Автор: Данко П.Е. Попов А.Г. Кожевникова Т.Я.
Теги: анализ математика физико-математические науки задачи по математике высшая математика
ISBN: 5-06-003071-7
Год: 1999
Текст
П.Е.ДАНКО А.Г.ПОПОВ
Т.Я.КОЖЕВНИКОВА
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
в упражнениях
и задачах
В ДВУХ ЧАСТЯХ
ЧАСТЬ 2
Издание пятое, исправленное
Москва
«Высшая школа»
1999
УДК 517+519
ББК 22. 11
Д 17
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.
Д 17 Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. II:
Учеб, пособие для втузов. —5-е изд., испр. —М.: Высш, шк.,
1999. —416 с.: ил.
ISBN 5-06-003071-7
Содержание II части охватывает следующие разделы программы: кратные и
криволинейные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения, теорию
вероятностей, теорию функций комплексного переменного, операционное
исчисление, методы вычислений, основы вариационного исчисления.
В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения.
Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество
задач для самостоятельной работы.
Учебное издание
Данко Павел Ефимович, Попов Александр Георгиевич,
Кожевникова Татьяна Яковлевна
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В УПРАЖНЕНИЯХ
И ЗАДАЧАХ
Часть II
Редактор А.М. Суходский
Художественный редактор ТА. Коненкова
Технический редактор Л.А. Овчинникова
ЛР № 010146 от 25.12. 96. Изд, № ФМ-105 б. Сдано в набор и подл, в печать
16.11.98. Формат 60х88'/1б. Бум. газетн. Гарнитура «Литературная».
Печать офсетная. Объем 25,48 усл. печ. л. 25,73 усл. кр.-отг. 27,57 уч.-изд. л.
Тираж 12000 экз. Заказ № 216
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14.
Набрано на персональном компьютере издательства.
Отпечатано с диапозитивов в ОАО «Оригинал»,
101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7.
ISBN 5-06-003071-7(4. И)
ISBN 5-06-003072-5
© Издательство «Высшая школа», 1999
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Двойные н тройные интегралы
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах........... 6
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле.................. 10
§ 3. Вычисление площади плоской фигуры.................... 14
§ 4. Вычисление объема тела............................... 16
§ 5. Вычисление площади поверхности....................... 17
§ 6. Физические приложения двойного интеграла............. 20
§ 7. Тройной интеграл....................................... 23
§ 8. Приложения тройного интеграла.......................... 28
§ 9. Интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование
н интегрирование под знаком интеграла........................ 30
§ 10. Гамма-функция. Бета-функция............................ 35
Глава 11. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности
§ 1. Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам . . 42
§ 2. Независимость криволинейного интеграла II рода от контура
интегрирования. Нахождение функции по ее полному диф-
ференциалу .................................................. 47
§ 3. Формула Грииа........................................... 50
§ 4. Вычисление площади...................................... 51
§ 5. Поверхностные интегралы................................. 52
§ 6. Формулы Стокса и Остроградского—Гаусса. Элементы теории
поля ........................................................ 56
Глава III. Ряды
§ 1. Числовые ряды........................................... 66
§ 2. Функциональные ряды..................................... 77
§ 3. Степенные ряды.......................................... 81
§ 4. Разложение функций в степенные ряды....... 86
§ 5. Приближенные вычисления значений функций с помощью сте-
пенных рядов................................................. 91
§ 6. Применение степенных рядов к вычислению пределов и опре-
деленных интегралов......................................... 95
§ 7. Комплексные числа и ряды с комплексными числами...... 97
§ 8. Ряд Фурье.............................................. 106
§ 9. Интеграл Фурье......................................... 113
Глава IV. Обыкновенные дпфференцпальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка............ 117
§ 2. Дифференциальные уравнении высших порядков............ 139
§ 3. Линейные уравнения высших порядков.................... 145
§ 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 161
§ 5. Системы дифференциальных уравнений.................... 166
Глава V. Элементы теории вероятностей
§ 1. Случайное событие, его частота н вероятность. Геометрическая
вероятность...................................................... 176
§. 2 . Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная
вероятность................................................... 179
§ 3. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений со-
бытия .................................................... . . 183
§ 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса........... 186
§ 5. Случайная величина и закон ее распределения.. 188
§ 6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины 192
§ 7. Мода и медиана . . •............................. 195
§ 8. Равномерное распределение............................ 196
§ 9. Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона .... 197
§ 10. Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция
надежности.................................................... 200
§ 11. Нормальный закон распределения. Функция Лапласа .... 202
§ 12. Моменты, асимметрия и эксцесс случайной величины .... 206
§ 13. Закон больших чисел................................ 210
§ 14. Теорема Муавра—Лапласа............................. 213
§ 15. Системы случайных величин.......................... 214
§ 16. Линии регрессии. Корреляция........................ 223
§ 17. Определение характеристик случайных величин на основе опыт-
ных данных.................................................... 228
§ 18. Нахождение законов распределения случайных величин иа
основе опытных данных......................................... 240
Глава VI. Понятие об уравнениях в частных производных
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка в частных про-
изводных ...................................................... 260
§ 2. Типы уравнений второго порядка в частных производных. При-
ведение к каноническому виду............................. 262
§ 3. Уравнение колебания струны................................. 265
§ 4. Уравнение теплопроводности................................. 272
§ 5. Задача Дирихле для круга.................................... 278
Г лава VII. Элементы теории функций комплексного переменного
§ 1. Функции комплексного переменного............................ 282
§ 2. Производная функции комплексного переменного. 285
§ 3. Понятие о конформном отображении ....... 287
§ 4. Интеграл от функции комплексного переменного................ 291
§ 5. Ряды Тейлора и Лорана...................................... 295
§ 6. Вычисление вычетов функций. Применение вычетов к вычис-
лению интегралов............................................... 300
Глава VIII. Элементы операционного исчислении
§ 1. Нахождение изображений функций.............................. 305
§ 2. Отыскание оригинала по изображению..................< . . 307
§ 3. Свертка функций. Изображение производных и интеграла от
оригинала...................................................... 310
§ 4. Применение операционного исчисления к решению некоторых
дифференциальных и интегральных уравнений................... 312
§ 5. Общая формула обращения................................... 315
§ 6. Применение операционного исчисления к решению некоторых
уравнений математической физики ........................... 316
Глава IX. Методы вычислений
§ 1. Приближенное решение уравнений . . . :...................... 321
§ 2. Интерполирование............................................ 330
§ 3. Приближенное вычисление определенных интегралов......... 334
§ 4. Приближенное вычисление кратных интегралов ....... 338
4
§ 5. Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных
и кратных интегралов........................................ 350
§ 6. Численное интегрирование дифференциальный уравнений . . . 362
§ 7. Метод Пикара последовательных приближений............... 368
§ 8. Простейшие способы обработки опытных данных............. 370
Глава X. Основы вариационного исчисления
§ 1. Понятие о функционале................................... 385
§ 2. Понятие о вариации функционала.......................... 386
§ 3. Понятие об экстремуме функционала. Частные случаи интегри-
руемости уравнения Эйлера.................................... 387
§ 4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков 393
§ 5. Функционалы, зависящие от двух функций одной независимой
переменной .................................................. 394
§ 6. Функционалы, зависящие от функций двух независимых пере-
менных ...................................................... 395
§ 7. Параметрическая форма вариационных задач................ 396
§8. Понятие о достаточных условиях экстремума функционала . . . 397
Ответы......................................................... 398
Приложение ...................................................... 409
Литература.........................................................
ГЛАВА I
ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Пусть функция f(x, у) определена в ограниченной замкнутой области D
плоскости хОу. Разобьем область D произвольным образом иа л элементарных
областей, имеющих площади Дат, Да2.....Да„ н диаметры dlt d2, dn (диа-
метром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками
границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произволь-
ную точку Ph (g*; rjt) и умножим значение функции в точке Ph на площадь
этой области.
Интегральной суммой для функции f (х, у) по области D называется
сумма вида
S Пл) До7г = f (Si- Hi) Дсг1 + /(?з. Пг) Д<т2+---+/(U П„) Да„.
t=i
Если при max dh —► 0 интегральная сумма имеет определенный конечный
п
предел /= lim 2 /(£*, П*) Да*, не зависящий от способа разбиения D
max dk -+ О
на элементарные области и от выбора точек Ph в пределах каждой из них,
то этот предел называется двойным интегралом от функции f (х, у) в области
D и обозначается следующим образом:
l=\\f(x, у) da = lim 2 f ’l*) Дст*-
J J maxdft->-0 * = 1
Если f (x, у) > 0 в области D, то двойной интеграл J J f(x, у) da равен
D
объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z — f(x, у),
сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными осн Ог,
и снизу областью D плоскости хОу.
Основные свойства двойного интеграла
1°. $ ifi <*• ± мda=$ Р1 y^da ± S Р2 dS'
D D D
2°. ^cf(x, У)da = с f (*• У)^ гДе с—постоянная.
D D
3°. Если область интегрирования D разбита на две области Di и D2, то
J р (*. У) da = $ у (х, у) da+$ $ f (х, у) da.
D D, D,
4°. Оценка двойного интеграла. Если m<f(x, у)^М, то
mS< § р (*, У)
da^MS, где 3 — площадь области D, а т н М—соответст-
венно наименьшее и наибольшее значения функции f(x, у) в области D.
Правила вычисления двойных интегралов
Различают два основных вида области интегрирования.
1. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х = а
и х=Ь (а < Ь), а снизу и сверху — непрерывными кривыми г/ = <р!(х) и
y — (f2 (х) [q>i(x)<<f2 (х)], каждая из которых пересекается вертикальной пря-
мой только в одной точке (рнс. 1).
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
Ь <рг (Л)
^f(x,y)dxdy=^dx f (х, y)dy,
В а <₽! (х)
ф2 (х)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл f (х, у) dy, в котором
<Р1 (X)
х считается постоянным.
2. Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми у —с
и y = d (с < d), а слева и справа —непрерывными кривыми х = фх(г/) и х =
У
у-И
7
Рис. 2
= Фа (.У) 1Ф1 (У) < Фг (//)], каждая из которых пересекается горизонтальной пря-
мой только в одной точке (рис. 2)
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
d Фг (У)
f (X, y)dxdy = dy f (х, y)dx,
в с 4'1 (у)
Ч'г (У)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл f (х, y)dx, в котором
(</)
у считается постоянным.
Правые части указанных формул называются двукратными (или повтор-
ными) интегралами.
В более общем случае область интегрирогания путем разбиения иа части
сводится к основным областям.
1. Вычислить ^xinydxdy, если область D—прямоугольник
4 е
ИС С г 14
x\nydxdy=^xdx^ lnydy== yj« =8(е—е-|-1) = 8. д
в 0 1
7
2. Вычислить 55 (cos8x-j-sin2//)dxdy, если область D — квад-
D
рат О л «С л/4, 0 у я/4.
я/4 я/4
Л (cos2 х-{-sin2 у) dxdy = dx (cos8 x-f-sin8 у) dy=
D о о
П/4 Я/4
= У pcos2x+-|— У Sln2yj"/4 dx= j (ycos8x-|-y—-1) dx=a
о 0
Г я I I • i о \ \ ( n 1 X 1 я/4 я / я . 1 \ / я 1 \ я л8
— [8\"^2 sin2*}+[ 8 4 j *]0 “8 \, 4 + 2 8 4)4“ 16'^
•2 x1
3. Вычислить I = dx (2x—y) dy.
1 x
2 2
A /=J [2xy—у y2J* dx=y Ггх3—yX4—2x24-yX8Jdx=s
1 1 4
= [yx* — j^x® —у x3ji=°,9. A.
4. Вычислить —y)dxdy, если область D ограничена ли-
D
ниями z/=2—x2, y = 2x— 1.
Д Построим область D. Первая линия—парабола с вершиной в точке
(0; 2), симметричная относительно оси Оу. Вторая линия—прямая. Решая
совместно уравнения у=2—х8 и у=2х—1, найдем координаты точек пере-
сечения: Д(—3; —7), В(1; 1) (рис. 3).
Область интегрирования принадлежит к первому виду. Находим
12-х* 1
УУ (л—y)dxdy= у dx У (х—y)dy = У Гху—у у2Р^ Х^х=8
D t -3 2х-1 -3 L J'~
= У^2х-х3—2+2х2—yx*-2x2+x+2x8—2х+уЪх=
-3 4
1
= У ( -у^-*3+2*2 + *-у)
_Г *5 1 и ! 2 л , 1 1 31» .4 .
[ 10* 2Х 2XJ_j— 415’
5. Вычислить (х + 2у) dx dy, если область D ограничена
D
прямыми у = х, у = 2х, х=2, х= 3.
3 2х 3
д 5$ (х+2^) dxdu=5dx $ (*+2у) du=5 fa-
it 2 х 2
3 3
= f(2x2J-4x2—х2—x2)dx=i=4 С x2dx =Д-х3|3= 254-. А
J J о 2 3
2 2
8
6. Вычислить ех+iin и cosy dxdy, если область D—прямо-
D
угольник 0СхСя» ОСу Ся/2-
7. Вычислить (x2-|-i/2) dxdy, если область D ограничена ли-
о
ниями у — х, х = 0, у=1, у = 2.
8. Вычислить 55(3х® — 2ху4-у) dxdy, если область D ограни-
D
чена линиями х = 0, х — у3, у = 2.
9. Изменить порядок интегрирования в интеграле
1 1-х»
5 dx 5 f(x> y)dy.
-1
А Область интегрирования О ограничена линиями х=—1, х=1, у=*
— — у I — хг, у=1—х3 (рис. .4). Изменим порядок интегрирования, для чего
заданную область представим в виде двух областей (второго вида):
Dlt ограниченную слева и справа ветвями параболы х=± Y1—y(O<j/<l),
и О2, ограиичеииую дугами окружности х=± У1 — у3{—1 <У<0)- Тогда
11-х» 1 V1- у о V1-1/*
5 dx J = 5 ^x> 5dy 5 HX' ^dx‘
-1 -T'i -x» ° -V'l-jz -1 -I i-i/’
10.
11.
12.
ниями
2л a
Вычислить 5 cos2 x dx 5 у dy.
о 0
3 x
Вычислить 5 dx 5 (x—y) dy.
1 x*
Вычислить \\y\nxdxdy, если область D ограничена
*D_
xy =l,i/ = J x, x = 2.
ЛИ-
9
13. Вычислить (cos 2x4-sin г/) dx dr/, если область D ограни-
о
чена линиями х = 0, у = 0, 4х-+-4у—л = 0.
14. Вычислить $ (Зх + y)dx dy,если область D определяется не-
D
равенствами х1 24-г/2<9, у >(2/3) х 4-3.
15. Вычислить sin (х 4- у) dx dy, если область D ограничена
D
линиями х = 0, у — л/2, у = х.
16. Вычислить [[xdxdy, если область D—треугольник с
D
вершинами А (2; 3), В (7; 2), С (4; 5).
Изменить порядок интегрирования:
17. 2 2-х е 1пх [dx J / (-«. у) dy. 18. [dx J f(x, y)dy. - 6 x*/4 - 1 10 1 1+vT-p* 1 X
19. J dy f (x, y) dx. 20. § dx § f (x, y) dy. 0 2-y 0 0 1 [V1 - x* я sin x
21. $ dx $ f(x, y)dy. 22. dx § /(x, y)dy. 0 (l-xl’/Z 0 0 4 V 25 — y*
23. [dy J f (x, y) dx. 0 3y/4 9/16 Vp 3/4 3/4
24. $ dy $ f(x, y)dx+ J dy $ f(x, y)dx. 0 У 9/16 j,
25. 2 1'7 4 V~x 6 2 $ dx $ f (x, y) dy+ [dx $ f (x, y) dy+ [dx [ f (x, y) dy. 0 0 2 1'7^2 4 у7Г2
§ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
1. Двойной интеграл в полярных координатах. Преобразование двойного
интеграла от прямоугольных координат х, у к полярным координатам р, 0,
связанным с прямоугольными координатами соотношениями x = pcos0, у =
— р sin 0, осуществляется по формуле
f (х, у) dx dy = J J f (p cos 0, p sin 0) p dp dB.
D D
Если область интегрирования D ограничена двумя лучами 0 = а, 0 = (1
(а < Р), выходящими из полюса, и двумя кривыми р == pi (0) и р=р2(0), где
Pi (0) и р2 (0)—однозначные функции при и pi(0)<p2(0)> то двой-
ной интеграл вычисляется по формуле
3 р2(0)
F (р, 0) р dp dB = dB F (р, 0) р dp,
£> а р,(0)
10
где F (р, 0) = f(pcos0, psin0), причем сначала вычисляется интеграл
р>(0)
J F (р, в) р dp, в котором 0 считается постоянным.
Р»(0>
2. Двойной интеграл в криволинейных координатах. Пусть двойной инте-
грал преобразуется от прямоугольных координат х, у к криволинейным коор-
динатам и, v, связанным с прямоугольными координатами соотношениями
х=х (и, v), у—у (и, »), где функции х (и, v) и у “(и. »), непрерывные вместе со
своими частными производными первого порядка, устанавливают взаимно одно-
значное н в обе стороны непре-
рывное соответствие между точ-
ками области D плоскости хОу
и точками области D' плоскости
uO'v (рис. 5) и определитель пре-
образования, называемый яко-
бианом, в области D' не обраща-
ется в нуль:
дх дх
ди до
ду ду
ди до
Тогда пользуются формулой
У) dxdy=^f [х(и, о), у(и, р)]| J\dudo.
D D'
Для случая полярных координат
дх дх
др дд
ду ду
др дв
I COS0
I sin 0
—р sin 01___
pCOS0|~P’
26. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной ин-
теграл Кх2+у2dxdy, если D—I четверть круга х2 + у2а3.
D
Д Полагая x = pcos0, i/=psin0, имеем
]/~x2-f-y2dxdy=^ yrp2cos20+p2sin20prfpd0 =
D D
п/2 a n/2 Л/2
=p.|s»=4 j a
0 0 о 0
27. Вычислить In (хг +у2) dxdy, если область D—кольцо
D
между окружностями х2 + у2 = е2 и х2 + у2 — е*.
Д Перейдем к полярным координатам:
2Я е»
J J In (x2~Py2)dxdy= lnp3-pdpd0 = 2 р lnpdpd0 = 2 d6 J p ln(pdp.
D D D 0 e
11
Взяв по частям интеграл, зависящий от р, получим
2л
2 j [yp2lnp—-lp2J‘2d0==ne4(3e2_l). Д
О
х—у=1,
28. Вычислить (x-|-z/)3(x—у)2dxdy, если область D—квад-
D
рат, ограниченный прямыми
х—у— —1 (рис. 6).
Рис. 7
Рис. 6
Д Положим х-\-у — и, х—у = v, откуда х=(1;2) (n-j-i’), (1/2) (и —г).
Тогда якобиан преобразования
дх дх 1
ди ди ___ 2
gy Зу ~ 1_________
ди ди 2 2
Следовательно, (x-j-y)3(x—у)2 dx dy~-^- u3u2dudv. Так как область D'
также является квадратом (рис. 7), то
з 1
УУ (*+!/)3(х— y')2dxdy=^- У u3du v2du—
D I -
з з
j “3 [т"3] L d£t=Hи3 (1+1} d"=ir‘ |i=y • А
I 1
29. Вычислить
у у х2 sin (ху/2)
D
dxdy, если область D ограничена
четырьмя параболами х2 = лу/3, х2 = 2лу/3, у2 = 2х, у2 = 4х (рис. 8).
А Произведем замену переменных так, чтобы ху—ии и x2/y = v, тогда
х— у/ии2, у—у/и2и и область D' окажется прямоугольником: и = 2, и—4,
и=л/3, и = 2л/3 (рис. 9). Находим якобиан преобразования:
•и-2/зу2/з 2и1/3р_1/3
. 3 3 14 1 . .. 1
7 л . "q q- п > т. е. 171 _ •
_f_u-l/3yl/3 J_u2/3y-2/3 э а ° °
12
Следовательно,
J J у
D
2л/3
dxdy' С С du dv=s
3 J J и2’ 3 V1'3
D'
4 2л/3
У stn(uy/2)d« = y у (cost/—cos2v)dp=
Л~3 2 Я/3
2 f 2л л \ 1 / 4л . 2л \
=Т (s,n ~T~sinT) - TIsin T-Sin T J=
Переходя к полярным координатам, вычислить двойные ин-
тегралы:
30
область D—круг ха 4- уа л4.
Рис. 9
31. , если область D ограничена полуокружностью
р
у = И1—ха и осью Ох.
32. (ха + уа) dxdy, если область D ограничена окружностью
D
х2 + уа = 2ах.
33. С С dx dy, если область D ограничена линиями
V ха-\-уа
ха + уа = л2/9, Xе + У* = л2.
34. J J И*2 + Z/2 dx dy, если область D ограничена линиями
D
xa + ya = aa, ха + уа==4аа.
1 2.V
35. Вычислить dx dy, введя новые переменные х = и(1—и),
о х
у — ии.
13
36. Вычислить J dx dy, если область D ограничена линиями
D
ху— 1, ху = 2, у — х, у = 3х.
@ Произвести замену переменных х— (u/v)1^2, y = {uv)1^2.
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле
S^^dxdy.
D
Если область D определена, например, неравенствами <pj(x)<
Ь ф, (х)
S = dx dy.
а ф, (х)
Если область D в полярных координатах определена неравенствами
а<6<Р, ф(0)<р</(0), то
Р Г (0>
S = р dp dO = d0 р dp.
D а ф(0)
37. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями х =
—4//—у2, х + у = &.
А Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему
уравнений х—4у—у2 и *+«/=6 (чертеж рекомендуется выполнить самостоя-
тельно). В результате получим А (4; 2), В (3; 3). Таким образом,
3 4у-у* ,з
S= dxdy= dy dx= dy—
D 2 6-у 2
3
= С(— 6) dr/= f— 4-«/3+4*/2—6«/13=-|-(кв.ед.). Д
tj I О Z J 2 О
2
38. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями
р= 1, р = (2/К3)cos0 (вне окружности р= 1; рис. 10).
А Найдем координаты течки А; имеем 1 = (2/уг 3) cos 0, cos 6=У 3/2,
0 = л/6, т. е. А (1; л/6). Тогда
л/6 (2/V3)cos6 л/6 ,
р р р е р г 1 1 (2/v з) cos е
S= \ pdpd0 = 2 \ d0 \ pdp=2 ИурЧ d0 =
vd oi o'
л/6 л/6
= j fycos20— i)d0= j ^4-2.co6 20-l^d0 =
о 0
л'б
= y j (2 cos 20— I)d0=y[sin20—0J?/e =
о
= -^-f sin-5—x'j =-X (3 л) (кв. ед.). A
o \ о О / io
14
39. Найти площадь, ограниченную лемнискатой (х2+у2)г=2агху.
Л Полагая x=pcos0, у= р sin 0, преобразуем уравнение кривой к по-
лярным координатам. В результате получим р2 = 2а2 sin 0 cos 0 = a2 sin 20.
Очевидно, что изменению полярного угла 0 от 0 до л/4 соответствует
четверть искомой площади. Следовательно,
л/4 а V sin 20 л'4 , _____
С' (* V sin 29 ,Л
pdpdd = 4 <10 pdp = 2 р2 |о <10 =
D 0 0 0
л/4
= 2а2 f sin 20 dd = — a2 cos 20 |я/4 = а2. А
J |0 m
о
40. Найти площадь фигуры, ограниченной линией х2-\-у2 = аху
(площадь петли; рис. 11).
Л Преобразуем данное уравнение к полярным координатам: р3 (sin3 0 4-
+ cos8 0) — ар2 sin 0 cos 0, т. е. р = a sin 0 cos 0/(sin8 04-cos3 0). Осью симметрии
петли является луч 0 = л/4, поэтому
л/4 a sin 0 cos 0/(sin3 0 + cos3 0)
S = 2^Jpdpd0 = 2^d0 p dp =
do о
sin2 0 cos2 0
(sir.3 0-|- cos3 0)2
Я/4
d&=a2 j
о
tg2 0 cos40
cos» 0 (i 4-tg3 0)2
л/4
а2 Г 3tg20d(tgO)
3 J (l+tg30)2
Я/4
a2 C d(14-tg30)
3 J (l + tg30)2-
о
г a2 l"/4 a2
l~3(l+tg30)Jo —6“‘
a
Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:
41. х — у2—2у, х + у = 0.
43. у2 = 4х—х2, у2 = 2х
(вне параболы).
45. у2 + 2у—Зх+1 = 0,
Зх—Зу —7 = 0.
47. </ = 4х—х2, у = 2х2 — 5х.
42. у = 2—х, г/2 = 4x4-4.
44. 3z/2 = 25x, 5х2 = 9</.
46. t/ = cosx, z/ = cos2x, z/ = 0
(площадь ближайшей от начала
координат фигуры).
48. х = 4— у2, х\-2у—4 = 0.
15
49. р = 2—cos0, р = 2 (вне 50. р = 2(1-f-cos0), p = 2cos0.
кардиоиды)
51. у2 — 4 (1—х), х2 + у2 = 4 (вне параболы).
§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА
Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверх-
ностью z = f(x, у), снизу плоскостью г = 0 и сбоку цилиндрической поверх-
ностью, вырезающей на плоскости хОу область D, вычисляется по формуле
V = $$ f(x, y)dx dy.
D
52. Найти объем тела, ограниченного поверхностями y=i-\-x2,
г = 3х, у = 5, 2 = 0 и расположенного в I октанте.
А Тело, объем которого надо вычислить, ограничено сверху плоскостью
z=3x, сбоку—параболическим цилиндром г/=1-|-х2 и плоскостью у=Ь. Сле-
довательно, это—цилиндрическое тело. Область D ограничена параболой
у=1-\-х2 и прямыми у=о и х=0. Таким образом, имеем
2 5 2
V— 3xdxdy = 3 xdx dy = 3 x-[y]l+xtdx=
D о l+.v2 0
2
= 3^ (4х— х3) dx = 3 |2х2 — J-x4l~= 12 (куб. ед.). Д
о Jo
53. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями г —
= 1—х2—у2, у — х, г/ = х|/ 3, 2 = 0 и расположенного в I октанте.
А Данное тело ограничено сверху параболоидом г=1—х2—у2. Область
интегрирования D—круговой сектор, ограниченный дугой окружности х2+г/2=1,
являющейся линией пересечения параболоида с плоскостью z=0, н прямыми
у=х и у=хУ 3. Следовательно,
dxdy‘
D
Поскольку областью интегрирования является часть круга, а подынте-
гральная функция зависит от х2-3Гу2, целесообразно перейти к полярным ко-
ординатам. Уравнение окружности x24-t/2=l в этих координатах примет вид
р=1, подынтегральная функция равна 1—р2, а пределы интегрирования по 0
определяем из уравнений прямых: tg0i=l, т. е. 0х = л/4; tg02=yr 3, т. е.
02 = л/3. Таким образом, имеем
л/3 1
V = (1 —р2) р dp d0 = dO (р—р3) dp =
D Л, 4 О
л/3 л/3
= j [уР*--j = Л (куб- еД-)- ▲
л/4 и,'4
54. Найти объем тела, ограниченного поверхностями х2-}-у2=а2,
х2 + г2 = а2.
16
Л Рассмотрим восьмую часть заданного тела (рис. 12):
a Va2~x2
= —х2 dx dy = а2—x2dx dy=
D О О
а
О
Следовательно, Р=16а3/3. Д
Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:
55. х2 + у2 = 8, х=0, у —О, z = 0,
x + y + z = 4.
56. x = 2z/2, x+2</4-z = 4, «/ = 0,
z = 0.
57. x2 + 4y2 + z=l, z = 0.
58. z = x2 + y2, y = x2, y=l, z = 0.
59. z = 4—x2, 2x + y = 4, x — 0, y = 0,
z = 0.
60. z2 — xy, x — 0, x — 1, y = 0, у = 4,
z = 0.
61. z = 5x, x2 + y2 = 9, z = 0.
62. x + y + z — 6, 3x4-2;/= 12, 3x4-
4-i/= 6, y = 0, z = 0.
63. z = x4-z/4-l, y* = x, x— 1, // = 0, z = 0.
64. z = 0, z — xy, x24-(/'2 = 4.
65. x2/a2 4-z/2/&2 = 1, z/ = 0, z = .v/2, z = x.
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
Если гладкая поверхность задана уравнением г=/(х, у), то площадь по-
верхности выражается формулой
D
где D — проекция данной поверхности на плоскость хОу. Аналогично, если
поверхность задана уравнением х = [ {у, г), то
D
где D — проекция поверхности на плоскость уОг; если же уравнение поверх-
ности имеет вид у = f (х, г), то
D
где D — проекция поверхности на поверхность xOz.
17
66. Найти площадь части сферы х2 + У2 + г2 = а2, заключенной
внутри цилиндра х2- у2 = ау (рис. 13).
Л Из уравнения сферы имеем (для I октанта):
Часть сферы, расположенная в I октанте, проецируется в полукруг, огра-
ниченный окружностью х2-\-у2 — ау и осью Оу. Этот полукруг и является
областью интегрирования D.
21 Поверхность расположена в четырех октантах,
а потому искомая площадь
Рис. 13
Перейдем к полярным координатам, тогда урав-
Ц неиие окружности примет вид p = asin0 и
Я/2
С (cos 0—1) d0 =
S = 4aCf-£^L-
D ^a2—Р2
= —4a2 [sln0—0]"/2 = 4a2 1 J (кв. ед.).
67. Найти площадь части конуса г = У хг + у2, заключенной
внутри цилиндра х2 + у2 = 2х (рис. 14).
Д Из уравнения конуса имеем , .............., ==——У........- Об-
дх Кх24-1/2 дУ V х* + У2
ластью интегрирования D является круг, ограниченный окружностью хг-\-у2=2х,
или p = 2cos0. Тогда
Y^х2 + уг+х2\у2(>хЛу-
D
Л/2 2 cos 0
= /2 dxdy=V~2 $ d0 $ 9dP~
D -л/2 О
Л/2 Л/2
_______р 1 „ |2 COS 0 --1 Р
= 2/2 \ ур2 I d0 = 2/ 2.у 1 4cos20d0=
О о
Л/2
= 2/2 J (l+cos20)d0=2/2 ^0+уsin2el"/2 =л/2 (кв. ед.) Д
О
18
68. Вычислить площадь поверхности цилиндра х2—2г, отсе-
ченной плоскостями х—2у—0, у — 2х, х=2|/ 2 (рис. 15).
Д Областью интегрирования служит треугольник ОАВ. Из уравнения
дг дг п
цилиндра имеем ду~°' *0Гда
2 1'' 2 2х
S — У l-f- х2 dx dy = У1 + х2 dx dy =
о о Х/2
2V2 2V~2
= у ^xyT+7adx=^ у (i+x^dii + x2)^
о о
=4«4(1+х2)з/2 к1,4=13 (кв-ед-)- ж
“О |U
69. Вычислить площадь части поверхности параболоида x=s
= 1—у2—г2, вырезанной цилиндром z/24-z2 = 1.
Д Область интегрирования—окружность y2-}-z3=l (она расположена
в плоскости yOz). Из уравнения параболоида имеем —%У> — %z"
Тогда
5=П V i+(^)2+(|f)2^rf2=yj><i+4^2+z2)^d2-
D D
Перейдя к полярным координатам, получим
2л 1 2л
s=y d©y р /i+v<we=y [44(1+4pz)3/2]>6=
00 о
,_ 2л _
5/ 5—1 f , 5/5—1 , „. .
=— J d0=—^“6 Я (KB‘ eA^-
0
70. Найти площадь части поверхности у — х2 + zz,’вырезанной
цилиндром х2 + г2 — 1 и расположенной в I октанте.
19
71. Найти площадь части сферы x2 + t/2 + z2 = 4, вырезанной
цилиндром х2/4 4- у2 = 1.
72. Найти площадь той части плоскости г — х, которая за-
ключена внутри цилиндра х2 + yi = 4 выше плоскости z = 0.
73. Найти площадь части поверхности цилиндра z = x2, выре-
занной плоскостями x-\-y — V2, х = 0, z/ = 0.
74. Вычислить площадь поверхности конуса х2—у2—г2 —О,
расположенной внутри цилиндра х2 + z/2 = 1.
75. Вычислить площадь поверхности цилиндра х2 + ?2 = 4,
расположенной внутри цилиндра х2-\-у2 — 4.
76. Найти площадь части поверхности г2 — 2ху, вырезанной
плоскостями х= 1, у —4, z = 0.
$ в. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Если пластинка занимает область D плоскости хОу и имеет переменную
поверхностную плотность у=у(х, у), то масса М пластинки выражается двой-
ным интегралом:
Л1= у(х, у) dxdy.
D
Статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу находятся
по формулам
Мх = ^уу(х, у) dxdy, Му = ^ху(х, y)dxdy.
D D
В случае однородной пластинки y=const.
Координаты центра тяжести пластинки можно вычислить по формулам
х = Му/М, у=Мх/М,
где М—масса пластинки, а Мх, Му—ее статические моменты относительно
осей координат.
В случае однородной пластинки эти формулы принимают вид
xdxdy у dxdy
— D — D
х— s ’ у~ S
где S—площадь области D.
Моменты инерции пластинки относительно осей Ох и Оу вычисляются
по формулам
1Х = (* У)dxdy' = $ § x2v(x’ y^dxdy>
D D
а момент инерции относительно начала координат — по формуле
/о= (я’+У2) Y(*> y)dxdy=zlx + /y
D
Полагая в этих формулах у(х, у) = 1, получим формулы для вычисления
геометрических моментов инерции плоской фигуры.
20
77. Найти кооординаты центра тяжести фигуры, ограничен-
ной линиями у*=4x4-4, — 2x4-4 (рис. 16).
Л Так как 'фигура симметрична относи-
тельно оси Ох, то р=0. Остается иайти х.
Найдем площадь данной фигуры;
Тогда
2
о
2
D О
О
(4-0»)/2
2 ж
78. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
эллипсом х’/25 4- у*/9= 1 и его хордой х/54-у;3 = 1.
Л Найдем площадь сегмента:
S (3/3) »'2б-х»
3 «= J J dx dy = J dx J dy =*
D 0 3(l-x/5)
a
° С (4КВ^-34-4х)л~т(л-а).
V \ ** □ / *
0
Тогда
a (3/B)V'2B-x‘
D 0 a(l-x/B)
a
— icT* "HT f \‘Т‘хУ25—х9—Зх( 1— 4-^1 dx=^
15 (я—2) JIS' \ 5/J
-йтЛл) [-44-4,2S-'’>’'’
_з^+^Г_
2 ‘ 5 Jo
4
15 (л-2)
(74 \
25-^4- 25 j =
10
3(я—2) :
21
5 (3/5)V25~x*
-y=^ydxdy = -^±-^dx J У<1У =
D 0 3 (1-Л/5)
5
-1^4Ш<й-Н'4)Т--
0
5
2-9-2 C/C 12 Г 5x2 1 u>lS
= T= n> 77' \ (5x —JT) dx = .я-;-яг- —я-я- Xs
15(л—2)-25J ' ' 125 (л—2) [2 3 Jo
о
_ 12 / 125 125\ 2 .
125 (л—2) \ 2 3 )~л—2 • A
79. Вычислить полярный момент инерции фигуры, ограничен»
ной линиями х/а-\-y/b— 1, х=0, у = 0.
Л Момент инерции относительно начала координат равен
а (b/а) (а—х)
j (х*+№)^ =
о
D
а
О
О
(b/а) (а-*> Г Г 6 й / ч 1 1 / \зЪ
О dx = J [т х (а-*)+-з (a~x) J dx =
о
Ь. 1 68 . 1 fa -И]а _<*(<*+&*) а
4а 3 a3 4l > Jo-- 12 ‘А
80. Вычислить момент инерции относительно оси Ох фигуры,
ограниченной кардиоидой p = a(l-(-cos0).
Д Перейдя к полярным координатам в формуле Iх = у3 dx dy, получим
D
2л a(l+cos0)
1Х = р2 sin2 0 р dp dO = sin2 0 40 ps dp =
о
D
2Л 2Л
= sin2 0 • -^-р4 Н' +со’е> </0=-1-а4 J sin20 (1-f-cos 0)4 dO =
О о
2Л
1 о 21
=—a4^ sin2 0 (l-f-4 cos 0-f-6cos20-]-4 coss0-]-cos4 0) 40=32 ла4. Д
о
О
81. Определить центр тяжести площади, ограниченной линиями
у = х2, у = 2х2, х = 1, х = 2.
82. Определить центр тяжести площади, ограниченной карди-
оидой p=a(l-(-cos0).
83. Определить центр тяжести полусегмента параболы у3 = ах,
отсеченного прямыми х = а, у = 0(у>0).
84. Найти центр тяжести площади, ограниченной одной пет-
лей кривой р = a sin 20.
22
85. Найти центр тяжести площади, ограниченной параболами
К* = х, х~ — у.
86. Найти центр тяжести площади, ограниченной параболой
у*—2рх и прямой х — 2р.
87. Найти центр тяжести площади, ограниченной линиями
у = \^2х—хг, у = 0.
88. Вычислить момент инерции площади, ограниченной ли-
ниями у — 2Ух, х-{-у — 3, у = 0, относительно оси Ох.
89. Вычислить полярный момент инерции площади, ограни-
ченной прямыми х + у—2, х<=0, у = 0.
90. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями
i/=4—х*, у —0, относительно оси Ох.
91. Вычислить момент инерции площади эллипса 1
относительно его большой оси.
92. Вычислить массу квадратной пластинки со стороной а,
плотность которой в любой точке пропорциональна квадрату рас-
стояния этой точки от одной из вершин квадрата.
93. Вычислить массу круглой пластинки радиуса г, если плот-
ность ее обратно пропорциональна расстоянию точки от центра
и равна б на краю пластинки.
94. Вычислить статический момент пластинки, имеющей форму
прямоугольного треугольника с катетами |ОД|==а, |ОВ| = Ь,
относительно катета ОА, если плотность ее в любой точке равна
расстоянию точки от катета О А.
f 7. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть функции / (л, у, г) определена в ограниченной замкнутой простран-
ственной области Т. Разобьем область Т произвольным образом на п элемен-
тарных областей 7\, Г», ..., Тп с диаметрами dt, .... d„ и объемами А Уь
АЙ», .... ДК„. В каждой элементарной области возьмем произвольную точку
Р* (g*; т]*; С») >> умножим значение функции в точке Р* на объем этой об-
ласти.
Интегральной суммой для функции / (х, у, г) по области Т называется
п
сумма вида 2 1 <£*• Л*’ W AV*.
А® 1
Предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего нз ди-
аметров всех элементарных областей ДУ* называется тройным интегралом
ст функции /(х, у, г) по области Т и обозначается следующим образом:
П ( / (X, У, г) dy= 11m 2 f Пй. С») АУ*.
J i J max <** -* 0 *= 1
Конечный предел такого вида может существовать только для ограниченной
функции.
Если f (х, у, г) > 0 в области Т, то тройной интеграл
т
доставляет собой массу тела, занимающего область Т и имеющего перемен-
ного плотность у=/(х, у, г) (физическое истолкование тройного интеграла).
Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных
интегралов.
ЦЙ(х, у. г)йу
23
В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают в виде
^р(х, у, z)dxdydz.
J т
Пусть область интегрирования Т определяется неравенствами xj<x<x2,
Vi W < У < Уг (х), zi (х, у) < z < z2 (х, у), где у, (х), у2 (х), zt (х, у) и г2 (х, у) —
непрерывные функции. Тогда тройной интеграл от функции f (х, у, г), распро-
страненный на область Т, вычисляется по формуле
х, у, <х> г, (х, у)
J f (х, у, z)dxdydz= J dx dy J f (x, у, z)dz.
T xt yt (X) Z, (x, y)
Если при вычислении тройного интеграла требуется перейти от перемен-
ных х, у, г к новым переменным и, о, w, связанным с х, у, г соотношениями
x=x(u, о, w), у=у(и, V, w), z = z (и, о, ю), где функции x(u, о, w),y(u,v, w),
г (и, v, w), непрерывные вместе со своими частными производными первого
порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное
соответствие между точками области Т пространства Охуг и точками некоторой
области Т' пространства Ouvw и якобиан J в области Т' не обращается в нуль:
дх дх дх
ди до dw
ду ду ду
ди dv dw
дг дг дг
ди до dw
то пользуются формулой
$$$/(*• У, z)dxdydz =
т
= р> ю)> У(«> с’> z(u’ v> ш)]-\ J \dudvdw.
Т'
В частности, при переходе от декартовых координат х, у, г к цилиндри-
ческим координатам р, ф, г (рис. 17), связанным с х, у, г соотношениями
x=pcosq>, у = рз1Пф, z=z (0<р < +оо, 0<<р<2л, —оо < z < Ч-оо),
24
якобиан преобразования J =р и формула преобразования тройного интеграла
к цилиндрическим координатам имеет вид
f (р cos ф, р sin ф, z)pdpdtpdz =
фа Р> г,
= J dtp J р dp J f (р cos ф, р sin ф, z) dz.
фа Pl *1
При переходе от декартовых координат х, у, г к сферическим координа-
там р, ф, 0 (рис. 18), связанным с х, у, z соотношениями
Х = р81П0СО8ф, У = р81п031пф, Z = pCOS0 (0<р<+<»,
0<ф<2л, О<0<л),
якобиан преобразования J = p2sin0, и формула преобразования тройного UH'
теграла к сферическим координатам имеет внд
Т
f(x, у, z)dxdydz =
f (р sin 0 cos ф, р sin 0 sin ф, р cos 0) р2 sin 0 dp dtp dd =
т
Фа 0, p,
= J dtp f sin 0 df) J p2/ (p sin 0 cos ф, p sin 0 sin ф, p cos 0) dp.
Ф1 0i p<
95. Вычислить I— J j j zdxdydz, где область T определяется
т ___________
неравенствами О «Сх 1 /2, х^у^2х, 0 г И1—№—у2.
1/2 2х Vl-x'-y» 1/2 2х /1-х» -у*
С С (‘ 1 С Р
Д /= \ dx \ dy \ zdz—-^ V dx i z* dy —
Ox 0 0x0
1/2 2x 1/2
=| j (1—X2—P2)rfp=y j ^y-yx2—^-y3YXdx=i
Ox 0
1/2
=y ^2x—2л?—yx3-x+x3+yxsjdx=
0
1/2
1 C ( 10 J 1 r 1 , 5 .11/s 1/1 5 1 \ 7 .
~2 ,) \X 3 ^)dx 2 [ 2 6 *Jo 2 \ 8 6‘16 J 192’
0
96. Вычислить 1= J x2yzdxdydz, если область T ограни-
т J
чена плоскостями х=0, у—0, z — 0, x + y + z — 2=0.
Л Область Т ограничена сверху плоскостью z = 2—х—у, а снизу —
плоскостью z=0. Проекцией тела на плоскость хОу служит треугольник,
25
образованный прямыми х = 0, у —О, у = 2—х. Следовательно,
2 2-х 2 — х — у 2 2-х
l=\x2dx § ydy J zdz=\x2dx J у (2~ dy—
ooo oo
2 2
- 1 С У2 Г (2-x)4 i (2—x)* 2(2—x)«
“2 Г I 2 4 3
J dx~24 J*2<2—x)4d*=3i5- A
97. Вычислить I— zdxdydz, где T—верхняя половина
т
эллипсоида х2/9 + у2/4 + г2 Ч 1.
А Проекцией тела на плоскость хОу является эллипс х2/9-|-у2/4< 1. По-
этому
3 (2/3) /1-х2/9-02/4
z 1= § dx § dy § zdz=*
“3 — (2/3)1^9-x2 0
з (2/3)
1 С . С /1 х2 у» \ .
J ____________t1—9—ТГУ=3
-3 -(2/3)Кэ-х2
-И [('-4)4 “’=
“3
3 3 л/2
= ± J (9—хг)3/2 ^х^=Д J(9-x2)3/2dx=^ j 81 cos4/ dt =
-3 0 о
л/2
-8 f <1+^^ Р+!й2,Ц+±,^=2.4.5»^.
4 I Zoju zzz
0
(при интегрировании сделана подстановка x = 3sin/, dx = 3cos/ dt).
98. Вычислить I — x2 dx dy dz, если T — шар x2 + y2 + z2
т
^R2.
Д Перейдем к сферическим координатам. В области Т координаты р, <р
и 0 изменяются так: 0<р<Л, 0<<р<2л, 0<0<л. Следовательно,
т
л 2л Я
р1 sin3 0 cos2 <р dp d<p d0 = sir? 0 d0 cos2<p dtp p4 dp =
000
Л
₽5 p Г 1 -12л
= 5TJ Sto30del<p+ysin2<p]o =3
0
=^- J (cos2 0- 1) d (COS0) = -"^- .
0
26
99. Вычислить J J J гКх2 + у2 dxdydz, если область T ограни-
т
чена цилиндром х2-\-у2 = 2х и плоскостями у = 0, z = Q, z — a.
Д Перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение цилиндра в этих
координатах примет внд р2 cos2 ф-f-p2 sin2 ф = 2р cos ф, или р2 (cos2 ф+sin2 ф)=
= 2рсоэф, т. е. р = 2созф. Следовательно, в области Т координаты р, ф и г
изменяются так: 0<р<2созф, 0<ф<л/2, 0<z<a. Поэтому
555Z У2 dx dy dz ~
гр,рс?рс?ф
т
dz =
Л.Г2 2 cos ф а л/2 2 cos ф
У dtp § р2 dp J zdz = ^ a2 § dtp § p2dp =
ooo oo
л/2 л/2
~а! У соз3фсГф=уа2 J (1— sin2 ф) d (sin ф)—
o о
4 . Г . 1 , з 1я/2 8 2 .
=-g-a2 | вшф—-g sin8 Q =-a2. A
100. Вычислить $ (x'-\-у2) dxdydz, если область T — верх-
т
няя половина шара х2 + у2 4- г2 г2.
Д Введем сферические координаты; новые переменные изменяются в пре-
делах 0<р«^г, 0<ф<2л, О<0<л/2. Таким образом,
SSS dxdydz= 55S Р*sinS®^P^f₽^ =
т т
г л/2 2л г л/2
= 5 р4 dp sin3 0 d6 dtp = 2л р4 dp (cos2 0 — 1) d (cos 0) =
оо о oo
г
р Г 1 ”] л/2 4
= 2л \ р4 dp -„-cos3 0 — cos 0 = 7,лг®. А
J L 3 Jo 15 “
о
101. Вычислить $ (%2 + f/2 + z2)dxdydz, если область Т —
т
прямоугольный параллелепипед, определенный неравенствами
ос.
102. Вычислить 55 5 xyz dxdydz, если область Т ограничена
т
сферой х2 + у2 г2 = 1 и плоскостями х=0, у = 0, г = 0.
103. Вычислить 5 5 5 хУ2г3 dx dy dz, если область Т ограничена
т
поверхностями z = xy, у = х, х=1, г = 0.
104. Вычислить 55$ (2% + 3t/—г)dxdydz, если область Т —
" т
-рехгранная призма, ограниченная плоскостями z = 0, г = а,
х = 0, у —0, х + у = Ь (а > 0, fe>0).
105. Вычислить zdxdydz, если область Т ограничена
т J
конической поверхностью z2 — х2 + у2 и плоскостью г = 2.
106. Вычислить $ $ х dx dy dz, если область Т ограничена
г
плоскостями х = 0, y — Q, z — 0, у — 3 их-|-г = 2.
107. Вычислить 5П (х2у-\-z2)2 dxdydz, если область Т огра-
т
ничена цилиндром x2 + z2=l и плоскостями у = 0, у=1.
108. Вычислить (х + у + z)2 dxdy dz, где область Т—об-
т
щая часть параболоида z (х2 + у*)/(2а) и шара х2 + у2 + z2 За2.
109. Вычислить (х2 + у2) dxdy dz, где область Т ограни-
т
чена поверхностями z = (х2 + №)/2, z = 2.
ПО. Вычислить dxdydz, где область Т—шар х2 + «/24-
+ г2 < г2. 7
111. Вычислить $ И1 + (л'2-~!/2 + г2)3'2 dxdydz, если Т—
тJ
шар х2 + у2 + z2 1.
§ 8. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Объем тела, занимающего область Т, определяется по формуле
V = J dxdydz.
т
Если плотность тела переменная, т. е. у = у(х, у, г), то масса тела, за-
нимающего область Т, вычисляется по формуле
И = у (х, у, z) dx dy dz.
т
Координаты центра тяжести тела определяются по формулам
~x^ir^yxdxdydz’ ~y=xir^^dxdydz'
Т т
1=^rSSSyzdxdydz-
т
При у=1 имеем
~x—-y^\^xdxdydz; ^^ydxdydz; z dxdy dz
° Т V Т т
(х ,~у,~г — координаты геометрического центра тяжести).
28
Моменты инерции (геометрические) относи-
тельно осей координат соответственно равны
= SSS (y2 + z2)dxdydz>
Т
7j,=$ Иdx dy dz>
т
/г=S И dx dy dz'
т
112. Вычислить объем тела, ограни-
ченного поверхностями йг = х2-|-1/2, z = h
(рис. 19).
Д Данное тело ограничено снизу параболоидом х = (х24-у2)/Л, сверху
плоскостью z = h и проецируется в круг х2-|-у2<Л2 плоскости хОу. Исполь-
зуем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида примет
вид г = р2/Л. Объем тела равен
2я h h
Т Т 0 0 р»/Л
113. Найти координаты центра тяжести призматического тела,
ограниченного плоскостями х — 0, z = 0, «/=1, t/ = 3, x-j-2z = 3.
Л Найдем объем рассматриваемого тела:
3 3 (3-х)/2 з з
С dz = {dx С 5——dy==>
о 0 1
т
о
з
С Г 1 13 9
Н (3-х)^=|зх-тх2 1=4.
о
Тзгда
3 3 (3-Л-1/2
У х dx dy § dz =
о 1 о
x-iSSSxdxdyd^
т
3 3 3
= Нxdx S Sх (3~х} dx=i [4 x*~i *3 * s] 0s 1;
0 1 0
НгйР"'9
dz =
3 3 3
= dx Jy(3-x)dy=-i j(3-x) dx=-^ Гзх—7r]3=2;
0 Y О . L J
29
114. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z = х2 + у*, г = х2 + у2.
115. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью г —О,
цилиндрической поверхностью х = (х2 + У2)/2 и сферой х2 + у2 +
4-z2 = 4 (внутри цилиндра).
116. Найти массу куба 0^.y^a, O^z^a, если
плотность в точке (х; у, г) есть у(х, у, z) = x + у-[- г.
117. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного
поверхностями x-f-y=l, z = x24-z/2, х=0, у —0, г—О,
118. Найти координаты центра тяжести, ограниченного по-
верхностями z2~xy, х = 5, у = 5, г — 0.
119. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного
плоскостями 2x-f-3y—12 = 0, х — 0, у = 0, z = 0 и цилиндриче-
ской поверхностью г — у2/2.
120. Найти момент инерции куба 0<х^а,
ОСгСа относительно его ребра.
§ 9. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим интеграл
ь
= (х, X) dx,
а
(1)
в котором X—переменный параметр, а функция f(x, X) двух переменных опре-
делена для всех значений х в промежутке [а, Ь] и всех значений X во множе-
стве {X}. При этих условиях интеграл (1) является функцией параметра X.
Большое значение имеет вопрос о производной функции / (X) по пара-
метру X. Пусть функция f (х, X) и частная производная непрерывны
в прямоугольнике а < х < Ь, а<Х«С₽. В этом случае существует производная
ь ь
U/V Un у U Л
а а
Если допустима перестановка знаков производной (по X) и интеграла (по х),
то говорят, что функцию (1) можно дифференцировать по параметру под зна-
ком интеграла. В формуле (2) предполагается, что пределы интегрирования
а и b не зависят от параметра X. Если же а и Ь зависят от X, то
f dx+b' (X) f [ft (X), X]-а' (X) f [а (X), X]. (3)
аЛ J ал
а(М
Пусть функция f (х, X) задана для всех значений хй=а и всех значений
X в некоторой области D, причем при каждом X в этой области существует
интеграл
I (Z) = f f (х, X) dx — lim
J b->a
a
b
f (x, %) dx,
a
Если этот интеграл стремится к I (X) равномерно относительно X в обла-
сти D, то интеграл I (X) называют равномерно сходящимся относительно X для
указанных значений параметра.
Из этого следует, что для любого е > 0 найдется не зависящее от X число
bq^ta, что как только b^bg неравенство
| f (х, X) dx— f (х> X) dx [ — | f (х, X) dx | < в
а а Ь
будет выполнено для всех значений X в области D.
at
Для дифференцирования по параметру несобственного интеграла / (х, X) dx
О
со
с бесконечным пределом необходимо, чтобы интегралы / (х, X) dx и
О
е
j ^ЭХ сУществовали ПРИ ° < X < °°»
о
Формула интегрирования по параметру X определенного интеграла (1) под
знаком интеграла в промежутке [а, Р] имее^ вид
₽ ₽ Ь ь 3
Z(X)dX=^dXp(x, X)dx=^ dx j f (x, K)dk. (4)
a a a a a
Подынтегральная функция f (x, X) должна быть непрерывной функцией двух
«ременных в конечной области интегрирования. В случае бесконечной обла-
сти интегрирования получится несобственный кратный интеграл.
Подробное изложение условий применения формул дифференцирования и
янтегрирования несобственных интегралов по параметру можно найти в «Курсе
высшей математики» В. И. Смирнова (том II).
1
121. Найти хт (In х)" dx, где т и п—положительные целые
о
числа.
Д Рассмотрим интеграл
1 I
\ хт dx——г—г ;
J '«+1
О
здесь f (х, m)==xm —непрерывная функция в интервале 0 < х < 1 при т > 0.
Найдем производную этого интеграла по т:
1 1 j
(S+i?-
о о
31
Продифференцировав по т еще раз, получим
1
jx'’(in^dx=^4Lij5-
О
После л-кратного дифференцирования по т находим
1
J х» (In х)« • ▲
о
со
С* dx
122. Найти j + где и—целое положительное число»
о
а 1 > 0.
Л Рассмотрим интеграл
00
С dx 1 . х [» л 1
J ^+х “ утarc g 7Т |о •
Дифференцируя по параметру Л, имеем
СО
f dx 1 л
J (х3 + М3-2" 2V77'
В результате л-кратного дифференцирования получим
С dx ! -3-5.. .(2л—!) л
J(x3+X)'i + l“ 2-4-6...(2л) ’2k"-i<7/
п *
123. Найти I (k, X) = Jе ** -sin^x dx и Zx (К) = —S--v dx.
о о
Л Дифференцируя интеграл / по А., находим
di р Г е~кх
— = ^-«cosXxdx=[RTp
о
]» k
— -тт, .
di k „ ,
Теперь из уравнения можно найти г, имеем
/(Л. X) = p-**-^^rfx = arctgfA.
о
Интеграл /х(Х) найдем, подставив в выражение для / {k, X) значение fe = 0:
Р sin)х X f -я/2 при Х< °’
71 (X) = \ --—dx= lim arctg-j-=’ 0 при Х = 0,
о Х fe-*+0 I л/2 при X > 0.
32
00
График функции Л (к)— С —n dx состоит л
J X 0 из двух полупрямых и точки 0 (рис. 20). А 2
124. Найти у С. <*--<- dx. 0 ЯГ Л
0 2
Д Дифференцируя по параметру X, име- ем Рис. 20
di С -Лхл 1 dI 1 dk~\ е dx~k’ Т’ е’ dk~k ’ 0 / = 1пА. 4
00
125. Вычислить 1 ==$е’А* dx (интеграл Эйлера—Пуассона).
о
00
Л Положим х = М, где 1 > 0; тогда dx = kdt и 1 ~ к еdt. Умно-
fl
жим обе части последнего равенства на e~f'! dk и, используя формулу (4),
проинтегрируем по Л от 0 до оо:
00 00 со
о оо
Изменив порядок интегрирования, получим
' о о
1 .-(h-pimI1”
2(1 + <2) Jo
dt =
00
126. Найти /(Х)=
о
Л Дифференцируя по параметру к, имеем
о
Произведем замену переменной интегрирования: к/х=г, (—k/x2)dx = dz,
х1 = к2/гг; при этом г изменяется от оо до 0. Таким образом,
О оо
4г—2 Се“??/г““г2 dz = — 2 \ d или ^-^—21.
dk J J «А
оо О
3-216
33
Следовательно, -у-«=—2dX, In/=—2X4-In С, /=Се~*\ Для нахождения C
положим X=0; тогда /(0) = J«~** dx=]T я/2 (интеграл Эйлера—Пуассона),
о
т.е.С = КЛ
Итак, искомый интеграл /=
127. Найти /= f
V * Т *
Л Найдем полную производную по формуле (3):
dl С х . 'In(14-Х.-Х) dX
14-Х» ’ dX’
илн
di 1П(1 + Х»), С х .
di 14-Х» г J (14-Хх)(14-х*)
Подынтегральную дробь разложим на простейшие дроби и проинтегрируем:
X х х
С х л С — Xdx .Г х-|-Х .
J (14-Хх)(14-х»)(14-М) (1+Xx)+J (14-Х»)(14- х*)"’
[4 I 1 11
-7+И ,п + 27ТТ^,п (1 +х*)+гр? arc,g *] »в
1п(14-Х)® . 1п(14-Х*) . X
= I+T1 * 2 (14-Х*)+1+1? arctg
Таким образом,
di In (14-X») . X
^вТЦТ)3)+Т+Рагс‘гХ'
Отсюда
х
dX.
Обозначив X=tg <р, получим
, С In sec* Ф „ , . , f *g Ф ..
\ -я—г-1 sec* q> dtp -4- \ . -фзес* ф dtp
J 2$ес*ф т т । j sec*<p т т т
In cos <p d<p4- \ ф tg ф <1ф.
Взяв первый интеграл по частям, находим
ф Ф
1га—ф1ПС03ф И — ф1£ф(Йр4-^ ф<Яф<1ф — — ф In СОЗ ф,
О о
34
или окончательно
/=laratgk.ln(l+V). £
Найти интегралы:
Л/2
128. С "с18|>,шл)&. 129.
J sinx
о
я/2 Л
130. jarctgj^tgx)^ 131. У
о о
ar'^“dx.
X у 1 — X2
In (1 4-sin a cos х) dx
' • ' cos х
132. 133.
J * V л \1 I л г
о 0
p X ц,
134. — dx-, X>0, u > 0.
J In X ’ ’ r
0
p z>-“x’_z>-₽x’
135.-----I --- ----dx-, а > 0, P > 0.
о
136. fln dx-, № < 1.
J x2 /1—X2
0
f 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ. БЕТА-ФУНКЦИЯ
1. Гамма-функция. Гамма-функцией (или интегралом Эйлера второго рода)
зазывается интеграл вида
00
Г (р) «= ^ е~ххР~1 dx.
о
(1)
Интеграл (1)—функция параметра р — является несобственным, так как верх-
ний предел равен бесконечности н, кроме того, при х —► 0 н р < 1 подынте-
гральная функция иеоп>аиичеино возрастает. Интеграл (1) сходится при р > О
а расходится при р<0. Гамма-функция является одной из важнейших (после
элементарных) функций дли анализа н его приложений.
Основные свойства г амма - фу икцин
1°. Функция Г(р) непрерывна и имеет непрерывную производную Г'(р)
для р > 0.
2°. Имеет место равенство
Г(р + 1)=рГ(р). (2)
3°. После л-кратного применения формулы (2) получается соотношение
Г(р-|-л) = (р-|-л —1)(р + л—2) ... (р-Ь 1)р-Г (р). (3)
00
4°. Если в формуле (3) положить р = 1 и учесть, что Г(1) = Je~*dx=l,
о
то получится равенство
Г(п+1) = п!.
(4)
Если л = 0, то 0! = Г(1)=1.
5°. Функция Г (р) дает возможность распространить понятие факториала
л!, определенного лишь дли натуральных значений п, на область любых по-
ложительных значений аргумента. Из формулы (2) следует, что если р—*0,
то Г (р) = Г———►+«>> т. е. Г(0) = +оо.
6°. При р =— п нз формулы (2) следует, что
г, г(~я+!) Г(-л+2) г Г(-л + 3)
п)~ —п “ л(л-1) ~ л(л —1)(л—2)
= ...=(_!)» £^=(-1)».оо,
т. е. Г(—л) = (—1)"-оо (л=1, 2, 3, ...).
7". Вообще, функцию Г (р) можно распространить на случай отрицательных
значений аргументар. Так как Г (р) = + , то Г(р-|-1) имеет смысл при
—1 < Р < 0.
Если —л < р <—(л—1), то из формулы (3) следует, что
г 1п. =________Г(р + л)________
W р(р+1)(р + 2)... (р + л—1)’
С помощью подстановки р-{-л = а, откуда р =— л-j-cc, последняя формула
преобразуется к виду
г(“ «) (1_а)(2—а)...(л—а)
и для —п < р <—(л—1) знак Г (р) определяется множителем (—1)".
8°. Используя формулу (2), можно получить значения Г (р) дли полуцелого
аргумента:
( 3\ 5 3 I rf 1 \
----\т 2 ) \т 2 ) " 2 * 2 ’ 2 ’ Г( 2
_(2m—1) (2m—3) ... 5-3-1 / 1 \
— 2» Ц 2 ) ’
ПЛИ
rf- , 1 \ _ (2m—1)!! /_1_\ (2т)! / П
Г V + 2 / 2“ ’ Г \ 2 J —т!22» Г \ 2 J ®
9°. Имеет место формула дополнения
Если в этой формуле положить р = 1/2, то [Г (1/2)]2 = л/з1п(л/2) = л, т. е.
Г (1/2) = У"п.
Пользуясь основными свойствами, можно вычислить Г (р) для любого р.
Значения гамма-функции приведены в табл. I на с. ,409.
График функции Г (р) изображен на рис. 21. '
3G
137. Вычислить интеграл
СО
Эйлера—Пуассона § e~x*dx.
о
Л Произведем подстановку x2 = t,
откуда х — У t,dx = dt/(2y i) и, сле-
довательно,
138. Вычислить Г(—1/2).
Л Пользуясь формулой Г (р) =
Рис. 21
Г (р + 1)
р
, получим
Г
Г (-1/2 + 1) Г(1/2)_
(-1/2) (-1/2)
139. Вычислить Г (—9/2).
Л Используя формулу (5) прн а = 1/2 и п = 5, получим
Г fl-5-т7 9\ (—1)*Г(1/2)
<2 J 2 J~ (1 —1У2) (2—1/2) ... (5-1/2)
__ — Ул _ 32 У л .
~ (1/2). (3/2)-(5/2).(7/2).(9/2) 945~ ' А
140. Вычислить Г (5/2).
Л Полагая т — 2 в формуле (6), имеем
24 Ул
2.16
3
4
141. Вычислить Г(—4/3).
Г ip J_n
Л Используя соотношение Г (р) — --У-J.—t имеем’
/ 4 ^_Г (4/3+1) _Г (-1/3)_ Г (-1/3+1) _ 9 / 2 \
\ 3/~ —4/3 —4,3 ~(— 4/3)-(—1/3) 4 \3/
= 9. П5/3) m
4 2/3 \ 3 J
Из табл. I на с. 409 находим Г (5/3) = 0,9033; следовательно, Г (—4/3) =
= (27,8)-0,9033 = 3,0486. £
142. Вычислить: 1) (—1/2)!; 2) (1/2)!; 3) (3/2)!; 4) (0,21)!
37
Так как по формуле дополнения Г
Л По формуле (4) находим: _
1) (—1/2)! =Г(—1/2+1) = Г (1/2) = /л= 1,772; _
2) (1 /2)! = Г (1 /2 + 1) = Г (3/2) = (1 /2) Г (1/2) = / л/2 = 0,88б£
3) (3/2)! = Г (3/2+1) = (3/2) Г (3/2) = (3/2)>(1/2) Г (1/2) = 3/л/4= 1,329;
4) (0,21)! = Г (0,21 + 1) = Г (1,21) = 0,9156 (из табл. 1). £
143. Вычислить Г (5/3)>Г (—5/3).
А Находим
/5\ / 5 \ 2 / 2 \ Г (-2/3)
1 V 3 ) \ 3 3 V 3 / —5/3
3 3 J (—5/3) (—2/3) 5 \ 3 У \ 3 У
3 У — з!п(л/3) — Y 3 ’ ТО
г/5\ / 5V3 2л_2л/3 .
ЦзУЦ зу-5>з_ 5
144. Показать, что Г (± + р) • Г (1-р) = •
А Полагая в формуле (7) р = <о + 1/2, получим
Г + 2 ) Г [J *1" 2 ) ] sin (л/2 + <ол) *
или
Вычислить:
145. Г (0,8). 146. Г (—2,1). 147. Г (3,2). 148. Г (7/2).
149. (—1/4)!. 150. (1/3)!. 151. (—2)!.
152. Г (7/3)-Г (—7/3). 153. Г(10/3)-Г(—10/3).
154. Г (1/4)-Г (-1/4). 155. Г (5/4)-Г (—5/4).
156. Показать, что Г ( — /п + 4-^ =
\ 2/ (2m—1)1!
157. Показать, что + —/п + у^ = (—l)mn
(/n = 1, 2, 3, ...).
2. Бета-фуикция. Бета-функцией (или интегралом Эйлера первого рода)
называется интеграл
1
В (р, </) = х/’-1(1 — х)?-1 dx. (1)
о
Интеграл (1) есть функция двух параметров р и q\ ои сходится при р > 0, q > 0.
Функция В является симметричной относительно параметров, т. е. В (р, q) =
= В (q, р).
Если сделать замену переменной интегрирования, полагая x = sin2/, dx =
= 2 sin t cos t dt, причем t изменяется от 0 до л/2, то формула (1) примет вид
л/2
В(р, g) = 2 Sin2/’-1t cos2?-11 dt,
о
или
Jt/2
С . и, mJ 1 П / “1“ I
\ sin® х cos" х dx =-% В I ——
(т > 0, п > 0).
(2)
К интегралам (1) и (2) приводятся многие интегралы, встречающиеся
в прикладных задачах.
Для вычисления значений бета-функции пользуются следующей зависи-
мостью между бета- и гамма-фуикцией:
В(р. <?) =
Г(р)-Г(?)
г(р+<?) •
(3)
Если <7= 1—р, то В (р, 1-р) = Ш1П1_£)=_А_ (0< р < 1).
Используя бета-фуикцию, легко найти значение Г (1/2). Пусть р=<?=1/2;
тогда В (1/2, l/2)=tr^1/l2)1--. Так как В (1/2, 1/2) = В(1/2, 1 — 1/2) =
= л/sin (л/2) = л, а Г(1) = 1, то Г (1/2) = Ул.
л/2
158. Вычислить sin’ xcossxdx.
о
Л Используя формулу (2) при т = 6 и л = 8, получим
л/2
с , . . , 1 о / 7 9 \ 1 Г (7/12) Г (9/2) 5л
J sin xcos xdx 2 В 9 ’ 2 / 2 Г (8) ~’ 212
о
значения Г (7/2) и Г (9/2) вычислены по формуле (6) п. 1 при т=3 и т = 4,
i Г (8) = 7!). А
159. Вычислить V —>— .
J уЗ—соз/
Л Положим cos /=1 — 2 У и ; тогда dt ——, ...., У 3—cos t =
2 У u3V 1-У и
= К2К1+/Й, причем t изменяется от 0 до 1. Тогда получим
л 1
I —I И-»/‘ (1—u)-l/2 du —
J УЗ—cos t 2 У 2«/
о ' ' о
1 D/1 1\_ 1 Г (1/4) Г (1/2) Уп [Г (1/4)]*
~2/2 <4’2/ 2/"2 Г(3/4) 2у 2 ’Г(3/4)г (1/4)'
Так как Г f 4-^ • Г f =Г f -т-Y Г ( 1—т- ~ ' Г ~ пУ 2 » а Г f
\ 4 / \ 4 J \ 4/ sin (л/4) \ 4 ]
= Г(1’25). = 4-0,9064 = 3,6256, то
1/4
f dt у я (3,6256)* _ (3^2561* .
J /3—соз/ 2)<2 ’ 2 4 Ул ’
39
160. Вычислить I / dx
b’ Kl-f
Д Перепишем данный интеграл в
виде (1— x« s)-V2 dx. Воспользуемся
о
подстановкой х2/8 = /; тогда х = /8/2, dx = (5/2) t312 dt и, следовательно,
4
о
1'2 dt —
5D/5 1\ 5 Г(5/2)-Г(1/2) 15л д
2 * \ 2 ’ 2 / 2 Г (3) 16 • А
1 1
161. Доказать, что если — Г ~^= и f , то
1 J /1 — X* 2 J К1 — X*
о о '
I I = —
— 4 •
Л Положим х* = /, откуда dx = (l/4) i1!1~idt. Тогда получим
Л=1С /1/4-1 (1—0-V3 dt =1 в ( 1 ILLIMia;
1 4 J ' 1 4 < 4 ’ 2 ) 4 Г (3/4)
о
/ ’ С^-хп-О-х/^-Хв (1 П- 1 Г(3/4).Г(1/2) Г(3/4)Г(1/2)
2 4J U > 4И\4’2/—4 Г (5/4) ~ Г (1/4) ’
о
так как Г (5/4) = (1/4) Г (1/4). Следовательно,
1 Г(1/4).Г(3/4).[Г(1/2)]2 l/^-ч, л *
71/2 “Т----Г (3/4) Г (1/4)--Т- ±
Вычислить:
Я/2 я/2
162. J sin2 х cos6 х dx. 163. J sin1 x dx.
о о
я/2
164. $ sin84xcos12xdx. 165. J sin10xcos*xdx.
о о
1 a
166. a>0. 167. Jx2n/a2^x2dx; a > 0.
о' о
ф Подстановка ла = /. ф Подстановка х2/а2 = /.
1 ш
168. 169. С я .. . ..
J J 1 + Хь b sin (ал/Ь}
о о
ф Подстановка (l-f-x^/x^sl/y.
40
00
0<а<1.
О
»
ф Подстановка х = н/(1—и).
л 1
172. sin® х cos2 (х/2) dx. 173. .
о о х~х
1 1
174. $х3(1 — 3/x)2dx. 175. $ xn~l (1 — xk)m~l dx- n>0,m>0.
о о
ф Подстановка х = /3. ф Подстановка x* = t.
л/2 1
176. f/tgT*. 177.J-^=.
О О V
ф Подстановка tgx = u2.
1 Л/2
178. С . 179. ftg2n-1xdx; 0<п<1.
J У 1-х1 J 6
о v о
Л/2
180. Выразить $ sin"x</x через гамма-функцию,
о
ГЛАВА И
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ДЛИНЕ ДУГИ
И ПО КООРДИНАТАМ
1. Криволинейный интеграл по длине дуги (криволинейный интеграл I рода).
Пусть функция f (х, у) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой
кривой К-
Разобьем дугу АВ произвольным образом на п элементарных дуг точками
А = А(), Ai, А2, .... Ап = В; пусть As*—длина дуги Ak-iAh. На каждой эле-
ментарной дуге выберем произвольную точку Af*rjfe) и умножим значение
функции / Лк) в эт°й точке на длину As^ соответствующей дуги.
Интегральной суммой для функции f (х, у) по длине дуги АВ называется
п
сумма вида 2 f (£k> Лк) Asfc-
к= 1
Криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f (х, у) (или
криволинейным интегралом I рода) называется предел интегральной суммы при
условии, что max As^ —> 0:
п
£ f(x, у) ds — lim У /(5k. Лк)Д«к
ЛВ niaxAs^-O^j
(ds—дифференциал дуги).
Криволинейный интеграл I рода в случае, если кривая задана уравнением
у=Ф (х) (а<х< Ь), вычисляется по формулам
Ь
/ (*> У) = р [х, ф (х)] К1 + [ф' (*)]2 dx,
АВ а
ь
f X, , А С / (Х, ф (X)) ,
\ f (х, у) ds— \ , ’-Т..dx,
J J | cos а |
АВ а
где а—угол между касательной к кривой и осью Ох.
Если кривая К задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(f)
(fi</<(2), то
G _________
p(x, y)ds=\f[x(t), y(0]/x'‘(0+/‘(0^-
К h
Аналогично определяется и вычисляется криволинейный интеграл, I рода
от функции трех переменных f (х, у, г) по пространственной кривой. Если
пространственная кривая задана уравнениями x = x(t), y — y(t), z — z(t)
(ti<,t<,ti), то
G __________________
J f(x, y,z)ds=p[x(0, y(t), г(О]Кх'2(0+у'8(О+г'8(О dt.
к tt
42
Если f (х, у) > 0, то криволинейный интеграл I рода f (х, у) ds пред-
К
ставляет собой массу кривой К, имеющей переменную линейную плотность
7 = /(х, у) (физическое истолкование).
Если f (х, у) 0, то криволинейный интеграл I рода f (х, у) dS численно
К .
равен площади части цилиндрической поверхности, у которой направляющая К
лежит в плоскости хОу, а образующие перпендикулярны ей; эта цилиндри-
ческая поверхность ограничена сверху поверхностью z = f(x, у), а снизу
плоскостью хОу (геометрическое истолкование).
Основные свойства криволинейного интеграла I рода
Г. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути
ямтегрирования;
J f {х, y)ds = J f(x, y)ds.
AB BA
2°. J [fi (x, y) ± f2 (x, y)] ds = p! (x, y) ds ± J f2 (x, y) ds.
К к К
3°. cf (x, y)ds — c^ f(x, y)ds, где c=co.ist.
К К
4°. Если контур интегрирования К разбит на две части Ki и К2, то
р(х, y)ds=J f(x, y)ds+J f(x, у) ds.
К Ki К,
2. Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл
II рода). Пусть функции Р(х, у) и Q (х, у) непрерывны в точках дуги АВ
гладкой кривой К, имеющей уравнение у = <р(х)(а<х<Ь).
Интегральной суммой для функций Р (х, у) и Q (х, у) по координатам
вызывается сумма вида
п
2 Пл) (&*» Пл) Awl.
А=1
где Ахд и Ау*—проекции элементарной дуги на оси Ох и Оу.
Криволинейным интегралом по координатам (или криволинейным интегра-
лом II рода) от выражения Р(х, у) dx+Q(x, y)dy по направленной дуге АВ
вызывается предел интегральной суммы при условии, что тахАху—>-0
max A ук —> 0:
P(x,y)dx= lim 2 P (1-k, T]ft) Аху—криволинейный интеграл
AB max -> 0
no координате x;
Sn
Q(x, y)dy= lim 2 Q (£*> Hft) А yk—криволинейный интеграл
AB max = i
no координате у;
P(x, y)dx-\-Q(x, y)dy=^ P (x, y)dx-[- J Q (x, y) dy—полный криволиней-
ЛЗ AB AB
ный интеграл.
Криволинейный интеграл II рода есть работа, совершаемая переменной
аклой F = P(x, У) i-j-Q (х, y)j на криволинейном пути АВ (механическое ис-
тьиование).
43
Основные с в о й с т в а к р и в о л и н е й н о г о и н т е г р а л а II рода
1°. Криволинейный интеграл II рода меняет свой знак на противополож-
ный при изменении направления пути интегрирования'.
Р dx+ Q dy —— Р dx-'-Qdy.
в А АВ
2°. Р dx-\-Q dy= Pdx-L- Qdy.
АВ АВ АВ
Остальные свойства аналогичны свойствам интеграла I рода.
Криволинейный интеграл II рода вычисляется по формуле
ь
? (*> y)dx+Q (х, y)dy=^ {Р [х, <р (х) ] + <j>' (х) Q [х, <р (х)]} dx.
К а
Если кривая К задана параметрическими уравнениями x = x(t), y — y(t),
где то
^Р(х, y)dx+Q(x, y)dy = $ {/»[х(0, + y(t)]y'(t))dt.
К G
Аналогичная формула имеет место для вычисления криволинейного интег-
рала II рода по пространственной кривой К', если кривая задана уравнениями
x=x(t), y = y(i), z = z(t), где /i</</2, то
Р (х, у, г) dx-j- Q (х, у, z)dy-\-R (х, у, г) dz =
К
= $ {И*(0. y(t), (t)^Q[x(t), y(f), z(t)]y' (0 +
h
+ R[x(t), y(t), z(t)]z’(i)}di.
Существование и величина криволинейного интеграла (f)Pdx-\-Qdy по
с
замкнутому контуру не зависят от того, какую точку контура выбрать за
начало интегрирования.
Если путь интегрирования (С) есть простая замкнутая кривая, то
(j) Р dx-\-Q dy берется поэтому контуру в направлении против хода часовой
с
стрелки (положительное направление).
181. Вычислить J (х—у) ds, где /( — отрезок прямой от А (0; 0)
к
до В (4; 3).
Д Уравнение прямой АВ имеет вид // = (3/4) х. Находим у* = 3/4 п, сле-
довательно,
J(x-y)ds = j^-4x) |/14-^rf.t=4j4.rdx=^^|^4. А
к о о
44
182. Вычислить
х"-у dy — у-х dx,
если x=Kcos/,
v = Ksini, 0^/^л/2.
Л Найдем dx=---- ? -— dt, dy=—C°lL_ dt. Тогда
2 Kcos t 2 V sin t
J x2y dy—y^xdx —
К
л/2
: \ ( cos t V”sin t •---S -4-sin t • У cos t •
j \ 2 Ksin t
sin t \ л
—r dt — T •
2 У cos t) 4
183. Найти массу M дуги кривой x=t, y=t2/2, z = t3/3
(0^/<l), линейная плотность которой меняется по закону
у=К2^7
1 г .
Д M=^y^ds= V у + + dt =
к о
о о
Л'Ч-у ________ 3 , ! _____хТ
-= у[—2^ • Г^ + /2+1+у 1п р2+|+ /2+ 1J Jo =
'(згз-.ч’ь^цт А
о \ Z о /
184. Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды
x=t—sin/, у=1—cos/ (0^/^л).
Л Координаты центра тяжести однородной дуги кривой К вычисляются
ж - 1 с . - 1 с . ,,
по формулам х=— \ xds, У—~ \ yds, где s—длина дуги. Имеем
К К
ял л
§Ух’г -j- у,г dt = § У (1 —cos /)2-j-sin21 dt — 2 ^sln -^-dt = —4 cos у=4.
oo o’
Тогда
л гл
x = 4- C xds = 4- С (/—sin /) 2 sin 4- rf/=4" f sln 4—sln 4" sln / ) dt=x
4 J 4 J 2 2 Д 2 2 j
КО о
1 Г nJ t . л • t i 4 . з z Iя 1 ! л , 4 \ 8
= y “2/ cos y+4S1n y + ysin2 o =y ^4+3 j =y;
Л
y = yds=^-J (1—cos t) 2 sin у dt =
К. о
I rf . t , t Л 1 Г о / , 1 3/ /1" 4
=T sm У -sin y cos / j Л=y [ -2 cos T+y cos --cos у ] q ,
0
45
185. Найти координаты центра тяжести дуги окружности
x2+y2 = R2 (Qf^xf^R, O^yt^R).
А Так как по условию задана четверть дуги окружности, то ее длина
s = n7?/2- В силу того, что биссектриса I координатного угла является осью
симметрии, имеем х = у. Теперь находим
Итак, x=y = 2R/n. А
Вычислить криволинейные интегралы:
186. (х2—у2) dx + xydy, если путь от Л (1; 1) до В(3; 4) —
АВ
отрезок прямой.
187. У (х—y)2dx4-(x4-y)2dy, если К. — ломаная ОАВ, где
к
0(0; 0), А (2; 0), В (4; 2).
188. f -у^, если АВ—дуга полукубической параболы у2~
АВ* * _ _
= (4/9)х3 от Л (3; 2/3) до В (8; 32/2/3).
189. ^ydx—(y4-x2)dy, если К—дуга параболы у=2х—х2,
к
расположенная над осью Ох и пробегаемая по ходу часовой стрелки.
190. ^у dx-\-2xdy, если К. — пробегаемый против хода часовой
к
стрелки контур ромба, стороны которого лежат на прямых
х/3 + у12 = ±1, х/3—у/2=±1.
191. ^2xdy—3ydx, если К—контур треугольника с верши-
те
нами Л (1; 2), В(3; 1), С (2; 5), пробегаемый против хода часо-
вой стрелки.
192. С———, если К—I четверть окружности x=rcos7,
J х у
к
у —г sint, пробегаемая против хода часовой стрелки.
193. х2у dx-\- х3 dy, если R—контур, ограниченный парабо-
ле
лами у2 = х, х2--=у и пробегаемый против хода часовой стрелки.
194. Найти массу дуги окружности; x=cos/, y = sin/
(OC/sCл), если линейная плотность ее в точке (х; у) равна у.
195. Найти координаты центра тяжести однородной дуги кри-
вой z/ —chx (0^х^1п2).
46
.196. Найти координаты центра тяжести однородной дуги кри-
вой x = efcos(, y = e*s\nt, z = e* (—oo^t^.0).
197. Вычислить у2 ds, где К—окружность х2 + уг = ах.
к
198. Вычислить j* где К—первый виток винтовой
к
линии x = acost, y = asint, z — bt.
199. Найти массу первого витка винтовой линии x = cos(,
i/ = sin(, z = t, если плотность в каждой точке равна радиусу-
вектору этой точки.
200. Вычислить у xydx-\- yzdy+ zxdz, где ОД—четверть
ОА
окружности x=cos(, y — smt, z=l, пробегаемая в направлении
возрастания параметра t.
$ 2. НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА II РОДА
ОТ КОНТУРА ИНТЕГРИРОВАНИЯ. НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ
ПОЛНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛУ
Пусть функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны вместе со своими частными
производными первого порядка в односвязной области D и контур К целиком
находится в этой области.
Тогда необходимым и достаточным условием независимости криволиней-
ною интеграла Р (х, у) dx-j- Q (х, у) dy от контура интегрирования является
К
выполнение в области D тождества
dP__dQ
ду дх’
При соблюдении указанных условий криволинейный интеграл по любому
замкнутому контуру С, содержащемуся в области D, равен нулю'.
£ Р (х, у) dx+Q (х, у) dy = 0.
с
Для вычисления интеграла
(Хи 171)
J Р(х, y)dx+Q(x, y)dy,
(х»: ffi)
( дР dQ \
не зависящего от контура интегрирования I т. е. условие выполнено 1,
в качестве иа ивы годнейшего пути интегрирования следует выбрать ломаную,
соединяющую точки (х0; у0) и (xi; yi), звенья которой параллельны осям Ох
и Оу.
Подынтегральное выражение Р (х, y)dx+Q(x, y)dy при указанных усло-
виях является полным дифференциалом некоторой однозначной
функции U = U (х, у), т. е.
dl/ (х, у) = Р (х, у) dx+ Q (х, у) dy.
Функцию U (х, у) (первообразную) можно иайти, вычисляя соответствую-
щий криволинейный интеграл по ломаной A0^iS> где А0(х0; у0)— произволь-
47
ная фиксированная точка, В (х; у) — переменная точка,
а точка Л1 имеет координаты х и уд. Тогда вдоль
Ло-41 имеем у — уд и dy = 0, а вдоль faB имеем
х=const, dx = 0. В результате получаем следующую
формулу:
х и
U (х, У)=^р (*> Уо) dx+ Q (х, у) dy + C.
Ха Уа
Аналогично, интегрируя по ломаной АдА2В, где Л2(х0; у), получим
у х
U (х, у) = J Q (х0, у) dy+ Р (х, у) dx-b С.
У9 *9
(2; з)
201. Вычислить I = У (х + Зу) dx 4- (у 4- Зх) dy.
(1; 1)
Л Данный интеграл не зависит от контура интегрирования, так как
^=1(х4-3//) = 3; ^-=~(у+3х) = 3,
ду ду' ' дх дх'* ‘ '
дР до , „ _ .
т. е. — (иа всей плоскости хОу).
ду дх
Выбираем в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой па-
раллельны осям координат. Имеем на первом участке у=1, dy = O, 1<х<2,
иа втором участке х = 2, dx = 0, l<t/<3. Следовательно,
2 3
/=j (x4-3)dx4-J G/+6) dy= |’^4-3x]*4- [^4-6y
1 1
= 24-6— 0,5— 34-4,54-18— 0,5 — 6 = 20,5. ±
202. Найти первообразную функцию U, если
dl/ = [y4-In(x4- I)]dx4-(x4-1—e^dy.
Л Имеем P~ y-}-ln (x-f-1), Q = x-f- 1—e’J, Пусть xo = O,yo = O
и контуром К является ломаная 0MN (рис. 22). Тогда
х и
U (х, у) = In (х4- 1) dx-j- (х4-1 — eV) dy =
о о
= [х 1п (х-1-!)—х4- 1п (х4- 1Щ4- [ху + у—eV =
= (х-|-1) In (х4-1)—x-j-xy-гу—eV 4- 1-J-C.
203. Найти U (х, у), если
dU — (-+—) й’х 4- (——-4) dy.
\Х г у J 1 \у у2 J я
Л Имеем
х ' у ’ V у у- ’ ду у2 дх'
Здесь в качестве точки (х0; Уо) нельзя взять начало координат, так как
ари ха» 0 и у = 0 функции Р (х, у) и Q (х, у) не определены. Поэтому в ка-
честве точки (хь; у о) возьмем, например, Ао (1; 1). Тогда
х у '
(y+’r'+J с1у=1ях+х+21пу+~ 1+с- А
I 1
204. Решить дифференциальное уравнение
(4х3у3—Зу2 + 8) dx+(3x*y3—вху—l)dy — O.
Л Здесь Р = 4х3у3—Зг/2-|-8, Q = 3x4y2—бху— 1, 12Х3!/2—бу;
следовательно, dU =Р dx-\-Q dy, т. е. U = С. Пусть А (0; 0) и В (х; у); тогда
х У
U = &7х+ (Зх4у2—бху— 1) dy= С, т. е. Sx-j-x4^3—Зху2—у = С. А
о о
205. Решить дифференциальное уравнение
(2е2* + у + sin у) dx + (е3^ + х -f- х cos y)dy — 3.
Л Имеем ^=|^=l-f-cos у, откуда dU =Р dx-\-Q dy, т. е. U = С. Пусть
А (0; 0) п В (х; у); тогда
х у
U ~ 2e2*dx-]- (е3У -f-x-j-xcos у) dy = C,
0 о
или
е2*-|-^-е3^-]-ху4-х51пу=С. А
О
Найти первообразную функцию U (х, у) по ее полному диф-
ференциалу:
206. dU = Гех+г/ + cos (х— у)] dx -р [ех+у—cos (х—у) + 2] dy.
207. dU = (1 —еА-у + cos х) dx + (ех~у + cos у) dy.
208. dU — (х3—2xy3 + 3)dx + (y3—2x2y-j-3) dy.
209. dU — (2x—Зху2 + 2y) dx + (2x—Зхгу 4- 2y) dy.
210. d{7 = (shx4-chy)dx4-(xshy-J- l)dy.
211. dU = (arcsinx—xlny)dx—^arcsiny dy.
Решить дифференциальные уравнения:
212. (2xsin у + y cosx4-2x)dx+ (x2cosy-{- sinx—sin у—3y2)x
X dy — 0.
213. (2xyex* + In y) dx + f e'2 + -- + ey ^dy — 0.
(я; л)
214. Вычислить J +У) dx + {x—y)dy по различным кон-
(0; 0)
турам, соединяющим точки 0(0; 0) и Af (л; л); 1) по прямой ОЛ1;
2) по кривой y = x + sinx; 3) по ломаной ОРМ, где Р (л; 0);
4) по параболе у = х2/л.
49
215. Вычислить <f) х dy 4- у dx по различным замкнутым кон-
к
турам: 1) по окружности x = cos£ y = stnZ; 2) по контуру, огра-
ниченному дугой параболы у = х* и отрезком прямой у—\.
§ 3. ФОРМУЛА ГРИНА
Если С—граница области D и функции Р (х, у) и Q (х, у) вместе со своими
0Q дР . , п
частными производными и непрерывны в замкнутой области и
(включая границу С), то справедлива формула Грина
$Pdx+Qdy = ^ (^-^dxdy,
К D
причем обход контура С выбирается так, что область D остается слева.
216. Применяя формулу Грина, вычислить I = ф2(х2 + уг) dx+
с
+ (х+ У)*dy, если С—контур треугольника с вершинами £(Г, 1),
М (2; 2), W(l; 3), пробегаемый против хода часовой стрелки.
Проверить результат непосредственным интегрированием.
Д Здесь Р(х, у)=2(х2 + у2), Q (х, у)=(х+у)г. Находим =
= 2(x-j-//)—4// = 2(х—у). Таким образом,
1 = (f) 2 (хг +у2) dx+ (х+у)2 dy = J J 2 (х-у) dx dy,
С D
где область D—треугольник LMN. Уравнение прямой LM: у — х, уравнение
MN: у~—х-|-4. Вычислим двойной интеграл по данной области:
2 4-х 2
I = 2^dx § (х—у) dy = 2 П ху — </21* * dx=s
1 х 1
2
= 2^ £х(4-х)-у(4-х)2-х2+1 х2] dx=
2
С Г 1 12 4
= 4 \ (4x-x2-4)dx=4 2х2-±х3-4х
J L *5 1 *5
I
Вычислим теперь непосредственно криволинейный интеграл по контуру С,
состоящему из звеньев LM, MN, NL;
Z= 2(xi+yi)dx+(x+y)2dy+ 2 (x2-|-z/2) dx-f-
LM MN
+ (*+У)2'<4/+ J 2(*2+</2)dx-H*+j/)2dy.
NL
Уравнение LM: y=x\ следовательно, dy=dx, l<x<2.
Уравнение MN: y = —x-)-4; следовательно, dy = — dx, 2^y^:l.
Уравнение ML: x=l; значит, dx=0, 3^y^l.
50
Таким образом,
2 1
/ = $ [2(x«+x«)dx+(x+x)»dxJ+ ${2[x«+(4-*)2]dx+(x-x+4}«(-dx)}-b
1 2
1 2 1 1
+ $ (l+fO2<&=8$ x«dx+$ (4x2—16x4-16) dx+J (l+j/)«dy=
3 12 3
[я 4 I2 I Ц 4
|ж._|жз+8х._16^1+_з.(1+у)з|з=а__, A
217. Применяя формулу Грина, вычислить J—х2у dx-^xy^dy,
с
где С—окружность x24-i/2 = /?s, пробегаемая против хода часо-
вой стрелки.
Л Здесь Р (х, у) = — хгу, Q(x, у)=ху*. Тогда — ^=х2+у2. Следо-
вательно,
1 = ф_х2уйх-\-хгу<1у=^ (x^-^y^dxdy.
С D
Введем полярные координаты: x = pcos0, z/=psin0, О<0<2л; значит,
2л R 2Л
/ = § jp«.pdpd0= p0jp3dp=l/?«. jd0=^. А
D 0 0 0
218. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный
интеграл I = ф [х + In (х2 + г/2)] dx -f- у In (х2 -f- г/2) dy, где контур С
с
ограничивает область D.
219. Применяя формулу Грина, вычислить ^yrxi + yidx+yx
с
х [х# + In (х-|- Их’ +1/2)] dy, где С—койтур прямоугольника
^х^4,
f 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ
Площадь S фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром С, нахо-
дится по формуле
Контур интегрирования пробегается так, что ограниченная им область остает-
ся слева (положительное направление).
220. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у=
=хг, х=уг, 8x^=1 (имеется в ваду площадь, примыкающая к
началу координат; рис. 23).
Я
Д Решая совместно уравнения кривых, найдем А (1/2; 1/4), В (1/4; 1/2).
Следовательно,
1 Р 1 с 1 е
s =у \ xdy-ydx-^-^у xdy— ydx-^-^ \ xdy—ydx =
OA AB BO
1/2 1/4 0
1 (* ,. 1 (• dx 1 (*,/—. 1 + 3 In 2 ...... . .
=y x2dx — g- —--4 J V xdx=-------24— ~0-13 (KB- eA>- A
0 1/2 1/4
221. Вычислить площадь, ограниченную астроидой x = acos4,
z/ = asin31, предварительно построив кривую.
Д Для вычисления площади воспользуемся формулой xdy—ydx,
где dy= За sin2 t cos t dt, dx ——3a cos2/sin/d/, 0</<2л. Следовательно,
2л 2л
IP 3 Р
S = —\ (За2 cos4 / sin2/ + 3а2 sin4 / cos2/) d/ = -^-a2 \ sin2 / cos2 / dt =
0 0
2л 2л
За2 f За2/*.. ..... 3 ,Г, 1 , .,]2л Зла2 .
=-g- \ sin2 2/ dt =-|g- \ (1 — cos 4/) dt=^a2 t—sin 4/ I = —Д
222. Вычислить площадь, ограни-
ченную параболами уг = х, х2 = у.
223. Вычислить площадь, ограни-
ченную эллипсом x = acos t, у = b sin t.
224. Вычислить площадь четырех-
угольника с вершинами А (6; 1),
В (4; 5), С (1; 6), D (—1; 1).
225. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной контуром ОАВСО, если
А (1; 3), В (0; 4), С (—1; 2), О (0; 0),
О А, ВС, СО — отрезки прямых, а
АВ—дуга параболы у —4—х2.
226. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой х =
= 2rcost— rcos2(, y = 2rsin( — rsin2(.
§ 5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть F (х, у, г) — непрерывная функция и z = f (х, у) — гладкая поверх-
ность S, где f (х, у) задана в некоторой области D плоскости хОу. Поверхно-
стным интегралом I рода называется предел интегральной суммы при усло-
вии, что maxdfc—>-0:
п
lim 2 F 11Ь Zk) ^Sk =
max</fc-»-0 k= 1
где AS/-—площадь k-ro элемента поверхности S, точка (^; т)^; "Qk} принадле-
жит этому элементу, d^—диаметр этого элемента, F (х, у, г) определена в каж-
дой точке поверхности S.
Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности S,
по которой производится интегрнрованне.
52
j j F (х, У, 2)dS,
Поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле
j j F(X. J f|,. /(,. ,)|
5 D '
Рассмотрим двустороннюю поверхность S и выберем на ней определенную
сторону S+. Функция F (х, у, z) определена в точках данной поверхности,
я
Предел интегральной суммы £ F fa, т)к. £к) АП* (х, у), где АП* (х, у) — проек-
*-1
и на плоскость хОу к-го элемента поверхности $, имеющего площадь AS*, ври
условии maxrf*-»O называется поверхностным интегралом П рода, распространен-
ны на выбранную сторону поверхности S, и обозначается символом 7» JJ F (х,
у. z) dxdy. s*
Если Р(х, у, г), Q(x, у, г), R(x, у, г) —непрерывные функции и S+—
сторона гладкой поверхности S, характеризуемая направлением нормали
(cosa; cosfJ; cosy), то соответствующий поверхностный интеграл II рода вы-
ражается так:
Pdydz-\-Qdzdx-\-Rdxdy — (Р cos ct-]-Q cos cos у) dS.
s+ s
При переходе на другую сторону S- поверхности этот интеграл меняет
знак на противоположный.
Если поверхность S задана уравнением в неявном виде Ф (х, у, г)=0, то
заправляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам
дФ/дх
cos се ............................ ' ' ' — ,
± /(дФ1дх)* + (дФ1ду)г + (дФ1дг)*
„ дФ]ду
COS Р ----------------- ---- - ,
±у (дФ/дх)г + (дФ/ду)г + (дФ/дг)2
дФ/дг
cos у —---- --------------------------,
± V(дФ/дх)2 4- (дФ/ЭД2 4- (ЗФ/дг)2
где знак перед радикалом должен быть согласован со стороной поверхности.
Моменты инерции части поверхности относительно осей координат выра-
жаются поверхностными интегралами:
1ох = $ $ (</24-г2) dS, 1оу = \\ (х2 4-z2) dS, /Ог= $ $ (x2+y2)dS.
s s s
Координаты центра тяжести части поверхности можно найти по формулам
'-Ш'*
S S S
где S—площадь данной части поверхности.
Масса материальной поверхности выражается формулой
m = J JydS,
5
где V—поверхностная плотность.
Статические моменты поверхности относительно координатных пло-
скостей определяются по формулам
Мх„ = J J г7 dS, Му, = J J ху dS, Мгх = J dS.
"s s sJ
53
227. Вычислить I = (x2 + у2) dS, где S—часть конической
5
поверхности г2 = х2-[-у2, заключенной между плоскостями г = 0
И 2=1.
Д Имеем
г — 1 „2 =_____Л_____ ____У____
г ' дх Ух2+у2 ’ ду у хг^уг '
= У 2-dxdy.
Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл:
/=5 5 №+У2}-У 2dxdy.
D
Областью интегрирования D является круг х2 + у2 < 1; поэтому
Л/2 1 л/2 __
i=yi J J(x2+</2)dxd</=4}<'2 J de^p3dp=/'2 j йе=-Ц-?-.ж
D ООО
228. Вычислить интеграл /=$ ^x2y2zdxdy по верхней сторо-
5
не верхней половины сферы х2 + у2 + z2 = R2.
Л Проекцией сферы на плоскость хОу является круг D, ограниченный
окружностью x2-\-y2 = R2. Уравнение верхней полусферы имеет вид г =
= У R2— х2—у2; следовательно, /= х2у2 У R2—x2—у2 dxxy. Переходя
D
к полярным коордиватам, получим
„ Л л/2 я
/= j j р2cos20sfai20 у^/?2 —р2dp40 = 4 cos20sin20d0 р5 УR2—p2dp=
D оо
я/2 Я
= С к^149а0С(/?2_й)2/2Л 2 я/?7<
с/ <6 J 1VO
о о
я
При вычислении р5 У R2—p2dp была сделана подстановка У R2—р2=
о
— t, откуда R2~p2—t2, pdp~—tdt, р4 = (/?2—/2)2.
229. Найти момент инерции полусферы г = У а2—х2—у2 отно-
сительно оси Ог.
54
Л Имеем
loz= (Г(x2+p2>dS = С ? (х2 -f-y2) - . Д--^=-dxdy.
JJ J J у а*—х2—у2
О Г> ' J
Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость хОу,
г. е. круг х2+у2 < а2; поэтому, переходя к полярным координатам, получим
п/2 а
Ioz = f С р2 а—~ р dp de = 4а С de С ла*
L)р г*2-Ра Ь о 3
(внутренний интеграл можно вычислить с
жшощыо подстановки p = aslat). Д
230. Вычислить координаты цент-
ра тяжести части плоскости г = х,
ограниченной плоскостями х + «/=!,
у=0, х = 0 (рис. 24).
/\ Найдем площадь указанной части
плоскости г = х. Имеем ^-= 1, |^=0; еле-
довательно,
Рис. 24
(использовано уравнение плоскости г = х). Д
55
231. Найти массу поверхности сферы и статический момент
Мху верхней полусферы, если поверхностная плотность в каждой
точке равна расстоянию этой точки от вертикального диаметра.
Л Совместим начало координат с центром сферы, направим ось Ог по вер-
тикали и перейдем к сферическим координатам: x = R sin0cosq>, y — R sin 0 sin <p,
z = /?cos0 (/?—радиус сферы). Тогда dS — J d0 dtp = R2 sin 0d0dq>, поверхност-
ная плотность у = У"х2-|-1/2 = /? sin0. Следовательно,
л 2л
m = у dS = P3sin2OdOdtp =R3 sin20d0dtp =
S 3 oo
= /?3лГ^----^-sin20l Я=л/?3-л = л2/?3;
L 2 4 Jo
2Л Л/2
Mxg= zydS = Ri cos0sin20d0d<p =
s о о
3 Jo 3
232. Найти координаты центра тяжести части поверхности
г = 2—(х2 + у2)/2, расположенной над плоскостью хОу.
233. Найти момент инерции параболоида г = (х2+уг)/2 отно-
сительно оси Ох при 0 г 1.
234. Вычислить J ^xyzdS, где S—часть поверхности г = х--{-
s
-J-1/2, расположенная между плоскостями г — 0 и z= 1.
§ в. ФОРМУЛЫ СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО — ГАУССА. ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
Если функции Р — Р(х, у, г), Q = Q(x, у, г), R—R(x, у, г) непрерывны
вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности
S и С—замкнутый контур, ограничивающий поверхность S, то справедлива
формула Стокса
$ Р dx-\-Qdy-\-R dz =
С
rCtfdR dQ\ , fdP dR\ „ , fdQ dP \ T „
J J L\dt/ dz J 1 \dz dx J \ dx dy J J
S
где cosa, cos 0, cosy—направляющие косинусы нормали к поверхности S;
направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали обход кон-
тура С казался происходящим против хода часовой стрелки.
Если функции Р = Р(х, у, г), Q = Q(x, у, г), R = R(x, у, г) непрерывны
вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой облас-
ти Т пространства, ограниченной замкнутой гладкой поверхностью S, то спра-
ведлива формула OcmpozpadcKoeo—Гаусса
$ (Р cos а + Q cos cos y)dS = J § J dxdy dz’
S T
где cosa, cos0, cosy—направляющие косинусы внешней нормали к поверх-
ности S.
56
Если каждой точке М области V поставлена в соответствие скалярная
u=u.(M) [векторная F = F(M)] величина, то говорят, что в области V задано
скалярное (векторное) поле.
В декартовой системе координат Задание скалярного поля равносильно
заданию одной функции трех переменных:
u(M) = u(x, у, г),
а векторного поля—трех функций трех переменных:
Р(М) = Р(х, у, z)i-f-Q(x, у, г) j-f-Я (х, у, г) к,
где Р~(х, у, z), Q=(x, у, zk R — (x, у, г)—проекции вектора F на соответ-
ствующие координатные оси. Предполагается, что функции и (х, у, г),Р(х, у, z),
Q = (x, у, z), R (х, у, г) ивляются непрерывно дифференцируемыми в области V.
Векторной линией называется кривая, направление которой в каждой ее
точке М совпадает с направлением вектора F, соответствующего этой точке.
Векторная линия определяется системой дифференциальных уравнений
dx__dy__dz
Р ~~ Q ~ R ’
Градиентом скалярного поля н = н(х, у, г) называется вектор
, ди , , ди, , ди,
gradn^^i+^j+^k.
Дивергенцией векторного поля F (M) = Pi + Qj-f-/?k называется скаляр
divF
дх ‘ ду 1 дг
Вихрем (ротором) векторного поля F (М) = Pi -f- Qj + ₽k называется вектор
rot F=(^-_-i+(<*M}i+(ndP\ k==
\ ду дг ) 1 \ dz dx J 1 \ dx dy J
i J k
= 2 A J.
дх ду дг
P Q R
( \ (Pcos a-[-Q cos Р + ₽ cos y)dS,
Потоком векторного поля F(M) через поверхность S в сторону, опреде-
ляемую единичным вектором нормали n = cos a-i-f-cos P-j-f-cosy^k к поверх-
ности S, называется поверхностный интеграл
FndS = ^FndS =
s s з
где Fn—скалярное произведение вектора поля и единичного вектора выбран-
ного направления нормали.
Линейным интегралом от вектора F по ориентированной кривой К назы-
вается криволинейный интеграл
J F dr= J Р dx-f-Q dy-)-R dz,
К К
представляющий собой работу векторного поля вдоль кривой К. Если контур
С—замкнутый, то линейный интеграл
ц_/
F dr= (fi Р dx-f-Q dy4-R
с
dz
называется циркуляцией векторного поля F (М) вдоль контура С.
57
Формула Остроградского—Гаусса в векторной форме имеет вид
nSdi,F‘'1'= (jj) FnrfS,
Т s
т. е. интеграл от дивергенции векторного поля F, распространенный по неко-
торому объему Т, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую
данный объем.
Формула Стокса в векторной форме имеет вид
F dr= J J n-rot F dS,
C S
t. e. циркуляция вектора вдоль замкнутого контура С, ограничивающего не-
которую поверхность S, равна потоку вихря через эту поверхность (направле-
ния обхода контура и нормали должны быть согласованы друг с другом).
Введем символический вектор (в декартовой системе координат)
д . . д , , д ,
V = ‘Х_ I ~Н д-j Ч” д “ к,
дх ‘ ду ' дг
называемый оператором Гамильтона (или набла-оператором). Он обладает как
свойствами вектора, так и свойствами дифференциального оператора. С его
помощью выражения для градиента, дивергенции н ротора можно кратко
записать в следующем виде:
gradu = yu, divF=yF, rotF=vXF.
Векторное поле F (Л4) называется безвихревым, если rotF = 0.
Векторное поле F (Л4) называется потенциальным, если F =grad и, т. е.
если Р=4— . Q=4—. Я =4-. В этом случае rot F = rot (grad и) — VX V«=0;
дх ду дг
следовательно, потенциальное поле является безвихревым.
Векторное поле F (Л4) называется соленоида ль ным (или трубчатым), если
divF=0, т. е. в области задания поля V отсутствуют и стоки, и источники.
Так как div (rot F)= у (VXF) = O, то поле вихрей является соленоидальиым.
235. Применяя формулу Стокса, найти / = ф х2у3 dx + dy + zdz,
если С—окружность х2 + у2 = г2, г = 0.
Д Данный контур С ограничивает часть плоскости г=0 с единичным
вектором нормали n = k; следовательно, cosa = 0, cos[J = 0, созу=1. Учиты-
вая, что Р=х2у3, Q—l, R — z, по формуле Стокса получаем
-у [«
1 х2#* dx-\-dy+zdx =
с
, / дР dR\ а, I
сс -4- ( а — —ч— I COS р -4-1
1 \ дг дх J 1 \
=— J Зх2</2 соз у dS,
S
Так как cosydS = dxdy, то последний интеграл примет вид
I =—3 х?у2 dxdy,
D
5S
где плоская область D ограничена окружностью х2-|-у2 = г2. Вводя полярные
координаты x=pco's0, y = pstnO, получим
Л/2 г
/ =—3 J J pssta2 0 cos20dpd0 = —12 J sta2 0 cos2 0 d0 p6 dp =
D о о
л/2 Л/2
= —2re sin2 0 cos2 0 dO = — J sin2 20 d0 =
0 0
л/2
r6 f* rB г 1 "1 л/2 лг®
’"Tj (1 —cos 40) 40 = —[0-^sin40jo
о
236. Найти интеграл ^)(xcosa + ^cos₽ + zcosY)dS, распро-
страненный по поверхности S тела, ограниченного этой поверх-
ностью.
Л По формуле Остроградского—Гаусса имеем
(xcosa-f-pcos fJ-f-zcos y)dS —
s
T V
me V—объем тела.
237. Применяя формулу Остроградского—Гаусса, преобразо-
вать поверхностный интеграл по замкнутой поверхности S
1=^^dydz+^dxdz+^dxdy
s
в интеграл по объему, ограниченному этой поверхностью.
Данный интеграл можно записать так:
/ef (^’cos “+‘¥C0S ₽+S’cos v)
а последний интеграл на основании формулы Остроградского—Гаусса равен
С f С Г 0 ( А । д/дп\, д f ди \ Л
J J J [dx \ dx / ~^ду \ ду ) "^дг \ дг ) J Х У 2 ~'
т
Г С Г ( д*и . д2и . д2и \ . . .
“ J J J \ дх2 + ду* + дг2
т
Следовательно,
. д*и . д*и , д*и / д2 . д2 , д2 \ . д2 . д2 , д2
в Ая = ’я_г+'а_Г-|—5СЗ"= ттттт+т? )“• СИМВОЛ А = 5-=-4-—4-5—-
дх2 1 ду* * дг2 \ дх2 1 ду* * дг2 ) дх* 1 ду* 1 дг2
называется оператором Лапласа, h
238. Найти дивергенцию векторного поля F — x2i -|- y2j + z2k.
Д Согласно определению, имеем
дР dQ d/?_.d(x2) Э(у2) д(г2)
дх~ ду-г дг дх ~ ду дг ~
^2х+2у+2г = 2(х+у+г). £
239. Дано скалярное поле и(х, у, г). Найти div (grad и).
at . ди .. ди .. ди .
Л Так как grad и=-^ |-|--^ к, то
. д f ди \ . д ( ди \ . д ( ди \
iv(gra «)— 0.Д qx ду )^~дг \ дг )~'
__д2и д2и . д2и____.
~ "дх?+~ду2'~
или
V(V«) = A«> т. е. A=v2
(оператор Лапласа равен квадрату набла-оператора). А
240. Дано электрическое векторное поле, в каждой точке ко-
kc
торого по закону Кулона действует вектор F = г0, где г — рас-
стояние данной точки от начала координат, е—положительный
электрический заряд, г0—единичный вектор, направленный по
радиусу-вектору данной точки, k = const. Определить поток век-
торного поля через сферу х2 + у2 + г2 — R2.
Д Имеем
n = FndS=^ -^-rondS.
s s
Так как r=/?=const и ron=l, то
П=-^ JJdS=^SC11)=-^4n/?2 = 4nte. А
s
241. Найти поток радиуса-вектора г = xi + У\ + гк через замк-
нутую поверхность г—1—J/*2 + */2, z = 0 (O^z^l).
Л Найдем дивергенцию данного векторного поля:
.. дх . ду дг „
div г= ч- +ч£+ч-=3.
дх * ду 1 дг
Искомый поток найдем по формуле Остроградского—Гаусса (при вычис-
лении интеграла используем цилиндрические координаты):
2я 1 1-р
П = div г dV = 3 dV = 3 dcp pdp дг =
' т'' Т 0 0 о
2 л 1
= 3j d<p jp(l-p)dp = 3-2.T f j — у)=л. ▲
о о
60
242. Найти поток радиуса-вектора
r = xi + i/j + zk через внешнюю сторо-
ну поверхности прямого кругового
цилиндра, если начало координат сов-
падает с центром нижнего основания
цилиндра, 7? — радиус основания цилин-
дра, h—его высота (рис. 25).
Д Для вычисления потока вектора г че-
рез внешнюю сторону поверхности цилиндра
нужно подсчитать поток этого вектора через
нижиее основание, боковую поверхность и
верхнее основание цилиндра.
Имеем Пн.осн= J J dS; так как проекция
радиуса-вектора г на внешнюю
ТО Пн. ОСН = О-
Проекция радиуса-вектора
Мусу основания цилиндра, т.
нормаль к основанию цилиндра равна нулю,
на нормаль к боковой поверхности равна pa-
в. гп = R; тогда Пб. пов = R dS = RSg, пов =3S
S
= 2nR2/i.
Проекция радиуса-вектора
следовательно, Пв. Осн = Л J dS=hS,
s
Таким образом, поток вектора г через внешнюю сторону цилиндра равен
на нормаль к верхнему основанию равна Л;
'осн ~ лР2Л.
П = 2лР2Л-[-лР2Л = ЗлР2/;. А
243. Найти поток векторного поля F = (2z—x)i + (x + 2z) j-f-
— Згк через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости
x-t-4«/ + z—4 = 0 координатными плоскостями в том направлении
вормали к плоскости, которая образует с осью Ог острый угол.
Л Единичный вектор нормали к плоскости x-f-4y-j-z—4=0, обеспечи-
вающий требуемое направление ориентации поверхности, имеет вид
= (1/|Л17)_Н-(4//Т7) j + (l/}<l7)k, т. е. cosa=l//i7, cos₽=4/}<T7,
rosy = 1/^17. Имеем cos a dS = dydz; cos fi dS = dxdz; cos у dS=dxdy. Для
.ииного векторного поля Р = 2г—х, Q=x-j-2z, R=3z и по определению
логика получаем
П = (Р cos aQ cos РR cos у) dS =
s
e= J J (2z—x) dy dz-i-(x-j-2z) dz dx-\-3zdxdy=
s
= J J (2z-{-4y-^ z—4) dydz-j-(x-{-2z) dz dx-f-3 (4—x—4y) dxdy=
s
I 4-4p 44-z 4 1-x/4
= (3z-J-4</—4)dz-f- dz (x-\-2z)dx-\-3 dx (4— x—4y)dy=*
0 0 0 0 oo
61
1 4
= [~ 16(1 -у)2-16(1 -у)2] dy+ J [-L(4-z)24-2z(4-z)l dz-J-
0 о
+3У[|(4_Л)._<±^]Л_«|, д
о
244. Вычислить линейный интеграл от радиуса-вектора г = xi 4-
4- yj + гк вдоль дуги винтовой линии х = R cos t, у = R sin t,
z = at, если 0 2л.
