Автор: Теляковский С.А.
Теги: алгебра математика линейная алгебра математический анализ издательство просвещение
ISBN: 5-09-002727-7
Год: 1990
Текст
АЛГЕБРА
f
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ от 10 ао99
ЕДИНИЦЫ
ДЕСЯТКИ 0 1 2 3 4 5 в 7 8 9
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
2 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1SJ36 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
1 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
АЛГЕБРА
УЧЕБНИК ДЛЯ 9 КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Под редакцией
С. А. ТЕЛЯКОВСКОГО
Утверждено
Государственным комитетом СССР
по народному образованию
Глава I
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Глава II
УРАВНЕНИЯ
И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Глава III
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ
ИИ
IVI
ИВМ
Глава IV
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Глава V
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ВЫРАЖЕНИЯ
И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
|П1 МОСКВА
Цр «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1990
ББК 22.14я72
А45
Авторы:
Ю. Н. МАКАРЫЧЕВ, Н. Г. МИНДЮК, К. И. ПЕШКОВ,
С. Б. СУВОРОВА <
Учебник занял первое место на Всесоюзном конкурсе учебников для
средней общеобразовательной школы в 1988 г.
В учебнике использованы некоторые упражнения из учебника: Алгебра:
Учеб, для 8 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, В. М. Мона-
хов, К. С. Муравин, С. Б. Суворова; Под ред. А. И. Маркушевича.—
4-е изд., перераб.— М.: Просвещение, 1982.
Условные обозначения
Знаком • отмечены упражнения, соответствующие уровню обяза-
тельных результатов обучения (Математика в школе: Сб. нормат. доку-
ментов/Сост. М. Р. Леонтьева и др.— М.: Просвещение, 1988).
Светлым курсивом набраны номера упражнений, рекомендуемых для
домашней работы.
Знаком * отмечены более сложные упражнения.
Алгебра: Учеб, для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев,
А45 Н. Г. Миндюк, К. И. Пешков, С. Б. Суворова; Под ред.
С. А. Теляковского.— М.: Просвещение, 1990.— 272 с.:
ил.— ISBN 5-09-002727-7
4306020000—387
А 103(03)—90
инф. письмо — 90
ББК 22.14я72
ISBN 5-09-002727-7
© Макарычев Ю. Н. и другие, 1990
КВАДРАТИЧНАЯ
ФУНКЦИЯ
§ 1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
§ 2. квадратный трехчлен
§ 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ
ГРАФИК
§ 4. НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ * 1
§ 1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
1. ФУНКЦИЯ. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
И ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ
Функция — одно из важнейших математических понятий.
Напомним, что функцией называют такую зависимость пере-
менной у от переменной х, при которой каждому значению
переменной х соответствует единственное значение перемен-
ной у.
Переменную х называют независимой переменной или аргу-
ментом. Переменную у называют зависимой переменной. Гово-
рят также, что переменная у является функцией от перемен-
ной х. Значения зависимой переменной называют значениями
функции.
Если зависимость переменной у от переменной х является
функцией, то коротко это записывают так: y — f(x). (Читают:
у равно f от х.) Символом f (х) обозначают значение функции,
соответствующее значению аргумента, равному х.
Пусть, например, функция задается формулой у = 2х2 — 6.
Тогда можно записать, что /(х)=2х2— 6. Найдем значения
функции для значений х, равных, например, 1, 2,5, —3, т. е.
найдем /(1), /(2,5), /(-3):
/(1)=2-12-6=—4;
/ (2,5) = 2*2,52 —6 = 6,5;
/( —3)=2-( —З)2 —6 = 12.
Заметим, что в записи вида y-f(x') вместо / употребляют
и другие буквы: g, <р и т. п.
Все значения независимой переменной образуют область оп-
3
ределения функции. Все значения, которые принимает зави-
симая переменная, образуют область значений функции.
Если функция задана формулой и ее область определения не
указана, то считают, что область определения функции состоит
из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Например, областью определения функции f (х)=5х + х2 яв-
ляется множество всех чисел; областью определения функции
служит множество всех чисел, кроме — 3.
Область определения функции, описывающей реальный
процесс, зависит от конкретных условий его протекания. На-
пример, зависимость длины I железного стержня от температу-
ры нагревания t выражается формулой Z = Zo(l + at), где 1о —
начальная длина стержня, а а — коэффициент линейного рас-
ширения. Указанная формула имеет смысл при любых зна-
чениях t. Однако областью определения функции l = f (t) явля-
ется промежуток в несколько десятков градусов, для которого
справедлив закон линейного расширения.^
Напомним, что графиком функции называют множество
всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны
значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значе-
ниям функции.
Ца рисунке 1 изображен гра-
фик функции y = f(x\ областью
определения которой является
промежуток [ — 3; 7]. С помощью
графика можно найти, например,
что /( —3)=—2, /(0) = 2,5, /(2) =
= 4, /(5) = 2. Наименьшее значе-
ние функции равно —2, а наи-
большее равно 4; при этом любое
число от —2 до 4 является зна-
чением данной функции. Таким
образом, областью значений функ-
ции y = f(x) служит промежуток
[ — 2; 4].
Мы изучили некоторые важные виды функций: линейную
функцию, т. е. функцию, задаваемую формулой у = kx + &, где
k и Ъ — некоторые числа; прямую пропорциональность — это
частный случай линейной функции, она задается формулой
y = kx, где fey=O; обратную пропорциональность — функцию
где fe=#O.
Графиком функции y = kx-\-b служит прямая (рис. 2).
Ее областью определения является множество всех чисел.
Область значений этой функции при k Ф 0 есть множество всех
чисел, а при k = 0 ее область значений состоит из одного чис-
ла Ь.
4
ется гиперболой. На рисунке 3 изо-
k
бражен график функции У—~
ддя. fe>0. Область определения
этой функции есть множество всех
чисел, кроме нуля. Это множество
является и областью ее значений.
Функциями такого вида опи-
сываются многие реальные процес-
сы и закономерности. Например,
прямой пропорциональностью явля-
Уд
0 7 у=кх+Ь(к=О)
ется зависимость массы тела т от его объема V при постоянной
плотности р(тп=рУ), зависимость длины окружности С от ее
радиуса R (С = 2 лй). Обратной пропорциональностью является
зависимость силы тока I на участке цепи от сопротивления
проводника R при постоянном напряжении U зави-
симость времени t, которое затрачивает равномерно движущее-
ся тело на прохождение заданного пути з, от скорости движения
Мы рассматривали также функции, заданные формулами
у = х2, z/ = x3, у=-у[х. Их графики изображены на рисунке 4.
Рассмотрим еще одну функцию, а именно функцию, задан-
ную формулой у = |х|.
Так как выражение |х| имеет смысл при любом х, то
областью определения этой функции является множество всех
чисел. По определению |х|=х, если х^О, и |х| = —х, если
х<0. Поэтому функцию у=|х| можно задать следующим об-
разом:
Г х, если х^О,
I —х, если х<0.
График рассматриваемой функции в промежутке [0; -|-оо)
5
Рис. 4
совпадает с графиком функции z/ = х, а в промежутке (— оо; 0)—
с графиком функции z/ — — х. График функции у = |х| изобра-
жен на рисунке 5. Он состоит из двух лучей, ис-
ходящих из начала координат и являющихся биссектри-
сами I и II координатных углов.
• 1. Функция задана формулой f (х) — — Зх2 +10. Найдите:
а) /(-1); б) /(0); в) .
НИКОЛАИ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ (1792—
1356) — русский математик, создатель неевкли-
довой геометрии, которая изменила представление
о роли аксиоматики в математике и сыграла важ-
ную роль в разработке теории относительности.
Большой вклад внес также в математический ана-
лиз и алгебру. Он разработал метод приближенного
решения алгебраических уравнений высших сте-
пеней.
6
• 2. Найдите /(0), /(1,5) и /( — 1), если /(*)=7фоу-
• 3. Известно, что /(х)=х3—10. Найдите: а) /(5); б) /(4);
в)/(2); г)/(-3).
4. Пусть <р (х)=х2 + х+1. Найдите <р (0)+<р (1) + <р (2)+<р (3).
• 5. Известно, что /(х) =—5х+6. Найдите значение х, при
котором:
а)/(х)=17; б)/(х)=—3; в)/(х)=0.
6. Найдите значения х, при которых g(x)=0, если:
a) g (х)=х (х+4); б) g (x)=-|±i-.
7. Существует ли значение х9 при котором значение
функции, заданной формулой <р(х)= , равно: а) 1;
б) —0,5; в) 0? В случае утвердительного ответа укажите это
значение.
• 8. Найдите значение х, при котором функция, заданная
формулой f (х) = 0,5х —г 4, принимает значение, равное: а) —5;
б) 0; в) 2,5.
9. Найдите область определения функции, заданной форму-
лой:
а) у = 4х—8; b)j/=^; у
б) у=х2-5х-Ы; г) У=(ж-4)3(7+1)-. е) у=^-Ь.
10. Приведите пример какой-нибудь функции, областью
определения которой является:
а) множество всех чисел;
б) множество всех чисел, кроме 7.
11. Какова область определения функции, заданной фор-
мулой:
а) г/ = х2 + 2х; б) У=^г~', в) у=-^9-Ьх?
ПЕТЕР ДИРИХЛЕ (1805—1859) — немецкий ма-
тематик. Сделал ряд крупных открытий в теории
чисел. Имеет значительные достижения в развитии
алгебры и математического анализа. Им прове-
дены серьезные исследования в области механики
и математической физики.
7
a) g( — 4), g( —1), g(l), g(5);
б) значения x, при которых §(х)=4, g(x)=— 4, g(x)=O;
в) наибольшее и наименьшее значения функции;
г) область значений функции.
• 13. Постройте график функции, заданной формулой:
а) /(х) = 1,5 — Зх; в) f(x)=™;
б) f (х)=4,5х; г) f (х) = —.
Укажите область определения и область значений функции.
• 14. Укажите область определения и область значений каж-
дой из функций у = х2, у = х3, у=^[х (см. рис. 4).
15. На рисунке 7 изображены графики функций, заданных
Рис. 7
8
формулами У=~, У = 2—|>
у—-^—2» У=—7’ Для каждой Функ-
ции укажите соответствующий график.
16. На рисунке 8 изображен график
одной из функций, заданных формула-
ми г/ = х —1, z/ = l + x, у = 2х —1,
у = 1 —2х. Выясните, какой именно.
17. По графику функции у=|х|
(см. рис. 5) найдите, при каких значе-
ниях х:
а) |х| =3,5; б) |х| <2; в) |х|>4.
Каково наименьшее значение функ-
ции? Имеет ли функция наибольшее значение? Какова область
значений функции у = | х | ?
18. Составьте таблицу значений и постройте график функ-
ции, заданной формулой:
а) у = х3 —8х, где —З^х^З; б) у=—^,где — 1,5^х^6.
Какова область значений функции?
19. С помощью формул
2J + 20, если 0<t<40,
100, если 40^t<60,
—f-t 4-140, если 60 < 150,
О
описано изменение температуры воды в баке (в °C) как функ-
ции времени t (в минутах).
Найдите: р (20); р (40); р (50); р (60); р (90). Постройте гра-
фик функции p=f{t\ Т&ькъп физический смысл имеет рас-
сматриваемый процесс в каждом из промежутков [0; 40],
[40; 60], [60; 150]?
20. Зависимость расстояния s (в километрах) велосипе-
диста до базы от времени его движения t (в часах) задана
следующим образом:
. 7
15t, если 0^£<—,
о
17,5, если
О Л
- 12t4-35,5, если
Л &
Найдите: з (0); s (1); з (1,4); з (2). Постройте график функции
s = f (t) (масштаб по оси t: 1 ед.— 6 клеточек; по оси з: 10 ед.—
4 клеточки). Опишите, как происходило движение велоси-
педиста.
9
Упражнения для повторения
21. Решите уравнение:
а) -0,5(Зх-4)+15х = 4(1,5«+1)+3;
б) (2х —3)(2х + 3)-х2 = 12х—69 + Зх2.
22. Решите неполное квадратное уравнение:
а) 6х2 —Зх = 0; в) х2 —36 = 0; д) 0,5х2 —1 = 0;
б) х2 + 9х=0; г) 5х2 + 1 = 0; е) 0,6х + 9х2 = 0.
23. Решите квадратное уравнение:
а) х2 + 7х4-12=0; в) 2х2-5х-3=0;
б) х2 —2х—35=0; г) Зх2 —8х4-5=0.
2. свойства функции
На рисунке 9 изображен график зависимости температуры
воздуха р (в °C) от времени суток t (в часах). Мы видим,
что в 2 ч и в 8 ч температура равнялась нулю, от 0 до 2 ч и от 8
до 24 ч она была выше нуля, а от 2 до 8 ч — ниже нуля. Из гра-
фика ясно также, что в течение первых пяти часов темпе-
ратура понижалась, затем в промежутке от 5 до 14 ч она повы-
шалась, а потом опять понижалась.
С помощью графика мы выяснили некоторые свойства
функции p=f(fy где t — время суток в часах, а р— темпе-
ратура воздуха в градусах Цельсия.
Рассмотрим теперь свойства функции y = f (х), график кото-
рой изображен на рисунке 10. Выясним сначала, при каких зна-
чениях х функция обращается в нуль, принимает положитель-
ные и отрицательные значения.
Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью х.
Получим х=—3 и х = 7. Значит, функция принимает значе-
ние, равное нулю, при х= — 3 и х = 7. Значения аргумента,
при которых функция обращается в нуль, называют нулями
функции, т. е. числа —3 и 7 — нули рассматриваемой функции.
10
Нули функции разбивают ее
область определения — промежу-
ток [—5; 9] на три промежутка:
[—5; —3), ( — 3; 7) и (7; 9]. Для зна-
чений х из промежутка (—3; 7) точки
графика расположены выше оси х,
а для значений х из промежутков
[ — 5; — 3) и (7; 9] — ниже оси х.
Значит, в промежутке ( — 3; 7) функ-
ция принимает положительные
значения, а в каждом из про-
межутков [ — 5; — 3) и (7; 9] — отрицательные.
Выясним теперь, как изменяются (увеличиваются или умень-
шаются) значения данной функции с изменением х от — 5 до 9.
Из графика видно, что с увеличением х от —5 до 3 значе-
ния у увеличиваются, а с увеличением х от 3 до 9 значения
у уменьшаются. Говорят, что в промежутке [—5; 3] функция
y~f(x) является * возрастающей, а в промежутке [3; 9] эта
функция является убывающей. -
^Определение. Функция называется возрастающей
в некотором промежутке, если большему значению аргумента из
этого промежутка соответствует большее значение функции;
функция называется убывающей в некотором промежутке,
если большему значению аргумента из этого промежутка со-
ответствует меньшее значение функции.
Иными словами, функцию у —fix) называют возрастающей
в некотором промежутке, если для любых Xi и Хг из этого про-
межутка, таких, что x2>xi, выполняется неравенство /(х2)>
>/(xi); функцию y — f^x) называют убывающей в некотором
промежутке, если для любых Х\ и х2 из этого промежутка,
таких, что x2>Xi, выполняется неравенство f (х2)</ (xi).
Если функция возрастает на всей области определения, то
ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то убы-
вающей функцией. На рисунке 11 изображены графики воз-
растающей функции и убывающей функции.
11
Выясним, какими свойствами обладают некоторые изучен-
ные ранее функции.
VH ример Рассмотрим свойства функции у == kx + &,
где (рис. 12).
Рис* 12
1. Решив уравнение fex + & = 0, найдем, что х =—Зна-
К
~ ъ
чит, у = 0 при х = ——.
2. Выясним, при каких значениях х функция принимает
положительные значения и при каких — отрицательные. Рас-
смотрим два случая: fe>0 и fe<0.
Пусть fe>0. Решив неравенство fex + &>0, найдем, что
х>—т. е. у>0 при х>—Из неравенства fex + &<0
ъ & 2,
получим, что х<—значит, у<.0 при х<—— (см.
рис. 12, а).
Пусть fe<0. Тогда, решив неравенства kx-\-b>Q и
fex+ Ь<.О, найдем, что у>0 при х< —и у<.0 при х> —
Л и
(см. рис. 12, б).
3. При k > 0 функция у = kx + b является возрастающей, а
при k < 0 — убывающей.
Докажем это. Пусть Xi и Х2 — произвольные значения аргу-
мента, причем Хг>Х1. Обозначим через у\ и у2 соответствующие
им значения функции: '
y{=kxi + b и y2 = kX2 + b.
Рассмотрим разность z/2 — yu
У2 — у 1 = (feX2 + Ь) — (feXi + Ь) = kX2 — kx\ = k (х2 — Х1).
Множитель х2 —Xi положителен, так как Хг>Х1. Поэтому знак
произведения й(хг —Xi) определяется знаком коэффициента k.
Если fe>0, то fe(x2—-Xi)>0 и У2>У\. Значит, при fe>0
функция y = fex + b является возрастающей.
Если fc<0, то k (хг — Xi)<0 и У2<У\. Значит, при fe<0 функ-
ция y = kx-\-b является убывающей.
12
k
Пример 2. Рассмотрим свойства функции У=—, где
(рис. 13).
1. Так как дробь — ни при каком значении х в нуль не об-
Х к
ращается, то функция у =— нулей не имеет.
2. Если й>0, то дробь положительна при x>Oji отри-
цательна при х<0, т. е. у>0 при х>0 и у<.0 при х<0.
Если 0, то дробь -у положительна при х<Ои отрица-
тельна при х>0, т. е. у>0 при х<0 и у<0 при х>0.
3. При й > 0 функция у=-~ является убывающей в каждом
из промежутков (— оо; 0) и (0; + оо), а при й<0 — возрастаю-
щей в каждом из этих промежутков (см. рис. 13, а, б).
Доказательство этого свойства проводится аналогично тому,
как это было сделано для линейной функции.
k
Заметим, что, хотя функция у — — , где fe=#0, убывает (или возрастает)
в каждом из промежутков (— оо; 0) и (0; + оо), она не является убывающей
(возрастающей) функцией на всей области определения.
24. На рисунке 14 изображен график изменения скорости
велосипедиста v в зависимости от времени его движения t.
Укажите промежуток времени, в течение которого скорость
велосипедиста: а) возрастала; б) убывала; в) оставалась посто-
янной.
25. На рисунке 15 изображен график температуры воды в со-
суде. Опишите, как изменялась температура, и укажите проме-
жуток времени, в течение которого проводилось наблюдение.
Каково было наибольшее значение температуры?
13
26. На рисунке 16 изображен график функции у где
— 7^х^5. Укажите:
а) нули функции;
б) промежутки, в которых функция принимает значения одно-
го и того же знака (положительные или отрицательные);
в) промежутки, в которых функция возрастает, и промежутки,
в которых она убывает.
27. Перечислите свойства функции y=g (х), график которой
изображен на рисунке 17.
Рис. 17
28. На рисунке 18 изображен график функции y=g (х), где
—10 С * С Ю. Сколько нулей имеет функция? Укажите: а) про-
межутки, в которых функция принимает отрицательные значе-
ния; б) промежутки, в которых функция убывает.
29. Начертите график какой-либо функции с областью опре-
деления [— 3; 4] так, чтобы эта функция:
а) возрастала в промежутке [—3; 0] и убывала в промежутке
[0; 4];
б) убывала в промежутке [—3; 1] и возрастала в промежутке
[1; 4].
30. Начертите график какой-нибудь функции, нулями кото-
рой служат числа: а) —3 и 3; б) —4, 0 и 2; в) —3, 2, 1 и 5.
14
31. Найдите нули функции (если они существуют):
а) у= -О,8х + 12; B)i(=l+^;
6)!, = (Зх-10)(х + 6); г) У= •
32. Имеет ли нули функция:
а) у = 2,1х — 70; б) у=4х(х — 2); в) у=^—7
• 33. При каких значениях х функция y = f(x) обращается
в нуль, принимает положительные и отрицательные значения,
если:
а) / (х) = - 0,7х 4- 350; б) f (х) = ЗОх +10?
Начертите схематически график функции и проиллюстри-
руйте на нем установленные свойства.
• 34. Какие из линейных функций у — Зх— 5, у=—Зх-|-11,
у= — 49х—100, у=х+1> у = 1 — х являются: а) возрастающи-
ми; б) убывающими? _
• 35. Постройте график функции и перечислите ее свойства:
а) у=1,5х—3; б) у—-0,6х-|-5.
• 36. Постройте график функции: а) у=1,6х; б) у—— 0,4х.
Перечислите свойства функции y = fex при /г>0 и при Л<0.
• 37. Функция задана формулой /(х)=13х—78. При каких
значениях х: а) /(х)=0; б) /(х)>0; в) /(х)<0? Является ли
функция возрастающей?
О 38. Используя рисунки 4 и 5, перечислите свойства функций
У = х2, у=х\ у=л[х и у=|х|.
• 39. Постройте график функции и перечислите ее свойства:
а) У=~7’ б)у=—
15
Упражнения для повторения
40. Решите уравнение:
а) 0,6х2 —3,6х = 0; в) 2х2 + 17х = 0;
б) х2 —5 = 0; г) 0,5х2 + 9 = 0.
41. Сравните g(2) и g( —2), если:
a) g (*) = х2 + 5 ; б) £(х) = ж2+5 ; в) =
42. Разложите на множители многочлен:
а) 4х— х3; б) а4 — 169а2; в) с3 — 8с2 + 16с.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение функции. Что называется областью
определения и областью значений функции?
2. Что называется графиком функции? Что представляет со-
бой график линейной функции, прямой пропорциональности,
обратной пропорциональности?
3. Используя рисунок 16, поясните, как с помощью графика
функции найти нули функции и промежутки, в которых функ-
ция сохраняет знак (принимает положительные значения, отри-
цательные значения).
4. Дайте определение функции, возрастающей в промежут-
ке; убывающей в промежутке. Назовите промежутки воз-
растания и убывания функции, график которой изображен на
рисунке 16.
5. Приведите пример возрастающей и убывающей линейной
функции. Сформулируйте и докажите соответствующее свойст-
во линейной функции.
6. Как изменяется в каждом из промежутков (— оо; 0) и
(0; +оо) функция */=-—? Рассмотрите случаи k>0 и й<0.
§ 2. КВАДРАТНЫЙ трехчлен
з. квадратный трехчлен и его корни
Выражение Зх2 —2х —5 является многочленом второй степе-
ни с одной переменной. Такие многочлены называют квадрат-
ными трехчленами.
Определение. Квадратным трехчленом называется
многочлен вида ах2 + Ьх+с, где х — переменная, а, Ь и с —
некоторые числа, причем а#=0.
Значение квадратного трехчлена Зх2 — 2х — 5 зависит от зна-
чения х. Так, например:
16
если х=5, то Зх2 — 2х— 5 = 60;
если х = 1, то Зх2 — 2х—5= —4;
если х= — 1, то Зх2 — 2х — 5 = 0;
если х = 2, то Зх2 — 2х — 5 = 3.
Мы видим, что при х= —1 квадратный трехчлен Зх2 — 2х—5
обращается в нуль. Говорят, что число — 1 является корнем это-
го трехчлена.
Корнем квадратного трехчлена называется значение пере-
менной, при котором значение этого трехчлена равно нулю.
Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена ах2 +
-|-Ьх-|-с, надо решить квадратное уравнение ах2 + Ьх+с=0.
Пример 1. Найдем корни квадратного трехчлена Зх2 —
— 2х —5.
Решим уравнение
Зх2 —2х—5 = 0.
Имеем:
D = (-2)2-4-3-(-5) = 64;
2 + V64 .
х—6 ’
Х1 = 1^-, х2= —1.
о
Значит, квадратный трехчлен Зх2 — 2х —5 имеет два корня:
1— и —1.
Так как квадратный трехчлен ах2 + &х + с имеет те же кор-
ни, что и квадратное уравнение ах2 + 6х+с — 0, то он может, как
и квадратное уравнение, иметь два корня, один корень или не
иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта квадрат-
ного уравнения D = b2 — 4ас, который называют также дискри-
минантом квадратного трехчлена. Если D>0, то квадратный
трехчлен имеет два корня; если D = 0, то квадратный трехчлен
имеет один корень; если D<0, то квадратный трехчлен не
имеет корней. \
При решении задач иногда бывает удобно представлять
квадратный трехчлен ах2 + Ьх-\-с в виде а (х —m)2 + n, где m и
п — некоторые числа. Такое преобразование называется выде-
лением квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Пока-
жем на примере, как выполняется это преобразование.
Пример 2. Выделим из трехчлена Зх2 — 36х 4-140 квад-
рат двучлена.
Вынесем за скобки множитель 3:
Зх2 — 36x4-140 = з(х2 —12х-Ь^) .
Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим 12х
Г -——-7—ч 17
I ВО I
I СРЕДНЯЯ ШКОЛА I
В БИБЛИОТЕКА а '
I I
в виде произведения 2 • 6 • х, а затем прибавим и вычтем 62. По-
лучим:
Зх2- 36х-}-140 = з(х2-12х4-^) =
= з(х2-2-6-х4-62 - 624-^) =
= з((х-6)24-^) =3 (х-6)24-32.
Значит,
Зх2 - Збх 4-140=3 (х - 6)2 4- 32.
Рассмотрим задачу, при решении которой применяется вы-
деление квадрата двучлена из квадратного трехчлена.
Пример 3. Докажем, что из всех прямоугольников с пе-
риметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.
Пусть одна сторона прямоугольника равна х см. Тогда дру-
гая сторона равна 10—х см, а площадь прямоугольника равна
х(10 —х) см.
Раскрыв скобки в выражении х (10—х), получим 10х—х2.
Выражение —х24-10х представляет собой квадратный трех-
член, в котором а — —1, 5 = 10, с=0. Выделим квадрат двучле-
на:
- х2 4- Юх = - (х2 - 10х) = - (х2 - 10х 4- 25 - 25)=
= -(х-5)24-25.
Так как выражение —(х—5)2 при любом х#=5 отрицатель-
но, то сумма — (х—5)24-25 принимает наибольшее значение
при х = 5. Значит, площадь будет наибольшей, когда одна из
сторон прямоугольника равна 5 см. В этом случае вторая
сторона также равна 5 см, т. е. прямоугольник является квад-
ратом.
43. Какие из чисел 1, 2, 3—-\/2, —74-л/2 являются кор-
нями квадратного трехчлена х2—6x4-7?
• 44. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х24-х—6; в) 0,2х2-|-Зх-20; д) 0,1х24-0,4;
б) 9х2 — 9x4-2; г) — 2х2—х -0,126; е) -0,Зх24-1,5х.
• 45. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) 10х24-5х —5; в) х2 —2х — 4;
б) — 2х24-12х —18; г) 12х2-12.
46. Имеет ли квадратный трехчлен корни, и если имеет, то
сколько:
а) 5х2 — 8x4-3;
б) 9х24-6х4-1;
18
в) -7х24-6х-2;
г) —х24-5х-3?
47. Имеет ли квадратный трехчлен корни, и если имеет, то
сколько:
а) — 4х2 —4x4-3; в) 9х2 — 12x4-4;
б) 4х2 —4x4-3; г) 9х2 —12х — 4?
48. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
а) х2—-6х —2; в) 2х2 —4x4-10;
б) х24-5х4-20; г) -|-х24-х-6.
49. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
а) х2 —10х4-Ю; в) Зх24-6х — 3;
б) х24“3х —1; г) -|-х2 —х4-2.
50. Докажите, что при любом значении х квадратный
трёхчлен:
а) х2 —6x4-10 принимает положительное значение;
б) 5х2 —10x4-5 принимает неотрицательное значение;
в) — х24-20х —100 принимает неположительное значение;
г) — 2х24-16х —33 принимает отрицательное значение.
51. Даны квадратные трехчлены х2 — 6х 4-11 и — х2 4- 6х —
— 11. Докажите, что первый из них не принимает отрицатель-
ных значений, а второй — положительных.
52. При каком значении х трехчлен 2х2 — 4x4-6 принимает
наименьшее значение? Найдите это значение.
53. Дан квадратный трехчлен -|-х24-2х4-4. Выясните, при
каком значении х он принимает наименьшее значение и чему
равно это значение трехчлена.
54. Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с
суммой катетов, равной 6 см, наибольшую площадь имеет рав-
нобедренный треугольник.
55. С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если началь-
ная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м nt — вре-
мя полета стрелы (в секундах), то расстояние Л (в метрах)
стрелы от поверхности земли можно найти по формуле
h = — 5t2 4~ 5Ot 4~ 20 (приближенное значение ускорения свобод-
ного падения считается равным 10 м/с2). Какой наибольшей
высоты достигнет стрела?
Упражнения для повторения
56. Функция задана формулой f (х)==» При каких
значениях х:
а) /(х)=0; б) /(х)>0; в) f (х)<0?
<' 19
57. Длина I стального рельса, имеющего при О °C длину
60 м, изменяется в зависимости от температуры t °C по закону
Z = 60 (1+0,0000121). Найдите приращение длины I рельса при
изменении температуры: а) от 0° до 25°; б) от 25° до 50°.
58. Решите уравнение:
а) 3 (х + 4)2 = 10х + 32; б) 31х + 77 = 15 (х + 1)2.
59. Разложите на множители многочлен:
а) аЬ + ЗЪ —5а —15; б) 2ху — у + 8х — 4.
4. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
Пусть требуется разложить на множители квадратный трех-
член Зх2 —21х + 30. Вынесем сначала за скобки множитель 3.
Получим:
Зх2-21х + 30 = 3 (х2-7х + 10).
Для того чтобы разложить на множители трехчлен х2 —7х + 10,
представим — 7х в виде суммы одночленов — 2х и — 5х и приме-
ним способ группировки:
х2 — 7х +10 = х2 — 2х — 5х + 10 = х (х —2) —5 (х —2) =
= (х —2) (х-5).
Значит,
Зх2—21х + 30 = 3 (х —2)(х-5).
При х = 2 и х = 5 произведение 3(х —2)(х —5), а следова-
тельно, и трехчлен Зх2 — 21х + 30 обращаются в нуль. Зна-
чит, числа 2 и 5 являются его корнями.
Мы представили квадратный трехчлен Зх2 —21х + 30 в виде
произведения числа 3, т. е. коэффициента при х2, и двух ли-
нейных множителей. Первый из них представляет собой раз-
ность между переменной х и одним корнем трехчлена, а
второй — разность между переменной х и другим корнем.
Такое разложение можно получить для любого квадрат-
ного трехчлена, имеющего корни. При этом считают, что если
дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот
трехчлен имеет два равных корня.
Теорема. Если Xi и х2 — корни квадратного трех-
члена ах2 + 6х + с, го
ах2~\-Ьх + с=а (х — х\) (х — х2).
Доказательство.
Вынесем за скобки в многочлене ах2 + Ьх + с множитель а.
Получим:
ах2 + 6х + с==а(х2+-^-х + -у-^ .
20
Так как корни квадратного трехчлена ах2 + &х+<? являются
также корнями квадратного уравнения ах2 + &х + с == 0, то по
теореме Виета
. Ь с
Х1+«2= Х|-Х2=—•
Отсюда
-у= —(xi4-x2), -у=хгх2.
Поэтому
X2-ЬX += X2 — (Х1-|-Х2) X + Х1Х2 = X2 — X1X — Х2Х 4-X1 х2 =
= Х (х —Х1) —Х2 (х — Х1) = (х — Х1) (х —х2).
Итак,
ах2 + Ьх-\-с = а (х —Xi) (х —х2).
Заметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней,
то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочле-
нами первой степени.
Докажем это. Пусть трехчлен ах2 + Ьх+с не имеет корней. Пред-
положим,'что его можно представить в виде произведения многочленов пер-
вой степени:
ax2 + &x+c=(fex + m) (px+g),
где k, т, р и q — некоторые числа, причем и р#=0.
т q
Произведение (kx+m) (рх-f-g) обращается в нуль при х = —— и х= ——.
Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен
о . , , nt g __
ах^ + Ьх + с, т. е. числа —=- и-являются его корнями. Мы пришли к
« р
противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет.
Пример 1. Разложим на множители квадратный трех-
член 2х2 + 7х —4.
Решив уравнение 2х2-|-7х —4=0, найдем корни трехчлена:
Xi=-i-, х2=—4.
А к
По теореме о разложении квадратного трехчлена на мно-
жители имеем:
2х2 + 7х—4 = 2(х—(х + 4).
Полученный результат можно записать иначе, умножив чис-
ло 2 на двучлен х—Получим:
2х2 + 7х - 4 = (2х -1) (х+4).
21
Пример 2. Разложим на множители квадратный трех-
член — 4х2 + 24х— 36.
Решив уравнение —4х2 + 24х— 36 = 0, найдем корни трех-
члена:
Х1 = Х2 = 3.
Значит,
— 4х2 + 24х —36= —4 (х —3) (х—3),
или иначе:
-4х2 + 24х-36= -4 (х-З)2.
Пример 3. Сократим дробь •
Разложим на множители квадратный трехчлен Зх2 —13х—
2
—10. Его корни равны —г- и 5. Поэтому
о
Зх2 - 13х—10 = 3( х+-|-) (х - 5)=(3х + 2) (х- 5).
Значит,
3x4-2 Зх+2 1
Зх2—13х —10 — (3x4-2) (х— 5) — х—5 '
• 60. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) Зх2 —24х + 21; г) х2 —12х + 24; ж) 2х2 —5х + 3;
б) 5х2 + 10х- 15; д) -у2+16^ — 15; з) 5г/2 + 2у-3;
в) 4-х2+-4-х+4-; е) — х2—8х + 9; и) — 2х2+5х + 7.
О Л О
• 61. Разложите на множители трехчлен:
‘а) 2х2 —2х+~|-; в) 16а2 + 24а+ 9;
б) —9х2 + 12х—4; г) 0,25m2 —2»г +4.
• 62. Разложитена множители квадратный трехчлен:
а) 2х2 + 12х—14; в) Зх2 + 5х—2;
б) — т2 + 5т — 6; г) 6х2 —13х + 6.
63. Докажите тождество:
А) 10х2 + 19х — 2 = 10 (х—0,1) (х+2);
б) 0,5 (х - 6) (х - 5)=0,5х2 - 5,5х + 15.
64. Можно ли представить квадратный трехчлен в виде про-
изведения многочленов первой степени:
a) -3y2 + 3i/ + ll; в) х2-7х + 11;
б) 4Ь2-9Ь + 7; г) Зу2 —12у + 12?
22
65. Сократите дробь:
ч 4х+4 • тЛ 16-Ь2 .
а‘ Зх2-|-2х—1 ’ В1 Ь2—Ь—12 2
2а2—5а—3 . . 2у2Ч-7у4-3 .
б> За~9— ’ Г) ' 'у2-— ’
66. Сократите дробь:
х2-11x4-24 . 2у2+9у-5
Х^64 ’ j 4у2 —1 ’
67. Найдите значение дроби:
6 7х+х* при х=—9; —99; —999;
4х2 + 8х —32 - ег
б) —4х2_16 при х=—1; 5; 10.
. р2-Ир+10.
А' 20 + Зр—р2 ’
. Зх2 + 16х—12
10 —13х—Зх2
68. Чем отличаются графики функций
. х2—6x4-8 „
У — х — 4 и у=——^7
Упражнения для повторения
69. Решите уравнение:
, х2 —1 ii„ 1.1. я^+х 8х—7
а) —2-11х=11; б) -^—=——.
70. Разложите на множители многочлен:
а) 4х2 — 6х + 2ху — Зу; б) 4а3-|-2&3 — 2a2b — 4аЬ2.
71. На рисунке 19 изображен график изменения уровня
воды относительно нулевой отметки. Опишите, как происходило
изменение уровня воды.
72. В какой координатной четверти расположена точка пере-
23
Контрольные вопросы
1. Дайте определение квадратного трехчлена. Сколько кор-
ней может иметь квадратный трехчлен?
2. Покажите на примере выражения Зх2 —12x4-32, как
можно выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена.
3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении на
множители квадратного трехчлена, имеющего корни.
§ 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Д гто И ЕЕ ГРАФИК
. \ 5. ФУНКЦИЯ у = ах2, ЕЕ ГРАФИК И СВОЙСТВА
Одной из важных функций, которую мы будем рассмат-
ривать в дальнейшем, является квадратичная функция.
Определение. Квадратичной функцией называется
функция, которую можно задать формулой вида у=ах2 +
+ Ьх + с, где х — независимая переменная, а, Ь и с — некото-
рые числа, причем а=#0.
Примером квадратичной функции является зависимость пу-
ти от времени при равноускоренном движении. Если тело дви-
жется с ускорением а м/с2 и к началу отсчета времени t про-
шло путь So м, имея в этот момент скорость Vq м/с, то зависи-
мость пройденного пути s (в метрах) от времени t (в секун-
дах) выражается формулой
s==“—1~ Vo^ + so.
А
Если, например, а = 6, и0 = 5, $о = 20, то формула примет вид:
s = 3t2 + 5* + 2O.
Изучение квадратичной функции мы начнем с частного слу-
чая — функции у = ах2.
При а = 1 формула у = ах2 принимает вид у = х2. С этой
функцией мы уже встречались. Ее графиком является парабола.
Построим график функции у = 2х2. Составим таблицу зна-
чений этой функции:
X — 2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
У 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8
Построим точки, координаты которых указаны в таблице.
Соединив их плавной линией, получим график функции у = 2х2
(рис. 20, а).
24
При любом х=И=О значение функции г/ = 2х2 больше соот-
ветствующего значения функции у = х2 в 2 раза. Если перемес-
тить каждую точку графика функции у = х2 вверх так, чтобы
расстояние от этой точки до оси х увеличилось в 2 раза, то она
перейдет в точку графика функции у = 2х2, при этом каждая
точка этого графика может быть получена из некоторой точки
графика функции у = х2. Иными словами, график функции
у = 2х2 можно получить из параболы у = х2 растяжением от
оси х в 2 раза (рис. 20, б).
Построим теперь график функции г/=-^-х2. Для этого сос-
тавим таблицу ее значений:
X — 4 -3 — 2 -1 0 1 2 3 4
У 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8
Построив точки, координаты которых указаны в таблице,
и соединив их плавной линией, получим график функции
г/=-|-х2 (рис. 21, а).
При любом х=#0 значение функции у=±-х2 меньше соот-
ветствующего значения функции у = х2 в 2 раза. Если пере-
местить каждую точку графика функции у = х2 вниз так, чтобы
расстояние от этой точки до оси х уменьшилось в 2 раза, то она
перейдет в точку графика функции у=4-х2, причем каждая
точка этого графика может быть получена из некоторой точки
графика функции у = х2 (рис. 21,6). Таким образом, график
функции х2 можно получить из параболы у = х2 сжатием
к оси х в 2 раза.
25
Рис. 21
S)
Вообще график функции у=ах2 можно получить из парабо-
лы у = х2 растяжением от оси х в а раз, если а>1, и сжатием
к оси х в раз, если 0<а<1.
Рассмотрим теперь функцию у=ах2 при а<0.
Построим график функции у=—т-х2, для чего составим
а
таблицу значений этой функции:
X — 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
У -8 -4,5 — 2 -0,5 0 -0,5 -2 -4,5 -8
Воспользовавшись этой таблицей, построим график функции
у = —х2 (рис. 22, а),
л
а)
6)
Рис. 22
26
Сравним графики функций у — —— х2 и г/=-~-х2»(рис. 22, б).
При любом х значения этих функций являются противо-
положными числами. Значит, соответствующие точки графи-
ков симметричны относительно оси х. Иными словами, график
функции у= —5-х2 может быть получен из графика функции
Л
1 9
у=—х с помощью симметрии относительно оси х.
Вообще графики функций у = ах2 и у=—ах2 (при а=#0)
симметричны относительно оси х.
График функции у=ах2, где «У=0, как и график функ-
ции у = х2, называют параболой.
Сформулируем свойства функции у=ах2 при а>0.
1. Если х —0, то у = 0. График функции проходит через
начало координат.
2. Если х=#0, то у>0. График функции расположен в верх-
ней полуплоскости.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют
равные значения функции. График функции симметричен от-
носительно оси у.
4. Функция убывает в промежутке (—оо; 0] и возрастает
в промежутке [0; + оо).
5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает
при х = 0, наибольшего значения функция не имеет. Областью
значений функции является промежуток [0; + оо).
Докажем свойство 4. Пусть Х\ и х2 — два значения аргу-
мента, причем X2>Xj, а у\ и У2— соответствующие им зна-
чения функции. Составим разность У<2-~У\ и преобразуем ее:
у2 — у\ =ax2 — ax2i=a (х2 —х2) = а (х2 —х<)(x2 + xi).
Так кака>0их2 —Xi >0, то произведение а (х2 — Xi) (x2H-Xi)
имеет тот же знак, что и множитель x2-|-Xi. Если числа х2 и Xi
принадлежат промежутку (— оо; 0], то этот множитель отри-
цателен. Если числа х2 и Х\ принадлежат промежутку [0; + оо),
то множитель х2 + Х\ положителен, В первом случае — у\<10,
т. е. уг<.у\'9 во втором случае у2 — #i>0, т. е. У2>У\- Значит,
в промежутке (— оо; 0] функция убывает, а в промежутке
[0; + оо) — возрастает.
Теперь сформулируем свойства функции у=ах2 при а<0.
1. Если х = 0, то z/ = 0. График функции проходит через
начало координат.
2. Если х=#0, то #<0. График функции расположен в ниж-
ней полуплоскости.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют
равные значения функции. График функции симметричен от-
носительно оси у.
27
4. Функция возрастает в промежутке (— оо; 0] и убывает
в промежутке [0; + оо).
5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает
при х = 0, наименьшего значения функция не имеет. Областью
значений функции является промежуток (— оо; 0].
Доказательство свойства 4 проводится аналогично тому, как
это было сделано для функции у—ах2 при а>0.
Из перечисленных свойств следует, что при а>0 ветви
параболы у=ах2 направлены вверх, а при а<0 — вниз. Ось у
является осью симметрии параболы. Точку пересечения парабо-
лы с ее осью симметрии называют вершиной параболы.
Вершиной параболы у=ах2 является начало координат.
Построение графика, симметричного данному Относительно
оси х, растяжение графика от оси х или сжатие к оси х —
различные виды преобразования графиков функций. Преобра-
зования графиков, рассмотренные нами для функции у—ах29
применимы к любой функции.
График функции y=—f (х) можно получить из графика функции y=f(x)
с помощью симметрии относительно оси х.
График функции y=af(x) можно получить из графика функции y=f(x)
с помощью растяжения от оси х в а раз, если а>1, и с помощью сжатия
к оси х в — раз, если 0<а<1.
а
• 73. Постройте график функции у=-|-х2. Найдите:
а) значение у при х=—2,5; —1,5; 3,5;
б) значения х, при которых у=5; 3; 2;
в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.
• 74) Постройте график функции у=— 2х2 и найдите:
а) значение у при х=—1,5; 0,6; 1,5;
б) значения х, при которых у=—1; —3; —4,5;
в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.
• 75. Постройте в одной системе координат графики функций
у = х2, у = 1,8х2 и у=±х2.
Сравните значения этих функций при х = 0,5, х = 1 и х = 2.
• 76) Постройте в одной системе координат графики функций
у=0,4х2 и у ——0,4х2.
Какова область значений каждой из этих функций?
77. Покажите схематически, как расположен в координат-
ной плоскости график функции:
а)у=— 15х2; б) у=0,8х2.
Перечислите свойства этой функции.
78. Изобразите схематически график и перечислите свойства
функции:
a) z/ = 0,2x2; б)у=—10х2.
28
79. Пересекаются ли парабола у = 2х2 и прямая:
а) у = 50; б) г/= 100; в) z/= — 8; г) г/ —14х — 20?
Если точки пересечения существуют, то найдите их коорди-
наты.
• (80) Принадлежит ли графику функции у = — 100х2 точка:
а) АГ (1,5; —225); б) А7( —3; -900); @Р(2; 400)?
81. Найдите координаты точек пересечения графиков фун-
кций у~—х2 и # = 2х —3. Выполните графическую иллюстра-
цию.
82. Площадь круга S (в квадратных сантиметрах) вы-
числяется по формуле S = лг2, где г — радиус круга (в сан-
тиметрах). Постройте график функции S = nr2 и найдите по
графику: а) площадь круга, если его радиус равен 1,3; 0,8;
2,1 см; б) радиус круга, площадь которого равна 1,8; 2,5; 6,5 см2.
83. Площадь поверхности куба у (в квадратных санти-
метрах) зависит от ребра куба х (в сантиметрах). Задайте
формулой функцию y = f(x). Постройте ее график и найдите
по графику: а) поверхность куба, если его ребро равно 0,9;
1,5; 1,8 см; б) длину ребра, если поверхность куба равна 7;
10; 14 см2.
Упражнения для повторения
84. Сколько корней имеет квадратный трехчлен:
а) Зх2 — 8х + 2; б) - ±-у2 + бу -18; в) т2-Зтп + З?
85. Сократите дробь:
ч 2а —1 -к 6а2 — 5а + 1
_ у О / •
10а2—а —2 1 —4а2
86. Решите уравнение (х + 3)2 —(х —3)2=(х —2)2 + (х-|-2)2 и
отметьте его корни на координатной прямой.
6. графики функции у=ах2 + п и у=а (х —ш)2
Рассмотрим другие частные случаи квадратичной функции.
Пример 1. Выясним, что представляет собой график
функции у=-|-х2 + 3.
С этой целью в одной системе координат построим графики
функций у=±-х2 И у=±-Х2 + 3.
Составим таблицу значений функции у=-±-х2:
А
29
X — 4 -3 -2 — 1 0 1 2 3 4
У 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8
(1)
График функции у—^-х2 изображен на рисунке 23, а.
Л
Чтобы получить таблицу значений функции y=-i-x2 + 3
для тех же значений аргумента, достаточно к найденным
значениям функции у=-^-х2 прибавить 3:
А
X -4 — 3 -2 — 1 0 1 2 3 4
У 11 7,5 5 3,5 3 3,5 5 7,5 11
(2)
Построим точки, координаты которых указаны в таблице (2),
и соединим их плавной линией. Получим график функции
у=-|-х2 + 3 (рис. 23, б).
Л
Рис. 23
Легко понять, что каждой точке (хо; у о) графика функции
у——х2 соответствует единственная точка (х<>; г/о + З) графика
функции у=-|-х24-3 и наоборот. Значит, если переместить
каждую точку графика функции у—^-х2 на 3 единицы вверх,
то получим соответствующую точку графика функции г/ =
=4-х2-|-3. Иначе говоря, каждую точку второго графика мож-
А
30
но получить из некоторой точки первого графика р помощью
параллельного переноса на 3 единицы вверх вдоль оси у.
График функции + 3 — парабола, полученная в
результате сдвига вверх графика функции y=-i-x2.
Вообще график функции у—ах2-^-п является параболой,
которую можно получить из графика функции у=ах2 с по-
мощью параллельного переноса вдоль оси у на п единиц
вверх, если п>0, или на — п единиц вниз, если п<0.
Пример 2. Рассмотрим теперь функцию у=-^-(х —5)2 и
выясним, что представляет собой ее график.
Для этого в одной системе координат построим графики
функций у=-|-х2 и у=-|-(х — 5)2Ч
а а
Для построения графика функции у=-тгх2 воспользуемся
таблицей (1). Составим теперь таблицу значений функции
y=-i-(x—5)2. При этом в качестве значений аргумента выбе-
рем те, которые на 5 больше соответствующих значений ар-
гумента в таблице (1). Тогда соответствующие им значения
функции г/=—(х—5)2 будут те же, которые записаны во
второй строке таблицы (1):
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9
У 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8
Построим график функции у=-|-(х — б)2, отметив точки,
координаты которых указаны в таблице (3) (рис. 24). Нетруд-
но заметить, что каждой точке (хо; z/o) графика функции
31
у==-^-х2 соответствует единственная точка (хо + 5; у о) графика
А
функции у=4-(х —б)2 И наоборот.
£а
Значит, если переместить каждую точку графика функции
1 2
у——х на 5 единиц вправо, то получим соответствующую
точку графика функции у—^-(х — 5)2. Иначе говоря, каждую
А
точку второго графика можно получить из некоторой точки
первого графика с помощью параллельного переноса на 5 еди-
ниц вправо вдоль оси х.
График функции у=-^-(х —5)2— парабола, полученная в
результате сдвига вправо графика функции у=-^-х2.
Вообще график функции у—а(х—т)2 является параболой,
которую можно получить из графика функции у=ах2 с по-
мощью параллельного переноса вдоль оси х на т единиц вправо,
если тп>0, или на —т единиц влево, если тп<0.
Полученные выводы позволяют понять, что представляет со-
бой график функции у=а (х — т)2-\-п. Рассмотрим, например,
функцию у=-^-(х— 3)2-ф2. Ее график можно получить из
графика функции У=4-х2 с помощью двух параллельных
А
переносов — сдвига параболы */——-х2 на 3 единицы вправо
и на 2 единицы вверх (рис. 25).
Вообще график функции у=а (х — т)2 + п является парабо-
лой, которую можно получить из графика функции у = ах2 с по-
мощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на т
единиц вправо, если тп>>0, или на —т единиц влево, если
т<0, и сдвига вдоль оси у на п единиц вверх, если п>0,
или на — п единиц вниз, если п<0.
32
Заметим, что производить параллельные переносы можно в
любом порядке: сначала выполнить параллельный перенос
вдоль оси х, а затем вдоль оси у или наоборот.
Полученные нами выводы о преобразованиях графиков применимы к
любым функциям.
График функции у = /(х)4-п можно получить из графика функции у =
=f (х) с помощью параллельного переноса вдоль оси у на п единиц вверх,
если п>0, или на — п единиц вниз, если п<0.
График функции т) можно получить из графика функции у =
= f (х) с помощью параллельного переноса вдоль оси х на т единиц вправо,
если тп>0, или на — т единиц влево, если т<0.
График функции y = f (х—т)-\-п можно получить из графика функции
у — с помощью двух соответствующих параллельных переносов.
87. Изобразите схематически график каждой функции (от-
метьте вершину параболы и направление ее ветвей):
а) у=-±-х2; у=-|-х24-4; р=-|-х2 —3;
б) у= —|-х2; у= —|-х2 + 2; у=—|-х2 —1;
в) г/=4"х2; ^=т(х+3)2;
г) у=— 2х2; у=— 2(х—4)2; у = — 2(х + 2)2.
88. С помощью шаблона параболы у — х1 постройте график
функции:
а) у = х2 — 4; в) у — {х—5)2;
б) у=— х2 + 3; г) у=(х + 3)2.
89. Используя шаблон параболы у = х2, постройте график
функции:
а) у = х2 + 2; в) у = (х + 4)2-, ,
_________ 1. тЛ 7/ — __<V—_ о \\
расположен график
Д) у=— (х — 8)2;
е) у = - 3 (х + 5)2?
91. Изобразите схематически график функции:
90. В каких координатных четвертях
функции:
а) г/ = 10х2 + 5; в) у=— 6х24-8;
= —7х2 —3; г) у=(х —4)2;
а) 1/=-|-(х — 2)2 + 1; в) у= — 4 (х — 3)2 + 5;
б) г/=^-(х + 8)2-1; г) У=-4(х + 2)2-2.
А
2 Заказ 624
8»
92, Изобразите схематически график функции:
a) у=^-(х-2)2-3; б) j, = —L(х + 2)2 + 3.
93» Используя шаблон параболы у = х2, постройте график
функции:
а) У=(х-2)2 + 3; б) -(х-3)2 + 5.
94. С помощью шаблона параболы у=х1 постройте график
функции:
а) г/=(х + 3)2—4; б) у = -(х+4)2-2.
95. На рисунке 26 изображены графики функций:
а) У=—|-(х + 4)2; в) i/=-|-x24-4;
Для каждого графика укажите соответствующую формулу.
96. Найдите нули функции (если они существуют):
а) у = 12х2 —3; б) у = 6х24~4; в) у=—х2 —4.
97. При каких значениях а функция у== ах2 + 5 имеет нули?
Упражнения для повторения
98. Решите уравнение:
а) 0,6а—(а + О,З)2=0,27; б) ^^=0,5у (6—2у).
34
99. Решите неравенство:
а) 5х — 0,7 <3x4-5,1; в) 2х 4-4,2 <4x4-7,8;
б) 0,8хЧ-4,5>5 — 1,2х; г) Зх —2,6>5,5х —3,1.
100. Найдите приращение функции у=х2 при изменении х
от 2 до 5 и от 5 до 8. Сравните полученные результаты.
7. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА. КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
Рассмотрим квадратичную функцию у=ах2+Ьх-\-с.
Выделим из трехчлена ах2 + Ьх + с квадрат двучлена:
ах24-Ьх4-с=а(х24-^-х4-|-) =
=а
„//v,b\2 Ь2-4ас\_ / . Ь\2 Ъ2-4м
=a\\X+W--------4J—)-a\X + to)-------
_ , b \ 2 b2—4ac
Отсюда y=a(x+-^)--------
Мы получили формулу вида у=а (х — mf + л, где т =
_____Ъ _____ Ь2 — 4ас
2а 9 П 4а
Значит, график функции у=ах2-\-Ъх-\-с есть парабола,
которую можно получить из графика функции у—ах2 с по-
мощью двух параллельных переносов — сдвига вдоль оси х
и сдвига вдоль оси у. Отсюда следует, что график функции у —
=ах2 + Ьх + с есть парабола, вершиной которой является точка
(тл; л), где т= —, л= . Осью симметрии параболы
служит прямая х = т, параллельная оси у. При а>0 ветви
параболы направлены вверх, при а<0 — вниз.
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в
координатной плоскости;
2) построить еще несколько точек, принадлежащих пара-
боле;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Заметим, что абсциссу т вершины удобно находить по фор-
муле т — — . Ординату л можно находить, подставив найден-
Ла
ное значение абсциссы в формулу у = ах2 4-6x4- с, так как при
х — т
у—ах2-\-Ьх-\-с—а (х — т)2-\-п = п.
Приведем примеры построения графиков квадратичных
функций.
2* 35
Пример 1. Построим график функции j/ = O,5x2 + 3x +
+ 0,5.
Графиком функции г/ = 0,5х2 + Зх + 0,5 является парабола,
ветви которой направлены вверх. Найдем координаты т и п ,
вершины этой параболы:
т=-А=_^=_3; п=0,5.(-3)2 + 3.(-3) + 0,5=~4.
Значит, вершиной параболы является точка ( — 3; -г 4).
Составим таблицу значений функции:
X -7 -6 -5 — 4 -3 -2 — 1 0 1
У 4 0,5 -2 -3,5 — 4 -3,5 -2 0,5 4
Построив точки, координаты которых указаны в таблице,
и соединив их плавной линией, получим график функции
у = 0,5х2 + Зх + 0,5 (рис. 27).
лось, что прямая х = — 3 является осью симметрии параболы.
Поэтому мы брали точки с абсциссами - 4 и — 2, -5 и 1, —6
и 0, симметричные относительно прямой х — — 3 (эти точки
имеют одинаковые ординаты).
Пример 2. Построим график функции у = — 2х2 + 12х —
-19.
Графиком этой функции является парабола, ветви кото-
рой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины:
т=-^-=-г^г=3; п= — 2-32 +12 • 3 —19= — 1.
36
Вычислив координаты еще нескольких точек, получим таб-
лицу:
Пример 3. Построим график функции у=^х2-\-х-\-1.
Графиком функции у=-|-х2 + х-|-1 является парабола, вет-
ви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:
т^=-^=—¥=-* «=4-(-2)2-2 + 1 = 0.
2'Т
Вычислив координаты еще нескольких точек, получим
таблицу:
X -5 -4 — 3 -2 — 1 0 1
У 1 1 4 0 1 4 1 4
График функции г/—-j-x2-|-x-f-l изображен на рисунке 29.
Рис. 29
37
* 101. Квадратичная функция задана формулой: а) у — х2 —
— 4х + 7; б) у = — 2х2 — 5х ~ 2. Найдите координаты вершины
параболы. Наметив на координатной плоскости вершину пара-
болы и ее ось симметрии, изобразите схематически график.
• 102. Постройте график функции # = — х2 + 2х-}-8 и найди-
те, используя график:
а) значение функции при х = 2,5; — 0,5; —3;
б) значения аргумента, при которых у =6; 0; —2;
в) нули функции, промежутки, в которых у>0, у<0;
г) промежутки возрастания и убывания функции, область
значений функции.
• 103. Постройте график функции у = 2х2 + 8х-Ь2 и найдите,
используя график:
а) значение у при х=—2,3; —0,5; 1,2;
б) значения х, при которых {/= — 4; —1; 1,7г
в) нули функции, промежутки, в которых у>0, у <0;
г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее
значение функции;
• 104. Постройте график функции и опишите ее свойства:
а) У=^-х2 — 4x4-4; б) у =—i-x24-x—1; в) у=х2-|-Зх.
9 105. Постройте график функции:
а) у ——|-х24-5; б) z/=x2 — 4х; в) у = — х24г6х — 9.
• 106. Постройте график функции:
а) р = 0,5х2 —2; б) у = х2 — 4x4-4; в) у=— х24-2х.
107. Постройте график функции:
а) у=(х —2)(х4-4); б) у—— х(х4-5).
108. Выясните» график какой из функций р=х24-бх,
0—-4-х2— Эх, у ——х?—6 изображен на рисунке 30.
Упражнения для повторения
109. Сократите дробь
110. Изобразите схематически график функции и укажите
область ее значений:
а) г/ = х24~3; б) у=(х + 1)2; в) у= — х24-2.
111. Решите уравнение:
а) (х-1)2+(х+1)2=(х + 2)2-2х + 2;
б) (2х —3) (2x4-3)- 1 = бх+(х-2)2.
112. Если с каждого гектара участка соберут 35 ц пшени-
цы, то план недовыполнят на .20 т; если с каждого гектара
будет получено 42 ц, то план перевыполнят на 50 т. Какова пло-
щадь участка?
113. Если на каждую машину грузить 3,5 т груза, то останет-
ся 4 т; если на каждую машину грузить 4,5 т, то для загрузки
всех машин не хватит 4 т груза. Сколько было машин?
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение квадратичной функции.
2. Сформулируйте свойства квадратичной функции у=ах2:
а) при а>»0; б) при асО.
3. Как из графика функции у=ах2 можно получить график
функции у=ах24-л; график функции у=а(х—тп)2?
4. Как из графика функции у=ах2 можно получить график
функции у=а(х — ш)24-п?
5. Что представляет собой график квадратичной функции
у=ах2 4~ 5x4- с? На примере функции у — 2х2 — 12x4-16 по-
кажите, как строят график квадратичной функции.
§ 4. НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
8. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Неравенства вида ах2 4- Ьх 4- О 0 и ах2 4- Ьх 4- с < 0, где х —
переменная, а, Ь и с — некоторые числа, причем а #=0, называют
неравенствами второй степени с одной переменной.
Решение неравенства второй степени с одной переменной
можно рассматривать как нахождение'промежутков, в которых
соответствующая квадратичная функция принимает положи-
тельные или отрицательные значения.
Пример 1. Решим неравенство 5х24-9х — 2<0.
Рассмотрим функцию у = 5х2 4- 9х — 2. Графиком этой функ-
ции является-парабола, ветви которой направлены вверх.
39
Выясним, как расположена эта парабола относительно оси х.
Для этого решим уравнение 5х2 + 9х —2 = 0.
Получим:
Х1=. — 2, х2=-|-.
О
Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, абс-
циссы которых равны — 2 и
о
Покажем схематически, как расположена парабола в коор-
динатной плоскости (рис. 31). Из рисунка видно, что функция
принимает отрицательные значения, когда
xe(-2;i).
Следовательно, множеством решений неравенства 5х2 + 9х—
— 2<0 является числовой промежуток ( —2; .
Заметим, что при рассмотренном способе решения неравен-
ства нас не интересовала вершина параболы. Важно лишь было
знать, куда направлены ветви параболы — вверх или вниз
и каковы абсциссы точек ее пересечения с осью х.
Пример 2. Решим неравенство Зх2 — Их — 4 > 0.
График функции у = 3х2 —Их —4 — парабола, ветви кото-
рой направлены вверх.
Для того чтобы выяснить, пересекает ли парабола ось х
и в каких точках, решим уравнение Зх2 —Их —4 = 0. По-
лучим, что
Xi = —
Х2 = 4.
3 9
Покажем схематически, как расположена парабола в коор-
динатной плоскости (рис. 32). Из рисунка видно, что данное не-
равенство верно, если х принадлежит промежутку! — оо
i)
или промежутку (4; + оо), т. е. множеством решений неравен-
40
ства является объединение промежутков (—со; —и
(4; + <*>)•
Ответ можно записать так: — оо; —U(4; + оо).
Пример 3. Решим неравенство —— х2 + 2х — 4 < 0.
Рассмотрим функцию у =—|-х2 + 2х —4. Ее графиком яв-
ляется парабола, ветви которой направлены вниз.
Выясним, как расположен график относительно оси х. Ре-
шим для этого уравнение —|-х2 + 2х —4 = 0. Получим, что
х = 4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола
касается оси х.
Изобразив схематически параболу (рис. 33), найдем, что
функция принимает отрицательные значения при любом х,
кроме 4.
