку
из чисел bib2...bn (таких перестановок р!) и т. д. и, наконец,
в распределении мест, занимаемых элементом с, можно взять
любую перестановку из чисел с^.-.с (таких перестановок yO-
Итак, во всем рассматриваемом множестве т\ перестановок
с повторениями каждая перестановка записывается а! р! ... y!- Раз-
Следовательно, число различных перестановок с повторения-
повторениями равно
ч. т. д.
Р! ... 71
542

Пример
Дано p + q + r различных предметов; сколькими способами можно разбить
эти предметы на 3 группы так, чтобы первая группа содержала р предметов,
вторая q предметов, а третья г предметов?
Решение. Расположим все данные предметы п каком-нибудь опреде-
определенном порядке:
При распределении предметов по группам будем на месте каждого пред-
предмета писать номер той группы, в которую он попадает. Так, запись
2 12 3 ... 1
означает, что первый предмет попал во вторую группу, второй в первую,
третий во вторую и т. д., последний в первую. Всякому распределению пред-
предметов по группам взаимно однозначно соответствует перестановка из чисел
I, 2, 3, в которой 1 встречается р раз, 2 встречается q раз и 3 встречается
г раза. Число возможных способов распределения предметов равно:
(р + Я + г)!
р! q\ r\
§ 121. Сочетания с повторениями
Пусть а, Ъ, с,..., d — данное конечное множество, содержа-
содержащее п элементов. Поставим в соответствие каждому элемен-
элементу этого множества некоторое целое неотрицательное число, на-
называемое кратностью данного элемента. Это соответствие
определяет функцию, для которой значениями аргумента явля-
являются данные элементы, а значениями функции — целые неотри-
неотрицательные числа — кратности элементов. Пусть а — кратность
элемента а, р — кратность элемента 6, у — кратность элемента с
и т. д. Для обозначения рассматриваемого соответствия выпи-
выписывают символ, обозначающий данный элемент столько раз,
какова его кратность, если эта кратность положительна, если же
кратность данного элемента равна нулю, то соответствующий
символ не выписывается. Символы, обозначающие элементы,
можно писать в каком угодно порядке, лишь бы каждый из них
был написан столько раз, какова кратность соответствующего
элемента. Так, например, записи
aaabbeddy ababaedd, dbdbaaca
выражают одно и то же: кратность а равна 3, кратность b рав-
равна 2, кратность с равна 1 и кратность d равна 2. Говорят также,
что данный элемент берется столько раз, какова его кратность.
Так, в рассмотренном примере элемент а взят 3 раза, элемент b
взят 2 раза, элемент с взят 1 раз и элемент d взят 2 раза.
Определение. Если каждому элементу некоторого конеч-
конечного множества поставлено в соответствие целое неотрица-
неотрицательное число — кратность данного элемента, то говорят, что
543

задано сочетание с повторениями. Сумма k кратностей всех
элементов называется порядком сочетания.
Всякое сочетание с повторениями k-vo порядка, составленное
из множества, содержащего п элементов, называется также
сочетанием с повторением из п элементов по k.
Если а, C, ...,у — кратности элементов а, Ьу...,с, то со-
согласно определению а + C + .. . + у есть порядок сочетания
а раз 3 раз 7 раз
ааа ... a bb ... b cc , , mc
Теорема. Число сочетаний с повторениями из п элементов
по k выражается формулой
Yk (rt + fe— 1I _ Qk
n
п k\(n~l)l
Доказательство. Расположим элементы данного множе-
множества в некотором определенном порядке, например, так:
а, Ь, ..., с
(для подсчета числа сочетаний порядок расположения элементов
несущественен). Всякому сочетанию с повторениями, в котором
элемент а встречается а раз, элемент b встречается |3 раз и т. д.,
элемент с встречается у раз; поставим в соответствие символ
а раз р раз 7 раз
11.. .1 0 1 1 . . .1 0 ... О 11 . . Л
Если некоторый элемент не содержится в данном сочетании
с повторениями, т. е. если его кратность равна нулю, то соответ-
соответствующая группа единиц не пишется. Таким образом в рассмат-
рассматриваемом символе 0 может находиться несколько раз подряд.
В символах, которые ставятся в соответствие сочетаниям с пов-
повторениями из п элементов по k, цифра 1 встречается k раз,
а цифра 0 встречается п— 1 раз. Эти символы суть «двоичные»
перестановки с повторениями, составленные из двух элементов О,
1, в которых 0 встречается п— 1 раз, а 1 встречается k раз.
Таким образом, всякому сочетанию с повторениями соответ-
соответствует некоторая вполне определенная двоичная перестановка.
Обратно, всякой двоичной перестановке, в которой 0 встречается
п— 1 раз, а 1 встречается k раз, соответствует некоторое вполне
определенное сочетание с повторениями из п элементов по k.
Для составления этого сочетания достаточно каждый элемент
(в установленном порядке) выписать столько раз, сколько раз
1 содержится на соответствующих местах.
Так, например, сочетаниям
aaabbcddd и abbbbbbbd
544