Д Имеем
rdr= xdx-}-ydy-}-zdz =
К к
2л
= У [Я2 (— cos t sin /4-sin / cos /)4-e2/]d/=-^—Г"=2я2а2.
0
Эта величина равна работе вектора г вдоль заданной дуги винтовой
линии. А
245. Найти циркуляцию вектора F = — ®у\ 4- oxj по окруж-
ности x — acost, y = asint в положительном направлении.
Д По определению циркуляции получаем
2я
$Fdr=^) — aydx-f-<oxdy=<o J (в2sin2/-|-а2cos2t)dt = 2na2<a. A
ос О
246. Найти циркуляцию векторного поля F = (x-)-3^4-2z)i4-
4-(2x4-г) j 4-(х—У)к п0 контуру треугольника MNP, где
М(2; 0; 0), ЛЦО; 3; 0), Р (0; 0; 1).
Л Согласно формуле Стокса, Ц = ^ Fdr = n rot F dS. Здесь С—контур
С S
треугольника MNP, лежащего в плоскости 3x-{-2y-{-6z —6 = 0, проходящей
через три данные точки. Найдем ротор данного векторного поля:
rot F =
1
д
дх
x-j~3y-j~2z
J
д
ду
2х+г
к
д
дг
х—у
д(х-\-Зу-\-2г)~\ ,
dz +
к = —214-j—к.
_ Гд(х—У) d(2*4-z)]. _ Г д (х—у)
~ L ду dz J L дх
Г й (2x-f-г) д(х4-Зу-Ь2г)
'^L дх ду
\ С (rot F)x dy dz + (rot F)„ dz (rot F)z dx dy =
Следовательно,
Ц=^ n-rotF
s
3 l-y/3 1 2-2z
= — 2^ dzdx— dxdy= — 2 dy dz-|- dz dx—
Dyz огх Dxy oooo
2 3-3x/2
-§dx J dy=—2 [у—£.]’+[2?-2«Й-[зх—|x2^=-5. Д
о 0
247. Тело вращается вокруг оси с постоянной угловой ско-
ростью ®. Найти вихрь скорости в произвольной точке тела.
Л Имеем rot v = rot («Хг), где r = xi-f-pj-|-zk- Далее, находим
e> Xr = co* Wj,
k
<ог
=Pi+QJ+/?k,
i j
x У
z
жжчем P = zay — ya>z, Q~xbtz—Z(£>x, R=ya>x—xay. Следовательно,
rot (to X r) =
i i
d d
dx dy
P Q
d
dz
R
= 2 (<oxi -f- <Dyj <ozk) = 2<в,
k
- e. вихрь скорости v точки равен удвоенной угловой скорости <о вращения
жжа. А
248. Найти циркуляцию вектора F = yi—xj + ak (a= const)
вдоль окружности х* -j-1/4 = 1, г = 0 в положительном направлении.
Л 1 способ (непосредственное вычисление циркуляции). Параметри-
ческие-уравнения данного контура С имеют вид x = cos/, y=sin/, z=0,
></<2л. Далее, имеем P=y = sint, Q =— х=—cost. По определению
хкркуляции получаем
2л
Ц= (f) Р dx-}-Q dy-}-R dz= sin t (— sin 0 dt—cos /-cos t dt =
с о
2л
= — J (sin*/-{-cos* t)dt=— 2л.
о
II способ (применение формулы Стокса). Ротор вектора F равен
i J к
rotF =
d_ d_ d_
dx dy dz
= -2k,
у —x a
63
а нормаль, обеспечивающая положительное направление обхода контура,
n = k. Следовательно,
Ц= nrotFdS= — 2 nkdS=—2 J ^dxdy=*
s s s
2Я 1
= —2 J <Ю J pdp=—2-2л-^-=—2л. A
о о
249. Показать, что поле F = (2ху 4- Зу* 4- 9у) I 4- (х’+бху + 9х) j
является потенциальным, и найти потенциал этого поля.
Д Данное векторное поле определено иа всей плоскости хОу, являющейся
односвязиой областью. Покажем, что rotF=0, т. е. что поле безвихревое,
а следовательно, и потенциальное. Действительно, так как Р=2хи+3г+9и.
Q=x’+6xy4-9x, Я = 0, то
rot F =
i
д
дх
2ху+3у*+9у
J
д
ду
ж* 4-бху 4-9х
0.
Потенциал и = и(х, у) вычислим по формуле
«(х. у) = Р (х. Уо) &+ С Q (х, у) Оу+С,
X. Vt
т. е.
* №
и(х, у) — § 0<^+$ (х*4-6*у4-9х)</у4-с=х*у4-3ху*4-9ху.
о о
Здесь в качестве начальной точки взята точка Мв(0; 0). А
250. Найти потенциал ньютоновского поля притяжения.
Л Пусть точка с массой т помещена в начало координат О; тогда согласно
закону Ньютона на помещенную в каждой точке А плоскости единичную массу
действует сила F, модуль которой F=mlr*, где г = |О4 | = рЛ*,4-у1.
Ньютоновское поле является потенциальным, так как его ротор, как
в этом можно убедиться, равен нулю.
Найдем потенциал этого плоского поля:
х »
«(х. У) = $ Р (х, Уо) dx+ $ Q (х, у) dy+C=*
х» V»
х у
Г —mxdx , Г —mydy
“J /(7+^ J Г^+7Й+С==
У»
^-.--g^-4-Сь где С^С- j
V х»+у* Vji+yl
251. Применяя формулу Стокса, найти криволинейный ни*
теграл $(y+2)dx+(2+x)dy+(x+y)dz, где 0—окружность
Х* + у*+2*г=а*, Х4- 04-2 = 0.
252. Найти интеграл J J (х3 cos а + у3 cos ₽ + z3 cos у) dS, взятый
s
ио поверхности шара х2 + У3 + z2 = а.3, где а, р, у—углы внеш-
ней нормали с осями координат.
253. Найти [(z2—у2) cos а + (х2—z2) cos р 4- (у3—x2)cosy]dS,
s
где S—внешняя сторона поверхности полусферы х2 4* у2 + г2 =
= а2 (z >0).
254. Вычислить (xcosa-j- г/cosP-f-zcosy) dS, где S—внеш-
s
ияя сторона поверхности эллипсоида х2/а2 + у3/Ь2 + г2/с2 = 1.
255. Вычислить х dy dz + у dx dz + z dx dy, где S—внешняя
s
сторона поверхности цилиндра x2-\-y2=a2 (—/г^х^Л).
256. Найти поток вектора F = x3i + у3j + z’k через боковую
поверхность конуса x2 + y2^(R2lh2) z2, 0<z</i.
257. Найти поток векторного поля F = (у—х) • + (х + г/) j + г/к
через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости
xt//4-z —1=0 координатными плоскостями.
258. Найти поток вектора F = x2i + #2j + z2k через часть
сферы x2 + y2 + z2 = 4, если 0^х<2, 0<t/<2, 0<z<2.
259. Найти поток радиуса-вектора г через внешнюю сторону
поверхности прямого кругового конуса, если h—высота конуса
R—радиус основания.
260. Найти циркуляцию векторного поля F = (x + «/) i +
+ (х—z) j + («/+ z) к по контуру треугольника АВС, где А (0; 0; 0),
В(0; 1; 0), С(0; 0; 1).
261. Найти циркуляцию вектора А=—yi-J-xj по окружности
х2 + (^-1)2 = 1.
262. Найти циркуляцию вектора u = (x-}-z)i4-(x—у) j+xk
ло эллипсу x2/a2 + y2/b2 — 1.
263. Найти дивергенцию градиента функции ы = е*+>'+г.
264. Найти div (их v), где u = xi + yj + zk, v = z/i4-zj-}-xk.
265. Найти rot (г а) г, где г = xi + уj + zk, a = i + j + k.
266. Найти rot (r-a) b, где r = xi + «/j + zk, a = i+j4-k,
b= i—j—k.
267. Показать, что div (ax b) = brot a—arotb.
268. Показать, что div (/A) = f div A -|- A grad f.
65
ГЛАВА III
РЯДЫ
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Пусть «1, иг, ия, .... ип, ..где un = f(n),— бесконечная числовая по-
следовательность. Выражение
“1 + “г + “з + • • • + ип + • • •
называется бесконечным числовым рядом, а числа «j, иг, ия,..., и„,...—
членами ряда; un=f(n) называется общим членом. Ряд часто записывают
в виде 2 ип-
п= 1
Сумму первых п членов числового ряда обозначают через S„ и называют
n-й частичной суммой ряда:
$л = Их4-из4-из4- ••• -}-и„.
Ряд называется сходящимся, если его п-я частичная сумма S„ при неогра-
ниченном возрастании п стремится к конечному пределу, т. е. если lim S„—S.
П-t-CD
Число S называют суммой ряда. Если же n-я частичная сумма ряда при
п —* оо не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся.
Ряд
а+а94-а<724-...4-о7«-14-... (Ш<1),
составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, яв-
ляется сходящимся и имеет сумму а/(1—<?).
Ряд
•+т+у+т+-+4+-’
называемый гармоническим, расходится.
Приведем основные теоремы о сходящихся числовых рядах.
1. Если сходится ряд
«14-“2 4-«з+---.
то сходится и ряд
получаемый из данного ряда отбрасыванием первых т членов (этот последний
ряд называют т-м остатком исходного ряда); наоборот, из сходимости т-го
остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.
2. Если сходится ряд
-f- ия 4- ия 4~. • .
и суммой его является число S, то сходится и ряд
аи j аи з 4” аия 4~ * • •,
причем сумма последнего ряда равна aS.
3. Если сходятся ряды
• • • । 4~ft + 0з + • • ••
66
имеющие соответственно суммы S и а, то сходится и ряд
(«1 + ?1) + (“г + v 2) + («з+V») + • • • 1
причем сумма последнего ряда равна S-J-a.
4. Если ряд
и1 + игл-и3-\-...
сходится, то lim u„ = 0, т. е. при п—+«> предел общего члена сходящегося
п-*-00
ряда равен нулю (необходимый признак сходимости ряда).
Таким образом, если lim ип 0, то ряд расходится.
п-»сс
Перечислим важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с по-
ложительными членами.
Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда
“1 + “2 + «з+ (1)
И
г'1 + vi + t's + • • • + vn + • • • > (2)
причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2),
я- е. ип<ц„ (п — 1, 2, 3, ...). Тогда если сходится ряд (2), то сходится
и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Этот признак остается в силе, если неравенства ип < vn выполняются не
ари всех п, а лишь начиная с некоторого номера n = N.
Второй признак сравнения. Если существует конечный и от-
СО 00
лич чый от нуля предел lim (un/vn) = k, то оба ряда 2 и 2 vn одновре-
И=1 л=1
менно сходятся или одновременно расходятся.
Признак Кош н. Если для ряда
ui + иг + из + • • • + ип + • • •
существует lim ип = С, то этот ряд сходится при С < 1 и расходится
при С > 1.
Признак Да ламбер а. Если для ряда
и1 + и2 + и3 + • • • + ип + . . .
существует lim (un+l/un) = D, тоэтот ряд сходится при D <1 и расходится
при D > 1.
Интегральный п р и з н а к. Если f (х) при х^ 1—непрерывная, по-
00
ложительная и монотонно убывающая функция, то ряд 2 и«> г$е un—f(n)>
п= 1
сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится
X
интеграл f (x)dx (N 1).
N
Рассмотрим теперь ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки,
т. е. ряды вида
«1—«2-1-из—«з+-----И—
где ип > 0 (п— 1, 2, 3, ...).
Признак сходимости знакочередующегося ряда (приз-
нак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные вели-
чины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т. е. если
выполняются следующие два условия: 1) щ > и2 > и3 >... н 2) lim и„ = 0.
п->х
Возьмем n-ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда,
для которого выполняется признак Лейбница:
Sra = uf’-«j4-us — «Я---4-(—1)л'х«л-
Пусть Яп—п-й остаток ряда. Его можно записать как разность между сум-
мой ряда S и n-й частичной суммой Sn, т. е. R„ = S—Sn. Нетрудно видеть, что
Rn= = ( 0я (Цп+i ^п+я ^«+4 4“ • • •)•
Величина | Rn | оценивается с помощью неравенства | Rn | < «в+1.
Остановимся теперь на некоторых свойствах знакопеременных рядов
(т. е. знакочередующихся рядов и рядов с произвольным чередованием знаков
своих членов).
Знакопеременный ряд
«г ~Ь +из-Ь • • •+•
сходится, если сходится ряд
I “1 1+ I «2 I +1 “з | + • • • +1 ип |4- • • • •
СР
В этом случае исходный ряд 2 ип называется абсолютно сходящимся.
п= 1
оо
Сходящийся ряд 2 ип называется условно сходящимся, если ряд
Л=1
оо
2 | ц„ | расходится.
П=1
оо
Если ряд 2 “и абсолютно сходится, то ряд, полученный после любой
п= 1
перестановки бесконечного множества его членов, абсолютно сходится и имеет
ту же сумму, что и первоначальный ряд.
СР
Если ряд 2 “и условно сходится, то при перестановке бесконечного
п= 1
множества его членов сумма ряда может измениться. В частности, при соот-
ветствующей перестановке членов условно сходящегося ряда можно превра-
тить его в расходящийся ряд.
Если ряды «14-«г4~“з4------- и ^Ч-Пг+^з-Ь • • • сходятся абсолютно
и имеют соответственно суммы Si и S2, то сходится абсолютно и ряд
Uivi 4- (uivi+viut) 4- (“гУз+пг^г+пз^х) 4~ • • • 4~ (“1ии 4~ игип - i 4~ • • • Ч- ия^1)4" • • • •
Этот ряд называется произведением рядов (по Коши). Его сумма равна StS2.
269. Дан общий член ряда ц„ = 10Д_}. Написать первые че-
тыре члена ряда.
Л Если п=1, то «1=1/11; если п = 2, то «2 = 2/101; если п = 3, то
«з = 3/1001; если п = 4, то «4 = 4/10001; .... Ряд можно записать в виде
142A._3_._L_. а
H^lOl^lOOl^lOOOP •••• А
270. Найти общий член ряда
3 _5_ 7
2 ' 2! т 23 т 21 '
Л Последовательные числители образуют арифметическую прогрессию
1, 3, 5, 7...; n-й член прогрессии находим по формуле цп = «14-^(п—1).
Здесь «1=1, d = 2, поэтому ап = 2л—1. Последовательные знаменатели об-
68
разуют геометрическую прогрессию 2, 22, 2s, 24, n-й член этой прогрессии
Ьп=2п. Следовательно, общий член ряда и„ = (2п—1)/2л.
Вообще нужно иметь в виду, что несколько первых членов ряда полностью
ряд ие определяют. А
271. Найти общий член ряда
4+(1)‘+(А)’+№)‘+--
Л Показатель степени каждого члена совпадает с номером этого члена,
поэтому показатель степени n-го члена равен п. Числители дробей 2/3, 3/7,
4/11, 5/15,... образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и
разностью 1. Поэтому n-й числитель равен n-f-l. Знаменатели образуют
арифметическую прогрессию с первым членом 3 и разностью 4. Следовательно,
и-t знаменатель равен 4п—1. Итак, общим членом ряда явлвется
_( «4-1 .
и"-\ 4л__1 ) • А
272. Найти сумму ряда
ьз+з-б+б-г + г-э-*" *• •
1--------------и ....
г (2л—1)(2«4-1)^
Л Общий член ряда можно представить в следующем виде:
1/1 1 \
U" 2 \2n— 1 2л 4-1/
откуда
1 /, 1 \ 1/1 1 \ 1/1 1 \ 1/1 1 \
М1~2\ 3j’“2 2 \3 5) ’ “® 2\5 7/’“4 2\7 9^....
Следовательно,
с JLUlfl-lU 4-lf-^__________—U
d"_2\ 3j^2\3 5 J ' 2 \ 5 7 / ‘ ‘ ‘ ' 2 \2л—1 2л4-1У
_1 (L+ +->__________________________________LA
— 2 \ 3'3 5 ‘ 5 7‘ '2л—1 2«4-1/ 2^ 2n4-lJ
Так как lim S„=-=-lim I 1—h- -.- =-5-’ то ₽-яд сходится и его сумма
П-+® * П->-® \ M-f- 1 / 2
равна 1/2. А
273. Найти сумму ряда
* I * I * I j________________!-----1____
1-2-3 ‘ 2-3-4^3-4-5 ‘ ^п(п4-1)(п4-2)^
А Представим общий член ряда и„ в виде суммы простейших дробей:
1 Л , В 4- С
я («4-1) («4-2) п+л4-1‘1‘п4-2-
Умножая обе части этого выражения на знаменатель, придем к тождеству
1 as А (л 4- 1) («4-2) 4-Вл (л4“2)4“Сл (л 4-1).
Полагая последовательно л = 0, —1, —2, находим: при л=0: 1=24; А = 1/2;
при п = ~ 1: 1 = —В; В = — 1; при я = —2: 1=2С; С=1/2. Таким образом,
11 1,1 1 т в „ _1М___________________2 1 \
“п 2 л в4-Н 2‘л-|-2’ ’ ’ " 2\л л4-1"гл4-2/
69
Отсюда
1 f . 2 , 1 \ _ 1 / 1 2 , 1 \
“х 2 \ 2 + 3 / ’ “2 2 \ 2 3 + 4 J ‘
1/1 2 , 1 \ 1/1 2 1 \
“3 2\3 4 + 5/ “4 2\4 б+б/’"*
о 1_L. lj_l_ lil-l-l- 2.4-1+
S” 2 V 2 + 3 + 2 3 "г 4 -г 3 4 + 5 "г 4 5 ' 6
___________2,1,1__________2__i._L.Vlfl L+ 1
”* ‘ п— 1 п ' п-f-l ' л n-f-1 ' п + 2/ 2 \2 п+1 'п + 2/
Итак, lim Sn= 1/4; следовательно, ряд сходится и имеет сумму 1/4. Д
П-t-ZD
274. Исследовать сходимость ряда
2.4-I + I + I+ 4-1 VW
3 + 3 + 6 + 12+ • • • + 3 V 2 / "1 •
Л Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму. Здесь а = 2/3,
9=1/2 (знаменатель прогрессии). Следовательно,
а _ 2/3 _4 .
1—9 1 — 1/2 3‘ Ж
275. Исследовать сходимость ряда
1 I 1 I 1 I + * _ +
11^12^ 13Тп+1(Н ••• ’
Л Данный ряд получен из гармонического отбрасыванием первых десяти
членов. Следовательно, он расходится. А
276. Исследовать сходимость ряда
1 + 1.1+ +V- +
2 ' 5 ' 8 ‘ +3n—1 ‘ ' *
Л Так как
п 1 1
lim u„= hm —j = lim , ,
П-+оо n-+« —* п->со »/'* Я
т. е. lim ип О, то ряд расходится (не выполняется необходимый признак
л-+оо
сходимости). Д
277. Исследовать сходимость ряда
0,6 + 0,51 + 0,501 + ... + [0,5 + (0,1)”]+ = ...
Л Здесь limun = 0,5#.0 и ряд расходится. А
П ->-со
со
278. Исследовать сходимость ряда У,
л= 1 '
СО
Л Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда У ,
л= 1
т. е. ряда 1+1+-L+... . Но последний ряд сходится как бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, сходится и данный
ряд. А
279. Исследовать сходимость ряда
1 1
1 + 2/> 4" 4* • • • > если р <
Л Члены этого ряда, начиная со второго, больше соответствующих чле-
нов гармонического ряда. Следовательно, ряд расходится. £
1
280. Исследовать сходимость ряда с общим членом цд — 4.2„_3-
Д Сравним этот ряд с рядом, у которого общий член од=1/2я (т. е.
г бесконечно убывающей геометрической прогрессией). Применим второй
сризиак сравнения рядов:
«п 2я 1 1
I’m ~ = lim 4-2я-3= 11т 4-3^ ~Т‘
П->оо П-*со z ° П-*со * *
X
Так как предел конечен и отличен от нуля и ряд У , -А- сходится, то
п= 1 2"
сходится и данный ряд. Д
281. Исследовать сходимость ряда
2 + 5 + 8 ‘ ' •' + Зп—1 + • • • •
Д Сравним ряд с гармоническим рядом, у которого vn = l/n:
,. ип .. п 1
11Ш ---= 11Ш 5-----Г = т-
л->х ^'п л->® Ort 1 о
Следовательно, данный ряд расходится. А
282. Исследовать сходимость ряда
Д Здесь удобно применить признак Коши, поскольку у ип — 2п _р~]'
а предел последней дроби находится просто:
„ , п ,. 1 1
С= hm у ип= 1нп 9-3-7= 1,га 9ТТТ = У
Так как С = 1/2 < 1, то ряд сходится. А
СО
1 /1 1
283. Исследовать сходимость ряда 2^ ( 1 + — ) •
п= 1 ’
Д Снова применим признак Коши:
Так как С > 1, то ряд расходится. Д
71
284. Исследовать сходимость ряда
^4-^-4-^ 4- 4-^-4-
] “г 210 ‘ З10 “г * * * “г д1о “Г • • • •
Д Применим признак Даламбера; имеем w„ = 2»/nw, и„+1=2"+1/(я+1)10>
ил+1/«в = 2п10/(я+1)10; значит,
2п10 2
D= lim ?яд-П1б= Iim 7---Г\м=2-
\ "t" П }
Так как D > 1, то ряд расходится. Д
285. Исследовать сходимость ряда
—1—Л-А _|---3--L ---”---L ,
|<3 3 ЗКЗ З»/2
Д Здесь а„ = п/3»/2, и„+1 = (п4-1)/3<"+«/2, ип+1/и„ = (п + 1)/(п ]/"з),
поэтому
— V «+1 Г Ч" Vя 1 п -г I
D— lim —7= = hm ——?= ; D < 1.
п-+а> П У 3 п-+а> У 3 у 3
Следовательно, ряд сходится. Д
286. Исследовать сходимость ряда
10 , 10» ,10», , 10» ,
1! + 2! + 3! + + п! + ' *
Д Имеем ип=10"/п!, «« + 1= Ю” + 1/(п+1)1, u„ + i/u„ = 10/(п-[-1), D =
*= lim 10/(n4-l) = 0; D < 1 —ряд сходится. Д
П->со
287. Исследовать сходимость ряда
1+-^4-^ + • • • +^+ • • • •
ДИмеем и„=1/и2, un+i= !/(«+1)2, «B+i/«» = «a/(l+«a)=1/(1 + 1/'t)2’
D— lim (мя+1/мп)=1. Так как D = l, то с помощью признака Даламбера
л-*со
не удается решить вопроса о сходимости ряда.
Применим интегральный признак: и„ = 1/п2; следовательно, f(*)=l/*3,
СО
J^-=—=1. Интеграл сходится (является конечной величиной), по-
1
этому сходится и данный ряд. Д
288. Исследовать сходимость ряда
21п 2 31п 3 4 In 4 "И ’ ’ ' ' («+1) In («4-1)
72
Л Применим интегральный признак:
1 Н\- 1
“п (л + 1) 1п(«+1) ’ Г(х> (*+1) 1п(х+1)’
00 00 dx 00
1 —I nV i—i"n — 1 I = *n 1н(*+ 0 ~ 00
J (*+1) ln(*+ 1) J In (*+1) v ।
1 1 1
Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд. А
289. Исследовать сходимость ряда
2______2 '__2______4 . I z_____|\п п [
2 2г+1 т 32+ 1 42+1^”’^ п2+1^‘" *
Л Применим признак Лейбница. Так как
2 _ 1 3 1 4 1
22-j-l — 2+1/2 ’ 32+ 1 — 3+1/3’ 42+ 1 ~” 4+1/4.....
190*
1 2 3 4
2 > 22+1 > 32+1 > 42+1 >••• •
Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница. Далее,
тзк как
lim ип = lim „W. , = lim —, ,, = О,
,!-<» П-» Я +1 П-.ооП+1/П
w выполнено и второе условие. Значит, данный ряд сходится. А
290. Исследовать сходимость ряда
1,1 —1,01 + 1,001 — ... +(—I)""1 [1 + (0,1)"]+ ... .
Л Первое условие признака Лейбница выполняется: 1,1 > 1,01 > 1,001 >
>...; с другой стороны, «„ = 1+-j2—, lim и„= lim 1+j^^ = 1. Так как
lim и„ # 0, то не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ряд рас-
Н-*оо
ходится. А
291. Исследовать сходимость ряда
1-1 + 1-.. ,+(-l)»-i+... .
А Общий член ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится. А
292. Исследовать сходимость ряда
1 1____L . -L-JL_______L.
2 22 "г 23 24 25 т ’' * *
А Составим ряд из абсолютных величин:
,+4'+i+'i+'F+i'+"- •
Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и, следова*
телыго, сходится. Значит, н данный ряд сходится, причем абсолютно. А
73
293. Найти произведение абсолютно сходящихся рядов
Л Произведение рядов (согласно данному на с. 68 определению) есть ряд
/ 2 . 3 \ / 22 2 3 . З2 \ . ( 23 . 22 3 . 2 З2 З2 \
‘Чп+’пНй+н’й+2Г^ + 1зГ+2Г’ТГ+ТГ* 2Г+зГ; +•••
/2" 2"-1 3 2"-2 З2 3"\
” + \ п!+(и —1)! ’ 1! +(п—2)! ’ 2! +-Н п! / + ‘” •
или
1+-1 (2+3) + ^г(22+2.2.3+32)+
+^.(23 + 3.22.3 + 3.2.32 + 32)+...+^(2»+^-^?-п.2«-Я.З+
+(74га-2'”-3’+-+3')+-'
Так как
и!
(п—й)! k!
= С„ (Л=1, 2, ...), то ряд можно переписать в виде
или
, , 2+3 , (2+3)2
+ 1! “Г 2!
(2+3)2 , , (2+3)" ,
3! 3! “Г‘
5 52 53
1! +2! + 3!
5"
п!
СО
294. Написать первые четыре члена ряда 10„"|_га-
п= 1
со
9
295. Написать первые четыре члена ряда 100n_i
п= 1
Найти суммы рядов:
296, 1.2 + 2-3 3-4+• • +п(«+1) + ’
297. £ *^±1
298, Ь3^ + з^7 + • • • + (2п—1) (2«+1) (2« + 3) +' * ’ '
299. 1+г=1+(^у+...+(^)-+... .
00
<7* (2п -4- В2
300. Показать, что ряд \ расходится.
Исследовать сходимость рядов с помощью первого признака
сравнения:
39» * т * I —* [ j________!--... .
'>иь 1п2 1пЗ ]П4 + • 1 1п(п+1)^
74
302. X
п= 1
2"
5«4-Г
Исследовать сходимость рядов с помощью второго признака
сравнения:
303.
2+1
5+1
22+1 , , 2«J-1
52+1 + • ’ • + 5« + 1
ф Сравнить с
304.
1
2-1 — 1
/2 , / 3 , , V п
2-2— 1 "Г 2-3 — 1 т • • • Т 2я—1
+ ... .
Пользуясь признаком Коши, исследовать сходимость рядов:
405 V ( 2па + 2я+1 \»
305, \ 5«2+2«+i ; •
306. 3 + (2,1)2 + (2,01)3+ . . . +[2 + (0,1)"-1]+ . .. .
Пользуясь признаком Даламбера, исследовать сходимость
г ядов:
Пользуясь интегральным признаком,
гадов:
исследовать сходимость
309. У, — , если р > 1.
п= 1
1 1 1
310.------1------h - - - Ч-4 г? + •• • •
91п9 191П19 (Юл-1) In (Юл-1)
Исследовать сходимость знакопеременных рядов и установить
характер сходимости (абсолютная, условная):
311.
312.
j___4, X _ю
2 5 + 8 11
„ ,3л—2
'"“'зет
1,1—1,02+1,003—1,0004+ ... +(— I)""1 (1 +-^) + --.
313.
314.
315.
у (-l)"-1 (»+1)
п2 + «+1 '
_1_ , _7_Ю _j_ 19 . 25_J1_
Ю-1" Ю2 103 1 10* + 10* ю»+--- •
31+31-31-3^+3^+31-3^-3 А+...
75
Исследовать сходимость рядов:
316.
317.
10. 100. 1000. . 10'" ,
7 ‘ 9 *" 11 + ‘' ‘ + 2л+5 ‘ ‘ ‘
— + — + — 4- 2п~1 +
2'4^6'' 2п ' • ’
3184+^+тЬ+---+н+--- •
319- Ч+1-т+---+(-1)"2^п+---
320. 1-^ + 1_1+...+(-1)-* 1+...
321. 1_1 + ^_^+...+(_-1)'<-13-Аг +
322- 70 + 20+30+• •'+тбй+• • • •
323- 4 + A + i+--- +ioi^+--- •
324. 1+|+3 + ...+^+... .
325. 2’ + * + * + ...+5!+... .
326. 1 + * + * + .,.+^+... .
327. l+i + i+..-+^+... •
328, 2 In 2-In In 2+3 In 3-ln In 3 +• • • +(«+!) In (л+l) In In (»+!)+'" *
2 -r234- 1 -г33+1-г*,‘ Tn3+1 ' ••• •
9on 2_____3 4 [ / 1W1-1 n +1 1
oou. 23+i 33_|_2-t-43+3 •••-fl 4 (n_|_i)3_|_rtT • • •
331. 1 —2 + 3—4+...+(—.
332. 1 34 + 44 54 64 + --- •
333.1+4-4+4+I—1+....
994 1 JL , 1 J. , (—O'1-1 1
334. 1 23 + 33 43 + • • • + n3 + . . . .
J_____!_ __!__L 1
00 • In 2 In 3 + In 4 In 5‘ ’ ’ -rln(n+l) "r • • •
336. Найти произведение абсолютно сходящихся рядов 1 +
J_1_L 1_1_1_L 1 и 1 1 I 1 1 I j-1)"'1 I
+ 3 + 9 + 27 ' ‘ ' З"-1 ‘ ‘ ’ И 1 3'9 27^'З”-1 ' *
337. Показать, что ряд 1—'•+(~1)"~\n—l)il‘‘'
абсолютно сходится, и возвести его в квадрат (умножить на себя).
76
f 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Ряд
и1 (х) + “г W + из W + • • • + “л (х) + • • • »
члены которого—функции от х, называется функциональным. Совокупность
значений х, при которых функция Ui(x), ut(x), ип(х)... определены
00
и РЯД У ип(х) сходится, называют областью сходимости функционального
п= 1
ряда. Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит какой-
нибудь промежуток осн Ох. Каждому значению из области сходимости X
п
соответствует определенное значение величины lim У ип (х). Эту величину,
п-1
являющуюся функцией х, называют суммой функционального ряда н обозна-
чают через S (х).
Представим сумму ряда в виде 3 (х) = Sn (х) 4- Rn (х), где
S„ (х) = ui (х) 4- иг (х) 4-... + ип (х), R„ (х) = ип+1 (х) 4- ип+2 (х) 4-
|/?„ (х) —остаток функционального ряда].
СО
Сходящийся функциональный ряд 2 “п (*) называется равномерно сходя-
п— 1
щимся в некоторой области X, если для каждого сколь угодно малого числа
в > 0 найдется такое целое положительное число N, что при N выпол-
няется неравенство | Rn (х) | < е для любого х из области X. При этом
00
сумма S (х) равиомерио сходящегося ряда 2 ип (х) в области X, где ип (х)
п= 1
(« = 1, 2, 3, ...)—непрерывные функции, есть непрерывиаи функция.
Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости функцио-
нального ряда — п ризнак Вейерштрасса.
Если функции Ui (х), и2 (х). ип (х), ... по абсолютной величине не
превосходят в некоторой области X положительных чисел вх, а......
причем числовой ряд
ai + аз + аз 4“ • • • + ап + • • •
сходится, то функциональный ряд
«г W + «a (*)4-«з W4--------|-«л (*)+ -•-
в этой области сходится равномерно.
В заключение сформулируем две теоремы, относящиеся к интегрированию
и дифференцированию функциональных рядов.
1. Если ряд Ux(x)4-u2(x)4------|-«п (*)+•••» где иг(х), и2(х), ...,
ип (х), ... —непрерывные функции, равномерно сходится в некоторой области X
и имеет сумму S (х), то ряд
ь ь ь
J U1 (х) dx-f- J ua (х) dx4-4- J ип (х) dx4-...
а а а
Ь
сходится и имеет сумму J S (х) dx (промежуток [a, ft] принадлежит области X).
а
2. Пусть функции Ux(x), u2 (х), ..., un(x), ... определены в некоторой
области X н имеют в этой области производные Ui(x), u2(x)...и'п(х)....
77
Если в этой области ряд 2 и’п (*) сходится равномерно, то его сумма
п= 1
равна производной от суммы первоначального ряда'.
2 и'п (х) = I 2 “« <х) 1 •
п=1 |п=1 )х
338. Дан функциональный ряд
77+2+'3 \7Т+2/ + ‘ ‘ \7х+2/ *
Исследовать сходимость ряда в точках х=0 и х= 1.
Л В точке х = 0 получаем ряд
2н42!+-5-2’+- + аГ=Т2" + --
Здесь и„ = 2л/(2л—1), un + 1 = 2n + l/(2n-[-1). Применяем признак Даламбера:
D= lim
a Un
lim
n-> <X
2n+1 (2л—1) _
2" (2«+ 1)
n v 2n—1 o
2 lim -с, _L~j=2 lim
n -> a> i 1 tl -> »
2— 1/л_
2+1/n
t. e. D > 1. Следовательно, ряд расходится.
В точке х=1 получаем ряд
1 dlj _L. । 1 1
3^ 3 З2 5 З3 -| ' 2л—1 Зл
Здесь ип= 1/(3" (2л— 1)), un+i= 1/(Зл + 1 (2п + 1)); находим
D = lim
п 00 tln
3«(2n—1) 1 2n—1_ 1
3" + i(2n+!)“ 3 „™„'2n+l 3
1,
т. e. ряд сходится. A
339. Найти область сходимости ряда
। _1_д- +—!______1-. .
1+х3 1-Ьх4 1+х3 ‘ ' 1 + х2г г
Л Если |х|< 1, то lim ип= Нт --.-^-=1; так как lim ип 0, то
и-*ао п -* со * ~Г л —► оо
ряд расходится. Если |х|=1, то также получаем расходящийся ряд
—+—+—+••• •
2'2' 2 ‘
Если |х| > 1, то члены заданного ряда меньше членов бесконечно убы-
вающей геометрической прогрессии -^2—|—^--|—т‘ е‘ Ряд сходится.
Итак, область сходимости ряда определяется неравенством | х | > 1. От-
сюда следует, что ряд сходится, если 1 < х < -1- оо или —оо < х < —1.
340. Показать, что ряд
____1_______1_ ,_______1______1 . . (-I)”"1
X2+1 х4 + 2 t' х'3-4-3 х’ + 4 “Г х2л + л *" • • •
сходится равномерно при всех значениях х(—оо<х< оо).
78
Д Данный ряд при любом значении х сходится по признаку Лейбница,
поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства |Лл(х)| < I “n+i (*) I»
т. е.
I Rn (*) I < x2n + 2^_n_j_ i < •
Так как неравенства ' '[ < е н ' равносильны, то, взяв л 5= Д\ где
N—какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию
——1, приходим к неравенству | Rn (х) | < 8. Итак, данный ряд сходится
равномерно в промежутке (— оо, +оо). А
ЗВ
341. Показать, что ряд 2 сходится неравномерно в ин-
п = 1
тер вале (—1, 1).
Л В указанном интервале ряд сходится как бесконечно убывающая гео-
метрическая прогрессия. Имеем Rn (х) = х" + 1-{-х"+2 + х',+3-|- ..., т. е. Rn (х) =
= х"+1/(1 —х). Но lim | Rn (х) | = 1/2, lim Rn (х) = оо. Следовательно,
х—*~ — 1 + 0 х1-0
приняв «<1/2, мы не сможем добиться выполнения неравенства при любом
00
значении х. Итак, ряд 2 сходится неравномерно. Д
п= 1
342. С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд
sinx-|--^-- sin2 2x + -^--sin33x4- ... +-^- sin”nx-|- ...
сходится равномерно в промежутке (—оо, +оо).
Д Так как | sin" пх| ~ и ряд • • сходится, то дан-
ный ряд сходится равномерно при любых значениях х. А
343. Можно ли к ряду
arctg х + arctg + arctg + ... + arctg +...
применить теорему о почленном дифференцировании рядов?
Л Сравним данный ряд со сходящимся рядом
х , х , . х ,
V _1_ ---------1— , , . —I_1—
' 23/2 З3/2 ' ' пз/2 '
(при любом фиксированном х). Тогда пл (х) = arctg (x/n3/2), оп (х) = х/я3^а-
Так как arctg а и а—эквивалентные бесконечно малые, то lim 1 и
л-о» с„(х)
согласно второму признаку сравнения заключаем, что данный ряд сходится.
Найдем производную общего члена данного ряда:
./,.л 1/«3/2 л3'2
1+Х2/П3 Х24-/!3 '
79
Ряд, составленный нз производных, имеет вид
1 2/2" 3/3
х2+1 ' х2+23 ' х2+33 ' '
Заметим, что члены последнего ряда меньше соответствующих членов
сходящегося ряда 1 -|-дз^/г ~Ь • • • • Поэтому на основании признака
Вейерштрасса ряд, составленный нз производных, равномерно сходится в про-
межутке (—со, +оо) и, значит, к заданному ряду можно применить теорему
о дифференцировании рядов. А
344. Законно ли применение к ряду
cosх+• cos2x4--^--cos3%4- ... + cosпх-\-...
теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутке
[л/4, л/3]?
/\ Члены заданного ряда при любом значении х по абсолютной величине
меньше соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прог-
рессии l-j-у. Поэтому данный ряд согласно признаку Вейершт-
расса равномерно сходится в промежутке (— оо, +оо) и, следовательно, к
нему можно применить теорему об интегрировании рядов для любого конеч-
ного промежутка [а, 6], в частности, для промежутка [л/4, л/3]. А
345. Дан функциональный ряд
Зх+1 , ( Зх+1 V , , ( Зх-Н V ,
х2+х+1 "Ц х2 + х-Н ) +••• х2 + х-Н ) + •
Сходится ли ряд в точках х= 1, х—2 и х=3?
346. Исследовать сходимость функционального ряда
4 (хг-4х+ 6) + (х2-4х + 6)2 + ... + 4 (х2-4* + 6)" + ...
в точках х— 1 и х=2.
347. Найти область сходимости ряда
14-е-х4-е-2ж4-... +е-(п-1)х4-....
348. Найти область сходимости ряда
1+^+^ + --- 4~ + ... •
349. Найти область сходимости ряда
х»+ 1 + 22 (х2+ I)2 + • • • +п2 (х2+ !)'» + ••••
—/____Пйд
350. Показать, что ряд
п= 1
промежутке (—оо, +оо).
равномерно сходится в
80
351. Показать, что ряд
2х+1 , 1 /2х+1 \а . 1 /2*+1 \з 1 /2х-|-1\«
х4-2 2 \ х4-2 / ' 4 \ х4-2 ) + ' ‘ 2"~1 \ х4-2 )
равномерно сходится в промежутке [—1, 1].
352. Показать, что ряд
в интервале (—2, 2) сходится неравномерно.
353. Показать, что ряд
sin х4- УЗ cos х , (sin х4- Уз cos х)2 , , (sin x-L У% cosx)" ।
§ । 32 ’ + • • • 4 gn Г • • •
сходится в промежутке ( —оо, +оо) и установить характер схо-
димости.
354. Можно ли к ряду
sin х +• sin у 4--J5- sin-Ь ... 4-• sin .
применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?
, . COS X . cos2x . . cosn-1X ,
355. Можно ЛИ К ряду 1 +— +-2j- + • • • Н----(я —1), + • . .
применить теорему об интегрировании функциональных рядов в
любом конечном промежутке [а, &]?
356. Можно ли к ряду
(х2+1)4-2(х24-1)а4-3 (х44-1)34-... 4-п (х24-1)"4-...
применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?
| 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Функциональный ряд вида
Oo4-ai(x—а)4-а2(х—а)24-...4-а„ (х—а)л4----,
где а, а0, at, ..., ап—действительные числа, называется степенным.
Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если степенной ряд
сходится при х = х0, то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значе-
нии х, удовлетворяющем неравенству |х—а| < | х0—а| (теорема Абеля).
Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для
«сякого степенного ряда интервала сходимости | х—а | < R, или а—R < х <
< a-j-R с центром в точке а, внутри которого степенной ряд абсолютно схо-
дятся и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точ-
ux х = а± R) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни схо-
дятся абсолютно на обоих концах, другие—либо условно сходятся на обоих
юнцах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся,
третьи — расходятся на обоих концах.
Число R—половина длины интервала сходимости — называется радиусом
сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R
ожет быть равен нулю или бесконечности. Если /? = 0, то степенной ряд
сходятся лишь при х=а\ если же R—<x, то ряд сходится на всей числовой
оси.
Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно
жальзоваться одним из следующих способов.
81
1. Если среди коэффициентов ряда я2......ап, ... нет равных,нулю,
т. е. ряд содержит все целые положительные степени разности х—а, то
Я = ]im 1_5«_| (1)
п -+ 00 I ап + 1 I
при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует.
2. Если исходный ряд имеет вид
Яо + й! (х—а)Р+а2 (x—a)2P-j- ап (х^а)пР-{- ....
(где р— некоторое определенное целое положительное число: 2, 3, ...), то
/?=]/" Пт |-^-|. (2)
I/ п 00 I ап + 1 I
3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность
оставшихся в ряде показателей степеней разности х—а любая (т. е. не обра-
зует арифметическую прогрессию, как в предыдущем случае), то радиус схо-
димости можно находить по формуле
R =------, (3)
lim
П -* 00
в которой используются только значения ап, отличные от нуля. (Эта формула
пригодна и в случаях 1 и 2.)
4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя не-
посредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному
из абсолютных величин членов исходного ряда.
Записав ряд в виде
«о W + W + «2 (*)+•• • +«« ----
(здесь «о = 0о, ип(х)=ап(х—a)N, где зависимость N от п может быть любой,
причем через ап обозначен не коэффициент при (х—а)п, а коэффициент л-го
члена ряда), находят интервал сходимости из неравенств
lim * г"-1?- < 1 нли lim *|/| «„ | < 1.
п оо I ип1 п -> оо
Отметим следующее свойство степенных рядов: ряды, полученные почлен-
ным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же
интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соот-
ветственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.
00
Таким образом, если S (х) = 2 ап (х—а)п, то
п=0
s'(х)=Sпа" js wdx=5- п п+1— ’
n=l а п — 0
где —R < х—а < R.
Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно про-
изводить иад степенным рядом сколько угодно раз. Следовательно, сумма
степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно диф-
ференцируемой функцией.
357. Исследовать сходимость степенного ряда
х+-|ха + |х3+... + 4х" + ---’
82
Л Здесь a„=l/n, an+l = l/(n-f- 1). Найдем радиус сходимости ряда:
R— lim I ~п |= Пт * = lim fl-|—-^ = 1.
оо I ^п + 1 1 п->оо Л п -* а \ Л /
Следовательно, ряд сходится для значений х, удовлетворяющих неравен-
ству —1 < х < 1.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если х= 1, то полу-
чаем гармонический ряд 1+4--|—5"4"7"Ь- •> который, как известно, расхо-
z о 4
дится. Если х=—1, то получаем ряд —Ч" -----—'' ’ ’ ^тот Ряд сх0"
иггся, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.
Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравен-
ством —1<х< 1. А
358. Исследовать сходимость ряда
(х-2) + ± (х- 2)2 + 4- <х~2)3 + • • • + i 2)" + • ‘ ’ •
А Здесь а„=1/л2, an+l= l/(n+ I)2, имеем
/? = Пт lim fl-|—i-V=l.
n2 n-> oo \ nJ
Следовательно, ряд сходится, если —1 < х — 2 < 1, т. е. 1 < х < 3.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если х=3, то полу-
чаем ряд 1 ^- + -• •> который сходится, так как ряд 1-|-—4"
—сходится при р > 1 (на основании
ог 4Г
интегрального признака).
Если х—1, то получаем ряд —1 —'з2’4""42—' ®тот ряд сходится
и притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных Величии его членов.
Итак, степенной ряд сходится для значений х, удовлетворяющих двой-
«оыу неравенству 1<х<3. Д
359. Исследовать сходимость ряда
1! (х— 5)4-2! (х— 5)2 + 3! (х—5)34- • - • +п! (х—5)”+ ....
Д Здесь an = nl, a.n+i = (n-f- !)!; значит,
.. п! .. 1-2-3. ..п 1 _
Пт —г~пт= lim , —г-п= лт —г-;=°.
П->00 (я4"1)! п-+ 00 1-2-3. . .П (п-f- 1) «->00^4-1
сходится только при х—5 = 0, т. е. в точке х = 5.
360. Исследовать сходимость ряда
v vi >*з ««м
ТГ+1г + ^+---+7г + ----
ДИмеем a„=l/nl, an+i= 1/(«4-1)!, ао = О;
R= lim Пт (n4-l) = °°-
П оо Я" П -* оо
83
Следовательно, ряд сходится при любом значении х. Отсюда, между прочим,
заключаем, что предел общего члена ряда при любом значении х равен нулю,
хп
т. е. lim —г—О- А
„ л!
361. Исследовать сходимость ряда
г3 и r3(n—1)
1 +"10 +lo« + • • • н + • • • •
Д Ряд является геометрической прогрессией со знаменателем <?=х3/10.
Он сходится, если |х®/10| < 1, и расходится, если |х®/10|JSs 1. Следовательно,
промежуток сходимости ряда определяется двойным неравенством — <
< х < р/10. Тот же результат можно получить, используя формулы (2) и (3). А
362. Исследовать сходимость ряда
9v5 । . 2"^" ।
3 5 ’ ' ’ ‘ "г" 2л— 1 »••••
Л Полагая х5 = /, получаем ряд
2/+т+¥+--- w
Здесь а„=2л/(2л—1), яп+£=2п+1/(2л-|-1). Находим радиус сходимости
ряда (*):
Я = lim
п -* со
2” (2л 4-1) 1
2« + ‘(2л—1)— 2
lim
П -* оо
2л 4-1
2л—1
2-Н/»
2—1/л
i Um
* л -> «о
1
2 ’
Таким образом, ряд сходится, если |/| < 1/2.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если t= 1/2, то по-
лучаем ряд 14--5*4—ё—Нтг+ ••• • Этот ряд расходится (его можно сравнить
о о 7
1 . 1 . 1 , 1 ,
с рядом к4‘7Тв’ТТ"г• • •> членами которого являются члены гармоииче-
Z 4 О о
ского ряда, умноженные на 1/2). При t — —1/2 получаем ряд —14—я-—i" +
о о
4- j— • • • Этот ряд сходится условно. Следовательно, ряд (*) сходится,
если —1/2</< 1/2. Таким образом, заданный ряд сходится, если —I/2<
<х5 < 1/2, т. е. —1/^2 *^х< 1/^/2. Тот же результат можно получить,
используя формулу (2). А
w I k 1 1 \ л
363. Исследовать сходимость ряда
А=1 '
А В данном случае имеем ап=0 при n = 2k — 1 н ап=^2*+Т/ прИ
n=2k. Для отыскания радиуса сходимости удобнее всего использовать фор-
мулу (3). Находим
Я =------
lim
k -► «о
/2*4-1 _
*4-1 ~
К2 .
84
Исследуем ряд на концах интервала сходимости. Полагай х—2= У2,
получаем числовой ряд
у (A+LV.2*_y ( *+i \*_у Л , _1_\*
2- hfe+i; 2- . , 1 1 — 2- i •
*=1 *=1 \ к+~2 J А=1
Но lim ( ) — Уе 0- Таким образом, при х—2—У 2 ряд расхо-
k ->оо \ I /
хится. То же самое имеет место н при х—2 = —У2. Итак, область сходи-
мости данного ряда 2—У2 < х < 2-\-У2 . А
00
364. Исследовать сходимость ряда 2^ ---------„-----•
п—1
(х— П«(«+1)
Л Применяем признак Коши, полагая ип=-------. Тогда
*/-.—г l*-i|n+1 „ "/1—; J° пРи|х-1|<1,
V\Un\=------~----;lim v lu«l=i00 ппн lx 11 1
П п -» оо | ОО При | X—— 1 | 1.
Таким образом, ряд сходится, если | х—1 | < 1, т. е. в промежутке 0 <х< 2. А
V4 д.л(п-1)/а
365. Исследовать сходимость ряда z.——.
п= 1
Д Применяем признак Даламбера, полагая un = xn(n“1,/a/nl, “n+i =
_ xn(»+i)/s/(n-|-1)1 Тогда
1«л±11 Iim |ц»+а|..-[° при|х|<1,
I Un I п +1 ’ „-.оо I ип I (оо при |х| > 1.
Итак, ряд сходится, если |х|< 1, т. е. на отрезке —1<х<1. А
366. Найти сумму ряда 1 + 2х + Зха +... + пхп-1 + ... (|х| < 1),
тродиффереицировав почленно ряд 1 -|-х + ха+х3 + .. .-j-x'’-1-]-...
(|х|<1).
Д Воспользовавшись формулой суммы членов бесконечно убывающей гео-
(а \
S — 1__q j , получаем
l+x+x2+x3 + ...==_J_.
Остается продифференцировать полученное равенство:
1 + 2х+Зха + ... = (j . Д.
367. Найти сумму ряда *+^+j+j+- • • + ^+ • • • (И < О-
Д Продифференцируем почленно заданный ряд и найдем его сумму по
а
формуле S=
где а=1 в q=x; получим.
1 + х+ха+Xs + •.. = --
85
Проинтегрировав затем в пределах от 0 до х, находим
г3
хн4+^+т+--=-1п(1-х
£. О *Х
Этот ряд сходится в промежутке [—1, 1]. А
Исследовать сходимость степенных рядов:
368.
х+1 , (*+1)2 , (х+1)3 , , (х+1)л ,
1! *" 3! "Г 5! ' ’ ‘ ‘ ' (2п —1)! ' ’ ' ‘ '
<*-4) + -^(x-4)> + tL(x-4)>+ . •
Х-1 , (X—I)2 , (X—I)3 , , (х-1)" ,
2 f 22 * 23 1“ • • • f 2Л Т • • • •
369.
370.
371. х + (2х)2 + (Зх)3 + • • • + (пх)л + ...
372. 5х + ^ + ^3+..-+^+...
373. х2 + ^ + у+.. -4
х-'
п
х3"
(4п—3) 8"'
, *л
хп
• Положить x2 = t.
уЗ уб у9
374. -g+ga.s + 8з .9+ • • • -
о у е X । Т ___,
2 + 3 ' 22 + 32 ‘ 23 + 33
o7ft 1 *-1 , 2 /х—1 V
376- у—+т ; +
у у2 уЗ
377> Ь2+2Тз + зТ4 + -- •+4ёйГТ)^,“ ’
Найти суммы рядов:
о-„ 1 , 2х , Зх2 , nxn~l . ii^
378. —Нт + —г+ • • • 4---п—h • • •. если х < а.
а а2 а3 ап ' 1 ।
уЗ у4 уП 4-1
379' + + если < а‘
38°- У+¥ • «+^ • * + + 4^4-'— + . если | х I < а.
381. —2х4~4х3 — 6х5+-..+(—1)л 2п-х2л-1+..если |х|<1.
§ 4. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
1. Ряд Тейлора для функции одной переменной. Всякая функция, беско-
нечно ди<|х|)еренцируемая в интервале |х—х0 | < г, т. е. х0—г < х < х0 + г,
может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд
Тейлора
fW = f (*о) + (*-Х0) + 4г (*-*о)2+ • • • + + • • • .
если в этом интервале выполняется условие
Ди+1) (с\
lim /?„(x)=lim ' (х—хо)л+1 = 0,
П -*<»
83
где Rn(x)—остаточный член формулы Тейлора (или остаток ряда), с=х0 +
+ е(х-х0), о< е< I.
При ло = О получается ряд Макларена'.
т+П2,+П2,.+...+£^),.+....
Если в некотором интервале, содержащем точку х0, прн любом п выпол-
няется неравенство (/<я> (х) | < М, где М—положительная постоянная, то
lim /?п = 0 и функция f (х) разложима в ряд Тейлора.
Приведем разложения в ряд Маклорена следующих функций:
у у2 уЗ уП “’ 1
сХ=1+б+2!+з!+--(Ьт)1+---’+ -*<*<+*;
у уЗ уЭ у2/? “ 1
shx=n + 3!+5!+‘-- + (2^Tj!+--- ~00<*<+0°;
у2 у4 ув у2 (п — 1)
ch х=1+^+6,+...+12ёгл)Т!+ •••.-“< - <+»;
у уЗ у5 у 7 у2л— 1
81П *=Т-^+5!-7. + • •' (fciji + • • - -=0 < х < + со;
у2 у4 ув у2( п •— 1)
““='-я+?г-8т+-+‘-'’"-112(^i®+-- -«<'<+-:
(1+»)- = 1 + <”- > '”~2>
। т(т—\). . .(т—п + 2) _t
f (п-1)! +•••
Это последнее разложение имеет место:
при тп^О, если —1 < х < 1;
прн —1 < т < 0, если —1 < х< 1;
прн —1, если —1 < х < 1;
у2 уЗ у4 у/?
ln(l+x)=x-L+* _* +...+(_1)П-1£.+ ..., -1 <х^1;
Z О *х П
уЗ уЭ у7 r2n— 1
arctgx = x-^+^-y+...+(-l)'-1^—- + -1<х<1.
О ij л £fl 1
2. Ряд Тейлора для функции двух независимых переменных. Пусть функ-
ция f(x, у) дифференцируема п-j-l раз в некоторой окрестности точки Р0(х0;
у0Х Тогда в любой точке Р (х; у) из этой окрестности функция f (х, у) может быть
разложена в ряд Тейлора-.
f (х, У) = f (х0, у0) + и [(х—х0) f'x (х0, у0) + (У—у0) fy (ха, у0)]+
[(х—х0)7« (х0. У0)+2 (х—х0) (у—у0) fxy (х0, УЬ) + (У—Уо)гГуу (х0, Уо)] +
[(*—Ха)3 fxxx (ха> Уо) + 3 (х Х0)а (у yu) fxxy (ха, Уо) + 3 (X Xq) (у Уо)аХ
,,, t"
yjxyy (х0. Уо) + (у—Уа)3 fyyy (х0, y0)J + . • • +
I Г д д 1 и
I (ж~Жо) д~х + (у-уо) Ту J f (х°-Уо) + - ’
если в этой окрестности выполняется условие lim Д, (х, у)=0, где 7^, (х,
я-»оо
у) — остаток ряда Тейлора.
87
В частном случае при ха—уй — 0 получается ряд Макларена:
f(x,y) = f(O,O)+~[xf'x(p, O)+yfy(O, 0)]4-1 [х2^*(0, 0) +
+2xyfXy (0, 0) +y*fyy (0, 0)] 4-... -f-i f (0, 0) + ....
382. Разложить в ряд по степеням х функцию /(х) = 2*.
Д Найдем значения функции и ее производных при х = 0:
f(x) = 2\
f (х)=2* In 2,
f(x) = 2x In2 2,
f(0) = 2° = l
f (0) = !n2,
f’(0) = lna2,
/<«> (x) = 2*-lnn 2; /*п) (0) = In" 2.
Так как 0< In 2 < 1, то при фиксированном x имеет место неравенство
I Лп) (*) I < 2х для любого п. Следовательно, функция может быть представлена
в виде суммы ряда Маклорена:
/(х) = /(0)=фх4-фх2+... .
В данном случае
— ОО < X < + 00.
Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении
X2 X3
ex = 1+X+rt + -
заменить х на х1п2. А
383. Разложить в ряд по степеням х функцию /(x) = sin2x.
Д Продифференцируем функцию «4-1 раз:
f (x)=sinax,
f' (х) = 2 sln х cos x = sln 2x,
/" (x) = 2 cos 2x = 2sin ^2x-f-y^ .
f"' (x) = —2a sln 2x = 22 sln ^2x+2~^ ,
fiv (x) = —23 cos 2x = 23 sin 2x-|-3~ j ,
/(«>(x)=2"-1sln (n-l)j,
/<n+i> (x) = 2«sln ^2x4-y n) .
Находим значения функций f(x), f (x), f" (x), .... /*п) (x) в точке x=0,
а значение /<п+1>(х) определяем в точке x = c (см. равенство для определения
/?„). Получаем /(0) = 0, f (0) = 0, f (0) = 2,/"'(0) = 0, J1V(O) = —23, /v(0)=0,
/VI (0)= 2s, f(n+l> (с) =2"«sin(2с4-лл/2).
88
Находим остаточный член:
_ 2"-sin (2с4-яп/2\ _ 1 (2x)n+1 . ,п .
*»=-----(п+1)! '>х + ’ т‘ е‘ sto^+m/^
(2х)п+1
Так как Пт ;—т—гг, =0 ПРН любом х, a sin (2с4-яп/2) —величина ограннчен-
п-*«> (&+1)!
вая, то Um Rn = 0. Следовательно, функцию /(x) = sln2x можно представить в
виде суммы ряда Маклорена
2 _ 2s , . 25 , 2’ ,
sin2* = 2!^-4i*4+6!^-8!^+--- ’
Задачу можно решить и иначе. В равенстве sin2x=-^-(l—cos2x) заме-
там cos2x его разложением в степенной ряд:
„ , (2х)2 , (2х)‘ (2х)«
со^х^-Чг+тГ-’б!- + ••• *
Выполнив несложные преобразования, получим найденное выше разложение
sin2 х. А.
384. Разложить е~х* в ряд по степеням х.
Л В разложении
У у2 уЗ
ех=1-|___|__1|_—(—оо < х<+оо)
заменим х на — х2; получим
у2 у4 уб у8
е~Х^1-й+2-^~- <-“<*< + “)• ±
385. Разложить 1пх в ряд по степеням х—1.
А В разложении
у2 уЗ у4
1п(1Ч-х)=х-^+у-7+... (-1 < Х<1)
заменим х на х—1; получим
. / (х—I)2 , (х—I)3
In х = (х — 1) -v 2- +5—3-2-
(х-1)4
4
j-... (О < х<2). А.
386. Разложить 1/х в ряд по степеням х—2.
1/2 „
1 + (х—2)/2‘ ПРавУю часть этого ₽а‘
Л Воспользуемся равенством
венства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометричес-
кой прогрессии с первым членом а = 1/2 и знаменателем q = — (х—2)/2. Отсюда
получаем
1 1 1 х—2 1
х 2 2 ' 2 ‘ 2
х—2\2___1_ /х—2\3
2 J 2 \ 2 J
т. е.
Так как | (х—2)/21 < 1, то 0 < х < 4.
89
387. Разложить в ряд Тейлора функцию f(x,y) = x2—ху +
+ 2у2—Зх + 4у + 8 в окрестности точки Ро(—3; 1).
Д Найдем частные производные и вычислим их значения в точке Ро:
fx(x,y)=2x—у—3, f'y(x,y) = — x+4y+4, fxx(x,y) = 2, fxy (х, y) = —l,
fm(x,y)=4-,
f(~3, 1) = 35, fx(-3, 1) = —10, f'u(~3, 1) = 11, fxx(-3, 1) = 2,
f«(-3. D = —1, ^(-3, 1) = 4.
Искомое разложение в ряд Тейлора имеет вид
f(x, у) =35-10 (х+ 3) + 11 (у-1) + (х+ З)’- (х+3) (у-1) + 2 (у- !)*+•. „
388. Разложить в ряд Тейлора функцию f(x, у) = х21пу в ок-
рестности точки Ро(1; О ДО членов второго порядка.
Д Найдем частные производные первого и второго порядков:
Гх(х, у) = 2х\пу, f'y(x,y) = ^, f"xx(x,y) = 2\ny, f”xy(x, У) = ~. У>=~
Вычислим значения функции и производных в точке Ро (1, 1):
f(i, 1)=о, г;(1,1)=о, ^(Ы)=1, £х(1>1)=°. = 2,^(1,1)=-1.
Искомое разложение записывается так:
/(х,у) = (у-1)+2(х-1)(у-1)-1(у-1)2+... . ▲
389. Разложить в ряд Маклорена функцию /(х, у) = cos х shy
до членов третьего порядка.
Д Найдем частные производные первого, второго и третьего порядков:
fx(x, У) = —slnxshy, f'y(x, у) = cosхch у, fxx(x, у) = — cosхshy,
f"xy <*> У) = ~ sin x ch У> fyy (x< У) = cos x sh У' f'xxx У)= sin x sh У’
f'xxy (*> У) = — cos x ch y> f’x'yy (x> У) = — sin x sh y, fyyy (x, y) = cos X ch y.
Вычислим значения функции и производных при хо = уо = 0:
f (0,0)=о, /; (0,0)=о, Гу (0,0) = 1, Гхх (0,0)=о, гху (о, 0)=о, гуу (О. о)=о,
0)=0, /-.(О, 0) = -1, Гхуу(0, 0)=0, f- (0, 0) = 1.
Следовательно,
f(x, У)=У~| х*у+^-у3+ ▲
Разложить в ряды по степеням х следующие функции:
390. f(x) = 3x. 391. /(х) = е-^. 392. /(x) = cos2x.
393. /(x) = sh2x. 394. f (х) = In (х + а), а > 0.
395. / (х) = Vx + а, а>0. 396. / (х) = ch2 (х2).
Разложить в ряды Тейлора следующие функции:
397. f (х, у) — х3—2у3 + 3ху в окрестности точки Р (2; 1).
90
398. f(x, y) = 4x3—x--\-2xy—y2-\-5x-\-y—8 в окрестности
точки P(l; -1).
399. f(x, //) = 5x3 + 9//2—2x-f-3«/—5 в окрестности точки
^(1; -1).
400. f(x, у) = х/у в окрестности точки Р(—1; 1) до членов
третьего порядка.
401. f (х, у) = хе~у в окрестности точки Р(1; 0) до членов
второго порядка.
402. f(x, y) = xcos2y в окрестности точки Р (—1; 0) до чле-
нов третьего порядка.
§ 5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ
С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Здесь полезно иметь в виду приведенные в предыдущем параграфе раз-
ложения в степенные ряды функций ех, sh х, ch х, sin х, cos х, (l-j-x)”*,
In (1+х), arctg x.
Для вычисления логарифмов эффективна формула
1п(/+1) = 1п /4-2 р+з (2/4- 1)3 + б (2/ 4- I)5 + ' ’ ’ ] ‘
Ряд в правой части равенства сходится тем быстрее, чем больше /.
Для вычисления приближенного значения функции f (х) в ее разложении
в степенной ряд сохраняют первые п членов (п — конечная величина), а
остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного прибли-
женного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный
ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравни-
вают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знако-
переменного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, исполь-
зуется оценка | Rn | < ип+1, где ип+1 — первый из отброшенных членов ряда.
403. Оценить погрешность приближенного равенства
у у2 уП
А Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой
членов, следующих после х"/п! в разложении ех:
+1 + 2 +3
R" = (n4-l)!+(п4~2)!+(«4-3)! + • • • ’
ИЛИ
Г х х* х^ *1
^"=^1 I ^+1+(п4- 1) (п4-2) + (п4-1) (п+2) (п4-3)+ • • • ] •
Заменив каждый из сомножителей п + 2, п4-3, n-j-4, ... меньшей вели-
чиной п-4-1, получим неравенство
р <£2r_^.4-f^V4-f_^Y4_ 1
Ав п! [n+lT\n+V Т\"+1/
Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квад-
ратных скобках:
р - *+| + 1) т е р . & . х а
n! 1—х/(п4-1)’ ” п! п+1— х Ж
404. Вычислить Vе с точностью до 0,00001.
Л Используя разложение ех в ряд, получаем
Определим число п так, чтобы погрешность приближенного равенства
*е и ^Тьг+гьг8^
не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в преды-
дущем примере. Полагаем х= 1/2; тогда
о „ '1 1/2 о , 1 1
Хл п!2" ‘ я-)-1/2' Т' е" Хл< я12»*2я4-1*
Путем подбора определим, при каком значении п будет выполняться
неравенство Rn < 0,00001. Полагая, например, я = 3, получаем Ra < 1/(8-6-7),
т. е. Ra < 1/336. Пусть, далее, я = 5; отсюда /?5 < 1/(32-120-11), т. е.
Ri < 1/42240. !Пусть, наконец, я = 6; отсюда Rt < 1/(64-720-13), т. е. Rt <
< 1/100000. Итак, принимаем я = 6:
, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1
Г е "Т" 112 3!23‘1"4!2«+5!25+6.»2в *
Суммируем слагаемые:
1,000000
0,500000
0,125000
4-0,020833 (в 6 раз меньше предыдущего слагаемого)
0,002604 (< 8 < < « « )
0,000260 (< 10 < « < < )
0,000022 (« 12 « « « * )
1,648719.
Значит, Уе № 1,648719. Каждое слагаемое мы вычислили с точностью
до 0,000001, чтобы при суммировании не получить погрешности, превышаю-
щей 0,00001.
405. Вычислить 1/£/е с точностью до 0,00001.
Л Имеем
,5/— •- 1/S . 1 , 1 1 ,
1/l/e — е —1 1!5+2!,58— 3!5зН
Воспользуемсн приближенным равенством
1/р/е » 1
_L-J_______L+_L.
115 ^2!58 3!5зТ415«
Мы взяли 5 слагаемых, так как знакопеременный ряд удовлетворяет усло-
виям признака Лейбница, а поэтому допускаемая погрешность по абсолютной
величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый
из отброшенных членов равен 1/(5!55). Нетрудно видеть, что 1/(5!56) < 0,00001.
Произведя вычисления, в результате получаем 1/|Ле х 0,81873. А
406. Пользуясь разложением cosx в ряд, вычислить cos 18°
с точностью до 0,0001.
92
Л Имеем
то Я < 1 I я V . 1 / Л \*
eosl8’ = cos^l_^^ro) +41(10) -••• 5
«/10=0,31416, (я/10)*=0,09870, (я/10)4 = 0,00974.
Достаточно взять трн члена ряда, так как (1/6!)-(л/10)в < 0,0001. Тогда
,оо , 0,09870 . 0,00974 1оо . .
cos 18° я 1-------1—; cos 18° я 0,9511. А
407. Вычислить р/1,1 с точностью до 0,0001.
Л Воспользуемся разложением (1 +х)“ в ряд, полагая х=0,1, т=1/5.
Имеем
=(1 -|- о, i)i /?=14-1. о, 1+(1 /5) ~ о, 01+
+ (1/5) (1/5— 0 (1/5—2) 0>001+ = j +о,02—0,0008+0,000048—....
Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый
член меньше 0,0001. Итак, p^l.l я 1,0192. А
408. Вычислить у/130 с точностью до 0,001.
Л Так как 5s является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то
целесообразно число 130 представить в виде суммы.двух слагаемых: 130 =
= 53+5. Тогда
VZ130=VZ5s4-5 = 5 )/ 1+^=5(14-0,04)1Л =
_6Г, + ‘ . 0.04+<т^1). p.p^'W-W-W о.оооаи+...]_
I «3 х! о! J
1 1 5
=5+4- • 0,2—4 • 0,008+4 • 0,00032—....
«5 V о 1
Четвертый член меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены
можно отбросить. Итак, у/130 я 5 + 0,0667—0,0009, т. е, >1130 я 5,066. А
409. Вычислить In 1,04 с точностью до 0,0001.
Л Воспользуемся разложением 1п(1+х) в ряд:
In 1,04 = 1п (1+0,04) = 0,04-1^+511-^+... ,
х О 4
ИЛИ
In 1,04 = 0,04-0,0008+0,000021-0,00000064+...,
откуда In 1,04 я 0,0392. А
410. В прямоугольном треугольнике катеты равны 1 и 5 см.
Определить острый угол треугольника, лежащий против мень-
шего катета, с точностью до 0,001 радиана.
93
Л Так как tga=l/5, то a = arctg (1/5). Воспользуемся разложением
, ,, Г 1 1,1 1
a=arotg(l/5)-=y-
откуда a « 0,2 — 0,0027, т. е. a и 0,197. Д
411. Оценить погрешность приближенного равенства
In (t + 1) ~ In t + 2 J +з(2/-j-l)3 +
4----!______i_ 4_____________!------1.
~5(2/4-1р~ •' ' (2n —1) (2/+,l)2n-:lJ
Л Задача сводится к оценке суммы остатка ряда
R -2 Г 1 I 1 I
п L(2«4-1) (2/4- 1)2п+1 "r(2n + 3) (2t + 1)2л+3 “
4-_______?________+.„].
' (2«+5) (2/ +l)2n + ? ' J
Заменив каждый из множителей 2п + 3, 2п+5, 2п+7, ... меньшим
числом 2n-j-l, получим неравенство
R < 2 Г 1 I 1 Г 1 I 1
л 2«4-1 Ц2/+ l)2’+lT(2^4-1)2п+3 ‘ (2/+l)2n+- J
Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квад-
ратных скобках:
2 1/(2/ 4- 1)2л+1_ 2 1 _
Кп < 2«4-1 ’ 1 —1/(2/-Н)2 2«4-1 * (2/4-1)2л-Ч(2/ +1)2—1]
— 2 1 о 1 А
~2п+1 ’ (2/ + 1)2л-1-4/(/ + 1)’ Т‘ е’ " 2 (2«4- 1) / (/-J- 1) (2/+ 1)2«-1' Ж
412. Вычислить In 2 с точностью до 0,0001.
Л В формуле для определения 1п (/-{-1) н неравенстве для оценки /?„
полагаем t=l:
1-2 = 2(44
3-3з + 5-35 + 7-3’
Rn < 4(2«4- 1) З2"-1'
Путем подбора определим п так, чтобы выполнялось неравенство
R„ < 0,0001. > Если п = 2, то 1?2 < 1/(4-5-33); /?2< 1/540; если п=3, то
7?3 < 1/(4-7-3“); 7?з < 1/6804; еслип = 4, то Т?4 < 1/(4-9-37); Т?4< 1/10000.
Итак, п = 4 н для вычисления 1п 2 получаем приближенное равенство
1п2 ж 2
3-33^5-35^7-37 J
Суммируя эти четыре слагаемых, получим
1п 2 « 0,666674-0,024694-0,00165 + 0,00013 = 0,69314 ж 0,6931. Д
413. Вычислить In 5 с точностью до 0.000L
Л Полагаем / = 4. Тогда
In 5-2 In 2+2^ 9 + 3.9з+ 5.95+ ••• ; : Rn < 40(2п+1)94л-*’
Если п=1, то Rt < 1,(40-3-9); R\ < 1/1080; если п = 2, то Rt <
< 1/(40-5-93); R2 < 1/10000. Значит, достаточно взять два члена ряда. Сле-
довательно,
ln5^21n2+2^4--g-L.) « 1,38628 + 0,22222 + 0,00090=1,60940. Д
414. Доказать справедливость тождества л/4 = arctg (1/2) +
+ arctg (1/3) и вычислить л с точностью до 0,С01.
Л Полагая в равенстве
arctg у—=arctg х+ arctg у
х=1/2, р= 1/3, получаем
arctg 1 = arctg-|-+arctg, пли л = 4 ( arctg
Z о \ Л
Воспользовавшись разложением arctg х в ряд, имеем
Выполняя вычисления, находим л= 3,1416.
Для вычисления числа л можно было воспользоваться рядами, которые
сходятся быстрее, чем только что приведенные. А
Вычислить:
415. е с точностью до 0,00001.
416. 1/Ке с точностью до 0,00001.
417. sin 9° с точностью до 0,0001.
418. ch 0,3 с точностью до 0,0001.
419. 1,06 с точностью до 0,0001.
420. К27 с точностью до 0,001.
421. In 0,98 с точностью до 0,0001.
422. In 1,1 с точностью до 0,0001.
423. In 3 с точностью до 0,0001.
424. In 10 с точностью до 0,0001.
425. Найти наименьшее положительное значение х, удовлет-
зоряющее тригонометрическому уравнению 2sinx—cosx = 0.
426. Вычислить л с точностью до 0,001, полагая х=1/К 3
з разложении arctg х.
f «. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ
ВРЕДЕЛОВ И ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
лп_ и » ,• 2е*—2—2х—х2
427. Найти hm ------:-----
х^.о х—sinx
А Заменив ех и sin х их разложениями в степенные ряды, получим
lim
95
428. Найти lim sin *-Jrctg *.
x->0 **
Л Используя разложения sin х н arctg х в степенные ряды, имеем
1/2
429. Вычислить J ~~*а08 хdx с точностью до 0,0001.
о
Л Заменив в подынтегральном выражении cos х его
пенной ряд, получим
1/2 1/
f 1—cosx , f
dx= \
о
о
1/2
х2
X* X4 . X8
2! 41~1~6!
х2
разложением в сте-
—1 1 1-
4! + б!
Xs
X3
Х 4!-3T6b5
1/2
О
о
-snr-CTy+shfar—“0-»-0'<ю|7-"’2483- Л
dx==
0,1
430. Вычислить у 1п (Н-х) дх с точностью д0 0,001.
о
0,1 0,1 г—J_ „2!_L *3_Lv4 I
Д C!M1+^cL.7x + 3^...........
J X J X
о 0
0.1
И1 1 1 \ Г 1 1 1 10,1
1 —2 x+-jx2~T x3+... j dx= [x-±x2+lx3-1gx4+... jo
0
—0,1 —L. 0,01 -4-1.0,001 — ... «0,098. ▲
4*9
431. Вычислить }e~x2dx с точностью до 0,001.
о
д уе-2ах=т_£+£-£-Н..)</х=
о о '
— [х— 3+2-5 6-7+24-9 120-11'1"'” Jo ®
« 1—0,3333 + 0,1000— 0,0238 + 0,0046— 0,0008-}-... =0,747. Д
432. Найти lim х ат^ё х.
X3
96
433. Найти lim * c.os x.
x->0 ex-l-x
0,2
434. Вычислить \ sln x dx с точностью до 0,0001.
J x
о
o.i
435. Вычислить J e dx с точностью до 0,001.
о
o.s
436. Вычислить J xln(l+x2)dx с точностью до 0,001.
о
f 7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
1. Комплексные числа. Комплексными числами называются числа вида
z~-iy, где х и у—действительные числа, i—мнимая единица, определяемая
равенством i2 = —1. Действительные числа х и у называются соответственно
действительной и мнимой частями комплексного
числа г. Для иих вводятся обозначения: х=Дег;
у = Im г.
Геометрически каждое комплексное число 2 = х+iy
изображается точкой М (х; у) координатной плоскос-
ти хОу (рис. 26). В этом случае плоскость хОу на-
зывают комплексной числовой плоскостью, или плос-
костью комплексного переменного г.
Полярные координаты г и <р точки М, являю-
щейся изображением комплексного числа г, назы-
ваются модулем и аргументом комплексного числа
z; для них вводятся обозначения: r = |2|,q> = Arg2.
Так как каждой точке плоскости соответствует
бесчисленное множество
значений полярного угла, отличающихся друг от друга на 2йл (k—целое по-
ложительное или отрицательное число), то Arg 2—бесконечнозначиая функция г.
То из значений полярного угла ф, которое удовлетворяет неравенству
— л< <р<л, называют главным значением аргумента г и обозначают arg г.
В дальнейшем обозначение ф сохраним только для главного значения
аргумента г, т. е. положим ф = arg 2, в силу чего длн всех остальных значе-
ний аргумента 2 получим равенство
Arg г = arg г -|- 2kn = <p + 2kn.
Соотношения между модулем и аргументом комплексного числа г и его
действительной и мнимой частями устанавливаются формулами
х=гсозф; 1/ = г81пф.
Отсюда
г=1г1 = Ух2+у2;
cos ф=х/| 2 | = х/угх24-i/2; sin ф =у/[ г [ =у!Ух2+у2.
Аргумент 2 можно определить также по формуле
arg 2 = arctg (<//х)+С,
где С==0 при х > 0, С = -|-л прн х < 0, у > 0; С = — л при х < 0, у < 0.
Заменяя х и у в записи комплексного числа z = x-]-iy нх выражениями
через г н ф, получаем так называемую тригонометрическую форму комплекс-
ного числа'.
z — r (cos ф + i sin ф).
97
Комплексные числа z1 = x1H-ii/i и z2 = х2 + считаются равными тогда
и только тогда, когда у них равны по отдельности действительные и мнимые
части:
Zi — z2, если Xi = x2, 1/1 = i/2.
Для чисел, заданных в тригонометрической форме, равенство имеет место,
если модули этих чисел равны, а аргументы отличаются на целое кратное 2л:
?i = z2, если | Zi | = | z21 и Argz1 — Argz2+2kn.
Два комплексных числа z-x-^-iy и г = х—1у с равными действительными
и противоположными мнимыми частями называются сопряженными. Для сопря-
женных комплексных чисел выполняются соотно-
шения
|Zi| = |z2|; argzi = — argz2
(последнему равенству можно придать вид
Arg г1 + Arg z2 = 2fcrr).
Действия над комплексными числами определя-
ются следующими правилами.
Сложение. Если Zi = Xi+n/i, г2 = х2+«/2,
то
Zi + г2 = (Xi-f-х2) + i (yi-j-уг).
Сложение комплексных чисел подчиняется переместительному н сочета-
тельному законам:
Zj+г2 — г2+zr, (Zi + г2) + г3 = zt +(г2+г3) = г3+г2+г3.
Вычитание. Если zl = xl-{-iyi, z2 = x2-j-iy2, то
Zi—г2 = (х— х2)+i (уг—у2).
Для геометрического пояснения сложения и вычитания комплексных чисел
полезно изображать их не точками на плоскости г, а векторами: число г ==
= x-\-iy изображается вектором ОМ, имеющим начало в точке О («нулевой»
точке плоскости — начале координат) н конец в точке М (х; у). Тогда сложение
и вычитание комплексных чисел выполняется по правилу сложения н вычита-
ния векторов (рис. 27).
Такое геометрическое истолкование операций сложения и вычитания век-
торов позволяет легко установить теоремы о модуле суммы н разности двух
и сумме нескольких комплексных чисел, выражаемые неравенствами:
11 г11— I гз 11 < I zi ± г21 < | Zi | + | г21,
I г1 + г2 + ... + z^ | < | Zi | +1 гг | +... +1 г* |.
Кроме того, полезно помнить, что модуль разности двух комплексных чисел
Zi и г2 равен расстоянию между точками, являющимися их изображениями на
плоскости z: | Zi — z2| = d(zi, г2).
Умножение. Если z1 = x1-^-iy1, z2 = x2-[-iy2, то
ZiZ2 = (хгх2—у1у2) +1 (х±у2 + Х2^1).
Таким образом, комплексные числа перемножаются как двучлены, причем
Р заменяется на —1.
Если гг = гг (cos ф1+1 sin ф!), z2= r2 (cos ф2 + « sin ф2), то
2122 = r2r2 [cos (Ф1 + ф2) + i sin (Ф1 + ф»)].
Таким образом, модуль произведения равен произведению модулей сомножи-
телей, а аргумент произведения—сумме аргументов сомножителей.
98
Умножение комплексных чисел подчиняется переместительному, сочета-
тельному и распределительному (по отношению к сложению) законам:
zj.z2 = z2zi; (z122)z3=z1(z2z3) = z1z2z3; (z24-z3) = ZiZ24-ZiZ3.
Деление. Для нахождения частного двух комплексных чисел, заданных
в алгебраической форме, следует делимое и делитель умножить на число, сопря-
женное с делителем:
2 . г _Xi-H.Vi _ (<i + »'i)(^2 —»У3) _ (*1*2 4~У1У2) +»(<аУ1—Х1У2)
11 2 *2+ ‘//2 (x2-\-iy2)(x2 — iy2) Х2+ У 2
х1х2 + у1у2..х2у1—х1у2
Х2 4-Уз х2 4- Уг
Если Zj и г2 заданы в тригонометрической форме, то
Zi: г2=[cos (Ф1—ф2) 4- i sin (фХ—<р2)].
гг
Таким образом, модуль частного равен частному модулей делимого и де-
лителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение в степень. Если z = x-\-iy, то по формуле бинома
Ньютона имеем
г" = (х 4- iy)n = хп + С^х" -1 • iy 4-... 4-
(п— целое положительное число); в полученном выражении надо заменить сте-
пени i их значениями:
i2 =—1; i3 = —1; i*=l; is = i, ...
и, з общем случае,
j«=l; ,4Л + 1_;-. (-4А + 2 — j. ,« + з =
Если г = г (cos ф 4~1 sin <Р)> -то
zn ~rn (cos лф4-« sin пф)
(здесь п может быть как целым положительным, так и целым отрицательным
числом).
В частности,
(COS ф-J-» Sin ф)п =COS Пф4-1 sin Пф
(формула Муавра).
Извлечение корня. Если п—целое положительное число, z =
= г (cos ф 4-1 sin ф), то корень n-й степени из комплексного числа z имеет п
различных значений, которые находятся по формуле
У? f cos £±^ + i sin<P+.2fe?>,
v v \ n * nJ
где £ = 0, 1, 2, n — 1.
437. Найти (г^/гз, если z1 = 3-|-5i, z2 = 2-|-3t, z3 = 14-2t.
Д 21z2 = (3 4-50 (2 4-3i) = 64- 9i +101 -15 = -9 + 19i,
21z2 —9 + 19i (—9 4-190 (1 — 2<) _
z3 ~ 14-2* - (14-20(1 — 20
—94- 18i4-191’4-38 _ 29 , 37 . A
— i+4 ~5 + 5(’A
438. Представить в тригонометрической форме комплексное
число г = 2 4- 5i.
Д Находим модуль комплексного числа: г = у^44-25 = У^29 я; 5,385.
Находим главное значение аргумента: tg<p = 5/2 = 2,5, ф = 68°12'. Следова-
тельно, г я; 5,385 (cos 68°12'4-1 sin 68°12'). А
439. Представить в тригонометрической форме комплексное
число г = 2р"3 — 21.
Л Находим г= У 124-4 = 4, sin ф =—2/4 = —1/2; cos ф=2уг 3/4 = У 3/2;
ф =— л/6, т. е.
z = 4 [cos (— л/6) 4- i sin (— л/6)]. А
440. Представить в тригонометрической форме комплексные
числа 1, i, —1, —i.
/\ 1 = 1 4-0-1 = 1 .(cos O-J-i sin 0),
i = 04- 1 • i = 1 • [cos (л/2) 4-< sin (л/2)],
— 1 = —14-0. 1 = 1 -(cos л4-1 sin л),
— i = 0— 1 • 1 = 1 • [cos (— л/2)-j- i sin (— л/2)]. A
441. Представить числа z1=14-i, z2 = K34-i, z3 = l+»K3
в тригонометрической форме, а затем найти комплексное число
Zi/(Z2Z3).
Л Находим
''i = |zi| = )< 14-1 = 2, tg?1 = 1, = arg z2 = л/4,
Zj = У 2 [cos (л/4) 4- i sin (л/4)];
za = | z21 = К34- 1 =2, 1§ф2= \/у 3, ф2 = arg г2 = л/6,
гг = 2 [cos (л/6) 4- i sin (л/6)];
А — I z3 [ = УЗ4- 1 = 2, tg фз = У 3, фз= arg 23 = л/3,
z3 = 2 [cos (л/3)4-< sin (л/3)].
Следовательно,
z2z3 = 2.2 [cos (л/6-|-л/3)4-1 sin (л/64-л/3)] = 4 [cos (л/2) 4-1 sin (л/2)]
и
zi У 2 cos (л/4) 4- i sin (л/4)
г2г3 4 cos (л/2) 4-1 sin (л/2)
У"2 1
= -4—[cos (— л/4) 4-i sin (— л/4)]=^-(1 — 1). Д
442. Найти все значения jZ84~*.
А Запишем комплексное число г= у84~< в тригонометрической форме.
Имеем г = | г |= Уб4-[-1 = Уб5 к 8,062, <р = argz = aratg (1/8) = 7°6', т. е.
г я: 8,062 (cos 7°6' 4- i sin 7°6'). Следовательно,
=. //еда- (cos +
® 2,0052 [cos (2°22' 4- 120°fe) 4- i sin (2°22' 4- 120°£)J.
Если fc = 0, to wg я; 2,0052 (cos 2°22'4-i sin 2°22');
» k = 1, » Wi x 2,0052 (cos 122°22'4-i sin 122°22');
» k = 2, » ц/2 я; 2,0052 (cos 242°22' 4- i sin 242°22')-
Следовательно, to0 ~ 2,00344-0,08281; Wj. я; — 1,07344- 1,71201; w, «
«—0,9300—1,77641. Д
443. Решить двучленное уравнение ay54-32i = 0.
100
Д Перепишем уравнение в виде —32/. Число —32/ представим в три-
гонометрической форме:
ш5=32[соз(—90°) -|- i sin (—90°)], или w = 2 р/" cos (—90°) + »sin(—90°),
т. е.
„Г — 90°+360% , . , —90°+360% 1
w = 2 cos-------------Н sin------j----- =
L ° о J
=2 [cos (—18°+72%) + i sin (—18°+72%)].
Если k = 0, to Щ) = 2 [cos (—18°) + » sin (—18°)] = 1,9022 — 0,6180» (Л).
« Xr=l, « a»i = 2 (cos 54°+» sin 54°) = 1,1756+1,6180г (B).
« k~2, « w3 = 2(cos 126°+» sin 126°) = —1,1756+ 1,6180» (C).
» k = 3, « te>3 = 2 (cos 198°+» sin 198°)=—1,9022— 0,6180/(0).
« fe=4, « o>4 = 2 (cos 270°-|-i sin 270°) =—2»(£).
Корням двучленного уравнения соответствуют вершины правильного пяти-
угольника, вписанного в окружность радиуса 7? = 2 с центром в начале коор-
динат (рис. 28).
Вообще корням двучленного уравнения wn = a, где а—комплексное число,
соответствуют вершины правильного n-угольника, вписанного в окружность
с центром в начале координат и радиусом,
равным «I- ▲
444. Пользуясь формулой Муа-
вра, выразить cos5q> и sin5q> через
cosq> и sinq>.
Д Левую часть равенства (cos ф +
+ » sin<p)5 = cos 5ф+» sin 5ф преобразуем по
формуле бинома Ньютона:
cos5 ф+5/ cos4 ф sin ф—10 cos3 ф sin3 ф —
— 10» cos2 ф sin3 ф + 5 cos ф sin4 ф +
+ / sin5 ф = cos 5ф +» sin 5ф.
Остается приравнять действительные и мнимые части равенства:
cos 5ф = соз5 ф—10 cos3 ф sin2 ф + 5 cos ф sin4 ф,
sin 5ф = 5 cos4 ф sin ф — 10 cos2 ф sin3 ф + sin5 ф. Д
445. Дано комплексное число z = 2—2i. Найти Rez, Imz,
|z|, argz.
446. Представить в тригонометрической форме комплексное
число г — —12 + 5/.
447. Вычислить по формуле Муавра выражение (cos 2°+i sin 2е)4?.
/ лГ "з -4- / \12
448. Вычислить по формуле Муавра ( ) >
449. Представить в тригонометрической форме комплексное
число z = I + cos 20° + i sin 20°.
450. Вычислить выражение (2 + 3/)3.
451. Вычислить выражение (4—5/) *
452. Вычислить выражение 1/(3—2/)а.
453. Представить в тригонометрической форме комплексное
число 5—3i.
101
454. Представить в тригонометрической форме комплексное
число — 1 -|- i.
n (cos 77° + i sin 77°) (cos 23° + i sin 23°)
455. Вычислить выражение ------------!------------------------ '
COS Du —|— I SUl Du
456. Вычислить выражение , предварительно
представив в тригонометрической форме множители в числителе
и знаменателе.
457. Найти все значения I.
458. Решить двучленное уравнение ш3—4K2(l + i) = 0.
459. Выразить cos4<p и sin4<p через costp и sin ср.
460. Показать, что расстояние между точками г± и г2 равно
|г2—гх|.
Л Имеем z1 = x1 + iy1, z2 = x2-\-iy2, z2 — z1 = (x2 — x1)-\-i(y2—y1), откуда
I z2—Zi | = V(x2—Xi)2 + (i/2 —i/l)2,
t. e. | z2 — Zi | равно расстоянию между данными точками. А
461. Какая линия описывается точкой г, удовлетворяющей
уравнению \г— c\ — R, где с—постоянное комплексное число,
a R > 0?
462. Каков геометрический смысл неравенств: 1) |z—с| < R;
2) | г-с| > R?
463. Каков геометрический смысл неравенств: 1) Rez>0;
2) Im z < О?
2. Ряды с комплексными членами. Рассмотрим последовательность комп-
лексных чисел Zi, г2, г8, .... где zn = xn-\-iyn (п= 1, 2, 3, ...). Постоянное
число с = а-\-Ы называется пределом последовательности Zi, z2, z3, ..., если
для всякого сколь угодно малого числа е > 0 найдется такой номер N, что
гее значения гп с номерами п > N удовлетворяют неравенству | z„—с| < е.
В этом случае пишут lim zn = c.
П->00
Необходимое и достаточное условие существования предела последова-
тельности комплексных чисел состоит в следующем: число с = а-\-Ы является
пределом последовательности комплексных чисел Xi-f-iyi, x2-\-iy2, x3-\-iy3, ...
тогда и только тогда, когда lira хп = а, lim yn — b.
Ряд
a>1-f-w2-f-tt'3+..., (1)
членами которого являются комплексные числа, называется сходящимся, если
п-я частичная сумма ряда Sn при п —► оо стремится к определенному конеч-
ному пределу. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.
Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды с действи-
тельными членами
Reuii + Reffii2 + Reui34-... (2)
Im Im щ2+ Imui3-|- ... .
(3)
Если суммой ряда (2) является число S', а суммой ряда (3) — число S",
то суммой ряда (1) служит комплексное число S = S'-f-iS".
Если ряд
Ш1+^2 + а:,з4-... (где wn = un-\-iv)
сходится, то lira шя = 0 /т. е. lim ип = 0, lim t»„ = 0\.
n->® ' n-*OO Zl-*OO '
Если сходится ряд
I I +1 ^21+1 I + • • • 4-1 шп 14- • • • t
тэ сходится и ряд
и/14-к’«4-®з4-—Ь“'» + --- •
3 этом случае последний ряд называется абсолютно сходящимся.
Пусть дан степенной ряд
ao+ai (г—го) + аг (г—г0)34- • • 4*an-i (г—го)',~1 + • • • >
где ?о>Со. Oi, Ог, •••—комплексные числа, причем коэффициенты ряда отличны
jt нуля, а г—комплексное переменное.
Этот ряд сходится в круге |г—z0 | < R, где R = lim I ап/ап + 1 I, и расхо-
I I
нтся вне указанного круга, т. е. при значениях г, удовлетворяющих нера-
венству | z — г01 > R-
464. Исследовать сходимость ряда
(1+0+(у+у*) + (т+4‘) + ’' - + ’ *
Л Ряды
1+т+т+-" + 2^1 + "' И 1+4+r+•••+з^+•••
сходятся, так как они составлены нз членов бесконечно убывающих геометри-
ческих прогрессий. Следовательно, сходится и заданный ряд с комплексными
члевами.
Найдем суммы этих прогрессий:
с_____________________!___2 S-—!__________-
1 —1/2 ’ 1 — 1/3 2’
Следовательно, сумма рассматриваемого ряда есть комплексное число
S=24-(3/2) i. Л
465. Исследовать сходимость ряда
(1 4-0,li) 4- (у + 0,Oli) + (| + O.OOli) + . .. + (|+1У + • • • •
Л Рассмотрим ряды
1+-J-+4-+-..+4+--- и о,1+0,014-0,0014-...+(0,1)'«4-... •
Zu П
Первый из них расходится, следовательно, расходится и данный ряд с
комплексными членами. Д
466. Исследовать сходимость ряда
/ 1 , 2 Л , I 2 , 3 ..\ , (3 , 4 ,Л , , ( п , п4-1 Д ,
(т+т1) + ('з+т1?) + (т+‘51; + -• + (^+i+rp2I) + '" •
п , п + 1 .
Л Ряд расходится, так как общий его член “'л=^трг+^+2 * Не стре"
мится к нулю (в этом рекомендуем убедиться самостоятельно). Д
103
467. Показать, что ряд
сходится абсолютно.
Д Так как 1 + 1 = У 2 [cos (л/4) + isin (л/4)], то
(1+ rcos(n/4)+isin(n/4)1" 1 ( пп . . , лп\
w^{~2-) =[-----------yf--------] =?^1со8т+‘51пт/
Следовательно, ] | = 1/2Л/2. Составим ряд из модулей:
2i/2*i 2‘2ai2‘’"‘2nl2‘"' "
Этот ряд, члены которого образуют бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию, сходится; следовательно, заданный ряд с комплексными членами
сходится абсолютно. А
468. Найти область сходимости ряда
q+i (г_0+(1ф-!)! (г_0. +...+(г-о-+.. • •
Л Имеем
„ JKH'T п ап 3
" А-3~/ ’ —з-) ’ ав+1-у з+Г
I ап I__з_____ 3 3 п _ з
|a«+i| | /"3 + i| “ / 3+Т— 2 ’ 2’
Областью сходимости ряда является круг |г—i| < 3/2. Д
469. Показать, что ряд
сходится и найти его сумму.
470. Исследовать сходимость ряда
л+(^+2йл
471. Исследовать сходимость ряда с общим членом — •
472. Показать, что ряд
сходится абсолютно.
473. Найти область сходимости ряда
474. Найти область сходимости ряда
(г — 1 — I) + 2! (г— 1 — t)a+ •••+»! (г— 1 — t)n + • • • •
104
3. Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного.
доказательная и тригонометрические функции комплексного переменного г оп-
ределяются равенствами, верными для любого г:
2 Z^ 2?
e2=,+^+fI+g+...:
, z z3 , z5
sinz-^-gj+gj-...;
z2 z4 zs
cosz=l — --j-----)-... .
Эти ряды сходятся во всей комплексной плоскости.
Между указанными функциями существуют следующие соотношения:
ezi = cos z + i sin z,
e~zi = cos z — i sin z,
ezi tp-zi
cosz= ,
ezi — e~*<
Sin Z =---------,
2t
(1)
(2)
(3)
(4)
называемые формулами Эйлера.
С помощью формулы (1) комплексное число, заданное в тригонометричес-
кой форме г = г (cos <p + i sin <р), может быть представлено в показательной
©срме 2s=re^,
475. Представить в тригонометрической и показательной фор-
тах комплексное число z = 3 + i‘K3.
Л Находим г=}^9-|-3 = 2}^ 3, <р = arctg (У 3 /3) = л/6. Следовательно,
тагонометрическая форма данного числа имеет вид z=2)/^ 3 [cos(n/6)-|-isin(n/6)],
а показательная форма — вид г = 2 У Зел,/в. А
476. Представить в показательной форме число z = K2—i‘K2.
Л Имеем г=У 2-[-2 — 2, tg <р =—У 2/У 2 = —1, <р — — л/4, т. е.
z=2e~nlli. А
477. Записать в алгебраической форме еп‘/2.
Л Воспользуемся формулой (1):
enii 2 cos (л/2) -j- £ s in (л/2) = i. А
478. С помощью формулы Эйлера доказать, что
1 3
COS3 X = у COS Зх + у COS X.
/\ Так как cos x=(exi -\-e~xi)/2, то
e3A'+3e*‘4-3e-x‘4-e-3x/
COS3 X —---*-----1-5----1---- =
о
1 езЛ/_|_е-з.г(- з exiie-xi 13
=у---------2-----hy-----2----=Т cos3x+y cos х- А
479. Представить в показательной форме число г = УЗ-{-1.
480. Представить в показательной форме число —i.
481. Записать в алгебраической форме е711'.
105
482. Показать, что cos3x = ^cos5x-|-^cos3x-|--|-cosx.
483. Выразить sin3x линейно через sinx и sin3x.
484. С помощью формулы Эйлера показать, что имеет бес-
численное множество значений, которые все являются действи-
тельными.
§ 8. РЯД ФУРЬЕ
Рядом Фурье периодической функции f (х) с периодом 2л, определенной
на сегменте [—л, л], называется ряд
00
j+S (ат cos mx-\-bm sin тх), (1)
т = 1
где
Л
ат=-± J f(x) cos mxdx (/71 = 0,1,2,...),
-л
л
bm § f (х) sin mxdx (т=1,2, ...).
-л
Если ряд (1) сходится, то его сумма S (х) есть периодическая функция с
периодом 2л, т. е. S (х-|-2л) =5 (х).
Теорема Дирихле. Пусть функция f (х) на сегменте [— л, л] имеет
конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного
числа точек разрыва I рода (т. е. удовлетворяет так называемым условиям
Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента
[— л, л] и сумма S (х) этого ряда:
1) S(x)=f (х) во всех точках непрерывности функции f (х), лежащих внут-
ри сегмента [—л, л];
2) S (х0) =-g- [/ (хо-0)+/ (хо-|-0)], где х0—точка разрыва I рода функции f(x);
3) S(x)=-^-[f(—л+0)-|-/(л—0)] на концах промежутка, т.е. при х=±л.
Если функция f (х) задана на сегменте [—1,1], где I—произвольное чис-
ло, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная
функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье
00
а0 , V' ( тлях , . , тпх\
2ы ( ат cos~j---F*mSin—
где
г i
1 С .. . тлх , . If,,., /лях .
ат=— J / (х) cos -у- dx, f (х) sin —— dx.
-I -I
В случае, когда /(x) — четная функция, ее ряд Фурье содержит только
свободный член и косинусы, т. е.
оо
+ z^amCOS—*
m= 1
106
где
i
2 (* . . . тлх .
am=Tj / Wcos —dx-
о
В случае, когда / (x)— нечетная функция, ее ряд Фурье содержит только
синусы, т. е.
00
£ / X X? А •
f {х}= bmSm — ,
т = 1
где .
I
, 2 . тлх ,
Ьт=~ j f W Sin-y-dx.
О
Если функция f (х) задана на сегменте [0,/], то для разложения в ряд
Фурье достаточно доопределить ее на сегменте [— /, 0] произвольным способом,
а затем разложить в ряд Фурье, счи-
тая ее заданной на сегменте [— I, /].
Наиболее целесообразно функцию до-
определить так, чтобы ее значения
з точках сегмента [— /, 0] находились
S3 условия f(x)=f(—х) или
f(x) = — —х). В первом случае
функция f (х) на сегменте [— I, /]
* .дет четной, а во втором—нечет-
®сй. При этом коэффициенты разло-
жения такой функции (ат в первом
т-тучае и Ьт— во втором) можно
У
Рис. 29
определить по вышеприведенным
формулам для коэффициентов четных и нечетных функций.
485. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с
яериодом 2л, заданную в интервале (—я, я) уравнением f (x)=n~i~x.
Л Г рафиком этой функции в интервале (—я, я) является отрезок, соеди-
няющий-точки (— л;0) и (л; 2л). На рис. 29 изображен график функции
y=S(x), где S (х)—сумма ряда Фурье функции f(x). Эта сумма является
периодической функцией с периодом 2л и совпадает с функцией /(х) иа сег-
менте [—л, л].
Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим
л
л
л л
ао = -^ pW
- я
У (л+х)
-л
dx= У dx4--^- J xdx.
-я -л
Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый
по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом,
а0 = У dx=2n.
-л
107
Далее, находим коэффициенты ат. Имеем
л л
а/я — ~ J f W cos mxdx=-^ J (л-|-х) cos mxdx=
-Л -Л
Л Л
= У cos mx dx-l~ У x cos mxdx.
-Л - Л
Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подынтегральная функция
второго интеграла является нечетной как произведение четной функции на
нечетную). Итак, ат=0, т. е. at = а2 = аа= ... =0.
Найдем теперь коэффициенты Ьт:
Л л
=-“ У f (х) sin mxdx=-^- У (зт+х) sin mx dx =
-л -л
л я
= У sin mxdx-j--^- У xsin mxdx.
-л -л
Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интег-
рала—четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом,
л
Ьп = — У х sin mx dx.
о
Интегрируя по частям, получим и = х, dv — sin mxdx, du=dx, v =
=— (l/m)cosmx, t. e.
л
, 2x |я . 2 С , 2 , 2 . Iя
bm =------cosmx -------\cosmxax =------cosmnH--------rsinmx —
n тл о mn J m nm2 |o
о
2 2
= — - (— IV» =— (— IV»+ 1.
m m
Следовательно, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
00
\ /П + 1
/(х)=л + 2 2^—^------smmx =
m= 1
, „ I . sin 2х , sin Зх sin 4х . \ *
= л + 2 ( sinx--g----1--3------j---|-... j. ▲
486. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию / (х) с
периодом 2, заданную на сегменте [—1,1] уравнением /(х) = х’
(рис. 30).
Л Рассматриваемая функция является четной. Ее график—дуга парабо-
лы, заключенная между точками (—1; 1) и (1; 1). Так как /=1, то
1 1
а0 = у У f (х) dx = 2§ x2dx=-|-,
о о
I 1
2 0... тпх . „ С , ,
ат = —\ Нх) cos—j— dx=2 j х2 cos тлх dx.
о о
108
Здесь нужно дважды проинтегрировать по частям:
1 2х2 11
1) и = х*, dv = cos tnnxdx, du = 2xdx, v=—slnтлх; am=—— sin тлх—
' лт тл |o
1 1
---— \ x sin mлх dx =---\ x sin тлх dx;
тл J тлJ
о о
1 4x
2) u = xt dv = smmnxdx, du~dx> v —--------costnnx\ am~ —x-* X
z * ’ тл т2л2
1
it 4 e 4
X cos тлх----=—9 \ cosmjtxdx = —2“2(—1)OT.
о П12л3 J rn£n£
0
Так как рассматриваемая функция—четная, то Ьт=0. Следовательно,
. 1 . 4 \7 (—1)т
fW=-5-+=2 2- 4J-cosmnx =
О JI (fl
т = 1
1 4 ! cos 2лх . cos Злх cos 4лх , \ .
= 3'—лЦС05ЛХ-------+~&-------------+
487. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, задан-
ную на полупериоде [0, 2] уравнением f(x) = x—х2/2.
Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количест-
вом способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта разложения.
1) Доопределим функцию f (х) на сегменте [—2, 0] четным образом (рис. 31).
Имеем 1 = 2,
п
С/ 1 aL fx2 1 I2 2
a“ = J (/“2 Х )dX=\2~ Х3) о=-3 ’
2
С( 1 тлх ,
= } -2 х } cos —2~dx.
о 4
Интегрируем по частям:
1 , . тлх . . . . 2 ' . тлх
и=х—тг х-, до = cos—dx, du = (l—x)dx, v = —sin —x-:
2 2 ' ' тл 2
( 2
2 / 1 . mnx|2 2 С,. , тлх ,
aK =---- x—~nX2 sin—77-----------\ (1—x)sin—zr-dx =
m тл \ 2 J 2 о тл J ' ' 2
о
2
2 C , тлх .
=------\ (1—x)sin—77— dx.
тл J ' ' 2
о
109
Еще раз интегрируем по частям:
, , . тпх , , , 2 mnx .
w=l—х, a:’ = sm—т-dx, аи= — ах, v =-----cos—77—;
2 mn 2
2
4 . тпх I2 , 4 р тпх ,
д ———- (1 — X)COS —77— Ч--т-т \ cos—н— dx=i
т т2п2' 2 [о т2п2 J 2
о
4
^[1+ (-!)-], ftm = 0.
4 4
—5—5 cos mn---5-5
m2n2 m2n2
Итак,
П1 — 1
(—l)m mnx
- cos—5-
m2 2
1 8 / 1 ,1 „ , 1
3 “л2 ( 22COSIlX+42COs2ll*+62COS
!/
1
1
. 2
2.
32
Рис.
4 J. Гя
2) Доопределим
рис. 32):
функцию
/(х) на
сегменте [—2, 0] нечетным образом
2
Итак,
1 2
U—X — -у X2,
Ьт
2
ZHJl
^=У(х-1х2
. , тих , , ч ,
do = sin—dx, du—(l—x)dx, о —
2
1 \ mnx |2 . 2 C .
x—=- x2 cos —x— -4--\ (1 —x)
2 J 2 |o 1 mn J ' '
0
dx;
2 mnx
— cos —;
mn 2
тпх .
cos —dx—
2
mnx ,
cos —у- dx;
о
1 J тпх J J .
и=1—х, do = cos—g—dx, du =— dx,
. 4 . . mnx
Ьт=—т-ъ, (1 — x) Sin —
m2n2 2
2 , mnx
v=---sin——;
mn 2
mnx
2
г , тпх .
\ sin—— dx—
о
8 , 8
—»-»• cos тл -4-x-z
тлпл ' т3л3
8 mnx I2
=----COS —5—
• т3л3 2 |o
О
= •» [1 -(-OH; am = o (m = 0, 1, 2, ...).
8 V 1—(~l)m , mnx
2- - m3 sin^-^
zn= 1
16 ( . nx , 1 t 3nx , 1 5nx ,
,t>(SU1 2 'r 33’sln—2 r‘5T'sln~2
т3
110
488. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с пе-
риодом 21 (рис. 33), заданную на сегменте [—I, /] следующим
образом:
f 0 при —
^(х) = -{ х при 0<х</,'2,
V 1/2 при //2<х</.
Л Находим
I о V2 I
ao=-f- J f(x)dx=j- §f(x)dx+-j- f(x)dx-|-y j /(x)dx =
-l -i о Z/2
1/2 I
1 C A L 1 C 1 л _ 1 * l'/2 ! 1 I' 1 , 1 3 I.
— z j xdx+ z \ 2 dx- z • 2 |Q + 2 x|z/2— 8 + 4 8 Z«
0 1/2
I 0
1 . mnx , 1 P f, mnx , .
J /(x) cos—g—dx=y J f (x)cos —— dx-\~
-l —l
1/2 I
, 1 Pf, mnx , . 1 P ,. , mnx ,
+y W(x)cos —-—rfx+y \/(x)cos —-—dx=a
0 Z/2
К первому интегралу применяем интегрирование по частям:
. тпх ... I тпх
и=х, dv — cos—— dx; du = dx, v=---sin——.
z mn I
откуда
x , mnx K/2 1
ая>=---sin =—
m mn I о
2mn ’Sin
sin mn
1/2
P mnx . . I , mnx U
„ I sin—— dx4--x---sin—-—
mn j I 1 2mn I z/2
о
mn , I mnx H/2 ,
—о——r-j-cos—-— 4-
2 1 m2n2 I |o 1
mn \ If mn . \
-sin-^-l=w(cos—-И.
Определяем коэффициенты bm;
Z/2 Z
. 1 P mnx , . 1 P mnx ,
bm=f j xsin—j—z/x-4-у I sin—-—dx.
о Z/2
111
К первому интегралу применяем интегрирование по частям:
. , тлх , , . I тлх
и — х, да = sin—— dx, du=dx, v =--cos—.
I тл I
Имеем
b.
Если
Z/2
1 С тлх , I
--- \ cos—— dx— -z--cos
тл J z 2тл
о
I , тлх H/2 I / тл
Т5—।—г? sln —-— — ----- cos тл—cos
2 1 т2л2 I |о 2тл \ 2
1 , тл I ,
т2л2 2 2тл ' '
„ I «. 1 । I >» 2-{-я
1- л2’ Ь1~л2 **"2л —' 2л2 •
I t I
йг---2л2’ Ьг~ ТГ
_ I . 1.1
аз---9л2’ Ьз = “9^+&Г
а4 = 0, Ь4 =
оЛ
- 1 h — 1 J- 1 1 2+5л
0,5 25л2’ °5'-25л2**- 10л 50л2
x тлх И/2
---COS -;--
/----------0
тл
I
s---cos
2тл
m= 1,
m = 2,
m = 3,
m = 4,
m — 5,
тл
то
3л—2
18л2
тлх U
/ |z/2
Следовательно,
f(x) = /
1
-5 cos
л2
1 2лх
т cos
2л2
Злх .
п~я COS —г~+-
9л2 / '
лх . 2-4-л ,
“Г+~2^Sin
1 . 2лх \
—sin_j.
—2-|-Зл . Злх \ .
~r&?~sin— )+
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию / (х) с перио-
дом Т, заданную на указанном сегменте.
489. /(х) = х; Т = 2л; [—л, л].
490. /(х) = |х|; Г = 2; Г—1, 1].
491. /(х) = е*; Т = 2л; [—л, л].
492. /(х) = х3; Т = 2л; [—л, л].
493. /(х) = л—2х; Т = 2л; [0, л]. Продолжить f(x) на сегмент
[—л, 0]: 1) четным образом; 2) нечетным образом.
494. f(x) = | “J при -л<-"г<0’ Т = 2л.
' х ( h при 0<х<л;
495. /(х) = /-^ при Т = 2л.
7 V 7 [ Зх при
496. /(х) = х2; Т = 2л; [0, л]. Продолжить f (х) на сегмент
[—л, 0] нечетным образом.
497. f (х) = / при х^0, Т = 2л.
498. f(x) = cos2x; Т=2л; [0, л]. Разложить в ряд по синусам.
112
499. f(x) = x-, T = 2\ ГО, 1]. Разложить в ряд по синусам.
500. f(x) = Lx ПРИ ° т = 4. Разложить в ряд по ко-
' ' > (2—х при 1 < х<2;
синусам.
f 9. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Если функция f (х) удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном
(+00
т. е. | f (х) | dx
— ®
гходится^, то для нее справедлива интегральная формула Фурье (получаемая
предельным переходом из ряда Фурье периодической функции с периодом 2/
при I —► со):
+ ® + ®
/ (х)=— dz f (и) cos г (и—x)du
О — ®
(в точках разрыва I рода по-прежнему за значение f (х) принимается
(1/2) [/(хо—v) + f (*o + 0)L W *о — абсцисса точки разрыва).
Интеграл Фурье можно представить в комплексной форме:
+ ® + ®
j & j f(u)eiZ{u-x’du=-^
— CD — CD
e~‘Zxdz j eiZuf(u)du.
Для четной функции интеграл Фурье может быть представлен в виде
+ ®
f (х) = — J cos zx dz
о
+ ®
У f (и) cos zu du,
о
а для нечетной функции — в виде
+ ® + ®
2 С С
f(x)—k sinzxdz \ f (u) sin zu du.
о о
С тремя последними формулами связаны так называемые интегральные преоб-
разования Фурье:
1. Преобразование Фурье общего вида:
+ ®
F(z)=y.L.- J e‘zxf(x)dx (прямое),
— оо
+ ®
f (х) = J e~izxF(z)dz (обратное).
— ®
1’3
2. Косинус-преобразование Фурье (для четных функций):
______________+ ®
fc(z)=j/ J f (х) cos zxdx (прямое),
о
+ ®
/2 С
— ] fc (г) cos zxdz (обратное),
о
3. Синус-преобразование Фурье (для нечетных функций):
J f (х) sin zx dx (прямое),
о
zxdz (обратное).
о
Синус- и косинус-преобразования Фурье могут применяться к функциям,
заданным лишь на положительной полуоси Ох, если они абсолютно интегри-
руемы вдоль этой полуоси и удовлетворяют на любом ее конечном отрезке
условиям Дирихле. При этом синус-преобразование продолжает функцию f (х)
на отрицательную полуось нечетным образом, а косинус-преобразование —
четным.
