Высшая математика
Н.С.Бахвалов А.В.Лапин
Е.В.Чижонков
ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ
В ЗАДАЧАХ
И УПРАЖНЕНИЯХ
ВЫСШАЯ ШКОЛА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Под общей редакцией
академика Российской Академии наук
В. А. Садовничего
Архипов Г.И., Садовничий В.А.,
Чубариков В.Н.
Лекции по математическому анализу
Виноградов И.М.
Элементы высшей математики
(Аналитическая геометрия.
Дифференциальное исчисление.
Основы теории чисел)
Привалов И. И.
Введение в теорию функций
комплексного переменного
Садовничий В.А.
Теория операторов
Гашков С.Б., Чубариков В.Н.
Арифметика. Алгоритмы.
Сложность вычислений
Нечаев В.Н.
Элементы криптографии.
Основы теории защиты информации
Виноградова И.А., Олехник С.Н.,
Садовничий В.А.
Задачи и упражнения по матема-
тическому анализу
Бахвалов И С., Лапин А.В.,
Чижонков Е.В.
Численные методы в задачах
и упражнениях
Н.С.Бахвалов А.В.Лапин
Е.В.Чижонков
ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ
В ЗАДАЧАХ
И УПРАЖНЕНИЯХ
Москва
«Высшая школа» 2000
УДК 519.6
ББК 22.193
Б 30
Рецензенты:
кафедра математического моделирования МЭИ (ТУ)
(зав. кафедрой докт. физ.-мат. наук, проф. Ю. А. Дубинский);
докт. физ.-мат. наук, проф. В. И. Лебедев (РНЦ Курчатовский институт)
ISBN 5-06-003684-7
©ГУП издательство “Высшая школа”, 2000
Оригинал-макет данного издания является собственностью изда-
тельства “Высшая школа” и его репродуцирование (воспроизведение)
любым способом без согласия издательства запрещено.
Предисловие
В России исторически сложилось так, что представление об обра-
зовании включает в себя органичное единство школы как системы
приобретения знаний, фундаментальной науки как показателя уровня
подготовки специалистов и гуманитарной культуры как основы ду-
ховного богатства человека.
Формулируя задачи образования, академик А. Н. Крылов гово-
рил: “Школа не может дать вполне законченного знания; главная
задача школы — дать общее развитие, дать необходимые навыки, од-
ним словом... главная задача школы — научить учиться, и для того,
кто в школе научится учиться, практическая деятельность всю его
жизнь будет наилучшей школой.”
Отметим, что особенность отечественной школы состоит в со-
четании четкости рассуждений с глубиной содержания и простотой,
доступностью, конкретностью изложения материала, которые всегда
предпочитаются формальным конструкциям. Практическое воплоще-
ние данных идей подразумевает наличие высококвалифицированных
и творчески мыслящих преподавателей.
Математическое образование и математическая культура соста-
вляют стержень научного знания и значение математики как основы
фундаментальных исследований постоянно возрастает.
Для решения этих задач требуются учебники, отражающие в
определенной полноте современное состояние исследований и миро-
воззренческие принципы данной области науки.
Предлагаемые к публикации в серии ” Высшая математика” из-
бранные учебники по математике реализуют указанный выше подход.
Они написаны, в основном, профессорами Московского государствен-
ного университета им. М. В. Ломоносова.
В данной серии уже изданы учебники Г. И. Архипова, В. А. Са-
довничего, В. Н. Чубарикова “Лекции по математическому анализу”,
И. М. Виноградова “Элементы высшей математики (Аналитическая
геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел)”,
3
Предисловие
И. И. Привалова “Введение в теорию функций комплексного пе-
ременного”, В. А. Садовничего “Теория операторов”, С. Б. Гаш-
кова, В. Н. Чубарикова “Арифметика. Алгоритмы. Сложность вы-
числений”, В. И. Нечаева “Элементы криптографии (основы тео-
рии защиты информации)”, И. А. Виноградовой, С. Н. Олехника,
В. А. Садовничего “Задачи и упражнения по математическому ана-
лизу” (книги 1 и 2).
Надеюсь, что данные книги положат начало новой серии базовых
учебников по высшей математике для вузов с повышенным уровнем
математической подготовки.
Кроме практической ценности эта серия призвана подвести не-
которые итоги работы российских ученых и педагогов-математиков
по созданию базовых учебников по математике на рубеже второго
и третьего тысячелетий. Серия не ограничивается указанными кни-
гами. В дальнейшем предполагается продолжить отбор и издание как
современных, так и классических учебников, которые отвечают изло-
женной выше концепции, не потеряли своей новизны и актуальности и
пользуются заслуженной популярностью и авторитетом у студентов
и педагогов.
Академик
Российской академии наук
В. А, Садовничий
Введение
Математика как наука возникла в связи с необходимостью реше-
ния практических задач: измерении на местности, навигации и т.д.
Вследствие этого математика всегда была численной математикой,
ее целью являлось получение решения в виде числа.
Крупнейшие ученые прошлого сочетали в своих трудах как по-
строение математического описания явления природы (математиче-
ской модели), так и его исследование. Анализ усложненных моделей
требовал создания новых, как правило, численных или асимптотиче-
ских методов решения задач. Названия некоторых из таких методов
— методы Ньютона, Эйлера, Гаусса, Чебышева — свидетельствуют
о том, что их разработкой занимались крупнейшие ученые своего
времени.
Последние полвека характерны бурным развитием вычислитель-
ной техники и теории численных методов. В результате происходит
быстрое изменение взглядов на весь комплекс вопросов, связанных
с применением компьютеров, в частности, на требования к числен-
ным методам. Поэтому нельзя предложить пособия по численным ме-
тодам, содержащего рецепты решения всех реально встречающихся
проблем. При выборе способа решения конкретной задачи всякое по-
собие играет роль лишь общего руководства, отталкиваясь от кото-
рого исследователь анализирует свои проблемы.
Настоящее пособие написано на основе опыта преподавания курса
’’Численные методы” на механико - математическом факультете и
факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ им.
М.В. Ломоносова. Каждый раздел начинается с изложения базовых
определений и теоретических результатов; далее рассматриваются
типовые задачи, как правило, снабженные подробными решениями; а
в завершение раздела (это место отмечено чертой) приводятся упраж-
нения для самостоятельных занятий.
В процессе написания использовалась литература, список кото-
рой полностью приведен в конце книги. Поскольку многие задачи
встречаются в различных изданиях, установить авторство практиче-
ски невозможно. Поэтому для единообразия ссылки на литературу по
задачам в тексте отсутствуют.
5
Введение
Пособие охватывает традиционный материал по приближению
функции, численному интегрированию и дифференцированию, зада-
чам алгебры и решению нелинейных уравнений, приближенным мето-
дам решения дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и
с частными производными. Оно соответствует курсу лекций для сту-
дентов механико - математического факультета МГУ, читаемому на
основе учебного пособия Бахвалова Н. С., Жидкова Н.П., Кобель-
кова Г. М. “Численные методы”. Новое издание этой книги выходит
в издательстве ”БИНОМ”.
Авторы надеются, что предлагаемое пособие окажется полезным
для студентов и аспирантов, изучающих и применяющих численные
алгоритмы, преподавателей, проводящих занятия, а также для инже-
неров и исследователей, использующих в своей деятельности методы
вычислительной математики.
Авторы
Глава I
Погрешность решения задачи
Если а — точное значение некоторой величины, а а* — известное
приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного
значения а* называют обычно некоторую величину Д(а*), про кото-
рую известно, что
|а* - а| < Д(а*).
Относительной погрешностью приближенного значения назы-
вают некоторую величину 5(а*), про которую известно, что
Относительную погрешность часто выражают в процентах.
§ 1.	Вычислительная погрешность
Наиболее распространенная форма представления действитель-
ных чисел в компьютерах — это числа с плавающей точкой. Мно-
жество F чисел с плавающей точкой характеризуется четырьмя
параметрами: основанием системы счисления р, разрядностью t и
интервалом показателей [L,U]. Каждое число ж, принадлежащее F,
представимо в виде
где целые числа р, a, di,..., d$ удовлетворяют неравенствам
0<d< <р-1, i =	L<a<U.
Часто di называют разрядами, t — длиной мантиссы, а — порядком
числа. Мантиссой (дробной частью) х называется число в скобках.
Удобно считать, что округление — это некоторое отображение
действительных чисел в множество F чисел с плавающей точкой.
7
Глава L Погрешность решения задачи
Если у — такое действительное число, что результат отображения
fl(y) € F, то имеет место аксиома
fl(v) = !/(1 +»?),
где в случае fl(y) 0 |ч| < е. Будем считать, что е есть точная
верхняя грань для |т?|. При традиционном способе округления чисел
имеем е = при округлении отбрасыванием разрядов е = p1-t.
Величину £ часто называют машинной точностью.
Обозначим результат арифметической операции * с числами
a, b Е F через fl(a * b). Если fl(a * b) / 0, то
fl(a * b) = а * Ь(1 4- ту), |ту| < е .
Приведенное соотношение является основной аксиомой, позволяющей
изучать влияние ошибок округления в различных алгоритмах.
1.1.	Верно ли, что всегда fl (	) € [а,д] ?
\ л j
1.2.	П^сть отыскивается наименьший корень уравнения
у2 — 140j/ 4-1 = 0.
Вычисления производятся в десятичной системе счисления, причем в
мантиссе числа после округления удерживается 4 разряда. Какая из
формул
у _ 70 - х/4899 или у =------
70 4- л/4899
дает более точный результат?
1.3.	Пусть вычисляется сумма
1000 000 J
5юооооо= 52 7г •
7=1 3
По какому алгоритму
So = 0, 5П = 5n-i 4--Л-, п = 1,...,1000000,
п2
или
Е =0, Е = Е+^. п = 1000000,...,1,
1000000	П-1 п
следует считать, чтобы суммарная вычислительная погрешность
была меньше?
8
§ 1. Вычислительная погрешность
1.4.	Предложить наилучший способ вычисления знакопеременной
суммы.
1.5.	Пусть приближенное значение производной функции f(x)
определяется при h 1 по одной из формул:
f'(x) »	+	~	~
2h *
или
,,,, ~	+ м - Л1 + “)	i
f W “---------------2h-------------•
а сами значения /(х) вычисляются с абсолютной погрешностью Д *
Какую погрешность можно ожидать при вычислении производной,
если |/^| < Mk , к = 0,1,...?
1.6.	Пусть значение многочлена Р(х) = ао + «1^ + ... 4- anxn вы-
числяется в точке х = 1 по схеме Горнера:
Рп(х) = а0 + z(ai + ж(...(ап-1 + «п^)...)).
Какую погрешность можно ожидать в результате, если коэффици-
енты заданы с погрешностью 5?
1.7.	Пусть вычисляется величина S = aiXi+...+anxn, где коэффи-
циенты о* заданы с погрешностью 3. Найти погрешность вычисления
S при условии, что xl + ... +	= 1.
1.8.	Пусть вычисляется /(а:), причем f имеет непрерывную про-
изводную в этой точке. Найти главный член погрешности при усло-
вии, что х задано приближенно с точностью <5.
1.9.	Пусть |ж| < 1. В каком порядке лучше вычислять сумму
п
хк с точки зрения уменьшения вычислительной погрешности?
fc=o
1.10.	Пусть вычисления ведутся по формуле
Уп+1 = 2уп - Уп-1 + h2fn, n = 1,2,... ,
Уо, У1 заданы точно, |/n| < М, h 1. Какую вычислительную
погрешность можно ожидать при вычислении ук ? Улучшится ли си-
туация, если вычисления вести по формулам
^п+1 “ zn _ fl Уп ~ 3/п—1 __
Ь -Jn>	h	-Zn-
1.11.	Вычислить постоянную Эйлера
С = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - Inn)
п—>оо
с 10 верными знаками.
9
Глава I. Погрешность решения задачи
§ 2.	Погрешность функции
Пусть искомая величина у является функцией параметров а»,
i = 1,п: у = 2/(01,02,..., ап). Область G допустимого изменения
параметров а» известна, требуется получить приближение к у и оце-
нить его погрешность. Бели j/* — приближенное значение величины
у, то предельной абсолютной погрешностью нгзывг^тся величина
A(sT)= sup |2/(oi,a2,...,on)-2Z*|;
(Л1»в2»‘ч<*п)€<?
при этом предельной относительной погрешностью называется ве-
А(у*)
личина , , .
1»‘1
2.1.	Доказать, что предельная абсолютная погрешность А(у*)
«	3/1 + 3/2
минимальна при у* = —-—, где
А
Vi =v^y(ai,o.2,...,an), у2 = supy(ai,a2,...,an).
G	G
2.2.	Положим
AV) = E	Д(вр, Ло(!/‘) = ^В,Д(а;),
j=i	*	j=i
где Bj = sup
G
cfy(ai,a2,...,an)
daj
Доказать, что
W) - A(y*) = o(p), A°(y*) - A(y*) = o(p),
/ n	\ 1/2
где p = ( £ A2(a*))
V=i	/
2.3.	Пусть у = a10, a* = 1 и задана A(a*). Вычислить величины
Ло(»*), А°(у*), А(у*).
2.4.	Показать, что предельная абсолютная погрешность суммы
или разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей
с точностью до членов второго порядка малости.
2.5.	Показать, что предельная относительная погрешность про-
изведения или частного равна сумме предельных относительных по-
грешностей с точностью до членов второго порядка малости.
2.6.	Имеется приближение у* к корню уравнения f(y) = 0.
Вывести приближенное равенство
у - у* « -
№2
fW
ю
§2. Погрешность функции
2.7.	Пусть у* — решение уравнения y2+aiy+a2 = 0 при заданных
приближенных значениях коэффициентов и их погрешностях
A(aJ), Д^). Доказать, что
о,.. _ ИД(аП + Д(а|)
|2y*+a;|	’
2.8.	Показать, что в случае, когда уравнение из предыдущей за-
дачи имеет корень кратности р, погрешность приближенного значе-
ния корня имеет порядок О(р1/|/), где р = (A2(aJ) 4- Д2(аз))1/2 •
2.9.	С каким числом знаков надо взять 1g 2, для того чтобы вы-
числить корни уравнения х2 — 2х 4- 1g 2 = 0 с четырьмя верными
знаками?
2.10.	Пусть ограниченные по модулю величиной М коэффици-
енты уравнений:
1)ах2 4- с = 0; 2)ах2 4- Ьх = 0; 3)я2 4- Ьх 4- с = 0;
4)ах2 4- Ьх 4-1 = 0; 5)ах2 4- Ьх 4- с = О
вычисляются с одинаковой относительной погрешностью 5. Найти
максимальную погрешность, с которой могут вычисляться их корни.
Глава II
Приближение функций и производных
§ 3.	Полиномиальная интерполяция
Пусть а = Xi < Х2 < ... < хп = b — набор различных точек
(узлов) на отрезке [а, Ь], в которых заданы значения функции /(х)
так, что fi = i =	Требуется построить многочлен,
принимающий в точках Xi значения /*, и оценить погрешность при-
ближения достаточно гладкой функции этим многочленом на всем
отрезке [а^Ь].
Приведем в явном виде вспомогательные многочлены Ф*(ж) сте-
пени п — 1, удовлетворяющие условиям = 1, Ф»(^) = 0 при
J / г:
Ф<(х) = П^-.
f-1 xi ~ xi
Далее с их помощью запишем формулу для многочлена Лагранжа
1=1
Существование и единственность многочлена степени n—1, принима-
ющего в п различных точках заданные значения, следует из отличия
от нуля соответствующего определителя Вандермонда; поэтому ука-
занный многочлен Ln(x) есть решение поставленной задачи.
Пусть п-я производная функции f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь]. Тогда для любой точки х € [а, 6] существует точка £ Е [а, 6]
такая, что справедливо равенство
f(x) - Ln(x) =	где. ып(х) = Ц(ж - ж,).
12
§ 3. Полиномиальная интерполяция
Следствием этого представления является оценка погрешности в рав-
номерной норме
||Дх)-£п(ж)||<||/(П),(а:)|1- |к„(х)||, где ||/(х)|| = sup |/(х)|.
Величина
An = max V |Ф£(х)|
*€[а,Ь] “
называется константой Лебега интерполяционного процесса. Ско-
рость ее роста в зависимости от величины п определяет как сходи-
мость Ln(x) к f(x) в равномерной норме, так и оценку вычислитель-
ной погрешности ийтерполяции.
3.1.	Построить многочлен Лагранжа при п = 3 для следующих
случаев:
1) «1 =	-1,	Х2 = 0,	Х3 = 1,
/1 =	3,	/2 = 2,	/5 =5;
2) Xi =	1,	х2 = 2,	х3 = 4,
/1 =	3,	h = 4,	/5 =6.
3.2.	Вычислить
п
х? (ж) при р = 0, ... , п.
t=l
3.3.	Пусть Xi = а + -—у (г - 1), i = 1,... ,п. Вычислить ||о>п(ж)||
п — 1
при п = 2,3,4.
3.4.	Функция f(x) приближается на [а, Ь] по п равноотстоящим
узлам Xi = а +	“ 1)> 2 ” 1,...,п. Найти наибольшее целое
р в оценке погрешности вида еп = Ю“р в равномерной норме для
следующих случаев:
1)	[0,0.1], f(x) = sin 2s, п = 2; 2) [-1,0], f(x) = exp ж, п = 3.
3.5.	Число In 15.2 вычислено следующим образом. Найдены точ-
ные значения In 15 и In 16 и проведена линейная интерполяция между
этими числами. Показать, что если х и у — соответственно точное
и приближенное значения In 15.2, то справедлива оценка
0 < х - у < 4 • 10“4 .
13
Г л а в a IL Приближение функций и производных
3.6.	Функция /(ж) = ~ту~— приближается на [-4,-1] многочле-
А* — х
ном Лагранжа по узлам ж* = —4, —3, —2, —1. При каких значениях А
оценка погрешности в равномерной норме не превосходит 10~5?
3.7.	Доказать, что если узлы интерполяции расположены симме-
трично относительно некоторой точки с, а значения интерполиру-
емой функции в симметричных узлах равны, то интерполяционный
многочлен Лагранжа — функция, четная относительно точки с.
3.8.	Пусть а < х < b и —1 < у < 1, и, соответственно, узлы
интерполяции ж» и у^ i = 1,... ,п, связаны линейным соотношением
ж, = x(yi) = + ^7^2/» • Доказать, что константы Лебега интерполя-
ционного процесса и А^1’^ , соответствующие этим отрезкам,
совпадают.
3.9.	Показать, что для системы равноотстоящих узлов {xi = г,
i = 1,...,п} при n > 2 справедлива оценка снизу для константы
Лебега Ап > К 2nlnzl'2 с постоянной К, не зависящей от п.
3.10.	Показать, что для системы равноотстоящих узлов {ж$ = г,
г = 1,...,п} при п > 2 справедлива оценка сверху для константы
Лебега < К 2П с постоянной К, не зависящей от п.
3.11.	Определить узлы интерполяции, при которых константа Ле-
бега Аз минимальна.
3.12.	Построить многочлен Рз(х) = до 4- Я1Ж + агж2 4- дзж3,
удовлетворяющий условиям: Рз(—1) = 0, Рз(1) = 1, Рз(2) = 2, д3 = 1.
3.13.	Построить многочлен Рз(ж) = а0 + ^1Ж -I- а2х2 -I- дзж3,
удовлетворяющий условиям: Рз(0) = Рз(—1) = Рз(1) = 0, а2 = 1.
3.14.	Построить многочлен Рз(ж) = до 4- си ж 4- а2х2 4- дзж3,
удовлетворяющий условиям: Рз(—1) = 0, Рз(1) = 1, Рз(2) = 2, ах = 1.
3.15.	Построить многочлен Р3(ж) = д0 4- сцж 4- дг^2 4- а-зх3у
удовлетворяющий условиям: Рз(0) = Рз(—2) = Рз(1) = 0, до = 1.
3.16.	Построить многочлен Р^х) =clq + aix 4- а2х2 4- Дз^3 4- ддя4,
удовлетворяющий условиям:
4
=	Р(0) = 0, Р(-1) = 1, Р(2) = 2, Р(3) = 3.
г=0
3.17.	Построить многочлен Pt(x) = до 4- дхж 4- дг^2 4- азж3 4- д<ж4,
удовлетворяющий условиям: Pi(l) = Pi(—1) = P^ty — P^W = 0»
P4(0) = 1.
14
§ 3. Полиномиальная интерполяция
3.18.	Построить многочлен Р4(х) == ао +	4" Д2#2 4- a3x3 4- а4ж4,
удовлетворяющий условиям:
4
Р4(0) = 0, Р4(1) = 1, Р4(2) = 2, Р4(3) = 3, £> = 0.
1=1
3.19.	Построить многочлен Лагранжа Ln(x) степени п - 1,
удовлетворяющий условиям Ln(xk) = у к •
l)n = 4; xi = 0,ж2 = 1,^з = 2,ж4 =4; yi = 2, y2 = 3,y3 = 4, y4 = 6;
2)n = 3; Xk = 2k - 1, yk = 8sin ^(2A - 1), к = 1,2,3.
6
3.20.	Построить интерполяционный многочлен для функции
/(ж) = |ж| по узлам —1,0,1.
3.21.	Построить интерполяционный многочлен для функции
/(ж) = х2 по узлам Xi = г, г = 0,1,2,3.
3.22.	Построить многочлен Лагранжа L4(x) третьей степени,
удовлетворяющий условиям L4(xk) = Ук'- хк — к - 5, у к = 3&3+
+2к2 + к + 1, fc = l,2,3,4.
3.23.	Функция /(ж) приближается на [а, Ь] по п равноотстоящим
узлам Xi = a +	- 1), i = l,...,n. Найти наибольшее целое
р в оценке погрешности вида еп = 10"р в равномерной норме для
следующих случаев:
1Г
1)	f[x) = — / cos(a:sint)dt, [0,1], n = 3;
7Г J
0
2)	/(ж) = In ж, [1,2], n = 4.
3.24.	Оценить погрешность приближения функции ех интерпо-
ляционным многочленом Лагранжа L2(x\ построенным по узлам
ж0 = 0.0, Ж1 = 0.1, ж2 = 0.2, в точке: 1) ж = 0.05; 2)ж = 0.15.
3.25.	Функция sin ж приближается на отрезке [0, тг/4] интерпо-
ляционным многочленом по значениям в точках 0, тг/8, тг/4. Оценить
погрешность интерполяции на этом отрезке.
3.26.	Функция 1п(ж) приближается на отрезке [1,2] интер-
поляционным многочленом третьей степени по четырем узлам
1, 4/3, 5/3, 2. Доказать, что погрешность интерполяции в равномер-
ной норме не превосходит 1/300.
3.27.	Функция /(ж) = ехр(2ж) приближается на отрезке
[—1/2,1/2] интерполяционным многочленом второй степени по трем
15
Г л а в a II. Приближение функций и производных
узлам: —1/2, 0, 1/2. Доказать, что погрешность интерполяции в рав-
номерной норме не превосходит \/3/9.
3.28.	Оценить погрешность интерполяции функции /(ж) =
= arctgs на отрезке [0,1] многочленом Лагранжа пятой степени на
равномерной сетке.
3.29.	Оценить число узлов интерполяции на отрезке [0, тг/4], обес-
печивающее точность е < 10“2 приближения функции /(ж) = sin ж.
3.30.	С каким шагом следует составлять таблицу функции sin ж
на [0, тг/2], чтобы погрешность линейной интерполяции не превосхо-
дила 0.5 • 10“6?
3.31.	Определить степень многочлена Лагранжа на равномер-
ной сетке, обеспечивающую точность приближения функции ех на
отрезке [0,1] не хуже 10”3.
3.32.	Пусть функция /(ж) = sin ж задана на отрезке [0,6]. При
каком b многочлен Лагранжа £з(ж), построенный на равномерной
сетке, приближает эту функцию с погрешностью е < 10"3?
3.33.	Пусть f 6 С^)[а, Ь] и р(ж) — полином, аппроксимирующий
/'(ж) с точностью е в норме С[а,Ь]. Доказать, что полином д(ж) =
X
= f (а) + J p(t)dt аппроксимирует /(ж) с точностью е(Ь - а) в норме
С[а,Ь].
3.34.	Пусть функция /(ж) задана на [а,Ь] и max |/"(ж)| < 1-
ж€[а,6]
Оценить погрешность приближения этой функции ломаной, постро-
енной на равномерной сетке с шагом h.
3.35.	Пусть cu/(/i) = max |/(ж + h) - /(ж)| — модуль непре-
рывности функции /(ж). Доказать, что |/(ж) - £1(ж)| <
3.36.	Привести пример непрерывной на отрезке [—1,1] функции,
для которой интерполяционный процесс Лагранжа на равномерной
сетке расходится.
3.37.	Доказать, что для любой таблицы узлов интерполяции
(жо ,ж”,... ,ж£) на отрезке [0,1] существует аналитическая на этом
отрезке функция /(ж) такая, что ||£п(ж) — /(я)||с не стремится
к нулю при п —> оо, где Ln(x) — интерполяционный многочлен
Лагранжа.
3.38.	Доказать формулу:
M*o + th) = £ Ckbkf0, bfi. = fi+1 - fi.
k=Q
16
\
§ 3. Полиномиальная интерполяция________________________________
3.3^.	Доказать формулу:
\
Ln(x0 - th) = ^(-1)кСк^к/0, Vfi = fi- fi-г.
\	k=0
3.40.	Доказать формулу:
\ n
Lt^Xq + th) = Ct6kfk/2^ tifi = /i+1/2 ~ Л-1/2-
j	fc=0
3.41.	Доказать, что если многочлен Ps(x) степени s — 1 удовле-
творяет условиям:
Р,(®1) = /(Х1), .... Ps(M‘-1)(xi) = /(Ml-1)(x1),
Ps(x2) = f(x2), Р^Чхг) = fW'-V(x2),
Р,(хп) = /(Хп), • • •, P^-l4xn) = f^-^Xn),
Mi -h М2 + ... 4" Mn = s,
то справедливо равенство
f(x) - P,(x) = t~®u(x), w(x) = Ц(х - Xi)Mi.
3.42.	Функция двух переменных f(xi,X2) аппроксимируется ин-
терполяционным многочленом P(xi,X2) = ао +	+ а2^2 + аз^1^2•
При этом /(0,0) = 1,7(1,0) = 2,/(0,1) = 4,/(1,1) = 3. Найти
Р(1/2,1/2).
3.43.	Пусть P(xi,X2) — многочлен от двух переменных степени
не выше п по каждой переменной и P(k/n, m/n) = 0, к, m = 0,1,..., п.
Доказать, что Р(ж1,жг) = 0.
3.44.	Доказать, что для любых xo,^i,... ,Ж2П> удовлетворяющих
условиям a < xq < xi <	< Х2п < а + 2тг, и для любых
З/сьЗ/i,...,s/2n существует единственный тригонометрический поли-
п
ном Т(х) = ао/2 + (ал coste + bk sinfcx), удовлетворяющий усло-
k=i
виям T(xk) = Ук, к = 0,1,2,..., 2п. Если при этом 2/о> 2/1 > • • •, У2п —
вещественные, то и коэффициенты ak,bk являются вещественными.
3.45.	Показать, что если Ж1,...,Ж2П — вещественные, то функ-
ция Т(х) = П s^n " о" является тригонометрическим полиномом
л=1	2
17
Гл ав a IL Приближение функций и производных
вида ао/24- 22 (ал cos кх+bk sin кх) с вещественными коэффициентами
Ь=1	/
3.46.	Доказать, что интерполяционный тригонометрический по-
лином Т(х), удовлетворяющий условиям T(xk) = Ук, к = р, 1,..., 2п,
где a < xq < xi < ... < Х2П < a 4- 2тг, может быть записан в виде
Т(х) = 52 yktk’ где tk= П sin Х 2* / sinr*"b~~£ •
*=°	:;г	'
3.47. Доказать, что для любых жо,Ж1,...,хп, удовлетворяющих
условиям а
2/о,2/1, - • • »2/п
ном С(х) = 23 а* cos far, удовлетворяющий условиям C(xk) = з/ь
< хо < Xi < ... < xn < a + тг, й для любых
существует единственный тригонометрический поли-
п
л=о
к = 0,1,2, ...,п.
3.48.	Построить тригонометрический полином на отрезке [0,1]
по заданным значениям /(0), /(Л), /(2Л), /(ЗЛ), h = 1/4.
3.4^.	Построить тригонометрический интерполяционный поли-
ном второй степени Тг (ж) = ao+ai cos х 4- bi sin х 4- аг cos 2х 4- Ьг sin 2ж,
удовлетворяющий условиям:
Т2(0) = 0, Т2(7г/4) = 1, Т2(7г/2) = 1, Г2(Зтг/4) = 1, Т2(тг) = 1.
3.50.	Построить интерполяционный тригонометрический поли-
ном минимальной степени по заданным значениям	= 0,
/(—тг/2) = 0, У(тг/2) = 1.
3.51.	Доказать, что тригонометрический полином Tn(z) степени
п имеет в любой полосе Re(z) € [a, a 4- 2тг] ровно 2п корней.
3.52.	Пусть Тп(х) — тригонометрический интерполяционный
многочлен степени п, построенный по равноотстоящим узлам на
[0,2тг] для функции /(ш) е C^Q\ a > 0. Доказать, что
lim ||Тп-/||с = 0.
§ 4.	Многочлены Чебышева
Имеется несколько способов определения последовательности
многочленов Чебышева первого рода. Рассмотрим некоторые из них.
а)	Рекуррентное соотношение:
Т0(ж) = 1, Т1(х) = ж, Тп+1(я) = 2xTn(x) - Tn-iCr).
18
§ 4. Многочлены Чебышева
б)	Тригонометрическая форма. При любом т/ имеем
cos ((n -I-1)??) = 2 cos 77 cos(пту) - cos ((n - 1)77).
Полагая Т) = arccosz, получаем
Тп(х) = cos(narccosz) ==> |Tn(z)| < 1 при |z| < 1.
в)	Разностное уравнение. Рекуррентное соотношение является
разностным уравнением по переменной п. Ему соответствует харак-
теристическое уравнение
р2 - 2хр + 1 = 0.
Следовательно,
Д1,2 = X ± у/х2 - 1 И Тп(х) = ClUi + С2Д2 •
Из начальных условий получаем Ci = С2 = .
Это дает
Гп(ж) = | f (z + \/ж2 - 1) + (ж - \Д2 - 1)
Отметим, что все многочлены Тгп(ж) — четные, a Tbn+ifa) —
нечетные. При этом коэффициент при старшем члене равен 2П“Х.
4.1.	Доказать следующие свойства многочленов Чебышева:
l)T2nW = 2T„2(a;)-l;
п / т,
n = m^0i
п = т = 0;
3)/TMdy = 1	n > 2;
— 1
4)(1 - x2) T^x) - xT^x) + n2 Tn(x) = 0, n > 0.
4.2.	Найти все нули многочленов Чебышева Тп(х).
4.3.	Найти все экстремумы многочлена Чебышева Тп{х) на от-
резке [-1,1].
19
Г л ав а II. Приближение функции и производных |
4.4.	Доказать, что приведенный многочлен Чебышева Tn(x) = I
= 21~пТп(ж) является наименее уклоняющимся от нуля среди всех 1
многочленов со старшим коэффициентом 1 на отрезке [—1,1], т.е. I
max |-Pn(x)| > max |Т„(а:)| = 21-”.	;
I
4.5.	Найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля среди всех ;
многочленов со старшим коэффициентом 1 на отрезке [a, b].	1
n	1	I
4.6.	Пусть а>п(я) = П (х -	. Показать, что при любом выборе )
»=1 |
узлов Xi имеет место неравенство ||а>п(я)|| > (Ь-а)п21“2п. Сравнить * J
полученный результат с имеющимся для равномерного распределения j
узлов.	f
4.7.	Пусть к < п, 0 < a < Ь. В классе-многочленов Рп(х) сте- I
пени п, удовлетворяющих условию Pnk\ty = с / 0, найти наименее |
уклоняющийся от нуля на [a, b].	J
4.8.	Среди всех многочленов Рп(х) = ягп + ... степени п > 2, |
удовлетворяющих условиям Pn(—1) = Рп(1) = 0, найти наименее |
уклоняющийся от нуля на [—1,1].	|
4.9.	Пусть Рп(х) — многочлен степени п и max |Рп(ж)I = М. |
®g[ 1>1]	|
Доказать, что для всех ж, удовлетворяющих условию |яг| > 1, вы- |
полняется неравенство |Рп(я)| < М |Тп(ж)|, где Тп(х) — многочлен ।
Чебышева степени п.	«
4.10.	Показать, что для системы узлов интерполяции х, =
= cos^^-tt, i = 1,...,п (нули многочлена Чебышева Тп(х)), спра-
ведлива асимптотическая оценка сверху для константы Лебега Ап <
< К Inn с постоянной К, не зависящей от п.
4.11.	Определить константу Лебега Аз для узлов интерполяции
— нулей многочлена Чебышева Тз(х).
4.12.	Получить представления для производных многочленов
Чебышева следующего вида:
= 2(Т2п-14-Т2п-з4-. • -4-Ti),	= 2(T2n+T2n_2+. ••4-Т2)4-1 • I
2n	2n +1
4.13.	Вычислить значение многочлена Чебышева n-й степени в "
точке: l)z = |; 2)х = — |/
4.14.	Вычислить значение производной многочлена Чебышева ~
n-й степени в точке: 1)х = 1; 2)х = — 1.
4.15.	Функция f(x) = sin2x приближается многочленом Ла-
гранжа на [0,2] по п чебышевским узлам: Xi =	4- cos
20

