П.Е.ДАНКО А.Г.ПОПОВ
Т.Я. КОЖЕВНИКОВА
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
в упражнениях
и задачах
В ДВУХ ЧАСТЯХ
ЧАСТЬ 1
Издание пятое, исправленное
Ч'Р А г _
ГАЯ
Москва
«Высшая школа»
1999
rutracker.org

УДК 516+517
ББК22. 11
Д 17
Дянко П.Б., Попов А.Г., Коженоком Т.Я.
Д 17 Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. I:
Учеб. пособие для втузов. —5-е изд., испр. —М.: Высш. шк.,
1999. — 304 с.: ил.
ISBN 5-06-003070-9
Содержание I части охватывает следующие разделы программы:
аналитическую геометрию, основы линейной алгебры, дифференциальное
исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление
функций одной переменной, элементы линейного программирования.
В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения.
Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество
задач для самостоятельной работы.
Учебное издание
Дянко Павел Ефимович, Попов Александр Георгиевич,
Кажеашпижа Татьяна Яковлевна
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В УПРАЖНЕНИЯХ
И ЗАДАЧАХ
Часть I
Редактор ЛЛ/. Суходский
Художественный редактор ТА. Коненкова
Технический редактор ЛА. Овчинникова
J1P N& 010146 от 25.12.96. Изд. Nb ФМ-105 а. Сдано в набор и подп. в печать 16.11.98.
Формат 60x88Vi6. Бум. газетн. Гарнитура «Литературная». Печать офсетная.
Объем 18,62 уел. печ. л. 18,87 уел. кр.-отт. 20,8 уч.-изд. л.
Тираж 12000 экз. Заказ №215
Издательство «Высшая школа», 1014Э0, Москва, ГСП-4,'Неглинная ул., 29/14.
Набрано на персональном компьютере издательства.
Отпечатано с диапозитивов в ОАО «Оригинал»,
101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7.
ISBN 5-06-003070-9 (ч. I)
ISBN 5-06-003072-5
© Издательство «Высшая школа», 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . .			5
Глава /. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 1. Прямоугольные н полярные координаты ..««.***«.«»	6
§ 2. Прямая.			15
§ 3. Кривые второго порядка		25
§ 4. Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второ¬
го порядка		 			32
§ 5. Определители второго и третьего порядков и системы линейных
уравнений с двумя и тремя неизвестными	г	•	•	*	39
Глава II. Элементы векторной алгебры
§ 1. Прямоугольные координаты в пространстве 			44
§ 2. Векторы и простейшие действия над ними		45
§ 3. Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение . .	48
Глава III. Аналитически геометрия в пространстве
§ 1. Плоскость и прямая		53
§ 2. Поверхности второго порядка. ♦ 			63
Глава IV. Определители и матрицы
§ 1. Понятие об определителе л-го порядка		70
§ 2. Линейиые преобразования и матрицы		74
§ 3. Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых и по¬
верхностей второго порядка		81
§ 4. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы		86
§ 5. Исследование системы т линейных уравнений с п неизвестными	.	88
§ 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса		91
§ 7. Применение метода Жордана—Гаусса к решению систем	линей¬
ных уравнений . 					94
Глава V. Основы ливейиой алгебры
§ 1. Линейные пространства		103
§ 2. Преобразование координат при переходе к новому базису	...	109
§ 3. Подпространства		111
§ 4. Линейные преобразования		115
§ 5. Евклидово пространство			124
§ 6. Ортогональный базис и ортогональные преобразования		128
§ 7. Квадратичные формы .	*		131
Глава VI. Ваедение в анализ
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности		136
§ 2. Функция одной независимой переменной		137
§ 3. Построение графиков функций		140
§ 4. Пределы. •		142
§ 5. Сравнение бесконечно малых	,		147
§ 6. Непрерывность функции « * * «« i				149

Глава VII. Дифференциальное исчисление функций одной независимой пе¬
ременной
§ 1. Производная и дифференциал		 .	151
§ 2. Исследование функции		167
§ 3. Кривизна плоской линии			183
§ 4. Порядок касания плоских кривых		185
§ 5. Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная ...	185
§ 6. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривиз¬
на и кручение  	  , • • *	188
Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций нескольких независи¬
мых переменных
§ 1. Область определения функции. Линии и поверхности уровня *	•	192
§ 2. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных	*	193
§ 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности	203
§ 4. Экстремум функции двух независимых переменных .......	204
Глава IX. Неопределенный интеграл
§ 1. Непосредственное интегрирование. Замена переменной н интегри¬
рование по частям		208
§ 2. Интегрирование рациональных дробей			218
§ 3. Интегрирование простейших иррациональных функций		229
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций 		234
§ 5. Интегрирование разных функций , . , .  	  * , . .	242
Глава X. Определенный интеграл
§ 1. Вычисление определенного интеграла		243
§ 2. Несобственные интегралы		247
§ 3. Вычисление площади плоской фигуры		251
§ 4. Вычисление длины дуги плоской кривой		254
§ 5. Вычисление объема тела		255
§ 6. Вычисление площади поверхности вращения		257
§ 7. Статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур	.	258
§ 8. Нахождение координат центра тяжести., Теоремы Гульдена . .	.	260
§ 9. Вычисление работы и давления . . . 			262
§ 10. Некоторые сведения о гиперболических функциях			266
Глава XL Элементы линейного программирования
§ 1. Линейные неравенства и область решений системы линейных не¬
равенств 	•		271
§ 2. Основная задача линейного программирования		274
§ 3. Симплекс-метод		276
§ 4. Двойственные задачи		287
§ 5. Транспортная задача		288
Ответы			294

ПРЕДИСЛОВИЕ
При написании книги «Высшая математика в упражнениях и задачах» авторы
стремились раскрыть содержание основных понятий и теорем курса на специально
подобранных упражнениях и задачах.
В пособие включены типовые задачи и даются методы их решения. Каждому
параграфу предшествует краткое введение, состоящее из определений и основных
математических понятий данного раздела. При этом наиболее трудные вопросы
теории для лучшего усвоения сопровождаются раскрытием этих понятий (без до¬
казательств).
Первое издание (в трех частях) вышло в 1967—1971 гг. Второе издание (в двух
частях) вышло в 1974 г., а третье и четвертое издания (также в двух частях) вышло
в 1974 г., а третье и четвертое издания (также в двух частях)— соответственно
в 1980 г. и 1986 г.
При написании пособия авторы использовали некоторые методические приемы
и задачи из книг: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления, т. I — III; Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисле¬
ния, т. I, II; Гюнтер Н. М. и Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике, т.
I	— III; Демидович Б. П. и др. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу; Фролов С. В. и Шостак Р. Я. Курс высшей математики.
В настоящее время перечисленные книги стали библиографической редкостью.
Поэтому в дополнение к данной книге рекомендуем студентам пользоваться со¬
временной учебной литературой по высшей математике, список которой приведен
в конце 11 части.
В книге используются следующие обозначения: начало и конец решения задачи
отмечаются соответственно знаками Д и ▲, а вместо слова "Указание” употребляется
знак 0.
В пятом издании произведены некоторые улучшения методического характера,
а также исправлены замеченные опечатки.
Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю признательность
студейтам и преподавателям высших учебных заведений, рецензентам всех изданий
книги, чьи поправки, критические замечания и предложения способствовали улучше¬
нию данного пособия.
Авторы

ГЛАВА I
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ И ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
1.	Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении. Точку М
координатной оси Ох, имеющую абсциссу х, принято обозначать через М (*).
Расстояние d между точками Мi (*i) и М2 {х2) оси при любом расположении
точек на осн определяется формулой
d = \xi—x1\.	(1)
Пусть на произвольной прямой задан отрезок АВ (А—начало отрезка, В —
его конец); тогда всякая третья точка С этой прямой делит отрезок А В в неко¬
тором отношении К где %= ± | АС |:| СВ |. Если отрезки АС и СВ направлены
в одну сторону, то X приписывают знак « + »; если же отрезки АС и СВ направ¬
лены в противоположные стороны, то X приписывают знак «—». Иными словами,
К положительно, если точка С лежит между точками А н В и отрицательно,
если точка С лежит на прямой вне отрезка А В.	_
Если точки А и В лежат на оси Ох, то координата точки С(дг), делящей
отрезок между точками A (xj н В (х2) в отношении X, определяется по формуле
-=x1 + hc1
1+Я, '	W
В частности, при	получается формула для координаты середины отрезка:
(3)
1.	Построить на прямой точки А (3), В (—2), С(0), D (У 2),
£(-3,5).
2.	Отрезок АВ четырьмя точками разделен на пять равных
частей. Определить координату ближайшей к А точки деления,
если Л (—3), В(7).
Д Пусть С (ж) —искомая точка; тогда Я=| АС |:| СВ | = 1/4. Следовательно,
по формуле (2) находим
-_х1 + Кхг	-3 + 0/4)7 _
*—Г+Г~—"Г+ТГ/4	'• т- е- С(_,)- +
3. Известны точки Л (1), В( 5) — концы отрезка А В; вне этого
отрезка расположена точка С, причем ее расстояние от точки А
в три раза больше расстояния от точки В. Определить координату
точки С.
Д Нетрудно видеть, что Х = —| AC |:| SC | =—3 (рекомендуем сделать чер¬
теж). Таким образом,
_	1-3-5
1—3
4.	Определить расстояние между точками: 1) М (3) и N (—5);
2)	Р (—11/2) и Q (-5/2).

5.	Найти координаты середины отрезка, если известны его концы:
1) А (—6) и В (7); 2) С (—5) и D( 1/2).
в. Найти точку М, симметричную точке N (—3) относительно
точки Р (2).
7.	Отрезок АВ двумя точками разделен на три равные части.
Определить координаты точек деления, если А (—1), В (5).
8.	Даны точки А(—7), В (—3). Вне отрезка А В расположены
точки С и D, причем \CA\ = \BD\ = 0,b\AB\. Определить коорди¬
наты точек С н D.
2.	Прямоугольные координаты на плоскости. Простейшие задачи. Если на
плоскости задана прямоугольная декартова система координат хОу, то точку М
этой плоскости, имеющую координаты х и у, обозначают М (х; у).
Расстояние d между точками Мг у{) и М2 (де*; уг) определяется по фор¬
муле
*i)*+(y»-|fi)e.	(1)
В частности, расстояние d точки М (х\ у) от начала координат определяется
по формуле
<1-***+?•	(2)
Координаты точки С (х; ту), делящей отрезок между точками А (хг; и
В (*?; У*) в заданном отношении Я (см. п. 1), определяются по формулам
-_у!+\уг
Т+Г" ’ у—Г+ЗГ •	^
В частности, при Я=1 получаются формулы для координат середины отрезка:
-_У1+У*
Г=-~Г~' У ~Т~ ■	(4)
Площадь треугольника с вершинами A(xi\ уг), В (лг2;	у2), С (дга; уа) опреде-
ляется по формуле
xttei—*/*)+** (Уа—Уг) +*9<т—Уг)
=Y I (*»—*i) (Уз—</i) —(*з—*1) (У1-У1) |.	(5)
Формулу для площади треугольника можно записать в виде
2
2
где
1 1 1
Д = Хг х2
Ух Уг Уг
(понятие об определителе третьего порядка дано в § 5 этой главы).
9.	Построить на координатной плоскости точки А (4; 3), В (—2;5),
С (5; -2), D(—4; -3), £(-6; 0), F(0; 4).
10.	Определить расстояние между точками А (3; 8) и В (—5; 14).
Д Воспользовавшись формулой (1), получим
d=V(—5—3)*+(14—8)» = /64 + 36 = 10. А
5=41Д1'	(6)

11.	Показать, что треугольник с вершинами А (—3; —3), В (—1; 3),
С (11; —1) — прямоугольный.
Д Найдем длины сторон треугольника:
\АВ I .= v (—1 +3)2 + (3 + 3)2 = У 40,
I вс | = ^(11 + 1)2+(—1—3)4 = 160,
| АС | = У~ (Ц+3)2+(—1+3)2=]/'200.
Так как |ЛВ|2 = 40, |АС|2 = 160, | ДС|г = 200, то | АВ |* + | ВС|а = | ЛС|*.
Таким образом, сумма квадратов длин двух сторон треугольника равна квадрату
длины третьей стороны. Отсюда заключаем, что треугольник ABC прямоуголь¬
ный и сторона АС является его гипотенузой. Д
12.	Известны точки А(—2; 5), В(4; 17) — концы отрезка АВ.
На этом отрезке находится точка С, расстояние которой от Л в два
раза больше расстояния от В. Определить координаты точки С.
Д Так как | АС | = 21 СВ |, то Х = | АС |:| СВ | =2. Здесь	— 2, </i = 5,
*2=4, уг= 17; следовательно,
'х=~^±1'4=2, У=5||2‘7 =13, т. е. С (2; 13). *
13.	Точка С (2; 3) служит серединой отрезка АВ. Определить
координаты точки Л, если В(7; 5).
Д Здесь 7=2, # = 3, *2 = 7, «/2 = 5, откуда 2 = (*!+7)/2,	3 = (*/! +5)/2. Сле¬
довательно, *1 = —3, £/i = l, т. е. А (—3; 1). Д
14.	Даны вершины треугольника ЛВС:Л(а:1;	В(а:2; #2),
С(лу, у3). Определить координаты точки переселения медиан треу¬
гольника.
Д Находим координаты точки D—середины отрезка АВ\ имеем (*i+*2)/2,
Уо — (У1-\~Уг)№- Точка М, в которой пересекаются медианы, делиг отрезок СО
в отношении 2:1, считая от точки С. Следовательно, координаты точки М опре¬
деляются по формулам
- x3 + 2xd ~_у3-\-2у0
1+2 ’ 1+2 ’
т. е.
~	*з + 2 (*i + *2)/2	—	Уз + 2 (^i + y2)/2
3	*	у	3	•
Окончательно получаем
“	*1+*2 + *3	—	У1-\-У2-\~Уз А
3	*	3	’ *
15.	Определить площадь треугольника с вершинами А (—2; —4),
В(2; 8) и С(10; 2).
Д Используя формулу (5), получаем
S=i | (2 + 2) (2 + 4)-(10+2) (8 + 4) | = 1| 24-1441 =60 (кв. ед.). А
16.	Определить расстояние между точками: 1) А (2; 3) и В (—10;
-2); 2) C{V2\-V7) и £>(2^2; 0).
в

17.	Показать, что треугольник с вершинами А (4; 3), 5 (7; 6) и
С (2; 11) — прямоугольный.
18.	Показать, что треугольник с вершинами Л (2; —1), 5(4; 2)
и С (5; 1)—равнобедренный.
19.	Даны вершины треугольника: Л(—1; —1), 5(0; —6) и
С(—10; —2). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.
20.	Даны концы отрезка АВ:А(—3; 7) и 5(5; 11). Этот отрезок
тремя точками разделен на четыре равные части. Определить ко¬
ординаты точек деления.
21.	Найти площадь треугольника с вершинами Л(1; 5), 5(2; 7),
С( 4; 11).
22.	Даны три последовательные вершины параллелограмма:
Л (11; 4), 5(—1; —1), С (5; 7). Определить координаты четвертой
вершины.
23.	Даны две вершины треугольника Л (3; 8) и 5 (10; 2) и точка
пересечения медиан М(1; 1). Найти координаты третьей вершины
треугольника.
24.	Даны вершины треугольника: Л (7; 2), 5(1; 9) и С(—8; —11).
Найти расстояния точки пересечения медиан от вершин треуголь¬
ника.
25.	Точки L (0; 0), М (3; 0) и N (0; 4) являются серединами
сторон треугольника. Вычислить площадь треугольника.
3.	Полярные координаты. В полярной системе координат положение точки М
на плоскости определяется ее расстоянием |ОА4| = р от полюса 0(р—полярный
радиус-вектор точки) н углом 0, образованным отрезком ОМ с полярной осью Ох
(0—полярный угол точки). Угол 0 считается положительным прн отсчете от по¬
лярной оси против часовой стрелки.
Если точка М имеет полярные координаты р > 0 и 0^0 < 2я, то ей же
отвечает и бесчисленное множество пар полярных координат (р; 0 + 26я), где
Если начало декартовой прямоугольной системы координат совместить с по¬
люсом, а ось О* направить по полярной оси, то прямоугольные координаты х и у
точки М и ее полярные координаты р и 0 связаны следующими формулами:
*	= pcos0, г/ = р sin 0;	(1)
р =	tgtt= у/х.	(2)
26.	Построить точки, заданные полярными координатами:
Л (4;	л/4),	5(2;	4я/3), С (3; —я/6), D (—3;	л/3),	£ (0;	а),
F (— 1; —Зя/4).
27.	Найти полярные координаты точки М (1; —V3), если полюс
совпадает с началом координат, а полярная ось—с положительным
направлением оси абсцисс.
Д На основании равенств (2) находим p = V 12+(—V З)2 = 2; tg0 = —У 3.
Очевидно, что точка М лежит в IV четверти и, следовательно, 0 —5я/3.
Итак, М (2; 5д/3). ^
28.	Найти	прямоугольные координаты точки	Л (2^2;	Зя/4),
если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направ¬
лена по оси абсцисс.
9

Д_ Используя формулы (1), имеем х = 2У~ 2 cos (Зя/4) =—2, у =
= 2j/~ 2 sin (Зя/4) =2. Итак, Л (—2; 2). Д
29.	Найти полярныекоординаты точек: A (2V3; 2), В (0; —3),
С (-4; 4), D(V 2, -/2), £(-^2; -Кб), F (- 7; 0).
30.	Найти прямоугольные координаты точек: Л (10; я/2), 5 (2; 5я/4),
С(0; л/10), D(l; —я/4), £(—1; я/4), F(— 1; —я/4).
31.	Определить расстояние между точками Мх (pj; 0Х) и М% (р2; 04).
ф Применить к треугольнику OMiM» теорему косинусов.
32.	Определить расстояние между точками М (3; я/4) и N (4; Зя/4).
33.	Найти полярные координаты точки, симметричной точке
М (р; 0) относительно полярной оси.
34.	Найти полярные координаты точки, симметричной точке
М (р; 0) относительно полюса.
35.	Найти полярные координаты точек, симметричных точкам
(3; я/6), (5; 2я/3) н (2; —я/6): 1) относительно полюса; 2) относи¬
тельно полярной оси.
36.	Найти полярные координаты точки, симметричной точке
М(р\ 0) относительно прямой, проходящей через полюс перпенди¬
кулярно полярной оси.
4.	Уравнение линии. Пусть некоторой линии на плоскости хОу, рассматри¬
ваемой как множество точек, соответствует уравнение, связывающее координаты
любой точки М (х\ у) («текущей точки»), лежащей на этой линин. Такое уравне¬
ние называется уравнением данной линии.
Если в уравнение данной линии подставить координаты любой точки, лежа¬
щей на этой линии, то уравнение обращается в тождество. Если же в уравнение
линии подставить координаты любой точки, не принадлежащей этой линин, то
уравнение не удовлетворяется.
37.	Один конец отрезка перемещается по оси абсцисс, а другой—
по осн ординат. Найти уравнение линии, описываемой серединой
этого отрезка, если длина отрезка равна с.
Д Пусть М (*; у)—середина отрезка. Длина отрезка ОМ (длина медианы)
равна половине гипотенузы, т. е. | ОМ | —с! 2. С другой стороны, | ОМ | = У х2+у*
(расстояние точки М от начала координат).
Таким образом, приходим к уравнению
Vх*+у2 = с/2, илн	=	с*/4.
Это и есть уравнение искомой линии. Геометрически очевидно, что этой линией
является окружность радиуса с(2 с центром в начале координат. Д
38.	Составить уравнение линии, расстояние каждой точки кото¬
рой от точки /’’(О; 1/4) равно расстоянию этой же точки от прямой
у = —1/4.
Д Возьмем на искомой линии произвольную точку М (*; у). Расстояние
точки М от точки F определится по формуле расстояния между двумя точками:
iMf i=Y (*-°)г+(у—f)*-
10

Расстояние точки М от прямой у=—1/4 найдется из простых геометриче¬
ских соображений (рис. 1):
| AfAf | = | Af/C |-f| KN
Так как по условию равенство | MF \ = | MN \ выполняется для любой точки М9
лежащей на искомой линии, то уравнение этой линии можно записать в виде
У **+(у~у-)
xi+y*-Ty+T6=yi+Ty+W
Линия, определяемая уравнением у — х2, называется параболой. Д
или
т. е. у—х2
39.	Составить уравнение множества точек, произведение расстоя¬
ний которых от точек	и	F2(—а\ 0) есть постоянная вели¬
чина, равная а2.
Д Возьмем на искомой кривой произвольную точку М (.х; у). Ее расстояния
от точек Fi (аг; 0) и F2 (—а\ 0) составляют V(*—я)2 + */2.	(*+а)2+*/2*
Из условия задачи следует, что гхГг —а*- Та-
ким образом, искомая кривая имеет уравнение
У (х—а)2-\-у2. У (х + а)2+у2 = а2.
Приведем это уравнение к рациональному виду:
(х2 -f а2+у2 —■ 2ах) (х2 +Д2 + */2 + 2ах) = а**
т. е.
(х2 + а2+у2)2—4 а2х2 = а*ф
или, наконец,
(х2 4' У2)2 = 2а2 (х2—у2).
Найденная кривая называется лемнискатой. Д
40.	Составить уравнение лемнискаты в полярных координатах
и построить кривую.
Д В уравнении (х2^у2)2 ~ 2а2 (х2—у2) (см. предыдущую задачу) переходим
к полярным координатам по формулам * = pcos0, р sin 0. Тогда получим
(p2cos204*p2sin20)2 = 2a2 (р2 cos20—p2sin20), или p2 = 2a2cos20.
Это—уравнение лемнискаты в полярных координатах.
Построим кривую. Разрешив уравнение относительнор, находим р=±а}^2 cos 20.
Из того, что в правой части равенства стоит двойной знак «±», а также из того,
что уравнение не меняется при замене 0 на — 0, заключаем, что лемниската рас¬
положена симметрично относительно осей Ох и Оу. Исследуем форму лемнискаты
для I четверти, т. е. для случая р^О, 0^0 < я/2. Для этих значений р и 0
имеем р = а}^ 2*}^cos20. Нетрудно видеть, что О может изменяться только
в промежутке от 0 до я/4. Таким образом, соответствующая часть кривой за¬
ключена между полярной осью и лучом 0 = я/4. Если 0 = 0, то р = а}^"2. С воз¬
растанием 0 от 0 до я/4 величина р убывает до значения р = 0.
Приняв во внимание соображения симметрии, мы можем построить лемни¬
скату (рис. 2). Д
И

41.	Составить уравнение множества точек,, равноудаленных от
точек А( 1; 1) и 5(3; 3).
Д Пусть точка М принадлежит искомому множеству; тогда | МА | = | MB |«
По формуле расстояния между двумя точками находим
\МА\ = У (х— 1)2+(J/-1)2, | MB | = У (x—3)2+(j/—3^
и уравнение линии может быть записано в виде
V (х—i)4+(i/—о* = V (*—3)*+(у—З)2.
Возведя обе части последнего равенства в квадрат, получим
хг—2х+1 +у2—2у+1 =хг—6х+9+у*—6у+9,
откуда после приведения подобных членов окончательно приходим к уравнению
х + у—4 = 0. Итак, искомым множеством является прямая, которая, как известно*
служит серединным перпендикуляром к отрезку АВ. Д
42.	Точка М равномерно перемещается по лучу, вращающемуся
равномерно около полюса. Составить уравнение линии, описанной
точкой Af, если в начальный момент вращающийся луч совпадает
с полярной осью, а точка М — с полюсом; при повороте же луча
на угол 0=1 (один радиан) точкаЛ4 удалилась от полюса на рас¬
стояние а.
Д Поскольку в начальный момент величины р и 0 равны нулю, а затем
обе возрастают пропорционально времени, нетрудно установить, что они связаиы
прямой пропорциональной зависимостью: р/0 = const. Но р = а при 0=1; следо¬
вательно, р/0 = а/1, т. е. р = а0. Кривая р = а0 называется спиралью Архимеда. Д
43.	Окружность диаметра а катится без скольжения по внешней
стороне другой окружности такого же диаметра. Составить в по¬
лярных координатах уравнение линии, описанной некоторой фикси¬
рованной точкой катящейся окружности.
Д На рис. 3: Сх — первоначальное положение центра катящейся окружности;
А — первоначальное положение точки, описывающей искомую линию (точка А
диаметрально противоположна точке В, где в начальный момент соприкасаются
окружности); С2—центр неподвижной окружности; С3—центр катящейся окруж¬
ности в новом положении; Л! —новое положение точки Л, описывающей искомую
линию. (После перемещения окружности С* в положение С8 точка Р займет по¬
12

ложение Q. Точка В займёт положение D, причем, поскольку качение происхо¬
дит без скольжения, BQ=DQ, QC2B — QCzD.)
На чертеже показано положение полюса О и полярной оси Ох. Требуется
составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки М (р; 0)
искомой линии.
Легко установить, что MCSQ = OC2Q, в силу чего четырехугольник ОС2С3М
является равнобедренной трапецией с меньшим основанием |С2С3|=а; С2С'ъ и
С3С3—перпендикуляры, опущенные из точек С2 и Сз на прямую ОМ. Итак,
р = | ОС21 +1 СзСз I +1 сзМ | = у cos 0+ я+у cos 0 =о (1 + cos 0).
Таким образом, уравнение искомой линии в полярных координатах имеет вид
p = a(l+cos0); эта кривая называется кардиоидой.
Поскольку при замене 0 на — 0 уравнение кардиоида ие меняется, кардиоида
расположена симметрично относительно полярной оси. Если 0 изменяется от О
до я, то р убывает от 2а до 0. ^
44.	Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек
А(2; 0) и В (0; 1).
45. Какая линия определяется уравнением х = у?
46. Какая линия определяется уравнением х = — у>
47.	Составить уравнение множества точек, сумма квадратов рас¬
стояний которых от точек А(2; 0) и В(0; 2) равна квадрату рас¬
стояния между точками А к В.
48.	Составить уравнение множества точек, сумма расстояний
которых от точек Л( 1; 0) и 5(0; 1) равна 2.
49.	В полярной системе координат составить уравнение окруж¬
ности с центром з полюсе.
50.	В полярной системе координат составить уравнение полу¬
прямой, проходящей через полюс и образующей с полярной осью
угол а.
51.	В полярной системе координат составить уравнение окруж¬
ности диаметра а, если полюс лежит на окружности, а полярная
ось проходит через центр окружности.
5. Параметрические уравнения линии. При отыскании уравнения множества
точек иногда оказывается более удобным выразить координаты х и у произволь¬
ной точки этого множества через некоторую вспомогательную величину t (ее на¬
зывают параметром), т. е. рассматривать систему уравнений х~ <р (/), y—ty (/).
Такое представление искомой линии называется параметрическим, а уравнения
системы — параметрическими уравнениями данной линии.
Исключение параметра t из системы (еслн оно возможно) приводит к уравне¬
нию, связывающему х и у, т. е. к обычному уравнению линии вида / (*, у)= 0.
52.	Составить параметрические уравнения окружности.
Д Рассмотрим окружность радиуса а с центром в начале координат (рис. 4).
Возьмем на ней произвольную точку М (х\ у). Примем за параметр t угол, обра¬
зованный с осью абсцисс радиусом ОМ. Из треугольника OMN следует, что
*	= flcos/f y = asint. Таким образом, уравнения
х = а cos ty у=а sin t
являются параметрическими уравнениями окружности.
Исключив из этих уравнений параметр получим обычное уравнение окруж¬
ности. В данном случае для исключения параметра достаточно каждое из урав¬
нений возвести в квадрат и полученные уравнения сложить: х2-{-у2 = а2 cos2 'i +
13

+ a2 sin2/, т. е. л;2+#2 = а2- Последнее уравнение является уравнением окруж¬
ности радиуса а с центром в начале координат. Д
53.	Составить параметрические уравнения кривой, описанной
фиксированной точкой окружности, катящейся без скольжения по
неподвижной прямой.
Д Пусть окружность радиуса а катится без скольжения вправо по горизон¬
тальной прямой (рис. 5). Примем эту прямую за ось Ох, поместив начало коор¬
динат в некоторой точке О оси. За фиксированную точку окружности (перемеще¬
нием которой образуется искомая кривая) примем ту ее точку, которая совпадает
с точкой О при соответствующем положении окружности. За параметр / примем
угол поворота раднуса окружности, проходящего через фиксированную точку.
Пусть в некоторый момент времени окружность касается оси в точке А.
Фиксированная точка окружности займет положение М (я; у), соответствующее
углу /	поворота радиуса CM (t=ACM). Так как качение происходит без	сколь¬
жения,	то | О А \ = MA = at.	Используя это, выразим координаты точки М	через	/:
х~ \ ON | = | О А ] — |	N А \ ~ МА — | N А | = at—a sin t = a(t — sin f)4
y = \ NM | = | AP	| = | AC I — | PC | = a—a cos t = a (1 — cos /).
Таким образом, параметрические уравнения искомой линии имеют вид
x = a(t—sin/), i/=a (1 —cos/).
Эта линия называется циклоидой; она изображена на рис. 5. Д
54.	Какая линия определяется параметрическими уравнениями
х = /2, у = 12?
Д Исключая параметр /, приходим к уравнению у=х. В силу параметри¬
ческих уравнений *^0, у^О. Следовательно, данные параметрические уравне¬
ния определяют луч—биссектрису I координатного угла. Д
55.	Какая линия определяется параметрическими уравнениями
х = cos /, у = COS2 /?
Д Подставив х вместо cos / во второе уравнение, получаем уравнение пара¬
болы у=х2. Из параметрических уравнений следует	0^у^\,	Таким
образом, параметрические уравнения определяют дугу АОВ параболы у = х2, где
Л(-1; 1);Я(1; 1). А
56.	Какая линия определяется уравнениями x = sin/, y=cosect?
Д Так как у== 1/sin/, то, исключив /, получаем уравнение у= 1/я, выра¬
жающее обратную пропорциональную зависимость величин хну. Учитывая, что
14

| г/15а 1, заключаем, что линия, заданная параметрическими уравнениями
x = sin/, у —cosect, имеет вид, изображенный на рис. 6. Д
57.'Какая	линия определяется уравнениями x = 2t, y = 4t?
58. Кривая задана параметрическими уравнениями x = acos/,
#	= bsin/. Найти ее уравнение в прямоугольной системе координат.
ф Разделить первое уравнение, на а, второе—на Ь, а затем исключить Л
59. Кривая задана параметрическими уравнениями x=asect,
y=btgt. Найти ее уравнение в прямоугольной системе координат.
60.	Какая линия определяется уравнениями
А' = COS4 t, J/ = Sins*?
61.	Кривая, определяемая параметрическими
уравнениями x=acos3t, y = asin3t, называет¬
ся астроидой. Исключив t, найти уравнение
астроиды в прямоугольной системе координат.
62.	На круг, описанный из центра О радиу¬
сом а, навернута по часовой стрелке нить; пусть
конец нити находится в точке А (а; 0). Станем
развертывать нить (против часовой стрелки),
сматывая ее с круга и все время натягивая за
конец. Составить параметрические уравнения кри¬
вой, описываемой концом нити, если за параметр
t взять угол между радиусом О А и радиусом ОВ, проведенным
в точку касания окружности с натянутой нитью в произвольном
положении последней.
-/
Рис. 6
§ 2. ПРЯМАЯ
1* Общее уравнение прямой. Всякое уравнение первой степени относительно
х и у, т. е. уравнение вида
Ах-\-Ву-\~С = 0	(1)
(где А, В и С— постоянные коэффициенты, причем А2-\-В2Ф 0) определяет на
плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.
Частные случаи. 1. С = 0; /4^0; Вф 0. Прямая, определяемая урав¬
нением Ах-\-Ву = 0, проходит через начало координат.
2.	Л =0; В Ф 0; Сф 0. Прямая, определяемая уравнением Ву-\-С — 0 (или
у =Ь, где 6 =— С/В), параллельна оси Ох.
3.	£ = 0; А Ф 0; С Ф 0. Прямая, определяемая уравнением Ах-\-С = 0 (или
х = а, где а = — С/Л), параллельна оси Оу.
4.	£ = С = 0; А Ф 0. Прямая, определяемая уравнением Ах~0 (или х = 0,
поскольку А Ф 0), совпадает с осью Оу.
5.	Л=С = 0; В Ф 0. Прямая, определяемая уравнением By— 0 (или (/ = 0,
поскольку В Ф 0), совпадает с осью Ох.
2.	Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если в общем уравнении
прямой В ф 0, то, разрешив его относительно у% получим уравнение вида
у = кх + Ь	(2)
(здесь k=—А/В, Ь = —С/В). Его называют уравнением прямой с угловым коэф¬
фициентом, поскольку fc = tga, где a — угол, образованный прямой с положи¬
тельным направлением оси Ох. Свободный член уравнения b равен ординате точки
пересечения прямой с осью Оу.
15

3.	Уравнение прямой в отрезках. Если в общем уравнении прямой С ^.0, то,
разделив все его члены на — С, получим уравнение вида
1Г+-Н	<3>
(здесь а = — С/Л, Ъ — —С/В). Его называют уравнением пряной в отрезках; в нем
а является абсциссой точки пересечения прямой с осью Ox, а b—ординатой точки
пересечения прямой с осью Оу. Поэтому а и b называют отрезками прямой на
осях координат.
4.	Нормальное уравнение прямой. Если обе части общего уравнения прямой
A*+2fy+C = 0 умножить на число jn= l/(± У А2-\-В2) (которое называется нор•
мирующим множителем)у причем знак перед радикалом выбрать так, чтобы вы¬
полнялось условие цС < 0, то получится уравнение
х cos ф + у sin ф—р = 0.	(4)
Это уравнение называется нормальным уравнением прямой. Здесь р—длина пер¬
пендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а ф — угол, образо¬
ванный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
63.	Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат
отрезок Ь = —3 и образующей с положительным направлением оси
абсцисс угол а = л/6.
Д Находим угловой коэффициент: k = \g (я/6) = \!У 3. Воспользовавшись
уравнением (2) прямой с угловым коэффициентом, получаем г/ = (\!У 3) х—3;
освобождаясь от знаменателя и перенося все члены в левую часть, получаем
общее уравнение прямой х—УЪ у—3 У 3 = 0. ^
64.	Составить уравнение прямой, отсекающей на осях коорди¬
нат отрезки а = 2/5, Ь = —1/10.
Д Воспользовавшись уравнением (3) прямой в отрезках, имеем
2/5	(—1/10)
Это уравнение можно переписать в внде (5/2) л:—]0у= 1, или Ъх—20у—2 = 0
(общее уравнение прямой). Д
65.	Дано общее уравнение прямой 12л;—by—65 = 0. Написать:
1) уравнение с угловым коэффициентом; 2) уравнение в отрезках;
3)	нормальное уравнение.
Д 1) Разрешив уравнение относительно уу получаем уравнение прямой с угло¬
вым коэффициентом:
у = (12/5) х—13.
Здесь £=12/5, b — —13.
2)	Перенесем свободный член общего уравнения в правую часть и разделим
обе части на 65; имеем (12/65) л:—(5/65) г/ = 1. Переписав последнее уравнение
в виде
х	у
	1_	= 1,
65/12 (-65/5)
получим уравнение данной прямой в отрезках. Здесь а = 65/12, 6 = —65/5 = —13.
3)	Находим нормирующий множитель ц= \!У5)2= 1/13. Умножив
обе части общего уравнения на этот множитель, получаем нормальное уравнение
прямой
(12/13) х—(5/13) у— 5 = 0.
Здесь cosф= 12/13, sinф = -^5/13, р^Ъ. Д
16

66. Построить прямые: 1) х—2г/ + 5 = 0; 2) 2лс + Зг/ = 0; 3) 5дс—
—	2 = 0; 4) 2г/ + 7 = 0.
Д 1) Полагая в уравнении х~0, получаем у = 5/2. Следовательно, прямая
пересекается с осью ординат в точке В (0; 5/2). Полагая у — 0, получаем * =—5,
т. е. прямая пересекается с осью абсцисс в точке А (—5; 0). Остается провести
прямую через точки А и В (рис. 7).
2)	Прямая 2jc + 3i/ = 0 проходит через начало координат, так как в ее урав¬
нении отсутствует свободный член. Дадим х в уравнении прямой какое-нибудь
значение. Пусть, например, х = 3, тогда 6 + 3# = 0, т. е. у=—2; получим точку
Л/ (3; —2). Остается через начало координат и
точку М провести прямую.
3)	Разрешив уравнение прямой относительно
дг, получим * = 2/5. Эта прямая параллельна оси
срдинат н отсекает на осн абсцисс отрезок, рав¬
ный 2/5.
4)	Аналогично получаем уравнение у=—7/2;
эта прямая параллельна оси абсцисс. Д
67.	Уравнение прямой задано в виде
(jt + 2j/*5)/4 + (у—2 V 5)12 = 0. Написать:
1) общее уравнение этой прямой; 2) уравнение с угловым коэффи¬
циентом; 3) уравнение в отрезках; 4) нормальное уравнение.
68.	Какой угол образует с положительным направлением оси
абсцисс прямая 2х+2у — 5 = 0?
69.	Определить площадь треугольника, образованного прямой
4л:+ 3у—36 = 0 с осями координат.
70.	Можно ли уравнение прямой 20л; + 21у = 0 записать в отрез¬
ках?
71. Построить прямые: 1) 4л;—5*/+15 = 0; 2) 2л;—у = 0; 3) 7х—
—	10-0; 4) 2у + 3 = 0.
72.	Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат
отрезок Ь=\ и образующей с положительным направлением оси
абсцисс угол а = 2л/3.
73.	Прямая отсекает на осях координат равные положительные
отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника,
образованного прямой с осями координат, равна 8 кв. ед.
74.	Составить уравнение прямой, проходящей через начало коор¬
динат и точку А (—2; —3).
75.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; 5)
i отсекающей на оси ординат отрезок Ь = 7.
76.	Составить уравнения прямых, проходящих через точку
Л1 (—3; —4) и параллельных осям координат.
77.	Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат
равные отрезки, если длина отрезка прямой, заключенного между
осями координат, равна 5J/2.
5.	Угол между прямыми. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Острый угол между прямыми |/ = ^i* + ^i и у~к2х\ ь2 определяется по формуле
"Нг£&|-	<"
Условие параллельности прямых имеет вид
Условие педпендшумрносла прямых имеет вид	1/6$.
17

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей через точку
М fa; yj, записывается в виде
y—yt = k(x—x 1).	(2)
Уравнение	прямой,	проходящей через точки Mi (**;	yj)	и М2 (х2\ уа), записы¬
вается в виде
У~У\ _ х—Ч	/Зч
Уг—У\ Ч—хх'
и угловой коэффициент	этой	прямой находится по	формуле
*-?=?•	(4)
х2—xt
Если хх=х2, то уравнение прямой, проходящей через точки Mi и М2, имеет
вид x=xt.
Если У1 = Уа» то уравнение прямой, проходящей через точки Mi и М2, имеет
вид y=yt.
6.	Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой. Пучок прямых.
Если Ai/A2 Ф BiiB2, то координаты точки пересечения прямых i41jr+B1y+C1 = 0
н AfX-\-B2y-{-C2=zO находятся путем совместного решения уравнений этих прямых.
Расстояние от точки М (*о; у0) до прямой Ах-\-Ву-\-С~ 0 находится по формуле
1 Лдго+Дуо+С!	(i)
V	Аг+В*
Биссектрисы углов между прямыми	=0 и Агх-\-В^у-\-С^—0
имеют уравнения
А\Х + Cj + А2х-\-В2у-\- C2_q	до
Vm+b\
Еслн пересекающиеся прямые заданы уравнениями Axx-\-Biy-\-Ci = 0 и
А&-\-В&-\-C2=0t то уравнение
AiX-\-Biy-\‘Ci-\-'k (А2х-\-В2у-\-С£) =0,	(3)
где А,—числовой множитель, определяет прямую линию, проходящую через точку
пересечения заданных прямых. Давая в последнем уравнении X различные значе¬
ния, будем получать различные прямые, принадлежащие пучку прямых, центр
которого есть точка пересечения заданных прямых.
78.	Определить острый угол между прямыми у = —Зх+7 и
у = 2х+1.
Д Полагая ^=—3, ^ = 2 в формуле (1) п. 5, получим
^Нт^рйН1, те-
79« Показать, что прямые 4х—6у + 7 = 0 и 20х—30у —11=0
параллельны.
Д Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом,
получаем
у=:(2/3)	7/6	н у = (2/3)дг—11/30.
Угловые коэффициенты этих прямых равны:	=	= 2/3, т. е. прямые парал¬
лельны. Д.
80.	Показать, что прямые Зле—5у + 7 = 0 и 10дс + 6у—3 = 0 пер¬
пендикулярны.
18

Д После приведения уравнений к виду с угловым коэффициентом получаем
у = (3/5)*+ 7/5 и */=(—5/3) *+1/2.
Здесь &i=3/5, &2=—5/3. Так как k1~—\lk2i то прямые перпендикулярны. Д
81.	Составить уравнение прямой, проходящей через точки М (—1; 3)
я N(2; 5).
Д Полагая *i = — I, |/i = 3, лг2 = 2, у2 = 5 в уравнении (3) п. 5, получаем
*/—3	*+1	*/—3	*+1
5—3	2+1	? ИЛИ 2 ~ 3 *
Итак, искомое уравнение имеет вид 2х—3*/+11=0.
Полезно проверить, что уравнение составлено верно. Для этого достаточно
«оказать, что координаты точек М и N удовлетворяют уравнению прямой. Дей¬
ствительно, равенства 2(—1)—3*3+11=0, 2-2—3-5+11=0 выполняются тож¬
дественно.
82.	Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (—2; 4)
В В(-2; -1).
Д Так как xi = x2 =—2, то прямая имеет уравнение * =—2 (параллельна
ося ординат). Д
83.	Показать, что прямые Зх—2^+1=0 и 2х + 5у—12 = 0 пе¬
ресекаются, и найти координаты точки пересечения.
Д Так как 3/2 Ф (—2)/5, то прямые пересекаются. Решив систему уравнений
Г 3*—2|/+1 =0,
\ 2х-\-Ъу—12 = 0,
«аходим *=1, у — 2, т. е. прямые пересекаются в точке (1; 2). Д,
84.	Определить расстояние от точки Af(x0; у0) до прямой Ах +
+ Ву-{-С = 0, не пользуясь нормальным уравнением прямой.
Д Задача сводится к определению расстояния между точками М (*0; у0) и
N, где N—основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную пря¬
мую. Составим уравнение прямой MN. Так как угловэй коэффициент заданной
ирямой равен —А/В, то угловой коэффициент прямой MN равен В/А (из условия
перпендикулярности) и уравнение последней имеет вид у—у0 = (В1А) (х—х0). Это
уравнение может быть переписано в виде (*—Xq)/А = (у—Уо)/В.
Для определения координат точки N решим систему уравнений
Ах+Ву+С=0, (х—х0)/А = (у—у0)1В.
Введем вспомогательную неизвестную t:
(х—Хъ)!А = (y—yo)/B = t.
Тогда * = *0 + Л/, y = yo-)~Bt. Подставив эти выражения в уравнение данной пря¬
мой, получим А (*о + At)-\-B (^+/3*) + С=0» откуда
t = -(Ax0 + By0 + C)i(A*+B*).
Подставив теперь значение t в уравнения *=*0 + Л/ и у=у0-]~В(, определим
«оордииаты точки N:
	л ^Sj+flf/o + C		р А*о+Ву0 + С
Л2+£2	1	в	А2+В*
19

Остается определить расстояние между точками М и N:
d = V(x—Xo)2+{y—yo)2 =
I АУр+бур + С!	.
V	А*+В*	’
85.	Определить расстояние от точки М(1; 2) до прямой 20х —
—	21^—58 = 0.
Л	120.1 — 21-2 — 581 _ |20—42— 58| _ |—80|	„22	.
А	У400 + 441	~	29	-	29	“^29,А
86.	Дана прямая /:4л:—3у—7 = 0. Какие из точек А (5/2; 1),
В (3; 2), С (1; —1), D (0; —2), Е (4; 3), F (5; 2) лежат на этой прямой?
Д Если точка лежит иа прямой, то ее координаты должны удовлетворять
уравнению прямой. Имеем: Л£/, так как 4 (5/2)—3-1—7 = 0; 5 (£/, так как
4-3—3‘2—7 £ 0; С £ /, так как 4-1 —3 (—1)—7 = 0; D (£ /, так как 4-0—3 (—2)—
—	7^0; ££/, так как 4-4 —3-3—7=0; F (£/, так как 4-5—3*2—7 ф. 0.
87.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку
М(—2; —5) и параллельной прямой 3x+4y-f 2 = 0.
Д Разрешив последнее уравнение относительно у, получим (/ =—(3/4) дс—1/2.
Следовательно, в силу условия параллельности угловой коэффициент искомой
прямой равен —3/4. Воспользовавшись уравнением (2) п. 5, получаем
У — (—5) = (—3/4) [х—(—2)1, т. е. Здг+4(/ + 26 = 0. ^
88. Даны вершины треугольника: А (2; 2), В(—2;	—8) и
С(—6 ;—2). Составить уравнения медиан треугольника.
Д Находим координаты середин сторон ВС, АС и АВ:
*' = (—2— 6)/2 = —4, */' = (-8—2)/2 = —5;	(—4; —5);
= (2—6)/2 = —2, у" = (2—2)/2 = 0; Вг (-2; 0);
*'" = (2 — 2)/2 = 0; у"' = (2 — 8)/2 = —3; Сх (0; —3).
Уравнения меднан находим с помощью уравнения прямой, проходящей через
две данные точки. Уравнение медианы ААг\
(у—2)/(—5 — 2) = (х—2)/(—4 — 2), или (у—2)/7 = (дг—2)/б, т. е. 7лс—б£/—2 = 0.
Находим уравнение медианы ВВХ\ поскольку точки В (—2; —8) и Вх (—2; 0)
имеют одинаковые абсциссы, медиана ВВХ параллельна оси ординат. Ее уравне¬
ние х + 2 = 0.
Уравнение медианыССг: (у-|-2)/(—3 + 2)=(х+б)/(0+6), или дг+6*/+18 = 0. Д
89.	Даны вершины треугольника: А (0; 1); В(6; 5) и С (12; —1).
Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.
Д По формуле (4) п. 5 найдем угловой коэффициент стороны АВ; имеем
k — (5—1)/(б — 0) = 4/6 = 2/3. В силу условия перпендикулярности угловой коэф¬
фициент высоты, проведенной нз вершины С, равен —3/2. Уравнение этой высоты
имеет вид
90.	Даны стороны треугольника: х + Зу—7 = 0 (АВ), 4х—у —
—	2 = 0 {ВС), 6х + 8у—35 = 0(ЛС). Найти длину высоты, проведен¬
ной из вершины В.
t/-fl=(—3/2) (х—12), или Здг + 2 у—34 = 0. ±
20

Д Определим координаты точки В. Решая систему уравнений дг+Зг/т— 7 = 0
и 4х —г/—2 = 0, получим х=\9 у —2, т. е. Д(1; 2). Находим длину высоты BBi
как расстояние от точки В до прямой АС:
.	|-|	16-1+8-2—351	.,,А
У" 62 + 8а
91.	Определить расстояние между параллельными прямыми 3jc -f-
Ч-у—3 КТ0 = 0 и 6д: + 2г/ + 5|/‘10 = 0.
Д Задача сводится к определению расстояния от произвольной точки одной
прямой до другой прямой. Полаган, например, в_уравненни первой прямой * = 0,
получаем у = 3	Таким	образом,	М	(0;	3 1^10)—точка, лежащая иа первой
прямой. Определим расстояние точки М до второй прямой:
d=
|6-0+2-3 У10 + 5 У101	.4^10
V 36 + 4
2^10
= 5,5. £
прямыми
92.	Составить уравнения биссектрис углов между
х+у—5 = 0 и 7х—у —19 = 0 (рис. 8).
Д Решим сначала эту задачу в общем виде. Биссектрисы углов, образован¬
ии двумя прямыми, являются, как известно, множеством точек, равноудаленных
ст этих прямых. Если уравнения заданных
■рямых Axx + Biy+Ci= 0 и А2х + В2у-\-
-fC2 = 0 (Ax/A2 BifB2t т. е. прямые _не
ираллельны), то для всякой точки М (х; у),
лежащей на одной из биссектрис, имеем (ис-
■альзуя формулу для определения расстояния
ж точки до прямой):
1 AixJrВлу-\-Сх | _ | А2х-\-В2у-\-С2 |
УЖ+в!	VА1+в%
Поскольку М (х ; у) — произвольная точка бис¬
сектрисы, ее можно обозначать просто через
М{ху у). Учитывая, что выражения, стоящие
в последнем равенстве под знаком абсолютной
величины, могут иметь разные знаки, получаем для одной из биссектрис уравне¬
ние
Ахх-\- В\у ~\~Cj	А2х-\- В2у-\-С2
V	А\ + В\	V Л\+В\
а для другой — уравнение
А\Х В\у Cj  АоХ -|- В2у-\-С$
Vrt+Bl ~
Тажим образом, уравнения обеих биссектрис можно записать в виде
А\Х + B^y~{-Ci ^ А2х + В2у-\- С2 q
VА\ + В\	V А\ + В%
Теперь решим поставленную конкретную задачу. Заменив Af, Яь Cf,
Ва. С, их значениями нз уравнений заданных прямых, получим
х+у— 5 ^ 7х—у—19
КТ+Т	У49+1
=0, т. е. 5(*+у—5) ± (7х—у—19)=0.
21

Уравнение одной из биссектрис записывается в виде
5	(* + */—5) + (7х— у—19) =0, т* е. Зх+у—11=0,
а уравнение другой — в виде
5)	— (7л:—у—19)=0, т. е.	3*/+3 = 0. Д
93.	Даны вершины треугольника: Л( 1; 1), 5(10; 13), С (13; 6).
Составить уравнение биссектрисы угла А.
Д Воспользуемся другим (по сравнению с решением предыдущей задачи) спо¬
собом составления уравнения биссектрисы.
Пусть D—точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства бис¬
сектрисы внутреннего угла треугольника следует, что | BD |:| DC | = | АВ |:| АС |.
Но | АВ\ = У(10—1)2 + (13—1)2= 15, \AC\ = Y(13—1)2+(6—1)2=13. Следо¬
вательно, >* = | BD 1:| DC | = 15/13. Так как известно отношение, в котором точка
D делит отрезок то координаты точки D определятся по формулам
_Ю+(15/13) 13	13 + (15/13) 6
1	+ 15/13	’	У	1	+	15/13	'
или х = 325/28, у = 259/28, т. е. 0(325/28; 259/28). Задача сводится к составле¬
нию уравнения прямой, проходящей через точки А и D:
259/28—1 = 325/28—1 ’ Т* е‘ 7х~'9У+2==0* А
94.	Даны уравнения высот треугольника ABC: х-\-у—2 = 0,
9л:—3у—4 = 0 и координаты вершины Л (2; 2). Составить уравне¬
ния сторон треугольника.
Д Легко убедиться в том, что вершина А не лежит ни на одной из задан¬
ных высот: ее координаты не удовлетворяют уравнениям этих высот.
Пусть 9jc—3^—4 = 0—уравнение высоты ВВ\ и jc—2 = 0—уравнение
высоты CCt. Составим уравнение стороны АС, рассматривая ее как прямую, про¬
ходящую через точку А и перпендикулярную высоте
ВВ\. Так как угловой коэффициент высоты ВВ{ равен
3,	то угловой коэффициент стороны АС равен —1/3,
т. е. кдс = —1/3. Воспользовавшись уравнением пря¬
мой, проходящей через данную точку и имеющей
данный угловой коэффициент, получим уравнение
стороны АС:
у—2 = (—1/3) (х—2), или х+3у—8 = 0.
Аналогично получаем £cci=—1, Ьдв= 1, и уравнение
стороны А В имеет вид
у—2=х—2, т. е. у~х*
Решив совместно уравнения прямых А В и ВВи
а также прямых АС и ССи найдем координаты вер¬
шин треугольника: В (2/3; 2/3) и С(—1; 3). Остается
Рис. 9	составить	уравнение	стороны	ВС:
95.	Составить уравнения прямых, проходящих через точку
М (5; 1) и образующих с прямой 2х+у—4 = 0 угол л/4 (рис. 9).
Д Пусть угловой коэффициент одной из искомых прямых равен к. Угло¬
вой коэффициент заданной прямой равен —2. Так как угол между этими пря*
22

и равен л/4, то
k+2
\—2k
т. е, 1 =
k + 2
\—2k\
откуда
1	—2Л:— 4	1	—2k
Решая каждое из полученных уравнений, находим & = —1/3 и &=3. Итак,
уравнение одной из искомых прямых запишется в виде */— 1 =(—1/3) (х—5), т. е.
х-\-3у—8 = 0, а уравнение другой прямой в виде у—1 =3 (д:—-5), т. е. Зх—у —
—	14 = 0. £
96.	Найти прямую, принадлежащую пучку 2х+Зу + 5 + Л(х +
-j-8^ + 6)=0 и проходящую через точку М( 1; 1).
Д Координаты точки М должны удовлетворять уравнению искомой прямой,
поэтому для определения X получаем уравнение
2* 14“^* 1 +5+Л» (14-®* 1 +6) = 0, или Ю+15Х=0,
т. е. X=—2/3. Подставив значение X в уравнение пучка, получим уравнение
■скомой прямой:
2х+Зу+5—(2/3) (*4-%+6) = 0, или 4х_7у+з = о. Д
97.	Найти прямую, проходящую через точку пересечения пря¬
мых Зх—4^ + 7 = 0 и 5jc + 2// + 3 = 0 и параллельную оси ординат.
Д Прямая принадлежит пучку
Зх—4*/+7-f X (5*-f 2^+3) =0, т. е. (34-5Л)*4'(—44"2Я)^4'(74“3л)=0.
Так как искомая параллельна оси ординат, то коэффициент при у должен быть
доеи нулю: —4+2л=0, т. е. X — 2. Остается подставить найденное значение X
в уравнение пучка, откуда получаем искомое уравнение *-fl=0.
98.	Даны стороны треугольника: х + 2у + 5 = 0 {АВ), Зх+у + 1 =
« 0 (ВС) и х+у+7 = 0 (АС). Составить уравнение высоты треуголь¬
ника, опущенной на сторону АС.
Д Высота принадлежит пучку
*Ч"2^4‘54*^(3*+^+1) =0, т. е. (14*3^)х-\-(2 + Я)^4“(54“^) = 0«
Угловой коэффициент прямой пучка равен—(1+3X)/(2-f X); так как угловой
коэффициент прямой АС равен—1, то угловой коэффициент искомой высоты ра¬
ка 1 и для определениях получаем уравнение—(1+ЗХ),/(2 + Х) = 1. Отсюда
l-j-3X-f 2-fX = 0, т. е. Х = —3/4. Подставив найденное значение X в уравнение
кучка, получим искомое уравиеияе высоты:
(1-т)^+(2“т)г/+(5-т)=0’ т- е- 5ДГ—5у—17=0. А
99.	Даны вершины треугольника ABC: А (0; 2), В (7; 3) и С (1; 6).
Определить ВАС = а.
100.	Даны стороны треугольника: х-\-у—6 = 0, Зх—5r/-f 14 = 0
■ 5х—Зу—14 = 0. Составить уравнения его высот.
101.	Составить уравнения биссектрис углов между прямыми
Зг+4у—20 = 0 и 8л: + 6у—5 = 0.
102.	Даны вершины треугольника: А (0; 0), В(—1; —3) иС(—5;
—	1). Составить уравнения прямых, проходящих через вершины
треугольника и параллельных его сторонам.
23

103.	Составить уравнения прямых, проходящих через точку
М(£,7) и образующих с прямой АВ, где Л(—1; 7) и В(8;—2),
углы 45°.
104.	Определить расстояние от точки М (2; —1) до прямой, от¬
секающей на осях координат отрезки а = 8, Ь = 6.
105.	В треугольнике с вершинами А (3/2; 1), В(1;5/3), С(3;3)
найти длину высоты, проведенной из вершины С.
106.	При каком значении т прямые 7х—2у—5 = 0, х-\-7у—8 =
= 0 и тх + ту— 8 = 0 пересекаются в одной точке':*
107.	Даны середины сторон треугольника: Лх(—1;—1),	(1; 9)
и Сх(9; 1). Составить уравнения серединных перпендикуляров к
сторонам треугольника.
108.	Найти острый угол, образованный с осью ординат прямой,
проходящей через точки Л (2; V 3) и В (3; 2КЗ).
109.	Точки Л (1; 2) и С (3; 6) являются противоположными вер¬
шинами квадрата. Определить координаты двух других вершин
квадрата.
110.	На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от прямой
8* + 15//+ 10 = 0 равно 1.
111.	Даны вершины треугольника: Л(1; 1), В (4; 5) иС(13; —4).
Составить уравнения медианы, проведенной из вершины В, и вы¬
соты, опущенной из вершины С. Вычислить площадь треугольника.
112.	Найти прямые, принадлежащие пучку 2х + Зг/ + 6 + Я,(лс —
—	Ъу—6) = 0 и перпендикулярные основным прямым пучка.
113.	Найти прямую, проходящую через точку пересечения пря¬
мых jc + 6// + 5 = 0, 3*—2t/+1 и через точку М(—4/5; 1).
114.	Найти прямую, проходящую через точку пересечения пря¬
мых л: + 2г/ + 3 = 0, 2* + Зг/+4 = 0 и параллельную прямой 5х +
+ 8г/ = 0.
115.	Найти прямую, проходящую через точку пересечения пря¬
мых 3*—у—1=0, * + 3t/+l=0 и параллельную оси абсцисс.
116.	Найти прямую, проходящую через точку пересечения пря¬
мых 5* + 3*/ + 10 = 0, л: + г/—-15 = 0 и через начало координат.
117.	Найти прямую, проходящую через точку пересечения пря¬
мых х + 2//+1=0, 2х+(/ + 2 = 0 и образующую угол 135° с осью
абсцисс.
118.	Составить уравнения прямых, проходящих через точку
М (а; Ь) и образующих с прямой х-\-у-\-с = 0 угол 45°.
119.	Даны стороны треугольника: х—у — 0 (АВ), х + у—2 = 0
(ВС), у = 0 (АС). Составить уравнения медианы, проходящей через
вершину В, и высоты, проходящей через вершину Л. _
120.	Показать, что треугольник со сторонами jt + yK3 + 1=0,
д:КЗ + у+1=0 и х—у—10 = 0 равнобедренный. Найти угол при
его вершине.
121.	Даны последовательные вершины параллелограмма: Л (0; О),
5(1; 3), С(7;1). Найти угол между его диагоналями и показать,
что этот параллелограмм является прямоугольником.
122.	Даны стороны треугольника: х—у + 2 = 0 (АВ), х — 2 (ВС),
24

x^fy— 2 — 0 (AC). Составить уравнение прямой, проходящей через
вершину В и через точку на стороне АС, делящую ее (считая от
вершины А) в отношении 1:3.
123.	Показать, что треугольник с вершинами А( 1; 1), В (2; 1 +
-f V^3), С (3; 1) равносторонний, и вычислить его площадь.
124.	Показать, что треугольник, стороны которого заданы ура¬
внениями с целыми коэффициентами, не может быть равносторонним.
125.	Дана вершина треугольника А (3; 9) и уравнения медиан:
у—6 = 0 и Зх — 4// + 9 = 0. Найти координаты двух других вершин.
126.	Составить уравнение гипотенузы прямоугольного треуголь-
инка, проходящей через точку М (2; 3), если катеты треугольника
расположены на осях координат, а площадь треугольника равна
12 кв. ед.
127.	Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно,
что четвертой стороной является отрезок прямой 4л:+ 3у—12 = 0,
концы которого лежат на осях координат.
§ 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1.	Окружность. Окружность — это множество всех точек плоскости, равноуда-
jEBHbix от данной точки (центра). Если г — радиус окружности, а точка С (а; Ь) —
ж центр, то уравнение окружности имеет вид
(х-а)2 + (у-Ь)2 = г2.	(1)
Ш частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то послед¬
нее уравнение примет вид
х2+у2 = г2.
Если в левой части уравнения (1) раскрыть скобки, то получится уравнение
вида
х2 + у2 + 1хтуп =0,	(2)
где / — —2а, т = —2Ь, п = а2-\-Ь2 — г2.
В общем случае уравнение (2) определяет окружность, если /2-f т2 — 4п > 0.
Если /2 + т2 — 4п = 0, то указанное уравнение определяет точку (—//2; —т/2),
а если /2 + т2—4п < 0, то оно не имеет геометрического смысла. В этом случае
говорят, что уравнение определяет мнимую окружность.
Полезно помнить, что уравнение окружности содержит старшие члены х2 и
у2 с равными коэффициентами и в нем отсутствует член с произведением х на у.
Взаимное расположение точки М (хх\ ух) и окружности х2-\-у* = г2 опреде¬
ляется такими условиями: если х\-\-у\ = г2, то точка М лежит иа окружности;
если	> г2, то точка М лежит вне окружности, и если х\ -\-у\ < г2, то
точка М лежит внутри окружности.
128.	Найти координаты центра и радиус окружности 2л:2+ 2у2 —
—	Ъх + Ъу — 4 = 0.
Д Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены уравнеиия, получим
X1—4* + у2 + (5/2) у — 2. Дополним выражения х2—4х и #2-f(5/2)# до полных
квадратов, прибавив к первому двучлену 4 и ко второму (5/4)2 (одновременно к
правой части прибавляется сумма этих чисел):
(**-4х + 4) + (у* +| y-fg) = 2+4+§»
25

или
(*-9*+(н-т)
Таким образом, координаты центра окружности а = 2, & = — 5/4, а радиус окруж¬
ности г = 11/4. Д
129.	Составить уравнение окружности, описанной около тре¬
угольника, стороны которого заданы уравнениями 9*—2у—41=0,
7jc + 4y + 7 = 0, х—Зу+1=0.
,Д Найдем координаты вершин треугольника, решив совместно три системы
уравнений:
( 9х—2г/—41 =0, ( 9*—2у—41 =0, f 7х-\-4у-f7 = 0,
\ 7*+4у+ 7 = 0; \ Х-3//+ 1 = 0; \ *-Зу+1=0.
В результате получим >4(3; —7), В (5; 2), С(—1; 0).
Пусть искомое уравнение окружности имеет вид (х—о)2-\-(у—Ь)2=^г2. Для
нахождения о, b и г иапишем три равенства, подставив в искомое уравнение
вместо текущих координат координаты точек А, В и С:
(3—а)2 + (—7—Л)2 = г2; (5—а)2 + (2—Ь)2 = г2; (—1 —о)2 + Ь2 = г2.
Исключая га, приходим к системе уравнений
Г (3_0)2 + (~7-6)2 = (5-a)2-f(2-*)2, Г 4а+186=—29,
^ (3—а)2 + (—7—6)2 = (— 1— а)2+Ь2, или \ 8а —145 = 57.
Отсюда а = 3,1, 6 =—2,3. Значение г2 находим из уравнения (—1—a)2-\-b2^r2f
т. е. г2 = 22,1. Итак, искомое уравнение записывается в виде (х—3,1)2 + (#-|-2,3)2=з
=22,1. А
130.	Составить уравнение окружности, проходящей через точки
А (5; 0) и 5(1; 4), если ее центр лежит на прямой х + у—3 = 0.
Д Найдем координаты точки М —середины хорды АВ; имеем хм = (5+1)/2=3,
Ум = (4+0)/2 = 2, т. е. М (3; 2). Центр окружности лежит на серединном пер¬
пендикуляре к отрезку АВ. Уравнение прямой АВ имеет вид
(у—0)/(4—0) = (*—5)/(1 — 5)Г т. е. * + //—5 = 0.
Так как угловой коэффициент этой прямой есть —1, то угловой коэффициент
перпендикуляра к ией равен 1, а уравнение этого перпендикуляра у—2= IX
Х(х—3), т. е. х—у—1=0.
Очевидно, что центр окружности С есть точка пересечения прямой АВ с ука¬
занным перпендикуляром, т. е. координаты центра определяются путем решения
системы уравнений х+у—5 = 0, х—у—1=0. Следовательно, х = 2, у — 1, т. е.
С (2; 0. Радиус окружности равен длине отрезка СА, т. е. г=уг(5—2)2-J-(l — 0)2=
= Y Ю. Итак, искомое уравнение имеет вид (х — 2)2 + {у — 1)2=Ю. Д
131.	Составить уравнение хорды окружности х2 + у2 = 49, деля¬
щейся в точке А (1; 2) пополам.
Д Составим уравнение диаметра окружности, проходящего через точку А (1; 2).
Это уравнение имеет вид у = 2х. Искомая хорда перпендикулярна диаметру н
проходит через точку Л, т. е. ее уравнение у—2 = (— 1 /2) (jc—1), или х-{-2у —
—	5 = 0. 4
132.	Найти уравнение окружности, симметричной с окруж¬
ностью х2-^у2 — 2х + 4у—4 относительно прямой х—у—3 = 0.
Д Приведем уравнение дайной окружности к каноническому виду (дс:— I)2 Н-
+ 0/—2)2=1; центр окружности находится в точке С (1; 2) и ее радиус равен 1.
26

Найдем координаты центра С\ (t/i) симметричной окружности, для чего через
точку С (1; 2) проведем прямую, перпендикулярную прямой х—у—3 = 0; ее уравне-
зве v~2 = k (х— 1), где'£ = — 1/1 =-—1, откуда у —2^ —*+1, или х-\-у—3=0.
Решая совместно уравнения х—у — 3 = 0 и * + */—3=0, получим х=3,г/=0,
т. е. проекция точки С(1; 2) на данную прямую—точка Р(3; 0). Координаты же
симметричной точки получим по формулам координат середины отрезка: 3 =
= (1 + *i)/2, 0=(2+£/i)/2; таким образом, ii=5, £/i=—2. Значит, точка Сг (5; — 2)—
геятр симметричной окружности, а уравнение этой окружности имеет вид (*—52)+
+(у+2)2 = 1. ±
133.	Найти множество середин хорд окружности х2+у2— 4 (*/+1),
проведенных через начало координат.
Л Уравнение множества хорд имеет вид y = kx. Выразим координаты точки
пересечения хорд с окружностью через к, для чего решим систему уравнений
*	= £,v и х2+у —4у—4 = 0. Получим квадратное уравнение х2 (62 + 1)—46*—4=0.
Здесь *i+*2 = 4/г/(1 + Л2). Но полусумма этих абсцисс дает абсциссу середины
хорды, т. е. * = 26/(1 + 62), а ордината середины хорды у = 2&2/(1 + 62). По¬
следние два равенства являются параметрическими уравнениями искомого
множества точек.
Исключив из этих равенств к (для чего достаточно в соотношении х= 26/(1 +&2)
жэложить k—y/х), получим а*24 У2 — 2^ = 0. Таким образом, искомым множеством
также является окружность. Д.
134.	Определить координаты центров и радиусы окружностей:
1) *2 + */2 — 8х+6у = 0; 2) *2 + /y2+10*—4r/ + 29 = 0; 3) х2 + у2 —
—	4х + 14г/ + 54 = 0.
135.	Найти угол между радиусами окружности х2-\-у2-\- 4х —
—	6у = 0, проведенными в точки ее пересечения с осью Оу.
136.	Составить уравнение окружности, проходящей через точки
•4(1; 2), 5(0; -1) и С (-3; 0).
137.	Составить уравнение окружности, проходящей через точки
.4 (7; 7) и В (—2; 4), если ее центр лежит на прямой 2х—у—2=0.
138.	Составить уравнение общей хор-
хы окружностей х2+у2= 16 и (х — 5)2 +
Н-г/2 = 9.
139.	Составить уравнения касательных
к окружности (х—3)2 + (у + 2)2 = 25, про¬
веденных в точках пересечения окруж¬
ности с прямой Л'—у + 2 = 0.
140.	Дана окружность я'2 + #2 = 4. Из
точки А (—2; 0) проведена хорда АВ,
которая продолжена на расстояние | ВМ | =
= \АВ\. Найти множество точек М.
2.	Эллис. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстоя-
жий которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоян¬
ная (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная больше расстояния между
оокусами.
Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на рис. 10,
2	фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала коор¬
динат в точках Fi(c; 0) и F2(—c; 0), то получится простейшее (каноническое)
уравнение эллипса:

Здер& а—большая, Ь — малая полуось эллипса, причем а, b н с (с—половина
расстояния между фокусами) связаны соотношением д2'=62+с8. ..
Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом
e — cfa (так как с < а, то е < 1).
Расстояния некоторой точки эллипса М от его фокусов называются фокаль¬
ными радиусами-векторами этой точки. Их обычно обозначают Г\ и г2 (в силу
определения эллипса для любой его точки ri + r2 = 2a).
В частном случае, когда а = Ь (е = 0, е = 0, фокусы сливаются в одной точ¬
ке—центре), эллипс превращается в окружность (с уравнением х2 + у2 — а2).
Взаимное расположение точки М (х\; yi) и эллипса х2/а2 + уг/Ь2 = 1 опреде¬
ляется условиями: если xl/a2-\-yl/b2 = 1, то точка М лежит на эллипсе; если
xl/a2 + y\/b2 > 1, то точка М лежит вие эллипса; если х\/а2у\/b2 < 1, то
точка М лежит внутри эллипса.
Фокальные радиусы-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по
формулам гх — а—ех (правый фокальный радиус-вектор) и Г2 = а-^-ех (левый фо¬
кальный радиус-вектор).
141.	Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего
через точки М (5/2; К 6/4) и N (—2; J/T5/5).
Д Пусть х2(а2-^у2/Ь2=\—искомое уравнение эллипса. Этому уравнению
должны удовлетворять координаты данных точек. Следовательно,
25+А-! ±+-1-1
4в*^86*	* cfi'bb1
Отсюда находим а2 = 10, 63= 1. Итак, уравнение эллипса имеет вид ж*/Ю +
+ уг= I. А
142.	На эллипсе х^/25 + уг/9 = 1 найти точку, разность фокаль¬
ных радиусов-векторов которой равна 6,4.
143.	Найти длину перпендикуляра, восставленного из фокуса
эллипса х*/а2 -+• г/8/#* = 1 к большой оси до пересечения с эллипсом.
144.	Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус
и нижнюю вершину эллипса д:2/25	1/2/16=1.
145.	Эллипс, отнесенный к осям, проходит через точку М (1; 1)
и имеет эксцентриситет е = 3/5. Составить уравнение эллипса.
146.	Как расположены относительно эллипса хг/50 + уг/32 = 1
точки М (7; 1), N (—5; —4), Р (4; 5)?
147.	Найти эксцентриситет эллипса, если фокальный отрезок
виден из верхней вершины под углом а.
148.	На прямой *-{-5 = 0 найти точку, одинаково удаленную
от левого фокуса и верхней вершины эллипса х*/20-{-у2/4 = 1.
149.	Пользуясь определением эллипса, составить его уравнение,
если известно, что точки (0; 0) и Ft(l; 1) являются фокусами
эллипса, а длина большой оси равна 2.
150.	Составить уравнение множества точек, расстояния которых
от точки А (0; 1) в два раза меньше расстояния до прямой у—4=0.
151.	Концы отрезка АВ постоянной длины а скользят по сто¬
ронам прямого угла. Найти уравнение кривой, описываемой точ-'
кой М, делящей этот отрезок в отношении 1: 2.
3.	Гипербола. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолют¬
ная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фо¬
кусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта постоян¬
28.

ная меньше расстояния между фокусами. Если поместить фокусы гиперболы
з	точках Fx (с; 0) и F2 (—с; 0), то получится каноническое уравнение гиперболы
X2 и2
где Ь2 = с2—а2. Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично
относительно осей координат. Точки Ах(а\ 0) и Л2 (— а; 0) называются верши¬
нами гиперболы. Отрезок АгА2 такой, что \ AiA2\— 2ay называется действитель¬
ной осью гиперболы, а отрезок BiB2 такой, что | ВХВ2 \ = 26, —мнимой осью (рис. 11).
Прямая называется асимптотой гиперболы, еслн расстояние точки М (х; у)
гиперболы от этой прямой стремится к нулю при	оо или х-+—оо. Гипер¬
бола имеет две асимптоты, уравнения
£ вторых // = ± (Ь/а) х.
Для построения асимптот гиперболы
строят осевой прямоугольник гиперболы
со сторонами х = а, х~ — а, у — Ьу
у = — Ь. Прямые, проходящие через
противоположные вершины этого прямо¬
угольника, являются асимптотами ги¬
перболы. На рис. 11 указано взаимное
расположение гиперболы и ее асимптот.
Отношение е=с/а > I называется эксцен¬
триситетом гиперболы.
Фокальные радиусы-векторы правой
ветви гиперболы: г\=ех—а (правый фо¬
кальный радиус-вектор), г2 — ех-{-а (ле¬
вый фокальный радиус-вектор).
Фокальные радиусы-векторы левой ветви гиперболы: Г\ = — ех-\-а (правый
вокальный раднус-вектор), г2 = — ех — а (левый фокальный радиус-вектор).
Если а = Ь, то уравнение гиперболы принимает вид
*2 — у2 = а2.
Такая гипербола называется равнобочной. Ее асимптоты образуют прямой угол.
Если за оси координат принять асимптоты равнобочной гиперболы, то ее урав¬
нение примет вид ху = т {т= ± а2/2; при т> 0 гипербола расположена в I
в III четвертях, при т< 0 — во II и IV четвертях). Так как уравнение ху = т
можно переписать в виде у = т/х, то равнобочная гипербола является графиком
обратной пропорциональной зависимости между величинами хну.
Уравнение
У i
Вг
4
Рис. 11
X2	у2	(	у2 X2	\
а2	Ь2~	\или 6s — а2 ~ )
(2)
также является уравнением гиперболы, но действительной осью этой гиперболы
служит отрезок оси Оу длины 2Ь.
Две гиперболы х2/а2—y2jb2=\ и х2/а2—t/2/b2 =— 1 имеют одни и те же
полуоси и одни и те же асимптоты, но действительная ось одной служит мни¬
мой осью другой, и наоборот. Такие две гиперболы называют сопряженными.
152.	На правой ветви гиперболы х2/16—y2j9=1 найти точку,
расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше ее рас-
ггояния от левого фокуса.
Д Для правой ветви гиперболы фокальные радиусы-векторы определяются
по формулам ri = e*—а и г2—ех-\-а. Следовательно, имеем уравнение елг-fа =
= 2(е*—а), откуда х = 3а(е\ здесь а = 4, е = с/д = УГа2 + b2la = Y 16+ 9/4 =*
= 5/4, т. е. * = 9,6.
Ординату находим из уравнения гиперболы:
v~±\v*=1б=±! -j/	6=±!^щ.
29

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки: Mi (9,6; 0,6]/" 119)
и М2 (9,6; —0,6 /119). А
153.	Даны точки А (—1; 0) и Б (2; 0). Точка М движется так,
что в треугольнике АМВ угол В остается вдвое больше угла А.
Найти уравнение кривой, которую опишет точка М.
Д Взяв точку М с координатами х и у, выразим tg В и tg А через коорди¬
наты точек А, В и М:
Согласно условию, получаем уравнение tg £=tg 2А, т. е. tg B=2ig Л/(1—tg2^).
Подставив в это равенство найденные для tg В и tg Л' выражения, приходим
к уравнению
у	2у/(х+\) т
2—х 1 —/у2/(1 +*)2>
после сокращения иа у {уф 0) н упрощения получаем х2—у2/ 3=1. Искомая
кривая — гипербола. Д.
154.	Эксцентриситет гиперболы равен V 2, Составить простейшее
уравнение гиперболы, проходящей через точку М (V3; V2).
Д Согласно определению эксцентриситета, имеем с/а=У~~2, или с2 = 2а8.
Но с2 = я2 + 62; следовательно, а2-\-Ь2 = 2а2, или а2=62, т. е. гипербола равно¬
бочная.
Другое равенство получим из условия нахождения точки М на гиперболе,
т. е. (Y 3)2/а2—(У 2)2/62=1, или 3/а2—2/62=1. Поскольку а2 = 62, получим
3/а2—2/а2=1, т. е. а2 = 1.
Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид х2—у2= 1. Д
155.	Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку
М (9; 8),_ если асимптоты гиперболы имеют уравнения у=
= ±(2Vm)x.
156.	Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой
находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса дг2/8 +
+0*/5=1.
157.	Через точку М (0; —1) и правую вершину гиперболы
Зхг—4г/2 = 12 проведена прямая. Найти вторую точку пересечения
прямой с гиперболой.
158.	Дана гипербола хг—у* — 8. Найти софокусный эллипс, про¬
ходящий через точку М (4; 6).
159.	Дан эллипс 9хг + 25уг = 1. Написать уравнение софокусной
равнобочной гиперболы.
160.	Угол между асимптотами гиперболы равен 60°. Вычислить
эксцентриситет гиперболы.
161.	На левой ветви гиперболы х2/64—у2/36 = 1 найти точку,
правый фокальный радиус-вектор которой равен 18.
162.	Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет
равен 2 и фокусы совпадают с фокусами эллипса хг/2Ъ + у2/9 = 1.

163.	Найти фокальные радиусы-векторы гиперболы **/16—у*/9=
= 1 в точках пересечения ее с окружностью х*-\-уг — 91.
164.	Доказать, что длина перпендикуляра, опущенного из фо¬
куса на одну из асимптот гиперболы, равна мнимой полуоси.
165.	Доказать, что произведение расстояний от любой точки
гиперболы хг—уг— 1 до ее асимптот есть величина постоянная.
166.	Найти уравнение множества точек, равноотстоящих от
окружности х* + Ьх-\-у* = 0 и от точки М (2; 0).
4.	Парабола. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноуда-
—«ш от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой
Лшректрисой. Если директрисой параболы является прямая *■—рД. а фоку-
—	точка F(p/2; 0), то уравнение параболы имеет вид У
у* = 2 рх.
О)
Эта парабола расположена симметрично относи¬
тельно оси абсцисс (рис. 12, где р > 0).
Уравнение
ж* = 2 ру
(2)
является уравнением параболы, симметричной отно¬
сительно оси ординат. При р > 0 параболы (I) и
♦2) обращены в положительную сторону соответству¬
ющей оси, а при р < 0—в отрицательную сторо-	рис.	\2
■у.
Длина фокального радиуса-вектора параболы уг = 2рх определяется по фор¬
муле г = х+р/2 (р > 0).
167.	Составить уравнение параболы, симметричной относительно
оси Ох, с вершиной в начале координат, если длина некоторой
хорды этой параболы, перпендикулярной оси Ох, равна 16, а рас¬
стояние этой хорды от вершины равно 6.
Д Так как известны длина хорды и расстояние ее от вершины, то, следо¬
вательно, известны координаты конца этой хорды—точки М, лежащей иа пара¬
боле. Уравнение параболы имеет вид уг = 2рх; полагая в нем дс=6, У = 8, иахо-
лн 82 = 2р-6, откуда 2р = 32/3. Итак, уравнение искомой параболы у®=32ж/3.
168.	Составить уравнение параболы с вершиной в начале коор-
лнат, 'симметричной относительно оси Оу и отсекающей на бис¬
сектрисе I и III координатных углов хорду длиной 8 К 2.
Д Искомое уравнение параболы ж* = 2ру, уравнение биссектрисы у = х. Таким
образом, получаем точки пересечения параболы с биссектрисой: 0(0; 0) и
М (2р; 2р). Длина хорды определяется как расстояние между двумя точками:
8 У 2 = Y4р2+ 4рг, откуда 2р — Ь. Следовательно, искомое уравнение имеет вид
х-’=8у. А
169.	Составить простейшее уравнение параболы, если известно,
тто ее фокус находится в точке пересечения прямой 4х—3у—4 = 0
с осью Ох.
170.	На параболе уг = 8х найти точку, расстояние которой от
хвректрисы равно 4.
31

171.	Составить уравнение параболы с вершиной в начале коор¬
динат, симметричной относительно оси Ох и отсекающей от прямой
у = х хорду длиной 4 V 2.
172.	Парабола у2 = 2х отсекает от прямой, проходящей через
начало координат, хорду, длина которой равна 3/4. Составить урав¬
нение этой прямой.
173.	Составить простейшее уравнение параболы, если длина
хорды, перпендикулярной оси симметрии и делящей пополам рас¬
стояние между фокусом и вершиной, равна 1.
174.	На параболе у2 = 32х найти точку, расстояние которой от
прямой 4х+ 3#+ 10 = 0 равно 2.
У
У’
И
т
Рис. 13
175.	Составить уравнение параболы с вершиной в начале коор¬
динат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку
М (4; 2); определить угол а между фокальным радиусом-вектором
этой точки и осью Ох.
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ И УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1.	Преобразование координат. При переходе от системы координат хОу к но¬
вой системе х'Оху' (направление осей координат прежнее, за новое начало коор¬
динат принята точка Ох (а\ b); рис. 13) связь между старыми и новыми коор*
динатами некоторой точки М плоскости определяется следующими формулами:
х = х'+а, у = у' + Ь;	(1)
а, уг — у — Ь.
(2)
С помощью формул (1) старые координаты выражаются через новые, а с по¬
мощью формул (2) — новые через старые.
При повороте осей координат на угол а (начало координат прежнее, причем
а отсчитывается против часовой стрелки; рис. 14) зависимость между старыми
координатами х, у и новыми х-, у' определяется следующими формулами:
x — xf cos а—yf sin а, у — х' sin а + */' cos а;	(3)
х' =х cos а + // sin а, у' = — х sin а+у cos а.	(4)
176.	Сделан параллельный перенос осей координат, причем но¬
вое начало расположено в точке Ох (3; —4). Известны старые коор¬
динаты	точки	М (7; 8). Определить новые координаты этой	же точки.
Д Здесь	а — 3, b =—4, х = 7, у —8. По формулам (2) находим х* = 7—3=4,
</' = 8—(—4) = 12. А
32

177.	На плоскости хОу дана точка М (4; 3). Система координат
повернута вокруг начала координат так, что новая ось прошла че¬
рез точку М. Определить старые координаты точки А, если известны
ее новые координаты х' = 5, у'= 5.
Д Так как | ОМ | = уг42 + 32 = 5, то sin а = 3/5, cos а = 4/5; тогда формулы
(3) преобразования координат для дайной задачи примут вид * = (4/5)*' — (3/5) y't
у = (3/5) *' + (4/5) у'. Полагая х'=у' = 5, находим *=Ь у = 7. ^
178.	Система координат повернута на угол а = л/6. Определить
новые координаты точки М{V3 ; 3).
Д Используя формулы (4), получим
*' = уз cos (я/б) + 3 sin (я/б) = 3/2 + 3/2 = 3,
у' = —УЗ sin (я/б)+ 3 cos (я/б) = — уТ/2 + 3 уТ/2 = уТ. Д
179.	Дана точка М (9/2; 11/2). За новые координатные оси	при¬
няты	прямые 2х—1=0 (ось Огу'), 2у — 5 = 0 (ось 0^).	Найти
координаты точки М в новой системе координат.
180.	Дана точка М{аУЪ\ 21^5). За новую ось абсцисс при¬
нята прямая у = 2х, а за новую ось ординат — прямая у = —0>5х,
причем новые оси координат образуют с соответствующими старыми
осями острые углы. Найти координаты точки М в новой системе.
2.	Парабола у = Ах2 + Вх + С и гипербола у= (kx + 1)/(рх + д). Уравне¬
ние вида
у = Ах2-\-Вх-\-С
преобразованием координат при параллельном переносе осей, т. е. по формулам
*=*'+а, у—-уг -\-Ь (а и b — координаты нового начала, *' и у' — новые коор¬
динаты), преобразуется к каноническому виду уравнения параболы.
Парабола, определяемая уравнением у~Ах2-\-Вх-\-С, имеет ось симметрии,
параллельную оси Оу (аналогично, уравнение * = Ау2-\-Ву~\~С определяет пара¬
болу с осью симметрии, параллельной оси Ох).
Дробно-линейная функция
y = {kx+l)l(px+q)
определяет равнобочную гиперболу, если kq—pi Ф 0, р ф 0; преобразованием
координат при параллельном переносе осей координат это уравнение преобразу¬
ется к каноническому виду уравнения равнобочной гиперболы ху = т, т. е.
к уравнению равнобочной гиперболы, у которой оси координат ивляются асимп¬
тотами. При т > 0 ветви гиперболы расположены в I и III четверти, а при
л < 0 — во II и IV четверти.
181.	Привести к каноническому виду уравнение параболы
у^=9х2—6л:+ 2.
Д Заменим * на *'+а и у на у'-\-Ь:
у' + Ь=:9 (х' + а)2—б (*'+а)+2,
ИЛИ
#' = 9*'2 + б*' (За — 1) + (9а2—6а + 2—Ь).
Найдем такие значения а и Ьу при которых коэффициент при *' и свободный
член обратятся в нуль: За—1=0, 9а2—6а+ 2 — 6 = 0, т. е. а =1/3, Ь = 1. Сле¬
довательно, каноническое уравнение параболы имеет вид *'2 = (1/9) у'. Вершина
параболы находится в точке Oj (1/3; 1) и /? = 1/18.

Другой способ решения таких задач заключается в том, что заданное урав¬
нение вида у = Ахг-\-Вх+С (или х=Ау*+Ву+С) приводится к виду (х—а)г =
= 2р (у — Ь) [соответственно (у—Ь)а = 2р (х—а)]. Тогда точка О* (а; Ь) служит
вершиной параболы, а знак параметра р определит, в какую сторону—положи¬
тельную или отрицательную соответствующей оси (Оу или Ох)—направлена па*
рабола.
Так, уравнение у = 9х2—6х+2 преобразуется следующим образом:
у=9(ж»-|*+!)-1+2;
у 1 =9 (лс )* ;
Отсюда снова получаем, что вершина параболы находится в точке О* (1/3; 1),
параметр р = 1/18» а ветвь параболы направлена в положительную сторону
оси Оу.
182.	Привести уравнение гиперболы у = (4дс+5)/(2дс—1) к виду
x'y' = k. Найти уравнения асимптот гиперболы относительно перво¬
начальной системы координат.
Д G помощью параллельного переноса осей координат преобразуем данное
уравнение к виду
(у* -{- b) (2х' -{- 2а — 1)== 4х' -|-
или
2х'у' -\-(2Ь —4) д^ + (2а—1) у' =4а + Ь—2а6+5.
.г
Найдем а и Ъ из условий 2b—4=0 и 2а—1=0, т. е. а=0,5, 6 = 2. Тогда
уравнение гиперболы в новой системе координат примет вид х'у'=3,5. Асимпто¬
тами гиперболы служат новые оси координат, а поэтому их уравнения х'=0,5,
у’ =2.
Другой способ решения таких задач заключается в том, что уравнение вида
y — (kx-\-l)/(px+q) преобразуется к виду (х—а) {у—Ь)=т; центр гиперболы на¬
ходится в точке 0* (а; Ь)\ ее асимптотами служат прямые х—а и у = Ь, знак т
по-прежнему определяет, в каких углах между асимптотами находятся ветви ги¬
перболы.
Так, уравнение у = (4х+5)/(2х— 1) преобразуется следующим образом:
(2*-1)у-(4х+5) = 0; 2(х—0,5) (у—2) =7.
Значит, уравнение гиперболы приведено к виду (х—0,5) (у—2) =3,5; центр
гиперболы находится в точке Ох (0,5; 2), ветви гиперболы расположены в I н III
четвертях между ее асимптотами х—0,5 = 0, у—2=0.
183. Привести к каноническому виду уравнения парабол:
1)у — 4х—2х*;2)у = — ** + 2*+2; 3) х= — 4у*+у; 4)ж = ^/* + 4^ + 5.
184. Преобразовать уравнения гипербол к виду х'у'—т:
1) у = 2х/(4х— I); 2) у = (2х + 3)/(3х—2); 3) у = ( 10ж+2)/(5х + 4);
4)	у = (4х + 3)/(2х+ 1).
3.	Пятичлениое уравнение кривой второго порядка. Уравнение второй сте¬
пени вида
Ax*+Cy*+2Dx+2Ey + F=>Q
(не содержащее члена ху с произведением координат) называется пятичленным
уравнением кривой второго порядка. Оно определяет на плоскости хОу эллипс.
34

пшерболу или параболу (с возможными случаями распада н вырождения этих
кривых) с осями симметрии, параллельными осям координат, в зависимости от
знака произведения коэффициентов А и С.
1.	Пусть АС > 0; тогда определяемая этим уравнением кривая есть эллипс
(дейсвительиый, мнимый или выродившийся в точку); при А~С эллипс превра¬
щается в окружность,
2.	Пусть АС < 0; тогда соответствующая кривая является гиперболой, кото¬
рая может вырождаться в две пересекающиеся прямые, если левая часть урав¬
нения распадается ва произведение двух линейных множителей;
Ах2+Су2+2Dx+2Ey+F = (<ахх +	+ с{) (а2х+ b2у + с2).
3.	Пусть ЛС = 0 (т. е. либо >4=0, С Ф 0, либо С=О, |А Ф 0); тогда уравие-
пе определяет параболу, которая может вырождаться в две параллельные пря¬
ные (действительные различные, действительные слившиеся или мнимые), если
левая часть уравнения не содержит либо х, либо у (т. е. если уравнение имеет
вад Ax2-\-2Dx + F = 0 или Су2Ц-2Еу+F — 0).
Вид кривой и расположение ее на плоскости легко устанавливаются преоб¬
разованием уравнения к виду А (х—х0)2+С (y—y0)2 = f (в случае АС > 0 или
АС < 0); по виду полученного уравнения обнаруживаются и случаи распада или
«рождения эллипса и гиперболы.
В случае невырожденных кривых переносом начала координат в точку
Ф (*<ь Уо) полученное уравнение эллипса или гиперболы можно привести к кано*
жическому виду.
Случай АС = 0 подробно рассмотрен в предыдущем параграфе, поскольку
трави ен не невырожденной параболы здесь может быть записано в виде
^=а1дг2 + 61л: + с или x = fliya + &i*/+Ci.
185.	Какую линию определяет уравнение 4ха + 9у2—8* —
—	36у + 4 = 0?
Д Преобразуем данное уравнение следующим образом:
4 (ж2—2х)+9 (у2—4*/) = —4;
4 (х*—2х+\ —1)+9 (у2-4у+4—4) = —4;
4	(*—1)2+9 (г/—2)2 = —4+4 + 36; 4 (ж—1)2 + 9 (^—2)2 = 3б.
Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало
координат точку O' (1; 2). Воспользуемся формулами преобразования координат:
х = х' + 1, у=у' + 2. Относительно новых осей уравнение кривой примет вид
4*'*+V* = 36, или х'2/9+у'1/4=1.
Таким образом, заданная кривая является эллипсом. Д
186.	Какую линию определяет уравнение хг—9у2 + 2* + 36//—
—	44 = 0?
Д Преобразуем данное уравнение так:
(*2+2ж+1 — 1)—9 («/*—4^+4—4) =44;
(*+1)2—9 (у—2)2 = 44+1— 36, (*+1)2—9 (у—2)2 = 9.
Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало
точку О'(— 1; 2). Формулы преобразования координат имеют внд х = лс'— 1,
у=у* +2. После преобразования координат получим уравнение
ж'2—9y,2 — 9f или х,2/9—у'2=\.
Кривая является гиперболой. Асимптотами этой гиперболы относительно новых
осей служат прямые у' = ± (1/3) ж'. Д
Установить, какие кривые определяются нижеследующими урав¬
нениями. Построить чертежи.
187.	36*2 + 36уа—36*—24^—23=0.
188.	16** + 25у*—32*+50у—359 = 0.