соответствуют символы
111011010111 и 101111111001.
Символам
011100111111
и
110111010111
соответствуют сочетания
bbbdddddd и aabbbcddd.
Установленное взаимно однозначное соответствие показывает,
что искомое число Г? сочетаний с повторениями равно числу
двоичных перестановок, в которых 0 встречается п—1, а 1
встречается k раз:
_ {п.ук\)\
A)! /г! С"+*-1' ' Д*
Пример
Имеется п одинаковых предметов, сколькими способами можно распре-
распределить эти предметы между р лицами?
Решение. Если первое лицо получило а предметов, второе Р предме-
предметов и т. д., последнее у предметов, то будем данное распределение предме-
предметов символически записывать следующим образом:
1 1 . . . 1 2 2 . . 2 рр . . . р
а раз 3 раз 7 раз
где
(если данное лицо, например, первое не получает предметов, то и цифра 1
не пишется в символе распределения). Отсюда видно, что число возможных
распределений предметов разно числу сочетаний с повторениями из р по пу
т. е.
§ 122. Число членов в каноническом представлении
многочлена
Излагаемые в настоящем параграфе теоремы о числе членов
многочлена относятся к многочленам, заданным вобщем виде
с произвольными коэффициентами. Возможность обраще-
обращения в нуль некоторых коэффициентов в различных частных слу-
случаях и связанное с этим уменьшение числа членов во внимание
не принимается и на счет числа членов влияния не оказывает.
Теорема. Каноническое представление однородного много-
многочлена п ~й степени, где п > 0 от k аргументов содержит
n\ (k — 1)!
545

Доказательство. Известно, что однородный многочлен
г (л^, л;2, . . . , xfi)
в каноническом представлении является суммой членов вида
где ai Л- а2 + ... + ak = п и А — коэффициент.
В каждом члене хх повторяется сомножителем а\ раз, х2 по-
повторяется а2 раз и т. д. Общее число множителей равно п. Сле-
Следовательно, многочлен в общем случае содержит столько раз-
различных членов, каково число сочетаний с повторениями из k эле-
элементов A'i*2» • • •, xk по я, т. е.
В частности, число членов однородного многочлена второй
3!
степени с двумя аргументами равно —— = 3, с тремя аргумента-
аргументами равно —1-= 6, с четырьмя аргументами равно —— = 10.
Z\ Z\ 2! 3!
Число членов однородною многочлена третьей степени с дву-
4!
мя аргументами равно—- =4, с тремя аргументами равно
«3! 1!
Л--ю.
2! 3!
Теорема. Каноническое представление многочлена степени
п от k аргументов содержит:
Сп и = (n + k)! = Ck . членов.
Доказательство. Всякому неоднородному многочлену
Рп (х\Х2, ..., xk) (заданному в общем виде) от k аргументов мо-
можно поставить во взаимно однозначное соответствие однород-
однородный многочлен степени п от k + 1 аргументов, состоящий из
стольких же членов, что и Рп(хи х2, ..., xk). В самом деле,
-если член Ах\*х\* ...xak* имеет степень /2, то оставим этот член
без изменения; если же данный член имеет степень т, меньшую
я, то присоединим к нему сомножитель tn~m. Таким образом,
получится однородный многочлен Рп{хи *2, ..., xk, t) степени п
от аргументов хи х2, ,.., xk , /. Если дан однородный многочлен
Рп (хь х2, ..., xk , t) степени я, то для перехода к неоднородному
многочлену Рп(хи *2, •••> *ь) достаточно опустить аргумент t во
всех членах, в которых он содержится.
Так, например:
апх2 + 2а12ху + а22у2 + 2alsxz + 2a23yz + a^z2 + 2a Lx + 2a2y +
+ 2a3z+a,
546

и
апх2 + 2aL2xy + a22y2 -f 2al3xz + 2a23yz + a33z2 + 2axxt +
+ 2a2yt + 2a3zt + aot*
суть взаимно соответственные неоднородный и однородный мно-
многочлены.
Число членов многочлена Р(х\, х2, ... , Хи) равно числу чле-
членов Рп (хи х2, ... , xk, t), т. е. С?+Л, ч. т. д.
В частности, число членов многочлена второй степени от двух
4| 5!
аргументов равно——• = 6, от трех аргументов равно ¦ — = 10.
Число членов многочлена третьей степени от двух аргументов
равно — = 10, от трех аргументов равно •—:—= 20.
§ 123. Формулы произведения двучленов,
бинома Ньютона и степени суммы
Рассмотрим произведение п двучленов следующего вида:
(х + аг)(х + хД . . .{х + ап). (П)
Теорема. В каноническом представлении произведения (П)
коэффициент при xn~k равен сумме всевозможных произведе-
произведений, составленных из чисел аи а2, ... , ап, взятых по k.
Доказательство. Теорема верна для произведения двух
биномов:
(х + ах) (х + а2) = х2 + (ах + а2) х + ага2.
Предположим, что теорема верна для произведения п— 1 би-
биномов, докажем, что в этом предположении она будет верна для
произведения п биномов. По предположению имеем:
где
Pl = ai+a2+ ' ' '+an-V
р2 - аха2 + ахаъ + ... + an_2an_v
и, вообще, pk_x есгь сумма всевозможных произведений чисел
аи аг . • •, Яп-ь взятых по k—l. У множив на (х + ап), получим:
547