Примечание. В интегральных формулах Фурье все интегралы вида
00
J / (и) du понимаются в смысле главного значения, т. е.
+ ® N
\ f (и) du — lim \ f (и) du.
J N со v
— оо — N
501. Найти косинус- и синус-преобразования функции f(x) = e~
Л Имеем
fc(z)
I е~и cos zu du.
о
С e“acos zudu——^-r-r . то
J г2+1 ’
о
£ 1
л г2 +1 *
Аналогично получаем
В свою очередь, применив косинус- и синус-преобразования Фурье
к функциям fc (z) и fs (г), получим функцию f (х), т. е.
cos zx
1^+Т
dz=e~x,
z sin zx
dz=e~x.
114
Отсюда получаем интегралы Лапласа'.
cos zx . л
z sin гх .
. dz
z2+ 1
е~х. Д
502. Пусть функция f (х)
определена равенствами
( 1
/(Л')= 1/2
0
при
при
при
< а\
х = а;
х > 0.
Найти ее косинус- и синус-преобразования (рис. 34).
а.
Рис. 34
Л Находим косинус-преобразование данной функции:
___+ ®
L (г) — j f (и) cos zu du =
о
Найдем теперь синус-преобразованне:
/«(*)“
0 . sin zu du =
Отсюда получаем
sin az
г
cos xz dz =
1/2
0
при
при
0 <х < а;
х = а;
при х > а,
о
Л
1
/
2
{разрывный множитель Дирихле) и
+ ® Г 1
2 Г 1 — cos az , , I . „
— \------------sin xz dz = ! 1/2
л J г I '
о \ 0
при
при
при
0<x < a;
x — a;
x > a. A
503. Найти преобразование Фурье функции
/ W =
х+1 при —1 1/2;
1 при и < 1/2;
-х+1 при 1/2 -
0 при 1 < |х|.
115
Л По формуле преобразования Фурье
+ 30
F (г) =-—£=- I f (и) e‘Za du,
V 2л J
используя вид функции f (х), находим
-1 -1/2
У 2 л F (г) = 0-ei;u du-\- («+ 1) е'г“ du-f-
— » — 1
1/2 1 +®
_|_ 1 •е‘~и du-j- (—u-f-1) e‘Za du-j- 0-e‘zadu.
-’1/2 1/2 1
Первый н последний интегралы, очевидно, равны нулю. Обозначим осталь-
ные интегралы соответственно через Л, /2 и Z3 и вычислим их:
-!/2
___L. ± е -iz/2_L р - iz‘- - I L е-I? — й- z</2 I L р-г‘/2_L р- г/.
— zi 2 Ti2z2 — 2zi + г2 г2 ’
1/2
/2 = С e№diz==±e'2"|I/2 =± (ez‘72—е~2‘/2)= 2 Sln (г/2).;
J ZI |-1'2 ZI ' Z
-1/2
1
/3= f (-«+1)е'2аЛг=Н(-и+1)^«+71_е^11 =
J L 1 Z J 1/3
1/2
=_±ег< 1 ег‘/2+1 гг/2
г2 2zi 1 г2
Итак,
. 1 Г 1 , 1 1 . 2 sin (z/2)
F (г) = ,_—e~ --------e~ Zl<2-e~zt-\---v ‘ —
К 2л [ 2zi z2 z2 z
±ез/____Lezi/2.1ен/21—l.._ Г 2cos г . sin (z/2) 2cos (z/2) 1
z2e 2zi +z2 j /2Т± г2 ф z 7- ]’*
504. Найти преобразование Фурье функции
г / \ J cos (х/2) при |х К я,
' ' ' ( 0 при | х | > л.
505. Найти преобразование Фурье функции
( —ех прн — 1 eSx < 0;
/(х)=] [е~х при 0<х< 1;
0 при | х | > 1.
506. Найти синус- п косинус-преобразования Фурье функции
( —1 при —1 <;хйт—1/2,
/(х)=| 0 при — 1/2 < х < 1/2,
( 1 при 1/2<х<1.
ГЛАВА IV
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
$ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
в частных
называется
первого по-
1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравне-
ние, связывающее независимые переменные, нх функцию и производные (нли
дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то урав-
нение называется обыкновенным', если же независимых переменных две нли
больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением
производных.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение,
порядком дифференциального уравнения. Например:
1) *2У' + 5ху = у2—обыкновенное дифференциальное уравнение
рядка;
d2y . dy , , . .
2) -т-£—-^=х2 —обыкновенное дифференциальное уравнение второго
С1Л ил
порядка;
3) /’ + t/'y"’ — х—обыкновенное дифференциальное уравнение третьего
порядка;
4) F (х, у, у', у”) = 0—общий вид обыкновенного дифференциального урав-
нения второго порядка;
, дг , , дг п
5) х2 = ®—Уравнение в частных производных первого порядка.
В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные
уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у')—О или (в раз-
решенном относительно у' виде) у' =f (х, у).
Решением дифференциального уравнения называется такая дифференци-
руемая функция у = <р(х), которая при подстановке в уравнение вместо неиз-
эестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения
дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциаль-
ного уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у' =
= f (х, у) в области D называется функция </ = <р(х, С), обладающая сле-
дующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при лю-
бых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому мно-
жеству; 2) для любого начального условия у(ха)=уо такого, что (х0; y0)^D,
существует единственное значение С — Со, при котором решение </=ф(х, Со)
удовлетворяет заданному начальному условию.
Всякое решение г/ = ф(х, Со), получающееся из общего решения у=ф (х, С)
арн конкретном значении С = Сф называется частным решением.
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y'=f (х, у),
удовлетворяющее начальному условию у(Хо) = г/0, называется задачей Коши.
Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = ф(х) диффе-
ренциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.
Таким образом, общему решению г/ = ф(х, С) на плоскости хОу соответствует
семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра —произволь-
ной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному усло-
вию i/(x0) = i/o, — кривая этого семейства, проходящая через заданную точку
-И. (х0; Уо)-
Если функция f (х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную
в области D, то решение дифференциального уравнения у' =f (х, у) при началь-
ном условии у(х0)—уа существует и единственно, т. е. через точку (х0; уй}
117
проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема
Коши).
Особым решением называется такое решение, во всех точках которого
условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой
точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные
кривые, проходящие через эту точку.
Особые решения не получаются из общего решения дифференциального
управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе
и при С= ± оо).
Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых
(если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается
по меньшей мере одной интегральной кривой.
Например, общее решение уравнения у'= 1 — у2 записывается в виде
y=sin (х-|-С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие:
у= 1 н у =—1, которые н будут особыми решениями.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Диффе-
ренциальное уравнение вида
fi (х) ф1 (у) dx+f2 (х) ф2 (у) dy = O
относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна
нз функций h (х), f2 (х), Ф1 {у), ф2 {у) не равна тождественно нулю, то в ре-
зультате делен ня исходного уравнения на /2 (х) фг (гу) оно приводится к виду
l^dx+S^dy = 0.
fi (X) Т ф! (у)
Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению
C-^dx+f ^dy = C,
J fi(x) Ф1 (t/)
которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Реше-
ние дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют
интегралом этого уравнения.)
507. Решить уравнение х(у2— 4)dx-{-ydy = 0.
Л Разделив обе части уравнения на у2—4 ф 0, имеем
у dy п
xdx-\- а . =0.
У2 — 4
Интегрируя, находим
х2-[-1п | у2~ 4| = 1п|С|, или у2—4 = Се~хг.
Это общее решение данного дифференциального уравнения.
Пусть теперь у2—4 = 0, т. е. г/=±2. Непосредственной подстановкой
убеждаемся, что у=±2— решение исходного уравнения. Но оно не будет осо-
бым решением, так как его можно получить нз общего решения при С = 0. Д
508. Найти частный интеграл уравнения у' cosx = y/\ny,
удовлетворяющий начальному условию г/(0)— 1.
А. Полагая 1/'=^, перепишем данное уравнение в виде
dy у
cos х-х- — ~—
dx In у
118
Разделяем переменные:
In г/ , dx
—-dy =------.
у cos х
Проинтегрируем обе части уравнения:
Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно
получаем
1 , „ , , ! х । л \ .
у ln2i/ = lntgf-g-4-— j .
509. Найти общий интеграл уравнения у' = tg xtgу.
. „ , dy
Полагая у и разделяя переменные, приходим к уравнению
ctgtf dy=tg xdx. Интегрируя, имеем
ctg ydy= tgxdx, пли In | sin у| = — In [cos хЦ-ln С.
Отсюда находим sin у = C/cos х, или sin у cos х = С (общий интеграл). А
510. Найти частное решение дифференциального уравнения
(l + x^dy + ydx—O при начальном условии //(!) = I.
Л Преобразуем данное уравнение к виду ~=—
получим
?Д7 = —нли 1пЫ = — arctgx+C.
J У v 1 *Т" •*
Интегрируя,
Это И есть общий интеграл данного уравнения.
Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С;
имеем 1п 1= — arctg l^-C, т. е. С = л/4. Следовательно,
1п у — — arctg х + я/4,
откуда получаем искомое частное решение y = en^~aKtsx. А
Решим несколько геометрических и физических задач, приводящих к диф-
ференциальным уравнениям рассматриваемого типа.
511. Найти кривые, у которых сумма длин нормали и под-
нормали есть величина постоянная, равная а.
Л Длина поднормали равна lyy'l, а длина нормали равна l-H/* |.
Таким образом, уравнение, которому должны удовлетворять искомые кривые,
имеет вид
I УУ' 1 + 1 У К 1+/2| = а-
Разрешая его относительно у', находим (учитывая оба возможных знака):
119
Разделяем переменные:
2//d// _ dx
а2-у-~± a •
Интегрируя, получаем общий интеграл: In | а2—у21 = ЯР х/а + 1п С. Выполнив
потенцирование, приводим уравнение искомых кривых к виду
у2 = а2—Се^х/а.
Условию задачи отвечают только значения С > 0. В самом деле, из урав-
нения семейства кривых находим:
Поэтому для выполнения условия | уу' 1 + 1у/1+у'*1 = а нужно, чтобы
|а2 —у2|=а2—у2, т. е. у2 < а2; отсюда и следует, что С принимает только
положительные значения, А
512. Цилиндрический резервуар с высотой 6 м и диаметром
основания 4 м поставлен вертикально и наполнен водой. За ка-
кое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через
круглое отверстие радиуса 1/12 м, сделанного в дне резервуара?
Л Для решения поставленной задачи надо воспользоваться формулой
Бернулли, определяющей скорость v (в м/с) истечения жидкости из отверстия
в резервуаре, находящегося на h м ниже свободного уровня жидкости:
с = а У 2gh.
Здесь g = 9.8 м/с2 — ускорение силы тяжести, о — постоянный (безразмер-
ный) коэффициент, зависящий от свойств жидкости (для воды о га 0,6).
Пусть через / с после начала истечения воды уровень оставшейся в ре-
зервуаре воды был равен h м, и за время dt с понизился еще на dh м (dh<0).
Подсчитаем объем воды, вытекшей за этот бесконечно малый промежуток вре-
мени dt, двумя способами.
С одной стороны, этот объем do) равен объему цилиндрического слоя
с высотой |dh | и радиусом, равным радиусу г основания резервуара (г=2м).
Таким образом, da> = яг21 dh | = — лг2 dh.
С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием кото-
рого служит отверстие в дне резервуара, а высота равна v dt (где v—скорость
истечения). Если радиус отверстия равен р (р= 1/12 м), то da> = np2vdt =
— лр2а У 2gh dt.
Приравнивая эти два выражения для одного и того же объема, приходим
к уравнению
— r2dh — op2 У 2ghdt.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
dl = _ ' - _ dft_ с 2г2__
op2 V 2g У h’ ар2 У 2g
При f = 0 имеем h=he = 6 м. Отсюда находим
2г- ,--
с у /I,.
ор’ У 2g
Таким образом, связь между t и Л определяется уравнением
(=-^-=(У1Ц_у-й),
120
а полное время истечения Т найдем, полагая в этой формуле Л=0:
т 2г8
ара У 2g
Используя данные задачи (г —2 м, Ло = 6 м, <7=0,6, р=1/12 м, g =
= 9,8 м/с2), находим Г и 1062 с и 17,7 мин. А
513. В комнате, где температура 20° С, некоторое тело осты-
ло за 20 мин от 100 до 60° С. Найти закон охлаждения тела;
через сколько минут оно остынет до 30° С? Повышением темпе-
ратуры в комнате пренебречь.
Л В силу закона Ньютона (скорость охлаждения пропорциональна раз-
ности температур) можем записать:
^L = k(T—20), пли = т. е. 1п (Г—20) = Л/-|-1п С.
Если /=0, то Т=100°; отсюда С = 80. Если t = 20, то Т = 60°; значит, 1п 40=
=20£-|-1п80, откуда k = —(1/20) In 2. Итак, закон охлаждения тела имеет вид
Т—20 = 80-е-(1/20)/1п2=80(1/2)(//2°>, или Г = 20-|-80 (1/2)и/20).
При Т=30° имеем 10 = 80(1/2)^ °, или (1/2)^20= 1/8. Таким образом, //20=
= 3, откуда / = 60 мин. А
514. Определить время, необходимое для установления оди-
накового уровня жидкости в двух сообщающихся сосудах. Малое
отверстие между сосудами имеет площадь о м2. Площади гори-
зонтальных сечений первого и второго сосудов составляют Sx м2
и S2 м2, в начальный момент уровень жидкости в первом сосуде
находился на высоте /гх м от отверстия, а во втором—на высо-
те ht м (Ла < Лх).
Л Пусть через / с после начала истечения жидкости уровень воды в пер-
вом сосуде понизился до zx м, а во втором повысился до га м. За дальнейший
бесконечно малый промежуток времени dt с в первом сосуде уровень жидкости
понизился на dzx м (dzx < 0), а во втором повысился на с/г2 м (dza > 0).
Так как уменьшение объема жидкости в первом сосуде равно его увели-
чению во втором, то Sx | dzt | = S21 dz21, или —Sxdzx = Sadza, откуда dz2 =
=—(Sx/Sa) dZ}.
Если ввести обозначение и = гх—za, то скорость протекания жидкости
через отверстие между сосудами можно найти по формуле v = a У 2gu; она
определяется формулой Бернулли (см. задачу 512), в которой следует поло-
жить, что отверстие находится на глубине iz = zx—z2 под свободным уровнем
жидкости.
Поэтому объем жидкости, протекающий за время dt, равный согласно
предыдущему —S1dz1, в то же время равен vwdt = oti>y 2gu dt. Приравнивая
эти выражения для одного и того же объема, приходим к уравнению
— Si dzi = o(ii У 2gu dt.
Но du = dz1—dz2 = dz1-\-(S1/S2)dz1, т. е. d21 = S2du/(S1-\-S2). Подставляя
полученное для dzx выражение в предыдущее уравнение, находим дифферен-
циальное уравнение, связывающее и и /:
SiSa j — д, ,, SxSa du
-------— du=cti>V 2gu dt, или dt ----------—-— _____ • —==. .
Si~|-Sa (Sx -|- Sa) <ио "У 2g У и
121
Интегрируя, находим
In cos у dx + х tg у dy = 0.
-^ + ^ = 0; у (1) = 0.
Зе* tg у dx + (1 + е*) sec2 у dy = 0; у (0) = л/4.
е1+*2 tgydx—^j-dy = O; у(1) = л/2.
(1 + e2x)y2dy — ех dx\ у(0) = 0.
х У1 y2dx-\-y К1 + x2dy = 0.
xdy у dx _Q
Kb3?5 /Г27*2
у' + sin (х + у) = sin (х—у).
уу' — — 2х secy.
у1 = ех+У + ех~У; у(0) = 0.
у' = sh (x + y) + sh(x—y).
у' = /(а»_у2)/(а2_А-2).-
М^+йД2)-»^<1)-1.
t = C------S'S* г_ -2 У и .
(Si -j- S2) 0(0 У 2g
П J Л 11 Г' У 2 (Л1 /1о) .. т
При / = 0 имеем u — h,—h2, откуда С = — —,_Ч. . Искомое время Т,
(Si + S^mo У 2g
необходимое для выравнивания уровней в сосудах, найдем, полагая и=0:
Т = С = У 2 (^i —М л
(Sr+Sz) о<о y~2g
Решить уравнения:
515. ‘ - - -
516.
517.
518.
519.
520. y'4-cos(x + 2y) = cos(x—2у); у(0) = л/4.
521. у' = 2х~У; у(— 3) = —5.
522. yln3y + y' Ух-т-1 = 0; у(—15/16) = е.
523. у/у' = In у; y(2)=L
524.
525.
526.
527.
528.
529.
530.
531.
532. х (уЧ-1) dx + у2 (х4 +_1) dy = 0; у (0) = 1.
533. (у ху—У x)dx+(Kxy + /y)dy = O.
S34- /тЧг+!'^0; »W4)-0.
S35. у'= .
cos х—sinx+1
536. «+«’ -=W у-.
/\2 + 4*+13 х+1
537. sec2x tgy dx+ sec2у tg xdy= 0; у(л/4) = л/4.
538. 5e*tgydx + (l—ex) sec2 у dy = 0.
539. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заклю-
ченный между осями координат, делится пополам в точке каса-
ния.
540. Скорость обесценивания оборудования вследствие его
износа пропорциональна в каждый данный момент времени его
122
фактической стоимости. Начальная стоимость равна Ао. Найти
стоимость оборудования по истечении t лет.
541. Некоторое вещество преобразуется в другое со ско-
ростью, пропорциональной количеству непреобразованного ве-
•цества. Известно, что количество первого равно 31,4 г по исте-
чении 1 ч и 9,7 г по истечении 3 ч. Определить: 1) сколько ве-
щества было в начале процесса; 2) через сколько времени после
жачала останется 1% первоначального количества.
542. Цилиндрический резервуар длиной 6 м и диаметром 4 м
расположен горизонтально. За какое время вода вытечет из ре-
зервуара, если отверстие радиуса 1/12 м находится на уровне
самой нижней из образующих цилиндра?
543. В коническую воронку с отверстием площадью <о см2 и
утлом 2а при вершине конуса налита вода до уровня Н см над
отверстием. Найти зависимость между переменной высотой уров-
ня воды h в воронке и временем истечения t. Определить пол-
ое время истечения. Вычислить его прн <о = 0,1 см2, а = 45°,
Я = 20 см.
544. Найти время, в течение которого вся вода вытечет из
юнической воронки, если известно, что половина воды вытекает
за 2 мин.
3. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнение вида Р (х, у) dx~h
— Q (х, y)dy — 0 называется однородным, если Р (х, у) и Q (х. у) — однород-
ные функции одного измерения. Функция f (/, у) называется однородной изме-
рения т, если
/ (кх, ky) = kmf (х, у).
Однородное уравнение может быть приведено к виду у' = f (у/х). С помощью
ДЕдстановки y = tx однородное уравнение приводится к уравнению с разде-
ляющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции t.
545. Найти общий интеграл уравнения
(х2 + 2ху) dx-}- xydy = 0.
А Здесь Р (х, у)=х2-}-2ху, Q (х, у}=ху. Обе функции—однородные вто-
жго измерения. Введем подстановку y = tx, откуда dy = xdt-}-t dx. Тогда
уравнение примет вид
(х*-}-2хъ1) dx-\-tx2 (xdt-}-t dx) = 0, или (x2 + 2x2Z + ZV) dx-}-tx3 dt = 0.
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
, tdt С rfx , р tdt п
х ' (/+1)2 ’ J х 1 J (/+1)2 С-
Преобразуем второй интеграл:
1п1*1 + У ДуТПут-Л = или 1п|х|4-1п| <4-1 |-Д- Д 1 = С.
Возвращаясь к прежней неизвестной функции у (! = у/х), получаем оконча-
тельный ответ;
in X4-J/I4-
х+У
546. Найти частное решение уравнения у' = £ Ч- sin при
начальном условии у(1) = л/2.
Д Произведем подстановку y/x = i, откуда y — tx, dy -=x dt-\-t dx. В ре-
зультате получаем
х dt-\-t dx= (^-f-sin i) dx\ xdt — slntdx’, •
Интегрируя, имеем
In | tg (//2) | = In | x | + In С, откуда //2 = arctg (Cx).
Производя обратную,замену t~ylx, находим общее решение исходного урав-
нения z/=2xarotg (Сх). Используя заданное начальное условие, получим
л/2 = 2 arctg С, откуда С= 1. Итак, искомое частное решение имеет вид у =
= 2xarotg х. А
547. Найти кривую, проходящую через точку А (0; 1), для
которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кри-
вой в произвольной ее точке и радиусом-вектором точки касания,—
равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касатель-
ной от точки касания до оси Оу).
Д Пусть y—f(x)— искомое уравнение кривой. Проведем касательную
MN в произвольной точке М (х; у) кривой до пересечения с осью Оу в точке .V
(рис. 35). Согласно условию, должно выполняться равенство j ON | = |ОЛ1 •.
Но | ОЛ11= |^х24~у2, а | ON | найдем из уравнения касательной Y—у —
— у'(Х—х), полагая Х = 0, т. е. Y = jON j~y—ху'.
Итак, приходим к однородному уравнению
У х2+у2=у—ху'.
Полагая y=ix, после замены и разделения переменных получим
—--/ , или 1п (/ + У 1Ч-/2) = 1пС — 1пх,
УI + /2 *
откуда
х2 = С(С-2#)
(семейство парабол, осью которых является ось Оу).
Подставляя координаты точки А в найденное общее решение, получим
0 = С (С—2); из двух значений С = 0и С = 2 годится лишь второе, поскольку
при С = 0 парабола вырождается в ось Оу. Итак, искомой кривой является
парабола х2 = 4(1—у), или i/=l—х2/4. А
548. Найти форму зеркала, собирающего все параллельные
лучи в одну точку.
Д Очевидно, что зеркало должно иметь форму поверхности вращения,
ось которой параллельна направлению падающих лучей. Примем эту ось за
ось Ох и найдем уравнение кривой y = f(x), вращением которой образуется
искомая поверхность.
Начало координат поместим в точку, в которой собираются отраженные
лучи. Обозначим падающий луч через КМ, а отраженный—через МО (рис. 36).
Проведем касательную TTt и нормаль MN в точке М к искомой кривой.
Тогда треугольник ОМТ—равнобедренный с вершиной в точке О,(так как
бмТ = КМТ± = ОТМ = а). Следовательно, | ОМ | = | ОТ |; но | ОМ | = У х2~\-у2,
124
а | ОТ | найдем из уравнения касательной Y—у = у' (X—х), полагая Y = 0;
имеем Х = х — —, откуда | ОТ | = | X | = — Х = — х-|- .
_ У У
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение
Vхг + у'2 = — х-{—, или (х +У~х2 + У2) у' =у, т. е. (х +У"x2+t/2) dy—ydx—0.
У
Это дифференциальное уравнение является однородным. Для его интегри-
рования целесообразно ввести подстановку x=ty, принимая за аргумент у,
а х (и Л) за неизвестные функции этого аргумента. Тогда получим
(|</2у2-|_у2_|-/{/) dy— y(t dy-[-ydt) = 0, или К/2-|-1 dy—ydt = O.
Разделяем переменные и интегрируем:
------.../= =0; 1п у= 1п (/ + /Т+72) + In С.
У / 1-М2
Отсюда у = С(/-^У 1 + Z2) или, возвращаясь к первоначальным переменным
х и уу имеем
x+Vrx2 + f/2==^r.
После упрощения находим окончательное решение в виде
у^2С
Искомая кривая является параболой, а зеркало имеет форму параболоида
ращения. А
549. Найти ортогональные траектории семейства парабол
х=ауг (а—параметр семейства).
Д Ортогональными траекториями данного семейства кривых называются
такие кривые другого семейства, каждая из которых пересекает каждую из
кривых первого семейства под прямым углом.
Если уравнение заданного семейства F (х, у, а), то для отыскания орто
ивеальных траекторий нужно:
125
1) составить дифференциальное уравнение заданного семейства f (х, у, у')=0',
2) исходя из условия ортогональности (yiyji =—1), заменить в этом диф-
ференциальном уравнении у' иа —1/у';
3) проинтегрировать полученное уравнение /(х, у,—\/у’) = 0. Для реше-
ния поставленной задачи дифференцируем уравнение заданного’ семейства
парабол: 1=2ауу'. Исключая параметр семейства а из уравнений х=ау2 и
1=2ауу', находим дифференциальное уравнение заданного семейства парабол:
2ху' =у. Заменяем у' на —\!у' и получаем дифференциальное уравнение се-
мейства ортогональных траекторий:
2х-1-уу' = 0, или 2х dx-\-y dy=0.
Интегрируя полученное уравнение, находим уравнение семейства ортого-
нальных траекторий:
х*+-2 У2==с’ или c’+“^=h
Таким образом, ортогональными траекториями заданного семейства пара-
бол являются подобные друг другу эллипсы, у которых большая полуось
(вертикальная) в У 2 раз больше малой. А
Решить уравнения:
550. ху’ sin (у/х) + х — у sin (ylx).
551. ху + у2 = (2х2 + ху) у'.
552. ху' In (уlx) = х + у In (у/х).
553. хуу' — у2 -\-2х2.
554. ху' —y = xtg(y/x); у(1) = л/2.
555. у' = (у/х) + cos (у/х).
556. у' = 4 + у/х + (у/х)2; у(1) = 2.
557. (х2 + у2) dx—ху dy — 0.
558. у' = (х + у)/(х—у).
559. ху' — хеУ1х -ф- у, у(1) = 0.
560. ху'—у — —, т .
3 э arotg (у/х)
561. (x‘ + 6x’y2 + yj)_dx + 4xy(x2 + y2)dy = 0; у(1) = 0.
562. ху' = 2(у—Кху).
563. Зу sin (Зх/у) dx4- [у—Зх sin (Зх/у)] dy = 0.
564. Найти кривую, у которой произведение абсциссы любой
точки, принадлежащей кривой, на отрезок, отсекаемый нормалью
на оси Ох, равно удвоенному квадрату расстояния этой точки
от начала координат.
565. Найти ортогональные траектории семейства окружностей
(х—1)2 + (у—1)2 = /?2.
4. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным. Уравне-
ния вида
и' —f ( \
при Я1^2—aj>i 0 приводятся к однородным подстановкой х = иЦ-а, у=о-|-Р,
где (а; р)—точка пересечения прямых Hix+&ly4-Cj = 0 и агх-]-Ьгу-\-сг = 0.
Если же aib2—a~bi = 0, то подстановка a1x-\-b1y = t позволяет разделить
переменные.
566. Найти общий интеграл уравнения
(2x+t/+ \)dx+(x + 2y— l)dy = O.
Л w t 2*+</+1
Л Уравнение принадлежит к первому типу, поскольку у' =—х-)-2у 1
12 1 I
=3 # 0. Находим точку пересечения прямых 2х+</+1=0 и х-1-2у—1=0;
имеем х = а = — 1; у = 0 = 1.
Производим в исходном уравнении замену переменных, полагая х = «+а=
=а—1, i/=v-|-P = v-|- 1; dx = du, dy = dv. Уравнение преобразуется к виду
(2и + v) du-\-(u-\- 2с) dv = 0.
В полученном однородном уравнении положим v — ut, откуда dv — udt-^
-j-tdu; придем к уравнению с разделяющимися переменными
2(/2 + /+1)н du + u2(l+2/)d/ = 0,
общий интеграл которого есть t2-j- t-f- 1 =С, или (после замены t = v[u
и возведения в квадрат)
u2 + zw+r>2 = C2.
Возвращаясь к переменным х и y(u = x-f-i, v = y—1), после элементар-
ных преобразований найдем общий интеграл исходного уравнения
х2+«/2 + х«/ + х—y = Ci
(здесь положено Ci = C2—1). 2k
567. Найти общий интеграл уравнения
(х ~1~ У ~1~ 2) dx-\- (2х -|- 2у— 1) dy = 0.
А Уравнение принадлежит ко второму типу, поскольку 2^==®' Поло-
жим поэтому y-)-x = t, dy~-dt—dx. Данное уравнение примет вид
(t-Jr2)dx+(2t— 1) (dt—dx)=Q, или (3—/) dx+(2t — 1) dt = O.
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
§^ldi+ §dx = C, или — 2/—5 1п|/-3| + х = —С.
Возвращаясь к старым переменным (t=x-f-y), получим окончательный ответ:
x+2j/ + 5 1п | х+</—3| = С. А
Решить уравнения:
568. 2 (х + у) dy -j- (Зх + Зу—l)dx=Q; y(Q) — 2.
569. (х—2t/-f-3) dy+ (2х + у—l)dx = 0.
570. (х—уdy(ху—2)dx — 0.
571. Найти интегральную кривую дифференциального уравне-
ния у' = (х-\-у—2)/(у—х—4), проходящую через точку М (1; 1).
5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Дифферен-
циальное уравнение
Р(х, y)dx+Q(x, y)dy = 0,
дР dQ , ,,
ое > называется уравнением в полных дифференциалах, т. е. левая
часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у)
127
в одиосвязиой области. Если это уравнение переписать в виде du = 0, то его
общее решение определяется равенством и —С. Функция и (х, у) может быть
найдена по формуле
х у
J Р (х, у) dx+§ Q (х0, у) dy.
Хо Уо
При этом в последней формуле нижние пределы интегралов (х0 и
произвольны; их выбор ограничен единственным условием—интегралы в пра
вой части этой формулы должны иметь смысл (т. е. не быть расходящимися
, 4 0 dP dQ
несобственными интегралами второго рода). Если условие ие вы‘
полияется, то в некоторых случаях можно привести рассматриваемое уравне-
ние к указанному типу умножением его на так называемый интегрирующий
множитель, который в общем случае является функцией от х и у. ц (х, у).
Если у данного уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий
только от х, то он находится по формуле
♦
где отношение ~ Q должно являться функцией только от х. Ана-
логично, интегрирующий множитель, зависящий только от у, определяется по
формуле
(i = e
»
f дР dQ \ I — .
где (--------) J Р должно являться функцией только от у (отсутствие
в этих отношениях в первом случае у, а во втором х является признаком
существования интегрирующего множителя рассматриваемого вида).
572. Найти общий интеграл уравнения
(е* + у + sin у) dx + (ey + x + xcosy)dy = Q.
дР
А Здесь Р (х, y)=ex + y+s\ny,Q(x,y)==ey-\-x-\-xcosy, —=l-|-cosi.
dQ . . г, . , .
~^-= 1-]-cos у. Следовательно, левая часть уравнения есть полный диффе-
ренциал некоторой функции и (х, у), т. е.
^=e* + y + siny, |^=еУ-|-х+хсо5 у.
_ du
Проинтегрируем по х:
“ = ^ + £ + dx + C (у)=еж-\-ху+х siny-|-C(y).
Найдем функцию С (у), продифференцировав последнее выражение по г:
^=х+ х cos у+С (у).
Получаем уравнение
х-}-хcos у-\-С' (у) = х-\-хcos y-J-еУ,
128
откуда, находим С'(у)—еУ, т. е. С(у)—еУ. Таким образом, общий интеграл
ураввения имеет вид ех-^-ху-\-х sin у-{-еУ =С. А
573. Найти общий интеграл уравнения
(x-f- У— 1) dx 4- (еу + х) dy = 0.
Л Здесь Р (х, у)=х-\-у—1, Q (х, у) —еУ-^-х, таким
образом, условие полного дифференциала выполнено, т. е. данное уравнение
является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем общий интеграл по формуле
х у
5 Р (х, у) dx+ Q (ха, у) dy = C.
А'о Уа
Взяв хо = О, г/0 —0, получим
v у
У (х+у—l)dx +JeXdy=Ci, или х8 + ху—хТ^+еХ
о о
Подставляя пределы, находим
-^•xs+x</—x-f-еУ — 1 =СЪ или еУ-}--^-х2-1-ху—х — С, где С = С14-1. А
574. Найти общий интеграл уравнения
(xcos у—у sin у') dy + (х sin у-[- у cos у) dx — 0.
Д Имеем
Р (х, у) = xsin у-\-у cos у, Q (х, у) —xwsy—ysiny,
дР . . 5Q
-^-=xcos(/+cosy—у sint/, -^-=cost/,
/ дР dQ \ i _____xcos у—ysiny
\ dy dx//v— xcos у—у sin у
Поэтому данное уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий
только от х. Найдем этот интегрирующий множитель:
1.
\ ( -£- - ) Qdx \ dx
g — gj \ дх // — gj = ех.
Умножая исходное уравнение на ех, получим уравнение
ех (х cos у—у sin у) dy-\-ex (х sin i/-|- у cos у) dx = 0,
которое, как нетрудно убедиться, уже является уравнением в полных диффе-
ренциалах; в самом деле, имеем (х, у) —ех (xsin 1/4-у cos у), Qi (х, у) =
= (xcos у—ysiny). Отсюда
Iе* (х sin 1/-|-1/ cos t/)] —ех (xcos i/-|~cos У—ysiny);
^=^fxleX (xcosi/'-i/sini/)l=eX [xcos У—У sin 1/4-cost/].
Эти производные равны и, следовательно, левая часть полученного уравнения
имеет вид du (х, у). Таким образом,
^=ех (х cos у— у sin у), ^=ех (х sin у-}-у cos у).
129
Интегрируя первое из этих равенств по у, находим
и = ех (xcOs у—у sin y)dy-\-C (х) = хех sln у-}-еху cos у—ех sin у-\-С (х).
Найдем производную по х от полученной функции:
^-~ех sln у-\-хех sin у—ех sin у+е* у cos у-\-С' (х) = ех (х sin у-\-у cos у)+С'(х).
Сравнивая найденное значение с Р (х, у), получим С (х) = 0, т. е. С (х) -= 0.
Следовательно, общий интеграл исходного уравнения имеет вид
и (х, у)=хех sin у-\-еху cos у—ех sln у=С, или ех (х sin у-\-у cos у—sin у)—С. Д
Решить уравнения:
575. (х + sin у) dx + (х cos у + sin у) dy = 0.
576. (z/4-е*siny) dx+(х+е*cosy)dy=0.
577. (ху + sin у) dx+ (0,5х2 + х cos у) dy — 0.
578. (х2 + у2+y)dx+(2xy + x+ev)dy = 0; у(0) = 0.
579. (2xyexi + In у) dx + ^ех* +£) dy — &, у (0) = 1.
580. [sinу + (1—у) cosx] dx+[(l + x)cosy—sinx]dy —0.
581. (y + xlny)dx + (^-4-x+l)dy = 0.
582. (x2 + siny)dx+(l+xcosy)dy=’0.
583. ye11 dx + (y + e*) dy — 0.
584. (e* sin у 4-x) dx-}- (e*cosy + y) dy = 0.
585. (Inу—5y2sin5x)dx + ^y + 2ycos dy = 0; y(0) = e.
586. (arcsin x + 2xy) dx + (x2 + 1 + arctg y) dy = 0.
587. (3x2y + sin x) dx + (x3 — cos y) dy — 0.
588. (e*+J'+ 3x2) dx + (ex+i/4y3) dy == 0; y(0) = 0.
589. (tg у—у cosec2 x) dx + (ctg x + x sec2 y)dy=Q.
590- (^2-^)с/х + (еУ — x—^yi)dy=^
Проинтегрировать следующие уравнения, имеющие интегри-
рующий множитель, зависящий только от х или только от у.
591. ydx—xdy-}-lnx dx—0 (р = ср(х)).
592. (x2cosx—y)dx + xdy=0 (p = cp(x)).
593. ydx—(x + y2) dy — 0 (p = cp(y)).
594. y/1 — y2dx+ (х/1 — y2 + y)dy = 0 (p = <p(y))-
595. Доказать, что уравнение P (x, у) dx+Q(x, у) dy = 0, кото-
рое одновременно является и однородным, и уравнением в полных
дифференциалах, имеет общий интеграл Px-}-Qy — C.
ф Воспользоваться теоремой Эйлера об однородных функциях, согласив
дР
которой х-^—}-y-^— = tP(x, у), где i — показатель однородности функций
Р(х, у) и Q (х, у).
6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнении
Бернулли. Уравнение вида
y' + P(x)y=Q(x)
130
называется линейным (у и у' входят в первых степенях, не перемножаясь
между собой). Если Q(x)^=0, то уравнение называется линейным неоднород-
ным, а если Q (х) = 0—линейным однородным.
Общее решение однородного уравнения у' 4-Р (х) у = 0 легко получается
разделением переменных:
^——P(x)dx-, J у== — J Р (х) dx; In у = — J Р(х) dx-f-ln С,
или, наконец,
y=Ce-SPMd>c,
где С—произвольная постоянная.
Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя
из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лаг-
луч — f Р (х) dx
ранжа, варьируя произвольную постоянную, т. е. полагая у —С (х) е J ,
где С (х)— некоторая, подлежащая определению, дифференцируемая функция
ОТ X.
Для нахождения С (х) нужно подставить у в исходное уравнение, что
приводит к уравнению
C'(x)e"<fPW</Jt=Q(x).
Отсюда
С (х) = J Q (х) е^ Р W dxdx-t-C,
где С—произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного
неоднородного уравнения имеет вид
J Q(x)e-f P(x)dxdx+C .
Линейные уравнения первого порядка можно интегрировать также мето-
дом Бернулли, который заключается в следующем. С помощью подстановки
у=ио, где и и v—две неизвестные функции, исходное уравнение преобразу-
ется к виду
u'v-[-uv' -[-Р (х) uv= Q (х), или и [ц'4-Р (х) о] 4-ш' = Q (х).
Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций (например, у) может
быть выбрана совершенно произвольно (поскольку лишь произведение ио
должно удовлетворять исходному уравнению), за о принимают любое част-
ное решение уравнения о' 4- Р (х) о = 0 (например, v = e ^p^dx^t
обращающее, следовательно, в нуль коэффициент при и в последнем уравне-
нии.
Тогда предыдущее уравнение примет вид
г п I \ ! Q W ' Z \ Г Р W dX
vu =Q(x), или и' = , т. е. и =Q(x)eJ ,
откуда
р । Г л/ > f Р (х) dx
и — С 4- \ Q (х) eJ dx.
Общее решение исходного уравнения находится умножением и на о:
- f Р (х) 4 f fp (х) dx
у — е J I \Q(x)eJ dx-f-C .
- P (x) dx
У — e J
Уравнение (нелинейное) вида
/4-Р (x)y=Q (х)ут,
где т 0, m ?= 1, называется уравнением Бернулли. Его можно преобразовать
в линейное уравнение, производя замену неизвестной функции при помощи
подстановки z = i/1-m, в результате чего исходное уравнение преобразуется
к виду
_L-z’+P(x)z=Q(x).
При интегрировании конкретных уравнений Бернулли их не надо пред-
варительно преобразовывать в линейные, а сразу применять либо метод Бер-
нулли, либо метод вариации произвольной постоянной.
596. Проинтегрировать уравнение у' cos2x + z/ = tg х при на-
чальном условии у(0)= 0.
Л Интегрируем соответствующее однородное уравнение у' cos2x-f-y=0.
разделив переменные, получим
^+-Д-=0, In i/4-tg х = 1п С, у=Се~*х.
у 1 cos2x J 1 J
Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде у = С (х) e~ie Т.
где С (х)— неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение
у=-С (x)e~tex п у’=С (x)e“tg С (x)e-tgx sec2x, придем к уравнению
cos2xC' (х) e~tg х—С (х) e~i8 *sec2 xcos2x-|-C (x)e“tg* = tgx,
пли
C' (x) cos2 xe~ts x = tg x,
откуда
C (x) = CgtgX2tgx dx = efg x (tg x-1) + C.
' ’ J cos2 X ' ' 1
Таким образом, получаем общее решение данного уравнения:
у — tg х— 1 ~i~Ce~tsx.
Используя начальное условие г/ (0) = 0, получим 0=—l-f-C, откуда C = i
Следовательно, искомое частное решение имеет вид y = tgx—l-|-e-tsx. А
597. Проинтегрировать уравнение у'—z/thx=ch2x.
Л Это—линейное уравнение. Решим его методом Бернулли. Полагаг
y~uv, имеем
u'v-1-v'u—ucthx = ch2x, или u(v’—v th x)-f-H'y = ch2 x.
Полагаем v’— vthx = 0, откуда ^=thxdx; интегрируя, находим lny = lnchz
или v = ch x (постоянную интегрирования не вводим, так как достаточно най~»
какое-либо частное решение этого вспомогательного уравнения).
Для определения и имеем уравнение u'i» = ch2x или u'chx=ch2x, откуда
находим и~^ ch xdx = sh x-f-C. Умножение и на v, получаем общее решена
i/ = ch х (sh х+С). А
598. Проинтегрировать уравнение
У + iZT^=arcsinx + x.
132
Д Интегрируем соответствующее однородное уравнение:
,, , ху п dy xdx . 1 . „
У +г=Т2=0: Ini/ = -o 1п(1—*2)-НпС.
т. е. y~cY 1—х2. Полагаем теперь у=С(х) Y1—х2; тогда
y'=c'(x)Yi^-~^=.
у 1 — X2
После подстановки в исходное неоднородное уравнение получим
С' (х)/Г—х’2 — - 4-—С (х)/ 1 —X2==arcsinx_L V(
у 1— х2 1— X
т. е.
. arcsin х . х
С (х) = — .--—_...................- .
Y1— х2 Yi-х2
Интегрируя, находим
„ . . [• Г arcsin х . х 1 , 1 , ., s „
cw=i [7ct+Fct х=~2 (arcsin х“+с>
Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид
у — Y1 —х2 Г(arcsin х)2— Y1 —х2-|-с1. А
599. Решить уравнение у' + = х2у*.
Д Это—уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом вариации
произвольной постоянной. Для этого интегрируем сначала соответствующее
линейное однородное уравнение у -|- — = 0, решение которого у= — .
м * к
Ищем решение исходного уравнения Бернулли, полагая р =--------, у =
С (к) С (х)
——-------• Подстановка у и у' в исходное уравнение дает
С (х) С (х) С (х) _ 2 Г С (х)1 * С (х) _ [С (х)]2
—---, или—-——.
Интегрируем полученное уравнение:
dC (х) _ dx .
[С(х)р~^ ’
1
3[С(х)]3
==1п х—In С;
С (х) = . .==
УЗ 1п (С/х)
Таким образом, общее решение исходного уравнения
С(х) 1 .
У х ху31п(С/х)’Ж
600. Проинтегрировать уравнение
у'---— 4 __arctg х.
у l-f-x2 /1-|-х2 6
Д Это—также уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом Бер-
нулли, для чего положим у = ии. Подставляя в исходное уравнение у=ии,
133
у' = u'v-f-uv', сгруппируем члены, содержащие и в первой степени:
<, / , Чхо
- arctg х.
14-1-2
2xcf
Примем за v какое-либо частное решение уравнения v'—(Д. ^г = 0- Раз-
делия в нем переменные, находим
dv 2xdx . . „
— = т-^—; In u = In (1-4-х2); n=14-xa
(постоянную интегрирования не вводим).
Для отыскания и имеем уравнение
, . К “у ,
и v = 4 —-------arctg х,
V 14-Х?
или (поскольку V = 1 4- X2)
,,_4 К и arctg х
“ Г+х2
Разделяем переменные и интегрируем:
du 2arcfgx , ,— . , , „
—— =---------— dx; у n = arctg2 х4-С.
2/и 14-х2
Таким образом, и = (arctg2 х-|-С)2 и y = uv = (14-х2) (arctg2 x-f-Q2 есть
общее решение исходного уравнения. А
601. Проинтегрировать уравнение у ~ ху' 4- у' In у.
Д Данное уравнение можно легко проинтегрировать, если поменять в не,.-
ролями х и у. принять за аргумент у, а за неизвестную функцию х. Дл«
этого нужно только (используя формулу дифференцирования обратной функ-
ции) положить у'х=1/ху. Тогда данное уравнение преобразуется в следующее
г/ху = х4-1п у.
Это—линейное уравнение относительно х. Интегрируем соответствующее одно-
родное уравнение ух' = х; имеем
dx dy „
х=Су.
х у
Ищем решение исходного неоднородного уравнения, полагая х = С(у)у,
откуда Ху = С (у) у-\-С (у). Подстановка в уравнение дает
С (У) уг+С (у) у = С (у) у+1п у, откуда С (</) = ^, С (у) = С—•
У У
Умножая С (у) на у, находим решение исходного уравнения: х = Су—1—In у.
602. Проинтегрировать уравнение (х21пу—х)у’ = у.
Д Данное уравнение можно проинтеприровать а помощью, того, же‘ преоб-
разования, что и предыдущее. Принимая у за аргумент, х—за иеизвестнух
функцию, преобразуем это уравнение к виду
х2 In у—х—ух', или ух' 4- х = х2 In у.
Это—уравнение Бернулли относительно х. Интегрируя, соответствующее
линейное однородное уравнение yx'-\-x=Q, находим x = Cfy.
У2
П С (I/) , С (у) С (у)
Полагаем в исходном уравнении х = —откуда х =———; при-
ходим к следующему уравнению для определения С (у):
с<й£Ы+£й=!£Ж1пг/, или С'(у)=^<^
У 1 У у J
Разделяем переменные и интегрируем:
dC(y) _1пу______1 1П//+1. С( .__________
1С(0]2 У2 У' С(у)~Ь у ’ G ^ -lny+1-Cy •
Умножая С (у) на 1/у, находим общее решение исходного уравнения:
1
У
х In Z/+1 — Су'
Решить уравнения:
603. ху' — z/ = x2cosx.
604. у' ->t-2xy = xe~x!i.
605. у' cos х + у = 1—sinx.
606. у' у = 1- у(1) = 0.
607. (1 -1-х2) z/' + z/ = arctg х.
608. z/'Kl — x24-i/ = arcsinx; у,(0) = 0.
609. у'---A- = cos2 In tgi .
sin x & 2
610. y’ — —~~ = X In x; y(e) = e2/2.
17 x In x a '
611. z/'sinx—z/cosx = .l; z/(n,/2) = 0.
612. i/'(xTi/2) = i/.
ф Принять за неизвестную функцию х.
613. у' + Зу tg Зх= sin6x; t/(0)= 1/3.
614. (2ху4- 3) dy—y2dx = Q.
ф Принять за неизвестную функцию х.
615. (у*2х) у’= у.
ф Принять за неизвестную функцию х.
616.
617.
618.
619.
620.
621.
622.
у + ^=Зх‘д‘-'‘.
У х-\~х-\‘
, 2у_^ 2/у
У ‘ X COS2 X
4ху' -j- Зу= —exx,yi.
у' + У = ех/г К У, У (0) = 9/4.
/ + Jqn = t/2(^3+l)sinx; f/(0)= 1.
у dx 4- (х 4- хгу2) dy = 0.
13?
ф Принять за неизвестную функцию х.
623. у'—2у tgx-ф у2 sin2x = 0.
624. (у2 + 2у + х2)у' + 2х = 0; у(1) = 0.
ф Принять за неизвестную функцию х.
7. Уравнения вида х = <р(у') и j = Эти уравнения легко интегри-
руются в параметрической форме, если положить у'=р и принять р за па-
раметр, через который следует выразить как х, так и у. В самом деле, пола-
гая у' = р в уравнении х = <р(р'), сразу получаем выражение для х через па-
раметр р:х=<р(р). Отсюда, дифференцируя, находим dx = q' (р) dp, а так как
dy — y'dx — pdx, то, следовательно, dy = p<f'(p)dp и у находится интегрирова-
нием: у= р<р' (р) dp-}-С.
Таким образом, решение уравнения x — <f(y') запишется в параметричес-
кой форме:
। х —<р(р),
| у = J р<р' (p)dp-\-C.
Аналогично, полагая у'=р в уравнении y = <f (у'), находим р = <р(р)-
Дифференцируя у, получаем dy = cp' (р) dp. Но по-прежнему dy = pdx. Таким
образом, р dx = cp' (р) dp, откуда dx^ ^^Р и х находим интегрированием:
х — J с. Общее решение уравнения у — <р (у') имеет вид
[ х = J У' (Р\£Р+с.
к г/=<р(р)-
Если удается, в обоих случаях можно исключить параметр р и найти
общий интеграл уравнения.
625. Проинтегрировать уравнение х = у’ sin у' -ф- cos у'.
Д Положим у’ =р. Тогда х = р sin р-фсоэр. Продифференцируем это ра-
венство:
dx= (sin р~гр cos р—sin р) dp — p cos р dp
и подставим это значение dx в равенство dy=pdx:
dy = p2 cos р dp,
т. е.
у — р2 cos р dp = (р2 —2) sin р-т~2р cos р-~С.
Таким образом, общее решение в параметрической форме имеет вид
Jxр sin р Д cos р,
\г/ = (р2—2) sin р-ф2р cos р-\-С. Д
626. Проинтегрировать уравнение у' =arctg (у/у'2).
Д Предварительно найдем у — у’2 tg у'. Положим у' = р; тогда p = p2tgp.
Продифференцируем это равенство: dy = (2р tg р-фр2 sec2 р) dp и, заменяя dy
на р dx, получим р dx = p (2 tg р-фр sec2 р) dp, откуда, сокращая на р и ин-
тегрируя, находим
х = \ (2 tg р-фр sec2 р) dp = p tg р — In cos р-ф С.
13G
Общее решение данного уравнения имеет вид
f y = patgp,
( x=ptgp— Incosp-J-C.j^
627. Проинтегрировать уравнение х—у'-[-In у'.
Д Положим у'=р. Таким образом, х = р-|"1пР! дифференцируя, находим
Ах —dp -!г<-~ • Так как dy — pdx, то
Интегрируя, находим р = 0,5 (р+l)2-f-C.
Общее решение данного уравнения, записанное в параметрической форме,
гмеет вид
Г х = р4-1пр,
( у = 0,5 (р+ 1)24-С.
Здесь параметр р легко исключить; из второго равенства получаем р —
= У 2 (у—С) — 1 (р > 0 и поэтому перед корнем надо взять знак плюс).
Подставляя найденное для р выражение в первое равенство, находим общее
решение уравнения в следующем виде:
X УЦУ^С)-1 + In [У2(7=9-1]. А
Решить уравнения:
628. arcsin (х/у') — у'.
629. у = еУ (у' — 1).
630. х = 2(1пу'— у').
631. у (1 + у'2)1/2 = у'.
632. х=2у' + 3у'2.
633. х = у'(1-Не"’).
634. х = е2!/'(2у'2—2у'у 1).
635. у— у' In у'.
8. Уравнения Лагранжа и Клеро. У равнением Лагранжа называется диф-
ференциальное уравнение первого порядка, линейное относительно х и у,
коэффициентами которого служат функции от у'-.
р (у') *+Q (у') и+R (у')=°-
Уравнение Лагранжа интегрируется следующим образом. Разрешим его
относительно у и примем за параметр у', полагая у'=р'.
V = xf (р) + <р(р).
Здесь введены обозначения f (у') = — Р (y')/Q (у')< <Р (у') = —R (у')/0 (У')-1
Зяфференцируя полученное уравнение и заменяя в левой части dy на р dx,
жгиходнм к уравнению
р dx = f (р) dx-y-xf (р) dp + q>’ (р) dp.
Полученное уравнение—линейное относительно х (как функции от р)
поэтому может быть проинтегрировано. Если его решение есть x — F(p, С),
то общее решение исходного уравнения Лагранжа запишется в виде
( x = F (р, С),
1 У = #(Р) + <Р(Р)=^(У. 9/(у)+ф(р)
1.47
Уравнением Клеро называется уравнение вида
({/'),
которое является частным случаем уравнения Лагранжа. Интегрируя егс
указанным способом, легко получить общее решение у = Сх-)-<р (С), которое
определяет семейство прямых на плоскости.
Однако уравнение Клеро, кроме общего решения, имеет еще и особое ре-
шение, определяемое следующими параметрическими уравнениями:
( х= — <р'(р),
\ У = — Рф' (Р) + ф (р)-
Особое решение уравнения Клеро (оно существует, если <р' (р) const)
является огибающей семейства прямых, определяемых общим решением (иными
словами, общим решением уравнения Клеро служит семейство касательных
к особому решению).
Уравнение Лагранжа также может иметь особые решения, причем осо-
быми решениями этого уравнения (если они существуют) являются общие ка-
сательные ко всем интегральным кривым, определяемым общим решением.
636. Проинтегрировать уравнение у — ху'—еУ'.
Л Это—уравнение Клеро. Положим у' = р и перепишем уравнение в ви-
де у = рх—ер. Дифференцируем его: dy — pdx-^-xdp—ер dp\ ио dy — pdx, по-
этому последнее уравнение примет вид xdp—epdp = 0, или (х—ep)dp — 0.
Таким образом, либо dp = 0, либо х — ер. Если положить dp = 0, то р = С\
подставляя это значение р в равенство у = рх—ер, получаем общее решение
данного уравнения;
у = Сх—ес.
Если положить х—ер, то у = рер—еР = (р—1)ер, и приходим к особом)
решению исходного уравнения
( х = ер
I У=(Р—1)ер.
Исключая параметр р (в данном случае р=1пх), находим особое решение
в явном виде:
0 = Х(1ПХ—1).
Проверим, что совокупность прямых, определяемых общим решением, есть
семейство касательных к особой интегральной кривой.
Дифференцируя особое решение, находим у' = 1п х. Уравнение касатель-
ной к особой интегральной кривой в точке М (х0; Уа) [где Уа = хй (1п х0— 1 б
запишется в виде
У—Уо~Уо(х~х0), или у—х0 (1п х0—1) = 1п х0 (х—х0),
что после упрощения дает z/ = xlnx0—х0. Если здесь положить 1пх0 = С, тс
уравнение семейства касательных к особой интегральной кривой примет вид
у = Сх—ес, что и требовалось установить. А
637. Проинтегрировать уравнение у = ху'2у'2.
Л Это—уравнение Лагранжа. Поступаем аналогично предыдущему, т. е
положим у’ = р, тогда у — хр2-\-р2. Продифференцируем последнее равенстве
dy~ р2 dx-\-2pxdp-\-2pdp. Производя замену dy = pdx, приходим к уравне-
нию р dx = р2 dx-\-2px dp+2p dp. Отсюда, сокращая на р, получаем урав-
нение с разделяющимися переменными
, dx __ 2dp
(1— p)dx=2(x+l)dp, или -тг,-=-г—:
138
Интегрируя его, находим
In(х+ 1) = — 2In| 1—р| + 1пС; х+1 =С/(р—1)а.
Используя данное уравнение у = р2(х^-1), получим
у = Ср2/(1-р2).
Произведенное сокращение на р могло привести (и в данном случае привело)
ж потере особого решения; полагая р = 0, находим из данного уравнения
у = 0: это—особое решение.
Итак,
—общее решение; у = 0—особое решение.
_В общем решении параметр р можно исключить и привести его к виду
(Vy + Vx+iy=c. А
Решить уравнения:
638. у = ху' + УЬ* + а*у'*. 639. х = | ±
640. у = ху' + у' -у'\ 641. у = +/.
642. 2у (у' 4-1) = ху'\
х+1=С/(р-1)
у = Ср»/(Р-1)а
$ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением п-го порядка назы-
вается уравнение вида
F(x, у, у', у”...z/<n,)=0.
Решением такого уравнения служит всякая п раз дифференцируемая функция
у=<р(х), которая обращает данное уравнение в тождество, т. е.
F[x, <р(х), <₽'(*), <₽’W.(fln,(x)]s0.
Задача Коши для этого уравнения состоит в том, чтобы иайти решение
уравнения, удовлетворяющее условиям у = уа, у' = у'д, •••, У{"~1> = Удг~1> при
х = х0, где х0, Уо, Уд, У(оп~1>—заданные числа, которые называются на-
чальными данными, или начальными условиями.
Функция у = (р(х, Clt Сг, ..., Сп) называется общим решением данного
дифференциального уравнения п-ro порядка, если при соответствующем выборе
произвольных постоянных Ci, С2, .... Сп эта функция является решением
любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения.
Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значе-
ниях постоянных Ct, С2, .... С„, называется частным решением этого урав-
нения. Для выделения из множества решений дифференциального уравнения
определенного частного решения иногда используют и так называемые крае-
ше условия. Этн условия (число которых не должно превышать порядка
уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка.
Очевидно, что краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше
аервого.
Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка (в конечном
виде) удается произвести только в некоторых частных случаях.
139
2. Уравнения вида j(n> = /(x). Решение этого уравнения находится
n-кратным интегрированием, а именно:
= f (х), {/<«-» = Jf(x)dx+C1 = f1(x) + Cb
y<n-2)= [^i (х) 4-СП dx = fi (х) 4-Cix4-C2,
У — fn х"-14'(П_!2)! x"_2H~---F^n-ix+Cn,
где
A>(*)=JJ^---§ f (x)dx«.
п раз
т С2
I ак как --гг;, ,—, ... являются постоянными величинами, тс
(п—1)1 (п—2)1
общее решение может быть записано и так:
У — fn (х) + CiXn ~1 С2хп ~2... -|-Сп_!*+Сп.
643. Найти частное решение уравнения у" — хе~х, удовлетво-
ряющее начальным условиям у (0) — 1, у' (0) — 0.
Л Найдем общее ' решение последовательным интегрированием данногс
уравнения:
у' — хе~х dx = —хе~х—e~x-j-Ci,
у= [—хе~х—е-ж4-С1] dx = хе~х-}-2е~х
или
У — (х-{- 2) е ~ х Cix+С2.
Воспользуемся начальными условиями: 1=24-С2; С2 =— 1; 0= — 14-Сь
Ci— 1. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
у = (х4-2)е-х4-х—1.
Это же решение можно иайти и следующим образом, используя сразу
заданные начальные условия:
X
у' — у' (0)4- хе~х dx= [—хе~х—гх]о= —хе~х—e~x-j-1;
о
У~У (0)4- $[—хе~х—е~х+ 1] dx= 14-[(х4-2) e-*4-x]J = (х4-2)е-А’4-х—1. Д
о
Решить уравнения:
644. z/IV = cos2x; z/(0) = 1/32; у’ (0) = 0, у" (0)= 1/8, у'" (0) = 0.
645. z/"' = xsinx; t/(0) = 0, у' (0) = 0, у" (0) = 2.
646. у"' sin4 х = sin 2х.
647. у" — 2 sin х cos2 х—sin3 х.
648. у"' = хе~х', i/(0) = 0, у' (0) = 2, у" (0) = 2.
3. Дифференциальные уравнения вида F (х, >,(А) _у(А + 1>, ..., _y<n>)=0, не
содержащие искомой функции. Порядок такого уравнения можно понизить.
140
взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного урав-
нения, т. е. полагая y{ft) = z. Тогда получим уравнение
F (х, z, г', ..., ztn-A))=0.
Таким образом, порядок уравнения понижается на k единиц.
649. Найти общее решение уравнения ху" = у' In (у'lx).
Л Полагая у'—г, преобразуем уравнение к виду
хг' = z In (z/x), или z' = (z/x) In (z/x).
Это однородное уравнение первого порядка. Полагая z/x—t, откуда z = tx,
z' = t'x-\-t, получим уравнение
. dt dx
t'x-pt = t In t, ИЛИ J ----— •
' /(In/—1) X
Интегрируя, находим
In (In t— 1) = ln x-f-ln Ci, или In/ — 1=CjX,
откуда Z=e1 + Ct*; возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению
i/' = xe1 + ci*. Следовательно,
xe1 + cix dx—^- xe1 + cix—e1+cix + C2. Л
650. Тело массы т падает по вертикали с некоторой высоты
без начальной скорости. При падении тело испытывает сопро-
тивление воздуха, пропорциональное квадрату, скорости тела.
Найти закон движения тела.
Л Введем обозначения: пусть s — пройденный телом путь, —ско-
d2s
рость, —ускорение. На тело действуют силы: его вес P = mg (по на-
правлению движения) и сопротивление воздуха F — kv2 — k ( — 1 (против на-
правления движения).
На основании второго закона Ньютона приходим к следующему диффе-
ренциальному уравнению движения тела:
d^s / ds \
mw=P—kv2, или m-7-i=mg—k -тт .
a/z V dt /
ds
Воспользуемся начальными условиями: если / = 0, то s = 0, v==-^-=0.
„ ds
Заменяя на и, перепишем уравнение в виде
dv k „
— х=0-----у*
dt g m '
tng n dv k .
откуда, полагая ~-=:a2, имеем ^нтегРиРУя> находим (н<а):
1 , а-4-v
н- In —
2a a — v
A
m
t~[-Ci.
141
Если t = 0, то v=0, откуда Ci = 0. Таким образом,
. а-4-v 2ak .
In —!—= — t.
a—v m
Отсюда
pbakt'm 1 paktitn p-aktun
v —a---------=a---------------= a th (М/т).
giaktim 1 gakhm_^g-aki,-m
ak fmg k if kg ds
Ho —= у -£ • —= у ; заменяя v на , получаем для определения s
уравнение
£=ath
dt rm
откуда, интегрируя, находим
s= 1/ a In ch "l/^— t-[-C2=^r In ch 1/"^ /-(-C2.
r kg r tn ' ‘ k r tn 1 i
Поскольку s = 0 при /=0, имеем C2 = 0.
Итак, закон падения тела при сопротивлении воздуха, пропорционально*
квадрату скорости, описывается формулой
s — In ch т/" — t,
k rm
а скорость движения—формулой o = ath ^1, здесь а= j/". Отме-
тим, что скорость падения не возрастает беспредельно, так как lim v—a =
_________
= ^"поскольку ^lim th где ?—вес ™a> причем прак-
тически скорость падения достигает своего предельного значения весьмг
быстро, отличаясь от него на весьма малую величину. Именно такую кар-
тину наблюдают на практике прн затяжных прыжках с парашютом с боль-
шой высоты.
Решить уравнения:
651. /_Х1 = х(х-1); i/(2)= 1, /(2) = -1.
652. (1— х2) у"—XI/'= 2.
653. 2ху"'у" = у"г—аг.
654. (1 +х2) у" + 1 + у,г = 0.
655. z/"'(x-l)-//" = O; z/(2) = 2; у' (2) = 1, /(2)=1.
4. Дифференциальные уравнения вида F(y, у', у", ..., _у(п)) = 0, ие со-
держащие независимой переменной. Уравнение этого вида допускает пониже-
ние порядка на единицу, если положить у' = г, а за новый аргумент принята
сам у. В этом случае у”, у'", ... выразятся по формулам (они выводятся
по правилу дифференцирования сложной функции) y" = z^ , у"' = гу
Г d2z . ( dz VI У
X fd^y^ldyj Г чеРез г и пР0ИЗВ0Дные °т г по у, причем порядок
уравнения понизится на единицу.
656. Решить уравнение 1 + у'г = уу".
•1'42
Л Положим y' — z, У"~г~^- Уравнение примет вид \-\-г2 = уг^\ это-
уравнение первого порядка относительно г с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные и интегрируем:
1п(1+г2) = 21п!/+21пС1; l+z2 = c!</2;
Отсюда, возвращаясь к переменной у, имеем
»/'=± /С^-1, —2. 1п (С1#+/С^-1) = ± (х + С2),
I 1
или
!/=(е±(ж + Са> С‘ +ет(* + с’’ с0=^ ch Сх (х+С2) = С* ch . Д
657. Найти у' из уравнения у2" = й sin у — ky’* при начальных
условиях у (0) = 0, у' (0) = 0.
Л Положим у'г~г‘, тогда 2у'у" = г' =у' , т. е. У”-'^'^- Уравнение
1 dz , . , _
примет вид-х--р =osin у—kz. Это—лииеиное уравнение первого порядка
z ау
относительно г:
^~4-2kz = 25 sin у.
Решая его методом Бернулли, т. е. используя подстановку z — uv, получим
^4-2ku = 0, и — е~21гУ, dv — 2Ье2кУ sin у dy.
Интегрируя, находим
25
v № sin У — cos у) + С
и
z — uv = Ce~2кУу(2^ 8^п У—cos У) ~У'2-
т, 25 п -,25
Используем начальные условия: С—0, т. е. — j > откуда
получаем
У'
25
—_(е - гчу _|_ 2k Sin у _ С03 у) . Д
658. Найти кривую, у которой радиус кривизны равен кубу
нормали; искомая кривая должна проходить через точку М (0; 1)
и иметь в этой точке касательную, составляющую с осью Ох
угол 45°.
Л Так как радиус кривизны плоской кривой выражается формулой
R = (1 -f-t/'2)3/2 у", а длина нормали Л' = уУ l-|-i/'2, то дифференциальное
143
уравнение задачи примет вид
(1+/2)3-'2~
У“
G К1+у'2)3-
Отсюда, сократив иа (1 + у'2)3/2, приходим к уравнению t/"-p3=l.
„ , „ dz dz „
Полагая у —z, У~г'д^< получим для г уравнение z« — • t/J=l.
Интегрируя его, находим
zdz — y~3dy, или у?2=— <r2+jCi, т. е. z2 = Ci — у~2\
возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению t/'2 = Ci — у-2.
Произвольную постоянную Cj найдем из условия, что касательная
в точке М (0; 1) составляет с осью Ох угол 45°, т. е. tg 45° = 1/^ = 1, или
у'(0)=1. Следовательно, l=Cf—1, т. е. Cj = 2.
Таким образом, для определения у получено уравнение первого порядка
,2 0 2 , К2у2 _ 1
у =2—у-2, откуда у =-—----------- ; разделяем переменные и интегрируем:
У
—V^=dX; 1KV^T = ^+|C2; у2==1[(2х+С,)2+1].
у 2у3—1 2 2 2
Произвольную постоянную С2 находим из условия прохождения кривей
через'точку М (0; 1), т. е. 1 =-i-[(2-0-|-С2)2-}-1]; С2 = 1. Следовательнс.
искомая кривая определяется уравнением
t/2 = 2x2 + 2x+l. А
Решить уравнения:
659. у"(2у + 3)—2г/'2 = 0.
660. = t/(O) = l, z/'(0) = 2.
661. «V = 1 +/ •
662. уу" — у,2 = у21пу.
663. у (1 -Iny)y" + (l + In t/)/2 = 0.
664. t/"(l + z/) = /2 + /.
665. y" — y'lVy.
5. Уравнения вида F (х, у, у', у”, ..., _у<п>) = 0, однородные относи-
тельно у, у1, у", .._у<п>. Уравнение указанного вида допускает пониженна
порядка иа единицу при замене у’!у = г, где z—новая неизвестная функция.
666. Решить уравнение Зг/'2 = 4уу" у2.
Л Разделим обе части уравнения на у2;
3(Гу_4./==1.
\ У J У
li' и U* ч
Положим ~=г> откуда -—У-^ — г', или —=г'-f-z2. В результате получи»
уравнение
Зг2—4г2—4г'=1, или —4г' = 14-г2, т. е. тт~~ъ——
1 1-|-г2 4
144
Отсюда, интегрируя, находим
arctgz = C1 —4-х, или z = tg | Ci —4-)• или —= tg( Ci— 4 )•
4 \ 4 / у \ 4 /
Интегрируя последнее уравнение, получим
(X \ ( X \
Ci—j- \1п Сг, или у = Ct• cos4 ( Ci—4-I. A.
667. Решить уравнение у'*УУ" — УУ'•
Д Хотя это уравнение принадлежит к предыдущему виду, его можно
проинтегрировать более простым способом. В этом уравнении левая часть есть
, >.' z ы г d(yy') ,
(уу ) , в силу чего уравнение принимает вид (уу)—уу, или —— ах.
Отсюда In (t/t/') = дс-|-In Ci, или yy' = Ciex, т. е. ydy = C1ex dx.
Интегрируя, находим окончательный ответ:
у2/2 = С1ех-|-С2. А
Решить уравнения:
668. уу"-у'2 = 0. 669. (у + у')у"+у'г = 0.
670. 2ху"'у"— у"2—а2. 671. у" = у'еУ\ у(0) = 0, г/'(0)=1.
672. Найти у' из уравнения 2yy" — ky—у'2 при начальных
условиях у (0) = 1, у' (0) = 0.
• Подстановка у'2 = г.
673. Найти кривую, если проекция радиуса кривизны на ось
Оу постоянна и равна а, а ось Ох касается искомой кривой в
начале координат.
674. Найти кривую, у которой радиус кривизны в любой
точке равен sec а, где а—угол, образованный с осью Ох каса-
тельной в соответствующей точке. Искомая кривая проходит че-
рез точку М (0; 1) и касательная к кривой в этой точке парал-
лельна оси Ох.
675. Тело, находившееся в начальный момент в жидкости,
погружается в нее под действием собственного веса без началь-
ной скорости. Сопротивление жидкости прямо пропорционально
скорости тела. Найти закон движения тела, если его масса т.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
J. Основные понятия. Линейным дифференциальным уравнением п-го по-
рядка называется уравнение вида
</<"’ + «1 W Уп~1> + а2 W • • • +a«-i (х) у' + ап (x)y = f(x). (1)
З^есь функции аг (х), а2 (х), ...» ап (х) и f(x) заданы и непрерывны в некото-
ром промежутке (а. *)• , ,
Уравнение (1) называется линейным неоднородным, или уравнением с пра-
вей частью. Если же f (х) = 0, то уравнение называется линейным однород-
ным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неодиород-
soe, называется соответствующим ему.
Зная одно частное решение щ линейного однородного уравнения, можно
145
с помощью линейной замены искомой функции y~yv\^zdx понизить по;?-
док, а следовательно, н порядок соответствующего неоднородного уравнен*?
на единицу. Полученное уравнение (п—1)-го порядка относительно z так»^
является линейным.
// 2 1
676. Дано уравнение у' +~у"—у' + — [пх У = х и известь::
частное решение у, = 1пх соответствующего однородного уравне-
ния. Понизить порядок уравнения.
Д Воспользуемся подстановкой у = In х-z dx, где г — новая неизвестна -
функция. Тогда, подставляя соответствующие производные
у’ = -^-zdx+zln х, у" = — -^-§ г dx-\-~-[-z'Inx,
4i 2 0 , Зг . Зг' . „.
У 2dx—х2‘+т+г пх
в данное уравнение, получим уравнение второго порядка
„ . i 2 1п х , / 1 \
z in х-\------г "Н х«—1пх1г — х. А
Примечание. Отметим, что применяя указанную подстановку к ли-
нейному уравнению второго порядка и учитывая, что линейное уравнение пер-
вого порядка интегрируется в квадратурах, можно проинтегрировать в квад-
ратурах всякое линейное уравнение второго порядка, если известно одно ча-
стное решение соответствующего однородного уравнения.
2
677. Проинтегрировать уравнение у" -f-у у' 4 У ~ О, имеющее
sin х
частное решение yt — .
. „ sin х с .
ДПроизведем замену у=—— zdx; тогда
, xcosx—sin х С , , sinx
У =-----------} zdx-\—— г,
„ sinx , , 2(xcosx—sinx) (x2--2) sin x-{-2x cos x [* ,
</=—*' +---------*-------г —------------------^zdx.
Получаем уравнение
£.
sin х-г' +2cos x-z = 0, t. e. z = —.
sin2x
Следовательно,
sinx C Cldx sinx „ , 4 „ sinx _ cosx .
y=—J ^y=-r(c*~C1Ct^=C2-—~С1“Г- ±
678. Понизить порядок и проинтегрировать уравнение у" sin2 х—
= 2у, имеющее частное решение t/ = ctgx.
679. Уравнение у"—4- = 0 имеет частное решение у = х.
Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.
680. Уравнение p"4-(tgx—2ctgx) t/'+ 2 etg2 х t/= 0 имеет
частное решение у = sin х. Понизить порядок и проинтегрировать
это уравнение.
146
2. Линейные однородные уравнения. Одним из замечательных свойств ли-
нейных уравнений является то, что общее решение таких уравнений можно
вайти по их известным частным решениям. Приведем теорему о структуре об-
щего решения линейного однородного уравнения.
Теорема. Если ylt у2........уп—линейно независимые частные реше-
ния уравнения
г/п, + в1 (х)у<п-1> + й2(х) i/<n-2>-|-... +<zn(x) i/ = 0,
то у = Crfi + С2у2 +-Н Спуп есть общее решение этого уравнения (Сг,
С2, ..., Сп—произвольные постоянные).
Примечание. Функции yt(x), у2 (х)....уп (х) называются линейно
независимыми в промежутке (а, Ь) , если они не связаны никаким тождеством
ai!/i + а2 У г + • • • + апУп —•
где аг, а2, ..., а„—какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно.
Для случая двух функций это условие можно сформулировать и так: две
функции уг (х) и у2 (х) линейно независимы, если их отношение не является
постоянной величиной: y-Jy2 const. Например: 1) у^ — х, у2 = х2 — линейно
независимы; 2) yt — ex, у2 = е~х —линейно независимы; 3) i/1 = 2e3-t, у2 = 5е3* —
линейно зависимы.
Достаточным условием линейной независимости п функций, непрерывных
вместе со своими производными до (п—1)-го порядка в промежутке (в, А) ,
является то, что определитель Вронского (вронскиан) W [у1г у2, ..., уп] этих
функций не равен нулю ни в одной точке промежутка (а, Ъ), т. е.
^(У1. Уг, •••> Уп1==
У1 (х) у2 (х)
У1 (*) Уг (х)
У Ах)
Уп(х)
5*0.
У1 W Уг (X) ... Уп W
Если данные п функций являются частными решениями линейного одно-
родного дифференциального уравнения n-го порядка, то это условие (иеобра-
щение в нуль) является не только достаточным, но и необходимым условием
линейной иезавнсимости этих п решений.
Вронскиан п решений линейного однородного уравнения n-го порядка
Уп, + а1 (*)Уп-1)+•.•+<*»(*) </==0
связан с первым коэффициентом этого уравнения ai(x) формулой Лиувилля —
Остроградского-.
о, (xfdx
W (У1, Уг......Уп1 = [У1, Уг, • • • - Уп] |х=Хо-е
Совокупность п решений линейного однородного уравнения n-го порядка, оп-
ределенных и линейно независимых в промежутке (а, Ь), называется фунда-
ментальной системой решений этого уравнения.
Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
«/"+«1 (х)у' + аг (х)у=0
фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений (х)
Уг(х)-, его общее решение находится по формуле
У — С1У1 (х)+С2у2 (х).
Если для такого уравнения известно одно частное решение yi (х), то вто-
рое его решение, лииейио независимое с первым, можно найти по формуле
147
(являющейся следствием формулы Лиувилля—Остроградского)
- J at (x)dx
У 2 W — У1 W | -—»—-----dx.
J У1 «
Это дает возможность интегрировать линейные однородные уравнения
второго порядка, для которых известно одно частное решение, сразу, не при-
бегая к понижению их порядка.
2
Так, в примере 677 для уравнения у"-\- — у'+ у = 0 известно решение
. . sinx „ „
j/i (х) = —— . Наидем по приведенной выше формуле второе решение:
cos х
х
Поэтому общее решение данного уравнения имеет вид
sin х cosx
У ---------J— •
Рекомендуем решить этим способом примеры 678 — 680.
681. Показать, что t/ = С^е3*-)-С2е-3* является общим реше-
нием уравнения у"—9у — 0.
Д Подстановкой в уравнение легко убедиться в том, что функции j/i=e3x
и Уг — е~Зх являются его решениями. Эти частные решения линейно незави-
симы, так как уг1уг = е3х 1е~3х = eix # const, а потому оии составляют фун-
даментальную систему решений и, следовательно, (/ = Cie3x+C2e_3x—общее
решение. Д
682. Дано уравнение у"' — у' = 0. Составляют ли фундамен-
тальную систему решений функции 6х, е~х, ch х, являющиеся,
как легко проверить, решениями этого уравнения?
ДДля проверки линейной иезависнмостн
скиан:
W(x) =
ех е~х
ех —е-х
ех е~х
этих решений вычислим врон-
ch х
sh х
ch х
Этот определитель равен нулю, так как элементы 1-й и 3-й строк одинаковы.
Следовательно, данные функции линейно зависимы, а потому составить
общее решение по этим частным решениям нельзя. Тот же результат можнс
получить быстрее, поскольку ch х = (ех-\-е~х)!2 и, следовательно, данные трв
функции линейно зависимы. Д
683. Уравнению у"—у = 0 удовлетворяют два частных реше-
ния t/j — shx, y2 = chx. Составляют ли они фундаментальную
систему?
684. Можно ли составить общее решение уравнения у” —
148
+ Ту 4-(
1----1/ = О (х #= 0) по двум его частным решениям
, * 7 1
У = y^-sinx, z/2 = y^--cosx?
Установить, являются ли линейно независимыми в проме-
жутке своего существования следующие функции:
685. х4-1> 2x4-1, *4-2.
686. 2х24-1, х2—1, Х4-2.
687. Кх, Кх4-а, Кх4-2а.
688. 1п(2х), 1п(3х), 1п(4х).
3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Ли-
нейным однородным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициен-
тами называется уравнение вида
у<п> 4- а^п"!> 4- агУп "2> 4- ... 4- ап_ гу' 4- апу = 0, (1)
где коэффициенты alt а2, .... a„_i, ап—некоторые действительные числа. Для
нахождения частных решений уравнения (1) составляют характеристическое
уравнение
kn-f-a1k,!~1-f-a2k!!~2-f- ... 4-ап-1^4-ал = 0> (2)
которое получается нз уравнения (1) заменой в нем производных искомой
функции соответствующими степенями k, причем сама функция заменяется
единицей. Уравнение (2) является уравнением n-й степени и имеет п корней
действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные).
Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зави-
симости от характера корней уравнения (2):
1) каждому действительному простому корню k в общем решении соответ-
ствует слагаемое вида Сейх;
2) каждому действительному корню кратности т в общем решении соот-
эетствует слагаемое вида (С^СзХ-)- • • • -]-Стхт~1) е1!х;
3) каждой паре комплексных сопряженных простых корней £(1)=а-|-Р*
и № = а — f}i в общем решении соответствует слагаемое вида еах (С; cos fix 4*
4“ С’2 sin рх);
4) каждой паре комплексных сопряженных корней fe(1> = a-|-P< и й,2> =
= а — pi кратности т в общем решении соответствует слагаемое вида
ет[(Ct 4- С2х4---1- Ст_ixm - 4 cos Рх] 4- [(<Д 4- С2х4- ... 4- С'т- txn -l) sin Рх].
689. Найти общее решение уравнения у"—Чу' 4-6у = 0.
Д Составим характеристическое уравнение k2—7k4-6 = 0; его корни k-t —
= 6, А2=1. Следовательно, еах и ех — частные линейно независимые решения,
а общее решение имеет вид
у = С1е>х + С2ех. А
690. Найти общее решения уравнения z/IV—13z/"4-36t/ = 0.
А Характеристическое уравнение имеет вид k1—13й24~36 = 0; его корням
ki2 = ± 3, йз, 4= ±2 соответствуют линейно независимые частные решения
еЗл, егх и e-ix Следовательно, общее решение
y = C1eSx + C2e-3x + C3e2x + Cie-2x. А
691. Найти решение уравнения х—х—2х = 0, удовлетворяю-
щее начальным условиям х = 0, х=3 при t = 0.
149
Л Характеристическое уравнение fe2— k—2 = 0 имеет кории Ьг = 2, k2 =
= —1. Следовательно, общее решение x = Cie2/ + C2e_/. Подставляя началь-
ные условия в общее решение и его производную, получим систему уравнений
относительно Сг и С2:
0 ==Ci-|-C2,
3 = 2С1—С2,
откуда Сг= 1, С2 =—1. Значит, решение, удовлетворяющее поставленным на-
чальным условиям, имеет вид у = еи—e~t. А
692. Найти решение уравнения х—2х = 0, удовлетворяющее
краевым условиям х = 0 при t = Q и х=3 при / = 1п2.
Д Характеристическое уравнение k2—2k = 0 имеет корни ki = 0, k2 = 2.
Следовательно, общее решение записывается в виде х = Ci+C2e2t. Подставляя
краевые условия в найденное общее решение, получаем
J Ci + C2 = 0, ( С1 + С2 = 0,
( С1 + С2е21п2 = 3, или ( С1 + 4С2 = 3.
Отсюда С! = —1, С2=1. Итак, х = е2х— 1—искомое частное решение,
удовлетворяющее заданным краевым условиям. А
693. Найти общее решение уравнения у'" — 2у" у' = Q.
Д Характеристическое уравнение k2—2k2-\-k = 0 имеет корни ^ = 0, k2 =
= Лз=1. Здесь 1 является двукратным корнем, а поэтому линейно независи-
мыми частными решениями служат 1, ех, хех. Общее решение имеет вид
у = С1-\-С2ех-\-Сзхех.
694. Найти общее решение уравнения у"—4у' + 13// = 0.
А Характеристическое уравнение k2—4&+13 = 0 имеет корни й = 2±3<.
Корин характеристического уравнения комплексные сопряженные, а потому
им соответствуют частные решения е2х cos Зх и е2х sin Зх. Следовательно, об-
щее решение есть
у = е2х (Cj cos Зх-]-С2 sin Зх). А
695. Материальная точка массы т движется по оси Ох под
действием восстанавливающей силы, направленной к началу ко-
ординат и пропорциональной расстоянию движущейся точки от
начала; среда, в которой происходит движение, оказывает дви-
жению точки сопротивление, пропорциональное скорости движе-
ния. Найти закон движения.
Д Пусть х—скорость точки; х—ее ускорение; на точку действуют две
силы: восстанавливающая = —ах и сила сопротивления среды /2 = —Ьх.
Согласно второму закону Ньютона, имеем
тх — —Ьх—ах, или тх-[-Ьх-}-ах=0.
Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго по-
рядка. Его характеристическое уравнение mk2-|- bk + а = 0 имеет корни
kit 2 = (—b i У Ь2—4та)/(2т).
1) Если Ь2—4та > 0, то корни—действительные, различные и оба отри-
цательные; вводя для иих обозначения
+ = (—6 + К Ь2—4та)/(2т) = —п, ^ = — (6 + У Ъ2—4та)/(2т) = —/„
150
находим общее решение уравнения движения в виде
х=С1е-г'%С2е~г^
(это—случай так называемого апериодического движения).
2) Если Ьг—4та = 0, то корни характеристического уравнения —действи-
тельные равные:
ki = k2 = —b/(2m) = —г.
В этом случае общее решение уравнения движения имеет вид
x=(C1-\-C2t) e~rt.
3) Наконец, если 62—4та < 0, то характеристическое уравнение имеет
комплексные сопряженные корни:
k1 = — a + PZ, k2 = — a—pt,
где
a = b/(2m), ^ = (yr4am — b2)/(2m).
Общее решение уравнения движения имеет вид
x=e~at (Ci cos PZ-|-C2 sin PZ), или x — Ae~a* sin (PZ +<p0),
где
A = j/’cf+c|, sin<p0=Ci/A, cos<p0 = C2/A
(затухающие колебания). £
Найти общие решения уравнений:
696. у*—у' — 2у=0. 697. £/' + 25г/ = 0.
698. y"—y' = 0. 699. у"—4у' + 4у=0.
700. ylv — 2y'" + y"=0. 701. ylv + a4y = 0.
702. у^ + 5у" + 4у= 0.
Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным на-
чальным или краевым условиям:
703. у" + 5у' + 6у = 0; t/(0) = l, t/'(0) = —6.
704. у"-10у' + 25у = 0-, £/(0) = 0, /(0)=1.
705. y"—2y' + 10y = 0; z/(n/6) = 0, у'(л/6) = ел^6.
706. 9у" + у=0; у(Зл/2) — 2, у'(Зл/2) = 0.
707. £/"+3/ = 0; t/(0)= 1, /(0) = 2.
708. z/" + 9i/ = 0; z/(0) = 0, у(л/4)=1.
709. у" + у = 0; у’ (0) = 1, у' (л/3) = 0.
710. Решить задачу 695, если сила сопротивления среды
равна нулю.
4. Линейные неоднородные уравнения. Структура общего решения линей-
ного неоднородного уравнения, т. е. уравнения с правой частью:
ф'п} + а1 (x)^n_1,+ -.-+an-i(x)i/' + an (x)y = f(x),
определяется следующей теоремой.
Если и — и(х) — частное решение неоднородного уравнения, аух,у2, -...Уп —
фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения,
то общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид у = и-\-С1у1-]~
151
+ C2y2-f- ... -f-C„y„; иными словами, общее решение неоднородного уравнения
равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствую-
щего однородного уравнения.
Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения
ладо найти одно его частное решение (предполагая уже известным общее ре-
шение соответствующего однородного уравнения).
Рассмотрим два метода отыскания частного решения линейного неодно-
родного уравнения.
Метод вариации произвольных постоянных. Этот метод
применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного урав-
нения n-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициен-
тами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.
Метод вариации заключается в следующем. Пусть известна фундамен-
тальная система решений ylt у2, соответствующего однородного урав-
нения. Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде
и (х) = Cl (х) ух -f-С2 (х) у2 + ... + Сп (х) уп,
где функции С\ (х), С2 (х)....С„ (х) определяются из системы уравнений
Ci (х) Ух + Сг (х) у2 + • • • +Gj (х) уп — 0.
Ci (х) yi -f- С2 (х) Уг-j- • • • -f-Cn (х) уп =0,
Ci (х) yin 2) + С2 (х) у2п 2> Ч-... + Сп (х) уп1 2) = 0,
Ci (х) yi ’-f-C2 (х) у2” п -|- ... Сп (х) у<пп п=/ (х)
[/(х)— правая часть данного уравнения].
Для уравнения второго порядка у"-f-ax (х) у' -ф я2 (х) у = f (х) соответствую-
щая система имеет вид
( С[ (х) г/х+СДх) у2 = 0,
( (*) У! + с2 (х) у2 = f (х).
Решение этой системы находится по формулам
г С yzf(x)dx . „ f j/if(x)dx
ClW~—Г^Ух, y2)’ yiy
в силу чего и (х) можно сразу определить по формуле
»(х]~ у. С y,-f^dx ' , С
() У1 J №(У1, у2)~гУ2 J !F(yx, у2)
(здесь W (ух, у2)—вронскиан решений ух и у2).
Пусть, например, требуется проинтегрировать уравнение
Для соответствующего однородного уравнения мы нашлн частные решения
sinx cosx , , , 1
Ух=------- и у2 —---- (см. с. 146); их вронскиан 1F (ух, у2) =-
X X X*
Поэтому и (х) можно найти по формуле
р cos х etg х р sin х etg х
„ , . Sin X I x x , . cos x I x * x ,
« (x)=-----------—-r—-----dx-]-----1 ---.——----dx —
x d (— 1/x2) x J (—1/x2)
sinx fcos2x , cosx C , sinx .. ... ,ml . . cosx .
-T—’ 1 "q'in dx-----\cosxdx=—— [In | tg (x/2) |-f-cosx]-—sinx
A ЭШ А Л Л A
152
"рйкп.м образом, и (х) = -S— — 'П (*'2) I , а общее решение данного урав-
нения'имеет вид
„ sinx , „ cos х . sin х, ,
У = Ci -у-+ С2 —-----1---— In | tg (х/2) |.
Примечание. Еще раз отметим, что линейное неоднородное уравнение
второго порядка может быть проинтегрировано в квадратурах, если известно
одно частное решение уА (х) соответствующего однородного уравнения; общее
решение такого уравнения имеет вид i/ = C1i/14-C2i/2 + u (х), где у2 определя-
ется через yL по формуле
Г е~/а‘ Mdx
У2 — У1 \ ;-----dx,
J У1
а и (х) определяется через yi и уг по вышеприведенной формуле.
Метод подбора частного решения (метод неопределен-
ных коэффициентов). Этот метод применим только к линейным урав-
нениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его пра-
вая часть имеет следующий вид:
f (х) =еах [Рп (х) cos ₽х + Qm (х) sin 0х]
(или является суммой функций такого вида). Здесь а и|3 — постоянные, Рп (х)
и Qm (х)— многочлены от х соответственно n-й и /п-й степени.
Частное решение уравнения n-го порядка
*/(п) + а^п ~ 1> + а2у{п "2) +... + апу = f (х)
(где f(x) имеет указанный вид, а аь а2, .... ап—действительные постоянные
коэффициенты) следует искать в виде
и (х) = xreax [Pi (х) cos Вх-|- Qi (х) sin Рх].
Здесь г равно показателю кратности корня сеfit в характеристическом
уравнении /г"-j-Cj/e" “1д-йп = (если характеристическое уравнение та-
кого корня не имеет, то следует положить г = 0); Pt (х) и Qi (х) — полные мно-
гочлены от х степени I с неопределенными коэффициентами, причем I равно
наибольшему из чисел п и т (1 = п^т, или 1~т^ п):
Pl (х) = A oxl + A Lxl -1 +... + А с, Qi (х) = Вох1 + B1Xl -1 + ... + Bt.
Подчеркнем, что многочлены Pz (х) и (х) должны быть полными
(т. е. содержать все степени х от нуля до /), с различными неопределенными
коэффициентами при одних и тех же степенях х в обоих многочленах и что
при этом, если в выражение функции f (х) входит хотя бы одна из функций
cos рх или sin Рх, то в и (х) надо всегда вводить обе функции.
Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных алгеб-
раических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных
членов в правой и левой частях исходного уравнения после подстановки в него
и(х) вместо у.
Проверку правильности выбранной формы частного решения дает сопо-
ставление всех членов правой части уравнения с подобными им членами
левой части, появившимися в ней после подстановки и (х).
Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различ-
ных функций рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения
такого уравнения нужно использовать теорему наложения решений:
надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой
части, и взять их сумму, которая и является частным решением исходного
уравнения (т. е. уравнения с суммой соответствующих функций в правой
части).
153
Примечание. Частными случаями функции f (х) рассматриваемой
структуры (при наличии которых в правой части уравнения применим метон
подбора частного решения) являются следующие функции:
1) f (х) = АеР-х, Л—постоянная {а-|-0/=-а}.
2) f (х) = A cos 0x-f-B sin 0х, А и В —постоянные {a + 0i=0z}.
3) f(x)=Pn(x) (многочлен степени n) {a-|-fiz = 0}.
4) f (*) = Рп (х) {а + 0г = а}.
5) 1 (х)=Рп (х) cos 0x+Qm (х) sin fix {a + 0z = 0»}.
6) f (x)=eax (A cos 0x+Bsin0x), А и В — постоянные.
711. Найти частное решение уравнения у"—2у' — Зу^е4'.
удовлетворяющее краевым условиям г/|х= ln 2= 1; у |х=2 in 2 = 1-
Д Характеристическое уравнение k2—2k—3 = 0 имеет корни ^=3,
k2 =— 1. Общее решение соответствующего однородного уравнения у = Сге3х-\-
-\-С2е~х. Частное решение исходного уравнения следует искать в виде и=Ае4х
(так как в правой части отсутствуют синус и косинус, коэффициентом при
показательной функции служит многочлен нулевой степени, т. е. / = п = 0,
и г = 0, поскольку а=4 не является корнем характеристического уравнения).
Итак,
—3
и = Aeix
и' = 4Ае4х
u"=\Meix
и"—2и'—3и — 5 Ле4* = eix
Таким образом, Л = 1/5. Следовательно, общее решение данного уравнения
у = Cie3x Л- С2е~ х Л- 4 eix.
О
Для нахождения Ci и С2 воспользуемся краевыми условиями:
( in 2-рс2е-1п 2е1 ln 2= 1, [ 8Ci +-1-С2 + ^=1,
I О 1x0
< 1 или \ 1 95с
+ + б4Сг + ^-= 1.
I О 4 О
Отсюда Ci = —491/600, С2 = 652/75. Итак,
5
652
’ 75
491
600“
712. Проинтегрировать уравнение у" + у' — 2y = cosx—3sinx
при начальных условиях у(0) = 1, у'(0) = 2.
Д Характеристическое уравнение k2A~k—2 = 0 имеет корни kx = 1, k2 =
— — 2, а потому общее решение однородного уравнения у = С1е~2х А-С^.
Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
и = Л cos х + В sin х
(в данном случае а = 0, 0=1, a-f-Pz=z; поскольку такого корня у характе-
ристического уравнения нет, то г = 0; т = п = 0, а следовательно, и 1=0).
Итак,
— 2
1
1
и = Лсозх + Bsinx
и' = — Л sin x-f- В cos х
и" = — A cos х— В sin х
и"-\-и' — 2и = (В—ЗЛ) cos х+ (—ЗВ — Л) sin xs= cos х—3 sin х.
154
Таким образом, имеем систему
J В—34=1, л n n 1
13В4-Я=3, т. е. 4 = 0,В=1.
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
j/ = C1e-2x4-C2ex4-slnx.
Найдем Ci и С2, используя- начальные условия:
( C1e04-C2e°4-sin 0= 1, ( Cj.4-C2=1,
| — 2C1e°4-C2e°4-cosO = 2, “ЛИ j—2^4-^=!.
Отсюда Ci = 0, C2=l, т. e. i/ = e*4-sinx. A
713. Проинтегрировать уравнение у" — y' — ch2x при началь-
ных условиях у (0) = у’ (0) = 0.
Л Характеристическое уравнение k2—k = 0 имеет корни kx =0, /^ = 1.
Общее решение однородного уравнения у = С14-С2ех. Частное решение неодно-
родного уравнения в данном случав можно искать в виде и = А ch 2х4~В sh 2х.
Дифференцируя и подставляя в
0,
исходное уравнение, получим:
и = А ch 2x4- В sh 2х
и' = 2А sh 2х+ 2В ch 2х
и’ = 4Д ch 2x4- 4В sh 2х
и"—и' = (4Д—2В) ch 2х4~(4В — 24) sh 2x=ch 2х.
Таким образом,
{-M + 4S-0;
Значит, общее решение исходного уравнения имеет вид
У = Ci -|- Ctf* -|- -х- ch 2х+ sh 2х.
о О
Для нахождения Cj и С2 используем начальные условия:
| Cj.4- С2-е° 4~ -г ch 04-тг sh 0 = 0, ( Ci-|-C2 =—т >
1 21 или J
c2.e04-4sh04-4ch0=0, c2 4-4=0.
I О и l и
Следовательно, ^ = 0, С2 = —1/3. Итак, искомое частное решение имеет вид
у =—у e*4--^-ch 2x4-4-sh 2х. Д
О О- О
Примечание. Согласно общей теории мы должны были бы правую
часть заданного уравнения представить в виде (1/2) (е2х-±-е~2х) и применить
теорему наложения, т. е. искать отдельно решения, соответствующие слагае-
мым (1/2) е2-*- и (1/2)е~2х правой часта Мы имели бы:
для (1/2) е2х:а = 2, 0=0; а4-0« = 2; г = 0) п = /'=0‘; таким образом,
и, (х) = 41е2х;
для (1/2) e-2*:aj = — 2, ₽i = 0, ai4-₽i<‘ = —2; r — 0; n1 = /1 = 0; таким
образом, и2 (х') = В1е~2х.
Поэтому частное решение следовало искать в виде
и (x) = «1 (x) 4- и2 (х) = Аге2х 4- Вге-2х,
Я1е2х-4-В1е_2х = Л! (ch 2x-J-sh 2х) + Si (ch 2x—sh 2x) =
= (Л, -(-Bi) ch 2х+(Л1—Bi) sh 2x = A ch 2x + B sh 2x.
Именно в этом виде мы и искали решение данного уравнения.
Вообще следует заметить, что при изменении метода подбора частногс
решения последнее всегда отыскивается в виде функции такой же структуры,
как и правая часть заданного уравнения, но при этом целесообразно допол-
ненной добавочными слагаемыми и множителями, чтобы обеспечить возмож-
ность отождествления полученных после подстановки в левую часть уравне-
ния членов со всеми (подобными им) членами правой части.
714. Решить уравнение у"—2 у' + 2у = х2.
Д Характеристическое уравнение k2—2Л-{-2 = 0 имеет корни fei, » = 1 ± i,
а потому общее решение однородного уравнения у = ех (Ci cos x-j-C2 sin x). Част-
ное решение следует искать в виде и = Ах2-\-Вх-\-С (в данном случае а = 0,
Р —0, а-|-р|=0; так как 0 не является корнем характеристического уравне-
ния, то г = 0; п — 1 — 2). Итак,
2 и — Ах2-\-Вх-\-С
+ —2 и' —2Ах-\-В
1 и’ = 2Л
и"—2и' + 2и = 2Ах2 + (2В—4А) х + (2С~2В + 2А)^х2.
Отсюда 2Л = 1, 2В—4Л = 0, 2С—2В + 2А = 0, т. е. Л=1/2, В=1,С=1/2.
Следовательно, общее решение исходного уравнения
у = ех (Ci cos х-|-С2 sin х) +-j (х-|-1)2. Д
715. Решить уравнение у" у — хех -\~2е~х.
Характеристическое уравнение Л2-}-1=0 имеет корни fef, 2=±1, по-
этому общее решение однородного уравнения t/ = C1cosx-|-C2sin’x. Пользуясь
принципом наложения, частное решение исходного уравнения будем искать
в виде u = u1 + u2 = (4x+B)eJC + Ce_JC (имеем для up f1(x) = xex, «1 = 1,
Pi = 0, «i + Pii=l; поскольку такого корня нет, ri=0; п=1=1; для иг: f, (х)=
= 2е-х; а2 = —1, Р2 = 0, аг + Ра1’3—h г2 = 0; л1 = /1=0). Итак,
1 и = (Ах + В)ех + Се~х
+ 0 и' = Аех + (Ах+В)ех — Се~х
1 и" = 2Аех + (Ах+В)ех+Се-х
и” + и = 2Ахех + (2Л + 2В) ех + 2Се~х = хех 2е~х.
Отсюда 2Л = 1, 2Л + 2В = 0, 2С = 2, т. е. Л = 1/2, В = — 1/2, С = 1.
Следовательно, общее решение исходного уравнения
у —Ct cos х-(-С2 sin х (х— 1) ех-\-е~х. А
716. Решить уравнение у"' + у"—2у' = х—ех.
Д Характеристическое уравнение fe3-|-fe2—2fe=0 имеет корни fei=0,
Л2=1, k3 — — 2, а потому общее решение однородного уравнения i/ = Ci +
+ С2ех-]-Сзе~2х. Частное решение ищем, пользуясь принципом наложения,
в виде u = Ui-]~u2 — x(Ax-]-B)-\-Cxex. Итак,
0
—2
и = (Лх+ В) x-j-Cxex
и’ = 2Ах+ В-\-Сех -{-Схех
и" = 2А + 2Сех + Схех
и"’ = ЗС ех -|- Схех
и'" + и"—2ц' = — 4Лх+ (2Л — ЗВ) + ЗСех = х—ех.
156
Отсюда — 44 = 1, 2А —2В = 0, ЗС = —1, т. е. Л = —1/4, В = — 1/4,
С= —1/3. Следовательно, общее решение исходного уравнения
у = С1 + С2е* + Сае-^—^Х(Х+ 1)-ухе*. Д
717. Найти решение уравнения у" + у = 3 sin х, удовлетворяю-
щее краевым условиям у (0) + у' (0) = 0, у (л/2) + у’ (л/2) = 0.
Л Характеристическое уравнение А2+1=0 имеет корни Af, 2=±f, а по-
нижу общее решение однородного уравнения y = Cj cos х-|-С2 sln х. Частное
решений следует искать в виде и = х(А cos х-\-В sinх) (в данном случае а=0,
р = |, a+p/ = i; так как i является простым корнем характеристического
уравнения, то г = 1; т = п = 1 = 0). Итак,
1 и = (А cos x-j-B sinx) х
+ 0 и'— (—A sin x-f-B cos х)-|-(4 cos x-j-B sin x)
1 u" = 2 (— A sin x-j- В cos x) + (— A cos x—В sinx) x
u"-\-u = — 2A sinx+2B cos x^3 sinx.
Отсюда — 2A = 3, 2B = 0, т. e. A = — 3/2, В = 0. Следовательно, общее
решение исходного уравнения
. 3
У —Ci cosх-|-Саsinx—^xcosx.
Постоянные Ci и Са найдем, используя краевые условия. Имеем
3 3
у’ = — Ci sin х-|-Са cos х~|-у х sinx—g- cos x,
ж. далее,
3
у (0) = Ci cos 0+Ca sln 0 —g-'O-cos 0 = Ci,
3 3 3
y' (0) = — Ci sin 0-|-C2 cos 0-|-y-0-sln 0—cos 0 = C2——,
(л \ „ л , „ . л 3 л л,-,
у 1=C1 COS у + С2 Sin у— у • у • COS у = С2,
, f ft\ я я । 3 л , л 3 л „,3л
У ( Tf ) ~— Ci s*ny+C2 cos у-f-у • у-sin-^-2" cos ~2--
Таким образом,
У (0)4~У (0) =Ci-|-Ca—3/2 = 0,
у (л/2)+у' (л/2)=Са —С1 + Зл/4 = 0,
•пуда получим систему уравнений
/ Ci~|-Ca = 3/2,
( Ci — С2 = Зл/4,
решая которую, находим С! = 3(2+л)/8, С2 = (2—л)/8. Значит, решение исход-
ного уравнения, удовлетворяющее поставленным краевым условиям, имеет вид
3 3
# = -о-[(л-|-2) cosx —(л—2) sinx]—s-xcosx. Д
о 2
718. Найти решение уравнения t/" + 6z/' + 10t/=80^cosx, удов-
летворяющее начальным условиям z/(0) = 4, у' (0) — 10.
157
Z\ Характеристическое уравнение А24-6й+10=0 имеет корни ki2 =
=—3±i и общее решение соответствующего однородного уравнения у =
= е-3* (Ct cos х-|~Са sin х). Частное решение данного неоднородного уравне-
ния будем искать в виде u = ex (A cos х-)-В sinx). Тогда
10 u — ex {A cosx-J-B sinx)
6 и' = ех (Я cos x-J-B sin х—A sin x-f-B cos х)
1 и” = ех(—2Я sin х-[-2В cos х)
и"+би’ + 10н = ех [(16Я + 8В) cos х + (16В — 8Я) sin х] = 80е* cos х.
Отсюда 16Я-|-8В = 80, 16В—8Д=0, т. е. А =4, В =2, и общее решение
исходного уравнения таково:
у=е~3х (Ci cosx-/-C2sinx)4-2ex (2cosx-f-sin x).
Постоянные Ci и C2 найдем, используя начальные условия. Имеем
у' =е~3х (—-3Ci cosx—ЗС2 sinx—Cj sinx-|-C2 cos x) + 2e*(3 cosx—sinx)
и, далее, у (0) = Ct + 4 = 4, у' (0) = — 3CiC2 + 6 = 10, откуда Ci = 0, C2 = 4.
Итак, решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям,
имеет вид
# = 4е-3* sin х+2е* (2 cos x-J-sinx). А
719. Найти решение уравнения у" 4- у = tg х, удовлетворяющее
краевым условиям у (0) = у (л/6) = 0.
Д Характеристическое уравнение А2-]-1 = 0 имеет корни ki<2=±i, а по-
тому общее решение однородного уравнения ^ = C1cosx+C2sin’x. Частное ре-
шение исходного уравнения методом неопределенных коэффициентов искать
нельзя (функция f (х), в отличие от предыдущего, имеет другую структуру),
а потому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Будем
искать решение уравнения в виде
y = Ci (х) cos х-)-С2(х) sinx,
где функции Ci (х) и С2 (х) нужно найти из системы уравнений
(Ci (х) yi-t-Cz (х) у2=б, [ C((x)cosx+C2(x)slnx=0,
(Cj (х) i/i+C2(x) y'2~f (x), (—Cl (x) sinx-J-C2 (x)cosx=tgx.
Решая эту систему, получаем Ci(x) =— sin2x/cosx, C2 = sinx, откуда
_ , . f sin2 x , , . , , . / x i л \ . .
Ci(x)=— \ —— dx-M=sinx—Intg —4-_)4-Д;
two A \ " * J
C2 (x) = —cos x-\-B.
(Вместо решения этой системы можно было воспользоваться формулами, при-
веденными иа с. 152.)
Таким образом, общее решение исходного уравнения
у = A cos х-\-В sinx— cos x-ln tg >
где А и В — произвольные постоянные, которые нужно определить из краевых
условий:
( A cos 0-1-В sin 0—cos 0-ln tg (л/4) =0,
| Д cos (л/6)-)-В sin (л/6)—cos (л/6) In tg (л/3) = 0.
Отсюда Я =0, В = (У~3/2) 1пЗ. Следовательно, решение, удовлетворяющее по-
ставленным краевым условиям, имеет вид
3 , . , ,,/х.л\ д
у = ~——1п 3 sinx— cos xln tg I у+-4-I • A.
720. Свободно висящая на крюке однородная цепь соскаль-
зывает с него под действием силы тяжести (трением можно пре-
небречь). Определить, за какое время соскользнет с крюка вся
цепь,'если в начальный момент цепь покоилась, а длина цепи с
одной: стороны крюка была равна 10 м, с другой 8 м.
Д. Пусть масса одного погонного метра цепи равна т. Обозначим через х
длину большей части цепи, свешивающейся с крюка через время t после на-
чала движения. К центру тяжести цепи приложена сила /г = [х—(18—х)] mg.
Масса реей цепи равна 18/п, ее ускорение равно х. Итак, приходим к урав-
еаию движения центра тяжести цепи:
18гпх=(2х—18) mg, или х—-д-х =—ё-
Это уравнение надо проинтегрировать при начальных условиях: х=10, х = 0
жри t=^0.
Кории характеристического уравнения А1>2=± / g/З; частное решение
жодиородного уравнения следует искать в виде и = А; после подстановки в
уравнение находим А =9. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид
х = Сге* Г®/3+С2с-'Г®/з+9.
Используя начальные условия, получим
— 10,
1 (Kg/з) (С1-са)=о,
•гжуда С! = С2 = 0,5. Значит,
х = (? + е -* /3)/2 4- 9 = 9 + ch (/ / g/З).
Время, за которое соскользнет вся цепь, определится из условия: х=18 м
иди t = Т. Следовательно,
, г- ч егУ7/3 , е-гУ?/3
18 = 9-(-ch (Т / g/З), или ---------------= 9.
Решая полученное уравнение относительно Т, находим
T = (3/fg) In (94-4 Vl>) « 2,76 с. Д
Решить уравнения:
721. у"-4у' + 3у = е*х-, г/(0) = 3, г/'(0) = 9.
722. у"—8/4-16z/ = ew; г/(0) = 0, т/'(0)=1.
728. у"—бу' + 25г/ = 2sinx4-3cosx.
724. у"4- у = cos Зх; у (л/2) = 4, у' (я/2) = 1.
725. у" — 6/4-8г/= 3х2 4-2x4-1.
726. 2г/" — у' = 1; г/(0) = 0, г/'(0)=1.
727. г/" + 4г/= sin2x4-1; г/(0)= 1/4, г/'(0)==0.
728. у"—4y' = 2sh2x.
729. г/"4-4г/ = соз2х; у (0) = у (л/4) = 0.
730. г/"4-Зг/' — i0y = xe~2x.
731. у"—(а + Р) у’ + офу = аеах + Ье?х.
732. у"—г/ = хсоз2х.
733. у"—9г/' 4- 20г/ = x2eix.
734. у"—z/=2shx; г/(0) = 0, г/'(0) = 1.
735. у— 4г/ = сЬ2х.
159
736. у”—2i/cos<p4-«/ = 2sinxcos<p.
737. у"—2у' + 2у = е* sin х.
738. у" + 9у =2 sinx sin 2х; у (0) = у (л/2) = 0.
739. у"—4«/'4~8«/=61e2*sinx; г/(0), у' (0) = 4.
740. Показать, что общее решение дифференциального урав-
нения у"—т2у = 0 можно представить в виде у = Сг ch тх + С2X
х sh тх.
741. Показать, что общее решение дифференциального урав-
нения у"—2аг/' + (а2—02) у = 0 можно представить в виде у =
= еах (Cl ch (Зх 4- С2 sh 0х).
742. Определить закон движения материальной точки массы гг.
перемещающейся по прямой под влиянием восстанавливающей
силы, направленной к началу отсчета перемещений и прямо про-
порциональной расстоянию точки от начала отсчета, если сопро-
тивление среды отсутствует, а на точку действует внешняя сила
F= A sin at.
Решить уравнения методом вариации произвольных постоян-
ных:
743. у"+У= 1 /Кcos2x. 744. / + 5/ + 6у== 1/(1+е2х).
745. «/"-]-4i/ = ctg 2х. 746. х/" cos (х/2)-J-(1/4) t/cos(x/2) — 1.
747. Решить задачу 720 с учетом трения цепи о крюк, еслз
сила трения равна весу одного погонного метра цепи.
ф Уравнение движения центра тяжести цепи имеет вид
18x=gx— (18—x)g—g-1,.
5. Уравнение Эйлера. Линейное уравнение с переменными коэффициента-
ми вида
x'Ii/<'» + a1xn-1y*,!-1’+ ... +а„_1ху' + ад = /(х) (1)
или более общего вида
(ах+Ь)п + аг (ах + Ь)п -1 у<п ~ 1> -)- ... + ап _ i (ах+Ь) у' + апу = f (х) (2)
называется уравнением Эйлера. Здесь а; — постоянные коэффициенты. С по-
мощью подстановок х=е< для уравнения (1) и ах-\-Ьу=е* для уравнения (2)
оба эти уравнения преобразуются в линейные уравнения с постоянными коэф-
фициентами.
748. Решить уравнение х2у"—ху' + У — О.
Полагая x=ef, или / = 1пх, откуда =e_f, получим
, dy dy dt • t
У • ~г-—Уе~<
dx dt dx
У" = -^ = = (y—y)e~2t
(дифференцирование no t обозначаем точками). Тогда исходное уравнение
примет вид
e2t-e~2t(y — у)—et-e~t-y-!ry = 0, или у — 2y-[-y = Q.
160
Характеристическое уравнение k2—2£-|-1=0 имеет корни Лх = Лз=1. Следо-
вательно, общее решение
у = (Сг + C2t) е*, или </ = (С14-С2'1п х) х. А
749. Решить уравнение (4х—l)2z/"—2(4х—l)z/' + 8z/ = O.
Л Положим 4х—1=е<; тогда dx=-^- е1 di, -^-=4е~*. Отсюда
4 dx
y' = ^t '1х=4е~{'^’ у"=16е~2( у)-
Исходное уравнение принимает вид
16е2Се-2*(</—у)—4‘2et-e~t-y-\-3.y = 0, или 2у—Зу-\-у = 0.
Характеристическое уравнение 2k2— 3fe-|- 1—0 имеет корни ^=1, k2 — 1/2,
Следовательно, общее решение
у = Cje* + С2еС2, или y — Ci(4x—1) -f-C2 У4х—1. А
750. Решить уравнение у"—ху' + У — cos In х.
Д Положим х=е1; тогда /=1п х, следовательно, у' = уХ
Хе~1, у" — (у—y)e~2i. Данное уравнение примет вид
У—2i/ + </ = cos i.
Общее решение однородного уравнения есть y = (Ci + С2/)е(, а частное реше-
ние неоднородного уравнения следует искать в виде и — A cos t ~\-В sin t. Тогда
1
—2
1
и = A cos t + В sin i
и' = —A sin t + В cos t
и" = —A cos t—В sin t
u" — 2u' + « = —2B cos t + 2A sin / = cos t.
откуда B = —1/2, A=0. Следовательно, общее решение исходного уравнения
У = (Ct + C2t) е*—^-sin/, или t/ = (Ci + C2 In x) x—sin In x.
Решить уравнения:
751. x2y"—xy' + 2y = 0.
752. x2y"—3xy' + 3y — 3 In2 x.
753. x2y”-]-xy' + «/ = sin(21nx).
754. x2z/"4-3xz/' +z/= 1/x; z/(l)=l, y' (l) = 0.