189.	}-x'-±y'-x+ly-\ =0.
190.	лг2 + 4у*—4х—8у-\-8 — 0.
191.	л:2 + 4у2 + 8у+5 = 0.
192.	jca—у2—6л:+ 10 = 0.
193.	2х2—4*4-2#—3 = 0.
194.	х*—6х+8 = 0.
195.	jc2 + 2x+5 = 0.
4.	Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго по-
рядка. Если кривая второго порядка задана уравнением
Ах2 + 2 Вху+Су2+2Dx+2Еу + F = 0,
то, применив преобразование поворота осей координат с использованием формул
х = xf cos а—у' sin а, у = х* sin а-\-у* cos а, следует при надлежащем выборе а
освободиться в уравнении от члена с произведением координат.
Дальнейшие преобразования были рассмотрены в предыдущем разделе.
Случай распада кривой второго порядка на две прямые может быть легко
установлен по исходному уравнению следующим образом: Грассматривая уравне¬
ние как квадратное относительно у (предполагая, что коэффициент при у2 отли-
чей от нуля), разрешают его относительно у; если при этом под корнем окажется
точный квадрат некоторого двучлена ах+6, то корень извлечется, и для у полу¬
чатся два значения: yi = kxx+bi: y2 = k2x-\-b2- Это и покажет, что кривая рас¬
падается на две прямые.
Данное уравнение может быть разрешено и относительно х. Если в общем
уравнении кривой второго -порядка А=С = 0 (естественно, что В Ф 0), то ука¬
занное уравнение определяет пару прямых тогда и только тогда, если BjD = 2E/F*
В этом случае левая часть уравнения разлагается на линейные множители.
196.	Показать, что уравнение 9х2 + 24;«/ + 16*/2—25 = 0 опреде¬
ляет совокупность двух прямых.
Д Перепишем уравнение в виде (Здг+4у)2—25 = 0. Разложив левую часть на
множители, получаем (Зя-|-4*/+ 5) (Зх+Ау—5) = 0. Таким образом, заданное
уравнение определяет прямые 3*-|-4^ + 5 = 0 и Зх+4у—5 = 0.
197.	Показать, что уравнение Зх2 + 8ху—3у2—1 4jc—2*/-f8 = 0
определяет совокупность двух прямых.
Д Перепишем уравнение в виде 3у2—2 (4х—1) у—(Зх2—14*+8) =0. Разре¬
шим уравнение относительно у:
_ 4х—1 ± у(4дс — 1)2+(9х*—42*+24)	..... .. 4дг-1 ± (5х-5)
У—	£	■	1	,	нлн у —	0	•
Получаем уравнения прямых у=Зх—2 и у = {—х+4)/3. Эти уравнения
можно записать в виде Зх—у—2 = 0, х-\-3у—4=0. ^
198.	Какая линия определяется уравнением ху + 2х—4у — 8 = 0?
Д Запишем уравнение в виде х(у-\-2)—4(у + 2)=0, или (х—4)({/+2)=0.
Таким образом, уравнение определяет две прямые х—4 = 0 и 2 = 0, одна нз
которых параллельна осн Ох, а другая параллельна оси Оу. Д
199.	Привести к каноническому виду уравнение
5х2 + 4ху + 8у2 + 8лг+ 14у + 5 = 0.
36

А 1. Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулами (3) п. 1
поворота осей координат. Имеем
Ъ(х' cos ос—^/*sin а)2+4 (,х' cos а—yf sin а) (,х' sin а-\-у’ cos а) +
+ 8 (.х' sin а + г/' cos а)2 + 8 (х' cos a —у’ sin a) +14 (*' sin a+y' cos a) + 5 = 0,
■ли
(5 cos2 a + 4 sin a cos a+8 sin2 a) *'*+ (5 sin2 a—4 sin a cos a+8 cos2 a) *//2 +
+ [6 sin a cos a + 4 (cos2 a—sin2 a)] x'y' + (8 cos a +14 sin a) x' +
+ (14 cos a—8 sin a) yr + 5 = 0.
Найдем a из условия 4 (cos2 a—sin2 a)+ 6 sin a cos a = 0, т. e. приравняем
■улю коэффициент при x'y'. Получаем уравнение 2tg2a—3tga—2—0. Отсюда
tga1 = 2, tg 0C3 =	1/2.
Заметим, что эти значения tg а соответствуют двум взаимно перпендикуляр¬
ным направлениям. Поэтому, взяв tga—-2
■место tga = —1/2, мы только меняем ролями
оси х' и у' (рис. 15).
Пусть tga = 2, тогда slna = ±2/f^5,
cosa=± \/V~5\ возьмем положительные зна¬
чения sin а и cos а. Тогда уравнение принима¬
ет внд
W+V+-»
ЖЛИ
у 5	)	\	2	уь
2.	Выражения в скобках дополним до полных квадратов:
Приняв за новое начало точку О' (—2!У~5; 1/(4	применим	формулы пре¬
образования координат х'=х”—2/^5, у'=уп+ 1/(4	5); получим 9*"2 + 4у”2 =
хп2	уп2
= 9/4, или J/4_+^j0'==1 (уравнение эллипса).
200.	Привести к каноническому виду уравнение
6ху + 8у2 — 12л:—26*/ + 11 =0.
А 1. Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулами (3) п. 1
поворота осей координат:
6 (х' cos а—у' sin a) (х' sin а + у' cos a) + 8 (x' sin a+y' cos a)2—
—12 (x' cos a—y' sin a)—26 (x' sin a-\-y' cos a)+ 11 = 0,
ЖЛН
(6 sin a cos a+8 sin2 a) x'a + (8 cos2 a—6 sin a cos a) */'2+
+ [16 sin a cos a+6 (cos2 a—sin2 a)] x'y' —
—	(12 cos a+26 sin a) x' — (26 cos a—12 sin a) yf +11 =0.
37

Приравнивая нулю коэффициент при xry't имеем
16 sin a cos а+6 (cos2 а—sin2 а) = О, или 3tg2a—8tga—3 = 0.
Отсюда tgai = 3, tga2 =—1/3; примем tga = 3, тогда sina — ± 3/1^10,
cosa=± 1 /У ГО; возьмем положительные значения sin a и cos a. Тогда уравне¬
ние принимает вид
9х'а—у’2—9 ^lOx' + ^IOy' + ll^O,
или
9(ж'*—KlO дс')—(у'*—Kio/)-—!!•
2.	Выражения в скобках дополним до полных квадратов:
ИЛИ
9(,_igo
Приняв за новое начало точку_0' (У~ 10/2; У Ю/2), применим формулы преобра¬
зования координат х' =х"+уг 10/2, у'=уп-\-}/г 10/2; получим 9х"2—у”2 = 9, или
х?г—^а/9=1 (уравнение гиперболы).
201.	Привести к каноническому виду уравнение
х2—2ху + у2— IOjc—6у + 25 = 0.
д 1. Преобразуем уравнение с помощью формул поворота осей:
(д/ cos а—у* sin a)2—2 (xf cos a—y' sin a) (x' sin a+y' cos a) +
+ (*' sin a+y' cos a)2—10(*' cos a—y* sin a)—6 (*' sin a+y' cos a)+25 = 0,
или
(cos2 a—2 sin a cos a+sin2 a) x'a+(sin2 a+2 sin a cos a+cos2 a) у,г+
+ 2 (sin2 a—cos2 a) x'y' — (Ю cos a+6 sin a) x' + (Ю sin a—6 cos a) y' +25=0.
Приравнивая нулю коэффициент при произведении x'y', имеем (2 sin2 a—cos2a)=0,
откуда tg2a==l, т. e. tgai==l, tga2 =—1. Возьмем tga=l, откуда а=я/4 и
sina= 1/^2, cosa= 1/^2. Тогда уравнение принимает вид
2у'2~8уг2 х'+2Уг2 у'+25 = 0, или 2(у'2 + У2 у')-8 У*2 *'+25 = 0.
2.	Выражение в скобках дополним дэ полного квадрата:
2{/ +^Y~) =8 Уг2х'—24, ИЛИ	=4 У 2	— у=).
Приняв за новое начало точку 0'(З/у^;—У2 /2_), применим формулы преобра¬
зования координат х'=х’—ЗУ2, у' у"У212; получим у"*=4 У2 х’
(уравнение параболы). Д
Показать, что нижеследующие уравнения определяют кривые,
распадающиеся на пару прямых, и найти уравнения этих прямых:
202.	25х*+10*0+0*—1=0.
203.	х*-\-2ху-\-у*-\-2х-\-2у-\-1 =0.
204.	8х*—18*1/+9//*+2*—1 = 0.

Привести к каноническому виду уравнения следующих кривых:
205.	14xa-f 24xy-\-2ly2—4jc+ 18 у—139 = 0.
206. 4х*/ + 3у2 + 16* + \2y—36 = 0.
207.	9x2—24xy+l6y2—20x+ll0y—50 = 0.
f 5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ
8 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ
■	ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
1.	Определители второго порядка н системы лииейиых уравнений. Определи-
т£ль второго порядка, соответствующий таблице элементов (ai J1 V определяется
\а2 о2J
равенством
I J*	афь
Ь2\
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
aix+b!y=ci,
OtX -J- b2y—Сз»
!ai bi
{
еслн ее определитель D = | * * | ф 0, имеет единственное решение, которое нахо¬
дится по формулам Крамера
(1)
Ci
bl 1
1 ai
Cl
Dx
y —	;— _
_£a_
Ы .
^V
и ■—i 4 —
. \<*t
c2
D
4
4 9
У D
bi
a2
\<h
*2
Ваш определитель £—0, то система является либо несовместной, либо неоп¬
ределенной. В последнем случае система сводится к одному уравнению (например,
крвому), второе же уравнение является следствием первого.
Условие несовместности системы можно записать в виде ai/a2 = bi/b2 Ф Ci/c2i
а условие неопределенности—в виде aila2 = b1/b2=ci/c2.
Линейное уравнение называется однородным, если свободный член этого урав-
аения равен нулю.
Рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений с тремя неиз¬
вестными
Г <2i*+%+£i2 = 0,
у а2х "1” b$y -|- c2z — 0.
1.	Если aila2=bilb2=ci/c2i то система сводится к одному уравнению (напри¬
мер, первому), из которого одно из неизвестных выражается через два других,
заачения которых остаются произвольными.
2.	Если условие aila2 = bi/b2*=cijc2 ие выполнено, то решения системы нахо¬
дятся по формулам
х—
bi I
b2 c2 I
ai a
a2 c2
at bi
a2 b2
(2)
где t может принимать любые значения. Эти решения можно записать также
в виде
х	у	г
bi Ci
b2 с2
I at а
| fla Ca
Ifli bx
\a2 b2
39

,При этой форме записи решений следует помнить, что если один из знамена*
телей обращается в нуль, то следует приравнять нулю и соответствующий чис¬
литель.
208.	Решить систему уравнений
(a-{-b)x—(а—b) y = \ab,
(а—Ь) дс+(а+6) у=2 (а«—6*).
{
Д Находим определитель D системы и определители Dx и £)», входящие
в числители формул (1):
D =
аа-1 (аа+ЬЬ | = (я+6)г + (а-6)г = 2(а*+6*),
DH2(j-^) ~ (аа+Ь l-b'b + W + M-Mb-
—2ab2 + 2Ь* = 2 (а3+а2Ь+аЬг + Ь-») = 2 (в2 + Ьг) (а + Ь),
Dy = \aatl 2 (а2—&г) | —2я3 + 2аг6 2аЬ2 2Ьг
—4аЧ + 4ah2 = 2 (а3—аЧ + ab* — 63) = 2 (а2 + 62) (я — Ь).
Отсюда x = Dx/D = a-{-bt y = Dy/D=a—b. Д
209.	Решить систему линейных однородных уравнений
Г 3*+40+5z = O,
\ х-\-2у—3г = 0.
Д Используя формулы (2), находим
*=|| _J|-<	22*. г/ = -|,_зИ = 14<’ г = |3 4
где t можно придавать любые значения. Д
Решить системы уравнений:
t=2t,
91ft / 5*~ 3У=1>
I *+Иу = 6.
212	/ ах—by = а? ,
***• \ Ьх+ау = а2 + Ь2.
2“- {зГГг"°’
216. / а2х~2(а2 + ь2)У + ^ = О,
211. | 2х+у= 1/5.
-5у+2г=0.
,	/	а2*—2(а2 + 62)у
* \ 2*+2(/-Зг = 0.
213
215
4*4-20=1/3.
3*+2#= 1/6,
9*4-60=1/2.
—у sin
4- у cos а = sin 2а.
Г 3*4-20=1/6,
\ 9*+60 =1/2.
J xcosa—у sin а = cos 2а,
\ * sin а
2.	Определители третьего порядка и системы линейных уравнений. Определи-
/<*1 Ьх сх\
те ль третьего порядка, соответствующий таблице элементов ( а2 Ь2 с2 )» опреде*
\аз bз С3/
ляется равенством
ai 61 Ci
a<i b2 С2
йъ 63 Сз
«eJJ* Сг|-&1|аг Сг
I Ьъ с3I I а3 с3
+ ^1
Минором данного элемента определителя третьего порядка называется опре¬
делитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе
вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент. Алгебраическим до-
40

полнением данного элемента называется его минор, умноженный на (—1)Л, где
к—сумма номеров строки и столбца, содержащих данный элемент.
Таким образом, знак, - который при этом приписывается минору соответст¬
вующего элемента определителя, определяется следующей таблицей:
+ - +
-	+ - .
+ - +
В приведенном выше равенстве, выражающем определитель третьего порядка,
в правой части стоит сумма произведений элементов 1-й строки определителя на
их алгебраические дополнения.
Теорема 1. Определитель третьего порядка равен сумме произведений
элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Эта теорема позволяет вычислять значение определителя, раскрывая его по
элементам любой его строки или столбца.
Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)
определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца)
разна нулю.
Свойства определителей.
1°. Определитель не изменится, если строки определителя заменить столб¬
цами, а столбцы—соответствующими строками.
2°. Общий множитель элементов какой-нибудь строки (или столбца) может
быть вынесен за энак определителя.
3°. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно
равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.
4°. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на
npont неотложный.
5°. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца)
прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на
одно и то же 'число (теорема о линейной комбинации параллельных рядов опре¬
делителя).
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
( «1 x + b1y + ciz=dl,
-j a2x+b2y+c2z = d2,
I a3x + b3y+c3z=ds
находится по формулам Крамера
x = Dx/D, y=Dy/D, z—Dz/Dt	(1)
где
at bi Ci
di bt сг
ar di Cj
ai bi
01 =
а2 b2 с2
, Dx =
d2 b2 c2
. Dy
a 2 da c2
. Dz =
a2 by d2
as bz Сз
dз сз
a2 d$ c3
a3 bz </3
При этом предполагается, что D Ф 0 (если 0=0, то исходная система либо
неопределенная, либо несовместная).
Если система однородная, т. е. имеет вид
(а гх + bxy+сгг = О,
а2х -{- b2y-f- c2z = О,
аз* + &аУ+Сз* = 0,
и ее определитель отличен от нуля, то она имеет единственное решение х = О,
у = 0, 2 = 0.
Если же определитель однородной системы равен нулю, то система сводится
либо к двум независимым уравнениям (третье является их следствием), либо к
одному уравнению (остальные два являются его следствиями). Первый случай
нмеет место тогда, когда среди миноров определителя однородной системы есть
хотя бы один отличный от нуля, второй—тогда, когда все миноры этого опреде¬
лителя равны нулю.

В обоих случаях (см. п.
решений.
1)	однородная система имеет бесчисленное множество
217. Вычислить определитель третьего порядка
5 3 2
—1
7
Д Разложив определитель по элементам I-й строки, получим
5 3 2	. .	4
= 5
-31
7 6
+ 2
= 5-0—3 (—34) -J-2 (—17) =68. Д.
теоремы
218. Вычислить тот же определитель на основании
о линейной комбинации элементов строк (столбцов).
Д К элементам 1-й строки прибавим соответствующие элементы 2-й строки,
умноженные иа 5, а к элементам 3-й строки—соответствующие элементы 2-й стро¬
ки, умноженные иа 7:
5
3
2
0
13
22
—1
2
4
— 1
2
4
7
3
6
0
17
34
Разложив определитель по элементам 1-го столбца, получаем
0
— 1
13
2
22
4
=о.
2
4
0
17
34
17
34
+ Ь
I 13
17
22
34
+0.
13
2
= 13.34 — 17.22 =68. ^
219. Решить систему уравнений
( х + 2у+г=8,
| 3* + 2;/ + г = 10*
( 4* + 3*/—2г = 4.
Д По формулам (1) находим
У—
8 2
1
10 2
1
4 3
—2
1
2
I
3
2
1
4
3
—2
1
8
1
3
10
1
4
4
—2
14
1 2
8
3 2
10
4 3
4
3 —2
— 2
10 1
4 —2
+ Ь
10 2
4 3
14
1 |3 —2
1-1 10 1
4 —2
— 2
— 8
3	1
4	—2
3	1
4 —2
+ 1-
3	2
4	3
3	101
4	4
28
14
1'
2
,0| 2
3
10
3
4 j
4
4
+8
14
=12-=3. А
14	~	14	—	14
220. Решить систему линейных однородных уравнений
(4*+ У+ z = 0,
■J х+Зу + г = 0,
( Х + £/+22 = 0.
42

Д Здесь D =
. Для вычисления этого определителя к элементам
4	1	1
1	3	1
1	1	2
1-й строки прибавим элементы 3-й строки, умноженные на —4, а к элементам 2-й
строки—элементы 3-й строки, умноженные на —1:
О —3 —7
= 1-
—3 —7
2 —I
= 17.
Так как D ф О, то система имеет только нулевое решение х = у = г = 0. ±
221. Решить систему уравнений
'3* + 2 у— 2 = 0,
•	*+2t/+9z	=	0,
ч х+ y+2z = 0.
Д Имеем
3 2
D = 1 2
1 1
—I
9
2
= 3
— 2
— 1-
1 2
1 1
Следовательно, система имеет решения, отличные от нулевого. Решаем систему
первых двух уравнений (третье уравнение является их следствием);
f3 x+2t/— 2 = 0,
1	* + 2i/ + 9z = 0.
Отсюда по формулам (2) п. 1 получаем
2 —1
2	9
/ = 20/, i/=-
/ = — 28/, 2 =
3 2
1 2
/ = 4/. А
222.	Вычислить определитель
ментам 3-й строки.
223.	Вычислить определитель
1 2 —1
3 7	2
2 3—7
, разложив его по эле-
224. Вычислить определитель
1 1 1
2 3	4
4 9 16
линейной комбинации строк (столбцов).
2	3	4
2 а + 3 Ь + 4
2 с +3 rf+4
Решить системы уравнений:
(* + Зг/ —6г=	12,
Зх + 2г/ + 5г = —10,
2jc + 5i/—Зг = 6.
*+ */+ 2 = 0,
использовав теорему о
(Ъх— у— 2 = 0,
х + 2г/+3г=14,
4х + 31/+2г= 16.
227
{—5х+ */ + 2 — 0,
. \	6у+	2 = 0,
( JC+ г/—7г = 0.
(ajc+ 6y+cz =а—6,
6*+су +аг = 6— с,
сх+ау+&2 = с— а,
если а + Ь + с^0.
'•К
(ах
ь:
б(/+5г=0,
+4у+3г=0.
+ 6t/+(a+6)z = 0,
а«/ + (а4-*)г = 0,
+ у + 2г=0.

ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Если в пространстве задана прямоугольная декартоБа система координат Охуг,
то точка М пространства, имеющая координаты х (абсцисса), у (ордината) и г (ап¬
пликата), обозначается М (х; у\ г).
Расстояние между двумя точками А (**; ух\ гг) и В (х*\ у2; г2) определяется по
формуле
d= V (х2 — *i)*+ (j/„— у ^ + (г 2—Zi)a.	(I)
В частности, расстояние точки М (х\ у; г) от начала координат О определя¬
ется по формуле
а**У*х*+&+г*.	(2)
Если отрезок, концами которого служат точки А (хг\ у±\ гг) и В(х2\ у*\ *2),
разделен точкой С (Г; ~у\ г) в отношении к (см. гл. I, § 1), то координаты точки
С определяются по формулам
Г х1 *■“ ^2 .	“	У\ + ку2 .	-_ 2i + к*2	/OV
*=НГ+?Г’ v—Г+ЭС-'	—Г+Г-
В частности, координаты середины отрезка определяются по формулам
—	_*i+*2.-	~г.	Ух^гУг.	*т__	лп
*	2—» !/	§—*	—2—*
231.	Даны точки М1(2\ 4;	—2) и	М:(—2; 4;	2).	На	прямой
MjM, найти точку М, делящую отрезок MtMt в отношении к = 3.
Д Воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:
«  xi”f"кх* 2+3 (—2) 	_У1-гМ/2	4+3*4
м 1+А,	1 + 3	~	’	ум “l+Я. — 1+3	4'
*	— —2 + 3» 2
м	1+ А,	1+3
Следовательно, искомая точка Af (—1; 4; 1). Д
232.	Дан треугольник:	Л(1; 1; 1),	5(5; 1; —2),	С (7;	9;	1).
Найти координаты точки D пересечения биссектрисы угла А со
стороной СВ.
Д Найдем длины сторон треугольника, образующих угол А:
1АС\ = Уг(хс-хд)2 + {Ус~Уд)2+ (г с - гА)* = /(7-1)* +(9-1)*+(1-1)* = 10;
МВ|=1Л*л-*л)*+(г/л-Ы2+(2я-2л)*=К(5-1)2 + (1-1)*+(-2--1)2=5'
44

Следовательно, | CD |:| DB | = 10:5 = 2, так как биссектриса делит сторону СВ
на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом,
*с + ^хп 7 + 2-5 _17	_Ус^г^Ув 9 + 2*1 И
\ + х —i + 2~~3' yD	1 + А,	1+2	3’
 zc~\~^zb 1 + 2 (—2) 	.
D~ 1+А. —	1+2
искомая точка D(17/3, 11/3, —1). Д
233.	На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек А (2;
-4; 5) и В(—3; 2; 7).
Д Пусть М — искомая точка. Для нее должно выполняться равенство | AM |=
= | МВ\. Так как эта точка лежит на оси Ох, то ее координаты (х; 0; 0), а по¬
тому имеем
| AM\ = V(x— 2)2 + (—4)2 + 5*,	|МВ|= Vr(jc+3)2+2*+7*.
Отсюда после возведения в квадрат получаем
(ж—2)*+41 =(*-{-3)*+53, или Юде = —17, т. е. х = —1,7.
Таким образом, искомая точка М (—1,7; 0; 0). Д
234.	Даны точки А(3; 3; 3) и В (—1; 5; 7). Найти координаты
точек С и D, делящих отрезок АВ на три равные части.
235.	Дан треугольник: Л (1; 2; 3), В(7; 10; 3), С(—1; 3; 1).
Показать, что угол А—тупой.
236.	Найти координаты центра тяжести треугольника с верши¬
нами А (2: 3; 4), В(3; 1; 2) и С(4; —1; 3).
237.	В каком отношении точка М, равноудаленная от точек
>4(3; 1; 4) и В (—4; 5; 3), разделит отрезок оси Оу от начала ко¬
ординат до точки С (0; 6; 0)?
238.	На оси Oz найти точку, равноудаленную от точек Мх(2;
4; 1) и Mt(—3; 2; 5).
239.	На плоскости хОу найти точку, равноудаленную от точек
>4(1; -1; 5), В(3; 4; 4) и С (4; 6; 1).
§ 2. ВЕКТОРЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Свободный вектор а (т. е. такой вектор, который без изменения длины и на¬
правления может быть перенесен в любую точку пространства), заданный в коор¬
динатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде
а = а*1 + а„1+агк.
Такое представление вектора а называется его разложением по осям координат,
нли разложением по ортам.
Здесь ах% ayt az — проекции вектора а на соответствующие оси координат
(их называют координатами вектора a), i, j, к—орты этих осей (единичные век¬
торы, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением
соответствующей оси).
Векторы ах1, ау\ и azк, в виде суммы которых представлен вектор а, назы¬
ваются составляющими (компонентами) вектора а по осям координат.
Длина (модуль) вектора а обозначается а или |а| и определяется по формуле
a — ]f Ях+о^+й!.
45

Направление вектора а определяется углами сс, и у, образованными им с
осями координат Ох, Оу и Ог. Косинусы этих углов (так называемые направляю¬
щие косинусы вектора) определяются "по формулам:
а*	йу	о	а и	о*
cosct ——1	 *	;	cosp	=	—cosv=—•
a у ^a| aJf “h a\	a	a
Направляющие косинусы вектора связаны соотношением
соз2 a -г cos2 Р + cos2 у = 1.
Если векторы а и b заданы их разложениями по ортам, то их сумма и раз¬
ность определяются по формулам
a+b = (ax+6.v) I+(af/+6,y)} Jr(azJrbz) k,
а—b = (ax—bx) I + (ац — by) j+ (a*- bz) k.
Напомним, что сумма векторов а и Ь, начала которых совмещены* изобра¬
жается вектором с тем же началом, совпадающем с диагональю параллелограмма,
Рис. IJ
сторонами которого являются векторы а и Ь. Разность а—b этих векторов изо¬
бражается вектором, совпадающим со второй диагональю того же параллелограм¬
ма,. причем начало этого вектора находится в конце вектора Ь, а конец—в
конце вектора а (рис. 16).
Сумма любого числа векторов может быть найдена по правилу многоуголь¬
ника (рис. 17).
Произведение вектора а на скалярный множитель т определяется формулой
та = тах I +таи j maz k.
Напомним, что векторы а и та параллельны (коллинеариы) и направлены Ъ
одиу и ту же сторону, если т > 0, и в противоположные стороны, если т < 0.
В частности, если m=l/a, то вектор а/a имеет длину, равную единице, и на¬
правление, совпадающее с направлением вектора а. Этот вектор называют единая-
ным вектором (ортом) вектора а и обозначают а0. Нахождение единичного векто¬
ра того же направления, что и данный вектор а, называется нормированием век¬
тора а.
Таким образом, ао = а/а, или а = аао«
Вектор ОМ у начало которого находится в начале координат, а конец—в точ¬
ке М(х\ у\ г), называют радиусом-оектором точки М и обозначают г(М) или
просто г. Так как его координаты совпадают с координатами точки М, то его
разложение по ортам имеет вид
r*=x\+y] + zk.
Вектор АВ, имеющий начало в точке А(дгх; z{) и конец в точке В (х2;
Уг\ *2). может быть записан в виде Л£ = г2—гх, где г2 — раднус-вектор точки В9
46

a Ti—радиус-вектор точки А. Поэтому разложение вектора АВ по ортам имеет вид
АВ = (ха—Xi)	—У1) Л"(22—Zi) к»
Его длина совпадает с расстоянием между точками А и В:
| АВ | =d = /(ж*—*!>*+(»■—»ж)* +	—*ж)*-
В силу приведенных выше формул направление вектора АВ определяется направ*
ляющнми косинусами:
о	Уг—Уг	—	Ч
cos а— г ; cos Р —	,	■; cos у =	«
а	а	'а
240.	В треугольнике ЛВС сторона ЛВ точками М и N разделена
натри равные части: | AM | = I MN [ = | NB |. Найти вектор СМ,
если СА = а, СВ = Ь.
Д Имеем АВ — Ь—а. Следовательно, AM = (b—а)/3. Так как СМ = С А -[- А М,
то СА1=а+(Ь—а)/3 = (2а + Ь)/3. Д
241.	В треугольнике ABC прямая AM является биссектрисой
угла ВАС, причем точка М лежит на стороне ВС. Найти AM,
если АВ = Ъ, АС = с.
Д Имеем ВС=с—Ь. Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника
следует, что \ВМ |:| МС\ — Ь:с, т. е. | ВМ |:|SC| = 6:(ft-f-с)- Отсюда получаем
7Ш=у7—(с—Ь). Так как АМ=АВ-\-ВМ, то
та-»+47<'-Ь|-ттг- *
242.	Радиусами-векторами вершин треугольника ABC являются
г„ г2 и га. Найти радиус-вектор точки пересечения медиан треу¬
гольника.
Д Имеем ~ВС = т3— г»; BD = (г3—r2)/2 (D—середина стороны ВС); АВ =
= г.—гх; ID = BD•+ JE = (г3—г2)/2-f г.—rt = (г2+г3—2rQ/2; AM = (2/3) AD
(,М —точка пересечения медиан), поэтому ЛМ = (га+г3 — 2ri)/3. Итак,
г = аЙ=г1 + ЛЛ1 = (г2 + г3~-2г1)/3-|-Г1, или г = (г*+г2+гз)/3.	^
243.	Найти длину вектора a = 20i + 30j — 60k	и	его	направляю¬
щие косинусы.
Д a~Y 202-f 302 + 602 = 70; tos а = 20/70 = 2/7,
cos р =30/70 = 3/7, cosv = — 60/70 = — 6/7. Д
244.	Найти вектор а = ЛВ, если Л(1; 3; 2) и В(5; 8; —1).
Д Проекциями вектора А В на оси координат являются разности соответст¬
венных координат точек В и А: ах~Ъ—1=4, ау = 8—3 = 5,а* = —1—2 = — 3.
Следовательно, ЛВ = 41-|-5) —Зк. Д
245.	Нормировать вектор a = 3i-f 4j—12k.
Д Найдем длину вектора а:
| а | = KaJ-f 4+а| = \Г 3*+4г + (-12)* = 13.
47

Искомый единичный вектор имеет вид
_ а	3i + 4|— 12k _3	4	12
0	|	а	|	13	~	13	+13J	13	А
246.	Дан треугольник ABC. На стороне ВС расположена точка
М так, что |AM|:|МС| = Д.. Найти AM, если АВ = Ь, АС = с.
247.	Дано АВ = а + 2Ь, ВС = — 4а—b, CD = — 5а—ЗЬ. Дока¬
зать, что ABCD—трапеция.
248.	Найти проекции вектора а на оси координат, если а =
= AB + CD, Л(0; 0; 1), В(3; 2; 1), С(4; 6; 5) и D( 1; 6; 3).
249.	Найти длину вектора a = mf-f(m + 1)	1) k.
250.	Даны радиусы-векторы вершин треугольника ABC: гл =
= i + 2j-(-3k, rs = 3i + 2j-fk, rc = i-|-4j + k. Показать, что треу¬
гольник ABC равносторонний.
251.	Вычислить модуль вектора а = i -f 2j + k — (1 /5) (41 -J- 8j -f 3k)
и найти его направляющие косинусы.
252.	Даны точки Mt(l; 2; 3) и М2(3; —4; 6). Найти длину
и направление вектора МХМ2.
253.	Дан вектор а = 41—2j + 3k. Найти Еектор Ь, если Ь — а,
bu = av и Ьх = 0-
254.	Радиус-вектор точки М составляет с осью Оу угол 60э,
а с осью Ог угол 45°, его длина г = 8. Найти координаты точки Л/,
если ее абсцисса отрицательна.
255.	Нормировать вектор а=П—2j—2k.
§ 3. СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
1.	Скалярное произведение. Скалярным произведением двух векторов а п Ь
называется число, равное произведению длин этих векторов ка косинус угла ф
между ними:
a-b = cib cos ф.
Свойства скалярного произведения.
1°. а*а = а2> или а2 = а2.
2°. а»Ь = 0, если а = 0, либо Ь = 0, либо a J_b (ортогональность ненулевых
векторов).
3\ ab = b-a (переместительный закон).
4°. а*(Ь+с) = а*Ь + а-с (распределительный закон).
5°. (ma)*b = a-(mb) = m (a-b) (сочетательный закон по отношению кскалярному
множителю).
Скалярные произведения ортов осей координат:
I2 = j2 = k2= 1, I - j = i • k = j • k = 0.
Пусть векторы а и b заданы своими координатами: a = *ii + */ij-LZik> b =
=	+	+	Тогда	скалярное	произведение	этих	векторов	находится	по	фор¬
муле
й'Ъ = ХхХ2-\- 1)1у2-\- Z\Z2-
2.	Векторное произведение. Векторным произведением вектора а на вектор b
называется третий вектор с, определяемый следующим образом (рис. 18):
1)	модуль вектора с равен площади параллелограмма, построенного на Еек-
торах а и b (с = а&51пф, где ф —угол между векторами а и Ь);
2)	вектор с перпендикулярен векторам а и Ь;
3)	векторы а, Ь, с после приведения к общему началу ориентированы по ст-
48

ношению друг к другу соответственно как орты I, J, к (в правой системе коор¬
динат образуют так называемую правую тройку векторов).
Векторное произведение а на b обозначается через axb.
Свойства векторного произведения.
1°. bXa = — аХЬ, т. е. векторное произведение ие обладает переместительным
свойством.
2°. аХЬ = 0, если а = 0, либо b = 0, либо а[|Ь (коллинеарность ненулевых век¬
торов).
3®. (ma)Xb = aX(mb)	(axb) (сочетательное свойство по отношению к ска¬
лярному множителю).
4°. ax(b+c) =aXb+aXc (распределительное свойство).
Векторные произведения координатных ортов I, ] и к:
ixi=jxj=kxk = 0,
ixj = — JXi =к; }хк = —kxj = i; kXl = — IXk = j.
Векторное произведение векторов а = хх i + t/ij + Zik и b = х2\ + y%j + z2k удобнее
всего находить по формуле
i J к
axb = yi zi .
Х2 t/2 Z2
3.	Смешанное произведение. Смешанным произведением векторов а, b и с на¬
зывается скалярное произведение вектора axb на вектор с, т. е. (аХЬ)-с.
Смешанное произведение трех векторов а, Ь, с по модулю равно объему па¬
раллелепипеда, построенного на этих векторах.
Свойства смешанного произведения.
1°. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:
а)	хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;
б)	два из перемножаемых векторов коллинеариы;
в)	три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компла¬
нарность) .
2°. Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами
знаки векторного (X) и скалярного (•) умножения, т. е. (axb)'c = a-(bxc).
В силу этого свойства смешанное произведение
векторов а, b и с условимся записывать в виде
abc.
3°. Смешанное произведение не изменяется, ес¬
ли переставлять перемножаемые векторы в круго¬
вом порядке:
abc = bca—cab.
4°. При перестановке любых двух векторов
смешанное произведение изменяет только знак:
bac — — abc; cba = — abc;acb = — abc.
Пусть векторы заданы их разложениями по ортам: a=JCil-f-^ij + 2ik; b;
=	2^;	с	= *з*+Ы + 2зк- Тогда
Рис. 18
*i yi
х2 Уъ 2-2
*3 Уъ Z3
Из свойств смешанного произведения трех векторов вытекает следующее:
необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит
условие abc = 0;
объем Vf параллелепипеда, построенного на векторах а b и с, и объем V*
образованной ими треугольной пирамиды находятся по формулам
Vi = |abc|, K*=jK,~g-|abc|.
49

256.	Найти скалярное произведение векторов a=3i + 4j+7k и
b = 21—5j + 2k.
Д Находим а*Ь = 3.2+4(—5) + 7*2=0. Так как а-Ь=0 и а Ф О, b Ф 0, то
257.	Даны векторы a = m1 + 3j + 4k и b = 4i + mj—7k. При ка¬
ком значении т эти векторы перпендикулярны?
Д Находим скалярное произведение этих векторов: a-b=4m+3m—28; так
как aj_b, то а-Ь=0. Отсюда 7т—28=0, т. е. т = 4.
258.	Найти (5а + ЗЬ)-(2а—Ь), если а = 2, fe = 3, a_Lb.
Д (5а+ЗЬ)*(2а—Ь) = 10аа—5a-b+6a*b—ЗЬ* = 10аа—ЗЬ4=40— 27 = 13. Д
259.	Определить угол между векторами a = i + 2j + 3k и Ь =
= 61 + 4 j—2k.
&	* b
ДТактака*Ь=аЬсо8ф, то cos<p=-^-. Имеем a-b = 1-6+2<4 + 3 (—2)=8#
а—У1+4+9 = У" 14, 6=^36+16 + 4=2^ 14.
8 2 2
Следовательно, cos cp = —=	=:=-=- и cp = arccos -=-. ▲
V14-2^ 14	7	7	"
260.	Найти векторное произведение векторов a = 2f + 3j+5k и
b = i + 2j + k.
Д Имеем
aXb =
1	J к
2	3 5
1 2 1
= 1
13 5
2 1
2 5
12 31
Л 1 11 +к| I 2|»
т. е. axb = — 71 + 3j+k. Д
261.	Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век¬
торах a = 6l + 3j—2k и b = 3l—2j + 6k.
Д Находим векторное произведение а иа Ь:
И 1 *|=«| _1“б|-^|з_б| + к|з-2|=14!-421-21к-
ахЬ =
6	3—2
3 —2 G
Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади
построенного на них параллелограмма, то 5 = | axb | = |/'l42-J-4224-212 =
=49 (кв. ед.). Д
262.	Вычислить площадь треугольника с вершинами Л(1; 1; l)f
В (2; 3; 4), С (4; 3; 2).
Д Находим векторы А В и АС:
£5=(2-I)i + (3-i)J+(4-I)k=:f + 2j + 3k,
АС = (4—1) i + (3—1) j + (2—1) k=3i+2J+k.
Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах А В и АС, поэтому находим векторное произведение
этих векторов:
Авх1с =
1 1 £
1 2 3
3 2 1
50

Спедовательио*
5лвс=у1 ASx^C|=y^ 16+64+16=^24 (кв. ед.) А
263.	Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век¬
торах а + ЗЬ и За + b, если |a| = |b|=l, (aPb) = 30°.
Д Имеем
(a + 3b) X (За + b) = За X a + а X b + 9b X я + 3b X b +
= 3»0+axb—9axb + 3*0 =— 8а xb
(поскольку axa = bxb = 0, bxa=— axb). Итак,
S — S | axb | = 8-1 • 1 -sin 30° = 4 (кв. ед.). Д.
264.	Найти смешанное произведение векторов а = 21 — j—к,
h = I -|- 3j — к, c = i + j + 4k.
2 —1 —1
Д аЬс =
3 —1
1 4
= 2 I? “Jl+Hl II —М 1 l|= 26 + 5 + 2 = 33. А
1 31
265. Показать, что векторы a = 2i + 5j + 7k, b = i + j—k, с =
=i + 2j + 2k компланарны.
Д Находим смешанное произведение векторов:
2 5	7
abc =
1	1 —1
1	2	2
= 2
1 —1 1
—5
1 —1
I 2
+7
1 1
1 2
= 8 —15 + 7 = 0.
Жак как abc = 0, то заданные векторы компланарны. Д,
266. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А (2; 2; 2),
1(4; 3; 3), С (4; 5; 4) и D(5; 5; 6).
Д Найдем векторы А В, АС и АР, совпадающие с ребрами пирамиды,
сходящимися в вершине A: /45 = 2i+j + k, >!C = 2i + 3j + 2k, AD = 31 + 3j + 4k.
Находим смешанное произведение этих векторов:
2 1 1
ABACAD =
2	3 2
3	3 4
= 2
3 2
3 4
2 21
3 4
+ 1
2	3
3	3
= 26—1-2-1.3 = 7.
Так как объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на
■екгорах АВу АС и AD> то К = 7/G (куб. ед.). Д
267.	Вычислить (а—b)(b—с)(с—а).
Д Так как (а—b) + (b—с)+(с—а) = 0, то эти векторы компланарны (рис. 19).
Сэедовательно, их смешанное произведение равно нулю: (а—Ь) (Ь—с) (с—а)=
*о. а
268.	Найти скалярное произведение векторов За—2Ь и 5а—6Ь,
если а = 4, 6 = 6 и угол между векторами а и b равен л/3.
269.	Определить угол между векторами a = 3i + 4j + 5k н b =
=• 4i + 5j—3k.
270.	При каком значении т векторы a = /ni + j и b= 3i—3j+4k
перпендикулярны?
51

271.	Найти скалярное произведение векторов 2а + ЗЬ-|-4с и
5a + 6b-j-7c, если а=1, 6 = 2, с = 3, a (aT^b) — (а, с) = (Ь, с)=л/3.
272.	Найти работу силы F на перемещении s, если F = 2, s = 5,
ф = (F, s) = n/6.
273.	Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам
*	= i +j + 2k и b = 2i-|-j-|-к.
274.	Векторы а, Ь, с имеют равные длины и образуют попарно
равные углы. Найти вектор с, если a = i + j, b = j + k.
275.	Даны, векторы a = 2i-f-2j + k и b = 6i + 3j + 2k. Найти праЬ
и прьа.
276.	Даны радиусы-векторы трех последовательных вершин па¬
раллелограмма A BCD: r/4=i+j+k, rfl=l+3j+5k, rc=7i+9j+llk.
Определить радиус-вектор четвертой верши¬
ны D-
277.	Показать, что векторы а и b не
могут быть перпендикулярными, если a - i > О,
а • j > 0, a-k>0, b • i < О, b • j < 0; bk<0.
278.	Показать, что векторы а = 1 -f j + /nk,
b= 1 -f- j + (m+1) к и с = i—j-fmk ни при
каком значении т не могут быть компла¬
нарными.
279.	Могут ли отличные от нуля числа хи xv yv уг, у3, zv
г*» г, удовлетворять уравнениям
■>•'1*2 ■+■ !НУг + г1г2 = 0,
==0,	*lAr3-J-(/iy3	+	ZjZ3	=	0,
хгха+УгУз+г2Гз = 0?
векторное произведение векторов а = 2i-f 5j-j-к
*i Vi ?i
x2 у» z2
Xs Уз 23
280.	Найти
и b=i-f2j—Зк
281.	Вычислить площадь треугольника с вершинами А (2; 2; 2),
В (4; 0; 3) и С (0; 1; 0).
282.	Найти смешанное произведение векторов a=i—j-f k, b =
—	I j -f- к, с = 21 -f 3j + 4к.
283.	Показать, что векторы а = 71—3j-f-2k, b = 3i—7j-f8k,
с = i—j + к компланарны.
284.	Вычислить	объем треугольной	пирамиды	с вершинами
А (0; 0;	1), В (2; 3;	5), С (6; 2; 3) и D	(3; 7; 2).	Найти	длину
Высоты пирамиды, опущенной на грань BCD.
285.	Показать, что точки А (5; 7; —2),	В (3; 1; —1), С (9;	4; —4)
и £>(1;	5; 0) лежат	в одной плоскости.

ГЛАВА III
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
| 1. плоскость и прямая
1.	Плоскость. 1) Уравнение плоскости в векторной форме имеет вид
г-п = р.
Здесь r = xi-l-//j + zk — радиус-вектор текущей точки М(х; у; z) плоскости; п =
= i cos a + j cos p + k cos у—единичный вектор, имеющий направление перпенди¬
куляра, опущенного на плоскость из начала координат; а, р, у—углы, образо¬
ванные этим перпендикуляром с осями координат Ох, Оуу Ог; р—длина этого
аерпендикуляра.
При переходе к координатам это уравнение принимает вид
хcos a + ycos P + zcos v—p = 0	(1)
формальное уравнение плоскости)
2)	Уравнение всякой плоскости может быть записано также в виде
Ax + By+Cz+D = О,	(2)
«ели Л2 + 02 + С2 Ф 0 (общее уравнение). Здесь Л, В, С можно рассматривать
сак координаты	некоторого ректора N = Л1+ £j + Ck, перпендикулярного	плос-
явдсти	(нормального	вектора плоскости). Для приведения общего	уравнения	плос-
шшсти к нормальному виду надо все члены уравнения умножить на нормирую¬
щей множитель
И = ± \/N = ± I/У Лг + а2+С2,	(3)
жж знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D в общем
уравнении плоскости.
3)	Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим уравнением
Ax+By+Cz+D = Q:
^4 = 0; параллельна оси Ох;
£ = 0;	»	» Оу;
С = 0;	»	» Ог;
D = 0; проходит через начало координат;
Л = £ = 0; перпендикулярна оси Ог (параллельна плоскости хОу);
Л = С = 0;	»	»	Оу (	»	»	хОг);
В = С = 0;	»	»	Ох (	»	»	yOz);
A = D = 0 проходит через ось Ох;
В — D — 0	»	»	»	Оу;
C=D = 0	»	»	»	Ог;
А = В = D = 0; совпадает	с	плоскостью	хОу	(z = 0);
А = С — D — 0;	»	»	»	хОг	(у = 0);
£=C=D= 0;	»	»	»	yOz	(х = 0).
Если в общем уравнении	плоскости	коэффициент D ф 0, то, разделив Есе
члены уравнения на —D, уравнение плоскости можно привести к виду
2L+JL+± = l	(4)
а Ь с	v 7
#жгесь а = —D/Л, b = —D/B, с = — D/С). Это уравнение называется уравнением
жжскости в отрезках: в нем а, b и с—соответственно абсцисса, ордината и ап-
жадката точек пересечения плоскости с осями Ох, Оу и Ог.
53

4)	Угол ф между плоскостями	D*	=	0	и	A2x-\-BiyJrC2zJr
+ D2 = 0 определяется по формуле
Л|Л2 + Z?iZ?2 + С|С2	/е\
cos ф =	■■	—	•	(5)
V А\ + В\+С\ V Al + Bl+Cl
Условие параллельности плоскостей:
А\!А2 = Bi! В 2 = Ci/C2.	(б)
Условие перпендикулярности плоскостей:
i41i42 + fii£2 + C1C2 = 0.	(^)
5)	Расстояние от точки М0 (х0; r/0; z0) до плоскости, определяемой урав¬
нением i4,v+£#+Cz+D = 0, находится по формуле
/i — I >4хо + Ву0 + Сго + Р | ^	/gv
/“Л2 + ^2+С2
Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координат
точки в нормальное уравнение плоскости; знак результата этой подстановки ха¬
рактеризует взаимное расположение точки и начала координат относительно дан¬
ной плоскости: «плюс», если точка М0 и начало координат расположены по раз¬
ные стороны от плоскости, и «минус», если они расположены по одну сторону от
плоскости.
6)	Уравнение плоскости, проходящей через точку MQ (х0; у0\ z0) и перпенди-
кулярной вектору N = i4i + £] + Ck, имеет вид
А (*-*,) + В (у-у0)+С (z-zo) =0.	(9)
При произвольных значениях А, В и С последнее уравнение определяет некото¬
рую плоскость, принадлежащую связке плоскостей, проходящих через точку М9.
Его поэтому часто называют уравнением связки плоскостей•
7)	Уравнение
^iX+Biy+CiZ+Di + Я» (Л2х+ Въу-\-C2z+ D2) =0	(10)
при произвольном значении X определяет некоторую плоскость, проходящую
через прямую пересечения плоскостей
А\ХBiy-\~CizDi=?0 (I) и j42x +$2f/+C2z+= 0, (II)
т. е. некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через
эту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением пучка
плоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями (I) и (II), параллельны,
то пучок плоскостей превращается в совокупность плоскостей, параллельных
этим плоскостям.
8)	Уравнение плоскости проходящей через три заданные точки Mi (г0, М2 (г*),
АЫ'а) (адесь i4 = *iI + «/ii + 2ik; b^al + i^i+Zak; Гз = Хз1+Уз) + 2Як), проще
найти из условия компланарности векторов г—гь г2—г1( г3—п, где r = xi +
+ j/j + zk—радиус-вектор текущей точки искомой плоскости М:
(Г—Гх) (Га—ГО (г3—14) =0,
или в координатной форме:
х — Ч y—yi г—zi
xt—xi Уг—yt 22—2!
*я —*1 У3 — У1 23 — 2!
286.	Уравнение плоскости 2х + 3у—6г -(-21=0 привести к нор¬
мальному виду.
Д Находим нормирующий множитель (который берем со знаком «минусч
поскольку D — 21 >0): jli =—l/)/~22+32 + 62 = — 1/7. Итак, нормальное уравне¬
ние заданной плоскости имеет вид — (2/7) х—(3/7) у+(6/7) г—3 = 0.
54
= 0. (11)

287.	Определить расстояние от точки М„ (3; 5; —8) до плос¬
кости бдс—3y + 2z—28 = 0.
Д Используя формулу (6) расстояния от точки до плоскости, находим
,	|6-3—3-5 + 2-(-8)-28|	41
/6а + За + 2а	7	'
Так как результат подстановки координат точки М0 в нормальное уравнение
плосхостн отрицателен, то М0 и начало координат лежат по одиу сторону от
заданной плоскости. Д
288.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М (2; 3; 5) и перпендикулярной вектору N = 4i + 3j + 2k.
Д Достаточно воспользоваться уравнением (9) плоскости, проходящей через
данную точку и перпендикулярной данному вектору:
4	(х—2)+3 {у—3) + 2 (г—5) =0, т. е. 4x + 3^+2z—27 = 0. ±
289.	Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;
3; —1) параллельно плоскости Ъх—3y + 2z —10 = 0.
Д Запишем уравнение (9) связки плоскостей, проходящих через данную точку:
А (х-2) + В (у-3) + С (г+1) = 0.
Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором п =
*(5; —3; 2) данной плоскости; следовательно, А = 5, В = — 3, С — 2 и уравне¬
ние искомой плоскости примет вид
5(*—2)—3(у-— 3)+2(z+l) = 0, или Ъх—3#+2z+l =0. Д
290.	Из точки Р (2; 3; —5) на координатные оси опущены
шерпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через
жх основания.
Д Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости,
служат следующие точки: Afi(2; 3; 0), М2 (2; 0; —5), М9 (0; 3; —5). Используя
соотношение (11), запишем уравнение плоскости, проходящей через точки Ми
Aft* Ms'. 9
х—2 у—3 г
0	—3	—5
—2	0	—5
= 0, или 15*+Ю^—6г—60 = 0. ^
291.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
А (5; 4; 3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.
Д Используя уравнение (4) плоскости в отрезках, в котором а = 6=с, имеем
х/а+у/а+г/а = 1. Координаты точки А удовлетворяют уравнению искомой плос¬
кости, поэтому выполняется равенство 5/а + 4/а + 3/а = 1, откуда а = 12. Итак*
получаем уравнение х-\-у-\-г—12 = 0. Д
292.	Составить уравнение плоскости, проходящей через линию
пересечения плоскостей х + у + Ъг—1=0, 2х + 3у—г + 2 = 0 и че¬
рез точку М (3; 2; 1).
Д Воспользуемся уравнением (10) пучка плоскостей:
х -j- у-\~ Sz—1 Я» (2ж -J- 3y—z -f- 2) = 0.
65

Значение А, определяем из условия, что координаты точки М удовлетворяют этому
уравнению: 3+2+5— 1+ Я(6 + 6— 1 +2) = 9 + 13Я = 0, откуда А, = — 9/13. Та¬
ким образом, искомое уравнение имеет вид
*+*/+5z— 1 — уд(2х+3|/—z+2) = 0, или 5х+14*/—74z+3l=0. Д
293.	Составить уравнение плоскости, проходящей через линию
пересечения плоскостей х + 3у+5г—4 = 0 и х—у—2г + 7 = 0 и
параллельной оси Оу.
Д Воспользуемся уравнением пучка плоскостей:
*+3|/+5z—4 + А,(дг—у—2z+7) = 0;
(1 + к) х + (3 - X) у + (5 - 21) z + (7Х—4) = 0.
Так как искомая плоскость параллельна оси ординат, то коэффициент
при у должен быть равен нулю: 3—Я = 0, т. е. Х = 3. Подставив найденное зна¬
чение к в уравнение пучка, получаем 4х—z +17 = 0. Д
294.	Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
А (2; —1; 4) и В (3; 2; —1) перпендикулярно плоскости x + y + 2z—
—3 = 0.
Д В качестве нормального вектора N искомой плоскости можно взять век¬
тор, перпендикулярный вектору АВ — { 1; 3; —5} и нормальному вектору п =
= {1; 1; 2} данной плоскости. Поэтому за N примем векторное произведение
АВ и п:
_	*	J	k
N = АВхп—	1	3	—5	=lli — 7j— 2k.
1	1	2
Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку
(например, А) перпендикулярно заданному вектору N = {11; —7; —2}:
11	(дг—2)—7 (*/+ 1)—2 (г—4) = 0, или 11*—7у—2z—21 = 0. Д
295.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М (3; —1; —5) и перпендикулярной плоскостям Зх—2y + 2z + 7 =
= 0 и 5х—4r/ + 3z+l=0.
Д Очевидно, что в качестве нормального вектора N искомой плоскости можно
взять векторное произведение нормальных векторов nx = {3; —2; 2} и п2={5; —4; 3}
данных плоскостей:
i
N = nt х n2 =
= i
i k
—2 2
-4 3
13 —2
5 —4
= 2i +j— 2k.
—2 21	.12	31	. ,
-4 з[ + *|з 5| + k|
Теперь, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку М (3
—	I; —5) перпендикулярно вектору N = {2; 1; —2}, получаем
2(х—3) + (У+1)— 2(г+5) = 0, или 2х+у— 2г—15 = 0. ±
296.	Привести к нормальному- виду уравнения следующих пло¬
скостей: 1) х + у—г—2 = 0; 2) Zx+Ъу—4z-f-7 = 0.
297.	Найти расстояние от точки М0 (1; 3;—2) до плоскост*
56

2r—3у—4г-|-12 = 0. Как расположена точка М0 относительно пло¬
скости?
298.	Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки М0 (2;
3: — 5) на плоскость 4х—2у 5г—12 = 0.
299.	Найти уравнение плоскости, проходящей: 1) через точку
.И ( — 2: 3; 4), если она отсекает на осях координат равные отрезки;
2» через точку N(2;— 1; 4), если она отсекает на оси Ог отрезок
Едвое больший, чем на осях Ох и Оу.
300.	Найти уравнение плоскости, проходящей через точки Р(2;
0; — 1) и Q(l;—1; 3) и перпендикулярной плоскости Зх-\-2у—г +
+ 5 = 0.
301.	На плоскости 2х—5*/ + 2г + 5 = 0 найти такую точку М,
тгобы прямая ОМ составляла с осями координат равные углы.
302.	Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4;—3; 12)
служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала коорди-
жзт на эту плоскость.
303.	Найти уравнения плоскостей, проходящих через оси коор¬
динат перпендикулярно плоскости Зл'—Ау-\-Ьг—12 = 0.
304.	Найти уравнение плоскости, точки которой одинаково уда¬
лены от точек Z5 (1; — 4; 2) н Q(7; 1; — 5).
305.	Найти уравнение плоскости, проходящей через точки Р (0;
2; 0) и Q(2; 0; 0) и образующей угол 60° с плоскостью а = 0.
306.	Вычислить угол между плоскостями, проходящими через
точку М(1; — 1; — 1), одна из которых содержит ось Ох, а дру¬
гая—ось Ог.
307.	Найти уравнение плоскости, проходящей через начало коор¬
динат и через точки Р(4; — 2; 1) и Q(2; 4;—3).
308.	Найти уравненне плоскости, проходящей через точку пере¬
сечения плоскостей 2л'-р2у-\-г—7 = 0, 2х—у-\-Зг—3=0, 4а + 5у—
—2г —12 = 0 п через точки М (0; 3; 0) и N{ 1; 1; 1).
309.	Составить уравнение плоскости, проходящей через линию
пересечения плоскостей х -f- 5у-f9г —13 = 0, За*—у—5г + 1=0 и
через точку М (0; 2; 1).
310.	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей	через линию
пересечения плоскостей х-\-2у-\-Зг—5 = 0 и За-—2у—г -f 1 = 0 и
«тсекающей равные отрезки на осях Ох и Ог.
311.	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей	через линию
■ересечения плоскостей (1 -{- V2) а + 2у 2г — 4 = 0, а + у + г + 1 = 0
к образующей с координатной плоскостью хОу угол 60°.
312.	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей	через линию
пересечения плоскостей 2х—у — 12г—3 = 0 и За-ft/—1г—2 = 0 и
перпендикулярной плоскости a-f 2у-f 5г —1=0.
313.	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей	через линию
■ересечени я плоскостей A1x-\-Biy-\-C.iz-\-D1 = 0 и Л2а + В2у-\- С2г +
+ £>, = 0 и через начало координат.
314.	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей	через точку
Л1(0; 2; 1) и параллельной векторам a=i + j-fk и b = i-fj — к.
315.	Какой угол образует с плоскостью х-\-у + 2г—4 = 0 вектор
а= j4-2j + k?
57

2.	Прямая. 1) Прямая может быть задана уравнениями двух плоскостей
AiX+B1y+Clz+Dl — О,
А 2% —(- В%у 4" C2z —j- Dj ~ О,
пересекающихся по этой прямой.
2)	Исключив поочередно х и у из предыдущих уравнений, получим уравнения
х = аг-{-с, y = te-|-d. Здесь прямая определена двумя плоскостями, проецирую¬
щими ее на плоскости хОг и уОг.
3)	Уравнения прямой, проходящей через две точки Mi (xt\ ух\ 5Х) и М2 (х2;
Уъ\ *г)> имеют вид
*—*i ___ У—У\ __ z—Zf
*2~*1 1/2—	^2— *Г
4)	Так называемые канонические уравнения
x—x^y—yj_z—zt	2j
I	т	п
определяют прямую, проходящую через точку М (хг\ у\\ Zj) и параллельную
вектору s = /i + mj + rtk. В частности, этн уравнения могут быть записаны в виде
X — Xj _v—yi_2—Zj
cos a cos р cos у
где а, Р и v—углы* образованные прямой с осями координат. Направляющие
косинусы прямой находятся по формулам
/	л	/л	п
cos а = —■===. cos р =	.	cos у = - ..	..=^.	(3)
/>+т4+п4’	У1* + т* + п*’	у^ + т^+л1 к
5)	От канонических уравнений прямой, вводя параметр /, нетрудно перейти
к параметрическим уравнениям:
( х = It -\-Xii
| y=mt+yu	(4)
1г = л<+г,.
6)	Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими уравнениями
(*—*i)/li = (y—yi)/m1 = (z—Zi)/n1 и (* —*2)/*2 = (|/—У*)/т2 = (*—определя¬
ется по формуле
cos ф =	111г + т1т2 + п1п2	{5)
Y	1\+т\+п\\Г 1\+М\+п\
условие параллельности двух прямых:
11/1г = т1/тг = п1/пг;	(6)
условие перпендикулярности двух прямых:
Мг+/п,т2 + л,лг=0.	(7)
7)	Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых, заданных
их каноническими уравнениями, в одной плоскости (условие компланарности двух
прямых):
*2— Ч у2—yi z2—Zi
li тх ni = 0.	(8)
/2	ffi	2	^2
Если величины /х, m,, л* не пропорциональны величинам /2, т*. л2. то ука¬
занное соотношение является необходимым и достаточным условием пересече ния
двух прямых в пространстве.
58

8)	Угол между прямой (х—хх)/1 = (у—yi)/m = (z—zi)/n и плоскостью
Аг+£*/+Сг+1) = 0 определяется по формуле
.	А1-\-Вт-\-Сп	т
sin у = -—	^	Г9)
Y	А2 + В2 + С* - }^1*-\-т2+п*
условие параллельности прямой и плоскости:
А1 + Вт+Сп= 0;	(Ю)
условие перпендикулярности прямой и плоскости:
А/1 = В/т = С/п.	(11)
9)	Для определения точки пересечения прямой (х—х0)/1 = (у~у0)/т =
*(г—г0)/п с плоскостью Ax-t-By-\-Cz-\-D = 0 нужно решить совместно их уравне-
шшя, для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямой
ж=И+х0, y=mt+y09 *=n/ + z0:
aj если Al+Bm + СпфО, то прямая пересекает плоскость;
б)	еслн Л/+Вт + Сп = 0 и Ax0-\-By0-{-Cz0-\-D^09 то прямая параллельна
каоскости;
в) если Л/+£т + Сп = 0 и Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0, то прямая лежит в пло*
сжости.
316,	Уравнения прямых 2х—у + Зг—1=0 и 5х + 4у—г—7 =
= 0 привести к каноническому виду.
Д I способ. Исключив сначала у, а затем г, имеем
13х+1 lz—11 =0 и 17х+ 11у—22 = 0.
Если разрешить каждое нз уравнений относительно х9 то получим
ll&-2)_ll(z-l)	х	__у-2 z 1
—	17	—	13	’	—	11	~	17	”	13	'
II	способ. Найдем вектор s = Л-f/nj + nk,'^параллельный искомой прямой.
Так как оц должен быть перпендикулярен нормальным векторам Nx = 2i— i+3k
■	N2 = 5i + 4j—к заданных плоскостей, то за s можно принять векторное произ¬
ведение векторов N* и	N2:
i	j	k
s = N1xN2= 2—1	3
5	4	—1
= — Ili + I7j+I3k.
Таким образом, I——11; m— 17; n=13.
В качестве точки (хх; zi), через которую проходит искомая прямая,
■ожно взять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, напри-
шр с плоскостью yOz. Так как при этом *1 = 0, то координаты yt и z* этой точки
определятся из системы уравнений заданных плоскостей, если в них положить
ж—0:
{
—	У~\~ 3z—1=0,
4	у—z—7 = 0.
Решая эту систему, находим yt = 2, zi=l. Итак, искомая прямая определяется
уравнениями х/(— 11) = (у—2)/17=(z—1)/13. Д
317.	Построить пря«У»-
Д Искомую прямую можно построить как линию пересечения плоскостей. Для
■того запишем уравнения этих плоскостей в отрезках< иа осях: х/4,5+у/3+z/З =
*=1, */2 + у/4+г/8=* Ь Построив данные плоскости, получим искомую прямую
20). А

318.	Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую
(х—2)/2 — (у—1)/3 = (г—3)/1.
ДИспользуя условие (И) перпендикулярности прямой и плоскости и полагая
А = 1,	В = т,	С = л,	D = 0,	составим уравнение	плоскости, проходящей	через
начало координат	и перпендикулярной заданной	прямой. Это уравнение	имеет
вид 2х+Зу+2 = 0.
Найдем точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Параметрические
уравнения прямой запишутся так: х — 2f + 2, r/ = 3£+l, 2=f + 3. Для определе¬
ния t имеем уравнение 2 (2/ + 2) + 3 (3/ +1) +
+* + 3 = 0, откуда	/ = —5/7. Координаты	точки
пересечения *=4/7, у =— 8/7,	2=16/7,	т. е.
М (4/7; — 8/7; 16/7).
Остается составить уравнения прямой, про¬
ходящей через начало координат и через точку
М; используя соотношения (1), получим
*/(4/7) = у К— 8/7) = г/( 16/7), или */1 = <//(—2) =
= 2/4. А
319.	В уравнениях прямой х/2 =
—УК—3) = г/п определить параметр п так,
чтобы эта прямая пересеклась с прямой
(х+ 1)/3 = (у + 5)/2 = г/1, и найти точку
их пересечения.
Д Для нахождения параметра п используем условие (8) пересечения двух
прямых; полагая *! = — 1, Ух = — 5, Zi = 0, *2 = 0, у2 = 0, 2а = 0, /х = 3, т1 = 2,
/ii = 1. Л *= 2, т2 = — 3, яа = л, получим
1	5	0
3	2 1
2 —3 л
= 0, или 2л + Ю+З—15л = 0, т. е. л= 1.
Чтобы иайти координаты точки пересечения прямых х/2 = у/{—3) =^= 2/1 и
(V+ 1)/3^=(у+5)/2 = 2/1, выразим из первых уравнений хну через z: x = 2z,
у=—32. Подставляя эти значения в равенство (х+1)/3 = (у+5)/2, имеем
(2г+1)/3 = (—Зг+5)/2, откуда 2=1. Зная 2, находим х = 2г~2% у — —Зг =
=—3. Следовательно, М (2; —3; 1). ^
320.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку
М (3; 2; — 1) и пересекающей ось Ох под прямым углом.
Д Так как прямая перпендикулярна оси Ох и пересекает ее, то она проходит
через точку N (3; 0; 0). Составив уравнения прямой, проходящей через точки
М и Nf получаем (*—3)/0= (^—2)/(— 2)= (2+ 1)/1. А
321.	Дана плоскость х+у—2z—6 = 0 и вне ее* точка Л< (1; 1; 1).
Найти точку N, симметричную точке М относительно данной пло¬
скости.
Д Запишем уравнения любой прямой, проходящей через точку М; (х—1)// =
= (у— 1)/т = (2— 1)/л. Координаты {/; т\ п) направляющего вектора прямой,
перпендикулярной плоскости, можно заменить координатами нормального вектора
п = {1; 1; —2} данной плоскости. Тогда уравнения этой прямой запишутся
в виде (х—1)/1 = (у—1)/1 = (z—1)/(— 2).
Найдем проекцию точки М иа данную плоскость, решив совместно уравнения
*+У—22—6 = 0, (*—1)/1 = {у—1)/1 = (2— 1)/(— 2).
60

Перепишем уравнения прямой в виде x = f + l, # = / +1, 2 = —2f+l. Подставляя
эти выражения для х, у и 2 в уравнение плоскости, найдем * = 1, откуда х = 2,
Г=2, г = — 1.
Координаты симметричной точки найдутся из формул х — (хм + ядО/Я, # =
= (Уж+Улг)/2, 2 = (2д1+2Лг)/2, т. е. 2 = (1+*л)/2, 2 = (1+улг)/2» — 1 = (1 +^)/2f
откуда *дг = 3, ^=3, 2ff=—3. Следовательно, N (3; 3; -—3). Д
322.	Дана прямая (лг—1)/2 = г//3 = (е 1)/(—1) й вне ее точка
.4(1; 1; 1). Найти точку N, симметричную точке М относительно
данной прямой.
Д Уравнение плоскости, проецирующей точку М на данную прямую, имеет
ид
А(х-\) + В(у— 1)+С(2-1) = 0.
Координаты нормального вектора {А\ В\ С} плоскости, перпендикулярной прямой,
вменим координатами направляющего вектора {2; 3; — 1} данной прямой; тогда
аэлучим
2(х—1) + 3 (у—1) — (2 — 1) = 0, или 2х+3у—2—4 = 0.
Найдем проекцию точки М на прямую, для чего совместно решим систему убав¬
лений
2х+3у—2—4 = 0, (*-1)/2 = у/3 = (2+1)/(-1).
Параметрические уравнения данной прямой имеют вид x = 2f+l, y=3t, 2 =
——t—1. Подставляя х, у и г в уравнение плоскости, найдем / = 1/14. Отсюда
ж=8/7, у=3/14, г = —15/14.
Тогда координаты симметричной точки можно найти, используя формулы для
■оордингт середины отрезка, т. е. 8/7 = (1+*дг)/2, 3/14 = (1 + *^у)/2,—15/14 =
= (1+2д^)/2, откуда *лг=9/7, 1^ = —4/7, 2jv= — 22/7.. Итак, iV (9/7; —4/7;
—22/7). А
323.	Через прямую (x+1)/2 = (#—1)/(—l) = (z—2)/3 провести
■лоскость, параллельную прямой х/(—l) = (i/ + 2)/2 = (z-^3)/(—3).
Д Запишем уравнения первой из заданных прямых с помощью уравнений
двух плоскостей, проецирующих ее соответственно на плоскости хОу и уОг:
D/2 = (у—1)/(— 1), или *+2i/—1=0;
—1)/( — 1) = (г—2)/3, или Зу+2—5 = 0.
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через эту прямую, имеет вид
х + 2у— 1+А,(Зу + 2—5)=0, илн х+(2+ЗЯ) у+Аг—(1+5А,)=0.
Используя условие параллельности прямой и плоскости, определим А, так,
чтобы соответствующая плоскость пучка была параллельна второй из заданных
гоямых. Имеем — Ы +2(2+ЗА,) — ЗА, = 0, или ЗЯ +3 = 0, откуда Х==—1. Таким
<*Ц>азом, искомая плоскость определяется уравнением х—j/—2+4 = 0. Д
324.	Найти уравнения проекции прямой (х—1)/1 ={у+ 1)/2 = г/3
жа плоскость x + y + 2z—5 = 0.
Д Запишем уравнения заданной прямой в виде уравнений двух плоскостей,
■ооецирующнх ее соответственно на плоскости хОу и хОг:
(х—1)/1 =(у+1)/2, или 2х—у—3 = 0;
(х—1)/1 =2/3, или Зх—2—3 — 0.
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую, запишется
■	‘виде
2х—у—3+А,(Зх—2—3) = 0, млн (2 +ЗА.)*—у—Хг — 3(1 + А) = 0.
61

Используя условие перпендикулярности плоскостей, выберем из этого пучка
плоскость, проецирующую данную прямую на заданную плоскость. Имеем 1-(2 +
-f-3A,)+l(—1) + 2(—Х) = 0, илн А.+ 1 = 0, откуда К=—1.Итак, уравнение проеци¬
рующей плоскости имеет вид
2х—у—3+(—1)-(3*—г—3) = 0, или х+у—2 = 0.
Искомую проекцию можно определить как линию пересечения двух плоскос¬
тей— заданной и проецирующей:
/*+Н-2г-5 = 0,
1*+У—г = 0.
Приведя эти уравнения прямой к каноническому виду, окончательно получим
•*/1 = (У—5/3)/(— 1) = (г—5/3)/0. А.
325.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку
Af(5; 3; 4) и параллельной вектору s = 2i + 5j—8k.
Д Воспользуемся каноническими уравнениями прямой. Полагай в равенствах
(2) 1—2, т = 5, п = — 8, *x = 5, ух — З,- 2i = 4, получаем (х—5)/2 = (у—3)/5 =
= (г-4)/(-8). А
326.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку
М(1; 1: 1) и перпендикулярной векторам Sx = 2i + 3j-|-k и s2 = 3i+
+ j + 2k.
Д Прямая параллельна вектору SjXs2 = 51—j—7k, поэтому она определяет¬
ся уравнениями (х—1)/5 = (у—1)/(—1) = (г—1)/(—7).
327.	Найти уравнения проекций прямой
/дг+2у+3г-2б=0,
\Зх+у+4г-14=0
на координатные плоскости.
328.	Привести к каноническому виду уравнения прямой
/2х+3у— 16г— 7=0,
\3*+У— 17г=0.
329.	Вычислить углы, образованные с осями координат прямой
(х—2у—5=0*
\ж—Зг + 8 = 0.
330. Найти уравнения прямой, проходящей через точку М (1;
—2; 3) и образующей с осями Ох и Оу углы 45° и 60°.
331. Найти уравнения прямой, проходящей через точку ЛГ(5;
—1; —3) и параллельной прямой
J2x-\-3y-\-z—6 — 0,
\4де—5у—2+2 = 0.
332.	Найти точку пересечения прямых (х—1)/(—1 ) = (у—2)/5=
= (г + 4)/2 и (х—2)/2 = (у—5)/(—2) = (г —1)/3.
333.	Даны три последовательные вершины параллелограмма:
А(3; 0; —1), 5(1; 2; —4) и С(0; 7; —2). Найти уравнения сторов
AD и CD.
334.	Найти параметрические уравнения прямой, проходящей че¬
рез точки М(2; —5; 1) и N(—1; 1; 2).

335.	Вычислить расстояние между параллельными прямыми
*/1 = (У—3)/2 = {г—2)/1 и (х—3)/1 = (у + l)/2 = (z—2)/1.
336.	Даны точки /1 (—1; 2; 3) и В (2; —3; 1). Составить урав¬
нения прямой, проходящей через точку Л1(3; —1; 2) и параллель-
вой вектору АВ.
337.	Найти угол между прямыми
[\х—у—г+12 = 0,	/Зх-2у+16=0,
\у—г—2 = 0	и \3*—г=0.
338.	В плоскости уОг найти прямую, проходящую через начало
v „	(2х—у—2,
жоординат и перпендикулярную прямой |у_|_2г= — 2.
339.	Даны две вершины параллелограмма ABCD: С (—2; 3; —5)
a D(0; 4; —7) и точка пересечения диагоналей Л1(1; 2; —3,5).
Найти уравнения стороны АВ.
340.	Треугольник ABC образован пересечением плоскости
x-f-2j/-f42 — 8 = 0 с координатными осями. Найти уравнения сред-
аей линии треугольника, параллельной плоскости хбу.
341.	Даны точки А( 1; 1; 1), В(2; 3; 3) и С(3; 3; 2). Составить
травнення прямой, проходящей через точку А и перпендикуляр-
вой векторам Л В и АС.
342.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку
JH (0; 2; 1) и образующей равные углы с векторами a = i + 2j + 2k,
b = 3j, с = 3k.
343.	Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую
tx-f-1)13 = (у—2)/(—1) = г/4 и перпендикулярной плоскости 3х + у —
—	z-\- 2 = 0.
344.	Найти уравнения проекции прямой х/2 — (у + 3)/1 =
*=(г—2)/(—2) на плоскость 2х + 3у—г—5 = 0.
f 2. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1.	Сфера. В декартовой системе координат сфера, имеющая центр в точке
С (а; Ь; с) и раднус г, определяется уравнением
(дг-а)а + 0/-6)»+(г-с)а = га.	(1)
Если центр сферы находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид
х*-\-уъ+г* — г*.	(2)
345.	Найти координаты центра и радиус сферы, заданной урав¬
нением
+ у1 + г8—х + 2у+ 1 = 0.
Д Приведем уравнение сферы к каноническому виду (1), для чего дополним
jp полных квадратов члены, содержащие х, у, и г, т. е. перепишем уравнение
•	следующем виде:
-i- + (^+2y + l)-l+z*-M=0,
ллм
(^-~У+Ц/+1)3+г» = 1.

Следовательно, центр сферы—точка С (1/2; — 1; 0), а ее радиус г = 1/2. А
346.	Составить уравнение сферы, проходящей через точки А (1;
2; —4), 5(1; —3; 1) и С (2; 2; 3), если ее центр находится в плос¬
кости х Оу.
Д Так как точки А, В и С принадлежат сфере (х—а)2+{у—6)2 + (г—с)2 = г2,
центр которой находится в плоскости хОу (откуда с = 0), то их координаты долж¬
ны обращать искомое уравнение в тождество; поэтому получаем уравнения
(1 —о)2+ (2—6)2 + (— 4)2 = r2, (1 — а)2 + (— 3—6)2+ 12 = г2,
(2—а)2 + (2— 6)2 + 32 = г2.
Отсюда
(1 —а)2+ (2—6)2 +16 = (1 —а)2 + (— 3 — 6)2 +1,
(i _ в)«.(2 - Ь)* + 16 = (2 - а)2 + (2 - 6)2 + 9,
или
(2—Ь)2—(— 3— Ь)2 —— 15, т.е. 106=10;
(1 — ci)2 — (2—ci)2 = — 7, т.е. 2а = — 4,
Итак, а = —2, 6=1. Следовательно, центр сферы—точка С(—2; 1; 0). Далее,
находим га = (1—я)2 + (2—6)2+16 = (1+2)2 + (2—1)2 + 16 = 26. Таким образсм.
искомое уравнение имеет вид (х + 2)2 + (#— 1)2 + 22 = 26. ▲
347.	Найти координаты центра и радиус окружности
Г (х—З)2 + (у +2)2+ (2 —1)2= 100,
\	2 х—2у—2+9 = 0.
Д Из центра сферы С(3; —2; I) опустим на плоскость 2х—2у—г+9 = 0
перпендикуляр, уравнения которого можно записать в виде
(ж-3)/2 = (у+2)/(-2) = (2-!)/(—1)	(»)
(в качестве направляющего вектора этого перпендикуляра можно взять нормаль¬
ный вектор заданной плоскости).
Теперь найдем координаты точки пересечения прямой (*) с плоскостью
2х—2у—г+9 = 0. Эта точка и есть центр окружности, являющейся сечением
сферы данной плоскостью.
Записав уравнения прямой в параметрическом виде ж=2/ + 3, у = —2/ —2,
2	= — /+1 и подставив х, у, z в уравнение плоскости, получим
2	(2/ + 3) — 2 (— 2/—2) — (— /+ I) +9 = 0, т. е. / = — 2.
Следовательно, х — 2(—2) + 3 = — 1, у = — 2 (—2) — 2 = 2, 2 = — (—2) +1 = 3,
т.е. центр окружности находится в точке С(— Г, 2; 3).
Найдем теперь расстояние d от центра сферы С (3; —2; 1) до плоскости
2х—2у—2 + 9 = 0:
.	2-3+2.2-1+9 Л
d~		=Р.
(А22 + 22 +1
Радиус окружности т определится из равенства r2 = R2—d2, где R — радиус сфе¬
ры; таким образом, г2- = 100—36 = 64, т.е. г=8. ▲
348.	Определить координаты центров и радиусы сфер, заданных
уравнениями: 1) (х + l)2 + (i/ + 2)2 + z2=25; 2)x2 + y2 + z2—4x + 6i/ +
+ 22—2 = 0; 3) 2х2 + 2у2 + 2z2 + 4г/—3z + 2 = 0; 4) х2 + уг + г2 = 2х;
5) х2 + уг + г2 = 4z—3.
349.	Как расположена точка М( 1;—1; 3) относительно сфер:
1) (х— 1)2 + (*/ + 2)2 + г2=19; 2) x2 + y* + z2—x + y = 0; 3) х2 + у* +
+ z2—4д; + г/—2г = 0?
64

350.	Составить уравнение сферы, если точки Af(4; —1; —3) и
N (0; 3; —1) являются концами одного из ее диаметров.
35Ь Составить уравнения окружности, образующейся в сечении
сферы (х— I)2 (у— I)2 -г (z — З)2 = 25 координатной плоскостью г = 0.
352.	Найти координаты центра и радиус окружности х9, + у2 +
г2 =100, 2х + 2у—г =18.
2.	Цилиндрические поверхности и конус второго порядка. Уравнение ви-
F (х, у) = 0 в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, у
которой образующие параллельны осп Ог. Аналогично, уравнение F (дг, г) = 0
определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси
Су, н F (у, г) = 0—цилиндрическую поверхность с образующими, параллель¬
ными оси Ох.
Канонические уравнения цилиндров второго порядка:
*2	jу2
липтический цилиндр<
д*2 цЧ
^	= 1 —гиперболический цилиндр,
о.	ой
г/2 — 2рх—параболический цилиндр.
Образующие всех трех цилиндров, определяемых этими уравнениями, парал¬
лельны оси Ог, а направляющей служит соответствующая кривая второго поряд¬
ка (эллипс, гипербола, парабола), лежащая в плоскости	хОу.
Следует помнить, что кривую в пространстве	можно	задать	либо	параметри¬
чески, либо в виде линии пересечения двух поверхностей. Например, уравнения
направляющей эллиптического цилиндра, т. е. уравнения эллипса в плоскости
хОу9 имеют вид
*2. ,
а2 ‘ Ь*~ ’
2	= 0.
Уравнение конуса второго порядка с вершиной в	начале координат,	осью	кото¬
рого служит ось Ог, записывается в виде
Х“ , У2 22
с^°-
Аналогично, уравнения
2
£i_.E.+ii=o	_£l+iL+i_=o
г2 Ь2 -Г ct	аг	-Г	Ьг	-1-	С2
являются уравнениями конусов второго порядка с вершиной в начале коорди¬
нат, осями которых служат соответственно оси Оу и Ох.
353.	Какую поверхность определяют в пространстве уравнення:
1)	л'2 = 4у\ 2) z2 = xz?
Д 1) Уравнение х- = 4у определяет параболический цилиндр с образующими*
параллельными оси Ог. Направляющей цилиндрической поверхности является
парабола х2 = 4у, г — 0.
2)	Уравнение г2 = *2 может быть представлено в виде г(г — х) и распадается
на два уравнения: 2 = 0 и г — ху т. е. оно определяет две плоскости — плоскость хОу
и биссектральную плоскость г~х, проходящую через ось Оу. Д
354.	По какой линии пересекается конус х2~гу2—2г2 = 0 с пло¬
скостью у = 2?
Э-213	65

Д Исключив из системы уравнений у% получим х2+4—2г2=0,. ил и э?/2—
—	Jt2/4 = 1. Следовательно, искомой линией пересечения является гипербола,'лежа¬
щая в плоскости у =2; ее действительная ось параллельна оси Ог% а мнима£—
оси Ох. Д
355.	Составить уравнение конической поверхности, вершиной
которой служит точка М (0; 0; 1), а направляющей—эллипс *a/25v+
+ yV9-1, г-3.
Д Составим уравнение образующей AM, где А (дс0; у0; г0)—точка, лежащая
иа эллипсе. Уравнения этой образующей имеют вид х/х0=у/у0 = (г—\)/(г9—\).
Так как точка А лежит иа эллипсе, то ее координаты удовлетворяют уравнениям
эллипса, т. е. ху25+уЦ9 = 1, *0 = 3.
Исключив теперь *и, у0 и zQ из системы
*/х0 = (2—1)/(г0— 1), у/У0 = (г-1)/(г0—1), **/25+у*/9 = 1, г0=3,
получим уравнение искомого коиусв: х2/25-f-у2 [9—(г—1)2/4 =0. А
356.	Установить, какие поверхности определяются следующими
уравнениями, и построить эти поверхности: 1) jca + t/* = 4; 2) х3/25 +
+ уЧ 16=1; 3) х* — у*= 1; 4) t/» = 2х\ 5) z»=y; 6)	г	+ ж’ = 0; 7)	x* +
-Ь*/а = 2у; 8) ха-\- у* = 0; 9) х2—г2 = 0; 10) у* = ху.	.
357.	Составить уравнения линий пересечения конуса х*—+ z2 =
= 0 с плоскостями: 1) г/ = 3; 2) 2 = 1; 3) х = 0.
358.	Составить уравнение конуса с вершиной	в	начале	коорди¬
нат, направляющие которого заданы уравнениями: 1) х=а, у* + г* —
= 6а; 2) у = Ь, дса -j- z* = aa; 3) г = с, х*/аг+уг/Ьг = 1.
3.	Поверхности вращения. Поверхности второго порядка. Если лежащая
в плоскости уОг кривая F (у, г)—0, х=0 вращается вокруг оси Ог, то уравнение
образуемой ею поверхности вращения имеет вид
*)=0.
Аналогично, уравнение F{х,	у2+г2) = 0 определяет поверхность, образо¬
ванную вращением вокруг оси Ох кривой F (х, у)= 0, 2 = 0; уравнение F(^x
у) = 0—поверхность, образованную вращением той же кривой вокруг оси Оу.
Приведем уравнения поверхностей вращения второго порядка, образуемых
вращением эллипса, гиперболы и параболы Еокруг их осей симметрии.
Эллипсоид вращения
х2+£.
а2
осью вращения служит ось Ог; эллипсоид сжат при а > с и удлинен при а < с
(при а = с он превращается в сферу).
Однополостный гиперболоид вращения
х2+у2 г2
а2 с2“" '
осью вращения является ось Ог (служащая мнимой осью гиперболы, вращением
которой образована эта поверхность).
Двуполостный гиперболоид вращения
х2 + у2 г2
а2 с2
осью вращения является ось Ог (служащая действительной осью гиперболы, вра¬
щением которой образована эта поверхность).
<36

Параболоид вращения
х2+у2 = 2рг\
осью вращения служит ось Ог.
Поверхности вращения второго порядка являются частным случаем поверх¬
ностей второго порядка общего вида, канонические уравнения которых таковы:
Эллипсоид (трехосный)
I У2 ,
а2 &2_гса
Однополостный гиперболоид
I
а2-Г^2 са—u
Двуполостный гиперболоид
д2"Г Ь2 с2	*•
Эллиптический параболоид
(р > 0, q > 0).
Кроме этнх четырех поверхностей второго порядка, трех цилиндров второго
порядка (эллиптического, гиперболического и параболического) и конуса второго
порядка; существует еще одна поверхность второго порядка—гиперболический
параболоиду каноническое уравнение которого имеет вид
у2 ifl
— —-=2г (р > 0, <7>0).
Таким образом, всего существует девять различных поверхностей второго
порядка.
359.	Найти уравнение поверхности, полученной при вращении
прямой * + 2//= 4, 2 = 0 вокруг оси Ох.
Д Поверхностью вращення является коиус с вершиной в точке М (4; 0; 0).
Пусть произвольная точка А искомой поверхности имеет координаты X; Y\ Z;
ей соответствует на данной прямой точка В (х\ у\ 0). Точки А и В лежат в одной
жлоскссти, перпендикулярной оси вращения Ох. Тогда Х=х, K2 + Z2 = y2.
Подставляя выражения для х и у в уравнение данной прямой, получим урав¬
нения искомой поверхности вращения: Х + 2 yrV2-j-Z2 = 4, или 4(K2+Z2) —
—	(X—4)2 = 0, т. е. 4K2 + 4Z2— (X—4)2 = 0. £
360.	Какую поверхность определяет уравнение х2 = уг?
Д Произведем поворот координатных осей вокруг оси Ох на угол а = 45°
((от оси Оу к осн Ог против часовой стрелки). Формулы преобразования координат:
х = дг\ у —у' cos а—2'sin a, z=*y' sin а-|- z' cos а. Так как sina = cosa=y^ 2/2,
то * = y = {V 2/2) (у’ — г'), z = (V~il2) (у’+ г’).
Подставив этн выражения в уравнение поверхности, получим х* —у' /2—г' /2,
ели х,г — у' /2z'2/2 = 0 (конус с вершиной в начале координат, осью которого
является ось ординат). Д
361.	Найти уравнение	поверхности,	полученной	при	вращении
прямой 2у + 2 — 2 = 0, * =	0 вокруг оси	Ог.
362.	Найти уравнения	линий пересечения	поверхности	г	= х2—у2
плоскостями z = l, у— 1, х=1> г =—1.
363.	Какие поверхности определяются уравнениями: 1) z = xy9
2)	г2 = ху?
ф Произвести поворот вокруг оси Ог на угол 45°.

364.	Найти уравнение эллиптического параболоида, имеющего
вершину в начале координат, осью которого является ось Ог, если
на его поверхности заданы две точки М (— 1; —2; 2) и W (1; 1; 1).
365.	Составить уравнение эллипсоида, осями симметрии которого
служат оси координат, если на его поверхности заданы три точки
Д(3; 0; 0), В (—2; 5/3; 0) и С(0; -1; 2/К 5).
366.	Найти уравнения линии пересечения поверхностей 2 = 2 —
—	*2—у2 и г — х2 + у2.
367.	Исследовать, какие поверхности определяет уравнение г2 +
+ х2 = т(г* + у2) при: 1) т = 0; 2) 0<т<1; 3) т> 1; 4) т< 0;
5) т— 1.
4.	Общее уравнение поверхности второго порядка. Общее уравнение второй
степени относительно х, у и г имеет внд
А х2 4- By2+Сг2 + 2Dyz + 2Exz + 2 Fxy+2 Gx+2 Ну+2Kz+L = 0.
Это уравнение может определять сферу, эллипсоид, однополостный или двупо-
лостиый гиперболоид, эллиптический или гиперболический параболоид, цилиндри¬
ческую или коническую поверхность второго порядка. Оно может также опреде¬
лять совокупность двух плоскостей, точку, прямую или даже ие иметь геометри¬
ческого смысла (определять «мнимую» поверхность).
При D = 0, £ = 0, F = 0 общее уравнение принимает вид
Ах2 + By2 + Сг2 + 2 Gx+2 Ну + 2Kz+L = 0.
В этом случае уравнение легко упрощается с помощью параллельного переноса
осей координат, что позволяет сразу установить его геометрический смысл.
368.	Каков геометрический смысл уравнения
ха + 4 у* + 9z* +12 yz + 6xz + ixy—4x—8у— 12z + 3 = 0?
Д Данное уравнение можно записать в виде
(х4-2у4-3z)2—4 (*+ 2у4”3z)4-3 = 0.
Разложим иа множители левую часть уравнения: (х4-2y-\-3z—l)(x+2y+3z—3)=з
= 0. Таким образом, уравнение определяет совокупность двух плоскостей х+2у+
4-3z—1 =0, *4-2у4-Зг-3=0. А
369.	Каков геометрический смысл уравнения
х2 + у2 + г2—yz—xz—ху — 0?
Д Умножая иа 2, перепишем уравнение в виде
2х2 4- 2у* 4- 2z2—2 yz—2xz—2ху = 0,
или
(х—у)24- (У—г)2 4- (х—г)2 = 0.
Этому уравнению удовлетворяют координаты только тех точек, для которых
выполняются равенства x=yt у = г, x = z. Таким образом, уравнение определяет
прямую х~у=г. А
370.	Каков геометрический смысл уравнения
х2 + у2 + Az2—2xy—Sz 4-5 = 0?
Д Перепишем уравнение в виде (*—у)а4-4 (г — 1)а=— 1. Это уравнение
не имеет геометрического смысла, так как его левая часть не может быть отрица¬
тельной ни при каких действительных значениях х, у и г. Д
68

371.	Привести к каноническому виду уравнение
4л:2 + 9у2 + 36z2—8х — 18у—72z 4 -13 = О,
Д Сгруппируем члены с одинаковыми координатами:
4 (*2 —2х) +9 (у2—2у) +36 (г2—2г) = — 13.
Дополнив до полных квадратов выражения в скобках, получим
4 (дга — 2лг+ ])+9 (у2—2у+1)+36 (г2—2г+ 1) = — 13 + 4 + 9+36,
■ли	4	(х—1)а+9 (у—I)2 + 36 (г—1)а = 36.
Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало
координат точку О' (1; 1; 1). Формулы преобразования координат имеют вид
х=дг' + 1, у = у‘+1, г = г' + 1. Тогда уравнение поверхности запишется так:
4*'* +9 у,% + Збг'2 = 36, или лг'*/9+у'*/4 + гл = 1.
Это уравнение определяет эллипсоид; его центр находится в новом начале
координат, а полуоси соответственно равны 3, 2 и 1. Д
372.	Привести к каноническому виду уравнение
х2—у2—4х + 8у—2z =0.
Д Сгруппируем члены, содержащие хну: (ха—4дс) — (у2—8у) = 2г. Допол¬
няем до полных квадратов выражения в скобках:
(х2—4*+4) — (у2—8//+ 16) = 2г+4—16, или (ж—2)2 — (у—4)а = 2 (г—6).
Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало
точку О'(2; 4; 6). Тогда * = *' + 2, у = у'+ 4, z = z'+6. В результате получаем
уравиение х' —у,2 = 2г\ определяющее гиперболический параболоид. Д,
873. Какая поверхность определяется уравнением
4л:2—у2 + 4г2—8х + Ау + 8г + 4 = 0?
Д Выполнив соответствующие преобразования, получим
4 (х2 - 2х) - (у2 - 4у) + 4 (г2 + 2г)=—4;
4	(х2—2х+1) — (у2—4у+4)+4 (га + 2г+!) = — 4+4—4+4;
4	(*-т“1)а — (у—2)2+4 (г+ 1)а = 0.
Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало
точку 0'(1; 2; —1). Формулы преобразования координат х =*» + 1’ ,У=У' + 2<
2==2'—-1. Тогда данное уравнение примет вид 4х' —у' + 4z' =0, пли
х' —у' /4+г'а = 0. Это уравнение конической поверхности. Д
Выяснить, какие поверхности определяются следующими уравне¬
ниями:
374. х2—ху—хг + уг — 0.	375. x2 + z*—4х—4z-f4 = 0.
376. хг + 2и* + 2а—2ху—2уг = 0.	377. х2 + уг—г2—2у-\-2г = 0.
378.	х2 + 2г/2 + 2г2—4i/ + 4г + 4 — 0.
379.	4jc24-(/s—г2—24x—4i/+2z + 35 = 0.
380.	х2 + «/4—г2—2х—2«/ + 2г + 2 = 0.
381.	x2-fi/4—бх+бу—4г-{-18 = 0.
382.	9л:2 — г2—18л— 18у—6г = 0.