§ 4. Многочлены Чебышева
i = 1,...,п. Найти наибольшее целое р в оценке погрешности в рав-
номерной норме вида еп = 110~р, если п = 6.
4.16.	Функция f(x) = cos х приближается многочленом Ла-
гранжа на [—1,1] по п чебышевским узлам: ж, =	cos ^~тг,
i = 1,...,п. Найти наибольшее целое р в оценке погрешности в рав-
номерной норме вида еп = 10“р, если п = 5.
4.17.	Среди всех многочленов вида а$х3 4- 2 ж2 + aix 4- ао найти
наименее уклоняющийся от нуля на [3,5].
4.18.	Среди всех многочленов вида 5ж3 4- а2Х2 4- &ix 4- oq найти
наименее уклоняющийся от нуля на [1,2].
4.19.	Среди всех многочленов вида а^х3 4- а^х2 4- ацх 4- 4 найти
наименее уклоняющийся от нуля на [1,3].
4.20.	Среди всех многочленов вида а^х3 4- а>2Х2 4- Зж 4- оо найти
наименее уклоняющийся от нуля на [2,4].
4.21.	Пусть ж2 4-j/2 = 1. Доказать, что ?2n(?/) = (-1)пТ2п(^)«
4.22.	Доказать следующие представления многочленов Чебышева: *
((1 -l2>""/2)  ” а°' '
/ \	1<Г* / 1 — tx \	.
2)Гп(ж) “ п\№ (1 - 2tx + «2 J t=0 ’ П - 0;
з)Тп(х)- 2n,dtn (д_2ь.+<2) t=o> «>!>
1	1 ЛП
= -2 frnyidF Hi - ** + ‘2)> (_o  " г i;
адм =	n > i.
4.23.	Пусть функция f(x) представима при |х| < 1 в виде
оо	оо
/С1) = S где 52 1а*| < °°> Г*(х) — полиномы Чебышева.
/с=0	Ас=О
Доказать, что для всех х € [—1,1] справедливо равенство
х
-1
а° _lV 1 (	Х'Г ( \	ai _L (“ 1)*+1Щ;
~2Х + 23 2fc(a*-1 ” ак+1)Тк(Х)	к2 _ j...
4.24.	В классе алгебраических полиномов степени п, принимаю-
в точке а(|а| > 1) значение Ь / 0, найти наименее уклоняющийся
°т нуля на [—1,1].
21
Г л а в a II. Приближение функции и производных
4.25.	Функция ех приближается на [0,1] интерполяционным мно-
гочленом степени 3 с чебышевским набором узлов интерполяции:
Xk = | 4-1 cos t2*y*)*, k = 1,4. Доказать, что погрешность интерпо-
ляции в равномерной норме не превосходит величины е • 10~3. I
4.26.	Доказать, что если узлы интерполяции на отрезке совпа-;
дают с нулями многочлена Чебышева соответствующей степени, то ।
справедливо неравенство
Ап = тахУ^ |Ф<(ят)| > К Inn
х «=о
с постоянной К, не зависящей от п.
§ 5.	Численное дифференцирование
Пусть известны значения функции /(ж) в точках Ж1,Ж2,...,хп и
требуется приближенно определить производную fW(x) для некото-J
рого 0 < k < п — 1. Построим интерполяционный многочлен Ln(x)
и положим fW(x) « L^\x); при этом для погрешности справедливо;
представление	i
* !
- £<»(.) = g	 i
I
Для системы равноотстоящих узлов (ж$+1 ~ Xi = Л, i = l,n - l)j
часто используется другой подход, основанный, как в теории обык-j
новенных дифференциальных уравнений, на получении старших ана-|
логов производных через младшие. Базовыми являются следующие^
выражения:	|
df(x) =	+	Bf{x} =	Bf(x) = l(d + 5) J
n	n	2	|
‘	•I
Это простейшие аналоги первой производной функции /(ж), называ-|
емые разностями вперед, назад и центральной соответственно. При!
этом для получения оценок погрешностей удобно использовать раз-1
ложения Тейлора.	?
Для получения формул численного дифференцирования на прак-f
тике также используется метод неопределенных коэффициентов. Ой?
заключается в следующем: искомая формула записывается в виде
/(%о) = £>/М + Я(/),
i=0
22
§5. Численное дифференцирование
и коэффициенты с» определяются из системы линейных уравнений
/?(/) = 0, где f(x) последовательно полагают 1,х,х2,... jX11”"1.
Будем далее использовать обозначение f(x) Е , если функция
f (х) имеет на интересующем нас отрезке все непрерывные производ-
ные до порядка г включительно.
5.1.	Показать, что в точке х = Xi (один из узлов интерполяции)
справедлива оценка погрешности
!/'(*<) - Ь'п(х{)| < 11/(П)п(,ж)11с П •
J = 1
5.2.	Доказать равенства:
1)	если f € С№, то df(x) - f(x) = ~ /"(£), х < £ < х + h ;
tt2
2)	если f Е , то df(x) - /'(ж) = —	, x-h<£<x + h.
о
5.3.	Получить явные формулы для разностных аналогов старших
производных: 35/(s), dddf(x\ d2d2f(x).
5.4.	Найти величину Ki = Ki(h) в равенствах:
1)	если f е , то ddf(x) - f"(x) = К% /(4\f), х - h < £ < х + Л;
2)	если / € С<5>, то dddf(x) - f"(x) = К3 /5)(£), х - 2h < £ <
<ж + 2Л;
3)	если f е то 82d2f(x) - f^(x) = К4 /W(£), х - 2h < f <
< х 4- 2h.
5.5.	Считая, что значения функции в формулах численного диф-
ференцирования (для аналогов второй и четвертой производных из
предыдущей задачи) заданы с абсолютной погрешностью е, получить
оценки полной погрешности этих формул как суммы погрешности ме-
тода и неустранимой погрешности. Найти оптимальный шаг h0, при
котором минимизируется величина оценки полной погрешности.
5.6.	Методом неопределенных коэффициентов построить фор-
мулы численного дифференцирования наиболее высокого порядка
точности по h:
1)	/'(0) « [а/(-2Л) + Ь/(0) + с/(Л)]/Л;
2)	/"(0) « /(-Л) + bf(h) + cf{2h) + d/(3A)]/№.
5.7.	Доказать, что
h
9/(0)-/'(0) = ^ I (ft-H)2/"'^-
-Л
23
Глава, II. Приближение функции и производных
5.8.	Получить формулу численного дифференцирования наиболее
высокого порядка точности по h следующего вида:
1)	/'(0) « h-'iaftp) + Ь/(Л) + с/(2ft)];
2)	/'(0) « Л-х[а/(0) + bf(-h) + с/(2Л)];
3)	/'(0) « h-^aftp) + bf(-h) + с/(-2Л)];
4)	/'(0) « Л"1 [а/(0) + b/(2h) + с/(3/0];
и найти Л, при котором достигается минимум оценки погрешности,
если max|/(fc)(x)| < А*, а абсолютная вычислительная погрешность
не превосходит б, т.е. шах|/(ж) - /*(ж)| <е.
«С
5.9.	Используя формулу Тейлора с остаточным членом в инте-
гральной форме
f(b) = /(а) + (Ь -	+ • • • + ^pV(n)(«)+ i
\	If
+^/(ь-е)п/(п+1)т,
a	i
получить оценки погрешности формул численного дифференцировал |
ния (постоянные Ci,C2 не зависят от f и h)	%
f
х	I
]Э/(х)-/'(х)]<С1 f |/"(e)|dx,	j
x—h	%
\ddf(x)-f"(x)\<C2h T|/(4)(0| dx.	I
x-h	-f
5.10.	Доказать справедливость следующих равенств:	1
d(fg) = fdg + gdf + hdfdg, 9(f/g) = 9~f ~Ж	I
9\9-hdg)	Л
'f
5.11.	Используя формулу Тейлора с остаточным членом в инте-|
тральной форме, получить оценки погрешности формул численного|
дифференцирования (постоянные Ci не зависят от f и Л):	Л
:|
1)|№)-/'(х)|<С! I |/"(€)|«;	:
24
§5. Численное дифференцирование_____________________________
x+h
2)	\df(x)-f(x)\<c2h I |/w(O|de;
®—h
ж+2Л
3)	|2d/(x) - 9f(x + h)~ f(x)\ < C3h I |/'"(£)| d£;
X .
4)	\2df(x)-9f(x-h)-f'(x)\<C4h J |Г'(£)|#;
я—2h
®+2Л
5)	\9292f(x)~ fw(x)\<C6h I |/W(O|df.
x—2h
5.12.	Пусть f e C3’\ 0 < A < 1, т.е. f € C&,
\f"'(x) — f"'(y)\ < fc|x - y|3 Vx,y. Доказать, что ddf(x) - f"(x) =
= O(/i1+A).
5.13.	Доказать справедливость следующих равенств:
1)	9(fg) = fdg + gBf-hdfdg-,
h2 -	-	-	~
2)	9(J g) = / 9g + g 9f + - (99 f 9g + 99g 9f)-,
Q\ Q/ f / \ _ 9 df f dQ
3)	S(//9)- pto+Wp)'
5.14.	Пусть числа aj, не зависящие от h, порождают формулу
численного дифференцирования максимального порядка точности
п
Гк'{х) « h~k $3 ajf(x + J^). Доказать, что:
J=-n
1) aj = a-j, если к четно, aj = —а-j, если к нечетно;
2) формула « h~k £2 Pjf(x + не может иметь больший
>=-п
порядок точности, причем она имеет тот же порядок точности тогда
и только тогда, когда /Зп^1 = 0, Pj = о/, j = —n, —n + 1,..., п — 1, п.
5.15. Пусть вычислены точное и приближенное значения fN(xQ)
при узлах интерполяции ...9xq,...$xi9 Xi — Xi-i = h. Показать,
что справедливо представление
25
Глава II. Приближение функции и производных
5.16.	Доказать, что если все точки Xi различны и удалены от
точки xq на расстояние 0(h), где h — малая величина, то при
гладкой f(x) приближенная формула численного дифференцирова-
ния f^(x) « Е<чУ(ж<) имеет порядок погрешности 0(hm). Здесь
т > j। +1 — h, j — максимальная степень многочленов, для которых
эта формула точна.
5.17.	Найти аппроксимацию У" (ж) на сетке ж<, х^, ж<+2, ж^+з с
максимально возможным порядком точности по h = max h*.
5.18.	Найти коэффициенты формул численного дифференцирова-
ния максимальной степени точности:
1)	f(x) » (а/(ж) + bf(x + h) + с/(ж - h))/h;
2)	У'(ж) « (а/(ж) 4- bf(x + h) + cf(x - 2h))/h;
3)	У"(ж) « (аУ(ж) + ^/(ж 4- h) 4- с/(ж 4- 2h))/h2;
\ 4) /"(ж) « (а/(ж) 4- bf(x 4- h) 4- cf (ж - h))/h2;
5)	f"(z) « (аУ(ж) + bf(x - h) + cf(x - 2h))/h2.	,
1
§ 6. Многочлен наилучшего равномерного |
приближения	|
Пусть R — пространство ограниченных вещественных функций,?
определенных на отрезке [а,Ь] вещественной оси с нормой ||У(ж)|| Н
=	sup	|/(ж)|. Для элемента У €	R отыскивается наилучшее прибли-J
жение вида	'J
i
Qn{x) = ^ajX*.	I
i=o	4
I
Многочлен	(ж) называется многочленом наилучшего равномерное^
приближения для функции /(ж), если для любого многочлена
степени п справедливо неравенство
II/ - Q°ll < II/ - Qnll •	?
й
Такой многочлен существует всегда, а его единственность имеет ме^
сто при дополнительном предположении о непрерывности У (ж).
Теорема Чебышева. Чтобы многочлен Qn(x) был многочленов
наилучшего равномерного приближения непрерывной функции f(x}i
26
§ 6. Наилучшее равномерное приближение
необходимо и достаточно существования на [а, Ь] по крайней мере
п + 2 точек xq < ... < жп+1 таких, что
где г = 0,..., n + 1 и а = 1 (или а = —1) одновременно для всех i.
Точки Xq,.. .,Лп+1 , удовлетворяющие условию теоремы, называ-
ются точками чебышевского альтерната.
6.1.	Построить многочлен наилучшего равномерного приближе-
ния степени п = 50 для f(x) = sin 100т на отрезке [0, тг].
6.2.	Пусть f(x) — выпуклая непрерывная функция на [а, 5] и
Qi (т) — ее многочлен наилучшего равномерного приближения пер-
вой степени. Доказать, что концы отрезка а и b входят в альтернате.
б.З.	Построить многочлен наилучшего равномерного приближе-
ния степени п = 1 для f{x) = х3 на отрезке [1,2].
6.4.	Построить многочлен наилучшего равномерного приближе-
ния степени п = 1 для f(x) = |я| на отрезке [-1,5].
6.5.	Пусть	не меняет знак на [а, Ь] и Qn(x) — много-
член наилучшего равномерного приближения степени п для f(x).
Оценить величины Ci и С% в неравенстве
Ci<||/(x)-Qn(x)||<C2.
6.6.	Пусть f(x) — непрерывная нечетная функция на отрезке
[-1,1]. Показать, что многочлен наилучшего равномерного прибли-
жения произвольной степени п — также нечетная функция.
6.7.	Получить оценку вида Сп < ||sinT—Qn(x)|| < 2Сп для много-
члена наилучшего равномерного приближения степени п на [—f, f].
6.8.	Построить пример функции /(ж) и ее многочлена наилуч-
шего равномерного приближения Qn(x), не удовлетворяющих теоре-
мам Чебышева и единственности.
6.9.	Построить многочлен наилучшего равномерного приближе-
ния степени п для функции /(я) на отрезке [а, 5]:
l)n = l, f(x) = x3, [-1,1]; 2) п = 3, /(ж) = е®а, [-1,1];
3)	п = 3, f(x) = 3sin2 Юж + |ж2 - 7х + 10|, [3,4].
6.10.	Найти многочлен наилучшего равномерного приближения
степени n = 1 для функции f(x) = 14- \/х на отрезке [0,1].
27
Глава II. Приближение функций и производных
6.11.	Найти многочлен наилучшего равномерного приближения
степени п = 3 для функции f(x) = sin х2 на отрезке [—у/л, y/ir].
6.12.	Найти многочлен наилучшего равномерного приближения
степени n = 1 для функции f(x) = |я| на отрезке [-1,2].
6.13.	Найти многочлен наилучшего равномерного приближения
степени п = 2 для функции f(x) = я3 на отрезке [—1,1].	]
6.14.	Построить многочлен наилучшего равномерного приближе-
ния первой степени к функции /(ж) = \/я2 4- 1 на отрезке [0,1].
6.15.	Построить многочлен наилучшего равномерного приближе-
ния четвертой степени к функции f(x) = sin(67rx) на отрезке [0, тг]. 
6.16. Построить многочлен наилучшего равномерного приближу
ния степени п для функции f(x) на отрезке [а, Ь]:
1)	п = 2, /(я)=я3, а = 0,Ь = 1;
2)	п = 2, /(я)=я4, а = -1,Ь=1;
3)	n = 1,	f(x)=sinX) а=—1,Ь = тг;
4)	п = 3,	f(x) = |®2 - 7х 4-10|, a = 3, b = 4;	j
5)	п = 30,	/(я) = 2х2 4-Зя 4-cos 50я, а = 0, & = 7г;	t
^6)	n = 1,	f(x) = 1 4- хр,р > 0, а = 0,Ь=1;
7)	п = 2,	/(я) = 2я2 4-Зя 4-5, а = 1,Ь = 7.
6.17.	Найти константу С в оценке	|
С/2 < || COS Я — Q® (я) ||о[7г/6,тг/2] < С*»	|
где С§(я) — многочлен наилучшего равномерного приближения чЫ
твертой степени.	j
6.18.	Доказать, что ||ехр(я) - £?4(я0||о[о,1] > 1/64000, гд|
Ф2(я) многочлен наилучшего равномерного приближения четвер|
той степени.	;
6.19.	Рассматривается задача наилучшего равномерного прШ
ближения функции ех на [—1,1]. Показать, что 10~6 < ||ехр(я)Ч
“<Эб(я)||с(-1,1] < Ю-5, где Фе(я) — многочлен наилучшего равной
мерного приближения шестой степени.
6.20.	Показать, что чебышевский альтернанс для функции ех все|
гда содержит крайние точки отрезка, на котором решается задачу
наилучшего равномерного приближения.	|
6.21.	Привести пример функции и соответствующего ей многф
члена наилучшего равномерного приближения, для которых сред*
точек чебышевского альтернанса нет граничных точек отрезка, &
котором решается задача приближения.	5
оо
6.22.	Пусть 52 akTk(x) — некоторый ряд по системе многочл*
fc=0
нов Чебышева 7*(я). Доказать, что каждая частичная сумма ряд*
28	f
§ 6. Наилучшее равномерное приближение
п
Sn(x) = zL akTk(x) есть многочлен наилучшего равномерного при-
/с=0
ближения степени п на [—1,1] для Sn+ifc).
6.23.	Функция f(x) = —Ц-
х 4* У
приближается на [—1,1] многочле-
ном первой степени следующими способами:
1)	наилучшее равномерное приближение;
2)	отрезок ряда Тейлора в точке х = 0;
3)	интерполяция с оптимальными узлами £1,2 = ±2'“1/2.
Построить эти многочлены и вычислить нормы погрешностей в
С[-1,1].
6.24.	Функция f(x) — е х приближается на [—1,1] многочленом
первой степени следующими способами:
1)	наилучшее равномерное приближение;
2)	наилучшее приближение в 1);
3)	отрезок ряда Тейлора в точке х = 0, т.е. интерполяция с узлами
Xi = х2 = 0;
4)	интерполяция с узлами xi = —1,а?2 = 1;
5)	интерполяция с оптимальными узлами я 1,2 ~
Построить эти многочлены и вычислить нормы погрешностей в
6.25.	Найти наилучшее приближение ех константой в норме
Lx (0,1).
6.26.	Пусть Р2 — пространство алгебраических полиномов вто-
рой степени с нормой ||р|| » |р(—1)| 4- |р(0)| 4- |р(1)|. Найти наилучшее
приближение функции р(х) = х2 € Р2 константой.
6.27.	Пусть n > 1 и заданы (ж*,!/*), к = 0,1, ...,п. Найти линей-
ную функцию р(ж) = ах + Ь, минимизирующую функционал
- ахк - Ь)2.
к=0
6.28.	Пусть А и х — вещественные nx п матрица и п-мерный
вектор, /(f) = ||Аж — ta||2 = у/(Ах - tx, Ах — tx). Доказать, что f(t)
t (Ах.х)
достигает минимума при t = -7--г-.
(х,®)
6.29.	Найти наилучшее приближение в L2(a,b) функции f(x) ал-
гебраическими многочленами Рп(х) степени п :
1)а = —1,Ь = 1; f(x) = |ж|; п = 1; 2)а = —1, b = 1; f(x) = ж2; n = 1;
3)а = —1, Ь = 1; f(x) = ж3; n = 1; 4)а = —1, b = 1; f(x) = ж3; п = 2;
29
Глава II. Приближение функций и производных
5)а = 0,6 = тг; f{x) = sin ж; n = 2; 6)а = 0,6 = 2; f(x) = ж3; n = 3.
6.30.	Для заданной функции f(x) найти алгебраический мно-
гочлен Рп(х) степени п, минимизирующий весовой функционал в
Т ( 1	т»тх гго Г	~ ВП(ж)) »
Ь2(—1,1) следующего вида J -----7 —------ах:
-1 у1 - ж2
1)/(ж) —	+ 2ж + 1), п = 1; 2)/(ж) = х2, n = 1; 3)/(ж) = ж3, п = 2.
§ 7. Приближение сплайнами
Пусть на отрезке [а, 6] вещественной оси задана сетка: а = xq < :
< xi < ... < хп = Ь, Pm (х) — множество многочленов степени не ]
выше m(m > 1), С^[а,6] — множество функций, имеющих на [а, 6]
непрерывные производные, до г - го порядка включительно (г > 0).
Функцию Sm(x) = Sm,k(x) называют полиномиальным сплайном
степени т дефекта к (1<к <т) с узлами {ж»}, i = 0,п для функ- |
ции f(x) € С[а,6], если выполнены следующие условия:	J
1) на каждом из отрезков [ж»,Ж£+1], i = 0,п — 1 она является ?
многочленом — Sm(x) е Рт(х);	|
2) на всем отрезке [а, 6] обладает непрерывностью производных I
- Sm(x)e&m-k\a,b].	|
В дальнейшем термин ”дефекта к” будет опускаться, так как в |
задачах рассматривается только случай к = 1.	|
Сплайн называется интерполяционным, если в узлах {ж»} cnpar f
ведливы равенства Sm(xi) = i = 0, п — 1.	J
Используются также локальные (аппроксимационные) сплайны, |
значения которых в узлах, как правило, не совпадают со значениями !
/(ж). Это обстоятельство не носит принципиального характера, так|
как при вычислениях обычно используются приближеные значения |
функций. Приведем построение локального сплайна третьей степени |
на сетке с постоянным шагом h = Ж£+1 — ж», г = 0, п — 1 для отрезка^
[0,1]. Для этого используется стандартный сплайн В (ж), определяем
мый соотношениями
в(х) =	| (2 - |х|):
.0
I
| - х2 + ||ж|3 при |а?| < 1,
I3 при 1 < |х| < 1
при 2 < |ж|.
Локальные сплайны третьей степени (ж) и (ж) записываются|
в виде
п+1	/	\
= £ а<‘>В	, *=1,2.
30
§ 7. Приближение сплайнами
При к = 1 доопределяют значения /-1 и /п+1 линейной интер-
поляцией по значениям /о,/1 и	соответственно и полагают
оц = fi (fi = при -1 < i < n + 1.
При к = 2 доопределяют значения	и /п+1,/п+2 кубиче-
ской интерполяцией по значениям /о,/ь/2,/з и /п,/п-1,/п-2,/п~з
соответственно и полагают а, = (8/» —	— Л-i) /6.
7.1.	Построить линейный интерполяционный сплайн по значе-
ниям /(0),/(1).
7.2.	Получить оценки погрешности приближения функции /(ж)
линейным интерполяционным сплайном на равномерной сетке с ша-
гом Л, если: 1)/(ж) € С(1)[0,1]; 2)/(ж) Е <7<2>[а, 1].
7.3.	Построить кубический интерполяционный сплайн по значе-
ниям/(0),/(1),/(2).
7.4.	Обозначим через Mi значения второй производной S3 (ж) ку-
бического интерполяционного сплайна в узлах {ж»}, i = 0,п. Пока-
зать, что они удовлетворяют системе линейных уравнений С М = d,
где
Г Л£
6
~F hj+i
<	3
6
IО
при j = i — 1,
при j — i,	A+l — fi _ fi — fi—1
^«+1	hi
при j = i + 1,
при \j - i| > 1;
I — 1,2,. . •, Th —- 1, hi — Xi Xi—j •
7.5.	Пусть в предыдущей задаче Mq = Mn = 0. Показать, что в
этом случае решение системы CM = d удовлетворяет неравенству
max IdJ
max UWi < 3------:--тг-т .
i<t<n-i ~ mm ЛЛ
l<i<n—1 1	1
7.6.	Пусть f(x) E C^[a,b] (|/^(ж)| < A4), задана сетка с по-
стоянным шагом hi = h, и дополнительные условия для определения
кубического интерполяционного сплайна имеют следующий вид:
S'3(xQ + 0) = /'(ж0), S3(xn - 0) = f’(xn).
Показать, что справедлива оценка погрешности
|S30(®) - /(0(®)1 < CiAth4-1, I = 0,1,2,3.
31
Г л а в a IL Приближение функции и производных
7.7.	Выписать приближенные выражения /-1 и /n+i, необходи-
мые для определения локального сплайна В^\х).
7.8.	Выписать приближенные выражения	и /п+ь/п+г,
необходимые для определения локального сплайна В^ (х).
7.9.	Показать, что значения В^\х) зависят только от значений
fi в четырех ближайших к х точках а значения В^\х) — в
шести. .
7.10.	Показать, что при любых функции (&) являются
(к}
сплайнами третьей степени, причем В% '(х) тождественно равны
нулю вне отрезка [-ЗЛ, 1 + ЗЛ].
7.11.	Показать, что:
В1°(хо) = /о, B^(xn) = /n, i = 1,2;
В^2)(х1) = Л, B<2)(xn_1) = /n_1.
7.12.	Пусть |/^(х)| < Ai при I = 2,3,4. Показать, что:
(B^(x))(°-/W(x)
(B<2)(x))(°-/W(x) <
< CiA2h2~l
CiA^h4-1,
I = 0,1,
1 = 0,1,2,3.
Глава III
Численное интегрирование
Рассмотрим интеграл вида
ъ
1(f) = У p(x)f(x)dx,
а
где [а, 6] — конечный или бесконечный промежуток числовой оси и
f(x) — произвольная функция из некоторого класса F. Если не ого-
варивается противное, то будем считать, что все f(x) непрерывны
на отрезке [а, Ь]. Заданная функция р(х) называется весовой. Бу-
дем предполагать, что на [а, Ь] она измерима, тождественно не равна
нулю и ее произведение на любую /(ж) € F суммируемо.
Для приближенного вычисления интеграла 1(f) строятся линей-
ные квадратурные формулы (квадратуры) следующего вида:
Sn(/)=i>/(*о.
t=l
Постоянные с» называются коэффициентами (весами) квадратуры, а
Xi — ее узлами.
Для каждой функции f(x)eF погрешность квадратурной фор-
мулы Sn(f) определяется как Rn(f) = 1(f)—Sn(f). При этом оценкой
погрешности на классе F называют величину
fln(F) = Sup|fln(/)|.
/€F
§ 8.	Квадратурные формулы интерполяционного
типа
Имеется большая группа квадратурных формул, построенных
на основе замены f(x) алгебраическим интерполяционным много-
членом. Пусть на конечном промежутке [а, Ь] по заданному набору
33
Г л а в a III. Численное интегрирование
различных узлов }”=1 функция /(ж) приближается интерполяци-
онным многочленом Лагранжа Ln{x) степени п — 1
t=l	J=1	‘	1
Положим
b	j
Sn(f) =	У p(x)Ln(x)dx.	\
а	]
Отсюда получаем явные формулы для набора коэффициентов
и оценку погрешности Rn:
где	J
||/(п)(я0|| =	|/(П)(ж)| > шп(х) = П(Ж “ • j
В оценках, приводимых ниже, также используется равномерная^
норма.
Квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные в |
случае весовой функции р(х) = 1 для системы равноотстоящих узлов,
называются формулами Ньютона — Котеса.
8.1.	Получить формулы Ньютона—Котеса и соответствующие!
оценки погрешностей при числе узлов п = 1,2,3.	|
8.2.	Рассмотрим формулы прямоугольников и трапеций. КакаяЗ
из них имеет лучшую точность?	|
8.3.	Пусть весовая функция р(х) четна, узлы Xi расположены!
симметрично относительно нуля, т.е. xn+i-i = —ж^, i = l,...,nJ
Доказать, что в интерполяционной квадратурной формуле для вы-|
числения интеграла
а
1(f) = У p(x)f(x)dx
—а
коэффициенты, соответствующие симметричным узлам, равны, т.е. ^
— i	, t — 1,. . . , П.
34
§8. Интерполяционные квадратуры
8.4.	Доказать, что для погрешности квадратурной формулы тра-
пеций справедливо представление
ь	ъ
%(/) = [ /(*) dx - ь~^ (f(a) + /(b)) = I [(a - <)(b - £)/"(£)
J	£ J
a	a
Составные квадратурные формулы. Рассмотрим задачи на
построение составных квадратурных формул и вывод оценок их по-
грешностей. Пусть h = (b — a)/N и х* = a + kh, k =
Введем следующие обозначения для отрезка
/W(/) = у p(x)f(x)dx, = $„(/), k = 0,...,N - 1.
Поскольку исходный интеграл 1(f) равен
N-l
/(/) = EW),
Jb=O
соответствующая составная квадратурная формула принимает вид
ЛГ-1
$?(/) = Е^Ч/),
k=0
а для ее погрешности справедливо неравенство
N-1
|я?(/)| < Е kfe)(/)| •
k=0
Например, в случае составной формулы прямоугольников
fc=0 '	'
а для погрешности на отрезке [ж*, Zfc+i] имеем неравенство
|^>(/)| < 11ГМН 1>)3 = Н/"(»)11 55 = НГЫ11 
35
Глава. III. Численное интегрирование
Следовательно, для всего отрезка [а,Ь] оценка погрешности имеет
вид
< = lirwil 
1
8.5.	Для вычисления j f{x) dx применяется составная формула
о
трапеций. Оценить минимальное число разбиений N, обеспечиваю-
щее точность 0.5 • 10"3 на двух классах функций:
1
1)||Лх)||<1;	2) /|Лх)|(*г<1.
о
8.6.	Получить оценки погрешностей для составной квадратурной
формулы трапеций
0	/	N—1
<V) = / f(x)dx- b-j^ ( i/(s0) + I f(xN) + £ f(xk)
a	'	*=1
следующего вида (hN = b — a):
8.7.	Найти оценку погрешности вычисления интеграла
1
/ f{x) dx при f(x) = ——J
J	1 + X*
0
по составной квадратурной формуле
S(f) = [/(0) + 4/(0.1) + 2/(0.2) + 4/(0.3) +... + 4/(0.9) + /(1.0)] /30.
8.8.	Найти оценку погрешности вычисления интеграла
f(x)dx при /(®) = т-^-2,
о
36
j 8. Интерполяционные квадратуры
по составной квадратурной формуле
S(f) = [/(0) + 2/(0.1) 4- 2/(0.2) + ... + 2/(0.9) + /(1.0)] /20.
8.9.	Оценить минимальное число разбиений отрезка N для вычи-
1
слепим интеграла f sm(x2)dx по составной квадратурной формуле
о
трапеций, обеспечивающее точность 10”4.
8.10.	Оценить минимальное число разбиений отрезка N для вы-
1
числения интеграла j exp(x2)dx по составной квадратурной фор-
о
муле прямоугольников, обеспечивающее точность 10~4.
8.11.	Оценить минимальное число узлов составной квадратурной
1	2
формулы трапеций для вычисления интеграла / ех dx, обеспечиваю-
о
щее точность е < 10“3.
8.12.	Оценить минимальное число узлов составной квадратурной
2
формулы Симпсона для вычисления интеграла J f(x)dx, обеспечива-
о
ющее точность е < 0.5 • 10“4 на классе функций, удовлетворяющих
условию sup |/<4)(х)| < 1.
х€[о,2]
8.13.	Написать квадратурную формулу для вычисления с точно-
стью 10”4 интегралов вида:
оо	оо
1)	У e~xf(x)dx-, 2) J хе~х f(x)dx.
о	о
1 2
8.14.	Вычислить интеграл f ех dx по формуле Ньютона — Ко-
о
теса с узлами rci = 0, х% = 1/4, х$ = 1/2, х^ = 3/4, ж5 = 1 и оценить
погрешность.
8.15.	Доказать справедливость следующих представлений по-
грешностей квадратурных формул:
ь
1)	[ f(x)dx -	(/(a) + 3f(	+ 3/	+ /(b)) =
J	о \	\ О /	\ о у /
а
\ о / oU
37
Глава III. Численное интегрирование
ъ
2)	I f(x)dx -	(7f(a) + 32/	+ 12/	+
а
+32/	+W))=- У й5 /(6)(е)> a < * <Ь;
\	4	/	/	\ 4 / У40
b
3)	[ f(x)dx -	+ /(b)) +	(/'(а) - /'(&)) =
J	А	Л.£
a
=^F/(4)(e)> а<^<ь-
8.16.	Пусть f G C^[—1,1] и Рь(х) — алгебраический полином
пятой степени, удовлетворяющий условиям P(xk) = /(жД P'(xk) =
= Г(хк), к = 1,2,3, где 5&i = — 1,Ж2 = 0,а?з = 1. Рассмотрим квадра-
турную формулу следующего вида:
W) =	(7/(-1) +16/(0) + 7/(1) + /'(-1) - 15/41)) •
10
Проверить, что
У Ps(x)dx = Sb(JPs),
-i
и доказать, что S^{f) точна на полиномах пятой степени, но найдется
полином степени 6, на котором она не точна.
ъ
8.17.	Пусть сд = ЛЯ* < оо, g < 2. Получить оценку
a
погрешности формулы трапеций	< rqCqh9, где тя — абсо-
лютная постоянная, Л — шаг интегрирования.
ь
8.18.	Пусть с9 = J|/<’)(x)|<fc < оо, g < 4. Получить оценку
a
погрешности формулы Симпсона 1^(7)! < pqCqhq, где pq — аб-
солютная постоянная, h — шаг интегрирования.
В следующих задачах рассматривается приближенное вычисление
интеграла
1
У fb(x)dx	(1)
о
от функции с параметром Ь:
. ( \ Г 0 при х = 0;
JbW ~ ХЪ ПрИ х £ (Q, ц.
38
§л
Метод неопределенных коэффициентов
где —1 < b < 1.
8.19.	Интеграл (1) вычисляется по составной квадратурной фор-
муле трапеций с постоянным шагом 1/N. Доказать, что суммар-
ная погрешность удовлетворяет соотношению Rn(/) ~ Di(b)/N1+b,
Рг(Ь)#о.
8.20.	Интеграл (1) вычисляется по составной квадратурной фор-
муле трапеций с распределением узлов xq = <p(q/N), <p(t) = £3/(1+ь).
Доказать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению
R(f)*D2(b)/N2, Р2(Ь)/0.
8.21.	Интеграл (1) вычисляется по составной квадратурной фор-
муле трапеций с распределением узлов xq = <p(q/N), tp(t) = ta. До-
казать, что при а > 2/(l> + 1) суммарная погрешность удовлетво-
ряет соотношению Я(/) « P(a,i)/№, D(a,b) / 0. Проверить, что
D(a,b) > D(b).
§ 9.	Метод неопределенных коэффициентов
Из явного вида оценок погрешностей для квадратурных формул
Sn(f) интерполяционного типа
Д» _ || / J»)|| у |р^|
а
следует, что они точны для многочленов Q(x), по крайней мере, сте-
пени п—1,т.е. для f = Qn-i(z) имеем Sn(f) = !(/). Поэтому если ин-
ft
тегралы вида J p(x)xk dx вычисляются просто, то коэффициенты с*
а
квадратуры могут быть вычислены из решения системы линейных
уравнений I(xk) = Sn(xk), fc = 0,..., n — 1.
Из условия точности квадратурной формулы на функциях задан-
ного вида можно получить уравнения (в общем случае нелинейные)
не только на коэффициенты, но и на узлы квадратуры.
Квадратурными формулами Чебышева называются квадратуры с
одинаковыми коэффициентами, т.е.
ад)=с£/(«д
к=1
b
1 Г ,
где с = — / р(х) dx.
n J
а
Их построение заключается в нахождении узлов хь из условий мак-
симальной алгебраической степени точности.
39
Г л а в a III.	Численное интегрирование I
9.1.	Получить формулу Симпсона методом неопределенных коэф-1
фициентов.	|
9.2.	Для	приближенного вычисления интегралов вида	|
г	I
1(f) = / sin(1007rx)/(x) dx
о
построить методом неопределенных коэффициентов квадратурную 1
формулу с заданными узлами S(f) = ci /(0) 4- С2 /(1). т	|
9.3.	Для вычисления интегралов:	I
I
2	0	1	|
1)К/)= [(x + l)f(x)dx-Mf)= [x2f(x)dx-,3)I(f) = [x2f(x)dx
{	Л	Л	|
построить формулы вида S(f) = С\ f(x) + С2 /(^2) с одним фикси- I
рованным узлом х, точные для	многочленов максимально высокой |
степени, если х = 0.	|
9.4.	Рассмотрим многочлен	|
Рп(х) = (х - Xi) • • • (х - хп) = хп + aix””1 4- а2хп~г + ••• +ап. |
Доказать, что:	|
Bi	= -аъ	|
t-
01JB1 4- В2 = “2а2,
cl2Bi 4- а±В2 4- В3 — —Заз,	|
4-	ап_2В2 4----h aiBn-i + Вп — —пап^	f
п
где Bj = £ j = 1,... n.	I
fc=i
9.5.	Построить квадратурные формулы Чебышева на отрезке!
[— 1,1] с весом р{х) = 1 для п = 2,3,4.	|
9.6.	Показать, что квадратурная формула	i
fe=i	i
для вычисления интегралов вида	|
J yl — x2
— 1
40
§9. Метод неопределенных коэффициентов
тонна для алгебраических многочленов степени 2п — 1.
9.7.	Показать, что квадратурная формула
для вычисления интегралов вида
1(f) = I f(x)dx
О
точна для всех тригонометрических многочленов с периодом си сте-
пени не выше п — 1.
9.8.	Пусть Т — треугольник на плоскости, А, В, С — середины
его сторон. Показать, что квадратурная формула
I[ f(x) dx « | mes (T)(/(A) + /(В) + /(C))
т
точна для всех полиномов второй степени вида
Оо 4" &1Х1 4" Л2Х2 4“	4- 012^1^2 4- ^22^2 •
Здесь х = (^1,2:2), dx — dxidx2>
9.9.	Пусть П — прямоугольник на плоскости, А, В, С, D —
середины его сторон, Е — центр прямоугольника. Показать, что
квадратурная формула
I[ fix) dx « I mes(II) (/(A) + /(В) + /(O') + /(D) + 2/(B))
п
точна для всех алгебраических многочленов от двух переменных тре-
тьей степени.
9.10.	Построить квадратурную формулу Чебышева с тремя уз-
лами для вычисления интегралов вида:
2	1	о
1)	У f(x)dx; 2) J f(x)dx; 3) j f(x)dx
00-1
Zo
f(x) dx.
-2
41
Глава III. Численное интегрирование
9.11.	Для вычисления интегралов вида:
01	я/2	2
1)	У х2 f(x)dx\ 2) У xf(x)dx\ 3)	cos(x) f(x)dx; 4) j\x + 2) f(x)dx
-2	о	о	о
построить квадратурную формулу вида ci/(0) + C2f(xz), точную для {
многочленов максимально возможной степени.	
9.12.	Построить квадратурную формулу вида	j
1
I f(x)dx^af(O) + af (2/3),	j
°	5
!
точную для многочленов максимально возможной степени.
9.13.	Построить квадратурную формулу вида	1
1	I
I f(x)dx « С1/(1/2) + с2/(2/3),	j
'о	I
точную для многочленов максимально возможной степени.	*
9.14.	Для вычисления следующих интегралов построить квадра-
турные формулы вида S(/) = ci/(0) + с2/(я2)> точные для многочле-
нов наиболее высокой степени:	|
0	2	i
I x2f(x)dx; I\х + l)f(x)dx.
-1 о	I
9.15.	Найти коэффициенты квадратурной формулы	I
%
2 
У f(x)dx » С1/(0) + с2/(1/2) + с3/(2),	j
0	i
точной на многочленах максимально возможной степени.	1
9.16.	Построить квадратурную формулу вида	I
ь	|
У eaxf(x)dx «	Ci/(a) + с2/(Ь),	1
а	1
точную для многочленов максимально	возможной степени.	1
42
jj 10. Квадратурные формулы Гаусса
9.17.	Определить параметры ci,62,2:2 так, что квадратурная
ь
формула У f(x)dx « ci/(a) + 02/(012) будет точна на многочленах
а
максимально возможной степени.
1
9.18.	Для вычисления интеграла J* x2f(x)dx построить квадра-
-1
турную формулу вида S(f) = ci/(-l) + с2/(х2) + с3/(1), точную для
многочленов максимально высокой степени.
9.19.	Построить квадратурную формулу по четырем равноотсто-
ящим узлам
6
У* f(x)dx « С1/(Ж1) 4- c2f(x2) + Сз/(ж3) + с4/(ж4)
a
максимальной степени точности.
§ 10.	Квадратурные формулы Гаусса
Рассмотрим следующую оптимизационную задачу. При заданном
числе узлов п построить квадратурную формулу
£»(/) = !>/(«<)	О
для вычисления интегралов вида
ь
1(f) = jp(x)f(x)dx,
a
точную для многочленов максимально высокой степени. Весовая
функция р(х) здесь предполагается почти всюду положительной.
В этой постановке имеется 2п свободных параметров (узлы Х{ и
коэффициенты Ci неизвестны), поэтому можно попытаться постро-
ить квадратуру, точную для многочленов степени 2п — 1. Легко убе-
диться в том, что не существует квадратуры с п узлами, точной
Для всех многочленов степени 2п. Действительно, возьмем Ргп(^) =
= (® - Х1)2 • • • (ж - ЖП)2. Тогда 0 = Sn(P2n) * 1(Р2п) > 0.
Важную роль при построении формул Гаусса играют ортогональ-
ные многочлены на отрезке [а, Ь] с весом р(х) > 0. Они могут быть
43
Гл а в a III. Численное интегрирование
получены, например, в результате стандартной процедуры ортого-
нализации, примененной к системе {1, ж,..., xk,...}, при скалярном .
произведении
Ъ
(f, 9)= I p(x)f(x)g(x) dx.
“	I
Пусть на отрезке [a, b] имеется система ортогональных многочле- |
нов с весом р(х)	|
{l,Vi(a:),^2(«),...	Мх),...	}.	I
Тогда многочлен fc-й степени ^(х) ортогонален	произвольному мно-1
гочлену Рп(х) при п = 0,..., к — 1. Действительно, многочлен Рп(ж) |
п	S
представим в виде Рп(х) = 52 СЛ’(Ж)> и при к / п имеют место!
i=o	J
равенства	1
ь	|
У	р(х)$к(х)$п(х) dx = 0.	I
В практических расчетах наиболее употребительны следующие!
ортогональные многочлены: Лежандра ([— 1,1], р(х) — 1), Чебышева|
([-1,1], р(х) = -===), Лагерра ([0, оо), р{х) = е-®), Эрмита!
V1	— х2 J	|
При построении квадратурных формул Гаусса ключевым явля-|
ется утверждение:	|
Пусть xi,...,xn — нули ортогонального многочлена сте-^
пени п и (1) — квадратура, точная для многочленов степени n — 1.J
Тогда квадратура (1) будет точна для многочленов степени 2п —1,|
Поэтому сам процесс построения может быть разбит на два по--|
следовательных этапа:	|
— нахождение нулей ортогонального многочлена,	1
— нахождение весов методом неопределенных коэффициентов.	|
Приведем оценку погрешности формул Гаусса	f
которая для случая [-1,1], р(х) = 1 имеет вид
я"=кг”>«и«даги)-
4
44
§ 10. Квадратурные формулы Гаусса
10.1»	Методом ортогонализации построить многочлены Лежан-
дра со старшим коэффициентом 1, ортогональные на отрезке [*-1,1]
с весом р(х) = 1.
10.2.	Доказать, что ортогональный многочлен степени п имеет
ровно п различных корней на отрезке [а, Ь].
10.3.	Доказать, что среди всех многочленов степени п вида
ь
Рп(х) = хп + ... минимальную норму ||Pn||2 = Jp(x)P2(x)dx имеет
a
ортогональный многочлен i/>n(x) со старшим коэффициентом 1.
10.4.	Для ортогональных многочленов вида фп(х) = хп + ...
показать справедливость рекуррентного соотношения
^п(я) = (ж + bn)^n-l(z) - Спфп^2(х)
с коэффициентом Сп > 0.
10.5.	Доказать, что ортогональные многочлены на симметричном
относительно нуля отрезке с четным весом р(х) обладают свойством
iM-x) = (-1)п^(ж).
10.6.	Пусть задан отрезок [а, Ь]. Доказать, что при b > a > 0 все
коэффициенты ортогонального многочлена отличны от нуля.
10.7.	Доказать, что нули ортогональных многочленов с фиксиро-
ванным на отрезке [а, Ь] весом р(х) > 0 перемежаются, т.е.
a < х(^ <	< ... <	< ®£п) < Ь.
10.8.	Построить квадратуру Гаусса с одним узлом для вычисле-
ния интеграла:
1 1
1)	1(f) = I xf(x) dx; 2) 1(f) = I exf(x) dx.
о	0
10.9.	Построить квадратуру Гаусса с двумя узлами для вычисле-
ния интеграла:
1	*/2
1)	1(f) = уx2f(x)dx; 2) 1(f) = У cosxf(x)dx.
—1	—тг/2
10.10.	Построить квадратуру Гаусса с тремя узлами для вычи-
сления интеграла
1
1(f) = I f(x)dx.
-1
45
Глава III. Численное интегрирование
10.11.	Доказать, что все коэффициенты квадратуры Гаусса по-
ложительны.
10.12.	Пусть весовая функция р(х) четна относительно середины
отрезка интегрирования — точки (а + Ь) / 2. Доказать, что узлы кваЛ
ь	|
дратуры Гаусса для вычисления 1(f) = J* p(x)f(x) dx расположены
а	‘
симметрично относительно (а+Ь)/2, а соответствующие симметрич-д
ным узлам коэффициенты квадратуры равны.
10.13.	На интервале (~oo,oo) найти ортогональный многочлен!
вида Фз(х) = ж3 4- ... при заданной весовой функции р(х) =|
= ехр(—х2).	I
10.14.	На отрезке [—1,1] найти ортогональный многочлен вида!
Фз(ж) = х3 4-... при заданной весовой функции р(х) = .	.
V1 — х2 |
10.15.	На отрезке [—1,1] найти ортогональный многочлен вида
Фз(ж) 4 х3 4-... при заданной весовой функции р(х) = >/1— я:*.	|
10.16.	На полуинтервале [0, оо) найти ортогональный многочлен!
вида Фз(ж) = х3 4-... при заданной весовой функции р(х) = ехр(—ш).|
10.17.	Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами!
для вычисления интегралов вида	J sin(ar) f(x) dx.	|
о	I
10.18.	Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами^
оо	J
для вычисления интегралов вида	/ ехр(—х) f(x)dx.	|
J	I
0	|
10.19.	Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами?
г /	1 \ 2
для вычисления интегралов вида J I х — - I f(x)dx.	|
0 4	I
10.20.	Доказать, что полиномы	не могут быть ортогй
нальны на [0,1] ни с каким весом р(х) >0.	|
10.21.	Для заданных co,ci,...,cn построить алгебраический п<Н
лином Рп(х) степени п, удовлетворяющий условиям	j