Коэффициент ph + anpk-\ есть сумма всевозможных произве-
произведений из чисел #ь #2, . * . , Ял—1 , #п, взятых по &. В самом деле,
ph есть сумма всех тех произведений, составленных из чисел
аи п2, .. ., Яп-ь Яп, взятых по &, которые не содержат ап, a anph-i
есть сумма всех тех произведений, взятых по /г, которые содер-
содержат ап.
Будучи верной для произведения п—1 двучленов, формула
верна для произведения п двучленов и, так как формула верна
при п = 2, то она верна для произведения любого числа двучле-
двучленов.
Бином Ньютона является частным случаем доказанной
формулы. Если положить
аг = а2 = . . .ап=а,
то коэффициент при xn~k примет следующий вид: C^afe, а пото-
потому получим:
(х+ а)п = хп+ С1пхп~ха+ . . . + Cknxn~kak -f . . .-\-ап.
В § 19 формула бинома Ньютона была выведена непосредст-
непосредственно; изложенное в настоящем параграфе другое доказательст-
доказательство дает объяснение того факта, что биномиальными коэффициен-
коэффициентами являются числа всевозможных сочетаний, которые можно
'Составить из п элементов (где п показатель степени бинома).
Теорема, я-я степень суммы х\ + х2 + ... + хъ. имеет следую-
следующее каноническое представление (полиномиальная формула):
(*1 + Х2 + . . . + Xk)n =
-S
где суммирование в правой части распространяется на всевоз-
всевозможные системы целых неотрицательных значений сц, аг, • • • , а/г,
удовлетворяющих условию а\ + аг + . .. + аи — п.
Формула бинома Ньютона является частным случаем дока-
доказываемой формулы (при k = 2).
Доказательство. Для получения канонического пред-
представления левой части доказываемого тождества надо произве-
произвести умножение п сомножителей (равных):
*1 + *2+ • • .Xk, A)
*1 + *2+ • • -Xk, B)
¦^1 + ^2+ - • -xk. (n)
Для выполнения этого умножения достаточно (по правилу
умножения суммы на сумму) каждое слагаемое первой строки
548

умножить на каждое слагаемое второй строки, каждое из полу-
полученных произведений умножить на каждое слагаемое третьей
строки и г. д. и, наконец, все полученные произведения сложить.
Если от первой строки берется Xilf от второй строки */, и т. д., от
П'й строки jc/rt, то такой выбор сомножителей даст в произведе-
произведении член
где для каждого из индексов возможно произвольное значение
1. 2, ..., k. Число всех полученных произведений равно числу
размещений с повторениями из k элементов х\9 Хъ, ..., хь. по /г,
т. е. kn. Среди полученных kn слагаемых содержатся подобные
члены. Все члены, в которых х\ содержится сомножителем дан-
данное число си раз, х2 содержится а2 раз и т. д., xk содержится
cck раз, где ai + a2 + ... + a* =п9 подобны. Каждый такой член
соответствует размещению
X: Xf . . . х1п,
в котором х\ встречается ai раз, х2 встречается а2 раз и т. д
к xk встречается ak раз; число всех этих членов равно числу
всевозможных перестановок с повторениями, в которых каждый
из элементов хи х2у ..., xk встречается указанное число раз, т. е.
. Следовательно, в каноническое представление
(xi + x2 + ...+xk)n произведение ха*х*2* ... xakk войдет с коэффи-
циентом ——j —, и искомое каноническое представление яв-
является суммой всех произведений данного вида, для которых
<Zl + (Z2+ ./.Н- CLk — П, Ч. Т. Д.
Пример
Представить в каноническом виде:
Имеем:
3!
•#3-f
3! О! О! ' 0! 3! О! J ' О! О! 3!
3! о , 3! о . 3! „ , 3!
21 ПО! J ' 2! О! 1! ' 0! 2! 1! v 1! 2! О!
= х3 + у9 + гЧЗ (х*у + хЧ + У2х + y2z f хг2 + yz*) -f бхуг.
36 С. И. Новоселов 549

