Текст
                    П. Е. ДАНКО, А. Г. ПОПОВ,
Ts Я. КОЖЕВНИКОВА
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
В УПРАЖНЕНИЯХ
И ЗАДАЧАХ
В ДВУХ частях
ЧАСТЬ I
Издание четвертое,
исправленное и дополненное
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших
технических учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1986

Б БК 22711 Д 17 УДК 5164-517 Рецензент: кафедра высшей математики Московского энергетического института (зав. кафедрой чл.-кор АН СССР С. И. Похожаев) Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Д 17 Высшая математика в упражнениях и задачах; Учеб, пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. I.— 4-е изд., испр. и доп.— М.; Высш, шк.» 1986.—304 с., ил. В пер.: 1 р. Содержание I части охватывает следующие разделы программы? аналитическую геометрию, основы линейной алгебры, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление функций одной независимой пере” менной, элементы линейного программирования. В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для самостоятельной работы. 1702000000—112 ББК 22.11 А 001 (01)—86 72-86 517 Павел Ефимович ДанАо, j ^е&МЛвич Попов* Татьяна Яковлевн&чюямрчикова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХ ЧАСТЬ I Зав. редакцией литературы по физике и математике Е. С. Гридасова. Научный редактор Е С. Мироненко. Редактор А. М. Суходский. Мл. редакторы С. А. Доровских, М. А. Ба* баркина. Художественный редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор Э. М. Чи* жевскнй. Корректор Г. А. Чечеткина ИБ № 5852 Изд № ФМ-833а. Сдано в набор 2 0. 06. 85. Подп. в печать 02. 01. 86. Формат бОхООД^. Бум. тип. № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 19 усл. псч. л. 19 усл кр.-отт. 20,8 уч.-изд. л. Тираж 1 10 000 экз. Заказ № 1474. Цена 1руб. Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14 Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Об- разцовая типография» имени А. А Жданова Союзполиграфпрома при Государственном коми- тете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 1 13054, Москва, Валовая, 28 © Издательство «Высшая школа», 1974 © Издательство «Высшая школа», 1986, с изменениямз
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к четвертому изданию , • , . . . s , , . , 5 Из предисловий к первому, второму и третьему изданиям । s . » t 5 Глава I. Аналитическая геометрия на плоскости § 1. Прямоугольные и полярные координаты .. j ... j .... . 6 §•2. Прямая. . j t . s . . » . .......................*............ 15 § 3. Кривые второго порядка •»...'................................. 25 § 4. Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второ- го порядка ................................... 32 § 5. Определители второго и третьего порядков и системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными . г . . . t . . . . t 39 Глава II. Элементы векторной алгебры § 1. Прямоугольные координаты в пространстве ..................... 44 § 2. Векторы и простейшие действия над ними. ...................... 45 §3. Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение . . 48 Глава III. Аналитическая геометрия в пространстве § 1. Плоскость и прямая ......................................... 53 § 2. Поверхности второго порядка. , ............................. 63 Глава IV. Определители и матрицы § 1. Понятие об определителе /г-го порядка. ............ 70 § 2. Линейные преобразования и матрицы............................. 74 § 3. Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых и по- верхностей второго порядка........................................ 81 § 4. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы........................... 86 § 5. Исследование системы т линейных уравнений с п неизвестными . 88 § 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса............. 91 § 7. Применение метода Жордана — Гаусса к решению систем линей- ных уравнений . . 4 . . . ................... . . , ..... . , 94 Глава V. Основы линейной алгебры § 1. Линейные пространства....................................... 103 § 2. Преобразование координат при переходе к новому базису ... 109 § 3. Подпространства ............................................. 111 § 4. Линейные преобразования...................................... 115 § 5. Евклидово пространство....................................... 124 § 6. Ортогональный базис и ортогональные преобразования......... 128 § 7. Квадратичные формы . . ..................... • . . .......... 131 Глава VI. Введение в анализ § 1. Абсолютная и относительная погрешности................... . 136 § 2. Функция одной независимой переменной......................... 137 § 3. Построение графиков функций.................................. 140 4. Пр еделы.................................................. 142 § 5. Сравнение бесконечно малых........... . . . .............. 147 6. Непрерывность функции **> « . 149 3
Глава VII. Дифференциальное исчисление функций одной независимой пе- ременной § 1. Производная и дифференциал................................. 151 § 2. Исследование функций....................................... 167 § 3. Кривизна плоской линии..................................... 183 § 4. Порядок касанйя плоских кривых............................. 185 § 5. Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная . . . 185 § 6. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривиз- на и кручение.................................................• 188 Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций нескольких независи- мых переменных § 1. Область определения функции. Линии и поверхности уровня . » 192 § 2. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных . 193 § 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ............. 203 § 4. Экстремум функции двух независимых переменных............. 204 Глава IX. Неопределенный интеграл § 1. Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегри- рование по частям............................................... 208 § 2. Интегрирование рациональных дробей......................... 218 § 3. Интегрирование простейших иррациональных функций........... 229 § 4. Интегрирование тригонометрических функций ................. 234 § 5. Интегрирование разных функций ....................... . . . 242 Глава X. Определенный интеграл § 1. Вычисление определенного интеграла.......................... 243 § 2. Несобственные интегралы..................................... 247 § 3. Вычисление площади плоской фигуры........................... 251 § 4. Вычисление длины дуги плоской кривой........................ 254 § 5. Вычисление объема тела...................................... 255 § 6. Вычисление площади поверхности вращения..................... 257 § 7. Статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур . 258 § 8. Нахождение координат центра тяжести. Теоремы Гульдена . . . 260 § 9. Вычисление работы и давления................................ 262 § 10. Некоторые сведения о гиперболических функциях.............. 266 Г лава XI. Элементы линейного программирования § 1. Линейные неравенства и область решений системы линейных не- равенств ..............•........................................ 271 § 2. Основная задача линейного программирования.................. 274 § 3. Симплекс-метод.............................................. 276 § 4. Двойственные задачи......................................... 287 § 5. Транспортная задача......................................... 288 Ответы............................................................... 294
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ По сравнению с третьим изданием книги были сделаны следующие измене- ния и дополнения. Во II часть включена новая глава «Основы вариационного исчисления», добавлен раздел об интерполировании функций на основе приближения сплай- нами. Сделаны добавления по элементам теории поля и уравнениям математи- ческой физики. Увеличено число задач по определенным и кратным интегралам, а также в других разделах. Произведены улучшения методического характера и исправлены замеченные опечатки. В настоящем издании используются следующие обозначения: начало и конец решения задачи отмечаются соответственно знаками Д и Д, а вместо слова «Указание» употребляется знак ©. Авторы признательны канд. физ.-мат. наук доц. В. А. Богачеву и канд. физ.-мат. наук Т. А. Малаховой за помощь в написании основ вариационного, исчисления и интерполирования функций сплайнами. Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю признатель- ность зав. кафедрой высшей математики МЭИ, чл.-кор АН СССР С. И. Похожаеву, канд. физ-.мат. наук., доц. Т. В. Лоссиевской, А. Б. Крыгину и П. А. Шмелеву, канд. физ.-мат. наук, ст. препод. А. Л. Павлову и В. И. Афанасьеву, сделав- шим ценные методические замечания и предложения, способствовавшие улучше- нию этой книги. Авторы ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ к ПЕРВОМУ, ВТОРОМУ И ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЯМ При написании книги «Высшая математика в упражнениях и задачах» авто- ры стремились раскрыть содержание основных понятий и теорем курса на сис- тематически подобранных упражнениях и задачах. В пособие включены типовые задачи и даются методы их решения. Каждому параграфу предшествует краткое введение, состоящее из определений и основных математических понятий рассматриваемого раздела. При этом наиболее трудные вопросы теории для лучшего усвоения сопровождаются раскрытием этих понятий (без доказательств). Первое издание (в трех частях) вышло в 1967 —1971 гг. Второе издание (в двух частях) вышло в 1974 г., а третье (также в двух частях) — в 1980 г. При написании пособия авторы использовали некоторые методические прие- мы и задачи из книг: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интеграль- ного исчисления, т. I — III; Курант Р. Курс дифференциального и интегрально- го исчисления, т. 1,11; Гюнтер Н. М. и Кузьмин P.O. Сборник задач по высшей математике, т. I — III; Демидович Б. П. и др. Сборник задач и упражнений по математическому анализу; Фролов С. В., Шостак Р. Я- Курс высшей математики. За помощь в оформлении учебного пособия и проверки правильности ответов к задачам авторы признательны всему коллективу сотрудников кафедры высшей математики Ростовского-на-Дону института инженеров железнодорожного тран- спорта. Авторы
ГЛАВА I АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ И ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении. Точку М координатной оси Ох, имеющую абсциссу х, принято обозначать через Л1 (%). Расстояние d между точками Afi(xx) и Л12 (х2) оси при любом расположении точек на оси определяется формулой d = |x2—хх|. (1) Пусть на произвольной прямой задан отрезок АВ (А—начало отрезка, В — его конец); тогда всякая третья точка С этой прямой делит отрезок АВ в неко- тором отношении X, где Х=± | АС |:| СВ |. Если отрезки АС и СВ направлены в одну сторону, то X приписывают знак « + »; если же отрезки АС и СВ направ- лены в противоположные стороны, то X приписывают знак «—». Иными словами, X положительно, если точка С лежит между точками А и В и отрицательно, если точка С лежит на прямой вне отрезка АВ. __ Если точки А и В лежат на оси Ох, то координата точки С (х), делящей отрезок между точками А (хх) и В (х2) в отношении X, определяется по формуле “__Xt + Хх2 Х~ 1+Л ’ В частности, при Х = 1 получается формула для координаты середины отрезка: “__*1 + *2 Х~~^~ * 1. Построить на прямой точки А (3), В(—2), С(0), D (1^2), £(—3,5). 2. Отрезок АВ четырьмя точками разделен на пять равных частей. Определить координату ближайшей к А точки деления, если Л(—3), В (7). Д Пусть С (х) — искомая точка; тогда % = | АС |:| СВ | = 1/4. Следовательно$ по формуле (2) находим хх + Хх2 _ —3 + (1/4) 7 _ Х 1+% 1 + 1/4 А 1, т. е. С(— 1). 3. Известны точки Д(1), В(5) — концы отрезка АВ\ вне этого отрезка расположена точка С, причем ее расстояние от точки А в три раза больше расстояния от точки В. Определить координату точки С. Д Нетрудно видеть, что Х = —| ЛС|:| ВС|=—3 (рекомендуем сделать чер- теж). Таким образом, *=-j—3"=7, т. е. С(/). А 4. Определить расстояние между точками: 1) М (3) и 7V(—5); 2) Р (-11/2) и Q (—5/2). 6
5 Найти координаты середины отрезка, если известны его концы: 1) д’(_б) и В (7); 2) С(-5) и £>(1/2). 6. Найти точку М, симметричную точке N 3) относительно точки Р(2). 7. Отрезок АВ двумя точками разделен на три равные части. Определить координаты точек деления, если Л(—1), В(5). 8. Даны точки Л(—7), В(—3). Вне отрезка АВ расположены точки С и О, причем | С А | = [ BD | = 0,51 АВ |. Определить коорди- наты точек С и D. 2. Прямоугольные координаты на плоскости. Простейшие задачи. Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат хОу, то точку М этой плоскости, имеющую координаты х и у, обозначают М (х; t/). Расстояние d между точками /Их (хх; у±) и М2(х2\ у2) определяется по фор- муле d = К(^2—Xl)2+(Z/2—i/i)2- (1) В частности, расстояние d точки М (х; у) от начала координат определяется по формуле а=Ух2+у2. (2) Координаты точки С (х; у), делящей отрезок между точками А (хх; ух) и В (х2; у2) в заданном отношении X (см. п. 1), определяются по формулам “___Х1 + Ах2 . —_1У1 -[- Ху2 Х~ 1+Х ’ У~ 1+% ’ (3) В частности, при получаются формулы для координат середины отрезка: 7=^; ~y=l^±h. (4) Площадь треугольника с вершинами А (хх; г/х), В (х2; у2), С(х3; у3) опреде- ляется по формуле •$ = “2“ | Х1 (#2 —Z/з) + Х2 (#3 —Z/1) + Х3 G/1 —У2) | =3 =4 I (#3—Z/1) —(*з—*1) (г/2—У1) (5) Формулу для площади треугольника можно записать в виде 5=4 I л |,- (б) где 1 А = хх У1 1 1 Х2 Хз У2 Уз (понятие об определителе третьего порядка дано в § 5 этой главы). 9. Построить на координатной плоскости точки А (4; 3), В (—2;5), с (5; —2), D (—4; —3), £ (—6; 0), F (0; 4). 10. Определить расстояние между точками А (3; 8) и В (—5; 14). Д Воспользовавшись формулой (1), получим d=y(—5—3)2 + (14—8)2= 64 + 36 = 10. А 7
11. Показать, что треугольник с вершинами А (—3; —3), В (—1; 3), С (11; —1) — прямоугольный. Л Найдем длины сторон треугольника: | АВ | = V(-1+3)2(3-|-3)2 = V40, I вс | = V (Н4-1)24-(—1—3)2 = К Тео, | А СI = У (1НЗ)24-(—14-3)2 = К200- Так как |4В|2 = 40, |ВС|2=160, | АС |2 = 200, то | АВ |2-[-1 ВС |2 = | АС |2. Таким образом, сумма квадратов длин двух сторон треугольника равна квадрату длины третьей стороны. Отсюда заключаем, что треугольник АВС прямоуголь- ный и сторона АС является его гипотенузой. Д 12. Известны точки Д(—2; 5), В(4; 17) — концы отрезка АВ. На этом отрезке находится точка С, расстояние которой от А в два раза больше расстояния от В. Определить координаты точки С. Д Так как | АС | = 2 | СВ |, то Х = | АС |:| СВ | = 2. Здесь ац—— 2, r/i = 5, х2 = 4, г/2 = 17; следовательно, ^=~Г+2~'4=2’ y=5-fj-21?' = 13’ т- е- С(2; 13>- А 13. Точка С (2; 3) служит серединой отрезка АВ. Определить координаты точки Д, если В (7; 5). Д Здесь х = 2, у = 3, х2 = 7, у2 = 3, откуда 2 = (х1 + 7)/2, 3 = (ух+5)/2. Сле- довательно, х± =—3, i/i = 1, т. е. Д(—3; 1). А 14. Даны вершины треугольника ABCiA^x^ В (х2; у2), С (х3; z/3). Определить координаты точки переселения медиан треу- гольника. Д Находим координаты точки D — середины отрезка АВ\ имеем xd~(xi-\-x2)!2, Уо = (У1 + У2)/2- Точка М, в которой пересекаются медианы, делиг отрезок CD в отношении 2:1, считая от точки С. Следовательно, координаты точки М опре- деляются по формулам - х3+ 2xd - Уз 1+2 ’ У~ 1-2 ’ т. е. —__*з + 2 (ац +.г2)/2 —_г/з + 2 Q/i + #2)/2 X- з , у--------з . Окончательно получаем Т___Х1 + х2 + хз __У1А~У2~^УЗ а X------з , у------з . А 15. Определить площадь треугольника с вершинами Д(—2; —4), В (2; 8) и С (10; 2). Д Используя формулу (5), получаем S=l| (2+2) (24-4)-(104-2) (84-4) 1=1124-1441=60 (кв. ед.). Д 16. Определить расстояние между точками: 1) Д (2; 3) и В(—10; —2); 2) С(/2; —/7) и П(2|/2; 0). 8
17. Показать, что треугольник с вершинами А (4; 3), В (7; 6) и С (2; П) — прямоугольный. 18. Показать, что треугольник с вершинами Л (2; —1), 5(4; 2) и С (5; 1) — равнобедренный. 19. Даны вершины треугольника: Л(—1; —1), 5(0; —6) и С(—Ю; —2). Найти длину медианы, проведенной из вершины А. 20. Даны концы отрезка Л5:Л(—3; 7) и 5(5; 11). Этот отрезок тремя точками разделен на четыре равные части. Определить ко- ординаты точек деления. 21. Найти площадь треугольника с вершинами Л(1; 5), 5(2; 7), С (4; 11). 22. Даны три последовательные вершины параллелограмма: Л (11; 4), 5(—1; —1), С (5; 7). Определить координаты четвертой вершины. 23. Даны две вершины треугольника Л (3; 8) и 5(10; 2) и точка пересечения медиан 714 (1; 1). Найти координаты третьей вершины треугольника. 24. Даны вершины треугольника: Л (7; 2), 5 (1; 9) и С (—8; —И). Найти расстояния точки пересечения медиан от вершин треуголь- ника. 25. Точки 5(0; 0), М (3; ®) и АДО; 4) являются серединами сторон треугольника. Вычислить площадь треугольника. 3. Полярные координаты. В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется ее расстоянием | ОМ | = р от полюса О (р — полярный радиус-вектор точки) и углом 0, образованным отрезком ОМ с полярной осью Ох (0—полярный угол точки). Угол 0 считается положительным при отсчете от по- лярной оси против часовой стрелки. Если точка М имеет полярные координаты р>0 и 0^0 < 2л, то ей же отвечает и бесчисленное множество пар полярных координат (р; 0-|-2&л), гАе k£Z. Если начало декартовой прямоугольной системы координат совместить с по- люсом, а ось Ох направить по полярной оси, то прямоугольные координаты хну точки М и ее полярные координаты р и 0 связаны следующими формулами: x = pcos0, у = р sin 0; (1) р = К?в2, tg0=i//x. (2) 26. Построить точки, заданные полярными координатами: А (4; л/4), 5(2; 4л/3), С (3; —л/6), D (—3; л/3), Е (0; а), 5(—1; —Зл/4). 27. Найти полярные координаты точки А4 (1; —КЗ), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось—с положительным направлением оси абсцисс. Д На основании равенств (2) находим р = ]/Л 12+(—У 3)2 = 2; tg 6 = —У 3. Очевидно, что точка М лежит в IV четверти и, следовательно, 0 —5л/3. Итак, М (2; 5л/3). А 28. Найти прямоугольные координаты точки А (2V2; Зл/4), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направ- лена по оси абсцисс. 9
Л_ Используя формулы (1), имеем х = 2]Л 2 cos (Зл/4) =—2, у = = 2р^ 2 sin (3л/4) =2. Итак, А (—2; 2). 4k 29. Найти полярные координаты точек: A (2J/3; 2), 5(0; —3), С (-4; 4), П(К2, — /2), Е (—/2; — /б), F (-7; 0). 30. Найти прямоугольные координаты точек: А (10; л/2), В (2; 5л/4), С(0; л/10), £>(1; — л/4), £(—1; л/4), f(— 1; — л/4). 31. Определить расстояние между точками (рх; 0J и Л42(р2; 02). ф Применить к треугольнику 0М±М2 теорему косинусов. 32. Определить расстояние между точками М (3; л/4) и N (4; Зл/4). 33. Найти полярные координаты точки, симметричной точке М (р; 0) относительно полярной оси. 34. Найти полярные координаты точки, симметричной точке М (р; 0) относительно полюса. 35. Найти полярные координаты точек, симметричных точкам (3; л/6), (5; 2л/3) и (2; —л/6): 1) относительно полюса; 2) относи- тельно полярной оси. 36. Найти полярные координаты точки, симметричной точке /И (р; 0) относительно прямой, проходящей через полюс перпенди- кулярно полярной оси. 4. Уравнение линии. Пусть некоторой линии на плоскости хОу, рассматри- ваемой как множество точек, соответствует уравнение, связывающее координаты любой точки М (х; у) («текущей точки»), лежащей на этой линии. Такое уравне- ние называется уравнением данной линии. Если в уравнение данной линии подставить координаты любой точки, лежа- щей на этой линии, то уравнение обращается в тождество. Если же в уравнение линии подставить координаты любой точки, не принадлежащей этой линии, то уравнение не удовлетворяется. 37. Один конец отрезка перемещается по оси абсцисс, а другой— по оси ординат. Найти уравнение линии, описываемой серединой этого отрезка, если длина отрезка равна с. Д Пусть М (х; у)—середина отрезка. Длина отрезка ОМ (длина медианы) равна половине гипотенузы, т. е. | ОМ | = с/2. С другой стороны, | ОМ | = ]^х2А~^ (расстояние точки М от начала координат). Таким образом, приходим к уравнению уСк2-f-#2 = с/2, или х2-f-г/2 = с2/4. Это и есть уравнение искомой линии. Геометрически очевидно, что этой линией является окружность радиуса с/2 с центром в начале координат. Д 38. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки кото- рой от точки 5(0; 1/4) равно расстоянию этой же точки от прямой £ = -1/4. д Возьмем на искомой линии произвольную точку М (х; у). Расстояние точки М от точки F определится по формуле расстояния между двумя точками: 1^1= (x-O)*+(z/-iy. 10
Расстояние точки М от прямой у =—1/4 найдется из простых геометриче- ских соображений (рис. 1): |МЛ'| = |ЛИ| + |ЯЛ'| = г/4-1. Так как по условию равенство ] MF | = | МN | выполняется для любой точки ЛТ, лежащей на искомой линии, то уравнение этой линии можно записать в виде /* / 1 \2 1 У =у+-^, или т. е. у=х2. Линия, определяемая уравнением у = х2, называется параболой. Д 39. Составить уравнение множества точек, произведение расстоя- ний которых от точек F1(tz; 0) и F2(—а\ 0) есть постоянная вели- чина, равная а2. Л Возьмем на искомой кривой произвольную точку М. (х\ у). Ее расстояния от точек Ft (ах; 0) и F2 (— а; 0) составляют Гг=У(х—а)2~Уу2, г2 = У (х-^-а)2-]-у2. Из условия задачи следует, что г1г2 = а2. Та- ким образом, искомая кривая имеет уравнение У (х—а)2-\-у2 . У (х + а)2 + у2 = а2. Приведем это уравнение к рациональному виду: (х2 -f - a2 -f - у2 — 2ах) (х2 4- а2 4- у2 + = а*> т. е. (х2 -J- а2 4- у2)2 — 4а2х2 = а*; Рис. 1 или, наконец, (х2 4- у2)2 = 2а2 (х2 — у2). Найденная кривая называется лемнискатой. А 40. Составить уравнение лемнискаты в полярных координатах и построить кривую. Д. В уравнении (х2-\-у2)2 = 2а2 (х2—у2) (см. предыдущую задачу) переходим к полярным координатам по формулам x = pcos0, r/ = p sin 0. Тогда получим (р2 cos2 0 + p2 sin2 0)2 = 2а2 (р2 cos2 0—p2sin20), или p2 = 2a2cos20. Это—уравнение лемнискаты в полярных координатах. Построим кривую. Разрешив уравнение относительнор, находим р—±аУ 2 cos 20. Из того, что в правой части равенства стоит двойной знак «±», а также из того, что уравнение не меняется при замене 0 на —0, заключаем, что лемниската рас- положена симметрично относительно осей Ох и Оу. Исследуем форму лемнискаты для I четверти,_т. е. для случая р 0, О=С0 < л/2. Для этих значений р и 0 имеем р = аУ 2-У cos 20. Нетрудно видеть, что О может изменяться только в промежутке от 0 до л/4. Таким образом, соответствующая часть кривой за- ключена между полярной осью и лучом 0 = л/4. Если 0 — 0, то р = аУ 2. С воз- растанием 0 от 0 до л/4 величина р убывает до значения р = 0. Приняв во внимание соображения симметрии, мы можем построить лемни- скату (рис. 2). А 11
41. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от точек Л(1; 1) и В(3; 3). Д Пусть точка Л4 принадлежит искомому множеству; тогда | Л4А | = | МВ |. По формуле расстояния между двумя точками находим | МА | = V(х-1)2 + (у-1)2, | МВ [ = К(х-3)2 + (у-3)^ и уравнение линии может быть записано в виде у (х-1)2 + (у-1)2 = V (х-3)2 + (</-3)2. Возведя обе части последнего равенства в квадрат, получим х2 —2*+1 +//2 —2r/+1 = х2 — 6х4-94-г/2 — 6г/+9, откуда после приведения подобных членов окончательно приходим к уравнению х-ы/— 4 = 0. Итак, искомым множеством является прямая, которая, как известно, служит серединным перпендикуляром к отрезку АВ. А 42. Точка М равномерно перемещается по лучу, вращающемуся равномерно около полюса. Составить уравнение линии, описанной точкой Л4, если в начальный момент вращающийся луч совпадает с полярной осью, а точка М — с полюсом; при повороте же луча на угол 0=1 (один радиан) точка М удалилась от полюса на рас- стояние а. Д Поскольку в начальный момент величины р и 0 равны нулю, а затем обе возрастают пропорционально времени, нетрудно установить, что они связаны прямой пропорциональной зависимостью: р/0 = const. Но р = я при 0 = 1; следо- вательно, р/0 = а/1, т. е. р = (20. Кривая р = п0 называется спиралью Архимеда. А 43. Окружность диаметра а катится без скольжения по внешней стороне другой окружности такого же диаметра. Составить в по- лярных координатах уравнение линии, описанной некоторой фикси- рованной точкой катящейся окружности. Д На рис. 3: Сг— первоначальное положение центра катящейся окружности; А — первоначальное положение точки, описывающей искомую линию (точка А диаметрально противоположна точке В, где в начальный момент соприкасаются окружности); С2 — центр неподвижной окружности; С3— центр катящейся окруж- ности в новом положении; М — новое положение точки Д, описывающей искомую линию. (После перемещения окружности С± в положение С3 точка Р займет по- 12
ложение Q- Точка В займет положение D, причем, поскольку качение происхо- дит без скольжения, BQ=DQ, QC2B = QC3D.) На чертеже показано положение полюса О и полярной оси Ох. Требуется составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки М (р; 0) искомой линии. Легко установить, что MC3Q = OC2Q, в силу чего четырехугольник ОС2С3М является равнобедренной трапецией с меньшим основанием |С2С3|=а; С2С'2 и С3С'з — перпендикуляры, опущенные из точек С2 и С3 на прямую ОМ. Итак, p = |OC2| + |cIc;| + |C^| = 4cose + a+4eose=a(l + cose). Таким образом, уравнение искомой линии в полярных координатах имеет вид р = а (1 4-cos 0); эта кривая называется кардиоидой. Поскольку при замене 0 на —0 уравнение кардисиды не меняется, кардиоида расположена симметрично относительно полярной оси. Если 0 изменяется от О до л, то р убывает от 2а до 0. Д. 44. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек Д(2; 0) и В(0; 1). 45. Какая линия определяется уравнением х = у? 46. Какая линия определяется уравнением х =—у? 47. Составить уравнение множества точек, сумма квадратов рас- стояний которых от точек Л(2; 0) и В(0; 2) равна квадрату рас- стояния между точками А и В. 48. Составить уравнение множества точек, сумма расстояний которых от точек Л(1; 0) и В (0; 1) равна 2. 49. В полярной системе координат составить уравнение окруж- ности с центром в полюсе. 50. В полярной системе координат составить уравнение полу- прямой, проходящей через полюс и образующей с полярной осью угол а. 51. В полярной системе координат составить уравнение окруж- ности диаметра а, если полюс лежит на окружности, а полярная ось проходит через центр окружности. 5. Параметрические уравнения линии. При отыскании уравнения множества точек иногда оказывается более удобным выразить координаты х и у произволь- ной точки этого множества через некоторую вспомогательную величину t (ее на- зывают параметром}, т. е. рассматривать систему уравнений х = ф(/), у~г|) (/). Такое представление искомой линии называется параметрическим, а уравнения системы — параметрическими уравнениями данной линии. Исключение параметра t из системы (если оно возможно) приводит к уравне- нию, связывающему х и у, т. е. к обычному уравнению линии вида f (х, #)=0. 52. Составить параметрические уравнения окружности. А Рассмотрим окружность радиуса а с центром в начале координат (рис. 4). Возьмем на ней произвольную точку М (х; у). Примем за параметр t угол, обра- зованный с осью абсцисс радиусом ОМ. Из треугольника 0MN следует, что * = acos/, уя sin/. Таким образом, уравнения х = а cos t, у = а sin t являются параметрическими уравнениями окружности. Исключив из этих уравнений параметр t, получим обычное уравнение окруж- ности. В данном случае для исключения параметра достаточно каждое из урав- нений возвести в квадрат и полученные уравнения сложить: х2-(-#2 = а2 cos21 4- 13
4-a2 sin2/, т. e. x2 + r/2 = a2. Последнее уравнение является уравнением окруж- ности радиуса а с центром в начале координат. Д 53. Составить параметрические уравнения кривой, описанной фиксированной точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. Д Пусть окружность радиуса а катится без скольжения вправо по горизон- тальной прямой (рис. 5). Примем эту прямую за ось Ох, поместив начало коор- динат в некоторой точке О оси. За фиксированную точку окружности (перемеще- нием которой образуется искомая кривая) примем ту ее точку, которая совпадает с точкой О при соответствующем положении окружности. За параметр t примем угол поворота радиуса окружности, проходящего через фиксированную точку. Пусть в некоторый момент времени окружность касается оси в точке А. Фиксированная точка окружности займет положение УИ (х; у), соответствующее углу t поворота радиуса CM (t = ACM). Так как качение происходит без сколь- жения, то | О А | = MA = at. Используя это, выразим координаты точки М через /: х=| ON | = | О А | — | NA | = Л1Л — | N A \ = at—asint=a (t— sin /)# y = \ NM | = | AP | = | AC | — \PC \ = a—a cos t = a (1—cos t). Таким образом, параметрические уравнения искомой линии имеют вид x = a(t— sin/), у = а(1—cos /). Эта линия называется циклоидой; она изображена на рис. 5. Д 54. Какая линия определяется параметрическими уравнениями х = /2, y = t2? Д Исключая параметр /, приходим к уравнению у = х. В силу параметри- ческих уравнений х^О, г/^0. Следовательно, данные параметрические уравне- ния определяют луч—биссектрису I координатного угла. Д 55. Какая линия определяется параметрическими уравнениями x = cos/, y = cos2/? Л Подставив х вместо cos / во второе уравнение, получаем уравнение пара- болы у = х2. Из параметрических уравнений следует | х | 1, 0 у «с 1. Таким образом, параметрические уравнения определяют дугу АОВ параболы у = х2, где А (-1; 1); В (1; 1). Д 56. Какая линия определяется уравнениями x = sin/, y=cosect? Л Так как у = 1/sin /, то, исключив /, получаем уравнение г/= 1/х, выра- жающее обратную пропорциональную зависимость величин х и у. Учитывая, что 14
1x1 <1, заключаем, что линия, заданная параметрическими уравнениями r/ = cosec/, имеет вид, изображенный на рис. 6. Д 57. Какая линия определяется уравнениями x = 2t, y = 4t? 58. Кривая задана параметрическими уравнениями x = acos/, y^bsint. Найти ее уравнение в прямоугольной системе координат, ф Разделить первое уравнение на а, второе—на Ь, а затем исключить /. 59. Кривая задана параметрическими уравнениями x = asect, y = btgt. Найти ее уравнение в прямоугольной системе координат. Рис. 6 60. Какая линия определяется уравнениями x = cos1 2t, r/ = sin2 /? 61. Кривая, определяемая параметрическими уравнениями х = a cos3 4 51, у— a sin3t, называет- ся астроидой. Исключив t, найти уравнение астроиды в прямоугольной системе координат. 62. На круг, описанный из центра О радиу- сом а, навернута по часовой стрелке нить; пусть конец нити находится в точке А (а; 0). Станем развертывать нить (против часовой стрелки), сматывая ее с круга и все время натягивая за конец. Составить параметрические уравнения кри- вой, описываемой концом нити, если за параметр t взять угол между радиусом ОА и радиусом ОВ, проведенным в точку касания окружности с натянутой нитью в произвольном положении последней. § 2. ПРЯМАЯ 1. Общее уравнение прямой. Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т. е. уравнение вида Ax-\-By-\-C = Q (1) (где А, В и С—постоянные коэффициенты, причем А2Д-В2 7= 0) определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Частные случаи. 1. С = 0; А т= 0; В/:0. Прямая, определяемая урав- нением Ах + Вг/ = 0, проходит через начало координат. 2. А = 0; В 0; С т= 0. Прямая, определяемая уравнением Ву-{-С = 0 (или У = Ь, где Ь = — С/В), параллельна оси Ох. 3. В = 0; А 0; С 0. Прямая, определяемая уравнением Ах+С = 0 (или х=а, где а = — С/А), параллельна оси Оу. 4. В = С = 0; А?0. Прямая, определяемая уравнением Ах = 0 (или х = 0, поскольку А 0), совпадает с осью Оу. 5. А=С = 0; В # 0. Прямая, определяемая уравнением Ву=Ъ (или г/ = 0, поскольку В т= 0), совпадает с осью Ох. 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если в общем уравнении прямой В т= 0, то, разрешив его относительно г/, получим уравнение вида г/ = /гх+& (2) (здесь 6 = —Л/В? Ь = — С/В). Его называют уравнением прямой с угловым коэф- фициентом, поскольку & = tgoc, где а — угол, образованный прямой с положи- тельным направлением оси Ох. Свободный член уравнения Ъ равен ординате точки пересечения прямой с осью Оу. 15
3. Уравнение прямой в отрезках. Если в общем уравнении прямой С £ 0, то, разделив все его члены на —С, получим уравнение вида -+4=1 (3) а 1 b (здесь п =—С/А, Ь — — С/В). Его называют уравнением прямой в отрезках; в нем а является абсциссой точки пересечения прямой с осью Ox, а b — ординатой точки пересечения прямой с осью Оу. Поэтому а и b называют отрезками прямой на осях координат. 4. Нормальное уравнение прямой. Если обе части общего уравнения прямой Ах-1~ ВуА~С = 0 умножить на число ц = 1/(± У А2 — В2) (которое называется нор- мирующим множителем), причем знак перед радикалом выбрать так, чтобы вы- полнялось условие цС < 0, то получится уравнение х cos ф + r/ sin ф — р~0. (4) Это уравнение называется нормальным уравнением прямей. Здесь р — длина пер- пендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а ф — угол, образо- ванный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох. 63. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок Ь = —3 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол а = л/6. Л Находим угловой коэффициент: k = fg (л/6) = 1/]/" 3. Воспользовавшись уравнением (2) прямой с угловым коэффициентом, получаем у=(\/У 3) х — 3; освобождаясь от знаменателя и перенося все члены в левую часть, получаем общее уравнение прямой х—Уз у—3 У 3 = 0. Д 64. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях коорди- нат отрезки а = 2/5, Ь =—1/10. Д Воспользовавшись уравнением (3) прямой в отрезках, имеем 2/5 '(—1/10) Это уравнение можно переписать в виде (5/2) х—Юу=\, или 5х — 20у—2 = 0 (общее уравнение прямой). Д 65. Дано общее уравнение прямой 12х— 5у— 65 = 0. Написать: 1) уравнение с угловым коэффициентом; 2) уравнение в отрезках; 3) нормальное уравнение. Л 1) Разрешив уравнение относительно у, получаем уравнение прямой с угло- вым коэффициентом: у = (12/5) х—13. Здесь &= 12/5, Ь = —13. 2) Перенесем свободный член общего уравнения в правую часть и разделим обе части на 65; имеем (12/65) х—(5/65) ^/=1. Переписав последнее уравнение в виде * У , 65/12 (-65/5) ’ получим уравнение данной прямой в отрезках. Здесь а = 65/12, Ь = —65/5 = —13. 3) Находим нормирующий множитель ц= 1/У122А~(—5)2=1/13. Умножив обе части общего уравнения на этот множитель, получаем нормальное уравнение прямой (12/13) х— (5/13) г,—5 = 0. Здесь cos ф= 12/13, з!пф = —5/13, р = 5. Д 16 Л//' -
66. Построить прямые: 1) х—2у4-5 = 0; 2) 2х 4- Зу = 0; 3) 5х— — 2 = 0; 4) 2у + 7 = 0. Д 1) Полагая в уравнении х = 0, получаем г/= 5/2. Следовательно, прямая пересекается с осью ординат в точке В (0; 5/2). Полагая г/ = 0, получаем х = —5, т. е. прямая пересекается с осью абсцисс в точке А (—5; 0). Остается провести прямую через точки А и В (рис. 7). 2) Прямая 2% + Зг/ = 0 проходит через начало координат, так как в ее урав- нении отсутствует свободный член. Дадим х в уравнении прямой какое-нибудь значение. Пусть, например, х = 3, тогда 6ДЗг/ = 0, т. е. z/ = —2; получим точку М (3; —2). Остается через начало координат и точку /И провести прямую. 3) Разрешив уравнение прямой относительно х, получим ,г = 2/5. Эта прямая параллельна оси ортинат и отсекает на оси абсцисс отрезок, рав- ный 2/5. 4) Аналогично получаем уравнение у = —7/2; зта прямая параллельна оси абсцисс. А 67. Уравнение прямой задано в виде (хД-2 К5)/4 4- (у—2 ]/ 5)/2 = 0. Написать: 1) общее уравнение этой прямой; 2) уравнение с угловым коэффи- циентом; 3) уравнение в отрезках; 4) нормальное уравнение. 68. Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая 2хД-2у — 5 = 0? 69. Определить площадь треугольника, образованного прямой 4х + $У—36 = 0 с осями координат. 70. Можно ли уравнение прямой 20x4-21^ = 0 записать в отрез- ках? 71. Построить прямые: 1) 4х— 5^4-15 = 0; 2) 2х—у = 0', 3) 7х— — 10 = 0; 4) 2у + 3 = 0. 72. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок Ь=1 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол а = 2л/3. 73. Прямая отсекает на осях координат равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой с осями координат, равна 8 кв. ед. 74. Составить уравнение прямой, проходящей через начало коор- динат и точку А(—2; —3). 75. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; 5) и отсекающей на оси ординат отрезок Ь — 1. 76. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М (—3; —4) и параллельных осям координат. 77. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат равные отрезки, если длина отрезка прямой, заключенного между осями координат, равна 5 У 2. 5. Угол между прямыми. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Острый угол между прямыми y = k1x-\-bi и y = k2x-^b2 определяется по формуле tg«=| .Чт!1I. (о 114-M2I Условие параллельности прямых имеет вид kt — k2. Условие перпендикулярности прямых^лмеет вид Z?! =—1/#2, 17
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей через точку М. (хъ //1), записывается в виде У—yi = k(x—Xi). (2) Уравнение прямой, проходящей через точки Мi (х^, уА и М2 (х2; £/2), записы- вается в виде у—У1=х—х± /Зч У2—У1 x2 — xi к ' и угловой коэффициент этой прямой находится по формуле k==y^yi, (4) х2 —Xi Если xi = x2, то уравнение прямой, проходящей через точки и М2, имеет вид х = х±. Если £/х = £/2, то уравнение прямой, проходящей через точки и М2, имеет вид у=у±. 6. Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой. Пучок прямых. Если А1/А2 £ 3x^2, то координаты точки пересечения прямых + Q = 0 и А2хА~В2у-}-С2 = 0 находятся путем совместного решения уравнений этих прямых. Расстояние от точки М (х0; у0) до прямой Ах-\-Ву-}-С = 0 находится по формуле d — । ^х°+। (1 \ КА24-В2 * ' Биссектрисы углов между прямыми АхХ-^-ВхуА-Сх = 0 и А2хА~В2у-}-С2 =0 имеют уравнения Ахх-^-ВхуА- Ct А2хА-В2уА- С2 п 9 Глий Если пересекающиеся прямые заданы уравнениями + = 0 и А2хА~В2уА-С2 = 0, то уравнение + + X {А2х-\-В2у А~СА = 0, (3) где %—числовой множитель, определяет прямую линию, проходящую через точку пересечения заданных прямых. Давая в последнем уравнении X различные значе- ния, будем получать различные прямые, принадлежащие пучку прямых, центр которого есть точка пересечения заданных прямых. 78. Определить острый угол между прямыми у = —Зх-]-7 и у=2х+1. Д Полагая kx=—3, k2=2 в формуле (1) п. 5, получим I 2 —(—3) I , л . tg<H i_(_3).2|=1’ Т-е‘ <Р=Т-^ 79. Показать, что прямые 4х—бу + 7 = 0 и 20х—ЗОу—11=0 параллельны. Д Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом,' получаем £/ = (2/3) х-\- 7/6 и £/ = (2/3) х —11/30. Угловые коэффициенты этих прямых равны: kx = k2 = 2/3, т. е. прямые парал- лельны. А 80. Показать, что прямые Зх — 5//4-7 = 0 и 10x4-6//—3 = 0 пер- пендикулярны. 18
д После приведения уравнений к виду с угловым коэффициентом получаем у = (3/5) х 4- 7/5 и у~ (— 5/3) хф- 1/2. Здесь ^i — 3/5, k2 =—5/3. Так как kt = —i/k2i то прямые перпендикулярны. Д 81. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М (—1; 3) и #(2; 5). Д Полагая лд =—1, t/i = 3, х2 = 2, у2 = 3 в уравнении (3) п. 5, получаем у—3 х+1 у—3 х+1 5=3“2+Т? ИЛИ Итак, искомое уравнение имеет вид 2х—Зг/4-11=0. Полезно проверить, что уравнение составлено верно. Для этого достаточно показать, что координаты точек М и N удовлетворяют уравнению прямой. Дей- ствительно, равенства 2(—1) — 3-34-11=0, 2-2—3-54-11=0 выполняются тож- дественно. А 82. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (—2; 4) и В (—2; —1). Д Так как х± = х2 = —2, то прямая имеет уравнение х = —2 (параллельна оси ординат). А 83. Показать, что прямые Зх—2r/-f-1 = 0 и 2x4-5г/—12 = 0 пе- ресекаются, и найти координаты точки пересечения. Д Так как 3/2 $£ (—2)/5, то прямые пересекаются. Решив систему уравнений Г Зх—2г/4-1=0, ( 2х4~5г/— 12 = 0, находим х=1, у = 2, т. е. прямые пересекаются в точке (1; 2). А 84. Определить расстояние от точки М (х0; у0) до прямой Лх4- + By-{-С = 0, не пользуясь нормальным уравнением прямой. Д Задача сводится к определению расстояния между точками М (х0; у0) и N, где N — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную пря- мую. Составим уравнение прямой MN. Так как угловой коэффициент заданной прямой равен —А /В, то угловой коэффициент прямой MN равен В/А (из условия перпендикулярности) и уравнение последней имеет вид у—у(] = (В/А) (х—х0). Это уравнение может быть переписано в виде (х—xQ)/A = (y—yQ)/B. Для определения координат точки N решим систему уравнений Ах+Ву + С = 0, (х—х0)/А = Введем вспомогательную неизвестную (х—х0)/А = (у—у^/В = t. Тогда х = х04-Л/, У=Уо-[-В1. Подставив эти выражения в уравнение данной пря- мой, получим А (x04- At)^-B (y0-JrBt)-{-C = 0, откуда / = -(Лхо + ^о + С)/(Л24-^2). Подставив теперь значение t в уравнения х = х0 + Л/ и У = Уо+^4 определим координаты точки /V: y—y А ^Хо4"^о + С _ d + + X — Xo A д2_^_£2 5 У~~У^ ° A2 + B* 19
Остается определить расстояние между точками Л1 и У: _______________d=V (х-^ + (у-;/о)2 = __ -i/~( д АхоА~Вуо~гС\2 . / _ Ах0-\-Ву0 — С\2_ | Ил?о + В(/о + сI * ~ V \ л2+в2 ) ‘ \ л2+в2 ) ~ /'дгрв2 ’ А 85. Определить расстояние от точки М(1; 2) до прямой 20х— — 21//—58 = 0. д J ] 20-1 — 21-2—581 120—42—581 |— 80] О22 . Л i = —/W+«i ~----------------53-----* 86. Дана прямая 1:4х—Зу—7 = 0. Какие из точек А (5/2; 1), В (3; 2), С (1; —1), D (0; —2), Е (4; 3), F (5; 2) лежат на этой прямой? Д Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Имеем: А£1, так как 4(5/2)—3:1—7 = 0; В (£ /, так как 4-3 — 3-2 — 7 # 0; С g Z, так как 4-1 —3 (—1) —7 = 0; D I, так как 4-0—3 (—2)— — 7^0; Е£1, так как 4-4-33-7 = 0; F (^1, так как 4-5—3-2 — 7 # 0. Д 87. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (—2; —5) и параллельной прямой 3,г+4у-|-2 = 0. Д Разрешив последнее уравнение относительно г/, получим у =—(3/4) х—1/2. Следовательно, в силу условия параллельности угловой коэффициент искомой прямой равен —3/4. Воспользовавшись уравнением (2) п. 5, получаем 5) = (—3/4) [х—(—2)], т. е. Зх+4г/ + 26 = 0. Д 88. Даны вершины треугольника: А (2; 2), В(—2; —8) и С (—6 ;—2). Составить уравнения медиан треугольника. Д Находим координаты середин сторон ВС, АС и АВ: х' = (—2 — 6)/2 = — 4, / = (—8 — 2)/2 = — 5; (—4; —5); х" = (2 — 6)/2 = — 2, / = (2 — 2)/2 = 0; Д (—2; 0); х'" = (2 — 2)/2 = 0; /" = (2 —8)/2 = —3; Д (0; —3). Уравнения медиан находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение медианы ААг: (у — 2)/(—5 — 2) = (х — 2)/(—4 — 2), или (у—2)/7= (х—2)/3, т. е. 7х—3у — 2 = 0. Находим уравнение медианы ВВ^, поскольку точки В(—2; —8) и Вг (—2; 0) имеют одинаковые абсциссы, медиана ВВг параллельна оси ординат. Ее уравне- ние хД2 = 0. Уравнение медианы СД: (г/Д2)/(—3-)-2) = (x —6)/(0Д6), или хД6#+ 18 = 0. Д 89. Даны вершины треугольника: А (0; 1); В (6; 5) и С (12; —1). Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С. Д По формуле (4) п. 5 найдем угловой коэффициент стороны АВ; имеем k = (5—1)/(6 — 0) =4/6 = 2/3. В силу условия перпендикулярности угловой коэф- фициент высоты, проведенной из вершины С, равен —3/2. Уравнение этой высоты имеет вид г/+1=(—3/2) (х—12), или Зх2у—34 = 0. Д 90. Даны стороны треугольника: х-\-Зу—1 = Ъ(АВ), 4х—у — — 2 = 0 (ВС), &х + 8у—35 = 0(ЛС). Найти длину высоты, проведен- ной из вершины В. Ю
/\ Определим координаты точки В. Решая систему уравнений х-]-Зу—7 = 0 и 4х'—У—2 = 0, получим х=1, у = 2, т. е. В(1; 2). Находим длину высоты BBi как расстояние от точки В до прямой АС: |дд1|^'151+8±^351 =. /б2+82 91. Определить расстояние между параллельными прямыми 3% + 4- у — 3/10 = 0 и 6xJ-2y + 5]/'T0 = 0. Д Задача сводится к определению расстояния от произвольной точки одной прямой до другой прямой. Полагая, например, в уравнении первой прямой х = 0, получаем у = 3 J/ 10. Таким образом, Л4 (0; 3 V10)—точка, лежащая на первой прямой. Определим расстояние точки М до второй прямой: J |6-0+2.3 /Тб + 5 /Гб| И /Тб . /33+4 2/10 92. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми х-\-у—5 = 0 и 1х—у —19 = 0 (рис. 8). Д Решим сначала эту задачу в общем виде. Биссектрисы углов, образован- ных двумя прямыми, являются, как известно, множеством точек, равноудаленных от этих прямых. Если уравнения заданных прямых Л1х+В1у4~С1 = 0 и Л2х + В2г/ + 4~С2 = 0 # BriB2, т. е. прямые не параллельны), то для всякой точки Л1 (х; у), лежащей на одной из биссектрис, имеем (ис- пользуя формулу для определения расстояния от точки до прямой): I Ci 1 _I ЛоХ^-В^-ф^г I И Ai~]~Bi Ло-фВ2 Поскольку М (х ; у)—произвольная точка бис- сектрисы, ее можно обозначать просто через М (х, у). Учитывая, что выражения, стоящие Рис. 8 в последнем равенстве под знаком абсолютной величины, могут иметь разные знаки, получаем для одной из биссектрис уравне- ние Л1Х В?у-]-С2 У’х/Hh2 /х|+в^ а для другой — уравнение А\хА~В1УА-С\ Л 2х В2у С2 /xf + Bf /xl + Bf Таким образом, уравнения обеих биссектрис можно записать в виде Л1ХЛ2х Д В2у-'- С2_________q Ex^ + Bf Exl + Bl Теперь решим поставленную конкретную задачу. Заменив Лх, Вх, Сх, A2j С2 их значениями из уравнений заданных прямых, получим ± 7х~У"19=0, т. е. 5 (х+у-5) ± (7х—у—19) =0. /1 + 1 ><49 + 1 V ’ 21
Уравнение одной из биссектрис записывается в виде 5(* + #—5) + (7х—у—19) =0, т. е. Зх-\-у— ll=0f а уравнение другой — в виде 5 (х-\-у—5) — (7х—у—19) =0, т. е. х—Зг/Н-3 = 0. А 93. Даны вершины треугольника: Л(1; 1), В (10; 13), С(13; 6). Составить уравнение биссектрисы угла А. Л, Воспользуемся другим (по сравнению с решением предыдущей задачи) спо- собом составления уравнения биссектрисы. Пусть D—точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства бис- сектрисы внутреннего угла треугольника следует, что | BD |:| DC | = | АВ |:[ АС |. Но | АВ | = V(10-1)2 + (13-1)2 = 15, | АС | = V(13-1)2 + (6-1)2= 13. Следо- вательно, % = | BD |:| DC | = 15/13. Так как известно отношение, в котором точка D делит отрезок ВС, то координаты точки D определятся по формулам Ю + (15/13) 13 13 + (15/13) 6 Х~ 1 + 15/13 ’ У~ 1 + 15/13 ? или х — 325/28, // = 259/28, т. е. D (325/28; 259/28). Задача сводится к составле- нию уравнения прямой, проходящей через точки А и D: 259/28— 1 = 325/28— 1 ’ Т‘ е’ 7х—91/+2 = 0- А 94. Даны уравнения высот треугольника АВС: х-\-у—2 = 0, 9х—Зу—4 = 0 и координаты вершины А (2; 2). Составить уравне- ния сторон треугольника. д Легко убедиться в том, что вершина А не лежит ни на одной из задан- ных высот: ее координаты не удовлетворяют уравнениям этих высот. Пусть 9х — Зу—4 = 0—уравнение высоты BBf и х-{-У—2 = 0—уравнение высоты CCi. Составим уравнение стороны АС, рассматривая ее как прямую, про- ходящую через точку А и перпендикулярную высоте у ВВ±. Так как угловой коэффициент высоты ВВг равен 3, то угловой коэффициент стороны АС равен —1/3, т. е. кдс =—1/3. Воспользовавшись уравнением пря- V мой, проходящей через данную точку и имеющей \ f данный угловой коэффициент, получим уравнение \ / стороны АС: **—Л J r- _____I —1/3) (х—2), или х-\-Зу—8 = 0. \4______/ 2^ Аналогично получаем kcci = — 1, 1, и уравнение у 7 стороны АВ имеет вид \ у—2=х — 2, т. е. у=х, V/ Y Решив совместно уравнения прямых АВ и BBf, Г а также прямых АС и СС±, найдем координаты вер- < шин треугольника: В (2/3; 2/3) и С(—1; 3). Остается Рис. 9 составить уравнение стороны ВС: у—2/3 х—2/3 _ . » опа Ъ/з==Т=Ж’ т-е- 7х+^-8=°- А 95. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М (5; 1) и образующих с прямой 2х~}~у — 4 = 0 угол л/4 (рис. 9). Д Пусть угловой коэффициент одной из искомых прямых равен k. Угло- вой коэффициент заданной прямой равен —2. Так как угол между этими пря- 22