ГЛАВА IV
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ
§ 1. ПОНЯТИЕ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕ я-ГО ПОРЯДКА
Определитель четвертого порядка, соответствующий таблице элементов
/ Оц	С13	вц\
I а21 #2*	0*3	Qi 4 \
I, определяется равенством
\ 031 fl32 fl33 fl34 J
\а41	043	044
011
^12
а18
014
<*21
0**
0*з
024
022
028
0*4
08*
033
084
03*
038
«34
«41
fl*2
043
044
042
048
044
021
0*3
024
0*1
02*
0*4
0*1
0**
028
012
081
<*33
034
+ 01Я
031
0з*
034
— 014
081
08*
033
041
048
044
041
04*
044
041
042
048
С помощью определителей четвертого порядка можно аналогично ввести понятие
определителя пятого порядка и т. д.
Для определителей любых порядков остаются в силе определения минора и
алгебраического дополнения некоторого элемента и обе теоремы об алгебраических
дополнениях, сформулированные для определителей третьего порядка.
Таким образом, обозначая через Afl/-* минор, а через Д-*—алгебраическое
дополнение элемента определителя я-го порядка (т. е. элемента, находящегося
в i~й строке и k-м столбце этого определителя), имеем
А* = (- \)*+*Мш.
Пусть D—определитель п-го порядка. Раскрывая его сначала по элементам
i-й строки, а затем по элементам k-то столбца, в силу теоремы 1 (см. с. 41)
получим
D=aiiAii-\-ai2Ai2+ ... +в|ЛИ,*я;
Я —<h*A 1* + ■■a&Afb + ... + апьАпк.
С другой стороны, при / Ф i и k Ф I в силу теоремы 2 (см. с. 41) имееем
e/i^ii+^A/2+ . •. +ауяА/я = 0,
+ °2k^21 + • • • + ank^ni = 0.
Свойства определителей второго и третьего порядка, сформулированные на
с. 41, справедливы и для определителей любого порядка.
Решение системы линейных уравнений
4*11*1 +012*2 + • • • Ч* ашХп=&1»
, fl21*l + 022*2 + ••-.+ Q%nXn = Ь%%
\ап1 хх+anzдс* + ... + аппхп = Ьп.
определитель которой
011
01* ...
01/1
D =
021
0** ...
02/J
#0,
0/1 i
0л* • • •
0/1/1

находится по формулам
*i=DdD\ Xs = Dt/D; .xn = Dn/D.
В этих формулах D—определитель системы, a Dk(k= 1, 2, ...* ^ — определи¬
тель, полученный из определителя системы заменой /г-го столбца (т. е. столбца
коэффициентов при определяемом неизвестном) столбцом свободных членов:
он
°12 •
• • fli, ft-i
bi
аг, ft+i • • i <*tn
аг\
агг .
* * д2, fc-t
Ъг
а2, ft + l - • • Qla
<*ni
Я/12 •
• • апч fe -1
Ьп
an% fc+1 • • • Д/m
383.	Вычислить определитель
3	5	7	2	'
1	2	3	4
—2	—3	3	2	*
1	3	5	4	-
Д Произведем следующие действия: 1) из элементов 1-й строки вычтем
утроенные элементы 2-й строки; 2) к элементам 3-й строки прибавим удвоенные
ктементы 2-й строки; 3) из элементов 4-й строки вычтем элементы 2-й строки.
Тогда исходный определитель преобразуется к виду
О	—1 —2	—10
12	3	4
0	1	9	10
0	12	0
Разложим этот определитель по элементам 1-го столбца:
D = —
— 1 —2
1	9
1 2
-10
10
О
Прибавляя к элементам 1-й строки элементы 3-й строки и вычитая из эле¬
ментов 2-й строки элементы 3-й строки, получим
D= —
О	0 —10
0	7	10
1	2 О
Разложим определитель по элементам 1-го столбца:
D=-\r —!ol=—70* А
384,	Вычислить определитель
12 0 0 0
3 2 3 0 0
0	4 3 4 0 .
0	0 5 4 5
0	0 0 6 5
Д Вынесем за знак определителя общие множители 2, 4 и 5-го столбцов:
£> = 2.2.5-
110 0 0
3	13 0 0
0	2 3 2 0
0	0 5 2 1
0	0 0 3 1
71

Вычтем из элементов 2-го столбца элементы l-го столбца и разложим полу*
ченнын определитель по элементам 1-й строки:
0 0 0 0
—2 3 0 0
2 3 2 0
0 5 2 1
0 0 3 1
= 20
—2 3 0 0
2 3 2 0
0 5 2 1
0 0 3 1
Прибавим к элементам 2-й строки элементы 1-й строки, вынесем —2 (общий
множитель элементов l-го столбца) за знак определителя, а затем разложим по¬
лученный определитель по элементам 1-го столбца:
13 0 0
0 6 2 0
0 5 2 1
0 0 3 1
£ = -40
= — 40
6 2 0
5 2 1
0 3 1
Вычтем из элементов 2-й строки элементы 3-й строки, вынесем 2 (общий мно¬
житель элементов 1-й строки) за знак определителя и разложим полученный опре¬
делитель по элементам 3-го столбца:
3	10	IЯ 1 1
= -80 5 -1 И40- *
D = —80
-1 О
3 1
385. Найти у из системы уравнений
*-j-2y-f3z=l4,
у-г 22-|-3/ = 20,
г + 2< + 3* = 14,
Н-2*+3^=12.
Запишем систему о виде
•	*4-	2^4-	Зг4-0.< = 14,
0-*4-	у+	2г4-	3/ = 20,
3*4-0*04-	г4-	2< = 14,
.	2*4-	3^4-0-г4-	< = 12.
Найдем
0=
12 3 0
0 12 3
3 0 12
2 3 0 1
из зле-
£> =
Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы 1-го столбца;
ментов 3-го столбца вычтем утроенные элементы 1-го столбца:
1 ООО
0	12	3
3—6—8 2
2—1—6 1
Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы l-го столбца; из элемен»
тов 3-го столбца вычтем утроенные элементы 1-го столбца:
О О
—2 —10
4 —4
1 2 3
1 2 3
=
-6 -8 2
= (—2)(—1)
3 4—1
-1 -б 1
1 6 -1
0 = 2
= 2|~4 14° | = 2 (84-40) =96.
Находим
1 14 3 0
1
7 3 0
0 20 2 3
— 9
0 ю 2 3
3 14 1 2
— ^
3
7 1 2
2 12 0 1
2
6 0 1
72

Из элементов 3-й строки вычтем утроенные элементы 1-й строки; из элементов 4-й
строки вычтем удвоенные элементы 1-й строки:
1	7	3	0
0	10	2	3
0 -14 —8 2
0 —8 —6 1
Из элементов 1-й строки вычтем утроенные элементы 3-й строки; из элементов
2-й строки вычтем удвоенные элементы 3-й строки:
17	10	0
Dy = 2
10 2 3
5 1 3
= 2
-14 -8 2
= 2-2-2
—7 —4 2
—8 —6 1
—4 —3 1
1 2 0
—4 -3 1
= 8
17 10
1 2
= 192.
Отсюда у = Dy/D = 192/96 = 2. Д
386. Вычислить определитель
умно»
о3 Ьъ
Д Вычтем из 2-й строки 1-ю, умноженную на а\ из 3-й строки 2-ю,
кеиную на а; из 4-й строки 3-ю, умноженную на а:
Вычтем из 2-й строки 1-ю, умноженную иа Ь\ из 3-й строки 2-ю, умножен¬
ную иа Ь:
1 1 1
V = (b—а) (с— a)(d—а) 0 с—b d—b
0 с2— be dг—db
1 1
1 1
1 1 1
0 Ь—а
с—a d—а
= (b—а) (с—a) (d—a)*
0 Ь2—ab
0 аЬ2
с2—ас d2—ad
с3—ас2 d8—ad2
bed
b2 с2 d2
= (&—а) (с-а) (d-а) (с-Ь) (d-b) | * ('| =
= (6—а) (с—а) (d—a) (c—b) (d—b) (d—c).
Нетрудно видеть, что рассматриваемый определитель равен нулю тогда и только
тогда, когда среаи чисел а, Ь, с, d имеются равные. А
Вычислить определители:
387.
389.
1
-2
3 4
—1 —1
— 1
— 1
2
1
-4 3
388.
—1 —2
—4
—а
3
-4
-1 —2
-1 -3
—9
—27
4
3
2 -1
—1 —4
-16
—64
10
2
0 0 0
1+ а
I 1
1
1
1
1
1
+Ь
1 ]
12
10
2 0 0
0
0
12
0
10 2 0
12 10 2
390.
—а
I 1
1
0
0
0 12 10
Решить системы уравнений:
•	у-Зг+4< = -5,
х—2г+ 3/ = —4.
3x+2y—5t = 12,
4х-\-Зу—Ьг = 5.
391.
392.
х—Зу-(-5г—7t= 12,
Zx—byJrlz— t= 0,
5х—7у+ г—3<= 4,
7х— у+Зг- *' = 16.
73

393. *
f x+ 2y= 5,
3y+ 4z = 18,
5г+ бы = 39,
7u+ 8u = 68,
, 9r/ + 10* = 55.
394.
(2x+3y—3z+4/=	7,
2jc-f */— г+2/ =	5,
6x + 2y+ *	=4,
2x + 3y-St	=—ll«
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МАТРИЦЫ
С помощью равенств
х=апх' + а1гу'4
У = а21х' + а22у'
значения переменных х и у можно выразить линейно через значения переменных
х' и у'. Эти равенства принято называть линейным преобразованием переменных
х' и у'. Их можно рассматривать также как линейное преобразование координат
точки (или вектора) иа плоскости.
Таблица
I	_ (ап а\г \
\Д21 <*22/
называется матрицей рассматриваемого линейного преобразования, а определитель
Da =
ап <*12
ап а22
—	определителем линейного преобразования. В дальнейшем будем предполагать,
что D д Ф 0.
Можно также рассматривать линейное преобразование трех переменных (т. е.
для пространства)*
x = aiiX'-Mi2y'-f ахъг\
У = at\x> + а22У' + аг^\
2=anx' + a32y'+a33z',
где
(all а12 а13
а2\ а22 а2$
Д31 а32 дзз
и Da =
а\ 1 ап а13
021 а22 а23
^31 а32 °33
—	соответственно матрица и определитель этого преобразования.
Матрица А называется невырожденной {неособой), если Dд Ф 0. Если же
D,\~0, то матрица называется вырожденной (особой).
Матрицы
fanalt\ (а« °‘2 я“\
Ui *п)	"Г21	“** °23)
4	гг/	\д31	Оз* а33/
называются квадратными матрицами соответственно второго и третьего порядков.
Для большей общности ряд определений будет дан длл матриц третьего по¬
рядка; применение их к матрицам второго порядка не вызывает затруднений.
*	Часто линейным преобразованием называют равенства более общего вида
x=anxf ^anyf	^blt
У ^ а21Х' ”1“ Я22У' "}“ &23Z' “Г ^2»
z = a3lxf -f a32y,Jf азз*' -г &з-
Здесь	рассматривается	линейное преобразование, для которого	Ьг	= &2 = &з = О*
В курсах	функционального анализа	такое	линейное	преобразование	называют
линейным оператором.
74

Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию атп
матрица называется симметрической.
Две матрицы
/Oil fli2 fll3
^21 ^22 ^23
'°31 fl32 fl33
и B =
bii b\2 bii
b2\ b22 Ь2з
&31 &32 &33
считаются равными (A = B) тогда и только тогда, когда равны их соответствен¬
ные элементы, т. е. когда amn~bmn (m, п= 1, 2, 3).
Суммой двух матриц А и	В	называется матрица, определяемая	равенством
/°11 *13	fll»\ /^11	^12	&1з\	/Д11“Ь^11	Д12 + ^12	Д13“Ь^13'4.
I а21 022	а23 ] + ( &21	Ь22	&23 )—( fl2t+^21	fl22 + ^22	^23 + ^23 )•
\fl3i Д32	<*33'	'^31	^32	&33'	\а314“^31	fl32 4“^32	Дзз4"^зз'
называется матрица, определяемая
^31 изг ^эз'
Произведением числа т на матрицу А
равенством
/Jii а12	а13\	/тай	mal2	та18\
/п( fl2i ^22	^23 J232! ям*21	тпа22	та2Ъ 1.
\Дз1 {Х32	Азз/	\/пдз1	та$2	таъъ)
Произведение двух матриц А	и В	обозначается	символом АВ и определяется
равенством
/0ц fli2 Д13\ /Ь\\
Л£ = ( a2t а22 а23 W b2i
\a3l а^2 а$2/ \b^\
г з
2	ачь\1
j=i
3
2	fl2jb\i
j=i
3
2 a3j^ji
j=i
2 fllj^j2
j=l
3
2 fl2j^j2
j=‘
3
2 °3j^j2
j=l
&t2 ^13
b22 b23
Ьз2 Ьзз
3
2	ачь1
J=i
3
2 fl2j^j:
j=*
3
2 a*\bY'
J=i
т. e. элемент матрицы-произведения, стоящий в i-й строке и k-м столбце, ря-
сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и k-eo
столбца матрицы В.
По отношению к произведению двух матриц переместительный закон, вообще
говоря) не выполняется: АВ **= В А.
Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей
этих матриц.
Нулевой матпши>й называется матрица, r.ce элементы которой равны нулю:
О	0 0\
ООО	) = 0.
О	О О J
Сумма этой матрицы и любой матрицы А дает матрицу А: Л + 0 = Л.
Единичной матрицей называется матрица
/10 0
£ = ( 0 1 О
\0 0 \)
При умножении этой матрицы слева или справа на матрицу А получается
матрица А: ЕА = АЕ = А. Единичной матрице отвечает тождественное линейное
преобразование: х = х\ у = у', z — z'.
75

Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если произве¬
дения АВ и В А равны единичной матрице: АВ — ВА — Е.
Для матрицы, обратной по отношению к матрице Л, принято обозначение
Л-1, т. е. В —А-1.
Всякая невырожденная квадратная матрица А имеет обратную матрицу. Об¬
ратная матрица находится по формуле
где Атп—алгебраическое дополнение элемента матрицы атп в ее определителе,
т. е. произведение минора второго порядка, полученного вычеркиванием /л-й строки
и л-го столбца в определителе матрицы Л, иа (—\)т+п.
Матрицей-столбцом называется матрица
Корни этого уравнения ^2, Х3 называются характеристическими числами
матрицы; они всегда действительны, если исходная матрица является симметричес¬
кой.
Система уравнений
в которой % имеет одно из значений А*, А*, и определитель которой в силу
этого равен нулю, определяет тройку чисел |2; £3), соответствующую дан¬
ному характеристическому числу.
Произведение АХ определяется равенством
■>
Система уравнений
ai\xi 4" ai2x2 +	—	bf9
ч 021*1-Ьа22*2 + а2Я*Я—^2>
I <*81*l4-a32*24-fl33*3=&3
Решение этой системы имеет вид Х = А~1В (если Од 5=0).
Характеристическим уравнением матрицы
76

Эта совокупность трех чисел (g*; £t; £8) с точностью до постоянного множи¬
теля определяет ненулевой вектор г = Ц- g2J + называемый собственным
вектором матрицы.
395.	Дано линейное преобразование х = х' + у' + г\ у = х' + у'9
г = х' и даны точки в системе координат х\ у\ z’: (1; —1; 1),
(3; —2; —1), (—1; —2; —3). Определить координаты этих точек в
системе х, у, г.
А Подставив координаты точек в равенства, определяющие данное линейное
преобразование, получаем: если х' = 1, у' =—1, г' = 1, то jc = 1, у = 0, 2=1, т.е.
(1; 0, 1); если х' = 3, у' =—2, z'= — 1, то х = 0, у = 1, z = 3, т. е. (0; 1; 3); если
х/ =—1, у' = —2, г'= — 3, то jc = —6, // = —3, z =—1, т. е. (—6; —3; —1). Д
396.	Написать линейное преобразование предыдущей задачи для
перехода от координат х, у, г к координатам х'у у , г'.
Д Имеем х' = г (из третьего равенства); у9 =у—г (вычитаем из второго ра-
венства третье); г'=х—у (вычитаем из первого равенства второе). Д
397.	Дано линейное преобразование х = х' + 2у\ у = 3х' + 4у’.
У каких точек оно не меняет координат?
Д Нужно найти хну, если х = х', у — у\ т. е. х = х+2у, у = 3х+4у. Сле¬
довательно, х=х'=0, у = у' = 0. Д
398.	У каких точек линейное преобразование jc = 3jc'—2у\ у =
= 5*'—Ау не меняет координат?
Д Имеем х = 3х—2у, у~Ъх—4у. Следовательно, x=y = xf = у\ т. е. линей¬
ное преобразование ие меняет координат у точек (/; /) с одинаковыми координа¬
тами. Д
399.	Найти сумму матриц
400.	Найти матрицу 2Л+5В, если
401.	Найти произведения матриц АВ и ВА, если
/1 з 1\	/2	1 0\
2	1 0

402.	Найти А3, если i4 = (j 4).
.,_/3 2U3 2\	/9+2 6+ 8\_/11 14\
Д А “и 4) Vi 4J-V3+4 2+i6;~V 7 т)'
лз_ лг. А-/11 144 /3 24/33+14 22 + 56\ _/47 78\ д
V 7 ,8/4! 4./	\21 +18	14+72;	“V39	вб,)-	А
403.	Найти значение матричного многочлена 2А* + ЗА + 5£ при
/1 I 2\
А = ( |.3 1 ], если Е—единичная матрица третьего порядка.
4'11/
А А2 =
ЗА =
1 1 2
1 3 1
\4 1 1
3 3 6
3 9 3
12 3 3
2i42+3j4+5S =
1 1 2
13 1) =
4 1 1
/10 0
5Е=5! О
\0 0 1
28 15 15
19 36 15
30 19 28
10 6
?\
8 11 6
9 8 10 J
5 0 0
0 5 0
0 0 5
2А» =
20 12 10
15 22 12
18 16 20
1 0 =
404.	Даны два линейных преобразования x — atlx' + alsy', у =
= апх' + аггуг и х —Ьх1х" -\-Ьпу\ у' = Ьг1х” + Ь22у". Подставляя х' и
у' из второго преобразования в первое, получим линейное преобра¬
зование, выражающее х и у через х" и у". Показать, что матрица
полученного преобразования равна произведению матриц первого и
второго преобразований.
Д Имеем
X = flu Фи** + buy?) 4- а12 (ЬцХп 4- &22У*) = fail &n + ala^2i) + (аП ^ia:+fli2&2t) if %
y = a21 (^11** 4" &12yh) +°22 (^21*" 4“ ^22^) = {^21^11 4* fl22^2l) ** 4“ (fl21^12 4"	\f •
Матрица полученного линейного преобразования имеет вид
( flll^ll+tfl2&2t ^11.^12 4" ^12^22 \
\ Д21&11 4“ flM^2t а21^12 4_а22^22/
т. е. она является произведением матриц ( °п °12 J и ( ?п f12V А
_ л \^21 «22/	\&21 Ьгг)
/3 2 2N
405.	Дана матрица А = у £ 3 j
Д Вычисляем определитель матрицы А:
3 2 2
= 274-2—24 = 5.
Найти обратную матрицу.
1 3 1
5	3 4
Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
Aw =
i4ie = —
3 1
3 4
hi-.
= 9, А2 i = —
Ао2 =
2 2
3 4
3 2
5 4
	2, A3i —
= 2, А 32 = —
2 2
3 1
3 2
1 1
= -4,
= -1,
^18 —
Следовательно,
1 3
5 3
	12, Л2 з = —
3 21-1
5 3М’
<4»»=l^ f 1 = 7.
А~1 =
9/5 -2/5 — 4/5\
1/5	2/5	—1/5 ).
—12/5	1/5	"*7/5/
78

408. Решить систему уравнений
I 2*+3«/+2г = 9,
<!	х-\-2у—Зг= 14,
I Зх+4у + г = 16,
представив ее в виде матричного уравнения.
Д Перепишем систему в виде АХ — В, где
/2 3	2\	/х\
А={ 1 2	-3	Х = ( у \	В =
\ q а	1 }	\	;
9\
v 14	*
\3 4	1/	\г/	\	16/
Решение матричного уравнения имеет вид Х = А~1В. Найдем А~К Имеем
о	о 9
= 28—30—4 = —6.
Da =
1 2 -3
3	4	1
Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
л  |2—31 шл ш   I 3 21 е л  |3	21	 -о
Ли— ^ j —I*» ^21	^ I — о» л81— 2 	з	1с5>
А - I 1 -3
—“|3	1
А -И 2
Is J 3 4
Таким образом,
= -10, Лг2 = | j f| = -4. *«—|? J|-8,
=-2, AM = -\ll\ = l,	i|	= ,.
Л-1 =—g-[ -10 -4
/	14	5	—13\
*	( —10 —4	8),
\ —2 I 1J
откуда
I /	14	5	—13\ / 9\	, / 120+70—208\	, /—12\	/	2
1	t Л	/4	Q \l t Л \		1	/ ОЛ W I lOfl 		1	I io\	!	r>
A- = —g-( —10—4	8 )f 14 ] = --l( -90-53+128 ) = --l( -18 ) = (	3
4	0)1	=—	—	—4U—OJ-f-lZB =— —	—10	=1
—2 t 1 / V 16/	0	V-18	+	14+16	J	b\	12J \—2
Следовательно, ж = 2, y=3, г =—2. ^
407.	Дана матрица (4 3). Найти ее характеристические числа и
собственные векторы.
Д Составляем характеристическое уравнение
|5~Х 3_fх|=°. «ли (5—)v)(3—л)—8 = 0, т. е. >.*—8Я+7=0;
характеристические числа = 1,	—	Собственный	кектор,	соответствующий
первому характеристическому числу, находим из системы уравнений
( (5-Х,) 6i +2gi = 0,
I 4£i + (3—X1)s2=0;
так как Xi = lf то £( и связаны зависимостью 2^1 + 52 = 0.
Полагая £^~а(а Ф 0—произвольное число), получаем ^ = —2а и собствен¬
ный сектор, соответствующий характеристическому числу Kt = I, есть = ctl — 2ccj-
Найдем второй собственный вектор. Имеем
/ (5—Х2) si + 2с2 = 0,
\ 4Е1 + (3—Л*) ь2 = о.
79

Подставив значение Х2 = 7, приходим к соотношению Ег^О* т. е. |i =*
= Ег = Р Ф О* Собственным вектором, соответствующем второму характеристиче¬
скому числу, служит r2 = Pi + Pj. А
408,	Найти характеристические числа и собственные векторы
/3-1	\\
матрицы ( — I 5 —£ .
Д Составляем характеристическое уравнение
3-Х	-1	1
— I 5—X —I
1	—1	3—X
=0,
(3-Х) [(5—X) (3-Х)-1] + <-3+Х+1) + (1-5+Х) = 0.
После элементарных преобразований уравнение приводится к виду (3—X) (X2 —
—	8X+I2)— 0, откуда Xi —2, Х2 = 3, Х3 = 6.
Находим собственный вектор, соответствующий характеристическому числу
Xj = 2. Из системы уравнений
/ Ei— Е2 + Ез = 0»
\ -6i'+3e;-e;=o,
^ §i— 62+^3=о
(одно из уравнений этой системы есть следствие двух других и может быть от¬
брошено), получим ^2==0. !з = — Ei- Полагаем	тогда	Ег = 0» Ез = —а и
r^ai—ак.
Находим собственный вектор, соответствующий значению Х2 = 6. Получаем
систему уравнений
/	—Ег+ Ез" = 0,
\ -61+2Й-Й-0,
v El —Еа = 0
(одно из этих уравнений— следствие двух других). Отсюда Ei = ёг = 6э = Р нг2 =
= pi + pj + pk.
Находим собственный вектор, соответствующий значению Х8 = 6. Составляем
систему уравнений
-ЗЕГ'-ЕГ+ Ез"=о,
—Ei —Еа — Ез =о»
ЕГ-ЕГ-з6Г = о
(снова одно из уравнений—следствие двух других). Решая эту систему, находим
Ei — V» £2”= — 2v,	# = Y и г8==ув|—2Yi + Yk*
Итак, собственные векторы заданной матрицы имеют вид r! = a(i — к); г2 =
= Э (i -f-j-(-к); г8 = у (i —2j—к), где a, Р, у—произвольные отличные от нуля
числа. Д
409.	Даны два линейных преобразования х = апх'+ al2y'+ al3z\
у = attx' +а2гу' +ai3z', z = aitx' +азгу' + a33z'\х' = 6nх” + blty" + bl3z",
У' = Ьг1х" + Ьг2у" + bi3z", z' = balx" + b3iy'' + b33z". Подставляя х\ у' и
г' из второго преобразования в первое, получим линейное преобра¬
зование, выражающее х, у, z через х", у", г". Показать, что мат¬
рица полученного преобразования равна произведению матриц пер¬
вого и второго преобразований.
80
(

410.	Дано линейное преобразование x = 6.v' + у'—2г', у = —18*' +
+ 2y' + 6z\ z = 2,v'-f 2*/. Координаты каких точек удваиваются в
результате этого преобразования?
411.	Даны два линейных преобразования: л* = У-f-у'+ 2г\ у =
= х+2у’ + 6г\ z = 2x'~r3y'; x = 2x' + 2z\ у = х' + 3у' + 4г\ г =
= х9 + Zy + 2z . Найти точки, для которых каждое из этих преоб¬
разований дает один и тот же результат.
412.	Найти точки, координаты которых не меняются при при¬
менении линейного преобразования а* = х cos а—у’ sin а, у' = л' sin а+
+ у cos а.
413.	Найти множество точек, координаты которых меняются ме¬
стами при применении линейного преобразования .v=--.v'cos« —
—	ij sin a, w = A''sina + t/'cosa.
,'5 8 4\
414.	Дана матрица Л=( 3 2 5 1. Какую матрицу В нужно при-
\7 6 0'
бавить к матрице А, чтобы получить единичную матрицу?
/2 1 1\
415.	Дана матрица А=-	2	^	\	Найти	сумму	матриц	Л2-4-/1
/10 20 —30\
416.	Дана матрица Л = ^ 0 10	20 j. Найти обратную матрицу.
417.	Решить систему уравнений
( 3* + 4у= И,
| 5у+6г = 28,
I х + 2г = 7,
представив ее в виде матричного уравнения.
418.	Найти характеристические числа и нормированные собст¬
венные векторы матрицы (5 g).
419.	Найти характеристические числа и собственные векторы
(\ 1 34
матрицы | 1 5 1 ).
F \3 1 1/
f 3. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ
КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Выражения вида
I7„.vs-f-2<?i,xy-f а.гуг
И
аихг-\-а22у2-\-аъ Згг 2av>xy + 2anxz -f- 2аглуг
назыпаются квадратичными формами соответствен но ог дз\ х и трех переменных.
Симметрические матрицы
A*i=(nU n12V ГДе "21
\^21 О 22/
И
(a\i °12 Д13\
a*i °22	)•	где	o2i	=	Oi2,	Яз|~«?п	11
Л31 Oyi 033 /
называются матрицами этих форм.
61

Квадратичные формы с помощью линейного преобразования переменных можно
преобразовать к внду, не содержащему произведений новых переменных (при¬
вести, как говорят, к алгебраической сумме квадратов); иными словами, квадра¬
тичная форма двух переменных может быть приведена к виду	а
квадратичная форма трех переменных — к внду
Для того чтобы коэффициенты при х\ были характеристическими числами,
линейное преобразование должно быть произведено следующим образом: опреде¬
ляют тройку (для квадратичной формы двух переменных — пару) нормированных
попарно ортогональных собственных векторов, соответствующих характеристичес¬
ким числам Ль Л*, к3:
ei = aii + PiJ + Yik,
с2 = а2* ~b P2I +
Сз = аз^ + Рз) + 7зк.
В силу нормированное™ н ортогональности векторов е*, е2, е3 должны выпол¬
няться тождества:
«?+Р?+Т? = 1 (* = 1, 2. 3); сцау + Му + уф =0 (I,/ = 1, 2, 3, i ф ,).
Тогда матрица преобразования переменных имеет вид
/ах а2 а3\
5	= (Р 1 р2 Рз ;
\yi Уг Уз'
иными словами, надо положить
х = ахх' -f a^' -f а3г',
у — pi*' +	+ Рз2'»
2	= Yi*' + Y2/ + Ys2'
(для случая	двух	переменных все формулы Соответственно	упрощаются).	Такое
преобразование	переменных	носит название линейного	ортогонального	преобразо¬
вания: в этом случае определитель матрицы S равен ±1: D$= ± 1.
Линейное ортогональное преобразование используется для приведения к ка¬
ноническому виду общего уравнения кривой или поверхности второго порядка,
причем если хотят сохранить взаимную ориентацию новых координатных осей, то
налагают на матрицу преобразования 5 дополнительное условие: Ц$=1.
Преобразование уравнения кривой нли поверхности второго порядка к кано¬
ническому виду производят следующим образом:
а)	находят то линейное ортогональное преобразование координат, которое
приводит квадратичную форму старших членов уравнения кривой или поверхно¬
сти к сумме квадратов, и выполняют в уравнении соответствующую замену.
В результате этого преобразования из уравнения исчезают члены с произведе¬
ниями координат;
б)	производя после этого параллельный перенос новых осей координат (в про¬
странстве иногда приходится, кроме того, делать дополнительный поворот двух
осей в одной из координатных плоскостей), приводят уравнение к требуемому
каноническому внду.
420.	Привести к каноническому виду уравнение кривой
5л;2 + 4 ху + 8у2 — 32 х—56у + 80 = 0.
Д В данном случае матрица старших членов имеет вид ^ = ^2 в)* ^остав-
ляем характеристическое уравнение матрицы:
|5"2 * 8—х|==0, т- е- Ь*-13а.+36=0.
83

Находим характеристические числа А* = 4, Х* = 9. Полагая А* = 4, для опре¬
деления соответствующего собственного вектора получаем систему уравнений
f Si +	—	О,
\ 2^+4*, = 0.
Отсюда	= —2ga; полагая J* = — а, находим £i = 2a и гх = а (21—j). Нормируя
вектор ri, имеем ех = (2/|^5) I — (\!}fb) J.
Полагая Х*=9, для определения второго собственного вектора получаем си¬
стему уравнений
Отсюда tfe = 2t|i и г* = р (I + 2}). Нормируя, определяем е2 = (1/У5) Ъ +
+ (2/^5)}. Легко проверить, что скалярное произведение е1‘е2 = 0, т. е. век¬
торы ei и е* ортогональны.
Используем собственные нормированные ортогональные некторы для построе¬
ния матрицы преобразования координат
откуда после раскрытия скобок н приведения подобных членов получим
Заметим, что в преобразованном уравнении коэффициентами при х'г и у'*
оказались (как и следовало ожидать) характеристические числа X* и X*. Перепи¬
шем уравнение в виде
Произведем параллельный перенос осей координат, полагая х” — х'— 1/^5,
—	— 8/}/~5; получаем 4хп2-\-9у,г = 36, или х*2/9-\-у"2/4=\ (каноническое
уравнение эллипса). ^
{
—4^1 + 2% ~0,
2т|1— % =
Отсюда
х = (2/У5)	+	(1/У&) у', у = (-1/^5) *' + щУ5) у\
Найденные для х и у выражения подставим в уравнение кривой:
Выражения в скобках дополним до полных квадратов:
■ли
■ли
ели окончательно

{
421.	Привести к каноническому виду уравнение кривой
9jcs + 24jty+ 16у*—230* + 1 Юг/—225 = 0.
Д Характеристическое уравнение имеет вид
|9~Х	или	К*—25Х.=0, т. е. А*=0. Ха = 25.
При А, = 0 получаем систему
96i + 12ge = 0f
12?i+16ge=0.
Каждое из этих уравнений сводится к уравнению 6i/4 = ^*/(—3). Следовательно,
собственным вектором матрицы служит вектор r = a(4i—3j), а при а=*
*= 1/|/“42-f-(—3)* =1/5 находим собственный нормированный вектор е* = (4/5) 1—
-(3/5)].
Прн ?„ = 25 получаем систему
/ — 16ть + 12г)* = 0,
\	12П1—	9гь	=	0.
Из этой системы аналогичным образом находим второй собственный нормирован*
ный вектор е2 = (3/5) i + (4/5) j (ех-е* = 0).
Матрица преобразования координат имеет вид
s-(J/5 ад)
формулы преобразования jc = (4/5) х* + (3/5) у\ у = (—3/5) х' + (4/5)
Переписав уравнение кривой в виде
(3*+4у)2—230* +11 Оу—225=0f
перейдем к новым координатам:
25у>*—230 (1 *'+| ff') + llo(	*'+i	-225=0	.
После приведения подобных членов и сокращения на 25 приходим к уравне¬
нию
у,%— \0х'—2у'—9 = 0.
Последнее уравнение можно переписать в виде (у'— 1)*= Ю(хг +1). Произведя
параллельный перенос осей, примем за новое начало координат точку О'(— 1, 1).
В итоге приходим к каноническому уравнению заданной кривой у** = 101*" (пара¬
бола). А
422.	Привести к каноническому виду уравнение поверхности
За:2 + 5у2 + Зг2 — 2ху + 2хг — 2 уг — 12* — 10 = 0.
Д Здесь матрица старших членов уравнения поверхности имеет вид
3	—1	1\
;/
— 1	5	—1
1	—1	ЗУ
характеристические числа матрицы определяются из уравнения
3—1	—	1	1
— 1 5—К —1 =0,
1	—1	3—К
которое приводится к виду (3—X.) (X,*—8Я.+12) = 0; отсюда находим Я.1 = 2, Х*=3,
Х$=6.
84

При Х = 2 получаем систему
(tl\ —и* Ч-«з = 0,
|	—«3 = 0,
Ui— «2+«8=0.
Указанному значению к соответствует собственный вектор (а; 0; —а). После
нормирования приходим к вектору е1 = (1/^Л2)1 — (1/^*2)к.
При К = 3 получаем систему
(	—^ + ^2 = 0,
I	— flj-f-21’2—г3 = 0,
I	^*1	=0.
Отсюда находим второй собственный нормированный вектор es*=(1/^3) I +
+ (i/^3) J+(l/к. Векторы ех и et ортогональны: е1-е2=0.
При К = 6 получаем систему
(—3wi—wt+ w3 — 0,
—	wx—wt— w3 — 0,
Wi—w2—3доз = 0.
Соответствующим собственым нормированным вектором (третьим) служит вектор
еэ = (1/УЛб") i — (2/^бГ) ) + (1 /1^6”) к, который ортогонален векторам tt и е2:
^•«8 = 0, et-e9 = 0. Находим матрицу преобразования координат:
/ i/ут цуг
S	=/ О	1/У 3 —2/Уб )
V-i/K? муз му&J
Отсюда получаем формулы преобразования координат:
* = (1 /У2) х' + (1 /УЗ) / + (1 /УЪ)г\ у = (1 /УЗ) у’-(2/Уъ) г\
*	= (— t/У2)х*-\-(\/У3) у'-\-(\/Уб)г'.
Подставив выражения для х, у и г в уравнение поверхности, после упрощений
лолучим
2х'*+Зу/2+6г/а—6^2*' —4>/*3 у'—2}f6 z'—10=0.
Коэффициентами при *'*, у'*, г,%, как и должно быть, являются соответствеи-
*о числа Xi, Х2, Х3. Перепишем уравнение в виде
тго после дополнения выражений в скобках до полных квадратов дает
Произведя^ параллельный перенос осей координат по формулам х' = ж*+3/У~2 ,
if =у"+2/У 3 , г’ — г’-\-\/У& и разделив уравнение на 24, приходим к канони¬
ческому уравнению эллипсоида д:*а/12-|-у"2/8 + г*2/4= 1. к.
Привести к каноническому виду уравнения кривых:
423.	5х* + 6ху + 5у*—16*—16у—16 = 0.
424.	7х* + 16ху — 23у* —Их— 16у — 218 = 0.
425.	х9 + 2ху + у*—8л;-)-4 = 0.
Привести к каноническому виду уравнения поверхностей:
426.	х* + 5у* + г* -+• 2ху-\- бхг + 2уг — 6 = 0.
85

ф Формулы преобразования координат: х — (\!УЪ) х‘ (1 / У (Г) у' -т{\! У2) г'»
*=.-(1/^3) *' + (2/^6)*', г = (1/УТ)х' + (1/Уб)/-(1/У2)г'.
427.	2.V2 + у2 + 2z2 — 2ху — 2уг-\-х — 4у — Зг 2 = 0.
+ (1/|АЗ)г',	у=—(2/Уб)_х’	—	(1/У	3)г', «/' =у"+ 1/^2 ; г =
= -(1/Кв) *' + (1/^2) у’ + (1/УЗ) г', г' =г"-Ь МУ 3 .
§ 4. РАНГ МАТРИЦЫ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МАТРИЦЫ
Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов
(/г^т, k^n). Определитель я-го порядка, составленный из элементов матрицы
А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется
минором k-ro порядка матрицы А. Матрица А имеет С^.С* миноров k-ro порядка.
Рассмотрим всевозможные миноры матрицы Л, отличные от нуля. Рангом
матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от
нуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают
равным нулю.
Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой
матрицы» называется базисным минором матрицы.
Ранг матрицы А будем обозначать через г (А). Если г (A) = r (В), то матрицы
А и В называются эквивалентными. В этом случае пишут А ~ В.
Ранг матрицы не изменится от элементарных преобразований. Под элементар¬
ными преобразованиями понимают:
1)	замену строк столбцами, а столбцов—соответствующими строками;
2)	перестановку строк матрицы;
3)	вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;
4)	умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
5)	прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой
строки.
Д Все мииоры второго и третьего порядкон данной матрицы равны нулю,
так как элементы строк этих миноров пропорциональны. Мнноры же первого по¬
рядка (сами элементы матрицы) отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицы
равен 1. А
Д Вычеркнув из этой матрицы 2-ю строку, а затем 2, 3 и 4-й столбцы.
ф Формулы преобразования координат: х~—(l/V^G)*' — (1/^2)	+
Дана прямоугольная матрица
429. Определить ранг матрицы
1	0	0	0	"
0	0	0	0
,2	0	0	0
ранг данной матрицы равен 2. Д

Д Сложим соответствующие элементы 1-й и 3-й строк, а затем разделим
■а $ элементы 1-й строки:
/3	5	7\	/4	8	12ч	/1	2	3
Л = ( 1	2	3)~М	2	3 )	~ 1	2	3
\1	3	5 /	\1	3	5 /	\1	3	5
Из элементов 1-й строки вычтем соответствующие элементы 2-й строки,
зосле чего вычеркнем 1-ю строку:
! 1 Т\ (1 2 Ги (' 2 п
! 3 5/	\1	I	V Ь 3 5-)'
Ранг последней матрицы равен 2, так как, например, |J ^|^0. Следова¬
тельно, и ранг данной матрицы равен 2. Д
/4 3	2	2\
431.	Определить ранг матрицы ^ ^ ^ ^
Д Вычтем из элементов 4-го столбца элементы 3-го столбца, а затем вычерк-
вей 4-й столбец:
/4	3	2	2\	/4	3	2 0\	/4	3	2
Л= 02	1	11-02	10-02	1
\0	0	3	3)	\0	о	з о/	\0	0	3
4	3 2
= 24^0, то ранг матрицы равен 3. Д
О 2 1
0 0 3
Так как
432.	Определить ранг и найти базисные миноры матрицы
д Имеем
/I	0	2	0	0\
0	1	0	2	0 .
\ч2	0	4	О	О/
/1 0 2 0 0\ /1 0 2 0\ /1 0 2 0\ /1 0 2 0'
о !
О	1 О 2 0 ~ О 1	0	2	~ О 1 0 2 ~ 0. 1 0 2
2	0 4 0 0/	\2 0 4 0/	\1	0	2	О/	\0 О О О
Базисными минорами являются миноры второго порядка этой матрицы, отличные
ст нуля:
I	1 0IM	01 10	2112 0!	10 1110	2111	01	10	21
(О 1 (’ 10	2 j |1	0|’|0 2 J’	I 2 0 j* [ 2	0|’ |0	4 [’	[4	0|*
Таким образом,	матрица	А имеет 8 базисных миноров.	Д
433.	Сколько	миноров второго	порядка	имеет	матрица
/ Q\\ а 12	013^
А = I а11	а22	°>3 !?
\Д31	^32	О33/
Выписать все эти миноры.
Д .Матрица имеет Су Сз = 3-3 = 9 миноров второго порядка:
а22
°23 1
а 21
°2 3 I
Д-21
°22 I
Oil
°13
O32
°33 J *
^31
°33 1 ’
^31
fl32 1 *
Q 32
^33
Oil
<*13
ап
fll2
<*12 ^13
Oil
^13
On
0\2
#31
Лзз
*
°31
032
»
fl22 fl2 3
1
fl2l
a23
»
<>21
°22
87

/ Л	531	—к-
434.	Определить ранг	матрицы А	= [ 2Я	>.	ЮА,
\—Я,	—2Л	—ЗА.
/1 2 3 6'
435.	Определить ранг матрицы (2316
\3 1 2 6 j
/О 2 0 0\
436.	Определить ранг матрицы	g	^	q	) и найти ее базис¬
ные миноры.
/1	2 1	3 4\
437.	Определить	ранг	матрицы	А = [ 3	4 2	6 8|и найти ее
базисные миноры.
12 13 4
§ 5. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ т ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С п НЕИЗ¬
ВЕСТНЫМИ
Дана система т линейных уравнений с п неизвестными
Дц*1 + Я12*2	+	...+ а1пхп — Ьи
<*21*1 + Я22*2	+	• • • + 02ПХ„ = Ь2,
+	• • •-}rQmnXn — bmrn
Решением этой системы называется совокупность п чисел (xt; х2\	хп), кото¬
рые, будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращзют этн уравне¬
ния в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет
хотя бы одно решение (хь хг\ ...; хп). Если же система не имеет ни одного
решения, то она называется несовместной.
Совместная система называестя определенной, если она имеет только одно решение,
и неопределенной, если она имеет больше одного решения.
Матрицы
(°11	°12	• • • а\П \	/ ЛИ Д12	• • •	ain	^1
«21	<*22	•••	0%п J	н	Л1 = |	°21	<*22	•••	а2п	^2
ат1	ат2	••• атп J	\ат1	ат2	•••	атп	&т
называются соответственно матрицей н расширенной матрицей системы (1).
Для совместности системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы (теорема Кроне-
кера—Капелл н). Итак, система (1) совместна тогда и только тогда, когда
г (Л) = г (Ai) = г. В этом случае число г называется рангом системы (1).
Если bi = b2= ... =bm — 0t то система линейных уравнений (1) называется
однородной. Однородная система уравнений всегда совместна.
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных (т. е. г = п), то сис¬
тема является определенной.
Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система — неопре¬
деленная. Остановимся на последнем случае. Итак, предположим, что система
(1) совместна, причем г < п. Рассмотрим какой-нибудь базисный мннор матрицы А.
Выделим в этом мнноре произвольную строку. Элементы этой строки являются
коэффициентами прн г неизвестных в одном нз уравнений системы (1). Эти г
неизвестных назовем базисными неизвестными рассматриваемой системы уравнений.
Остальные п—г неизвестных системы (1) назовем свободными неизвестными.
Выделим нз системы (1) систему г уравнений, среди коэффициентов которых
содержатся элементы базисного минора. Базисные неизвестные в выделенной
системе оставим в левых частях уравнений, а члены, содержащие свободные
неизвестные, перенесем вправо. Из полученной системы уравнений выразим

базисные неизвестные через свободные неизвестные (например, по формулам
Крамера).
Таким образом, придавая свободным неизвестным произвольные значения,
можно найти соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно
(об этом уже сказано выше), система (1) имеет бесчисленное множество решений.
438.	Исследовать систему уравнений
(	4*3*2	4*	5*з-}-7*4 4“ 9*5 = 1,
«I Хх — 2*24“3д:з—4*4 4“ 5*6= 2»
1	2*i 4" 11*з 4“ 12*з 4~ 25*4-}-22*5 = 4.
расширенной матрицы системы. Выпишем
(\	3	5	7	9	1\
= ( 1	_2	3	—4	5	2).
\2	11	12	25	22	4)
Д Определим ранги матрицы и
расширенную матрицу
3
Аг = [	1	-2
11
Вертикальной чертой мы отделили элементы матрицы системы (матрицы А) от
свободных членов системы.
Прибавим к элементам 2-й строки соответствующие элементы 3-й строки, а
затем разделим все элементы 2-и строки на 3:
/1 3	5	7	9	1\	/1	3	5	7	9
Ах~ 3 9	15	21	27	6 )	— ( 1	3	5	7	9
\2 11	12	25	22	4 У	V2	11	12	25	22
О-
Вычтем из	элементов 2-й строки	соответствующие элементы	1-й	строки:
{\	3	5	7 9	1\	/1	3	5 7	9\	,,	,	,	7	q.
Л,~( 0	О	О	0 0	1 ;	А~	0	0	0 О	0 )~ (\	°	»).
\2	11	12	25 22	4У	\2	11	12 25	22/	^	11	и а
Нетрудно видеть, что т (Л) =2, r(Xi)=3, т.е. г (А) фг(Ах); следовательно, сис¬
тема несовместна.А
439.	Исследовать систему уравнений
*14-2*2 4-3*3 = 14,
3*14“ 2*2 4* *8 = Ю»
*i4- *2 4“ *з=б,
2*х 4~ 3*2 — *з = 5,
*i4* *2=3.
Д Расширенная матрица системы имеет вид
Лг =
Прибавим элементы 2-й строки к соответствующим элементам 1-й и 4-й строк
а затем разделим элементы 1-й строки на 4, а элементы 4-й строки на 5:
А
2
3
14\
' 3
2
1
10\
1
1
1
6 •
. 2 3
— 1
5 /
\1
1
0
3/
Вычтем из элементов 3*й строки соответствующие элементы 1-й строки, а из
ыементов 5-й строки вычтем элементы 4-й строки; после этого вычеркнем 3-ю и
89

5-ю строки:
1
1
1
6'
3
2
1
10
0
0
0
0
1
1
0
3
,0
0
0
0.
1 1 1 6\
3 2 1 10
1 1 о] 3 )
1 1
3 2
1 1
i>
Найдем определитель последней матрицы:
1 1 1
0 0 1
3 2 1
=
3 2 1
= 1
1 1 0
1 1 0
Следовательно, г(Л) = 3. Ранг расширенной матрицы также равен 3, так как
найденный определитель является минором матрицы Аг.
Итак, система совместна. Для ее решения возьмем, например, первое, третье
и пятое уравнения:
( *i+2*2 + 3*3 = 14t
«I *1 + *2 + *3 = 6,
I	*1+ *2	=3.
Отсюда легко находим, что *1 = 1, х2 — 2, х3~3. А
440.	Исследовать систему уравнений
( Х1 +5*2 +4*3 + 3*4= 1,
\ 2*!— *2 + 2*3 — *4=0,
Ч	5*1 +3*2 +8*3 + *4=1.
Д Здесь
/1	5	4	3
Л1== 2—1 2—1
V5 3 8	1
Вычтем из 3-й строки 1-ю:
Ах -
/15 4	3
2—1 2—1
\4 — 2 4-2
о\
oj
Разделим элементы 3-й строки на 2 н вычтем нз полученной 3-й строки 2-ю;
затем вычеркнем 3-ю строку:
15 4	3
Ах~[ 2 — 1	2—1
^0 о о	о
А1~(2— 'l 2 — ?! о)*
Нетрудно видеть, что г (Л) = г =2. Следовательно, система совместна.
Возьмем первое и второе уравнения заданной системы:
( *i + 5*2 + 4*з + 3*4 = 1,
\ 2*!— х2 + 2х9 — *4 = 0.
За базисные неизвестные примем *i н *2. Это можно сделать, так как опре¬
делитель ||> из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля.
Свободными неизвестными служат *3 и *4. Переписав систему в виде
Г *i + 5*2 = 1 —4*з—3*4,
\	2*1—	*а	=	—	2*з + *4>
90

шразим Xi и *а через *3 н *4:
1—4*j——3*4	51
—2х3 + *4 —11 	 б
б	8	!
uXs 11х* и*
1	1 —4*з—3*4
2
Полагая х3 — и> *4=t>, получим решение системы в виде
Придавая и и v различные числовые значения, будем поручать различные реше-
пя данной системы уравнений. А
Исследовать системы уравнений:
{	3*! -f- 2*2 = 4,
*1—4*2 = — 1,
441.	< 7*х + Ю*а = 12,
I	5*i+6*2 = 8,
\ 3*!—16*2 = —5.
(	*1 + 5*8+4*3 = lt
2*х +10*2+8*з = 3,
3&J+ 15*2+ 12*з = 5»
( *i—3*а + 2*з = —1,
443.	■( *i + 9*2 + 6*з = 3,
I *1+3*2+ 4*з= 1.
f 6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА
Численное решение линейных алгебраических уравнений с помощью опреде¬
лителей удобно производить для систем двух н трех уравнений. В случае же
гястем большего числа уравнений гораздо выгоднее пользоваться методом Гаусса,
гсторый заключается в последовательном исключении неизвестных. Поясним смысл
лого метода на системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
Допустим, что <2ц Ф 0 (если Оц = 0, то изменим порядок уравнений, выбрав
жрвым такое уравнение, в котором коэффициент при * не равен нулю).
I	шаг: делим уравнение (а) на ап, умножаем полученное уравнение на
t вычитаем из (б); затем умножаем иа и вычитаем из (в); наконец, умножаем
шл а41 н вычитаем из (г). В результате I шага приходим к системе
<*11*+Л] тУ + <*13*+ян" = ai 5»
fl2l* +аВ2У+а23г + а24И =<*25»
<*31* + ДзаУ + Язз2 + flS4W = Я35,
Д41* + <*42^ + ^ 43 2 + fl44W = fl45-
(а)
(б)
(в)
(0
Г * + ^12^ + ^132 + ^14^== ^16»
(А)
(е)
(ж)
(з)
ЬггУ + &23* + &24U = ^25»
^32У + &83* + ^34u ~ ^35*
^42У + &43* + &44U ~ &15»
крнчем b(j получаются из а/у по следующим формулам:
bXJ — fliy/flu (/ = 2, 3, 4, 5);
6/у=д/у—fl/Ay (i = 2, 3, 4; / = 2, 3, 4, 5).

II	шаг: поступаем с уравнениями (е), (ж), (з) точно так же, как с уравне¬
ниями (а), (б), (в), (г) и т. д. В итоге исходная система преобразуется к так на*
зываемому ступенчатому виду:
х4Ьиу+Ьл Зг + buii = bibi
у + с23г + с24« = с2з,
=^зз,
u = eib.
Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без
труда.
444.	Решить систему уравнений
( 36,47* + 5,28у 4 6,34* = 12,26,	(а)
7,33* + 28,74!/ + 5,86г = 15,15,	(б)
4,63* + 6,31 у + 26,17г = 25,22.	(в)
Д Разделив уравнение (а) на 36,47, получим
*	+ 0,1447у+0,1738г = 0,3361.	(*)
Умножим уравнение (*) на 7,33 и результат вычтем из (б); получим
27,6793у4 4,586г = 12,6864;
теперь умножим уравнение (*) на 4,63 и результат вычтем нз (в); получим
5,64у4 25,36532= 23,6639.
Таким образом, приходим к системе уравнений
Г	27,6793^44,5862=12,6864,	(г)
\	5,64у4 25,3653г= 23,6639.	(д)
Разделив уравнение (г) на 27,68 имеем
г/ 4 0,1657z	0,4583.	(+*)
Умножая уравнение (*	*) на 5,64 и вычитая из (д), получим 24,43082 = 21,0791.
Следовательно, г = 0,8628. Тогда
у= 0,4583— 0,1657* 0,8628 = 0,3153,
х = 0,3361 - 0,1447• 0,3153 — 0,1738 • 0,8628 = 0,1405.
Таким образом, * = 0,1405, у = 0,3153, 2 = 0,8628.
Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему урав¬
нений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов:
36,47	5,28	6,34
7,33	28,74	5,86
4,63	6,31	26,17
12,26
15,15
25,22
Введем 5-й, так называемый контрольный столбец, каждым элементом кото¬
рого является сумма четырех элементов данной строки:
'36,47	5,28	6,34
7,33	28,74	5,86
ч	4,63	6,31	26,17
12,26
15,15
25,22
60,35
57,08
62,33
При линейных преобразованиях элементов матрицы такому же преобразованию
должны подвергнуться и элементы контрольного столбца. Нетрудно видеть, что
каждый элемент контрольного столбца преобразованной матрицы равен сумме
элементов соответствующей строки. Переход Ът одной матрицы к другой будем
92

записывать с помощью знака эквивалентности:
I 12.26
15,15
| 25,22
Г1
60,35\
у Л
0,1447
0,1738
0,3361
57,08
Н
28,74
5,86
15,15
62,33 >
1 44,63
6,31
26,17
25,22
1.6547\
57,08 V
62,33 )
0,1738
4,586
25.3653
0,1738
0,1657
25.3653
' 0,3361
12,6864
23.6639
0,3361
0,4583
23.6639
1,6547\
44,9516 W
54,6688/
1,6547\
1,6240 Ц
54,6688/
24.4308| 21,0791
1,6547\
/1 0,1447
0,1738
0,3361
1,6240 V
Jo 1
0,1657
0,4583
45,5094 /
\0 0
1
0,8628
1,6547\
1,6240 .
1,8629/
Используя полученную матрицу, выписываем преобразованную систему и нахо¬
дим решение:
z = 0,8628,
t/ — 0.4583— 0,1657*0,8628 — 0,3153,
х --0,3361 —*0,1738-0,8528—0,1447-0,3153 =0,1405. 4
Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система уравнений
приведется к треугольной, в которой последнее уравнение содержит одно не¬
известное. В сл\чае неопределенной системы, т. е. такой, в которой число неиз¬
вестных больше числа линейно независимых уравнений, допускающей поэтому
бесчисленное множество решений, треугольной системы не получается, так как
юследнее уравнение содержит более одного неизвестного.
Если же система уравнений несовместна, то после приведения к ступенча¬
тому виду она содержит хотя бы одно уравнение вида 0—1, т. е. уравнение,
в котором все неизвестные имеют нулевые коэффициенты, а правая часть отлична
от нуля. Такая система не имеет решений.
445. Решить систему уравнений
( Здг+2у-Ьг = 5,
|	х-\-у—г=0,
4х—у+5г = 3.
Д Преобразуем матрицу в эквивалентную:
/ 3 2 1
5
!1\
л
I
—1
0
1 1-1
0
1 и
А 3
2
1
5
\4 -1 5
3
ч;
\4
-I
5
3
V
(для упрощения вычислении мы
Вычитаем из остальных двух
1	1 -1
0—1 4
,0 -5	9
Ц/
поменяли местами первое и второе уравнения),
строк 1-ю строку, умноженную на
3 п на 4:
Изменив знаки во 2-м строке и умножив ее на 5, прибавляем к 3-й:
/11	-1
0 I	—4
0	0—11
0
-5
-22
1\ /1 1
—8 j~( 0 1
-33/ \0 0
— 1
—4
1
0| 1\
-5 -8 )
2 ЗУ
(мы разделили на —11 последнюю строку).
Система уравнений приняла треугольный вид:
(х + у—г^0,
{	у—4г=—5,
{	г	=	2.
93

Она имеет единственное решение. Из последнего уравнения имеем z=2; под¬
ставляя это значение во второе уравнение, получаем у= 3 и, наконец, нз перво¬
го уравнения находим х= — I. Д
Решить системы уравнений:
/ 2*1+ *2— *э = 5,
446. *	xi-2*2+3x3--3,
I	7*!+ *а— *3=Ю.
3*i— *г-|-•*!>+2*s ~ 18<
—	5*2+*4 + *3=—7,
xi— *1 + 2*5 =8,
448. <
450.
2xj+*,+ *4— *5=10,
*1+*2— 3*$-|- *4=1,
0,04*—0,08y+	4z=20,
4*+0,24(/—0,08г = 8,
0,09*+ Зу—0,15г=9.
447.
Xi+Xi— *»+ *1 = 4,
2*i —*2 + 3*3—2*4 = 1,
*1— *3 + 2*4 = 6,
3*1—*2+ *3— *4 = °*
{4*-
2X:
9*,
f 3’
. I 0.
I 0,
4*1 + 2*2 "f*	—■ —2,
1	+ 8*2— *з —
9*1 + *2 + 8*2=0,
3,21*+0,71y+0,342 = 6,12,
,43*+ 4,1 ly+0,222 = 5,71,
17*+ 0,16^+4,732 = 7,06.
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЖОРДАНА—ГАУССА К РЕШЕНИЮ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
При	решении	системы линейных уравнений методом	Гаусса был	рассмотрен
матричный	метод	с	контрольным столбцом, в результате	чего	данная	система
уравнений сводилась к треугольной системе (см. с. 92). Для последующего изло¬
жения важно познакомиться с модифицированным методом Жордана—Гаусса,.
позволяющим находить непосредственно значения неизвестных.
Пусть дана система линейных уравнений
°11 *1 + ^12 *?+••• +#1/1*/! =^1*
^21 *1 + ^22 *2+ • • • +а2л*я = ^2»	(1)
Я/Л 1*1 +flOT2*2 “Ь • * * Ч“Я/ЛН*Я =
В матрице А этой системы выберем отличный от нуля элемент апр. Этот элемент
называется разрешающим элементом, р-й столбец матрицы А—разрешающим
столбцом, a q-я строка—разрешающей строкой.
Рассмотрим новую систему уравнений
ou*i + а 12*2 + ... +Я1л*« = &!>
#21*1 +^22*2 +*•• +^2М*Л==^21	(2)
flmi*i +	2*2 “г • ■ • + Я/тш*« =
с матрицей Акоэффициенты и свободные члены этой системы определяются по
формулам
0,7 = 0/
ani
а,£	('	еСЛН
В частности, <2/^ = 0, если i Ф q, Если же i = qt то принимаем ^/ = 0^
b'q = bq. Таким образом, q-t уравнения в системах (1) и (2) одинаковы, а коэф¬
фициенты при Хр во всех уравнениях системы (2), кроме q-го, равны нулю.
Саедует иметь в виду, что системы (1) и (2) одновременно совместны или не¬
совместны. В случае совместности эти системы равносильны (их решения совпадают).

Для определения элемента а,/ матрицы А' полезно иметь в виду так назы¬
ваемое справило прямоугольника».
Рассмотрим 4 элемента матрицы А: я/у (элемент, подлежащий преобразова¬
нию), ^.(разрешающий элемент) и элементы aip и aqj. Для нахождения эле¬
мента q\j следует из элемента а,-у вычесть произведение элементов а1р и aqfi распо¬
ложенных в противоположных вершинах прямоугольника, деленное на разрешаю¬
щий элемент aqp;
<7/	и<?Р
Аналогичным образом можно преобразовать систему (2), приняв за разрешаю¬
щий элемент матрицы Л' элемент а$~ Ф 0, причем s Ф q, г Ф р. После этого пре¬
образования все коэффициенты при хг, кроме aSr, обратятся в нуль. Полученная
система может быть снова преобразована и т. д. Если г = п (ранг системы равен
числу неизвестных), то после ряда преобразований придем к системе уравнений
вида
A»ia*i =/i,
^2*2 = ^2 *
. * • . $
knXn ~
из которой находятся значения неизвестных. Описанный метод решения, основан*
ный на последовательном исключении неизвестных, называется методом Жордана —
Гаусса.
452.	Дана матрица системы линейных уравнений
А = \
''5	4 6	—1	7N
8	13	2	0
О 15	3—1
w	—5 5	—4	3/
При решении этой системы методом Жордана—Гаусса за разрешаю¬
щий элемент приняли а23 = 3. Найти элементы а’п, а[3, аи преобра-
заванной матрицы.
Д Так как а24—элемент разрешающей строки, то ^24=^24“2. Элемент я13
принадлежит разрешающему столбцу; поэтому fli3 = 0. Элемент а’ц определяем
по гравилу прямоугольника:
А = \
5
4
6
—1
7.
8
1
[3|-
2
0
0
1
h
3
— 1
7
-б
5"
—4
3-
»	^24^43	а	2*5	71	А
014=а«—^=-4—з-=-7УА
453.	Решить систему уравнений
*1+ *2 — Зд*з+ 2*4 = 6,
Хх—2х2	— дг4 = —6,
А*2+ Х3 + 3*4 = 16,
2xi—За*2 "f" 2а*з = б.
Д Запишем коэффициенты, свободные члены и суммы коэффициентов и сво*
бодных членов (I — контрольный столбец) в следующую таблицу:
95

*1
*2
*3
*4
Ь
V
111
1
-3
2
6
7
1
-2
0
— 1
—6
—8
0
1
1
3
16
21
2
—3
2
0
6
7
Мы взяли за разрешающий элемент коэффициент при xi в первом уравнении.
Перепишем без изменения строку таблицы, содержащую этот элемент (разрешаю¬
щую строку), а все элементы 1*го столбца, кроме разрешающего, заменим нулями.
Применив правило прямоугольника, заполняем остальные клетки таблицы (это
же правило применяем и к столбцу 2):
*1
*2
Хз
х4
Ь
V
1
1
—3
2
6
7
0
-3
3
-*3
—12
—15
0
1
1
3
16
21
0
—5
8
—4
—6
—7
Отметим, что в контрольном столбце получаются суммы элементов соответст¬
вующих строк. Разделив на —3 элементы 2-й строки, получаем таблицу:
Х\
*2
Хз
*4
Ь
2
1
1
-3
2
6
7
0
III
— 1
1
4
5
0
1
1
3
16
21
0
—5
8
—4
—6
—7
96

Примем за разрешающий 2-й элемент 2-й строки. 1-й столбец перепишем без
изменения, элементы 2-го столбца, кроме разрешающего, заменим иулямн, 2-ю (раз¬
решающую) строку перепишем без изменения, элементы остальных клеток таблицы
преобразуем по правилу прямоугольника:
ч
*2
*3
ч
Ь
2
1
0
—2
1
2
2
0
1
— 1
1
4
5
0
0
2
2
12
1C
0
0
3
1
14
18
Разделим элементы 3-й строки на 2:
Ч
*2
*3
х4
ь
2
1
0
—2
1
2
2
0
1
— 1
1
4
5
0
0
III
1
6
8
0
0
3
1
14
18
Преобразуем таблицу, приняв за разрешающий 3-й элемент 3-го столбца:
Ч
х%
х8
*4
Ь
2
1
0
0
3
14
18
0
1
0
2
10
13
0
0
1
1
6
8
0
0
0
—2
--4
—6
4-215
9Т

Разделим элементы 4-й строки на—2:
*t
*2
*3 | *4
ь
‘ 2
I
0
0
3
14
18
О
1
О
2
10
13
0
0
1
1
6
8
О
0
0
III
2
3
Преобразуем таблицу, приняв за разрешающий 4-й элемент 4 й строки:
*i
*2
*9
*4 | Ь
2
I
0
0
0
8
9
0
J
0
0
6
7
0
0
1
0
4
5
0
0
0
1
2
3
В результате получим систему уравнений
/ 1 •*1+0**2 + 0»*з+0’Дг4 = 8,
I О.Д^-J- 1	+0-*з4*0‘ДГ4 =6,
| 0* Ху -|-0» Xg-\~ 1 • *3-}** 0♦	— 4,
' 0*-}-0»Afg	1 **i=
т. е. *1«8, *2=6, *з~4, *4 = 2. 4
464. Решить систему уравнений
г *л+ хя — 2*л+*4 = 1,
,	3*2 + *Э + *4=0.
4*1— *2— *3“^1*1,
4*д + 3*2—4*3—*4 = 2.
Д Составим таблицу
III
1
—2
1
1
2
1
—3
1
1
0
0
4
— 1
—1
— 1
1
2
4
3
—4
— 1
2
4
98

1-й элемент 1-го столбца — разрешающий:
1
1
—2
1
1
2
0
. —4
3
0
— 1
—2
0
—5
7
—5
—3
—6
0
— 1
4
—5
—2
—4
Изменим знаки в 4-й строке:
1
1
—2
1
1
2
0
—4
3
0
—1
—2
0
—5
7
—5
—3
—6
0
III
—4
5
2
4
4-й элемент 2-го столбца —разрешающий:
1
0
2
—4
—1
—2
0
0
— 13
20
7
14
0
0
— 13
20
7
14
0
1
—4
5
2
4
Вычтем из 3-й строки 2-ю и вычеркнем 3-ю строку:
1
0
2
—4
—1
—2
0
0
—13
ш
7
14
0
1
-4
5
2
4

4-й элемент 2-ft строки —разрешающий:
1
0
-0,6
0
0,4
0,8
0
0
—13
20
7
14
0
1
-0,75
0
0,25
0,5
Матрица имеет ранг, равный 3, следовательно, система содержит три базисных
неизвестных *ь и *4 и одно свободное неизвестное х3. Получаем систему урав¬
нений
j l**i+0**2—0,6*з + 0»*| =0,4,
I	0-Xi-\-0‘X2—\3x3 +20*4 = 7,
I	0*Х\ + 1 **2—0,75*з+ 0« *4 = 0,25.
Отсюда
jti = 0,4 + 0,6*з, *2 = 0,25 + 0,75*3, *4 = 0,35+0,65*3.
Итак, решение системы имеет вид
*х = 0,4 + 0,6и, *а = 0,25 + 0,75ы, *з = «* *4=0,35+0,65at
где и—произвольное число. Д
455.	Решить систему уравнений
{6*— 5у + 7* + 8/ = 3,
3*+цу+2г+4/ = 6,
3*+ 2y+3z+4/ = l,
*+ у+ г =0.
Д Составим таблицу:
6
—5
7
8
3
19
3
11
2
4
6
26
3
2
3
4
1
13
ш
1
1
0
0
3
4-й элемент 1-го столбца — разрешающий:
0
—11
Ш
8
3
1
0
8
—1
4
6
17
0
— 1
0
4
1
4
1
1
1
0
0
3
100

1-й элемент 3-го столбца —разрешающий:
0
—11
Ш
8
3
1
0
—3
0
12
9
18
0
—1
0
4
1
4
1
12
0
—8
—3
2
Изменим знаки элементов 3-й строки на противоположные:
0
—11
1
8
3
1
0
—3
0
12
9
18
0
ш
0
—4
—1
—4
1
12
0
—8
—3
2
3-й элемент 2-го столбца — разрешающий:
0
0
1
—36
—8
—43
0
0
0
0
6
6
0
ш
0
—4
—I
—4
1
0
0
40
9
50
В результате приходим к системе
(Ьдг+O.^-f l‘Z—36/ = — 8,
О» дг-J- 0« О* t —б,
0.*+1.^+0.г—4<*= —1,
k \.x+0.y+0-z + 40t=9.
Легко видеть, что второму уравнению не удовлетворяют никакие значения х,
z и /, Таким образом, полученная система уравнений и заданная система
«совместны. Д.
456.	Применить метод Жордана—Гаусса к определению ранга
матрицы
/7 —1	3	5\
Mi ? 5 ;)-	'
\3 —2 —1 —I/
101

Д Составим таблицу
7
—1
3
5
14
III
3
5
7
16
4
1
4
6
15
3
—2
-1
— 1
—1
В последнем (контрольном), столбце записаны суммы элементов соответствую*
1цих строк, 2-й элемент 1 го столбца — разрешающий:
0
—22
—22
—44
^98
1
3
5
7
16
0
—П
—J6
-<*22
—49
0
—П
—16
—22
—49
Разделим элементы 1-й строки на—2, вычтем элементы 1-й строки из соот¬
ветствующих элементов 4-й и 3 й строк и вычеркнем 3-ю и 4-ю строки. Тогда
получим
0
it
16
22 |
49
* 1
3 1
5
1 7 1
16
Любой определитель второго порядка полученной матрицы отличен от нуля.
Следовательно, г (А) = 2 Д.
Методом Жордана — Гаусса решить системы уравнений:
*1 + 2*2+ *3	=8,	(	хг— *i+ *з— *4 =—2,
*2 + 3*3+ *4=15,	I	Х1Цг2х7 — 2дрз—	=	-5,
4*i	+ *3+	11»	j	2х±— х%—3*з + 2ха = —1,
*1+ *2	+5*|=:.23,	A	*i —|— 2х% —[— 3*з—6*4 = —10.
( *! + 5*2 — 2x3^Sxx = 1,
7*i + 2х2 — З*3 —*4*4	2,
459.	\	*Г+ *2+ *3+ *4~5,
I	2дг1 + Здг2 + 2дг3—*3*4 =^4,
\	*1—	*2—	*3—	*4	=	—2.
460.	Методом Жордана — Гаусса определить ранг матрицы
/1 2 з 1\
,	/	2313]
3 1 2 5 у •
\2 2 2 3/
457.

ГЛАВА V
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
f К ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
I. Основные понятия. Рассмотрим такое множество R элементов х, у, ж,
в котором для любых двух элементов x£R н уопределена сумма x+ygtf н
^ля любого элемента x£R н любого действительного числа Я определено проиэее•
Ьние
Если сложение элементов множества R и умножение элемента этого множества
■а действительное число удовлетворяет следующим условиям:
1«. х + у = у + х;
2°. (x + y)+i=x + (y + «);
3°, существует такой элемент (нуль-элемент), что х+0 = х для любого
4°. для каждого элемента x£R существует элемент y£R такой что x-fy^O
\ш дальнейшем будем писать у = —х, т. е. х+(—х)=0);
5°. 1 х = х;
б®. Х(цх) = (Хи)х;
7°. (X + *a)x = Xx + ux;
8°. Х(х + у) = Хх+Яу,
то множество R называется линейным (или векторашм) пространством, а элемен¬
ты х, у, *, ... этого пространства—векторами.
Например, множество всех геометрических векторов явлнется линейным про¬
странство^, так как для элементов этого множества определены действия сложения
■ умножения на чнело, удовлетворяющие сфориуллроввамым условиям
Разностью двух векторов х и у линейного пространства наамвастс* такой
вектор v этого пространства, что y-fv = x. Разность векторов хну обозначают
через х—у, т. е. х—у = v. Легко доказывается, что х—у==х + (— у}.
Справедливы также следующие теоремы:
1.	В каждом линейном пространстве существует только од*1к нулъ*эммепт>
2.	Для каждого элемента линейное о пространства сущктшуегг только один
лротнбоположный элемент.
3.	Для каждого элемента х£ /? выполняетсяравенстео 0-х = 0.
4.	Для любого действительного числа Я и 0£7? выполняется ретнетво Х0»0.
5.	Из равенства Хх*=0 следует одно из двух равенств: Х~Ь или х*»0.
6.	Элемент (— 1)-х является противоположным для элемента х
461.	Имеется множество всевозможных систем действительных
чисел (5i, ||i • • • 1 |л)| (Ли Л*’	• • Л»)*	С»* • • • * Ц)> • • • • Сум*
ма двух любых элементов определяется равенством (£,;	; £„) +
+ 0ii; Л,; •••; П.)*= <6i-+-л»: 6, + Л»; •••; 5я + л«). а произведение
любого элемента на любое число—равенством X(g,;	|„)	*=
= (}Лй ••• ; Х£„). Доказать, что это множество является линей¬
ным пространством.
Д Обозначим» =(5,;	£„),	у	=	(ль	Г»;	•••;	Уп).	*=(Ci; С2: •••; »л)
Проверим выполнение сформулированных выше условий 10 — 8°,
1°. х + у = (5х+Г)Х;	+	••	•’»	Sn	+	^n)»	y4-x==(lf]i	+	Eb	+	•••'• Гл + £л)»
т. е. х + у = у + х.
2°. х + у =»(Ei + T)b 61Ч-Л1*» • • •: би + ^п)* У + *= Oil + Сь +Л« +W»
(*+y)+*=(£i+m+Cb Et+Tb+C*; •••; бп+ть+Сл)* х+(у+*) = (£1 + П1+ъ1;
fa + 4i+C*; •••; Еп + Ля + Сл)- Таким образом, (x + y) + i = x + (y + i).
103

3°. Нуль-элементом является 0=(0, 0	0).	Действительно,	x-f0 = (li-f-th
Ч») =*.*+**• А
462.	Доказать, что множество всех комплексных чисел являете*
линейным пространством.
463.	Является ли линейным пространством множество систем че¬
тырех действительных чисел (gjj |2; 0; 0), (%;	0;	0),	(£х;	С2; 0; 0),
где ij,	т]2,	С2—всевозможные действительные числа? Сло¬
жение элементов и умножение на действительное число определены
так же, как и в задаче 461.
464.	Образует ли линейное пространство множество элементов
465.	Является ли линейным пространством множество всевозмож¬
ных многочленов второй степени +	+ а2, ро/2 + р^ + pt, y0t2 +
+ Yi^ + Ya. • • •?
466.	Образует ли линейнсе пространство множество всех много¬
членов не выше третьей степени?
467.	Даны функции f3(t), f3 (/), .... Является ли множестве
этих функций Линейным пространством, если эти функции образуют:
1) совокупность всех непрерывных функций на отрезке Га, ft]; 2) со¬
вокупность всех дифференцируемых функций на отрезке [a, ftj; 3) со¬
вокупность всех элементарных функций; 4) совокупность всех неэле¬
ментарных функций?
468.	Дано множество всевозможных пар положительных чисел:
x = (ij; it), у = К; Л*). 2 = (СХ; 1г)	Является ли это множество
линейным пространством, если сложение двух элементов определяет¬
ся равенством х + у = (1!%; £2т|2), а умножение на действительное
число — равенством Хх=(|£; £*)?
469.	Может ли линейное пространство состоять: 1) из одного век¬
тора; 2) из двух различных векторов?
470.	Из линейного пространства исключен вектор х. Может ля
полученное после этого исключения множество векторов остаться ли¬
нейным пространством?
471.	Из линейного пространства исключено бесчисленное множе¬
ство векторов. Может ли полученное после этого исключения мно¬
жество векторов быть линейным пространством?
472.	В резерв проводников вагонов для выдачи им ежедневно по¬
ступают со склада: 1) сахар; 2) чай; 3) печенье; 4) сухари; 5) дре¬
весный уголь. Пусть gj, £2, £„ |4, |5—соответственно приращения з>
день количества (в кг) этих поступлений. Если £* > 0, то соответст¬
вующего продукта или угля поступило больше, чем выдано в это»
день, а если < 0, то их выдано больше, чем поступило со складж.
|2+0; ...; |„+0)=х.
Ь2 I •••» Ьп 1	—А‘
40	^ ггририт (	 Р. •	£_•	•	?	^	о
% \ оппоотло nnnTunnnnnnwuuu alPUPHTV (Р*ш
Ъп) — ЛА Т п
8°. X (х + у) — X (Ii + t|i; £2 + Л2; • • • I ln + Лл) =	+	+	•	•*	+
+	=	<XSi;	^^2»	•	•	•» ~Ь (^Л!» ^2» • • •»	~	^	(^1»	^2»	•	•	•»Он; Л2» • • ••
(Ех; g2; 1; 1), (Л1; л2; 1; 1), (Сх; 1; 1)?
104

Является ли совокупность систем чисел £s; £3; £4; £5) линей¬
ным пространством? Что означает вектор (—100; 5; 0;—200; 3)?
473.	Образует ли линейное пространство совокупность троек целых
чисел (6Х; £г; £3)?
474.	В парк вагонного депо ежедневно прибывают вагоны разных
типов: багажные, почтовые, жесткоплацкартные, купированные и мяг¬
кие, из которых ежедневно формируются и отправляются пассажир¬
ские и скорые поезда. Пусть £г, £г, £„ |4, £5 — приращения за сутки
числа соответствующих вагонов. Является ли совокупность чисел
liil i2; 1з> i«; is) линейным пространством?
475.	Образуют ли линейное пространство все геометрические век¬
торы, имеющие общее начало в начале координат и расположенные
в I октанте?
476.	Доказать, что множество всех решений системы линейных
однородных уравнений	°бРазУет линейное прост¬
ранство.
ф Доказать, что если {хг; yt; zi) н (дг2; у2\ z2) — решения этой системы, то
+ ух + //2; *i + *2) и	Xz{) прн любом X также являются решениями
системы.
477.	Доказать, что все функции ух (х), у2(х), у3(х), ..., удовлет¬
воряющие дифференциальному уравнению Айуи,)-\- А1у(п~1)Апу— 0
И». Ai* • ••• Ап—функции от х) образуют линейное пространство.
2.	Линейно независимые векторы. Пусть х, у, z, ..., и—какне-ннбудь векто¬
ры линейного пространства R. Вектор, определяемый равенством
v = ax + Py+vz+...+Xu,
где a, Р, у» •••! ^—действительные числа, также принадлежат линейному прост¬
ранству R. Этот вектор называется линейной комбинацией векторов х, у, z, ..., и.
Пусть линейная комбинация векторов х, у, z, ..., и является нуль-вектором, т. е.
ax+Py + Yz+ • • • +Xu = 0.	(1)
Векторы х, у, z, ..., и называются линейно независимыми, еслн равенство (1)
выполняется лишь прн a = ft = y=...~X~0. Если же равенство (1) может вы¬
полняться н в том случае, когда не все числа a, Р, у	X равны нулю, то говорят»
что векторы х, у, z, ..., и линейно зависимы.
Легко доказывается, что векторы х, у, z, ..., и линейно зависимы тогда и только
тогда, когда одни из этих векторов может быть представлен в виде линейной ком-
бвнации остальных векторов.
478.	Показать, что если среди векторов х, у, г, ..., и имеется
нуль-вектор, то рассматриваемые векторы линейно зависимы-
Д Пусть х=0. Так как равенство ах + Ру+уг-)-... +Х,и=0 может выпол¬
няться прн a 0, р = у -... X - 0, то векторы линейно зависимы. Д
479.	Элементами линейного пространства являются системы упо¬
рядоченных действительных чисел X/= (£,,, |2/, .... |n<)(t = l, 2,
3, ...). Какому условию должны удовлетворять числа £*» (t = 1,
2, ..., п; k = 1, 2, ..., п) для того чтобы векторы х,, х2	х„ были
линейно независимы, если сумма векторов и произведение вектора на
число определяются равенствами х< + хй = (|1/ + 114; £г/ + £г*; •••!
+ b*t =	•••>	^£n/)?
105

А Рассмотрим равенство aix14-a2x2+...+а„хп = 0. Оно равносильно сис¬
теме уравнений
GtlSl 1Ч- «2^12 + * • • + att£l/l=°.
а1?21 + а2^22 + • • • + а«^2Л = О»
, ®l£rtl+®25rt2+ ■ • • +апЬяя — 0.
В случае линейной независимости векторов хь х2, ..., х„ эта система должна
иметь единственное решение ai = a2= ... = a„ = 0, т. е.
In
El2 •••
tin
in
Ё22
• * 1 1
1>2п
Ел I
Ей*
В частности, векторы (£iX; £2i) и (£12*. £22) линейно независимы тогда и только
тогда, когда бибаг — InUi * А
480.	Рассматривается линейное пространство многочленов не выше
второй степени. Доказать, что векторы Рх = 1 + 2t + 3/а, Р2 = 2 + 31 +
-f 4f2 и Ps = 3 + 5f + 7/2 лииейио зависимы.
Д В данном случае можно сразу заметить, что Р3= bPj+ 1 »Р2; следовательно,
векторы Рь Р2 и Р3 линейно зависимы. А
481.	В каком случге векторы х = (Еж; £2) и y = (i1ii Лг)» определен¬
ные в условии задачи 468, линейно зависимы?
А Из равенства х = Яу следует, что (Ь; £2) = Л. (Hi; i\t)< или (h; £2) = (пь Л*)’
т. е. £|=t]i’, J2==i]2. Отсюда заключаем, что In Erin rj3 = In T]i*ln fc2. A
482.	Доказать, что три компланарных вектора а, b и с линейно
зависимы.
ф Привести векторы к общему началу н разложить одни из векторов на со-
ставляющне, соответственно коллинеарные двум другим векторам.
483.	Доказать, что три иекомпланарных вектора а, Ь и с линейно
независимы.
484.	Доказать, что любые четыре вектора а, Ь, с и d линейно
зависимы.
А Если три из четырех векторов компланарны, то задача решается просто.
Предположим, что эти векторы некомпланарны. Приведем все четыре вектора к
общему началу О. Построим параллелепипед, диагональю которого является вектор
dc ребрами иа прямых, содержащих а, b и с. Нетрудно видеть, что d = aa+Pb +
+ VC. А
485.	Доказать, что если п векторов линейного пространства х, у,
z, ..., и линейно зависимы, то л+1 векторов этого пространства
х, у, z, ..., u, v также линейно зависимы.
3.	Размерность и базис линейного пространства. Если в линейном простран¬
стве R имеется л линейно независимых векторов, но любые я+1 векторов этого
пространства линейно зависимы, то пространство R называют п-мерным. Принято
также говорить, что размерность пространства R равна л, и писать d(R) = n. Про¬
странство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых век¬
торов, называется бесконечномерным. Если R—бесконечномерное пространство, то
d (R) — 00.
106

Совокупность п линейно независимых вемтэроз гс-мерного линейного простран¬
ства ^называется базисом. Справедлива следующая теорема: каждый вектор ли-
шейного п-мерного пространства может быть единственным образам представлен
*	виде линейной комбинации векторов базиса. Так, еслн ех, е2,	ел — базис
я-мерного линейного пространства R, то Злобой вектор х£Я может быть единст¬
венным образом предстазлен в виде
Таким образом, вектор х в базисе еь е2, .е„ определяется единственным
образом с'помощью чисел £2» •••» £«• Эти числа называются координатами
гектора х в данном базисе.
Если x = |1e1+ijer4-...-f-I„en> у =т|1«г+П*«*+ • • • +Л/.еп, то
*"rJ^=l£i4*4i)-ei—г^г-ЬЛгМг-!- • • • + (!п4-,1п) еп. ?-х=Я|**г4'^52ег+ • •• Ч"Л|пе/1*
Для определения размерности линейного пространства полезно использовать
следующую теорему: если любой вектор линейного пространства R может быть
представлен в виде линейной комбинации линейно независимых векторов еь е2> ....
ея, то cd (R) — n i(а следовательно, векторы еь е2, еп образуют базис в про•
странстве R).
486.	Дано линейное .пространство всевозможных пар упорядочен-
ных действительных чисел х, = (1ц; 121), х2-= (|12; %„), х3 = (|13; !„),
причем сложение векторов и умножение вектора на действительное
число определены равенствами ж(Ч- =	+	^х, =
=	Я|2/).	Доказать,	что	вакторы	е,	= (1; 2) ,и е2 = (3; 4) образуют
базис данного линейного пространства. Найти координаты Еектора
х = (7; 10) в этом базисе.
Д Векторы ei = (l; 2) и е> = (3: 4) линейно независимы (см. задачу 479). Рас¬
смотрим какой-нибудь вектор у = (п: т)2). Покажем, что для любых r\i и г\2 можно
елределить числа \ и jli так, чтобы выполнялось равенство у = >*er+|iie2, нли
(тц; т^о)= (А.~7" 3ju; 2X-f 4u).
Нетрудно видеть, что существует единственная пара значений (X; jn), для ко¬
торой выполняется это равенство. Это следует из того, что система уравнении
является определенной.
Итак, векторы ei и е2 образуют базис. Определим координаты пектора х = (7; Ю)
з	этом базисе. Задача сзодится к определению X и ^ из системы уравнений
Отсюда находим X = I, ц = 2, т. е. х = е1 + 2е3. Д
487.	.Показать, что линейное пространство, элементами которого
являются векторы х = (^;	(см. задачу 479), имеет своим
базисом совокупность векторов е, = (I; 0; 0; ...; 0), е2 = (0; 1; 0;...; 0),
т. е. x = 6iei+|2е2+• • •Таким образом, любой вектор может быть пред¬
ставлен в внде линейной комбинации векторов ei, е2, еп. Векторы ei, е2
ея линейно независимы, так как определитель, составленный из’ координат
этих векторов, равен 1, т. е. отличен от нуля. Итак, эти векторы образуют ба¬
зис, а пространство R является л-мерным. Д
A 4“	—	Ц1,
2л + 4jLi = т]2
{
>.+Зц = 7,
2Х+4а = 10.
107

488.	Из каких элементов состоит лннейное пространство с бази¬
сом 1, ty /2, ..., tn~x, tn9 если сложение элементов и умножение
элемента на действительное число понимать в обычном смысле?
489.	Показать, что множество всех матриц второго порядка яв¬
ляется линейным пространством четвертого измерения.
490.	Показать, что матрицы еА = (о о) »е* = (о о) >ез= (чз о) •
e4==(^Q 4^ образуют базис линейного пространства, рассмотренного
в задаче 489.
491.	Показать, что элементы ех = (1; 10) и е2 = (10; 1) линейного
пространства, рассмотренного в задаче 468, являются базисными.
Найти координаты вектора х=(2; 3) в этом базисе.
Д Так как In Мп 1—In 10.In 10 Ф 0, то векторы ei и е2 линейно независимы
(см. задачу 481). Пусть любой вектор y = (r|i;Th) представлен в виде линейной
комбинации векторов ех и е2. Покажем, что существует такая пара чисел (X; ц),
для которой выполняется равенство у = Xe1 + j.ie2, или (Л1^ Лг) = (1^* lO1*; 10^-1^).
Следовательно, [л = lg т\г Д = lg т]2. В частности, х = Cf lg 3 + е2 lg 2. Таким образом,
(Ig 3; lg 2) —координаты вектора х в базисе ех, е2. Д
492.	Показать, что за базис л-мерного пространства, рассмотрен¬
ного в задаче 479, могут быть приняты векторы ех — (1; 1; 1;..., 1;
1), е2 = (0; 1; 1; ...; 1; 1), е3 = (0; 0; 1; ...; 1; 1),	е^х	= (0;0;
0; ...; 1; 1), ея=(0;0; 0; ...;0; 1).
ф Рассмотреть векторы е( = е!—е2, е'=е2 — е3, ..е' = e„_i—е„,	=	е*.
4.	Изоморфизм линейных пространств. Рассмотрим два линейных пространст¬
ва R и R'. Элементы пространства R будем обозначать через х, у, z, ..., а эле¬
менты пространства /?' — через х', у', z', ... .
Пространства R и R' называют изоморфными, если между их элементами х,
у, х', у' можно установить такое взаимно однозначное соответствие х«-^х'; у*-*у\
при котором х + у 4r+ x'-j-y', Хх Хх' (X—любое действительное число). Следует
отметить важную теорему, с помощью которой легко устанавливается изомор¬
физм конечномерных линейных пространств: для того чтобы два конечномерных
пространства R и R' были изоморфными, необходимо и достаточно, чтобы их
размерности были одинаковыми.
493.	Даны два линейных пространства R и /?'. Элементами про¬
странства R являются всевозможные дифференцируемые функции
аргумента /, обращающиеся в нуль при / = 0. Элементами же про¬
странства R' являются производные функций, принадлежащих про¬
странству R. Доказать, что пространства R и R' изоморфны.
Д Пусть /х (*), /2 (/), /з (/), ... —функции пространства /?, а фх (/), ф2 (/).
фз (0»	—функции пространства R'. Из того, что этн функции снабжены индек¬
сами, не следует делать заключение, что R и R'— сче!ные множества.
Пусть Ф* (0 =	(/);	тогда	//(/)=	\	фТаким образом, между элемент»-
о
ми линейных пространств R н R' (доказательство их линейности предоставляв
выполнить самостоятельно) установлено взаимно однозначное соответствие.
108

С помощью равенств
t
Ф/(0+Ф*(0 = 1//(0 +/*(01'. //(О+МО-5 [ф/(0+ф*(0]Л.
о
*Ф/ (0=Ml (01'. Vi (0 = 5 Хф/ (0 л
о
установлены взаимно однозначные соответствия:	Л(0	+	/*(0<“>ф1	(04-ф*(0.
V/ (0 «-+ Яф,- (0- Итак, /? и Л' — изоморфные пространства. ^
494.	Доказать, что множества всех геометрических векторов н
многочленов не выше второй степени—изоморфные линейные про¬
странства.
495.	Даны изоморфные линейные пространства R и R'. Между
элементами этих пространств установлены взаимно однозначные со¬
ответствия х 4-ис', у<-»у', ... . Доказать, что ax + py-f
+ Ру’+ YZ> ПРИ любых действительных a, Р и у.
496.	Пусть R и R' — изоморфные линейные пространства, причем
х«-»х'. Доказать, что (—х)«-»(—х').
497.	Даны изоморфные пространства R н R’, причем 0 и 0'—
нуль-элементы этих пространств. Доказать, что 0«->0' независимо
от того, как установлены взаимно однозначные соответствия между
другими элементами этих пространств.
498.	Даны всевозможные пары действительных чисел: (5,; т^),
(5,; Л*)* (is’, Лз). • • • • Построены два линейных пространства: про¬
странство R с элементами == (5г; т|,), хг = (£,; i)t), x,= (|,;tb), ....
в котором сложение векторов и умножение вектора на число опре¬
делены равенствами хх + х, = (|, + £,; ть+л,), Ах^^^ Ат^), и про¬
странство /?', состоящее из векторов Xi = (e-&‘; е-Ч'), xj = (е~Е.; е-л.),
=	е-т>»), ..., в котором соответствующие действия опреде¬
лены равенствами Xj + X2 = (e_6,-E*; е-ч.-л»), Xxi = (e_xS>; в-Хг>‘). Дока¬
зать, что пространства R и /?' изоморфны.
499.	Изоморфны ли линейные пространства R и R'\ если эле¬
ментами R являются векторы х, у, z, ,.., а элементами R'—векторы
2х, 2у, 2z, ...? Показать, что пространства R н R' состоят из
одних и тех же элементов.
| 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ПЕРЕХОДЕ
К НОВОМУ БАЗИСУ
Пусть в л-мерном линейном пространстве Rn имеются два базиса: е*, е2, е3,
(старый) и е', е', е', ... (новый). Даны зависимости, выражающие каждый векгор
аового базиса через векторы старого базиса:
«1=011*1+^21*2 + •• *+^iens
е^ =fll2Cl + a22C2 + • • • +fln2Cn*
*'п —	+	fl2net	+	».. + Qnrfin*
109

Матрицу
/ а11 <*12 • • • fli/j''
А	[ а21 а22 • • •
Ч^л! ап2 ••• о
называют матрицей перехода от старого базиса к новому.
Возьмем какой-нибудь вектор х. Пусть (£ь Ёг! • • •» £*») — координаты этого
вектора в старом базисе, а (£';	—его координаты в новом базисе. При
этом старые координаты вектора х выражаются через новые координаты этого
вектора по формулам
El =	+ а\г%2 + • • • + alnVni
|2= 021^+ 022^2+ * * • -\~a2nl'ni
£/1 —anli[-\’an2%2~)r * ’ * ~\~ann$'nt
которые называются формулами преобразования координат.
Нетрудно видеть, что столбцы матрицы А являются координатами в форму¬
лах перехода от старого базиса к новому, а строки этой матрицы—координатами
в формулах преобразования старых координат через новые.
500.	Дан вектор х = е1 + е2 + е3 + е4.	Разложить	этот	вектор	по
новому базису ej, е^, е3, е4, если = еа + е3 + е4,	ej =	ег + е3 +	е*.
е3 =	-f- е2 -j- е4, с4 =	-f- е2 -}“ е3»
Д I способ. Выпишем матрицу перехода	от старого базиса к	новому:
,0 1 1 Ь
10 11
110 1
4	110'
Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразовании
координат:
6i=«+6;+e;, h=i[+v3+r4f Ез^+^+s;, b-Ej+Ei+Er
Так как Е1 = Е2 = Ез = Е4 = 1, то, решив систему уравнений, находим ^ = 6^ = ^—
= 51 = 1 /3 и х = (1/3) (е^ + е^ + е' + е^).
II	способ. Исключив еь е2, е3, е4 нз системы уравнений
х = ei + е2 + ез + е4,
е' = 0»ei + е2 + ез + е4,
*2 = е1 + 0,е2 + еЗ+*4»
е3'= ei + e2+0-e3 + e4,
= ei + е2 + ез -f- 0*
получаем
х 1 1 1 1
е;	о	1	1	1
е;	1	о	1	1
е'	1	1	0	1
е:	1	1	1	о
= 0.
Остается раскрыть этот определитель по элементам 1-го столбца и выразить х че¬
рез е', е2, е' и е^.
110

HI способ. Так как e[-f-e'-4-e'-f-e^ = 3ei + 3e1 + 3ea-f Зе4, то ei + et+e*+
+ «4=0/3) (е;Отсюда *=(1 /3) («;+<;+*;+*;). ▲
501.	Дан вектор х = 8е1 + 6е, + 4е,—!8е4. Разложить этот вектор
по новому базису, связанному со старым базисом уравнениями
—Зе1 + е| + е, + е4,	—4et+e»-f-
+е4. е; = е, + 3е,—5е, + е4, 'e^e^e.^
+ 4е,—6е4.
502.	Дан векторх—-2^е, + е,+ .. .+е„).
Разложить вектор х по базису ej, ej
е;, если «i = е, е„ «1 = е, + е,, ej = e.,-f
Ч"®«,	• • •• *л->1 = ®п-1 "Ь®в* *я = ®я “Г *1 •
503.	Система координат хОу повернута
вокруг начала координат на угол а (рис. 21).	Рис.	21
Выразить координаты вектора а = *» +
+ у] в новой системе через его координаты в старой системе.
Д Разложим векторы Г и J' по ортам I и J:
Г = I cos а +J sin а,
J' = icos (д-f-aj-fj sin ^y+a).
Запишем матрицу перехода от старого базиса I, ] х новому базису Г, j':
cos a —sina\
etna сова/
Отсюда получаем
jr=*x' со* а—у' sin а, у = x' *to a+y' cos at,
т. e.
jr' = jtcosa-f у sin a, y' = — x sin a-f у cos a. Д
504.	Даиы зависимости«i = ae,, е^ = Ре,, ei = Y«4' *4 = 6*», el—ee^
Написать формулы, связывающие старые координаты <5,,	|4;
£,) вектора к с новыми координатами <&; £i; Ц) этого же
вектора.
505.	Возможны ли зависимости е,' = е,—е», ej = e,—е,, ej = ex—е^
между старым базисом <„ е„ et и новым базисом ej, ei, ej?
f 3. ПОДПРОСТРАНСТВА
1.	Подпространство лвиейного пространств*. Ллнейное пространство R' назы»
вается подпространством линейного пространства R, если элементами простран¬
ства Rf являются только элементы пространства R.
Например, множество всех векторов, параллельных оддой н той же плос¬
кости» является подпространством всех геометрических векторов пространства.
Если к» у, х, ..., «-какие-нибудь векторы линейного пространства R, то
все векторы ax+py-f-.	+	где	a,	р,	А —^ всевозможные действительные
числа, образуют подпространство пространства R. Множество всех линейных ком¬
бинаций векторов ax + py^—.-f Xu называется линейной оболочкой вектороа х,
у, ..., и н обозначается через L (х, у, ..., и).
Если Ri—подпространство линейного пространства R, то d(Ri)^d(R).
Пусть в линейном пространстве R имеются два подпространства Ri н R%.
Пересечением подпространств Ri и Rt называется множество Ri всех элементов,
одновременно принадлежащих Ri и /?*. Запись #а=#1П#| означает, что Rb
является пересечением подпространств Ri и Rt. Суммой подпространств R\ н Rt
111

называется множество /?4 всех элементов вида x-f-y, где х£/?ь а у^Яг- Запись
Rt = Ri -)- Ri означает, что множество R\ является суммой подпространств R\ и/?г.
Доказывается, что пересечение R3 и сумма /?4 являются подпространствами
пространства R. Следует иметь в виду, что d (Ri)-\-d (R2) = d (R3)-j-d (Ri).
506.	Может ли подпространство линейного пространства R
состоять из одного элемента?
507.	Дано линейное пространство R, элементами которого явля¬
ются всевозможные системы действительных чисел: х = (£,; |2; |3;
У. У = ('ПГ.	Л»;	til).	*	=	(ti;	t«;	У» •••• Сложение двух эле¬
ментов и умножение элемента на число определены равенствами
x + y = (£i + %; ^з + Лг» £з + Лз> "П*)» ^х = (^1*	^£з>
Доказать, что множество Rt элементов х, = (0; 12; |3; 14), у! =
= (0; ti2; х\3; ti4), z, = (0; £2; £3; £4), ... и множество R2 элементов
=	^ Ез> ^4)* У2 ~ (Ли ^ Лз> Л<)* ^2 = (£l»	£з*	£4)*	•* • являются
подпространствами линейиого пространства R.
508.	Для линейного пространства R, рассмотренного в задаче 507,
найти пересечение R3 и сумму R4 подпространств Rt и R2.
509.	Показать, что для подпространств задач 504 и 505 выпол¬
няется равенство d (/?,) -f d (R2) = d (R3) 4- d (Rt).
510.	Дано линейное пространство, состоящее из всех геометри¬
ческих векторов. Является ли подпространством этого пространства
множество векторов с началом в начале координат и расположен¬
ных в I октанте?
511.	Дано линейное пространство R, элементами которого являются
координаты точек Р — (х\ у, г) I октанта, не лежащих на коорди¬
натных плоскостях. Сложение двух каких-нибудь элементов Рх =
= (*,; уй 2i) и Р2 = (х2;	г2)	определено	равенством	Рг + Р2 =
= (xix2> У1У11 г1гг)> а умножение элемента Р = (*; у\ г) на действи¬
тельное число Я,—равенством %Р — (хк\ у*•; гх). Доказать, что мно¬
жество Rt точек этого пространства, расположенных на плоскости
2=1, является подпространством пространства R.
512.	Дано линейное пространство R многочленов не выше пятой
степени. Доказать, что множество Ri многочленов вида а„/ + а, и
множество R2 многочленов b0t* + btt2 4- Ь2 являются подпространствами
пространства R, если сложение элементов и умножение элемента на
число понимать в обычном смысле.
513.	Найти подпространства Rs — Rt П Rt и Rt = Rt + Ri1,0 условию
предыдущей задачи.
514.	Рассматриваются два подпространства пространства R всех
геометрических векторов» Rt—множество векторов, параллельных
координатной плоскости хОу, и R2—множество векторов, парал¬
лельных плоскости хОг. Найти R3 = Rt П R2 и R4 = Ri + #2-
515.	Пусть Ri и R2—подпространства линейного пространства R,
a R[ и R’2—подпространства линейного пространства R'■ Известно,
что подпространства Rt и R[, а также R2 и R2 изоморфны. Дока¬
зать, что изоморфны подпространства R3 = R^ft R2 и R'3 = R'if) Ri,
а также Rt = Ri + Rt и R't — Ri + R2.
112

•516. Дано множество функций f(x), непрерывных и положительных
на отрезке [—а, а]. Доказать, что это множество является линейным
пространством, если за сумму векторов принять произведение соот¬
ветствующих функций, а за произведение вектора на действительное
число X—результат возведения в степень X соответствующей функции.
Является ли подпространством множество всех четных функций этого
пространства? Множество всех нечетных функций этого пространства?
517.	Рассматривается линейное пространство геометрических век¬
торов. Образует ли подпространство этого пространства множество
всех векторов a = Xi + Fj + Zk, где Л\ Y и Z—рациональные числа?
2.	Подпространства, образованные решениями однородной линейной системы
уравненнй. Рассмотрим однородную линейную систему уравнений
Пусть Xi — Xi, х2 = Х 2,	хп — Хп— какое-нибудь решение системы. Запишем это
?ешенне в виде вектора f = (Xi; Х2; ... Хп)• Совокупность линейно независимых
решений f 1, f 2, .f п системы уравнений (1) называется фундаментальной систе¬
мой решений, если любое решение системы уравнений (1) может быть представлено
з	виде линейной комбинации векторов flt f2, .... f„.
Теорема ©существовании фундаментальной системы ре-
пен ий. Если ранг матрицы
ягнъшс п, то система (1) имеет ненулевые решения. Число векторов, определя¬
ющих фундаментальную систему решений, находится по формуле k — n — r, где
г—ранг матрицы.
Таким образом, если рассматривается линейное пространство Rn, векторами
которого являются всевозможные системы п действительных чисел, то совокупность
^сех решений системы (1) является подпространством пространства Rn. Размерность
згого подпространства равна k.
518.	Найти базис и размерность подпространства решений
линейной однородной системы уравнений
та вен 1, поскольку все миноры матрицы, кроме миноров первого порядка, равны
*улю. Число неизвестных равно 4; поэтому размерность подпространства решений
*	= я—г = 4—1 = 3, т. е. это подпространство является трехмерным. Так как г — 1,
то из этой системы достаточно взять какое-нибудь одно уравнение.
Яц*1 + в12*2 +-..+ai/i*n = °.
а2\Х1 + a22*2 + • • • “Ь а2пхп = О»
(О
*1 +	2*2	+	3*з +	4*4 — О,
(1/2)*!+	*2	+	(3/2) *3 +	2*4 = 0,
(1/3) *i + (2/3) *2 "Ь *з + (4/3) *4 = 0,
(1 /4)	+ (1 /2) *2 + (3/4) *3 +	*4 = 0.
Д Ранг матрицы
12	3	4
1/2	1	3/2	2
1/3 2/3 1	4/3
1/4	1/2	3/4	1
113

Возьмем первое уравнение системы i< запишем его в виде д.*! =— 2*.:—3*з— 4*4.
Если Х|=1, *3 = 0, *4- 0, то Aj — — 2; если *8 = 0, *3=1, *4 = 0, то *i- — 3;
если х2 = 0, *з = 0, л*4 — 1 ♦ то Х|~ —4. Итак, мы получили линейно независимые
векторы ft = (— 2; 1; 0; 0), fa = (— 3; 0; 1; 0), f3= (— 4; 0; 0; 1), которые обра¬
зуют базис трехмерного подпространства решений дайной системы. Д
619. Показать, что вектор f = ft — 2ft + fa удовлетворяет системе
уравнений задачи 518.
520.	Найти базис и размерность подпространства решений системы
уравнений
(	*1—2**+ *з = 0,
<	2*1—	*t— *з=0,
I	— 2*х + 4*2—2*8 = 0.
Д Ранг матрицы
1—2 Р
2	-1
ч—2	4 -2,
равен 2, так как определитель третьего порядка, образованный элементами мат¬
рицы, равен иулю, а среди мииоров второго порядка имеются отличные от нуля.
Размерность подпространства решений fc = n —г = 3—2=1. Так как г = 2, то доста¬
точно взять два уравнения из заданных трех. Отбросим третье уравнение, поскольку
его коэффициенты пропорциональны соответствующим коэффициентам первого
уравнения.
В системе
Г	*1—2*,±= — х8,
\	2*!—	*я = х9
полагаем *з=1» тогда решение системы
/' *i — 2*t = — 1,
\ 2*!— *2=t 1
есть *| = 1, *о=1.
f	jjn^nP0CTPaHCTB0 Решений определяется одним базисным вектором
521.	Найти размерность и базис подпрсстранства решений
системы уравнений
*1+*2“*Я+*4ет0,
*1—*2+*3—*<1=0,
3.V, +*2—*3+*4=0,
3*i — *а + *а—х4 = 0.
Д Определяем ранг матрицы
/1	1	-1	Г
А- 1	1
3	1-1	1
\3	-1	1
Вычитаем из 3-й строки 2-ю, а из 4-й строки 1-ю:
'1	1	-1	Г
1—1	1—1
2	2—22
2	—2	2	—2/
Так как элементы 3-й строки пропорциональны соответствующим элементам
1-А строки, а элементы 4-й строки пропорциональны элементам 2-й строки, то
114