§ 124. Комбинаторные тождества
и методы их доказательства
Комбинаторными тождествами называются соотношения
между выражениями для чисел различного вида соединений.
Для доказательства комбинаторных тождеств могут применять-
применяться различные методы. В частности, эти тождества могут устанав-
устанавливаться:
a) непосредственно из рассмотрения самих соединений,
b) при помощи тождественных преобразований,
с) косвенным путем на основании свойств многочленов (в
частности применение формулы бинома Ньютона),
d) путем применения метода математической индукции.
Ниже на ряде конкретных примеров показаны различные ме-
методы доказательства комбинаторных тождеств:
1. Число сочетаний из п элементов по k равно числу соче-
сочетаний изп элементов по п — k:
с* = сг*. A)
Первое доказательство. Всякой части, содержащей k
элементов данного множества из п элементов, соответствует
единственная часть, содержащая п—/е оставшихся элементов.
Обратно, всякой части из п—k элементов соответствует единст-
единственная часть, содержащая k не вошедших в нее элементов. Это
соответствие взаимно-однозначное. В самом деле, если две части,
содержащие данное число элементов, различны, то различны и
соответствующие части, образованные оставшимися элементами.
Из установленного взаимно-однозначного соответствия следует,
что число частей, содержащих k элементов, равно числу частей,
содержащих п—к элементов.
Второе доказательство. Достаточно принять во вни-
внимание, что С„ и Cnn~k выражаются одной и той же формулой
п\
Щп — k)!'
Третье доказательство. Достаточно принять во вни-
внимание, что С* и С„~~к суть коэффициенты при xn~kyk и xkyn~k в
каноническом представлении симметрического многочлена
(х+У)п.
2. Имеет место тождество:
C* = C*_1 + C*=j. • B)
Первое доказательство. Выделим какой-либо один
элемент из числа данных п элементов. Все сочетания из п эле^-
ментов по k разделяется на две группы, содержащие данный
элемент и не содержащие данного элемента. Первая группа со-
550

стоит из C*l|, вторая из С*_, сочетаний, откуда и следует тож-
тождество B).
Второе доказательство. Имеем:
L + 1 )
П — k) k\(tl—k)\
3. Имеет место тождество:
Доказательство. Пользуясь тождеством B), напишем
ряд следующих тождеств:
k+l
Сложив почленно эти тождества, получим, после сокраще-
сокращения, тождестго C).
Следствие. В силу тождества A) тождество C) может быть
переписано в виде
с2 + Ч+,+ • • • ьед-.-ед- о')
4. Имеет место тождество:
С» + С'4- . . .+С*+ . . . + С» = 2», D)
т. е. сумма биномиальных коэффициентов равна 2п, где п — сте-
степень бинома.
Первое доказательство. Сумма ЦС?, находящаяся в
левой части, есть количество всевозможных частей * конечного
множества из п элементов.
Подсчитаем другим способом число частей конечного множе-
множества. Расположим элементы данного множества в некотором оп-
определенном порядке:
Яъ °2> . . . > ап-
Рассмотрим какую-нибудь часть данного множества: поставим
1 на месте элементов, вошедших в состав, и 0 на месте элемен-
элементов, не вошедших в состав рассматриваемой части. В силу этого
* Включая и несобственные части, г. е. пустое множество и само множе-
множество.
36* 551

всякой части множества ставится во взаимно-однозначное соот-
соответствие некоторое размещение с повторениями из двух элемен-
элементов 0 и 1 по п. Число всех частей множества равно числу полу-
полученных размещений, а последнее равно 2п.
Второе доказательство. Достаточно в формуле би-
бинома Ньютона
положить х=у=\.
5. Сумма биномиальных коэффициентов, взятых с чередую-
чередующимися знаками, равна нулю
С°п-Сп± • ¦ - + (~1)Ч+ ¦ • . + (—1)ЛС- = 0. E)
Доказательство. Достаточно в формуле бинома Ньюто-
Ньютона положить
х= 1, у= — 1.
Следствие 1. Имеют место равенства:
Следовательно, сумма биномиальных коэффициентов (при
данном п)у занимающих четные места, равна сумме коэффициен
тов, занимающих нечетные места. В самом деле, в силу тождеств
D) и E) имеем:
=2"и Ес"~Ес2*+| - о.
откуда следует равенство рассматриваемых сумм.
Следствие II. Общее число тех частей конечного множе-
множества, которые состоят из нечетного количества элементов, рав-
равно числу тех частей, которые состоят из четного числа элемен-
элементов.
Это следует из предыдущего и из того, что С„ есть число
всех частей конечного множества, содержащих k его элементов.
6. Доказать тождества:
i( ^) F')
, F")
. F'")
Доказательство. Пусть г — мнимый кубический корень
из 1
2ти . . . 2 тс —1 +/1/з~
S = COS Ь I Sin= Г
3 3 2
552