Ответ можно записать так: х — любое число, не равное 4.
Пример 4. Решим неравенство х2 — Зх + 4 > 0.
График функции у = х2 — Зх + 4 — парабола, ветви которой
направлены вверх.
Чтобы выяснить, как расположена парабола относительно
оси х, решим уравнение х2 — Зх-|-4 = 0. Находим, что D =
= — 7 <0, т. е. это уравнение не имеет корней. Значит, парабола
не имеет общих точек с осью х.
Показав схематически расположение параболы в коорди-
натной плоскости (рис. 34), найдем, что функция принимает
положительные значения при любом х.
Ответ: х — любое число.
Итак, для решения неравенств вида ах2 + Ьх + О0 и
ах2 + Ъх + с<0 поступают следующим образом:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясня-
ют, имеет ли трехчлен корни; /
41
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х
и через отмеченные точки проводят схематически параболу,
ветви которой направлены вверх при а>0 или вниз при а<0;
если трехчлен не имеет корней, то схематически изобража-
ют параболу, расположенную в верхней полуплоскости при
а>0 или в нижней при а<0;
3) находят на оси х промежутки, для которых точки пара-
болы расположены выше оси х (если решают неравенство
ах2 + Ьх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство
ах2 -|- Ьх 4- с <. 0).
• 114. Решите -неравенство:
a) x2-j-2x — 48 <0;
б) 2х2 —7х4-6>0;
в) -гЭС2 + 2х-|-15<0;
г) —5х2 + 11х-6>0;
д) 4х2 — 12x-J-9>0;
е) 25х2 + 30х+9<0
ж) —10х2+9х>0;
з) — 2х24-7х<0.
• .115. Найдите множество решений неравенства:
а) 2х24-3х-5>0; б) —6х24-6х4-36>0; в) -х24-5<0.
О 116. Решите неравенство:
а) 2х24-13х-7>0;
б) —9х24-12х—4<0;
в) 6х2-13х4-5<0;
г) — 2х2 —5х4-18<0
д) Зх2 —2х>0;
е) 8—х2<0.
• 117. Найдите, при каких значениях х:
а) трехчлен 2х2 4- 5x4-3 принимает положительные зна-
чения;
б) трехчлен — х2 —|- х—принимает отрицательные
О оО
аначения.
• 118. Решите неравенство:
а) х2<16;
б) х2>3;
в) 0,2х2>1,8;
г) — 5х2^х;
119. Решите неравенство:
а) 0,01х2^1; в) 4х^—х2;
б)-|-х2>12; г)-^-х2>-^-;
120. Найдите множество решений
а) Зх24*40х4-10< -х24-11x4-3;
б) 9х2 — х4-9>3х24-18х-6;
в) 2х24-8х — 111 <(Зх-5)(2x4-6);
г) (5х4-1)(Зх-1)>(4х-1)(х4-2).
д) Зх2 < — 2х;
е) 7х<х2.
д) 5х2>2х;
е) — 0,Зх<0,6х2.
неравенства:
Й2
121. Решите неравенство:
а) 2х (Зх — 1)>4х24-5х + 9;
б) (5х + 7)(х —2)<21х2 —Их —13.
122. Найдите область определения функции:
а) у^12х-3х‘-, 6) у=—.
1о
123. Докажите, что при любом значении переменной верно
неравенство:
а) 7х2 — 10х+7>0; в) -|-х2-8х + 64>0;
б) -бу2+ 11//-10<0; г) -9y2 + 6i/-l<0.
124. Докажите, что при любом значении х верно не-
равенство:
а) 4х2 + 12х + 9>0; б) -5х2 + 8х-5<0.
125. Докажите, что:-
а) х2 + 7х-}-1> —х24-10х —1 при любом х;
б) —2х2 + 10х<18—2х при х+=3.
126. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой.
Какой может быть эта сторона, если площадь прямоугольника
меньше 60 см2?
127. Длина прямоугольника на 5 см больше ширины. Какую
ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была
больше 36 см2?
Упражнения для повторения
128. Функция задана формулой г/=°—2. Не выполняя
0
построения, найдите координаты точек пересечения графика
с осью х, с осью у. Является ли эта функция возрастающей
или убывающей?
129. Решите систему неравенств:
а) 4 4х—21 <0, в) { 5х—4^10,
I х+3,5 > 0; I 1 — Зх < — 2;
б) ( 5х—9 < 0, г) f Зх—б > 5;
(2х + 7 С 0; V 1 - 4х> 8.
г130. Разложите на множители многочлен:
а) у4 — г/3-|-0,25г/2; в) х2у2+2х2 —8у2 —16;
б) х3--Lx2+^x; г) 6а2&24-363-8а2-4&.
2 10
43
9. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ
Рассмотрим функцию
/ (х)=(х + 2) (х — 3) (х — 5).
Областью определения этой функции является множество
всех чисел. Нулями функции служат числа —2, 3, 5. Они
разбивают область определения функции на промежутки
(— оо; —2), ( — 2; 3), (3; 5) и (5; + оо) (рис. 35, а).
Выражение (х + 2) (х — 3) (х — 5) представляет собой произ-
ведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей
в рассматриваемых промежутках указан в таблице:
(—оо; —2) (-2;3) (3;5) (5; +°°)
х + 2 — + + +
х—3 — — + +
х—5 — — — +
Отсюда ясно, что:
если х£(— оо; —2), то /(х)<0;
если х£( — 2; 3), то f (х)>0;
если х£(3; 5), то /(х)<0;
если х£(5; -роо), то /(х)>0.
Мы видим, что в каждом из промежутков (— оо; — 2),
( — 2; 3), (3; 5), (5; + оо) функция сохраняет знак, а при пере-
ходе через точки — 2, 3 и 5 ее знак изменяется (рис. 35, б).
Вообще, пусть функция задана формулой вида
f(x)=(x —Х1)(х —х2).. .(х —хД
где х — переменная, a Xi, х2, ..., хп — не равные друг другу
числа. Числа Х\9 х2>/..., хп являются нулями функции. В каж-
дом из промежутков, на которые область определения разби-
вается нулями функции, знак функции сохраняется, а при пере-
ходе через нуль ее знак изменяется.
Это свойство используется для решения неравенств вида
(х — Х1)(х — х2)... (х—xrt)>0,
(х — Х1)(х—х2)...(х — Хп)<0, ' '
где xi, х2, ..., хп — не равные друг другу числа.
44
Пример 1. Решим неравенство
(х+6)(х+1)(х-4)<0.
Данное неравенство является неравенством вида (1), так
как в левой части записано произведение (х — Xi) (х —Х2) (х —Хз),
Где Xi ——6, Х2=—1 и х3 = 4. Для его решения удобно вос-
пользоваться рассмотренным выше свойством чередования зна-
ков функции.
Рис. 36
Отметим на координатной прямой нули функции
f (х)=(х + 6) (х +1) (х — 4)
(рис. 36, а). Найдем знаки этой функции в каждом из промежут-
ков (— оо; —6), ( — 6; —1), ( — 1; 4) и (4; + оо). Для этого доста-
точно знать, какой знак имеет функция в одном из этих проме-
жутков, и, пользуясь свойством чередования знаков, определить
знаки во всех остальных промежутках. При этом удобно начи-
нать с крайнего справа промежутка (4; 4-оо), так как в нем
значение функции / (х)=(х + 6) (х -|-1) (х — 4) заведомо поло-
жительно. Это объясняется тем, что при значениях х, располо-
женных правее всех нулей функции, каждый из множителей
х + 6, х4~1 и х —4 положителен. Используя свойство чередо-
вания знаков, определим, двигаясь по координатной прямой
справа налево, знаки данной функции в каждом из остальных
промежутков (рис. 36, б).
Из рисунка видно, что множеством решений неравенства яв-
ляется объединение промежутков (— оо; —6) и ( — 1; 4).
Ответ: (—оо; —6)U( — 1; 4).
Рассмотренный способ решения неравенств называют мето-
дом интервалов.
Рассмотрим теперь примеры решения неравенств, которые
сводятся к неравенствам вида (1).
Пример 2. Решим неравенство х (0,5 — х) (х + 4) < 0.
Приведем данное неравенство к виду (1). Для этого в дву-
члене 0,5 — х вынесем за скобку множитель —1. Получим:
— х (х —0,5) (х-|-4)<0,
отсюда
х (х — 0,5) (х + 4) > 0.
Мы получили неравенство вида (1), равносильное данному.
45
-4
0 0,5
а)
О 0,5
S)
-4
Рис. 37
Отметим на координатной прямой нули функции /(х) =
=х (х—0,5) (х + 4) (рис. 37, а). Покажем знаком «плюс», что
в крайнем справа промежутке функция принимает положитель-
ное значение, а затем, двигаясь справа налево, укажем знак
функции в каждом из промежутков (рис. 37, б). Получим, что
множеством решений неравенства является объединение про-
межутков ( — 4; 0) и (0,5; + 00 )• •
Ответ: ( — 4; 0)J(0,5; -{-оо).
Пример 3. Решим неравенство (5х +1) (5 — х) 0.
Приведем неравенство к виду (1). Для этого в первом дву-
члене вынесем за скобки множитель 5, а во втором — 1, полу-
чим:
Разделив обе части неравенства на —5, будем иметь:
Отметим на координатной прямой нули функции /(х) =
=( (х—5), т. е. точки —^-и 5, и укажем знаки функции
в образовавшихся промежутках (рис. 38). Мы видим, что мно-
жество решений неравенства состоит из чисел —и б и чисел,
5
заключенных между ними, т. е. представляет собой промежуток
_2
5
5
Рис. 38
Ответ: ; 5J.
Заметим, что данное неравенство можно решить иначе,
воспользовавшись свойствами графика квадратичной функции.
<7_х
Пример 4. Решим неравенство < 0.
X -р А
Ч_х
Так как знак дроби совпадает со знаком произведения
46 (
(7 —х)(х4-2), то данвое неравенство равносильно .неравенству
(7-х)(х+2)<0.
Приведя неравенство (7—х) (х 4- 2) < О к виду (1) и используя
метод интервалов, найдем, что множеством решений этого
неравенства, а значит, и данного неравенства х_^2<0 явля-
ется объединение промежутков (— оо; —2) и (7; + оо).
Ответ: (—оо; —2) и (7;оо).
• 131. Решите неравенство, используя метод интервалов:
а) (х+8)(х-5)>0; в) (х-3,5)(х4-8,5)>0;
б) (х-14)(х + 10)<0; Г)(ж+_|.)(дг+.|.)<о.
• 132. Решите неравенство:
а) (х+25) (х-30)<0; в) (х—|-)(х—0 <0;
б) (х+6) (х—6)>0; г) (х+0,1)(х+6,3)>0.
133. Решите неравенство:
а) (х —2) (х—5) (х—12)>0;
б) (х+7)(х+1)(х-4)<0;
в) х(х+1)(х-|-5)(х—8)>0.
134. Найдите, при каких значениях х:
а) произведение (x-f-48) (х —37)(х —42) положительно;
б) произведение (х+0,7)(х — 2,8) (х—9,2) отрицательно.
135. Решите неравенство:
а) (х + 9)(х-2)(х-15)<0;
б) х(х —5)(х+6)>0;
в) (х—1) (х—4) (х—8) (х —16)<0.
136. Найдите множество решений неравенства:
а) 5(х-13)(х + 24)<0; в) (х + 12)(3-х)>0;
б) -(х-|-|-)(х+-|-)>0; г) (6+х)(Зх-1)<0.
137. Решите неравенство:
а) 2 (х -18) (х -19) > 0; в) (7х 4- 21) (х - 8,5) < 0;
б) -4 (х4-0,9)(х-3,2)<0; г) (8-х)(х-0,3)>0.
138. Найдите область определения функции:
а) у=У(5-х)(х4-8);
б) У=д/(х 4-12) (х — 1) (х—9).
47
139. При каких значениях х имеет смысл выражение:
a) V(2x + 5) (х —17); б) Vx(x + 9) (2х-8)?
140. Решите неравенство:
х х—5 ~ ч 2х Л
а) х4-6<'0, В) х-1,6 >0;
б> г> -^>°-
141. Решите неравенство:
ч х — 21 ч 6x4-1 . Л
а) -7+Г<0’ в) ТнГ>0;
Лч х 4-4,7 хч ч 5х ^лч
6> —тУ>0; г> 1Т=12<0-
Упражнения для повторения
142. Постройте график функции у = х2— 0,5х-|-1,5 и опи-
шите ее свойства.
143. В каких координатных четвертях расположен график
функции:
а) у = Зх2 + 4; б) у— — 5х2 — 1; в) у==2х2 —4?
Контрольные вопросы
1. На примере неравенств Зх2 + 5х — 2<0 и х2 + 2х + 6>0
расскажите, как можно решить неравенство второй степени, ис-
пользуя свойства графика квадратичной функции.
2. На примере неравенства (х —5) (х + 7). (х + 9)<0 рас-
скажите, как решают неравенства методом интервалов.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
К параграфу 1
144. Найдите область определения функции:
Рис. 39
°)!/=77г-
б) у=л[х—Vx —4; Х
145. Длина прямоугольника ABCD
(рис. 39) равна 10 см, а ширина
7 см. Отрезок MN передвигается от
48
отрезка AD до отрезка ВС, оставаясь параллельным, отрезку AD.
Площадь у (в квадратных сантиметрах) заштрихованной части
есть функция расстояния х (в сантиметрах) от точки D до точ-
ки 2V. Задайте функцию y = f(x) формулой. Найдите область
определения и область значений этой функции.
146. В равнобедренном треугольнике АВС основание АС
равно 6 см, а боковая сторона 5 см. Концы подвижного
отрезка, параллельного основанию, лежат на боковых сторонах.
Его длина равна у см, а расстояние от вершины х см. Задайте
формулой у как функцию от х. Найдите область определения и
область значений функции.
147. Для функции /(х)=-^|- найдите: /( — 10); /( — 8);
/( — 5); /(10); /(6).^
148. При каких значениях аргумента значение функции
y = f(x) равно 10, если:
а) /(х) = 5х —2; б) /(х) = х2; в) f (х) = х2 + 1?
149. Функция задана формулой у—^^ . Пересекает ли
ее график ось х? ось у? В каких координатных четвертях
расположен график этой функции?
150*. Катер отправляется от пристани А и идет вниз по
реке к пристани В, до которой 60 км. После двухчасовой
стоянки на пристани В он возвращается обратно. Расстояние I
(в километрах) катера от пристани А зависит от времени t, от-
считываемого в часах с момента отправления его из А до
момента возвращения. Собственная скорость катера 16 км/ч,
скорость течения 4 км/ч. Задайте I как функцию от t формула-
ми, постройте график функции, опишите по графику ее свой-
ства и объясните их физический смысл.
151. Нарисуйте график какой-нибудь функции, областью
определения которой является промежуток [ — 3; 4], а областью
значений — промежуток [0; 6].
152. Найдите нули функции (если они существуют):
а) У 10 ’ б) У 8-0,5х ’ В) У 4
153. Является ли возрастающей или убывающей линейная
функция, заданная формулой:
а) у=— 0,01х; б) у=ух + 3; в) у = 16х; г) у = 13 —х?
Приведите пример линейной функции, которая не является
ни возрастающей, ни убывающей.
154*. Какие из функций, заданных формулами у = х2,
у = х2 + 5, у = 2х + 5, у = х3, у=—х2, у=— х2 — 4,
49
y=^/x-\-l, у=х* + х2+6,
определения?
сохраняют знак на всей области
156*. На рисунке 40 изображен
график одной из функций
у—^х^1, i/=7x + l, у=^1 — х.
Какой именно?
156*. Какой из трех графиков^
изображенных на рисунке 41, яв-
ляется графиком функции
У = | х — 21 ?
157*. Постройте график функ-
в
Ции У=-г~. и
ства.
опишите ее свой-
К параграфу 2
158. Является ли число 10—2у5 корнем трехчлена
х2 — 20x4-80?
159. Найдите корни квадратного трехчлена:
а> 4-х2+фх-2; в) -x2+4x-2-f-;
О о 4
б) -i-x2-4-x—г) 0,4х2—х+0,2.
Z о 4
160. Составьте какой-нибудь квадратный трехчлен, корнями
которого являются числа:
а) — 7 и 2; б) 3—^2. и 34-д/2..
161*. При каком значении р выражение 2/jx2—2х—2р—3
становится квадратным трехчленом, одним из корней которого
является число нуль? Найдите второй корень.
162. Докажите, что квадратный трехчлен имеет корни, и
найдите их сумму и произведение:
а) 2х2- 10х + 3; в) 0,5х2 + 6х-|-1;
б) -|-х2-|-7х-2; г) —Lx24-i-x+4-.
50
163. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
а) 2х2 — 3x4-7; в) 5х2 —Зх;
б) —Зх2 + 4х —1; г) —4х24-8х.
164. Докажите, что квадратный трехчлен:
а) —х24~20х—103 не принимает положительных значений;
б) х2 —16х + 65 не принимает отрицательных значений.
165. Найдите наибольшее или наименьшее значение квад-
ратного трехчлена:
а) Зх2—4x4-5; б) -Зх24-12х.
166*. Сумма положительных чисел а и b равна 40. При ка-
ких значениях а и b их произведение будет наибольшим?
167. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) 0,8х2 —19,8х — 5; в) х24-х-^2 — 2;
б) 3,5- 3-т-х+-^-х2; г) х2 — X-V64-1.
О о
168. Сократите дробь:
к 2тп2 —8 в 2тп2 —5тп4-2
а' m2 + 6m+8 ’ ' тп—2п—З/п+6
169. Упростите выражение:
х + 4 37х —12 х—1_____1—х
х— 1 4Х2 —Зх —1 ’ ' х+2 х2 + Зх+2
170. Выполните действие:
7х —х2 х2 —х—20 . х 2Х2 —7 х+1 .
х + 4 * 7 —х ’ В' х2 —Зх—4 х—4 ’
х2 + 11х+30.х4-5 . х 2+х-х2 . 10х
Зх—15 ‘х-5 ’ х Г' 2 —5х+3х2 ’ Зх—2 ’
К параграфу 3
171. При каком значении а график функции у = ах2 про-
ходит через точку:
а) (5; -7); б) (-^3; 9); в) ( —1-; —0 ; г) (100; 10)?
172. Постройте график функции, заданной формулой
у= — 0,25х2, где х€[—6; 2]. Каковы наибольшее и наименьшее
значения этой функции?
173. При каких значениях а областью значений функции
у=ах2 является промежуток:
а) [0; +°°); б) (— оо;0]?
174. Докажите, что графики функций у=ах2 и у —ах,
51
где а=/=0, пересекаются в точке (1; а). В какой еще точке пере-
секаются эти графики?
175. Параболу у=7х2 сдвинули вверх на 5 единиц и влево
на 8 единиц. Графиком какой функции является полученная
парабола?
176*. Какие преобразования надо провести, чтобы:
а) из графика функции у — х3 получить графики функций
У=— х3, у={х — 3)\ г/ = х3 + 4;
б) из графика функции у=л[х получить графики функций
У=— ^[х, J/=VX + 5» у=-^х — 1?
177*. Постройте в одной координатной плоскости графики
функций: у=|х|, у=|х —4|, у=\х — 4|— 3.
178*. При каких значениях с график функции у —
— х2 — 6x4-с расположен выше прямой:
a) z/ = 4; б) у=— 1?
179*. При каких значениях Ь и с вершиной параболы
y = x2-|-6x-f-c является точка (6; —12)?
180. При каком значении а осью симметрии параболы
у=ах2 — 16x4-1 является прямая х=4?
181. При каких значениях а и с функция у = ах2-\-с
имеет нули?
182*. Найдите значения а и Ь, при которых график функ-
ции у=ах2 -\-Ъх—18 проходит через точки М (1; 2) и N (2; 10).
183. Постройте график функции и опишите ее свойства:
а) у = х2-\-2х —15; г) у = 6х — 2х2;
б) у — 0,5х2 — 3x4-4; д) у=(2х — 7)(х + 1);
в) у = 4 — 0,5х2; е) у=(2 —х) (х-|-6).
184. Найдите область значений функции:
a) i/ = 3x2 —0,5х+^; в) у=—i-x24-4x —5,5;
J.O Л
б) у = 2х24-1,2х4-2; г) у= — Зх2-2х-4
О
185. Пусть h — высота (в метрах), на которой находится
брошенный с земли вверх мяч, t — время полета мяча (в се-
кундах). Зависимость h от t выражается формулой ft = 24t —
— 4,9t2. Какой наибольшей высоты достиг мяч? В какой проме-
жуток времени он поднимался и в какой опускался? Через
сколько секунд после броска он упал на землю?
186*. Задайте формулой какую-либо квадратичную функ-
цию, которая:
а) в промежутке (— оо; — 3] убывает, а в промежутке
[ — 3; -j-оо) возрастает; ;
б) в промежутке (—- оо; 6] возрастает, а в промежутке
[6; 4- оо) убывает.
52
187*. Функция задана формулой y = x2+px + q. Найдите
значения р и q, если известно, что:
а) нули функции — числа 3 и 4;
б) график функции пересекает оси координат в точках (0; 6)
и (2; 0);
в) наименьшее значение, равное 24, функция принимает при
х=6.
188*. По графику функции у=ах2-\-Ъх-\-с (рис. 42, а, б)
определите знаки коэффициентов а, Ь и с.
К параграфу 4
189. Решите неравенство:
а) х2 —5х —50<0; г) 8р24-2р>21;
б) —т2 — 8т -|-9^0; д) 12х—9^4х2;
в) Зу24-4у — 4>0; е) —9х2<1— 6х.
190. Докажите, что при любом значении х верно нера-
венство: /
а) 2(х + 1)(х-3)>(х + 5)(х-7);
б) -L(x + 5)(x-7)<(x+2)(x-4).
191. Найдите область определения функции:
. 1 V16—24х+9х2
а) б) ’= '
192*. Найдите общие решения неравенств х2-|-6х — 7^0
и х2 — 2х —15^0.
193*. Решите систему неравенств:
а) { 4х2 —27х—7>0,
I х>0;
б){ - Зх2 + 17х + 6 < 0,
I х<0;
в) ( х 4-1 < 0,
I 2х—18>0;
г) f х — 4>0,
I Зх2—15х<0.
S3
194*. Решите систему неравенств:
а) / х24-х—6<0, б) Г х2-|-4х—5>0,
I —х2 + 2х + 3>0; I х2 —2х —8<0.
195. Решите неравенство:
а) (x-f-1,2) (6 —х) (х—4)>0;
‘>(i-)(4—)(4—)<»‘
в) (ж4-0,6) (1,64-Х) (1,2-ж)>0;
г) (1,7—ж) (1,8 4-х) (1,9—ж) <0.
196. При каких значениях ж произведение
(Зх — 5) (х 4-4) (2-х):
а) равно нулю; б) положительно; в) отрицательно?
197. Решите неравенство:
а) (18х — 36) (х - 7) > 0; в) (х + 0,8) (4 — х) (ж—20) < 0;
б) (х - 7,3) (9,8 - х) > 0; г) (10х 4- 3) (17- х) (ж - 5)> 0.
198. Решите неравенство, разложив его левую часть на мно-
жители:
а) (х2-16) (ж 4-17)>0; г) х3-0,01х>0;
б) (х—|-) (х2-121)<0; д) (х2-9) (х2-1)>0;
в) х3 —25х<0; е) (х2 —15х)(х2—36) <0.
199*. Решите неравенства:
а) (х2 +17) (х - 6) (х + 2) < 0; в) (х -1)2 (х - 24) < 0;
б) (2х2 + 1)х(х-4)>0; г) (х + 7) (х-4)2 (х-21)>0.
200. Найдите область определения функции:
а) 1} = . -; б) ц ........ ? —.
V(3x-1) (6х + 1) V(11^+2)(x-4)
201*. Равносильны ли неравенства:
а) и (*-3)(х4-1)>0;.
6) т^СО и (ж4-5)(ж-8)СО?
202*. Решите неравенство:
\ X—8. ~ ч х + 1^Л ч 2х—4^^
а> Т+4>0’ в> зЬ>0; д) зГП<0;
б) Sir<0; г) е)
54
Глава II.
УРАВНЕНИЯ И
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
§ 5. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
§ 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 5. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
10. ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
В каждом из уравнений
2 (х* 2 + 1) (х-1)=6х-(х-|-7) (1)
и
левая и правая части являются целыми выражениями. Такие
уравнения называют целыми уравнениями.
В уравнении (1) раскроем скобки, перенесем все члены в
левую часть и приведем подобные члены. Получим:
2х3 — 2х2-|-2х — 2 = 6х — х—7,
2х3-2х2 + 2х —2 —6х + х + 7 = 0,
2х3 — 2х2 —Зх + 5 = 0.
Проведем аналогичные преобразования в уравнении (2),
умножив предварительно обе его части на 4:
х4 * * * В —1 —2 (х24-1)='12х2,
х4 —1 —2х2 —2 = 12х2,
х4 —1 —2х2— 2 —12х2=0,
х4 —14х2 —3 = 0.
В каждом из рассмотренных примеров мы выполняли такие
преобразования, которые приводят к уравнению, равносильно-
му данному. В результате получали уравнение, имеющее вид
Р (х) = 0, где Р (х) — многочлен стандартного вида. Вообще вся-
кое уравнение можно заменить равносильным ему уравне-
нием, левая часть которого — многочлен стандартного вида, а
правая — нуль.
55
Если уравнение с одной переменной записано в виде Р (х) = 0,
где Р (х) — многочлен стандартного вида, то степень этого
многочлена называют степенью уравнения. Например, уравне-
ние х3 —2х + 1 = 0 является уравнением третьей степени.
Степенью произвольного целого уравнения называют сте-
пень равносильного ему уравнения вида Р (х) = 0, где Р (х) —
многочлен стандартного вида. Например, для уравнения
(х3 — 1 )2 4- х5 = х6 — 2 (3)
имеем:
х6-2х34~14~х5-х64-2 = 0,
х5 —2х34-3=0.
Степень полученного уравнения равна пяти. Значит, степень
равносильного ему уравнения (3) также равна пяти.
Уравнение первой степени можно привести к виду ах 4- Ь = 0,
где х — переменная, а и Ъ — некоторые числа, причем а =/= 0.
Из уравнения ах 4- Ь = 0 при а =# 0 получаем, что х = —.
Число —------корень уравнения. Каждое уравнение первой
степени имеет один корень.
Уравнение второй степени можно привести к виду ах24~
4~Ьх4~с=О, где х — переменная, а, Ъ и с — некоторые числа,
причем а=#0. Число корней такого уравнения зависит от
дискриминанта D = b2 — 4ас. Если Z>>0, то уравнение имеет
два корня; если 0 = 0, то уравнение имеет один корень; если
D<0, то уравнение не имеет корней. Любое уравнение вто-
рой степени имеет не более двух корней. Для нахождения
корней при 0^0 используется, как известно, формула корней
— ь-^л!Ъ
квадратного уравнения х =—о~ .
ла
Уравнение третьей степени можно привести к виду ах34~
4~Ьх2 4~cx4~d = O, уравнение четвертой степени — к виду ах44-
4-bx34-cx24'dx4~^ = 0 и т. д., где а, Ь, с,... — некоторые числа,
причем а=/=0. Можно доказать, что уравнение третьей сте-
НИЛЬС АБЕЛЬ (1802—1829) — норвежский
математик. Основатель общей теории алгебраи-
ческих функций, внес большой вклад в математи-
ческий анализ. Впервые доказал неразреши-
мость в радикалах общего алгебраического уравне-
ния 5-й степени.
56
пени имеет не более трех корней, уравнение четвертой степе-
ни — не более четырех корней. Вообще уравнение n-й степени
имеет не более п корней.
Для уравнений третьей и четвертой степеней известны фор-
мулы корней, но эти формулы очень сложны. Для уравнений
пятой и более высоких степеней общих формул корней не
существует.
Заметим, что иногда удается решить уравнение третьей
или более высокой степени, применяя какой-либо специальный
прием. Например, некоторые уравнения нетрудно решить с
помощью разложения многочлена на множители.
Пример 1. Решим уравнение
х3 —8х2 —х + 8 = 0. (4)
Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 (х — 8) — (х —-8)=0,
(х —8) (х2 —1)=0,
(х —8) (х-1)(х-Ц)=0.
Отсюда найдем, что уравнение (4) имеет три корня:
Xi=8, х2 = 1, х3= —1.
Для некоторых целых уравнений приближенные значения
корней нетрудно найти, используя графический способ ре-
шения.
Пример 2. Решим уравнение
х3 + х —4=0. (5)
Представим данное уравнение в виде х3 = — х + 4.
Построим в одной системе координат графики функций
у=х3 иу= —х-}-4 (рис. 43). Они пересекаются в одной точке,
абсцисса которой приближенно равна 1,4. Значит, уравнение
(5) имеет единственный корень х«1,4.
ЭВАРИСТ ГАЛУА (1811—1832) — французский
математик. Заложил основы современной алгебры,
ввел ряд фундаментальных ее понятий. Нашел
необходимое и достаточное условие, которому удов-
летворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в
радикалах.
67
Рис. 43
Графический способ не обеспечивает высокую точность ре-
зультата. Поэтому если требуется найти значение корня с
большей точностью, то полученное при графическом решении
приближенное значение корня уточняют путем вычислений.
Для уточнения значений корней целого уравнения можно
воспользоваться тем, что график функции y — f (х), где f (х) —
некоторый многочлен, представляет собой непрерывную линию.
Отсюда следует, что если на концах какого-либо промежутка
[а; 6] функция принимает значения разных знаков, то вйутри
этого промежутка находится корень уравнения f (х) = 0
(рис. 44).
56 (
Уточним найденное значение
корня уравнения (5). Из рисунка 43
видно, что корень уравнения при-
надлежит промежутку [1; 2]. В этом
можно убедиться, вычисляя зна-
чения функции f (х) = х3 + х — 4
при х = 1 и х = 2. Получим, что
/(1)=-2<0, а /(2) = 6>0.
Разделим отрезок координатной
прямой с концами 1 и 2 на 10 рав-
ных частей точками
1,0; 1,1; 1,2; ...; 1,8; 1,9; 2,0.
Будем вычислять значения функции при указашпях значе-
ниях х, пока не обнаружим промежуток длиной 0,1, на концах
которого функция принимает значения разных знаков. При
этом удобно воспользоваться микрокалькулятором, выполняя
вычисления по следующей программе:
В результате найдем, что / (1,3)=—0,503 <0; а /(1,4)=
= 0,144 > 0. Значит, корень уравнения принадлежит промежут-
ку [1,3; 1,4} В качестве десятичного приближения с точностью
до 0,1 можно взять любое из чисел 1,3 и 1,4.
Чтобы найти значение корня с большей точностью, разделим
далее отрезок координатной прямой^ ограниченный точками
1,3 и 1,4, на 10 равных частей и будем вычислять зна-
чения функции при х, равном
1,30; 1,31; 1,32; ...; 1,38; 1,39; 1,40;
Получим, что f (1,37) = — 0,058647 <0, a f (1,38) =
= 0,008072 >0. Следовательно, корень уравнения принадлежит
промежутку [1,37; 1,38]. В качестве десятичного приближения
с точностью до 0,01 можно взять число 1,37 или число 1,38.
Аналогично можно найти десятичные приближения корня
уравнения (5) с точностью до 0^001, 0,0001 и т. д.
203. Какова степень уравнения:
а) 2х2 —6х5 +1 =0> г> (х + 8) (х- 7) = 0;
б) х6 —4х3 —3 = 0; д> -f- --J- =5;
в) -J-х5 = 0;: е) 5х3 - 5х (х2 + 4)= 17?
•-’204. Решите уравнение:
а) (8х — 1)(2х—3)—(4х —1)2 = 38; б) (^х~1)(1 + 1^=2;
3 3
59
в) 0,5У3-0,5Иу + 1)(У-3)=7; Г) х4-х2=(1+2х2)4(2х^.
• 205. Решите уравнение:
а) (6 —х) (х-рб)—(х —11) х = 36; в) 9х2-(---х~1Х)<8х+8)== 1;
б) 1-3у 3-у—О- г) (у+1)2 1~у2—1
’ 11 Ъ ’ ' 12 24
206. Докажите, что уравнение 5х6 + 6х4 + х2 4- 4 = 0 не имеет
корней.
207. Может ли уравнение 12х54-7х3 + 11х — 3 = 121 иметь
отрицательные корни?
208. При каких целых значениях а корнем уравнения
ах — 8 = 0 является целое число?
209. При каких значениях р корень уравнения 9х=р—2
отрицателен?
210. При каких значениях Ь уравнение имеет два корня:
а) 2х2 + 6х4-Ъ = 0; в) Зх24-6*+3=0;
б) 5х2-4х-|-Зд = 0; г) х24-Ьх 4-5=0?
211. При каких значениях v уравнение имеет один ко-
рень:
а) Зх2 — 6х-р2р=0; в) х2 — 3vx4-18=0;
б) 5х24-2i>x4-5 = 0; г) 2х2-12х-|-За=0?
212. При каких значениях t уравнение не имеет корней:
a) 6x24-tx4-6=0; в) 2х2-15х-Н = 0;
б) 12x24-4x-|-t=0; г) 2x24-tx4-18=0?
• 213. Решите уравнение: а) г/3 —6z/=0; б) 6х44-3,6х2=0; в) х34-3х = 3,5х2; г) х3 —0,1х=0,Зх2; д) 9х3 — 18х2 — х-|-2=0; е) У4 — У3 — 16г/2 4-16г/= 0; ж) р3—р2=р—1; з) х4—х2 = Зх3 —Зх.
• 214. Решите уравнение: а) 0,7х4 —х3 = 0; г) Зх3—х24-18х — 6=0;
б) 0,5х3 — 72х=0; д) 2х4 — 18х2 = 5х3 — 45х;
в) х34-4х=5х2; е) Зр2 — 2у = 2у3 — 3.
215. Решите графически уравнение х34-2х — 3=0. С по- мощью вычислений уточните до 0,01 найденное значение
корня.
60
Упражнения для повторения
216. Постройте график функции z/ = x2 —3. Укажите про-
межутки возрастания и убывания функции.
217. Решите неравенство:
а) х2 — 10х + 21<0; в) 3x2-14x-f-16>0;
б) х2-8х+16>0; г) 5х2 —6х + 1<0.
218. Два автомобиля выехали одновременно из пункта А
в пункт В, расстояние между которыми 540 км. Первый
автомобиль ехал со скоростью, на 10 км/ч большей, чем
второй, и прибыл в пункт В на 45 мин раньше второго.
Найдите скорость каждого автомобиля.
219. Решите неравенство:
а) (х + 8)(х-1,5)<0;
12
*4-11
в) (15-2х)(х + 6)>0;
ч 6 — 4х Л
г> Г-о75<0-
11. УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ
Уравнения, степень которых выше двух, иногда удается ре-
шить, введя новую переменную.
Рассмотрим примеры решения уравнений этим методом.
Пример 1. Решим уравнение
(х2 - 5х + 4) (х2 - 5х + 6) = 120. (1)
Если перенести все члены уравнения в левую часть и пре-
образовать получившееся выражение в многочлен стандартного
вида, то получится уравнение
х4 — 10х3 + 35х2 — 50х — 96 = 0,
для которого трудно найти способ решения.
Однако можно воспользоваться следующей особенностью
уравнения (1): в его левой части переменная х входит толь-
ко в выражение х2 — 5х, которое встречается в уравнении
дважды. Это позволяет решить данное уравнение с помощью
введения новой переменной. Обозначим х2 —5х через у:
х2 — 5х = у.
Тогда уравнение (1) сведется к уравнению с переменной у:
(у + 4)(у + 6)=120,
которое после упрощения примет вид:
у2 + 101/ -96=0. (2)
Решив уравнение (2), найдем его корни:
2/1=—16, 1/2 = 6.
61
Отсюда
х2 — 5х= —16 или х2 — 5х=6.
Решая уравнение х2—5х=—16, найдем, что оно не имеет
корней.
Решая уравнение х2— 5х = 6, найдем, что оно имеет два
корня:
Х\ = — 1 И Х2=6.
Значит, уравнение (1) имеет два корня:
Х\ = — 1 И Х2 = 6.
Метод введения новой переменной позволяет легко решать
уравнения четвертой степени, имеющие вид ах4 + Ьх2 + с=О.
Уравнения вида ах4 + Ьх2+с=О, где а#=0, являющиеся квад-
ратными относительно х2, называют биквадратными уравне-
ниями.
Пример 2. Решим биквадратное уравнение
9х4 —10х2 4-1=0. (3)
Для этого введем новую переменную, обозначив х2 через у:
х2=у.
Получим квадратное уравнение с переменной у:
9у2—10г/+ 1 = 0.
Решив его, найдем, что
yi=V> У2=1.
Значит,
х2=-|- или х2 = 1.
Из уравнения х2=-|- находим, что
~ 1 - 1
Х1— 3 , Х2 — 3 .
Из уравнения х2 = 1 находим, что
х3= —1, х4 = 1.
Итак, уравнение (3) имеет четыре корня:
Xi — g- , Х2 —’3“ 9 Хз — 1, х4 —1.
220. Решите уравнение, используя введение новой перемен-
ной:
а) (2х2 + 3)2-12 (2х2 + 3) + 11=0;
б) (t2 - 2t)2 - 3 = 2 (t2 - 2t);
62
в) (х2 + х-1)(х2+х + 2)=40;
г) (2х2 + х-1)(2х2Ч-х-4)+2 = 0.
221. Решите уравнение:
а) (х2 + 3)2-11(х24-3)+2&=0;
б) (Х2_4Х)2_|_9(Х2_4Х)_|_2О = О;
в) (х2+х)(х2 + х-5) = 84.
• 222. Решите биквадратное уравнение:
а) х4 —5х2 —36 = 0; г) 4х4 — 5х2 4-1 = 0;
б) У4 —6у2+8 = 0; д) 9х*—Эх2 4-2=0;
в) t 4-10t 4~ 25 = 0; е) 16у4—8у24-1=0.
• 223. Найдите корни биквадратного уравнения:
а) х4-25х24-144=0; г) t4-2t2-3=0;
б) 1/44-14у24-48 = 0; д) 2х4-9х24-4=0;
в) х4 —4х24-4 = 0; е) 5у4-5у2 4-2=0.
224. Найдите координаты точек пересечения с осями коор-
динат графика функции:
а) у = х4 —5х24-4; в) у=х4 —20х24-100;
б) у = х44-3х2 —10; г) у=4х44-16х2.
225. Решите уравнение:
а) (х2 —1)(х24-1)—4(х2 — 11)=0;
б) Зх2(х-1)(х4-1)—10х24-4=0.
226. Решите уравнение:
а) х54-х4-6х3 — 6х24-5х+5 = 0;
б) х5 —х4 —2х34-2х2 —Зх4гЗ=О.
Упражнения для повторения
227. Постройте график функции:
а)у=^-; б) у—— 3x4-6.
228. При каких значениях р:
а) уравнение Зх24-2рх 4-5=0 имеет два корня;
б) уравнение 6х2 —4х4-Р=0 не имеет корней?
229. Найдите, при каких значениях х:
а) трехчлен — х2 4- 6х — 8 принимает положительные значения;
б) трехчлен 2х^ — 9х — 45 принимает отрицательные значения;
в) дробь --- принимает положительные значения;
ч - 30 4- х
г) дробь принимает отрицательные значения.
63
Контрольные вопросы
1. Какое уравнение с одной переменной называется целым?
Приведите пример.
2. Как найти степень целого уравнения? Сколько корней
может иметь уравнение с одной переменной первой степени;
второй степени; n-й степени?
3. Дайте определение биквадратного уравнения. Объясните,
как решают биквадратные уравнения.
§ 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
12. ГРАФИЧЕСКИЙ способ решения систем уравнении
Каждое из уравнений
2х + 3у = 15, x2 + i/2 = 4, ху=—1, 5х3 + у2 = 8
является уравнением с двумя переменными.
Графиком уравнения с двумя переменными называется,
как вы знаете, множество точек координатной плоскости, ко-
ординаты которых обращают уравнение в верное равенство.
Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообраз-
ны. Например, графиком уравнения 2х + 3у = 15 является пря-
мая, уравнения у = 0,5х2 —2 — парабола, уравнения х2 + гг =
= 4 — окружность, уравнения у=~-, а значит, и равносиль-
ного ему уравнения ху = 1 — гипербола. На рисунке 45 по-
строены графики некоторых других уравнений.
Степень целого уравнения с двумя переменными определя-
ется так же, как и степень целого уравнения с одной пере-
Рис. 45
64
менной. Если левая часть уравнения с двумя переменными
представляет собой многочлен стандартного вида, а правая —
число 0, то степень уравнения считают равной степени этого
многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-
либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равно-
сильным уравнением, левая часть которого — многочлен стан-
дартного вида, а правая — нуль. Например, уравнение
(х3 4- у)2 = х6 — 1 равносильно уравнению 2х3у + У* +1 = 0 и, зна-
чит, является уравнением четвертой степени.
Ранее мы рассматривали системы уравнений первой степе-
ни с двумя переменными. Теперь займемся решением систем,
составленных из двух уравнений второй степени или из одного
уравнения первой, а другого второй степени.
Начнем с графического способа решения таких систем.
3 Заказ 624
65
Рис. 46
Пусть требуется решить систему уравнений
J x2 + z/2 —25,
I г/= — х2 + 2х + 5.
Построим в одной системе координат графики уравнений
x2 + i/2 = 25 и */= — х24-2х + 5
(рис. 46). Координаты любой точки построенной окружности
являются решением уравнения х2г/2 = 25, а координаты лю-
бой точки параболы являются решением уравнения у = — х2 +
-|-2х + 5. Значит, координаты каждой из точек пересечения
окружности и параболы удовлетворяют как первому уравне-
нию системы, так и второму, т. е. являются решением рассмат-
риваемой системы. Используя рисунок, находим приближен-
ные значения координат точек пересечения графиков:
А ( — 2,2; —4,5), В (0; 5), С (2,2; 4,5), D (4; —3). Следовательно,
система уравнений имеет четыре решения:
Xj^-2,2, 4,5; х2^0, у2^5;
х3^2,2, 1/з~4,5; х4^4, z/4^—3.
Подставив найденные значения в уравнения системы, мож-
но убедиться, что второе и четвертое из этих решений явля-
ются точными, а первое и третье — приближенными. ।
230. Является ли пара чисел ( — 1; 3) решением уравнения:
а) х2 — у + 2 = 0; 6)'xy + j/ = 6?
231. Является ли решением системы уравнений
( х2 + у2 = 5,
I 6х + 5у= — 4
пара чисел: а) ( — 2; 1); б) (1; —2)?
232. Определите степень уравнения:
а) х2 + у2 + 2х — 0; г) х(1 — у) = 4;
б) х — у —1,2 = 0; д) (х2 —2у2)2 = 5г/;
в) х5 —5х4г/2 + х2г/ = 0; е) 7х8— 12ху + у = 7х2(х6 +1).
233. Решите графически систему уравнений
/ у — х2 = 0,
I 2х —г/ + 3 = 0.
234. Покажите с помощью графиков, что система уравнений
/ х2 + у2 = 25,
I у = х2 — 6
имеет четыре решения, и найдите их.
6б
235. Решите графически систему уравнений
X2+ 1/2 = 100,
i/=-i-*2-10.
236. С помощью графиков решите систему уравнений:
а) ( ху=6, б) { (x-3)2 + (i/-4)? = 4,
I 2х — Зу = 6; 1у —х2=0.
237. Решите графически систему уравнений:
а) f х2 + у2 = 16, б) { ху = 8,
I х+у+2=0; 1х+{/ + 3=0.
238. Изобразив схематически графики уравнений, выясни-
те, имеет ли решения система уравнений, и если имеет, то
сколько:
а)(у=х3, в) (у=х2 + 1,
\ху= —12; lxj/ = 3;
б) ( у = х2 + 8, г) ( х2 + у2 = 9,
1у=-х2 + 12; I (х —10)2 + j/2 = 16.
239. Решите графически систему уравнений:
а) { (х —4)2 + (у —5)2 = 9, б) ( у—х2=0,
lx+jz=6.
Упражнения для повторения
240. Решите неравенство:
а) 25х2 + 6х<0; в) у2 < 10у + 24;
б) х2-169 >0; г) 15у2 — 30>22i/ + 7.
241. Решите систему уравнений способом подстановки:
а) ( Их —9у=37, б) { 16х —4г/ = 5,
1х = 1 + 2#; I Зх — у — 2.
242. Решите систему уравнений способом сложения:
a) ( 5х + 2г/ = 30, б) Г 2х —у = 85,
13х + 4у=—3; I 5х — 2г/ = 127.
243. Из колхоза в город, находящийся на расстоянии 72 км, л
отправился велосипедист. Спустя 15 мин навстречу ему из го- _ ч
рода выехал другой велосипедист, проезжающий в час на (у /
2 км больше первого. Найдите, с какой скоростью ехал каждый
велосипедист, если известно, что они встретились в середине
пути. -
3 -у , у 3 *3^
13. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Рассмотрим сначала системы уравнений с двумя перемен-
ными, составленные из одного уравнения второй степени и
одного уравнения первой степени. Такую систему всегда мож-
но решить способом подстановки. Для этого поступают сле-
дующим образом:
1) выражают из уравнения первой степени одну перемен-
ную через другую;
2) подставляют полученное выражение в уравнение второй
степени, в результате чего приходят к уравнению с одной пе-
ременной, степень которого не выше двух;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующие значения второй переменной.
Пример 1. Решим систему уравнений
( х2 — Зху — 2у2 = 2,
I х + 2у = 1.
Выразим из второго уравнения переменную х через у:
х = 1 — 2у.
Подставим в первое уравнение вместо х выражение 1 — 2z/,
получим уравнение с переменной у:
(1 — 2г/)2— 3 (1 — 2у) у — 2у2 = 2.
После упрощения получим равносильное уравнение
8 г/2 —7у —1=0.
Решив его, найдем, что
yi = —j-, У2=1.
Соответствующие значения х можно найти, подставив най-
денные значения у в одно из уравнений системы, например
во второе уравнение. Удобнее, однако, воспользоваться форму-
лой х = 1 — 2у.
Подставив в формулу х=1—2у значение yi =—полу-
о
чим:
Х1=1-2.
Подставив в формулу х = 1 — 2у значение y2 = l, получим:
х2 = 1-2-1= —1.
Итак, система имеет два решения:
у{= —и х2= — 1, !/2 = 1.
о
68
Ответ можно записать в виде пар: ( 1-|- ; —, ( — Г; 1) — или
так:
-I 1 1 -14
xi = l—, yi=——; х2=—1, г/2 = 1.
Если система состоит из двух уравнений второй степени
с двумя переменными, то найти ее решения обычно бывает
трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить,
используя способ подстановки или способ сложения.
Пример 2. Решим систему уравнений
{ х2 — у2 = 5,
I ху = 6.
Воспользовавшись тем, что х=£0, выразим из второго урав-
нения переменную у через х:
_ 6
Подставим в первое уравнение вместо у выражение —.
Получим уравнение
Решив его, найдем, что
Х| = —3, х2 = 3.
По формуле у=-^- находим соответствующие значения у:
yi=—2, 1/2 = 2.
Значит, система имеет два решения:
Xi = —3, yi = — 2 и х2 = 3, у2 = 2.
Ответ: (-3; -2), (3; 2).
• 244. Решите способом подстановки систему уравнений:
а) ( у2—х=—1, в) ( ху-{-х=—4,
lx = y + 3; 1х — у = 6;
б) ( у = х — 1, г) ( х + у = 9,
I х2 — 2у = 26; I у2 + х = 29.
• 245. Решите систему уравнений, используя способ подста-
новки:
a) f х = 3 — у, в) f х2 + у = 14,
1у2—х = 39; 1у —х=8;
б) Г у = 1-|-х, г)(х + у=4,
lx + y2=—1; I y-f-xy = 6.
69
• а) 246. Решите систему уравнений: f х —у = 3, В){х+у=—1, lxi/=—2; lx2+j/2 = l;
б) x + j/ = 2,5, г) I х—у = 2, . xz/ = l,5; 1 х2—у2 = 17.
• а) 247. Решите систему уравнений: x + i/ = 8, в) ( х2 —у2=8, ху= — 20; \х — у = 4;
б) х — у = 0,8, г) | х2 + у2 = 5, .ху = 2,4-, 1x4-1/=— 3.
a) J 248. Решите систему уравнений: у-2х = 2, г) Г Зх2 + 2у2 = 11, 15х2 — у = 1; 1х + 2г/ = 3;
б) 1 х — 2у2 = 2, д) | x2 + y2 = 100, 3x-|-i/=7; I3x = 4i/;
в) | х2 —Зг/2 = 52, е) Г 2х2 —/=32, .у — х = 14; 1 2х —z/ = 8.
• : a) j 249. Решите систему уравнений: 2ху — у-=7, в) f x2 + 2i/ = 18, д) Г х2 + 4г/ = 10, kx —5у = 2; l3x = 2z/; lx — 2у=— 5;
б) 1 < 2х2 —xi/ = 33, г) Г х—у — 4=0, е) Г х — 2у-}-1 = 0, . 4х —1/ = 17; 1 x2-}-i/2 = 8,5; 1 5ху + у2 = 16. 250. Решите систему уравнений:
a) ) 2x-|-4i/ = 5 (х—у), б) (и — v = 6(u + v), , х2 —г/2 = 6; 1 и2 — и2 = 6.
а) 1 251. Решите систему уравнений: 6 (у — х) — 50 = 1/, б) ( p + 5t = 2 (p + t), . у — ху = 24; \pt —1 = 10.
а) 1 252. Решите систему уравнений: (х-2)(г/ + 3)=160, б) |(х-1)(1/ + 10)=9, у — х = 1; (х — у = 11.
4 253. Решите систему уравнений: I г/ = 0,5х2 —2,
\у—х=2
сначала графическим способом, а затем аналитическим.
254. Решите систему уравнений графически и аналити-
чески:
а) ( x2 + i/2 = 16, б)1у = х24-1, 1х —г/ = 4; lx-{-2i/ = 5.
70
255. Решите систему уравнений:
а) ( х2 + ху — у2=11, б) (х2 + ху — 3у = 9,
lx — 2у = 1; l3x + 2i/= — 1.
256. Решите систему уравнений:
a) f х2 + у2 + 3ху = — 1, б) ( u + 2p = 4,
(x+2i/=0; I u2-\-uv — v= — 5.
257. Решите систему уравнений:
в) ( Зх + у = 1,
(—+—=-2,5;
v X у
а) Г х—у = 5,
]-+-=-
к X ' у 6
б) ( х + у = 6,
{ 2___L=2_.
I х у 4 ’
Г)
2____i__2_
у X 3
х — 2у = 2.
258. Не выполняя построения:
а) определите, пересекает ли парабола у — х2— 8х + 16 прямую
2х —3z/~0, и если да, то в каких точках;
б) найдите, в каких точках пересекаются окружность
(х — 5)2 + (г/ —4)2 — 65 и прямая Зх —г/ + 6 —0.
259. Докажите, что прямая х — у = 4 имеет одну общую
точку с параболой у = х2— 5x-j-5, и найдите координаты этой
точки.
260. Докажите, что парабола у = 2х2 — 5х+1 и прямая
2* +£/ + 3 = 0 не пересекаются.
261. Решите способом подстановки систему уравнений:
а) Г х2 + г/2 = 12, б) ( 2х2 —г/2 = 34,
I ху = — 6; \ху — 20.
262. Решите систему уравнений, используя способ сложе-
ния:
а) ( х2 — 2у2 = 14, б) { хг/ + х = 56,
I x2 + 2i/2 = 18; I ху + у = 54.
263. Решите систему уравнений:
а) ( х2 + у2 = 18, в) f х2 + */2 = 61,
lxi/ = 9; lx2—z/2 = ll;
6) f x2 —z/2 = ll, r) ( 3x —xy = 10,
lxi/ = 30; \y + xy = 6.
264. He выполняя построения, найдите координаты точек
пересечения:
а) окружности х2+г/2 = 36 и параболы z/ = x2 + 6;
б) окружностей x2 + y2 = 16 и (х — 2)2 + у2 = 36.
71
Упражнения для повторения
265. Построив схематически графики уравнений, выясните,
сколько решений имеет система уравнений:
а) | у = х3, б) | xi/ = 10, в) | х24-и2 = 36,
li/ = 15x; \у=х; 1г/=х24-3.
266. Решите неравенство:
а) 0,2х (х —1) —х (0,2х + 0,5)<0,6х —4;
б) 1,2х (3 — х)4-0,4х (Зх — 1)<х 4-1,1.
267. При каких значениях х:
а) трехчлен — х2 — 2x4-168 принимает положительные значе-
ния;
б) трехчлен 15х24-х —2 принимает отрицательные значения;
х I 14
в) дробь - принимает отрицательные значения;
г) дробь 7 принимает положительные значения?
14. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Задача. Периметр прямоугольника равен 80 см. Если
основание прямоугольника увеличить на 8 см, а высоту —
на 2 см, то площадь прямоугольника увеличится в полтора раза.
Каковы стороны прямоугольника?
Решение. Пусть основание прямоугольника равно х см,
а высота равна у см.
Периметр прямоугольника равен 80 см, т. е.
2х+2# = 80.
Площадь прямоугольника равна ху см2. После увеличе-
ния сторон основание прямоугольника будет равно (х + 8) см,
высота (у + 2) см, а площадь будет равна (х + 8) (# + 2) см . По
условию задачи площадь прямоугольника увеличится в полто-
ра раза, т. е.
(х + 8) (# + 2) = 1,5х#.
Итак, имеем систему уравнений
( 2х + 2# = 80,
I (х + 8) (# + 2) = 1,5х#.
Решив ее, найдем, что
Xi = 28, #1 = 12 и х2 = 24, #2 = 16.
Задача имеет два решения. Стороны прямоугольника равны
28 см и 12 см или они равны 24 см и 16 см.
72
• 268. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно
35. Найдите эти числа.
• 269. Одно число на 7 больше другого, а их произведение
равно —12. Найдите эти числа.
• 270. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его пери-
метр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.
• 271. Одна из сторон прямоугольника на 14 см больше дру-
гой. Найдите стороны прямоугольника, если его диагональ
равна 26 см.
• 272. Прямоугольный участок земли площадью 2400 м2 об-
несен изгородью, длина которой равна 200 м. Найдите длину
и ширину этого участка.
• 273. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см,
а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого тре-
угольника.
• 274. Из некоторого пункта вышли одновременно два отряда.
Один направился на север, а другой — на восток. Спустя 4 ч
расстояние между отрядами было равно 24 км, причем первый
отряд прошел на 4,8 км больше, чем второй. С какой скоростью
шел каждый отряд?
• 275. От вершины прямого угла по его сторонам начинают
одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между
ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое
тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же рас-
стояние, какое второе прошло за 8 с?
276. На каждой из сторон прямоугольника построен квад-
рат. Сумма площадей квадратов равна 122 см2. Найдите сто-
роны прямоугольника, если известно, что его площадь равна
30 см2.
277. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2,
а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?
ф 278. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см.
Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза уве-
личится на 2 см. Найдите катеты треугольника.
279. Два экскаватора, работая одновременно, выполняют
некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экска-
ватор, работая отдельно, может выполнить этот объем работ
на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каж-
дому экскаватору в отдельности для выполнения того же объе-
ма земляных работ?
280. Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с
участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же
работе двух комбайнеров они закончат уборку урожая за
35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, что-
бы одному убрать урожай?
281. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать
некоторый участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За
сколько часов может заасфальтировать участок каждая бри-
73
гада, если известно, что за 24 ч совместной работы они заас-
фальтировали 5 таких участков?
282. Рационализаторы цеха разработали и внедрили в про-
изводство усовершенствованный тип детали. Определите массу
детали нового и старого типов, если известно, что деталь
нового типа на 0,2 кг легче детали старого типа, причем из
22 кг металла стали делать деталей нового типа на две больше,
чем делали деталей старого типа из 24 кг металла.
283. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно
40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пеше-
хода. Через 4 ч им осталось пройти до встречи 4 км. Если бы из
пункта А пешеход вышел на 1 ч раньше, то встреча произошла
бы на середине пути. С какой скоростью шел каждый пешеход?
284. Из пункта М. в пункт 2V, расстояние между которыми
равно 18 км, вышли одновременно два туриста. Один из них
прибыл в пункт N на 54 мин позже, чем другой. Найдите ско-
рость каждого туриста, если известно, что скорость одного из
них на 1 км/ч меньше, чем скорость другого.
285. Из населенных пунктов М и N, удаленных друг от
друга на 50 км, выехали одновременно два мотоциклиста и
встретились через 30 мин. Найдите скорость каждого мото-
циклиста, если известно, что один из них прибыл в М на 25 мин
раньше, чем другой в N.
Упражнения для повторения
286. Решите систему уравнений:
а) ( 3x + j/ + 4 = 0, б) ( у + 3х = 2,
I х2 — г/2 = 2; I х2 —ху = 3,36.
287. Не выполняя построения, найдите координаты точек
пересечения:
а) параболы г/=х2 —Зх + З и прямой 2х—-у —1=0;
б) параболы # = 2х2 —х-f-l и прямой х = 1,5;
в) окружности х2 + г/2 = 100 и прямой x + j/ = 14.
288. Решите неравенство:
а) х2 —6х<0; б) 8х + х2>0; в) х2<4; г) х2>6.
Контрольные вопросы
1. Объясните, в чем состоит графический способ решения
системы уравнений с двумя переменными.
2. Покажите на примере, как, используя способ подстанов-
ки, можно решить систему двух уравнений с двумя перемен-
ными, одно из которых первой степени, а другое — второй.
74
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
К параграфу 5
289. Решите уравнение:
а) х5 —х3 = 0; б) х6 = 4х4; в) 0,5х3 = 32х; г) 0,2х4 = 4х2.
290. Найдите корни уравнения:
а) (а-2)(а + 2)(а2 + 4) = 25а2-16;
б) (х—1)(х + 1)(х2 + 1) = 6х2 —1.
291. Решите уравнение:
а) х3 —х2 —4 (х —1)2 = 0; в) 5х3-19х2-38х + 40 = 0;
б) 2y3 + 2i/2 —(i/ + l)2 = 0; г) 6х3 —31х2 —31x4-6 = 0.
292. Решите уравнение х3 = х двумя способами: графиче-
ским и аналитическим.
293* . С помощью графиков выясните, сколько решений
может иметь уравнение х3 + ах + Ь = 0 при различных значе-
ниях а и Ь.
294* . Решите графически уравнение х3 — 4х 4-1 = 0. С по-
мощью вычислений уточните до 0,01 найденные значения кор-
ней.
295. Решите уравнение, используя введение новой перемен-
ной:
а) (х24-6х)2 — 5 (х24-6х) = 24;
б) (х2— 2х —5)2 — 2(х2-2х-5) = 3;
в) (х24~Зх — 25)2 — 2(х24-Зх~25)=-7;
г) (г/ + 2)4-(у + 2)2 = 12;
д) (х2 + 2х) (х2 + 2х + 2) = 3;
е) (х2 — х —16) (х2 — х+2) = 88;
ж) (2х2 + 7х —8) (2х2 +7х —3) —6 = 0.
296*. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обрат-
ных дробей через t, а другую через -у-:
а\ *2 +1 [ х —2 — ’ б) *2 + 2 ?£z^-=2 —
' х + х2 + 1 —2 2 ’ °' Зх—2 х2 + 2 3
297. Найдите сумму корней биквадратного уравнения:
а) х4 — 9х2 + 18 = 0; в) 4х4 —12х2+1 = 0;
б) х44-Зх2-10 = 0; г) 12г/4 —г/2 —1 = 0.
298*. Является ли:
а) число корнем биквадратного уравнения х4 —6х2 +
+ 3=0;
75
б) число д/б—-\/2 корнем биквадратного уравнения х4 — 10х2 +
+ 23 = 0?
299*. При каких значениях с не имеет корней уравнение:
а) х4 —12х2 + с=0; б) х4 + сх2 + 1ОО=О?
300*. При каких значениях k уравнение х4 — 13x2 + fe=O
имеет: а) четыре корня; б) два корня?
301*. Разложите на множители трехчлен:
а) х4- 20х2 + 64; г) х4-Зх2-4;
б) х4 —17х2 + 16; д) 9х4-10х2 + 1;
в) х4 —5х2 —36; е) 4х4 —17х2 + 4.
К параграфу 6
302. Решите графически систему уравнений:
а) Г у + х + х2=0,
1х — у = 10;
б) { (х —2)2 + у2 = 9,
I у=х2— 4х + 4;
в) / х2 + у2 = 25,
I у = 2х2 —14;
е) { у — —х2 + 4,
I У = 1x1.
303*. Изобразив схематически графики уравнений, опреде-
лите, имеет ли решения система уравнений и сколько:
а) ( х2 —у + 11=0, в) ( у=|х|,
Ь+Х=4; =
б) { (х + 3)2+(у + 4)2 = 1,
I (х-2)2+(у-1)2 = 4;
304*. Сколько решений может иметь система уравнений
Х2 + у2 = Г2,
у= —х2 + 4?