755. xV-3xz/'4-4z/ = x3/2; y(l)=l/2, y(4) = 0.
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
1. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений. В некото-
рых случаях, когда интегрирование дифференциального уравнения в элемен-
тарных функциях невозможно, решение такого уравнения ищут в виде степен-
ного ряда
СО
</= 2 с«(х—х0)п.
п = 0
6-216
J61
Неопределенные коэффициенты С„ (n=0, 1, 2, ...) находят подстановкой
ряда в уравневие и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях
разности х—х0 в обеих частях полученного равенства. Если удается найти
все коэффициенты ряда, то полученный ряд определяет решение во всей своей
области сходимости.
В тех случаях, когда для- уравнения y'—f(x, у) требуется решить задачу
Коши при начальном условии у |х_Хо = у», решение можно искать с помощью
ряда Тейлора:
п=0
где г/(х«) = Уо> У' (*<>)= f(*o> У о)- а дальнейшие производные /"> (хо) находят
последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой
в результат дифференцирования вместо х, у, у', ... значений х®, у», yi> и всех
остальных найденных последующих производных. Аналогично с помощью ряда
Тейлора можно интегрировать и уравнении высших порядков.
756, Проинтегрировать уравнение у"—х*у = 0.
Л Будем искать решение этого уравнения в виде ряда
У = Св + CiX-f-CaX8-]- ... + Спхп -j- ....
Подставляя у и у" в исходное уравнение, находим
[2- lC2-f-3-2Csx-|-4-3C1x2-|- ... + (л-|- 2) (л + 1) Сл+1 хл + ...] —
—х2 [СоCjxС2х2-}- ••• +Cnxn + ...j = 0.
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями х:
2.1С8 + 3-2СзХ2+ 2 [(п + 4)(п + 3)Си+1-Ся]х'’+2^0.
п = 0
Приравнивая нулю все коэффициенты полученного ряда (чтобы уравнение об-
ратилось в тождество), находим
С,-С,=О; С.,.-(„+^, + 4) «-0. 1.2....).
Последнее соотношение позволяет найтн последовательно все коэффициенты
искомого разложения (Со и Ci остаются произвольными и играют роль про-
извольных постоянных интегрирования):
р ____________О,__________ Р______________Cj_______.
3-4.7-8 ... (46— 1)-46’ **+1~4-5-8-9...46(46-|-l)'
+ 8 = С4^ + 3 = 0 (6 = 0, 1, 2,...).
Таким образом,
“ “ x«*+i
У =C° 3-4-7-8... (46—1)4б+С1 4-5-8-Э ... 46 (46-f- 1) ’
Полученные ряды сходятся на всей числовой оси и определяют два линей-
но независимых частных решения исходного уравнения, А
С помощью разложения в ряд по степеням х проинтегрировать
следующие уравнения и определить область существования полу-
ченного решения:
757. у + xy — Q.
758. у' — х—2у; у(0) = 0.
162
ф В силу начального условия положить Со=О.
759. /4-х/ + # = 0.
760. /—ху'—2у>=0.
761. i/(0)s=0; /(0)=1.
ф В силу начальных условий положить Со—0, Ci = l.
762. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейло-
ра уравнение у' = *’+!/’, у(0)=1, взяв шесть первых членов
разложения, отличных от нуля.
Л Из уравнения начальных условий находим у' (0) — 0® Iе = 1. Диффе-
ренцируя данное уравнение, последовательно получаем
у’ = 2х + 2у/, у(»=2+2у'« + 2уу«, yiv = 6yV + 2y/'<,
yv=6jf2 + 8!/V"+2y(/iv.
Полагая х=0 и используя значения у (0) = 1, у' (.0) — 1, последовательно нахо-
дим у"(0)=2, у'" (0) = 8, у^ (0)=28, yv(0)= 144. Искомое решение имеет вид
, , х . 2х2 . вх3 . 28 х4 . 144Xs . .
у=1+п+2Г+зг+чГ+“5Г+--- •А
763. у"==х + уг, у(0) = 0, z/'(0) = l. Найти четыре первых
(отличных от нуля) члена разложения.
Л Дифференцируя уравнение у’==х-}-уг, имеем
y'z, = l+2yy', yiv = 2y/ + 2y'2, yV=2yy'"+6y'y".
yvi = 2yyiv + 8y'y"' +6у"2.
При х=0 получаем
У(0)=0, У' (0) = 1, у"(0)=0, у"!(0) = 1, yiV(0)=2, yf (0)=0, yVl(0) = 16.
Решение имеет вид
х , х3 . 2х* . 16х’ . . х3 . х* . х2 . .
У~ 1! + 31 *”4Г'*- 61 "I х+т+ц2 + 45+'” •
764. у — хъу + у3, у(0) = 1. Найти четыре первых (отличных
от нуля) члена разложения.
765. у' —х + 2у3, у(0) = 0. Найти два первых (отличных от
нуля) члена разложения.
766. у"—ху2 = 0, 1/(0) = 1, у'(0) = 1. Найти четыре первых (от-
личных от нуля) члена разложения.
767*. у' = 2х—у; у(0) = 2. Найти точное решение.
768. , у'— угх‘, i/(0) = 1. Найти пять первых членов разло-
жения.
769. : у” = (2х—1) у—1; t/(0) = 0, z/'(0)==l. Найти пять первых
членов разложения.
2. Уравнение Бесселя. Линейное дифференциальное уравнение с переменны-,
м коэффициентами, имеющее вид
к^У-^-ху’ +(х2—X2) у = 0 (Х = const), (1)
называется уравнением Бесселя (к этому же виду сводится уравнение х2у"-|-
— ху'+(/п2х2—X2) у=0 заменой mx = g).
Решение уравнения (1) будем искать в виде обобщенного степенного ряда,
т. е. произведения некоторой степени х на степенной ряд:
у=хг (а, + агх + в2х* +•••)= 2 а* ®
л=о
Подставляя обобщенный степенной ряд в уравнение (1) н приравнивая нулю
коэффициенты при каждой степени х в левой части уравнения, получим систему
(г*—X») 00=0,
[(г + 1)«-Х«] в1 = 0,
[(г + 2)«-Х»1 0,4-00=0,
[(Г 4. Л)*—X»J о* 4- о*_, = 0.
Считая, что во / 0, из данной системы находим rf, ,= ± X. Пусть ri=X. Тогда
из второго уравнения системы находим в1 = 0, а из уравнения [(г4-Л)*—Х*)Х
Ха* = —„п*_,, придавая к значения 3, 5, 7, ... , заключаем, что о,=а,=
= а, = а,*+1 = 0. Для коэффициентов с четными номерами получаем вы-
ражения
— а, — а, а,
в*~(2Х4-2)-4’ °4 ~ (2Х 4- 4).4=(X 4- 1) (X 4~ 2). 1.2-2* ’ •” *
в**=(ЙХ4-<2)-Й-1=(— ,)Ж+1 *2-4.6 ... 2*(ix4-2)*(214- 4).. .(214- $*) ’
Подставляя найденные коэффициенты в ряд (2), получим решение
Л(*) = а,-хХ [1“Ц2^’2у+2.4(2Х4-2)(2Х4-4)'_
х* , 1 (-1)*хХ+“
~2.4-6(2Х4-5)(2Х4-4)(2Х4-6)+ — J 4*Л! (14-1)(1+2)--•(!+*) ’
где коэффициент а, остается произвольным.
Прн г,=—X все коэффициенты а> аналогично определяются только в слу-
чае, когда X не равно целому числу. Тогда решение можно получить, заменяя
в предыдущем решении pi(x) величину X на —X:
«г & &
Л(х) = я«-х- [1 ~2(-2Х4-2) +2-4(-2Х4-2)(—2X4-4)“
~2-4-6 (-2Х4- 2) (-2Х 4- 4) (—2Х4- 6)+ * * *] “
_ Xi (—
= *4*.i!(-X4-l)(-X4-i)-..(-14-*) *
Полученные степенные ряды сходятся для всех значений х, что легко устанав-
ливается на основании признака Даламбера. Решения р2(х) н у,(х) линейно
независимы, так как нх отношение не является постоянным.
Решение pi(x), умноженное на постоянную <»—* иазывается
функцией Бесселя (или цилиндрической функцией) порядка X первого рода и
обозначается символом Ji. (х). Решение у, обозначают /-х(х).
Следовательно, общее решение уравнения (1) прн X, не равном целому
чгслу, имеет вид
yW=CiA(x)4-V-x(x),
где Ci н С,—произвольные постоянные величины.
164
В общепринятом выборе постоянной ад участвует гамма-функция Г (Х+1),
которая определяется несобственным интегралом (см. с. 35):
Г (k) = е~х x’t-i dx (к > 0).
о
Можно показать, что при к, равном половине нечетного числа, функция
Бесселя выражается через элементарные функции, так как в этом случае гам-
ма-функция, входящая в определение функции Бесселя
г / ч 1 V» (— l)ft-x*+2fe
JK W = 2* Г (k+ 1) ' £0 ^-kl(k+l)(k + 2)...(k + k)^
VI (—1)* fx\^ + 2k
~£0 kir(k + k+l) A 2 )
[произведение (X+1) (X-|-2) ... (X-f-fe) Г (k+1) заменено, согласно свойству
гамма-функции, на Г (X-|-/s-f-1)], принимает следующие значения:
Г Г-1) = jе~х х~1/2 dx = 2 Je-^dt =2.-^-= /’я
о о
(здесь использовано значение интеграла Пуассона);
г(4)=г(1+т)-4г(т)=4^
r(|)-r(1+‘)444.rv....
Функцию Бесселя J при к — п (натуральном) можно записать так:
, , х v' (—1)» ( (—1)* /х\2*+"
fcir(n-i-fc-i-l) \ 2 ) Zuk\(n+k)\\2 )
Для отрицательного и целого к частное решение не выражается функцией
Бесселя первого рода и его следует искать в форме
Кп (x) = J„ (х)-1пх-\-х~п ^Ькхк.
k—o
Подставляя это выражение в уравнение (1), мы определим коэффициенты
Ь*. Функция^,, (х), умноженная на некоторую постоянную, называется функ-
цией Бесселя" п-го порядка второго рода.
770. Найти функцию Бесселя при Х = 0.
Л Воспользовавшись равенством
V' (—1)* ( х
JК W = Г(Х4-й+1) \ "2 J
165
прн Х = 0 получим
j v (—1>* (х Vй—У
•'« w~Z-wr(*+l)\2) ~ £* 4«-Л1-Л1
fe = 0 ’ 7 4 ' k=0
у2 у4 ув
= Z1 4*- (*!)2 = 1 — т +42(1-2)2— 43(1-2-3)2 +'
k— о
771. Решить уравнение х2у" + ху' + (х2—) у = О.
Л Так как Х= 1/2, то общее решение уравнения имеет вид y = C^Ji/2 +
+ C2J _1/8, где
_ 1___xl/2 Г 1_*2 I **______—-----1__
1/a“2i/8 г(—j * 2-3^2-4-3-5 2-4-6-3-5-7^
2 If x3 , x5 x7 , \ -,/2 sinx
~T^‘V~x\X 3! + 5! 7!+”J“r n'fr'
Точно так же получим
. 1/2 cos х
J-V2= К У/Т
. Следовательно, общее решение
»=/гх<С*
sin х-|-С2 cos х). А
772. Найти УДх).
773. Решить уравнение х2у" + ху’ 4- ^х2— у = 0.
774. Решить уравнение х2у" + ху' 4- f х°—\ у = 0-
§ б. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Нормальная система дифференциальных уравнений. Система дифферен-
циальных уравнений вида
-^-=fiG> Xi, Xj, ..., х„),
*1, Х2....х„),
(Z> *1> ...*«)•
где Xi, Xj...х0—неизвестные функции независимой переменной t, назы-
вается нормальной системой.
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений
являются линейными функциями относительно х1г ........ то система диф-
ференциальных уравнений называется линейной.
Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается' свести
к одному уравнению n-го порядка, содержащему одну неизвестную функцию.
Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто
дифференцированием одного из уравнений системы н исключением всех неиз-
вестных, кроме одного (так называемый метод исключения).
В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных
треобразоваинй удается получить легко интегрируемые уравнения (так назы-
ваемый метод интегрируемых комбинаций), что позволяет найти решение
ж гемы.
775. Решить систему дифференциальных уравнений
dx , dy
-sr = x + w, —у
at ' dt 3
при начальных условиях х (0) — 2, у (0) — 0.
. п < d2x dx , dy
Л Продифференцируем по i первое уравнение: -^-у = —; исклю-
dy d2x
чая из полученного уравнения п у, имеем—2х —0. Характеристиче-
ское уравнение k*—2=0 имеет корни У 2. Следовательно, общее
решение для х запишется в виде
х = С1е< V~* +Сге~‘1"2.
Общее решение для у находим нз первого уравнения:
у=|-х=С1(Л-1)е,П-С,(^2 + 1)Г,1/ \
Воспользуемся начальными условиями для наШжд^аия произвольных по-
стоянных:
Ci+C2 = 2, /^(Ct-CsJ-tG+Q^O.
Отсюда Ci==(Y~ 2—|-2)/2, С3 = (2— У~~2)/2. Таким образом, искомое частное
решение имеет вид
776. Решить систему дифференциальных уравнений
dx____________________ х dy________ у
dt 2x-)-3y’ dtt 2x-)-3y
при начальных условиях х(0) = 1, у(0) = 2.
Л Составим первую интегрируемую комбинацию. Разделив первое урав-
нение на второе, получим
^= — ; — = —; 1пх = 1п^4-1пС1, т. е. х=С1у.
dy у х у
Составим вторую интегрируемую комбинацию. Сложив удвоенное первое
н утроенное второе уравнения, получим
2^.4-3-^-=Г, 2dx-f-3dy=d/, т. е. 2х + Зу=/4-Сг.
at at
Из системы уравнений x-Ctf, 2x-)-3y=t -)-Сг находим общее решение системы
__С. (t + сг) _ г + с$
2С14-3 ’ у 2СН-3’
167
Используя начальные условия, получаем
о— ^2 т е С<_______- С, = 8
2С1+3 ’ 2—2С2-|-3’ С1 2 ’ С2 ‘
Подставив в общее решение найденные значения Cj и С2, получим чай -
ные решения, удовлетворяющие начальным условиям: х = (1/8)t-J-1, у =
= (1/4р+2. Ж
777. Решить систему дифференциальных уравнений
-g- = 2y, -^ = 2z, 4- = 2х.
at dt 1 dt
d2x du
Л Продифференцируем no t первое уравнение: ——2~~ . Исключая из
dy d*x . r- . .
полученного уравнения имеем -^ — 4z. Еще раз продифференцируем по*
сР« , dz dz
полученное уравнение второго порядка: -^-=4-^-. Исключая-^-, получим
<Рх
44~8х=о,
at’
т. е. мы пришли к уравнению с одной неизвестной функцией. Решив это ли-
нейное однородное уравнение третьего порядка, находим
x = Cie«+e-‘(C11 cos t У 3+C3sin t У 3).
Общее решение для у получим из первого уравнения системы:
У=| [2Cie«-e~t (С, cos t У 3+С3 sin t У 3) +
4-е-‘ У~3 (С3 cos t У~3—Сг sin t К"3)]>
нли
t/ = C1e2‘ + ye-‘[(C3 /3 + Сг) cost У~3—(Сг) Уз+С3) sin t /з].
Из второго уравнения системы найдем г:
z=4--^=C1^ -1 e-t [(Сз УЗ+ С8) cos t УЗ-(С3 УЗ-С3) sin i /5]. Ж
Z 0,1 i
Решить системы дифференциальных уравнений:
778. -^ = 2х + у, -|- = x+2t/; х(0) = 1, у(0) = 3.
779. -g. = 4x + 6t/, A = 2x+3tt + L
780. ^ = ё^-у, ^- = 2е2‘-х.
781. у' =ех—z, г' = е~х + у.
782. ^- = y + t, -| = х + е‘; х(0) = 1, у (0) = 0.
783. = х(0) = 2, у(0) = 4.
а/ *+«/ dt х^у v 7 ’ v 7
784. -^ = 2x + f/ + cost, -^- = —x + 2sint.
138
785- w+w=2(x+^)> <=3х+^
786. < + т=1, < = x + f/ + 2Tx-l.
787. < = x2 + xt/, < = ху + у2.
ф Рассмотреть две интегрируемые комбинации: 1) сложить уравнения;
2) разделить почленно первое уравнение на второе.
788- ®+g+2»+»=^'-
789. £±+т'ц=0, $—т'х = 0.
,nn dx X dy _ у dz _ z_______
19 ' dt — х« + «/2+22’ dt х2 + «/2+г2’ dt хг+у2+г*'
2. Решение линейных однородных систем дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами с помощью матриц (видоизмененный метод
Эйлера). Пусть дана система я линейных дифференциальных уравнений с я
неизвестными функциями, коэффициенты которой постоянные:
' dxi , , ,
"27 — arixi+«18*2 + ••• + ainxm
dx, , , ,
—77“= ^21^1 +022^2 + . . • +й2пХп,
— anlxl + an2x2 + • • • + ann Xn.
Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального
уравнения
Здесь
аи а12 • • • ain
а21 а22 • •• а2п
ап1 ап2-’’^ПП
dX
dt
' dxi'
~di~
dx2
dt
dxn
dt
Ищем решение системы в виде
xi=PieKt, x2=p2eu, .... xn=p„eKt,
где k = const, pi = const (t = 1, 2, ..., я). Подставив значения xt, x2, ..., xn
в систему дифференциальных уравнений, получим систему линейных алгебраи-
ческих уравнений относительно р±, р2.......р„-
(яц — X) pi + а1гр.2 + • • • + а1пр„ — О,
а21Р1~Ь (ага — X) Ра~Ь • • • 4-Й2лРп = О,
^niPi + ап2Рг + • • • + (апп — к) ра=0.
169
Система должна иметь ненулевое решение, поэтому для определения 1
получаем уравнение л-й степени
а11 — X 012 . . . 01п
Osi О22 — X . . . Д2п _ Q
ani 0П2 • • • апп — &
Последнее уравнение является характеристическим уравнением матрицы А
и в то же время характеристическим уравнением системы.
Предположим, что характеристическое уравнение имеет п различных кор-
ней Хь Х2, ..., Хп, которые являются характеристическими числами матри-
цы А. Каждому характеристическому числу соответствует свой собственный
вектор. Пусть характеристическому числу Х^ соответствует собственный вектор
<Pi*; Ptk', •••; Pnk)> где k = l, 2, ..., и. Тогда система дифференциальных
уравнений имеет л решений:
1-е решение, соответствующее корню Х=Х2:
Хц=/’цеМ, x21=p21eK‘f............. = рп1ек'*;
2-е решение, соответствующее корню Х = Х2:
Xi2=/’i2eM, х22=р22е>-'‘‘......=
n-е решение, соответствующее корню Х = ХП:
Xin — Pine п г х2п = р2пе , ..., хпп = Рпп^п^•
Мы получили фундаментальную систему решений. Общее решение системы
таково:
*1=01X11-f-C2Xi2+ — +OnXin,
х2 = С1Х21 -|- С2х22 .. + Опх2п,
хп = С1ХП14-С2хп24- • • • 4-Спхпп.
Случаи комплексных и кратных корней рассмотрим на примерах.
791. Найти общее решение системы уравнений
=7xi4~3x2,
-^=6xi4-4x2.
7—X 3 I
6 4—X
Л Составим характеристическое уравнение матрицы системы
= 0, нли X2—11X4-10=0.
Его корни Xi = l, Хг=10—характеристические числа матрицы.
При Х=1 уравнения для определения собственного вектора имеют вид
(7—1)Р14-3/’а = 0 и 6pi4-(4—1)р2 = 0 н сводятся к одному уравнению
2pi4-p2 = 0. Последнее определяет вектор (1; —2).
При Х = Ю получаем уравнения (7—10)pi4-3p2 = 0, 6pi4-(4—Ю)р2 = 0,
или pi—р2 = 0. Это уравнение определяет вектор (1; 1).
Получаем фундаментальную систему решений: для Х= 1: Хц —е*, х22= —2е<;
для Х=10: Х12 = е10*, х22 = е“*.
Общее решение системы имеет вид
Xl = Ciet +С2е™*, х2 = — 2С1вЦ-C2e10f. ±
170
792. Найти общее решение системы уравнений
-^-=—4х+12у+3г.
Л Составляем характеристическое уравнение матрицы системы:
6-Х
1
—12
-3-Х
12
—1
—1
3—X
=0.
Раскрывая определитель, находим
(6—Х)(Ха—9)—48—12+12+4Х+72—12Х+36—12Х=0,
или окончательно X3—612-|-111—6 = 0. Это уравнение имеет корни Xi=l,
12 = 2, Хз = 3. Определяем собственные векторы матрицы А.
При 1= 1 получаем систему уравнений
5рх— 12р2 — р3=0,
Pi— iPi— Рз = 0,
—4pt + 12ра 4- 2рз = 0,
одно из которых—следствие двух других. Возьмем, например, первые два
уравнения:
5pi_— 12ра —р3 = 0, Pi—4р2—р3 = 0.
Отсюда
Р1 = |Т|2-’р=8й, P«=-|i P, = |f —£2|-А=—8fe.
Приняв k = 1/4, получаем собственный вектор (2; 1; —2).
При 1 = 2 имеем систему
4pi—12р2—р3 = 0,
Pi— 5рз—р3 = 0,
—4Р1+ 12рз+рз = 0.
Снова используя первые два уравнения (третье—их следствие), находим
Pi=|Zs2 “}|-*=7*, pa = -|f Z}p = 3fe, Ps = |i Z52p = -8*-
Полагая k = l, находим собственный вектор (7; 3; —8).
При 1=3 имеем систему
3pi —12ра—р3 = 0,
Pi— 6ра—р3 = 0,
—4Р14~12рз =0.
Из последнего уравнения находим Pi = 3p2. Подставляем это значение р2
в первое уравнение и находим р3 =—Зра. Приняв ра=1, получаем Pi = 3,
р3 = —3, т. е. собственный вектор (3; 1; —3).
Фундаментальная система решений:
для 1=1: хц = 2е*, xit = et, xSi = — 2с1,
для 1=2: xla=7e2t, х22 = 3еи, х32 = —8e2t,
для 1=3: Xi2 = 3e3t, x23 = e3t, х23 = —3e3t.
171
Общее решение записывается в виде
Xi = 2Ciet+7С2е2<+ЗС3е3',
х2 = С^+ЗС2е» + Сае^,
x3 = -2Cie<-8C2e«-3C3e3<. 4
793. Найти общее решение системы уравнений
dxr л о
_^_=4х1—Зх2,
— Зх14-4х2.
Л Составляем характеристическое уравнение матрицы системы:
|4'зХ4-\| = 0: (4-*)2 = — 9> X-4=±3i, X = 4±3i.
Определяем собственные векторы.
При Л1 = 4-|-3( получаем систему уравнений
( 3ipi — Зр2 = 0,
t 3pi + 3ip2 = 0.
Таким образом, p2 = ipi- Приняв pi=l, находим p2=i, т. е. собственный век-
тор (1; О-
При Х2 = 4 — 31 получаем систему уравнений
( —3/pi—Зр2 — 0,
( 3pi—3ip2 = 0.
Отсюда находим собственный вектор (1; —i).
Фундаментальная система решений:
для A.! = 4-|-3i:
xii :=e<4+3')t = e4< (cos 3f-f-i sin 3/),
X21 = ie(4+3l)t __e4t (— s|n cos 3/J.
для X2 = 4 — 3i:
•*i2 = e(4_3')t = c4< (cos'3i—i sin 3/),
x22 = e4( (—sin 3t—icos 3/).
Итак, получаем общее решение
Xi = Cie4t (cos 3£—f-1 sin 3i)4-C2e4< (cos 3t—i sin 3/),
x2 = (— sin 3t-j- i cos 3t) -|-C2e4< (— sin 3t — i cos 3i),
t. e.
Xj = e4f [(Cl + C2) cos 3t + (Ci—C2) i sin 3fJ,
x2 = e4< [— (Ci “ЬСз) ®in 3t -|- (C2—C2) i cos 3/].
Полагая С1+С2 = С1, (Cj—C2)i = C2, получаем
X! = e4t (cj cos 3i-j-C2 sin3i),
x3 = e4t (—cj sin 3i-j-C2 cos 3t).
Общее решение может быть найдено и иначе. В решениях, соответствую-
щих одному из комплексных характеристических чисел, отделим действитель-
ную и мнимую части (сопряженное характеристическое число мы не рассмат-
риваем, так как решения, соответствующие корню a—bi, линейно зависимы
с решениями для корня а-|-6<):
е<4+3|)(_е4/ cos з^_[_;е4е S|n з^ /e(4+3i)t_ — е4< Sjn з;_|_ je4i cos зс
172
Получаем два линейно независимых частных решения: = е4( cos 3/,
xtl = — sin 3/, Xi2 = e4t sin 3/, x22 = e4t cos 3/. Общее решение
Xi = С1Хц + С2*1г, х2 = CjXai -|-С2х22,
т. е.
xi = eit(C1 cos 3/-|-С2 sin3/), x2=e4t(—С2 sin3/~|-С2 cos 3Z). A
794. Найти общее решение системы уравнений
dxf
dt
dx2
dt ~X1
dx3
dt
x3t
Xj ^2*
Л Составляем характеристическое уравнение
1-Х 0 —1
1 0=0, или (1—X) (1+Х2)=0.
Характеристические числа: Xi=l, Х2 = «, Х3 =—i.
При Х=1 для определения собственного вектора получаем систему урав-
нений
( —Рз=0,
< Р1 — Р2=О.
I Pi — Рг~Рз = $-
Эта система определяет собственный вектор (1; 1; 0).
При X = t получаем систему уравнений
( (1—1)Р1—Рз = 0,
{ Р1 —<Р2=О,
I Pl —Р2 —<РЗ = О-
Эта система определяет собственный вектор (1; —i; 1 — /)•
Собственный вектор, соответствующий характеристическому числу Х = — i,
мы рассматривать не будем.
Значению Х=1 соответствуют решения
Xn = ef, x21 = ef, x3i = 0.
Значению X = i соответствуют решения
е‘ * = cos t + i sin t, — ielt = sin t — i cos t,
(1 — i) e1'*— (cos Z-|-sin /) + ' (sin t— cos t).
Отделяя действительные части, получим решения
x12 = cosC x22 = sin/, x32 = cos £-[-sin t.
Отделяя мнимые части, находим решения
x13 = sini, х23 = — cos x33 = sin/ — cost.
Общее решение
х2 = С2 cos t С3 sin if
x2 = C1ef H-C2sin t — C3 cos t,
x3 = C2 (cos t -J- sin t) + C3 (sin t — cos t).
173
795. Найти общее решение системы уравнений
dt —0X1 х2,
*1 + Зх2.
Л Решаем характеристическое уравнение:
|5уХ 3Z\,| = 0; (5—X) (3—1)4-1 = 0; Х2-8Х+16==0; Х1 = 12=4.
Если Xi —корень характеристического уравнения кратности т, то этому
корню соответствует решение Xi =Р\ (t) eK,t, x2 = p2(t) e^lt, ..., xn = pn(0^*/1
где Pi(t), p2(t)....... (t) — многочлены степени ие выше т—1.
Таким образом, двукратному корню 1 = 4 соответствует решение
xi = e4'(ai/ + a2)> x2 = e4t (bit+b2).
Дифференцируя х± и х2, получим
+ 4 (ait + а2) е* =Ь^‘ + 4 frt + 62)
_ dx, dx2 , __
Значения Xi, х2, -& подставим в систему уравнении. После сокра-
щения на elt имеем
ai~M (ai^ + a2) = 5 (diZ-J-ao) — (bit-[-b2),
(Pit 4“ ^2) = ait Ч-ОаН-З (bit-J-ftz)-
Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получаем системы
уравнений
J 4aj = 5ai—/>!, / а14-4а2 = 5а2—Ь2,
( 4Z>i = 4~ ЗЬ1, ( bi Ч~ 4д2 — а2-(- ЗЬ2.
Отсюда следует, что ai = bf, a2 — b2 = at = bi. Полагая ai = Ci, а2 = С2 (С<,
С2—произвольные постоянные), находим bi = Clt Ь2 = С2 — Ci- Следовательно,
Xi=e4* (С it -1-С2), х2 = е** (Cit С2—Ci).
Эта система проще решается методом исключения. Действительно, выразив
из первого уравнения х2 и продифференцировав, подставим затем значения х2
dx2 г, .
и во второе уравнение. В результате получим линейное однородное урав-
нение второго порядка относительно х,. Рекомендуем самостоятельно решить
данную систему методом исключения.
Найти общие решения систем уравнений:
796.
798.
( <txi f dx<
dt я 797. ах2 1 ~dT~ЪА 1 dx* 2 — *1>
\-dT^~aXl- \-dt==Xl + ^
*1 + *2 + Х3, ' dx1 ~dT =
dx2 dx2
ST^Xi— х2+х3, 799. ~dT =
— Xi+х2 4- х3. dx3 _ dt
2x1—х2.
Х1—Х2~(-Хз,
Xi 4~Хг—Хз,
174
800.
-^-=12х1—5х2,
5x1+12*2.
(^1_„ о„
—-XJ-2X,.
dx2
^- = Х1-Х2.
802.
— = —15X1 — 6х2 + 16х3,
at
^-=-15*1-7^ + 16x2,
at
^-=-19x1-8x2 + 21x3.
803.
f dx . .
__=(a+l)x—у,
=x+(a—\)tj-.
804.
{dx .
-dt^-49’
dy ,
-dF^+y-
«05.
(<fx „ .
_=3*+у,
dy .
-^=-Ax-y.
ГЛАВА V
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ, ЕГО ЧАСТОТА И ВЕРОЯТНОСТЬ.
геометрическая вероятность
Основными понятиями в теории вероятностей являются понятия события
и вероятности события.
Под событием понимается такой результат эксперимента или наблюдения,
который при реализации данного комплекса условий может произойти или
не произойти.
События будем обозначать буквами А, В, С, .... Если событие неизбежно
произойдет при каждой реализации комплекса условий, то оно называется
достоверным; если же оно не может произойти — невозможным.
Если событие А при реализации комплекса условий может произойти,
а может и не произойти, то оно называется случайным.
Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В,
будем называть суммой (объединением) событий А н В и обозначать А-{-В
или A (J В.
Событие, состоящее в наступлении обоих событий А н В, будем называть
произведением (совмещением) событий А и В и обозначать АВ или AQS-
События называются несовместными, если появление одного из них нт
ключает появление других событий в одном и том же испытании.
Пусть, например, нас интересует появление определенного числа очков на
грани при одном бросании игральной кости: i= 1, 2, 3, 4, 5, 6. Выпадение кон-
кретного числа очков назовем элементарным событием (исходом), которое обо-
значим со/. Таким образом, для каждого связанного с этим опытом события А
можно выделить совокупность тех элементарных исходов со, наступление ко-
торых влечет за собой наступление события А.
Пусть событие А состоит в появлении нечетного числа очков на грани.
Этому событию благоприятствуют элементарные события coj, со3, cos, т. е. неко-
торое подмножество множества всех элементарных исходов соь <о2. со3, w4, w5> <oe.
Совокупность элементарных событий обозначается Q и называется про-
странством элементарных событий.
Элементарные события взаимно исключают друг друга и в результате
данного опыта обязательно произойдет одно из них. Пространство элементар-
ных событий образует так называемую полную группу попарно несовместных
событий, так как появление хотя бы одного из событий полной группы есть
достоверное событие.
Два несовместных события, образующих полную группу, называются про-
тивоположными. Для противоположных событий одновременно выполняются
два условия: А 4-А—достоверное событие и А А —невозможное событие.
Для количественной оценки возможности появления случайного события А
вводится понятие вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа т исходов, благо-
приятствующих этому событию, к числу п всех равновозможных несовместных
элементарных исходов, образующих полную группу:
Р (А) = т/п
(классическое определение вероятности).
В рассмотренном примере вероятность выпадения грани с нечетным числом
очков составляет Р (А) = 3/6=1 /2.
Приведем аксиоматическое определение вероятности, пред-
ложенное А. Н. Колмогоровым.
176
1°. Каждому случайному событию А из поля событий ставится в соот-
ветствие неотрицательное число Р (А), называемо! вероятностью.
2°. Р(Й)=1.
3°. Аксиома сложения. Если события Alt А,, ..., А& попарно не-
совместны, то Р(Д1 + Д2 + ...-|-Д*) = Р(Л1) + Р(Дг) + ... + Р(Д*).
Отсюда следует, что:
1) вероятность невозможного события равна нулю;
2) для любого события А Р(А)=1— Р (А), где А — противоположное
событие;
3) каково бы нн было случайное событие А, 0<Р(Д)<1.
Используя эти аксиомы, свойства вероятностей выводят в качестве теорем.
К числу основных понятий теории вероятностей также относится частота
события, под которой понимают отношение числа испытаний, в которых это
событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний.
Частоту события называют статистической вероятностью. Для вычисления
частоты события необходимо произвести в действительности испытания (опыт),
что не требуется для определения вероятности.
Массовые случайные события обладают свойством устойчивости частоты'.
чаблюдаемые в различных сериях однородных испытаний (с достаточно боль-
шим числом испытаний в каждой серии) значения частоты данного случайного
события колеблются от серии к серии в довольно тесных пределах н стре-
мятся (по вероятности) к некоторому постоянному числу. При этих условиях
частоту можно принять за приближенное значение вероятности.
При классическом определении вероятности не всегда можно определить
числа тип для вычисления вероятностей событий, и поэтому непосредственно
пользоваться формулой Р(А) = т/п не удается. В таких случаях вводят
понятие геометрической вероятности, т. е. вероятности попадания точки в об-
ласть (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д.).
Пусть, например, иа плоскости имеется некоторая область Сив ней со-
держится другая область g. Требуется найти вероятность того, что точка,
взятая наудачу в области С, попадет в область g. При этом выражению «точка,
взятая наудачу в области С» придается следующий смысл: эта точка может
попасть в любую точку области С. Вероятность попадания точки в какую-либо
часть области С пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади,
объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы:
mes g
Р =---ri-
mes G
(геометрическое определение вероятности).
80S. В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от I
до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер
вынутого шара не превышает 10?
А Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10,
то число случаев, благоприятствующих событию А, равно числу всех возмож-
ных случаев, т. е. т = п=10 и Р(Д)=1. В этом случае событие А досто-
верно. А
807. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова веро-
ятность вынуть из урны синий шар?
А Синих шаров в урне нет, т. е. т = 0, а п = 15. Следовательно, Р(Д) =
= 0/15 = 0. В данном случае событие А — невозможное. А
808. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова
вероятность вынуть из урны черный шар?
А Здесь /п = 4, п=12 и Р (Д) = 4/12= 1,3. А
177
809. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара.
Какова вероятность того, что оба шара—белые?
Д Здесь число всех случаев п = С2о=(1О.9)/(1-2) = 45. Число же случаев,
благоприятствующих событию Л, определяется равенством m = Cl, т. е. т =
= (6-5)/(1-2) = 15. Итак, Р (4) = 15/45= 1/3. Д.
810. В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш
100 руб., на четыре билета—выигрыш по 50 руб., на десять би-
летов—выигрыш по 20 руб., на двадцать билетов—выигрыш по
10 руб., на 165 билетов—выигрыш по 5 руб., на 400 билетов —
выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова
вероятность выиграть по билету не менее 10 руб.?
Л Здесь m = 1+4-J-10 + 20 = 35, п = 2000, т. е. Р(А) = т/п = 35/2000 =
= 0,0175. А
811. В урне 20 шаров с номерами от 1 до 20. Какова веро-
ятность вынуть шар с номером 37?
812. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того,
что оба раза выпадет герб?
813. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5,
а во втором—с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули
по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров
вынутых шаров: 1) не меньше 7; 2) равна 11; 3) не больше 11?
814. В лотерее 1000 билетов. Из них 500—выигрышные и
500—невыигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность
того, что оба билета выигрышные?
815. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 уче-
ников получили оценку «.отлично», 10 учеников—«хорошо», 9 уче-
ников—«удовлетво р и т е л ь-
но». Какова вероятность то-
го, что все три ученика, выз-
ванные к доске, имеют неу-
довлетворительные оценки по
контрольной работе?
816. На отрезке О А длины L числовой оси Ох наудачу нане-
сена точка В(х). Найти вероятность того, что отрезки ОВ и В А
имеют длину, большую L/4.
А Разобьем отрезок О А на четыре равные части точками С, D, Е (рис. 37).
Требование задачи будет выполнено, если точка В попадет на отрезок DE,
длина которого равна L/4. Следовательно, р= (L/4):L = 1/4. А
817. Внутри эллипса х2/25 + у2/16= 1 расположен круг х2 +
+ уг = 9. Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограни-
ченное эллипсом и кругом.
Д Пусть событие А — попадание точки в кольцо. Тогда Р (Л) = Зкол/Зэл,
где SKoe = SM—SKp — nab—nr*. Так как а = 5, Ь — 4, г — 3, то
Р(Л) = (20л—9л)/(20л) = 11/20 = 0,55. Д
-------1-----—•---------------*------•---
0 с J) £ А X
Рис. 37
178
Примечание. В случае классического определения вероятность невоз-
можного события равна нулю. Справедливо и обратное утверждение, т. е. если
вероятность события равна нулю, то событие иевозможио. При геометрическом
же определении вероятности обратное утверждение ие имеет места. Вероятность
попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю,
однако это событие может произойти и, следовательно, не является невозможным.
818 (Задача о встрече). Два студента Л и В условились
встретиться в определенном месте во время перерыва между 13 ч
и 13ч 50мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10мин,
после чего уходит. Чему равна вероятность
их встречи, если приход каждого из них в
течение указанных 50 мин может произойти
наудачу и моменты прихода независимы?
А Обозначим момент прихода студента А через
х, а студента В—через у. Для того чтобы встреча
произошла, необходимо и достаточно, чтобы | х—у | <
< 10. Изобразим х и у как декартовы координаты на
плоскости, а в качестве единицы масштаба выберем
одну минуту (рис. 38). Всевозможные исходы изо-
бразятся точками квадрата со стороной 50, а ис-
ходы, благоприятствующие встрече,— точками за-
штрихованной области. Искомая вероятность равна отношению площади за-
штрихованной фигуры к площади всего квадрата:
р = (502—402)/502 = 0,36. д
819. Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти
вероятность того, что эта точка окажется от центра на расстоя-
нии, меньшем г (г < R}.
820. Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найди
вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в
круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность
попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой
части и не зависит от расположения внутри круга.
821. Быстро вращающийся диск разделен на четное число
равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный
цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что
пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что
вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна
площади этой фигуры.
§2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. УСЛОВНАЯ
ВЕРОЯТНОСТЬ
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух
несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных
событий:
/ п \ л
р )=Х ри<)-
\i=i / ;=1
179
Событие А называется независимым от события В, если вероятность собы-
тия А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А назы-
вается зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зави-
симости от того, произошло событие В или нет.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место дру-
гое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается
Р(А/В).
Условие независимости события А от события В можно записать в виде
Р (А/В) = Р (А), а условие зависимости — в виде Р (А/В) # Р (Л).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения
двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную веро-
ятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
P(AB) = P(A)-P(BjA) или Р(АВ) = Р (В)-Р (А/В).
Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от со-
бытия Л; тогда
В(ЛВ)=В(Л)-В(В).
Условная вероятность события Ац, определенная в предположении, что
осуществились события Ai, Л2, .... Л^-i, обозначается Р (Л^/Л^. .. Л*_1).
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероят-
ностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку
события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:
/ к \
В(ЛхЛ2...Л*)=в( [J А1 =Р(Л1).Р(Л2/Л1).Р(Лз/Л1Л2)...Р(ЛА/Л1Л2...Лй_1).
\1=1 /
В случае независимых событий справедлива формула
/к \ k
р{ ЦЛг =1Р(Л().
V=1 J z=i
822. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных
шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый
шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий
или красный; белый, черный или синий.
А Имеем n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70, В (Б) = 10/70 = 1 /7, P (Ч) = 15/70 = 3/14,
Р (С) =20/70 = 2/7, В (К) =25/70 = 5/14. Применив теорему сложения вероят-
ностей, получим
В (Б + Ч) = В (Б)4-В (Ч) = 1/7+3/14 = 5/14;
В (С + К) = В (С) + В (К) = 2/7 + 5/14 = 9/14;
В (Б-|-Ч4-С) = 1 — В (К) = 1 — 5/14 = 9/14. Д
823. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором
ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по
шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
Д В данном случае речь идет о совмещении событий Л и В, где событие
Л — появление белого шара из первого ящика, событие В — появление белого
шара из второго ящика. При этом Л и В — независимые события. Имеем
В (Л) = 2/12= 1/6, В (В) = 8/12 = 2,3. Применив теорему умножения вероятнос-
тей, находим
В (АВ) =Р (А)-Р (В) = (1/6). (2/3)= 1/9. Д
824. В условиях предыдущей задачи определить вероятность
того, что один из вынутых шаров белый, а другой—черный.
180
Л Пусть:
событие А— появление белого шара из первого ящика;
» В — »
» С— »
» D— »
» »
черного »
» »
» второго
» первого
» второго
» (С = Л);
» (D = B)
Тогда Р(Л) = 1/6, Р(В) = 2<3, Р (С) = Р (Л) = 1 — 1/6 = 5/6, Р (£>) = Р (В)= 1 —
—2/3= 1/3.
Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый,
а из второго ящика — черный:
Р (AD) = Р (Л) • Р (О) = (1/6) • (1/3) = 1 /18.
Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, черный,
а из второго ящика—белый:
Р (ВС) = Р(В)-Р (С) = (2/3) • (5/6) = 5/9.
Определим теперь вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика
(безразлично из первого или второго), окажется белым, а шар, вынутый из
другого ящика,— черным. Применяем теорему сложения вероятностей:
Р = Р (ЛО) = Р (ВС) = 1/18 + 5/9= 11/18. А
825. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули
два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероят-
ность того, что оба шара белые.
Л Пусть событие А — появление белого шара при первом вынимании;
событие В — появление белого шара при втором вынимании. По теореме умно-
жения вероятностей для случая зависимых событий имеем Р (АВ) = Р (А)-Р(В/А).
Но Р (Л) = 6/(6+8)=6/14 = 3/7 (вероятность появления первого белого шара);
Р(В/Л) = (6—1)/(6 + 8—1) = 5/13 (вероятность появления второго белого шара
в предположении, что первый белый шар уже вынут). Следовательно, Р(АВ) =
= (3/7) -(5/13) = 15/91. А
826. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели.
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75,
для второго—0,8, для третьего—0,9. Определить вероятность
того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.
А Р(Л) = 0,75, Р(В) = 0,8, Р(С) = 0,9; Р (АВС) = Р (А)-Р (В)-Р (С) =
= 0,75-0,8-0,9 = 0,54. А
827. В условиях предыдущей задачи определить вероятность
того, что в цель попадает хотя бы один стрелок.
А Здесь Р(Л)=1—0,75 = 0,25 (вероятность промаха первого стрелка);
Р (В) = 1—0,8 = 0,2 (вероятность промаха второго _стрелка); Р(С)=1—0,9=0,1
(вероятность промаха третьего стрелка); тогда Р (АВС) — вероятность одновре-
менного промаха всех трех стрелков—определится следующим образом:
Р (АВС) = Р (А)-Р (В).Р (С) = 0,25-0,2-0,1 =0,005.
Но событие, противоположное событию АВС, заключается в поражении цели
хотя бы одним стрелком. Следовательно, искомая вероятность Р=1—Р (АВС),
т. е. Р= 1—0,005 = 0,995. А
828. Вероятность выхода станка из строя в течение одного
рабочего дня равна а (а—малое положительное число, второй
181
степенью которого можно пренебречь). Какова вероятность того,
что за 5 дней станок ни разу не выйдет из строя? Решить задачу
при а = 0,01.
Д Так как 1—а—вероятность того, что станок не выйдет из строя в те-
чение дня, то по теореме умножения вероятностей Д1—а)3— вероятность того,
что станок не выйдет из строя в течение 5 дней.
Воспользовавшись биномиальным разложением и пренебрегая членами,
содержащими а2, а3, а4 и а5, получим приближенное равенство (1—а)? « 1—5а,
т. е. Р я 1—5а. Приняв а = 0,01, получаем Р яз 0,95. А
829. В ящике а белых и b черных шаров. Какова вероятность
того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой—чер-
ный? (Вынутый шар в урну не возвращается).
Д Пусть:
событие А—появление белого шара при первом вынимании;
» В— » черного » » втором » ;
» С— » » » » первом » ;
» D— » белого » » втором » .
Вычислим вероятность того, что первый вынутый шар белый, а второй —
черный:
Р1 = Р(А)-Р (В/А) = -4-г • —гт—г=7—гтггп-т—к-
' ’ ' ' а-\-Ь а-\-Ь—1 (а-|-&) (а+&—1)
Найдем вероятность того, что первый вынутый шар черный, а второй —
белый:
Р2 = Р (С).Р (D/С) =—ь .
Таким образом, вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а
другой — черный, определится по теореме сложения: Р =Pi A-Pt, т. е.
р—________________ А
830. В ящике а белых, b черных и с синих шаров. Вынули
один шар. Вычислить вероятность того, что вынутый шар: 1) бе-
лый; 2) черный; 3) синий; 4) белый или черный; 5) белый или
синий; 6) черный или синий.
831. В первом ящике а белых и b черных шаров; во втором
ящике с белых и d черных шаров. Из каждого ящика вынули по
шару. Какова вероятность того, что оба шара черные?
832. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна plt
а вторым стрелком—р2. Стрелки выстрелили одновременно. Ка-
кова вероятность того, что один из них попадет в цель, а дру-
гой не попадет?
833. Вероятность того, что в южном городе V температура в
июле в любой день меньше 5°, равна а (а—малое число, квад-
ратом которого можно пренебречь). Какова вероятность того, что
в течение первых трех дней июля температура будет не меньше 5°?
834. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара;
во втором ящике 2 белых, 6 красных, 4 синих шара. Из каждого
182
ящика вынули по шару. Какова вероятность, что среди вынутых
шаров нет синих?
835. Вероятность того, что в течение дня произойдет непо-
ладка станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что в тече-
ние четырех дней подряд не произойдет ни одной неполадки?
836. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать
делегацию из двух человек. Какова вероятность (если считать
выбор случайным), что выбраны: 1) два мальчика; 2) две девоч-
ки; 3) девочка и мальчик?
837. В урне 9 белых и 1 черный шар. Вынули сразу три шара.
Какова вероятность того, что все шары белые?
838. Производят три выстрела по одной мишени. Вероятность
попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность
того, что в результате этих выстрелов произойдет только одно
попадание.
§ 3. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО
НАСТУПЛЕНИЙ СОБЫТИЯ
Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых ве-
роятность появления события А одна и та же и равна р, то вероятность того,
что событие А появится в этих п испытаниях т раз, выражается формулой
Бернулли
Р птап~т
‘ т, п —Р Ч >
где <? = 1 — р. Таким образом,
Р Pt •—• и плП — 1 р — д2^и —2 р — fytl
го,п—Ч • г 1, п—пРЧ > г2, п— |в2 г ‘ • •••> гп, п—Р •
Число т0 называется наивероятнейшим числом наступлений события Авп
испытаниях, если значение Р^п при т = та не меньше остальных значений
Р т, П, т. е. Pm„, п при’ т,- # т0.
Если р 0 и р Ф 1, то число т0 можно определить из двойного неравенства
np—qszmosznp + p.
Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если пр+р
не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наи-
вероятнейшее значение т0. Если же пр-\-р — целое число, то имеются два
наивероятнейших значения: т'^пр—q и т"а — пр-\-р.
839. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд
4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед
извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова
вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два
белых?
Д Вероятность извлечения белого шара р= 20/30 = 2/3 можно считать
одной и той же во всех четырех испытаниях; q=\—р=1/3. Используя фор-
мулу Бернулли, получаем
P2,4 = <W
4-3/_2 8 ж
Т-2 V 3 J \ 3 / —27' А
183
840. Вероятность появления события А равна 0,4- Какова
вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не
более трех раз?
Л Здесь р = 0,4, <? = 0,6. Имеем:
вероятность появления события А 0 раз: Л>до = ?10!
» i> »»!»: Pf,10= Юра9;
» » » » 2 раза: Р2 i0 = 45pV;
» » » » 3 »: l°3jo = 120p3g7.
Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, составляет
Р = Л>,1о+ Л,10 + Рг,1о + Рз,1о>
т. е.
p = gio-f- 10р^®+45р2д8 + 120р3д7, или Р ~q~ (ср + 10g2p-f-45gp2+ 120р3).
Полагая'р=0,4, q = 0,6, получим Р = 0,67 (0,2164-1,44+4,324-7,68) ~0,38. А
841. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять
детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рожде-
ния мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.
Л Вероятность рождения девочки р=0,5, тогда д=1—р=0,5 (вероятность
рождения мальчика). Значит, искомая вероятность
P3,5 = C3pV=^-(0,5)3-(0,5)2=^. А
842. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того,
что среди детей будет не больше трех девочек.
/ 1 v 1 / 1 \5 5
Д Л|,5 = ^ 2J =32 ’ Р1’3 = 5\Т; =32:
7 1 \5 5 7 1 V 5
P2,5=l°-^yJ =j6’ Рз’5 = =Тб’
Р = ^0,5+ ^1,5 "Г ^2,5 +^3,3= jg • Д
843. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того,
что 6 раз она упадет гербом вверх?
844. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того,
что она упадет гербом вверх не больше трех раз?
845. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех
вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Како-
ва вероятность того, что среди ответивших было два мальчика и
одна девочка?
846. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 чер-
ных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова
вероятность вынуть два белых и два черных шара?
847. В урне 10 белых и 40 черных шаров. Вынимают под-
ряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а за-
тем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число
появлений белого шара.
184
Л Здесь п=14, р= 10/50= 1/5, д=1—р = 4/5. Используя двойное нера-
венство пр— q<ma<np-\-p при указанных значениях п, р и q, получим
14/5—4/5 <m0< 14/5-f-1/5, т. е. 2</п0<3.
Таким образом, задача имеет два решения: /по = 2, т'о — З. Д
848. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сде-
лано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий
в цель.
Л Здесь л = 25, р = 0,7, q=0,3. Следовательно,
25.0,7—0,3 <т0< 25-0,7+ 0,7, т. е. 17,2 18,2.
Так как т—целое число, то /п0=18. А
849. В результате многолетних наблюдений установлено, что
вероятность выпадения дождя 1 октября в данном городе равна
1/7. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 ок-
тября в данном городе за 40 лет.
Л Имеем п = 40, р= 1/7, <у=6/7. Таким образом,
40-у—у<то<40-у+у, 4у<т0<5у , т. е. т0 = 5.
850. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность
того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стан-
дартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в
которых все детали стандартные.
851. В урне 100 белых и 80 черных шаров. Из урны извле-
кают п шаров (с возвратом каждого вынутого шара). Наивероят-
нейшее число появлений белого шара равно 11. Найти п.
Л Из двойного неравенства пр—q <тй<пр-\- р следует, что
(т0 — р))р ^п^(т0 + q)/p.
Здесь т0 = 11, р= 100/180 = 5/9, </ = 4/9; следовательно,
т. е. 18,8<л<20,6.
о/У о/У
Итак, задача имеет два решения: м1=19, л2 = 20. Д
852. Можно ли в предыдущей задаче изменить числовые зна-
чения т0 и р так, чтобы задача не имела решений?
853. Первый рабочий за смену может изготовить 120 изделий,
а второй—140 изделий, причем вероятности того, что эти изде-
лия высшего сорта, составляют соответственно 0,94 и 0,8. Оп-
ределить наивероятнейшее число изделий высшего сорта, изго-
товленных ' каждым рабочим.
854. Имеется 100 урн с белыми и черными шарами. Вероят-
ность появления белого шара из каждой урны равна 0,6. Найти
наивероятнейшее число урн, в которых все шары белые.
185
§ 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙ ЕСА
Если известно, что событие А может произойти вместе с одним из собы-
тий Н.......... Нп (гипотез), образующими полную группу попарно несовмест-
ных событий, то событие А можно представить как объединение событий АНг,
АНг, ..., АНп, т. е. А = А/У14-А/У2+.. ,4-АЯп. Вероятность события А
можно определить по формуле
р И) = Р (ЯО• р (A/HJ + Р (Я2) • Р (А/Н2) + ... +Р (//„)- Р (А/Н„),
или
Р(А) = 2 Р(Я,).Р(А/Я,).
i = i
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Условная вероятность события //, в предположении, что событие А уже
имеет место, определяется по формуле Рейеса".
<—.2.......")
2Р(Л/Н,).Р(«,)
1= 1
Вероятности Р (Н;/А), вычисленные по формуле Бейеса, часто называют
вероятностями гипотез.
855. Имеются четыре урны. В первой урне 1 белый и 1 чер-
ный шар, во второй — 2 белых и 3 черных шара, в третьей—3
белых и 5 черных шаров, и четвертой—4 белых и 7 черных
шаров. Событие Н{—выбор t-й урны (1 = 1,2, 3,4). Известно, что
вероятность выбора i-й урны равна i/Ю, т. е. P(Ht) = 1/10, P(//s)=
= 1/5, Р (Н3) = 3/10, Р(//4) = 2/5. Выбирают наугад одну из урн
и вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар
белый.
Л Из условия следует, что Р (А/Н1)= 1/2 (условная вероятность извлече-
ния белого шара из первой урны); аналогично Р {А/Н2) = 2/5, Р ( А/Н3} = 3/8,
Р (Л/Я4) =4/11. Вероятность извлечения белого шара находим по формуле
полной вероятности:
Р (А)=Р(HJ-P (A/HJ+P (Н2).Р(А.!Н2) + Р{Н3).Р (А/Н3)+Р (HJ-P (А/Н.) =
1 1 । 1 2 _|_3 3 I 2 4 _ 1707
—10 * 2 + 5 ’ 5 +10 ’ 8 + 5 ’ И-4400 ' А
856. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом
ящике 20 белых шаров, во втором—10 белых и 10 черных ша-
ров, в третьем — 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика
вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут
из первого ящика.
Д Пусть Т/j, Н2, Н3—гипотезы, состоящие в выборе соответственно пер-
вого, второго и третьего ящика; событие А — появление белого шара. Тогда
Р (Я1) = р (f/2) = p (Я3)= 1/3 (выбор любого из ящиков равновозможеи);
Р (А/Нг) = 1 (вероятность извлечения белого шара из первого ящика); Р (А/Н2)=
= 10/20=1/2 (вероятность извлечения белого шара из второго ящика);
Р (А/Н3)—0 (вероятность извлечения белого шара из третьего ящика).
Искомую вероятность Р^Н^А) находим по формуле Бейеса;
Р(Я1Л4) =________________________________= 1. А
1 11 ’ 1 (1/31-!-(1/2)-(1/3) + 0.(ЕЗ) 3 ж
186
857. В ящике имеется N изделий, среди которых могут быть
и бракованные. Вынутое наугад изделие оказалось небракованным.
Определить вероятность того, что: все изделия в ящике небрако-
ванные; N— 1 изделий небракованных и одно изделие бракованное;
W— 2 изделий небракованных и два изделия бракованных; ...;
все N изделий в ящике бракованные.
Д Гипотезы до опыта: Нл—все изделия в ящике небраковаииые; Гр-
одно изделие браковаииое; Я2—два изделия бракованных; ...; Нм—все
изделия бракованные. Событие Л —появление иебракова иного изделия. Тре-
буется найти Р(Н0/А), Р(Н1/А), Р(Н2/А), ..., Р(Нм!А).
Пусть до опыта все гипотезы равиовозможны:
р (Но) = Р (Яг) = Р (Я2) =...=? (ЯЛГ)=}71-1,
т. е.
Р(Л/Я0)=1, P(A/Ht)=^., Р(а/Н2)=^, ...»
P(A//fJV_1)=-l, Р(Л///л) = 0.
Отсюда находим
Р(#оМ)— j W—1 1 1 1 1 —
1 . _1_д__ 1.—! l . !--lo .——-
N+N N+l^ ~ N Af-j-P Л'4-1
1 W 2
1 . 2 . . N— 1 . , “1-I-24-... + 1V— 14-Л/-Л4-Г
N + /V +•••+ N +1
Аналогично получаем
2 N —
2 Л^ — 2
•^М)=лгр- —
2
=лф-о=о. ▲
.... P(HN/A) =
858. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй—
3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую перело-
жили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один
шар. Определить вероятность того, что вынутый шар—белый.
Л После того, как из второй урны переложили в первую одни шар,
в первой урне оказалось две совокупности шаров: 1) 5 белых и 10 черных
шаров, первоначально находившихся в этой урне; 2) одни шар, переложен-
ный из второй урны. Вероятность появления белого шара из первой совокуп-
ности составляет Р (А/Нг) = 5/15= 1/3, а из второй совокупности Р (А/Н-А =
= 3/10. Вероятность того, что произвольно вынутый шар принадлежит первой
совокупности, есть Р (Нг) = 15/16, а второй совокупности—Р (ff2)=l/16.
Используя формулу полной вероятности, получим
Р (А)=Р (Hi) Р (A/Ht) 4- Р (Н2) • Р (А/н^)=• 14-1 • А=. А
859. В первой урне 1 белый и 2 черных шара, во второй —
100 белых и 100 черных шаров. Из второй урны переложили
в первую один шар, а затем из первой урны вынули наугад один
шар. Какова вероятность того, что вынутый шар ранее находился
во второй урне, если известно, что он белый?
§ 5. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЗАКОН ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Если каждому элементарному событию <в из некоторого множества собы-
тий Й можно поставить в соответствие определенную величину Х = Х(<в), то
говорят, что задана случайная величина. Случайную величину X можно рас-
сматривать как функцию события <в с областью определения й.
Случайная величина может принять то или иное значение из некоторого
числового множества, однако заранее неизвестно, какое именно. Случайные
величины принято обозначать большими буквами X, Y.......а принимаемые
ими значения—соответствующими строчными буквами х, у, ... .
Если значения, которые может принимать данная случайная величина X,
образуют дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел xi, х3.хп, ...,
то и сама случайная величина X называется дискретной.
Если же значения, которые может принимать данная случайная величина X,
заполняют конечный или бесконечный промежуток (а, Ь) числовой оси Ох, то
случайная величина называется непрерывной.
Каждому значению случайной величины дискретного типа хп отвечает
определенная вероятность рп; каждому промежутку (О) из области значе-
ний случайной величины непрерывного типа также отвечает определенная
вероятность Р (а < X < Ь) того, что значение, принятое случайной величиной,
попадет в этот промежуток.
Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между воз-
можными значениями случайной величины и их вероятностями, называется
законом распределения случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается
рядом распределения-.
*1 *1 х2 Хз ... Хп
Pi Р1 Р2 Рз Рп
п
При этом 2 р;= 1, где суммирование распространяется иа все (конечное или
i ~ 1
бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины X.
Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать
с помощью так называемой функции плотности вероятности f (х). Вероят-
ность Р (а < X < Ь) того, что значение, принятое случайной величиной X,
попадет в промежуток (а, Ь), определяется равенством
ь
Р(а < X <Ь) = у (x)dx.
а
График функции /(х) называется кривой распределения. Геометрически
вероятность попадания случайной величины в промежуток (а, Ь) равна пло-
щади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распре-
деления, осью Ох и прямыми х = а, х=Ь (рис. 39).
Функция плотности вероятности f (х) обладает следующими свойствами:
188
Iе. /(-v)3sO.
T. ? /(x)dx=l
— CO
^ec.ni все значения случайной величины X заключены в промежутке (а, Ь), то
ь
последнее равенство можно записать в виде f(x)dx=l j.
а '
Рассмотрим теперь функцию F(x) = P(X < х). Эта функция называется
функцией распределения вероятности случайной величины X. Функция F (х)
существует как для дискретных, так и для
непрерывных случайных величии. Если
f (х)—функция плотности распределения ве- ‘
роятиости непрерывной случайной величины
т0 х г
F (X) = Г f(x)dx. Q О, ъ к
Л Рис. 39
Из последнего равенства следует, что
/(х)=Е'(х).
Иногда функцию fix) называют дифференциальной функцией распределе-
ния вероятности, а функцию F (х) — интегральной функцией распределения
вероятности.
Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятности:
1°. F (х) — неубывающая ф\икция.
2°. F (—оо) =0,
3°. F(+oo) = l.
Понятие функции распределения является центральным в теории вероят-
ностей. Используя это понятие, можно дать другое определение непрерывной
случайной величины. Случайная величина называется непрерывной, если ее
интегральная функция распределения F (х) непрерывна.
860. Даны вероятности значений случайной величины X:
значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2—вероятность 0,4;
значение 8 — вероятность 0,1; значение 4—вероятность 0,2. По-
строить ряд распределения случайной величины X.
Д Расположив значения случайной величины в возрастающем порядке,
получим ряд распределения:
2 4 8 10
Pi 0,4 0,2 0,1 0,3
Возьмем на плоскости хОр точки (2; 0,4), (4; 0,2) и т. д. Соединив после-
довательные точки прямолинейными отрезками, получим так называемый
многоугольник (или полигон) распределения случайной величины X (рис. 40). А
189
861. Случайная величина X подчинена закону распределения
с плотностью /(х), причем
(О при х < О,
а (Зх—х2) при 0<х<3,
О при х > 3
Требуется: 1) Найти коэффициент а; 2) построить график рас-
пределения плотности у = f (х); 3) найти вероятность попадания X
в промежуток (1,2).
Д 1) Так как все значения данной случайной величины заключены на
з
отрезке [0, 3], то а(3х—x2)rfx=l, откуда
о
°[4х2-тх3]о==1, нли а(1-9)=1>т-е- а=4-
2) Графиком функции f(x) в интервале [0, 3] является парабола у =
2 2
= -х-х—-g-x2, а вне этого интервала графиком служит сама ось абсцисс
о У
(рис. 41).
3) Вероятность попадания случайной величины X в промежуток (1,2)
найдется из равенства
2
о/. 2 2 г\Г*2 2х3р_4 16 1.2 13 .
Р(1<Х<2) Qx)dx~ [з 27 Ji 3 27 3"'”27~27'^
862. Дан ряд распределения случайной величины X:
*1 10 20 30 40 50
Pi 0,2 о.з 0,35 0,1 0,05
Найти функцию распределения вероятности этой случайной ве-
личины.
А Если х< 10,
то F (х) = Р (X < х) = 0;
» 10 < х<20, » Р(х) = Р(Х < х) = 0,2;
» 20<х<30, » F(x)=P(X < х) = 0,24-0,3 = 0,5;
» 30<х<40, » Г(х) = Р(Х < х) = 0,2+0,3 + 0,35 = 0,85;
» 40<х<50, » F(x) = P(X < х) = 0,2+0,3+0,35+0,1=0,95;
> х > 50, » Р (х) = Р(Х < х) = 0,2 + 0,3 + 0,35+0,1+0,05=1.^
863. Случайная величина X задана функцией распределения
(интегральной функцией)
( 0 при х < 1
F(x) = | (х—1)/2 при 1<х<3,
( 1 при х > 3.
Вычислить вероятности попадания случайной величины X
в интервалы (1,5; 2,5) и (2,5; 3,5).
Д Pi = F (2,5)—F (1,5) = (2,5—1)/2—(1,5—1)/2=0,75—0,25=0,5,
Рг = F (3,5)—F (2,5) = 1 - (2,5 —1)/2 = 1 — 0,75 = 0,25. Д
864. Случайная величина X задана функцией распределения
( 0 при х < 2,
F(x) = j (х—2)’при 2<х<3,
( 1 при х > 3.
Вычислить вероятности попадания случайной величины X в ин-
тервалы (1; 2,5) и (2,5; 3,5).
Д P,=F (2,5) — F (I) = (2,5 — 2)2—0 = 0,25,
Рг =F (3,5)—F (2,5) = 1 — (2,5—2)2 = 1 —0,25 = 0,75. ±
865. Случайная величина X задана функцией распределения,
указанной в предыдущей задаче. Найти плотность распределения
(дифференциальную функцию распределения) случайной величины.
Д Плотность распределения равна производной функции распределения,
г. е. f (x) = Ff (х), поэтому
( 0 при х < 2,
)(х)=<! 2(х—2) при 2<х<3,
( 0 при х > 3.
866. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероят-
ность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. По-
строить ряд распределения числа попаданий.
ф Воспользоваться формулой Бернулли.
867. В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4.
Вынули два шара. Случайная величина X—сумма номеров ша-
ров. Построить ряд распределения случайной величины X.
868. Случайная величина X подчинена закону распределения
с плотностью
f / Ч J а /Уа2—хг при I х I < а,
' ' ' ) 0 при | х | Js а.
Требуется: 1) найти коэффициент а; 2) найти вероятность попа-
дания случайной величины X на участок (а/2, а); 3) построить
график распределения плотности вероятности.
869. Показать, что функция f (х) = 1 /(х2 + л2) является плот-
ностью вероятности некоторой случайной величины X, и вычн-
191
слить вероятность попадания случайной величины X на участок
(л, оо).
870. Дана функция плотности распределения случайной вел»-
чины X:
( 0 при х < 0,
f (х) = ] а sin х при 0 < х< л,
(. 0 при х > л.
Определить а и F (х).
871. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули один шар.
Случайная величина X — число вынутых белых шаров. Построить
функцию распределения F (х).
§ 6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называете»
сумма произведений значений случайной величины на вероятности этих зна-
чений.
Если случайная величина X характеризуется конечным рядом распреде-
ления:
Xi Xi x2 X3 • i • xn
Pi Pi Pi Рз Pn
то математическое ожидание М (X) определяется по формуле
М (X)=xip1+x2p2+ ...+х„р„, или М(Х)= XiPi. (1)
i = i
Так как pi+pa-f- • • • +рп = то
М / V) — Х2^2 + ' " + хпРп
Р1+Р2 + • • -+Рп
Таким образом, М (X) является взвешенной средней арифметической значений
случайной величины Xi, х2, .... хп при весах рь р2, ..., рп-
СО
Если Л =00, TO М (X) = 2 pfX; (при условии, что ряд абсолютно схо-
1 = 1
дится).
Понятие математического ожидания распространяется и на непрерывную
случайную величину. Пусть f (х)— плотность вероятности случайной величины X.
Тогда математическое ожидание непрерывной случайной величины X опреде-
ляется равенством
М(Х) = $ xf(x)dx
— 00
(при условии, что интеграл абсолютно сходится).
Геометрически математическое ожидание как непрерывной, так и дискрет-
ной случайной величины равно абсциссе центра тяжести площади, ограничен-
ной кривой (или полигоном) распределения и осью абсцисс. Поэтому при
192
симметрии кривой (или полигона) распределения относительно некоторой пря-
мой, параллельной оси ординат, математическое ожидание совпадаете абсцис-
сой точки пересечения этой оси симметрии с осью абсцисс.
Точка оси Ох, имеющая абсциссу, равную математическому ожиданию
случайной величины, часто называется центром распределения этой случайной
величины.
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квад-
рата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = M[X—Л1(Х)]2.
Если ввести обозначение М(Х)=т, то формулы для
сии дискретной случайной величины X запишутся в виде
п
D(X)= 2 Pi (xi-m)*,
i = 1
D (X) = 2 Pi (Xi—m)1 (при n = oo),
i = 1
а для непрерывной случайной величины X—в виде
+ со
D(X)= J (x-myf(x)dx.
— со
Для дисперсии случайной величины справедлива формула
D(X) = M[(X—а)2]— [Л4(Х)~ а]2, или D(X) = M [(X— а)2]—(т—а)2, (4)
где а—произвольное число. Этой формулой часто пользуются для вычисления
дисперсии случайной величины, так как вычисление по этой формуле обычно
проще, чем по формулам (2) и (3).
Средним квадратичным отклонением случайной величины X называется
величина сх = ГD (X).
Среднее квадратичное отношение есть мера рассеяния значений случай-
ной величины около ее математического ожидания.
872. Дана функция
(О при х < О,
(1/2) sinx при 0<х<л,
О при х > л.
Показать, что f(x) может служить плотностью вероятности не-
которой случайной величины X. Найти математическое ожидание
и дисперсию случайной величины X.
Л Имеем
4- оо Л
вычисления диспер-
(2)
(3)
\ sinxdx =—ft cos х =1.
J 2 |o
о
Кроме того, f (x) Ss 0. Следовательно, f (x) может служить плотностью вероят-
ности .некоторой случайной величины. Так как прямая х = л/2 является осью
симметрии соответствующей дуги кривой i/= (1/2) sinx (рис. 42), то матема-
тическое ожидание случайной величины X равно л/2, т. е. /И(Х)=л/2.
7-216 193
Найдем дисперсию. Для этого в формуле (4) положим а —О, М (Х)=л/2,
тогда остается только вычислить интеграл, определяющий М (X2); имеем
+» л
М (X2) = У х2/ (х) dx=y У х2 sin х dx—
— X о
= у — х2 cos x+2xsln x-f-2 cos х]" =А.(л2—4).
Поэтому
Д(Х) = 1(л2-4)-^У=^-2, <Txi= )/^-2«0,69. Д
873. Случайная величина X характеризуется рядом распреде-
ления:
Xi 0 1 2 3 4
Pi 0,2 0,4 о,з 0,08 0,02
Определить математическое ожидание и дисперсию.
Л По формуле (1) находим математическое ожидание:
/И (Х) = 0-0,2+1-0,44-2-0,34-3-0,084-4-0,02= 1,32.
Дисперсию найдем по формуле (4), полагая а = 2; отсюда М (X) — а =
= 1,32—2 = — 0,68. Составляем таблицу:
Xi 0 1 2 3 4
Xi—а -2 —1 0 1 2
(х!—а)г 4 1 0 1 4
Pi 0,2 0,4 0,3 0,08 0,02
Pi (xi—a)2 0,8 0,4 0 0,08 0,08
Теперь находим
4
М [(X — а)2] = 2 Pi (*i-я)г= 1.36;
1=0
D (Х)= 1,36—(—0,68)2= 1,36—0,4634 = 0,8966; <тх =/0,8966 = 0,95. А
874. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз по-
дряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвра-
щают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную ве-
194
личину X число извлеченных белых шаров, составить закон рас
пределения этой величины, определить ее математическое ожида^
ние и дисперсию.
875. Дана функция
при х < О,
f(x) = < Х(4х—х3) при 0<х<2,
при х > 2.
При каком значении X функция f(x) может быть принята за плот-
ность вероятности случайной величины X? Определить это зна-
чение X, найти математическое ожидание и среднее квадратичное
отклонение соответствующей случайной величины X.
§ 7. МОДА И МЕДИАНА
Модой дискретной случайной величины X называется ее наиболее верояг
иое значение.
Модой непрерывной случайной величины X называется то ее значение,
при котором плотность распределения максимальна.
Моду будем обозначать символом М.
Медианой непрерывной случайной величины X называется такое ее зна-
чение р, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина
меньше или больше и, т. е. Р (X < р) =
= Р(Х > р)=0,5.
Геометрически мода является абсциссой /эд
той точки кривой (полигона) распределения,
ордината которой максимальна. Ордината
же, проведенная в точке с абсциссой х = р,
делит пополам площадь, ограниченную кри-
вой распределения. Если прямая х=а
является осью симметрии кривой распределе-
ния y — f(x), то р = р = М (X) =а (рис. 43).
Рис. 43
876. Дана плотность вероятности непрерывной случайной вели-
чины f (х) — аегх~х* (а > 0). Найти моду этой случайной величины.
Л Найдем максимум функции y = f(x). Для этого находим производные
первого и второго порядков:
/' (х) = 2а (1 —х) е2х~х\ f (х) =— 2ае**-*г + 4а(1 — х)3 е2х~*г.
Из уравнения /' (х) = 0 получаем х=1._Так как /’(!) = — 2ае < 0, то при
х=1 функция f (х) имеет максимум, т. е. Л4=1. Мы не определяли значения
постоянной величины а, так как максимум функции f (х) = аегх-*г не зависит
от числового значения а. А
877. Дана плотность вероятности случайной величины Xi
0 при х < 0,
Дх)=- х—х3/4 при 0<х«с2,
0 при х > 2.
Найти медиану этой случайной величины.
Л Медиану р найдем из условия Р (X < р) = 0,5. В данном случае
Р (X < р) = J (х-1 х») dx = .
Таким образом, приходим к уравнению ц2/2—р1/16=0,5, или ц*—8ц* 4-8 = 0,
откуда ц=±1/<4±)^8. Из четырех корней этого уравнения нужно выбрать
тот, который заключен между 0 н 2. Таким образом, — 4— У 8 я 1,09. Д
878. Дан ряд распределения дискретной случайной величины:
Х.1 10 20 30 40 50 60
Pi 0,24 0,36 0,20 0,15 0,03 0,02
Найти моду.
879. Дана плотность распределения непрерывной случайной
величины:
0 при
а(х—2) (4—х) при
0 при
х< 2,
2 «С 4,
х > 4.
Определить значение а, моду и медиану.
§ 8. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Равномерным называется
значения которых лежат на
ffc) .
Л О, Ъ X
Рис. 44
распределение таких случайных величии, все
некотором отрезке [а, 6] и имеют постоянную
плотность вероятности на этом отрезке (рис.
44). Таким образом,
/ 0 при х < а,
f(x) = j h при а <х<Ь,
( 0 при х>Ь.
Так как h(b—а)=1, то Л=1/(6—а) и, следо-
вательно,
ZW =
0 при
1/(4>—а) прн
прн
х < а,
а<,х^Ь,
х > Ь.
880. Определить математическое ожидание случайной величины
с равномерным распределением.
Л Имеем
ь ь ь
С . С х . 1 1 , 1 Ь2—аг
M(X)=\xf(x)dx=\T—-dx = -r—---k-x* =т— -------х—,
j J о — а о—a £ о—a l
a a a
т. e. M (X) = (a-{-b)/2, как это и должно быть в силу симметрии распределе-
ния. А
881. Вычислить дисперсию и среднее квадратичное отклонение
для случайной величины с равномерным распределением.
Л Используем формулу D(X) = A1(X2)— [Л4 (X)]s, учитывая найденное
в предыдущей задаче значение М (Х) = (а-|-&)/2. Таким образом, остается
196
вычислить Л1 (№); имеем
ь
а
___!___хз
3(&—а)
ь
__Ь3—а3 b2-j-ab-j-aa
~3(b— а) 3
а
Отсюда
П1Х'-Ь* + аЬ + а* (а+*)2 _
D(X)~----з-------j---—i2~
Следовательно, ах = У D (X) = (Ь — а)/(2 У 3) . А
882. Все значения равномерно распределенной случайной вели-
чины лежат на отрезке [2, 8]. Найти вероятность попадания слу-
чайной величины в промежуток (3, 5).
883. Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интер-
валом 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в неко-
торый момент времени. Какова вероятность появления пассажира
не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но
не позднее чем за две минуты до отхода следующего поезда?
§ 9. БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЗАКОН ПУАССОНА
Если вероятность наступления случайного события в каждом испытании
равна р, то, как известно, вероятность того, что при п испытаниях событие
осуществится т раз, определяется формулой Бернулли:
Рт, n = CnPmqn~m (где 9 = 1— р).
Закон распределения случайной величины X, которая может принимать
n-f-1 значение (О, 1....п), описываемый формулой Бернулли, называется
биномиальным.
Закон распределения случайной величины X, которая может принимать
любые целые неотрицательные значения (0, 1,2....п), описываемый формулой
д/я
Р(Х = т) = --ге-а,
' 'ml
носит название закона Пуассона.
Закон Пуассона является законом распределения вероятностей, например,
для следующих случайных величин.
а) Пусть на интервале (О, N) оси Ох случайно размещаются п точек
независимо друг от друга, причем события, заключающиеся в попадании одной
точки иа любой наперед заданный отрезок постоянной (например, единичной)
длины, равновероятны.
Если N—>-оо, п—>оо и a— lim , то случайная величина X, рав-
ная числу точек, попадающих на заданный отрезок единичной длины (которая
может принимать значения 0, 1...т, ...), распределяется по закону Пуассона.
б) Если п равно среднему числу вызовов абонентов, поступающих за один
час на данную телефонную станцию, то число вызовов, поступающих за одну
минуту, приближенно распределяется по закону Пуассона, причем а = л/60.
Математическое ожидание и дисперсия случайных величин, распределенных
по биномиальному закону и закону Пуассона, определяются по следующим
формулам:
для биномиального закона: М(Х) = пр; D (X)=npq;
для закона Пуассона: М(Х)~а; D{X) = a.
197
884. Автоматическая телефонная станция получает в среднем
за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную
минуту она получит точно два вызова?
Л За минуту АТС получает в среднем 300/60 = 5 вызовов, т. е. а = 5.
Требуется найти Ра. Применив формулу Пуассона, находим
885. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероят-
ность того, что на случайно выбранной странице не менее четырех
опечаток?
Л Среднее количество опечаток на одну страницу есть я = 100/1000 = 0,1.
В данном случае следует применить формулу Пуассона:
Здесь Рт—вероятность иметь т опечаток на одной странице.
Если т = 0, то Р0=е-°>1; если т=1, то Pi = 0,1-е-°.1; если т = 2, то
Ра = 0,005-е—°»1; если т = 3, то Р3 = 0,000167-е-°-1. Сумма Ро + Pi + Pa + Р,
является вероятностью того, что на странице окажется не более трех опечаток.
Эта сумма равна l,105167-e~°>i. Вероятность же того, что на случайно выбран-
ной странице не менее четырех опечаток, равна
1 — 1,105167-е011 = 1 — 1,105167.0,904837 = 1 —0,999996 = 0,000004. ±
886. Среди семян ржи имеется 0,4% семян сорняков. Какова
вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян
сорняков?
887. Определить математическое ожидание и дисперсию часто-
ты m/п появлений случайного события при п испытаниях, если
вероятность появления события при одном испытании равна р.
888. Показать, что биномиальное распределение обращается
в пределе в распределение Пуассона, если п —> оо, р —> 0, но
пр —а.
• Воспользоваться равенством
и перейти к пределу.
889. Случайная величина X подчинена биномиальному закону
распределения Р (X — m) = C%pmq’‘~m. Определить математическое
ожидание этой случайной величины.
Л Имеем
п п п
М (Х)= V, mCnp”qn-a = У_ rnCnpmqn-m = пр —CnPm-iqn~n.
т=0 т=1 т=1
Но
т пт _ rn n(n— l)(n—2) ... (n—m-j-l) _
n n~~n' 1-2-3 ... (m— l)m
Следовательно,
п
М(Х)=пр 2 Сл-11Ря,-,Р<п-1)-(я,-1) = лР (Р+9)’’"1»
П19Я 1
т. е. М (Х) = пр.
890. Определить дисперсию случайной величины X, подчинен-
ной биномиальному закону распределения.
Л Предварительно найдем математическое ожидание случайной величины Ха:
п п
М(Х2) = У\ тгСпртчп~т = пр У «•— С”=
in- 1 т = 1
= пр 2 =
(п п \
2 (т— l)C^}p'»-V',-1>_('B_1)+ 2 )•
т=1 m=1 J
Первая из сумм в скобках является математическим ожиданием случай-
ной величины X, подчиненной биномиальному закону Р(Х=т—1) =
= C'n-ipm~1<fn~ly~(m~l}, поэтому она равна (п—1) р (см. предыдущую задачу).
Вторая же сумма равна (p-}-q}n~1 — \.
Итак, Л1(Ха) = пр(п— \)р-\-пр. Но D (X) = М (X2)— [М (Х)]а, поэтому
О(Х)=лара—пр2 А-пр—пгрг = пр (1—p) = npq. Л
891. Найти математическое ожидание случайной величины X,
подчиненной закону Пуассона Р (X = т) = а .
Л Имеем
V’ ате~а ат-е~а V а"""1
М(Х)-2^т т, —2^ т ,п1 ае 2-। (и—1)! *
т=0 т=1 т=1
00
Но 7 -------—=е°, следовательно, Л1(л) = а. Д
892. Найти дисперсию случайной величины X, подчиненной
закону Пуассона.
Л Сначала находим
т=1 т=1
V' , „ ате~а , V Лте~а
I 1)! + Л1 (т~ 1)1“
00 00
V / ,.ая’-1е-а , V аЯ,_1
-а 2а (т ’) 1)1 + “ (т_ !)| •
m=1 ' ' т=1'
199
Первая сумма является математическим ожиданием случайной величины X.
подчиненной закону Пуассона, а вторая сумма равна е°. Отсюда получаем
М (Х2) = а2-|-а. Следовательно, D (Х) = а2-|-а—а2 = а. А
893. Вероятность попадания стрелком в мишень равна 2/3.
Стрелком сделано 15 выстрелов. Случайная величина X—число
попаданий в мишень. Найти математическое ожидание и диспер-
сию случайной величины X.
Л Здесь следует воспользоваться значениями математического ожидания
и дисперсии для биномиального закона распределения: М (Х) = лр = 15-(2/3)= 10,
D (Х) = npq = 15-(2/3)-(1/3) = 10/3. Д
§ 10. ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.
ФУНКЦИЯ НАДЕЖНОСТИ
Аналогом закона Пуассона для непрерывных случайных величин служит
показательный (экспоненциальный) закон, функция плотности распределения
которого имеет вид
= / 0 ПР« *<°.
' ( Хе-^х при х^О,
где А. > 0—постоянный параметр.
Функция распределения (интегральная функция) показательного закона
X X
F (х) = f (х) dx = хе~^х dx = 1 —е~^х,
— оо О
т. е.
г . . ( 0 при х < О,
( 1—при х^О.
Вероятность попадания случайной величины X в интервал (а, Р) составляет
Р (а < X < P)=F(P)_F(a)=(l—е-^-Р) —(1—e-to)=e-to_e-X3(
т. е.
Р (a < X < f)=e-*a_
Определим числовые характеристики показательного закона распределения:
математическое ожидание
00
р г 1 П00 1
М (X) = \ xte-fa dx— — хе~}-х—г- е~^х =-х- >
v L Л J о Л
О
дисперсия
00
D (X) = J x2te~Kxdx—{M (Х)]2 =
о
= Г—Х2е-хх е-кх 1=2____________________L—L
[ Xе № Jo А2 А2
среднее квадратичное отклонение
О(Х)=/П(Х) = 2 Т. е. М(Х)=а(Х)= ’
Л Л
200
Если Т—непрерывная случайная величина, выражающая продолжитель-
ность времени безотказной работы какого-либо элемента, а X—интенсивность
отказов (среднее число отказов в единицу времени), то продолжительность вре-
мени t безотказной работы этого элемента можно считать случайной величиной,
распределенной по показательному закону с функцией распределения F (f) =
= Р (Т < 0 = 1— е~и (к > 0), которая определяет вероятность отказа элемента
за время t.
Функция надежности Р (0 определяет вероятность безотказной работы эле-
мента за время t: Р (0 =е~М.
894. Для какого значения k функция
J 0 при х < 0,
| йе-Ал при хйгО
является функцией плотности показательного закона?
Л Так как f(x)=0 при х < 0, то
У f (х) dx = J ke-fa dx — 1. Отсюда
о о
Ч---“]о=1’Т=1> т< е-А
895. Непрерывная случайная
показательному закону:
/ W = { 4е-4*
величина X распределена по
при
при
х < о,
х5э0.
Найти вероятность того, что в результате испытаний X попадет
в интервал (0,2; 0,5).
Л Используя формулу Р(а < X < Р)=е-^—имеем
Р (0,2 < Х< 0,5) =е-10'г—е~10>6 =е~0>8 —е-2 = 0,4493—0,1353 = 0,314
(для вычисления значений функции е~х мы воспользовались табл. II на с. 410). А
896. Время t расформирования состава через горку—случай-
ная величина, подчиненная показательному закону. Пусть Х=5—
среднее число поездов, которые горка может расформировать за
1 ч. Определить вероятность того, что время расформирования
состава: 1) меньше 30 мин; 2) больше 6 мин, но меньше 24 мин.
Д Используем функцию распределения показательного закона F (0 =
= Р(7 < 0 = 1 — е~».
1) Вероятность того, что расформирование состава займет менее 30 мии=0,5 ч,
есть
F (0,5) = Р (Т < 0,5) = 1 — е-5 о,5 = 1 _е-2,6 = 1 — 0,082 = 0,918.
2) Вероятность того, что время расформирования составляет от 6 мнн=0,1 ч
до 24 мии =0,4 ч, такова:
Р(0,1 < Г < 0,4) =е_ 5 =е-0,5—е-2 = 0,6065 — 0,1353=0,4712. Д
897. Вероятность безотказной работы элемента распределена
по показательному закону f (/) = 0,02e~0,02t (/>0). Найти веро-
ятность того, что элемент проработает безотказно в течение 50 ч.
201
Л Используя функцию надежности R(f)=e~M, получим R (50) =
= е~ 0,02’60 =е-х = 0,3679. ±
898. Непрерывная случайная величина X распределена по
показательному закону f (х) — 2,5гЧ» при х>0 и /(х) = 0 при
х < 0. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратичное отклонение.
899. Непрерывная случайная величина X распределена по
показательному закону с функцией плотности
0 ПРИ Х<0’
' { ' I 7й-7х при Х^О.
Найти вероятность того, что в результате испытаний X попадет
в интервал (0,15; 0,6).
900. Найти математическое ожидание случайной величины X,
распределенной по показательному закону, если функция распре-
деления имеет вид
° при х<0,
' ( 1—<?-0>2?t при Х^гО.
901. Время t расформирования состава через горку—случай-
ная величина, подчиненная показательному закону. Пусть Х= 5—
среднее число поездов, которые горка может расформировать
за 1 ч. Определить вероятность того, что время расформирования
состава составит более 0,3 ч.
902. Длительность времени безотказной работы элемента имеет
показательное распределение F(/)=l—е~0,°2* (/>0). Найти
вероятность того, что за / = 24 ч элемент: 1) откажет; 2) не от-
кажет.
903. Вероятность безотказной работы телевизора распределена
по показательному закону f (/) = 0,002e-0,002t (t > 0). Найти веро-
ятность того, что телевизор проработает 1000 ч.
§ 11. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА
Нормальный закон распределения характеризуется плотностью
f (И __ 1 е -1х-тУ/(2аг)
Нетрудно видеть, что функция f (х) удовлетворяет двум условиям, предъяв-
+ ос
ляемым к плотности распределения: 1) f (х) > 0; 2) f(x)dx=l.
— оо
Кривая y=f(x) имеет вид, изображенный на рис. 45. Оиа симметрична
относительно прямой х = т, максимальная ордината кривой (при х = т) равна
1/(0 / 2л) и ось абсцисс является асимптотой этой кривой. Так как
х/ (х) dx = m, то параметр т является математическим ожиданием случай-
— оо
+ оо
ной величины X. С другой стороны, (х—т)2/(х)<1х = 02| откуда D(x) = a3,
— ОО
202
т. е. <т является средним квадратичным
клонеиием величины X.
Введем обозначение
X
Ф(х)=у=-|е-*2Л.
О
Функция Ф(х) называется функцией Лапласа, или интегралом вероят-
ностей. Эту функцию называют также функцией ошибок и обозначают erf х.
Иногда используются и другие формы функции Лапласа, например, Ф (х) =
X
= —----le’^dl (нормированная функция Лапласа), которая связана
У 2л J
о
X
с функцией ошибок Ф(х)=—fe~#2d/ соотношением Ф(х) =0,5Ф(х/]/~2),
У л J
о
или Ф (х /1) =0,5Ф (х).
Для вычисления значений функции Лапласа пользуются специальной
таблицей (см. табл. III на с. 411).
Вероятность попадания в интервал ]а, Ь[ случайной величины X, подчи-
ненной нормальном}’ закону, определяется через значения функции Лапласа
по формуле
Р(а<Х<Ь)=0,5 Ф
Отметим следующие свойства функции Лапласа.
О
1°. Ф(0)=0, так как J e~fl dt = 0;
о
® ________________
2°. Ф (+оо) = 1, поскольку Ф (+оо) = —f e_#2d/= ——к—=1>
У я J У я 2
о
3°. Ф(х)—нечетная функция.
Справедлива также формула
Р(\Х-т\<*)=&(—
\ а У 2 /
С помощью этой формулы можно находить вероятность попадания случайной
величины, подчиненной нормальному закону, в интервал, симметричный от-
носительно точки т.
904. Случайная величина X распределена по нормальному
закону с математическим ожиданием т = 40 и дисперсией £> = 200.
Вычислить вероятность попадания случайной величины в интер-
вал (30, 80).
А Здесь а = 30, 6 = 80, т=40, or=/200=10/ 2; пользуясь табл. III
па с. 411, находим
Р (30 < X < 80) = 0,5 Г Ф (—_ ф f —30 40 \ 1 _
' [ V10/2-/2/ \ 10/2./2/]
= 0,5 [Ф (2)4- Ф (0,5)] = 0,5 [0,9954-0,521] = 0,758. X
203
905. Считается, что отклонение длины изготавливаемых дета-
лей от стандарта является случайной величиной, распределенной
по нормальному закону. Если стандартная длина равна т = 40см
и среднее квадратичное отклонение равно о=0,4 см, то какую
точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?
Л Требуется найти положительное число е, для которого
Р(| X — 401 < е) = 0,8. Так как
Р (| X - 40 [ < е) = Ф ( —) = ф (1 ,77е),
то задача сводится к решению иеравеиства Ф (1,77 е) > 0,8. С помощью табл. 1П
устанавливаем, что 1,77е > 0,91. Остается найти наименьшее значение е,
удовлетворяющее этому неравенству, откуда е = 0,52. А
906. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой Ох. Средняя
дальность полета снаряда равна т. Предполагая, что дальность
полета X распределена по нормальному закону со средним квад-
ратичным отклонением а =80 м, найти, какой процент выпускае-
мых снарядов даст перелет от 120 до 160 м.
907. Случайная величина X подчинена нормальному закону
с математическим ожиданием т и средним квадратичным откло-
нением а. Вычислить с точностью до 0,01 вероятности попада-
ния X в интервалы (т, т+а), \т + а, т+2<г}, (т+2а, т + За).
908. Показать, что вероятность попадания в интервал (а, Ь}
случайной величины X с математическим ожиданием т и средним
квадратичным отклонением а, подчиненной нормальному закону,
не изменится, если каждое из чисел а, Ь, т и а увеличить
в X раз (X > 0).
909. Масса вагона — случайная величина, распределенная по
нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним
квадратичным отклонением а = 0,9 т. Найти вероятность того,
что очередной вагон имеет массу не более 70 т, но не менее 60 т.
910. Мастерская изготавливает стержни, длина которых I
представляет собой случайную величину, распределенную по нор-
мальному закону с математическим ожиданием и средним квад-
ратичным отклонением, равными соответственно 25 и 0,1 см.
Найти вероятность того, что отклонение длины стержня в ту
или другую сторону от математического ожидания не превзой-
дет 0,25 см.
911. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона —
случайная величина, распределенная по нормальному закону
с математическим ожиданием а = 65 т и средним квадратичным
отклонением а=0,9 т. Локомотив может везти состав массой не
более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй
локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не
потребуется.
912. Диаметр детали, изготавливаемой на станке,— случайная
величина, распределенная по нормальному закону с математи-
ческим ожиданием а =25 см и средним квадратичным откло-
нением о = 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу
204
детали имеют отклонение от математического ожидания по абсо-
лютной величине не более 0,16 см.
Л Вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет отклонение 6 в ту
или другую сторону от математического ожидания, составляет
Р (а—6 < X < а+в)=Р(| X—а \ < 6)=2Ф(6/0).
Отсюда
Р (| X — 251 < 0,16) = 2Ф (0,16/0,4) = 2Ф (0,4) =2-0,1554 = 0,3108.
Тогда для двух наудачу взятых деталей искомая вероятность есть
0,31082 = 0,096. А
913. Пусть X—случайная величина, подчиненная нормальному
закону с математическим ожиданием а =1,6 и средним квадра-
тичным отклонением о=1. Какова вероятность того, что при
четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один
раз в интервал (1, 2)?
Л Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал
(1, 2) ПРИ одном испытании:
Р(1 < X < 2)=Ф^^р’в)-Ф (1^Ь6)=хф(0,4) + Ф(0,6) =
= 0,1554 + 0,2257 = 0,3811.
Тогда вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал ]1, 2[
при одном испытании, есть 1 — 0,3811 =0,6189, а при четырех испытаниях
0,6189* к 0,1467. Значит, искомая вероятность составляет 1—0,1467 = 0,8533. А
914. Диаметр выпускаемой детали — случайная величина, под-
чиненная нормальному закону с математическим ожиданием 5 см
и средним квадратичным отклонением 0,9 см. Установить:
1) вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр
в пределах от 4 до 7 см; 2) вероятность того, что размер диа-
метра наудачу взятой детали отличается от математического
ожидания не более чем на 2 см; 3) в каких границах следует
ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность не выйти
за эти границы была равна 0,95.
д 1) P(4<d< 7) = ф(-^-} - Ф = Ф(2,22)+ Ф(1,11) =
= 0,4867 + 0,3664 = 0,8531;
2) P(|d—5| < 2) =2Ф (2/0,9) =2Ф (2,22) = 2-0,4867 = 0,9734;
3) P(\d—5| < 6) = 2Ф (6/0,9) = 0,95, Ф (6/0,9) = 0,475. Используя таблицу
значений иормироваииой функции Лапласа, имеем 6/0,9=1,96, откуда
6=1,76. Д
915. Случайная величина X подчинена нормальному закону
с математическим ожиданием 2,2 и средним квадратичным от-
клонением 0,5. Какова вероятность того, что при первом испытании
случайная величина окажется на отрезке [3, 4], а при втором
испытании — на отрезке [1, 2]?
916. Случайная величина X подчинена нормальному закону
с математическим ожиданием а= 10. Каково должно быть среднее
205
квадратичное отклонение о этой случайной величины, чтобы с ве-
роятностью 0,8 отклонение от математического ожидания по абсо-
лютной величине не превышало 0,2?
§ 12. МОМЕНТЫ, АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Начальным моментом s-ro порядка дискретной случайной величины X,
заданной рядом распределения
XI XI х2 • • • Хп •..
Pl Pi Рг • • • Рп • 4 •
называется сумма ряда
= KiPi + + • • • +Х1Рл + • • • •
Для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения f (х)
начальным моментом s-ro порядка называется интеграл
af — Xsf (х) dx.
— ОС
Нетрудно видеть, что начальный момент первого порядка случайной величины X
равен математическому ожиданию этой случайной величины: ах — М (X).
Центральным моментом s-ro порядка дискретной случайной величины X
называется сумма ряда
Н з = (хх—тху рх + (х2—тху р2 -----1- (х„ — тху рп +...,
где тх—математическое ожидание случайной величины X.
Для непрерывной случайной величины центральным моментом s-ro порядка
называется интеграл
+ «
Нз = J (x—mxyf(x)dx.
— ®
Для любой случайной величины центральный момент первого порядка
равен нулю, т. е. Ц1 = 0.
Центральный момент второго порядка любой случайной величины равен
дисперсии случайной величины, т. е. ц2 = Р(Х).
Центральные и начальные моменты первого, второго, третьего и четвер-
того порядков связаны соотношениями:
1*1 = 0,
2
Ц2 — CC<j — СС1,
Нз = «з—3aitz2 + 2ai,
Hi = «4—4сС1ССз + 6а*«2—За}.
Если распределение симметрично относительно математического ожидания,
то все центральные моменты нечетного порядка равны нулю, т. е. н* = Нз =
= HS=...=O.
206
Отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квад-
ратичного отклонения называется асимметрией:
Sk — Цз/Ох-
Если распределение симметрично относительно математического ожидания,
то для кривой распределения (гистограммы) S* = 0.
На рис. 46 н 47 изображены гистограммы для > О и Sj < 0.
Эксцессом случайной величины X называется величина Ех, определяемая
равенством
Ех = щ/°х—3.
Для нормального закона распределения £4=0.
Кривые, более островершинные по сравнению с нормальной (так назы-
ваемой кривой Гаусса), обладают, положительным эксцессом; для кривых,
более плосковершинных, Ех < 0 (рис. 48).
917. Дан ряд распределения случайной величины X:
Найти начальные и центральные моменты первых четырех по-
рядков этой случайной величины, а также определить асиммет-
рию и эксцесс.
Л Начальный момент первого порядка
а! = 1-0,14-3-0,4 + 5-0,2 + 7-0,24-9-0,1 =4,6.
Начальный момент первого порядка является математическим ожиданием,
поэтому Л4(Х) = 4,6.
Найдем начальный момент второго порядка:
а2= 1.0,1+9-0,4 + 25-0,2+49-0,2+81-0,1=26,6.
Начальный момент третьего порядка
а3 = 1.0,1+27-0,4+ 125-0,2 + 343-0,2 + 729-0,1 = 177,4.
Начальный момент четвертого порядка
а4= 1-0,1+81-0,4+625-0,2 + 2401-0,2+6561-0,1 = 1293,8.
Найдем теперь центральные моменты. Как известно, щ=0. Центральный
момент второго порядка найдем по формуле
р2 = а2—aj =26,6—4,62 =26,6—21,16 = 5,44.
207
Этот центральный момент является дисперсией случайной величины, т. е.
Г>(Х) = 5,44.
Отсюда легко определить среднее квадратичное отклонение:
ox = /D(X) =/544 = 2,33.
Центральный момент третьего порядка определится по формуле
р3 = а3—3aia2 + 2a? = 177,4—3-4,6-26,6+2-4,63 =
= 177,4 - 367,08+ 194,672 = 4,992.
Теперь нетрудно определить асимметрию:
g Из— 4,992 _ 4,992
03 - 5,44-2,33 ~ 12,675 “ ’ ’
Для центрального момента четвертого порядка воспользуемся формулой
р4 = а4—4а1а3 + 6а32а2—За} = 1293,8— 4 • 4,6-177,4 + 6- 4,62 • 26,6—3 • 4,6* =
= 1293,8— 3264,16 + 33,77,136—1343,227 = 64,55.
Теперь можно найти эксцесс:
^=>-^4>-з=1й-з=2’18-з=-0’82- *
918. Дана функция
0 прн х < 0,
._ ахг при 0<х< 1,
М'-|а(2-+ при 1<х<2,
. 0 при х₽=2,
(рис. 49). При каком значении а функция f(x) является плот-
ностью распределения случайной величины X? Определить началь-
*х
ные и центральные моменты первых четырех порядков, асиммет-
рию и эксцесс.
Д Для нахождения а имеем уравнение
1 2
а J х2 dx-j-a § (2—х)2 dx — 1,
0 1
откуда
х3 |1 (2—х)312
а‘~|о~а 3—11
, 3
= 1, т. е. а=~2
208
Находим начальные моменты:
„ 3 С .зл | 3 С _ 3 1 , 3 (a
“1__ 2 J *Sdx+ 2 J X^2 dX~ 2'4^ 2 (6 3+4J ’
0 1
1 2
a2 = 4 J ^‘+4 J*2 (2 — x)2dx =
0 1
^1x1 [±L_^+^]2=3 , 45 93
10+2 L 3 5ji io+ 2+10~
1 2
“s==4 x5d*+4y х)2^х=а
0 I
_2 1 3 Гх4_±х5 ,45_186 63_
~12 '2 I/ 5 X ' 6 Ji 4'2 5 +4~1,d’
1 2
«4=4 J •*в‘/*+4Ул;4(2—x)2^=
0 1
3 . 3 Г 4x5 2x« . x’]2 3 . 186 c, , 381 ,22
en+i L"5—r+-J1=n+^-63+-fT=,35-
Находим центральные моменты:
Mi = °;
ц2 = а2 — ai= 1,1 — 1 =0,1;
Цз = «з — 3а1аа4'2а?= 1,3—3-l,l+ 2 = 0
(действительно, кривая имеет вертикальную ось симметрии);
g4=«4—4а1«з + 6а1СС2—3al=l|j —4-1,3+6.1,1 —3=Х
ОО оо
Отсюда получаем:
D (X) = Цг = 0,1 (дисперсия);
<Ъс = V~D (X) = Y 0,1=0,316 (среднее квадратичное отклонение).
Находим асимметрию: 5й = Цз/о^ = 0.
Находим эксцесс: 3—2/25.—3 = -_L . А
01 0,01 7
919. Дан ряд распределения случайной величины:
Х1 2 4 6 8
Pi 0,4 0,3 0,2 0,1
Найти начальные и центральные моменты первых четырех поряд-
ков этой случайной величины, а также определить асимметрию
и эксцесс.
200
920. Плотность распределения случайной величины X задана
следующим образом:
/(*) =
о
х
2 — х
0
при
прн
при
при
х < о,
О <х < 1,
К х < 2,
х5а2.
Найти начальные и центральные моменты первых четырех поряд-
ков, асимметрию и эксцесс.
921. Случайная величина X подчинена закону с плотностью
распределения f (х) — Хе~^х1. Определить значение X и эксцесс
случайной величины X.
§ 13. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
1. Теорема Чебышева. Говорят, что случайная величина Х„ сходится по
вероятности к а, если при всех достаточно больших п выполняется неравенство
Р(|Х„-а|<е)> 1-6,
где е — произвольное малое положительное число, а значение 6 зависит от
выбора е и п. В терминах данного определения теорему Чебышева
можно сформулировать следующим образом: при достаточно большом числе
независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случай-
ной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т. е.
f 2 х^п-МЩ
< 8 > 1 — 6.
В этом неравенстве можно принять 0 < 6 < , где D (А)—дисперсия
случайной величины X.
Теорема Чебышева является одним из законов больших чисел, которые
лежат в основе многих практических применений теории вероятностей.
2. Теорема Бернулли. Другим и притом простейшим (и ранее всех уста-
новленным) законом больших чисел является теорема Я. Бернулли.
Теорема Бернулли устанавливает, что при неограниченном увели-
чении числа испытаний частота случайного события сходится по вероятности
к вероятности события, т. е.
^причем можно принять, что 0 < 6 < > если вероятность события от
испытания к испытанию не изменяется и равна р (</=1—р).
922. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить снизу вероят-
ность отклонения частоты появления «герба» от вероятности его
появления меньше чем на 0,1.
Л Здесь п = 1000, р =<7 = 1/2, е = 0,1. Используя неравенство (1), получаем
т 1
1000“ 2
(1/2).(1/2) ,39
1000-0,01 ~40"
210
Неравенство I —«Г! < О»1 равносильно двойному неравенству 400 < т <
| luvv X |
< 600; поэтому можно сказать, что вероятность числа попаданий «герба»
в интервал ] 400, 600 [ больше 39/40. А
923. В урне 1000 белых и 2000 черных шаров. Вынули
(с возвращением) 300 шаров. Оценить снизу вероятность того,
что число т извлеченных при этом белых шаров удовлетворяет
двойному неравенству 80 < т < 120.
Л Данное двойное неравенство можно переписать в виде
-20 < т— 100 <20, или --L < JL-l. <-L.
Итак, требуется оценить вероятность неравенства | —-у | < 15 > слеДова"
тельно, е=1/15 и
pfH-lLlk , (1/3)-(2/3) _5
300 3 I 15/ 300-1/225 “ 6 ' ж
924. Пусть в результате 100 независимых опытов найдены
значения случайной величины X: xit х2. ..., х100. Пусть матема-
тическое ожидание /И(Х)=10 и дисперсия £>(Х)=1. Оценить
чины
снизу вероятность того, что абсолютная величина разности между
средним арифметическим наблюдаемых значений случайной вели-
100 и математическим ожиданием будет меньше 1/2.
А Воспользуемся неравенством
Полагая n=100, М(Х)=10, £>(Х) = 1, е=1/2, получаем
f / I 00 \ . «\ « Л1
Р \ Х‘ Р 100—10 <~2)> 1 100-(1/4) =25
Таким образом, искомая вероятность больше 0,96. А
925. В каждой из двух урн имеется по 10 шаров с номерами
от 1 до 10. Испытание заключается в вынимании (с последующим
возвращением) из каждой урны по шару. Случайная величина
X—сумма номеров шаров, вынутых из двух урн. Произведено
100 испытаний. Оценить снизу вероятность попадания суммы
100
2 в интервал (800, 1400) .
i=i
А Найдем закон распределения случайной величины X. Эта случайная
величина (сумма номеров извлеченных из двух урн шаров) может принимать
значения *1=2; х2 = 3; ...; х1о = 2О.
Найдем вероятность того, что X примет значение х* = Л-[-1. Если й<с 10,
то сумма номеров вынутых шаров может быть равна й-(-1 в следующих k
равновозможных случаях:
211
на первом шаре стоит номер 1, на втором—номер А;
> > » > » 2, > » — > k—1
» » > > » k, » « — >1.
Так как вероятность каждой из этих комбинаций равна (1/10)• (1/10) =
= 1/100, то вероятность рь получить на двух шарах сумму номеров, равную
й-f-l (если 10), составляет й/100. Итак, р^ = А/100 (если £<10).
Если k > 10, то сумма номеров вынутых шаров может быть равна А-|-1
в следующих равновозможных случаях (число которых равно 20—А):
на первом шаре стоит номер k—9, на втором —иомер 10,
> > > » » k—8, » » — > 9,
» » » » » 10, »» — > k—9.
Так как вероятность каждой из этих комбинаций по-прежнему равна
1/100, то при k > 10 имеем р^ —(20—А)/100.
Для определения М (X) и D (X) составим таблицу:
к хк рк ркхк хк~М(Х) [xs-M(X)p
1 2 0,01 0,02 —9 81 0,81
2 3 0,02 0,03 —8 64 1,28
3 4 0,03 0,12 —7 49 1,47
4 5 0,04 0,20 —6 36 1,44
5 6 0,05 0,30 —5 25 1,25
6 7 0,06 0,42 —4 16 0,96
7 8 0,07 0,56 —3 9 0,63
8 9 0,08 0,72 —2 4 0,32
9 10 0,09 0,90 —1 1 0,09
10 11 0,10 1,10 0 0 0
11 12 0,09 1,08 1 1 0,09
12 13 0,08 1,04 2 4 0,32
13 14 0,07 0,98 3 9 0,63
14 15 0,06 0,90 4 16 0,96
15 16 0,05 0,80 5 25 1,25
16 17 0,04 0,68 6 36 1,44
17 18 0,03 0,54 7 49 1,47
18 19 0,02 0,38 8 64 1,28
19 20 0,01 0,20 9 81 0,81
2 1,00 11,00 — — 16,50
19
Значит, Л1(Х)= 2 Ркхк—^> £>(Х)=16,5. Очевидно, что
й=1
юо \ / юо \
< 2 *' < 140°) । \ ~300 < 2 < 300 ) &
—3 <
100—11 <
3.
Таким образом, е = 3. Следовательно,
^V-iw* 0’982-*
212
926. Шестигранную кость подбрасывают 10000 раз. Оценить
вероятность отклонения частоты появления шести очков от вероят-
ности появления того же числа очков меньше чем на 0,01.
927. В урне 100 белых и 100 черных шаров. Вынули с воз-
вращением 50 шаров. Оценить снизу вероятность того, что коли-
чество белых шаров из числа вынутых удовлетворяет двойному
неравенству 15 < т < 35.
928. В результате 200 независимых опытов найдены значения
случайной величины хй х2, . ..,х200, причем /И (X) = D(X) — 2.
Оценить снизу вероятность того, что абсолютная величина раз-
ности между средним арифметическим значений случайной вели-
/200 \
чины 2 xi )/ 200 и математическим ожиданием меньше 1/5.
\i = l J
§ 14. ТЕОРЕМА МУ АВРА — ЛАПЛАСА
Если производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появ-
ления события А равна р, то частота т/п появлений события является слу-
чайной величиной, распределенной по биномиальному закону, математическое
ожидание и дисперсия которой равны соответственно р и pqin- Случайная
величина т — т/П г математическое ожидание которой равно нулю, а дис-
" УРЯ1п , л
Персия—единице, носит название нормированной частоты случайного события
(ее распределение — также биномиальное).
Теорема Муавр а—Л а п л а с а устанавливает, что при неограничен-
ном возрастании числа п испытаний биномиальный закон распределения норми-
рованной частоты в пределе превращается в нормальный с тем же математи-
ческим ожиданием (равным 0) и дисперсией (равной 1). В силу этого при
больших значениях п для вероятностей неравенств, которым должна удовлет-
ворять частота (нли число наступлений) случайного события, можно исполь-
зовать приближенную оценку с помощью интеграла вероятностей (функции
Лапласа), а именно, справедливы следующие приближенные формулы:
Р
а < UllJL-JL < ь\ = Р J а <
V РЯ/п I I
т—пр
У*ря
929. Какова вероятность, что при п испытаниях событие А
появится от а до 0 раз? Вероятность появления события А
равна р.
А Очевидно, что
( а < < Ь ) <ф(лр + а У npq < х < прЬ Уnpq).
\ V npq /
Полагаем пр-|-а У npq = а, пр-}-Ь Уnpq = $. Отсюда а—(а—рп)/У npq,
6 = (Р—пр)1Уnpq. Применив теорему Муавра—Лапласа, получим
х L 2npq / \У 2npq / _
930. Вероятность события А при каждом испытании равна 0,7.
Сколько раз достаточно повторить испытание, чтобы с вероят-
ностью 0,9 можно было ожидать, что частота появления собы-
тия А будет отклоняться от вероятности не больше чем на 0,05?
213
Л Из условия следует, что | ——0,71 < 0,05. Отсюда 0,65л < X < 0.75л.
В формуле, полученной при решении задачи 929, положим а = 0,65л, Р=0,75л.
Тогда
п /л се V л ~ Ч 1 Гл / 0,75л — 0,7л \
Р (0,65л < X < 0,75л) = тг Ф ( , )—
2[ кГ2л(1/2).(1/2)/
_ф / 0,65п-0,7п \ 1 = ф //2л\
к/2л (l/2).(l/2)/J к 20 )
Из уравнения Ф (}^2п /20) =0,9, используя табл. III иа с. 411, находим
уг2п/20= 1,17, т. е. л =273. Д.
931. Какова вероятность, что при 100 бросаниях монеты
«герб» появится от 40 до 60 раз?
• Воспользоваться результатом решения задачи 929 при а = 40, р = 60,
л =100, />=<?= 1/2.
932. В урне 80 белых и 20 черных шаров. Сколько шаров
(с возвращением) нужно вынуть из урны, чтобы с вероятностью
0,95 можно было ожидать, что частота появления белого шара
будет отклоняться от вероятности меньше чем на 0,1?
§ 15. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Часто результат опыта описывается не одной случайной величиной X,
а несколькими случайными величинами: Xi, Х2, .... Хп. В этом случае при-
нято говорить, что указанные случайные величины образуют систему
(Xi, Х2, ..., Х„).
Систему двух случайных величии (X, У) можно изобразить случайной
точкой иа плоскости.
Событие, состоящее в попадании случайной точки (X; Y) в область D,
принято обозначать в виде (X; У) С D.
Закон распределения системы двух дискретных случайных величии может
быть задан с помощью таблицы
Х^"" У У1 Уг • • • Уп
Xi PU Pit ... Pin
Хг p2i Ргг • • • Pin
• • • • а
• • • • •
• • • • •
Хщ Pmi Pmi • • • Ртп
где Xi < хг < ... < хт, t)i< у2< ... < уп, р/у—вероятность события, заклю-
чающегося в одновременном выполнении равенств Х=х,, Y = yj. При этом
214
т п
2 2 Pij—l. Таблица может содержать бесконечное множество строк и
। = I / = 1
столбцов.
Закон распределения системы непрерывных случайных величин (X, У)
будем задавать с помощью функции плотности вероятности f (х, у).