Положив в формуле бинома Ньютона х = 1, у = 1, затем х = 1,
= р, и, наконец, х=1, */ = е2, получим:
2--СЦ+С' +С» + С> + С;.+ , (а)
A + е)» = С» + еС]1 + б2С2 + С8 + еС«+ . . ., (Ь)
Сложив почленно равенства (а), (Ь) и (с) и разделив на 3,
получим в правой части сумму биномиальных коэффициентов,
взятых через 2, начиная с CQn, а в правой части
Приняв во внимание, что
< , 1 , . УЗ 7Г , . . %
1 + е = V-1 — = cos Ь l sin — ,
2^2 3 3
1.2 1 • УЗ / 71 \ . . / 7Г \
1 + е2 — i = COS -f I Sin ,
2 2 \ 3 / I 3 /'
получим:
— [2л + A +е)/г + A + ?2)nJ= — [2Л + 2cos-^-l,
3 3 [ 3 J
откуда следует тождество (б').
Для доказательства тождеств F") и F'") следует составить
суммы:
и
2" + еA +г)п + е2A
7. Доказать тождество:
Доказательство. Рассмотрим тождество:
(х+ 1)п(х+ \)т = (*+ 1)л+от.
Воспользуемся каноническими представлениями сомножите-
сомножителей левой части:
(jc+ l^^C^ + C^-1 + . . . + С^-р + . . .+С?.
Подсчитаем коэффициенты при хп+т~р ; этот коэффициент
равен левой части тождества G). С другой стороны, коэффици-
коэффициент при хп+т~р найдем, применив формулу бинома Ньютона к
553

(x-\-l)n+m , этот коэффициент равен С*т+п. Отсюда следует тож-
тождество G).
8. Имеет место следующая формула для суммы квадратов
биномиальных коэффициентов:
+ . . . + (qjJ = c«n. (8)
Доказательство. Достаточно в формуле G) положить
= гп = р и принять во внимание тождество С?"~Л=С?.
§ 125. Суммирование степеней чисел натурального ряда
Требуется вычислить сумму
Рассмотрим разность
Полагая последовательность т = 0, 1, 2,..., п, получим ра-
равенства:
Сложив почленно эти равенства, получим:
Эта рекуррентная формула позволяет вычислить сумму SkJ
если известны предыдущие суммы Sb S2, •••» Sk-i-
Положив &=1, получим:
Откуда
Положив k = 2, получим:
(п + IK = 3S2 + 35Х + п + 1 - 352 + 3 "V"JA; + n + 1.
Откуда
554

Жак,
12 + 2* + 38+...
Положив k = 3, получим:
(n+ 1L = 453
Откуда
4
6S2 + AS, + n
(n+ l)_6S2
Итак,
Полагая последовательно п = 4, 5 и т. д., можно найти выра-
выражения для S4, «S5 и т- Д-
Укажем еще другой, так называехмый индусский, или геометриче-
геометрический, способ суммирования степеней чисел натурального ряда.
Для вычисления суммы S2 составим следующую таблицу с двойным вхо-
входом:
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
1
2
3
4
5
. . . п
. . . п
... п
. . . п
. . . п
п
. . . п
т
1 2 3
Подсчитаем следующими двумя способами сумму всех чисел, написанных
в таблице.
1-й способ. Сумма чисел каждой строки равна 5Ь а сумма всех чисел
таблицы равна nS\.
2-й способ. Разобьем числа таблицы на группы по способу, пояснен-
поясненному в правой таблице. Сумма чисел, составляющих т-ю группу, равна:
1+2 + 3+ ... + т + (т — 1) т =
"* + ^ + (т — 1) т = — т2— —т.
555

Просуммировав по га=1, 2, ..., п, получим сумму всех чисел таблицы:
2 ^* 2 •*
т=« 1 т— 1
Сравнив результаты обоих способов суммирования, получим:
-Sl.
2
~ S2— YSl==
откуда
д
т е.
1)Bя + 1)
Если числа, написанные в таблице, заменить их квадратами и применить
изложенный способ суммирования, то можно вычислить 53 (предоставляем
это учащимся в качестве упражнения).
Укажем также следующий способ суммирования кубов. Возьмем обычную
Пифагорову таблицу умножения.
1
2
3
4
п
2
4
б
8
2п
3
б
9
12
Зп
п
2л
Зп
• •
п2
Просуммируем числа Пифагоровой таблицы указанными выше двумя
способами.
Просуммировав первым способом, получим:
Si + 2Si + • • • + "Si = Si A + 2 + 3 + ... + n) = S\.
Просуммировав вторым способом, найдем сначала сумму членов, обра-
образующих т-ю группу:
/т(т-И) (гп— \)пг\
\ 2 2
Следовательно, сумма всех чисел таблицы равна
m3 = S3. откуда получим формулу: S3 = Sj.
Если заменить числа в Пифагоровой таблице их квадратами и применить
описанный процесс суммирования (двумя способами), тс получится фор-
формула
(вычисления предоставляем учащимся).
556

Примеры
1. Вычислить суммы
+.. + Bп + \)* и a2 =
Решение. Вычисление второй с^ммы не представляет затруднений:
2п(п+ 1)Bп + 1)
а2 = 4A2 + 22+...+Аг2) = z
Для вычисления ai заметим, что
3
Следовательно,
(п + 1) {2п+ 1) D/14- 3) 2/1 (л 4- 1) B" + О (п
Ol= - ^ - = - .
2. Вычислить сумму квадратов п первых натуральных чисел, взятых с
чередующимися знаками:
1 —4+9— .. (— I/1"-1 пК
Решение. Применим формулу, выведенную в примере 2 на стр. 515,
положим в ней q = —1, тогда получим:
(-0"+14-1 _ Bп— 1)(— 1)^+ 1 — 1 п2(-1)я+1
п ( — 2K ( —2J + —2
откуда
1)л+1 Bп— I) (— 1)п+1 — 1
4
— \)пп(п