1
/ xkPn(x)dx = сл, fc = 0, l,...,n.
46
L Квадратурные формулы Гаусса
10.22.	Доказать, что для ортогональных многочленов Лежандра
w-1>”>
справедливы следующие соотношения:
1)£п(ж) = A-Г" f у -------, п > 0;
1 nv ’ nldtn \Vl-2to + tM t=0	~
0,
8) у xkLn(x)dx =	2n+1(n!)2
—1
, (2п +1)! ’
(°,
\И'г. = г 2
2)(n + l)Ln+i(x) - (2n + l)®Ln(®) + n£n_i(x) = 0, n > 1;
3)Ln+i(x) — Z/n_j(x) = (^n + 1)M®)> n > 1»
4)bn+i(x) ~ xL'n(x) = (n + l)Ln(x), n > 0;
5)xL'n(x) - L'n_i(x) = nLn(x), n > 1;
6)(x2 — l)L^(x) = nxLn{x) — nLn_i(x), n > 1;
7)(1 - x2)L"(x) - 2xL'n(x) 4- n(n 4- l)Ln(®) = 0, n > 0;
если 0 < k < n — 1,
если к = n;
если к / m,
.	।	если к = m:
Л	l2fc + l
i
10)	Если Ln(x*) = 0, то [ dx = -7—777------------FT n - 1;
J (x-Xk (n + l)Ln+i(xk)
— 1
[n/2]
U)Ln(x) = 2-« £(-1)fcC*C2nn_2fcxn-2\ n > 0.
fc=0
10.23.	Пусть xi,X2,...,xn — корни полинома Лежандра Ln(x) и
Г n х — х
= / IT ~——dx. Доказать, что если f,g — алгебраические мно-
J тл Хк~ х»
гочлены степени п - 1, то
п
f(x)g(x)dx = 527fc/(®fc)»(®fc)-
fc=l
47
Глава III. Численное интегрирование
10.24.	Доказать следующие свойства узлов и коэффициентов
квадратурной формулы Гаусса Sn(f) для вычисления интеграла
1
1)	Ln(^fc) = 0, к = 1,2,где Ln — ортогональный много-
член Лежандра степени п;
2
2)С* (n + l)Ln+1(xk)L'n(xky к 1’2’"’п;
3)ci —	~k = 1 2 п-
2
п.
4)С* к 1>2’-
10.25.	Пусть еп — погрешность на функции /(х) = х2п квадра- <
турной формулы Гаусса с п узлами. Вычислить еп и показать, что |
lim 22nen = тг.	I
п~>оо .
10.20.	Показать, что квадратурная формула	J
®з(Л = ^[/(-Д)+4/(0) + /(У|)) i
для вычисления интеграла е х* f(x)dx точна для всех алгебраи-
—оо
ческих полиномов пятой степени.
10.27.	Показать, что квадратурная формула

-г I	/	</Ч \	I
О \	\	£> /	\ 4W
1
dx точна для всех алгебраиче-
для вычисления интеграла / -
J v
-1
ских полиномов пятой степени.
10.28.	Для вычисления следующих интегралов построить квадра-
турные формулы Гаусса с одним узлом:
х	1	;
1)	У x2f(x)dx; 2) j \x\f(x)dx.	*
о	-i	;
48
§10. Квадратурные формулы Гаусса
10.29.	Для вычисления следующих интегралов построить квадра-
турные формулы Гаусса с двумя узлами:
1 1
1)	У \x\f(x)dx; У x4f(x)dx.
-1	-1
10.30.	Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами
1
для вычисления интеграла J* p(x)f(x)dx, р(х) — весовая функция:
о
l)p(x)=x; 2) р(х) = зштгж; 3) р(х) = еж;
4)	р(х) = 1п(1 4- ж); 5) р(х) = 1 - х\ 6) р(х) = е“ж.
10.31.	Построить квадратуру Гаусса с четырьмя узлами для вы-
числения интеграла
1
Д/) = У f(x)dx.
о
10.32.	Пусть f(x) — функция, интегрируемая по Риману. Дока-
зать, что для формул Гаусса Rn(f) -* 0 при п -> оо.
10.33.	Построить составную квадратурную формулу Гаусса с
двумя узлами на каждом отрезке разбиения для вычисления интегра-
ь
лов вида У eaxf(x)dx, eax—весовая функция. Оценить погрешность
а
построенной формулы.
10.34.	Доказать, что не существует квадратур с п узлами, точ-
ных для всех тригонометрических полиномов степени п.
10.35.	Введением весовых функций и заменой переменных х =
= p(t) свести построение квадратуры Лобатто
Г	п
/ f(x)dx « J>j/(dj), do = -1, dn = 1,
-1	>=о
к построению некоторых квадратур Гаусса.
49
Глава III. Численное интегрирование
§ 11. Главный член погрешности
Будем считать промежуток [а, Ь] конечным и предположим, что
f(x) имеет на [а, Ь] непрерывные производные до порядка m + $.
п
Возьмем квадратурную формулу Sn(f) = £ cif(xi)-
i=i
b
jp{x)f{x)dx^Sn{f) + Rn(f),
a
имеющую алгебраический порядок точности m -1, и рассмотрим ее i
погрешность Яп(/)*
ь
W) = I f{m4t)K(t)dt.
a
Здесь ядро K(t) имеет вид
=/*>	 t){^w •
где ” гасящая” функция Е(х) определяется формулой
{1 при х > О,
| при х = О,
О при х < 0.
Имеет место представление Эйлера для погрешности:
Rn(f) = RM = А)	- /"-^(а)] + ...
... + А,_1 [/"‘+'-2)(Ь) - /<га+*-2)(а)] + Rn+'tf),
b	t
Aj = -	f Lj(t)dt, Lj+i = f [Aj —	dx, Lq(i) = К(t),
O cl j	j
a	a
b
Rm+»(f) = I f{m+‘4t)L,(t)dt.
a
Главным членом погрешности обычно называют первое слагаемое в
этом представлении.
50
11.	Главный член погрешности
Правило Рунге. Пусть на отрезке длины h для вычисления ин-
теграла 1(f) используется некоторая квадратурная формула Sh(f),
умеющая алгебраический порядок точности m — 1. После разложения
f(x) в ряд Тейлора в середине отрезка (точке с) получим:
1(f) - Sh(f) = af<m\c)hm+1 + О (hm+2) .
Обозначим через 5д/2(/) составную формулу, полученную примене-
нием формулы Sh(f) для двух половинок отрезка длины h. Тогда с
тем же а находим:
Ми+1
1(f) - Sh/2(f) = af(m4c)^— + О (hm+2) .
Следовательно, с точностью до членов О (hw+2) справедливо следу-
ющее правило Рунге:
Т( £\ с / /\	§h/2(f)	&h(f)
*\j)	^h/2\f) ~ 2m _ 1
11.1. Пусть интеграл
b
1(f) = I f(x)dx,
a
где f(x) — гладкая функция, вычисляется по составной формуле тра-
пеций S% (/) с постоянным шагом h =	.
1) Показать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотно-
шению
R2 = сцЛ2 + 4е 4- ... .
2) Показать, что
Л2 Г
R?(f) = 1(f) ~ S?(f) = ~ / f'(x)dx + Z(f), Z(f) = o(h2).
AM J
a
3) Пусть |/<3)(а:)| < Мз на отрезке [a, 6]. Показать, что |Z(/)| <
<c3M3(b-a)h3.
4) Пусть |/^4)(а:)| < М4 на отрезке [а, Ь]. Показать, что |£(У)| <
< Mi(b - а)Ь*.
51
Глава III. Численное интегрирование
1
11.2. Пусть У f(x)dx вычисляется по составной формуле тра-
о
пеций с переменным шагом интегрирования: ж* =	<p(t) —
гладкая функция. Доказать, что главный член погрешности есть
1
"12^ /
О
11.3.	Пусть интеграл
ъ
1(f) = f f(x)dx,
a
где f(x) — гладкая функция, вычисляется по составной формуле
Симпсона S$(f) с постоянным шагом h =	. Показать, что
для составной формулы Симпсона суммарная погрешность удовле-
творяет соотношению
R?(f) = b1hi + b2h6 + ... .
11.4.	Пусть интеграл
1
У xxf(x)dx,
о
где /(ж) — гладкая функция и /(0) / 0, вычисляется по составной
формуле трапеций с постоянным шагом h = —. Показать, что при
-1 < А < 1 суммарная погрешность удовлетворяет соотношению
11.5.	Используя Sh и Sh/2i построить квадратурную формулу
более высокого порядка.
11.6.	Пусть Mi, М2 — количества узлов одной и той же квадра-
турной формулы Sm с порядком точности 0(1/М2).
1)	Доказать справедливость приближенного равенства:
1(f) - SM1(f) « I (SM3(f) - SM1(f)) •
О
52
§12. Функции с особенностями
2)	Доказать, что выражение Smi (/) + (*5м2(/) — Змг (/)) совпа-
дает с квадратурной формулой Симпсона.
11.7.	Показать, что при применении правила Рунге к формуле
трапеций получается формула Симпсона. Насколько при этом увели-
чится порядок главного члена погрешности?
11.8.	Показать, что операция построения формулы
с - с . ^Л/2 ” $h
bh,h/2 - ЬЛ/2 + 1>2т—“
является экстраполяционной, т.е. при Sh / Sh/2 величина S^h/2 все-
гда лежит вне отрезка с концами Sh и Sh/2 •
11.9.	Пусть для вычисления интеграла от некоторой функции ис-
пользуется квадратурная формула, фактический порядок точности р
которой неизвестен для данной функции. Предложить способ числен-
ной оценки значения порядка р.
11.10.	Пусть имеется некоторый метод решения задачи с погреш-
ностью 1(f) — Sm(J) « c/Mm и вычислен интеграл с Мi и М2 = AMi
отрезками разбиения. Показать, что
SMa(f)-SMl(f)
Xm -1
1(f)-Sm,
Здесь имеется в виду предельный переход при М2 -> оо, А = const.
11.11.	Пусть 1(f) — Sm(F) = cjMm 4-0(l/jW”*+1). Доказать, что
I(f)-SMi(F)*
sM2(f)-sMAf)
(M2/Mi)m -1
при условии, что Mi, М2 — Mi -4 00.
11.12.	Пусть 1(f) — Sm(F) = c/Mm + O(l/Mm+2). Доказать, что
1(f) -SMi(F)»
sM,(f)-sM,(f)
(M2/Mi)m -1
при условии, ЧТО Ml -> OO, М2 > Ml.
§ 12. Численное интегрирование функции
с особенностями
Быстро осциллирующие функции. Пусть требуется вычи-
ь
слить интеграл j exp{iwx}f(x)dx, где u>(b — а) 1, f(x) — глад-
а
кая функция. Функции Re(exp{«wi}y(x)), Im (exp{tw«}/(®)) имеют
53
Г л а в a IIL Численное интегрирование
на рассматриваемом отрезке примерно о>(Ь — а)/тг нулей. Поскольку
многочлен степени п имеет не более п нулей на этом отрезке, такие
функции могут быть хорошо приближены многочленами степени п
лишь при n » о>(Ь - а)/тг. Поэтому для непосредственного вычисле-
ния интегралов от таких функций потребуется применение квадра-
тур, точных для многочленов очень высокой степени.
Более выгодным может оказаться использование ехр{йиж} в ка-
честве весовой функции. Зададимся узлами интерполирования
b + a , b-a, .	Л
хз ~ 2 + 2	J	2,..., п,
построим многочлен Лагранжа Ln(x) и рассмотрим квадратурную
формулу
ъ
Sn(f) = f exp{io3x}Ln(x)dx =
(1) :
Ь — а f.	( b —a\ z .
= ___ exp Aw—
\	V	J j=1	\	/
где
1 /	\
Di(p) = [ ( П 7 I exp{»p£}<.
При этом оценка погрешности
не зависит от u?.
12.1.	Для приближенного вычисления интегралов от быстро ос-
циллирующих функций вида
1
1(f) = У cos (104тга;) f(x)dx
о
построить методом неопределенных коэффициентов квадратурную
формулу с заданными узлами S(f) = С1/(0)+С2/(1).
12.2.	Построить формулу вида (1) для п = 2, di = -1, d2 = 1.
12.3.	Построить формулу вида (1) для п = 3, di = -1, ,
d2 = 0, </3 = ] (формула Филона).
54
jj 12. Функции с особенностями
12.4.	Построить формулу вида (1) для п = 5, di = —1,
= —0.5, с?з = 0, с/д — 0.5, (/5 = 1.
12.5.	Показать, что при малых си полученные в предыдущих за-
дачах формулы неудовлетворительны с точки зрения оценки вычи-
слительной погрешности.
Вычисление интегралов от функций с особенностями. Су-
щественную часть реально встречающихся подынтегральных функ-
ций составляют функции с особенностями, причем особенность
может содержаться либо в функции, либо в ее производных. Если
нерегулярность функции не вызвана колебательным характером ее
поведения, то для вычисления больших серий интегралов такого типа
применяется ряд специальных приемов: выделение особенности в ве-
совую функцию, разбиение интеграла на части, аддитивное предста-
вление подынтегральной функции, замена переменных и т.д.
1
12.6.	Пусть вычисляется интеграл 1(f) = j* f(x)dx, причем f(x)
о
может быть представлена в виде f(x) = д(х)ха, где а € (0,1), д(х)
— гладкая функция, р(0) / 0. Построить квадратурную формулу
вида
м
Ч—°
с оценкой погрешности const • max |^//(ж)| *
ж€[0,1]
12.7.	Пусть вычисляется интеграл
1
/6<Я([О,1]), |А| « 1.
J Л "Г X
о
Показать, что при использовании составной формулы трапеций с по-
t 1
стоянным шагом h = — суммарная погрешность оценивается через
. . ( 1	1 А
const • mmI -77т-,--7 |.
(NX)2)
12.8.	Для вычисления интеграла
о
55
Глава III. Численное интегрирование
используется следующая квадратурная формула с постоянным шагом
м
.	(}h\	- 1)Л
arctan I — - arctan I-------
\ b J	\ b
где (j — l)h <	< jh. Получить оценку погрешности
\RM\ < const • max \f'(x)| • M \
*6(0,1]
/1п X -	о
14- ж2 п0 составнои квадра-
о
турной формуле с постоянным шагом Л, чтобы погрешность имела
порядок О (Л2)?
12.10\ Как вычислять интеграл j	по составной квадра-
о
турной формуле с постоянным шагом Л, чтобы погрешность имела
порядок О (Л4)?
1	х	I
12.11	. Как вычислять интеграл /	-5—rzdx, где b <£ 1?	?
J	X* + (Г	J
о	i
12.12	. Предложить квадратурную формулу для вычисления ин- ।
теграла f(x)x~a sin(ux)dx, где а > 1, о; » 1, /(0) /0.	|

12.13	. Построить квадратурную формулу для вычисления инте- |
оо
//(ж)
-  da;, где |/(х)| < const.
1 + X*
1
12.14	. Построить квадратурную формулу для вычисления инте-
оо
грала / f(x)e~xdx, где |/(ж)| < const.
i
12.15	. Для вычисления интеграла
1
l/^l^l, k = 0,1,2,
у/Х	I I
О
56
§12. Функции с особенностями
с точностью е = 10~3 построить квадратурную формулу с числом
узлов, меныпим 100 (не проводя замену переменных).
12.16	. Построить квадратурную формулу для вычисления с точ-
ностью 10~4 интегралов вида:
о
о
при условии, что |/"(ж)| < 1.
Глава IV
Матричные вычисления
§ 13.	Векторные и матричные нормы
Нормой вектора х = (xi,..., хп)Т называется функционал, обо-
значаемый ||х|| и удовлетворяющий следующим условиям:
||х|| >0, если х/0, ||0|| = 0,
||ах|| = |а| ||х||,
||х + у|| <||х|| + ||у||.
Наиболее употребительны следующие нормы:
ХИ*, = max |ач|, ||х||1 =J2|xf|, ||х||2 = .	= \/(х,х).
1-’^п	\ i=i
Нормы || * ||i и || • ||п называются эквивалентными, если для всех <
х е Rn справедливы неравенства с одними и теми же положитель- |
НЫМИ ПОСТОЯННЫМИ Ci И С2 :	{
С1 ||х||ц < ||x||i < с2 ||х||п.	!
Нормой матрицы А называется функционал, обозначаемый ||А|| |
и удовлетворяющий следующим условиям:
||А|| > 0, если А/0, ||0|| = 0,
||аА|| = |а|||Л||,
||А + В||<||А|| + ||В||,
ЦАС-Ц < ||А||||С||.
Пусть задана некоторая векторная норма || • || у. Тогда матрич-
ную норму можно определить как операторную:
МП= sup ' |fv7^V = sup ||Ах||у.
||X||v#0 l|x||v ||x||v=l
58
§13. Векторные и матричные нормы
В этом случае матричная норма называется подчиненной векторной
норме || • ||у.
13.1.	Является ли выражение
min(|xi| + 2|x2|,2|xi| + |ж2|)
нормой вектора х в R2 ?
13.2.	Является ли выражение
max V* Xktk 1
te[o.i]
нормой вектора х в Rn ?
13.3.	Найти константы эквивалентности, связывающие нормы
||х||оо > ||х||i, ||х||2, а также векторы, на которых они достигаются.
13.4.	Доказать, что если С — симметричная положительно опре-
деленная матрица, то у (Сх, х) можно принять за норму вектора х.
Найти константы эквивалентности, связывающие эту норму с нормой
1М|2.
13.5.	Найти матричные нормы, подчиненные векторным нормам
IHloo И ||.||2.
13.6.	Показать, что модуль любого собственного значения ма-
трицы не больше любой ее нормы.
13.7.	Пусть А — вещественная (пхт)-матрица, х — веществен-
ный т-вектор и у — вещественный n-вектор. Доказать следующие
три свойства спектральной нормы:
||А||2 = max |угАх|, ||ЛТ||2 = ||А||2, ||АТА||2 = |ЩТ||2 = ||<2.
||Х||2=1
ПУ||2=1
13.8.	Пусть А — вещественная прямоугольная матрица. Пока-
зать, что умножение ее справа или слева на ортогональную ма-
трицу Q соответствующих размеров не меняет ее спектральную
норму.
(п \
Z2 lavl) > показать справедли-
г=1	/
вость неравенства
1И111 < 1И1|1||А||оо.
13.10.	Рассмотрим функцию от элементов матрицы
= max|aij|.
59
Глава ГУ. Матричные вычисления
Показать, что т](А) не может быть нормой в пространстве матриц
(хотя и является нормой вектора в Rnxn).
13.11.	Доказать, что выражение М(А) = пт)(А) является ма-
тричной нормой.
13.12.	Доказать, что для вектора х = (zi,X2) и h > 0 выраже-
ние ||x||/i = max	является нормой. Найти матрич-
ную норму, подчиненную этой векторной норме.
/ n \1/2
13.13.	Пусть #(Л) = I 12 alу)	• Показать, что N(AB) <
\м=1	/
<	A)N(B), и найти константы эквивалентности, связывающие
N(A) и нормы || * ||1, |Н|2 Ц-lloo.
13.14.	Пусть числа dk > 0, к = 1,п . Доказать, что max (<4|зд|)
есть норма вектора х. Найти норму матрицы, подчиненную этой
векторной норме.
___	п
13.15.	Пусть числа dk > 0, к = 1,п. Доказать, что 52
есть норма вектора ,х. Найти норму матрицы, подчиненную этой
векторной норме.
____	/ п
13.16.	Пусть числа dk > 0, к = 1,п. Доказать, что </ ]>2 <4 я*
у fc=l
есть норма вектора х. Найти норму матрицы, подчиненную этой
векторной норме.
/I i
13.17.	Доказать, что max 11Г
1<<<п \|*:=1 ь
Найти норму матрицы, подчиненную этой векторной норме.
13.18. Пусть М(А) = п • max |ои|. Найти наилучшие
станты Ci, С2 в матричном неравенстве
Ci М(А) <\\А\\2<С2 М(А).
13.19. Пусть М(А) = п • *тах |о#|. Найти наилучшие
станты Ci, С2 в матричном неравенстве
есть норма вектора х.
кон-
кон-
Ci М(А) < ИЬ < С2 М(А).
/ п \ Vp
13.20.	Пусть ||х||р = I 12 1х*1р )	> Р > 1- Доказать неравенство;
Йенсена:
IMIp < ||х||„ 1<д<р<оо.
60
§ 13. Векторные и матричные нормы>
13.21.	Доказать, что при х € Rn справедливо равенство
Нт ||х||р = ||х||оо.
р—юо
13.22.	Доказать, что для любой нормы пространства Rn имеет
место утверждение:
х* ->х <=> х* -> Xi Vi = 1,2, ...,n.
13.23.	Пусть || • || — векторная норма в Rw и А е *Rmxn —
прямоугольная m х п матрица. Показать, что если ранг матрицы
rank(A) = п, то ||Ах|| — векторная норма в Rn.
/ п х Vp
13.24.	Проверить, что ||х||р = I $3 1х*1р)	» Р > 1, является
нормой в пространстве Сп векторов с комплексными координа-
тами. Показать, что при х € Сп справедливо неравенство ||х||р <
< c(||Re[x]||p 4- ||Im[x]||p), с = const. Найти такую постоянную со,
что co(||Re[x]||2 + ||1ш[х]||2) < ||х||2 для всех х € Сп.
13.25.	Пусть || • || — некоторая норма в Rn. Доказать, что ра-
венство
x|L = max-
У#о
также задает норму в Rn, называемую двойственной к || • ||.
13.26.	Пусть 1 < р < оо и В — любая подматрица квадратной
матрицы А. Доказать, что ||В||Р < ||А||Р.
13.27.	Доказать, что если D = diag(di,d2,...,dfc) € Rwxn, где k =
= min{m,n},T0 ||D||P = max|di|.
13.28.	Пусть В — невырожденная матрица, || • || — некото-
рая норма в пространстве векторов размерности п. Доказать, что
||х||* = = ||Вх|| также является нормой в пространстве векторов.
Какая норма в пространстве матриц порождается нормой ||х||* в
пространстве векторов?
13.29.	Показать, что если А — невырожденная матрица, то
||А|Г = mf ||Лх||/||х||.
13.30.	Доказать неравенство ||А||2 < ||А||1/2|АТ||1/2 для любой
нормы А, подчиненной какой-либо векторной норме.
13.31.	Доказать, что если А = Аг, то
.	(Ах,х)
А 2 = шах-м ||2~.
х 2
61
Глава Ту, Матричные вычисления
13.32.	Пусть || • || — норма в пространстве матриц, подчиненная
некоторой норме векторов. Доказать, что для любых матриц А и В
справедливо неравенство Ц АВ|| < ||А(| ||В||.
13.33.	Пусть А = Ат > 0 и ||х||л = (Ах,х)1/2. Доказать, что для
произвольного многочлена pm(t) степени m > 0 верно равенство
||Рт(Л)||А = ||Рт(Д)||2.
13.34.	Пусть А — Ат > 0 и F(x) = 1/2(Ах,х) — (Ь,х) квадра- <
тинная функция. Доказать, что:
1)	F(x) = 1/2||х- x’|ft - 1/2||х*||2,	А
где х* — точное решение системы Ах — Ь;
2)	равенство F(x*) = min F(x) выполнено тогда и только тогда, г
xeR"
когда х* — решение системы Ах = Ь;
3)	для градиента функции F(x) справедлива формула
VF(x) = Ах - b.	1
13.35.	Доказать, что если (Ах, х) > 0 для всех х, то существует J
постоянная 6 > 0, не зависящая от х, и такая, что (Ах,х) > <У||х||2 J
для всех х.
13.36.	Привести пример положительно определенной в Rn ма- |
трицы, спектр которой не является вещественным.
13.37.	Доказать, что нормы матрицы А, определенные равен-
п , £
ствами М(А) = п шах |ау| и N(A) = (	а?,)1'2, не подчинены |
1<М<п	iJ=l	|
никаким векторным нормам.	|
13.38.	Показать, что для любого собственного значения А(А) не- I
вырожденной матрицы А справедлива оценка 1/||А-1|| < |Л(А)|.	|
13.39.	Доказать, что для любого собственного значения А(А) маг I
трицы А справедливо неравенство |А(А)| < inf ||Afc||1/fc, где к — на-
туральное число.
13.40.	Доказать, что если А — нормальная матрица (ААТ = f
= АГА), то ||А||2 = р(А), где р(А) — спектральный радиус ма-1
трицы А.
13.41.	Убедиться, что п х п - матрица А при п > 2 не определя-
ется полностью квадратичной формой (Ах,х), т.е. найдутся две не |
равные матрицы А и В, для которых (Ах,х) = (Вх,х).	j
62
§ 14. Элементы теории возмущении
§ 14.	Элементы теории возмущений
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Ах = b
с квадратной невырожденной матрицей А.
При ее решении в результате вычислений с конечной разрядно-
стью вместо х получается приближенное решение х, которое можно
рассматривать как точное решение возмущенной системы
(А + <5А)х = Ь,
где матрица возмущений 6А мала в каком-либо смысле.
Другой источник ошибок в х определяется возмущениями 6А и
<5Ь в элементах матрицы Айв компонентах вектора правой части b
(например, вследствие ошибок округлений, возникающих в процессе
ввода вещественных чисел в память компьютера).
Для оценки того, насколько приближенное решение х отличается
от точного решения х, используются нормы векторов и подчиненные
нормы матриц, для которых норма единичной матрицы равна 1.
Пусть в системе Ах = b возмущается только вектор Ь, т.е. вме-
сто исходной системы решается возмущенная система Ах = b =
= b + <Sb, и пусть х — точное решение возмущенной системы. Тогда
для относительной ошибки в х верна оценка
ИНГ1	= 1И11 ИЛ-H .
Величина ||А|| ||А~1|| называется числом обусловленности ма-
трицы А и часто обозначается cond(А). Для вырожденных матриц
cond(A) = оо. Конкретное значение cond(A) зависит от выбора ма-
тричной нормы, однако в силу их эквивалентности при практических
оценках этим различием можно пренебречь.
Из приведенного выше неравенства следует, что даже если вектор
невязки г = b — Ах мал, относительные возмущения в решении мо-
гут быть большими, если cond(A) велико (такие матрицы называют
плохо обусловленными).
14.1.	Доказать неравенство
II*-*11	||b — Ь|| _	, . I|b-Ах||
||х||	“ d(A) ||b||	— cond(4) |(ь||	.
63
Г л а в a IV. Матричные вычисления
14.2.	Показать, что cond(A) > 1 для любой матрицы А и
cond2(Q) = 1 для ортогональной матрицы Q.
14.3.	Можно ли утверждать, что если определитель матрицы мал,
то матрица плохо обусловлена?
14.4.	Пусть дана жорданова клетка порядка п:
	/1	а	0 ..	.. 0	°\
	0	1	а	.. 0	0
А =					
	0	0	0 ..	.. 1	а
	\ 0	0	0 ..	.. 0	1 /
Вычислить condoo(A) и оценить возмущение в компоненте zi ре-
шения системы Ах = Ь, если компонента Ьп вектора b возмущена
на е.
14.5.	Решается система Ах = b с матрицей
(1 t 1\
t е е I , |е|	1, t = — 1.
1 е е)
После замены х{ = xi, х2 = ех2, х'3 = ехз для нахождения новых
неизвестных х1 возникает система А'х' = Ь' с матрицей
(е t 1 \
ill.
1 i 1/	|
В каком случае число обусловленности меньше?	ч
14.6.	Пусть А = Ат > О, А(А) € [т,М] и А / /ЗЕ. Доказать, что?
cond2(A + аЕ) монотонно убывает по а при а > 0.
14.7.	Существуют ли несимметричные матрицы, для которых^
справедливо неравенство: cond2(A) = cond(A2) >1?
14.8.	Доказать неравенство	'
1 < condi(A) <п	|
п ” cond2(A) ~
I
14.9.	Пусть
.	/100 99 \	f
\ 99 98/'	$
Доказать, что данная матрица имеет наибольшее число обусловлен*
ности cond2(A) из всех невырожденных матриц второго порядка^
с л	.>
i
§14. Элементы теории возмущении
элементами которых являются положительные целые числа, меньшие
или равные 100.
14.10.	Пусть для некоторого 1 > а > 0 и элементов каждой
строки i невырожденной матрицы А выполнено неравенство
Л |ай| >	Iav |*
Оценить снизу и сверху condo© (А) , используя только диагональные
элементы матрицы.
14.11.	Пусть R — треугольная матрица размера п х п, у ко-
торой: 1) |гу| < 1 для всех г, J; 2) Гц = 1 для всех г. Найти
максимально возможное значение числа обусловленности condoo(B) .
14.12.	Оценить снизу и сверху condoo(A), используя границы
сингулярных чисел невырожденной матрицы А размера п х п:
Х(АТА) е
14.13.	Оценить cond2(A) (п х п)-матрицы
	/2 -1	0	0 ...	0	0 \
	-1 2	-1	0 ...	0	0
	0 -1	2	-1 ...	0	0
А =					
	0	0	0	0 ...	2	-1
	\ 0	0	0	0 ...	-1	2 /
14.14.	Матрица Уилкинсона
А =	/ 20	20	0	0	...	0	0	\ 0	19	20	0	...	0	0 0	0	18	20	...	0	0
	0	0	0	0	...	2	20 \ 0	0	0	0	...	0	1	/
имеет наименьшее по модулю собственное значение, равное 1. Как
оно изменится в результате возмущения первого элемента последней
строки на величину е = 20“19 • 20! « 5 • 10“7?
14.15.	Пусть Е — единичная матрица и ||JE|| < 1. Показать, что
матрица Е — 6Е невырожденная и выполнена оценка
14.16.	Пусть Е — единичная матрица и ||5Е|| < 1. Получить
оценку отклонения матрицы Е от матрицы (Е — 6Е)"1.
65
Глава IV. Матричные вычисления
14.17.	Пусть А — невырожденная матрица и ||А~ 15А|| < 1. По.
казать, что матрица А + 5А невырожденная и выполнена оценка
||(А+ <$А)-1|| <
1|л-х||
1 - ||А-ЧА|| '
14.18.	Пусть А — невырожденная матрица и ||А“15А|| < 1. По-
лучить оценку отклонения матрицы (А + 5А)"1 от А-1.	г
14.19.	Найти решения двух систем с близкими коэффициентами:;
,	I
I х + Зу	=	4,	4
| х + 3.00001г/	=	4.00001;	j
( х + Зу	=	4,	i
[ х + 2.999991/	=	4.00001;	?
-	t
и объяснить результат.
14.2^0	. Пусть А — квадратная матрица порядка п с элементами!
Gij = {р для i = j, q для i — j-1, 0 для остальных индексов }. Вычи-|
слить матрицу А”1 и показать, что при |д| < |р| матрица А хорошо^
обусловлена, а при |д| > |р| и больших значениях п — плохо обусло-|
влена.	8
14.21.	Пусть А определена как в предыдущей задаче. Выразить^
явно решение системы Ах = b через правую часть.	|
14.22.	Доказать, что cond(AB) < cond(A) cond(B) для любой за-|
данной нормы в определении числа обусловленности и для любых ква*|
дратных матриц.	|
14.23.	Пусть	1
/°	1	...	о\	i
Ап(а) =	л
м ' о о ... 1	е
\а	0	...	0/	/
— матрица размерности п х п. Доказать, что характеристическое?
уравнение матрицы Ап(о) имеет вид Ап = а. Сравнить собственные^
числа близких матриц А2о(2“20) и АгоФ).
14.24.	Оценить снизу число обусловленности cond2 А матрицы:
/ 10	10	30 \	/ 1	20	-400	\
1)	А =	I 0.1	0.5	0.1	; 2) А =	| 0.2	-2	-20	.
\0.03	0.01	0.01/	\-0.04	-0.2	1	/	|
66
15- Метод простой итерации
14.25.	Система Ах = Ь, где
(2
-1
1
-1
1О-10
Ю-io
1
1Q-10
КГ10
С2(1 + 10-1О\
-ПТ10
1О~10	/
имеет решение х = (1О“10,—1,1). Доказать, что если (А 4- Е)у = Ь,
|£| < 10~8|А|, то |ж — з/| < 10“7. Это означает, что относительно
малые изменения в элементах матрицы А не приводят к большим
изменениям в решении, хотя condo© (-4) = Ю10.
14.26.	Получить неравенство cond(A) > |Amax(-A)/Amin(A)| для
произвольной невырожденной матрицы А и любой матричной нормы,
используемой при определении числа обусловленности. Верно ли, что
если отношение соответствующих собственных чисел велико, то ма-
трица обязательно будет плохо обусловленной?
14.27.	Пусть пхп — матрица А такая, что an > £ |%| >aij < 0,
при j i. Доказать, что матрица А”1 имеет только положительные
элементы.
14.28.	Пусть пхп — матрица А такая, что ан > £2 l°v I» av <
0, при j / г. Пусть, далее, С = А + <хЕ, а > 0. Доказать, что
(А"1),,- > > Vi,j.
§ 15.	Метод простой итерации
Преобразуем систему линейных алгебраических уравнений
Ax = b	(1)
с невырожденной матрицей А к виду
х = Вх + с.	(2)
Если решение системы (2) находится как предел последовательности
хж=ВхЦс,	(3)
то такой процесс называется двухслойным итерационным методом,
или методом простой итерации. При этом В называется операто-
ром перехода. Справедливы следующие теоремы о сходимости метода.
Если ||В|| < 1, то система уравнений (2) имеет единственное
решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоро-
стью геометрической прогрессии.
Пусть система (2) имеет единственное решение. Итерационный
процесс (3) сходится к решению системы (2) при любом начальном
67
Г л а в a IV. Матричные вычисления
приближении тогда и только тогда, когда все собственные значе-
ния матрицы В по модулю меньше 1.
Рассмотрим общий способ перехода от системы (1) к системе (2).л
Всякая система	|
х = х - В (Ах - Ь)	(4)'
имеет вид (2) и при det(D) / 0 равносильна системе (1). В то же :
время всякая система (2), равносильная (1), записывается в виде (4)
с матрицей D = (Е — В) Л"1. Для систем со знакоопределенными
матрицами метод (3) обычно строится в виде
«Л4-1 _
---------|-Ах*=Ь, т.е. В = Е-тА, c = rb.
т
Здесь т — итерационный параметр.
15.1.	Пусть элементы матрицы В имеют вид bkj = |	. До-1
казать, что система х = Вх + с имеет единственное решение и метод
простой итерации сходится при любом начальном приближении.
15.2.	При каких а, /3 сходится метод простой итерации x*+1
= Вх*+’с,где
(а (3 0 \
0 а 0 .
О 0 а/
15.3.	Привести пример задачи х = Вх 4- с такой, что у матрицы
В есть собственное значение А вне единичного круга, но метод (3)
сходится при некотором начальном приближении.
15.4.	Пусть матрица В в методе (3) имеет вид
в=(о J)’ 0<а»/?<1-
Показать, что величина ошибки ек = хк — х в норме || • ||оо начинает
монотонно убывать лишь с некоторого номера итерации N. Оценить
N при а = /3 « 1.
15.5.	Пусть все собственные значения матрицы А вещественны
и положительны: А( А) > 0. Доказать сходимость метода
«А»
-----—+ Ax* = b
при т = ||А||-1 с любой матричной нормой.
Для оценок собственных значений используется следующее утвер-
ждение (теорема Гершгорина):
68
15. Метод простой итерации
Все собственные значения матрицы А принадлежат объедине-
нию кругов
|х-ай| < 52|а0|, » = 1,
Если указанное объединение кругов распадается на несколько связ-
ных частей, то каждая такая часть содержит столько собствен-
ных значений, сколько кругов ее составляют.
15.6.	Доказать, что у матрицы
2
0.3
0.1
0.4
4
0.1
0.4
0.4
5
все собственные значения вещественны. Найти интервалы, которым
принадлежат собственные числа.
15.7.	Пусть А — матрица простой структуры, т.е. подобна диа-
гональной (А = Q~rDQ, где столбцы q, матрицы Q есть соб-
ственные векторы матрицы А, а элементы диагональной матрицы D
есть соответствующие собственные значения, т.е. du = А*), и все
А(А) 6 [т,М], т > 0. Доказать, что метод
х*+1 - х*
4- Axk = b
Л 2
сходится при 0 < т < —.
М
15.8.	Пусть матрица в системе Ах = Ъ имеет вид
/ 2	0.3	0.5 \
А =	I 0.1	3	0.4	.
\0.1	0.1	4.8 /
Доказать, что метод простой итерации x*+1 = (Е — тА)хк + rb схо-
дится начиная с любого начального приближения при 0 < т < 2/5.
15.9.	Пусть матрица системы является симметричной и положи-
тельно определенной (это означает, что А (А) € [тп,М], m > 0). Для
циклического итерационного метода длины N вида
----------+ Ах.к = b
Гк
с параметрами ti,T2,...,t/v,ti,... требуется найти их оптималь-
ные последовательности, т.е. минимизирующие норму ошибки за весь
цикл.
69
Глава IV. Матричные вычисления
15.10.	Пусть все собственные значения А невырожденной ма-Л
трицы А порядка п известны. Построить итерационный метод с J
переменным параметром тк, который не более чем за п шагов при-
водил бы к точному решению системы Ах = b.	J
15.11.	Пусть у задачи Ах = b с матрицей простой структуры!
имеется одно отрицательное собственное значение
Ai € [-2 - е, -2 + е], 0 < € «С 1,
а остальные — положительны: А* 6 [1,3], i = 2, ...,п. Предложить
итерационный метод для решения такой системы.
15.12.	Для решения системы х = Вх + с рассмотрим алгоритм с
некоторым начальным приближением х°:
= Bx.k + с, x*+1 = ах.к + (1 - a)z*+1.
Пусть А(В) € m > 1. Найти оптимальное значение итераци-
онного параметра а.
15.13.	Построить квадратную матрицу А размера 31 х 31 с эле- >
ментами |а^| < 1 и собственными значениями |А(А)| < 1 такую, что;
ЦАз0||оо>ю9.	:
15.14.	Для системы Ах = b с матрицей А = Ат > О, А(А) €
Е [тп, М] рассмотрим метод наискорейшего спуска
х*+1 _ „к _ а -к _ (ГЫЧ)
X — X Utfc Г ,	Ctfc — ( .	V .
(Аг*, г*)
Здесь тк = Ах.к — b — невязка на k-й итерации. Доказать справед-;
ливость неравенства для ошибки
||х-х*||2< (1 -	||х - х°||2.
15.15.	Пусть собственные числа симметричной матрицы В та-
ковы, что Ai = -А2 и |Ai| = |Аг| > |Аз| > .... > |АП|. Построить
аналог S2 - процесса Эйткена ускорения сходимости итерационного
процесса х*+1 = В х* + с.
15.16.	Пусть А — невырожденная матрица размера п х п и Хо
— произвольная пхп матрица. Рассмотрим итерационный процесс:
. Xk+l=Xk+Xk(E-AXk), А = о,1,....	:
Доказать, что Нт Хк = А тогда и только тогда, когда спектраль-
fc—>оо
ный радиус матрицы Е — AXq меньше 1. При этом Е — АХк ~л.
70
§15. Метод простой итерации
zz (Е ~ АХо)2*, к = 0,1,.... Доказать также, что если AXq = XqA,
то AXk = ХьА для всех к.
15.17.	При каких значениях параметра т метод
xfc+1 = (Е - тА)хк + тЬ
для системы уравнений Ах = Ь с матрицей:
	/ 5 0.8 4 >	i	/ 2	1 0.5 \
1)А =	(2.5 2 0	I ; 2) А = ( 3	5 1
	\ 2 0.8 4 у	’ \ 1	3 3/
	’ 1 0.5 0.3 \	/ 3	1.2 0.8
3) А — (	13	0	; 4) А =	1.4	2 0.1
	11	2 /	\ 0.6	0.4 1
сходится с произвольного начального приближения?
15.18.	Пусть собственные числа матрицы А таковы, что Ai «
« —1, Xk € [1,5] для всех к > 1. Написать сходящийся итерационный
процесс простой итерации для системы Ах = Ь.
15.19.	Пусть А = А* > 0. Написать наилучший по скорости схо-
димости итерационный процесс вида
х*+1 = X* - Р1(А)(АхЛ - b), Pi(t) = at + /?.
15.20.	Пусть итерации метода xfc+1 = Bxfc +f, ||В|| < 1, сходятся
к решению х* системы уравнений Ах = Ь. Доказать, что
||xfc -х‘|| < ||(Е-В)-1|| ||х*+1-х*||.
15.21.	Пусть итерации метода хЛ+1 = Bx* + f, ||В|| < 1, сходятся
к решению х* системы уравнений Ах = Ь. Доказать, что
||xfe - х*|| < IIВЦ*||х° - х*|| + ||В||fc||f||/(1 - ||В||).
15.22.	Пусть А = Е - С, > 0, fa > 0. Доказать, что если
решение х* системы Ах = f неотрицательно, то итерации метода
х*+1 = Сх* + f, х° = 0, сходятся к х*.
15.23.	Пусть В — трехдиагональная неразложимая матрица, у
которой сумма модулей элементов в строке удовлетворяет условию
п
12 |Ьо1 < 1, i = 1,2, ...,п, причем строгое неравенство выполня-
j=i
ется хотя бы в одной строке. Доказать, что итерационный метод
х&4-1 _	+ f сходится. (Неразложимая матрица не может быть
71
Г л а в a IV. Матричные вычисления