Вероятность попадания случайной точки (X, У) в область D определяется
равенством
Р[(Х; Г)с£>] =
/(х, у) dxdy.
Функция плотности вероятности обладает следующими свойствами:
1°. f(x, у)^0.
4-х 4-ос
2°. У f (х, у) dxdy—1.
-®-8
Если все случайные точки (X; У) принадлежат конечной области D, то
последнее условие принимает вид U)dxdy—\.
'd
Математические ожидания дискретных случайных величин X и У, вхо-
дящих в систему, определяются по формулам
т п т п
tnx = М (X) = 2 2 Х‘Р‘f’ mv = = 2 2
( = !/ = ! i s: 1 J s: I
а математические ожидания непрерывных случайных величин — по формулам
+ « 4-оо 4-Ot 4-Х
тх = М (х) = xf (х, у) dx dy, ту = Л1 (X) = yf (х, у) dx dy.
— X — ® — ОС 00
Точка (тх; т,,) называется центром рассеивания системы случайных вели-
чин (X, У).
Математические ожидания тх и ту можно найти и проще, если случай-
ные величины X и К независимы. В этом случае из законов распределения
этих случайных величин можно определить математические ожидания тх и ту
по формуле, приведенной в § 6 этой главы.
Дисперсии дискретных случайных величин X и У определяются по
формулам
т п т п
d(X)= 2 2 mx)2. о(П= 2 2 ри(у/-туУ-
I &s 1 / = 1 /=]/=!
Дисперсии же непрерывных случайных величин X и У, входящих в систему,
находятся по формулам
0(Х)= (x—mx)2f(x,y)dxdy, 0(У) = (у — ту)г f (х, у) dx dy.
— X — С© — х — х
Средние квадратичные отклонения случайных величин X н У определя-
ются по формулам
ах—У~О~(Х), Оу^Уо1У).
Для вычисления дисперсий могут быть применены формулы
D (X) = М (X2) - [М (X)]2, D (У) = М (Г2) - [М (У)]2.
215
Важную роль в теории систем случайных величин играет так называемый
корреляционный момент (ковариация)
Сху — М [(-^ тх) Я*»)]'
Для дискретных случайных величин корреляционный момент находится
по формуле
Сху =<2 j2 (хп ^х) (У«в Я*у) Pnmt
т п
а для непрерывных — по формуле
+ х + х
СХу= 5 5 (x—mx)(y—my)f(x, у) dxdy.
— X — X
Корреляционный момент можно также найти по формуле
Cxy = M(XY)-M(X)M<X).
Здесь
Л1 (XF) = 2 2 хпУтРтп
т п
для дискретных случайных величин X и Y и
М (XY) = ^ xyf (ху) dx dy
— 00 —00
для непрерывных величин.
Случайные величины X и Y называются независимыми, если вероятность
одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке области ее
значений, ие зависит от того, какое значение приняла другая величина.
В этом случае
М (XY) = M(X)-M (К); Сху=0.
Дли характеристики связи между величинами X и Y рассматривается так
называемый коэффициент корреляции
являющийся безразмерной величиной.
Если случайные величины X и Y независимы, то гху = 0. Если же слу-
чайные величины X и Y связаны точной линейной зависимостью Y = aX-j-b,
то /-^ = sgna, т. е. /•JCJ,= 1 при а>0 и гху = —1 при а < 0.
Вообще же коэффициент корреляции удовлетворяет условию —1 ^rxy^ 1.
933. В двух ящиках находятся по шесть шаров; в 1-м ящике:
1 шар—с №1,2 шара—с № 2, 3 шара—с № 3; во 2-м ящике:
2 шара—с № 1, 3 шара —с № 2, 1 шар—с № 3. Пусть X —
номер шара, вынутого из первого ящика, Y—номер шара, выну-
того из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару.
Составить таблицу закона распределения системы случайных
величин (X, Y).
Л Случайная точка (1; 1) имеет кратность 1X2 = 2;
> > (1; 2) > > 1 X 3 = 3;
» > (1; 3) » » 1 X 1 = 1;
> > (2; 1) > « 2 X 2=4;
% (2; 2) » 2X3=6;
216
» » (2; 3) » > 2x1=2;
» > (3; 1) » » 3X2 = 6;
» > (3; 2) > > 3 X 3 = 9;
» » (3; 3) » » 3x1=3.
Всего случайных точек 6 X 6 = 36 (n-кратную точку принимаем за п точек).
Так как отношение кратности точки ко всему количеству точек равно
вероятности появления этой точки, то таблица закона распределения системы
случайных величин имеет вид
У х 1 2 3
1 1/18 1/12 1/36
2 1/9 1/6 1/18
3 1/6 1/4 1/12
Сумма всех вероятностей, указанных в таблице, равна единице. А
934. Найти математические ожидания случайных величин X
и У по условию предыдущей задачи.
Л Имеем
«*=14+24+34+14+24+34+14+24+з4=4:
m*=i4+24+34+i4+24+34+i4+24+34=4-
Точка (7/3; 11/6) является центром рассеивания для заданной системы (X, У).
Так как случайные величины X и Y независимы (см. задачу 933), то ма-
тематические ожидания тх и ту можно подсчитать проще, используя ряды
распределения:
Xi 1 2 3 yj 1 2 3
Pl 1/6 1/3 1/2 Р/ 1/3 1/2 1/6
Отсюда находим
= 4 +-з+у = у • mv= = а
935. Найти дисперсии случайных величин X и Y по условию
задачи 933.
Л°От системы^ величин (X, Y) перейдем к системе центрированных вели-
чин (X, У), где Х = Х — тх = Х— 7/3, У = У—т„ = У—11/6. Составим таб-
лицу
217
к —5'6 1/6 7/6
—4/3 1/18 1/12 1/36
—1/3 1/9 1/6 1/18
2/3 1/6 1/4 1/12
Имеем
»«-НК+(-Я4+(4)'4+Н)'1
. [ 1 \» I ,( 2 V 1 .( 4 у 1 , ( 1 \« 1 , / 2 у 1 5
+\“з J •‘б + уз J *T+k""3 J '56+k“yJ ’Ts+vsJ 'УГг
n/n_f_AY.l+f_5y.±. f_5V,2 . flY ’ .
' 6/ 18'\ 6/ 9^4 6j 6^<6/ 12^
+(4)4+(4)’4+(4)’i+(4)’4+(4)4-^
Отсюда ox = Y 5/3, Ou=)^ 17/6.
Заметим, что D (X) и D (И можно найти по формулам D (X) = М (X*) —
- [Л4 (X)]», D (У) = М (Y*) — [Л4 (У)]з. А
936. Найти коэффициент корреляции по условию задачи 933.
Л Воспользуемся таблицей распределения системы (Д 1^) центрирован*
иых случайных величии.
Определим ковариацию:
С 2+f_±\ 1.2 ,/_4.\ 2Д,
С*«' з J \ 6 J 18^\ 3/6 12+V 3 J 6 36+
1+/_2\2.2+/ ±\ 7.2
+ \ зД 6 J 9^\ 3 ) 6 6+V 3 / 6 18+
, 2 / 5\ 1.21 1.271
+ 3\ 6/6 + 3‘б'Т+з“ 6'Т2Я
_±(____5_ 2j__Ll_lf —1-1-1
“ 3\ 108 ’ 72"* 216/ 3 54 ' Зб"’-108/’*
+4 (~ Д+й+^)=~4,0~4‘0+4,о==0'
О у ОО лгв (i j о о о
Так как Сху=0, то и коэффициент корреляции гХ!/ = 0.
Этот же результат мы могли бы получить и не определяя ковариации CXJ/.
Действительно, полагая У= 1, получаем, что значение Х = 1 повторяется 2 раза,
значение Х = 2— 4 раза, а значение Х = 3 — 6 раз. Значит, прн У=1 полу*
чаем ряд распределения случайной величины X:
Х{ 1 2 3
Pl 1/6 1/3 1/2
Если У=2, то значение Х=1 повторяется 3 раза, значение Х = 2—6 раз,
а значение Х—3 —9 раз. Следовательно, при У=2 получается ряд распреде-
ления случайной величины X:
Х{ 1 2 3
Pi 1/6 1/3 1/2
Наконец, если У' = 3, то значение Х—1 повторяется 1 раз, значение
Х = 2 — 2 раза, а значение Х = 3 — 3 раза. Ряд распределения случайной ве-
личины X при У=3 имеет вид
Xi 1 2 3
Pi 1/6 1/3 1/2
Итак, при различных значениях У получаем один и тот же ряд распре-
деления случайной величины X. Так как ряд распределения случайной вели-
чины X не зависит от значений случайной величины У, то случайные вели-
чины X и У независимы. Отсюда следует, что коэффициент корреляции равен
нулю. А
937. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону
распределения с плотностью
а(*2 + </2) при х2 + </2<г2,
О прн x2+ys > г.
Найти коэффициент а.
Л Коэффициент а определяем из уравнения
f (х, у) = 1
/(*,«/) = {
где D — круг, ограниченный окружностью х2 + у2 = г2. Перейдя к полярным
координатам, получаем
2л г
^p3dpd9=l, ^-•2ла— 1, т. е. а = ^л‘
о о
938. Система случайных величин (X, У) подчинена закону
распределения с плотностью
а(х-\-у) в области D;
О вне этой области.
Область D—квадрат, ограниченный прямыми х=0, х = 3, t/ = 0,
у — 3. Требуется: 1) определить коэффициент а; 2) вычислить ве-
роятность попадания случайной точки (X; У) в квадрат Q, огра-
ниченный прямыми х=1, х = 2, у=1, у = 2-, 3) найти математи-
ческие ожидания тх и ту', 4) найти средние квадратичные откло-
нения <гх и <т„.
Л 1) Коэффициент а находим из уравнения а
з з
$ $ (x-{-y)dxdy—l, откуда
о о
3 3 з з
а У У dxdy = a j* ^ху-|-^-1ух=а j* f Зх-}--dx =
оо о о
Г 3 , , 9 р /27 . 27\ „„ 1
=а[Т Х+ 2" *]0=Ч2-+ТГ27й> 27а=1' Т’е-а=27-
2 2
2) Р[(Х; У)С(2]=^У J (x+y)dxdy =
о о
2 2
[хг/+т]/Х=4У (2x+2-x-l)dx =
о 1
2
1 С / , 3 \ . 1 Г X2 3*12 1 /о , о 1 3 \ 1
27JVX+2;dx 27 [ 2+2 ]1 —27\2+3 2 2/~ 9'
3) Находим математические ожидания тх и ту\ имеем
зз з
m*=4 s sх (х+у} s [*2y+3?]:dx=s
00 о
3
-Ш3'1Р+т d ’=И27+т)-7'4-
о
Следовательно, и ту = 7/4.
4) Находим средние квадратичные отклонения ах и оу:
з з
»1 = УУ (•*—y)dxdy=±§ у (Х-П -(x+y)dydx-=
D 0 0
3 3
“ИУ (*-4У-(*~т+н4) dydx=
о о
3 3 3 3
0 0 0 0
3 3
1 р / 7 \3 |з 1 р/ 7 \2 / 7 \ 2 |з
= 27*5 (*“) 4dX+27^d(*-4-) V+4 lodX =
о о
/ __7_\4 3
1 V* 4 ) .11/ 7 у /361 49\ |3 И
— 9" 4 о ' 27-2’3 4 ) \ 16 16/|o~16'
Итак, аж = ау=]ЛЦ/4.
939. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону рас-
пределения с плотностью
с, ч ( asin(x+y) в области D;
! ’ У' | 0 вне этой области.
220
Область D определяется неравенствами 0^х^л/2, О^г/^л/2.
Найти: 1) коэффициент а; 2) математические ожидания тх и ту\
3) средние квадратичные отклонения ох и оу; 4) коэффициент кор-
реляции гху.
л/2 Л/2
Л 1) Коэффициент а находим из уравнениям- sin (x-]-t/) dydx = 1. От-
о О
сюда
л/2 л/2 л/2
а sin (х+у) dy dx = —а cos (x-f-j/) l"/2rfx =
оо о
л/2
=а (sin х-f- cos х) dx = a (sin х—cos х) |”^2 = 2а.
о
Итак, а—1/2, т. е. f (х, у) = (1/2) sin (x-j-r/) в области D.
л/2 Я/2
2) mx=y j j xsin(x+y)dydx=
о о
л/2 л/2 п/2
1 р р 1 Р Я/2
s=y \ xdx \ sln(x-]-y)di/=—у \ cos(x-f-y) I xdx —
оо о
Я/2
— — -%- У [cos со®х] xdx =
о
л/2
1 Р 1 |л/2
=у \ x(sin x+cosx)dx = -g-x(sinx— cos х) I —
0
л/2
IP л 1 Iя/2 л
-у \ (sinX-cosx)dx=y+-2 (cosх+sinx)|о =y
о
Точно так же и ту = л/4.
Я/2 л/2
3) а* = М(Х2)-[М(Х)]2 = у У У х2 sin (х+у) dydx-^=
о о
П/2 л/2
= —У У ха cos (х+у) Г/2 dx-У x2(sinx + cosx)dx-^=!
о о
Я/2
1 Iя/2 С , я2
=у х2 (sinx—cos х)I — \ x(sinx—cosx) dx —
о
Я/2
л2 Iя/2 С , . л2
= y4-x(sinx + cosx) l — \ (sinx+cosx)dx—
о
л2 . л . . . ч |л/2 л2 л2 . л 0
=¥+¥ + (51п*-с°М|о -Тб=1б+2--2'
Следовательно, ох = Сд = ахау = (л2+8л—32)/16.
221
4) Определив ковариацию:
Л/2 л/2
Сху = м (XY) — М (Х)-М (У) — у j у ху sin (х+у) dydx—£-
*0 0
Я/2 л/2
1 Г (* л2
=у J xdx J ^sta(x+y)dy—Уб=
о о
. Л2_
xdx lg
Л/2
Iя/2 р
у cos (х+у) I — j cos(x + //)dz/
о
1 ( , Л , \|я/2
= -7j-X( Sinx--g-cosx+cos X I
2 \ 2 ) 10
л/2
If*/ л \
— j И sinx—g-cosx+cosx ) dx—
о
Л 1 ( , Я , У |Я/2 д2
^4"2 (Stax-Tstox-cosxj|o -16=
л 1 । л 1 л2—8л—16—я2
—T 2 + 4 2 16— 16
Отсюда
r C*'J 8я-16-л\ 0,73688 ..
xv~ox-oy~я2+8л— 32 ~ 3,00232 Ж
940. Дана таблица, определяющая закон распределения си-
стемы двух случайных величин (X, Yy.
л — 20 40 60
10 ЗХ х. 0
20 2Х 4Х 2Х
30 X 2Х 5Х
Найти: 1) коэффициент X; 2) математические ожидания tnx и ту,
3) дисперсии ах и 4) коэффициент корреляции гху.
941. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону
распределения с плотностью
с , .__ f аху в области D,
! \ 1 У) о вне этой области.
Область D—треугольник, ограниченный прямыми х-^-у—1=0,
х = 0, «/ = 0. Найти: 1) коэффициент а\ 2) математические ожида-
ния тх и ту\ 3) дисперсии <т2 и о2; 4) коэффициент корреляции гху.
942. Система случайных величин подчинена закону распреде-
ления с плотностью
f а-—х2—у2 при x2-\-y2s^a2 (а > 0),
( 0 при х2 > а2.
Найти: 1) коэффициент а; 2) математические ожидания тх и ту,
3) дисперсии ох и <т2; 4) коэффициент корреляции гху.
§ 16. ЛИНИИ РЕГРЕССИИ. КОРРЕЛЯЦИЯ
Дана система случайных величин (X, Y). Пусть в результате п испытаний
получено п точек (jcj; у^, (х2; у2)..(хп, уп) (среди этих точек могут быть
и совпавшие). Требуется вычислить коэффициент корреляции этой системы
случайных величии.
Приняв во внимание закон больших чисел, при достаточно большом а
в формулах для определения о£, о^ и Сху можно заменить математические
ожидания М (X) и М (/) средними арифметическими значений соответствующих
случайных величин. При этом имеют место следующие приближенные равенства:
М(Х)«х =
Отсюда можно найти коэффициент корреляции по формуле
. X,J
xv Охоу
Если | гху | У п — 1 5гЗ, то связь между случайными величинами X и Y
дсстаточно вероятна. Если связь между X и Y установлена, то линейное при-
ближение ух от х дается формулой линейной регрессии
Ух—У=гхр-^-(х—х), или yx=ax+t>.
223
Линейное же приближение ху от у дается формулой линейной регрессии
ху~Г=гХу-<^(у—'у), или xy=cy4-d.
иу
Следует иметь в виду, что ух — ах-}-Ь и xy = cy-}-d— различные прямые
(рис. 50). Первая прямая получается в результате решения задачи о миними-
зации суммы квадратов отклонений по вертикали, а вторая—при решении за-
дачи о минимизации суммы квадратов отклонений по горизонтали.
Для построения уравнений линейной регрессии нужно:
1) по исходной таблице значений (X, У) вычислить х, у, ох, оу, Сху, гху;
2) проверить гипотезу о существовании связи менаду X и Y;
3) составить уравнения обеих линий регрессии и изобразить графики этих
уравнений.
943. Дана таблица
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X 0,25 0,37 0,44 0,55 0,60 0,62 0,68 0,70 0,73
Y 2,57 2,31 2,12 1,92 1,75 1,71 1,60 1,51 1,50
С 10 11 12 13 14 15 16 17
X • 0,75 0,82 0,84 0,87 0,88 0,90 0,95 1,00
Y 1,41 1,33 1,31 1,25 1,20 1,19 1,15 1,00
Определить коэффициент корреляции гху и уравнения линий ре-
грессии.
224
Л Составим расчетную таблицу:
1 X Y Х‘ Г2 XY
1 0,25 2,57 0,0625 6,6049 0,6425
2 0,37 2,31 0,1369 5,3361 0,8547
3 0,44 2,12 0,1936 4,4944 0,9328
4 0,55 1,92 0,3025 3,6864 1,0560
5 0,60 1.75 0,3600 3,0625 1,0500
6 0,62 1,71 0,3844 2,9241 1,0602
7 0,68 1,60 0,4624 2,5600 1,0880
8 0,70 1,51 0,4900 2,2801 1,0570
9 0,73 1,50 0,5329 2,2500 1,0950
10 0,75 1,41 0,5625 1,9881 1,0575
11 0,82 1,33 0,6724 1,7689 1,0906
12 0,84 1,31 0,7056 1,7161 1,1004
13 0,87 1,25 0,7569 1,5625 1,0875
14 0,88 1,20 0,7744 1,4400 1,0560
15 0,90 1,19 0,8100 1,4161 1,0710
16 0,95 1,15 0,9025 1,3225 1,0925
17 1,00 1,00 1,0000 1,0000 1,0000
2 11,95 26,83 9,1095 45,4127 17,3917
17 17 17
Из таблицы получаем: 2x1=11.95, 2^ = 26>83. 2^=2 9,1095,
1=1 i=i i=i
17 17
2^ = 45,4127, 2Х^=17’3917- Теперь находим
1=1 1=1
х= 11,95/17 = 0,7029, у== 26,83/17 = 1,5782;
о® =9,1095/17—(0,7029)® = 0,0418, ах = 0,2042,
Оу = 45,4127/17 — (1,5782)® = 0,1806, оу = 0,4250;
Сху = 17,3917/17-0,7029-1,5782 = —0,0863;
гху = (—0,08бЗ)/(0,2042 • 0,4250) = —0,09943.
Вычисляем значение произведения | гху | Уп— 1; так как | гху | Уп.— 1 =
= 0,9943-4 = 3,9772 > 3, то связь достаточно обоснована.
Уравнения линий регрессии:
— “ &У .
Ух—У = гху-— • (х—х),
их
т. е.
ух-1,5782 = —0’990>320°422-(х—0,7029); ~ух= -2,0695x4-3,0329;
Ху Х=гху- (у у),
т. е.
7 0,7029 = -0,"п4^—-2 • (У-1.5782); ху = 0,4776У + 1,4566.
J v,4x0v
Построив точки, определяемые таблицей, и линии регрессии, видим, что
обе линии регрессии проходят через точку М (0,7029; 1,5782). Первая линия
225
отсекает на оси ординат отрезок 3,0329, а вторая—иа оси абсцисс отрезок
1,4566. Точки (х,-; у() расположены близко к линиям регрессии.
944. В результате 79 опытов получена коорреляционная таб-
лица величин X = gs/(tb и Y:
г X 0,5 0,6 0,7 0,8
0,5 0 2 0 8
0,6 0 4 2 9
0,7 2 12 3 1
0,8 21 14 0 0
0,9 1 0 0 0
Через обозначен предел текучести стали, а через <зв—предел
прочности стали; Y—процентное содержание углерода в стали.
Целые числа, приведенные в таблице, являются кратностями зна-
чений соответствующих случайных точек. Так, например, точка,
для которой х = 0,8, t/ = 0,6, имеет кратность 14, т. е. в резуль-
тате 14 опытов значению х = 0,8 соответствовало значение t/ = 0,6.
Требуется определить коэффициент корреляции и уравнения
линий регрессии.
Д Используя табличные данные, находим
_ У УУ XV
х =0,703; «/ = 0,622; ^—=0,505; -^—=0,398; -^Д=0,427.
/ J J iV
Определим дисперсии и ковариацию:
ах = 0,505 — (0.703)2 = 0,505— 0,493 = 0,012; ах= 0,11;
Су = 0,398 — (0,622)2 = 0,398 — 0,387 = 0,011; ау = 0,105;
Сх„ = 0,427—0,703-0,622 = 0,427—0,437 = — 0,01.
Определим коэффициент корреляции:
сху 0,01 0Яй7
ху~ охсу ~~ 0,11-0,105- °’867-
Вычисляем значение произведения | гху | У п—1; имеем
I Глгу I У^= 0,867 /'78 = 0,867.8,84 = 7,66.
226
Так как (rXJZ| V п—1 > 3, то связь достаточно вероятна.
Уравнения линий регрессии:
- -
Ух—У = гху • • (*—х),
их
т. е.
ух—0,622=—0,867.^^ • (х—0,703), ~ух = — 0,828х + 1,204;
Ху-Х= гху • • (у—у),
т. е.
Ху—0,703=— 0,867.^^(у—0,622), ~ху = —0,908у + 1,268. А
945. Дана корреляционная таблица для величин X и Y, где
X—срок службы колеса вагона в годах, a Y—усредненное зна-
чение износа по толщине обода колеса в миллиметрах:
г 0 2 7 12 17 22 27 32 37 42
0 3 6
1 25 108 44 8 2
2 3 50 60 21 5 5
3 1 11 33 32 13 2 3 1
4 5 5 13 13 7 2
5 1 2 12 6 3 2 1
6 1 1 2 1 1
7 1 1 1
Определить коэффициент корреляции и уравнения линий регрес-
сии.
946. Дана корреляционная таблица для величин X и Y, где
X—стрела кривизны рельса в сантиметрах, a Y—количество де-
фектов рельса (в сантиметрах на 25-метровый рельс):
Y X 0 5 10 15 20
7,0 2
7,5 1 1 1 1
8,0 1 1
8,5 2
9,0 2 1 1 3
9,5 2
10,0 3 2 4 3 3
10,5 4 5 1 3 1
п.о 3 3 2 6
П,5 3 5 1 9
12,0 5 3 6 4 4
12,5 1 1 3 10 6
13,0 1 1 4 5
13,5 1 1 1 6
14,0 2 1 3
14,5 2 1
15,0
15,5 1 1
16,0 3
Определить коэффициент корреляции и уравнения линии регрессии.
§ 17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
1. Генеральная и выборочная совокупности. Выборочной совокупностью
(или выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных
объектов.
Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных
объектов, из которых производится выборка.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объек-
тов этой совокупности.
228
Выборка называется репрезентативной (представительной), если оиа до-
статочно хорошо представляет количественные соотношения генеральной сово-
купности.
2. Частота и относительная частота. Пусть имеется выборка объема п.
Расположим результаты выборки в таблице
i 1 2 3 ... п
£1 1з » • • In
где gi, £2.........— значения случайной величины X соответственно в 1, 2,
3, ..., п-м испытаниях. Среди приведенных значений случайной величины X
могут быть и равные. Объединив равные значения случайной величины, полу-
чим таблицу
X Xi Хг Хз • • ♦ XI
пх т «2 Пз ... nt
где п(- — число появлений значения х, (t = 1, 2./). Величины п±, пг, ...
..., П[ называются частотами соответствующих значений Xi, ......Xj слу-
чайной величины X. Очевидно, что 2 п^ — п, т. е. сумма частот всех значе-
t = 1
ний случайной величины равна объему выборки.
Отношение частоты п(- к объему выборки п называется относительной ча-
стотой значения х(- и обозначается через о>(- (i=l, 2../). Очевидно, что
2 —
=1 i =1 1=1
т. е. для случайной величины X сумма относительных частот всех ее значений
равна единице.
Таблица, устанавливающая соответствие между значениями случайной ве-
личины и их относительными частотами, называется статистическим распре-
делением случайной величины X:
X Xi Хг Хз XI
W wt О>2 и>3 ... Wi
Следует заметить, что довольно часто статистическим распределением называ-
ют также таблицу, определяющую соответствие между значениями случайной
величины и их частотами.
229
Если X — непрерывная случайная величина, то ее статистическое распре,
деление целесообразно представить в виде
/ (ft, ft) (ft, 6) (ft, ft) ... (ft-b ft)
W Wi 102 Wt
Здесь wt— относительная частота попадания случайной величины в интервал
(ft-b ft), 1 = 1, 2../.
Если случайная величина примет 1 значений, равных х;, то в случае чет-
ного значения X половину этих значений можно отнести к интервалу &),
а вторую половину— к интервалу (ft, ft+i), !<<</—1. При нечетном’Л к
Рис. 51
О Jig Jfa-t Хщ X
Рис, 52
одному из этих двух интервалов можно отнести (Л+ 1)/2 значений, а к друго-
му (Л—1), 2 значений. При большом объеме п выборки не имеет существенного
значения, к какому из интервалов отнесено большее число значений.
Для наглядности статистическое распределение дискретной случайной ве-
личины иллюстрируется полигоном распределения. Для этого последовательные
точки (xi; (х2; к>2), ..., (Xj; ш;) изображают на координатной плоскости
и соединяют их прямолинейными отрезками. Необходимо отметить, что точки,
не являющиеся вершинами полигона, не представляют интереса с точки зрения
математической статистики.
Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины поль-
зуются диаграммами, которые называются гистограммами.
1. Гистограмма, устанавливающая зависимость частот от разрядов интер-
валов, в которые попадают значения случайной величины.
Пусть непрерывная случайная величина X определена таблицей:
I (ft, ft) (ft, ft) (ft, ft) • • • (ft-», ft)
nx ni «2 fl3 ... «1
Предполагая, что разности It—li-i постоянны, положим для
1 = 1, 2.../ (h—шаг таблицы). На оси Ох отметим точки |0, ...,
Рассмотрим функцию, определенную равенствами y — njh, если xe(gt_lf ft),
1=1, 2, Вычислим площади S,- прямоугольников, нижними основаниями
которых являются отрезки ft], оси Ох, а верхними—соответствующие
отрезки графика функции y — ntjh (рис. 51); имеем
Si = (ni/h)-h = ni (i = l, 2, ...,/).
2. Гистограмма, характеризующая статистическое распределение случайной
величины. Она устанавливает зависимость между разрядами и относительными
частотами значений случайном величины, попавших в эти разряды.
В этом случае рассматривается функция вида y = Wi/h (1=1, 2, ..., /).
Аналогично предыдущему, площадь соответствующего г-го прямоугольника чис-
ленно равна w;. Таким образом, площадь фигуры, ограниченной прямыми
х=х0, x—xi, у = 0, y=Wi;h(i=\, 2, .... /), равна 1 (рис. 52).
947. В результате испытания случайная величина X приняла
следующие значения:
^ = 2, Е2 = 5, £з = 7, ^=1, Es=io,
Ев = 5, Е, = 9. Ев = 6, ?в = 8, СО II е WJ2
1и = 2, ^ = 3, ^ = 7, со II, оо II ю WJ2
U = 3, 00 II WJ2 и = ю, СО* •н 4ЛЛ U = 7,
^ = 3, о? II С4 С4 ^23 = 4, ГГГТ to II СИ trrt to сл II р>
Требуется: 1) составить таблицу, устанавливающую зависимость
между значениями случайной величины и ее частотами; 2) постро-
ить статистическое распределение; 3) изобразить полигон распре-
деления.
Л 1) Найдем объем выборки: п = 25. Составим таблицу
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ю
Пх 1 2 3 1 3 5 3 3 2 2
2) Статистическое распределение имеет вид
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ю
W 1/25 2/25 3/25 1/25 3/25 5/25 3/25 3/25 2/25 2/25
v 1 । 2 1 3 * < 1 । 3 । 5 1 3 । 3 2 2 1
Контроль. 25+25+ 25+25+ 25+ 25+ 25+25+25+25=а1*
Последнюю таблицу можно переписать в виде
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ю
W 0,04 0,08 0,12 0,04 0,12 0,2 0,12 0,12 0,08 0,08
3) Возьмем иа плоскости xOw точки (1; 0,04), (2; 0,08), (3; 0,12) и т.Д.
Последовательно соединив эти точки прямолинейными отрезками, получим по-
лигон распределения случайной величины X (рис. 53). Д.
231
948. В результате испытания случайная величина X приняла
следующие значения:
gx-16, 5,= 17, 53 = 9, 5,= 13. 5,-21,
5,= 11, В, = 7, 5, = 7. 5, = 19, 5ю=5,
5и=17, 5п = 5, 513 = 20, 5М = 18, 51,= П.
510 = 4, 51, = 6, 5ю = 22, 5ю = 21, g20 = 15,
5,1 = 15, 5м=23, 5гз = 19, 5„ = 25, 525 = 1.
Требуется: составить таблицу статистического распределения, раз-
бив промежуток (0,25) на пять участков, имеющих одинаковые
длины; построить гистограмму относительных частот.
У..
0,52 •
0,28 •
0,24 •
0,20 -
0,16 •
0,12 -
0,06 •
0,04-
I
I
1
I
I
i
I
I
I
I
I
I
1
I
0 5 10 15 20 25 х
Рис, 54
I
I
I
Л Предварительно составим таблицу
1 (0,5) (5, 10) (Ю, 15) (15, 20) (20, 25)
пх 3 5 4 8 5
Статистическое распределение имеет вид
/ (0,5) (5, 10) (Ю, 15) (15, 20) (20, 25)
0,12 0,2 0,16 0,32 0,2
Гистрограмма относительных частот изображена на рис. 54.
3. Статистическая функция. Пусть F*(x)—относительная частота появле-
ния значений случайной величины X, удовлетворяющих неравенству X < х.
Функция F* (х) называется статистической функцией распределения. Таким
образом,
Г 0 при х < Xi,
I k
при **<* < **+1 (6=1, 2...............s—1),
/ = 1
( 1 при x^xs.
232
Так как согласно теореме Бернулли относительные частоты при неограниченном
возрастании п стремятся по вероятности к соответствующим вероятностям со-
бытия, то при большом объеме выборки статистическая функция распределе-
ния F* (х) близка к интегральной функции распределения F(x)=P(X < х).
Точки Xi, х2, ... , Xi являются точками разрыва I рода функции Г*(х).
949. Дано статистическое распределение:
X 11 12 13 14
Wx 0,4 0,1 0,3 0,2
Найти статистическую функцию распределения и построить ее
график.
Л Имеем
График функции F*(x) изображен на рнс. 55. Д
4. Определение среднего значения случайной величины. Средним значением
случайной величины X, заданной статистическим распределением, называется
выражение
_ I x = вд + wtxt + . • • + te>zxz = 2 «W, i=l
или ~^n1x1 + n2xt±_._:z+n[xl==i. 2 niX!. (1) ‘ i = 1
Равенство (1) определяет среднее значение X для выборки.
Аналогично определяется ^среднее значение случайной величины X для
генеральной совокупности;
«1X1 + п2х2 + ... + пNxN
N
(2)
233
где X— объем генеральной совокупности. Так как nt]N = pi—вероятность, с
которой X принимает значение Л7(К«<Л'), то равенство (2) можно записать
в виде
х — x^i + х2рг + ... + xnpn = М (X).
В соответствии с законом больших чисел Бернулли можно считать, что
для выборочной совокупности х к М (X). В дальнейшем, предполагая п доста
точно большим, будем писать х — М (X).
Если все значения случайной величины X близки к постоянному числу а,
то вычисление х упрощается:
I l l I _________ I
х=2 w‘xi='2i w‘(xi—a + = S ^i(.Xi—a)+a 2 и>;=х—a + a 2 wt,
i=i i=i i=i i = i /=1
t. e.
x = a-j-x—a, (3)
где x—a—среднее значение случайной величины X—а. Таким образом, при
достаточно большом п выполняется равенство
М(Х) = а + М(Х — а). (4)
950. Найти среднее значение случайной величины, заданной
распределением
X 13,8 13,9 14 14,1 14,2
пх 4 3 7 6 5
Л Все значения X близки к а =14. Вычислим относительные частоты и
составим таблицу:
X—14 —0,2 -0,1 0 0,1 0,2
IF 0,16 0,12 0,28 0,24 0,2
Теперь находим
_____ 5
х—14 = 2 Wi (х{— 14) =—0,16.0,2— 0,12-0,1 + 0,28.04- 0,24-0,14- 0,2-0,2 =
i = l
=—0,032— 0,012 4- 0,024 4- 0,04 = 0,02.
Следовательно, х= 14 4- 0,02= 14,02. Д
5. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Статистической диспер-
сией случайной величины, заданной статистическим распределением, называется
выражение
D* (X)=wi (xt—x)* 4- Щ (*»—*)’ 4- • • • + »i (xi—x)*. (1)
Из равенства (1) следует, что статистическая дисперсия является средним зна-
чением случайной величины (X—х)а. С возрастанием л среднее значение х
стремится по вероятности к М (X), а относительные частоты wit w»t ..., W[—
234
к соответствующим вероятностям. Таким образом, при большом объеме выбор-
ки имеет место приближенное равенство D* (X) « D (X). Величина о* (X) =
= Vd*(X) называется средним квадратичным отклонением. Оиа имеет ту
же размерность, что н случайная величина X.
В дальнейшем, считая объем выборки п достаточно большим, вместо D* (X)
и о*(Х) будем писать соответственно D (X) и о(Х).
Если значения случайной величины X близки к постоянной величине а,
то вычисление статистической дисперсии упрощается:
I _ I _
D*(X)= х)2 = 2 «7[(*7—а) — (х—а)]2 =
/=1 i=I
I _ i _ I
= S а)2 —2(х—a) 2а,'<*< —+ а)2 =
i=L i = L i=l
I ____
= 2 (x< —fl)2 —2 (x—a) (x—a) + (x—a)2.
z=i
Из равенства (3) п. 4 следует, что х—а = х—а, поэтому
D* (X) = -(х=~а)2, (2)
где (х—а)2—среднее значение случайной величины (X—а)2, а (х—а)2—квад-
рат среднего значения случайной величины X—а. Так как левая часть равен-
ства (2) не зависит от а, то в правой части равенства после упрощений а
должно исключиться. Если, в частности, а = 0, то получается формула
D(X)=x2 —(х)2.
Аналогичная формула часто используется в теории вероятностей.
Если случайные величины X и У связаны линейной зависимостью У = kX-\-bt
то средние значения этих величин связаны той же линейной зависимостью:
y — kx-\-b или М (У) —kM (Х) + Ь. (3)
Если дисперсию величины У выразить через дисперсию величины X, то
D (У) = D (kX -f.b) = D (kX) + D (b) —k2D (X),
так как D(6)=0. Следовательно,
О(У)=А:2[?-(7)2]. (4)'
951. Вычислить D(X) и о(Х) для статистического распределе-
ния, заданного в примере 950.
Л Составим таблицу
(X—14)3 0,04 0,01 0 0,01 0,04
W 0,16 0,12 0,28 0,24 0,2
Далее, имеем х—14 = 0,02, (х—14)2 = 0,00644-0,00124-0,00244-0,008 =
= 0,018.
Следовательно, D (X) =0,018 — 0,0004 = 0,0176; о (X) = У0,0176 w 0,133. Д
952, Определить у и D (У) для статистического распределения
235
У 3 1 11 15 19 23
W 0,02 0,18 0,35 0,3 0,1 0,05
/\ Значения У образуют арифметическую прогрессию с первым членом 3
и разностью 4. Поэтому У = 3 + 4 (Л— 1), т. е. У = 4х—1, k=4, b=—1.
Если X последовательно принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, то У примет
соответственно значения'3, 7, 11, 15, 19, 23. Таким образом, можно записать
статистические распределения величии X и Хг:
X 1 2 3 4 5 6
0,02 0,18 0,35 0,3 0,1 0,05
Xi 1 4 9 16 25 36
0,02 0,18 0,35 0,3 0,1 0,05
Отсюда находим
7=0,024-0,36+ 1,05+ 1,2 + 0,54-0,3 = 3,43;
7г = 0,02+0,72+3,15 + 4,8 + 2,5+1,8= 12,99
Используя формулу (3), получим
у = 4-3,43—1 = 12,72,
а по формуле (4) находим
D (У) =4« (12,99— 11,76) = 16-1,23 = 19,68. А
953. Найти среднее значение, дисперсию и среднее квадратич-
ное отклонение случайной величины, заданной распределением
X 9,8 9,9 10 10,1 10,2
пх 1 5 8 4 2
954. Определить у и D (Y) для статистического распределения
У 2 5 8 11 14 17 20 23
0,10 0,20 0,15 0,25 0,05 0,12 0,08 0,05
236
6. Определение моментов случайной величины по данным выборки. Асим-
метрия и эксцесс. Начальным моментом s-ro порядка случайной величины X
называется величина а5(Х) = Л1 (X5), а центральным моментом — величина
ps (X)—M [(X—тх)Д, где тх—математическое ожидание случайной величины X.
Если считать выборку репрезентативной и имеющей достаточно большой
объем, то для определения as (X) и (X) имеют место приближенные формулы
I i _
а5(Х) « 2 w‘xi> НзМ »
i=i i=i
Центральный момент первого порядка любой случайной величины тож-
дественно равен нулю. Действительно, |Х1 = Л4(Х—тх) = М(Х)—тх = 0.
В случае симметричного распределения случайной величины X относительно
математического ожидания равны нулю и другие центральные моменты нечет-
ного порядка.
Следует также иметь в виду, что ai(X) = М (X), а |х2(Х) = О(Х).
Если значения случайной величины близки к некоторому числу а, то для
вычисления центральных моментов первых четырех порядков целесообразно
пользоваться формулами
Hi (-Х) = о>
______ На (Х) = (Т^а)2 —(х—а)2,
Из (Х) = (х—а)3—3 (х—а)-(х— а)2-|-2(х—а)3,
щ (X) = (х—а)4—4 (х—а) (х—а)3+ 6 (х—а)2 (х—а)2 — 3 (х—а)4.
С помощью обозначения vs = (x—а)1 эта формулы преобразуются к виду
Ц1 = °. H2 = v2 — vi> H3 = v3 —3V2VJ4-2V1, jx4 = v4 — 4v3Vi-4-6v2Vi—3vJ. (1)
Если, в частности, a —0, то получаются равенства, устанавливающие зависи-
мости между центральными и начальными as моментами первых четырех
порядков:
0, H2 = c&2—«ь Нз = а3—3aia24-2a?, ji4 = a4—4aia3 + 6aja2 — 3aJ. (2)
Начальный и центральный моменты s-ro порядка имеют размерность, рав-
ную размерности s-й степени случайной величины.
Если случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью У =
= #X-f-fr, то центральный Момент s-ro порядка случайной величины У опре-
деляется следующим образом:
Нз (X) = Из № +*) = ^Вз (X+b/k) = (X). (3)
Легко доказывается, что (X-f-C) = ц5 (X), где С—произвольная постоянная.
Среднее квадратичное отклонение определяется так:
а(У)=КМР)=К^МА)=1*1 KiMXj = R|a(X). (4)
Пусть X — непрерывная случайная величина. Для определения ее число-
вых характеристик составим таблицу
X Х1 х2 ... XI
wx W2 ...
где Х( — какое-нибудь число нз интервала (£|_i, &), i=l, 2,..., I. Обычно
полагают х,- = (£, _i Jjz)/2. Выразив асимметрию и эксцесс случайной величн-
237
ны Y = kX-{-b через асимметрию и эксцесс случайной величины X, формулы
для которых приведены иа с. 206, 207, получим
t,s> (Л); <5)
i»7^xj-3-£»w- (б>
Очевидно, что если k > 0, то Sb (kX A-b^ — Sh (X); если же k < 0, то (kX 4-i) =
=-Ss(X).
955. Вычислить центральные моменты первых четырех поряд-
ков случайной величины, имеющей следующее статистическое рас-
пределение:
X и 12 13 14
0,35 0,25 0,15 0,25
Л Примем а =10. Для вычисления vj, v2, va, v4 составим расчетную
таблицу:
Х—а W W (Х-а) W (Х-а)* W (Х-а)« W (Х-а)*
1 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35
2 0,25 0,50 1,00 2,00 4,00
3 0,15 0,45 1,35 4,05 12,15
4 0,25 1,00 4,00 16,00 64,00
2,30 6,70 22,40 80,50
Итак, v1=2,3; v2=6,7; va = 22,4; v4 = 80,5. По формулам (1) находим
Pi(X) = 0; р.2(Х) = 6,7—2,3«=1,41;
ра(Х) = 22,4—3-6,7-2,3 + 2.2,33 = 0,504;
Щ (*) = 80,5—4 22,4 • 2,3+6• 6,7 • 2,3*—3 2,34 = 3,1257. А
956. Вычислить центральные моменты первых четырех поряд-
ков случайной величины, имеющей следующее статистическое рас-
пределение:
У 4 9 14 19
0,4 0,2 0,3 0,1
238
Л Числа 4, 9, 14, 19 образуют арифметическую прогрессию, поэтому
/=44-5 (X—1), т. е. Y = 5Х—1, fe = 5, b = —1. Составим таблицу
X W WX U"X« WX3 wx*
1 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
2 0,2 0,4 0,8 1,6 3,2
3 0,3 0,9 2,7 8,1 24,3
4 0,1 0,4 1,6 6,4 25,6
2,1 5,5 16,5 53,5
Следовательно, «1 = 2,1; а2 = 5,5; а3=16,5; «1 = 53,5. По формулам (2) находим
Pi(X)=0; Из(Х) = 5,5-4,41 = 1,09;
Из (Х) = 16,5—6,3-5,54-2-2,13 = 0,372;
gi(X) = 53,5—8,4-16,54-6-4,41-5,5—3-4,412 = 2,0857.
Теперь, используя формулу (3), получим (У) = 55ц3 (Л), т. е.
ц1(У)=0, ц2(/)=25-1,09=27,25; |13 (У)=125-0,372 = 46,5;
gi(Г) =625-2,0857= 1303,5625. Д
957. Пользуясь данными выборки, определить начальные
и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию
и эксцесс, если случайная величина X определена таблицей
I (0,2) (2,4) (4,6) (6, 8) (8, 10)
nx 3 4 10 5 3
Л Объем выборки п = 25. Составим таблицу
X WxX WxX*
1 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12
3 0,16 0,48 1,44 4,32 12,96
5 0,40 2,00 10,00 50,00 250,00
7 0,20 1,40 9,80 68,60 480,20
9 0,12 1,08 9,72 87,48 787,32
5,08 31,08 210,52 1530,60
Следовательно, «1 = 5,08; а2 = 31,08; а3 = 210,52; «1= 1530,60, т. е.
М (Х)=5,08; Ц1=0.
239
Используя формулы (2), находим
112 = 31,08 — 25,8064 = 5,1736, т. е. D(X) = 5,1736;
цз = 210,52— 3-5,08-31,084-2-5,083 = —0,9462;
ц4= 1530,60 — 4-5,08-210,52 4-6-5,082-31,08 — 3-5,084 = 67,3004.
Отсюда получаем
о (X) = /5,1736 а 2,275;
с М*),. 0.9462
Л1-оз(Л)- 2.2753
0,0804.
х о4 (X)
, 67,3004
3~ 2,2754
3»—0,488. А
958. Пользуясь данными выборки, определить начальные
и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию
и эксцесс для случайной величины, заданной таблицей
I (1.3) (3.5) (5,7) (7,9) (9,11)
П.х 2 4 10 6 3
§ 18. НАХОЖДЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
1. Распределение с равномерной плотностью. Пусть задано статистическое
распределение
/ (4<Ь «1) «1, 41) •.. («/-i. 4/)
W w2 Wi
Если числа wt, ........wt близки друг к другу, то для обработки наблюде-
ний удобно воспользоваться законом распределения с равномерной плотностью.
Как известно (см. с. 196), плотность распределения в этом случае определяется
следующим образом:
{0 при х < а;
1/(6—а) при
0 при х > Ь.
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение
для распределения с равномерной плотностью находятся по формулам
Af(X) = (a-f-&)/2, О(Х) = (6—а)3/12, а (X) = (Ь— а)/(2 /"з).
Таким образом, решив систему уравнений
< (a+b)/2 = M (X),
I (6-а)/(2/3) = о(Х),
можно найти а н Ь, а затем искомую плотность распределения.
240
959. Выравнять опытные данные, применив закон распределе-
ния с равномерной плотностью:
I (0, Ю) (10, 20) (20, 30) (30, 40) (40, 50) (50, 60)
пх 11 14 15 10 14 16
Л Здесь п = 80. Составим таблицу
X 5 15 25 35 45 55
11/80 14/80 15/80 10/80 14/80 16/80
Полагая Х = 5Т, получим следующую таблицу:
т WT WT2
1 11/80 11/80 11/80
3 7/40 21/40 63/40
5 3/16 15/16 75/16
7 1/8 7/8 49/8
9 7/40 63/40 567/40
11 1/5 11/5 121/5
25/4 509/10
Далее, имеем
М (Л') = 5Л1 (Т) =5-(25/4) = 31,25; М (№) = 52 Л4(Т2) = 25-(509/10)= 1272,5;
< (а-1-&)/2 = 31,25,
D (X) = 1272,5 - 976,5625 = 295,9375; -----
Ц&-а)/(2 К 3) =/295,9375.
Решив последнюю систему, найдем а =1,46, 6 = 61,04, откуда 1/(6—а)—
= 1/(61,04—1,46) = 0,017. Следовательно,
(О при х < 1,46,
0,017 при 1,46 61,04,
0 при х > 61,04.
Для построения гистограммы составим таблицу (где Л =10):
/ (0, 10) (Ю, 20) (20, 30) (30, 40) (40, 50) (50, 60)
W/h 0,0138 0,0175 0,0188 0,0125 0,0175 0,02
241
Рис. 53
стью:
На рис. 56 изображена
гистограмма относительных час-
тот данного статистического
распределения и график плот-
ности распределения.
Так как распределение с
равномерной плотностью сим-
метрично относительно математи-
ческого ожидания, тоЦз(Х) = 0,
Sfe (X) = 0. Известно также, что
при таком распределении эк-
сцесс равен —1,2 независимо от
значений а и Ь. А
960. Произвести вы-
равнивание опытных дан-
ных с помощью закона распределения с равномерной плотно-
I (-1.1) (1.3) (3, 5) (5,7) (7.9)
ПХ 6 7 4 5 8
2. Распределение Пуассона. Распределение Пуассона устанавливает соот-
ветствие между значениями случайной величины X и вероятностями этих зна-
чений с помощью равенства
Р =
е~
Iх.
(1
где х принимает значения 0, 1, 2, 3, ... .
Таким образом, ряд распределения случайней величины X имеет вид
X 0 1 2 3 ...
Р в-Х е~ р — g—А. -зГ*’ ...
число зна-
е~к к1
~1Г~ я:~
На практике случайная величина X принимает ограниченное
чений 0, 1, 2, ..., /, так как при достаточно большом Л величина
ляется малой.
Напомним, что для распределения Пуассона М (X) = D (А') = X.
Пусть дано статистическое распределение
X 0 1 2 ... 1
пх «0 ni «2 ... nt
242
Это распределение можно записать и в виде
X 0 1 2 ... 1
W ton tOj ... Wi
Если для данного распределения величины М (X) и D (X) ие близки друг
к другу, то оно ие является распределением Пуассона. Если же М (X) « X
и D (X) « X, то для решения вопроса о характере распределения следует под-
ставить значение X в выражение (1) и вычислить значения этого выражения
при х=0, 1, 2, I. В том случае, когда значения Р окажутся близкими
к соответствующим значениям W, можно считать, что случайная величина рас-
пределена по закону Пуассона.
961. Дано статистическое распределение
X 0 1 2 3 4 5 6 7
n* 7 21 26 21 13 7 3 2
Показать, что оно близко к распределению Пуассона и устано-
вить зависимость между значениями случайной величины и ве-
роятностями этих значений.
7
Л Найдем п = 2 «/ = 7+21 +26+13+ 7 + 3 + 2= 100.
/То
Составим таб-
лицу
X 0 1 2 3 4 5 6 7
w 0,07 0,21 0,26 0,21 0,13 0,07 0,03 0,02
Определим математическое ожидание случайной величины:
Л1(Х) = 0,21+ 0,52 + 0,63 + 0,52 +0,35+ 0,18 + 0,14 = 2,55.
Составим теперь таблицу
X» 0 1 4 9 16 25 36 49
r 0,07 0,21 0,26 0,21 0,13 0,07 0,03 0,02
Следовательно,
Af(X2) =0,21+1,04+1,89+ 2,08+1,75+1,08+ 0,98 =9,03,
243
откуда
D (Х) = М (№) —[М (Х)]2 = 9,03— 6,503 = 2,527.
Положим Х = 2,52; тогда зависимость между значениями случайной величины
и их вероятностями можно записать в виде
Л-2,52
Р= —:—2,52х.
х!
Подсчитав по этой формуле значения Р для х = 0, 1, 2......7, получим
таблицу
X 0 1 2 3 4 5 6 7
р 0,08 0,20 0,25 0,21 0,13 0,07 0,03 0,01 А
962. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для статисти-
ческого распределения
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И
п* 1 3 8 14 17 17 15 10 7 5 2 1
3. Нормальное распределение. Пусть статистическое распределение
1 «0, {1) «1, &) «/-1, {/)
tt-'i wt ...
имеет гистограмму, изображенную на рис. 57. Составим таблицу
X Xi Xi ... Xl
W Wi w2 Wi
244
(1)
полагая x/ = (6/-l + 6i)/2> <=1. 2.I. На рисунке плавной линией соеди-
нены точки (xi; Wi/A), (х2, Wi/h), .... (хг, w^h), где h—шаг таблицы.
Если полученная плавная кривая близка к кривой Гаусса, то можно
обработать статистические данные с помощью нормального закона распределе-
ния. Определив математическое ожидание т = М(Х) и среднее квадратичное
отклонение а = о(Х), рассмотрим функцию
Дх)=—1
а У 2л
Найдем значения этой функции в точках xf, х2, ..., хг. Нетрудно видеть,
что произведения hf (Xi), hf(x2)...hf (хг) равны вероятностям попадания
случайной величины, распределенной по нормальному закону (1), соответ-
ственно в интервалы ({о, {]), ({ь &)... (6-1» 6)- Если заданное статисти-
ческое распределение близко к нормальному, то будут выполнены приближен-
ные равенства hf (х;) «w;, i—l, 2, ..., I. В дальнейшем приведем более
точные критерии согласования эмпирического н теоретического законов рас-
пределения.
963. Дано статистическое распределение:
/ (0,3) (3,6) (6,9) (9, 12) (12, 15) (15, 18) (18, 21) (21, 24) (24,27) (27, 30)
«X 1 3 4 6 11 10 7 5 2 1
Показать, что оно близко к нормальному распределению, и по-
строить гистограмму его относительных частот.
Д Здесь п = 50. Составим таблицу
X 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5
Г 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02
Произведя замену переменной по формуле X =ЗТ—1,5, запишем статисти-
ческие распределения для Т и Т2;
Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
W 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02
т» 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02
245
Далее, имеем
Л1(7’) = 0>02 + 0,12 + 0,24 + 0,48+1,14-1,2 + 0,98 + 0,8 + 0,364-0,2 = 5,5;
Л1(7'2)=0,02+0,24 + 0,72+1,92+5,5+7,2+6,86+6,4 + 3,24+2=34,1;
Л1(Х)=ЗЛ4 (П —1,5 = 3-5,5—1,5=15;
а2 (X) =9 (34,1 —30,25) =34,65; а (X) = У9-3,85 = 3-1,962 « 5,9.
Следовательно,
f(x) =-------------------1
5,9 К2л
Положим (х— 15)/5,9 = и; тогда
/(*) = - _ Л*- -е~я‘/3« 0,17г„, где zB=-^=.e-“!/2.
5,9 у 2л у 2л
Значения функции za приведены в табл. IV на с. 412.
Используя эти значения, составим теперь таблицу (h — 3)
X и гв f (х) ftf (X) X и га /(X) W(X)
1,5 —2,29 0,029 0,005 0,02 16,5 0,25 0,387 0,066 0,20
4,5 —1,78 0,082 0,014 0,04 19,5 0,76 0,299 0,051 0,15
7,5 —1,27 0,178 0,030 0,09 22,5 1,27 0,178 0,030 0,09
10,5 —0,76 0,299 0,051 0,15 25,5 1,78 0,082 0,014 0,04
13,5 —0,25 0,387 0,066 0,20 28,5 2,29 0,029 0,005 0,02
Заметим, что полученные результаты могут быть сопоставлены с вероят-
ностями попадания случайной величины на данный участок, вычисляемыми по
формуле
р(а < X < Ь) = Г Ф ( b — Ф
[ \ а у 2 /
а—т \
)
X
где Ф (х) =—==- I е~‘‘ dt—функция Лапласа, значения которой приведены
V Л J
о
в табл. Ш на с. 411, и m = Af(x) = 15. Пользуясь этой таблицей, находим
Р(0< X < 3) = 0,5[-Ф(1,44) + Ф(1,80)]=0,5(-0,9583+ 0,9891) =
= 0,0154 « 0,02;
Р(3 < X < 6) =0,5 I— Ф (1,08) + Ф (1,44)] =0,5 (—0,8733 + 0,9583) =
= 0,0425 « 0,04;
Р(6 < X < 9) =0,5 [—Ф (0,72) + Ф (1,08)] =0,5 (—0,6914 + 0,8733) =
= 0,0905 « 0,09;
Р(9< Х< 12) =0,5 [—Ф (0,36) + Ф (0,72)] =0,5 (—0,3893 + 0,6914) =
= 0,151 яе 0,15;
Р(12< X < 15) = 0,5 [—Ф (0) + Ф (0,36)] =0,5-0,3893 = 0,1946 « 0,19;
Р(15< Х< 18) =0,5 [Ф (0,36) —Ф (0)]=0,5-0,3893 = 0,1946 » 0,19;
Р(18< X < 21) =0,5 [Ф (0,72) —Ф (0,36)] =0,5 (0,6914 — 0,3893) =
= 0,151 яе 0,15;
Р (21 < X < 24) = 0,5[Ф (1,08) —Ф (0,72) = 0,5(0,8733 —0,6914) =
= 0,091 и 0,09;
246
Р(24< X < 27) = 0,5 [Ф (1,44)—Ф (1,08)] =0,5 (0,9583—0,8733) =
= 0,0425 « 0,04;
Р(27< X < 30) = 0,5 [Ф (1,80) —Ф (1,44)] = 0,5 (0,9891 —0,9583) =
= 0,0154 я 0,02.
В результате получаем таблицу
1 (0,3) (3.6) (6,9) (9,12) (12,1я (15, 18) (18, 21) (21, 24) (24, 27) (27, 30)
р 0,02 0,04 0,09 0,15 0,19 0,19 0,15 0,09 0,04 0,02
Сравнивая значения w и hf (х) (или w и Р), убеждаемся в том, что заданное
статистическое распределение .можно считать подчиненным нормальному за-
кону (рис. 58). А
964. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для статисти-
ческого распределения
I (1.2) (2.3) (3,4) (4,5) (5,6) (6,7) (7, 8)
п* 4 4 8 16 18 20 30
1 (8,9) (9,10) (10, П) (И, 12) (12, 13) (13, 14) (14, 15)1
п* 28 22 18 14 Ю 4 4
4. Распределение Шарлье. Нормальное распределение является симмет-
ричным, т. е. кривая у=----е~(х~т^(2а^ симметрична относительно пря-
о у 2л
мой х=т. Однако на практике часто встречаются и асимметричные распре-
деления. В том случае, когда асимметрия по абсолютной величине ие очень
велика, распределение может быть выравнено с помощью так называемого
247
закона Шарлье. Плотность закона Шарлье определяется равенством
fm (*) = f W +4- г« («з-3«) +-Ц^-га (и*-6«2 + 3) ] , (1)
где f (х)— плотность нормального закона распределения, и = (х—т)/а, ги =
= (1/]/2л ) е~и‘^2, Sh (X)— асимметрия, Ех (X) — эксцесс. Таким образом,
второе слагаемое в правой части равенства (1) является поправкой к нормаль-
ному закону распределения. Нетрудно видеть, что если Ss (Х)=0 и Ех(Х) =0,
то распределение Шарлье совпадает с нормальным. Распределение Шарлье
можно записать в виде
Р = ^и [1+-^^- («3-3а) 6«г+3)] . (2)
965. Воспользоваться распределением Шарлье применительно
к данным статистической таблицы
1 (0,3) (3,6) (6,9) (9, 12) (12, 15) (15, 18) (18, 21) (21, 24) (24, 27) (27, 30)
пх 1 5 8 15 28 21 10 6 3 3
Л Здесь п=100. Составим таблицу
X 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5
W* 0,01 0,05 0,08 0,15 0,28 0,21 0,1 0,06 0,03 0,03
Пе Статис рейдем гическо К ново е расп й пере» >еделен генной не слу Т, связ чайной ЭННОЙ с величин X завис 1ы Т им нмостьк еет вид Х = 37 ’—1,5.
Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
W 0,01 0,05 0,08 0,15 0,28 0,21 0,1 0,06 0,03 0,03
Приведем расчетную таблицу:
т U7 П7Г U7T’ WT*
1 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01
2 0,05 0,10 0,20 0,40 0,80
3 0,08 0,24 0,72 2,16 6,48
4 0,15 0,60 2,40 9,60 38,40
5 0,28 1,40 7,00 35,00 175,00
6 0,21 1,26 7,56 45,36 272,16
7 0,1 0,70 4,90 34,30 240,10
8 0,06 0,48 3,84 30,72 245,76
9 0,03 0,27 2,43 21,97 197,73
10 0,03 0,30 3,00 30,00 300,00
5,36 32,06 209,52 1476,44
248
Далее, имеем
Л4(Т)=5,36; М (Х)=3-5,36—1,5=14,58; М (Т2) = 32,06;
D (Г) = 32,06—28,73 = 3,33; а(7’) = рЛ3,33 =1,83; а (Х)=За(Т)=5,49;
ц3 (Г) = а3 - 3ata2 + 2а| = 209,52 — 3 • 5,36 • 32,06 + 2.5,363 =1,98;
Sk (Г) = цз (Т)/а3 (Т) = 1,98/1,833 = 0,32;
(Т) = а4—4а4аз + 6а2а2—За] =
= 1476,44 — 4-5,36-209,52 + 6-5,362-32,06 — 3-5,364 = 34,59;
а4 (Т1) = 3,332 = 11,0889; Ех (Г) =34,59/11,09 — 3 = 0,12; Ех (Х) = 0,12.
Так как Л = 3, М (Х) = 14,58 = m, <т(Х) = 5,49, и = (х—14,58)/5,49, Sk(X) =
= 0,32, Ех (X) =0,12, то относительная частота распределения Шарлье вы-
ражается равенством
3 Г . . 0,32 , , „ 0,12 , 4 с 2 , п се с
и’=‘5 49'г“ |Н---б“(и~3и)Н—24~(« — 6« +3)1 * или w = 0,55zaS,
где S = 1+0,05 (и3 — 3«) +0,005 (и4—6ц2+ 3).
Составим таблицу для определения выравненных по закону Шарлье частот:
X и Zu U‘ U3 и* 3U 6U‘ 0.05Х (U3-3 U) 0.005X (£/* —6U‘ + 3) S P
1,5 —2,38 0,02 5,66 —13,48 32,08 —7,14 33,96 —0,32 0,005 0,69 0,01
4,5 —1,84 0,07 3,39 —6,23 11,46 —5,52 20,34 —0,04 —0,03 0,9 0,04
7,5 —1,29 0,17 1,66 —2,15 2,77 —3,87 9,96 0,09 —0,02 1,05 0,09
10,5 —0,74 0,30 0,55 —0,41 0,30 —2,22 3,30 0,09 0,00 1,09 0,18
13,5 —0,19 0,39 0,04 —0,01 0,00 —0,57 0,24 0,03 0,015 1,06 0,23
16,5 0,35 0,38 0,12 0,04 0,01 1,05 0,72 —0,05 0,01 0,97 0,20
19,5 0,90 0,27 0,81 0,73 0,66 2,7 4,86 —0,10 —0,005 0,89 0,13
22,5 1,44 0,14 2,07 2,99 4,30 4,32 12,42 —0,07 —0,025 0,88 0,07
25,5 1,99 0,06 3,96 7,88 15,68 5,97 23,76 0,10 —0,025 1,05 0,03
28,5 2,54 0,02 6,45 16,39 41,62 7,62 38,70 0,44 0,03 1,5 0,02
Сравнивая частоты, полученные после выравнивания по закону Шарлье,
с частотами, заданными статистической таблицей, приходим к заключению,
что соответствующие частоты достаточно близки друг к другу. Одиако об окон-
чательном решении вопроса о согласованности статистического и теоретического
распределений мы сможем судить лишь после того, как будут рассмотрены
критерии согласия (Пирсона, Романовского, Колмогорова). А
5. Критерии согласия Пирсона и Романовского. Рассмотрим вопрос о со-
гласованности статистического и теоретического распределений. Пусть стати-
стическое распределение выравнено с помощью некоторого известного закона
распределения (с равномерной плотностью, нормального закона, закона
Шарлье и т. д.).
Пирсоном предложен следующий критерий согласованности статистического
и теоретического распределений. Сначала вводят величину
2 (^i —Pi)2
х =nE-L-7T2-‘
1 = 1
где W;—относительные частоты, заданные статистической таблицей, а р; —
вероятности, полученные по некоторому теоретическому закону распределения.
Затем рассматривают разность г — 1—t, где I—число разрядов статистической
таблицы, а t—число условий, налагаемых на частоты wlt w2, а>г; число г
называется числом степеней свободы.
249
Например, для нормального закона распределения t = 3, так как исполь-
зуются следующие условия;
I t I
1) = 2) S wixi==mx> 3) ^(xi — mx)2Wi = Dx1
»= i i = 1 i = 1
где mx и Dx—математическое ожидание и дисперсия в теоретическом законе
распределения.
Для закона Шарлье / = 5, так как имеются пять линейных уравнений,
связывающих значения pi, р2, .... рр
l I i
1) 2/»/ = !> 2) 2 Pixi = mx\ 3) (Xi — mx)2 PI = DX\
Z = i (=1 j=i
l l
4) 2 (x<—mx)3Pi=M3 (X); 5) 2 (xi — mx)*Pi = Vi(X)-
i= I 1=1
Используя табл. V (см. с. 413, 414), по значениям х3 и г определяют ве-
личину р, характеризующую вероятность согласованности теоретического и ста-
тистического распределений. Если р < 0,1, то можно сделать вывод, что тео-
рия плохо воспроизводит эксперимент. Если же р > 0,1, то это означает, что
гипотеза о принятом теоретическом распределении не противоречит опытным
данным.
В. И. Романовским предложен следующий критерий согласия: если вели-
чина | %2—г 2г больше или равна 3, то расхождение теоретических и опыт-
ных частот надо считать неслучайным; если же она меньше 3, то это расхож-
дение можно считать случайным.
966. Проверить, согласуется ли статистическое распределение
задачи 959 с теоретическим, имеющим равномерную плотность.
Д По данным статистической таблицы в задаче 959 была определена
плотность распределения
(0 при х < 1,46,
0,017 при 1,46 < х < 61,04,
0 при х> 61,04.
Найдем значения вероятности попадания случайной величины, распреде-
ленной по указанному закону с равномерной плотностью, в интервалы (—10, 0),
(0, 10), (10, 20),..., (60, 70), (70, 80):
1 (-10,0) (0.10) (Ю, 20) (20, 30) (30, 40) (40, 50) (50, 60) (60, 70) (70, 80)
р 0 0,14 0,17 0,17 0,1/7 0,17 0,17 0,01 0
Следует отметить, что Р (0 < X < 10) =Р (1,46 < X < 10) = (10—1,46)-0,017 =
= 0,14; Р (60 < X < 70) =Р (60 < X < 61,04) =0,01. Приведем расчетную таб-
лицу для вычисления %2:
250
U7 р W-P (W — P)1 (W — P)* р
0,14 0,14 0 0 0
0,17 0,17 0 0 0
0.19 0,17 0,02 0,0004 0,0023
0,13 0,17 —0,04 0,0016 0,0094
0,17 0,17 0 0 0
0,2 0.17 0,03 0,0009 0,0052
0 0,01 —0,01 0,0001 0,01
0,0269
Следовательно, у2 = 80-0,0269 = 2,152; 1=7, t = 3, г = 4. При г = 4 из
табл. V находим: если у2 = 2, то р=0,7358; если '/2 = 3, то р=0,5578; если
Х® = 2,152, то р =0,7358 —0,152-0,178 = 0,7358—0,0271 =0,7087.
Итак, можно считать, что заданное статистическое распределение пол-
ностью согласуется с законом распределения, имеющим равномерную плот-
ность. А
967. Дано статистическое распределение
/ (0,5) (5, 10) (Ю, 15) (15, 20) (20, 25) (25, 30) (30, 35) (35, 40) (40, 45) (45, 50)
я* 2 12 8 4 14 6 Ю 2 1 11
Выяснить, согласуется ли это распределение с теоретическим,
имеющим равномерную плотность.
Л Здесь п=70. Составим таблицу
X 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5
W 0,029 0,171 0,114 0,057 0,2 0,086 0,143 0,029 0,014 0,157
Далее, находим
Ю
М(Х) = 2 ад = 2,5(0,029 + 3-0,171+ 5-0,114 + 7-0,057 + 9-0,2+ИХ
i= 1
Х0.086+ 13-0,14+ 15 • 0,029 + 17-0,014+ 19-0,157) = 24,4285;
М (X2) = 2,52 (0,029 + 9-0,171 + 25-0,114 + 49-0,057 + 81-0,2+121-0,086 +
+ 169-0,143 + 225-0,029 +289-0,014 + 361-0,157) = 782,67;
D (Х) = 782,67 — 596,75=185,92; о(Х) = К 185,92 =13,63.
Составим и решим систему для определения а и Ь:
(а+fc)/2 = 24,43,
(6 —а)/(21<3) = 13,63
1/(6 —а) = 1/47,16 = 0,0212.
а-\-Ь = 48,86,
. л ’ «(6 = 48,01; я = 0,85);
Ь — а = 47,16 '
Итак,
f(x) =
f 0 при
j 0,0212 при
( 0 при
х < 0,85,
0,85 С х <48,01,
х > 48,01.
Теперь найдем вероятности попадания случайной величины, распределен-
ной по указанному закону, в интервалы (0, 5), (5, 10), (10, 15).(45, 50):
1 (-5,0) (0,5) (5, Ю) (Ю, 15) (15, 20) (20, 25)
р 0 0,088 0,106 0,106 0,106 0,106
1 (25, 30) (30, 35) (35,40) (40,45) (45, 50) (50, 55)
р 0,106 0,106 0,106 0,106 0,064 0
Отметим, что
Р(0 < X < 5) = Р(0,85 < X < 5) =4,15-0,0212 = 0,088;
Р (45 < X < 5О) = Р(45 < X < 48,01) = 3,01.0,0212 = 0,064.
Расчетная таблица для вычисления %2 имеет вид
W Р uz-P (Ц7 -Р)> (W - Р)' р
0,029 0,088 —0,059 0,003 0,034
0,171 0,106 0,065 0,004 0,038
0,114 0,106 0,008 0,006 0,057
0,057 0,106 —0,049 0,002 0,019
0,2 0,106 0,094 0,009 0,085
0,086 0,106 —0,020 0,000 0,000
0,143 0,106 0,037 0,001 0,009
0,029 0,106 —0,077 0,006 0,057
0,014 0,106 —0,092 0,008 0,075
0,157 0,064 0,093 0,009 0,141
0,515
Итак, %2 = 70-0,515 = 36,05; /=10, i = 3, г = 7. При значении г = 7 для
%2 = 30 из табл. V находим р — 0,0001. Так как при постоянном значении г
с увеличением %2 вероятность Р уменьшается, то для %2 = 36,05 вероятность
Р < 0,0001. Значит, в данном случае теория плохо воспроизводит опыт.
Тот же вывод можно сделать, используя критерий Романовского. Действи-
тельно, находим
|Х2~'1
| 36,05 — 71
у 2г
29,05
3,742
7,763 > 3.
/14
Итак, гипотезу о том, что заданное статистическое распределение яв-
ляется распределением с равномерной плотностью, следует считать неправдо-
подобной. А
252
968. Применить критерии Пирсона и Романовского для установ-
ления правдоподобности гипотезы о нормальном распределении
случайной величины в задаче 963.
Л Расчетная таблица имеет вид
W Р W-P (U7-P)' (Ц7-Р)2 р
0,02 0,02 0 0,0000 0,00
0,06 0,04 0,02 0,0004 0,01
0,08 0,09 —0,01 0,0001 0,001
0,12 0,15 —0,03 0,0009 0,006
0,22 0,20 0,02 0,0004 0,02
0,2 0,20 0,00 0,0000 0,00
0,14 0,15 —0,01 0,0001 0,0007
0,1 0,09 0,01 0,0001 0,001
0,04 0,04 0 0,0000 0,00
0,02 0,02 0 0,0000 0,00
0,0387
Далее, имеем = 50.0,0387 = 1,935; / = 10, i = 3, г =
i=i
= Ю—3 = 7. Из табл. V для т = 1 находим: если Х8=1, то Р = 0,9948; если
Ха = 2, то Р = 0,9598. Следовательно, при %2= 1,935 получим промежуточное
значение Р. Это значение можно найти, применив способ интерполирования.
При Х2=1 и Х2==2 значения Р отличаются на величину 0,9948 — 0,9598 =
= 0,035. С увеличением х2 вероятность Р уменьшается, поэтому при х2 = 1,935
имеем
Р = 0,95984-0,065 0,035 = 0,9621, или иначе Р = 0,9948 — 0,935 0,035 = 0,9621.
Полученная вероятность больше, чем 0,1. Согласно критерию Пирсона, это
дает основание считать, что нормальный закон достаточно удовлетворительно
воспроизводит заданное статистическое распределение.
Согласно критерию Романовского, имеем
|Х2_Г| 11,935— 7|_5,065 _
/Т4 “3742 ~ *’354 < 3-
Таким образом, расхождение между данным статистическим распределе-
нием и выравнивающим его теоретическим распределением можно считать
случайным. Д
969. Произвести выравнивание с помощью нормального закона
распределения данных статистической таблицы:
1 (4,1; 4,2) (4,2; 4,3) (4,3; 4,4) (4,4; 4,5) (4,5; 4,6) (4,6; 4,7) (4,7; 4,8) (4,8; 4,9) (4,9; 5)
пх 1 2 3 4 5 8 8 9 10
253
Продолжение табл.
1 (5,0; 5,1) (5,1; 5,2) (5,2; 5,3) (5,3; 5,4) (5,4; 5,5) (5,5; 5,6) (5,6; (5,7; 5,7) 5,8) (5,8; 5,9)
пх 10 9 9 7 5 4 3 2 1
Проверить согласованность статистического и теоретического
распределений по критериям Пирсона и Романовского.
Л Здесь п = 100. В дальнейшем будем предполагать, что значения слу-
чайной величины совпадают со средними арифметическими значениями гра-
ниц интервалов:
X 4,15 4,25 4,35 4,45 4,55 4,65 4,75 4,85 4,95
U7 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,08 0,08 0,09 0,1
X 5,05 5,15 5,25 5,35 5,45 5,55 5,65 5,75 5,85
U7 0,1 0,09 0,09 0,07 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01
Так как значения случайной величины близки к 5, то составим таблицу:
х-5 W (Х-5)1Г (X- 5)« W
—0,85 0,01 —0,0085 0,0072
—0,75 0,02 —0,0150 0,0113
—0,65 0,03 —0,0195 0,0127
—0,55 0,04 —0,0220 0,0121
—0,45 0,05 —0,0225 0,0101
—0,35 0,08 —0,0280 0,0098
—0,25 0,08 —0,0200 0,0050
—0,15 0,09 —0,0135 0,0020
—0,05 0,1 —0,0500 0,0003
0,05 0,1 0,0500 0,0003
0,15 0,09 0,0135 0,0020
0,25 0,09 0,0225 0,0056
0,35 0,07 0,0245 0,0086
0,45 0,05 0,0225 0,0101
0,55 0,04 0,0220 0,0121
0,65 0,03 0,0195 0,0127
0,75 0,02 0,0150 0,0113
0,85 0,01 0,0085 0,0072
—0,001 0,1404
Следовательно,
Л1 (X—5) = —0,001; Л1[(Х—5)2] =0,1404; М (Х) = 5+М (X—5)=4,999;
D (X) = М [(X— 5)2] — [Л4 (X—5)]2 = 0,1404; о (X) = /0,1404 = 0,3747«0,375.
Плотность распределения случайной величины X определяются равенством
f(x) =-------------------Ц=.г-(Х-5)«/(2 0,375«) (*)
0,375 У 2п,
или
f (х) = 2,67-ги, где и = (х—5)/0,375 « 2,67 (х—5).
• Определим вероятности попадания случайной величины, распределенной
по указанному нормальному закону, в интервалы ]4,1; 4,2[, ]4,2; 4,3[,
]5,8, 5,9[ и проверим согласованность статистического и теоретического
распределений по критериям Пирсона и Романовского. Составим следующие
таблицы:
X и га f(x) hf (х)
4,15 —2,27 0,03 0,08 0,01
4,25 —2,00 0,05 0,13 0,02
4,35 — 1,74 0,09 0,24 0,02
4,45 —1,47 0,13 0,35 0,04
4,55 —1,20 0,19 0,51 0,05
4,65 —0,93 0,25 0,67 0,07
4,75 —0,66 0,32 0,85 0,09
4,85 —0,40 0,37 0,99 0,10
4,95 —0,13 0,39 1,04 0,10
5,05 0,13 0,39 1,04 0,10
5,15 0,40 0,37 0,99 0,10
5,25 0,66 0,32 0,85 0,09
5,35 0,93 0,25 0,67 0,07
5,45 1,20 0,19 0,51 0,05
5,55 1,47 0,13 0,35 0,04
5,65 1,74 0,09 0,24 0,02
5,75 2,00 0,05 0,13 0,02
5,85 2,27 0,03 0,08 0,01
W Р W-P (IF-P)’ (ir-p)1 p
0,01 0,01 0,00 0,0000 0,000
0,02 0,02 0,00 0,0000 0,000
0,03 0,02 0,01 0,0001 0,005
0,04 0,04 0,00 0,0000 0,000
0,05 0,05 0,00 0,0000 0,000
0,08 0,07 0,01 0,0001 0,001
0,08 0,09 —0,01 0,0001 0,001
0,09 0,10 —0,01 0,0001 0,001
0,10 0,10 0,00 0,0000 0,000
0,10 0,10 0,00 0,0000 0,000
0,09 0,10 —0,01 0,0001 0,001
0,09 0,09 0,00 0,0000 0,000
0,07 0,07 0,00 0,0000 0,000
0,05 0,05 0,00 0,0000 0,000
0,04 0,04 0,00 0,0000 0,000
0,03 0,02 0,01 0,0001 0,005
0,02 0,02 0,00 0,0000 0,000
0,01 0,01 0,00 0,0000 0,000
0,014-
Значит, х2= 100-0,014 = 1,4, Z = 18, f = 3, г=18—3=15. Из табл. V для
г=15 находим: если Х2=1, то Р = 1,000, если х2 = 2, то Р=1,000. Поэтому
при у2 = 1,4 искомая вероятность* Р = 1,000. Таким образом, согласно кри-
терию Пирсона, гипотеза о том, что статистическое распределение является
нормальным распределением с математическим ожиданием, равным 5, и дис-
персией, равной 0,14, правдоподобна.
Используем теперь критерий Романовского:
|Х2-г| [1,4-151 _ 13,6
У 2г ГЗО 5-477
2,483 < 3.
Это еще раз подтверждает, что заданное статистическое распределение
согласуется с нормальным, имеющим плотность, определяемую равенством (*).
970. Проверить гипотезу о том, что статистическое распре-
деление, рассмотренное в задаче 965, согласуется с распределе-
нием Шарлье.
*Так как в таблице значения приведены с точностью до 0,001, то иско-
мое значение Р немного меньше единицы.
255
Л Расчетная таблица имеет вид
w p W-P (UZ-P)2 (tr-P)» p
0,01 0,01 0 0,0000 0
0,05 0,04 0,01 0,0001 0,003
0,08 0,09 —0,01 0,0001 0,001
0,15 0,18 -0,03 0,0009 0,005
0,28 0,23 0,05 0,0025 0,011
0,21 0,20 0,01 0,0001 0,001
0,10 0,13 —0,03 0,0009 0,007
0,06 0,07 —0,01 0,0001 0,001
0,03 0,03 0,00 0,0000 0,000
0,03 0,02 0,01 0,0001 0,005
0,034
Следовательно, %а = 100-0,034 = 3,4; /= 10, / = 5,т. е.г=10 — 5 = 5.Изтабл. V
для г = 5 находим: если %2 = 3, то Р = 0,7000; если %2 = 4, то Р = 0,5494. По-
этому при %2 = 3,4 имеем
Р =0,7000 - 0,4-0,1506 = 0,63976 > 0,1.
Используя критерий Романовского, находим
LX8—^1, = |3>4—5J Ь6 - ,
У 2r V\0 3,162 ~
Таким образом, согласно критериям Пирсона и Романовского, гипотезу
о том, что рассмотренное статистическое распределение согласуется с распре-
делением Шарлье, можно считать правдоподобной.
6. Критерий согласия Колмогорова. Пусть дано статистическое распределе-
ние
X Xi X2 X3 ... *1
Wx Wi w2 wa ... Wi
где Xi, х2, ..., Xi—средние значения соответствующих интервалов случайной
величины. В качестве меры расхождения между теоретическим н статистиче-
ским распределениями в критерии Колмогорова рассматривается максимум зна-
чений модуля разности между статистической функцией распределения F*(x)
и соответствующей теоретической (интегральной) функцией распределения Р (х).
Интегральная функция распределения, как известно, определяется соотно-
шениями
' 0 при х < х/,
*(*)=<
k
2 pj
i= i
при Xff<x<xii+i (k — 1, 2,
при x^xt,
256
где pj = hf(Xj) (j = l, 2, [), a f(x)— плотность распределения случайной
величины X.
Сначала находят величину
A = O/n, (1)
где О = max | F* (х)— F (х)], а п — объем выборки. Затем из равенства
Р(Х) = 1- 2 (—1)/е“2^ЛЖ (2)
/= -®
определяют вероятность того, что за счет чисто случайных причин максималь-
ное расхождение между F* (х) и F (х) окажется ие меньше, чем фактически
наблюдаемое.
Если вероятность Р (А) мала (меньше 0,05), то гипотезу следует отверг-
нуть, как неправдоподобную; при сравнительно больших значениях Р (Л) гипо-
тезу можно считать совместимой с опытными данными. А
Для нахождения значений Р (А) удобно пользоваться таблицей (см. табл. VI
на с. 415).
971. Оценить степень согласованности статистического распре-
деления, рассмотренного в задаче 961, с распределением Пуассона.
Л Составим таблицу
X U7 р F* М F(x) F* (х) - F (х)
0 0,07 0,08 0,07 0,08 —0,01
1 0,21 0,20 0,28 0,28 0
2 0,26 0,25 0,54 0,53 0,01
3 0,21 0,21 0,75 0,74 0,01
4 0,13 0,13 0,88 0,87 0,01
5 0,07 0,07 0,95 0,94 0,01
6 0,03 0,03 0,98 0,97 0,01
7 0,02 0,01 1 0,98 0,02
Очевидно, что D = max | F* (х)—Е (х)| =0,02. Так как п=100, то, поль-
зуясь формулой (1), находим А = 0,02-^100 = 0,2. Из табл. VI получим
Р (0,2) = 1,00. Таким образом, рассмотренное статистическое распределение не
противоречит теоретическому распределению по закону Пуассона. А
972. Пользуясь критерием Колмогорова, установить, согла-
суется ли с нормальным распределением статистическое распре-
деление
/ (0,2) (2,4) (4,6) (6,8) (8, Ю) (Ю, 12) (12, 14) (14, 16) (16, 18) (18, 20)
пх 10 29 51 58 102 90 81 39 30 10
257
Л Запишем заданное распределение в виде
X 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
W 0,02 0,06 0,10 0,12 0,20 0,18 0,16 0,08 0,06 0'02
Перейдем к новой переменной Т по формуле Х = 2Т—1. Составим расчет-
ную таблицу
Т, W 1ГГ IT Г’
1 0,02 0,02 0,02
2 0,06 0,12 0,24
3 0,10 0,30 0,90
4 0,12 0,48 1,92
5 0,20 1,00 5,00
6 0,18 1,08 6,48
7 0,16 1,12 7,84
8 0,08 0,64 5,12
9 0,06 0,54 4,86
10 0,02 0,20 2,00
5,50 34,38
Далее, имеем
М(Т) = 5,50, М (Г2) = 34,38,0 (Г) = 34,38 — 30,25=4,13; а(Т)=/4Г13=2,032;
М (X) = 2Л4 (Т) — 1 = 2- 5,5— 1 = 10; о (X) = 2а (Г) = 2- 2,032 = 4,064.
Тогда плотность распределения запишется в виде
f (х) =---L—е-(«- Х0)«/(2-4,0.4‘) w
4,064/ 2л
или, f (х) = 0,246-z„, где и = (х— 10)/4,064.
Составим две таблицы:
X и f W ftf U) X w Л/(X) F* (X) F(x) ГИ-РМ
1 —2,214 0,035 0,009 0,02 1 0,02 0,02 0,02 0,02 0,00
3 —1,722 0,091 0,022 0,04 3 0,06 0,04 0,08 0,06 0,02
5 —1,230 0,187 0,046 0,09 5 0,10 0,09 0,18 0,15 0,03
7 —0,738 0,303 0,075 0,15 7 0,12 0,15 0,30 0,30 0,00
9 —0,246 0,387 0,095 0,19 9 0,20 0,19 0,50 0,49 0,01
11 0,246 0,387 0,095 0,19 11 0,18 0,19 0,68 0,68 0,00
13 0,738 0,303 0,075 0,15 13 0,16 0,15 0,84 0,83 0,01
15 1,230 0,187 0,046 0,09 15 0,08 0,09 0,92 0,92 0,00
17 1,722 0,091 0,022 0,04 17 0,06 0,04 0,98 0,96 0,02
19 2,214 0,035 0,009 0,02 19 0,02 0,02 1 0,98 0,02
258
Из второй таблицы видно, что почти все значения относительных частот
близки к соответствующим значениям вероятностей, найденных с помощью
плотности распределения, определенной равенством (*). Отсюда сразу следует,
что данное статистическое распределение является нормальным. Однако для
окончательного решения вопроса о согласованности статистического распреде-
ления с нормальным применим критерий Колмогорова.
Как видно из второй таблицы, D = max | F* (х)—F(x)|=0,03. Поскольку
п = 500, имеем X = 0,03• У 500 « 0,67. Из табл. VI находим Р (0,65) = 0,7920,
Р (0,70) = 0,7112. Так как с увеличением X вероятность Р (X) уменьшается, то
0,7112 < Р (0,67) < 0,7920.
Итак, можно утверждать, что верхняя граница абсолютной ошибки при-
ближенного равенства F* (х) w F (х) будет не меиее 0,03 для любого значения х. А
ГЛАВА VI
ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1. Примеры простейших дифференциальных уравнений в частных произ-
водных. Рассмотрим некоторые примеры уравнений в частных производных.
973. Найти функцию г = г(х, у), удовлетворяющую диффереи-
5г ,
циальному уравнению
А Интегрируя, получим z = x-j-q> (у), где ср (у) — произвольная функция.
Это—общее решение данного дифференциального уравнения. Д
д2г
974. Решить уравнение yg = бу, гдег = г(х, у),
иу 1
Qz.
А Дважды интегрируя по у, получаем^=3z/2+<p (х), г = у3+у-<р (х) +
+ ф(х), где <р(х) и ф (х) —произвольные функции. А
975. Решить уравнение ^-^ = 0.
Qz
А Интегрируя уравнение по х, имеем (у). Проинтегрировав получен-
ный результат по у, находим z = q> (х) + ф (у), где ф(у)=^ f(y)dy.
д2г
976. Найти общее решение уравнения 1.
5*г
977. Найти общее решение уравнения dxid~i — 0.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка, линейные относительно
частных производных. Рассмотрим дифференциальное уравнение
Х*+Г* Z,
дх * ду
где X, У и Z—функции х, у и г.
Предварительно решим систему обыкновенных дифференциальных уравне-
ний
(1)
dx___dy___dz
Пусть решение этой системы определяется равенствами
«•i(x, у, г) = Съ <о2 = (х, у, г) = С2.
Тогда общий интеграл дифференциального уравнения (1) имеет вид
Ф[а>1(х, У, г), <о2(х, у, г)]=0.
где Ф (<Bi, <о2) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
260
978. Найти общий интеграл уравнения + =
. _ _ dx dy dz „ dx
Л Рассмотрим систему уравнений Решая уравнение — =
dy у „ dx dz z „ ~
==-^ , получим --—С].-, решение уравнения есть —=Сг. Теперь
можно найти общий интеграл заданного уравнения:
Ф(у/х, г/х)=0, или z/x = ty(y/x),
т. е. г=х$(у/х), где if—произвольная функция. А
979. Найти общий интеграл уравнения
(xa + ya)g + 2xyg = 0.
Л О dx dy dz
Л Запишем систему уравнений ,---------------
ством пропорции, представим уравнение
dx-j-dy dx—dy
x2-{-у2-)- 2xy~x2-j-у2— 2xy ’
Интегрируя, получаем
___1________1
X-j-y~ X—y
-----. Воспользовавшись свой-
2xy 0
dx dy
2+?=^ B
или _d(x—y)
(x-j-y)2 (x—y)2
,------4-=с, -^Ц=с.
X—у х-\-у х2—у2
Последнее равенство можно переписать в виде
Второе уравнение системы dz = 0. Отсюда г = С2.
Общий
980.
UZ = 4- XZ
а дх 1
интеграл имеет вид
Ф ( », г |=0, нли г = ф( ч У -z | . А
\х2—у2 ) r\x2—y2J “
Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
—2ху и проходящую через окружность х2 + у2 =
= 16, г = 3.
Л Решим систему уравнений ^j=^=—^ху' <^СВ0^0дИВШИСЬ от зиаме*
иателя, имеем
xdx = ydy, 2xdx= — г dz.
Интегрируя оба уравнения, получим
x2-y2=Clt х2+—=Са.
Общий интеграл заданного уравнения имеет вид
2^
xa+-y=Tf (х2— у2}.
Из семейства поверхностей, определяемых этим уравнением, нужно выде-
лить поверхность, проходящую через окружность у2 = 16, г = 3. Для
того чтобы найти функцию ф, в равенстве (*) положимх2— 16—у2,г=3. Тогда
261
получим 16—у® + 9/2 = 4> (16—2г/2). Пусть 16—2y2 = t, откуда у2 = 8—til
Следовательно, ф(/) = (/-|-25)/2, т. е. ф(х2—у2) = (х2—y2-\-2o)j2. Подставляя
найденное выражение в соотношение (*), имеем
х2 +-у = —---У2 + 25 , или х2 + у2 + г2 = 25.
Итак, искомой поверхностью является сфера. А
981. Найти общий интеграл уравнения
дг . . дг .
т- sin х 4- д- sin у = sin г.
дх 1 ду а
982. Найти общий интеграл уравнения уг ^ + хг^ = ху.
983. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
+ = 4 и проходящую через параболу у2 = г, х = 0.
§ 2. ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Рассмотрим уравнение второго порядка
д2г . д2г . д2г _ / дг дг \ п
а-5-5-+2*ч—ч—х, у, г, -х—, -5— — 0, (1)
дх2 дхду ду2 \ дх ду)
где а, Ь, с—функции х и у.
Говорят, что указанное уравнение в области D принадлежит гиперболиче-
скому типу, если в этой области Ь2 — ас > 0. Если же Ь2—ас = 0, то уравне-
ние принадлежит параболическому типу, а если Ь2 — ас< 0—эллиптическому
типу.
Уравнение
д2г _ ( дг дг \
=г х, у, г, -х—, -д-
дхду \ дх ду
называется каноническим уравнением гиперболического типа', уравнение
d2z
dy2~F
дг дг
х, у, г, -х— , ~5—
я дх ду
— каноническим уравнением параболического типа-, уравнение
д2г . о2г г дг дг \
-5-» 4--5-»= Г х, у, г, , -т—
дх2 ' ду2 \ дх ду)
— каноническим уравнением эллиптического типа.
Дифференциальное уравнение
a (dy)2—2b dx dy+c (dx)2 — 0
называется уравнением характеристик уравнения (1).
Для уравнения гиперболического типа уравнение характеристик имеет два
интеграла: q> (х, y) = Clt ф(х, у)=С2, т. е. существуют два семейства действи-
тельных характеристик. С помощью замены переменных | = q> (х, у), т] =ф (х, у)
дифференциальное уравнение (1) приводится к каноническому виду.
Для уравнения параболического типа оба семейства характеристик совпа-
дают, т. е. уравнение характеристик дает лишь одни интеграл <р (х, у)=С.
В этом случае нужно произвести замену переменных | = <р (х, у), т]=ф (х, у),
. , ч - , л дп дп , л
где ф(х, у) — какая-нибудь функция, для которой 0.
их иу иу их
После такой замены уравнение приводится к каноническому виду.
Для уравнения эллиптического типа интегралы уравнения характеристик
имеют вид ф (х, г/) ± (ф (х, г/) =С1,2, где ф (х, г/) и ф (х, у) — действительные
функции. С помощью подстановки’£ = ф (х, у), д=ф(х, у) уравнение (1) при-
водится к каноническому виду
984. Привести к каноническому виду уравнение
» д2и „ 32u А
X2--ys----у -д-Т = 0-
Зх2 3 ду2
Л Здесь а = х2, & = 0, с = — у2, Ь2— ас = х2у2>0; следовательно, это —
уравнение гиперболического типа.
Составляем уравнение характеристик:
х2 (dy)2—у2 (Зх)2 = 0, или (xdy-j-ydx) (xdy—у dx)—0.
Получаем два дифференциальных уравнения
xdy-(-ydx = 0 и xdy—ydx — 0;
разделяя переменные и интегрируя, имеем
—-4—^-=0, т. е. In </ + 1п х = 1п Ci,
———=0, т. е. In у—1п х = 1п С2.
У х
После потенцирования находим xy — Ci и у/х = С2—уравнения двух семейств
характеристик. Введем новые переменные & = ху, х\ = у/х. Выразим частные
производные по старым переменным через частные производные по новым
переменным:
ди ди 3g , Эи 3g Зи У
Их 3g ’ Зх 3g дх~ д£ ' у 3g х2 ’
ди___ди 3g . du 3g____du , ди 1 .
~ду~ д£ ' ду ' dq ’ ду ~~ д% 3g ’ х ’
д2и___ д f ди \ д / ди у \____/ д2и д"~ д2и 3g \ __
дх2 ~~ дх \ д^ 'У ) дх \ <Эт} х2 / — \ 3g2 дх ' 3g 3g дх )У
( д2и 3g 32u . 3g \ у________, За 2у / 32а д2и У \ ц
\ 3g 3g ' дх ' 3g2 дх J х2 ' 3g х3 — \ 3g2 3g 3q х2 / ’
( д2и д2и у \ у , ди 2у _ д2и 2 0 д2и у2 ,
“^3g3ij‘ У~~д^' х2 )' х2+3П ‘ х3 “ 3g2 'У Z3£3r)’ х2^
, 32и . . ди у _
' di|2 х4 ”* 3q х3 ’
32u _ / д2и 3g . д2и 31] \ ._1_ / д2и . 3g . д2и . 3g \
Ну2~Х\~д^'’~ду'д1дг1'~ду')'^х\дцдл ~ду ‘ dq2 ду )
/ д2и . д2и 1 \ 1 / д2и ,д2и 1 \ _
-x[d^2’x+dldq‘ х х \3g3q ’ Зг)2 ’ х)~~'
2 д2и д2и 1 д2и
~Х 3g2”1’ 3g3q ' х2 ’ ЗГ)2 ’
253
Подставив в данное дифференциальное уравнение найденные д.я вторых
производных выражения, получим
,л ( д*и ,л о дги yLi—U I 9
Х \д?'У dgdq’ x2-hdq2 ’ х*‘Г дг\ х3 J
. / d2u . „ дги 1 д*и\ п
у ( д? х +2 dgdq+ х2 ' dq2/°:
.п»_|_о — .-^-=0- l.^-.l=0- J±L_±.*1=O
djdq У dq x ’ dgdq 2 dq ху ’ д^дц 2£ dq ’
т. е. уравнение приведено к каноническому виду. А
985. Привести к каноническому виду уравнение
ЛЯ?
-ri-sin® х—2у sin х-ч—т-+1/2 • тт=°«
дх* 9 дхду 1 э ду*
Л Здесь a=sln2x, Ь = — ysinx, с=у*. Так как Ъ*—ac—y*&in*x —
— y2sin2x = 0, то данное уравнение—параболического типа.
Уравнение характеристик имеет вид
sln2x(dy)2+2ysinxdxdy+y2(dx)2=0, или (sinxdy+ydx)*=0.
Разделяя в уравнении sln xdy-f-y dx=0 переменные и интегрируя, имеем
v+^=0; lny+lntg|=lnC; y-tgA^C.
и ЭДИ A it А
Произведем замену переменных: & = ytg-^-, q=y (произвольная функ-
ция). Тогда получим
дг dz dg , dz dq I дг . х
дх “Й дх + <Эг] дх ~ 2 dfУ ** Т:
дг дг д^ , дг dq дг . х , дг
ду ду dq ду “dFlg 2 + dq 1
д*г 1 (д*г dg , д*г dq \ , х , 1 дг ,х,_х
дх*^ 2\д& дх+д&цдх)11** 2 + 2 d| ysec "2 tg"2 “
1 д*г , . х . 1 дг . х . х
= 4-д^УХС2+~2Уд1Ж-21е-2’
д*г dS d2? dq\ . х d*z dS , d2z dq _
~3y* \ dg2 dy "'"dfcdq dy/ g "2 ' dq d£ dy dq2 ~dy
tg2±+2-^-tg±+4!£..
dg2 ,g 2+^dgdq g 2+^7’
d2z I ( д*г dg , d2z dq \ , x , I dz . x
dxdy 2 Vi? dy +d£d^ dy J yxc 2 + "2 dg T-
1 f d2z . x . д*г \ . x , 1 dz . x
— 2 \d? tg 2+d^)/ysec 2 + 2 dg 2’
Подставляя в данное дифференциальное уравнение выражения для вторых
производных, имеем
1 д*г , . х ... 1 дг . х , х , .
T^ry2sec4-sin2x+-2^-ysec2ytg_Sin2x-
/ d2z . х . д*г \ . . х , дг . х , .
“ tg 2 Sln *—% у 2 Sta *+
+v* (-Й-tg* 4+2^<g4+^'l=0.
264
d2z
Можно легко показать, что члены, содержащие и т? , взаимно
д12 agat) —
уничтожаются, и уравнение принимает вид
1 дг „ х . х , » , » д2г дг „ х , п
или
д2г дг ,
^==ag-slnx-
i'Т то sin г • Окончательно по-
14-tg2 (*/2) 2 т) 524-П
2g дг .
Так как sinx
д2г
лучаем
аП2 £2+П2 ag • ж
986. Привести к каноническому виду уравнение
о 38г । о д*г -о
дх2 дхду'*''1 ду2 ~
А Здесь а=1, 6 = —1, с = 2, Ь2—ас=1 <0, т. е. уравнение эллиптиче-
ского типа.
Уравнение характеристик имеет вид
(dy)2 + 2dxdy + 2(dx)2 = 0, или у'г + 2у' 4-2=0.
Отсюда у'= —1 ± i; получаем два семейства мнимых характеристик:
у+х—ix = Ci и </4-х-|-,’х = С2. Произведя замену переменных £ = у-}-х, т) = х,
имеем
у-\-x+ix — Ct. Произведя замену переменных £=у-\-х, т) = х,
дг дг ag . а? а>) дг . Зг
дх ag дх ”* а») дх ag ' а») ’
дг дгд£.дгдг)_дг
ду ~ ag ду ' а-r) ду ~ ag ’
а2г ап \ / д2г ag . а2г ад \ _ а*г
agan дх J ' \anag ах "• ar,2 ах J~ ag2
д2г __а2г ag . д2г at) а2г . а2г .
дх ду ag2 дх ' ag at) ах ag2 ' ag an ’
а2г а2г ag а2г ап_______а2?
~ду2~ ag2 ду + agan ~ду~ ag2 ’
Подставив найденные выражения в дифференциальное
а2г о а2г а2г о д2г д2г . п д2г п
-5м4-2 НеЗ—Н-Т-Г —2 -~7- —2-7-5—к2-3гГ = 0, т‘ е-
ag2 1 ag ап 1 ап2 ag2 agan <?g2
Привести к каноническому виду уравнения:
, д2г о а2г . , д2г п
Х ' дх2 + 2ху'дхду+У ' ду2 ~°‘
^._4 Д—З -Д--2 £-4-6 $- = 0.
дх2 дх ду ду2 дх ду
1 а2г 1 а2г _ п
х2 дх2 у2 ду2
д2г ag
ag2 дх
д2г . а2г .
agaq • ап2 ’
уравнение, получаем
а2г , агг .
ag2'"1' ап® ж
987.
988.
989.
§ 3. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
1. Решение уравнения колебания струны методом характеристик (методом
Даламбера). Струной называется тонкая нить, которая может свободно изги-
баться. Пусть струна находится под действием сильного .. .чального натяже-
265
ния То. Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть дейст-
вию какой-нибудь силы, то струна начнет колебаться (рис. 59).
Ограничимся рассмотрением малых, поперечных и плоских колебаний
струны, т. е. таких колебаний, при которых отклонения точек струны от
положения покоя малы, в любой момент
irJX времени все точки струны находятся в од-
| ной и той же плоскости и каждая точка
I струны колеблется, оставаясь на одном и
том же перпендикуляре к прямой, соответ-
5 ! у ствующей состоянию покоя струны.
I ------Принимая эту прямую за ось Ох, обоз-
I начим через и = и (х, I) отклонение точек
[ _ струны от положения равновесия в мо-
q '—'Y~=* *х мент времени t. При каждом фиксирован-
ий ном значении t график функции и = и(х, t)
Рис. 59 на плоскости хОи дает форму струны в мо-
мент времени t.
Функция и = и(х, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
д2и
dt3
а2
д2и
дх2
где а2=7'0/р, f = F/p, р—масса единицы длины (линейная плотность струны),
F— сила, действующая на струну перпендикулярно оси абсцисс и рассчитан-
ная на единицу длины.
Если внешняя сила отсутствует, т. е. / = 0, то получится уравнение сво-
бодных колебаний струны
д2и _ 2 ^2ц
dt2 ~а дх2
Для полного определения движения струны нужно задать в начальный
момент форму и скорость струны, т. е. положение ее точек и их скорость
в виде функций абсцисс х этих точек. Пусть и | 0=<р (х), 0^Ф W-
Эти условия называются начальными условиями задачи.
д2и , д2и п
Приведя уравнение —а2-^-=0 к каноническому виду, получим
д2и
Эрп
уравнение
О, где £ = х—at, rj = x-^-at. Общее решение последнего урав-
нения запишется так: m = 0j ($) + 0г (Л), где £ = х—at, r] — x-^-at, 0Ь в,—
произвольные функции.
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения свободных
колебаний имеет вид
У = (х—at) + 02 (*+ at).
Подобрав функции 01 и 02 так, чтобы функция и = и(х, t) удовлетворяла
приведенным начальным условиям, приходим к решению исходного дифферен-
циального уравнения в виде
<р(х—а<) + <р(х+дО
2
х + at
x-at
990. Найти решение уравнения
U-U U-U 1 9 UU \ Л
если и Н_0 = х2,
di2 дх2 1 т-у д/ т-и
Л Так как а=1, а ф(х) = 0, то ~Ь Ф ~Ь,?Q, где ф(х) = хг
Л
266
Таким образом,
(к— /)*+(*+0* А
и—--------—2 ’ или “ = х2 + * • А
991. Найти решение уравнения
д2и . д2и । п ди I
"а/Г —если м| <=0 —О, a<|f=0 — *•
А Здесь а = 2, q>(x)=O, ф(х)=х. Отсюда
х+2<
? z da = 4-z* |*+г,=44(*+202 —(х—2/)2]> т. е. и=х/. Д
4 J 8 |х-2/ 8
x-2t
д2и
992. Найти форму струны, определяемой уравнением -у^г333
, д2и , я । ди I .
~а в момент ‘ = -2у, если «|1=0 = smx, I о = 1-
А Имеем
sin (х+а/) +s,n (х—а0
и~ 2
т. е.
1 [ x+at
и = sinxcos atн-п-г
1 2а \x-at
или a = sinxcosat-j-f.
Если /=я/(2а), то а=я/(2а), т. е. струна параллельна оси абсцисс. А
пп„ тт « д2и д2и ।
993. Наити решение уравнения если ыи=о = х»
ди I
~st L=°—х-
994. Найти решение уравнения -g^- = а2 , если «| /=о=О,
ди I
-^-|<=0 = cosx.
995. Найти форму струны, определяемой уравнением
д2и д2и , । ди I
= в момент г —л, если и f_0 = sinx, =cosx.
dt2 дх2 11-0 dt f-0
2. Решение уравнения колебания струны, закрепленной на концах, мето-
дом разделения переменных (методом Фурье). Пусть требуется найти решение
д2и „ д2и . .
уравиеиия -^- = а2 ~д& ' УдовлетвоРяюш'ее начальным и граничным (краевым)
условиям
и (х, 0) = <р (х), —— =1|>(х), «(0, f)=0, u(l,t)=O.
Будем искать (ие равное тождественно нулю) решение уравнения в виде
произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая —
только от i, т. е.
и(х, i) = X(x)T(t).
267
Подставляя это выражение в данное уравнение, имеем
Х(х) Т” (t) = а2Х” (х) Т (t),
откуда, разделив переменные, получим
Т" (0 _ X" (х)
a*T(t) ~ X (х) ‘
Это равенство двух отношений, зависящих только от х и только от /, воз-
можно только в случае, если оба отношения равны постоянному числу — Л
(где 1 > 0):
т- е' х'(х)+ЛХ(х)=0 и Т" (t)-]-ka2T (0=0.
Общие решения этих уравнений имеют вид
X (х) = A cos У 1 х + В sin У 1 х, Т (t)— С cos а Ук t-^-D sin а У к t,
где А, В, С, D — произвольные постоянные, а функция
и (х, /) = (Л cos У к х-^-В sin У к х) (С cos а У к t-j-D sin а У к i).
Постоянные А н В можно найти, используя краевые условия. Так как
Т (/)^?0, то Х(0) = 0 и Х(0 = 0. Следовательно,
X (0) = Л=0, X (Г) — A cos Ук Z-f-Bsin Ук 1 = 0,
т. е. Л = 0н Bsinj^X Z = 0 нв силу того, что В 0, имеем sin У к 1 = 0,
откуда У к =kn/l (Л=1, 2,...). Итак, X = Bsin-^y-x.
Найденные значения к называются собственными значениями для данной
ktt
краевой задачи, а функции Х = В sin —р х—собственными функциями,
Прн найденных значениях % получаем
«I_____л аЬл akft .
Т (t)~ С cos —j— t-[-D sln —j— /,
/л « Лл f Clklt i i t_ , Clkjl j\ 11 f л \
r) =sln -px I aft cos —р/4-^sln—(k—\, 2, ...).
Каждому значению k отвечают свои постоянные С н D, поэтому пишем
б^и
в*, Ьк, а постоянную В включаем в а* и Ь^. Так как уравнение -^5- = а1Х
dz« . „
X дх2 линейное н однородное, то сумма решений также является решением,
которое можно представить в виде ряда
«О «О
. « v-ч . v-ч I akn , , , , akn . kn
“(х, 0=2j ик(х, Z)= 2_ ('cos—— *+ьк si"—;~t )sin — x.
*=1 *=i '
Этот ряд служит решением уравнения, если коэффициенты н таковы,
что сходится сам ряд, а также ряды, получающиеся после днукратного диф-
ференцирования по х и по t. При этом решение должно удовлетворять на-
чальным условиям:
“(х, °)=^2 ай81п-у-х = ф(х).
k= 1
268
Если функция ф(х) разлагается в ряд Фурье в промежутке (О, I) по си-
нусам, то
I
2 (• . . . kn .
а* = у \ q>(x)sin—j-xdx. (1)
о
.. ди (х, 0)
Из условия -----—-=ф(х) имеем
ди I akn . , kn , . .
М=0=2- — ^®1п-гх = ф(х).
fe=l
Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:
I
akn i. 2 С , , . . kn
—р bk=-[\ ip(x)sin — xdx,
о
откуда
I
ьк = айГ У sln х dx' (2)
о
Таким образом, решение уравнения колебания струны может быть представ-
лено как сумма бесконечного ряда:
и
akn , . . , akn Д , kn
ah cos —j— г + о* sin —j— t 1 sin —j- x.
где а* и &fc определяются по формулам (1) и (2).
гт п г"(0 Х"(х) ,
Примечание. Если положить > 0, то уравнения
а2Т (0 Х(х) 1 г
для определения X (х) и Г (/) имели бы вид X*(x)-U(x)=0 н Г'(()-
— а2кТ (0=0. Общее решение первого из них Х — Ае^к х-\-Ве~^к х не мо-
жет удовлетворять граничным условиям.
996. Струна, закрепленная на концах х = 0 и х = 1, имеет
в начальный момент форму параболы u — (4h/l2)-x(l—х). Опре-
делить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные
скорости отсутствуют (рис. 60).
Л Здесь ф (х) = (4/т//2) • х (/—х), ф(х)=0. Находим коэффициенты ряда,
определяющего решение уравнения колебания струны:
I I
2 Г . , , knx . 8Л Р , knx . . п
ak=~l} Ф(х)-81п—/-</x = -7Fj (lx~*2)-sln—— dx; Ьк = 0.
о о
Для нахождения коэффициента ак дважды интегрируем по частям:
. » . . knx , , I knx
u1 = lx—х2, dVi — sln——dx, dui = (l — 2x) dx, vt = — cos—j—;
I
8/i I knx |l , 8/t f „ 4 knx ,
ак = —^(1х-x2) — cos — |Q J (I -2x) cos dx,
0
269
т. е.
a^-k^\^-2x^0S-rdx’
о
. „ . knx , . „. I , knx
иг—1—2х, dv« = cos—— dx, du. = — 2dx, t'2=~r—sin—г— ;
Z кЛ I
I
Sh ,, n . knx |Z , 16ft C , knx .
ak~"k№l (l~2*)s,nT~ |0+^z J sln I dx~
о
16ft knx |Z 16ft , , „ 16ft „ ,
=-l^cos-T-|o==--ftW(costo~1)==W[1-(-,)L
Подставляя выражения для аЛ и в равенство (1), получим
. Л 16ft knot , knx
«(*. 0=21 1)*] COS-j-Sin-у-.
к=1
Если ft = 2n, то 1 — (—1)« = 0, а если ft = 2n-|-l, то 1 — (—1)* = 2; поэтому
окончательно имеем
, Л 32ft Л 1 (2п4-1)лп< , (2л+1)лх .
и (х, 1) = —, ,-г3- cos ---'----sin ---т—. Д
v ’ n8 (2n-{-l)3 Z i
n= i
997. Дана струна, закрепленная на концах х=0 и х=1.
Пусть в начальный момент форма струны имеет вид ломаной О АВ,
изображенной на рис. 61. Найти форму струны для любого мо-
мента времени t, если начальные скорости отсутствуют.
Л Угловой коэффициент прямой ОА равен ft/(Z/2), т. е. 2ft/Z. Следова-
тельно, уравнение этой прямой есть u = (2h/l)x. Прямая АВ отсекает иа осях
координат отрезки I и 2ft; значит, уравнение этой прямой имеет видх//-[-и/(2й)=1,
или u = (2ft/Q(Z—х). Итак,
w = J (2й/0 х при 0 х < Z/2, =0
Ч>' ’ ((2ft/Z)(Z—х) при Z/2<x<Z, '
Находим
I Z/2 I
2 С ... knx . 4h Г knx . . 4ft f , knx .
= —\ Ф W-sln —у—<Zx = -j2- \ xsin —j—dx+~pr \ (/—x)sin —•y— dx,
о o 1/2
270
Интегрируя по частям, получаем
Ok
4h
-r—r-X-COS
knl
1/2
knx .
cos —у— dx —
4h „ . knx It 4h f
-Т—Г (I — xbcos—j— 7—у \
knl ' ' t \l/2 knl J
1/2
о
l
knx .
cos —j- dx —
2ft kn . 4h , knx |l/2 2ft kn 4h
faF-cos-r+ft^"sln —|o +^-cos-2“w
, knx H
•Sin—I—
‘ U/2
4H kn . 4h , kn 8h t kn
~~k^"shl T+~k№'S nT-^F'Sln~2~ '
Следовательно,
/ л 8ft V1 1 , kn , knx knat ’
“(X, sln— -cos — .
k=l
Выпишем несколько членов ряда:
r „ 8ft / , ях nat
х, /)=—^sin-y-.cos—z-
, 1 . 5ях 5nat 1
-J-gj-sta-j—cos—j—
1 . Зях 3nat
_ ,sln —cos—
7nx 7nat , >
^j-sin—j— cos
998. Пусть начальные отклонения струны, закрепленной в точ-
ках х — 0 и х = I, равны нулю, а начальная скорость выражается
формулой
Определить форму струны для
ди___J v0 (const) при [х—1/2 \ < ft/2,
при | х—1/2 | > h/2.
любого момента времени t.
и
I
dt 1 О
Л Здесь <p(x)=O, а ф(х) = Ц) в
вне этого интервала.
Следовательно, а^=0;
(Z+h)/2
. 2 С knx .
J ^oSln— dx
(l-h)/1
2vel Г kn(l—ft) kn(l+h) I 4vQl
~"P^*7[COS-“2/ C0S 21 J
интервале Ц1—ft)/2, (/-|-ft)/2[ и гр(х)=О
2^0 l(/+ft)/2
-i— •-Г7Г* cos—F“
яяа ЯП l (/-h)/2
kn knh.