Алфавитный указатель
Алгебраическая дробь 91
Аргумент 19, 31
— линия 94
— операция 7, 25
Арифметический корень 115
— треугольник 54
Безу теорема 72
Бернулли неравенство 226
Биквадратный трехчлен 430
Бином Ньютона 53, 548
Биномиальные коэффициенты 54
Выделение полного квадрата 82, 314
Выражение аналитическое 25
— иррациональное 123
— содержащее радикалы
123
— рациональное 90
Горнера схема 73
Группа младших членов 42
— старших членов 42
Деление с остатком 67, 86
Делимость многочленов 64
Дискриминант трехчлена
Дополнительное исследование 209
Допустимая система значений аргу-
аргументов 26
Законы действий 10
Законы монотонности сложения 14
— — умножения 15
Интервал 17
— бесконечный 18
Интерполяция линейная 471
Исключение неизвестного 260
— радикалов 402
Исследование функции 436
Каноническое представление 38, 97
Квадратный трехчлен 314
— — однородный 320
Кольцо 9
— коммутативное 10
— многочленов 48
Кольцо целых чисел 12
Комбинаторные тождества 550
558
Корень квадратного трехчлена 316
— кратный 77
— многочлена 74
— простой 77
— уравнения 181
Круговая перестановка 59
Лагранжа тождество 56
Лексикографическое расположение 40
Линейные системы 255
Логарифмы 452
— десятичный 468
— натуральный 468
Логарифмирование 467
/\Детод комбинирования 202
— неопределенных коэффициен-
коэффициентов 64, 274
— подстановки 200
Многочлен 33
— неприводимый 75
— однородный 39
— приводимый 75
— симметрический 60
Множество значений функции 19
Модуль перехода 454
Неполное решение неравенств 237
— частное 67
Неравенства 14, 212
— высших степеней 382
— иррациональные 413
— квадратные 332
— первой степени 289
— содержащие неизвестные
230
— тождественные 214
— эквивалентные 231
Несократимая алгебраическая дробь
96
Нетривиальный делитель 65
Нуль-многочлен 38
Нуль-одночлен 37
Область определения аналитического
выражения 27
— — функции 19

Область определения уравнений 180,
184
Одночлен 36
Основное исследование 209
Особые решения 210
Параметр 31
Перестановка 532
— с повторениями 541
Подобные одночлены 37
Подстановка 534
Поле 10
— действительных чисел 12
— комплексных чисел 13
— расположение 14
— рациональных чисел 12
— рациональных функций 102
Показатель дробный 147
— иррациональный 443
— корня 115
— нулевой 446
— отрицательный 446
Полусегмент 18
Полуинтервал 18
Посторонние решения 188
Последовательность 500
— двусторонняя 501
— конечная 501
— сходящаяся 517
— числовая 583
Потенцирование 467
Правила действия над радикалами
116
Предел последовательности 517
— функции 21
Принцип математической индукции
11
— продолжения по непрерыв-
непрерывности 22
Признак невыполнимости деления 65
Произведение многочленов 46
Прогрессия арифметическая 509
— двусторонняя арифметиче-
арифметическая 510
— геометрическая 511 —
— двустороияя геометриче- —
екая 511
конечная арифметическая —
510 —
— конечная геометрическая —
512
— расходящаяся геометриче-
геометрическая 522
— сходящаяся геометриче
екая 522
Радикал 115
Размещение 536
Размещение с повторением 539
Решение неравенств 235
— уравнения 180
Свойство необратимости неравенств
14
— непрерывности 15
— плотности 15
— рефлексивности равенств 14
— транзитивности неравенств
14
— транзитивности равенств 14
Свойство трансцендентности показа-
показательной функции 492
— трансцендентности лога-
логарифмической функции 493
Свойства неравенств 212
— характеристические 494, 497
Сегмент 17
Система линейных неравенств 292
— неравенств 230
— смешанная 241, 303
— уравнений второй степени
363
— — линейная 255
Совокупность неравенств 230
— уравнений 198
Сокращение алгебраической дроби 95
Сопряженный множитель 133
Сочетание 527
— с повторениями 545
Среднее арифметическое 221
— гармоническое 222
— геометрическое 221
квадратическое 222
Степень 35
— дробная 147
— иррациональная 443
— многочлена 39
отрицательная 146
Сумма многочленов 46
Суммирование конечных рядов 513
— степеней 554
Схема умножения многочленов 48
Текстовые задачи 242, 306, 419
Теорема об абсолютной величине сум-
суммы 216, 217
— о нуль-многочлеие 43
— о тождественности много-
многочленов 44
— — дробей 93
— основная алгебры 74
о произведении многочле-
многочленов 50
Теоремы о корнях многочлена 74
Тождественные выражения 29
Тождественное преобразование 29
Тривиальный делитель 65
Тривиальное решение 270
Трансцендентная операция 25
Треугольная система 256
— — усеченная 256
Уравнение 180
559