мымн равен л/4, то откуда tg«=|±H| т е 1=|М2] ё 4 | 1—2*1’ ’ | 1—2* |’ *4-2 , *+2 ---!-= 1 и --‘-= — 1 — 2k \—2k 1. Решая каждое из полученных уравнений, находим k =—1/3 и £ = 3. Итак, уравнение одной из искомых прямых запишется в виде у—1=(—1/3) (х—5), т. е. х-j-Зг/—8 = 0, а уравнение другой прямой в виде у—1=3 (х— 5), т. е. Зх—у — — 14 = 0. Д 96. Найти прямую, принадлежащую пучку 2х + Зу + 5 + Х(х + + 8х/ + 6)=0 и проходящую через точку Л4(1; 1). Л Координаты точки М должны удовлетворять уравнению искомой прямой^ поэтому для определения А, получаем уравнение 2-1 4-3-1 4-5 + Z (1 + 8-1 4-6) = 0, или Ю4-15Х = 0, т. е. А, =—2/3. Подставив значение 1 в уравнение пучка, получим уравнение искомой прямой: 2х4-3# + 5 — (2/3) (х + 8#+6) = 0, или 4х—7#+3 = 0. Д 97. Найти прямую, проходящую через точку пересечения пря- мых Зх—4# + 7 = 0 и 5% + 2г/ + 3 = 0 и параллельную оси ординат. Л Прямая принадлежит пучку Зх—4#4-74-М5х4-2#4-3)=0, т. е. (34-5Х) х + (—4-J-2X) #+(7 + ЗА,) = 0. Так как искомая параллельна оси ординат, то коэффициент при у должен быть равен нулю: —4 + 2А, = 0, т. е. А, = 2. Остается подставить найденное значение А. в уравнение пучка, откуда получаем искомое уравнение х4~1=0. Д 98. Даны стороны треугольника: х + 2у + 5 = 0 (ЛВ), 3% + у-\- 1 — = 0 (ВС) и х 4- у 4- 7 = 0 (ЛС). Составить уравнение высоты треуголь- ника, опущенной на сторону АС. Л Высота принадлежит пучку x4-2#4-54-Z(3x4-#4-l) = 0, т. е. (1 4-ЗЛ) х4-(2-Н)#+(5+Х) = о. Угловой коэффициент прямой пучка равен — (1+ ЗА.)/(2 + А,); так как угловой коэффициент прямой АС равен—1, то угловой коэффициент искомой высоты ра- вен 1 и для определения А, получаем уравнение—(1 4-32i)/(24-X) = 1. Отсюда 1 4-ЗА,4-2 +А, = 0, т. е. А, = —3/4. Подставив найденное значение К в уравнение пучка, получим искомое уравнение высоты: 4) 4)=0, т‘ е‘ 5у—17 = 0. ▲ 99. Даны вершины треугольника АВС: А (0; 2), В (7; 3) и С(1; 6). Определить ВАС = а. 100. Даны стороны треугольника: х + У— 6 = 0, Зх— 5z/+ 14 = 0 и 5х—Зу —14 = 0. Составить уравнения его высот. 101. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми Зх + 4#—20 = 0 и 8^ + 6#—5 = 0. 102. Даны вершины треугольника: А (0; 0), В(—I; —3) и С (—5; — 1). Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам. 23
103. Составить уравнения прямых, проходящих через точку Л4(2;7) и образующих с прямой АВ, Л(—1; 7) и 5(8;—2), углы 45°. 104. Определить расстояние от точки /И (2; —1) до прямой, от- секающей на осях координат отрезки а = 8, Ь = 6, 105. В треугольнике с вершинами А (3/2; 1), 5(1; 5/3), С (3; 3) найти длину высоты, проведенной из вершины С. 106. При каком значении т прямые 7х — 2у— 5 = 0, х + 7//— 8 == = 0 и тх-^-ту — 8 = 0 пересекаются в одной 107. Даны середины сторон треугольника: (—1; —]), ^(1:9) и СД9; 1). Составить уравнения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 108. Найти острый угол, образованный с осью ординат прямой, проходящей через точки Л (2; ]/ 3) и В (3; 2}/3). 109. Точки Л (1; 2) и С (3; 6) являются противоположными вер- шинами квадрата. Определить координаты двух других вершин квадрата. ПО. На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от прямой 8х + 15// + 10 == 0 равно 1. 111. Даны вершины треугольника: Л (1; 1), В (4; 5) и С(13; —4). Составить уравнения медианы, проведенной из вершины В, и вы- соты, опущенной из вершины С. Вычислить площадь треугольника. 112. Найти прямые, принадлежащие пучку 2% + Зу + 6 + Х(х— — 5у — 6) = 0 и перпендикулярные основным прямым пучка. 113. Найти прямую, проходящую через точку пересечения пря- мых х + бу + 5 = 0, Зх—2у + 1 и через точку М (—4/5; 1). 114. Найти прямую, проходящую через точку пересечения пря- мых х + 2у + 3 = 0, 2% + 3// + 4 = 0 и параллельную прямой 5х + + 8 г/ = 0. 115. Найти прямую, проходящую через точку пересечения пря- мых Зх—у—1=0, jvД-3^/1 = 0 и параллельную оси абсцисс. 116. Найти прямую, проходящую через точку пересечения пря- мых 5x4-3//+10 = 0, % + //—15 = 0 и через начало координат. 117. Найти прямую, проходящую через точку пересечения пря- мых х + 2у + 1 = 0, 2х + у + 2 = 0 и образующую угол 135° с осью абсцисс. 118. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М (а; Ь) и образующих с прямой х+// + с = 0 угол 45°. 119. Даны стороны треугольника: х—у = 0 (АВ), х-\-у—2 = 0 (ВС), у=0 (АС). Составить уравнения медианы, проходящей через вершину В, и высоты, проходящей через вершину Л. 120. Показать, что треугольник со сторонами % + уКЗ+ 1 = 0, x/3 + Z/+l=0 и х—у —10 = 0 равнобедренный. Найти угол при его вершине. 121. Даны последовательные вершины параллелограмма: Л (0; 0), 5(1; 3), С (7; 1). Найти угол между его диагоналями и показать, что этот параллелограмм является прямоугольником. 122. Даны стороны треугольника: х—// + 2 = 0 (АВ), х = 2(ВС), 24
х-\-у — 2 = 0 (ЛС). Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В и через точку на стороне АС, делящую ее (считая от вершины Л) в отношении 1:3. 123. Показать, что треугольник с вершинами Л(1; 1), В (2; 1 + 4-КЗ), С (3; 1) равносторонний, и вычислить его площадь. 124. Показать, что треугольник, стороны которого заданы ура- внениями с целыми коэффициентами, не может быть равносторонним. 125. Дана вершина треугольника Л (3; 9) и уравнения медиан: у—6 = 0 и Зх—44/4-9 = 0. Найти координаты двух других вершин. 126. Составить уравнение гипотенузы прямоугольного треуголь- ника, проходящей через точку 7И(2;3), если катеты треугольника расположены на осях координат, а площадь треугольника равна 12 кв. ед. 127. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой 4x-{-3z/—12 = 0, концы которого лежат на осях координат. § 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1. Окружность. Окружность—это множество точек плоскости, равноудален- ных от данной точки (центра). Если г — радиус окружности, а точка С (а\ Ь) — ее центр, то уравнение окружности имеет вид (х-а)2 + (у-Ь)2 = г2. (1) В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то послед- нее уравнение примет вид х2-[-г/2 = г2. Если в левой части уравнения (1) раскрыть скобки, то получится уравнение вида *2 + //2 + ^ +w + —0, (2) где 1 = —2а, т = —2b, n = a2jrb2 — г2. В общем случае уравнение (2) определяет окружность, если Z2 + m2 — 4п > 0. Если 12-\-т2— 4/г = 0, то указанное уравнение определяет точку (—//2; —т/2), а если 12-{-т2—< 0, то оно не имеет геометрического смысла. В этом случае говорят, что уравнение определяет мнимую окружность. Полезно помнить, что уравнение окружности содержит старшие члены х2 и у2 с равными коэффициентами и в нем отсутствует член с произведением х на у. Взаимное расположение точки 7И (хг; yi) и окружности х2-\-у2 = г2 опреде- ляется такими условиями: если x^-\-y^ = г2, то точка М лежит на окружности; если Xi-J-г/i > г2, то точка М лежит вне окружности, и если x±-\-yl < г2, то точка М лежит внутри окружности. 128. Найти координаты центра и радиус окружности 2х2Д-2г/2— —8x4-5z/—4 = 0. 2 А Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены уравнения, получим х —4х-ф-//2 +(5/2) у —2. Дополним выражения х2— 4х и z/2 + (5/2)z/ до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4 и ко второму (5/4)2 (одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел): ^2+т^+т1л2+4+т?’ 25
или , , 5 V 121 (*-2)2+(^+т; =w Таким образом, координаты центра окружности а = 2, Ь——Ъ/4, а радиус окруж- ности г = 11/4. А 129. Составить уравнение окружности, описанной около тре- угольника, стороны которого заданы уравнениями 9х—2у— 41 =0, 1 х-f- 4z/ -j~ 7 = 0, х — Зу-]-1=0. Д Найдем координаты вершин треугольника, решив совместно три системы уравнений: ( 9х—2у—41=0, ( 9х— 2у—41=0, ( 7х-[-4у-\-7 = 0, 7х-^-4у-\- 7 = 0; 1 х—1 = 0; x — 3f/-|~l—0. В результате получим А (3; —7), В (5; 2), С (—1; 0). Пусть искомое уравнение окружности имеет вид (х — а)2-{-(у—Ь)2 = г2. Для нахождения а, b и г напишем три равенства, подставив в искомое уравнение вместо текущих координат координаты точек А, В и С: (3—а)2 + (—7—Ь)2 = г2; (5—а)2 + (2—02 = r2; (— 1 — а)2-\-Ь2 = г2. Исключая г2, приходим к системе уравнений Г (3—я)2 + (—7—6)2 = (5—я)2 + (2—Ь)2, ( 4а+18Ь = — 29, [ (3—а)2 + (—7—5)2 = (— 1— а)2 + &2> ИЛИ ( 8а—145 = 57. Отсюда а = 3,1, Ь = —2,3. Значение г2 находим из уравнения (—1—а)2А~Ъ2 = г2, т. е. г2 = 22,1. Итак, искомое уравнение записывается в виде (х—3,1)2 + (^+2,3)2= =22,1. А 130. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (5; 0) и В (1; 4), если ее центр лежит на прямой х + у— 3 = 0. Д Найдем координаты точки М —середины хорды АВ; имеем хм = (5+ 1)/2=3, Ум = (40)/2 = 2, т. е. М (3; 2). Центр окружности лежит на серединном пер- пендикуляре к отрезку АВ. Уравнение прямой АВ имеет вид (у—0)/(4 — 0) = (х—5)/(1—5), т. е. х-\-у—5 = 0. Так как угловой коэффициент этой прямой есть —1, то угловой коэффициент перпендикуляра к ней равен 1, а уравнение этого перпендикуляра у—2= IX Х(я—3), т. е. х—у—1=0. Очевидно, что центр окружности С есть точка пересечения прямой АВ с ука- занным перпендикуляром, т. е. координаты центра определяются путем решения системы уравнений х-\-у—5 = 0, х—у—1=0. Следовательно, х = 2, у=1, т. е. С (2; 1). Радиус окружности равен длине отрезка СА, т. е. г=|/Л(5—2)2+(1—0)2= = У~ 10. Итак, искомое уравнение имеет вид (х— 2)2—[-(г/—1)2 = Ю. А 131. Составить уравнение хорды окружности х2 +у2 = 49, деля- щейся в точке А (1; 2) пополам. Д Составим уравнение диаметра окружности, проходящего через точку А (1; 2). Это уравнение имеет вид у = 2х. Искомая хорда перпендикулярна диаметру и проходит через точку 4, т. е. ее уравнение у — 2 = (—1/2) (х—1), или х-'-^у— — 5 = 0. А 132. Найти уравнение окружности, симметричной с окруж- ностью x2 + z/2 = 2x + 4z/ — 4 относительно прямой х—у—3 = 0. Д Приведем уравнение данной окружности к каноническому виду (х — I)2+ + (у—2)2 = 1; центр окружности находится в точке С (1; 2) и ее радиус равен 1, 26
Найдем координаты центра Сх (хх; yi) симметричной окружности, для чего через точку С (1; 2) проведем прямую, перпендикулярную прямой х — у—3 = 0; ее уравне- ние у—2 = £(х—1), где k =—1/1 = — 1, откуда у—2 = — % + 1, или х-+-у~3=0. Решая совместно уравнения х—у — 3 = 0 и х-\-у—3=0, получим х=3,г/=0, т. е. проекция точки С (1; 2) на данную прямую—точка Р (3; 0). Координаты же симметричной точки получим по формулам координат середины отрезка: 3 = == (1 4-хх)/2, 0=(2+//1)/2; таким образом, хх=5, уг=—2. Значит, точка Сг (5; —2) — центр симметричной окружности, а уравнение этой окружности имеет вид (х—52)+ +G/4“2)2 = 1 • А 133. Найти множество середин хорд окружности х2+у2= 4 Q/+1), проведенных через начало координат. Д Уравнение множества хорд имеет вид y = kx. Выразим координаты точки пересечения хорд с окружностью через k, для чего решим систему уравнений y = kx и x2 + z/2 — 4у — 4 = 0. Получим квадратное уравнение х2 (£2 +1)—4kx—4=0. Здесь x1-^x2 = 4k/(l +#2). Но полусумма этих абсцисс дает абсциссу середины хорды, т. е. х = 2^/(1 +&2), а ордината середины хорды г/ = 2&2/(1 + &2). По- следние два равенства являются параметрическими уравнениями искомого множества точек. Исключив из этих равенств k (для чего достаточно в соотношении х=2^/(1ф-^2) положить k = y/x), получим х2-\-у2— 2z/ = 0. Таким образом, искомым множеством также является окружность. А 134. Определить координаты центров и радиусы окружностей: 1) х2 + у2 — 8x + 6z/ = 0; 2) х2 + у2 + 10х—4г/+ 29 = 0; 3) х2-\~у2 — — 4x4-14^ + 54 = 0. 135. Найти угол между радиусами окружности x2 + z/2 + 4x— — 6z/ = 0, проведенными в точки ее пересечения с осью Оу. 136. Составить уравнение окружности, А (1; 2), В (0; — 1) и С (—3; 0). проходящей через точки 137. Составить уравнение окружности, Л (7; 7) и В (—2; 4), если ее центр лежит проходящей через точки на прямой 2х—у—2=0. 138. Составить уравнение общей хор- ды окружностей x2+z/2=16 и (х— 5)24- +у2-9. 139. Составить уравнения касательных к окружности (х — 3)2+(z/ + 2)2 = 25, про- веденных в точках пересечения окруж- ности с прямой х — z/ + 2 = 0. 140. Дана окружность x2 + z/2 = 4. Из точки А (—2; 0) проведена хорда АВ, которая продолжена на расстояние | ВМ | = = |ДВ|. Найти множество точек Л4. 2. Эллипс. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстоя- ний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоян- ная (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная больше расстояния между фокусами. Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на рис. 10, а фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала коор- динат в точках Fi (с; 0) и F2 (—с; 0), то получится простейшее (каноническое) Уравнение эллипса'. 27
Здесь а — большая, Ъ — малая полуось эллипса, причем а, b и с (с— половина расстояния между фокусами) связаны соотношением а2 = Ь2-\-с2. Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом е~сл (так как с < а, то е < 1). Расстояния некоторой точки эллипса М от его фокусов называются фокаль- ными радиусами-векторами этой точки. Их обычно обозначают и г2 (в силу определения эллипса для любой его точки r1Jrr2~2a). В частном случае, когда а = Ь (с = 0, е = 0, фокусы сливаются в одной точ- ке— центре), эллипс превращается в окружность (с уравнением x2 + z/2 = а2). Взаимное расположение точки М (хг; у^ и эллипса х2/а2-\- y2/b2 — 1 опреде- ляется условиями: если x2/a2-\-yi/b2 — 1, то точка М лежит на эллипсе; если Xi 'а2 ф-yi/b2 > 1, то точка М лежит вне эллипса; если x%/a2-[-yl/b2 < 1, то точка М лежит внутри эллипса. Фокальные радиусы-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам гА~а—ех (правый фокальный радиус-вектор) и г2 = а-{-ех (левый фо- кальный радиус-вектор). 141. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М (5/2; V 6/4) и N (—2; К15/5). Л Пусть х2/а2 + y2lb2 — 1—искомое уравнение эллипса. Этому уравнению должны удовлетворять координаты данных точек. Следовательно, 25+А = 1 ±_|_А=1 4а2 Г8ь- ’ а- Г562 Отсюда находим а2=10, 62=1. Итак, уравнение эллипса имеет вид х2/10-ф- + А 142. На эллипсе х2/25 + у2/9 = 1 найти точку, разность фокаль- ных радиусов-векторов которой равна 6,4. 143. Найти длину перпендикуляра, восставленного из фокуса эллипса X2/а2 4~ y2/b2 - 1 к большой оси до пересечения с эллипсом. 144. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса х2/25 4-у2/16= 1. 145. Эллипс, отнесенный к осям, проходит через точку М (1; 1) и имеет эксцентриситет е = 3/5. Составить уравнение эллипса. 146. Как расположены относительно эллипса х2/50 + у2/32 = 1 точки М (7; 1), N (—5; —4), Р (4; 5)? 147. Найти эксцентриситет эллипса, если фокальный отрезок виден из верхней вершины под углОхМ а. 148. На прямой х4-5 = 0 найти точку, одинаково удаленную от левого фокуса и верхней вершины эллипса х2/20 4- У2 А = 1. 149. Пользуясь определением эллипса, составить его уравнение, если известно, что точки F± (0; 0) и Т?2(1; 1) являются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 2. 150. Составить уравнение множества точек, расстояния которых от точки А (0; 1) в два раза меньше расстояния до прямой у—4=0. 151. Концы отрезка АВ постоянной длины а скользят по сто- ронам прямого угла. Найти уравнение кривой, описываемой точ- кой 7И, делящей этот отрезок в отношении 1: 2. 3. Гипербола. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фо- кусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта постоян- 28
ная меньше расстояния между фокусами. Если поместить фокусы гиперболы в точках Д (с; 0) и Р2 (—с; 0), то получится каноническое уравнение гиперболы х2 6Z2 Z=1 ^2 Ь (О где Ь2~с2— а2. Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки Аг (а; 0) и Л2 (—а\ 0) называются верши- нами гиперболы. Отрезок AjA2 такой, что | АгА21—2а, называется действитель- ной осью гиперболы, а отрезок такой, что | В±В21 = 2Ь,—мнимой осью (рис. 11). Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки М (х; у) гиперболы от этой прямой стремится к нулю при х->Д°° или х —>—оо. Гипер- бола имеет две асимптоты, уравнения которых у — ± (Ь!а) х. Для построения асимптот гиперболы строят осевой прямоугольник гиперболы со сторонами х = а, х = — а, у = Ь, у = — Ь. Прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямо- угольника, являются асимптотами ги- перболы. На рис. 11 указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. Отношение e = cja > 1 называется эксцен- триситетом гиперболы. Фокальные радиусы-векторы правой ветви гиперболы: гА-ех— а (правый фо- кальный радиус-вектор), г2 — ех-±-а (ле- вый фокальный радиус-вектор). Фокальные радиусы-векторы левой фокальный радиус-вектор), г2~ — ех— а Если а~Ь, то уравнение гиперболы Рис. 11 ветви гиперболы: гх = — ехД-а (правый (левый фокальный радиус-вектор). принимает вид X2__y2 = a2t Такая гипербола называется равнобочной. Ее асимптоты образуют прямой угол. Если за оси координат принять асимптоты равнобочной гиперболы, то ее урав- нение примет вид ху-~т (т~ ± а2/2; при т > 0 гипербола расположена в I и III четвертях, при т < 0 — во II и IV четвертях). Так как уравнение ху = т можно переписать в виде у~т/х, то равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональной зависимости между величинами х и у. Уравнение х2 у2 а2 Ь2 , ( У2 *2 1 \ 1 пли — — — = 1 I \ о2 a2 J (2) также является уравнением гиперболы, по действительной осью этой гиперболы служит отрезок оси Оу длины 2Ь. Две гиперболы х2/а2— у2/У2 = 1 и х2/я2— у2/Ь2 = — 1 имеют одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты, но действительная ось одной служит мни- мой осью другой, и наоборот. Такие две гиперболы называют сопряженными. 152. На правой ветви гиперболы х2/16—у2/9 = 1 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше ее рас- стояния от левого фокуса. Д Для правой ветви гиперболы фокальные радиусы-векторы определяются по формулам г1~ех — а и г2~ехД-а. Следовательно, имеем уравнение ех-\~а = = 2 (ех— а), откуда х = 3а/е; здесь а=-4, е = с/а=]/га2Д-д2/а = ]/г16Д-9/4 = = 5/4, т. е. х = 9,6. Ординату находим из уравнения гиперболы: г/= ± 4 = ± | )2-16 = ± | КП9. 29
Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки: Mf (9,6; 0,6]/* 119) и М2 (9,6; —0,6 КЙ9). А 153. Даны точки А (—1; 0) и В (2; 0). Точка М движется так, что в треугольнике АМВ угол В остается вдвое больше угла А , Найти уравнение кривой, которую опишет точка М. Л Взяв точку М с координатами х и г/, выразим tg В и tg А через коорди- наты точек Л, В и М; tp- в ~--—— = ——— - tgf А = ——— . S х—2 2—х ’ g х+1 ’ Согласно условию, получаем уравнение tg Z?=tg 2А, т. е. tg B=2tg Л/(1—tg2A). Подставив в это равенство найденные для tg В и tg Л выражения, приходим к уравнению 2—х 1 — z/2/(l + л')2’ после сокращения на у (у 0) и упрощения получаем х2—у2/3=1. Искомая кривая—гипербола. А 154. Эксцентриситет гиперболы равен V2. Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М (К3; И 2). Л Согласно определению эксцентриситета, имеем с/а=У 2, или с2 = 2а2. Но с2 = а2-\-Ь2; следовательно, а2-\-Ь2 = 2а2, или а2 = Ь2, т. е. гипербола равно- бочная. Другое равенство_получим из условия нахождения точки М на гиперболе, т. е. (У" 3)2/а2—У 2)2/&2=1, или 3/а2 — 2/Ь2 = 1. Поскольку а2 = Ь2, получим 3/а2—2/tz2 = 1, т. е. а2 = 1. Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид х2—у2~1. А 155. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку М (9; 8)l если асимптоты гиперболы имеют уравнения у= = ±(2/2/3)х. 156. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса х2/8 + 4-z/2/5 = 1. 157. Через точку М (0; —1) и правую вершину гиперболы Зх2 — 4z/2= 12 проведена прямая. Найти вторую точку пересечения прямой с гиперболой. 158. Дана гипербола х2— z/2 = 8. Найти софокусный эллипс, про- ходящий через точку М (4; 6). 159. Дан эллипс 9х2-] 25г/2 = 1. Написать уравнение софокусной равнобочной гиперболы. 160. Угол между асимптотами гиперболы равен 60°. Вычислить эксцентриситет гиперболы. 161. На левой ветви гиперболы х2/64 — z/2/36 = 1 найти точку, правый фокальный радиус-вектор которой равен 18. 162. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 и фокусы совпадают с фокусами эллипса х2/25 + у2/9 = 1. 30
163. Найти фокальные радиусы-векторы гиперболы х2/16 —г/2/9= -= 1 в точках пересечения ее с окружностью х2 + у2 = 91. 164. Доказать, что длина перпендикуляра, опущенного из фо- куса на одну из асимптот гиперболы, равна мнимой полуоси. 165. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы х2—до ее асимптот есть величина постоянная. 166. Найти уравнение множества точек, равноотстоящих от окружности x24~4x + z/2 = 0 и от точки М. (2; 0). 4. Парабола. Параболой называется множество точек плоскости, равноудален- ных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директ- рисой. Если директрисой параболы является пря- мая х =—р/2, а фокусом — точка F(/?/2;0), то уравнение параболы имеет вид У2~2рх. (1) Эта парабола расположена симметрично относи- тельно оси абсцисс (рис. 12, где -р > 0). Уравнение х2 = 2ру (2) является уравнением параболы, симметричной отно- сительно оси ординат. При р > 0 параболы (1) и (2) обращены в положительную сторону соответству- ющей оси, а при р < 0—в отрицательную сторо- ну. Длина фокального радиуса-вектора параболы у2 — 2рх определяется по фор- муле г=я-|-р/2 (р > 0). 167. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной оси Ох, равна 16, а рас- стояние этой хорды от вершины равно 6. Л Так как известны длина хорды и расстояние ее от вершины, то, следо- вательно, известны координаты конца этой хорды — точки Л4, лежащей на пара- боле. Уравнение параболы имеет вид у2 = 2рх; полагая в нем х = 6, у = 8, нахо- дим 82 = 2р-6, откуда 2р = 32/3. Итак, уравнение искомой параболы у2 = 32х/3. А 168. Составить уравнение параболы с вершиной в начале коор- динат, [симметричной относительно оси Оу и отсекающей на бис- сектрисе I и III координатных углов хорду длиной 8^2. Л Искомое уравнение параболы х2 = 2ру, уравнение биссектрисы у=х. Таким образом, получаем точки пересечения параболы с биссектрисой: 0(0; 0) и М (2р; 2р). Длина хорды определяется как расстояние между двумя точками: 8 2 = ]/'4р2-|-4/72, откуда 2р = 8. Следовательно, искомое уравнение имеет вид = А 169. Составить простейшее уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4х—Зу—4 = 0 с осью Ох. 170. На параболе г/2 = 8х найти точку, расстояние которой от Директрисы равно 4. 31
171. Составить уравнение параболы с вершиной в начале коор- динат, симметричной относительно оси Ох и отсекающей от прямой у = х хорду длиной 4^2. 172. Парабола z/2 = 2% отсекает от прямой, проходящей через начало координат, хорду, длина которой равна 3/4. Составить урав- нение этой прямой. 173. Составить простейшее уравнение параболы, если длина хорды, перпендикулярной оси симметрии и делящей пополам рас- стояние между фокусом и вершиной, равна 1. 174. На параболе у2 = 32х найти точку, расстояние которой от прямой 4% +Зу-j-10 = О равно 2. У о о1 Рис. 13 Рис. 14 175. Составить уравнение параболы с вершиной в начале коор- динат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку М (4; 2); определить угол а между фокальным радиусом-вектором этой точки и осью Ох. § 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ И УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ кривых ВТОРОГО ПОРЯДКА I. Преобразование координат. При переходе от системы координат хОу к но- вой системе х'О-^у' (направление осей координат прежнее, за новое начало коор- динат принята точка Ох (а; Ь); рис. 13) связь между старыми и новыми коор- динатами некоторой точки М плоскости определяется следующими формулами: х = х'+п, у = у' + Ь\ (1) х'—х—а, у'=у — Ь. (2) С помощью формул (1) старые координаты выражаются через новые, а с по- мощью формул (2)— новые через старые. При повороте осей координат на угол а (начало координат прежнее, причем а отсчитывается против часовой стрелки; рис. 14) зависимость между старыми координатами х, у и новыми х', у' определяется следующими формулами: х — х'cos а— г/'sin а, у = х' sin а -)-£/' cos а; (3) х' = х cos а-)-у sin а, у'= —х sin а4-У cos а. (4) 176. Сделан параллельный "перенос осей координат, причем но- вое начало расположено в точке ОДЗ; —4). Известны старые коор- динаты точки М (7; 8). Определить новые координаты этой же точки. А Здесь а = 3, Ь——4, х = 7, г/ = 8. По формулам (2) находим х' =7—3 = 4, /=8-(-4) = 12. А 32
177. На плоскости хОу дана точка М (4; 3). Система координат повернута вокруг начала координат так, что новая ось прошла че- рез точку М. Определить старые координаты точки А, если известны ее новые координаты х' = 5, у' = 5. Л Так как | ОМ | = ]/'42 + 32 = 5, то sina = 3/5, cosa = 4/5; тогда формулы (3) преобразования координат для данной задачи примут вид х = (4/5) х' — (3/5) у', у == (3/5) х’ + (4/5) у'. Полагая х' = у' =5, находим х = 1, у = 7. Д 178. Система координат повернута на угол а = л/6. Определить новые координаты точки М (К3 ; 3). Л Используя формулы (4), получим х' = У 3 cos (л/6) + 3 sin (л/6) = 3/2+3/2 = 3, у' = —УЗ sin (л/6) + 3 cos (л/6) = — УЗ /2 + 3 У31Ч = Уз. Д 179. Дана точка М (9/2; 11/2). За новые координатные оси при- няты прямые 2х—1=0 (ось Ох/), 2у — 5 = 0 (ось Найти координаты точки М в новой системе координат. 180. Дана точка /И(4К5; 2К5). За новую ось абсцисс при- нята прямая у = 2х, а за новую ось ординат—прямая у = —0,5х, причем новые оси координат образуют с соответствующими старыми осями острые углы. Найти координаты точки М в новой системе. 2. Парабола j>:== Дх2 + Вх + С и гипербола J== (£х +Z)/(/?x +Q). Уравне- ние вида у = Ах2-{-Вх-{-С преобразованием координат при параллельном переносе осей, т. е. по формулам х = х'+«, у = у’-\-Ь (а и b — координаты нового начала, х' и у'—новые коор- динаты), преобразуется к каноническому виду уравнения параболы. Парабола, определяемая уравнением г/= у4х2 73х-|-С, имеет ось симметрии, параллельную оси Оу (аналогично, уравнение х = Ау2-\-Ву-\-С определяет пара- болу с осью симметрии, параллельной оси Ох). Дробно-линейная функция y = (kx+l)Kpx-Yq) определяет равнобочную гиперболу, если kq—pl ^6, р 0; преобразованием координат при параллельном переносе осей координат это уравнение преобразу- ется к каноническому виду уравнения равнобочной гиперболы ху = т, т. е. к уравнению равнобочной гиперболы, у которой оси координат являются асимп- тотами. При т > 0 ветви гиперболы расположены в I и III четверти, а при т < 0—во II и IV четверти. 181. Привести к каноническому виду уравнение параболы у = 9х2 — 6х + 2. Л * Заменим х на х' -\-а и у на #' + &: уг + & = 9 (х' + п)2—6 (х' + п) + 2, или у' = 9х'2 + 6х' (За—1) + (9я2—бя + 2—6). Найдем такие значения а и Ь, при которых коэффициент при хг и свободный член обратятся в нуль: За —1=0, 9я2—6а + 2 — Ь~0, т. е. а =1/3, Ь = {. Сле- довательно, каноническое уравнение параболы имеет вид х'2 = (1/9) г/'. Вершина параболы находится в точке Ох (1/3; 1) и р = 1/18. 2 № 1474 33
Другой способ решения таких задач заключается в том, что заданное урав- нение вида у = Ах24- Вх + С (или х = Ау2-\-Ву-{-С) приводится к виду (х—а)2 = — 2р (у — Ь) [соответственно (у— Ь)2 — 2р(х— а)]. Тогда точка О1(а; Ь) служит вершиной параболы, а знак параметра р определит, в какую сторону—положи- тельную или отрицательную соответствующей оси (Оу или Ох)—направлена па- рабола. Так, уравнение у = 9х2—6х-\-2 преобразуется следующим образом; s_9(x--|.+±)-1+2; Отсюда снова получаем, что вершина параболы находится в точке Oi (1/3; 1), параметр р = 1/18, а ветвь параболы направлена в положительную сторону оси Оу. Д 182. Привести уравнение гиперболы у = (4х + 5)/(2х—1) к виду х'у' = k. Найти уравнения асимптот гиперболы относительно перво- начальной системы координат. Л G помощью параллельного переноса осей координат преобразуем данное уравнение к виду (#' + &) (2хг -\-2а — 1) =4x'4-4tz4-5, или 2х'#'4-(26—4) х' + (2а—1) у' ~4а-]-Ь—2^4-5. Найдем а и b из условий 2Ь — 4 = 0 и 2а —1=0, т. е. а = 0,5, 6 = 2. Тогда уравнение гиперболы в новой системе координат примет вид х'г/'=3,5. Асимпто- тами гиперболы служат новые оси координат, а поэтому их уравнения х' = 0,5» /=2. Другой способ решения таких задач заключается в том, что уравнение вида y~(kx-[-l)/(pxA-q) преобразуется к виду (х—а) (у—Ь) = т; центр гиперболы на- ходится в точке 01 (а; Ь); ее асимптотами служат прямые х = а и у = Ь, знак т по-прежнему определяет, в каких углах между асимптотами находятся ветви ги- перболы. Так, уравнение у = (4х 4- 5)/(2х—1) преобразуется следующим образом: (2х — 1)у — (4x4-5) =0; 2(х — 0,5) (у—2) =7. Значит, уравнение гиперболы приведено к виду (х—0,5) (у — 2) =3,5; центр гиперболы находится в точке (0,5; 2), ветви гиперболы расположены в I и III четвертях между ее асимптотами х—0,5 = 0, у—2 = 0. А 183. Привести к каноническому виду уравнения парабол: 1) у = 4х—2х2; 2) у= —х2ч-2х-!-2; 3) х= — 4у2-\-у\ 4) х = у2 + 4у4~б. 184. Преобразовать уравнения гипербол к виду х'у’ = т-. 1) у = 2х!(4х— I); 2) у = (2х + 3)/(3х—2); 3) у = (10х + 2)/(5х + 4); 4) z/ = (4x + 3)/(2x+ 1). 3. Пятичленное уравнение кривой второго порядка. Уравнение второй сте- пени вида Лх2+Су2+2Dx + 2Еу+F = 0 (не содержащее члена ху с произведением координат) называется пятичленным уравнением кривой второго порядка» Оно определяет на плоскости хОу эллипс, 34
гиперболу или параболу (с возможными случаями распада и вырождения этих кривых) с осями симметрии, параллельными осям координат, в зависимости от знака произведения коэффициентов А и С. 1. Пусть АС > 0; тогда определяемая этим уравнением кривая есть эллипс (дейсвительный, мнимый или выродившийся в точку); при Л = С эллипс превра- щается в окружность. 2. Пусть АС < 0; тогда соответствующая кривая является гиперболой, кото- рая может вырождаться в две пересекающиеся прямые, если левая часть урав- нения распадается на произведение двух линейных множителей; Ах2 4~ Су2 4- 2Dx -f- 2Еy-]-F = (ct^x 4- b±y 4- Ci) (а^х b%y• 3. Пусть ЛС = 0 (т. е. либо Л = 0, С 0, либо С = 0, [Л 0); тогда уравне- ние определяет параболу, которая может вырождаться в две параллельные пря- мые (действительные различные, действительные слившиеся или мнимые), если левая часть уравнения не содержит либо х, либо у (т. е. если уравнение имеет вид' Ax2 + 2Dx-\-F = 0 или Су2-\-2Еу+F = 0). Вид кривой и расположение ее на плоскости легко устанавливаются преоб- разованием уравнения к виду А (х—х0)2 + С(у—yo)2 = f (в случае АС > 0 или АС < 0); по виду полученного уравнения обнаруживаются и случаи распада или вырождения эллипса и гиперболы. В случае невырожденных кривых переносом начала координат в точку Oi (х0; Уо) полученное уравнение эллипса или гиперболы можно привести к кано- ническому виду. Случай АС = 0 подробно рассмотрен в предыдущем параграфе, поскольку уравнение невырожденной параболы здесь может бьпь записано в виде у ~ а±х2Ь±хс или x = a1y2-\-b1y-{-Ci. 185. Какую линию определяет уравнение 4x24-9z/2—8х— — 36у + 4 = 0? А Преобразуем данное уравнение следующим образом: 4 (х2 —2х) + 9 (у2 — 4у) = —4; 4 (х2 —2х+1 — 1) +9 (у2—4г/4-4—4) = — 4; 4(х —1)24-9 (у—2)2= — 44-44-36; 4 (х —1)24-9 (у—2)2 = 36. Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало координат точку О'(1; 2). Воспользуемся формулами преобразования координат: х=х'4-1, у = у'-\-2. Относительно новых осей уравнение кривой примет вид 4х'24~9г/'2 = 36, или x'2/94-f/'2/4 = 1. Таким образом, заданная кривая является эллипсом. А 186. Какую линию определяет уравнение х2—9у2 + 2х + Збу— — 44 = 0? А Преобразуем данное уравнение так: (х24-2х4-1 — 1) — 9 (г/2—4г/4“4—4) = 44; (х4-1)2—9 (у—2)2 = 444- 1 —36, (х4- I)2—9 (у — 2)2 = 9. Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало точку О' (—1; 2). Формулы преобразования координат имеют вид х = х' — 1, У=УГ4-2. После преобразования координат получим уравнение х'2—9г/'2 = 9, или х'2/9—/2 = 1. Кривая является гиперболой. Асимптотами этой гиперболы относительно новых осей служат прямые у' == i (1/3) х'. А Установить, какие кривые определяются нижеследующими урав- нениями. Построить чертежи. 187. 36х24-36г/2—36х—24г/—23 = 0. 188. 16х24-25г/2—32х + 50 г/—359 = 0. 2* 35
189. |X2_|y2_x + |z/-l=0. 190. л-24-4у2 —4х—8z/ + 8 = 0. 191. х2 + 4z/2 + 8у+ 5 = 0. 192. х2 —у2 — 6x4-10 = 0. 193. 2х2—4x4-2г/—3 = 0. 194. х2—6x4- 8 = 0. 195. х2 + 2х4-5 = 0. 4. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго по- рядка. Если кривая второго порядка задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 3, то, применив преобразование поворота осей координат с использованием формул x = x'coscc—у' sin а, у = х' sin a-\-yf cos а, следует при надлежащем выборе а освободиться в уравнении от члена с произведением координат. Дальнейшие преобразования были рассмотрены в предыдущем разделе. Случай распада кривой второго порядка на две прямые может быть легко установлен по исходному уравнению следующим образом: Грассматривая уравне- ние как квадратное относительно у (предполагая, что коэффициент при у2 отли- чен от нуля), разрешают его относительно у\ если при этом под корнем окажется точный квадрат некоторого двучлена ах-\-Ь, то корень извлечется, и для у полу- чатся два значения: = у2 = k2x-\-b2. Это и покажет, что кривая рас- падается на две прямые. Данное уравнение может быть разрешено и относительно х. Если в общем уравнении кривой второго порядка А = С = 0 (естественно, что В ф 0), то ука- занное уравнение определяет пару прямых тогда и только тогда, если B/D — 2EIF. В этом случае левая часть уравнения разлагается на линейные множители. 196. Показать, что уравнение 9х24-24ху+ 16z/2—25 = 0 опреде- ляет совокупность двух прямых. Л Перепишем уравнение в виде (Зх-f- 4г/)2—25 = 0. Разложив левую часть на множители, получаем (Зх Д-4г/Д-5) (Зх-{-4г/—5) = 0. Таким образом, заданное уравнение определяет прямые Зх4//-ф 5 = 0 и Зх-|-4у—5 = 0. Д 197. Показать, что уравнение Зх2 + 8ху—Зу2— 1Ах—2z/-|-8 = 0 определяет совокупность двух прямых. Л Перепишем уравнение в виде Зу2—2 (4х—1) у—(Зх2—14х+8)=0. Разре- шим уравнение относительно у\ __ 4х—1 ± V(4х — 1)2-+(9х2—42x4-24)“ или = 4х—1 4- (5х—5) 3 3 Получаем уравнения прямых у = 3х—2 и р = (—x-f-4)/3. Эти уравнения можно записать в виде Зх—у—2 = 0, х-\-Зу—4 = 0. Д 198. Какая линия определяется уравнением ху-{-2х—Ау— 8 = 0? Д Запишем уравнение в виде х(г/-|-2)—4(г/-|-2) = 0, или (х—4)(рЦ-2) = 0. Таким образом, уравнение определяет две прямые х—4 = 0 и у-[-2 = 0, одна из которых параллельна оси Ох, а другая параллельна оси Оу. Д 199. Привести к каноническому виду уравнение 5х2 + Аху + 8у2 + 8х + 1 Ау + 5 = 0. 36
д 1. Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулами (3) п. 1 поворота осей координат. Имеем 5 (х' cos а —у' sin а)2 + 4 (х' cos а—у' sin а) (х' sin a-f-r/' cos а) + _]-8 (х' sin а + / cos а)2 + 8 (х' cos а — у' sin а) + 14 (х' sin а + #' cos а) + 5 = 0, или (5 cos2 «4-4 sin a cos а + 8 sin2 а) х'2 + (5 sin2 а—4 sin a cos а + 8 cos2 а) z/'2 + + [6 sin a cos a-j-4 (cos2 a—sin2 a)] x'r/' + (8 cos a-]- 14 sin a) x' + + (14 cos a—8 sin a) y' + 5 — 0. Найдем а из условия 4 (cos2 a—sin2 a)+ 6 sin a cos a = 0, т. e. приравняем нулю коэффициент при х'у'. Получаем уравнение 2tg2a — 3tga—2 = 0. Отсюда tg«i=2, tga2 =—1/2. Заметим, что эти значения tg а соответствуют двум взаимно ным направлениям. Поэтому, взяв tga = 2 вместо tga =—1/2, мы только меняем ролями оси х' и у' (рис. 15). _ Пусть tg a = 2, тогда sin a = ±2/ ]/" 5 , cosa = ± l/j+5 ; возьмем положительные зна- чения sin а и cos a. Тогда ет вид перпендикуляр- У / 1 Рис. 15 уравнение принима- 9x'2+4t/,2+-^x' V 5 9 ^=/+5 = 0, ли 1 -^У 9 (x'2 + -^= хЛ + 4 (у'2--r_ у . — - < \ У 5 / V 2J/+ ) 2. Выражения в скобках дополним до полных квадратов: / 2 \2 / 1 \2 36 1 9 ( х’ +-+=. ) +4 ( у'-+= ] =~+~- \ ) \ 4/5/ 5 20 или о/ , , 2 \2 . л / , 1 \2 9 9( X + —^ ) +4( у'-----— ) = — • \ у 5 ) \ 4^5 / 4 Приняв за новое начало точку О' (—2/5 ; 1/(4 У"5)), применим формулы пре- образования координат х'=х"—2/j/~5, у' =#"+ 1/(4 ]+5); получим 9х"2 + 4#"2 = х//2 у" % = 9/4, или 1 (уравнение эллипса). А 200. Привести к каноническому виду уравнение Qxy + 8у2 — 12х—26у+ 11=0. Д 1. Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулами (3) п. 1 поворота осей координат: 6 (х' cos а—yr sin a) (х' sin a + у' cos a)+ 8 (x' sin a-\-y' cos a)2 — —12 (x' cos a—y’ sin a)—26 (x' sin <x-\-y' cos a) + ll = 0, или (6 sin a cos a + 8 sin2 a) x'2 + (8 cos2 a—6 sin a cos a) //'2 + + [16 sin a cos a+6 (cos2 a—sin2 a)] x'z/— — (12 cos a + 26 sin a) x' —(26 cos a—12 sin a) y' +11 =0. 37
Приравнивая нулю коэффициент при х'у', имеем 16 sin a cos а 4-6 (cos2 а—sin2a) = 0, или 3tg2a—8tga—3 = 0. Отсюда tgcz1 = 3, tga2 =—1/3; примем tga = 3, тогда sina=±3//10, cosa=± 1//10; возьмем положительные значения sin а и cos а. Тогда уравне- ние принимает вид 9х'2__/2_9 /Тб х' + /10/ + 11 =0, или 9(х'2— /10 /) —G'2— /10 /)=—11. 2. Выражения в скобках дополним до полных квадратов: 9 (Х' ^1°Y (s 10Y -45 5 ч 2 / V 2 J ~~ 2 2 11, или 9 9. Приняв за новое начало точку_О' (У 10/2; У 10/2), применим формулы преобра- зования координат х' = х" + У10/2, у'= у"У10/2; получим 9х"2—г/"2 = 9, или х"2__/2/9=1 (уравнение гиперболы), А 201. Привести к каноническому виду уравнение х2—2ху + у2— 10х—6#+ 25 = 0. д 1. Преобразуем уравнение с помощью формул поворота осей: (х' cos а—у' sin а)2—2 (х' cos а—у' sin а) (х' sin а + / cos а) + + (х' sin а+/ cos а)2 —10 (х' cos а—yf sin а)—6 (х' sin а + / cos a) + 25 = 0i или (cos2 а — 2 sin а cos а + sin2 а) x'2 + (sin2 а + 2 sin а cos а + cos2 а) y'2jr + 2 (sin2 а —cos2 а) х'у'— (10 cos а+ 6 sin а) х' + (10 sin а—6 cos а) у' + 25 = 0. Приравнивая нулю коэффициент при произведении х'у', имеем (2 sin2 а—соэ2а)=0^ откуда tg2a = l, т. е. tgai = l, tga2 =—1. Возьмем tga=l, откуда а = л/4 и sina—1/У2 , cos а = 1//2. Тогда уравнение принимает вид 2/2—8/2 х' + 2У2 /+25 = 0, или 2(/2+/2 у')—8 /2 х' + 25 = 0. 2. Выражение в скобках дополним дэ полного квадрата: / /2*\2 /— ( У2/\2 > ( 3 \ 2^'+I^J =8 У2 х' —24, или ^/+±^— J =4 У2 Приняв за новое начало точку О' (3//2 ; — У2 /2_), применим формулы преобра- зования координат х'=х"—3/2, /=/+/2/2; получим /2 = 4/2”х" (уравнение параболы). А Показать, что нижеследующие уравнения определяют кривые, распадающиеся на пару прямых, и найти уравнения этих прямых: 202. 25х2+10х«/ + /—1 = 0. 203. х2 + 2ху + / + 2х+2г/+1=0. 204. 8№ — 18xz/ + 9/4-2x— U0. 38
Привести к каноническому виду уравнения следующих кривых: 205. 14х2 + 24ху + 21у2—4х+ 18//—139 = 0. 206. 4xz/4-3z/2+ 16х+ 12//—36 = 0. 207. 9№—24х// + 16//2—20х + 1 Юг/ — 50 = 0. § 5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ И ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 1. Определители второго порядка и системы линейных уравнений. Определи- тель второго порядка, соответствующий таблице элементов у1 определяется равенством ^1=0162—a2bi. U2 °2 | Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными aix+b1y = cfi a2x-\-b2y = c2i n bi I n если ее определитель D = , 56 и, I a2 u2 I дится по формулам Крамера имеет единственное решение, которое нахо- ci bi at с± с2 b2 Dy _• // = -—- а2 с2 X ———- Х D Щ bl ’ у D ai Ь1 b2 ^2 Ь2 (1) Если определитель D = 0, то система является либо несовместной (когда Dx 7= 0 и Dy ф 0), либо неопределенной (когда Dx — Dy = ty. В последнем случае система сводится к одному уравнению (например, первому), второе же уравнение является следствием первого. Условие несовместности системы можно записать в виде aila2 = b1lb2 ci]c2, а условие неопределенности—в виде a1ja2^= bilb2~cilc2. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член этого урав- нения равен нулю. Рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений с тремя неиз- вестными ( а1х+Ь1у-\-с1г = 0, а2х —Ь2у —c2z == 0. 1. Если a1}a2 = b1!b2==ci^c2, то система сводится к одному уравнению (напри- мер, первому), из которого одно из неизвестных выражается через два других, значения которых остаются произвольными. 2. Если условие а-^а^Ь^Ь2 = с^с2 не выполнено, то решения системы нахо- дятся по формулам zz=-|ai'Cik * = (2) I b2 c21 I a2 c2 J I a2 b21 где t может принимать любые значения. Эти решения можно записать также в виде пропорции: X # г bi С! I I ai ci I pi Ь± b2 с2 J J а2 с21 J а2 Ь2 39
При этой форме записи решений следует помнить, что если один из знамена- телей обращается в нуль, то следует приравнять нулю и соответствующий чис- литель. 208. Решить систему уравнений J (а-^Ь)х—(а—b)y = 4ab, { (а—Ь) х + (а+ Ь) у = 2 (а2—Ь2). Д Находим определитель D системы и определители Dx и Dy, входящие в числители формул (1): 2 ЩЩЩ +“’+2о,~2‘л - —2а62 + 2&3 = 2 (а8+а24> + аб2 + 63) = 2 (а2 + &2) (а + &), — 4a2b-\-4ab2 = 2 (а3—a2b-[-ab2—Ь3) = 2 (а2 + Ь2) (а— Ь), Отсюда x = Dx/D =а-}- b, y = DyID=a—b. А 209. Решить систему линейных однородных уравнений ( 3x+4z/ + 5z = 0, [ х-[-2у—3z = 0. Л Используя формулы (2), находим *=|г _3p=-22f, г/ = -|?_зр = 14/, 2 = |3 4|./ = 2/, где t можно придавать любые значения. А Решить системы уравнений: 210. 212. 214. 216. 5х— Зу = 1, %+ 11 г/ = 6. ах—by = a2-}-b2, bx-\-ay = a2-[-b2. х—2г/+ 2 = 0, Зх—5г/+2г = 0. а2х— 2 (а2 + b2) у-\- b2z = Q, 2х-\-2у—Зг = 0. 911 J 2x+t/=l/5. 1 ‘ 1 4х+2«/ = 1/3. 914 J Зх+2у=1/6, °’ \ 9x+6z/=l/2. 215 / * cos а—у sin а = cos 2а, [ х sin а + у cos а = sin 2а. 2. Определители третьего порядка и системы линейных уравнений. Определи- /#1 ^1 £1\ тель третьего порядка, соответствующий таблице элементов ( а2 Ь2 с2 ), опреде- \#3 С3/ ляется равенством а2 аз bi сг Ь2 с2 Ьз С3 Минором данного элемента определителя третьего порядка называется опре- делитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент. Алгебраическим до- 40
полнением данного элемента называется его минор, умноженный на (—1)й, где ___сумма номеров строки и столбца, содержащих данный элемент. Таким образом, знак, который при этом приписывается минору соответст- вующего элемента определителя, определяется следующей таблицей: + - + — + — . + - + В приведенном выше равенстве, выражающем определитель третьего порядка, в правой части стоит сумма произведений элементов 1-й строки определителя на их алгебраические дополнения. Теорема 1. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения. Эта теорема позволяет вычислять значение определителя, раскрывая его по элементам любой его строки или столбца. Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю. Свойства определителей. 1°. Определитель не изменится, если строки определителя заменить столб- цами, а столбцы—соответствующими строками. 2°. Общий множитель элементов какой-нибудь строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя. 3°. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю. 4°. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. 5°. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число (теорема о линейной комбинации параллельных рядов опре- делителя). Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными ( a1x+b1y+c1z = d1, а2хb2y-\~c2z = d2, V. азХ-[- b3y -\-c3z — d3 находится по формулам Крамера x = Dx!D, y=Dy/D, z=Dz/D, где «1 а2 bi ci b2 c2 b3 c3 ^1 bi Ci d2 b2 c2 d3 b3 c3 ai , Dy — a2 di Ci d2 c2 ds c3 п3 «з При этом предполагается, что D 7= 0 (если D = 0, то исходная система либо неопределенная, либо несовместная). Если система однородная, т. е. имеет вид aiX —Ь\У —f~CiZ = О, ' a2x+b2y+c2z = 0, <a3x-j-b3y+c3z = 0, и ее определитель отличен от нуля, то она имеет единственное решение х = 0, г/=о, z=o. Если же определитель однородной системы равен нулю, то система сводится либо к двум независимым уравнениям (третье является их следствием), либо к одному уравнению (остальные два являются его следствиями). Первый случай имеет место тогда, когда среди миноров определителя однородной системы есть хотя бы один отличный от нуля, второй—тогда, когда все миноры этого опреде- лителя равны нулю. 41
В обоих случаях (см. п. 1) однородная система имеет бесчисленное множество решений. 217. Вычислить определитель третьего порядка 5 3 2 —12 4 7 3 6 з 2 —12 4 7 3 6 Л Разложив определитель по элементам 1-й строки, получим = 5|з б|~3|~7 б| + 2|~7 з| =5-°-3(-34)+2(-17)=68. А 218. Вычислить тот же определитель на основании теоремы о линейной комбинации элементов строк (столбцов). Д К элементам 1-й строки прибавим соответствующие элементы 2-й строки, умноженные на 5, а к элементам 3-й строки—соответствующие элементы 2-й стро- ки, умноженные на 7: 5 —1 7 3 2 2 4 3 6 О —1 О 13 2 17 22 4 34 Разложив определитель по элементам 1-го столбца, получаем О 13 22 —12 4 О 17 34 = °'|17 з1|+‘Т17 А 219. Решить систему уравнений ( х+2у+г = 8,. j Зх 2у z = 10, 4х-ф Зу—2г = 4. Л По формулам (1) находим 8 2 1 10 2 1 4 3—2 1 2 1 3 2 1 4 3—2 1 8 1 3 10 1 4 4—2 14 220. Решить систему линейных однородных уравнений ( 4х+ у-\- z = 0, j X-f-3z/-(- 2=0, I *+ г/4-2г=0. 42
4 1 1 Л Здесь D = . Для вычисления этого определителя к элементам 1-й строки прибавим элементы 3-й строки, умноженные на —4, а к элементам 2-й строки—элементы 3-й строки, умноженные на —1: —7 —1 2 -?h7 Так как D ф 0, то система имеет только нулевое решение x = z/ = z = O. 221. Решить систему уравнений 'Зх-^-Ъу— z = 0, - x + 2z/+9z = 0, ч х+ r/4-2z = 0. А Имеем = — 15 + 14+ 1 =0. Следовательно, система имеет решения, отличные от нулевого. Решаем систему первых двух уравнений (третье уравнение является их следствием): (Зх-^-Ъу— z = 0, ( x + 2#+9z = 0. Отсюда по формулам (2) п. 1 получаем 19 1 I Iq __1 । 13 21 2 g|.f = 20f, —j! g+ = —28/, 2=+ 2|./ = 4Л X 222. Вычислить определитель ментам 3-й строки. 223. Вычислить определитель 3 7 2 2 3—7 1 1 1 2 3 4 4 9 16 , разложив его по эле- , использовав теорему о 1 1 3 1 1 2 D = О О 1 —3 2 1 =Ч~1 1 2 —1 линейной комбинации строк (столбцов). 2 3 224. Вычислить определитель Решить системы уравнений: 4 6 + 4 d+4 2 а+3 2 с+3 ( 5х— у— z = 0, 225. j x+2#+3z=14, V 4x + 3r/+2z= 16. ( — 5л: + у+ z = 0, 227. х—6z/ + z = 0, I x+ //—7z = 0. ( ax-\-by-\-cz =a—b, 229. I bx-[-cy -\-az — b— cf \cx~irayJrbz = c — a, если a + b + c=^=0. 226. 228. 230. ( x-\~3y—6z= 12, | 3x + 2r/+5z = —10, ^2x + 5r/—3z= 6. f x+ y+ z = 0, -j 3x + 6r/+5z = 0, V x + 4//+3z = 0. ( ax+6r/+(a+6) z = 0, j 6х + ш/ + (а + 6) z = 0, x+ r/+2z = 0.