Pn*r‘sln T's{n~2T
Отсюда
I
, 4vnl х-ч 1 kn . knh knat knx
u(x’ o=-^X^,sln-2-sln"2r-sin~r-sin"T-
k= 1
или
, 3nft ,
1 '3r‘sln_2TX
5nat . 5nx \
и(х, 0 =
, nh ' nat . nx 1
Sin-gj-'Sin —j—sln
„ 3nat , Зях . 1 , 5nh
XSin ——Sin—J-------1—gj-sin-7^--sin
271
999. Струна закреплена на концах х = 0 и х = 3. В началь-
ный момент форма струны имеет вид ломаной О АВ, где 0(0; 0),
А (2; —0,1), В(3; 0) (рис. 62). Найти форму струны для любого
момента времени t, если начальные
и, ц скорости точек струны отсутствуют.
g 1000. Струна, закрепленная на кон-
0,1 цах х = о и х=1э в начальный момен*
имеет форму м = Л(х4—2х3 + х). Най-
ти форму струны для любого момента
Рис- 62 времени t, если начальные скорости
отсутствуют.
1001. Струна закреплена в точках х = 0 и х = 1. Начальные
отклонения точек струны равны нулю, а начальная скоросте
выражается формулой
dt |^ = о
л (х—1/2)
h
0
при
при
I
х 2
I
Х 2
h_
2
h
2
Найти форму струны для любого момента времени t.
§ 4. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
1. Уравнение теплопроводности для нестационарного случая. Обозначим
через и = и(М, t) температуру в точке М однородного тела, ограниченнсго
поверхностью S, в момент времени t. Известно, что количество теплоты dQ,
поглощаемой телом за время dt, выражается равенством
dQ = k-~dSdt, (1)
дп
где dS—элемент поверхности, k — так называемый коэффициент внутренней
du
теплопроводности, — производная функции и по направлению внешней нор-
мали к поверхности S. Так как теплота распространяется в направлении по-
„ du „ ._ „ du -
нижения температуры, го dQ > 0, если >0, и dQ < 0, если -ч— <С.
дп дп
Из равенства (1) следует, что
S
Вычислим Q другим способом. Выделим элемент dV объема V, ограни-
ченного поверхностью S. Количество теплоты dQ, получаемой элементом dV
за время dt, пропорционально повышению температуры в этом элементе и массе
самого элемента, т. е.
dQ = y~dt-pdV, (2)
где р—плотность вещества, у—коэффициент пропорциональности, называемый
теплоемкостью вещества. Из равенства (2) следует, что
V
272
Таким образом, получаем
V S
, k ди , , . , ди ди .. ди ,
где а2 ——. Учитывая, что -5— = grad « и grad и~-^— •1Ч--5— j+~t-k,
ру дп 1 дх ду 1 дг
преобразуем полученное равенство к виду
J J J J[‘^’cos("’ *)+i7cos(rt’ y)+^cos(n> 2)]rfs-
d V J S
Заменив правую часть равенства с помощью формулы Остроградского — Гаусса,
имеем
V V
или
С С (* Г Зи 2( д2« 1 д2« . д2и \ 1 . п
Jj i [ir-a
V
для любого объема V. Отсюда получаем дифференциальное уравнение
ди 2 f д2и д2и д2и \
dt а \ дх2 ' ду2 ' dz2 )
называемое уравнением теплопроводности для нестационарного случая.
Если тело является стержнем, направленным по оси Ох, то уравнение
теплопроводности имеет вид
ди „ д2и
- -- " /7“ • ,1, I Ч1Й,
dt дх2
Рассмотрим задачу Коши для следующих трех случаев.
1. Случай неограниченного стержня. Ставится задача о на-
хождении решения и (х, t) уравнения
ди
ИГ
д2и
дх2
— 00 < X < + 00 ,
= а
удовлетворяющего начальному условию и (х, 0) = /(х), —оо <х<-]-оо. При-
менив метод Фурье, получаем решение уравнения в виде
+ 00
и (х, f) = -f f
2а у nt J
— 00
— интеграл Пуассона.
2. Случай стержня, ограниченного с одной стороны.
_ ди , д2и
Решение уравнения ~^-=аудовлетворяющее начальному условию
и (х, 0)=/(х) и краевому условию «(О, <) = ф(/), выражается формулой
СО
„ (х, 0 =—' . [f ф. [е-(В-xf/(4^)e-(U
2а V nt J
О
t
------L_ f ф(П).е-А'!/(4а2^-11))(/ — J])-3/3dn.
2а V nt J
0
273
3. Случай стержня, ограниченного с обоих концов х=0
и х—1, Здесь задача Коши состоит в том, чтобы найти решение уравнения
ди . д*и , ... £. .
удовлетвориющее начальному условию и(х, 0|/-о = / (х) и двум
1 л ди I ди I „
краевым условиям, например ux=o = ulx=l = O или o=="dx"L-z==
В этом случае частное решение ищется в виде ряда
и (х, 0=2 Ьь-е~(кпа№'*-sin
k=i
где
I
. 2 f £. , , knx ,
Ьк = Т\
о
(для краевых условий и|х_0 = u|x-z в 0), и в виде ряда
и(*. 0 = У. ак-в “(fc3lfl/t>* • <. cos ~ + а0,
1
и (х, t)
где i i
2 (* £. , Алх . 1 (*£, . .
ak = — WW-cos-j— dx, a0=-^y(x)dx
о 1
/ , ди I ди I л
для краевых условий -j- =5- s0
\ дх[х=о дх\х=1
1002. Решить уравнение ^ = а2-^для следующего началь-
ного распределения температуры стержня:
( и0 при Х1 < х < х2,
(=o=/W = L
( 0 при X < X! ИЛИ X > х2.
А Стержень является бесконечным, поэтому решение запишется в виде
интеграла Пуассона:
+ ®
я(х,/)=—7=- f
2а К nt
Так как f (х) в интервале (Х|, xj) равна постоянной температуре и0, а вне
интервала температура равна нулю, то решение примет вид
х,
и{х, t)^-^. fe-(£-^'/(4a»/)dg
2aJ<nt J
Полученный результат можно преобразовать к интегралу вероятностей
(см. с. 203):
г
Ф (г) = -^= С е~ц‘ dji.
V nJ
274
Действительно, полагая х— g/(2a ^Т) = ц, dg = — 2а Y^-dp, получим
(x-x,)/(2aV~i)
u(x,t) =----^г= С е_ц‘ф =
у Л
(x-Xl)/(2aVD
(х-х^/ЬаУ^) (x-x,)l(2aV~i)
u0 С — и* j f _> и * ,
=—\ e ц du—77= \ e 11 du.
14 л J V л J
' о 0
Таким образом, решение выразится формулой
Графиком функции Ф (г) является кривая, изображенная иа рис. 63. А
1003. Найти решение уравнения
ди д2и
~д1=дх2' УД°влетвоРЯЮ1Дее начальному
условию и|/= о = f (х) = и0 и краевому ус-
ловию и|х=о=О.
А Здесь мы имеем дифференциальное
уравнение теплопроводности для полубеско-
иечного стержня. Решение, удовлетворяющее
указанным условиям, имеет вид
или
«(х, 0 = -^7=J «о
оо
и(ж>0=_2к=: f [е-гё-хИ/иО.-е-^’/и/)]^
2 У я^
Полагая х— g/(2 }4/ ) = |х, d%——2 }4t преобразуем первый интеграл,
пользуясь интегралом вероятностей, т. е.
“о__ С e-(£-x)»/(«)^t “о_
2 Y nt J Y я
x/(2 VT}
— 00
Полагая x -j- g/(2 Yt) ='P> = 2 Yt Ф, получим
uo_ I e_(x+^,/(4/)dE = -^
гКя/J Yn
+ co
J e-^’dn^^-
x/(2 VT)
Таким образом, решение принимает вид u(x, 1) = и9-ф(—7=" ) А
\ 2 V t /
1004. Найти решение уравнения = (0<х</), t > 0,
275
удовлетворяющее начальным условиям:
I Г/ X J Х ПРИ 0 < х<1/2’
u\t = o—[{x)=^l_x при z/2<x<z
и краевым условиям m|a.= o = u|x=z = O.
Л Решение задачи Кошн, удовлетворяющее указанным краевым условиям,
будем искать в виде
« (х> 0 = У, sin ,
k = i
где
l Ц2 I
, 2 (' rknx , 2 f knx , , 2 C . knx .
bk=-r\f (*) sin -—— dx = ~ I xsin—Y-dx-\--r- I (I—x) sin—j— dx.
I <J I I I » и I
0 0 Z/2
_ , . knx . . .
Проинтегрируем по частям, полагая u = x, cto = sin—j—dx, du = dx и v =
I knx
~ — cos —:— ; получим
kn I J
lx
kn
lx
kn
• cos
knx
~T~
knx
•COS—j—
, P , knx\\l^.
£2л2‘зп I J|o
P . knx 4/ kn
k^'Sin~T~ /|z/2 — Ws n 2 •
Следовательно, искомое решение имеет вид
00
o = ^LF-sinT-e — >
k= I
или
4/ % 5
u<x’ L*-')"
/1 = 0
1 „~12П + 1)глЧ/1г (2ft + 1) Я*
2Т+Те I
1005. Найти решение уравнения -^=^5-, удовлетворяющее на-
чальным условиям
’ 1—x/Z при 0<х</,
и(х, t) |z = 0=/(x) =
1 + xfl при — I < х < О,
О при х^/ и х<— I.
ф Решение выразится формулой
о Z
и(Х, 1)=—^= f f 1+4
2^nt J' \ 1 J 2/n/J\ 1 J
Заменой X—1/(2}^/) = ^ упростить ответ.
1006. Найти решение уравнения теплопроводности, если левый
конец х = 0 полубесконечного стержня теплоизолирован, а на-
276
чальное распределение температуры
«|/=о = /(*) =
’ 0 при х < О,
«о при О < х < I,
О при I < х.
1007. Дан тонкий однородный стержень длины /, изолирован-
ный от внешнего пространства, начальная температура которого
равна f(x) = cx(l—х)/12. Концы стержня поддерживаются при тем-
пературе, равной нулю. Определить температуру стержня в мо-
мент времени t > 0.
ф Закон распределения температуры стержня описывается уравнением
ди , д2и . ., , сх(1—х)
^т==а2--у^, начальным условием и |/=о = / (х) = ——- и краевыми условия-
(У с С/л* ₽
мп и|х_о=«[х-/ = О.
2. Уравнение теплопроводности для стацноиарного случая. Уравнение теп-
лопроводности для стационарного случая обращается в уравнение Лапласа
д2и.д2и.д2и_-
дх^ду^дг2^ ’
так как ^==0. Уравнение Лапласа можно записать в виде Д« = 0. Здесь а
есть функция только точки и не зависит от времени.
Для задач, относящихся к плоским фигурам, уравнение Лапласа записы-
вается в виде
д2и ,д^и__q
дх2“ду2
(2)
Такой же вид имеет уравнение Лапласа и для пространства, если и ие зави-
сит от координаты г, т. е. и (М) сохраняет постоянное значение при пере-
мещении точки М по прямой, параллельной оси г. Заменой х = г cos 0,
j/=rsin0 уравнение (2) можно преобразовать к полярным координатам:
ди ди _ . ди . _
з-=^- cos О+ч- sin 0,
дг дх 1 ду
д2и д2и , п д2у . _ _ , д2и . .
з-5-=5-5: cosa0 + 2 5—5- sin 0 cos 04—д-» sin2 0,
дг2 дх2 'дхду 1 ду2
ди ди . ди _
= — т- г sin 04-д- г cos 0,
30 дх 1 ду
д2и д2и *
sin2 0 — 2—г2 sin 0 cos 0 +
д02 дх2 дхду 1
. д2и о ди „ ди . о
+r-=-г2 cos2 6—=-rcos 0 — г sin 0.
• ду2 дх ду
Отсюда
* д2и . ди . д2и « (д2и . д2и \ 9 д2и . ди . д2и л
г ^+га7+з05=гЧаГ2+^’ или ' д^+гд-г+дв2=0-
С уравнением Лапласа связано понятие гармонической функции. Функцию
называют гармонической в области D, если в этой области она непрерывна
вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлет-
воряет уравнению Лапласа. Так, для уравнения (1) функция u=\jr, где
277
r=yr(x—х0)2 + (У—у0)2 + (г—zo)2> является гармонической в любой области
исключая точку Л10 (х0; у0\ г0). Для любой плоской области такой функцией
служит u = ln (1/г) (или u = In г), т. е. эта функция удовлетворяет уравнению (2V
Задача отыскания функции и, гармонической в области D, непрерывной
в D, включая и поверхность S, ограничивающую эту область и удовлетворя-
ющей краевому условию и |на s f (М), где f (M) = f (х, у, г) — заданная не-
прерывная на S функция, называется задачей Дирихле.
1008. Найти стационарное распределение температуры в тон-
ком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если
на концах стержня и |х=0 = м0, и |х=г = ut.
Л Задача Дирихле для одномерного случая состоит в нахождении из
„ d2u П Л.
уравнения Лапласа функции и, удовлетворяющей краевым условиям
“|*=o = uo> u\x=i = U[. Общее решение указанного уравнения есть u = Ax-f-B.
и,— “о ,
а учитывая краевые условия, получим и — -±—j—sx4-u0, т. е. стационарное
распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой
поверхностью линейно. А
1009. Найти стационарное распределение теплоты в пространстве
между двумя цилиндрами с общей осью Ог при условии, что на
поверхностях цилиндров поддерживается постоянная температура.
• Перейти к цилиндрическим координатам, считая, что и не зависит от
0 и z.
§ 5. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА
Пусть дан круг радиуса R с центром в полюсе О полярной системы ко-
ординат. Будем искать функцию и (г, 0), гармоническую в круге и удовлет-
воряющую на его окружности условию u|r=/? = f(0), где /(0) — заданная
функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетво-
рять в круге уравнению Лапласа
Ограничимся применением метода Фурье при решении этой задачи. Допус-
тим, что частное решение ищется в виде
u=Q(r).T(0).
Тогда получим
A Q’ (г)• Т (0) +r.Q' (г)• Т (0) + Q (г) • Т" (0) = 0.
Разделяем переменные:
r^.Q"(r) + r.Q'(r)
Т(Э) Q(r)
Приравнивая каждую часть полученного равенства постоянной —А2, получа-
ем два обыкновенных дифференциальных уравнения:
Т'’(0)4-Й2.Т(0) = О, ra.Q’(r)-|-r.Q' (г) —^.Q(r)=O.
Отсюда при k = 0 имеем
Т(0) = Л4-В0, (2)
Q (r) = C-f-D In г. (3)
278
Если же k > 0, то
Т (в) = A cos йв + В sin йв, (4)
а решение второго уравнения будем искать в виде Q{r) = rm, что дает
r2m (т—1) гт~2-\-гтгт~1— k2rm = 0, или гт (т2—k2) = 0, т. е. m=±k.
Следовательно,
Q (г) = Сг*+£>/-*. (5)
Заметим, что и (г, в) как функция от в есть периодическая функция с пери-
одом 2л, так как для однозначной функции величины и (г, в) и и (г, 0-}-2л)
совпадают. Поэтому из равенства (1) следует, что В = 0, а в равенстве (4) k
может принимать одно из значений 1, 2, 3, ... (k > 0). Далее, в равенствах
(3) и (5) должно быть D = 0, так как в противном случае функция имела бы
разрыв в точке г = 0 и не была бы гармонической в круге. Итак, мы полу-
чили бесчисленное множество частных решений уравнения (1), непрерывных в
круге, которые (несколько изменив обозиачеиия) можно записать в виде
иа(г, в) = Я0/2; u„(r, в) = (4„ cos п&-[-Вп sin пв) гп (л=1, 2, ...).
Составим теперь функцию
А ”
и (г, &) — -£ + 52 (4 „cos лв + В„ sin п&) гп,
* *,
п= 1
которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также слу-
жит его решением. Остается определить величины 40, Ап, Вп так, чтобы эта
функция удовлетворяла условию u|r_^ = f (в), т. е.
СО
f (в)=у+52cos пе+в»sin лв)Rn-
п= 1
Здесь мы имеем разложение функции f (в) в ряд Фурье в промежутке!—л, л].
В силу известных формул находим
л л л
40 = -^- J f(x)dx, Ап=^; § / (т) cos nx dx, = § f(x)sinnxdx.
-Л -Л -Л
Таким образом,
Упростим полученный результат. Полагая r[R = p, х—0 = /, представим
выражение в квадратных скобках в виде
4+52Р" cos п/ = 52р" cos
n=l n=0
Рассмотрим ряд
2 (р+)” = 2 pncos«/ + « 2 pnsinn/.
n = 0 n=0 n=0
Этот ряд сходится при р < 1 и его сумма равна
1___________________________1___________ 1—-р cos / + t'p sin t
1—pcos/—ipsin/- 1 — 2pcos/ + p2
279
Следовательно,
1 1—pcos< 1 1—р2
p" cos nt——й— —5T>
r 2 1—2pcost-(-p2 2 2(1 — 2pcosr-f-p2)
или, возвратившись к прежним обозначениям, получим
л
1 р ^2__тг
и^г'^ = ^ J f W fl2-2/?rcos (т—0)4-r2
-л
Мы получили решение задачи Дирихле для круга. Интеграл, стоящий в пра-
вой части, называется интегралом Пуассона.
1010. Найти стационарное распределение температуры на
однородной тонкой круглой пластинке радиуса R, верхняя поло-
вина которой поддерживается при температуре 1°, а нижняя —
при температуре 0°.
Л Если —я < т < 0, то f (т) = 0, а если 0 < т < я, то f (т) = 1. Распре-
деление температуры выражается интегралом:
< О' 1 Г Ri~r*
U[r’ ,-2nJ Я2 — 2/?гсоз(т—0) + г2
о
Пусть точка (г; 6) расположена в верхнем полукруге, т. е. 0 < в < л;
тогда т—0 изменяется от —0 до я—0, и этот интервал длины я не содер-
и
жит точек + я. Поэтому введем подстановку tg—-—= t, откуда cos(t—0) =
I_____2dt
= rVT2 > dT — ТТЛ • Тогда получим
1 +12 14- г2
ctg (0/2)
1 f /?’ —Г2 1 fR + r \ I ctg(0/2)
u(r, 0) = — \ -Z5---^ = -arctg
' ’ я J (/?—r)2-{-(/?-f-Г)2/2 я \R—r / -tg(0/2)
-tg(0/2)
• Г . fR + r . 0 \ . . (R-\-r. 0 \ I
=^[arctg(^7ctgTj+arctg^rtgT;J=
R + r / . 0 . . 0\
1 , /? —Actg 2+tg 2 / 1 t R2 — r2
Я4-Г
/? —Г
или
R2—r2
tg(«n)=— 2^rsine •
2 я 2flrsin0
Так как правая часть отрицательна, то и при 0 < 0 < я удовлетворяет не-
равенствам 1/2 < и < 1. Для этого случая получаем решение
У?2 —г2 1 У?2—г2
tg (я— ил) = —г-тг , или и = 1-arctg-нд—(0 < в < я).
' ' 2/?rsin0 л 2y?rsm0 ' ’
280
Если же точка расположена в нижнем полукруге, т. е. л < 0 < 2л, то
t2— 1’
2-----------------------------------1, откуда соз(т—0)=jj-j-p
0 имеем
интервал (—0, я—0) изменения т—0 содержит точку —л, но не содержит 0,
. т—0
и мы можем сделать подстановку ctg -
. 2dt т
ат =----- х-. 1огда для этих значении
1 “1“ 1Л
С fl2-'-
(fl+r)2+(fl-')2/2
А—г , 0\
tg(e/2)
»)=-! v
-cfg(e/2)
1Г ♦ t e
~ ~ л Larctg I R + ~r’tg ~2 J T'v‘6 т; j •
Производя аналогичные преобразования, найдем
1 R2—r2
и-----arctg .^rs.ne (л < 0 < 2л),
Так как правая часть теперь положительна (sin 0 < 0), то 0 < и < 1/2. А
1011. Найти решение уравнения Лапласа для внутренней части
кольца 1 С / 2, удовлетворяющее краевым условиям и|г=1 = 0,
И|г=2 = </.
ф Ввести полярные координаты.
ГЛАВА VII
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Пусть комплексное переменное z — x~\-yi принимает всевозможные значе-
ния из некоторого множества Z. Если каждому значению г из Z можно поста-
вить в соответствие одно или несколько значений другого комплексного пере-
менного w = u-{-vi, то комплексное переменное w называют функцией г в об-
ласти Z и пишут w — f (г).
Функция w — f (г) называется однозначной, если каждому значению г из
множества Z можно поставить в соответствие только одно значение и>. Если
же существуют значения г, каждому из которых можно поставить в соответ-
ствие несколько значений w, то функция w — f (г) называется многозначной.
Если a) = «4-w есть функция от z = x-\-yi, то каждое из переменных и
и v является функцией х и у, т. е. и = и(х, у), v = v(x, у). Обратно, егдн
w=u(x, у) + и (х, y)i, где и (х, у) и v(x, у)—действительные функции х и у
то w можно рассматривать как функцию комплексного переменного z = x-[-yi
Действительно, каждому комплексному числу z — x-^-yi соответствует опреде-
ленная пара действительных чисел (х; у), а этой паре чисел соответствует
одно или несколько значений w.
Говорят, что однозначная функция w = f(z) при г—нс имеет конечный
предел С (с и С—комплексные числа), если для всякого числа е > 0 найдется
такое число б > 0, что из неравенства \г—с| < б следует неравенство
|/(г)—С| < е. В этом случае пишут lirnf (г) = С.
г-н?
Функция w = f(z) называется непрерывной в точке г0, если lim f (z) = f (z0).
Z—
Функция, непрерывная в каждой точке некоторрй области D, называется не-
прерывной в этой области.
Рассмотрим область D, ограниченную замкнутой не самопересекающейся
линией Г. Эта область называется односвязной (рис. 64).
Если область D ограничена двумя замкнутыми не пересекающимися и
ие самопересекающимися линиями Гх и Г2, то область D называется двусвяэ-
ной (рис. 65).
Пусть Гх — внешняя линия, а Г2 —внутренняя. Область является двусвяз-
иой и в том случае, если линия Г2 вырождается в точку или в дугу непре-
рывной линии. Аналогично могут быть определены трехсзязные, четырехсвяз-
вые и т. д. области. На рис. 66 изображена четырехсвязиая область.
Функции комплексного переменного ег, sin г, cos г, sh г, ch г определяются
как суммы следующих рядов, сходящихся во всей плоскости комплексного
282
переменного:
2 2^ 2$
ег==1 + 'п’+2Г+3f + --‘ :
2 2$ 2&
sinz = -p- — зг+з,-— •••;
г2 г4 г®
cosz==1—2Г+4!"бГ+---:
ег_е-г г , г3 . г5 .
shz- 2 — 1! +з! ^“5! ’
u ez+e-z , , z2 , г4 ,
chz =---g—=1 + ‘2г4" 4г+,,> •
Для функций комплексного переменного справедлива формула Эйлера:
ег‘ = соз г + i sin г.
Из этой формулы следует, что
sh я = i sin г, ch zi = cos г.
Известные из элементарной математики формулы
=ег1—za,
sin (г/ ± га) = sin zx cos z2 ± cos zx sin z2,
cos (zi ± z2) — cos zi cos z2 T sin zx sin z2
справедливы и для комплексных значений аргументов гг и г2.
Функции г1|,л (n^N1), In z, arcsin z, arccosz, arctg г определяются как
обратные по отношению соответственно к функциям г", ez, sin z, cos z, tg г —
= sin z/cos г. При этом функции г1^, 1п г, arcsin z, arccosz, arctg г являются
многозначными.
Можно показать, что
In z=sIn р-|-(q>-|-2fat) i (k£Z),
где p = |z| и ф = аг§г.
1012. Дана функция w = z2 + z. Найти значения функции при:
1) z=l-}-t; 2) z = 2 —i; 3) z = t; 4) z = — 1.
Д 1) о)= (1 +/)2+1+«’= 1+2t—1 +14-i= 1+3i;
2) и»=(2—02+2—1 = 4—4i— l + 2-i = 5(l-0;
3) oi = i2-|-i=—1 -|-i;
4) a)=l — l=0. A
1013. Дана функция f (z) = х2 + y2i, где z = x + yi. Найти:
1) /(1 + 20; 2) /(2-30; 3) /(0); 4)
А 1) x=l, у = 2, f (1+20=1+4,;
2) x = 2, y — —3, f (2—30 = 4+9»;
3) x = 0, y — 0, f (0)=0 + 0-i = 0;
4) x=0, y = — l, f(-0 = i- ▲
1014. Показать, что функция oi = |z| непрерывна при любом
значении z.
А Так как разность двух сторон треугольника не больше третьей сто-
роны, то 11 z| — | г» I К| z—z0 | (рнс. 67). Пусть 0 < 6 < e. Тогда из нера-
венстиа | г—z0 | < о следует неравенство 11 г | — | z0 11 < е, т. е. Um | z | = | z01.
z^-z,
Таким образом, | г | — непрерывная функция. А
1015. Показать, что w = z2—непрерывная функция при лю-
бом значении z.
Д Имеем z2 — zo = (z—г0) (г+г0). Если г—>-г0, то существует такое по-
ложительное число М, прн котором выполняются неравенства | г | < М, | z01 < М.
Но
| г2 —г? | = | г—г01-| г+г01 < | z—z0 |-(| г | + | г01) < 2Л4|г—г0|.
Возьмем б < е/(2Л4). Из неравенства | г—г0 | < б следует, что
|г2—го | < 2Л46 < 2М-е/(2М), т. е. | г2—го| < е.
Итак, lim z2 = Zo, т. е. w = z2 — непрерывная функция. А
2->го
1016. Найти ln(K3+i).
Л Имеем г =рг3 + », p = |z| = 2, <p = argz = ar£tg (1/]/" з) = л/6, т. е.
1п(К 3 + «) = 1п 2-|-(я/6+2Ля) i, k£Z. А
1017. Вычислить cos (1/2) с точностью до 0,0001.
А Поскольку
z2 z®
с°5г=1—21 + 41—61+---’
находим
СО5"2 = 1+'2Г22‘^"4Г2г'+'бГ2г'^ =1,1276. А
1018. Дана функция w-=ez. Найти ее значение при: 1) z = ni/2:
2) z = n(l—t); 3) z= 1 + (л/2 + 2л&) 1, где k£Z.
1019. Дана функция /(z)=l/(x—yi), где z = x-\-yi. Найти
/(1+0. /(0. /(3-21).
1020. Показать, что w = 2z3 — непрерывная функция.
1021. Найти In (1 — 0-
1022. Доказать справедливость равенства sini ch l = icosi-sh 1.
1023. Решить уравнение cosz = 2.
1024. Найти arcsini.
1025. Вычислить sinx, подсчитав действительную и мнимую
части с точностью до 0,0001.
284
1026. Чему равен sin (л/6 4-i)? Вычислить действительную и
мнимую части с точностью до 0,001.
1027. Дана функция /(2) = ^. Найти ее значения в точках:
1) z = i; 2) z=14-ni/2.
§ 2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Производной однозначной функции комплексного переменного w = f (г) иа-
Дю f (г-|-Дг) — f (г) й
зывается предел отношения —— = ——>—-т2---если Дг любым способом
н Дг Дг
стремится к нулю.
Таким образом,
f (г+Дг)—/(г)
/ (г) = Нт -т—= Пт -------------------;.
Дг-»0 Дг Дг-,0 Дг
Функция, имеющая производную при данном значении г, называется диф-
ференцируемой (или моногенной) при этом значении г. Если функция w = f(z)
однозначна и имеет конечную производную в каждой точке области D, то эта
функция называется аналитической в области D.
Если функция w = f (г) = и (х, y)-\-iv(x, у) дифференцируема
, • , ди
= x-\-yi, то в этой точке существуют частные производные
причем эти производные связаны условиями
ди до ди до
дх ду’ ду дх’
которые называются условиями Коши—Римана.
Условия Коши—Римана являются необходимыми условиями
руемости функции w = f (г) в точке z = x-\-yi.
ди ди ди до
Обратно, если частные производные непрерывны в точке
, . ,, „ ди до ди до
z = x+yt и условия Коши — Римана =-ч—, -5—=-----х— выполнены, то
" 3 дх ду ду дх
функция w — f (г) дифференцируема в точке z = x-j-yi.
Производная функции f (г) выражается через частные производные функ-
ций и (х, у) и о(х, у) по формулам
_____ди f . до _ ди . ди _ до .ди до ( . 'до
' (г)‘~~дх+1’дх~'дх~1'ду"~7)у 1 ~ду~~~ду'1 ~дх’
Производные элементарных функций г", ег, cos г, sin г, In г, arcsin г,
arccos г, arctg г, sh г, ch г находятся по тем же формулам, что и для дейст-
вительного аргумента:
(zn)' = п-гп~1,
(е*)'=ег,
(cos г)' = —sin г,
(sin г)' = cos г,
(1пг)'= 1/г,
1028. Дифференцируема ли функция / (г) = у xi?
ли ди „ ди , до , до -
Д Находим и = у, о = х, ^- = 0, т-=1, ч-=1, ч- = 0. Одно из условии
дх ду дх ду 1
Коши — Римана ие выполняется. Таким образом, данная функция не является
дифференцируемой. А
1029. Дифференцируема ли функция /(2) = (№—z/2)4-2xz/i?
в точке г =
до ди до
дх’ ду’ ду'
днфференци-
(arcsinz)'== \!V 1—г2,
(arccosz)'= — 1—г2,
(arotg г)' = 1/(1 +г2),
(sh г)' = ch г,
(ch г)' = sh г.
285
Д Имеем и = х2—у2, а — 2ху; ^-=2х, ^-=—2у, ^-=2у, ^-=2х;
дх ду * дх ’ ду
ди до да ди ,,
. Условия Коши — Римана выполняются. Следовательно,
функция дифференцируема. Так как f (г) = -|^—}- > то
f (г) = 2х+2yi = 2 (x-f-yi) = 2z.
Производную f (г) можно найти и иначе:
f (z) = (x+j/i)2 = z2, f'(z) = 2z. Д
1030. Является ли дифференцируемой функция /(z) = e*cosz/+
-f-i-e* sin у?
. ,, ~ ~ , ди ~ ди ~ ,
Л Находим u = excosy, v=e*sin«/; -^-—ех cos у, —exslny,
да „ , да ди да 'да ди .. „
-5—=e*sinu, -т—=e*cosy, -т—=-ч—, -х- =—з— .УсловияКоши—Римана
дх я ду ” дх ду дх ду
выполнены. Далее, имеем
f (z)=-|^--}-i-^-=e* cos у + iex sin у — ^ (cosy-)-/ sin у) = ех-еУ1 —e^yl = ех,
или иначе
f (г) =ех (cos y-\-i sin у) = ех-еУ1 = ех+У1 — ez, f (г) — е*. А
1031. Дана действительная часть и(х, у)—х2—у2—х диффе-
ренцируемой функции /(г), где z==x + yi. Найти функцию f(z).
. ди _ , - ди да , . „
Л Имеем ~^-=2х—1. Так как (в силУ одного из условий Ко-
ши-Римана), то ^-=2х—1. Интегрируя, находим
а(х, у) = 2ху—у+<р(х),
где <р (х)—произвольная функция.
„ .. _ ди да _ да
Используем другое условие Коши — Римана: • *а|< как ~дх =
= 2у+<р'(х), то = — 2у—<р' (х). Но из условия задачи находим, что
ди - „
-—=—2и. Следовательно,
du
—2у—<р' (х)=—2у, <р'(х) = 0, <р(х) = С,
откуда
f (г) = х2—у2—х+i (2ху—у + С) = х2—у2+2xyi — (х+у i) + Ci,
или
f (z) = (x+yt)2 —(x+i/O + Ci, т. e. f (г)=га—z+Ci- Д
1032.
функции
Дана мнимая часть v(x, у) = х-\-у дифференцируемой
/(z). Найти эту функцию.
Л Имеем ^-=1; следовательно, 4^-=1 (согласно условию Коши—Ри-
ду ах
мана). Отсюда
, . . ди да ,
«^=x+<p(y), -^-=q>'(</), ^=1.
Но -|^-=—Следовательно, ф'(у) =—1. Интегрированием
<р (</)=—у-\-С. Отсюда и — х—у-\-С. Итак,
находим,
что
f(z)=x-y + C + Ux+j/) = (l+O(x+f/0+C, т.е. f(z) = (l + /)z+C. А
1033. Является ли дифференцируемой функция f (z) = (х* + уг) —
— 2xyi?
1034. Показать, что функция /(г) = (х3—Зху2) i (Зхау—у3)
дифференцируема и найти ее производную.
1035. Дифференцируема ли функция f (z)=sinxchy+icosxshy?
Если это так, то найти ее производную.
1036. Определить действительные функции ф(у) и ф(х) так,
чтобы функция f (z) = <р (у) + гф (х) была дифференцируемой.
1037. При каком значении к функция f (z) = у 4- kxi дифферен-
цируема? _
1038. При каком значении а функция f (z) = аг (где z = x—yi)
дифференцируема?
1039. Дана действительная часть и = 2х cos (у In 2) дифферен-
цируемой функции f(z). Найти эту функцию.
1040. Дана мнимая часть v = sinxsh у дифференцируемой функ-
ции /(z). Найти эту функцию.
§ 3. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ
Пусть даиа функция w = f (z), аналитическая в области D. Зададим опре-
деленное значение z=x-\-yi. Этому значению z соответствует определенное
значение w = u-j-vi. Итак, каждой точке (х; у) иа плоскости хОу соответствует
определенная точка (и; v) иа плоскости uOv.
Если точка (х; у) иа плоскости хОу описывает некоторую линию Г, рас-
положенную в области D, то точка (u; и) на плоскости иОи опишет линию Г'.
Линию Г' будем называть отображением линии Г иа плоскость иОи с помощью
аналитической функции w = f (z).
Возьмем на линии Г точку z9 = x0-\-y0i. Этой точке иа линии Г' соответ-
ствует точка = и0-|-i. Проведем к линии Г касательную L в точке (х0; у0),
а к линии Г' — касательную L' в точке («о; уо)- Пусть а—угол, иа который
нужно повернуть прямую L, чтобы ее направление совпало с направлением
прямой L' (угол между первоначальным и отображенным направлениями).
В теории аналитических функций доказывается, что a=argf' (z0), если
Г (*о) # 0.
Рассмотрим другую линию у, которая также проходит через точку (х0; у0),
и ее отображение—линию у'. проходящую через точку (иа; о0). Пусть I—каса-
тельная к линии у в точке (х0; у0), а Z' — касательиая к линии у' в точке
(«о! t»o)-
Для того чтобы направление прямой I совпало с направлением прямой I,
нужно и в этом случае прямую I повернуть иа угол а, так как угол иоворота
равен f (z0) [значение производной не зависит от выбора кривой, проходящей
через точку (х0; у0); рис. 68].
Если <р и ф—углы, составленные касательными L и I с осью Ох, а ф'
и ф'—касательными L' и V с осью Ou, то ф'—ф = а, ф'—ф = а и ф'— ф =
= ф'—ф. Следовательно, ф—ф = ф' — ф'. Ноф—ф—угол между касательными
L и I, а ф'—ф' — между касательными L' и I. Таким образом, две произволь-
ные линии, пересекающиеся в точке (х0; уп), отображаются в две соответству-
ющие линии, пересекающиеся в точке («о; о0), так что угол 0 между касатель-
ными к данным и отображенным линиям одни и тот же.
287
Легко доказывается, что модуль производной в точке (х0; 1/0), т. е. | f (г0) |,
выражает предел отношения расстояний между отображенными точками ш0-|-Д<х>0
и а>0 и первоначальными точками г0 + Дг0 и z0 (рис. 69).
Рассмотрев другую кривую и ее отображение, приходим к выводу, что
| f (г0) | выражает предел отношения расстояний между отображенными точка-
ми w04-Д’wQ и wq и первоначальными точками z0 + A'z0 и го-
Таким образом, |/' (z0) | является величиной искажения масштаба в точке г0
при отображении с помощью функции w = f (г).
Итак, если бесконечно малый треугольник в плоскости хОу отобразить
с помощью функции w — иа плоскость uOv, то получится бесконечно малый
криволинейный треугольник, подобный первоначальному вследствие равенства
соответствующих углов и пропорциональности сходственных сторон (в пределе).
Рис. 69
Отображение с помощью аналитической функции w = f (г) называется кон-
формным отображением.
1041. С помощью функции w= \/г отобразить на плоскость uOv
точки: 1) (1; 1); 2) (0; —2); 3) (2; 0).
Д 1) Точке (1; 1) соответствует значение следовательно,
1 1 —‘ _ 1 — ‘_ 1 1 i
W~ 14-i “(1+0(1 — О 2 2 2
На плоскости uOv получим точку (Г/2; —1/2);
2) z = — 2i, w— 1/(— 20 = (1/2) i; получим точку (0; 1/2);
3) г —2, w=\/2; получим точку (1/2; 0). Д
288
1042. С помощью функции w = z3 отобразить на плоскость uOv
линию у — х.
Л Находим
о> = (х+«/03 = х3 + Зх2уi—Зху2—y3i = (х3—Зху2) + (Зх2//—у3) I.
Таким образом,
и = х3—3ху2, v=3x2y—y3.
Из полученных уравнений и уравнения у = х исключим х и у.
и = — 2х3, v = 2x3, т. е. v = —u.
Итак, отображением биссектрисы I и III координатных углов системы хОу
является биссектриса II и IV координатных углов системы uOv.
1043. Пусть w = z2 и z описывает квадрат, определяемый нера-
венствами 0 у 1. Какую область описывает w?
Л Имеем
w = (x-j-yt)2 = x2 — y2A-2xyi, и — х2—у2, v = 2xy.
Найдем отображения вершин квадрата (рис. 70).
и = 0, о = 0; если х=0, у = 1, то и = —1, о = 0; если
о = 0; если х=1, у=1, то и = 0, о = 2.
Найдем отображения сторон квад-
рата.
OB'. у = 0, и = х2, о = 0, т. е. о = 0,
и^О — отрезок OBi оси абсцисс Ои.
О А: х = 0, и — — у2, о = 0, т. е. о = 0,
Если х = 0, у = 0, то
х = 1, у = 0, то и = 1,
и<0—отрезок OAi оси абсцисс Ои.
AC: у=1, и = х2—1, о = 2х; исклю-
чая х, получим и = о2/4—1 — дугу пара-
болы, соединяющую точки (— 1; 0) и
Ci(0; 2).
ВС: х=1, и=1— у2, v = 2y; исклю-
чая у, получим и = 1 — о2/4—дугу парабо-
Рис. 70
лы, соединяющую точки Вх(1; 0) и
Ci (0; 2).
Итак, отображением квадрата является криволинейный треугольник, огра-
ниченный линиями о=0, и = о2/4—1, и=1 — о2/4 н расположенный в верхней
полуплоскости. А
1044. С помощью функции w = 2z-}-1 найти отображение окруж-
ности х2 у2 — 1 на плоскость uOv.
Л Имеем о> = 2(х + у«) +1 = (2*+ 1)4-2у«, откуда u = 2x-f-l, о=2у. Из
этих равенств находим х = (и—!)/2, у = о/2 и, подставляя эти выражения
в уравнение окружности, получим (и—1)2~|-о2 = 4. Итак, искомым отображением
является окружность, радиус которой равен 2, а центр—точка 0(1; 0). А
1045. Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба
в точке z0 =— 2i при отображении w = .
Л При отображении с помощью функции w — f(z) угол поворота есть
а = argw' (z), а коэффициент искажения масштаба в точке z0 равен Л = |ш' (zc) |.
Находим
2(г + 0(г-0-(г + 02 4 + (z-Q2
(2_()2 (г_(-)2 •
10-216
285
В точке ze=—2i имеем
g=arg[~tr^~]==arg(^)=0: 1 {сжатие)-А
1046. В каких точках плоскости угол поворота при отобра-
жении равен нулю? В каких точках коэффициент иска-
жения масштаба равен 1?
Л Прежде всего отметим, что предполагается отыскание таких точек, где
задаинре отображение конформно, так как только при этом условии можно
говорить об угле поворота и коэффициенте искажения масштаба. Находим
, £(1 — iz)4-i(14-l2) 2i — 21 Г
w ~ (1 —iz)« — (1 — fz)2” (z+9*‘
Так как w' (z) 0 ни при одном значении г, кроме г — —I, то заданное
отображение конформно во всей плоскости с выколотой точкой г~—I. При
этом отображении угол поворота а в точке г есть
a=argw' (z) = arg
-2i ] _ я„-4ж(у+1)-2ф*-(У+1)а1
(z + O»J g [**+(«/+1)4J‘
Число w' (г) является действительным, если 1ти)'(г)==0, и положительным,
если, кроме того, Re и»' (г) > 0:
1ти>'(г) = 0 при (у4-1)2=х2, 1
Reo)'(z)>0 при х(у+1)<0. J
Отсюда у= — х—1 (х / 0). Итак, угол поворота данного отображения равен
нулю в точках прямой у— — х—1 (с выколотой точкой г——Q.
Коэффициент искажения масштаба в точке z равен (z) |; по условию
ои должен быть равен 1. Следовательно, |to'(z)| = l, т. е. | = ил”
|(г~Н)2| = 2, откуда |z4-d=_V" 2. Это—уравнение окружности с центром
в точке z=— i и радиусом У 2. Д
1047. С помощью функции w = z2 отобразить на плоскость uOv
прямые х — 2 и у=1.
1048. С помощью функции — z2 отобразить на плоскость
uOv прямую х-\-у—1.
1049. С помощью функции m = iz-f-l найти отображения осей
координат да плоскость uOv.
1050. Разъяснить смысл отображения на, плоскость uOv с по-
мощью функции (ц = еф*г, где <р—постоянная величина.
1051. Дана парабола г/=х1. Отобразить эту параболу на пло-
скость uOv с помощью функции w=z2.
1052. Показать, что угол между прямыми у=1 и у = х—1
не изменится при отображении гг>=(1+<)z + (l—I).
Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба
в точке гв при отображении w=f(z):
1053. w — z3, zQ=l — i. 1054. w=l/z, гл = 21.
1055. w — u + iv, где u = evcosx, u =—e’sinx, z0 = i.
290
Найти точки плоскости, в которых равен 1 коэффициент ис-
кажения масштаба при отображении:
1056. w — z2. 1057. w = z2—2z.
Найти точки плоскости, в которых равен нулю угол поворота
при отображении:
1058. w = z3. 1059. w = iz2.
§ 4. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Кривая Г, как известно, называется гладкой, если она имеет непрерывно
изменяющуюся касательную.
Кривая называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа
гладких дуг.
Дана функция комплексного переменного w = f (г), непрерывная в некото-
рой области D. Пусть Г—произвольная гладкая кривая, лежащая в области D.
Рассмотрим дугу кривой с началом в точке zQ и концом в точке г. Разделим
эту дугу на п частей произвольными точками гэ, гь г2, .... z„_i, гп = г,
расположенными последовательно на линии Г.
Составим сумму
Sn = f (го) Дг0+/ (zi) AZiH-[-f (z„_i) Az„_f,
где Дгц = г*+1—г* (k=0, 1, .... n—1). Пусть %—наибольшая из величии
|Дг*|. Если %—>-0, то л—>-со и сумма Sn стремится к определенному пре-
делу. Этот предел называется интегралом функции f (г) по дуге кривой Г,
заключенной между точками г0 и г, т. е.
f f (z) dz= Jim [/ (z0) Дгв+/ (z2) Azj+ ... +/ (zn_j) Az„_J.
J X-0
Если f (z) = u(x, y)-\-iv(x, у), то интеграл f(z)dz сводится к двум кри-
г
волинейным интегралам от действительных функций по формуле
J f (z) dz = J и (x, у) dx—u(x, у) dy-\-i v (x, y) dx-j-u (x, y) dy.
Г Г Г
Пусть Г—кусочно-гладкая линия, состоящая из гладких частей Гх, Г2, ...
..., Гт; тогда интеграл по этой линии можно определить с помощью равенства
$ f (г) dz = $ f (г) dz+ $ f (z) dz+... + f (z) dz.
Г Г, Г, г„
Если f (г) — аналитическая функция в одиосвязной области D, то значение
интеграла f (z) dz, взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой линии Г,
Г
принадлежащей области D, не зависит от линии Г, а определяется лишь поло-
жениями начальной и конечной точек этой линии.
Для всякой аналитической функции f (z) в некоторой односвязной области D
интеграл f (г) dz, взятый по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру у,
v
лежащему в области D, равен нулю (теорема Коши),
z
Рассмотрим выражение F (г) = f (/) dt. Здесь за путь интегрирования
г»
принимается произвольная кусочно-гладкая линия Г, лежащая в области D
и соединяющая точки z0 и г. Функция f (/) предполагается аналитической
в области D. Можно легко показать, что F'(z) = f(z). Функция F (г), произ-
водная которой равна f (г), называется первообразной функцией по отношению
к функции f (г). Если известна одна из первообразных F (г), то все другие
первообразные содержатся в выражении /•’(?) +С, где С—произвольная посто-
янная. Это выражение F(z)4-C называется неопределенным интегралом с*
функции f (z). Так же как и для действительных функций, здесь выполняете!
равенство
2
р(ПЙ/ = Ф(2)-Ф(20)
(формула Ньютона—Лейбница), где Ф (г) — какая-нибудь первообразная функ-
ция по отношению к f (г).
Для нахождения первообразной функции по отношению к аналитической
функции f (г) применяются обычные формулы интегрирования.
Рассмотрим n^-l замкнутых кусочно-гладких линий у0, yj, у2.....уп
таких, что каждая из линий yj, уг....уп лежит вне остальных и все они
расположены внутри у0. Множество точек, лежащих одновременно внутри у0
и вне у1, у2, ... уп, представляет собой (п-|- 1) связную область D.
Пусть f (z) — аналитическая функция в области D (включая значения на
контурах уо> Т1> Уг...Уп)- В этом случае выполняется равенство
р (г) dz = р (г) dz+ J f (г) dz-\-+ р (z) dz.
V» V. Vi Vn
1060. Вычислить интеграл \f(z)dz, где f(z) — (y-\-l)— xi,
АВ
АВ—отрезок прямой, соединяющий точки гл=1 и zB =— i.
А Имеем u = y-|~'> v = — х. Отсюда
f (г) dz= (y-\-\)dx-txdy—i xdx— (y-]-l)dy =
АВ АВ АВ
. , |x=0,</=-l . 10 . (у +1)3 1-1
—- (у 1) • X I I * „ I I X-----I ——
|л = 1,4( = 0 2 ’ 2 |о
2
2 ‘ 2 ‘ b
Можно поступить и иначе. Легко видеть, что f (г)=1 — iz и
f / И V (, -л_<!=^г г _
-J «J |1 **
АВ 1
==1_2,- + 1-з = _
21 ж
1061. Вычислить интеграл f(z)dz, где f (z) = x2 + y2i, АВ —
АВ
отрезок прямой, соединяющий точки А = 1 -j- i и В = 2 + 3i.
А Имеем u = x2, t,' = y2; значит,
f(z)dz= хг dx—y2 dy-\-i f у2 dx-c хг dy,.
АВ АВ АВ
292
Первый из интегралов в правой части равенства вычисляется как определенный
интеграл:
2 3
С , . , . С . . С , . х2 12 у2 |3 7 23 19
j ^dx-y2dy = ^ x2dx-^ = I
АВ 1 1
Для вычисления второго интеграла составим уравнение прямой АВ:
(у—1)/(3—1) = (х—1)/(2—1), т. е. у = 2х-1.
Отсюда dy = 2dx и
2 2
у2 dxх2 dy [{2х—1)2-|-2х2] Лс= (6х2—4x-|-l)dx =
АВ 1 1
= (2х3—2х2 + х) |?=10—1=9.
Итак, f (z) dz = —19/3 + 9Z. Д
АВ
1+f
1062. Вычислить интеграл § zdz.
i
Д Подынтегральная функция является аналитической. Используя формулу
Ньютона — Лейбница, находим
1 + f
С г2 П + i 1 1 1
j =y((1 + i)s-»8]=-g-(1+2f-1 + l)=2-+»’. ▲
i
1063. Вычислить ^zdz, где у — замкнутый контур x = cos/,
V
у = sin t.
Л Так как г — х—yi, dz = dx-(-i dy, то
z dz — xdx-j-y dy-f-i xdy—у dx.
V V V
Первый интеграл в правой части равен нулю, как интеграл от полного диф-
ференциала по замкнутому контуру.
При вычислении второго интеграла следует учесть, что dx = —sin tdt,
dy = cos tdt. Отсюда xdy—у dx = cos21 dt-|-sin2t dt = dt и окончательно получаем
2rt
^zdz = i ^dt — 2ni. A
V 0
1064. Вычислить где у—эллипс x = 3cos/, у = 2sin/.
v
Д Подынтегральная функция является аналитической в области, огранп-
v С dz л .
ченнои этим эллипсом, поэтому \ -—^ = 0. А
v
Г* dz
1065. Вычислить I — . .. , где у—окружность | г—(t’+l) |₽= 1.
J г V1 ~г1)
V
293
Л Уравнение окружности можно записать в виде
(х—1)а + (у—1)а= 1, или x=l-|-cos/, t/=l-|-slnf, или z=l-|-i+ew.
В области, ограниченной окружностью у, подынтегральная функция ие является
аналитической, поскольку в точке z=l-|-i, служащей центром этой окружно-
сти, функция обращается в бесконечность.
Так как dz = i-eitdt, то
Г dz
J 2 —(1 + 0
V
2л 2л
С ielt dt . С .. _ . .
I —— =t I dt = 2ш. Д
о о
1066. Вычислить
р 2*—1 —1 j
j (г_ 1) Где т—окружность
V
|г| = 2.
А Подынтегральная функции имеет разрывы
только в точках г = 1 и z = i. Функция f (z) является
аналитической в трехсвязной области, представляю-
щей собой круг с граничной окружностью у, из
которого вырезаны два круга | г— 1 j < г, | z—i | < г.
где г > 0—достаточно малая величина (рис. 71). Сле-
довательно,
f (z) dz= f (z) dz+ f (z) dz,
V Vi Vi
где Yi —окружность |z—l| = r, yz—окружность |z—t|=r.
Так как
t / \ z—1-j-z—t 1 .__1_
(z—l)(z—i) z—i'z — l'
TO
Первое и четвертое слагаемые в правой части равны нулю, поскольку подын-
тегральные функции являются аналитическими в соответствующих областях.
Следовательно,
V Vi
dz
z—i
Окружность ух имеет уравнение г=1-|-ге1'Ф, а у2—уравнение z = i+ге1^.
Отсюда
2л 2л
Р . . . . Р dw . Р 1ге‘Ф dtp . . .
J f W dz= j j ~^=43U- A
V 0 0
1067. Вычислить интеграл \f(z)dz, если f (г) = y + xi, Г — ло-
маная О AB с вершинами в точках го = 0, zA = i, zB—l+i.
1068. Вычислить интеграл \ г2 dz, где АВ—отрезок прямой,
АВ
соединяющий точки гл = 1, zR — i.
1069. Вычислить интеграл г10 аг, где у—эллипс х2/а2 + Уг1&= 1.
V
1070. Вычислить интеграл где у—окружность (х—4)2+
V
+ (У-3)2=1.
1071. Вычислить интеграл \ где у—окружность г — еи.
1072. Вычислить интеграл где V—КРУГ
v
| г | R, a zt и г2—внутренние точки этого круга, причем
¥= z2.
§ 5. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА
Пусть дана функция f (г), аналитическая в некоторой окрестности точки а.
Рассмотрим ряд
/ (а) (г- а) (г-«)2+^з^ (г-а)3 + ... .
Этот ряд называется рядом Тейлора функции /(г) и внутри своего круга схо-
димости выражает функцию / (г), т. е. в круге сходимости выполняется
равенство
/(z)=f(a)+^-)(z-a)+^-)(z-fl)2+... .
Если а = 0, то последнее равенство записывается в виде
,и_,го+ф,+ф^+£^^+....
В этом случае говорят, что функция /(г) разложена в ряд Макларена.
Рассмотрим теперь два ряда:
AzL-L Л~2--(1)
г—а *^(г—а)2 ‘ (г—а)3 ‘ '
Ао + А^г—а) + Л2(г—а)2 + А3(г—а)3+-.. . (2)
Область сходимости первого ряда (если оиа существует) определяется нера-
венством |г—а| > г. Если существует область сходимости второго ряда, то
оиа определяется неравенством | г—а | <R. Тогда при условии г < R для ряда
। А_д , А_2 . А~1 .
' (г—а)3'(г—а)2 'г—а‘
4- Ао-|- Ai (г—а) + А2 (г—а)3 —{— Аз (г—о)3-|- •.
полученного сложением рядов (1) и (2), областью сходимости служит кольцо
г<|г—а | < R, ограниченное концентрическими окружностями' с центром
в точке а и радиусами г и R (рис. 72).
295
Пусть / (г) —однозначная и аналитическая функция в кольце г < ]г—а|<
< R. Эта функция в указанном кольце может* быть представлена в.виде
суммы ряда
f (г) = ... -I А~3—I I
’ (г—а)3^(г—а)2^г—а'
+ (г—а) + ^2 (z—а)2+ Лз (г—а)3+ •.. .
Ряд в правой части равенства называется рядом Лорана функции / (г). Коэф-
фициенты этого ряда можно вычислить по формуле
Ап =^-. С . dz (п f Z).
2га J (z—а)п+1 ' ’
Г
Ряд (1) называется главной частью ряда Лорана, а ряд (2)—правильной
частью ряда Лорана.
Если ряд Лорана содержит главную часть, то а называется изолирован-
ной особой точкой. Коэффициент 4_j называется вычетом функции f (г) от-
носительно изолированной особой точки г = а.
Особая точка называется устранимой, если функция / (г) —аналитическая
в окрестности г = а и ограничена по модулю в этой окрестности, т. е. су-
ществует конечный предел lim/(г). Особая
г-»а
точка называется полюсом функции / (г),
если /(г)— аналитическая функция вблизи
г —а и стремится к бесконечности при
г—>-а.
Особая точка г = а называется сущест-
венно особой, если при г, близких к а, мо-
дуль | / (г) | не остается ограниченным, но
функция не стремится к оо при г —> а, пре-
дел lim/(г) не существует.
г-ш
Изолированная особая точка является:
устранимой, если главная часть раз-
ложения в ряд Лорана отсутствует. Напри-
. с, ч sln 2 А
мер, для функции / (г) = —— точка 2 = 0
служит устранимой особой точкой, так как
., . 1 ( г3 . г5 \ г2 г4
f(z)— г 31 + 51 3! + 5!
полюсом /i-го порядка, если главная часть содержит конечное число членов,
т. е. имеет вид
-1 I ^-2 । [ А-п
г—а~^~(г—а)2”* (г—а)"
(Л_„ # 0).
Например, для функции / = точка 2 = 0 есть полюс первого поряд-
ка, так как
существенно особой, если главная часть содержит бесконечное число чле-
нов. Например, функция /(г)=е1/3 в точке г = 0 имеет существенно особую
точку, так как
/(г) = е1/г=14-у4-^р4-^у34-... .
296
Между нулем и полюсом функции существует следующая связь. Если
г = а — нуль кратности k функции f (г), то г = а — полюс того же порядка
функции l/f (г); обратно, если г = Ь — полюс порядка k функции f (г), то
г = Ь — нуль той же кратности функции 1//(г).
Следует заметить, что если lim (г—(г)=с#0, то г = а—полюс k-ro
г-»- а
порядка функции f (г).
1073. Разложить в ряд Тейлора по степеням бинома г—i
функцию /(г) = г5.
Д Находим производные функции f(z) = z&: f (г) = 5г4, f"(z) = 20z3,
(г) = 60г2, flV(z)=120z, (г)=120, /VI (г) = /vn (г)= ... =0.
Определяем значения производных в точке a = i: f — f (i)=5,
f(i) = — 20i, (i) = — 60, p v (!) = 120i, fv(t)=120.
Отсюда
f (z) = i + 5 (г — i) — 10i (г—i)2 — 10 (г — i)3 + 5i (г—i)4 + (г—0s.
Рядом Тейлора функции' f (г) = г5 является многочлен пятой степени. А
1074. Разложить в ряд Тейлора по степеням двучлена г —
— (1—ni/2) функцию /(г) = сЬ(1 — г).
Л Находим
f (z)=ch(l — г),
Г (г) = —sh(l—г),
Г (г) = ch (1-г),
Г” (г)= —sh (1—г),
f (а) = ch (л!/2) — cos (л/2) = 0,
f (а) = —sh (Л1/2) = —i sin (л/2) = —i,
f" (a)=—i.
Следовательно,
1075. Исследовать сходимость ряда
_|__________________!---1-----!----1____!---|_
’ • • ^23 (г — 1)3^22 (г—1)2^2 (г—1)
, 1 । г—1 . (г—1)2 . (г—1)3 ,
+ 1 + 5 + 52 + 5з + • • • •
Л Рассмотрим два ряда
_Д_+________!_______!__+
2 (г—1) *^22 (z—I)2 *^23 (2—I)3 ' ’
1 । г~ 1 । (г~ О2 । (г—1)3 ।
1 -Г 5 Т 5г -Г 5з Т • • •
Если в ряде (а) положить г— 1 = 1/г', то получаем степенной ряд
zf ztZ z'9
-2-+ 22 +23-Н---
(а)
(б)
(в)
Радиус сходимости последнего ряда найдем по признаку Даламбера:
1 /ОМ -1
_Т72Т'=2’
Итак, степенной ряд (в) сходится, если | г’ | < 2. Следовательно, ряд (а) схо-
дится, если | 1/(г—1)| < 2. Отсюда получаем |г—1 | > 1/2 Значит, ряд (а)
297
сходится вне круга радиуса г = 1/2 с центром в точке z=l. Находим радиус
сходимости ряда (б):
R= Пт
п
1/5"-1
1/5» ~
5.
Таким образом, область сходимости ряда (б) определяется неравенством
|г—1 | < 5.
Из сказанного заключаем, что областью сходимости заданного ряда явля-
ется кольцо 1/2 < | г— 1 | < 5.
Решение этой задачи можно упростить. Ряды (а) и (б) являются геомет-
1 г—1
рическими прогрессиями соответственно со знаменателями —ц и —g—.
< 1. Следовательно, |г—11 > 1/2
не-
Оии сходятся, если | | < 1 и
и |г—1 | < 5. Итак, область сходимости — кольцо, определяемое двойным
равенством 1/2 < | г— 11 < 5. А
1076. Исследовать сходимость ряда
, (3 + 4Q3 , (34-40* , 3 + 4. , , , г , г3 , г3
I 23 “Г z2 -Г г Т 1 Т Т ^2 Т р
А Рассмотрим два ряда
3 + 4t , (3 + 4Q3 , (3+4Q3 ,
г ”Г г2 "Г -з Т • • • •
2 2^ 2®
(б)
Ряды (а) и (б) — геометрические прогрессии со знаменателями (3-|-4t)/z и z/i.
Они сходятся, если | (3-|-4i)/z | < 1 и | z/i | < 1. Так как | 3-|-4i | = У9-J- 16=5,
| /1 = 1, то 5/| z | < 1 и | z | < 1, или |г|>5и|г|<1. Но эти неравенства
несовместны, следовательно, данный ряд не сходится ни в одной точке пло-
скости. А
1Q77. Разложить в ряд Лорана по степеням г функцию
/(г) = 1/(2г—5) в окрестности точки г = 0.
А Представим данную функцию в виде
^(2)=К^75‘
В окрестности точки г = 0 выполняется неравенство |2z/5| < 1, поэтому дробь
•j—можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии с первым членом а— —1/5 и знаменателем ? = 2z/5. Отсюда
получаем
,,ч 1 2г 22га 23г3 Л 2п-1гп-1
5 5г 53 54 ••••“ли f (г)— 5«
п = 1
Это разложение содержит только правильную часть. Из неравенства | 2г/5 | < 1
заключаем, что областью сходимости ряда является круг | г | < 5/2. А
1078. Разложить в ряд Лорана по'степеням г функцию /(г)=
= 1/(2?—5) в окрестности точки г-оо.
298
Л Имеем
Z(2)==_1_=s_1Z(2^.
м ' 2г —5 1 —5/2г
В окрестности точки г=оо выполняется неравенство | 5/(2г) | < 1, поэтому
f (г) можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии с первым членом а — 1/(2г) и знаменателем <? = 5/(2г). Следовательно,
1 52 52 53 5»-*
^W=2i+22z5”^23zS_^2izi~' ’ ИЛИ = 2“г""’
п=1
В разложении иет правильной части. Ряд сходится в области | г | > 5/2
(вне круга). А
1079. Разложить по степеням г в ряд Лорана функцию
Нг) = (г_ 1/(^3) в кольце 1 < | г| < 3.
А Разложим данную функцию на простейшие дроби:
1 A R
(г_1)(гГзГГГТ-Ь—з- или >=^(г-3) + в(г-1).
Полагая г=1, получаем 1 = —24, т. е. А =—1/2; полагая г = 3, имеем
1=2В, т. е. В =1/2. Таким образом,
... 11.11
^(г)— 2 " г— 1 + г ‘г—3’
Учитывая, что 1 < | г | < 3, можем записать
/(г)==________
2 1—1/г 2 1—г/З
Следовательно,
'и—ЯЁА+Ёт?)*
л = ! /
1080. Разложить в ряд Лорана функцию /(г) — ^_2ji по сте'
пеням г—2.
А Положим г—2 = г'. Тогда
. г4 (г'+2)« г'* + 8г'*+24г'* + 32г'+16__
/«-(г_2)2- г„ г„ -
=^+г+24+8г'+г'2«
г *
т. е.
1R 49
/(г) = (-^5+^2+24 + 8(г-2) + (г-2)4.
Здесь главная часть содержит два члена, а правильная—три члена. Так как
разложение содержит конечное число членов, то оно справедливо для любой
точки плоскости, кроме г=2. Эта точка является полюсом второго порядка
функции /(г). Вычетом этой функции относительно полюса г = 2 является
коэффициент при (г—2)-1, т. е. 32. Д
299
1081. Исследовать сходимость ряда
• ••+^+^-+т+1+4+(4) +(1)3+-- -
1082. Исследовать сходимость ряда
••• +^ + р+^ + 4 +1 +2г + (2г)‘ + (2г)3+... •
1083. Разложить в ряд Лорана по степеням г функцию f (г)=
Z2
——1 в окрестности точки: 1) г = 0; 2) г=оо.
1084. Разложить в ряд Лорана функцию
sh г— г , п
., . ---5— при г =/= 0;
f(z)=l г’ Е ' ’
ОО при 2=0.
1085. Найти полюсы функции f (г) =
1086. Разложить в ряд Тейлора по степеням г—1 функцию
/(г)=1/г. Найти область сходимости ряда.
1087. Разложить в ряд Маклорена функцию
(1 — cos г , п
при г#=0,
1/2 при г = 0.
1088. Разложить в ряд Лорана функцию f (г) = 2г + 21/*—2,
определенную во всей плоскости, кроме точки г = 0.
§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫЧЕТОВ ФУНКЦИЙ. ПРИМЕНЕНИЕ
ВЫЧЕТОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ
jz«-i
Пусть а —полюс n-го порядка функции /(г). Вычет функции f (г) отно-
сительно ее полюса n-го порядка вычисляется по формуле
..ч 1 .. d"-1 [(г —а)"-/(г)]
(г)=(РЛ)Г—-———
(residue—вычет).
Если а—полюс первого порядка (простой полюс) функции / (г), то
res f (г) = lim (г — a) f (г),
а г-м1
Пусть функции <р (г) и ф(г) регулярны в окрестности точки г=а,
ф(а) 7= 0 и ф(г) в точке г = а имеет нуль первого порядка. Тогда при вы-
числении вычета функции f (г) = <р (г)/ф (г) в простом полюсе г = а удобно
пользоваться формулой
resf (г) =
а
Ф(а)
ф' (а)
Пусть f (г)—аналитическая функция в замкнутой области D, кроме ко-
нечного числа изолированных особых точек at, а-2.(полюсов или сущест-
венно особых точек). Тогда интеграл от функции по контуру у, содержащему
внутри себя эти точки и целиком лежащему в области D, равен произведение
300
2ju на сумму вычетов в указанных особых точках, т. е.
k
f f (z) dz = 2m 2 res f (г)
v /=> ai
(основная теорема о вычетах).
Рассмотрим частный случай. Пусть /(г)— аналитическая функция в
области D, число а принадлежит области D и / (а) # 0. В этом случае
функция F (г)=^-^ имеет в области D полюс а первого порядка. Найдем
вычет функции F (г) относительно полюса а:
resF (г) = lim (z—a)-F (г) = limf (z) =f (a).
a z-+a z-+a
Отсюда, применив основную теорему о вычетах, получаем
$F(z)dz = 2m7(a),
v
или
* С Ш. dz = f(a).
2т J г—а '
v
Мы получили весьма важную формулу в теории функций комплексного
переменного—формулу Коши.
Необходимо, однако, отметить, что вывод формулы Коши должен пред-
шествовать доказательству основной теоремы о вычетах. Здесь мы воспользо-
вались случаем дчя того, чтобы познакомиться с этой важной формулой.
Пусть f (г) — аналитическая функция в верхней полуплоскости, включая
действительную- ось, за исключением конечного числа полюсов (Л=1,
2, ..., т), расположенных над действительной осью. Кроме того, предпола-
гается, что произведение z2f (z) при |z|—«--(-оо имеет конечный предел.
+ 00
В этом случае для вычисления определенного интеграла f (х) dx функции
— 00
действительного переменного применяется формула
+ со
J f (x)dx = 2m(ri + r2+...+rm),
— »
где г/г (Л=1, 2..т) — вычет функции f (z) относительно полюса а*.
1089. Найти вычеты функции f (z) = ^г_1^г_3^
Л Простыми полюсами функции являются точки г=1 и г = 3:
resf (z)=*lim (г—1) •
reSf (z)= lim (z-3). A
1090. Найти вычеты функции f (г) — -2 * 4 .
301
Д Имеем f (г) — (г_ 2(-) (г + 2i)
точки 2/ и —21:
Простыми полюсами функции являются
res f (г) = ^(2 2i). (г_2/) (г+2/)-Дш^z + 2(— 4i 4>
Iff А
1091. Найти вычеты функции f(z) —
Л Простыми полюсами функции являются корни знаменателя: г=» 1 ± 21.
Следовательно, f (?) = <г_ t _ 21)\г—1~+2tj ' Находим
...... г—1—2i 1 i
res f(z) = lim -;—lim ---------------, , <w ==—7 >
l+2i z 1+21 (z—1—2i) (z—14-2i) zi+si z—1+2/ 4
. . . z— I + 2i I I .
res f(z) — lim ;—57?+—, , _- = lim -;—f5r=-r. A
i-2i z-»i-2i(z—1—2i) (z—1 -1-2i) z-.i-2i z—1 — 2i 4
z"
1092. Найти вычет функции f(z) — r-—^5.
Л Так как г —2— полюс третьего порядка, то
resf(z)=4- lim
2 21 2 -► 2
?2
^•(г~2)3
dz2
1
2!
lim
г -» 2
d2 (г2)
dz2
1
21
1093. Найти вычет функции f(z)= 1_cOSZ относительно по-
люса 2 = 0.
Л Точка г = 0 является полюсом второго порядка. Действительно,'
г2
lim ------------
z - о 1 — cos г
lim -^-=2
z о sin г
является конечной величиной. Тогда
г2 \ 2z (1 — cos г) —г2 sin г
------ = lim --—г.-----—гг---=ч
1 —cosz ) z-o (1 — cos г)2
res f (г) = lim (
о z-o dz \
1094. Найти У (г_~1) 2) (г—3) ^z* Где V-замкнутый контур,
v
внутри которого находятся ПОЛЮСЫ 2=1, 2 = 2, 2 = 3.
302
Л Определим вычеты подынтегральной функции:
Т'И-,"?.(г-щ/-2) ~2-
Следовательно, J А 3/ dz ~ 2я‘ С1 ~3 + 2) — 0. Д
?
1095. Найти J (г2_|_г1)^гг_2) . где у—окружность |z| = 3.
V
2®
Л Имеем f (г)=?-л~/~"_гч'7-о? • Полюсы i, —i, 2 находятся внутри
и ч и “г О И
замкнутого контура у. Отсюда
гя 1
Т f W (г“° f (г) = й (a + 0(/-2)=W=0~ ’
2® 1
ref(z)~JlmJz+Of(z)=Jhn_t (г-0(г-2) = ~2i(2+0’
2® 4
resf (z)= lim (z—2) f (г) = Jim -5^=5-;
f z2 Г 1 1 4 1
J (z«+l)(z—2) [2/ (2-j) 2i(2+0+ 5 J “
v
I 1 1 , 8 A / 2 . , 8 A „ . .
-Я(2=Т_2+Т+5’{)~П\5’<+'5V=
1096. Вычислить определенный интеграл
Л Функция 4)у является аналитической в верхней полуплоскости,
2®
за исключением полюса 2i. Кроме того, lim z2f(z) = lim , . , ,,„=0,
izi -.+« 1 z 1 +~ (z24~4)2
т. e. является конечной величиной.
Найдем вычет функции f (z)= l/(z2-|-4)2 относительно полюса второго
порядка 2i:
« 4Г(г—202 „ dr 1
res f (z) = Jim “5— I —ГТ7Г = ,im у —rsrr
si z~zidz L (z + 4)a J 2 _ 3idz I (z + 2i)2
_ —2 2 1 .
- z ™2i (Z + 2i)3 — 64( — 32 ’•
Следовательно,
dx
(x2+4)a
___1_ A_ л
32‘,T 16’
1097. Найти Jz(z~+2^Z(z+'4) * если V—окружность: 1) zs=l;
2) |z| = 3; 3) |z| = 5.
303
Найдем вычеты подынтегральной функции относительно полюсов г = 0,
г = —2, г=—4:
resf^Jirn (z + 2)\z + 4)=i’
гезНг) = г1.т_2(г + 2)/(г)=211гп_27^=-4
res f (г) = Jim * (г+4) f (г) = , lim *
1) Внутри контура у—окружности |г|=!—находится только полюс
р 1 ''ll
г = 0; тогда \ f (z)dz = 2ni—=-j-.
v
2) Внутри контура у—окружности | г | = 3—находятся полюсы г = 0 и
г = — 2; тогда J / (z) dz = 2ш — — -j
v
3) Внутри контура у—окружности |г| = 5—находятся полюсы г = 0.
г = —2. г = —4; тогда С f (г) dz = 2ni — 4-+’=°- А
J \ 6 4 6 /
V
1098. Найти вычет функции /(г) = у4у.
1099. Найти вычеты функции /(z) = i •
1100. Найти вычет функции f (г) = 1/sin г относительно полюса
г = л.
1101. Найти вычет функции f (г) = (г + 1 )/г2.
р г2
1102. Найти интеграл \——dz, у—окружность |г| =/?> |а|.
J z а
v
1103. Найти интеграл ^г_ацг_ь^г, у — окружность |г|— R.
V
R > |а|, R > |&|, а^=Ь.
С* dz
1104. Найти интеграл i 2г ' 2 ’ —окружность, внутри ко-
V
торой содержатся полюсы знаменателя.
1105. Найти интеграл Г ; _ Л dz, у—окружность |г| = 2.
v
+ 00
1106. Вычислить определенный интеграл J •
ГЛАВА VIII
ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ
1. Основные определения. Пусть функция / (Z) обладает следующими свой-
ствами:
1°. f (/) = 0 при t < 0.
2°. If (01 < Mes<t прн t > 0, где М > 0 и s0 — некоторые действительные
постоянные.
3°. На любом конечном отрезке [a, ft] положительной полуоси Ot функ-
ция f (/) удовлетворяет условиям Дирихле, т. е.: а) ограничена;
б) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода;
в) имеет конечное число экстремумов.
Такие функции в операционном исчислении называются изображаемыми
по Лапласу, нли оригиналами.
Пусть р = а+р/—комплексный параметр, причем Rep = a^Sj > s0.
00
При сформулированных условиях интеграл e~Pff (/) dt сходится н яв-
о
ляется функцией от р:
СО
о
Этот интеграл называется интегралом Лапласа, а определяемая им функция
комплексного аргумента р называется преобразованием Лапласа от функции f (i),
нли лапласовым изображением f (/), нли просто изображением f (/).
Тот факт, что функция f (р) является изображением оригинала f (/),
обозначают следующими символами:
7(Р) = ^{/(О}> нлн7(р)-Н-^(0-
Уславливаются за значение оригинала f (t) во всякой его точке разрыва
I рода /0 принимать полусумму его предельных значений слева и справа от
этой точки:
f (М = (1/2)[/(/о-0) + /(/о + 0)1 при /о#О;
/(0) = /(Д0) прн Zo = O.
При соблюдении этого условия соответствие между оригиналами и изобра-
жениями обладает следующими свойствами:
это соответствие взаимно однозначно (т. е. всякому оригиналу соответ-
ствует единственное изображение и обратно),
любой линейной комбинации конечного множества оригиналов в качестве
изображения отвечает соответствующая линейная комбинация их изображений.
Таким образом, если f(р) f& (/) (й=1, 2, ..., п), то
k=n k=n
kcz 1 £ = I
2. Нахождение изображений функций. В таблице и в каждом из приве-
денных ниже примеров указывается только значение f (/) при t > 0 (всегда
имеется в виду, что / (/) = 0, если t < 0).
305
Таблица изображений основных элементарных функций
№ f (0 при t > 0 I(p) № f (/) при t > 0 f(p)
I 1 1 VI e®* - cos pi p—a
P (p-ap+P1
II tn I VII e“<-sin pi P
nl p/i+i. (p-a)»+P«
111 e®' 1 VIII ~e“< n! 1
p—a (p—a)B+1
IV cos pi p IX I-cos pi p»-p«
P»+P2 (p»+P»)»
V sin (И p X I-sin pi 2pP
P»+P» (p»+P»)»
1107. Найти изображение функции f =
Л Так как а=е1по, то f (1)=е(1п0. Применив формулу Ш, получаем
1108. Найти изображение функции /(/) = cos*t
Л Воспользуемся формулой Эйлера cos/ = (е*' -|-е_<')/2. Тогда
cos»t==^et,+‘~u (е»*<4-3e«+ 3e-<;+e-»w)^
1 est,-+e-3t< з 1 я
---------------+_----------- cos 3/+т cos t.
Применив формулу IV, получаем
Т/м—L ^Р__ । 3 Р Р(Рг+7) .
'W 4 р» + 9’ 4 р«+1 (р«+1)(р«+9) ‘ А
1109. Найти изображение функции f(i) = shbt.
Д По определению гиперболического синуса имеем f (I) = (1/2)ем —
— (1/2)е“м. Следовательно,
-г, ._ 1 1 b
'W—2(р—ь) 2(р + Ь)~рг—Ь*‘ *•
1110. Найти изображение функции f (I) = shafsinW.
Л Так как shal = (e*<—e~at)/2, то
f (О=-тгев<sin И — -i-e~at sin’bt.
Применим формулу VII:
у. .__Id 2раЬ .
Г(Р’~2 (р-а)*+Ь* 2 (р+a)«+ ft»-[(p-a)«+*»][(₽+«)»+ *»] ’ А
1111. Найти изображение функции f(t) = tchbt.
306
Л Так как
f (0 = /.е“+2е tebt+^ te-bt,
то, применив формулу VIII при п=1, а=± Ь, получаем
1 , 1 _ Р2 + ь2 А
' (Р>~ 2(р-Ь)2~Г 2(р-\-Ь)2~ (р2—Ь2)2 ‘ Ж
Найти изображения функций:
1112. f(0 = sin2/. 1113. f(t) = eicos2t. 1114. f(0 = chW.
1115. f(t) = shatcosbt. 1116. f(i) = chai sin bt.
1117. /(/) = cha/cosW. 1118. f(t) = tshbt.
§ 2. ОТЫСКАНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
При отыскании оригинала по изображению в простейших случаях исполь-
зуют таблицу изображений основных элементарных функций н теоремы разло-
жения (первую и вторую).
Вторая теорема разложения позволяет найти оригинал для
изображения, являющегося дробно-рациональной функцией от р, т. е.
f (р) = и (p)/v (р), где и (р) и ц(р) — многочлены от р соответственно степени т
и я, причем т < п.
Если разложение v (р) иа простейшие множители имеет внд
f(P) = (P—Р1)*‘/(Р—Р»)*’ ••• (Р—Pr)kr (*1 + *а+.. .4-йг = п),
то, как известно, функцию f (р) можно разложить на сумму элементарных
А/ $
дробей вида------Г—Т+Ч— ’ где принимает все значения от 1 до г, a s —
(P—Pj}kj
все значения от 1 до kj. Таким образом,
j-rs=kj
i-i s = i (p—pj)'
Все коэффициенты этого разложения можно определить по формуле
А1->-(S=T5F Д™, {з-Й-[(Р-сЛ-Ти]}.
(1)
(2)
Вместо этой формулы для определения коэффициентов Ац s могут быть
использованы элементарные приемы, применяемые в интегральном исчислении
при интегрировании рациональных дробей. В частности, это целесообразно
делать в тех случаях, когда все комплексные корни знаменателя t>(p) простые
и попарно сопряженные.
Если все корни v(р) простые, т. е.
ц (р) = (р—pi) (р—рд ... (р—рп) (.PJ * Рк при j # k),
то разложение упрощается:
— V'" Аг и(рг)
гдеЛ'--гт^- (3)
При отыскании тем или иным способом разложения f (р) на простейшие дроби
оригинал f (/) находится по следующим формулам:
307
а) в случае кратных корней знаменателя v (р):
. S = k .
/ = <• > k,-s
/= 1 s= 1 '
б) в случае простых корней знаменателя v (р):
Если изображение искомой функции может быть разложено в степенно!
ряд по степеням 1/р, т. е.
F(p)=f+^+.--+^i+--
(причем этот ряд сходится к f (р) при |р| > R, где /? = lim |а„ + 1/а„ | ос к
п -► со
то оригинал f (/) находится по формуле
f (0 = ao + ai • -][-+ «а • ‘2i'+ •••+“«• 7f + • • •>
причем этот ряд сходится для всех значений t (первая теорема разло-
жения).
1119. Найти оригинал функции f (р) — р2_2р^5-
Д Используем элементарные приемы для разложения этой дроби на суму?
таких дробей, оригиналы которых известны:
Р _ Р—1 + 1 _ Р-1 . 1
р2_2р+5-(р_1)2 + 4 (р_ 1)2 + 4Т(р_ 1}2+ 4 •
По формулам VI и VII таблицы имеем
р— 1 . . 1 1 2 . 1 , ,
(р— 1)3 + 4 е ’C°S 2/; (р-1)2+4~Т * (р- 1)а + 4 ~2 е ‘S " 2 ’
Поэтому
----£——4. et . /cos2/ + -^-sin 2/1. ±
(р—1)я+4 ( 2 ) “
1120. Найти оригинал функции /(р)=^з~8-
Д И в этом примере используем элементарные приемы разложения, из-
вестные из интегрального исчисления. Разложим данную дробь на простейшие
дроби:
__1_ А__________Вр + С
р3 — 8“ р — 2 +р2 + 2р + 4 •
Для определения коэффициентов имеем тождество
1^4(p2 + 2p + 4) + (Bp + Q(p-2).
Полагая р = 2, находим 1 = 124; 4 = 1/12. Приравнивая коэффициент прн р2
нулю и свободный член—единице, получим 4-|-В = 0, 44 — 20= i. Отсюда
В = — 4 = —1/12; 0 = 24 — 1/2 =—1/3. Следовательно,
1111 р + 4 1 1 1 (p+l)+(V3)J
рз_8 12-р_2-12-р2 + 2р+4 12* р-2 12-1(p+1)J+(7-)2-
308
Таким образом,
Tln. _1 _J________1. р+1 £1 . Гз
Т(Р> 12’р—2 12’ (р+1)2+(/-3)« 12 (р+1)2_|_()Л 3)2-
Отсюда, используя формулы HI, VI, VII таблицы изображений, находим
{cos /КЗ+ КЗ-sin цГз}. А
1121. Найти оригинал функции /(р) = (р_1)3Р(р+2)2-
Д Разложение f(p) на простейшие дроби имеет вид
—, ч 41,1 , 41,2 ( 4j,s ( Л2,1 ( Л2,2
/ (Р) = +(р_ i)2+yZT+(7+2p+^ ’
Находим коэффициенты этого разложения, используя формулу (2):
41Д=4 Игл (F+2p=4 :
Л1-г==4г ^«₽-1)3'Г(р)}= и™ тР
г ( 1 2р 1 _ 1
" \(р +2)а (р + 2)3/- 27’
Л1-8== 2Г р‘™! 1)3'f J™ [(р + 2)2] =
I J 4 6р I 1
_2рЙ™Л (р + 2)з+(р +2)=>f - 27’
2 К₽+2)Ч(Р)1= Шп 2 (^з=2-7 !
42, ,=± Дгп 2 [(Р + 2)4 (Р)]= «ш =
_ Г_1________Зр_1____1
_р^.га_2 L(P —О3 (P-1)4J 2У
Таким образом,
7< >. 1 / 3 .___1_______1 , 2 , И
' 27 )(р_ 1)зТ(р_ 1)2 р-1~1(р_|_2)2-Гр + 2/ ’
Отсюда, используя формулы 111 и VIII, находим
/(0==^ {^./V+te‘-e« + 2M-2f + e-2'j> =
_3<2 + 2/-2 t 2£+_1 t
~ 54 + 27 е • А
1122. Найти оригинал функции f(p) = .
Д Поскольку в данном случае все корни знаменателя действительные и
простые, лучше всего воспользоваться формулой (5). Имеем
«(Р)=Р+1> (.Р) = Р(Р~1) (р—2)(р—3) = р4—6р8+11р2—6р;
v' (p)=4p3_i8p2_L22p-6.
309
Находим корни v(p):pi = 0, р2=1, р$ = 2, р4=3. Далее, получим
»(Pi) 1 __!_• “(Ра) _2 ]
o' (Pi) —6 6 ’ v' (р2) 2 ’
и (Pi) 3 3 . и (Р«) 4 _ . 2
o' (pi) — 2 2 ’ o' (pi) 6 3
Отсюда по формуле (5) находим
/(0 = _|+е<_|е«+2е« Д
— 1
1123. Найти оригинал f (р) = р используя первую те-
орему разложения.
Л Имеем
Т< ' - 1 _L 1 -1______L । J_
1 Р(1+₽‘) Р5 ’ 1 Р5 Р9- Р1?
* + р«
Этот ряд сходится прн |р| > 1. Отсюда находим
f(0==2i_r+^._^L+ ...а
1124. Найти /(/), если Т(р) = р {р<+ /) (р»-Ь4)-
ф Разложить 7(р) на простейшие дроби.
Найти оригиналы по данным изображениям:
"2S. 1128.
ll27-/W-p(p._'5p,+4)-
1128. С помощью первой теоремы разложения найти оригинал
для функции f(p) = 1/(р*+а*), где k—целое положительное число.
§ 3. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
И ИНТЕГРАЛА ОТ ОРИГИНАЛА
Сверткой двух функций fj (0 и f2 (0 называется функция
t
F (0 = $ h(t—T)-f2(t)dt.
о
Интеграл, определяющий свертку, ие меняет своего значения от переста-
новки функций fi и ft, поэтому свертка двух функций симметрична относи-
тельно свертываемых функций.
Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений
(теорема свертывания оригиналов): если fi (р)-? fi (0.
h (Р) -Г 7» (0. то
t
J fi (t—tyh (т) dr *- 7i (p)~ft (p).
о
310
Пусть оригинал f (0 дифференцируем п раз н его производные до л-го
порядка в свою очередь являются оригиналами. Тогда справедлива теорем а
дифференцирования оригинала: если f (р) -4 f (I) (k = 1, 2, ..., л), то
Л* (0 *- р*-Г(р)-{р*"Ч (О)+р*-Ч' (0) + .. .+/*-1 (0)}.
В частности,
Г (0 ± P-T(p)-f (°). Г (0 *- рЧ (p)-p-f (0)-Г (0).
Для всех оригиналов справедлива теорема интегрирования:
если f (р) -4 f (0. то
-* j f (т) dr.
о
Отсюда видно, что пгображения производной н интеграла получаются из
изображения функции f (t) с помощью выполнения над f (р) алгебраических
операций. Следует также отметить (см. таблицу изображений), что изображе-
ния значительной части функций, используемых на практике (eal, cos Pi, slnf/
и т. д.), являются алгебраическими функциями от р.
Это дает возможность многие операции математического анализа (решение
дифференциальных и интегральных уравнений и т. п.) свести к выполнению
алгебраических действий над изображениями искомых функций.
1129. Пользуясь теоремой свертывания, найти оригинал функ-
ции T(p) = -^rv
Д Запишем f (р) в виде • ~г • В силу того что -ЧЧ- -у ch t,
1 -4 sin t, по теореме свертывания имеем
-4 у ch (t — т) sin т dx =
о
= — i[sh (t — т) sin т + ch (t—т) cost] = — (ch t — cos 0. A
<£• (0 л
ИЗО. Найти изображение y”(t)—у'(t)— y(t), если y(0)~
«=i/'(0) = 0 и y(p)±y(t).
/\ По теореме дифференцирования оригинала имеем
P'(0J-W(P)~У(°) = Р-7(Р)> _
tf(t) 4- РЧ{Р)-Р-У^ — У' (0) = р2-у(р).
Отсюда находим
У (0 — / (0—У (0 *- (Р2—Р— О У (Р)
(сумме функций в качестве изображения соответствует сумма их изображений). А
t
1131. Найти изображение y'(t) + y(t) + $ ytydx, если у(0)=1
_ о
311
л По теоремам дифференцирования и интегрирования оригинала имеем
t _
у' (О V Р-ЙР) — У (Р)=Р-У(р) — 1. j У (т) dr •
о
Отсюда находим
t - 2
у’ (О + У (О + J У (т) dr ± ру(р) — 1 +у (р) + ~-^=Р +р+1 • Р (Р) — 1 А
О
1132. Найти свертку функций t и cos£ и ее изображение.
1133. Пользуясь теоремой свертывания, найти оригинал для
7 (Р) = (р2 + 1)2-
1134. Найти изображение F(t) = y(t)— 2у (0, если г/(0) = 0,
y(t)±~y(p).
1135. Найти изображение F (t) = у (t)-]r2y (t) — 2y(i),
если i/(0) = 0, у' (0)=l, z/"(0) = 2, у(0 4- у(p).
1136. Найти изображение F (0 = у' (t) — J у (т) dx, если у (0) =
=0, y(t) 4- у{Р).
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Если дано линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоян-
ными коэффициентами
(0,
правая часть которого f (t) является оригиналом, то и решение этого уравне-
ния, удовлетворяющее произвольным начальным условиям вида у (0) = «/<>,
у'(0)=й ..., j/f"-1) (0) — t/о"-1’ (т. е. решение задачи Кошн, доставленной
для этого уравнения, с начальными условиями прн t — 0), служит оригиналом.
Обозначая изображение этого решения через у(р), находим изображение левой
части исходного дифференциального уравнения и, приравнивая его изображе-
нию функции / (t), приходим к так называемому изображающему уравнению,
которое всегда является линейным алгебраическим уравнением относительно у (р).
Определив из этого уравнения у(р), находим оригинал y(f).
Тот же метод перехода к изображающему уравнению позволяет легко
найти решение интегральных уравнений вида
i t
J К (t— т)у(т| dr=f (О, У = f (0 + $ К (t—т) у (т) dr,
о о
в которых функции К (!) и f (t) являются оригиналами, поскольку входящий
в эти уравнения интеграл является сверткой функций у (/) и К (/).
Эти интегральные уравнения являются частным случаем интегральных
уравнений Вольтерра первого и второго рода, общий вид которых получаете-,
если заменить функцию K(t — т) (ее называют ядром интегрального уравнения;
некоторой функцией двух аргументов К {(, т).
312
1137. Решить дифференциальное уравнение у"—2у'—3y = e3t,
если !/(0)-0, у'(0) = 0.
Л Переходим к изображениям:
Р*У-Р-У (0)—</' (0) —2 (ру — У (0))—Зр=—Ц.
или
2™-3’=^3 • ’ - •
Разложим эту рациональную дробь на простейшие дроби:
1 А д. В д. С
(р+ 1) (р-3)2~(р-3)2± р-3 + р-1- 1 ’
1 = а (р+ 1)4-6 (р-3) (Р4- 1)+с (р-З)2.
Полагая р =—1, получаем 1 = 16С, т. е. С= 1/16; при р = 3 имеем 1=44,
т. е. 4 = 1/4. Сравнивая коэффициенты при р2, получим 0 = В + С, т. е. 6 =
=—<7= 1/16. Следовательно,
1 1 , 1
y“4(p-3)2 16 (р-3) 16 (р+1) *
откуда
у —/p3t___лЗ/ ! J . л — t Л
У 4 1е 16 +16б • А
1138. Решить уравнение у" А-у’ — 2y — e~f, если у(0) = 0,
/(0) = 1.
Д Переходим к изображениям:
[р2у-р-у (°) —/ (°)1 + [р-7— У № — 2у=гтч •
Р+1
После несложных преобразований получим
у=_________________________£±2______L_
у (р+1)(р2+р-2) р2-Г
Отсюда у = sh t. ▲
t
1139. Решить интегральное уравнение y=^yd/ + l.
о
Л Строим изображающее уравнение:
^=Т+7’?(р-,) = ,’?=7^Г-
Следовательно, р = е*. А
1140. Решить интегральное уравнение
t
$ y(x)sin(Z—т) dx= 1—cos Л
о
Л Левая часть уравнения является сверткой функций у (t) и sin t. Пере-
ходя к изображениям, получаем
. 1 1 Р _ 1
1Н«-р2 + 1 р р2 + 1 (р2+1)р*
Следовательно, у(р)=1/р и у(1)=1. А.
313
1141. Решить интегральное уравнение
t
$ У(т) е'~х dt— y(t)—ef.
о
Д Левая часть уравнения является сверткой функций у (t) н е<. Перехо-
дим к изображениям:
Следовательно, у(р) = 1/(р—2), т. е. y(t)=e21. А
1142. Решить систему уравнений
если х(0) = 0, у(0) = 5.
А Перейдя к изображениям, имеем
(р-х(р) = х(р) + 2у (р),
р.у (р)~5 = 2?(p) + 7(p) + j.
Решив эту систему относительно хну, получаем
. 10р4-2 —. . 5р2—4р— 1
Х(/’)~Р(Р+1)(Р-3) ’ у{р)-р(р+1)(р-зу
Для определения х воспользуемся второй теоремой разложения н форму-
лой (5) § 2:
и (р) = Юр + 2, о (р) = р3—2р2—Зр, ц'(р) = 3рг—4р—3,
Р! = 0, р2 = —1, рз —3;
ц (pt) __ ц (0) _ 2 и (рг) _ «(—1) _ о и (р3) _ и (3) 8
и'(Р1) и'(0) 3’ v'(p2) v'(— 1) ’ и'(рз) с'(3) 3'
2 8 1
Таким образом, х = —,—2e~*-{—=-Аналогично находим у = -%-{
м О О
+ 2е-<+4Л А
Решить дифференциальные уравнения:
1143. у' — 2i/=0; у(0)=1.
1144. у' + у = е?', 1/(0) = 0.
1145. /—9i/=:0; y(Q) = y' (0) = 0.
1146. /+i/'-2i/ = e<; у(0) = -1, /(0) = 0.
1147. /"-6/+11/—б(/ = 0; f/(0) = 0, /(0) = 1, rf(0) = 0.
314
Решить системы уравнений:
1148. %=2у, -g- = 2x; х(0) = 2, у(0) = 2.
1149. *1 = Зх+Ьу, ^Ь = 4Х-Зу, х(0) = ^(0) = 1.
Решить интегральные уравнения:
t
1150. —x^dx — ^t9.
о
t
1151. Ji/(t)cos(Z—т)</т=1—cos/,
о
5. ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ
Пусть функция f(t) обладает следующими свойствами:
Г. f (<) == 0 при t < 0.
2°. If (0| < Mes°* при t > 0, где М > 0 и s0—некоторые действительные
постоянные.
3°. На любом конечном отрезке [а, &] (0 < а < Ь) функция удовлетворяет
условиям Дирихле.
СО
Тогда функция f (р), определяемая равенством f (р) = (0 dt, яв-
о
ляется аналитической в полуплоскости Repast > s0.
Прн этом справедлива формула обращения (формула Римана — Меллина)
a+i<>> a+ia>
^(/)=2лГj ept7(p)dp, § еР*Т (p)dp,
a—
дающая выражение оригинала f (0 через изображение f (р), причем о—произ-
вольное число, удовлетворяющее неравенству а > se.
Если 17(р) | < С/?"*, где р = /?е10—я<0 < я, R > /?0. Яо> с и k > 0 —
a+ i®
постоянные, то интеграл еР* f (р) dp в формуле обращения может быть
a—t®
заменен на интеграл ^eP*f (p)dp, где у—окружность с центром в начале
v _
координат, которая содержит внутри все полюсы функции F (p)—eP*f (р).
Следовательно, f (0=2^7 J e/,,f
v
Применив основную теорему о вычетах, получаем
= (ri + fa+• • •+гл»)>
где и, г», .... гт — вычеты функции F (р) относительно полюсов. Итак,
т
ri' Эта формула для дробно-рациональиого изображения в подроб-
/ -2 1
ной записи есть не что иное, как формулы (4) и (5) § 2.
1152. Найти оригинал по изображению / (р) = jp J цз-
ept
Л Находим вычет функции F (р) — :
[<р-
i2e(
Следовательно, f (i) =-gy •
1153. Найти оригинал по изображению
= (р + 1)(р + 2Нр + 3)(р + 4) ’
Л Имеем
(Р+1) (Р+2) (р+3) (p-f-4) ’
гх= lim (p+l)-F(p) = — i-e-f, гг= lim (p-j-2)-F (p)=--e~2t,
0-+-1 о p -> 2
rs= Um (p+3)-F(p) = — -%-e-3‘, lim (p-)-4)-F (p) = 4 e-4t.
P-+-3 * -4
1 3 2
Следовательно, f (/) = —e~t-\-e~3t—e ~3te-4‘. A
О x о
Найти оригиналы по данным изображениям:
1154. /(p) = -iz_£^L.
1155. f (р) = p4_6p3_|_llp2_6p •
1156. 7(Р) = (р_1)3(рз+1) •
§ в. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ
НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Рассмотрим решения некоторых уравнений математической физики—волно-
вого уравнения н уравнения теплопроводности. Наиболее эффективными при
этом являются методы операционного исчисления, основанные на идее исполь-
зования преобразования Лапласа. Ограничимся случаем, когда искомая функ-
ция и зависит от двух независимых переменных х н t, где х—пространст-
венная координата, t—время. Нестационариость рассматриваемой задачи
выражается в том, что ищется решение, которое существенно зависит от
начальных условий, и потому имеет место неустановнвшнйся (или переходной)
режим физического процесса.
Допустим, что дифференциальное уравнение в частных производных имеет
внд
. дги . ди . _ , , д3и . _ ди п
А ~д^+В~д^+Си+А1~д^+В1 ~дГ = °’ (1)
где А, В, С, Ai, Bi—непрерывные функции от х, заданные в промежутке
Осх</ (можно считать, что А > 0).
Рассмотрим два основных случая: 1) Ai < 0, что соответствует гипербо-
лическому типу уравнения; 2) At = 0, Bt < 0, что соответствует "параболиче-
316
скому типу. Прн этих условиях" поставленную нестационарную задачу можно
сформулировать так: требуется найти решение и (х, t) уравнения (1) для
0<x<Z и ^ЭгО, удовлетворяющее начальным условиям и (х, О|<=о=Ф(*)>
-дг I = ф(х) (причем второе условие задается в случае < 0) и граничным
01 I t=:0
условиям и (х, t) |х=0 = f(t), а-^-| _г+₽4г| _г=Ти<х> 01*=ь W
а, Р» постоянные. Заметим, что при I—> оо второе граничное условие
отпадает.
о , Л ди д*и .
Предполагается также, что и(х, г), -^5-» являющиеся функциями
от t могут служить оригиналами и что изображения искомой функции и ее
производных имеют вид
и (х, р) = У e~Pt и (х, С) dt, ^e~pt-^j~dt =
о о
d С в/ du (* _ t д*и , d* (* t d*u
= -r- \ ue~Pt dt = -r- , \ e Я-5-г- d/=-r-» \ ue Pf dt = -?-=.
dxj dx J dx* dx1 J dx2
0 0 0
Здесь p рассматривается только как параметр. Изображениями же и
служат
ди . — . д*и . _ ди (х, 0)
-^-<-три-и(х, 0), —p2tt_ptt(x, 0)-------------
нли, с учетом начальных условий,
-^г*~гР«-ф(х), и~ РФ(х)~У(х);
граничные условия и\ х-а— f (р), Га 4^-+Р (ри— <p (х)1 =?i^lx=z-
| аХ J х= Z
Таким образом, решение уравнения (1) сводится к решению операторного
уравнения
4-^-+b-^-4-m7-^=o, (2)
dx2 dx 1 ''
где М — С—A^-^-BiP, N = — A1ptp — A1^—Bi(f> (р — параметр), являющегося
обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка.
Найдя изображение искомой функции и (х, f), с помощью таблицы или
формулы обращения Римана —Меллина можно определить оригинал.
1157. Концы струны х=0 и х — 1 закреплены жестко. На-
чальное отклонение задано равенством и (х, 0) = A sin (пх/1),
O^x^Z; начальная скорость равна нулю. Найти отклонение
и (х, Z) при t > 0.
А Дифференциальное уравнение задачи имеет вид
и л л ях du (х, 0) _
Начальные условия и (0, t) — A sin -т-, ----——=0;
' ' I di
дги 1 дги _
дх* ~ а* ‘ ~dis'~V‘
граничные условия
и (0, t) = u(l, t) = 0. Запишем соответствующее операторное уравнение
d2u р*
dx* а*
— . 1 , пх
и =-рА- -^-sin— ;
граничные условия и | я_0 = и | x=i — 0.
317
Общее решение однородного уравнения имеет вид
7 = C1e<P/fl>JC+Cse-(p/fl)x,
а частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
— % лх . - . лх
v =С2 cos —|-С2 sin у,
т. е.
Pl
рА , лх
—!~sin -7-
а2 I
О
1
- я лх . я , лх
v cos —1—|-С2 sin—j-,
v = —СГу sin ——|-С2--у cos —j~,
я л2 лх я л2 лх
р ==— Cv-p- cos-j-— С2—^ sin -у
я / Р2 . л2 \ , ЛХ Я / р2 , л2 \ ЛХ
Cs ()sin “—C1 (^'г’72’ J cos“-
- - рА
Отсюда С1 = 0, С2 = Таким образом, общее решение оператор-
ного уравнения есть
й(х, p) = Cte (РМх+С2е~^х^
Ар пх
р2 + а2п2112 s п •
,, \ Ар , лх _
Учитывая граничные условия, получим и (х, р) = -р2a2~~2yj2~ sin у Ориги-
налом для такого изображения служит функция
и (х, t) = A cos у sin у А
..тт « ди , дги
1158. Наити решение уравнения — а удовлетворяющее
начальным и граничным условиям: и (х, 0) = 0; и (0, t) = us,
0<х<оо, t > 0.
Л Запишем операторное уравнение
<1ги (х, р) р — . п
---тт22-----(х, р) = 0.
dx2 а2 '
Общее решение этого уравнения есть
« (X, p)^C1e~xVPla +C2exVP/a.
Согласно условию, функции и (х, t) и и (х, р) прн х —> оо являются ограни-
ченными, а потому С2 = 0.
Используя граничное условие и (х, р) | х_0 = «о/Р> находим произвольную
постоянную Ci — Ujflp. Тогда и = (ий!р) е~х ^р,'а. Пользуясь соотношением
— е~а^р 4~* Erf * находим оригинал для функции и (х, р).
Решение данного уравнения имеет вид
и (х, t) = u0-Er!(—
\2а У i )
где, как известно,
ЕгП = Д
I
-у= f e-x’dT=l—erf/.
Следовательно,
, xRlaVT) ч
и (х, f) = ueErf(—^=\ = ul) ( l--^= • f e-x’dT ). A
\2a у t J \ у л J /
1159. Найти решение уравнения теплопроводности = а* ,
удовлетворяющее начальным и граничным условиям: и (х, 0) =
= A sin (ппх//), О^х^/; а(0, t) = u(l, /) = 0.
А Операторное уравнение, соответствующее данному уравнению в частных
производных, имеет вид
d*u . — .. , ппх
-з-=—а2р-и = — a*A sin—г-,
dx* I ’
а его общее решение
— , \ -aVp"х 1 /- jxVp х । А ппх
и (х, p)-Cte + С2е + р sin-р.
Учитывая граничные условия и | х_0 = и | x=i = 0, получим
—. . А , ппх
W Р) ““1 ' * S1U » •
р+(п2я2)/(а№) I
Оригинал этого решения есть « (х, /) = Ле-(я,я,>//(аЧ‘> sinД.
„.и л ди д*и
1160. Найти решение уравнения = а , удовлетворяющее
начальному условию ы(х, 0) = 0 (х>0) и граничным условиям
и (0, /) = 0, и (Л, /) = и0.
Л Запишем операторное уравнение
. и =0,
dx* а
которое надо решить при условиях и(0, /) = 0, «(Л, 0 = “о/Р- Общее решение
операторного уравнения запишем в виде
«7(х, p) = 4ch V"piax-\-B sh У"р]ах- (»)
Используя граничные условия, найдем постоянные А и В. Имеем
Л = 0, — = fi-sh Ур/а-Н, т. е. 5=----“°__ .
P р-sh/ p/ah
г, . , . — ue sh V^p/a x
Подставляя значения А и В в равенство (»), получим и -----г-^— •
Р sh у Pla Л
Согласно формуле обращения Римана—Меллина, имеем
a+<® г___________________________________
^ni J sh Yp/а h P
(»♦)
319
Для вычисления интеграла найдем вычеты подынтегральной функции. Прирав-
нивая знаменатель нулю н учитывая, что корни гиперболического синуса
являются чисто мнимыми и равными ikn, находим
sh p/ah — О, Урь/а h = ikn, pk —— k2n2a/h2 (k £ N).
Все k полюсов—простые, отличные от нуля; поэтому, применяя теорему
Коши о вычетах, получаем
« (х, 0 = У res F (р) еР*, где F (р) = = sh •
Д p.shyp/ah
причем степень М (р) не превосходит степени N (р). Тогда
М (р) . А! (0) , у. М (pk) Pkt
pN (р) N (0) 2- pk-N' (pft)
k— 1
г1е М <°>_ lim sh х х М(Р*) 2t~sh (iknx/h)
N (°) P-0 sh V~pja h Л’а Pk^'(Pk) knch(ikn)
перболнческне функции через круговые, получим
2 sin (knx/h.) . 2 sin (knx/h)
nk cos (kn) ~' я k
Выразив ги-
Таким образом, равенство (»*) примет вид
и (х, t) = и0
Z_i_2. V sin (knx/h)
h n ’ * k
k = 1
^2n 1
1161. Найти решение волнового уравнения 572=72 • 572» удов-
/ п, . ппх ди (х, 0) „
летворяющее начальным условиям и (х, 0) = A cos —, —— = 0,
п / ди(0, t) ди (I, /) п
0 х sC I и граничным условиям ——- =- ——- = 0.
(/Ли (/Ли
d^zz 1 d^zz
1162. Найти решение волнового уравнения ^72=72 • 572» удов-
/ л\_л dtlt>X’ °)_ р • П7ГХ
летворяющее начальным условиям и(х, 0) = 0,——7 = о sin —,
и граничным условиям и (0, t) = u(l, t) = 0.
1163. Найти решение уравнения теплопроводности = а2^,
удовлетворяющее условиям и(х, 0) —0, х^0; м(0, t) = A,
lim w(x, t) — Q.
ДС -► 00
ГЛАВА IX
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
§ 1. приближенное решение уравнений
Задача о нахождении приближенных значений действительных корней
уравнения /(х)=0 предусматривает предварительное отделение корня, т. е.
установление промежутка, в котором других корней данного уравнения нет.
Будем предполагать, что функция f (х) в промежутке [а, Ь] непрерывна вместе
со своими производными f'(х) и Г (х), значения f (а) н /(d) функции на кон-
цах промежутка имеют разные знаки, т. е. < 0, и обе производные
/' (х) и /" (х) сохраняют знак во всем промежутке [а, Ь].
Так как действительными корнями уравнения /(х) = 0 являются абсциссы
точек пересечения кривой y = f(x) с осью Ох, то отделение корня можно про-
извести графически. Вместо уравнения y = f (х) можно взять уравнение y=kf (х),
где k—постоянная величина, отличная от нуля, так как уравнения /(х) = 0
и й/(х) = 0 равносильны.
Постоянную величину k можно взять так, чтобы ординаты точек графика
не были чрезмерно большими или, наоборот, чтобы график не был слишком
близок к осн Ох. Иногда бывает полезно уравнение / (х) = 0 записать в виде
<р(х)=ф(х). Действительными корнями исходного уравнения служат абсциссы
точек пересечения графиков функций i/ = <p(x) и у = ф(х).
1. Метод хорд. Пусть требуется вычислить действительный корень урав-
нения /' (х) = 0, изолированный на отрезке [а, Ь]. Рассмотрим график функции
y = f(x). Пусть /(а) < О и /(d) >0. Точки графика А [а; / (а)] и B[b; f (d)]
соединим хордой. За приближенное значение искомого кория примем абсциссу
х, точки пересечения хорды АВ с осью Ох.
Это приближенное значение находится по формуле
V д (b—a)f(a)
1 /(*)-/(«)’
где Xi принадлежит интервалу ]а, d[. Пусть, например, / (хх) < 0, тогда за
новый (более узкий) промежуток изоляции корня можно принять [xi, dj. Сое-
динив точки / (х,)] и B[b; / (d)J, получим в точке пересечения хорды
с осью Ох второе приближение х2, которое вычислим по формуле
_ (d — Х1)/(Х1)
21 /(*)-/(л)’
и т. д. Последовательность чисел а, хг, х2, ... стремится к искомому корню
уравнения /(х) = 0. Вычисление приближенных значений корней уравнения
следует вести до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки,
которые мы хотим сохранить в ответе (т. е. пока не будет достигнута задан-
ная степень точности).
Если х—точный корень уравнения / (х) — 0, изолированный на отрезке
[a, d], а § — приближенное значение корня, найденное методом хорд, то оцен-
ка погрешности этого приближенного значения такова:
/(«)•/(&)
2
/ (х)
птах . ,3
[a, ft] / WP
2. Метод касательных (метод Ньютона). Пусть действительный корень
уравнения /(х) = 0 изолирован на отрезке [а, Ь]. Будем предполагать, что все
ограничения, сформулированные выше относительно / (х), сохраняют силу и в
этом случае. Возьмем на отрезке [a, d] такое число х0, прн котором / (Хо)
11-216
321
имеет тот же знак, что и Г(*о), т. е. f (*(,)•/" (*о) > 0 (в частности, за xt мо-
жет быть принят тот из концов отрезка [a, ft], в котором соблюдено это усло-
вие). Проведем в точке М2 [х0; / (х0)] касательную к кривой y=f(x). За
приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой каса-
тельной с осью Ох. Это приближенное значение корня находнтсн по формуле
х -х
10 /'W
Применив этот прием вторично в точке М2 [xj; f (xi)], найдем
х -х
21 /'(*i)
и т. д. Полученная таким образом последовательность х0, хь х2, .». имеет
своим пределом искомый корень.
Для оценки погрешности приближенного значения корня, найденного мето-
дом Ньютона, может быть использовано неравенство
I.
* [а, *] I [/ (*)Г1
3. Комбинированный метод хорд и касательных. Пусть требуется найти
действительный корень уравнения /(х) = 0, изолированный на отрезке [a, ft].
Предполагается, что f (а) и f (ft) имеют разные знаки, а каждая из производ-
ных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке
[a, ft] такую точку х0, что / (х0) н /" (хо) (при х, принадлежащем промежутку
изоляции) имеют одинаковые знаки.
Воспользуемся формулами методов хорд и касательных:
Н*п) . „ „ (b—a)f(a)
ГЫ’ 12
Величины хц и х12 принадлежат промежутку изоляции, причем f (хц) и f (Хц)
имеют разные знаки.
Построим новую пару приближений к корню:
v -v Н*и) . „ _г.. (*12—*11) f (*п)
21U /'(*11)’ Х22-Х“ И*12)-/(*11) '
Точки x2i и х22 на числовой оси расположены между точками хн и х12, причем
f (*21) и f (х22) имеют разные знаки.
Вычислим теперь значения
_ /(*21) . „ _г (*22 —*21) / (*21)
Х31 “ *21 ’ Х32 ~ Х21“’ /(*22)-7(*21) '
*п = *о
*22 = *11
Н т. д.
Каждая нз последовательностей
*11» *21» *31» •••» *л1» •••» *12» *22» *32» *•"» *П2»
стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно
возрастает, а другая—монотонно убывает. Пусть, например, xni < * < хп2,
тогда 0 < х—хл_1 < хп2—xni- Задав заранее достаточно малое е, мы можем,
увеличивая п, добиться выполнения неравенства хп2—хп2 < е; следовательно,
при этом же значении п будет выполняться неравенство х—xni < е. Таким
образом, Хщ является приближенным значением корня х, вычисленным с по-
грешностью, не превышающей е.
Так, например, для нахождения приближенного значения х с точностью
до 0,001 нужно определить п таким образом, чтобы значения хп1 и хп2, вы-
численные с точностью до 0,001, совпадали.
4. Метод итераций. Если данное уравнение приведено к виду х = <р(х),
где | <р' (х) | < г < 1 всюду на отрезке [a, ft], на котором исходное уравнение
322
имеет единстненный корень, то исходя из некоторого начального Значения х0,
принадлежащего отрезку [а, &], можно построить такую последовательность:
*1 = ф(*о), *2 = <Р(*1). •••. хл = <р(хл-1).
Пределом этой последовательности является единственный корень уравнения
/(х) = 0 на отрезке [а, &]. Погрешность приближенного значения хп корня х,
найденного методом итераций, оценивается неравенстном
I*—*л| < |3^ |*л—*n-il-
Для нахождения приближенного значения корня с погрешностью, не превы-
шающей е, достаточно определить п так, чтобы выполнялось неравенство
, г— 1
I хл —хл_!| < -7—8.
5. Метод проб. Интервал изоляции действительного корня всегда можно
уменьшить путем деления его, например, пополам, определяя, на границах
какой из частей первоначального интервала функция f (х) меняет знак. Затем
полученный интервал снова делят на две части н т. д. Такой процесс прово-
дится до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе деся-
тичные знаки.
1164. Методом хорд найти положительный корень уравнения
х*—2х—4 = 0 с точностью до 0,01.
Д Положительный корень заключен в промежутке (1; 1,7), так как
/(1)=—5 < 0, a f(l,7) = 0,952 > 0.
Найдем перное приближенное значение корня по формуле
г . (1,7-1)7(П . ggq
1 7(1,7)—/(1)-1’588-
Так как /(1,588) = —0,817 <0, то снова применим метод хорд к проме-
жутку (1,588; 1,7):
(1,7-1,588)7(1,588)
х2-1,588 -1,639, f (1,639) --0,051 < 0.
Найдем третье приближенное значение:
М1.Й2)—о.о16<о.
Найдем четвертое приближенное значение:
'64г-1',/7(Т7)-/)(|',Я“2) = I-6”; /0.«3)-О,0И>О.
Следовательно, с точностью до 0,01 искомый корень равен 1.64. А
1165. Решить предыдущий пример методом касательных.