З-fc и 4-ю строки можно вычеркнуть:
-	/1 1—1	1\
А~{\ _1 1
Таким образом, ранг матрицы Л равен 2 и к = п — г — 4 — 2 = 2.
Итак, размерность подпространства решений равна 2. Так как г=2, то из
четырех уравнений возьмем два:
/	*i+*2—*з+*4 = 0» или	(	*i + *2 = х9	х
\	*1“ Х2 + Х3 — *4 = 0,	\	*1 — *2= —Xs +	*4.
{д. I х 	 J
1	2	’	Следовательно,	*i	=	0,
*1—*2 = —] .
**=1 и 11 = (0; 1; 1; 0).
Полагая теперь *з = 0, дг4 = 1, имеем <	*2	’	Таким	образом, *1 = 0,
I	*i—*2=	*•
ara = — 1 и f2 = (0; —1; 0; 1). За базисные векторы подпространства могут быть
приняты векторы fi = (0; 1; 1; 0), f2==(0; —1; 0; 1). Общее решение системы урав¬
нений определяется вектором f = c1f1+c2f2, т. е. f=(0;	—с2; Ci\ с2). Д.
522.	Определить размерность подпространства решений, базис
и общее решение системы уравнений
/*1 + 2*2 + *з+*4 + *5 = 0,
(XI— 2*2 + *3 + *4 — *3 = 0.
f 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1.	Основные понятия. Будем говорить, что в линейном пространстве R зада¬
но преобразование А, если каждому Еектору x£R по некоторому правилу постав¬
лен в соответствие вектор Ax£R. Преобразование А называется линейным, если
для любых векторов х и у и для любого действительного числа К выполняются
равенства
А (х + у) = Ах+ Ау, А(А,х) = А,Ах.
Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует
любой вектор х в самого себя. Тождественное линейное преобразование обознача¬
ется через Е. Таким образом, Ех = х.
523.	Показать, что преобразование Ах = ах, где а—действитель¬
ное число, является линейным.
Д Имеем А (х + у) — а (х + у) = ах + ау = Ах+Ау, А (Я,х) = а (hx) = X (ах) =
= X Ах. Итак, оба условия, определяющие линейное преобразование, выполнены.
Рассмотренное преобразование А называется преобразованием подобия. Д
524.	Преобразование А в линейном пространстве R определено
равенством Ах = х + х0, где х0 £ R — фиксированный ненулевой век¬
тор. Является ли преобразование А линейным?
Д Из равенств Ах = х + х0, Ау = у + х0, А (х+у) = х + у+Xq, А(х + у) =
= Ах+Ау заключаем, что х+У + х0 = (х + Хо)+ (у + х0). Отсюда следует, что
= но это противоречит условию. Следовательно, преобразование А не явля¬
ется линейным. Д
525.	Дано линейное пространство геометрических векторов. Пре¬
образование А состоит в замене каждого вектора его составляющей
по оси Ох. Является ли это преобразование линейным?
115

Д Пусть a = X,i + K1j + Zlk и b = А-, I + У2j -f Zak—произвольные векторы,
а \—произвольное действительное число. Так как
а+ Ь = (Xi+Хг) I + (Кх + У2) j + (Zt + Z2) k, hi = %Xxl + ХП) + Я2хк.
TO
A(a+b) = (X, + A-2) l = X,l + X2i = Aa+Ab, A(Xa) = AA'1l=>.Aa.
Итак, A—линейное преобразование. Д
526.	Является ли линейным преобразованием замена каждого
геометрического вектора его зеркальным отображением относительно
координатной плоскости хОу?
527.	Является ли линейным преобразованием умножение каждого
геометрического вектора на его длину?
528.	В каком случае преобразование А является линейным, если
Ах = х0, где х0—произвольный вектор линейного пространства R,
а х„—фиксированный вектор?
529.	Дано линейное пространство векторов х =	+	£tet	+ |,е3 +
+ |4е4, где £„ |3, |4—всевозможные действительные числа.
Пусть а—фиксированное действительное число. Является ли линей¬
ным преобразование А, определяемое равенством Ах =	-f- |^t +
+ 1зе* + £ie4?
530. Дано линейное пространство векторов х = |1е1-Ы^е, + |,е,+
4-	|4е4. Преобразование А состоит в том, что у каждого вектора
меняются местами вторая и третья координаты, т. е. Ах = |1е1 -(-
+ £,е,+ £2е3-Ы4е4. Является ли преобразование А линейным?
531.	Пусть А—линейное преобразование. Доказать, что преоб¬
разование В, определяемое равенством Вх = Ах—2х, является
линейным.
2.	Матрица линейного преобразования. Пусть в n-мерном линейном пространстве
R, базис которого еь е2,...,е„, задано линейное преобразование А. Так как Аеь
Аег,..., Ае„—векторы пространства R, то каждый из них можио разложить
единственным способом по векторам базиса:
Aei = anet + в«е, +... -f anle„,
Ae2 = fli2ei+a22e*+... 4-ап2еп»
А*в = ain'i + агп*2 + • • • + а„„е„.
Матрица
/Q\i	й\2	• • •	0\п
Д	[ а21	• • •	о2п
\arti	• • ■	апп
называется матрицей линейного преобразования А в базнсе е<, е*, •.., t„. Столбцы
этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах преобразования базисных
векторов. Возьмем в пространстве R какой-нибудь вектор x = *iei+x2e,+ •..
хпеп. Так как Ах£Д, то и вектор Ах можно разложить по векторам базиса:
Ах = х[ег + х'еа +... + х'п е„.
Координаты (x^;x0z; ... ;х'п) вектора Ах выражаются через координаты (хх;
•••» *л) вектора х по формулам
Х[ = fli -[-012^2+ • • • + а1/2*/М
Х2 = **21*1 + <*22*2 + • • • + Я2п*Л»

. *п — айЙ + antx2 + • • • + ^ппхп*
116

Эти п равенств можно назвать линейным преобразованием А в базисе е*, е2,...
е„. Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются
элементами строк матрицы А.
532.	Найти матрицу тождественного преобразования Е в /i-мер¬
ном пространстве.
Д Тождественное преобразование не меняет базисных векторов: e^ = eir
е2г=:е2» e3 = e3,..., е'п =е„, т. е.
е^ = 1 *ei + 0 *е2+ . ♦ . +0- еп,
е' = 0• ei +1 • е2 + ... + 0• ея,
= 0 ei + 0-e2 + ... + 1
Следовательно, матрицей линейного преобразования служит единичная матрица
'10 0
0	1 0
£ = | 0 0 1 ... 0 |. 4
::: :\
::::}
о о .
533.	Найти матрицу преобразования подобия Ах = ах в «-мер¬
ном пространстве.
534.	В четырехмерном линейном пространстве рассматривается
линейное преобразование А. Записать это преобразование в коорди¬
натной форме, если Ае1 = е3+е4, Ае2 = е1 + е4, Ае3 = е4+е2, Ае4 =»
= е2 + е3.
Д Матрица преобразования А имеет вид
А =
Следовательно, преобразование А в координатной форме записывается так: х' =
= х2+х3, *'=*3 + х4, X^X!+X4t Х’4=Х1 + Хъ. А
535.	Линейное преобразование совокупности всех векторов на
плоскости хОу заключается в повороте каждого вектора против ча¬
совой стрелки на угол а (рис. 22). Найти
матрицу этого линейного преобразования
в координатной форме.
Д Так как Ai = I cos а + j sin a, Aj = — I sin а+
+jcosa, то
A—f cos a	sin aN
~~\sina	cos a у
Таким образом, рассматриваемое лииейное пре¬
образование имеет вид
х* =xcos а — г/sin a; у' = xsin a + f/cos a. Д
536.	Рассматривается линейное пространство векторов х = х1е1 +
+ *2еа+*зез + *4е4» гДе *1» *2» *з» *4 — всевозможные действительные
117

числа. Доказать, что преобразований А, определяемое равенством
Ах = х2е14-^3е2+^4е3-}-л'1е4, является линейным, и найти его мат¬
рицу.
3.	Действия над линейными преобразованиями. В приведенных ниже опреде¬
лениях примем следующие обозначения: А и В —произвольные линейные преоб¬
разования в линейном пространстве R, X — произвольное действительное число,
xg Л—любой элемент.
Суммой линейных преобразований А и В называется преобразование Clt
определяемое равенством Qx^Ax+Bx. Обозначение: Cj = A + B.
Произведением линейного преобразования А на число Я называется преобразо¬
вание С2, определяемое равенством С2х = Я,Ах. Обозначение: С2 = ЯД.
Произведением линейного преобразования А на линейное преобразование В
называется преобразование С3, определяемое равенством С3х = АВх. Обозначение:
С3 = АВ.
Преобразования Q, С2 и С3 являются линейными. Матрицы линейных преоб¬
разований Q, С2 и С3 определяются из равенств С\~ А-\-В, С2 = ХА, С3 = АВ.
При сложении линейных преобразований выполняется переместительный закон;
произведение же АВ, вообще говоря, отличается от произведения ВА.
Перечислим некоторые свойства операций над линейными преобразованиями
в пространстве R:
А (ВС) = (АВ) С; АЕ = ЕА = А; (А + В) С = АС+ВС; С (А+В) =СА + СВ.
Если для линейного преобразования А найдутся такие линейные преобразо¬
вания В и С, что ВА = Е, АС=Е, то В = С. В этом случае обозначают
В = С = А“1, а линейное преобразование А-1 называют обратным линейным пре-
образованием по отношению к. линейному преобразованию А. Таким образом,
A-*A = AA-i = E.
Линейное преобразование А в конечномерном пространстве называют невырож¬
денным, если определитель матрицы этого преобразования отличен от нуля. Сле¬
дует иметь в виду, что каждое невырожденное линейное преобразование А имеет
обратное преобразование А-1 и притом только одно.
Если невырожденное линейное преобразование А в координатной форме опре¬
деляется равенствами
Здесь A{j—алгебраическое дополнение элемента д/у матрицы А, \А\—определи¬
тель матрицы А.
Матрица линейного преобразования А-1 является обратной по отношению к
матрице А и определяется равенством
X' = оцх + а12у + ... + Д1 „и,
у' = а21х-\- а22у + ... + а2пи,
И'=Я»И* + Я||2Н	+вяя«<
то обратное линейное преобразование А-1 имеет вид
118

537.	Преобразование А заключается в повороте каждого вектора
плоскости хОу на угол а = я/4. Найти в координатной форме пре¬
образование А+Е.
Д Имеем
AI = I<os (я/4) + j sin (я/4) = (VW)\^+ (V^^/2) J;
А] = i cos (Зя/4) + J sin (Зл/4) = —(У 2/2) I + (^”5/2) J.
Следовательно,
1./2 —У~Ъ12\
2/2 У 2/2/
Так как Е = ( ‘ У) , то
(V*
Луъ /
-а-
A+E-f^ 2/2+‘ -У 2/2	^
А+Е~\У~'2/2	^2/2+1
Таким	образом, линейное	преобразование	4-f£	можно записать	с	помощью
равенсто х' = (^2/2+1) х— (^2/2) у,	у' = (У 2/2) ж + (^2/2+1) у.	Д.
538.	Даны два линейных преобразования:
*'= х+2у + 3г,	=	х+	Зу + 4,5г,
у'^=4ж-1-5у + 6г.	(А) и	У'=	6*+	7дс+ 9г, (В)
г'=7х+8у+9г	г'	—	10,5х+	12у+ 13г.
Найти ЗА—2В.
539.	Даны линейные преобразования:
х'=х+у,
У'=У+г, (А) и у'=*4 г,	(В)
г’=г+х	г'=х+у.
Найти преобразования АВ и ВА.
/СМ к
!= 1 О I ).
\| 1 о/
\1 2 1/
Д Матрицы данных преобразований имеют вид
/1 1 0\ /0 1 1'
А =( 0 1 1 ), В
\1 0 1/
Найдем произведения этих матриц:
/1 1 2\ /11 2\
АВ = 2 1 1 ), ВА
\1 2 1/
В данном случае АВ — ВА, поэтому линейные преобразования АВ и ВА сов¬
падают. Координатная форма преобразования АВ записывается следующим образом:
х'= х+у + 2г, у' = 2х-\-у+г, г'=д: + 2у+г. Д
540.	Пусть над совокупностью векторов u = jd+yi на плоско¬
сти хОу производятся два линейных преобразования: А—замена
вектора его составляющей по оси Ох; В—зеркальное отображение
вектора относительно биссектрисы 1 н III координатных углов.
Найти преобразования АВ н ВА.
119

Д Согласно условию, Au = *i, Bu=xjТаким образом, Ai = I, А| = О,
в,_,. в—-—(, „) в_; лв = (0 ,) м_р
Итак, преобразование АВ определяется равенствами х'—у, у'—-0, а преобра«
зование ВА— равенствами *'=0, у'=х. Рекомендуем получить эти равенства из
геометрических соображений. Д
54К Преобразование А заключается в повороте каждого вектора
плоскости хОу на угол а. Найти матрицу преобразования А2 (т. е. А • А).
Д Так как Ai = i cos а + j sin a, Aj = —isina + jcosa, то
A — (COsa “sin a^\
\sin a cos a/
Следовательно,
дг — f cos2 a — sin2 a —2 sin a cos a \ / cos 2a —sin 2a \
2	sin a cos a	cos2a — sin2a/ ^sin 2a cos2a/
Таким образом, преобразование А2 в координатной форме определяется ра¬
венствами х' —х cos 2a—г/ sin 2a, у' — х sin 2a-j-у cos 2a. Эти результаты могут
быть получены и из чисто геометрических соображений. Д
542.	Линейное преобразование А заключается в повороте на
угол л/4 каждого вектора плоскости хОу. Найти матрицу линейного
преобразования В = А2 + }/*2А + Е.
543.	Дано пространство геометрических векторов. Пусть линей¬
ное преобразование А — поворот пространства вокруг оси Ог на
угол л/4, а линейное преобразование В — поворот пространства во¬
круг оси Ох на тот же угол. Найти матрицу линейного преобра¬
зования АВ.
Д Имеем	Ai=i cos (гг/4)-f-1 sin (я/4)=(|/г 2/2) \-{- (У~ 2/2) j, Aj=—i	sin (л/4) -f-
+ j cos (л/4) =	-	2/2) i + (V 2/2) j, Ak = k; Bi = i, BJ = (^ 2/2)	) +	(У2/2)k,
Bk = —{y 2, 2) j -\-(} 2/2) k. Следовательно,
/V2/2 —1/"2/2 o\	/1	()_	o \
-4 =	(	"2/2	У~2/2 0 . B = ( 0 V 2/2 -У 2/2	j,
\ 0	0	1J \0 V 2/2 Y 2/2 J
/ У2/2 —1/2	l/2\
ЛВ, =1 у 2/2	1/2	—1/2	]•	▲
\0 V 2/2 У 2/2/
544.	Дано линейное преобразование А: х' =— 0,5 (у 4- г), у' =
=—0,5 (х +г), z' — — 0,5(.v + t/). Найти матрицу обратного линей¬
ного преобразования.
120

545.	Рассматривается совокупность всех геометрических векто¬
ров. Линейное преобразование - А — зеркальное отображение этих
векторов относительно плоскости Р. Найти А-1.
546.	В линейном пространстве с базисом ер е2 дано линейное
преобразование А. Найти матрицу обратного преобразования, если
Aej=e2, Ае2 = в!.
547.	Линейное преобразование А заключается в повороте каж¬
дого вектора плоскости хОу на угол а. Найти матрицу В = А + А~1.
548.	Дано линейное преобразование А: х' = х-\-у, у' = 2 (х+у).
Найти обратное линейное преобразование.
549.	Линейное преобразование А заключается в повороте каж¬
дого вектора плоскости хОу на угол я/4. Найти матрицу А~2.
550.	При каком значении X линейное преобразование х' = — 2х-{~
Л-у + г, у’ — х—2у + г, г' = х-\-у-\-кг не имеет обратного?
4.	Характеристические числа и собственные векторы линейного преобразова¬
ния. Пусть R—заданное n-мерное линейное пространство. Ненулевой векторx£R
называется собственным вектором линейного преобразования А, если найдется
такое число X, что выполняется равенство Ах = Хх. Само число X называется
характеристическим числом линейного преобразования А, соответствующим век¬
тору х.
Еслн линейное преобразование А в базнсе еь е2, .ел имеет матрицу
то характеристическими числами линейного преобразования А служат действи¬
тельные корни Xit Х2, •••» уравнения п-й степени, которое можно записать
в виде
Оио называется характеристическим уравнением, а его левая часть—характера
стическим многочленом линейного преобразования А. Собственным вектором х*,
соответствующим характеристическому числу X#, является любой вектор gjei 4*
1г*2+ • • • + координаты которого удовлетворяют системе линейных одно¬
родных уравнений
Отметим следующие важные теоремы.
Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от вы•
бора базиса.
Если матрица А линейного преобразования А является симметрической, то
же корни характеристического уравнения \ А — Х£ | = 0—действительные числа.
551.	Найти характеристические числа и собственные векторы
линейного преобразования А, определяемого уравнениями х'=5*4-
Оц-Г-Х 012	... flin
°21	а22—Я* ... Ом	-j-Q^
fl/ii	ап2	... ann X
' (Дп—^k) !i +	4~	•	•	•~ 0,
fl2i£i4~ (а22 — kfr) Еа4---« 4” а2п%Н 5=2 0*
, ^/Ji?i4-art2l2+ • • • 4-(алл—
+ 4у, у' = 8х+9у.
121

Д Матрица преобразования запишется так: А = ^ ^ . Характеристическое
уравнение имеет вид
15 —Я 4
| 8^9—х| = 0, ИЛИ
характеристические числа Xt = 1, Х2=13.
Для определения координат собственных векторов получаем две системы ли¬
нейных уравнений:
( (5 — Xi) Ei + 4£а = 0, ( (5 — к2) £i + 4£а = О,
\	+ (9 - кг) Ь - 0; \ %1% + <9—6а = 0.
Так как Xi = 1, то первую систему можно записать следующим образом:
Г 4&1 + 4£а = 0>
\ 8£i + 8£2 ^0*
Таким образом, значения £i и £а должны удовлетворить уравнению £t + 5а=0»
или £а = — Sp Следовательно, решение этой системы имеет внд 5i = clt = —cf,
где Ci — произвольная величина. Поэтому характеристическому числу А,= 1 соот*
ветствует семейство собственных векторов u=Ctei—с^е*, т. е. и=сх(ех—е*).
Значение Я* =13 приводит к системе уравнений
/-861 + 46, = 0,
\	86!-4ge = 0,
т. е. 68 = 25!. Полагая 6i = c2, получаем £а = 2са. Следовательно, характеристи¬
ческому числу Х = 13 соответствует семейство собственных векторов v = ca (et + 2e2).
Итак, придавая в равенствах u^fifei — е2), v = ca(ei + 2ea) величинам с\ и
г* всевозможные числовые значения, будем получать всевозможные собственные
векторы линейного преобразования А. Д
552.	Дано линейное преобразование с матрицей А =	^ J . Найти
характеристические числа и собственные векторы этого преобразо¬
вания.
553. Найти характеристические числа и собственные векторы
линейного преобразования с матрицей А = ^	.
554. Найти характеристические числа и собственные векторы
линейного преобразования с матрицей А = ^ ~ *) .
555.	Определить характеристические числа и собственные век-
/2-1 К
торы линейного преобразования	с	матрицей /1 = 1—1	2 —1	).
4	0	0	1/
Д Составим характеристическое уравнение:
2-Х,	-I	1
—1 2-Я —1 =0,
0	0	1—А.
т. е.
(l-fc)[(2-*.)*-l)=0, (1 —Х)« (3—X) =0, Xf.,-1, Х, = 3.
Если ). = I, то для определения координат собственного вектора получаем
систему уравнений
£i-E,+b=o.
—Si + la — 6s = 0.
5» = 0.
122
(

Таким образом, характеристическому числу ?*=! соответствует семейство
собственных векторов и =сг (ei-fe2).
Если Х = 3, то для определения координат собственного вектора получаем
систему уравнений
(-ti-t2 + b = 0,
<		 El	Е2 + Ез = 0,
Ез=о.
Семейство собственных векторов, соответствующих этому характеристическому
числу, определяется равенством v = c2(ej — е2). А
556.	Определить характеристические числа и собственные век-
/I 1 3
торы линейного преобразования А с матрицей А—[ 1 5 1
\3 1 1
/ап ai2 я13\
557.	Доказать, что	если Ы21	22 Ягз ]— симметрическая матрица,
^Я31 Я32 ^33'
а дeйcтвиfeльныe числа а, р и у отличны от нуля, то все корни
характеристического уравнения матрицы
/оц	ai2<zlf>	ai3a/y
А =	( tf2ift/a	а22	а2зР/Y
\a3iY/a	л32у/В	°зз
являются действительными числами.
Д В базисе elf е2, е3 рассмотрим линейное преобразование А с матрицей А.
Тогда
Ае! = fluej + (a21p/a) е2 + (a3lyja) е3,
Ае2 = (fli2a/P) ei+^2?с2 + (аз2?/Р) ез*
Ае3 = (а^а/у) С1 + (л2зР/?) е2+дззСз
шли
A (aei) =^naei +fl2iPe2 —f-^3iVe3*
A (P®2) =ari2o:ei-|~a,22pe2_hfl,32Ve3»
A (ve3) =al3aet + a23f>e2 -f a33уе3.
Полагая aei = eb Ре2 = в2, ve3 = e3, имеем
Aex = Дцвх -j- a2i^z ~r Дз1ез»
Aeo = tfi2ei “Г ^22^2 -f~ я32^3»
Ae3 =	+	^23^2	+	Язз^з-
Таким образом, матрицей линейного преобразования А в базисе еь е2, ез служит
ггмметрическая матрица
/аХ\ ап а13\
А9 = ( a2i а22 а23 ).
\fl31 ^32 ^33'
Следовательно, характеристическое уравнение линейного преобразования А
1	базисе ец е2, ез имеет только действительные корнн. Так как при переходе
с базису еь е2, е3 характеристические числа не меняются, то те же корни имеет
2	характеристическое уравнение матрицы А. Д
558.	Линейное преобразование А заключается в повороте про¬
странства на угол л/3 вокруг оси Ог. Найти характеристические
числа и собственные векторы этого преобразования.

ф Показать, что матрица этого линейного преобразования имеет вид
—VW O'*
( г и2 -У3/2 °\
А =( V 3/2	1/2 0 )•
\ 0	0 1/
559.	Зная характеристические числа линейного преобразования А,
найти характеристические числа обратного линейного преобразова¬
ния А-1.
ф Показать, что из уравнения |Л-1—Х.£| = 0 следует | А~(1/Л)£|=0.
560.	Найти характеристические числа и собственные векторы
/0 1 0 0ч
линейного преобразования А с матрицей >1 ={ о 0 0 ?
\1 о о о,
561.	Найти характеристические числа и собственные векторы
/а Р у\
линейного преобразования с матрицей А — ( Y « Р
\р у а/
§ 5. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
Линейное пространство R называется евклидовым, если имеется правило, кото¬
рое позволяет для каждых двух векторов х и у из R построить действительное
число, называемое скалярным произведением векторов х и у и обозначаемое (х, у),
причем это правило удовлетворяет следующим условиям:
1°. (х, у) = (у, х);
2°. (х, y+z) = (x, y)-f(x. г);
3°. (Хх, у) = Х(х, у) для любого действительного числа А,;
4°. (х, х) > 0, если х Ф 0.
Из условий 1°—4° следует, что:
а)	(y+z, х) = (у, x) + (z, х);
б)	(х, А.у) = Мх, у);
в)	(0, х) = 0 для любого вектора х.
Скалярное произведение любого вектора x(£R иа себя называется скалярным
квадратом вектора х.
Длиной вектора х в евклидовом пространстве называется квадратный корень
нз скалярного квадрата этого вектора, т. е. |x| = )^(x, х).
Если X—любое действительное число, а х — любой вектор евклидова про¬
странства , то | А-х | = | К | • | х |.
Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным. Если
x£R — иеиулевой вектор, то нетрудно видеть, что ^ ^ » х ^ можно обозначить
та-)
является нормированным вектором.
Для любых двух векторов х и у в евклидовом пространстве выполняется
неравенство (х, у)*<;(х, х) (у, у), называемое неравенством Коши — Буняковского,
Равенство (х, у)а = (х, х)(у, у) имеет место тогда и только тогда, когда век¬
торы х и у линейно зависимы.
(х у)
Из неравенства Коши — Буияковского следует, что —1 <■;■ ■■■	<	1.	Угол <р,
Iх Г1 У I
определяемый равенством cos <р= . * * н принадлежащий отрезку [0, я], на-
I	^ I I У
зывается углом между векторами х и у. Еслихиу — ненулевые векторы, а ф—я/2,
то (х, у) = 0. В этом случае говорят, что векторы х и у ортогональны, н пишут
*±у-
124

Для произвольных векторов х и у евклидова пространства имеют место сле¬
дующие важные соотношения:
1.	|х + у|^|х| + |у| (неравенство треугольника).
2.	Пусть ф — угол между векторами х и у; тогда |х—у |а = | х |2 + | у |а —
—	21 х | • | у | cos ф (теорема косинусов). Если х у, то получается равен¬
ство | х—у |2 = | х |*+1 у |2. Заменяя в последнем равенстве у на —у, получаем
|х+у|2 = |х|а + |у |* (теорема Пифагора).
562.	Дано линейное пространство, рассмотренное в задаче 461.
Можно ли скалярное произведение двух произвольных векторов
*	= (Ъ»	• • •'. !„) иу = (т1,; ть ...; Лп) определить равенством (х, у)=
=^1г11 + ^2т12+ • • • +^п11п (для того чтобы это пространство стало
евклидовым)?
Д Проверим выполнение условий 1°—4°.
1°. Так как (у, х) =ц151 + %|2+...+пя?я. то (х, у) = (у, х).
2°. Пусть x = (Sj; £2; ...; £„). Тогда y + z = fti+£i; Л2 + &; •••; Лл + Сл) и
(х, у+z) = £,т), + lim + ?2Л2 +1*?2 + • • • + 1лЛл + Intn =
= (ii^i +6*»h + • • • + 1лЛп) + (ilCi + EtCt + • • • + Ш = (X, у) + (X, г).
3°. (Хх, у) =A.|i'ni + ^52Tl2+ • • -^яЛя = ^> (£1Л1 + £гЛг + • • • + £лЛя)(х. у).
4°. (х, x) = |i + ii+... + ^ Ф 0, если хотя бы одно из чисел |ь |2
отлично от нуля.
Значит, в заданном пространстве с помощью указанного равенства можно
определить скалярное произведение. Д
563.	Дано евклидово пространство, рассмотренное в задаче 562.
Пусть 5,, lt,	—	количество п видов изделий, выпускаемых
ежедневно заводом, a t]f, т]„ ...,	—соответственно цены этих
изделий. Как можно истолковать скалярное произведение векторов
*	= (Si; i2; • ••;£„)и y=(*ii;	•••; лп)?
564.	Дано линейное пространство, векторами которого являются
всевозможные системы, состоящие из п положительных чисел: х =
= 0>1> ^2> ' • • > ^я)' У = (Лк • • • t Лч)» ^ = (?>2> £*> * • • * ?я) * • • • •
Сложение векторов и умножение вектора на число определены равен¬
ствами х + у = (11%, £,ч2, ..., |„т]п), Ях = (^, £$, ...,££). Можно ли
сделать это пространство евклидовым, определив скалярное произ¬
ведение равенством (х, у) = ln^ lnrii + In gf lnr]2+ ... -f In £„ lnt]B?
Д Проверим выполнение условий Г—4°.
1\ <Х, у) = lniilnr), + ln|2ln%+ ... +1п5„ lnii„, (у, х) =lnihln|i +
-f In	%	In |г	In Ля1п In, T. e. (x, y) = (y, x).
•	2°.	Так	как y-M = (T)iCi; Л2С2; •••; Лп£»). то
(x, у + г) = In h In (Л1С1) + In £2 In (Л2&2) +. • ■ + In In (лпСл) =*
= 1п li In TJt + ln In Л2+ • • • "bln %n *n Лл + ln il	In	?1 +
-f- In |2 In fa -f-... -f- In Jn = (x,	y)+(x,	z).
3° Так как Х.х = (|*;	...,	£*),	to
(kx, y) = In %i In Л1H- In Jja In Л2 +	1- In £я In Ля =
= A, (In ii In t)i + In gs In л« + • • • + In S„ In ii„) = X (x, y).
4®. (x, x)=ln4i+ln2S2+...+ln*6n^0.
Следовательно, рассматриваемое пространство является евклидовым. А
565.	Рассматривается линейное пространство непрерывных в про¬
межутке [а, Ь] функций х = х(<), у = у(t), z = z(t), .... Можно ли
125

сделать это пространство линейным, определив скалярное произве-
ь
дение двух любых векторов х и у равенством (х, y) = ^x(t)y(t)dt}
а
566.	Является ли множество всех геометрических векторов
евклидовым пространством, если скалярное произведение двух
векторов, определить как произведение их длин?
567.	Образует ли множество Есех геометрических векторов евкли¬
дово пространство, если определить скалярное произведение двух
произвольных векторов а и Ь как произведение длины вектора а и
утроенной проекции вектора Ь на направление вектора а?
568.	Задано линейное пространство, рассмотренное в задаче 562,
при п = 4. Определить угол между векторами х = (4; 1; 2; 2) и
У = (1; 3; 3; -9).
Д |х| = >^1) = У" 16+1+4+4 = 5; |у| = 'Г(уГу) = >Л1+9+9+81 =10;
(х, у) = 4+3+6—18=— 5; со5ф=|^р^=^^=— 0,1; ip=arccos(—0,1) =
= 174=15'. А
569.	Задано евклидово пространство, рассмотренное в задаче 562.
Определить угол между векторами х = (1; V3\ V5; ...; V~2п — 1)
и у = (1; 0; 0; ...; 0).
570.	Рассматривается евклидово пространство непрерывных функ¬
ций х (/), у (/), z (<), ... на отрезке [—1, 1]. Скалярное произведе-
I
ние определено равенством (х, у)= f х (t) у(*) dt. Найти угол между
-I
векторами х = 3t2— 1, у = 3* —513.
1
Д Имеем (х, у) = ^ (З/2 — 1) (3/—5/3)	Нетрудно видеть, что (х, у)=0, так
-1
Как подынтегральная функция является нечетной. Следовательно, векторы х и у
ортогональны. Д
571.	Задано евклидово пространство, рассмотренное в задаче 562,
при п = 6. Проверить справедливость теоремы Пифагора для орто¬
гональных векторов х = (1; 0; 2; 0; 2; 0) и у = (0; 6; 0; 3; 0; 2).
Д Имеем
|х| = У 1+0+4+0+4 + 0 = 3, |y| = v"0+36+0+9 + 0+4 = 7;
х+У = (1; 6; 2; 3; 2; 2); | х+у | = }Г\ +36+4+9+4+4 = у"58.
Итак, | х |2+| у |2 = | х+у |2. А
572.	В евклидовом пространстве непрерывных функций, соответст¬
вующих условию задачи 565, рассматриваются два вектора: х=/2+1,
y = W*+l. Найти значение К, при котором векторы хну ортого¬
нальны на отрезке [0, 1], и проверить справедливость теоремы
Пифагора для этих векторов.

Д Составим скалярное произведен не
(*» У)= J (*2 + 1) (М2 + О Л = Я/5+ (^+ l)/3-f 1.
о
Из условия (к# у)=0 определяем Я; имеем Я/5+<Я+1)/3+1 = 0, откуда
1— —5/2.
Найдем теперь длины векторов x = /2-f-i, у = — (5/2)/*-fl н х+у=п
—	— (3/2; /* + 2:
Таким образом, | х |2 = 28/15, ]у Р—7/12, | x-f у 1*«49/20, т. е. | х |*+1 у |2=«
-“|х + у|*. А
573.	Рассматривается множество всевозможных упорядоченных
систем геометрических векторов a* »(at; а,; ...; а„),	Ь,;...
...; Ьи), .... Является ли это множество евклидовым пространст¬
вом, если сложение элементов, умножение элемента на число н
скалярное произведение определить равенствами а* + Ь* = (а1 + Ь1;
«1 + Ь,; .. .;ап + Ьл),Яа* = (Яа,; Яа,; ...; Ха„), (a*, b*) ^a^+a.b.-f...
.. + a„b„ (правая часть последнего равенства представляет собой
сумму скалярных произведений геометрических векторов)?
574.	Доказать справедливость неравенств:
где £*, ....	Л	  Лл— действительные числа.
ф Воспользоваться неравенствами треугольникам Коши—Бу.ияковсюго для
«клидова пространства, рассмотренного в идаче 562.
575.	Рассматриваются всевозможные непрерывные на отрезке
[0, 1] функции x(i), у (/), z{t), ... Доказать справедливость не*
равенств:
I*!-)/"J (<4+2<*+ i)dt- У
о
Ы-V	/T-T+'-/n-
о
о
V (1г + л,)'+<€, + Л,)’ + •■•{ + (6. + Ц')1 <
<Кб? + й+...+К + Кл? + л5+.--+»й;
(*! + £* 4* • • • 4- Vn) (л* 4- л! 4* • • • 4- Лч) ^ (Бл + £»л» 4* • •• 4* БяЛ«)*»
127

§ б. ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1.	Ортогональный базис. Базис еь ^ е„ евклидова пространства назы¬
вается ортогональным, если (е/, е*) = 0 при i Ф k.
Справедлива следующая теорема: во всяком евклидовом пространстве имеется
ортогональный базис. Если ортогональный базис состоит из нормированных век-
торов, то этот базис называется ортонормированным. Для ортонормированного
базиса еь в2, еп выполняются равенства
Ut л ч / 0 при i ф kt
(е,,	=	при	{.=*
Если в л-мерном евклидовом пространстве известен какой-нибудь базис f|?
Ь» • • • * f/*> то в этом пространстве всегда можно найти н ортонормированным базис
*1»	» • • •э
Любой вектор х евклидова пространства, заданный в ортонормироваином ба¬
зисе, определяется равенством
*	= li*i + £ге2 + • • • + ?пеп-
Длина вектора х находится по формуле
\*\=yr il + £2+ • • • + 1я*
Два вектора х = ^ei-f Jj2e2 + • • • + |пе„ и у = %е1+%е2 +... +тье„ линейис
независимы (коллинеариы, пропорциональны) тогда и только тогда, когда
li/ili = 1г/Лг = • • • = Inhn-
Условие ортогональности векторов хну имеет вид
£i4i+£2Th +	|-1яЛп = 0-
Угол между двумя векторами х и у находится по формуле
с0;. » _	11%+	•	■ • + !пЛл	^
УЙ+1з+ • • • +&Я ' VЛ1 + Л2+ • • • +1)п
В следующих задачах ортонормированный базис n-мериого евклидова прост¬
ранства обозначается через ei, е2,	е„.
576.	Найти длину вектора х = 4ех—2еа + 2е3—е4.	_
577.	Нормировать вектор х = е, + 2 V 2e, + 3J/rЗе3 + 8е* + 5К5es.
/—2/7	3/7	6/7\
578.	Дана матрица А = ^ 6/7 --2/7	3/7 | перехода от ортонор¬
мированного базиса е„ е2, е3 к базису ej, ej, е3. Доказать, что ба¬
зис ei, ej, е3—ортонормированный.
579.	Нормировать вектор х= et sin3 а+е2 sin2 а cos а+е3 sin а cosa-f
+ е4 cos а.	_	_
580.	Определить угол между векторами х = е, ^7 + е2 К 5 +
Н-е3|/'3+е4 и у=е1К7+е2|/‘5.
581.	Найти нормированный вектор, ортогональный векторам х=
== 3ei е2	У = Зе2-j-е3-f-е4, z = ei-f-e2 Зе3-{-е4.
582.	При каком значении \ векторы x = Xe, + Xe2—е3—Яе4 н
у=ех—е2 + Ае3—е4 имеют одинаковые длины?
128

583.	В четырехмерном пространстве дан базис fx, f2, f3, f4.
С помощью векторов этого базиса построить ортонормированный
базис того же пространства.
Д Сначала построим в заданном пространстве какой-нибудь ортогональный
базис £Ь g2. gs, g4.
Положим gi=fi, Й2 = ^2 + а?1* Подберем действительное число а так, чтобы
выполнялось условие g2jL2i- Умножив скалярно на gi обе части последнего ра¬
венства, получим
Так как (gi, g2) = °. то а=— (gi, f2)/(gi, gi).
Далее, в равенстве g3 = b + Pigi + P2g2 подберем Pi и Р2 так, чтобы выпол¬
нялись условия gs_Lgi, gsJUfe* Из равенств
(gi. g3) = (gi, b) + Pi (gi, gl) + p2 (gi, 62),
№2» £з) = (£2> b) + Pi (gi, g2) + P2 (g2» g2)
получим pi = — Й1, f3)/(gi, gi), р2=—(g2, f3)/(g2, g2)‘
Наконец, из равенства g4 = f4 + Yi£i + Ггбг + Ysga находим ух = —(gi, f4)/(gi, gib
7a=—(g2, U)/(M2, g2), 7з= —(g3i f4)/(g3. g3)*
Итак, при	сделанном выборе а, рь р2, Yi» Y2» Ya векторы	gi,	g2,	g3,	g4	по¬
парно ортогональны. Значит, векторы ei=gx/| gi |, e2=g2/| g2 |> e3=g3/|	gs	|>	e4=g4/|g4|
образуют ортонормированный базис. Д
584.	Рассматривается евклидово пространство многочленов не
выше второй степени. Скалярное произведение двух произвольных
многочленов х = х (t) и у = у (f) определено равенством (х, у) =
о
метод решения, рассмотренный в задаче 583, построить для этого
пространства ортонормированный базис.
Д Сначала построим ортогональный базис gi, g2, g3. Положим gi=fi, т. е.
fi = *2. g2 = f2 + og1 = / + a/2. Тогда
В силу ортогональности векторов gi и g2 левая часть последнего равенства обра¬
щается в нуль. Таким образом, а=—5/4 и g2 = /—5/2/4.
Найдем теперь g3. В равенстве g3 = 1 + fV2 + P2 (t—St2J4) значения Pi и p2
определяем из условий ортогональности
Отсюда рл — —5/3, р2= —4, g3= 1—5^2/3—4 (/—5^/4). т. е. g3 = 1 -4/ + 1«*/3.
(gi, g2) = (gi, f2) + a(gi> gi).
Использовав базис fх = #я, f2 = t, f3 = l и применив
о
о
о
Таким образом,
!
V
9
§t*dt и 0=f (/—|*2)<й+ра
О
О
о
о
5-215
129

Находим длины векторов fh = /2, £2 = *—*>/2/4 и	= 1 —4^-+- Ю/*/3;
Таким образом, векторы ех =&/| Ui I = V 5 **, е8 = ga/| g21 = V 3 (4—5/2),
*s=ga/|gs| — 3—l2f+10f8, образуют ортонормированный базис. Д
585.	При каком значении X базис, образованный векторами
8l = ^е1 + е2 + е8 + е4» бя = е1 + ^2 + е8 + е4» Йз = е1 + е* + ^Э + в4» б« 2=5
=ei + ef+ es + Xe4l является ортогональным? Нормировать этот базис.
Д Из условия (е/, е*) = 0 (при i Ф k) получаем уравнение Х+Х+1 + 1=0.
Следовательно, Я,= —1 и gi= —ci + e2 + c8+e4, ga = *i—с* + ез + е4, gs =
= ®i + e* — e*+e4, g4 = ei + eg+es—e4, | g/1 = Y" 1 +1 +1 +1 = 2.
Таким образом, векторы e'= 0,5 (—ej + e2 + es+ e4), e^ =0,5 (e*—e* + es+e4),
e' = 0,5 (ei+e2—ej+eJ, e^ = 0,5 (ei + e2 + es—образуют ортонормированный
базис. Д
586.	При каких значениях а и Р базис, образованный векторами
el =уе!	+ Ре,, е,= е^ + ре,+у est е; = Рех + -уе, +
+ ,1"^а е8» является ортонормированным?
Д Из условий | е' | = 1, (е', t'.) =0 (при i Ф k) получим систему уравнений
/	а2 + (I —а)8+9Р2 =9,
I а(1—а)+ 3(1—а)Р+ЗаР = 0.
Из последнего уравнения находим Р=—а (а—1)/3. Подставив это значение
Р в первое уравнение, имеем
а2+(1— а)3+а2 (1— а2)2 = 9; I —2 (I —а) а+а2 (I —а)2 =9; (I—а + а2)2 = 9.
Так как 1— а+а* > 0 при действительных значениях а, то 1—а + а2=3, т. е.
а2 —а—2 = 0. Следовательно, ai — — I, а2 = 2, рх =—2/3, р2 = 2/3.
Итак, получаем два ортонормированных базиса:
*?’"-тei+fе,-т*»’ е<” =Tei_T е,~Те,(
2	1 2
e»I) = --3 ‘i"е,+у*„
e<*» = lei—L ^+1*,, ,<»>= —J- ех+|е,+|е„ е<*>=| *+| е, -± е3. А
2.	Ортогональные преобразования. Линейное преобразование А евклидова про¬
странства называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведе¬
ние любых двух векторов х и у этого пространства, т. е. (Ах, А у) = (х, у). Длина
вектора х при этом не изменяется, т. е. |Ах| = |х|. Таким образом,
(х, у) (Ах, Ау)
I ХМ.У I | Ах | | Ау | '
Из последнего равенства следует, что ортогональное преобразование А не изме¬
няет угла между любыми двумн векторами х и у.
130

Ортогональное преобразование переводит любой ортонормированный базис
в ортонормированный. Наоборот, если линейное преобразование переводит какой-
шнбудь ортонормированный базис в ортонормированный, то оно ниляется орто¬
гональным.
587.	Является ли ортогональным преобразование, переводящее
каждый геометрический вектор в вектор, симметричный относительно
■екоторой фиксированной плоскости?
588.	Является ли ортогональным преобразование, заключающееся
■ повороте любого вектора, лежащего в плоскости хОу, на фикси¬
рованный угол а?
589.	При каких значениях А, преобразование А, определяемое
равенством Ах = Ях, является ортогональным?
590.	Является ли ортогональным преобразование А, определяе¬
мое в каком-нибудь ортонормированием базисе е*, е„ е, матрицей
(ац aia ai3\
(hi at2 a„ ), если auati + ая1а^ + asia3i = 0, auals -f- aalaJ3 +
a3i a32 ^33'
+ Cg га39 = 0,	-j- ^22^23 "f* a32a33 = 0f ah -f - d\x -J- a31 = 1» a\a + й \2 ~b
+ a\2 = 1, a\3 -j- о\з “Ь Язз = 1 ?
591.	Является ли ортогональным преобразование Ах = — 5xei +
+	+	£«е4,	где х =	+ £,еа + £3е3 + £4е4 —произвольный
вектор, а в!, es, е3, е4—ортонормированный базис?
592.	Пусть elt е2, е3, е4, е8, ев—ортонормированный базис. Дока*
зать, что А—ортонормированное преобразование, если Ае, =et,
Ае*= — е„ Ae3 = e3cosa + e4sina, Ае4 = —e3sina-|-e4cosa, Ае5 =ч
= e5cosp + eesinP, Ае„ = —essinP-f e„cosp.
| 7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Квадратичной формой действительных переменных х2, . •., хп называется
многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий сво¬
бодного члена и членов первой степени.
Если /(*!, х2, хп)—квадратичная форма переменных х±, x2t ..., хп> а
1—какое-нибудь действительное число, то / (Я*ь Хх2, ...Д*«) ~K2f (xit x2t ..., хп).
Если п = 2, то
{(xi* х2) — йцх\ + 2ai22XiX2+£22*2-
Если л = 3, то
f (х 1, x2i ха) — ацх\ -f- ^22^2+^33^3 2ааххх2 + 2013*1*3 -f- 2а2з^2-х'3‘
В дальнейшем все необходимые формулировки и определения приведем для
квадратичной формы трех переменных.
Матрица
(ац ац ais\
flfll а22	а23
asi #82	fl33/
j которой од=аде, называется матрицей квадратичной формы f (**, x2f х3), а
соответствующий определитель—определителем этой квадратичной формы.
Так как А—симметрическая матрица, то корни	и	Я3	характеристиче¬
ского уравнении
Дп—^ ai2	ai3
а21	й22—^	^23	=0
Дз< ап с за—^
являются действительными числами.

Пусть
е' = 6iiCi+&aiea+bsiti ,
®2 = ^I2el + &22e2 + ^32C8 *
= bisti + 62se2 + ^S3®8
—	нормированные собственные векторы, соответствующие характеристически
числам kit к2, кз в ортонормнрованном базисе [е*, еа, с9. В свою очередь» вв-
торы е', е', е' образуют ортонормнрованный базнс. Матрица
fbit bi% bi9 \
Я = ( b%i b2г Ьг% J
\b9f b32 b9s /
является матрицей перехода от базиса ei, e2v е3 к базису е*, е', е*.
Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормирован¬
ном у базису имеют вид
xi = bi хх[+Ь1гх'л+Ьцх\*
Х2 = ЬцХ' + ^22^2 Н“ ^***8 •
xs =	+ ЬпХ'2+Ь99х'♦
Преобразовав с помощью этих формул квадратичную форму f {xu х2, х3), полу¬
чаем квадратичную форму
f(*v хг>	+\tX *,
не содержащую членов с произведениями х'х^, х^х^ х’%
Принято говорить, что квадратичная форма / (хъ дс,, х3) приведена к кат*
ническому виду с помощью ортогонального преобразования В. Рассуждения про¬
водились в предположении, что характеристические числа А*, Х%, кз различны.
При решении задач будет показано, как следует поступать, если среди характе¬
ристических чисел имеются одинаковые.
593.	Привести к каноническому виду квадратичную форму
f — 27х\ —10*!*,, + 3jcJ .
Д Здесь ап = 27, а12 =—5, а22=3. Составим характеристическое уравнена*
|27~5 3“® [ = 0, или Л»-30Л+56=0,
т. е. характеристические числа A,i = 2, А* = 28.
Определяем собственные векторы. Если к=2, то получаем систему уравиеетй
(	25|,-5Ь = 0.
\ -5|i+ |2=0.
Таким образом, S*=5£*. Полагая £i=c, имеем |а = 5е, т. е. собственный вектор
и=с(«1 + 5е2).
Если Я.=28, то приходим к системе
( -Si- 5Ь = 0.
\ -5Ь-25|,=0.
В этом случае получаем собственный вектор v=c(—5ej-f е,).
Для того чтобы пронормировать векторы и и V, следует принять {»
= l/V’l, + 5i = l_/fr26- Итак, мы нашли нормированные собственные векторы
ei = (ei+5e2)/^26, e; = (-5ei+e2)/^26.
Матрица перехода от ортонормированиого базиса ei, е* к ортоиормировав-
ному базису е', е^ имеет вид

Отсюда получаем формулы^преобразования координат: *1=(1/^2б) jcl—(5/1^26) х'2,
*1 = (5/V26)	+	(l/^26)	x'f	Таким	образом,
27	~ 10(^'26'tl — ^26 *а ) ( ^26 К26 **
+3(7!**+7i*0 =2,:^+2&г»*-
Этот результат можно было получить’сразу, так как / —
594.	Привести к каноническому	виду квадратичную	форму
/ — 2х\ + SXiXg -|- 8х* •
Д Здесь 011 = 2, aia=4, аа2 = 8. Решаем характеристическое уравнение;
Определяем собственные векторы. При Х = 0 получаем систему
f 2£i+4ga = 0,
I	4|i+8ga-0,
которая имеет решение Ei = 2c, g2 = —с, т. е. u=c(2ei—еа).
При Х=Ю имеем
I	-8|i + 462-0,
I	4gi_2g2=0.
откуда 5i = c, £2 = 2с, т. е. v=c (e_i + 2ea).
Приняв 1/)^22+12 = 1/У^5 , находим	нормированные	собственные	век-
торы ei=(2ei—е,)/^, ei = (ei+2e,)/V" 5.
Матрица перехода к новому базису (матрица ортогонального преобразования)
имеет вид
/ 2 /У5	1/]Г5\
\-1/^5	2/^5/
Формулы преобразования координат запишутся так:	—	(2/1^5)	Х\	-f-
+ (\lV'b)xt, дг2= — (l//'5') xi+ (2/ У 5) х'2. Следовательно,
/
Эту задачу можно решить проще. Заметим, что / = 2 (*i+2*2)2; поэтому
можно принять *i = (*i+2*a)/yrl +4 = (*i + 2*2)/5 , x1 — (2xi—x2)lV^5 (вто¬
рое равенство написано с учетом ортогональности преобразования). Так как
*1+2*2= ^5 x%t то f = \0xi . Д
595.	Привести к каноническому виду квадратичную форму
/= Зх? + 2*5+х} + 4*!*а + 4*а*8.
Д Здесь ед = 3, а22 = 2, д3з = 1. ai2 = 2, ai2~ 0, аа2 = 2. Составляем харак¬
теристическое уравнение
3—А. 2	0	л
= 0; (3—Я) (2—X) (1—X)—4(1—Х)+4 (3—Х)=0;
2	2—к 2
0	2	1—	X
133

ч
(
(3—A.) (2-to (1-Х)—8 (2—X) = 0; 2—А.) (X*—4Х+3—8) =0),
(2—Я) (X»—4Х—5)=0; Xi = 2, ^ = — 1, Х* = 5.
Определяем собственные векторы, соответствующие найденным характеристиче¬
ским числам. Для определения координат собственных векторов получаем три
системы линейных уравнений:
1)	Х=2,	2)	— 1,	3)	А,=5,
1х+2Ь=0,	(	4£х+2£2=0,	{	-2|i+2|a=0,
2|х+25з=0,	\ 2|1+3|2+2|з=0.	{	2|i-3g,+26,=0,
2|«—Ss = 0;	I	2£а + 2|, = 0.	^	2?а-4|а=0;
£i = 2c, £3 =—с, 13 =—2ct £i = с, ^2 = —2с» 6s ==2с, £i — 2с, £2 ^ 2с, £з — £»
u=c(2ei—еа—2es), v=c (ei—2еа+2е3), w = c (261+26!+e3),
e' (2e*—e2—2e3); e' =-g- (ej—2t^ + 2e3); e' = -g- (2е* + 2ea + вд).
Матрица ортогонального преобразования имеет вид
/	2/3	1/3	2/3\
В = ( —1/3 —2/3 2/3].
4—2/3	2/3	1/3/
Формулы преобразования координат таковы: *i = (2/3) *J+(l/3) *' + (2/3)*Jf
***=—(1/3)*;-(2/3) х'2 + (2/3)	= —(2/3) х[ + (2/3) ^ + (1/3) ^.Следовательно.
/=2*;в-*;*+5*;а. ▲
596.	Привести к каноническому виду квадратичную форму
/ = 6xJ + 34 + Зх\ + Ахгх% + 4*1*3 вх^д.
Д Здесь од=6, <*22 = 3, а33 = 3, 0*2 = 2, Дхз=2* о*а = —4. Решив характе¬
ристическое уравнение
6—X	2	2
2	3—X —4	=0,
2	—4	3—%
находим характеристические числа А* = >^ = 7, А* =—2.
При Х=7 приходим к системе
( —61+2|2+26з = 0,
{	2Ь-4Ь-4Ь	=	0в
I 2£i—4|а—4|з = 0,
которая сводится к одному уравнению £i = 2£a+2£3- Решение этой системы можно
записать в виде ^ = 20+ 26, |2 = а, |3 = 6. В результате получаем семейство соб¬
ственных векторов u = 2(a+6) ei+ae2+^e3, зависящее от двух параметров а и 6.
При %=—2 получаем систему
( 8£i+2|2 + 2£3 = 0,
{ 2£i + 5g2—4£3 = 0,
V	2£i—4£a-J-5£3 = 0.
Решив, например, два последних уравнения, имеем gx/9 = 2*/(—18) = §з/(—18).
или h = —6а/2=—ёз/2; 5i = c, 62 = —2с, £3 = —2с, Таким образом, получим
однопараметрическое семейство собственных векторов v = с (ei—2е*—2е3).
Из семейства собственных векторов и =2 (а+6) ei + eej+tes выделим два
каких-нибудь ортогональных вектора. Полагая, например, а = 0, 6=1, получим
собственный вектор ui=2ei + e8. Подберем параметры а н b так, чтобы выполня¬
лось равенство (u, Ui) = 0. Тогда получим уравнение 2-2 (а+6)+6 = 0, т. е.
4а+56 = 0. Теперь можно принять а = 5, Ь = —4; отсюда находим другой собст¬
венный вектор рассмотренного семейства: u2=‘2ei+5ea—4е3.
Итак, мы получили три попарно ортогональных вектора: Ui = 2ei+es*
u2 = 2ei + 5ea—4е3, v = ei—2е2—2е3. Собственные векторы Ui и и2 соответствуют

характеристическому числу Х=7, а собственный вектор v—характеристическому
числу —2 при с— 1.
Пронормировав эти векторы, получим новый ортонормированный базис, при*
чем матрица перехода к новому базису имеет вид
/2/VW	2/(3yT) I/3N
В=( О	У 5/3	—2/3
\1/^5	—4/(3	-2/3/
Применив формулы преобразования координатXi=(2/y~5) *1+(2/(3 V?)) ж*+
+ (1/3)*;,	*,	=	(1^5/3)'*;-(2/3) 4, Хз = (1 / Vf5) *; - (4/(3 V^5))	- (2/3) 4
к заданной квадратичной	форме, получаем /=7х'1л+7х'1'-2х'91.	А
597.	Привести к	каноническому виду уравнение	линии 17** +
+ 12ху+8у*—80 = 0.
Д Группа старших	членов уравнения образует квадратичную форму
\1хг-\-\2ху-\-Ъу% с матрицей Д =	.Составим	характеристическое	уравнение
|,7ГХ „ 6, 1=0, или X*—25Х+100 = 0,
|	6	8 — А. |
т. е.	характеристические числа ^ = 5, Яа — 20. Следовательно, квадратичная	форма
17*2+12ху-\-8у%	преобразуется к каноническому виду 5x'*+20y'*t	а	данное	урав¬
нение—к виду
5* +20у'2—80 = 0, или х'1/\6+у'2/4=\,
т. е. заданная линия является эллипсом.
Найдем базис, в котором уравнение эллипса принимает канонический вид,
для чего определим собственные векторы.
При Х=5 имеем систему уравнений |	6я = “25*. По-
дагая %i=c, получим 6а =—2с, т. е. собственный вектор u=c(ei—2е*).
При Х=20 имеем систему |	л*	0ТКУДа	61 = 262* т. е. собствен-
I bfei — 12fea = o,
ный вектор V —c(2ef+e8).	_
Приняв с—\]У li+22==l/Vr5 , находим нормированные собственные векторы
el = (ei-2ea)/^5 и ej = (2е*+е2)/^5 .
Матрица ортогонального преобразования имеет вид
/ МУЪ 2/^5 \
\-2/У5 1/У5 /
Формулы преобразования координат запишутся так: х=(1/У5)х’-\-(2/У5)^,
у=_(2/^5) х' + (1/У5)д’. Следовательно,
17**+ 12ху+8у*—80=у (*' +2у')*+
+ [1(х,+2у>) (—2х’ +/)+-| (—2х,+у’)*—80=5*'*+2ty'*—80.
Этот же результат можно было получить сразу, как только были найдены
U и X,: XiJ^+W'*—80=0. А
Привести к каноническому виду уравнения линий:
598.	6ж*+2К5 ху+2у*—21 =0.	599. 4дсу+3у*+16 = 0.
600.	ху+1у%—44=0.

ГЛАВА VI
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ
Пусть а — приближенное число, заменяющее собой в вычислениях точное
число А.
Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется абсолютная
величина разности между ним и соответствующим точным числом: | А—а |.
Предельной абсолютной погрешностью называется возможно меньшее число А,
удовлетворяющее неравенству | А—а | <; Д.
Точное число А находится в границах а—Д^Л^а+Д, или А —а ± Д.
Относительной погрешностью приближенного числа а называется отношение
абсолютной погрешности этого числа к соответствующему тачному числу:
\А—а\/А.
Предельной относительной погрешностью называется возможно меньшее
число б, удовлетворяющее неравенству \А— а|/Л^6.
Так как практически А « д, то за предельную относительную погрешность
принимают число 6 = Д/а (выражаемое обычно в процентах).
Справедливо неравенство а( 1—6) <: Л а (1+б).
Говорят, что положительное приближенное число д, записанное в виде деся¬
тичного разложения, имеет п верных знаков (цифр), если абсолютная погрешность
этого числа не превышает половины единицы я-го разряда.
При п > I за предельную относительную погрешность приближенного числа а
то число а имеет п верных знаков.
Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чисел
рапна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.
Относительная погрешность суммы положительных слагаемых ие превышает
наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.
Предельная относительная погрешность произведения и частного приближен¬
ных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей этих чисел.
Предельная относительная погрешность степени приближенного числа равна
произведению предельной относительной погрешности этого числа на показатель
степени.
601.	Угол, измеренный теодолитом, оказался равным 22°20'30"±
±30". Какова относительная погрешность измерения?
Д Абсолютная погрешность Д = 30\ Тогда относительная погрешность
602.	Определить число верных знаков и дать соответствующую
запись приближенной величины ускорения силы тяжести g = 9,806 ...
при относительной погрешности 0,5%.
с первой значащей цифрой k можно принять число
Если известно, что
О)
« Д _ зо»
а ~22^0'30”
•100% = 0,04%. А
136

Д Так как первая значащая цифра есть 9, то, воспользовавшись неравенств
вом (1), получим 0,005<5^0* т- е* п = 2- Значит, £=9,8. А
603.	Известно, что предельная относительная погрешность числа
V19 равна 0,1%. Сколько верных знаков содержится в этом числе?
Д Здесь первая значащая цифра есть 4, предельная относительная погреш-
I / | \л-1
иость 6 = 0,001 = Ю“8. На основании неравенства (1) имеем 0,001 <^5 * I Тб J *
откуда я = 3. Следовательно, УТ9 = 4,36 (по четырехзначным таблицам ^19 =
= 4,3589). А
604.	Сколько верных знаков содержит число А = 3,7563, если
относительная погрешность равна 1%?
1 I 1 Л"-1
Д Первая верная цифра есть 3, поэтому 0,01 <27?* ( jq )	*	откуда	я	=	2.
Число А следует записать так: А = 3,8. Д
605.	Площадь квадрата равна 25,16 см* (с точностью до 0,01 см*).
С какой относительной погрешностью и со сколькими верными зна¬
ками можно определить сторону квадрата?
Д Искомая сторона х=Y25,16. Относительная погрешность стороны квадрата
б = (1/2)*(0,01 /25,16), где 0,01 — абсолютная погрешность площади, т. е. 6 = 0,0002.
Первая значащая цифра числа, измеряющего сторону квадрата, есть 5. Решив нера*
венство (1) при fc = 5, получим (5-f-1)*0,0002^ 1/10”-1, или 1,2*Ю-3»^ 1/Ю«—
Отсюда я = 3. А
606.	Со сколькими верными знаками можно определить радиус
круга, если известно, что его площадь равна 124,35 см* (с точнбстью
до 0,01 см2)?
607.	Найти предельную относительную погрешность при вычисле¬
нии полной поверхности усеченного конуса, если радиусы его основа¬
ний Я = 23,64 ±0,01 (см), г = 17,31 ±0,01 (см), образующая / =
= 10,21 ±0,01.(см); число я = 3,14.
608.	Число g = 9,8066 является приближенным значением уско¬
рения силы тяжести (для широты 45°) с пятью верными знаками.
Найти его относительную погрешность.
609.	Вычислить площадь прямоугольника, стороны которого 92,73±
±0,01 (м) и 94,5 ±0,01 (м), Определить относительную погрешность
результата и число верных знаков.
| 2. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Действительными (или вещественными) числами называются рациональные и
иррациональные числа. Множество всех действительных чисел обозначается бук¬
вой R. Каждое действительное число может быть изображено точкой на числовой
прямой.
Пусть даиы два непустых множества X и У. Если каждому элементу х из
множества X по определенному правилу ставится в соответствие один и только
один элемент у из У, то говорят, что иа множестве X задана функция (или отоб¬
ражение) со множеством значений У. Это можно записать так: x£Xt X —► Y нли
/: X —* К, где множество X называется областью определения функции, а мно¬
137,

жество К, состоящее из всех чисел вида y — f(x)f —множеством значений функции.
Если у является функцией от *, то пишут также y~f(x) или у — <р(*). Буквы f
или ф характеризуют то правило, по которому получается значение у, соответст¬
вующее заданному аргументу х. Область определения функции f обозначается че¬
рез D(f)t а множество значений—через £(/). Значение функции f (х) при *=0,
где a^D(f)b называется частным значением функции и обозначается / (а).
Область определения функции в простейших случаях представляет собой: ин¬
тервал (открытый промежуток), ]а, Ь[, т. е. совокупность значений х, удовлетво¬
ряющих условию а < х < Ь\ сегмент (отрезок или замкнутый промежуток) [а, Ь]9
т. е. совокупность значений х, удовлетворяющих условию а ^х^, Ь\ полуинтервал
]at b] (т. е. а<х^Ь) или [а, Ь[ (т. е.	<	Ь)\	бесконечный	интервал
\а, + оо| (т. е. а < х < + 00) или ] — оо, Ь{ (т. е. —оо < х < Ь) или ] — оо, +
(т. е. —оо < х < + оо); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.
Основными элементарными функциями называются следующие функции:
П степенная функция у-х**, где <*£R;	„
2)	показательная функция у=ах, где а—любое положительное число, отличное
от единицы: а > 0, а Ф 1;
3)	логарифмическая функция у— \ogax, где а—любое положительное число,
отличное от единицы: а > 0, а Ф 1;
4)	тригонометрические функции у = sin xt у = cos х, у = tg xf у — ctg х, у = sec х,
у = cosec х\
5)	обратные тригонометрические функции у = arcsln х, у = arccos xt y = arctg х,
у — arcctg*.
Элементарными функциями называются функции, получающиеся из основных
элементарных функций с помощью четырех арифметических действий н суперпо¬
зиций (т. е. формирования сложных функций), примененных конечное число раз.
Примером иеэлементарной функции может служить абсолютная величина (мо¬
дуль) действительного числа х:
. .	{	х при *^0,
у — \х\ = <	г	'
1	\	—х при х < 0.
Геометрически |*| равен расстоянию на числовой прямой от точки с координатой
х до начала отсчета. В общем случае | х—а | есть расстояние между точками с
координатами х и а.
Графиком функции y = f(x) называется множество точек плоскости хОу с коор¬
динатами (х; /(*)), где x£D(f).
Функция f (х), область определения которой симметрична относительно нуля,
называется четной (нечетной), если для любого значения x£D(f) f(—x) = f(x)
[соответственно / (— х) — — / (*)]. Г рафик четной функции симметричен относительно
оси ординат, график нечетной функции— относительно начала координат.
Функция f(x) называется периодической, если существует такое число 7V0, что
для любых xeD(f), х-7Че£>(/), x+TeD(f) выполняются равенства /(*)«/(*-Т)~
ж/(дс+7). Основным периодом функции называется наименьшее положительное чис¬
ло т, обладающее указанным свойством.
.610. Найти	f(x)~x2.
Д Найдем значения данной функции при х — а и х = Ь: /(а)=аа, f(b) = b*.
Тогда получим
b—а	b—а	1
х	2
611.	Найти область определения функции f(x) = -^x ~у.
Д Данная функция определена, если 2х — 1 ф О, т. е. если х Ф 1/2. Таким
образом, областью определения функции является объединение двух интервалов:
л(/)-(-ао, l/2)U(l/2. +00). А
612.	Найти область определения функции f(x)~
138

Д Функция определена, если х—1 Ф О и 1 +дг > 0, т. е. если х Ф 1 и х > —1.
Область определения функции есть объединение двух интервалов: D (/) =
-(-1, DUO. +°°)* А
613.	Найти область определения функции
f (дс) = У 1— 2х+3 arcsin
Д Первое слагаемое принимает действительные значения при 1—2дг^0, а
второе—при—1^(3*—1)/2^1. Таким образом, для нахождения области опре¬
деления заданной функции необходимо решить систему неравенств: 1—2*->s0,
(3*— 1)/2^ 1; (3*—1)/2^ — 1. В результате получаем х*^ 1/2, х^ 1, х^—1/3.
Следовательно, область определения функции есть отрезок 1—1/3, 1/2]. ^
614.	Найти множества значений функций:
1) /(*) = **—6*+ 5; 2) f(x) =2 + 3 sin х.
Д (1) Выделяя нз квадратного трехчлена полный квадрат, получим / (*) =
—	х2—6*+9—4 = (*—3)а—4. Первое слагаемое при всех х является неотрица¬
тельным числом, поэтому функция принимает значения, не меньшие—4. Итак, мно¬
жество значений функции—бесконечный промежуток [—4, + ао).
2)	Так как сииус принимает значения, не превосходящие по модулю единицы,
то получаем неравенство | sin х | ^ 1, ил и — 1 sin х < 1. Умножив все части этого
двойного неравенства на 3 и прибавляя к ним по 2, имеем—3«^3slnx«^3*
—	1	2+3 sin х^5. Следовательно, £(/) = [ — 1, 5J. Д
615.	Найти основные периоды функций:
1) / (х) = cos 8лг; 2) / (х) = sin 6* + tg 4х.
Д 1) Так как основной период функции cos* есть 2я, то основной период
функции /(*) = cos8x равен 2я/8, т. е. я/4.
2)	Здесь для первого слагаемого основной период равен 2я/6 = я/3, а для
второго он равен я/4. Очевидно, что основной период данной функции есть наи¬
меньшее общее кратное чисел я/3 и я/4, т. е. я. Д
616.	Установить четность или нечетность функций:
l)7(x)s=jca^+2sinjr, 2) /(дг) = 2* + 2-*;	3)	f(x)	=	\xf—5е**;
4) f(x) = x* + 5x; 5) /(*) = lg£±§.
Д В рассматриваемых примерах область определения каждой из функций
симметрична относительно нуля: в первых четырех примерах D(/) = (— 00, +00),
а в последнем примере D(f)= (—00, — 3)(J(3, + оо).
1)	Заменяя хна —х, получим /(— х) = (•—*)* jj/ (— *) + 2sin (—х) = — х3у/ х —
—	2sin*, т. е. f (— х) = — /(*). Значит, данная функция является нечетной.
2)	Имеем /(— х) = 2-* + 2"<-*> = 2~* + 2*, т.е, /(—*)=/(*). Итак, данная
функция—четная.
3)	Здесь / (—х) = \х\ — 5е(~*>2 = | х\ — 5e*2f т.е. /(—*)=/(*)• Следовательно,
/ (х)—четная функция.
4)	Имеем }(—х) = (—*)* + 5 (—х)=х2—5х. Таким образом, /(— х) ф f (х) и
f(— х) Ф—/(*), т.е. заданная функция не является ни четной, ни. нечетной.
5)	Находим
,	.	—х+3	|	х—3	*	(х+3 \	I	х~-}-3
^(—*)	g —х—3	gI+3=	6	(*—3/	=_	g^=3’
т.е. f (— х) = — f (ж), и, следовательно, данная функция—нечетная. Д
139

617.	Найти области определения функций:
1) /(*)= К4—** + -£-; 2) /(*) = arccos(-| —l);
=	5 )/<*> =
3)	/(*)=4-;
xe*
2*a + 3
*——4
r
6)	/(*) = lg(3jc—l) + 21g(jc+l); 7) /(*)=)/ jz*~Ksinjc.
618.	Найти множества значений функций:
1И(*) = И + 1: 2) /(*) = 5/jc; 3) / (*) = К'Тб^;
4) / (дс) = — jc* -f- 8лс-—13; 5) / (дс) = 1—3cosjc; 6) / (дс) = 4-**.
619.	Установить четность или нечетность функций:
1)	f(x) = xisin7х\ 2) /(jc) = 5|*| —Зъ/7\ 3) /(л:) = jc4—Злг* + дг;
4)	Д*) = И + 2; 5) / (лс) = | * + 21; 6) / (дс) = lg cos jc;
7)	f(x) = ^.
620.	Найти основные периоды функций:
!)/(*) — sinSjc; 2) /(jc) = — 2cos(х/3) + 1;
3) f (x) = lg cos 2x\ 4) f (x) = tg 3x + cos 4x.
S 3. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
При построении графиков функций применяются следующие приемы: построе¬
ние «по точкам»; действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графи¬
ков); преобразования графиков (сдвиг, растяжение).
Исходя из графика функции y=f(x), можно построить графики функций:
—а)—первоначальный график, сдвинутый вдоль оси Ох на вели¬
чину а;
2)	y~f(x)-\-b—тот же график, сдвинутый вдоль оси Оу иа величину Ь\
3)	у —Af (х)—исходный график,
растянутый в А раз вдоль оси Оу.
4)	y = f(kx)— тот же график, рас¬
тянутый в \/k раз вдоль оси Ох.
Таким образом, можно по графи¬
ку функции y = f(x) построить график
функции вида y=Af [k(x—а)] + Ь.
621.	Построить график функции у = 2дг+1 +cos х.
Д Г рафик дайной функции можно построить сложением графиков двух функ¬
ций: у=2х-]-1 и у = cos*. График первой функции есть прямая, ее можно по¬
строить по двум точкам, график второй функции—косинусоида (рис. 23). А
140

622,	Построить график функции
(2—х при
\0,1лс* при
дс> 3.
Д При х<3 графиком является луч, а при х^З—ветвь параболы. Иско¬
мый график изображен на рнс. 24. Д
623.	Построить график функции у = 2 sin (2*—1).
Д Преобразуем данную функцию к виду y = 2sin 2 (х—1/2). Здесь Л = 2,
4 = 2, а =1/2. В качестве исходного возьмем график у=sin*. Затем строим гра¬
фик функции у=sin 2л: сжатием вдоль оси абсцисс в два раза. После этого стро¬
ям график функции y=sin2(*—1/2) сдвигом на 1/2 вправо и, иакоиец, растяже¬
нием в два раза вдоль оси ординат последнего графика получаем искомый график
функции y = 2sln (2др—1) (рис. 25). Д
Построить графики функций:
624.	у = — на отрезке [—4, 4].
625.	у = х2(2—ху на отрезке [—3, 3].
626.	y = Vх+У~4—х в области определения.
627.	у = 0,5х + 2~* на отрезке [0, 5].
628.	у = 2(х—I)8, исходя из функции y = jс*.
629- У = ~хqr- 630. У =
631. у = sin(3x—2) + 1.	632. у = — 2cos(2*+1).
633.	y = arcsin(x—2).
634. у = х+\ 4-sin(jc—1).	635. у = sin*-f cos*.
f-x* при дс < 0,	4~х ПР« *<“!»
636. у=[ 0	637.	у	=
* t 3* при х>0.	*
5 при — 1 <; дс^О,
дс*4-5 при дс > 0.
141

§ 4. ПРЕДЕЛЫ
Число а называется пределом последовательности х\%	...	,	хПУ... , если
для всякого сколь угодно малого положительного числа е найдется такое поло¬
жительное число N, что | хп—а | < е при п > N. В этом случае пишут limxrt=a.
л—►<»
Число А называется пределом функции f(x) при х—если для любого
сколь угодно малого е > 0 найдется такое о > 0, что | / (х)—А | < е при 0 < | х —
—	а | < 6. Это записывают так: Пт/ (х)=*А.
х-+а
Аналогично lim / (х) — At еслн | / (дг) — ^4 | < е при | х \ > N.
X—*-QD
Условно записывают Нш / (х) = оо, если | / (х) | > М при 0 < | х—а | < 6, где
х -+а
М—произвольное положительное число.
В этом случае функция f (х) называется бесконечно большой при х—►а.
Если lima(x) —О, то функция а(х) называется бесконечно малой при х—
х-+а
Если х < а их —► а, то употребляют запись х —► а—0; если х > а и х —► а
—	запись х—0. Числа /(a—0)= lim f (х) и /(а+0)= lim / (х) называются
x-HJ-0	х-»а + 0
соответственно левым и правым пределом функции / (х) в точке а.
Для существования предела функции / (х) при х —► а необходимо и достаточ¬
но, чтобы /(а—0)=/(а+0).
Практическое вычислевие пределов основывается иа следующих теоремах.
Если существуют lim / (х) и lim g (х), то
1)	lim [/(*)+g(*)] = lim f (x) + limg(*)3
x-*-a	x-+a	x-+a
2)	lim If (x)-g (ж)] = lim / (*)• lim g (x);
x-+a	x-+a	x-+a
li mf(x)
3)	Jim li^- =
Используются также следующие пределы:
Um ?ta,*..==i (первый замечательный предел);
Jt-О х
lim f 1-j-—) = lim (l-fa)I/a =£ = 2,71828... (второй замечательный предел).
л:-*-*»\ X J a-*o
Логарифм числа x по основанию е называется натуральным логарифмом и
обозначается \пх.
При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:
lim !°<■+»-!, lim i2^l=ln«. lin, »
Х-+0	X	х->0	X	x-+Q	X
638.	Показать, что при п—* оо последовательность 3, 2-i-, 2-g-,
2-j, ... , 2 + ■jj- , ... имеет пределом число 2.
Д Здесь rt-й член последовательности есть х„ = 2+1 /п. Следовательно, хп—
—	2= 1/л. Зададим заранее положительное число е. Выберем п настолько боль¬
шим, что будет выполнено неравенство 1/я < е. Для этого достаточно принять
п > 1/е. При таком выборе п получим \хп—2| < е. Значит, limx„ = 2. А
639,	Показать, что при л —►оо последовательность 7/3, 10/5,
13/7, ... (Зп + 4)/(2п+1), ... имеет пределом число 3/2.
Д Здесь	3/2 = (3n + 4)/(2n+l) — 3/2 = 5/[2 (2n+1)J. Определим, при ка¬
ком значении п выполняется неравенство 5/[2 (2я+1)] < е; так как 2(2п+1) >
142

> 5/е, то л > 5/(4 е) —1/2. Итак, если п > 5/(4 е) —1/2, то |хя—3/2 |<е, т. е.
lim *=3/2.
Л-f®
Полагай е = 0,1, заключаем, что неравенство |хЛ—3/21< 0,1 выполняется
при л > 12 (например, при я =13), Аналогично, неравенство |х„—3/21< 0,01
выполняется при п> 124,5 (например, при п = 125), а неравенство |хл—3/21 <
<	0,001—при п > 1249,5 (например, при я = 1250). Д
Найти следующие пределы:
640.	Jim £±f.
x-+i **+*
Д Так как х—^4, то числитель дроби стремится к числу 5*4+2 = 22, а зНа«
5х -I- 2	22
менатель—к числу 2*4+3=11. Следовательно, lim . .. *7.—— 2. ^
*-►4 2х-{-3	11
«'■ г>
Д Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при х—► ».
В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида оо/оо. Разделив
на х числитель и знаменатель дроби, получаем
lim %*+-5= lim 3+5/х-==1,
2х + 7 х->оо 2+7/х	2
так как при х —► оо каждая из дробей 5/х и 7/х стремится к нулю. Д
в42- ““yEil-
х-*-3 * , ал
Д Здесь числитель и знаменатель дроби при х—►З стремятся к нулю (не¬
определенность вида 0/0). Имеем
**_9	(х—3) (х+3) лг+ 3 .
х2— Зх	х(х—3)	х *
если ж 3, то lim -^.TijLas lim . Но при х—>-3 дробь	стремится к
—Зх	х	р	F х F
«ЦТ 2+2=2. Итак,	А
Д Здесь имеет место неопределенность вида 0/0. Разложим иа множители
числитель и знаменатель дроби:
lim *»-**—*+!_ цт ** (*	1)	(*	1)_
jc->1X®-{-X*—X—1	х-*	1 X* (X-}- 1)—(X-j-1)
^ lim fclUlii+LU lim £ni °=0. ±
x-+l (•*—1)(л-(-1)* jc—*■ 1	2
**— 1000
644*Jlu) **—20x»-h 100jc *
Д Это—также неопределенность вида 0/0. Имеем
lim х»—1000	,1>п	(*— Ю) (■**+10*4-100)	.*+№*+109
*-►№**—20**+100*	*(*—10)*	*-ио	дг	(х—10)
143

Числитель дроби стремится к 300, а знаменатель стремится к нулю, т. е. яв¬
ляется бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь—бес-
я3—1000	а
конечно большая величина и Ьш ——-— 	=оо. ▲
х->ю х?—20х2+100*	ш
645.	Иш ^*+4~2 .
х~+- 0	х
Д Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму У~х+4 + 2:
(У7+4-^(У7+4+2) _ м„ *+4-4	lim	1	1	А
*-о	х{Ух+\+2)	^ох(угх4-4-}-2)	х-+о	ух+1+2
646.	lim
*-►0
V	(I+*)»-!
Д Положим 1 +*=у5; тогда у—► 1 при *—► 0. Значит,
Um	UmUm *±£±L__.*
X-0	X	y6—1 y-bl j^+i^+jr'+y+l	5
047. limi^.
x-^0	*
Д Используя первый замечательный предел, имеем
lim slnmjc = lim	lim ,sinffU=m. A
jr-M) *	х-*-0	/шс	*-»-o	tnx
M8.
x-^0	*
Д Имеем
lim 1 -cos11m 2sln* $x№—2 lim (5*/2) V=2,/5 у=25 ^
^-►o *a	x->-o	x*	х-*о	\ x /	\	2	/	2
Здесь мы воспользовались результатом предыдущего примера, приняв
щ = 5/2. ^
649 Иш *Ч-2*+а»+«
х".4*»+3«*+2ж+1 *
Д Это—неопределенность вида оо/оо. Разделим числитель и знаменатель дро¬
би на старшую степень х, т. е. на х8:
Um дс*+2**+Злс+4	1 + 2/х+3/**+4/х3	I	.
*->со 4*8+ЗЛ*+2х+1	х-*» 4+3/*+2/**+1 JxP	4
650.	lim	3x4-2
^*»+g*+4 '
Д Разделим числитель и знаменатель на ж4:
lim 3**~2	—	Пт	—. 3—2/*«	._=j.==3.	А
*“►« ^х8+Зх+4	*-►*	|^1+3/*7 + 4/*3	1
651.	lim (KF+8F+3—V#+4x+J).
144

Д Здесь имеет место неопределенность вида оо — оо. Умножим и разделим
данное выражение на
Jim (Vrx2+8x+3—yrx* + 4x+3) =
х-+<х>
= Иш &**+*х+3-Ух*+4х + 3) (Vх*+8х +3 + Ух*+4х+3)
*-+*>	У*г+8x+3+Vx*.+ix+3
= Иш *+*+3-*-to-3 _ lim	**
*-*• Ух*+&х+3+Ух* + 4х+3	*-*••	Ух*+8х+3+Ух*+4х+$
= lim —	4—	_4_9 Д
х-а> у i-\-8lx+3/xi+}/'i+4/x+3/xi	2
Д Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:
х2+5л:+4_1_^ 8х—3
х2—Зх+7 тл;2—Зх-^7 *
Таким образом, при х—► оо данная функция представляет собой степень#
основание которой стремится к единице, а показатель—к бесконечности (неопре¬
деленность вида 1~). Преобразуя функцию так, чтобы использовать второй заме¬
чательный предел, получим
Л(й^)*-Л('+^)*-
Л* — 3* + 7 "1 *(3*~3>
/1 . 8JC— 3	\	8х —3	**-3*+7
(,+,t=s+7,) J
Xе—3*+ 7*1 «,
lO+яЗД '"s J'
= lim
Х-юо
= lim
x-»-®
ё—3/х
-З/х + 7/х*
	з
Так как -=—5—r-=—► () при x—► », to
хг—3*+7	r
x*-3x+7
lim (i + te-3 ^ »*-» ee.
x-^oo \ x —3x-\-7 )
Учитывая, что 11m -—?—5£__—8, находим 11m (V=e*. Д
1— З/х+7/х*.	M	\x*—3x+7j
653.	Найти левый и правый пределы функции / (х) = ^_^21/и-3)
при х—нЗ.
Д Если х—►3—0, то 1/(jt—3)—► —оо и 2,/(х-3)—>-0. Следовательно,
lim /(дс) = 1/3. Если же х—►З+О, то 1/(х—3)—► +<», 2|^л-3)—*■ + оо и
*-►3-0
lim f(x) = 0. А
*-*■3 + 0
654.	Найти левый и правый пределы функции /(*) = е1/(*“а) при
х—►а.
143

Д Если х—► а—О, то 1/(х—а)—►— оо и 11ш f(x)= 0, Если же х—*-а+0,
х~~т — О
то 1 /(*—а) —► +оо и Urn / (х) = 4*00 • А
jr-*a+ О
665. Показать, что при я —►оо последовательность 1/2, 5/3,
9/4, ... , (Ап—3)/(п+1). ••• имеет предел, равный 4.
656.	Показать, что при п—+ оо последовательность 1, 1/3, 1/5,...
..., 1/(2л—1), является бесконечно малой.
Найти следующие пределы:
657.	lim	.	658.	lim +*М~Г±=*±£ .
*-2**—'8*+12	х_0 **—*
659. lim	.	660.	lim
x-+3 x —y	X -► 1	* —
661. lim sln.<a+?ft)-2sM£+ft)+stna, 662. lim^.
h-o	A*	x-»oslnnJC
663. lim lifuliio. 664. lim f*±=£2£i.
ж-**.	*—*0	*-Я/4	я~4л:
ees. lim £4.	6«в.	lim	•
x-+n/2 n	x -►cd *	+7x	1
ф Положить я/2—* = a.
669. lira £j±£±i!zz2. 670. lim	.
*-*-1	*+•	x-+0	*4
671. lim T7==—• 672. limO+H+Zz^HHEE.
673. lim{=^. 674. lim <i£^!££.
*->■0 * C0S	*-*0	**
675. lim !5iL±£!£). 676. lim £±|.
* —J
*-►0
677.	lim (\f хг-{-ах-\-Ь—V x2 + cx + d).
JC-+-OD
678.	lim (sin V x-\- 1—sin К ■*)•
Jt-*CD
679.	lim (v^I+T—^/x). 680. lim
„га "
6*-5*- w‘,> ;“ o In (I +ЛГ) •
683. lim	684.	lim	Vх-'.
X-+0 x	x-*l	X— 1
ф	Положить x = t*.
685. lim . 686. lim
±0 l ж \	r-*0 *	sln ‘
687. lim Slffirffi1*.	688.	lim	10»/(*-»>.
x~* 0 ln(x+l)	x-<-b-0
146

689. lim sin*. 690. lim
jcs—l
x-+m	x-*	1	■**	—	*
691. Найти lira/({/a—1) (где />0).
/-►00
#	Положить X=l//, где x—►О.
“•SitW- 693-]™(1+т)‘
ф Привести дроби к общему знаменателю.
696. lim . 697. lim -n(1^3jc).
X-+\ ХШX	X-bO	x
ф Учесть, что x*=exlnx,
698. Jim ЙЙЙп-* 699. lim
jc*+op	x-+Q	x
700. lim	701.	lim	(2—cosa)co,ec‘a.
x-> <d \x	a-»-0
702. Найти Иш (!£)*“ 70S. lim(4),<'"\
§ 5. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
Пусть а(х) и Р (д:)—бесконечно малые при х—>а.
1.	Если lim (a/p) *= 0, то говорят, что а является бесконечно малой высшего
х-+а
порядка по сравнению с р. В этом случае пишут а = о(р).
2.	Если lim(a/p) = m, где т — число, отличное от иуля,	то	говорят,	что	а	и
х-*-а
р—бесконечно малые одного и того оке порядка. В частности, если IIш (сь/р) = 1,
х-*-а
то бесконечно малые аир называются эквивалентными. Запись а ~ р означает,
что а и р—эквивалентные бесконечно малые.
Если a/р—► оо i то это означает, что lim (p/a) = 0. Таким образом, р	являет¬
ся бесконечно малой высшего порядка по сравнению с а, т.	е.	р = о(а).
3.	Еслн а*	и	р—бесконечно малые одного и того же порядка, причем	k	>	0,
то говорят, что	бесконечно малая р имеет порядок k по сравнению с а.
Отметим некоторые свойства бесконечно малых:
1°. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего поряд•
ка по сравнению с сомножителями, т. е. если *у = ар, то -у=о (а) и у=о (Р)-
2°. Бесконечно малые аир эквивалентны тогда и только тогааЛ когда их
разность а—Р = у является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с а
и р, т. е. если у=о (а), у=о(Р), то а ~ р.
3°. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел
не изменится при	замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей	беско¬
нечно малой, т.	е.	если lim(a/p)=m, a~alf р ~ pi, то lim (ai/p!)=m.
х-*-а	х-*-а
Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых: если
х—► 0, то
sin х ~ х, igx~x, arcsin х ~ х% arctg х ~ х> In (I +*) ~ х.
147

704.	Пусть t—бесконечно малая. Сравнить бесконечно малые
a = 5f* + 2« и р = 3<* + 2*а.
Д Имеем lim 5-=Urn	Um	■Уй4-=4-	•	Так	как	предел	отноше-
t-+0 Р	+	t + О O-j-Zf о
ния а и ресгь число, отличное от нуля, то а ир—бесконечно малые одного я
того же порядка. Д
705.	Сравнить бесконечно малые a = t sin21 и P — 2t sin	t при	t —*0.
Д Здесь lim^==lim^^=~Hnisln f = 0, т. e. a = o(P).	A
706.	Сравнить бесконечно малые a = fln(l+f)» P — fsin/ при
f-^o.
Д Находим
In (1 + 0
Hm « urn ^1Ш) = Ит ИШ=Ига <	i,
,4.0 р /-*о *sta* <-о sta* /-*о £!Lf
t
t. e. a ~ p. Д
707.	Найти
Д Заменим числитмь и знаменатель дроби эквивалентными бесконечными
малыми: In (I -|- Здс stn лс) ~ 3xslnx, tgx*~x*. Тогда получим
,, In (I -f-3je sin jc)	Здс sin x	sin	x	„	.
11m —	'	.	-=Hm 	s—=3 lim	=3. A
*-.0 tg**	x-e x	x
708.	Определить порядок бесконечно малой у = хе* по сравнению-
с бесконечно малой х.
709.	Определить порядок бесконечно малой y — V l + xsinx—1
по сравнению с бесконечно малой х.
710.	Определить порядок бесконечно малой y — Vsin2jt по срав¬
нению с х при х —► 0.
711.	Сравнить бесконечно малые a =t* sin* * и Р = ftg /, если t —*■ 0.
712.	Сравнить бесконечно малые a = (1 + х)т—1 и Р = тдг, если
х —► 0 и т—рациональное положительное число.
713.	Сравнить бесконечно малые a=a*— 1 и р = х In а, если х—*-0.
Найти следующие пределы:
714.	lira Т^|+^~1. 715. lira г"я-гкд.
х_ко,п 0+2*)
ф Заменить числитель
и знаменатель эквивалентными бесконечно малыми.
716. lim	.	717.	lim 2n !)tq~3f^2.
—4*)	*-11п(1+3х—4ж»+х»)
718. lim г^Цг. 719. lim
,-►0 ,п (1+* )
ф Представить cos х в виде
1 — (1 —COS JC).
148

720. lira——. 721. lira (5a.-.l)(4a~|).
(i + ^)/(i4.x)2_i	o-o(3a—l)(6a— 1)
722.	«« V8+3x~2
у l6-j-5x—2
Ф Разделить иа 2 числитель и знаменатель.
« 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Функция f (х) называется непрерывной в точке а, если: 1) эта функция оп¬
ределена в некоторой окрестности точки а; 2) существует предел lim / (х)\ 3) этот
иредел равен значению функции в точке а, т. е. lim /(*) = /(а).
х-+а
Обозначая х—а = &х (приращение аргумента) и / (х)—/ (а) ==Ау (приращение
функции), условие непрерывности можно записать так: lim Az/=0, т. е. функция
Д*-*0
*	Сх) непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда в этой точнее бесконечно
талому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение
Функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала,
сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.
Точка а, принадлежащая области определения функции или являющаяся
граничной для* этой области, называется точкой разрыва, если в этой точке
врушается условие непрерывности функции.
Еслн существуют конечные пределы lim /(*) = /(a—0) и Um /(х)=Да+0),
*-*а-0	х-*а+0
«рнчем ие все три числа /(a), f (а—0), /(а+0)	равны	между	собой,	то	а	назы¬
вается точкой разрыва I рода.
Точки разрыва I рода подразделяются, в свою очередь, на точки устрани-
абго разрыва (когда f (a—0) = / (a+0) Ф f (а), т. е. когда левый и правый пре-
жлы функции в точке а равны между собой, но не равны значению функции в
этой точке) и на точки скачка (когда f (а—0)^/(а+0), т. е. когда левый и
правый пределы функции в точке а различны); в последнем случае разность
^(д + 0)—f (а—0) называется скачком функции в точке а. Точки разрыва, не яв-
лжющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода. В точ¬
ил разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.
Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция
■епрерывная. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция не-
арерывная во всех точках, где делитель не равен нулю.
£
723.	Показать, что при х = 4 функция у = ^Ц имеет разрыв.
X	X
Д Находим lim 	т=—оо, lim -	■ оо. Таким образом, функция при
*-♦4-0 X — 4	ДГ-+4+0 X—4
я—не имеет ни левого, ни правого конечного	предела.	Следовательно,	х=4
шляется точкой разрыва II рода (рис. 26). Д
724.	Показать, что при х=4 функция у — arctgимеет разрыв.
Д Если*—*-4—0,то1/(ж — 4)—►—оо и lim у=—я/2. Если же х —*• 4+0,
х->4 - 0
то М(Х—4)—► +» и lim у = п/2. Итак, при х—*4 функция имеет как левый,
*-►4 + 0
tax и правый конечный предел, причем эти пределы различны. Следовательно,
х = 4 является точкой разрыва I рода — точкой скачка. Скачок функции в этой
точке равен я/2—(—я/2) = я (рис. 27). ^
140

725.	Показать, что при х = Ь функция у = имеет разрыв.
Д В точке *=5 функция не определена, так как, выполнив подстановку,
получаем неопределенность 0/0. В других точках дробь можно сократить на
х~5, так как х—Ъ Ф 0. Следовательно, у—х4-Ъ при х Ф 5. Легко ввдеть, что
Um у= lim у—10.
*-►5-0	Х-+5 + 0
Таким образом, при х — Ъ функция имеет устранимый разрыв. Он будет
устранен, если условиться, что у = 10 прн х=5.
Итак, можно считать, что функция у=(х*—25)/(х—5) непрерывна при все*
значениях х% если считать, что равенство (х*—25)/(х—5) =х+5 справедливо при
всех значениях х, не исключая и х—5. В этом случае график функции есть
ирямая у—х+5. Д
2i/(*-*) 1
726.	Найти точки разрыва функции у=
727.	Найти точки разрыва функция У=•
728.	Каков характер разрыва функции у = l_ei-x в точке 1?
8ЙЛ X
729.	Каков характер разрыва функция у=—^-ь точке дг=0?
tg* arete jJ-g
730.	Найти точки разрыва функции у=—х^с—5)—*
731. Найти точки разрыва функции	jursjrpr—-•
jp X |
732.	Найти точки разрыва функция
733.	Найти точки разрыва функции
734.	Исследовать иа непрерывность функцию У=	иа
отрезке: 1) [2, 5J; 2) [4, 10]; 3) [0, 7].
735.	Исследовать на непрерывность функцию y=m1t4_^c£i$ м
отрезке: 1) [6, 10]; 2) [—2, 2]; 3) [—6, 6].