305*. При каких значениях т система уравнений
| х2 + у2 = 5,
\ х — у = т
имеет: а) одно решение; б) два решения?
306. Решите систему уравнений:
a) f х + 3у=—1, в) f 2х + у —11 = 0,
lx2 + 2xy + y=3; I 2х-|-5у —у2 —6 = 0;
б) | 2х —у = 1, г) ( 2х2 —Зу2 —5х —2у = 26,
\ху — у2 + 3х=— 1; 1х —у = 4;
76
д) I 4х2 — 9i/2 + х — 40у = 19, е) Г Зх2 +г/2 + 8х +13г/ = 5,
{2х — 3у = 5; I х — у + 2 = 0.
307. Найдите все решения системы уравнений:
a) f х —z/ = 4, в) ( 2х — у = 5,
1(х — 1)(у + 1)=2ху + 3; 1(х + 1)(г/ + 4)=2ху — 1;
б) f г/ — х=1, г)(х + у = 1,
t(2y + l)(x —1)=ху + 1; I (х —1)(г/ + 5) = г/2 —12.
308. Решите систему уравнений:
а) J х2 + г/2 = 40, б) ( х2 + 2 г/2 = 228,
\ху = -12; 1 Зх2 —2г/2 = 172.
309. Решите систему уравнений:
а) ( х24-3х — 4г/= 20, б) Г г/2 + Зх — у = 1,
Iх2 — 2х + у= —5; I г/2-|-6х — 2г/= 1.
310. Решите систему уравнений:
а) f х + у+ху = 5, б) | х+ху+у = 10,
\ху + х — у = 13; I ху — 2х — 2у = 2.
311*. Решите систему уравнений:
а) { (х + г/)(х—г/)=0, в) ( х2 + г/2 = 25,
(2х —г/ = 1; I (х —3)(г/ —5)=0;
б) ( х2 + г/2=100, г) | х2— г/2=50,
1(х-7г/)(х + 7г/)=0; 1х(г/ + 1)=0.
312. Решите систему уравнений:
. ( 1 , 1 _ 1
a)J т+у—Г’
v 2х — у = 5;
б) ( 2—
< х у 20
\ х + 2г/ = 14;
х + у = 14,
—+-£-=2 —;
у ~ х 12
X—г/ = 2,
х___у _ 5
у х 6
313*. Имеет ли решения система уравнений
Зх —4г/= —2,
3x + i/2 = 10,
х2 — у2 — х + у = 100?
314*. Имеют ли общие точки графики уравнений:
х+у = 7; 2х — у = 2; х2 + ху — у2 — у = 1?
77
315*. Решите систему уравнений:
а) { x2 + y2 + x + y = lS, в) { (х + у)2 — 2(х + у) = 15,
\х2 — у2 + х — у = 6; I х + ху + у = 11;
б) { х2у2 + ху = 72, г) { (х + у)2 — 4(х + у)==45,
I х + у = 6; I (х —у)2 —2 (х — у)=3.
316*. Если умножить квадратный трехчлен ах2 —2х + Ь
на квадратный трехчлен х2 + ах —1, то получится многочлен
четвертой степени, в котором коэффициенты при х2 и х соот-
ветственно равны 8 и —2. Найдите а и &.
317. Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их
разности. Найдите эти числа, если известно, что разность их
квадратов равна 180.
318. Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы.
Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то
получится 100. Найдите эти числа.
319. Разность квадратов двух чисел равна 100. Если из
утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то
получится 30. Найдите эти числа.
320. Найдите двузначное число, которое в 4 раза боль-
ше суммы его цифр и в 2 раза больше произведения его
цифр.
321. Если числитель обыкновенной дроби возвести в квад-
рат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, рав-
ная 2. Если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель
увеличить на 1, то получится дробь, равная Найдите эту
дробь.
322. Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а
знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная
. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель
увеличить на 6, то получится дробь, равная Найдите эту
дробь.
323. Диагональ прямоугольника равна 15 см. Если одну из
его сторон уменьшить на 6 см, а другую уменьшить на 8 см, то
периметр уменьшится в 3 раза. Найдите стороны прямоуголь-
ника.
324*. Бассейн наполняется через первую трубу на 5 ч бы-
стрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если
открыть сначала одну первую трубу на 5 ч, а затем одну вто-
рую на 7,5 ч. За сколько часов наполнится бассейн при сов-
местной работе обеих труб?
325. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу
и через 2 ч, не закрывая ее, открыли вторую. Через 4 ч совмест-
ной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба
могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна
78
первая. За сколько часов можно наполнить бассейн через
каждую трубу?
326. Из двух городов, расстояние между которыми равно
270 км, одновременно навстречу друг другу выходят два поезда
и встречаются через 3 ч. На весь путь один из поездов тратит
на 1 ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость каждого
поезда.
327*. Из пунктов М и N выехали одновременно навстречу
друг другу два автомобиля. Один из них пришел в N через
1 ч 15 мин после встречи, а другой — в М через 48 мин после
встречи. Расстояние между пунктамиMhNравно 90 км. Найди-
те скорости автомобилей.
328*. Двое туристов идут навстречу друг другу из пунктов
А и В. Первый вышел из А на 6 ч позже, чем второй из В, и при
встрече оказалось, что он прошел на 12 км меньше второго.
Продолжая движение с той же скоростью, первый пришел в
В через 8 ч, а второй — в А через 9 ч после встречи. Найдите
скорость каждого туриста.
Глава III.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИИ
§ 7. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
§ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
§ 7. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
15. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Будем выписывать в порядке возрастания положительные
четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6,
четвертое 8 и т. д. Получим последовательность
2; 4; 6; 8; ... .
Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности
будет число 10, на десятом — число 20, на сотом — число 200.
Вообще для любого натурального числа п можно указать соот-
ветствующее ему положительное четное число; оно равно 2п.
Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписы-
вать в порядке убывания правильные дроби с числителем, рав-
ным 1:
1 . 1 . 1 . 1 . 1 .
2 ’ 3 ’ 4 ’ 5 ’ 6 ’ ’
Для любого натурального числа п мы можем указать соот-
ветствующую ему дробь; она равна f • Так, на шестом
- 1 - 1
месте должна стоять дробь —, на тридцатом — дробь — , на
7 о!
ТЫСЯЧНОМ — дробь —.
Числа, образующие последовательность, называют соответ-
ственно первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. членами
последовательности. Члены последовательности обычно обозна-
чают буквами с индексами, указывающими порядковый номер
члена. Например, ai, аг, а3, а4 и т. д. (читают: «а первое,
80
а второе, а третье, а четвертое» и т. д.). Вообще член последова-
тельности с номером л, или, как говорят, п-й член последова-
тельности, обозначают ап. Саму последовательность будем
обозначать так: (ап).
Заметим, что последовательность может содержать конеч-
ное число членов. В таком случае ее называют конечной. На-
пример, конечной является последовательность двузначных
чисел:
10; 11; 12; 13; ...; 98; 99.
Чтобы задать последовательность, нужно указать способ,
позволяющий найти член последовательности с любым номе-
ром.
Часто последовательность задают с помощью формулы п-го
члена последовательности. Например, последовательность поло-
жительных четных чисел можно задать формулой ап = 2п,
последовательность правильных дробей с числителем, рав-
ным 1, — формулой . Приведем другие примеры.
Пример 1. Пусть последовательность задана формулой
у„ = п2 —Зп. Подставляя вместо п натуральные числа 1, 2, 3,
4, 5 и т. д., получаем:
У1 = — 2, у2=—2, у3 = 0, у4 = 4, у5 = 10, ... .
Рассматриваемая последовательность начинается так:
-2; -2; 0; 4; 10; ... .
Пример 2. Пусть последовательность задана формулой
хп = (— 1)" • 10. Все члены этой последовательности с нечетными
номерами равны —10, а с четными номерами равны 10:
Xi = —10, х2 = 10, Хз= —10, х4 = 10, ... .
Получаем последовательность
— 10; 10; -10; 10; -10; ... .
Пример 3. Формулой сп = 5 задается последовательность,
все члены которой равны 5:
5; 5; 5; 5; 5; ... .
Рассмотрим еще один способ задания последовательности.
Пример 4. Пусть первый член последовательности (ап)
равен 3, а каждый следующий член равен квадрату преды-
дущего, т. е.
а\ — Ъ, ап +1==:ип.
С помощью формулы an+i=a2 можно по известному пер-
вому члену последовательности вычислить второй, затем по
81
известному второму найти третий, по известному третьему —
четвертый и т. д. Получим последовательность
3; 9; 81; 6561; ... .
Формулу, выражающую любой член последовательности,
начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько),
называют рекуррентной (от латинского слова recurro — возвра-
щаться).
329. Выпишите несколько первых членов последователь-
ности натуральных чисел, кратных 3, взятых в порядке воз-
растания. Укажите ее первый, пятый, десятый, сотый и п-й
члены.
330. Известно, что (сп) — последовательность, все члены
которой с нечетными номерами равны — 1, а с четными равны 0.
Выпишите первые восемь членов этой последовательности.
Найдите Сю, с25, с2оо> с25з, с2^, с2^+1 (fe — произвольное натураль-
ное число).
331. Пусть (ал) — последовательность квадратов натураль-
ных чисел, взятых в порядке возрастания. Выпишите первые
десять ее членов. Найдите а2о, 04о>
$32. Какой член последовательности <Х|, а2, а3, ... :
а) следует за членом <199, я2оо, пл, dn_\9 dn+\, п2л;
б) предшествует члену а7ь «юо, ап-2, Яп+з, а3л?
333. Перечислите члены последовательности (хл), которые
расположены между:
а) х31 и х35; б) хп и хл+6; в) хл_4 и хл; г) хл_2 и хл + 2.
334. Найдите первые шесть членов последовательности, за-
данной формулой n-го члена:
а) хл = 2п —1; в) хп==-^~^\ д) хл = 2л-3;
б) хл==п2 + 1; г) xrt = ( —l)n + 1-2; е) хл = 0,5-4".
335. Последовательность (&л) задана формулой Ьп = п2— п.
Найдите: а) Ь5; б) Ь10; в) &50.
336. Вычислите второй, третий, четвертый и пятый члены
последовательности (Ьл), если ^известно, что:
а) первый член равен 10, а каждый следующий на 3 больше
предыдущего, т. е. bi = 10 и &л + 1 = Ьл + 3;
б) первый член равен 40, а каждый следующий равен преды-
дущему, деленному на 2, т. е. bi = 40 и Ъп+\=^.
337. Выпишите первые пять членов последовательности (ал),
если:
а) о 1 —-1, dn -}-1 — dn -j— 1; в) d 1 — 16, du _|_ i — ““ 0,5дл;
б) 01 = 1000, ал+1=0,1ап; г) ai=3, dn+\=dnl.
82
338. Выпишите первые четыре члена последовательности
(6„), если: ' • , "
a) &i = 5, &rt+t = &n + 5; б) &i = 5, bn+t = bn-5.
Г' г'
Упражнения для повторения
339. Найдите пару положительных чисел (х; у)9 удовлет-
воряющих уравнению х2 + у*=45, если известно, что у вдвое
больше х.
340. Решите уравнение:
а) 4х4 + 4х2 —15 = 0; б) 2х4 —х2~ 36 = 0.
341. Упростите выражение:
а) -|~а3&“6-За”2&5; в) 4а~6&10-(2а-2Ь4)-2;
б) За-3&*(4аЬ)-‘; г) У—.
З-^-а-’ь3
О
342. Представьте выражение в виде степени с основанием
3 и найдите его значение:
а) 81 -З"6; в) 9~5|-|-) ;
б) (~3^г; Г) ( —з-3)2-273.
— у
16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.
ФОРМУЛА 71-ГО ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Рассмотрим последовательность натуральных чисел, кото-
рые при делении на 4 дают в остатке 1:
1; 5; 9; 13; 17; 21; ... .
Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавле-
нием к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность
является примером арифметической прогрессии.
Определение. Арифметической прогрессией называет-
ся последовательность, каждый член которой, начиная со вто-
рого, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же
числом.
Иначе говоря, последовательность (ап) арифметическая
прогрессия, если для любого натурального п выполняется
условие
ап+1 -^-d9
где d — некоторое число.
83
Из определения арифметической прогрессии следует, что
разность между любым ее членом, начиная со второго, и пре-
дыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном п
верно равенство
&п + 1 О'п == d.
Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно ука-
зать ее первый член и разность.
Приведем примеры.
Если aj=l и d = l, то получим арифметическую прогрес-
сию
1; 2; 3; 4; 5; ... ,
члены которой — последовательные натуральные числа.
Если ai = l и d = 2, то получим арифметическую прогрес-
сию
1; 3; 5; 7; 9; ... ,
которая является последовательностью положительных нечет-
ных чисел.
Если ai = —2 и d=—2, то получим арифметическую про-
грессию
— 2; — 4; -6; —8; -10; ... ,
которая является последовательностью отрицательных четных
чисел.
Если 01=7 и d = 0, то имеем арифметическую прогрессию
7; 7; 7; 7; 7; ... ,
все члены которой равны между собой.
Зная первый член и разность арифметической прогрессии,
можно найти любой ее член, вычисляя последовательно вто-
рой, третий, четвертый и т. д. члены. Однако для нахождения
члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен.
Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычисли-
тельной работы.
По определению арифметической прогрессии
02 = 0i 4~ d,
0з=02 d=(014- d) + d = 01 -f- 2d,
04=03 -f- d=(014” 2d) 4~ d=014” 3d,
05=04 4“ d=(014" 3d) 4" d=0i 4“ 4d.
Точно так же находим, что 06=0, 4~5d, и вообще, чтобы найти
0Л, нужно к 01 прибавить (п — 1) d, т. е.
0n = ai +d (п — 1).
84
Мы получили формулу n-го члена арифметическое прогрес-
сии.
Приведем примеры решения задач с использованием этой
формулы.
Пример 1. Последовательность (сп) — арифметическая
прогрессия, в которой С\ =0,62 и d = 0,24. Найдем пятидесятый
член этой прогрессии.
Имеем:
с50 = 0,62 + 0,24 • (50 -1) = 12,38.
Пример 2. Выясним, является ли число —122 членом
арифметической прогрессии (хл)
23; 17,2; 11,4; 5,6; ... .
В данной арифметической прогрессии Xi = 23 и d = X2 —
_ Xi =17,2 — 23= —5,8. Запишем формулу n-го члена прогрес-
сии:
хл = 23 —5,8 (n —1), т. е.
хл = 28,8 — 5,8п.
Число —122 является членом арифметической прогрес-
сии (хл), если существует такое натуральное число п, при кото-
ром значение выражения 28,8 —5,8п равно —122. Решим
уравнение 28,8 —5,8п= —122:
5,8п = 150,8,
п = 26.
Значит, число —122 является 26-м членом данной арифме-
тической прогрессии.
Формулу n-го члена арифметической прогрессии ал = «1 +
+ d(n —1) можно записать иначе:
an = dn + (ai — d).
Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может
быть задана формулой вида
an — kn-\-b,
где k и Ь — некоторые числа.
Верно и обратное: последовательность (ап), заданная фор-
мулой вида
an = kn-{-b,
где k и Ъ — некоторые числа, является арифметической про-
грессией.
Действительно, найдем разность (п + 1)-го и n-го членов по-
следовательности (ал):
а„+1 — an — k (п + 1)4*Ь — (kn+b)=kn+k+b— kn — b — k.-
86
Значит, при любом п справедливо равенство ал+1 =ал +
и по определению последовательность (ал) является арифмети-
ческой прогрессией, причем разность этой прогрессии равна k.
• 343. Выпишите первые пять членов арифметической про-
грессии (ал), если:
a) ai = 10, d = 4; б) а1 = 1,7, d= — 0,2; в) а\ = — 3,5, d = 0,6.
• 344. Последовательность (Ъп} — арифметическая прогрес-
сия, первый член которой равен bi, а разность равна d. Выра-
зите через Ь\ и d: ; -
а) Ьг, б) &2б; В) b23i; Г) Ьк; д) b*+s; е) Ь2к. ff''
• 345. Последовательность (сл) — арифметическая прогрес-
сия. Найдите:
а) с5, если Ci = 20 и d = 3; б) С21, если ci = 5,8 и d= —1,5.
• 346. Последовательность (ал) — арифметическая прогрес-
сия. Найдите:
а) ап, если ai = —3 и d = 0,7; б) а26, если си = 18 и d=—0,6.
• 347. Найдите десятый и n-й члены арифметической прогрес-
сии:
а) 4-; -1; •••; б) 2,3; 1; ... .
о
• 348. Найдите 23-й и тг-й члены арифметической прогрес-
сии:
а) -8; —6,5; ...; б) 11; 7; ... .
349. Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за
каждую следующую секунду — на 3 м больше, чем за предыду-
щую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?
350. Поезд, отойдя от станции, равномерно увеличивал
скорость на 50 м в минуту. Какова была скорость поезда в конце
двадцатой минуты? - 0
351. На стороне ОА угла АОВ от его вершины отложены рав-
ные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые
(рис. 47). Длина отрезка A1B1 равна 1,5 см. Найдите длину
отрезка А5В5; АюВю.
А 9 352. Найдите первый член
А арифметической прогрессии (хл),
если:
\ а) х3о = 128, d = 4;
\ \ \ б) х45=-208, d=-7.
\ \ \ \ • 353. Найдите разность ариф-
1 d2 d3 а метической прогрессии (ул), в ко-
Рис. 47 торой:
86
a) z/i=10, z/5 — 22; 6) y\ — 28, i/15— 21.
• 354. Последовательность (сл) — арифметическая прогрес-
сия. Найдите:
a) ci, если с36 = 26 и d = 0,7; б) d, если Ci = —10 и с15 = 1,2.
355. Между числами 5 и 1 вставьте семь таких чисел, чтобы
они вместе с данными числами образовали арифметическую
прогрессию.
356. Между числами 2,5 и 4 вставьте четыре таких числа,
которые вместе с данными числами образуют арифметическую
прогрессию.
357. Найдите первый член и разность арифметической
прогрессии (сп), если: а) с5 = 27, с27 = 60; б) с20 = О, с66=—92.
358. Найдите первый член и разность арифметической про-
грессии (хп), если х16== — 7 и х26 = 55.
359. Содержит ли арифметическая прогрессия 2; 9; ...
число: а) 156; б) 295?
360. Дана арифметическая прогрессия (ал), у которой а,\ = 32
и d=—1,5. Является ли членом этой прогрессии число:
а) 0; б) -28?
361. В арифметической прогрессии (хп) первый член равен
8,7, а разность равна —0,3. Для каких членов прогрессии
выполняется условие:
а) хл>0; б) хп<0?
362. Найдите номера отрицательных членов арифметиче-
ской прогрессии —20,3; —18,7; ... . Чему равен первый поло-
жительный член этой прогрессии?
363. Является ли арифметической прогрессией последова-
тельность (а„), заданная формулой:
а) ал = Зп + 1; в) ап = п~}-4; д) ап= — 0,5п4-1;
б) ап — п2 — 5; г) е) аЛ = 6п?
Если последовательность — арифметическая прогрессия,
найдите ее первый член и разность.
364. Докажите, что последовательность сумм внутренних
углов треугольника, выпуклого четырехугольника, выпуклого
пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией.
Чему равна ее разность?
Упражнения для повторения
365. Решите систему уравнений
( Зх + у = 2,
1 х2 — у2 = —12.
87
366. Решите уравнение:
а) х3 + 4х2 — 32х = 0; б) х3 —10х24-4х —40 = 0.
367. Решите неравенство:
а) (2х — 1)(х + 8)>0; б) (33 —х) (16 + 2х)<0.
368. Найдите значение выражения:
а) 125"'-252; в) —;
О
б) 0,0001 -(Ю3)2-(ОД)"2;
/ -I \ -3
17. ФОРМУЛА СУММЫ п ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
АРИФМЕТИЧЕСКОЙ прогрессии
Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных
чисел. Покажем, как можно решить эту задачу, не выполняя
непосредственного сложения чисел.
Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды,
расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания,
а во втором — в порядке убывания:
S= 1+ 2+ 3 + ... + 98 + 99 +100,
S==100 + 99 + 98 + ...+ 3+ 2+ 1.
Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, дает
в сумме 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив
равенства почленно, получим:
2S = 101100, >
g=iorioo = 5O5O
л
Итак,
1+ 2 +3 + ... +99 +100 = 5050.
С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму
первых членов любой арифметической прогрессии.
Обозначим сумму п первых членов арифметической прогрес-
сии (ап) через Sn и запишем эту сумму дважды, расположив
в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров,
а во втором случае в порядке убывания:
£л —«1+02 + #з + ^4 +... + ол_ 1 +#n, (1)
Sn =dn + <Xn— 1 +#Л — 2 + on — 3 + ... + 02 +01. (2)
Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных
друг под другом, равна а\+ап. Действительно,
88
&2 4" (in — i = (л i + d) + (ап — d) = а । -|- аП9
<Хз + Яп — 2 == (^2 + d) + (ап _ 1 —d) = a2 + «n-1 — ai +ал,
Я4 4“ Un — 3 = (#3 “4“ d) 4~ ((Ln — 2 — d) = (L3 + (Ln — 2 = U | 4" an
И T. Д.
Число таких пар равно п. Поэтому, сложив почленно ра-
венства (1) и (2), получим:
2S„ = (ai +ап)-п.
Разделив обе части последнего равенства на 2, получим
формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии:
Q _(ai-j-an)n
On— 2 4 (!)
Приведем примеры на вычисление суммы членов арифме-
тической прогрессии.
Пример 1. Найдем сумму первых тридцати членов ариф-
метической прогрессии 4; 5,5; ... .
В данной арифметической прогрессии ai = 4, d=l,5.
Тридцатый член прогрессии найдем по формуле n-го члена:
а30 = 4 + 1,5-29 = 47,5.
Теперь вычислим сумму первых тридцати членов:
S30== (1+4^30 = 772,5.
Заметим, что если заданы первый член и разность арифме-
тической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы,
представленной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо
ап выражение ai+d(n —1), получим:
о (ai+aiH-d(n —1))п
Ь,г 2 ’
т. е.
q ________________________2ai4-d(n — 1) /тт\
On— 2
Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться
формулой (II), то вычисления будут выглядеть так:
s3o 2.--4+1г!.--22.30 = 772,5.
Пример 2. Найдем сумму первых сорока членов последо-
вательности (а„), заданной формулой ап — 5п — 4.
Последовательность (а«) является арифметической прогрес-
сией, так как она задана формулой вида an = kn-\-b, где fe —5
и & = — 4.
89
Найдем первый и сороковой члены этой арифметической
прогрессии: ои = 5-1—4 = 1, а40 = 5-40 — 4 = 196.
Теперь по формуле (I) вычислим S40:
84,-|1 + 1!б)<1)-ЗМ0.
Пример 3. Найдем сумму 1 + 2 + 3 +... + п, слагаемыми
в которой являются все натуральные числа от 1 до п.
Применив формулу <Sn=—к арифметической про-
грессии 1; 2; 3; ..., получим, что
1 + 2 + 3 + ...-|-п=Ц^.
А
Пример 4. Найдем сумму всех натуральных чисел, крат-
ных шести и не превосходящих 250.
Натуральные числа, кратные шести, образуют арифметиче-
скую прогрессию, которую можно задать формулой ол = 6п.
Чтобы выяснить, сколько членов этой прогрессии не превосхо-
2
дит 250, решим неравенство 6п^250. Получим п^41—.
о
Значит, число членов прогрессии, сумму которых надо найти,
равно 41.
Имеем:
ai=6, o4i = 6 • 41 = 246,
g4_(6 + 246).41_5ie6
А
• 369. Найдите сумму шестидесяти первых членов арифме-
тической прогрессии (ап), если:
а) «1=3, о60 = 57; б) Oi=—10,5, о60 = 51,5.
• 370. Найдите сумму восьми первых членов арифметической
прогрессии:
а) —23; -20; ...; б) 14,2; 9,6; ... .
КАРЛ ГАУСС (1777—1855) — немецкий мате-
матик, астроном, физик, геодезист. Выдающиеся
математические способности обнаружил в раннем
детстве. Его многочисленные исследования в облас-
ти алгебры, теории чисел, геометрии и математи-
ческого анализа оказали серьезное влияние на раз-
витие теоретической и прикладной математики,
физики, астрономии, геодезии.
• 371. Вычислите сумму девяти первых членов арифметиче-
ской прогрессии (Ьл), если:
а) ы = —17, d = 6; б) &i=6,4, d = 0,8.
• 372. Найдите сумму пятидесяти, ста, п первых членов
последовательности (хЛ), если:
а) Хп = 4п + 2; б) хп — 2п-{-3.
• 373. Арифметическая прогрессия задана формулой ап =
= Зп + 2. Найдите сумму двадцати первых ее членов.
374. Найдите:
а) сумму 2 + 4 + 6 + ... + 2п, слагаемыми которой являются все
четные натуральные числа от 2 до 2п;
б) сумму 1 + 3 + 5 +... + (2п — 1), слагаемыми которой являются
все нечетные натуральные числа от 1 до 2п— 1.
375. Найдите сумму:
а) всех натуральных чисел, не превосходящих 150;
б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно;
в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300;
г) всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.
376. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с
пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член
равен 10 и разность равна 3.
377. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с
шестого по двадцать пятый включительно, если первый член
равен 21 и разность равна —0,5.
378. Найдите сумму двадцати первых членов арифметиче-
ской прогрессии (crt), если с7 = 18,5 и с17=—26,5.
379. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифмети-
ческой прогрессии (ЬЛ), если &i = 4,2 и Ь10 = 15,9.
380. При свободном падении тело проходит в первую секун-
ду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите
глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна
через 5 с после начала падения.
381. Какое расстояние пройдет свободно падающее тело:
а) за седьмую секунду после начала падения;
б) за семь секунд после начала падения?
ДИОФАНТ (III в.) — древнегреческий матема-
тик из Александрии. В его «Арифметике» изло-
жены начала алгебры, решен ряд задач, сводящих-
ся к неопределенным уравнениям различных сте-
пеней. Теория диофантовых уравнений и теория
диофантовых приближений — так названы два
больших раздела современной теории чисел. Его
труды оказали большое влияние на развитие ма-
тематики.
91
Рис. 48
382. Шары расположены в форме
треугольника так, что в первом ряду
1 шар, во втором — 2, в третьем — 3
и т. д. (рис. 48). Во сколько рядов раз-
мещены шары, если их число равно
120? Сколько потребуется шаров, что-
бы составить треугольник из 30 рядов?
Упражнения для повторения
383. В арифметической прогрессии а7 = 8 и ан = 12,8.
Найдите а\ и d.
384. Является ли членом арифметической прогрессии 20,7;
18,3; ... число: а) —1,3; б) —3,3?
385. Решите систему уравнений:
a) f 9х2 + 9у2 = 13, б) { х24-г/2 = 29,
I Зху = 2; I у2 — 4х2 = 9.
386. Представьте выражение в виде степени с основанием 5:
а) 5"-25; б) 125-5"'3; в) 625-25".
Контрольные вопросы
1. Приведите пример последовательности, заданной:
а) формулой n-го члена; б) рекуррентной формулой. Найдите
пять первых членов этой последовательности.
2. Сформулируйте определение арифметической прогрес-
сии. Какое число называют разностью арифметической про-
грессии?
3. Запишите формулы n-го члена и суммы п первых членов
арифметической прогрессии.
§ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
18. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.
ФОРМУЛА И-ГО ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Рассмотрим последовательность, членами которой являются
степени числа 2 с натуральными показателями:
2; 22; 23; 24; 25; 26; ... .
Каждый член этой последовательности, начиная со второго,
получается умножением предыдущего члена на 2. Эта после-
довательность является примером геометрической прогрессии.
Определение. Геометрической прогрессией называется
последовательность отличных от нуля чисел, каждый член ко-
92
торой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умно-
женному на одно и то же число.
Иначе говоря, последовательность (Ьп) — геометрическая
прогрессия, если для любого натурального п выполняются
условия
Ьп О И Ьп -|- 1 == Ъп • Q,
где q — некоторое число. Обозначим, например, через (Ьп)
последовательность натуральных степеней числа 2. В этом
случае для любого натурального п верно равенство Ьп+1 = Ьп • 2;
здесь д = 2.
Из определения геометрической прогрессии следует, что от-
ношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему
члену равно д, т. е. при любом натуральном п верно равенство
Число q называют знаменателем геометрической прогрес-
сии.
Очевидно, что знаменатель геометрической прогрессии
отличен от нуля.
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно ука-
зать ее первый член и знаменатель.
Приведем примеры.
Если b\ — 1 и q — 0,1, то получим геометрическую прогрес-
сию
1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ... .
Условиями bi — — 5 и q = 2 задается геометрическая про-
грессия
-5; -10; -20; —40; -80; ... .
Если Ь\= 2 и q——3, то имеем прогрессию
2; -6; 18; -54; 162; ... .
Если £>i=8, д = 1, то получим геометрическую прогрессию
8; 8; 8; 8; 8; ... .
Зная первый член й знаменатель геометрической прогрессии,
можно найти последовательно второй, третий и вообще любой
ее член:
b2=big,
Ьз = М = (М) Q =
&4 = b3g = (&1g2) q = biq39
&5 = &4Q=(&1g3) g =
93
Точно так же находим, что дб==Ь1д5, 67 = 6ig6 и т. д. Вообще,
чтобы найти Ьл, мы должны Ь1 умножить на qn~[, т. е.
bn=^biqn-1.
Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии.
Приведем примеры решения задач с использованием этой
формулы.
Пример 1. В геометрической прогрессии Ь\ = 12,8 и q =
=—. Найдем Ь7.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии
h —19 « / J_V —128 1 2?____I___1
07 1^,0-^ 10 * 46 10-212 2s-10 320 ’
Пример 2. Найдем восьмой член геометрической про-
грессии (&л), если Ь1==162 и 63 = 18.
Зная первый и третий члены геометрической прогрессии,
можно найти ее знаменатель. Так как Ьз = &1<Д то
2=: __ 18 __ 1
q bi 162 9 *
Решив уравнение
«2=-,
4 9 ’
найдем, что
д=-|-или q=—
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяю-
щие условию задачи.
Если q=-^-, то
Ь8 = Ь1« =162-^—J =-р-=—.
Если q = —то
О
Ь. = Ь„’ = 1в2.(-^)'=-^=-А.
Задача имеет два решения:
&8==27 или &8== 27 ’
Пример 3. После каждого движения поршня разрежаю-
щего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем
94
воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда, после
шести движений поршня, если первоначально давление было
760 мм рт. ст.
Так как после каждого движения поршня из сосуда удаля-
ется 20% имевшегося воздуха, то остается 80% воздуха. Чтобы
узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения
поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня
умножить на 0,8.
Мы имеем геометрическую прогрессию, первый член которой
равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее
давление воздуха в сосуде (в мм рт. ст.) после шести движений
поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно
равно
760 (0,8)3 * * 6.
Произведя вычисления, получим:
760 -(0,8)б« 200 (мм рт. ст.).
• 387. Найдите первые пять членов геометрической прогрес-
сии (Ьп), если:
a) bi =6, g = 2; в) bi = —24, g=—1,5;
б) bl = -16, Q=j~; г) bi =0,4, д=л/2.
• 388. Последовательность (сп) — геометрическая прогрессия,
первый член которой равен Ci, а знаменатель равен q. Выразите
через ci и q:
а) с6; б) с20; в) <^125» г) Д) в) Czk*
• 389. Последовательность (хп) — геометрическая прогрессия.
Найдите:
а) х7, если Х| = 16, q = ~~; в) Хю, если Xi=-\/2, q=—-y/2;
б) Хе, если Х| = —-810, q=^-; г) х6, если Х\ = 125, q — 0,2.
о
• 390. Последовательность (brt) — геометрическая прогрессия.
Найдите:
3 2
а) Ь5, если Ь|=—и Q=-^-'r
б) Ь4, если bi = 1,8 и <7=^.
• 391. Найдите седьмой и n-й члены геометрической прогрес-
сии:
а) 2; —6; в) —0,125; 0,25; ...;
б) —40; —20; ...; г) —10; 10; ... .
95
В • 392. Найдите шестой и n-й чле-
А*/\г3 ны геометрической прогрессии:
а) 48; 12; ...;
. / \г 64 32 . .
А7 -------V б) “9 ’ 8
/ \ в) -0,001; -0,01; ...;
/ \ г) -100; 10; ... .
Ь С 393. В треугольнике АВС (рис.
Рис. 49 49) провели среднюю линию AiCi,
в треугольнике AiBCi также про-
вели среднюю линию А2С2, во вновь образовавшемся треуголь-
нике А2ВС2 снова провели среднюю линию А3С3 и т. д. Найди-
те площадь треугольника А9ВС9, если известно, что площадь
треугольника АВС равна 768 см2.
v 394. Найдите первый член геометрической прогрессии
(ЬД если:
а) Ь6 = 3, « = 3; б) 65 = 17^-, q = -2±
а а
395. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (сл),
если:
а) с5= — 6, е7=—54; б) с6 = 25, е8 = 9.
396. Последовательность (хп) — геометрическая прогрессия.
Найдите:
a) Xi, если х6 = 0,32, д = 0,2;
б) д, если хз=—162, х5——18.
397. Последовательность (6«) — геометрическая прогрессия.
Найдите:
а) 66, если 61 = 125, 63 = 5;
2
б) 67, если 61=— — , 63——2;
в) 61, если 64——1, 6б=—100.
398. Между числами 2 и 162 вставьте такие три числа,
которые вместе с данными числами образуют геометрическую .
прогрессию.
399. Геометрическая прогрессия (хл) состоит из четырех
членов: 2, х2, х3, Найдите Х2 и хз.
400. Найдите шестой член геометрической прогрессии (Ьп),
если известно, что 62 = 6, 64 = 24.
401. Срочный вклад, положенный в сберегательный банк,
ежегодно увеличивается на 3%. Каким станет вклад через
3 года, если вначале он был равен 800 р.?
96
402. Дан равносторонний треугольник со стороной, 8 см.
Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго
треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры
треугольников образуют геометрическую прогрессию, и най-
дите периметр шестого треугольника.
403. В равносторонний треугольник, сторона которого равна
16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого явля-
ются середины сторон первого. Во второй треугольник таким
же способом вписан третий и т. д. Докажите, что периметры
треугольников образуют геометрическую прогрессию. Найдите
периметр восьмого треугольника.
Упражнения для повторения
404. Найдите сумму пятидесяти первых членов арифмети-
ческой прогрессии, первый член которой равен —45,6, а пят-
надцатый член равен 2.
405. Упростите выражение:
а) 32п:9л-1; б) 4rt-26""2n; в) 16:41+2л-8л.
406. Найдите координаты точки, принадлежащей графику
уравнения х2 —г/2 = 30, если известно, что их сумма равна 5.
407. Решите неравенство:
а) 2х2 — 13х — 34 >0; б) 10х —4х2<0.
19. ФОРМУЛА СУММЫ П ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ прогрессии
Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель
шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пше-
ничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку
шахматной доски положить одно зерно, на вторую — в 2 раза
больше, т. е. 2 зерна, на третью — еще в 2 раза больше, т. е. 4
зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был
получить изобретатель шахмат?
Число зерен, о которых идет речь, является суммой шести-
десяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член
которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму
через S:
S = l-t-2 + 22 + 23 + ... + 262 + 263.
Умножим обе части записанного равенства на знаменатель
прогрессии, получим:
2S = 2 + 22 4- 23 + 24+... + 263 + 264.
Вычтем почленно из второго равенства первое и проведем
упрощения:
4 Заказ 624 97
2S-S = (2 + 224-... + 263 + 2&4)-(l + 2 + 22 + ... + 263),
S = 264-l.
Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зерен
больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество
пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
Выведем теперь формулу суммы п первых членов произ-
вольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же
приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.
Пусть дана геометрическая прогрессия (&л). Обозначим
сумму п первых ее членов через Sn:
Sn = bi + + Ьз + ••• 4~ ъп-14“ Ъп. (1)
Умножим обе части этого равенства на д:
Snq = biq -f- &2Q 4" Ьзд 4~**« 4“ brt- ig 4" bnq.
Учитывая, что
big = b2, b2q = b3, b3q = b4, ..., bn-iq = bn,
получим:
Snq = b2 4- b3 4" b4 4-... 4“ bn + bnq. (2)
Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем
подобные члены:
Snq — Sn = (b2 4“ &з4“ ••• 4" bn-\- bnq) — (bi 4“ Ьз4“ ••• 4“ bn-1 4“ brt) =
~bnq — bi,
Sn (q~ l)=bnq — bi.
Отсюда следует, что при g#=l
Мы получили формулу суммы п первых членов геометри-
ческой прогрессии, в которой q^l. Если д = 1, то все члены
прогрессии равны первому члену и Sn = nb\.
При решении многих задач удобно пользоваться формулой
суммы п первых членов геометрической прогрессии, записанной
в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо Ьп выражение
big"-1. Получим:
> если <1^1- (И)
Пример 1. Найдем сумму первых десяти членов геомет-
рической прогрессии (ЬД в которой bi =3 и д=~-.
Л
Так как известны первый член и знаменатель прогрессии,
то удобно воспользоваться формулой (II). Получим:
98
a J>i(g10-l)_ 2 3 4 *(( 2 ) 0 _3(1024 0 3 _ g 509
^10 9-1 _1_ _2_ Ь 512 & 512 *
2 2
Пример 2. Найдем сумму l + x + x2 + ... + */1“1, где x#=l,
слагаемые которой являются последовательными членами
геометрической прогрессии
1; х; х2; ... .
Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель равен х.
Так как хп~[ является членом этой прогрессии с номером п, то
задача состоит в нахождении суммы п первых ее членов.
Воспользуемся формулой (I):
о xn~ix — 1___х" —1
х-1 “ х-1 ‘
Таким образом, если х#=1, то
Ц-х + х2 + ... + хя-,=^-.
Умножив левую и правую части последнего равенства на х —1, получим
тождество
хп -1 =(х-1) (1 + х+х2 +... + хп -').
В частности, при п = 2 и п = 3 приходим к известным формулам
X2 -1 =(х- 1) (х+ 1),
х3 — 1=(х— 1)(х24-х4-1).
Пример 3. Найдем сумму шести первых членов геомет-
рической прогрессии (Ьп), если известно, что Ьз = 12 и Ь5 = 48.
Зная &з и &5, можно найти знаменатель прогрессии д.
Так как &5 = Ь4д = Ь3д2, то
2 Ъ* 48 А
а =—=—= 4.
4 Ьз 12
Значит,
д —2 или q = — 2.
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяю-
щие условию задачи.
Если «=-2, то Ь,=±=3 и S„=i^>=’l^=l>=-63.
Если 9 = 2, то 6i=3 и S6 = ^~^=189.
2 — 1
4*
99
• 408. Найдите сумму пяти первых членов геометрической
прогрессии, у которой:
а) &!=8, q=±-; б) &)=500, д=-|-.
Z о
• 409. Найдите сумму шести первых членов геометрической
прогрессии:
а) 3; -6; ...; в) —32; -16; ...;
б) 54; 36; ...; г) 1; -i; ... .
• 410. Вычислите сумму девяти первых членов геометричес-
кой прогрессии, если:
а) С1 = —4, д = 3; б) Ci =1, g= — 2.
411. Докажите, что последовательность (Ьп) является геомет-
рической прогрессией, и найдите сумму п первых ее членов,
если:
a) Ьп = 0,2-5л; б) Ьп = 3-2п~^ в) Ьп = 31+л.
412. Найдите сумму п первых членов геометрической про-
грессии:
а) 1; 3; З2; ...; г) 1; — х; х2; ..., где х#= —1;
б) 2; 22; 23; ...; д) 1; х2; х4; ..., где х#=±1;
В) ...; е) 1; — х3; х6; где х=/= —1.
А ъ о
413. Найдите сумму семи первых членов геометрической
прогрессии (brt), если:
а) &7 = 72,9, 9 = 1,5; б) &5=^ , 9=4-
S7 О
414. Найдите сумму пяти первых членов геометрической
прогрессии (xrt), если:
a) x5 = l-i-, д=^-; б) х4 = 121,5, 9=-3.
17 О
415. Найдите сумму шести первых членов геометрической
прогрессии, первый член которой равен 2, а пятый равен 162,
если известно, что ее члены с нечетными номерами положи-
тельны, а с четными отрицательны.
416. Найдите сумму семи первых членов геометрической
прогрессии (Ьп), в которой Ь2 = 6 и Ь4 = 54, если известно, что
все ее члены положительны.
Упражнения для повторения
417. Найдите первый член геометрической прогрессии (Ьп),
если Ь7 = 0,012 и д = 0,2. Запишите формулу n-го члена этой
прогрессии.
юо
418. Представьте в виде произведения:
а) 2л+3 — 2"; б) Зл+‘-Зл-‘; в) 25Л-5Л-1.
419. Решите неравенство:
а) 1,5х —х2^0; б) х2 + х + 6>0.
20. СУММА БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
ПРИ |д| <1
Пусть длина отрезка АВ равна 2 ед. (рис. 50). Отметим
точку Bi — середину отрезка АВ, затем точку В2 — середину
правой его половины, затем точку Вз — середину получивше-
гося справа отрезка и т. д. Длины отрезков ABi, BiB2, B2S3
и т. д. образуют бесконечную геометрическую прогрессию,
м 1
знаменатель которой равен —: t t 1 1 11
А В/ В? В3В4 В
- J_. J_. J_,
’ 2 ’ 4 ’ 8 ’ * Рис. 50
Найдем сумму п первых членов этой прогрессии:
При увеличении числа слагаемых п значение дроби 4-г
Л
приближается к нулю. Действительно,
1 1 _ 1 .
если п— Ю, ТО 2"—1 29 51 2 ’
если п=15, то ^=^=^5
если п = 20, то и т. д.
Поэтому при неограниченном увеличении п разность 2 —
становится сколь угодно близкой к числу 2 или, как говорят,
стремится к числу 2.
Таким образом, сумма п первых членов геометрической
прогрессии 1; -i-; ... при неограниченном увеличении
п стремится к числу 2. Число 2 называют суммой бесконечной
геометрической прогрессии 1; 4" 5 4“ 5 4"» ••• и пишут:
1+-г+т+т+-=2'
101
Это равенство легко истолковать геометрически: сумма длин
отрезков ABi, BiB2, В2В3, В3В4 и т. д. равна длине отрезка АВ.
Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрес-
сию
biq; biq2; М3; ...,
у которой | q | <1.
Запишем формулу суммы п первых членов прогрессии:
о =М?1=1)
Преобразуем выражение в правой части равенства:
Ьх{дп-1)^Ьхдп-Ьх^Ьх-Ьхдп = Ьх Ьх п
д — 1 д — 1 1— д 1 — д 1 — д
Значит,
Q _ &1 п
Sn~'
Можно доказать, что если то при неограниченном
увеличении п множитель qn стремится к нулю, а значит, стре-
мится к нулю и произведение Поэтому при неогра-
ниченном увеличении п сумма Sn стремится к числу --1 -.
1 — я
Число называют суммой бесконечной геометрической
прогрессии (Ьп\ у которой |д| <1.
Это записывают так:
b\ + ZbQ + bi Q2 +... = .
1 —q
Обозначив сумму прогрессии (&„) буквой S, получим фор-
мулу
Заметим, что если |д| >1, то сумма п первых членов геометрической
прогрессии при неограниченном увеличении п не стремится ни к какому
числу. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму только при
Пример 1. Найдем сумму бесконечной геометрической
прогрессии 12; —4; 4-; ... .
о
У этой прогрессии q — —, значит, условие | q | <С 1 вы-
0
102
Рис. 51
полнено. По формуле S=y-^- получим:
S=—=9.
1+Т
Пример 2. Дан квадрат, сторона кото-
рого равна 4 см. Середины его сторон явля-
ются вершинами второго квадрата, середины
сторон второго квадрата являются верши-
нами третьего квадрата и т. д. (рис. 51).
Найдем сумму площадей всех квадратов.
Из геометрических соображений ясно, что
площадь каждого следующего квадрата рав-
на половине площади предыдущего. Таким
образом, последовательность площадей квад-
ратов является геометрической прогрессией, первый член ко-
торой равен 16, а знаменатель равен Найдем сумму этой
геометрической прогрессии:
S=^-=32.
1-Г
Значит, сумма площадей всех квадратов равна 32 см2.
Из курса VIII класса нам известно, что каждое рациональ-
ное число может быть представлено в виде бесконечной деся-
тичной периодической дроби. Чтобы выразить рациональное
т
число —, где т — ирлое число, а п — натуральное, в виде
бесконечной десятичной дроби, достаточно разделить числитель
на знаменатель. Наоборот, каждая бесконечная десятичная
периодическая дробь представляет некоторое рациональное
число. Покажем на примере, как с помощью формулы суммы
бесконечной геометрической прогрессии можно представить
бесконечную десятичную периодическую дробь в виде отно-
т
шения —.
п
Пример 3. Представим бесконечную десятичную перио-
дическую дробь 0,(18) в виде обыкновенной дроби.
По аналогии с конечными десятичными дробями предста-
вим бесконечную десятичную дробь 0,(18) в виде суммы:
0,(18) = 0,18 + 0,0018 + 0,000018 +... .
Слагаемые в правой части равенства — члены геометри-
ческой прогрессии, у которой первый член равен 0,18, а зна-
менатель равен 0,01, т. е. условие |д| <1 выполнено. Найдем
сумму этой прогрессии:
103
0,18 __0Д8_ 2
1-0,01 0,99 11 ’
Значит,
0,(18)=£.
Таким же способом можно представить в виде обыкновенной
дроби любую бесконечную десятичную периодическую дробь.
• 420. Проверьте, что знаменатель q данной геометрической
прогрессии удовлетворяет условию |д| <1, и найдите сумму
этой прогрессии:
а) 9; 3; 1;
6) 2; ~т; Т;
В) А; Л; А_; ...
’ 5 25 125 ’
r)V3;
д) 2 л/2; 2; л/2; •••;
е) 3-1/5; 3; ....
5
• 421. Найдите сумму бесконечной геометрической про-
грессии:
\ 1 . 1 1 . \ а. 1 1 . 3 .
а) 10’ 100’ •••’ В) 6’ 1 2’ 8
__1_. 1 .___1_. . . 2 . 4 . 8 .
О) 2’4’ 8 ’ Г' 3 9 ’ 27 '
422. Найдите сумму, слагаемые которой являются членами
бесконечной геометрической прогрессии (|а|<1):
а) 1 -|-л-|~а2 -f-<x3 -f-...; в) 1-|-(12“|-<х4-j-<x6-(-•••»
б) 1 т^^ + а2 —а3 + ...; г) а — а4 + а7 — а10 + ... .
/^423* В окружность, радиус которой равен 5 см, вписан
правильный треугольник; в треугольник вписана окружность;
в^окружность снова вписан правильный треугольник и т. д.
Найдит^ сумму длин окружностей и сумму площадей кругов.
Г324./В квадрат вписан круг; в этот круг вписан второй
квадрат; во второй квадрат снова вписан круг и т. д. Найдите
сумму площадей всех кругов, если сторона первого квадрата
равна 8 см.
425. Представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(6); б) 0,(1); в) 0,(36); г) 1,(81); д) 0,2(3); е) 0,32(45).
426. Представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(5); б) 1,(72); в) 0,4(6); г) 0,01(12).
104
Упражнения для повторения
427. Найдите сумму шести первых членов геометрической
прогрессии (х„), если Xi =0,375 и х2 = 0,75.
428. Существуют ли такие значения х, при которых функ-
ция у = 2х2 + 4х принимает значение, равное: а) 0; б) 30; в) —4?
429. Найдите все такие значения тп, для которых данное
неравенство верно при любом х:
а) 2х2 — 4х + тп>0; б) тх2 + 5х — 4<0.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии.
Что называют знаменателем геометрической прогрессии?
2. Запишите формулы n-го члена и суммы п первых чле-
нов геометрической прогрессии.
3. Чему равна сумма бесконечной геометрической прогрес-
сии, у которой |q|<1?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
К параграфу 7
430. Вычислите первые пять членов последовательности
(сл), заданной формулой:
а) с„=-2п2 + 7; в) сп= -2,5-2"; д) сп= ;
б> ’ г> ^ = 3,2.2-"; е)
431. Выпишите несколько первых членов последователь-
ности (ап) и подберите формулу ее n-го члена, если:
а) (ап) — последовательность натуральных чисел, кратных 5;
б) (а«) — последовательность натуральных чисел, которые при
делении на 5 дают в остатке 1.
432*. Вычислите несколько первых членов последователь-
ности (уп), если:
а) У\ = ~ 3, уп + \ — Уп = Ю; в) ух = 1,5, уп+\— Уп = п;
б) z/i = 10, i/n+i-z/„ = 2,5; г) z/i = — 4, уп^х:уп= — п2.
433. Найдите члены арифметической прогрессии (аД обоз-
наченные буквами:
а) аг, а2; —19; —11,5; as; ...;
б) аг, —8,5; а3; —4,5; а5; а6; ... .
434. Периметр треугольника равен 24 см, причем длины
его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли
определить длину хотя бы одной из сторон? Какие целые
305
значения могут принимать длины сторон треугольника, выра-
женные в сантиметрах?
435. Углы некоторого треугольника образуют арифметиче-
скую прогрессию. Докажите, что один из них равен 60°.
436*. Докажите, что:
а) если (ап) — арифметическая прогрессия, то для любого п > 1
выполняется равенство ап =а-п~1^-±1 ;
л
б) если числовая последовательность (ал) такова, что при любом
натуральном п>1 выполняется равенство ап — —-~^ап+\ то
(ап) — арифметическая прогрессия.
437*. Последовательность (ал) — арифметическая прогрес-
сия. Является ли арифметической прогрессией последователь-
ность:
а) а2; а4; Я2«; в) 2аг, 2а2; ...; 2ап;
б) 01 — 1; а2 —1; ...; ап — 1; ...; г) а?; а2; ...; а„; ...?
438. Последовательность (ап) — арифметическая прогрес-
сия. Найдите:
a) oj2, если а^=9 ^/З — 2 и d = 2 — ^/3;
5^3-7 , ^3-2
б) а8, если О|= —----и d = —.
439. Найдите номер члена арифметической прогрессии (оп):
а) равного—2,94, если Oj=l,26 и d=—0,3;
б) равного —9,7, если 05= —3,7 и d= —0,6.
440. Дана арифметическая прогрессия (ЬД у которой
3 2
= 2 — и d=—. Является ли членом этой прогрессии число:
а) 14 — б) 8,35?
441*. Найдите:
а) первый положительный член арифметической прогрессии
-10-1-; -ioi;
б) первый отрицательный член арифметической прогрессии
84-; 8-|-; ... .
442. Докажите, что если (уп) — арифметическая прогрес-
сия, то:
а) У2 + У7=У4 + у5; б) Уп_5+уа+1о=Уп + Уп+а-
443. Докажите, что если d — разность арифметической про-
грессии, а хт и хп— ее члены, причем т^=п, то d—
т— п
106
444. Последовательность (an) — арифметическая прогрес-
сия. Найдите:
a) d, если а20 = 1,7 и а37 = 0;
б) а1Оо> если ^ю = 270 и d=—3.
445. Найдите сумму десяти первых членов арифметической
прогрессии:
a) f; 4-; б) ; - •
446. Найдите сумму, слагаемыми которой являются после-
довательные члены арифметической прогрессии:
а) 2 + 6 + 10 + ... + 198; б) 95 + 85 +75+ ... + (-155).
447. На одной стороне угла от вершины отложены двенад-
цать равных отрезков и через их концы (кроме вершины угла)
проведены параллельные прямые, пересекающие вторую сторо-
ну угла. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, за-
ключенных между сторонами угла, если длина наименьшего
из них равна 3 см.
448*. В арифметической прогрессии (а„):
a) d=—0,4, п —12, а„ = 2,4; найдите и Sn\
б) а! = —35, d = 5, 8п = 250; найдите п и ап;
в) d = ап = 50, Sn = 2525; найдите а,\ и п;
г) а\ = — 4"» ап = — 29 4-, S„ = —450; найдите d и п.
А ы
449*. Найдите разность арифметической прогрессии (хл) и ее
первый член, если х10 = 1 и S16 = 4.
450. Найдите сумму:
а) всех двузначных чисел;
б) всех трехзначных чисел.
451. Найдите сумму:
а) всех натуральных четных чисел, не превосходящих 200;
б) всех натуральных нечетных чисел, не превосходящих 150;
в) всех натуральных чисел, кратных 3, заключенных в проме-
жутке от 100 до 200.
452*. Какова сумма натуральных чисел:
а) меньших 100 и не кратных 3;
б) больших 50, но меньших 150 и не кратных 5?
453*. Найдите натуральное число, которое:
а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных
чисел;
б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.
454*. Члены арифметической прогрессии 2; 5; ... с четными
номерами заменили противоположными им числами. В резуль-
тате получили последовательность (хп). Напишите формулу п-го
члена этой последовательности и найдите сумму первых пяти-
десяти ее членов.
107
455*. Упростите выражение:
Ч х-х2-х3'...-хп . х2 • х4 * х6 •«х2л
а* х-х3-х5-...-x2n“1 ’ х«х2-х3-...*хл
456*. Найдите:
а) сумму всех положительных членов арифметической прогрес-
сии 8,2; 7,4; ...;
б) сумму всех отрицательных членов арифметической прогрес-
сии — 6,5; —6; ....
457*. Найдите сумму сорока первых членов арифметической
прогрессии, если Si о = 100 и Язо==900.
458*. Найдите пятидесятый член арифметической прогрес-
сии, если:
a) S20 = lOOO, S4o = 10 000; б) S5 = 0,5, Si5=—81.
459. Запишите формулу суммы п первых членов последова-
тельности (ап), если:
а) ал = 2и + 1; б) ал = 3 —п.
460*. Является ли последовательность (хЛ) арифметической
прогрессией, если сумму п первых ее членов можно найти по
формуле Sn = п2 — 8п? Найдите 5-й член этой последовательно-
сти.
461*. Является ли последовательность (хп) арифметической
прогрессией, если сумма п первых ее членов может быть найде-
на по формуле:
a) Sn = — п2 + Зп; в) Sn = п2 + 2п — 8;
б) Srt = 2n2-1; г) Srt = 6n + 5?
К параграфу 8
462. Найдите обозначенные буквами члены геометрической
прогрессии (Ьп):
a) 62; 225; -135; 81; 66; ...;
б) bi; Ь2; Ьз; 36; 54; ....
463*. Последовательность (хп) — геометрическая прогрес-
сия. Является ли геометрической прогрессией последователь-
ность:
а) Х14-1; х2 + 1; ...; хЛ + 1; ...; в) х?; х2; ...; х2п; ...;
б) Зли Зх2; Зх„; г) JL ; ...?
464. Существуют ли три числа, которые составляют одно-
временно арифметическую и геометрическую прогрессии?
465*. Докажите, что:
а) если (6Л) — геометрическая прогрессия, то для любого п>1
выполняется равенство b2 = bn-i 6ft+t;
б) если последовательность отличных от нуля чисел (ЬЛ) та-
108
кова, что при любом натуральном п>1 выполняется равен-
ство bn=bn-\ Ьп+\, то (Ъп) — геометрическая прогрессия.
466. Является ли геометрической прогрессией последова-
тельность (хп), если:
а) хп = 2п; в) х„ = п2;
б) хя = 3_,!; г) xn—abn, где а=#0, Ь=И=О?
467. Известны первый член и знаменатель геометрической
прогрессии (&п). Найдите Ъп, если:
а> Ь1=Ж’ Q=T’ п = 8; б) Ь1=Л/!-’ «=-л/6, л = 5.
468. Пятый и девятый члены геометрической прогрессии
равны соответственно 135 и Найдите заключенные между
ними члены этой прогрессии.
469. Последовательность (Ьп) — геометрическая прогрессия.
Докажите, что:
а) если 5i>0 и д>1, то каждый следующий член прогрессии
больше предыдущего;
б) если 61 >0 и 0<д<1, то каждый следующий член про-
грессии меньше предыдущего;
в) если 61 < 0 и д>1, то каждый следующий член прогрессии
меньше предыдущего;
г) если 61<0и0<д<1, то каждый следующий член прогрес-
сии больше предыдущего.
Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.
470. Докажите, что в геометрической прогрессии (ал):
а) #2 * === ^3 * б) —3 • ^п4-8==^^ ’ 5*
471. Докажите, что если Ьп и Ьт — члены геометрической
прогрессии, знаменатель которой равен д, то bn = bm qn~m.
472*. В геометрической прогрессии (хл):
a) q =—n = 5, Sn = 20-|-; найдите Xi и хл;
О О
б) Х| = 11, хя = 88, Srt = 165; найдите q и л;
в) xi=-j-, q=—Y' 'Sn=li’ найДите п и Хп>
г) д=-д/з, х« = 18-\/3, S„ = 26-\/3+24; найдите Xi и п.
473*. Сумму п первых членов последовательности (хя)
можно найти по формуле 5Л=— (5П — 1). Докажите, что по-
следовательность (хл) — геометрическая прогрессия. Найдите
q и Xi.
474*. Геометрическая прогрессия состоит из 15 членов. Сум-
ма первых пяти членов равна а сумма следующих пяти
109
членов равна — 5-|-. Найдите сумму последних пяти членов
этой прогрессии.
475. Упростите выражение, применив формулу суммы п
первых членов геометрической прогрессии:
а) 1 + х + х2 + х34-х4, где х=#1 и х=/=0;
б) 1—х + х2 —х3 + х4 —х5+х6, где х^=—1 и х#=0.
476. Найдите сумму бесконечной геометрической про-
грессии:
. 1 1 ..... 2—<2
а) ----=•; б) 1; --... .
2-л/2 2 2+^2
477. Найдите сумму бесконечной геометрической про-
грессии:
а) 1+sin 30° +sin2 30° +sin3 30° + ... ;
б) 1—cos 30° +cos2 30°-cos3 30° +... .
478*. Последовательность (Ьп) — бесконечная геометриче-
2
ская прогрессия, у которой q——. Найдите:
О
2
a) bi, если S = 4,5; б) S, если 63 = 1-^-.
о
479. Второй член бесконечной геометрической прогрессии
равен 18, а ее сумма равна 81. Найдите третий член.
480. Представьте бесконечную десятичную периодическую
дробь в виде обыкновенной дроби:
а) 2,01(06); б) 5,25(21); в) 0,00(1); г) 0,28(30).
481*. В окружность, радиус которой равен Я, вписан квад-
рат; в этот квадрат вписана окружность; в окружность снова
вписан квадрат и т. д. Найдите сумму: а) длин окружностей;
б) площадей кругов; в) периметров квадратов; г) площадей
квадратов.
482*. В правильный треугольник, сторона которого равна а,
вписана окружность; в нее вписан правильный треугольник;
в этот треугольник опять вписана окружность и т. д. Найдите
сумму: а) периметров треугольников; б) площадей треуголь-
ников; в) длин окружностей; г) площадей кругов.
Глава IV.
СТЕПЕНЬ
С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 9. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
§ 10. КОРЕНЬ П-И СТЕПЕНИ
§ 11. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА
§ 9. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
21. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Сравним значения функции /(х)=-|-х4 — х2 при двух про-
О
тивоположных значениях аргумента, например при х = 3 и
х= — 3:
/ (3)=-|~ З4 - З281 - 9 = 1-|-,
/(—3)=-|—( —З)4—( —3)2=~34 —32 = 1-|-.
Мы видим, что /( —3)=/(3). Значения этой функции рав-
ны и при любых других противоположных значениях аргу-
мента. Действительно,
/( —х)=-|-( —х)4 —( —х)2=-|-х4 —х2, т. е. /(—х)=/(х).
При этом рассматриваемая функция такова, что для каж-
дого значения аргумента х противоположное ему число — х
также принадлежит ее области определения. В таких случаях
говорят, что область определения функции симметрична от-
носительно нуля.
Функции, обладающие такими свойствами, называют чет-
ными функциями.
Определение. Функция y=f (х) называется четной,
если область ее определения симметрична относительно нуля
и для любого значения аргумента х верно равенство
f(—x)=f(x).
Ill
Рис. 53
На рисунке 52 построен график функции / (х)=-|-х4—х2.
График этой функции симметричен относительно оси у.
Вообще график любой четной функции симметричен отно-
сительно оси ординат. Это следует из того, что если у = f (х) —
четная функция, то любым противоположным значениям ар-
гумента х и —х соответствует одно и то же значение функ-
ции у, а точки (х; у) и ( —х; у) симметричны относительно оси
ординат.
Рассмотрим теперь функцию £(х) = х3 —4х и сравним ее
значения при двух противоположных значениях аргумента,
например при х = 5 и х=—5:
g (5) = 53 — 4«5 = 125 —20 = 105,
^ (_5) = ( —5)3 —4.(_5)—_ 125 + 20=105.
Мы видим, что g( — 5)= — g(5). Эта функция принимает
противоположные значения и при любых других противопо-
ложных значениях аргумента. Действительно,
g ( — х) = ( — х)3 — 4( — х) = — х3 + 4х= — (х3 — 4х), т. е.
ff(_x)=_g(x).