— алгебраическое 182
— биквадратное 346
Уравнение возвратное 349
— двучленное 342
— дробное 182
— иррациональное 182, 400
— линейное 251
— неопределенное 283
— логарифмическое 475
Уравнение над полем рациональных
чисел 338
— однородное 366
— показательное 475
— противоречивое 181
— трансцендентное 182
— трехчленное 345
— функциональное 449
Уравнения, содержащие параметры
206
— эквивалентные 187
Упорядоченное конечное множество
532
Упрощение радикалов 124
— рационального выражения
107
— целого выражения 38
Условные тождества 63
Фибоначчи числа 508
Формула куба трехчлена 62
— произведения двучленов 547
— рекуррентная 505
— сложного квадратного ради-
радикала 125
Формула сложных процентов 487
Формулы сокращенного умножения
52
Функция 19
— алгебраическая 155
Возрастающая 23
Функция вогнутая 218
— выпуклая 218
иррациональная 155
— логарифмическая 456
— монотонная 23
— непрерывная 22
— нечетная 20
— ограниченная 19
— показательная 448
— показательная на множестве
рациональных чисел 440
— рациональная 100
— симметрическая 325
— степенная 148, 152, 458
— сложная показательная 459
— убывающая 23
— четная 20
— элементарная 27
Функции взаимно обратные 20
Члены многочлена 36
— последовательности 500
Эйлера тождество 57
Элементарная область 231
— — замкнутая 232
Яковкина М. В. схема 69

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 3
§ 1. О содержании курса элементарной алгебры 7
§ 2. Понятия кольца и поля 8
§ 3. Основные числовые множества, рассматриваемые в элементарной
алгебре П
•§ 4. Расположенные числовые поля 14
§ 5. Числовые промежутки 17
§ 6. Основные понятия учения о функциях 19
§ 7. Монотонные функции 23
§ 8. Понятие аналитического выражения 25
§ 9 Элементарные функции 27
§ 10. Тождественные преобразования и действия над аналитическими
выражениями .28
§ 11. Аналитические выражения, содержащие параметры 31
Гл а г а I
Многочлены
§ 12. Многочлены , 33
§ 13. Представление многочлена в каноническом виде 36
§ 14. Различные способы расположения членов многочлена 40
§ 15. Теорема о многочлене, тождественно равном нулю 43
§ 16. Теорема о тождественности многочленов 44
§ 17. Единственность канонического представления многочлена. Дей-
Действия над многочленами 46
§ 18. Теорема о произведении многочленов 50
§ 19. Формулы сокращенного умножения 52
§ 20. Примеры тождественных преобразований многочленов 56
§ 21. Симметрические многочлены 60
§ 22. Метод неопределенных коэффициентов 61
§ 23. Условные тождества ... 63
§ 24. Делимость многочленов 64
§ 25. Деление с остатком 67
§ 26. Теорема Безу 72
§ 27. Теоремы о корнях многочлена 74
§ 28. Разложение многочлена на множители 75
561

§ 29. Различные способы разложения много1 ленов на множители ... 80
§ 30. Деление с остатком многочленов, расположенных по возрастаю-
возрастающим степеням аргумента 86
Глава II
Дробная рациональная функция
§ 31. Рациональные выражения и рациональные функции 90
§ 32. Алгебраические дроби i\
§ 33. Тождественность алгебраических дробей 92
§ 34. Сокращение алгебраических дробей .95
§ 35. Рациональные функции 100
§ 36. Поле рациональных функций 102
§ 37. Тождественные преобразования рациональных выражений. . . . 106
§ 38. Примеры тождественных преобразований рациональных выраже-
выражений 107
Глава III
Радикалы и иррациональные функции
§ 39. Радикалы над полем действительных чисел 114
§ 40. Преобразование выражений, содержащих радикалы 123
§ 41. Извлечение корня из чисел . . . , 138
§ 42. Извлечение корня методом последовательных приближений. . .142
§ 43. Обобщение понятия степени 145
§ 44. Степенная функция с рациональным показателем 148
§ 45. Явные алгебраические функции над полем действительных чисел. 155
§ 46. Функция^ z от комплексного аргумента 165
Глава IV
Уравнения и неравенства
§ 47. Уравнения и системы уравнений . . м 180
§ 48. Эквивалентность уравнений и систем уравнений 187
§ 49. Преобразование уравнений 191
§ 50. Совокупность уравнений 198
§ 51. Основные способы решения систем уравнений 200
§ 52. Решение уравнений при дополнительных условиях 204
§ 53. Уравнения, содержащие параметры 206
§ 54. Об исследовании уравнений 209
§ 55. Особые случаи решения уравнений 210
§ 56. Основные свойства неравенств . . . . 212
§ 57. Тождественные неравенства 214
§ 58. Некоторые замечательные неравенства 214
§ 59. Средние величины 221
§ 60 Задачи на экстремум, решаемые применением неравенств. . . . 226
§ 61. Неравенства, содержащие неизвестные, задание элементарных об-
областей при помощи неравенств 230
§ 62. Решение неравенств 235
§ 63. Неравенства, содержащие абсолютную величину. 239
§ 64. Смешанные системы 241
§ 65. О решении и исследовании текстовых задач на составление урав-
уравнений и неравенств 242
§ 66. Понятие об элементарных графических и приближенных методах
решения уравнений 246
562