ГЛАВА VII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
f 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
1.	Дифференцирование ивиых функций. Пусть xt и значения аргумента,
■	//i=/(*i) и	—соответствующие значении функции y=f(x). Разность
—д?! называется приращением аргумента, а разность Ay=yt — yi=f (х2) —
—	/ (х\)—приращением функции на отрезке fa, *|].
Производной от функции у=/(х) по аргументу х называется конечный пре-
аел отношеияя приращения функции к приращению аргумента, когда последнее
стремится к нулю:
у'= Иш или /'(*) = иш
д*-.о Дх	w	дх->о	Д*
(производная обозначается также ^ j.
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент каса¬
тельной к графику функции y=*f (x) в точке х, т. е. y' = tga.
Производная есть скорость изменения функции в точке х<
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
Формулы дифференцирования основных функций
1. (хтУ — тх**-1.	V11 /	,	1
1	'	,	XII.	(arcsln *)'=—==
,	,	v,	v	x,	XIII.	(arccosx)' = —
(т) —?•	,
IV.	(e*)'=e*.	XIV.	(arctg *)'.
V.	(a*y=a* In a.	1
1	XV- (arcctg x)' =—ГХТГ *
VI.	(In *)'= — .	1	+
x	fe*• — e-xV
,	XVI.	(shx)' = ( ——s-— ) =chx
VII. (loga x)r =—=-—.	\	2 J
xlna	/e*
.....	XVII. (ch x)' = ( ——) =sh
VIII.	(sin *)' = cos x.	v 7	\	2	J
x.
IX.	(cos — sin x.
X.	(tgx)' = sec*x.	/Cht\'
XI.	(ctgx)' =— cosec* x.	XIX.	(cth	x)'	=	(^sh"jc/
sh*x •
Основные правила дифференцирования
Пусть С—постоянная, и = и(х), t> = v(x)—функции, имеющие производные.
Тогда:
1)	С'= 0; 2) х' = 1; 3) (и ± v)'=u' ± г/; 4) (Си)' = Си';
Б) (ш>)'=6) (-7-) —“ VtfL—~ •
151

7) если у = /(«)» и = и(х), т. е. y~f[u(x)]t где функции f(u) и и(х) имеют
производные, то
Ух=Уи-их
(правило дифференцирования сложной функции).
736.	Исходя из определения производной (не пользуясь форму¬
лами дифференцирования), найти производную функции у = 2х3 +
+ 5х*—7х—4.
Д Дадим х прнращенне Дх, тогда у получит приращение Ду:
у-\-Лу = 2 (х+Дх)3+5	Ад:)2—7 (х+Дх)~4.
Найдем приращение функции:
Ду=[2(х+Дх)3+5(х+Дх)а—7(х+Дх)—4]—(гх^бх2—7х—4)=»
= 6х2 Дх + 6х Дха + 2Дх3 +1 Ох Дх + 5Дха—7Дх.
Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
=6х»+6д: Д*+ 2 Джа+10*+ 5 Дж—7.
Найдем предел этого отношения при Дх—*0:
Ига ~= Ит (6**+6хД*+2Д**+№х+5Дж—7)=6ж*+Юж—7.
Ах -► о Дх Дх -► о
Следовательно, по определению производной у' = 6л:а -)-1 Ох—7. Д
737.	Исходя из определения производной, найти производную
функции у = Vх.
Д Находям приращение функции: Ду=Ух+Дл:—У*" х. Отсюда
toVZ+Ax-yj Н Um Ду_= Um У7+ГХ-У-Х'
Дх	Дх	Ах	-	0	Дх	Ах	-►	о	Дх
Таким образом,
.=	(К*+Ддс-К7)(Ух+Дх+У^)
Ах-* О	Дх(^х+Дх+Vе х)
х+Дх—х	1	*
= lim 	—			11m
Дх-► о Дх(^х+ Дх+ Y х) Л* 0 YА* + V х 2}^ X
Итак, у' = ~	. А
2	у х
738.	Исходя из определения производной, найти производную
функции у — — ctgx—х.
Д Находим
Ay = — ctg (х + Дх) —(x+Ax)+ctgx+x = ctgx—ctg (х+Дх) —Ах.
Используй формулу ctg a—ctg ft =	^sin^p"‘9 полУчнм
откуда
152
А _ sin(x+Ax—х) л _	sin Дх
^““sinxsin (x-f Дх)~~	~sin хsin (х+Ах)_	1
sin Ах
Ау _ Ах
Ах sinxsin(x+Ax)

следовательно,
sin Ax
•• &У v	A*	«	1	«
lim	lim	—	—г-7-7	1 =- ■ n	1.
д*-* о Ax Ajc-o $Inxsin(x+Ax)	sin2x
Итак, /=-J_._l=ctg*x. A
Исходя из определения производной, найти производные функции:
739.	у =	740.	у	—	у/х?.	741.	</	=	5sinx-t-3cosx.
742. y = 5(tgx-x). 743.	744.	у = 2*\
Применяя формулы и правила дифференцирования, найти произ¬
водные следующих функций:
745.	у — 2х3—5ха + 7д:+4.
Ду' = (2**)'—(5х2)' + (7*)' + (4)' = 2 (ж3)' — 5 (х*)' + 7х'+4' =
=2-Зх* —5-2*+7.1 + 0=6х* — Юх+7. А
746.	у — jcV\
Д у'=х1(е*)'+е*.(ху=х»е*+2«е*=дк*(х+2). А
747.	# = r*arctgx.
1
1	+ х*
=-q^?+3ilardgx. А
748.	«/ = х^(31пх—2).
Д Перепишем заданную функцию в виде у = х3/а(31пх—2). Тогда у'=
: х»/*	X»/»	(31п*х—2) = 3xV* + i.*1/а In х—Зх‘/а = 1 х In х. А
749.	-«eta*
v	х
.	, х- (arcsinx)'—arcslnx-(x)'
Л У  	—г	—“
*’ yi — x2 ~arcsin х х— V\ — x*-arcslnx .
=	I»	=	х*	V’l	—х*
sin X —COS X
750.	^-SInx+cos*-
, (sin x+cos x) (cos x+sln x) —(sin x—cos x) (cos X—sin x) __
А У	(sinx	+	cosx)2
(sin x+cos x)2 + (sin X—cos x)a
Д y' =x3 (arctgx)' +arctg x^x3)' =x3 -j-;—j-+3x2 arctgx =
(sinx + cosx)2	(sinx+cosx)2 * m
751. у = (2^ + 5)4.
Д Обозначим 2x3 + 5 = а, тогда у = и4. По правилу дифференцирования слож-
■ой функции имеем
У' = («4)i-(2* + *)i = 4tt»(6*2) =24х2(2х3 + 5)3. А
153

752.	y=tg‘x.
Д у'=6 tg‘ ж- (tg ж)'=6 tg® x sec* x. Д
753.	у — cosJ x.
Д у'=2cosx(cosж)' = — 2cos жз1пж =—sin2*. Д
754.	^ = sin(2x4-3).
Д y' = cos(2x-f3)*(2x-f3)'=2cos(2x+3). Д
755.	#=tglnx.
Д	sec* In ж* (In ж)' =—-sec* 1пж. Д
756.	0 = sin*-j.
Д ^« 3 sin*(sin=3sin* | cos у (у)* “«to*T«» у • A
757.	t/ = ln(x’ + 5).
1		!	L_.a
2	tg (ж/2) cos* (ж/2)	2 sin (ж/2) cos (ж/2)	sin ж “
759.	y=1п(х + У>+1).
1	V x2+ 1+x		i_
760.	y=ln(K2sinx+l +K2sinjc—1) .
1	/	^	CUD	*	j	^	■*
У 2sin jc-f* 1 -f* У 2 sinx-— 1 \2Kr2sinx+l 2 yr2slnx~l ,
		1	cos x (^2slmt+T +yr2sinx—1)
V^slnx+l-f J^2 sin *—1	yr4sln2x—1
cos x
761.	y=%V7+S+4-In(x+Vx*+k).
154

а ,	*	2х	.1	.г-г-.-г , *	1	/,,	2х	\
2 ' 2угх*ЦП1 2	2	"д;^.	у\	2)Лк*+*	)
_	х*	| У'-*2!7* | Ь	1	Vx'+k+x_
^гу'х^+А 2	+2	^1* + *
^-££L~Yx*+k. £
Yx'+k
9 r2
762. t/ = arcsinp^, |х| < 1.
*	f	1	/	2х2	V
У *i/~	(	2х2	+	:
1
X
/-(!&)• ^ "/Чт^У
4,0+*4H* — 2ха-4*3	1	4х(1 —х4)	4х
(1+*4)1	у 1— 2*«+х«*	1+*4	~	1+**
763. у = arctg	.
^ У' = 1+ (1п1|д:)/9*аё==ж(9+1п2х) ’ ^
764.	y = £*-arctge*—lnKT+i*5.
Д Записав данную функцию в внде
золучим
у=e*arctg е*—— In (1 +е**),
У'=е*'Т^ * ^	^ arctg ^-1 T-i—е**. 2 =
~ 1С+егх+еХ arotg gX ~T^eix' = ** arctg **• ▲
sinx , , 1+sinx
765.	y = —2—Hn —	.
v COS2 X 1	COS	X
Д Преобразуем данную функцию:
sin x
у —	=	1-In (l+sinx)~ In cos x.
9 COS2 X 1	4	1	1
Тогда
cos2 x cos x—sin x-2 cos x(— sinx) ,1	1	.	,	.
у'  	r	 	—-— cos x	(— sin x),
*	cos4x	1	1-fsinx	COS	X
1ЛИ
J cos2 x-|-2sln2 X , COS X (1—sinx) , sin x  cos2x+2sln2x . 1 — stnx t
** ~~ COS3X	*	1—sin2x	'cosx~~ COS3X	cosx *
. sin* cos* x +2 sin» ж ■	I	= 2 sec3 x. ▲
cos x	cos3x	^	cosx cos3x	*	^
766.	y — \ tg*l/jc + lncosl/x.
Д Уг =	Y x.sec* Y~x—i=H	-7= (—8In Y~x)	*
2	Y x cos Y x	2Y x
—-~= tg Y~x (sec2 Y~x— 0 = ■/— tga Yx. a
2	Y X	2	Y	X

767.	0=5sh3^+3sh»yg.
Д Находим
откуда, используя соотношение chax—shax=l, окончательно получаем у'*
768.	у—х’'.
Д Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, по¬
лучим In у=х? in я. Продифференцируем обе части последнего равенства по х.
Так как у язляется функцией от х, то In у есть сложная функция х и (In у)* =*
«* — • у*. Следовательно,
i£-=jr*.i+2*lnx, ij-=*(l4-21n*),
т. е.
у' =cx^i(i +2 In х) =хх*а (1 + 2 In х) =x*8+1 (1 -f 2 In х). Д
769.	(/= (Sin *)***.
Д Имеем lny=tgx*lnsin х, откуда
у*	1
= tg х—-	cos x+sec2 х In sin х= 1 +sec2 x In sin x;
у	s.inx	J
У' = У (l+seca x In sin x) == (sin x)tg x (1 +seca x In sin x). Д
(5*+4)! у\—x
Д Здесь заданную функцию также следует предварительно прологарифми¬
ровать:
In у=3 In (2дс— l)+-j In (Зх-f 2)—2 In (5x+4) —у In (1 — де);
J!L=_3_.2+1.__3	о __ 5	1	.
у	2x—1	2 Здс+2	5*+4~3(l — x) ’
(2jt—1)3 |^аГ+2 Г	6	 i 3	10	11
(5x+4)* у 1—x L 2*—1 i"2(3*+2)	5x+4‘+‘ 3(1— x) J‘A
Найти производные функций:
771. У=р-. 772. y = -jxl/x.
773. y=~xt Vx—l x* Vx + x4 Vx.
774.	y=(x% + 2x+2)e~*. .775. y = 3x3lnx—x3..
23x
776. y = -g&. 777. # = x*sin Jt+2xcosje—2sinx.
778. </=1п(2лг> + Зл:*). 779. t/ = J/ 1—3*».
780.	y—x arccos —j/4—x*.
156

781.	y = X^xa.TcsmVx-\-V\—x.
782.	</ = ^sin-|-—cos-^ . 783. # = cos8(x/3).
784. z/ = ln	785.	t/	=	ln
786.	у = tg 2x+1 tg» 2* + |tg‘ 2x.
787.	У — ^ sin*K*—ysii^V^-j-ySin’K*.
788.	y = In (3x*+K9F+I). 789. y = \ Va'—x*+-y arcsin
790. y-ln *ЗШ=!ЙУ.. 791. y = — ctg*—2In sin■£.
V^tgjc+l-^^tg*	*	2	2
792. у = arctg V4jc2— 1. 793. у = arctg p._* -t.
i	i/“ i	x\	2X3
794. */ = arctg——-x	. 795. у = arcsin , если | jc| < 1.
9—x2
*•»	—	r	—	—	I**
796. у = arccos 9_[_ж»- • 797. y — e~x—sin e_JC cose
798. i,=arclg/Щ. 79». У-ta gljfc-*.
800. t,= l-C»h>'3-cos»3x. 801. y^ln^TJQnx-r
802. y = \n (sec x + tg *)• 803. y = — In (cosec x -{- ctg x).
804. y=ev**(Vr2x—1). 805. y = \n **
*»+2'
806. y = ( .. s>n,*,_Y 807. у — arcsin v.sin* .
*	Vl+cosx/'	*	V 1+sin* X
808. y=—cosecJ (x/2). 809. г/ = sin (In or) • cos (In x)—In ( 1/jc).
810. 0 = (jt»+3)[ln(** + 3) — 1]. 811. y = arcsin К l—0,2x*.
812. у = 0,Ь\{х+а)У х* + 2ах+$-\-	_____
+ (p—a*) In (x-\-a+yrx?-{-2ax-i-$)]'
813.	у = arcsin e* -f arcsin V1 —e**.
814.	у = т\гх%-\-2ах+$-\-(п—та) In (x+a + V x*+2ax+fi).
815.	y— "rJL=. 816. j^j^-j^jcsmxcosje-J-cos*.*.
у 1 — гпх*
817. у — ctg хcosec x+In (ctg x-|- cosec x). 818. y— t x •
819. w = 3xsin* x+3cosx—cos*x. 820. y = ln^—jlf!-1 .
821.	y=e*—sin0*cos*e*—sin3e*cos0*.
822.	у=arctg (x+l) + ^tr+2 •
823.	y = xQn*x—31n*x+61nx—6).
157

824.	^ == In sin I^jc tg |/~дс—Vx. 825. у = arctg x* * .
«2e.»-i(tg-i-rtg-4)+|(tg-4-ctg-4)+|i„^f
827. y-ln tgf+cos*+i.cos4:. 828. y—
829. y = -j tg* sin X + In cos sin ДС. 830. # = ln^l— y)-!'!?*
831. у = In	.	832. у = 2x tg 2x+In cos 2x—2x*.
833. #=arccos(2e**—1). 834. # = lnlnx(lnlnln.*—1).
835. „-£=£. 836. y = ini^f.
4v_ vS	,2 Jin Я
837. y = arctg	838. «/ = lntgi-r-.
839.	у = у sin* X + cos* jc —cos 2x.
840.	у = tg* tg x+3 tg tg x. 841. y = i£2^L-ln ■	.
842. 0 = ^+^. 843. y = K2FFT[ln(2x + l)-2].
844. y = secx(l -flncosx). 845. y — e*V\—e2x—arcsine*.
846. y = 2е0***-3'0**. 847. y = ?~-.
I	I	In	x
848. y = ^-j	* "*+1. 849. ^ = Afsinxcosx4--^-cos*;c.
850. ^^L.SSl.^lntgi.-^.
852. y^2(tg\Tx-V^. 853. <, = 1ln ^+ JL arctg £.
854. y = ln-^==^—855. у = e0-5 '«** cos x.
yx^+l + x2
2*4	•	„
856. у = arctg • 857* У — *ae* ln *•
858. y = arccosK 1—2*. 859. # = log,. 2.
860.	у = — mV—x2 + 2ax+p-f(mo + n)arcsin
	 V a+P
861.	y = log8sin*x. 862. </ = loga(x+V*a +9).
863. y = xuc*ta*. 864,
~ ви-!'=1п(т+ V?+1)-
867.	у =	[(«+ 1) cos (n In x) + n sin (n In *)].
868.	у — (x tg X + In cos x) • tg (x tg X + In cos x) +
+ lncos(x tgx-fln cos x).

869.	у = (хcos х—sin х) [In (хcos х— sin х)—1 ].
870.	у=3sin(jce*—£*)—sin3 (хе*—е*).
871.	у — arccos (2x^1—х2). 872. у = |х| (х^О).
873. y = \f(x)\. 874. у = \3х—5|.
,875. у = е1*1. 876. у = \х\ + \х—2\.
877.	у = хе* (s’mx—cos *)-}-£* cos*.
878.	у = lnfxsinx + cosjc+K^sinjc+cosx)2 + l],
879.	у = —(х Inx—х—1). 880. у = logc<>« * sin х.
881. у = logei (хп + Vx*n + 1) • 882. у = log, е.
883. у = log*.*. 884. у = log*»Xх. 885. y = xl'lax.
886. у = х*. 887. у = х-*-2*-х\
888. у = х1пх. 889. г/=	Х'^ХЛ1
*	(дг—1)* уьх~\
890.	Показать,	что	(sec х)' = sec х tg х.
891.	Показать,	что	(cosec х)' = — cosec xctgx.
892.	Показать, что (и?)9 ^vu?*1^9 + uv-v9 In и.
893.	Вывести формулы дифференцирования arcsecx и arccosecx.
894.	Чему равно выражение и = */* + */'* +	если	# = 2cosx?
895.	Показать,	что	функция у~(хг+1)(ё* + С)	обращает	урав¬
нение у9 —	= е* (х* + 1) в тождество.
2.	Дифференцирование неявных функций. Пусть уравнение F (х9 у)«= 0 опре¬
деляет у как неявную функцию от х. В дальнейшем будем считать эту функцию
дифференцируемой.
Продифференцировав по х обе части уравнения F (х, у) = 0, получим уравне¬
ние первой степени относительно у'. Из этого уравнения легко находится у , т. е.
яроизводиая неявной функции для всех значений хну, при которых множитель
при у' в уравнении не обращается в нуль.
896.	Найти производную у'х из уравнения х* + у* = 4.
Д Так как у является функцией от х, то будем рассматривать ух как слож¬
ную функцию от х. Следовательно, (у2у = 2уи\ Продифференцировав по х обе
части данного уравнения, получим 2х-\-2уу' = 0, т. е. у' = —х/у. Д
897.	Найти производную у'х из уравнения х% + \пу—
Д Дифференцируя по х обе части уравнения, получаем
з*’ + у—*геУу'—2хеУ = 0, т. е. у'—	У	.	Д
Найти производную г/i от неявных функций:
898.	+	—3ху = 0.
899.	Ах* + 2Вху + Су* + 2Dx + 2Еу + F = 0,
900.	х*—6х2у* + 9у*—Ьхг Ь 15г/я— 100 = 0.
901.	х?—у* = 0- 902. xsin«/4-*/sinx = 0.
903.	+ —2ху —1=0.
904.	sin (у—дса)—In (у—x2) + 2Vy—х2—3 = 0.
159

905.	-J + #!* —У-j- =0. 906. x'J‘ + у2 In х—4 = 0.
907.	x2siny + y3cosx—2х—Зу+1=0.
3.	Дифференцирование функций, заданных параметрически. Если функция
аргумента х задана параметрическими уравнениями х=<р(/), y=t|>(0» то
dy
Ух
Х=—Г* ИЛИ -г-	~ггг*
Xt	dx	dx
dt
908.	Найти y' = ^f если x=/3-b3f+l, у — 3/e + 5f3+l.
Д Найдем -^- = 3/2+3, -~г== 15/4+15*2. Следовательно,	=
at	ut	их	of**-г о
= 5Г-. А
9С9. Найти «/' = р“, если x = acost, y = as\nt.
910.	Найти у' = ^> если * = e-fsin<, y = e*cost.
911.	Найти р' =gg. если р=	1) а, 0 = Кае^“.
912.	Найти у’ = ^, если д: = сЬ<, f/ = shf.
4.	Приложения производной к задачам геометрии и механики. Если кривая
задана уравнением y=:f(x), то f' (х0) — tga, где а—угол, образованный с поло¬
жительным направлением оси Ох касательной к кривой в точке с абсциссой
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке Л70 (*о) Уо) имеет вид
У—Уо=Уо(х— -Vo),
где у'о есть значение производной у* при х = х0.
Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и
проходящая через точку касания.
Уравнение нормали имеет вид
У—Уо —	Т- (X—х0).
Уо
Углом между двумя кривыми y = fi(x) и у= /2 М в точке их пересечения
Mq (хь; уо) называется угол между касательными к этим кривым в точке М0. Этот
угол находится по формуле
f-г (x0)—f[ (х0)
fg<P =
1 + /1 (*о) /г (*о)
Если при прямолинейном движении точки задан закон движения s = s(i), тс
скорость движения в момент /0 есть производная пути по времени: u = s'(/0).
913.	Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой
#=>(2/3)х5 — (1/9)х3, проведенная в точке с абсциссой х=1?
Д Находим производную у' — (10/3)х*—(1/3)х2; при х=1 имеем у* = 3, т.е.
tga = 3, откуда a = arctg3« 7Г34'. Д
914.	Какой угол образует с осью абсцисс касательная к пара¬
боле */ = х2—3x-j-5, проведенная в точке М (2; 3)? Написать урав¬
нение этой касательной.
160

915.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой
х* + 2л:«/* + 3«/4 = б в точке М( 1; —1).
Д Из уравнения кривой найдем производную:
2х+2у2+Ахуу' +12у3у’ = 0, т. е. (/' =
2ху+&ул- *
Х+У2
Следовательно, уо—— Y~T{
Уравнение касательной
i+(-i)a ,_i
2-1 (—1)+6 (—1)а	4*
у+ 1=-^-(дг—1), или х—4у—5 = 0.
Уравнение нормали
у-\-1 =—4 (дс—1), или 4х-\-у—3 = 0. ^
916.	Найти угол между параболами у = 8—х2 и у — х2.
Д Решив совместно уравнения парабол, находим точки их пересечения
.4(2; 4) и В(—2; 4). Продифференцируем уравнения парабол: у' = —2х, у' = 2х.
Найдем угловые коэффициенты касательных к параболам в точке А (т. е. эначе-
4 + 4	8
5ня производных при * = 2): kt = — 4, 62= 4. Следовательно, <g <Pi=-j—jg==—jg,
fi=arolg (—8/15). Так же определяется угол между кривыми в точке В: <р2 =
= arctg (8/15). Д.
917.	Найти уравнение нормали к параболе у2—2рх в точке
.И (х0, i/0).
918.	Составить уравнение касательной к гиперболе х2/9—у2!8=1,
проведенной в точке М (—9; —8).
919.	Составить уравнения касательной и нормали к астроиде
х = V 2 cos31, y~V 2 sin31, проведенных в точке, для которой /=я/4.
920.	Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде
x — t—sin/, у— 1—cost, проведенных в точке, для которой/=я/2.
921.	Составить уравнения касательной и нормали к полукуби-
ческой параболе x=t2, y = t3, проведенных в точке, для которой
t — 2.
922.	Показать, что уравнение касательной к эллипсу х21а2 +
+ у2lb2 = 1 в точке М (х0\ у0) имеет вид xxja2 + yyjb2 = 1.
923.	Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой
y = shx, проведенная в точке (0; 0)?
924.	Составить уравнения касательной и нормали к цепной ли¬
нии у — ch(x/2) в точке, где х = 2 In 2.
925.	Составить уравнение касательной к равносторонней гипер¬
боле x = ch/, y = sht в точке t = t0.
926.	Найти угол между кривой у = х—дс3 и прямой у = 5х.
927.	Найти	угол	между	кривыми	у — х% и у— 1/ха.
928.	Найти	угол	между	линиями	«/= 1 + sin ж, «/= 1.
929.	Найти	угол	между	кривыми	х2 + if = 5, у2 = 4х. _
930.	Найти	угол	между	кривыми	y — V 2sinjt, y = V 2 cos x.
931.	Зависимость пути от времени при прямолинейном движе¬
нии точки задана уравнением s= /5/5+ (2/я) sin (л//8) (/—в секундах,
6-215
161

s—в метрах). Определить скорость движения в конце второй се¬
кунды.
Д Находим производную пути по времени:
ds . 1 л*
dT^+4-cos Т‘
При /= 2 имеем	2 « 16,18. Следовательно, 16,18 м/с. Д
932* По параболе */ = *(8—х) движется точка так, что ее абс¬
цисса изменяется в зависимости от времени t по закону x~tV t
(/—в секундах, х—в метрах). Какова скорость изменения орди¬
наты в точке М (1; 7)?
Д'Найдем закои изменения ординаты; заменив в уравнении параболы х иа
t У* t9 получим y = 8t Yt—tz. Скорость изменения ординаты есть производная
от ординаты по времени: у\ = 12 Y t—3tz. Для точки М (1; 7) значение t равно 1.
Следовательно, yt^x = 9, т. е. скорость измерения ординаты равна 9 м/с. Д,
933.	Зависимость пути от времени задана уравнением s =
= Лп(£+ 1) (t — в секундах, S-—в метрах). Найти скорость движения
в конце второй секунды.
934.	По кубической параболе у = х? движется точка так, что ее
ордината изменяется в зависимости от времени t по закону y = atz.
Какова скорость изменения абсциссы в зависимости от времени?
5.	Нахождение угла между радиусом-вектором и линией. Пусть плоская линия
задана в декартовых координатах уравнением y=*f(x). Направление линии в дан¬
ной точке М (х\ у) определяется касательной в этой точке, т. е. углом а между
касательной и положительным направлением осн Ох (отсчитываемым против часо¬
вой стрелки), причем tga = */'. Угловой коэффициент радиуса-вектора точки М
составляет tg <р = у/х, а угол между радиусом-вектором и касательной к линии
в этой точке есть a) = a—ф. Следовательно,
fc tg a—tg ф __ y x _xy'—y=xdy—ydx
1 +tg a tg ф ijL,/.!. Х+УУ' xdx+ydy'
~ry ‘ x
Если линия задана в полярных координатах уравнением г = г(ф), то х =
= г cos ф, у = г sin ф, xdy—у dx = r2 dyt х dx-{-y dy~r dr, откуда
. r2 dtp г
tgQ)=—-2-=-г-.
r dr г
935.	Найти угол между параболой */ = 4—х2 и ради усом-векто¬
ром точки М (1; 3) этой линии.
Д Находим
Хс„_ху'-у:^х(-2х)—у^—2х2—у
х+уу' х+у(—2х) х—2ху в
	2	з	л
В точке М( 1; 3) получаем tga) = -	>=	1,	т. е. ш—. Д
936.	Найти угол между окружностью г=аи радиусом-вектором
любой ее точки.
Д Имеем г = 0; значит, tg со = г/г = а/0 = оо, т. е. со = я/2. Д
162

937.	Найти угол между равносторонней гиперболой х%—уг = 36
в ради усом-вектором точки М (10; 8).
Д Так как 2х—2уу'=0, у'=х/у, то
У=хг—у*_ 36 _18
х-\-у-(х/у) 2ху	2ху ху*
18
а в точке Л1 (10; 8) имеем tgco=s—0,225, т. е. со = arctg0,225. Д
10 • о
938.	Найти угол между кардиоидой r = a( 1—cos<p)h радиусом-
вектором точки М (За/2; 2л/3).
_	. г а(\—cos®) . ф _
Д Здесь r = asin<p, tg со = —— —	— = tg . В данной точке М по-
г	a sin ф	2
аучаем tga> = tg (я/3), <о = я/3. ±
939.	Найти угол между параболой у2 — 8х и радиусом-вектором
точки М (2; 4). ,
940.	Найти угол между спиралью Архимеда г = йф и радиусом-
вектором любой ее точки.
941.	Найти угол между окружностью r = cos<p и радиусом-век¬
тором любой ее точки.
942.	Найти угол между окружностью (х—7)2 + (у—5)* = 2 и
радиусом-вектором точки М (6; 6).
943.	Найти угол между спиралью r = aem<p и радиусом-вектором
любой ее точки.
944.	Найти угол между эллипсом Jt2/100-f у2/36 = 1 и радиусом-
вектором точки М (6; 4,8).
в.	Производные высших порядков. Производной второго порядка (второй про¬
изводной) функции y = f(x) называется производная от ее производной. Вторай
производная обозначается так: if, или или Г (х).
Если s ==/(/)—закон прямолинейного движения точки, то вторая произвол-
d2s	а
ная пути по времени ^ есть ускорение этого движения.
Аналогично производная третьего порядка функции у —f (х) есть производная
от производной второго порядка: у'" = (iy”)'.
Вообще, производной п-го порядка от функции y = f(x) называется производ¬
ная от производной (п — 1)-го порядка: ^л) = (^п“1>)/. Обозначается л-я произ-
dnu
водная так: ^л) или , или f<n) (*).
Производные высших порядков (вторая, третья и т. д.) вычисляются после¬
довательным дифференцированием данной функции.
Если функция задана параметрически: * = ф(0»	70 производные
Ух* Ухх* •••# вычисляются по формулам
»;=4, У"ХХ = {-^-, Уххх=(-£Ф- и т. д.
Xt	Xt	Xt
Производную второго порядка можно вычислить также по формуле

945.	у=х*+2х*—Зл»—х*—0,5х+7. Найти у', у > у"'\ ••••
Д у* = 5х*-\-8х?—9х2—2х—0,5,
{Г=20*»+24*а— 18х—2,
^"=60х»+48дс—18,
(/tv= 120х+ 48, yv = 120, yVl=yvn =... = 0. А
946.	{/ = In jc. Найти
Д	=	*-1,
^=-1-дс-»,
y"' = 1.2*-*,
ylV=_i.2.3x-«,
• ••••••»
y(")=l-2.3...(w—1)(— l)'|-1-x-" = (-l)B-1-(n~1)l ♦ A
947.	х = 2*. Найти yinK
Д / = 2* In 2,
у* = 2* In2 2,
y," = 2x In* 2,
уШ) = 2х In" 2.
948.	y=sinx. Найти y{n).
Д jr,=COSAC = Sln^ + -y^ ,
jT = —stn*=sln ^х+2-lpJ ,
y'"=-cosx = sln (*+3-y) ,
	,		 •
J<n)=sln^+/t~j . A
949.	Найти t/' = ^, у” = %р> если x=acos*t, y = as’m*t.
A >r'—(asln*t)j	3a sin* < cos f	.	.
(acos*<)J——3acos**sin/ —	8 ’
tgQ< _ —sec2/ _	1	.
dx2 (a cos* t)t —3a cos2 / sin t 3a sin / cos41
Найти производные второго порядка:
950.	у= —	951.	y=lx2(21nx-3).
952.	y—-j x2)f I — X2 + J- К1 — ** + xarcsin x.
1	2
953.	y= — -g-jcsin3x—^cos3jc.

954.	у = х\п (*+Vx*+ аа) — |Лса + аа.
955.	/J==a<'	S'r,(,)’	958.	[«-aroosl/Г,
\y = a(l—cost).	Xy^Vt—t*.
957.	Показать, что функция y = sin In *-f cqsln x удовлетворяет
уравнению x2y" + xy' + y = 0.
958.	Показать, что функция y = x-\-sin2л: удовлетворяет урав¬
нению у” + 4у = 4х.
959.	При прямолинейном движении точки зависимость пути от
времени задана уравнением s = \ft. Найти ускорение точки в конце
4-й секунды.
Найти производные третьего порядка:
96°- У = 6(x+1)'	9в|-	У=Т 1п*х'
962. у=(2х+3)9]/г2х+3. 963. у = sh* х.
ф Учесть, что sh2*=2sh xchx.
Найти производные л-го порядка:
964. у — хп Vх. 965. У~2х\- \ •	У = 5—3 cos®х.
967. у = 2* + 2~*. 968. У =	969. у^е**.
(x=ln t,	lx=at+b,
970. у — cos х. 971. {	.972. \
\y=l/t.	\^ = <х*а + р/ + у.
973.	Показать, что функция у = е*-\- 2егх удовлетворяет уравне¬
нию у'"—6t/*+llt/'—6г/ = 0.
974.	Показать, что функция (/ = ** удовлетворяет уравнению
Уу + У1У+У"' + !/' + У’+У = * + Зх* + 6х + 6.
8. Дифференциалы первого и высших порядков. Дифференциалом (первого
шорядка) функции y = f(х) называется главная часть ее приращения, линейная
относительно приращения аргумента. Дифферен¬
циалом аргумента называется приращение аргу¬
мента: dx~Ax.
Дифференциал функции равен произведению
ее производной на дифференциал аргумента:
dy—y'dx.
Геометрически дифференциал представляет
собой приращение ординаты касательной к гра¬
фику функции в точке М (х; у) (рис. 28).
Основные свойства дифферен¬
та л а
1°. dC = 09 где С = const.
2°. d (Си)~С du.
3°. d (и ± v) = du ± dv.
4°. d(uv) = udv-\-vdu.
6*. df(u)=f(u)du.
165
Рис. 28

Если приращение Ах аргумента мало по абсолютной величине, то Ay « dy и
/(* + Ах) «/(*) + /' (х) Ах.
Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближен¬
ных вычислений.
Дифференциалом второго порядка функции y = f(x) называется дифференциал
от дифференциала первого порядка: d2y = d (dy).
Аналогично определяется дифференциал третьего порядка: <Py = d(d*y).
Вообще, dny = d {dn-1y).
Если y = f(x) и х—независимая переменная, то дифференциалы высших по¬
рядков вычисляются по формулам
day = ^(cfx)a, d*y = у"' (dx)*	d»y=y<n>(dx)n.
975.	Найти дифференциал функции t/ = arctg х.
Д dy=(arctgxy-dx=j£^p. А
976.	Найти дифференциал функции 5 = 6*'.
д ds=et3-3t*dt. А
977.	Найти дифференциалы первого, второго и третьего поряд¬
ков функции у — {2х—3)а.
Д dy=3(2x—3)*-2d*=6(2*—3)*dx,
d*y= 12 (2x—3)-2d*a = 24 (2лг—3) dx\
d*y=24-2dx* = 48dxa. A
978.	Найти дифференциалы первого и второго порядков функции
Д dv=2e*dt, d*v=4e«-dt*. А
979.	Сравнить приращение и дифференциал функции у = 2дс*+5дс®.
Д Находим
Ду=2 (х+Ах)3+5 (х -f- Ах)2—2х3—5х2 = (6х2 + 10х) Ах+(6х+5) Ах2 + 2Ах*,
dy=(6x*-jrl0x)dx.
Разность между приращением А у и дифференциалом dy есть бесконечно малая
высшего порядка по сравнению с Ах, равная (6х+5) Аха + 2Ах3. Д
980.	Вычислить приближенное значение arcsin0,51.
Д Рассмотрим функцию y = aroslnx. Полагая х=0,5, Ах = 0,01 и применяя
формулу arcsln (х+Ах) « arcsln x+(arcsinx)' Ах, получаем
arosln0,5l « arcsln 0,5Н—	*   -0,01 ==-^+0,011 = 0,513. Д
У Л — (0,5)2	6
981.	Вычислить приближенное значение площади круга, радиус
которого равен 3,02 м.
Д Воспользуемся формулой S = nR2. Полагая #=3, А# = 0,02, имеем
AS « dS = 2jiR* AR = 2я-3-0,02 = 0,12я.
Следовательно, приближенное значение площади круга составляет 9я+0,12я»
ass 9,12я » 28,66 (м2). £

Найти дифференциалы функций:
982.	у = |-К49—arcsiny-. 983.
984. у = 2lnch(*/2).	985.	у = arctg е**
986.	Найти dy, (Ру, сРу, если г/ = д: (In л:—1).
987.	Найти d*y, если у = 1п(х+У х*-\- 4).
988.	Сравнить приращение и дифференциал функции у—1/х.
989.	Вычислить Дг/ и dy для функции у — х2—2х при х — 3 и
А* = 0,01.
990.	Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.
991.	Найти приближенное значение х из уравнения 13sin jc —■
— 15cosa: = 0.
Найти приближенное значение:
992.	arctg 1,05. 993. tg 46°.
994. lntg 47° 15'. 995. J/ТбД
§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
1.	Теоремы Ролл я, Лагранжа, Коши и формула Теблора.
Теорема Ролл я. Если функция f (х) непрерывна на отрезке [a, b]f
дифференцируема в интервале ]а, Ь[ и f(a) — f(b), то в интервале ]а, най¬
дется хотя бы одно значение дг=£, при котором /' (6) = 0.
Если, в частности, /(а) = 0, /(6) = 0, то теорема Ролля означает, что между
лумя корнями функции содержится хотя бы одни корень ее производной.
Теорема Лаграижа (о к о и е ч и о м п р и р а щ е и и и). Если функция
f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь) и дифференцируема в интервале ]а, Ь[, то
ш этом интервале найдется хотя бы одно значение х = £, при котором выполня¬
тся равенство
/(&)-/(а) = (*-*)/' (6).
Эти теоремы имеют такой геометрический смысл: на дуге АВ непрерывной
жрнвой у= f (х), имеющей в каждой внутренней точке определенную касательную
(не параллельную оси Оу), найдется хотя бы одна внутренняя точка, в которой
касательная параллельна хорде АВ. (Для теоремы Ролля и хорда АВ, и каса¬
тельная параллельны оси Ох.)
Теорема Коши. Если функции f(x) и <р (х) непрерывны на отрезке [а, Ь]
я дифференцируемы в интервале ]а, 6[, причем <р' (дг) Ф 0, то в этом интервале
лайдется хотя бы одно значение £, при котором
f(b)-f(a) _f' (g)
Ф (&)-¥(вГ>'(В* гдеа<1< *
Формула Тейлора. Функция f (х), дифференцируемая п-f I раз в неко¬
тором интервале, содержащем точку а, может быть представлена в виде суммы
многочлена п-й степени и остаточного члена Rn:
/(*) = / (<*)+^г (х-а) +Ш(*_а)2+... +£^2)
fin + i) /£\
где точка % лежит между точками а и х, т. е. |=а+0(**-а), причем О<0 < I;
tat

При.а = 0.получается формула Маклорена
_	fn + 1>(0X)	,
*•“ (п+1)! *	•	°<»<	Ь
Приведем разложениях некоторых функций по формуле Маклорена:
у v2 уЗ	уЯ	йВХк
в*=1+тт+2г-,гзг+...+^г+Лп;
X X3 . Xs	. (— 1)'Я + 1дга'»-1
1!	3I+5!	^	(2т—1)! +Лая>:
Г
-2т+ 1
i?2'» = (-,)e’cos0^(^+T)T.
, х3 , х* X* ,	,	(—1)« X*” . D
cos х 1	21+4!	6!+'"+	(2т)!	+Ri"+1'
Х*т + 2
Я.«+1 = (-1)”+1 COS ех-(2т-Ь2)|;
/1 •. v* , , ffi , mim — 1)	*	,	т	(т—1)(т—2) q .
(1 +-У)ОТ = 1 +ТУ лс+	-gf—■**+—	§г	-*3+...
, т(т—1)...[т—(я—1)]	,	D	.
•‘•И		 * "Т" *^П*
(всюду 0 < 0 < 1).
996.	Выполняется ли теорема Ролля для функции /(*).= х4 —
—	6ж+ 100, если а= 1, 6 = 5? При каком значении £?
Д Так как функция f (х) непрерывна и дифференцируема при всех значениях х
и ее значения на концах отрезка [1, 5] равны: / (1) = / (5) = 95, то теорема Ролла
на этом отрезке выполняется. Значение | определяем из уравнения /' (х) = 2х—6 =
= 0, т. е. |=3. А
997.	Выполняется ли теорема Ролля для функции f{x)=]/8х—х*,
если а = 0, Ь — 8? При каком значении £?
Д Функция f (х) = \/8х —х3 непрерывна при всех значениях х и имеет про¬
изводную /' (х) = (8—2х)/(з	(8х—х2)*) при х ф 0, х ф 8, т. е. дифференцируема
в интервале (0, 8). Кроме того,/(0)=/(8)=0. Таким образом,.теорема Ролла ва
отрезке [0, 8] выполняется; действительно, /'(х) = 0 при х = |=4. Д
998.	Дана функция f(x)=\/(х—8)а. Пусть а = 0, Ь= 16. Тогда
/(0) = Д16) = 4. Однако производная /' (х) = 2/(3 у/х—8) не обра¬
щается в нуль ни в одной точке интервала (0, 16). Противоречит ли
это теореме Ролля?
Д Нет, так как в точке х = 8 интервала (0, 16) производная ие существует,
и условия теоремы Ролля нарушены. Д
999.	Показать, что производная многочлена f (х) = х>—х*—х-\-\
имеет действительный корень в интервале (—1, 1).
168

Д Найдем корни данного многочлена: х3 — х2—х+1 =0 или (х—!)2(х-|-
г.	е. xi = x2 = l, х3=— 1. Так как f 1) = /^ (1) = 0, то по теореме Ролля /'(х)
имеет корень в интервале (—1, IV Найдем корни производной: /' (х) =3ха—2х —
—	1 =0, т. е. хх = — 1/3, х2 = 1. Таким образом, между корнями функции —1 и I
содержится корень производной, равный —1/3. Д
1000.	На дуге АВ кривой у = 2х—х2 найти точку М9 в которой
касательная параллельна хорде АВ, если А{ 1; 1) и В(3; —3).
Д Функция у = 2х—х2 непрерывна и дифференцируема при всех значениях х.
По теореме Лагранжа между двумя значениями а— 1 и Ь~3 существует значе¬
ние х=£, удовлетворяющее равенству у(Ь)—у (а) = (Ь—а) у’ (5), где у'= 2—2х.
Подставив соответствующие значения, получим у(3)—у(1) = (3 — 1)у'(£);
(2-3—З2) — (2.1 — 1а) = (3—1) (2—2g); —4 = 4 (1 —4). Отсюда £ = 2, у(2)=0.
Таким образом, точка М имеет координаты (2; 0). Д
1001.	На дуге АВ кривой, заданной параметрическими уравне¬
ниями х = у— /3, найти точку М, в которой касательная парал¬
лельна хорде АВ, если точкам А и В соответствуют значения t = 1
и / = 3.
Д Угловой коэффициент хорды А В равен	, а угловой коэффициент
У' (6)
касательной в точке М (при £ = £) равен g , где xj = 2ty j^=3£2.
(ь)
Для определения £ по теореме Коши получаем уравнение
у(3)-у{\) y’t(b) . 27-1	3|*		 13	3,
дг(3)—дс (1) x't (|) ’ ИЛИ 9—1	21	• ИЛИ 4 — 2
т. е. £=13/6. Найденное значение £ удовлетворяет неравенству 1 < £ < 3.
Подставив значение f = £ в параметрические уравнения кривой, получаем
х= 169/36, # = 2197/216. Итак, искомая точка М (169/36; 2197/216). Д
1002.	Представить функцию f(x)= у/ х в виде многочлена пятой
степени относительно двучлена х—1.
Д Вычислим значения функции /(х)=х1/Гз и ее производных до пятого
порядка включительно при а=1: / (1) = 1, /' (*) = (1/3) х“2/3, /' (1) = 1 /3; /"(х)=;
= — (2/9)х“б/3, Г( 1) = —2/9;	(х)	=	(	Ю/27)	х~ 8/3,	/"(1)	= 10/27; /IV (х) =
= — (80/81) х’11/3, /IV (1) = — 80/81; /v (х) = (880/243) х’14'3, /v (1) = 880/243.
Следовательно, по формуле Тейлора получим
з	/—	1	2	10
у ,=i+|(*_i)_w(*_i).+^_gr(,_1)._
81*4!	*)*+	243-51	5)*+^5'
1003.	Представить функцию / (х) = а* (а > 0) в виде многочлена
третьей степени относительно х.
Д Имеем
f (х) = ах,	/ (0) = 1 *
/' (х) = a* In ау	f (0) = In а,
f"(x)=a*\n2at	fn (0) = Inaa,
Г (x) = a* In3 а,	Г (0) = !n3a,
/IV (x) = ax In4 at /Iv (Ox) =ln4 a»a9**
169

По формуле Маклорена получаем
а«_,+„„„+г^!«+^+/г„
где R3=—а6*, 0 < 0 < 1. £
1004.	Вычислить с точностью до 10“® приближенное значение
I/29.
з	г— з /	/	2	\ 1/з
Д Представим заданный корень так: у 29= у 27+2=3M+g^J	•	Вос-
пользуемся биномиальным разложением
/1 . V- * . т » /я(т—1) , ,	, т (т — 1).. .[т—я-4-1] „ , л
(1+дс)<я = 1 + _х-)	+		L—i	+
Отсюда получаем приближенное равенство
/,14-	*	^	т	* tnim— 1)	.	.	m(m —1).. .(m—я-4-1)
(1 +*)'» я 1 + jj x-x—~2i—Lxt+... H—i^*/>,
погрешность которого
может быть сделана как угодно малой при |*| < 1 и при достаточно большом /и
Полагая * = 2/27 и т= 1/3, получим
3/™_оЛ ,2	2*2	,	2»2‘2*5	26-5	,	,	п
/29-3^1-)-81	8ь81+	81з	,8i«	*
Оценивая величины последовательных ошибок вычисления 3|#п|, находим
3|Лг|<^< 0.002,	0,0003.
Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять тр*
члена, которые предшествуют остатку R2t т. е. \/29 « 3 (1 + 0,024 — 0,0006) **
= 3,072. Д
1005.	Вычислить V~e с точностью до 0,0001.
Д Воспользуемся формулой Маклорена для функции ех:
*	«	.	*	. х2 I	*	хП . п.
* “1 +_П+Ж+• • •"Ьн**"’
еВх
где /?Л = 7—гтгг*”+1» 0 < 0 < 1. Полагая х = 1/2, получаем
(л+1) 1
^esI+TTT+2^+I^+e**+2^rti+ Rnt
eQ/2
ГДе Rn = 2n~(n+lf\ ’ о<0<1-
fii/a
Так как 0 < 0 < 1, 2 < е < 3, то ’tf„ <	•	Но	е	<	2' П09Т°"?
Rn < 2n |у|» Требуется определить п так, чтобы выполнялось неравенство
Rn < 0,0001.
170

Если п=3, то R3 < g4^; R3 <
» п= 4, » Rt < jg. |20:	<	1920’
»	«=5, » i?s< 32^20; Л*< 0,0901.
Для определения У e с точностью до 0,0001 получаем приближенное
равенство
I 1 I 1 I 1
у е * I -f- 2_Г2г-2!-1-23-3!-1-24-4!-1"2‘-51‘
Произведем суммирование, обратив все слагаемые в десятичные дроби с одним
лишним (запасным) знаком. В результате получим У е » 1,6487. А
1006.	Дана функция f(x), непрерывная вместе со своими произ¬
водными до (п—1)-го порядка включительно на отрезке [а, Ь\ и
имеющая производную n-го порядка в интервале (а, Ь), причем для
этой функции выполняются равенства f (a) = f (xj = f (хг) = ... =
—	f (*n-i) = f Ф)> где a < Xf < х* < ... < x„_i < 6. Доказать, что в
интервале (а, о) найдется по крайней мере одна такая точка
для которой /(пГ(£) = 0.
1007.	Рассмотреть частный случай предыдущей задачи, если
f(x) — (x—1) (*—2) (х—3) (х—4), а— 1, хх = 2, х2 = 3, 6 = 4. Опре¬
делить £.
1008.	Представить в виде многочлена третьей степени относи¬
тельно X—Х0 (х0 Ф 0) функцию 1/х.
1009.	В какой точке дуги АВ кривой у = х*—Зх касательная
параллельна хорде АВ, если А (0; 0), В (3; 18)?
Вычислить с точностью до 10~31
1010.	cos41°.	1011.	i/m.
1012. У7.	1013.	{/Ш.	1014. sin 36°.
2.	Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Пусть в некоторой
окрестности точки х0	(кроме,	быть может, самой точки	х0)	функции	f (х)	и	q> (х)
дифференцируемы и	q>' (х) Ф	0. Если	lim / (х) = lim	ф	(х) = 0	или	lim	f	(х) =
Х-+Х0	Х-+Хо	х-+х0
—	lim ф (х) = оо, т. е. частное / (х)/ф (х) в точке х=х0 представляет собой неоп-
х -> JT0
ределенность вида 0/0 или оо/оо, то
и» ж. в» т,
*	-+ Х0 ф (*) х -* xQ Ф (х)
если предел в правой части этого равенства существует.
Если частное /' (х)/ф' (х) в точке х = х0 также есть неопределенность вида 0/0
яли оо/оо и производные /' (х) и ф' (х) удовлетворяют соответствующим условиям,
то следует перейти к отношению вторых производных и т. д.
В случае неопределенности вида 0-оо или оо — оо следует алгебраически пре¬
образовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида 0/0
яли оо/оо и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
В случае неопределенности вида 0° или оо° или 1* следует прологарифмиро¬
вать данную функцию и найти предел ее логарифма.
171

Найти следующие пределы:
1015.	lim x'rJ + 'nx.
х-*• 1	^ е
Д Числитель и знаменатель стремится к нулю при х —► 1, а потому имеем
неопределенность вида 0/0. Воспользуемся правилом Лопиталя, т. е. рассмотрим
предел отношении производных заданных функций:
Urn **-zi.+ ln*= Jim 2*+1/*._-Л А
1 е* —е х-+1 ех е “
1016.	lim --~s3ln *.
X-*- й *3
Д Это—неопределенность вида 0/0. Имеем
lim	lim	'-ros lim
X-
■	o 3xa x о бдс 6 ?
так как Нш	1. Здесь правило Лопиталя применено дважды. Д
о х
Х*г
1017.	Нш если п—целое положительное число.
Х-+ ® е
Д Это—неопределенность вида оо/оо. Применим правило Лопиталя п разе
lim	lfm	2*111= lim	lim	^n-l)(n-2)^..ic0	^
OO e* X-+ oo	00	£*	JC -> 00	^
1018.	lim -Д—г.
Д В данном случае также имеет место неопределенность вида оо/оо. Находим
«*/*	**/1(,+т)	т^/г(2+т)
lim *t—== lim 	i	£2 = lim -	i	i/=s
к-+соХ-\-е* x -*■ cd	\-\-ex	x-+ oo	e*
=i- lim	lim		1(2=0. A
2	x—► ш	2	ш (1/2)
1019.	lim (x*lnx).
x-* 0
Д Здесь мы имеем неопределенность вида 0*оо. Представим произведен*
функций в виде частного, а затем, получив неопределенность вида оо/оо, приме¬
ним правило Лопиталя:
102°-
Д Это—неопределенность вида оо — оо. Для того чтобы найти предел функ¬
ции, приведем дроби к общему знаменателю, а затем, получив неопределенность
вида 0/0, применим правило Лопиталя:
lim fining lim —flmi—— lim —gL-^-L, A
*->o x(e*— 1) х^оех—Х+хе* x-+oe*(2+x)	2	ш
172

1021.	lim (sin*)*.
x -* 0
Д Это—неопределенность вида 0°. Обозначим данную функцию через у, т. е.
y = (sinx)xf и прологарифмируем ее:
,	, а In sin JC
In y~x\nsln х=———.
\/Х
Вычислим предел логарифма дайной функции, применяя правило Лопиталя (здесь
имеем неопределенность вида оо/оо):
Um In у = lim Ins^= Иш cos */sia x=s
X —► О	X	-*	0	l/x х-> о — \/Х*
x*cosx | •	/	д:	\	л
lim [ x.cosx* —— )=0.
;-*0\	SUlXJ
=— lim
x -* о sinx	jc-
Следовательно, lim y—e°= 1. Д
x-> 0
1022.	lim (tg*)*'01*.
X-* Я/2
Д Это—неопределенность вида oo°. Положим (tg jt)2C0s*=y и прологариф¬
мируем:
i г. л i 21пtgx
In у = 2 cos x-lntg;c=——.
*	&	1	/cos	дс
Применяя правило Лопиталя, получим
lim In у = 2 lim *11*5=2 lim
х-*я/2	х-*я/а sec*	х—►я/2 secxtg*
=2 lim ^££=2 lim	—	lim	cosjc=0,
х-+-я/2 tg *	х->я/2 2tgxsec2jc x-+ni*
t. e. 11m y=e° = l. ^
X-*- Я/2
1023.	lim (l+x)lfl*.
x-*0
Д Это—неопределенность вида 1“. Логарифмируя и применяя правило Лопи¬
таля, получим
lim In у= lim (In jc In (1 +дг)) = lim 0+^) __
X-> 0	X-*	0	X->	0	1	/In	JC
= lim _um	lira	J£^L	=
x-► о — 1 ftxIn*x)	X-+0 x+1	*-*ol+l/*
=_ lim (2 In*)/*	2 lim lnx=2 ,Im _ 1/* Q
x-*0 —1/*	x0 1/X x-* o—l/x2
Таким образом, lim y=e° = l. Д
x-+ о
Найти пределы следующих функций:
Неопределенность вида 0/0.
1024.	lim -т^ггт •	*025.	lim Л~Г* .
ж — 1	—4ж*+3	x->olnU+*)
1026.	lim n-^Tctgx	.	1027.	lim
*->.	е3'х-\	х^о	**
1028.	lim*3*"3*-1-	*029.	lim	.
sin* Ьх	^.^arclg х—slnx—х®/6
Неопределенность вида оо/оо.
'«ж	,о31-	]?. '■¥	(»>о>.
173

1032.	lim -1”* ,	.
x-+ о * +2 In sin x
1033.	lim ГпХ'2\ • l034- lim
X-+ 1 In (1 x)	I	ctgju
Неопределенность вида 0-oo.
1035. lim (xctg яде).	1036. lim (arcsinx-ctg x).
x —► 0	x -► 0
1037. lim (1—cos x) • ctg x.
x-+Q
Неопределенность вида оо— оо.
103». lim (jJtt-лУ .	Ш9. lim	)	•
1040.	lim ('ctg2 A
x-> 0 \ *	/
Неопределенности вида 0°, oo°, 1".
1041. lim (я—2x)cosx.	1042. lim (cos2x)3/*\
Х-+Я/2	X-* 0
1043. lim (x + 2*)v*.	1044. lim
X -+■ at>	jc —► О V X J
3.	Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Функция / (дг) на¬
зывается возрастающей в точке x0i если при любом достаточно малом h > 0 вы¬
полняется условие f (x0 — h) < f(x0) < f(x0+h) (рис. 29).
Функция f (х) называется убывающей в точке х0, если при любом д ос та точит
малом h > О выполииется условие f (х0—h) > / (jc0) > f{x0+h) (рис. 30).
Функция / (х) называется возрастающей в интервале (а, Ь), если для любых
двух точек xt н хг из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству хх < х*.
выполняется неравенство f{x{) < f (х2).
Функция /(*) называется убывающей в интервале (а, Ь) , если дли любых
точек х\ и xt из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству х± < х»
вылолияетси неравенство f(x1) > f{x2).
Признаки возрастания и убывания функции.
1)	Если р (х0) > 0, то функция f(x) возрастает в точке х0-
2)	Если /' (*0) < 0, то функция / (х) убывает в точке х0.
Значение f (х0) называется максимумом функции f (х), если при любом доста¬
точно малом Л > 0 выполняются условии f (х0—h) < f (х0) и	f (x0-\-h)	<	f	(х±
Точка Xq называется в этом случае точкой максимума функции f (х)	(рис.	31 и
Значение f (х0) называется минимумом функции /(*), если при лгёбом доста¬
точно малом Л>0 выполняются условия f(x0—h) > f (х0) н /(х0+Л) >/ (x*L
Точка х0 называется в этом случае точкой минимума функции f (х) (рис. 32и
Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точка
максимума или минимума функции называется точкой ее экстремума.
Необходимое условие э к ст р ем ум а. Если функция ! (х) в точке Ящ
имеет экстремум, то производная /' (х0) обращается в нуль или не существует.
174

Точка jcq, в которой /' (*0) = 0, называется стационарной точкой. Точки,
в которых //|(х)=0 или /' (х) не существует, называются критическими точками.
Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Достаточные условия экстремума.
Правило 1. Если х0—критическая точка функции f (х) и при произвольном
достаточно малом h > О выполняются неравенства /' (х0—Н) > 0, /' (*0+Л) < О,
то функция / (х) в точке х0 имеет максимум; если же /' (х0—Л) < 0, /' (х0 -j-Л) >0,
то функция / (х) в точке дг0 имеет минимум.
Если знаки ff (хо—Л) и /'(*ь+Л) одинаковы, то функция f (х) в точке х0
экстремума не имеет.
Правило 2. £слы /' (дг0) = 0, /" (дс©)	0, то функция f (х) в точке х0 имеет
экстремум, а именно максимум, если Г(*о) < 0, а минимум, если Г (х0) > 0.
Правило 3. Пусть f' (x0) = 0t /"(*<,) = 0,	/(«-D (х0) =0, /(л) (х0)	0.
В этол случае функция f (х) имеет в точке х0 экстремум, если я — четное число,
а именно, максимум при рп) (х0) < 0 а минимум при fo) > 0. £сла яюе я —
нечетное число, то функция f (х) в точке х0 экстремума не имеет.
Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции / (*) на отрезке
fa, 6] нужно из значений функции на границах отрезка и в критических точках,
принадлежащих этому отрезку, выбрать наибольшее (наименьшее).
1045.	Даны точки х = 3, л: — 1, х = — 1, х = 0,5. В каких из пе¬
речисленных точек функция у = х3—Зх2 возрастает? Убывает?
Д Найдем производную у9 = Зх2—6х.	Имеем:
если	x=3t то	у' =	9>0	— функция возрастает;
»	х~ 1	>	у' — — 3<0	—	»	убывает;
»	х=—1	»	у'=9	>0—	»	возрастает;
»	* = 0,5	»	у' =—2,25 <	0—	»	убывает. Д
1046.	Найти интервалы возрастания и убывания функции */ =
Д Находим у9 = 1 +(3/2) х1!2. Так как производная положительна в про¬
межутке [0, + оо) , то функция возрастает во всей области определения. Д
1047.	Найти интервалы возрастания и убывания функции у =
= х—2sinx, если 0^х^2я.
Д Найдем производную: у' = 1—2 cos*. Очевидно, что у' > 0 в интервале
(я/3, 5я/3) и у' < 0 в интервалах (0, я/3) и (5я/3, 2я). Таким образом, в интер¬
вале (я/3, 5я/3) даииая функция возрастает, а в интервалах (0, я/3)и(5я/3, 2я) —
убывает. Д
1048.	Исследовать на экстремум функцию у = (х—5)е*.
Д Находим производную: у'=(х—4) е*. Приравниваем ее нулю и находим
стационарную точку: е* (х—4)=0, jc=4; у* (4—h) =—Лг4"* < 0, у' (4-{-ft) =
cs> б. Согласно правилу 1 заключаем, что в точке функция имеет
минимум */mln = —е4- А
175

1049.	Исследовать на экстремум функцию y = xV 1—х2.
Д Функция определена при —l*^*s^l. Найдем производную: у* =
= (1—2х2)/У'\—х2\ у' — 0 прн 1—2х2 — 0; отсюда хх — — мУ 2, x2=\lV•
(стационарные точки); £/' = оо при х— ± 1, т. е. на границах области определе¬
ния функции.
Найдем вторую производную: у” = х(2х2—3)/(1 —лс2)3/2. Вычислим значенн*
второй производной в стационарных точках. При x=\!Y 2 имеем
tf (М\Г~2)=	J-(l~3)	 < 0;
V 2 (1 — 1 /2) 3/2
следовательно, согласно правилу	2 заключаем, что	в точке x=\lY 2 функция
имеет максимум утях = (Ч}^	1/2 =1/2. При х —	— 1 /)/" 2 получим
f (-MY 2)=	Н1-3)	> о,
V	2(1—1/2)8/*
т. е. в точке х——1 /у 2 функция имеет минимум ут\п =—1/2.
В критических точках х—± 1 экстремума нет, так как по определению точ¬
ками экстремума могут быть лишь внутренние точки области определения фун*-
цни. А
1050.	Исследовать на экстремум функцию у— {х—I)4.
Д Найдем производную: у'= 4(х—I)3; (х—1)3 = 0; х—\—стационарнгг
точка. Вторая производная у"=\2(х—I)2 при х= \ равна нулю. Третья произ¬
водная уп, — 2А(х—1) при *=1 также обращается в нуль. Четвертая произво!-
ная г/1У = 24 > 0. Следовательно,	согласно правилу	3 заключаем, что	в	точке
дс— 1 функция имеет минимум */min = 0. Д
1051.	Исследовать на экстремум функцию у = 1 — (х—2)4/в.
4	4
Д Находим у' =—=-(*—2)“1/б=	г» — .. Производная не обращаете*
ь	5	ух—2
в нуль ни при каких значениях х и не существует лишь при х — 2 (критнческгж
точка).
Так как при достаточно малом h > 0 выполняются неравенства у' (2—h) >0
и у' (2+h) < 0, то согласно правилу 1 заключаем, что при х = 2 функция имеет
максимум 2/max = 1 • А
1052.	Исследовать на экстремум функцию у=(х—2)2/3(2х+ 1).
Д Находим	*	# Критические точки х= \ (производная равна
6 у х—2
иулю) и х = 2 (производная не существует). При достаточно малом h > 0 выпол¬
няются неравенства у' (1 —Л) > 0, у' (1+Л) < 0, ; у* (2— h) < 0, у' (2 + Л) > 0.
Следовательно, в точке *=1 функция имеет максимум утах = 3, а в точк*
х=2—минимум утin = 0. А
1053.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции /(*) =
= Зх—х? на отрезке [—2, 3].
Д Находим производную: /'(х)=3—3х2; 3—3*2 = 0, т. е. х—± 1 — стацио¬
нарные точки. Определяем значения функции в этих точках: /(1) = 2, /(—!)=—2.
Вычисляем значения данной функции на границах промежутка: /(—2) = 2,
/(3)=—18. Из полученных четырех значений выбираем наибольшее и наименьшее.
Итак, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наименьшее
равно-18. А
176

1054.	Найти такой цилиндр, который имел бы наибольший объем
при данной полной поверхности S.
Д Пусть радиус основания цилиндра равен х, а высота равна у. Тогда
о o*io	^1	(S _	\
S	= 2n* +2я*у, т. е.
Следовательно, объем цилиндра выразится так:
v = V (ж)=я** • ~ ^	— 2ях ) = J х—.пх3..
Задача сводится к исследованяю функции V (х) на максимум при х > 0.
Найдем производную	—Зядс2 и приравняем ее нулю, откуда х =
=/37(55.
•Найдем вторую производную: ■	—бзгх. Так как при х — /^,(6л) вы-
d2V
полняется условие < 0, то объем имеет наибольшее значение, причем
_S—2л^5/(6л)_2
2nVS!(bn)
т. е. осевое сечение цилиндра должно быть квадратом. Д
Найти интервалы возрастания и убывания функций:
1055.	у = 2—Зх + х\ 1056. у = (х2 — 1)т.
1057. у = хе~х. 1058. у =(2—лг) (лг-j- I)2-
Найти экстремумы функций:
1059. у = х2( 1 — хУ^х). 1060.' у = х + j/^3—х. 1061. г/ = 1п (х2 + 1)«
1062. y = ch2x. ЖЗ. у = ~-. 1064. y = xe~x*/2.
1065. у=(хг—1)»/’. 1066. у=(2х—1)У(х—3)2.
1067. у — х*—4дг® + бл:2—4х. 1068. у — х—2sin2x.
1069.	у = ех-ъ ,,п\
1070.	Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у = х*—2х2 + 3 на отрезке [—3, 2].
1071.	На оси Оу найти точку, из которой отрезок АВ виден под
наибольшим углом, если А (2; 0), В (8; 0).
1072.	Пункт В находится на расстоянии 60 км от железной до¬
роги. Расстояние по железной дороге от пункта А до ближайшей
к пункту В точки С составляет 285 км. На каком расстоянии
от точки С надо построить станцию, чтобы затрачивать наименьшее
время на передвижение между пунктами А и В, если скорость дви¬
жения по железной дороге равна 52 км/ч, а скорость движения
по шоссе равна 20 км/ч?
1073.	Найти стороны прямоугольника наибольшей площади,
который можно вписать в эллипс х2/25 + у2/9 = 1.
1074.	Проволока длиною I согнута в прямоугольник. Каковы
размеры этого прямоугольника, если его площадь наибольшая?
177

1075.	Найти наибольший объем конуса, образующая которого
равна /.
1076.	Найти наибольший объем цилиндра, у которого полна!
поверхность равна S.
1077.	Турист идет из пункта А, находящегося на шоссейной
дороге, в пункт В, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние
от Л до В по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу
следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти
в пункт В, если скорость его по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью
3 км/ч?
1078.	Канал, ширина которого 27 м, под прямым углом впадает
в другой канал шириною 64 м. Какова наибольшая длина бревен-
которые можно сплавлять по этой системе каналов?
1079.	На какой высоте над центром круглого стола радиуса а
следует поместить электрическую лампочку, чтобы освещенность
края стола была наибольшей?
Ф Яркость освещения выражается формулой / = (k sin ф)/г2, где ф — угол
наклона лучей, г—расстояние источника света от освещаемой площадки, к—сила
источника света.
4.	Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба. График функции y^f(x) назы¬
вается выпуклым в интервале (а, Ь) , если он расположен ниже касательной, про¬
веденной в любой точке этого интервала (рис. 33).
И
Рис. 33	Рнс. 34
График функции y = f(x) называется вогнутым в интервале (а, Ь), если он
расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 34).
Достаточное условие выпукл.ости (вогнутости) графика
функции. Если f" (*) < 0 в интервале (atb)> то график функции является
выпуклым в этом интервале; если же /" (*) > 0, то
в интервале (а. Ь) график функции—вогнутый.
Предположим, что функция / (х) дифференцируема
на интервале (а, Ь) и х<>е(а, Ь). Точка (xq; / (*о)) графика
функции у**/(х) называется точкой перегиба этого гра¬
фика, если существует такая окрестность точки xq оси
абсцисс, в пределах которой график функции / (х) сл©а
рнс 35	и	справа	от точки хо имеет разные направления выпук¬
лости (рис. 35).
Бели хо — абсцисса точки перегиба графика функции >>-/(х), то вторая произ¬
водная равна нулю или не существует. Точки, в которых f (х) — 0 или f* (х) не
существует, называются критическими точками II рода.
Если х0—критическая точка П роДа й при произвольном достаточно малом
Л> 0 выполняются неравенства f” (х0—Л) < 0, Г(*о + Л)>0 (или неравенства
f* fa— h) > 0, f (х0+Л) < 0), то точка кривой у=[(х) с абсциссой х0 является
точкой перегиба.
Если же f” (х0—Л) и f" (*0 + Л) имеют одинаковые знаки, то точка кривой
У**/(*) с абсциссой х0 точкой перегиба не является.
1080.	Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функ¬
ции t/=*x* + 5x—Ь.
178

Д Имеем у' = 5д^+5, уп = 20х3. Если х < О, то у" < 0 и кривая выпукла;
если же х > 0, то у" > 0 н кривая вогнута. Итак, кривая выпукла в промежутке
(-оо,0). и вогнута в промежутке (о, +оо)'- А
1081.	Найти экстремумы функции у=(х+1)2(х—2) и точки пе¬
региба ее графика.
Д Найдем первую производную: у'=*3(х2—1). Корни первой производной:
*1 = —1, х2 = 1. Найдем вторую производную:	=	Вычислим	значения	вто¬
рой производной в стационарных точках: if (—1) = — 6< 0, т. е. утах=0; у" (1)=
=6 > 0, т. е. i/mln — — 4.
Найдем точку перегиба, для чего вторую производную приравняем нулю:
6ис=0, т. е. х = 0. Слева от точки х = 0 имеем у" (0—h) < 0—кривая выпукла,
а справа от точки х = 0 имеем */"(0 + Л)>0—кривая вогнута; следовательно,
точка с абсциссой х = 0 является точкой перегиба; «/т.пер = — 2. Д
1082.	Найти точки перегиба кривой у = (х—5)Б/3-]-2.
Д Находим у'=~- (х—5)2/3, уп= 	- . Вторая производная не обра-
^	у£/ х—5
щается в нуль ни прн каких значениях х и не существует в точке х = 5. Значе¬
ние х = 5 ивляется абсциссой точки перегиба, так как if (5—h) < 0, if (5+/i) > 0.
Таким образом, (5; 2)—точка перегиба. Д
1083.	Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой у = хе*.
1084.	Найти точки перегиба кривой у = (х—4)ъ-\-4х+4.
1085.	Найти точки перегиба кривой у=(х—1)[/(*—1)в.
1086.	Найти точки перегиба кривой у^х*—8х* + 24х2.
б. Асимптоты. Прямая L называется асимптотой кривой y=f(x), если рас¬
стояние точки М (х; у) кривой от прямой L стремится к нулю при неограничен¬
ном удалении этой точки по кривой от начала координат (т. е. при стремлении
хотя бы одной из координат точки к бесконечности).
Прямая х = а является вертикальной асимптотой кривой y=f(x), если
lim / (х) = + оо или lim / (х) = — оо.
ж-+ а	х-*> а
Прямая у = Ь является горизонтальной асимптотой кривой у = /(х), если
существует предел lim f(x)=b или lim f(x) = b,
*“►+<»	* —► — ао
Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой у = /(х), если
существуют пределы
&= lim 9 b— lim [f(x) — kx]
Х->+ 00 X	X-++CD
ВЛИ
k= lim Ю. t b= lim lf(x) — kx]*
X	®	X	X	— 00
1087.	Найти асимптоты кривой y = Y хъ1(х—2).
Д Функция определена в интервалах (— оо, 0) и (2, +со)’. Так как
lim Yх*1(х—2) = + оо, то прямая х = 2 является вертикальной асимптотой
х-^2 + О
кривой.
Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как lim Y х*!(х—2) и
■ ■		X -► + во
lim У~х*Цх—2) не являются конечными величинами,
f-f — оо
179

Определим, существуют ли наклонные асимптоты. Находим:
1) *i=	lim	11т	У*?К*—2)	=	Пт л/	х
*-► + 00	х	х^+со	х	Х-++ 00 Г	*—2
= lim l/	!	=|
*- + « V 1 —2/х	*’
*>!=	11т	{/(*)—М = Пт ( л/'=
*-►+00	X -+ + ао\ f X — 2	/
* (У~*—Ух—2) = Цт *(*—*+2)
Y Х—2
= lim
X -► + со
: 1 •
+ " V^1_l(1+Yx~t)
Таким образом, существует правая наклонная асимптота у — х+1;
V* х3/(х—2)
2) *,= Um
* lim «
X -► — оо
= lim
Ж — 00
У */(*-2)
—1
(разделили числитель и знаменатель на положительную величину —х), т. е.
6,= lim [/(*)—*2*] = lim (	+*)~
ДГ — 00	А' —► — 00	\	'	X — &	/
=	11т	(/Э+1).	lim	=
X - 00 \ г	2 — X	/	^	-	00	2—X
__ »т «У-»-УТ^
х-> - 00	]/ 2—*
lim
*(—х—2+х)
— 1.
оо у2—х (f/'—x+y2—х)
Итак, существует левая наклонная асимптота у = — х—1 (рис. 36). Д
1088. Найти асимптоты кривой у = х+ 2 arctg х.
Д Нетрудно видеть, что вертикальных *
горизонтальных асимптот кривая не имеет. Ищем
наклонные асимптоты:
*+ 2 arctg* ^
К
Рис. 36
1)	lim
х + 00	х
- lim (i+2"s!ii.)_,,
X —► + Ю \	*	/
Ьг~ lim (х+2 arctg*—х) — 2 (я/2)=я;
ж —► + в>
у = х + я—правая наклонная асимптота;
2)	V-= lim *+2arc-li* =
Jf-+ - со	X
a= lim
jt —► — «
(l+2=£*)-l
62= lim (*+2 arctg*—x) = 2(— я/2) = —• jq
X -► — 00
y=*x—я—левая наклонная асимптота. Д
180

1089.	Найти асимптоты кривой у ==х2е~*.
Д Очевидно, вертикальных асимптот нет. Если х—то у—► (). Следова¬
тельно, ось Ох является горизонтальной асимптотой данной кривой. Определим,
существует ли наклонная асимптота:
*= lim 11—= lim 4=0.
X -*■ CD	X	х -*■ <*> е
Таким образом, имеется только горизонтальная асимптота # = 0. Д
j^2 1 2
1090.	Найти асимптоты кривой // = —х+2 ’"
Д Если х—►—2, то у—>»оо, т. е. х = —2—вертикальная асимптота.
Найдем невертнкальные асимптоты:
и 1*	х2—2х + 3	Г х2—2х + 3	1	.
»- !Г.1—г+5—*J—*•
Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение у=х—4. Д
Найти асимптоты кривых:
1091. у = 2х—И£1£.. Ю92. 1/ = ^—Зх. 1093. у= j/x3 —6х2.
1094. y = 0,5jc+arctgj:. 1095. «/ = — xarctgx.
6.	Построение графиков функций по характерным точкам. Прн построении
графика функции y = f(x) полезно выяснить его характерные особенности. Для
этого надо:
1)	найтн область определения функции;
2)
2)	исследовать функцию на	четность	и нечетность;
3)	найти точки пересечения	графика	функции с осями координат;
4)	исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва (если они
существуют) и установить характер разрыва; найтн асимптоты кривой y = f(x)\
5)	найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы;
6)	найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
1096.	Построить график функции у= ^	.
Д 1) Область определения функции—вся ось Ох, за исключением точки х=0,
т- \Р#)=	+«)	•
2)	Функция не является четной или нечетной.
*34-4	w-
3)	Найдем точки пересечения графика	с осью Ох, имеем	—^—=0;	х	у	4.
4)	Точка разрыва х = 0, причем limy=oo; следовательно, х=0 (ос*> Оу) яв-
.«-►о	-	и
ляется вертикальной асимптотой графика.
Найдем наклонные асимптоты:
k=limt<£=]im £+1=1;
х-»* х	х3
6	= lim [/ (х)—kx\ = lim ( Х-^-— X W lim -4=0.
Х-+<*>	Х-+°°	\	Х 1	/	Х-+°о	X
Наклонная асимптота имеет уравнение у — х.
5)	Найдем экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем
у9 = \—8/х3 = (х®—8)/х3; у' = 0 при х = 2; г/' — оо при х = 0 (точка разрыва функ¬
ции). Точки х = 0 и х = 2 разбивают числовую ось на промежутки (— оо, 0),
181

(0,2) н (2, + оо), причем у' > 0 в промежутках (—оо, 0) и (2, +оо) (функция
возрастает) и у' < 0 в промежутке (0, 2) (функция убывает).
Далее, находим у” = 24/х4; tf (2) > 0,5 следовательно, х = 2—точка минимума;
	3.
гги и вогну-
tf > 0, то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет.
Используя полученные данные, строим график функции (рис. 37). Д
1097.	Построить график функции y=y/l—дс*.
Д 1) Область определения—вся ось Ох, т.е. D (у)= (—со, +оо).
2)	Функция не является четной или нечетной.
3)	Точки пересечения с осями координат: если х = 0, то ^=1; если ^ = 0, то
х = 1.
4)	Точек разрыва и вертикальных асимптот нет. Имеем:
ности критических точек производная ие меняет знака, экстремумов иет. Так каж
у' < 0 при всех х ф 0, то функция убывает иа всей числовой оси.
6)	Находим tf——2xj \/(1 — х3)6; у*—0 при jc=0; tf= оо при х=\\ tf (—h) > 0;
tf (h) <0, if (\ — h) < 0; tf (1 -f-Л) > 0. Следовательно, в промежутках (—оо, 0)
и (1, ■+■ со) кривая вогнута, а в промежутка (0,1)—выпукла. Точки перегибе
имеют координаты (0; 1) и (1; 0).
Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 38). Д
Построить графики функций:
тоста кривой и точки ее перегиоа. Так как
Рис. 37
Рис. 38
Ь = ton (*/1-*з+*)=Нт 3/(Г—=0.
Итак, наклонная асимптота у — — х.
5)	Находим у' = —х21	(1 —дс3)а; уг = 0 при х = 0\ у' = <х> при * = 1. В окрест-
1098. у = sin2 х. 1099. у=Зу/х—х.
1100. y = lnx—ln(x—1). 1101. г/ = In
1104. у=16х(х— 1)» 1105. «/=(x—l)Vx.
182

1106. у = х + е~*. 1107. y = ln(x+V/*iT7).
1109.	1, = ^.
1108. у-
§ 3. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ ЛИНИИ
Углом смежности дуги АВ плоской линии называется угол <р между каса¬
тельными, проведенными в точках А и В этой линии (рис. 39). Отношение угла
смежности к длине н дуги АВ называется
средней кривизной дуги АВ, т. е. fccp = <p/s.
Кривизной дайной линии в точке А на¬
зывается предел средней кривизны дуги АВ
при В—т. е. fc = lim(<p/s).
s—► О
Кривизна окружности k0KV~\la% где
а—радиус окружности; кривизна прямой
равна нулю.
Если линия задана уравнением y = f(x)t
то ее кривизна вычисляется по формуле
\1Г\
(1+«лз/а*
Если линия задана параметрическими
уравнениями * = <р(/),	то
h_ I ху—ух I
dx
dy
<Рх d*y
где х— df , у— df , х d(i , у d(i.
Если линия задана в полярных координатах уравнением р = /(0), то
, I Ра+ 2р'г—рр" |
(р‘+р'У/4 *
где р'=|. Р'=-^.
Радиусом кривизны называется величина, обратная кривизне: /? = 1/| Л |.
Окружностью кривизны данной линии в ее точке А называется предельное
положение окружности, проходящей через три точки А, В, С кривой, когда
В—у А и С—►Л.
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны. Центр окружности
кривизны называется центром кривизны и находится иа иормали к лииии, про¬
веденной в точке А в сторону вогнутости этой линии.
Координаты Бит) центра кривизны лииии y*=f(x) вычисляются по формулам
г_х У' 0+</'*)	,	\±У1
*	р • Ч— 44 у—•
Эволютой линии называется множество ее центров кривизны. Формулы для
координат центра кривизны можно рассматривать как параметрические уравнения
эволюты (где параметром является абсцисса х исходной линии).
1110.	Найти кривизну линии у = —х* в точке с абсциссой х—1/2*
Д Имеем у' — —Зх2,	= — бдг. При *=1/2 эти прЬизводные принимают зна¬
чения £/' =—3/4,	= —3 и
—3
(1 + 9/16)8/*
3	_	192
! 125/64- 125’
283

ll 11. Найти кривизну в любой точке циклоиды x=a(/~-sinf),
у=а( 1—cos t).
1112; Найти координаты центра кривизны линии Xs +	=	2
в точке М( 1; 1).
Д Продифференцируем уравнение данной линии дважды:
т. е. С (43/68, 26/51). А,
1113.	Составить уравнение эволюты параболы 2у* = 2х -f 1.
А Продифференцируем дважды уравнение параболы:
Получаем уравнение эволюты в параметрической форме: £ = 3yl, t) = —4у*.
Исключив параметр у, найдем уравнение эволюты в явном виде: t)®=16£3/27. Д
1114.	Найти радиус кривизны эллипса хг/25-\-у*/9— 1 в точке
М (0; 3).
1115.	Найти радиус кривизны в любой точке кардиоиды р =
= a( 1 +cos0) (а > 0).
1116.	Найти кривизну линии х = е* sin t, y = e1cost в точке t — 1.
1117.	Найти координаты центра кривизны линии у = \/х в точке
М(1; !)•
1118.	Составить уравнение эволюты кривой х = t sin t + cos f.
y=tsmt—sin*.
Д x=a (1 —cos/), i'=asln/, y = aslnt, y=acost,
xy—ух=аг (cos /—cos* /—sin* /) = — a2 (1 —cos /),
is+y2 = a2 (1—2 cos /-f- cos* /+sln’ /) = 2a2 (1 —cos /),
|		/*2/1	A I	1
3*2 + 4y*y' = 0 (*), bx +12y2yn + 4tftf = 0 (* *).
Так как *=1, ^=1, то из уравнения (*) находим уг*=—3/4, а из уравнения (*«)
получаем 6+27/4 + 41/" = О, т. е. уп=*—51/16. Тогда
£=x_(i4YV
(1+9/16) (-3/4) 	43
—	51/16	~68'
1+9/16	26
—51/16	51’
4уу' = 2, У'^щ \ 4</,l+4i/i/"=0, tf=—
Определяем координаты центра кривизны:
184

§ 4. ПОРЯДОК КАСАНИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
Если кривые y = f(x) и у = <р(х) имеют общую точку М (*©; y0)t т. е. у0 =
= f (*0) = <р (*0), и касательные к указанным кривым, -проведенные в~томввь.Л* (х0;
у0), не совпадают, то говорят, что кривые y — f (х) и у = ц> (х) пересекаются в точке М.
Условие пересечения этих кривых в точке М (х0; Уо) таково:
f (*о) = ф (*о). ? (*о) Ф ф' (*<>)•
Если же эти кривые имеют общую точку М (х0\ у0) н касательные в этой
точке к обеим кривым совпадают, то говорят, что кривые касаются в точке М.
Условие касания кривых в точке М (.х0; у0) таково:
/ (*о) = <Р (*о).7'(*о) = ф' (*о)-
Если, наконец,
/(*о)=ф(*о). П*о) = ф'(*о)> Г(х»)=*<р'(х»), •••• /(я)(*о) = Ф<я)(*о)>
но ^я + 1> (д^) ф ф(«+г) (х0), то принято говорить, что в точке М (х0; у0) кривые
y — f(x) и # = ф(*) имеют касание п-го порядка.
Если n^z 2, то кривые y = f(x) н */ = <р(х) в точке М (*<>; у0) имеют не только
общую касательную, но и одинаковую кривизну.
1119.	Какой порядок касания имеют кривые у = е~х и ху= \/е
в точке лг = 1 ?
Д Пусть /(х)=е-*, ф (*) = \/(ех). Найдем последовательные производные
этих функций: /' (х) = —-е~х, /" (х) =е~х% ф' (х) =—1/(ех*)9 фя (*) = 2/(ех3)
Теперь вычислим значения данных функций и их производных в точке х=\;
имеем /(1)=в“1, /' (1) = —е-1, f" (1)=е~1; ф (1)=в—1, ф' (1)== — в-1, ф'*(1)=2&“1.
Таким образом, / (1) = ф (1), /'(1) = ф'(1), но f (1) Ф ф* (1). Следовательно, ука¬
занные кривые имеют касание первого порядка. Д
1120.	При каком выборе параметра а кривая y = e*x имеет в точке
лг = 0 касание первого порядка с прямой у = 2х+1?
Д Пусть f(х)=еах и ф(*) = 2х+1. Для того чтобы указанные линии имели
в точке х = 0 касание первого порядка, необходимо выполнение равенств / (0)=ф (0)
и /'(0)=ф'(0), т. е. еа,° = 2»0-(-1 и ае° = 2. Отсюда й — 2.^
Определить порядок касания заданных кривых:
1121.	t/=l+cos;t и у = 2—х2 в точке х = 0.
1122.	у = sin2* и оси Ох в точке х = 0.
1123.	Цепной линии */ = (е* + е~х)!2 и параболы у = 1+0,5ха
в точке лг = 0.
1124.	Окружностей х2-\-у2 = 2у и х2 + у2 = 4у в точке х = 0.
1125.	Параболы у = х* и оси Ох в точке х = 0.
1126.	In (1 лг) и параболы у = х—х2 в точке х = 0.
§ 5. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
И ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯ
Пространственную кривую можно задать параметрическими уравнениями
x~x(t)t y=y(t), z = z(t) или векторным уравнением
r = x(t)l + y(t)\ + z(t) к.
Последнее уравнение определяет переменный вектор г как вектор-функцию
скалярного аргумента /, т. е. г == г (/). Кривая, заданная уравнением г=г(0» на¬
зывается годографом переменного вектора г.
185

Производной вектор-функции г=г(0 по скалярному аргументу i называется
новая вектор-функция, определяемая равенством
, /Л dt .. Лг
г (0=л7=* К™ “л7*
Производная вектор-функции может быть вычислена по формуле
—	- — 1-4-	14- — к
d/ + dt 3+ dt
dr
Производная -g- есть вектор, направленный по касательной к годографу век¬
тора г в сторону возрастания параметра Л
р *	dr	cfar
Если г есть время, то ——вектор скорости конца вектора г, а ^ — вектор
ускорения.
Основные правила дифференцирования вектор-функции скалярного аргумента:
1* 1/г.±г	.	\	drf , dra dr,.
1 • li (-Tl+Ti~Ta)—3t + dt~4i'
dc
2°.	, где с — постоянный вектор;
3°. ~ (^г)==^'57"Ьг“5Г * где МО—скалярная функция от t;
4°-|-(™)=fh+r‘ •£;
5°'-|-(riXr»)=§Xra+riX§.
Уравнения касательной к пространственной кривой г=х (/) l-\-y (t) J+z (0 к
в точке Л1о(*о;	*о)	записываются в виде
(х—х0)/х„ = (У—Уо)/Уо = (z—z0)/z0i
где *о = *(/о)> Уо=У(*о). 20 = г(/0), i0=*'(0o, У<,=У'(t<>), z0 = z' (/0)'.
Нормальной плоскостью называется плоскость, проходящая через точку каса¬
ния и перпендикулярная касательной. Уравнение нормальной плоскости имеет вид
*о (*—*о) + г/о (у—Уо)+г(г~г0) = 0.
Дифференциал дуги пространственной кривой вычисляется по формуле
ds=Kia+04+i*d<.
1127.	Какая линия является годографом вектор-функции г =
=а\ cos t + а\ sin t + ctk?
Д Эта линия имеет параметрические уравнения х=а cos t, у=а sin t, z=ct,
определяющие винтовую линию. Д
Найти годографы вектор-функций:
1128.	r=lcosf-f j + ksin t. 1129. r = *0 + j + k).
113(K r = i +j + fk.	1131. r = ichf +jshf.
1132.	Найти производную скалярного произведения векторов
r1 = 3« + 2j + 5k и ra = 2i —3*j + k.
Д Имеем
d(r,-ra)	dra , _ dr(
dt Tl"di+ti"di~
= (3/l + 2J +5k) •(—3j) + (21 —3/j + k)-3l = —6+6 = 0.
186

Полученный результат объясняется тем, что скалярное произведение г1-г*=5,
т.®. является постоянной величиной. А
1133.	Показать, что векторы r = icosf + jsinf + k и перпен¬
дикулярны.
Д Имеем	I	sin f+J cos t. Находим скалярное произведение;
г*-^=—cos tsin /+sin /cos/+1-0=0.
Следовательно, rj_A
1134.	Найти производную вектор-функции г = 1 ch* t + j sh t ch /-f-
+ ksh* t.
1135.	r = Ishf + j ch ^ + k J/"cha ^—3sh2t. Найтн ^-gr-
1136.	ri = » + j^ + W*, r, = ifa + j*s + kf. Найти
1137.	Составить уравнения касательной и нормальной плоскости
к кривой x = asin4, y = bsintcost, г —с cos* t в точке t = n/ 4.
Д Находим x=asln2i, jr=ftcos2/, z=— csln 2*. При < = л/4 имеем: *0=а/2,
Уо — Ь/2, г*=с/2, Хо=а, уо=0, z<, = — с.
Уравнения касательной:
(X—a ft)/а = (у—Ь/2)/0 = (г—с/2)/(— с).
Уравнение нормальной плоскости:
в^дс —с(г—^=0, или ах-сг—?- ~^с =0. Д
1138.	Составить уравнения касательной и нормальной плоскости
к винтовой линии г = i cos t -f- j sin t + Y3 fk в точке t = я/2.
1139.	На кривой x = t-f-l, y=t* — 1, z = t* найти точку, к кото¬
рой касательная параллельна плоскости х+2у + z—1=0.
1140.	Какой угол образует с плоскостью хОу касательная в вин¬
товой линии x=cost, # = sin/, z — 2V2t в точке < = я/4?
1141.	Составить уравнения касательной и нормальной плоскости
к кривой x = (liy~2)etsint, у= 1, z = (l/K2) «‘cost в точке t= 0.
1142.	Составить уравнения касательной к кривой x=et (cos t -|-
+ sin/), у = ё(sin/—cost), z = e* в точке f = 0.
1143.	Составить уравнения касательной к кривой г = /Ч + f3j -f-
+f*k в точке t= 1.
1144.	Показать, что кривые г = (и -f-1) I + и*] + (2м—1) к и г =
—2о*1 (Зо—2) j + w*k пересекаются, и определить угол между кри¬
выми в точке их пересечения.
1145.	Составить уравнения винтовой линии, если радиус осно¬
вания цилиндра R = 4, шаг Л = бя, и найти дифференциал ее дуги.
А Уравнения винтовой линии имеют внд *=4cos<, у=4 sin t, z—3t, так
как г—h при / = 2л. Продифференцируем эти уравнения: х=—4slaf, y=4cost.

z»=3. Следовательно, дифференциал дуги равен
&=Кх,+у*+г*Л=у'' 16sin* <+16 coss <+9Л =
= V16 (sin* <-|- cos* f)-^9dt=5dt. £
1146.	Найти дифференциал дуги кривой x = atos%t, д=а
ss*j/a*4-fc*sintcost, z = bsin*t.
1147.	При каком шаге Л длина дуги одного витка винтовой линии
x = cost, y=*sint, z = ct равна 4я?
ф Воспользоваться тем, что при развертывании цилиндра на плоскость один
виток винтовой линии превращается в отрезок прямой.
1148.	Уравнение движения имеет вид г = 31 cos t + 3j sin t + 4/kf
где /—время. Определить скорость и ускорение движения в произ¬
вольный момент времени.
1149.	Уравнение движения имеет вид r = /l + /aj+ /Зк. Опреде¬
лить скорость и ускорение движения в момент /= 1.
S	6. СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ.
КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ
Во всякой точке М (х; у; г) пространственной кривой г —г .(О можно постро¬
ить три взаимно перпендикулярных единичных вектора (рис. 40); единичный век¬
тор касательной (тангенциальный единичный
вектор)
'fi
Рис. 40
Рис. 41
единичный вектор главной нормали
dx/ds
V“ |dxjds | 5
единичный вектор бинормали
p—tXv.
Соответствующие иеедииичиые векторы можно найти по формулам:
T=l— (вектор касательной),
В=	(^ктор	бинормали),
N^BxT (вектор главной нормали).
188

Плоскость, содержащая векторы т и v, называется соприкасающейся плоско*
стью; содержащая векторы v и 0,— нормальной плоскостью; содержащая векторы
Р и тспрямляющей плоскостью.
Трехгранник с вершиной в точке М, образованный соприкасающейся, нор¬
мальной и спрямляющей плоскостями, называется сопровождающим трехгранни¬
ком пространственной кривой (рис. 41).
Кривизной линии в точке М называется число /С= Иш где <р—угол
д5_*о As
поворота касательной (угол смежности) на дуге MNf As—длина этой дуги.
Если кривая задана уравнением r=r(s), то /C=|^g-|«
Если уравнение кривой имеет вид г=г(/), то
dt
dr |3
dt I
0
Кручением кривой в точке М называется число о= Нш -т—, где 0 — угол
дз_*0 AS
поворота бинормали (угол смежности второго рода) на дуге MN.
Если г = г (s), то а= Т I ^-1. где знак «минус» берется в случае одинакового
dp
направления векторов и V, знак «плюс»—в случае их противоположного
направления.
Если г=г (/), то
dr <Р г d*г
dt dt2 ~dt*
dr d*r_ |*#
dt X dt*
1150.	Найти тангенциальный вектор t кривой r = f*I + f3j + fek
в точке t = 1.
Д Имеем
= 2/1 +3/*J+6t% I	I = У W+ 9t* + 36*1».
dt * | dt _
При / = 1 находим
-§.=2I+3J+6k. |*|_|0+5+3<f=7.
1151.	Найти тангенциальный единичный вектор кривой г = 5/1+
+ 12j cos t + 12k sin t в произвольной точке.
1152.	Найти тангенциальный единичный вектор кривой x—t sin f-f
+ cos/, y=tcost—sin/, z = t*V2 в точке t = n/2.
1153.	Найти вектор т винтовой линии x=acost, y = asint,
z = \fR}— a2t, R > a > 0 в произвольной точке.
Д r=al cos f+ aj sin t-\- Ysin i + a] cos f-f- YR*—a*kf
189

J	J = v a2 sin* t+aa cos» t+/?*—a2=R,
dijdt —ai sin t+a) cos t + Ytfa—aak_
T	\dr/dt\	R	^
asin/t , a cost . . VR2—a2t *
*	2Г,+^?-3+——k'	*
1154.	Найти вектор p винтовой	линии	в произвольной точке.
Д Имеем -^7-=—ai sin t-\-a\ cos/ + V^2—fl2k» "Ш2^— cos*—ejsinf.
dt
Найдем векторное произведение этих векторов:
i 1
dt * dt2~
—	a sin/ a cost R2—a2
—	a cos t —a sin t 0
= aV*R2—a2 sin M—a YR2—°2 cos
|в1 = |-^-Х^-| = ]^ва (/?2—a2) sin2 <+a2 (Да-аа) cos4 +а*=аЯ.
Следовательно,
p=
В	a V"R*—aa 1 sin <—а К/?2-аа 1 cos f+aak
BI
aR
VR*—a* , . .	y^-a2	,	,	.	a	.	.
	-sln<*l—				cos^-k. Д
tf 	 *
1155. Найти вектор v винтовой линии в произвольной точке.
Д Так как v = p X т, то
J	к
V —
I
уR*—a* sin t	VRt—a* cos t
R
R
a sint
a_
R
a cos t
Vr*-*
=—Icosf — jslnf. Д
я	К	/?
1156. Найти кривизну /С винтовой линии.
Д В задачах 1153 и 1154 было найдено, что |"jjr =#» I lit Х
поэтому
К-
I—X—I
\dt*dt*\_aR
* И
dt
1157. Найти кручение <т винтовой линии.
Д Имеем
alsln <+ejcos<-fVrЯ2—a* k,
ai cos f—aj sin	sin	aj	cos	/.
at*	at-

Найдем смешанное произведение этих векторов:
—	a sin/ a cost Y R2~a*
dr d2 г (Pr
dt dt2 dt*'
—	a cos / —a sin /	0
a sin / — a cos /	0
= a2 Ya*.
В задаче 1154 было найдено, что I X =*а#. Следовательно,
\ dr w Л | 1	^	*	аг УR2—а2 VR2-a2	А
Г5ГХ575'| R ИМ обРазом» 0=——=—да—• А
1158* Составить уравнение соприкасающейся плоскости винтовой
линии в произвольной точке.
Д Эта плоскость проходит через точку (a cos t; a sin/; У R2—a2 /) и пер-
х	а	VR2—a2 sin / , YR2 — a2 cos tx а
пендикулярна вектору бинормали р = —	5	I—  	5	J +тг
А	А	А
Поэтому уравнение соприкасающейся плоскости таково:
\Гцг а* t ^_a cQs Q_VR*—a* cos t (K_asln<)+ a ^z_y R2_ai
A	A	A
или	X У R2— a2 sin /—Y УR2—a2 cos t-\-aZ—а УR2— a2 / = 0. Д
1159. Составить уравнение спрямляющей плоскости винтовой
линии в произвольной точке.
Д Эта плоскость проходит через точку (a cost; a sin/; У R2—а2 /) перпен¬
дикулярно вектору главной нормали v = —i cos /—Jsin/. Поэтому искомое урав¬
нение имеет вид
—	(X—acos /) cos t—(Y—a sin /)sin / = 0, т. e. X cos t + Y sin t—a = 0. Д
1160. Составить уравнение нормальной плоскости винтовой
линии в произвольной точке.
Д Эта] плоскость перпендикулярна вектору касательной т = —1 -|-
		А
, a cos/. , У R2—a2 t	(	,	.	,/'ТТ5	тт л
Н	-— J + 1	5	к и проходит через точку (a cost; a sin/; у R*—a2 /).
А	А
Поэтому искомое уравнение имеет вид
-	(Х-а cos	(Y-a sin 0 + ^~0> (Z -	<) = 0.
или	Xasln	t—Ya cos t—Z VR'—a* +(/?*—a2) < = 0. Д
1161.	Найти вектор т кривой х=Ы, y = 3t*, z = ta в точке <=1.
1162.	Найти вектор р той же кривой при /=1.
1163.	Найти вектор v той же кривой при / = 1.
1164.	Найти кривизну К той же кривой при f = l.
1165.	Найти кручение а той же кривой при t= 1.
1166.	Составить уравнение соприкасающейся плоскости той же
кривой при t=1.
1167.	Составить уравнение спрямляющей плоскости той же кри¬
вой при t = 1.
1168.	Составить уравнение нормальной плоскости той же кри¬
вой при t = 1.