ГЛАВА II ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ § 1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz, то точка М пространства, имеющая координаты х (абсцисса), у (ордината) и г (ап- пликата), обозначается М. (х; у\ г). Расстояние между двумя точками А (хц у±, гх) и В (х2; у2\ z2) определяется по формуле d = V (х2—x1)2+(t/2—й)2 + (г2 —zt)2. (1) В частности, расстояние точки М (х; у\ г) от начала координат О определя- ется по формуле d=}/'x2 + z/2 + z2. (2) Если отрезок, концами которого служат точки А (х^ гх) и В (х2; у2\ г2), разделен точкой С (х; у; г) в отношении Л (см. гл. I, § 1), то координаты точки С определяются по формулам #i + ^2 . т__ zi4~hz2 1+Л ’ у 1+Л ’ 1+% ‘ В частности, координаты середины отрезка определяются по формулам ~_ *14-Х2> —_ #1+^2. ~+ ^2 Х~~~ ’ У~ 2 ’ Z~ 2 (4) 231. Даны точки Л1г(2; 4; —2) и Л42(—2; 4; 2). На прямой Л41М2 найти точку Л4, делящую отрезок в отношении Х = 3. Л Воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении: __хх + Лх2 2 + 3 (—2) _+1 + \^2 4 + 3-4 м 1+Л ” 1+3 ’ Ум 1+Л ~ 1+3 z± + Zz2_—2 + 3-2 гм = 1+1 1+з =1, Следовательно, искомая точка М (—1; 4; 1). Л 232. Дан треугольник: Д(1; 1; 1), В (5; 1; —2), С (7; 9; 1). Найти координаты точки D пересечения биссектрисы угла А со стороной СВ. Д Найдем длины сторон треугольника, образующих угол А: | АС | = К(хс-хл)2 + (г/с-г/л)2+(г(?-гл)2 = К(7-1)2+ (9- 1)2+ (1 - I)2 = 10; ] лв | = К(хв-хл)2 + (</в-г/л)2+(гв-гл)2=К(5—1)2 + (1 —1)2 + (—2—1)2 = 5. 44
Следовательно, | CD |:| DB | = 10:5 = 2, так как биссектриса делит сторону СВ на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, хс+^^_7 + 2.5_17 _г/с + ^в_9+2.1_Н XD~ 1 + х 14-2 3 ’ yD 14-Х 14-2 3 ’ _ + __14"2(—2)___ D~ 14-х ~ 14-2 ~ искомая точка Z? (17/3, 11/3, 1). 233. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек А (2; — 4; 5) и В(—3; 2; 7). д Пусть М— искомая точка. Для нее должно выполняться равенство | AM |= = | МВ|. Так как эта точка лежит на оси Ох, то ее координаты (х; 0; 0), а по- тому имеем | АМ | = К(х-2)24-(—4)2 + 52, | МВ | = J/-(х4-3)24-224-72. Отсюда после возведения в квадрат получаем (х — 2)24~41 = (х-|-3)24-53, или 10х = —17, т. е. х = —1,7. Таким образом, искомая точка М (—1,7; 0; 0). Д 234. Даны точки Л (3; 3; 3) и В(—1; 5; 7). Найти координаты точек С и D, делящих отрезок АВ на три равные части. 235. Дан треугольник: Л (1; 2; 3), В(7; 10; 3), С (—1; 3; 1). Показать, что угол А—тупой. 236. Найти координаты центра тяжести треугольника с верши- нами А (2; 3; 4), В(3; 1; 2) и С(4; —1; 3). 237. В каком отношении точка Л4, равноудаленная от точек А (3; 1; 4) и В(—4; 5; 3), разделит отрезок оси Оу от начала ко- ординат до точки С (0; 6; 0)? 238. На оси Oz найти точку, равноудаленную от точек Л4Д2; 4; 1) и Л42(—3; 2; 5). 239. На плоскости хОу найти точку, равноудаленную от точек А (1; —1; 5), В(3; 4; 4) и С (4; 6; 1). § 2. ВЕКТОРЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Свободный вектор а (т. е. такой вектор, который без изменения длины и на- правления может быть перенесен в любую точку пространства), заданный в коор- динатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде a=aj +ayj + azk. Такое представление вектора а называется его разложением по осям координат, или разложением по ортам. Здесь ах, ау, az — проекции вектора а на соответствующие оси координат (их называют координатами вектора a), i, j, k—орты этих осей (единичные век- торы, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси). Векторы ах\, ау\ и azk, в виде суммы которых представлен вектор а, назы- ваются составляющими (компонентами) вектора а по осям координат. Длина (модуль) вектора а обозначается а или | а | и определяется по формуле а = ax-^ayA-Gz- 45‘
Направление вектора а определяется углами a, f и у, образованными им с осями координат Ох, Оу и Ог. Косинусы этих углов (так называемые направляю- щие косинусы вектора) определяются по формулам: ах civ- о ay а % cos(z = —х 1 cosB=—cosy=-^-. a Vax + ay+al а а Направляющие косинусы вектора связаны соотношением cos2 а + cos2 Р + cos2 7=1. Если векторы а и b заданы их разложениями по ортам, то их сумма и раз- ность определяются по формулам а+ b = (ах + bx) i 4- (ау + by) j + (az + b2) k, a—b = (ax— bx) i + (ay — by) j + (az—bz) k. Напомним, что сумма векторов а и b, начала которых совмещены, изобра- жается вектором с тем же началом, совпадающим с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы а и Ь. Разность а—b этих векторов изо- бражается вектором, совпадающим со второй диагональю того же параллелограм- ма, причем начало этого вектора находится в конце вектора Ь, а конец — в конце вектора а (рис. 16). Сумма любого числа векторов может быть найдена по правилу многоуголь- ника (рис. 17). Произведение вектора а на скалярный множитель т определяется формулой та = тах\+тау j + mazk. Напомним, что векторы а и та параллельны (коллинеарны) и направлены в одну и ту же сторону, если т > 0, и в противоположные стороны, если т < 0. В частности, если т = Ца, то вектор a/а имеет длину, равную единице, и на- правление, совпадающее с направлением вектора а. Этот вектор называют единич- ным вектором (ортом) вектора а и обозначают а0. Нахождение единичного векто- ра того же направления, что и данный вектор а, называется нормированием век- тора а. Таким образом, а0 = а/л, или а = аа0. Вектор ОМ, начало которого находится в начале координат, а конец — в точ- ке М (х; у; z), называют радиусом-вектором точки М и обозначают г (Л1) или просто г. Так как его координаты совпадают с координатами точки М, то его разложение по ортам имеет вид г = xi + z/j-f-zk. Вектор АВ, имеющий начало в точке А (хх; у^, Zi) и конец в точке В (х2', у2, z2), может быть записан в виде АВ =г2 — г1} где г2 — радиус-вектор точки В, 46
a Гз-_радиус-вектор точки А. Поэтому разложение вектора АВ по ортам имеет вид АВ = (х2—Xi) i + (z/2—Уг) j + (z2—2i) к. Его длина совпадает с расстоянием между точками А и В: I АВ | = d = V (х2 -хх)2 + (i/2 -г/х)2 + (г2 - гх)2. В силу приведенных выше формул направление вектора АВ определяется направ- ляющими косинусами: Х2— Xf Q у 2—У1 Z2— Zf cosa = --, ; cos В = — ; cos у = — , 1. a a a 240. В треугольнике ABC сторона AB точками M и N разделена натри равные части: | AM | = 1 = | NB |. Найти вектор СМ, если СА = а, СВ — Ь. /\ Имеем АВ=Ь—а. Следовательно, ДЛ1 = (Ь—а)/3. Так как СЛ1 = СА +ДЛ4, то СМ = а + (Ь—а)/3 = (2а + Ь)/3. А 241. В треугольнике АВС прямая AM является биссектрисой угла ВАС, причем точка М лежит на стороне ВС. Найти AM, если АВ = Ъ, АС = с. Л Имеем ВС = с—Ь. Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника следует, что \ВМ |:| МС\ = Ь:с, т. е. | ВМ |:| ВС | = Отсюда получаем ВМ = (с—Ь). Так как АМ = АВ-\-ВМ, то (с-Ь)==^Ь^. А 1 b-[-c v ' b+c m 242. Радиусами-векторами вершин треугольника АВС являются гх, г2 и г3. Найти радиус-вектор точки пересечения медиан треу- гольника. Д Имеем ВС = г3—r2; BD =^(г3—r2)/2 (D — середина стороны ВС); АВ — — г2—П; AD = BD-J-АВ = (гз—г2)/2-1-г2 — гх = (г2-|-Гз—2гх)/2; ЯЛ4 = (2/3)ЛР (Л4—точка пересечения медиан), поэтому ЛЛ4 = (г2 + г3—2гх)/3. Итак, г = б/Й = г1 + Л/И = (г2+г3—2гх)/3+гь или r = (ri+r2 + r3)/3. Д 243. Найти длину вектора а = 20i + 30j — 60k и его направляю- щие косинусы. Д а = рЛ202 + 302 + 602 = 70; ws а = 20/70 = 2/7, cos Р = 30/70 = 3/7, cos у = — 60/70 = — 6/7. Д 244. Найти вектор а = АВ, если А(1; 3; 2) и В (5; 8; —1). Д Проекциями вектора АВ на оси координат являются разности соответст- венных координат точек В и А: ах = 5—1=4, tz^ = 8—3 = 5, az = —1—2 = — 3. Следовательно, АВ = 4i-{-5j — 3k. Д 245. Нормировать вектор а = 3i + 4j — 12k. Д Найдем длину вектора а: I а | = = К32 + 42 + (—12)2 = 13. 47
Искомый единичный вектор имеет вид ' _ а _3i' + 4j— 12k_ 3 4 . 12 а°~ |а|— 13 ~131 + 13J 13k‘ А 246. Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что | ВМ |: | МС | = X. Найти AM. если АВ = Ъ. АС = с. 247. Дано Ав-а + 2Ь, ВС = — 4а—b, CD = — 5а—ЗЬ. Дока- зать, что ABCD—трапеция. 248. Найти проекции вектора а на оси координат, если а = = AB + CD, Л (0; 0; 1), В(3; 2; 1), С (4; 6; 5) и £>(1; 6; 3). 249. Найти длину вектора a = mi + (m+ 1) j + m (m + 1) k. 250. Даны радиусы-векторы вершин треугольника АВС: гА = = i + 2j4-3k, rB = 3i + 2j + k, гс = i 4-4j4-k. Показать, что треу- гольник ABC равносторонний. 251. Вычислить модуль вектора а = i 4-2j + k — (1/5) (4i + 8j + 3k) и найти его направляющие косинусы. 252. Даны точки ЛМ1; 2; 3) и М2 (3; —4; 6). Найти длину и направление вектора МгМ2. 253. Дан вектор a —4i—2j-|-3k. Найти вектор Ь, если Ь~а. Ьу = ау и 6x = 0. 254. Радиус-вектор точки М составляет с осью Оу угол 60°, а с осью Oz угол 45°, его длина г = 8. Найти координаты точки /VI, если ее абсцисса отрицательна. 255. Нормировать вектор a = i—2j—2k. § 3. СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 1. Скалярное произведение. Скалярным произведением двух векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла ср между ними: a«b = ab cos ф. Свойства скалярного произведения. 1°. а-а = а2, или а2 = а2. 2°. а-Ь = 0, если а = 0, либо Ь = 0, либо а Д_Ь (ортогональность ненулевых векторов). 3°. a-b = b«a (переместительный закон). 4°. а«(Ь + с) = а«Ь4-а«с (распределительный закон). 5°. (ma)-b = а-(mb) = /п (а-b) (сочетательный закон по отношению к скалярному множителю). Скалярные произведения ортов осей координат: i2 = j2 = k2 = 1, j.j = j.k = j-k = O. Пусть векторы а и b заданы своими координатами: а = x±i4-У1] + Zik, b = = ^i + ^j + ^k. Тогда скалярное произведение этих векторов находится по фор- муле а • b = Х1Х2 + У1У2 + ^1^2 • 2. Векторное произведение. Векторным произведением вектора а на вектор b называется третий вектор с, определяемый следующим образом (рис. 18): 1) модуль вектора с равен площади параллелограмма, построенного на век- торах а и b (с = а&81пф, где ф— угол между векторами а и Ь); 2) вектор с перпендикулярен векторам а и Ь; 3) векторы а, Ь, с после приведения к общему началу ориентированы по от- 48
ношению друг к другу соответственно как орты i, j, к (в правой системе коор- динат образуют так называемую правую тройку векторов). Векторное произведение а на b обозначается через axb. Свойства векторного произведения. 1°. ЬХа = — axb, т. е. векторное произведение не обладает переместительным свойством. 2°. aXb = 0, если а = 0, либо Ь = 0, либо а |] b (коллинеарность ненулевых век- торов). 3°. (/па) Xb = аX (/nb) = т (а XЬ) (сочетательное свойство по отношению к ска- лярному множителю). 4°. aX(b + c) = aXb + aXc (распределительное свойство). Векторные произведения координатных ортов i, j и к: i X i = j X j = kxk = 0, iXj = — jXi=k; jxk = — kXj = i; kXi = — iXk = j. Векторное произведение векторов a=Xii -4-j + ?ik и b = x2i y2] + ^k удобнее всего находить по формуле axb = i j k Xf У1 Zr *2 У2 *2 3. Смешанное произведение. Смешанным произведением векторов а, b и с на- зывается скалярное произведение вектора aXb на вектор с, т. е. (aXb)-c. Смешанное произведение трех векторов а, Ь, с по модулю равно объему па- раллелепипеда, построенного на этих векторах. Свойства смешанного произведения. 1°. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если: а) хоть один из перемножаемых векторов равен пулю; б) два из перемножаемых векторов коллинеарны; в) три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компла- нарность). 2°. Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами знаки векторного (х) и скалярного (•) умножения, т. е. (axb)-c = a-(bXc). В силу этого свойства смешанное произведение векторов а, b и с условимся записывать в виде r^nxh 3°. Смешанное произведение не изменяется, ес- ли переставлять перемножаемые векторы в круго- вом порядке: abc==bca = cab. 4°. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак: Рис. 18 Ьас = — abc; cba = — abc; acb = — abc. Пусть векторы заданы их разложениями по = *2i + z/2j + z2k; c = x3i + z/3j + z3k. Тогда ортам: а = f/ijZik; b = abc = Xi У1 X2 У2 ?2 x$ Уз z3 Из свойств смешанного произведения трех векторов вытекает следующее: необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие abc = 0; объем Vi параллелепипеда, построенного на векторах а b и с, и объем V2 образованной ими треугольной пирамиды находятся по формулам Vi = l abc I, v2=l Vi = y|abc |. 49
256. Найти скалярное произведение векторов a = 3i4~4j + 7k и b = 2i—5 j 4- 2k. Д Находим a-b=3-2-|~4(—5)47-2 = 0. Так как а-Ь = 0 и а Ф О, b / 0, то aj_b. Д 257. Даны векторы a = mi + 3j + 4k и b = 414-mj—7k. При ка- ком значении т эти векторы перпендикулярны? Д Находим скалярное произведение этих векторов: a-b = 4m43m—28; так как а_[_Ь, то а-Ь = 0. Отсюда 7т—28 = 0, т. е. m = 4. А 258. Найти (5а 43b)-(2а—Ь), если а = 2, Ь = 3, а_[_Ь. Д (5a+3b)-(2a—b) = 10a2—5a-b + 6a-b—3b2 = 10a2—3b2 = 40—27=13. 4 259. Определить угол между векторами а = i 4 2j 4- 3k и b — = 6i + 4j—2k. 3. * b Д Так так a-b=a6 cos ср, to cos . Имеем a*b = b64-2»4-j-3 (—2) = 8f a = Kl+4 + 9 = J<14, *=^36+16+4 =2)AT4. _ 8 2 2 . Следовательно, cos (₽=—==-===— и q> = arocos -=. ▲ К14-2K14 7 7 m 260. Найти векторное произведение векторов а = 2i 4 3j 4- 5k и b = i + 2j + k. Д Имеем i j k axb =235 1 2 1 t. e. aXb = — 7i + 3j-|-k- A 261. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век- торах a = 6i-f-3j—2k и b = 3i—2j4~6k. Л Находим векторное произведение а на Ь: I j к aXb = 6 3 —2 = i 3—2 6 2 ~61 - i | 3 “б | + к 13 —2 | =14i - 42J - 21 к. Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то S = |axb | = ^ 142 + 422 + 212 = =49 (кв. ед.). А 262. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (1; 1; 1), В (2; 3; 4), С (4; 3; 2). Д Находим векторы АВ и АС: XB = (2-l)i + (3-l) j + (4-l)k = i + 2j + 3k, ДС = (4—1) i + (3-1) j4- (2-1) k = 3i + 2j + k. Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, поэтому находим векторное произведение этих векторов: i I £ АВХАС=123 3 2 1 -'|2?НЦ?| + кП2|“-“+81-4к- 50
Следовательно,- Sabc^^ABxAC^^V 16+64+16=/24 (кв. ед.) А 263. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век- торах а + ЗЬ и За + b, если |а| = |Ь| = 1, (аГ~Ь) = 30°. Д Имеем (a -j- 3b) X (За Ь) = За X а а X b -J- 9b X а 3b X b = 3-0 +axb—9а xb -|-3-0 = — 8а xb (поскольку aXa=bxb = 0, bxa= — axb). Итак, S = 8 | axb | = 8-1 • 1 *sin 30° = 4 (кв. ед.). А 264. Найти смешанное произведение векторов a = 2i— j—k, b= i + 3j — k, c = i + j + 4k. A abc — “ll-’-ll 1 |=26 + 5+2=33. A 265. Показать, что векторы a = 2i + 5j + 7k, b = i + j — k, c = — i + 2j + 2k компланарны. А Находим смешанное произведение векторов: 2 1 abc = 1 > -+TI-+ “++ J|-8-IS+7-0. Так как abc = 0, то заданные векторы компланарны. Д 266. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А (2; 2; 2), В (4; 3; 3), С (4; 5; 4) и D(5; 5; 6). А НайдехМ векторы АВ, АС и AD, совпадающие с ребрами пирамиды,- сходящимися в вершине А: АВ = 2i + j + k, ХС = 2i3j2k, XZ) = 3i-|-3j-|-4k. Находим смешанное произведение этих векторов: 2 1 1 2 3 2 3 3 4 ABACAD = = 2 I 3 4 И 1 j 3 4 I +1 j 3 331-2'6-1'2-1'3-7- Так как объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах АВ, АС и AD, то 7 = 7/6 (куб. ед.). А 267. Вычислить (а—Ь) (Ь—с) (с—а). Д Так как (а—b) + (b—с)+(с—а) = 0, то эти векторы компланарны (рис. 19). Следовательно, их смешанное произведение равно нулю: (а—Ь) (Ь — с) (с—а)= = 0- А 268. Найти скалярное произведение векторов За—2Ь и 5а—6Ь, если а = 4, Ь = 6 и угол между векторами а и b равен л/3. 269. Определить угол между векторами а = 3i + 4j 4- 5k и b = = 4i + 5j —3k. 270. При каком значении tn векторы a = mi~4j и b=3i—3j+4k перпендикулярны? 51
271. Найти скалярное произведение векторов 2а 4-ЗЬ 4-4с и 5а + 6Ь + 7с, если а = 1, Ь = 2, с = 3, а (а, Ь) = (а, с) = (Ь, с)=л/3. 272. Найти работу силы F на перемещении s, если F = 2, s = 5, Ф = (F, s) = л/6. 273. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a=i + j + 2k и b = 2i + j-j-к. 274. Векторы а, Ь, с имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти вектор с, если а = i 4“ j, b = j + к. 275. Даны векторы a = 2i*4-2j4-k и b = 6i~i~3j-i-2k. Найти праЬ и прьа. 276. Даны радиусы-векторы трех последовательных вершин па- раллелограмма ABCD: гл=1 + ]+к, гв= i+3j4-5k, rc=7i+9j+11 к. Определить радиус-вектор четвертой верши- ух. ны D. -г / Показать, что векторы а и b не / могут быть перпендикулярными, если а • i > О, /__________ aj>0, ak>0, bi < 0, b j < 0, bk<0. j 278. Показать, что векторы a = i + j + mk, b = i 4- j + (m+l) k и c = i — j + mk ни при Рис* 19 каком значении т не могут быть компла- нарными. 279. Могут ли отличные от нуля числа л\, х2, х3, уг, у^, г2, г3 удовлетворять уравнениям Xf Z/1 %1Х24" У1У2~}~^1г2—9, *2 У2 *2 Х1*з + */1*/з4-2123 = 0, *3 Уз 2з ^2^з4“//2//з4“222з — 0? 280. Найти векторное произведение векторов a = 2i4~5j-rk и b = i 4-2j — 3k. 281. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (2; 2; 2), В (4; 0; 3) и С (0; 1; 0). 282. Найти смешанное произведение векторов a = i — j4-k, b = = i + j + k, с = 2i-j~3j4“4k. 283. Показать, что векторы a = 7i—3j + 2k, b = 3i—7j4~8k, c = i — j 4- k компланарны. 284. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами А (0; 0; 1), В (2; 3; 5), С (6; 2; 3) и D (3; 7; 2). Найти длину высоты пирамиды, опущенной на грань BCD. 285. Показать, что точки А (5; 7; —2), В (3; 1; —1), С (9; 4; —4) и £>(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
ГЛАВА III аналитическая геометрия в ПРОСТРАНСТВЕ § 1. плоскость И ПРЯМАЯ 1. Плоскость. 1) Уравнение плоскости в векторной форме имеет вид г п = р. Здесь г = xi + z/j + ск — радиус-вектор текущей точки М (х; у; z) плоскости; п = = i cos » + j cos P + k cos у—единичный вектор, имеющий направление перпенди- куляра, опущенного на плоскость из начала координат; а, (3, у— углы, образо- ванные этим перпендикуляром с осями координат Ох, Оу, Oz; р—длина этого перпендикуляра. При переходе к координатам это уравнение принимает вид х cos а-{-у cos Р + ? cos у—р = 0 (1) (нормальное уравнение плоскости) 2) Уравнение всякой плоскости может быть записано также в виде Ax-^-By-^-Cz-V-D — Q, (2) если А2 + В2-[-С2 0 (общее уравнение). Здесь А, В, С можно рассматривать как координаты некоторого вектора N = Ai +Bj4-Ck, перпендикулярного плос- кости (нормального вектора плоскости). Для приведения общего уравнения плос- кости к нормальному виду надо все члены уравнения умножить на нормирую- щий множитель н = ± i/;V = ± 1// л2+в2+с2, (3) где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D в общем уравнении плоскости. 3) Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим уравнением A%+Bz/ + Cz4-D = 0: А = 0; параллельна оси Ох; В — 0; » » Оу; С = 0; » » Oz; D = 0; проходит через начало координат; А = В = 0; перпендикулярна оси Oz (параллельна плоскости хОу); А = С = 0; » » Оу ( » » xOz); В = С = 0; » » Ох ( » » yOz); A — D = 0 проходит через ось Ох; B = D = 0 » » » Оу; C = D — 0 » » » Oz; A — B = D = 0; совпадает с плоскостью хОу (z = 0); А = С = D = $; » » » xOz (у = 0); B — C — D — 0; » » » yOz (х — 0). Если в общем уравнении плоскости коэффициент D 0, то, разделив все члены уравнения на —D, уравнение плоскости можно привести к виду -+4+-=1 (4) а * b ‘ с v (здесь а = —D/А, Ь = —D/В, с = —D/С). Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках', в нем а, b и с—соответственно абсцисса, ордината и ап- пликата точек пересечения плоскости с осями Ох, Оу и Oz. 53
4) Угол ф между плоскостями A1xJ-B1y-{-C1z-~D1 = Q и А2х-х- B2y-\-C2z -ф- + D2 = 0 определяется по формуле COS ф = ^1^2 Ч~~ ^1^2 + СХС2 V Al + Bl + Cl V ' (5) Условие параллельности плоскостей: ^1М2= BilВ2 = Сх/С2. Условие перпендикулярности плоскостей: •^1^2 “Ь ^1^2 “F б?ХС2 === О* (6) (7) 5) Расстояние от точки Мо (х0; у0; z0) до плоскости, определяемой урав- нением Ax-^By-^Cz-j-D = 0, находится по формуле | Ахо-^Вуо-^Сго-]-Р | V Д2+^2_|_С2 (8) Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости; знак результата этой подстановки ха- рактеризует взаимное расположение точки и начала координат относительно дан- ной плоскости: «плюс», если точка Мо и начало координат расположены по раз- ные стороны от плоскости, и «минус», если они расположены по одну сторону от плоскости. 6) Уравнение плоскости, проходящей через точку MQ (х0; yQ-t z0) и перпенди- кулярной вектору N=Xi4-Bj + Ck, имеет вид А (х—х0) + В (г,—r/0)4-C(z—zo)=O. (9) При произвольных значениях Л, В и С последнее уравнение определяет некото- рую плоскость, принадлежащую связке плоскостей, проходящих через точку Л40. Его поэтому часто называют уравнением связки плоскостей. 7) Уравнение Л1Х4"^1£/4“£12“Ь7)14“Х (A2x -j~ В2у -у- C2z -j- D2) =0 (10) при произвольном значении X определяет некоторую плоскость, проходящую через прямую пересечения плоскостей AiX-j-B^y-j-CiZ-j-Di — 0 (I) и A2x-j-B2y~i-C2z-j-D2 = 0, (II) т. е. некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через эту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением пучка плоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями (I) и (II), параллельны, то пучок плоскостей превращается в совокупность плоскостей, параллельных этим плоскостям. 8) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (гх), М2 (г2), М3(гз) (здесь rx = xxi + r/xj + zxk; r2 = x2i + */2j + ?2k; г3 = x3i +^3j + ^3k), проще найти из условия компланарности векторов г—гх, г2—гх, г3—гх, где r = xi + 4. у] + zk—радиус-вектор текущей точки искохмой плоскости М: (Г—Г1) (г2—И) (г3—Г1) =0, или в координатной форме: х — Xi y—yt 2—Zi х2 —Xi у2—У1 z2—Zi =0# x3—Xi У3—У1 z3—Z! (И) 286. Уравнение плоскости 2x+3z/—6г + 21=0 привести к нор- мальному виду. Л Находим нормирующий множитель (который берем со знаком «минус», поскольку D = 21 >0): р = —l/p^22-}-324-62 =—1/7. Итак, нормальное уравне- ние заданной плоскости имеет вид —(2/7) х—(3/7) У~{6)7) z—3 = 0. А 54
287. Определить расстояние от точки Мо (3; 5; —8) до плос- кости 6х—3// + 2г—28 = 0. Л Используя формулу (8) расстояния от точки до плоскости, находим d _ | 6-3—-3-5-|-2.(—8) —28 [__41 ]/'б2 + 32 + 22 ~~7 Так как результат подстановки координат точки Мо в нормальное уравнение плоскости отрицателен, то Л10 и начало координат лежат по одну сторону от заданной плоскости. А 288. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; 3; 5) и перпендикулярной вектору N = 4i + 3j + 2k. Л Достаточно воспользоваться уравнением (9) плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору: 4 (х—2)+3(у—3)4-2 (г—5)=0, т. е. 4х + Зу+2г—27 = 0. Д 289. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; 3; —1) параллельно плоскости 5х—3// + 2г—10 = 0. Л Запишем уравнение (9) связки плоскостей, проходящих через данную точку: А (х-2) + В (4/-3) + С (г +1) = 0. Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором и = == (5; —3; 2) данной плоскости; следовательно, Л = 5, В = —3, С = 2 и уравне- ние искомой плоскости примет вид 5(Х—2)—3(у—3)+2(?+1) = 0, или 5х—Зу+2г+1=0. Д 290. Из точки Р (2; 3; —5) на координатные оси опущены перпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания. Л Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости, служат следующие точки: Afx(2; 3; 0), М2 (2; 0; —5), 7И3 (0; 3; —5). Используя соотношение (11), запишем уравнение плоскости, проходящей через точки М2, М3: х—2 у—3 0 — 3 —2 0 — 5 =0, или 15%+ Юг/—6г—60 = 0. Д —5 z 291. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (5; 4; 3) и отсекающей равные отрезки на осях координат. Л Используя уравнение (4) плоскости в отрезках, в котором а~Ь = с, имеем */а+г//а+г/а = 1- Координаты точки А удовлетворяют уравнению искомой плос- кости, поэтому выполняется равенство 5/а-(-4/а-f-3/а = 1, откуда а — \2. Итак, получаем уравнение x-{-y-[-z—12 = 0. Д 292. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей х-\-у-\-Ьг —1=0, 2% + Зг/— z + 2 = 0 и че- рез точку Л4 (3; 2; 1). Л Воспользуемся уравнением (10) пучка плоскостей: х + г/+5г—1 + % (2х+3г/—г+2) = 0. 55
Значение К определяем из условия, что координаты точки М удовлетворяют этому уравнению: 3-[-2+5—1+Z (6 + 6 —1+2) = 9+13Z = 0, откуда К = — 9/13. Та- ким образом, искомое уравнение имеет вид 9 %+z/ + 5z—1 —— (2x+3z/—z+2) = 0, или 5х+ 14*/—74z-f-31 =0. 1о 293. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей % + 3*/ + 5г— 4 = 0 и х—у—2г+ 7 = 0 и параллельной оси Оу. Л Воспользуемся уравнением пучка плоскостей: %+3*/ + 5z—4 + Х (х—у—2z-{-7) = Q\ (1 + Z) х + (3 — Z) у + (5—2А) z + (7%—4) = 0. Так как искомая плоскость параллельна оси ординат, то коэффициент при у должен быть равен нулю: 3—Z = 0, т. е. Z = 3. Подставив найденное зна- чение X в уравнение пучка, получаем 4х—z+17 = 0. А 294. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А (2; —1; 4) и В (3; 2; —1) перпендикулярно плоскости х + */ + 2г— —3 = 0. Д В качестве нормального вектора N искомой плоскости можно взять век- тор, перпендикулярный вектору 4£ = {1; 3; —5} и нормальному вектору п = = {1; 1; 2} данной плоскости. Поэтому за N примем векторное произведение АВ и п: i j 1 3 1 1 k N = 4Bxn = —5 =Hi_7j—2k. 2 Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку (например, 4) перпендикулярно заданному вектору N ={11; —7; —2}: 11 (х—2) — 7(*/+ 1) — 2(г—4)=0, или 11х—7y—2z—21=0. Д 295. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Л4 (3; —1; —5) и перпендикулярной плоскостям Зх—2г/ + 2г + 7 = = 0 и 5х — 4*/ + Зг + 1=0. Л Очевидно, что в качестве нормального вектора N искомой плоскости можно взять векторное произведение нормальных векторов пх = {3;—2; 2} ип2={5;—4; 3} данных плоскостей: N = п1Хп2 = 3 5 j к —2 2 —4 3 —2 —4 21 .1231 I 3| + j|3 5| + к| 3 —2 5 —4 = 2i +j— 2к. Теперь, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку М (3; —1; —5) перпендикулярно вектору N = {2; 1; —2}, получаем 2 (х—3) + (*/+ 1) — 2 (г+5) = 0, или 2х + у—2г—15 = 0. А 296. Привести к нормальному виду уравнения следующих пло- скостей: 1) % + */—z — 2 = 0; 2) 3% + 5z/ — 4г + 7 = 0. 297. Найти расстояние от точки Л40 (1; 3;—2) до плоскости 56
2х—Зу — 4г +12 = 0. Как расположена точка Л40 относительно пло- скости? 298. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки 7И0 (2; 3; — 5) на плоскость 4х—2у + 5г —12 = 0. 299. Найти уравнение плоскости, проходящей: 1) через точку М (— 2; 3; 4), если она отсекает на осях координат равные отрезки; 2) через точку N (2; — 1; 4), если она отсекает на оси Ог отрезок вдвое больший, чем на осях Ох и Оу. 300. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки Р (2; 0; — 1) и Q(l;—1; 3) и перпендикулярной плоскости 3% + 2г/— г + + 5 = 0. 301. На плоскости 2х—5г/+ 2г + 5 = 0 найти такую точку Л4, чтобы прямая ОМ составляла с осями координат равные углы. 302. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р (4;—3; 12) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала коорди- нат на эту плоскость. 303. Найти уравнения плоскостей, проходящих через оси коор- динат перпендикулярно плоскости Зх—4г/+ 5г—12 = 0. 304. Найти уравнение плоскости, точки которой одинаково уда- лены от точек Р (1; — 4; 2) и Q (7; 1; — 5). 305. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки Р (0; 2; 0) и Q(2; 0; 0) и образующей угол 60° с плоскостью х = 0. 306. Вычислить угол между плоскостями, проходящими через точку 7И(1;— 1; — 1), одна из которых содержит ось Ох, а дру- гая—ось Ог. 307. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало коор- динат и через точки Р (4;—2; 1) и Q (2; 4;—3). 308. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку пере- сечения плоскостей 2x-\-2y-\-z—7 = 0, 2х—y-\-3z—3 = 0, 4% + 5z/ — —2г —12 = 0 и через точки М (0; 3; 0) и N (1; 1; 1). 309. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей % + 5// + 9г —13 = 0, Зх—у—5г+1=0 и через точку М (0; 2; 1). 310. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей % + 2// + Зг—5 = 0 и Зх—2у — г + 1 =0 и отсекающей равные отрезки на осях Ох и Ог. 311. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей (1 + J/^2) х + 2г/ + 2г — 4 = 0, х + у + г + 1 = 0 и образующей с координатной плоскостью хОу угол 60°. 312. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2х—у—12г—3 = 0 и Зх-{-у—lz—2 = 0 и перпендикулярной плоскости х + 2у + 5г —1=0. 313. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей A1x-}-BAy-{-C1z-\-D1 = 0 и ?l2x + B2z/ +С2г + + О2 = 0 и через начало координат. 314. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Л4(0; 2; 1) и параллельной векторам а= i + j + k и b = i + j — k. 315. Какой угол образует с плоскостью % + // + 2г—4 = 0 вектор a=i+2j + k? 57
2. Прямая. 1) Прямая может быть задана уравнениями двух плоскостей Di = 0, Л2Х -j- В2у-\- C2z 2 ~ пересекающихся по этой прямой. 2) Исключив поочередно х и у из предыдущих уравнений, получим уравнения х = аг-\-с> y-bz~\-d. Здесь прямая определена двумя плоскостями, проецирую- щими ее на плоскости xOz и yOz. 3) Уравнения прямой, проходящей через две точки (хх; у±; и М2 (х2; z/2>* z2), имеют вид X—Xj^y — yt^Z — Zj *2—*1 У2—У1 z2—*1’ k 4) Так называемые канонические уравнения x—Xj^y—yi^z—zt / т п определяют прямую, проходящую через точку М (хг; ур, zj и параллельную вектору s = li-\-mj-]-nk. В частности, эти уравнения могут быть записаны в виде X —%! = 7 —1/1 __ Z —Zj cos a cos Р cos у ’j где а,’ Р и у — углы, образованные прямой с осями координат. Направляющие косинусы прямой находятся по формулам I о т и cos а = , -—5. cos р = -_________z., cos у — г_ ......... . (3) prZ24-/n2 + ^2 V Z2 + т1 + п2 УI2т2п2 5) От канонических уравнений прямой, вводя параметр t, нетрудно перейти к параметрическим уравнениям'. ( X = It -|-Xjf y=mt+ylt (4) 2 = n/-|-z1. 6) Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими уравнениями (х—(y—yj/m^(z—zj/tit и (x—xi)/li = (y—y2)lm2 = (z—z2')/n2, определи- ется по формуле COS ф = ..... (5) К nfjZ Ч+ml+nl условие параллельности двух прямых'. 1±/12 = т1/т2 = njn^, (6) условие перпендикулярности двух прямых'. /1/2 ~F т±т2 П]П2 = 0. (7) 7) Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых, заданных их каноническими уравнениями, в одной плоскости (условие компланарности двух прямых): x2—xt У2—У1 Ч т1 12 т2 ^2—^1 п2 = 0. Если величины 11У гщ, п± не пропорциональны величинам 12, т2, п2, то ука- занное соотношение является необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых в пространстве. 58
8) Угол между прямой (х—х1)/1 = (у—У1)/т = (г—Zi)/n и плоскостью Ах-}-By-{-Cz-[-D = 0 определяется по формуле . АI Вт —Сп znv sin ср = т1—7— —; (9) КЛ2 + В2 + С2 /2+т2+па условие параллельности прямой и плоскости'. А1+Вт+Сп = Ъ (Ю) условие перпендикулярности прямой и плоскости*. А]1 = В/т = С/п. (11) 9) Для определения точки пересечения прямой (х—х^/1 = (у—Уо)1т — = (z—z0)M с плоскостью Ax-\-By-[-Cz-{-D = 0 нужно решить совместно их уравне- ния, для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямой x=//+x0, y=mt+yOt z=nt + z0: а) если Л/4-Вт + Сп0, то прямая пересекает плоскость; б) если А1-\- Вт-±-Сп = Ъ и Axo-|-Bi/o + Czo + £^O, то прямая параллельна плоскости; в) если Л/+Вт + Сп = 0 и Лхо + В1/о + ^о + Р = О, то прямая лежит в пло- скости. 316. Уравнения прямых 2х—z/+3z—1=0 и 5x-\-ty—z—7 = s= 0 привести к каноническому виду. Л I способ. Исключив сначала у, а затем z, имеем 13%4-llz—11=0 и 17хД- 11г/—22 = 0. Если разрешить каждое из уравнений относительно х, то получим U(f/_2)_ll(z —1) х _y-2_z-\ — 17 — 13 ’ — 11 17 13 ’ II способ. Найдем вектор s=^ Zi+ ^j +^"параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам Nx = 21 — i + 3k и N2 = 5i-|-4j — к заданных плоскостей, то за s можно принять векторное произ- ведение векторов Nx и N2: i j s = NxxN2 = 2 —1 5 4 k 3 — 1 =— Hi_|_i7j4_i3k. Таким образом, 1 =— 11; m=17; я = 13. В качестве точки Л1Х (хх; ух; zx), через которую проходит искомая прямая, можно взять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, напри- мер с плоскостью yOz. Так как при этом хх = 0, то координаты ух и zx этой точки определятся из системы уравнений заданных плоскостей, если в них положить х = 0: f — Z/+3z— 1 =0, \4у—z — 7 = 0. Решая эту систему, находим f/x = 2, zx=l. Итак, искомая прямая определяется уравнениями х/(—11) = (у—2)/17=(z—1)/13. А т-г Г 2хЗу-ф3z—9 = 0, 317. Построить прямую j4xJ2^z_8=0’ Л Искомую прямую можно построить как линию пересечения плоскостей. Для этого запишем уравнения этих плоскостей в отрезках на осях: х/4,54-у/34-?/3 = = 1, х/24-у/4 + г/8 = 1. Построив данные плоскости, получим искомую прямую (рис. 20). Д 69
318. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую (х-2)/2 = (у-1)/3 = (г-3)/1. Д Используя условие (11) перпендикулярности прямой и плоскости и полагая А — 1, B = tn, С — п, D = Q, составим уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной заданной прямой. Это уравнение имеет вид 2%+Зг/ + z — 0. Найдем точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Параметрические уравнения прямой запишутся так: х = 2/4-2, y=3t+ 1, z = t-\-3. Для определе- ния t имеем уравнение 2 (2/4~2) + 3 (3/+ 1)4- 4~/4-3 = 0, откуда / = —5/7. Координаты точки пересечения % = 4/7, у — — 8/7, и=16/7, т. е. М (4/7; —8/7; 16/7). Остается составить уравнения прямой, про- ходящей через начало координат и через точку М; используя соотношения (1), получим x/(4/7) = f//(—8/7) = z/(16/7), или х/\=у/(-2) = = ztA. 319. В уравнениях прямой х/2 = = ///(— 3) = z/п, определить параметр п так, чтобы эта прямая пересеклась с прямой (%+ 1)/3 = (z/Ц-5)/2 = г/1, и найти точку их пересечения. А Для нахождения параметра п используем условие (8) пересечения двух прямых; полагая хг = —1, у± =—5, гг = 0} х2 = 0, у2 = ^^ г2 = 0, /х = 3, тх = 2, Л1=1, 4 = 2, т2 =—3, n2 = nt получим 0 1 5 2 —3 п 1 3 2 = 0, или 2п-\-104-3— 15п = 0, т. е. и=1. Чтобы найти координаты точки пересечения прямых х/2 —г//(—3) = z/l и (х4~ l)/3 = (#4"5)/2 = z/l, выразим из первых уравнений х и у через z: x = 2z, у — —3z. Подставляя эти значения в равенство (х4~ 1)/3 = (у4~5)/2, имеем (2?4~ 1)/3 = (— 3?4~5)/2, откуда z — 1. Зная г, находим x = 2z = 2, у = —3z — = — 3. Следовательно, Л4 (2; —3; 1). Д 320. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М (3; 2; — 1) и пересекающей ось Ох под прямым углом. А Так как прямая перпендикулярна оси Ох и пересекает ее, то она проходит через точку N (3; 0; 0). Составив уравнения прямой, проходящей через точки М и N, получаем (х—3)/0= (у—2)/(— 2) = (z4~ 1)/1. Д 321. Дана плоскость х + у—2г— 6 = 0 и вне ее точка М (1; 1; 1). Найти точку N, симметричную точке М относительно данной пло- скости. А Запишем уравнения любой прямой, проходящей через точку М: (х—1)/Z = = (у—l)/m = (z—\)/п. Координаты {/; т; п} направляющего вектора прямой, перпендикулярной плоскости, можно заменить координатами нормального вектора п = {1; 1; —2} данной плоскости. Тогда уравнения этой прямой запишутся в виде (х— 1)/1 = (у—1)/1 = (z—1)/(— 2). Найдем проекцию точки М на данную плоскость, решив совместно уравнения х4-«/-2г-6=0, (х—1)/1 = (г/—1)/1 ==(z—1)/(— 2). 60
Перепишем уравнения прямой в видех = /+1, У=^ + Ь г = —2^ + 1. Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, найдем Z = l, откуда х = 2, У=2, z = — 1. Координаты симметричной точки найдутся из формул х = (х^ + хдг)/2, у = = (Ум + Ул^)/2, г = (^ + <у)/2, т. е. 2=(1+*л)/2, 2 = (1 + удг)/2, - 1 = (1 +zn)I2, откуда хдг = 3, уху=3, гдг=—3. Следовательно, N (3; 3; —3). Д 322. Дана прямая (х—1)/2 = у/3 = (? + 1)/(—1) и вне ее точка Л4(1; 1; 1). Найти точку Af, симметричную точке М относительно данной прямой. Л Уравнение плоскости, проецирующей точку М на данную прямую, имеет вид Л (х—1) + В (у—1) + С (г—1) = 0. Координаты нормального вектора {Л; В; С} плоскости, перпендикулярной прямой, заменим координатами направляющего вектора {2; 3; — 1} данной прямой; тогда получим 2 (х — 1)ДЗ (у—1) — (г—1) = 0, или 2х + 3у—г—4 = 0. Найдем проекцию точки М на прямую, для чего совместно решим систему урав- нений 2%+Зу-z—4 = 0, (х-1)/2 = у/3 = (г+1)/(-1). Параметрические уравнения данной прямой имеют вид х = 2/Д1, у = 3/, г — — — t — 1. Подставляя х, у и z в уравнение плоскости, найдем / = 1/14. Отсюда х = 8/7, у = 3/14, г = — 15/14. Тогда координаты симметричной точки можно найти, используя формулы для координат середины отрезка, т. е. 8/7 = (1 Дх^)/2, 3/14 = (1 + уд0/2,—15/14 = = (1+^)/2, откуда х^=9/7, У?/— — 4/7, г//= — 22/7. Итак, N (9/7;— 4/7; — 22/7). Д 323. Через прямую (%+1)/2 = (у—1)/(—1) = (г—2)/3 провести плоскость, параллельную прямой х/(—1) = (у + 2)/2 = (г—3)/(—3). Д Запишем уравнения первой из заданных прямых с помощью уравнений двух плоскостей, проецирующих ее соответственно на плоскости хОу и yOz: (х+1)/2 = (у—1)/(—1), или хД2у-1=0; (у—1)/(—1) = (г—2)/3, или ЗуДг—5 = 0. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через эту прямую, имеет вид х+2у —1+Х(Зу + г—5)=0, или х + (2 + ЗА) у + Аг—(1+ 5А) =0. Используя условие параллельности прямой и плоскости, определим X так, чтобы соответствующая плоскость пучка была параллельна второй из заданных прямых. Имеем —1-1+2 (2 + ЗА)—ЗА=0, или ЗА+3 = 0, откуда А =—1. Таким образом, искомая плоскость определяется уравнением х—у—г + 4 = 0. Д 324. Найти уравнения проекции прямой (х—1)/1 =(у+1)/2 = г/3 на плоскость х + у + 2г—5 = 0. Л Запишем уравнения заданной прямой в виде уравнений двух плоскостей, проецирующих ее соответственно на плоскости хОу и xOz: (х—1)/1 = (у+1)/2, или 2х—у—3 = 0; (х—1)/1=г/3, или Зх—г—3 = 0. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую, запишется в виде 2х—у—3 + А(3х—г—3) = 0, или (2 + ЗА)х—у — Аг—3(1 +А)=0. 61
Используя условие перпендикулярности плоскостей, выберем из этого пучка плоскость, проецирующую данную прямую на заданную плоскость. Имеем 1-(2 + Ч~ЗХ) + 1(—1) + 2(—л)=0, или Л+ 1 = 0, откуда Л =—1.Итак, уравнение проеци- рующей плоскости имеет вид 2х—у—3 + (—1)-(Зх—z—3) = О, или х-\-у—2 = 0. Искомую проекцию можно определить как линию пересечения двух плоскос- тей— заданной и проецирующей: (х+у+2г-5 = 0, \x+y—z = 0. Приведя эти уравнения прямой к каноническому виду, окончательно получим х/1 = (г/-5/3)/(-1) = (г-5/3)/0. А 325. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М (5; 3; 4) и параллельной вектору s = 2i + 5j—8k. Л Воспользуемся каноническими уравнениями прямой. Полагая в равенствах (2)1 = 2, т = 5, п — —8, хх = 5, r/x = 3, zx = 4, получаем (х—Ь)/2 — (у—3)/5 = = (z-4)/(-8). ± 326. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М (1; 1; 1) и перпендикулярной векторам sx = 2i + 3j + к и s2 = 3i+ + j + 2k. Л Прямая параллельна вектору s1Xs2 = 5i—j—7k, поэтому она определяет- ся уравнениями (х—1)/5 = (у—1)/(— 1) = (г—1)/(—7). Jk 327. Найти уравнения проекций прямой j х -р 2I/-I- —26 = О, [3x4-r/-j-4z—-14 = 0 на координатные плоскости. 328. Привести к каноническому виду уравнения прямой <2х+3у~ 16z—7 = 0, (Зх-j-r/— 17z= 0. 329. Вычислить углы, образованные с осями координат прямой / х—2у—5 = 0, (х—3z + 8 = 0. 330. Найти уравнения прямой, проходящей через точку Л4(1; —2; 3) и образующей с осями Ох и Оу углы 45° и 60°. 331. Найти уравнения прямой, проходящей через точку Лт(5; — 1; —3) и параллельной прямой f2*+3#+z—6 = 0, \4х—Ьу—?4-2=0. 332. Найти точку пересечения прямых (х—1)/(—!) = (//—2)/5= = (z + 4)/2 и (х—2)/2 = (#—5)/(—2) = (z—1)/3. 333. Даны три последовательные вершины параллелограмма: у4 (3; 0; —1), В(1; 2; —4) и С(0; 7; —2). Найти уравнения сторон AD и CD. 334. Найти параметрические уравнения прямой, проходящей че- рез точки М (2; —5; 1) и N (—1; 1; 2). 62
335. Вычислить расстояние между параллельными прямыми х/1 =(*/—3)/2 = (>—2)/1 и (х-3)/1 = (у + 1)/2 = (г-2)/1. 336. Даны точки Л(—1; 2; 3) и В (2; —3; 1). Составить урав- нения прямойд-Проходящей через точку М (3; —1; 2) и параллель- ной вектору АВ. 337. Найти угол между прямыми /4х—у—?+ 12 = 0, (Зх—2z/+ 16 = 0,' \у— z—2 = 0 и \3х—2 = 0. 338. В плоскости yOz найти прямую, проходящую через начало о (2х—у = 2, координат и перпендикулярную прямой |^_[_2г=—2. 339. Даны две вершины параллелограмма ABCD: С(—2; 3; —5) и D(0; 4; —7) и точка пересечения диагоналей Л4(1; 2; —3,5). Найти уравнения стороны АВ. 340. Треугольник АВС образован пересечением плоскости х 4-2// +4г—8 = 0 с координатными осями. Найти уравнения сред- ней линии треугольника, параллельной плоскости хОу. 341. Даны точки А (1; 1; 1), В(2; 3; 3) и С (3; 3; 2). Составить уравнения прямой, проходящей через точку А и перпендикуляр- ной векторам АВ и АС. 342. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М (0; 2; 1) и образующей равные углы с векторами а = i + 2j + 2k, b = 3j, c = 3k. 343. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую (х+ 1)/3 = (г/ — 2)/(—1) = z/4 и перпендикулярной плоскости Зх-\~у — — z -j- 2 = 0. 344. Найти уравнения проекции прямой х/2 = (у + 3)/1 = = (г— 2)/(—2) на плоскость 2x4-3//—z—5 = 0. § 2. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1. Сфера. В декартовой системе координат сфера, имеющая центр в точке С (я; 6; с) и радиус г, определяется уравнением (х—а)2 + 0/—6)2 + (г—c)2 = r2. (1) Если центр сферы находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид x2+r/2 + z2 = r2. (2) 345. Найти координаты центра и радиус сферы, заданной урав- нением х2г/2 4-г2—x + 2z/+ 1=0. Д Приведем уравнение сферы к каноническому виду (1), для чего дополним до полных квадратов члены, содержащие х, у, и z, т. е. перепишем уравнение в следующем виде: Ц-га+1=0. или 4+) +(г/+1)2+г2=4- 63