При этом область определения функции g симметрична
относительно нуля.
Функции, обладающие такими свойствами, называют не-
четными функциями.
Определение. Функция y=g (ж) называется нечетной,
если область ее определения симметрична относительно ну-
ля и для любого значения аргумента ж верно равенство
ё(—ж)=—ё(ж).
112
На рисунке 53 построен график функции g(x)==x3 — 4х.
Ее график симметричен относительно начала координат.
График любой нечетной функции симметричен относитель-
но начала координат. Это следует из того, что если у=g (х) —
нечетная функция, то любым противоположным значениям
аргумента х и — х соответствуют противоположные значения
функции у и — г/, а точки (х; у) и ( — х; —у) симметричны
относительно начала координат.
С примерами четных и нечетных функций мы уже встреча-
лись. Так, функции, заданные формулами у=ах2, у=|х|,
являются четными, а функции у = х 9 y = kx9 у=-нечет-
ными.
Заметим, что не всякая функция является четной или не-
четной. Например, каждая из функций у = Зх-|-1, У = х4-\~х,
у=^х9 у=(х —-If не является ни четной, ни нечетной.
• 483. Докажите, что четной является функция:
а) р(х)=х4; б)р(х)=—Зх6; в) р(х)=^^.
• 484. Докажите, что нечетной является функция:
a) g(x)=x5; 6)g(x)=—4х3; B)g(x)=i|; г) g(x)=x|x|.
485. Является ли четной или нечетной функция:
а) /(х)=3х4—х24-5; г) f (х)=х24-х+1; .
б) f (х) = х7 + 2х3; д) 7(х)=^Д^;
в) /(х)=5х —1; е) /(х)=(х-3)2+(х + 3)2?
486. Является ли четной или нечетной фуцкция:
a) g(x)=5x3; в) g(x)=-r-^,
6)g(x)=—х + 5; г) g(x)=(x —2)2?
487. На рисунке 54 изображена часть графика функции f,
из
a) f — четная функция; 6) f — нечетная функция.
488. Известно, что функция g в промежутке (0; + оо) при-
нимает лишь отрицательные значения. Какие значения прини-
мает функция в промежутке (— оо; 0), если:
a) g — четная функция; б) g — нечетная функция?
489. На рисунке 55 изображена часть графика некоторой
функции, область определения которой — промежуток [—2; 2].
Постройте график этой функции, зная, что она является:
а) четной функцией; б) нечетной функцией.
Найдите нули функции и промежутки, в которых функция
принимает положительные значения и в которых она прини-
мает отрицательные значения.
Упражнения для повторения
490. Упростите выражение:
ч 6а5Ь5*8а4&8. (-Зх2у)4.25х3/
Я) -(2а?ьУ ’ б) “W-------------*
491. Сравните:
а) 185 и 126; б) 544 и 365; в) 453 и 67.
492. Решите систему уравнений:
а) ( 20х + 7у = 5, б) ( 6 (x+i/)-10 (х — у)=8,
I 15х —4j/ = 50; I 5 (х—у) + 2 (хЦ-1/)=1.
493. Представьте в виде дроби:
аЧ ~2*+10 । 16 , 1. ЗуЦ-18 , 15у + 57 _ „
' х2 —10x4-25 “ Зх—15 “ ’ ' у24-12у4-36 7у4-42
22. ФУНКЦИЯ у = Хп
Рассмотрим функцию, заданную формулой у = х", где х —
независимая переменная, ап — натуральное число. Такую
114
функцию называют степенной функцией с натуральным пока-
зателем.
Степенные функции при п = 1, 2 и 3, т. е. функции у = х,
у=х2 и z/ = x3, мы уже рассматривали. Их свойства и графи-
ки нам известны.
Выясним теперь свойства степенной функции и особенности
ее графика при любом натуральном п.
Выражение хЛ, где п — натуральное число, имеет смысл
при любом х. Поэтому областью определения степенной функ-
ции с натуральным показателем является множество всех дей-
ствительных чисел.
Сначала рассмотрим случай, когда показатель п — четное
число. Свойства функции у = хп при четном п аналогичны
свойствам функции у = х\
1. Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через
начало координат.
2. Если_х^О9 то у >0. Это следует из того, что четная сте-
пень как положительного, так и отрицательного числа положи-
тельна. График функции расположен в первой и второй коорди-
натных четвертях.
3. Функция является четной. Это следует из того, что при
четномТг равенство (— х)п = хп верно для любого х. График функ-
ции симметричен относительно оси ординат.
4. Функция возрастает в промежутке [0; + оо) и убывает в
промежутке (— оо; 0].
Действительно, пусть X2>Xi^0. Если Xi=0, то очевидно,
что Хг>х?. Если Xi > 0, то, перемножив почленно п одинаковых
неравенств Х2>хь получим верное неравенство Хг>х?. Значит,
в промежутке [0; + оо) функция возрастает. Пусть теперь Xi и х2
принадлежат промежутку (-— оо; 0] и Хг<Х1^0. Тогда Хг>
Xi^O и по доказанному выше ( — x2)n>( — Х1)л. Отсюда
в силу четности п следует, что Х2>х". Значит, в промежутке
(— оо; 0] функция убывает. С возрастанием х график функции
слева от начала координат опускается вниз, а справа поднимает-
ся вверх.
5. Область значений функции есть множество неотрицатель-
ных чисел.
Мы установили, что при любом х и четном п функция при-
нимает неотрицательные значения. Можно доказать, что любое
неотрицательное число является значением степенной функции
с натуральным показателем при некотором х^0. Значит, об-
ласть значений функции — промежуток [0; + оо). График
функции пересекает любая прямая z/=a, если Если же
а<0, то прямая у— а не пересекает график.
На рисунке 56 изображены графики функций у = х2 и
у = х4. На рисунке 57 показано, как выглядит график функ-
ции у = хп с четным показателем п.
Рассмотрим теперь свойства степенной функции у — хп при
115
у L
5
4
у=х4
3
2
1
-1 ?0 1 2 X
<5)
a)
Рис.
56
Рис. 57
нечетном п. Эти свойства аналогич-
ны свойствам функции у = х3.
, 1. Если х=0, то у=0. График
функции проходит через начало
координат.
2. Если х>0, то у>0; если
х<М>г то y<ZO. График функ-
ции расположен в первой и треть-
ей координатных четвертях.
_ 3. Функция является нечетной.
Это следует из того, что при нечет-
ном п для любого х верно равенство
(— х)п = — хп. График функции
симметричен относительно начала
координат.
4. Функция возрастает на всей
области определения.
Доказательство того, что функция возрастает в промежутке
[0; + оо), такое же, как для степенной функции с четным пока-
зателем.
Докажем, что функция возрастает также и в промежутке
( — оо; 0]. Пусть Xi и х2 принадлежат этому промежутку и х2>
>Xi. Тогда ОС — х2<—Xj. Так как — х2>0 и — Х|>0, то
( — x2)n<( — Xi)rt. В силу нечетности числа п заключаем, что
— х2<—х“. Отсюда Х2>х?. Значит, функция возрастает и в
промежутке (— оо; 0]. Если же Xi<0, а х2>0, то очевидно,
что х2 > х?. Значит, функция возрастает на всей области
определения. График функции с возрастанием х поднимается
вверх.
5. Область значений функции есть множество всех действи-
тельных чисел.
Это следует из свойств 1—3 и из того, что любое неотрица-
116
X, ь-
1
у=х3
7
*о 7 X
Рис. 58
тельное число является значением
степенной функции с натураль-
ным показателем при некотором
х^О. График функции пересекает
любая прямая у=а.
На рисунке 58 изображены гра-
фики функций у = х3 и у=х5. На
рисунке 59 показано, как выгля-
дит график функции у=хп с
нечетным показателем. п, боль-
шим 1.
494. Функция задана формулой
у=х36. Сравните с нулем значе-
ние этой функции при х = 3; О; —5.
495. Сравните с нулем значе-
ние функции у=х49 при х = — 9; 0; 7.
496. Функция задана формулой f (х)=х20. Сравните:
а) Г (3,7) и 7(4,2);
б) /( — 5,2) и /(-6,5);
в) /(-7) и /(6);
г) /(31) и /(-28).
497. Функция задана формулой g(x)=x35. Сравните:
a) g (8, 9) и g (7, 6); в) g ( —10) и g (7);
б) g(—4, 6) и g( —5, 7); г) g( — 63) и £(63).
498. Сравните:
а) 1,24 и 1,54; в) 0,94 и 1;
б) 0,84 и 0,74; г) (-3, 2)4 и (-3, 4)4;
117
д) 0,35 и о,85;
499. Сравните:
а) 5,73 и 5,43; в) 0,83 и (-1,3)3; д) (-5,3)® и( —4,2)6;
б) ( — 4,1)3 и ( —4,2)3; г) 1,6е и 1,8®; е) 2,16 и 3,1®.
500. Проходит ли график функции г/ = х5 через точку
А (3; 243), В( —3; 243), С (5; 3125)?
501. Принадлежит ли графику функции у = х7 точка:
А (2; 128), В (-2; -128), С(-3; 2187)?
502. Используя микрокалькулятор, найдите с точностью до
0,01 значение функции у = х5 при:
а) х = 0,72; б) х = 2,6; в) х= — 3,4.
• 503. Изобразите схематически график функции:
а) у = х6; б) у = х7-, в) у=х3; г) у = х9.
U
7
б
5
4
3
L 1 1 Т 1 I 1 I ' Т ! 11!!! 2 1 1 Г 1 Г 1 1 1 if 1 । mггг 1 111 f it 1 [ 11 J1L1 III. 11 ! 1 1 I I * ~ Г II TI II
1\ 0 1 г К
Рис. 60
• 504. В
четвертях
функции:
а) у = х40;
каких координатных
расположен график
б) у = х'23?
• 505. Пользуясь рисунком 57
или рисунком 59, выясните, сколь-
ко решений имеет уравнение:
а) х,6 = 2; в) х8= — 3;- W £0
б) х34 = 0; г) х21 = -7.
•4506. На рисунке 60 изображен
график функции z/ = x4. Найдите
по графику значения х, при кото-
рых:
а) у = 5; б) у = 3,5; в) у = 8.
• 507. Пользуясь графиком (см.
рис. 60), решите уравнение:
а) х4 = 6; б) х4 = 8,5.
• 508. Решите графически урав-
нение:
а) х3 = 2; б) х3 = 4; в) х3 = —5.
509. Укажите какое-нибудь зна-
чение аргумента, при котором зна-
чение функции y — xQ больше,чем
26; 106; 1012; 1018.
118
510. Укажите какое-нибудь значение аргумента, при кото-
ром значение функции у=х5 меньше чем —З5; —10s; —1021.
511. Функция задана формулой /(х)=х3. Вычислите раз-
ности /(1)—/(0), /(2) —/(1), /(3) —/(2). Сравните полученные
результаты.
512. Выразите формулой зависимость массы т деревянного
куба (в г) от длины х его ребра (в см), если известно, что куб,
ребро которого 10 см, имеет массу 700 г. Постройте график
этой зависимости. Пользуясь графиком, найдите:
а) массу куба, ребро которого равно 2 см; 5 см;
б) ребро куба, масса которого равна 30 г; 100 г.
Упражнения для повторения
513. Используя график функции у=х3, решите уравнение:
а) х3=х + 1; б) х3 = 2х; в) х3=2х-|-1.
514. Найдите сумму тринадцати первых членов геометри-
ческой прогрессии (сп), у которой с9=81, q=-^3.
515. Среди функций у—х12—х6, у=х9 —х5, у=х10—х5,
у= 4 । Х^,1 укажите те, которые являются:
X -f-X -f-1
а) четными; б) нечетными.
510. Упростите выражение:
. 1-у уЧ-6у. 6+у . б. 4Х2 —49 1 2x4-7
) 14-у ' ys — 1 1+у ’ ' 2x4-5 4х24-14х 4Х2—10х *
517. Принадлежит ли графику функции у=^]х точка
А (144; 12); В (169; -13); С (-100; 10)?
Контрольные вопросы
1. Дайте определение четной функции и нечетной функции.
Сформулируйте свойства графика четной функции и нечетной
функции.
2. Какую функцию называют степенной функцией с нату-
ральным показателем?
3. Сформулируйте свойства степенной функции с четным
показателем. Покажите схематически, как выглядит график
этой функции.
4. Сформулируйте свойства степенной функции с нечетным
показателем п и докажите их. Покажите схематически, как
выглядит график этой функции при п>1.
119
§ 10. КОРЕНЬ n-и СТЕПЕНИ
23. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЯ П-И СТЕПЕНИ
Напомним, что квадратным корнем из числа а называется
такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяет-
ся корень любой натуральной степени п.
Корнем n-й степени из числа а называется такое число,
n-я степень которого равна а.
Например, корнем пятой степени из 32 является число 2,
так как 25 = 32; корнем четвертой степени из 81 является каж-
дое из чисел 3 и —3, так как 34 = 81 и ( —3)4 = 81. Корень
второй степени принято называть квадратным корнем, а корень
третьей степени — кубическим корнем.
Рассмотрим степенную функцию у — хп с нечетным показа-
телем п (рис. 61). Для любого числа а существует единствен-
ное значение х, n-я степень которого равна а. Это значение
является корнем n-й степени из а. Для записи корня нечетной
степени п из числа а используют обозначение °\[а (читают:
«Корень n-й степени из а»). Число п называют показателем
корня, выражение, стоящее под знаком корня,— подкоренным
выражением.
Приведем примеры.
Запись означает кубический корень из —125. Из
определения корня следует, что д/ —125 = — 5, так как (— 5)3 =
= —125. Запись 7\/80 означает корень седьмой степени из 80.
Число V80 иррациональное. Его значение с точностью до 0,01
равно 1,87.
Рассмотрим теперь степенную функцию у = хп с четным по-
казателем п (рис. 62). При любом а>0 существуют два про-
тивоположных значения х, n-я степень которых равна а.
При а = 0 такое число одно (число 0), при а<0 таких чисел
120
нет. Другими словами, если п —
четное число и а>>0, то существу-
ют два корня n-й степени из а. Эти
корни являются противоположны-
ми числами. Если а = 0, то корень
n-й степени из а равен нулю. Если
а < 0 и п — четное число, то корень
n-й степени из а не существует.
В случае четного п знаком
обозначают неотрицательный ко-
рень n-й степени из а. Отрицатель-
ный корень n-й степени из а (при
а > 0) записывают так: — ^/а. Выра-
жение ПРИ четном п и а<0 не имеет смысла.
Например, запись ^64 означает неотрицательный корень
шестой степени из 64. Имеем ^/64=2, так как 2 — неотрица-
тельное число и 26 = 64.
Если п = 2, то показатель корня не пишется.
Итак, если п — нечетное число, то выражение ^/а имеет
смысл при любом а; если п — четное число, то выражение
°\[а имеет смысл лишь при а^О.
Из определения корня n-й степени следует, что при всех
значениях а, при которых выражение °\[а имеет смысл, верно
равенство (^)л==а.
Выражение \[а при а^О имеет смысл как при четном, так
и при нечетном п, и значение этого выражения является неотри-
цательным числом. Его называют арифметическим корнем
n-й степени из а.
Определение. Арифметическим корнем п-й степени из
неотрицательного числа а называется неотрицательное число,
n-я степень которого равна а.
Корень нечетной степени из отрицательного числа можно
выразить через арифметический корень. Например, \/ — 8 =
= — Д/З, так как \/—8 = —2 и — ^8= — 2.
Вообще при любом положительном а и нечетном п
С помощью знака корня n-й степени записываются реше-
ния уравнений вида хл = а. Приведем примеры.
Пример 1. Решим уравнение х6 = 7.
Корнями уравнения служат числа, шестая степень которых
равна 7. Таких чисел два: V? и — V? (см. рис. 62).
Пример 2. Решим уравнение х4 = 81.
Уравнение имеет два корня:
Х1 —_4/81=—3 и х2=л/81=3.
Пример 3. Решим уравнение х3 = 5.
121
Уравнение имеет единственный корень (см. рис. 61). Этот
корень есть число, третья степень которого равна 5, т. е. V®.
Пример 4. Решим уравнение х5= —50.
Уравнение имеет единственный корень (см. рис. 61). Этот
корень есть число, пятая степень которого равна —50, т. е.
V—50. Выразив А/ — 50 через арифметический корень, получим
518. Докажите, что:
а) число есть арифметический корень четвертой степени из
1
16;
б) число 3 есть арифметический кубический корень из 27;
в) число —2 не является арифметическим корнем четвертой
степени из 16;
г) число 0,1 не является арифметическим корнем пятой степе-
ни из 0,0001.
519. Докажите, что верно равенство:
а) д/361 = 19; д) >71 = 1;
б) 7343=7; е) 70 = 0;
в) Л/Д •’ V7-4-V3 = 2 -V3;
• 520. Найдите значение выражениям
а)А/16; B)WI; А>757 ж)У^027;
6) V32; Р>7~Ь е) V3T; 3> Vo.0625.
• 521. Вычислите:
a)VH2; в) Vo; Д)7>; ж) ;
6)71331; Г) 7—128; е) 7<>,00001; 3)А/т^.
V 32
522. На рисунке 63 построен график функции у=х3. С по-
мощью этого графика найдите:
а) Тб; б) 7—4; в) 7—1; г) 7з-
523. По графику функции р=х4 (см. рис. 60) найдите:
а) 72; 6) 75; в) 78.
524. Принадлежит ли графику функции у=\/х точка:
Е(81; 3); F(81; —3); йГ(-16; —2); £(0,0001; 0,1)?
122
I"'
525. Принадлежит ли графику
функции у=ух точка:
А (8; 2); В (216; 6); С (27; -3);
В ( — 125; -5)?
526. Укажите два последова-
тельных целых числа, между
которыми заключено число:
a) в) 79;
б) V20; r)V52.
527. Оцените значение выраже-
ния ^[х, если:
а) 1<х<8;
б) — 1<х<1;
в) — 27<х<0.
528. Оцените значение выраже-
ния \[х, если:
a) O^x^l;
б) 1<х<81;
в) 256<х<625.
529. Имеет ли смысл выраже-
ние:
а) 7^19; г) V(-3)s;
б) 7^28; д) VF2)5;
в) 7^5; е) 'VRzj2?
• 530. Найдите значение выражения:
а) 7—32; д) Т32+У^8;
б) у^1; е) V625-V—125;
в) — 2 7/81; ж) 12-670,125;
г) -4V27; з) 1 + 10 70,0081.
531. Выразите корень n-й степени из отрицательного числа
через арифметический корень той же степени:
а) V^31; б) 7^17; в) ‘Т3^; г) *7^6.
• 532. Вычислите:
а) V —125; в) — 5 А/16; д) -р "72,25;
б) 76; г) -3 7=64; е)3 716-4 У27.
У \3 : V=X3:
2 : 1
= =н+г: 1:: Й2:Х
.J н и i
Рис. 63
• 533. Найдите значение выражения:
а) (7W;
б) (Тб)3;
в) (-712)4;
г) (2У^2)5;
д) 7^;
е) 27(-3)4;
ж) —725*;
з) 7б42.
123
• 534. Вычислите:
a) (V7)4; в) (2V3)4; д) У^; ж) '^32^;
б) (V^3)7; Г) (-3V2)3; е) 5 У(-2)3; з) -^27*
535. При каких значениях а верно равенство:
а) ^/аг=а‘, б) \[а?= — а; в) Зд/ат=а?
• 536. Решите уравнение:
а) х3 = 27; г)х4=—16; ж) х6= — 3; к) х3 4*8 = 0;
б) х3=—27; д) х3 = 7; з) х6 = 11; л) х8 —1=0;
в) х4 = 16; е)х3=—7; и) х8 = 0; м) х84-1 = 0.
* 537. Найдите корни уравнения:
а) 16х4 —1=0; г) 0,02х6 —1,28 = 0;
б) 4-х5 4- 4=0; д) О,3х9 — 2,4 = 0;
О
в) — О,О1Х34-1О=О; е) —|-х84-12-|- =0.
• 538. Решите уравнение:
а) х5 = 8; в) х4 —19=0; д) О.ОЗх3 4-0,81=0;
б)х7=—5; г) х104-6=0; е) 16х4-625=0.
Упражнения для повторения
539. Постройте график функции:
а) У=(х — 2)2; б) у= — -|-х24-5; в) у = 2х24-5х. |
540. Решите уравнение: |
х 3 ______ 14 е у । 1 I 17 л
' х —2 х + 5~х2 + Зх-10 ’ * 2iz-3"t'yT7“r2i/2 + lli/-21”“Ue |
541. Упростите выражение
/ а — 5 12а — 61 \ . За —18 |
\а’ —5а + 25 а’4-1257 * 2а2—10а4-50 * ]
24. СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КОРНЯ П-й СТЕПЕНИ I
Нам известны следующие свойства арифметического квад- 1
ратного корня: 1
если а^0 и Ь>0, то УаЬ=Уа-У&; 1
_ /а *\/а
если а^0 и Ь>0, тол/т- =-^.
V Ъ
Аналогичными свойствами обладает арифметический ко-
рень n-й степени и при п>2. ,
124 :
Теорема 1. Если а^О и Ь^О, то л/аЬ—д/а-^/Ь.
Пусть а^О и д^О. Тогда каждое из выражений °\{аЬ и
!\/a*a\/b имеет смысл. Докажем, что выполняются условия:
1) и 2) (Va-W=a&.
Значение выражения неотрицательно, так как по
определению арифметического корня 0 и V& 0. Кроме то-
го, по свойству степени произведения
(VS • W=(W • (W = аЬ.
Значит, по определению арифметического корня n-й степе-
ни верно равенство £\/ад=^/а- tfb.
Доказанная теорема распространяется на случай, когда чис-
ло множителей под знаком корня больше двух. Например,
если а^О, 6^0 и с^О, то Действительно,
V&be=!\ДаЪ)~с=°\[ab • д/ё = • V& • л/ё-
Таким образом, арифметический корень n-й степени обла-
дает свойством: корень из произведения неотрицательных
множителей равен произведению корней из этих множителей.
Теорема 2. Если а^О и &>0, го -д/
V ь п/ъ~
Доказательство проводится аналогично доказательству те-
оремы 1.
Итак, справедливо еще одно свойство арифметического кор-
ня n-й степени: корень из дроби, числитель которой неотрица-
телен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя,
деленному на корень из знаменателя.
Поменяв местами в каждом равенстве и”д/-|-=
л/а
их левые и правые части, получим равенства, выра-
жающие правила умножения и деления арифметических кор-
ней n-й степени:
!\/a-L\/b=!\/ab, где а^О и b^Q;
л[а п Г~а Л
=Л/ где а^О и &>0.
V& V Ь
Приведем примеры применения доказанных свойств.
Пример 1. Найдем значение выражения д/16-81.
По теореме о корне из произведения имеем:
V16-81=V16-V8i = 2-3==6.
Пример 2. Перемножим корни ^/2 и
V2.V4=V274=V8 = 2.
125
з /
Пример 3. Найдем значение выражения -д/ 2^у- •
Пользуясь теоремой о корне из дроби, получаем:
3/„10 _ 3/б4 = Уб4__ 4 _ 1 1
V Z27 V 27 ^/27~ з 3
Рассмотрим другие свойства корня n-й степени. Начнем
с примера. Сравним значения выражений 77^4 и ^/64:
7V^4=V4 = 2. V64=V^=2.
Мы видим, что значения этих выражений равны, т. е.
VW=V64.
Теорема 3. Если п и k — натуральные числа и а^О, го
Так как а 0, то выражения !\f^/a и п^/а имеют смысл и не-
отрицательны. Кроме того,
(VW* =((VW=(W ==*•
Следовательно, по определению арифметического корня верно
равенство
Теорема 4. Если п, k и тп — натуральные числа и
а>0, то n^jamk
По теореме 3 имеем:
п\[а"Л
Мы доказали, что арифметический корень n-й степени обла-
дает свойством: если показатель корня и показатель степени
подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то
же натуральное число, то значение корня не изменится.
Это свойство иногда называют основным свойством корня.
Приведем пример применения теорем 3 и 4.
Пример 4. Упростим выражение ^2 -\/2.
Внесем множитель 2 под знак квадратного корня. Получим:
V2V2 =^/-^2 = V-Ж
По теореме о корне из корня имеем:
V'\/2y=V23-
Применив основное свойство корня, получим:
Итак,
д/2 д/2 =Л/2.
126
• 542. Найдите значение выражения:
a) -V8^27- в) V625-16; д) -д/243-^; ж)
б) V16-0,0001; г) V0,0016-81; е) д/64.^ ; з) -д/-7|| .
• 543. Вычислите:
a) В) Vo,2lo-lO10; д)-д/§;
4 Гт* 3 /~56 v 5 / 55
0) у "э*; г) у "г5 ’ е) у 1з|0 •
• 544. Найдите значение корня:
a) V0.008-56; в)^ 810000--^;
3/0,125 . 4/Т6
® 545. Вычислите:
a)W^ б)^Ж162? »>л/В;
• 546. Найдите значение выражения:
а) ^75^5-, б) V54^4; в)
• 547. Вычислит е:
' aj’’vLV4; в) Va^T^-VT7;
б) V135-V25; г)
д) Vs-V37-V8+V37;
е) V717 + 3-AA/17-3.
® 548. Найдите значение дроби:
ях УМ . б. УЗ . . V256 . . V2500
а) V2 ’ б) V96 ’ В> V2 ’ П V4 •
• 549. Вычислите:
a) -V20-V5; б) А/32^3Л/^27? в) ; г)
550. Представьте выражение в виде одночлена (буквами
обозначены неотрицательные числа):
а) 725?; б) в) VSl?"; г) ^32х10.
551. Вынесите множитель из-под знака корня (буквами обо-
значены неотрицательные числа):
a) V9x; в) V25F; д) У250с‘°;
б) ->/12Ь; г) V24c6; е) V162&6.
127
552. Внесите множитель под знак корня:
а) 3д/2; в) Д) 6 где Ъ<0;
б) 5^3; г) аЛ/&, где а>0; е) с'^Зс2, где с^О.
553. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) 4\/16с; б) М27у; в) д/50х3, где х>0; г) \/5а\ где а<0.
554. Внесите множитель под знак корня:
а) 2 -\/3; б) 2Д/5; в) Зд/^-; г) а^/2, где а>0.
555. Представьте выражение в виде дроби:
a) д/И"; д> л/1г’где а^0’
3 / 9 4 Г~*
6)Л/^; е)А/4, где Ь<0;
У AI V с/
3 / о” 3 /Т7
в) л/1т; ж>л/т;
г)-\/б5; з) А/-4, где &>0.
556. Приведите выражение к виду а*\[Ъ9 где а — рациональ-
ное число, Ь — натуральное:
ч з ЛЧ 2 . ч 3 . V 7 . ч 18
а) V5 б) V2 ’ В VS’ * V49’ ДД/Пб'
557, Приведите выражение к виду а *\[Ь9 где а — рациональ-
ное число, Ъ — натуральное:
/ 1 2 . ч 12 . м 15, „ч 6 . v 4__
>75’ 6 V12 ’ B)w’ V5’ д W’ ) V32 ’
558. Упростите выражение:
a) VV6; г) л/* л/*5 яс)
б) Д) ; з) 'V?;
в) е) и) V®5-
559. Упростите выражение:
a) VV3; в) Д) ’W15;
б) г) \/тУт ; е)
560. Вычислите с помощью таблицы квадратов натураль-
ных чисел:
a) V1296? б) ^4096; в) ^6561.
128
561. Сравните числа:
а) А/8 и V3; В) Vb2 и д/1Д; д) V2 и V2^*»
б) V? и ^/48; г) V27 и V2^ е) "\/б V2 и V15-
562. Сравните с нулем разность:
а) А/б-л/б; б) V5-V<; в) Щ-^З; г) V8-V2-
563. Докажите, что значение выражения есть число рацио'
нальное:
5 —2 т/2
5 + 2-V2
9-4д/5 9+4-V5 . g) 5 + 2т/2
9+4т/5 9—4-75 ’ 5—2-72
564. Упростите выражение: ___________
а) (3+2 -V6)2+(3 - 2 т/б)2; б) (V?+2 д/То-Н/т - 2 VW-
565. Найдите значение выражения:
а) 4 + 2^2^4 — 2-42; б) ^4+^7 -^ЗЗ—8д/7 .
Упражнения для повторения
L566. Упростите выражение:
/ а—Ь 1 1 ; а+ъ \ з (д+&)2 .
\ а2—аЬ а? — Ь2 (6—а)2 / Ь2 ’
б)(гу + 1 ey’ + l"*' 4у2-2у + 1 ) * (2^ 2у + 1)’
567. Найдите пятый член геометрической прогрессии (сл),
в которой:
а) С1 = 3д/3, <1=^=; в) С1=2д/3* g=V3;
б) С1=д/3+д/2, д=д/3—д/2; г) С1=д/2, д=^6.
568. Решите уравнение:
а) х4 = 36; б) ж5 = 1024; в) х3=д/2.
569. Докажите, что при любом значении а верно неравен-
ство:
а) а4 + 1>а3 + а; б) а4-2а3 — 8а + 16>0.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение корня n-й степени и арифметическо-
го корня n-й степени.
2. Сформулируйте свойства арифметического корня n-й сте-
пени и докажите одно из них.
5 Заказ 624
§ 11. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА
25. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Мы знаем, какой смысл имеет выражение а”,' где а=#0,
если показатель п — целое число. Например, ( — З)5 означает
произведение пяти множителей, каждый из которых равен
— 3. Число 2“6 означает число, обратное степени 2е. Введем
теперь понятие степени, у которой показатель не целое,
а дробное число.
Из определения арифметического корня следует, что если
т — целое число, п — натуральное и т делится на в, то
т __
при а>0 верно равенство 5/®”=°"• Например, ^5Т1 = 57=53,
т
так как (53)7 = 521. Если принять, что равенство !^аГ'=ап имеет
место и в том случае, когда — дробное число, то все свой-
ства, верные для целого показателя степени, будут выполняться
и для дробного показателя с положительным основанием
(это будет доказано в следующем пункте).
Определение. Если а — положительное число, —
дробное число (т — целое, в — натуральное), то
т
ап =А[а!!'.
По определению имеем:
3 | О 13 _____ ! —1
0,78=W, (т) ’ =(т)10=л/(т) ’ 5^ = 5“=V5^.
Степень с основанием, равным нулю, определяется только
для положительного дробного показателя: если — дробное
т
цоложительное число (тип — натуральные), то О" =0.
Для отрицательных оснований степень с дробным показа-
2
телем не рассматривается. Такие выражения, как (—2)*,
_ 2 __1
(—8) 3,0 2 , не имеют смысла.
Мы знаем, что одно и то же дробное число можно пред-
ставить в виде дроби с целым числителем и натуральным
знаменателем разными способами. Например, дробное число
0,75 можно представить в виде дроби так:
3 в 9 12____
4 * 8 ’ 12 ’ 16 И Т<
Д.
130
Значение степени с дробным показателем г не зависит от
способа записи числа г в виде дроби: представляя г в
виде отношения целого числа к натуральному разными способа-
ми, всегда будем получать один и тот же результат. Например:
28 =^®’=^2Т=24.
Покажем это в общем случае.
Пусть а > 0, т — целое, п и k — натуральные числа.
Пользуясь определением степени с дробным показателем и
основным свойством корня, получим:
mk _____ гп
a"r=n\/ai!ik=^ai"=an .
Значения степеней с дробным показателем и положительным
основанием можно находить приближенно с помощью инже-
нерного микрокалькулятора, например, «Электроника БЗ-Зб».
Микрокалькулятор «Электроника БЗ-Зб» имеет 25 клавиш,
из них 22 клавиши можно использовать для выполнения
двух операций. Одна операция обозначена на самой кла-
више, а другая написана над ней. При выполнении опера-
ций, обозначенных на клавишах, микрокалькулятор работает
в нормальном режиме, а когда производят операции, обо-
значенные над клавишами, то микрокалькулятор работает в
совмещенном режиме. Чтобы перейти к этому режиму, надо
нажать клавишу F . После того как операция произведена,
микрокалькулятор возвращается в нормальный режим работы.
Вычисление значений степеней производится в совмещенном
режиме, для чего используется клавиша ух .
Пример 1. Найдем значение степени 3,482,5.
Вводим основание степени у, равное 3,48, нажимаем кла-
вишу F (микрокалькулятор начинает работать в совмещен-
ном режиме) и клавишу
равный 2,5, и клавишу
, затем показатель степени х,
. На экране высветится резуль-
тат. Программа вычислений выглядит так:
3,48 F у* 2,5
Выполнив вычисления, найдем, что приближенное значение
степени 3,482,5 равно 22,591658.
5* 131
2
Пример 2. Вычислим значение степени 1,43 7.
Этот пример отличается от примера 1 тем, что показатель
степени представлен не в виде десятичной дроби, а в виде обык-
новенной дроби. Поэтому после введения основания степени 1,43
и нажатия клавиш F и ух надо представить в виде деся-
тичной дроби, выполнив деление 2 на 7. Для таких случаев в
микрокалькуляторе предусмотрены клавиши [( (открываю-
щая скобки) и )] (закрывающая скобки), которые позволяют
получить промежуточный результат. Программа вычислений
будет выглядеть так:
1,43 ГТ
[(2 4-7)]
У
Выполнив вычисление, получим 1,1075969.
Заметим, что в тех случаях, когда результат вычислений по
модулю оказывается меньше 0,0000001 или больше 99 999 999
микрокалькулятор дает ответ в виде а-10Л, где 1^ |а| <10
и — 99<^п^99. Знак числа а высвечивается в 1-м разря-
де слева (положительный знак не высвечивается), цифры чис-
ла а — в разрядах от 2-го до 9-го включительно, знак поряд-
ка — в 10-м разряде и цифры порядка — в 11-м и 12-м разря-
дах.
• 570. Представьте степень с дробным показателем в виде кор-
2 1
а) 88, З2, 5 4, 0,2°’5, 7~°’25;
А -А /2А
б) х4, у 4, а1,2, Ъ °’8, т 3;
1 1 3
в) (2а)3, 2а3, ах5, ху 2, —Ь-1,5;
2 2 _2_ 3 2 2
Г) (х-уУ, х3-у\ 3(а-ЬЬ)т, 4а“+ах\
• 571. Замените корнями степени с дробными показателями:
1 3 1 __1_
а) 72, 124, 298, 37 4;
б) 3,8°’6, 8,5-°*8,
1 1 3
в) 5а3, (2&)4, —с4;
1 3 1 1
г) ху2, (х + у)3, х2+у2.
ф 572. Представьте арифметический корень в виде степени с
дробным показателем:
а) лО; в) д) А/4 5 ж> •’ и> V4SP;
б) г) W; е> V(4)”2; 3> т=г; к)
132
• 573. Замените степенями с дробным показателем арифмети-
ческие корни:
а) л/5. WA W’ VM25;
б) V?, V?, ’А/бс2, ^/а — Ь.
• 574. Вычислите: 2± Д) 9 2; ж) -4 е) 0,16 2; з)| СО р oolco О * о оо w|^ | •
1 а) 492; _£
в) 4 г) в' 2 . 9 _£ 3 . 9
б) 1 10008;
• а) 575. Найдите 27т; в) значение выражения: 1 3 25 2; д) 0,162; _£ ж) 0,001 8;
б) £ 25 2; г) 32 ®; е) 0,64 l-i- з) 0,008 8.
576. Вычислите с помощью микрокалькулятора значение
степени (результат округлите до тысячных):
2 3
а) 20,75; в) 1,48 8; Д) 1.78 8; ж) V5.812;
3 1
б) 0,831,26; г) 2,25 4; е) 12,4 е; з) V4.27®.
577. Имеет ЛИ смысл выражение:
4 2 3 3 4
а) 53; б) (-16)3; в) 23 2; г) О4; д) 0 5; е) (-25) 2?
578. Укажите допустимые значения переменной в выраже-
нии:
1 £ д _£ 2.
а) х2; б) (у —I)8; в) (а + 2)5; г) Ъ 7; д) (с-5)3.
1 3
579. Оцените значения выражений х4 и х4, если:
а) 0<хС81; в)
б) 1< х < 16; г) 0,0001 < х < 10 000.
1
580. Постройте график функции у = х2.
581. Сравните:
1 £ £ 1
а) 2 2 и 3 2; в) 52 и 58;
£ £ £ £
б) 0,32 и 0,52; г) 73 и 76.
133
Упражнения для повторения
а)
582. Представьте в виде степени с основанием х:
х~12 (х2
х3х“9
б)
а)
б)
(х6)-3 ’
______________________________ „X (х4)5(х~3)4
х6х 9________________________’ (х“2)3
583. Найдите значение выражения:
2-5«82 ф . 54«49-3
16"1 ’ В' 7"7*253 ’
319»27~5 . < 81,2.10-7
93 ’ 10“5-2717 ’
584. Один катет прямоугольного треугольника на 1 дм мень-
ше другого. Площадь этого треугольника равна 10 дм2. Найдите
значение гипотенузы треугольника с точностью до 0,1 дм.
585. Одна диагональ ромба на 2 см больше другой. Площадь
ромба равна 12 см2. Найдите значение стороны ромба с точ-
ностью до 0,1 см.
26. свойства степени с рациональным показателем
Известные нам свойства степени с целым показателем спра-
ведливы и для степени с любым рациональным показателем.
Перечислим их.
Для любого а>0 и любых рациональных чисел р и q:
apaq=ap+q, (1)
ар :ач—ар~ч, (2)
(ар)’=ар’. (3)
I Для любых а>0 и Ь>0 и любого рационального числа р: j
(ab)p=apbp, (4)
<5>
Докажем свойство (1). Сначала покажем на частном приме-
ре способ доказательства этого свойства.
Пусть, например, р=—, д=-=-. Докажем, что
о 5
£ 1 £ _1_£
а3а5=а3 5.
2 1
Приведем дроби — и к общему знаменателю:
О о
£ 1 L? 2
а3 а5 =а15а15.
134
io _з
Так как а15 = '\/а^ и а15 = 1^/а3’, то по свойству арифмети-
ческого корня имеем:
10 3 __ ____________
alsa15 = *Val0,lV°l°a3 = 'VS15-
Переходя к степени с дробным показателем, получим:
13
'^=а15-
2 1 13
Следовательно, a3a5=a15. Но =-^-+4-, поэтому
15 о о
2 2 2-4-1
а3а5=а3 8.
Проведем теперь доказательство свойства (1) в общем виде.
Представим рациональные числа р и q в виде дробей с
одинаковыми знаменателями: Р=~ и в=~» гДе k и т — це-
лые числа, ап — натуральное число. Тогда
k tn k+rn
~p„q г, п „ п а!„к п Г~гп п, ГЗг „т п /_к4-Pi „ п
аиач=а а =уа •у а —у а >а =уа =а =
£ т
=ап п=ар+ч.
Значит, арач=ар+ч.
Из свойства (1) следует, что для любого положительного
а и любого рационального числа р
Действительно, a₽-a p=a°=l.
Свойство (2) следует из свойства (1) и определения частного.
Докажем свойство (3), т. е. докажем, что при a > 0 и любых
рациональных р и q
(арУ=ам.
Пусть р=-^-и д=-^-, где / и т — целые, а k и п — натураль-
ные числа. Тогда
(ар)ч=(а^У =№У
Значит, (apy=apq.
Покажем, что при любом рациональном р и любом нату-
ральном п
‘\/ар=ап (а>0).
135
Действительно, по определению степени с дробным показа-
телем и свойству (3) имеем:
Г- 2 р,2 £
^={арУ=а п=ап.
Докажем свойство (4), т. е. докажем, что при а>0 и Ь>0
и любом рациональном р
(ab'f = apbp.
Пусть р—где I — целое число и ft — натуральное число.
Тогда
i_ _________________ _____ i_
(ab'f—{ab}k =\{(аЬ}1 =Va/b/'Ць1—ак -Ък =арЪр.
Значит, (ab'f=apbp.
Свойство (5) можно доказать, представив дробь -у- в виде
произведения ab~' и применив затем свойство (4).
а)
б)
в)
• 586. Представьте в виде степени с рациональным пока-
зателем:
с4 с4; 1 1 1 3 д) х^ :х? 5 1 И) (Ь4)4; 3 4
ь~~*ъ\ е) у* :у^; К) (а2)*;
2 1 1 _ 1 __ 1 1
а3^; ж) :z 7; Л) (с т)‘5;
1 1 _ \ . _„2, 3) 7П • Ш , 2 м) (р3) ‘5.
г)
587. Упростите выражение:
а) 12 2 2 2 3 _ 5
х^ хт; в) а5:а10; д)(/п^)^; ж) с3с
б) у-0,6^1,2. г) &-0,2;&-0,7. еу (п°'4)-2’5; 3) ^1.7.^-
• а) 588. Представьте в виде степени: х0,2х—'х0,6; б) а3 а* а5 •, в) у0,ъу~5у7,2; г) Ь^ ЬЯЬ^.
• а) б) • а) 589. Упростите выражение: (аол)4-а0-8; в)а(а-‘-2)4; (х^^.х1-6; г) (а0,8) 4 «(а-7)-1,5. 590. Представьте в виде степени: С2С-1.5СО.З. г) (а0,8)0.5.а0.6; ж)
б) 132 55 5 х^хпх7; д) (Ь 4)'5.ьп; з) jp
в) у1’7у2,еу~'5; е) (т0’3)‘’2.(т_0’4)0’4; и)
2
136
• 591. Вычислите:
2 _ 1
а) 10т -10 7 -Ю0,1;
1 1 2 - 1
б) 4 7 -2 3 -8 "5;
в) 3*90,4-^/3;
г) 8“ 7 167 -V4.
• 592. Найдите значение выражения:
а) 2*’3-2-°-7-2,л; в) 4o-7.2“014; д) 2-64-'3;
' _ 4 1 _ 3
6)7 7-7ге-7 г) 250,3«51,4; . е) V9-3-1’5.
• 593. Вычислите:
а) (27-64)^; в) (i-ОДи) ; д) (У24-Д/г|)
6) (27,64)Л г) (-L.S1-1)4; е)ф4.
• 594. Найдите значение выражения:
•)(27-8)< «(-jlj.Ap;
• 595. Упростите выражение:
а) (т~3)7; в) (8а-1'2)'3; д) (^т“3);
б) (х~ *)- ‘Ц г) (81х2)“ *; е) (0,09с" 7 )7.
• 596. Упростите выражение: ,
а) а5 - Ь ъ) (а^'х 7)*т •а0,7/8;
б) (с-7у_0,4)3«с7у0,2; г) р“1вч(р-7дп)~3,5.
597. Представьте в виде квадрату (х>0):
X6, х40, X23, X-14, X5, х~3, X, X 4, X хЛ X °’9, ^С.
598. Представьте в виде куба (у>0):
У6, У~2', У7, У, У^, У-1’5, У~^. У0,2, У~\^У'
599. Известно, что а — положительное число. Представь-
те а в виде:
а) квадрата; б) куба; в) седьмой степени.
600. Пользуясь приближенным равенством 3^«1,73, най-
дите:
3 5 -4 -4
a) 3T; б) З7; в) 3 7;. г) 3 7.
137
1
601. Пусть 4,31^ = а. Выразите через а:
lit 1
а) 431 *; 6) 43100^; в) 0,0431^; г) 0,000431
602. Объем куба равен V. Используя степень с дробным
показателем, выразите:
а) длину а ребра куба через его объем V;
б) площадь $ грани куба через его объем У;
в) площадь поверхности Р куба через его объем V.
603. Зная, что х>0 и у>0, выразите х через у:
2 3 4
а) у=х\ в) у—х
б) у=ху; г) у=х~°-75;
604. Представьте выражение в
показателем:
а) 'Цх-'^/х; в)
б) • ‘Va; г) ^/б2 -yjb;
605. Докажите, что при любом а
606. Решите уравнение:
1 _ 1
а) х3 =4; в) х 7 =3;
з
б) у* = 2; г) у-0,5=6;
Д) у=5хт;
2
X з
е) у=^~.
кяд,е степени с дробным
д) ‘Vу
е) Ух2 Ух-3.
>0 верно равенство:
д) х_0,3-х|,3=1;
2 IS
е) х8 -х8 =25.
607. Используя микрокалькулятор, найдите с точностью
до 0,01 корни уравнения:
а) у°’5 = 1,3; б) |Л5 = 12; в) .г/°>75=4; г) y12S = 5.
Упражнения для повторения
608. Решите неравенство:
а) (2,5х+1) (4х—3) - 5х (2х 4- 7) < 4;
б) (3—4х)2—(8х —1) (2х+9)—11 >0.
609. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну тру-
бу ц через 2 ч, не закрывая ее, открыли вторую. После 4 ч
совместной работы бассейн был наполнен. Одна вторая труба
могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна пер-
138
вая. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую
трубу?
610. На строительстве работали две бригады. После 5 дней
совместной работы вторую бригаду перевели на другой объект.
Оставшуюся часть работы первая бригада закончила за 9 дней.
За сколько дней могла бы выполнить всю работу каждая брига-
да, работая отдельно, если известно, что второй бригаде на
выполнение всей работы потребовалось бы на 12 дней меньше,
чем одной первой бригаде?
27. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИИ,
СОДЕРЖАЩИХ СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Рассмотрим примеры, в которых используются тождест-
венные преобразования выражений, содержащих степени с
дробными показателями.
Пример 1. Найдем значение выражения
(х* — 6)* 2 * —12х7(х 4 —1) при х —12,25.
Предварительно упростим это выражение:
(х* -6)2-12х^(х"^ -1)=х^ - 12х^ 4-36 —12х° 4-12х^ =
=х^ 4-24.
1
Подставим в выражение х^ 4-24 данное значение х и вы-
полним вычисления:
1 1
х? 4-24 = (12,25)^ 4-24=(3,52)'2 4-24 = 3,54-24 = 27,5.
Пример 2. Упростим выражение
J. 2
а2 -Ь2
——т*
а 4 —Ь 4
1 1
Представим числитель а1 — в виде разности квадратов
и разложим ее на множители. Получим:
(а4)2(р)2^ (а-?+3)(а^-ь'?)^а4 +64.
а*-Ь* а*—Ь* а*—Ъ*
Пример 3. Сократим дробь
2 2
х4 -25х4
X 2 +&Х4
139
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Получим
12 2 2 2 2
х4-25х4 _х4(х2-25)_ (х4-5)(х4+5)_ 4
2 1 — 2 1 — 2 — % —
х2+5х4 х4(х4+б) х4+б
• 611. Упростите выражение:
2 5 1 3
„ 3 3 2,5
а) —1 1 х а Ь в) ; 11
X 5 4,5
а Ь
3 1 2
у1 у 2 б> -у^-; Зх-4 Г) &——; 11
—— —
(У7)-2 6 2 С С
д)
1
а 2b'-f
• 612. Упростите:
1
а) д8а1,5 Ь2-5^ . 1_ ’ ' 1_ ’ *1,5 0,5 в) -0.^1 дП . d2,6 У?’ Г) (c-0.2j6.3y •
а 6 (&4)-'
• 613. Вычислите:
а)
82 у§.
3Гл/2
б)
23-5-1,6
614. Представьте выражение в виде суммы:
а) (хт — у^)х^ут; 2 2 1 1 б) Ь5 (а5 + д'5 ); в) (х^ +3) (х* - 3); г) (»Р — 1)(тт +1); 3 13 1 д) (а^ — Ъ^)(а? +ь3); е) (тп”5 4-пт )2; ж) (cP+bT )(а—а"5 4-Ь); з) (х^ -У^)(х+х'!у^+у).
615. Представьте в виде суммы:
112 3
a) bV(^+cr);
б) х°'5у0,5(х-0’5 —у1,5);
в) (2-i/,’5)(2 + i/1-5);
г) (Зр°-5 + в_‘)(Зр0'5 — q~*);
д) (1-ь4)2;
е) (ат +2Ьр2;
ж) (х3 + у3)(х'3 -х^у* +у^у.
з) (а3 — Ьт)(а+а7 4-Ь).
140
616. Упростите выражение:
1 1 7
^(1 + ст)2-2с^;
б} 4-с’’)2;
в) (а5 +6"3)2—(а7 — b"5)2;
г) (х 4 — х^)2 + 2хп;
Д) (У^ Ч-Зг/-5)2 —6уге;
е) (x^+lXx^-lXx^+l).
617. Упростите:
— у~2)2 + 2х'2 у2;
б) -у/т+^/п — (т7 — п4)2;
3 1
в) (а^ + 5а"2)2 —10а2;
г) (а"* + Ъ*) (а"* + Ъ*) (а* - b\
618. Вынесите за скобки общий множитель:
1 1 2 з J. 4‘
а) х —2х7; ъ) а2 — 5а4; д) 5^ — 25 4; ж) (аЬ)3 — (ас)^ ;
1 11 1 2 1 '
б)1/ + Зу3; г)а'3+а‘в; е)с3+6с^; з) 62 — 2^.
619. Разложите на множители:
а) 2 + 2^; Bja+a"2; д) 15^+20^;
б) 3 — 3^; г) Р — b; е) (2a)"2—(5ар.
620. Разложите на множители разность а — Ь, где а>0 и
Ь^О, представив ее:
а) в виде разности квадратов; б) в виде разности кубов.
621. Пользуясь тождеством a2 —&2 = (a —&)(а + &), разло-
жите на множители выражение:
2 4
а) т2 — 5; г) х7 — у'5',
б) 2 —х2; д) 4 —а, где а>0;
в) а3 — 4, где а^О; е) т — п, где ?п>0, п>0.
622. Пользуясь тождеством а3±Ь3=(а±Ь)(а2+а&4-52),
разложите на множители выражение:
3
а) х3 —2; в) in2 —8; д) х —5, где х>0;
6
б) у34-3; г) а7 4-27; е) 4 + у, где у>0.
623. Применив формулу разности квадратов или разности
кубов, разложите на множители:
4
а) а2 —1; в) х —4, где х^О;
з
б) —1;" г) 5 — у, где у>0.
141
624. Представьте выражение в виде суммы кубов и разло-
жите его на множители:
а) +у^ ; б) ; в) а-14-&-1.
625. Представьте выражение в виде разности кубов и раз-
ложите его на множители:
а)
х^ — у^; б) —у 4;
626. Сократите дробь:
в) а7 — Ъ*.
а)
4-32
~-----
З2 -3
' 2х
Д)
Л 1
а3 —Ъ3
~Т
а 3 +5
,3
ж)
7----т
г 2 -L 11 2
б)
2 4 —2
ч х 2 —,
г) --т
X 4
а)
5-2"1
627. Сократите дробь:
З+З-5
—ТУ
3 2
е)
а2-ьг
а—Ь
з)
Л Д 1
х 3 —х3у 3 +у
х+у
_2
3
б)
10
10-10^
в) -#-Л-
X2 +у2
Г) »*-*♦
' Ь —25 ’
д)
е)
c+2c2d2 +d .
с—d
т + п
~ I 1 Т *
тп 3 —m3n3 +п3
628. Найдите значение выражения:
Ji J
X 6 -|-х 3
a) j- 2 при х=1,44;
хв —х3
д
т3 —2,25 Q
б) —т-----при ш=8;
т3 4-1,5
2
2х2 1
в) [----------при х = 9;
V х —4 4
х2 —2
2 2
г) -г------7---при у = 100.
у44-3 у4—з
629. Упростите выражение:
а)
а — Ъ
—-J. у
л 2 l 2
а — и
1 _3
а2 -Ь2 .
а — Ь ’
630. Упростите выражение:
д
a) в>(—УТ
х24-у2 х2—у2 Р—Рг9г
б)
а2 а2 — Ъ2 а—а2Ъ2
2 2
б) ^4——+2<3ь4.
л2+Ь2 а+а2Ь2+Ь
Р2__\ РУ2 +Р2У
142
I
I
Упражнения для повторения
631. Решите систему неравенств:
а) | 21-4х + 2(7х-0,5)<О, б) [ 2(0,5х-3)-3(2х-|-3)>0,
I -4 (*4-0,5)—2х—1>0; I -(4x4-7)+0,5 (4х-6)<0.
632. Если автобус увеличит скорость на 20 км/ч, то на
путь от совхоза до города ему потребуется в полтора раза мень-
ше времени. Если же он уменьшит скорость на 10 км/ч, то за-
тратит на тот же путь на 1 ч больше. Найдите расстояние
от совхоза до города.
633. Обычно путь от деревни до станции велосипедист проез-
жал с определенной скоростью. Однажды на этот путь он
затратил на 20 мин больше, так как ехал со скоростью, на
3 км/ч меньшей. В другой раз, проезжая в час на 1 км больше,
он прибыл на станцию на 5 мин раньше. Каково расстояние
от деревни до станции?
634. Найдите значение выражения:
a) I л/7-Vs . б) V2+V3 .
-V7—-V5"’"л/Т+^/ё ’ -у/2-^3
контрольныевопросы
1. Дайте определение степени с дробным показателем.
2. Сформулируйте свойства степени с рациональным пока-
зателем. Докажите, что если а > 0, р и q — любые рациональ-
ные числа, то арач=ар+ч.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
К параграфу 9
635. Может ли график нечетной функции:
а) пересекать ось у в точке, отличной от начала координат;
б) не проходить через начало координат?
636. Является ли четной или нечетной функция:
г) /(х)=|х + ЗЦ-|х-3|;
б) д)/(х)=|х + 5| —|х —5|;
в) е> /(«)=» 1«4-И 4-1«-2|?
637. Может ли быть четной или нечетной функция f, если
областью ее определения является:
148
a) [—10; 10]; в) [-5; -2]U[2; 5];
б) ( — 8; 12); г) (-оо; 5)?
638*. Постройте график функции, используя свойства чет-
ной или нечетной функции (сначала постройте часть графика
для положительных значений аргумента, а затем для отри-
цательных):
a) y=T7i> б) У = х 1*1; В) у=7х2 — 4; г) y=-y/9—xi.
639. Известно, что некоторая функция возрастает в про-
межутке [0; + оо). Как изменяется (возрастает или убывает)
эта функция в промежутке (—оо; 0], если она является:
а) четной функцией; б) нечетной функцией?
640*. Известно, что y — f(x) и y—g(x)— четные функции.
Является ли четной функция:
а) г/= f (х)+£(«); в) y=/(x)-g(x);
б) У = /(х)-^(х); г)
641*. Известно, что y — f (х) и у=g (х) — нечетные функции.
Является ли четной или нечетной функция:
a) !/=f(x)+g(x); в) y=f (x)-g(x);
б) y = r(x)-g(x); г) У=Ш? ’
642. Значения функции f вычисляются по формуле /(х)=
= х— 2, если х^0, и по формуле /(х)= — х — 2, еслихСО.
Постройте ее график.
643. Постройте график функции
/ л ( х2 + 1, если х>0,
*(*)={ если х<0.
644. Постройте график функции /, зная, что она четная и что
ее значения при xZ>0 могут быть найдены по формуле:
a) f (х)=-1-х — 1; б)/(х)=х2 —2х; в)/(х)=-\/х.
645. Постройте график функции g, зная, что она нечетная
и что ее значения при х^0 могут быть найдены по формуле:
a) g(x) = x2; б) g(x) = x2 —4х; в) g(x)=^Jx.
646*. Докажите, что:
а) если график некоторой функции симметричен относи-
тельно оси ординат, то эта функция четная;
б) если график некоторой функции симметричен относитель-
но начала координат, то эта функция нечетная.
144
647. Существуют ли такие значения коэффициентов k и Ь,
при которых линейная функция y = kx + b является:
а) четной функцией; б) нечетной функцией?
648. Существуют ли такие значения коэффициентов а, b и с,
при которых квадратичная функция у—ах2 + Ьх + с является
четной функцией?
649. Объясните, почему верно неравенство:
а) 5,00>4100; в) 1,5261 <1,6261;
б) О,87|о°<О,89100; г)(-1')261>(т)261*
650. Сравните значения степеней:
0 0,8» и 0,2»; р)(4)'°и(4)!0;
д) 321 и 87;
е) 12503 и 36е.
651. Даны функции f (х)=х7 и g (х)=х10. Сравните с нулем:
а) / (25)—/(12); в)/(0)-/(60); д) g (-9).g (-17);
б) /(-30)-/(-20); г) g(17)-g(5); е) g (38)-g (0).
652. Докажите, что при натуральном п:
а) если х£[0; 1], то х"+1^х";
б) если х£(1; Н-оо), то х"+1>х".
653. Найдите п, если известно, что график функции у = хп
проходит через точку:
а) А (2; 8); б) В(3,5; 12,25); в) С(—3; 81); г) D(—2; —32).
654. Найдется ли такое натуральное значение п, при ко-
тором график функции у—хп проходит через точку:
а) А (2; 5); б) B(->/3; 81); в) С (-5; 415); г) В (-7; -343)?
655. Постройте график функции:
а)у= — х3; д)у=—х4;
б) у = х3 — 1; е) у=х4 — 1;
В) У=(х — 2)3; ж) г/=(х —З)4;
г) у=(х —2)3 + 1; з) i/=(x —3)44-2.
656. Сколько корней имеет уравнение:
а) х*° = 2; б) х‘°=0; в) х'°=— 3; д) х7 = 0; г) х7 = 5; е) х7=—1?
145
К параграфу 10
657. Найдите значение выражения:
а) — 0,5'У1024;
б) —|-V-2187;
О
в) 1,5 УИ2;
д) У-125-Уод7;
е) У16^.уо,1253.
658. Решите уравнение:
а) Ух = 0,2; в) Уа= —1; д) Ух=1;
г)Чь = 2-, е)У/=-2.
А
659. При каких значениях переменной имеет смысл вы-
ражение:
а) Ух —2; в) Ух+ 5; д) Уу2 —5у-|-6;
6) ; г) V(a-5)(a-2); е) ‘У— 62 4-66-8?
660. Решите уравнение:
а) х6 = 12; в) х7=—3; д) Ух4~1 = 2;
б) х9=5; г) х" = 2; е) Ух^2 = 1.
661. Решите уравнение:
а) х8 + 6х4-7 = 0; в) х6 4-Их3 4-24=0;
б) х12—9х64-14=0; г) хи-5х7 4-6=0.
662. Решите уравнение и неравенства:
а) Ух = 5, Ух>5, У*<5; б) Ух=2, Ух>2, Ух<2.
663. Постройте график функции у=\[х. Пользуясь графи-
ком, сравните значения корней:
а) ^3 и У27; б) У^5 и У=Л; в) У^ОД и УОДИ.
664. Определите знак разности:
а) У6-У7;
в) 1- УоДЙ);
г) Уб^8-Д/-|-.
665*. Докажите, что функция f четная, и постройте ее гра-
фик, если:
а) /(х)=УГхГ; б) Г(х)=УЙ.
666. Оцените значение выражения 'Ух, зная, что:
а) 0<х<1; б) 1<х<1000; в) 1000<х<10'°.
148
667. Найдите область определения функции:
а) у=-фс — 2', б) у=У5 —2х; в) у=У8х + 1.
668. Пользуясь графиками функций у—х, у=-\[х и у=Л/х,
решите уравнение и неравенства:
а) -у/х=х, -Jx<x, -Jx>x', б) \[х—х, tfc<x, \[х>х.
669*. Постройте график функции:
а) У=—fc; б) у=—Цх; в) у=^/—х', г) у=У—х.
Чем отличаются друг от друга графики функций у — —\[х
И у=^—х-, у= —^/х и у=У—х?
670. Найдите значение выражения:
. 3 / 64-27 . 4 / 81 . вЧ Д / 3|0-55 . . Д / 99
а ’ 125 ’ ’16-625* ' 710 * ’ 212-56 ‘
671. Вынесите множитель из-под знака корня:
a) -yjlfapy, б) У81а&7; в) У12ба5х3; г) Уб4Ь|2у7.
672. Упростите выражение:
а) ау—; б) ху±; в) ьу±; г) ЗсД/-^.
» а ’ас2 * Ъ3 * 16с4
673. Определите знак разности:
в) УЗ-2УЗ;
674. Расположите в порядке возрастания числа:
а) л/2, УЗ, Уб; б) У5Л, УбД У^2.
675. Докажите, что верно равенство:
a) V2—УЗ - Ут+Туё = 1; б) ^/3 — 2^2 :^^2 — 1 = 1.
676. Освободитесь от иррациональности в знаменателе
дроби:
а)^Г; б)^: в)^1; г) А/з-1 ; д) V6+V2 *
677. Решите уравнение:
а) Ух —2Ух = 0; в) *Ух-|-5 = 0; д) Ух — 5Ух-|-6=0;
б) Ух-0,1 = 0; г) Ух + 2Ух-1 = 0; е) Ух-2Ух-3 = 0.
147
К параграфу 11
678. Упростите выражение, заменив корень степенью с
дробным показателем:
а) 2,5 -\/40; в) а-^а\ д) (х + 1)2 V* + l;
б) —8^2; г) — &V&, где &>0; е) (у — 5)3 Vi/— 5-
679. Сравните числа:
а) 8 7 и 83; б) 5® и 8®; в) 3® и 57; г) З*2 и 4"®.