ГЛАВА VIII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ.
ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ
Пусть даны два непустых множества D и U. Если каждой паре действитель¬
ных чисел (дг; у), принадлежащей множеству D, по определенному правилу ста¬
вится в соответствие один и только один элемент и из U, то говорят, что на
множестве D задана функция f (или отображение) со множеством значений U. Прж
этом пишут D-1+U, или /: D—► U, нли u = f(xf у). Множество D называется
областью определения функции, а множество £/, состоящее из всех чисел вида
f(xty)t где (х\ у) £ D,— множеством значений функции. Значение функции
« = /(*, у) в точке М (х0; у0) называется частным значением функции и обозна¬
чается /(*0, у0) или f(M).
Область определения функции u = f(xy у) в простейших случаях представляет
собой либо часть плоскости, ограниченную замкнутой кривой, причем точки этой
кривой (границы области) могут принадлежать или не принадлежать облает»
определения, либо есю плоскость, либо, наконец, совокупность нескольких частей
плоскости хОу. Геометрическим изображением функции u = f(ху у) в прямоуголь¬
ной системе координат Охуи (графиком функции) является некоторая поверхность.
Аналогично определяется функция любого конечного числа независимы»
переменных u = f(xt yt z, t).
Линией уровня функции u = f(xy у) называется линия f (xt у) —С на пло¬
скости хОу% в точках которой функция сохраняет постоянное значение и~С.
Поверхностью уровня функции u~f(xt у, z) называется поверхность
/(*. у, z) = С, в точках которой функция сохраняет постоянное значение и = С.
1169.	Найти область определения функции u = Va2—х2—
Д Функция а принимает действительные значения при условии а2—х2—у2^0
т. е. х2+(/а<;аа. Областью определения данной функции является круг радиуса £
с центром в начале координат, включая граничную окружность. Д
1170.	Найти область определения функции м = arcsin (х/у2).
Д Эта функция определена, если у Ф 0 и — 1 Cx/i/2<; 1, т. е. —у2<^х*£у1.
Областью определения функции является часть плоскости, заключенная между
двумя параболами у2 = х н у2 = — ж, за исключением точки 0(0; 0). ^
1171.	Найти область определения функции u = \n(2z2—6*а —
-3^-6).
Д Данная функция зависит от трех переменных н принимает действительные
значения прн 2г2—6лга—3у2—6 > 0, т. е. х2/\-\~у2/2—za/3 < —1. Областью опре¬
деления функции является часть пространства, заключенная внутри полостей
двуполостного гиперболоида. Д
1172.	Найти линии уровня функции и = х2 + у%.
Д Уравнение семейства лнннй уровня имеет вид х2-{~у2 = С (С > 0). Прида¬
вая С различные действительные значения, получим концентрические окружное™
с центром в начале координат. Д
192

1173.	Найти поверхности уровня функции и = л;а + 2а—уа.
Д Уравнение семейства поверхностей уровня имеет вид х2-\-г2 — у2 —С. Если
С = 0, то получаем х2-\-г2—у2 = 0—конус; если С > 0, то x2-\-z2 — y2 = C—
семейство однополостных гиперболоидов, если С < 0, то x2-\-z2— у2 = С—семей¬
ство двуполостных гиперболоидов. Д
Найти области определения функций:
1174.	u^Vx2 + y2 — 1.	1175.	u	=	\jV\—x2— у2.
1176. « = arcs in (* + £/).	1177.	u = Vzos(x2 + у2).
1178. u = ln(—х + у).	1179.	u = y-\-\fx .
1180. u = Va2—лс2—у2—г2.	1181.	u = arcsin(z IV х2 + #*)•
1182. и = 1/1п(1—х2—у2— г2).	1183.	u = Vx-j- + z.
Найти линии уровня функций:
1184. z = 2x-\-y.	1185. z = xjy.	1186.	z = \nVy/x.
1187. z = \fxiy-	1188. z =
Найти поверхности уровня функций:
1189. и = x-{-y-{-Zz. 1190. и = хг + у* + z2. 1191. u = xi—у*—za.
§ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.	Частные производные первого порядка. Частной производной от функции
2 = /(х, у) по независимой переменной х называется конечный предел
д*->0	А*	дх	v
вычисленный при постоянном у.
Частной производной по у называется конечный предел
ду-*о	Аг/	ду
вычисленный при постоянном х.
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы диф¬
ференцирования.
1192. и = х2—Ъху—Ау2—х-\-2у+\. Найти- — и
Д Рассматривая у как постоянную величину, получим ^=2дс—3у — 1.
Рассматривая х как постоянную, найдем щ — —3х—8у + 2. Д

1194.	p*=a*cos*<p. Найти ^ и |£-.
Д ^.=4«»С05*Ф, ■^■=а*"2со»ф(—81пф)=—«4$1п2ф. Д
1195. Показать, что функция г — у\п{х*—у*) удовлетворяет
1	дг , 1 дг г
уравнению T.^.+r-¥=F.
А Находим
дх х*—у*	х*—у*
Подставим иайдениые выражения в левую часть уравнения:
1	2«У	.	1	1	_	2у	2у	,	1п(ха—у1)  г
X V-y*+ у [	^	^ ха— y*J х*—у*	х*-у*+	у	у*’
Получаем тождество, т. е. функция г удовлетворяет данному уравнению. Д
1196.	Показать, что функция г=у»,х sin (у/х) удовлетворяет урав-
ш дг . дг
нению х'ъ-+ху-^=уг.
Д Находим
-Ц^'Ш у {i)+hvVlx'1]sta {т )+у",х“» (т)4-
Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:
—	х* ipj^Mny.sln ^i-^_x*.i^.j^/J(cos	+
+xy-£-yl',x~1‘Sln ^j-fxy.-j-y^-Iny-sta	+
+xy- cos ^-j) =yyv/* sta (7) " У*'
Получаем тождество; следовательно, функция г удовлетворяет данному
уравнению, Д
1197, и = #+2у*—Зху—4х+2у+5. Найти	-g-.
1198» r=p*sin40. Найти	-|д-.
1199.	ы = 4“- Найти р-,
у% у	дх	ду
1200.	г =* е*» <*•+**>. Найти -g-,
1201. a = 2j,VT+3ff	Найти	Ц, .
1202.	««e'/i'+e-*/*. Найти -g-, -g-,
194

1203.	z = arctgT^r. Найти-g-, -g-.
1204.	z = <!(*’ +!'•>*. Найти -g-,	.
1205.	u = (x—y)(x—z)(y—z). Найти
1206.	u=e*x,+i!/,~x!>. Найти
1207.	u = e***• sin —. Найти гг-.
+	x	ду
1208. Показать, что функция 2=^+'5‘+4'—Удовлетворяет
*	dz .	* dz Xs
уравнению	—	•
dx Эх
др ае
ду ду
др д0
2.	Полный дифференциал. Полным приращением функции *=/(*, у) в точке
М (х; у) называется разность Az = /(x+Ах, у+Ау)—/(х, у)» где Ах и Ау—про¬
извольные приращения аргументов.
Функция z=/(x, у) называется дифференцируемой в точке (х; у), если в этой
точке полное приращение можно представить в виде
1209. Найти
, если x = pcos0, y = psin6.
Az = j4 Ах+В Ау+о (р), где р = КДха+Ауа.
Полным дифференциалом функции z = /(x, у) называется главная часть пол¬
ного приращения А?, лйнейная относительно приращений аргументов Ах н Ау,
т. е. dz = AAx-\-BAy.
Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е.
dx = Ах и dy = Ay.
Полный дифференциал функции * = /(х, у) вычисляется но формуле
,	dz . . dz .
+w#.
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов ы = /(х, у, г)
вычисляется по формуле
. ди А , ди . . ди .
d“=ar<t*+‘3ir4s'+'5r *
При достаточно малом р = Ах* + Ау2 для дифференцируемой функции
z = /(x, у) справедливы приближенные равенства
Az«cfz; /(х+Ах, у+Ау) «/(х, y)+dz.
1210.	z = arctg--j^. Найти dz.
х у
Д Найдем частные производные:
дг „	1	—2у	у дг _ I	2г	х
дх 1 I ^+уу*(*—У)*~	*а+У*’	дУ~1 | ^*+Уj** (*—У)	+У*‘
Следовательно,	. Д

1211.	и = *А Найти du.
Д Имеем du=j£dx+^dy+j£-dz, где
^=угг-хУг*-1, *щ=.-.хУг* \nx-2yz, |^-=дсУ**-1пх-у*.
Следовательно,
du = у*гхУг*-гdx~\-2yz• хУ**• In хdy~\-у2хУ2г-Inхdz. Д
1212.	Вычислить приближенно KsinM,55 + 8^°,D16, исходя из
значения функции z = V&т*х + 8еУ при х=л/2 « 1,571, у = 0.
Д Искомое число есть наращенное значение функции z прн Дх — 0,021.
&у — 0,015. Найдем значение г прн х = л/2,1/ = 0; имеем г= f^sln* (я/2) + 8е° = 3.
Находим приращение функции:
а л	<>г а	• dz a	sin 2х&х-\-8еУ &у 8*0,015	л ло
Лг « d2=~ Ax	=	'========—г—=0.02*
ах	1	2 sin2 х + 8еУ 6
Следовательно, J^sln21,55+8е0,016 «3,02.
1213.	Вычислить приближенно arctg (1,02/0,95), исходя из зна¬
чения	функции	г = arctg	(у/х) при х=1, у=1.
Л	Значение функции	г	при	*=1, у= 1 есть z = arctg (1/1) = я/4»0,785-
Найдем приращение функции кг прн Ах = —0,05, Ду=0,02:
а л д* а I дг А	у&х . xby xky—ytix 1*0,02+1*0,05 ЛЛ
Аг^:=6-Ах+ГуАу=-^+^= ^+^~=	f	=°*03:>*
Следовательно, arctg (1,02/0,95) = г+Дг » 0,785 + 0,035 = 0,82. Д
1214.	z = In (х* + у*). Найти dz.
1215.	z = lntg(y/x). Найти dz.
1218. z = sin(jtI + #8). Найти dz.
1217.	г = хУ. Найти dz.
1218.	u = ln(* + K х* + у*). Найти du.
1219.	z = e*(cosy+Jtsin|/). Найти dz.
1220.	z = e*+y (х cos у -\-у sin х). Найти dz.
1221.	г = arctg 2.(x+-sjn ^ . Найти dz.
ь 4—xslny
1222.	и — ехУг. Найти du.
1223.	Вычислить приближенно 1,02*’*», исходя из значения функ¬
ции z = хУ при х— 1, у= 4 и заменяя ее приращение дифферен¬
циалом.
1224.	Вычислить приближенно 1п (0,09* + 0,99*), исходя из зна¬
чения функции z = In (х3 + у*) при х = 0, у = 1.
1225.	Вычислить приближенно I/1,02* + 0,05*, исходя из значе¬
ния функции г=£/** + (/* при х= 1, у = 0.
1226.	Вычислить приближенно V5е°,0* + 2,03*, исходя из значе¬
ния функции г = |Л>е* + у* при х = 0, у = 2.
1227.	Вычислить приближенно V 1,041|М + In 1,02, исходя из зна¬
чения функции и=К^+1пг при дс=1, у = 2, г—\.
196

3.	Частные производные н дифференциалы высших порядков. Частными про¬
изводными второго порядка от функции z = f(x, у) называются частные производ¬
ные от ее частных производных первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка:
д (дг\ b2z	ч	д (дг\ d2z	.
дх\дх)~ д*х ~	у): ду\дх)~дхду ~	у)'
д (дг\ дЧ ...	.	д (дг\_д*г „ . ч
дх\ду)~дудх~	у)'	ду[ду) ду* ~
Аналогично определяются н обозначаются частные производные третьего н
высших порядков, напрнмер:
д (d2z\	д*г	,	ч	д(д2г\	d*z	.
дх\дх*)	дх*	^ххх^'У)'	ду \ дх* )	дх2ду х*у	^	И Т'	Д‘
Так называемые «смешанные» производные, отличающиеся друг от друга лншь
последовательностью дифференцирования, равны между собой, если онн непре-
рывны, например
Дифференциалом второго порядка от функции z = /(x, у) называется диффе¬
ренциал от ее полного дифференциала, т. е. d2z~d(dz).
Аналогично	определяются	дифференциалы	третьего	н	высших	порядков:
d?z = d(d2z) ; вообще dnz — d (dn~lz).
Если х и */—независимые переменные и функция f(x, у) имеет непрерывные
частные производные, то дифференциалы высших порядков вычнсляютси по фор¬
мулам
•m	d2z	. ,	, 0 d2z .	,	f d*z	.	9
d dx +2m-ydx<*+1?dy ;
<ы>+3 -srsy ** dy+3 w dx>dyt+wdy3‘
Вообще, имеет место символическаи формула
л“(5л+5'йуУг'
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
1228.	г = у\пх. Найти 0,^.0.
Д Найдем частные производные:	;	~=1пх.	Дифференцируя	пов¬
оде х оу
торно, получим
__ ^ ( У \	У	д л	ч __ 0. d2z __ д / у \ __ 1	.
дх*~дх\х)~	X*	’ ду*~ду{’	’	дхду ду\х]~х"	Л
1229.	Z = In tg («//*). Найти
^ dx~~tg(y/x) * ^	(	~	хг	)	** * sin(2у/х)’
а2г 	1	2	у — 2 cos (2у/х) - (2/х)
дхду	х1 * sin(2у/х)	х* *	sin*(2y/jc)
gi»"s>n«2(2y/x) * (2yC0S	sln	A
»7

1230.	z = sinxsin«/. Найти d*z.
. dz	dz
Д ^=cosxsIny, ^=sin*cosy,
дЧ ,	,	д*г	д*г
^-==-sinxslny, ^=cosxcos у,	-slnxsin у,
<Pz = —sin х sin у dx*-|-2 cos x cos ydxdy—sin x sin ydy2. Д
1231.	z = x*y. Найти d*z.
. dz „ дгг 0	a®2_n дг~- дЧ n
&дх	y’ dx*y' ax»- ’ dy~*’ dy*	’
^1=0 -^£- = 2 ^i!i-=o-
dy3 ' dx*dy ’ ax ay8 •
d*z?=0-dx?-{-3'2dx2 dy-{-3'0-dX'dyt + 0-dy* = 6dxt dy. Д
1232.	u = 4дс® + 3*2i/ + Зху*—у*. Найти
1233.	M = xi/ + sin(x+^). Найти
1234.	« = lntg(x+^). Найти ~-y.
1235.	z — arctg Y~xy" Най™ Щ-у
1236.	z = x*\n (х+у). Найти
d*u
1237.	u = xsinxy-\-ycosxy. Найти .
1238.	« = sin (x-fcosy). Найти -$х1дшу-
1239.	2 = 0,51п(лсг + ^а). Найти d2z.
1240.	z = cos(x + ^). Найти d*z.
QZ2
1241.	z = cos (ax + еУ). Найти -jx$yi-
4ллл	x* — 8JCW3 rj v	d3u
1242« u=	s-2-. Наити ч- 2 ч
jc—djc2dy
1243.	z = x‘y\ Проверить, что
1244.	г = дс2-|-«/2—дсу—2x-\-y-\-7. Найти d2z.
1245.	Показать, что функция z = y(x) g(y) удовлетворяет урав*
_ дгг	dz dz
нению Z = a" • Д-.
dxdy ax dy
1246.	Показать, что функция z = g{x)-\-yg’ (*) удовлетворяет
дг dz , d*z
Уравнению Гх = щ + Уш-у.
1247.	Показать, что функция и—уех у удовлетворяет уравнению
_1_ ^ Эи . J_ ^ Эи	 и_
х * dx у ' dy ~ у* '
1248.	Показать, что функция и = -р=е~*,/(4<Л) удовлетворяет
дй л д2и
уравнению ш=а^.

1249.	it■■***. Найти Л/. 1250. и» In (*+£)• Найти <Pu.
12Ы. и = у/х* Найти d*a. 1252. u*=xyz. Найти d*u.
1253. u = xlny. Найти d4w. 1254. ц = г*+*\ Найти <Ри.
4.	Двфференцнрованне сложных функций. Пусть z—f(xt у), где х=ф(/),
У—'МО и функции \/ (JC, у), Ф(0»^(0 дифференцируемы. Тогда производная
сложной функции z=*f[q>(t), if (/)] вычисляется по формуле
dz^dz dx.dz dy
dt Их * eft ' dy * dt*
Если z=*f(xf у), где у=*ф(х), то полная производная от г по х находится
по формуле
dz dz. dz dy
dx^dx'Jfjj * dx*
Если же z^f(xty)i где *=Ф(£, т)), у—(£, ttf, то [частные производные
выражаются так:
dz dz дх . дг ду dz дг дх , dz dy
аГ3^e а£+э£e 5|" ЯГЕ‘ Ц+Щ#
1255.	z = e*t+*\ где x*=ac.ostf y*=asin/. Найти
Д Имеем
ТГ I * S+I • |“**г+^-2х (-a Sin 0+^^.2у (а со» 0 -
т=2аех*+У1 {у cos t—xsin f).
Выразив дс и у через /, получим
^=2ага* (asln f cosf—a cos / sin 0 *= О* А
1256.	г = In (дг*—у*), где у = Найти
Д Имеем g“=*ja§"i •	Используя формулу полной проиэводиой,	находим
dz dz,dz	dy_ 2х 2уех 2 (х—уе*) .
dx^dx ' Зу * dx~~x%—y* х%—у1*** хг—\/*	^
1257.	z = yln£, где M = tg*x, t» = ctg*x Найти
1258.	г =	где	у	=	3*+1.	Найти
1259.	z*=x*y, где у=со$х. Найти ^ и
1260.	z = ln*~^f!z£?, где # = xcosa. Найти
*+f/V-jr*	*	dx
1261.	z = x* + y*, где х = £ + т], У — 1—Л* Найти ||, |jj.
1262.	ы=»1п(дс*+#*), где *=£т),	Найти
1263.	Показать,	что функция ы = 1п(1/г),	где	г =
t»V(х—а)*-\-(у—6)*,	удовлетворяет уравнению	= О-
199

5.	Производная в данном направлении. Градиент функции. Производной функ¬
ции z = f(xt у) в точке М (х; у) в направлении вектора l = MMi называете*
предел
757=	Ит	lim “• где Р = УГд**+д0*-
dl	| AfAf11-► 0	| MMi |	p^op
Если функция /(x, у) дифференцируема, то производная в данном напраъ»
деиии вычисляется по формуле
дг	дг	,	,
*57=='5“ cos а+з- sin а,
dl	дх	1 ду
где а—угол, образованный вектором I с осью Ох.
В случае функции трех переменных « = /(*, у, г) производная в данном на¬
правлении определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид
ди ди , ди 0 , ди
_=_cosa+^cosP+^cosY,
где cos a, cosp, cosy—направляющие косинусы вектора I.
Градиентом функции z = f(xt у) в точке М (х; у) называется вектор с на¬
чалом в точке Af, имеющий своими координатами частные производные функции z:
, дг, . дг
8 ^di+dy*’
Градиент функции и производная в направлении вектора I связаны формужй
&
^ = npjgrad2.
Градиент указывает направление иаибыстрейшего роста функции в даикэй
точке. Производная ^ в направлении градиента имеет наибольшее значение,
равное
'=/шда-
В случае функции и = f (jc, у, г) градиент функции равен
, ди . , ди, , ди в
grad^l+^J + gk.
1264.	Найти производную функции г = хг—уг в точке М( 1; 1)
в направлении вектора I, составляющем угол а = 60° с положитель¬
ным направлением оси Ох.
Д Найдем значения частных производных в точке М: ^=2jc,	—2у,
=2,	=	—	2.	Так	как	cos a=cos 60°= 1/2, sin a=sin60°=]/^3/2, то
1265.	Найти производную функции u = xy*z3 в точке А1(3;2;1)
в направлении вектора MN, где N (5; 4;2).
Д Найдем вектор MN н его направляющие косинусы: MN = I = (5—3)1 +
+ (4—2) j + (2— l)k=2I + 2J+k; cosa=2 jV 22+2*+ I2 = 2/3; cos0 = 2/3;
200

cos у =1/3. Вычислим значения частных производных в точке М\
1-^	(I)*-*	(1)а.-|2: (*)«-"•
Ли 2	2	12
Следовательно, ^=4--j-f-l2--j-f-36--j—22-j • А
1266.	Найти производную функции г — In (х* + у*) в точке М (3; 4)
в направлении градиента функции г.
Д Здесь вектор I совпадает с градиентом функции г = 1п (хг+г/2) в точке
М (3; 4) и равен
gr8d г=(ТО5 )Л 1 + (f+P )M J =Е1+25J *
Следовательно,
S-i—а
1267.	Найти величину и направление градиента функции и ^
—	igx—x-j-3siii#—sin3# + z-|-ctgz в точке М(п/4\ я/3; я/2).
Д Найдем частные нроизводиые
ди 9 t да 0	о»9	да	t	а
g^=sec2jr—1, ^=3 cos у—3 sin2у cos у,	1 —cosec2 z
и вычислим их значения в точке М (л/4; я/3; я/2):
(!)„-—'• (SM-»(£)4-f (S)«—
Следовательно,
(grad «)* = 1 +-| J; | grad и \м = / 1а+(3/8)* = /73/8;
1	8	о	,	3	ж
cosa=—т=—= - 	;	cosp=slna=—==. А
/73/8	/73	/73
1268.	Найти производную функции z = x%—ху + у* в точке
М(1; 1) в направлении вектора I = 6i + 8j.
1269.	Найти производную функции « = arcsin (г//де2 + ^2) в точке
Af (1; 1; 1) в направлении вектора MN, где N(3;2,3).
1270.	Найти производную функции и = In (хг У* + гг) в точке
М(1;2;1) в направлении вектора r = 2i + 4j + 4k.
1271.	Найти величину и направление градиента функции и=1/г,
где г = /** + #* +г*, в точке М(х0\ у0; г0).
1272.	Найти величину и направление градиента функции и = хуг
в точке М (2; 1; 1).
1273.	Найти производную функции и = х/2	у/3	+	2/6 в направ¬
лении l=6i + 3j—6k в произвольной точке.
6. Дифференцирование неявных функций. Производная г неявной функции
У—У(х), заданной с помощью уравнения F (х, у) = О, где F (х, у)—дифференци¬
руемая функция переменных хну, может быть вычислена по формуле
,__dF/dx 		dF

Производные высших порядков неявной функции можно найти последова¬
тельным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом у ках
функцию от х.
Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных
У), заданной с помощью уравнения F (х$ у% г)=0, где F (х, у, z) — двф*
ферендируемая функция переменных х, у и г, могут быть вычислены по формулам
дг	dF/dx дг	dF/ду	dF	,	Л
<hcmt dF/dz' ду~ dF/dz при Условии дг *
1274.	cos(*+#) + y = 0. Найти у'.
dF	dF
Д Здесь F(x, y)=cos(x+y)+y. Найдем — sin(х+у),	=»
в—sin (х+у) + 1. Следовательно,
—sin (х+у) __ sin (х+у)
1—sin (х+у)	1—sin (х+у)' л
1275.	у—siny = ;t. Найти у' и у".
dF	dF	и
Д Здесь F (jc, y)=y—s\n у—х. Имеем	—	1,	= 1 — cos|/=2 sln*-y ,
откуда
У ~ ~~2 sin* {уj2) ="2 C0S€°a Т *
Найдем вторую производную:
{/*=у-2cosec— cosecctg	) . -у у' = — .1 cosec*^ctg-|. А
1276.	г*—За:уг=^а3. Найти ^ и
Д Здесь ^(х, z) =г*—Зх*/г—а3. Находим ■^’”я=!“3(/г,	Зхг,
в Зг1 — Зх*/. Тогда
dz —Зуг уг дг	—3jrz	xz А
дх	3г%—3ху гг—ху *	ду	3г2—3ху z*—xy ’ m
1277.	JK#z = A;-bi/ + 2- Найти	dz.
Д Как известно,	поэтому	найдем	сначала^	н
дг _уг— 1	dz	xz—1
дх~ху— 1 1	ху— 1	*
Следовательно,
!)<**+(**— 1)<ЭД. А
1278.	лс* + #*+1п(л:* + у*) =а*. Найти у\
1279.	(у/х) + sin (у/х) = а. Найти у'.
1280.	(ху—а)* + (ху—P)* = r*. Найти у', у*.
1281.	лс* + 2у*—2ху У2ху +1=0. Найти у‘.
1282.	In tg (у/х)—у/х = а. Найти у'.
1283.	(**+у*—Ьх)г = а* (х* + #*). Найти у' в точке М (р\ Ь).
1284.	3sin (Уxly)—2cos]/rxjy+l=0. Найти у'.
202

1285.	0,5 In (хг +.у2)—arctg (у/х) —0. Найти у'.
1286.	х2—х-2у*г + ¥—х + 2* + 2 = 0. Найти у'.
1287. х + у—е*+у = 0. Найти уу".
1288.	х+у+г = е*. Найти zx,zy.
1289.	х9 + у* + га—3хуг = 0. Найти z'x, zy .
1290.	x = z\n(zly). Найти dz.
1291.	х sin у -f- у sin x + z sin x = a. Найти z».
1292.	xy+xz + yz = 1. Найти dz.
1293.	xe1* + ye*+ze* = a. Найти z'x.
1294.	z = x-f arctg . Найти
§ 3. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, прохо¬
дящая через точку М поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей,
проходящей через точку М и любую точку М\ поверхности стремится к нулю, когда
М\ стремится к М.
Касательная плоскость к поверхности в точке М содержит касательные ко всем
кривым, проведенным на поверхности через точку М.
Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через
М перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.
Если поверхность задана уравнением F (х> у% г) = 0 и в точке М (дг0; у0\ z0)
частные производные	"	("^г)м конечиы и не обращаются
в нуль одновременно, то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
М (х0; у0; zv) записывается в виде
(ж )м (х-х^+ (■%■)А,	+ (■ж)м (г-гл) “°*
а уравнения нормали к поверхности в этой же точке—в виде
х—х0 _ у—уо _г—г,
tdF_\	~ /ап	*
\ дх Jm	\ду )м	\dz Jm
Если же уравнение поверхности задано явным образом: z = /(*, y)t где част¬
ные производные	и	в	точке	М	(хь;	у0;	г0)	конечны	(и	могут	быть
равны нулю одновременно), то уравнение касательной плоскости в точке М запи¬
сывается в виде
г-г„ = (д±\ 1х-хЛ+(%\
а уравнения нормали—в виде
х — х0 _ у—у0 _ г—г0
//М
Равенство нулю, например	означает,	что	касательная	плоскость парал¬
лельна оси Ох, а нормаль лежит в плоскости x—xt.
1295.	Дана поверхность г = дс2—2ху + у2—х+2у. Составить урав¬
нение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности
в точке М( 1; 1; 1).
203

Д Найдем частные производные ^=2х—2у—1 и	—2х+2у-\-2 и их
вначения в точке М (I; I; 1):	=	(§)л	=	2.
Уравнение касательной плоскости:
г—! = —(*—1) + 2 {у— 1), или х-2у-\-г~0.
Уравнения нормали:
(•*—!)/(—1) = (У—1)/2 = (г—1)/(—1)- ▲
1296.	К поверхности х2 + 2уг + Зг2 = 11 провести касательные
плоскости, параллельные плоскости *-f# + z=l.
Д Здесь F (х,	у, г) =д:2+2уг + 3гг—11. Найдем	частные	производные;
dF п	dF л	9F .
-^-—2*,	-g—=z4y,	-^-=6г.	Из условия параллельности	касательной плоскости
и данной	плоскости	следует,	что (dFldx)/\ = (dF/dy)/\ — (dF/dz)/\,	или (2jt)/l =
s= (4//)/l =(6z)/l. Присоединив к этнм уравнениям уравнение поверхности х2 —
Н-2//2-j-3z2 =11, найдем координаты точек касания: Mi (У 6; Y 6/2; Y 6/3) и
М2(—Y 6; —	6/2; —J/-6/3). Следовательно, уравнения касательных плоско
стей имеют внд
!•(•* ± V"6) + \-(y ± У~6/2) +1•(г ± J/ 6/3) = 0,
т. е.	_
х+у+г+\\1У 6 = 0 и х+у+г—П/У 6 = 0. ±
1297.	Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по¬
верхности z=l+xг + у* в точке М(1; 1; 3).
1298.	Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по¬
верхности х*-\-у2—г2 = — 1 в точке М (2; 2; 3).
1299.	Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по¬
верхности z = ln (х2 + #2) в точке Af (1; 0; 0).
1300.	Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по¬
верхности z — sinx cos у в точке М (л/4; л/4; 1/2).
1301.	Составить уравнения касательных плоскостей к поверх¬
ности дс2 + 2«/* + Зг2 = 21, параллельных плоскости дс + 4у + 6г=*0.
1302.	Доказать, что касательные плоскости к поверхности У х+
+ Угу + Угг = Уа(а > 0) отсекают на осях координат отрезки, сум¬
ма которых постоянна.
1303.	В какой точке эллипсоида х2/4	|/2/4+г2	==	1	нормаль	к	нему
образует равные углы с осями координат?
1304.	Доказать, что|^= ——s-a ,	—	cos^ , если cosa, cosp,
’ дх cos у ду cosy	r
cosy—направляющие косинусы нормали к поверхности z = f(x, у).
§ 4. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.	Экстремум функции. Функция z = f(x, у) имеет максимум (минимум)
в точке М0 (х0; у0), если значение функции в этой точке больше (меньше), чем
ее значение в любой другой точке М(х; у) некоторой окрестности точки М0, т. е.
/(*о» Уо) > f (х> У) [соответственно / (х0, у0) < /(*, у)] для всех точек М (х; у), удо¬
влетворяющих условию | М0М | < 6, где 6—достаточно малое положительное число.
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка М0,
в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.
204

Если дифференцируемая функция z=f {х, у) достигает экстремума в точке
М0 (х0: г/0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны
нулю, т. е.
д/(*о. Уо)_.л	Уо)	л
дх	ф
(необходимые условия экстремума).
Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационар¬
ными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Пусть М0 (х0; у9)—стационарная точка функции z = f(xt у). Обозначим
„ _д2[(Хо. Уо) в _ d*f (*о> У»)	^	д*/(*о.	У#)
а**	•
и составим дискриминант А — АС—В*. Тогда:
если Д > 0, то функция имеет в точке Л40 экстремум, а именно максимум
при А < 0 (или С < 0) и минимум при А > 0 (или С > 0);
если Д < 0, то в точке М0 экстремума нет (достаточные условия
наличия или отсутствия экстремума);
если Д = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
1305.	Найти экстремум функции г = хг-\-ху + у*—Зх—6у.
Д Находим частные производные первого порядка:	3,	~	=
= дг+2у—6. Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим
стационарные точки:
™УЯ**=°>У=3; М(0;3).
Находим значения частных производных второго порядка в точке М:
&г jPz	.
дх*~дхду~
и составляем дискриминант Д = АС—fla = 2-2—1 =3 >0; А > 0. Следовательно,
в точке М (0; 3) заданная функции имеет минимум. Значение функции в этой
точке гт1п = —9. 4
1306.	Найти экстремум функции
г = ±ху+(47—.х—у)
Д Находим частные производные первого порядка:
дг_ 1	2	47 дг 1	1	,47
дх~	\2У	З^З	'	ду^	2У	12Х'~ 4
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационар¬
ные точки:
 1_	47	.
\2У	3*+3	’	18ж-4-	у = 188,
1	I	АП	ИЛИ	<
-±„-±*+£=0	\ *+б*=141.
2	у 12	‘	4	1
Отсюда х = 2\9 у = 20; стационарная точка М (21; 20).
и а	ял	2 д2г
Найдем значения вторых производных в точке М:	= — — ,	—
= _У ’	Тогда	А	=	ЛС-Д*	=	(-2/3) (-1/2)-(-1/12)* =1/3-
—	1/144 > 0.
Так как А < 0, то в точке Л! (21; 20) функция имеет максимум: гтах = 282.
205

Найти экстремумы функций!
1307.	г = ху2( 1—х—у).	1308.	г	= лс*+у*—15ху.
1309. 2 = 4—(х’ + г/4)4'*.	1310.	z	= (х2 +у1) (е~<х,+Уг) — 1).
1311.	z = V(a—x) (а—у) (х+у—а).
2.	Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области. Условным экстремумом функции z = f(xt у) называется
экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные хну связаны
уравнением <р(*, у)— 0 (уравнение связи).
Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный
экстремум так называемой функции Лагранжа u = f(x, y)-{-hp(xt у), где А,—не¬
определенный постоянный множитель.
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид
дх дх'дх
<	^.+х*Е=о,
ду ду ' ду
<р(х, у) = 0.
Из этой системы трех уравнений можно найти неизвестные х, у и А,.
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замк¬
нутой области, надо:
1)	найтн стационарные точки, расположенные в данной области, и вычислить
значения функции в этих точках;
2)	найти наибольшее н наименьшее значения функции на линиях, образующих
границу области;
3)	из всех найденных значений выбрать наибольшее н наименьшее.
1312.	Найти экстремум функции z = xy при условии, что х и у
связаны уравнением 2х+3у—5 = 0.
Д Рассмотрим функцию Лагранжа и =ху-\-\(2х-\-Зу—5). Имеем
^=д: -|- ЗА,. Из системы уравнений (необходимые условия экстремума)
У	(	y+2k=0r
\	*+ЗА,=0,
[2х+Зу—Ь = 0
находим X — —5/12, дг = 5/4, у=5/6. Нетрудно видеть, что в точке (5/4; 5/6) функ¬
ция г—\су достигает наибольшего значения zmax = 25/24. Д
1313.	Из всех прямоугольных треугольников с заданной пло¬
щадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее зна¬
чение.
Д Пусть х и у—катеты треугольника, а г—гипотенуза. Так как z2=x2-f-y*t
то задача сводится к нахождению наименьшего значения функции х2-\-у2 при
условии, что х и у связаны уравнением ху/2 = 5, т. е. ху—25 = 0. Рассмотрим функ¬
цию и = х2-\-у2-\-’к(ху—25) и найдем ее частные производные
^=2х+Ху, ^=2у+Хх.
Так как х > 0, у > 0, то из системы уравнений
(2х+Ху = 0,
{ 2у+Хх=0,
{ xyJ2=S
получаем решение X ——2, х=у = У~2S.
206

Таким образом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты треуголь¬
ника равны между собой. Д
1314.	Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=*
= х2 + угв круге (jc —2)2 + (г/ —1/"2)2 ^ 9.	__
Д Здесь рассматривается область £>, ограниченная окружностью (х—У~ 2)2+
+ (у—Y 2)2=9, включая и точки окружности.
Найдем стационарные точки данной функции; имеем —=2*, ^=2У\ в силу
необходимых условий экстремума находим х=0, у=0.
Нетрудно видеть, что в точке (0; 0) функция z=xl+*/2 имеет наименьшее
значение 2яаим = 0, причем указанная точка является внутренней точкой области D.
Исследуем на условный экстремум функцию г=х2-\-у*> если х и у связаны
соотношением (х— Y2)* + (^— У 2)2~9. Рассмотрим функцию м=х*+у*+
+ *.[(*-(у— ^2)*—9]. Находим частные производные	2jr-f-
+2Х (дг— уН2), ~ = 2у + 2^(у— >^15). Для определения х, у и \ получаем си¬
стему уравнений
' х+\(х-У"2)=0,
• у+ь(у-У 2)=0,
(х-У 2VW = 9-
Эта система имеет два решения: х=у=5У 2/2, Х=—5/3 и г=25; х=у=а
= — У 2/2, Х=—1/3 и z=l. Значит, наибольшее значение функция принимает
в точке (5 У 2/2; 5 УИ/2). Итак, гиаим = 0, гвавв=25. Д
1315.	Найти экстремум функции г = х* + у*, если хну связаны
уравнением х/4 + у/3 — 1.
Найти наименьшее и наибольшее значения функций:
1316.	z ■=■ х*—ху-\-у%—4х в замкнутой области, ограниченной
прямыми	* = 0, у = 0, 2х + 3у—12 = 0.
1317.	г= ху + х-\-у в квадрате, ограниченном	прямыми	х=\,
х = 2, у = 2, у — 3.
1318.	г = ху в круге +
1319.	z — дс* + 3у* + *—У в треугольнике, ограниченном прямыми
х=\, у= 1, x+i/= 1.
1320.	г = 1—дс*—у4 в круге (х—1)* + (</—1)*	1.
1321.	z= sin* + siny + sin(x+y) в области	0^лг^я/2,
О^.у^.п/2.
1322.	z = sinjc+sin^ + cos(jc-f у) в области 0<!дс<:Зя/2,
О^у^Зл/2.
1323.	г = cos х cos у cos (дс -f- у) в области О^дс^я, 0<^<!я.
1324.	Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот,
площадь которого наибольшая.
1325.	Из всех треугольников, имеющих данный периметр, найти
наибольший по площади.
1326.	Из всех прямоугольников с заданной площадью S найти
такой, периметр которого имеет наименьшее значение.
1327.	Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, имею¬
щего при данной полной поверхности S максимальный объем.

ГЛАВА IX
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
I.	Непосредственное интегрирование. Функция F (х) называется первообраз¬
ной для функции f (х), если F' (х) = f (х) или dF (х) = f (х) dx.
Если функция f (х) имеет первообразную F (х), то она имеет бесконечное мно¬
жество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении
f(x)+C, где С—постоянная.
геопределенным интегралом от функции f (х) (или от выражения f (х) dx)
называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение: \ f (x)dx = F (дс)+С.
Здесь \—знак интеграла, /(х)—подынтегральная функция, f(x)dx—подынтег¬
ральное выражение, х—переменная интегрирования.
Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.
Свойства неопределенного интеграла
(правила интегрирования)
ie. (j/(*)<&)'=./(*).
2е. d[\jf(x)dxsj=f(x)dx.
3е. ^ dF (x) = F (х) + С.
4е. ^ а/ (х) dx=a ^ f (x)dx, где а—постоянная.
5е. J Ifi (*) ± /2 (x)]dx= J h (х) dx ± § /2 (х) dx.
6°- Если J f (x)dx=F (х)-\-С и и=<р (х), то J f (и) du = F (и) +С.
Таблица основ н-ы х интегралов
—7====arcsimc-('C.
/1-** т
arctgx+C.
XI.	J cosec2 *<&=— ctg*-fC.
XII.	J sh*d*=chjr+C.
xv- M’+c-
208

1328.	Найти интеграл J (2*®—5лс2-|-7лс—3) dx.
Д Используя свойства 4° н 5°, получаем
J (2г>—5х2 + 1х—3) dx = 2 J Xя dx—5 J x*dx+7 ^xdx—3 J dx.
К первым трем интегралам правой части применим формулу II, а к четвер¬
тому ннтегралу—формулу I:
j (2*3-5*2+7*-3)<fc = 2~-5-^+7~-3*+C =
==Yxt-Jx3+:jxi-3x+C- А
1329. Найти интеграл J | V'*+	^dx.
л I(^+|7l)a<,A:=I(JC+2-^+^i-)^=
= J (jc+2*1,/*+x~s/s) dx = ^ xdx-\-2 J x1?* dx-\- J х~г^3 dx —
1330.	Найти интеграл ^2*-3**-53xdx.
Д j 2* • 3** • 5s* dx = j (2 • 3*. 5s)* dx = J 2250* dx =JjgL+C. A
Свойство 6° позволяет значительно расширить таблицу основных интегралов
с помощью приема подведения функции под знак дифференциала.
1331.	Найти интеграл J (1+*2)1/2 xdx.
Д Этот интеграл можно привести к формуле II, преобразовав его так:
J (1 +*2)1/2xd*=y J (1+х2)1/2-2xdx=Y§ (1-Ь*У/24(1+**).
Теперь переменной интегрирования служит выражение 1+ДГ2 и относительно
9той переменной получается интеграл от степенной функции. Следовательно,
j(1 +xy/*xdx=±.{-'+с=Jtt+^'+c. А
1332.	Найти интеграл J (х2—3jc+ I)10 (2дг—3) dx.
Д Здесь, поступая так же, как и в предыдущем примере, имеем
J (дг2—3*+l)i»d(;c2—3*+1) = ^(х2—Здг+1)и+С. А
1333.	Найти интеграл J (In/)* у-.
Д Выражение -у- можно записать как d (In /), поэтому
J (1п /)* d (1п /)	(1п /)*+С. А
209

1334.	Найти интеграл J е*сошх sinxdx.
Д Заданный интеграл можно представить так:
^ е% coe*sinxd*=y J.e8coe*-3 sin* dr,
ВО 3sin*<i**s— 4(3 cos*), а потому
£ e*f sin ж dx = - j J e* eo'* d (3 cos *),
т. e. переменной интегрирования является 3cos*. Следовательно, интеграл б*
рется по формуле VI:
jVeo**slnxdx	je9coiX+C. А
1335.	Найти интеграл ^ (2sinx-|-3cosx)
Д Находим
J (2sin*+3cosх) dx = 2 J sin*<&+3 J cos*d* = — 2cos*+3sIn*+C
(см. формулы VIII н IX). Д
1336.	Найти интеграл J (tgx + ctgx)adx.
Д Имеем
J (tg x+ctg*)fd*«i J (tga*+2ctg*tg*+ctg**)d* =
-	J(t?*JC+l+l+Ctg*x)rf* = J(tg**+l)d*+ J (1+ctg* *)</* =
■= J sec*xdx+ J cosec**<f*=tgx—ctgx+C
(см. формулы X и XI). Д
Найти интегралы:
1337.	jx \f~xdx. 1338. f у*. 1339.
1340. j1341.	1342.	£	tg»*djc.
1343. J (shx—sin *)<£*. 1344. j*	—y=^dx.
1345. J (2 tg *+3ctg x)*dx. 1346. J x cos (ха) dx.
1347.	1348.	§(ax*+b)i/*.xdx.
1349. J Vsin*cosxdx. 1350. J sin (a + bx) dx.
1351. J cos (sin x) • cos x dx.
2.	Замена переменной в неопределенном ннтепюле. Замена переменной в неопр+
деленном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
1)	*==<p(f), где <р (f)-—монотонная, непрерывно дифференцируемая функция
новой переменной /. Формула замены переменной в этом случае имеет вид
$/(*)&-$/[ф (*)]ф«(f)dti
210

2)	а=г|> (дс), где и—новая переменная. Формула замены переменной при такой
подстановке:
$ / М> (*)]	(«)	du.
1352.	Найти интеграл	dx.
Д Произведем подстановку t = \/ х, т. е. x=t3. Эта подстановка приведет
к тому, что под знаком сннуса окажется переменная интегрирования, а не корень
из нее. Найдем дифференциал dx=3t2 dt. Отсюда получаем
Г sin \/ х .	Г З/2 sin t .	0 Г . . о	* \ п
J ■	J ——dt = 3 J sinf# = — 3cos f+C.
Ответ должен быть выражен через старую переменную х. Подставляя в ре¬
зультат интегрирования t= \/ Jc, получим
fs4^^=_3cos^+C. А
J у х*
1353.	Найти интеграл J (2x-\-l)™ dx.
Д Этот интеграл можно найтн и не производя замены переменной, Здесь
достаточно развернуть выражение (2дс+1)20 по формуле бннома Ньютона и при¬
менить почленное интегрирование. Однако этот прием связан с большим количе¬
ством вычислений. С помощью замены переменной можно сразу свести данный
интеграл к табличному.
Полагая 2д:+1=/, имеем 2dx — dtt т. е. dx— (1/2)dt. Отсюда получаем
J <2*+1)“ dx=j J t" Л—i -11™+ C=1 (2x+ I)“+C. A
Вообще, если интеграл ^ / (x) dx является табличным, то интеграл J / (ах+6) dx
может быть легко найден с помощью подстановки ax-\-b — t.
Например, применим эту подстановку к интегралу J sin (ax-\-b)dx. Имеем
ах-}- b ~ty a dx—dt и dx = (\/a) dt. Следовательно,
J sin (ax-\-b) dx=* J sin	J sin	cos	/+С.
Возвратившись к старой переменной, получаем
J sin (ax-\-b)dx= — '^"cos (ax + b)-\-C.
Аналогично можно показать, что
j*cos(ax+6)d* = -^ sin(ax-\-b)-\-Ct ^eax+bdx = ~еЛ*+*-}-С и т. д..
При нахождении интеграла J f (ax-\-b)dx записи самой подстановки ax-\-b=t
можно фактически и не производить. Здесь достаточно принять во внимание! что
dx=^-d (ax-\-b). Таким образом,
J / (ах + Ь) dx= ^ F (ах-\- b) +С,
где F—первообразная для /.

1354.	Найти интеграл J х* V& + 5 dx.
Д Положим У jc*+5 = /; тогда jc*+5 — t*. Дифференцируем обе части раве>-
ства: 3jc* dx = 2t dt. Отсюда x*dx = (2/3)tdt и, следовательно,
= |-<*+С=|(/д»+5)а+С=|-(х*+5) V**+5+с.
Данный интеграл можно найтн не помощью подстановки = Эта по*
стаиовка сразу приводит интеграл к табличному вследствие того, что первый мно¬
житель подынтегрального выражения х* отличается от производной подкоренного
выражения д^+о только постоянным множителем 1/3, т. е. *2 = (1/3) (л®+5)'. Д
Вообще, если подынтегральная функция является произведением двух мно¬
жителей, один из которых зависит от некоторой функции *ф (ж), а другой являете*
производной t|> (х) (с точностью до постоянного множителя), то целесообразв»
сделать замену переменной по формуле *ф (х) = t.
1355.	Найти интеграл ^(21п*+3) ^
Д Перепишем данный интеграл в виде J (21пдг+3)3-£-</ж. Так как произвол
ная выражения 2 In *+3 равиа 2/х, а второй множитель 1 Jx отличается от этой про¬
изводной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку
2	In x+3 = t. Тогда 2~==J/, ^=-i- dt. Следовательно»
j (21пдН-3)»^=рЦ-Л=41^Л=Т/4+С=Т(21п*+3>4+С- A
1356.	Найти интеграл J j^dx.
Д Произведем подстановку f(x) = t. Тогда f' (х) dx=dt н
J	dx=j -^=ln | / |+С- In I / (*) |+ C.
Например,
f xdx _ 1 p 2xdx _ 1	„
J **+ 1	2 J x*+ 1	2	^	*
Здесь знак модуля опущен, так как *2+1 >0. ^
1357.	Найти интеграл
Д Положим f(x) = t. Тогда f'(x)dx—dt и
1тШ',"1т?"1г,''‘''"Ж+с-2К7+с-г,"ш+с-
Заметим, что. данный интеграл можно было найти с помощью подстановка
Vf<A=t- '
1358.
212
Найти интеграл Г x%d?ai. если аф 0.

Д Для того чтобы свести интеграл к табличному (см. формулу IV),' разде¬
лим числитель	и	знаменатель подынтегрального	выражения	на	а2:
С dx Г (dx)/a2 _1	С d(x/a)
J х*+а* J 1 + (х/а)* a	J 1 + (х/а)2	*
Мы подвели	постоянный множитель 1/а под	знак дифференциала. Рассматри¬
вая х/а как новую переменную, получим
К этому же результату мы пришли бы и с помощью подстановки	Д
р dx
1359.	Найти интеграл j	д	, если а > 0.
Д Разделив числитель и знаменатель на а, получаем
(dx)/a Г d (х>а)
С dx	Г (dx)/a	Г d(x
J Va2-x2 J У1 — {х/а)2 J У\-
(х/а)2
Принимая х/а за новую переменную, получим
У а2—х2	о
Дополним теперь таблицу основных интегралов следующими формулами
XVI.	y^dx=lnlf(x)l+C.
XVII.	j* JL£L-dx=2 УЩ+С.
xv'"-	7+с-
*'*• 1з=г.-аЧ!т5|+с-
XX.	Г 	=arcsln -4-С.
J У а2— х*	о
XXI.	С_^т = 1„|х+^^+Х|+С.
J Удга+Х
ххи. J^=ln|tgi-|+C = ln|cosec*-ctg*|+C.
ххш- 5^г=,п|1е(т+т)|=,п|8есд:+1ед:|+с-
XXIV.	^tgxdx=— In|cosx|+C.
XXV.	^ ctg хdx= In | sin * |+С.
Формулы I—XXV нужно знать наизусть, так как большинство интегралов,
используемых на практике, сводится к интегралам, берущимся по этим формулам.
Л
1360.	Найти интеграл J i ^
213

Д Произведем подстановку Y 2х—9 = /; тогда 2*—9 = /а, x~(t*-\-9)/2 и
dx—tdt, Итак,
Лс	tdt	dt
2У <*+9 •
Применив формулу XVIII, получим
Г	2	,	( |г 2	2*—9 , _ д
J 7FS=5“3->re,s3+c=3 a"'ei-3—+с А
1361. Найти интеграл Г — —^-.
^	3 — cos4 х
Д Произведем подстановку cos2* = f; тогда —2cos*sin*d* = d/, т. е.
sin2*d* =— dt. Теперь находим
Г sin 2*	. Г dt	t	,	cos2*	,	п
I	—	dx = — \	— — arcsin	-4-С = — arcs In	4-C
J ^3 — cos4 x	J V3—t*	V 3	V	3
(мы использовали формулу XX). Д
1362.	Найти интеграл J ^2sin-|-+3^*00s-jdx.
Д Применим подстановку 2 sin (дс/2)+3 = /; тогда cos (дс/2) dx—dt и
J (2sin!H-3ycos|.Ac=y <*d/ = l<»+C=l(2sln|-+3y+C. Д
1363.	Найти интеграл j*
Д Применим подстановку *5 = /; тогда 5x*dx=dtt х* dx = (\/5) dt и
-4f-" _‘ta|<+Ki»=5|+C
f;
5 J Yt*-2	5
(см. формулу XXI). Итак,
х4 d*	1
Г>г™_ i in | лг^-Ы^лг1»—2|-t-C. A
J ^i»-2	5	1	it	m
1364.	Найти интеграл J л*+2л?-|-5' •
Д Преобразуя знаменатель дроби, получим *4 + 2*2-|-5 = (*z-|-I)1+4. Про¬
изведем подстановку д:2+1 =/; тогда х dx~(i/2) dt. Отсюда
Г *dx 1 С dt 11	|я/1Л
J *4+2*2+5 — 2 J <г+4 — 2 ‘ 2	6	2	+
(см. формулу XVIII). Таким образом,
Г	1	I	^	А
J *«+2*2+5—7 g—2	^
р2х
Г е2х
1365.	Найти интеграл \juZ^dx.
Д Положим eix = t, тогда eix dx=(\/2) dt и
Г е** dx	1 Л dt _ 1	1
J е4*—5	2 J <*-5-2*2 ^5
<— У' 5
t+V 5
-J-C
214

(мы применили формулу XIX). Итак,
Г££*	*	,п|5!1и£||+с.а
J е4*—5	4/5	|е**+]^5
1368. Найти интеграл	j"	’
А Произведя ту же подстановку, что и в предыдущем примере, получим
Г е** dx I С dt	1	.	t	.	_	1	.	е**	,	„	.
j e«* + 5=Tj <*+5	af0g У~5	2 У~5 *ICg У 5+ А
1367.	Найти интеграл Г sln Y_x+cosjf * ^
v J У *sin2 У x
Д Полагая	x~t2,	dx=2t	dt, получим
rslny”J+C0SV	хл	__ Г (s*n ^+cos 0*2*
J >^7sin2	J *sin2*
= j	(^ЕЗП+Жт) d/=ln Itg (4+т) |+ln I tgT|+c
(см. формулы XXII и XXIII). Возвращаясь к старой переменной, получим
Найти интегралы:
Г еУьГГ[	с
1368.	j jf===dx. 1369. \х*(1—2x*)*dx.
1370. J sin (2—Зх) dx. 1371. J jcch (5*a + 3) dx.
1372. Г	dx ..	.	1373.	Cx(xs-fl)3/2dx.
J	(х+1)Ух	J
,374-j^r- Ш5-1тШт- ,37e-js££$s-
1377; f	ix	.	1378.	f_£^£_	.
J	(лг—7) /ж	J /16— e*
Г£Е|±£|Н-^.
J	^4—*«
ф Представить интеграл в виде суммы интегралов.
,38Чт&- ,38,-1т&Л:-
|38г- 1	•	1383.	|-^±1лг.	1384.
3.	Интегрирование по частям. Интегрированием по частям называется на¬
хождение интеграла по формуле

где м = ф (*),	(л:) — непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью
этой формулы нахождение интеграла J и dv сводится к отысканию другЬго интеграл*
J vdti; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграа
либо проще исходного, либо ему подобен.
При этом за и берется такая функция, которая при дифференцировании упр>
щается, а за dv—та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой и>
вестей или может быть найден.
Так, например, для интегралов вида ^P(x)eaxdx, J Р (дет) sin ахсх.
J Р (х) cos ах dx, где Р (х)—многочлен, за и следует принять Р{дг), а за Не¬
соответственно выражении еах dx, sin axdx, cos axdx; для интегралов bilii
J P(x)\nxdx> J P (дг) arcsin xdx, J P (x)arccosxdx за и принимаются соответст¬
венно функции In х, arcsin х, arccos х, а за dv—выражение Р (х) dx.
1385.	Найти интеграл [ In xdx.
Д Положим и = In ж, dv = dx; тогда v=x, du=~. Используя формулу ив-
тегрнрования по частям, получаем
J In xdx=x 1п х—^ х~=х In х— ^ dx=*
=х In дг—х+С=х (In дг— 1)+С. А
1386.	Найти интеграл J arctgjcdx.
dx
Д Пусть w = arctg xf dv = dx, тогда du = ■ ■	2	,	v=x.	По	формуле	интег-
1	-f-д:
рнрования по частям находим
Jardg*<fc=*arctg х— J *^х% =*arctg*—у In (1+<*)+С. Д.
1387.	Найти интеграл ^ х sin xdx.
' 1
Д Положим u=xt dv = slnxdx; тогда du = dx, дг = —cos*. Отсюда
J д: sin хdx = —х cos х-f- J cos xdx=* — * cos *+sin *+C.
Если бы выражения и и dv мы выбрали иначе, например w = sln*, dv—xdx.
то получили бы du = cos xdx, v = (\/2)x*, откуда
J*sln *d*=-i-*2sin*—J y x2 cos jtdjt=-i-*asin*—cosxdx,
[шли бы к интегралу более сложном;
ителя при тригонометрической функц
1388.	Найти интеграл ^x2exdx.
t = exdx; тогда t
^ х2ех dx = х2ех—2 ^ лге* dx.
и пришли бы к интегралу более сложному, чем исходный, так как степень о
множителя при тригонометрической функции повысилась на единицу. Д.
Д Положим и= x2f dv = exdx; тогда du = 2xdx, v=ex. Применяем формул?
интегрирования по частям:
210

Мы добились понижения степени х на единицу. Чтобы найти ^ хех dxt при¬
меним еще раз интегрирование по частям. Полагаем и=х, dv=ex dx; тогда du =
= dx, v = ex и
J x2ex dx — x4x —2 (*?* — ^exdx^=x*ex—2xex+2ex+C = ex(x2—2x+2) + C. Д.
1389.	Найти интеграл /= J ^^П^^-
ДПусть u—ext dv = slnxdx\ тогда du = exdx, i/ = —cos x. Следовательно,
I—ex cos*-f J ex cos xdx.
Создается впечатление, что интегрирование по частям не привело к цели, так
как интеграл не упростился. Попробуем, однако, еще раз проинтегрировать по
частям. Приняв и=ех, dv = cosxdx, откуда du=exdx, v = sin х, получаем
/ = —ех cos*+(6* sin ж—/), т. е. /=—ех cos x-\-exsinx—I.
Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой части
снова получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с не¬
известным интегралом /. Из этого уравнения находим
ех
21 =—ех cos х-f ех sin х, т. е. /=-j (sin*—cos*) + C.
В окончательном результате мы прибавили к найденной первообразной функ¬
ции произвольную постоянную. Д
1390. Найти интеграл а2—x2dx, если а> 0.
Д Положим и = Уя2—*2» dv = dx, откуда du =	Х(*Х	, v=x. Следо-
у а2—дг2
вательно,
Г У a2 — x2dx = x У а2 —х2 — Г	^ - ~х У а2—х2— Г а	Х °-dxt
у	J	У а2—х2	J У а2-х2
или
J У a2—x2dx=x У а2~х2 — ^ У a2—*ad*+aaarcsln-^-.
Отсюда получаем
2	J У а2—х2 dx — x ]/*аа—жа+аа arcsln ~,
т. е.
^ Vo8 —x2dx=^ х У а2—*2+-j- arcsln -^» + С. Д
Sdx
(х2+а*)* '
Д Заданный интеграл можно преобразовать так:
аа+ж2—ха

Положим	dv—* тогда du~(^x>
откуда
или
v=H(xa+a^‘"d(xa+°a)=-^(^‘W^F1-1
/"3=ar/n_I+ar [2 (я—1) (x*+a*)"-i~i(/j— 1) 1(**+а*)»-А]'
» 1/, x 1 /
"“а*	п-, + 2а*(я—1) (jc*-faa)n-1	2a*(я—I)
т. e.
,	x	.1	2я—3 ,
B“2a»(n— О (лг,+а*)п-1+аг2я—2 n_1‘
Полагая я = 2, получаем выражение интеграла /2 через элементарные функ¬
ции. Полагая теперь л=3, находим интеграл /3 (ведь интеграл /1 уже найден).
Таким образом, можно найтн /„ при любом целом положительном я. Д
Найти интегралы:
1392. ^xlnxdx. 1393. J arcsin xdx.
1394. j х* arctg х dx. 1395. J (*-)-l)e*dx.
1396. j x* sin xdx. 1397. J x^dx. 1398. J Vx* + Xdx.
ф Положить X*=^t.
1399. J (x* + 2x -f 3) cos xdx. 1400. J e** cosx dx.
1401. Jsinlnxdx. 1402. J sinVx dx.
ф Положить У~х = /.
§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
I.	Интегрирование простейших дробей. Рациональной дробью называется дробь
вида P(x)/Q(x), где Р (х) и Q (х)—многочлены. Рациональная дробь называете!
правильной, если степень многочлена Р (х) ниже степени многочлена Q (*); в про¬
тивном случае дробь называется неправильной.
Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби с»
дующего вида:
х—а
у!
II.	* где т—^^oe число, большее единицы;
Л V 1 /I	«2
III.	■ j- ■ ,	где	^	q < 0, т. е. квадратный трехчлен x*+px+q т
х	~Ypx-\-q	4
имеет действительных корней;
IV* /т г* +v 'чи» где л—целое число, большее единицы, и квадратны!
(*я-гР*-г Я)
трехчлен	ие имеет действительных корней.
Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, qt а—действительны*
числа. Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробя»
I,	II, III и IV типов,
218

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов. Имеем
I.	IlnU-al+C;
"S
A dx	А	1
)(>
III
-С;
(х— а)т т — I (х—а)гп-'>
■ f-TT-J.— ,	2	arctg	-—^L=J=r-\-C.
J x -\-Рх~ЬЯ У4q—p2	У4q—p2
*a + P*+<7 У 4 q—p2	У 4 q—p2
Действительно, для этого частного случая простейшей дроби III типа полу¬
чаем
**+Р*+<7= (*+-§-) +Я—^4~> нлн xa+px+<7 = /2+<ia.
Р	"У 4(7	/72	Z72
где < = дг+^-, а = ——^	-	(здесь 	q < 0), откуда
С dx ' С dt 1	,	*	,	„	2	.	2*+р	.	_
J*a+P*+<7	J<2+“2 а аГС g	у49—p2 ЗГ° g Y4?—P2
1403.	Найти интеграл j жа+бж+25* *
A { *х	t	dx	Г	<f(*+3)	—	1	3rctg ^+3 .	.
A J **+6*+25 _J (*+3)*+16-J (дг+3)а+16	4	®	4	-1-b-	^
1404.	Найти интеграл J 2*2—2*+3 ' *
A [*	dx	1 Г dx	1	p	dx
J 2^-2'+3	2 J --*+1'2 J (-4)’+ (4-4)“
(* 2 ) 1 2 * 2 . „
Г\» — 2 ‘ i/T ‘агс*е ,/-5-/o +C~
£б у 2 ^5	уЛ5/2
1	*	2x—1 . A
-7Г‘,"'е7Г+с-А
Покажем, как интегрируются в общем виде простейшие дроби III типа.
Требуется найти j*	^4	Я < Выделим в числителе дроби
производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде
Ах+В = (2х+р)Л-^-+В.
Тогда
С Ах+В	А	Г	2х+р	I	Ар	\	Г	dx
3	jfi+px+q**- 2 3 x*+px+qax+[a ~~2~J J *2+px+q *
В первом интеграле числитель является производной знаменателя; поэтому
^tr+-qdx=ll,(x2+p*+v+c>
так как хг-\-рх-\- q > 0 для любого значения х. Второй интеграл, как уже было
отмечено, находится по формуле
Г1=-/-^=- arctg —j===-+C,
J x2 + px + q у4q-p*	У4q-p* ^

Итак,
f	-p^+c.
p 3X	1
1405.	Найти интеграл J x2_ix_^_g dx-
Зж-i	Г-|(2дг-4)-1+6
x*-4x+S **-)	x2—4*+8	dX=S
'='T j x*—4x+8 Л+51 х2—4х+8 =-21п(х*~4*+8) + 5 J (*-2)3+2**
= y In (*2—4*+8)+y arctg ^^+C. A
1406.	Найти интеграл j^F^fS+S-
. f	xdx	[i{4X+2)~T^ if 4,+ 2	if*
J2x*+ 2лс+	5 J 2**+2*+5	4j2**+2*+5 *	2 J 2**+2*+5 *
=*-i-ln(2*a+2*+5) — -j-j Г	dX 5 = -y In (2*2+2*+5) —
J X*+X+T
~^I(*+iy+2(-]2=^ln(&a+2*+5>_^ ”^5’arctg£^^+c=
=1 In (2ж*+2*+5)-1 arctg ^±l+C. A
1407.	Найти интеграл J	<**•
Д Предварительно в этом интеграле произведем замену переменной хг — и
тогда 2xdx=dt, xdx = (\f2) dt. Следовательно,
р	(2x*+3)xdx	1 Г(2*+3)<И_ 1 Г (2*+1) + 2^_
J	*«+**+1	2j**+<+I 2J <*+<+1
“7 J TqiTTlЛ+ S Fqr+T=Tln ('*+t+1)+
«il„^+<+l) + -A, arctg-^-+C=
-yin (**+**+1)+—^ arctg if!+l+c A
Рассмотрим теперь частный случай интеграла от простейшей дроби IV типа,
р dt
Для интеграла /„ = J ~^»_|.д^я (л—целое положительное число) имеет место
следующая рекуррентная формула:
1	t	,1	2п—3 f
п~ 2о*(л — 1) ‘ (*■+«}■-*+^'Я=У/*-1,
220

Эта формула позволяет после (л—1)-кратного применения свести данный
нитеграл 1п к табличному интегралу J t*+a%'’
1408.	Найти интеграл /3= J
Д Здесь л = 3. После первого применения рекуррентной формулы получаем
1	х	2-3—3	.	_	1	х	3
2	(3— 1)* (x*+l)3-1"h2.3—2 3~1"4 (** + !)*+4
К интегралу /а = J 1)* снова пРименяем рекуррентную формулу (здесь по¬
лагаем п = 2):
,1	х	. 2*2—3 .	_	1	х	,	1
2(2 — 1)*	I)®”1	2*2—2	2	х*+1	+	2
х . 1 Г dx	х	,	I	,
~2(x*+l)+2J **+1 ~ 2(дг*+1) +2 arct8*+c-
Итак,
I (х*+1)3 = T^+ljT+T [ 2(дс*+1) +Тarctg *\ +С‘
Окончательно имеем
С dx	х	.	Зх	.	3	.	.	*	А
J (*»+1)3 ~ 4 (**+!)* + 8(х*+1) +8 arct&*+C- А.
Покажем теперь в общем виде, как интегрируются простейшие дроби IV тнпа«
Требуется найти С ,	—4f cyrfy, А	я < 0.
к	J 0x* + px+q)n	4	*
Выделим в чяслителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в зна«
менателе:
С Ах+В	(*	-у(2*+/>)	+	(в	y) ^ ^
J (*,+/>*+?)я * J (**+/>*+?)"	*
—А. Г 2х+/7	^	■	(о АР\ Г Ах
“ 2 J (x*+px+q)n "+V	2	/J	(x*+px+q)«	'
Первый интеграл в правой части равенства легко находится с помощью под*
становкн xa-f/?*+? = f, а второй преобразуем так:
$(*+*+*■-$ [(*+{)'+(, -s.)]’ ■
Р	Р*
Полагая теперь *+y = f» dx=dt и обозначая д—~-=аа, получаем
С dx	Г*	dt
) (** + РХ+ЯГ	J (/2+а2)п #
Таким образом, интегрирование элементарной дроби IV типа может быть
выполнено с помощью рекуррентной формулы.
1409.	Найти интеграл J	^•
221

Д Имеем
3	.	,л	3)
(ж* + 2*+10)* Лс=*
3	f* 2*+2 j Г ***
2 J (**+2*+10)» ах J [<ж+1)*+9]**
|> Зж+2 , ffgM-W-
J (х* + 2х + Ю)2 J (хя + 2х-|-10)
В первом интеграле произведем замену х* + 2х+\0 = z, (2дг+2)dx=*dzt а во
втором интеграле положим х+1 =t, dx = dt. Отсюда
Г Зх+2 А _3 ? dz f dt _3 f	С	dt
J (x>+2x+1<9* 2j г* J (/2+9)a	2	J	Z	®	J(/*+9)*'
3	j Г 1	t	I	2-2—3	Г	dt
~	2 2	1.2(2—1)-9* (/a+9)*-1 + 9 ' 2-2—2 J /*+9
I
3	1	t 1 1	. t , _
~ 2z 18>+9	18’3	?3	+
Возвращаясь к старой переменной, получаем
Зх+2 «	3	1	х —1	1	,	|	f*
(r*+2*+10)»	2(ж* + 2* + 10) ~T8‘ (*+l)*+9 ”54 g ~3	^
	3	1	*+]	larctg£+l+C. A
2(**+2*+l0)	18	** + 2jc+10	54
Найти интегралы:
,410‘ 1	(x—1)« •	1411*	5 (2*+3)3‘	14,2‘	§ X»—6*+ 18*
1413- ,4,4‘ ltthdx-
1415, I	**+10*+29 dX' 1416, J 5*2+2*+1	dx'
,417’ 1	(**+2)? * l418,	I (*г + 2* + 5)2^**
2.	Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения иа простей¬
шие дроби. Перед интегрированием рациональной дроби Р (x)/Q (х) надо сделать
следующие алгебраические преобразования н вычисления:
1)	если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую
часть, т. е. представить в виде
р(*)-М1х), pi(*)
Q(x)	( )+ QW ?
где М (х)—многочлен, a Pi(x)/Q(x) — правильная рациональная дробь;
2)	разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:
Q(x) = (x—a)m ... (x*+px+q)n •••»
где 	q< 0, т. е. трехчлен x^ + px + q имеет комплексные сопряженные корни;
3)	правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:
рг (х) __ At	Аг	Ам ,
Q (х)	(х—а)т'(х—а)Л”* ‘ * * * ‘ х—а
. Bix+Ci .	В2Х’\-С%	,	Впх-\-Сп	.
,Mt (x% + px+q)n * (xb + px+q)"-*	‘ * * ^x* + px+q"г *** ’
4)	вычислить неопределенные коэффициенты А±, >42, .♦.? Amt Blt Съ
B%t С2, ... , Вп, СП9 для чего привести последнее равенство к общему знаме¬

нателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой й правой
частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относи¬
тельно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим спо¬
собом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые
значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффи¬
циентов.
В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению
интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.
Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни,
т. е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.
1419.	Найти интеграл J
Д [Так как каждый из двухчленов х—1, х—2, х—4 входит в знаменатель
в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть пред¬
ставлена в виде суммы простейших дробей I типа:
х* + 2х+6	__	А	* В . С
(х— 1) (х—2) (х—4) “х— 1	4 *
Освобождаясь от знаменателей, получим
**+2*+6 = Л (х—2)(х—4)+В (л:—1) (ж—4) + С (jc—1) (дг—2).	(♦)
Следовательно,
** + 2х+6 = уЦх2-6* + 8) + Д(х*-5*+4) + С(*®—3*+2),
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:
**+2*+6 = (Л + Я + С)х* + (—6Л — БД —ЗС)х+(8Л+4а+2С).
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений
, А+ £+ С= и
) — б>4—5В—ЗС = 2,
{	8Л+4Д+2С = 6,
■э которой найдем А=*3, В = —7, С=5.
Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид
х* + 2х+6	_ 3	7	. Ь_
(х— 1) (х—2) (х—4) х— 1 х—2"* д:—4’
Неизвестные А, В, С в разложении можно было определить и иначе. После
освобождения от знаменателя можно придать х столько частных значений, сколько
содержится в системе неизвестных, в данном случае—три частных значения*
Особенно удобно придавать х значения, являющиеся действительными корнями
знаменателя. Применим этот прием к решению данного примера. После освобожде¬
ния от знаменателя мы получили равенство (*). Действительными корнями зна¬
менателя являются числа 1, 2 и 4. Положим в этом равенстве х=1, тогда
1* + 2* 1 +6 = /1 (1—2) (1—4) + В (1-1) (1— 4) + С(1-1) (1-2),
откуда 9=ЗЛ, т. е. А =3. Полагая х — 2, получаем 14 = —25, т. е. 5=^—7;
полагая х = 4, имеем 30 = 6С, т. е. С = 5. В результате получились те же зна¬
чения, что н при первом способе определения неизвестных.
Таким образом,
Г **+2*+6	С	dx	- С dx - С dx
J (*-1) (х-2) (*-4) dX~3 J х-1 7 J*—2+ J JC-4-
д3 In 1 ж-11-7 In | ж-21 + 5 In | *-4 \ + С- In |	| + С. А.
223

Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некото¬
рые из них кратные, т. е. знаменатель разлагается на множители первой степени
и некоторые из них повторяются.
1420.	Найти интеграл §—£+L^dx.
А
Д Множителю (х—I)3 соответствует сумма трех простейших дробей , л +
^ДС I)
В , С	,	0	„	*	D	т.
, а множителю дг+З—простейшая дробь - ♦ Итак,
(дг — 1)	х-1	’	- 	 	 		-к— x-j-3
х2+\	__ А	В	С	.	D
(х—\)3(х+3) *	(х-1)3	1+;с	+	Зв
Освободимся от знаменателя:
*2+ ! = ,4 (*+3) + В (х— 1) (Х+3) + С (*- I)2 (*+3) +D (*— I)3.
Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и —3. Полагая
х= 1, получаем 2 = 4А, т. е. Л = 1/2. При дг = —3 имеем 10 = —64D, т. е.
£> = -5/32.
Сравним теперь коэффициенты при старшей степени *, т. е. при х3. В левой
части нет члена с ж3, т. е. коэффициент при ж3 равен 0. В правой части коэф¬
фициент прн jc3 равен C+D. Итак, С+£> = 0, откуда С = 5/32.
Остается определить коэффициент В. Для этого необходимо иметь еще одно
уравнение. Это уравнение можно получить путем сравнения коэффициентов при
одинаковых степенях х (например, прн х2) или придав х какое-нибудь числовое
значение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможно
меньше. Полагая, например, х = 0, получаем
1 =ЗА—ЗВ+ЗС—D, или 1=2-ЗВ+^+2, т. е. В = -
Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид
х*+\	13	5	5
(х—1)»(*+3)	2	(х—I)3 -+' 8 (jc— 1)а "*■ 32 (ж-— 1)	32 (*+3) ’
Таким образом, получим
Г ха+1	1	f*	dx 3 f* dx 5 (* dx 5 j' dx _
J (*-l)»(*_3)-	2	J	(ж—l)3+8 J (*—I)*+32J *-1	32j*+3
1	3	5	.
4	(x— l)a 8 (*—1) ‘*'32
Случай 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни,
т. е. разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющнеся множители.
л dx
1421.	Найти интеграл \	•
Д Разложим знаменатель на множители:
х* (*»—1) =*»(*— 1) (**+*+1).
Тогда
1		1	  j4 . В,	С . Рх + Е
хъ—х*	х*(х— 1) (ДС* + *-|-1)	X* X ’х—1	1
Освобождаемся от знаменателя:
\=А (х— 1) (**+*+1) + Вх(*—1)l)-f-
+Сх* (**	1)	+	(Dx+	Е) хг (х— 1).
224

Действительными корнями знаменателя являются числа 0 и 1.
Прн jc = 0 имеем 1 =— А, т. е. Л = —1; при * = 1 имеем 1 =3 С, т. е.	1/3.
Перепишем предыдущее равенство в виде
1	=zA (jc3—1) + 5 (х*—х) + С (д^+^ + х2) + /)x4 + £jc3—D*3—£ха.
Сравнивая коэффициенты при jc4, «я3, получаем систему уравнений.
/	5+с+о	=	о,
I	Л+С+£—Я = 0,
I	С—£ = 0,
из которой найдем В = 0, £> = —1/3, £=1/3. Итак,
11.	1	х—~\
х*—х*~~	х*~^3(х—\)	3	(ха + х+1) *
Следовательно,
С dx	Г	dx	\	Г	rdx	1	Г	*—	1
J *" 3 J х— 1	3	)	х*	+	х+\	Х
1	* 1 . I , ,	1	Г*	2х	+1 — 3 ,
“Т+Т 11 ~Т J х*+х+1
—7’+у1п1 (*—01—§-in (**+*+0+-j
f dx
1,1.	(л:— I)*	.	1	.	2x+l	,	_	.
=T+6 InFq^TT+7iarctg YT+C- 4
Случай 4. Среди корней знаменателя имеются кратные комплексные корни *
т. е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители.
1422.	Найти интеграл J	dx.
Д Так как х*+1 есть двукратный множитель, то
х* — 2х	Ах+В Сх+Р
(*а+1)а (*а+1)а ^ *а+1 *
Освобождаясь от знаменателей, получим
x*—2x = Ax+B + (Cx + D) (х* + \).
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
1 =с,
0	=
—2 = Л + С; А =—3*
0	= 5+1); 5 = 0.
СлеДовательно,
Р х3—2х , _ Г —3xdx . Г 'xdx __	3 Г'^(*а + 1) . 1 С
J (*2 + 1)8	“J (*2+1)2 +)*‘ + 1-	2 j (jc* + 1)»	2	J
1
ха
2 (jra+ 1) ‘ 2
bi) In (*а+ 1) + С.
d(£±j)_
ха+1
Заметим, что данный интеграл можио было иайти проще с помощью подста¬
новки х2+1 =/. Д

1423.	Найти интеграл ^	dx.
Д Выделим целую часть данной неправильной рациональной дроби]
**+3**+ 5*+7 1**+ 2
**	+2*	. _ . 3*4-1
3**+3*+7 *+3+J*+3
—3**	+6	^
Зж-f-l *
Итак,
ж*+3**+5ж+7	, 0 , Зж+1
**+2 •
Отсюда находим
S *+%5х+7Н (*+з+Ш)
-J,Л+з5-и-4-Р+& +*	^
=^+3,+4ln(**+2)+-^aTctg^2+C. А
1424.	Найти интеграл j >+^,и+6' Л.
Д Так как подынтегральная функция является правильной дробью, то ее
следует сразу представить в виде суммы простейших дробей. Легко видеть, что
многочлен дг-f 6х*+Пх+6 обращается в нуль при х=—I, поэтому он делится
без остатка на ж-f 1. Выполним деление:
_х»+6х*+11х+6|х+1
**+ **	**+5*+6
5**+11*
5**-f- 5*
6*+6
~6*+6
Следовательно,
у+6**+ 11дН-6=(*+1) (**+5г+в) ==(*+1) (ж+2) (ж+3);
дг+4	*+4	А	. В . С
де*+6**+11*+6 — (*+1)(*+2)(*+3)“ *+ ^ж+г^дг+З’
Освобождаясь от знаменателей, получим
х+4 = А (*+2) (*+3) + В (*+1) (дг+3) + С(*+1) (*+2).
Полагая *=—1, найдем 3=2.4, т. е. А= 3/2. Еслн *=—2, то получш
2	= — В, т. е. В=—2. При х——3 получим 1=2С, т. е. С—1/2.
Итак,
Г	*+4	,3(*d*	„ Г dx . I С dx
J дс*+6**+11*+6 Х 2J*+1	J*+2't'2j
1425.	Найти интеграл ^	l6	dx.
*+3
^lln|x+l|-21n|*+2|+^ln|x+3|+С. 4
**+1
226

Д Прежде всего нужно выделить целую часть:
*5+1 |*«—8**+1б
*>—8x3+16*	_ 8*»— |б*+1
8*®—16*+ I дс+Л4_8**+|б
Следовательно,
*5+1 . 8**—16*+ 1 _	8**—16*+1
*«—8**+l6-Jt+*«—8**+ 16-X+ (*—2)* (*+2)* •
Разложим теперь правильную дробь на простейшие:
£**—16*+1 А | s I с | D
(*—2)* (*+2)* (*—2)* '+'*—2','(*+2)*'t'*+2•
Освободимся от знаменателей:
8л3— \6х+\=А (л:+2)2 + В(л:—2) (*+2)a + C (д:—2)* + £> (*—2)« (х+2).
Полагая х = 2, найдем 33 = 16/1, т. е. А =33/16; При х = -—2 получим
—31 = 16С, т. е. С = —31/16; Еслн х = 0, то 1=4А—88+4C+8D. Заменив А
и С их значениями, получаем
QO	01
1=-^_8S—j + 8Z), или —16S+16D = 1.
Для того чтобы найтн В я D, составим еще одно уравнение. Сравнив коэф¬
фициенты при *®, получим 8 = S+£>. Решив систему уравнений
B-f D=8,
[—I6B+16£>=I,
{-
находим £>=129/32, В =127/32.
Итак,
Г *5+1 л ГГ , 33/16	.127/32	31/16 . 129/32 1
J *«-8**+l6 Г+ (*—2)*+Т^Г (*+2)*+ *+2 J
**	33	■ 127I . OI .	31	. 129I I , о. . ^ А
1п|*—2|+-~	+-s-Jn|*+2|+C.	А
2	1б(*—2)^32	1	'	Чб(х+2)~ 32
1426.	Найти интеграл J •
Д Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью
и можно было бы найти интеграл, представив эту дробь в виде суммы простейших
дробей. Однако нахождение интеграла можно значительно упростить, если произ¬
вести замену переменной х—1=/; тогда х = / + 1 и dx=d(. В результате получаем
-	1	2	1	+с,	1	2
2	<*	3<*	4<4 1	2(*—I)1 3 (*—!)«
1	.г-	6*»-4*+1	с	.
4(*—l)4+C~	12(*—I)4	*
1427.	Найти интеграл J-^rgjs+g*
Д Преобразуем знаменатель: д^ + 6дс2+5 = (ха+3)а —4. Теперь имеем
С xdx	С	xdx
J *4+6**+5—J (**+3)*—4 ’
227

Произведем замену дг*+3'= /, тогда 2xdx=dt и
f* xdx 	f* х dx 	I С dt
3 ж*+6ж*+5 “J (** + 3)* — 4~ 2 3 **-4e
1 I	u —2| , „ _ 1 ,_x*+l , „
~ 2 ’ 4	|Г+2|"^С—8	**+5+C*
Из последних двух примеров видим, что иногда перед интегрированием рацио*
нальной дроби следует произвести замену переменной. Д
Найти интегралы:
'«“•Ыйг*-	f „+%£?«+■)*•
■430.
■434. f ^+„ «■	.435,
,4М£$ТЛ-	"37.
ф Представить знаменатель в
виде jc4 + 4 = (x*+2)a—4х*.
■438-	'439-
1440.	j5£±^±^l±2d*.
3.	Интегралы вида J R(e*)dx, где R — рациональная функция. С
подстановки ex = t, откуда exdx = dt, dx = -^-==-y-, интеграл указанного вида
преобразуется в интеграл от рациональной функции
1441.	Найти интеграл	dx.
Д Положим ex = t\ тогда ех dx = dtt dx=-у-, откуда
Г Зе^+^ + 1	Г	3*«+*+1
J —	3	J	t	(t2 — 2t— 3)
Так как t (/*—2/—3) = t (* + !)(*—3), то разложение иа простейшие дроби
имеет вид
3/2 + *+1	А	.	В . С
t(t+l)(t—3)	t	-г	*	+ 1	3	e
Освобождаясь от знаменателей, получим
3f*+/+l=/!(f+l)(*-3) + B*(f--3) + a (t+1).
Если / = 0, то 1 =— ЗА, т.е. А — — 1/3, если же t—— 1, то 2 = 4В9 т.е.
В = 1/2, наконец, если f=3, то 31 = 12С*т. е. С = 31/12.
Итак,
3/.*+/+1	1,/3	1/2	31712
t (f*— 2t—3)	t
помощью

и значит,
*+y/-W <й~—т ■" (+т '• ('+‘>+в bK-oi+c-
=-1 Inе*+11п (г* +1)In I е*-31+С =
“-f+Tln(e*+1)+T2ln|e*~3|+c< ±
Найти интегралы:
.442.
*443, J (2е** —е* —1) (е4* +1)dx'
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Интегралы вида J R {х, (ax+b)m^nt, (ах+...) dx, где R — рацио¬
нальная функция; тг, nlf т2, л*, ... — целые числа. С помощью подстановки
a*+ b = ts, где $—наименьшее общее кратное чисел пи яа, ... , указанный интег¬
рал преобразуется в интеграл от рациональной функции.
р	fa
1444. Найти интеграл / = \	^—:	гтг .
v	J (2ж +1)2/3—(2х+1)|/2
Д Здесь ti\ = 3, л2 = 2; поэтому s==6. Применим подстановку 2*+l=/e; тогда
*=(/*—1)/2, dx=3tbdt н, следовательно,
d(=-|/»+3/+3in|<-i i+c.
Возвратимся к старой переменной. Так как f = (2x+1)|/6, то
/=|.(2«+1)|/3+3(2х+1)|/6+31п|»/2дс+1-1|+С. А
л
2.	Интегралы вида 1	.	Такие	интегралы	путем выделения
J Уах% + Ъх+с
полного квадрата нз квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам
XX или XXI.
л	dx
1445.	Найти интеграл J -рг===^==-.
Д Преобразуем квадратный трехчлен к виду jc*-j-2*-f-5 = (x+I)3-f 4. Тогда
I y**+L+5=,f V (ж(+Т)«+4 =,П 1*+1 +У*'+2*+51 +С‘ А
Г*	г/у
1446.	Найти интеграл 1	, . ■■■■■ —.
17 J Y— Здг*-|-4х—1
А Г ^	‘	f
-) К —Зж* +4*—1	3 ^	1-^-2 j2
в-_J,_aro5ln^~2^+C=a	* arc8ln (Зх—2)-f-C. Д
V з i/з |^з
J29

3.	Интегралы вида Г - ■	dx.	Для	нахождения этого интеграла
J у ах* + Ьх+с
выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком
корня, и разложим интеграл на сумму двух интегралов:
Ах+В
J У~ах2 + Ьх+с J Уах* + Ьх+с
_ А Г d(ajfl + bx+c) , /д АЪ \ Г dx
2а J У^ах2+Ьх-\-с \	2а / J	+ с
Первый из полученных интегралов есть табличный интеграл XVII, а второй
рассмотрен в п. 2 § 3.
/»	5Х	з
1447.	Найти интеграл \	^=-dx.
*	J /2** + 8*+1
Д Выделим в числителе пройзводную подкоренного выражения:
р	5х—3	р -j- (4х+8)—13
J Уг2хг+8х+\	У~Ъ<* + 8*+Т
-ЦуМкт^ттт-
-|уь.+<,+ |—	t *	-
У *а+4*+у
К2**+8*+1 —^_1п |*+2+ ^** + 4*+-±- |+С. ▲
1448. Найти интеграл Г ■■		dx.
JK-^+te-e
_ Зх+4	-—я-(—2ж+6) + 13
Д I 		-=rdx= l		■	—	dx—
J V— **+6*—8	J V — x*+6x—8
» f -»+«. ^+13 Г ^	-
2	J К-**+6*-8	J	1 — (ЛГ—3)a
= —3 Y — **+ ex— 8+13 arcsin (x—3) + С. Д
4.	Интегралы вида Г	-	.	С	помощью подстановки х —
J (х—а) у ах*+Ьх+с
—	а = 1// этот интеграл приводится к рассмотренному в п. 2.
dx
1449.	Найти интеграл J
-2х+\
Д Положим x=\/t9 тогда dx = — (1//а) dt и
(dt)/t*
х v5х*—~ 2х+1 “* j* (1/0 Y5//* —2/V+1
J ,п 1
	1п|1-1+ ^Jg—T+s| +С==- 1п | 1-х+)/~5*«-2х+| |+с а
230

л	^
1450.	Найти интеграл \
J (х~1)У _х* + 2х+3 ‘
Д Полагаем х—1 = 1//, тогда х=1//+1 и	dx= — (l/f*)<tf.	Следовательно,
^	dx		f	m/t*
j (x— l)V — x*+2x+3	J i. |/"_^i-(-i.j2+2^1+-jj4-3
=- f — 	*	Г—^
i-4~f+2+t+3
—*J	l,+	,/^l+c"
—i-|ii+/(S]4l+c-
-■h|HCTB?.|+c4
1451.	Найти интеграл I— Г	dx.
J (х+1))Лг*+Зх+3
Д Записав числитель подынтегральной функции в виде 3x+2=3(x-f-l) — 1,
получим
/=г	з(х+о-1
J (x+l)Vx*+3x+3
Представим данный интеграл как разность двух интегралов:
,_р Г dx _ Г	dx
J Ух*+Зх+З J (x+l)Vrx*+3x+3 *
К первому интегралу применим формулу XXI, а ко второму—подстановку
х+1 — 1/f:
1=3 1п| х+у+Ух*+Зх+з|+|-	—			=
ТУН +3(т-,)+з
-31п | х+|+ Ух*+3х+31+j
= 3ln|x-f~jT+Vх*+Зх+з|-[-1п | f+yj-V<* + <+1 |+С =
= 31п
*+f+KV+3.+3 +1п |4i-+| +/^+3
+с. А
Г Р (х) dx
б.	Интегралы вида \ —■■■—■	—г где Рп (х) — миогочлеи л-й степени.
J к
Интеграл такого вида находится с помощью тождества
Рп(х)
  А V _ Л	Г / лУ~ п vl I h V I Г I 1 Г 	^
Г ?»(*>.-_w Vax»+^+c+X Г ■■	..,
J |Tar« + »x+*	J ^ax* + bx+c
231

где Qe-i (*)-*-многочлен (л—1)-й степени с неопределенными коэффициентами,
к—число.
Дифференцируя указанное тождество н приводя результат к общему знамена¬
телю, получим равенство двух многочленов, нз которого можно определить коэф¬
фициенты многочлена Qn.!(jc) и число Я.
1452.	Найти интеграл Г ?~t2x +j*+4 dr.
*	J V х2 + 2х+2
Д Здесь п = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид
Г х»+2ж»;+Зх+4	%	ь	ь	ух%+2х+2+к	Г
J Y х*+2х+2	vo-ri-rwr	-г	J	ух’+2х + 2
Дифференцируя обе его части, получаем
*»+2х3+3*+4
У	х* + 2ж+2
;(2Ь1)х+Ь1)Ух*+2х+2 +
+ (&„** + Ь1Х + Ьг)	*+‘ , +Х-
ух* + 2х + 2	ух* + 2х + 2
Освобождаемся от знаменателя:
х8 -j- 2х2 -j- Зх 4 = (26qX -j- bj) (х2 -j- 2x -j- 2) -f- (Ь$х2 Ч- b±x -f- 6g) (x -j-1) -j- kf
илн
x* -j- 2дс* —}— 3x -f“4 = 360r* -j- (56q -j- 2bj) x2 -j- (46q -j- 3b\ -j- 6j) x -j- (26j -j- b% -}-X),
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получнм
ЗЬ0= 1*
5^о	2Ь\	=	2,
I 460+3+ 6а = 3,
2ЬХ -|- 63 -(- X = 4.
Решая систему, найдем 60 = 1/3, 61=1/6, 6а = 7/6, X = 5/2. Следовательно#
+-J In | х+1 + У ж»+2*+2 |+С. 4
Найти интегралы:
1453.	Г ■ dx4 .	1454.	Г	dx.
J К i—2x—y 1—2х	J	\	+	у х
1455. f-dx— - .	1456.	Г-	— -
J	*—1	J ^-ж*_2ж+8
1457. f-?=J^=dx.	1458. Г—3x+2 -dx.
J ^-*»+4*+5	J	Ух*	+x+2
1459. f	dx—	1460. Г—- ■ dx	-	.
J (jc + 2) Y %2-\-2x	J x Y2x2 -~2x— 1
1461. f	*~L=_ dx. 1462. Г f+2x+3., dx.
J (ж+1)^*»+1	J У-х*+4x
в.	Интегралы от дифференциальных бниомои ^ хт (a-\-bxn)p dx, где т, п,
р — рациональные числа, Как доказал П. Л. Чебышев, интегралы от дифференци¬
альных биномов выражаются через элементарнее функции только в трех случаях:
232

1)	р—целое число, тогда данный интеграл сводится к интегралу от рацио¬
нальной функции с помощью подстановки x~ts, где $ — наименьшее общее кратно?
знаменателей дробей m ,и я;
2)	(т+ 1)/л—целое число, в этом случае данный интеграл рационализируется
с помощью подстановки a-{-bxn = ts;
3)	(m+1)/д+/7—целое число, в этом случае к той же цели ведет подстанов¬
ка ах“л + & = **, где s—знаменатель дроби р.
1463.	Найти интеграл Г	—гтт.
)т(Ух+1 Г
Д Здесь подынтегральную функцию можно записать в виде	l)“10,
т. е. р = —10—целое число. Значит, имеем первый сдучай интегрируемости диф¬
ференциального бинома. Поэтому следует применять подстановку х = *4; тогда
dx — 4t3dt н искомый интеграл принимает вид
Г	dx	^	f	Wdt	tdt
}/*:(/*+1)" J<M<+1)10“ 3^ + 1)10‘
Последний интеграл находится так:
Г tdt Ct+\ — \ Г dt Р dt
J (* +D10 J .<* + l)w J ('+0e J (f+1)10^
Таким образом,
dx	1
JV*i
Kv-TT--'. .x,+c- A
n (y-x+i г	2 (t/-x+0^9 a/-x+i)
1464.	Н1айти интеграл Г	d?
F J (a*-*») }Ta*-x'
Д Переписав подынтегральную функцию в виде х3 (а*—х2)~3^*, имеем т = 3*
л = 2, р~ — 3/2. Так как (т+1)/л = (34-1)/2 = 2—целое,число, гимеет место
второй случай интегрируемости. Используя подстановку а*—** = /*, получим
—	2xdx = 2tdt, xdx — — ifdf, х2 = а*—/*. Следовательно,
j (a*-/*) t~»-tdt=	=
1465.	Найти интеграл —
dx
V i+**‘
Д Здесь m—— 4, n = 2, p = — 1/2 н (m+l>/n+p=(—4+l)/2—1/2= —2
—целое число. Поэтому имеет место третий случай интегрируемости дифференциаль¬
ного бннома. Полагаем jc“*+1 = t*; тогда —2x~%dx = 2tdtt x~?dx = —tdt.
Преобразуем данный интеграл таким образом:
'-JW
233

Следователь»),
/=—$ (/’—1) t-4dt=— J (/2—l)d/=.
^-fK«KTFqT-^E2+c-
_^T+7- V1IW, ^_(2*2_i)>nr+Ft „ ж
x	Ш h	a*5	h	A
Найти интегралы:
,4“- jyfe-
1470. Г У~хУ ЬхУ x+Zdx. 1471. Г-
J	J	x3	У	2—r'
i А. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1.	Интегралы вида J A(ilfix, со*x)dx9 где Х-рацммльш фуякцм.
Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функц^
с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстанотл
tg (х/2) = /. В результате этой подстановки имеем:
Д|Д д. —	2 tg (ж/2>	^2/	l-t\
l+tg*(x/2) ГП1,	1 + tg2 (х/2) I + F’
х = 2 arctg
1472.	Найти интеграл J4slnjt+fc0sjt+s--
Д Подынтегральная функция рационально эавнснт от sin х н соз х; прнм<
21 1—/* 2 dt
подстановку tg (х/2) = /, тогда slnx= —i» cosx=]q^i» ^ = Г-Н* Н
 [	а
у 4sinx-f Зсозх+5	\л 2/	,
J	J4*i + /*+
2dt
1+/1
К , о I-*1 , /
Н-ГГЯ+5
1+/»т	1+/,
пС <и г_л__	!	,г
J 2f*+8/+d J (/ + 2)»—	/+2'1'
Возвращаясь к старой переменной, получим
Г А* -	1	I	С	▲
J 4sinx-|-3cosx+5 tg (х/2)+2 * 'т
1473.	Найти интеграл
234

Д Полагая tg(x/2) = f, получим
2 dt
с * г
\ (а*+6*)—(в*—6*) cos х \ (д1
1+/*
-;f	<U	Г Н
J (а*+&*)(1 + /*)-(а*-&*)(1-<*) J <«*+**
Универсальная подстановку tg(x/2}=/ во многих случаях приводит к слож¬
ным вычислениям, так как прн ее применении sin х и cos х выражаются через /
в виде рациональных дробей, содержащих t%.
В некоторых частных случаях йахожденне интегралов вида J R($inx, co$x)dx
может быть упрощено.
1.	Если R (sin х, cbsx)—нечетная функция относительно sinx, т. е. если
R (— sin х, cos х) = — R (sin х, cos х), то интеграл рационализируется подстановкой
cos x = t.
2.	Если Я (sinx, cosx)— нечетная функция относительно cosx, т. е. если
R (sin х, —cosx) =—R (sin x, cosx), то интеграл рационализируется с помощью
подстановки sinx^f.
3.	Если R (sin х, cosx)—четная функция относительно sinx и cosx, т. е.
если R (—slnx, — cos x) — R (sinx, cosx), то к цели приводит подстановка tgx = /.
1474.	Найти интеграл J	^sin	■** •
Д	Так как	подынтегральная	функция	нечетна относительно синуса, то пола¬
гаем cos х = /. Отсюда sin2x=l — /2, со$2х~2 cos2x— 1 = 2t2 — 1, dt = — sinx tlx.
Таким образом,
Г (slnx+sinyx)dx	Г( 2—/*) (—Л)	С (t2—2)dt
J cos 2х ~ J 2/а— 1	—	j	2l3— 1 ^
1	С 2<*-4	^	1	Г	м	3 Г	dt
~ 2 J 2<*- 1	2	J	2 J	2/*— 1 “
t 3 Г d(t У~2) t 3	.	If	У	2—1
		 *			— in 1
_	fliUL	_
2	2 y~2j »*-l	2	2	Y~2	|	/	У~2-\-1
Следовательно,
+C.
I
(sin x4-sin2 x) dx 1	3
	ESS	=ТС05ДС~2УТ
Y 2cosx — 1
+c.
Y 2cosx-fl
Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда может быть записан
в виде J R* (sin* х, cos х) sin х dx. Д
1475. Найти интеграл
Д Здесь подынтегральная функция является нечетной относительно косинуса.
Поэтому применяем подстановку slnx = /; тогда cos*x— 1 — sin*x = 1 — /*,
cos xdx = dt. Следовательно,
С (cos3 х+cos5 х) dx Г* cos2 х (1 -f- cos2 x) cos xdx С (1 — t2) (2—t2) dt
J sln*x+sin4x	sln2x+stn4’x	J	/2-И4	*
235

Окончательно получаем
Mcos^+cos»*)^	_	2 _
J	Sln1JT + Sln4X	Slfl JC
Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда может быть записав
в виде J R* (sin х, cos* х) cos х dx. Д
1476.	Найти интеграл ^ sm,,+2slnfcos х_с08,, •
Д Подынтегральная функция четна относительно синуса и косинуса. Пола-
tfif х	t	I
гаем tgx=t; тогда sinx= —		= —cosx=;—
Vl	+ ig*x V l + t*	/l + tg**
1	;;	x	=	arctgf; dx = т-^-тг . Отсюда
-v..,-.	1	+	<S.
dt
	тп*
t* . 2t	1	I
С * -f
1 sin* x+2 sin XCOS X—COS* X 1
b)	J	I-
/Т+7* VT+T* l+(t
Г dt
~J ** + 2<-l *
Далее, имеем
Г dt Г d«+l)	1	<+1-/1
J ,.+2<_i-J (/ + 0._(/-2)» 2/1
и,	следовательно,
Л*»	I	I f /г «> I 1 _ iГ о
+c.
+C.
J;
_*r	l_inltgx+l-/2
sin*x+2sinxcosx—cos** 2^2 Itgx+l-f-)^ 2
Заметим, что нахождение интеграла можно упростить, если в исходном ннтег*
рале разделить числитель и знаменатель на cos**:
dx
;d(tgx)
[	dx	_Г cos* x	Г
J sin* x+2 sin x cos x—cos* x Jtg*x+2tgx— I Jt
sin* x+2 sin x cos x—cos* x J tg*x+2tgx—I J tg*x+2tgx—I m
2.	Интегралы вида J sinm x cosnx dx. Выделим вдесь два случая, имеющие
особенно важное значение.
Случай I. По крайней мере одни нз показателей т или п—нечетное,поло¬
жительное число.
Если л—нечетное положительное число, то применяется подстановка sinx=r,
если же т—нечетное положительное число,— подстановка cos х=/.
1477.	Найти интеграл $ sin4*cosbxdx.
Д Полагая sinx = f, cos xdx=dtt получим
J sln4xcos5xdx = J sin4x(l — sln*x)*cosxdx=^ (1 —/*)*	=
==j t'dt—2 j + У	f7+j /9+С=з
5=-l sin5 дг—у sin7 *+-i- sin9 x+ C. A
236

1478.	Найти интеграл Г	9/
J COSJC у COS г
Д Имеем
Г —^	Г sin8 x cos “ 4/8 xdx-
J COS X у COS X J
Полагая cosx—f, — sin xdx=dt, получим
г sin;^=- г о—t*) г** dt=~ г ri/3 &+г t*/3 dt--
J cos X у COS X J	J	J
-,w/» I-A,»/» [/■._	3	+1	4
V^COS*
Случай 2. Оба показателя степени m н я—четные положительные числа.
Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул
sin х cos х=у sin 2х4	(1)
sin* x =	cos	2*),	(2)
cos* x=y (1 +cos 2x).	(3)
1479.	Найти интеграл J sin*xcos* xdx.
Д Из формулы (1) следует, что
sln*xcos*x = (sln xcos *)* = ^-i-sln 2*^ =-~sln*2r.
Применив теперь формулу (2), получаем
Итак,
, *	*	1	1—cos4x \	. ч
SlneJCCOS*X=s~ 		£	=^“g“ (1 —cos 4x).
Jsln*xcos*xdx=‘g* J (1—cos4x)dx=
“T J cos4*^—A
1480.	Найти интеграл J cos6 x dx.
Д Используя формулу (3), получим
^ cose*dx=J (cos*x)sdx=J ^	^
=T J ^	005 cos*2,+cos* 2x)dx =
s=-g-J ^+"1" J cos2rdx-{-g* J co$*2rdjr-f— J cos8 2

+•g- J (1 —sin* 2*) cos 2x dx=-g- *+]§ 8ln 2*+
4-^ J	J cos 4* 4*+4 J cos 231 dx~
—-g-J slh*2*-2-d(sln2ic)=^-jr+^sln2*+
+й ж+й sln 4x+isin	8ln* C=
=^H"j-s«n2*+psin4*-isJn»2*+C. ^
1481.	Найти интеграл J sin* x cos* xdx.
Д Jsin** cos*xdx—^ (sinjrcosjr)*cos*xd*=y sin 2л:^ * ~^~c^s — <te =
*=-g*y sin*2*dx-j—g: Jsin*2*cos2x<ix=
“ T J —4*+ •§■ J sin*2X'Yd(sin 2x) =
*=•^5 J dx—J cos4jrd*+^ J sln*2xd(sin 2*) =
*=lSJC-isin4*+45sln*2*+C' ^
3.	Интегралы вида J tgm ж dx н J ctg" * dx, где m — пелое положительное
число. При нахождении таких интегралов применяется формула tg! дг=sec* х— I
(или ctg* ж=cosec* х— 1), с помощью’ которой последовательно понижается сте¬
пень тангенса или котангенса.
1482.	Найти интеграл $ tg1 xdx.
Д Jtg7 xdx = У tg* jr (sec* x— l)dx=J tgtxd(tgx)—^ tg** dx=
=»^-J tg**(sec**-l)d*=^p-.^p + j tg*(sec!x—1) dx=
^.^f+^+imcos*!+C. A
1483.	Найти интеграл ^ ctg*xdx.
Д J ctg* xdx—J ctg4 x(cosec* x— 1) dx=— J ctg4 *d (ctgx)—J ctg4xdx=>
=——y——J ctg* x (cosec* *—1) dx =»
—ф+£^!+^««.1»-1)й—£^+£^i-ci,,-«+c. A
4.	Интегралы вида J tg*x sec” x rfx и Jctg^x cosec" xdx, где it —четное поло»
жнтельиое число. Такие интегралы находятся аналогично рассмотренным в п. 3
с помощью формулы sec*x=l+tg*jr (или cosecljr=l+ctglx).