приведена к блочно треугольному виду перестановкой одноименных
строк и столбцов).
15.24.	Найти область значений итерационного параметра т, при
которых итерационный процесс x*+1 = (Е — тА)хк + тЬ сходится,
если Re{A(A)} > 6 > 0.
15.25.	Исследовать сходимость метода xfe+1 = Вхк 4-f для реше-
ния системы уравнений с матрицей
	( 0	1/4	1/8	1/16 ...	l/2n	l/2n+1\
	1/4	0	1/4	1/8 ...	1/2”-1	l/2n
в =	1/8	1/4	0	1/4 ...	1/2”-2	l/2n—1
	\l/2n+1	l/2n	l/2n—1	... ...	1/4	0 /
15.26.	Построить сходящийся метод простой итерации для си-
стемы уравнений с матрицей
A =	/ 1	0.5	0	0	...	0	0	\ 0	2	0.5	0	...	0	0 0	0	1	0.5	...	0	0 0	0	0	2	...	0	0
	0	0	0	0 ...	1	0.5 k 0	0	0	0...	0	2 /
15.27.	Пусть ei,e2,...,en — базис пространства Rn. Доказать
сходимость с любого начального приближения следующего итераци-
онного метода (метода оптимального координатного спуска) для си-
стемы уравнений с невырожденной матрицей А :
xfc+1 _ х* +
(f - Axfc, Aej)
I ИМ2
j = arg min
(f — Axk, Aei)
15.28.	При каких условиях итерационный метод
x*+1 = (2 А2 - Е)хк + 2(4 - E)f
сходится быстрее метода простой итерации х*4"1 = Ахк + f ?
15.29.	Пусть Айе — собственное число и соответствующий
собственный вектор матрицы простой структуры А, х0 — началь-
ное приближение в методе простой итерации для решения системы
Ах = Ь. Написать шаг метода простой итерации так, чтобы в разло-
жении по собственным векторам ошибки метода на первой итерации
коэффициент при векторе е был равен нулю.
72
jj 16. Методы релаксации
§ 16.	Методы релаксации
Представим матрицу системы Ах = b в виде А = L 4- D 4- R,
где D — диагональная матрица, L и R — соответственно левая
нижняя и правая верхняя треугольные матрицы с нулевыми диаго-
налями (строго нижняя и строго верхняя треугольные матрицы). Бу-
дем предполагать, что все диагональные элементы ан отличны от
нуля, и, следовательно, любая матрица вида D 4- т L с произвольным
параметром т обратима.
Методы Якоби, Гаусса — Зейделя и релаксации записываются в
виде:
Dxw + (L + R)xk = b,
(D + L)x*+1 + Rxk = b,
(D + r L) xk+1 + [r R + (r - 1) D] x* = т b.
Здесь итерационный параметр т называется параметром релакса-
ции.
16.1.	Найти области сходимости методов Якоби и Гаусса — Зей-
деля для систем с матрицами вида
(а 0 0\
0 а 0 I .
О 0 a J
16.2.	Доказать, что для систем линейных уравнений второго по-
рядка (п = 2) методы Якоби и Гаусса — Зейделя сходятся и расхо-
дятся одновременно.
16.3.	Пусть невырожденная матрица А обладает свойством диа-
гонального преобладания, т.е. для всех i справедливо
521ач1 -	< 1 •
Тогда для ошибки в методе Гаусса — Зейделя имеет место неравен-
ство
Нх-х^Цоо < qk ||х - Х°||оо .
16.4.	Исследовать сходимость метода Гаусса — Зейделя для ма-
триц с элементами:
1)
73
Глава IV. Матричные вычисления
2) dkj —
2, к — jj
-1, I*-Jl = l,
О, |fc-j|>l.
16.5.	Показать, что выполнение неравенства 0 < т < 2 является *
необходимым для сходимости метода релаксации.	4
16.6.	Пусть матрица А простой структуры имеет собственные |
значения А(А) € [тп, Af], m > 0. Доказать, что при любом положи-1
тельном значении итерационного параметра т сходится метод следу- f
ющего вида:
xfc+1 — xfc . / xfe+1 + хк \
—-Г~+Л(—2— Г
Определить оптимальное значение ropt.
16.7.	При каких a € [0,1] для матрицы из предыдущей задачи ?
метод
---------Ь А (ах*+1 4- (1 - а)х*) = b
т
сходится^при любом т > 0?
о (1 а \
16.8.	Система Ах = b с матрицей А = (	\ решается мето- Г
дом Гаусса — Зейделя. Доказать, что:
если |а| > 1, то для некоторого начального приближения итера-
ционный процесс расходится;
если |а| < 1, то итерации сходятся при любом начальном прибли- ?
жении.
16.9.	Показать, что существует система уравнений третьего по- |
рядка, для которой метод Якоби сходится, а метод Гаусса — Зейделя з
расходится.	<
16.10.	Показать, что существует система уравнений третьего по-
рядка, для которой метод Гаусса — Зейделя сходится, а метод Якоби „
расходится.
16.11.	Доказать, что обобщенный метод простой итерации
дх*+1 -х* +Axfc = b| л = Аг>0, det(B)/0, т>0,
Т	л;
Т	f	Т	\
сходится при условии В — ~А > 0 ^(Вх, х) > - (Ах, х) Vx Оу.
16.12.	Пусть А = L + D + L*, где L — левая треугольная, a D — :
диагональная подматрицы А. Доказать, что метод релаксации схо-
дится с любого начального приближения при т € (0,2).
74
§16. Методы релаксации_________________________________________
16.13.	Пусть В = L + Uy где L — нижняя треугольная матрица
с нулями на диагонали, U — верхняя треугольная матрица. Пусть
далее ||В||оо < 1, так что итерационный процесс xfc+1 = Вх* 4- f
сходится. Доказать что метод x*+1 = Lxk’¥1-^Uxk+f также сходится.
16.14.	Для системы уравнений
4Ui,j - Ui+i,i - Uj-i.i - Ui,i+1 -	= h2fij,
iyj = 1,2, ...,n — 1; nh = 1;
U()}£ —— ^1,0 —* ^n,i — ^i,n “ 0, 7 — 0, 1, ••.,71
написать расчетные формулы и найти асимптотическую скорость
сходимости следующих итерационных методов:
1)	метода Якоби;
2)	метода Гаусса — Зейделя;
3)	метода верхней релаксации с оптимальным параметром релак-
сации;
4)	Чебышевского циклического итерационного метода с длиной
цикла 8.
16.15.	Исследовать сходимость метода Якоби для решения си-
стемы уравнений с матрицей
2
0.3
0.4
-0.5
-0.2
-3
0.8
1.2
0.3	0.4	\
1	-1.4	|
4	2.4	I
-2.5	-5	/
16.16.	Найти а, /3, при которых метод Гаусса — Зейделя будет
сходящимся для систем уравнений с матрицами:
a	0	/3
0	а	0
/3	0	а
И:::И
а	а	0 \
а	/3	/3 1	.
0	/3	а /
16.17.	Пусть матрицы А$, i = 1,2, простой структуры имеют
собственные значения A(AJ € [m,M], m > 0 и А1А2 = A2Ai, А =
= Al 4- А2. Доказать, что при любом положительном значении пара-
метра т сходится итерационный метод следующего вида для решения
системы уравнений Ах = Ь :
vfc+i/2 _
-------------1- Aixfc+1/2 + AzXk = b;
•fc+i _ vfc+i/2
:--------------F Aixfe+1/2 4- A2x*+1 = b.
75
Глава IV. Матричные вычисления>
Определить оптимальное значение ropt.
16.18.	Доказать сходимость итерационного процесса из преды-
дущей задачи, если матрицы Ai, А2 удовлетворяют следующим уело* ;
виям:
А1А2 / А2А1, (А<х,х) > 0 для i = 1,2.
16.19.	Пусть матрицы А$, i = 1,2, простой структуры имеют
собственные значения А(А<) € m > 0 и А1А2 = А2А1, А =
= Ai + А2. Доказать, что при любом положительном значении ите-
рационного параметра т сходится итерационный метод следующего
вида для решения системы уравнений Ах = Ь :
vfe+l/2 _
---------+ Aixfc+1/2 + А2хк = b;
т
y*+1 _ «.fc+l/2
------------F A2(x*+1 - x*) = 0.
Определить оптимальное значение ropt.
16.20.	Доказать сходимость итерационного процесса из преды-
дущей задачи, если матрицы Ai, А2 удовлетворяют следующим усло-
виям:
А1А2/А2А1, (А^х,х) > 0 для i = 1,2.
16.21.	Показать, что если матрица А = М — N вырожденная,
то нельзя получить p(M~rN) < 1 ни для какой невырожденной ма-
трицы М.
16.22.	Доказать, что если итерации Mxk+l = Nxk + b всегда
сходятся, то p(M~rN) <1.
16.23.	Пусть
1	-1/2\ А ( 1	-3/4 \
Пусть Bi и В2 — соответствующие этим матрицам операторы пе-
рехода в итерационном методе Якоби. Показать, что p(Bi) > р(В2),
т.е. опровергнуть мнение о том, что усиление диагонального преоб-
ладания влечет за собой более быструю сходимость метода Якоби.
§ 17.	Задачи на собственные значения
Степенной метод вычисления максимального по модулю собствен-
ного значения матрицы А имеет вид:
/\Д+1
х°/0; xfc+1=Axfc, A*+1 = I н-у-12 , fc = 0,1,2,....
Ml!
76
§17. Задачи на собственные значения\
(Предполагается, что х* / О при всех к > 1.)
17.1.	Пусть А — матрица простой структуры (собственные
векторы ei,e2,...,en матрицы образуют базис в Сп). Пусть далее
|Amax| = |Ai| > |А2| > |Аз| > ... > Ап и L — линейная оболочка
в2,ез, ...,ея. Доказать, что в случае симметричной матрицы для сте-
пенного метода при условии х° $ L справедлива оценка
А* = Ах + O(|A2/A1|2fc).
17.2.	Доказать, что при х° 0 L для степенного метода справед-
ливо соотношение А* = Ai + О(|A2/Ai|*).
17.3.	Пусть А — симметричная матрица с собственными значе-
ниями Ai « 5, 1 < Xi < 3 при i = 2,3,..., п. Построить итерационный
процесс вида xfc+1 = (А + сЕ)х*,с = const, Е — единичная матрица,
для получения Ai с наилучшей при данной информации скоростью
сходимости.
17.4.	Пусть А — симметричная матрица с собственными значе-
ниями Ai « 1, 1 < Xi < 3 при i ’= 2,3, ...,п. Построить итерационный
процесс вида х*+1 = (А 4- сЕ)хк, с = const, Е — единичная матрица,
для получения Ai с наилучшей при данной информации скоростью
сходимости.
17.5.	Собственные числа симметричной матрицы А удовлетво-
ряют соотношениям Ai « 5, —1 < А» < 3, i = 2,3,...,п. Выбрать
постоянную с так, чтобы итерационный процесс
x*+1 = Axk 4- ex*, А* = -с + /-Г-
(х*,
давал наилучшую информацию о Ai.
17.6.	Пусть пхп матрица А имеет п различных собственных
значений. Предположим, что х° принадлежит линейной оболочке не-
которых собственных векторов е<х, е<2,..., eit, но не принадлежит
никакой их линейной подоболочке. К какому собственному значению
матрицк сходятся итерации степенного метода и с какой скоростью?
17.7.	Пусть А — симметричная пхп матрица, А € R, х 6 Rn
— произвольные число и вектор, причем ||х||2 = 1. Доказать, что
существует собственное число А* матрицы А, для которого |Afc—А| <
< ||Ах - Ах||2.
17.8.	Показать, что для максимального и минимального собствен-
ных чисел симметричной матрицы А справедливы оценки:
Amin (А) < ППП da, Атах (А) > ^ЯХ
1<г<п
77
Глава IV. Матричные вычисления
17.9.	Пусть задана матрица А € Спхп с собственными значени-
ями {AJ. Показать, что для их абсолютных величин имеют место 
оценки
. (Ах, х)
mm ------г-
х#о (х, х)
< |А*I < max
~ 1 1 - х#о
(Ах,х)
(х,х)
i = 1,2,...,п,
даже если А не является эрмитовой.	"
17.10.	Доказать, что у вещественной трехдиагональной матрицы ;
	(bl	С1	0	0	...	0	0 \
	а2		С2	0	...	0	0
А =	0	аз	Ъз	Сз	...	0	0
	0	0	0	0	• • • Ьп—1	Сп—1
	\ 0	0	0	0	... ап	Ъп /
все собственные значения вещественны, если						
.	а<+1С£>0, i = 1,2, ...,п~ 1.	J
’ &
17.11. Доказать, что у трехдиагональной матрицы
	/Ь1 0»2	С1 &2	0 С2	0 0	...	0 ...	0	0 А 0	ф
А =	0	Оз	Ъз	оз	...	0	0	4
	. . .		. . .	. . .	... ...	. . .	
	0	0	0	0	Ьп-1	Сп—1	1
	\ 0	0	0	0	ап	ъп /	
|А*(А)| < 1 VA, если |а<| 4-	+ |с$| < 1 Vi, a± = сп = 0 и если хотя 6u:J
для одного значения индекса i неравенство строгое, а а<+1С< 0 0, i = I
= 1,2,...,п-1.	|
17.12.	Доказать, что для квадратных матриц А, В одинакового#
размера спектры матриц АВ и В А совпадают.
17.13.	Пусть А и В — матрицы размера m х п и n х тп соответ- ~
ственно, m > п, Рс(А) = det(AE-C') —обозначение характеристиче- ?
ского многочлена квадратной матрицы С. Доказать справедливость *
равенства	|
РАв(А) = Ат"пРвд(Л).	I
г
17.14.	Доказать, что если матрицы А и В коммутируют, то су- 5
ществует собственное число А(АВ), равное произведению собствен-!
ных чисел А(А)А(В).
78
§17. Задачи на собственные значения
17.15.	Доказать, что если А — симметричная и положительно
определенная матрица, а В — симметричная матрица, то все соб-
ственные числа Х(АВ) матрицы АВ вещественные.
17.16.	Доказать, что если А, В — симметричные и положительно
определенные матрицы, то все собственные числа А (АВ) матрицы
АВ положительные.
17.17.	Доказать, что если А — симметричная и положительно
определенная матрица, а В — симметричная матрица, то система
собственных векторов матрицы АВ полна.
17.18.	Пусть А — симметризуемая матрица, т.е. существует не-
вырожденная матрица Т такая, что ТАТ”1 — симметричная ма-
трица. Доказать, что система собственных векторов матрицы А
полна.
17.19.	Доказать, что если А, В — симметричные и положительно
определенные, коммутирующие матрицы, то матрица АВ положи-
тельно определена.
17.20.	Доказать положительную определенность матрицы
	/0.5	1	1	1
	1	2.5	3	3
А —	1	3	4.5	5
	0	0	0	0
	\ 1	3	5	7
1	1 \
3	3
5	5
Ьп—1	Сп—1
2п —3 1/2(4п —3)/
17.21.	Доказать положительную определенность матрицы
/2	-1	1/2 -1/3\
-1	3	-1 —1/2 |
1/2	-14	2 1
\—1/3 -1/2 2	5 /
17.22.	Доказать положительную определенность матрицы
/12 -6 3 —2\
I -6 18 -6 6 |
I 3 -6 24 15 I
\-2 6	15	20/
17.23.	Пусть обе матрицы А,АТ 6 Rnxn имеют строгое диа-
гональное преобладание и положительные диагональные элементы.
Доказать, что А положительно определена.
17.24.	Построить пример симметричной положительно опреде-
ленной 3x3 матрицы, трехдиагональная часть которой не является
положительно определенной.
79
Глава IV. Матричные вычисления
17.25.	Доказать, что если А,В — симметричные пхп матрицы,
то необходимым и достаточным условием равенства АВ = В А явля- f
ется существование базиса в пространстве Rn, составленного из об-
щих собственных векторов матриц А и В.
17.26.	Пусть А = Ат > 0. Доказать, что
Атах (А) = max RA (х);	Amin (А) = min RA (х),
где /?д(х) = ——Ц------отношение Рэлея.
(х,х)
17.27.	Пусть А = Ат > 0. Доказать, что если Amax(A) = dkk при
некотором 1 < к < п, то aik = Qkj = 0 при всех i ф к, j 0 к.
17.28.	Доказать, что если для некоторого i и при всеху выпол-
няются неравенства	|
1а« — djj\ > У^ | 4“
k^i k^j	I
то в области |A — aij < £ I лежит точно одно собственное зна- I
чение матрицы А.
17.29.	Доказать, что каждое собственное значение матрицы A f
лежит по крайней мере в одной из следующих областей:
|А — ай||Х — Qjj | < У |о»л | У	i j-
k^i k^j
17.30.	Доказать, что каждое собственное значение матрицы А ?
лежит по крайней мере в одной из областей:
(\ a /	\ 1—a
121^*1) 1121°>*।) ,«# i «6 [о, 1].
fc#i /	J
17.31.	Пусть
... 0\
... о
a b
b а/
— матрица размера пхп. Доказать следующие равенства:
1) det An+i (a, b) = a det Ап(а, Ь) — Ь2 det An_i (а, Ь), п > 2;
80
jj 17. Задачи на собственные значения
/ /	--------ч п+1
2) det Ап(а, 6) = ( (а/2 + \/а2/4 — b2J —
- (а/2 - х/а2/4 - Ь2)"+Ч /2\/а2/4 - Ь2, п > 1;
[п/2]
3)detAn(a,b) = £ С^а2^-b2)k(a/2)n~2k, к > 1.
л=о
17.32.	Пусть матрица An(a,b) определена как и в предыдущей
задаче. Найти все ее собственные числа и собственные векторы.
17.33.	Пусть матрица An(a,b) определена как и в предыдущей
задаче. Доказать, что она положительно определена тогда и только
7Г
тогда, когда a — 2 |Ь| cos-- > 0.
п 4~ 1
17.34.	Предположим, что матрица A € Rnxn — симметричная и
положительно определенная.
1)	Показать, что существует единственная симметричная и поло-
жительно определенная матрица X такая, что А = X2.
2)	Показать, что если Xq = I, X^+i = (Xk + АХ^1)/2, то Xk
у/А, где \/А означает матрицу X из 1).
17.35.	Предположим, что матрица А Е RnXn — симметричная и
положительно определенная. Рассмотрим следующие итерации:
Aq = A
for к = 1,2,...
= GkGk (разложение Холецкого)
Ак = GlGk
end
1)	Показать, что эти итерации сходятся;
2)	Показать, что если матрица
л ( a	\
А = I .	, a > с,
с) ~
имеет собственные значения Ai > А2 > 0, то матрицы Аь сходятся к
матрице diag(Ai?A2).
Г л а в a V
Решение нелинейных уравнений
Итерационные методы вычисления изолированного (отделенного
от других) корня z уравнения f(x) = 0, как правило, требуют указа-
ния какой - либо области D, содержащей этот единственный корень.
Широко используемые способы отделения корней — графический
и табличный — базируются на свойствах гладкости функции; в слу-
чае, когда f(x) является алгебраическим полиномом степени п, име-
ются аналитические подходы.
Если f(x) — непрерывна, то вещественный корень z принад-
лежит любому отрезку, на концах которого, функция имеет значе-
ния разных знаков. Деля отрезок пополам, получаем универсальный
метод вычисления корня (метод бисекции). Этот подход не требует
знания хорошего начального приближения. Если оно имеется, то для
гладких функций используются более эффективные методы.
Пусть отыскивается единственный на отрезке [а, Ь] корень z
уравнения f(x) = 0 в предположении непрерывности функции f(x).
Если в его окрестности функция представляется в виде f(x) =
= (x—z)pg(x), где р — натуральное, а д(х) — ограниченная функция
такая, что g(z) 0 0, то р называют кратностью корня. Если р = 1,
то корень называют простым. При нечетном р функция f(x) меняет
знак на [а,Ь], т.е.	< 0, а при четном р — нет.
Итерационный метод решения порождает последовательность
приближений {яп}, которая сходится к корню: lim lxn — zl = 0.
п—>оо
Величину еп = хп — z называют абсолютной ошибкой на n-й итера-
ции. Итерационный метод имеет порядок т (или скорость сходимо-
сти т), если т есть наибольшее положительное число, для которого
существует такая конечная постоянная q > 0, что
lim sup
n->oo
^n+1
pm
< q < oo.
Постоянную q называют константой асимптотической ошибки, она
обычно оценивается через производные функции /(х) в точке х = z.
§ 18. Метод простой итерации
При m = 1 (q € (0,1)) сходимость называется линейной (иногда гово-
рят, что в этом случае метод сходится со скоростью геометрической
прогрессии со знаменателем q), при 1 < m < 2 — сверхлинейной, при
m = 2 — квадратичной и т.д.
§ 18.	Метод простой итерации и смежные
вопросы
Исходное уравнение f(x) = 0 часто заменяют эквивалентным ему
уравнением
х = у?(ж).
Эту замену можно сделать, положив, например,
<р(х) = x + il>(x)f(x),
где ^>(ж) — произвольная непрерывная знакопостоянная функция.
Метод простой итерации. Выберем некоторое начальное при-
ближение жо € [а,Ь] к корню z, а дальнейшие приближения будем
вычислять по формулам
Хп+1 = ¥>(®п), П = 0,1,2, ... .
Последовательность хп стремится к z, например, когда отображение
у = <р(х) является сжимающим, т.е. при некотором 0 < q < 1 вы-
полнено условие p(y>(®i),^(®2)) < qp(^i,X2) при всех Ж1,Ж2• Здесь
р(ж1,жг) — расстояние между Ж1 и жг.
Метод секущих. Пусть xn-i и хп —два последовательных при-
ближения к корню. Заменим кривую у = f(x) прямой, проходящей
через точки (жп-1,У(яп-1)) и (жп,/(жп)). В качестве следующего
приближения к корню возьмем точку пересечения этой прямой с осью
абсцисс. Расчетная формула принимает вид
ХП ~ ХП~ 1	//	\
Метод хорд. Пусть f(a)f(b) < 0. Идея метода (его еще назы-
вают методом ложного положения) состоит в замене кривой у =
= f(x) хордами, проходящими через концы отрезков, в которых /(ж)
имеет противоположные знаки. Метод хорд требует, чтобы один ко-
нец отрезка, на котором ищется корень, был неподвижен. В качестве
неподвижного конца жо выбирают тот конец отрезка, для которого
знак /(ж) совпадает со знаком второй производной /"(ж). Расчетная
формула имеет вид
___	f(xn)
(жп — Жо).
83
Глава V. Решение нелинейных уравнении
Метод парабол. Пусть xn-i,xn_i и хп — три последователь-
ных приближения к корню. Заменим кривую у = f(x) параболой, про-
ходящей через точки (xn^2,f(xn-2)),(xn-i,f(xn_1)) и (хп, f(xn)).
В качестве следующего приближения к корню возьмем ближайшую
к хп точку пересечения этой параболы с осью абсцисс. Этот подход
исключительно эффективен для нахождения корней многочлена как
с действительными, так и с комплексными коэффициентами.
18.1.	Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [а, Ь] един-
ственный корень z и для его вычисления используется метод простой
итерации. Показать, что если у>(ж) имеет непрерывную производную
на [а, Ь] и |<р/(ж)| < q < 1 на этом отрезке, то для любого началь-
ного приближения xq € [а, Ь] последовательность {хп} сходится к
корню z.
18.2.	Пусть уравнение f(x) = 0 имеет корень на отрезке [а, 6],
причем f(x) дифференцируема, a f(x) знакопостоянна на этом от-
резке. Требуется построить равносильное уравнение вида х = tp(x),
для которого на [а, Ь] выполнено достаточное условие сходимости ме-
тода простой итерации |^'(ж)| < Q < !•
18.3.	Построить итерационный процесс вычисления всех корней
уравнения
f(x) = х3 + Зж2 -1 = 0
методом простой итерации.
18.4.	Определить область начальных приближений xq , для кото-
рых итерационный процесс
сходится.
18.5.	Оценить скорость сходимости метода хорд.
18.6.	Пусть z — простой корень уравнения f(x) = 0. Оценить
скорость сходимости метода секущих.
18.7.	Доказать, что все корни уравнения
f(x) = dQXn 4- aix””1 4-... 4- аЛ-1Ж 4“ an = 0
расположены в кольце
г^г-|<и<1+А.
ь + |ап|	|ао I
84	‘
I
§ 18. Метод простой итерации
где b = max{|ai|, |а2|,..., |ап|}, с = тах{|а0|, |ах|,..., |ап_х|}.
18.8.	Доказать, что если при х = а имеют место неравенства
/(а)>0,/,(а)>0,...,/п(а)>0,
то уравнение
f(x) = OQXn 4- aix71”1 + ... 4- an~ix 4- an = 0
не имеет корней, больших а.
18.9.	Найти границы действительных корней уравнения
х4 - 35 х3 + 380 X2 - 1350 х +1000 = 0.
18.10.	Пусть Хп+1 =	+ 2. Доказать, что lim хп = 2 для
п—>оо
любого хо > 2.
18.11.	Доказать, что итерационный процесс xn+i = cosxn схо-
дится для любого начального приближения xq € R1.
18.12.	Исследовать сходимость метода простой итерации xn+i =
= х„ — 2хп 4- 2 в зависимости от выбора начального приближения то.
18.13.	Уравнение х = 2Ж, имеющее два корня z\ = 1 и Z2 = 2,
решается методом простой итерации. Исследовать его сходимость в
зависимости от выбора начального приближения xq .
18.14.	Доказать, что метод простой итерации для решения урав-
нения х = <р(х} сходится при любом начальном приближении:
l)^(s) = a sin2 х 4- & cos2 4-7, где |а - /3\ < 1;
2)<р(я) = ае”6®2 4-с, где Ь> 0, 2а2Ь<е.
18.15.	Уравнение х 4- In ж = 0, имеющее корень z « 0.6, предла-
гается решать одим из методов простой итерации:
1)®п+1 = — 1пжп ; 2)xn+i = е п ;
_ хп 4- е”Хп	_ Зхп 4- 5е~Хп
3)жп+1 —	2	> 4)жП4-1 —	$
Исследовать эти методы и сделать выводы о целесообразности ис-
пользования каждого из них.
18.16.	Пусть <р(х) Е -— <5, z 4- <5], где z — единственная не-
подвижная точка для <р(х). Может ли метод простой итерации схо-
диться к z, если |<p'(z)| = 1 ? Может ли он расходиться в этом случае?
18.17.	Выяснить, существует ли для всякого а единственное ре-
шение ze уравнения a;4-£sinir4-a = 0 при |е| < 1.
85
Глава V. Решение нелинейных уравнений £
18.18.	Найти область сходимости метода простой итерации для
следующих уравнений:
1)ж — е2ж — 1; 2)х + In х = -; 3)ш = tg х.
18.19.	Выписать расчетные формулы метода парабол.
18.20.	Методом парабол найти корни уравнения 2х 4- 1g ш = —0.5
с точностью 10“2.
18.21.	Оценить скорость сходимости метода парабол.
18.22.	Оценить скорость сходимости метода секущих в случае
т-кратного корня.
18.23.	Пусть отображение <р : Rn -4 Rn имеет единственную *
неподвижную точку z = ^>(z) и непрерывно дифференцируемо в не-
которой ее окрестности.
1) Доказать, что если все собственные значения его якобиана j
<£>'(х) в точке z по модулю больше 1, то метод простой итерации
расходится.
2) Известно, что хотя бы одно собственное значение якобиана J
y/(z) по модулю больше 1. Может ли метод простой итерации схо-
диться для всех приближений Хо, достаточно близких к z?
§ 19. Метод Ньютона. Итерации высшего
порядка
Метод Ньютона. В случае одного уравнения формула метода .
Ньютона имеет вид
"+,П“ЖГ
Метод состоит в замене дуги кривой у = f(x) на касательную к ней
в процессе каждой итерации. Это видно из уравнения касательной, ;
проведенной в точке (жп, f(xn)):
У - /(яп) = f'(xn)(x - жп),
из которого формула итерационного процесса следует, если положить
у = 0 и х = Жп+1 .
Рассмотрим более общий случай — системы т нелинейных урав- .
нений	;
F(x) = 0,
86
§ 19. Метод Ньютона
где х = (a?i,..., ®m)T, F = (/i,..., fm)T. Будем предполагать ото-
бражение F : Rm -> Rm непрерывно дифференцируемым в некото-
рой окрестности решения z, так что
F'(x) =
dfi
dxj
В предположении обратимости этого оператора метод Ньютона
можно записать в виде
Хп+1 = Хп - (F'(xn))-1 F(x„).
Обозначим Па = {х : ||х — z|| < а}. Пусть при некоторых 0,01,02 •
О < а, 0 < oi, 02 < оо, выполнены условия:
1) ||(F'(x))~11| < 01 при х 6 Па;
2) ||F(ui)-F(u2)-F(ui)(ui -u2)|| < o2||ui - u2||2 npHUi,u2 е Па.
Обозначим также с = 0102, b = min (а, с”1) , || • || — евклидова норма
в Rm.
Теорема (о сходимости метода Ньютона). При условиях 1), 2)
и хо € Пь итерационный процесс Ньютона сходится с оценкой по-
грешности
||Хп - 2|| < С-1 (с||х0 - z||)2“ .
Метод Чебышева построения итераций высшего по-
рядка. Пусть z — корень уравнения f(x) = 0 и F(y) — обратная к
/(ж) функция. Тогда х = F(f(x)) и z = F(0). Разложим F(0) в ряд
Тейлора в окрестности некоторой произвольной точки у :
. т	f
z = F(0) = F(y) + 22	+... .
fc=l
Положим
z =	= X + ^-^F(k4f{x)){-^-.
Л=1
Итерационный процесс xj+i = (pm(xj) имеет порядок сходимости
т 4-1.
19.1.	Построить итерационный процесс Ньютона для вычисления
{/а, а > 0, где р — вещественное число.
87
Глава V. Решение нелинейных уравнений
'г 19.2. Пусть уравнение f(x) имеет на отрезке [а, 6] простой ко-
рень, причем /(х) — трижды дифференцируемая функция. Показать,
что при этих условиях метод Ньютона имеет квадратичную скорость
сходимости.
19.3.	Пусть уравнение /(ж) = 0 имеет на отрезке [а, Ь] корень
z кратности р, причем /(ж) — дважды дифференцируемая функ-
ция. Показать, что при этих условиях метод Ньютона сходится со
скоростью геометрической прогрессии со знаменателем (р - 1)/р.
19.4.	Пусть уравнение /(ж) = 0 имеет на отрезке [а, Ь] корень z
кратности р, причем /(ж) — дважды дифференцируемая функция.
Построить модификацию метода Ньютона, имеющую квадратичную
скорость сходимости.
19.5.	Построить метод Ньютона для вычисления числа - так,
a
чтобы расчетные формулы не содержали операций деления. Опреде-
лить область сходимости метода при a > 0.
19.6.	Пусть уравнение /(ж) = 0 имеет на отрезке [а,Ь] корень
z неизвестной кратности р > 1, причем /(ж) — дважды диффе-
ренцируемая функция. Построить модификацию метода Ньютона с
квадратичной скоростью сходимости и предложить способ числен-
ной оценки величины кратности корня.
19.7.	Пусть для решения уравнения ж3—ж = 0 применяется метод
Ньютона. При каком начальном приближении он сходится и к какому
корню?
19.8.	Доказать, что если на [а, Ь] /'(ж) не обращается в нуль,
/"(ж) не меняет знака и выполнены условия:
/(«)/(&)< 0,
Г /(«)
ШаХ I /'(<*) ’ №
/(Ь)
то метод Ньютона решения уравнения /(ж) = 0 сходится при любом
ж0 е [а, Ь].
19.9.	Определить область сходимости метода решения уравнения
ж = 1/а, не содержащего операций деления:
Хп+1 = (1 + С)хп-аСх^,
где С 0 0 — параметр.
19.10.	Рассматривается метод Ньютона вычисления у/a при
1 < а < 4, то полагается равным значению многочлена наилучшего
равномерного приближения для \[а на [1,4]: х0 = Pi(a) = — + |.
Доказать справедливость оценки |х4 - y/aj < 0.5 • 10-25.
88
§ 19. Метод Ньютона
19.11.	Для нахождения а1/3 используется итерационный процесс
d	с?
Жп+1 = А хп + В -у + С ~.
хп	хп
Найти значения параметров А,В, С, обеспечивающие максимальный
порядок сходимости.	*
19.12.	Построить методом Чебышева итерационный процесс тре-
тьего порядка.
19.13.	Показать, что метод вычисления а1/”1 :
гг - -Лт~ 1)®т + + 1)а
n+1 - <р(хп), <р(х) -	+ 1)жт + (т _ 1)в
имеет третий порядок.
19.14.	Определить порядок сходимости метода
г -т	/(*п)	Г(*п)(/(Хп)2
Хп+1 Хп	fl(xn) 2(/'(*п))3
19.15.	Определить порядок сходимости модифицированного ме-
f(xn)
тода Ньютона жп+1 = хп — пч.
J (яо)
19.16.	Определить порядок сходимости метода
f(xn) f(xn-[f(xn)] ^(in))
Xn+1_:rn"7w 7Ы 
19.17.	Для нахождения простого нуля z функции /(ж) €
итыолуетея итерационный процесс
Sn+l = 2 (Уп+1 + *>п+1) ,
где
—	, f(xn)
Уп+1 Хп+ fl(Xny
Vn+1 хп+gl^Xny 9(х) fl(xy
Доказать, что если метод сходится, то скорость — кубичная.
19.18.	Для нахождения нуля z функции /(ж) используется ите-
рационный процесс
хп+1 - g(xn), д(х) -X	f(x)) _ /(х).
89
2) {
F(x) =
Глав а V. Решение нелинейных уравнении
Исследовать поведение функции д(х) в окрестности тонки z.
19.19.	Написать формулу метода Ньютона для систем:
й ( зш(ж + у) — 1.3ж = 0.1,
[ х2 4- у2 =	1;
жю + 2/ю = 1024)
ех-е* =	1.
19.20.	Указать начальное приближение и оценить число итерации
в методе Ньютона, требующихся для достижения точности 10“3 для
системы уравнений:
х3 - у2 = 1,
ху3 - у = 4.
19.21.	Проверить, что z = (1,1,1)т — одно из решений системы f
уравнений ]Р(х) = 0, где F : R3 -> R3 имеет вид
Ж1Ж3 4-	— ж* — 1
х2 4- х% 4- хз - 3
Будет ли метод Ньютона сходится к z при достаточно близких на- р
чальных приближениях?
19.22.	Для решения нелинейной краевой задачи
у” = /(*, У) при х е (0, X),	у
2/(0) = а, г/(Х) = Ь,	;
рассматривается система нелинейных алгебраических уравнений с
параметром h = X/N:
yfc+1~2^* + yfc~1 = =
2/0 = a, yN-b,
Здесь уь — приближения к значениям y(kh). Выписать расчетные
формулы метода Ньютона для решения приведенной системы. Ука-
зать способ их реализации:
= ®2+1/3;	= у2ехр(х); 3)/(х, у) = sin (у) cos(a:).
90
Глава VI
Разностные уравнения
Пусть неизвестная функция у и заданная функция f являются
функциями одного целочисленного аргумента. Тогда линейное урав-
нение
аоу(к) + агу(к + !)+•••+ апу(к + п) — /(А;), к = 0,1,2, ... ,
где ai (i = 0,1,...,п) — постоянные коэффициенты и oq 0 0,
ап 0 0, называется линейным разностным уравнением п-го порядка
с постоянными коэффициентами. Если в этом уравнении положить
y(k + i) = yk+i и f(k) = fk, то оно принимает вид
а>оУк +	+ • • • + апУк+п — fk, к = 0,1,2, ... .
Для однозначного определения решения требуется задать п условий,
например,
yi = bi, г = 0,1, ... , п — 1.
Отметим аналогию между разностными уравнениями и обыкно-
венными дифференциальными уравнениями. Так, например, рассма-
триваемому уравнению соответствует линейное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами
ао1/(®) + aiy'(x) +  + апу(п\х) = /(ж).
§ 20.	Однородные разностные уравнения
Если в разностном уравнении правая часть Д равна нулю, то
уравнение называется однородным. Напомним, как ищется общее ре-
шение однородного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами. Положим у(х) = ехр(Аж). После подстановки этого
выражения в дифференциальное уравнение и сокращения на ехр(Аж)
получим характеристическое уравнение
п
р(А) =	=°-
7=0
91
Глава VI. Разностные уравнения
Если А1,...,ЛГ — различные корни этого уравнения кратности
01,..., аг соответственно, то общее решение можно записать в виде
у(х) = сцеЛ1Ж + С12жеЛ1® + • • • +	+ • • •
---F Сг1вЛг® 4- Сг2^еХгХ + • • • + сгагх<Гг“1ел’-а;,
где Cij — произвольные постоянные.
Аналогично ищется решение разностного уравнения. Положим
ук = рк. После подстановки этого выражения в разностное урав-
нение и сокращения на рк получим характеристическое уравнение
п
=	=0-
з=о
Пусть Д1,..., рг — его различные корни, а ai,..., ar — их кратно-
сти. Тогда общее решение однородного разностного уравнения пред-
ставляется в виде
Ук = Си /4 + С12 к /4 + • • • + с1<Г1 к"1-1 /4 + • • •
• •  + Crl Нт + Ст2 к Нт + • • • + Сгогг к"'-1 Нт ,
где Cij — произвольные постоянные. Таким образом, каждому корню
д кратности а соответствует набор частных решении вида
д*5,Л:д*,...,Ла“1д*:.
20.1.	Найти общее решение уравнения
tyk+i - сук + ayk-i = 0.
20.2.	Найти общее действительное решение уравнения
Ук+i ~Ук + tyk-i = 0.
20.3.	Верно ли, что любое решение разностного уравнения
2/fc+i “ §Ук +	= О
удовлетворяет уравнению
Ук+i — &Ук + 2?Ук-1 - 23^-2 - 24j/fe-3 + Збт/^-д = 0 ?
92
§ 20. Однородные разностные уравнения
20.4.	Пусть <pk и Zk — два частных решения уравнения
Л12/А+1 + <WUk +а-12/л-1 = 0, ai,a_i / 0.
Доказать, что определитель матрицы
Ак = (	^+1 )
\ г* zk+1 J
либо равен нулю, либо отличен от нуля для всех к одновременно.
20.5.	Показать, что если —1 < А < 1, то любое решение разност-
ного уравнения
Ук+i - 2Xyk 4- Ук-i = 0
ограничено при к -> оо. Если же А — любое комплексное число, не
принадлежащее интервалу действительной оси — 1 < А < 1, то среди
решений этого разностного уравнения есть неограниченные при к
-> ОО,.
20.6.	Найти решение задачи
У к+4 + 2j/fc+3 + 3j/fc+2 + 23/1.4.1 4- У к = о, 3/0 = У1 = Уз = О, У2 = — 1.
20.7.	Показать, что для чисел Фибоначчи /*:
fk+i = fk 4- A-i, /о=О, /1 = 1,
справедливо
fkfk+2 ~ fl+1 = (-l)fe+1, к = 0,1,2,... .
20.8. Вычислить определитель:		
	( b c 0 .	.	.	. 0 0 \
	a b c 0	.	. 0
= det	0 a b c 0	,	. 0
0 0.	0 a b с
^00.	.	0 a bу
20.9	. Используя разностное уравнение, выписать формулу для вы-
числения интеграла
Д(а) = |
7Г J
о
cos(fec) - cos(fca)
cos а; - cosa
dx,
93
Глава VI. Разностные уравнения
где a — параметр.
20.10	. Для целых положительных чисел ао > ai находится наи-
больший общий делитель последовательным делением: ао на ai,
на первый остаток и т.д. Требуется указать оценку сверху для числа
делений (длину алгоритма Евклида). ’
20.11	. Пусть задана последовательность интегралов
оо
Д = У хке~х sinxda;, к>0.
о
Показать, что для целых неотрицательных п справедливо равенство
Дп+з = 0.
20.12	. Найти общее действительное решение уравнения
20^-1 - 8ук + 2/Л+1 = 0 •
20.	А. Найти общее действительное решение уравнения
2j/fc-i - 2ук 4- уь+1 = 0.
20.14	. Найти общее действительное решение уравнения
26j/fc-i 4- lOj/fc 4- 2Д-+1 = 0.
20.15	. Найти общее действительное решение уравнения
137/fc-l 4- 4j/fc + 3/Л4-1 = 0.	|
I
20.16	. Найти решение разностной задачи
У к+2 4- 4^+1 4- 4ук = 0, уо = 1, yi = 4.
20.17	. Найти решение разностной задачи
Ук+2 + 3^+1 4- 2ук = 0, j/о = 2, j/х = 1.
20.18	. Найти решение разностной задачи
Ук+2 +Ук = О, 2/о = 2, з/1 = 1.
20.19	. Найти решение разностной задачи
2/Л+1 - 4з/£ 4- Ук-1 4- бз/fc—2 =0, з/о = 6, х/i = 12,2/4 = 276.
к
94
§21. Неоднородные разностные уравнения
20.20	. Доказать, что любое решение разностного уравнения
?/fc+i ” 12 yk-i 4" 2 yk-2 + 27 ук-з - 18 уь-4 = О
однозначно представимо в виде суммы решений уравнений
Ук+1 -Зг/fc-i + 2ук-2 =0 и 2/fc+i-92/fc-i = 0.
§ 21.	Неоднородные разностные уравнения
Пусть у® — общее решение однородного, а у^ — частное реше-
ние неоднородного уравнения. Тогда общее решение линейного неод-
нородного уравнения с постоянными коэффициентами можно пред-
ставить в виде их суммы
Ук=У°к+Ук-
Как и в случае дифференциальных уравнений, частное решение
для правой части специального вида может быть найдено методом
неопределенных коэффициентов. Пусть
fk = ак (Рт(к) cos ДА: 4- Qn(k) sin ДА:),
где Pm(A:), Qn(A:) — многочлены степени тип соответственно.
Тогда частное решение ищется в виде
ук = k8 ак (Ri(k) cos ДА; 4- Т<(А?) sin ДА;),	(*)
где з = 0, если а и Д не являются одновременно модулем и аргу-
ментом корня характеристического уравнения, и з равно кратности
этого корня в противном случае; I = max(m, п) — степень многочле-
нов R(k) и Т(к).
Чтобы найти коэффициенты этих многочленов, надо подставить
выражение (*) в неоднородное уравнение и приравнять коэффици-
енты при подобных членах. Напомним этот алгоритм в простейшем
непрерывном случае:
У" ~У = е®,
2/°(ж) = С1ех4-С2е~ж, у\х) = ех (Ах + В),
С1 + ^х\ех + С2е~х.
л» J
21.1.	Найти частное решение уравнения
2j/jt - Vk+i = 1 + 2fc - к2 .
95
у" -у = 2Аех = ех => А = |	=> у(х) =
2*
Глава, VI. Разностные уравнения
21.2.	Найти частное решение уравнения
%Ук ““ У к+1 = к 2^ .
21.3.	Найти частное решение уравнения
2ук~Ук+1 =sinfc.
21.4.	Найти решение задачи
Ук+i -byk =ак, г/о = 1 (а,6/0).
21.5.	Найти решение уравнения с переменными коэффициентами
Ук+i - ty* = 2* *!, к > 0.
21.6.	Решить нелинейную задачу
Ук	1
Ук+i = 14.., ’ 2/0 = 1-
1 + У к
21.7.	Найти решение нелинейного уравнения
21.8.	Найти решение задачи
21.9.	Решить нелинейное уравнение
Л 1
2/Л+1 =2-----, уо — 2.
Ук
21.10.	Найти частное решение уравнения
1	3
gУк-1 - -£Ук + 3/JH-1 =
21.11.	Найти частное решение уравнения
- 12^_i - yk 4- Ук+i = 4* .
jj 22. Фундаментальное решение
21.12.	Найти частное решение уравнения
+ 17j/fc + 3j/fe+i =	.
21.13.	Найти частное решение уравнения
6yjt-i - 5уь + Ук+1 = 2* .
21.14.	Найти общее решение уравнения
5
Ук-I ~ хУк + Ук+i = COS к.
А»
21.15.	Найти общее решение уравнения
4?/fc-i ~ Зт/л - 2j/fc+i 4- 3/Л+2 = к.
21.16.	Найти общее решение уравнения
Ук+i +Ук- 5з/*-1 4- Зз/fc—2 = 1 •
21.17.	Найти общее решение уравнения
Ук+i ~tyk-8yk-i =sinfc.
§ 22.	Фундаментальное решение и задачи на
собственные значения
Фундаментальным решением Gk называется решение разност-
ного уравнения
ааУк 4" а1Ук+1 4- • • • 4- апУк+п = fk
с правой частью fk =	> гДе
к ( 0 при к п,
11 при к = п.
22.1.	Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
аук + Ьук+i =5о •
22.2.	Пусть |а/Ь| / 1, |/*| < F, a G* — ограниченное фундамен-
тальное решение уравнения
аук + Ьз/*ч-1 = fk-
97
Г л а в a VI. Разностные уравнения
Показать, что частным решением этого уравнения является сходя*
щийся ряд
оо
Ук ~ У? Gk-nfn •
п=—оо
22.3.	Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
Ук-1 ~2Ук + Ук+1 = 6q •
22.4.	Найти фундаментальное решение уравнения
Ук-1 ~Ук+ Укц —Sq.
22.5.	Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
5	„к
Ук-i - 2Ук+ Ук+г ~ Sq '
22.6.	Найти все А, для которых разностная задача
\	=-*Ук, yo = VN = 0, h = l/N,
имеет нетривиальные решения.
22.7.	Найти все А, для которых разностная задача
Уь+i -%Ук + Ук-i Хв,	_ п ь - 1 /лг
---------------= -Aj/fe, з/о - yN = 0, h = 1/N,
имеет нетривиальные решения.
22.8.	Доказать, что решение задачи
Ук-i -2уь + Ук+1 = fk, Уо = &, yN = 0,
удовлетворяет неравенству
№
шах |г/*| < тах(|а|, |0|) + 1<т^_1 |Л| • у.
22.9.	Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
2/fc+i - бу* + 6yfe_i = <5q •
22.10.	Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
о 13	. tk
ЪУк-1 ~ ~^Ук + Ук+1 = Oq .
9Я
jj 22. Фундаментальное решение
22.11.	Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
13	.к
g2/*-i ~	+ Ук+1 = <>о •
22.12.	Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
2/fc+i - уь — 12j/fc-i =	
22.13.	Найти все решения задачи на собственные значения
=_>W)	h = l/N.
22.14.	Найти все решения задачи на собственные значения
yk+i-2yk+yk-i = _Хук> уо = yi	Qh= 1/N.
h*
22.15.	Найти все решения задачи на собственные значения
У*-ц ~ 4-yfc-i
h2
= -Ay*,
Уо = 0, уы = yN-i, Л = 1/N.
Глава VII
Решение дифференциальных уравнений
Постановки задач. Пусть в области D с границей Г задана
дифференциальная задача
Lu = f в D	(1)
с граничным условием
I и = р на Г.	(2)
Здесь L т I — дифференциальные операторы; f и — заданные,
а и,— искомый элементы некоторых линейных нормированных про-
странств F, Ф и U соответственно.
Если одной из переменных является время t, то рассматривают
области вида
D(t,x) = d(x) х [t0,T],
где t — время и х = (Ш1,..., xs) — совокупность пространственных
координат. Это означает, что решение ищется в пространственной
области d(x) на отрезке времени [to ,Т]. В этом случае условия, за-
данные при t = to, называют начальными, а условия, заданные на
границе Г(х) области d(x), — граничными, или краевыми.
Задачу, у которой заданы только начальные условия, называют
задачей Коши. Задачу с начальными и граничными условиями назы-
вают смешанной краевой задачей. Если сформулирована задача, не
зависящая от времени, и заданы граничные условия, то ее называют
краевой.
Для решения сформулированных задач наиболее часто использу-
ется разностный метод.
100
§ 23. Методы построения разностных схем
§ 23.	Методы построения разностных схем
Разностный метод. Для применения разностного метода опре-
деляют некоторую сетку — конечное множество точек (узлов) Dh =
= U Гд, принадлежащее области D = D (J Г. Как правило, С Г.
Будем рассматривать только сетки, узлами которых являются все
точки пересечения заданных наборов параллельных прямых (плоско-
стей), причем по каждой переменной выбирается свой постоянный
шаг. Сеточный параметр h является, в общем случае, вектором, ком-
поненты которого состоят из шагов сетки по каждой переменной.
Для изучения свойств разностных схем вводится понятие величины
шага сетки, в качестве которого принимается какая-либо сеточная
норма вектора h, например,
/ п \ W
1|Л||оо = тюс hi или ||Л||2 = (	)
где п — число переменных в дифференциальной задаче. Чтобы из-
бежать новых и ненужных для существа дела обозначений, в приво-
димых ниже оценках под h понимается величина шага сетки.
Если X С Y и функция v определена на множестве У, то ее
следом на множестве X называют функцию, определенную на X и
совпадающую там с v. Если функция v определена нак некотором мно-
жестве У, содержащем Уд, то ее след на Уд будем обозначать (v)h-
Часто пространства F&, Ф& и Uh определяют как пространства сле-
дов функций из F, Ф и U на Dh, Гд и Dh соответственно. При этом
используются согласованные нормы пространств, т.е. для достаточно
гладких функций v Е У выполняется соотношение
lira || (v)h ||yh =||v||y.
ft—>0
Все производные, входящие в уравнение и краевые условия, за-
меняются разностными аппроксимациями. При записи этих аппрок-
симаций в некотором внутреннем узле сетки берется одно и то же
количество соседних узлов, образующих строго определенную конфи-
гурацию, называемую шаблоном. В результате дифференциальные
операторы L и I заменяются разностными Lh и lh -
Для нахождения приближенного решения задачи (1), (2) опреде-
лим разностную схему — семейство разностных задач, зависящих от
параметра h:
LhUh = fh в Dh;	(3)
lhUh = 4>h на ГЛ.	(4)
101
Глава VII. Решение дифференциальных уравнений
Решение разностной схемы ид, называемое разностным, принимав
ется в качестве приближенного решения дифференциальной задачи.:
Аппроксимация. Говорят, что разностная схема (3), (4) аппрок-
симирует с поря дком аппроксимации р = min(pi ,рг) дифференциаль-
ную задачу (1), (2), если при любых гладких функциях u,f,cp суще-
ствуют такие постоянные Ло > Q > Pi > £2 и рг > что для всех h <h$
выполняются неравенства
||ЬЛ(«)Л - (Лл||п + ||(/)л - АНх <	,
НА(«)fc - (¥>)fclUfc + HMfc -	< сгЛ’’2,
где ci, pi, C2 и p2 не зависят от h.
Выражения, стоящие под знаком норм, называют погрешностями
аппроксимации.
Оператор Ьц из (3) локально аппроксимирует в точке ж* диффе-
ренциальный оператор L из (1), если для достаточно гладкой функ-
ции и € U существуют такие положительные постоянные ho, сир,
не зависящие от h, что при всех h < ho справедливо неравенство
|(ЬЛ(«)Л-(Lu)fc)|I=x<| < ch».
Число р при этом называется порядком аппроксимации. Аналогично
определяется порядок локальной аппроксимации оператора In.
Широко исп ользуется также понятие аппроксимации на решении.
Говорят, что разностная схема (3), (4) аппроксимирует на решении и
с порядком аппроксимации р = min(pi,p2) дифференциальную за-
дачу (1), (2), ес ли существуют такие постоянные ho, ci, pi, С2 и рг,
что для всех h < ho выполняются неравенства
||Ьл(и)л - fh||Ffc < cift₽1, ||А(«)л -	< czh»3,
где ci, pi, C2 и рг не зависят от h.
Порядки аппроксимаций обычно оценивают при помощи разло-
жения в ряды Тейлора. Порядок аппроксимации разностной схемы
может быть ргденый по разным переменным. Если погрешность ап-
проксимации стремится к нулю при любом законе стремления шагов
по различным переменным к нулю, то такая аппроксимация называ-
ется безусловной. Если же погрешность аппроксимации стремится к
нулю при одних законах убывания шагов и не стремится к нулю при
других, то аппроксимацию называют условной.
Устойчивость. Разностная схема (3), (4) устойчива, если реше-
ние системы р азностных уравнений существует, единственно и непре- >
рывно зависит от входных данных Д, ерь, причем эта зависимость <
102
§ 23. Методы построения разностных схем‘
равномерна относительно величины шага сетки. Это означает, что
для каждого е > 0 найдутся ho и 5(e), не зависящие от h, та*
кие, что Цид1) —	< в, если Л < ^0, Ц/h^ ““/^||	— и
И1 -4L
II	'*«2»
Для линейных схем определение устойчивости имеет вид
Чк“~ЛЬ 4K-4L 
II	llUh II	HFh II	ПФн
где ci и С2 — постоянные, не зависящие от h.
Устойчивость называется безусловной, если эти неравенства вы-
полняются при произвольном соотношении шагов по различным пе-
ременным. Если же для выполнения неравенств шаги должны удовле-
творять дополнительным соотношениям, то устойчивость называется
условной.
Непрерывную зависимость по Д называют устойчивостью по
правой части, а непрерывную зависимость по tph называют устой-
чивостью по граничным условиям. Если рассматривается смешанная
краевая задача, то устойчивость по граничному условию при t = to
называют устойчивостью по начальным данным.
Сходимость. Решение щ, разностной схемы (3), (4) сходится к
решению и дифференциальной задачи (1), (2), если существуют такие
постоянные ho, с и р, что для всех h < ho выполнено неравенство
||(«)л - ил||Ун <chp,
где с, и р не зависят от h. Число р называют порядком сходимо-
сти разностной схемы, при этом говорят, что разностное решение Uh
имеет порядок точности р.
Теорема (о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости).
Пусть выполнены следующие условия:
1)	операторы L, I uLh,lh — линейные,
2)	решение и дифференциальной задачи (1), (2) существует и
единственно,
3)	разностная схема (3), (4) аппроксимирует дифференциальную
задачу (1), (2) с порядком р,
4)	разностная схема (3), (4) устойчива.
Тогда решение разностной схемы	сходится к решению и диф-
ференциальной задачи с порядком не ниже р.
Поскольку для многомерных задач порядок аппроксимации по
разным переменным может быть неодинаковым, порядок сходимо-
сти по разным переменным также может быть различным. Если ап-
проксимация и (или) устойчивость разностной схемы условные, то
103
Глава VII. Решение дифференциальных уравнений
сходимость имеет место только при тех соотношениях между ша-
гами сетки по разным переменным, при которых выполнены условия
аппроксимации и (или) устойчивости. Требование устойчивости явля-
ется необходимым условием сходимости.
Рассмотрим наиболее распространенные методы построения раз-
ностных схем.
1.	Метод неопределенных коэффициентов. Пусть име-
ется трехточечный шаблон (три расположенных подряд узла сетки
Sfc-i, хк, Xk+i) и требуется найти разностный оператор Lh, локально
аппроксимирующий дифференциальный оператор L на функции и в
узле хь- Для нахождения неопределенных коэффициентов a_i,ao,ax
с помощью формулы Тейлора вначале находятся коэффициенты при
и(х),и\х),и"(х),... в выражении
(Lfc(u)h-(Lu)h)|I=Ifc =
= (a_!u(xfc_i) + аои(хк) + aiu(xk+1) - (Lu)ft)|I=Sfc •
Затем приравнивая к нулю коэффициенты последовательно при
и т.д., приходим к системе линейных алгебраических урав-
нений, решая которую находим a_i,ao,ai. Порядок аппроксимации
определяется после подстановки их найденных значений в первый не-
нулевой коэффициент при производных в точке хк•
2.	Интегро — интерполяционный метод. Рассмотрим его на
том же шаблоне для уравнения
и' 4- и = f(x).
Проинтегрируем уравнение от Xk-i до хк+1:
/ udx=5h /f(x)dx-
®fe-l	®Jb~l
Заменяя интегралы, например, по квадратурой формуле Симпсона,
получаем разностное уравнение
zr (ufc+i - wfc_i) 4- - (ufc+i 4- 4uk 4- Ufc-i) = - (Л+1 4- 4/fc 4- A-i) •
2ri	о	о
3.	Интегральное тождество Марчука. Для задачи
-(а(ж)и/)Г 4- Ь(х)и = f(x) у 0 < х < 1,
u(0) = и(1) = 0, 0 < а© < о(я) < ох, 0 < Ь(х) < bi,
104
§ 23. Методы построения разностных схем
где а(я), Ь(ж), / (ж) имеют конечное число разрывов первого рода, по-
строение разностной схемы основывается на интегральном тожде-
стве, которому удовлетворяет решение исходной задачи
Здесь в целях экономии места у каждого слагаемого отброшен мно-
житель вида 2/(ж*+1 —
4.	Метод Ритца. Если оператор L — самосопряженный и поло-
жительно определенный, то равносильны две задачи:
а)	нахождение решения задачи Lu = f в гильбертовом простран-
стве U со скалярным произведением (•,*) ;
б)	нахождение u € U, минимизирующего функционал
J(u) = (Lu,и) — 2 (и, f) .
Для нахождения и строится последовательность {Uh} конечномер-
ных подпространств пространства U с известным базисом {^}.
В каждом {Uh} находится элемент йд, минимизирующий J(u) в
{Uh} • Для этого достаточно найти коэффициенты разложения Uh
по {¥>?}:
i
из системы линейных алгебраических уравнений Аа = Ъ, где
ац = (b’PoV’j), bi = (/,¥>?), i,j = l,Nh,
Nh — размерность {Uh}- Если последовательность {Uh} полна в
{U}, то
lim Uh = й.
Л->0
В качестве базисных функций в простейшем случае исполь-
зуются кусочно - линейные. Для произвольной сетки а = жо <	<
< ... < xn = Ь они имеют вид
{ГГ1 — х
------ при 0 < X < X! ,
Xi - х0
О при Xi < х < хп ;
105
Г л а в a VII. Решение дифференциальных уравнений
при Хо < X < Жп_1 ,
при яп-1 < х < хп ;
( 0
9^ (*) = S х ~ аГп~1
к Хп хп—1
^(г) = <	f х ~	при Xi-\ <X<Xi
	Х{ Xi—1	
	•Ei-f-1 X	при Xi < X <
	Xi4-1 — Xi	
	I 0	при остальных x
для г = l,...,n- 1.
5.	Метод Галеркина. В отличие от метода Ритца, метод Галер-
кина не требует самосопряженности и положительной определенно-
сти оператора L из задачи Lu — f.
Для нахождения решения и в каждом из конечномерных подпро-
странств Uh отыскивается элемент йд такой, что для любого Vh 6 Uh
справедливо (Luh — f,Vh) = 0. Соответствующие коэффициенты
разложения Uh по базису подпространства Uh определяются из си-
стемы уравнений, имеющих тот же вид, что и в методе Ритца. Отли-
чие состоит в том, что aij =
6.	Метод аппроксимации функционала. В этом методе ми-
нимизируемый функционал J(u) заменяется приближенным функци-
оналом Jhttf)- Пусть на отрезке [а,Ь] введена сетка х^к = 0,п. То-
гда производные в функционале заменяются конечными разностями,
а интегралы — квадратурами. Например,
Л du \ .	( (рк ~~ фк-1 \ 1
— dx заменяется на >	----;---- п,
ь J
u *
и мы, таким образом, приходим к задаче минимизации приближен- г
ного функционала Jh(<p)- разностная схема получается приравнивав |
нием к нулю величин dJh/dpk, к = 0,n.	S
7.	Метод сумматорного тождества. Аналогично методу ап-
проксимации функционала интегральное тождество (Lu — f,v) = 0 -k
заменяется сумматорным тождеством (LhSPh — fh^h) = 0 для лю-
бого Vh. Так как в конечномерном пространстве векторы е*, к = 0, п i
образуют базис ( fc-я компонента вектора еь равна 1, остальные —
нулю), то разностная схема получается из системы уравнений
(LhVh “ fh, ek) = 0, к = 0, п.
23.1	. Привести пример последовательности сеточных функций .
{<ph} из семейства пространств {Фд}, которая сходилась бы к .
106
§23. Методы построения разностных схем
некоторой функции u G Ф, если в качестве нормы Фл взять
/ п 2\1/з
( 52 ($) I , и расходилась, если в качестве нормы Фд принять
\ *=1 /
maxkp?|.
t
23.2	. Сходится ли последовательность сеточных функций {<ph} к
функции и и с каким порядком, если
<Po = tz(O), <p„ = w(l), i = 1,71 “ 1, h == 1/n,
а и принадлежит одному из пространств С,С^^,С^,СА3\С^100)?
В качестве ||-|^fc взять Ц-Ц^. Существуют ли функции и(х), к кото-
рым {<ph} сходится с бесконечным порядком?
23.3	. Справедливы ли равенства:
„ ч	„ и(х 4- h) — 2и(х) 4- и(х - h)
1)	_'------'----i--------------- —
h-rt
Л2
2
2
= lim
Л—>0
и(х + 2h) 4- и(х) _	+ и(ж) + и(х - 2h)
Л2
и(х + Л) — и(х — h)
2) hm —---------'-—г- -----=
л-ю 2h
и(х + 2Л) + и(х) и{х) + и(х -- 2h)
2
2
2h
= lim
h-rt
если и(х) G ?
23.4	. С каким порядком дифференциальная задача
4- 2ucosx = cose 4- sin(2x), х Е [0,11J, и(0) = 0,
ах
аппроксимируется разностной схемой
<Pi+i - <Pi . Л ¥>i+i + 4>i
—Л-+“'—2—
если в качестве области определения Д используется
<р0 — 0, i = О.,п — 1,Л = 1/п,
Dfi —	— О,Л 1}, 27$ —	27$ 4” /l/2 ,
107
Глава VII. Решение дифференциальных уравнений
а величины а* и определены как:
1)а, = С083т; + cosfff+i, fi = | 4-1 (sin(2xi) 4- sin(2xi+i)) ;
2)а< = 2 cos ж», fi = cosxi+i 4- sin(2x{+i);
3)а* = 2со8ж<+1, fi = cosxi+i 4- sin(2®i+i) ?
23.5	. С каким порядком дифференциальная задача
4- 2u cosх = cosx 4- sin(2x), x € [0,1], u(0) = 0,
аппроксимируется: разностной схемой
<Pi+l “ 4>i ,	^i+1 4- 4>i	.	.	-----=- ,	.
-----	1- ai»	--= f^ <p0 = 0, г = 0, n - 1, h = 1/n,
Пг--------------------£
если в качестве области определения Д используется
Dh = {х^ i = 0,n - 1}, Xi = ih,
а величины и fi определены как:
l)a< = cossi 4- cossi+i, fi = | 4-1 (sin(2xi) 4- sin(2xi+i)) ;
2)a< = 2 cos Xi, fi = cos 4- sin(2xi) ?
23.6	. Для дифференциальной задачи
ci?u	r_ ,	_
~dx2 + aU = cosa;’ x € ДО,я*], a > 0,
u(0) = 0, u(ir) = 1,
на трехточечном шаблоне с постоянным шагом построить схему де-
сятого порядка аппроксимации.
23.7	. Для дифференциальной задачи
>./ ч	гЛ -.1
”di2=^’ же^0,11’
u(0) = o,u(l) = J,u€C(4),
на трехточечном шаблоне с переменными шагами сетки построить
разностные схемы первого и второго порядка аппроксимации.
23.8	. Для дифференциальной задачи
du	.	/л\
— + cu = f(x), с = const, u(0) = a,
108
g 23. Методы построения разностных схем
интегро — интерполяционным методом на трехточечном шаблоне с
постоянным шагом построить схему четвертого порядка аппрокси-
мации.
23.9	. Для дифференциальной задачи
+ си = f(x), х е [0,1], с > о,
«(0) = а,и(1) = Ь,
интегро — интерполяционным методом на трехточечном шаблоне с
постоянным шагом построить схему четвертого порядка аппрокси-
мации.
23.10	. Для дифференциальной задачи
d ( t . du «	г _ «
fax fix a t X Г1/2, 0<1<7г/4,
u(0)=u(l) = 0, «(.) = (,;	я/4 <*<',,
построить разностную схему с помощью интегрального тождества
Марчука.
23.11	. Дана дифференциальная задача
-т-х + ct* =/(ж), а; 6 [0,1],
ах
w(0) = u(l) = 0.
При каких с для решения этой задачи применим метод Ритца?
23.12	. Для дифференциальной задачи
ж6[°’1Ь
ах \ ах J
fax _ fix — a f \ _ I 3/2> 0 < 1 < ”74>
u(0)-u(l)-0, а(х)-|2,
построить разностную схему методом Ритца, взяв кусочно - линей-
ные функции в качестве базисных.
23.13	. Указать такую разностную схему, аппроксимирующую
дифференциальную задачу
~ь=/(ж)’ ж6[0’1])
u(0) = и(1) = 0,
109
Глава VII. Решение дифференциальных уравнений
со вторым порядком, которая при каждом h представляет собой си-
стему линейных алгебраических уравнений с положительно опреде-
ленной матрицей.
23.14	. Для дифференциальной задачи
-4-	+ “ = № ’ ж е [°> ч >
ax \ ах J
u(0) = и(1) = 0, а(х) > 0, Ь(х) > 0,
на равномерной сетке построить разностную схему методом аппрок-
симации функционала.
23.15	. Для дифференциальной задачи
(“Wlz) =1> х60>1’
ах \	ах J
“(0) = «(l)=0, aW = {!/3, "/Vslst
построить разностную схему методом Галеркина, взяв кусочно — ли-
нейные функции в качестве базисных.
23.16	. Для дифференциальной задачи
(Pu du	г ,
~^ + а^ + си = 1, 1е1°ЛЬс>0,
u(0) = u(l) = 1,
построить разностную схему методом Галеркина, взяв кусочно - ли-
нейные функции в качестве базисных.
23.17	. Для дифференциальной задачи
d ( . х du	\ du z v	* / \	гл —
-dx (dx) + dx +	~ ж 6 [°’ Ч ’
u(0) = u(l) = 0, а(х) > 0, с(х) > 0,
на равномерной сетке построить разностную схему методом сумма-
торного тождества.
23.18	. Для уравнения у' = f(x,y) построить схему вида
Ут+1 +aym + bym-1 1,	,
------------------ = 6	“ J™ + С/т+1
110