Следовательно, центр сферы—точка С (1/2; — 1; 0), а ее радиус г = 1/2. А 346. Составить уравнение сферы, проходящей через точки А (1; 2; —4), В(1; —3; 1) и С (2; 2; 3), если ее центр находится в плос- кости хОу. Д Так как точки А, В и С принадлежат сфере (х—л)2+(#~6)24-(z—с)2 = г2, центр которой находится в плоскости хОу (откуда о = 0), то их координаты долж- ны обращать искомое уравнение в тождество; поэтому получаем уравнения (1—а)24-(2 —6)2-|-(—4)2 = r2, (1— а)2 + (— 3—6)2+12 = г2, (2-а)2+(2—6)2 + 32 = г2. Отсюда (1 —а)2 + (2 —02+16 = (1—п)2 + (—3 —6)24-1, (1 —а)2Н (2 —6)2-|-16 = (2—а)24~ (2 —6)2-|~9, или (2—6)2—(—3—6)2 = —15, т.е. 106=10; (1—а)2—(2—а)2 =—7, т. е. 2а~—4, Итак, а =—2, 6=1. Следовательно, центр сферы — точка С(—2; 1; 0). Далее, находим r2 = (1_«)2_|_(2—6)2+16 = (1 + 2)2 + (2—1)2+16 = 26. Таким образом, искомое уравнение имеет вид (х + 2)2 4- (у—I)2 + z2 = 26. А 347. Найти координаты центра и радиус окружности ((х - З)2 + [у+2)2 + (г -1)2 = 100, ( 2х—2у—z-|-9 = 0. Л Из центра сферы С (3; —2; 1) опустим на плоскость 2х—2у—z + 9 = 0 перпендикуляр, уравнения которого можно записать в виде (х—3)/2 = (у+2)/(—2) = (z —1)/(— 1) (0 (в качестве направляющего вектора этого перпендикуляра можно взять нормаль- ный вектор заданной плоскости). Теперь найдем координаты точки пересечения прямой (*) с плоскостью 2х—2у—? + 9 = 0. Эта точка и есть центр окружности, являющейся сечением сферы данной плоскостью. Записав уравнения прямой в параметрическом виде х = 2/4~3, у = —2t — 2, z =—f + 1 и подставив х, у, zb уравнение плоскости, получим 2 (2/4-3) — 2 (— 2t — 2) — (— /+1) + 9 = 0, т.е. / = —2. Следовательно, х = 2(—2)4-3 =—1, у = —2 (—2) —2 = 2, ? = —(—2)4-1 =3, т.е. центр окружности находится в точке С(—1; 2; 3). Найдем теперь расстояние d от центра сферы С (3; —2; 1) до плоскости 2х—2у—z 4-9 = 0: ^^2-34-2-2 —14-9_6 у22 +22 +1 Радиус окружности г определится из равенства r2 = Ri—d~, где 7?—радиус сфе- ры; таким образом, г2= 100—36 = 64, т.е. г = 8. А 348. Определить координаты центров и радиусы сфер, заданных уравнениями: 1) (хф I)2 ф {у ф- 2)2 ф- г2=25; 2) х2фу2фг2—4хф6г/ ф- + 2г—2 = 0; 3) 2х2 + 2г/2ф-2г2ф4у—Згф2 = 0; 4) х2 + г/2 ф г2 = 2х; 5) х2фг/2фг2 = 4г —3. 349. Как расположена точка М(1;—1; 3) относительно сфер: 1) (х— 1)2ф(г/ф2)2фг2=19; 2) х2ф-у2фг2—х + у = 0; 3) х2 + у* + ф- г2—4хфу—2г = 0? 64
350. Составить уравнение сферы, если точки М (4; —1; —3) и N (0; 3; —1) являются концами одного из ее диаметров. 351. Составить уравнения окружности, образующейся в сечении сферы (х— I)2 + (у— I)2 + (г — З)2 = 25 координатной плоскостью г = 0. 352. Найти координаты центра и радиус окружности х?Н~1/2 + 4-г2 =100, 2х~\-2у—г=18. 2. Цилиндрические поверхности и конус второго порядка. Уравнение ви- да F (х, у) = 0 в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны оси Oz. Аналогично, уравнение F (х, z)=0 определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Оу, и F (у, z) = 0—цилиндрическую поверхность с образующими, параллель- ными оси Ох. Канонические уравнения цилиндров второго порядка: х^ у2 -^2 4"^2"= 1 —эллиптический цилиндр у2 ’^2—'ь2==1 —гиперболический цилиндр, у2~2рх— параболический цилиндр. Образующие всех трех цилиндров, определяемых этими уравнениями, парал- лельны оси Oz, а направляющей служит соответствующая кривая второго поряд- ка (эллипс, гипербола, парабола), лежащая в плоскости хОу. Следует помнить, что кривую в пространстве можно задать либо параметри- чески, либо в виде линии пересечения двух поверхностей. Например, уравнения направляющей эллиптического цилиндра, т. е. уравнения эллипса в плоскости хОу, имеют вид х2 । 1 fl2 ‘ b2 — Ь 2 = 0. Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат, осью кото- рого служит ось Oz, записывается в виде у2 о2 2^ *______L —______— = 0. а2 Z?2 с2 Аналогично, уравнения z2 Ь2 с2 ’ а2 Ь2 * с2 являются уравнениями конусов второго порядка с вершиной в начале коорди- нат, осями которых служат соответственно оси Оу и Ох. 353. Какую поверхность определяют в пространстве уравнения: 1) x2 = 4z/; 2) г2 = хг? Л 1) Уравнение х2 = 4г/ определяет параболический цилиндр с образующими, параллельными оси Oz. Направляющей цилиндрической поверхности является парабола х2 = 4г/, z = 0. 2) Уравнение z2 = xz может быть представлено в виде z (z—х) и распадается на два уравнения: г = 0 и z = x, т. е. оно определяет две плоскости — плоскость хОу и биссектральную плоскость z = x, проходящую через ось Оу. А 354. По какой линии пересекается конус х2 + у2—2з2 = 0 с пло- скостью у = 2? 3 № 1474 65
Д Исключив из системы уравнений у, получим х2 + 4— 2г2 = О, или z2/2 — — х2/4 = 1. Следовательно, искомой линией пересечения является гипербола, лежа- щая в плоскости // = 2; ее действительная ось параллельна оси Oz, а мнимая — оси Ох. А 355. Составить уравнение конической поверхности, вершиной которой служит точка М (0; 0; 1), а направляющей—эллипс х2/25 + + ^/9=1, z = 3. Л Составим уравнение образующей AM, где А (х0; '/0; z0)—точка, лежащая на эллипсе. Уравнения этой образующей имеют вид x/xQ = y/yQ = (z—l)/(z0— 1). Так как точка А лежит на эллипсе, то ее координаты удовлетворяют уравнениям эллипса, т. е. х2/25 + #2/9 = 1, z0 = 3. Исключив теперь х0, у0 и z0 из системы х/х0==(г—1)/(г0—1), Оо = (г-1)/(г0-1), 4'25+ //2/9 = 1. г0 = 3, получим уравнение искомого конуса: x2/25-j-y2/9— (z—1)2/4 = 0. А 356. Установить, какие поверхности определяются следующими уравнениями, и построить эти поверхности: 1) х2 + у2 = 4; 2) х2/25+ + у2/16=1; 3) х2 — у2=1', 4) у2 = 2х\ 5) z2 = y, 6) г-|-х2 = 0; 7) х2 + 4-r/2 = 2z/; 8) х2+ д/2 = 0; 9) х2 — z2 = 0; 10) у2 = ху. 357. Составить уравнения линий пересечения конуса х2—y2-rZ2~ = 0 с плоскостями: 1) у = 3; 2) г=1; 3) х = 0. 358. Составить уравнение конуса с вершиной в начале коорди- нат, направляющие которого заданы уравнениями: 1) х = а, y2-\-z2 = = b2; 2) y = b, x2-{-z2 = a2\ 3) z = с, х2/а2 + у2/Ь2 = 1. 3. Поверхности вращения. Поверхности второго порядка. Если лежащая в плоскости yOz кривая F (у, z) = 9, х = 0 вращается вокруг оси Oz, то уравнение образуемой ею поверхности вращения имеет вид F (У х2 -|- у2, ?) = 0. Аналогично, уравнение F (х, У'у2-\-г2) =0 определяет поверхность, образо- ванную вращением вокруг оси Ох кривой F (х, у) =0, г = 0; уравнение F (У х 2 + ?2, у) = 0 — поверхность, образованную вращением той же кривой вокруг оси Оу. Приведем уравнения поверхностей вращения второго порядка, образуемых вращением эллипса, гиперболы и параболы вокруг их осей симметрии. Эллипсоид вращения х2А-у2 , ?2 _ . а2 с2 ’ осью вращения служит ось Oz; эллипсоид сжат при а > с и удлинен при а < с (при а = с он превращается в сферу). Однополостный гиперболоид вращения х2-{-у2 Z2 _ а2 с2 1 осью вращения является ось Oz (служащая мнимой осью гиперболы, вращением которой образована эта поверхность). Двуполостный гиперболоид вращения х2А~У2 г2_ а2 с2 ’ осью вращения является ось Oz (служащая действительной осью гиперболы, вра- щением которой образована эта поверхность). С6
Параболоид вращения x2-\-y2 = 2pz\ осью вращения служит ось Oz. Поверхности вращения второго порядка являются частным случаем поверх- ностей второго порядка общего вида, канонические уравнения которых таковы: Эллипсоид (трехосный) X2 , У2 , а2-Г Й2-ГС2 — *• Однополостный гиперболоид I а2 * Ь2 с2 Двуполостный гиперболоид а2+62 С2— Ь Эллиптический параболоид х2 и2 у+у=2? (р > 0, > 0). Кроме этих четырех поверхностей второго порядка, трех цилиндров второго порядка (эллиптического, гиперболического и параболического) и конуса второго порядка, существует еще одна поверхность второго порядка—гиперболический параболоид, каноническое уравнение которого имеет вид х2 и2 -----— = 2z (р > о, q > 0). р q Таким образом, всего существует девять различных поверхностей второго порядка. 359. Найти уравнение поверхности, полученной при вращении прямой % + 2z/ = 4, z = Q вокруг оси Ох. Д Поверхностью вращения является конус с вершиной в точке М (4; 0; 0). Пусть произвольная точка А искомой поверхности имеет координаты X; У; Z; ей соответствует на данной прямой точка В (х; у\ 0). Точки А и В лежат в одной плоскости, перпендикулярной оси вращения Ох. Тогда Х=х, y24-Z2 = z/2. Подставляя выражения для х и у в уравнение данной прямой, получим урав- нения искомой поверхности вращения: ХД-2 V^K2 + Z2 = 4, или 4(Y2-}-Z2) — -(X—4)2 = 0, т. е. 4K2 + 4Z2 — (X —4)2 = 0. Д 360. Какую поверхность определяет уравнение x2 = yz? Л Произведем поворот координатных осей вокруг оси Ох на угол а = 45° (от оси Оу к оси Oz против часовой стрелки). Формулы преобразования координат: х = хг, // = //'cos а — z' sin а, z~y' sin а + z' cos а. Так как sina = cosa=)^ 2/2, то х = х', г/ = (К2/2)(г/'-г'), г = (К^/2)(у' + г'). . 2 г Подставив эти выражения в уравнение поверхности, получим х' =у' /2 — г' /2, или х' —у' /2A-Z'2/2 = 0 (конус с вершиной в начале координат, осью которого является ось ординат). Д 361. Найти уравнение поверхности, полученной при вращении прямой 2г/-|-г — 2=0, х = 0 вокруг оси Oz. 362. Найти уравнения линий пересечения поверхности z = x2 — у2 плоскостями z = 1, у=1, х= 1, z = — 1. 363. Какие поверхности определяются уравнениями: 1) z = xy> 2) г2 = ху? © Произвести поворот вокруг оси Oz на угол 45°. 3* 67
364. Найти уравнение эллиптического параболоида, имеющего вершину в начале координат, осью которого является ось Ог, если на его поверхности заданы две точки М (—1; —2; 2) и W (1; 1; 1). 365. Составить уравнение эллипсоида, осями симметрии которого служат оси координат, если на его поверхности заданы три точки Л (3; 0; 0), В (—2; 5/3; 0) и С(0; —1; 2/И”5). 366. Найти уравнения линии пересечения поверхностей z — 2— — х2—у2 и г = х24у2. 367. Исследовать, какие поверхности определяет уравнение г2 4- 4- х2 = т (г2 + у2) при: 1) т = 0; 2) 0 < т < 1; 3) т > 1; 4) т < 0; 5) tn = 1. 4. Общее уравнение поверхности второго порядка. Общее уравнение второй степени относительно х, у и z имеет вид А х2 4- В у2 + Cz2 + 2D yz + 2Exz + 2Fxy+2Gx + 2Hy+2Kz+L = 0. Это уравнение может определять сферу, эллипсоид, однополостный или двупо- лостный гиперболоид, эллиптический или гиперболический параболоид, цилиндри- ческую или коническую поверхность второго порядка. Оно может также опреде- лять совокупность двух плоскостей, точку, прямую или даже не иметь геометри- ческого смысла (определять «мнимую» поверхность). Прп D = 0, £ = 0, F = 0 общее уравнение принимает вид Ах2 + By2 + Cz2 + 2Gx+2Ну = В этом случае уравнение легко упрощается с помощью параллельного переноса осей координат, что позволяет сразу установить его геометрический смысл. 368. Каков геометрический смысл уравнения X2 + 4//2 + 9г2 + 12yz + 6xz + 4хт/—Ах—8у— 12г 4-3 = 0? Л Данное уравнение можно записать в виде (х4- 2у4- З?)2 —4 (х4- 2//4- Зг) 4-3 = 0. Разложим на множители левую часть уравнения: (х4-2//4~Зг—\')(x-\-2y-}-3z—3)= = 0. Таким образом, уравнение определяет совокупность двух плоскостей х4-2{/4* 4~3г—1=0, x4-2r/4-3z — 3 = 0. Д 369. Каков геометрический смысл уравнения х2 4- у2 + z2—yz — xz—ху — 0? Л Умножая на 2, перепишем уравнение в виде 2л2 4-2г/24~2г2 — 2yz— 2xz — 2ху = 0, или (X—у)2 4- {у — Z)2 4- (х— Z)2 = 0. Этому уравнению удовлетворяют координаты только тех точек, для которых выполняются равенства х = у, y = z, x = z. Таким образом, уравнение определяет прямую x — y = z. А 370. Каков геометрический смысл уравнения х2 + z/2 + 4г2 — 2ху — 8г 4- 5 = 0? Л Перепишем уравнение в виде (х—z/)2-f-4(z—1)2 =—1. Это уравнение не имеет геометрического смысла, так как его левая часть не может быть отрица- тельной ни при каких действительных значениях х, у и z. Д 68
371. Привести к каноническому виду уравнение 4х2 4- 9у2 + 36г2—8%—18г/—72г + 13 = 0. д Сгруппируем члены с одинаковыми координатами: 4 (х2—2л) + 9 (у2—2г/) + 36 (г2—2г) =— 13. Дополнив до полных квадратов выражения в скобках, получим 4 (х2—-2х+1) + 9 (г/2—2z/+1)+36 (г2—2г+1)=— 13 + 4 + 9 + 35, или 4 (х—1)2 + 9 (у—1)2 + 36 (2 —I)2 = 36. Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало координат точку О' (1; 1; 1). Формулы преобразования координат имеют вид х=х' + 1, у = у' + 1, 2 = 2' +1. Тогда уравнение поверхности запишется так: 4х'2 + 9у,2 + 3б2'2 = 36, или х'2/9 + у,2/4 + г'2 = 1. Это уравнение определяет эллипсоид; его центр находится в новом начале координат, а полуоси соответственно равны 3, 2 и 1. А 372. Привести к каноническому виду уравнение х2—у2 — 4х + 8у—2г = 0. Д Сгруппируем члены, содержащие г и у: (х2— 4х)— (у2—8y) = 2z. Допол- няем до полных квадратов выражения в скобках. (х2_4х+4)_(1/2__8//+16);= 2г + 4—16, или (х—2)2 —(у—4)2 = 2 (2—6). Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало точку О'(2; 4; 6). Тогда х = х' + 2, у = у' + 4, 2 = 2' + 6. В результате получаем уравнение х'2—y'2 = 2z', определяющее гиперболический параболоид. А 373. Какая поверхность определяется уравнением 4х2 —у2 + 4г2—8% + 4г/ + 8г + 4 = 0? Л Выполнив соответствующие преобразования, получим 4 (х2— 2х) — (у2— 4у) +4 (22 + 2г) =— 4; 4 (х2—2х+1) —(у2—4у + 4) + 4 (22 + 2г +1) =— 4 + 4 — 4 + 4; 4 (х— I)2 — (у—2)2 + 4 (2+ 1)2 = 0. Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало точку О'(1; 2; —1). Формулы преобразования координат х = х' + 1, у = у' + 2, г = 2х —1. Тогда данное уравнение примет вид 4х'2—у'2 + 4г/2 = 0, или х’ —У' = Это уравнение конической поверхности. А Выяснить, какие поверхности определяются следующими уравне- ниями: 374. х2—ху—хг + //г = 0. 375. х2 + г2 — 4х—4г + 4 = 0. 376. х2+-2у2 + г2—2ху—2//г = 0. 377. х2 + +2 —г2—2у + 2г = 0. 378. x2 + 2y2 + 2z2 — 4у + 4г + 4 = 0. 379. 4х2 + у2—г2—24х—4у + 2г + 35 = 0. 380. x2 + y2—z2—2x—2y + 2z + 2 = 0. 381. х2 + у2 — 6х + 6у—4г+ 18 = 0. 382. 9х2 —г2—18х—18г/—6г = 0.
ГЛАВА IV ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ § 1. ПОНЯТИЕ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕ п-ГО ПОРЯДКА Определитель четвертого порядка, соответствующий таблице элементов 012 022 032 042 011 021 031 ‘041 Я13 023 033 043 О1А 024 ) а j , определяется равенством я44/ а11 012 013 014 021 022 023 024 022 02 3 024 031 032 033 034 = 0ц 032 033 034 041 042 043 044 042 043 044 021 023 024 021 022 024 021 022 023 012 031 033 034 + 013 021 032 034 — 014 031 032 033 041 043 044 041 042 044 041 042 043 С помощью определителей четвертого порядка можно аналогично ввести понятие определителя пятого порядка и т. д. Для определителей любых порядков остаются в силе определения минора и алгебраического дополнения некоторого элемента и обе теоремы об алгебраических дополнениях, сформулированные для определителей третьего порядка Таким образом, обозначая через минор, а через — алгебраическое дополнение элемента определителя n-го порядка (т. е. элемента, находящегося в i-й строке и k-м столбце этого определителя), имеем Л* = (-1)г' + АМ/й. Пусть D—определитель az-го порядка. Раскрывая его сначала по элементам t-й строки, а затем по элементам #-го столбца, в силу теоремы 1 (см. с. 41) получим D = 0/1Л/1 + 0/2+2 + • • • +0/п^/«; D = а^А^ + a2k^2k + • • • + ank^nk- С Другой стороны, при / # I и k I в силу теоремы 2 (см. с. 41) имееем + • • • ~\~ajn^in = О, 01/Ип + 02/г+/ + • • • +0п/Ипг = О- Свойства определителей второго и третьего порядка, сформулированные на с. 41, справедливы и для определителей любого порядка. Решение системы линейных уравнений {0Ц*1 +012*2 + • • • ~\-ainxn~^ii 021^1 + 022^2 + • • • ~\га2ПХП — ^ anixi + 0«Л + • • • + аппхп = bnt определитеть которой 011 012 • • • ain 021 022 • • • 02П /О, ani ап2 • • • апп 70
находится по формулам jv1 = £>1/Z?; x2=D2/D; xn~Dn!D. В этих формулах D—определитель системы, a Dk(k=\, 2, ...? л) —определи- тель, полученный из определителя системы заменой k-ro столбца (т. е. столбца коэффициентов при определяемом неизвестном) столбцом свободных членов: aii а12 ••• ai,k-i ai, k + i ••• ain «21 ^22 ••• а2, /г-1 &2 ^2, /г + 1 °2а ^п! cin2 ... ипf k — i bn k+i ••• ctnn Dk = 383. Вычислить определитель 3 5 7 2 1 2 3 4 —2—332* 1 3 5 4 Л Произведем следующие действия: 1) из элементов 1-й строки вычтем утроенные элементы 2-й строки; 2) к элементам 3-й строки прибавим удвоенные элементы 2-й строки; 3) из элементов 4-й строки вычтем элементы 2-й строки. Тогда исходный определитель преобразуется к виду 0 —1 —2 —10 D = 12 3 4 0 1 9 10 0 12 0 Разложим этот определитель по элементам 1-го столбца: — 1 1 1 —2 —10 9 10 2 О Прибавляя к элементам 1-й строки элементы 3-й строки и вычитая из эле- ментов 2-й строки элементы 3-й строки, получим О= — О 0 —10 0 7 10 1 2 0 Разложим определитель по элементам 1-го столбца: °=-|?“ю|=-70‘ А 384. Вычислить определитель 1 2 0 0 0 3 2 3 0 0 0 4 3 4 0 0 0 5 4 5 0 0 0 6 5 Д Вынесем за знак определителя общие множители 2, 4 и 5-го столбцов: Р = 2-2*5- 110 0 0 3 13 0 0 0 2 3 2 0 0 0 5 2 1 0 0 0 3 1 71
Вычтем из элементов 2-го столбца ченный определитель по элементам 1-й строки: элементы 1-го столбца и разложим полу- Z) = 20 1 0 0 0 0 3 —2 3 0 0 0 2 3 2 0 0 0 5 2 1 0 0 0 3 1 = 20 —2 3 0 0 2 3 2 0 0 5 2 1 0 0 3 1 • Прибавим к элементам 2-й строки элементы 1-й строки, вынесем —2 (общий множитель элементов 1-го столбца) за знак определителя, а затем разложим по- лученный определитель по элементам 1-го столбца: D = — 40 13 0 0 0 6 2 0 0 5 2 1 0 0 3 1 = —40 6 2 0 5 2 1 О 3 1 Вычтем из элементов 2-й строки элементы 3-й строки, вынесем 2 (общий мно- житель элементов 1-й строки) за знак определителя и разложим полученный опре- делитель по элементам 3-го столбца: D = — 80 3 1 О 5—10 О 3 1 = — 8011 _[ | =640. А 385. Найти у из системы уравнений {x + 2t/4-3z = 14, z/+2z-(-3/ = 20, z + 2/ + 3x=14, / + 2х4-Зг/=12. Л Запишем систему в виде / х+ 2t/+ 3z+0.f = 14, O-x-f- У+ 3/ = 20, < Зх + 0-1/+ z+ 2/ = 14, k 2х+ 3Z/+0-Z+ / = 12. Найдем 12 3 0 п_ 0 1 2 3 3 0 1 2 * 2 3 0 1 Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы 1-го столбца; из эле- ментов 3-го столбца вычтем утроенные элементы 1-го столбца: D = 1 000 0 12 3 3—6—8 2 2—1—6 1 Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы 1-го столбца; из элемен- тов 3-го столбца вычтем утроенные элементы 1-го столбца: 1 О О 3 —2 —10 1 4 —4 D = 2 = 2| 4 _|°| = 2(8 + 40) = 96. Находим 1 7 3 0 О 10 2 3 3 7 12 2 6 0 1 72
Из элементов 3-й строки вычтем утроенные элементы 1-й строки; из элементов 4-й строки вычтем удвоенные элементы 1-й строки: 1 7 3 0 0 10 2 3 0 —14 —8 2 0—8 -6 1 10 2 —14 —8 -8 —6 3 2 =2-2-2 1 5 1 3 —7 —4 2 —4 —3 1 D^2 Из элементов 1-й строки вычтем утроенные элементы 3-й строки; из элементов 2-й строки вычтем удвоенные элементы 3-й строки: 17 1 —4 Z), = 8 10 0 2 0 —3 1 = 8| l? Отсюда у = Dу ID — 192/96 = 2. А 386. Вычислить определитель 1111 v а b с d а2 Ь2 с2 d2 а3 Ь3 с3 d3 Д Вычтем из 2-й строки I-ю, умноженную на а; из 3-й строки 2-ю, умно- женную на с; из 4-й строки 3-ю, умноженную на а: V = 1 1 0 b—а 0 Ь2—ab 0 Ь3—ab2 1 1 с—a d—а с2—ас d2—ad с3—ас2 d3—ad2 = (b—а) (с—a) (d—a)* 1 1 1 bed b2 с2 d2 Вычтем чз 2-й строки 1-ю, умноженную на Ь; из 3-й строки 2-ю, ную на Ь: умножен- 1 1 1 у = (Ь —а) (с—a) (d—a) 0 с—b 0 с2 — Ьс d—b d2—db = (&—а) (с—а) (d—a) (c—b) (d —b) I = (b—а) (с — a) (d—a) (c—b) (d — b) (d — c). Нетрудно видеть, что рассматриваемый определитель равен нулю тогда и только тогда, когда среди чисел a, b, с, d имеются равные. А Вычислить определители: 1 —2 3 4 387. 2 1 3 —4 —4 — 1 - 3 -2 ’ 4 3 2 - -1 10 2 0 0 0 12 10 2 0 0 389. 0 12 10 2 0 0 0 12 10 2 0 0 0 12 10 388. —1 —1 —1 —1 —1—2 —4 —8 — 1—3 —9 —27 — 1 —4 —16 —64 1 -I- a 1 1 1 390. 1 1 I— a 1 1 l-f-Z? 1 1 1 1 1 1— b Решить системы уравнений: {у—3z 4t = —о, x-2z+3^-4, Зх+2//-5/= 12, 4x-j-3r/ — 5? = 5. 392. / х— 3yJ--5z— 7t — V2, 3x — 3y+7z— t= 0, ' Зх—7у-{- z — 3t= 4, k 7x— y + 3z — 5Z = 16. 73
393. *+ 2у= 5, Зу + 4z = 18, 5z-|- 6z/ = 39, 7и 4~ 8v = 68, 9t>+ 10% = 55. 394. {2x^-3y—3z + 4/= 7, 2x — у— z^lt— 5, 6x-p2#+ z =4, 2x-3y — bt = —H< § 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МАТРИЦЫ С помощью равенств х = а^х' а^у' i У = а21х' а22у' значения переменных х и у можно выразить линейно через значения переменных х' и у'. Эти равенства принято называть линейным преобразованием переменных х' и у'. Их можно рассматривать также как линейное преобразование координат точки (или вектора) на плоскости. Таблина А = ( aii ai2 \ #21 #22 / называется матрицей рассматриваемого линейного преобразования, а определитель — определителем линейного преобразования. В дальнейшем будем предполагать, что ЬА ф 0. Можно также рассматривать линейное преобразование трех переменных (т. е. для пространства)* х = а1±х' + a12yf + #1з* 2\ у = а21х' -}-а22у' +#2з2\ 2 — #31*' аз2У' ~г~азз2'» где /#11 #12 #13\ #11 #12 #13 #21 #22 #23 j и DA — а2± а22 а23 . \#31 #32 #33/ #31 #32 #33 — соответственно матрица и определитель этого преобразования. Матрица А называется невырожденной (неособой), если DA ?= 0. Если же £)^ = 0, то матрица называется вырожденной (особой). Матрицы И #21 #22 #23 \ #21 #22 / \ _ п J '#31 #32 #33' Называются квадратными матрицами соответственно второго и третьего порядков. Для большей общности ряд определений будет дан для матриц третьего по- рядка; применение их к матрицам второго порядка не вызывает затруднений. * Часто линейным преобразованием называют равенства более общего вида х=а±±хг -Уа±2у' 4-#1з^' 4~^i, У = #21^Z 4“ а22.У' 4- #23^' 4" М 2 = а31х' 4- #32/ ~г #зз£' 4- ^3- Здесь рассматривается линейное преобразование, для которого = Ь2 =Ь3 = 0. В курсах функционального анализа такое линейное преобразование называют линейным оператором. 74
Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию атп~апт, то матрица называется симметрической. Две матрицы /а11 #12 #13\ /^11 ^12 ^1з\ А=( #21 #22 #23 j И В=[ ^21 ^22 ^23 / \#31 #32 #33' \^31 ^32 ^33' считаются равными (А = В) тогда и только тогда, когда равны их соответствен- ные элементы, т. е. когда атп=Ьтп (т, п=1, 2, 3). Суммой двух матриц А и В называется матрица, определяемая равенством #11 #12 #13\ /^11 ^12 ^1з\ /#11 + ^11 #12 + Ь12 #1з4~^13 #21 #22 #23 j + ( Ь21 Ь22 Ь23 }—[ #214“ ^21 #22“Ь^22 #23“Ь^23 '#31 #32 #33' \^31 ^32 Ь33/ \#314“^31 #32 4“ ^32 #33+ ^33 Произведением равенством числа т на матрицу А называется матрица, определяемая /#и #12 #13\ /таи #г#12 ^#13\ /72 ( #21 #22 #23 ) = ( #1#21 Ш#22 Ш#23 )• \#з1 #32 #зз/ \m#3i т#32 tna3J Произведение двух матриц А и В обозначается символом АВ и определяется равенством /#11 #12 #13\ /^11 ^12 ^13\ АВ=( #21 #22 #23 И ^21 Ь22 Ь23 1 = \#31 #32 #33' \^31 ^32 ^ЗЗ/ ( 3 2 j = 1 3 2 ^ijbj2 j=1 3 \ 2 ^ij^3 i= 1 = 3 2 ^2j^ji j =1 3 2 ^2j^j2 i = 1 J A 3 2 ^2j^j3 3 i = 1 3 2 u=i J A 3 2 ^3j^j2 j=l J A 3 2 ^j^3 j=i 7 т. е. элемент матрицы-произведения, стоящий в i-й строке и k-м столбце, ра- вен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и k-eo столбца матрицы В. По отношению к произведению двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется: АВ 7= В А. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц. Нулевой матпиней называется матрица, все элементы которой равны нулю: /О 0 0\ (ООО ) = 0. \о о о 7 Сумма этой матрицы и любой матрицы А дает матрицу А: А4-0 = А, Единичной матрицей называется матрица / 1 0 °\ Е = \ 0 10. \0 0 1 ) При умножении этой матрицы слева или справа на матрицу А получается матрица А: ЕА~АЕ = А. Единичной матрице отвечает тождественное линейное преобразование: х = х', // = #', z = zr. 75
Матрица В называется обратной по отношению к матрице Л, если произве- дения АВ и В А равны единичной матрице: АВ = ВА = В. Для матрицы, обратной по отношению к матрице Л, принято обозначение Л'1, т. е. В=--А~\ Всякая невырожденная квадратная матрица Л имеет обратную матрицу. Об- ратная матрица находится по формуле / ^11/^Л ^21/^Л Лх2/^л -^22/^л \Л13//)л Л23/Пл Лз1/£>д\ Лзг/^Л -> Азз/Пл/ где А тп— алгебраическое дополнение элемента матрицы атп в ее определителе, т. е. произведение минора второго порядка, полученного вычеркиванием /n-й строки и н-го столбца в определителе матрицы Л, на (—1)от + л. Матрицей-столбцом называется матрица /*1\ Х = ( х2 \*3/ Произведение АХ определяется равенством /^#11 #12 #1з\ /*1\ / а11х1 ~#12*2~1- #13X3' АХ—{ а21 «22 #23 Н Х2 ) = ( #21*1 ~ #22*2+#23*3 ^#31 #32 #33' ^*3' '#31*1 “Г #32*2+#33*3 Система уравнений #11*1 + #12*2 + #13*3 = dfi #21*1 + #22*2 + #23*3 =^2» #31*1 +#32*2 + #33*3 = ^3 может быть записана в виде АХ = В, где ^#11 #12 #13\ /*1\ /^1’ Л=ц#21 «22 «23 ), Х = [х2 , В = [^ д2 \#31 #32 #33' \*3/ \&3 Решение этой системы имеет вид Х = А~1В (если Лл 0). Характеристическим уравнением матрицы называется уравнение #12 #22--- #32 #13 #23 #33— #21 #31 Корни этого уравнения Х2, Х3 называются характеристическими числами матрицы; они всегда действительны, если исходная матрица является симметричес- кой. Система уравнений ( (#11--В1 + #12?2 + #13?3 = 0> \ #21?1 + (#22--§2 ~Г #23?3 == 0, #31^1+ #32^2 + (#33— ^)§3 = 0, в которой X имеет одно из значений Х2, Х3 и определитель которой в силу этого равен н^лю, определяет тройку чисел (gx; §з), соответствующую дан- ному характеристическому числу. 76
Эта совокупность трех чисел (5i; 5з) с точностью до постоянного множи- теля определяет ненулевой вектор г = 1Д -р g2j + Взк, называемый собственным вектором матрицы. 395. Дано линейное преобразование х = х' + у' + ?', у = х' + уг, г = х и даны точки в системе координат х, у', г': (1; —1; 1), (3; —2; —1), (—1; —2; —3). Определить координаты этих точек в системе х, yf z. Д Подставив координаты точек в равенства, определяющие данное линейное преобразование, получаем: если х' = 1, у' =—1, г' = 1, то х = 1, г/ = 0, г = 1,т. е. (1; 0, 1); если х' =3, у' =—2, г'= — 1, то х = 0, //=1, г = 3, т. е. (0; 1; 3); если х'=—1, у'——2, zf =—3, то х = —6, у =—3, г =—1, т. е. (—6; —3; —1). А 396. Написать линейное преобразование предыдущей задачи для перехода от координат х, у, г к координатам х', у', z . Д Имеем х'=г (из третьего равенства); у' = у—г (вычитаем из второго ра- венства третье): z'=x—у (вычитаем из первого равенства второе). А 397. Дано линейное преобразование х = х' + 2у', у = 3х' + 4у'. У каких точек оно не меняет координат? Л Нужно найти х и у, если х = х', у —у', т. е. х = х-\-<2уу у = Зх-^Ьу. Сле- довательно, х = х' = 0, y — y' = Q. А 398. У каких точек линейное преобразование х = 3х'—2у', у = = 5х'—4у' не меняет координат? Д Имеем х = 3х—2уу у = 3х—4у. Следовательно, х=у = х' =у', т. е. линей- ное преобразование не меняет координат у точек (/; t) с одинаковыми координа- тами. д 399. Найти сумму матриц /3 5 7\ ( 1 2 4\ А ==[ 2 -1 0 , В = [ 2 3-2). \4 3 2/ 1 0 1/ /3+1 5 + 2 7 + 4\ /4 7 11\ Д А + В = \ 2 + 2 —1+3 0 — 2 = 4 2 —2 . А V — 1 3 + 0 2+1/ \3 3 3/ 400. Найти матрицу 2Л + 5В, если МЛ). MU с-М'ЛЭ. *л+5^(;и).л 401. Найти произведения матриц АВ и ВА, если /1 3 1\ /2 Л = |2 0 4, В= 1 <1 2 3/ \3 /1-2+31-4-1-3 1-14-3 (—1)4-1-2 Л 4В = 2-24-0-14-4-3 2-14-0(—04-4-2 \ 1-24-2-1 4-3-3 1-14-2(—1)4-3-2 1 °\ -1 2 ). 2 1/ 1-04-3-24-1-1\ /80 2.04-0-24-4-1 )= 16 10 1-04-2-24-3-1/ \13 5 /2-14-1-24-0-1 2-34-1-04-0-2 2-14-1 -44-0-3\ /4 6 6\ ВА=1 1-1 —1-24-2-1 1-3—1-04-2-2 1-1 —1-44-2-3 | = ( 1 7 3). \3-14-2-24-l-l 3-34-2-04-1-2 3-14-2-44-1-3/ \8 11 14 / 77
402. Найти А3, если Л = 4 4). Л Л2_/3 2W3 2^ /9 + 2 6+ 8\ /11 14\ Л л —<1 4Д1 4/-"\3 + 4 2-1-167 — < 7 18 + Лз_Л2.Л_/П 14\/3 2\_/33+14 22+ 564/47 78\ ж л \ 7 18Д1 4/ —/21 + 18 14 + 72/39 86+ ж 403. Найти значение матричного многочлена 2А2 + ЗД + 5£ при /1 1 2\ А = Ц 3 11, если Е —единичная матрица третьего порядка. /1 1 2\ /1 1 2\ /10 6 5\ '20 12 10\ д Д2= 13 113 11= 8 11 6 I, 242 = 1 16 22 12 L \4 1 1/\4 1 1/ \ 9 8 10 J \18 16 20) / 3 3 6\ /1 ° 0\ /5 0 0\ ЗД= 3 9 3 1, 5£ = 5{ 0 1 0 = 0 5 0, \12 3 3/ \0 0 1/ \0 0 5/ /28 15 16\ 2Д2 + 34 + 5£= 19 36 15 . А, \30 19 28) 404. Даны два линейных преобразования х — аЛ1х' + а]2«/,> у — = а„х'а22у' и х —Ьцх" + bi2ii", у'= b2lx” ± b22y". Подставляя х' и у' из второго преобразования в первое, получим линейное преобра- зование, выражающее х и у через х" и у". Показать, что матрица полученного преобразования равна произведению матриц первого и второго преобразований. Д Имеем Х = ац (ЬцХ" + + #12 (^21X"+ ^22У") = (#11^11 4“ #12^21) 4“ (#11^12 4“ #12^22) У — #21 (’W' + ^12# ) + #22 (^21* 4" ^22У ) = (#21^11 4" #22^21) Х" + (#21^12 4" #22^22) У *• Матрица полученного линейного преобразования имеет вид #11^114“ #12^21 #11^12 4“ #12^2 #21^11 4" #22^21 #21^12 4“ #22^2. т. е. она является произведением матриц и , , . А \#2i #22/ W b22J m f3 2 2\ 405. Дана матрица А = i 1 3 1 j. Найти обратную матрицу. \5 3 4 / А Вычисляем определитель матрицы А: 3 2 2 Г>Л= 1 3 1 =27 + 2 — 24 = 5. 5 3 4 Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя: ^ii = j з = А21 = — 412 — —|з 4| = Ь 422 = = —2, 431 — = 2, А 32 = — 2 2 3 1 = — 4, 3 2 1 1 ^13“|бз|-----12, Ам----|бз| —Ь Лзз“|? з|“7. Следовательно, / 9/5 —2/5 — 4/5\ Л-1^ 1/5 2/5 —Ц5 . ± \—12/5 1/5 7/5/ 78
406. Решить систему уравнений । 2% + 3r/ + 2z = 9,. < х-\-2у—3z = 14, I Зх + 4у + z~ 16, представив ее в виде матричного уравнения. Л Перепишем систему в виде ЛХ = В, где /2 3 2\ /х\ / 9\ Д = ( 1 2 —3 , Х = у , В = 14 . \3 4 1/ V/ \16/ Решение матричного уравнения имеет вид Х~А~1В. Найдем Д"5. Имеем 2 3 2 1 2 —3 3 4 1 Da = = 28—30 —4 = —6. Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя: — И, Д21 — — 3 2 4 1 = 5. Лп+JI 13> Л12 = _'|з 1 = -10, д22 = 2 2 3 1 II 1 Дж со to 1! 1 Н- ND 1 С- ND II 5» Аз = |з 4 = —2, Д23 = - 12 ~|з 31, Л _|2 31 . 4| — Ь дзз —|! 2|~k Таким образом, / 14 5 —13\ Л-1 =-4- -10-4 8), 6 к —2 1 1J откуда / 14 5 —13\ / 9\ 1 / 126+70—208\ , /—12\ / 2\ Х = -10-4 8 14 = — -1- -90-55+128 = ~18 = 3 • ь \ —2 1 1Д16/ 18+14+16 J Д 12/ 2/ Следовательно, х = 2, у~ 3, г = —2. Д /5 2\ 407. Дана матрица 3}. Найти ее характеристические числа и собственные векторы. Л Составляем характеристическое уравнение |57Х3-%|=0’ или (5 —(3—X) —8 = 0, т. е. %2—8Х + 7 = 0; характеристические числа 11 = 1, Х2 = 7. Собственный вектор, соответствующий первому характеристическому числу, находим из системы уравнений I (5-A)M = 0, I 4gi+ (3 —Хх) g; =0; так как = 1, то и £2 связаны зависимостью 2^ + g2 = 0. Полагая £i = a(a?=0— произвольное число), получаем = —2ос и собствен- ный вектор, соответствующий характеристическому числу ^ = 1, есть = cci—2aj. Найдем второй собственный вектор. Имеем ( (5-А2)Й + 2Й = 0, 1 4й+(з-х2) g;=o. 79
Подставив значение Х2=7, приходим к соотношению ci — $2 — ®’ т- е- Si " = Собственным вектором, соответствующим второму характеристиче- скому числу, служит г2 = pt + Pj. Д 408. Найти характеристические числа и собственные векторы / 3 —1 1\ матрицы ( —1 5 — 1 J Л Составляем характеристическое уравнение 3—К —1 1 1 —1 3 — л = 0, —1 5 —X —1 или (3—X) [(5-Z) (3-X)-1] + (-3 + Х+1) + (1 ~5 + Х) = 0. После элементарных преобразований уравнение приводился к виду (3—X) (Л2— — 8Х-|-12) = 0, откуда —2, Х2 = 3, Х3 = 6. Находим собственный вектор, соответствующий характеристическому числу Хх = 2. Из системы уравнений ( 11— £г + £з = 0, | -£1 + 3^-£з = 0, Ь — Ы-Ь=о (одно из уравнений этой системы есть следствие двух других и может быть от- брошено), получим £2 = 0, =Полагаем £i = cc, тогда = 0, с3 =—а и Fi = cxi — ак. Находим собственный вектор, соответствующий значению Л2 = 6. Получаем систему уравнений ( —Ь+ &=о, ~Й + 2^-Й = 0, Si—Ь =0 (одно из этих уравнений —следствие двух других). Отсюда £1 = й = £з = |3 и г2 = = pi Pj —рк. Находим собственный вектор, соответствующий значению Х3 = 6. Составляем систему уравнений ( — 3£i — ?2 + £з =0, { £з"=0, V ^"-^"-3g3" = 0 (снова одно из уравнений — следствие двух других). Решая эту систему, находим gi" = Y> £2" = —2у, g3" = Y и r3 = yi —2yj + yk. Итак, собственные векторы заданной матрицы имеют вид rj = a(i — к); г2 = = р (i-p j-f-k); r3 = y(i —2j — к), где a, р, у — произвольные отличные от нуля числа. Д 409. Даны два линейных преобразования х^а^х'+ а12у'+ a13z', у = a21x' + а22у' + a2Sz', z = a3Ix' + a32y' + a33z'; x' = brlx" + b12y" + b13z", y' = b21x" + b22y" + b23z", z = b31x” + b32y” + b33z". Подставляя x', у' и z из второго преобразования в первое, получим линейное преобра- зование, выражающее х, у, z через х” , у", г”. Показать, что мат- рица полученного преобразования равна произведению матриц пер- вого и второго преобразований. 80
410. Дано линейное преобразование х = 6х' + у'—2z',y =—18х' + + 2//' +6г', 2 = 2х* + 2у'. Координаты каких точек удваиваются в результате этого преобразования? 411. Даны два линейных преобразования: х = х' + уг + 2/, у = = х'4 2^/' + 6г', z — 2x +3yf; х = 2х' + 2г', у = х + 3у' + 4г', г = = х + Зуг 4-2г'. Найти точки, для которых каждое из этих преоб- разований дает один и тот же результат. 412. Найти точки, координаты которых не меняются при при- менении линейного преобразования х = х cos а—у' sin а, у' = х sin а+ + у' cos а. 413. Найти множество точек, координаты которых меняются ме- стами при применении линейного преобразования x = x'coscc — — у'sin а, у = х sin а + у' cos а. /5 8 4\ 414. Дана матрица Л=( 3 2 5]. Какую матрицу В нужно при- бавить к матрице Д, чтобы получить единичную матрицу? /2 1 1\ 415. Дана матрица Д=( 1 2 1 Найти сумму матриц /10 20 —30\ 416. Дана матрица Д='^ 0 10 20 Найти обратную матрицу. 417. Решить систему уравнений / Зх + 4z/ = 11, < Ьу + 6г = 28, I х + 2г = 7, представив ее в виде матричного уравнения. 418. Найти характеристические числа и нормированные собст- /7 4\ венные векторы матрицы ^5 6/- 419. Найти характеристические числа и собственные векторы /1 i 3\ матрицы 115 1 i § 3. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Выражения вида onx24-2o12x(/ + a22z/2 и СцХ2 4- <7,,I/2+a33z2 + 2at,xy + 2а13хг 4- 2а23уг называются квадратичными формами соответственно от двух и трех переменных. Симметрические матрицы ^22> = f“u где a2i = a12, \#21 а22 / И /aii #12 #1з\ Лз3)=( #21 а22 #23 L где #21 —#12, #31 ~ #13 И #32—#23« \#31 ° 32 #33 / называются матрицами этих форм. 81
Квадратичные формы с помощью линейного преобразования переменных можно преобразовать к виду, не содержащему произведений новых переменных (при- вести, как говорят, к алгебраической сумме квадратов); иными словами, квадра- тичная форма двух переменных может быть приведена к виду >-ix'2-{-Х2*/'2, а квадратичная форма трех переменных — к виду Xjx'2л2г/'2 + ^з^2• Для того чтобы коэффициенты при х! были характеристическими числами, линейное преобразование должно быть произведено следующим образом: опреде- ляют тройку (для квадратичной формы двух переменных — пару) нормированных попарно ортогональных собственных векторов, соответствующих характеристичес- ким числам л2, Л3: ei = + Р1 j + TiK е2 = «2* Ч- IM + ез = ^з* + Рз) + Тзк. В силу нормированности и ортогональности векторов еу, е.2, е3 должны выпол- няться тождества: + (г = 1, 2, 3); azay + M7 + W = 0 (г,/ = 1, 2, 3, i # /). Тогда матрица преобразования переменных имеет вид /«1 СС2 «3\ Рг Рз ь \?1 ?2 Уз' иными словами, надо положить х — <ххх' + а2//' + <х3г', У — Pi*' + $2У' + Рз^', г = у1Х' + у2/ + у3г' (для случая двух переменных все формулы соответственно упрощаются). Такое преобразование переменных носит название линейного ортогонального преобразо- вания’. в этом случае определитель матрицы 5 равен ±1: Z)5=±l. Линейное ортогональное преобразование используется для приведения к ка- ноническому виду общего уравнения кривой или поверхности второго порядка, причем если хотят сохранить взаимную ориентацию новых координатных осей, то налагают на матрицу преобразования S дополнительное условие: D$ = \. Преобразование уравнения кривой или поверхности второго порядка к кано- ническому виду производят следующим образом: а) находят то линейное ортогональное преобразование координат, которое приводит квадратичную форму старших членов уравнения кривой или поверхно- сти к сумме квадратов, и выполняют в уравнении соответствующую замену. В результате этого преобразования из уравнения исчезают члены с произведе- ниями координат; б) производя после этого параллельный перенос новых осей координат (в про- странстве иногда приходится, кроме того, делать дополнительный поворот двух осей в одной из координатных плоскостей), приводят уравнение к требуемому каноническому виду. 420. Привести к каноническому виду уравнение кривой 5х2 + Аху + 8у~—32% — 56// + 80 = 0. /5 2\ А В данном случае матрица старших членов имеет вид А — g )• Состав- ляем характеристическое уравнение матрицы: |5уХ 8Лх|=°> т- е- л2-13л + 36=0. 82
Находим характеристические числа = 4, Х2 = 9. Полагая Xi = 4, для опре- деления соответствующего собственного вектора получаем систему уравнений f L + 2J2 = 0, ( 2h + 4?2 = 0. Отсюда ——2|.2; полагая g2 = —а, находим £i = 2cz и гх = сс (2i—j). Нормируя вектор и, имеем е1 = (2/Кб) i — (l//’5)j. Полагая ?v2=9, Для определения второго собственного вектора получаем си- стему уравнений ( —4111 + 2П2 = 0- I 2*11— т)2 = °« Отсюда 112 = 21]!’ и г2 = [3 (i’4-2j). Нормируя, определяем е2 = (1 /Кб) i + 4-(2/Кб) j- Легко проверить, что скалярное произведение е1-е2 = 0, т. е. век- торы ei и е2 ортогональны. Используем собственные нормированные ортогональные векторы для построе- ния матрицы преобразования координат ч ДЕ); l/^S 2/Г5/ Отсюда х=(2//5)х' + (1/Кб)/Л // = (-1/К5)х' + 2/(Кб')/. Найденные для х и у выражения подставим в уравнение кривой: - / 2 , , 1 V , л{ 2 , , 1 ,\ / 1 . 2 \ . 5 ( —— х 4 —— у 4- 4 ( ----- х' 4 —- у' \\-- х' 4-—- у' -4 \ К б Кб ) \ Кб Кб )\ Кб К 5 л /1 2 \2 / 2 i \ /1 + 8( В^х'+-— у' ) -32 ( —- х'у'\-56 f-------------+ V Кб Кб / \ Кб Кб / \Кб 2 \ +— у' )+80 = 0, V 0 / откуда после раскрытия скобок и приведения подобных членов получим 4х'2 + 9г/'2-4- х'----4L у' + 80 = 0. Кб Кб Заметим, что в преобразованном уравнении коэффициентами при х'2 и у'2 оказались (как п следовало ожидать) характеристические числа Ai и Z2. Перепи- шем уравнение в виде 4 х'2 о \ / 16 \ к4+4,-тг9г80-(’' Выражения в скобках дополним до полных квадратов: . / ,2 2 , . 1 1 \ п / ,2 16 64 64\ 4 ( х'2 — х'+—— — 4-9 I у'2 у' + ~ — — \ Кб й 5 / \ К5 5 ° / или 4 ( х'------i 44 э \ 1<5 / 5 Г или окончательно / IV/ 8 V 4 х'---— ) 4-9 ----—) =36. \ Кб/ \ V5 / Произведем параллельный перенос осей координат, полагая xf, = xr — 1/K^S */" = */'—8/К б; получаем 4х"24~9z/,/2 = 36, или х72/94-= 1 (каноническое уравнение эллипса). 83
421. Привести к каноническому виду уравнение кривой 9х2 + 24ху + 1бу2 — 230х + 11 Оу—225 = 0. Л Характеристическое уравнение имеет вид |9“Z ,с12- 1=0. или V-25X = 0, т. е. Ь1=0, 12 = 25. I 12 16 — А I При Х = 0 получаем систему Г 9gi+12g2=0, I 12gi+16g2 = 0. Каждое из этих уравнений сводится к уравнению |i/4 = g2/(—3). Следовательно, собственным вектором матрицы служит вектор r = a(4i—3j), а при а = = 1/рЛ42 + (—3)2 = 1/5 находим собственный нормированный вектор ех = (4/5) i — - (3/5) j. При Х = 25 получаем систему Г —1 бтц + 12г]2 = 0, ( 12г]1— 9т]2=0. Из этой системы аналогичным образом находим второй собственный нормирован- ный вектор е2 = (3/5) i + (4/5) j (ei • е2 = 0). Матрица преобразования координат имеет вид M-3/S4/D (Ds"1); формулы преобразования х = (4/5) х' + (3/5) г/', у = (—3/5) х' + (4/5) у'. Переписав уравнение кривой в виде (Зх+4г/)2—230х +11 Оу—225 = 0, перейдем к новым координатам: 25/2-230 (+'+g- /) + И0( - J х') -225 = 0 . После приведения подобных членов и сокращения на 25 приходим к уравне- нию у'2 — 10х'—2у'—9 = 0. Последнее уравнение можно переписать в виде (у'—1)2= 10 (х' +1). Произведя параллельный перенос осей, примем за новое начало координат точку О' (—1, 1). В итоге приходим к каноническому уравнению заданной кривой у"2 = 10х" (пара- бола). А 422. Привести к каноническому виду уравнение поверхности 3x2 + 5у2 + 3z2 — 2ху + 2хг — 2уг — 12х — 10 = 0. Л Здесь матрица старших членов уравнения поверхности имеет вид / 3 —! 1\ — 1 5—1 ; \ 1—1 3/ характеристические числа матрицы определяются из уравнения 3—X — 1 1 — 1 5—X — 1 1 — 1 3—к = 0„ которое приводится к виду (3—X) (X2—8Х+12) =0; отсюда находим Xi = 2, Х2 = 3, Хз = 6. 84
При Х = 2 получаем систему (их — г/2 + ^з =0, ---W14“3«2—— 0, Vl---U2 ~Ь ^3 = б. Указанному значению л соответствует собственный вектор (а; 0; —а). После нормирования приходим к вектору e1 = (I/j/'2)i — (1р^2) к. При Х = 3 получаем систему ( — V2 Ч” — 0, <1 '—Vx-\-2U2 — Из = 0, I t’i —Д2"=0- Отсюда находим второй собственный нормированный вектор e2 = (l/]/’3)i + + (I/КЗ ) j + (l / КЗ ) к. Векторы ех и е2 ортогональны: е1-е2 = 0. При Л = 6 получаем систему ( — 3wf—^2+ ^3 = 6, | — Wx — w2— u>3 = 0, V Wx — w2 — 3wz = 0. Соответствующим собственым нормированным вектором (третьим) служит вектор е3 = 0/Кб) i — (2/'Кб ) j4-(l/K6 ) к, который ортогонален векторам ех и е2: ei*e3 = 0, е2-е3 = 0. Находим матрицу преобразования координат: / i/jHT i/Кз 1/УТ\ s=l о i/Кз —2,-Ко ). \-i/K2" i/Кз- ь/т/ Отсюда получаем формулы преобразования координат: х = (1/К2)х'Н-(1/Кз')у + (1/Кб’)гД !/ = (1 г = (-Ь'К2)х' + (1/К3){/' + (! ТУ г'. Подставив выражения для х, у и z в уравнение поверхности, после упрощений получим 2х'2+3^24-6У2—СК2*' —4КЗ у' — 2Кб г' —10 = 0. Коэффициентами при х'2, у'2, г'2, как и должно быть, являются соответствен- но числа Xi, Х2, Л3. Перепишем уравнение в виде 2 (х'2--—х' ^ + 3^у'2--^=у' + г'2-------—10, V /2 ) \ /3 ) \ Кб ) что после дополнения выражений в скобках до полных квадратов дает / 3 V / 2 V / IV 2 х'——^=- ) 4-3 ( у' — —р= ) 4-6 z'——7^ ) =24. \ К 2) V Кз / \ Кб/ Произведя параллельный перенос осей координат по формуламх' =х"4~3/К2 » #' = У' + 2/КЗ, г' = z"4-I/K6 и разделив уравнение на 24, приходим к канони- ческому уравнению эллипсоида x,t2/\2-\-уг,г{3 + г"2/4 = 1. А Привести к каноническому виду уравнения кривых: 423. 5x24-6xz/4-5z/2—16х—16z/—16-0. 424. 7х2-р16%г/ —23г/2 — 14х— 16г/— 218 = 0. 425. х24“2ху 4- У2—8х4~4 —0. Привести к каноническому виду уравнения поверхностей: 426. х24-5г/24-224-2хг/4~6хг4-2//г — 6 — 0. 85