1484.	Найти интеграл $ tg4*sec6xd!*.
Д J tg4 ж sec* ж dx = J tg4xsec4*-sec*xdjr =
= 5 tg«*(l+tg**)*d(tg*)=$ tg«xd(tg*)+2j tff6Jr^<Cex)+ Jtg8*<f(tgJt)=.
= -g-tg«x+|.tg»x+i.tg9*+C. A
Л £fc
1485.	Найти	интеграл \
Д J	J	cosec4 *d*=j* cosec* jc cosec* *d*=s J (1 +ctg**)	cosecf*rf*=
= J cosec1 jcrfr—J ctg^dfctg*^—ctg*—jctg3*+C. Д
5.	Интегралы вида J sectn+lxdx л J cosecln+IxAc. Интегралы от нечетной
положительной степени секанса или косеканса проще всего находятся по рекур¬
рентным формулам:
J see*"+1	jsec*»-‘xdjr.	(i)
J cosec*"+*x</jc	jcosec*»-^<te.	(2)
1486.	Найти	интеграл J cosec5 xdx.
А Применяя	рекуррентную формулу (2)	при	2rt-fl=5,	т.	е.	прн	д = 2,
получим
Г с »	1	cos*	,	3	С	1	j
j cosec5X£/ar=—4-—^ cosec*xdx;
полагая теперь 2л-|-1=3, т. е. л=1, по той же формуле имеем
Г cosec5 xdx = —i • ^-£+4* \ cosec xdx.
J	2	sin1* ‘ 2 J
Так как J cosec*i*=	j	*£	у	|+С»	то
Jcosec»*rf*=— “^+.*.|„|tg.*| + C,
Ico*ec5^=-^-g^+|-ln|tg||+C. A
6.	Интегралы вида J sin mx cos nxdx% J cos mxcosnxdx, J sin mx sin nx dx.
Тригонометрические формулы
sin a cos P = y [sin (a+P)-fsin (a—P)],	(1)
cos a cos fl =y [cos (a-|-P)+cos (a—0)]f	(2)
sin a sin p = -g- [cos (a—P)—cos (a-fP)l	(3)
дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде
суммы.
239

1487.	Найти интеграл J sin 2х cos Ьх dx.
Д Используя формулу (I), получим
J sln2xcos5x<fjc=-2" ^ [sin 7x+sln (— Зх)] dx=*
s=-^-^sln 7xdx— J sin 3xdx = —-^cos 7x-|-*g-cos3x+C* A
1488.	Найти интеграл Jcosxcosy cos-jd*.
Д Применим к произведению cos x cos у формулу (2):
J cos xcos-jcos	J	^cos	у+cos cos -^dx =
If 3x x . , 1 f x x .
= 2* J cos"2 cos	J cos	yC0ST
Снова	используя ту же	формулу, находим
Г	*	х ,	1	Г / 7х ,	5х\ .	- 1	Г	/	Зх	.	м	х \	.
\ cosxcos у cos	— tfx=—	V f cos-j + cos-^ J dx-\—£	\	[ cos-j-+ cOS	*4-\dx~
1 , 7x . 1 . 5x . 1 , 3x , . x , 0 ж
“У T'^"5"sinT"^T	T"*"	T^”	^
Найти интегралы:
1489.
dx
J 3 + 5sln x+3cosx *
(491 Г	cos1 *dx
J sinax+4sinx cosx *
ф Положить ctg x = /.
1493 Г	sin 2x dx
,Wd* J cos»* —sin**—1 •
1490
1492.
P dx
*	J 1—sin x *
f—
Osin*
cos* x dx
лс+sinx
1496.
1498.
1500.
1502.
1504.
sin* (x/4) cos* (jf/4) dx.
tg4 (x/2) dx.
sec* x dx.
sec* xdx.
sin 3x sin xdx.
1494. Jsin* xdx. 1495. J
1497. J cos * xdx.
1499. ^ ctg3 3xdx.
1501. ( ~-dx.
J sin1*
1503. ^ ctg3 xcosec xdx.
1505.	J cos (x/2) cos (*/3)dx.
COS® Xdx
smx
7.	Тригонометрические подстановки. Интегралы вида ^R(x, Y&— x*)dx,
J/? (x, Ya2+ x*) dx, J R(xt Yx*-a*).dx приводятся к интегралам от рацио¬
нальной относительно sin t и cos t функции с помощью надлежащей тригоно¬
метрической подстановки: для nepieoro интеграла x=*asfri/ (ийи x=acos/), для
второго x=aigt (или x=actgf) и для третьего x=asec/ (или x^acosect).

1506.	Найти ннтеграл / = J	а х -л dx.
Д Положим дг = a sin /, тогда dx = a cos / dt и заданный интеграл	примет	вид
» С V~ a2 —a2 sin2 /	.
I = \ 		—	a cos t dt =
J a sin г
P	cos2 /	.. p	1 — sin2/ ,, С dt	С	.	4M
= a \	.	.	dt — a \	——dt = a \ -—-,—a	\ sin	t dt —
J	sin t	J	sin /	J sin t	J
—a In | cosec / — ctg / |+a cos /+С.
Для нахождения интеграла ^	мы воспользовались формулой	^	5=8
= In | cosec /—ctg t | + C, так как с ее помощью легче перейти к прежней пере¬
менной .V.
Таким образом, получаем
I ill	cos/l ,	. . ^
I =а\П -г—т	г—j +ДС05/ + С,
I	sin/ sin / I 1
где sin/ = */a, cos / = Ya2—x21а. Следовательно,
/ = aln \а~^а*~х%\+Уа*—х*+С. Д,
1507.	Найти ннтеграл / = Г ,	=
J X у CL -j- X
Д Применим подстановку *=atg/, откуда dx~a sec2 / dt. Тогда получим
sec2 t dt
j _ p	a sec21 dt	1 f sec2
Ja tg / V^^+aMg* t~~a J tgT
sec t
1	p sec / I С dt 1 . .	,	,	n
—	— \ -т-гт dt — — \ -—. = — In cosec / —ctg / +C,
a J tg/ a J sm / a 1	s ‘ '
где tg / = xla и, следовательно, ctg / = ajx, cosec / = Y1 +ctg'2 / = Yа2 + Л'2/*.
Итак,
1508.	Найти интеграл / =	.
Д Применим подстановку Jt=a sec /, откуда =a sec / tg / dt. Тогда получим
. p a2 sec2 t»ased tg /	p й
/ = \ 	-F.	dt = a2 \ sec3 / d/.
J a2 sec2/—a2	J
Далее применим рекуррентную формулу (1) п. 5 при л = 1:
С sec3/ dt =1	Csec/ d/- sin ' + 1 f-
J SeC 1 ai 2 cos22	J** 2cos2 /^ 2 J cos /
-ет+т"'|“''+,е'|+с-
где sec/=.v/a, cos /=д/х, sin / = }^*2 — a2/*, tg / =	— a2/a. Следовательно,
'-и+т'-1“,+|''1+с-
=4	In) bh^-^l+c. A
9-21S	241

Найти интегралы:
1509.	Г—-—.	1510. Г , ,^3 ■. 1511. Г--7=^:.-^.
J (1 — ж*)»/*	J	(а2+л.2)3'2	х	—	1
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ
Найти
интегралы:
J (2,vs—2a*+ 1) e~x/i dx.
1512.
J sin* х sin 3xdx.
1513.
1514.
1515.
p x2	 О
b*+iarclg“'1-
1516.
^ (2л:*— 1) cos 2x dx.
1517.
\ x\n* xdx.
1518.
C^lx-£f-3 dx
J eix—2e*—3
1519.
J arctg VHdx.
1520.
\V2*—Idx.
1521.
(* dx
J V\+*
1522.
jK6+4x—2x*dx.
1523.
J e^sin e?dx.
1524.
Г* dx
1525.
. ^ sin2xlncosjedx.
J cos* x У 2+5 tg* ж
1526.
^ (x+2) cos(*2+4x+1) dx.
1527.
P x cos x dx
J sin3 x *
1528.
1529.
. J In (x2 + x) dx.
1530.
P dx
J**+** *
1531.
, J cos In x dx.
1532.
f	\+V~* ... dx
)(у-х-у-х)1/7>
1533.
. J (P* sin fix dx.
1534.
J e^cos fixdx.
1535.
f* dx
‘ J a* cos2 *+ b2sin2 x
15ЧЙ
r dx
1537
f* dx
J sin* x cos* x*
ш)(1+х*р '

ГЛАВА X
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Пусть функция /(х) определена на отрезке [а, Ь]. Разделим отрезок [а, Ь]
на п произвольных частей точками а = х0 < Х\ < х2 < ... <	< хп = Ь, выбе¬
рем на каждом элементарном отрезке	произвольную точку £* и найдем
длину каждого такого отрезка: А**==**—Интегральной суммой для функ¬
ции /(*) на отрезке [а, Ъ} называется сумма вида 0= 2	пРнчем	эта
сумма имеет конечный предел /, если для каждого е > 0 найдется такое число
6	> 0, что при тахАх^<Ь неравенство |а—/|<е выполняется при любом
выборе чисел
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а, b] (или в пределах
от а до Ь) называется предел интегральной суммы прн условии, что длина наи¬
большего нз элементарных отрезков (шах А**) стремится к нулю:
Еслн функция f(х) непрерывна на [a, 6J, то предел интегральной суммы сущест¬
вует н не зависит от способа разбиения отрезка [а, Ь] на элементарные отрезка
и от выбора точек £* (теорема существования определенного
с н те г р а л а).
Числа а н b соответственно называются нижним и верхним пределами ин¬
тегрирования.
Если /(*) > 0 на [а, Ь], то определенный интеграл \ f(x)dx геометрически
представляет собой площадь криволинейной трапеции—фигуры, ограниченной
линиями # = /(*), х = а, х= Ь, у = 0 (рис. 42).
Основные снойства определенного интеграла
п
Ь
а
а
Ь
У
ь
а
а
Ь	е	Ь
а
а
о
Ь
Ь
ь
4°. J Ifi (*) ± /»(*)] dx=* J h (х) dx ± £ ft (х) dx.
Рнс. 42
а
а
а
Ь
Ь

6°. Оценка определенного интеграла: если т</(х)^М на [а, /?], то
т (b — a) < ^ f(x)dx < М (Ь—а).
а
Правила вычисления определенных интегралов
I.	Формула Ньютона—Лейбница:
ь
\f(x)dx=F(x)
а
Ъ
= F (b)—F (а),
а
где F (х)—первообразная для /(*), т. е. F' (*)=/(*).
2.	Интегрирование по частям:
ь ь
с
—	\ v du,
ь
J udv = uv
где и = и(х)у v = v (я) — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [о, Ь].
3.	Замена переменной:
ь	р
J f (х) dx= J f [q> (/)] ф' (0 dt,
а	а
где х = <р(/)—функция, непрерывная вместе со своей производной ф' (/) на от¬
резке	а = (р(а), 6 = <р(р), / [ф (/)]—функция, непрерывная на [a, pj.
4. Если f (х) — нечетная функция, т. е. /(—*)«—/(*), то
а
J t(x)dx=0.
— в
Если /(*) —четная функция, т. е. /(— x) = f (х), то
а	а
5	f(x)dx = 2$f(x)dx.
—	а	О
1
1538.	Вычислить интеграл ^x*dx как предел интегральной
о
суммы.
Л Здесь /(*) = **, а = О, Ь — I; разделим отрезок [0, 1] на п равных частей,
тогда Дх* = (&—a)jn= 1/я; выберем = Имеем:
Л	1	2	п—1	п
*о— xi—” > *2— ^ » •••» Xn-i'r-	* *п—
/(ы-(4)’	'ы-(т)'' 'в*)^=(7)'4-
Следовательно,
lim 1* + 2»+3*+..,+л» =
С ** dx~ lii
о
я(я+1)(2я+0	) (2^"п)	1
-Лт.	s?	Дт.	в	=Т‘
Здесь использована формула суммы квадратов натуральных чисел. Д
244

1539.	Вычислить \ cos2^ по формуле Ньютона—Лейбница.
л/6
я/4
а С dx .	|я/4	я	,	я	,	К	3	.
18
1540.	Оценить интеграл \ :
ю
cos х dx
ут+т*
Д Так как |cosx|^l, то при х> 10 получим неравенство
COS X
Следовательно»
18
cos х dx
V i+*
<8’10-*< 10-1, т. е.
я/2
cos х dx
18
V1+*4
< 0,1. ▲
< Ю-*.
1541. Оценить интеграл J 5ц_ ^os«}
Д Поскольку 0 < cos2 х < 1, имеем
1
T-S+w,<-
я/2
‘5	16^	J	5+3cos*10* А
о
1542.	Вычислить ^ хе~* dx.
Д Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим и = х, dv=e-*dx§
откуда du=dx% v — — e~x. Тогда
1 1
dx — —	+ J е~* ^х=—e~l—е~* L =—2е~х-\- 1	^ « А
1
$■
1543.	Вычислить
Г *
dx
Д Положим In лг=^; тогда ——dt\ если х=1, то f = 0; если х—е, то f = 1.
Следовательно,
J х
1
~ 3 |о 3
1544.	Вычислить J V г*—xl dx.
245

Д Положим x = rsinf; тогда dx=r cost dt; если дг=0, то / = 0; если х~г,
то i=я/2. Поэтому
г	я/2	я/2
^ }/" г2—х2 dx= j уг/’а—г2 sin2/ rcos/df=r2j cos 2tdt =
о	о
Я/2
С=ТГ* I (l+cos2<)d/=-j,'S [<+Tsln2/Jo/ “
=Т [(т+Т81пя)-(0+Т81п0)]=?Т' А
я/3
1545.	Вычислить / = j dx.
-Я/3
Я/3
Л	Г xsin* .	т_
Д	Подынтегральная	функция*—четная, а потому	7 = 2	\ ~cos2^ «*•	Интегрн-
о
. sinxd*	,	,	1	~
руем по частям, полагая ы = х, dv= 5—; тогда du = dxt v=	. Отсюда
cos2 х	cos x
находим
я/З	я/3
С *slnx	^_|Я/3— С dx	я .	/*_	,	я\	|я/3_
J	cos2*	~“cos*|o	j	cos * ~*3 cos (я/3)	ng\2’"*~4y|o
2л ,	.	/я ,	я\ , , , я 2я	. .	5я
=T-|ntg( Т+Т J+lntg T=T“ln tg тг*
Следовательно, / = 2	—lntg-^-j. Д
1546.	Вычислить /= Г ** arcsin х ^
J,/1+**
Д Подынтегральная функция—нечетная, следовательно, 7 = 0. Д
1
1547* Вычислить ^xdx как предел интегральной суммы.
0
1
1548.	Вычислить J ё* dx как предел интегральной суммы.
о
I
1549.	Оценить интеграл ^ л: (1—x)2dx.
о
я/2
1550.	Оценить интеграл J е*,а'х(1х.
о
Я
1551.	Оценить интеграл J dx.

Вычислить интегралы;
з	I
1552.	dx.	1553. f
1 0
2	t
1554. У^-rdx. 1555. §e*+e'dx.
1	0
*я/2	я/6
1556. J cos In xdx. 1557. j ^dx.
1	0
2	In 2	2я
1558. ^ e*—7 • *559. ^ cos Sat cos xdx.
In 2	0
я/3	я/4
1560. j* cos3 л; sin 2* d*. 1561. j *^cos*
о	0
2	я/2
1562. J хЦИ' l563‘ j e* cos xdx.
1	0
3	I
1564.	dx.	1565. Jxarctgxdx.
-3	-1
ф Использовать свойство нечет-	ф Использовать свойство четной
ной функции.	функции.
1566.	Доказать, что
f sin/nxsinnxdx=|0npH т*п'
J	\ Я при т = П
— Я
(т и л—целые положительные числа).
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.	Основные понятия. Несобственными интегралами называются: 1) интег¬
ралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.
Несобственный интеграл от функции / (х) в пределах от а до + оо опреде¬
ляется равенством
+ ао	Ь
С f(x)dx= Um \f(x)dx.
J	b-++	00 J
&-►+ 00
u	a
Если этот предел существует и конечен* то несобственный интеграл назы¬
вается сходящимся; если же предел ие существует или равен бесконечности,—рас¬
ходящимся.
Аналогично,
Ь	Ь	+ов	ь
С f(x)dx= Um [f(x)dx и f f(x)dx= Um \f(x)dx.
J	a-».	—оо J	J	a-*	—	oo	J
о	+	od	a
247

Если функция f(x) имеет бесконечвый разрыв в точке с отрезка [а, Ь] и непре¬
рывна при а < х < с н	с < х^Ь,	то	по	определению полагают
Ь	с-ос	ь
[ f (х) dx = lim	[	f (х) dx-\- lim	С	f	(x) dx.
J	a-^0	J	«-►O	J
а	а	и	c+0
b
Несобственный интеграл ^f(x)dx (где f (с) = оо, а < с < b) называется схо-
а
дящимся, если существуют оба предела в правой части равенства» и расходными*-
ся, если не существует хотя бы один из них.
+ ®
1567.	Вычислить несобственный интеграл J cos xdx (или устаио-
0
вить его расходимость).
Д Имеем
ъ
lim \ cosxdx= lim sin*
b-* + oo J	b-* + oo
= lim (sin&—sinO)= lim sin bt
0	b-+	+	CD	b-*-	+	»
т. e. предел ие существует. Следовательно, несобственный интеграл расходится. Д
1568.	Вычислить ^
—	00
Д Найдем
lim С	lim Г	 1 1 = lim (1-f—) = 1|
оо j X а-+— od | х .\а	a-*—ао \ Д /
а
т. е. несобственный интеграл сходится. ^
+ ®
1569. Найти j	.
— оо
+ л	+00
Д Подынтегральная функция—четная, поэтому ^ y^j^- = 2 ^	Тогда
— оо	О
+ ®	Ь	•
С TrW= “m ^T^=Jim arcte*|o = lim arctS*=-f-
v	!>-►+(»	J I-f-Af	oo	I®	b->- + oo,	^
+ 00
Таким образом, ^	^у‘а"~я» т* e несобственный интеграл сходится. Д
—	00
1
1570.	Найти
О
Д Подынтегральная функция f(x) — \[x в точке х=±0 неограничена, а по¬
тому имеем
1	1
С dx v С dx v f 1
V	—= lim \ —= lim In x
J x	a—► о J ^	a—»-0
0	a
т. e. несобственный интеграл расходится. Д
248
= lim (In 1 —In a) =+oo,
a-^0

1571.	Найти J хе~х% dx.
о
Д Имеем
+ 00	b	v
$ **-Kid*=	dx=„Л™[- те'жг]о= Лга. (т~те'ьг)=т>
т. е. несобственный интеграл сходится. Д
Вычислить несобственные интегралы:
,5?2- Г	,573- s
0	— эо
1574.	1575.	С	■-	d*=	.	1576.	f
1	+ OO
dx
1577. ^*lna*cfA\ 1578. j ^
+ О (*2 + 4) *
2. Признаки сравнения. При исследовании сходимости несобственных интег¬
ралов пользуются одним из признаков сравнения.
1.	Если функции f{х) и ф(*) определены для всех х^а и интегрируемы на
отрезке [а% А)у где A^sa, и если 0 </ (х) ^ ф (х) для всех х^а9 то из сходи•
+ ОО	+ 00
мости интеграла J <р (x\dx вытекает сходимость интеграла J / (дг) dxt причем
а	а
+ 00	+00
$ f(x)dx< J ф (X) dx.
а	а
2.	(а) Если при х—оо функция f(x)^0 является бесконечно малой по-
+ 00
рядка р > 0 по сравнению с 1/х, то интеграл ^ f(x)dx сходится при р > 1 и
а
расходится при р< 1.
(б) Если функция f (х)^0 определена и непрерывна в промежутке а^х < b и
является бесконечно большой порядка р по сравнению с 1/(6—х) при х—► b—О,
b
то интеграл J fix) dx сходится при р < 1 и расходится при р^1.
а
+ 00
л dx
1579.	Исследовать сходимость интеграла \ —.
а Х
Д По определению
С	[x~Pdx=	Игл	Г—5хтдг_/,+1]
J хР А-++ оо J	А-++	оо	L	Р~1“ 1	Je
—т—г lim А~р+Х
1	'	—Р+	1
р+к
249

Допустим, что р > 1; тогда lim А~р+г = 0. Значит, при р> 1 интеграл
у4-> 4- ОО
+ 00
сходится. Пусть р<*\\ тогда lim А~р+1 = оо, т. е. интеграл \ — при/XI
Л-*+ оо	J
о
расходится. Д
+ 00
1580.	Исследовать сходимость интеграла J sin (г2) dv (интеграл
о
Френеля).
+ 00	+00
Д Пусть * = У~Т\ тогда С sin (jc2) cf>:=J	dx.	Представим	стоящий
о	о Ь
справа интеграл в виде суммы:
+ оо	я/2	+	оо
г f s*id%+ с sJzidx.
J V Т $ У v	К 1
Первое слагаемое есть собственный интеграл, так как lim ^2_1 = о* а ко
т-о у т
второму применим интегрирование по частям, полагая и—\!У"х, dv = s\nxdx:
+ со
1	Г* cos т dx
- г .	,	-	-	- , - т У
я/2 r	г	я/2	я/2 г	я/2
+ 00	+ 00	+ 00	+ 00
С s*nT*fo_ cqst I L Г cos т   i Г
Vo Ут	х I ^ Чо х3	^ ^
хЗ/2
+ 00
гт	cos т		1	С dx
Последний интеграл сходится, так как	■	■, а интеграл \ —гтг сходит*
Т '2	J
Я/2
+ 00
ся. Поэтому Г dx сходится на основании признака (2а), а следовательно,
о У т
даииый интеграл также сходится. Д
+ оо
1581.	Исследовать сходимость интеграла J i^io •
1
Д Подынтегральная функция / (лг) = 1/(1 +л:10) в промежутке интегрирования
+ 00
меньше, чем ф (д?) = 1/х10, а интеграл ^ ^ является сходящимся. Следователь-
1
ио, даииый интеграл также сходится. ±
ь
Г* dx
1582.	Исследовать сходимость интеграла j (ь—х)р (а < ^) •
а
Д По определению
ь	ь-в
С	lim Г dX,p=	Цгт Иш (Ь—х)-Р+г Г"г=
J (Ь~х)Р е-о J (Ь—х)Р	—/>+1е-о	’	Iа
а	а
s=—Ц-Ите-Я+М	Ц-т (6—а)~Р+*.
р— 1 е-*-о	'	—	р+1	7
250

Если р < 1, то lime*/,+J = 0; если же р > 1, то lim ъ~Р+1 = оо; если, нако-
е-И>	е-*0
нец, р = 1, то
Ь-е
С dx	|&—в
lim \ т	lim In (b—x) I	~ оо.
К -►О J о	X £->0	|о
lim
е-
а
Ъ
С dx
Следовательно, при р < I интеграл J ф^хур сходится, а при p^s 1—рас*
а
ХОДИТСЯ. Д	J
Л cos*
1583.	Исследовать сходимость интеграла \			 dx.
% V 1 — х2
„ Л' Подынтегральная функция является бесконечно большой при х—►!.
Представим ее в следующем виде:
, cos2 х 1 __ cos2 х 1
;w"ут+х' у~х~УТ+х'(1 -*)1/3’
т. е. порядок этой бесконечно большой функции при х—► 1 по сравнению с 1/(1 —дг)
равен р= 1/3 < 1. Поэтому данный интеграл сходится на основании призна*
ка (26). А
/	3/—\
1584.	Исследовать сходимость интеграла J	dx.
о е ~
Д Подынтегральная функция f (х) в промежутке интегрирования положи¬
тельна и f (*) —► оо при х —► 0. Пользуясь теоремой об эквивалентных беско¬
нечно малых, преобразуем числитель и знаменатель подынтегральной дроби; имеем
ln(l + V^	a	e9in*—1 ~ sin * при х—>-0, откуда
lim ln(l + ^y).= lim
х-+о eimx—l х~*'° х х-*° х
т.е. f (х) является бесконечно большой порядка р = 2/3 по сравнению с 1/дг. Сле¬
довательно, по признаку (26) заданный интеграл сходится. Д
Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов:
1М. *J Ь2±аЛ 1586.	.587.
1	1	о	г	“
+ во	+ао
1588. j (l—cos■j'jdx. 1589. J Цг-dx.
1
,59°- h/f--mu
o	e* — l	0
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [/(*)^0],
прямыми х=а и х = Ь и отрезком [а, 6] оси Ох, вычисляется по формуле
ъ
S = J/(*)<&.
а
251

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y — h(x) и y = f*(x) [fi (*)^M*)]
и прямыми х = а и *=&, находится по формуле
ъ
S = J lh (*)—h (*)] dx.
a
Если кривая задана параметрическими уравнениями *=*(/), У=У(О» то
площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми *=а,
х	= Ь и отрезком [д, Ь\ оси О*, выражается формулой
ti
S=\y(t)x'(t)dt,
и
где tx и t2 определяются из уравнений a=x(ti)t b=x(t2) {y(t)^0 при
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в поляр¬
ных координатах уравнением р = р (0) и двумя полярными радиусами 0 = а,
0=Р (а < Р), находится по формуле
s=tH p2de-
а
1592.	Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у=4х—х*
и «сью Ох.
Д Парабола пересекает ось Ох в точках О (0; 0) и М (4; 0). Следовательно,
4
S=| (4*-**)<i*=[2**—1-ж»]^=у(кв.ед.). А
1593.	Найти площадь фигуры, ограиичеииой параболой у = (лЬ*
и гиперболой х2—у212= 1.
Д Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для чего решим сов¬
местно уравнения этих кривых:
х2—^"2'^ =1» или х*—4*3+4*2—4*+3=0.
Левую часть последнего уравнения можно разложить на множителж:
(*—1) (х—3) (*2+1) = 0, откуда *i==l, *2 = 3 и 01 = 0, у2 = 4. Таким образом,
заданные кривые пересекаются в точках А (1; 0) и В (3; 4) (рис. 43). Следователь во,
з
S=J [V 2(ж*—1)—(*—l)»]d*=«
1
-¥р-[х	+	In	|	*+	|]»-1[(дс_1)»]*	=
[3^8+1п(3+уГ8)]-|-=^+1^1.1п(3+К8) я 4,58(кв.ед.). А
1594.	Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной одно!
аркой циклоиды х=2 (t—sin t), у=2 (1—cost) (см. рис. 5) и осью Ох.
252

Д Здесь dx = 2(1—cos /) dt, a t изменяется от fi = 0 до /2 = 2л. Следова-
ic.ibHO,
2л	2л
S=^ 2*(1—cos i)*dl = 4 ^ (I—2 cos f+cos2 <)<*/ =
О	о
[1 1 12«
t—2 sin f-j-y sin 2^ Q == 12я (кв. ед.). Д
1595.	Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лемниска¬
той p2 = 2cos20 (см. рис. 2).
Д Четвертой части искомой площади соответствует изменение 0 от 0 до л/4,
а потому
Л'4
5=4-
I
2 cos 20 cf0 = 2 sin 20
Я/4
=2 (кв. ед.). Д
Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:
1596.	у = — х2, х 4-«/ -г 2 = 0.
1597.	1/=16/л'2, {/=17—х2 (I четверть).
1598.	у2 = 4г\ у = 2х-.
1599.	at/= 20, х2-гуг = 41 (I четверть).
1600.	г/ = sin л:, у = cos х, х = 0.
1601.	у — 0,25хг, «/ = Зх—0,5х2.
1602.	xy = \V2, Xs—6x-f //2 = 0, {/ = 0, х = 4.
1603.	х= 12cos/-|-5sint, y = 5cost — 12sin
1604.	x = acos3t, y = asin3t.
1605.	p = 4/cos (0—я/6), 0 = я/6, б = я/3.
1606.	p = acos0, p = 2acos0.
1607.	p = sin*(0/2) (справа от луча 0 = л/2).
1608.	р = я sin 30 (площадь одной петли).
1609.	p = 2cos0, р=1 (вне круга р=1).
253

§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
Если кривая y=f(x) на отрезке [а, Ь]—гладкая (т. е. производная у* = /' (х)
непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле
L = ^Vl + y'*dx.
а
Прн параметрическом задании кривой x=x(t), y~y(t) [х(0 и y(t)—непре¬
рывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая моно¬
тонному изменению параметра t от ti до /2» вычисляется по формуле

L	^ K*2-f y2dt.
U
Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением р = р(0),
а<0^;Р, то длина дуги равна
L = ^V р2+Р/8<Ю-
а
1610.	Найти длину дуги кривой у2 = х* от лг = 0 до jc = 1 (</^0).
Д Дифференцируя уравнение кривой, найдем у’ = (3/2) *1/2. Таким образом,
1611.	Найти длииу дуги кривой х = cos5Л y = sin5/ от	до
/а = я/2.
Д Найдем производные по параметру t: х = — 5cos4 t sin/, у= 5sin4 tcosL
Следовательно,
п/2	л/2
L = J Y(—5 cos4 / sin t)2 + (5 sin41 cos i)2 dt = 5 J sin t cos t Ysin8 *+cos° tdt =
о	0
Я/2	я/2
s=y J sin 2/	-j-+-^cos2	2tdt=—-|j- j* К1 + 3 cos2 2t d (cos 2/) =
о	о
5 ГлЛ'Ъ		 t ,	—		Тя/2
=!— lyi I J-2icos2<>Al+3cosa2<+YIn W 3-COS2 t+Y 1+3 cos» 20 J0 =
1612.	Найти длину дуги кривой p = sin*(0/3) от 0Х = О до 02 = л;2.
254

Д Имеем p'==sin*(0/3)cos (0/3). Следовательно,
=И (.-=.*! )*-Я.-т-т]Г^
о
Вычислить длины дуг кривых:
1613.	t/ = lnsin* от * = л/3 до х = л/2.
1614.	у = (2/5) х х— (2/3) у/'Xs между точками пересечения
с осью Ох.
1615.	у = х212 от jc = 0 до х—1.
1616.	у= 1—In cos х от х = 0 до *=я/6.
1617.	y — chx от х = 0 до х= 1.
1618.	*= t3/3—t, y = t* + 2 от t = 0 до t = 3.
1619.	x = &cost, y = #s\nt от t = 0 до i = lnn.
1620.	* = 8sin£ + 6cos/, ^ = 6sin/—8cos/ от	t — 0 до	t — я/2.
1621.	x — 9 (t—sinf), «/ = 9(1—cosf) (длину	дуги	одной	арки
циклоиды).
1622.	р = 0* от 0 = 0 до 0 = л.
1623.	p = asin0.
1624.	p = acos3(0/3) от 0 = 0 до 0 = я/2.
1625.	р=1—cos0.
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА
1.	Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сеченнй.
Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, может быть
выражена как функция от х, т. е. в виде S = S(x) (a^x<;b), то объем части
тела, заключенной между перпендикулярными оси Ох плоскостями х—а и x=bt
находится по формуле
Ь
K=JS (х) dx.
а
2.	Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция, огра¬
ниченная кривой y=f(x) и прямыми у = 0, х = ау х=Ь9 вращается вокруг оси Ох,
то объем тела вращения вычисляется ло формуле
ь
Vx-n ^y*dx.
а
Если фигура, ограниченная кривыми y! = fi(x) и Уг = М*)
и прямыми х = а, х=Ь, вращается вокруг оси Ох> то объем тела вращения

1626.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной кривой у2 = (х—I)3 и прямой х = 2 (рис. 44).
1627.	Найти объем тела, в основании которого лежит равно¬
бедренный треугольник с высотой h и основанием а. Поперечное
сечение тела есть сегмент параболы с хордой, равной высоте сег¬
мента (рис. 45).
Д Имеем \АВ\ = а, |0С|=й, \MK\ = \DE\, \ ОК \ ~х. Выразим площадь
поперечного сечения как функцию от х, для чего предварительно найдем уравне¬
ние параболы. Длину хорды DE можно найти из подобия соответствующих тре¬
угольников, а именно: | DE |/а = (Л х)/Л, т. е. | DE | = a (h—x)/h = | М/С |.
Положим \DE\ = mt тогда уравнение параболы в системе координат uKv
Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фи¬
гур, ограниченных линиями:
2
2
Д V = n
^y*dx=n J (*— 1)9^=-|-я (дг— I)4 ‘=^я(куб. ед.). Д
Рис. 44
Рис. 45
4
примет вид и=/я	и2. Отсюда находим площадь поперечного сечения данного
т/2
т—- и*
т
2	а2 (Л—*)2
3	* Л2
Таким образом,
h
h
О
О
|628' *г=8у-
1629.	у* = лс, х2 — у.
1630.	y = \f хе*, л: = 1, у = 0.
1631.	у = х212, у=х*/8.
256

1632.	Найти объем тела, ограниченного
плоскостями *=1, * = 3, если площадь его
поперечного сечения обратно пропорциональ¬
на квадрату расстояния сечения от начала
координат, а при х — 2 площадь сечения рав¬
на 27 (кв. ед.).
1633.	Найти объем цилиндрического кли¬
на по его размерам, указанным на рис. 46
(задача Архимеда).
1634.	В цилиндрический стакан с водой
вложен параболоид вращения вершиной вниз.
Основание и высота параболоида совпадают с основанием и высо¬
той цилиндра. Найти объем оставшейся в стакане воды, если ра¬
диус основания равен г, а высота равна Л.
§6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Если дуга гладкой кривой y~f(x) (а	вращается	вокруг	оси	Ох, то
площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
Ь
2л	l+if'zdx.
а
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х (/), у = у (/) (/i ^
<	/2), то
t 2
S* — 2л [ y\^x2-\~y2d(.
х>
t,
1635.	Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг
оси Ох дуги синусоиды у = sin 2х от х = 0 до х = л/2.
Д Находим у* = 2 cos 2х; тогда
л/2
sx— 2л sin 2х Y1+4 cos2 2х dx.
о
Произведем замену переменной: 2cos2* = /, —4sin 2xdx~dty sin 2xdx= (—1/4)dt.
Найдем пределы интегрирования no t: если *=0, то t — 2; если лг = л/2, то
—2. Таким образом,
-2	2
s=2я j y\+T*(-L\dt=l f y"T\T*dt=
2	-2
=f [j V'T+^+i.in^+KHT2)]* 2 =
=f(2K5+i-ln^|±|)=£[2K5+ln(K5 + 2)] (кв. ел.). ▲
Найти площади поверхностей, образованных вращением вокруг
оси Ох дуг кривых:
1636.	г/ = 2 ch (лг/2) от я = 0 до х — 2.
1637.	у = х* от х = 0 до *=1/2.
257

1638.	х*/а* + у*/Ьг= 1.
1639.	x=t—sin/, у = I—cost (площадь, образованную враще
нием одной арки).
§ 7. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
ПЛОСКИХ ДУГ И ФИГУР
Пусть на плоскости хОу задана система материальных точек Ai fa; ух),
Аг{хг\ y2)f Ап[хп\ уп) с массами mlt т2, .тп. Статическим моментом Мх
этой системы относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек
на их ординаты:
k=n
Мх = 2 ткУк-
*=1
Аналогично (как сумма произведений масс точек на нх абсциссы) определяется
статический момент системы относительно оси Оу:
k=n
Му =	MfcXfo.
k=\
Моментами инерции Iх и 1у системы относительно осей Ох н Оу называются
суммы произведений масс точек на квадраты нх расстоянии от соответствующей
осн. Таким образом,
k=n	Ьп
/*= 2 тьуЬ /„= 2 т***-
*=i	k=i
За статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фнгур принима¬
ются соответствующие моменты условных масс, равномерно распределенных вдоль
этих дуг и фигур с плотностью (линейной или плоскостной), равной единице.
Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой у=/(х)
(а<х<Ь) вычисляются по формулам
ъ	ь	ь	ь
Мх= ^ ydL; Mv=\xdL- Ix=^y*dL; I„=^x*dL,
a	a	a	a
где dL = V* l+y,2dx—дифференциал дуги кривой.
Статические моменты и моменты ннерцни криволинейной трапеции, ограничен¬
ной кривой y=f(x)t осью Ох и двумя прямыми х = а и х = Ь9 вычисляются по
формулам
ь	ь	ь	ъ
Mx = ^^ydS=^^ytdx, = xdS= j" xydx,
a	a	a	a
b b b
/*=-j J y3dx, Iy=^ x*dS = ^ x*ydx.
a	a	a
В этих формулах dS = ydx—дифференциал площади криволинейной трапеции.
1640.	Найти статический момент и момент инерции полуокруж¬
ности y = Vr*—** (—относительно оси Ох.
ь
Д Статический момент Мх будем вычислять по формуле Mx=\ydL, где
258

dL = V 1 -\-y'*dx, у* =— х/угг2—х2. Тогда получим
г	г
мх= j Vг*—х* у	dx=r	j	dx=2r*.
-Т	-Р
Находим момент инерции относительно оси Ох:
Ъ	г
/x = J«/*rfL= J (г*-**) у \+-Jl-tdx =
а	-г
г	г
—	г ^ У~г2—x2dx — 2r J У г2—х2 dx.
-г	О
Введем подстановку x — rs\nt, dx = r cos t dt; если дс = 0, то / = 0; еслих=г,
то / = я/2. Следовательно,
Я/2
/* = 2г j Yr2—г2 sin21 г cost dt =
о
Я/2
= Г* J (1-f-cos 2f)dt = r9	i-sln 2<j"/2	• A
о
1641.	Найти момент инерции площади эллипса х —a cost,
y=bsint относительно оси Оу.
а
Д Момент инерции площади эллипса относительно оси Оу равен 1у = ^ х1 dS,
—а
где dS — 2ydx. Из параметрических уравнений эллипса находим dS = 26 sin /X
Ха (— sin t) dt = —2ab sin21 dt, откуда
о	о
Iy = 2 ^ a*cos2/(—2ab s\n2 t) dt =— 4a% J sin* / cos* /	=
ji/2	Я/2
я/2
j (1— c°s40<tt=^. ▲
0
1642.	Найти статические моменты и моменты инерции дуги астро¬
иды x = acos3/, у = a sin3/, лежащей в I четверти (рис. 47).
Д В силу симметрии астроиды относительно координатных осей Мх = Ми<
1х~1у Поэтому достаточно вычислить моменты относительно оси Ох. Для I чет¬
верти имеем 0^/^я/2. Находим
Мх-
dL =	дcf+yf dt = 3as\nt cos / dti
Я/2	Я/2
с = ^ ydL= J a*sin3 ЛЗа sin f cos/Л	sin6/	|	=*|-a3#
a	о	о
ь	Я/2	Я/2
Ix = ^ y2 dL~ J a*sine Л3asin/cos/	=-g-a3 sin8 / j =-j- a3,
a	о	0
Итак, М* = М„ = (3/5)а*; /* = Iy = (3/8) a3. A
259

1643.	Найти момент инерции параболического сегмента, у кото¬
рого хорда равна а, а стрелка относительно хорды равна h (рис. 48).
Д Имеем |у4£| = а, \OC\~h. Уравнение параболы записывается в виде
t/—h — Nx2> где неопределенный коэффициент N можно найти, пользуясь тем, что
точка В (а.2; 0) принадлежит параболе: 0 = /i — Л'а2/4, или N = 4h/a2; следова¬
тельно, y = h—4/u*2/a2. Теперь находим искомый момент инерции:
/,-± f
-я 2	о
1644.	Найти статический момент и момент инерции дуги цепной
линии # = -5- (ех/а-\-е~х°), где	относительно	оси	Ох,
Д645. Найти статический момент и момент инерции треугольника
с основанием а и высотой h относительно его основания.
1646.	Найти момент инерции параболического сегмента, ограни¬
ченного параболой у = 4—х1 и прямой */ = 3, относительно оси Ох.
1647.	Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и Ь
относительно осей симметрии прямоугольника.
1648.	Найти полярный момент инерции круга диаметра d9 т. е.
момент инерции относительно оси, проходящей через центр круга
и перпендикулярной его плоскости.
§ 8. НАХОЖДЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ. ТЕОРЕМЫ ГУЛЬДЕНА
Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой y = f(x)(a^
^x^b) выражаются формулами
ь	ь
I=-HxrfL- -rlydL’
а	а
где dL = V\-\-y'2 dxf a L—длина дуги.
Координаты центра тяжести криволинейной трапеции вычисляются по формулам
ь	ь	ь	ь
*=T.f*rfS=T.S*^
а	а	а	а
где dS = ydx, a S —площадь фигуры.
Теоремы Гульдена
Теорема 1. Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской
260

кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна
длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром
тяжести дуги.
Теорема 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг
оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, раж» произведению
площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.
1649.	Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии
y = ach U/a), —аО^а.
Д Так как кривая симметрична относительно оси О#, то ее центр тяжести
лежит иа оси Оу, т. е. 7=0. Остается найти у. Имеем t/' = sh (дс/а); тогда dL =
=	1 + sh2 (дс/а) dx = ch (x/a) dx; длина дуги
1650.	Найти координаты центра тяжести фигуры* ограниченной
дугой эллипса * = acos/, y = bs\utf расположенной в I четверти,
и осями координат.
Д В I четверти при возрастании х от 0 до а величина t убывает от л/2
до 0; поэтому
Воспользовавшись формулой площади эллипса S*=mb9 получим х =
« (4a2b)j(3nab) = (4а)/(3л).
Аналогично находим
Таким образом, *=4а/(3я), у=46/(3я). Д
1651.	Найти площади поверхностей и объемы колец (торов),
образованных вращением круга (х—а)2 + (*/—Ь)2Оа вокруг осей Ох
и Оу (а^г, Ь^г).
Д Если круг вращается вокруг оси Ох% то центр тяжести круга отстоит от
оси вращения на, расстоянии Ь; поэтому площадь поверхности, согласно первой
а
а
а
L~ ^ V\+у'% dx = 2 J ch-jd* = 2ash~1 ~2аsh 1.
о
о
Следовательно,
а
а
а
а
0
0
я/2
а
0
у=^-^у*<1дс=^- ^ Ь2 sin* t (— a sin t) dt =
0	я/2
0
я/2
til

теореме Гульдена, равна Sx = 2пг• 2nb=4л2Ьг, а объем, согласно второй теореме
Гульдена, равен Ух = яг2*2я& = 2я2&/'2.
Если же вращение производится вокруг оси Оу, то расстояние центра тяжести
круга от оси Оу равио а. Тогда 5^ = 2яг«2яа=4я2аг, Уу=я/'2*2ла = 2я2аг2. А
1652.	Пользуясь теоремой Гульдена, найти координаты центра
тяжести четверти круга х2 + у2^.г2.
Д При вращении четверти круга вокруг осн Ох получим полушар* объем
которого равеи^ У = (1/2)*(£л/'3/3) = 2я/'3/3. Согласно второй теореме Гульдена,
V	— (яга/4)• (2пу). Отсюда г/ = 2У/(л2г2) = 2-2яг3/(Зл2г2) =4г/(3я). Центр тяжести
четверти круга лежит на оси симметрии, т. е. иа биссектрисе I координатного
угла, а потому х=у=4г/(3п). Д
1653.	Найти координаты центров тяжести полуокружности у —
= Кг2—х2 и полукруга, ограниченного этой полуокружностью и
осью Ох.
1654.	Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
линиями х = 0, * = я/2, у = 0, у = cosx.
1655.	Найти координаты центра тяжести параболического сег¬
мента, ограниченного линиями у = 4—х2, у — 0.
1656.	Найти координаты центра тяжести дуги астроиды х —
= acos3/, # = asin3/ (в I четверти).
1657.	Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
линиями у = 2х—*2, у = 0.
1658.	Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
линиями х = 0, х = л/2, у = 0, y = smx.
1659.	Пользуясь теоремой Гульдена,^найти объем тела, образо¬
ванного вращением полукруга радиуса г вокруг касательной, парал¬
лельной диаметру.
1660.	Пользуясь теоремой Гульдена, доказать, что центр тяжести
треугольника отстоит от его основания на одну треть высоты.
ф Найти объем тела, полученного вращением треугольника вокруг основания.
1661.	Пользуясь теоремой Гульдена, найти объем тела, получен¬
ного при вращении прямоугольника со сторонами 6 и 8 вокруг оси,
проходящей через его вершину перпендикулярно диагонали.
§ 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ И ДАВЛЕНИЯ
Работа переменной силы X = f(x), действующей в направлении оси Ох иа
отрезке [дс0, x±\t вычисляется по формуле
A=\f(x)dx.
*0
Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно
которому давление1 жидкости на площадку равно ее площади 5, умноженной на
глубину погружения /г, на плотность р и ускорение силы тяжести g, т. е.
P = pghS.
1662.	Какую работу надо совершить, чтобы растянуть
262

пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она
растягивается на 1 см?
Д Согласно закону Гука, сила X Н, растягивающая пружину на х м, равна
X = kx. Коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если * = 0,01 м,
то Х=\ Н; следовательно, k— 1 /0,01 = 100 и Х=100*. Тогда
1663.	С помощью подъемного крана извлекают железобетонную
надолбу со дна реки глубиной 5 м. Какая работа при этом совер¬
шается, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром
1	м (рис. 49)? Плотность железобетона 2500 кг/м3, плотность воды
1000 кг/м3.
Д Высота тетраэдра h =уЛ*6/з м, объем тетраэдра V’ =	2/12 м3. Вес
надолбы в воде с учетом действия архимедовой силы равен
Р = (1/12)-1^2-2500.9,8— (1/12)-]^ 2-1000.9,8= 1225 У 2 (Н),
поэтому работа при извлечении надолбы до момента появления на поверхности
воды ее вершины составляет
Теперь найдем работу А± при извлечении надолбы из воды. Пусть вершина
тетраэдра вышла на высоту Ь+у\ тогда объем малого тетраэдра, вышедшего из
воды, равен 3 У 3^*/8, а вес тетраэдра
Отсюда A = A0 + Ai = 7227,5 Дж+2082,5 Дж = 93Ю Дж = 9,31 кДж. Д
263
0,04
о
о
А0=\225У 2 (5—h) = 1225 У 2(5—У 6/3) « 7227,5 (Дж).
У‘-{hr
1000-9,8.
Следовательно,
о
Ve/з
С (1225 Y 2 + 3675 }Пу*) dy =
У
I
5
Рис. 49
Рнс. 50

1664* Найти работу, совершенную при выкачивании воды из
корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а, радиус г
(рис. 50).
Д Объем элементарного слоя воды, находящегося на глубине х и имеющего
длину а, ширину т = 2 У г2—х2 и толщину dx, равен
dV—am dx — 2aY г1 — *2 dx.
Элементарная работа, совершаемая при поднятии этого слоя воды на высоту х%
равна dA = 2pgax ]/ г2 — a*2 dx, где р — плотность воды. Следовательно,
г
A = 2pga j х y7*Z^pdx = — pga	(r2 — x2f/a 1' = у pgar3. ^
о
1665.	Водопроводная труба имеет диаметр 6 см; один конец ее
соединен с баком, в котором уровень воды на 1 м выше верхнего
края трубы, а другой закрыт заслонкой. Найти силу давления на
заслонку.
Д Заслонка представляет собой круг радиуса 0,03 м. Разобьем площадь
этого круга на элементы —полоски, параллельные поверхности воды. Площадь
одного такого элемента, находящегося на расстоянии у от центра, равна (с точ¬
ностью до бесконечно малых высшего порядка) dS~2 У 9—у2 dy. Найдем силу
давления, испытываемую этим элементом:
dP = 2pg (1,03-у) Vdy = 19 600 (1,03-у)	dy
(здесь р=1000 кг/мя). Следовательно,
з
Р= 19600 J (1,03—у)	=
-3
= 19 600 [ 1,03 (-f-	arosin -j) + j (9-y*)3/2 ] * # -
= 9 800.9,27л « 0,09я H. £
1666.	Найти силу давления воды на вертикальную стенку в форме
полукруга, диаметр которого 6 м и находится на поверхности воды
(рис. 51). Плотность воды р=1000 кг/м3.
Д Дифференциал силы давления на элементарную площадку выразится так:
dP ~ 2pgx У$—х2 dx = |9 600* У9 —a*2 dx.
Отсюда
з	з
Л = 19 600 J х	dx	—	—	(9_*2)3/г
= 176 400 Н= 176,4 кН. 4
1667.	Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндри¬
ческом баке высотой к — 3,5 м и радиусом основания г = 1,5 м, на
его стенки, если р = 900 кг/м3.
Д Элемент силы давления на поверхность стенки в выделенной полоске
выразится так: dP = pg-2xrxdx. Отсюда
h
P = 2nrpg J xdx = npgrh- = %,8л* 1,5*3,52*900 Н=161700л Н = 1б1,7я кН. ^
о
264

1668. Какую силу давления испытывает прямоугольная пластинка
длиной а и шириной Ъ (а > b)f если она наклонена к горизонтальной
поверхности жидкости под углом а и ее большая сторона находится
на глубине h (рис. 52)?
Д Площадь выделенной ва глубине х элементарной полоски равна dS =
= (a/sln a) dx. Следовательно, элемент силы давления dP = (axpg/sin a) dx (р —
плотность жидкости). Отсюда иаходим
h+b sin а
P=apg
I
х dx apg 1
sin a
• xz
sin а 2
h+b sin а
2^гКЛг+2bh sin a+6* sin* а)-Л*] =
=a6pj?^/j+y6slnaj . ^
0
J с
с У
/ £
\
J
А
1 1 * гг
А F
в
vP
Рис.( 53
1669.	Найти силу давления на пластин¬
ку, имеющую форму равнобочной трапеции с основаниями а и Ъ и
высотой hy погруженную в жидкость на глубину с (рис. 53).
Д Площадь элементарной полоски выражается так: ctS = (a+2/) dx, где / =
= (&—а) (х—c)j(2h) (/ определяется из подобия треугольников). Следовательно,
c+h
= \^ch+^-(a+?b)\9g. А
1670.	Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из
конического сосуда, основание которого горизонтально и располо¬
жено ниже вершины, если радиус основания равен т и высота
равна Н.
1671.	Из цилиндрической цистерны выкачивается жидкость.
Какую работу надо совершить при этом, если длина цистерны
равна а, а диаметр равен d?
1672.	С помощью каната подъемным краном из воды поднимают
камень конической формы. Найти работу, совершаемую при полном
извлечении камня из воды, если вершина конуса находилась на

поверхности воды. Радиус основания конуса 1 м, высота 3 м, плот¬
ность 2500 кг/м®.
ф Здесь Р (у) = 14700+(9800/27) пу3, где Р выражается в ньютонах.
1673.	Чугунный прямой конус высотой 0,4 м и радиусом осно¬
вания 0,4 м находится на дне бассейна, наполненного до краев неф¬
тяным маслом. Найти работу, которую надо совершить при извле¬
чении этого конуса из бассейна, если плотность чугуна рх = 7220 кг/м3,
а плотность нефтяного масла р, = 890 кг/м3.
ф Здесь Р (у) равна весу конуса без веса нефтяного масла, вытесненного
частью конуса, т. е. Р^)=уя*0,4*рх^—^уя-0,43—у p2g, где Р выра¬
жается в ньютонах.
1674.	Цилиндрический баллон диаметром 0,24 м и длиной 0,8 м
наполнен газом под давлением 2 кПа. Какую работу надо совершить
при изотермическом сжатии газа до объема, в два раза меньшего?
1675.	В жидкость с плотностью р погружена треугольная пла¬
стинка вершиной вверх. Найти силу давления жидкости на пла¬
стинку, если основание треугольника равно а, высота равна Л. Вер¬
шина треугольника расположена на поверхности.
1676.	Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндри¬
ческом баке высотой Л = 4 м и радиусом г —2 м (р = 900 кг/м3),
на стенки бака на каждом метре глубины.
1677.	В жидкость с плотностью р погружена круглая пластинка
диаметром d, касающаяся поверхности жидкости. Найти силу дав¬
ления жидкости на пластинку.
Составляя соответствующие интегральные суммы н производя
предельный переход, решить следующие задачи:
1678.	Найти массу стержня длины 1 м, если линейная плотность
стержня меняется по закону 8 = 20*+0,15**, где х—расстояние от
одного нз концов стержня, в м; б—в кг/м.
1679.	Скорость точки меняется по закону v—100 + 8/ (где v
выражается в м/с). Какой путь пройдет эта точка за промежуток
времени ГО, 10]?
1680.	Т очка движется по оси Ох, начиная от точки М(1; 0),
так, что скорость ее равна абсциссе. Где она будет через 10 с от
начала движения?
1681.	Скорость точки изменяется по закону о = 2 (6—i) (где о
выражается в м/с). Каково наибольшее удаление точки от начала
движения?
§ 10. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
I.	Гиперболические функции. Гиперболическими функциями называются функ¬
ции, определяемые следующими равенствами:
gX	е-х
sh дг=	s	гиперболический синус,

chx =
e* + e'
.. shx e*—e~x
thx — -— =
cth x =
chx~
ch x
ex + e~x
e*+e~x
-гиперболический котангенс.
sh*	ех—е~х
Гиперболический косинус Гявляется четной функцией, т. е. ch (—*) =ch (ж),
а гиперболические синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями:
sh (— х) = — sh xt th (— х) = — tg х, cth (— х) = — cth х.
Полезно иметь в виду, что
sh 0=0, ch 0= 1, ch2 х—sh* x= 1,
th*cthx = 1.
Графики гиперболических
функций y=shxt y=chx и
y = thx изображены соответст¬
венно на рис. 54—56.
Рис. 54
Рис. 55
График гиперболического косинуса называется цепной линией. Цепная линия
является линией провисания тяжелой нити, подвешенной в двух точках.
Производные гиперболических функций находятся по формулам
(sh х)' = ch х, (ch *)' = sh ж, (th х)' = l/cha х9 (cth x)f = —1/sh2 x.
При интегрировании гиперболических функций используются формулы
J $hxdx = ch Jc+C, J ch xdx — shx-\-Ct
2.	Обратные гиперболические функции* Для гиперболических функций shx,
ch xt th x, cth x обратные гиперболические функции определяются с помощью сле¬
дующих формул:
arsh х — In (х+ Y**+ 0 (— 00 < х < + 00 )—гиперболический ареа-синус,
arch х~ ± 1п(х+ Ух2— 1) (х ^ 1) —гиперболический ареа-косинус,
1	J	_L х
arth х —-jr- In	г	—	(| x	| <	1)—гиперболический	ареа-тангенс,
л	1	х
1	х~\-1
arcth х = yin	j- (I	x	|	>	\)—гиперболический ареа-котангенс.
Производные обратных гиперболических функций находятся по формулам
(arsh x)r = —-=L. . г, (arch х)9 = ± ■	1
V1 + *2’
(arthху =	,	(arcth	х)'	=
■1
Обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции связаны
между собой следующими соотношениями (в комплексной плоскости):
arshx = —i arc sin *t; arch* =tarccosx,
arth x = —i arc tg xi; arcth x=i arcctg xi.

1682.	Доказать справедливость равенства
sh (х + а) = sh х ch а + ch х sh а.
Д По определению гиперболического синуса имеем
ех+а—е-(х+а) ex.ga — e-x.g-a
sh (х+а) =	g	=	2	’
Так как e* = ch*+sh*# е-* = chдс — shдг, e<I = cha+sha, £“fl = cha —sha, то
, 4	(ch*+sh*) (cha+sha)—(ch*—sh*)(cha—she)
sn (дt-\-a)  	2	*
Выполнив алгебраические преобразования, получаем
sh (*+a) = sh x ch a+ch x sha. Д
1683.	Выразить ch(x + a) через гиперболические функции аргу¬
ментов х и a.
Д Продифференцировав по х равенство
sh (*+а) = sh х ch a+ch х sh a,
получаем	^	(дс+a)	=	ch	дг	ch	a+sh	дг sh a. A
1684.	Выразить sh2x и ch2x через sh* и chx.
Д Имеем
sh 2x = sh (*+*) = sh*ch*+ch *sh*, ch2*=ch (*+*) = ch jcch *-f sh *sh *,
T. e. sh2x = 2sh*ch*; ch 2x = ch2 дг+sh2*. Д
1685.	Выразить ch8* и sh2* через ch2x.
Д Решив систему уравнений
Г ch2*-f sh8*=^ch2*,
\ ch2 дг—sh2A:== I
относительно ch2* и sh8*, получаем
ch8 *==(ch 2*+ l)/2,	sh2*=(ch2*—1)/2. Д
1686.	Выразить гиперболические функции ch xi и sh xi мнимого
аргумента через sinx и cosx.
Д Находим
*x I o-xi pxl p-xi	pxl _i_ p~xl
sh*—= i£—JL——Isinjc, ch=	—= cosx.
Итак, shjct = islnдс, chja = cos*. Д
1687.	Выразить тригонометрические функции sinxi и cosx/ мни¬
мого аргумента через sh* и chx.
Д Подставив в формулы shja = isin* и ch*f==cos* (см. задачу 1686)
xi	вместо дс, получим sh дс£2 = t sin xi% ch xi2 = cos xit т. e. sin xi = S ^ ^ =
= i sh *, cos ch (—дг) = ch дг. Итак, sin xi = i sh *, cos ди = ch дг. Д
1688.	Какая линия определяется параметрическими уравнениями
x=acht, j>=ash/ при a>0?
Д Исключим из этих уравнений tf для чего из дг2 вычтем у2:
х*—y8=a8(ch8sh2/), т. е. дг2—у8=а8.
268

Кривая *•*—у*=еа* является равносторонней гиперболой, асимптотами которой
служат прямые у~± х, Данная кривая является правой ветвью этой гиперболы,
так как A --=och( > 0 при любом t (рис. 67), Д
1689.	Точка М лежит на правой ветви равносторонней гиперболы
y*=asht. Из точки М опущен перпендикуляр MN на
ось абсцисс и эта же точка соединена отрезком ОМ с началом коор¬
динат. Из вершины А гиперболы восставлен перпендикуляр АК до
пересечения в точке К с отрезком ОМ (рис. 68). Доказать, что
|<W|:e-ch<,
Д | Л’Л1|:о*р:в™»Ь/, | ON |:a™*:a»ch t,
I	ЛЛ'|:а-!Л'ЛЛ:|ОД'|-(| NM |:o)/(| ON |:a)-ah t/ch <«th /. ±
1690.	Точка M лежит на правой ветви равносторонней гиперболы
x«^cich/, y-r-ash t. Вычислить площадь гиперболического сектора,
ограниченного ветвью гиперболы, осью абсцисс и отрезком ОМ
(рис. 59).
X
Д Имеем	Так как A’ — achf, j/«o$1W,to
a
dx «■ a sli tdt, откуда
i	t
joa shrch^-a’Jsh^^-yo* $ht-ch(—^-j (eh 2t -1)
dt>
>1-а*аЬ2<—^ a* $h 2/+"j* t1
a*t
‘T‘
Таким образом, t=*2S/a*. Итак, аргумент t гиперболических функций можно
рассматривать как частное от деления удвоенной площади гиперболического сек*
тора 0/4Л/ на квадрат действительной полуоси. Д
1691.	Найти производные функций:
1) (/= ln(chx+Kch*T+T); 2) # = 5shs(jt/15) + 3sh’ (дс/15);
3)	»/ = 2arctg (th (дс/2»; 4) у = th*—ths*-f-g-th‘x;
5) y = arcctg(l/shx); 6) у = In th (дс*/4).
<М(х;ц)
0;
/ ч
кА
Af
/1 \
Sff)
л/с. | V
\А /
/ 5 /
X /
A\N
Рис. 57
Рис. 58
Рис. 59
2C9

1692.	В какой точке цепной линии г/ = ch * касательная образует
с осью абсцисс угол а = л/4?
1693.	Исследовать на экстремум функцию у — ch(*/2)—1.
1694.	Найти:	1)	J**ch **£*:; 2)* J sh4 х dx\ 3) J^===d)c;
4)	Jshjcsinxdjc; 5) J fr/2) ***» J sh3 (*/3) ch2 (x/3) dx.
1695.	Вычислить определенные интегралы:
1n(l+v"2)	In 2	In 3
J	^	I	th*xdx>	3)	j	xchxdx,
0	0	0
1696.	Выразить sh (x—а) и ch (*—а) через гиперболические функ¬
ции аргументов хна.
1697.	Выразить th(jc+a) и th(*—а) через thx и the. Найти th2*.
1698.	Выразить через ch* гиперболические функции половин¬
ного аргумента sh(*/2), ch(x/2) и th (дс/2).
1699.	Привести к виду, удобному для логарифмирования, выра¬
жения shx±shу, ch*±ch#, thx±thi/.
1700.	Выразить shx и ch* через th(jc/2).
1701.	Представить произведения гиперболических функций
shxch#, sh*sh#, ch*ch у в виде сумм.
1702.	Вычислить площадь, ограниченную кривой # = shx и пря¬
мыми * = 1п5, у = 0.
1703.	Найти длину дуги кривой t/ = a ch (*/a), заключенной между
прямыми * = 0, х = а.
1704.	На кривой x = acht, у = ash t даны точки М и N, соот¬
ветствующие значениям t = ti и t = tt(ti<tt). Вычислить площадь
сектора OMN.
1705.	Какая линия определяется уравнениями x = a/cht, у —
= Ъ th t, если а > 0, b > 0?
1706.	Какая линия определяется уравнениями jc = ch* t, y — shH7
1707.	Дано sina = th t. Выразить cos a и tga через t.
1708.	Упростить выражение
(cos x ch у + i sin x sh y)2—(cos * sh у + i sin x cos y) *.
1709.	Упростить выражение (*ch<4-i/sh t)2—(*sh t + ych i)*.
1710.	Доказать тождества:
(ch * + sh *)"=ch n*+sh nx\	ch nx= (chjt+sh-lt),1+(chic~sh-lt)" .
sh«*= (ch *+sh *)” ~ (ch *—sh *)"
их	e~x)n
1711.	Используя равенства shnx = -—^—£-;chnx = -—
доказать, что
ch*x = ^-ch3x-t--|-chx, sWx= j^sh5jc—^sh3je + -|-shjf.

ГЛАВА XI
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ОБЛАСТЬ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Пусть задано линейное неравенство с двумя переменными ** и х2:
a1xi-j-a2x2-j-b^0.	(1)
Если величины Х\ и х2 рассматривать как координаты точки плоскости, то сово¬
купность точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (1),
называется областью решений данного неравенства. Областью решений неравен¬
ства (1) является полуплоскость.
Для того чтобы установить, какая из двух полуплоскостей соответствует
неравенству (1), достаточно привести это неравенство к виду x2'^kx1-\-l или
к виду х2 <kXi + L В первом случае искомая полуплоскость лежнт выше прямой
fli*i+fl2*2+fr = 0, во втором—-ниже ее. Если же а2 = 0, то неравенство при¬
водится к одному из видов ^5 h или < h, т. е. полуплоскость лежит справа
или слева от прямой Xi = h.
В случае же, когда задана система неравенств
Яц*1 +<*12*2 +^1^0»
a21xi +<*22*2 + ^2 ^ 0*	/<2\
	• • •
, Дт1*1+ада2*2+^л»^0»
где т—конечное число, получим пересечевие конечного числа полуплоскостей,
образующее многоугольную область D. Область D называется областью решений
системы неравенств (2). Эта область не всегда бывает ограничена, она может быть
и неограниченной и даже пустой. Последний случай имеет место тогда, когда
система неравенств (2) противоречива. Могут быть также случаи лишних нера¬
венств, входящих в совместную систему и определяющих прямые, не имеющие
с областью D общих точек. Такие неравенства можно исключить.
Область решений обладает важным свойством—она является выпуклой, т. е.
вместе с любыми своими двумя точками содержит и весь соединяющий их отрезок.
Прямая, которая имеет с областью по крайней мере одну общую точку, притом
так, что вся область лежит по одну сторону от этой прямой, называется опорной
по отношению к этой области.
Аналогично истолковывается геометрически и система неравенств с тремя
переменными:
а\1ХХ + fll2*2 +<*13*3 +&i^0,
а21*1 +022*2 +fl23*3 +&2^0»
+ат 2*2+ат3х3+ь3	0.
(3)
Здесь каждое из неравенств выполняется для одного из полупространств, на кото-
рые разбивает все пространство соответствующая плоскость. Система неравенств (3)
представляет собой пересечение полупространств, т. е. многогранную область реше¬
ний системы неравенств.
1712.	Найти полуплоскость, определяемую неравенством 2хг +
+ 3*2-12<0.
271

Д Заменяя знак неравенства на знак точного равенства, получим уравнение
прямой 2*1-|-Зл'2—12 — 0 или х2 — (—2/3) хх-\~4 (рис. 60). Приведём данное нера¬
венство [к виду *2<(—2/3)*i-f4. Следовательно, искомая полуплоскость распо¬
ложена ниже прямой х2 = (—2/3) хх-\- 4. Д
1713.	Какую полуплоскость определяет неравенство 2хх— 3*2^0?
Д Заменяя знак неравенства на знак точного равенства, получим уравнение
прямой 2хх— 3*2 = 0 или х2 = (2/3) *1, проходящей через начало коорлнн? г. Из
неравенства 2хх— 3х2^г0, т. е. х2*^(2/2>) xXt вытекает, что искомая полуплоскость
расположена ниже прямой *2 = (2/3)*1 (рис. 61). Д
1714.	Найти область решений системы неравенств — I ^ О,
х2—1^0, хх + х2—3^0, —6хх—7*2+42;^0.
Д Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, получим уравнения
четырех прямых:	—1=0, х2—1=0, *i-|-Jt2— 3 = 0 и 6xi-f-7x2 — 42 = 0, изобра-
Рис. 61
Рис. 62
женных на рис. 62. Приведем данные неравенства к виду *i^l, x2^U
Х2^—*1 + 3, л2^(—6/7) a:i6. Штриховка показывает те из полуплоскостей.
которые служат областями решений соответствующих неравенств. Областью реше¬
ний системы неравенств является выпуклый четырехугольник. Д
1715.	Найти область решений системы неравенств хх ^ 0, хх + х2 —
— 2>0, хх—х2 + 1 <0, ^<2.
Д Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, получим уравнения
четырех прямых: хх = 0, хх + х2—2 = 0, хх—*2+1=0, хх = 2у изображенных кг
рис. 63. Приведем данные неравенства к виду *i^0,	—хх-{-2, х2^хх+).
хх<:2. Областью решений системы неравенств является неограниченная выпуклгя
фигура. Д
1716. Найти область решений системы неравенств хх^2ч
хх Зх2 ^ 3, хх—х2 -|- 1 ^ 0.
Д Построим соответствующие прямые. Из рис. 64 видно, что не существует
ни одной точки, общей для всех трех полуплоскостей. Это означает, что область
решений «пустая» и заданная система неравенств несовместна. Д
1717.	Найти область решений системы неравенств 2xt—х^—2.
*1—*2 ^—2, *!<!, 2хх—хг>3.
Д Эта система неравенств не имеет решений. Геометрически это означает, что
не существует ни одной точки, координаты которой удовлетворяют всем неравен¬
ствам данной задачи (рис. 65). Д
1718.	Найти область решений системы неравенств Зхх—х2^0(а),
*1—*2<0(б), 2*1-|-л:2<6(в), Х!<2(г), Эх,— 4(д).
272

Д Пяти заданным неравенствам соответствует множество точек плоскости,
образующее треугольник АО В (рис. 66). Неравенства (г) и (д) могут быть исклю¬
чены, так как неравенство (д) определяет граничную прямую, не имеющую с тре¬
угольником АОВ общих точек, а прямая, определяемая неравенством (г), имеет
одну общую точку с треугольником и является опорной. Д
Рис. 65
1719.	Найти область решений системы неравенств ^ 0, х% ^ О,
х$ ^ 0, Xj -j- Xj— 1 ^ 0,	-j-	х%—^ 0.
Д Заменяя знаки неравенств иа знаки точных равенств, получим уравнения
плоскостей *1=0, *a=0, *а = 0, *t+*a—1=0, Зху+х^—З*3=0, которые изоб¬
ражены на рис. 67. Областью решений системы неравенств служит выпуклый
четырехгранник ABOCD. А
1720.	Как расположена полуплоскость, координаты точек кото¬
рой удовлетворяют неравенству хх—х2—10^0?
Найти область решений системы неравенств:
1721.	Ху-\-хг—5^0, Ху—хг— 5^0, Xy^Ll.
1722.	ху—5хя + 5^0, дг1-|-Здг2—3<0, х1 <5.
1723.	^ ^ 3, х2 0, Ху -j- х2 0.
1724.	хг—*а + 1^0, 2xi + x2—7>0, Ху—2*г + 4 > 0.
1725.	*,^0(а), 4Ху—х2^0 (б),	х2<6(в),	4л:1 + л^<40 (г),
Xt—*2 + 8>0(д).
1726.	Xy^sO, х2^\, *8>0, ху + хг + хя—5^0.
1727.	*i«^4, 2х2—xa^s0, х2 + х9 <3, хг^0, xs^0.
10-215	273

§ 2. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Задача линейного программирования заключается в изучении способов отыс¬
кания наибольшего или наименьшего значений линейной функции при наличии
линейных ограничений.
Функция, наибольшее или наименьшее значение которой отыскивается, назы¬
вается целевой функцией, а совокупность значений переменных, при которых дости¬
гается наибольшее или наименьшее значение, определяет так называемый опти¬
мальный план. Всякая же другая совокупность значений, удовлетворяющая
ограничениям, определяет допустимый план (решение).
Пусть ограничения заданы совместной системой т линейных неравенств с п
переменными:
f aiixi~\-аХ2хг + •#• +tfinxn^bit
021*1 + 0J2*2 + • • • + а2ПХП ^ ^21
L ат1х1~\~атгхг~\~ * • • ~\~amnxn ^ bm.
Среди неотрицательных решений этой системы требуется иайти такое решение
при котором линейная функция (целевая функция)
L = Ci*i+<?2*2+ . • • +спхп+Со
принимает наибольшее (наименьшее) значение илн, как говорят, максимизировать
(минимизировать) линейную форму L.
Покажем, как решается указанная задача геометрическим методом, для чего
ограничимся рассмотрением совместной системы линейных неравенств с двумя и
тремя переменными. Пусть, кроме того, задана линейная функция L=c\Xi-\-c^x2-\-cQ.
Найдем среди множества точек (*ь х2) из области решений совместной системы
неравенств такие, которые придают заданной линейной функции наименьшее (наи¬
большее) значение. Для каждой точки плоскости функция L принимает фиксиро¬
ванное значение L=Lf. Множество всех таких точек есть прямая С\Х^+с2х2 +Со ^ i #
перпендикулярная вектору С fa; с2), выходящему из начала координат. Если эту
прямую передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора С,
то линейная функция L=^CiXi-\-c2x2-\-c0 будет возрастать, а в противоположном
направлении—убывать. Пусть при движении прямой L в положительном направ¬
лении вектора С она впервые встретится с многоугольником решений в его вер¬
шине, тогда в этом положении Lj прямая L становится опорной, и на этой
прямой функция L принимает наименьшее значение. При дальнейшем движении
в том же направлении (положительном) прямая L пройдет через другую вершину
многоугольника решений, выходя из области решений, и станет также опорной
прямой L2; на ней функция L принимает наибольшее значение среди всех значе¬
ний, принимаемых на многоугольнике решений.
Таким образом, минимизация и максимизация линейной функции L — cxXi +
+ ^2*2+Со иа многоугольнике решений достигаются в точках пересечения этого
многоугольника с опорными прямыми, перпендикулярными вектору С fa; с2).
Опорная прямая может иметь с многоугольником решений либо одну общую точку
(вершину многоугольника), либо бесконечное множество точек (это множество есть
сторона многоугольника).
Аналогично, линейная функция трех переменных L =	+ с2х2 + CsX3 + с0
принимает постоянное значение из плоскости, перпендикулярной вектору С fa; с2\ с3).
Наименьшее и наибольшее значения этой функции на многограннике решений
достигаются в точках пересечения этого многогранника с опорными плоскостями,
перпендикулярными вектору С fa; с2; с3). Опорная плоскость может иметь с мно¬
гогранником решений либо одну общую точку (вершину многогранника), либо
бесконечное множество точек (это множество есть ребро или грань многогранника).
1728.	Максимизировать линейную форму £ = 2х^ + 2х^ при огра¬
ничениях: 3xi—2xi^—6, 3xi + x2^3f х1 ^3.
Д Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим область
решений по уравнениям прямых Зхг—2ха+6 = 0, Зх* + *2—3=0, *i = 3 (рнс. 68).
274

Областью решений неравенств является треугольник MNP. Построим вектор С (2; 2).
Тогда опорная прямая при выходе из треугольника решений пройдет через точку
Р(3; 15/2), а потому в точке Р линейная функция L = 2*! + 2*2 принимает наи¬
большее значение, т. е. максимизируется, и /-шах = 2-3 + 2* (15/2) = 21. Д
1729.	Минимизировать линейную функцию L=12xi + 4xa при
ограничениях: x1 + Jt2^2, хх^1/2, х2 ^ 4, х1—х2^:0.
Д Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим область
решений, ограниченную прямыми *i+*a = 2, *i=l/2, ** = 4, *i—** = 0. Область
решений —многоугольник AfWPQ (рис. 69). Строим вектор С (12; 4). Опорная
прямая проходит через точку М( 1/2; 3/2) — это первая точка пересечения много¬
угольника решений с прямой L при перемещении этой прямой в положительном
направлении вектора С. В точке М линейная функция L = 12x1 + 4*a принимает
наименьшее значение 1Шт= 12-(1/2)+ 4* (3/2)= 12. Д
1730.	Найти наибольшее значение функции Ь=х1 + Зх2 + Зх3 при
ограничениях: х2 + х3<3, хг—лг2;>0, х2^1, Зх1 + х2^1Ь.
Д Построим область решений системы неравенств по уравнениям плоскостей:
*а +*з = 3, xi—*2 = 0, *2 = .1, 3*д+*2=15. Областью решений является много¬
гранник MNPQRS (рис. 70).
Построим вектор С (1; 3; 3). При перемещении опорной плоскости в положи¬
тельном направлении вектора С она выйдет из многогранника решений в точке
N (4; 3; 0). Поэтому в точке N линейная функция
L=xi + 3*2+ Зд-3 примет наибольшее значение, т. е.
^-шах==4 + 3*3 + 3,0= 13. А
1731.	Найти наибольшее значение функции
L — 3xx—6лг2 + 2х3 при ограничениях:	Зхг-\-
+3х2 + 2х3 ^ б, хх + 4х2 + 8л:3 ^ 8.
Д Построим область решений системы линейных
неравенств, взяв плоскости 3*1 + 3*2 + 2*8 = 6,	*1 +
+4*2+ 8*з = 8, *1 = 0, *2 = 0, *3 = 0. Эта область есть
многогранник MNOPR (рис. 71). Построим вектор
С (3; — 6; 2). Прн перемещении опорной плоскости в поло¬
жительном направлении вектора С она выйдет из мно¬
гогранника решений в точках ребра MR. Следовательно, наибольшее значение
данной функции принимается в точках отрезка MR. Убеждаемся в этом, подставив
координаты точек М (2; 0; 0) и R (16/11; 0; 9/11) в линейную форму L; получим
L (Л!) = 6, L(tf) = 6. А

1732.	Найти наибольшее значение функции Ь — хг-\-Злга при огра¬
ничениях: *, + 4**^4, лг, Н- лга ^ 6, л:2^2.
1733.	Минимизировать функцию /, = *,—дс, при ограничениях:
3дс, +	7,	1^д:4^4,	*X^C4.
1734.	Найти	наибольшее	значение	функции	L — Здсх—4дс,	при
ограничениях: дс,—2хг^6, x1 + 2xi^0, дс,<!б.
1735.	Найти наибольшее значение функции L =—	+ 2х2 при
ограничениях:	хг—8дс2<!10, хг + х2^1,	xt—5дс2^—5,	Здсх +
“I- 10^2 ^ 30.
1736.	Найти	наибольшее	значение	функции	L = 8х1—2хг	при
ограничениях: Злгх+4лгв ^ 18,	Злгх—дс2 > 3, дс2	6, 2хг + xt ^ 18,
4*!—дг,^24.
1737.	Минимизировать линейную форму L = — 2дсх—хг + 3xt при
ограничениях: x1 + xi^2, 3xl-f-xt^6, ха ^ 3.
1738.	Найти наибольшее значение функции L = *, + 2х2 + 3*8
при ограничениях:	+	Xs ^ 3, дсх + дс2—Зл^ Злг2—х3 ^ 0.
1739.	Найти	наибольшее	значение	функции	Z- = 10лгх лг*	при
ограничениях: Зл^+2хг+*3 ^ 6, Злгх—Здс2+дс2^С6, х3 ^ 3.
§ ?. СИМПЛЕКС-МЕТОД
1.	Понятие о симплекс-методе. Решение основной задачи линейного програм¬
мирования геометрическим методом является наглядным в случае двух и даже
трех переменных. Для случая же большего числа переменных геометрический
метод становится невозможным. Так называемый симплекс-метод принадлежит к
числу	аналитических	методов решения основной задачи линейного	программиро¬
вания.	Система	ограничений в вычислительных методах обычно	задается	системой
линейных уравнений
йцХх + <*12*2 + • • • + Я1л*л “
Л21*1 + а22*2 + • • • +Я2Л*Л==^2>	(1)
, ЯЛ1*1 + ДОТ2*2+ * * • +аЛй*й = ^Л
и среди неотрицательных решений системы уравнений (1) надо иайти такие, кото¬
рые максимизировали бы линейную функцию
L = <7i*i + C2*2+ . .. +СпХп+С0.
Выразим *i, х2, ...,*г (г<,т) через остальные переменные:
Xi = ait г+1*г+1+ •• * +Д1л*л + ^1»
*2 = ^2, Г + 1*Г+1 + . • • + 02Я*Л + ^2,	^2)
xr = ar, г+1*г+1+ • • • +Лгл*л + ^г,
где Ь\ ^ 0, Ь\ ^5 0, ..., ь'г ^ 0. Если ограничительные условия заданы неравен¬
ствами, то их можно преобразовать в равенства путем введения новых неотрица¬
тельных переменных, так называемых балансовых (выравнивающих). Например,
в неравенстве'Oi*i+ai2*2+** .+Дл*л < ^ достаточно добавить к левой части
некоторую величину *„+1^0 и получится равенство
<*1*1+02*2+. •. +anxn+xn+i=b.
Ограничительные условия могут задаваться и смешанным образом, т. е. нера¬
венствами и уравнениями, тогда указанным путем их можно свести только к
уравнениям. Переменные (неизвестные) *х, *2, ...,*г называются базисными, а
276

весь набор {*i, *2, ..., xr}—базисом, остальные переменные называются свободнымf
система ограничений (2) называется системой, приведенной к единичному базису.
Подставляя в линейную форму L вместо базисных переменных их выражения
через свободные из системы (2), получим
L = Yo + Yr + i*r + i+ • • • +Уп*п-
Теперь, полагая все свободные переменные равными нулю, найдем значения
базисных переменных: xi = b[, x2 = b2t ..xr — b'r. Таким образом, решение (b[f
b'2t...tb'r, 0, ...,0) системы является допустимым—оно называется базисным.
Для полученного базисного решения значение линейной формы LB = y0. Реше¬
ние задачи с помощью симплекс-метода распадается иа ряд шагов, заключаю¬
щихся в том, что от данного базиса Б мы переходим к другому базису Б' с таким
расчетом, чтобы значение L б уменьшалось или, по крайней мере, ие увеличи¬
валось, т. е. Lb/<;Lb.
Идею метода проследим на конкретных примерах.
1740. Максимизировать линейную форму L = —хл + х6 при ограни¬
чениях: *i + *4 —2*6 = 1, *2—2х4 + *5 = 2, х3-|—3*4 +хБ = 3.
Д Данная система уравнений-ограничений совместна, так как ранги матрицы
системы
/10 0	1 — 2\
(010—2 1 )
\0 0 1	3	1/
и расширенной матрицы
/10 0 1 — 2 1\
(010—2 12)
\0 0 1	3	13/.
совпадают и равны 3. Следовательно, система уравнений совместна и три пере¬
менные (базисные) можно линейно выразить через две свободные переменные.
Выразим, например xlt *а и х3 через х4 и хъ, т. е. приведем систему к единичному
базису:
{*1== 1— *4+2*5,
*2==2+ 2*4—*б,	(*)
*з = 3—3*4—*6.
Линейную форму 1 = —*4 + *5 выразим через свободные переменные *4 и хь
(в данном примере; L уже выражена через *4 и хь). Теперь при *4 = 0, *Б = 0
найдем значения базисных переменных: *i=l, *2 = 2, *а = 3. Таким образом,
первое допустимое решение системы уравнений есть *х = 1, *2 = 2, *з = 3, *4=0,
*5 = 0, или (1, 2, 3, 0, 0). При найденном допустимом решении линейная форма L
имеет значение 0, т. е. Lx = 0.
Теперь попытаемся увеличить значение L\\ увеличение хл уменьшит Lf, так
как перед *4 стоит отрицательный коэффициент, а увеличение *Б дает увеличение
и Li. Увеличим поэтому *Б так, чтобы *ь *а, *8 не стали отрицательными, оставив
*4 = 0. Из второго уравнения системы (*) следует, что *Б можно увеличить до 2.
Таким образом, получаем следующие значения переменных: *х = 5, *2=0, *з= 1,
*4 = 0, *5 = 2 или (5, 0, 1, 0, 2).
Значение линейной формы L при этом допустимом решении равно La = 2, т. е.
при втором шаге оио увеличилось.
Далее, примем за свободные переменные *а и *4, т. е. именно те переменные,
которые в новом решении имеют нулевые значения. С этой целью из второго
уравнения системы (*) выразим хь через *2 и *4 и получим *5 = 2—*2+2*4*
277

Тогда
{
*i = 5—2*2 + 3^4;
*з=1+*2—5*4,
*6 = 2—*2+2*4,-
L =2—*2+*4.
(**)
Для увеличения значения L будем увеличивать **. Из второго уравнения
системы (**) видно, что при условии неотрицательности *з значение *4 можно
довести до *4=1/5. При этом условии новое допустимое решение есть *1 = 28/5,
*2=s0, *з = 0, *4==1/5, *5=12/5 илн (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5). Значение линейной
формы прн этом /.3=11/5.
Выразим теперь *i, *4, хь через свободные переменные х2 и *3:
Так как в последней линейной форме обе свободные переменные входят с от-
рицательиыми коэффициентами, то наибольшее значение L достигается при *2 = 0,
*з=0. Это означает, что решение (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5) является оптимальным
и ^шах == 11/5. А
1741.	Максимизировать линейную форму L = x2 + xs при ограни¬
чениях: хг—х2 + х3= 1, х2—2*3 + *4 = 2.
Д Система уравнений-ограничений совместна, так как ранги матрицы систе¬
мы уравнений и расширенной матрицы одинаковы и равны 2. Следовательно, две
базисные переменные можно выразить лниейио через другие две свободные. При¬
мем за свободные переменные *2 и *3. Тогда
При *2 = 0 и *з=0 базисные переменные *i = l, *4 = 2, т. е. имеем первое допус¬
тимое решение (1, 0, 0, 2) и Li = 0. Увеличение L можно осуществить прн уве¬
личении *з до 1. Тогда при *з=1, *2 = 0 значения базисных переменных *i=0f
*4 = 4. Новое допустимое решение (0, 0, 1, 4) и L2 = \.
Выразим теперь *3 и *4 через *i и *2:
Увеличение L возможно при увеличении *2. Увеличение же *2 ие ограничено,
судя по последней системе уравнений. Таким образом, L будет принимать все
большие положительные значения, т. е. £Шах=+°°’ Итак, форма L не ограни¬
чена сверху, а потому оптимального решения не существует. А
1742.	Задана система ограничений: хх + х2 + 2х3—х, — 3, х2 + 2xt — 1
и линейная форма Ь=5хг—ха. Найти оптимальное решение, миними¬
зирующее линейную форму.
Д Эту задачу можно было бы свести к задаче нахождения максимума фун¬
кции Lj = —L, т. е. Lj = —5*i+ *з, но это необязательно. Рассуждая аналогич¬
но предыдущему, ее можно решить, не сводя к максимизации. Данная система
уравнений совместна, так как ранги матрицы системы и расширенной матрицы
одинаковы и равны 2. Следовательно, систему уравнений можно, например, пе-
*5= 12/5—(2/5)**—(3/5)ха,
L =11/5—(1/5)дс$—(4/5)дса.
{
=	*s.
«4 = 2—л*+2*8(
L=x2+дс».
{
*3 — 1 —*1+*2 *
*4 = 4—2*1 +*2,
L = 1 — *i+2*2.

реписать так:
( *i = 2—2*з-J-3*4,
\ х2 = 1—2x4,
L = 10—1 1*з-{- 15х4.
Здесь за базисные переменные приняты Х\ и *2, а за свободные х9 и х4. Прн
*3 = 0 н *4 = 0 первое базисное решение есть *i = 2, *2 = 1, *з = 0, *4 = 0 или
(2, 1, 0, 0), a L1=10. Уменьшение линейной формы L вызывается увеличением
*з, так как перед *з в форме L стоит отрицательный коэффициент,- причем уве¬
личение *з возможно только до 1, а значение *4 = 0 остается. Если примем *3 = 1,
то *i = 0, *2=1, *з = 1, *4 = 0 или (0, 1, 1, 0)—второе базисное решение, при
котором L2= — 1.
Выразим х% н *8 через новые свободные переменные хх и х4:
Г *а=1 —2*4.
\ *з=1 — (1 /2)*i + (3/2)*4f
Z- = — 1 + (11/2)*1—(3/2) *4.
Теперь уменьшение значения формы L зависит от увеличения *4 до *4 = 1/2
(прн этом *2 неотрицательно), а значение *i = 0 остается. В этом случае имеем
новое допустимое решение *i = 0, *2 = 0, *з = 7/4, *4 = 1/2 или (0, 0, 7/4, 1/2),
прн котором L = —7/4.
Выразим *3 и *4через свободные переменные *i н *2:
f *з = 7/4—(l/2)*i—(3/4)*2,
\ *4= 1/2—(1/2)*а,
L = -7/4 + (ll/2)*i + (3/4)*2.
Так как дальнейшее уменьшение значения формы L невозможно из-за положи¬
тельности коэффициентов при *i и *2, то допустимое решение задачи (0, 0, 7/4, 1/2)
является оптимальным. Наименьшее значение L равно—7/4, А
1743.	Максимизировать линейную форму L = 2хг—xi при следу¬
ющей системе ограничений:
(Х|+дг2«20,
*2 + 2*4^5,
Д Так как система ограничений задана смешанно, то приведем ее к системе
уравнений, введя новую неотрицательную переменную хь в левую часть второго
условия с отрицательным коэффициентом, а *в—в третье условие с положитель¬
ным коэффициентом. Тогда получим систему уравнений
(Х1+Х2*20,
*2+2*4 — *5 = 5,
—*1 —*2 +*3+^6 = 8.
Приведем эту систему к единичному базнсу, выбрав за базисные переменные хи
*2, *з (в силу того, что ранг матрицы системы равен 3):
*i = l5 + 2*4—*5, *2 = 5—2*4-f*5, *g = 28—*e.	(*)
Линейная форма тогда примет вид 1 = 30+3*4 —2*5. Прн х4 = 0, *5 = 0,
хв = 0 базисные переменные имеют значения *i = i5, x*=5f х3 = 28, т. е. первое
допустимое решение (15, 5, 28, 0, 0, 0); прн этом Lf = 30.
Для того чтобы значение L увеличилось, необходимо увеличивать *4, так как
эта переменная входит в выражение для L с положительным коэффициентом.
Увеличение же *4 возможно до *4=5/2—это видно нз второго условия системы
ограничений (*). При *4 = 5/2, *5 = 0, *в = 0 значения других переменных тако¬
вы: *х = 20, *2=0, *з = 28 т. е. получим второе допустимое решение (20, 0,
279

28, 5/2, 0, 0), и линейная функция L примет вид L = 75/2—(3/2)*а— (1/2)*6,
а при втором допустимом решении ее значение равно L2 — 75/2.
Теперь, поскольку коэффициенты при переменных в L отрицательны, увели¬
чение значения L невозможно. Следовательно, Lmax = 75/2 = 37,5. ▲
1744.	Для изготовления изделий двух видов имеется 100 кг
металла. На изготовление одного изделия I вида расходуется 2 кг
металла, а изделия II вида—4 кг. Составить план производства,
обеспечивающий получение наибольшей прибыли от продажи изде¬
лий, если отпускная стоимость одного изделия I вида составляет
3	ден. ед., а изделия II вида — 2 ден. ед., причем изделий I вида
требуется изготовить не более 40, а изделий II вида — не более 20.
Д Пусть изготовлено хх изделий 1 вида и *2—И вида. Тогда имеем следую¬
щие ограничения на переменные хх и *2:
(	хх < 40,
I	х2 < 20,
I	2*!+4лг2= 100.
Целевая функция имеет вид L = 3*i + 2*a. Преобразуем смешанную систему ограни¬
чений в систему ограничений в виде уравнений, введя новые переменные *3 н *4:
| *1+ *з=40,
{ *2 + *4 = 20,
I *1+2ха = 50.
Ранг матрицы этой системы
равен 3. Выберем за базисные переменные *ь х2, *3 и перейдем к единичному
базису:
(	*1=10	+	2*4,
<	*2 = 20— *4,
V	*з = 30—2*4.
Первое допустимое решение получится при *4 = 0, ^=10, *2 = 20, *3 = 30. При
этих значениях переменных L = 70. Увеличения значения целевой функции можно
достигнуть путем увеличения *4 до *4=15, судя по третьему уравнению. Тогда
при *4=15, *! = 40, *2 = 5, *з = 0 имеем L=l30. Второе допустимое решение
(40, 5, 0, 15); *1 = 40—*3, *2 = 5+(1/2) *8, *4= 15 — (i/2) *s, L=130—2*3. Коэф¬
фициент при*8в пелевой функции отрицателен, а потому дальнейшее увеличение
L невозможно. Следовательно, оптимальное решение *1 = 40, *2 = 5 и Lmax= 130. Д
2.	Симплексные таблицы. Систему ограничений сведем к единичному базису:
*!+••• +Я1.Г + 1 *г + 1+ • • • + <*1/1 Xn = bl,
<	*/+... +а/, г+1 *г+1+• - • +Чп xn = bi,
{ *г“Ь • • • 4*°/» г+1 */*+i“h • • • Л~ат хп— brt
а линейную форму L—к внду
^+Yr + i *r + i+ • • • +YJXJ+ • • • +Yi**i*e Ye-	(1)
280

6 виде таблицы эти данные можно 1редставить так:
Базисные
перемен¬
ные
Свободные
члены
*1
...
xi
Xr
Xr + l
••• :
XI
Xn
*1
bi
1
...
0
0
fll* r+Л
...
All
ain


...
...
...
...

...
...
...
*1
bi
0
...
1
...
0
ai» r +1
...
aif
...
ain


...
...
...
...
...