680. Решите уравнение:
а) (х — 2)2=4; г) (t/ + 3)-'=-l-;
б) (х-2)2=42; д)(а-5)3=0;
в) (y+3)7 = -l; е) (а-5)°=-|_.
1 Л
681. Оцените значения выражений х5 их5, зная, что:
а)~<х<1; б) 1<х<32; в) 32<х<1000.
682. Упростите выражение:
4 А _1 _il
а)-4-г; г)(с4с 6) 7;
х'°.х15 1
_1
в) m»-Ts; е)(^. ’
683. Представьте в виде степени с основанием х (х>0):
а) ^/х7» *^/х^; б) ; в) ^/х2 \/х.
ух 1
684. Найдите значение выражения:
1 _2 — —
а) (х 'х±—при х — 0,008;
X3
_2 1 —
б) ( *^2^2) при х = 0,0625.
\ ух-ух~у
148
685. Найдите два каких-либо решения уравнения: ,
1 _1 2
а) х3 #2 = 32; б) х 2 у 3 =9.
686. Выразите формулой зависимость между переменными
х и у, если:
_1 1 2 1 11
a) x = t 2, y = t2; б) x = t3, y = t3; в) x = t2, y = t3.
687. Упростите выражение:
_1 _1 2 2 2 _2 1
а) а 3Ъ 3 (а3 + Ь3) —(а3 Ъ 3)2;
б) (х2 +у4)(х2 — F4)+(!/1,5)3«
688. Вынесите за скобки множитель а-°’5:
а) 2а~0,5 —За; б) За-°-5 + 5а05; в) 6а-1.
689. Пользуясь тождеством а2 — Ь2 = (а — 6) (а + 6), разло-
жите на множители выражение:
2 1
а) х3—4; в) тп2—25; д) с0,8 —х0,5;
1 1
б) а3—5; г) 3 —2х3; е) р—р0,6.
690. Пользуясь тождествами а3±63 = (а±Ь) (а2=Ра&4-62)>
разложите на множители выражение:
а) а — 8, где а^О; в) а0,6 —б0,6;
б) 14-276, где &>0; г) х0-94-125.
691*. Разложите на множители:
а) -\[х—>/у + х — у',
б) -\/а4-а4—\[Ь — Ъ;
1 2
в) х2 4-4х4 4-4;
г) х —2х2 а2 4~«;
д) х-|-2х2 —8;
_1 _2
е) 6х 2 —5х 4 4-1.
1
692. Выполните подстановку х
2 2
а2 +Ь2
2 2
а2—Ъг
упростите выражение
ху
х+у *
и
693*. Решите уравнение:
а) 18с-|-Зс2 -10=0;
б) 21х-‘-6х 2-15 = 0;
2 1
в) Зу3 +5у3 —2 = 0;
_2 _1
г) 2а 3 —7а 3 +3 = 0.
149
694. Напишите формулу, выражающую зависимость между
переменными и и v9 если:
1 1 1
a) u = t3 +1, v — t 3 +1; б) u = (t + 2)4, v = (2 —t)4.
695. Упростите выражение:
ч т2 п1-т1п* т2—п2 гп* п2
а)-------------------------:---- •
' 2 2 12 2 т — п
т п —т п т
,, /х'-Х3 I 1—X® \ 1Ч-Х
б> (-T+7-+-----7—-) TZ7 •
1 —х3 4-х3
696. Докажите, что если Ъ=^ и а>0, то верно равен*
ство:
(о4-Ь)^+(а-Ь)^
(а4-&)^ — (а — Ь)2
Глава V.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ВЫРАЖЕНИЯ
И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА
§ 13. ОСНОВНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
§ 14. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
И ИХ СЛЕДСТВИЯ
§ 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА
28. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА,
ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА
Отметим на оси х справа от начала координат точку А
и проведем через нее окружность с центром в точке О (рис. 64).
Радиус ОА будем называть начальным радиусом.
Повернем начальный радиус около точки О на 70° против
часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОВ. Говорят,
что угол поворота равен 70°. Если повернуть начальный ра-
диус около точки О на 70° по часовой стрелке, то он перейдет
в радиус ОС. В этом случае говорят,
что угол поворота равен —70°. Углы
поворота в 70° и —70° показаны стрел-
ками на рисунке 64.
Вообще при повороте против часо-
вой стрелки угол поворота считают по-
ложительным, а при повороте по часо-
вой стрелке — отрицательным.
Из курса геометрии известно, что
мера угла в градусах выражается чис-
лом от 0 до 180. Что касается угла
поворота, то он может выражаться в
градусах каким угодно действительным
числом от — оо до + оо. Так, если на-
151
чальный радиус повернуть против часовой стрелки на 180°,
а потом еще на 30°, то угол поворота будет равен 210°. Если на-
чальный радиус сделает полный оборот против часовой стрел-
ки, то угол поворота будет равен 360°; если он сделает полтора
оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен
540° и т. д. На рисунке 65 стрелками показаны углы поворота
в 405° и —200°.
Рассмотрим радиусы ОА и ОВ (рис. 66). Существует беско-
нечно много углов поворота, при которых начальный радиус
ОА переходит в радиус ОВ. Так, если ААОВ= 130°, то со-
ответствующие углы поворота будут равны 130°4-360°в,
где п — любое целое число. Например, при n=0,1, —1, 2, —2
получаем углы поворота 130°, 490°, —230°, 850°, —590°.
Пусть при повороте на угол а начальный радиус ОА пе-
реходит в радиус ОВ. В зависимости от того, в какой коор-
динатной четверти окажется радиус ОВ, угол а называют
углом этой четверти. Так, если 0°<а<;90о, то а — угол
I четверти; если 90° < а < 180°, то а — угол II четверти; если
180°<а<270°, то а — угол III четверти; если 270°<а<360°,
то а — угол IV четверти. Очевидно, что при прибавлении
к углу целого числа оборотов получается угол той же чет-
верти. Например, угол в 430° является углом I четверти, так
как 430° = 360° 4-70° и 0°<70°<90°; угол в 920° является
утлом III четверти, так как 920° = 360° *2 4-200° и 180° <
<200° <270°.
Углы 0°, ±90°, ±180°, ±270°, ±360°, ... не относятся
ни к какой четверти.
В курсе геометрии были определены синус, косинус и тан-
генс угла а при 0°^а^180°. Теперь мы распространим эти
определения на случай произвольного угла а. Кроме то-
го, определим еще котангенс угла а, который обозначают
ctg а.
Пусть при повороте около точки О на угол а начальный
радиус ОА переходит в радиус ОВ (рис. 67).
152
Синусом угла а называется отношение ординаты точки В к
длине радиуса.
Косинусом угла а называется отношение абсциссы точки В
к длине радиуса.
Тангенсом угла а называется отношение ординаты точки В
к ее абсциссе.
Котангенсом угла а называется отношение абсциссы точки
В к ее ординате.
Если координаты точки В равны х и у, а длина начального
радиуса равна R, то
sma=f, cosa=—, tga=-^~, ctga=—.
Jn Jn x у
В курсе геометрии было показано, что значения синуса,
косинуса и тангенса угла а, где 0° <1 а 180°, зависят только
от а и не зависят от длины радиуса Я. И в общем случае sin a,
cos a, tg a, а также ctg а зависят только от угла a.
Покажем, например, что sin а не зависит от Я.
Пусть при повороте луча OAi около точки О на угол а (рис. 68) радиусы
ОА1—Bi и OA2=R2 займут положения ОВ\ и ОВ2. Обозначим координаты
точки Bi через Xi и yi, а координаты точки В2 через х2 и у2.
Опустим перпендикуляры из точек Bi и В2 на ось х. Прямоугольные
треугольники ОВ\С\ и ОВ2С2 подобны. Отсюда
B\Ci_В2С2 I У\I_____1уг1
~ОВХ ОВг ’ т‘ е* Ri ~ Нг '
Так как точки Bi и В2 принадлежат одной и той же координатной чет-
_ lit и?
верти, то их ординаты ух и у2 имеют одинаковые знаки. Поэтому
Л| Л 2
Заметим, что это равенство верно и в том случае, когда точки Bi и В2 по-
падают на одну из осей координат. Таким образом, для любого угла a
у
отношение не зависит от длины радиуса JR.
153
Выражения sin а и cos а определены при любом а, так
как для любого угла поворота можно найти соответствующие
значения дробей — и . Выражение tg а имеет смысл при
любом а, кроме углов поворота ±90°, ±270°, ±450°, так
как для этих углов не имеет смысла дробь Для выраже-
ния ctg а исключаются углы 0°, ± 180°, ± 360°, ...» для
которых не имеет смысла дробь
Каждому допустимому значению а соответствует единст-
венное значение sin a, cos а, tg а и ctg а. Поэтому синус, ко-
синус, тангенс и котангенс являются функциями угла а. Их
называют тригонометрическими функциями.
Можно доказать, что областью значений синуса и косинуса
является промежуток [—1; 1], а областью значений тангенса
и котангенса — множество всех действительных чисел.
Приведем примеры вычисления значений тригонометри-
ческих функций.
Пример 1. Найдем с помощью чертежа приближенные
значения sin 110°, cos 110°, tg 110° и ctg 110°.
Начертим окружность с центром в начале координат и ра-
диусом OA—R=3 (рис. 69). Повернем радиус О А на 110°.
Получим радиус ОВ. Найдем по рисунку координаты х и у
точки В: ха—1,05, i/«2,80. Отсюда
164
cosllO°=-£-«
а
tg 110°=^-«
ctg 110°=—«
У
-^-=-0,35,
1,05 Z,‘’
-vS-~ -0,38.
В таблице приведены известные из курса геометрии значе-
ния синуса, косинуса и тангенса углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Прочерк сделан в том случае, когда выражение не имеет
смысла.
а 0° 30° 45° 60° 90°
sin а 0 1 2 У2 2 Уз 2 1
cos а 1 Уз 2 -д/2 2 1 2 0
tg а 0 Уз 3 1 Уз —
ctg а — Чз 1 3 0
Значения котангенса могут быть получены из значений
тангенса, так как котангенс угла является числом, обратным
тангенсу этого же угла. Поэтому, например,
ctg 30°=—-—=—=-7з.
е tg зо°
з
Пример 2. Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс
углов 180° и 270°.
.При повороте на 180° около точки О
радиус О А, равный 1, (рис. 70) перехо-
дит в радиус ОВ, а при повороте на
270° — в радиус ОС.
Так как точка В имеет координа-
ты х=— 1 и у = 0, то
sin 180°=-р=В,
cos 180° = ^i= —1,
tg 180° = -^-=0.
155
Так как точка С имеет координаты х = 0 и у=— 1, то
sin 270° =—г-=—1. cos 270° =-^-=0, ctg 270° =^= 0.
Напомним, что выражения ctg 180° и tg 270° не имеют смысла.
697. Начертите окружность с центром в начале координат
и изобразите угол поворота, равный 150°, 210°, 540°, —45°,
— 135°, -720°.
698. Чему равны углы поворота, по-
казанные стрелками на рисунке 71?
699. Углом какой четверти является
угол а, если:
а) а = 283°; г) а =—20°;
б) а = 190°; д)а=—110°;
в) а = 100°; е) а = 4200°?
700. Определите, углом какой чет-
верти является угол а, если:
а) а = 179°; г) а =—10°;
б) а = 325°; д) а = 800°;
в) а = — 150°; е) а = 10 000°.
701. Среди углов поворота 770°, 480°, —50°, 1560°, —240°,
— 310° найдите такие, при которых начальный радиус займет
то же положение, что и при повороте на угол: а) а = 50°;
б) а = 120°.
702. Найдите в промежутке от 0° до 360° угол а такой,
чтобы поворот начального радиуса на этот угол совпал с
поворотом на угол:
а) 420°; б) —210°; в) —700°.
703. На рисунке 72 стрелками показаны углы поворота в
35°, 160°, 230° и —75°. Найдите приближенное значение
синуса, косинуса, тангенса и котангенса каждого из этих углов.
КЛАВДИИ ПТОЛЕМЕИ (П в.) — древнегреческий
ученый, создатель геоцентрической системы мира.
Разработал математическую теорию движения
планет, позволяющую вычислять их положение на
небесной сфере. Внес значительный вклад в разви-
тие тригонометрии.
156
Рис. 72
704. Начертите окружность с центром в начале координат
и радиусом R = 5 см. Поверните начальный радиус на угол а
и найдите приближенное значение sin a, cos a, tg а и ctg а,
если а = 50°, 175°, —100°.
• 705. Найдите значение выражения:
а) 2 cos 60° + V3 cos 30°; г) 3 tg 45° • tg 60°;
б) 5 sin 30°—ctg 45°; д) 4 tg 60°-sin 60°;
в) 2 sin 30°4-6 cos 60° — 4 tg 45°; e) 12 sin 60°-cos 60°.
• 706. Вычислите:
a) 2 sin 60°-ctg 60°; в) 7 tg 30°.ctg 30°;
6) 2 sin 45°—4 cos 30°; r) 6 ctg 60° — 2 sin 60°.
707. Укажите несколько значений а, при которых:
a) sin а = 1; б) cosa=—1; в) sina = 0; г) tga = 0.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707—1783) — математик,
механик, физик, астроном. По происхождению
швейцарец. Более тридцати лет работал в России.
Член Петербургской академии наук. Ученый нео-
бычайной широты интересов. Его многочисленные
труды по математике, небесной механике, физике,
кораблестроению оказали значительное влияние
на развитие науки.
157
708. Укажите несколько значений 0, при которых:
a) sin0=—1; б) cos 0 = 1; в) cos 0=0; г) ctg 0 = 0.
709. Каковы наибольшее и наименьшее значения выра-
жения:
a) 1-f-sina; б) 2—cos а?
710. Укажите наибольшее и наименьшее значения выра-
жения:
а) 1—sin а; б) 2-|-cosa.
711. Укажите несколько углов а, при которых не имеет
смысла выражение:
а) tg a; б) ctg a.
712. Может ли sin а принимать значение, равное:
а) л/2; 6)-U в) -1±£. г)-i^-?
у2 2 2
• 713. Найдите значение выражения:
а) 2 cos 0° - 4 sin 90° +5 tg 180°;
б) 2 ctg 90° - 3 cos 270° + 5 sin 0°;
в) tg 360°—sin 270°—cos 180°.
• 714. Вычислите:
a) sin 0° 4- 2 cos 60°; в) 4 sin 90° — 3 cos 180°;
6) tg 60° • sin 60° • ctg 30°; r) 3 ctg 90° - 3 sin 270°.
• 715. Найдите значение выражения sin a+cos a, если:
a) a=0°; 6) a = 45°; в) a = 90°; r) a = 180°.
• 716. Найдите значение выражения cos 2a cos 3a, если:
a) a = 15°; 6) a = 30°; в) a = 90°.
• 717. Найдите значение выражения:
a) sin a+sin 2a+sin 3a при a = 30°;
6) tg -2-+ tg -2- при a = 90°.
A О
Упражнения для повторения
718. Упростите выражение
д1,5_&1,5 у g0,5_|_b0.S _ frO.S \
д0.5 \ в0.5 + Ь«.5/ '
158
719. Докажите, что:
а) прямая 2х—Зу — 2 пересекает окружность х2 + у2 = 20;
б) прямая х 4- 7 у = 50 касается окружности x2 + j/2 = 50.
720. Найдите значение выражения:
Л 1 11
а) 273 —164 . q 83 —325
81~7 125-J
29. СВОЙСТВА СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА
Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функ-
ций.
Выясним сначала, какие знаки имеют синус, косинус,
тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей.
Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол а
точка А перешла в точку В с координатами х и у (см. рис. 67).
Так как sin а =-^-, то знак sin 9 зависит от знака у.
В I и II четвертях у>0, а в III и IV четвертях у<0. Значит,
sin а>0, если а является углом I или II четверти, и sin а<0,
если а является углом III или IV четверти.
Знак cos а зависит от знака х, так как cos а—. В I и IV
четвертях х>0, а во II и III четвертях х<0. Поэтому cos а>0,
если а является углом I или IV четверти, и cos а<0, если а
является углом II или III четверти.
Так как tga=—, a ctga=—, то знаки tga и ctg a за-
as у
висят от знаков х и у. В I и III четвертях х и у имеют одина-
ковые знаки, а во II и IV — разные. Значит, tg a > 0 и ctg a > 0,
если а является углом I или III четверти; tg a<0 и ctg a<0,
если а является углом II или IV четверти.
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждой
из четвертей показаны на рисунке 73.
Знаки тангенса
и котангенса
Ум
1Б9
Пусть координаты
Выясним теперь вопрос о четности
и нечетности тригонометрических функ-
ций.
Пусть при повороте на угол а ради-
ус ОА переходит в радиус ОВ, а при
повороте на угол — а в радиус ОС
(рис. 74). Соединив отрезком точки В
и С, получим равнобедренный тре-
угольник ВОС. Луч ОА является бис-
сектрисой угла ВОС. Значит, отрезок ОК
является медианой и высотой треуголь-
ника ВОС. Отсюда следует, что точки
В и С симметричны относительно оси
абсцисс.
точки В равны х и у, тогда координа-
ты точки С равны х и — у. Пользуясь этим, найдем, что
sin (—а)=-^-= —1-= — sin а,
cos ( —а)=-^- =cos а,
tg (-а)=-^-= — -tg
ctg ( —а)=^-= —у = — ctg а.
Мы получили формулы, выражающие зависимость между
синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами проти-
воположных углов:
sin ( —а)= —sin a, cos ( —a)=cos а,
tg ( — а) — — tg a, ctg ( —а)= —ctg а.
Например:
cos (— 40°) = cos 40°,
tg (-60°)= - tg 60°= -7з.
Итак, синус, тангенс и котангенс являются нечетными
функциями, а косинус является четной функцией.
Рассмотрим еще одно свойство тригонометрических функ-
ций.
Если при повороте радиуса О А на угол а получен радиус ОВ
(см. рис. 67), то тот же радиус получится и при повороте О А
на угол, отличающийся от а на целое число оборотов. Отсюда
следует, что при изменении угла на целое число оборотов
значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изме-
няются.
Например:
160
sin 30° = sin (30° + 360°)=sin (30° — 360°)=sin (30° + 2 • 360°)=
=sin (30° - 2 • 360°) =... =_L.
Рассмотренные свойства позволяют свести нахождение
значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого
угла к нахождению их значений для неотрицательного угла,
меньшего 360°.
Пример. Найдем sin 765° и cos( — 1170°).
Имеем:
sin 765° =sin (2 • 360° + 45°) = sin 45° = &;
cos (— 1170°)=cos 1170° =cos (3 • 360° + 90°) = cos 90° = 0.
• 721. Какой знак имеют sin a, cos a, tg а и ctg a, если:
a) a = 48°; 6) a = 137°; в) a = 200°; r) a = 306°?
• 722. Какой знак имеет:
a) sin 179°; в) tg 175°; д) cos 410°; ж) sin(—75°);
б) cos 280°; г) ctg 359°; е) tg 500°; з) cos (-116°)?
• 723. Выясните, какой знак имеет:
а) cos 315°; в) tg 145°; д) cos (-25°);
б) sin 109°; г) ctg 288°; e)tg(-10°).
724. Углом какой четверти является угол а, если:
а) sin a>0 и cos a>0; г) sin a>0 и tg a>0;
6) sin a<0 и cos a>0; д) tg a<0 и cos a>0;
в) sin a<0 и cos a<0; e) ctg a>0 и sin a<0?
725. Определите знак выражения:
a) sin 100°-cos 300°; в) cos 320° -ctg 17°;
6) sin 190° • tg 200°; r) tg 170° • cos 400°.
726. В каких четвертях имеют одинаковые знаки:
а) sin а и cos a; б) tg а и ctg a; в) cos a и tg a?
• 727. Найдите значение выражения:
a) sin( — 30°); в) tg( —45°); д) cos ( — 90°);
б) cos ( — 60°); г) ctg (-30°); е) sin ( — 45°).
• 728. Найдите:
а) sin (-60°); б) J3os(-180°); в) sin (-90°); г) ctg (-45°).
• 729. Найдите значения синуса, косинуса, тангенса и котан-
генса угла а (если они существуют) при:
а) a = 750°; б) a = 810°; в) a = 1260°.
6 Заказ 624 161
• 730. Найдите:
a) sin 390°; б) cos 420°; в) tg 540°; г) ctg 450°.
• 731. Найдите значение выражения:
a) sin 405°; б) cos 720°; в) tg 390°; г) ctg 630°.
• 732. Вычислите:
a) sin (-720°); в) cos (-780°);
б) cos (—405°); г) ctg (-1110°).
• 733. Найдите:
a)tg(—900°); б) ctg (-780°); в) sin (-1125°).
Упражнения для повторения
734. Найдите значение выражения
при х=—0,12 и F=0,5.
х 1—у 1 х~гУ
735. Решите неравенство:
а) х2— х — 56<0; в) 4х2<1—1;
б) Зх2 — 29х —10>0; г) —х+х2>0.
30. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
С ПОМОЩЬЮ МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРА
Как известно, углы измеряются в градусах, минутах, се-
кундах. Эти единицы измерения связаны между собой соот-
ношениями
1° = 60', Г = 60",
В
О А
Рис. 75
Кроме указанных, используется также единица измерения
углов, называемая радианом.
Углом в один радиан называют цент-
ральный угол, которому соответствует
длина дуги, равная длине радиуса окруж-
ности.
Угол, равный 1 рад, изображен на ри-
сунке 75.
Радианная мера угла, т. е. величина
угла, выраженная в радианах, не зависит
от длины радиуса. Это следует из того,
что фигуры, ограниченные углом и ду-
162
гой окружности с центром в вершине
этого угла, подобны между собой
(рис. 76).
Установим связь между радиан-
ным и градусным измерениями уг-
лов.
Углу, равному 180°, соответству-
ет полуокружность, т. е. дуга, дли-
на I которой равна л2?:
7 = лЯ.
Чтобы найти радианную меру это-
го угла, надо длину дуги I разделить
Получим:
1
R ~
на длину радиуса R.
Следовательно, радианная мера угла в 180°
180° = л рад.
Отсюда получаем, что радианная мера угла в
1 =180
Приближенно 1° равен 0,017 рад.
Из равенства 180°= л рад также следует,
- 180
мера угла в 1 рад равна :
- 180°
1 РаД=~ •
равна л:
1*0 Л
Равна
что градусная
Приближенно 1 рад равен 57°.
Рассмотрим примеры перехода от радианной меры к градус-
ной и от градусной меры к радианной.
Пример 1. Выразим в градусах 4,5 рад.
m 1 180°
Так как 1 рад=--, то
4,5 Лд=4,5-^=«^«258°.
Л л
Пример 2. Найдем радианную меру угла в 72°.
Так как 1°=т£-прад, то
loU
72° = 72.^рад=^рад^1,3 рад.
При записи радианной меры угла обозначение «рад» часто
опускают. Например, вместо равенства 72° =-^-рад обычно
9
пишут: 7<>о__2я
* ” 5 *
6*
163
Выразим в радианной мере 360°. Получим: углы 30°, 45°, 60°, 90°, 270°
300 = ito'30=7P 9O°=iio-9O=l’
45° = 1Го-45=Т’ 2700=15о-270=-h’
6О°=11о’6О=Т’ 360° =~ 360 = 2л. loU
Радианная мера угла часто используется в тригонометри-
ческих выражениях. Так, запись siitl означает синус угла в
1 радиан, запись sin ( — 2,5) означает синус угла в —2,5 ра-
диана, запись sin -2- означает синус угла в -2- радиан. Вообще
запись sin х, где х — произвольное действительное число,
означает синус угла, равного х радианам.
Значения тригонометрических функций для углов, выражен-
ных как в градусах, так и в радианах, можно находить,
используя микрокалькулятор. Так, с помощью микрокалькуля-
тора «Электроника БЗ-36» значения синуса, косинуса и танген-
са вычисляют следующим образом. Переводят переключатель
«ГРАД—РАД», находящийся в нижней части корпуса, в поло-
жение «ГРАД», если угол задан в градусах, или в положение
«РАД», если угол задан в радианах. Вводят угол, нажимают
клавишу F , а затем клавишу, над которой написано на-
звание соответствующей функции.
Пример 3. Найдем с помощью микрокалькулятора зна-
чение выражения с точностью до 0,001:
a) sin 28°17'; б) cos 3,9; в) tg у.
а) Установим переключатель в положение «ГРАД», затем
выразим 28°17' в градусах и нажмем Последовательно клавиши
F и sin . Так как 28°17'
, то программа вы-
числений выглядит так:
17
4- 60 + 28 = F sin
Получаем, что sin 28°17'»0,474.
б) Устанавливаем переключатель в положение «РАД» и на-
ходим значение cos 3,9 по программе:
3,9 F cos .
Получаем, что cos 3,9 « —0,726.
в) Переключатель устанавливаем в положение «РАД». При
4л
нахождении значения выражения у воспользуемся тем, что
164
на панели микрокалькулятора «Электроника S3-36» имеется
специальная клавиша л, при нажатии которой высвечивается
число 3,1415926 — приближенное значение числа л с точ-
ностью до 10“7. Вычисления проводим по программе:
л X 4 4- 7 F tg
Получаем, что tg — » —4,381.
Отметим, что для вычисления котангенса угла надо сначала
найти значение тангенса этого угла, а потом обратное число,
нажав клавиши F И 1 X •
• 736. Найдите градусную меру угла, радианная мера кото-
рого равна:
а) 0,5; в) д) -^-л; ж) —|-л;
6)10; г) -J-; е) —|-л; з) 12 л.
• 737. Выразите в градусах угол, радианная мера которого
равна: V
а) 0,2; б) 3,1; в) -|-л; г) —|-л; д) —|-л; е) 4-я.
• 738. Найдите радианную меру угла, равного:
а) 135?; , в) 36°; д) 240°; ж) -120°;
б) 210°; г) 150°; е) 300°; з) —225°.
• 739. Выразите угол а в радианах, если:
а) а = 1(^; в) а = 54°; д) а = 225°; ж) а=—45°;
б) а = 18°; г) а = 200°; е) а=390°; з)а=—60°.
740. Выразите в радианах угол, смежный с углом а, если:
а) а=^-; б) а=||-л; в) а=0,3л.
О J.Z
741. Выразите в радианах углы равнобедренного прямо-
угольного треугольника.
742. Углом какой четверти является угол а, если:
а) а=^-; б) а = 1,8л; в) а=0,6л; г) а = 1?
743. Определите знак выражения:
a) sin у-; в) sin 1; д) tg-j-; ж) ctg-у;
б) cos г) cos 0,9; е) tg 3; з) ctg 0,2.
165
* 744. Какой знак имеет каждая из тригонометрических
функций в промежутке:
а)(°;-р); б)(т;л); »)(я;*гя)} г)(-|-л;2л)?
• 745. Заполните таблицу:
а 0 л б" л т л т л ~2 л 3 2 " 2л
sin а
cos а
tg а
ctg а
• 746. Вычислите:
a) 2sin-£--+-tg-j-; в) cos л —2 sin у;
б) cos—sin-f-л; г) 2 cos-5- +tg л.
747. Найдите значение выражения:
а) 2 sin л —2 cos ^-+3 tg-у—ctg-£-;
£ь 4 а
б) sin( —J-) +3 cos у-tg-^-4-ctg у;
в) 2 sin —3 tg у + ctg( -у-) —tg л;
г) 3 tg( —у) +2 sin 7—3 tg 0 — 2 ctg у.
748. Вычислите:
a) sin2 7-+sin2 в) tg2 -=-sin ytg2
< 0 <00
6) cos2 у -cos2 r) tg -=-cos2 ysin i.
О *t ООО
749. Найдите значение выражения:
a) 6sin-£—1-4 cosO —3 sin^-4-cos л;
A J
б) sin ( — л)—cos( — 4-2 sin 2л—tg л;
166
в) 3 - Sin2-2-+2 cos25 tg2
О a 4
г) 3 sin2 |—4 tg2 -2—3 cos2 -2- + 3 ctg2 -2-.
• 750. Найдите значение:
a) sin 2,5л; в) tgi|2; д) ctgi|2;
v о
6) cos( -у); Г) sin( -у); е) tg( —.
• 751. Найдите:
a) ctg ^2.; б) сое ^2;- в) sin( — ; г) cos ( — 4,5л).
752. Найдите с помощью микрокалькулятора с точностью
до сотых:
a) cos 125°37'; в) sin 3,48; д) sin 3,7л;
б) tg 48°12'; г) cos 176,5; е) tg|2-.
Упражнения для повторения
753. Упростите выражение:
< а—3 6д —18\ . 5а—15 .
<а2—За+9 а3+27/ Ча3+108 *
< х—3 х—3 \ 2х3-128
<х3—64 ‘-х2 + 4х+16/ ’ 3—х
754. Решите неравенство:
а) 6х—10х2<0; б) 7х2< — 2х.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение синуса, косинуса, тангенса и котан-
генса угла а. Для каких значений а имеет смысл каждое из
выражений: sin a, cos a, tg a, ctg а?
2. Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс
в каждой из координатных четвертей?
3. Какие из тригонометрических функций являются четны-
ми, какие — нечетными? Запишите соответствующие равенства.
4. Что называют радианом? Выразите в радианах углы,
равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°.
167
§ 13. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
I
31. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА
Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус од-
ного и того же угла.
Пусть при повороте радиуса ОА вокруг точки О на угол а
получен радиус ОВ (рис. 77). По определению
. у х
sina=-£-, cosa=—,
/ъ гь
где х — абсцисса точки В, у — ее орди-
ната, a R — длина радиуса О А. От-
сюда
x=Bcosa, y=Bsina.
Так как точка В принадлежит ок-
ружности с центром в начале коорди-
нат, радиус которой равен Я, то ее коор-
динаты удовлетворяют уравнению
х2 + у2=В2.
Подставив в это уравнение вместо х и у выражения R cos а и
R sin а, получим:
(R cos a)2 + (B sin a)2=B2.
Разделив обе части последнего равенства на В2, найдем, что
sin2a + cos2a = l. (1)
Равенство (1) верно при любых значениях а.
Выясним теперь, как связаны между собой тангенс, синус
и косинус одного и того же угла.
По определению tg a=—. Так как y=R sin a, х=В cos a,
то
, у R sin a sin a
tg a=—=—-------=-----.
x R cos a cos a
Таким образом,
tga=^. (2)
cos a
Аналогично
, __ x R cos a cos a
C a у R sin a sin a ’
168
т. е.
ctga=^. . (3)
° sin a ' '
Равенство (2) верно при всех значениях а, при которых
cos а=И=О, а равенство (3) верно при всех значениях а, при ко-
торых sin а=#=0.
С помощью формул (1) — (3) можно получить другие фор-
мулы, выражающие соотношения между тригонометрическими
функциями одного и того же угла.
Из равенств (2) и (3) получим:
< -х- sin a cos a ,
tg a-Ctg a =----:-----=1,
cos a sin a
T. e.
tg a-ctg a = l. (4)
Равенство (4) показывает, как связаны между собой тан-
генс и котангенс угла а. Оно верно при всех значениях а, при
которых tg а и ctg а имеют смысл.
Заметим, что формулу (4) можно получить и непосред-
ственно из определения тангенса и котангенса.
Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между
тангенсом и косинусом, а также между котангенсом и сину-
сом одного и того же угла.
Разделив обе части равенства (1) на cos2 а, получим:
sin2 а । 1 1
--5--Г -*• =-5- 9
cos2 a ’ cos a
т. e.
l-|-tg2a =—*—. (5)
‘ cos2 a
Если обе части равенства (1) разделить на sin2 а, то будем
иметь:
1 , cos2 a_1
Л "Т" . 2" - • 2 9
sin a sin a
T. e.
l+ctg2a=-^-. (6)
sin a
Равенство (5) верно, когда cos a =# 0, а равенство (6), когда
sin a=/=0.
Равенства (1) — (6) являются тождествами. Их называют
основными тригонометрическими тождествами. Рассмотрим
примеры использования этих тождеств для нахождения значе-
ний тригонометрических функций по известному значению од-
ной из них.
169
Пример 1. Найдем cos a, tg а и ctg а, если известно,
что 8ша=тз- и -=-<а<л.
Найдем сначала cos а. Из формулы sin2 а 4-cos2 а = 1 по-
лучаем, что cos2 а = 1 — sin2 а.
Так как а является углом II четверти, то его косинус
отрицателен. Значит,
cos «= —71-^»= —V1“^= -Ц•
Зная синус и косинус угла а, можно найти его тангенс:
5
. _sin а_ 13 __ 5
сова __12 12’
13
Для отыскания котангенса угла а удобно воспользоваться
формулой tg а • ctg а — 1. Имеем:
. 1 12 о 2
ctg а==—= —=-— — 2 —.
® tg а б 5
Итак,
12 . 5 . „2
cosa= — -J3, tg а= — jg, ctga=—2—.
Пример 2. Известно, что tg а=2 и Найдем
sin a, cos а и ctg а.
Воспользовавшись формулой 1+tg2 а=—Vе » найдем
cos а. Имеем:
cos2 ОС == . = —.
l+tg2a 1+4 5
По условию угол а является углом I четверти, поэтому его
косинус положителен. Значит,
/Т V5
cos СХ=ГЛ/ •
V о о
Зная cos а и tg а, можно найти sin а. Из формулы
. sin a
tg oc =--получим:
4.- о 1/5 2т/5
sm a = tg a-cos a = 2
О о
По известному tg а легко найти ctga:
ctg a=+r=+
tg ot z
Итак,
sina = 2^!., cosa=^, ctga=+
5 5 2
170
• 755. Упростите выражение:
а) 1—cos2 а; г) sin2 а + 2 cos2 а— 1;
б) sin2 а — 1; д) (1—sin а) (1 + sin а);
в) cos2 а + (1 — sin2 а); е) (cos а — 1) (1 + cos а).
• 756. Преобразуйте выражение:
а) 1 — sin2 а — cos2 а; б) cos 2 а—(1 —2 sin2 а).
• 757. Упростите выражение:
ч . v 1— sin2 а .
a) sin а cos а tg а; г) ;;
co s а
—v . . - ч cos2а
б) sm а cos а ctg а — 1; д) —§ т;
cos ос — 1
ч . 2 X х Ч 1 — cos2 а
в) sm а —tg а ctg а; е)
• 758. Упростите выражение:
a) sin2 а+cos2 а + tg2 а; б) tg а ctg а Н-ctg2 а.
• 759. Преобразуйте выражение:
a) sin a ctg а; г) tgactga —1;
б) tg a cos а.; д)
v sin а „Ч sin2 «—1
в' tgT’ ’ 1—cos2a’
• 760. Известно, что -^-СаСл. Найдите:
А
15
a) sin а, если cos a= —0,6; в) tg а, если cos a= —-jy;
6) cos a, если sin a=-|-; r) sin a, если ctg a = — 2.
• 761. Зная, что 0<a<-£-, найдите:
----— A
a) cos a, если sin a = 0,6; в) cos a, если tga = 3;
1 . 12
6) sin a, если cosa=—; r) ctg a, если sma=-^.
• 762< Может ли для какого-нибудь угла 0 выполняться
условие:
а) sin Р—cos ; в) tg Р=-|-> ctg 3=1,8;
б) sin0=-|~, cosfJ=-j-; г) tg|3=-\/2 — 1, ctg P=-\/2-|-l?-
• 763. Находя значения синуса и косинуса некоторого угла а,
ученик получил, что sin а ^0,33, a cos а ^0,63. Докажите,
что он допустил ошибку.
171
• 764. Найдите:
s,
a) tg а, если sin а=^- и -у <а<л;
б) cos а, если ctg а=-|- и
• 765. Известно, что а — угол II четверти. Найдите:
4
a) ctg а, если cos а = —б) sin а, если tg а = — 1.
• 766. Найдите значения тригонометрических функций уг-
ла а, если известно, что:
a) sin а=4" и 0<а<-£-;
о А
__ 8 т _
б) cos а=— и а — угол I четверти;
в) tg а = —У и -jj-<a<n;
г) ctg а = —2,5 и а — угол IV четверти.
• 767. Вычислите значения тригонометрических функций
угла Р, зная, что:
а) 8ш0=-|у и -£-<р<л; в) tg р = 1 и л<р<-^;
Л А
б) cos р=4- И -у<р<2л; г) ctg Р = 3 и 0<Р<4".
768. Зная, что:
a) sin a = 0,62 и
б) tg а = —2,1 и ^<а<2л;
в) cos а = —0,23 и
А
г) ctg а = 2,2 и 0<а<-£-,
вычислите значения остальных тригонометрических функций
угла а. При вычислениях можно использовать микрокаль-
кулятор.
769. Найдите значения тригонометрических функций уг-
ла а, если известно, что: I
a)sina=jy; б) cos а =—^. |
770. Выразите тригонометрические функции угла а: 1
а) через sin a; б) через cos a. J
172
Упражнения для повторения
771. Упростите выражение:
°+ь . а3 —&3. (i_1 + ft \ • б)
a2+ab+b2 b2 — a2* \ b Г '
аЬ
ab2 —а2Ь а + а — Ь
a+b ab
(L----
а+Ъ
142. Пересекаются ли парабола у = 2х2 —6х и прямая
у — 10х = 0? Если да, то укажите координаты точек пересе-
чения. Проиллюстрируйте ответ с помощью схематического
рисунка.
32. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
К ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ВЫРАЖЕНИИ
Мы уже встречались с некоторыми простейшими преобра-
зованиями тригонометрических выражений. Рассмотрим более
сложные примеры.
Пример 1. Упростим выражение ctg2 a (cos2 а — 1).
Воспользовавшись формулами ctga=-^ и sin2a +
+cos2 а = 1, получим:
ctg2 а (cos2 а — 1)(— sin2 а) = — cos2 а.
Пример 2. Упростим выражение -
Имеем a+d+cos а)2 =
14-cos а sm а sin а (14-cos а)
__sin2 «4-1 + 2 cos а 4-cos2 а 2 + 2 cos а 2 (1 +cos а) 2
sina(l+cosa) sina(l+cosa) sin а (14-cos a) sin a ’
Пример 3. Докажем тождество
tg2 a —sin2 a = tg2 a sin2 a.
Преобразуем левую часть данного равенства:
tg2 a —sin2 a = — sin2 a=sin2 Д------1) =
® cos a \ cos a /
=sin2 a (1 + tg2 a — 1) = tg2 a sin2 a.
Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства.
Таким образом, тождество доказано.
773. Упростите выражение:
а) 1---в)
cos a
б) -А—1; г)
' sin a
1 sin a cos a e
ctg a ’
tg a ctg a •— cos2 a
173
774. Преобразуйте выражение:
л+гг R COS P 1 a)ctg0 6) i i . ' sin a — 1 1-f-sina ’ . 1-ctgy . ' tg?-l ’ 775. Упростите: 4 sin2 a — 1 . . . r> cos2 a-1 1 tgttctga; } д) tg2 0(sin2 0 —1); e) cos2 a—(ctg2 a +1) sin2 a.
к 1 —sin a . . »> co.. 1*»°» 6) — 1 —; 1 + cos a 1 — cos a в) ctg2 0 (cos2 0 —1)4-1; ' 1 +ctg p (
778. Докажите, что при всех допустимых значениях 0
значение выражения не зависит от 0:
\ 1 + 2 sin p cos p e a' (sinp + cosp)2 ’ sin2 P—cos2 P+1 . °' sin2 p ’ B> l+tg2? 1 l+ctg2?’ ч 1+sinp 1—sinp ' cos p cos p |
777. Докажите, что при всех допустимых значениях а выра-
жение принимает одно и то же значение: *
a) (sin a-(-cos a)2 —2 sin a cos a;
,, 2—sin2 «—cos2 a.
' 3 sin2 a+3 cos2 « ’
в) sin4 a-|-cos4 a + 2 sin2 a cos2 a; I
. sin4 a—cos4 a
ГI .6 2 •
' sin4 a—cos2 «
778. Упростите выражение: т
a) tg ( — a) cos a 4-sin a; ( — opsina e " cos a ’ в) cos2 atg2(—a)—1; । r) l-tg(-a) ' sin a + cos ( — a) *
779. Преобразуйте выражение:
а) ctg a sin (—a)—cos (—a); в) tg (—0) ctg 0-|-sin2 0;
6) l~Bto2(-x) ' cos X r) tg (-*) + ! 1 4 1-ctgx •
780. Упростите выражение:
008 x I 008 x . ' 1—sinx ’ 1+sinx * о r^h+tg «; 1 -f-эш a в) ? 4~ cos2 <p; 9 trv+l 1 1 v sin3 a+cos3 a . _ ллв _ , ' sm a+cos a 1
174
781. Найдите наибольшее значение выражения:
а) 1—(cos2 a—sin2 а); в) cos2 а tg2 а + 5 cos2 а —1;
б) 1 — sin а cos а tg а; г) sin а-|-3 sin2 а-|-3 cos2 а.
782. Зная, что sin а-J-cos а=0,8, найдите sin а cos а.
783. Зная, что tg а + ctg а = 2,3, найдите tg2 а + ctg2 а.
784. Докажите тождество:
a) (tg а+ctg а)2—(tg а — ctg а)2=4;
б) (2 + sin Р)(2—sin p)+(24-cos Р)(2—cos Р)=7;
к . . sin а 1 ч 1 — 2 sin х cos х
в) ctg а +—------; г) —:--------------=sinx—cosx.
' 1+cosa sin а ' sinx—cos х
785. Докажите, что при всех допустимых значениях а вер-
но равенство:
а) (sin a+cos a)2+(sin a — cos a)2 = 2;
1—sin2 a_ 1 .
7 1 —cos2 a tg2 a ’
в) sin4 a—cos4 a=sin2 a—cos2 a;
r) ' ;—=cos2 a.
ctga+tga
786. Докажите тождестве:
x cos3 a—sin3 a _ . 4 cos p cos 0 __o .
a) l . ". ... """"“——Cos cc —sin a, в) o i > .1 o <» tg p>
7 1 +sin a cos a 1—sin 0 l-f-sin0 r
6) (l+tg^+d-tga)’»^; r) -fc±^L=te«tgp;
д) sin2 a cos2 p—cos2 a sin2 p = sin2 a —sin2 P;
e) cos2 a cos2 p — sin2 a sin2 p=cos2 a — sin2 p.
787. Докажите тождество:
а)
б)
в)
(sin p-J-sin a) (sin a—sin p)—(cos a+cos p) (cos p—cos a)=0;
ctg2 a—cos2 a=ctg2 a cos2 a;
a;
1—4 sin2 a cos2 a .
(sin a+cos a)2 ’
2 sin a cos a = l.
788. Упростите выражение и найдите его значение:
а) 1 — sin a cos a tg a, если sin a=0,7;
6) cos4 a+sin2 a cos2 a, если tg a = 2.
789. Найдите значение выражения, предварительно упро-
стив его:
Упражнения для повторения
790. Найдите значение выражения:
a) cos 8,5л;
б) tg 9л;
в) sin ( — 3,5л);
\ х Эл
г) ctg-^;
д) cos( —
19л \
з ) '
791. Разность катетов прямоугольного треугольника равна
5 дм. Если больший катет увеличить на 4 дм, а другой умень-
шить на 8 дм, то полученный прямоугольный треугольник бу-
дет иметь гипотенузу той же длины, что и первоначальный
треугольник. Найдите длины катетов данного треугольника.
792. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна
79 см. Если один из катетов увеличить на 23 см, а другой умень-
шить на 11 см, то новый прямоугольный треугольник будет
иметь гипотенузу той же длины, что и данный. Найдите длины
катетов данного треугольника.
33. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Тригонометрические функции углов вида -£-±а, л±а,
-|-л±а и 2л ± а могут быть выражены через функции угла
а с помощью формул, которые называют формулами приве-
дения.
Выведем сначала формулы приведения для синуса и коси-
нуса.
Докажем, что для любого а
sin^-y + =cos а и cos(~- + a) = —sin а. (1)
Повернем радиус ОА9 длина которого равна R9 на угол а и на
угол -~ + а. При этом радиус ОА перей-
Л
дет соответственно в радиусы ОВ\ и ОВ%
(рис. 78).
Опустим из точки В\ перпендикуля-
ры В\С\ и B\D\ на оси координат. По-
лучим прямоугольник OD\B\C\.
Повернем прямоугольник OD1B1C1
около точки О на угол Тогда точка Bi
А
перейдет в точку Вг, точка С\ перейдет
в точку Сг на оси у9 точка D\ — в точ-
ку Вг на оси х, а прямоугольник OD\B\C\
176
перейдет в равный ему прямоугольник OD2B2C2.
Отсюда следует, что ордината точки В2 равна абсциссе
точки Bi, а абсцисса точки В2 равна числу, противоположному
I ординате точки Bi. Обозначим координаты точки Bi через Х\ и у i,
а координаты точки Вг через Хг и уг. Тогда
Z/2 = Xi И Х2== — У\.
Поэтому
R R R В ’
Значит,
=cos а и c°s(-“- + a) = —sin а.
Из формул (1) следует, что
sin(~—а) =cos а и cos(“—a)=sina.
тт « *
Действительно, представим разность ——а в виде суммы
£л
-£-+( —а). Тогда .
sin(-|—а) =sin^-~+( — а)) = cos ( — а) —cos а,
cos^~—а) =cos(-y+( — а)^ =^= —sin ( — a) = sin а.
Формулы приведения для синуса и косинуса угла л + а вы-
глядят так:
sin (л + а)= —sin а и cos (л + а) = —cos а. (2)
Для доказательства достаточно представить л + а в виде
+ и дважды воспользоваться формулами (1). На-
пример:
cos (л + а)=сов(-^+(-^ + а)) =
= — sin(--- + a) = —cos a.
Заметим, что к формулам (2) легко
прийти и из геометрических соображе-
ний (рис. 79). При повороте радиуса О А
на угол а и на угол л-j-a точка А пе-
рейдет соответственно в точки Bi и Вг,
которые симметричны относительно на-
чала координат. Абсциссы, а также
ординаты симметричных относительно
177
начала координат точек равны по модулю и противоположны
по знаку. Отсюда следует, что sin (л + а) и sin а, а также
cos (л 4-а) и cos а — противоположные числа.
Из формул (2) следует, что
sin (л — a)=sina и cos (л — а)= — cos а.
Для доказательства достаточно представить л — а в виде сум-
мы л+(—а) и применить формулы (2).
Формулы приведения для синуса и косинуса угла -|-л-|-а
имеют вид:
sin(-|-n4-a) = — cos а и cos(-|-n4-a) =sin а. (3)
Чтобы доказать формулы (3), достаточно представить
-|-л-|-а в виде -у-+(л-|-а) и применить последовательно фор-
мулы (1) и (2).
Из формул (3) нетрудно получить, что
sin(-|-n —а) = —cosа и сов(-|-л —а) = —sinа.
Наконец, формулы приведения для синуса и косинуса угла
2 л+а следуют из того, что при изменении угла на целое число
оборотов значения синуса и косинуса не изменяются:
sin (2л a)=sin а и cos (2л 4- а)=cos а. (4)
Справедливы также формулы
sin (2л — а)=—sin а и cos (2л — a)=cos а.
Например, для sin (2л —а) имеем:
sin (2л — a)=sin ( —а)= —sin а.
Формулы приведения для тангенса и котангенса можно по-
лучить с помощью формул приведения для синуса и косинуса.
Например:
. / л \ _ 8Ш( 2 _ cos a
- -у ---г-----“ctg a’
cos^-+aj
ctg(n4-a)=-^J4-=^^-=ctg a.
4 7 sm(«+a) —sin a ®
Все формулы приведения сведем в две таблицы, поместив в
первой из них формулы для углов л ± а и 2л ± а, а во второй —
л 3 ,
для углов — ±а и -^-л±а:
178
X n + a л — a 2л4-а 2 л —a
sin x —sin a sin a sin a — sin a
cos X — cos a — cos a cos a cos a
tgx tg a — tg a tg a — tg a
ctg x ctg a — ctg a ctg a — ctg a.
X Л T+a л "2-a 3 уП-а
sin x cos a cos a —cos a —cos a
cos X —sin a sin a sin a — sin a
tgx — ctg a ctg a —ctg a ctg a
ctg X — tg a tg a — tg a tg a
По таблицам. легко проследить закономерности, имеющие
место для формул приведения. Эти закономерности позволяют
сформулировать правило, с помощью которого можно записать
любую формулу приведения, не прибегая к таблице:
функция в правой части равенства берется с тем же знаком,
какой имеет исходная функция, если считать, что угол а явля-
ется углом / четверти;
для углов п ± а и 2 л ± а название исходной функции сохра-
няется; для углов -|-± а и -|-л ± а название исходной функции
заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на
котангенс, котангенс на тангенс).
Пример 1. Выразим tg (л — а) через тригонометрическую
функцию угла а.
Если считать, что а — угол I четверти, то л —а будет
углом II четверти. Во II четверти тангенс отрицателен, значит,
в правой части равенства следует поставить знак «минус».
Для угла л—а название исходной функции «тангенс» сохра-
няется. Поэтому
tg (л—а)= —tg а.
С помощью формул приведения нахождение значений триго-
нометрических функций любого угла можно свести к нахож-
дению значений тригонометрических функций угла от 0 до
А
Пример 2. Найдем значение cos
Имеем:
СО8-Т = СО8(2л+1-) =cos—= cos(n-—J = - cos— =- — .
Пример 3. Найдем значение sin (— 585°).
Имеем:
sin (— 585°)= — sin 585° = — sin (360° + 225°) =
= - sin 225° = - sin (180°+45°)= - (-sin 45°)=sin 45°=^.
Л
179
• 793. Замените тригонометрической функцией угла а:
a) sin(-£—а);
б) cost -^-л + а );
в) tg(-|-n — а);
г) ctg (л 4-а);
д) cos (2л — а);
е) sin (2 л + а);
ж) tg (180° — а);
з) sin (180° +а);
и) ctg (360° — а);
к) cos (90° — а);
л) sin (270° —а);
м) tg(270° + a).
• 794. Приведите к тригонометрической функции угла а:
a) sin(-y+a);
б) соз^-|-л — а);
В) tg(n + a);
г) cos (2л + а);
д) ctg (л —а);
е) sin (л + а);
ж) sin (360° +а);
з) cos (90° + а);
и) tg (90° — а).
• 795. Выразите sin a, cos a, tg а и ctg а через тригонометри-
ческую функцию угла от 0° до 90°, если:
а) а = 130°; б) а = 190°; в)а=-320°; г)а=-590°.
796. Приведите к тригонометрической функции угла из про-
межутка ( 0; :
а) cos 0,7л; б) ctg(—|"я)» в) sin 1,6л; г) tg(—
797. Приведите к тригонометрической функции угла от 0°
до 90°:
а) tg 137°; б) sin (—178°); в) sin 680°; г) cos (-1000°).
• 798. Найдите sin a, cos a, tg а и ctg a, если:
2 3 5
а) а=-ул; б) а=—л; в) а=—л.
• 799. Найдите значение выражения:
а) sin 240°; в) tg 300°; д) ctg (-225°);
б) cos( — 210°); г) sin 330°; е) sin 315°.
• 800. Найдите:
а) cos 120°; в) tg( —225°); д) cos-^-л;
б) sin ( — 150°); г) cos ( — 225°); е) sin^£.
О
801. Упростите выражение:
а) sin( a —; в) ctg (a — 360°);
б) cos (а —л); г) tg ( — a+ 270°).
180
802. Упростите выражение:
a) sin(a —^). б) cos (a—^); e)tg(a — 2л).
803. Преобразуйте выражение:
а) sin2(n + a); в) cos2(-^—a);
б) tg2( +a); г) ctg2 (2л — a).
804. Докажите, что если А, В и С — углы треугольника, то
sin'A+g=cos
Л
с
2 *
805. Докажите, что если а + р+у=180°, то tg^y-^—ctg
806. Упростите выражение:
а) sin (90° - a) 4- cos (180° + a) + tg (270° + a)+ctg (360° 4- a);
6) sin(-|-+a) —cos(a —n)4-tg(n —a)4-ctg(-y —a).
807. Преобразуйте выражение
\ <*»(-“«)<*» (130°+«) .
a* sin (—a) sin (90° + a) 9
(я+a)cos ~~ •
' tg (л —a) cos (a —л) *
в)
r)
sin (—a) ctg (—a)
cos (360° - a) tg (180° + a)
sin (л + a) sin (a + 2 л)
tg (л + a) cos (1,5л + a) ’
808. Упростите выражение:
a) sin2 (180°—x)+sin2 (270°—x);
6) sin (л — x) cos( x —|-) — sin( x 4—^-) cos (л — x).
809. Упростите выражение:
a) cos2 (л 4-x) 4-cos2 (-^-4-x );
б) sin (л 4-х) cos(-£-4-х)—cos (2л 4-х) sin(-^р—х) .
810. Докажите, что:
sin (л —- а)
tg(n+a)
cos (2 л — а)
sin (— а)
sin а.
*(у+«)
181
811. Докажите, что:
а) sin^^-л+а^ ctg(-|—а) + зш.(л —a) + ctg(-|-n —а) =tga;
б) ctg2 (2л — a)—sin (а—?) ♦——=-Д—.
' ° ' \ 2 / cos a ssar а
Упражнения для повторения
812. Известно, что -£-<а<л. Найдите:
а
a) sin а и ctg а, если cos а= —0,8;
б) sin а и cos а, если tg а= —5.
813. Докажите, что
sin3 a (1+ctg а)4“С9в3 a(l+tg a)=sin a+cos a.
814. От станций А и В, расстояние между которыми
75 км, отправились одновременно товарный и скорый поезда и
встретились через полчаса. Товарный поезд прибыл в В на
25 мин позже, чем скорый в А. Какова скорость каждого по-
езда?
815. За 70 км до конечной станции поезд опаздывал на
10 мин. Чтобы прийти в пункт назначения вовремя, машинист
увеличил скорость на 10 км/ч. С какой скоростью шел поезд
последние 70 км?
Контрольные вопросы
1. Запишите формулу, выражающую связь между синусом
и косинусом одного и того же угла. Проведите доказа-
тельство.
2. Запишите формулы, выражающие тангенс и котангенс че-
рез синус и косинус. Проведите доказательство.
3. Выведите формулы:
tgactga = l; l+tg2a =—i; 1+ctg2 а=-Д—.
e cos2 a 1 ° sin a
4. Запишите формулы приведения для углов -тг+a и л — а.
§ 14. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
34. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Выведем формулы, выражающие тригонометрические функ-
ции суммы и разности двух углов через тригонометрические
функции этих углов.
Повернем радиус О A, около точки О на угол а и на
угол р (рис. 80). Получим радиусы ОВ и ОС.
182
Найдем скалярное произведение векторов ОВ и ОС. Пусть
координаты точки В равны Xi и уъ координаты точки С равны
Хг и у2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы
ОВ и ОС. По определению скалярного произведения векторов:
ОВ • ОС=XiX2+У1У2.
Выразим скалярное произведение ОВ-ОС через тригономет-
рические функции углов а и Д. Из определения косинуса и сину-
са следует, что
Xi =R cos a, yt =R sin a, x2=R cos p, yi=Rsin 0.
Подставив значения Xi, x2, y\t y2 в правую часть равенства
ОВ-ОС=Х1Х2+у1У2, получим:
ОВ-ОС=Я2 cos a cos Р4-Я2 sin а sin р =
=R2 (сое а cos Д +sin а sin Д).
Значит,
OB-OC—R2 (oos а cos Д 4-sin а sin Д).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении
векторов имеем:
ОВОС= |ОВ|. loci -cos Z.BOC=R2 cos Л.ВОС.
Угол ВОС между векторами ОВ и ОС может быть равен
а —Д (см. рис. 80), 2л—(а —Д) (рис. 81) либо может отличаться
от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих
случаев cos Z.BOC=cos (а—Д). Поэтому
OB-OC=R2 сое (а— Д).
Так как ОВ-ОС равно также Л2 (cos a cos Д+sin a sin Д), то
cos (а—Д)=cos а cos Д+sin а sin Д. (1)
Формулу (1) называют формулой косинуса разности.
Косинус разности двух углов равен произведению косинусов
этих углов плюс произведение синусов этих углов.
С помощью формулы (1) легко получить формулу косинуса
суммы:
Рис. 80
cos (a + p)=cos (a —( —P))=cos a cos ( —p)-|-sin a sin ( —p) =
=cos a cos p— sin a sin p.
Значит,
cos (a+p)=cos a cos p—sin a sin p. (2)
Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов
этих углов минус произведение синусов этих углов.
Выведем теперь формулы синуса суммы и синуса разности.
Используя формулы приведения и формулу (1), получим:
sin(a + p)=cos(-|- —(a + P)) =cos((-y — а) — р) =
=cos(-|—cosp + sin(-£—a) sin P=sin a cos Р+cos a sin р.
Значит,
sin (а + P)=sin a cos P+cos a sin р. (3)
Синус суммы двух углов равен произведению синуса пер-
вого угла на косинус второго плюс произведение косинуса пер-
вого угла на синус второго.
Для синуса разности имеем:
sin (a —P)=sin(a+(—P))=sin a cos ( —P)4-cos a sin (—P)=
= sin a cos p—cos a sin p.
Значит,
sin (a—P)=sin a cos p—cos a sin p. (4)
Синус разности двух углов равен произведению синуса пер-
вого угла на косинус второго минус произведение косинуса
первого угла на синус второго.
Формулы (1) — (4) называют формулами сложения для си-
нуса и косинуса.
Приведем примеры использования формул сложения.
Пример 1. Вычислим cos 15° и sin 15°.
Представим 15° в виде разности 45° —30°. Тогда
cos 15° = cos (45° - 30°)=cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
_т/2 л/З , -5/2 1 _->/6+л/2 .
2 ' 2 + 2 '2 4 ’
sin 15° = sin (45° - 30°)=sin 45° cos 30° - cos 45° sin 30° =
_V2 V2 1 _t/6—t/2
2*2 2*2 4
Пример 2. Упростим выражение cos (a + P)+cos (a — P).
Воспользовавшись формулами косинуса суммы и косинуса
разности, получим:
cos (a + p)+cos (a —p)=cos a cos P — sin a sin P +
-|-cos a cos P+sin a sin P=2 cos a cos p.
184
Используя формулы (1) — (4), можно вывести формулы сло-
жения для тангенса и котангенса. Выведем, например, формулу
тангенса суммы:
tff f а + В) sin + Р) sin а cos fl + cos а sin fl
& \ I Р/ cos (а _|_ р) cos а (jQg р — sin а sin р
Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на
произведение cos a cos р, предполагая, что cos а 0 и cos р =# 0.
Получим:
cos а cos fl sin а sin fl
cos а cos fl cos a cos fl
sin a sin fl
cos a *~cos fl ___ tg а + tg fl
sin a sin fl 1 — tg a tg fl ’
cos a cos fl
Значит,
tg(q4-8)=^-t-tg-P .
1_tgatgp.
(5)
Аналогично можно доказать, что
tg (a —0)=-tg a~tg-—.
8 V P' l+tgatgp
• 816. С помощью формул сложения преобразуйте выражение:
а) cos(-j— <р); в) sin(<p+-J-);
б) cos(^-+<p); г) sin(<p—
• 817. Используя формулы сложения, проверьте, что:
а) = cos а; в) сов(л —a) =—cos a;
6) sin (л + <х)= —sin a; г) cos^^y + a) =sin a.
• 818. Используя формулы сложения, преобразуйте выраже-
ние:
а) sin (60° - 0); б) cos (0 - 30°).
819. Представив 105° как сумму 60° 4-45°, вычислите:
а) sin 105°; б) cos 105°.
820. Представив 75° как сумму 30°+ 45°, вычислите:
а) sin 75°; б) cos 75°.
• 821. Упростите выражение:
а) sin (a + 0) — sin a cos 0; 6) sin a sin 0 -|-cos (a + 0);
185
в) sin(-|—а) —j-eos а; г) sin a + cos(a—|-
• 822. Упростите выражение:
а) -\/2 sin^-|—|-a^ — cos а; в) 2cos(-|—а) — V'
б) -\/2sin(a—sina; г)-\/3 cos а —2 cos (с
• 823. Упростите:
г) -\/3 сое а —2 cos (а—g-
a) cos (а — р)—cos a cos Р;
б) sin a cos р—sin (а — Р);
в) sin(-|-4-a) —|~sin а;
г) cos( a +-j-) 4-^ sin а«
• 824. Докажите тождество:
а) cos (a — Р)4-sin (—a) sin p=cos a cos P;
6) sin (a-|-p)+sin (—a) cos(—P)=cos a sin p.
• 825. Докажите тождество:
(a ) sin (a —P)—cos a sin ( —p)=sin a cos P;
6) cos (a-hP)4-sin ( — a) sin ( —P)=cos a cos p.
826. Упростите выражение:
a) cos 2p cos p4-sin 2p sin P;
6) sin 3y cos у — cos 3y sin y.
827. Найдите значение выражения:
a) cos 107° cos 17° 4-sin 107° sin 17°;
6) cos 36° cos 24°—sin 36° sin 24°;
в) sin 63° cos 27° 4-cos 63° sin 27°;
r) sin 51° cos 21°—cos 51° sin 21°.