§ 24.	Задача Коши
наиболее высокого порядка аппроксимации.
23.19	. Для уравнения у1 = f(x,y) построить схему вида
йУт+1 + bym-i___£	£	£
------д------ — с fm-l +	+ С /пг+1
наиболее высокого порядка аппроксимации.
23.20	. Для уравнения у' = f(x,y) построить схему вида
Ъут+1+аут-ут-! _ z 2,
--------2^-------- =	+ j Jm + « Jm+1
наиболее высокого порядка аппроксимации.
23.21	. Для уравнения у' = f(x,y) построить схему вида
Ут+1 + аут + Ьут-1 _ _ х , J t , 1 х
2^	—С/т—1 ~г а утл + g Jm+1
наиболее высокого порядка аппроксимации.
§ 24.	Задача Коши
В случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения
у' = f(x,y);	(1)
У(хо) = у0	(2)
общие термины теории разностных схем можно конкретизировать.
Пусть, для простоты, рассматривается равномерная сетка Xk = хо+
4-ЛЛ, к > 0. В качестве аппроксимации рассмотрим систему разност-
ных уравнений
1 р	р
J- 52 a-Wn-k = 52 Wn-fc , П = 1,2.......... (3)
Л Л=0	Л=0
с известными начальными условиями уо = 2/(жо), 2/1, • • •, 2/?-1,
где a_fc, b-ь не зависят от Л, ао/0 и fn-k = №п-ь2/п-*)-
В общем случае, это нелинейная система, поэтому аппроксима-
ция левой и правой частей уравнения (1) рассматривается отдельно.
При оценке порядка аппроксимации разностной схемы следует также
учитывать порядок, с которым начальные условия аппроксимируют
значения точного решения задачи (1), (2) в соответствующих узлах
сетки. Там, где рассматривается только уравнение (1) без началь-
ного условия (2), под разностной схемой понимается система (3) и ее
начальные условия во внимание не принимаются.
111
Глава, VIL Решение дифференциальных уравнении
Рассмотрим характеристическое уравнение для левой части раз-/
постной схемы (для уравнения у' = 0):
р
F(M) = £a_feM₽-fe = 0.
fc=0
Схема называется а-устойчивой, если выполнено условие: все корни
характеристического уравнения принадлежат единичному кругу и на
границе круга нет кратных корней.
Данное условие является необходимым. Если не приводится кон-
кретный вид правой части, то имеется в виду устойчивость только в
этом смысле.
24.1.	Показать, что необходимым и достаточным условием ап-
проксимации уравнения (1) разностными уравнениями (3) является
выполнение равенств
р	р	р
^a-k = 0, -^,ка-к = 1,	= 1.
к=о	к=о	fe=o
24.2.	Аппроксимируют ли разностные схемы уравнение (1):
1)	~Ук-з) = Л-i;
2)	_ 3?/fc-2 + 2ук-з) = -(Л-i + Л-2);
on	2
3)	^-(3yfe -42/fc_i + Ук-г) = fk?
2il
24.3.	Для задачи и* 4- и = х + 1, и(0) = 0, с точным решением
и = х рассматривается схема
yk+i-yk-i+yk = kh + ^ yo = Q^ У1=о
2a
Каков порядок аппроксимации данной схемы? Можно ли его улуч-
шить?
24.4.	Для задачи
и’ + a(x)u = f(x), u(0) = с
рассматривается схема
-f- (aia(xk) 4- а2в(зд+1)) (01Ук + 02Ук+1) —
7i/Ccfc) 4- 72/(я*+1) , 2/о = с.
112
§24. Задача Коши_____________________________________________
Как выбрать а^Рк и 7fc> чтобы получйть второй порядок аппрок-
симации?
24.5.	Для уравнения (1) построить разностную схему с наивыс-
шим порядком аппроксимации
2h "" = 0,1 + °°Л-1 + а-!Л-2-
24.6.	Исследовать устойчивость разностной схемы
0 Ук+1~ Ук + (1 - 0)	= fk при 0 е [о, 1].
h	h
24.7.	При каких а, b и с схема
т {Ук + аУк-1 - a?/fc-3 ” Ук-i) = bfk-i 4- cfk-2 4- b/fc-з
Л
имеет максимальный порядок аппроксимации? Выполнено ли условие
а -устойчивости?
24.8.	Исследовать сходимость решения разностной схемы
——4- tyk-i =0, 9?о = a, h = i ,
Л	ft
~	= °’ ^0 = Ь’ к = 1,...,п,
к решению дифференциальной задачи
и1 Н- lv = 0, и(0) = а,
и1 — lv = 0, v(0) = Ь,
на отрезке
х Е [0,1] при I = const / 0,
используя решения обеих задач.
24.9.	Для задачи у1 = у, уо = 1 рассмотрим схему
Ук+1 - Ук-1 _ 9t _ . 91 _ h
----- = Ук, 2/0-1, У1 - е .
В разложении ошибки у(хь) — у к = Q h 4- С2/12 4-... найти постоянную
Ci ДЛЯ Хк = 1 -
24.10.	Для задачи у1 — у, уо = 1 рассмотрим схему
А Ук+1 “ Ук-1 о Ук+1 - Ук__
4----Гк-----3—J------------И-
113
Глава VII. Решение дифференциальных уравнении
В разложении ошибки у(хь) ~Ук — cih + Czh2 4-... найти постоянны^
С1 И С2 ДЛЯ Xk = 1.
24.11.	Для задачи u' + u = cos 2ж, и(0) = 0 , построить трехто-
чечную разностную схему второго порядка сходимости.
24.12.	Для задачи и' 4- 5и = sin 2я, и(0) = 2 , построить двухто-
чечную разностную схему второго порядка сходимости.
24.13.	Для задачи и' — и = ехр 2ш, u(0) = 1, построить трехто-
чечную разностную схему второго порядка сходимости.
24.14.	Для задачи и1 ~ 2и = ехр ж, u(0) = 1, построить двухто-
чечную разностную схему второго порядка сходимости.
24.15.	Привести пример неустойчивой разностной схемы, аппрок-
симирующей уравнение у1 = f(x,y) строго: 1) с первым порядком;
2) со вторым порядком; 3) с третьим порядком.
§ 25.	Линейная краевая задача
Простейшая содержательная постановка краевой задачи для ли-
нейного обыкновенного дифференциального уравнения второго по-
рядка и^еет вид
- (к(х) и')' 4- р(х) и = f(x), 0 < х < 1,
u(0) = и(1) = 0.
Предполагается, что коэффициенты уравнения удовлетворяют усло-
виям
0< ко < к(х) < &i, 0 < р(х) < pi.
Отметим, что на любом из концов отрезка краевое условие может
быть задано в виде линейной комбинации функции и производной
аи 4- buf = с.
В этом случае обратить внимание на порядок его аппроксимации.
Если это не оговаривается специально, то в приводимых ниже за-
дачах сетка выбирается равномерной: Xi = ih, i = 0,..., TV, Nh = 1.
25.1.	При каких а, /3 и 7 разностная схема
- — +(ay»+i +0yi+yyi-i) = +	y0 = yN = О,
/I	J.Z
аппроксимирует задачу
—и” 4- и = /(ж), u(0) = и(1) = 0,
114

§25. Линейная краевая задача
с четвертым порядком?
25.2.	Используя значения функции и в двух точках xq и
Xi, построить аппроксимацию второго порядка граничного условия
аи(0) 4- Ьи'(О) = с для уравнения
— и" + р(х) и = f(x).
25.3.	Исследовать устойчивость разностной схемы
yi+1 - 2yi + yt-1 _ t	л
---------Д2-----= J»> 2/о = yjf = о,
и показать, что при h -> 0 число обусловленности матрицы алгебра-
ической системы для нахождения yi имеет порядок О(1/Л2).
25.4.	Получить на основе принципа максимума при f € С^2\0,1)
оценку скорости сходимости
h2
max Info) - w| < — max|/"(x)|
Q<i<N' v v - 96 [o,i] 1 v
решения разностной задачи
Vi+i -tyi+yi-i _ £	_ n
---------Д2----- = Ji) yo = VN -V,
к решению дифференциальной задачи
-и" =	u(0) = u(l) = 0.
Энергетический метод исследования устойчивости. Рас-
смотрим энергетический метод исследования устойчивости на при-
мере дифференциальной задачи
- и" +р(х) и = /(ж), и(0) = п(1) = 0, р(х) > 0.
Возьмем интеграл по отрезку [0,1] от обеих частей уравнения, пред-
варительно умножив уравнение на и:
1 1 1
У (—u,f)udx + У pu2dx = У fudx.
о	оо
После интегрирования по частям получим интегральное тождество
1 1 1
У (u')2dx + У pu2dx = У fudx.
ООО
115
Глава VII. Решение дифференциальных уравнений