...
...
...
...
*г
Ьг
0
...
0
...
1
ar»r+1
...
arj
...
&rn
L
То
0
...
0
0
Yr + i
...
У/
...
У n
Равенство (1) будем называть приведенным (к свободным переменным) выражением
для функции L, а коэфицненты yj—оценками (индексами) соответствующих сво¬
бодных переменных Xj.
1.	Выбирают разрешающий столбец ар нз условия: оценка ур < 0 и хотя бы
один элемент а\р > 0.
2.	Выбирают q-ю разрешающую строку из условия
bq/aqp = min{bilaip} для aip > 0.
3.	Производят пересчет элементов разрешающей q-й строки по формуле
~ Cqfclaqp (6 = 0, 1, ... » л).
4.	Вычисляют элементы всех остальных строк (при k Ф р) пэ формуле
0=0, 1, .... <7—1, <7 + 1,	г).
Следует иметь н виду основную теорему симплексного метода, которую приве¬
дем без доказательства.
Т е о р е м а. Если после выполнения очередной итерации:
1)	найдется хотя бы одна отрицательная оценка и в каждом столбце с
такой оценкой окажется хотя бы один положительный элемент, /л. е. у^ > 0 для
некоторых k, «	> 0 для тех же k и некоторого iy то можно улучшить реше¬
ние, выполнив следующую итерацию;
2)	найдется хотя бы одна отрицательная оиенка, столбец которой не содер¬
жит положительных элементов, т. е. уь < 0, а;ь < 0, для какого-то k и всех if
то функция L не ограничена в области допустимых решений (Ьтлх оо);
3)	все оценки окажутся неотрицательными, т. е. у&^0 для всех £, та
достигнуто оптимальное решение.
1745.	Найти наибольшее значение линейной функции L=7xt +
+ 5лга на множестве неотрицательных решений системы уравнений
г 2*1-f-3x2-f-x3= 19,
,	2*!+	Х2	+	*4=13,
3x2-f-*}= 15,
ь	Зхх+*в	= 18.
281

Д Ранг матрицы системы уравнений
/2	3	1	О	0	0\
/210100]
1	0	3	0	0	1	0 у
\3	0	0	0	0	1/
равен 4. Ранг расширенной матрицы также равен 4. Следовательно, четыре пере¬
менные (базисные) можно ныразнть через две (свободные), т. е.
(дг3= 19—2дг!—Здг2»'
*4=13 — 2*!— дга,
*5 — 15—3*2»
*в = 18—3*j>
Кстати, линейная форма L = 7*i+5*2, нлн L—7*1 — 5**= 0 уже выражена через
эти же снободные переменные. Имеем исходную таблицу (табл. 1).
Таблица 1
Базисные
переменные
Свободные
члены
*i
*•
х4
Xi
X•
X*
19
2
1
0
0
0
3
Xi
13
2
1
0
1
0
0
Xв
15
0
3
0
0
1
0
X*
18
3
0
0
0
0
1
L
0
—7
-5
0
0
0
Таб
0
лица 2
Базис¬
ные
пере¬
менные
Свободные
члены
Хш
*4
*i
*2
4
2
0
1
0
—1
0
*4
8
2
0
0
1
—1/3
0
X2
5
0
1
0
0
1/3
0
*6
18
3
0
0
0
0
1
L
25
—7
0
0
0
5/3
0
282

Таблица 3
Базис¬
ные
пере¬
менные
Свободные
члены
*<
*•
*•
*4
*•
Ч
2
1
0
1/2
0
—1/2
0
*4
4
0
0
—1
1
_
2/3
0
*2
5
0
1
0
0
1/3
0
*6
12
0
0
—3/2
0
3/2
1
L
39
0
0
7/2
0 1
—11/6
0
Таблица 4
Базис¬
ные
пере¬
менные
Свободные
члены
*•
х%
*4
*<
*4
Xi
5
1
0
—1/4
3/4
0
0
Хь
6
0
0
—3/2
3/2
1
0
Xi
3
0
1
1/2
~1/2
0
0
Хв
3
0
0
3/4
—9/4
0
1
L
50
0
о I 3/4
11/4
0
0
Выясняем, имеются ли в последней строке (индексной) отрицательные оценки.
Таких чисел два: —7 и —5. Берем, например, —5 н просматриваем столбец
дли ха, в этом столбце имеем три положительных элемента 3, 1,3. Делим на эти
числа соответствующие снободные члены: 19/3, 13/1, 15/3, нз полученных частных
наименьшее есть 15/3. Следонательно, разрешающим является элемент 3, стонщнй
на пересечении строки для хь и столбца дли дга. Выделим эту строку и этот
столбец рамками. Новый базис состоит из x4f xit хв. Для составления следую¬
щей таблицы умножим выделенную строку табл. 1 на 1/3, чтобы получить на
месте разрешающего элемента 1, н полученную таким образом строку пишем на
месте прежней. К каждой нз остальных строк прибавляем ннонь полученную, умно¬
женную на такое число, чтобы в клетках столбца для ** появились нули, и пишем
преобразованные строки на месте прежних. Этим завершается I итерация.
Теперь все рассуждении повторяются применительно к табл. 2, т. е. выпол¬
няем II итерацию. Новый разрешающий элемент, находящийся иа пересечении
строки для л* и столбца для хх, есть 2. Переходим к следующей таблице.
283

То же повторим применительно к табл. 3. Здесь разрешающим является
элемент 2/3, находящийся на пересечении строки для *4 н столбца для хь. Пере¬
ходим к табл. 4.
Поскольку в индексной строке нет отрицательных оценок, мы получнлн
оптимальный план (5, 3, 0, 0, 6, 3) н наибольшее значение линейной формы L
есть Lmax=50. А
Найти оптимальные неотрицательные решения, минимизирую¬
щие линейную форму:
174Й	/	*1—2** + *а=1.	( xi~2+2x,—хц
I	*1+3*2+*< = 2,	1747. i *2 = 1+дс,—2*4,
L=xi—дса.	I Jc»=5—Ж3+ДС4,
L = xi + xt.
174Я	/	2*1+**—*s—*4 = 2,	174Q	/	4*1+3** +Jfs = 180,
\	*,-*4=1.	74У*	\	4*t+9x,+	l2*l	=	800j
L=2xt—xt.	L = 12xj+5*j+3*8.
(	*i+*4+6x(=9,
1750. ] Здс1+дс1-4дс1+2х, = 2.
I	*i+2*j+*5+2x« = 6.
L=*x — *2 + *s+*4+*» — *••
Найти оптимальные неотрицательные решения, максимизирую¬
щие линейную форму:
(*1+**+5*1 —20,	/	*1—2*, + Здг,3* — 1,
*« + 2дг4^5,	* \ 2xi—хг—*з<— 1,
*1+*г—*з^8,	1 = — *1—2*2—Здг2.
1751
1ч *1-
L = 2jci+jc4,
1753.	Производственная мощность цеха сборки составляет 120
изделий типа А и 360 изделий типа В в сутки. Технический конт¬
роль пропускает в сутки 200 изделий того или другого типа (без¬
различно). Изделия типа А вчетверо дороже изделий типа В. Тре¬
буется спланировать выпуск готовой продукции так, чтобы пред¬
приятию была обеспечена наибольшая прибыль.
1754.	Для изготовления изделий двух видов склад может отпус¬
тить металла ие более 80 кг, причем на изделие I вида расходу¬
ется 2 кг, а на изделие II вида—1 кг металла. Требуется сплани¬
ровать производство так, чтобы была обеспечена наибольшая при¬
быль, если изделий I вида требуется изготовить не более 30 шт.,
а изделий II вида не более 40 шт., причем одно изделие I вида
стоят 5 ден. ед., а II вида — 3 ден. ед.1
1755.	Для откорма животных употребляют два вида кормов; сто¬
имость 1 кг корма I вида — 5 ден. ед., а корма П вида — 2 ден. ед.
В каждом килограмме корма I вида содержится 5 ед. питательного
вещества А, 2,5 ед. питательного вещества Б и 1 ед. питательного
2S4

вещества В, а в каждом килограмме корма II вида соответственно
3, 3 и 1,3 ед. Какое количество корма каждого вида необходимо
расходовать ежедневно, чтобы затраты на откорм были минималь¬
ными, если суточный рацион предусматривает питательных единиц
типа А не меиее 225 ед., типа Б — не менее 150 ед. и типа В—не
менее 80 ед.?
3.	Понятие о вырожденном решении. Прн рассмотрении симплексного метода
предполагалось, что bt- > 0 (см. с. 276) как в исходной системе, так и в системах,
получаемых после очередных итераций. Если же в некоторых уравнениях свобод¬
ные члены bi — 0, то в соответствующем этой системе опорном решении базисные
переменные, относительно которых этн уравнения разрешены, принимают нулевые
значения. Опорное решение, в котором хотя бы одна из базисных переменных при¬
нимает нулевое значение, называется вырожденным решением, а задача линейного
программирования, имеющая хотя бы одно вырожденное решение,— вырожденной
задачей. Применяя в этом случае последовательные нтерацин, мы можем вернуть¬
ся к ранее встречавшемуся набору базисных н свободных переменных, т. е. появ¬
ляется так называемое зацикливание в схеме расчета. Приведем правило для уст¬
ранения зацикливания (мы не касаемся теоретического обоснования этого правила,
являющегося специальным вопросом так называемой проблемы вырождения).
Если на каком-либо этапе расчета возникает неопределенность в выборе раз-
решающей строки, т. е. оказывается несколько равных минимальных отношений
bilaip, то следует выбирать ту строку, для которой отношение элементов сле¬
дующего, столбца к разрешающему является наименьшим. Если при этом снова
оказываются равные минимальные отношения, то составляют отношения элемен-
тоз следующего столбца, и так до тех пор, пока разрешающая строка не опре¬
делится однозначно,
1756.	Максимизировать линейную форму L = 4xb + 2x% при огра¬
ничениях: xt + xb + xM = l2f х2 + 5х6—хв = 30, х9 -(-х$ —2х^ = 6, 2х4+
+3хъ—2хв= 18, дг^О, *а^0, *з^0, х4^0, *5>0, хв^0.
Д Исходной системе соответствует опорное решение (12, 30, 6, 9, 0, 0) и
значение L — 0. Ниже приводится последовательность итераций симплексного
метода:
Исходная таблица
*/
\
bi
1
4
2
bilaip
&ilfQ’i p
Xl
х»
Xt
Ха
Xi
*•
Xl
12
1
1
1
12
Х2
30
1
5
^1
6
—1/5
Хз
6
—2
6
1
■ 1
—2
i i
*4
18
2
3
—2
6
—2/3
L
0
—4
—2
285

I итерация
Xi
6
1
—1
3
2
Xi
0
1
—5
9
0
—5/9
Хь
6
1
1
—2
*4
l
0
—3/4
0
—3
2
4
L
24
4
—10‘
II итерация
Xi
6
1
5/4
—3/2
24/5,
Хз
0
0
1
7/4
—9/2
i i
Хь
6
—1/2
1
1
Хв
0
—3/4
1/2
L
24
—7/2
5
III итерации
Xi
6
1
-5/7
12/7
xg
0
4/7
1
— 18/7
Xb
6
2/7
—2/7
1
Хв
0
3/7
—10/7
1
L
24
2
-4
286

IV нтерацня
*4
7/2
7/12
—5/12
*з
*6
38
3/2
1/6
5/6
7/3
-1/2
1/6
-1/6
1/3
После I итерации полупили систему, разрешенную относительно базисных пере¬
менных Xi, лг2> *4» *5, которой соответствует опорное решение (6, 0, 0, 0, 6, 0)
и значение L± — 24. II и III итерации не изменяют опорного решения и значения
L2~L3~ 24 н только IV итерация дает оптимальное решение (0, 0, 9, 7/2, 7/5)
и ^тах “ 38. В данной схеме расчетов зацикливание не появилось, хотя в течение
трех итераций мы как бы «топтались на месте», менялись только базисные н сво¬
бодные переменные. В рассмотренном примере в исходной таблице оказалось трн
равных наименьших отношения: Ь21а2Ь = &я/яз5 = ^4/^46== 6* Поэтому, пользуясь
правилом устранения возможного зацикливания, берем отношения элементов сле¬
дующего за свободным столбца: а2в/а2Ъ== — 1/5, Лзв/азз=—2, аАв/аАЪ =•— 2/3.
Наименьшим оказалось отношение азв/а35=—2. Следовательно, третья строка
должна быть взята в качестве разрешающей н т.д. (см. таблицы). Д
1757.	Максимизировать линейную функцию L = 2xt + 4x^ при
ограничениях: —2х± + *а + хз = 6, —xt + (3/2) х2 + х4 = 9, —xt -f- 5х2+
+х} = 30, — х1 + х2 + дсв = 12, Л'!>0, х2>0, *3>0, *4>0,
*„>0.
§ 4. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Каждой бадачей линейного программирования можно сопоставить определен¬
ным образом с ней связанную другую задачу, которая называется двойственной
по отношению к первой.	•
Так, если	исходная задача (задача I) линейного программирования	состоит
в минимизации	линейной функции L = CiXt + с2х2 + .», -{-слхп,	когда	заданы
ограничения в форме неравенств
+012*2+ • • • ~hainxn ^ ^i>
02l*l+°22*2 + • • • +fl2nXn ^ ^2»
,д/я1*1 + Я/я2*2 + . • • + атпхп ^ Ьт
прн условии неотрицательности ^ (Л=1, 2, ... , л), то с ней связана двойствен¬
ная задача (задача I')» состоящая в том, что требуется максимизировать
линейную функцию Т = ^i^i + ^2^2 + ••• Л-ЬтУт ПРН условии ограничений
' ЯцУ\ + Я21У2 + ■ • • + ат\Ут < ci».
a12^/l + a22*/2+ • • • Л‘ат2Ут ^^2»
1^1Л^1 + ^2П^2+ • • • А'йтпУт <сп
и неотрицательности у/^ 0 (/ = 1, 2, ... , т).
Заметим, что в задаче I н в двойственной задаче I' матрицы
'ац ах2 ♦,, ain \	/ед 02i • • * сimi
A—I ^2ifl22«*‘fl2« j н Д'=[ fll2 a22 • • • am2
4 1 1 1 4 4 1
\ami ami •«• Я/ялУ
\ain n * • ■ an
287

составленные из коэффициентов при переменных, получаются друг из друга транс¬
понированием. В правых частях системы ограничений каждой задачи стоят коэф¬
фициенты линейной функции, взятой из другой задачи. В системе ограничений
задачи I (минимизация) все неравенства типа «^», а в системе ограничений за¬
дачи I' (максимизация) все неравенства типа «с». Понятие двойственности яв¬
ляется взаимным, т. е. если задачу Г записать в форме, аналогичной задаче I, то
двойственной к ней окажется исходная задача I. Поэтому задачи I н Г называ¬
ются взаимно двойственными или взаимно сопряженными. Доказывается, что
^min= Т'шах» 3 также, что необходимым и достаточным условием оптимальности
решений любой пары двойственных задач является равенство L (х) = Т {у), где
х и у—допустимые решения задач I и Г.
1758.	Дать геометрическую интерпретацию следующих взаимно
двойственных задач:
Исходная задача (I): найти неотрицательные значения (х19 х2)
из условий х1 + 2х2'^4, хг—х2^—1 и минимизации линейной функ¬
ции L~3x1 + 2x2.
Двойственная задача (Г): найти неотрицательные значения (уи у2)
из условий +	2уг—у2^2	и максимизации линейной функ-
ции Т = 4г/,—у2.
А Построим систему ограничений задач I и I'. В точке Я (2/3; 5/3) достига¬
ется минимум линейной функции L, т. е. Lmjn = 3-(2/3) + 2*(5/3)= 16/3, а в точке
Р' (5/3; 4/3)—максимум линейной функции 7\ т. е. 7'тах = 4*(5/3)—4/3= 16/3
(рнс. 72). А
1759.	Исходная задача (I): найти неотрицательные значения
fo, xt), минимизирующие линейную функцию L = 3xl + 2xt, если
дана система ограничений 7^ + 2^ >14, 4xt + Ъх2 > 20. Составить
двойственную задачу и решить ее.
1760.	Исходная задача (I): найти неотрицательные значения
(*lf *2), максимизирующие линейную функцию L — 5лгх-|- 4дг2 при
системе ограничений 4х, + Ъхг ^ 24, Зхг -(- 4хг ^ 24. Составить двойст¬
венную задачу и решить ее.
1761.	Исходная задача (I): найти неотрицательные значения
(xit хг), минимизирующие линейную функцию L = 3x1 + 3x2 при
системе ограничений 5xt—4х2 >—2, х1 + 2х1^6. Составить двойст¬
венную задачу и решить ее.
§ 5. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
Одной из типичных задач линейного программирования является так назы¬
ваемая транспортная задача. Оиа возникает при планировании наиболее рацио¬
нальных перевозок грузов. В одних случаях это означает определение такого
28а

плана перевозок, прн котором стоимость последних была бы минимальна, а в дру¬
гих— более важным является выигрыш во времени. Первая задача получила на¬
звание транспортной задачи по критерию стоимости, а вторая—транспортной
вадачи по критерию времени.
Первая задача является частным случаем задачи линейного программирова¬
ния и может быть решена симплексным методом. Однако в силу особенностей
этой задачи она решается проще.
Пусть в р пунктах отправления находятся соответственно fli, п2(, ар
единиц однородного груза, который должен быть доставлен q потребителям в ко¬
личествах blf b2, ... , bq единиц. Заданы стоимости сперевозок единицы груза
из t-ro пункта отправления £-му пункту потребления. Обозначим через */#^?0
(t'=l, 2, ... f р; k—\t 2, ... , q) количество единиц груза, перевозимого нз /-го
склада £-му потребителю; тогда переменные должны удовлетворять следующим
я	р
ограничительным условиям:	1)	2	xik = ai (* = 1, 2,..., р)\ 2) 2 rikz=z^k
1	i=l
(k=\, 2, ... , (7); 3) Xik^s0. Суммарные затраты на перевозки равны £ = Сц*ц+
+с12*н + ■ • • m{'cpqxpq* Следовательно, требуется найти pq переменных *,•#, удов¬
летворяющих указанным условиям и минимизирующих целевую функцию L.
Решение такой задачи разбивается иа два этапа:
1)	определение исходного опорного решения;
2)	построение последовательных итераций, т. е. приближение к оптимальному
решению.
1.	Определение исходного опорного решения. Пусть мы имеем таблицу исход¬
ных данных задачи. Исходное опорное решение будем строить по так называемому
правилу «северо-зацадного угла».
а /
/ о
/
Ь
1
ь
'2
...
bk
...
b
q
С11
1
| С12
Clk
Ciq
at
*н
*12
...
*1*
...
*1 q
| С21
С 22
C2k
c2q
а2
*21
*22
...
*2ft
...
*2 q
•
••
••
••
••



••
••
cii
С/2
Cik
Ci<7
at
*/1
*Г2
xik
Xiq
.
....
....

....
....
♦ • « •
1 v
ср2
1 CPk
cpq
ар
XPi
Хр?,
Xpk
...
xpq
Заполним вышеуказанную таблицу, начиная с левого верхнего угла, двигаясь
далее нли по строке вправо, или по столбцу вниз. В клетку (1, 1) занесем мень¬
шее из чисел ах и Ьи т. е. jc1i = min{a1, Ьх].
Если о* > bu то xlt = bi и первый столбец «закрыт», т. е. потребности пер¬
вого потребителя удовлетворены полностью. Двигаемся далее по первой строке,
289

вапнсывая в соседнюю клетку (1, 2) меньшее из чисел a*—bi н b2t т. е. х12 =
^min{ai— bi, b2}.
Еслн же Ь2 > то аналогично «закрывается» первая строка н далее перехо¬
дим к заполнению соседней клетки (2, I), куда заносим *2i = min{a2, Ьг—
Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока иа каком-то этапе не исчерпы¬
ваются ресурсы ар и потребности Ьд.
1762.	В двух пунктах отправления А и В находится соответст¬
венно 150 и 90 т горючего. В пункты 7, 2, 3 требуется доставить
соответственно 60, 70 и 110 т горючего. Стоимости перевозки тонны
горючего из пункта А в пункты /, 2, 3 составляют соответственно 6,
10 и 4 ден. ед., а из пункта В — 12, 2 и 8 ден. ед. Составить
оптимальный план перевозок горючего так, чтобы общая сумма
транспортных расходов была наименьшей.
Таблица 1
12	3
^	bk
ai
60
70
110
150
1 6
1 10
4
60
70
20
90
12
2
8
90
Д Запишем исходные данные в табл. 1. Заполнение начнем с клетки (1, I):
*ii = min (150, 60) =60, первый столбец закрыт. Переходим к клетке (1, 2): х12 =
= min {150—60, 70} = 70, второй столбец закрыт; далее, переходим к клетке (1, 3):
*13=emin{150— 60— 70, 110}= 20. Так как в третьем столбце оказался остаток,
равный 90, то переходим к заполнению клетки (2, 3), куда заносим дг2з = min {90,
90} = 90. Поскольку остатки по строке и столбцу равны нулю, опорное исходное
решение построено. Этрму плану соответствуют затраты в количестве L = 6»60 +
+ 10*70+4‘20 + 8 90-1860 деи. ед.
В правиле «северо-западного угла» не учитывается величина затрат с(ь, а
потому исходное опорное решение часто может быть далеким от оптимального.
Применяют также прием «минимального элемента», в котором учитывается вели¬
чина с iff. В этом случае построение исходного опорного решения начинают с клет¬
ки с наименьшей величиной с/*, в данном примере—с клетки (2, 2), где с22 =
= 2 (табл. 2). В эту клетку заносим x22 = min {a2t &2} = min{90, 70} = 70.
Таблица 2
12	3
bk
ai
60
70
110
Остаток
150
6
1 10
1 4
60,0
60
90
90
1 12
2
1 8
20,0
70
20
Остаток
0
0
20,0
290

Остатки по строке и столбцу записываем в соответствующие клетки строки
и столбца остатков. Столбец Ь2 закрыт. Теперь переходим к клетке (1, 3), так
как после с22 = 2 наименьшим является ci3—4. В клетку (1, 3) заносим *i8 =
= min{ai —	6a} = min {150—60, 110} = 90. Затем переходим к клетке (1, 1):
*n = min{fli, 61} = min {150, 60} = 60. Наконец, переходим к клетке (2, 3), в ко¬
торую заносим jc2a = niin{fl2—&2,	= min {90 —70, 110} = 20.
Применяя это правило, мы получили другой вариант исходного опорного
решения, при котором затраты L*6*60+4*90+2‘70+8 -20*1020 ден т t
сумма затрат ближе к оптимальному плану.
2.	Построение последовательных итераций. Получив исходное опорное реше¬
ние, перейдем теперь к построению новых опорных решений, улучшающих друг
друга: для этого применим метод потенциалов.
Итак, после построения исходного опорного решения все переменные разбиты
на две группы: хм—базисные н xpq—свободные; линейные функции стоимости
перевозок выразятся через свободные переменные так:
L = ^Урч *рд+У0.	0)
РЯ
Для нахождения коэффициентов ypq при свободных переменных сопоставим
каждому пункту отправления Л/ некоторую величину ui(i=*l9 2, ... , т), кото¬
рую назовем потенциалом пункта Aj, н каждому пункту назначения В j величину
vj—потенциал пункта By. Свяжем эти величины равенством и* + ^=с*/, где
Cfn—стоимость перевозки одной тонны груза из пункта Л* в пункт Bt. Доказы¬
вается, что совокупность уравнений ы* + ^ = £>*, составленных для всех базисных
переменных, составляет совместную систему линейных уравнений, причем значе¬
ние одной нз переменных можно задавать произвольно, и тогда значения осталь¬
ных переменных находятся из системы однозначно. Обозначим для свободных пе¬
ременных сумму соответствующих потенциалов через сРЯ, т.е. up-\-vq = c'pqt и
назовем ее косвенной стоимостью (в отлнчие от данной стоимости cpq). Тогда
коэффициенты при свободных переменных в соотношении (1) определяются с по¬
мощью равенства Урц~срц—cpq.
Если все величины ypq неотрицательны, то исходное решение является опти¬
мальным. Если же среди них имеются отрицательные, то переходим к следующе¬
му базису путем увеличения члена с отрицательным коэффициентом, оставляя
другие переменные равными нулю.
Воспользуемся изложенными общими понятиями и продолжим решение задачи
1762. Мы получили исходное опорное решение (следуя правилу «минимального
элемента»):	=	60,	*12 = 0, *13 = 90, *21 = 0, *22 = 70, *2з = 20, L=1020. Для
нахождения потенциалов необходимо решить систему
Wi + t,i==Cii=6, «1 + ^8 = Схз = 4,	^2 = с22 = 2, И2 + £,3 = £28==8»
Значение одного из неизвестных зададим произвольно, напрнмер Wi=I.
Тогда t’i = 5, Гв—3, «2 = 5, v2 — —3. Далее вычисляем косвенные стоимости с'pq\
С\2 = U\ + t’a— *"“2, C2i = H2 + ^i = 10.
Подсчитаем теперь разности ypq=cpq—cpq:
Via = £12—clt= 10—(—2)= 12, V21 = ^21—^21= 12—10 = 2.
Следовательно, выражение L через свободные переменные имеет вид L =
= 1020+12*12 + 2*2f. Среди коэффициентов при переменных в правой части нет
отрицательных. Значит, исходное опорное решение является оптимальным. Таким
образом, правило «минимального элемен'Га» сразу дает оптимальное решение.
Решим теперь эту же задачу при условии, что исходное решение получено
по правилу «северо-западного угла», т. е* *и=60, *12 = 70, *1а = 20, *аз=90,
291

L=1860. Для нахождении потенциалов необходимо решить систему
tti + t'i=Cn = 6, Ui + t>2 = cw = 10, «1 + из = с13 = 4, Ыа + 1>з = саз = 8.
Полагая Mi=l, получим t>i = 5, г2 = 9, va = 3, и2 = 5.
Вычисляем косвенные стоимости сря:
c'2i = u2 + vi = 10, С22 = Иа + ив = 14.
Подсчитаем теперь разности ypq = cpq—cpq:
V21 ~с2\—с21 ~ 12—10 = 2, у22 = с22—с22 = 2—14 = —-12.
Следовательно, выражение L через свободные переменные имеет вид L =
= 1860+2^21—12хаа. Среди коэффициентов при переменных в правой части есть
отрицательный прн х22, следовательно, можно попытаться уменьшить L, увеличив
*22 (сохранив нулевое значение *2i). Положим х22 = А,. Поскольку суммы значений
неизвестных по строкам н столбцам должны остаться неизменными, нужно про-
чзвестн следующий балансовый пересчет:
60
70—К
t
—*20+Х
К..., +-
.*..90
-51
Добавление \ к х22 компенсируется вычитанием А, из х12, а это в свою очередь —
прибавлением К к х19 и т. д. до тех пор, пока мы не вернемся обратно к дс2а.
Обходя клетки по пунктирной ломаной линии, в одной из вершин которой нахо¬
дится свободная переменная х22, а в остальных вершинах—базисные переменные
(причем ие обязательно все), мы получим так называемый цикл пересчета (лома¬
ная называется циклом), отвечающий свободной клетке х22. Как видно из табли¬
цы, дли неотрицательности переменных X можно увеличить до А, = 70, тогда
получим второе опорное решение:
60
0
90
0
70
20
т.е. *и = 60, *12 = 0, *13 = 90, *2i = 0, *22 = 70, *23 = 20.
Значение функции L для него составляет L=1860—12*70=1020, т. е* полу¬
чили оптимальное решение (судя по предыдущему решению). Д
Таким образом, правила вычислений по методу потенциалов сводятся к сле¬
дующему.
1.	Находят потенциалы и& и ^ всех пунктов отправления А* и назначе¬
ния В/.
2.	Выбирают какую-нибудь свободную переменную, для которой сумма по¬
тенциалов строго больше соответствующей стоимости, это соответствует элементу
с отрицательным коэффициентом при свободной переменной в правой части функ¬
ции L.
3.	Для выбранной в п. 2 переменной находят соответствующий ей цикл пере¬
счета и производят сдвиг по этому циклу. Этот сдвиг приводит к новому допус¬
тимому решению.
4.	Вышеуказанные операции 1—3 повторяют до тех пор, пока ие получат
оптимальный базис, т. е. неотрицательные коэффициенты при свободных перемен¬
ных в правой части линейной функции L.
292

1763.	На двух складах Л и В находится по 90 т горючего.
Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты 1, 2, 3
соответственно стоит 1, 3 и 5 ден. ед., а перевозка одной тонны со
склада В в те же пункты — соответственно 2,5 и 4 ден. ед. В каждый
пункт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего.
Составить такой план перевозки горючего, при котором транспорт¬
ные расходы будут наименьшими.
1764.	В резерве трех железнодорожных станций А, В и С нахо¬
дятся соответственно 60, 80 и 100 вагонов. Составить оптимальный
план перегона этих вагонов к четырем пунктам погрузки хлеба,
если пункту № 1 необходимо 40 вагонов, № 2—60 вагонов, № 3—
80 вагонов и № 4—60 вагонов. Стоимости перегонов одного вагона
со станции А в указанные пункты соответственно равны 1, 2, 3,
4	ден. ед., со станции В — 4, 3,2, 0 ден. ед. и со станции С — 0,2,2,
1	ден. ед.
1765.	Завод имеет три цеха А, В, С и четыре склада № 1, 2,
3, 4. Цех А производит 30 тыс. шт. изделий, цех В—40 тыс. шт.,
цех С—20 тыс. шт. Пропускная способность складов за то же
время характеризуется следующими показателями: склад № 1 — 20
тыс. шт., склад № 2—30 тыс. шт., склад № 3—30 тыс. шт., склад
№ 4 —10 тыс. шт. Стоимости перевозки 1 тыс. шт. изделий из це¬
ха А в склады № 1, 2, 3, 4 соответственно равны 2, 3, 2, 4 дет. ед.;
из цеха В — 3, 2, 5, 1 ден. ед., а из цеха С — 4, 3, 2, 6 ден. ед. Соста¬
вить такой план перевозки изделий, при котором расходы на пере¬
возку 90 тыс. шт. изделий были бы наименьшими.
1766.	На трех складах А, В, С находится сортовое зерно соот¬
ветственно 10, 15, 25 т, которое надо доставить в четыре пункта:
пункту № 1—5 т, № 2—10 т, № 3—20 т и № 4—15 т. Стои¬
мости доставки одной тонны со склада А в указанные пункты соот¬
ветственно равны 8, 3, 5, 2 ден. ед.; со склада В — 4,1,6, 7 ден. ед. и
со склада С — 1, 9, 4, 3 ден. ед. Составить оптимальный план пере¬
возки зерна в четыре пункта, минимизирующий стоимость перевозок.

ОТВЕТЫ
Глава I
4.	1) 8; 2) 3. 5. 1) 1/2; 2) -9/4. в. М(7). 7. С(I), D(3). 8. С (-9), D (-1).
16. 1) 13; 2) 3. 10. 5. 20. (—1; 8), (1; 9), (3; 10). 21. S = 0, т._е. точки А, В^С
лежат иа одной прямой. 22. D (17; 12). 23. С (—Ю; —7). 24. У^3. У82, У185.
25. 24 кв. ед. 29. Л (4; я/6); 6(3; —я/2); С(4 У2~',_ Зя/4)*; J) (2; —я/4);
£ (2 /2 ; 4я/3); F (7;	я).	30. А (0;	10); S (—^2; — |^2 );	С(0^ 0);
Р(У2/2;	—У 2/2); Е{—У2/2\ —У 2/2); F (— ^2/2;	^2/2).
31. J/"р! + Ps—2piPs cos(0!—02). 32. 5. 33. Mi(p; —0). 34. Mi (p; я+0).
35.	1) j(3; 7я/6), (5; —я/3) и (2; 5я/6); 2) (3; —я/6), (5; —2я/3) и (2; я/6).
36.	Mi(р; я—*0). 44. у=2х—1,5. 45. Биссектриса 1 и III координатных углов.
46. Биссектриса II и IV координатных углов.^47. х2+уа—2х—2у=0. 48. Зх2 +
+2ху+3у*—4х—4у—0. 49. р=а. 50. 6=а. 51. p=acos0. 57. Прямая у = 2х.
58. x2/a2-\-y2/b2= 1 (кривая называется эллипсом). 59. хг/аг—u2/b*= 1 (кривая
называется гиперболой). 60. Отрезок прямой АВ, где А (1; 0), В (0; 1).
61. х^+у^ =а2^5- 62. x=a(t sin /+cos t), i/=ajsln t—t cos t) (кривая назы¬
вается эвольвентой^ круга). 67.	1) х+2у—2 У5 =0; 2) у=(—1/2) х+У 5 I
3)	х/(2 УЬ)+у/Уъ = \\ 4) (\/Уь)х+(2/Уъ)у—2 = й. 68. 135°. 69. 54 кв. ед.
70. Нет. 72. УЗх+у—1=0. 73. х+у—4=0. 74. Зх—2у=0. 75. х+у—7=0.
76. х+3=0,	у+4=0.	77. х+у—5 = 0, х+у+5=0.	99. tga = 27/Il.
100. х—у=Ъ, 5х+3у—26=0, 3*+5у—26 = 0. 101. 14*+14у—45=0, 2х—2у+
+ 35 = 0. 102. Здс—у+14=0, х—5у—14=0, х+2у=0. 103. х—2=0, у—7=0.
104.	4,4. 105; 2,4.	106.	ш=4. 107.	х—у=0, х+Ьу—14=0, 5х+у—14 = 0.
108. я/6. 109. (0; 5) и (4; 3). 110. (7/8; 0) и (—27/8; 0). 111. 13ж+6у—82 = 0,
Зх+4у—23=0, S=3l,5 кв. ед. 112. Зх—2у=0, 5*+у+6=0. ИЗ. 5*+4=0.
114. 5ж+8у+11=0.	115. 5у+2=0.	116. 17*+1 \у=0.	117. *+у+1=0.
118. х=а, у — Ь. 119. jc = 1; у = х. 120. 30°. 121. <р=53°8'. 122. 5х—Зу+2 = 0.
123. УЗ кв._ед. 125. В( 1; 3), С(11; 6). 126. 1) */4+у/6=1; 2) х/4{У2 —1)+
+ У/(~6) (V2 + 1) = 1; 3) х/(-4) (У2+ |)+у/6 (^2 -1) = 1. 127. Здг-4у -
—	9=0, Зх—4у+1б=0, 4х+3у—37 = 0 или 4х+%+13 = 0. 134. 1) а=4,
Ь = —3, г = 5; 2) а — —5, Ь — 2, г — 0; уравнение определяет точку; 3) а = 2,
Ь = —7, rz = —1; уравнение не имеет геометрического смысла (мнимая окруж¬
ность). 135. tg<p = —2,4.	136.	(х+	1)8 + (у—1)2 = 5. 137. (*—3)* + (у—4)2 = 25.
138.	* = 3,2.	139.	Зх—4у+8=0,	4*—Зу+7 = 0.	140. (*—2)2+уа= 16.
142. (4; 1,8); (4; —1,8); (—4; 1,8); (—4; —1,8). 143. Ь2/а. 144. 4*+Зу+12 = 0.
145.	16*2-f 25у2=41.	146.	Точка М—вне эллипса; точка	N—иа эллипсе; точка
Р—внутри эллипса.	147.	e = sin(a/2). 148. Л1 (—5; 7).	149. Зх2-\-Зу2—2ху —
—	2х—2у—1=0. 150. *2/3+уа/4 = 1. 151. Искомая кривая—эллипс. Еслн на¬
править оси координат по сторонам прямого угла (точка А лежит иа оси Ох), то
уравнение этого эллипса 9*а+36у2 = 4аа. 155. х2/9—у2/8=1. 156. *2/3—у2/5—_1.
157. (—4; —3).	158. *2/64+у2/48 = 1.	159.	Гх2—у2	=	8/225.	160.	*	=	2/^3.
161. (—8, 0). 162. *2/4—у2/12=1. 163. 6 и 14. 166. Праван ветвь гиперболы
*1—у*/3=1. 169. у2 = 4х. 170.JVM2; 4) и М2(2; -4). 171. у*=4ху у2 = —4х.
172. у=+2У2 х. 173. у*=У2 х. 174. ГМ (0; 0), Л!,(18; —24). 175. у*=х,
tga=8/l5. 179. (3; 2). 180. (8; -6). 183. 1) 01(1; 2), р = -1/4; ж" = -(1/2)у'-,
2) 0!(1; 3); р = —1/2; х,г= — уГ\ 3) Ох (1/16; 1/8), р = -1/8; «'* = (-1/4)*';
4)	Oi (1; —2), р = 1/2; у'г=х'. 184. 1)	= 1/8; 2) х'у'= 13/9; 3) х’у' = — 5/5;
4)	х'у'—\/2.187. Окружность (х— 1/2)*+(у—1/3)!=1.188. Эллипс ж'!/25+у'*/16=1;
новое начало (У (1; —1). 189. Гипербола х'г/А—у*/9=1; новое начало О' (2; 3).
190. Точка О'(2; 1). 191, Мнимый эллипс *'*/(—1)+£/'*/(—1/4) = 1; х’=х,
294

у'=у+1. 192. Гипербола у'2—х'2 = 1; новое начало О'(3; 0). 193. Парабола
х'2 =— уновое начало 0'(1; 5/2). 194. Прямые * = 2 и х=4. 195. Мннмые
прямые. 205. Совокупность двух параллельных прямых 5х+у+1 = 0 и 5* +
г/—1=0. 203. Совокупность двух слившихся прямых х+у+1=0. 204. Сово¬
купность двух пересекающихся прямых 2х—Зу+1=0, 4х—3у—1=0.
205. х"2/30+у**/5=1.	206.	х”*/9—|^'2/36 = 1. 207. у"2 = —2х\ 210. д: = 1 /2,
у= 1/2. 211. Система противоречива (решений не имеет). 212. x = a+fc, у=а—Ь.
213. Система неопределенная (имеет бесчисленное множество решении: х остается
произвольным, а 1/ = — (3/2) д: + 1/12. 214. x—y = 2 = t. 215. x = cosa, #=sina.
216. х = 21, y — t, 2 = 2/. 222. 0. 223. 2. 224. 2 (ad—be). 225. * = 1, y = 2, 2=3.
226. x = 0, y=0, 2 = —2. 227. x = 0, y=0, 2 = 0. 228. x = t, y = 2tt 2 = -3t.
229. x= 1, t/ = —1, 2 — 0. 230. * = /, £/ = /, 2 = — /.
Глава 11
234. С (5/3; 11/3; 13/3), D( 1/3; 13/3; 17/3). 236. M (3; 1; 3). 237. Пополам.
238. M (0; 0; 17/8). 239. Л1 (16; —5; 0). 246. AM = (b + Xc)/(l + K). 248. a* = 0,
ay = 2, az =—2. 249. m2 + m+l. 251. a = 3/5; cos a =1/3, cos (S = cos у = 2/3.
252. | ЛТТЛГ 1 = 7; cos a = 2/7, cosp = — 6/7, cos у = 3/7. 253. b = —2j + 5k или
b = — 2j —5k. 254. M (—4; 4; 4^2). 255. a0 = (1/3) i — (2/3) j—(2/3) k. 268. —96.
269. arccos (17/50).	270. m= 1.	271.	547. 272. A = Fs = Fs cosq>=5 УЗ •
273. (± l/УТТ) (I—3j-|-k). 274. c = l + k или c = (l/3) (—i+4j—k). 275. 20/3 и
20/7. 276. i£) = 7i + 7j+7k. 279. Нет, так как компланарные векторы не могут
быть попарно перпендикулярными. 280. а X Ь = —171+ 7j —к. 281. ^65/2 кв. ед.
282. 4. 284. 20 куб. ед.; 4 Y510/17.
Глава 111
296. 1) (х+у—г—2)/УЗ =0; :2) — 3/(5 УТ) х—(l /уТ)у+4/(5 уТ) г —
—	7/(5 ]^2) = 0. 297. d= 13/^29; начало координат и точка М0 лежат по раз¬
ные стороны от плоскости. 298. d = 7^5/3. 299. 1) х+у+2—5 = 0, 2) 2х+2у+
+ 2— 6 = 0. 300. 7х— Ну—2—15 = 0. 301. М (5; 5; 5). 302. 4х—Зу+122—169=0.
303. 5i/+42 = 0;_5x—32 = 0; 4х+3у = 0. 304. 6х + 5у—72—27 = 0. 305. */2 +
+ 0/2+2/(± ^2 )= 1. 306. 60°. 307. х+7у+ 102 = 0. 308. *—2 = 0. 309. х+у +
+ 2—3 = 0. 310. 5х + 2у+5г—9 = 0. 311. j/*2x+y+2—5 = 0. 1312. 4x+3i/ —
—2 2—1=0.	313.	(i4|Z?2 — ^*^1) “Ь (^1^2 — ^2^1) y+(Q^2—.0|С2)2=О.
314. х—у+2 = 0. 315. arosin (5/6). 327. 5у+5г—64 = 0, x = 0(y0z); 5х+5г—
—	2 = 0, у = 0(х0г)\ 5*—5у+62 = 0, г = 0(хОу). 32& (х+1)/5 = (у—3)/2 = 2/1.
329. cos а = 6/7, cosp = 3/7, cosy = 2/7. 330. (х—0/^2 =(у+2)/1 = (2—3)/(± l).
331. (х—5)/1=(у+1)/3 = (2 + 3)/(—11). 332. М (0; 7; —2). 333. (х—3)/(—1) =
= у/5 = (г +1 )/2;	х/2 = (у - 7)/(—2) = (2 + 2)/3.	334. х = -3/ -1, у = 6/ +1,
z = t + 2. 335. 5 ^Зб/б. 336. (х—3)/3 = (у+1)/(—5) = (2 — 2)/(—2). 337. cosq> =
= 20/21. 338. х/0=у/1 =2/2. 339. (х—4)/2 = (у—1)/1 =(2+2)/(—2). 340. х/2 =
= (^—2)/(—1) = (2— 1)/0.	341. (х— \)/2 = (у—1)/(—3) = (2 —1)/2.	342. х/1 =
=(£/—2)/(—1) = (2—1)/(—I). 343. х—Ъу—2г+11=0. 344. х/(—10) = (у—3,4)/13=
= (г-5,2)/19. 348. 1) С(-1; -2; 0), г = 5; 2) С (2; -3; -1), г = 4; 3) С (0; —1;
3/4), г = 3/4; 4) С(1; 0; 0), г= 1; 5) С(0; 0; 2), г=1. 349. 1) Внутри сферы;
2) вне сферы; 3) на сфере. 350. (х—2)2 + (у—1)а+(2+2)2=9. 351. (х— 1)* +
+ 0/—1)2=16, 2 = 0. 352. С (4; 4; —2); г = 8. 356. 1) Круговой пилиидр;
2) эллиптический цилиндр; 3) гиперболический цилиндр; 4) параболический
цилиндр; 5) параболический цилиндр; 6) параболический цилиндр; 7) круговой
цилиндр; 8) ось аппликат х = 0, у = 0; 9) биссектральиые плоскости х=2 и
х = — г; 10) плоскости у~0 и у = х. 357. 1) ха+2а = 9, £/ = 3 (окружность);
2)	у2—х2 = 1, 2=1 (гипербола); 3) гг—#а = 0, х = 0 (две прямые). 358. 1) у2/Ьг+
+ г2/62—х2/аа = 0;	2) х2/а2+2а/а2—у*/Ь2 = 0;	3) xa/aa+ya/6a—22/ca=0.
295

361. 4*a+V^(2—2)2 = 0. 362. *2—y2=l, 2=1; 2+l=*2, i/= I; y2 = l—zt
jc = 1; у2—*2=1, 2 =—1. 363. 1) Гиперболический параболоид; 2) конус с вер¬
шиной в начале координат. 364. 32 = 2*2+ya.	365.	*а/9+у2/5+22/1	=	1.
366. *а+у2=1, г=1 (окружность). 367. 1) Ось ординат; 2) конус с осью Оу
и вершиной в начале координат; 3) конус с осью Ох н вершиной в начале коор¬
динат; 4) начало координат; 5) пара плоскостей, пересекающихся по оси Oz.
374. Две плоскости х — у и * = 2. 375. Круговой цнлнндр (*—2)2 + (г—2)2 = 4.
376. Прямая x=y = z. 377. Конус второго порядка х2^(у—I)2 — (г—1)2 = 0
с вершиной 5(0; 1; I). 378. Точка (0; 1; —1). 379. Однополостиый гиперболоид
с каноническим уравнением x'2-f-t/'2/4 — г'2/4=1. 380. Двуполостный гиперболоид
с каноническим уравнением *+ уг2— г'2 =—1. 381. Параболоид вращения
с каноническим уравнением x/2-f-y'2 = 4z'. 382. Гиперболический параболоид
с каноническим уравнением х'2 — г'2/9 = 2у*.
Глава IV
387. 900. 388. 12. 389. 21 280. 390.	а2Ь2. 391. * =	1, у = 2, 2 = 1,	/ = —1.
392. *=1, у= 1, 2 = 0,	/ = —2. 393.	*=1, у = 2,	2 = 3, и = 4,	w = 5.
394. *=1, у 1, 2 = 0,	/ = 2, 410. (/;	2/; 3/), где /—произвольное действи¬
тельное число. 411. (2/;	2/; /), где t — произвольное	действительное	число.
( —4 —8 —4 \
412. (0; 0).	413.	Прямая	*'cosa—у' (1 + sin а) = 0.	414.	В=1	—3 —1 —5 ).
\—7 —б	1)
/9 6 6\	/0,1	—0,2	0,7\
415.	6 9 6). 416.	0	0,1	—0,2 ). 417.	х=\, у = 2, 2=3. 418.	Ях = 2,
\6 6 9/	\0	0	 0,1 у
Х*=П; e1 = (4/Fr4Di-(5/|^4l)|, e8 = (l 1\Г2) i + (l lV*)l 419. Х,=-2,
** = 3, Я,=6; п = а(1-к), r2 = p(i-j + k), г3 = Y (i + 2j + k). 423. х"*/16+гГг/4=1.
424. *"*/25 —у"2/9= 1.425. ^* = 2^2 *\ 426. х'г+у'г/\ —г'2/3 = 1 (однополостиый
гиперболоид). 427. 2у*г + Зг"* =	6 х” (эллиптический параболоид). 434. г(Л)=0,
если Х=0; г(Л) = 2, если	X	?= 0.	435. г(Л) = 3.	436. г(Л) = 3, базисные	миноры
миноры |	11, | £ £ |, | з | J»
3 t\* I? 211 J? l|* | f 3 | и | ? 41 *	Система	совместна,	r	(A)—r (A1) = 2;
*1 = 1» *2=1/2. 442. г(Л) = 1, г(Л1) = 2. Система несовместна. 443. Система сов¬
местна, r(A)=r(A1)~2. 446. *! = 1, *2=5, *3 = 2. 447. *i=l, *2 = 2, *з = 3,
*4 = 4. 448. *i = 5, *2 = 4, *3 = 3, *4 = 1, *5 = 2. 449. Система несовместна.
450. *=1,96, у= 2,96, 2 = 5,04. 451. *=1,50, у=1,16, 2=1,40. 457. *1==1,
*а = 2, *з = 3, *4 = 4. 458. *! = «, *2 = и_|-1, *3 = и-}-2, *4 = w-f-3. 459. Система
несовместна. 460. г (А) — 3.
0 2 0
2 0 0
1 0 0
и
0 0 4
. 437. г (Л) = 2;
базисные
0 0 3
0 3 0
Глава V
463. Да. 464. Нет, так как сумма двух элементов множества не является
элементом этого множества. 465. Нет, так как сумма двух многочленов второй
степени может быть многочленом первой степени или постоянной величиной.
466. Да. 467. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) нет. 468. Да. 469. 1) Лишь в том случае,
если это нуль-вектор; 2) нет, так как в этом пространстве, кроме векторов хну,
должны быть и другие векторы вида Ал-{-цу. 470. Нет, так как в полученном
множестве векторов найдутся векторы, сумма которых равна х, например векторы
(х—у)/2 и (х+у)/2. 471. Может. Например, исключив из множества геометри¬
ческих векторов векторы, не перпендикулярные оси Ozt получим множество век¬
торов Ai + fij, образующее линейное пространство. 473. Нет, так как Х(5ь ?2; £3)
ие принадлежит этой совокупности, если к—ие целое число. 474. Нет. 475. Нет,
так как противоположные векторы расположены ие в I октанте. 488. Множество
296

всех многочленов не выше n-й степени. 501. x = ei + 2e2 + 3e3+4e4. 502. x=ei +
+	+ £з+ • •. +Сл. 504. ii = e|6, 62 = 0^1, |з = Р?2»	505. Нет,
так как имеет место равенство ei + e2+e3 = 0, которое невозможно в снлу линей¬
ной независимости базисных векторов е^, е2 и ез- 506. Может лишь в том слу¬
чае, если этим элементом является нуль-вектор. 508. Пересечением является мно¬
жество элементов х12 = (0; 0; |3; |4), уХ2 = (0; 0; т)3; Т]4), z12 = (0; 0; £3; £4),
Сумма совпадает с пространством R. 509. d(/?i)=3, rf(/?2) = 3, d(R3) = 2,
d = (RA) — 4. 510. Нет. 513. R3—множество постоянных величин, /?4—множество
многочленов вида со^ + с^+с^+сз. 514. R3—множество всех векторов, парал¬
лельных оси Ох, а /?4 = Я. 516. Множество всех четных функций образует под¬
пространство, а множество нечетных — нет, так как произведение двух нечетных
функций есть четная функция. 517. Нет, так как любой вектор Ха не принадле¬
жит этому множеству, если к—иррациональное число. 522. k = 3\ f 1 = (—1; 0; 1;
0; 0), f2 = (—1; 0; 0; 1; 0), f3 = (0; —1/2; 0; 0; 1), f-(—cx—c2; —0,5c3; cx\
c2; c3). 526. Да. 527. Нет, так как равенство | а+b |»(а + Ь) = а*а + 6-Ь не выпол¬
няется, если ab Ф 0. 528. Лишь в том случае, если Хо = 0. 529. Лишь прн а = 0.
548. Линейное преобразование А не имеет обратного, так как |Л| = 0.
u = ciei, Я* = р, v = c2e2; 2) если а = р, то Я>1 = Я2 = а, и = с1е1+с2е2. 553.	=
= Х2 = 2, u = ci (ех+е^). 554. 1) Если Ъ Ф 0, то линейное преобразование не имеет
■собственных векторов; 2) если 6 = 0, го >.1 = Я^ = а, u=c1ei+c2e2. 556. X — 2t
u =ci(ei—е3); \ = 3, v = c2 (ех—е2 + е3); А, = 6, w=c3 (ех + 2е2+е3). 558. А, = — 1,
u = cii+c2j* 560. Я.—1, u — Ci (е^ + е2 + ез + е4); Х.=—l».v = c2(ei—в2 + ез—е4).
561. Х = а + Р + у, и — с (ei+e2-fe3). 563. (х, у)—общая стоимость всех изделий,
яыпускаемых заводом. 565. Да. 566. Нет, так как не выполняются условия 2°
и 3°, если Я < 0. J567. Да. 569^ arccos (1/л). 573. Да. _576. | х| = 5. 577. х/| х | =
=(1/15) ех-|-(2 |Г2 /15) е2 + (	3 /5) ез + (8/15) е4 + (ул5 /3 ) е6. 579. х — нормиро¬
ванный вектор. 580. ср = я/3. 581. ± 0,5 (ei+e2+e3+e4). 582. X—± 1. 587. Да.
588. Да. 589. При Х=± 1. 590. Да, так как векторы Аеь Ае2 и Ае3 образуют
ортонормированный базис. 591. Да. 598. *'2/21+у'2/3= 1. 599. х'2/1б—у,2/4=1.
600. jг'*/44+У'*/4=1.
606. п = 4. 607. 6 = 0,16%. 608. 6 = 0,0005%.	609. 6	= 0,022%;	n = 4; S =
= 8765 ±0,1 м*. 617. 1) [—2.0)0(0,2]	; 2)	[0,	41; 3)	(-оо, 0)Q(0,+оо) ;
4)	х ф я(2п+1)/4, л б Z; 5) (-оо, —2] (J [2,	+ оо	У, 6)	(1/3, +оо)	; 7) [0,2) .
618. 1) [1, +оо); 2) (-оо, 0)и(0, +оо); 3)	[-4,	4); 4)	(-оо, 3];	5) [-2, 4J;
6) (0, 11 . 619. 1) Нечеткая; 2) четная; 3) нн четкая, ни нечетная; 4) четная;
5)	нн чётная, нн нечетная; 6) четная; 7) нечетная. #20. 1) 2я/5; 2) 6я; 3) я;
4)	я. 657. 1/2. 658. —1. 659.	1/6. 660. —2. 661. —sinа. 662. т/п. 663.	sec2ж*.
664. —	2/4. 665. 1/2. 666.	оо. 667. 2. 668. 3/4.	669. —1/4. 670. 1/2.	671.	3.
672. V7/4. 673. 25/9. 674. 1/2. 675. т. 676.	1,	если	х—*+оо; — 1, если
х —*— оо. 677. (о—с)/2. 678.	0. 679. 0. 680. 1п5.	681. 1п (8/7):1п (6/5).	682.	2.
683. In5. 684. 1/4. 685. 1, если х—*+0; —1, если	*—► —0. 686. +оо.	687.	2.
688. 0. 689. Не существует. 690. 5/4. 691. In а. 692. е. 693. _е3. 694. 1/6.
695. 1п (5/4). 696. 1. 697. —3. 698. 0. 699. 1/2. 700. еЧ 701. V~7. 702. еа~ь.
703. у^е. 708. у — х. 709. 2. 710. 1/2. 711. а=о(Р). 712. а ~ р. 713. а ~ Р.
714.	1/3.	715. 9/4. 716. —1/2. 717. —1/2. 718. —1/2. 719. 1. 720, 9/25.
538. ЗА—2В = Е.
544. А~1 =
Глава VI
297

721. (In 5*In4)/(In 3*ln 6). 722. 1, 6. 726. x = 2—точка скачка. 727. *=1, x = 5 —
точки разрыва II рода. 728. Разрыв И рода. 729. jc = 0—точка устранимого
разрыва. 730. х = 3—точка скачка; х = 5—точка разрыва II рода; х = 0—точка
устранимого разрыва; * = я/2+ял (n £ Z)—точки разрыва II рода. 731. *=1#
х = 2—точки устранимого разрыва. 732. х — —2, х = —3—точки разрыва II рода;
дс =—1—точка устранимого разрыва. 733. Функция непрерывна в бесконечном
промежутке (—оо, +оо) . 734. 1) Функция непрерывна; 2) имеет одну точку
разрыва II рода; 3) имеет две точки разрыва 11 рода. 735. 1) Функция непре¬
рывна; 2) имеет две точки разрыва И рода; 3) имеет четыре точки разрыва
II	рода.
Глава VII
739. у’ =— 2/х». 740. у' = 2/(3 ]/х) . 741. у' = 5cosх—3sinх. 742. у’ =»
= 5tg2x. 743. у’ = —	1)2.	744. у’ = 2**.2х-In2.	771. у' = —21/х*.
772.у'=$/х.773.у'=х1угх(1—ху.	774.	у' = — хге~*. 775. у' = 9хг\пх.
776. у' = (8/9)* In (8/9). 777. у' =х2 cos х. 778. у> =6 (х+ 1)/(2х8+Зх). 779. у' =
=—Зх/У 1 — Зхг. 780. y'=arccos(x/2). 781. у' = 1/(2 Ух ) arcsln Ух. 782. у' =
= — cos х. 783. у' = — cos2 (ж/3) sin (х/3).	784= cosec^2x-f-1)/2.	785. у* =
= l/cosx. 786. у'=2 sec* 2*. 787. у7 = 1 /(2 ^7) sin2 Ух cos* Ух. 788. у’ =
= 6х/уг9х4+1.	789. у' = ]^а*—*2.	790. у' = —2six*xlYigx{4tg х+1).
791. y'=ctg3 (Jt/2). 792. у'= 1/(*]/■ 4х2—1). 793. / = \/У а2—х2. 794. у' =
= 1/(2 У\—ж2). 796. у/ = 6х2/(1+*«).	796. у' = 6sgnx/(x*+9). 797.	=
=—2е~* sln%-* 798. (/'=—1/(2	1—х2). 799. г/'=—6/[(х— 1) (х—2) (х—3) (х—4)].
800. у1 =3esln* ^sln 6xsln2 Зх. 801. у^ = —24Inslnx-ctgx/(41n4sinx—9).
802. y' = secx. 803. у' = cosec ж. 804. у'=eVTx' 80S. у'= 10/[лг (лг5+2)]. 806. (/'=
= 2 sin */(1 + cos х)2. 807. у’ = cos х/(1 -f- sin2 х).	808. у' = cosec2 (х/2) ctg (х/2).
809. у' = (2/х) cos2 (In л:). 810. у' = Ьх*\п (д^-)-3). 811. у' = —х/(|х| ^5—х2 ).
812. у' = |/'х2+2ах+р.	813.	i/	=0.	814.	у'	=	(тж+л)/|/гх2+2адс+р.
815. у' = 1/(1—тх2)3^2.	816. y'=4xcos*x. 817. у’ = —2cosec3x. 818. у'=
= cos х In sin х ^ y'=9xsin2 х cos х. 820. у'=2/(х У1 + х2). 821. у' = 2е* sln2e*.
(1 + 1п sin ху
822. у'=2/(х2+2х+2)2. 823. у' = 1п3х. 824. у'= (In sin Ух)/(2 Ух cos2 Ух).
825. у' =2 (1 + 1п х)/(хх+х~х). 826. у'= l/sln5x. 827. у' = cos4 x/sln х. 828. у' =
= 1/(3 sin х+4 cos х+5).	829.	у1	=	cos	* tg3 sin х.	830. i/' = 1/[х2 (х— 1)].
831. у' = 1/[*(*+1)(*+2)]. 832. у’ = 4х tg2 2х. 833. у'=—Ъ>*/У 1—е2*. 834. у'=
= (In In In х)/(х In х). 835. у'=2е2х (1 — 2х)/(х+е2*)2. 836. у’=2 (In х+ 1)/(х2 ln2x—1).
837. у'=3/(1+х2).	838. у' =(е2 sin * cos x):sln (е2 ,la х/2 ).	839. у' ~а sin 2х.
840. у' = 3sec2xsec4tgx. 841. у' = (—1/х2) arctg х. 842. у' = (—5/х®) 1п х.
843. у' = ( 1/V2х-\-1) In (2х+1).	844.	y'=secxtgxlnsecx.	845.	у'	=
=_2е3х/У 1 —е1х. 846. y' = 3-2cosa*-3co,J(.sln3x-ln2. 847. у' = (е*-26*/34*)Х
X In (32е/81). 848. у' = 0. 849. у' = х cos 2х. 850. у' = 2е*2х (х4+х2+ 1)/(х2 -+1)4.
851. у’=х cosx/sln2x. 852. у' = (l/У" x)tg2)^ х. 853. у' = х2/(х*—а4). 854. у' =
= —4х/Ух4-!" 1.	855.	y'=e°>5t*,J(slnxtg2x.	856.	у'	=	8х3/(1+хв).	867.	у'=
= хе**(2х! 1пх+21пх+1). 8б8.у'=0,5 1п2 У2*/(\—2х). 859. у'= — 1п2/(2х1п2х).
860. {/^(/nx+rt)/]/’— х*+2ах+р. 861. у'=(2/1п 2) ctg х. 862. у'=1/(У х2+91п а).
j . 864. у' =8 (х— 1)3/(х+1)®. 865. у' =
=	~ .	I	Ш2Н	-г	-——L-V 866. у' = —1/(| х \У\ + х2).
(х— 1)2|^2х+1 \	Т*+1	*—1	2х+1 /
867. у' = cos (л 1п х).	868. y' = (xtgx-\- In cos х) sec2 (х tg jc+In cos х) ж sec3 x.
869. y’ = — *sin д:*1п (xcosx—sin*). 870. */'= 3cos3(xe*—871. y'*=
 	2(1 — 2x2)/(| 1—2x2| V^T^x2).	872, / = {_]	J	873.	y'=
298
„„„	.	,	/	in x , arcsln x
863. У =x"c,ln x I	-j
*	V^i_x2^	*
2*Гх-1-П3	/.	.	3	2

(	/'(*)	при	f (x) > О,	Г 3 при X > 5/3,	, f в*
= \-Г W при /(ж) < 0. 874> y -\_3 при x < 5/3. 875> y
при x > 0,
“* при x < 0.
(—2	при	x	< 0f
876.	#' = <	0	при	0	< х <	2,	877.	y' = 2xe*slnx.	878.	у' = (х cos х):
I	2	при	х	> 2.
5|/* (х sin x+cos	*)a + 1. 879.	y'=:xx+1	In x (In x— l)/e*.	880. i/' = (ctg	x*lncos x +
+ tgx.lnstax)/ln»cosx. 881. y'=n*»-V(2 Уx2» + l). 882. y' = -(log, e)2/x.
883. y' =0. 884. y' = 1/2. 885. y'=0. 886. =jc* (1 + In ж). 887. у' = х-**2*-жаХ
ХОпг+г*"1—1 — In*).	888. у’ = 2xlnx~1 Inx. 889. tf=—x* 1 -У
(л:—1)*»/ 5ж—1
X [7+2 (ж + i)~I~T~5l^r] • 893‘ (arcsec x)'=	"O’ (arocosec ж)' =
= —l!(x VJC2— i). 894. 4 cosec8 x. 898. y'=(*a—y)/(x—ya). 899. y'=—(Ax +
4- By+D)/(Bx+Cy+E).	900. y' = x/(3y).	901.	y'	= y(y— x\ny)/x (x—у1пж).
902. i/'=—(уcosx-f sin y)/(xcosy+sinx). 903. у'=—(е*—у»2хУ *\п2)/(еУ—х>2хУ *\n2)
904. у' = 2x. 905. у' = у/х. 906. у' ~ — у/(2х 1п х). 907. у* = — (2х sin у—у3 sin я— 2)
:(х*cosy+3y*cos*—3). 909. —ctg/. 910. е«.	911. 2Кав_Г“. 912. cth t
914. а=я/4;	у=ж+1.	917. у—Уо = (—Уо/р) (*—*#)•	918. *—y+1 =0
919. *+y— 1=0; x—y=0. 920. ж—y+2—я/2=0; ж+у—Я/2=0. 921. Зж—у—4=0
х+Зу—28=0. 923. п/4. 924. 3*—8у+Ю—6 In 2=0; 32*+ 12у—15—64 In 2=0
925. х ch <о—1=0. 926. tg q> = 2/3.	927. я/4. 928. я/4; Зя/4.	929. tg<p1 = 3
tg Ф*=—3. 930. я/2. 933. 1,76м/с. 934. ж< = а. 939. я—arotg (1/3). 940. tgm = 9
если ф—»-оо, тосо—т/2. 941. я/2+ф. 942. 0. 943. arctg (1/т). 944. я—arotg (125/64)
950. у"=—44/(ж+5)3.	951.	у"=1пх.	952.	у”	=	2^	1—Xs.	953. y’ = xsln3x
954.	у»=	1/^]?+7*.	955.	S=-^cosec*y.	956. -g«-4УТ^Т*
959. —1/3 м/с*. 960. у'" = 1 /(ж+1)4. 961. у"'=(21п ж—3)/ж». 962. у= 105^2ж+3
963. y'"=4sh2*.	964.	^>=3-5-7-’’(2П+ 1 • К*-	965.	у<">=
2»	г	*	(2ж+1)л+1
966. у<»> = —1,5-2».cos(2x+«n/2). 967. у»»>=[2*+(—1)"-2-*]1п»2. 968. ji<n> =
= П!	•	«69.	970. у*"* = cos (ж+яя/2). 971.	g =
= (—l)".i-.	972.	ylU = ylV = ..,	= 0. 982.	dy= У 49— x2dx.	983. dy—-^-%r.
X	X	ob
984. dy = th (x/2) dx. 985. dy— ^|_g4* • *86. dy= In xdx, d*y=.	, (Py=—~T" •
987. d*y=	flag.	Дy=	Af ■ ., dy= —989. Ду=0, 0401;
(x*+4)3/*	ж(ж+Дж)	ж2
dy = 0,04.	990.	34,04 м».	991.	я/4+1/13.	992. 0,811.	993.	1,035.	994.	0,078.
J	Ж—Жф ■ (Х—Х0)г	(Ж— Жр)8
ж* 4	*0
R»	(**<£>	*)• I009- M (УЗ-, 0). 1010. 0,754. 1011. 4,946. 1012. 1,395.
1013.	2,002.	1014. 0,567. 1024. 3/5. 1025. 2.	1026. 2/3.	1027. 1/3. 1028. 0,18.
1029.	18.	1030. 1. 1031. 0.	1032. 1/2. 1033.	oo. 1034.	0.	1035. 1/я.	1036. 1.
1037.	0. 1038. —1/2.	1039.	(p—q)/2.	1040.	2/3. 1041.	1.	1042. e~*.	1043. 2.
1044.	в1/*; 1055. Возрастает	на (—оо, —1) и	на (1, +оо),	убывает на	(—1, 1) .
1056. Убывает на (—оо, —1)', возрастает на (—1, +оо) . 1057. Возрастает на
(—оо, 1), убывает на (1, + оо). 1058. Убывает на (— оо, — 1) и на (1, +оо), воз¬
растает на (-1, 1).	1059. ymi„=y(0) = 0, Утах = */ (2 ^2/49) = (12/49) У4/7.
>060. утах = У (П/4)= 13/4.1061. ут\л=у (0) = 0.1062. ymin=у (0) = 1. 1063. ymin=
995. 1,9938.	1007.	5	=	5/2.	1008.	*4—^ JV- + Rt, где

= у(ё) = е. 1064. ymax=y(l) = l/yr e,ymin=y(—l) =—\/}r~e. 1065. ymin=p(l)=0.
*0вв. ymin = y(3) = 0, Утах = У (2) = 3.	1067. 4/mln = !/(l) = —1-	*<>68. утп =
= (л— 12-\-бУ 3)/12, Ут1п=(5я—12—бУ 3)/l2. 1060. утах=е3/1. Ут1п = е“3/2-
1070. Уяаии = 2, Унаиб = 66.	1071. (0; 4) и (0; —4).	1072.	25 км; 8 ч 15 мин.
1073. 5|/ 2, ЗУ~~2. 1074. 1/4, 1/4. 1075. V = 2nP\r 3/27. 1076. V= (5/3)^5/(6я).
1077. На расстоянии 9 км от А. 1078. 125 м. 1070. а!У 2.	1083. Выпукла на
(—оо, —2), вогнута иа (—2, +оо). 1084. (4; 20). 1085. (1; 0). 1086. Точек пере¬
гиба иет. 1001. х=0; у= 2х. 1002. * = 0; у=—Зх. 1003. у = х—6. 1094. у =
=0,5*+ян у = 0,5*.	1065. г/=0,5ях+1 н у=— 0,5я*+1.	1098. D (у) — (—оо,
-foo); функция четная и периодическая с периодом я. Возрастает на (пк,,
п/2+л*), убывает на ; (n/2+nk, п+пк); ут\п = у (лк) = 0, утах'-=У(я/2+лк)=и
k£Z. Кривая вогнута на (—л/4 + я*, п!4+пк) и выпукла на (ji/4 + jw, Зя/4+nk);
точки перегиба (—я/4 + Jifc; 1/2) н (я/4 + яЛ; 1/2), k£Z. 1090. D(y) = {—со, + оо),
функция нечетная. Убывает на (—оо, —1) и на (1, + оо),, возрастает на (—1, 1);
(—О = —2. Ушах = 0(0 = 2- Кривая вогнута иа (-оо, 0) и выпукла на
(О, + «>); точка перегиба (0; 0). 1100. D(y)—( 1, + оо); асимптоты *=1, у = 0.
Убывает во всей области определения. Кривая всюду вогнута. Экстремумов и
точек перегиба нет. 1101. D(y)—(— оо, 0)(J(1, +00); асимптоты * = 0, *=1,
1/ = 0. Возрастает на (— оо, 0), убывает на (1, +оо). Кривая всюду вогнута.
Экстремумов и точек перегиба нет. 1102. D(y)= (— оо, — 2)|J(—2, 2)(J(2, + 00);
функция иечетиая; асимптоты *=—2, * = 2, у=х. Возрастает на (—оо^ —2Y 3)
и иа (2Y 3, +<х>\ убывает на (— 2^3, —2),_(-2, 2). и на (2, 2Y 3); утin =
= £/ (2 Y~3)=z3Y 3, у max = У (— 2	"5) = — 3	3. Кривая выпукла на _(——2)
и на (0, 2), вогнута на (—2, 0) и на (2, +‘оо); точка перегиба (0; 0). ПОЗ. D (*/)=
«(0, +оо); асимптота £/ = 0. Возрастает на (0, е2), убывает иа (*2, +оо); Утах =
= у (е2) = 2/е. Кривая выпукла на (0, е^) и вогнута иа (е +оо); точка пере¬
гиба	8е“4/Гз/3). 1104. D(y) = _(— 00, +00). Убывает иа (—оо, 1/4), возрас¬
тает иа (1/4, +00);; ^ntln = ^(I/4)——27/16. Кривая вогнута на а>, 1/2) н на
(1, + оо), выпукла на (1/2, 1); точки перегиба (1/2; —1) и (1; 0). 1105. D(y) =
«[0, +00). _ Убывает иа (0,1/3), возрастает на (1/3, +00); £/min = ^ (1/3) =
= —2/(3	З). Кривая всюду вогнута. 1106. £>(*/)=(— 00, +00); асимптота у=х.
Убывает на (—оо, 0), возрастает иа (0, +оо); ут\п=у (0) = 1. Кривая всюду
вогнута. 1107. D (у) = (— оо,. +оо); функция нечетная; асимптоты у =—1 и у=1.
Возрастает на (—оо, +оо). Кривая вогнута на (—оо, 0) и выпукла на (0, +оо);
точка перегиба (0; 0). ПОв. D(y) = \—00, +00), асимптота у = 0. Возрастает^ на
(-00, 1), убывает иа (1, +оо); Утах=У 0)=е- Кривая вогнута иа (—00, 1-у/2/2)
и на (1 + )^2/2, +оо), выпукла на (1 — Y 2/2, 1 -\~Y 2/2); точки перегиба
(1+ Y 2/2; Y*) и (1 —У'* 2/2; Y~*)- П09. Д (//) = (~°°> 2)U& + °°>; асимп¬
тоты х = 2 и # = *+4. Возрастает иа (— оо, 2) и на (6, +оо), убывает иа (2, 6);
Ут'т = У (6) — 27/2. Кривая выпукла на (-оо, 0), вогнута иа (0,2) и на (2, +00);
точка перегиба (0; 0). 1114. # = 25/3. 1115. # = (4а/3) cos (0/2). 1116. k~\/(e Y 2).
1117. (2; 2). 1118. Окружность £2 + т)2=1. 1121. Первый. 1122. Первый. 1123. Тре¬
тий. 1124. Первый. 1125. Третий. 1126. Второй. 1128. Окружность *2 + г2 = 1,
у= 1. 1120. Прямая, проходящая через начало координат и образующая с осями
координат равные углы. ИЗО. Прямая, параллельная оси Ог и проходящая через
точку (1; 1; 0).	1131. Равнобочная гипербола, лежащая в плоскости хОг.
1134. (i + k)sh2/ + jch2/. 1135. 0. 1136. 3 (/2—2/6) i + (5/* — 2t) j. 1138. */(—1) =
= (У—1)/0== (г— nVZft/V з, 2x—2zyrl+3n = 0.	1130.	MjJO-, 0; —1) и
Mt (2/3; —8/9; —1/27). 1140. 70°23'. 1141. x/l = (у—1)/0= (г— Y 2/2)/l, x+z —
—V~ 2/2=0. 1142. (x— 1)/2=(jH-1)/0=(z— 1)/1. 1143. (x— l)/2=(y— 1)/3=(г—1)/4.
1144. arccos (14/(3 ^29)). 1146. ds= У a1 + b* dt. 1147. h = 2^3 n. 1148. v =
Hr	d2r
= -tff—— 31[sin <+3Jcos/ + 4k, w=^=—31 cos t—3jsin /.	1140. v|(_i = l +
+ 2j + 3k, w|<=.! = 2j + 6k.	1151. x= (5/13) I — (12/13) J sin/ +(12/13) k cos f.
300

1152. т = — (1/3) j + (2 V" 2/3) к. 1161. (2/3)I + (2/3)J + (l/3)k.	1162. (1/3)1 —
—	(2/3) j +(2/3) к. 1163. (—2/3) I + (1 /3) J + (2/3) k. 1164. 2/27.	1165.	2/27.
1166. X—2K+2Z—2=0.	1167.	2X—Y—2Z—7 = 0. 1168. 2X + 2K+Z—19=0.
Глава VIII
1174. x2+y2^i 1^часть плоскости вне единичного круга с центром в начале
координат. 1175. Часть плоскости внутри круга х2+у9 < 1. 1176. Полоса между
параллельными прямыми х+у<; 1 и х+у^г—1. 1177. Концентрические кольца
п/2^х2~\-у2^0> 5я/25ах2+#2^Зя/2, .... 1178. у > х—полуплоскость, лежа¬
щая выше биссектрисы у = х. 1179. Полуплоскость х^О. 1180. Шар x2+y2+z2«<
^ а2.1181. Часть пространства вие конуса я2-}-у2—г2 = 0. 1182. Часть пространства
внутри шара x2-\-y2-\-z2 < 1, за исключением начала координат. 1183. Часть про¬
странства над плоскостью х+у+2 = 0, включая эту плоскость. 1184. Семейство
параллельных прямых 2х+у=С. 1185. Семейство прямых у=Сх. Пвб^Семейство
прямых у = е2Сх, или у = Сгх (С > 0). 1187. Семейство парабол у=С}/~ х. 1188. Се¬
мейство равнобочных гипербол ху=С (при С Ф 0); совокупность координатных
осей Ох и Оу (при С = 0). 1189. Семейство плоскостей х-\-у-{-Зг=С. 1190. Семей¬
ство сфер х2+у* + 22 = С. 1191. Семейство двуполостных гиперболоидов ж2—у2 —
—	г2 = С (при С > 0); семейство одиополостиых гиперболоидов х2—у2—г2 = С
(при С < 0); конус х2—у2—г2 = 0 (при С = 0). 1197.	=2х—Зу—4,	—
-Зх+2.	1198. ^.=2psln‘0, ^=4p*sln30cos0.	1199.	| =
=	«200.	^-eW+v'HWy+y*),	^=е*‘'1*'+»,>(х°+3ху>).
1201.	^=2^1+6УуТ\	1202. Jf-le*/»;	=
дх Y х дУ	у д* у г	дх у	ду
=	.203 —	2ХУ	—	—
у2е -Гу2е	• дг	уе	•	1#>а- дх—	(1+*2)! + у* • ду-
	1+Х*		1204.	|^=6**(*8+yV(JC’+i',>’.	4^=4y(x*+y*)e<*,+W.
(1+xV+y* °	•	дх * V*T»'C * ду'
&и /..	^ dw у _v, rt , _ч ди
т..	.a -3je1 + 2i/1— хи ^ it	..\	2u*—xu	^
1205*	^=(*“2)(*—2^+z)> -g^=(*—y)(—y+2z—x).
1206. g^=(6x—//)g3jft+2^1“xi'f Ji=(4y—x)e3**+2y*~xy. 1207. ^=xzeWs\n -=£- +
+ I еда cos i. 1209. p. 1214. dz=2<i$±i^- 1215.	.
X	X	r	x2+y2	xa	sin	(2y/x)
1216. 2(xdx+ydy)cos(x2+yi). 1217. dz = x« (^JLdx+ln xdy) .	1218. du =
=	*	(dx-\	f dy ■	^	.	1219.	<fe=e*	[(*cosy—stay)<fy+ (stay +
\fx*+y*\	^x+)Гх*+у*)
+ cos у-fx sin y) dx].	1220.	dz=ex+y	{[	(x	-f	1)	cos	y-\-y	(sin	x+cos	x)]	dx	+
+ [*(cosj,-stay)+(H-l)sta*]dy}. 1221. dz=^j+2s^yy^4.	1222. du =
= e*yz(yzdx+xzdy+xydz). 1223. 1,08. 1224. —0,03. 1225. 1,013. 1226. 3,037.
1227. 1,05. 1232. 6(*+{/). 1233. —sin(x+y). 1234. -Acos(2x+2(/)/staa(2x+2y).
1235. 0. 1236. х(х-\-2уЩх-\-ц)г. 1237. у (2—у2) cos ху—xy1sin xy. 1238. stay X
Xcos(x-fcosу). 1239. *xi~}Lp[(dy)*—(dx)2]—	1240.—cos(x+y)(<te+dy)2.
1241. аеУ [еУ sin (ах+еУ)—cos (ах+еУ)]. 1242. 4.	1244. 2 [(dx)i-dxdy-\-(dy)t].
1249. exy[(ydx-\-xdy)*+2dxdy]. 1250. —^^±^^*.1251. —^(ydx—xdy)(dx)\
301

1252. 6dxdydz. 1253.	(4y	dx—3x dy)s (dy)9. 1254. e*+v (dx+dy)\ 1257. 4/sin 2x.
1258. 2дс(Здс+2)/(дс*+Злс+1)*.	1259.	-~=2xcosx, -^-=*(2cos*—xsinx).
12Я0.0. Ю1. *IMS. (&)„-£.
1269.	1270.	1271' lgrad“l« = l/^; cosa = —x0/re,
cosP = — y»/r0, cosv = —20/r0, где r0 = VXo+yo+z*. 1272. |gradu|д|=3,
cos a= 1/3, cosB=cos_v==2/3. 1273« 1/3. 1278. —xjy. 1279. yfx. 1280. y' = —y\x%
tfz=2ylx*. 1281. (у У2ху—x*)l(2y% — x Y'2xy). 1282. y/x. 1283. (a2—b2)/(2b*—a2).
1284. y/(2*).	1285,	(*-fy)/(*—y). 1286. 1/(2^ In 2).	1287.	y'	=	—	1,	^	=	0.
12Й8	^ fo- 1	I289	дг-	Х*-У*	д2=	У%~Хг	.
дх ду x+y-f-г—1 *	’	дх	г*—ху’	ду г*—ху
dx + (z/y)dy tant xcosy+slnx ,лло (y-f z)dx+(x+z)dy
1290’	1+In (2/у) •	1Ш*	ШП	•	12И*	~	Х + У
1293. —у—г—£~х. 1294. 1. 1297. 2х+2у—г=1, (х— 1 )/2=(у—1)/2=(г—3)/(—1).
1298. 2х+2у—Зг+1 =0, (х—2)/2=(у—2)/2=(г—3)/(—3). 1299. г—2ж+2=0,
(ж— 1)/2=у/0=г/(—1).	1300. ж—у—2z 4-1=0, (х—я/4)/1 = (у—я/4)/(—I) =
= (г—1/2)/(—2). 1301. x+4(/+6z ± 21=0. 1303. (4/3; 4/3; 1/3) и (—4/3; —4/3;
-1/3). 1307. zmax= 1/64. 1308. zmin = -125. 1309. гтах=4. 1310. гт1п=0.
1311. гтлх=аУГ 3/9 при х = у = 2а/3. 1315. zmin = 144/25 в точке (36/25; 48/25).
1316. 2цанм=	16/3, 2нан($=16. 1317. 2нани = 5, Z]iai!5=ll. 1318. _2каям=	1/2.
*ниб= 	1319. zHani=l, гнан6 = 4.	1320.	^наим—	2(]/"2-f-1) ss 4,8,
^н«б=2(1^*2 О — М* 1321. zHaHi, =0, гНанб~3 У 3/2. 1322. 2нави= 3 при
X — у= Зп/2, 2цаиб~^"М^ 3/2 При Х = у = 5п/6. 1323. 2навм = —1/8, ?наиб = 1.
1324. Равносторонний. 1325. Равносторонний. 1326, Квадрат; РНавм = 4
1327. Куб;
^тах —
(S/6) у S/6.
Глава IX
1337. (2/5) х* У1с+С. 1338.	(5/4)\/х*+С.	1339.	2arcsinх—х+С.
1340. arctg х+х—&/3+С.	1341.	e3*-3*/(3+ln3)-f	С. 1342. tgx—x+C.
1343. chjc+«>s*+C. 1344. х*/2—2х+1п |х|-fC. 1345. 4tgx—9ctgx—х+С.
1346.	(1/2) sin (дс^+С.	1347. In | In x|+C.	1348.	3	(<w*4-*)4/,/(8e)	+	C.
1349.	(2/3) sin x ^sln	x-f-C.	1350.	—(1/6) cos (a + bx) + C.	1351. sin (sin x) -f- C.
1368.	eV2*_l-f-C.	1369.	—(1/32) (\—2x*)*+C.	1370.	(1/3)cos(2—3x)-f C.
1371.	(l/Ю) sh (5x2-f3)-f-C.	1372.	2arctg У x+C. 1373.	(1/5) (x* + l)6/2 + C.
1374.	(1/2) In | Xs— 1	l + C.	1375.	<1/2) lnj_xa+ Уx*-l | + C. 1376. (—1/4)X
Xarctg(0,5cos*2*)+C. 1377.	(l/У 7) ln|(|/~ x— У 7)/(У х+У 7)|-f-C.
1378. 2arcsln (exlilA)+C. 1379. In | x+ У2+Х* |+arcsin (х/У 2) + С.
1380. (—2/9) У2- З.с>+С. 1381. —5 У3—х2+3 arcsin (х/У 3)+С. 1382. (1/4)Х
Xarctg (х—3)J4+C. 1383. 2УЗх+Ъ+У51п\(УЗх+5— У5)/(УЗх+5+^5)|+С.
1384. 1/(2 У10)arctg (хгУ2/Ъ) + С. 1392. (х2/4) (21пх—1) + С. 1393. Jtaroslnx-b
+ У\—хг+С. 1394. (х*/3) arctg х—(1/6) ха + (1/6) In (х*+1) + С. 1395. хе* + С*
1396.	— x*cosx-f2xslnx-(-2cosx+C. 1397.	(1/2)ех* (х*—2х*+2) + С.
1398. 0,5 (х У x'+X+Wn! х+У хг+А.|)+С. 1399. (x-f 1)а sin х+2 (х+1) cos х+С.
1400. (е**/5) (sin x+2_cos х)+С. 1401. (х/2) (sin In х—coslnx)+C. 1402. —2Ухх
Хсо s У х+2 sin У х+С. 1410. — 1/[3(х— 1)31+С. 1411. — 1Д4 (2*+3)®]+С.
1412. (1/3)arctg (х—3)/3+С. 1413. 1/(3	2) arctg (*» + 1)/у 2+С. 1414. (1/2)Х
Xln (х*—4х+7)+С.	1415.	(5/2)	In (л2+ Юх+29)—11 arctg (х+5)/2+С.
1416.	(1/10) In (5ха+2х+1)+ (2/5) arctg (5х+1)/2+С.	1417. х/[8 (ха + 2)»] +
+3х/[32 (х*+1)]+(3 У 2/64) arctg (х/У2) + С. 1418.	(х— 7)/[8 (х* + 2х+ 5)] +
+(1/16) arotg (х+ 1)/2+С.	1428.	—(2/3) In | ж | + (5/3) 1п|х—3| + С. 1429.

-(1 /2) In (x*+ x+l)+3 In | x+2 |+(l/|/'3)arctg (2x+l)/^3+C. 1430. l/[2 (x-l)*]+
+21n|x-l|+3ln|x-2|+C.	1431. (1/12) In | ж—2)—(1/24) In (x* + 2x+4)—
—l/(4V"3)arctg(jt+l)/Kr3+C. 1432. (31/108) In |x—3|+ (29/108) ln|x+3| +
+ (2/9) In (xa+9) — (1/54) arotg (x/3) + C. 1433. (1/4) In | x/(x-2) | — (x—1)/[2jc (x —
—	2)1 +C.	1434. (1/16) [In (x2+ l)/(x*+9)] + (1/8) arctg x—(1/24) arctg (x/3) + C.
1435.	(1 /4) In [(x2+4)/(x* + 2x+5)] + (l/8) arctg (ж/2)+ (7/32) arotg (x+ l)/2+C.
1436.	(1/2)	[arctg	(x—1) +arotg (x+l)] + C. 1437. Jc + (9/2) In | x—3I —(l/2)x
Xln | x—1 l + C. 1438. x*/2+7x+(75/2) In | x—51 —(1/2) In J x— 1 | + C. 1439. x +
+ (1/2) In | (x—2)/(x+2) |—arctg (x/2) + C. 1440. Зх + ln | x | + 2arctg x+C.
1442.	(1/32) In I ex — 2119 (e* + 2)7 + (3/16) In (e** + 4) — (3/16) arctg (ex/2)—xt+C.
1443.	(5/6) In |cx — 11 + (16/5)In (2ex + 1)+(11 /20) ln(e^ + l) — (7/5)arctgef—3x+C.
1453. _ yrT^2x—2_J/1— 2x—2 In | \/l-2x—1| + C. 1454. (6/5)*/x8—2Ух+
+ бу/J—6 arotg	x+C. 1455. In | x—0,5+1/"x2—x—11 + C. 1456. arcsln(x + 1) :
:3+C. 1457. —5У—х2+4х+5+|3 arcsln(x—2)/3+C. 1468. ЗУx2+x+2+0,5ln|x+
+ 0,5+у"х2+х+2| + С.	1459.	У x/(x+2)+ C.	1460.	—arcsinf(x+1):
:(xJ^3)] + C. 1461. In | x+ У"х*+Т | + ^ 2 In [ l	<**+1|+C.
1462.	—	(x/2+5)	V—x*+4x+ 13arosln (x—2)/2+C.	1466.	3/(^+j) +
+ \n[xl(V x+l)3]+C.	1467.	4/|^ж+1 f(l/5)(^l+l)*-(2/3)(]^l+i) +
+ t] + C. 1468. (1/6) In [(/*+/ + l)!(t*-2t+l)]-(l/y 3) arctg(2/+ \)/\Г 3+C,
где t=l/l + x*lx. 1469.	(1/3) In [(+ж»—1)*/| x3 |]+ C- 1470.	(1/10)X
x(5x4/3 + 3)3'* + C. 1471. — (2—*У/э/(4х2)+С. 1489. (1/5) ln|5tg(x/2)+3|+C.
1490. —2/[tg (jc/2)— »] + C. 1491. — (1/17)*+(1/4) In |sin x| — (1/68) In|sinx +
+ 4cosx| + C. 1492. In | slnx |— sin x+C. 1493.	—(2/5) In (I—cosx) +
+ (l/5)ln(cos2x+2cosx+2)—(6/5) arotg (1 + cos x)+ C. 1494. (l^cos3* —
—	cosx+C. 1495. ln|slnx|—sin2 x+(l/4) sln4x + C. 1496. (1 /8) x—(1/8) sin x + C.
1497. (3/8) x+ (1/4) sin 2x + (l/32)sln4x+C. 1498. (2/3) tg3 (x/2)—2tg(x/2) + jc+C.
1499. (—1/6) ctg2 3x—(1/3) In | sin 3x l + C. 1500. tgx + (2/3) tg3x + (l/5) tg®x + C.
1501.	—(1/3) ctg3x+C. 1502.	(1/2) tg x secx + (l/2) In I tg (х/2+я/4) | + C.
1503. —(1/2) ctg x cosec x—(1/2) In J tg (x/2) | + C. 1504. (1/4) sin 2x—(1/8) sin 4x+C.
1505. (3/5) sin (5x/6)+3 sin (x/6) + C. 1509. х/У 1—x* + C. 1510. x/(a2|/aa+x*)+C.
1511. (1/2) (arocos (1/x) + Уx*— l/x2) + C. 1512. — (1/6) cos 3x+(1/20) cos 5x +
+ (l/4)cosx+C. 1513. —2(2x2+6x+13)e-x/2 + C. 1514. — (2 Inx+l)/(4x*)+C.
1515. xarctg x—(3/2) (arotg x)2—(l/2)ln(l+x*)+C. 1516. (x*—l)sin2x+xcos2x+C,
1517. (1 /4)x*(21n2x —2lnx+ 1)+C. 1518.x+ln|e*—3|+C. 1519. (x+l)arctgj/x—
—VX+C. 1520. (2/1n 2)(У2X—1 —arotg У 2* — 1 )+C. 1521. (1/4) ln| (/+1)/(/—1) |—
—	(1/2) arctg / + С. где	<«=l+x~4.	1522.	У 2	[0,5 (x—1) ^З + г*—x* +
+2 arcs in (x—l)/2]+C.	1523. sin e*—e* cos e*+C.	1524.	(l/y 5)ln|tgx +
+ ^tg*jr+0,4 l+C. 1525. 0,5cos*x(l—21ncosx)+C. 1526. 0,5sln(x*+4x+l)+C.
1527. — 0,5(x/sln2x+ctgx)+C. 1528.	2(x—2) У\ + e*—21п[(УТ+ё* —
—	|)/(>^j1529. xln(x*+x) + ln|x+l I—x+C. 1530. —1/x —
— arotg x+C. 1531.	(x/2)	(cos lnx+sln In x)+C.	1532.	12 {уУ x-j-
4-\n[C^x—lYl^x\\+C.	1533.	еадс/(а*+Р*)]	(aslnftx—P cos Px) +C.
1534. [eajc/(a* + P*)] (Bsln px+acosPx)+C. 1535. [ 1 /(a4>)] arctg [(Ь/а) tgx] +C.
1536. tg*—ctg x+C.’ 1537. 0,5 [arctg x+x/(l+х*)]+C.
Глава X
1547. 1/2^1548. e—1. 1549. 0 </<4/27._1550. я/2</<ея/2. 1551. 0</<l.
1552. 464 У 2/15.	1553.	я/8.	1554. е—У е.	1555.	ее—е.	1556. (еп/2~ 1)/2.
1557. (In 3—1)/2.	1558.	In 1,5.	1559.0. 1560.	2/5.	1561.	я/2.	1562. In (4/3).
1563.	(en/t—l)/2.	1564.	0.	1565. я/2—1.	1572.	я2/8.	1573.	я/4.
1574 . 256/15.	1575.	я,	1576.	+ оо. 1577. 1/4.	1578.	я/6,	1585.	Расходится.
303

1586. Сходится. 1587. Расходится. 1688. Сходится. 1589. Расходится. 1590. Схо¬
дится. 1591. Расходится. 1596. 4,5 (кв. ед.) 1597.	18 (кв. ед^. 1598. 2/15
(кв. ед.). 1599. (41/2) arcsin (9/41) + 201п 0,8 (кв. ед.).	1600. У 2—1 (кв. ед.).
1601.	8 (кв. ед.).	1602. (9я/4) — ^ 2 + 4 ^2 to 2—(9/2) arcsin (1/3) (кв. ед.).
1603. 169я (кв. ед.).	1604. (3/8) яд2. 1605. 8 V 3/3 (кв. ед.).	1£06.	(3/2) ла2.
1607.	(Зя—8)/32 (кв. ед.).	1608. да2/12.	1609.	я/3 + У 3/2 (кв. ед.).
1613.	(1/2) 1п 3.	1614.	(20/9)	У 5/3.	1615.	0,5	[У 2 + ln (l + У 2)].
1616. (1/2) In3.	1617. sh 1*1,17.	1618.12.	1619. У 2(я—1).	1620._5я.
1621.72.	1622. [(я2 + 4) Уя2 + 4—8]/3.	1623. па. 1624. а (2я+3 У 3)/8.
1625. 8.	1628.	16я (5л+8)/5 (куб. ед.).	1629. 0,3я (куб. ед.).	1630.	я(е2 + 1)/4
(куб. ед.). 1631. 4л/35 (куб. ед.). 1632. 72 (куб. ед.). 1633. 2а2й/3. 1634. яг2Л/2.
1636. я(е2—е~2 + 4) (кв. ед.).	1637. 61я/1728 (кв. ед.).	1638. 2я6 {6+(а2/с2)Х
Xarcsln (с/а)], где с2 = а4—ft2. 1639. 64л/3 (кв. ед.). 1644. Мх=а2 (е2 — е-2+4)/8;
1х=а3 (е—е-1) (е2+е_2+10)/24.-1645. Ma=ah*l6; Ia=ah3/\2. 1Ш. /,= 1628/105.
1647. Ix=ab3[12; Iy~a3b/12. 1648. I0 = nd4/32. 1653. х = 0, у = 2г/п (для полу¬
окружности); ж=0, (/=4г/(3я)_(для полукруга). 1654. х = (я—2)/2, у=п/Ь.
1655. дет = 0, £/ = 8/5. 1656. х — у = 2а/5. 1657. х = 1, у = 2/Ъ. 1658. х—1, у = л/8.
1659. яг3 (Зл—4)/3.	1661. 480л (куб. ед.).	1670. npgr2h2/4. 1671. ярgacP/8.
1672.	51450я Дж. 1673. 547,8я Дж. 1674. 50,7 Дж. 1675. pgah2/3.
1676. 17,64я кН; 70,56я кН; 158,76я кН;	282,24я кН. 1677. pgnd3/8.
1678. 150 кг. 1679. 1400 м. 1680.*=^®. 1681. 36 м. 1691. 1) y'=shx/ych2 лс+ 1',
2)	у' =sh2 (jc/15) ch3 (х/15);	3) y' = l/chx; _4) у' = 1 /ch6*;	5)	у’ = 1 /ch х\
6) у' — дс/sh (*2/2).	1692. AlflnO + V'' 2); У 2].	1693. ^тщ = 0 при * = 0.
1694.	1) х2 sh х— 2х ch % 4- 2 sh * + С;	2) (1/32) sh 4* — (1/4) sh 2х + 6* + С;
3) 2arctg |/*сНТ^П + С; 4) (1/2) (ch * sinx—sh xcos *) + С;	5) th2 (*/2) + C;
6)	(3/5) ch6 (x/3)—ch3 (x/3) + C. 1695.	1) я/6; 2) In 2—0,6; 3) 2(2ln3 —1)/3.
1696.	sh (x — a) = sh x ch a — ch x sh a;	ch (x — a) = ch x ch a — sh x sh a.
1697.	th (jc+a) = (th jc-f- th a)/( 1 + th xtha); th (x—a) = (th x—tha)/(l — th x tha);
th 2x = 2 th x/(\ + th2 x). 1698. sh (*/2) = ± Y(chx—1)/2; ch (x/2) = /"(ch д:+ l)/2;
th (x/2) ~ ±Y (ch x— l)/(ch jc+ 1). 1699. 2sh0,5(x±*/)-ch0,5 (x^y), 2ch0,5 (x-\- y)X
Xch 0,5 (x—y), 2 sh 0,5 (дг-f- г/) sh 0,5 (jc—г/), sh (x ± y)/(ch x ch y).	1700. sh* =
= 2 th (jc/2)/[ 1 — th2 (x/2)]; ch * = [1 + th2 (*/2)]/[l — th2 (jc/2)]. 1701. 0,5 [sh (x+y)+
+sh (jс—//)]; 0,5 [ch (лг+г/)+ch (x—r/)]; 0,5 [ch (*+«/)—ch (x—y)]. 1702 . 8/5 (кв. ед.).
1703. 1,17a. 1704. a2 (/2 —^i)/2. 1705. Дуга эллипса, расположенная над осью
абсцисс. 1706. Луч прямой х—у—1=0, расположенный в I четверти.
1707. cos a = ± 1/cht\ tga=±shtf. 1708. 1. 1709. х2—у2.
Глава X!
1720. Ниже прямой х±—х2—10 = 0. 1721. Треугольник. 1722. Неограничен¬
ная область. 1723. Пустая область. 1724. Точка (2; 3). 1725. Областью решений
является трапеция, неравенство (д) можно исключить. 1726. Треугольная пира¬
мида. 1727. Трехгранная призма. 1732. Lmax = \0 при *i = 4, *2 = 2. 1733. £min=
= —4 при *1 = 0, дг2 = 4. 1734. Lmax = 18 при *i = 6, х2 = 0. 1735. Lmax = 2 при
Х\ = 0, аг2 = 1. 1736. Lmax = 48 в каждой точке отрезка АВ, где А (6; 0), В(7; 4).
1737. Lm{n = —4 при *i = 2, лг2 = 0, х3 = 0. 1738. Lmax = 33 при хг = 0, х2~3,
дс3 = 9. 1739. Lmax = 20 при х1 = 2, х2 = 0, х3 — 0.	1746.	(О, 1, 3, 0); L — —3.
1747. (3/2, 0, 0, 1/2, 11/2); L = 3/2. 1748. (О, 3, 1, 0); L = — 1. 1749. (О, 50, 30,
215/6); L — 340. 1750. (О, 5, 3/2, 0, 0, 3/2); L = —5. 1751. L = оо. 1752. (О, 4/5,
1/5); L = —11/5. 1753. (80, 120); Z,max = 440. 1754. (20, 40); Lmax = 220. 1755. 15 кг
корма I вида; 50 кг корма II вида. 1757. (5, 7, 9, 7/2, 0, 0); Lrnax=38.
1759. Lmin —86/9; (Ю/9, 28/9); Гтах = 86/9; (7/27, 8/27).	1760. Lmax-2I6/7;
1764.	Lmin*280 ден. ед. Оптимальный план: *12*=*24-*ээ~60» *23~Я), *31 *40.
1765,	Lmin—395 ден. ед. Оптимальный план: *ц-25, *|з“*32“20, xi2“X2i*5,
*23"35. 1766. 1^*140 ден. ед. Оптимальный план: *14**22“Ю, *23“ *31 ==*34=*
■5, *зз = 15.
(24/7 , 24/7); Тт{„ = 216/7; (8/7, 1/7). 1761. Lmin = 78/7; (10/7, 16/7); 7'max=78/7;
(27/14, 3/14). 1763./«ь-510 ден. ед.: *п-30, *i2-60, л.-30, *23»60