828. Вычислите:
a) cos 18° cos 63°4-sin 18° sin 63°;
6) cos 32° cos 58°—sin 32° sin 68°.
829. Упростите выражение:
a) sin^a-J—у-) cos(a—4-cos(a4~|-) sin(a—
6) cos(-|-4-p) cos(-|~p)— sin(-j-+p) sin(-j— p) .
830. Докажите, что:
a) sin (a 4-P) 4-sin (a — P)=2sina cos P;
188
6) cos (а — 0)—cos (а -J- р)=2 sin а sin 0;
в) cos (60° — а) — cos (60° + а)=-\/3 sin а;
г) sin (30° — а)+sin (30° + а)= cos а.
831. Упростите выражение:
a) sin (а 4- 0)—sin (а — 0); б) cos (30° + а)—cos (30° — а).
832. Докажите тождество:
a) sin (а + 0) sin (а — 0)=sin2 а — sin2 0;
б) cos (а + 0) cos (а — 0) = cos2 а — sin2 0.
833. Упростите:
sin (а + P)~~cos а sin Р , -v sin (а — Р) + 2 cos а sin р
' sin (а —p)+cos а sin р ’ ' 2 cos а cos р—cos (а — р)
834. Упростите:
ч cos (а + Р) + sin а sin р в -к cos (« — Р) — 2 sin а sin р
' cos (а — р)—sin а sin 0 * ' 2 sin а cos р —sin (а —р)
835. Зная, что sina=jy, cos0=-|-, а и 0 — углы I чет-
верти, найдите значение выражения:
a) sin (a-f-0); б) cos (а 4-0); в) cos (а—0).
836. Найдите sin (а 4-0). если sina=^-, sin0==—
а — угол II четверти, a 0 — угол IV четверти.
837. Известно, что а и 0 — углы II четверти и sina =
=-|-, cos 0= . Найдите:
a) sin (а 4-0); в) cos (а—0);
б) sin (а—0); г) cos (а 4- 0).
838. Докажите, что если а, 0 и у — углы треугольни-
ка, то
sin у = sin a cos 0 4-cos a sin 0.
4
839. Синусы двух острых углов треугольника равны — и
□
к
—-. Найдите косинус третьего угла треугольника.
12
840. Косинусы двух углов треугольника равны — и -у.
Найдите синус третьего угла треугольника.
841. Зная, что tg а=— и tg 0=—, найдите tg (a 4-0).
842. Вычислите: а) tg 15°; б) tg 75°.
187
843. Используя нечетность тангенса, выразите tg (а — р) че-
рез tg а и tg р.
844. Известно, что tg а=-|-, tg р=-|-. Найдите:
a) tg(a + p); б) tg(a —р).
Упражнения для повторения
845. Найдите значение:
а) sin 480°; в) tg(-750°);
б) cos (-570°); г) ctg 495°.
848. Докажите, что
(cosa+sma)2 —1 —gtg2 a
ctg a—sin a cos a ®
847. Упростите выражение:
а) 6) tg(-a)ctga+-4^h.
' 1—ctg(—a) ’ вч /61 ctg(_a)
848. Решите неравенство:
a) (x+4)(x+5)-5<7; 6) 6-(2x-|-l,5)(4 —x)>0.
849. Два автопогрузчика выполнили работу за 20 ч. За
сколько часов может выполнить эту работу каждый автопогруз-
чик, работая один, если известно, что второй может выполнить
ее на 9 ч быстрее, чем первый?
35. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА
Формулы сложения позволяют выразить sin 2a, cos 2a и
tg 2a через тригонометрические функции утла a.
Положим в формулах
sin (a -|- р)=sin a cos р -j- cos a sin p,
cos (a + p)=cos a cos p—sin a sin p,
4— /_ i tga+tgp
tg(a + P)-1“'tgatgp
P равным a. Получим тождества:
sin 2a = 2 sin a cos a, (1)
cos 2a=cos2 a—sin2 a, (2)
*2a=^. (3)
Эти тождества называют формулами двойного угла.
188
Приведем примеры применения формул двойного угла для
нахождения значений тригонометрических функций и преобра-
зования тригонометрических выражений.
Пример 1. Найдем значение sin 2а, зная, что cosa =
= — 0,8 и a — угол III четверти.
Сначала вычислим sin а. Так как a — угол III четверти, то
sin a < 0. Поэтому
sin a = — Vl — cos2 a = — Vl —0,64= — ->/0,36= —0,6.
По формуле синуса двойного угла
sin 2a = 2 sin a cos a = 2-( — 0,6)-( — 0,8) = 0,96.
Пример 2. Упростим выражение
sin a cos3 a —sin3 a cos a.
Вынесем за скобки sin a cos a и воспользуемся формулами
двойного угла:
sin a cos3 a — sin3 a cos a = sin a cos a (cos2 a — sin2 a) =
=4- (2 sin a cos a) cos 2a =4- sin 2a cos 2a =4- sin 4a.
2 х 2 4
Из формулы (2) следует, что
1 — cos 2a = 2 sin2 a. (4)
Действительно, выразив cos 2a через sin a, получим:
cos2a=(l — sin2 a)—sin2a = l— 2 sin2a.
Отсюда 1 — cos 2a = 2 sin2 a.
Аналогично, выразив cos 2a через cos a, получим:
1 + cos 2a = 2 cos2 a. (5)
Формулы (4) и (5) используются в вычислениях и преобра-
зованиях.
Пример 3. Упростим выражение •
Применим формулы (4) и (5) к выражениям 1 — cos а и
l-f-cosa, представив а в виде произведения 2~. Получим:
. 2 sm2 —
1 —cos a ___2 . a a
14- cos a Л a a ® 2
2cos T
• 850. Упростите выражение:
ч sin 2a . fa 2 cog2 a .
' sin a ’ ' sin 2a ’
189
в) — sin R;
' cos P H’
r) cos 2a+sin2 a;
д) cos2 0—cos 20;
cos 2a
cos a 4" sin a
cos a.
• 851. Сократите дробь:
v sin 40°
а' sin 20° ’
-v sin 100° .
°' cos 50° ;
• 852. Упростите:
ч sin 26
6) l^-cosa;
' 2 sm a
853. Пусть sina=-^- и
cos 80° e
cos 40° +sin 40° ’
cos 36°+sin218°
cos 18°
в) sin2 у4-cos 2y;
. cos 2a
r) ------.---sm a.
' cos a—sm a
a — угол II четверти. Найдите:
a) sin 2a; 6) cos 2a; в) tg 2a.
Q
854. Известно, что tga=— и 180° <a<270°. Найдите:
a) sin 2a; 6) cos 2a; в) tg 2a.
855. Косинус угла при основании равнобедренного тре-
угольника равен 0,8. Найдите синус и косинус угла при верши-
не этого треугольника.
856. Пусть cos a= —0,6 и a — угол III четверти. Найдите:
а) sin 2a; б) cos 2a; в) tg 2a.
(<£) 857. Используя формулы двойного угла, выразите:
а) sin a, cos а и tg а через
угла
6) sin 4a, cos 4a и tg 4a через
угла 2a.
@ 858. Упростите выражение:
ч sin a
а) -----г?
2 сое2у
sin .
°' cos 20 ’
тригонометрические функции
тригонометрические функции
/
в) —-ГЧ> w ;
cos-|--|-sm-|-
ч cos 2a—sin 2a
Г) -----------.
cos 4a
859. Найдите значения sin a, cos a и tg a, если известно, что
sin-х"=ТГ и 0<a<n.
а 4Х
190
860. Упростите выражение:
. sin 2а — 2 sin а ч . л '
а) —. в) Sln 2а ctg а — 1;
7 cos а—1 ’ ' ’
-ч cos 2а—cos2 а ч / . . . \ • л
б) 1 ’ г) (ctg а+tg а) sin 2а.
@ 861. Упростите:
а) 0,5 tg а sin 2а+cos2 а; б) —й •
cos zp -f- sin p
(§) 862. Вычислите:
a) 2 sin 15° cos 15°; r) cos2 15°—sin2 15°;
6) 8 sin -2- cos -2-; д) 4 cos2-2—4 sin2-2-;
О О о о
в) sin 105° cos 105°; е) cos2 sin2 |2.
La
863. Упростите:
864. Найдите значение выражения:
а) 2 sin 165° cos 165°; . 2 tg 240°
б) cos2 75° -sin2 75°; ’ i-tg2240°'
865. Упростите выражение:
.2 x . л—а л—a .
а) т-гт—; г) sin—т—cos—т— ,
' tg a-f-ctg a 2 2
б) (1 — tg2 a) cos2 a; д) 2 cos2 2i£— 2 sin2 2i^;
3л— a
/1 1 \ 4 tg——
в) (-7-2—I-—) sin2 2a; e) -------;---.
' \sin a cos2 a/ ' „ . 23л —a
i-tg——
866. Докажите тождество:
а) 1 — (sin a — cos a)2 = sin 2a; в) ctg a—sin 2a=ctg a cos 2a;
6) cos4 a—sin4 a=cos 2a; r) ctg -2—tg -x-— 2 ctg a.
' Л A
867. Докажите тождество:
a) (sin a+cos a)2—sin 2a = 1;
6) 4 sin a cos a cos 2a=sin 4a;
в) sin 2a—tg a=cos 2a tg a;
r) (ctg a—tg a) sin 2a = 2 cos 2a.
1Я1
868. Упростите выражение:
a) 4sin-^sin^sin(^-a) ; в) sX-? °tg- “ ;
Z & \ 2 / ' sm 2а
(sin P + cosP)2 ,
' -14-sin 2р ’
869. Упростите:
ч . а 2 л 4-а 2л 4-а
а) 4 cos — cos —7— cos —;
4 4 2
ч / cos 6 . cos 0 \
г> (жм+^Уsin 2р-
.) ---------------!—
1 — tg а 1 + tg а
б)
2 cos 2 a tg а
cps2 a —sin2 a
sin a . sin a \ .
-------------------1 sin 2a.
4* cos a 1— cos a/
а)
б)
в)
870. Упростите выражение:
ч 1 —cos 2a e
' sin 2a 9
д) tg a (1 +cos 2a);
ч 2 sin a 4-sin 2a e
' 2 sin a—sin 2a ’
14-cos 4а;
к 1 — cos 2а4-sin 2а в
Ж' 14-cos 2а 4-sin 2а 9
a)
б)
1 —cos 4а;
1 4- cos 2а #
2 cos а ’
871. Упростите:
sin 20
14-cos 20
в) ctg 0 (1 —cos 20);
3)
д)
1 — sini
2 sin 0
1 — cos 2ft
2 sin 0
ч 14-cos 40 .
' cos2 0—sin2 0 ’
е)
14- cos (л 4- 0)
sin (л—0)
2
872. Докажите тождество
l-J-sin a = 2 cos2^~--
873. Упростите выражение:
ч 14~ cos 2<p e -ч 1 — sin 2<p
1 — cos 2ф 9 '14- sin 2ф
874. Существует ли такой угол х, при котором:
а) sin х cos б) sin х cos х=-|-?
Упражнения для повторения
875. Упростите выражение:
а) cos(3n — a);
б) ctg (5 л + a);
в) sin (л + a) cost a —
г) tg(n —a)sin(a+-|-) .
192
876. Упростите выражение:
к sin (а — р) . ctg а-|~ ctg Р
' tga — tg р 9 ' sin(a + P)
877. Решите неравенство:
а) х(х + 5)<2х2 + 4; б) 10-(2х-1)(3-х)>1-7х.
878. Два сварщика, работая вместе, могут выполнить за-
дание за 30 ч. За сколько часов сможет выполнить это задание
каждый сварщик, если известно, что первому на выполнение
всей работы потребуется времени на 11 ч больше, чем второму?
36. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
Сумму и разность синусов или косинусов можно предста-
вить в виде произведения тригонометрических функций.
Формулы, на которых основано такое преобразование, могут
быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin a4~sin р,
положим a = x-f-y и $ = х — у и воспользуемся формулами
синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin a-f-sin p=sin (x + j/)4~sin (x — y) =
= sin x cos y+cos x sin j/-|-sin x cos y—cos x sin y =
— 2 sin x cos y.
Из равенств a = x + y и ₽ = x —у находим, что х=%±& и
a — 6
у Поэтому
а
sin a+sm 3 = 2 sin cos y-.
a a
Мы получили формулу суммы синусов двух углов.
Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению
синуса полусуммы зтих углов на косинус их полуразности.
Аналогично можно вывести формулы разности синусов,
суммы и разности косинусов.
Формула разности синусов:
sin a — sin 0 = 2 sin cos ^-у^.
А А
Разность синусов двух углов равна удвоенному произведе-
нию синуса полуразности этих углов на косинус их полу-
суммы.
7 Заказ 624 193
Формула суммы косинусов:
। » г* « + 3 а—-6
cos а + cos р = 2 cos —cos —z2-.
Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведе-
нию косинуса полусуммы этих углов на косинус их полураз-
ности.
Формула разности косинусов:
cos а—cos 0 =—2 sin—5-^-sin—7^-.
а А
Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком в ми-
нус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов
на синус их полуразности.
Учитывая, что —sin sin( —) =sin $~а , форму-
лу разности косинусов можно записать в другом виде:
л л . аЧ-0 . В—а
cos а —cos р = 2 sm-^sm—-.
А А
Приведем примеры применения полученных формул.
П ример 1. Упростим сумму sin 10° -|-sin 50°.
Воспользовавшись формулой суммы синусов, получим:
sm 10" + sta 5O" = 2 sin l^oos 1^=
= 2 sin 30°cos ( — 20°) = 2«-|-cos 20°=cos 20°.
A
Пример 2. Представим в виде произведения разность
cos 0,3 л—sin 0,6л.
Воспользовавшись формулой приведения, представим дан-
ное выражение в виде разности косинусов и преобразуем ее в
произведение. Тогда
cos 0,3 л—sin 0,6л=cos 0,3 л—sin (0,5 л+0,1 л)=
л о л n • 0,3л+0,1л . 0,3л — 0,1л
=cos 0,3л—cos 0,1л = — 2 sm-------sin---=---=
А А
= — 2 sin 0,2л sin 0,1л.
Пример 3. Представим в виде произведения выражение
1—sin а.
Так как 1 =sin то данное выражение можно представить
в виде разности синусов. Поэтому
194
л 2 2 '
1 — sin а=sin —— sin а = 2 sin —3— cos —-—=
Л 2 2
о /л а \ л । а \
= 2sm(T-TJ cos^—+—
Эту задачу можно решить иначе:
С помощью формул приведения первое из полученных вы-
ражений можно преобразовать во второе и наоборот.
• 879. С помощью формул преобразования суммы тригоно-
метрических функций в произведение разложите на множители
выражение:
a) sin За + sin а; б) sin р —sin 6Р; в) cos 2x4-cos 3x; r) cos у — cos 3y.
• 880. Представьте a) sin 40°4-sin 16°; б) sin 20° — sin 40°; в) cos 46° — cos 74°; г) cos 15°4-cos 45°; в виде произведения: е) cos " | cos 4 ; ж) cos(-|—a) 4-cos а;
д) sin — 4-sm-; з) sin^-^-4-а) —sin(-£—а) .
• 881. Представьте в виде произведения:
a) sin 12° 4-sin 20°; г) sin-—sin —;
6) sin 52°-sin 32°; д) sin а —sin^a4—;
в) cos^-cos^; е) cos^-^—|-а^ —COS(~I—а) •
882. Представьте a) sin 15°4-cos 65°; 6) cos 40°—sin 16°; 883. Представьте a) cos 18° — sin 22°; 7* в виде произведения выражение: в) cos 60° -|-sin 80°; г) sin 40°—cos 40°. в виде произведения: б) cos 36° 4-sin 36°. 195
884. Докажите, что:
a) tg a + tg р= 8М«+Р) б) t a_t p^ sinta-p)
' r cos a cos 0 ' r cos a cos p
885. С помощью формул, доказанных в предыдущем
упражнении, преобразуйте выражение:
а) tg 2a+tg a; r)tg^ + tg-^-;
La О
6) tg 3₽-tg 0; д) tg ^~tg ;
в) ctg2x + tg4x; e) tg^—ctgy-.
886. Представьте в виде произведения тригонометрических
функций:
а) sin2 х—sin2 у; б) cos2 х—cos2 у.
887. Представьте в виде произведения:
а) sinx+cosy; б) cos х—sin у.
888. Докажите, что:
а) sin a + cos а=д/2 cos(-^—а) ;
б) sin a — cos а = —\/2 cos^-j-4- а) .
889. Представьте в виде произведения:
а) —pcosa; в) 2sina-|-l; д) -\/24-2cosa;
б) —sin а; г) 1 — 2 cos а; е) 2 sin а—л/3.
А
890. Представьте в виде произведения:
a)sina—6)^ + cosa; в) l-|-2cosa; г)-73 — 2 cos а.
Z А
891. Докажите, что:
а)
sin 2a + sin 6a _
cos 2a4-cos 6a
tg 4a;
6)
cos 2a—cos 4a
cos 2a+cos 4a
=tg 3a tg a.
а)
892. Докажите, что:
sin a4-sin 5a
cos a 4“ cos 5a
=tg 3a;
fa sin2a_4-sina
' sin 2a —sin a
, 3a
tg^
ie~2
196
893. Найдите значение выражения:
. cos 68°—сое 22° , «... sin 130° +sin 110°
sin 68° — sin 22° ’ °' cos 130° + cos 110° *
894. Разложите на множители:
a) sin x + sin 2x-|-sin Зх+sin 4х;
6) cos 2y — cos 4y —cos 6y+cos 8y.
895. Представьте в виде произведения выражение
cos х + cos 2х+cos Зх + cos 4х.
896. Проверьте, что:
a) sin 87° —sin 69°—sin 93° 4-sin 61° = sin 1°;
6) cos 115°-cos 35° + cos 65° +cos 25° = sin 5°.
897. Докажите, что:
a) sin 20°+sin 40° — cos 10° = 0;
6) cos 85° + cos 35°—cos25° = 0.
Упражнения для повторения
898. Докажите, что:
a) cos 2а — sin (л + а) sin (4л + а)=cos2 а;
б) 4 sin а cos а+sin (2а — л) = sin 2а.
899. Упростите выражение:
/Зя „ \
- Л / ч cos( —2а)
*>Й?Я*(т+")! б) («+«)•
900. Напишите уравнение прямой, которая:
а) проходит через начало координат и точку А (0,6; —2,7);
б) пересекает оси координат в точках В (0; 4) и С(—2,5; 0).
901. Упростите выражение:
. / 2аЬ а — Ь \ 2а. Ь ,
\а2 — b2‘~2a+2b/ ’a + b^b—a ’
У х3—ху2 / х________у \
°' х-у х2+у2 \(х—у)2 х2—у2/
Контрольные вопросы
1. Запишите формулу косинуса разности двух углов. Выве-
дите из нее формулы косинуса суммы, синуса суммы и синуса
разности.
197
2. Напишите формулы синуса и косинуса двойного угла.
Проведите доказательство.
3. Напишите формулы преобразования в произведение сум-
мы и разности синусов, суммы и разности косинусов. Проведите
доказательство одной из этих формул.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
К параграфу 12
902. Найдите значение выражения:
a) sin а — cos 2а — cos За при а = 30°;
б) sin 2a + tg а —2 ctg а при а = 45°;
в) tg (90° — a) + sin (45°+а) 4-cos (180° — 2а) при а=45°.
903. Проверьте, что верно неравенство:
а) cos 60°+cos 45° >1; б) sin 60°+ cos 60° >1.
904. Найдите значение выражения:
ч sin 2a 0/Ч0
а) T—:—» если a = 30°;
sm (15 °4-a)— sm a
2 sin a cos 6 х?гчО « оло
б).....—(... . Q4-."-т—m 9 если a = 60°, £ = 30°.
cos (a + p) + cos (a — 0) r
905. Вычислите:
a) tg2 45° cos 30° ctg2 30°;
6) tg2 30° + 2 sin 60° - tg 45°+cos2 30”;
в) ctg2 45° + cos 60° -sin2 60° +-|-ctg2 60°.
906. Докажите, что
cos 30° tg 60° -1 = ctg2 60° (1 + sin2 45°).
907. В каких координатных четвертях значение выражения
положительно:
а) tg х sin х; б) ; в) sin х cos х tg х?
908. Имеет ли смысл выражение:
а) -\/sin <р, если ф=170°; в) ->/tg <р, если <р=230°;
б) -\/cos <р, если ф=160°; г) -y/ctg ф, если ф=340°?
909*. Углом какой четверти является угол а, если:
а) |sina|=sina; в) ]tga|= tga;
б) |cosa| = —cos a; г) |ctga| = —ctg a?
198
910*. Запишите общую формулу всех углов а, для которых:
a)sina = l; e)sina= — 1; д)соза = 1;
б) sina=0; г) cosa=0; е) cosa= — 1.
911*. Укажите наибольшее и наименьшее значения выра-
жения:
а) 14-2 sin а; в) isinal; д) 3-j-4 sin а;
б) 1 — 3 cos а; г) |cos-|-| ; е) 2 cos2 а.
912. Вычислите:
а) 3 sin (—90°) + 2 cos 0° — 3 sin (- 270°);
б) 2 cos (-270°) —tg 180°-sin (-90°).
£
913. Найдите значение выражения sin a+cos a, если:
a) a =-45°; в)а=-360°; д)а=-420°;
б) a =—90°; г) а =—180°; е)а=—1710°.
914. Определите знак выражения:
а) sin —cos —; в) cos— +cos — ;
О «л f 4
б) tg^ctg-g-; г) tg +ctg у-.
915. В равнобедренном треугольнике угол при вершине
равен -2-. Найдите углы при основании.
916. Углы треугольника пропорциональны числам 1, 2 и 3.
Найдите их радианную меру.
917. Найдите значение выражения:
• я , / ч . л
sm у + cos (—л)+tg —
. л Зл ’
2 sin --cos -
3 sin-g-4-2 tg^ —4-cos(^ —
5 tg04-6sin( —
918. Верно ли, что:
a) sin(f+£) =sin f+ein -у;
К параграфу 13
919. Могут ли синус и косинус некоторого угла равняться
а Ъ 1
соответственно . . — и ———, где а и Ъ — некоторые числа,
-\[а2-\-Ь2
причем а=/=0 или &=#0?
920. Могут ли тангенс и котангенс некоторого угла равнять-
. 1 а
ся соответственно а+— и , где а — число, не равное
нулю?
921. Упростите выражение:
. cos2 a —ctg2 а
а) ~7~~2-~— >
' tga-sina
в)
б) —5----tg2 а—sin2 а;
' cos2 а ®
г)
l+tgy+tg2y.
l+ctgy-|-ctg2y ’
tg у ctg2 у — 1
1—tg2y ctg у
922. Докажите, что при всех допустимых значениях а
данное выражение принимает одно и то же значение:
a) sin4 а + cos4 а + 2 sin2 а cos2 а; в) cos4 а—sin4 а + 2 sin2 а;
--ч cos2 а . х 1 , 1
б) ГТ":----Fsin а; г) - г-2—hl 7-^— .
14-sma ' 1—tg2an 1— ctg2 а
923. Упростите выражение:
а) (tg a + ctg a) (1 + cos a) (1 — cos a);
fix (sin a + cos a)2 — 1.
' ctg a — sin a cos a ’
в) sin4 a + sin2 a cos2 a + cos2 a;
r) sin2 a + sin2 a cos2 a + cos4 a.
924. Докажите, что равенство является тождеством:
х tg2a—sin2 a tg р _ ctg р .
ctg2 a —cos2 a ® ’ * 1—tg2p ctg2 p — 1*
-x tg p .2 О. „ч Sin2 a—cos2 a + cos4a __ , 4
6) tgP^P = SU1 Г) <»?a-8ii?a + Sin<« = tg “•
925. Докажите тождество:
ч 4 «4 1 . 2 ч tg a sin a
a) cos v — sm у = 1 — 2 sm у; в) -r------1—=cos a;
' 1 1 ’ ’ ' sin a ctg a
^x 1 — 2 sin2 a . . x tg2v + l 1
6) --------=ctga—tga; r) -A'' < -----— • /
9 sm a cos a ® ° tg у — 1 sm у — cos2 у - r
200
926*. Докажите, что значение выражения
(a sin а + Ь) (а sin а — &) + (а cos а + &) (a cos а — Ь)
не зависит от а.
927*. Упростите выражение:
\ sin а . /1+sin а .
a' V 14-sin а "Г у 1 —sin а 9
( 11 ~sin а / l+sin а \ /_ / 1—cos а / 14~cos а \
' \ у 1+sina у l—sina/\ V 1 + cosa у 1— cos а /
928*. Выразите:
а) sin4 a —sin2 a + cos2 a через cos a;
6) cos4 a —cos2 a + sin2 a через sin a.
929. Найдите значение дроби 9 если tg a = 3.
930*. Найдите значение выражения a—iga9 если
sin a=-|-.
о
931*. Зная, что sin a + cos a=а, найдите:
a) sin a cos a; 6) sin3 a+cos3 a.
932*. Зная, что tg a-|-ctg a = m, найдите:
a) tg2 a+ctg2 a; 6) tg3 a-|-ctg3 a.
933*. Найдите значение дроби *4со8х ’ если известно,
что sin х cos х = 0,4.
934*. Докажите, что дробь c^g+ctg^x~ не может прини-
мать отрицательных значений.
935. Найдите значение выражения cos а+cos 2a+cos 3a,
если:
a) a—-; 6)a=-120°.
936. Докажите, что:
а) cos (60° — a)=sin (30° +a);
6) ctg(80°-^-)=tg(10°+4-) ;
в) sin (30° — 2a)=cos (60° +2a).
937. Тангенс острого угла параллелограмма равен 0,7.
Найдите тангенс тупого угла этого параллелограмма.
201
938. Тангенс внешнего угла прямоугольного треугольника,
не смежного с прямым углом, равен k. Найдите тангенсы
острых углов треугольника.
о
939. Косинус одного из смежных углов равен —=-. Найдите
О
синус другого угла.
940. Докажите, что если а + 0+у=л, то:
a) sin(a + ₽)=siny; в) sin2(a 4-0)= —sin2у;
б) cos (a 4-0)=—cos у; г) cos 2 (a 4-0)=cos 2y. С
941*. Найдите значение выражения:
а) tg 15° tg 30° tg 45° tg 60° tg 75°; «
6) ctg 18° ctg 36° ctg 54° ctg 72°.
942. Найдите:
a) tg(270° —a), если tga=-|-;
6) sin (180° +a), если cos a=0,8 и 0°<a<90°;
в) ctg (360° — a), если sina=-|- и 90° < a<180°;
r) sin (270° +a), если sina=—f- и 180° < a <270°.
943. Найдите угол а, если:
a) sina=-~ и 90°<a<180°;
б) cosa=-^ и 180°<a<270°;
в) tga=—1 и 90°<а<180°;
г) ctga =—\/3 и 270°<а<360°.
944*. Докажите, что tg 1° tg 2° tg 3°...tg 88° tg 89° = 1.
945. Упростите выражение:
a) (sin(л 4~ a) 4-cos (у- +a)) 4-( cos (2 л —a)—sin (^-—00) ;
6)(tg(-|- — a)— ctg(-y + a)) — (ctg(n-ha)-|-ctg(^+a)) .
946. Докажите тождество:
. ( з \ /3 \
tg( ) C0S1 Тя-а ) / \
——------4—M------~+cos(a —T ) sin (л—a)+
cos (2л —a) \ 2 /
4-cos (л 4-a) sin( a—=0.
202
947. Упростите выражение:
a) sin 160° cos 110°+sin 250° cos 340°4-tg 110° tg 340°;
6) tg 18° tg 288°4-sin 32° sin 148°—sin 302° sin 122°.
948. Докажите тождество:
cos2 (л—a)+sin2( —a ) +cos (л+a) cos (2л—a)
а)------77—\-----------------=cos a;
‘' (““J * ("2 ” + “)
sin3f a—n \ cos (2л— a)
6) 77——засова.
tg( «-2-)eoe*(a—з-л)
К параграфу 14
949. Упростите:
а) cos(-^--l-a) cos a 4-sin (-|-4" sin a;
6) sin a sin (a4- P)4-cos a cos (a-f- P);
в) cos (36° 4- a) cos (54° 4- a) —sin (36° 4- a) sin (54° 4- a);
r) sin p cos (a 4- P)—cos P sin (a 4- P).
950*. Известно, что sina=-|- и a— угол I четверти.
Вычислите:
a) cos2 (45° — a); 6) cos2 (60° 4-a);
в) sin2 60° 4-sin (30° 4- a) sin (30°—a).
951*. Упростите:
a) cos2 a4-cos2 (60°4-a)4-cos2(60°—a);
sm(«+P) sin(«—ft).
J sin a+sin p ’
в) sin2 a 4- sin2 (120° 4" «) 4~ sin2 (120° — a);
, cos (а+P) cos (a — p)
' cos a—sin p
952. Найдите tg(a-|-P), если известно, что cosa=-|-,
cos P=-sf, где аир — углы I четверти.
953. Найдите tg(-j—a), если sina=—-jy и a — угол
III четверти.
954*. Докажите тождество:
•> tg (a + P) tg (a-p) =
203
•"«(т++=й&
v tga+tgp tgq—tgp o
1 tg(a+₽) "* tg(a-p)
955. Известно, что tg (45° + a)=a. Найдите:
a) tg a; 6) ctg a.
956. Упростите выражение:
v l+tg(45°-a) . l+ctg(45°- a) .
' 1 —tg(45° —a) * °' tg(45°+a)-l ’
B) tg(-j-H-a) tg(-j-— a)+sin(-g-+a) +sin(-^—a);
r) ctg(-|—a) ctg(-^-+a) +cos(-|—a) + cos(-|- +«)•
957. Докажите тождество:
. tg a+tg p sin (a+P) . « ctg a—tg p cos (a + p)
a‘ tga—tg p sin (a—p) ’ ' ctg a+tg p cos (a— p) ’
958. Выведите формулы котангенса суммы и котангенса раз-
ности:
ctg a ctg р-1 _+-/„ ctg a ctg Р+1
ctg (a + P)- ctga+ctgp » Ctg(a-P)- c;gp_ctga •
959*. Зная, что a и p— острые углы и sin a=0,1-^2,
sin P = 0,6, докажите, что a + P = 45°.
960*. Докажите, что a-hP = 45°, если tga=-—, tg P=-r,
аир — острые углы.
961*. Докажите, что а + Р=^-, если tgtt=-y, tg Р = 7,
аир — положительные углы, меньшие .
£л
962*. Известно, что tg-|- = —3. Вычислите:
a) sin а; б) cos а; в) tg а; г) ctg а.
1___/д
963*. Найдите значение cos 4a, если sin a = —.
964*. Докажите тождество:
а) sin За = 3 sin a — 4 sin3 а; в) cos За = 2;
sin a cos а
б) cos За — 4 cos3 а — 3 cos а; г) c?s a~cos —tg а
’ ' sma-|-sin3a &
204
965. Выразите:
a) sin 4а через sin а и cos а; б) cos 4а через cos а.
966. Найдите значение выражения:
а) 4 sin 15° cos 15° (cos215°—sin215°);
б) 4 sin2 75° cos2 75°- (sin2 75°-cos2 75°)2;
в) 1 — 6sin2 Tjcos2^-;
Л.А X A
а л • з л л
г) sm — cos3 —-sm ^cos —.
967*. Каково соотношение между а и ft, если a=sin a -[-cos a,
b —cos a—sin a?
968*. Если cos x— v , то верно равенство cos 2x=2 cos x.
2
Докажите это.
ллл тт « sin 4a 1
969. Найдите значение выражения , если cos a = ——.
970*. Докажите тождество:
а) cos 2a — ctg^-j- -|-a) =sin 2a ctg^-j- +a) ;
«) (7777+tg 2“) (cos’ “ “ т) = a:
в) sin4 P+cos4 fl=3+<^84P.
a) 971*. Упростите: 1 1 1+ctga 1— ctg a * r) (tg 2a — 2 tg a) (ctg a—tg a);
6) 1—tg2 a e . tg a
1-|-tg2 a ’ tg 2a—tg a ’
в) tg2(45°+a)-l . tg2(45°+a)+l ’ e) tg a-|-2 tg 2a + 4 ctg 4a.
972. Воспользовавшись формулами преобразования суммы
тригонометрических функций в произведение, преобразуйте вы-
ражение:
v sin a+sin fi e sin a —sin fi e к sin a + cos a
' cosa + cosp ’ ' cos a —cos p 9 ' sina — cos a
973*. Преобразуйте в произведение:
a) cos 2a+cos 5a+cos a; 6) sin a+sin 2a+sin 3a.
974. Представьте в виде произведения:
а) sin 19° -pein 25°-|-sin 31°; 6) sin 16°+sin 24°+sin 40°.
205
975. Покажите, что:
sin 22°+sin8°_sin 12"—sin2° .
sin 30° — cos 70° —cob 80°*’
cos 20° —cos 50°_sin 80° —sin 70°
cos 31°4-sin 11° sin 29° — sin 19° ‘
976. Упростите выражение:
977*. Докажите, что:
a) sin a4-cos a—sin^ а—4-cos^a—g-) =-\/б cos(a —
б) соз(-|-а) —cos(-|-а) — cos(-^- 4~а) -|-cos(-£- 4-а)
=(-^3 — 1) sin а.
978*. Докажите, что при любых аир
cos2 а — sin2 Р=cos (а + р) cos (а — р).
979*. Преобразуйте в произведение разность -\/l+cos 2a —
—\/1 — cos 2a, где 0<a<-y.
980*. Докажите тождество
14* cos a 4-cos 2a 4* cos 3a o
—x—2~------1:----=2 cos a.
2 cos a4-cos a — 1
981. Упростите выражение:
а)
а)
б)
cos a 4-2 cos 2a 4-cos 3a e sin 4a 4-2 cos 3a —sin 2a
sin a + 2 sin 2a+sin 3a ’ ' cos 4a —2 sin 3a—cos 2a *
982. Докажите тождество:
cosa —cos3a+cos5a—cos 7a ,
sin a+sin 3a 4-sin 5a-|-sin 7a ® ’
cosa—cos2a—cos4a4*cos5a . o
-----— ---:—-—;—:—-—=Ctg oa.
sin a—sm 2a—sin 4a 4* sm 5a
983*. Докажите, что если А, В и С — углы треугольника, то
sin A -|-sin B + sin C = 4 cos -£-cos -77-cos
2 2 A
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
КУРСА VII—IX КЛАССОВ
Вычисления
984. Выполните действия:
a)4+li.3-5i; P)(3f-»i):li+2f;
б) 2-2-|--2-у-4+Ц; д) 0,125:(A-J-A)-2,2;
в) 1зА_ 12Л . (2-+J.) ; е)(2,125.1Н-1^):7,25.
985. Найдите значение дроби:
. 12,8:0,644-3,05:0,05. 203,4:9—(5,39 —7,39)
а) ± 1_2
8 3 1 9 1 14 9 3
986. Вычислите:
а) (1,62-2,2 1,4;
б) (1-|- -0,27-3 2- -0,15) -1500-(—0,1)3;
г>(12А.2-27):(-4-)’.
987. Найдите значение выражения:
a) 2~JX- ПРИ х=—|s в) 10х+У~У при х = 1»4’ У= —1»6;
б> ПрИ г> ^-2~Д-Р При т= -1’6’ Л= -3’2-
968. Представьте число 2 -у- в виде десятичной дроби и ре-
зультат округлите до сотых. Найдите абсолютную и относитель-
ную погрешности полученного в результате округления прибли-
женного значения.
989. Докажите, что каждое из чисел 0,7 и 0,8 является
§
приближенным значением дроби у с точностью до 0,1.
207
990. Измеряя вольтметром напряжение в цепи, получили,
что J7=120±0,5 В. Докажите, что относительная погреш-
ность приближенного значения не превосходит 0,5%.
991. Зная, что х«16,5 и у «7,2, найдите значение выра-
жения:
а) х + у; в) ху; д) х(х — у);
6)х-у; г)—; е)_а_.
' я У х+у
992. Упростите выражение:
a) (д/15+д/10)«2 д/5 —5 д/12; в) (2 д/12 - 3 д/З)2;
2^70-2-^28 . . Ю-бд/З 10+бл/З
^л/зб-з-уП’ ' ю+б-Уз-' 10-б-Тз ‘
993. Найдите значение:
а) многочлена Зх2 —6х —5 при х = 1+д/2;
б) дроби —при х=д/5Ц-1.
994. Найдите значение выражения:
а) 0,3~3 + (-|-)0,5)-2.^-+(-1)-8-6;
995. Вычислите:
а) 27^-81^5 . б) (А) ~(т)
_ J. 1
36 2 643
996. Найдите сумму десяти первых членов арифметической
прогрессии (хп), если х2 = —2,4 и d=l,2.
997. Найдите сумму десяти первых членов геометрической
прогрессии (х„), если х2=—32 и q——т-.
А
998. Зная, что cos а=д^ и <а<2я, найдите sin а, tg а
. О л
и ctg а.
999. Известно, что tg а = —— и а — угол II четверти.
Найдите sin а, cos а и ctg а.
Тождественные преобразования
1000. Преобразуйте в многочлен:
а) (х —2у)(х4-2у)4-4у2;
208
б) (2а-36) (2а+ 36)-За2;
в) (5х —1)2+10х;
г) (3z/ + 4z)2 — Sz(3y — 2z);
д) (m —2n)(m2 + 2mn + 4n2)+6n3;
e) (c2+4d) (c4 - 4c2d + 16d2) - с2 (c4 -1);
ж) (3x — 4г/)2—(2x—ly) (4x+2 г/);
з) 2x (2x + 3)2—(2x—3) (4x2 + 6x+9).
1001. Найдите значение выражения:
a) 8x2(x — 4)—(2x — 3) (4x2 + 6x + 9) —17 при x = 0,5;
6) 4a2(3a —2)—3a(2a —l)2—(2a —5)(2a + 5) при a=3,3;
в) (9x2 — Зхб + 62) (3x + 6)—9x (Зх2— 6) — b3 при x=—й
r) x(3x —2j/)(3x + 2p)—x(3x+2i/)2 + 2xi/(5х+2г/) при x = 0,5
и у — — 1.
1002, Докажите тождество:
a) (a4-26)(a — 26) (a2 + 462)=a4 —1664;
6) (x—l)(x + l)(x2+l)(x4 + l)=x8—1;
b) (a — 2) (a 4- 2) (a2 — 2a 4- 4) (a2 4- 2a 4- 4)=a6 - 64;
r) (c2 — c—2)(c2+c—2)=c4-5c24-4.
1003. Разложите на множители:
а) 12х3 — Зх2г/—18хг/2; в) Sab — 14a—126 + 21;
б) 42a5 — 6a4 + 30a3; r) x2 — 5x — 9xy + 45y.
1004. Разложите на множители:
а) х4 —25г/2; г) х9-27;
б) 462 —0,01с6; д) 9a62—16ас2;
в) 8а3 + с3; е) — 20хг/3 + 45х3р.
1005. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2 —х—42; г) 1662-246 + 9;
б) 1/2+9р + 18; д) 6х2 — х—1;
в) 81х2 + 18х + 1; е) 3a2-13a-10.
1006. Сократите дробь:
. 21a3 — 6a26 , , 8ab-|-2a —206— 5, , a2—3a
а' 12a6—42a2’ Г' 4a6-8624-a-26 ’ Ж' a2+3a-18 ’
6m3 + 3mn2 v 16a2 —8a& + &2 , , 4X2—8x+3 .
6) 2m3n4-mn3 ’ Д) 16a2-b2 ’ 4x2-l ’
. x2 — 2mx4-3x—6m. , 9x2 —25z/2 \ m24-4m —5
B; x24-2mx4-3x4-6m’ ' 9x24-30xy-|-25j;2 ’ И' m24-7m4-10'
8 Заказ 624 209
a)
б)
1007. Упростите:
2________1 х + 1
х2—Зх х24-3х х2—9
21/4-1 . У4~2 1 .
У2+Зу ' Зу—у2 у ’
1008. Представьте в виде дроби
аб2 —16а
5Ь3
7ху
. о2 4-16а 4-12 2—За 3
В' а3—8 а2-}-2а 4-4 а-2
V 2 . 4ft2 4-18 1
' 4ft2—6ft4-9~‘ 8&34-27 2ft4-3*
20ft5 .
а2Ь4-4а^ ’
___________ Зх—бу
х2 —4ху4-4у2 14у2
1009. Упростите:
х2—4х.24 —6х.
х24-7х' 49 —х2 ’
у3—16у. 4—у .
2у4-18‘у24-9у ’
1010. Упростите выражение:
. / 7 (т—2)___т4~2 \ 2т2 4-4т 4-8 .
\ т3—8 т24-2т4-4/ т—3 ’
- а4-5 ./ а4-2 2(а4-8) \ .
°' а2—9 ’ \ а2—За 4-9 а3 4-27 /’
ч /х4-2 2 х—14 \ ,х4-2 1
' \ Зх х—2 Зх2—6х/ 6х *х—5*
к 1 । / Зт . 2т \ 9т2—6т 4-1 .
' 2 *3” \ 1 —Зт ' Зт4-1 / 6т24-10т ’
д) ( 1 У А ./ \_____х_
\х-Ьу ху2—х3/ *\ х24-ху у24-ху / х4-у
_ч 2д4-3 / 2а24-За За4-2 \ 4а—1 а—1
' 2а—з’\4а24-12а4-9 2а-|-3 ) 2а — 3 а
ч / а4-3 а-1 \ а2-2а-3 ..
Ж' \ а24-2а4-1 ^а2-2а-3/ а4-2 А’
a)
в)
б)
г)
у3-125 4р
8р2 *Р24-5₽+25’
9m2—12mn-|-4n2 3m4-6n
Зж34-24п3 2д— Зт’
а)
в)
(д+Ь)2—2о».дг+&2.
б)
г)
4а2 ’ ab
5с3-5. (с+1)2-с
с4-2 13с 4-26
. 3 (т 4- 3) , т3 — Зт2 / Зт 1 \
' т24-Зт-|-9 (т4-3)2 \ т3—27 т—3 / "
1011. Упростите выражение:
a) а) (6Д'-\) • ;
в) (0,25а- "Г';
1012. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) -7121?, где х^О; г) \Ф265; ж) ^/За16;
б) где у<0; д) V162c6, где <?<0; з) У2Ь10с;
в) V5®4; е) ^х^у5; и) V128x9.
210
1013. Внесите множитель под знак корня:
а) х~\13, где xi>0;
б) Уд/б. где у<0;
в) а^/2сг,
г) &V365;
д) 2<Д/'зТ;
е) m^/7m2, где пг <0.
1014. Упростите выражение:
а) -^50х + V32x —д/98х;
б) (2я4~л/2)(~\fa—\[2)—(-\/а—fiy-Ja;
в) (2*+2у)2—Ь/х—^уУ^
г) (д/х—д/у)(х+7^У + у)-
1015.. Сократите дробь:
ч 5+л/у .
' 5^+у ’
Зх~6 .
в)
г)
а +д/а4-1
ь—л/ь+х.
Ъ-т/Ъ+1
ч *л/*+Ул/у .
У*У+У
е)
c—^cd
c-\/c—d~\[d
1016. Освободитесь от иррациональности в знаменателе
дроби:
_з^.
7 ух ’
\ \ -X-
в) -=—; г) —-—
д/с —1 2д/«+Зд/у
1017. Сократите дробь:
2 2 11
х3—Зх3. р3 —4g3
2 > 2 2
5х3—15 5р3+10д3
В)^Т~"27
х2у — у2
r)2i±|2.
a—b
1018. Найдите значение выражения:
2 2 2 2
а) । ----Xj_ ~Уу при « = 0,75, у = 0,5;
ху2—х2у ху2 +х2 у
2 2 2 2
т — т2 п2 4-п т + т2 п2 -4-п Л , Л
б) з-3х-----_L~3--у— при тп = 0,4, п = 0,36.
j_-"2 —,*2 _*2
т -|-п т —п
1019. Упростите выражение:
11 4 1 1 _4 1 2
_ч аЪ~3 — а3Ъ , а3Ь3—а3Ъ3 . _ч т2 — 2 , 6т2 , 1
а' —I----1---‘-1---J-г----- ’ в) ----т---'-i-----‘--1---
а3—Ь3 а 3-|-а 3 & 3-|-&3 т + 2т2 +4 т 2 — 8 т2—2
АЛ АЛ 2 11
а5—bS । а5+&5 . ч Р3 +Р2 +Р3 1 I I
б) Г) --------------------------------------------+1.
а*+6» О*_а36‘+г,® ₽’-!
8*
211
1020. Упростите:
1021. Докажите тождество:
а) (1 + ctg2a) (1 — sin2a)=ctg2a;
б) (l-f-tg2a)(l—cos2a)=tg2a;
B) sin_a+cos«tg« =2
cos a + sin a ctg a ®
r) . i1, ,—. 21 , 7=COS 2a.
' tg2a4-l ctg a4-1
1022. Упростите выражение:
a) 14-sin(n — a)cos(-^—a) ;
6) l-tg(^-a) ctg(-jH-a) ;
sin2
в) -----
(a—4-sin2 (a — л)
ctg2 (^+a) +1
1023. Найдите
y<a<2n.
1024. Найдите
значение sin (60° — a), если cos a = 0,8 и
значение cos (30° — a), если sina=-i- и
5
л
т<а<л.
1025. Найдите значение tg (45 —a), если tg a =-1/2.
1026. Упростите выражение:
в) 1-|-tg a tg 2a;
6> r) 'tg a-ctg 2a.
1027. Докажите, что значение выражения не зависит от а:
а) cos (38° + a) cos (52° — a) — sin (38° + a) sin (52° — a),
6) sin(^-a) cos(^-+a)+cos(^-a) sin(^+a) .
1028. Зная, что tg a = ——, найдите значение выражения:
a) sin 2a; 6) cos 2a; в) tg 2a.
1029. Упростите выражение:
/ . a a V
f sm cos— I
a) -------;-----—; в) cos a — 2 sin2 -%-;
1 — sm a 2
-4 1 + sin 4a 4 , a . a
' (cos 2a sin 2a)2 9 r) ® 2 C ® 2 ’
212
1030. Представьте в виде произведения:
a) sin За4-sin 5а; г) cos 10a4-cos 4a;
6) cos 5a—cos 7a; д) 14-sin a 4-cos a;
в) sin 6a—sin 8a; e) 1—sin a—cos a.
Уравнения и системы уравнений
1031. Решите уравнение:
а) Зх(х-1)-17=х(14-Зх)4-1; в)
А о
б) 2х-(х-Ь2)(х-2) = 5-(х-1)2; г) ^4-х=^-Ц^.
1032. Решите квадратное уравнение:
а) 2,5х24-4х=0; в) 0,2t2 — t — 4,8 = 0;
б) бу2 — 0,24 = 0; г) 3-i-u24-3u-3=0.
О
1033. Существует ли значение переменной х, при котором
значение квадратного трехчлена х2 —10x4-31 равно: а) —5;
б) 6; в) 65?
1034. При каких значениях т уравнение имеет хотя бы
один корень:
а) 10х2 — 10х-|- тп=О; в) Зх2 4- тх — 5 = 0;
б) тх24-4х — 2 = 0; г) 2х2 — тх4-2=0?
1035. При каких значениях k уравнение не имеет корней:
а) Лх2-|-8х—15 = 0; в) 5x24-fex4-1 = 0;
б) 6х2 —3x4-fe = 0; г) 7х2 — kx —1 = 0?
1036. Решите уравнение:
а) О,3х(х4-13)—2х (0,9-0,2х) = 0;
б) 1,5х (х 4- 4) - х (7 - 0,5х)=0,5 (10 - 2х);
в) д) е^_21=<щг;
г) (S±2J£±5 = xI. е) 2ЬЙ+х = 7<2^.
1037. Садовый участок, имеющий форму прямоугольника,
требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если
известно, что длина участка на 15 м больше его ширины, а
площадь его равна 700 м2.
1038. Найдите два натуральных числа, если известно, что
первое на 6 меньше удвоенного второго, а их произведение
равно 20.
213
1039. Все ученики одного класса обменялись фотографиями.
Сколько учеников было в этом классе, если всего было пере-
дано 600 фотокарточек?
1040. Цифра десятков двузначного числа на 3 меньше циф-
ры единиц, а произведение этого двузначного числа на сумму
его цифр равно 70. Найдите это число.
1041. Решите уравнение:
ч х 5 18 . ч 1 1 ___ з .
х—3 х4-3 х2—9 ’ х2 —О-* Зх—х2 2x4-6 ’
70 17 Зх . .2 1 . 4 А.
х2—16 х-4 —х+4’ е' 1-х + (х4-1)4-°’
вч 3_________5 __ 14 . 2 . 3 _ 15 .
’ (2—х)2 (х-1-2)2 х2—4 ’ Ж‘ х24-5х-’’2х—10 х2—25 ’
Г) _______7__==Л. 5_______1 , 29 _ А
4—х2 2х—4 2х24-4х ’ 3' 2х-|-6 6х2—18х Зх2 —27 U*
1042. Участок земли имеет форму прямоугольного тре-
угольника, один из катетов которого на 20 м больше другого.
Найдите длину границы участка, если известно, что его пло-
щадь равна 0,24 га.
1043. Две бригады, работая вместе, выполняют работу за
6 ч. Одной первой бригаде на ту же работу требуется на 5 ч
больше, чем второй. За какое время может выполнить всю
работу каждая бригада, работая отдельно?
1044. Две автомашины отправились одновременно из села
в город, который удален на 180 км. Одна автомашина пришла
в город на 45 мин позже другой, так как ее скорость была
на 20 км/ч меньше. С какой скоростью шла каждая авто-
машина?
1045. Катер прошел 75 км по течению и столько же против
течения. На весь путь он затратил в 2 раза больше времени,
чем ему понадобилось бы, чтобы пройти 80 км в стоячей
воде. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость
течения равна 5 км/ч?
1046. Моторная лодка прошла 18 км по течению и 14 км
против течения, затратив на весь путь 3 ч 15 мин. Найдите
скорость течения, если собственная скорость лодки 10 км/ч.
1047. Турист отправился на автомашине из города Ав
город В. Первые 75 км он ехал со скоростью, на 10 км/ч
меньшей, чем рассчитывал, а остальной путь со скоростью,
на 10 км/ч большей, чем рассчитывал. В город В, который
удален от А на 180 км, турист прибыл вовремя. С какой
скоростью он ехал в конце пути?
1048. Расстояние от станицы до железнодорожной станции
равно 60 км. Мотоциклист выехал из станицы на 1-~- ч позже
велосипедиста и прибыл на станцию, когда велосипедист был
от нее в 21 км. Найдите скорость велосипедиста, если она была
на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста.
214
1049. Из села в город, к которому ведет дорога длиной
120 км, выехала легковая автомашина. Через 30 мин из города
в село выехал грузовик и встретился с легковой автомаши-
ной в 45 км от города. Найдите скорость грузовика, если она
меньше скорости легковой автомашины на 5 км/ч.
1050. Решите уравнение:
а) 4х4 —17х2 + 4 = 0; в) 2х4 —9х2 —5 = 0;
б) 9х44-77х2-36=0; г) 6х4 —5х2 —1=0.
1051. Решите уравнение, вводя новую переменную:
а) 2(5х-1)2 + 35х —11=0;
б) (х2 + х-3)2 + 12х2 + 12х-9 = 0.
1052. Решите уравнение:
а) х4 —16х2 = 0; д) x3-j-6x2 — 16х = 0;
б) х = х3; е) х4+х3 —6х2 = 0;
в) 1,2х34-х = 0; ж) х34-х2 = 9х + 9;
г) 0,4х4 = х3; з) 2х3 + 8х=х2Ч-4.
1053. Приведите уравнение к виду х"=а и решите его:
а) -1-х3 = 1; г) -1-х4 —16 = 0;
б) 1000х3 + 1 =0; д) Ц-х5 = 0;
в) ^-х3 = 0,001; е) х8 —16 = 0.
Zu 4 t
1054. Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли
уравнение корни:
а) -1-х —2 = х3; в)-1-=—х2 + 1;
Zj X
б) —Зх — 1=7*5 г) 8 + х2=1^.
1055. Решите графически уравнение:
а) х3 = 7х —6; в) -1- = х2 —2х;
б) -у-=0,5х —2; г) -у[х=х\
1056. Решите систему уравнений:
а) ( 4х — у = 17, в) Г 5х = у4-50,
1у-|-6х = 23; I — 3,4x-f-2,6i/ = 14;
б) / 6х-10у = 11, г) { 8х —4г/ = 6,
15j/ + 7x=19; ll3x-|-6i/=-1.
215
1057. Решите систему уравнений:
{2х—у х— 2у_ 3 ( х—у + 1 , х + у — 1 „
3 2 — 2 ’ б) J 2 ”Г 5 — ’
2х+у х+2у __ 1 . I х—у + 1 х+у —1_ „
2 3 3 ’ V з 4 ——6.
1058. Решите систему уравнений
( ах —Зу —13,
I 2х + Ьу = 5
с переменными х и у, если одним из решений первого
уравнения является пара чисел (8; 1), а второго — пара чисел
(5; -1).
1059. Каково расстояние от точки пересечения прямых
5х— 2у = — 25 и —4х + 3у = 27: а) до оси абсцисс; б) до оси
ординат; в) до начала координат?
1060. Подберите значения k и b так, чтобы система урав-
нений
/ y = kx + b,
I z/ = 2,5x —3
а) не имела решений;
б) имела бесконечно много решений;
в) имела единственным решением пару чисел, в которой х = 4.
1061. Принадлежит ли точка пересечения прямых — 2х +
+ у = 11 и Зх+-2у = 1 прямой:
а) 10х — Зу= — 45; б) -7x+-9i/ = 65?
1062. Найдите те значения а и Ъ, при которых точки
А (2; —3) и 6(1; 4) принадлежат параболе у=ах2-\-Ъх.
1063. При каких значениях Ь и с парабола у = х2 + Ъх+с
пересекает оси координат в точках (0; —3) и (4~; 0)? В какой
А
еще точке эта парабола пересекает ось х?
1064. Легковой автомобиль проехал за 2 ч на 10 км больше,
чем грузовой за 3 ч. Если уменьшить скорость легкового авто-
мобиля на 25%, а грузового на 20%, то грузовой автомобиль
проедет за 5 ч на 20 км больше, чем легковой за 3 ч. Найдите
скорость каждого автомобиля.
1065. На опытном поле под рожь отвели участок в 20 га,
а под пшеницу — в 30 га. В прошлом году с обоих участков
собрали 2300 ц зерна. В этом году урожайность ржи повыси-
лась на 20%, а пшеницы — на 30%, и поэтому собрали зерна
на 610 ц больше, чем в .прошлом году. Какой была урожай-
ность каждой культуры в этом году?
1066. Расстояние между пунктами A w. В равно 160 км.
Из А в В выехал велосипедист, и в то же время из В в А выехал
мотоциклист. Их встреча произошла через 2 ч, а через 30 мин
216
после встречи велосипедисту осталось проехать в 11 раз боль-
ше, чем мотоциклисту. Какова скорость мотоциклиста?
1067. Решите графически систему уравнений:
а) ( у-|-х2=5х, в) ( ху = 1,
I 2y-f-5 = x; I х2 + у2 = 9;
б) ( х2 + у2 = 25, г) ( ху=—2,
l2x’ + s-e; b+8-h!.
1068. Решите систему уравнений способом подстановки:
а) { х2 + у + 8 = ху,
I у — 2х=0;
б) { х2-у2 = 16,
I х + у = 8-,
ху + у2 = 13;
г) { x2 + y2 + 3xy = l,
I Зу + х=О;
д) ( 2х2-|-5х —Зу= —12,
I 2у — 7х = 8;
е) Г у2 —6х + у = 0,
2х—|-у = 1.
1069. Решите систему уравнений:
а) Г х+ху+у = 11, в) Г х2 + у2 = 34,
(х —ху + у = 1; 1ху = 15;
б) | 2х — у — ху = 14, г) ( х2 —у2 = 12,
I х + 2у + ху=—7; I ху = 8.
1070. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли:
а) парабола у=х2 — 6х-|-8 и прямая х + у = 4;
б) прямая х + у = 4 и гипербола у=—;
в) окружности х2 + у2 = 4 и (х — 3)2 + у2 = 1.
Если пересекаются, то укажите координаты точек пересече-
ния. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.
1071. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби
отнять по единице, то дробь увеличится на —. Если же к
числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь
уменьшится на Найдите эту дробь.
1072. Если от числителя и знаменателя обыкновенной
дроби отнять по единице, то дробь уменьшится на —. Если
же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то
дробь увеличится на —. Найдите эту дробь.
1о
1073. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
41 см, а его площадь равна 180 см2. Найдите катеты этого
треугольника.
1074. Площадь прямоугольного треугольника равна 44 см2.
Если один из его катетов уменьшить на 1 см, а другой увели-
217
чить на 2 см, то площадь будет равна 50 см2. Найдите катеты
данного треугольника.
1075. Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую
работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы один из них
был переведен на другой участок, а второй закончил
работу, проработав еще 9 дней. За сколько дней каждый рабо-
чий мог выполнить всю работу?
1076. Двое рабочих, работая вместе, выполнили работу за
2 дня. Сколько времени нужно каждому из них на выполнение
всей работы, если известно, что если бы первый проработал
2 дня, а второй один, то всего было бы сделано — всей работы?
1077. Найдите номер члена арифметической прогрессии
(ап), равного 3, если си =48,5 и d= —1,3. Является ли членом
этой прогрессии число —3,5; 15?
1078. В арифметической прогрессии четырнадцатый член
равен 140, а сумма первых четырнадцати членов равна 1050.
Найдите первый член и разность этой прогрессии.
1079. Последовательность (ап) — арифметическая прогрес-
сия. Известно, что а$ = —6 и ai6 = 17,5. Найдите сумму первых
шестнадцати членов этой прогрессии.
1080. В арифметической прогрессии первый член равен
28, а сумма двадцати пяти первых членов равна 925. Найдите
разность и тридцатый член этой прогрессии.
1081. В арифметической прогрессии (ап) сумма шестого и
десятого членов равна 5,9, а разность двенадцатого и четвертого
членов равна 2. Найдите двадцать пятый член этой прогрессии.
1082. Последовательность (хп) — геометрическая прогрес-
сия. Найдите:
a) Xi, если Хв=—128 и q ——4;
б) д, если Xi = 162 и Хд = 2;
в) Xi, если х3=у-и х6=—-.
1083. Найдите пятый член геометрической прогрессии
(ЬЛ), если известно, что bi=6 и Ь3=-|-.
о
1084. Найдите сумму шести первых членов геометрической
прогрессии (Ьп), в которой Ь6=-|-и д—
1085. Найдите сумму семи первых членов геометрической
прогрессии (&Л), если известно, что все члены последователь-
ности положительны и Ь3 = 20, 65 = 80.
Неравенства
1086. Докажите, что при любом значении переменной верно
неравенство:
a) (x-l)2-(x+2)2<2(x2+4);
6) 3(x4-l)2—8x—10>2(x—2)(x+2);
в) (2a + l)(3a+2)<4+(5a—l)(2a+l);
r) (3a —5)(2a —3)>(a—4)(3a-f-2).
1087. Докажите, что при любых х:
а) трехчлен х2 — Зх + 200 принимает положительные значения;
б) трехчлен — х2 + 22х —125 принимает отрицательные зна-
чения.
1088. Оцените периметр Р и площадь S прямоугольника,
длины сторон которого а см и Ъ ctt, если 14,3^а^ 14,4 и
25,1СЬ<25,2.
1089. Пользуясь тем, что 2,6<V?<2,7 и 2,2<-у5<2,3,
оцените значение выражения:
а) V7+V5; б) V7-V5; в) ^/35.
1090. Решите неравенство:
а) 0,3 (2т - 3) < 3(0,6m +1,3);
б) 1,1 (5х—4)>0,2(10х—43);
в) 10 - 5 (0,3a - 0,2) >5-10 (0,1a+0,2);
г) 3,2 (26+ 1)4-5,7 < 7,3-1,6 (3-55);
д) 4,3х - 4- (2,8х - 0,6) >(Зх+0,6)+2,9х;
А О
е) -|- (5,5m - 2)—0,8m < 4,6m - (3,6m —1,6);
ж) (2,ly+2)(0,2y —3)—(0,7у—l)(0,6y-J-4)> -83;
з) (1 - 3,6a) (0,2a + 3)+(4+0,9a) (0,8a +10) < 42,2.
1091. Решите неравенство:
а) 4’2+2*>1,5х-1,1; г)
б) 2,3a0,8 <8,8а^~3,4 ; д)
0,5-5у 0,6-5у . ,
В) g I , V
0,6m +1,2 1,5m — 2,5 в
12 15 ’
1,3a-0,7 0,9a+ 0,3^
4 3 ’
ЬЦ0Л + М±1Л£<
1092. При каких значениях Ь:
а) значения дроби меньше соответствующих зна-
„ - 11-0,66.
чении дроби-----=--;
А
б) значения дроби 1,41’-* больше соответствующих значе-
u g» 2,6 + 35 q
НИИ дроби ------?