Далее нам потребуется неравенство, связывающее интегралы от ква-
дратов функции и ее производной. Из равенства
u'(x)dx
следует, что
|и(а;о)|2 <
< У (u')2dx < У (u,y)2dx.
о	о
После интегрирования по зд обеих частей получим искомое неравен*
ство
1 1
или У u2dx < У (u')2dx.
о	о
Окончательно имеем
1
Г, .	1
I fudx < -
о
откуда
1
II«IIl2 < II/IIl2> где ||и|Ц2 = j u2dx.
О
Это — априорная оценка для решения, означающая устойчивость за-
дачи по правой части.
25.5.	Рассмотрим разностные аналоги интегрирования по чат
стям. Введем обозначения:
N-l	N	N—1
Gp.V’) = Е ччФй (v’.V’] = Е	= Е wh,
г=1	i=l	1=0
(д^)1 = tpi+1 - 4>i,	(V^)i = tfli - tpi-i.
Доказать справедливость следующих соотношений:
(у>,Д7^) =	+ ¥’n-i(V^)n - ^o(W)i,
(^, ДХ7^>) - (Д7у>,^) = Y’n-iV’n - V’nV’n-i + V’l^o - <Po^i,
(<p, Д^>) = -(Vsp, + V’nV’n -	•
116
§25. Линейная краевая задача
25.6.	Провести исследование устойчивости энергетическим мето-
дом простейшей разностной схемы
yi+i - 2yi + yi-i . _	_ ,
--------д2-----Ь Pi Vi — fi> VO = yN = 0.
25.7.	Доказать тождество Лагранжа
(\ 2
Sх™ ) = |	~ W? 
i /
25.8.	Доказать неравенство для положительных сеточных функ-
ций
(п	\	/ п	\ 1/П	/ п	\ ^/п
1Ь +(Пг/<) < (П(®« + г/<>)
t=l	/	\t=l	/	\i=l	/
25.9.	Доказать неравенство Гельдера для положительных функ-
ций при 0 < в < 1
/ \0 / \ 1-*
25.10.	Доказать неравенство Минковского для неотрицательных
функций при 0 < в < 1
25.11.	Доказать теорему Адамара для квадратных матриц А
det2 (А) < f[ 521о<>12'
j=l i=l
Введем обозначения:
IMI = Vh [3/, у]1/2, ||у||с = тю |у<|,
(2/s)i = (Vy)i//i = (у< - У<-1) /h, ||уг]| = Vh (уг,уг]1/2 ,
где h — постоянный шаг сетки.
117
Г л а в a VII. Решение дифференциальных уравнений
25.12.	Пусть j/о = Уп = 0 и nh = 1. Доказать неравенство
1М1с<||М.
25.13.	Пусть 2/0 = з/п = 0 и nh = / . Доказать неравенство
IMIc< vlbll-
25.14.	Пусть 2/о = О и nh = l. Доказать неравенство
IMIc < ^ПЫ1 •
25.15.	Пусть 2/о = !/п = 0 и пЛ = 1. Доказать неравенство
25.16.	Пусть уо = уп = 0 и nh = l. Доказать неравенство
25.17.	Построить аппроксимацию второго порядка по двум точ-
кам правого краевого условия и1 - Зи = 1, заданного при х = 1, для
уравнения и" = cos х + 1.
25.18.	Построить аппроксимацию второго порядка по двум точ-
кам левого краевого условия и' + 4и = 1, заданного при х = 0 , для
уравнения и” — х2 и = 1.
25.19.	Построить аппроксимацию второго порядка по двум точ-
кам правого краевого условия и' = 0, заданного при х = 1 , для
уравнения и" — Зи = ехр х .
25.20.	Построить аппроксимацию второго порядка по двум точ-
кам левого краевого условия и1 — и = 0 , заданного при х = 0 , для
уравнения и" — 2и = sin х - 1.
25.21.	Исследовать устойчивость разностной схемы
З/ш+1 ~ %Ут "Ь Ут—1	г	лг i> i
---------д2---------Ь Ут = fm, 3/0 = 3/1, 3/N-1 = 3/N, Nh = l.
25.22.	Исследовать устойчивость разностной схемы
З/тЦ-1 ^Ут Утп—1	/	____________ лг 1
-------------------= Jm, 3/0 = 0, 3/N-1 = 3/7V, Nh—1.
118
§ 26. Гиперболические уравнения
25.23.	Исследовать устойчивость разностной схемы
Ут+1 %Ут "Ь Ут—1
Л2
— fm
2/о —2/i> 2/N = 0,
Nh = l.
25.24.	Исследовать устойчивость разностной схемы
—2^* —™  - (2 + cos(27rxTO))?/m = fm, Уо = Vn = 0, Nh = 1.
§ 26.	Гиперболические уравнения
Построение и исследование разностных схем для уравнений в
частных производных гиперболического типа традиционно прово-
дится в открытой полуплоскости
D = {(ж, t) : оо > х > -оо, t > 0}
на примере уравнения для оператора переноса
_ ди .	. ди ..
с начальным условием
u(x, 0) = Uq(x) при t = 0.
Если это не оговаривается специально, то в приводимых ниже
задачах сетка выбирается равномерной по обеим переменным
= m = 0,±l,...; tn=nr, n = 0,l,...,
а для сеточной функции и в точке (xm,tn) используется обозначе-
ние
26.1.	Определить порядок аппроксимации разностной схемы
пп+1 _ Цтп+1 +
um
2
т 2h
26.2.	Для однородного уравнения с оператором переноса при
а(я, t) = const построить схемы первого и второго порядков аппрок-
симации (если это возможно) на шаблоне из точек (жт, tn), (хт, tn+i),
(ят+1Л) при условии г = rh (г = const).
26.3.	Для однородного уравнения с оператором переноса при
a(z,t) = 1 построить схему с порядком аппроксимации O(r2,h4) на
шаблоне из десяти точек: (хт±2^к), (ят±1,*л),	fc = n,n+l.
119
Глава. VII. Решение дифференциальных уравнений
Спектральный признак устойчивости. Разностные схемы
для однородного уравнения переноса с постоянным коэффициентом а
можно записать в виде
к,1
Ищем частные решения схемы в виде
Спектральный признак устойчивости разностной схемы форму-
лируется следующим образом: если при заданном законе стремления
т и Л к нулю существует постоянная с < оо такая, что для всех
справедливо неравенство
|АМ1 <ест,
то схема устойчива и может быть применена для численного решения
соответствующей задачи Коши для уравнения Lu = f.
26.4.	Исследовать с помощью спектрального признака устойчи-
вость разностной схемы при постоянном коэффициенте a
— un uVl — u™ i
um____। a m	1 = q
t	h
26.5.	Исследовать с помощью спектрального признака устойчи-
вость разностной схемы при постоянном коэффициенте a
«m+1 - «т , „ <+1 - «т-1 _ п
7	+ 2Л ~
26.6.	Исследовать с помощью спектрального признака устойчи-
вость разностной схемы при постоянном коэффициенте a
«m+1 “ «т , п «т+1 ~ «т-1 Л2 и”+1 - 2u” + u” _
т +° 2h 2т h*	“U-
26.7.	Исследовать с помощью спектрального признака устойчи-
вость разностной схемы при постоянном коэффициенте а
un+i _ un un+i _ un+i
!frn--5п+д«т цт-1. =0
т	h
120
§ 27.	Параболические уравнения
26.8.	Исследовать с помощью спектрального признака устойчи-
вость разностной схемы при постоянном коэффициенте a
2
<+1-С . „«m+l-Ct1!
т +a 2h ~ °’
26.9.	Исследовать с помощью спектрального признака устойчи-
вость разностной схемы при постоянном коэффициенте а
Um	О	U* . t - U* i
------------------+ a -"i+L.-..™-,1 = о.
т-----------2h
26.10.	При каких 0 e [0,1] устойчива схема
Цт^ ~ Um | Q um+\ ~~ Цт । ц _ um ~ Цтп—1 _ Q ?
26.11.	Для уравнения переноса
ди ди , .
о
построить двухслойную схему порядка аппроксимации:
1)О(т2, Л); 2)О(?,Л2); 3)О(т2,Л2); 4)0(т,Л).
§ 27.	Параболические уравнения
Построение и исследование разностных схем для уравнений в
частных производных параболического типа традиционно прово-
дится в открытой полуполосе
D = {(я,£) : 1 > х > 0, t > 0}
на примере простейшего уравнения теплопроводности
ди д2и .
£“= э?"а? = ж,)
с начальным условием
и(ж, 0) = uq(x) при t = 0
и краевыми условиями
u(O,f) = u(l,t) = 0 при t>0.
121
Г л в а, VII* Решение дифференциальных уравнении
Предполагается, что начальная функция uQ(x) удовлетворяет крае*
вым условиям.
Отметим, что в общем случае на любом из концов отрезка краевое
условие может быть задано в виде линейной комбинации функции и
производной
a u + b и' = с.
Тогда необходимо обратить внимание на способ его аппроксимации*
Характерная особенность параболической задачи — смешанный
тип данных: краевые условия по х и начальные по t. Поэтому исследо-
вание аппроксимации такое же как и в гиперболических уравнениях,
а исследование устойчивости — принципиально другое.
27.1.	При каком соотношении тик схема
Цщ+1 - ит = ыт-1 ~2цт+цт+1
т	№
имеет порядок аппроксимации О (т2,Л4) ?
27.i.	При каких 6 разностная схема
----Г-----в-------~if---------+ 0 - ”-------№---------
имеет порядок аппроксимации О (г2, Л4) ?
27.3.	Определить порядок аппроксимации схемы
1	. 5U»+1~U"	1	=
12 т 6 т 12 т
2 \ h2	h2 Г
Анализ устойчивости схем в равномерной метрике. Опре-
делим норму сеточной функции на п-м временном слое следую-
щим образом:
||un|| - max |<|.
Будем называть схему устойчивой в равномерной метрике, если
имеет место неравенство
||un|| < с 6|u°|| + max. Iiril) ,
\	Q<n<N )
122
§ 27.	Параболические уравнения
где с не зависит от шагов сетки т и Л, но может линейно зависеть
от величины t.
Если это особо не оговаривается, то сетка считается равномерной
по обеим переменным
= m = 0,l, ... ,Af, Mh = l; tn = nr, n = 0,l,...,
а для сеточной функции u в точке (xm,tn) используется обозначе-
ние и” .
При исследовании устойчивости схем с краевыми условиями пер-
вого рода важную роль играют сеточные функции
Ут = зт(тгтпЛд), т = l,...,Af -1, q = 1,...,М-1,
являющиеся решениями задачи на собственные значения
Ут+1 ““ % Ут 4* Ут— 1	х	, i /ят
---------=	2/о = 2/м = 0, h — 1/М.
С их помощью можно построить частные решения вида
ит = ХяУт = 8ш(тгтЛд), m = 1,...,М - 1, q = 1,...,М - 1,
удовлетворяющие однородным краевым условиям.
27.4.	Исследовать устойчивость явной схемы
_ Цт-1 ~2цт + цт+1 ,
Т ~	Л2
27.5.	Исследовать устойчивость неявной схемы
«.п+1 _ ,.П	•1п+1 — 9иЛ+1 +
um um __ Um—1 *ит + цт+1 . £п+1
т	Л2	'
27.6.	Первая краевая задача для однородного уравнения тепло-
ди д2и	„ „
проводности -х~ = -х-х аппроксимируется явной двухслойной схемой
от ох*
»m+1	«т-1 ~ 2цт + цт+1
г	Л2 ’
u“j = uo(mh), ug = u^f = 0 Vn > 0.
Определить порядок сходимости решения разностной схемы к реше-
нию дифференциальной задачи при различных Р —
123
Глава VII. Решение дифференциальных уравнений
27.7. Доказать, что явная схема
C+1 - цт _ <-1-Н + <+1
г	h2 ’
u^ = uo(mh), u^ = u^ = 0 Vn>0,
-p— т/h2 -1/2
неустойчива, если Um —----— = 00.
J	т,Л—>0	r
27.8.	Исследовать устойчивость схемы
~ «т'1 _ цт-1 ~ 2< + <+1
2т	h2
27.9.	При каких в € [0,1] схема
<+1~< ={1_е) ^-1-^+и^ + в u^-iu^ + u^
h2
будет устойчивой ?
du d2u
27.10.	Уравнение теплопроводности -7— = -т-х аппроксимируй
k	ot ox*
ется схемой Дюфорта — Франкела (схема “ромб”)
um ~~ ит цт+1 цт ит + цт-1
2т	Л2	•
Выяснить условия ее устойчивости и показать, что если h -> 0, т -> О
7*
так, что - = с / 0, то эта схема аппроксимирует гиперболическое
уравнение'4
du 9 d2u _ d2u
dt+edfi~d^'
27.11.	Для параболического уравнения построить схему наивыс-
шего порядка аппроксимации на шаблоне из точек
к = П,П+1.
27.12.	Для параболического уравнения построить схему наивыс-
шего порядка аппроксимации на шаблоне из точек
(®т±1,Н> (*тЛ*), Й = П-1,П,П+1.
27.13.	Для параболического уравнения построить схему наивыс-
шего порядка аппроксимации на шаблоне из точек
(xro_i.tn-1), (®m+i,tn+1), (xm,tk), k = n-l,n,n + l.
124
§28. Эллиптические уравнения
27.14.	Для параболического уравнения построить схему наивыс-
шего порядка аппроксимации на шаблоне из точек
(®m-l,tn+1),	к = П-1,П,п+1.
27.15.	Исследовать устойчивость разностной схемы
цт 1 ~	«т-1 ~ 2< + <4-1
2т	Л2
при краевом условии uj = u3M = 0, j = 0,1,... .
27.16.	Исследовать устойчивость разностной схемы
<+1 -
2т	Л2
при краевом условии uj = u3M = 0, j = 0,1,....
27.17.	Исследовать устойчивость разностной схемы
— tp—1	i — uir1 + u3m . i
__	m—1 m m 1	тп-|-1
2т ~	Л2
при краевом условии uj = u3M = 0, j = 0,1,... .
27.18.	Исследовать устойчивость разностной схемы
цт-1 - 2цт 1 + Цт+1
2т	h2
при краевом условии uj = u3M = 0, j = 0,1,... .
§ 28. Эллиптические уравнения
Построение и исследование разностных схем для уравнений в
частных производных эллиптического типа в простейшем случае про-
водится в области прямоугольной формы
D = {(я, у) : X > х > О, У > у > 0}
на примере уравнения с переменными коэффициентами
-£“S £ + £ =«’»)
с однородными краевыми условиями первого рода
и(0, У) = и(Х, у) = 0 при У > у > 0,
и(х, 0) = У) = 0 при X > х > 0.
125
Глава VII. Решение дифференциальных уравнении
Наиболее употребительным при этом является случай уравнения
Пуассона:
д2и д2и .
Отметим, что в общем случае на любой стороне прямоугольника кра-
евое условие может быть задано в виде линейной комбинации функ-
ции и производной
аи + Ьи' = с.
Тогда необходимо обратить внимание на способ его аппроксимации.
Типичным примером эллиптического оператора четвертого по-
рядка является бигармонический оператор:
Л2 = — 4- 9 ^4ц	4-
~ дх* дх2ду2 + ду*‘
Ддя него краевое условие может содержать линейную комбинацию
производных неизвестной функции до третьего порядка включи-
тельно.
Особенность постановки эллиптических задач — наличие только
краевых условий. Поэтому исследование аппроксимации произво-
дится как для гиперболических и параболических уравнений, а ис-
следование устойчивости аналогично случаю разностных схем для
линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных урав-
нений.
28.1.	Используя значения функции и в центре Ао и в вершинах
Ак правильного п -угольника со стороной h , получить аппроксима-
цию оператора Лапласа ДЛ и в центре многоугольника. Оценить ее
порядок для различных п.
28.2.	Описать все девятиточечные разностные аппроксимации
оператора Лапласа Дли(ж1,Я2), имеющие вид
^2 [floo«(^i,^2) +	4- h,aj2) 4" Q-iow(®i ~ Л, х2)-Ь
aoiu(xi,£2 4- Л) 4- ло-1^(®1,^2 — Л) 4- аци(х1 4- Л,Х2 4* h) 4- fli-r
•u(xi 4-1,ж2 - h) 4- a-nu(xi - h,X2 4- h) 4-	- h,x2 - h)],
где akj не зависят от h, и обладающие вторым порядком аппрокси-
мации, т.е.
ДЛи(ж1, х2) - Дп(ж1, х2) = О (h2) при и е С№ .
126
§ 28. Эллиптические уравнения 	,
28.3.	При каких значениях параметра с оператор Дл из преды-
дущей задачи будет отрицательно определенным ?
28.4.	Построить тринадцатиточечную разностную аппроксима-
цию бигармонического оператора Д2, использующую узлы (rri, гс2),
(Я1 ± Л,Ж2),(^1,^2 ± Л),(®1 ± 2/1,ж2),(я:1,®2 ± 2Л), (Ж1 ± h,x2 ± Л),
(д?1 ± h, х2 Т h), и оценить погрешность аппроксимации на функциях
иеС^.
28.5.	Если и — гармоническая в ограниченной области D функ-
_	р ди _	_ д
ция и Г — ее граница, то J тг“«Г = 0, где ----производная по
р on	UTl
направлению внешней нормали к границе Г. Сформулировать и до-
казать аналог этого равенства для решений разностного уравнения
Ahyi,j = didiyi,j + d-id^yi,j = 0, 1 < i < Nlf 1 < j < N2 ,
в прямоугольной области, покрытой равномерной сеткой с шагом h.
28.6.	Написать разностную схему для уравнения Ди = / с ап-
проксимацией О (Л4).
28.7.	Для уравнения Д u = f построить аппроксимацию с поряд-
ком О (h2) граничного условия -----а и = 0 на прямой Xi = О,
0X1
используя минимальное количество узлов.
28.8.	Для уравнения Д u = f построить аппроксимацию с поряд-
ки
ком О (h4) граничного условия -----aw = 0 на прямой Ж1 ?= О,
'	'	0X1
используя минимальное количество узлов.
28.9.	Пусть в прямоугольной области, покрытой равномерной
сеткой с шагом h, следующим образом определен разностный ана-
лог оператора Лапласа
= Hidiyij + Ihfyyij , l<i<Ni, l<j <N2.
Показать, что если
^hyi j < 0 при всех 1 < i < Ni, 1 < j < N2 ,
то в этом случае наменыпее значение достигается функцией yij хотя
бы в одной точке границы, т.е. при i = 0 или г = Ni 4-1, либо при
j = 0 или j = N2 + 1.
28.10.	Доказать, что если в терминах предыдущей задачи спра-
ведливо неравенство
Ah<Ui,j > 0 при всех 1 < i < Ni, 1 < j < N2 ,
то наибольшее значение достигается функцией yij хотя бы в одной
точке границы.
127
Глава УП. Решение дифференциальных уравнений___________________
28.11.	Пусть в прямоугольной области, покрытой равномерной
сеткой с шагом Л, разностный аналог оператора Лапласа
^hyi,i s didiyitj + did^yi,j, 1 < i < Ni, 1 < j < W2,
определен на сеточных функциях y^j = уь, обращающихся в нуль
на границе, т.е. при i = О, М + 1 и при j = О, N2 + 1. Доказать, что
оператор —Ал является симметричным, положительно определенным
в обычной евклидовой метрике, и для него справедлива оценка
ci (уь,уь) < (-Длул,г/л) < с2 (уь,уъ.),
где постоянная ci > 0 и не зависит от сеточного параметра Л, а
постоянная сг может быть положена равной 8/Л2.
28.12.	Показать, что для решения методом Гаусса дискретного
уравнения Пуассона &hyh = fh с однородными условиями Дирихле
на границе ( см. предыдущую задачу) при естественной нумерации
неизвестных требуется выполнить количество арифметических дей-
ствий, равное по порядку О (hr4).
28.13.	Упорядочить неизвестные в предыдущей задаче так,
чтобы количество арифметических действий для решения методом
Гаусса дискретного уравнения Пуассона стало равным по порядку !
о (Л-3).
28.14.	Считая систему базисных функций <Р1,<Р2> • • • задан-
ной, выписать систему уравнений метода Ритца для задачи
9 (	(	\9U\ i9((	\9и\ а \
и = 0 на Г.
28.15.	Пусть в единичном квадрате D задана регулярная („се-
вер© — восточная”) триангуляция с шагом Лив качестве базисных
функций y?i,y>2,...,Vn используются кусочно - линейные над тре-
угольниками функции. Выписать систему уравнений метода Ритца
для задачи
Ди = /(ж,з/) в D,
и = 0 на Г.
Ответы, указания, решения
О
3.1.	1) Ьз(х) = 2 х3 4- х 4- 2; 2) Ьз(х) = х 4- 2.
3.2.	хр при р = 0, ... ,п — 1, хп — а>п(я) при р = п.
3.3.	Пусть п = 3. В явной формуле
«з(®) = (х - а) (г - -у-) (® “ Ь)
сделаем стандартную замену переменных
а+b Ь—а	_ f , „
х=~2~ + -2~У' где
В результате получим
W3(y) = (~у“) (у3 - у) •
Точки экстремума кубического многочлена у3 — у на [—1,1] равны соот-
ветственно з/1,2 = ±-7=. Следовательно,
||^з(х)|| = кз(У1,2)| =
Рассуждая аналогично для п == 2 и п = 4, получаем
.. , ... (Ь — а)2	.. . ... (Ь — а)4
||Ш2(Х)|| = ....... 4 '...,	||W4(®)|| =	— •
3.4.	1) р = 3; 2) р= 2.
3.5.	Использовать выпуклость функции In я и представление погреш-
ности (но не оценку погрешности !).
3.6.	Поскольку
ности имеем
€4 <
 (А2 - х)*
1
(А2 - z)5
и ||и4 (ж)|| = 1, для оценки погреш-
1
~ (А2 4-1)6 ‘
Следовательно, |А| > 3.
129
Ответы, указания, решения
3.7.	Покажем сначала справедливость следующего представления:
(x-XiMtxiY
Действительно, поскольку
и при х = Xit к £ i каждое из произведении под знаком суммирования
обращается в нуль,
п	С'
«»(««)=п (** ~
Без ограничения общности можно считать с = 0, т.е. Xi =
= —xrt+i-i, * = 1, •	Рассмотрим теперь пару слагаемых из общей фор-
мулы многочлена Лагранжа, соответствующи^равным значениям функции
fk и /п+i-fc для некоторого к. После вынесения одинакового числового
множителя за скобку получим
o^n(g)
S — :
t ^п(ж)
fk ----------------___________________________ —
(s - Sk)w'n (хь) (х -	(Sn+l - к).
wn(x) , ; ш(ж) ]
= Л
1 {(я -	+	’
Для четного п функция шп(х) —четная, а ее производная соот-
ветственно, — нечетная. Поэтому выражение в квадратных скобках При-
нимает вид
Wn(®)
являясь, очевидно, четной функцией.
Аналогично для нечетного п функция wn^x} — нечетная, а ее про-
изводная cun(x), соответственно, - чётная, и выражение в квадратных
скобках принимает вид	;	.
U>n(x) 2Д7
^n(^fc)
что также является четной функцией. Отметим, что в данном случае х = О
является узлом интерполяции с номером к = (п+1)/2, и у этого слагаемого
нет пары. Но оно само — четно, и это замечание завершает доказательство.
3.8.	По определению вспомогательные многочлены (п — 1)-й степени
обладают свойством	Положим в фор-
муле для Ф»(х), обладающей теми же свойствами, х х(у). Линейное
преобразование не меняет степени многочлена. Кроме того, Ф*(х^) =
130
Ответы, указания, решения
= Ф«(я(ш)) = &i(yk) = ^i, т.е. два многочлена (п - 1)-й степени со-
впадают в п точках. Отсюда следует их тождественное совпадение, и,
следовательно, равенство констант Лебега и xL"1’^ •
Таким образом, величина Хп не зависит от длины и расположения от-
резка интерполяции [а, Ь], а определяется только взаимным расположением
узлов.
3.9.	По определению Дп на отрезке [1,п] имеем
п
А» = max >
tssl
Отметим справедливость соотношении


первое из которых очевидно, а второе показывается по индукции. Теперь
с их помощью проведем оценку снизу для Хп:
п	1	п	п	1	п 3
An = .““]Е (« —1)!(п —*)! ПI® - >1 - Е (» —1)!(п —«)! П 12 " >|
(использовано неравенство шах |/(х)| > |/(3/2)|).
»€[!.»]
Для оценки произведения в правой части проделаем преобразования:
И наконец, получим искомое неравенство IК = -
1 >	1 V fr-1)* > 1 V -122-
“ - 4(П-1)7^1 £ (* - 1)! (П -»)! - 4n’/»	и»-‘	8 пЗ/2 ’
3.10.	Пусть справедливо неравенство
“.«“П	О*”1)!-
»€(!,»] "
Тогда из решения предыдущей задачи имеем
*• - (i-,)| („-), П I' ->1 S Ё =**”.*-1.
131
Ответы, указания, решения
Докажем вспомогательное неравенство с помощью специальной параметри-
зации аргумента х. Пусть х = k+t, где к — целое. При 2 < к < n—I будем
предполагать, что |t| < 1/2; при к = 1 параметр t принимает значение из
отрезка [0,1/2], а при к = п — из [—1/2,0]. Отметим равенство
При t > 0 справедливы неравенства:
(t +1)... (t + к - 1) < к\, (1 -1)... (п - к -t) < (п — к)\,
а при t < 0 — соответственно:
(t + l)...(t + A:-l)<(fc-l)!, (l-t)...(n-fc-t)< (n-fc + 1)!.
В обоих случаях использование соотношении
|*_* ^1 < 1. Щп - Л)! < (п -1)!, 1<к<п
приводит^ искомому неравенству. Оценка доказана.
3.11.	xi = —Х2 = 0, хз = £, где £ — произвольное число из отрезка
[л/8/3,1]; Аз = 5/4.
13
4.1.	1) Следствием тригонометрического тождества
cos ((n + тп)т]) + cos ((п — т)т]) = 2 cos(nq) cos(n2T?)
является полиномиальное —
2Tn(®) (®) = тп+т(ж) Ч" тп-т(ж), п > тп > 0,
из которого при п = т следует искомое.
2)	Положим х = cos г], тогда dx = — sin T]dr} и
ir
Imn = У cos(tw/) cos(mii)di) =	+ <5n+m).
0
„	T' -sin(narccosz)
3)	Поскольку — =-----1—L&. —, полагая x = cost;, имеем
n	— vl — x2
1 ( 1	1	t^\ __ sin((n + 1)t?) - sin((n - 1)tj)
z\n + l	n — 1	/	2 sin T]
_ 2cos(nn)sinq _	, .
~	2^
132
Ответы, указания, решения
теперь искомое равенство справедливо с точностью до постоянной, кото-
рую легко определить, так как Тя(—1) = (—1)”.
4)	Непосредственно дифференцированием вычисляется Тя(ж); напо-
мним, что (arccos х)' = —(1 — я2)-1/2.
л _	тг (2m -1)	*	,
4.2.	Xm = cos — ------где m = 1,...,п (все нули лежат внутри
2п
отрезка [-—1,1], их ровно п).
4.3.	xm ss cos , m = 0,..., п (на [-1,1] имеется п 4-1 экстремум и
п
Tn(Xm) = (-l)m).
4.4.	Пусть ||РЛ (х) || < 21 п. Тогда в точках экстремума_многочлена
Чебышева знак разности Тп(х) — Рп(х) определяется знаком Тп(х)
sign (Тя(хт) - Pn(xm)) = sign ((-l)m21“n - Pn(xm)) = (-1Г.
При этом указанная разность является отличным от нуля многочленом сте-
пени п — 1, но имеет п нулей, поскольку n + 1 раз меняет знак в точках
экстремума. Полученное противоречие и дает искомый результат.
. е	«	fa + bb-a
4.5.	Сделаем линейную замену переменных х = —--1- —-—х для
А	л
отображения отрезка [—1,1] в заданный отрезок [а,Ь]. Многочлен Тп(х)
л	=у / 2х — (Ы- а) \	___
при этом преобразуется в многочлен Тп I-г2---- | со старшим ко-
у о — a J
эффициентом (2/(6 — а))". После перенормировки и использования схемы
доказательства из предыдущей задачи имеем
т1»’%) = (Ь-a)n2x-inTn ( 2а?;(ЬЧ~а)
\	о — a
4.6.	Использовать решение предыдущей задачи.
4.7.
2х — (а + Ъ)
b — a
с V—;	’
4.8.
Pn-(x) = 21-»(Cos^) nTn(xcos^).
4.9.	Предположив противное, т.е. допустив существование такого £,
ICI > 1» чт0 |-Рп(£)| > Af |Тп(0| > получить противоречие, доказав, что у
р
полинома Qn(x) = х?/а Тп(х) - Рп(х) как минимум n + 1 нуль.
4.10.	Рассмотрим функцию Ап(х) такую, что
Ап = шах Ап(х).
х6[а,Ь]
133
Ответы, указания, решения
Она, по определению Лп, имеет вид
Л,(.) = £	,
С учетом выбора узлов интерполяции, получим
Л / ч | cos(n arccosж)| sin	| cos(7rny>)| sin
” cos ^г71*!	nl cos(tt^) - cos ^-тг| '
где сделана замена х = cos(tt^) , а <р меняется на отрезке [0,1]. Обозначим
эту сумму через 9(ч>) и заметим, что в силу симметрии узлов Лп(ж) —
четная функция, поэтому при оценке сверху для Qfjp) достаточно рассма-
тривать только отрезок [0,1/2].
Так как имеют место неравенства
sm|a|<l«l; sm|/3| >	I/3! < jw, sm|0| > -|0|, |j9| < ^,
то при 0 < р < 7г/2, 0 < а < тг, имеем
| sina| _____________________|sina|
|^!OS0- cosa| “ 2sin ||sin |
откуда, если положить
2t - 1 Л n 2m - 1 - 2t
a = —W> ^ = ^ = -------------------
следует, что
sin
Зтг2 а
п + 2
2
- 2 ’
Зтгп
2г — 1
| cos 7гу> — cos ^=Атг| 4\/2 |т 4- i — 1 — £||тп — i —1| ‘
Выражение <р =	, 1 < m < 1 + корректно, так как, полагая
m в указанных пределах и изменяя t на [0,1/2], можно получить любое
значение <р из отрезка [0,1/2]. Далее имеем
| cos7rny?| = |cos ^(2i — 1 - 2t)| = sinfrt < nt.
Используя два последние неравенства, оценим :
Л/ ч п V'_____________2* ~ 1_________ „ Зтг2
~	“ 4\/2
Отсюда следует, что при m = 1
2i-l
0((р) < С
»=2
1
/у) = С(3 + 1пп).
1	1 /
134
Ответы, указания, решения
При 2 < m < 1 + § полунаем
*(?) - С 2nTi~t + I Ё (m V t " m + i1 1 ’t) +
п L	•=!
i V (—, У- ; + -—Ц-т) <С (4+еС < С(4 +Inn).
2 k m + t-1 — t i — m + t/ у “2t/
v=m+l	J	\	/
Окончательно имеем
An sb max 0(<p) < C(4 4-Inn) < К Inn.
¥>€[0,1]
4.11.	Аз = 5/3.
4.12.	Воспользоваться третьим свойством из задачи 4.1 в виде
rp!	rril
±i=2T„_1 + ^|) n>2.
n	n — 2
I)T“ (1) “ Тл*1 (I) = 5(-1)*;
2>T“(4) = 1' ’’“(4) —Г
4.14.	l)I^(l) « n2; 2)T4(-1) - (-l)n+1n2.
4.15.	p = 2.
4.16.	p = 3.
4 17 P(x) ~ 4 ~^3(‘c ~	x 2®2 — 189® , 61
4.17.	P(x) - 4 r(3)(_4)	6 +2«	24 + 6 '
4.18.	P(x) =	T3(2x - 3) = j^(32z3 -144®2 + 210® - 99).
419	Г»*3	48x2	90®	Л
4.19.	F{X) 4 Ts(_2)	и w	13
. ПЛ в/ X . T8(® - 3)	4®s	36®2 , _	99
4-20-p<'> =3 tW = ' ТГ + 31'3S 
E
5.1.	Использовать явное представление погрешности производной мно-
гочлена Лагранжа.
5.2.	Использовать разложение в ряд Тейлора.
5.3.
/"(-л f(x + h)~2	+ /(« - ft)
f (x) «-----------,
~ f(x + 2h) - 2 f(x + h) + 2 f(x - h) - f{x - 2Л)
«)	~ f(x + 2h)-4 f(x + h)+6 fjx) -4f(x-h) + f(x - 2Л)
j w----------------------------- .
135
Ответы, указания, решения
«2	«2	12
5.4.	1) К2 =	; 2) К3 =	; 3) К< =	.
12	u	4	О
5.5.	Решение данной задачи выполнить по аналогии со следующим при-
мером для разности вперед.
Полная погрешность для разности вперед df(x) имеет вид
Ri(h,e) =

где /* (х + h) и /* (х) — приближенные значения функции f(x) в соответ-
ствующих точках. Добавим в числитель дроби ±/(х + h) и ±/(ж) и после
перегруппировки слагаемых получим
Г(х + л)~/(х + /1)	/*(*)-/(*) . /№ + >*)-№)	,,, х
--------Л---------------h-----+1-------h---------/(х)
Оценка неустранимой погрешности для каждого из двух первых слагаемых
имеет вид e/h, а погрешность метода в предположении ограниченности
второй производной |/"(£)| < Mi равна hMi/2, Окончательно получим
D ,, . 2е hMz
Rifat) < —+
Для нахождения значения ho, при котором минимизируется полная погреш-
ность, необходимо полученное выражение в правой части продифференци-
ровать по h и приравнять к нулю. После решения полученного уравнения
имеем
л° = 2\/5-
у М2
Ri(ho,e) = 2>/еМ2.
I Зе \1/4	/ 3s \1/6
Ло = 2(л7") для Я2(Л,е); Ло = 2( —) для ЯДЛ.е).
5.6.	1)а = -|, Ь = -|, с=|;2) a = Ъ = -2, с = 2, d=
5.7.	Разбить интеграл на два и интегрировать по частям.
5.8.
3 . о 1 .	/2е\1/3
1)а — —Ь — 2, с — —- ; hopt -	;
2)а--, Ь--~, с--; hopt -	;
3 ,	1	/2е\»/з
3)а —Ь —-2, с — - ;	;
лч 5 к 3	2	.	( 7е \1/3
4)« = -б.Ь=2’С=-3: ^=(12^) '•
136
Ответы, указания, решения
6.1.	Qso(®) = 0.
6.2.	Напомним, что выпуклая функция удовлетворяет неравенству
f	Обозначим через {&} множество точек аль-
терната, д(х) = f(x) - Qi(x), 0 = inf: /(£») - Q?(6) — Af}. Отметим,
i
что в силу непрерывности f(x) имеем д(6) = М. Доказательство проведем
от противного. Пусть, например, a £ {£»}, т.е. 0 / а. Тогда в силу выпукл-
ости У (а?) (добавление к ней линейной функции Q?(x) этого свойства не
меняет) справедлива цепочка неравенств для достаточно малого е
м=д{в)<д(Ш+^^1<^+^ = м.
Z	Z
Полученное противоречие означает, что а € {&}• Аналогично доказы-
вается принадлежность множеству точек альтернанса другого конца от-
резка.
6.3.	Введем обозначение L = ||/(ж) — Qi(x)|| и, воспользовавшись вы-
пуклостью У(х), выпишем соотношения из теоремы Чебышева:
/(о) — (ао + ai а) = а L,
/(d) — (ао + ni d) = -а L,
/(Ь) - (ао + ах Ь) = а L.
Кроме того, поскольку d — внутренняя точка альтернанса и /(я?) — диф-
ференцируема, отсюда получаем недостающее уравнение:
(f(x) - (а0 + ai ж))'	=0.
Ix=d
Q1(x) = 7x-3-^ Л.
О у О
2	5
в.4. Qi(r) = тж +
о О
6.5.	По определению многочлена наилучшего равномерного прибли-
жения, величина L = ||/(&) — фп(я)|| не может превосходить оценки по-
грешности приближения f(x) интерполяционным многочленом по узлам,
являющимся нулями многочлена Чебышева, т.е.
L-TM +1)^1 З^+ЧпЧ-!)!'
С другой стороны, разность f(x) — Qn(x) вследствие теоремы Чебышева
обращается в нуль в (п 4- 1)-ой точке, которые можно рассматривать как
узлы интерполяции yi,... ,yn+i • Поэтому верно представление погрешно-
сти следующего вида:
№)-Qn(x) = y<"+1>(0^±^,
Т а;.
137
Ответы, указания, решения
где шп+1(х) == (х - i/i) • • • (х - 1/п+1) и ( = $(х) 6 [а, Ь]. Пусть точка ®0
такова, что | wn+i(®o)[ = ||wn+i(®)ll Тогда
l > |л..) - q.<«>|=.
Поскольку ||wn+i (х) II > (Ь — a)n+1/22n+1, окончательно имеем
Таким образом, если /<п+1\х) сохраняет знак и меняется не очень
сильно, то разница между погрешностями приближения функции /(х)
многочленом наилучшего равномерного приближения и интерполяционным
многочленом по нудям многочленов Чебышева несущественна.
б.в.	Пусть Qn(x) — многочлен наилучшего равномерного приближе-
ния f(x) на [-1,1]. Тогда |/(х) - Qn(®)| < L = ||/(х) - Qn(®)||. После
замены х на —х и умножения выражения под знаком модуля на —1 полу-
чим
|-^(-®)-(-Qn(-®))| <L или |/(®)-(-Qn(-®))| <L.
Следовательно, — Qn(—x) также является многочленом наилучшего равно-
мерного приближения f(x) на [—1,1]. По теореме единственности имеем
Qn(x) = -rQn(-s), нто и требовалось показать.
Аналогично рассмотривается случаи четной /(х).
6.7.	|| sinх - (?2n-i(®)|| = || sinх - Q2n(x)||;
6.8.	f(x) — signz на [-1,1], Qi(®) = ax, a в [0,2].
6.9.	1) Qi(®) = ~x;
2)	Q3(x) = (e - I)®2 + | - |(« -1) ln(e -1);
3)	Q3(x) — -x3 + 7x - .
6.10.	Qi(x) = x + |.
6.11.	Q3(x) = 5 .
I
6.12.	Qi(®) = t(® + 2).
8
6.13.	Qi(®) = *x.
0
7.7. /-i = 2 /о - /1, /п+i = 2 /п - /п-1.
7.8. /-2 = Ю/о-20/1 + 15/8-4/з, /-i =4/о - 6/i+4/2 -/з,
fn+1 — 4 fn — 6 fn— 1 + 4 fn-2 — fn—3 ,
/n+2 = 10 fn — 20 fn— 1 + 15 fn—2 — 4 fn—3 •
138
Ответы, указания, решения 	’
О]
8.1.	При вычислении интегралов удобно использовать замену перемен-
В частности, это дает
У |wn(x)|da: = (~2~)	J |w° (*) |Л >
а	—1
п
где w„(t) = JJ (t — di), a di являются образами узлов Xi на отрезке [—1,1].
»=i
п = 1 — формула прямоугольников
&(/) = (Ь - а)/	, Ях = ||/'(®)||	;
п = 2 — формула трапеции
82(f) =	(/(а) + /(b)), Rt = ||/"(х)||	;
п = 3 — формула парабол (Симпсона)
$з(/>=Цр (/(«)+4/(^) +/(*)).	= ||/(3)(*)|1	
8.2.	Поскольку сравнение точности можно проводить только для функ-
ций из одного класса, необходимо получить для формулы прямоугольников
несколько другую оценку погрешности. Для этого воспользуемся в качестве
приближения к функции f(x) отрезком ряда Тейлора в точке (а + Ь)/2:
Тогда для квадратурной формулы Si (/), полученной с помощью интегри-
рования двух первых слагаемых, справедливо равенство
а
при этом оценка погрешности принимает вид
139
Ответы, указания, решения
Следовательно, на классе функций с непрерывной второй производной фор»
мула прямоугольников в два раза точнее формулы трапеций.
Отметим, что этот прием для получения других оценок погрешностей
формул Ньютона — Котеса может применяться только при нечетных п.
В частности, это приводит к известной оценке для формулы Симпсона
4=|Л)|У-
8.3.	Использовать четность функции
/-1 Xi~xi
при симметричном расположении узлов.
8.4.	Проинтегрировать правую часть равенства по частям два раза.
8.5.	1) N = 13 ; 2) N = 16 (для второго случая полезно воспользоваться
решением предыдущей задачи).
8.6.	Воспользоваться решением задачи 8.4. Для второго случая допол-
нительно ввести функцию
/ V Г (»*-«)(«*+»-*) на
«*(«) = { п . .
I	о	вне [х*,хк+1].
Тогда имеют место соотношения
tf-1 xfc+l
Е j (х*-<)(«*+!-€)Г(?)« =
fc=O
ЛГ-l b	b N-1
= e jv»«)r«)de=jr«) E
k=O a	a	fc==O
к последнему из которых достаточно применить неравенство Коши — Бу-
ваковского.
».г. ll/wWlk^-
8	8' Йо'
8.9.	N > [Ун  102 + 1« 41,
8.10.	ЛГ> [У| • 10s] 4-1.
0 = шах(2,4 sin 1 — 2 cos 1) » 2.29.
9.1.	S3(/) = Ь-^ (/(«) ++ /(b)) •
О V	\ Z J J
9.2.	ci = —сг = г-—- •
140

Ответы, указания, решения_____________________________________•
2)W) = ^/(°) + A/(-|);
48	16 \ о/
о
3)S(/)=^/(0).
о
9.4. Представим производную Рп(х) в виде
Х(«) = Рп(®)	1пР„(®) = £	’
ах	х — Xk
fc=i
где
= хп-1 4- (ai 4- хк)хп~2 4- (аг 4- aiXk 4- х%)хп~3 4- • • •
X-Xk
• • • 4- (лп-i +an-2Xk 4- • • • 4-aixJ 24-s£ *)•
Положим ао = 1. Тогда соотношение для производной можно представить
в виде
п—1
^(n ~ к)акхп * 1 = пхп 1 4" (ши 4“ Hi) хп 2 4“
4-(na2 4-aiBi +Bz)xn 34- ••• 4-4-(ш*п-1+Л11-2В14- ••• 4-<xiHn-2 4-Hn-i) •
Из равенства коэффициентов при одинаковых степенях х и следуют со-
отношения для ai,...,an-i- Последнее (для an) получается из сложения
равенств
Pn(xt) =	fc = l,2,
an-iBi 4- ОП-2Н2 4- •• • 4- сцВп-i 4- Вп = —ann.
9.5. Имеем следующие соотношения для f(x) = х*, j = 1,2,..., п:
/(?) = В(а?) или	=-^< = -В,.
'	7 4-1 п ' * п
fcssi
Решение этих систем дает
Р2(а:) = х2-|, Р3(®) = ®3-|®, Р4(х) = ®4 - |®2 + ^.
9.6.	Представим произвольный многочлен Ргп-i степени 2п - 1 в
2п-1
виде суммы многочленов Чебышева Ргп-i = 52 <*™Тт(х), для которых
т=0
Тт(х) = cos(marccosх), и будем осуществлять проверку утверждения.
При т = 0 имеем
1
/(То) = [ . 1 х dx = *, S„(T0) = к.
J vl — х2
141
Ответы, указания, решения
При т > 0 для интегралов выполняется свойство ортогональности
I(Тт То) = 0. Для квадратурной формулы проведем преобразования
Sm(Tm) = - 5?cos(marccosx,) = 1усовт^~1),Г =
j=i
~ 2п
m(2j - l)ri
2n
Далее используем формулу суммы членов геометрической прогрессии
v^-1 -	-1)
IS* - q—1 ’
i=i
и окончательно для т = 1,..., 2п — 1 получим
( т(2п + l)irt \	/ m(l — 2n)*t
®Ф ( 5л ) ~ e3tP I-----------------------5^------
= 0.
ехр
1
9.7.	Рассмотреть величины 1(f) и Sn(f) на функциях вида
fix) = exp ^2wmi ^) ,
п.
m = 0,1,.
При этом для интегралов имеем
Г
/(/) = { 0,
т = 0,
т#0.
Применение квадратурной формулы дает