ф Формулы преобразования координат: х = (1/У^3) б ) у’ + (1/1K2) z'> j,= _(l//3)x' + (2/K6)/. г = (1/Кз’Х + (1/Кб)^'-(1/К2)г'. 427. 2х2 + г/2 + 2z2 — 2ху — 2yz — x — 4г/ — 3z + 2 = 0. ф Формулы преобразования координат: х = — (1/УЛ6 ) х’ — (1/1^2) у' + (l/l<3)z', х'=х"; р=-(2/Кб)_х'-(1/Г'3')2', z/'=Z/"+l/K2; г= = _(l//6)x' + (l/K2)i/' + (l/K3)г', г' = г"+1/КЗ. § 4. РАНГ МАТРИЦЫ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МАТРИЦЫ Дана прямоугольная матрица /Яп А = 1 а21 \ • • \ami а12 • • • а1п а22 • • • <^2П &т2 » • • ^тп. Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов (k^m, k^ri). Определитель k-ro порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-ro порядка матрицы А. Матрица А имеет С^.С^ миноров k-ro порядка. Рассмотрим всевозможные миноры матрицы А, отличные от нуля. Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным нулю. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы. Ранг матрицы А будем обозначать через г (Л). Если г (Л) = г (В), то матрицы А и В называются эквивалентными. В этом случае пишут А ~ В. Ранг матрицы не изменится от элементарных преобразований. Под элементар- ными преобразованиями понимают: 1) замену строк столбцами, а столбцов — соответствующими строка^ми; 2) перестановку строк матрицы; 3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю; 4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля; 5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки. /1 2 3 4 \ 428. Определить ранг матрицы 2 4 6 8 i. \3 6 9 12/ Д Все миноры второго и третьего порядков данной матрицы равны нулю, так как элементы строк этих миноров пропорциональны. Миноры же первого по- рядка (сами элементы матрицы) отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицы равен 1. А /1 0 0 0 5 \ 429. Определить ранг матрицы 0 0 0 0 0), \2 0 о 0 п/ Д Вычеркнув из этой матрицы 2-ю строку, а затем 2, 3 и 4-й столбцы, /1 5 \ „т 11 5 I л получаем матрицу I ц ), эквивалентную заданной. 1ак как К ==1^0, то ранг данной матрицы равен 2. А /3 5 7\ 430. Определить ранг матрицы А = i 1 2 3 ). \1 3 5 /
л Сложим соответствующие элементы 1-й и 3-й строк, а затем разделим на 4 элементы 1-й строки: /3 5 7\ /4 8 12\ /1 2 3\ А = ( 1 2 3-1 2 3 1 2 3 ). \1 3 5 / \1 3 5 / \1 3 5 / Из элементов 1-й строки вычтем соответствующие элементы 2-й строки,’ после чего вычеркнем 1-ю строку: /1 1 <1 2 3\ /О 2 3-1 3 5/ \1 2 3\ з 5;- Ранг последней матрицы равен 2, так как, тельно, и ранг данной матрицы равен 2. Д /4 431. Определить ранг матрицы О например, 1| з| /0. Следова- 3 2 2\ 2 11 0 3 3/ А Вычтем из элементов нем 4-й столбец: /4 3 А = ( 0 2 V0 о 4-го столбца элементы 3-го столбца, а затем вычерк- 2 1 3 4 О О 3 2 О 2 2\ /4 3 2 0\ /4 3 2\ 1 1 ) ~ ( 0 2 1 0-0 2 11 33/ \0 О 3 О/ \0 О 3/ Так как = 24у~0, то ранг матрицы равен 3. А 432. Определить ранг и найти базисные миноры матрицы /1 0 2 0 0\ А = о 1 о 2 о \2 0 4 О О/ А Имеем /1 0 2 О 0\ /1 0 2 0\ /1 0 2 0\ /1 0 1 0 2 0-0 1 0 2 - 0 1 0 2 -0 \2 0 4 О О/ \2 0 4 0/ \1 0 2 О/ \0 ~(о ? ? О 2 0\ 1 0 2) о о оу Базисными минорами являются миноры второго порядка этой матрицы, отличные от нуля: II 0111 0110 2112 0110 1110 2111 01 10 21 |о 1 |0 2| |1 о|’ |о 2|’ |2 0|’ |2 0|’ |0 4|’ |4 0| Таким образом, матрица А имеет 8 базисных миноров. А 433. Сколько миноров второго порядка имеет матрица ,/аи а12 #is\ А = I #21 а22 а23 у? \#31 #32 #33 / Выписать все эти миноры. А Матрица имеет Сз-С| = 3-3 = 9 миноров второго порядка: | а22 а23 I I #21 #23 #21 #22 I #12 #13 J #32 #33 I ’ I ^31 #33 I ’ I #31 #32 I ’ I #32 #33 | #11 #13 | (#11 #12 I р12 #13 | | #11 #13 I (#11 #12 #31 #33 1 ’ | #31 #32 I ’ I #22 #2 3 I I #21 #23 / ’ |#21 #22 87
/ л 51 —1\ 434. Определить ранг матрицы Л=( 21 7. 101 \ 1 —21 —31/ 435. Определить 436. Определить ранг ранг /12 3 б\ матрицы 2 3 1 6 1. г \3 1 2 6/ /'0 2 0 матрицы А = 11 ° ° °\ 4 ) и найти ее базис- оу ные миноры. 437. Определить базисные миноры. /12 13 4\ ранг матрицы Д = (з f 3 4) и найти ее § 5. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ т ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С п НЕИЗ- ВЕСТНЫМИ Дана система т линейных уравнений с п неизвестными f #11*1+ #12*2 + • ’ * + а1ПХП—Ьъ #21*1 ~Г #22*2 +••• + #2П*П— + ч #571*1 #/л2*2+••’+#Z7Zn*« --Ш Решением этой системы называется совокупность п чисел (хх; х2; ...; х„), кото- рые, будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравне- ния в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение (xf, х2; ...; хп). Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Совместная система называестя определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения. Матрицы /<7И а12 ... \ /Дц я12 ... а1п X А= а21 а22 а'2п | и А1 = ( а'21 а<22 ’* а2п j \#/»1 #/^2 • • • 0-гпп / \#яг1 #/д2 • • • ^тп / называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (1). Для совместности системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы/ этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы (теорема Кроне- к е р а — К а п е л л и). Итак, система (1) совместна тогда и только тогда, когда г (Л) = г = В этом случае число г называется рангом системы (1). Если bi = b2 = ... =brrj = 0, то система линейных уравнений (1) называется однородной. Однородная система уравнений всегда совместна. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных (т. е. г = п), то сис- тема является определенней. Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система — неопре- деленная. Остановимся на последнем случае. Итак, предположим, что система (1) совместна, причем г < п. Рассмотрим какой-нибудь базисный минор матрицы А. Выделим в этом миноре произвольную строку. Элементы этой строки являются коэффициентами при г неизвестных в одном из уравнений системы (1). Эти г неизвестных назовем базисными неизвестными рассматриваемой системы уравнений. Остальные п — г неизвестных системы (1) назовем свободными неизвестными. Выделим из системы (1) систему г уравнений, среди коэффициентов которых содержатся элементы базисного минора. Базисные неизвестные в выделенной системе оставим в левых частях уравнений, а члены, содержащие свободные неизвестные, перенесем вправо. Из полученной системы уравнений выразим 88
базисные неизвестные через свободные неизвестные (например, по формулам Крамера). Таким образом, придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно найти соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно (об этом уже сказано выше), система (1) имеет бесчисленное множество решений. 438. Исследовать систему уравнений ( -Xi--р-Зх2 5хз-j-7х49х5 = 1, < х±—2х2 + Зх3—4х4 + 5х5 = 2, у 2лд 4~ 11*^2 4~ 12хд -|- 25х4 -|- 22х5 = 4. Л Определим ранги матрицы и расширенной матрицы системы. Выпишем расширенную матрицу 1 3 5 7 9 1\ 1 —2 3 —4 5 2). 2 11 12 25 22 4/ Вертикальной чертой мы отделили элементы матрицы системы (матрицы А) от свободных членов системы. Прибавим к элементам 2-й строки соответствующие элементы 3-й строки, а затем разделим все элементы 2-й строки на 3: 1 3 5 7 9 Г 3 9 15 21 27 6 2 11 12 25 22 4 1 3 5 7 9 1\ 1 3 5 7 9 2 . 2 И 12 25 22 4/ Вычтем из элементов 2-й строки соответствующие элементы 1-й строки: /1 3 5 7 9 1\ / 1 3 5 7 9\ ( 0 0 0 0 0 1 ); Л - 0 о О О О U ,2 11 12 25 22 4^’ \2 11 12 25 22/ 1 3 5 7 9\ 2 11 12 25 22)' Нетрудно видеть, что г (Л) — 2, г(Дх)=3, т.е. г (Л) #=г(Д1); следовательно, сис- тема несовместна. ▲ 439. Исследовать систему уравнений Xi —2х2 4~ Зхз — 14, Зх4 4~ 2х2 4~ х$ = 10, 4“ х2-{- *3=6, 2xi 4" 3x^2 — х$ == 5, ( Х14- х2—3. Л Расширенная матрица системы имеет вид 14 10 6 5 3. Прибавим элементы 2-й строки к соответствующим элементам 1-й и 4-й строк а затем разделим элементы 1-й строки на 4, а элементы 4-й строки на 5: 24’ 10 6 15 3. 6' 10 6 3 3. Вычтем из элементов 3-й строки соответствующие элементы 1-й строки, а из элементов 5-й строки вычтем элементы 4-й строки; после этого вычеркнем 3-ю и Ai ~ i 89
5-ю строки: Найдем определитель последней матрицы: О 3 О 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 О 1 1 О = 1 7^0. Следовательно,^/(Л) =3. Ранг расширенной матрицы также равен 3, так как найденный определитель является минором матрицы А±. Итак, система совместна. Для ее решения возьмем, например, первое, третье и пятое уравнения: f Xi-р-2х2-р-Зхз— 14, I Xi -р- х2 -ф- Х3 = 6, \ X} -р- х2 =3. Отсюда легко находим, что х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3. ▲ 440. Исследовать систему уравнений ( л/-р-5х2 4%зЗх4 = 1 , 2xi — х2 -р- 2хз -— х_± = 0, 5X1 -р- Зх2 ”4“ 8X3 —j- Хд = 1. Д Здесь /1 5 4 3 1\ Л1= 2 — 1 2 — 1 0 • \5 3 8 1 1 / Вычтем из 3-й строки 1-ю: /Т 5 4 3 1\ Л1 ~ i 2 — 1 2 — 1 0 • \4 — 2 4 — 2 0/ Разделим элементы 3-й строки на 2 и вычтем из полученной 3-й строки 2-ю; затем вычеркнем 3-ю строку: /15 4 3 Лх ~ j 2 — 1 2—1 \0 0 0 0 ») A-G-? Нетрудно видеть, что г (А) =г (А^ =2. Следовательно, система совместна. Возьмем первое и второе уравнения заданной системы: Х1 -р- ох2 -j- 4х3 —р- 3^4 = 1, 2X1— *г + 2*з — *4^0. За базисные неизвестные примем Xi и х2. Это можно сделать, так как опре- II 5 1 делитель ] I из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля. Свободными неизвестными служат х3 и х4. Переписав систему в виде Xi + 5х, = 1 — 4х3 — Зх4, 2xi —<^2 = — 2х3 -j- Х4, 90
выразим хх и х2 через х3 и х4: I 1 —4х3—Зх4 5 I I —2х3+ х4 —1 I _ м = II 1— 4х3 — Зх4 I ___ I 2 — 2х3 + х4 । Хо_ — _ 6 8 1 11*3 ц*4 ц} 6 , 7 , 2 - ГТХз+ТТх*+то Полагая х3 = и, х± = о, получим решение системы в виде 6,8 1 6,7,2 X! — — ц W + Y1 U~H ’ Х2~~~ Ц V ‘ Т1 ’ X-3==W’ X4 = v* Придавая и и v различные числовые значения, будем получать различные реше- ния данной системы уравнений. ▲ Исследовать системы уравнений: 441. < 442. { ( 443. 1 Зхх 4~ 2х2 — 4, хх—4х2 =— 1, 7хх 4-10х2 = 12, 5хх —6х2 = 8, Зх4— 16х2 = — 5. х4 + 5х2 4х3 = 1, 2хх+ 10х24-8х3 = 3, Зхх -J- 16х2 4-12х3 = 5. хх — Зх2 4- 2х3 = — 1, хх 4~ 9х2 4- 6х3 = 3, хх 4- Зх2 4- 4х3 = 1. § 6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА Численное решение линейных алгебраических уравнений с помощью опреде- лителей удобно производить для систем двух и трех уравнений. В случае же систем большего числа уравнений гораздо выгоднее пользоваться методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных. Поясним смысл этого метода на системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными: ( ^11Х4-^]2^+а1324-«14П=а15, I ^2ХХ ~F #22Z/ ^23^ 4~ OL^tl = I &31Х а3%у a33z a3±ti = азъ, I ^41^~Г а±ъУ 4- ^13 2 4“ CL^U = #45. (a) (6) (в) (0 Допустим, что an* 4-0 (если Яц = 0, то изменим порядок уравнений, выбрав первым такое уравнение, в котором коэффициент при х не равен нулю). I шаг: делим уравнение (а) на Яц, умножаем полученное уравнение на а2Х и вычитаем из (б); затем умножаем на а31 и вычитаем из (в); наконец, умножаем на а4Х и вычитаем из (г). В результате I шага приходим к системе г x + b12y-\-b13z-{-b1^u = bUt (д) ^22^/4~ ^232"Г^24^ =^25> (е) дз2У~{-Ь33г-}-Ь3^и = Ь35> (ж) < ^42^/ 4~ ^432 4- ЬцЦ = z?45, (з) причем bij получаются из a/у по следующим формулам: bij = chj/a^ (/ = 2, 3, 4, 5); bij- = aij — а^Ьуу (7 = 2, 3, 4; / = 2, 3, 4, 5). 91
II шаг: поступаем с уравнениями (е), (ж), (з) точно так же, как с уравне- ниями (а), (б), (в), (г) и т. д. В итоге исходная система преобразуется к так на- зываемому ступенчатому виду: г я + Ь12// + + зг + b14u = +5, */ + С232 + C24u = С2э, — ^35, < u = eib. Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда. 444. Решить систему уравнений ( 36,47* + 5,28г/ + 6,34г = 12,26, (а) 4 7,33* + 28,74//+ 5,86г — 15,15, (б) ( 4,63* + 6,31//+ 26,17г = 25,22. (в) Д Разделив уравнение (а) на 36,47, получим х + 0,1447// + 0,1738г = 0,3361. (*) Умножим уравнение (*) на 7,33 и результат вычтем из (б); получим 27,6793// +4,586г = 12,6864; теперь умножим уравнение (*) на 4,63 и результат вычтем из (в); получим 5,64//-+ 25,3653г = 23,6639. Таким образом, приходим к системе уравнений ( 27,6793//+ 4,586г= 12,6864. (г) [ 5,64//+25,3653?= 23,6639. (д) Разделив уравнение (г) на 27,68 имеем // + 0,1657г -0,4583. +*) Умножая уравнение (* <•) на 5,64 и вычитая из (д), получим 24,4308г = 21,0791. Следовательно, г = 0,8628. Тогда у= 0,4583—0,1657-0,8628 = 0,3153, *=0,3361—0,1447.0,3153 —0,1738.0,8628 = 0,1405. Таким образом, * = 0,1405, // = 0,3153, г= 0,8628. Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему урав- нений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов: 36,47 5,28 6,34 12,26\ 7,33 28,74 5,86 15,15 . 4,63 6,31 26,17 25,22 / Введем 5-й, так называемый контрольный столбец, каждым элементом кото- рого является сумма четырех элементов данной строки: -'36,47 7,33 \ 4,63 5,28 28,74 6,31 6,34 12,26 5,86 15,15 26,17 25,22 60,35\ 57,08 . 62,33 / При линейных преобразованиях элементов матрицы такому же преобразованию должны подвергнуться и элементы контрольного столбца. Нетрудно видеть, что каждый элемент контрольного столбца преобразованной матрицы равен сумме элементов соответствующей строки. Переход от одной матрицы к другой будем 92
записывать с помощью знака эквивалентности: /36,47 5,28 6,34 12,26 60,35\ /1 57,08 7,32 62,33/ \4,62 ,1447 0,1738 ,6793 4,586 ,64 25,3653 ,1447 0,1738 0,1657 ,64 25,3653 0,144 7 0,1738 0,3361 1,65474 7,33 \ 4,63 28,74 6,31 5,86 26,17 15,15 25,22 /1 0 0 27 \0 5 /1 о. ’ 0 1 \0 5, 1 28,74 J 6,31 0,3361 12,6864 23,6639 0,3361 0,4583 23,6639 5,86 26,17 1,6547\ 44,9516 V 54,6688 J 1,6547\ 1,6240 U 54,6688 J 15,15 25,22 57,08 62,33 J я \« 0,1447 1 0 0,1738 0,1657 24,4308 0,3361 0,4583 21,0791 1,6547 \ 1,6240 45,5094 J /1 °, ~ 0 1 \0 0 1447 0,1738 0,1657 1 0,3361 0,4583 0,8628 1,6547\ 1,6240 . 1,8629 J Используя полученну ю матрицу, выписываем преобразованную систему и нахо- дим решение: 2 — 0,8628, у = 0,4583—0,1657 -0,8628 = 0,3153, х=-0,3361 —0,1738-0,8328—0,1447-0,3153 = 0,1405. Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система уравнений приведется к треугольной, в которой последнее уравнение содержит одно не- известное. В случае неопределенной системы, т. е. такой, в которой число неиз- вестных больше числа линейно независимых уравнений, допускающей поэтому бесчисленное множество решений, треугольной системы не получается, так как последнее уравнение содержит более одного неизвестного. Если же система уравнений несовместна, то после приведения к ступенча- тому виду она содержит хотя бы одно уравнение вида 0=1, т. е. уравнение, в котором все неизвестные имеют нулевые коэффициенты, а правая часть отлична от нуля. Такая система не имеет решений. 445. Решить систему уравнений ( 3x-[-2i/ + z = 5, 1 х+у — 2=0, ( 4х—у+ 52 = 3. Л Преобразуем матрицу в эквивалентную: 1 5|11\ /1 — io 1Н 3 5 3 11/ \4 1—10 1\ 2 1511) — 1 5 3 11/ (для упрощения вычислений Вычитаем из остальных мы поменяли местами первое и второе уравнения), двух строк 1-ю строку, умноженную на 3 и на 4: — 1 0 4 5 9 3 1\ 8 . 7 J Изменив знаки во 2-й строке и умножив ее на 5, прибавляем к 3-й: 0 —5 2 1\ —8 3/ (мы разделили на —11 последнюю строку). Система уравнений приняла треугольный вид: + у — 2 = 0, У — 42= —5, 2 = 2. 93
Она имеет единственное решение. Из последнего уравнения имеем 2 = 2; под- ставляя это значение во второе уравнение, получаем л/= 3 и, наконец, из перво- го уравнения находим х= — 1. А Решить системы уравнений: ( 2X1 ~F Х2— *з— 3, 446. I *1 — 2х24-2х3 = — 5, V 1Х1~\- Х2— Х3=Ю. f 3X1 *2 4~ *з 4~ 2*58, I 2xi — 5х2 4- Хл -4- х§ = —7, 448. < х1-х4 + 2х5 = 8, 2*2+*з4“ х4 — х5=10, у Xi ~}~Х2—Зх34~ х4 = 1. z 0,04х—0,08z/+ 4г = 20, 450. \ 4x4-0,24//—0,08г = 8, I 0,09x4- Зу—0,15г = 9. 447. *14~*г— *з4- *4— 4, 2xi —*2 4~ Зх3 — 2х4 = = I, Xi— х3-|-2х4 = 6, 3xi—хг + х3— х4 = 0. ( 4xi 4- 2х2 4- Зх3— —2, 449. < 2xi ^~8х2— *з = 8, I Oxj.4- *2 4~ 8*з = 0. г 3,21x4-0,7lz/4-0,34г = 6,12, 451. < 0,43x4-4,Ну4-0,22г = 5,71, I 0,17x4-0,16z/4-4,73z = 7,06. § 7. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЖОРДАНА—ГАУССА К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ При решении системы линейных уравнений методом Гаусса был рассмотрен матричный метод с контрольным столбцом, в результате чего данная система уравнений сводилась к треугольной системе (см. с. 92). Для последующего изло- жения важно познакомиться с модифициоозанным методом Жордана—Гаусса, позволяющим находить непэсредственно значения неизвестных. Пусть дана система линейных уравнений ' а11 *1 + #12 *2 4" ’ ’ • +а1ПХп =Ьй < 67 21 *1 + ^22 *2 4“ ’ • ’ А~а2пХП = ^2, Q) < ^/д!*14~^т2*2 4“ • • • + атпхп = Ьт, В матрице А этой системы выберем отличный от нуля элемент aqp. Этот элемент называется разрешающим элементом, р-й столбец матрицы А—разрешающим столбцом,- а q-я строка — разрешающей строкой. Рассмотрим нов\ю систему уравнений £11*1 4~а12*2 4" • • • Ч'а1/?*« = #21*1 4“ ^-2*2 4“ • • • 4~^2AZ*n = ^2, /О\ ^mi*i4_ amix2 4- • • • А~атпхп — bm с матрицей Д'; коэффициенты и свободные члены этой системы определяются по формулам ' aipaqf ап=«и—й7~ Uqp I . , а. b ?, если i^q. Ъ[ =bL---J aqp В частности, <7/^ = 0, если i q. Если же i = q, то принимаем a'qi = aqji bq = bq. Таким образом, g-e уравнения в системах (1) и (2) одинаковы, а коэф- фициенты при хр во всех уравнениях системы (2), кроме q-ro, равны нулю. Следует иметь в виду, что системы (1) и (2) одновременно совместны или не- совместны. В случае совместности эти системы равносильны (их решения совпадают). 94
Для определения элемента оу/ матрицы А' полезно иметь в виду так назы- ваемое «правило прямоугольника». Рассмотрим 4 элемента матрицы A: aij (элемент, подлежащий преобразова- нию), aqp (разрешающий элемент) и элементы atp и aqj. Для нахождения эле- мента a'ij следует из элемента о/у вычесть произведение элементов а[р и aqi-, распо- ложенных в противоположных вершинах прямоугольника, деленное на разрешаю- щий элемент aqp\ аЧ I.........\а^Р aQj..........aQP Аналогичным образом можно преобразовать систему (2), приняв за разрешаю- щий элемент матрицы А' элемент # 0, причем s # 7, г # р. После этого пре- образования все коэффициенты при хг, кроме asr, обратятся в нуль. Полученная система может быть снова преобразована и т. д. Если г = п (ранг системы равен числу неизвестных), то после ряда преобразований придем к системе уравнений вида &1Х1 = &2^2 ~^2> . . . . * kn%n = из которой находятся значения неизвестных. Описанный метод решения, основан- ный на последовательном исключении неизвестных, называется методом Жордана — Гаусса. 452. Дана матрица системы линейных уравнений /5 4 6—1 7\ л 8 13 2 0 \ Л О 15 3 —1 Г \7 _б 5—4 3/ При решении этой системы методом Жордана — Гаусса за разрешаю- щий элемент приняли а23 = 3. Найти элементы а24, а'13, а'ц преобра- зованной матрицы. Д Так как я24— элемент разрешающей строки, то a2i~a24 — 2. Элемент принадлежит разрешающему столбцу; поэтому оцз = О._ Элемент а4± определяем по правилу прямоугольника: 5 4 6 —1 7Х / 8 1 [3J-; 2 0\ л=( о 1 ь i з —1 г '7—6 5---— 4 з/ ’ „ аыам 2-5 1 . °“=а«—н^-=~4—г=-7д •А 453. Решить систему уравнений (Xi-f- х2 — Зхд-{-2х4 = 6, Xi—2х2 — х4 = —6,- х2 Ж хз Зх4 =16, 2X1 — Зх2 + 2х3 =6. Д Запишем коэффициенты, свободные члены и суммы коэффициентов и сво- бодных членов (S— контрольный столбец) в следующую таблицу: 95
Х1 х2 Хз х4 ь S 14 1 —3 2 6 7 1 —2 0 — 1 —6 —8 0 1 1 3 16 21 2 —3 2 0 6 7 Мы взяли за разрешающий элемент коэффициент при в первом уравнении. Перепишем без изменения строку таблицы, содержащую этот элемент (разрешаю- щую строку), а все элементы 1-го столбца, кроме разрешающего, заменим нулями. Применив правило прямоугольника, заполняем остальные клетки таблицы (это же правило применяем и к столбцу 2): XI х2 х3 b S 1 1 —3 2 6 7 0 —3 3 —3 — 12 —15 0 1 1 3 16 21 0 —5 8 —4 —6 —7 Отметим, что в контрольном столбце получаются суммы элементов соответст- вующих строк. Разделив на —3 элементы 2-й строки, получаем таблицу: *1 х2 Хз b 2 1 1 —3 2 6 7 0 И — 1 1 4 5 0 1 1 3 16 21 0 —5 8 —4 —6 —7 96
Примем за разрешающий 2-й элемент 2-й строки. 1-й столбец перепишем без изменения, элементы 2-го столбца, кроме разрешающего, заменим нулями, 2-ю (раз- решающую) строку перепишем без изменения, элементы остальных клеток таблицы преобразуем по правилу прямоугольника: х2 хз х4 b 2 1 0 —2 1 2 2 0 1 — 1 1 4 5 0 0 2 2 12 16 0 0 3 1 14 18 Разделим элементы 3-й строки на 2: XI Х2 Хз х4 ь V 1 0 —2 1 2 2 0 1 — 1 1 4 5 0 0 И 1 6 8 0 0 3 1 14 18 Преобразуем таблицу, приняв за разрешающий 3-й элемент 3-го столбца: XI Х2 Хз х4 b S 1 0 0 3 14 18 0 1 0 2 10 13 0 0 1 1 6 8 0 0 0 —2 —4 —6 4 № 1474 97
4-й элемент 2-й строки — разрешающий: 1 0 —0,6 0 0,4 0,8 0 0 —13 20 7 14 0 1 —0,75 0 0,25 0,5 Матрица имеет ранг, равный 3, следовательно, система содержит три базисных неизвестных х4, х2 и х4 и одно свободное неизвестное х3. Получаем систему урав- нений । Плд + О-Ха — 0,6х3 + 0-х4 =0,4, < 0*Xi + 0-x2—13х3 ~[-20х4 = 7, I О-Хх+Пхг — 0,75х34-0‘Х4 = 0,25. Отсюда = 0,4-]-0,6хз, х2 = 0,25 + 0,75x3, х4 = 0,35 + 0,65х3. Итак, решение системы имеет вид х4 = 0,4 + 0, би, х2 = 0,25 +0,75//, х3 = и, х4 = 0,35 + 0,G5«f где и — произвольное число. А 455. Решить систему Л Составим таблицу: уравнений ' 6х—— 5// + 7? + 8/ = 3, Зх+ 11 г/+ 2^ + 4/ =6, Зх-l 2(/4-3z + 4/ = l, , х+ г/+ z =0. 6 —5 7 8 3 19 3 11 2 4 6 26 3 2 3 4 1 13 III 1 1 0 0 3 4-й элемент 1-го столбца — разрешающий: 0 —11 III 8 3 1 0 8 —1 4 6 17 0 —1 0 4 1 4 1 1 1 0 0 3 100
1-й элемент 3-го столбца — разрешающий: 0 —11 Ш 8 3 1 0 —3 0 12 9 18 0 —1 0 4 1 4 1 12 0 —8 —3 2 Изменим знаки элементов 3-й строки на противоположные: 0 —11 1 8 3 1 0 —3 0 12 9 18 0 ш 0 —4 —1 —4 1 12 0 —8 —3 2 3-й элемент 2-го столбца — разрешающий: 0 0 1 —36 —8 —43 0 0 0 0 6 6 0 ш 0 —4 —1 —4 1 0 0 40 9 50 В результате приходим к системе / 0-x4-0-z/+ 1 >2—3§t = —8, 0.x+0.//+0.z + 0./=6, O-x-J- 1 -//4-0-z—44 =—1, < 1 -x4-0-z/-|-0-z-|-40/ = 9. Легко видеть, что второму уравнению не удовлетворяют никакие значения х, у, z и t. Таким образом, полученная система уравнений и заданная система несовместны. А 456. Применить метод Жордана—Гаусса к определению ранга матрицы /7 —1 3 5\ л 1 3 5 7 А \ 4 1 4 6 у * \3 —2 —1 —1/ 101
Л Составим таблицу 7 —1 3 5 14 III 3 5 7 16 4 1 4 6 15 3 —2 — 1 —1 —1 В последнем (контрольном) столбце записаны суммы элементов соответствую- щих строк, 2-й элемент 1-го столбца — разрешающий: 0 —22 —32 —44 —98 1 3 5 7 16 0 —11 —16 —22 —49 0 —11 —16 —22 —49 Разделим элементы ветствующих элементов получим 1-й 4-й строки на — 2, и 3-й строк и вычтем элементы 1-й строки из соот- вычеркнем 3-ю и 4-ю строки. Тогда 0 1 11 1 16 | 22 | 49 1 1 3 1 5 1 7 1 16 Любой определитель второго порядка полученной матрицы отличен от нуля. Следовательно, г (Л) = 2 Д. Методом Жордана — Гаусса решить системы уравнений: 457. 459. f л'1Н~2а'2Ч- Аз = 8, адЛ-ЗазЛ- а4 = 15, 4a'i Л" х3 Л~ а4 = 11, \ х^ —Х‘2 ~|~ 5а4 -— 23, ' ЛД + 5Х2 —2х3—Зх4= 1, 7хх + 2а2 — За'з — 4а4 = 2, \ Х1 Л~ + Х3 + = I 2а4 За2 Л- 2а3 — За4 = 4, V а4 — а2 — А3— а4 = —2. 458. х2— Х1 Л" Х3— Х4--2, Ai + 2a2 — 2а3— а4 = —5, 2а4— %2—За3 Л" 2а4 = — 1, Aj Л~ 2а2 Л~ За3 — 6а4 = —10, 460. Методом Жордана — Гаусса определить ранг матрицьх /12 3 1\ ' 2 з 1 з ] 3 1 2 5 у \2 2 2 3/
ГЛАВА V ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ § 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Основные понятия. Рассмотрим такое множество 7? элементов х, у, z, ...? в котором для любых двух элементов xgT? и уg 7? определена сумма x-\-y£R и для любого элемента xgR и любого действительного числа л определено произве- дение Kx^R. Если сложение элементов множества R и умножение элемента этого множества на действительнее число удовлетворяет следующим условиям: 1°. х-гу = у + х; 2°. (x+y) + z = x+(y + z); 3°. существует такой элемент 0 g 7? (нуль-элемент), что х-}-0 = х для любого xgT?; 4°. для каждого элемента xgT? существует элемент y£R такой, что х-Д-у = О (в дальнейшем будем писать у = —х, т. е. х-|-(—х) = 0); 5°. 1-х = х; 6°. (рх) = (Хр) х; 7°. (Z-J-p) х = Хх + рх; 8°. X (хД-у) = ЛхД-Ху, то множество R называется линейным (или векторным) пространством, а элемен- ты х, у, z, ... этого пространства — векторами. Например, множество всех геометрических векторов является линейным про- странством, так как для элементов этого множества определены действия сложения и умножения на число, удовлетворяющие сформулированным условиям. Разностью двух векторов х и у линейного пространства называется такой вектор v этого пространства, что y-|-v = x. Разность векторов х и у обозначают через х—у, т. е. х—y = v. Легко доказывается, что х—у = хД-(— у). Справедливы также следующие теоремы: 1. В каждом линейном пространстве существует только один нуль-элемент. 2. Для каждого элемента линейного пространства существует только один противоположный элемент. 3. Для каждого элемента xgT? выполняется равенство 0-х = 0. 4. Для любого действительного числа X и выполняется равенство Х*0 = 0. 5. Из равенства Хх = 0 следует одно из двух равенств'. К = 0 или х = 0. 6. Элемент (— 1)-х является противоположным для элемента х. 461. Имеется множество всевозможных систем действительных чисел (5п £г; ..U, Оъ; п2; • • •; чУ (Сг; ?2; • • •; • • • • сум- ма двух любых элементов определяется равенством (дд, g2; ...; Д- + 0li’> •; nJ = (^i + Tli; ^ + л2; •••; + а произведение любого элемента на любое число — равенством Х(^х; Н2; ...; £п) = = (Хдд ХН2; ...; Цп). Доказать, что это множество является линей- ным пространством. Д Обозначимx=(gr, g2; •••; £«), У = (ЛГ, Лг! •••; Л«)> z=(£i; £2; ...; ;„), ... в Проверим выполнение сформулированных выше условий 1° — 8°. 1°. х + у= (|1 + 'Г]1;^2 + Нг; • • • j У + х = (Л1 + Вь Л2 + £2’> • • • Лп + ёп), т. е. хД-у = уД-х. 2°. х-|-у = Gi + Ль ?2 + Пг» • • • 5 ёп +Лп)> У+ z= (Л1+ Л2 + ?2’, • • • J (х + у) + z = (В1 + Л1 + ёг + Лг+^г; •••; ё«Д-Л«4“?п)» х4 (y + z) = (ё1 + Л1“Ь £15 ёг + Лг+^г; •••; ёп + Лп + SJ- Таким образом, (x + y) + z = x~j-(y + z). 103
3°. Нуль-элементом является 0=(0, 0 ..., 0). Действительно, х-|-0 = (~1-|-0; £2 +0; •••» ёпЧ-О) = х. 4°. Элемент (—£г, — g2; •••; — L) является противоположным элементу (Ь‘> hi g„), так как (h; §2; U + (- h;-|2; ...;-Н„) = (0; 0; •••! б) = О- 5°. I x = (l g1; 1-L; 1+„)х. 6°. Z(|ix)=X(jig1; p|„) = (X,t^i; ?4t£2; Z,u?„) = (Zp) х. 7». (X+p)x=((X+p)g1; (Х+ц)Ь; •••; (X+p)5„) = (Zj1+ps1; ^2+^2; ;л„+pS„) = (Xh; Xg2;...; XL)+ (nh; uh;... ;ph)=Msi; h; • • •; U+p (h; h; • • • ; U=b£+px. 8,J. Z (x-|-y) =X (Bi —|-T)i’ £2 + 132; • • •! ln + iln) — (Z§i-1-Illi; Z;2 + Zr]2;..ZL + + ?.ii„) = (Ah; zg2;---; *Ь) + (Ьц; Иг,---; Xr)n)=X(h; h; U+Мш; n2; •••; 1>)=Zx-LZy. £ 462. Доказать, что множество всех комплексных чисел является линейным пространством. 463. Является ли линейным пространством множество систем че- тырех действительных чисел (L; £2; 0; 0), (rij; т]2; 0; 0), (^; t,2; 0; 0), где В2> 1li> Лг’ £i> £2— всевозможные действительные числа? Сло- жение элементов и умножение на действительное число определены так же, как и в задаче 461. 464. Образует ли линейное пространство множество элементов Qi; g2; 1; 1), (П1; т]2; 1; 1), 1; 1)? 465. Является ли линейным пространством множество всевозмож- ных многочленов второй степени а0/2 + а^ 4-а2, (V2 + IM + Р2» Yo^2+ + У J + ?2» ’ • ’ ? 466. Образует ли линейное пространство множество всех много- членов не выше третьей степени? 467. Даны функции Д (/), f2 (/), f3 (/), .... Является ли множество этих функций линейным пространством, если эти функции образуют: 1) совокупность всех непрерывных функций на отрезке [а, Ь]; 2) со- вокупность всех дифференцируемых функций на отрезке [a, &J; 3) со- вокупность всех элементарных функций; 4) совокупность всех неэле- ментарных функций? 468. Дано множество всевозможных пар положительных чисел: х=(^; £2), у = (¥ Лг)> z==(£i*> £2), ••• • Является ли это множество линейным пространством, если сложение двух элементов определяет- ся равенством х + у=(^1т|1; ^2т]2), а умножение на действительное число — равенством = £2)? 469. Может ли линейное пространство состоять: 1) из одного век- тора: 2) из двух различных векторов? 470. Из линейного пространства исключен вектор х. Может ли полученное после этого исключения множество векторов остаться ли- нейным пространством? 471. Из линейного пространства исключено бесчисленное множе- ство векторов. Может ли полученное после этого исключения мно- жество векторов быть линейным пространством? 472. В резерв проводников вагонов для выдачи им ежедневно по- ступают со склада: 1) сахар; 2) чай; 3) печенье; 4) сухари; 5) дре- весный уголь. Пусть fei, g2, g3, g4, — соответственно приращения за день количества (в кг) этих поступлений. Если > 0, то соответст- вующего продукта или угля поступило больше, чем выдано в этот день, а если < 0, то их выдано больше, чем поступило со склада. 104
Является ли совокупность систем чисел (g4; £2; £3; £4; |5) линей- ным пространством? Что означает вектор (—100; 5; 0;—200; 3)? 473. Образует ли линейное пространство совокупность троек целых чисел (g4; g2; g3)? 474. В парк вагонного депо ежедневно прибывают вагоны разных типов: багажные, почтовые, жесткоплацкартные, купированные и мяг- кие, из которых ежедневно формируются и отправляются пассажир- ские и скорые поезда. Пусть S2, £3, |4, £5 — приращения за сутки числа соответствующих вагонов. Является ли совокупность чисел (In 12’> Вб) линейным пространством? 475. Образуют ли линейное пространство все геометрические век- торы, имеющие общее начало в начале координат и расположенные в I октанте? 476. Доказать, что множество всех решений системы линейных « la1x4-b1y4-c1z = Q, однородных уравнении < * ‘ _п ооразует линейное прост- I "Т ^чУ ранство. © Доказать, что если (хх; /л; ?i) и (х2; у2; г2)— решения этой системы, то (хх + х2; + Z1 + Z2) и (лат; tyi, Хг4) при любом л также являются решениями системы. 477. Доказать, что все функции у1(х), г/2(х), у3 (х), ..., удовлет- воряющие дифференциальному уравнению Аоу{н}А- А1у{п~1} Апу = 0 (40, Аи ..., Ап—функции от х) образуют линейное пространство. 2. Линейно независимые векторы. Пусть х, у, z, ..., и—какие-нибудь векто- ры линейного пространства R. Вектор, определяемый равенством v = ax + py + угД . • • +Xu, где a, Р, у, ..., 1—действительные числа, также принадлежат линейному прост- ранству /?. Этот вектор называется линейной комбинацией векторов х, у, z, ..., и. Пусть линейная комбинация векторов х, у, z, ..., и является нуль-вектором, т. е. ax+Py+?z+...+lu=0. (I) Векторы х, у, z, ..., и называются линейно независимыми, если равенство (1) выполняется лишь при a = 6 = у = ... =Х = 0. Если же равенство (1) может вы- полняться и в том случае, когда не все числа a, р, у, ..., Z равны нулю, то говорят, что векторы х, у, z, ..., и линейно зависимы. Легко доказывается, что векторы х, у, z, ..., и линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из этих векторов может быть представлен в виде линейной ком- бинации остальных векторов. 478. Показать, что если среди векторов х, у, z, ..., и имеется нуль-вектор, то рассматриваемые векторы линейно зависимы. Д Пусть х = 0. Так как равенство ax + Py + yz-|-...-|-1и=0 может выпол- няться при a # 0, р=у = ... =% = 0, то векторы линейно зависимы. А 479. Элементами линейного пространства являются системы упо- рядоченных действительных чисел xz = (£1Z, g2/, ..., gnZ) (i = 1, 2, 3, ...). Какому условию должны удовлетворять числа (f=l, 2, ..., n; k = 1, 2, ..., ri) для того чтобы векторы хп х2, ..., хп были линейно независимы, если сумма векторов и произведение вектора на число определяются равенствами xz + x^ = (clt- + ^lft; gof + ^2fe; ...; 105
А Рассмотрим равенство а±х± Д сс2х2 Д ... Д ce„x„ = 0. Оно равносильно сис- теме уравнений а15и с^2?-12 + • • • + а1?21 4" а2?22 “Г • • • 4" алг^2’2 = 0, СС1^1Ч~СС2^П2~Г ’ • • + — О* В случае линейной независимости векторов хь х2, ...» иметь единственное решение cc1 = cz2= ... —ап = 0, т. е. хп эта система должна 5и 521 512 522 > Srzl Ьл2 5i« Е ±>пп В частности, векторы ($п; £21) и ($12; £22) линейно независимы тогда и только тогда, когда gng22 —5i252i # 0- А 480. Рассматривается линейное пространство многочленов не выше второй степени. Доказать, что векторы Рх = 1 Д- 2 дД- З/2, Р2 = 2 д 3t + + 4/2 и Р3 = 3 Д 5/Д It2 линейно зависимы. Д В данном случае можно сразу заметить, что Рз= 1 -Pi Д 1 ‘Р2; следовательно,- векторы Pi, Р2 и Р3 линейно зависимы. А 481. В каком случае векторы х = (21; с2) и у = (д; п2), определен- ные в условии задачи 468, линейно зависимы? А Из равенства х = Ху следует, что (д, g2) = h ('1ь Л2)> или (^; £4) = (i]i; г^), т. е. 51 = 111, 52 : = Т|2- Отсюда заключаем, что In ?i-ln д = In rji-ln Н2- А 482. Доказать, что три компланарных вектора а, b и с линейно зависимы. ф Привести векторы к общему началу и разложить один из векторов на со- ставляющие, соответственно коллинеарные двум другим векторам. 483. Доказать, что три некомпланарных вектора а, b и с линейно независимы. 484. Доказать, что любые четыре вектора а, Ь, с и d линейно зависимы. А Если три из четырех векторов компланарны, то задача решается просто. Предположим, что эти векторы некомпланарны. Приведем все четыре вектора к общему началу О. Построим параллелепипед, диагональю которого является вектор d с ребрами на прямых, содержащих а, b и с. Нетрудно видеть, что d = cca-|-pb + Дус. А 485. Доказать, что если п векторов линейного пространства х, у, z, ..., и линейно зависимы, то пД1 векторов этого пространства х, у, z, ..., u, v также линейно зависимы. 3. Размерность и базис линейного пространства. Если в линейном простран- стве R имеется п линейно независимых векторов, но любые пД1 векторов этого пространства линейно зависимы, то пространство R называют n-мерным. Принято также говорить, что размерность пространства R равна и, и писать d(R) = n. Про- странство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых век- торов, называется бесконечномерным. Если R — бесконечномерное пространство, то d(R) = n. 106
Совокупность п линейно независимых векторов «-мерного линейного простран- ства называется базисом. Справедлива следующая теорема: каждый вектор ли- нейного п-мерного пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов базиса. Так, если ех, е2, ..., е„— базис п-мерного линейного пространства 7?, то любой вектор х£7? может быть единст- венным образом представлен в виде Х = Ъ1е1 4- ?2е2 + • • • + ?пеп- Таким образом, вектор х в базисе в!, е2, ..., е„ определяется единственным образом с помощью чисел gi, g2, Эти числа называются координатами вектора х в данном базисе. Если x = g1ei + g2e2+---+^e„, у =11161+11262 + +ПЛ, то x+y=(Si + iJi) ei + (?2+"Нг) ег + • • • +(en+ib) еп> ^х = А,^1е1 + Х^2ег+ • • • + ^?пе„. Для определения размерности линейного пространства полезно использовать следующую теорему: если любой вектор линейного пространства R может быть представлен в виде линейной комбинации линейно независимых векторов ех, е2, . е„, то d(R) = n (а следовательно, векторы ех, е2, ..., е„ образуют базис в про- странстве R). 486. Дано линейное пространство всевозможных пар упорядочен- иых действительных чисел xt = (£х1; |21), х2 = (|12; g22), х3 = (|13; |22), ..., причем сложение векторов и умножение вектора на действительное число определены равенствами xz4-xft = (g1Z + glfe; + AxZ — = (X£1Z; Zg2Z). Доказать, что векторы ех = (1; 2) и е2 = (3; 4) образуют базис данного линейного пространства. Найти координаты вектора х=(7; 10) в этом базисе. Д Векторы ех = (1; 2) и е2 = (3; 4) линейно независимы (см. задачу 479). Рас- смотрим какой-нибудь вектор y = (nx; г|2). Покажем, что для любых rji и т]2 можно определить числа X и ц так, чтобы выполнялось равенство у = 7ех + рге2, или (Hi* ris)= +3tu; 2Х-(-4ц). Нетрудно видеть, что существует единственная пара значений (X; ji), для ко- торой выполняется это равенство. Это следует из того, что система уравнений ( Z + 3|X = Til, ( 2л 4-411 = 112 является определенной. Итак, векторы ех и е2 образуют базис. Определим координаты вектора х = (7; 10) в этом базисе. Задача сводится к определению Л и (г из системы уравнений ( Х4-Зц = 7, ( 2Х4-4р = 10. Отсюда находим 7 = 1, р = 2, т. е. х = ех4~2е2. Д 487. Показать, что линейное пространство, элементами которого являются векторы х = (£х; g2; . (см. задачу 479), имеет своим базисом совокупность векторов ег = (1; 0; 0; ...; 0), е2 = (0; 1; 0;...; 0), е3 = (0; 0; 1; ...; 0), . ..,еп = (0; 0; 0; ..., 1). Л Нетрудно видеть, что x = gx (1; 0; 0; ...;0)4~L (0; 1; 0; ...; 0) Ц- .. .4~L (0; 0; 0; ...; 1), т. е. х = ?iei4- ^24“ • • • + ^пРп- Таким образом, любой вектор может быть пред- ставлен в виде линейной комбинации векторов ех, е2, ..., еп. Векторы ех, е2,..., еп линейно независимы, так как определитель, составленный из’ координат этих векторов, равен 1, т. е. отличен от нуля. Итак, эти векторы образуют ба- зис, а пространство R является «-мерным. Д 107
488. Из каких элементов состоит линейное пространство с бази- сом 1, t, t2, ..., 7n-1, Iй, если сложение элементов и умножение элемента на действительное число понимать в обычном смысле? 489. Показать, что множество всех матриц второго порядка яв- ляется линейным пространством четвертого измерения. 490. Показать, что матрицы ех = (о о) ,е2= (о о) ,е3 = (з о) , /0 0\ . . е4=( о 4 ) образуют базис линейного пространства, рассмотренного в задаче 489. 491. Показать, что элементы ех — (1; 10) и е2 = (10; 1) линейного пространства, рассмотренного в задаче 468, являются базисными. Найти координаты вектора х = (2; 3) в этом базисе. Л Так как In 1 • In 1 — In 10«ln Ю 0, то векторы ех и е2 линейно независимы (см. задачу 481). Пусть любой вектор у = (га; т]2) представлен в виде линейной комбинации векторов ei и е2. Покажем, что существует такая пара чисел (X; р), для которой выполняется равенство у — Zei + pe2, или (щ; Лг) == О*410ц; 10^ 1Ц). Следовательно, р = 1g щ, Л = 1g т]2. В частности, х=вх 1g 3 -j- е2 lg2. Таким образом, (1g 3; lg2) — координаты вектора х в базисе еь е2. А 492. Показать, что за базис /i-мерного пространства, рассмотрен- ного в задаче 479, могут быть приняты векторы е1 = (1; 1; 1;..., 1; 1), е2 = (0; 1; 1; ...; 1; 1), е3 = (0; 0; 1; ...; 1; 1), ..., е^^О; 0; 0; ...; 1; 1), е„=(0; 0; 0; ...; 0; 1). • Рассмотреть векторы е' = ех~е2, е'=е2 —е3, ..., е^_1 = еп_1 —е„, е^ = е„. 4. Изоморфизм линейных пространств. Рассмотрим два линейных пространст- ва R и R'. Элементы пространства 7? будем обозначать через х, у, z, ..., а эле- менты пространства R'— через х', у', z', ... . Пространства R и 7?' называют изоморфными, если между их элементами х, у, х', у' можно установить такое взаимно однозначное соответствие х ч-> х'; уч~>у', при котором х + у <-> х'4-у', Zx<->Xx' (X—любое действительное число). Следует отметить важную теорему, с помощью которой легко устанавливается изомор- физм конечномерных линейных пространств: для того чтобы два конечномерных пространства R и R' были изоморфными, необходимо и достаточно, чтобы их размерности были одинаковыми. 493. Даны два линейных пространства R и 7?'. Элементами про- странства R являются всевозможные дифференцируемые функции аргумента /, обращающиеся в нуль при / = 0. Элементами же про- странства R' являются производные функций, принадлежащих про- странству R. Доказать, что пространства R и R' изоморфны. Л Пусть /1 (/), f2 (/), (/),...—функции пространства 7?, а фх (7), ф2 (7),> фз (7), ...—функции пространства 7?'. Из того, что эти функции снабжены индек- сами, не следует делать'заключение, что 7? и 7?' — счетные множества. i Пусть ф/ (7) =fi (7); тогда fi (7) = ф/ (7) dt. Таким образом, между элемента- o' мп линейных пространств 7? и 7?' (доказательство их линейности предоставляем выполнить самостоятельно) установлено взаимно однозначное соответствие. 108