А
219
1093. Решите систему неравенств:
a) f 5х—2>2х-|-1, в) f 12у —1<3 — 2у,
I 2х + 3<18 —Зх; [5у<2 —11у;
б) ( 4у + 5>у + 17, г) ( 8х 4-1 > 5х—1,
I у — 1>2у — 3; I 9x4-9<8х-|-8.
1094. Решите систему неравенств:
а) ( 2х — 3(х4-1)<х4-8,
I 6х (х —1)-(2х4-2) (Зх —3)>0;
б) ( 10 (х-1)-5 (х + 1)>4х-11,
I х2 — (х4-2) (х —2)<3х;
в) ( X—^=±<10, г) / Зу- ^±1>4-^—у,
О < £ь о
(4х-1—|-<Ю; I ^i-(y-l)>3y.
1095. Найдите целые решения системы неравенств:
а) { (3х + 2)2>(3х—1)(3x4-1)—31,
I (2х - 3) (8х 4- 5) < (4х — З)2 — 14;
б) ( (5х - 2)2 4- 36 > 5х (5х - 3),
I Зх (4х4-2) + 40<4х (3x4-7)—4.
1096. Решите двойное неравенство:
а) -5<^^<7; в) -11<Ц^<-8;
о Z
б) 3<i^<ll; г) —0,2<^-^<2.
1097. При каких значениях переменной х:
а) значения двучлена 0,5 —0,2х принадлежат промежутку
[-Т’-Н=
б) значения дроби принадлежат промежутку
[-100; 100]?
1098. Решите неравенство:
а) х24-2х — 15 <0;
б) 5х2 — 11х + 2>0;
в) 10 —Зх2<5х —2;
г) (2х + 3)(2 —х)>3;
1099. Решите неравенство:
а) (2x4-1) (х4-4)-Зх (х4-2)<0;
б) (Зх —2)2 —4х (2х—3)>0;
в) (1 - 6х) (14- 6х) 4- 7х (5х - 2) > 14;
г) (5x4-2)(х-1)-(2х4-1)(2х-1)<27.
220
д) 2х2 —0,5 <0;
е) Зх24-3,6х>0;
ж) (0,2- х) (0,2-|-х)<0;
з) х(3х— 2,4) >0.
1100. При каких значениях х имеет смысл выражение:
a) V12X-4; в) -Д5 + 2х-х2; д) sJ12-5x+^2x — l',
б) ^3-0,6х; г) V2x2+x-6; е) -Tx*+44-V3x-17?
1101. Решите неравенство:
а) (2х + 7)(3х + 6)(х-5)>0;
б) (х + 2) (0,5x4-4) (1,5х — 6)<0;
в) (х-6)(4х-12)(5х+10)<0;
г) (0,2х —4) (0,1х+7) (0,Зх — 9)>0.
1102. При каких значениях х значение дроби:
. 8 — 2х ч 5x4-8
а) о—Г77Г положительно; в) -—— неположительно;
оХ-у-Ал “X—7
Зх —1 ч 6—6х о
б) отрицательно; г) —неотрицательно?
Функции
1103. Найдите область определения функции, заданной фор-
мулой:
а) У = 2х-5 ’ Г) У = 4х2-4х+1 ’
б> У=?-_-^+б ? Д> y=V3x-9;
В) У —х2-х+5 ’ в) '^-4x+2 *
1104. Функция задана формулой у= — х24-3. Какова об-
ласть определения этой функции? Найдется ли такое значе-
ние аргумента, при котором значение этой функции равно —1;
1; б?
1105. Функция y = f(x), областью определения которой
является промежуток [—4; 5], задана графиком (рис. 82).
221
Какова область значений функции?-Найдите /( —3), /( — 1,5),
/( —1), /(1), /(3,5). Найдите координаты точек, в которых гра-
фик функции пересекает оси координат.
1106. Какова область значений функции y = f(x), если:
а) / (х)=—100х + 53; д)/(х)=3—х2;
б)/(х) = 9,3х; е)/(х)=^;
в) ж) /(х)=2х2 —Зх;
г)/(x)=V«; . з)/(х)=—|-х2+7?
1107. Функция y=f(x) задана формулой у = -~%£. При
каких значениях аргумента х:
а)/(х)>0; б)/(х)<0?
1108. Найдите по графику функции y = t (х) (см. рис. 82) зна-
чения аргумента, при которых: а) / (х)=0; б) /(х)>0;
в) /(х)<0.
1109. Ломаная ABCDE является графиком функции у=f (х)
(рис. 83). В каких промежутках эта функция принимает
положительные значения и в каких — отрицательные?
функций является: а) линейной; б) квадратичной; в) прямой
пропорциональностью; г) обратной пропорциональностью?
1111. Постройте график функции;
а)у=—2,1х; б) у = 2х—3; в)у=—5; г) у—— х + 4.
1112. Постройте график функции.
*) б)
1113. Постройте График функции:
а) у — 2х2 — 2; д) у=х2+х—6;
б) у= -х24-1,6; е) у= -0,5х24-1,5х4-2;
в) у = х2—4х; ж) у = 3х2—6х-|-5;
г) у = 1,5х2-|-6х; з) у= — 2х2-|-6х — 6.
1114. Постройте график функции у = — О,5х2 4- х 4-1,5. Най-
дите по графику, при каких значениях х значение у равно
нулю, больше нуля, меньше нуля. В каком промежутке эта
функция возрастает и в каком убывает? Каково наибольшее
или наименьшее значение этой функции?
1115. Изобразите схематически график функции:
а) у = ах4-5 при а<0;
б) у = 10х-}-Ь при 5>0;
в) У=~- при k>0;
г) У=-^~ при й<0;
1116. Каково взаимное
функций:
д) у = ах —3 при а>0;
е) у = ах24-2 при а<0;
ж) у=ах24-5х при а>0, 5>0;
з) у=ах2 + Ьх при а<0, 5>0.
расположение графиков линейных
а) у = 7х-|-16 и у = 7х—25; в) у= — 2,8х и у= — 2,8x4-11;
6) у = 3,5х — 4 и у= — 5х — 4; г) у = 0,6x4-8 и у= — 0,6х?
1117. Найдите координаты точек пересечения графиков
функций:
а) у — 2х —11 и у=— 5x4-3;
б) у=— Зх —10 и у = х2 —13x4-6;
в) и у= ~2х + 4;
г) у——и у=— х;
д) у=— Зх24-х—3 и у=—x2-j-x —5;
е) у = 4х24-Зх-|-6 и у = 3х2 — Зх—3.
1118. Найдите расстояние между точками пересечения ги-
перболы у=— и прямой y—kx.
1119. Какие из линейных функций у=— 3x4-9, у = 5х,
у——7, у = 9х—1, у=— х —100, у = 14-бх являются: а) воз-
растающими; б) убывающими?
1120. В каком промежутке возрастает и в каком убывает
квадратичная функция:
а) у=2х24-10х—7; в) у = 4х24-2х;
б) у= — З^-Ьх-Ьб; г) у = 3х—5х2?
223
1121. Найдите промежутки возрастания и промежутки убы-
вания функции:
а) у =-1,2x4-17; 6) у=—Г; в) у=-|-; Г) у= -7х24-21х-5; д) у=(х — 5)(х4-4); е) у=— (2х4-1)2.
1122. При каких значениях аргумента х значения f (х) боль-
ше нуля и при каких меньше нуля, если:
a) f(x) = 3,2x + 16; д) / (х) = 2х2+х-6;
б) / (х) = - 1,5х - 30; е) f (х)=1,44х2 - 2,4х +1;
в) /(х)=-^-; ж) f (х) = 3х2 — хЦ-2;
г)/(*)=—у; з)/(х)=—5х2 + 5х —3?
Упражнения на все темы
1123. а) Упростите выражение
/ 9х2 + 8 1.4 \ Зх—1
\ 27х3 —1 Зх —1 "г 9х2 +3x4-1 / ‘ 3x4-1 *
б) Постройте график функции у = х2 —4х —5 и найдите, при
каких значениях х функция принимает отрицательные значе-
ния.
в) Зная, что sin а— — и 270°<а<360°, найдите cos а,
tg а и ctg а.
г) Расстояние от города А до города В поезд должен прохо-
дить по расписанию за 4 ч 30 мин. По техническим причи-
нам он был задержан с отправлением из города А на 30 мин.
Увеличив скорость на 10 км/ч, поезд прибыл в город В вовре-
мя. Найдите расстояние между городами А и В.
1124. а) Упростите выражение
/ 4х_____х—3 \ 18_____2х
. \ 9-х2 94-Зх/‘х4-3 3-х *
б) Решите неравенство
(1 - х) (3 - 4х) - (2х +1) (2х -1) < 11.
в) Найдите координаты точки пересечения графиков функ-
ций
у=—^-х + 31 и г/=-2x4-111.
г) Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвра-
тилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость
224
моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения
равна 3 км/ч.
1125. а) Упростите выражение
I И'
и найдите его значение при а = 121.
б) Решите систему уравнений
f x2 + 3«y + y2 = ll>
j 12x + i/ = 3.
в) Постройте график функции у = х2 + 4х. При каких значе-
] ниях х эта функция возрастает?
г) Токарь должен был обработать 240 деталей к определен-
ному сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать
в час на 2 детали больше, чем предполагалось по плану,
। и потому выполнил задание на 4 ч раньше срока. Сколько
[ деталей в час должен был обрабатывать токарь?
1126. а) Вычислите:
' 8” + (-|-)_1+(-0,5)-2.^ + (-1),0.7.
б) Найдите область определения функции
^=^/27 —12х —4х2.
в) Решите систему уравнений
{Зх— 2у
3 2
7х + 3г/ = 38.
г) Мастер и ученик изготовили в первый день 100 деталей.
Во второй день мастер изготовил деталей на 20% больше, а уче-
ник — на 10% больше, чем в первый день. Всего во второй день
мастер и ученик изготовили 116 деталей. Сколько деталей
изготовил мастер и сколько изготовил ученик в первый день?
1127. а) Упростите выражение
(1 — cos а) (1 +cos а)_tg а cos (л 4-а)
sin а + sin (л — а) 2
б) Упростите:
(5-2 л/6)2-(3->/2-2^3) (4^/2 + 8 73).
в) Решите графически уравнение
— = х2 —4х.
225
г) В арифметической прогрессии (ал) сумма пятого и десятого
членов равна — 9, а сумма четвертого и шестого членов равна
—4. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.
1128. а) Упростите выражение
2 sin вс sin^ + а
2 cos2 а— 1
б) Решите неравенство
(Зх _ 1 )2 _ (х _ 6) (х + 2) > 4.
в) Решите уравнение
1 12 3
(х—2)2 х2—4 х + 2 *
г) Пятый член геометрической прогрессии (&„) равен 1-jr»
А
а знаменатель прогрессии равен —Найдите сумму пяти пер-
вых членов этой прогрессии.
ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
О функциях
Еще задолго до того, как сформировались общие Понятия
переменной величины и функции, они фактически использова-
лись в математике. Значительную роль в развитии этих понятий
сыграл метод координат, созданный французскими матема-
тиками П. Ферма (1601—1665) и Р. Декартом (1596—1650).
Метод координат стал широко использоваться для графического
исследования функций и графического решения уравнений.
С этого времени начался новый этап, который ознаменовался
мощным развитием не только математики, но и всего естест-
вознания.
Термин «функция» ввел немецкий математик Г. Лейбниц
(1646—1716). У него функция связывалась с графиком.
С именами Л. Эйлера (1707—1783) и И. Бернулли (1667—
1748) связано понимание функции как аналитического выра-
жения, т. е. выражения, образованного из переменных и чисел
с помощью тех или иных аналитических операций. В это
время были исследованы важные классы функций, которые
рассматриваются в одной из ведущих областей математики —
математическом анализе.
У Л. Эйлера появился и более общий подход к понятию
функции как зависимости одной переменной величины от дру-
гой. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в трудах
русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856), немец-
кого математика П. Дирихле (1805—1859) и других ученых.
В результате функцию стали рассматривать как соответствие
между числовыми множествами: переменная у есть функция
переменной х (на отрезке если каждому значению х
соответствует определенное значение у, причем безразлично,
каким образом установлено это соответствие — формулой, гра-
фиком, таблицей либо просто словами.
Одна из оригинальных функций, названная функцией
Дирихле, выглядит так:
t( \ { 1» если х — рациональное число,
/ W— I о, если х — иррациональное число.
Отметим, что график этой функции «разрывен» в каждой
точке. Он состоит из прямой */ —1, у которой исключены все
227
точки с иррациональными абсциссами, и прямой у = 0, у
которой исключены все точки с рациональными абсциссами.
Дальнейшее развитие понятия функции связано с рассмот-
рением соответствий между множествами, элементами которых
могут быть не только числа, но и объекты произвольной при-
роды.
Об уравнениях высших степеней
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных
квадратных уравнений умели решать еще вавилоняне (2 тыс.
лет до н. э.). Отдельные виды квадратных уравнений решали
древнегреческие математики, сводя их решение к геометри-
ческим построениям.
Приемы решения уравнений 3-й степени не были известны
ни древнегреческой, ни арабской науке. В алгебраических
трактатах арабских математиков IX—XV вв., кроме решения
уравнений и систем уравнений 1-й и 2-й степеней, рассматри-
ваются решения кубических уравнений частных видов. Однако
способы решения этих уравнений приводили к нахождению
приближенных значений корней.
Общее уравнение 3-й степени имеет вид ах3Ьх2 + сх-|-
+d = 0, где а=/=0. Давно было известно, что с помощью введе-
ния новой переменной это уравнение можно свести к уравне-
нию вида x3+p^ + q = 0.
Впервые формулу для отыскания положительного корня
уравнения х3 +рх = д, где р>0 и д>0, вывел итальянский
математик Сципион Даль Ферро (1465—1526), но держал ее
в тайне. Только в конце жизни он сообщил своему ученику
Фиори об открытии. Одновременно вопросом об общем решении
уравнений 3-й степени занимался другой итальянский мате-
матик — Н. Тарталья (ок. 1499—1557), который нашел способы
решения уравнений х3+px = g, x3 + g=px, х3 = рх + д и част-
ных случаев уравнения х3+рх2 = q (р и q — положительные
числа). 12 февраля 1535 г. между Фиори и Тартальей состоялся
научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую
победу (он за 2 ч решил все 30 предложенных ему задач,
в то время как Фиори не решил ни одной задачи Тартальи).
С 1539 г. решением кубических уравнений начинает зани-
маться итальянский математик Д. Кардано (1501—1576). Он
узнал об открытии Тартальи, который не публиковал своих
трудов. В 1545 г. вышла книга Кардано «Великое искусство,
или О правилах алгебры», где наряду с другими вопросами
алгебры рассматриваются общие способы решения кубических
уравнений. В эту книгу Кардано включил также метод реше-
ния уравнений 4-й степени, открытый его учеником Л. Фер-
рари (1522—1565).
Вопрос о том, кому принадлежит приоритет открытия
228
формулы решения кубических уравнений — Тарталье или
Кардано, не решен до сих пор.
Следует отметить, что ни Тарталья, ни Кардано не провели
полного исследования решений кубических уравнений. В ре-
шении этой задачи значительно продвинулся их соотечествен-
ник из Болоньи Р. Бомбелли (ок. 1530—1572). Полное изло-
жение вопросов, связанных с решением уравнений 3-й и 4-й
степеней, дал Ф. Виет (1540—1603), которому в этом сущест-
венно помогла усовершенствованная им алгебраическая сим-
волика.
В формуле корней квадратного уравнения используется знак
корня — радикал. Через радикалы (корни 2, 3 и 4-й степеней)
выражаются и корни уравнений 3-й и 4-й степеней.
После того как были найдены формулы решений уравнений
3-й и 4-й степеней, усилия многих математиков были направ-
лены на то, чтобы отыскать формулы решений уравнений
любых степеней. На решение этой проблемы ушло около
300 лет, и лишь в 20-х годах XIX в. норвежский математик
Н. Абель (1802—1829) доказал, что в общем случае корни
уравнений 5-й и более высоких степеней не могут быть выра-
жены через радикалы. Французский математик Э. Галуа
(1811—1832) выделил класс алгебраических уравнений, кото-
рые разрешимы в радикалах.
Использование алгебраических уравнений позволило дать
более тонкую классификацию действительных чисел. Числа,
являющиеся корнями алгебраических уравнений с целыми
коэффициентами, стали называть алгебраическими числами.
Действительные числа, не являющиеся алгебраическими, на-
звали трансцендентными. Оказалось, что в множестве иррацио-
нальных чисел содержится значительно больше трансцен-
дентных чисел, чем алгебраических. Одним из представителей
трансцендентных чисел является число л.
О прогрессиях
Первые представления об арифметической и геометрической
прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных
вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются
задачи на прогрессии и указания, как их решать.
В древнеегипетском папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н. э.)
приводится такая задача: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер
ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя,
полученного каждым человеком и его соседом, равнялась
меры».
В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии.
Условие задачи, пользуясь современными обозначениями,
229
можно записать так: Sio=10, d=-|-, найти Oi, 02» Ою*
©
В одном древнегреческом папирусе приводится задача:
«Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает
7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый из кото-
рых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. Нужно подсчитать
сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна».
Решение этой задачи приводит к сумме: 7 + 72 + 73 4- 74 + 75,
т. е. сумме пяти членов геометрической прогрессии.
О прогрессиях и их суммах знали древнегреческие ученые.
Так, им были известны формулы суммы п первых чисел после-
довательности натуральных, четных и нечетных чисел.
Архимед (III в. до в. э.) для нахождения площадей и объемов
фигур применял «атомистический метод», для чего ему потребо-
валось находить суммы членов некоторых последовательностей.
Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел
1г+22+32Ч- ... +я2=-|-л(п+1)(2п + 1),
показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии —F — •
Отдельные факты об арифметической и геометрической
прогрессиях знали китайские и индийские ученые. Об этом
говорит, например, известная индийская легенда об изобре-
тателе шахмат (см. п. 19).
Термин «прогрессия* (от латинского progressio, что озна-
чает «движение вперед») был введен римским автором Боэцием
(VI в.) и понимался в более широком смысле, как бесконечная
числовая последовательность. Названия «арифметическая» и
«геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории
непрерывных пропорций, изучением которых занимались древ-
ние греки. Равенство вида ац-i—а*—а*—щ+1 они называли
непрерывной арифметической пропорцией, а равенство
-----------непрерывной геометрической пропорцией. Из
©л &Л-Н
этих равенств следует, что 4-1 и bk=^bk-i'bk+i, т. е.
этими соотношениями выражаются характеристические свой-
ства арифметической и геометрической прогрессий.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была
доказана древнегреческим ученым Диофантом (III в.). Формула
суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида
«Начала» (III в. до н. э.). Правило отыскания суммы членов
произвольной арифметической прогрессии встречается в «Кни-
ге абака» Л. Фибоначчи (1202). Общее правило для суммиро-
230
вания любой бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии дает Н. Шюке в книге «Наука о числах» (1484).
Известна интересная история о знаменитом немецком мате-
матике К. Гауссе (1777—1855), который еще в детстве обна-
ружил выдающиеся способности к математике. Учитель пред-
ложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100.
Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив,
что суммы 14-100, 24-99 и т. д. равны, он умножил 101 на 50,
т. е. на число таких сумм. Иначе гдворя, он заметил закономер-
ность, которая присуща арифметической прогрессии.
Комплексные числа
Идея комплексного числа возникла у итальянских мате-
матиков XVI в. в процессе решения уравнений 3-й и 4-й сте-
пеней.
Для решения уравнений вида x34-px4~Q = 0 была выведена
формула
+V4+I+л/-1-л/?+1 •
которую стали называть формулой Кардано. Если -^-4“ <0,
то выражение-\/-—h~-=- не имеет смысла. Однако оказалось,
V 4 Д<
что и в этом случае по приведенной формуле можно находить
действительные корни уравнения х34-рх4-<7 = 0, если над вы-
ражениями вида a±~\/b, где 5<0, производить действия по
обычным правилам. Например, умножение выражений
2+7^3 и 2 — -д/ —3 выполнять так:
(2+vZ3)-(2-v-3)=22-(yZ3)2 = 4-4-3)-7.
В дальнейшем числа вида где &<0, получили на-
звание комплексных чисел.
Формальные операции над комплексными числами ввел
Бомбе л л и. В дальнейшем эти числа стали записывать в виде
а 4“ Ьд/ —1, причем стали называть мнимой единицей.
Л. Эйлер мнимую единицу обозначил буквой i (взяв
первую букву слова imagine г, что означает «воображаемый»
или «мнимый»).
Таким образом, по определению мнимая единица — это
«число», квадрат которого равен —1, т. е. i2=—1.
Начальные положения теории комплексных чисел состоят в
следующем.
Комплексным числом называют выражение вида а 4- Ы9 где
а и b — действительные числа. При этом а называют действи-
231
тельной частью, а- Ь — мнимой частью комплексного числа.
Комплексные числа a\ + b\i и а2 + Ь2г называют равными,
если ai —«2 и di = &2.
Если & = 0, то комплексное число а + Ы является действи-
тельным числом, равным а. Если Ь#=0, то комплексное число
а + Ы называют мнимым, в частности при а = 0— чисто
мнимым.
Если комплексные числа a\ + b\i и a$ + &2J складывать и
умножать, как складывают и умножают многочлены с после-
дующей заменой i2 на —1, то получим выражения, которые
называют соответственно суммой и произведением этих чисел:
(ai + bii) + (a2 + &2f) = (ai H~a2) + (&i + 62) i,
(ai + bii)-(a2+ &20=(®ia2— &i&2) + (ai&2 + a2&i) i.
Вычитание и деление вводятся как действия, обратные соот-
ветственно сложению и умножению. С учетом определения
равенства двух комплексных чисел получаются формулы
(ai + b\i) — (a2 + b2i)=(ai —Лг) + (Ь1 — Ь2) i,
flh-j-dlj 01024” &2 | O2&1—Л1&2 £
02 4- ^2^ 4“ ^2 4" ^2
Числа а + Ы и а — Ы называют комплексно сопряженными.
Их произведение равно а2 + Ь2. Этим пользуются при нахожде-
нии частного комплексных чисел, умножая делимое и дели-
тель на число, сопряженное делителю. Например:
24-3i__(24-3i)(l-2i)__24-3i-4i-6i2_8-f_1 Q9.
14-2/ (14-2i) (1 — 2i) 1-4/2 “5 1,0
Из определений следует, что сложение и умножение комп-
лексных чисел обладают переместительным, сочетательным и
распределительным свойствами.
Множество комплексных чисел является расширением мно-
жества действительных чисел.
Комплексные числа, так же как и действительные числа,
замкнуты относительно арифметических действий, т. е. сумма,
разность, произведение и частное (исключая деление на нуль)
двух комплексных чисел являются комплексными числами.
Действительные числа не обладают свойством алгебраической
замкнутости — не всякое алгебраическое уравнение имеет кор-
ни. Например, не имеет действительных корней квадратное
уравнение с отрицательным дискриминантом. В отличие от
действительных чисел, комплексные числа обладают алгеб-
раической замкнутостью — всякое алгебраическое уравнение
с комплексными коэффициентами имеет корни. Так, корни
квадратного уравнения ах2 + Ьх 4- с = 0 с действительными
коэффициентами при отрицательном дискриминанте вычис-
ляются по той же формуле:
232
2a
Например, решив уравнение х2 —4х-|-13 = 0, найдем, что
Х1 = 2 — 31 и х2 = 24-ЗЛ
Таким образом, каждое квадратное уравнение имеет на
множестве комплексных чисел два корня (если D = 0, то
считают, что уравнение имеет два равных корня).
А. Жирар (1595—1632) и Р. Декарт впервые сформули-
ровали, что всякое алгебраическое уравнение имеет столько
корней, какова его степень. Это утверждение было названо
основной теоремой алгебры. Доказал эту теорему немецкий
математик К. Гаусс.
Известно, что каждому действительному числу соответ-
ствует единственная точка координатной прямой и, наоборот,
каждой точке координатной прямой соответствует единственное
действительное число. Это соответствие взаимно однозначное.
Таким образом, на координатной прямой нет места для
мнимых комплексных чисел.
Каждому комплексному числу a + bi ставится в соответ-
ствие точка (а; Ь) координатной плоскости, и, наоборот, каждой
точке (х; у) ставится в соответствие комплексное число x + yi.
Плоскость, полученную при таком взаимно однозначном
соответствии, называют комплексной плоскостью. На оси аб-
сцисс комплексной плоскости лежат точки, которым соответ-
ствуют действительные числа, а точки, не принадлежащие оси
абсцисс, соответствуют мнимым комплексным числам.
О степенях
Понятие степени с натуральным показателем сформирова-
лось еще у древних народов. Квадрат и куб числа исполь-
зовались для вычислений площадей и объемов. Степени неко-
торых чисел использовались при решении отдельных задач
учеными Древнего Египта и Вавилона.
В III в. вышла книга греческого ученого Диофанта «Ариф-
метика», в которой было положено начало введению буквенной
символики. Диофант вводит символы для первых шести степе-
ней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат
обозначается знаком Д с индексом г (Дг); куб — знаком k с ин-
дексом г (fer); квадрат, умноженный на себя,— квадрато-квад-
рат обозначается Д'Д; квадрат, умноженный на куб,— квад-
рато-куб — Д/f; куб, умноженный сам на себя,— кубо-куб — krk.
В конце XVI в. Франсуа Виет ввел буквы для обозначения в
уравнениях не только неизвестных, но и их коэффициентов.
Он применял сокращения: N (Numerus — число) — для первой
степени, Q (Quadratus — квадрат) — для второй, С (Cubus —
куб) — для третьей, QQ — для четвертой и т. д.
233
, Современная запись степеней (а3, а4, а5 и т. д.) была вве-
дена Декартом, причем вторую степень а, т. е. а2, он записывал
как произведение аа.
К идее обобщения понятия степени на степень с ненатураль-
ным показателем математики пришли постепенно^ Отрицатель-
ные и дробные показатели степеней появились в отдельных
трудах европейских математиков XIV—XV вв. (Н. Орем,
Н. Шюке). Современные определения и обозначения степени
с нулевым, отрицательным и дробным показателями берут
начало от работ английских математиков Д. Валлиса (1616—
1703) и И. Ньютона (1643—1727).
О тригонометрии
Термин «тригонометрия» происходит от греческих слов
«тригонон» — треугольник и «метрио» — измеряю, что вместе
означает «измерение треугольника».
Потребность в измерении углов возникла так же давно, как
и потребность в измерении расстояний. Одним из стимулов
развития тригонометрии была необходимость определения вре-
мени, определения положения корабля в открытом море или
каравана в пустыне.
Изучая зависимость между сторонами и углами треуголь-
ника, древние нашли способы вычислений различных элементов
треугольника.
Некоторыми знаниями тригонометрии владели ученые
Древнего Вавилона. Об этом свидетельствует тот факт, что
вавилоняне умели предсказывать солнечные и лунные затме-
ния. На одной из глиняных табличек Древнего Вавилона
(2 тыс. лет до н. э.) решается задача, в которой по известному
диаметру круга и высоте сегмента вычисляется длина хорды,
что соответствует установлению связи между синусом и ко-
синусом.
Древнегреческие ученые владели методами решения прямо-
угольных треугольников. Астроном и математик Гиппарх (II в.
до н. э.) составил таблицы хорд — первые тригонометрические
таблицы.
Одним из значительных достижений в составлении триго-
нометрических таблиц было сочинение К. Птолемея (II в.)
«Альмагест». В этой работе собраны и обобщены различные
известные к тому времени сведения по астрономии и смежным
с нею наукам. Здесь же приводится таблица хорд, составленная
в шестидесятеричной системе счисления через полградуса
от 0 до 180 . По существу таблица хорд является таблицей си-
нусов от 0° до 90°. Птолемей вывел также формулы, которые в
современных обозначениях выглядят так: sin2 а + cos2 а = 1,
sin (а —£) = sin а cos (В —cos а sin р, sin2 -^- = 1~“^os а . Эти све-
2! Л
234
дения по тригонометрии использовались главным образом для
решения задач практической астрономии, для определения не-
доступных расстояний.
Дальнейшее развитие тригонометрии осуществили ученые
Индии и Ближнего и Среднего Востока. Ими были введены
синус, косинус, тангенс, котангенс, положено начало радиан-
ной мере угла. Тригонометрические знания, накопленные
арабскими математиками, достигли такого уровня, что триго-
нометрию стали считать отдельным разделом математики.
Первая книга в Европе, в которой тригонометрия рассмат-
ривалась как самостоятельная дисциплина, появилась в XV в.
Ее написал И. Мюллер (1436—1476).
Затем появились сочинения Н. Коперника (1473—1543),
Тихо Браге (1546—1601), И. Кеплера (1571—1630), И. Бюр-
ги (1552—1632). В этих работах развитие тригонометрии в
основном было направлено на потребности астрономии.
Особую роль в развитии тригонометрии сыграли сочинения
Ф. Виета, который использовал тригонометрию при решении
кубических уравнений, и Л. Эйлера, который разработал тео-
рию тригонометрических функций. В работах Л. Эйлера три-
гонометрия приобрела современный вид.
Впервые обозначать синус и косинус знаками sin х и cos х
стал И. Бернулли в письме 1739 г. к Эйлеру. Эйлер принял
эти обозначения и систематически применял их.
ЗАДАЧИ
ПОВЫШЕННОЙ трудности
1129. Найдите корни многочлена 2х5-|-х4— 10х3— 5х2 +
4-8х-|-4. (Корнем многочлена с одной переменной называется
значение переменной, при котором значение многочлена равно
нулю.)
1130. Если в многочлен ax34-&x24-cx4-d вместо а, Ъ, с и
d подставлять числа — 7, 4, —3 и 6 в каком угодно порядке,
будут получаться многочлены с одной переменной, например
— 7х34-4х2 — 3x4-6; 4х3 —7х24-6х —3 и т. д. Докажите, что
все такие многочлены имеют общий корень.
1131. Докажите, что многочлен х4— 4х3 —6х2 — Зх-|-9 не
имеет отрицательных корней.
1132. При каких значениях а квадратные трехчлены
х2 4-ах 4*1 и х2 4-х 4- а имеют общий корень?
1133. При каком значении а сумма квадратов корней квад-
ратного трехчлена х2 — (а — 2)х—а — 1 принимает наименьшее
значение?
1134. Докажите, что квадратный трехчлен f (х)=ах24-
4-&х4-с имеет два различных корня, если существует такое
число а, что af (а)<0. При этом один из корней меньше числа
а, а другой — больше.
1135. Докажите, что при любых значениях а, Ь и с гра-
фик функции г/=(х—а)(х —Ь)—с2 имеет хотя бы одну общую
точку с осью х.
1136. Постройте график функции:
а) у = 2х2 — 3|х| — 2; б) у = | 4-х2 — х| —4.
1137. Найдите координаты общих точек графика функции
у=х2 —4x4-|2х —8| и оси х.
1138. При каком значении а графики функций у = х2—
-7x4- а и у= — Зх24-5х — 6 имеют единственную общую
точку? Найдите ее координаты.
1139. Решите неравенство:
. Зх2 + 4х—4 1ф Зх2+2х—11
i+1 <!’ -?Zx+1 >1'
1140. Докажите, что многочлен х8 4- х6 — 4х4 4- х2 4-1 не при-
нимает отрицательных значений.
236
1141. При каких значениях т квадратный трехчлен тх24-
+(т —1)х + т —1 принимает лишь отрицательные значения?
1142. Докажите, что если уравнение n-й степени с целыми
коэффициентами имеет целый корень, отличный от нуля, то
он является делителем свободного члена.
1143. Найдите целые корни уравнения:
а) 2х3 —Зх2 — 11x4-6 = 0; б) х4 4-4х3-9х2-16х-|-20 = 0.
1144. При каких значениях а биквадратное уравнение х44-
4-ах2 4-а —1 = 0 имеет лишь два различных корня?
1145. Решите систему уравнений
Г |х4-114-1!/4-11=8,
I 2х—lj/4-U =5.
1146. Сколько решений имеет система уравнений
I у2 = 25 — х2,
I у + х = х2 — 6?
1147. Решите систему уравнений
I (х —l)(2x4-i/) = 0,
I (У4-1)(2i/-x) = 0.
1148. Решите систему уравнений:
а) / хи = 15, б) I хи= —12,
I х2 + у2 + х + у = 12; \ х2 + у2 + х — у = 18.
1149. Решите систему уравнений
/ (х4-!/)(8-х) = Ю,
1(x4-J/)(54-!/)=20.
1150. За сколько часов может выполнить работу каждый
из трех рабочих, если производительность труда третьего ра-
бочего равна полусумме производительностей труда первого и
второго? Известно, что если бы третий рабочий проработал один
48 ч, то для окончания работы первому потребовалось бы
10 ч, а второму — 15 ч.
1151. Существует ли такое двузначное число, которое при
делении на сумму квадратов его цифр дает в частном 2 и в
остатке 6, а при делении на произведение цифр дает в частном
4 и в остатке 6?
1152. Последовательности (хл) и (ул) заданы формулами
хл = 2п —1 и уп = п2. Если выписать в порядке возрастания
все общие члены этих последовательностей, то получится
последовательность (сл). Напишите формулу n-го члена после-
довательности (сл).
1153. При каких значениях п члены последовательности,
заданной формулой хл = (п4-4)(п —5), удовлетворяют условию
- 18<хл<360?
237
1154. Найдите сумму п первых членов последовательности
(хп), если хп=(2п_1)(2п+1)-
1155. В последовательности (хп) каждый член с нечетным
номером равен 2а, а с четным 2&. Напишите формулу п-го
члена этой последовательности.
1156. Известно, что y = f (х) — линейная функция и Xi, х2,
Хз, ... — арифметическая прогрессия. Докажите, что последо-
вательность f (xi), f (х?), /(хз), ... также является арифметиче-
ской прогрессией.
1157. В арифметической прогрессии di, а2, а3, а4, состоя-
щей из целых чисел, больший член равен сумме квадратов
остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.
1158. Пусть ci, а2, ... — арифметическая прогрессия с поло-
жительными членами. Докажите, что сумма п первых чле-
нов последовательности (хп), где хп= .....- —, равна
п -va«-l-Va«+i
-yfih -]--}/ап+1
1159. Докажите, что если стороны треугольника образуют
геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют
геометрическую прогрессию.
1160. Три различных целых числа составляют геометриче-
скую прогрессию. Их сумма равна -—3. Найдите эти числа.
1161. В бесконечной геометрической прогрессии выделили
по порядку от ее начала группы членов, по п членов в каждой
группе. Докажите, что суммы членов этих групп образуют
геометрическую прогрессию.
1162. Три целых числа составляют арифметическую про-
грессию, первый член которой 1. Если ко второму члену при-
бавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометри-
ческая прогрессия. Найдите эти числа.
1163. Докажите, что при а>0, 6>0 и а2>Ь верно ра-
венство:
a) Vg+Vb =л/а+^^-+V-~^^Ь;
“ £л '•Л
б) д/a-Vb =-\Za+^^- -~д/
’Л ’ Л
1164. Упростите выражение:
a) -Vh + 4a/6; б) д/9—6V2-
1165. Докажите, что при любом натуральном п>1 верно
неравенство
2 V 2 4-6-...-2п ‘
238
1166. Упростите выражение
V2+V5+V2^.
1167. Решите уравнение
V(65+*)2 + 4^(65 —х)2 — 5^/652 —+ = 0.
1168. Пусть функция y—f(x) определена для всех х. Дока*
жите, что функция у{ =^х>>'^^~х^ четная, а функция у2—
нечетная.
2
1169. Докажите, что любую функцию с областью опреде-
ления ( — оо; + оо) можно представить в виде суммы четной и
нечетной функций. Представьте функцию /(х)=-Д— в виде
X X
суммы четной и нечетной функций.
1170.
1171.
Докажите, что если 0<а<-£-, то sin а+cos а
А
Докажите, что верно равенство
2л ЛЛ„6л 1
COS — COS—=---—.
о о 4
1172. Упростите выражение
ут+т^т+т’/т+т'052'-4 ПР"
1173. Найдите значение выражения
8 cos 20° cos 40° cos 80°.
1174. Докажите, что наибольшее значение выражения
smx+-\/2cosx равно
1175. Зная, что tga+ctga = 5, найдите значение выра-
жения
tg2 а
1 1
sin a cos a
j-ctg2 a.
1176. Докажите, что если в треугольнике с углами а, р и
у угол у тупой, то произведение тангенсов углов аир меньше 1.
1177. Докажите тождество
1 + 2cos 2a + 2cos 4a +... + 2cos 2na•
1178. Упростите выражение
sin 2a+sin 4a +... + sin 2na.
239
1179. Докажите, что если а, 0 и у — углы треугольника,
то верно равенство
tg f’tg '2-+tg _2'tg i4"** L
1180. Найдите наибольшее значение функции у=^х^.
1181. Докажите, что если х2-\-у2-\-z2 = ху-\-yz-\-zx, то
x = y = z.
1182. Решите уравнение с двумя переменными
х2 4-2-73x4-у —47^4-7=0. ;
1183. Решите систему уравнений
(х24-у2 —2z2 = 0,
< х + у4-2 = 8,
\xy=—z2.
1184. Решите в натуральных числах систему уравнений j,
{ x+y + z = 14,
I x-|-i/z = 19.
1185. Докажите, что при положительных а, b и с верно
неравенство
(аг+а-Ц)(&2 + &+1)(с2+с+1]1^27
аЪс
1186. Найдите при любом натуральном п значение вы-
ражения j
V1.2«4 + 2>4>8 + .» + n»2n>4n i
1.3-9 + 2-6-18 + ... + n-3n-9n *
1187. Докажите, что значение выражения
(5 + 10п + 1)(1 + 10 + ... + 10п) + 1
при любом натуральном п можно представить в виде квадрата
натурального числа.
1188. Найдите наименьшее четырехзначное число, которое
после умножения на 21 станет квадратом натурального числа.
1189. Трехзначное число х, кратное 5, можно представить
в виде суммы куба и квадрата одного и того же натурального
числа. Найдите число х.
1190. Взяли два различных натуральных числа. Эти числа
сложили, перемножили, вычли из большего данного числа
меньшее и разделили большее на меньшее. Оказалось, что
сумма всех четырех результатов равна 441. Найдите эти числа.
1191. Найдите два натуральных числа, разность квадратов
которых равна 45.
1192. Докажите, что не существует натурального числа,
которое от перестановки первой цифры в конец числа увели-
чилось бы в 5 раз.
240
СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА АЛГЕБРЫ
VII—VIII КЛАССОВ
Выражения и их преобразования
1. Выражения, составленные из чисел и переменных с по-
мощью действий сложения, вычитания и умножения, назы-
вают целыми выражениями. При этом произведение одинако-
вых множителей может быть записано в виде степени. К целым
выражениям относят и выражения, в которых, кроме действий
сложения, вычитания и умножения, используется деление на
число, отличное от нуля. Например, выражения а2 + 3а& —
— 2&2, (х—у) (2х + у2), т—а2*Л целые.
о
Выражения, составленные из чисел и переменных, в ко-
торых, кроме действий сложения, вычитания и умножения,
используется деление на выражение с переменными, называют
дробными выражениями. Например, выражения
—"tA 5ти:п дробные.
о
Целые и дробные выражения называют рациональными вы-
ражениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях
входящих в него переменных. Дробное выражение при неко-
торых значениях переменных может не иметь смысла. Напри-
мер, выражение а-\—Цг не имеет смысла при а = 2, выра
а &
жение
не имеет смысла при х = у.
Значения переменных, при которых выражение имеет
смысл, называют допустимыми значениями переменных.
2. Тождеством называется равенство, верное при всех до-
пустимых значениях входящих в него переменных.
Два выражения, принимающие равные значения при всех
допустимых для них значениях переменных, называют тож-
дественно равными, а замену одного выражения другим, тож-
дественно равным ему,— тождественным преобразованием вы-
ражения.
3. Одночленами называют произведения чисел, переменных
и их степеней, а также сами числа, переменные й их степени.
Например, 8а3Ь, —l,5xy2z8, 12, с, тп10 — одночлены.
9 Заказ 624
241
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней
всех входящих в него переменных. Например, степень одно-
члена 9а7 6 равна 8.
4. Многочленом называется сумма одночленов. Например,
у4— 8г/3 + 2у-3, 4а4Ь + 11а262—а& + 36 —1 — многочлены. Од-
ночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.
Степенью многочлена стандартного вида называют наиболь-
шую из степеней входящих в него одночленов. Например?
степень многочлена 18а6 — 7а4Ь3 + 1 равна степени одночлена
— 7а4Ь3, т. е. равна 7.
Степенью произвольного многочлена называют степень
тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
5. При сложении многочленов пользуются правилом рас-
крытия скобок: если перед скобками стоит знак «плюс», то скоб-
ки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заклю-
ченного в скобки. Например, (5х2 — Зх1/)+(4ху — 2х2+1)=
=5х2 — Зху + 4xi/ — 2х2 +1 = Зх2 + ху +1.
При вычитании многочленов пользуются правилом рас-
крытия скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то
скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого,
заключенного в скобки. Например, (8а2 — Заб) —(7а2 — 4аЬ +
+ 5) = 8а2 —За6-7а2 + 4а6 —5 = а2 + а6 —5.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить
этот одночлен на каждый член многочлена и полученные
произведения сложить. Например, 2х2 (Зх3 — ху + 5у2) = 6х5 —
—2х3у + 10х2у2.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый
член одного многочлена умножить на каждый член другого
многочлена и полученные произведения сложить. Например,
(2а —3) (За2+а —4)==6а3 + 2а2 —8а —9а2 —За+12 = 6а3 —7а2 —
- 11а + 12.
Любое целое выражение можно представить в виде мно-
гочлена.
6. Формулы сокращенного умножения.
а) (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + &2.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого
выражения плюс удвоенное произведение первого и второго
выражений плюс квадрат второго выражения.
б) (а —Ь)2==а2 —2аЬ + &2.
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого
выражения минус удвоенное произведение первого и второго
выражений плюс квадрат второго выражения.
в) (а — Ь)(а + Ь) = а2— Ь2.
Произведение разности двух выражений и их суммы равно
разности квадратов этих выражений.
242
г) а3 + 63=(а + Ь) (а2 — ад + 62).
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы
этих выражений и неполного квадрата их разности,
д) а3 — b3=(a— b) (а? + ab + Ь2).
Разность кубов двух выражений равна произведению раз-
ности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
7. Разложением многочлена на множители называют пред-
ставление многочлена в виде произведения многочленов.
Для разложения многочленов на множители применяют:
вынесение множителя за скобки, группировку, использование
формул сокращенного умножения. Например, многочлен
8а3 —баб можно разложить на множители, вынося 2а за
скобки: 8а3-—6аЬ = 2а (4а2 — 36); многочлен 2аЬ+106 — За —15
можно разложить на множители, используя группировку:
2а& + Ю6 —За—15 = (2а& + Ю&)—(За+15)=26 (а+5) —
_ 3 (а + 5)=(а + 5) (26 - 3);
многочлен 9а2 — 25Ь4 можно разложить на множители, исполь-
зуя формулу разности квадратов:
9а2 — 2 5 &4 = (За)2 - (562)2 = (За - 5 Ь2) (За + 5 &2).
8. Рациональной дробью называется выражение вида -у,
где а и 6 — многочлены.
При любых значениях а, Ь и с, где 6#=0 и су=О, верно
равенство Свойство дроби, выраженное тождеством
называют основным свойством дроби. Основное свой-
b Ьс
ство дроби используется при сокращении дробей. Например:
х2-\-2ху х(х-\-2у) х в а3 —8 __(а —2) (а2 + 2а+ 4) а — 2
4у2 + 2ху~~2у (х+2у)““2у ’ За2 + 6а + 12 3(а2 + 2а + 4) 3 *
Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дро-
би и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно
равное данному:
—а а а а
ь~~1Г9
9. Действия над рациональными дробями.
а) Если с#=0, то
а х b a-\-b __ а b а—Ъ
с с с с с с
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нуж-
но сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. На-
пример:
Зх—8у । 2х—7у Зх —8у 4-2х —7у 5х—15у 5 (х—Зу) х—Зу
Ъху ""Г" Ъху 5ху Ъху 5ху ху
9*
243
Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаме-
нателями, нужно из числителя первой дроби вычесть чис-
литель второй дроби, а знаменатель оставить тем же. Например • 4
х2 ___ 4 __ х2 —4 _ (х —2)(х+2) _х + 2
Зх —6 Зх —6 Зх —6 3 (х—2) 3
б) Чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с раз-
ными знаменателями, нужно привести их к общему знаме-
нателю и затем применить правило сложения или вычитания
дробей с одинаковыми знаменателями. Например:
а2 . Ъ2______Ъ_______а2 Ь2________Ь a3 — b3—ab2+b3
ab—b2'ab—a2 а b(a—b) a(b — a) a ab(a—b)
__ а (а2 — Ь2) __ (а — Ь) (а+Ь) __ а + Ь
ab(a — b) b(a—b) b
в) Если Ьу=О и d=#0, то
а с ________________________ас
b' d~bd'
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их
числители и перемножить их знаменатели и первое произведе-
ние записать числителем, а второе — знаменателем дроби. На-
пример:
с2 —4 с ____(с2 —4)с_с(с—2)(с + 2)_с+2
с2 *3с-б“с2 (Зс-6)“ Зс2(с — 2) “ Зс *
г) Если &#=0, с=/=0 и d#=0, то
а . с a d
b ’ d b с
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь
умножить на дробь, обратную второй. Например:
х3 —8. х —2 х3 —8 6 6 (х—2)(х2 + 2х+4) х2 + 2х+4
12х * 6 12х х —2 12х(х —2) 2х
Любое рациональное выражение можно представить в виде
рациональной дроби.
10. Степень с целым показателем.
Если п — натуральное число, большее 1, и а — любое
число, то
ап = а-а-...*а.
п раз
Если п = 1 и а — любое число, то
а1 ==а.
Если п = 0 и а — число, отличное от нуля, т,
а° = 1.
244
Если п — целое отрицательное число и а — отличное от
нуля число, то
11. Свойства степени с целым показателем.
а) атап=ат+п, где а=#0, т и п — целые числа.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями осно-
вание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
б) ат:ал=ат“л, где а#=0, т и п — целые числа.
При делении степеней с одинаковыми основаниями осно-
вание оставляют прежним, а из показателя степени делимого
вычитают показатель степени делителя.
в) (ат)п=атп9 где а=/=0, т и п — целые числа.
При возведении степени в степень основание оставляют
прежним, а показатели степеней перемножают.
г) (аЬ)Л=апЬЛ, где а=#0 и &=/=0, п — целое число.
При возведении в степень произведения возводят в эту
степень каждый множитель и результаты перемножают.
д) , где а#=0 и Ь=#0, п — целое число.
При возведении в степень дроби возводят в эту степень
числитель и знаменатель и первый результат записывают в чис-
лителе, а второй — в знаменателе дроби.
12. Квадратным корнем из числа а называется число,
квадрат которого равен а.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется
неотрицательное число, квадрат которого равен а. Арифмети-
ческий квадратный корень из а обозначают -у/a. Выражение,
стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражени-
ем. Выражение -у/a имеет смысл для всех а^О и не имеет
смысла при а<0.
Свойства арифметического квадратного корня.
а) Если а^О и &^0, то
у/аЬ=^/а>^/Ь.
Корень из произведения неотрицательных множителей ра-
вен произведению корней из этих множителей.
б) Если а^О и Ь>0, то
Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а зна-
менатель положителен, равен корню из числителя, деленному
на корень из знаменателя.
в) При любом значении а верно равенство
д/?= \а |.
245
Уравнения
13. Корнем уравнения с одной переменной называется зна-
чение переменной, при котором уравнение обращается в вер-
ное равенство. Например, число 2 — корень уравнения х3 —х =
= 4х2 —10, так как равенство 23 —2 = 4-22 —10 верное.
Решить уравнение с одной переменной — значит найти все
его корни или доказать, что корней нет.
14. Уравнения, в которых левая и правая части являются
рациональными выражениями, называются рациональными.
Если и левая и правая части рационального уравнения явля-
ются целыми выражениями, то уравнение называют целым. Ра-
циональное уравнение, в котором левая или правая часть
является дробным выражением, называют дробным.
15. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же
корни, называются равносильными. Например, уравнения х2 =
= 36 и (х — 6)(х + 6) = 0 равносильные. Каждое из них имеет
два корня: —6 и 6. Уравнения, не имеющие корней, также
считают равносильными.
Уравнения обладают следующими свойствами:
если в уравнении перенести слагаемое из одной части в
другую, изменив его знак, то получится уравнение, равно-
сильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно
и то же отличное от нуля число, то получится уравнение,
равносильное данному.
16. Линейным уравнением с одной переменной называется
уравнение вида ах = 6, где х — переменная, а и & — числа.
Число а называется коэффициентом при переменной, число Ь —
свободным членом.
Если а=#0, то уравнение ах = Ь имеет единственный корень
—. Например, уравнение 5х = 3 имеет корень 0,6.
а
Если а = 0 и &=#0, то уравнение ах = & не имеет корней.
Например, уравнение 0-х = 9 не имеет корней.
Если а = 0 и Ь = 0, то корнем уравнения ах = Ь является
любое число.
17. Квадратным уравнением называется уравнение вида
ах2 + &х + с = 0, где х — переменная, а, Ъ и с — некоторые
числа, причем а #=0. Число а называют первым коэффициентом,
Ъ — вторым коэффициентом и с — свободным членом.
Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент ра-
вен 1, называют приведенным квадратным уравнением.
18. Если в квадратном уравнении ах2 + Ьх-|-с = 0 хотя бы
один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение
называют неполным квадратным уравнением.
Неполное квадратное уравнение вида ах2 + &х = 0 имеет
два корня: 0 и —Такие уравнения обычно решают раз ложе-
246
нием его левой части на множители. Например, Зх2 — 15х = 0,
Зх (х — 5) = 0, Xi=O и х2 = 5.
( Неполное квадратное уравнение вида ах2-|-с=О имеет два
корня: —и -у—если —^->0, и не имеет корней,
если —^-<0. Решают такие уравнения, сводя их к уравнениям
вида х2 = т. Например, 0,5х2 —18 = 0, 0,5х2 = 18, х2 = 36,
Xi= —6, х2 = 6.
19. Выражение D = Ь2 — 4ас называют дискриминантом квад-
ратного уравнения ах2 + Ъх + с = 0.
Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня;
’ если D = 0, то один корень; если D < 0, то квадратное уравнение
корней не имеет.
! Корни квадратного уравнения ах2 + Ъх + с = 0 при D 0 на-
ходят по формуле
_&±Л/р
Х 2а
Для квадратного уравнения вида ах2 -|-2fex+c = 0 формулу
корней можно записать так:
х= ~fe, где D\=k2—ас.
а
20. Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратно-
го уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противо-
I положным знаком, а произведение корней равно свободному
члену. Иначе говоря, если Xi и х2 — корни уравнения x2+px-f-
+ ? = 0, то Х14-х2=— р и XiX2 = g.
Из теоремы Виета следует, что если Xi и х2 — корни квад-
ратного уравнения ах2 + &х+с = 0, то Xi +х2= —^-, xtx2=-^-.
Теорема, обратная теореме Виета: если числа тип тако-
вы, что их сумма равна — р, а произведение равно q, то эти
числа являются корнями уравнения х24-рх+д=О.
21. При решении дробных уравнений целесообразно посту-
пать следующим образом:
1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3) решить получившееся целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль об-
щий знаменатель.
Например, решим уравнение
2х _ 2 _х+1
х—2 хг—2х 2—х '
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей,
247
т. е. на х (х —2), получим 2х2 = 2 + х (х + 1). Это уравнение при-
водится к квадратному уравнению х2 — х — 2 = 0, имеющему
корни 2 и — 1. При х = 2 общий знаменатель дробей исходного }
уравнения обращается в нуль, этот корень нужно исключить.
При х = — 1 общий знаменатель х (х — 2) в нуль не обращается,
следовательно, число —1 является корнем исходного уравне-
ния.
22. Решением уравнения с двумя переменными называется 5
пара значений переменных, обращающая это уравнение в вер-
ное равенство. Например, пара чисел х = — 5, у = 3 является
решением уравнения х2 —4у = 13. Это решение можно записать
так: ( — 5; 3).
Линейным уравнением с двумя переменными называется
уравнение вида ax-f- by = с, где х и у — переменные, а, & и с —
числа. .
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же
решения, называют равносильными. Уравнения, не имеющие
решений, также считают равносильными.
23. Каждое решение (х; у) уравнения с двумя переменны-
ми можно изобразить в координатной плоскости точкой с коор-
динатами х и у. Все такие точки образуют график урав-
нения. t
Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в ко-
тором хотя бы один из коэффициентов при переменных не
равен нулю, является прямая.
24. Решением системы уравнений с двумя переменными на-
зывается пара значений переменных, обращающая каждое
уравнение системы в верное равенство. Например, пара чисел I
х = 39 у = 8 — решение системы
( Зх —у = 1,
I х + 2у = 19.
Решить систему уравнений — значит найти все ее реше- I
ния или доказать, что решений нет.
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни
и те же решения, называются равносильными. Системы урав-
нений, не имеющие решений, также считают равносильными.
Для решения систем уравнений с двумя переменными
используются способ подстановки, способ сложения, графиче-
ский способ.
Неравенства
25. Число а больше числа Ь, если разность а — b — поло-
жительное число; пишут: Число а меньше числа Ь, *
если разность а —& — отрицательное число; пишут: а<Ь.
Если а больше Ъ или а равно &, то пишут: а Ь. Если а мень-
ше b или а равно Ь, то пишут: а^.Ъ.
248
Неравенства, составленные с помощью знака > или <, на-
зывают строгими. Неравенства, составленные с помошью
знака или называют нестрогими.
26. Свойства числовых неравенств.
а) Если а>&, то Ь<а; если а<&, то Ь>а.
б) Если a<Zb и Ь < с, то а < с.
в) Если а<Ь ис — любое число, то а-|-с<Ь4-с.
Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно
и то же число, то получится верное неравенство.
г) Если a<Zb и с — положительное число, то ас<&с;
если и с — отрицательное число, то ас>Ьс.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить
на одно и то же положительное число, то получится верное
неравенство;
если обе части верного неравенства умножить или разделить
на одно и то же отрицательное число и изменить знак
неравенства на противоположный, то получится верное нера-
венство.
27. Сложение и умножение числовых неравенств.
а) Если а<Ъ и c<d, то
a + c<Zb + d.
Если сложить почленно верные неравенства одного знака,
то получится верное неравенство.
б) Если а< b и c<d, где а, Ь, с и d — положительные числа,
то
ас < bd.
Если перемножить почленно верные неравенства одного
знака, левые и правые части которых — положительные числа,
то получится верное неравенство.
Если а и Ь — положительные числа, а < Ь и п — натураль-
ное число, то an<Zbn.
28. Решением неравенства с одной переменной называется
значение переменной, которое обращает его в верное число-
вое неравенство. Например, число 1,8 — решение неравенства
5х<10. Этому неравенству удовлетворяет и любое другое чис-
ло, меньшее 2.
Решить неравенство с одной переменной — значит найти все
его решения или доказать, что решений нет.
29. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называ-
ются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, так-
же считаются равносильными.
Неравенства с одной переменной обладают следующими
свойствами:
если из одной части неравенства перенести в другую сла-
гаемое с противоположным знаком, то получится равно-
сильное ему неравенство;
249
если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же положительное число, то получится равно-
сильное ему неравенство;
если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак не-
равенства на противоположный, то получится равносильное
ему неравенство.
30. Числовой промежуток [а; Ь] — это множество всех чи-
сел х, удовлетворяющих двойному неравенству а^х^Ь.
Числовой промежуток (а; Ь) — это множество всех чисел,
удовлетворяющих двойному неравенству а<х<Ь.
Числовой промежуток [а; Ь) — это множество всех чисел,
удовлетворяющих двойному неравенству а^х<Ь.
Числовой промежуток (а; Ь] — это множество всех чисел,
удовлетворяющих двойному неравенству а<х^Ь.
Числовые промежутки [а; -f-оо) и (а; -f-oo)— это мно-
жества всех чисел, удовлетворяющих соответственно неравен-
ствам х^а и х>а.
Числовые промежутки ( — оо; Ь] и ( — оо; Ь) — это множества
всех чисел, удовлетворяющих соответственно неравенствам
х^Ъ и х<Ь.
Числовой промежуток (—оо; + оо) — это множество всех
действительных чисел.
31. Неравенства вида ах> Ъ и ах< Ь, где а и Ъ — некоторые
числа, ах — переменная, называются линейными неравенства-
ми с одной переменной.
32. Если ставится задача найти общие решения нескольких
неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.
Решением системы неравенств с одной переменной называет-
ся значение переменной, при котором верно каждое из нера-
венств системы.
Решить систему неравенств — значит найти все ее решения
или доказать, что решений нет.
Функции
33. Зависимость переменной у от переменной х называется
функцией, если каждому значению х соответствует единствен-
ное значение у. Независимую переменную х иначе называют
аргументом, а о зависимой переменной у говорят, что она явля-
ется функцией от этого аргумента. Все значения, которые
принимает независимая переменная, образуют область опреде-
ления функции.
Графиком функции называется множество всех точек коор-
динатной плоскости, абсциссы которых равны значениям ар-
гумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
34. Линейной функцией называется функция, которую мож-
но задать формулой вида y = fex + b> где х — независимая
250
переменная, k и b — числа. Ее областью определения является
множество всех действительных чисел.
Графиком линейной функции является прямая. Число k на-
зывают угловым коэффициентом прямой, являющейся графи-
ком функции y = kx-j-b.
Если fey=O, то график функции y = kx-±-b пересекает ось
х; если k — 0 и Ъ =# 0, то прямая — график функции у = kx + b —
параллельна оси х; если fe = O и Ь = 0, то график функции
совпадает с осью х.
35. Графики двух линейных функций пересекаются, если их
угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угло-
вые коэффициенты одинаковы.
36. Линейную функцию, задаваемую формулой y = kx при
fe#=O, называют прямой пропорциональностью.
График прямой пропорциональности есть прямая, прохо-
дящая через начало координат. При k > 0 график расположен
в первой и третьей координатных четвертях, при k < 0 — во
второй и четвертой координатных четвертях.
37. Обратной пропорциональностью называется функция,
которую можно задать формулой вида у=-“, где х — незави-
симая переменная, k — не равное нулю число. Областью опре-
деления функции является множество всех действительных
чисел, отличных от нуля.
k
При функция У=— принимает отрицательные значе-
ния, если х<0, и положительные значения, если х>0.
k
При 0 функция У=— принимает положительные значе-
ния, если х<0, и отрицательные значения, если х>0.
График обратной пропорциональности — гипербола. При
k>0 график расположен в первой и третьей координатных
четвертях, при k < 0 — во второй и четвертой координатных
четвертях.
38. Областью определения функции у = х2 является мно-
жество всех действительных чисел. Функция обращается в нуль
при х=0, а при х#=0 принимает положительные значе-
ния. График функции у = х2 — парабола. Этот график проходит
через начало координат и расположен в первой и второй
координатных четвертях. Он симметричен относительно оси у.
39. Областью определения функции i/ = x3 является мно-
жество всех действительных чисел. Функция обращается в нуль
при х = 0, принимает отрицательные значения, если х<0, и по-
ложительные значения, если х>0. График функции z/ = x3
проходит через начало координат и расположен в первой и
третьей координатных четвертях. Он симметричен относитель-
но начала координат.
40. Область определения функции у= ^[х — множество всех
251
неотрицательных чисел. Функция обращается в нуль при х = О,
при х>0 функция принимает положительные значения. Гра-
фик функции у=-^х расположен в первой координатной чет-
верти, он представляет собой ветвь параболы.
Действительные числа. Приближенные вычисления
41. Целые и дробные числа составляют множество рацио-
нальных чисел. Всякое рациональное число можно представить
в виде дроби —, где т — целое число, ап — натуральное.
п
Яаящое рациональное число может быть представлено в виде
бесконечной десятичной периодической дроби. Каждая беско-
нечная десятичная периодическая дробь представляет некото-
рое рациональное число.
Положительные бесконечные десятичные дроби, противопо-
ложные им числа и число нуль образуют множество дейст-
вительных чисел.
Число, которое можно представить в виде бесконечной деся-
тичной непериодической дроби, называют иррациональным
числом.
Каждому действительному числу соответствует точка на ко-
ординатной прямой, й каждой точке координатной прямой со-
ответствует некоторое действительное число.
42. Стандартным видом числа а называют его запись в
виде а • 10Л, где 1 а < 10 и п — целое число, число п называют
порядком числа. Например, 73 000 = 7,3 «104; 0,0026 = 2,6-10“ 3.