Д Здесь f (х) — х*—2х—4, f (х) =4х®—2, /" (х) = 12х2. Так как f (х) и f" (х)
при х0= 1,7 имеют один и тот же знак, а именно f (1,7) = 0,952 > 0 и f" (1,7) > 0,
то воспользуемся формулой xi =х0—/(х^)//'(х0), где f (1,7)=4-1,73—2 =
= 17,652. Тогда
xt = 1,7 — 0,952/17,652 = 1,646.
Применим снова метод касательных. Имеем x2 = xj—f (xi)//'(*i)> где
/ (xi) = /(1,646) = 0,048, f (1,646)= 15,838; значит,
x2 = 1,646— 0,048/15,838= 1,643.
Аналогичным образом находим f (1,643) = 0,004; /'(1,643) = 15,740, т. е.
*» = *2-f (х2)/Г (ха)= 1,643- 0,004/15,740= 1,6427.
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64. Д
1166. Используя комбинированный метод хорд и касательных,
найти приближенное значение корня уравнения х3 + х2—11=0,
изолированного в промежутке (1,2), с точностью до 0,001.
ДИмеем f (х) = х3+х2—11, f (х) = 3х2+2х, f (х) = 6х+2. В указанном
промежутке f” (х) > 0, поэтому за первое приближение н способе касательных
берем *о = 2, так как f(2)= 1 > 0:
xii = xo~= 2-1 = 1,9375 м 1,94;
... -д . (2-1) (-9) 9
12 f(b)—f(a) 1 1 —(—9) -1 + 10-1,9,
1 —(—9)
Искомый корень принадлежит промежутку (1,9; 1,94); имеем f (1,9)= —0,531;
f (1,94) = 0,065; f (1,94) = 15,172;
x2i= 1,94
1,936; x22=l,9
1Э,1/2
0,04-(—0,531)
0,065 + 0,531
= 1,936.
Так как значения x2i и x22, вычисленные с точностью до 0,001, совпали, то
приближенное значение корня х, вычисленное с точностью до 0,001, есть
1,936. Д
1167. Методом итераций найти приближенное значение корня
уравнения 2—Igx—х = 0 с точностью до 0,001.
Д Найдем интервал изоляции действительного корня уравнения. Предста-
вим данное уравнение в виде lg_x =—х+2 и построим графики функций
y=lgx и у=—х+2. Абсцисса точки М пересечения этих графиков находит-
ся н промежутке [1, 2], поэтому за начальное значение х можно взять х0=1
(рис. 73).
Запишем исходное уравнение в виде х=2—1g х. Здесь <р (х) = 2—1g х,
ф' (х) = — (1g е)/х, т. е. |ф' (х)| < 1 в промежутке [1, 2] и поэтому метод ите-
раций применим. Найдем теперь первое приближенное значение:
xi = 2— lgx0 = 2— 1g 1=2.
Найдем второе н последующие приближения:
х2 = 2— lgxi = 2— 0,3010= 1,6990; х3 = 2 —1g 1,6990 = 2— 0,2302= 1,7698;
х< = 2—lgl,7698 = 2— 0,2480= 1,7520; х6 = 2—1g 1,7520 = 2— 0,2435= 1,7565;
х, = 2—Igl,7565 = 2— 0,2445= 1,7555; х, = 2—1g 1,7555 = 2 — 0,2444= 1,7556.
Таким образом, искомый корень хм 1,755. А
1168. Методом проб решить уравнение х3 + 2х—7 = 0 с точ-
ностью до 0,01.
Д Интервал изоляции действительного корня можно определить графи-
чески, построив графики функций у = х* н у=—2х+7(рнс. 74).
Единственная точка пересечения графиков находится в интервале (1, 2).
Следовательно, искомый корень заключен в этом интервале, т. е. можно при-
нять а=1, 6 = 2. Найдем значения функции на концах интервала: f (1) =
— 4 < 0; f (2) = 5 > 0. Разделив интервал (1, 2)пополам, получим d = (e+6)/2 =
— (1 + 2)/2= 1,5 н вычислим f(ci) = f (1,5) =—0,625 < 0. Следовательно, иско-
мый корень находится в интервале (1,5; 2).
324
Примем са— 1,7; /(c2) = f (1,7)= 1,313 > 0. Мы видим, что искомый корень
находится в интервале (1,5; 1,7). Примем теперь с3=1,6; f (c3) = f (1,6) =
= 0,296 >0. В результате интервал изоляции удалось сузить, и искомый
корень находится в интервале (1,5; 1,6).
Продолжая этот процесс, имеем:
с4 = 1,55; f(c4) = f (1,55)=—0,176 < 0; интервал изоляции (1,55; 1,6);
с6= 1,57; /(с6) = /(1,57) = 0,010 > 0; интервал изоляции (1,55; 1,57);
с7= 1,565; f(c7)=f (1,565) =—0,037 < 0; интервал изоляции (1,56; 1,57);
cg = 1,568; f (с8) = f (1,568) = — 0,009 < 0.
Таким образом, мы получили интервал (1.568; 1,57). Отсюда видно, что
с точностью до 0, 01 искомый корень х= 1,57. А
1169. Определить графически интервалы изоляции действи-
тельных корней уравнения х3—9х24-18х—1 = 0.
1170. Определить графически интервалы изоляции действи-
тельных корней уравнения х3— 12x4-1=0.
Методом хорд и касательных решить с точностью до 0,01
уравнения:
1171. х*4-3х—20 = 0.
1172. х3—2х—5 = 0.
1173. х4—Зх+1=0.
1174. х34-Зх4-5 = 0.
1175. x4-f-5x—7 = 0 (применить комбинированный метод хорд
и касательных).
Методом итераций решить с точностью до 0,01 уравнения:
1176. х3— 12х—5 = 0.
1177. х3 —2х2—4х—7 = 0.
Методом проб, деля интервал изоляции корня на части, ре-
шить с точностью до 0,01 уравнения:
1178. х4-е* = 0.
1179. х5—х—2 = 0.
1180. Применив дважды метод хорд, найти приближенное
значение действительного корня уравнения х3—10x4-5 = 0, изо-
лированного в промежутке [0; 0,6]. Приближенные значения х4
и х2 вычислить с двумя знаками после запятой. Оценить погреш-
ность приближенного значения ха.
325
Д Находим
f (х^х3— Юх + 5, f (x) = 3x2—10, f"(x) = 6x;
f(0) = 5; f (0,6) = 0,216 —6 + 5= —0,784;
*i =0~ЭД=5 = 5^4 = °’52’ f (°’52> = °, 141 — 5,2 + 5= -0,059 < 0.
Новый интервал изоляции JO; 0,52[. Находим второе приближение:
-0,52-5 _ 2,6
—0,059—5 5,059 ’
Оценим погрешность этого приближенного значения по формуле
i- „ । „ шш
*2 = 0
I Г(*) I
’ [™*] I [Г W131’
2
приняв а —0, 6 = 0,52. Имеем
I- । 5-0,059
*з| < —2—
I о*
тах 7чТ2—
[0;0,52] I (Зх“ —
6х
D I 6*
В указанном интервале | (3jc2_fo)3-1 = (Тб—Зх2)3' ‘
наибольшее значение прн х = 0,52. Таким образом,
_______________________ 3 12
| х—х2 | < 0,1475-(|0_0|gII2)s •
Итак, получаем оценку приближенного значения корня: | х—0,51 | < 0,0006.
Отсюда следует, что в приближенном значении корня х2 = 0,51 оба знака
верны. А
1181. Применив дважды метод касательных, найти прибли-
женное значение действительного корня уравнениях4 — 8х+1 = 0,
изолированного в промежутке [1,6; 2]. Приближенные значения
х, и х, вычислить с двумя знаками после запятой. Оценить погреш-
ность приближенного значения х2.
Л Находим f (х) = х4—8х+ 1, f (х) = 4х3—8, f" (х)= 12х2; [(1,6) = —5,246,
f(2)=l; f" (х) >0, f (2)=1 >0, поэтому принимаем х0 = 2. Применяем формулу
*i = *o—(х0), т. е. Xi = 2—1/24= 1,96.
Определяем второе приближение. Находим f(xj) = 1,964—8-1,96+1=0,09,
f (xi) = 4-1,963 — 8 = 22,12; значит,
х, = Х! — f (xi)/f' (xi), т. е. х2= 1,96 — 0,09/22,12= 1,956 х 1,96.
Оценим погрешность найденного приближенного значения корня:
। If (х2)]2 I ГМ I
Эта функция принимает
В интервале (1,6; 2) имеем
I f"(x) II 12х2 I Зх2
I [f'WF I 1(4х3 —8)3| 16(х3—2)3 •
Внутри промежутка [1,6; 2] функция ——g—экстремумов не имеет. Наи-
(Л л)
большего значения она достигает при х=1,6:
. - . ок. 0,09* 3,162
I* 1,96| < 2 -16р>6з_2)?’
т. е. |х—1,961 < 0,0002; следовательно, в приближенном значении корня 1,96
все цифры верны. А
1182. Применив пять раз метод итераций, найти приближен-
ный корень уравнения 2х—cosx = 0, изолированный в проме-
жутке [0; 0,5J, с точностью до трех значащих цифр.
Д Запишем данное уравнение в виде x=0,5cosx; следовательно, <р (х) =
= 0,5 cos х, <р' (х) = 0,5 sin х. В промежутке [0; 0,5] имеем | <р' (х) | < 0,5 — г < 1.
Примем хо = О,5; x1 = 0,5cosx0, x2 = 0,5cosx1 и т. д.
Выполним вычисления: х4 = 0,5 cos 0,5 = 0,5cos28°41' = 0,4386;
xs=0,5 cos 0,4386 = 0,5 cos 25°08' = 0,4527, x3 = 0,5 cos 0,4527 = 0,5 cos 25°56' =
= 0,4496; x4 = 0,5 cos 25°46' = 0,4503, x6 = 0,5 cos 25°48' = 0,4502.
Оценку погрешности вычислим по формуле
|х—xs| < у^у|х5— х4|.
Имеем |х—0,45021 < | 0,4502 —0,4503], т. е.
17—0,4502 | < 0,0001, или 0,4501 < 7< 0,4503.
Следовательно, с точностью до трех значащих цифр приближенное зна-
чение корня равно 0,450. А
6. Обобщение метода Ньютона для приближенного решения уравнений.
а) Метод Чебышева. Пусть требуется найти действительный корень урав-
нения f(x) = O, изолированный в интервале ]а, б[. Функция f (х) предполагается
гепрерывной вместе с производными до л-го порядка включительно, причем
f (х) Ф 0 в интервале(я, Ь). Рассмотрим кривую х= £ + А</ + А2у2 + • •• + ^ПУ’-
Подберем параметры j, Д4 Аг.......Ап так, чтобы кривые y_f(x) и х=| +
п
+ 2 АкУ* в точке с абсциссой хя нз интервала ]а, б] имели касание л-го
1
порядка. Напомним (см. ч. I, гл. VII, § 4), что кривые y = f(x) и у = <р(х)
в точке с абсциссой х3 имеют касание n-го порядка, если
f М = <Р №. Г № = <р' (х0), f № = <р" (х0), ..., /<"> (х0) = <р<"> (х0).
Геометрически точка касания л-го порядка является предельным положением
/1-|-1 точек пересечения кривых у = f (х) и у=<р(х) при стремлении этих точек
пересечения к точке с абсциссой х0. В данном случае кривая </ = <р(х) неявно
п
определяется уравнением x=£-f- AkV*-
д = 1
Прн таком выборе параметров 5. А2, ..., Ап за приближенное зна-
чение искомого корня можно принять абсциссу точки пересечения кривой
п
*М + 2 А^у* с осью Ох, т. е. число £.
f (х)
Если л = 1, то £ = х0—°< (формула метода Ньютона).
I (хо)
Если п = 2, то
р-г — f (Хо) W Оо)12 /п
6 7'(х») 2![/'(<)Р ’
Если л = 3, то
г_r _ f№ [/(х0)Р-Г(х0) [f(x„)P 3[Г(х0)Р-Г(х0).Г»(хв)
S ° 7'(*о) 2!(Г(х0)Р 31 ’ ‘ (?
327
Если п — 4, то
- г Их») If (*))]*• Г (*о) [/(х0)]3 3[Г (хв)]*~Г (х„)-Г" (х0)
6 ° /' М 21 [f (х0)]» 3! ' [Г (х„)]‘
[f(xo)]1 [f (*o)14'v (хо)- ЮГ (х0) Г (*о) Г' (хо)+15[Г (хр)]3
41 ’ W (Хо)Р
Приведем оценки погрешности значений корней, найденных по форму-
лам (1) и (2).
Для формулы (1) при л = 2
|Х—g| <
Для формулы (2) при л = 3
е.ИНхо)]4 тя I 4f'(x)l2Pv(x)-10f'(x)f" (х)Г'(х)+15[Г(х)]3 I
1 х~51 < “4i I irwr-----------------------1 ’
б) Для отыскания действительного корня уравнения f (х) = 0, изолирован-
ного в интервале (а, Ь), рассматривается кривая
^o+^i (х—x0)-f-42 (х—Хо)а+ ... (х—*0)л-1
имеющая с кривой y=f (х) в точке с абсциссой хр (а < х0 < Ь) касание л-го
порядка. Примем за приближенное значение корня абсциссу точки пересечения
этой кривой с осью Ох, т. е. £п.
Из условия касания находим это приближенное значение:
^ = x0-ft0--^i, (4)
где
bi ft0 0 0 ... О О
b2 bi ьй о ... о о
г) _ b9 b2 bi ft0 ... О О
х-'п — I
Ьп-1 Ьп~г Ьп-р Ьп_2 ... bi bp
ba bn_i bn_2 Ь„_р ... ft2 bi
6*=Т^(*=1’ 2...........Zl)>
Если л=1, то уравнение (3) определяет прямую у = -^~ (х—%) и для при-
ближенного значения корня получается формула метода Ньютона.
Таким образом, формула (4) обобщает метод Ньютона для приближенного
решения уравнений.
Если л = 2, то
Если л = 3, то
t ( bi—btb2) bt
63 bl bp о '
b2 bl bp * ’
bp b2 bi
1183. Найти приближенное значение j/3 c точностью до
0,0000001.
328
Л Применим к уравнению х2 —3 = 0 формулу Чебышева при п = 4. При-
мем х0 = 1,7; тогда f(x) = x2—3, f'(x) = 2x, г(х) = 2, f" (х) = 0, flv(x) = O;
7(1,7) = — 0,11, f'(l,7) = 3,4, f" (1,7) = 2, [f" (1,7)= 0, /IV(1,7)=O. Следова-
тельно,
0,11 0,112-2 , 0,113 12 0,11* 120 __
+ 3,4 ~ 2! 3,43 1 3! 3,4’ 4! ’ 3,4’
= 1,74-0,0323529 — 0,00030784-0,0000058 — 0,0000001 = 1,7320508.
Так как f (1,7320508) < 0, но f (1,7320509) > 0, то в приближенном значении
корня £=1,7320508 все знаки верны. Л
1184. Найти приближенное значение действительного корня
уравнения 2х34-2х—7 = 0 с точностью до 0,000001.
Л Имеем / (х) = 2х34~2х—7, f (х) = 6х24-2 > 0; f (х) —возрастающая
функция; f.(l,3)=4,3944-2,6 — 7=—0,005 < 0, f (1,4)=5,4884-2,8 —7=1,288 > 0.
Следовательно, в интервале (1,3; 1,4) имеется единственный действительный
корень данного уравнения.
Примем х0=1,3. Воспользуемся формулой Чебышева при п = 2; находим
f (х) = 2х®4-2х—7, f (х) = 6х24-2, f"(x) = 12x; f (.1,3) = —0,006, f (1,3)= 12,14,
f" (1,3) = 15,6; значит,
£ = 1,3 + - 0,000()36- .Jqfoof =1.34- 0,0004942 - 0,0000002 = 1,300494;
x liojtlOoo
f (1,300494) = 4,3990094-2,600988 — 7 = —0,000003 < 0,
f( 1,300495) = 4,399021 4-2,600990 — 7 = 4-0,000011 > 0.
Следовательно, все знаки приближенного значения корня £=1,300494
верны. Л
1185. С помощью формулы Чебышева найти приближенное
значение £/5 с точностью до 0,00001. Принять п = 3.
1186. Приняв в формуле Чебышева п = 2, вычислить действи-
тельный корень уравнения Зх54-6х—16=0 с точностью до 0,00001.
1187. Найти приближенное значение И2 с точностью до 0,00001.
Л Положим f(x) = x2 — 2. Применяем формулу (6), взяв х0=1,4. Тогда
f (х) = х2 — 2, Г (х) = 2х, Г (х) = 2, (x) = O;i>o=f(1.4)=—0,04, Ь2=Г (1,4)=2,8,
Ь2 = (1/2) f" (1,4) = (1/2)-2 = 1, f'" (1,4) = 0. Следовательно,
Ь= 1.4
, (7,84 4-0,04)-0,04
+ 2,8—0,04 0
1 2,8 —0,04
0 1 2,8
= 1,4
7,88-0,04
^21,9524-0,224
= 1.44
•^Ц-= 1,44-0,01421 = 1,41421.
Все десятичные знаки приближенного значения корня верны. Л
1188. Приняв п = 2, найти приближенное значение положи-
тельного корня уравнения x3-f-x2—4 = 0 с точностью до 0,0001.
А Положим Хо= 1,3. Имеем/(х) = х34-*2— 4, f (х)=3хг4-2х, /" (х)=6х4-2,
&о = f (1,3) = —0,113, bi = f' (1,3) = 7,67, b2 = (1 /2) • f” (1,3) = (1 /2) • 9,8 = 4,9. Тогда
t , , 7,67-0,113 0,86671 .
,3 + 7,6724-0,113-4,9 “ ,3 + 59,3826 - ,3146,
Все десятичные знаки верны. Л
329
И89. Приняв п = 2, найти приближенное значение корня урав-
нения x-f-lnx = 3 с точностью до 0,001.
1190д С помощью формулы (6) найти приближенное значе-
ние |/5 с точностью до 0,00001.
1191. С помощью формулы (5) вычислить отрицательный
корень уравнения 5х“ — 5х—47,071 = 0 с точностью до 0,0001.
§ 2. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
1. Иитертляционный многочлен Лагранжа. Пусть дана таблица значений
X Xi х2 х3 • J » Хп
У У1 У2 Уз • • « Уп
Требуется составить многочлен y=f (х) степени /Ж п—1, который принимал
бы заданные значения щ прн соответствующих значениях х(-, т. е yi — f(xi)
(1=1, 2, .... п). Иными словами, график этого многочлена должен проходить
через заданные п точек М,-(х,; у,).
Обозначим через
ф (х) = (х—Х1) (х—х2) (х—хя) ... (х—х„)
вспомогательный многочлен n-й степени, в котором х,-—заданные табличные
значения аргумента. Тогда имеет место равенство
f (х) =__________________________________+
' ' ' (X—*1) (Xi— Х2) (xt —Х3) . . . (Xi— Х„)
1______________Уг-Ф (х)______________
’’’ (х—х2) (х2—Х1) (х2 —х3) ... (х2—х„) *
,______________Ул-ф(х)_______________
Чх—хп)(х„ —Х1)(х„ — х2)... (х„—хп-1)’
ИЛИ
fcTi'P'^Hx-x*)-
Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.
1192. Составить многочлен Лагранжа для следующей таблицы
значений:
X 1 2 3 4
У 2 3 4 5
А Вспомогательный многочлен имеет вид ф (х) = (х— 1) (х—2) (х—3) (х—4).
Вычислим ф' (х) последовательно при данных значениях х:
ф' (х) = (х—2) (х-3) (х-4) + (х- 1) (х-3) (х-4) + (х- 1) (х-2) (х-4) +
*4~(х—1)(х—2)(х—3); ф' (1) = —6, ф'(2) = 2, ф'(3) = —2, ф'(4) = 6.
330
Тогда
f (х)= Jg(x-2) (x—3) (x-4)+y (x- 1) (x—3) (x—4) +
+=2 {x~ ° (x-2) (*-4) + 4 (x“ 0 (*-2) (x-3) =x+1.
Таким образом, в данном случае интерполяционный многочлен есть линей-
ная функция f (х) — х-т- 1. Л
1193. Найти уравнение параболы, проходящей через точки
(2; 0), (4; 3), (6; 5), (8; 4), (10; 1).
Л Вспомогательный многочлен имеет вид <р(х) = (х—2) (х—4) (х—6)Х
Х(х—8) (х—10). Находим
<р' (х) = (х-4) (х—6) (х—8) (х— Ю)+ (х—2) (х-6) (х—8) (х— 10)+(х—2)Х
Х(х—4) (х—8) (х— 10) + (х—2) (х—4) (х—6) (х— 10)+(х—2) (х—4) (х—6) (х—8);
<р' (2) = 384, <р'(4) = —96, ф'(6) = 64, <р'(8) = —96, <р'(10) = 384.
Тогда
f (х) (х-4) (х-6) (х-8) (х- 10) + (х-2) (х-6) (х-8) (х-10)+
+Д (х-2) (х-4) (х-8) (х- 10)-1 (х-2) (х-4) (х-6) (х-10) +
(х-2) (х-4) (х-6) (х—8) =Х (х* —26х3 + 220х2 —664х+640).
ио4 их
Следовательно, искомой является парабола четвертого порядка
^ = ^(х‘—26х3 + 220х2-664х+640). Д
О—
1194. Даны точки (0; 3), (2; 1), (3; 5), (4; 7). Составить урав-
нение многочлена, принимающего указанные значения при задан-
ных значениях аргумента.
1195. Построить многочлен, принимающий значения, заданные
таблицей
X 1 3 4 6
У —7 5 8 14
1196. Построить многочлен, график которого проходит через
точки (2; 3), (4; 7), (5; 9), (10; 19).
2. Интерполяционная формула Ньютона. Пусть уа, щ, уг, ...—значения
некоторой функции y = f(x), соответствующие равноотстоящим значениям аргу-
мента Хо.-Xi, х2, ... (т. е. Xk+i — хь = &Хк = const).
Введем обозначения:
У1—Уо — &Уо< Уг~У1 = ^У1, •••, Уп—Уп-1 = ^Уп-1 — разности первого по-
рядка данной функции;
Д^2—Д^0 = Д2«/в, Ду2— Д«/1 = Д2«/1, ...—разности второго порядка;
ДПУ1 — Дпуо = Дл + 1уо, Дп«/2 —Д"1/1 = Дл + 1Уь • • •—разности (п+1)-го по-
рядка.
331
Производя последовательные подстановки, получим
&2Уо=Уз—^Уг+Уо, &3Уо=Уз—3yi+3yi—у0, ....
Д"</о= 2 (-1)Й-С^П-*.
А = 0
Подобным же образом находим
У1 = Уо4'ДУо> № = Уо+2Дуо +Д2Уо> Уз = Уо + 3Д^о + 3Д2у0+А8Уо> ••••
п
Уп= С^*у0 — (1 + Д)п,Уо = Уо + п&Уо Н-~ Д2УоЧ" • • • + ^пУо- (')
* = 0
Запишем таблицу разностей:
*о Уо
Х1 У1 Ьу0
Д2Уо
*а Уз &У1 Д8Уо
&гУ1 &*Уо
Хз Уз &Уг &3Уг
Ь?Уг
х4 У4 Дг/з
Если в формуле (1) считать, что п—не только целое и положительное
число, а может быть любым (п = 0, то получим интерполяционную формулу
Ньютона:
У1 = Уо + ~~Д//о+-^2^Д2Уо+ '('-у-2) A3j,o+ ... +д^0. (2)
Мы получили такую функцию от t, которая при f = 0 обращается в у*,
при /=1 — в ух, при / = 2 —в уг и т. д. Так как последующее значение аргу-
мента х при постоянном шаге h определяетси формулой *п = лй, то л ==
= (хп—x^/h. Тогда, полагая x—Xo-^-th, т. е. t — (x—x^/h, приведем фор-
мулу (1) к виду
Уп = Уо + АУо + -(5~Хо)2(^Хо~Й) ДW •.. • (3)
1197. Из таблицы
X 1 2 3 4 5 6 7
У 3 7 13 21 31 43 57
найти значение у при х=3,1, пользуясь интерполяционной фор-
мулой Ньютона.
332
Л Составим таблицу разностей:
X У Дг/ Д*х/ Д’//
1 3 4
2 7 6 2 0
3 13 8 2 0
4 21 10 2 0
5 31 12 2 0
6 43 14 2
7 57
Здесь *0=3, *=3,1, h=l. Тогда / = (*—*0)/Л = (3,1—3)/1=0,1. Запишем
интерполяционный многочлен Ньютона для этого случаи:
У =У0 + t-&ya-l—\.2- ^Уо>
илн
у = 13+0,1.8+°’-2 = 13,71.
Следовательно, при *=3,1 и у= 13,71 интерполяционный многочлен для
этой таблицы имеет вид
у=3+(*-1)-4 + ^ 1}2(* 2)-2=*2+*+1. ±
1198. Даны десятичные логарифмы чисел: 1g 2,0 = 0,30103,
1g 2,1=0,32222, 1g 2,2 = 0,34242, 1g 2,3 = 0,36173, 1g 2,4 = 0,38021,
1g 2,5 = 0,39794. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона,
найти 1g 2,03.
А Составим таблицу разностей:
X 1g* &У Д2У Д3у Д4у Д6у
2,0 0,30103 2119 2020 1931 1848 1773
2,1 2,2 2,3 0,32222 0,34242 0,36173 —99 —89 —83 10 6 ~2 6
2,4 0,38021 —75 О
2,5 0,39794
333
Здесь хо = 2,О, х = 2,03, h = 0,1. Тогда t — (x—x0)//i = (2,03—2,0)/0,1 =0,3.
Отсюда
У = У о +1 • А £/0 + -- -2j - - ДЧ + -А-—-- №у0+
4! и!
=0,30103 + 0,3-0,02119+у-0,3-0,7-0,00099+
+-|--0,3-0,7-1,7-0,00010+^-0,3-0,7-1,7-2,7-0,00004+
+0,3 - 0,7-1,7 - 2,7- 3,7 - 0,00006 = 0,30750.
Таким образом, 1g 2,03 = 0,30750. Пятизначная таблица логарифмов дает
тот же результат. А
1199. Заданы пятизначные логарифмы чисел от 4 до 10 через
единицу. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, вычис-
лить четырехзначные логарифмы чисел от 6,5 до 7,0 через 0,1.
1200. Зная квадраты чисел 5, 6, 7, 8, найти квадрат числа 6,25.
1201. Составить интерполяционный многочлен Ньютона для
функции, заданной таблицей
X 0 1 2 3 4
У 1 4 15 40 85
§ 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Если /(х)— непрерывная и дифференцируемая достаточное число раз иа
отрезке [а, Ь] функция и h = (b — а)/п, Xh = x0-\-kh (£ = 0, 1, 2, ..., п),
</* = /(х*), то имеют место следующие формулы для приближенного вычисле-
ния определенных интегралов.
Формулы прямоуеольникоз
Ь
5 /(хМ*=М^+г/1+У2+---+уп-1)+Яп (1)
а
ИЛИ
ь
f W dx = h (У1+У2+ • • • +l/n) + ^n; (2)
а
предельная абсолютная погрешность
Rn< -^(ь—а)Мъ где Mi= max | f (х) |. (3)
4 [а. 6]
Формула трапеций
ь
j/(x)dx = /i^-^-^2-+y1+y2+---+yn-i) + /?n; (4)
а
334
предельная абсолютная погрешность
/?п<-^-(*—а)Л12, где Мг= max 1/"(х)| (5)
12 [а, д]
(точное значение погрешности бт =— (/i2/12) (Ь—a)f(c), где а < с < Ъ).
Формула Симпсона
ь
С f (х) dx=-x- [(#0 -\-Угк) + (</1+4,з+ • • • +#2Л-1) +
V О
+ 2(#2+#1 + •••+У2Л-2)] + Яя; (6)
предельная абсолютная погрешность
Rn<~(b—d) М3, где М3 = max | fiv (х) | (7)
18U [а, 6]
(точное значение погрешности 65 = — (/Н/180) (Ь—a) fiv (с), где а < с < Ь).
Если отыскание четвертой производной подынтегральной функции затруд-
ь
нительно, то для оценки погрешности вычисления интеграла f (х) dx по фор-
а
муле Симпсона можно применять следующий прием.
Полагая n = 4k, вычисляют приближенное значение данного интеграла
по формуле Симпсона для шага п = (Ь—а)/(4А); пусть найденное значение
интеграла есть /х; затем шаг h удваивают и вычисление по формуле Симпсона
проводят для шага hi = (b—а)/(2я); пусть найденное значение интеграла есть /2;
погрешность второго вычисления приблизительно в 16 раз больше погрешности
первого н обе они имеют одинаковый знак. Поэтому погрешность первого
вычисления [при шаге h — (b—а)/(4А)] определяется следующей формулой
(учитывающей и знак погрешности):
6s»(/i-/2)/15
(этот способ можно назвать оценкой погрешности формулы Симпсона по методу
удвоения шага вычислений).
2
1202. Вычислить по формуле прямоугольников I—^^xdx,
1
разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погреш-
ность.
А Здесь у —У х; при п=10 имеем ft = (2—1)/10=0,1. Точками деления
служат х0=1, Xi=x04-h=l,l, х2=1,2, .. ..^х,= 1,!>. Найдем соответствующие
значения подынтегральной функции: у0=У х0=У 1 = 1, #1 = ^1,1 = 1,049,
#2 = 1,095, #з=1,140, #4=1,183, #6 = 1,225, #в=1,265, #, = 1,304, #в = 1,342,
#,= 1,378.
Используя формулу прямоугольников, получим
/=0,1 (1,000+ 1,049 +1,095 +1,140 +1,183 + 1,225+ 1,265+ 1,304+ 1,342 +
+1,37») = 0,1 -11,981 » 1,20.
Оценим погрешность. В данном случае f'(x) = l/(2pr х) иа отрезке [1, 2]
достигает наибольшего значения, равного 0,5, при х=1. Таким образом,
|/'(х)|<Л11=1/2. Отсюда по формуле (3) находим
^<^•1. А = 0,025.
Следовательно, /я 1,20 + 0,025.
335
Вычислим для сравнения этот же интеграл по формуле Ньютона—Лейб-
ница:
2 2
/ = j V~xdx = j x1/2dx=y (2/1— 1) и 1,219.
i i
Таким образом, действительно, истинное значение интеграла лежит в найден-
ном интервале. А
1203. Вычислить тот же интеграл по формуле трапеций, при-
няв п=10; оценить погрешность.
А При тех же обозначениях, используя формулу трапеций, получим
/1-L1 ли
/ = 0,1Л 4-1,049+1,095+1,140+1,183 +
+ 1,225+ 1,265+1,304+ 1,342+ 1,378 ) = 1,218.
Далее, F (х) = —1/(4/ х3); | /" (х) | < 1 /4 на отрезке [1, 2]. Таким образом,
по формуле (5) находим
0,002.
Итак, I я 1,218 ± 0,002. Д
1204. Вычислить приближенно по формуле Симпсона / =
1
= 5 + x2dx с точностью до 0,001.
о
А Прежде рсего, пользуясь формулой (7), определим, какой шаг h нужно
взить для достижения заданной точности. Имеем
/(х) = /Г+42; f (х)==х/уТ+^-, f" (х) = 1// (1+х2)3;
/"'(х) = —Зх//(1 +х2)5; /IV (х) = (12хг—3)//(1+х2)7.
Наибольшее значение I/IV (х) I на отрезке [0, 11 достигается в точке х=0:
l/iv (0) | = 3. Значит,
ft4 /14
^<T86(fr-a)l/1V«l = i80-b3-
Так как эта погрешность должна быть меньше 0,001, то /г4/60< 0,001, т. е.
ft4<0,06. Можно принять ft = 0,5 (если h = 0,5, то /г4 = 0,0625), т. е. несколько
больше нужной величины, но это не отразится на точности вычислений,
поскольку при оценке была использована предельная абсолютная погреш-
ность— величина заведомо большая фактической погрешности. Итак, для дости-
жения нужной точности достаточно разбить интервал интегрирования пополам.
Вычислим значения функции /(х) = /1+х2 при х = 0; 0,5 и 1: /(0) =
= 1,0000; / (0,5) = 1,1180; / (1,0) = 1,4142 (вычисления проведем с одним запас-
ным знаком). Поэтому
О 6
1 я -/41,0000 + 4.1,1180+1,4142] = 1,1477.
О
Таким образом, округляя последний знак, находим /я 1,148.
336
Вычислим для сравнения точное значение этого интеграла по формуле
Ньютона—Лейбн ица:
I
7 = j V1 + x2dx= • У 14-х2 + -^-1п^х4-}< l+x2)j*=a
О
=1[/"2+ In (1 + /2)] и -1 (1,4142 + 0,8814) и 1,1478.
Таким образом, значение этого интеграла, вычисленное по формуле Симп-
сона, имеет даже ие три, а четыре верных знака после запятой. А
1
1205. Вычислить по формуле Симпсона / = приняв
о
п = 8. Вычисления вести с шестью знаками после запятой. Оце-
нить погрешность полученного результата, пользуясь способом
удвоения шага вычислений; сравнить результат с истинным зна-
чением интеграла, взяв последнее с одним запасным (седьмым)
знаком.
А Нужно определить значения подынтегральной функции для следующих
значений аргумента (Л1 = 0,125): хо = 0; xi = 0,125; х8=1,0. Находим
соответствующие значения / (х) = 1/(1+-х2): уа = 1,000000; уг = 0,984625; у2 =
= 0,941176; #3 = 0,876712; 04 = О,800000; 05 = О,719101; 0в = О,640000; 07 =
= 0,566389; 0S = 0,500000. Подставляем эти данные в формулу Симпсона при
hi = 0,125 и й2 = 0,25:
А — "У- [^0 + Ув + 4 (01 + 03 + 05 + 0?) + 2 (02 + 04 + 0з) ] =
[1,000000 + 0,500000 + 4 (0,984615 + 0,876712 + 0,719101+0,566371 +
+ 2-(0,941176 + 0,800000 + 0,640000)] = — 18,849548 я 0,785398;
^2=~у- [j/o+J'e + 4 (0г+0в) +20<] —
0 2е)
[ 1,000000 + 0,500000 + 4 (0,941176+0,640000) + 2 • 0,800000] =
о
=—9,424704 = 0,785392.
Отсюда
0,0000004.
15 15
Таким образом, все шесть знаков Ц должны быть точными. Истинное значение
интеграла есть
1
1 = j т^2"=arctg х |о=т ~ °>7853979> • • •»
о
что подтверждает найденный результат. А
337
2
C dx
1206. Вычислить по формуле Симпсона \ с точностью до
0,0001, приняв п—10.
8
Р dx
1207. Вычислить по формуле Симпсона j приняв
и = 8. Оценить погрешность по методу удвоения шага; сравнить
с точным значением интеграла. Вычисления вести с пятью зна-
ками после запятой.
Л/2
1208. Вычислить по формуле трапеций I— J К1—0,5sin®xdx,
о
приняв п — 6; оценить погрешность заранее, чтобы определить,
с каким числом знаков (при одном запасном) надо вести вычис-
ления.
2
Р dx
1209. Вычислить по формуле трапеций 1п2= \ — с точностью
1
до 0,01, приняв п = 5.
2
1210. Вычислить по формуле Симпсона с точностью
1
до 0,01, приняв n = 4. I
1211. Вычислить по формуле трапеций J е-*1 dx с точностью
о
до 0,01, приняв п = 4.
Л/2
1212. Вычислить по формуле трапеций J с точностью
о
до 0,01, приняв п — 6.
§ 4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. Аналог формул прямоугольников, а) Рассмотрим замкнутую область D,
ограниченную линиями х—а, х=Ь, у = <р(х), у=ф(х), где <р(х) и ф(х) —
непрерывные иа отрезке [а, Ь] функции, причем* <р(х)<ф(х) (рис. 75).
Разделим область D иа п частей линиями
у = <р(х)+-^-[ф(х)—<р(х)1 (/ = 0, 1, 2..п). (1)
Далее, разобьем отрезок [a, Z>J на т равных частей точками а — х0 < xt <
< х2 < ... < xm-i < хт=Ь и через эти точки проведем прямые, параллель-
ные оси Оу:
х=Х( (i = 0, 1, 2, .... т). (2)
Двумя семействами линий (1) и (2) область D разделится на тп криволинейных
четырехугольников с вершинами в точках Pij(xr, ytj), Pi+i, j (xi+i, yi+i,/),
4<i,/+i). pi+i, /+x(x<+i. y<+i,/+i); ‘ = 0,1, 2.......tn; / = 0,1,2,...
* Заметим, что это условие не ограничивает общности рассуждений.
338
...» п. При фиксированном длина вертикальной стороны четырех-
угольника не зависит от / и составляет
I Pi, jPi, J+11 = ; / = о, 1, 2.....n.
Обозначим площадь криволинейного четырехугольника, изображенного
на рис. 76, через Лац. Эта площадь вычисляется по формуле
xi+i
= Т j
[ф(х) —<p(x)]dx.
Из равенства (3) следует, что значение Ли,у от / не зависит. Учитывая
это, обозначим Да>;-у = Дсо;; 1, 0</<n—1. Двойной интеграл
j J / (х, у) dxdy, где функция /(х, у} непрерывна в области D, заменим дву-
'd
мерной интегральной суммой, выбирая в качестве узлов точки
$ р(х, у) dxdy и Дю, г,у, (4)
D 1=0 j=0
где
2/7 = f (xh y,j), ytj = <p (x,) [ф (x()—<p (x,)]. (5)
Выбирая в качестве узлов последовательно точки Р,-+1, /, Pi, /+i. Pi+i, /+Ь
получим соответственно еще три формулы дли приближенного вычисления
двойного интеграла:
Цх, у) dxdy', D m-1 n-1 « Л®, Хг,’+1- J’ i=0 J=0 (6)
55 f(x< У) dxdy D »X /+1; i = 0 1=0 (7)
55 Нх- У) dxdy и У. У. г1 + 1. / + !• (8)
D i=0 j=o
Формулы (4), (6), (7) и (8) являются аналогом формул прямоугольников
дли приближенного вычисления определенного интеграла. Очевидно, что эти
339
формулы тем точнее, чем больше числа т и п, т. е. чем меньше длина каж-
дого из отрезков разбиения.
б) В частном случае, когда область D—прямоугольник, определяемые
неравенствами a<x<d, c<ysgd, площади До,- элементарных площадок
равны между собой и вычисляются по формуле Ди = (й—a) (d—с)Цтп). Фор-
мулы (4), (6), (7) н (8) соответственно примут вид
р>
D 1 = 0 /= О
D i=0/=0
П t IL. \ U v m-1 "-1
но
D i=0/=0
. D i=0 /= 0
Формулы (9)—(12) можно назвать формулами параллелепипедов.
в) Если функция f(x, у) монотонна по каждой из переменных х и у, то
для двойного интеграла справедлива оценка
(13)
D
m-Iп-1
где М н [I—соответственно наибольшая и наименьшая из сумм L L
1=0 /=0
т—1 п-1 т-1 п-1 т-1 п-1
f=0/=0 i=0j=0 (=0/=0
(fr-g) (d—c)
< 2
г) Пусть функция f(x, у) и ее частные производные fx(x, у) и f у (х, у)
непрерывны в области D — прямоугольнике asgx«Sb, c^y<,d. Тогда оценка
погрешности приближенных формул (9)—(12) определяется с помощью нера-
венства
Mt(fe —а) . M2(d—с)
т ' п
где
Л41= max I f' (х, у) I, М2= max I f’ (х, у) I.
а<х<б‘ х 1 а<х<б' И 1
2. Аналог формулы касательных, а) Рассмотрим двойной интеграл
/ = f (х, у) dxdy. Пусть область D — прямоугольник а<х<6, c<y<d,
D
во всех точках которого выполнены условия
АС—В2 >0, А < 0, С < 0, (15)
где A—fx„ C = fy„ B = fxy. Эти условии обеспечивают выпуклость поверхно-
сти z = f (х, у) во всех точках области D (аналогичным образом условия АС —
— В2 > 0, А > 0, С > 0 обеспечивают вогнутость этой поверхности).
340
Тогда для приближенного вычислении двойного интеграла справедлива фор-
мула
f (х, у) dx dy я (b— fl) (d—с) f (х, у), (16)
D
где х=(а-|-6)/2, y=(c+d)/2.
б) Разобьем область D прямыми х=х, (/=0, 1, 2, .... т) и y=yj
(j — 0, 1, 2, п) на тп равных прямоугольников. Вычисляя двойной инте-
грал по каждому элементарному прямоугольнику с помощью формулы (16) и
суммируя полученные результаты, приходим к следующей формуле для при-
ближенного вычисления двойного интеграла:
j j / (х, У) dx dy я - У, У f (*1> У])’ <17)
о 1=0 /=о
тце Xi = (X|-+i + x;)/2, z/y = (z/y+i +z/y)/2.
Формула (17) дает приближенное значение двойного интеграла с избытком,
если выполнены условия (15). Заметим, что формулой (17) можно пользоваться
и в том случае, когда первое из условий (15) не выполнено. Однако в этом
случае нельзя указать, найдено ли приближенное значение двойного интеграла
с недостатком или с избытком.
3. Аналог формулы трапеций, а) Рассмотрим двойной интеграл I =
= J J f (х, у) dx dy, если область D—прямоугольник а^х<Ь, c<y<d.
D
Тогда для приближенного вычисления двойного интеграла справедлива формула
j f (х, у) dxdy я (6~с).) (Z1 + z24-г8 + г4), (18)
D
где z-t — f (а, с), z2 = f(b, с), za = f (а, d), z.i = f(b, d).
Эта формула дает приближенное значение двойного интеграла с избытком,
если выполнено условие (15).
Оценка погрешности формулы (18) определяется неравенством
(Ь—а) (d—c) f / (х, У) dxdy <
< (rf_c) С)+Н^.+ Н», Ф . (19)
б) Разобьем область D прямыми, параллельными осям координат, на тп
равных прямоугольников. Вычисляя двойной интеграл по каждому элемен-
тарному прямоугольнику с помощью формулы (18) и суммируя полученные
результаты, приходим к следующей формуле для приближенного вычисления
двойного интеграла:
J J f (х, У) dx dy я - (So + 2Sr + 4S2), (20)
D
где Sg = zg0+zmg-j-zgn-j-zmn —сумма значений функции в вершинах прямо-
т — 1 п — 1
угольника; Si= 2 (г(-0Ч-г,„)+2 (гоуЦ-2ту) —сумма значений функции в
i= 1 / = I
узлах, лежащих на сторонах прямоугольника, не считая вершин; S, =
т —1п-I
= 2 2*7—сумма значений функции в узла*, лежащих внутри прямо-
i=i /=1
угольника.
341
При выполнении условий (15) по. аналогии с неравенством (19) получаем
оценку
(Ь Inn С) Е Е f{Xi’ < SSf(X' y}dXdy<
i=0 / = 0 D
< T^=£1(S'> + 2S1 + 4S2)-
(21)
где х,- = (х,-+1 + х,)/2. yf = (y/+i + yj).
Для оценки погрешности приближенного равенства (20) также справедливо
неравенство (14).
в) Если область D ограничена линиями х = а, х = Ь, у = ф(х), у=ф(х),
то в качестве приближенного значения двойного интеграла
И f(xt y)dxdy
D
можно рассматривать среднее арифметическое результатов приближенных вы-
числений двойного интеграла по формулам (4), (6), (7) и (8):
УУ f(x> у) dxdy я У (г'7_Ьг<+1. /+2'. 7+i + z/+i, /+1)> (22)
D i=0 1=0
где А<о(- (Z = 0, 1, 2, т—1) вычисляются по формуле (3), а значения г,у—
по формулам (5). Формулы (4), (6), (7), (8) и (22) целесообразно использовать
в тех случаях, когда точное или приближенное вычисление площадей Лео; не
вызывает особых затруднений.
4. Аналог формул Симпсона, а) Рассмотрим случай прямоугольной обла-
сти D, заданной неравенствами —Ji<x</i, —1<у<1. Подберем коэффи-
циенты многочлена третьей степени
Pf (х, у) = ОзоХ3 4- а21Хгу 4- a12xyi 4- ао3у3 + а20хг + а^ху+ао2г/2 +
4" QioX 4- Ц- о00
так, чтобы в специальным образом выбранных пяти точках (узлах) значения
функции f(x, у) и многочлена Р3(х, у) совпали. Тогда
hl hl J J f (x, y) dx dy я J J P3 (x, y) dx dy. —h — l -h-l a
Учитывая, что J(p(f)df = Of если ф(—1) = — <p (f) на [—a, a], получим -a
формулу h I У У f (x, y) dxdy я ~ (ai3h3 + a3iP-f-3a00). (23)
Если выбрать узлы так, как показано иа рис. 77 н 78, то формулу (23)
можно записать соответственно в виде
I h
J \f{x,y)dxdy»-^-[f(h,t) + f(-h,t)+f(h,-t) + f(-h, -/)+8f(0, 0)]
-l-h
(24)
342
или
Л I
§ J f(x, y)dxdy«^hl[f(h, O) + f(-h, O)-P(O, /) + f(0, -0+2/(0, 0)].
-ft — I
(25)
Для прямоугольника a<x<&, c^y^d формулы (24) и (25) соответственно
примут вид
ь d
J J f (*> У) dxdy «
«(*-а)^-~С)[/(а.с) + /(Д. d)+f(b, c) + f(b, d)+8f(^, Цг)]’ (26)
Ь d
j р(«. й[,(«, e4-d)+f(». £+?)+
+'(т’е)+,(г4£’‘')+2/(Ч^’с-^)]- т
Формулы (26) и (27) тем точнее, чем меньше размеры прямоугольника; как
следует из изложенного, они точны для многочленов третьей степеви.
Рис. 77
6) Разбивая прямоугольник прямыми, параллельными осям координат, иа
4mn равных прямоугольников, применяя к каждому такому прямоугольнику
формулу (26) и суммируя полученные результаты, приходим к формуле
ь d
С С/(х, у) dxdy « (So + 2SX + 4S2 + 8Ss), (28)
• J «7 *«**•••
a c
где
S0 = f(a, c) + f(a, d)±f(b, c)+f(b, d),
Si= 2 [f (Xti, c)4-f(x2,-, d)]+ 2 if (a> Й/Ж
«=1 /=1
m—In—1 m-ln-l , , , 4
V4 V’»/ x C V V У2/ + У2(/+1)\
s2 = 2u z.f (x^ s’ = 2- 2-i ц —2— —2— J
i=l /= 1 i=o /=0 4 '
Если в предыдущих рассуждениях использовать формулу (27), то
* d
У j f (х, у) dxdy (Ь~^~С) (Si+S2-i-4S3), (29)
а с
343
где
У2/ + У2(/+1)
2
Х2|-~ *2 (1+1) с
*2Z4~*2(I + 1>
2
2
т-l п-1
2
2
D
{ = 0 /=0
/п-1 п-1 г . .
s.-S£ 6^
Рис. 79
Формулы (25)—(28) дают точный результат,
если подынтегральная функция является много-
членом не выше третьей степени от перемен-
ных х, у, т. е. f (х, у) S3 Р3 (х, у).
в) Пусть область D определена неравен-
ствами х0 < х < х2, ул (х) < у < у2 (х). Пр ямой
•«1 = (*о + *2)/2 и линией </1 = [(/о(х)+У2 (х)]/2
разобьем область D на четыре части (рис. 79).
Обозначим yj (xi) = yij. Как и ранее, f (xi, уц) =
~zij 1 = 1, 2). Рассмотрим
х» й (х)
/= $ Р (*• У) dxdy— dx f(x, у) dy.
В х, у, (х)
Применяя несколько раз малую формулу Симпсона, в результате получим
следующее приближенное равенство:
УУ / (*. У) dx dy = [(W>2 — Уоо) Czoo + 4zol + zoa) +
D
+ 4 (У12 — У1л) (zl0 + 4zll + z12) + (1/22 —У20) (z2o + 4z21 + z22)b (30)
Заметим, что если y2(x)—y0 (x) = A=const, то формула (30) принимает вид
1 \ f (*> У) dxdy я A 2„_ ° [z00 4- zo2 + z2o+z22+4 (Zoi_Fzio4'zi2 + z2i) 4-10zii-
В частности, формула (31) справедлива, если областью интегрирования D яв-
ляется прямоугольник а<х<6, с<у <d со сторонами, параллельными осям
координат. В этом случае
УУ/(*. У) dx dy «а Ь (а> с) 4-f (a, d) + f (&> с) +
+ /(&, d) + 4 [f(a, C4^)+f (б, + с) +
+/(4^’d)]+,6<^’4-d)}- <32>
Формула (30) дает точный результат, если подынтегральная функция является
многочленом третьей степени относительно у при фиксированном х и результат
вычисления внутреннего интеграла—многочленом не выше третьей степени
344
по х. Формула (32) точна, если f (х, у) — многочлен третьей степени относи-
тельно х прн фиксированном у (нли относительно у при фиксированном х).
г) Если областью интегрирования D является круг с центром в начале
координат и радиусом г (рнс. 80), то для приближенного вычисления двой-
ного интеграла целесообразно перейти к полярным координатам:
2л г
J J f (х, y)dxdy—'\j dtp f (р cos ср, р sln ф) р dp.
D 0 0
Разделим прямоугольник в плоскости фОр (рис. 81) прямыми ф = я и р — г/2
на четыре равные части. Вычислив значения подынтегральной функции в узлах
и применив последовательно формулы (24) и (26), соответственно получим
jp(x, y)dxdy^~ р(г, 0) + 2^-у, О)] , (33)
D
Ур(х, y)dxdy^\f^, 0^+H-r, O) + f(~y. 0)]( (34)
D
где S = яг2—площадь круга. Формулы (33) и (34) точны, если F (р, ф) —мно-
гочлен не выше третьей степени относительно риф.
Используя формулу (32), получим
jp(x, 0dxdy»-|-[f(r, 0)+2/(у, о)+ 2/(-г, 0) + 4/(-у, о)].
D
(35)
Эта формула точна, если функция F (р, ф) является многочленом не выше
третьей степени относительно р при фиксированном ф (или относительно ф при
фиксированном р).
д) Если область интегрирования ограничена эллипсом x2/a2-^-y2/b2—l, то
с помощью преобразования координат по формулам х = арсозф, у = ар sin ф
двойной интеграл можно переписать так:
2л I
/= f (х, у) dx dy ss abp-f (ар cos ф, bp sin ф) dp dtp.
D oo
Формулы (24), (25) и (32) для такой области соответственно примут вид
/»А[/(а, 0) + 2/(-у, о)], (36)
1/(1’°)+Z(~fl’ °)]’ (37)
Z«-f-p(fl, 0)H-2f(-J, о)+2Н-а. 0)+4/, о)], (38)
где S=nab—площадь эллипса.
345
1213. Вычислить двойной интеграл 1 — (х-\-у)г dxdy, если
о
область D ограничена линиями х = 1, х = 3, у = х\ у = х-\-х*.
Л Сначала найдем точное значение интеграла:
3 х+х* 3 3
I— § У (х+У)2 dxdy=-^ У (х+ у)3 dx—-^ У [(2х+х3)3—(х+х2)3] dx =
1 х‘ 1 1
3
=1 У^ + ^ + Зх*)^! [1х‘+|х»4-1х*]’=
1 <567 , 2187 , 729 7 9] И „
~ 3 \ 4 ‘ 5 ‘ 2 4 5 Т;—'
Найдем приближенные значения двойного интеграла по формулам (4), (6),
(7), (8) и (22) и сравним эти значения с точными.
Положим /л = 4, л = 4. Значения yij (i = 0, 1, 2, 3; / = 0, 1, 2, 3) вычис-
лим, пользуясь формулой (5):
Uij = xi + _j’/ = xi ^xi’b’yj
Так как х0=1, Xi = 1,5, х2 = 2, х3 = 2,5, х4 = 3, то //00=1; yOi=l,25;
Узг —1>5; х^оз= 1,75; «/(>4 = 2; //ю = 2,25; //ц = 2,625; J/i2 = 3; //1з = 3,375;
Ун = 3,75, //so = 3,75; y^ = 4,5; //22 = 5', yi3 — 5,5; //24 = 6; узо = 6,25; уп — 6,875;
Узг~7 & //з» = 8,125; Уз4 = 8,75; у4о = 9; //41 = 9,75; //42=10,5; //43=11,125;
у44=12. Согласно формуле (3), имеем
Дш,=т j xdx=4x2[n+,=:4^+i—х^'
xi
Для / = 0, 1, 2, 3 получим Дсо0 = 0,155; Дсо1 = 0,219; Дсо.2 = О,281; Д<о3 = 0,344.
Далее, так как
г,7=(х,'.+ 4/,7)2 (/ = 0, 1, 2, 3; / = 0, 1,2, 3),
то z00 = 4; zoi = 5,O33; гвг = 6,25; гоз = 7,563; г04 = 9; г10 я 14,063; гц я 17,016
?12 = 20,25; гп « 23,766; zu я 27,563; z2o = 36; z2i = 42,25; г22 = 49; г23 = 56,25
224 = 64; г30 я 76,563; г» я 87,891; г32= 100; г33= 112,891; г34^ 126,563
г4в » 144; г41 « 162,563; 242= 182,250; г43= 199,516; г44 = 225.
Используя теперь формулы (4), (6), (7) н (8), соответственно находим
зз з
2 2 г,7 = 2 Дсо< (г'<> 2,1 “I” г<’2 “I" г'3) 58
1 = 0 /=о /=о
я 22,876-0,1564-75,095-0,219+183,5-0,281+377,345-0,344 я 201,386;
зз з
2 А®' 2 г/+М = 2 Дш< (г/+1, о 4“Z/+1, 1 + г1 + 1, з 4-27+1, з) ~
(=0 /=0 1=0
я 75,095-0,156+ 183,5-0,219 + 377,345.0,281 +688,329-0,344 «394,721.
зз з
2 Ди>< 2 г<./+1=2 Ди‘ (г/1~!"г/2+г1»+г/4) ~
1=0 / = о / = о
я 27,876• 0,153 + 88,595• 0,219 + 211,5• 0,281 + 427,345-0,344 я 230,190;
346
3 3 3
2 Дсй<2г‘+1> /+1== 2 А®' (г«+1,1 + г< + 1'. г + г«+1, з + г1+*,4) w
i= о /= о 1 = 0
я 88,595-0,156+211,5-0,219 + 427,345-0,281+769,329-0,344 я 444,873.
Абсолютная и относительная погрешности полученных значений довольно
велики, что объясняется малостью чисел т и п.
Применяя приближенную формулу (22), получим
, 201,386 + 230,190 + 394,721+444,873 1271,17
/ ——--- 1 1———————• о]/ ,/УО»
4 4
Тогда относительная погрешность
* Ю0% я 1,3%.
010, Z
1214. Используя неравенство (21), дать оценку двойного ин-
теграла I = $ $ (x2 + y-)dxdy, если область D—прямоугольник,
D
ограниченный прямыми х = 0, х— 4, у=1, у = 5.
Д Здесь f (х, у) = х- + у2, f'x (х, у) = 2х, fy (х, у) = 2у, fxt (х, у) = 2, fy, (х, у) =
= 2, fxy(x, у) = 0, поэтому условия АС—В2 > 0, А > 0, С > 0выполнены. Поло-
жим т = 4, п = 4. Значения х н у, соответствующие точкам разбиения, таковы:
хо = 0, Xi=l, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 4, у0=1, У1 = 2, у2 = 3, г/з = 4, у4 = 5. Так
как z,7 = Xi + y/, то Zoo^l, zM = 4, г02 = 9, г03 = 16, го4 = 25, Zi0 = 2, гп = 5,
Zj2=10, 213= 17 , 214 = 26, 22о = 5, 221 = 8, 222 = 13, 223 = 20, 224 = 29, 23о=Ю,
23i=13, 232= 18, 23з = 25, 234 = 34, 24о—17, z4i = 20, z42 = 25, 243 = 22, 244 = 41.
Согласно формуле (20) имеем
Z«^(S0 + 2Si + 4S2),
где So = 1 + 25+17 + 41 =84, Si = 2 + 5+ 10 + 20 + 25 + 32 + 34 + 29 + 26 + 4+
4-9 + 16 = 212, S2 = 5+10+17+8+13+20+13+18 + 25= 129. Следовательно,
I я -j- (84 + 2-212 +4-129) =-|-• 1024 = 256.
Для приближенного вычисления двойного интеграла по формуле (17) сна-
чала найдем x^- = (x/+i + xi)/2, yj = (yj+i +yj)/2 (« = 0, 1, 2, 3; / = 0, £, 2, 3);
имеем хо = О,5; xi=1.5; х2 = 2,5; х3 = 3,5; у0= 1.5; yi = 2,5; у2 = 3,5; у3 = 4,5.
Обозначим г(у = х; + у/ и вычислим
2ро = 0,52+ 1,52 = 2,5;
гО1 = 0,52 + 2,52 = 6,5;
го2 = 0,52 + 3,52= 12,5;
г03 = 0,52 + 4,52 = 20,5;
720 = 2,52+ 1,52 = 8,5;
z_2i = 2,52 + 2,52= 12,5;
г22 = 2,52 + 3,52= 18,5;
22з ~ 2,52 +4,5- = 26,5;
£ю= 1,52+ 1,52 = 4,5;
гц = 1,52 + 2,52 = 8,5;
£i2=1,52 + 3,52= 14,5;
Zj3= 1,52 + 4,52 = 22,5;
гзо = 3,52+ 1,52= 14,5;
z_3i = 3,52 + 2,52= 18,5;
г32 = 3,52 + 3,52 = 24,5;
г33 = 3,52 + 4,52 = 32,5.
Тогда
I ~ *11 (2,54-6,5-j-12,54-20,5 + 4,5 + 8,5+ 14,5 + 22,5 + 8,5 +
+ 12,5+18,5+ 26,5+14,5+18,5 + 24,5 + 32,5) = 248.
Итак, 248 < I < 256.
Найдем точное значение интеграла:
4 5 4
Z=y j (xs + y2)dxdy = y Гх2у+у y3Vdx=
0 1 о
4
р f 125 1 \ Г 4 124 14 2
(5х2+-^-х2-4рх= = 250^ 250,667.
J \ '3 3 / ]_3 ' 3 Jо 3
о
Таким образом, приближенные формулы (20) и (17) дают соответственно отно-
сительные погрешности
, 256— 250,667 |ПЛ0/ о.0/ х 250,667-248 1ПП0, 110/ ж
51 = 250,667 ' * ,00% ” 2’1%: ба== 250,667 ' 100/о * 1,1 А
1215. Используя формулу (32), вычислить двойной интеграл
/=$ $ (х2 + 2у)dxdy, если область D—прямоугольник 0^х^14,
0<у<6.
А Вычислим точное значение интеграла:
4 6 4 4
/=$dx J (х22у) dy = \ [x2y+y2]®dx= J (6х2 + 36)dx = [2+ + 36х]*= 272.
оо о о
Здесь а = 0, b = 4, с=0, d = 6; f(x, y)=x2-j-2y; f(a, c) = 0; f (a, d) — 12;
f(b, c)=16; f(b, d) = 28; f(a,^±l)=6; f (b, ^) = 22; f(^, c) = 4;
= f ~ Применяя формулу (32), находим
4 6
/ = J У (x2 4- 2y) dx dy = У [° + 12 + 16 + 28 + 4 (6 + 22 + 4 +16) +16• 1 °] =
о о
2
=-, (56 + 4 • 48 + 160) = 272.
<3
Мы получили точный результат, так как подынтегральная функция/ (х,у)=
= х2+2у—многочлен относительно х и у, имеющий степень ниже третьей.
1216. Вычислить двойной интеграл /
Э/2 . ,
dxdy,
D
если область D определена неравенствами —З^х^З, —
<2.
А Перейдем к полярным координатам, полагая x = 3pcosq>, y = 2psin<p.
Тогда х2/9+у2/4 = р2, 0<ф< 2л, 0 < р < 1. Воспользовавшись формулой (38),
348
найдем приближенное значение интеграла:
Ч+2+44)=4 ” (з+|+т)=25"-
Точное значение интеграла составляет
2я 1 2я
ИвеИ 6 I2”
P<dpd<p=yj р5[о^ф=-?-ф^ =2,4л.
0 0 о
Относительная погрешность 6= (2,5л—2,4л)/2,4л-100% « 4,2%. Д.
1217. Найти приближенное значение двойного интеграла I —
— У У dxdy по формуле (30), если область D ограничена
D
линиями х=2, х—4, у — х2/2 и у — 2х.
/\ Найдем точное значение интеграла:
4 2х 4
2 Х«/2 2
4
Г ( 2 t п 2 ** ** \ j Г я ** X5 Т 4
=3 (/ +2* “4"—8-ГХ==[ i6~10 j2=’
2
= 64—16 — 25,6—8 + 1+0,8= 16,2.
Здесь
хь = 2, х2 = 4, х1 = (х0 + х2)/2 = 3, у0 = х2/2, у2 = 2х, yt = (z/0 + у2)/2 = х2/4 + х;
ytj = yj(xi)'< Уоо = Уо (•*») = 2, уо1 = у! (х0) = 3, Уог = Уг (Хо) = 4,
У1о = Уа (*1) = 4,5, уи = У1 (х0 = 5,25, z/12 = уг (Xi) = 6,
У го = У о (*2) = 8. У г i = У1 (х2) = 8, у22 = уг (х2) = 8.
*/; = /(*/. У//) = *//2+у,7 (», / = 0, 1, 2);
Zqo=3, zoj = 4, z02 = 5, zi0 = 6, гц = 6,75, Zi2 = 7,5, z2o=10, z2i = 10, z22=10.
По формуле (30) получаем
4 Чх
/=S S (4+у)^ = ^[(4-2Н3 + 4-4 + 5) + 4(6-4,5)Х
2 x*/2 4
X(6+ 4-6,75+7,5) + (8-8) (Ю + 4-10+ 10)]= 16-^-=16,167. £
1218. Используя формулы (26) и (32), найти приближенные
значения двойного интеграла 1 = J J (ху + 3 К у) dx dy, если об-
D
ласть D—прямоугольник 0^х^2,
349
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО К ВЫЧИСЛЕНИЮ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ И КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло, а) Требует-
ся вычислить интеграл Пусть t—равномерно распределенная слу-
о
чайная величина, р (/)—плотность распределения вероятности этой случайной
величины:
[ 0 при t < О,
р (0 = < 1 при 0<<<1,
(О при t > 1.
Тогда математическое ожидание случайной функции ф (/) определяется равен-
ством
1
М[ф (О1=$Ф(ОР(ОЛ.
о
Учитывая значения р (t), получим
1
М[ф(01=$ф(0Л. (1)
о
Найдем приближенное значение математического ожидания. Пусть в результа-
те N испытаний получено V значений случайной величины: tit t2, .... t/j.
Эти значения можно взять из таблицы случайных чисел (см. табл. VII на
с. 415). Тогда приближенное значение М [ф (/)], согласно теореме Чебышева,
определится из равенства
N
М[ф(01* у£ф(/,). (2)
Г=1
Из равенств (1) и (2) следует, что
С 1 N
ф(/)(Л)»^£ф(О- (3)
0 i=l
б) Рассмотрим теперь общий случай: пусть требуется вычислить интеграл
ь
J f(x)dx. Перейдем к новой переменной t с помощью равенства х=а-|-(б—а) Г.
а
Тогда
ь 1
f (х) dx = (b — a) ф (/) dt, (4)
а О
где ф(0=/(а + (^—о) /]. Используя формулу (3) для приближенного вычисле-
ния интеграла в правой части равенства (4), получим
* N ? . N
j f (х) dx « • У ф (<,), илн j f (х) dx я У f (xt), (5,
a tai a i= 1
где Xi==a-(-(b—a) ti (i — 1, 2, .... N).
Расчетная таблица для вычисления определенного интеграла по формуле
(5) имеет вид
i *1 x(=a+(b-a) f (*,)
1 h Xi f(Xi)
2 X» f(x2)
• • • •
• • • •
• • • •
N tN xn f (xn)
N .
2 /(*/>
i = l
Изложенный метод приближенного вычисления определенных интегралов
с помощью формулы (5) является одним из частных случаев метода статисти-
ческих испытаний (метода Монте-Карло).
в) Укажем другой способ вычисления определенных интегралов, основан-
ный на использовании метода Монте-Карло. Из геометрического смысла опре-
ь
деленного интеграла следует, что интеграл /=^ f(x)dx выражает площадь кри-
а
волинейиой трапеции, ограниченной линиями х=а, х = Ь, у — 0, y = f(x), если
функция f (х) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а, 6]. Рассмотрим пря-
моугольник, ограниченный прямыми х=а, х = 6, у = 0, у—М, где
max f(x) (рис. 82). Если функция f (х) удовлетворяет неравенству /(х)^0
а<х<ь
не во всех точках отрезка [а, Ь], то будем пользоваться тождеством
I ь ь
f(x)dx = [f (x)4-h]dx—h(b—а),
а а
где число h > 0 подобрано так, что f (x)-|-h₽sO для х£[а, 6].
Данный метод, так же как и предыдущий, основан на использовании таб-
лицы случайных чисел, принадлежащих промежутку [0, 1]. В связи с этим
необходимо от переменных х, у, перейти к переменным £, г] так, чтобы область
Di преобразовалась в некоторую область D, лежащую внутри единичного
квадрата 1, 0<tj«s: 1 (рис. 83). Для этого положим x = a-j-(&—а) £,
351
Тогда dx—{b—a)dZ и при изменении х в пределах от а до b пере-
менная g принимает значения от 0 до 1. Данный определенный интеграл пре-
образуется к виду
I
I = (b-a)-M J <р(Э</Е, (6)
о
где
Ф © =±f[a+(b-а) g]. (7)
Из равенства (7) следует, что f (х) — Л4<р (|). Рассмотрим множество случайных
точек (gi; Л1)> Ua! Ла). • ••, (&v; ЛЛ’), равномерно распределенных на единичном
квадрате. Пусть в о5ласть D попадет п точек. Так как случайные точки рас-
пределены равномерно, то
1
ф (I)
п по вероятности о
где число 1 выражает площадь единичного квадрата. Тогда
1
j ф (0 « -у • (8)
о
Из равенств (6) и (8) можно заключить, что
ъ
р,
а
Это и есть формула приближенного вычисления определенного интеграла мето-
дом Монте-Карло.
Приближенное равенство (9) можно переписать так:
ь
f (х) dx
Я________~ JL (1ft
М (Ь — а) ~ ’
откуда следует, что отношение площади криволинейной трапеции Di к площа-
ди прямоугольника (см. рис. 82) приближенно равно отношению числа слу-
чайных точек, попавших внутрь криволинейной трапеции н внутрь прямо-
угольника.
Расчетная таблица для вычисления определенного интеграла по формуле
(9) имеет вид
i x^a + i.b-a}
1 El ’ll Xi Уг f(Xi)
2 Ла Xi Уг f (хг)
• • • • •
• • • • • •
N %N T)A7 XN Vn f (xn)
352
Среди значений у; (f= 1, 2, N) надо выбрать те, для которых выполня-
ется неравенство у[ < У/. Число этих значений равно п.
2. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло, а) Требуется
5 р (*> У) dx dy, где область D определяется неравенствами
D
вычислить
ф! (х)<<р2 (х). Будем считать, что непрерывные функции Ф1 (х)
и фа (х) на отрезке [a, Л] удовлетворяют неравенствам <pi (х) с, фа(х)<</
(рис. 84).
Произведем замену переменных по формулам х = а-\ (Ь— a) g, y = c-\-(d —
— с)ч]. При таком преобразовании область D переходит в область Д, содер-
жащуюся в единичном квадрате 0<*<1,
0<ч]<1 (рис. 85). Пусть я —
число случайных точек (£,-; г),) (Г=1, 2, .... п), попавших в область Д, a N—
число случайных точек, расположенных внутри единичного квадрата. Очевидно,
что в область D попадет п точек (х,-; у,), где х; = а + (6 — a) yi = c-^(d —
— с) Л/ (1 = Ь 2, •••, п). По теореме о среднем имеем
J Р (х, у) dxdy « f (х, у)-S,
D
(И)
где (х; y)£D, a S—площадь области D. За приближенное значение f (х, у)
возьмем среднее арифметическое значений функции f (х, у) в п случайных точ-
ках, попавших в область D-.
п
f^x>y)~-^^f(xi,yi). (12)
i = l
Учитывая равенства (11) и (12), получаем
f (х, у) dx dy и А У f (х,-, уД. (13)
п <=1
Формулой (13) удобно пользоваться, если площадь S вычисляется легко.
По аналогии с формулой (10) можно записать
S ~ п
(d—c)(b — d) ~~N'
где S — площадь области D. Тогда
п (Ь—a) (d — с)
й
(14)
12-216
353
Из равенств (13) и (14) получим формулу для приближенного вычисления двой-
ного интеграла;
л
J J f (*> У) dx dy и V f (Xi, yi).
(15)
При вычислении двойных интегралов с помощью приближенной формулы
(15) удобно использовать расчетную таблицу:
i 5/ л,- Xj=a + ib-a1 y.=c + id-с) Я(. _Ui = <rx<Xi> f (X;, У;)
1 Si П1 Xi yt <Р1 (*1) Фа (*i) f (Xi, yi)
2 ga Ла х3 Уз <Р1 (х2) Фа (-«а) f (хз, Уз)
g^ XN VN <Р1 (xn) фа (x^) f (xn, у у)
для которых выполнено ус-
те,
Среди значений yi надо выбрать
ловие yi «£ yt < yi- Их число равно п.
б) Обобщим формулу (9) на случай двойного интеграла J f (х, у) dx dy,
D
если область D определена неравенствами а<х<6, <pt (х) <р2 (х). Обо-
значим через М такое число, что М max f (х, у). Двойной интеграл
у< d
J f (х, y)dx dy, как известно, выражает объем цилиндрического тела V, оп-
41D
ределенного неравенствами а«£х«Сб, <pi (х)<у<<р2 (х), (х, у). Это
цилиндрическое тело расположено внутри параллелепипеда a^x^b, c^y<d,
О < z< М.
Перейдем к новым переменным g, т), £ по формулам х—а-)-(Ь—а) %, у=с~г
-f- (d—c)i], z=Mg. Тогда область V преобразуется в область Й, определен-
ную неравенствами
о<Е<|,
и ~~ с и - с
Область й лежит внутри единичного куба, ограниченного плоскостями g = 0,
g=l, т) = 0, т)= 1, g —О, g=l. Значит,
/=(&—a)(d—с)-М <р (g,ч])dgdx\,
д
где <p(g, — [<»+ —a) c + (d_ c) Л]> a Д —область, полученная нз об-
ласти D после замены переменных.
Рассмотрим множество случайных точек (gi; гц; gi), (g2; т]2; g2), . • •. (5л':
gjv), равномерно распределенных внутри единичного куба. Число этих то-
чек, попавших в область Д, обозначим через п. Так как случайные точки
распределены равномерно, то
П по вероятности (• (• С С . П
—------------<р (g, i])dgdT], или <р (g, 1]) dg dt] и у.
А Д
354
Возвращаясь к переменным х и у, получим приближенную формулу для вы-
числения двойных интегралов методом Монте-Карло:
Пп \j j (b — a)(d—c)nM
f (х, у) dx dy х --. (16)
D
Расчетная таблица при использовании формулы (16) имеет вид
{ Е,- С/ x~a + (b-a) yi=cx(d-c'lr\j yi=4>Axi) 2,- = Йх;.у;)
1 51 ’ll 5! Xi У1 *1 <Р1 (Х1) ф2 (*1) f (Xl, У1)
2 52 ’ll 52 х2 Уг *2 <Р1 (х2) ф2 (Х2) f (х2, У2)
М Zn XN VN <₽1 (xn) ф2 (XN) f (xn, Vn)
Число п находится следующим образом: средн значений у,- (£=1,2.........N)
надо взять те, для которых справедливо неравенство
Vi < У1 < У1-
(17)
Соответственно этим значениям yt средн значений z(- следует выбрать те, для
которых выполнено условие
Z; < Z(.
(18)
Заметим, что целесообразно находить не все значения Zi — f (х;, у;), а лишь
соответствующие тем у;, для которых выполнено условие (17).
в) Формула, аналогичная соотношениям (9) и (15), имеет место и для
Л-кратных интегралов:
и-;
V
f (*1. х2,
., xk)dxidxz.. .dXk х
tlM. T1
“лГ" 1-1
(19)
где область V принадлежит ^-мерному параллелепипеду, координаты точек
которого удовлетворяют k неравенствам (i= 1, 2, ..., k), а функ-
ция f (xi, х2, .... Xk) непрерывна в области V и удовлетворяет условию
<f(xt,x3, ...,хк)<М.
Вывод формул (9), (15) и (16) основан на использовании понятия сходи-
мости по вероятности. Поэтому соотношение n/N тем устойчивее, чем большем.
Это означает, что для любого сколь угодно малого числа е > 0 вероятность
неравенства |/—7| < е, где / — точное значение интеграла 7—его приближен-
ное значение, найденное методом Монте-Карло, возрастает с увеличением N.
Тем не менее может случиться, что и при очень больших N окажется, что
|/—7| > е. Последнее обстоятельство иа практике встречается редко.
Что касается метода Монте-Карло, то приведенные примеры имеют иллюст-
ративный характер, преследуя цель познакомить учащихся с сущностью
метода.
В силу сделанных выше замечаний, для приближенного вычисления ин-
тегралов с помощью метода Монте-Карло необходимо использовать ЭВМ,
составив предварительно соответствующую программу метода.
1219. С помощью формулы (3) найти приближенное значение
интеграла 7=^(1— t3)dt, взяв из таблицы случайных чисел на
о
с. 415 подряд 30 значений и ограничиваясь тремя цифрами.
Л Расчетная таблица имеет вид
i i *1 Л 1 *i
1 0,857 0,734 11 0,609 0,371 21 0,070 0,005
2 0,457 0,209 12 0,179 0,032 22 0,692 0,478
3 0,499 0,249 13 0,974 0,949 23 0,696 0,484
4 0,762 0,581 14 0,011 0,0001 24 0,203 0,041
5 0,431 0,186 15 0,098 0,010 25 0,350 0,122
6 0,698 0,487 16 0,805 0,648 26 0,900 0,810
7 0,038 0,001 17 0,516 0,266 27 0,451 0,203
8 0,558 0,311 18 0,296 0,088 28 0,318 0,101
9 0,653 0,426 19 0,149 0,022 29 0,798 0,637
10 0,573 0,328 20 0,815 0,664 30 0,111 0,012
Таким образом,
зо зо
2 (1-«) = 30- 2 *<=30-9,455 = 20,545,
i=i « = 1
откуда по формуле (3) получаем
1
(1 -<*) dt = зо -20,545 « 0,685.
Точное значение интеграла есть
МЧ)1М*°’667-
\ з / |0 з
Значит, абсолютная погрешность составляет | 0,667 — 0,6851 = 0,018, а относи-
тельная погрешность 6= (0,018/0,667)-100% и 2,7%. А
з
1220. Вычислить определенный интеграл I = J (№ + х3) dx, ис-
2
пользуя приближенную формулу (5).
Д Из таблицы случайных чисел возьмем 20 значений, начиная с третьего.
Расчетная таблица имеет вид
356
i 'Z х ^ — 2+1 А
1 0,499 2,499 6,245 15,606 21,851
2 0,762 2,762 7,629 21,070 28,699
3 0,431 2,431 5,910 14,367 20,277
4 0,698 2,698 7,279 19,639 26,918
5 0,038 2,038 4,153 8,464 12,617
6 0,558 2,558 6,543 16,738 23,281
7 0,653 2,653 7,038 18,672 25,710
8 0,573 2,573 6,620 17,034 23,654
9 0,609 2,609 6,807 17,759 24,566
10 0,179 2,179 4,748 10,346 15,094
11 0,974 2,974 8,645 26,305 35,150
12 0,011 2,011 4,044 8,133 12,177
13 0,098 2,098 4,402 9,235 13,637
14 0,805 2,805 7,868 22,07 29,938
15 0,516 2,516 6,330 15,926 22,256
16 0,296 2,296 5,276 12,104 17,380
17 0,149 2,149 4,618 9,924 14,542
18 0,815 2,815 7,924 22,307 30,231
19 0,070 2,070 4,285 8,870 13,155
20 0,692 2,692 7,247 19,508 26,755
20
Используя формулу (5) при а = 2, b = 3, N — %), 2 f (х<) =437,888, находим
4 = 1
/ и 437,888/20 = 21,894.
Точное значение интеграла есть
з
/ = У (х*+хЗ) dx= (у+?)|’=22^ ® 22,583.
2 4
Относительная погрешность составляет
6 = (22,583 - 21,894)/22,583-100% «3,1%. Д
з
1221. Вычислить определенный интеграл I = (х2 + ха) dx, ис-
2
пользуя приближенное равенство (9).
Л Здесь а = 2, b = 3, шах (х2 4-х3) =35. Положим х = 24-Е, u=36n.
2 з
Из таблицы случайных чисел возьмем 40 значений (W = 20). Расчетная таблица
имеет вид
357
С *,=2+6,. У/=36п(- \2 4 У,=л?+х?
1 0,857 0,457 2,857 16,452 8,162 23,319 31,481
2 0,499 0,762 2,499 27,432 6,245 15,606 21,851
3 0,431 0,698 2,431 25,128 5,910 14,367 20,277
4 0,038 0,558 2,038 20,088 4,153 8,464 12,617
5 0,653 0,573 2,653 20,628 7,038 18,672 25,710
6 0,609 0,179 2,609 6,444 6,807 17,759 24,566
7 0,974 0,011 2,974 0,396 8,845 26,305 35,150
8 0,098 0,805 2,098 28,980 4,402 9,235 13,637
9 0,516 0,296 2,516 10,656 6,330 15,926 22,256
10 0,149 0,815 2,149 29,340 4,618 9,924 14,542
11 0,070 0,692 2,070 24,912 4,285 8,870 13,155
12 0,696 0,203 2,696 7,308 7,268 15,595 26,863
13 0,350 0,900 2,350 32,400 5,523 12,979 18,502
14 0,451 0,318 0,451 11,448 6,007 14,723 20,730
15 0,798 0,111 2,798 3,996 7,829 21,906 29,735
16 0,933 0,199 2,933 7,164 8,602 25,230 33,832
17 0,183 0,421 2,183 15,156 4,765 10,402 15,167
18 0,338 0,104 2,338 3,744 5,466 12,780 18,246
19 0,190 0,150 2,190 5,400 4,796 10,503 15,299
20 0,449 0,320 2,449 11,520 5,998 14,689 20,687
Как видно нз таблицы, п=13. Следовательно, по формуле (9) находим
/ яг (36-13)/20 = 23,4; б = (23,4 — 22,583)/22,583-100% я 3,6%. ±
1222. Применяя формулу (15), найдем приближенное значение
двойного интеграла I =\\(x + 2y)dxdy, если область D задана
D
неравенствами 0 х sC 1, х!2^.у^.х (рис. 86).
Л Здесь а —0, Ь=1. Так как область D расположена в единичном квад-
рате, то нет необходимости переходить к новым переменным. Из таблицы слу-
чайных чисел возьмем подряд 20 значении. Расчетная таблица имеет вид
i xi »i 4/;=х;/2 У1~х^ 2г/; t (Xj. у;) = х{ + 21/1
1 0,857 0,457 0,428 0,857 0,914 1,771
2 0,499 0,762 0,249 0,499
3 0,431 0,698 0,215 0,431
4 0,038 0,558 0,019 0,038
5 0,653 0,573 0,326 0,653 1,146 1,799
6 0,609 0,179 0,304 0,609
7 0,974 0,011 0,487 0,974
8 0,098 0,805 0,049 0,098
9 0,516 0,296 0,258 0,516 0,592 1,108
10 0,149 0,815 0,074 0,149
По формуле (15) при N— 10 и п = 3 получаем
/«(1,771 + 1,799 +1,108)/10 = 4,578/10 » 0,458.
Найдем точное значение интеграла:
D 0 х/ 2
1 .
(x+2y)dxdy=4- f (*+2у)2 |Х =
4 <1 |х/2
1
1 С ц уЗ 11 ц
0.417.
о
Тогда 6=(0,458—0,417)/0,417-100% «9,82%.
Здесь, как и в других примерах, число п = 3 недостаточно для того, чтобы
в должной мере могли проявиться статистические закономерности. Тем не ме-
нее для грубой ориентировки получен удовлетворительный результат. А
1223. Вычислить по приближенной формуле (16) двойной ин-
теграл I— V^x + ydxdy, где область D ограничена линиями
D
х = 0, х = 4, у~3х, у — 8х (рис. 87).
Л Записав данный двойной интеграл в виде повторного, имеем I =
4 8х
= 5^5 Vx+ydy. Здесь я = 0, 6=4, <р< (х) =3х, <ра (х) = 8х; далее, <Pi(x)5^0,
0 Зх ____
<ра(х)<32, поэтому с = 0, d=32. Так как max prx+z/ = 6, то произведем
0<х<4
0<у<32
замену переменных по формулам x = 4g, z/=32rj, z=6£. Прямые у — Зх и
у = 8х преобразуются соответственно в прямые г] = (3/8) g, ч = 5 (рис. 88). Из таб-
лицы случайных чисел возьмем 60 значений (N = 20). Расчетная таблица
имеет вид
359
i *1 «•С/ J,-»*, Xl+lli zl”Vxt+l/t
1 0,857 0,457 0,499 3,428 14,624 2,994 10,284 27,424 18,052 4,249
2 0,762 0,431 0,698 3,048 13,792 4,188 9,144 24,384 16,840 4,104
3 0,038 0,558 0,653 0,152 17,856 0,456 1,216
4 0.573 0,609 0,179 2,292 19,488 6,876 18,336
5 0,974 0,011 0,098 3,896 0,352 11,688 31,168
6 0,805 0,516 0,296 3,220 16,512 1,776 9,660 25,760 19,732 4,441
7 0,149 0,815 0,070 0,596 26,080 1,788 4,768
8 0,692 0,696 0,203 2,768 22,272 8,304 22,144
9 0,350 0,900 0,451 1,400 28,800 4,200 11,200
10 0,318 0,798 0,111 1,272 25,536 3,816 10,176
11 0,933 0,199 0,183 3,732 6,368 11,196 26,976 3,536
12 0,421 0,338 0,104 1,684 10,816 0,624 5,052 13,472 12,500
13 0,190 0,150 0,449 0,760 4,866 2,694 2,280 6,080 5,560 2,358
14 0,320 0,165 0,617 1,280 5,280 3,702 3,840 10,240 6,560 2,561
15 0,369 0,069 0,248 1,476 2,208 4,428 11,808
16 0,960 0,652 0,367 3,840 20,864 2,202 11,520 30,720 24,704 4,970
17 0,168 0,261 0,189 0,672 8,352 2,016 5,376
18 0,703 0,142 0,486 2,812 4,544 8,436 22,496
19 0,233 0,424 0,291 0,932 13,568 2,798 7,456
20 0,473 0,645 0,514 1,892 20,640 5,676 15,136
Как следует из расчетной таблицы, л=4. Таким образом, по формуле (16)
находим
Точное значение интеграла есть
.162.1
а относительная погрешность 6= (162,1 —153,6)/162,1*100% я 5,2%. Д,
1224. Двойной интеграл I— $ $ 1 dxdy, где D—пря-
D
моугольник 0Сх^4, I вычислить тремя способами:
1) по формуле (20) § 4; 2) по формуле (28) § 4; 3) по формуле
(16), взяв из таблицы случайных 60 значений. В каждом случае
оценить относительную погрешность.
1225. Двойной интеграл / = dx dy, где область D задана
D
неравенствами 0,2вычислить двумя способа*
мн: 1) по формуле (30) § 4; 2) по формуле (16), взяв из табли-
цы случайных чисел 90 значений. Оценить относительную по-
грешность.
1226. Найти приближенное значение тройного интеграла
I = .$$ $ (* + у + 2z)dxdydz, воспользовавшись формулой (19) для
360
k = 3, если область D определена неравенствами
Ох, x-j-t/^z^x + 2t/.
Л Формула (19) для тройного интеграла принимает внд
(6—a) (d—c) (h—g) Мп
N
Здесь а=1, b=3, с = 0, d--3, g=l, h = 9, М = max (x-f-y~i-2z) = 24. Про-
1<х<3
0<j/<3
1 <z< 9
изведем замену переменных по формулам х— 1 —2g, y = 3q, z— 1 4-8?, и = 24<т.
Из таблицы случайных чисел возьмем 80 значений (W = 20). Расчетная табли-
ца имеет вид
i С; Ci °i xi Vi “i О II =s> II II N if In"* 4- n* + u- S) II
1 0,165 0,617 0,369 0,069 1,330 1,851 3,952 1,656 0 1,330
2 0,248 0,960 0,652 0,367 1,496 2,880 6,216 8,08 0 1,496
3 0,16' 0,261 0,189 0,703 1,336 0,783 2,512 16,872 0 1,336 2,119 2,902 5,024 7,143
4 Р, 142 0,486 0,233 0,424 1,284 1,458 2,864 10,176 0 1,284
5 0,291 0,473 0,645 0,514 1,582 1,419 6,160 12,336 0 1,582 3,001 4,420
6 0,819 0,064 0,870 0,256 2,638 0,192 7,960 6,144 0 2,638 2,830 3,022
7 0,347 0,151 0,912 0,191 1,694 0,453 8,296 4,584 0 1,624 2,147 2,600
8 0,259 0,096 0,019 0,854 1,518 0,288 1,152 20,496 0 1,518 1,806 2,094 2,304 4,110
9 0,193 0,732 0,253 0,352 1,386 2,196 3,024 8,448 0 1,386 5,552
10 0,729 0,102 0,222 0,088 2,458 0,306 2,776 2,112 0 2,458 2,764 3,070 8,316
11 0,205 0,562 0,851 0,647 1,410 1,686 7,808 15,528 0 1,410
12 0,568 0,020 0,051 0,649 2,136 0,060 1,408 15,576 0 2,136 2,196 2,256
13 0,179 0,896 0,453 0,546 1,358 2,688 4,624 13,104 0 1,358
14 0,919 0,691 0,155 0,181 2,838 2,073 2,240 4,344 0 2,838 4,911 6,984
15 0,273 0,876 0,690 0,494 1,546 2,628 6,520 11,856 0 1,546
16 0,339 0,910 0,789 0,908 1,678 2,730 7,312 21,792 0 1,678
17 0,263 0,131 0,389 0,438 1,526 0,393 4,112 10,512 0 1,526 1,919 2,312
18 0,161 0,485 0,535 0,090 1,322 1,455 5,280 2,160 0 1,322
19 0,142 0,321 0,969 0,091 1,284 0,S63 8,752 2,184 0 1,284 2,247 3,210
20 0,463 0,251 0,596 0,784 1,926 0,753 5,768 18,816 0 1,926 2,679 3,432
Сначала находим те значения у, (1 < I < 20), для которых выполнено условие
их число равно 11. Далее, среди соответствующих 11 значений г,,
находим те, для которых z<z1-<zi-; таких значений оказывается 3. Нако-
нец, среди соответствующих трех значений и(- находим те, которые удовлет-
воряют неравенству и(-< I/,; их число п — 1. Таким образом,
7 я (48-24)/20= 1152/20 = 57,6.
361
Найдем точное значение интеграла:
3 х х+?у 3 X'
С С С 1 С С «I**2#
I=\dx\dy \ (x+y + 2z)dz=-r- \ dx \ (x4-i/4-2z)2 dy~
J J V 4 J J |x + у
1 0 x+y 1 0
3 x 3
==-^-jdx j[(3x -|-5i/)2 —(3x+3i/)2]di/=-^ j Г (3x + 5(/)3 —
io 1 L
з
1
(6x)3 (3x)3
9 15
i (3x>3l .
]dx=
485
15
2|9\ I3 = 5&2 ~ 56,667;
9 ) 4 |i 3
6= (57,6 — 56,667)/56,667-100% a 1,6%. A
§6 . ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Метод Эйлера. Дифференциальное уравнение y' = f(x, у) определяет на
плоскости так называемое поле направлений, т. е. в каждой точке плоскости,
в которой существует функция f (х, у), задает направление интегральной кри-
вой уравнения, проходящей через эту точку. Пусть требуется решить задачу-
Коши, т. е. найти решение уравнения у' — f (х, у), удовлетворяющее началь-
ному условию у(ха) — у0. Разделим отрезок [х0, X] на п равных частей и по-
ложим (X—x0)/n = h (h—шаг изменения аргумента). Допустим, что внутри
элементарного промежутка от х0 до х04-й функция у’ сохраняет постоянное
значение f (хп, уе). Тогда yi —у0 « h-f (х0, уа), где yt—значение искомой функ-
ции, соответствующее значению xj = x04-A. Отсюда получаем yi~y0+h-f(x0, уд).
Повторяя эту операцию, получим последовательные значения функции:
Уг « yi+h-ЦхиУг), у3 « Уг + h-f (х2, уг), ..., ук+1 к. yk + h-f (xk, ук).
Таким образом, можно приближенно построить интегральную кривую в виде
ломаной с вершинами Mk(xk\ ук), где x*+1 = xft + Дх&, yk+i = Уь + h-f (хк, ук).
Этот метод называется методом ломаных Эйлера, или просто методом Эйлера.
1227. Используя метод Эйлера, найти значения функции у,
определяемой дифференциальным уравнением у' — , при на-
чальном условии у (0) = 1; шаг h = 0,1. Ограничиться отыска-
нием первых четырех значений у.
Д Находим последовательные значения аргумента: Хо = О, xj = 0,1, х2 = 0,2,
Хз = 0,3. Вычислим соответствующие значения искомой функции:
yi=</o+M(*b. Уо)=1+О.Ь(1-О)/(1+О)=1,1;
yt = yi + h-f (Xi, у0= 1,14-0,1-(1,1-0,1)/(1,14-0,1)= 1,183;
Уз = Уг + h-f (х2, i/2)= 1,183 4-0,1-(1,183— 0.2)7(1,1834-0,2)= 1,254;
= Уз 4- Л • f (хз, уз) - 1,254 4- 0,1 - (1,254 - 0,3)/(1,254 4- 0,3) = 1,315.
Таким образом, получаем таблицу
X 0 0,1 0,2 0,3 0,4
У 1 1,1 1,18 1,25 1,31 А
362
1228. Методом Эйлера найти четыре значения функции у,
определяемой уравнением у'=х-\-у, при начальном условии у(0) = 1,
полагая h — 0,1.
Л Значения аргумента хо = О, х1 = 0,1, х2 = 0,2, xs = 0,3. Найдем соответ-
ствующие значения у:
У1 = Уо~\-Ь‘[ (хо> //о) = 1 + °>1 - (°+ О = 1.1;
</2 = </1 + Л-/(Х1, </1) = 1,14-0,1.(0,1+ 1,1)= 1,22;
Уз — Уз(х2, у2) = 1,22 + 0,1 .(0,2+1,22) = 1,36;
Уз = Уз + Ч(х3, </3) = 1,36 + 0,1-(0,3+1,36) =1,52.
Получаем таблицу
X 0 0,1 0,2 0,3 0,4
У 1 1.1 1,22 1,36 1,52 Д
1229. Методом Эйлера найти три значения функции у, опреде-
ляемой уравнением у' — 1 + х + (/2, при начальном условии </(0) = 1,
полагая Л = 0,1.
1230. Методом Эйлера найти четыре значения функции у,
определяемой уравнением у' = x2 + t/3, при начальном условии
у(0) = 0, полагая Л = 0,1.
1231. Методом Эйлера найти численное решение уравнения
i/' = y2+y при начальном условии у(2) = 4, полагая Л = 0,1
(четыре значения).
1232. Методом Эйлера найти численное решение уравнения
/ = на отрезке [0, 1] при начальном условии z/(0) = 1,
полагая Л = 0,2.
1233. Методом Эйлера найти численное решение системы урав-
„ dx и — х dy х-4-у ,
нении -jf = ^7~, ПРИ начальных условиях х(1)= 1,
1/(1) = 1, 1 t 2, полагая /i = 0,2.
2. Метод Рунге — Кутта. Пусть функция у определяется дифференциальным
уравнением y'=f(x, у) прн начальном условии y(xls) = yls. При численном
интегрнрованнн такого уравнения методом Рунге—К.утта определяют четыре
числа:
k1=h.f(x, у), *2=/i7^x+y, 1/+-^-^ ,
k3 — h-f ^х+'2", УН—jT ) ’ — y-\-k3).
363
Если положить у (х+Л) = у (х)4-Ду, то можно доказать, что Ду
« "g-(*i4-2£2-]-2^з+М- Схема вычислений имеет вид
X У kj=h-f (х, у) Добавка
Хо Уо A//o= "g- (^14“ 2Л2-|- 2&з4~ Л4)
, 1 L хо4_'2' h 1 1 А !/о4--2 k2
, 1 ь хо4""2' h . 1 А Уо4"2 ko
х04-Л </о4- *3
*1=Хо4-Л г/1=г/о4~*
1234. Составить таблицу значений функции у, определяемой
/ 2х
уравнением у =у-----, прн начальном условии у (0) — 1 в про-
У _______
межутке [0, 1]; шаг Л =0,2 (точное решение у = У 2x4-1).
Л Найдем числа:
Л1 = Л-/(х, у) = 0,2- (1-2^=0,2;
= (х4-А,у4_^.)=0,24(0,1; 1,1) = 0,2. (1,1-^)=0,1836;
= (х4-4.У+-у-)=О,2-/(О,1; 1,0918) =0,1817;
Л4 = Л-/(х4-Л, у4-Ла) = 0,24 (0,2; 1,1817) =0,1686.
Отсюда
Ду=1 (0,2 4- 0,3672 4- 0,3634 4- 0,1686) = 0,1832.
Таким образом, yt — 14-0,1832= 1,1832 прн х=0,2. Аналогично находим
у2 и т. д. Процесс вычислений ведем по такой схеме:
364
1 X У fix. у) k^hf (X, у) Ду
1 0 1 1 0,2
2 0,1 1,1 0,0918 0,1838 0,1832
3 0,1 1,0918 0,0908 0,1817
4 0,2 1,1817 0,0843 0,1686
1 0,2 1,1832 0,8451 0,1690
2 0,3 1,2677 0,7944 0,1589 ] 1,1584 )
3 0,3 1,2626 0,7874 0,1575
4 0,4 1,3407 0,7440 0,1488
1 0,4 1,3416 0,7453 0,1491
2 3 4 1
Заметим, что все пять знаков чисел yt = 1,1832 и i/a = l,3416 верны, если
сравнить с точным решением у=К2*+1- ▲
1235. Методом Рунге—Кутта проинтегрировать уравнение
х2у'—ху=1 при начальном условии z/(l) = 0 в промежутке [1, 2];
шаг /i = 0,2 [точное решение у = (х2— 1)/(2х)].
Д Здесь f (х, . Найдем числа:
Ъ=Ч(х, у)=0,2.(±+-1^=0,2;
kt=h-f (хН-у , </+-y)=0,2‘ °’*8;
*з=л7(х+4>//+-т)=0-2-(т^+-171г)=0.18;
kt=h’f (x-j-h, y-\-ka) =0,2 • (-p-yd—р2Г^=0>17«
Следовательно,
A//o=y (^ + 2fes + 2fe3 + M=°d8> т. e. i/i = i/e + Aj/() = 0 + 0,18 = 0,18.
Аналогичным образом находим
Л1 = Л./(х, у) =0,2(0^+-^) =0,17;
Ь=Ч у+4) =о,2 (т^6+-цг)=<М5;
.3 = Л./ (х =0,2 (2Л5+т^) =0,15;
й«=Н(х4-Л, У+*а)=0,2(^-Н1±г)=0,14;
365
Следовательно,
= "g" (&i Ч~ 2^2 Ч” 2&з-|-£j) = 0,15, т. е. l/a — ^i-bA^i = 0,18 4-0,15 = 0,33
и т. д. Д
1236. Методом Рунге—Кутта проинтегрировать уравнение
4г/'= г/2 4-4х2, у (0) = 1 в промежутке [0, 1] с шагом Л = 0,1. Вы-
числения вести с тремя верными знаками.
1237. Методом Рунге—Кутта проинтегрировать уравнение
у' = х/г/ + 0,5у, у (0) = 1 в промежутке [0, 1] с шагом h = 0,1.
Вычисления вести с тремя верными знаками.
3. Метод Адамса. Пусть требуется проинтегрировать уравнение у’ — f (х, у),
у(х0) = у0. Одним из разностных методов приближенного решения этой задачи
является метод Адамса.
Задавшись некоторым шагом изменения аргумента Л, находят каким-либо
способом, исходя из начальных данных у(ха) = у0, следующие трн значения
искомой функции у (х):
yi = y(x1) = y(x0+h), у%~у (хо + 2/г), Уз = У (х04~ЗЛ)
(эти трн значения можно получить любым методом, обеспечивающим нужную
точность: с помощью разложения решения в степенной ряд, методом Рунге —
Кутта и т. д., но не методом Эйлера ввиду его недостаточной точности).
С помощью чисел х0, хь ха, х3 н у0, уъ у2, у3 вычисляют величины
(?о = Л-г/о = Л-/(хв, г/0), qi = h-f(xu ух),
q3 = h-f(x3, у2), q3 = hf(x3, у3).
Далее, составляют таблицу конечных разностей величин у и q-.
X У Ьу Q Д<7 Д’<7 Д3<7
Уе <?0
&Уо Л<7о
xi У1 <71 Лг<7о
&У1 Л<71 Л3<7о
х2 У2 <?2 Л2<?1
&У2 Л<?2
х3 Уз <7з
...
Зная числа в нижней косой строке, по формуле Адамса находят
Д</з = ?з+у Д?2 А2 <71+у Д3<7о,
366
а затем н величину //4=1/3 +Д</з- Зная теперь yt, вычисляют qi = h-f(xit уД,
после чего можно написать следующую косую строку:
Д?3=<74 —Д292 = Д^З —Л^2. Д8?1 = Д2?2— Д2</1-
Новая косая строка позволяет вычислить по формуле Адамса значение
Д</4 = Д?»+^ Д2<72 4~|- Д3<71>
а следовательно, £/5 = «л* + Л«/* н т. д.
1238. Используя метод Адамса, найти значение у (0,4) с точ-
ностью до 0,01 для дифференциального уравнения //'=№ + уг;
Д Найдем первые четыре члена разложения решения данного уравнения
в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0:
//(х) =//(0) + у' (0).х+|/(0)-хЧ-g-у'"^-^+ ... •
Согласно условию, г/(0) =—1; значения у' (0), у"(0) н у'" (0) находим, после-
довательно дифференцируя данное уравнение:
у' = х* + уг-, //'(0) = 0s +(—I)2 = 1,
/ = 2х+2</</'; у" (0) =0 + 2-(-!)•! = -2,
r=2 + 2</'! + 2</</"; Г (0) = 2+2.(-1)2 + 2-(-1).(-2)=8.
Таким образом,
4
у(х) « — 1+х—х2+ух3+... .
Вычисляем у (х) в точках Xi = 0,1, х2 = 0,2, х8 = 0,3 с одним запасным
(третьим) знаком у3 =— 0,909, уа =— 0,829, уа =— 0,754. Составим таблицу
X У Д// Q Д? Д’? Д’?
0 0,1 0,2 0,3 0,4 —1 —0,909 —0,829 —0,754 0,091 0,080 0,075 0,1 0,083 0.072 0,065 —0,017 —0,011 —0,007 0,006 0,004 —0,002
Тогда
Д«/з = <7з 4-у Д<7г4-у5 Д2<71 +-|- Д3<7о =
= 0,065+4- (-0,007)+Д • 0,004+4-. (—0,002) = 0,062.
X IX о
Следовательно, уа = у3 + Д//8 «—0,754 + 0,062 = — 0,692 я—0,69. А
1239. Используя метод Адамса, найти значение //(0,5) для
дифференциального уравнения у'=х + у, //(0) = 1; шаг Л = 0,1.
Вычисления вести с точностью до 0,001, оставить в результате
два знака.
367
1240. Используя метод Адамса, найти значение t/(0,4) для
дифференциального уравнения у' = х24-у2, у(0) = 0; шаг h = 0,1.
Вычисления вести с тем же числом знаков, что и в предыдущем
примере.
§ 7. МЕТОД ПИКАРА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
ПРИБЛИЖЕНИЙ
Одним из аналитических методов приближенного решения дифференциаль-
ных уравнений является метод Пикара последовательных приближений. При-
менительно к дифференциальному уравнению первого порядка
y’ = f(x, у) (1)
с начальным условием у(ха) = у0 он заключается в том, что строится искомое
решение у = у(х) для х^х0 (илн xsjx0). Интегрируя правую и левую части
уравнения (1) в пределах от х0 до х, получаем
X
I/(X) —j/(x0)= $ f (t, y)dt,
XQ
нли
У(х) = ув + f(t, y)dt.
Xo
(2)
Предполагается, что в некоторой окрестности точки (х0; </0) уравнение (1)
удовлетворяет условиям теоремы существования н единственности (теоремы
Кошн), т. е. что f (х, у) — непрерывная функция своих аргументов и |-^ j < К.
Для нахождения последовательных приближений заменим в равенстве (2)
неизвестную функцию у данным значением </0; получим первое приближение
X
У1~Уо +5 ИЛ Уо)<Н-
хо
Далее, подставив в равенство (2) вместо неизвестной функции у найденную
функцию yi, получим второе приближение
х
У2 = Уо + 5 уд&-
хй
Все дальнейшие приближения строятся по формуле
Уп = Уь + f (Л (п=1, 2, ...).
*0
Таким образом,
X
У (х) » Уп (х) = </<>+ $ f (Л Уп -1) dt.
ХО
Можно доказать, что lim уп(х) = У(х)‘
368
Погрешность оценивается неравенством
1 /х / м М (Кс)п
|У (х) —Уя (х) | < п'
Пнкаровскне приближения дают последовательность нижних функций,
т. е. у0 < «1 < уа < •< Уп< У (х),
если > 0 и / (х, у0) > 0, и последовательность верхних функций, т. е.
Л#
если ^~>0и f(x, Уо) < 0- Таким образом, при — > О пикаровские приб-
лижения образуют одностороннюю последовательность приближений, а при
< 0—двустороннюю последовательность.
1241. Найти приближенное решение уравнения у' = х + уа,
удовлетворяющее начальному условию у (0) = 1.
Д В качестве начального приближения возьмем уо = у(О) = 1. Тогда пер-
вое приближение
х
У1(х)=1 +р+1)Л = 1+х+уХ«.
о
Аналогично получим второе приближение
X
У»(X) = 1 + j р +(1+ <+-p2)Z] dZ==
о L
4 2 11
= 1+х+| х’+у x3+J. дл+JL Л
1242. Какой последовательностью пикаровских приближений
выражается решение уравнения у =х+у, удовлетворяющее на-
чальному условию у(0) = 0 при х^О?
Д За начальное приближение возьмем у0 = у (0) = 0. Тогда
X X
У1 — Уо + J (< + Уо)^ = Л=уД
о о
*=Я'+т'’>Ч‘,+1*,“4+х>
о
2! 3! + 4! + • ’ • + (л +1)!'
369
Здесь f(x, (/0) =x-f-Уо 0 и -j£-=l>0. Следовательно, пикаровскне
приближения образуют последовательность нижних функций.
Истинное аналитическое выражение у (х) в данном случае имеет вид
«т (-2r+-3r+--+iq-Iji)-
1 +-П-+^+зг+”- +(МЙ)! Н+1)’
или
у(х) = ех — х—1. ±
1243. Найти три последовательных приближенных решения
уравнения у' = хг + у2, удовлетворяющих начальному условию
у(0) = 0, взяв за начальное приближение у = 0.
1244. Найти приближенное решение уравнения y'4-t/chx=0,
удовлетворяющее начальному условию у (0) = 1.
1245. Найти приближенное решение и определить характер
пикаровских приближений уравнения у' — х—у, начальное усло-
вие у(0)= 1, х^О.
1246. Найти приближенное решение и определить характер
пикаровских приближений уравнения у' — у cos х; начальное усло-
вие у (0) = 1, —2 < х < 2.
1247. Найти приближенное решение уравнения у' = 2xz/cos(x2),
удовлетворяющее начальному условию у (0) = 1, 0<х<1, 0 < у <2.
Определить характер пикаровских приближений.
§ 8. ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ ОБРАБОТКИ
ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
1. Графический способ. Пусть данные опыта представлены таблицей. Через
точки, определяемые этой таблицей или близкие к ним, проводим график и по
виду графика подбираем вид эмпирической формулы. Простейшим случаем
считается тот, для которого данные опыта приводят к точкам, располагаю-
щимся приблизительно на прямой у — о^-\-ахх или на кривых, уравнения ко-
торых S = A/“ и S = Aea< преобразуются заменой переменных к линейной
функции. Решая эту задачу графическим способом, наносим точки на коорди-
натную сетку (с равномерной или логарифмической шкалой) и проводим пря-
мую приблизительно через эти точки так, чтобы она лежала возможно ближе
к каждой нз нанесенных точек, а затем берем две произвольные точки иа
этой прямой (возможно дальше одна от другой) и подставляем их координаты
в соотношение y = a0-j-aix. Из полученных таким образом двух уравнений
найдем Од и ai-
1248. Стационарное распределение температуры в теплоизоли-
рованном тонком стержне описывается линейной функцией и —
— ал 4* atx. Определить постоянные а0 и ап если дана таблица
измеренных температур в соответствующих точках стержня:
X 0 2 6 8 10 14 16 20
и 32 29,2 23,3 19,9 17,2 11,3 7,8 2
370
Л Построив точки, отвечающие данной таблице, видим, что прямая проходит
через точки (>0; 32) и (20; 2). Подставляя их координаты в уравнение и =
= Од 4- OiX, имеем
а0 + 0 • at = 32,
ав4-20а1 = 2;
Од — 32, ах — — 1,5.
Отсюда получаем искомое соотношение и = 32—1,5х.
Насколько хорошо эта формула отвечает табличным данным, можно судить
по величине суммы уклонений б н суммы квадратов уклонений 6s значений
функции, вычисленных по формуле, от табличных значений. В данном примере
0 =—1,5х + 32—и. Следовательно, 6t =—1,5-04-32 — 32 = 0; ба =—1,5-2 +
+32— 29,2 = —0,2; б8=—1,5 • 6 + 32— 23,3=— 0,3; б4= — 1,5 • 8+32— 19,9 = 0,1;
б8=— 1,5 10+32—17,2 = —0,2; бв = — 1,5 • 14+32 — 11,3 = —0,3-Л = — 1,5 • 16+
8 8
+32-7,8 = 0,2; б8=—1,5-20 + 32-2 = 0; 2 6' = — °>7! S6'=0’3LA
1=1 1=1
1249. Табличные данные
t 1 2 3 4 5 6 7
S 2,31 2,58 2,77 2,93 3,05 3,16 3,26
отвечают формуле S — Ata. Найти значения Лиа.
Д Логарифмируя равенство S=A/“, получим lg S=lg A + a-lg t; полагая
lgS = y, lg t = x, lg A = a0, a = ax, имеем у-= a0-\-aiX. Графиком полученного
линейного уравнения служит прямая, параметры уравнения которой найдем,
взяв две точки на этой прямой, например (lg 1; 1g2,31) н (1g7; lg3,26). Под-
ставив координаты этих точек в уравнение y=lg А-\-ах, получим
J 1g2,31 = lg A + eelg 1, ( lgA = 0,364,
| lg3,26=lg A + alg7, I lg Я + 0,845a = 0,513.
Отсюда lgA = 0,364; A — 2,312; a = 0,149/0,845=0,176. Следовательно, S =
= 2,312/e’17e. Д
1250. Табличные данные
X 19,1 25,0 30,1 36,0 40,0 45,1 50,0
У 76,30 77,80 79,75 80,80 82,35 83,90 85,10
отвечают формуле у = а^-\-ахх. Найти а9 и av
1251. Табличные данные
t 1 2 3 4 5 6 7 8
S 15,3 20,5 27,4 36,6 49,1 65,6 87,8 117,6
отвечают формуле S=Aeat. Найти Лиа.
371
2. Способ средних. Способ средних основывается на допущении, что наи-
более подходящей линией служит та, для которой алгебраическая сумма укло-
нений равна нулю. Для того чтобы найти этим способом неизвестные постоян-
ные в эмпирической формуле, сначала подставляем в эту формулу все пары
наблюдавшихся или замеренных значений х и у и получаем столько уклонений,
сколько пар значений (х; у) в таблице (уклонения — вертикальные расстояния
от данных точек до графика функции). Затем распределяем эти уклонения
по группам, составляя столько групп, сколько неизвестных параметров эмпи-
рической формулы надо иайти. Наконец, приравнивая нулю сумму уклонений
по каждой группе, получим систему линейных уравнений относительно пара-
метров.
1252. Найти способом средних формулу вида 5 = Л/“, отве-
чающую таблице
t 273 283 288 293 313 333 353 373
S 29,4 33,3 35,2 37,2 45,8 55,2 65,6 77,3
Л Здесь уклонения имеют вид 8—Ata — S. Подставляя значения t и S,
взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получим систему урав-
нений относительно параметров А и а, решение которой затруднительно. Без
большой потери в точности можно приравнять нулю сумму уклонений лога-
рифма S, т. е. б' = lg А + <z 1g / — 1g S.
Тогда уклонения выразятся формулами
в; = ]g А + 2,4362 а —1,4683,
бг = 1g А + 2,4518 а— 1,5224,
бз = 1g А + 2,4594 а— 1,5465,
61 = 1g А + 2,4669 а —1,5705,
65 = 1g А + 2,4955 а—1,6609,
бе = 1г Л + 2,5224 а — 1,7419,
б; = 1g 4+ 2,5478 а-1,8169,
6g == 1g А + 2,5717 а —1,8882.
Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим си-
стему уравнений для определения параметров А и а:
( 4 1g 4+ 9,8143а = 6,1077,
( 4 1g Л + 10,1374 а = 7,1079.
Решение этой системы а = 3,09б, lg4 = 7,9345; отсюда Л==8,5-10_3. Таким
образом, S = 8,6-10~7 /3’096. А
1253. Дана таблица
X 87,5 84,0 77,8 63,7 46,7 36,9
У 292 283 270 235 197 181
Найти параметры а0, аг, а2 формулы у = ай-\- агх atx2, отвечаю-
щей этой таблице.
372
1254. Дана таблица
t 53,92 26,36 14,00 6,99 4,28 2,75 1,85
S 6,86 14,70 28,83 60,40 101,9 163,3 250,3
отвечающая формуле £ = Л/“. Найти Айа.
3. Подбор параметров способом наименьших квадратов. 1) На практике
часто приходится решать такую задачу. Пусть для двух функционально свя-
занных величин х и у известны п пар соответствующих значений (xt;
(х»: У»}, .... (х„, у„). Требуется в наперед заданной формуле y*=f(x, alt
аг.....ат) определить т параметров alt ............. (т < п) так, чтобы
в эту формулу наилучшнм образом «укладывались! бы известные п пар ана-
чений х н у.
Считается (исходя из принципов теории вероятностей), что иаилучшими
являются те значении at, a2....ат, которые обращают в минимум сумму
2 (/(«*• ®i. a*....“m)—Уд]’
k= 1
(т. е. сумму квадратов отклонений значений у, вычисленных по формуле, от
заданных), поэтому сам способ и получил название способа наименьших квад-
ратов.
Это условие дает систему т уравнений, из которых определяются а1(
а*, .... ат:
У, (/(**. «1. ...«*)—Уд] — *’ * =*0 (О
Д=1 1
(j=l, 2, ...» щ).