Глава V
Уравнения и неравенства первой степени
§ 67. Линейные уравнения 251
§ 68. Линейные системы 255
§ 69. Треугольные системы 256
§ 70. Исключение неизвестного из двух линейных уравнений 260
§ 71. Исследование и решение системы линейных уравнений элементар-
элементарными методами 263
§ 72. Метод неопределенных коэффициентов 274
§ 73. Линейные системы, содержащие параметры. Решение линейных
систем при дополнительных условиях 276
§ 74. Различные частные способы решения линейных систем 284
§ 75. Неравенства первой степени « , 289
§ 76. Системы линейных неравенств 292
§ 77. Смешанные системы. 303
§ 78. Примеры решения и исследования текстовых задач на составление
уравнений и неравенств 306
Глава VI
Уравнения и неравенства высших степеней
§ 79. Квадратный трехчлен, выделение полных квадратов 314
§ 80. Корни квадратного трехчлена 316
§ 81. Квадратные уравнения, содержащие параметры 323
§ 82. Симметрические функции корней квадратного трехчлена .... 325
§ 83. Квадратный трехчлен над полем действительных чисел, неравен-
неравенства второй степени, наибольшие и наименьшие значения .... 329
§ 84. Алгебраические уравнения над полем рациональных чисел . . . 338
§ 85. Двучленные уравнения 342
§ 86. Частные виды алгебраических уравнений высших степеней, решае-
решаемых элементарными методами 343
§ 87. Дробные уравнения 355
§ 88. Системы уравнений высших степеней 361
§ 89. Уравнения однородные и приводящиеся к однородным 366
§ 90. Примеры решения систем уравнений 372
§ 91. Неравенства и системы неравенств высших степеней с одним неиз-
неизвестным 382
§ 92. Неравенства и системы неравенств с несколькими неизвестными,
смешанные системы 388
§ 93. Иррациональные уравнения 400
§ 94. Иррациональные неравенства 413
§ 95. Примеры решения текстовых задач 419
§ 96. Задачи на исследование функций и нахождение наибольших и на-
наименьших значений 427
Глава VII
Показательная и логарифмическая функции над полем
действительных чисел
§ 97. Показательная функция на множестве рациональных чисел . . 440
§ 98. Степень с иррациональным показателем 443
§ 99. Показательная функция 448
§ 100. Логарифмы и их свойства 452
§ 101. Логарифмическая функция 456
§ 102. Степенная функция с произвольным действительным показателем 458
§ 103. Сложная показательная функция 459
563

§ 104. Примеры исследования функций, заданных формулами, содержа-
содержащими логарифмические и показательные операции 461
§ 105. Логарифмические вычисления 466
§ 106. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. . 475
§ 107. О некоторых приложениях показательной функции и логарифмов. 487
§ 108. Рост показательной и логарифмической функций 490
§ 109. Трансцендентность показательной и логарифмической функций. 492
§ ПО. Характеристические свойства показательной и логарифмической
функций , 494
Глава VIII
Последовательности
§ 111. Понятие последовательности 500
§ 112. Числовые последовательности 503
§ 113. Прогрессии 509
§ 114. Суммирование конечных рядов 513
§ 115. Сходящиеся последовательности и суммирование рядов .... 517
Глава IX
Комбинаторика
§ 116. Сочетания 527
§ 117. Перестановки 531
§ 118. Размещения СЗб
§ 119. Размещения с повторениями 539
§ 120. Перестановки с повторениями 541
§ 121. Сочетания с повторениями 543
§ 122. Число членов в каноническом представлении многочлена. . . 545
§ 123. Формулы произведения двучленов, бинома Ньютона и степени
суммы 547
§ 124. Комбинаторные тождества и методы их доказательства .... 550
§ 125. Суммирование степеней чисел натурального ряда 554
Алфавитный указатель 558
Сергей Иосифович Новоселов
СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЫ
Редактор А. И. Селиверстова
Художественный редактор И Ф Муликова
Технический редактор Р. К. Воронина
Корректор Короткова Т. С
Сдано в набор 2/VIII—61 г. Подписано к печати 4/VI—62 г
Бумага 60 X 90Vie 35,25 печ. л. 30,42 уч.-изд. л
Тираж 50 000 экз. Т-07306 Изд. № Ф.М Х/76 Цена 1 р. 01 к. Зак. 1586
Государственное издательство «Высшая школаэ,
Москва, К-62. Подсосенский пер., 20
Типография Металлургиздата, Москва, Цветной бульвар, д. 30