С помощью равенств t «Р/ (0 + <ik (i) = ГЛ (0+fk (ОГ, fi (О+fk (t) = $ 1ф< (0 + Фа (01 dt, 6 t ?4/(O = [Vi(OJ', Х/;(О= Jx<pz(/)d/ о установлены взаимно однозначные соответствия: fi (t) -{- fk (О ф/ (О + ф£ (О» Ni (О <-> Мр/ (О* Итак, R и R'— изоморфные пространства. Л 494. Доказать, что множества всех геометрических векторов и многочленов не выше второй степени — изоморфные линейные про- странства. 495. Даны изоморфные линейные пространства R и R'. Между элементами этих пространств установлены взаимно однозначные со- ответствия х <->х', уну', ... . Доказать, что ах + Руyz ах'Д- + Py' + yz' при любых действительных а, Р и у. 496. Пусть R и R' — изоморфные линейные пространства, причем х«->х'. Доказать, что (—х)<->(—х'). 497. Даны изоморфные пространства R и R', причем 0 и 0'— нуль-элементы этих пространств. Доказать, что 0<->0' независимо от того, как установлены взаимно однозначные соответствия между другими элементами этих пространств. 498. Даны всевозможные пары действительных чисел: (|х; т^), (g2; ЛгЬ (1з‘, Лз)’ • • • • Построены два линейных пространства: про- странство R с элементами x^^f, т]г), х2 = (^2; т|2), х3 = (£3; т]3), .. в котором сложение векторов и умножение вектора на число опре- делены равенствами Xj-j-x^ (Ix + lg, 'Пх+'Пг)» XtjJ, и про- странство 7?', состоящее из векторов = (е~^; x' = (e-^2; г^2), х3 = (е-Ь; е-^з), ..., в котором соответствующие действия опреде- лены равенствами -Дх2 = е-щ-щ), Axi = (e-Z^; е-Х1ь). Дока- зать, что пространства R и R' изоморфны. 499. Изоморфны ли линейные пространства R и R'\ если эле- ментами R являются векторы х, у, z, .... а элементами R' — векторы 2х, 2у, 2z, ...? Показать, что пространства R и R' состоят из одних и тех же элементов. § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ПЕРЕХОДЕ К НОВОМУ БАЗИСУ Пусть в n-мерном линейном пространстве Rn имеются два базиса: ef, е2, е3,... (старый) и е', е^, е^, ... (новый). Даны зависимости, выражающие каждый вектор нового базиса через векторы старого базиса: — йПе1 + ^21е2 + • • • + aniQni = ^12е1 + «22е2 + • • • + ап&М .......................... =czinei+fl2ne2+ • • • 109
Матрицу А = а11 #12 ••• Gln а21 а22 ••• а2п ап1 ®П2 ’ • • &ПП называют матрицей перехода от старого базиса к новому. Возьмем какой-нибудь вектор х. Пусть (^; £2;...; ?«) — координаты этого вектора в старом базисе, а (^; с'; — его координаты в новом базисе. При этом старые координаты вектора х выражаются через новые координаты этого вектора по формулам ^1 Т ^12^2 И" • ' * т £2 =ск111 + а22Ц+ ... + а2г£'п, in ~ anlii~r 0 «262 4“ • • • ~Tan^i'ni которые называются формулами преобразования координат. Нетрудно видеть, что столбцы матрицы А являются координатами в форму- лах перехода от старого базиса к новому, а строки этой матрицы — координатами в формулах преобразования старых координат через новые. 500. Дан вектор х = е1 + е2 + е3 + е4. Разложить этот вектор по новому базису el, el, е3, el, если el = е2-- е3 + е4, е1 = е1 + ез + еп ез = е1 + е2 + е4, е; = е4 + е2 + ез. Д I способ. Выпишем матрицу перехода от старого базиса к новому: /° 1 1 1\ А~\ 1 0 1 И 1 1 о 1 г 4 110/ Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования координат: 51=51+^+^ ъ=g;+i3+n L=?n4i+^. Так как g1 = g2 = Ь = 1, то, решив систему уравнений, находим ^==1^ = 1^== = g; = l/3 их = (1/3) (е^ + е^ + е^ + ер. II способ. Исключив еь е2, е3, е4 из системы уравнений х — е4 -Ц- е2 + е3 е4, = 0-ei~L е2-'-е3 -|-е4, е1 — ei -}- 0 • е2 -}- е3 + е4, е3 ~ е1 + е2 + 0 • е3 + е4, е4 = ei + е2 + ез + 0 • е4 получаем X 1 1 1 1 0 1 1 1 е2 1 0 1 1 = 0, ез 1 1 0 1 е1 1 1 1 0 Остается раскрыть этот определитель по элементам I-го столбца и выразить х че- рез е;, е', el и е^. ПО
Ill способ. Так как e'4~e24-e'4-e4 = 3ei4-3e24-3e34-3e4, то е1 + е2 + ез + + е4 = (1,'3)(е; + е' + е; + е;). Отсюда х = (1/3) (е^ + е' + е^+е^. Д 501. Дан вектор х = 8е4 4- 6е2 + 4е3—18е4. Разложить этот вектор по новому базису, связанному со старым базисом уравнениями е; = —Зе4 + е2 + е3 + е4, е; = 2е, — 4е2+е3-[- +е4, ез = е1 + 3е2—5е34-е4, е) = е14-е24- 4-4е3—6е4. 502. Дан вектор х == 2 (е, J- e,4-... +е„). Разложить вектор х по базису е^, е'2, .. е’п, если е; = е44-е2, е; = е2 + е3, е' = е3+ Н_е4, 4 = e„_i-j-е„ = е,гт-е]. 503. Система координат хОу повернута вокруг начала координат на угол а (рис. 21). Выразить координаты вектора a = xi4- +у] в новой системе через его координаты в старой системе. Л Разложим векторы Г и j' по ортам i и j: Г = i cos <Z q-j sin об, j' = j cos л . A . . . / л , y+a J+j sin Запишем матрицу перехода от старого базиса i, j к новому базису i', j': ^4 —/cosa —sinaA sin a cos a ) ’ Отсюда получаем x = x' cos 06 — y' sin ос, y = x sin a-\-y' cos 06# t. e. xf ~ x cos обУ sin об, y' = — x sin a4-z/cos a. A 504. Даны зависимости e4 = ae2, е2 = {Зе3, e3 = ye4, e4 = 6e5, = Написать формулы, связывающие старые координаты (£n S2; £3; £4; |5) вектора х с новыми координатами (^; £2; £5) этого же вектора. 505. Возможны ли зависимости е4 -= е2 — е3, е2 = е3—еи е3 = е4— между старым базисом еп е2, е3 и новым базисом е4, е2, е3? § 3. ПОДПРОСТРАНСТВА 1. Подпространство линейного пространства. Линейное пространство R' назы- вается подпространством линейного пространства 7?, если элементами простран- ства R' являются только элементы пространства R. Например, множество всех векторов, параллельных одной и той же плос- кости, является подпространством всех геометрических векторов пространства. Если х, у, z, ..., и — какие-нибудь векторы линейного пространства R, то все векторы Обх4~Ру + • • • + где Р, •••> — всевозможные действительные числа, образуют подпространство пространства R. Множество всех линейных ком- бинаций векторов ах4~Ру+• • •называется линейной оболочкой векторов х, у, ..., и и обозначается через L (х, у, ..., и). Если Ri — подпространство линейного пространства R, то d (R-j) d (R). Пусть в линейном пространстве R имеются два подпространства /?1 и R2. Пересечением подпространств Rr и R2 называется множество 7?3 всех элементов, одновременно принадлежащих /?4 и R2. Запись Rs = Rif]Rz означает, что /?3 является пересечением подпространств /?4 и R2. Суммой подпространств Ri и R2 111
называется множество /?4 всех элементов вида х + у, где x£7?i, а y£R2. Запись ^?4 = /?1 + /?2 означает, что множество /?4 является суммой подпространств /?4 и Т?2. Доказывается, что пересечение 7?3 и сумма /?4 являются подпространствами пространства R. Следует иметь в виду, что d (7?i) 4- d (Т?2) = d (R3) + d (T?4). 506. Может ли подпространство линейного пространства R состоять из одного элемента? 507. Дано линейное пространство R, элементами которого явля- ются всевозможные системы действительных чисел: х = (^; £2; IJ, y = 01i; П2; Пз; nJ. z = (^i; С3; и» •••• Сложение двух эле- ментов и умножение элемента на число определены равенствами х+у = (£1+П1; Ss+v. ?з+п3; kx=P£r. ^3; ^)- Доказать, что множество Rr элементов х4 = (0; ?2; £3; §4), у, = = (0; т]2; т|3; т]4), zx = (0; £2; £3; £4), ... и множество R2 элементов х2 = (^; 0; g3; g4), y2 = (r)i; 0; т]3; 1%), z2 = (^; 0; £3; £4), ...являются подпространствами линейного пространства R. 508. Для линейного пространства R, рассмотренного в задаче 507, найти пересечение R3 и сумму R* подпространств и R2. 509. Показать, что для подпространств задач 504 и 505 выпол- няется равенство d^R^ + d^R^^d^R^ + d^R^. 510. Дано линейное пространство, состоящее из всех геометри- ческих векторов. Является ли подпространством этого пространства множество векторов с началом в начале координат и расположен- ных в I октанте? 511. Дано линейное пространство R, элементами которого являются координаты точек Р = (х; у; г) I октанта, не лежащих на коорди- натных плоскостях. Сложение двух каких-нибудь элементов = = (х/, z/f, г4) и Р2 = (х2; у2; г2) определено равенством Рх4-Р2 = = (х4х2; у.у2\ z4z2), а умножение элемента Р = (х\ у\ z) на действи- тельное число 1—равенством 'кР==(хк\ ук\ zK). Доказать, что мно- жество Rr точек этого пространства, расположенных на плоскости z=l, является подпространством пространства R. 512. Дано линейное пространство R многочленов не выше пятой степени. Доказать, что множество многочленов вида «0/4-^! и множество R2 многочленов bQP-]-b1P-]-b2 являются подпространствами пространства R, если сложение элементов и умножение элемента на число понимать в обычном смысле. 513. Найти подпространства R3 = R± A R2 и Ri = R± 4- R2 по условию предыдущей задачи. 514. Рассматриваются два подпространства пространства R всех геометрических векторов: —множество векторов, параллельных координатной плоскости хОу, и R2—множество векторов, парал- лельных плоскости xOz. Найти R3 = Rt A R2 и R& = Ri + R2- 515. Пусть и R2—подпространства линейного пространства R, a Ri и R'2—подпространства линейного пространства R'. Известно, что подпространства R± и R^ а также R2 и R2 изоморфны. Дока- зать, что изоморфны подпространства 7?3 = /?1а/?2 и 7?з = 7?! А а также /?4 = ^i + #2 и Ri = R'i + R2- 112
516. Дано множество функций/(х), непрерывных и положительных на отрезке [—а, а]. Доказать, что это множество является линейным пространством, если за сумму векторов принять произведение соот- ветствующих функций, а за произведение вектора на действительное число X—результат возведения в степень X соответствующей функции. Является ли подпространством множество всех четных функций этого пространства? Множество всех нечетных функций этого пространства? 517. Рассматривается линейное пространство геометрических век- торов. Образует ли подпространство этого пространства множество всех векторов a = Xi + Fj + Zk, где X, Y и Z—рациональные числа? 2. Подпространства, образованные решениями однородной линейной системы уравнений. Рассмотрим однородную линейную систему уравнений #ii*i+#i2*2 + • • • #21*1+ #22*2 + • • •+#2«*« — О, . # 77jl*l +#1772*2 + ••• +#/ЯП*« —О* Пусть = Xi, х2 = Х2, •••> хп = ^п — какое-нибудь решение системы. Запишем это решение в виде вектора f = (Х4; Х2; • •• Совокупность линейно независимых решений fi, f2, ..., fn системы уравнений (1) называется фундаментальной систе- мой решений, если любое решение системы уравнений (1) может быть представлено в виде линейной комбинации векторов fx, f2, ..., f„. Теорема о существовании фундаментальной системы pe- rn е н и й. Если ранг матрицы / #11 #12 ••• #1п \ I #21 #22 ••• #2n I \#/721 #/»2 • • • ^тп/ меньше п, то система (1) имеет ненулевые решения. Число векторов, определя- ющих фундаментальную систему решений, находится по формуле k — n — г, где г—ранг матрицы. Таким образом, если рассматривается линейное пространство Rn, векторами которого являются всевозможные системы п действительных чисел, то совокупность всех решений системы (1) является подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна k. 518. Найти базис и размерность подпространства решений линейной однородной системы уравнений г *i + 2х2 + Зх3 -|- 4х± ~ О, (1/2) *х+ *2 + (3/2) Хз + 2х4 = 0, < (1/3) xi + (2/3) х2+ *з + (4/3) х4 = 0, (1 /4) *х + (1 /2) х2 + (3/4) хз + *4 = 0. Л Ранг матрицы /1 2 3 4\ I 1/2 1 3/2 2 । I 1/3 2/3 1 4/3 I \1/4 1/2 3/4 1 / равен 1, поскольку все миноры матрицы, кроме миноров первого порядка, равны нулю. Число неизвестных равно 4; поэтому размерность подпространства решений k = n—г = 4—1 =3, т. е. это подпространство является трехмерным. Так как г — 1, то из этой системы достаточно взять какое-нибудь одно уравнение. ИЗ
Возьмем первое уравнение системы и запишем его в виде х4 =— 2х2—Зх3— 4х4. Если л2=1, х3~0, х4 = 0, то х4 =—2; если х2 = 0, х3=1, х4 = 0, то х4 =— 3; если х2 = 0, х3 —О, х4=1, то х4 —— 4. Итак, мы получили линейно независимые векторы fi = (— 2; 1; 0; 0), f2 = (— 3; 0; 1; 0), f3=(— 4; 0; 0; 1), которые обра- зуют базис трехмерного подпространства решений данной системы. Д 519. Показать, что вектор f = fx — 2f2 + h удовлетворяет системе уравнений задачи 518. 520. Найти базис и размерность подпространства решений системы уравнений (Xi — 2х2~Ь -^3 = 0, 2х4— х2— х3 = 0, — 2х4 -ф* 4х2 — 2х31=2 0. Л Ранг матрицы / 1 —2 Л 2-1—1 2 4—2/ равен 2, так как определитель третьего порядка, образованный элементами мат- рицы, равен нулю, а среди миноров второго порядка имеются отличные от нуля. Размерность подпространства решений k = n—г — 3 — 2= 1. Так как г = 2, то доста- точно взять два уравнения из заданных трех. Отбросим третье уравнение, поскольку его коэффициенты пропорциональны соответствующим коэффициентам первого уравнения. В системе Г х1—2х2 = — х3, ( 2х4 х2 = х3 полагаем х3 = 1, тогда решение системы х4 — 2х2 = — 1, 2х4 — х2 = 1 есть = 1, х2 ~ 1. Итак, подпространство f= (I; 1; 1). ▲ решений определяется одним базисным вектором 521. Найти размерность и базис подпрсстранства решений системы уравнений < Х14"^2—•^з4''^4:==0, х4—х2 + х3—х4 = 0, 3xi+x2 —Х3 + .Г4 = 0, k Злу—x2+*3—х4 = 0. Д Определяем ранг матрицы /1 1 -1 1\ А- 1 -1 1 “И 3 1-1 1 • уз —1 1—1/ Вычитаем из 3-й строки 2-ю, а из 4-й строки 1-ю: Так как элементы 3-й строки пропорциональны соответствующим элементам 1-й строки, а элементы 4-й строки пропорциональны элементам 2-й строки, то 114
3-ю и 4-ю строки можно вычеркнуть: Ml j -| _!) Таким образом, ранг матрицы А равен 2 и k = n— г = 4—2 = 2. Итак, размерность подпространства решений равна 2. Так как г = 2, то из четырех уравнений возьмем два: f Х4+х2— Хз—}-Х4 = 0, ити J Х14-Х2~ *з х ( Х4 —Х2 + Х3—Х4 = 0, " \ Xi—х2 = —*з + *4- Следовательно, Xi = 0, Полагая х3 = 1, х4 = 0, получим систему х ___________ Х2 = 1 и f 1 = (0; 1; 1; 0). ( Полагая теперь х3 = 0, х4=1, имеем <! 1 ’ Таким образом, Xi = 0, I *1---*2 —• * • х2 =—1 и f2 = (0; —1; 0; 1). За базисные векторы подпространства могут быть приняты векторы = (0; 1; 1; 0), f2 = (0; —1; 0; 1). Общее решение системы урав- нений определяется вектором f = c1f1+c2f2, т. е. f — (0; q —с2; q; с2). 522. Определить размерность подпространства решений, базис и общее решение системы уравнений *1 + 2х2 + Х3 + Х4 + Х5 = 0, Х1 —2х2+хз + х4—х3 = 0. § 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Основные понятия. Будем говорить, что в линейном пространстве R зада- но преобразование А, если каждому вектору х^Т? по некоторому правилу постав- лен в соответствие вектор Axg/?. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов х и у и для любого действительного числа X выполняются равенства А (х+у) = Ах+Ау, А (Хх)=Х Ах. Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор х в самого себя. Тождественное линейное преобразование обознача- ется через Е. Таким образом, Ех = х. 523. Показать, что преобразование Ах = ах, где а—действитель- ное число, является линейным. ДИмеем А (х + у) = а (х + у) = ах + ау = АхДАу, А (Хх) = а (Хх) = X (ах) = = X Ах. Итак, оба условия, определяющие линейное преобразование, выполнены. Рассмотренное преобразование А называется преобразованием подобия. А 524. Преобразование А в линейном пространстве R определено равенством Ах = х + х0, где х0 € 7? — фиксированный ненулевой век- тор. Является ли преобразование А линейным? Д Из равенств Ах = х-|-х0, Ау = уДх0, А (х+у) = х+у + х0, А(х + у) = = Ах + Ау заключаем, что х + у + х0 = (х + х0) + (у + х0). Отсюда следует, что хо = О, но это противоречит условию. Следовательно, преобразование А не явля- ется линейным. А 525. Дано линейное пространство геометрических векторов. Пре- образование А состоит в замене каждого вектора его составляющей по оси Ох. Является ли это преобразование линейным? 115
& Пусть a = Xii^~Y1j-[-Z1k и b = X2i-p/2j 4-Z2k—произвольные векторы, a A— произвольное действительное число. Так как а4- b = (Xi + Х2) i + (Kj-f- Г2) j -f- (Zi4“ Z2) k, Xa = -f-XKij TO A (a-)-b) = (Xi + X2) i ==X1iJ-X2i = Aa4-Ab, A (Xa) = AXxi =XAa. Итак, A — линейное преобразование. A 526. Является ли линейным преобразованием замена каждого геометрического вектора его зеркальным отображением относительно координатной плоскости хОу? 527. Является ли линейным преобразованием умножение каждого геометрического вектора на его длину? 528. В каком случае преобразование А является линейным, если Ах = х0, где х0—произвольный вектор линейного пространства R, а х0—фиксированный вектор? 529. Дано линейное пространство векторов х = ^1е1 + ^2е2 + ?3ез + + £4е4, где g2, |3, £4— всевозможные действительные числа. Пусть а—фиксированное действительное число. Является ли линей- ным преобразование А, определяемое равенством Ах = ^1е1 + £2е2 + + ^е3 + ^е4? 530. Дано линейное пространство векторов х = ^1е1 + £2е2 + £зез + + £4е4. Преобразование А состоит в том, что у каждого вектора меняются местами вторая и третья координаты, т. е. Ах = ^1е1 + + ^е2 + ?2ез + ^4е4- Является ли преобразование А линейным? 531. Пусть А—линейное преобразование. Доказать, что преоб- разование В, определяемое равенством Вх = Ах—2х, является линейным. 2. Матрица линейного преобразования. Пусть в я-мерном линейном пространстве R, базис которого еь е2, .., е„, задано линейное преобразование А. Так как Aej, Ae2,...,Ae„ — векторы пространства 7?, то каждый из них можно разложить единственным способом по векторам базиса: Aei = «цв! + п21е2 + ... + ап1еп, Ае2 = <71261 + П22б2 + • • • + an2^ltf = «inei + я2пе2 + • • • + аппеп* Матрица / #11 #12 • • • #1П \ __ [ #21 #22 • • • #2п | \#П1 #Я2 • • • #ПП / называется матрицей линейного преобразования А в базисе ef, е2, ..., ел. Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах преобразования базисных векторов. Возьмем в пространстве R какой-нибудь вектор x=xxei4-x2e2-|-... хпеп. Так как Ах£/?, то и вектор Ах можно разложить по векторам базиса: Ах = x'^i+х'е.2 + ... + х’п еп. Координаты (*/;*2; ... \х'п} вектора Ах выражаются через координаты (хх; х2;.ае ...; xrt) вектора х по формулам *х = #11*1 + #12*2 + • • • + #1«*Л> *2 = #21*1 + #22*2 + • • • + #2 и*Я» ==#Л1*1 + #«2*2+ • • • “Ь #ИИ*П« 11G
Эти п равенств можно назвать линейным преобразованием А в базисе ei, е2,.«. еп. Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А. 532. Найти матрицу тождественного преобразования Е в п-мер- ном пространстве. Л Тождественное преобразование не меняет базисных векторов: ej = elt е2 = е2> е; = е3,..., е; = ел, т. е. е; = Ье1 + 0.е2+...+0.еп, е2 — 0 • Ci + 1 • е2 + • • • + 0 • елг, — 0 • ei 0 • е2 + ... + 1 • еп. Следовательно, матрицей линейного преобразования служит единичная матрица /10 0 /О 1 0 £= 0 0 1 ООО 533. Найти матрицу преобразования подобия Ах = ах в гг-мер- ном пространстве. 534. В четырехмерном линейном пространстве рассматривается линейное преобразование А. Записать эго преобразование в коорди- натной форме, если Ае1 = е3 + е4, Ае2 = е1 + е4, Ае3 = е4 + е2, Ае4 == е2 + е3. А Матрица преобразования А имеет вид 0 110 0 0 11 10 0 1 110 0 Следовательно, преобразование А в координатной форме записывается так: х' = = х2 + *з, *2 = *з+*4> х3 = Х14-х4, x; = Xi+x2. А вектора против ча- 535. Линейное преобразование совокупности всех векторов на плоскости хОу заключается в повороте каждого совой стрелки на угол а (рис. 22). Найти матрицу этого линейного преобразования в координатной форме. Д Так как Ai = i cos а + j sin a, Aj = — i sin a+ 4-jcosa, to A _/ccs a —sina\ ~\sina cos ay’ Таким образом, рассматриваемое линейное пре- образование имеет вид х' =х cos а—у sin а; у' = х sin a+y cos a. A 536. Рассматривается линейное пространство векторов х~х1е14- + х2е24-х3е3 + %4е4, где х2, х3, х4— всевозможные действительные 117
числа. Доказать, что преобразование А, определяемое равенством Ax = x2ex+х3е24-х4е3 + ххе4, является линейным, и найти его мат- рицу. 3. Действия над линейными преобразованиями. В приведенных ниже опреде- лениях примем следующие обозначения: А и В —произвольные линейные преоб- разования в линейном пространстве R, К—произвольное действительное число, х£/?—любой элемент. Суммой линейных преобразований А и В называется преобразование Сь определяемое равенством СхХ = Ах + Вх. Обозначение: Ci = A-{-B. Произведением линейного преобразования А на число X называется преобразо- вание С2, определяемое равенством С2х —ЛАх. Обозначение: C2 = ZA. Произведением линейного преобразования А на линейное преобразование В называется преобразование С3, определяемое равенством С3х = АВх. Обозначение: С3 = АВ. Преобразования Сх, С2 и С3 являются линейными. Матрицы линейных преоб- разований Сь С2 и С3 определяются из равенств С1 = А-]-В, С2=КА, С3 = АВ. При сложении линейных преобразований выполняется переместительный закон; произведение же АВ, вообще говоря, отличается от произведения ВА. Перечислим некоторые свойства операций над линейными преобразованиями в пространстве R: А(ВС) = (АВ)С; АЕ = ЕА = А; (А+В) С = АС+ВС; С (А+В) =СА + СВ. Если для линейного преобразования А найдутся такие линейные преобразо- вания В и С, что ВА = Е, АС = Е, то В=С. В этом случае обозначают В = С = А~1, а линейное преобразование А-1 называют обратным линейным пре- образованием по отношению к линейному преобразованию А. Таким образом, А~1А = АА“1 = Е. Линейное преобразование А в конечномерном пространстве называют невырож- денным, если определитель матрицы этого преобразования отличен от нуля. Сле- дует иметь в виду, что каждое невырожденное линейное преобразование А имеет обратное преобразование А-1 и притом только одно. Если невырожденное линейное преобразование А в координатной форме опре- деляется равенствами хг ~ а±]ХаГ2уа-^пП, yf ~ а21Х-|-а2ъУ + • • • ~\~а2пи^ и' ~ ап1х~{~ ап2У • • • -\~annui то обратное линейное преобразование А-1 имеет вид и=[4тх'+Д^'+-+ши'- Здесь A[j—алгебраическое дополнение элемента а/у матрицы А, | А ( — определи- тель матрицы А. Матрица линейного преобразования А-1 является обратной по отношению к матрице А и определяется равенством 118
537. Преобразование А заключается в повороте каждого вектора плоскости хОу на угол а = л/4. Найти в координатной форме пре- образование А + Е. Л Имеем Ai = icos (от/4> -f- J sin (л/4) = ()/'2/2) i + (К 2/2) j; Aj = i cos (Зл/4) + j sin (Зл/4) = —(]Л 2/2) i + 2/2) j. Следовательно, л=АЛ-2'2 -гд/2\ 2/2 V 2/2/ /0/2+1 —V 2/2 \ \V 2/2 У 2/2 + 1 / Таким образом, линейное преобразование А4-Е можно записать с помощью равенств х' = (К2/2+1)х—(/"2/2)//, у' = (К2/2) х + (]/’2/2 +1) у. Д 538. Даны два линейных преобразования: х' = %+2# + Зг, У' — 4х + 5# + 6г, z' =7х4-8// + 9з х' — х + Зу-г 4,5г, (А) и У' = 7х+ 9г, (В) z' = 10,5х+12г/+ 13г. Найти ЗА — 2В. 539. Даны линейные преобразования: *'=*+#, х'=#+г, у'=у + ?, (А) и y'=x-iz, (В) z* ~z +х г' =х + #. Найти преобразования АВ и ВА. Д Матрицы данных преобразований имеют вид /1 1 °\ /° 1 1\ А = [ О 1 1 ), В= 1 О 1 ). \1 0 1/ \1 1 о/ Найдем произведения этих матриц: /1 1 2\ /1 1 2\ АВ = ( 2 1 1 ), В А = ( 2 1 1 ). \1 2 1/ \1 2 1/ В данном случае АВ = ВА, поэтому линейные преобразования АВ и ВА сов- падают. Координатная форма преобразования АВ записывается следующим образом: х'==х + #+2г, у' = 2х + # + г, г'=х + 2# + г. Д 540. Пусть над совокупностью векторов u = xi + yj на плоско- сти хОу производятся два линейных преобразования: А — замена вектора его составляющей по оси Ох\ В — зеркальное отображение вектора относительно биссектрисы I и III координатных углов. Найти преобразования АВ и ВА. 119
Л Согласно условию, Au = xi, Bu=xj4-f/i. Таким образом, Ai = i, Aj=O, Bi = j, Bj = i, t. e. л —P 0\ s_<0 1\ /0 i\ вл_/оо\ Ц о) ’ Aa ~ ^0 о/ A ~ (j 0/ Итак, преобразование AB определяется равенствами x' =y, y' = 0,a преобра- зование BA — равенствами x' =0, у'=x. Рекомендуем получить эти равенства из геометрических соображений. А 541. Преобразование А заключается в повороте каждого вектора плоскости хОу на угол а. Найти матрицу преобразования А2 (т. е. А -А). Л Так как Ai = i cos aj- j sin a, Aj = —i sin a + j cos a, to л f cos a — sin a\ A = . \sina cos a J Следовательно, д2 _ / cos2 a — sin2 a —2 sin a cos a \_/ cos 2a —sin 2a \ ~\2sinacosa cos2 a — sin2 a/ \sin 2a cos2a)* Таким образом, преобразование А2 в координатной форме определяется ра- венствами х' =х cos 2a—у sin 2a, у' =х sin 2a-|-z/ cos 2a. Эти результаты могут быть получены и из чисто геометрических соображений. Д 542. Линейное преобразование А заключается в повороте на угол л/4 каждого вектора плоскости хОу. Найти матрицу линейного преобразования В = А2 + К2А+Е. 543. Дано пространство геометрических векторов. Пусть линей- ное преобразование А — поворот пространства вокруг оси Oz на угол л/4, а линейное преобразование В — поворот пространства во- круг оси Ох на тот же угол. Найти матрицу линейного преобра- зования АВ. Д Имеем Ai=i cos (л/4)+j sin (л/4)=(|/' 2/2) i+ (/" 2/2) j, Aj=— i sin (л/4) + + Jcos(k/4) = -(/ 2/2) i4-(K 2/2) j, Ak = k; Bi = i, Bj = (K'2/2) j + (K”2/2)k, Bk = — (y 2/2) j+(K 2/2) k. Следовательно, /К 2/2 — /"2/2 o\ Л ° O' К 2/2 ]Л~2/2 0 I B = l 0 К 2/2 — У 1/2 \ 0 0 ! у \0 У1/2 У1/2 / У 2/2 —1/2 1/2\ АВ = [ У 2/2 1/2 -4/2 \0 У 2/2 У 2/2 J 544. Дано линейное преобразование А: х'= —0,5(y + z), у'=з ——0,5(х + г), г' = — 0,5(х + у). Найти матрицу обратного линей- ного преобразования. 120
545. Рассматривается совокупность всех геометрических векто- ров. Линейное преобразование А — зеркальное отображение этих векторов относительно плоскости Р. Найти А”1. 546. В линейном пространстве с базисом еи е2 дано линейное преобразование А. Найти матрицу обратного преобразования, если Аег^е2, Ае2 = е1. 547. Линейное преобразование А заключается в повороте каж- дого вектора плоскости хОу на угол а. Найти матрицу В = А + Л-1. 548. Дано линейное преобразование А: х' = х-}-у, у' = 2(х + у)- Найти обратное линейное преобразование. 549. Линейное преобразование А заключается в повороте каж- дого вектора плоскости хОу на угол л/4. Найти матрицу Л-2. 550. При каком значении % линейное преобразование х' = — 2x4- + # + 2> У —2у + *> г'=%+i/4-Zz не имеет обратного? 4. Характеристические числа и собственные векторы линейного преобразова- ния. Пусть R— заданное n-мерное линейное пространство. Ненулевой вектор x£R называется собственным вектором линейного преобразования А, если найдется такое число X, что выполняется равенство Ах = Хх. Само число X называется характеристическим числом линейного преобразования А, соответствующим век- тору х. Если линейное преобразование А в базисе ei, е2, ...» ел имеет матрицу ('«и «12 ... «1Л\ «21 «22 • • • а2П ] «V?! ап2 • • • аПП/ то характеристическими числами линейного преобразования А служат действи- тельные корни Хь Х2, ...» У.п уравнения л-й степени, которое можно записать в гиде «и — X «12 ... «1П «21 «22---X ••• «2И «л1 «//2 ••• апп— Оно называется характеристическим уравнением, а его левая часть—характери- стическим многочленом линейного преобразования А. Собственным вектором х/?, соответствующим характеристическому числу X#, является любой вектор c5.ei 4~ + Ьег+• • • + координаты которого удовлетворяют системе линейных одно- родных уравнений ((«11 —Х/j) £i + «12^2 + • • • +«1п£п =0, «21^1+ («22 — Х^) + • • • +«2гЛл =9, «/г151 +«/12^2+ • • • 4" (апп— in = 9. Отметим следующие важные теоремы. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от вы- бора базиса. Если матрица А линейного преобразования А является симметрической, то все корни характеристического уравнения |А — ХЕ | — 0—действительные числа. 551. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, определяемого уравнениями х' =5х+ + ty, у' = 8х-\-9у. 121
/5 4\ Д Матрица преобразования запишется так: А = ( $ j . Характеристическое уравнение имеет вид |5ДО 4 1=0. или X2- 14Х+ 13 =0; | о У — Л j характеристические числа Хх = 1, Z2 = 13. Для определения координат собственных векторов получаем две системы ли- нейных уравнений: ( (5 — Xi) £х4-4£2 = 0, ( (° — ^2) £Х4~4£2 = 0, \ 8£х 4- (9—%х) £2 = 0; \ 8£х 4- (9 — Х2) £2 = 0. Так как Ах = 1, то первую систему можно записать следующим образом: ( 4£х4-4£2-0, \8£14~8£2 = 0. Таким образом, значения £х и £2 должны удовлетворять уравнению £х 4-£2=^ или g2 = —gx. Следовательно, решение этой системы имеет вид £i = cx, £2 = —q, где сд— произвольная величина. Поэтому характеристическому числу Х=1 соот- ветствует семейство собственных векторов и~бдех—схе2, т. е. ц = сх(ех—е2). Значение Х2 = 13 приводит к системе уравнений f -8g14-4g2 = 0, I 8£х —4£2 —0, т. е. £2 = 2^. Полагая £х = с2, получаем £2 = 2с2. Следовательно, характеристи- ческому числу Х = 13 соответствует семейство собственных векторов v = c2 (ei 4~2е2). Итак, придавая в равенствах и = бд(ех— е2), v = e2 (ех4-2е2) величинам и с2 всевозможные числовые значения, будем получать всевозможные собственные векторы линейного преобразования A. А 552. Дано линейное преобразование с матрицей А = . Найти характеристические числа и собственные векторы этого преобразо- вания. 553. Найти характеристические числа и собственные векторы « - » л ( б —4 \ линейного преобразования с матрицей А = I 4 __2 \. 554. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = • 555. Определить характеристические числа и собственные век- / 2 ' торы линейного преобразования с матрицей А = ( — 1 \ 0 1 —1 1 —1 2 0 Л Составим характеристическое уравнение: —1 1 2 — X —1 = 0, О 1—л 2 —Z —1 О (1 —X)2 (3—%) =0, %1,2==1, х3 = з. т. е. (1— Z) [(2—X)2—1] =0, Если Х=1, то для определения координат собственного вектора получаем систему уравнений £1-£24-ёз = о, — ^1 + ?2 — §3 = 0> Ь=о. 122
Таким образом, характеристическому числу Х=1 соответствует семейство собственных векторов u — Q(ei + e2). Если Х = 3, то для определения координат собственного вектора получаем систему уравнений Г-Ч1-^+£з=о, -gi-^+g3=o. £з = 0. Семейство собственных векторов, соответствующих этому характеристическому числу, определяется равенством v = c2(ex— е2). А 556. Определить характеристические числа и собственные век- /• 1 3\ торы линейного преобразования А с матрицей А=1 15 1). \3 1 1/ /«11 ПХ2 ЯХЗ\ 557. Доказать, что если ( «21 «22 «23 j — симметрическая матрица, '«31 «32 «33' а действительные числа а, р и у отличны от нуля, то все корни характеристического уравнения матрицы /«п «12а/Р а13а/у А = ( «21^/а «22 «23₽/? \а31Т/а а32у/В а33 являются действительными числами. Д В базисе ех, е2, е3 рассмотрим линейное преобразование А с матрицей А. Тогда Аех = «ххех + («21₽/а) е2 + («31?/а) е3, Ае2 = (п12а/Р) Ц-е2 («32Y/P) ез» Ае3 = (ахза/у) ех + («2 3₽/т) е2 + а33ъ3 цди А (аех) = «ххаех + п2Х|Зе2 + а31уе3, А (|3е2) = яХ2аех «22ре2 «з2?ез, А (уе3) = ахзаех + д23Ре2 + а3з?е3. Полагая аех = е1, Ре2 = е2, уе3 = е3, имеем Аех = пххех + п2Хе2 -р пзхе3, Ае2 = «12^1 ~Г «22е2 + «32е3» Ае3 =cii3^i-\-ci23^2~\~a33^3' Таким образом, матрицей линейного преобразования А в базисе ех, е2, ез служит симметрическая матрица /«11 «12 «13 \ А' = ( п2Х п22 п23 j. \«3i «32 «33/ Следовательно, характеристическое уравнение линейного преобразования А в базисе ех, е2» ез имеет только действительные корни. Так как при переходе к базису ех, е2, е3 характеристические числа не меняются, то те же корни имеет и характеристическое уравнение матрицы А. А 558. Линейное преобразование А заключается в повороте про- странства на угол л/3 вокруг оси Oz. Найти характеристические числа и собственные векторы этого преобразования. 123
• Показать, что матрица этого линейного преобразования имеет вид / |/2 —/Т/2 0\ Л=1 /3/2 1/2 0 - \ 0 0 1/ 559. Зная характеристические числа линейного преобразования А, найти характеристические числа обратного линейного преобразова- ния А”1. ф Показать, что из уравнения IA”1— ХЕ| = 0 следует |А— (1/X) Е | =0. 560. Найти характеристические числа и собственные векторы . л о А I ° 0 1 0 \ линейного преобразования А с матрицей А = о о 0 1 * \1 0 о 0/ 561. Найти характеристические числа и собственные векторы /а Р у\ линейного преобразования с матрицей А = I у а Р . у aJ § 5. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Линейное пространство R называется евк л идовым, если имеется правило, кото- рое позволяет для каждых двух векторов х и у из R построить действительное число, называемое скалярным произведением векторов х и у и обозначаемое (х, у), причем это правило удовлетворяет следующим условиям: 1°. (х, у) = (у, х); 2°. (х, y+z) = (x, у) + (х, z); 3°. (лх, у) = Х(х, у) для любого действительного числа л; 4°. (х, х) > 0, если х # 0. Из условий Г—4° следует, что: a) (y+z, х) = (у, x) + (z, х); б) (х, Ху) = Х(х, у); в) (0, х) = 0 для любого вектора х. Скалярное произведение любого вектора x£R на себя называется скалярным квадратом вектора х. Длиной вектора х в евклидовом пространстве называется квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора, т. е. |х| = ‘/'(х, х). Если X—любое действительное число, а х — любой вектор евклидова про- странства, то | Zx | = | X |-| х |. Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным. Если х£/?— ненулевой вектор, то нетрудно видеть, что । । • х можно обозначить X \ -j—г- является нормированным вектором. IХ1 J Для люоых двух векторов х и у в евклидовом пространстве выполняется неравенство (х, у)2=С(х, х) (у, у), называемое неравенством Коши—Буняковского, Равенство (х, у)2 = (х, х) (у, у) имеет место тогда и только тогда, когда век- торы х и у линейно зависимы. Из неравенства Коши—Буняковского следует, что —1 । 1. Угол ф, „ (Х> У) о ГЛ определяемый равенством cos ф = । । и принадлежащий отрезку [0, л], на- зывается углом между векторами х и у. Еслихиу — ненулевые векторы, а ф=л/2, то (х, у) = 0. В этом случае говорят, что векторы х и у ортогональны, и пишут х_[_у. 124
Для произвольных векторов х и у евклидова пространства имеют место сле- дующие важные соотношения: 1. | x-f-y | ^ | х [4~| у | (неравенство треугольника). 2. Пусть ф — угол между векторами х и у; тогда | х—у |2 = | х |2 + | у |2 — — 2 | х | • | у | cos ф (теорема косинусов). Если х | у, то получается равен- ство |х—у |2 = | х у |2. Заменяя в последнем равенстве у на —у, получаем | х + у |2 = | х |2-|-| у |2 (теорема Пифагора). 562. Дано линейное пространство, рассмотренное в задаче 461. Можно ли скалярное произведение двух произвольных векторов х = (Ef, Е2; ...; Еп) и у = (гц; ц2 ...; цп) определить равенством (х, у)= = Si'Hi + ?21]2 + • • • (Для того чтобы это пространство стало евклидовым)? Д Проверим выполнение условий 1°—4°. 1°. Так как (у, х) = T]i£i + П2^2 + ••• то (х, у) = (у, х). 2°. Пусть z = (^; £2; ...; ^п). Тогда y + z = (m + £i; Пг + &>; Пп + U и (х, y + z) = $1Т]1+ £1Л1+ ?2Т12 + £2^2+ • • • + + = -(gini + ^2+... + Mn) + (^l+^2+...+U/:)=(X, У) + (Х, Z). 3°. (Хх, у) =^ь1г11~г^^2Л2 4~ • • (£iTh + ?2Th+ • • • (х, У)* 4°. (х, x) = g? + §2+ + #0, если хотя бы одно из чисел Еь g2 ...» In отлично от нуля. Значит, в заданном пространстве с помощью указанного равенства можно определить скалярное произведение. Д 563. Дано евклидово пространство, рассмотренное в задаче 562. Пусть gj, Е2, ..., Еп— количество п видов изделий, выпускаемых ежедневно заводом, а ц,, Лг» • ••> Я/:—соответственно цены этих изделий. Как можно истолковать скалярное произведение векторов х = Щ; В2; .••;?„) и y=0ii; тъ; • ••; 564. Дано линейное пространство, векторами которого являются всевозможные системы, состоящие из п положительных чисел: х = = (£1; •••; В„). у=(П1! п2; •••; nJ, z=(c2; t2; .... ?„), ... . Сложение векторов и умножение вектора на число определены равен- ствами х + у = (Н1т|1, £2г|2, ..., £„т]п), ^х = (||, ..., Можно ли сделать это пространство евклидовым, определив скалярное произ- ведение равенством (х, у) = In 1пт]1 + In ?2 In т]2 4- ... -f- In Inr]n? Д Проверим выполнение условий Г—4°. 1°. (х, у) = In In l]l + in g2 1ПТ12+ ••• +Ми 1пя«> (y,x)=lni]ilngi + 4- In 1]2 In g2 + ... + In I]„in g„, т. e. (x, y) = (y, x). 2°. Так как y+z = (i]1g1; i]2t2; to (x, у+z) = In In (T)1 Ei) + In g2 In (T]2g2) +... + In In (n„U = = ln Si Inth + In g21пт]з+- •• +ln In InПл+Ml In £1 + + lns2lng2-|-...+ln£nln£n = (x, y) + (x, z). 3° Так как 7ix = (gi"; .... to (7.x, y) = In E,i In t]i -f- In £2 In T]2 -[- • • • 4~ In in In T|n = = 7, (In Ei In i]i + In g2 In T)2 + • • • + In In = X (x, y). 4°. (x, х) = 1пЧ1 + 1пН2+---4-1п2ё^0. Следовательно, рассматриваемое пространство является евклидовым. Д 565. Рассматривается линейное пространство непрерывных в про- межутке [а, Ь] функций х = х(/), у = у(О, z = z(/), .... Можно ли 125
сделать это пространство линейным, определив скалярное произве- ь дение двух любых векторов х и у равенством (х, у) = J x(Z)y (t)dt? а 566. Является ли множество всех геометрических векторов евклидовым пространством, если скалярное произведение двух векторов определить как произведение их длин? 567. Образует ли множество всех геометрических векторов евкли- дово пространство, если определить скалярное произведение двух произвольных векторов а и b как произведение длины вектора а и утроенной проекции вектора b на направление вектора а? 568. Задано линейное пространство, рассмотренное в задаче 562, при п = 4. Определить угол между векторами х = (4; 1; 2; 2) и У = (1; 3; 3; -9). & I х | =/(хДх) =/16-г 1+4 + 4 = 5; |у| = КМТ) = К 1+9 + 9 + 81 =10; (х, у)=4 + 3 + 6—18 = — 5; eos(p=^J'L==^:^= — 0,1; <p = arccos(—0,1) = = 174'15'. Д 569. Задано евклидово пространство, рассмотренное в задаче 562. Определить угол между векторами х = (1; j/З; V 5; ...; У 2п— 1) и у = (1; 0; 0; 0). 570. Рассматривается евклидово пространство непрерывных функ- ций х(/), у(/), z(Z), ... на отрезке [—1, 1]. Скалярное произведе- ние определено равенством (х, у) = х (/) уНайти угол между — 1 векторами х = 3/2— 1, у = 3t — 5/3. 1 Л Имеем (х, у)= (З/2—1) (3/—5/3) dt. Нетрудно видеть, что (х, у)=0, так -1 как подынтегральная функция является нечетной. Следовательно, векторы х и у ортогональны. А 571. Задано евклидово пространство, рассмотренное в задаче 562, при п = 6. Проверить справедливость теоремы Пифагора для орто- гональных векторов х = (1; 0; 2; 0; 2; 0) и у = (0; 6; 0; 3; 0; 2). Л Имеем ] х 1 = У 1+0 + 4 + 0 + 44-0 = 3, | у | = У04-36 + 0 + 9 + 0 + 4 = 7; х+у = (1; 6; 2; 3; 2; 2); | х + у | =/1+36 + 4 + 9 + 4 + 4 =/58. Итак, [х|2 + ]у |2 = |х + у |2. А 572. В евклидовом пространстве непрерывных функций, соответст- вующих условию задачи 565, рассматриваются два вектора: х=/2+1, у = Kt2 +1. Найти значение X, при котором векторы х и у ортого- нальны на отрезке [0, 1], и проверить справедливость теоремы Пифагора для этих векторов. 126
Л Составим скалярное произведение 1 (X, у) = J (^+l)(W2+l)^ = Z/5+(Z+D/3+l. о Из условия (х, у) = 0 определяем X; имеем Х/5 + (Х+1)/3+1 =0, откуда % =—5/2. Найдем теперь длины векторов х = /24-1, У=—(5/2) Z2-j-l и х-|-у = = — (3/2)/2+2: ixi=jA й/4+2/г+1М<= о /14+-/?2. о I-+H-]/ j (I <‘-«-+4) Л- /го“2+4 = /а- о Таким образом, | х |2 = 28/15, | у |2 = 7/12, | х+у |2 = 49/20, т. е. | х |2+ | у |2 = = |х+у|2. д 573. Рассматривается множество всевозможных упорядоченных систем геометрических векторов а* = (ах; а2; ...; an), Ь* = (Ь1; Ь2;... Ьп), .... Является ли это множество евклидовым пространст- вом, если сложение элементов, умножение элемента на число и скалярное произведение определить равенствами a* + b* = (a1 + b1; а2 + Ь2; .. .;а„ + Ь„),Ла* = (Ла1; Ха2; ...; Ла„), (a*, b*) = а1Ь1+а2Ь2+... .. .+апЬп (правая часть последнего равенства представляет собой сумму скалярных произведений геометрических векторов)? 574. Доказать справедливость неравенств: /(51 + П1)2 + (^ + П2)2+ • • -|+(L + nJ2< < Kli + Bi + • • • + In + Kni + л! + • • • + л2; (Si + й + • • • + К) (л! + Лз + • • • +Л«) (В1Л1 + В2Л2 4- • • • + В,2Л»)2, где g2, ..., %п, г)х, i]2, ..., T)„—действительные числа. 9 Воспользоваться неравенствами треугольника и Коши — Буняковского для евклидова пространства, рассмотренного в задаче 562. 575. Рассматриваются всевозможные непрерывные на отрезке [0, 1] функции х(/), у (/), ?(/), ... Доказать справедливость не- равенств: __ 1/ $ (x + yfdt с]/ 5^4-]/ \ У'-dt , 0 0 0 $ (у2A'2) dt I ydt ) /( $ x2dt j, если х (0) =£ 0. о \о / \б / 127
§ 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Ортогональный базис. Базис ех, е2, ...» е„ евклидова пространства назы- вается ортогональным, если (е;, е^) = 0 при i k. Справедлива следующая теорема: во всяком евклидовом пространстве имеется ортогональный базис. Если ортогональный базис состоит из нормированных век- торов, то этот базис называется ортонормированным. Для ортогонального базиса ех, е2, ...» еп выполняются равенства {О при i ф kt 1 при i =k. Если в n-мерном евклидовом пространстве известен какой-нибудь базис fi, f2, ...» fnt то в этом пространстве всегда можно найти и ортонормированный базис ®i> е2, • • •, Любой вектор х евклидова пространства, заданный в ортонормированном ба- зисе, определяется равенством Х = ?1е1 + ?2е2 4“ • • • + Длина вектора х находится по формуле 1 х ! = V£1 + £г+• • • + Два вектора x = g1e1 + g2e2+...+ ?ле„ и у = T]iei-1-П<>е2+... + линейно независимы (коллинеарны, пропорциональны) тогда и только тогда, когда ?1/П1 = ?2/П2=--- Условие ортогональности векторов х и у имеет вид 51Л1 4~ ЬЛг + • • • + — О* Угол между двумя векторами х и у находится по формуле rnq ~___________£1Л1 + ^2^2 + • • • + _______ ^£1 + Й+---+?П ’ Кт]1 + Л2+ . • • +Лп В следующих задачах ортонормированный базис n-мерного евклидова прост- ранства обозначается через еь е2, еп. 576. Найти длину вектора х = 4ех—2е24~2е3—е4. 577. Нормировать вектор х = е1 + 2К2е9н-ЗИ Зе3 + 8е4 + 5К5е5. /—2/7 3/7 6/7\ 578. Дана матрица А = 6/7 —2/7 3/7 \ перехода от ортонор- мированного базиса еп е2, е3 к базису е^, е2, е^. Доказать, что ба- зис е^, е2, е3—ортонормированный. 579. Нормировать вектор х=е4 sin3 а+е2 sin2 a cos а+е3 sin а cosa+ + е4cos а. 580^ Определить угол между векторами х = е1К7 + е2К5 + + е3/3 + е4 и y = e1/7 + e2j/"5. 581. Найти нормированный вектор, ортогональный векторам x=s — Зе4—е2—е3 —е4, у = е4 — Зе2 + е3 + е4, z = e14-e2—Зе3 + е4. 582. При каком значении X векторы —е3—Ае4 и у = ех—е24-Ае3 — е4 имеют одинаковые длины? 128