На практике ааданиую формулу y=f(x, at, a*, .... а,) иногда прихо-
дится (в ущерб строгости полученного решения) преобразовывать к такому
виду, чтобы систему (1) было проще решать (см. ниже подбор параметров в
формулах н у=Лх«).
Частные случаи, а) у=ан“+в1*"_1+---+ая(т4-1 параметров
а», ах, .... ая; п > m+ 1).
Система (1) принимает следующий вид:
’ Двп Л=п
в* 2 4*^“в12 • • 4’м»я 2
*= 1 »-1 *= 1
ДвП k=n k=n k**n
2 *F+1+ei 2 4,+ ---+я» 2 ж*= 2
1 fte 1 1 Дав 1
4 Дсп (2)
«о 2 **т+‘+«12 4-1+..•+«. 2 4- 2 4у*.
*= 1 Дв1 *= I
Двп Двп ДвЛ
«о 2 4"4«i 2 4*-Ч...+«ж 2*"= 2 4*уд.
ДвI А = 1 А=1 Дв 1
Эта система m-f-1 уравнений с m+ 1 неизвестными всегда имеет единст-
венное решение, так как ее определитель отличен от нуля.
373
Для определения коэффициентов системы (2) удобно составить вспомога-
тельную таблицу вида
k xk xk v3 xk 2m k Ук xk«k 4«к Фк
1 Xi Xi xl ... 2m Xi yi Х1У1 x\yi ... xTyi
2 Хг X2 xl 2m хг У2 Х2У2 2 Х2У2 ... т Х2У2
п Xn Xn Xn ... 2m Xn Уп ХпУп ХпУп ... ХпУп
2
В последней строке записывают суммы элементов каждого столбца, которые
и являются коэффициентами системы (2).
Систему (2) обычно решают методом Гаусса.
б) у = АёСх.
Для упрощения системы (1) эту формулу, связывающую х и у, предвари-
тельно логарифмируют и заменяют формулой
lg y=lg A-[-c-lg е-х.
Система (1) примет в этом случае следующий внд:
k=n k = n
c-lgej] xft4-n.lg Л= 2 ^Ук>
Zf = 1 k — 1
k~n k-n k=n 'f
c-lge 2 4 + lg^- У Xk— 2 xkAgyk.
k=i k=i k=i
Вспомогательная таблица имеет вид
k хк г2 хк ^Ук xk-'g У к
1 Xi 2 Х1 1g У1 XiAgyi
2 Х2 xl 1g Уг Хг-lgyz
п Хп Хп 1g Уп хп -lgyn
2
Из системы (3) определяют с и 1g А.
в) у=АхЧ.
Эту формулу также предварительно логарифмируют и заменяют следующей:
lgy=lg 4 + <?-lg х.
374
Система (1) теперь примет вид
' k—n k = n
q 2 2 ’ew*
А=1 4=1 М)
t=n k=n k=n
q 2 2 lSxk= 2 lSXfi-lgqk-
.4=1 4=1 4=1
Соответствующим образом изменяется и вспомогательная таблица.
2) Часто бывает необходимо заменить наилучшим образом некоторую за-
данную функцию y=f (х) на отрезке [a, t>] многочленом да-й степени: у ж а^х"1 +
+ aixm~1-}-... -}-ат. Применение способа наименьших квадратов в этом случае
приводит к отысканию коэффициентов п0> .....ат из условия минимума
интеграла
ь ь
J [ф (*) — f (х)]а dx = J [аохт 4- а1хт -1 +-1- ат—f (х)]2 dx.
а а
Необходимые условия минимума этого интеграла приводят к системе т-|-1
уравнений с т+1 неизвестными а0, alt а2, .... ат, из которых определяют
все эти коэффициенты:
ь
J [аохт 4- aix1»-14--J- ат—f (х)] хт dx = О,
а
b
. J [a0x'»4-e1x'»-14----\-am—/(х)]х'»-Мх=0,
а
b
(пох'я4-п1х'в-14-...4-вя,—f(x)]dx = 0.
< °
1255. Способом наименьших квадратов подобрать для задан-
ных значений х и у квадратичную функцию <p(x) = a0x2 + alx+aa:
X 7 8 9 10 11 12 13
У 7,4 8,4 9,1 9,4 9,5 9,5 9,4
Л Составим таблицу
4 xk Х1 ^3 xk xk «4 хкЧ х4«4
1 7 49 343 2401 7,4 51,8 362,6
2 8 64 512 4 196 8,4 67,2 537,6
3 9 81 729 6 561 9,1 81,9 737,1
4 10 100 1000 10 000 9,4 94,0 940,0
5 11 121 1331 14 641 9,5 104,5 1149,5
6 12 144 1728 20 736 9,5 114,0 1368,0
7 13 169 2197 28 561 9,4 122,2 1588,6
2 70 728 7840 87 096 62,7 635,6 6683,4
375
Отсюда имеем систему уравнений
728 а0 + 70а! 4- 7а2 = 62,7,
7840а0 + 728а! + 70а2 = 635,6,
87 О96ао + 7840О1 + 728а2 = 6683,4.
Решая эту систему, получим а0 — —0,04, 01=1,10, а2 = 2,12. Таким об-
разом, искомая квадратичная функция имеет вид ф (х) = —0,04х24- 1,10x4-2,12. Д
1256. Способом наименьших квадратов подобрать степенную
функцию S = по следующим табличным данным:
t 1 2 3 4 5
S 7,1 27,8 62,1 ПО 161
Л Составим таблицу
k г2 xk j/^lg Sk Wk
1 0,0000 0,0000 0,8513 0,0000
2 0,3010 0,0906 1,4440 0,4346
3 0,4771 0,2276 1,7931 0,8555
4 0,6021 0,3625 2,0414 1,2291
5 0,6990 0,4886 2,2068 1,5425
2 2,0792 1,1693 8,3366 4,0637
Таким образом, получаем систему уравнений
( 2,0792? 4- 5 1g А = 8,3366,
\ 1,1693? 4-2,0792 1g 4 = 4,0637.
Отсюда ?=1,958, 1g 4=0,8532, т. е. 4 = 7,132. Следовательно, искомая сте-
пенная функция имеет вид S = 7,132/1’958. А
1257. Способом наименьших квадратов подобрать показатель-
ную функцию S = Aect по следующим табличным данным:
t 0 2 4 6 8 10 12
S 1280 635 324 162 76 43 19
376
Л Составим таблицу
k t /2 y=lgS ty
1 0 0 3,1072 0,0000
2 2 4 2,8028 5,6056
3 4 16 2,5105 10,0420
4 6 36 2,2095 13,2570
5 8 64 I.8808 15,0464
6 10 100 1,6335 16,3350
7 12 144 1,2787 15,3444
2 42 364 15,4230 75,6304
Получаем систему уравнений
( 42с-lg er-f-7 1g Л = 15,4230,
| 364с-1g42 1g 4 = 75,6304,
т. е. c-lge =—0,1509, 1g 4 = 3,1087. Следовательно, 4=1284 и с — —0,347. Та-
ким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 1284е~0,347<. Д
В следующих задачах способом наименьших квадратов подо-
брать функции заданного вида по приведенным табличным данным.
1258. Найти линейную функцию:
X h 1 2 3 4 5 6 X 21 1 4 9 16 25
У 2 4,9 7,9 11,1 14,1 17 У 0,1 3 8,1 14,9 23,9
X 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
3) У 3,02 2,81 2,57 2,39 2,18 1,99 1,81 1,85
1259. Найти квадратичную функцию:
X 0 1 8 9 10 11 12 13 X 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81
У 3,1 4,9 5,3 5,8 6,1 6,4 5,9 У 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28
о\ X —3 —2 — 1 0 1 2 3
3) У —0,71 —0,01 0,51 0,82 0,88 0,81 0,49
377
1260. Найти степенную функцию S = AV>:
t 1 2 3 4 5
s 1261. F 7,1 [айти показ 15,2 ательную ( 48,1 >ункцию S 96,3 = Aect: 150,1
t 1) 2,2 2,7 3,5 4,1 t 2) 1 3 5 7 9 11
4 s 67 60 53 50 S 0,75 1,81 5,34 10,86 24,52 59,00
1262. Найти наилучшее приближение функции /(%)== sin (лх/2)
в интервале 0 х 1 многочленом третьей степени.
ДДля нахождения коэффициентов функции ф (x) = «ox3 + aix2 + a2x+a3
составляем систему уравнений вида (5):
J ^а0х®+в1хг-|-в2хН-вз—sin у ) x3dx==0,
о
1
У — sIny J х2 dx=0,
о
1
J ^a0x34-ei*s + a2*+e8—sln"?r) xdx=0,
о
1
J ^аох34-в1хаЧ-ваХ-|-аз—sin у J dx=0.
. о
Интегрируя, получим
1 ,1 ,1 ,1 12 96
у <*> + y «i+y ва + у = ’
1 ,1 ,1 ,1 8 16
у Оо + у <*i+y Оа + у
1 ,1 ,1 ,1 4
у Оо+у «1+у аа+у в’-^а*
1 .1 , 1 , 2
у «о + у «1 + у «а-Из-у •
Решая последнюю систему, найдем Оо =—0,40, в1 = —0,24, а2=1,64,
д8==—0,05. Следовательно,
<р (х) = —0.4Х3—0,42х2+1,85х—0,05.
Проверка: если х=1/3, то f (1/3) = 0,50, ф (1/3) = 0,51.
378
1263. Найти наилучшее приближение функции/(х) = in (4-f-x)
многочленом второй степени при O^x^l.
1264. Найти наилучшее приближение функции / (х) — 1/(1 + х)
многочленом третьей степени при 0 < х < 1.
4. Интерполяция функций с помощью приближения сплайнами. В основе
нового метода, получившего название сплайновой интерполяции, лежит поня-
тие сплайна (spline — от англ, «планка») или ломаной линии, звеньями которой
служат отрезки кривых, заданных многочленами.
а) Линейные сплайны. Пусть на отрезке (а, 6] задана функция
аналитически [в виде у=/(х)], таблично или графически. Для замены этой
функции сплайном разобьем отрезок [а, Ь] на п частей н составим таблицу
X х0 Xi ... Хп
У У» У1 ... Уп
Здесь хй — а, хп = Ь, а ук— значения функции f (х) при х = х* (£ = 0, 1,
2, ..., п). Если функция задана таблично, то значения х* выбираем из таб-
лицы; при этом чем больше п, тем лучше аппроксимация. На каждом из эле-
ментарных отрезков [Xft, Xfe-ц] заменим функцию у — f (х) отрезком прямой:
Lk (х)= -Х~Хкг If (xft+1)- f (xk)] + f (xk). (1)
X/t + l — Xk
Таким образом, кривая на отрезке [«, b] заменяется ломаной, а функция
у = f (х) аппроксимируется простейшим линейным сплайном S (х).
б) К У с о ч н о-к убические сплайны. При рассмотрении изгиба уп-
ругого стержня, уравнение упругого равновесия которого имеет вид <p,v (х)=0,
изогнутость стержня приходится представлять кривой третьего порядка.
В этом случае часто применяют кусочно-кубическне сплайи-функции, когда
функция f (х) интерполируется на каждом элементарном отрезке кубическим
многочленом.
На отрезке [а, Ь] оси Ох зададим равномерную сетку с шагом h — (b — a)/n;
в узлах х — хк (й = 0, 1, 2, ..., п) заданы значения ук функции y=f(x), оп-
ределенной на отрезке [а, /»].
Внутри каждого элементарного отрезка хк] заменим функцию f (х)
функцией <р (х), удовлетворяющей следующим условиям:
1) <р (х) непрерывна на [а, 6] вместе со своими производными первого и
второго порядка.
2) q> (х) на каждом отрезке [x*-i, хд] является кубическим многочленом:
з
Фй(*)= *') (й = 0, 1, 2, .... л). (2)
i=l
3) в узлах сетки {хк} выполняется равенство ф (хк) — ук (k = 0, 1, 2.п).
4) ф" (х) удовлетворяет граничным условиям ф'' (а) = ф" (Ь) = 0.
Можно показать, что задача нахождения кусочно-кубической сплайн-функ-
ции ф (х) имеет единственное решение.
Так как вторая производная <р" (х) непрерывна и линейна на каждом от-
резке [хд_!, хд], то для х£[х^_1, Xft] можно записать
ф (х) — j —---------(-тк----«
(3)
где тА = ф"(х*). Проинтегрировав дважды обе части равенства (3), получим
т x)3_i~ (*—x*-i)3 । а ХЬ~Х । я x~~xk-i мч
Ф (х) = ----\-тк ---------FАк — \-Вк д . (4)
где Ак и Вк—произвольные постоянные интегрирования. Они находятся из
условий у(хк) = ук- Подставляя в равенство (4) x = xk-t и х—хк, получим
. й2 „ й2
Ak = yk-i—mk.i—, Bk = yk—mk-g-.
Таким образом, иа отрезке [х*-1, хк] имеем
, , (хк — Х)3 . IX — Х<_1)3 . 7 й2 \ хк — х .
q>(x) — тк-1 +тк &h +^-i 6 ) л h
। (.. „ й2 А х X£_i
+ . (5)
Для определения коэффициентов тк и mk~i воспользуемся условием не-
прерывности <р'(х) в точках хъ х2, x„_4:
^mk_1 + ^hmk + -^mk+1 = j(yk+i—2yk + yk-i). (6)
Выражение (6) получается в результате сравнения односторонних пределов
первой производной
,,, т (х*~х^ л-т (x~xii-i)2 I Ук—f^-i mn—mk+i.
<Р (х) = -«,_!---2h--+m*-----2Й----+------й-----------6----Л’
а именно:
ф' (хЛ-0) = +
о о п
~r i лч « । Ук+l Ук
ф (ха + 0) —-з" тк g’m* + lT-----------•
Дополняя эти условия равенствами <р(хк) = ук и ф" (х0) = ф’(х„) = 0, по-
лучим систему уравнений для определения тк и mk+v
1265. Аппроксимировать функцию у=4х на отрезке [—1, 1]
линейным сплайном.
Д Разобьем отрезок [—1, 1] на четыре равные части coj = (—1; —0,5],
<в2 = (—0,5; 0], <£>з — [0; 0,5], (о4 = [0,5; 1] (рис. 89) и на каждом отрезке ак
(й=1, 2, 3, 4) проведем линейную интерполяцию. В узлах интерполяции зна-
чения функции определяются следующей таблицей:
X —1 —0,5 0 0,5 1
У 0,25 0,5 1 2 4
Применяя иа каждом из отрезков со* формулу (1), получим
«/=0,5х-|-0,75
У^х+\
у = 2х-]-1
«/ = 4х
при х£[—1; —0,5],
при х£[—0,5; 0],
при х£[0; 0,5],
при х£[0,5; 1].
Воспользуемся полученным линейным сплайном для вычисления значения
функции y = ix в точке х = 0,125. Эта точка принадлежит отрезку <о3 = [0; 0,5],
380
на котором у-2л + 1. Следовательно, 4°.126 ss 5(0,125)= 1,25, а с помощью
таблиц находим 4°>126 а; 1,19. А
1266. Кривая зависимости скорости v роспуска отцепа на сор-
тировочной горке от длины I отцепа приведена на рис. 90. За-
Рис. 90
писать аналитически уравнение этой кривой, применив интерпо-
ляцию линейным сплайном.
Д Разобьем отрезок [15, 250] на две неравные частя <oi = [15, 75] и
й>2 = [75, 250] и заменим кривую линейным сплайном. Составим таблицу
/ 15 75 250
V 4,2 4,0 2,7
Воспользовавшись формулой (1), получим
4__4 9 2 7_4
^ = 75=7t|(Z-,5) + 4’2’ ^ = 25^75 (/-75> + 4’
или
= —0,0033/ + 4,25, = —0,0074/ + 4,5571.
Итак,
,,/л ~ <г/л-/~°’0033/+4’25 ПРИ '€[15, 75],
W ° \ —0,0074/+4,5571 при / £ [75, 250]. Д
1267. Найти приближение функции у — sin х на отрезке [— л, л]
кубическим сплайном.
Л Разобьем отрезок [—л, л] на четыре равные части <0i = [—л, —л/2],
<02 = [—л/2, 0], <о3 = [0, л/2], <о4 = [л/2, л]. Здесь Л = л/2. Значения функции
sinx в узлах интерполяции запишем в таблицу:
X — л — л/2 0 л/2 Л
У 0 —1 0 1 0
331
Искомая функция имеет вид
г <Pi (х) при х£[— л, —л/2],
ф2 (х) при х£[—л/2, 0],
<р3(х) при х£[0, л/2],
, <р4(х) при х£[л/2, л].
1) Найдем <pi(x), <0! = [—л, —л/2], А=1. Из равенства (5) имеем
Ф1 (х) = т0 ---2 + mi + ( °- т>> й) J/2" ' +
( , л2\ х+л
+ ( mi 24) л/2 ’
ИЛИ
. (х-1-л)3
Ф1(х) = т1-^_
так как т9 = <р" (х0) = 0.
Из равенства (6) получаем
(1 + т1й)
х + л
л/2 ’
л . я , л 2 п, 4 , , 48
+ [0 —2(—1)]== —, или m2 = — 4т1 + ^-
С другой стороны, из равенства (3) имеем
— у-° 0 , я
т2 = <р" (0) = т0-—]- mi —-у- = 2гщ—т0, или т2 = 2mi.
Л/ Л Л/&
Следовательно, 2rrti — — 4т1 + 48/л2, т1 = 8/л2. Тогда
, , 8 (х+л)3 8 х + л л2 х+л , , 8 , , , ,п . .
или Ф1«=з^*(я+*)(2я-М-
2) Найдем <р2 (х); <о2 = [—л/2, 0], k = 2, Из равенства (5) имеем
Найдем т2 из равенства (6) и (3):
^т+|т2+^т3=|(1-2'0-1), m3 = —4т3—
m3 = <f
С другой стороны,
Л,\ m 0 — 11/2_Lm Я/2~ (—я/2) — 9т 8
T J = 1 _+2- + '”2------------------------л/2----- 2та
Следовательно, m2 = 0. Тогда
фг (х)=з^х(л+х)(л—х).
3) Найдем <р3 (х), ш3 — [0, л/2], k — З. Из равенства (5) имеем
фз(х) = лг3
х3 _ лх \ , 2х
Зл 12 J ' л '
48
Для нахождения m3 используем равенство (6): ш4== — 4т3-j. Так как
Л
48 8
т4 = ф’(л) = 2т3, то — 4т3-;=2т3, т3 =-----«. Тогда
ла ла
g
фз (*) =3^3 * (я+х) (я“ *)•
4) Найдем ф4 (х), <о4 = [л/2, л], k = 4. Имеем
. . (л — х)3 , (х—л/2)3 . / л2\
ф4(х) = тзк__2_+т4^__^+^1_тз_^
Л— X
л/2
+-(о-"Чй)
х—л/2
л/2
Так как т3 = — 8/л2, а т4 = ф’(л) = 0, то
ф4 W =з|з * (л~*) (2л—х).
Итак, кусочио-кубическая сплайн-фуикция ф (х) на отрезке [—л, л]
имеет вид
/ я
З^х (л+х) (2л4-х) при х£[—л, — л/2],
3^зХ(л+х) (л—х) при х£[—л/2, 0],
З^з х (л + х) (л—х) при х£(°, л/2],
g
^-=х(л—х) (2л—х) при х£[л/2, л],
\ ол°
Отметим, что в общем случае деление заданного отрезка иа равные части не
является обязательным. В данном случае это было сделано для упрощения
вычислений. А
1268. Построить линейную сплайн-функцию для функции
^=tgx, заданной таблично на отрезке [—л/4, л/4]:
X — л/4 — л/8 0 л/8 л/4
У —1 —0,4145 0 0,4146 1
1269. Построить линейную сплайн-функцию для функции
i/ = (4 + x)1/2, заданной таблично на отрезке [—1, 1]:
X —1 —0,5 0 0,5 1
У 1,7320 1,8708 2 2,1213 2,2361
383
1270. Построить линейную сплайн-функцию для функции
t/ = chx, заданной таблично на отрезке [—1, 1]:
X —1 —0,5 0 0,5 1
У 1,5431 1,1276 1 1,1276 1,5431
1271. Построить кубическую сплайн-функцию для функции
у —2х, заданной таблично на отрезке [—1, 1]:
X —1 —0,5 0 0,5 1
У 0,5 0,7071 1 1,4142 2
1272. Построить кубическую сплайн-функцию для функции
1/ = 1п(2 + х), заданной таблично на отрезке [—1, 1]:
X —1 —0,5 0 0,5 1
У 0 0,4054 0,6931 0,9163 1,0986
ГЛАВА X
ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИОНАЛЕ
Вариационное исчисление занимается задачей отыскания наибольших и
наименьших значений функционалов, определенных на множествах линий или
поверхностей.
Понятие функционала является расширением понятия функции на случай,
когда область определения Е есть множество объектов произвольной природы.
Если каждому элементу / из Е по некоторому правилу ставится в соответствие
действительное число J, то говорят, что на множестве Е определен функцио-
нал J = Функционалы обычно задаются с помощью некоторых определен-
ных интегралов. Функции из области определения Е данного функциона J
будем называть функциями сравнения (илн допустимыми функциями).
В дальнейшем в качестве классов С функций сравнения используются
следующие множества функций, заданных на отрезке [х0, XiJ: С [х0, Xi]— класс
непрерывных функций; С(1) [х0, Xj]— класс гладких (т. е. имеющих непрерывные
первые производные) функций.
Обобщением этих двух классов является множество C<"n [х0, Xi] — класс
функций, имеющих непрерывные m-е производные (m = 0, 1, 2, ...).
В каждом из указанных классов можно ввести понятие расстояния. Именно,
расстоянием нулевого порядка между любыми двумя функциями y = yt{x) и
У = Уг(х), принадлежащими С[х0, xj, называется число
Ро = Ро (М. Уг) = max | yi (х) — у2 (х) 1
Хо < X < X,
Расстоянием первого порядка между функциями yt (х) и у2 (х) из класса
С(1) [х0, Xi] называется число
Pi = Pi(M. Уг)= max | й (х) — у2 (х) | + max | у! (х) —уг (х) |.
X» < X < Х1 Хо < X < хх
Аналогично можно ввести понятие расстояния рт (yi, у2) между любыми
двумя функциями yi (х) и у2 (х) из класса С(от) [х0, Xi].
Пусть у (х) gC<“> [хо, Xi] и е —произвольное сколь угодно малое положитель-
ное число. Множество всех функций у (х) из класса C(m) [х0, Xi] таких, что
Рл> (У> у) < е> называется е-окрестностью функции у (х) в заданном классе
функций.
I
1273. Вычислить функционал J (у (х)) = $[у (х)]2 dx, если у± (х)=х,
________________________ о
У» W = ех, Уз (х) = К1 + х2.
т
Д Здесь функционал задан как определенный интеграл J (у (х)) ~ [у (х)]2 dx.
Подставляя в это соотношение данные функции, получим числовые значения
функционала. Имеем
1
при !/i(x) = x‘. Ji (х) = f x2dx—-^-;
м &
О
1
при Уг (х) — ех: J2 (х) = § (ех)2 dx=;-^ (ег— 1);
о
1
при у3 (х) = К14- х2: Zs (V 1-ьх2) = С ( Vl+x^dxsa-^ • А
о
1274. Найти расстояние между функциями у = х* и у — х
в классе С [0, 1].
Л По определению р0= max [х®—х|. На концах отрезка [0, 1] функ-
0<х< I
ция у = х®—х принимает значения, равные нулю. Исследуем ее на экстремум
в интервале ]0, 1[. Имеем у'= 2х—1; у' =0 при х=1/2. Так как у" (1/2) = 2>0,
то в точке х=1/2 исследуемая функция достигает минимума, равного —1/4.
Поэтому I х2—х| принимает в точке х= 1/2 наибольшее на отрезке [0, 1] зна-
чение, равное 1/4. Значит, расстояние между функциями у — х* и у = х в
классе С [0, 1] есть р0=1/4. А
1275. Найти расстояние р0 между функциями yl(x) = xe~lt и
z/a = 0 на отрезке [0, 2].
1276. Найти расстояние р, между функциями Ух(х)—х и
г/2(х) = 1пх на отрезке [е"1, е].
§ 2. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА
xt
Пусть функционал J (у (х)) = J F (х, у, y')dx, где F (х, у, у')—некоторая
известная функция трех переменных, определен в классе С. Разность
бу(х)=у(х) — у(х), у(х), у(х)€С,
называется приращением (нли вариацией) аргумента у функционала J (у).
Разность
Д/ = Д/ (6y) = J (у+бу) — J (У)
называется приращением функционала J (у), соответствующим приращению бу
аргумента.
Пусть функция F (х, у, у') непрерывна и имеет непрерывные частные про-
изводные по всем переменным до второго порядка включительно. Тогда в при-
ращении функционала Д/ (бу) можно выделить главную часть, линейную отно-
сительно вариации аргумента, которая называется вариацией функционала
J (у) и обозначается через 6J.
3
1277. Найти приращение функционала J(y (х)) = J у2у' dx, если
о
у(х) — х2, у^х) — ^.
386
Д Здесь приращение аргумента функционала бу(х) = у\ (х) — у (х)= х3 — ха,
а соответствующее ему приращение функционала
Л/ = / (у (х) + бу (х)) — J (у (х)) = J (у± (х)) — J (у (х)) =
3 3
= J x6-3x2dx—J х*'2х dx = 6318. А
с с
X,
1278. Найти вариацию функционала J (у (х)) — J уу’ dx, если
Ху
у(х) и б (у (х)) G С<1> [х0, хх].
Л По определению приращения функционала
(y(x) + &y(x)) — J (у(х)) = J (у-гЬу) (у’+&у') dx— J уу' dx =
Хи Хи
Xi Xi
= J (/ бУ+ У «/) dx 4- J бу бу' dx,
х, х,
откуда искомая вариация
х,
6J (у (х)) = J (у' бу4- у бу'} dx. А
X.
Сравнить приращение и вариацию следующих функционалов:
е
1279. J (у (х)) = J (уу' + ху'г) dx, если у = In х, by = .
1280. J (у (х)) — J у'* sin х dx, если у — sin х, by=*a cos х.
с
§ 3. ПОНЯТИЕ ОБ ЭКСТРЕМУМЕ ФУНКЦИОНАЛА.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
Пусть Е—класс функций сравнения функционала J. Говорят, что функ-
ционал J имеет в этом классе абсолютный минимум (максимум), реализуемый
функцией у (х)£Е, если для любой функции у (х)£Е выполняется неравенство
j (у (х)) J (у (х)) [Г (у (*)) < J (у (х))], (1)
т. е. приращение функционала ДJ = J (у (х)) — / (у”(х)) неотрицательно (непо-
ложительно).
Говорят, что функционал J имеет в классе Е относительный минимум
(максимум), реализуемый функцией у(х), если найдется такая е-окрестность
функции у(х), что для любой функции у(х)^£ из этой окрестности выпол-
няется неравенство (1).
Очевидно, абсолютный экстремум является и подавно относительным эк-
стремумом. Обратное, вообще говоря, неверно.
Пусть функционал
J {У (х)) = (х, у, у'} dx
х.
(2)
определен в классе С(1), а подынтегральная функция непрерывна вместе со
своими частными производными до второго порядка включительно.
Теорема. Если функция у = у (х)£С11) удовлетворяет граничным усло-
виям у(хе) = у0, у(Х1)=У1 и реализует экстремум функционала (1), то она
является решением уравнения Эйлера
или в развернутой записи
У"Е,г1Г + у'Руу + Еху-Еу^. (4)
Уравнение (3) представляет собой дифференциальное уравнение второго
порядка относительно неизвестной функции у (х). Общее решение этого урав-
нения содержит две произвольные постоянные Cj и С2, которые должны опре-
делиться из граничных условий у(хо) — уо и у(хх) = ух. Интегральные кривые
уравнения Эйлера называются экстремалями. Для того чтобы экстремаль про-
ходила через две точки М (х0; уо) и N (х-с, ух), следует выбрать постоянные
Сх и С2 так, чтобы <р (х0, Сх, С2) = уо и <р (xj, Съ С2) = у1( где у = <р (х, Clf С2)—
общее решение уравнения Эйлера.
В общем случае уравнение Эйлера не разрешимо в квадратурах. Рассмот-
рим частные случаи этого уравнения.
Случай 1. Функция F не зависит от у', т. е. F = F(x, у). Тогда урав-
dF
нение Эйлера принимает вид -^- = 0. Это уравнение не является дифферен-
циальным относительно неизвестной функции у (х), так как оно не содержит
у'. Оно определяет одну или несколько функций, которые, вообще говоря, не
удовлетворяют граничным условиям у(хо) = Уо и у(Хх) = Ух- Следовательно,
решение рассматриваемой вариационной задачи в общем случае не существует.
Лишь в специальных случаях найдется кривая у = у(х), проходящая через
точки М. (х0, Уо) и N (хх, ух) и являющаяся решением функционального урав-
дг л
нения -г—=0.
ду
1281. Найти экстремаль функционала
1
/(Н*))= $(* sin # +cost/) dx; г/(0) = 0, t/(l) = n/4.
о
dF
Л Здесь F = xsin у-ф-соз у, -^- = xcosy—slnу и уравнение Эйлера имеет
вид х cos у—siny = 0, откуда y = arctg х. Это решение удовлетворяет заданным
граничным условиям и, следовательно, полученная кривая является экстре-
малью. А
1282. Найти экстремаль функционала
е
J (y(x))=<\j(xey—yex)dx\ t/(l)=l, t/(e)=I.
1
А Здесь F — хеУ — уех,
ется в виде хеУ — е* = 0,
-5- — хеУ — ех, и
ду
откуда у = х—In х.
уравнение Эйлера записыва-
Полученное решение не удов-
летворяет данным граничным условиям и найденная кривая не является
экстремалью. А
Случай 2. Функция F линейно зависит от у'
, ,л , . ~ -ч- дР dQ Л
+ У Q (х, у). Тогда уравнение Эйлера имеет вид —-^ = 0.
т. е.
F = P (х, у) +
Это уравнение
ие является дифференциальным относительно неизвестной функции у (х) и,
388
вообще говоря, не имеет решений, удовлетворяющих заданным граничным
г, дР dQ. г.,
условиям. Если же > то подынтегральное выражение F (х, у, y)dx=
— (P-f-y'Q) dx — P dx+Q dy есть полный дифференциал некоторой функции
двух переменных. В этом случае значение функционала не зависит от пути
интегрирования. Следовательно, функционал J постоянен на всех допустимых
кривых и вариационная задача теряет смысл.
1283. Найти экстремаль функционала
р
J (У (*)) = $ КХУ' + 1И + х2—у2у'] dx-, у (а) = а, у (0) = Ь.
а
Л Здесь F линейно зависит от у':
F = (ху' +1) еу 4- х2 — у2у' = (х2+еу) + (хеу — у2) у',
т. е. Р(х, у) =х2Д-еу, Q (х, у) = хеу —у2 и = Выражение (х2+е>') dx-f-
4- (хеу — y2)dy есть полный дифференциал, н, следовательно, интеграл не за-
висит от пути интегрирования:
(р:Ь) (р;Ь)
-Г(у(х)} = J (х2+еу) dx+(хеу—у2) dy= J d (хеу — у у34~у =
(а; а) (а; а)
(у 1 3! 1 зМ(₽:Ь) ДЬ а , Р3-а3 , а3—Ь3
^^хеу-у У3+у х3 j |<а; а =^-ш-4—у•
Значение функционала J постоянно для всех кривых у(х), проходящих через
точки (а; а) и (0; Ь), и вариационная задача не имеет смысла, А
Случай 3. Функция F зависит лишь от у', т. е. F = F(y'). Тогда урав-
нение Эйлера имеет вид y'Fyy = 0. Если Fyy Ф 0 (в противном случае тре-
буется дополнительное исследование), то получаем уравнение у" = 0. Его общее
решение у = С1х4-С2, т. е. экстремалями являются прямые.
1284. Найти экстремаль функционала
1
= + / + г/(0)=1, #(1) = 2.
о
Д Здесь F = у,г4- у' 4-1, Л/- = 2у'4-1, Fyy, = 2. Уравнение Эйлера имеет
вид 2у" = 0, откуда у = С1х-\-Сг. Значения С\ и С2 найдем из условия про-
хождения экстремали через точки М. (0; 1) и N (1; 2): С2=1, С14-С2 = 2, т. е.
Ci = C2=l. Таким образом, экстремалью является прямая у=х-|-1. А
Случай 4. Функция F зависит лишь от х и у', т. е. F — F(x, у’). Так
F d I dF \
как в этом случае —=0, то уравнение Эйлера имеет вид — ( — j=0, отку-
dF(x, у') _ У
да сразу находим-----------=Ci. Разрешая это уравнение относительно у'-
и интегрируя, получим общее решение уравнения Эйлера.
1285. Найти экстремаль функционала
е
Ц#(-К)) — $ {ху'*~2y’)dx; 1/(1) = 1, г/(е) = 2.
I
389
ар
Здесь F = xy'2—2y', -=-—, = 2xy'— 2, t. e. 2xy' — 2 = (\. Отсюда у'=
q ( 2 & j
= 2^~~~ • Интегрируя, находим у—(Ci-}-2) In x-f-C2. Используя граничные
условия, получаем C2=l, -^-Ci-}-C24-1 =2, т. е. Ci = 0, С2=1. Экстремалью
является кривая у = 1пх+1. А
Случай 5. Функция F зависит лишь от у и у', т. е. F = F(y, у').
Уравнение Эйлера, имеющее в этом случае вид y"Fy.y4~y'Fyy> — Fy = 0, сво-
дится к дифференциальному уравнению первого по-
рядка F — y'Fy’ = Clt где Ст—произвольная постоян-
ная.
1286 (Задача о наименьшей
площади поверхности вращения).
Среди всех плоских гладких кривых, соеди-
няющих точки А (х0; уй) и В (хг; уг), найти
ту, которая при вращения вокруг оси Ох
образует поверхность наименьшей площади.
Д Площадь поверхности вращения является функционалом, определенным
в пространстве С(1> [х0, xj:
Xi
х„
Здесь F = y]^ 14-у'*, поэтому уравнение Эйлера сводится к уравнению
уУ 1 + у'*—77 — —Ci. или у = СгУ 1 + /*.
Полагая у' = sh t, находим у = С± ch t. Отсюда
, dy C,shtdt „ ~ £ ~
dx—. —-Схdtt т. е. х — Сх^-(-С2.
у' sh t '
х__Q
Следовательно, искомой кривой является цепная линия y = Cxch—Про-
х _________________________________________________________________Q
извольные постоянные Сх и С2 определяются из граничных условий: ch-^—-=
„ Ci
_ Уч ph xi — С2_ yt
~Сх ’ СП Ci ~Сх • А
1287 (Задача о брахистохроне). Среди всех линий,
соединяющих точки А и В, найти ту, по которой материальная
точка, двигаясь под действием силы тяжести из А без начальной
скорости, достигнет точки В за кратчайшее время.
Д Проведем через точки А (0; 0) и В (хх; ух) вертикальную плоскость
(рис. 91) и возьмем произвольную линию y = f(x), 0<x<x1, где /—непре-
рывно дифференцируемая функция, причем /(0) = 0 и f(Xj)=yx.
Для произвольной точки М на основании закона сохранения кинетической
энергии получим nw“[2 = mgy, где /и—масса точки, а с—ее скорости Отсюда
ifn— - ds 1 + у'г dx ..
v=y 2gy. v другон стороны, v = -^-=;-—----(ds—элемент дуги линии).
Отсюда
dt= * dx, т. e. J (у) = JU- (
K2g у V 2g J
dx.
Уравнение Эйлера в данном случае приводит к следующему дифференци-
альному уравнению первого порядка:
/1 + у'2 у'2 _ 1
У у Иу(14-/2) С1(1+/2)
Положим y' = ctg-J тогда у = -1^-(1 _ cos/), а
, dy sint dt 1 „ t , 1
dx=— ==----------—=— sin2 — dt —-(1 —cos t) dt.
У' 2Cictg-L Cl 2 2Cl
x=—U/— sin Л-j-Co.
2Cl ' ’ ' “
Мы получим параметрические уравнения циклоиды:
1
—sin/).
^=i(1-cos/).
т. е. линией иаискорейшего ската (брахистохроной) является циклоида. По-
стоянная С2 = 0 (так как х=0 при /=0), а постоянная Сг определяется из ус-
ловия, что кривая проходит через точку В (хх; yr). А
Случай 6. Функция F зависит только от у, т.е. F — F[y). В этом
л
случае уравнение Эйлера имеет вид
1288. Найти экстремаль функционала
1
JQ/(x)) = $(2^-r/2)dx; z/(0) = l, У^) = е.
о
Д Здесь F = 2ey— у2, -^-=2еу—2у, 2еу — 2у = 0, т. е. у = еу. Последнее
уравнение ие имеет даже числовых решений. Д
Случай 7. Функция F имеет вид F (х, у, у') = р (х) у'2(х) У2 +
-ф 2yf (х), где р (х) > 0, р' (х), q (х) 2s 0, f (х) непрерывны на отрезке [хь, xj.
В этом случае экстремаль у = у{х) функционала
j (у(*)) = $ (J>(x)y'2+q(x)y2 + 2f (х) у) dx,
х.
391
проходящая через две заданные точки (xq, у0) и (*i, yi), удовлетворяет сле-
дующему уравнению Эйлера: (ру')—qy—f=0.
1289. Найти экстремаль функционала
In 2
«, (*/(*)) = J (у'*+ 2у^ + 2у)е~х dx‘, у (0) = 1/(In 2) = 0.
о
Л Здесь F = (y,2-\-2y2-{-2y)e~x, р(х)=е~х, q(x) = 2e~x, f(x)=e~x.
Уравнение Эйлера примет вид
(е~х У') — 2е~х у—е~х~0, или у"—у' — 2у = 1,
откуда у = Cie2x-\-С^~х—1/2. Используя граничные условия, получим Ci-f-
-)-С2 = 1/2, 4С1+(1/2) С2= 1/2, т. е. Ci=l/14, С2=3/7. Итак, экстремалью
является кривая y = (l/14)e2JC4-(3/7) e_JC—1/2. А
Найти экстремали заданных функционалов:
1
1290. J (у) = J (у sh х—y2chx)dx; г/(0) = 1, у (1) = 1.
о
*1
1291. J(y) = $^(1 +xy')dx- у(х0) = у0, у^х^у!.
Xq
1
1292. J (у) = \у'* dx\ t/(0) = 0, //(!) = 1.
О
1
1293. J(f/) = 5(x/-/’)dx; г/(0)= 1, г/(1) = 1/4.
О
2 г---------------------
1294. J(y)= y(-1) = 1, у (2) = 4.
-1
Xi
1295. J(y) = $ (y2+l)dx-, y(x0)=:y(x1) = Q.
Xq
Зл/2
1296. J(t/)= J (t/2—2y’2)e~xdx-, t/(0) = 0, у(3n/2) = e3"/4.
0
2
1297. J(t/) = j(x2i/'t+12^)dx; i/(l)=l, i/(2) = 8.
1
8
1298, J(y) = ^(x-4y)2dx-, i/(4) =1, 1/(8) = 2.
4
1299. Найти кривую y = y(x), no которой материальная точ-
ка перемещается из точки М (0; 1) в точку /V (1; 2) со скоростью
v = x за минимальное время.
392
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПРОИЗВОДНЫХ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Рассмотрим случай, когда интеграл содержит производные искомой функ-
ции у = у(х) выше первого порядка:
J {у (*)) = 5 F У'.......dXr 0)
х0
При этом искомая функция у(х)£&п> [х0, Xi], и удовлетворяет 2л гранич-
ным условиям:
У (ха) = уа; у' (х0) =у'о; ...; f/”-1’ (х0) =Уол-1);
у(х1) = у1; y'(xi) = yi, .... у1'’-1’(х1) = {4л-1>,
а подынтегральная функция F (х, у, у', t/"*) дифференцируема п + 2 раза
по всем своим аргументам.
Тогда функция у — у(х), реализующая экстремум функционала (1) — (2),
должна удовлетворять уравнению Эйлера—Пуассона-.
d d2 dn
Fy -Тх F*'+T? F--• • + ^л’ = °-
1300. Среди всех функций класса С<2) [0, л], удовлетворяющих
граничным условиям у (0) = у (л) = 0, у' (0) = у' (л)= 1, найти та-
кую, которая реализует экстремум функционала J(y(x)) =
п
= $(1б02-/* + *2) dx.
о
А Для данной задачи уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид
я2
32j/+(-l)2 Д-s(-2/) = 0, или ^1V>-16j/ = 0.
Его общее решение таково:
у^С^х 4-С2е~2х-гС3 cos 2x-f-Ct sin 2x.
Используя граничные условия, получим С1 = С2 = С3 = 0, С4 = 0,5. Итак,
у = 0,5 sin 2х—искомая функция. А
Найти экстремали заданных функционалов:
х,
1301. J (у) = -у J у"1 dx\ у (х0) = у (хх) = 0, у' (х0) = у' (х4) = 0.
1
1302. 7(^) = У(/* + 2/* + 4<8)^; 0(О) = 0(1) = О, /(0) = 1,
о
/(1) = —sh 1.
л/2
1303. (/8-i/2 + x2)dx; 0(0)= 1, у' (0)=0, 0(я/2)=О,
о
у' (л/2) = —1.
393
§ 5. ФУНКЦИОНАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ДВУХ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Рассмотрим функционал
J (y,z)=^F (х, у, г, у' ,z') dx, (1)
Ло
зависящий от двух функций yt z^C(1)[x0, xj.
В этой вариационной задаче необходимо найти кривые £/ = £/(х), z = z(x)t
удовлетворяющие граничным условиям
уМ = Уо, У(Х1) = У1, z(x0) = z0, z(x!) = Zi. (2)
Искомые экстремали являются решением системы дифференциальных урав-
нений второго порядка (системы уравнений Эйлера)
Эта система уравнений относительно искомых функций у (х) и г (х) играет в
поставленной задаче (1) —(2) ту же роль, что и уравнение Эйлера для одной
неизвестной функции у(х).
1304. Найти экстремали функционала
J == $ {у'1—2y2 + 2yz—z'^dx-, у (0) =z (0) = 0, z/(n)=sz(n) = l.
о
А Система дифференциальных уравнений для данного функционала имеет
вид у" + 2у—г = 0, г"4-у = 0. Исключая г, получим уравнение ^1V)4-2y"-|-
~т-у = 0, общее решение которого
у = Сг cos х sin х4-х (С3 cos x-f-C4 sin x).
Вейлу граничных условий С^О, С3 = —1/л, т. е. у = С281пх-}-С4 xsinx —
— (х/л) cos х. Далее, имеем
z — C2 sinx-f-C4 (2 роз х 4-х sin х)-}--^- (2sinx—хcosх).
Постоянные Сг и С4 находим, используя граничные условия для z: С4==0,
Сг — произвольно. Следовательно, г = С2 sin x-f-(l/n)-(2sinx—xcosx). Итак,
семейство экстремалей имеет вид y = C2sinx—(х/л)созх, г = С2 sinx+(l/n)X
X(2sinx—xcosx). Д
Найти семейства экстремалей заданных функционалов:
1305. J (у, г) = (у'1—2xyz')dx; i/(0,5)==2, z (0,5)—15,
0,5
l/(l) = 2(l)= 1.
2
1306. J (у, z)^\{z,t-xy,x)dx-, f/(l) = z(l)=l, y(2)«-l/6;
z (2) «1/2.
394
I
1307, J (у, г) =a ^г'г_у'г + 2хуух-, у(-1) = 2, //(0 = 0,
z(—1) = —1, z(l) = l.
л/2
1308. J (у, z)= J (yrt + z'*—2уг) dx’, г/(0) = 0, f/(n/2) = 1,
о
z(0) = 0, г(л/2) = 1.
§ 6. ФУНКЦИОНАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ФУНКЦИЙ
ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим функционал
p,Z,
D
dz дг
Обозначим -г—=р, -х—
дх ду
=q. Пусть F (х, у, г, р, q)—функция,
непрерыв-
ная вместе со своими производными до второго порядка включительно в неко-
торой пространственной области R значений переменных х, у, г при всех ко-
нечных р и q. Далее, пусть Г—замкнутая пространственная кривая, проекция
которой иа плоскость хОу есть простой замкнутый контур С, ограничивающий
область D. Уравнение поверхности S, расположенной в области Ц и проходя-
щей через кривую Г, имеет вид z = f(x, у), где функция f(x, у) непрерывна
df df
вместе со своими частными производными и —.
Поставим задачу отыскания поверхности г = /(х, у), для которой интеграл
имеет наименьшее значение по сравнению с интегралами, взятыми по близким
допустимым поверхностям.
Если такая поверхность существует, то ее уравнение z = f(x, у} является
решением уравнения Эйлёра—Остроградского-.
dF д
дг дх
dF\ д ( dF\Q
др J ду\ dq J
1309 (Задача Плато). Найти поверхность с наименьшей
площадью, проходящую через данную кривую Г в пространстве.
Л Задача сводится к нахождению минимума интеграла
•MJ v 1+^)2+(^)2<1х(1у-
D
Здесь F — У 1+р2 + ?2 . Уравнение Эйлера—Остроградского для этого случая
принимает вид
А( _ р А+2 ( я ..Л—о.
дДК 1 + Р2 + <72 / dy\V l+p2+q2J
Раскрывая это выражение, найдем
д^2 д2г
rd+qb + til+p^pqs^, где r = 5 = ^,
Это уравнение в частных производных определяет минимальные поверхности,
для которых сумма главных радиусов кривизны в каждой точке поверхности
395
равна нулю, т. е.
*.+я. =<+«•>' + <+/> +р- +?-<> ▲
Записать уравнение Эйлера—Остроградского для функциона-
лов:
|3,°-
1311 •1 “ И [ (-й)’++2г f <* d«-
D
§ 7. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
Рассмотрим функционал
Л
J = Jc = Г (х, у, х, у) di,
^0
(1)
где х и у — производные от х(1) н у (/) по параметру /, а /0 и /j—значения t
на концах кривой x = x(t), y = y(t). Если F (х, у, kx, ky) = kF (х, у, х, у), где
/г>0, то функции х (i) н y(t), реализующие экстремум функционала J, при
любом выборе параметра / должны удовлетворять системе уравнений Эйлера:
Этн два уравнения можно свести к одному:
Fi(x, у, х, y)(xy-yx)-]-F^ — F^=0,
где
1
R
F. .
^1 (х, у, х, у) =-^-
У2
F. .
X у
— ХУ
F..
У У
X2
или
F —F .
ху ух
Fi(x2 + 'y2)3/2
(2)
(7?—радиус кривизны экстремали).
1312. Найти экстремали функционала
Л _________
J==\ [^х2 + у2 + а2(ху—yx)}dt,
^0
где а—некоторое положительное число.
Л Здесь F = Ух2 + у2 + а2 (ху—ух) — положительная однородная фуик-
F • •
цня первой степени от х и у. Имеем F<:. —a2, F-— — a2, F±= —*х =
. ху * ух ’ * 2
У
----г—гит-• Поэтому уравнение (2) принимает вид 1/7? = 2а2. Таким об-
(х2-|- у2у‘
разом, экстремалями служат дуги окружностей с радиусом 1/(2<22). Д
396
Найти экстремали функционалов:
,313.
(0;0) х
(л/2; 2)
1314. Jc= f ±=^Ldt.
Л, *
§ 8. ПОНЯТИЕ О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ
ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА
До сих пор при рассмотрении задачи об экстремальном значении функцио-
х,
нала J=\F(x, у, у’) dx мы ограничивались нахождением лишь необходимых
Х‘о
условий экстремума.
Одним из типов достаточных условий экстремума являются усиленные ус-
ловия Лежандра: если на экстремали у = у(х) выполняется неравенство Fy>y>
> 0 (Fyy < 0), то в совокупности с некоторыми другими условиями это усло-
вие обеспечивает слабый минимум (слабый максимум) данного функционала.
Если же Fy'y^sO (Fyy^Q) при произвольных значениях у', то данная экстре-
маль реализует сильный минимум (сильный максимум).
1315. Исследовать на экстремум функционал
Xi
J(y(x)) = j
о
у(0) = 0, £((х1) = //1.
V У
Л В задаче 1287 было показано, что экстремалями являются циклоиды х =
= Ci (t— sin/)-|-C2, i/ = C1(l—cos/). Пучок циклоид х = Сх(/— sin/), у =
= Ci(l—cos/) с центром в начале координат образует центральное поле,
включающее экстремаль х=а(/— sin/), у = а(1—cos/), где параметр а опре-
деляется из условия прохождения циклоиды через вторую граничную точку
В </i)- Если Xi < 2ла, то
F‘r ~ ’ Fy'y'= K7(i + </'2)3/2 > °’
при любых у'. Следовательно, при xi < 2ла на циклоиде реализуется сильный
минимум. А
Используя достаточные условия экстремума, исследовать на
экстремум следующие функционалы:
2
1316. = у (0)=0, у(2) = 3.
6
Я/4
1317. J(y)=* j ^y2_y'2jr8y)dx; у(0) = — 1, у(л/4) = 0.
о
2
1318. J(z/)=$(xy2+12//2)dx; у(1) = 1, у (2) -8.
1
397
ОТВЕТЫ
Глава I
6. (е— 1)(г-1 — 1). 7. о. 8. 244/21. 10. ла2,2. 11. 112^. 12. 5 (2In2—1)/8.
1 из
0 2 V 1 +у
13. (л-Н—2V 2),'4. 14. —432,169. 15. J. 16. 26. 17. J dy $ /(х, у) dx+
-2 У 1 +//
8 2-1/ I е 2 V2x-хг
4- dy f (х, у) dx. 18. dy f (х, у) dx. 19. dx / (х, у) dy.
о -2VT+V ° еу 1 2~*
1! i/2 уТ^ i у?^»
20. $ dy $ / (х, у) dx. 21. dy f (х, у) dx+ dy $ f(x,y)dx.
Оу о V"l—2y 1/2 °
I л-arcsin у 3 4х/3 5 У 25-х1
22. dy f (х, у) dx. 23. dx f (х, у) dy-\- dx J / (х, у) <fy.
О arcsin у 0 0 3 0
3/4 х 2 у‘ + 2
24. j dx f (х, у) dy. 25. dy / (х, у) dx. 30. 2л3. 31. 0,5л In 2. 32. Зла4/2.
Ох1 0 у1
33. Зл. 34. 14ла3/3. 35.1/2. 36. 0,5 In 3. 41. 1/6 кв. ед. 42. 64/3 кв. ед.
43. 2л—16/3кв. ед. 44. 5 кв. ед. 45. 125/18кв. ед. 46. 1/2кв. ед. 47. 27/2кв. ед.
48. 4/3 кв. ед. 49. 8—л кв. ед. 50. 5л кв. ед. 51. 2л—8/3 кв. ед.
55. 8л—32У 2/3 куб. ед. 56. 17/5 куб. ед. 57. л/4 куб. ед. 58. 88/105 куб. ед.
59. 40/3 куб. ед. 60. 32/9 куб. едИИ. 90 куб. ед. 62. 12 куб. ед. 63. 79/60jcy6. ед.
64.4 куб. ед. 65. сРЬ/3.70. л (5 У 5— 1 )/24 кв. ед.71. 16л/3 кв. ед. 72. 2лУ 2 кв. ед.
73. 5/6+(У 2/4) In (3+2У 2) кв. ед. 74. л кв. ед. 75.32 кв. ед. 76.20У 2/3 кв. ед.
81. С (45/28; 279/70). 82. х= (5/6) а, у = 0. 83. х= (3/5) а, у= (3/8) а. 84. х=£ =
= 128а/(Ю5л). 85. х=у=9/20. 86. х=(6/5) р, у=0. 87. х=1, у=4/(3л).
88. 2,4. 89. 8/3. 90. 4096/105. 91. ла53/4. 92. (2/3) a*k, где k—коэффициент
пропорциональности. 93. 2лг26. 94. ай3/12. 101. abc (а24-524-с2)/3. 102. 1/48.
103. 1/364. 104. ай2 (105—За)/12. 105. 4л. 106. 4. 107. Зл/2. 108. (1/5)ла3Х
Х(18У 3—97/6). 109. 16л/3. ПО. 4лг3/3. 1И. 8л(2У 2—1)/9. 114. л/бкуб.ед.
115. 8 (Зл—4)/9 куб. ед. 116. За*/2. 117. х=у=2/5, z=7/30. 118. х=у = 3,
z=45/32. 119.(6/5; 12/5; 8/5). 120. 2а6/3. 128. (л/2) In (Х+У1 + X2).
129. (л/2) 1п (Х+УГрё2). 130. (я/2)1п (1+2). 131. ла. 132^ In (8/а).
133. (л/2) In (1Ч-Х). 134. In (И-1)/(ц+1). 135. Ул (У ₽—У а).
136. л (У 1—X2—1). 145. 1,1645. 146. —4,5781. 147. 2,4240. 148. 15Ул/8.
149. 0,1225. 150. 0,8934. 151. оо. 152. —2лУ 3/7. 153. л У 3/5. 154. —4лУ 2.
155. 4лУ 2/5. 162. 1/24. 163. Зл/16. 164. 8/105.
iee. 1*....3^,. .. 167.
а г(— +— ) 2(2я+2)П
\ 2 1 а ]
165. Эл/4096-
5я
168. —
256
398
169. --Z5--170. л/81пал. 171. 2л/к 3. 172. 5л/32. 173. л. 174. 1/364.
b sin (ал/й)
г(4\г(т) _
175. —LrZ------ . 176. л/ К 2. 177. —. ‘ .178. л/(2]< 2). 179. л/(2з1ппл).
h г { п । 1 П8Ш
k-T[-k+m)
Глава II
186. 67/6. 187. 135/3._ 188. 2152/45. 189. 4. 190. 12. 191. 17,5. _192. л.
193.6/35. J94. 2. 195. х=(31п2— 1)/3, у = (16 In 2+15), 24. 196. х = 2/5,
у = —1/5, z=l/2. 197. 2а2. 198. (Уа2 + &2/ай) arctg (2лй/а).
199. /"2[яК 1+4л2 + 0.51п(2л+Кl-f-4n2)]. 200. 1/6. 206. U =е*+У +
+ sin(x—y)4-2y-f-C. 207. -7=х—e^+sinx+siny+C. 208. {/ = (1/3) х3—
— х2уа + Зх+(1/3)у3+Зу4-С. 209. {/ = х2 + у3-(3/2)хауа + 2ху4-С.
210. (7 = ch x4-xch у+у + С. 211. (/=xarcsin х—у arcsin у+У1 — х2 —
— У1 — у2—(1/2) хг lny-f-C. 212. xasiny + ysinx+x24-cosy—у3 = С.
213. ye*2-f-x In у-\-еУ = С. 214. л2 (во всех случаях). 215. 0 (в обоих случаях).
218. у j dxdy. 219. 8. 222. 1/3 кв. ед. 223. nab. 224. 45/2 кв. ед.
D _ _ —
225. 25/6 кв. ед. 226. блг2. 232. х = у = 0, г = (307—15У 5)/310.
233. 4л (1-4-6 У *3)/15. 234. (125У5—1)/420. 251.0. 252. 12ла5/5. 253.0.
254. 4паЬс. 255. 6ла2й. 256. 0,1л/?2й (3/?2 + 2й2). 257. 1/2. 258. 6л. 259. xR*h.
260. 1. 261. 2л. 262. лай. 263. За. 264. х+у+г. 265. (г—у) i-j-(x—z) j'+(y—х) к.
266. 2(j — к).
Глава III
294’ 11 + 102+ юоз+ 10004+' " • л95' 11 + 1111 + 111111 + 11111111 +
+ ••• . 296. 1. 297. 1. 298. 1,12. 299. т. 301. Расходится. 302. Сходится.
303. Сходится. 304. Расходится. 305. Сходится. 306. Расходится. 307. Схо-
дится. 308. Расходится. 309. Сходится. 310. Расходится. 311. Расходится.
312. Расходится. 313. Сходится условно. 314. Сходится абсолютно. 315. Рас-
ходится. 316. Расходится. 317. Расходится. 318. Сходится. 319. Сходится
условно. 320. Сходится условно. 321. Сходится абсолютно. 322. Расходится.
323. Расходится (сравнить с рядом предыдущего примера). 324. Сходится.
325. Расходится. 326. Сходится. 327. Сходится. 328. Расходится. 329. Схо-
дится. 330. Сходится абсолютно. 331. Расходится. 332. Сходится абсолютно.
333. Расходится. 334. Сходится абсолютно. 335. Сходится условно. 336. 1 -j-
+ 'э+вт+т^э'^'" ' 337‘ 1--П-+4г-4г+--* ’ 345' В точках х = 1 11
х=2 расходится, в точке х = 3 сходится. 346. В точке х=1 расходится,
в точке х = 2 сходится. 347. 0 < х < -|-оо. 348. 1 < х < + оо. 349. —оо < х <+оо.
353. Сходится .равномерно. 354. Да. 355. Да. 356. Нет, ряд расходится при
любом значении х. 368. —оо < х<-)-оо. 369. 3<х< 5. 370. 1 < х < 3.
371. Ряд сходится только в точке х = 0. 372. Ряд сходится при любом зна-
чении х. 373. — 1 < х < 1. 374. —2<х < 2. 375. —3 < х < 3. 376. — 1 < х < 3.
399
377.
381.
378. a/(a—x)2. 379. a In a/(a—x) —x. 380. 2a/(a —x)3.
плл < i i o , x2 In2 2 . x3 In3 3
390. l+xln3-|-----2[— H---3[—
8x3
" 3!
—2x/(l+x2)2.
2x , 4x2
1 TT+"2Г
о 23
392. l-.-x2-^-
9 93 95 97
< + “)• 393- 2Г-2+ ir^+ef*e + sr*8+-
394. lna+^_^ + ^_^+... (—a<x<a).
x2 . 1-3-x3 1-3-5-x4 . ], . oo_ . .
r (2a)2-2! + (2a)3-3! (2a)M! +’"P a< x< a). 396. 1 +
+ 4’^+5 •x8+lrxl2+lr,xl6+-" <*< + “) 397- =
= 12+15(x— 2) + 6(x— 2)2 + 3(x—2){y— 1)— 6(y— I)2 + (x— 2)3 — 2(y — I)3.
398. f (x, y) =-4+ 13 (x-1) + 5 (y + 1) + 11 (x-1)2 + 2 (x-1) (y-f-1)- (y+1)4-
+ 4(x-l)». 399. / (x, y) = 44-8 (x—1) —15(t/H-D4-5(x—1)24-9(i/4-1)^.
400. f (x, y)=-l+(x4- l)4-(y— 1) - 04-1) (y-l)-(y- l)24-(l/3) (x+1) (y—1)2+
+ (г/-I)3 +...,. 401.f(x,y) = l + (x-l)-y-
— (x—1) г/ + (1/2) г/2 +.... 402. f(x, г/) = -1+(х+1)+
4-y2—(x+l)y2 +... . 415.2,71828. 416.0,60653.
417. 0,1564. 418. 1,0453. 419. 1,0196. 420. 5,196. 421. —0,0202. 422. 0,0953.
423. 1,0986. 424. 2,3026 . 425. 0,4636. 426. _3,142. 432. 1/3. 433. 1. 434 . 0,1996.
435. 0,102 . 436. 0,015. 445. 2, —2, 2^ 2, — л/4. 446. г= 13 (cos 157°23' -f-
4- i sin 157°23'). 447. i. 448. 1. 449. 2 cos 10° (cos 10°+«sin 10°). 450. —46 + 91.
451. (249/1025) — (68/1025) i. 452. (5/169) + (12/169) i. 453. 5,831Jcos (—30+8')+
+ г sin (—30°58')]. 454. V 2 (cos 135^+ i sin 135°). 455. (/ 2/2) + (У 2/2) i.
456. cos (—150°)+isin (—150°)=—(f 3/2) —(1/2) i. 457. cos 22°30'+! sin 22°30'=
= 0,9239 + 0,3827»; cos 112°30' + i sin 112°30' = —0,3827+0,9239i; cos 202°30' +
+ г sin 202°30; = —0,9239—0,3827г; cos 292°30' + i sin 292°30' =0,3827 — 0,9239».
458. Wo = 2 (cos 15° + i sin 15°) = 1,9318 +0,5176г; a'i —2 (cos 135°+ i sin 135°) =
= — У 2+г‘У 2; = 2 (cos 255° + г sin 255°) = —0,5176—1,9318г. 459. cos 4гр=
= cos4 гр — 6 cos2 q> sin2 ф + sin4 ф, sin 4ф = 4 cos3 ф sin ф — 4 cos ф sin3 ф.
461. Окружность радиуса R с центром в точке г = с. 462. 1) Множество точек
крута, ограниченного окружностью |г—с| = /?; 2) множество точек плоскости,
расположенных вне окружности \г—c| = R. 463. 1) Множество точек полу-
плоскости, расположенной справа от мнимой оси; 2) множество точек полу-
плоскости, расположенной под действительной осью. 469. S = (l/4) — г.
470. Сходится. 471. Расходится. 473. Ряд сходится на всей плоскости. 474. Ряд
сходится только в точке z—1-j-i.
483. (3/4) sin х—(1/4) sin Зх. 484.
= -2i(-l)^.490.f(x)=l-li;
т = 1 т = О
391.
25
6!
х
т
479. 2+"'6. 480. е~ш/2. 481. —1.
(-( = е-л/2 + 2Лл (6gz). 489. f(x) =
cos (2m + 1) ЛХ . .
(2m +1)2 •491-/W
2 .
= — sh л-
л
m=
(-IP
J2 2n?
m3 m
mx.
492. f{x) = £ (-D“X
zn = l
I) l «w-
in =0
(cos тх— m sin mx) .
^2 V sin 2mx
m
... 4/г sin(2m+l)x ... 5л Ю
494. t w=- 2, —• 495- f w=T- лх
т =0
400
tn = 0
5 sin 5x
22 —52
cos (2m 4-1) x
(2m4-I)2
cos (2m + 0 nx
m = 0
21
(2m 4-1)2
( cos x , cos Зх , cos 5x ,
1 32 1 5s r
. /sinx sin2x , sin3x
K~i----------Г-+—
sin2x , sin 3x
~ 2 ‘ 3
sinx , sin3x , sin5x
-p I 33 Г 53
. ) . 496. f (x) =
sjnmx. 498.--------------—
m л [ 22 — 1
sin x 1 3 sin 3x
22 —32
j £ <—0
504. F(z)=-J=r
К 2л
sin mnx
m
1 4
500.
4
т—7-5 cos лг.
1 —4z2
505. F(z) =
ze — sinz—z cos г ₽ .. sin г—sin
----506. fc®
__ cos (z/2) — cos г 2
~~ г Л
z
( f s (г) =
Глава IV
515. y = arccos eCx. 516. 2е~У (у 4- 1) = x24- 1 • 517. (1 -f-e*)3 tg y = 8.
518. 2 In | sin у | =e(x-1)2—1. 519. y3/3 4-n/4 = arctge*. 520. In | tg у | =
±1 1(2 4/x+ 1)
= 4(1 — cosx). 521.2* — 2-V = 3/32. 522. y=e ' v 523. 2 (x—2)=ln2 y.
524. КГ+х24-КГ+72==С. 525. (1 —Kb^x2) (1 —КГГ72)=Сх(/. 526. 2sinx4-
4- In I tg (y/2) j = C. 527. x24-1/sin y-\-c.osy — C. 528. у = In tg (e* 4-л/4—1).
529. y = ln tg (ch x-|-C). 530. y = a sin (arcsin (х/а)-[-С); ответ можно записать
также в виде уУ а2— х2— хУ а2— у2 = С1. 531. [x-f-1/4-2 In х— In у=2.
532 . 3jirctg x2-|-2arctg у^= л/2. 533. x-f-y—2У х4~2]/" 1/4-2 In х4~ 1)х
x(Vr у— 1)|=С. 534. К 2sin х-f-sin у—cos у=0. 535. tg (у/2)=С [tg (у/2)4-1]х
X[l—tg(x/2)]. 536. (3/2) In (i/24-4)4-arctg(g/2) = Kx24-4x4-13 — ln(x4-2 4-
4-/x24-4x4-13)4-C. 537. tgxtgy=l. 538. y = arctg C (1 — e*)5. 539. у = С/х.
540. Л1 = Лое-Ч 541. 1) «56,5 r; 2) и 7,84 ч. 542. яз_18,4мин. 543. t =
= 2л tg2a (№''2—Ь.5/2)/(5с&У2g); Т=2л tg2 аН6/2/(5аа>У2g)s;844 с» 14,1 мни.
544. «4,6 мин. 550. Cx = ecos(-V,,x). 551. у2 — Схе~у1х. 552. 1пх=(у/х)Х
X [In (у/х)—1]4-С. 553. у2 = 4х2 In Cx. 554. y = xarcsinx. 555. 1 4-sin (u/x) =
—Cx cos (y/x). 556. arctg (0,5y/x)— 21п|х| = л/4. 557. y2 = x2inCx2.
558. arctg (y/x)=ln СУx24-У2- 559. y=— xln| 1 — lnx|. 560. (y/x).arctg (y/x)=
= In СУ x2-[-y2. 561. x54- 10x3y24-5xy4 = L__562. 16xy = (y4-4x—Cx2)2.
563. In I у | — cos (3x/y) — C. 564. y= ± хУ C2x2— 1. 565. у—l = C(x—1).
568. 3x4-2i/—4-[-2 in j x-f-y—l| = 0. 569. x2-i~xy—y2 — x-j-3y = C. 570. x2 ~l~
+ 2xy—y2—4x+8y = C. 571. x2—y2 + 2xy—4x-)-8y—6 = 0. 575. (l/2)x24-
4-x sin у— cos y = C. 576. xy-\-ex sin y — C. 577. (1/2) x2у4-xsin y = C.
578. (1/3) х2-\-ху2-\-ху-\-еУ = 1. 579. yex2-\-x In y= 1. 580. (1 4-x) sin у 4-
4- (1— у) sinx = C. 581. x2 In y+2y (x-)- 1) = C. 582. x34-3y4-3xsin y = C.
583. yex4-(1 /2) у2 = C. 584. x2-[-y2-[-2ex sin y = C. 585. x 1пу4-Уг cos 5x=e2.
586. xarcsinx-f-x24-x2y4-yarctgi/—(1/2) In (14-y2)4-t/ = C. 587. x^y —
— cosx — siny = C. 588. ех^У-{-х^-\-y*= 1. 589. x tg y-j-y etg x — C.
590. arctg (x/y)—ху-\-еУ—С, 591. y — Cx— In x—1; jx=l/x2. 592. у =
= x (C—sin x); jx=l/x2. 593. x=y(C4-y); ц=1/у2. 594. ху—У1—у2—С\
у,= \/У 1—y2. 603. y = x(sinx4-C). 604. y=e~x* (x2/24-C).
605. cosx(x4-C)/(l-f-sinx). 606. y = a(x—l)/xn. 607, y = arctgx—14-
401
4Ce“arctg*. 608. y = e-arcsln *4arosin x— 1. 609. p = tg (x/2)[(l,'2) x 4
4 (1/4) sin2x-f-C]. 610. (/=(!/2)x2 Inx. 611. y= — cosx. 612. x — Cy-f-y2.
613. у=cos 3x [1 — (2/3) cos Зх]. 614. x = Cy2— l/y. 615. x=Cy2+y*/2.
616. y~1/3 = Cx21'3 — (3/7) x3. 617. y = (x— 1)/(C—x). 618. y"1'2 —tgx =
= (!ncosx+C)/x. 619. z/-‘ = x3(ex + Q. 620. y~e~x [(1/2) ex + I]2. 621. у =
= secx/(x3-H). 622. x=l/[y(y4C)J. 623. i/ = sec2x/(tgx-x+Q. 624. x2 +
y2=e~y. 628. x=pslnp, y = (p2— 1) sin p-\-p cosp4C. 629. x — eP-\-C,
y=eP (p—1), или y=(x— C) [In (x— С) — 1]. 630. x = 2 (In p—p), y=2p —p2+C.
631. х = 1п[(/1+р2-1)/р]+р//1+р2 + С, y=p//l+p2. 632. x=2p4
+ 3p2, y=2p3+p2 + C. 633. x = p(l+eP), y=0,5p2 + (p2—p+l)e/’ + C.
634. x=e2P(2p2— 2p+l), y = e2/»(2p3—3p243p—1,5)4C. 635. x=0,5ln2p4
4 In p + C, y=pinp. 638. Общее решение y — Cx-\- K&2+ n2C2; особое реше-
x = — а2р/ У b2 -|- a2p2,
У = Ь2!У b2-\-a2p2,
или 4+#=’-
a2 1 b2
639. Общее решение у =
Г X — — 1 •’*р^
= Сх—1/С; особое решение < ’ или у2 =—4х. 640. Общее решение
y=Cx-j-C (I — С); особое решение у—’’ или У =(х4 *)2> 641. Об-
Г X ~~~ ^р
щее решение у = Сх+С2 + 1; особое решение < , „ или и=1—-т-.
, ( У=1—р-, 4
ало Ос Г X = C(p4 0i (X—С)2 , п
642. Общее решение < или —2С" осоС’ые Решення f/ =
у = —2х. 644. у=(1/48) х*+(1/8) х2 + (1/32) cos 2х. 645. p = xcosx—3sinx-f-
+ хг+2х. 646. y = lnslnx+CiX2+C2x+Cs. 647. у=(1/3) sin3 х4С5х4С2.
648. у= — (х+3)е~* + (3/2)х2+3. 651. у=(3х*~4х®—36х2472х48)/24.
652. y=(arcsln x)2+Ci arcsln х4С2. 653. у=± 4 [(С!х4а2)5/24С2х4С3]/(15С?)-
654. у=(1 + СГ:)1п(1 + С1х)— С£1х4С2. 655. у = (х3—3x246x44)/6.
659. 0,51п(2у+3)=С1Х-[-С2. 660. у = е2х. 661. ±(х4С2) =
=aln[(^4-Ci4-/'(p4-Ci)2 — а2)/а], или t/+Ci=± ach(x4C2)/a. 662. lnt/=
= Сг«*+С2е-*. 663. y=e(-v+c«)/<x+c‘’. 664. In [C4 (y4 1)— 1] = Ct (x4C2).
665. x=/y —0,5Ct fa (2 + Ci)4-C2. 668. y=C2eCiX. 669. yKi/2 4 Cf 4
4“ C? In (y + l^l/2 + Ci) = ± (—j/2-|-2Cix-|-3C2). 670. у = С2х-|-Сз d:
± 4(C1x+a2)l>/2/(15C12). 671. y = -ln| l-x|. 672. у'* = ± Vk(y2-l),'(2y).
673. y = — alncos(x/a). 674. у = 1 -|- In sec x. 675. s = ^^(e“ft^'n—l)4*-y-.
678. y = C24-(Ci—C2x)ctgx. 679. y = (l/2)xln2x4-C1xlnx+C2x. 680. у <=
= Ci sin x4-C2 sin2 x. 683. Да. 684. Да. 685. Нет. 686. Да. 687. Да. 688. Нет.
696. у = С1в2л4-С2е-ж. 697. у = Ct cos5х+С2 sin 5х. 698. y = Ci-f-C2ex.
699. y = (Ci+C2x)e2x. 700. y = Ci4-C2x4-C3e* + C4xex. 70L у=(.С1ехаУ T:2 +
4- С2е~ха ) cos (ха У 2 /2 ) + (с3е,са Vi !г +Cie-xa v'2 '2 ) sin (ха У 2 /2 ).
702. y = Ci cos х4-С2 sin х4-С3 cos 2x4C4sln 2х. 703. y = 4e~Sx — 3e-2x.
704. y=xe6*. 705. y = — (1/3) ex cos 3x. 706. p= 2 sin (x/3). 707. y= (5—2e-3x)/3.
708. у =У2 sin Зх. 709. y = slnx4-(l//3_)cosx. 710. x==Cf cos ₽/ 4-
4-C2sinf}Z, илн x= A sin (фо + fZ), $ = У a/m. 721. y= (e5x-^-22e3x-j-ex)/8.
722. y = 0,5x(x4-2) e4*. 723. y=e3x (Ci cos 4x4 C2 sin 4x)4 (14 cos x45 Sin x)/102.
724. y = —(11/8) cos x+4sinx—(1/8) cos 3x. 725. y=С^е2х-\-C2eix 4-
+ (24x24-52x4-41)/64. 726. р=4ел/2 —x—4. 727. p=(l/8)sln2x —
— (1/4) (xcos 2x—1). 728. p = C! + C2e4« —(l/6).(2ch2x4fh2x). 729. у =
= (1/16) (4x—л) sin 2x. 730. p = C1e2x4C2e-5j;4-(l/144)(l — 12x) e~2x.
731. у = Cie“«4C2ef>x 4x (ae«x—be^x) (<x—^).732.y=C1ex + C2e-x)—(l 2)x —
— (1/10) xcos 2x4(2 25) sin 2x. 733. y^C^ + C.e^-i.x3,34x242x) e^.
734. t/ = xchx. 735. t/ = Cie2*4C2e-S*'4(l,4) xsh2x. 736. у ==
402
—. ef cos <pjq. cos v sln (fl-f-c,! S[n (x S|n (p-)]j_cos x 737. y=ex (Ci cos x~l-C2 sin x)—
—0,5xex cos x. 738. y — (1/8) cos x— (1/8) cos 3x — (1/6) x sin Зх-f- (л/12) sin 3x.
739. у = e-x (5 cos 2x—sin 2x+6sinx—5cosx). 742. mx-\-ax =
= A shut)/, x=Cx cos p/4-C2 sin p/-~[A/(a—mti)2)]-sin wi, если co 4= f =
= Ya.m, и x — Ci cos p/ + C2 sin f/ — [A//£2pzn)]-cos f/, если co = fl = a/m-
743. y=Ci cos x+C2 sin x-|-( 1/^2 ) cosx In j cos х+)йсо82х—1/2 | +
+ (1/V~2") sinxarcsin (]/"2 sin x). 744. у = С1е~гх-\-С2е~3х-}~
+ (1/2) e“2x In (1 + e2A)—e~3x-[-e~3x arctg ex. 745. у = Сг cos 2x+C2 sin 2x +
+ (1/4) sln 2x In tg 2x. 746. y = Ct cos (x/2) 4- C2 sin (x/2) -f- 2x sin (x/2) +
+ 4 cos (x/2) In cos (x/2). 747. / = (3 //> ) In (17+ 12 ]<2 ) c. 751. y =
= x (Ci cos In x+C2 sin In x). 752. t/ = C1x+C2x3 + (l/9)-(9 In2 x+24 In x+26).
753. y = Ci cos Inx+C2 sin Inx— (1/3) sin 2Inx. 754. t/ = (ln2x+2 lnx+2)/(2x).
755. y== (1/2) x3—[l,'(ln 2)] x2 In x. 757. y = C0 ( 1-^+^-^+-.. ) ~
= Coe x 1 - (решение существует на всем числовой оси). 758. у = —V ( )— =
4-п!
П=2
1 1 X
= -^е~3х—fb'J (Решение существует на всей числовой оси). 759. у*=*
_r V С-1*”
2-4.6... 2п
/1=0
числовой оси). 760.
„ (—1)” x2n + 1
^С12- 1-3-5... (2«+ 0~ (Решение существует на всей
п = 0
х2’ x2n + 1
У=С«2и 1.3...(2»-i)+C*2* 2-4.'.ТЭГ (Решение
п=0 п=1
„ (__1)ПХ1П+1
существует иа всей числовой оси). 761. У = £^ '4-5-8-Э ... 4п (4п+Т) (Реше*
л= 0
х 3v2 IZr3
ние существует на всей числовой оси). 764. у= 1+——[- ...
х3 , 12х5 , „„„ , , х . х3 , 4х4 ,
765. г/=_+^г+... 766. 1 +-+-+—+.... 767. у =
==4(1~-П'+1Г“Г+1Г— ••)+2(*-1) = 4«-х+2(*-1). 768. у=1 +
, Зх2 . Зх3 . 34х* . 1 „ 1 . . 5 , 1 .
+ х+ 21 3' 41 ”Ь“'" 769. у х g х g- х + 24 24* "**
(последовательные производные при х = 0 связаны рекуррентным соотношением
уГ2>^^+2пуГи)- 772. /1(х) = |(1-^+^^-...). 773. у =
"гЙ[С*’’'!(1-Й+2ТО7—)+С-'”Й('+Й-2Тт+-)]-
/х\2/3^ (—1)*-Х2й , п ( х\~2/3 (— l^-X2*
774.y=Ci.| у 1 •> --------Г-+----г+С2.(у) *> ---7-у------с.
^0*1 Г (у+*+1 J К ' 4 = 0*1 Г^у+А+1 j
778. х=2е«—у=2е3Щ-е*. 779. х^С^С^— (3/49) t (7/+2), у = — (2/3)С1+
+ (1/2) C2e7t+(l/49) (14Р—3/—1). 780. х=С1е<+С2е-*+(1/8) ей, у=~С^+
+ Сге~1-[-(5/8) 781.y=C1cosx+C2slnx+shx,z = Ci sinx—C2cosx+shx.
782. х = (1/4) (Зе<+ 5e“t) + (1/2) /е<— 1, у= (5/4) (е<—e-t) + (l/2) tet—t. 783. х =
= (1/3) /+2, у=(2/3) Н-4.784. x=(Ci+C20 е<+(1/2) cos t, у=[С2 (l-/)-^] X
Хе*—2cos/—(1/2)sin/. 785. x=Cie2*+C2e-« y = 3Cie2*—C2e~3*. 786. x =
= //3+C2//2, y=Ciet-//3-2C2//3. 787. x=-[(l+C1)/+C2]-i, y =
= “Cil(l+Ci)/ + Ca]-1. 788. х = С1е-«+е2*-(3/7)е«, у = Сге~*~(4/5) X
403
X Cie-e* + (9/14)e*. 789. х=е/т-Г2/2 [Cicos(/m}/'2/2) + C2sin(/m]/'2/2)] +
+ e-'mrr/2[c3COS(/mK2/2)4-C4sin(/m f2/2)]L y = eimV212 X
X [Cj sm(tmYJl2)— C2cos(/m Vr2/2)] [f4cos(/m ]/T/2) —
— C3sin(/m K2/2)]. 790. x2 = Ci (2/4-C1)/(l + Ci+C|), y2 =
= Ci(2Z4-C1)/(l+C22-|-C|), Z2--Ch2/ + Cn/(1+Cl+C§). 796. X1 = Cieat+
+ C2e~at, x2 = C2e~ai — Cieat. 797. Xj = 2Cie3f — 4С2е-« x2 = C1e3t + C2e-3J.
798. Xl = Cxe-t + C2e"t + Cse-2t, x^Ctf-t + C2e2t—С3е~<“, x3= — C1e-‘4-2C2e2«.
799. x1 = Cie'4-C2e2t + C3e-*, 'х2^С^ — ЗС3е~*, x3 = Ciet+ C2e2t—5С3е~*.
800. Xi = e12* (C4 cos 5t + C2 sin 5t), x2 = e12f (—Ci sin 5/+ C2 cos 5/). 801. Xj =
= 2Ci cos t + 2C2 sin t, x2 = (C4— C2) cos f 4-(Сг-)-С2) sin L 802. Xi = 2Cie * +
+ 2 (4C3 + C2) cos t — 2 (4C2 — C3) sin t, x2 = — 2Сге~* + 3 (5C2 + 3C3) cos t +
+ 3(5C3 — 3C2) sin t, x3 = -|- (7C2 11C3) cos /-|~ (7C3 llC2)sin/. 803. x =
= e°* (C1/4-C,), y=eat(C1t+C2 — Ci). 804. x= —2e* (Q sin 2t—C2 cos
y = et(C1cos2t + C2sin2t). 805. x = ef (CV + Cy, у=е*(С1—2С2—2С1Г).
2Z),
Глава V
811. P(A) = 0 (событие невозможно). 812. 1/4. 813. 1) 1; 2) 1/5; 3) 3/5.
814. 499/1998. 815. 1/406. 819. (r/R)2. 820. (3 Кз)/(4л) ® 0,41. 821. 0,5.
830. 1) а/(а + * + с); 2) b/(a-\-b-}-c); 3) c/(a + * + c); 4) (a + M/(a + & + c);
5) (a-1~c)/(a + 64-c); 6) (& + c)/(Q + ^ + c)- 831. bd (a-^b)-1 (c-j-d)-1.,832. P1 + P2—
—2plp2. 833. 1—3a. 834. 1/3. 835. и 0,88. 836. 1) 22/145; 2) 51/145;
3) 72/145. 837. 0,7. 838. 0,375. 843. 7/64. 844. 21/32. 845. 4/9. 846. 27/128.
850. 15. 852. Нет, задача всегда имеет решение, так как (т0 + ?)/р—
— (т0—Р)/Р = (p-}-q)/P = 1/р > 1. 853. Первый—114 изделий, второй—112 из-
делнй. 854 . 60. 859. 1/3. 866. xi 0 1 2 3
Pi 0,343 0,441 0,189 0,027
867.
7
Xi 3 4 5 | 6
Pi 1/6 1/6 1/3 J 1/6
---. 868. 1) а=1/л; 2) Р (а/2<Х<а)=1/3.
1/6
869. Р (л < X < оо) = 1/4. 870. а = 5;
( 0 при
871. F (х)= i 5/6 при
t 1 при
х < 0,
0<х< 1, 874.
х > 1.
( о
F (х) = 0,5(1—cosx)
Xi 0 1 2
при
при
при
3 I
х< 0,
0 < х < л,
X > л.
4 5
Pi
0,010 0,077 0,230 0,346 0,259 0,078
М (Х) = 3,00; D(X) = 1,20. 875^ 1=1/4; /И(Х)=16/15; ох= ]/44/225 =0,44.
878. М = 20. 879. а = 0,75; М = ц = 3. 882. Р (3 < X < 5) = (5-3)-(1/6) = 1/3.
883. 2/5. 886. 0,000055. 887. М (Х) = т/п = Р- D(X) = Pq/n. 898. /И(Х) = 0,4,
D(X) = 0,16, о(Х) = 0,4. 899. Р (0,15 < X < 0,6) = 0,3349. 900. /И(Х) = 4.
901. Р(0,3 < Т < оо) = е-1’5 и 0.2231. 902. a) F (24) = 0,3812; б) R (24) = 0,6188.
903. R (1000) = е~2 и 0,1359. 906. 4,4%; полученный результат не зависит от
числового значения т. 907. 0,34; 0,14; 0,02 . 909. 0,424. 910. 0,9876. 911. 0,7328.
915. 0,018. 916. 0,156. 919. ai = 4; a2 = 20; a3= 116,8; a4 = 752; ц4 = 0; p2 = 4;
ix3 = 4,8; li4 = 35,2; S* = 0,6; Ex = —0,8. 920. a4=l; a2 = 7/6; a3 = 3/2;
a4 = 31/15; pi = 0; p2=l/6; p3 = 0; p4= 1/15; 5^ = 0; Ex = —0,6. 921. 1=1/2;
p __3 926 P (I m_____—I < 0 01 ) > — 927 p( I m -I < — ) > —
Ex-6. 92b. P 10000 6 I < U,U1 H27. 50 2|< Sj^S’
928. 3/4 . 931. 0,954 . 932. 61. 940. 1) 1= 1/20 ; 2) mx=22, my = 41; 3) o| = 56,
4 = 259; 4) rXJ/ = 0,56. 941. 1) a = 24; 2) «^. = «^ = 2/5; 3) 4 = 4=1/25;
404
4) ,, = —2/3. 942. 1) a=J^2/n; 2) mx = my = O; 3) о2 = <$= 1/(3/2л) ;
4) rxy = 0. 945. rxy = 0,664; yx = 3,64x-0,|5; xv = 0,12y+ 1,24 . 946. rw = 0,321;
</л = 1,21х—2,45; Ху = 0,0851/+10,58. 953. x= 10,005; D (X) = 0,010475;
<j(X) = 0,1023. 954. t/=10,64; О(Г) = 34,97. 958. ^ = 6,32; a2 = 44,64;
a3 = 340,16; a4 = 2743,68; щ=0; u2 = 4,6976; ps = —1,3425; p4 = 56,422;
Sk(X)= — 0,132; £ (X) =—0,442. 960. Af(X) = 4,13; D(X)=9,07; f (x) =
/ 0 прн x < —1,09,
= { 0,096 при —1,09^x0,35, 962. Л1(Х) = 5,06; D(X) = 5,01. 964. M(X)=
( 0 при х > 9,35.
= 8,02, D (Х) = 8,23, <т(Х) ® 2,87, f (х)=1/(2,87 / 2л) е“ с’г“в’02)2/<2'2’”’).
Глава VI
; +. 977. г = хф1 (х) + <р2 (у) + г/ф3 (х) + ф4 (х).
)• г2 = х2 + ф(1/2—х2). 983. Параболоид вра-
976. г = ху+ф (х) + ф (1/).^
981. tg(a/2) = tg(x/2).1p(l^-y
щения г = х2+/. 987. -^т=0, 5 = ^+, т] = у. 988. ^.S.-^=0,
д2г .д2г , 1 /1 дг. 1 дг ? 2
di2 <?п2 "Г 2 I g 'д^ ‘ л’ Л) / ’ ~У’
......... 995. u = —sinx. 999.
ё=х+г/,
г] = Зх+1/. 989.
993. и = х(1 — t). 994Т п = (cos xsin’ai)/a.
= — (0,9/л2) • 2 (l/^2)'Sin (2лй/3)-в1п (£nx/3)-cos (knat/3).
*=1
T] = X2.
и (х, t) =
1000. п = (96£/л5) X
X 2 1/Ц2&+-1)5] cos (2&+ 1) na6sin (2& + 1) лх.
k = 0
1001. и (х, /) =
4W2 V’ 1 sin (л£/2) cos (krth/l) , ,
------- /2Гр/;2------- S ” ' S ” ,0(>5- “ (* 0 =
A= 1
х/^т)-ф(1М< (Ho
Xe-(2n + i)* л*а!///* sjn (2n+1)лх^ |009. u = u0 + («b —ua)-[!n (r/a): In (6/a)].
1011. и (r, 0) = (8/3) sh (In r)-sin 0.
Глава VII
1018. 1) w = i; 2) w = — e”; 3) w = ei. 1019. (1 +0/2, i, (3—2i)/13.
1021. (1/2) In 2+_(2йл—л/4) i, k^Z. 1023. г= ± i In (2 + /T).
1024. i In (1 ± V 2). 1025. l,1752i. 1026. 0,772+1,0181. 1027. 1) eC0Sl X
X [cos (sln 1) + » sin (sln 1)]; 2) cose+1 sine. 1033. Нет. 1034. f' (г)=3г2.
1035. f' (z) = cosa. 1036. ф(у) = а(/+С1, ф(х) = — ax+C2, /(г) = Лг+С,
Л = —ai, C = Ci+C2. 1037. X=—1, f (г) = — iz. 1038. a = 0. 1039. /(г) = 2г+С.
1040. f (г) = — cosz+C. 1047. u = 4 — v2/16, u = v2/4—1. 1048. v = (u2—1)/2.
1049. «=1, v = 0. 1050. и = хсозф — </81пф; v = x sin ф+у cos ф—преобразо-
вание координат при повороте осей. 1051. и = (у/2)2^3 — (о/2)4^3. 1053. а = —л/2,
k = 6. 1054. а = 0, £=1/4. 1055. а = 0, k=e. 1056. | г |= 1/2. 1057. |г—1| = 1/2.
1058. Rez=0. 1059. argz = —л/2. 1067. 1+1. 1068. — (1 + 0/3. 1069. 0.
1070. 0. 1071. 2ni. 1072. 2ni(a-\-b). 1081. Область сходимости 1 < | г | < 2.
405
1082. Ряд расходится во всех точках плоскости. 1083. 1) f(z) = — гг—г3 —
-г*-...; 2)/(г) = г+1+±+А.+ ... . 1084. ^15.+^-+—J-—Ч-... .
1085. ± 1—полюсы первого порядка; ± i—полюсы второго порядка.
1086. f(z) = l — (z— l) + (z— I)3—(г—1)34-...; область сходимости | г— 11< 1.
1 2” 2^
1087. f (г)= 2[—’ РЯД сходится на всей плоскости. 1088. / (г) =
00
^•£2 Ю98. 2г. 1099. 1; —1. 1100. —1. 1101. 1. 1102. 2ла3.
ПОзТы. 1104. 0. 1105. 2л/(3—г). 1106. Зл/8.
Глава VIII
Ш2' /(p)=7W4T- 1113- н«О(р) =
= ^2=62- 1113> =р [(р—а)2 +d2] [(р +1)3+Ь2] * 1116* Т(Р)=>
ь(р*+а*-ь*) г . р(рз-аз+г>з)
“[(р-а)3+*21[(Р+п)3+63Г * [(р —а)2+*2] [(Р + п)2+Я *
1118. /(р)^^^-. 1124. f (t) =1/4-(1/3) cos <+(1/12) cos 2t 1125. НО =
= —(1/3) e‘ +(1/4) е«+(1/12) е-« 1126. f (/) = 1— Zt+e3*. 1127. /(«=1/4 —
— (1/3) ch < + (1/12) ch2/. 1132. 1 —
- cos / +-р^г'Л.!)- • 1133- f (0=pos(/-T)cosTrfT =
0
= -i-(sin<+<cos t). 1134. (1 — 2p)-y{p). 1135. (p3—p2+2p—2)-y”(p)—p—1.
1136, -^-.(p2—1). 1143. y=e2t. 1144. #=shf. 1145. y=0. 1146. y=(l/3)te£—
— (7/9) e‘ —(2/9) 2-2f. 1147. p = —(5/2) e<+4e2£ —(3/2) e3£. 1148. x=(5/2)e2£ —
—(l/2)e-2£,#=(5/2)e2£—(1 /2)г -2t.1149. x=(6/5) ег<—(l/5)e+£, y=(3/5)e5<+(2/5)e-6£.
1150. K(0=l. 1151- = И54. 2e£ —4t—3. 1155. — l/6+(l/2) e£—(1/2) e2£+
+ (1/6) e3£. 1156. (1/8) (2/2—6/+3) (1/24) e~£+(2/3) sin (t КЗ/2+л/б).
1161. u(x, f) = A cos (nnat-l) cos (nnx/l). 1162. u(x, t) = B sin (nnat.l) sin (nnx/l).
1163. гг (x, t) = A Erf (ax/(2 t )
Глава IX
1169. ]0, 1[. ]2, 3[, J6, 7[. 1170. J-4, —3[, JO, 1[, J3, 4Г. 1171. 1,94.
1172. 2,09. 1173. 0,33; 1,30. 1174. —1,15. 1175. 1,11. 1176. 0,42. 1177. 3^62.
1178. —0,56. 1179. 1,27. 1185. §= 1,70997. 1186. £=1.23429. 1189. 2,214.
1190. 1,37973. 1191. —1.4142. 1194. г/ = —(2x3-15x2+25x-9)/3.
1195. у = 0,2 (x3 — 13x2 + 69x — 92). 1196. y = 2x—1.
1199.
x 6,5 6,6 6,7 6,8
6,9 7,0
Igx
0,8129 0,8195 0,8261 0,8325 0,8388
0,8451
1200. 39,0625.
1201. f (x) = x3+x3+x+ 1. 1206. 0,5000. 1207. 1,16912 ; 6S = —0,000004; точное
значение интеграла есть 4(]/r 2 — 1) — 2 1п[(2 У 2+1)/3] ss 1,16912 ... .
406
1208. | 6T | < (/i2/12)-(b—a)-Mi x 0,007 (.Iff—наибольшее значение |f"(x)| на
интервале интегрирования). Поэтому вычисление надо вести с тремя знаками
после запятой (чтобы получить два верных знака): 1 х 1,35. 1209. 0,69.
1210. 0,24. 1211. 0,75. 1212. 0,67. 1218. 183; 552. 1224. Точное значение
7 = 62,572; 1) 7 = 62.673; 6 = 0,12%; 2) 7 = 62,730; 6 = 0,03%; 3) 7 = 66,509;
6=5,99%. 1225. Точное значение 7 = 0,747; 1) 7 = 0,746; 6 = 0,13%;
2) 7 = 0,800; 6 = 7,1%. 1229. X 0 0,1 0,2 0,3
У 1 1,2 1,45 1,78
X 1230 0,1 0,2 0,3 0,4 х 1231 2 2,1 2,2 2,3 2,4
У 0 0,001 0,005 0,014 у 4 5,8 9,44 18,78 54,86 ’
1 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
X 19.49 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1 9
1,& 19.44 X 1 1 1,07 1,17 1,30 1,45 .
У 1 1,1 1,18 1,24 1,27 1,27 I 94
1 , Z4» а 1 1,4 1,8 2,21 2,63 3,06
X 0 0,1 0,2 0,3 0,4
У 1236 —1 —0,975 —0,949 —0,921 —0,888
X 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
У —0,842 —0,802 —0,744 —0,675 —0,593 —0,495
1237. X 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
У 1 1,05 1,12 1,20 1,29 1,39 1,50 1,62 1,75 1,89 2,03 ’
1239. 1,78. 1240. 0,02. 1243. 1/1 = (1/3)х», у2 = (1/3) х3+ (1/63) х7, //8 = (1/3)х3 +
+ (1/63) х7 + (2/2079) xu+(1/59535) xk5. 1244. y = e~sbx. 1245. y„=l— *+2x
[y2 y3 уП 1 у71 +1
(п = 3, 4, 5, ...); двусто-
п
ронняя последовательность. 1246. уа (х) = 'V, ; истинное решение
т=0
п
у (х) = e’in х; последовательность нижних функций. 1247. уп(х) = "mt*"
т= 0
истинное решение у (х) = е’ш >; последовательность нижних функций.
1250. у=0,279х+71,14. 1251. S= 1 1,58е«.2888<. 1253. у= 111,7+1,663* +
+ 0,00437х2. 1254. 5=33,0271.<>в6. 1258. 1) «/=3,023х—1,08; 2) г/=0,992х—0,909;
3) у =—1,802*+2,958. 1259. 1) ^ = —0,145х2 + 3,324х—12,794;2)у=1,009х2—
— 4,043у+5,045; 3) у = ~0,102х2+0,200х+0,806. 1260. S = 5,7/1.87.
1261. 1) S = 92e-°.16<; 2) S=0,49e°.««. 1263. <р (х) = —0,2723х2+0,5003* +
+ 1,3424. 1264. <р(х) = 0,670х3—0,728х2— 0,350х+0,943.
( 1,4907х+0,1708, х g (—л/4, —л/8];
1,0558х, х
1,0558х, х
1,4907*—0,1708, х
— л/8, 0];
0, л/8];
л/8, л/4].
407
( 0,2776x4-2,0096, хЕ [—1; —0,5];
1269. ф(х) = 1270. <р(х) = 0,2584x4-2, х Е [— 0,5; 0]; 0,2426x4-2, х Ё [0; 0,5]; t 0,2296x4-2,0065, х £ [0,5; 1]. —0,4155x4-0,7131, х Е [—1; —0,5]; -0,2552x4-1, х Е [—0,5; 0]; 0,2552x4-1, х 6 [0; 0,5]; 0,8310x4-0,7121, х £ [0,5; 1]. ( 0,1373 (х-[-1)34-0,3799x4-0,8799, х f [—1; —0,5];
1271. Ф(х) = 1272. ф(х) = 0,1160 (х4-0,5)3—0,1373х34-0,5911x4-0,9810, х Е [—0,5; 0];
0,0145 (1 — 2х)34-0,1901х34-0,7399x4-0,9855, х Е [0; 0,5]; „0,1901 (1—х)34- 1,2191x4-0,7809, х Е [0,5; 1]. f —1,1571 (х-Ь 1)34-0,8501(х4- 1), хЕ[—1; —0,5]; 0,0711х3-0,1290х24-0,4932x4-0,6926, — 0,5; 0]; 0,0393х3-0,1290х24-0,5012x4-0,6930, хЕ 0; 0,5]; 0,0467(1—х)34- 1,8443(1—х)4-2,1972(х—0,5), х£[0,5; 1].
Глава X
1275. е— 1. 1276. 2. 1279. Д/ = За4-еа2/(е—1), б/ = 3а. 1280. Д/ = 4а2/3,
6/sfl. 1290. Нет решения. 1291. Нет решения. 1292. у = х. 1293. £<=(1/4) х2—
— х+1. 1294. 1/= ]^84~6х—х2. 1295. у=0. 1296. у= У~2 ^2 sin (х/2).
1297. у=х3. 1298. у — х/4. 1299. Окружность х2-|-(!/—2)2=1. 1301. у(х) = 6.
1302. у=(1—х) sh х. 1303. y=cosx. 1305. у=1/х, z = 2/x3—1.
1306. z/ = 4/(3x3)— 1/3, г=1/х. 1307.1/ = —(х3-|-5х—6)/6, г = х. 1308. i/ = sinx,
<Э2г Л2? <52г д2г
z=sinx. 1310. -5-S-— д-2=0. 1311. -д-т+-д-»-=ф (х, у). 1313. у=2х.
дх2 ду2 ду2 ду2 т' 1 я
1314. i/=2sinx. 1316. z/=(3/2)x реализует слабый минимум. 1317. i/=sin2x—1
реализует сильный максимум. 1318. у = х3 реализует сильный минимум.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Значения гамм а-ф у н к ц и и Г (р) (при 1 Таблица 1 <Р<2)
р Г(р) р Г(р) р Г (р) р Г(Р)
1,00 1,0000 1,25 0,9064 1,50 0,8862 1,75 0,9191
1,01 0,9943 1,26 9044 1,51 8866 1,76 9214
1,02 9888 1,27 9025 1,52 8870 1,77 9238
1,03 9835 1,28 9007 1,53 8876 1,78 9262
1,04 9784 1,29 8990 1,54 8882 1,79 9288
1,05 9735 1,30 8975 1,55 8889 1,80 9314
1,06 9687 1,31 8960 1,56 8896 1,81 9341
1,07 9642 1,32 8946 1,57 8905 1,82 9368
1,08 9597 1,33 8934 1,58 8914 1,83 9397
1,09 9555 1,34 8922 1,59 8924 1,84 9426
1,10 9514 1,35 8912 1,60 8935 1,85 9456
1,11 9474 1,36 8902 1,61 8947 1,86 9487
1,12 9436 1,37 8893 1,62 8959 1,87 9518
1,13 9399 1,38 8885 1,63 8972 1,88 9551
1,14 9364 1,39 8879 1,64 8986 1,89 9584
1,15 9330 1,40 8873 1,65 9001 1,90 9618
1,16 9298 1,41 8868 1,66 9017 1,91 9652
1,17 9267 1,42 8864 1,67 9033 1,92 9688
1,18 9237 1,43 8860 1,68 9050 1,93 9724
1,19 9209 1,44 8858 1,69 9068 1,94 9761
1,20 9182 1,45 8857 1,70 9086 1,95 9799
1,21 9156 1,46 8856 1,71 9106 1,96 9837
1,22 9131 1,47 8856 1,72 9126 1,97 9877
1,23 9108 1,48 8857 1,73 9147 1,98 9917
1,24 9085 1,49 8859 1,74 9168 1,99 9958
2,00 1,0000
409
Таблица П
Значения функции е~х
х е~х х е~х X е~х X е~х X е~х
0,00 1,0000 01 0,9900 02 9802 03 9704 04 9608 05 9512 • 0,31 0,7334 32 7261 33 7189 j 34 7118 1 35 7047 | 0,61 0,5433 ’ 62 5379 1 63 5326 64 5273 65 5221 0,91 0,4025 92 3985 । 93 3946 1 94 3 906 ' 95 3867 1,21 0,2982 22 2952 23 2923 24 2894 25 2865
0,06 0,9418 07 9324 08 9231 09 9139 10 9048 ! 0,36 0,6977 37 6907 38 6839 39 6777 40 6703 0,66 0,5166 67 5117 68 5066 69 5016 70 4966 0,96 0,3829 97 3791 98 3753 99 3716 1,00 3679 1,26 0,2836 27 2808 28 2780 29 2753 30 2725
0,11 0,8958 12 8860 13 8781 14 8694 15 8607 0,41 0,6636 42 6571 43 6505 44 6440 45 6376 0,71 0,4916 72 4868 73 4819 74 4771 75 4724 1,01 0,3642 02 3606 03 3570 04 3534 05 3499 1,31 0,2692 32 2671 33 2645 34 2618 35 2592
0,16 0,8521 17 8437 18 8353 19 8270 20 8187 0,46 0,6313 47 6250 48 6188 49 6126 50 6065 0,76 0,4677 77 4630 78 4584 79 4538 80 4493 1,06 0,3465 07 3430 08 3396 09 3362 10 3329 1,36 0,2567 37 2541 38 2516 39 2491 40 2466
0,21 0,8106 22 8025 23 7945 24 7866 25 7781 0,51 0,6005 52 5945 53 5886 54 5827 55 5769 0,81 0,4449 82 4404 83 4361 84 4317 85 4274 1,11 0,3296 12 3263 13 3230 14 3198 15 3166 1,41 0,2441 42 2417 43 2393 44 2369 45 2346
0,26 0,7711 27 7634 28 7558 29 7483 30 7408 0,56 0,5712 57 5655 58 5599 59 5543 60 5486 0,86 0,4232 87 4189 88 4148 89 4107 90 4066 1,16 0,3135 17 3104 18 3073 19 3042 20 3012 1,46 0,2322 47 2299 48 2276 49 2254 1,50 0,2231
410
Таблица III
Значения функций
Ф (x)=erf (х)
х
2 Г
jGt J
о
e-^dt и Ф(х)
х
= -L= {e-Wdt
У 2л J
о
X Ф(х) Ф(х) X Ф(х) Ф(х) X Ф (X) Ф(Х) X Ф(Х) Ф(Х)
0,00 0,0000 0,0000 0,60 0,6039 0,2257 1,20 0,9103 0,3849 1,80 0,9891 0,4641
02 0226 0080 62 6194 2324 22 9155 3888 82 9899 4656
04 0451 0160 64 6346 2389 24 9205 3925 84 9907 4671
06 0676 0239 66 6494 2454 26 9252 3962 86 9915 4686
08 0901 0319 68 6638 2517 28 9297 3997 88 9922 4699
0,10 1125 0398 0,70 6778 2580 1,30 9340 4032 1,90 9928 4713
12 1348 0478 72 6914 2642 32 9381 4066 92 9934 4726
14 1569 0557 74 7047 2703 34 9419 4099 94 9939 4738
16 1790 0636 76 7175 2764 36 9456 4131 96 9944 4750
18 2009 0714 78 7300 2823 38 9490 4162 98 9949 4761
0,20 2227 0793 0,80 7421 2881 1,40 9523 4192 2,00 9953 4772
22 2443 0871 82 7538 2939 42 9554 4222 05 9963 4798
24 2657 0948 84 7651 2995 44 9583 4251 10 9970 4821
26 2869 1026 86 7761 3051 46 9610 4279 15 9976 4842
28 3079 1103 88 7867 3106 48 9636 4306 20 9981 4860
0,30 3286 11791 0,90 7969 3159 1,50 9661 4332 2,25 9985 4877
32 3491 1255 92 8068 3212 52 9684 4357 30 9988 4892
34 3694 1331 94 8163 3264 54 9706 4382 35 9991 4906
36 3893 1406 96 8254 3315 56 9726 4406 40 9993 4918
38 4090 1480 98 8342 3365 58 9745 4429 45 9995 4928
0,40 4284 1554 1,00 8427 3413 1,60 9763 4452 2,50 9996 4938
42 4475 1628 02 8508 3461 62 9780 4474 60 9998 4953
44 4662 17001 04 8586 3508 64 9796 4495 70 9999 4965
46 4847 1772 06 8661 3554 66 9811 4515 80 9999 4974
48 5027 1844 08 8733 3599 j 68 9825 4535 2,90 0,9999 4981
0,50 5205 1915 1,10 8802 36431 1,70 9838 4554 3,00 1,0000 4986
52 5379 1985 12 8868 36861 72 9850 4573 20 1,0000 4993
54 5549 2054 14 8931 3729 74 9861 4591 40 1,0000 4996
56 5716 2123 16 8991 37701 76 9872 4608 60 1,0000 4998
0,58 0,5879 0,2190 1,18 0,9048 0,3810 1,78 0,9882 0,4625 3,80 1,0000 0,4999
Таблица IV
Значения функции г„= ,_е-и*/2
/2л
и 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973
0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918
0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825
0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697
0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352
0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144
0,7 3123 3101 3079 3056 3034 ЗОН 2989 2966 2943 2920
0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685
0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444
1,0 2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203
1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965
1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736
1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518
1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315
1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127
1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957
1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804
1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669
1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551
2,0 0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449
2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0395 0387 0379 0371 0363
2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290
2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229
2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139
2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 оно 0107
2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081
2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061
2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046
3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
412
Таблица V
Значения вероятностен для критерия у2
г 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0,3173 0,6065 0,8013 0,9098 0,9626 0,9856 0,9948 0,9982
2 1574 3679 5724 7358 8491 9197 9598 9810
3 0833 2231 3916 5578 7000 8088 8850 9344
4 0455 1353 2615 4060 5494 6767 7798 8571
5 0254 0821 1718 2873 4159 5438 6600 7576
6 0143 0498 1116 1991 3062 4232 5398 6472
7 0081 0302 0719 1359 2206 3208 4289 5366
8 0047 0183 0460 0916 1562 2381 3326 4335
9 0027 0111 0293 0611 1091 1736 2527 3423
10 0016 0067 0186 0404 0752 1247 1886 2650
11 0009 0041 0117 0266 0514 0884 1386 2017
12 0005 0025 0074 0174 0348 0620 1006 1512
13 0003 0015 0046 0113 0234 0430 0721 1119
14 0002 0009 0029 0073 0156 0296 0512 0818
15 0001 0006 0018 0047 0104 0203 0360 0591
16 0001 0003 ООП 0030 0068 0138 0251 0424
17 0000 0002 0007 0019 0045 0093 0174 0301
18 0001 0004 0012 0029 0062 0120 0212
19 0001 0003 0008 0019 0042 0082 0149
20 0000 0002 0005 0013 0028 0056 0103
21 0001 0003 0008 0018 0038 0071
22 0001 0002 0005 0012 0025 0049
23 0000 0001 0003 0008 0017 0034
24 0001 0002 0005 ООН 0023
25 0001 0001 0003 0008 0016
26 0000 0001 0002 0005 0010
27 0001 0001 0003 0007
28 0000 0001 0002 0005
29 0001 0001 0003
30 0000 0001 0002
413
Продслжение табл. V
г X2 9 10 и 12 13 14 15 16
1 0,9994 0,9998 0,9899 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
2 9915 9963 9985 9994 9998 9999 1,0000 1,0000
3 9643 9814 9907 9955 9979 9991 0,9896 0,9998
4 9114 9473 9699 9834 9912 9955 9977 9989
5 8343 8913 9312 9580 9752 9858 9921 9958
6 7399 8153 8734 9161 9462 9665 9797 9881
7 6371 7254 7991 8576 9022 9347 9576 9733
8 5341 6288 7133 7851 8436 8893 9238 9489
9 4373 5321 6219 7029 7729 8311 8775 9134
10 3505 4405 5304 6160 6939 7622 8197 8666
11 2757 3575 4433 5289 6108 6860 7526 8095
12 2133 2851 3626 4457 5276 6063 6790 7440
13 1626 2237 2933 3690 4478 5265 6023 6728
14 1223 1730 2330 3007 3738 4497 5255 5987
15 0909 •1321 1825 2414 3074 3782 4514 5246
16 0669 0996 1411 1912 2491 3134 3821 4530
17 0487 0744 1079 1496 1993 2562 3189 3856
18 0352 0550 0816 1157 1575 2068 2627 3239
19 0252 0403 0611 0885 1231 1649 2137 2687
20 0179 0293 0453 0671 0952 1301 1719 2202
21 0126 0211 0334 0504 0729 1016 1368 1785
22 0089 0151 0244 0375 0554 0786 1078 1432
23 0062 0107 0177 0277 0417 0603 0841 1137
24 0043 0076 0127 0203 0311 0458 0651 0895
25 0030 0053 0091 0148 0231 0346 0499 0698
26 0020 0037 0065 0107 0170 0259 0380 0540
27 0014 0026 0046 0077 0154 0193 0287 0415
28 0010 0018 0032 0055 0090 0142 0216 0316
29 0006 0012 0023 0039 0065 0104 0161 0239
30 0004 0009 0016 0028 0047 0076 0119 0180
Таблица VI
Значения функции Р(л) = 1—2 (—1)7е—2РЬ’
/=—®
X Р(М X Р(Х) Л Р (М к
0,00 1,0000 0,45 0,9874 0,90 0,3927 1,70 0,0062
0,05 1,0000 0,50 9639 0,95 3275 1,80 0032
0,10 1,0000 0,55 9228 1,00 2700 1,90 0015
0,15 1,0000 0,60 8643 1.Ю 1777 2,00 0007
0,20 1,0000 0,65 7920 1,20 1122 2,10 0003
0,25 1,0000 0,70 7112 1,30 0681 2,20 0001
0,30 1,0000 0,75 6272 1,40 0397 2,30 0,0001
0,35 0,9997 0,80 5441 1,50 0222 2,40 0,0000
0.40 0,9972 0,85 3 н а ч е I 4653 i и я с л у 1,60 чайных 0120 чисел 2,50 Табл 0,0000 и ц а VII
8574 9005 1894 3523 3393 5407 9659 5868
4575 4518 7032 7293 9108 0469 7435 2574
4999 3186 1426 1027 7891 7805 8928 6291
7627 7982 4865 2229 9085 7294 7239 7866
4315 1114 2339 1882 2638 5480 6189 3150
6987 9333 4247 2059 1313 1017 9391 7082
0387 1998 2910 5626 3897 0858 0575 4977
5581 1837 4731 8516 4380 8396 2414 0248
6531 4216 64 Э4 6476 1618 7813 4959 0228
5735 3384 5146 5685 4858 2712 7675 7509
6092 1047 8196 0206 5354 7141 7078 0361
1791 1900 0649 0517 0905 2418 2220 9142
9746 1508 8704 6493 1420 5230 7110 1995
0118 4493 2560 1798 3218 3517 9851 3834
0986 3203 3476 8965 9697 0319 6272 5697
8057 1656 1515 4534 0912 7526 0460 9908
5161 6171 9125 5460 4636 5172 9737 3621
2S61 3698 1913 9197 2515 2023 3619 7302
1494 0692 2594 6917 5964 3632 0602 6722
8153 2484 0961 1558 7848 0761 3853 8582
0703 9602 0190 1810 5192 7016 8483 7998
6928 6521 8548 2737 8438 8805 6029 9199
6961 3678 1935 8762 8166 2064 8760 6554
2030 1683 7322 6906 6158 4213 2720 0777
3503 2614 2532 4940 6061 0806 1913 3769
415
ЛИТЕРАТУРА
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгеб-
ры. М.: 1980, 1984, 1987.
2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Элементы линейной
алгебры и аналитической геометрии. — М.: 1980, 1984.
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальное
и интегральное исчисление. — М.: 1980, 1984.
4. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.
— М.: 1981, 1985.
5. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Задачник. — М.: 1982,
1987.
6. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: 1988, 1989,
т. I — Ш.
7. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. — М.: 1978, 1987.
8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вту-
зов. — М.: 1970, 1985, т. 1, 2.
9. Сборник задач по математике для втузов /Под ред. А. В. Ефимова
и Б. П. Демидовича. — М.: 1986, 1987, ч. I—IV.
10. Шипачев В. С. Сборник задач по высшей математике. — М.: 1993, 1994.