т
-----целое.
п
= 0, — — не целое.
exp(2xmt) — 1
exp (2irmi/n) — 1
Приведенное выражение означает, что квадратурная формула точна для
. 2irmx 2irmx	Л т
всех sm------ и cos —---, если m = 0 или — не целое, т.е. точна для
ш	ш	п
всех тригонометрических многочленов степени не выше п - 1. Из явного
выражения для Sn(f) следует, что эта формула будет также точна для
,	„ . 2япх
функции sm — .
9.8.	Линейным невырожденным преобразованием, якобиан которого
постоянный и неравный нулю, произвольный треугольник переводится в
142
Ответы, указания, решетя
равнобедренный прямоугольный, и проверка утверждения становится про-
стой. .	, >	.	,,
9.9.	Линейным невырожденным преобразованием, якобиан которого
постоянный и неравный нулю, произвольный прямоугольник переводится
в квадрат, симметричный относительно нуля.
9.10.	1)Рз(х) = х3 — Зх2 + ^х — 2 ’ Xl = 1 ’ Ж2»3 = 1 ^2^ » с = ~;
2)Рз(х) = х3-|х2 + |х-±, «1»|, х2,з = |±^=, с=1;
^ = -5±^’ с=!:
4)Х1 = -1, х2,3 = -1 ±	, С = |.
».И. 1)52(/) = |/(0) + |/(-|) ; ’
2)5з(/) = ^/(0) + |/	Т•* к -
10.1.	^0 — 1,	^1=Х,	1р2=Х3- -, фз =Х3- -X, ... .
и	0
10.2.	Если ipn(x) имеет на [а, 6] только г < п нулей нечетной кратно-
сти, то многочлен
Qn-t-r(x) = ^п(х) {J(х - Х|)
”	1=1 ’•••
не меняет знака на этом отрезкё, что противоречит свойству ортогональ-
ности всем многочленам низшей степени.
10.3.	Пусть Рп(я) — произвольный многочлен степени п со старшим
коэффициентом 1. Тогда Рп(х) =	4- rn-i(x), и из ортогональности
V>n(x) любому многочлену низшей степени следует
. ||р»(«)||лв.М1®ЯГ+11г»-1(®)1Г-
П
10.4.	Представим многрчлен х^-i в виде	, где коэффици-
&=о
енты ctj определяются из условий ортогональности
При j < п — 2 имеем
143
Ответы, указания, решения. »
т.е. все ctj = 0 при j < п — 2 (здесь Qj+i (я:) обозначает некоторый много-
член степени j + 1 ). Таким образом,
H’n-l =	+ Qn-lV’n-l + »n-2^n-2 ,
при этом an = 1 в силу равенства коэффициентов при старшей степени х.
Отсюда следует, что
^п(®) = (X - Qn-.l)^n-l “ Лп-2^п-2, Ъп = “Qn-l •
ПОСКОЛЬКУ (ж^п-1,^п-2) = (V’n-b^n-l),
„ _Л _ (V’n-l.V’n-l)
Сп	&п—2 — f ,	. ч
(V»n-2,^n-2)
>0.
10.5.	i/>o(x) = 1, V*i(x) = x- Продолжить решение по индукции с ис-
пользованием рекуррентного соотношения.
Ю.в. Все корни Xk многочлена фп(х) положительны, а его коэффици-
енты выражаются через величины Bj = 52£=1 (см. задачу 9.4).
10.7.	Подставим х = xt-n) в рекуррентное соотношение (см. задачу
10.4)
^п+1 = (х - (*n)ll>n ~ an-lV’n-l .
Напомнив, что здесь ап-1 > 0. Тогда будем иметь
^n+i	+Лп-1^п-1 (Ж<П)) = °-
Пусть утверждение задачи верно для некоторого п. Отсюда и из
signV’n-i(b) = 1, sign^n-i(a) = (-I)”"1
следует, что
*>_»(«<•>)
а знаки sign V’n+i (Х<П>) т —signV’n-i (®<п)) противоположны. Поскольку
sign фп+i (Ь) = 1 и sign V»n+i (а) = (-l)n+1,
имеем перемены знака tpn+i(x) в последовательно расположенных точках
а, х^\..., ХпП\ Ь, нто и завершает доказательство.
ЮЛ. 1)	ЯХе-Ц/^).
144
Ответы, указания, решения_________________________________________
IO-lo-b(-l/l) + b<0) + 5/(vI)'
10.11.	Рассмотрим многочлен степени к = 2п — 2 вида А (ж) == .
/ п	\2
= I fj (х — Xi)) . Для интеграла от этого многочлена формула Гаусса
дает точный результат:
/ p(x)Pk(x)dx а ^PcjPtfo) = ^С,Р*(®у) +_CkPk(Xk) .
'	i=1
°	/И*
Поскольку справедливо
п
имеет место равенство
fp(x)Pk(x)dx
Ск==а Рк(хк) >0-
10.12.	Симметрия узлов квадратуры следует из задачи 10.5, а симме-
трия коэффициентов есть следствие симметрии узлов, (см. задачу 8.3).
10.13.	Фз(х) = х3 -	.
Ль
10.14.	Фз(ж) = X3 - |х .
10.15.	Фз(х) = а:8 -	.
10.16.	Ф1(®) = ®-lt Фз(®) ® ®2-4я?+2, Фз(®) = ®3’-9®2 + 18х-6.
10.17.	3,(Д =,	+1(”~	.
10.18.	S2(/) = ^^/(2 - \/2) + ^^/(2 + Л).
10.19.	S2(/) =24 / ^2 +	+ ^2 “	'
11.1.	Пусть	— один из подотрезков длины h, на которые
разбит отрезок [а, Ь], и пусть х = (ач + х<+1)/2. Используя тейлоров-
ское разложение подынтегральной функции в точке х, получить следующие
145
Ответы, указания, решения
представления:
®<+i
[ f(x) dx = Л/(х) +-g f (х) + 7^/W(x) + ... ,
I	лгт
’««+! 7 ‘ ‘ ’
/ f(x)dx =	Y(a;‘+1) h-^/»(х) - ^fw(s) - ... .
11.5.	Sh,h/2 = Sh/2 +	•
11.7.	Порядок главного члена погрешности увеличится на 2.
11.8.	Действительно, если Sh/2 > Sh, то Sh,h/2 > Sh/2 > Sh- Если
Sh/2 < Shi TO Sfc,A/2 < Sh/2 <
11.9.	Можно предложить следующий способ (процесс Эйткена), являю-
щийся обобщением,правила Рунге. Пусть I -— точное значение интеграла.
Выберем три равномерные сетки с шагами h, h/2 и h/4. Если учитывать
только главный член погрешности, то получаем систему трех уравнений:
1 = Л + сЛ<
/=iSh/24-^сЛ” ,
7 = ^/4+.^,
в которой значения 1,с и р не известны. Из первого и второго уравнений
имеем:	г	7
СЛР (1 - sb Sh/2 Sh-
Из второго и третьего уравнений получим
Из последних двух равенств получаем уравнение для определения р:
~ sk/i-sh/i-
Оценка для главного члена погрешности имеет вид
СП 2Sht2-SK-Shn
1Из]	A.’-v---' '
13.1.	Нет, поскольку неравеиство треугольника не выполнено.
13.2.	Да.	'•	?
U6
Ответы, указания, решения
13.3.	Из неравенств max |xi| < £ |х«| < n шах |xi| следует
fxsl
1|х||оо <||Х||1 <n|Moo.
22i®d<
Следовательно,
n_1'a||x||i < ||х||а < ||х||1.
n
Из неравенств max x? < P s? < n max х? следует
1<»<П	isl^
l|x||oo < ||X||2 < n1'2 ПХП» .
13.4.	Пусть ei,...,en — ортоиормирозанная система собственных
векторов матрицы С (т.е. (е,,е,) = 6ц), a Ai,...,Лп — соответствующие
п
собственные значения. Любой вектор х представим в виде х =	с»6» *
Поэтому
(Сх,х)=(У^йе^У^^ } -У?**0?-
\tssl	|Ж1	/ tel
Отсюда для произвольного вектора х получаем
min А< (х, х) < (Сх, х) < max Ai (х, х), (х, х) = &
i
Поскольку все А»(С) > 0, полученное неравенство означает эквивалент-
ность евклидовой норме ||х||з с постоянными
ci = ^nunAi, cj = ^maxAi.
13.5.	Получим оценку сверху для величины ||Ах||оо:
||Ах||оо =тах Ь^оухЛ <тах(Е1а#1
• I з I * \ i ’	/
<тах^£|ау|^||х||со
147
Ответы, указания, решения
Покажем, что эта оценка достигается. Пусть максимум по i имеет место
при i = I; тогда возьмем к = (sign(an),sign(а/2),. . ,sign(а/п)) • Имеем
||х||оо = 1 и точные равенства во всей цепочке выше. Таким образом,
||A||oo =max (£ |ау|
\j=i
По определению матричной нормы, подчиненной евклидовой векторной
норме, имеем
||Ах||2 1(Ах,Ах) 1(АтАх,х)
sup и II = SUP \ х = SUP \
Х#0 ||х||2	X9&0V (Х»Х) X#OV	(Х>Х)
Отметим, что (АТА)Т = АТ(АТ)Т = АТА, т.е. матрица В = АТА —
симметричная, и (АтАх,х) = (Ах, Ах) > 0; следовательно, все А(В) > 0.
Рассуждая далее, как и в задаче 13.4, получим
(Вх,х) % z_4
8up - “акМ®),
\Х, X) t
а равенство достигается на соответствующем собственном векторе. По-
этому	____________
II А||2 = JmaxX(ATA).
Следует отметить важный частный случай симметричной матрицы:
А = АТ. Здесь
||А||2=тах|А(А)|.
13.6.	Ах = Ах 4 ||А|| ||х|| > |А| ||х||.
13.7.	Для доказательства первого свойства спектральной нормы надо
показать, что существуют такие векторы х и у единичной длины, на ко-
торых максимум достигается. В силу неравенства Коши — Буняковского и
учитывая, что спектральная норма подчинена евклидовой векторной норме,
получим неравенство
|угАх| = (у, Ах) < ||у||2 ||Ах||2 < ||у||г ||х||2 ||А||2 = ||А||2.
Пусть вектор х такой, что ||Ах||2 = ||А||2, т.е. на нем достигается макси-
мум в определении подчиненной нормы, и возьмем у = Ах/||Ах||2. Тогда
11x11» = 1 и
Следовательно, искомые векторы х и у построены и первое свойство спек-
тральной нормы доказано.
148
Ответы, указания, решения
Из первого свойства спектральной нормы и из равенства
||АТ||2 = шах |утАтх| = max (у, Атх) =
ПУ112=1	liyih=i
= max (Ay,к) = max |хтАу| = ||А||2
l|X||2=l v 17	7	НУ112=1 1	1
ПУ1|2=1	IMl2=l
следует ее второе свойство. Заметим, что поскольку здесь мы применяем
первое свойство к матрице Ат, в обозначениях, принятых в этом равен-
стве, вектор у имеет размерность т, а вектор х — размерность п.
Покажем теперь справедливость третьего свойства спектральной
нормы. Из второго свойства следует неравенство
||АТА||2 < IIАТ||2||А||2 = ||Л||2.
Возьмем такой вектор х, что ||х||2 == 1 и ||А х||2 = ||А||2, и применим пер-
вое свойство к матрице АТА, положив у = х. Тогда получим неравенство
||АТА||2 > |хгАгАх| = (Ах,Ах) = ||Ах|Ц == ||А|Ц
Из этих двух неравенств следует ||АТА||2 = ЦАЦ!- Аналогично показывал-
ется, что ||ААт||2 = ЦАЦ*. Таким образом, третье свойство спектральной
нормы доказано.
13.8.	Из третьего свойства спектральной нормы следует
= ||(QA)TQA||2 = ||AtQtQA||2 = ||AT4|h = ||4|lt ,
Из второго свойства спектральной нормы и полученного равенства следует
||A(?||2 = ||(AQ)T||2 = ||QTAT||2 = ||AT||2 = ||A||2.
В частности, из
IIQxlli = (Q*,Qx) = (Qx)tQx = xTQTQx = хтх = (x,x) = ||x||2
следует, что умножение вектора х на ортогональную матрицу сохраняет
его длину.
13.9.	Поскольку модуль любого собственного значения матрицы не
больше любой ее нормы, из задачи 13.6 имеем
||А||1 = maxA(ATA) < ||ArA||i < ||A||1||AT||i = ИАЦ^АЦо».
13.10.	Для любой матричной нормы справедливо неравенство | |АВ|| <
< ||А|| ||В||. Рассмотрим матрицы
/1 1 ... 1\
I 1 1 ... 1
А=В=I.. .	. ,
V 1 ... 1/
149
Ответы, указания, решения ,
для которых имеют место соотношения т}(АВ) = n, т}(А) = т/(В) = 1
противоречащие указанному выше неравенству.
13.11.	Заметим, что требует проверки только четвертое свойство ма-
тричной нормы: М(АВ) < М(А)М(В).
*=1
fc=l
M(AB) = nmax '£oikbkj <шпах£} |a«6fc,| <
< птах У2 i)(A) q(B) < пт}(А) пт&В) = М(А)М(В).
ч Л=1
13.12.	Заметим, что ||х||д = ||у||оо, где
y = Sx,
1	0 I
-l/Л 1/h)'
Поэтому
.....	1И*Н* ||SAx||oo
milk = sup Чг-гг- = sup 1'	 1
X#0 IWIk X#0 |px||oo
У#0	||у||оо

Он 4- 012
0214-022 — <*11 “ 012
012/1
022 ~ 012
v h
= max (|ац + aiz| + h |an|, |a22 — ви| + |a2i + <*22 — an — ai2Q
13.13.	N(A) < ||A||i < VHN(A), N(A) < ||A||2 < N(A),
и
14.1. Из равенства А“*г = A-1b — А"1 Ах = х — х следует, что
(*)
Из Ь = Ах следует, что ||Ь|| = ||Ах|| < ||А|| ||х||, т.е.
IMI > М.	(..)
Поделим неравенство (*) на неравенство (**). Тогда получим
ИНГ* ||л" II-4’111 и = К = “-ад ПЙГ-
Отсюда видно, что если матрица А плохо обусловлена, то даже
очень маленькая невязка не может гарантировать малость относитель-
ной ошибки в х. Хуже того, может оказаться так, что достаточно точное
150
Ответы, указания, решения________________________________________2_
решение будет иметь большую невязку. Действительно, рассмотрим при-
мер
А _ /1.000 1.001 \	_ / 2.001 \
~ \ 1.000 1.000) '	" \ 2.000 ) ’
Точное решение системы Ах = b есть х = (1,1)т. Однако вектор х =
== (2,0)г, который никак нельзя назвать близким к х, дает маленькую
невязку г = (10~3,0)г.
Возьмем теперь b = (1,0)т. Тогда вектор х = (—1000,1000)т является
точным решением системы. Вектор х = (—1001,1000)т достаточно близок
к х в смысле относительной погрешности, однако х дает большую невязку
г == (0, — 1)т, которая имеет порядок правой части.
14.2. Так как Е = ЛА”1, то
1 = ||Е|| = ||А А"1!! < ||А|| ЦА-11| = cond(A).
Далее, так как умножение матрицы на ортогональную не меняет ее спек-
тральную норму, то
HQIh =	= М = 1 и ||(?т||2 = ||QTE||2 = М = 1.
Тогда
cond2(<?) = IIQIh IIQ-11|2 = IIQIh IIQtI|2 = 1 •
14.3. Пусть дана диагональная матрица D = еЕ, где е > 0 — малое
число и Е — единичная матрица. Определитель det(D) = еп весьма мал,
тогда как матрица D хорошо обусловлена, поскольку
cond(D) = ||D|| ||D-1||2 = ер||е-1||2Г1|| » 1.
Рассмотрим теперь матрицу
/1 -1-1 ... -1\
.	| 0	1	-1 ... -1 I
А = I	| >
\ 0	0	0 ...	1 /
у которой определитель равен 1, и вычислим ее число обусловленности.
Для этого возьмем произвольный вектор b / 0 и, решая систему
Ах = Ь при помощи обратной подстановки, построим элементы обрат-
ной матрицы А**1:
Хп =	,
ХП-1 ЗВ Ьп-1+Ьп,
хп-2 = Ьп-2 + Ьп-1 4- 2дП)
хп-з = Ьп-з 4- Ьп-2 4- 2Ьп-1 4- 22ЬП,
xi = bi 4- Ь2 4- 2Ь3 4- • • • 4- 2n-35n-i 4- 2П~26Л.
151
Ответы, указания, решения
Выпишем полученную обратную матрицу:
	Г1 1 0 1	2 1	4 .. 2	. 2П-3 . 2П-4	2п~2\ 2п-з 1
А~1 =	0	0	0	0 ..	1	1
Следовательно,	\ 0	0	0	0 ..	0	1 /
НА-*||.	„ = 1 + 1 + 2 + 22 + 			• + 2П“2	= 2П-1.
Так как ЦАЦ^ = п, то condo© (А) = п2п-1, т.е. матрица А плохо обусло-
влена, хотя det (А) = 1.
Эти два примера показывают, что обусловленность матрицы не зави-
сит от величины определителя.
14.4. Как и в задаче 14.3, методом обратной подстановки получим
обратную матрицу:	/	1	—а	а2 .	•• (-а)п~2	
		0	1	—а	•• (-а)-3	(-а)-2
А~* =		0	0	0 .	1	—а
	1	0	0	0	0	1 /
Тогда
HAIL = 1 + Н
НА"1 ||те = 1 + |а| + а2 +... + lai»’1 =
|а|	1
Отсюда видно, что матрица А плохо обусловлена при |а| > 1 и хорошо
обусловлена при |а| < 1. Например, при п = 20 и a = 5 будем иметь
condo© (А) « 1014.
Пусть компонента Ъп задана с ошибкой е. Тогда вычисленное значе-
ние xi компоненты xi имеет вид
х\ = bi — ab2 4--F (—a)n 2^n-i 4- (—a)n 1(fin 4- e) = xi 4- (—a)n xe .
Следовательно, при |a| > 1 возмущение в bn увеличивается в компоненте
xi в |а|п—1 раз, а при |а| < 1 во столько же раз уменьшается.
14.5.	Так как
	0	_1	1 \		(	0	_1	1 \
		2	2				2	2
		1-е	14-е			_1	1-е	14-е
А-* =	2	4е	4е	, (А1)-1 =		2	4	4
	1	1 + е	1-е			1	14-е	1-е
	\ 2	4е	4е )		\	2	4	4 /
152
Ответы, указания, решения
то cond(A) ~ е 1 и cond(A') ~ 1.
14.6.	condaCA + otE) ==--= И----------
m + a m + d
14.7.	Приведем пример такой матрицы:
/103	0	0	0
л 1 0	2	1	0
А = 1 л			
1 0	0	2	0
\ о	0	0	10~3
	/10"3	0	0
А-1 = I	0	1/2	-1/4
	0	0	1/2
	\ о	0	0
А2 = В =
/10®
0
0
\ о
0 0 о \	/ю12 о
4 4	0 | т„ _ I 0	16
04	0 I ’	I 0	16
0 0 10“® /	\ о о
(10е	о	о	о	\
0	4	2	О
0	2	5	О	I ’
ООО 10"®/
А(АТА) 6 {10в,10~в,4.5±>/425},
О
16
32
О
0 \
0 I
0 I ’
103/
0 \
0 I
0
Ю-12/
сошЦА2) = ||В|| • ||В-1|| = 1012; cond(A) = ||А|| • ||A-1|| = 10е.
14.8.	Воспользуемся неравенством для векторных норм:
||Х||2 < ||Х||1 <л/п||х||2
и подучим
-7= ||А||2 < ||А||1 < у/п||А||з => ~ condzCA) < condi(A) < ncond2(A)
yn	n
при условии, что левое выражение в последнем неравенстве не меньше 1.
14.9.	Введем обозначения для элементов матрицы А,:
A f & Ъ\
А = I . I
\ с d J
и найдем cond2(A) в явном виде:
II А||2 = УтахЛ(АтА), ЦА-11|2 = ^тахА^А-1)7^-1) =
= VmaxA((A^A)-i) =	1 .
V	^ттА(АгА)
Это дает
. .	/max Л(АТА)
Введем вспомогательную матрицу В = АТА с элементами
„	/а2 + с2 ab + cd\
В = А А = (	о о I
\ ab + cd b2 + d2 J
153
Ответы, указания, решения
и выпишем ее характеристический многочлен
£В(А) = А2 — AtrB + detB.
1
2
Его корни равны
. trB±Vtr2B-4detB
Al,2 =
Так как trB > 0, то
cond2(A) = J , .	=
V tr В — >/tr2B — 4 det В_____ л/4 det В
— tr^ + / ~
~ 2-У det В	V 4detB
Таким образом,
det В
tr2 (АТА)
cond2(A) -> max, если	-Ч-ртг/г —> max,
det (А2 А)
tr2B=(e2+62+C2+d2)2,
(а2 + с2) (d2 + d2) — (ab + cd)2 = a2d2 + b2c2 — labed =
2	a2+b2+c2 + d2
--------------> max.
2 а
Г =:
(ad — be)2 =
b
d
, . ( а b
det I ,
V с d
Итак,
а b
с d
= ±1,
a2+b2+c2+d2 -Паях.
В данном случае можно воспользоваться любой из матриц
л [ п + 2
п 4-1
п
п + 2
п
п + 2
п '
п + 1)
14.10. Отметим сразу оценки
п
п + 1\
п 4- 2 / *
шах|а»| < ЦЛЦоо < (1 + а)шах|а«|.
Введем обозначение С = А 1 и заметим, что для Vi, j справедливо |ctf| £
< Hdloo • При каждом i имеем ( АС = Е )
y^aikCki = 1, 1 <	|ntfc||cfc*| < |а«| (1 + а) ||С||со.
к	к
154
Ответы, указания, решения
Отсюда получается оценка снизу для нормы матрицы А 1:
= ЦСЦ00 >	..
О 4" СК/ ШШ |Я«г|
t
и следовательно, ;
!	. max|ati|
condor = || А||оо || А ||оо >	
(14-а) тш|а#|
I	i
Обратим внимание, что правая часть неравенства может не превышать
единицу. В этом случае полученная оценка малосодержательна.
В силу невырожденности матрицы А все диагональные элементы ан
отличны от нуля, поэтому можно построить матрицы
J = diag (аП1,ай1 > • • • >«пп), В = JA - Е.
Отметим, что ||В||оо < а < 1 в силу цепочки неравенств
Отсюда следует справедливость представления
A-1 = (Е + В)-17 = (Е-В + В2-В3+-) J,
так как ряд является сходящимся.
Далее для произвольного вектора х получим оценку
IH-Moo = || (Е - В + В2 - В8 + • • ) Jx||TO < II Jxlloo + а IIJXIIOC+
+а2|| Jx||oo + • •  =
Следовательно,
, (1 + а) тахМ
“”а"<л> = 11л«“«л»"4^=ы
1	<	4 l+а
14-а тт|ан| —	1 — а тт|ай|
14.11. Рассмотрим вспомогательные матрицы Ak размера (к 4- 1)х
х (к 4-1) с элементами |a»j | < 1 следующей структуры:
Ак =
/аи
1
О
022	........
1	033 •••
0	0	1	Ofc+ifc+i
\ о
155
Ответы, указания, решения
Для определителя At из разложения по первому столбцу следует оценка
I det (Afc) | < |ац| | det (а^) | + det (а&) | < 21 det (At-j) | <
< 4|det(Afc_2)| < ... < 2*, .
поскольку
All 012
|det(Ax)|-	<2,
1	022
| det (Ao) | = |оц | < 1.
Выше было использовано обозначение А^ (I = 1,2) для подматриц fc-ro
порядка, получающихся из исходной матрицы А* вычеркиванием первого
столбца и l-й строки.
Рассмотрим теперь обратную к R матрицу Я"1 с элементами
при i = j,
при i > j,
при i < j.
Так как. det (Я) = 1, то Qij имеет смысл алгебраического дополнения эле-
мента rji в определителе матрицы R. При этом его значение равно (с
точностью до знака) определителю почти верхней треугольной матрицы,
у которой диагональные элементы не превышают единицу, на нижней по-
бочной диагонали имеется ровно k = j - i -1 единиц, а остальные элементы
равны, нулю.Отсю да имеем
|Qy|<|det(Ai_,_i)|<2i-<-1.
Рассмотрим предельный, с точки зрения максимальных значений Qij, еду*
чай -I 'I
1	2 ... 2**-3 2П-2 \
1	1	... 2П-4 2П~3
О 1 /
\ 0	0	0
При этом исходная матрица R однозначно определяется как
Легко проверить, что
||Я"1||ОО = 14-1 + 2 + • • • + 2П-2 = 2П-1, НЯЦоо = п,
156
Ответы, указания, решения
т.е. мы построили матрицу, на которой одновременно достигаются макси-
мально возможные значения как ||К||оо, так и ||Я~1||<х> среди всех матриц
из заданного класса.
max condco(K) = n2n“1.
14.12.	Из неравенства для чисел обусловленности в матричных нормах
II • ||оо И II • Цг И равенства ЦАЦ* = Лтах(ААт) следует, что
^<соп<и(А)<пУ|.
4П2
14.13.	cond2(A)« — .
14.14.	Характеристическое уравнение для возмущенной матрицы Уил-
кинсона имеет вид:
det(A - ХЕ) = (20 - А)(19 - А) • • • (1 - А) - 2019 • е = 0.
Свободный член в этом уравнении равен 0 и, следовательно, наименьшее
собственное значение также равно 0.
14.15.	Возьмем произвольный вектор х 0. Так как 1 — ||JE|| > 0 и
||х|I = 11(х - SEx) + 5Ех|| < I|х - $Ех|| + ||ЯЕх||, то
||(Е - 5Е)х|| = ||х - $Ех|] > ||х|| - ||5Ех|| >
> ||х||-||5Е||||х|| = (1-||5Е||)||х|| >0.
Следовательно, если х 0, то (Е — 6Е)х 0, т.е. матрица Е — 6Е не
вырождена.
Из тождества (Е — 6Е) (Е — JE)”1 = Е получим (Е — JE)”1 = Е4-
(Е — 6Е)"1. Отсюда
||(Е - JE)-4| < ||Е|| + ||JE|| ||(Е - 6Е)-11| = 1 + ||(Е - ^Е)-‘|| ||5Е||.
Из этого неравенства следует решение задачи (ее называют задачей о воз-
мущении единичной матрицы).
14.16.	Из (Е — SE)"1 = Е 4- 6Е(Е — 6Е)~* (см. предыдущую задачу)
получим Е — (Е — дЕ)"1 = —6Е(Е — дЕ)"1. Отсюда
||Е - (Е - 5Е)-1|| < |НЕ|| ||(Е - ЙЕ)”11| < t
в силу неравенства из задачи 14.15.
14.17.	Имеем А 4-ДА = А(Е + А“ЧА). Поскольку ||А“ЧА|| < 1, из за-
дачи 14.15 следует, что матрица Е4-А~‘16А невырожденная. Это означает,
что и матрица А 4- 6А также не вырождена.
Из равенства (А 4-<5А)-1 = (Е 4- А“1^А)'"1А“1 следует, что
||(А + 5А)-*|| < ||(Е + Л-1М)-1||||А-1|| <
157
Ответы, указания, решения
в силу неравенства из задачи 14.15.
14.18.	Из равенства (А + JA)"1 ж (Е + A"1JA)'“1A”1 следует, что
А*1 - (А + SA)~l = (Е - (Е + А”1<5А)“1) А"*1. Тогда
ПЛ"1 -(A + JA)-‘|| < ||E-(E + A-l<5A)-1||||A-1|| <	||Л-1ц
в силу неравенства из задачи 14.16.
Относительная ошибка в матрице (А + 6А)"1 оценивается неравен-
ством
Щ-1 - (Л + М)~*|| ЦЛ-Ч1ЦМЦ _ cond(A) ||М||
||Л-»||	“ 1 - ЦА-ЧАЦ ” 1 - ЦЛ-iJAII ||А|| •
[§~15]
15.1.	||В||1 — ||В||оо < 1 •
15.3.	det(B - AJET) -(а- А)(а - А - г/2/3)(а - А + у/20) = 0, |а| < 1,
|а±>/2/3|<1.
ЦБ)s I’ ха-| = t1» х° “ х = <х>-$ ПРИ * # °-
15.4.	2V»—i—.
1 — а
15.5.	Собственные значения оператора перехода В = Е — т А имеют
вид А(В) = 1 - IIА|Г* А(А). Так как 0 < А(А) < ||А||, 0 < А(В) < 1.
15.6.	1.6 < Ai < 2.4, 3.5 < Аг < 4.5, 4.8 < Аз < 5.2, поскольку
характеристические многбчлены матриц А и А7 совпадают.
15.7.	Пусть е* — вектор ошибки на fc-й итерации. В силу линейности
исходной задачи имеем
е*+1 = (Е- тА)е* = (Q”1 Q - rQ~l DQ) ек.
Умножим полученное выражение слева на Q и сделаем замену Qek =
Тогда
efc+1 = (Е-тЕ)ё\
Здесь матрица В = Е — т D имеет диагональный вид, а ее собственные
значения равны А(В) = 1 — т А(А). Поэтому необходимым и достаточным
условием сходимости метода является выполнение неравенства
|1 - т А(А)| < 1 VA(A) € (m, М],
откуда и следует искомый результат.
15.8.	Воспользоваться решениями задач 15.6 и 15.7.
158
Ответы, указания, решения
чкл -1 M + m	M-rn п(2к-1) ,	, - t .
15.9.	тк = —-— + —-— cos -'-^N 7, k = 1,..; ,N, т.е. вели
чины, обратные нулям многочлена Чебышева степени JV на отрезке [тп, М].
15.10.	Tk = -J-.
Лк
15.11.	Использовать решения задач 15.9 и 15.10.	- ? . v
15.12.	xfc+1 = (aE + (1 - а)В)хк + (1 - а)с,
min^(a) = minmax |а + (1 — а)А|,	.	-
	т + М	< ' ’* » *
		
т + М-2		
15.13.		
	/1 1	0 ... 0	0 V
	0	1	1 ... 0	0 1 ;
А =		1
	0	0	0 ... 1 1 1
	X 0	0	0 ••• 017
1Яб]	5' “ • :: '   '	.
19.1. Оператор перехода В в методе Якоби имеет вид В = —D-1 (L+
+Я). Рассмотрим задачу на собственные значения Вх = Ах. Имеем
-1>_1(Ы-Я)х = Ах => (L + AD+B)x=iO =$> det(L + AD + H) = 0.
Непосредственные вычисления дают
(аХ 0	0 \
Д аА Д ) =аА(а2А2-2Д2)-»Ю. > \
о р ах/ ....	. s
Следовательно,	'	’ ’
. п \2	1• м' Н 0>\ «1» <?	« .в х ’
Ai=0,	=	=► ]5|< 71-
Оператор перехода В в методе Зеиделя имеет вид В = — (D + L)"1 R.
Рассмотрим задачу на собственные значений Вх = Ах. Имеем
—(D + L)-1flx = Ах => (АЫ-АР + Я)х = 0 => det(AL +AD + Я) =;0.
Непосредственные вычисления дают
[аХ Р 0 \	‘ •
det I ДА аХ 0 ) == аА2 (а2А - 2Д2) = 0.
\ 0 ДА аА/ ?
159
Ответы, указания, решения
В данном случае области сходимости методов совпадают.
16.2.	Искомый результат следует из явного представления операторов
перехода
\Я । /<*12021
Л1,2 = ±4/ Л  "
V Л11Л22
А? = 0,
О1Ю22
/О
Вз = ЛТ
I q Q12O21
\	011022
16.3.	Обозначим вектор ошибки через ек. Для этого вектора имеет
место соотношение (уравнение ошибки) (Р 4- L)eM + Rek = 0. Пусть
||efc+1||oo = |е*+1|. Выпишем Z-e уравнение
4- an ez
= 0
J=1
J=i+1
и разрешим его относительно ef+1 :
е?+1 = -У^е,‘+1
4^ an 3