583. В четырехмерном пространстве дан базис fj, f2, f3, f4. С помощью векторов этого базиса построить ортонормированный базис того же пространства. Д Сначала построим в заданном пространстве какой-нибудь ортогональный базис gb g2, g3, g4. Положим gi = fi, §2 = Ь + а^1* Подберем действительное число а так, чтобы выполнялось условие g2 Х&1- Умножив скалярно на gx обе части последнего ра- венства, получим (gi, g2) = (gi, f2) + a (gi, gi). Так как (gi, g2) = 0, то a = —(gx, f2)/(gi, gx). Далее, в равенстве g3 = f3 + ₽xgx + P2g2 подберем Pi и p2 так, чтобы выпол- нялись условия g3_Lgi, gsJL^2- Из равенств (gi, gs) = (gi, h) + Pi (gi, gi) + P2(gi, g2), (g2, gs) = (g2, h) + Pi(gi, g2) + P2 (g2, g2) получим Pi = —(gi, f3)/(gi, gi), P2=—(g2, fs)/(g2, g2)- Наконец, из равенства g4 = f4 + yxgx + y2g2 + Y3g3 находим ух = — (gi, f4)/(gi, gx); ?2=—(g2, h)/(g2, g2), Тз=—(g3, f4)/(g3, gs) • Итак, при сделанном выборе а, (Зх, р2, уХ', у2, у3 векторы gx, g2, g3, g4 по- парно ортогональны. Значит, векторы ex=gx/| gi |, e2=g2/] g21, e3=g3/| g31, e4=g4/|g4| образуют ортонормированный базис. A 584. Рассматривается евклидово пространство многочленов не выше второй степени. Скалярное произведение двух произвольных многочленов х = х(/) и у = у (О определено равенством (х, у) = 1 = $x(/)y(Qdt Использовав базис fx = Z2, f2 = Z, f3 = l и применив о метод решения, рассмотренный в задаче 583, построить для этого пространства ортонормированный базис. Д Сначала построим ортогональный базис gi, g2, g3. Положим gx = fx, т. е. gi = /2, g2 = f2 + agx = Z + a/2. Тогда 1 1 1 $ g2i*dt = ^t3dt-\-a J /Mt 0 0 0 В силу ортогональности векторов gi и g2 левая часть последнего равенства обра- щается в нуль. Таким образом, а=—5/4 и g2 = /— 5/2/4. Найдем теперь g3. В равенстве g3 = 1+ (Зх/24-[32 (/—5/2/4) значения рх и р2 определяем из условий ортогональности* Jg3/2 dt=O о 1 и Jg3(/-T/2)^=0' о Таким образом, 1 Т I I 0= j* t2 dt+ Pi У t*dt и 0= A^d/+p2y ^t~t^dt. bob о Отсюда px=—5/3, ₽2 = -4, g3 = 1 —5/2/3—4 (Z —5/2/4), t. e. g3 = 1—4/+10/2/3. 5 № 14 7 4 129
Находим длины векторов gi = /2, g2 = f — 5/2/4 и g3 = l—4Z + Ю/2/3: |Ь|/,«, о г о ^/И‘-4'Ч°ф-/W-^4'’+™'-W- О о Таким образом, векторы ег = gx/| gi | = V 5t2, е2 = g2/| g21 = "К 3(4—5/2)$ е3 = £з/| 1 = 3 —12/+ 10/2, образуют ортонормированный базис, Л 585. При каком значении % базис, образованный векторами §1 = ^4-62 + 63 + 64, g2 _ ех + Хе2+ е3 + е4, g3 = ех + е2+Хе3 + е4, g4 = = ех + е2 + е3 + Хе4, является ортогональным? Нормировать этот базис. Д Из условия (е/, е^)=0 (при i k) получаем уравнение 1+Х+1 + 1=0. Следовательно, Х= — 1 и gx = —ei + e2 + e3 + e4, g2 = ех —е2 + е3 + е4, g3 = — ех + e2 — e3 + 64, = ex + e2 + e3—e4, | gz1 ==1 + 1 +1 +1 = 2. Таким образом, векторы = 0,5 (— ex + e2 + e3 +e4), e^ = 0,5 (ex— e2 + e3+e4), e' = 0,5(ex + e2— e3 + e4), e^ = 0,5 (ex + e2 + e3— e4) образуют ортонормированный базис. Д 586. При каких значениях аир базис, образованный векторами ei = уех 4-— е2+Ре3, е2=^ —у-ех + ₽е2 + у е3, е3 = Ре1 + уе2 + + 1-^а е3, является ортонормированным? Л Из условий | е' | = 1, (е', е^) = 0 (при i k) получим систему уравнений ( а2 + (1 — а)2 + 9р2 =9, ( а (1 —а) + 3 (1 —а) Р + Зар = 0. Из последнего уравнения находим р = —а (а—1)/3. Подставив это значение Р в первое уравнение, имеем а2 + (1 — а)2 + а2(1—а2)2 = 9; 1—2(1—а)а + а2(1—а)2 = 9; (1—& + а2)2 = 9. Так как 1—« + а2 > 0 при действительных значениях а, то 1—а + а2 = 3,т. е. а2 — а — 2 = 0. Следовательно, ах =— 1, а2 = 2, рх = —2/3, р2 = 2/3. Итак, получаем два ортонормированных базиса: 1 2 2 2 2 1 е«) = -т е1+у е2-у е3, e<i>=y е<-у е2-у е31. 2 1 2 е<1)=-уе1_-е2+уе3, 2 1 2 1 2 2 2 2 1 е?’ =7 е1~3 е2+'3 ез> е22>= ~ е* +е*> е^2,=у ех + у е2-у е3. А 2. Ортогональные преобразования. Линейное преобразование А евклидова про- странства называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведе- ние любых двух векторов х и у этого пространства, т. е. (Ах, Ау) = (х, у). Длина вектора х при этом не изменяется, т. е. | Ах| = |х[. Таким образом, (X, у) (Ах, Ау) |х|.|.у| [Ах1-|АуГ Из последнего равенства следует, что ортогональное преобразование А не изме- няет угла между любыми двумя векторами х и у. 130
Ортогональное преобразование переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный. Наоборот, если линейное преобразование переводит какой- нибудь ортонормированный базис в ортонормированный, то оно является орто- гональным. 587. Является ли ортогональным преобразование, переводящее каждый геометрический вектор в вектор, симметричный относительно некоторой фиксированной плоскости? 588. Является ли ортогональным преобразование, заключающееся в повороте любого вектора, лежащего в плоскости хОу, на фикси- рованный угол а? 589. При каких значениях X преобразование А, определяемое равенством Ax = Zx, является ортогональным? 590. Является ли ортогональным преобразование А, определяе- мое в каком-нибудь ортонормированном базисе ех, е2, е3 матрицей / а12 #хз\ А =( a2i а22 а23 L если апа1ё + аггаг2 + а31«32 = 0, 4- '#3f <^32 #33' + а31а33 = 0, я12а13 + «22а23 + «з2«з3 = 0, «n + «tj+ «si= И «1а + «2з + + «32 = 1 > «13 + «23 + «33 = 1 ? 591. Является ли ортогональным преобразование Ах =— ^ег + + ё2е2 + д3е3 + £4е4, где x = g1e1-]-g2e2 + g3e3 + g4e4—произвольный вектор, а е4, е2, е3, е4—ортонормированный базис? 592. Пусть е4, е2, е,, е4, е5, ев—ортонормированный базис. Дока- зать, что А — ортонормированное преобразование, если Ае1 = е1, Ае2=—е2, Ае3 = е3cosa + e4sina, Ае4 = —e3sina-|-e4cosa, Ае5 = = e5cosP-j-eesinp, Ае6= —e5sinP4-eecos|3. § 7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Квадратичной формой действительных переменных Х{, х2, ..., хп называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий сво- бодного члена и членов первой степени. Если f (xf, x2i ..., хп) — квадратичная "форма переменных xlt х2, .хп, а X—какое-нибудь действительное число, то f (Ххх, кх2, ..., XxJ — X2/ (%i, х>, ..., л\). Если п = 2, то f х2) — #цХх + 2ai22XiX2 -f- #22*2* Если п = 3, то / (%1, х2, Хз) =ПцХ1-}-#22Л:2_Ь#ЗЗ^з4-2П12^1^2~Ь2а1зХ1Хз-[-2П23^2^3« В дальнейшем все необходимые формулировки и определения приведем для квадратичной формы трех переменных. Матрица / ait «12 Л =4 #21 #22 \#3i #32 #1з\ #23 к #33 / у которой a^ = #ftf, называется матрицей квадратичной формы f (х{, х2, х3), а соответствующий определитель — определителем этой квадратичной формы. Так как А—симметрическая матрица, то корни и Х3 характеристиче- ского уравнения #11 — А, #12 #21 #22 #31 #32 #13 #23 #33 — = 0 являются действительными числами. 5* 131
Пусть ei = ^ifef + ^21e2 4” ^31e3 » e2 = ^12el + ^22e2 4" ^32e3 » e3 = ^13el 4“ ^23^2 + ^33^3 — нормированные собственные векторы, соответствующие характеристическим числам Xi, %2, ^з в ортонормированном базисе fei, е2, е3. В свою очередь, век- торы е', е', е' образуют ортонормированный базис. Матрица /^ii &12 ^13 \ В = ( ^2f ^22 ^23 1 \^3£ ^32 ^33 / является матрицей перехода от базиса ef, е2, е3 к базису е', е', е". Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормирован- ному базису имеют вид Х1 = Ь11Х1 + ^12Х2 + ^13*з> Х2 = ^21*1 4" ^22Х2 4" ^23*з , Х3 = ^31Xi 4- ^32Х2 4- ^33*з • Преобразовав с помощью этих формул квадратичную форму f (х<, х2, х3), полу- чаем квадратичную форму f (Хг Х2’ + ^2*2 4"^3*3 , не содержащую членов с произведениями х'х', х'х', х^х'. Принято говорить, что квадратичная форма f (х1} х2, х3) приведена к кано- ническому виду с помощью ортогонального преобразования В. Рассуждения про- водились в предположении, что характеристические числа Х2, Х3 различны. При решении задач будет показано, как следует поступать, если среди характе- ристических чисел имеются одинаковые. 593. Привести к каноническому виду квадратичную форму f = 27%i — 10хгх2 4- 3xf. Л Здесь «ц = 27, «12=—5, а22=3. Составим характеристическое уравнение |27~4 о”, |=°, или V-301+56 = 0, I —о о — Л | т. е. характеристические числа Xi = 2, Х2 = 28. Определяем собственные векторы. Если Х = 2, то получаем систему уравнений ( 25gi — 5g2 = 0, 1 -5&1+ &2=0. Таким образом, £2=5£i. Полагая £i = c, имеем %2 = 5с, т. е. собственный вектор и = с (ех 4- 5е2). Если Х = 28, то приходим к системе I -51- 5^2 = 0, 1 -5£1-25Ь = 0. В этом случае получаем собственный вектор v = c(—5ei + e2). Для того чтобы пронормировать векторы и и v, следует принять с = = \IVI24~б2 = 1/^26- Итак, мы нашли нормированные собственные векторы е^Се^беаУКаб, = (-5е,+ е2)/К26- Матрица перехода от ортонормированного базиса eb е2 к ортонормирован- ному базису е', е2' имеет вид в( 1/^26 —5/jA26\ <5/^26 1/^26/ 132
Отсюда получаем форму™ преобразования координат: x1=(l / ]/*2б) — (5/К 26) х2 = (5//2б) Х1ф-(1//2б) х'2- Таким образом, г 07/ 1 5 ,\2 1 , 5 / 5 , , 1 \ , V/26 1 /26 / \ /26 1 у 26 Д/26 1 ‘ /26 2/~ +3f-7=xH—7=%Ф = 2хГ2ф-28х'2. \ /26 1 /26 2 / 1 2 Этот результат можно было получить'сразу, так как / = ?чх'2-/.2х'2. А 594. Привести к каноническому виду квадратичную форму f = 2xf + 8x1x2 + 8xl. Л Здесь aii = 2, 012 = 4, а22 = 8. Решаем характеристическое уравнение; 2—X 4 4 8—X = 0, Xi = O, Х2 = 10. Определяем собственные векторы. При Х = 0 получаем систему I 2gi + 4g2=0, I 4gi + 8g2 = 0, которая имеет решение gi = 2c, g2 =—с, т- е- u = c(2ei—е2). При Х=10 имеем f -8gi + 4g2 = 0, I 4gi-2g2=0, откуда %i=c, g2 = 2c, т. е. v = c(e_i + 2e2). Приняв с= 1/рЛ22+I2 = 1/J/^5 , находим нормированные собственные век- торы el = (2ei—е2)/К5 , el = (ei + 2e2)/K 5. Матрица перехода к новому базису (матрица ортогонального преобразования) имеет вид 2//5 1//5\ -1//5 2//5"/ Формулы преобразования координат запишутся так: Xj= (2//5) хх ф- + (1//5")х2, х2= —(1//5-) х{ф-(2//5) Х2- Следовательно, Эту задачу можно решить проще. Заметим, что f = 2 (х1-\-2х^2', поэтому можно принять Х2 = (х14-2х2)//1 ф-4 = (x1-f-2x2)//5 , xi = (2xj—х2)//5 (вто- рое равенство написано с 2 учетом ортогональности преобразования). Так как x,+2x2 = /5 х2, то /=10х2' . А 595. Привести к каноническому виду квадратичную форму f = Зх{ + 2x1 + xl ф- 4xxx2 ф- 4х2х3. Л Здесь ац = 3, а22 = 2, а33=1, а12 = 2, а13 = 0, а2з = 2. Составляем харак- теристическое уравнение ,133
(3 —Z) (2—X) (1— 1) —8(2—Z) = 0; 2 — Z) (Z2 — 4ZJ-3 —8) =0), (2—Z) (Z2—4Z—5) =0; Z! = 2, Z3 = —1, Z3 = 5. Определяем собственные векторы, соответствующие найденным характеристиче- ским числам. Для определения координат собственных векторов получаем три системы линейных уравнений: 1) Х = 2, 2) Х=-1, 3) Х, = 5, ( §1 + 2§3 = 0, ( 4^+2Е2 = 0, ( -2gi + 2g2 = 0, 1 2^ + 253 = 0, -j 2g1+3g2 + 2g3 = 0, -j 2^-3?2+2?3=0, V 2g2-g3 = 0; I 2g2 + 2g3 = 0, V 2g2-4b = 0; £i = 2c, g, = -c, g3 = -2c, ^ = c, g2 = -2c, g3 = 2c, g1=2c, g2 = 2c, g3 = c, u = c(2ei — t2—2e3), v = c(ei— 2е2Д-2ез), w = c (2ej Д-2е2 Д-е3), e;==j (2ei—e2—2e3); e' =y (ef—2e, +2e3); e' = у (2ei + 2e2+e3). Матрица ортогонального преобразования имеет вид / 2/3 В = ( —1/3 \—2/3 1/3 2/3\ —2/3 2/3 ]. 2/3 1/3/ Формулы преобразования координат таковы: лц = (2/3) х' Д- (1 /3) х'2 Д- (2/3) х’, х2 = — (1 /3) х' — (2/3) х' Д- (2/3) х','х3 = — (2/3) xj Д- (2/3) х' Д- (1/3) х' . Следовательно, f = 2xf-x'2 + 5x'2. Д 596. Привести к каноническому виду квадратичную форму f — 6xj -f- Зх2 -J- Зх| 4х3х2 -]- 4%jX3—8x2.r3. Л Здесь ац = 6, a22 = 3, a33 = 3, at2 = 2t a13 = 2t a23 = —4. Решив характе- ристическое уравнение 6 —X 2 2 2 2 3—Л —4 —4 3—7v = 0, находим характеристические числа %1 = Z2 = 7, Z3 =—2. При Х = 7 приходим к системе ( -Ц-№+2;3 = 0, { 2g1-4ga-4g3 = 0< I 2^-4^2-453 = 0, которая сводится к одному уравнению = 2^2 Д~ 2с-3. Решение этой системы можно записать в виде gj = 2a-\-2b, %>2 = а, %3 = b. В результате получаем семейство соб- ственных векторов u = 2 (а + ^) ei + ae2 Д-Ье3, зависящее от двух параметров а и Ь. При К = —2 получаем систему ( 8|i + 2|2 + 2b = 0, { 2^ + 5^-4*3 = 0, I 2g!-4g2 + 5g3=0. Решив, например, два последних уравнения, имеем gx/9 — g2/(—18) = 5з/(—18), или gi = — £2/2 = —£з/2; о£1 = с, £2 = — 2с, g3=— 2с. Таким образом, получим однопараметрическое семейство собственных векторов v = c(e£—2е2—2е3). Из семейства собственных векторов и = 2 (яД-Z?) е1Д-яе2 Д-6е3 выделим два каких-нибудь ортогональных вектора. Полагая, например, а = 0, b = \t получим собственный вектор их = 2е1Д-е3. Подберем параметры а и b так, чтобы выполня- лось равенство (u, Uj) = 0. Тогда получим уравнение 2-2(аД-6)Д-6==0, т. е. 4аД-56 = 0. Теперь можно принять а~3, Ь = —4; отсюда находим другой собст- венный вектор рассмотренного семейства: и2 = 2е1Д-5е2—4е3. Итак, мы получили три попарно ‘ортогональных вектора: и! = 2е1Д-е3, u2-=2ei4-5e2—4е3, v = e! —2е2—2е3. Собственные векторы Ui и и2 соответствуют 134
характеристическому числу Х=7, а собственный вектор v — характеристическому числу Х =—2 при с=1. Пронормировав эти векторы, получим новый ортонормированный базис, при- чем матрица перехода к новому базису имеет вид /2/1<5 2/(3 ]Лб) 1/з\ В = ( 0 }<5/3 —2/3 I. \1/]/Т —4/(3 ]/Т) —2/3/ Применив формулы преобразования координат'*! = (2/у/'5 ) *j-]-(2/(3 р^б)) х>+ + (1/3) xi х2 = (Кб /3)М - (2/3) хз, Хз = (1 /Кб) х( - (4/(3 Кб )) х2- (2,- 3) х'3 к заданной квадратичной форме, получаем f = 7x' + 7х' —2х' . А 597. Привести к каноническому виду уравнение линии 17х2 + + 12ху + 8у2—80-0. Д Группа старших членов уравнения образует квадратичную форму 17х2+12ху+8г/2 с матрицей A = (Jq .Составим характеристическое уравнение 17—% 6 I „ я = 0, или Z2 — 25Z+100 = 0, 6 8 — л[ т. е. характеристические числа Zf = 5, Х2 —20. Следовательно, квадратичная форма 17х2Ц-\2xy~\~Sy2 преобразуется к каноническому виду 5х'2-{-20у'2, а данное урав- нение—к виду 5х'24~20//'2 — 80 = 0, или х'2/16 +/2/4 = 1, эллипса принимает канонический вид, 1211 + 6^ = 0, . 6^ + 3^ = 0, —2с, т. е. собственный вектор ( -3^+ 6|2 = 0, \ 1О. п откуда ( 6^i—1252 = 0, откуда с2 = — 251. По- u=c(ei —2е2). ^i = 2g2, т. е. собствен- т. е. заданная линия является эллипсом. Найдем базис, в котором уравнение для чего определим собственные векторы. При Х = 5 имеем систему уравнений < лагая gf = ct получим g2 При Х = 20 имеем систему ный вектор v —с (2ej + e2). _ Приняв с— \1У l2 + 22 = l/j/"5 , находим нормированные собственные векторы eJ = (ei-2e2)/K5 и e; = (2ef-f-e2)/K5. Матрица ортогонального преобразования имеет вид + 1/Кб 2/Кб\ \-2/К5 1/Кб/ Формулы преобразования координат запишутся так: х = (1/К 5)х'+(2/Кб)</', у = — (2/]/"5) х' + (1/V5) у’. Следовательно, 17 17х2+12хг/ + 8//2-80—(л;' + 2£/')2 + □ + ^(х' + 2/) (—2х' +1/')К| (-2x' + K2-80 = 5x'2 + 20K-80. Этот же результат можно было получить сразу, как только были найдены ^1 и ^2* ^1Х'2 + 'Ь'г.У'2 — 80 = 0. Д Привести к каноническому виду уравнения линий: 598. 6x2 + 2p5'.vy + 2r/2—21 =0. 599. 4хг/ +3#2+16 = 0. 600. 5х2 + 4Цб дт/4-7г/2 —44 = 0.
ГЛАВА VI ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ § 1. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ Пусть а—приближенное число, заменяющее собой в вычислениях точное число А. Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется абсолютная величина разности между ним и соответствующим точным числом: |А—а|. Предельной абсолютной погрешностью называется возможно меньшее число А, удовлетворяющее неравенству |А—а|*сД. Точное число А находится в границах а—АсА<а-(-Д, или А = а ± А. Относительной погрешностью приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности этого числа к соответствующему точному числу: | А — а \/А. Предельной относительной погрешностью называется возможно меньшее число 6, удовлетворяющее неравенству [ А —а |/А С 6. Так как практически А « а, то за предельную относительную погрешность принимают число 6 = А/а (выражаемое обычно в процентах). Справедливо неравенство а(1—6) А а (1 + 6). Говорят, что положительное приближенное число а, записанное в виде деся- тичного разложения, имеет п верных знаков (цифр), если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы n-го разряда. При п > 1 за предельную относительную погрешность приближенного числа а 1 [ 1 с первой значащей Если известно, МОЖНО ПрИНЯТЬ ЧИСЛО — что 1 / 1 6< 2 (&+1) ^10; (1) то число а имеет п верных знаков. Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых. Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышает наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых. Предельная относительная погрешность произведения и частного приближен- ных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей этих чисел. Предельная относительная погрешность степени приближенного числа равна произведению предельной относительной погрешности этого числа на показатель степени. 601. Угол, измеренный теодолитом, оказался равным 22°20'30"± ±30". Какова относительная погрешность измерения? А Абсолютная погрешность А = 30". Тогда относительная погрешность л 30" б = Т = 2^(Г-100% = 0’04%- А а 22 20 oU 602. Определить число верных знаков и дать соответствующую запись приближенной величины ускорения силы тяжести g = 9,806 ... при относительной погрешности 0,5%. 136
Л Так как первая значащая цифра есть 9, то, воспользовавшись неравенст- 1 / 1 \я-1 вом (1), получим 0,005 < ( уд ) , т. е. п = 2. Значит, g = 9,8. А 603. Известно, что предельная относительная погрешность числа У19 равна 0,1%. Сколько верных знаков содержится в этом числе? Д Здесь первая значащая цифра есть 4, предельная относительная погреш- 1 /1 ность 6 — 0,001 — 10~3. На основании неравенства (1) имеем 0,001 • ( Тп ) > & • D У 10 j откуда п —3. Следовательно, 1^19 = 4,36 (по четырехзначным таблицам "^19 = = 4,3589). А 604. Сколько верных знаков содержит число А = 3,7563, если относительная погрешность равна 1%? 1 / 1 \п-1 Д Первая верная цифра есть 3, поэтому 0,01^--. ( —г ) , откуда п = 2. « * ТС \ 1'^/ Число А следует записать так: А = 3,8. А 605. Площадь квадрата равна 25,16 см2 (с точностью до 0,01 см2). С какой относительной погрешностью и со сколькими верными зна- ками можно определить сторону квадрата? Д Искомая сторона х = У25,16. Относительная погрешность стороны квадрата 6 = (1/2) -(0,01/25,16), где 0,01—абсолютная погрешность площади, т. е. 6 = 0,0002. Первая значащая цифра числа, измеряющего сторону квадрата, есть 5. Решив нера- венство (1) при & = 5, получим (5-р 1)-0,00021/Юп-1, или 1,2-10“3^ 1/10"”1. Отсюда п~3. А 606. Со сколькими верными знаками можно определить радиус круга, если известно, что его площадь равна 124,35 см2 (с точностью до 0,01 см2)? 607. Найти предельную относительную погрешность при вычисле- нии полной поверхности усеченного конуса, если радиусы его основа- ний R = 23,64 ± 0,01 (см), г = 17,31 ±0,01 (см), образующая I =! = 10,21 ±0,01 (см); число л = 3,14. 608. Число g = 9,8066 является приближенным значением уско- рения силы тяжести (для широты 45°) с пятью верными знаками. Найти его относительную погрешность. 609. Вычислить площадь прямоугольника, стороны которого 92,73± ±0,01 (м) и 94,5 ±0,01 (м). Определить относительную погрешность результата и число верных знаков. § 2. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Действительными (или вещественными) числами называются рациональные и иррациональные числа. Множество всех действительных чисел обозначается бук- вой R. Каждое действительное число может быть изображено точкой на числовой прямой. Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу х из множества X по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент у из У, то говорят, что на множестве X задана функция (или отоб- ражение) со множеством значений Y. Это можно записать так: х^Х, X —> Y или /: X —Y, где множество X называется областью определения функции, а мно- \ 137,
жество У, состоящее из всех чисел вида y = f (х), —множеством значений функции. Если у является функцией от х, то пишут также y = f(x) или y = ty(x). Буквы f или ф характеризуют то правило, по которому получается значение у, соответст- вующее заданному аргументу х. Область определения функции / обозначается че- рез D (/), а множество значений — через Е (/). Значение функции f (х) при х — а, где называется частным значением функции и обозначается f (а). Область определения функции в простейших случаях представляет собой: ин- тервал (открытый промежуток), ]а, д[, т. е. совокупность значений х, удовлетво- ряющих условию а < х < Ь\ сегмент (отрезок или замкнутый промежуток) [а, Ь], т. е. совокупность значений х, удовлетворяющих условию а^х^Ь\ полуинтервал Ь] (т. е. а<х^Ь) или [а, Ь[ (т. е. а^х < Ь)\ бесконечный интервал \а, -J- оо[ (т. е. а < х < + оо) или ] — оо, (т. е. — оо < х < Ь) или ] — оо, 4- оо [ (т. е. —оо < х <4-оо); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п. Основными элементарными функциями называются следующие функции: 1) степенная функция у = ха, где a£R; 2) показательная функция у — ах, где а—любое положительное число, отличное от единицы: а > 0, а 1; 3) логарифмическая функция У = ^^ах, где а — любое положительное число, отличное от единицы: а > 0, а 1; 4) тригонометрические функции у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х, у = sec х, у = cosec х; 5) обратные тригонометрические функции r/ = arcsin х, у — arccos х, # = arctg х, y = arcctg х. Элементарными функциями называются функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и суперпо- зиций (т. е. формирования сложных функций), примененных конечное число раз. Примером неэлементарной функции может служить абсолютная величина (мо- дуль) действительного числа х: . . f х при х Д- О, г/= 1 х= < r п * 11 ( — х при х < 0. Геометрически | х | равен расстоянию на числовой прямой от точки с координатой х до начала отсчета. В общем случае |х—а | есть расстояние между точками с координатами х и а. Графиком функции y — f (х) называется множество точек плоскости хОу с коор- динатами (х; f (х)), где x£D (f). Функция /(х), область определения которой симметрична относительно нуля, называется четной (нечетной), если для любого значения x£D(f) f(—x) = f(x) [соответственно f (— х) — — f (х)]. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции— относительно начала координат. Функция f (х) называется периодической, если существует постоянное положи- тельное число Т такое, что при xgD (f) и (х+Т) (f) выполняется равенство f (х-\-Т) = f (х). Основным периодом функции называется наименьшее положительнее число т, обладающее указанным свойством. 610. Найти если /(х) = х2. Д Найдем значения данной функции при х = а и х — b: f(a)=a2, f(b) = b2. Тогда получим Ь — а Ь — а , г / \ х — 2 611. Найти область определения функции = Г д Данная функция определена, если 2х—1 0, т. е. если х 1/2. Таким образом, областью определения функции является объединение двух интервалов: О (/) = ]’—оо, 1/21U1 1/2, + оо [. А , г/ ч In (1+х) 612. Найти область определения функции f(x) = • 138
Л Функция определена, если х—1 4 0 и 1 4~х > 0, т. е. если х 4 1 и х > — 1. Область определения функции есть объединение двух интервалов: D (/) = =]-1, UU]i,+ooi. А 613. Найти область определения функции f (х) = /Т=2^ + 3 arcsin А Первое слагаемое принимает действительные значения при 1—2x4^0, а второе — при—1=С(Зх—1)/2^ 1. Таким образом, для нахождения области опре- деления заданной функции необходимо решить систему неравенств: 1—2x^0, (Зх — 1)/2 1; (Зх—1)/2^:—1. В результате получаем х<1/2,х<1,х4—1/3. Следовательно, область определения функции есть отрезок [—1/3, 1/2]. А 614. Найти множества значений функций: 1) f(x) = x2 — 6х + 5; 2) f(x) =2 + 3sinx. Л (1) Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, получим f (х) = = х2 — 6x4-9—4 = (х—З)2—4. Первое слагаемое при всех х является неотрица- тельным числом, поэтому функция принимает значения, не меньшие—4. Итак, мно- жество значений функции — бесконечный промежуток [—4, +°°[- 2) Так как синус принимает значения, не превосходящие по модулю единицы, то получаем неравенство | sin х | 1, или — 1 sin х 1. Умножив все части этого двойного неравенства на 3 и прибавляя к ним по 2, имеем—З^Ззшх^З; — 1 24-3 sinx^5. Следовательно, Е (/) = [— 1, 5]. А 615. Найти основные периоды функций: 1) /(x) = cos8x; 2) /(x) = sin6x+tg4x. Д 1) Так как основной период функции cosx есть 2л, то основной период функции f (x) = cos8x равен 2л/8, т. е. л/4. 2) Здесь для первого слагаемого основной период равен 2л/6 = л/3, а для второго он равен л/4. Очевидно, что основной период данной функции есть наи- меньшее общее кратное чисел л/3 и л/4, т. е. л. А 616. Установить четность или нечетность функций: 1) f (х) = х21/х + 2 sin х; 2) f (х) = 2х + 2~х; 3) / (х) = | х| -5^'; 4) /(х) = х24-5х; 5)f(x) = lgg| д В рассматриваемых примерах область определения каждой из функций симметрична относительно нуля: в первых четырех примерах D(f) = ] — оо, +001» а в последнем примере И (/) = ] —со, —3 [U1 +°о[. __ 1) Заменяя хна —х, получим /(— х) = (—х)2 x)4-2sin (— х) = — х2р/ х — — 2sinx т. е./(—х) = — /(х). Значит, данная функция является нечетной. 2) Имеем f (—х) = 2“*4-2-<-*) = 2-*4-2*, т. е, /(—х)=/(х). Итак, данная функция—четная. 3) Здесь /(— х) = | х | — 5e(”x)2 = | х [ — 5е*2, т. е. f (— х) =f (х). Следовательно, f (х) — четная функция. 4) Имеем f (— х) = (— х)24-5 (— х) ==х2—5х. Таким образом, f (—х) f (х) и f(—x)^—f(x), т. е. заданная функция не является ни четной, ни нечетной. 5) Находим — х -}- 3 . х—3 . / х 4~ 3 \ ”1 < х 4- 3 H~x)=1g_x_3=lg:rF3= gx—з’ т. е. f (— х) = — f (х), и, следовательно, данная функция—нечетная. А 439
617. Найти области определения функций: 1) f(x) = J/4— х2 + ^; 2) f(х) = arccos(— 1 \ 3)/(х) = —; 4) /(х) = ^-; 5) /(х) = — хех cos 2х х— Ух2 —4 6) / (X) = 1g (Зх— 1) + 21g (х + 1); 7) / (х) = 618. Найти множества значений функций: 1) /(х) = |хЦ-1: 2)/(х)==5/х; 3) /(х) =/16—х2; 4) / (х) = — х2 + 8х—13; 5) /(х)= 1—3cosx; 6) /(х) = 4~< 619. Установить четность или нечетность функций: 1) /(x) = x4sin7x; 2) f(х) = 51х|—З/х2; 3) /(х) = х4—Зх2 + х; 4) /(х) = |х|4-2; 5) /(х) = |х + 2|; 6) /(x) = lgcosx; 7) Z(x) = ^. 620. Найти основные периоды функций: 1) / (х) = sin 5х; 2) f (х) = — 2 cos (х/3) + 1; 3) f (х) = 1g cos 2х; 4) f (х) = tg Зх + cos 4х. § 3. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ При построении графиков функций применяются следующие приемы: построе- ние «по точкам»; действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графи- ков); преобразования графиков (сдвиг, растяжение). Исходя из графика функции y = f(x), можно построить графики функций: 1) y = f(x—a)—первоначальный график, сдвинутый вдоль оси Ох на вели- чину а; 2) y = f(x)-{-b—тот У Ж® ^CQS№ же график, сдвинутый вдоль оси Оу на величину Ь\ 3) у = Af (х) — исходный график, растянутый в А раз вдоль оси Оу. 4) у = f (kx)—тот же график, рас- тянутый в \/k раз вдоль оси Ох. Таким образом, можно по графи- ку функции t/ = f (х) построить график функции вида y = Af [6 (х—а)] + Ь. z/ = 2х + 1 -т-cosx Рис. 23 621. Построить график функции Л График данной функции можно построить сложением графиков двух функ- ций: z/ = 2x+l и r/ = cosx. График первой функции есть прямая, ее можно по- строить по двум точкам, график второй функции—косинусоида (рис. 23). Д 140
622. Построить график функции J2—х при х^З, ^"|0,1х2 при х>3. Д При х< 3 графиком является луч, а при х^З—ветвь параболы. Иско- мый график изображен на рис. 24. Д 623. Построить график функции r/ = 2sin(2x—1). Л Преобразуем данную функцию к виду у = 2 sin 2 (х—1/2). Здесь А = 2, k = 2, а = 1/2. В качестве исходного возьмем график r/ = sinx. Затем строим гра- фик функции y = sin2x сжатием вдоль оси абсцисс в два раза. После этого стро- им график функции у = sin 2 (х—1/2) сдвигом на 1/2 вправо и, наконец, растяже- нием в два раза вдоль оси ординат последнего графика получаем искомый график функции t/ = 2sin (2х—1) (рис. 25). А Построить графики функций: 624. У —на отрезке [—4, 4]. 625, у = х2(2—хУ на отрезке [—3, 3]. 626. у = Ух-уУ4 — х в области определения. , 627. j/ = 0,5x + 2-* на отрезке [0, 5]* 628. у = 2(х— I)3, исходя из функции = 629. У = ^1—. 630. у = л!±1. х--у 4 и X 631. у = sin (Зх—2)4-1. 632. у = — 2cos(2x+ 1). 633. у = arcsin (х—2). 634. у = х-|- 1 4-sin(х—1). 635. у = sinхcosх. 636. I —х2 при х < 0, 14 х ПРИ Зх „р„ х>0. 637- А с "Р" (х24~5 при х < — 1, — 1 СА Х<О, х > 0. 141
§ 4. ПРЕДЕЛЫ Число а называется пределом последовательности хь х2, ...» х„, ... , если для всякого сколь угодно малого положительного числа 8 найдется такое поло- жительное число N, что | хп—а\ < е при п > N. В этом случае пишут limxn — а. П-Ж) Число А называется пределом функции f (х) при х —> а, если для любого сколь угодно малого 8 > 0 найдется такое 6 > О, что | f (х)— А | < 8 при 0 < | х — — а | < 6. Это записывают так: lim/(x) = A. х->а Аналогично lim/(x) = A, если |/(х) —А| < 8 при |х| > N. х-+<х> Условно записывают lim/ (х) = оо, если | f (х) | > М при 0 < | х—а | < 6, где х-+а М — произвольное положительное число. В этом случае функция f (х) называется бесконечно большой при х—>а. Если lima(x) = 0, то функция а (х) называется бесконечно малой при х—>а. х->а Если х < а и х—> а, то употребляют запись х—>а — 0; если х > а и х—>а — запись х—>а+0- Числа [(а—0)= lim f (х) и /(«-]-0) = lim f (х) называются х-^а-Ъ х-^а+0 соответственно левым и правым пределом функции f (х) в точке а. Для существования предела функции f (х) при х —> а необходимо и достаточ- но, чтобы f(a—0)=f (a 4-0). Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах. Если существуют lim f (х) и lim g (х), то х-+а х-+а 1) lim [/ (х)+g (х)] = lim / (х) + lim g (х); х->а х->а х-+а 2) lim [/(x)-g(x)] = lim /(x)-lim g(x); x-+a x->a x-^a lim f (x) 3) Jim 44 ~ ~ lim g (x)' <при lim * 0)- x-+a g (x) S \x) x-^a ' x->a Используются также следующие пределы: lim 1 (первый замечательный предел); х->о х lim (14—- ) = Um (14-cc)ly/a —е~ 2,71828... (второй замечательный предел). х^ео\ х J а->0 Логарифм числа х по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается 1пх. При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства: ,. 1п(14-л:) , .. ах — 1 . .. (14-х)^ —1 lim —-—1—-=1 ? lim----------=ln a, lim ------------= х->о х х->о х х—>о х 638. Показать, что при п—> оо последовательность 3, 2~ , 2~ , Z о 2^-, 2 + у> ••• имеет'пределом число 2. А Здесь n-й Член последовательности есть хп = 24-1/п. Следовательно, хп — — 2 = \/п. Зададим заранее положительное число 8. Выберем п настолько боль- шим, что будет выполнено неравенство 1/п < 8. Для этого достаточно принять п > 1/8. При таком выборе п получим |х„ —2| < 8. Значит, limxn = 2. А 639. Показать, что при п—> оо последовательность 7/3, 10/5, 13/7, ... (Зп + 4)/(2п+1), ... имеет пределом число 3/2. Д Здесь х„—3/2 = (Зп4-4)/(2п4-1)—3/2 = 5/[2 (2n4- 1)]. Определим, при ка- ком значении п выполняется неравенство 5/[2 (2п-f-1)] < е; так как 2 (2ц4-1) > 142
> 5/8, то п > 5/(4 8) —1/2. Итак, если п > 5/(4 е) —1/2, то |хл—3/2|<8, т. е. lim х = 3/2. Л->00 Полагая 8 = 0,1, заключаем, что неравенство | хп — 3/21 < 0,1 выполняется при п > 12 (например, при п=13), Аналогично, неравенство |хп —3/2 | < 0,01 выполняется при п> 124,5 (например, при п=125), а неравенство I х„ —3/2 I < < 0,001—при п > 1249,5 (например, при п= 1250). Д Найти следующие пределы: 640. rlim х->4 5x4-2 2 x4-3 ‘ Д Так как х—>4, то числитель дроби стремится к числу 5-44-2 = 22, а зна- менатель—к числу 2-44-3 = 11. Следовательно, lim —2. А х->4 2x4-3 11 641. lim х->оо 3x4- 2x4-7 ‘ Д Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при х—>• оо. В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида оо/оо. Разделив на х числитель и знаменатель дроби, получаем lim х->оо 3x4-5_ 2х-р7~ lim Х->00 34-5/х 24-7/х 3 2 ’ так как при х —> оо каждая из дробей 5/х и 7/х стремится к нулю. А 642. lim х->3 х1 2—-9 х2 — Зх Д Здесь числитель и знаменатель дроби при х—>3 стремятся к нулю (не- определенность вида 0;0). Имеем х2 —9 __ (х—3) (х4-3) х4-3 . х2—Зх х (х—3) х ’ если х # 3, то lim lim —+ ? . Но при х—>3 дробь стремится к л->зх2—Зх х->3 х х числу 3±3=2. Итак, lim У~/- = 2. А 3 3 х->3 х2 — Зх ж 643. Ши 3~ 2_;_4. Д Здесь имеет место неопределенность вида 0/0. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби: Х lim хЗ-^-х+1^ lira ^(х-1)_-(х-1)^ А-_>1 х34-х2—х—1 x->ix2(x+D —(х+1) = lim (х-1)2 (х+1) Цт 0=0_ А х-*1 (X—1) (х—[—I)2 л->1 *+1 2 1- х3—1000 644. Jim х3—20х24* ЮОх • Д Это — также неопределенность вида 0/0. Имеем .. х3 —1000 (х-10)(х2+10х+100)_ 1im х2+Юх+100 f ДДох3—20х2+100х x_io х(х—10)2 х-ио х(х—10) 143
Д Если х—— 0, то 1/(х—а)—>—оси lim / (х) = 0. Если же х— х-+а- о то 1, (х—а) —> Д со и lim f (х) = + °о. А х-+а + 0 655. Показать, что при п—> оо последовательность 1/2, 5/3, 9/4, , (4м — 3)/(п-{-1), ... имеет предел, равный 4. 656. Показать, что при п —>оо последовательность 1, 1/3, 1/5,... ..., 1/(2п — 1), ... является бесконечно малой. Найти следующие пределы: 657. lim <,-6* + 8, . 658. lim 1^1+ x_>2 х —Зх + 12 X_^Q X2 —X 659. lim ^~5х+6. 660. lim х-,з х2—9 х_^ х2—3x4-2 661. lim sln (д4~2/г) —2 sin (а + /г) 4-sina Hm tgmx h->0 h x->0 Sin/2Х 663. lim ^x—^x». 664. lim sln*—cosx X Xq COS X х_пМ л—4х Г 2х44-Зх2 + 5х — 6 666. lim о Т„ , 7-—г-. *34-3х24-7х—1 X-+XQ 665. lim -------5-. л-^л/2 л~2* ф Положить л/2—х = а. RR7 lim (2х24-4хЧ-5)(х24-х+1) fifiR .. х2-7х^ 10 667> (Т+2)(^4-2хЗ + 7х24-х-Т)- 668' i™x2-8x-H2- 669. lim ^4+*+*2—2. 670. lim El+Lsinx—I. X->-l *+l x->0 * 671. lim ?Д-—. 672. lim 1/1+x+ *2-K7x+2x-x_2 x^O / 14-X— 1 x->2 x~2x 673. liml^fi. 674. lim tgx~3sinx. x->0 1—C°S 3x x->0 X3 675. limln(1^OTx). 676. lim |Д|. X->0 X x->ioo 3 677. lim (|/"x24-ax--d—V x2 4- ex 4- d). X->00 678. lim(sinK*+l—sinK-v). X->QO 679. lim (f/x+l—l/x). 680. lim x->00 Х-+СЯ * e r 8* — 7х ~on .. sin 2x 681. lim ft—ft • 682. lim , . . x^6 -5* x^0lnH+*) 683. lim —i x->0 x 684. lim 1/ X~1 t X_>1 x—1 • Положить x = ^4. 685. lim . x->±0 1*1 686. lim r->0 / —f- sin t t — sin t 687. lim S1”3^ ,s-^. 688. lim lOVtx-s). x^o in(*+l) x^5-0 146
689. lim sin x. 690. lim —-. -V-*» 691. Найти lim/((/a—1) (где />0). /->00 • Положить x = 1 /t, где x —> 0. №. lira (S+IY'" . eSS.limfl+TV +•->« X X J \ X ) 694. lim (-* - 6 \ 695. Hm 5*-4л- л->з \x — 6 x — У) х-->0 х-~х ф Привести дроби к общему знаменателю. 696. lim . 697. lim 1п- . Х-М*1пх х_>о X ф Учесть, что хх~ех^х9 698. Jim %4-+у^7-. 699. lim Ф(*+2)~1п-2. 2х^-}-3^+1 Л.^о х 700. lim • 701. lim (2—cos a)cosec2“. 702. Найти lim 703, limf^Y^ X-+2\2J § 5. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ Пусть а (х) и р (х)—бесконечно малые при х—>а. 1. Если lim(a/P) —0, то говорят, что а является бесконечно малой высшего х ~+а порядка по сравнению с р. В этом случае пишут а = о(р). 2. Если lim(a/p) = m, где т— число, отличное от нуля, то говорят, что а и х-+а Р — бесконечно малые одного и того же порядка. В частности, если lim(a/P) = l, х-+а то бесконечно малые аир называются эквивалентными. Запись а ~ р означает, что а и Р — эквивалентные бесконечно малые. Если а/Р—>оо, то это означает, что lim(p/a) = 0. Таким образом, р являет- ся бесконечно малой высшего порядка по сравнению с а, т. е. Р = о(а). 3. Если ал и р—бесконечно малые одного и того же порядка, причем k > О, то говорят, что бесконечно малая Р имеет порядок k по сравнению с а. " Отметим некоторые свойства бесконечно малых: 1° . Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего поряд- ка по сравнению с сомножителями, т. е. если у = ар, то у = о(а) и у = о(Р). 2° . Бесконечно малые ос и Р эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность а — Р = ? является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с а и р, т. е. если у = о (а), у = о (р), то а ~ р. 3° . Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей беско- нечно малой, т. е. если lim (a/P) = m, а ~ аь р ~ рх, то lim (ai/p!) = m. х->а х->а Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых: если х —> 0, то sin х ~ х, tg х ~ х, arcsin х ~ х} arctg х ~ х, In (1 4-х) ~ х. 147
704. Пусть t—бесконечно малая. Сравнить бесконечно малые а = 5/2 + 2/5 и р = 3/2 + 2/3. се 5/2 + 2/5 5+-2/3 5 Л Имеем lim -3- = lim Пт -77, п -77 . Так как предел отноше- р 2tA o-\-2t о ния а и 3 есть число, отличное от нуля, то а и (3—бесконечно малые одного и того же порядка. А 705. Сравнить бесконечно малые а = t sin21 и |3 = 2t sin t при t —►О. A „ ..а .. /sin2/ 1 , Л /оч а Л Здесь lim-3- = lim 7-——7=-п-hm sin/ = 0, т. е. а = о(р). А t ->0 Р /->0 М Sin t 2 706. Сравнить бесконечно малые а = Лп (1 + /), fJ = t sin t при Л Находим In (1 + 0 Пт “ eнт +<•+£) elim = Ит —Ц- = 1, z->o ₽ <->o tsait t-^0 Smt t-»0 t t. e. a ~ p. A 707. Найти lim^#+^. x->0 Д Заменим числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечными малыми: In (1 + 3х sin х) ~ Зх sin х, tg х2 ~ х2. Тогда получим In (1 +3х sin х) _. 3xsinx о.. sinx п . lim ——5-------- = hm -5— = 31im----=3. A x->o tgx2 x->o x2 x^o x * 708. Определить порядок бесконечно малой у = хех по сравнению с бесконечно малой х. 709. Определить порядок бесконечно малой # = К1 + xsinx—1 по сравнению с бесконечно малой х. 710. Определить порядок бесконечно малой r/ = pz'sin2x по срав- нению с х при х-+0. 711. Сравнить бесконечно малые а = /2 sin21 и |3 = t tg t, если t 0. 712. Сравнить бесконечно малые a = (l+x)w — 1 и Р = тх, если х—>0 и tn—рациональное положительное число. 713. Сравнить бесконечно малые а = ах — 1 и (3 = х In а, если х —> 0. Найти следующие пределы: пл л г У1-)-2х—1 r sin2 Зх 714. lim -—7Т-3---. 715. lim 2 Z1 , о <. Х->О ^_>01п 2(1 + 2х) ф Заменить числитель п знаменатель эквивалентными бесконечно малыми. 716. 1™ Jtzk . 717. lira ^0 In (1 —4x) In (1+ 3x —4x2 + x3) 718. lim Л++ 719. lim x_Oln(l+X2) A._>; 1ПХ ф Представить cos x в виде 1 —(1—cosx). 148
720. . 72I. lim <5°-n(4°-0 . *-*0 (l + *)j/(l+x)3 —1 a->0(3“—1)(6“— 1) 722. lim J^8+3x--l. *->o 1/ 16-+-5X— 2 О Разделить на 2 числитель и знаменатель. § 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Функция f (х) называется непрерывной в точке а, если: 1) эта функция оп- ределена в некоторой окрестности точки а; 2) существует предел lim / (х); 3) этот X—>0 предел равен значению функции в точке а, т. е. lim f (x) = f (а). х->а Обозначая х—а = Ах (приращение аргумента) и f (х)—/ (а) = Ду (приращение функции), условие непрерывности можно записать так: lim Az/ = O, т. е. функция Дх->0 f (х) непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области. Точка а, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции. Если существуют конечные пределы lim f(x) = f(a—0) и lim f (x)=f(a-rty, X—>Q— О X—+ 0 причем не все три числа / (я), f (а—0), /(а 4-0) равны между собой, то а назы- вается точкой разрыва I рода. Точки разрыва I рода подразделяются, в свою очередь, на точки устрани- мого разрыва (когда f (а—0) ~f (а-|-0) f (а), т. е. когда левый и правый пре- делы функции в точке а равны между собой, но не равны значению функции в этой точке) и на точки скачка (когда f (а — 0) f (а-|-0), т. е. когда левый и правый пределы функции в точке а различны); в последнем случае разность f(a + O)— f (а—0) называется скачком функции в точке а. Точки разрыва, не яв- ляющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода. В точ- ках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов. Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция не- прерывная во всех точках, где делитель не равен нулю. 723. Показать, что при х = 4 функция у = имеет разрыв. X оо, lim ----- = 4-оо. Таким образом, функция при х->4+0 х— 4 Л Находим lim ------т=— Х->4—0 х— 4 х—>4 не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, х = 4 является точкой разрыва II рода (рис. 26). А 724. Показать, что при х = 4 функция у = arctg 4^ имеет разрыв. Д Еслих—>4—0,то1/(х—4)—>—оо и lim z/ = — л/2. Если же х—>4+0, -О то 1/(х—4)—>4- оо и lim у = тс!2. Итак, при х—>4 функция имеет как левый, х->4 + О так и правый конечный предел, причем эти пределы различны. Следовательно, х = 4 является точкой разрыва I рода—точкой скачка. Скачок функции в этой точке равен л/2—(—л/2) = л (рис. 27). Д 149
х?___25 725. Показать, что при х = 5 функция у = ——имеет разрыв. Л В точке х = 5 функция не определена, так как, выполнив подстановкуi получаем неопределенность 0/0. В других точках дробь можно сократить на х —5, так как х—5 # 0. Следовательно, у = х-\-5 при х # 5, Легко видеть, что lim r/ = lim у =10. х->5-0 х->5 + 0 Таким образом, при х = 5 функция имеет устранимый разрыв. Он будет устранен, если условиться, что у^ 10 при х = 5. Итак, можно считать, что функция г/= (х2—25)/(х—5) непрерывна при всех значениях х, если считать, что равенство (х2—25)/(х—5)=х-]-5 справедливо при всех значениях х, не исключая и х = 5. В этом случае график функции есть прямая # = х-|-5. А 21/(х-2)_] 726. Найти точки разрыва функции # = * 727. Найти точки разрыва функции = gj- 728. Каков характер разрыва функции у = - в точке х=1? 729. Каков характер разрыва функции ^ = ^-^в точке х = 0? arctg^T3 730. Найти точки разрыва функции г/ = —х~(х—5)—• __gx2 I -11 х _6 731. Найти точки разрыва функции у — ——7—, . X-L 1 732. Найти точки разрыва функции у = 1x4-6 ’ 733. Найти точки разрыва функции у= 2 1 . 734. Исследовать на непрерывность функцию у = на отрезке: 1) [2, 5J; 2) [4, 10]; 3) [0, 7]. 735. Исследовать на непрерывность функцию г/ = —4-__26^.2_2- на отрезке: 1) [6, 10]; 2) [—2, 2]; 3) [—6, 6].