43. Абсолютной погрешностью приближенного значения
числа называется модуль разности точного и приближен-
ного значений. Например, абсолютная погрешность приближен-
ло 1 I 1 л о I 13 1
ного значения 0,3 числа — равна ——0,3 =——тт?—чк-
о I о I о J.U oU
Если абсолютная погрешность приближенного значения не
превосходит некоторого числа Л, то это значение называют при-
ближенным значением с точностью до Л. Например, 1,41 явля-
ется приближенным значением -у/2 с точностью до 0,01.
Если число х равно а с точностью до Л, то пишут: x=a±h.
При этом число h обычно берут с одной или двумя значащими
цифрами. Например, -73 = 1,73 ±0,01.
44. Относительной погрешностью приближенного значе-
ния называется отношение абсолютной погрешности к модулю
приближенного значения.
Относительную погрешность обычно выражают в про-
центах. Например, при округлении дроби 25,4 до единиц по-
лучается приближенное значение 25. Его относительная по-
грешность равна
--’t? 1 = 0,016 = 1,6%.
25 25
252
предметный указатель
Аргумент 3
Биквадратное уравнение 62
Вершина параболы 28
График функции 4
Графический способ решения систем
уравнений 65
Дискриминант квадратного трехчле-
на 17
Знаменатель геометрической прогрес-
сии 93
Квадратный трехчлен 16
Корень квадратного трехчлена 17
— n-й степени 120
------арифметический 121
Косинус угла 153
Котангенс угла 153
Неравенство второй степени с одной
переменной 39
Область значений функции 4
— определения функции 3
Последовательность 80
Прогрессия арифметическая 83
— геометрическая 92
Радиан 162
Разность арифметической прогрес-
сии 84
Рекуррентная формула 82
Синус угла 153
Степень с дробным показателем 130
— уравнения с одной перемен-
ной 56
— уравнения с несколькими пере-
менными 64
Сумма бесконечной геометрической
прогрессии 102
Тангенс угла 153
Угол поворота 151
Формула n-го члена арифметиче-
ской прогрессии 85
------геометрической прогрес-
сии 94
— разности косинусов 194
------синусов 193
— суммы косинусов 194
------синусов 193
------п первых членов арифметиче-
ской прогрессии 89
------геометрической про-
грессии 98
Формулы двойного угла 188
— приведения 176
— сложения 182
Функция 3
— возрастающая 11
— квадратичная 24
— нечетная 112
— степенная с натуральным по-
казателем 115
— убывающая 11
— четная 111
Целое уравнение 55
253
ОТВЕТЫ
Глава I
4. 24. 7. а) х=— 2; б) х= —14; в) не существует. 8. а) —2; б) 8; в) 13.
9. а), б), д) х — любое число; в) х=/=5; г) х=£ —1 и х^4; е) х>5. 11. а) х —
2 г- 1
любое число; б) хф — 1; в) —9. 21. а) — ; б) 5. 22. д) ±л/2; е) 0; — •
2 3 1 15
23. в) —0,5; 3; г) 1; 1—. 31. а) 15; б) —6 и 3— ; в) —2; г) нулей нет.
о о
32. а) Имеет, х=33-^- ; б) имеет, х=0 и х=2; в) имеет, х=6. 40. а) 0; 6;
О !
б) ±-\/5; в) 0; —8,5; г) корней нет. 44. а) —3; 2; б) ; в) —20; 5;
о 3
г) —; д) корней нет; е) 0; 5. 45. а) —1; -i-; б) 3; в) 1—\/5; l+V^;
— 1; 1. 52. При х = 1; наименьшее значение равно 4. 53. При х= — 3;
г)
наименьшее значение равно 1. 55. 145 м. 56. а) При х=2; б) при х>2; в) при
2 1
х<2. 57. а) 0,018 м; б) 0,018 м. 58. а) -2--; -2; б) —2; 2—.
/о 1о
60. в) 1(х+1)(х+2); д) — (у—1)(у —15)=(1—у)(у—15); ж) 2(х-1)Х
х(х-у)=(х-1)(2х-3). 61. а) 2(х—I)’; б) -(Зх-2)2; в) (4а+3)2;
г) (0,5m—2)2. 62. б) —(т—2) (m—3)=(2 —m) (т—3); в) з(х—1) (х4-2)=
=(Зх-1)(х+2); г) б(х—|)(х—|-)=(Зх-2)(2х-3). 65. а) 3^7*;
_ 2а + 1 . 4+Ь . 2у4-1 „ 1—р . х+6
3 ’ в) Ь + 3 ; г) у —3 5 Д) р+2 ’ е) х+5 ’ 67, а) —0,3;
2 1 1
-0,93; -0,993; б) 3; 1— ; 1--. 69. а) -1; 23; б) 2; 2-=-. 80. а) Да; б) да;
7 0 о
в) нет. 81. (-3; -9); (1; -1). 85. а) б) 96. а) —|5
OO-f-SS Jo-f-l 2 z
б) нулей нет; в) нулей нет. 97. При а<0. 98. а) Корней нет; б) 0; 2,8.
99. а) (— оо; 2,9); б) [0,25; + оо); в) [-1,8; + оо); г) (- оо; 0,2). 109. Зд~^-.
О“Г" л
111. а) 1—>/5; 1+т/б; б) -2; 2-1.112. 10 га. 113. 8 машин. 114. а) (-8; 6);
б) (- оо; 1,5)0(2; + оо); в) (- оо; -3)0(5; + оо); г) (1; 1,2); д) хУ=1,5; е) ре-
шений нет; ж) (0; 0*9); з) (— оо; 0)U(3,5; 4-оо). 115. а) (—оо; —2,5]у
и [1; 4-оо); б) [-2; 3]; в) (-оо; -д/5] о h/5; 4-°°). И6. а) (-90; -7) О
254
U(4’+°°);6)M = b)[4:14] :г)(-оо; —4,5]1)[2; + оо);д)(—оо;0)и
и (у; + °°) ; е) (—оо; — 2->/2) 0 (2-\/2; +°о). 117. а) При х<—1,5 и при
х> —1; 6) при х=/=-1. 118. а) (—4; 4); б)(— оо; —\/3]0[лА*; + °0)! в)(— оо; —3)0
0(3; 4-оо); г)(-оо; --1]и[0; 4- оо); д)(—|; о) ; е)(-оо; 0)0(7; 4-~).
119. а) [-10; 10];б)(—оо;
U^yl, 4-°0) ; д) (—«о
-2т/б)и(2л/б; 4-°о);в)[-4;0];г)(-оо
; 0)0 (4-; 4-00 ) ; е) ( — оо; —1) и
i
Г
1
I
Г
120. а) (-7; —1); б) ( — оо; +°°^> в) х — любое число;
г)( — °о; 9 22^)и(9~22^~; + °°) •121-а>(— о°; —1)и(4у; +°°) ;
б) x=/=-i-. 122. а) [0; 4]; б) все числа, кроме 3. 126. Больше 7 см, но
меньше 12 см. 127. Больше 4 см. 128. (4; 0); 0; —129. а) — 3-^- ; 5-|-;
б) (—оо; —3,5]; в) (1; 2,8]; г) решений нет. 131. а) (—оо; —8) U (5; + оо);
б) (-10; 14); в) (-оо; - 8,5]0[3,5; 4- оо); г) [ --1; --1] . 132. а) (-25; 30);
L о о J
б) (-оо; -6)0(6; 4-00); »)U; -1] 5 г> (—о°» -6,3]0[-0,1; 4-°о).
L о о j
133. а) (2; 5)0(12; 4-°о); б) (-оо; -7)0(-1; 4); в) (-оо; -5)U(-1; 0)0
0(8; 4-оо). 134. а) (-48; 37)U(42; 4-оо); б) (-оо; -0,7)U(2,8; 9,2).
135. а) (-оо; -9) (J (2; 15); б) (-6; 0)0(5; 4-оо); в) (1; 4) (J (8; 16).
136. б) [-у; -у]; в) (-12; 3); г) [-6; -1] . 137. а) (-оо; 18) U
0(19; 4- оо); б) (- оо; -0,9)0(3,2; 4- оо); в) [-3; 8,5]; г) [0,3; 8]. 138. а) [-8; 5];
б) [-12; 1]U[9; 4-оо). 139. а) (-оо; 2,5]0[17; 4-оо); б) [-9; 0]0[4; 4-°о).
140. а) (-6; 5); б) (-оо; - 3,8)0(1,4; 4-оо); в) (-оо; 0)0(1,6; 4-оо);
г) (-оо; 0,3)0(4; 4-00). 141. а) (-7; 21); б) (-оо; -4,7)0(7,2; 4-оо);
в) (—оо; —3)о(—g-; 4-оо ) ; г) (0; 3). 144. а) х=£0 и х=/=—6; б) х>4;
в) 1 и х=/=0. 145. у = 10х, 0^х<7, 0<у<70. 146. i/ = l,5x, 0<х<4,
О^у^б. 148. а) При х = 2,4; б) при х=±л/1б; в) при х=±3. 149. График
не пересекает ось х, а ось у пересекает в точке (0; 1). Он расположен в I и II
{20г, если 0<f<3,
60, если 3^t<5, 154. у =
— 12t4-120, если 5<t^l0.
=х24-5, у=—х2—4, y=VJ4-l, у=х44-х24-6. 159. а) -6; 2; б) 2±^;
В) 4±А. ; г) 5±У^- 161. При р=-1-1; -4- 165. а) 3-| ; б) 12.
2 4 2 о о
255
*5
166. При а = Ь = 20. 168. а) 2 (те 2) . б) L. 169. а) 4.(х , f ;
тп + 4 п — 3 ' 4х-|-1
_ X—1 ч 2 к кх Х + 6 ч Х + 2 ч ЗХ—1 _
б) —. 170. а) х — 5х; б) —5—; в) ——г) -------------—. 171. а) При
’ х4-1 3 х4-1 ' х—1 ’
а=— 0,28; б) при а = 3; в) при а= —2; г) при а=0,001. 178. а) При
с>13; б) при с>8. 179. При Ь=?= —12, с = 24. 180. При о=2. 181. При а>0
и с<0; при а<0 и с>0; при а = 0 и с=0. 182. При а— — 6 и Ь — 26. 189.
б) [-9; 1]; в) (-оо; -2)и(-|-; + оо); г) (-оо; -1,75]UM; +«>);
д) х — любое число; е) х=/=~. 191. а) (—4; 4); б) х=/=—2. 192. [—3; 1].
о
193. а) (7; + оо); б) ( - оо; --; в) (- оо; -3); г) (4; б). 194. а) (-1; 2);
б)(1; 4). 195.а)(—оо; -1,2)U(4; 6); б) (у (j(-|- 5 + оо ); в)(-оо; -1,6)0
0(—0,6; 1,2); г) (-оо; -1,8)0(1,7; 1,9). 196. а) -4; 1-|-; 2; б) (-оо; -4)0
0
О (1-у; г);в)(-4; 1-|) 0(2; + оо). 197. а) (-оо; 2)0(7; + оо); б) (7,3; 9,8);
в) (-0,8; 4)0(20; + оо); г) (- оо; -0,3]0[б; 17]. 198. а) (-17; —4)0(4; + оо);
б) (-оо; -11)0п): •») (-°°: -5)U(0; 5); г) (-0,1; 0)0(0,1; + оо);
д) (-оо; —з)0(—1; 1)0(3; +«>); е) (-6; 0)JJ(6; 15). 199. а) (-2; 6);
б) (-оо; 0)0(4; 4-00); в) (-оо; 1)0(1; 24); г) (-оо; -7)0(21; 4-оо).
200. а) (-оо; —1)о(у; 4-оо); б)(-оо; -^)и(4; + оо). 201. а) Нет;
б) нет. 202. а) (- оо; -4) 0 (8; 4- °о); б) (-16; 11); в) [-1; 3); г) (- оо; 4) 0
О [6; 4- оо).
Глава П
204. а) — 2; б) -0,2; 0,2; в) -3,5; 2; г) -0,5; 0,5. 205. а) 0; 5,5; б) -7;
11 4
в) 1— ; г) —б— ; 5. 209. При р<2. 210. а) При &<4,5; б) при ; в) при
0 0 1о
Ь<-6и при &>6; г) при &<—2д/5 и при Ъ>2^/5. 211. а) При у = 1,5;
б) при v= — 5 и при и = 5; в) при v—— 2д/2 и при v = 2^/2; г) при
v — Q. 212. а) При —12<t<12; б) при t>~; в) при t>28-^-; г) при
— 12<t<12. 213. а) 0; —л/б; л/б; б) 0; в) 0; 1,5; 2; г) 0; -0,2; 0,5; д) 2;
—1; А; е) 0; 1; —4; 4; ж) 1; —1; з) —1; 0; 1; 3. 214. а) 0; 1-|-;
б) 0; -12; 12; в) 0; 1; 4; г) ~ ; д) 0; -3; 3; 2,5; е) 1,5. 217. а) (3; 7);
О
б) х — любое число, кроме 4; в) (—оо; 2]U^2-|-; + оо^; г) 1] •
218. 90 км/ч, 80 км/ч. 219. а) (-8; 1,5); б) (11; 12); в) (-6; 7,5);
г)(— оо; —0,5)11(1,5; 4- оо). 220. а) —2; 2; б) —1; 1; 3; в) —3; 2; г) —1,5; 1;
— 1—717 —1+717.221. а) _1; 1; _2. 2. б) 2. в) _4. 3 222. а) —3;
4 4
256
3; б) —V2; л/2; —2; 2; в) корней нет; г) —; -i-; —1; 1; д) —-л/А •
V "Т ’ "v V ; л/» е> —Т ’» “5" • 223* а) “3; 3; “‘4’» 4; б) корней нет;
V о у о у о а а _____ ______
в) —\/2; -\/2; г) —\/3; т/3; д) —2’ 2; е) к<Ч>ив® нет*
224. а) (-2; О), (2; О), (-1; О), (1; О) и (0; 4); б) (—/2; 0), (т/2; О) и (0; -10);
в) (-V1O; О), (V10; о) и (0; 100); г) (0; 0). 225. а) Корней нет; б) —~\/-1;
V 3
—2; 2. 226. а) -1; 1; -д/5; ->/5; б) 1; —>/3; ^3. 228. а) При р< —/15
и при р>-/15; б) при р>-1.229. а) (2; 4); б) (—3; 7,5); в) (0; 1,25);
г) (-30; 30). 240. а) [-0,24; О]; б) (-оо; -13)0(13; 4-оо); в) (-2; 12);
г) (- оо; -1)0 ( 2^ ; + оо ). 241. а) (5; 2); б) ( --1; -4-1). 242. а) (9;. -7,5);
б) (-43; -171). 243. 16 км/ч, 18 км/ч. 244. а) (5; 2), (2; -1); б) (-4; -5),
(6; 5); в) (1; -5), (4; -2); г) (4; 5), (13; -4). 245. а) (10; -7), (-3; 6); б) (-1; 0),
(-2; -1); в) (-3; 5), (2; 10); г) (2; 2), (1; 3). 246. а) (2; -1), (1; -2); б) (1,5; 1),
(1; 1,5); в) (-1; 0), (0; -1); г)(б-1; 3-1) . 247. а) (10; -2), (-2; 10);
б) (2; 1,2), (-1,2; -2); в) (3; -1); г) (-1; -2), (-2; -1). 248. а)( --1; у) ,
(1; 4); б) (2-1; --1) ,(г-1; -1) ; в) (-32; -18), (-10; 4); г) (-1; 2),
(1у ; 4) ; д) <8; 6>’ (-8; -6>; е) <4; °)’ <12; 16>- 249’ а) (-3; -1)’
(5,5; 0,7); б) (3; -5), (5,5; 5); в) (-6; -9), (3; 4,5); г) (1,5; -2,5), (2,5; -1,5);
д)(о; 21) ,( —2; 1-1) ; е) (-3; -1),( Ц? ; 1±) .250. а) х,-1^,
= б) Ml = —3,5, Vi = 2,5; ii2=3,5, v2=—2,5.
AAA
251. a) xi = —5, i/i = 4; х2=— 2-i» !/2 = 7-|-; б) pi=6, Л = 2; р2= — 5,
о о
Г2= -1-1.252. а) (-14; -13), (12; 13); б) (-2; -13), (4; -7). 253. (-2; 0),
О
(4; 6). 254. а) (0; -4), (4; 0); б) (1; 2), (-1-1; 3-1) . 255. а) (-3; -2),
(3; 1); б) (3; -5), (5; -8). 256. а) х, = -2, у|=1; х2=2, у2=-1; б) Ui = -2,
=3; и2=-3, i>2=3,5. 257. а) (15; 10), (2; -3); б) (12; -6), (2; 4);
•> (-т12) (4 ~Е>; г) (-1; - *4) <в; 2)-2М- •> (24; *4)
(6; 4); б) (-2; 0), (1,8; 11,4). 259. (3; -1). 261. а) (--/б; ->/б), (-/б; --/б);
б) (-5; -4), (5; 4). 262. а) (-4; -1), (-4; 1), (4; -1), (4; 1); б) (-7; -9),
(8; 6). 263. а) (-3; -3), (3; 3); б) (-6; -5), (6; 5). 264. а) (0; 6); б) (-4; 0).
266. а) ( ЗА ; + оо) ; б) ( - оо; -1) . 267. а) (-14; 12); б) ( ~ ; у) ?
в) (—оо; —14)0(1,5; 4-оо); г) (—25; 1,2). 268. 5 и 7. 269. 3 и —4 или
257
4 и — 3. 270. 6 и 8 см. 271. 24 и 10 см. 272. 60 и 40 м. 273. 210 см2. 274. 4,8 и
3,6 км/ч. 275. 0,16 и 0,12 м/с. 276. 6 и 5 см. 277. 8 и 6 см. 278. 5 и 12 см.
279. 10, 6 ч. 280. 60, 84 ч. 281. 8, 12 ч. 282. 1, 1,2 кг. 283. 4, 5 км/ч. 284. 4,
5 км/ч. 285. 60, 40 км/ч. 286. а) ( — 1,5; 0,5); 6) (1,2; —1,6), (—0,7; 4,1).
287. а)(1; 1), (4; 7); б)(1,5; 4); в) (6; 8), (8; 6). 288. а) (0; 6); б) (— оо; —8]U[0; + оо);
в) [—2; 2]; г) ( —оо; —7б)0(7б; + оо). 289. а) 0; —1; 1; б) 0; —2; 2; в) 0;
-8; 8; г) 0; -2-fa 2-ft. 290. а) 0; -5; 5; б) 0; -Тб; Тб- 291. а) 1; 2; б) -1;
—; 1; в) —2; 0,8; 5; г) —1; у; 6. 292. 0; —1; 1. 295. а) — 3—Тб; — 3+7б;
— 3—\/17; — 3+717; б) —2; 4; 1—\J5', 1+75; в) корней нет; г) —4; 0;
д) -1-72; - 1+л/2; е) —4; 5; ж) -4,5; 1; ~7~V^ .
296. а) 1; б) 1; 8. 299. а) При с>36; б) при — 20<с<20. 300. а) При
0<fe< 42,25; б) при ft = 42,25 и при fe<0. 305. а) При т = —и при
zn=710; б) при —71б<т<710. 306. а) (5; —2), (—2; у) ; б) (0; —1),
(3; 5); в) (6; -1), (3; 5); г) (6; 2), (11; 7); д) (4; 1); е)( -1у; , (-5; -3).
307. а) (4; 0), (0; -4); б) (2; 3), (-2; -1); в) (0; -5), (5,5; 6); г) (5; -4),
1;1А) ,308.а)(—6; 2),(6; -2); (-2; 6), (2; -6);б)(-10; -8),(-10; 8),
(10; -8), (10; 8). 309. а) (0; -5), (1; -4); б) (у ; 1) , (-у ; -1) .
310. а) (—3; —4); б) решений нет. 311. а) (у; —у) , (1; 1); б) (7 л/2; 72),
(—7 72; 72), (7 72; —72), (—7 72; —72); в) (3; 4), (3; —4), (0; 5); г) (751; —1),
(-751; -1). 312. а) (1,5; -2), (10; 15); б) (70; -28), (4/5); в) (6; 8), (8; 6).
315. а) (-4; -3), (-4; 2), (3; -3), (3; 2); б) (3-3 72; 3 + 3 72),
(3 + 3 72; 3-3 72), (2; 4), (4; 2); в) (2; 3), (3; 2); г) (-3; -2), (-1; -4),
2
(4; 5), (6; 3). 316. а=-2, 5 = 2 или а=——, 5=6. 317. 18 и 12. 318. 60 и
* о « к
20 или 25 и 37,5. 319. 10 и 0 или 26 и 24. 320. 36. 321. или 4 . 322. 4.
о 19 4
323. 9, 12 см. 324. 6 ч. 325. 12, 8 ч. 326. 40, 50 км/ч. 327. 40, 50 км/ч.
328. 6, 4 км/ч.
Глава Ш
335. а) 20; б) 90; в) 2450. 339. х=3, у=6. 340. а) ±7+5; б) ±7+5.
341.6) у а"4; в) a~V; г) За3Ъ~а. 342. а) у; б) -L; в) А;
г) 27. 346. а) 4; б) 3. 349. 28 м. 350. 60 км/ч. 351. 7,5 см; 15 см.
352. а) 12; б) 100. 353. а) 3; б) —3,5. 354. а) 1,5; б) 0,8. 357. a) с, =21,
d=l,5; б) ci=38, d = — 2.358. Xi = —100, d=6,2.359. а) Да; б) нет. 360. а) Нет;
б) да. 361. а) Для первых тридцати членов; б) для всех членов, начиная
с тридцать первого. 362. Отрицательными являются тринадцать первых членов
прогрессии; ан — первый положительный член, вц=0,5. 365. (2; —4),
(-0,5; 3,5). 366. а) 0; -8; 4; б) 10. 368. а) 5; б) 10 000; в) ; г) 3.
258
371. a) 63; б) 86,4. 372. 6) S5o = 27OO, SIOo = lO4OO, S„=(n+4)n. 373. 670.
374. a) n(n+l); 6) n2. 375. a) 11 325; 6) 7070; в) 11 400; г) 1197. 376. 1192.
377. 275. 378. 55. 379. 199,5. 380. 122,5 м. 381. a) 63,7 м; б) 240,1 м.
382. В 15 рядов; 465 шаров. 383. ai=0,8, d=l,2. 384. а) Нет; б) да.
385. а)(|;1),(-|; |) , (-1; -|); б) (2; 5), (2; -5),
(-2; 5), (-2; -5). 389. а) А; б) -g ; в) -32; г) А . 390. а) А .
ли А <
б) . 393. см2. 394. а) ; б) . 395. а) 3 или —3; б) 0,6 или —0,6.
о 1U24 о!
396. а) 1000; б) или —, 397, а) _L иди __L ; б) —162; в) —0,001 или
о о 2о 2э
0,001. 399. х2 = 1, x3=-L 400. 96. 401. 874 р. 18 к. 404. 1885. 406. х=5,5,
Л
7
у= — 0,5.407.а)(-00; -2]U[8,5; + 00); б)(—00; 0)U(2,5; + 00).409.б) 147~ ;
34 4
в) -63. 410. а) -39 364; б) 171. 413. а) 205,9; б) 25 414. а) 134-^ ;
о 1 У
б) -274,5. 415. -364. 416. 2186. 419. а) (- оо; 0]U[l,5; + оо); б) (- оо; + оо).
420. б) 1,6; в) 1; г) —; д) ——; е) . 421. а) 1 5 б) —;
1+V3 V2 —1 Тб —1 9 3
в) 4-^-; г) 2. 423. 20л см и ^^см2. 424. 32л см2. 425. а) ; б) ;
5 о о 9
. 4 . , 9 . 7 . 357 . 5 _ , 8 . 7 .37
“) п 5 г) 1П ; д) 30 ; е) 11(ю . 426. а) 9 ; 6) 1п ; в) 15 ; г) 330().
9
429. а) тп>2; б) тп< — 1— . 433. а) си = —34, а2= — 26,5, а5=—4;
1О X
б) а, = —10,5, а3=—6,5, а5=—2,5, а6= — 0,5. 438. а) 20—2 т/3; 6) 4^3—7.
439. а) 15; б) 15. 440. а) Является; б) является. 441. а) 4" ’> б) —.
4 о
444. а) -0,1; б) 0.445. а) 10 А ; б) 55 д/З-446. а) 5000; б) -780.448. а) а, =6,8,
12
£я=55,2; б) п = 20, ал = 60; в) ai=-^-, п = 100 или си =0, п = 101; г) d= —1,
п=30. 449. х, = -зА, d=A 453. а) ц; б) 3. 454. -75.
2 2
71—712 П2 + «
455. а) х 2 ;б)х 2 .456. а) 46,2; б)—45,5.457.1600.458. а) 840; б)—51,6.
460. Да, Хб=1. 461. а) Да; б) нет; в) нет; г) нет. 467. а) А ; б) 12-^6.
472. а) 27 и А ; б) 2 и 4; в) 6 и -А ; г) 2 и 5. 473. <7=5, х, = 3.
о 04
474. 176. 477. а) 2; б) 2(2—-у/3). 478. а) 1,5; б) 11А. 479. в или 12.
4
480. а) 2 А^; в) А . 481. а) 2лВ (2+^/2); б) 2лВ2; в) 8В (1+т/2); г) 4Й2.
a?-J3 . 2-\/3 . ла2
482. а) 6а; б) —; в) ла; г) —.
О О V
259
Глава IV
490. а) ЗаЬ; б) 9ху2. 492. а) (2; -5); б) (0,4; 0,6). 493. a) 2L5 . б) Л* .
оХ—1О 7у4"42
г- За — 1
502. а) 0,19; б) 118,81; в) —454,35. 514. 1093 4-364\3. 516. а) у2_^ »
б) • 520. д) 1,5; е) 1,5; ж) -0,3; з) 0,5. 521. б) 11; ж) 1-| ; з) 1,5/
530. д) 0; е) 10; ж) 9; з) 4. 532. д) 0; е) -6. 533. в) 12; г) -64; ж) -5; з) 4.
534. в) 48; г) —54; ж) 2; з) —3. 536. ж) Корней нет; з) —^/11; V11;
и) 0; к) —2; л) —1; 1; м) корней нет. 537. г) —2; 2; д) ^/2; е) — Я/17; ^/17.
538. д) -3; е) -2,5; 2,5. 540. а) 1; б) -2. 541. ^2? 542. д) 1,5; е) 2;
За 4-15 3
ж) 0,4; з) -1,5. 543. д) б2 i е) -2.544. а) 5; б) 2 ; в) 15; г) 12.
4 1оУ о 9
545. а) 6,* б) 6; в) 5; г) 4. 540. а) 15; б) 6; в) 6. 547. в) 14; г) 100; д) 3; е) 2.
548. а) 3; 6) 0,5; в) 2; г) 5. 551. г) 2с2 ^3; д) 5с3 е) 3& 552. б)
в) ^4; Г) VBo1; Д) е) ‘^Зс^. 553. а) 2\[с; б) З^У5 в) 5х ^/2х;
г) -а^Ьс?. 554. б) ^40; в) ^9; г) ^2а?. 555. а) ; б) в) -2 ; г) 2 ;
5 3/5/3
д) -2; е) -^; ж) з) V*. 556. б) в) V27; г) V?! д) 3 А/б.557.в) 4^3;
V3 & V6 °
г) 3^25; д) у А/343; е) Чб. 558. д) ^п?-, е) ж) V49; з) и) tfF.
559. в) г) Ш; д) 16/2; е) 564. а) 66; б) 20.565. а) 2; б) 3.506. а)222
ао
б) 1. 567. а) ; б) 9-^3-11 т/2; в) 6 т/З; г) 2 V162- 568. а) -д/б; л/б; б) 4; в) V2.
О
И7Г1 З/Ол О З/л /» 5/<v3 v __-./А-3. тЛ 3//-а >i\2 3/~2 3/,,2 О 4/Лтг М3
_2 2 1
4^0^+аЦх1. 572. ж) а 3 ; з) х 4; и) (4аЬ2)5 ; к) (а2 — Ь2)3 .574. а) 7; б) 10; в) 0,5;
г) 0,5; д) 243; ж) 625; з) 5 2 . 575. д) 0,064; е) 1^ ; ж) 100; з) 0,0016.
' о io 64
2 1 12
578. 6) у>1; д) с>5. 581. в) 5 2 >5 3; г) 7 3 =7 6.582. а) х2; б) х2; в) х3;
г) х’4. 583. а) 32; б) 1; в) 0,28; г) ^=2. 584. 6,4 дм. 585. 3,6 см. 589. а) а;
V ЛА < VV
б) х2,2; в) а0,1; г) 1. 590. г) а; д) 1; е) т0,2; ж) х; з) у 3. 591. б) 4; в) 9; г) 2.
592. а) 4; б) 2 ; в) 2; г) 25; д) 0,5; е) 2 • 593. а) 12; б) 2 . в) * . г) 6;
О Хл OU
12 7 1
Д) у; е) —. 594. а) 6; б) 20; в) ; г) 1,2. 596. б) —; в) а; г) q.
2 1
601. а) 10а; б) 100а; в) 0,1а; г) 0,01а. 60?. a) a = V3; б) S = V3^;
2 2 _2 -2 / п \7
в) P = QV 3. 603. а) х=у 2; б) х—у 4; в) х=у 3; г) х=у 3; д) х=( }
260
е) х=(6у) 2. 604. а) х6; б) а24; в) у 21; г) Ь3; д) у6; е) х4. 606. а) 64;
б) 2V2; в) i ; г) ; е) 5. 607. а) 1,69; б) 5,24; в) 6,35. 608. а)( -1; +<х>) ;
о! оо \ 11 /
— . 609. 12 ч и 8 ч. 610. 24 дня и 12 дней. 612. а) а2;
94/
г) cd2. 613. а) 4; б) 50. 616. а) 1+с; б) -2\[bc-,
О
_ _2 11
в) 4\/оЬ; Г) х2 +х3 ; д) у3 +9у5; е) х—1. 617. а) х+у; б) 2\[тп; в) а3 +
б) у3 (У3 4-3);
оо;
б) Ь3-3; в)
4-25а; г) а2 — Ь2. 618. а) х2(х2 —2);
2 2 2 2 1 -
г) а6(а6+1); д) 5 4 (5 2 -2); е) с3(с+6); ж) а3(Ь
621. в) (а1,5—2)(а1,5+2); г) (х7-у 3 ) (х3+У 3 ): Д)
2 _i 2 L 2 2 2
е) (т 2 +п2)(т2 — п2 ). 622. в) (т 2 — 2)(m + 2m 2 +4); г) (а 3 4-3) (а
2 2 2 2 2 2
+9), д) (х 3 — 53)(х3 +х 3 5 3+5 3);
З/ьЗ _„з
в)
в)
а 4 (а 4 — 5);
2 2 (З2 -1).
(2-а9’5)(2+а916);
_4 _2
6 -За6 +
2 _2 2 _1 1
е) (4 3+у 3) (4 3 —4 3 у 3+у 3 ).
624. а) (х3)3+(у6)3=(х3 + у3)(х3
2 11 11 1
=(а 9 — Ь 9 ) (а 9 + а 9 Ь 9 + Ь 3).
626.
-х3у34-у3). 625. в) (а9)3—(Ь9)3 =
4
а)
б)
г)
10 2
б)
—j—. 627. a) 3'-5+3; б)
х2 102-1
2 2
Л 2 т 2
а о
д)
1-32
J-d*
_з
1 —24
~~5~
в)
2х 2
е)
т3 +ri3. 628. а)
11;
0,5; в) 0,2; г) —12. 629. а) “ " , ; б) а + Ъ. 630. а) Х+У ;
, , «W ху
б)
О;
в)
20
КМ.
б) не может; в) может;
существуют; Ъ — 0. 648.
е) . 659. г) При а < 2
четной,
; г) не
Суще-
и при
-*±£2. 631. а) (-оо; -2); б) [-5; -3]. 632. 120 км. 633.
у2 —р2
634. а) 12; б) 4. 636. г) Четная; д) нечетная; е) не является ни
ни нечетной функцией. 637. а) Может;
может. 647. а) Существуют; & = 0; б)
ствуют; 5=0. 657. в) 3; г) 3,5; д) —0,5;
а>5; е) при 2<Ь<4. 661. а) -1; 1; б) -^2; -V?; W: в) -2; -^3;
г) ^2; V3. 662. а) 125; (125; Ц-оо); (-оо; 125); б) 16; (16; Ц-оо); [0; 16).
670. в) ; г) 1,35. 672. а) л/ба; б) 2 V*! в) *j3b; г) \[2с. 673. в) ^3 —2л/3>0;
г) ~л/67в* г> V94-V34-1; Д) V25-V104-V4. 677. а) 0; 64;
* 2 1 р-
б) 0,000001; в) не имеет корней; г) — ; д) 16; 81; е) 6561. 680. а) 18; б) 2 —у2;
Ь4 1
24--Т2; в) не имеет корней; г) 1; д) 5; е) не имеет корней. 682. а) х6 ; б) а0,1;
261
К I/2
в) тп-1; г) с-075; д) е) А. 684. а) 125; б) 2. 686. а) ху=1; б) х=у2;
Лао лх
в) x2 = j/3. 687. а) а 3 Ъ 3 ; б) х. 691. а) (V*—-7y)(l+Vx+Vy); б> (л/«+л/Ь)Х
X(l+V“—V&); »> (** Ч-2)2; г) (х2—а2)2; д) (х2 —2)(х2+4);
— - - — 4 11
е) (2х 4 -1) (Зх 4 -1). 693. а) — ; б) 1; в) — ; г) 8; — . 694. а) и+»=ш>;
9 27 27
- - 1
б) u4 + v4 = 4. 695. а) т 6 п 6; б)-р.
1-|-х 2
Глава V
705. а) 2,5; б) 1,5; в) 0; г) 3 n/З; д) 6; е) 3 ^/3. 706. а) 1; б) ^2-2 V3; в) 7; г) -у/3.
713. а) —2; б) 0; в) 1. 715. а) 1; б) -fi; в) 1; г) -1. 716. а) ^±“^5
Л
б) -1; в) -1. 717. а) 3^~^3 ; б) 3~t^. 718. а-Ь. 720. а) 3; б) 10.
2 Л О
73 4. -0,06. 747. а) 3; б) 3~^; в) ^2-^3; г) -5+^2. 748. а) 1-1;
6) 4; в> г> 4- 749‘ а> 11; б> °’’ в) ~24? г) “34- 751- а> i
4 Z О 4 4 о
л/2 1 4
б) ; в) —-. 753. а) —- (а-3); б) 2 (3-х). 754. а) (- оо; 0) и (0,6; + оо);
Л Л о
б) L—7*’ Oj ’ *76^* а) sin2 а» б) —cos2 а; в) 2 cos2 а; г) cos2 а; д) cos2 а;
е) —sin2 а. 756. а) 0; б) sin2 а. 757. a) sin2 а; б) —sin2 а; в) —cos2 а;
г) 1; д) —ctg2 а; е) tg2 а. 758. а) —i—; б) -гД—. 759. a) cos а; б) sin а;
cos а sin а
в) cos а; г) 0; д) » е) —ctg2 а. 760. а) 0,8; б) ———; в) —;
9 . Vio
— 40 ’ б) “ЛУ
- 1 15
а)
г) 761. а) 0,8; б) в) 4^; г) Д. 764.
О 4 XV Х<£
765. а) -14-; б) 4?. 766. а) cos а—, tg а =-— , ctg а = 1 ; б) sin а =
о Л о 4 о
7 8 1 л/3
tg а = 1— , ctg а——- ; в) sin а=— , cos а= —, ctg а = — -д/З; г) sin а
о 10 Л Л
2-^29 5 т/29 х 2 . о 9 t о ,4
=----ад-. cosa=~29-, tga=—у. 767. a) cos₽=--, tgp=-4y,
ctg p= — ; 6) sinp =—|-,tgp=—y, ctgp= — ly ; в) sinp = — .
cos ₽ = —4?, ctg p = 1; r) sin p =45, cos P =—45, tg p=-l . 768. a) cos а«
Л 10 10 о
«—0,78, tga«—0,79, ctg a «—1,3; 6) sin a «—0,90, cos a «0,43, ctga«
« — 0,48; в) sin a« —0,97, tg a «4,2, ctg a «0,24; r) sin a «0,41, cos a «0,91,
15 8 7 15
tga«0,45. 769. a) cosa = —- , tga=—, ctga = l— или cosa=—— ,
17 15 о 17
262
X 8 X . 7 . 1 т/З
1ga=—— , ctga= —1-g-; 6) sma=y , tga=—y,
i V3
sin a=——, tga=-^-, ctga=V3. 771. a) d; 6) —ad.
2 о J.
773. а) — tg2 a; 6) ctg2 a; в) cos2 a; r) — sin a. 774. a)
A
ctga= —/3 или
772. (0; 0), (8; 80).
1 2
sin p ’ ' cos2 а ’
1 12
в) ctg у; г) -г-5—; д) —sin2 0; е) —sin2 а. 775. а) -; б) -—<>—; в) sin2 Р;
sin2 а cos а sm2 а
г) tg 0. 778. а) 0; б) —1; в) —cos2 а; г) -. 779. а) —2 cos а; б) cos х;
cos а
в) — cos2 0; г) — tg х. 780. a) • ; б) —i; в) sin2 ср; г) 1. 781. а) 2; б) 1;
cos х cos а
в) 4; г) 4.782. — 0,18.783. 3,29.788. а) 0,51; б) 0,2. 789. —16.791.15 дм и 20 дм.
X П
tgT.
_V3.
2 :
2л
792. 16 см и 63 см. 796. a) —sin 0,2 л; 6) ctg—; в) —cos 0,1л; г)
О
797. a) —tg43°; б) -sin 2°; в) -sin 40°; г) sin 10°. 799. a) 6)
2
2 ’
В) —л/8; г) ; д) -1; е) 800. а) -у ; б) --; в) -1; г)
д) ; е) —±. 801. а) — cos а; б) —cos а; в) ctg а; г) ctg а. 802. a) cos а;
2 2
б) —sin а; в) tg а. 806. а) 0; б) 2 cos а. 807. a) ctg а; б) —cos а; в) ctg а;
г) —cos а. 808. a) 1; б) 1. 809. а) 1; б) 1. 814. 60 км/ч и 90 км/ч. 815. 70 км/ч.
.> . 820. а) в fc® . 822. Ла!
4 4 4 4
_/з
б) —cos а; в) cos а; г) —sin а. 823. a) sin а sin р; б) sin р cos а; в) cos а;
Л
г) ^cos а. 826. a) cos р; б) sin 2у. 827. а) 0; б) ; в) 1; г) . 828. а)
б) 0. 829. a) sin 2а; б) 0. 831. а) 2 sin р cos а; б) —sin а. 833. a) 1; б) tg (а + Р)>
834. a) 1; б) ctg(a + p). 835. а) Ц ; б) Ц ; в) Ц. 836. 1. 837. а) -Ц ;
оо оо оо оо
6) -Ц ; в) Ц ; Г) Ц . 839. -Ц . 840. 4 ^+1'1. 841. 2-|. 842. а) 2-^/3;
б) 2+Л/3. 844. а) 1; б) у. 848. а) [-8; -1) б) (-оо; 0]и[зу; +оо) .
849. За 45 ч и 36 ч. 850. а) 2 cos a; б) ctg а; в) sin р; г) cos2 а; д) sin2 р;
е) —sin a. 851. б) 2 sin 50°; г) cos 18°. 853. а) —б) il|; в) — l^rr.
XOV XOV XXV
3 3
854. а) 0,96; б) 0,28; в) Зу . 855. 0,96 и —0,28.856. а) 0,96; б) —0,28; в) —Зу .
859. sin a — ; cos а) 2 sin a’> 6) B) cos 2a*>
lool lOol 1О1У
r) 2. 861. а) 1; 6) 2 tg p. 862. в) -у; e) —868. в) -^. 864. a) -0,5;
б) —тг; в) —-\/3. 865. r) -i- sin а; д) —2 sin-^-; e) —2 tg a. 868. a) —sin 2a;
2 2 2
6) 1; в) 0,5; r) 4 sin p. 869. a) sin a; 6) tg 2a; в) tg 2a; r) 4 cos a. 870. в) cos a;
263
г) tg а; д) sin 2а; е) ctg2 ; ж) tg а; з) cos2 а. 871. a) tg 0; б) sin 0; в) sin 20;
а
г) 2 cos 20; д) sin 0; е) tg . 873. a) ctg2 <р; б) tg2( 874. а) Существует;
2 \ 4 /
б) не существует. 876. a) cos a cos 0; б) —-, 877. а) ( — оо; 1] и [4; + оо).
sin a sm 0
878. За 66 ч и 55 ч. 880. з) -у/3 sin а. 881. г) 2 sin cos ; д) — cosf а+4г ) ;
оо ео \ о /
е) —Vasina. 882. г) — V2sin5°. 883. a) 2 sin 25° cos 47°; 6) cos 9°.
А л
tg"5 л/2
885. г) 2; д) -5—; е)-------—*—. 886. a) sin (х+у) sin (х —у);
2л _ 9 оЛ ,
cos —- 2 cosz —
О о
б) — Э!П(х+у)яш(з:—887. а) 2 sin("T+ С03 ("Г !
® 2ап(^_г+1)С0в(^_ы). 2.ж(|-|)х
Хсо8(т+£); б) 2с08(й+1г) ЦиНг) ’ в) 4c08(i+i)x
Xcos(-z-— 4) > г> — 4sin(n+ir) sin(iS—т) ' 893‘ a) -1; 6)
\ О 2 / \ 12 2 / \ 12 2 /
894. а) 4 sin cos х cos ; б) — 4 cos 5у sin 2у sin у. 895. 4 cos ~ cos х cos .
2 2 2 2
899. а) 1; б) —1. 900. а) у=— 4,5х; б) у = 1,6х+4. 901. а) 1; б) -1.
902. а) 0; б) 0; в) 2. 904. а) Тб+л/З; б) т/З. 905. а) б) 12 ; в) 1.
912. а) —4; б) 1.
4л л л
-9-916- б-’Т’
913. а) 0; б) -1; в) 1; г) -1; д) 1 ; е) 1. 915. 4 и
2 9
4.917. а) 1; б) ; в) 5 ^~ 2 ; г) 1. 919. Да. 920. Да.
А А
921. a) —ctg6 а; б) cos2 а; в) tg2 у; г) 1. 923. a) tg а; б) 2 tg2 а; в) 1; г) 1.
2 2
927. а) ---или------; б) 4 или —4. 928. a) cos4 а; б) sin4 а. 929. 2.
cos а cos а
930. 14 . 931. а) ^-=1; б) а . 932. а) пг2 —2; б) т (пг2 —3). 933. 3 или
7 2 2
-3. 935. а) б) 0. 937. —0,7. 938. -fe; —г. 939. 4 • 942. а) 14 ;
2 к 5 о
Q
б) -0,6; в) д/З; г) —. 943. а) 150°; б) 210°; в) 135°; г) 330°. 945. а) 4; б) 4.
О
947. а) 0; б) 0. 949. a) -i-; б) cos 0; в) —sin 2а; г) —sin а. 950. а) 0,98; б) 0,43 —
— 0,24 -д/З; в) 0,64. 951. а) 1,5; б) sin a —sin 0; в) 1,5; г) cos a + sin 0. 952. — 1-|-.
7 а —1 а + 1
953. — . 955. a) ; б) 956. a) ctg а; б) ctg а; в) 1 + cosa;
23 а + 1 а — 1
г) 1 +cos а. 962. а) -0,6; б) -0,8; в) 0,75; г) 1^-. 963. 7-4 -у/3. 965. а) 4 Sin aX
3 д/З g
Xcos3 a —4 sin3 a cos a; 6) 8 cos4 a —8 cos2 a + 1. 966. а) X ; 6) —0,5; в) — ;
2 о
264
г) 967. а2 + &2 = 2. 969. . 971. a) tg 2а; б) cos 2а; в) sin 2а; г) 2 tg2 а;
о о
д) cos 2а; е) ctg а. 972. a) tg а-^~— ; б) —ctg ; в) ctg^a—. 973.
ч . п / л 1 За\ / л За\ 4 • а / а . л \ / а л\
а) 4 cos 2а cost—+— ) СО8Л“б—2 ) ; б) 4 sm 2а cos( у + у ) cos\“2 — У/
974. а) 4 sin 25° cos 33° cos 27°; б) 4 sin 20° cos 12° cos 8°. 976. a) ctg a;
6) — V3 tg a. 981. a) ctg 2a; 6) —ctg 3a.
Упражнения для повторения курса VII—IX классов
984. а) з4 ; б) -4-1-; в) 13-^ ; г) 2^- ; д) 0,2; е) 4.985. а) 16,2; б) -147,6.
А of о
988. а) 1,4; б) 1,36; в) 1-1-; г) з4.987. а) -10; б) -f-; в) -34; г) -0,625.
4 9 о
„ г- 2 у-
991. д) 1,5*10*; е) 5,0. 992. а) 10-^2; б) — л/2; в) 3; г) 14. 993. а) —2; 6) 1.
О
994. а) 481?; б) -262-^. 995. а) -72; б) 996. 18. 997. -21^
^27 о АО АО
999. вша=Д-, cosa=—1-, ctga=—1-1-. 1001. а) 2; б) 15,1; в) —2;
о о о
(у + 3)(у + 6); в) (9х+1)2; г) (4&-3)2;
ч а ч 2х —3 ч тп —1
1006. ж) ——; з) ~—г—; и)
' а-рб '
г) —т— -----. 1008.
’ 4&2—65+9
v к v X—7
б) —-----—2; в) —-— ; г) —2— ---—;—j. 1009. а) —-— ;
2ху — 4у2 2р т2-2тп-\-4п2 6
v b ч ч 10 — 2т _ а2 —За+ 9
в) — ; г) 65с—65. 1010. а) --—; б) —$— “Тъ " *> в) —птг » -»~ > ~о‘~ >
4а тп —2 а —5а + 6 х4-2 14-Зтп
х2-\-у2 ч 1 ч а2 —За —12 . _ 2 3 _ 8а . 4х16
$ —т ; е) — ; ж) -тт^-гтг 5 3) 1- Ю11. а) 2х2у3; б) ; в) ;
у2 — х2 а а2 + За + 2 ' ' 9 ' Ь2 9у18
г) 1Q(jpiS • Ю12. б) -Зу л/2; в) a V5«; д) -Зе Ц2р-, ж) а2 ^3. 1013. б) ~^5у^;
V2a*; е) — V7m4. 1014. a) 2^/2x; б) л/2а—2; в) 4л/ху; г) х -/х—у -/у.
г) -1,5. 1005. а)
д) (Зх+1)(2х—1);
1007. а) —1- ; б)
Зх
д)
в)
(х—7)(х+6); б)
е) (За+2) (а—5).
10 . 1 .
9—у1 ’ а —2 ’
р — 5 ч 2п —Зтп
2x4=1* ' тп + 2‘
453-16&2 .
а ’
У3 + 4у2 .
2
1
а)
б)
2
; г)
1015. в) ->Ja — 1; г)
3 л/х
1016. а)
1 . д) х-^у + у . е) л/с
л/^ + 1 л/у с+л/cd+d
— ± А А
5 -yfab 4л/с+4 2л/ж—3^/у х р —2д х2 .
б> в> г> 4х—Оу • 1017- а> -Г"5 б>---5----•’ в> "Г5
1 1 у2
у -2 А А А
Г) a а Ь +Ь, 1018. а) 16; б) -30. 1019. а) 2а3Ь3; б) 2a5; в) ---;
А А —
а2-Ь2 т2—2
265
1 1 1
2 3 3
Г) I +1. 1020. а) .У- —1 ; б) У- . 1022. a) cos2 а; б) 2; в) cos2 а.
~2 I ч 1Г I ч 1Г
Р +1 с 4-1 у
1023. 4 . 1024. 1~1q^ • 1025. 2 у2 — 3.1026. a) cos а cos р; б) sin ₽ cos а;
11 ч
в)--—; г) — . 1028. а) —0,96; б) 0,28; в) — 3^ . 1029. а) 1; б) 1;
cos 2а sin 2а 7
в) 2 cos а —1; г) —2 ctg а. 1030. д) 2 д/2 cos ~ cosl
Л
45°--J)
; е) 2 д/2 sin X
Xsin^-^- — 45°у . 1031. а) —4,5; б) любое число; в)
— 1; г) корней нет.
1034. а) тп< 2,5; б) тп^>—2; в) при любом т\
г) т — 4 или т 4.
1035.
1036.
а) б) в) — 2 V5<&<2-\/5; г) таких значений нет.
а) 0; -3; б) ±^; в) ! 7; г) 1-J ; 3; д) -leA ; -1; е) ; 2.
А О О I ОО
1037. 110 м. 1038. 4 и 5. 1039. 25. 1040. 14. 1041. а) -1; в) 1; 2; г) -14; 1;
д) -1; 3; е) -5; ж) -1-1; з) -1; -1. 1042. 240 м. 1043. 15 ч и 10 ч.
О О
1044. 60 км/ч и 80 км/ч. 1045. 20 км/ч. 1046. 2 км/ч. 1047. 70 км/ч.
1048. 12 км/ч. 1050. a) ±-1; ±2; б) ±4 ; в) ±^5; г) ±1. 1051. а) -0,6;
2 о
0,3; б) 0; -1; 2. 1052. а) 0; ±4; б) 0; ±1; в) 0; г) 0; 2-1; д) -8; 0; 2;
1 2 г-
е) —3; 0; 2; ж) —1; ±3; з) 1053. а) 2; б) —0,1; в) 0,3; г) ±2^3;
д) -1; е) ±л/2. 1056. а) (4; -1); б) (2,45; 0,37); в) (15; 25); г) (0,32; -0,86).
1057. а) (1; 2); б) (13; 8). 1059. а) 5; б) 3; в) т/Й. 1064. 80 км/ч и 50 км/ч.
1065. 48 ц/га и 65 ц/га. 1066. 60 км/ч. 1068. а) (—2; —4), (4; 8); б) (5; 3);
в) (1; 4), (4; 1); г) (3; -1), (-3; 1); д) (0; 4), (г^-; 13-|) ; е) (1; 2),
(у ; -1-1) • 10в9- а) (15 5)’ (* I)? б> (8? “2)>( ~24 5 14 ) 5 в) (~35 “5)>
(_б; -3), (3; 5), (5; 3); г) (-4; -2), (4; 2). 1071. . 1072. -1. 1073. 9 см и 40 см.
1074. 11 см и 8 см. 1075. 15 дней и 30 дней. 1076. 3 дня, 6 дней. 1077. п = 36.
1078. ai=10, d=10. 1079. -2. 1081. 7,2. 1082. а) 2~7; б) или -^;
1 о о
в) 2 3. 1083. 1084. 31-1. 1085. 635. 1090. а) т> -4; б) х>-1,2;
27 2
в) а<16; г) 5>4; д) х<0,1; е) тп>—4; ж) у<10; з) а^ — 0,5.
1091. а) х<3; б) а>-1,5; в) у>0,16; г) тп>5-1; д) а>11; е) у<0,4.
О
1092. а) При Ь>—62; б) при Ь<—0,76. 1093. а) (1; 3); б) решений нет;
в)^ — °°; ; г) решений нет. 1094. а) ( — 5,5; 1); б) (4; 4- оо); в) ( — 29; 3); г) ре-
шений нет. 1095. а) -3, -2, -1, 0; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7. 1096. а) (-3; 6);
б) [—27; —7]; в) [6; 8); г) [—0,56; 1,2]. 1097. а) 0<х<5; б) —17<х<13.
266
1098. a) (-5; 3); б) [А-; 2] ; в) (-оо; -3]U fl-^-; + 00 ) ; г) (-1; 15);
L о J L о /
д) [ —0,5; 0,5]; e) (—оо; - l,2)U(0; + оо); ж) (-0,2; 0,2); з) (-оо; 0)U(0,8; + «>).
1099. а) (—оо; — 1)U(4; +<»); б) х — любое число; в) ( — 13; —1); г) ( — 4; 7).
1100. а) При х>-^“ 5 б) при х<5; в) при -3<х^5; г) при х< —2 и х> 1,5;
о
2
д) при 0,5<х<2,4; е) при х>5-^-. 1101. а) (—3,5; —2)U(5; +<»);
б) (-оо; —8)U(—2; 4); в) (-оо; -2]ЩЗ; 6]; г) [-70; 20]U[30; +оо).
11 3
1102. а) При — 4<х<4; б) при — 1-~<х<—-; в) при —1 —<х<3,5;
4 о О
г) при — 1<х<1. 1103. а) Все числа, кроме 2,5; б) все числа, кроме 2 и 3;
в) все числа; г) все числа, кроме ; д) х>3; е) х<0,5. 1107. а) При х<3;
б) при х>3. 1117. а) (2; —7); б) (2; —16), (8; —34); в) точек пересечения нет;
г) (-л/3; л/3), (л/3; —>/3); д) (-1; -7), (1; -5); е) (-3; 33). 1118. 2 у^+1.
1120. а) Убывает в промежутке ( — оо; —2,5], возрастает в промежутке
[—2,5; + оо); б) возрастает в промежутке^ — °°; , убывает в промежутке
Г 1 , \ ч Л / 11
I — ; + оо I ; в) убывает в промежутке I — оо; —— I , возрастает в про-
межутке £ —; 4- оо ; г) возрастает в промежутке (— оо; 0,3], убывает
в промежутке [0,3; + 00)• 1121. а) Убывает в промежутке (— оо; + оо); б) воз-
растает в промежутке (—оо; 0) и промежутке (0; +©о); в) убывает в про-
межутках (—оо; 0) и (0; 4-оо); г) возрастает в промежутке (—оо; 1,5],
убывает в промежутке [1,5; 4-оо); д) убывает в промежутке (—оо; 0,5],
возрастает в промежутке [0,5; + оо); е) возрастает в промежутке (— оо; —0,5],
3 8
убывает в промежутке [ — 0,5; + оо). 1123. а) - ——г; в) cosa=—,
9х 4~3х-г"1 17
tga=— 1^-, ctga=— ; г) 360 км. 1124. а) 2; б) (—1; +<ю); в) (48; 15);
г) 15 км/ч. 1125. а) 11; б) ( — 1; 5), ( — 2; 7); г) 10 деталей. 1126. а) 9;
б) [ — 4,5; 1,5]; в) (8; —6); г) 60 деталей, 40 деталей. 1127. а) sin a; б) 73 — 36 д/б;
г) —25. 1128. а) tg 2a; б) х — любое число; в) 2-^-; г) 16,5.
о
Задачи повышенной трудности
1129. —0,5; ±1; ±2. 1132. При а=— 2. 1133. При а=1. 1137. (2; 0), (4; 0).
1138. При а=3; (1,5; -5,25). 1139. а) (-2,5; 1); б) (— оо; — 2)ll(-y5 +«>).
1141. При т<—1143. а) —2; 3; б) 1; 2; —2; —5. 1144. При а<1.
О
1145. (4; 2), (4; -4). 1146. 4. 1147. (1; -1), (1; -|-) , (0; 0), (у; -1) •
1149. (13; -15), (6; -1). 1150. За 50, 75 и 60 ч. 1153. 2<п< 20.1154. .
267
1157. 2, 1, О, -1 или —1, 0. 1, 2. 1162. 1; 4; 7. 1164. а) 2^2 + ^-,
б) л/б-л/3. 1166. 1. 1167. 0; 63. 1172. cos-?-. 1173. 1. 1175. 28.
4
1178. sm па sm (” + ° . 1180. 1 1182. (-73; 4). 1183. х,=8, j/i = -8,
sm а 4
21 = 8; х2—— 8, #2 = 8, 22 = 8. 1184. Xi=5, у\=2, Zi=7; х2 = б, #2 = 7, 22 = 2;
2
Хз = 7, #з = 3, 2з=4; х4 = 7, #4 = 4, 24 = 3. 1186. —. 1188. 1029. 1189. 150;
о
810. 1190. 54 и 6; 98 и 2. 1191. 9 и 6; 7 и 2; 23 и 22.
ОГЛАВЛЕНИЕ
"S5 Глава 1
INI КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ........................................ 3
§ 1. Функции и их свойства.............................. 3
1. Функция. Область определения и область значений функции 3
2. Свойства функций.....................................10
§ 2. Квадратный трехчлен............................... 16
3. Квадратный трехчлен и его корни......................16
4. Разложение квадратного трехчлена на множители ... 20
§ 3. Квадратичная функция и ее график...................24
5. Функция у = ах2, ее график и свойства................24
6. Графики функций у = ах2-\-п и у = а(х — т)2..........29
7. Построение графика квадратичной функции . . . . . 35
§ 4. Неравенства с одной переменной.....................39
8. Решение неравенств второй степени с одной переменной . . 39
9. Решение неравенств методом интервалов................44
Доп олнительные упражнения к главе I...................48
KS Глава II
|£Ц УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ.............................55
§ 5. Уравнения с одной переменной....................55
10. Целое уравнение и его корни.......................55
11. Уравнения, приводимые к квадратным................61
§ 6. Системы уравнений с двумя переменными............64
12. Графический способ решения систем уравнений .... 64
13. Решение систем уравнений второй степени...........68
14. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени 7 2
Дополнительные упражнения к главе II..................75
269
Глава III
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ 80
§ 7. Арифметическая прогрессия................80
15. Последовательности...................................80
16. Определение арифметической прогрессии. Формула п-го
члена арифметической прогрессии...........................83
17. Формула суммы п первых членов арифметической про-
грессии ..................................................88
§ 8. Геометрическая прогрессия..............................92
18. Определение геометрической прогрессии. Формула п-го
члена геометрической прогрессии............................92
19. Формула суммы п первых членов геометрической прогрес-
сии ..................................................... 97
20. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при
1з1<1......................................................101
Дополнительные упражнения к главе III......................105
ИИ Глава IV
1№8 СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ . • • • 111
§ 9. Степенная функция...............................111
21. Четные и нечетные функции........................111
^ПзяГ^ункция у = хп.....................................114
§ 10. Корень n-й степени.............................120
23. Определение корня n-й степени....................120
24. Свойства арифметического корня n-й степени .... 124
§11 . Степень с рациональным показателем и ее свойства . . 130
г
' 25. Определение степени с дробным показателем .... 130
26. Свойства степени с рациональным показателем .... 134
27. Преобразование выражений, содержащих степени с дроб-
ными показателями.................................. 139
Дополнительные упражнения к главе IV.................143
ИЯ
Глава V
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРА-
ЗОВАНИЯ ...................................151
§12. Тригонометрические функции любого угла •
28. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
151
151
270
29. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса . 159
30. Радианная мера угла. Вычисление значении тригонометри-
ческих функций с помощью микрокалькулятора . . . 162
§ 13. Основные тригонометрические формулы................168
31. Соотношения между тригонометрическими функциями од-
ного и того же угла......................................168
32. Применение основных тригонометрических формул к пре-
образованию выражений....................................173
33. Формулы приведения...................................176
§ 14. Формулы сложения и их следствия...................182
34. Формулы сложения................................... 182
35. Формулы двойного угла.............................. 188
36. Формулы суммы и разности тригонометрических функ-
ций .....................................................193
Дополнительные упражнения к главе V....................198
Упражнения для повторения курса VII—IX классов ... 207
Исторические сведения.................................227
Задачи повышенной трудности...........................236
Сведения из курса алгебры VII—VIII классов............241
Предметный указатель..................................253
Ответы.............................................. 254
Сведения о пользовании учебником
№ п/п Фамилия и имя ученика Учебный год Состояние учебника
в начале года в конце года
1
2
3
4
5
Учебное издание
Макарычев Юрии Николаевич
Миндюк Нора Григорьевна
Нешков Константин Иванович
Суворова Светлана Борисовна
АЛГЕБРА
Учебник для 9 класса средней школы
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. М. Котова
Младшие редакторы Е. А. Буюклян, О. В. Агапова
Разработка оформления В. П. Богданова
Художник В. В. Костин
Художественный редактор Ю. В. Пахомов
Технический редактор Л. М. Абрамова
Корректор О. В. Ивашкина
ИВ № 12677
Сдано в набор 13.09.89. Подписано к печати 30.01.90. Формат 60X90’/16. Бум. типогр. № 1.
Гарнит. школьн. Печать высокая. Усл. печ. л. 17*4-0,25 форз. Усл. кр.-отт. 17,69. Уч.-изд. л.
14,00+0,37 форз. Тираж 3 417 000 экз. Заказ № 624. Цена 55 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение* Государственного комитета
РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Государственного
комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов,
ул. Чернышевского, 59.
ГРАФИК КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
у = 2х2-12х + 19
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛ Ы
sin2d + cos2d = 1 tgdctgd = 1
= 1 + t92« = coki
ct9d=sFnd 1+ct92<* = iiik-
sin(d+p) = sind cosp + cosdsinp
sin (ci-p) = sin d cosp-cosd sinp
cos(d+p) = cosd cosp- sind sinp
cos (ci-p) = cosoi cosp + sindsinp
sin2d = 2sind cosd , 2tgd
tg2d=x—r—~
cos2d = cos2d-sin2oi 1 T9 01
sind + sinp = 2 sin cos4^
sind - sinp = 2 sin cos^±£
cosd + cosp = 2 cos cos
- cosd-cosp=-2sin^ sin^
li'rC + ' 7 Ло z z
55 к.