Отсюда получим ||е*+1||оо = |е*+11 < а||е*+1||оо +0||е*||оо, где
/5 =
J==l
Найденное соотношение можно переписать в виде
Н«‘+1||оо < ||eft||oo
1 — а
По условию a + /3 < q < 1, следовательно,
Р < Ч~<*	_ а(1 -g)
1 — а ~ 1 — а	1 — а
откуда и следует искомая оценка.
16.4.	Сходится в обоих случаях.
16.5.	Если формулу метода релаксации
(D + rL)xk+l + [тЯ+ (т - 1) D]x‘ = Ь
160
Ответы, указания, решения
умножить слева на матрицу D 1, то оператор перехода можно записать в
следующем виде:
В = (Е + тМ)~1 ((1-т)Е + тЛГ),
Здесь Е — единичная, а М и N — строго нижняя и верхняя треугольные
матрицы соответственно. Рассмотрим его характеристический многочлен
d(X) = det(B — Л Е). По теореме Виета имеет место равенство
п
(-1)п</(о) = Дл,(в).
1=1
Так как у треугольных матриц М и N на главной диагонали расположены
нули, то
d(0) = det(B) = (1 - r)n.
Отсюда для спектрального радиуса оператора перехода получим оценку
р(В) = тах|А»(В)| >
i
п
Пмв)
•=1
1/п
= |det(B)|1/” = |l-r|,
которая и приводит к искомому ответу.
16.6.	Используя форму записи метода
(е + л) х*+1 = (б - |л) х* + тЬ
и общность системы собственных векторов матриц слева и справа, выразим
собственные значения оператора перехода В через собственные значения
исходной матрицы
_ 1-тА(А)/2
Л(В) " 1 + тА(А)/2*
Теперь сходимость метода при т > 0 очевидна, а для определения ropt
рассмотрим следующую минимаксную задачу:
|1 —тА|
min max —------------—.
т>0 Ae[m/2,M/2]	1 + ТЛ
Функция /(А) = (1 — тА)/(1 + тА) при А > 0 и фиксированном т > О
является убывающей, поэтому максимальное значение функция |/(А) | до-
стигает на границе отрезка: при А = тп/2 и/или при А = ЛГ/2. Можно
убедиться, что минимум по т имеет место при равенстве
I - / Tfl \ I   I - / М \ I	1 Tppt m/2   1 Topt ЛГ/2	_ 2
I \2/| I \ 2/| l + roptm/2 H-ToptAf/2 o₽t \/mM
16.7.	Используя идею предыдущей задачи, запишем условие сходимо-
сти метода
1 — т(1 — а) А
1 + таХ
161
Ответы, указания, решения____________________________________________
’*4
Сделав замену t = т А > 0, получим неравенство
|1 — t(l — а)| < 1 + to.
Отметим, что неотрицательность выражения под модулем приводит к три-
виальному, в силу условия задачи, неравенству — (1 — а) < а. Поэтому со-
держательным является другой случаи: t(l — а) — 1 < 1 + ta. Из этого
неравенства имеем
-| < 2а -1,
что в силу t > 0 приводит к ответу а > 1/2.
[§18]
18.1.	Так как z = y>(z), то
Sn+i - z = fp(xn) - y>(z), n = 0,1,2, ... .
По теореме Лагранжа для каждого п существует такое £п, £п € [жп,я],
что
Жп+1 - z = (хп - z) 4>(£п)-
Последовательно применяя указанную теорему, получаем
Жп+i - z = (хп - z) ¥>'(6») = (®n-i - я) ¥>'(60¥>Z(6*-i) = • • • =
= (*о - z) ¥>'(6i)¥>'(<n-i)... ¥>'(&))>
где fn-i €	... ,£о € [то,z].
Так как |¥>'(&)| < g, i == 0,1,2, ... п, то
|®п+1 -з| < |х0 - zj qn+1.
При q < 1 правая часть этого неравенства стремится к нулю, т.е. последо-
вательность {хп} сходится к корню х,
18.2.	Для определенности будем считать, что /'(«) > 0. Пусть
0 < m < f'(x) < М.
Заменим исходное уравнение равносильным:
х = ¥>(х) = х — А/(х), А > 0.
Подберем параметр А так, чтобы на [а, Ь] выполнялось неравенство
0 < <р(х) = 1 - А/ (х) < q < 1.
При А = получаем q = 1 —	< 1.
М	М
18.3.	Табличным способом отделения корней выделим отрезки, на кон-
цах которых функция f(x) имеет разные знаки:
162
Ответы, указания, решения
х 1—3—2—10123
sign f(x) -	4-	4-	-	+ 4- 4-
Таким образом, корни исходного уравнения лежат на отрезках
[—3, —2], [—1, 0], [0, 1], для каждого из которых построим свой итера-
ционный процесс.
Так как на [—3, —2] имеем ж2 / 0, то исходное уравнение можно
разделить на х2. В результате получим равносильное уравнение
® = у(®) = ^-3.
Итерационный процесс для нахождения первого корня:
— “"“о-	3.
Сходимость имеет место для всех начальных приближений xq из этого
отрезка, так как для х € [ —3, —2 ] имеет место оценка
Для двух других отрезков исходное уравнение представим в виде
х2 (ж 4- 3) — 1 = 0. Так как для рассматриваемых отрезков х 4- 3 / 0,
то получаем два итерационных процесса:
жп+1 = "^=+1’ ®п+1=+;7^+т
Сходимость для этих отрезков следует из оценки:
18.4.	Заметим, что решается уравнение х3 — 20® 4- 1, имеющее три
различных вещественных корня: zi < Z2 < яз. Перепишем формулу итера-
ционного процесса в виде
Хп — 20хп 4* 1
~	—	2Q	>
откуда сразу следует, что: при я?о < или xq > Z3 метод расходится
(разность в левой части монотонна); точки xq = zi и xq = Z3 являются
неподвижными; при zi < хо < 2з метод сходится к Z2 •
18.5.	Представим метод хорд как частный случай метода простой ите-
рации:
Вблизи корня z уравнения f(x) = 0 имеем
®п+1 - Z - (®п - г) ¥>'(*) + !(«»- г)2 </'(£)>	£ 6 fan, г],
£
163
Ответы, указания, решения
где
_ /(*) - /'(«)(* - ®о) +	- so)2 + f'(z)(z - Xq)
~	/(®о)	“
(г - хо)2 f"(rj) _ г ,
--------— 7W ” 6[хо’2]-
Если второе начальное приближение взять в такой окрестности корня, где
|у>'(г) | < £ < 1, т0 метод хорд будет иметь линейную скорость сходимости.
18.6. Преобразуем расчетную формулу метода секущих
Хп— 1	• / \
+1“Xn /(хп)-/(х»-1)/(а!п)
к виду
((®п -г)- (Хп-l - z))f(z + (хп - z))
f\z + (Хп - z)) - f{z + (®n-i - г))
Разложив f(z + (®n — я)) и f(z + (xn-i — я)) в ряды Тейлора в точке z и
подставим в последнюю формулу, учитывая, что f(z) = 0:
,	_ х = х _ z _ (xn-s)f(s) + 0.5(xn-^)2r(z)4---	=
”+1 П /'(«) + 0.5((xn - г) + (xn-i - «))/"(«) + •••
1 + 0.5(x„ - *)2^y + • • •	\
1 + 0.5(xn - z)^ + 0.5(xn_! - z)^- + • • J
= j(®» - «) (®»-i ~ «)	+ O((®n - z)2).
Опустив члены более высокого порядка малости, для ошибки получим урав-
нение
Xn+i-z = C(xn-z)(xn-i-z),
Предположим, что скорость сходимости определяется соотношением
«п+1-г = A(xn-z)m,
= (хп - z) 1 -
в котором значения Ант пока неизвестны. Тогда
2 = А (Яп—1	,
откуда
Xn-i-z = A-1'm(xa-z)1'm.
164
Ответы, указания, решения
Подставим эти соотношения в уравнение для ошибки:
- z)m = С (х„ - z) A~l/m (х„ - z)1/m,
(x„-i - z)m = С А~1-1/т (х„ - 2)1+1/т.
Приравнивая эти два полинома, подучаем два уравнения с двумя неизвест-
ными
m = 1 + —,
m
Из первого уравнения находим показатель скорости сходимости метода
секущих
m = 0.5 (1 + а/5) » 1.618.
Константа асимптотической ошибки равна
/1/"(г)\т
\?ГЫ) *
[§19]
19.1.	Значение 1/а является корнем уравнения
f(x) = хр - а = 0.
Для этого уравнения метод Ньютона имеет вид
„	Л*") - -	Хп~а Р-1- . а
Яп+1 “ хп fff \ — хп р-х —	+ р-1*
г(хп)	рх£ р
Для р = 2 получаем
®»+1 = l(xn + J;
19.2.	Метод Ньютона имеет вид
®п+1 =
f(Xn)
ГМ
Обозначим через z искомый корень. Тогда z будет и корнем уравнения
х = <р(х) = х —
№).
Г(ХУ
Следовательно, можно рассматривать метод Ньютона как частный случай
метода простой итерации, для которого
<р(х) =	и, следовательно, <p(z) = 0.
(/'(*))
165
Ответы, указания, решения
Оценим теперь скорость сходимости метода Ньютона, используя разложе-
ние в ряд Тейлора в окрестности точки z:
Хп+1-Z = <р(хп) - (p(z) = <p(z + (хп - z)) -<p(z) =
= ¥’(«) + (®» ~ *)*>'(«) + | (®n ~ г)2 *»"(0 -¥>(*) =
= | (®n “ z)2 ^"(0» где £€[z„,z].
Следовательно, вблизи корня метод Ньютона имеет квадратичную ско-
рость сходимости.
19.3.	Поступая так же, как и в случае простого корня, получим
Хп+1 - а = (Хп - г) ¥>'(*) + I (*» - *)2 ¥>"($)> где ( е [хп, *].
&
Однако в случае р > 1 в выражении
¥>'(*) =
/(*)/"(*)
(/'(х))2
содержится неопределенность “ноль на ноль”, так как z является также
корнем уравнения /'(ж) = 0. Оценим ^(ж).
Функция У(х) в окрестности корня z кратности р ведет себя прибли-
зительно как a (х — z)p, где a — константа. Тогда в малой окрестности
корня
•(-Л _ /(») f"(x) ~ а (® ~ *)Р а₽(р - 1) (® - z)P~2 _ р - 1
(/'(*))	а’р»(х-«)'	Р
Отсюда видно, что чем выше кратность корня, тем медленнее сходимость.
19.4.	Требуемую модификацию будем искать в виде
Жп+1 = Хп ~ Л
и подберем параметр а так, чтобы имела место квадратичная сходимость.
Рассмотрим данную модификацию как специальный случай метода про-
стой итерации хп+\ = у? (ж), для которого выполнено z = <р (z), причем
вблизи корня
„.(1).,=г-
(гм) ”	”
Для обеспечения квадратичной сходимости параметр а надо подобрать
таким, чтобы yJ^z) = 0, что и выполняется при a = р.
19.5.	Искомое число является корнем уравнения
/см
ГСМ
166
Ответы, указания, решения*
Для этого уравнения метод Ньютона имеет вид:
-	= 2 Хп “ О
2
Если хо = 0 или хо = —, то сходтДсти к корню не будет, так как все
а
хп равны 0. Бели Хо < 0, то сходимости также не будет, поскольку все хп
2
останутся отрицательными. Если взять xq > -, то все хп < 0.
Таким образом, сходимость имеет место, если начальное приближение
берется из интервала (0,2/а).
19.6.	Для уравнения
корень z будет простым. Тогда для уравнения д(х) => 0 метод Ньютона
принимает вид
_	_ g(gn) ____________f(xn)f'(xn)_____
3*n	./	\ — Хп . ч о
(/'(xn))2-/(xn)/"(«n)
и будет иметь квадратичный порядок сходимости.
В окрестности z функция /(«) « а (х — z)p. Тогда	•<
/ \	/(ж) ~ а (а? ~ z)p _ 1 , ч
Р Ж ~ /'(ж) ~ ap(x- z)p-x р (Х
Для двух последовательных приближении хг и xi имеем систему прибли-
женных уравнений
5(®1) « “ (®i - Д
< 1
5(®2) « ~ (®2 - *)•
ь.
Отсюда получим оценку для кратности р корня z:
~	-а?1
р ~ д(х2) -д(х1)'
Такой способ оценивания р можно применять на каждой итерации.
19.7.	Обозначим области сходимости метода Ньютона
2Ж3
Жп+1 = ¥>(®п) = 3^2771
к корням z = —1,0,4-1 через Х_,Хо,Х+ соответственно. Кроме того,
определим последовательности точек {«п } ДОя п > 0 следующими услови-
ями:
^(®n+l) = хп > XQ = ±~7= >
V «
167
Ответы, указания, решения
для элементов которых справедливы неравенства
и существуют пределы
Нт хй = lim х^к_, = —7=,	lim x+fc = lim х^-, = -J=.
fc—>ОО	fc—>ОО	y5	fc—>OO	fc—>OO	y5
Тогда
= (—00, То ) (J [(Ж2Л-1> Х2к) U (ж2*!-1» ®2(fc-1))] »
Ь=1
оо
%+ = (®о >°°) U U [(Ж2(А:-1)’Ж2А:-1)	(Ж2к> Ж2Л-1)] •
А=1
Кроме то^о, если хо = п > 0, то метод не определен, а при xq = ±-у=
у5
— зацикливается.
Таким образом, области сходимости к корням z = ±1 являются объ-
единениями перемежающихся открытых интервалов, разделенных точками
зацикливания метода.
20.1.	Найдем корни характеристического уравнения
Ьд2 — ср + a = 0 => Д1,2 = С± & , D = с2 — 4аЬ.
2Ь
1)	D > О, Д1 / р2 — вещественные:
Ук = С1Д1 + С2Р2 ;
2)	D < О, Д1,2 = pe±lv, р = <р = arctg — комплексно -
V и	с
сопряженные:
У к = pk (Ci cos к<р + С2 sin к<р).
Это форма записи действительного решения, для комплексного — можно
использовать предыдущий вид.
3)	D = 0, pi = д2 = Р — кратные:
Ук = Ciph + C2kpk.
В предыдущих формулах Ci, С2 — произвольные постоянные.
168
Ответы, указания, решения
20.2.	yk = (x/2)*(Ci sin fap 4- С2 cos fap), <р = arctg x/7.
20.3.	Да, так как характеристический многочлен второго уравнения
делится на характеристический многочлен первого без остатка.
20.4.	Ik = ^^Ik-1, h = det Л*.
O1	2
20.5.	Если z — корень характеристического уравнения г—2 Az 4-1 = О,
то 1/z — другой корень. Ограниченность решений разностного уравнения
равносильна следующему условию: оба корня характеристического уравне-
ния лежат в замкнутом единичном круге и на границе круга нет кратных
корней.
20.6.	Характеристическое уравнение имеет вид (д2,4- д 4-1)2 = 0. Сле-
довательно,
2(к - 1) . 2тг*
20.8. Запишем разностную задачу
Дк = ЬДк-i — асДк-2, До = 1» Д1 = Ь.
Тогда
b ± у/Ь^ •— 4ас
Д1,2 =----2----*
Рассмотрим два случая.
1)	Пусть D == х/Ь2 — 4ас / 0 . Тогда
Д1.С1(4£)‘+а(‘±£)‘.
Из начальных условий получим линейную систему
C1+C2 = 1, %(b-D)+^(d + D) = b.
£t	I
Решение линейной системы дает
Ответ для случая ненулевого дискриминанта:
(b 4- у/Ъ2 — 4ас)*+1 — (b — y/b2 — 4ас )
Л*=	2*+Wb2-4ac
2)	Пусть D = х/Ь2 — 4ас = 0. Тогда
169
Ответы, указания, решения
Из начальных условии получим линейную систему
01 = 1, С1|+С2| = Ь.
Решение линейной системы дает
Ci = C2 = l.
Ответ для случая нулевого дискриминанта:
д*=(£)‘а+*).
20.9.	Из соотношений
21k cos a = Ik-i + Л+i > /о = О, /1 = 1
следует
sin ка
sin а
20.10.	.Обозначим частное от деления а, на а<+1 через di и запишем
систему равенств
' ao = aidi + а2,
ai = a2d2 4- аз,
< ..............
Лщ—2 = am-i</m-l 4" Лт >
ат—1 = 0>mdm •
Наибольшее количество операций деления т будет в том случае, когда
все di,d2,...,dm равны единице. Поэтому введем числа yot yi,..., ут при
условиях
уо = 0, yi = 1, ... , j/t+i = t/i-i + у»,
для которых справедливы неравенства
«т+1 = 1/0» ат > 1/1» • • • , <*2 > Ут-1, ai > ут.
Последнее из них может служить для определения числа т, если из-
вестно выражение ут = /(ш). Но ут — числа Фибоначчи, поэтому
т.е. при всех т справедливо неравенство
170
Ответы, указания, решения
или
l + TsV
2 /
Отсюда после логарифмирования имеем
lg(l + ai) + lg\/5
Обозначим через р число цифр в щ. Тогда р и 1g ((14- ai)\/5). Поскольку
lg ((1 4- л/б)/2) < 1/5, получаем ответ: m < 5р.
20.11.	Обозначим через Kk выражение
Kk — J хке~х cosxdx, fc>0.
о
Интегрирование по частям дает систему разностных уравнении
к
K* = £(-Ik-1 + Kt-1)
ь	Xt
с начальными условиями 1о = Ко = 1/2. Если положить
т Ы .	„ И .
А = 2* Л, Кк = Ik,
то исходная система с переменными коэффициентами перейдет в систему
с постоянными коэффициентами:
jk = jk-i 4- k-i, jo =т 1/2,
Ik = —jjb-i 4- Ь-i, lo = 1/2.
После исключения Ik получим разностное уравнение второго порядка от-
носительно jk:
jk+i “ 2J*. 4- 2jk-i — o, jo = 1/2, ji = 1.
Его решение имеет вид (i = V^l):
ik = i [(1 + «)*-1 + (1 - O‘+1] => Ik = 2ЙТ К1 + ^-1 -К1 -	•
Далее заметим, что
(l + i)4 = —4 = (1 — *)4.
Следовательно,
j(4n + 3) = (-4)”j(3) =	[(1 + 2t + »2) + (1 - 2» + *2)] = 0,
А
171
Ответы, указания, решения
откуда /(4п 4- 3) = Дп+з = 0.
20.12.	№ = (\/2б)‘ (Cismfcy + Cacoefcy), ^ = arctgi.
20.13.	yk = (у/2)к (Ci sin 4- Ct cos .
20.14.	ук = (л/2б)fc (Ci sin kip + C2 cos kip), <p = — arctg - .
20.1S.	yk = (\/1з) (Ci sin kip + C2 cos kip), <p= — arctg - .
20.16.	yk = (—2)*(1 -3k).
20.17.	yk = (—1)*(5 - 3 • 2fc) .
л_	л irk , . irk
20.18.	уь = 2 cos — + sin — .
20.19.	yk = (-1)* + 2*+1 + 3*+1 .
[§2l]
21.1.	Корень характеристического уравнения равен
р = 2 => у[ = Ък2 + ск 4- d,
26fc2 + 2cfc+ 2d—[b(fc +1)2 + c(fc 4-1) + d] = 1 + 2Л — fc2 V к.
Множители при линейно - независимых функциях порождают уравнения:
2Ь — 6 = — 1 при к2, что дает b = —1,
2с — (26 4- с) = 2 при к1, что дает с = О,
2d — (6 4- с 4- d) = 1 при fc° = 1, что дает d = 0.
Следовательно, yl = —к2.
21.2.	Имеем:
д = 2 => у1 = 2к(Ьк2 + ck + d),
2fc+1 (бЛ2 4-cfc 4-d) — 2fe+1 (б(Л 4-1)2 4-c(fc 4-1) 4-d) = к2к V к.
Множители при линейно - независимых функциях порождают уравнения:
2b — 26 ss 0 при 2к к2,
2с — (46 4- 2с) = 1 при 2к к1, что дает b = —1/4,
2d — (26 4- 2с 4- 2d) = 0 при 2к к°, что дает с = 1/4.
Следовательно, у% = 2к~2(к — к2).
21.3.	Имеем:
р = 2 => yl = с sin к 4- d cos к,
2(с sink 4- d cos/;) — (с sin(& 4-1) 4- d cos(& 4-1)) = sin/; V к.
Поскольку sin(fc 4-1) = sin к cos 14- cos к sin 1 и cos(& 4-1) = cos к cos 1—
— sin к sin 1, то множители при линейно - независимых функциях поро-
ждают уравнения:
(2 — cos 1) с 4- d sin 1 = 1 при sin к,
(2 — cos 1) d — с sin 1 = 0 при cos к.
172
Ответы, указания, решения
Следовательно,
с —	~ cos * j —	8^п 1
5 — 4 cos 1 ’	5 — 4 cos 1
и
i 2 — cos 1 . . sin 1	,
У к = z—z----7 Sin к 4- -—-------- cos к.
5 — 4 cos 1	5 — 4 cos 1
21.4.	p = b и возможны два случая:
. .	Л — 6 — 1 , fc .	1 k
b/a =$ j/fc = —-—j— b + -—- a ,
a — о a — о
b = a => уь = afc”1(a4-fc).
21.5.	При к = 0 из уравнения получим ух = 1. Замена ук — Zk{k — 1)!
дает задачу для Zk:
Zfc-l-i — Zk — 2 , zi — 1	Zk — 2	1.
Следовательно, ук = (к — 1)! (2fc - 1).
21.6.	Использовать замену yk = и получить yk = у-*- -.
Zk	к 4-1
21.7.	Замена yk = —--- дает задачу для Zk : ^л+i — Zk = 1. Отсюда
Zk
_ У° +	У°)
Ук 1 Ч-ЛЦ-уо) ’
21.8.	» = 1(3-(-1)*)-±.
к 4е 2
21.9.	Использовать замену ук == и получить ук —	.
21.10.	yk =4*2"fc .
21.11.	ук = у 4* .
21.12.	yjfe = А3-‘.
21.13.	ук = -к2к .
21.14.	yt = C12‘+C22-‘ + ^A_.
21.15.	yt=Ci+C2(ii^I)
21.16.	ук = Сх + Сг к + Оз (—3)fc + -к2 .
о
Лч1	„ z	лк	7cos 14-2 . ,	9sinl ,
21.17.	ук	= Ci (-2)*	4- Сг4*------smfc----cos А:,	где D =
= (2 4- 7cosl)2 4- (9sinl)2 .
173
Ответы, указания, решения ,
[§22|
22.1.	Обозначим искомое фундаментальное решение через Gk- Для
определения Gk имеем три группы уравнении:
{aGk + bGk+i = 0 при k < -1,
aGo + bGi=l при к = О,
aGk +bGk+i =0 при к > 1.
Для к < 0 возьмем Gk = 0 • Тогда все уравнения первой группы выполнены,
из второго уравнения следует, что Gi = 1/Ь, а общее решение третьей
группы уравнений имеет вид Gk = С рк, где д = —a/b. После определения
константы С из Gi получаем частное решение неоднородного уравнения
{0	при к < 0,
1 ( а\к ь 1
— I “т I ПРИ к > 1,
а \ о/	~
После прибавления к нему общего решения однородного уравнения полу-
чаем выражение для фундаментального решения:
{/
AI — т )	при к < 0,
\ о/
С4-£)(4)* “р»**1-
Его ограниченность выражается в виде зависимости постоянной А от ве-
личины |а/6|:
А = 0 при |а/Ь| < 1,
V А при |а/Ь| = 1,
А = при |а/Ь| > 1.
22.2.	Рассмотрим случай |a/b| > 1. Из задачи 22.1 следует, что
{! ( а\к~п
— I ~т I при к < п,
а\ Ъ)
0	при к > п + 1.
Поскольку каждый член ряда может быть оценен сверху членом сходящейся
геометрической прогрессии
ряд сходится. Кроме того, ряд является частным решением заданного урав-
нения:
оо	оо
Л Ук + Ь Ук+1 = а 22 Gk-nfn+b 22 ^fc+1-n/n =
п=—оо	П=—оо
= Е (aG*-n+6G*+1-n)/„= Е /„ = /*.
П=-ОО	П= —ОО
174
Ответы, указания, решения
Для этого решения верна оценка
т.е. полученное частное решение ограниченное.
Случаи |a/b| < 1 рассматривается аналогично.
22.3.	Для определения Gk имеем три группы уравнении:
{Gfc-i — 2 Gk 4* Ofc+i = 0 при к < —1,
О-i — 2 Go 4 01 = 1 при к = О,
Gk—1 — 2 Gk 4 Gk+i = 0 при Л > 1.
Общие решения первой и третьей групп имеют одинаковый вид, отличаю-
щийся только постоянными
( Сг +С^к при к < — 1,
1 С* + С%к при к > 1.
Поскольку Оо входит во все три группы уравнений, из полученных соот-
ношений имеем
Go = Ci = С? = А.
Теперь воспользуемся уравнением при к = 0 для установления связи между
и С}-.
(A-Ci)-2A + (A + Cf) =1.
Отсюда
с;=в, С} = 1 + В.
Следовательно, окончательное выражение для фундаментального решения
имеет вид:
( А 4 В к при к < О,
@к { А 4 (В 4 1) к при к > 0.
Ограниченное решение не существует, поскольку В не может одновре-
менно быть равным 0 и —1.
A cos 4 В4~т^(1-2А) sin^ при к > О,
кя
2а/3
22.4. Gk =
3
кя
3
Л я," , „ . кя
A cos — 4 В sin —
к	О	О
' А2~к
, А2к
3'~““3	при к < 0.
при к > 0,	.	2
где А = --.
при к < 0,
22.в. Перепишем разностное уравнение следующим образом:
22.5. Gk = <
!/*+1 4 2hXyk - Ук-i = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид
д2 4 2hA д — 1 = 0.
175
Ответы, указания, решения
Его корни: дх = —ЛА 4- \/1 4- Л2 А2 и дг = —ЛА —V1 + Л2 А2. Общее решение
разностного уравнения имеет вид
уь = Ci д{ + ОгДг-
Константы 01 и Ог определяются из системы	4
01 4* Ог = О,
01дГ 4- С2Р2 = О,
из которой получаем, что Ог = -Oi и Oi (pi —д^) = 0, т.е. нетривиальное
решение разностной задачи существует тогда и только тогда, когда д! =
=	• Следовательно,
Д1	(.2тгп\	,	.
— = exp	I t-тт-1,	n	= 1,	... , N -	1.
Д2	\ N }
m	л	2	•	1
Так как Д1Д2 = —1, то д! = — ехр (\, откуда
.	Г . П Г* 1	.	f .nr»
Pi-«ехр (^i—J, д2 = »ехр(-»—
Поскольку
Pi + Pa = —2/iA = i (ехр (^—j + exp (-i-^r J J = 2t cos —,
имеем
A(n) = -iCos^, n = 1,... ,N — 1.
h N
Нетривиальные решения исходной задачи имеют вид
v*n) = 01 (д? - Р*) = Ciik (ехр (»^) - ехр (~«^)) =
~	. . тгЛп ,Л+1 . ткп
= Oi t2t sin -77- = О t + sin -rr-.
N	N
22.7.	Характеристическое уравнение разностной задачи имеет вид
q2- (2 — Л2Л)д +1 = 0.
Бели корни характеристического уравнения вещественны, то разност-
ная задача имеет только тривиальное решение. Действительно, пусть qi
Ф 92 — вещественные корни. Тогда общее решение имеет вид
Уь = O1Q1 4- O292 j
а для определения Oi и Ог из краевых условий имеем систему
Oi 4- Ог = О,
Cirf+Ciq^O,
176
Ответы, указания, решения
из которой следует Ciqi — Ciqz = 0. Так как q\ / дг, то Ci = Съ = 0,
т.е. общее решение является нулевым. Аналогично рассматривается случай
равных вещественных корней.
Поэтому надо рассмотреть случай gi,2 = cosy? ± г sin zp. Тогда об-
щее решение разностной задачи представляется в виде yk = Ci cos ку+
+C2smfcy>. Из краевых условий получим Ci=0 и sinNy? = 0. Отсюда
Так как gi 4- дг = 2 — h2X, то cosy? = 1 — Д2Л/2. Следовательно,
\(п)	2 (л тгп\ 4 . 2	1 п	1
А1'==—1 - cos— = — sin —, n = 1,2, ... ,N- 1.
h2 \ N J	h2	2ЛГ	’
Отметим, что количество различных ненулевых собственных значений
равно N — 1.
Из представления общего решения разностной задачи следует, что соб-
ственные функции имеют вид
j/<n) = C2sinn = l,2,... ,N-1.
Замечание. Провести аналогию с дифференциальной задачей:
у" = -Ху, у(0) = 1/(1) = о, »(п) = C&a(imx), A(n) = (тгп)2, п = 1,.
22.8.	Функция Грина (фундаментальное решение, удовлетворяющее
однородным краевым условиям уо = yN = 0) имеет вид
f 7j(k ~ N) ПРИ к -
=	где j =	k = 0,...,N.
(jvO-W) при k<j,
22.9.
_ f 2* - 3* при к < 0,
Vk ( 0 при к > 0.
22.10.
_ Г С 6* при к < 0, с ___________2_
к [С2“* при к > 0,	11
22.11.
_ J 0	при к < 0,
Ук ~ 4 (2“* — 4~Л) при к > 0.
22.12.
(0	при к > 0,	_ 1
Ук == | С ((-3)* - 4fc) при к < 0,	° ~ 7‘
177
Ответы, указания, решения
22.13.
VM _с	(я)_ 4 а тг(п — 1)
Ук ° 08	2(W _ !j ’ А fc2 sm 2(N -1) ’	1 ' N L
22.14.
_ r ein	- fc) x(n) _ 4 .2 fr(2n - 1)	. . N
Ук "Csm------2ЛГИ-----’A 'W™ W-l)’	"
22.15.
,\(n)- 4 sin2 <2n~^ n=l—N—l
Vk °	2ЛГ-1 ,A h* 2(2N-1)’	1 ' Л K
[§23]
"	23.1.
14’
r . _, Л _ f 1,	к / 0,
23.2.	Сходится с первым порядком при u €	, co вторым порядком
при u 6 C№, к >2.
23.3.	Нет, да.
23.4.	1)О(Л2); 2)О(Л); 3)О(Л2).
23.5.	1)О(Л2); 2)О(Л).
23.11.	с <тг2- 6, 6>0.
1	2
23.18.	а = 0, Ь = — 1, с=-, d=x. Р = 3.
’	’63
__ 	1.1	1,2
23.19.	а =-, Ь=—~, с = е=-, d=~, р = 3.
2	2	О	о
23.20.	а = 0, b = l, c = d=|, р = 3.
23.21.	а = О, Ь = -1, с =7, d=^, р = 3.
р4]
24.1.	Пусть 2/(®) — произвольная гладкая функция. Тогда условие ап-
проксимации для левой и правой частей уравнения (1) означает справедли-
вость соотношений в произвольном узле тп (п > 0)
1 р	р
h ^2а-кУп~к =	^b-kf(xn-k,v(xn-k)) = /(®n,y(ln)) •
fc=0	fc=0
Согласно формуле Тейлора имеем
у(х - kh) = у(х) - khy'(x) + О(Л2),
f(x - kh,y(x — kh)) = f{x,y(x)) + 0(h).
178
Ответы, указания, решения
Подстановка этих выражении в условия аппроксимации дает:
lim
h—>о
lim
р	\ р
ь 52 I - 52 “-** »*<*•>+°(ft)
fc=0	/	fc=0

(52b“*J /(®n,«(xn)) + O(h)
. \fc=0	/
= f(xa,y(xn)) ,
откуда (в силу произвольности функции у(х)) и следует необходимость и
достаточность указанных в условии задачи равенств.
24.2.	Да, нет, да. Использовать условия, сформулированные в преды-
дущей задаче.	ь
24.3.	Первый. Можно, если положить yi = Л. Тогда порядок аппрок-
симации будет равен двум.
24.4.	Все коэффициенты равны 1/2.
24.5.	1/6, 2/3, 1/6. Использовать метод неопределенных коэффициен-
тов построения разностных схем, заменив / на у1 и сдвинув для симметрии
индексы.
24.6.	Схема устойчива при 0 > 1/2,0 = 0.
24.7.	Без учета решения задачи 24.1 получим: а = 28, Ь = 12, с = 36.
Условие a-устойчивости не выполнено.
Правильное решение:
2а + 4 = 1, 2Ь-Ьс=1, 8 + а = Ь.
Характеристическое уравнение при этом имеет вид
(д2-1) р-|д + 1)=0,
т.е. условие а-устойчивости выполнено.
24.8.	Запишем дифференциальную задачу в виде
=	»(0) = d,
у = ехр(—Ах) d.
Так как
Ai,2(A) = ±H,
то, обозначив через X матрицу, столбцами которой являются собственные
векторы матрицы А, получаем
о <Л]Х d-
179
Ответы, указания, решения
Для нахождения решения разностной задачи представим ее в виде
Ук =АкУк-1, к = 1,...,п,
Уо -d,
где
У к =
4>к
Ah = E — hA =
1 -М
hl 1
Так как
У к = -AhVo,
то
Ук=Х
(1-»/Л)‘ О 1	.
О (l + t/h)‘JA d-
При нахождении А^ было использовано совпадение собственных векторов
матриц Ah и А и связь между их собственными числами
А(Лл) = 1-ЛЛ(А).
Можно показать, что ехр(±Ихь) — (1 ± ilh)k = 0(h). Следовательно,
||у(ж*) — j^Hoo = O(h). Вводя в пространстве Уд норму
1Ы1п (11у*11оо).
0<fc<n '	'
приходим к следующей оценке сходимости решения разностной схемы к
решению дифференциальной задачи:
ll(»)fc-sd|yfc =O(h).
Таким образом, схема имеет первый порядок сходимости.
24.9.
Ук = УО —~---------------4- У1----------------Д1 Ч--------Р2 ,
Д2-Д1	Д2~Д1 J [ Д2-Д1	Д2-Д1
где Д1.2 _ корни уравнения д2 Ч- 2hp — 1 = 0:
Д1 = -h+ \/l + h2 = 1 _h++О(Л4), д2 = (-1) (1 + А +	) +О(А4);
2*	у	Z /
ci = 0
24.10.	Эта схема неустойчива, нет сходимости.
24.11.
ttw±^ Цуп~1 + Um = cos(hm), uo = 0, щ = | h.
Zn	о
180
Ответы, указания, решения
24.12.
Um+1 ~ Um , Cum+1 + um sin(/i(m + 1)) + sin(hm)	n
----------+ 5-----------=---------------------, «о = 2.
24.13.
Um+1 . —— Um = exp(2/im), uo = 1, ui = exp(2h) .
24.14.
-(ШЧ-,4-м =	+ ? + <°ф('>’"), w-l.
n	Л
24.15.	Взять заведомо a - неустойчивую схему, например
А Ут+1 ~ Ут-1	Q Ут 4-1 ~~ Ут __ f	t f
4	3	— С Jm~ 1 Т в Jm “Т в Jm-f-l >
и методом неопределенных коэффициентов получить заданный порядок ап-
проксимации.
[§25|
25.1.	а = 7 = 1/12, 0 = 5/6.
25.2.	Из формулы Тейлора имеем
«(Л) = «(0) + Ли'(0) + V “"(°) + °(ft3) •
л
откуда
»(0) + Оу).
П	м
Из исходного уравнения следует, что
-и"(0) = /(0)-р(0)«о.
Таким образом,
О«(0) +ь (ц(/*ь^(о) +1 (/(0) -р(0)и(0))} = c + O(h2) .
Искомая аппроксимация имеет вид
^--ро)«о + Ь—j—= с--/о.
25.3.	Собственные значения разностной задачи
yi+i~2^ + yi-1 =-XVi, yo = yN=O, h = \/N
имеют вид (см. задачу 22.7)
An = z?sm , n = l,
hr .2
181
Ответы, указания, решения
Легко видеть, что
\	\	4.2	.
Amin — Ai — sin > 4,
Атах — AjV-l <	.
Отсюда следует устойчивость и порядок обусловленности системы. Выше
было использовано неравенство
sin|/3|>—1/3| при |/3| <-.
ТГ	Z
25.4.	Введем обозначение
ад _ и±.-А-|-им
и покажем, что если Цу*) < 0 при i = 1,..., N — 1 и уо = ^ = 0, то j/t > О
при всех i.
Пусть d = min де < 0 и q — такое наименьшее целое, что yq = d. Тогда
|fa-i > d, y9+i > d и
Полученное противоречие доказывает, что yi > 0 при всех t.
Следующий шаг — доказательство неравенства
max |у»| < |у, где У = шах ||(де)|.
o<i<w ’	8	о<»<№	’
Введем для этого функцию
ih(l — ih) ,,	яг
w» = —-------LY, i = 0, ...,АГ,
z
удовлетворяющую условиям wt > 0 и l(wi) = —У. Теперь для функции
w* i yi справедливо:
l(wi zfc yi) = —У ± l(yi) <0, wo ± j/о = wn ± yN = 0.
Поэтому использование доказанного выше свойства дает Wi ± yi > 0, от-
куда и следует искомая оценка
|де | < Wi < max Wi < IУ.
' ’	0<«N	8
Последний этап — определение величины У в уравнении для погреш-
ности u(xi)—yi. Для этого запишем уравнение для погрешности, используя
формулу Тейлора
а2
i«Xi) - у<) =	г «о.
La	La
182
Ответы, указания, решения
h2
Отсюда У = — max | f (®) | , что и приводит к искомой оценке.
25.5.	Воспользоваться формулой Абеля
2V-1	N-1
У2 (а»+1 — а») Ь» = —	(Ь<+1 — bi) a»+i + аиЬя — аоЬо.
»=о	»=о
25.6.	Использовать интегральное тождество
(V», V») + (ру,у) = (/,»)
и сеточный аналог неравенства для функции и ее производной
k=l	fc=l Л=1
(у, у) = 52 - N*	фу, V»).
к=1
Априорная оценка для решения имеет вид
(у.у)<(/.у) -* 1Ы1< 11/11. где ||у||2 = ^(у,у).
25.17.	UN + |(cos(l) + 1)-Зад =1.
Л I
__ „ _ хи •— uq	h ' .	„
25.18.	— ------— 4- 4 «о = 1 •
Л. л
25.19.	+ |(3 UN + ехр(1)) = 0 .
25.20.	W1 7”° - 4(2t»o -1) - «о = 0.
h 2
25.21.	Схема устойчива, так как
A(n) = ^sin2 2("~4+1, n = 14-^-l1 Ami„ = l.
h2 2(N ~ 1)
25.22.	Схема устойчива, так как
\ (») _ JL sin2	n —	1 А - >1
А ~ {,2 sm 2(2N - 1) ’	“ 1 ‘ 14 T’ Am,n “ 1 ’
25.23.	Схема устойчива, так как
— — sin2 ~~ 1)	n—1 — TV — 1	А - >1
А ” h2 S 2(2^ -1) ’	1 ’ 77	Am,n ~ 1 ’
25.24.	Схема устойчива, так как
A^n) = ^sm2^, n=l-=-2V-l, Ami„ >4-3 = 1
183
Ответы, указания, решения
|§2б]
26.1.	O[T,h2,^-).
у	2т у
26.2.	При a < 0 и г = щ существует схема с аппроксимацией O(h2).
26.3.	Воспользоваться идеей построения схемы Кранка — Николсона
с порядком аппроксимации О(т2,Л2)
- <1 Г U"?! - <+_\	и"+1 - и" _х 1 _
----т----+2 [------2Л----+------2Л-----J-0’
применив разложение в ряд Тейлора в точке	> и аппроксимиро-
вать производную по переменной х с четвертым порядком на шаблоне из
ТОЧек Хт , #т±1) ®т±2 •
26.4.	Схема имеет порядок аппроксимации О(т, h). Подставим в нее
общий вид частного решения = Лп е1 m . В результате будем иметь
; Ап+1е*то — Ane*m v	Ane*m — Ane* (m-1) **
h
Сокращая на Ап е*то *, получаем
A —1 . 1—e-**
7Г- = 0’
откуда следует
п п
Пусть а > 0. Тогда при 0 < ^ < 1 имеем IА(у>)I <1 —	+	— 1, т.е.
Л	1	’ Л Л
схема устойчива при выполнении указанных выше условий. При — = 7 > 1
Л
получим А(тг) = 1 — 27 < —1, т.е. в этом случае схема неустойчива.
Таким образом, разностная схема условно устойчива.
Отметим, что аналогичные рассуждения справедливы при а < 0 для
схемы
-.71-4'1	«.п л.п
Щп	t	_л
11	i <* ——————— — и .
r	h
26.5. Схема имеет порядок аппроксимации О(т,Д2). Как и в преды-
дущей задаче, получим
AM = l-g(e--e
,ат .
t—smy?,
h
откуда следует, что
max
2 2
ГТ
ЛГ'
184
Ответы, указания, решения
Пусть т = Ah2. Тогда
|л I < 0 + а*Ат = 1 + а2А + О(т2) < еет,
I \ »/ I	Z
а2А
где с = —------постоянная в правой части неравенства из спектрального
!	2 и______
признака устойчивости.
Обратим внимание, что исследование устойчивости с помощью спек-
трального признака фактически позволяет находить искомые законы
стремления т и h к нулю.
2в.в.	= 1(1 -^)е" +1(1 + £).Г<
Схема устойчива (| А(у>)| = 1) при выполнении условия < 1.
Введем обозначения: J = sup 1а(^)| и ат/h = 7. Тогда:
0<¥><27г
при а > 0 или при 7 < —1 выполнено 5 < 1, т.е. схема устойчива;
при —1 < 7 < 0 выполнено 6 = т-------т > 1, т.е. схема неустойчива.
127 +1|
26.8.	Х((р) = (1 — i siny>)
Поскольку | А(у>)| < 1, схема устойчива при любых т и h.
26.9.	А(у>) = cos 99 — sin 99. Схема устойчива (|А(у>)| < 1) при вы-
ft
|а|т
полпенни условия ^7— < 1.
ft
26.10.	При О<0<
[§27]
2ТЛ. При £ = 1. ,	; 	’ 
27.2.	При 0=|-А~-
г 2	12т
27.3.	O(r2,ft4).
27.4.	Схема имеет порядок аппроксимации О(т, ft2). Введем обозначе-
ние р = т/h2 и перепишем схему в удобном для анализа виде
Wm+l — (1 — 2р) Um + р (и^+1 + Ит-1) +	•
Поскольку максимальные значения обеих частей равенства по m совпа-
дают, при р < - имеем
it
||«n+1|| < (1 - 2р)||«“|| + 2р||и"|| +т||Г|| = ||и”|| + т||Г|| << Hu”"11|+
п
+т(||Г|| + ИГ-1!!) <	< 11«°Н + ЕТ11^Н *	+ (« + Пт maxlirII.
fc=0
185
I
Ответы, указания, решения
Следовательно, схема удовлетворяет условию устойчивости с постоянной
с = (п + 1)т = t при условии ~	-
Л* 2
27.5.	Схема имеет порядок аппроксимации О (т, А2) . В данном случае
удобная для анализа форма записи имеет вид
u"+1 + р + 2u"+1 -	+ т/Г1 •
Теперь из всех значений «Г1, по модулю равных ||un+11|, выберем такое,
у которого индекс m принимает наименьшее значение. В этом случае
и
Отсюда |2u”+11 > (| +	|) » и знак выражения
~ um-l um+l
совпадает со знаком > т е-
IIun+11| = К11 < |<+1 + р (2<+1 -	- CV1) | = |< + т/Г11.
Таким образом, при любых шагах сетки т и h справедливо ||ия+1|| <
< ||^n|| ‘t’ r|| /n+11| * Дальнейший вывод оценки устойчивости выполняется
по аналогии с предыдущей задачей.
27.6.	Сходимость имеет место при выполнении условия устойчивости:
р < 1/2, при этом имеем порядок сходимости О (г, Л2) для р / 1/6 и
O(r2,h4) для р = 1/6.
27.7.	При выполнении этого условия среди частных решений вида
«rn = Pq Ут найдется q такое, что |дд| > 7 > 1, где у^ = sin(7rni/ig).
27.8.	С помощью частных решений вида = р% у™ показать, что
схема неустойчива для всех т и h.
27.9.	Если 0 < 0 < 1/2, то схема устойчива для всех т и h\ если
т 1
1/2 < 0 < 1, то условие устойчивости имеет вид — < --т—-.
40 — 2
27.10.	Схема может быть преобразована к виду
«У4-«Г1 , ±	+	+С-!
2т Л2 т2	А2
Она устойчива для всех т и h.
и
28.1.
2
i / л \ Ю . 2
«(Ло) = jrjsm j-
-и(Ао)+.
71	П
fc=l
аоо “ 4с — 4, ац = ai-i = а-n = а-1-i = с,
аю = о-ю = ooi = ао-i = 1 — 2с,
28.2.
186
Ответы, указания, решения
или, что то же самое,
= д\д\ + ЭгФг + ch2didid2d2,
где с — произвольная постоянная.
28.3.	с < | .
28.4.
(ДЛ) и = д^д2и + 2didid2d2U + д2д2и = (Э1Э1 + д2д2)2 и
с погрешностью аппроксимации (ДЛ)2 и — Д2н = О (h2) .
28.5.
*2	_	N1
^52	(d2j/t,tf2+l "• #2!м) ~ 0 •
jstl	»=1
Литература
1.	Арушанян И. О., Чижонков Е.В. Материалы семинарских заня-
тии по курсу ’’Методы вычислений” /под ред.О.Б.Арушаняна — М.:
Изд-во ЦПИ при механико - математическом факультете МГУ, 1999.
2.	Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1975.
3.	Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные ме-
тоды. — М.: Наука, 1987.
4.	Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Поспелов В.В. Задачи по
курсу “Методы вычислении”. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1989.
5.	Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.:
Наука, 1^84.
6.	Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М.: Наука,
1967.
7.	Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. — М.: Наука,
1977.
8.	Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир,
1999.
9.	Дробышевич В.И., Дымников В.П., Ривин ГС. Задачи по вы-
числительной математике. — М.: Наука, 1980.
10.	Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: На-
ука, 1980.
11.	Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983.
12.	Сборник задач по численным методам / Сост. Стрелков Н.А.
Ярославль: Изд-во Яросл. ун-та, 1988.
13.	Тыртышников Е.Е. Краткий курс численного анализа. — М.:
ВИНИТИ, 1994.
14.	Уилкинсон Дж.X. Алгебраическая проблема собственных зна-
чений. — М.: Наука, 1970.	•
15.	Хемминг Р.В. Численные методы. — М.: Наука, 1968.
16.	Численные методы решения задач алгебры и дифференци-
альных уравнений / Сост. Стрелков Н.А. Ярославль: Изд-во Яросл.
ун-та, 1989.
188
Содержание
Предисловие........................................... 3
Введение.............................................. 5
Глава I. Погрешность решения задачи................... 7
§ 1.	Вычислительная погрешность.................... 7
§ 2.	Погрешность функции ......................... 10
Глава II. Приближение функции и производных . .	12
§ 3.	Полиномиальная интерполяция.................. 12
§ 4.	Многочлены Чебышева.......................... 18
§ 5.	Численное дифференцирование ................. 22
§ 6.	Многочлен наилучшего равномерного приближения . .	26
§ 7.	Приближение сплайнами ....................... 30
Глава III. Численное интегрирование............	33
§ 8.	Квадратурные формулы интерполяционного типа ....	33
§ 9.	Метод неопределенных коэффициентов .......... 39
§ 1О.	Квадратурные формулы Гаусса..........  .	. .	43
§ 11.	Главный член погрешности.................... 50
§ 12.	Численное интегрирование функций с особенностями .	53
Глава IV. Матричные вычисления....................... 58
§ 13.	Векторные и матричные нормы................. 58
§ 14.	Элементы теории возмущений.................. 63
§ 15.	Метод простой итерации...................... 67
§ 16.	Методы релаксации........................... 73
§ 17.	3адачи на собственные значения.............. 76
Глава V. Решение нелинейных уравнении...............	82
§ 18.Метод простой итерации и смежные вопросы....	83
§ 19.Метод Ньютона. Итерации высшего порядка.....	86
Глава VI. Разностные уравнения ...................... 91
189
Содержание
§ 20.0днородные разностные уравнения................... 91
§21	.Неоднородные разностные уравнения............. 95
§ 22	.Фундаментальное решение и задачи на собственные зна-
чения ............................................. 97
Глава VII. Решение дифференциальных уравнении . 100
§ 23.	Методы построения разностных схем............. 101
§ 24.	3адача Коши..................................  111
§25	Линейная краевая задача........................ 114
§	26.Гиперболические уравнения..................... 119
§27	.Параболические уравнения...................... 121
§	28.Эллиптические уравнения....................... 125
Ответы, указания, решения.............................. 129
Литература............................................. 188
Учебное издание
Бахвалов Николай Сергеевич
Лапин Александр Васильевич
Чижонков Евгений Владимирович
Численные методы в задачах и упражнениях
Редактор Ж. И. Яковлева
Художественный редактор Ю. Э. Иванова
Технический редактор Л. А. Овчинникова
Корректор Г. Н. Петрова
ЛР № 010146 от 25.12.96. Изд. № ФМ-207. Поди, в печать 20.01.2000
Формат 60х907]6. Бум. газетная. Гарнитура «Таймс». Печать офсетная
Объем: 12,0 усл. печ. л., 12,37 усл. кр.-отт., 9,31 уч.-изд. л.
Тираж 7000 экз. Заказ № 301
ГУП издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4,
Неглинная ул., д. 29/14
Отпечатано в ГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»
432601, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В.
БЗО Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб, пособие.
/ Под ред. В.А. Садовничего — М.: Высш. шк. 2000. — 190 с.
ISBN 5-06-003684-7
Учебное пособие содержит элементы теории, примеры решений
задач и упражнения для самостоятельной работы. Представленные
задачи разбиты по рекомендуемым темам семинарских занятий, а
их подбор призван способствовать закреплению материала, излагае-
мого в теоретическом курсе. Типовые задачи снабжены решениями,
которые могут быть использованы студентами для самостоятельного
изучения предмета и овладения общими принципами применения вы-
числительных методов. Ответы и указания помогут преподавателям
в выборе содержательных и интересных задач в соответствии со спе-
цификой вуза.
Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов
с углубленным изучением математики. Может быть полезно пре-
подавателям, а также всем специалистам, использующим в своей
деятельности методы вычислительной математики.
ББК 22.193
УДК 519.6