ГЛАВА VII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1. Дифференцирование явных функций. Пусть Х{ и х2 — значения аргумента, ayi = f(xi) и У2 = [(х2) — соответствующие значения функции y = f(x). Разность Дх = х2—Xi называется приращением аргумента, а разность Дг/ = у2—у± = f (х2) — — f (%i)—приращением функции на отрезке [xi,x2]. Производной от функции y=f(x) по аргументу х называется конечный пре- дел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: Дх , V &У Г/ / ч г f (х-(-Дх)— f (х) у' ~ Пт -/ , или /' (х) = lim ——!----—'-L1 ДХ->0 /лХ Дх->о / dy\ I производная обозначается также ~ I • Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент каса- тельной к графику функции y = f(x) в точке х, т. е. y' = tga. Производная есть скорость изменения функции в точке х. Отыскание производной называется дифференцированием функции. Формулы дифференцирования основных функций I. (xm)' = тхт~1. III. \ X J X2 IV. (ex)' =ex. V. (ax)' =ax In a. VI. (ln*)'= J- VII. (logax)' = /V ill (Л VIII. (sin х)'= cos х. IX. (cos х)' = — sinx. X. (tg х)'= sec2 х. XI. (ctgx)' =— cosec2 x. XII. (arcsin x)' = —-p.-. V 1—x2 XIII. (arccosx)' =--- ..- . /1— X2 XIV. (arctgx^-yA-. XV. (arcctgx)'= — -j-y—. (pX______________p-X\' -—] = chx. XVII. (chx)' = = shx. XIX. (olb X>- _ (Ji)' =- Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, и = и(х), v = v (х) — функции, имеющие производные. Тогда: 1) С' = 0; 2) х' = 1; 3) (и ± v)' = и' ± о'; 4) (Си)' Си'; ч, , , , I U \' U'V UV' 5) (uv)' = u'v+uv'; 6) I — I =----5 151
7) если y = f(u), и~и(х), т. e. y = f[u(x)], где функции f(u) и и (х) имеют производные, то Ух=Уи-их (правило дифференцирования сложной функции). 736. Исходя из определения производной (не пользуясь форму- лами дифференцирования), найти производную функции у — 2х3 + + 5х2—1х—4. Л Дадим х приращение Дх, тогда у получит приращение А#: z/+Az/ = 2 (х +Дх)3 + 5 (х-[-Дх)2—7 (х4-Дх) —4. Найдем приращение функции: Az/ = [2 (х-[-Да:)3 + 5 (х4-Дх)2 —7 (х4-Дх)—4] — (2х3-|- 5х2—7х—4) = = 6х2 Дх 6х Дх2 2Дх3 4-1 Ох Дх 4- 5Дх2—7Дх. Находим отношение приращения функции к приращению аргумента: -^- = 6х24~6х Дх4-2 Дх24- 10x4-5 Дх—7. Найдем предел этого отношения при Дх—>0: lim -~- = lim (6х24-6хДх4-2Лх24-Юх4-5Лх—7) = 6х24-Юх—7. Дх о Дх Дх о Следовательно, по определению производной у' =6х24-Юх—7. А 737. Исходя из определения производной, найти производную функции у = ]/ х. Л Находим приращение функции: Лу==Ух-{- \х—У х. Отсюда Ит Д^= Цт Дх Дх Дх -> о Дх Дх - о Дх Таким образом, _____ , = Пт (/~х+Ах~Ух) (Ух-^-Лх-^Ух) _ Дх о Дх (Ух4- Ах4- У х) х4-Дх—х 1 1 = lim ------t____-------7=7 = lim —==---------— = 7^“ • Дх-> о (Ух-t- Дх'4- У х) Ьх -> о ух4- Дх4-}^ х 2]Л х ТЛ л 1 А Итак, у =—-т=г . А 2У х 738. Исходя из определения производной, найти производную функции у —— ctgx—X. Л Находим Д# = — ctg (х4-Дх) — (х+Ax)4-ctgx4~x = ctgx—ctg (х4~Дх) — Дх. Используя формулу ctg a —ctg 6 > получим А sin(x4-Ax—х) А sin Дх . Д^ = —т-г-А- — Дх = --------———77 — Дх, SH1 х sin (х+ Дх) sin х sin (х4- Дх) откуда sin Дх ^У ^х Дх sin х sin (х 4- Д-^) 152
и, следовательно, sin Ax 11 m = lim — ----————--------1 = — ---1. дх _> о Ах дх -»о sin х sin (х+Ах) sin2 х Итак, у'--------l=ctg2x. А sm2 х s- m Исходя из определения производной, найти производные функций: 739. У = ~^~- 740. у — р/х2. 741. z/ = 5sinx-[-3cosx. 742. z/ = 5(tgx-х). 743. У = -^гг. 744. у = 2< Применяя формулы и правила дифференцирования, найти произ- водные следующих функций: 745. у — 2х3—5х24~7х-|-4. Д У' = (2х3)'—(5х2)' + (7х)' + (4)' = 2 (х3)' —5 (х2)' 4-7х' 4-4' = = 2-Зх2—5-2х 4-7-14-0 = 6х2 — 10x4-7. Д 746. у = х2е*. Д у' =х2 (е*)' 4-е*-(х2)' =х2ех4~2хе* =хех (х4-2). Д 747. y = x3arctgx. Л </'=x3(arctgx)'4-arctgx-(x3)'=x3 4-Зх2arctgх = Х3 =74^2 +3*2 arctg х. Д 748. у = хКх(31пх—2). Д Перепишем заданную функцию в виде # = х3/2 (3 In х—2). Тогда / = = X3'2 -4 + 4 *1/2 (3 1п-Х —2) = 3xV2 4- 2. Xl/2 In X —3x1/2 = 1 у X In X. Д х 2 ~ 2 2 _.n arcsinx _х- (arcsinx)'—arcsinx-(х)', 1 х—_ - ——arcsin х у 1—X2__________ X2 х—У1 — х2-arcsinx Х2У1 —X2 sinx—COSX 750. и = ------i-----. J sinx-]-cosx f (sinx + cos x) (cos x + sin x) — (sinx — cos x) (cosx—sinx) _ (sin x +cos x)2 __(sinx-j-cos x)2-|-(sinx—cos x)2 ______________ (sin x-f-cos x)2 (sin x + cos x)2 2 751. y = (2x3 + 5)4. Д Обозначим 2x34-5 = w, тогда y = u^. По правилу дифференцирования слож- ной функции имеем у' = (и4)и • (2х3 + 5)х = 4^3 (6х2) = 24х2 (2х3 + 5)3. А 153
752. y= tg6x. Л /=6tg5x-(tgx)' = 6tg5xsec2x. Д 753. z/ = cos2x. Д У ~2 cos x (cos x)' = — 2cosxsinx =— sin2x. A 754. y = sin (2x + 3). Д </'= cos (2x-|-3)-(2x-(-3)'= 2 cos (2x-f-3). Д. 755. y= tg Inx. Д z/'=sec2lnx-(lnx)'=-L.sec2lnx. A 756. z/ = sin34 . Д z/' = 3sin2y-^stay^ = 3 sin2 у cos у = sin2yCOSy.A 757. i/ = ln(x2 + 6). 1 2x Д У' =-r^-(-c2 + 5)'=-^-. A x2-|-5v 1 ' x2-(-5 m 758. z/ = ln tg-|. A «' -TiW'(,S (' 2))' -Tifbr (л'- ____________________________1_________________1_________ 1 2 tg (x/2) cos2 (x/2) 2 sin (.v 2) cos (л; 2) sin x 759. y = In(x + /х2 + 1) • 1 ___ I / 2x \ Д У i i/—2~i,:~7 * (% ~Ь Ч- t) — . . /—v—j—г ( 1 H o л/'~у ' x+yx“4-l\ 2]/x2-rl/ __ i . }^Z+I±5=__L_ x+J/x2+“l ’ /'^2+-T 760. r/ = ln(j/2sinx4- 1 +J/2sinx— 1). A y' = — — - —— ............—— (]Л2 sin x + 1 A ]/~2 sin x — 1 / = yr2sinx4-l + pr2sinx—1 1 / 2cosx , 2cosx \__ ‘/’2sinx+1 + V 2 sinx— 1 \2|/’2sinx+l 1 2]A2sinx— 1/ ___ 1 cos x (pr2sinхЦ- 1 -}- V2sinx— 1) _ 2sinx-j- 1 + 2sinx—1 4 sin2x—1 __ cos x У 4 sin3 x — 1 761. z/ = yKx2+A + 4-ln(x+/x2 + A). 154
a , x I 1 i/~ ~9.ГЕ I « 1 /if Д У ~ 2"’ 2^x^+k 2 ' A 'x+]ftf + k\ + 2 У x2 + fe x- . )F4 । k 1 /'x2+I+x_ 2 J/ x2jrk 2 "T" 2 x у xz & у x2 + & 9r2 7&2. y-arcsinq—|x|<l. x2-{-k Yx2^k (1 -4-x4)-4x — 2x2-4x3 _____1______ 4x(l — X4) 4x (1 + x4)2 “]Af_2x4 + x8 1 4-x4 “ И-x4 ’ * 763. y = arctg -12p. Д У 1 + (ln2x)/9-3x x(94-ln2x)'^ 764. z/ = ev-arcfg ex—In К1 +e2*. Л Записав данную функцию в виде f/ = e*arctge*—1 In (1-f-e2*), получим 765. У 1 1 1 У =еХ •еХ+еХ arctgеХ—2 е2х •2= =АА+е''агС1‘геХ_тч55Г=^агс1геХ’ А 5ШХ | l+sinx COS2 X ‘ cos X Д Преобразуем данную функциюз У =' co's2 Г +1п (1 + Sin *) -ln cos X. Тогда , cos2 х cos х—sinx*2cosx(—sinx) .1 I , . 4 / =-----------------------i----'+7-^----:-C°S X-----(— SID X), COS4X ‘ l+smx COSX или z __ cos2 x-L 2 sin2 x t cos x (1 —sin x) , sin x cos2x+2sin2x t 1 — sin x ~~ cos3x 1—sin2x * COSX cos3x • COSX , sinx cos2x + 2sin2x f 1 2 A * 1 1 о 11 o set x • ‘ COSX COS3X 1 COSX C0S3X 766. У = 4 tg2Kx+lncosKx. A y' = ig У"х sec2 -----U= (—sin Ух) J- 2y x cos J/ x 2y x — -Д- tg у x (sec2 У 7— 1)=--A— tg3 Ух. A 2y x 2y x 155
767. t/ = 5sh3-^ + 3sh5 . J 15 1 15 Л Находим ’'-15sh’B'hr5^+15sh‘B'bf5'f5-!h!n'hra(,+sh,By откуда, используя соотношение ch2x—sh2 х = 1, окончательно получаем у* » = sh+ch3 + А 768. у = х*2. Л Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, по- лучим lni/ = x2lnx. Продифференцируем обе части последнего равенства по х. Так как у является функцией от х, то In у есть сложная функция х и (In у)' = и ~~у’Уг • Следовательно, -^- = х2« y + 2xlnx, -^- = х(1+21пх)/ т. е. у' =ху (1 +2 In х) = ха*2 (1 +2 In х) =хх2+1 (1 + 2 In х). А 769. у= (sinx)tg*. Л Имеем In у = tg х- In sin х, откуда = tg х«—J cos x+sec2 х In sin x= 1 + sec2 x In sin x; у sin x 1 #' = £/(l+sec2xlnsinx) = (sinx)tgx (1+sec2 x In sin x). A (5x+4)2j/l— x Л Здесь заданную функцию также следует предварительно прологарифми- ровать; Inf/ = 3 In (2х—1)+-1 In (Зх+2)—2 In (5х-|-4) — у In (1 — х); У' . _ 3 д I 1 $____о $ ।____1 . у 2х—1 ’ ' 2 " Зх-|-2 ’ 5х-|-4 ' 3(1—х) ’ (2х—I)3 КЗх+2 [63 1° 1 ] У ~(5х+4)2 3/1=^ L 2х-’ +2(Зх+2) 5х-|-4 * 3 (1 —х) ] ' Ж Найти производные функций: 771. у = ^ 772. у = |х V~x. 773. у= дх’/х + ^х’/х. 774. r/ = (x2 + 2x + 2)e~x. 775. г/ = 3х3 Inx—х3. 2ЗХ 776. у = -^- г/= х2sinх + 2хcosх—2sinx. 778. r/ = ln (2х3 + Зх2). 779. z/ = j/'l—Зх2. 780. z/ = xarccos-|-—V4—х2. 156
781 782 784 786 787 788 790 792 794 796 798 800 802 804 806 808 810 812 813 814 815 817 819 821 822 823 у = Ух arcsin Ух + У1 —х. t/=(siny—cos у) . 783. у = cos3 (х/3). V = ln tg^+1. 785. = u & 4 u r 1—sinx у = tg 2x + у tg3 2x + у tg5 2x. у = 4- sin3 Уx—-|- sin5 У %' +vs'm7 Уx. у = In(Зх2+К9х4+1). 789. у = ^У а2—х2+у arcsin у. # = ln yysxjA-^y^^ 79L y = _ctg2*— 2 In sin 4. У У4 tg x+1 +2 /tg x У 2 2 y = arctg [Ax2—!. 793. у = arctg . j/ = arctg-~^1~x-. 795. z/ = arcsin , если |x|< 1. 9___________x2 r/ = arccosH-—797. y = e x— sine xcose“v. J 9 + x2 J . т/1—X -7ПП 1 (x—l)(x—З)3 y — arctg Т/ —7— . 799. у = In 7-— v ь V 1+x J (x—2)3(x—4) 1 c;n2 Qv 9 0 ОЛ1 1 21n2Sinx + 3 y=l—esin 3xcos23x. 801. r/ — In o-; 9 .— 2 In2 sin x—3 r/z= In (secx+ tg x). 803. y = — In (cosec x4~ctgx). у = еу~УУ^-1). 805. z/ = ln^|y. y = ( sin x V 807. г/ = arcsin ——sinx--. \ 14-cosx / ’ /l-]-sin2x i/ = — cosec2(x/2). 809. r/ = sin (In x)-cos(lnx)—ln(l/x). у == (x5 + 3) [In (x5 + 3) — 1]. 811. у = arcsin У1 — 0,2x2. у = 0,5 [(x + a),Kx2 + 2ax + 0 + + (0—a2) In (x + a + Kx2 + 2ax-|-p)]. y = arcsin ex + arcsin У1—e2x. у = m Ух2 + 2ax + ₽ + (n—ma) ln(x-|-a + Kx2 + 2ax + 0). !/= —816. r/ = x2 + 2xsinxcosx4-cos2x. У 1 — mx2 у = ctg X cosec x + In (ctgx + cosec x). 818. г/= i^'nslnx • M = 3xsin3x4-3cosx—cos’x. 820. r/ = ln 13+ x ~1 . a /l + x2+l y = eK—sin e* cos3 ex — sin3 ex cos ex. t/ = arctg(x+l)+x4tx1+2-- z/ = x(ln3x—31n2x4-6 Inx—6). 157
____2 cos (x/2)_ . sin (x/2) + 3 cos (x/2) fl—LUI. \ x / x 824. y = lnsinKxtg/x—/х. 825. y = arctgx*~x~*. 826. ^(ig^-dg^+l^-etg^ + flnig-l. 827. y = ln tg-Ucosx-Ucos’x. 828. y = - ~ о 829. у = у tg2 sinx-f- In cossinx. 830. y = ln 831. 832. t/ = 2xtg2x + lncos2x—2x2. 833. у = arccos (2e2x—1). 834. у = In Inx(In In Inx—1). 835. у = UC. 836. у = In х.1пх~!'. J x~ e2x u xlnx-rl Qr_y3 2 Sin X 837. y = arctg ^. 838. // = lntg^—. 839. у--• y sin2 xcos2 x—^±LCos2x. 840. y = tg3 tgx + 3 tg tgx. 841. у = -^-х-—In 842. y = ^ + 2g. 843. y = Jz2xTT[ln(2x + 1)- 2]. 844. y = secx(l+ lncosx). 845. y = exV\—e2x—arcsine*. <846? y = 2cos3*-3cos*.. 847? у = eX^2x’X-‘ 848. y = U-—e ,n*+1. 849. y = xsinxcosx-|--Lcos2x. X x2ex2 1 , x x 850. 1/ = ^- 851. y = lntgy—— 852. y = 2(tg/x-/x). 853. у = ± ln^ + larctg|. (854? у — In ^U_—1—?-. 855. у = e0’5 ‘s2 x cos x. ----J ]Лх4+Ч-х2 2 856. у = arctg i_xs • (857. y = x2e* Inx. 858. у = arccos К1 — 2*. /859? y = logX2 2. 860. и = — m V—x2 + 2ax + p + (ma + n) arcsin XZ?U.' __________________________________________ V ®+P 861. y = log2sin2x. 862. y = loga(x + Kx2 4-9). 863. y = xarcsiI,x. 864, 865. y^ 866. y = lnU+ (x—1)2J/ 2x-j-l \x r x j 867. у = (тНУУУпа- [И + 1) cos (n In x) + n sin (n In x)]. 868. у = (x tg x + In cos x) • tg (x tg x + In cos x) + 4- in cos (x tg x + In cos x). 158
869. у = (xcosx—sin x) [In (xcosx—sinx)— 1]. 870. y = 3sin(xe*—ex)— sin3 (xex—ex). 871. у = arccos (2xИ1—x2). 872. z/=|xl (x^O). 873. y = |/(x)|. 874. y=|3x—5|. 875. = 876. y = |x| + |x—2|. 877. у = xex (sinx—cosx) + e*cosx. 878. z/= In [x sin x-J-cos x-[-K(x sin x +cos x)2 + 1]. <§7§) У = ^- (xlnx—x—1). 880. у = logcosxsinx. £881x У — loge2 (xn + Kx2n+ 1). 882. z/ = logxe. 883. ?/ = logX2X. 884. у = logAa xx. 885. y = x1/ln*. 886. y = xx. 887. у = x~x-2х • x2. 888. y = xlnx. 889. y=---x2^x+L.. (x-l)3[/5x-l 890. Показать, что (secx)' = secxtgx. 891. Показать, что (cosec x)'=— cosec x ctg x. 892. Показать, что (uv)' ^и^-и' + uv-vr In a. 893. Вывести формулы дифференцирования arcsec x и arccosecx. 894. Чему равно выражение w = y24-y'24-4y2/y'2, если у = 2 cos х? 895. Показать, что функция у= (х2+1) (e* + Q обращает урав- нение у' ^-г = ех (х2 + 1) в тождество. 2. Дифференцирование неявных функций. Пусть уравнение F (х, у) = 0 опре- деляет у как неявную функцию от х. В дальнейшем будем считать эту функцию дифференци руемой. Продифференцировав по х обе части уравнения F (х, у) — ®, получим уравне- ние первой степени относительно уг. Из этого уравнения легко находится //', т. е. производная неявной функции для всех значений хи//, при которых множитель при у' в уравнении не обращается в нуль. 896. Найти производную у'х из уравнения х2 + у2 = 4. Д Так как у является функцией от х, то будем рассматривать у2 как слож- ную функцию от х. Следовательно, (у2)' = 2уу'. Продифференцировав по х обе части данного уравнения, получим 2х-\-2уу' = 0, т. е. у'~—xjy. А 897. Найти производную ух из уравнения х34~1пу— х2е{/ = 0. Л Дифференцируя по х обе части уравнения, получаем о . у' о v , п Л , (2хеУ—Зх2) у . Зх24-~---х2еУу —2хеУ т. е. //'=——---—А У > у 1— х2уеУ ж Найти производную у'х от неявных функций: 898. х3 + у3—Зху = 0. 899. Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0. 900. х4—6х2у2 + 9у4—5х2+ 15у2—100 = 0. 901. ху—ух — 0- 902. xsin//4-r/sinx = 0. 903. ё^ + еу—2ху— 1=0. ______ 904. sin (у—х2) — In (у—х2) + 2V у—х2—3 = 0. 159
905. j/ !L =0. 906. x»2 + f/2lnx—4 = 0. 907. x2siny + y3 cosx—2x—3y+ 1 =0. 3. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Если функция аргумента х задана параметрическими уравнениями х=<р(/), у = ^> (/), то dy > y't dy dt y dx dx ~dT 908. Найти y' = ^, если x=i3 + 3/+l, у = 3tf + 5f3 + 1. Л Найдем -^-=312-\-3, -^-=15/4-j-15/2. Следовательно, = dl dl dx oi у о = 5Я A 909. Найти у' = -&, если x = acosf, у = a sin t. 910. Найти у' = ^., если x = e_/sinf, y = efcos/. 911. Найти p' = =, если p=f-|-j/'a+4'A Q = ae^a. U\J \ О j 912. Найти = если x = chf, y=sh/. 4. Приложения производной к задачам геометрии и механики. Если кривая задана уравнением y=f(x), то f' (х0) = tg а, где а — угол, образованный с поло- жительным направлением оси Ох касательной к кривой в точке с абсциссой х0. Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке Л40(х0; у0) имеет вид У—Уо = у'о(х—Хо), где уо есть значение производной у* при х=х^. Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания. Уравнение нормали имеет вид 1 / ч У-~Уо =--г (x—Xq). Уо Углом между двумя кривыми y = fi(x) и y = f2(x) в точке их пересечения Мо (хь; у0) называется угол между касательными к этим кривым в точке Мо. Этот угол находится по формуле tg = fi fa)—fl fa) ' 1 + fl fa) fi fa) Если при прямолинейном движении точки задан закон движения s = s(f), то скорость движения в момент /0 есть производная пути по времени: v = s' (/0)« 913. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой у=(2/3)х5— (1/9)х3, проведенная в точке с абсциссой х=1? Л Находим производную г/' = (Ю/3)х4—(1/3) х2; при х=1 имеем yf = 3, т. е. tga = 3, откуда ot = arctg3^ 71°34'. А 914. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к пара- боле г/ = х2—3x4-5, проведенная в точке М (2; 3)? Написать урав- нение этой касательной. 160
915. Составить уравнения касательной и нормали к кривой л2 + 2х//2 + 3//4 = 6 в точке 7И(1; —1). Л Из уравнения кривой найдем производную: 2х4-2«/2+4хда'4-12уУ = 0, т. е. / = — • „ ' 1+(— I)2 1 Следовательно, уо=- 2>1 (_1)+6(_1)3=Т- Уравнение касательной t/4-l=-|-(x—1), или х—4у—5 = 0. Уравнение нормали z/-j-l =—4 (х— 1), или 4х-[-£/—3 = 0. Д 916. Найти угол между параболами у = 8—х2 и у = х2. Л Решив совместно уравнения парабол, находим точки их пересечения А (2; 4) и В(—2; 4). Продифференцируем уравнения парабол: у' = -—12х, у'=2х. Найдем угловые коэффициенты касательных к параболам в точке А (т. е. значе- 44-4 8 ния производных прих = 2):^! = — 4, k2= 4. Следовательно, tg фх = -—^==—, <p1 = arotg(—8/15). Так же определяется угол между кривыми в точке В: ф2 = = arctg (8/15). А 917. Найти уравнение нормали к параболе у2=2рх в точке М (х0; //0). 918. Составить уравнение касательной к гиперболе х2/9— z/2/8=l, проведенной в точке М (—9; —8). 919. Составить уравнения касательной и нормали к астроиде х == К2 cos3 /, у = У 2 sin3t, проведенных в точке, для которой t=n/4. 920. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде x = t— sin/, у=1—cos/, проведенных в точке, для которой/=л/2. 921. Составить уравнения касательной и нормали к полукуби- ческой параболе x—t2, y — t\ проведенных в точке, для которой / = 2. 922. Показать, что уравнение касательной к эллипсу х2/а2 + у2/Ь2 = 1 в точке М (х0; у0) имеет вид xxja2 + yyjb2 = 1. 923. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой £/= sh х, проведенная в точке (0; 0)? 924. Составить уравнения касательной и нормали к цепной ли- нии z/ = ch(x/2) в точке, где х = 21п2. 925. Составить уравнение касательной к равносторонней гипер- боле x = ch/, // —sh/ в точке / = /0. 926. Найти угол между кривой у~х—х3 и прямой # = 5х. 927. Найти угол между кривыми у = х3 и у=\/х2. 928. Найти угол между линиями у = 1 4-sin%, у=\. 929. Найти угол между кривыми х2 + //2 = 5, у2 = 4х. _ 930. Найти угол между кривыми у = V2 sin х, z/ = K2cosx. 931. Зависимость пути от времени при прямолинейном движе- нии точки задана уравнением s = /5/54~ (2/л) sin (л//8) (/ — в секундах, 6 № 1474 161
s—в метрах). Определить скорость движения в конце второй се- кунды. Л Находим производную пути по времени: ds , 1 л/ 4-TcosT. При t — 2 имеем V 2 х 16,18. Следовательно, v х 16,18 м/с. А at о 932. По параболе у = х(8—х) движется точка так, что ее абс- цисса изменяется в зависимости от времени t по закону x=tV t (t — в секундах, х — в метрах). Какова скорость изменения орди- наты в точке М (1; 7)? ДгНайдем закон изменения ординаты; заменив в уравнении параболы х на /]/*/, получим y = St^t—t3. Скорость изменения ординаты есть производная от ординаты по времени: ^ = 12]/~Z—3Z2. Для точки М (1; 7) значение t равно 1. Следовательно, y't=i = 9, т. е. скорость измерения ординаты равна 9 м/с. А 933. Зависимость пути от времени задана уравнением s = = t\n(t + 1) (t — в секундах, s—в метрах). Найти скорость движения в конце второй секунды. 934. По кубической параболе у = х3 движется точка так, что ее ордината изменяется в зависимости от времени t по закону y = at\ Какова скорость изменения абсциссы в зависимости от времени? 5. Нахождение угла между радиусом-вектором и линией. Пусть плоская линия задана в декартовых координатах уравнением y = f(x). Направление линии в дан- ной точке М (%; у) определяется касательной в этой точке, т. е. углом а между касательной и положительным направлением оси Ох (отсчитываемым против часо- вой стрелки), причем tg а = у'. Угловой коэффициент радиуса-вектора точки М составляет tg ср = у/х, а угол между радиусом-вектором и касательной к линии в этой точке есть со = &—<р. Следовательно, tg Q = tgq —tg ф = X __ху'— у__х dy—y dx 1 д-tg a tg ср j , * + УУ' xdx-\-ydy' * x Если линия задана в полярных координатах уравнением г = г(ф), то х = = г cos ср, r/ = rsin(p, xdy—у dx = r2 dtp, x dx-j-y dy = r dr, откуда r2 dtp r tg co =-. r dr r 935. Найти угол между параболой д/= 4 — х2 и радиусом-векто- ром точки М (1; 3) этой линии. Л Находим ^а)_ху'—у^х(—2х)—у^ — 2х2—у х+уу' x-j-y(—2x) х — 2ху __2 3 .п В точке М (1; 3) получаем tg се> = ———— = 1, т. е. со = — . А 1 —о 4 936. Найти угол между окружностью г = а и радиусом-вектором любой ее точки. Л Имеем г = 0; значит, tg со = г/г = а/0= оо, т.е. со = л/2. А 162
937. Найти угол между равносторонней гиперболой х2—у1 — 36 и радиусом-вектором точки М (10; 8). Л Так как 2х—2уу' = 0, у'=х/у, то t£ш = Х'(Х/У)—у_х2—У2 = 36 _ 18 х+У-(Х/У) 2хУ 2ХУ ХУ* 18 а в точке М (10; 8) имеем tg со = ——= 0,225, т. е. со = arctg 0,225. Д 1и -о 938. Найти угол между кардиоидой г = а(1—costp) и радиусом- вектором точки М (За/2; 2л/3). А „ • . . г а (1 — cos ср) , <р „ ,, Л Здесь r = asln<p, tg<B=— = —J------— ==tg—. в данной точке М по- г a sin ср 2 лучаем tg со = tg (л/З), со = л/3. А 939. Найти угол между параболой z/2 = 8x и радиусом-вектором точки М (2; 4). 940. Найти угол между спиралью Архимеда г = шр и радиусом- вектором любой ее точки. 941. Найти угол между окружностью г = созф и радиусом-век- тором любой ее точки. 942. Найти угол между окружностью (х—7)2 + (у—5)2 = 2 и радиусом-вектором точки М (6; 6). 943. Найти угол между спиралью г = ает(р и радиусом-вектором любой ее точки. 944. Найти угол между эллипсом х2/100 + f/2/36 = 1 и радиусом- вектором точки М (6; 4,8). 6. Производные высших порядков. Производной второго порядка (второй про- изводной) функции у = f (х) называется производная от ее производной. Вторая d2u производная обозначается так: у", или , или /"(х). Если s = f(t) — закон прямолинейного движения точки, то вторая производ- d2s д пая пути по времени есть ускорение этого движения. Аналогично производная третьего порядка функции y = f(x) есть производная от производной второго порядка: у'" = (у")'. Вообще, производной п-го порядка от функции y = f(x) называется производ- ная от производной (п—1)-го порядка: r/(Zi) = (#(п“1))'. Обозначается п-я произ- dnu водная так: у(п) или^ , или (х). Производные высших порядков (вторая, третья и т. д.) вычисляются после- довательным дифференцированием данной функции. Если функция задана параметрически: х = ф(0, # = ф(0> то производные Ух, Ухх 9 •««, вычисляются по формулам /у" _(yxYt __(yxx)t Ух — 7 > УXX ~~ 7 , УXXX —------ и т. д. X/ X/ Xt Производную второго порядка можно вычислить также по формуле '' _yttXt~ Xfty't к Ux.Y. -- --- " — • 6* 163
945. i/ = x5-j-2x4 —Зх3—х2—0,5х-|-7. Найта у', у", у"', Л (/'= 5х4-j-8х3—9х2—2х—0,5, I/" = 20х3+24х2 — 18х—2, у'" = 60х2-]-48х—18, yiV=120x+48, t/v= 120, yVi=yVU = ... = 0. А 946. у = In х. Найти t/(n). л , 1 . А У = — = х~1, у" = — 1 -X-2, у’" = 1-2Х-3, у™= — 1-2-Зх-4, */"> = 1-2-3.. .(п-1) (-l)n-i.= (-1)^-1А 947. х = 2х. Найти у{п}. Л у' = 2х 1п2, у"— 2х 1п22, у'" = 2х 1п3 2, уШ = 2х 1пп 2. 948. у = sinx. Найти у{п}. А / . f , Я \ А у' — cos x = sin ( х + “2“ I , у" = — sinх = sin , ,,, . / , о Я \ У = — COS JV = Sin f х+3~ ) , ......................... • £(n) = sin^x+n-y) . А 949. Найта у’ = , у" = , если x = acos3f, z/ = «sin3f. dx dx* J л / (а sin3 t)t_____ За sin2/cos / __ J dx (a cos3 /)/ —За cos2/sin/ = = (— fg 0/ = — sec2 / = 1 . dx2 (a cos3 t)t —За cos2 / sin / За sin / cos4 / Найти производные второго порядка: 950. у = — 951. г/ = 1х2(21пх— 3). 952. г/ = -|-х2И1 — х2 + -|-К1 — х? + хarcsinx. 1 2 953. у = — yxsin3x—2^cos3x. 104
954. z/ = xln (x + Kx2 + a2)—j/\x2 + a2. (x— ci (t—sin Z), ( y — arccos У/'t 955. \ ' 956. J ^-a\CCQSH J, (z/ = a(l —cos/). | y^j// —/2. 957. Показать, что функция у — sin In x + cos In x удовлетворяет уравнению x2y" + xyr + y = 0. 958. Показать, что функция y = x-\-s\x\2x удовлетворяет урав- нению z/" + 4i/ = 4x. 959. При прямолинейном движении точки зависимость пути от времени задана уравнением s = Vt. Найти ускорение точки в конце 4-й секунды. Найти производные третьего порядка: 960. = • 961. w = Jn2x. v 6(х4-1) v 2 962. y = (2x-\-3)3V2x + 3. 963. y = s№x. ф Учесть, что sh 2x = 2sh х ch х. Найти производные n-го порядка: 964. у = хп\^х. 965. у = 2^-'? • —3cos2x. 967. у = 2х + 2~х. 968. У==а^2- 969. у = екх. ( x = lnt, ( x — at4-b, 970. = cos х. 971. < ... 972. < ,2 , „. , [y=l/t. (z/ = a/2 + 0/ + y. 973. Показать, что функция г/ = е* + 2еа* удовлетворяет уравне- нию у"' — Зу"-\-\\у'—6z/ = 0. 974. Показать, что функция y = xz удовлетворяет уравнению yN+У1 v+У"'+У"+У' + У=*3 + Зх2 + 6х+6. линейная ее приращения, часть 8. Дифференциалы первого и высших порядков. Дифференциалом (первого порядка) функции y = f(x) называется главная относительно приращения аргумента. Дифферен- циалом аргумента называется приращение аргу- мента: dx = &x. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: dy = y'dx. Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к гра- фику функции в точке М (х; у) (рис. 28). Основные свойства дифферен- циала 1°. dC = 0, где C = const. 2°. d(Cu) = Cdu. 3°. d (и ± v) = du ± dv. 4°. d (uv) = u du-}-v du. rn . ( u A v du —и dv . , m 5°-Дг)=—— (^0)- 6°. df (u) = /' (u) du. 165
Если приращение Ах аргумента мало по абсолютной величине, то Ау я dy и f (х + Ах) « f (х) + /' (х) Ах. Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближен- ных вычислений. Дифференциалом* второго порядка функции y = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка: d2y = d(dy). Аналогично определяется дифференциал третьего порядка: d3y — d (d2y). Вообще, dny = d(dn~ xy). Если y = f(x) и x—независимая переменная, то дифференциалы высших по- рядков вычисляются по формулам d2y = у” (dx)2, d3y = y,,r (dx)3, .»., dny = у^п> (dx)n. 975. Найти дифференциал функции y = arctgx. z/X A dy = (arctgx)'-dx • ▲ 976. Найти дифференциал функции s = etS. Л ds = eis-3t2dt. 4 977. Найти дифференциалы первого, второго и третьего поряд- ков функции z/ = (2x—З)3. Дду = 3(2х—3)2-2dx = 6(2x—З)2 dx, d2y = 12 (2х—3) • 2dx2 = 24 (2х—3) dx2, d3r/= 24-2dx3 = 48 dx3. Д 978. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции v~e2t. Л dv = 2e2tdt, d2v = 4е2* • dt2. А 979. Сравнить приращение и дифференциал функции у = 2х3+5х2. Д Находим Аг/ = 2 (х+Ах)3 + 5 (x-f-Ax)2 — 2х3—5х2 = (6х2+10х) Ах+(6х-|-5) Ах2 + 2Ах3, dy = (6х2 4- 10х) dx. Разность между приращением Аг/ и дифференциалом dy есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Ах, равная (6х-|-5) Ах2 + 2Ах3. А 980. Вычислить приближенное значение arcsin0,51. Л Рассмотрим функцию у = arosinx. Полагая х = 0,5, Ах = 0,01 и применяя формулу arcsin (х +Ах) « arcsin x + (arcsinх)' Ах, получаем arcsin 0,51 « arcsin 0,5+-—- —--0,01 =-^--j-Q Ol 1 —0 513. А Kl-(0,5)2 6 ж 981. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м. Л Воспользуемся формулой S = nR2. Полагая R=3, AR =0,02, имеем AS « dS = 2nR-AR = 2л-3-0,02 = 0,12л. Следовательно, приближенное значение площади круга составляет 9л + 0,12л = = 9,12л 28,66 (м2). А 166
Найти дифференциалы функций: 982. у = ± J/49—х2 + у arcsinф. 983. х = 984. y = 21nch(x/2). 985. y = arctge2* 986. Найти dy, d2y, d?y, если y = x(lnx—1). 987. Найти d2y, если г/ = In (х-фКх2н- 4). 988. Сравнить приращение и дифференциал функции у=1/х. 989. Вычислить Ау и dy для функции у = х2—2х при х — 3 и Дх = 0,01. 990. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м. 991. Найти приближенное значение х из уравнения 13sinx — — 15cosx = 0. Найти приближенное значение: 992. arctg 1,05. 993. tg46°. 994. Intg47°15'. 995. ^15Д. § 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и формула Тейлора. Теорема Ролля. Если функция f (х) непрерывна на отрезке &], дифференцируема в интервале ]а, b[ и f (a) — f(b), то в интервале ]а, ЭД най- дется хотя бы одно значение х = при котором /' (£) = 0. Если, в частности, /(я) = 0, f (ЭД = 0, то теорема Ролля означает, что между двумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной. Теорема Лагранжа (о к о н е ч н о м п р и р а щ е н и и). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема в интервале ]а, ЭД, то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х=£, при котором выполня- ется равенство f (b) — f (а) = (Ь — а) Г ©. Эти теоремы имеют такой геометрический смысл: на дуге АВ непрерывной кривой y=f(x), имеющей в каждой внутренней точке определенную касательную (не параллельную оси Оу), найдется хотя бы одна внутренняя точка, в которой касательная параллельна хорде АВ. (Для теоремы Ролля и хорда АВ, и каса- тельная параллельны оси Ох.) Теорема Коши. Если функции f (х) и ф (х) непрерывны на отрезке [а, ЭД и дифференцируемы в интервале ]а, Ь[, причем ф' (х) #= 0, то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х=%, при котором — f' (g) ф(Ь)—ф(а) ф' (£) , где а < § < Ь. Формула Тейлора. Функция f (х), дифференцируемая n-f-1 раз в неко- тором интервале, содержащем точку а, может быть представлена в виде суммы многочлена п-й степени^и остаточного члена Rn: f (х) =/(«)+^ (х-а) +^(х-й)2+... (х-«)" +Яя, f(« + D (И р — ' (х_л\п + 1 (п+1)! а) * где точка g лежит между точками а и х, т. е. § = а+0(х—а), причем0<0 < 1. 167
При a = О получается формула Маклорена /и_/(о)+Нрх+фх-+...+ЕД2> д> __/(п + 1) (Ох) п+1 о < 0 < L (/г+1)! Х ’ U<U< Ь Приведем разложения некоторых функций по формуле Маклорена: у у2 уЗ уМ р0Х еХ=1 + гг+1г-НИ---^+/?": *"=(7?+-Т)Тх"+1; X X3 . X5 . (— 1)т + 1Х2ш-1 sm х-ур—3Г-1-5Г— • •• Н (2m—1)! ^/?2'л’ у2от +1 Я2т= (~О® cos 0x'(2m+i)!’ х2 . х* хв (— l)mx3m COSX-1 2!+4| 61+---+ (2m)[ +^2m + l. y2zzz + 2 ^+1 = (-i)“+1cosex.^T2yi; Z1 , Xr„ л , tn , tn (tn — 1) „ . tn (tn— l)(m — 2) „ (1 +x)“ = 1 + --~2T~L x H--*---3! ------- x + • • • , m(m — l)...[m— (n— 1)] , D . • • • +------nl---------X + Rn' ^n = W(m +’пГ*-*n+1 (l + 9x)m-"-1 (n+D! (всюду 0 < 0 < 1). 996. Выполняется ли теорема Ролля для функции /(х) = х2 — — 6л'+100, если а=1, Ь = 5? При каком значении £? Д Так как функция f (х) непрерывна и дифференцируема при всех значениях х и ее значения на концах отрезка [1, 5] равны: f (\) = f (5) = 95, то теорема Ролля на этом отрезке выполняется. Значение § определяем из уравнения /' (х) = 2х—6 = = 0, т. е. g=3. А 997. Выполняется ли теорема Ролля для функции f (х) = р/8х—х2, если а = 0, Ь = 8? При каком значении |? Л Функция f (х) = у 8х —х2 непрерывна при всех значениях х и имеет про- изводную /' (х) = (8—2х)/(з у/(8х—х2)2) при х 0, х 8, т. е. дифференцируема в интервале ]0, 8[. Кроме того, f (0) = / (8) = 0. Таким образом, теорема Ролля на отрезке [0, 8] выполняется; действительно, /'(х) = 0 при х = £ = 4. А 998. Дана функция /(х) = |/(х—8)2. Пусть а = 0, 6=16. Тогда /(0) = /(16) = 4. Однако производная f (х) = 2/(3 f/х—8) не обра- щается в нуль ни в одной точке интервала ]0, 16[. Противоречит ли это теореме Ролля? Л Нет, так как в точке х = 8 интервала ]0, 16[ производная не существует, и условия теоремы Ролля нарушены. 999. Показать, что производная многочлена /(х) = х3—х2—х+1 имеет действительный корень в интервале ]—1, 1[. 168
Д Найдем корни данного многочлена: х3—х2— х+1=0 или (х — !)2(х + 1) = 0, т. е. хх=х2 = 1, х3 =—1. Так как f (—l) = f (1) = 0, то по теореме Ролля /'(х) имеет корень в интервале ]—1, 1[. Найдем корни производной: /'(х)=3х2—2х— — 1=0, т. е. Х!~— 1/3, х2 = 1. Таким образом, между корнями функции —1 и 1 содержится корень производной, равный —1/3. Д 1000. На дуге АВ кривой у = 2х—хг найти точку М, в которой касательная параллельна хорде АВ, если Л(1; 1) и В (3; —3). Д Функция у = 2х—х2 непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. По теореме Лагранжа между двумя значениями а=1 и Ь—3 существует значе- ние х=£, удовлетворяющее равенству у (Ь)—у(а)~(Ь—a)y'(g), гд,е у’ = 2—2х. Подставив соответствующие значения, получим у (3)—£/(1) = (3— 1) у’ (£); (2-3—З2) —(2-1 —12) = (3 —1)-(2—2g); —4 = 4(1—g). Отсюда g = 2, £/(2)=0. Таким образом, точка М имеет координаты (2; 0). Д 1001. На дуге АВ кривой, заданной параметрическими уравне- ниями х = /2, y = t\ найти точку М, в которой касательная парал- лельна хорде АВ, если точкам А и В соответствуют значения t = 1 и t = 3. Д Угловой коэффициент хорды АВ равен , а угловой коэффициент * G0—* касательной в точке М (при / = £) равен —*-г--, где х^ = 2/, y't = 3t2. xt w Для определения % по теореме Коши получаем уравнение 27—l_3g2 x(3)-x(l)"x;(g) ’ “ 9-1 2g 13 3 . или т. е. g = 13/6. Найденное значение g удовлетворяет неравенству 1 < £ < 3. Подставив значение / = | в параметрические уравнения кривой, получаем х = 169/36, ^/ = 2197/216. Итак, искомая точка М (169/36; 2197/216). А 1002. Представить функцию f(x) = l/ х в виде многочлена пятой степени относительно двучлена х—1. А Вычислим значения функции /(х)=х1у/з и ее производных до пятого порядка включительно при а = 1: /(1) = 1, У (х) = (1/3) х~2/з, /' (1) = 1/3; f" (х) = = -(2/9)х-5/3, Г (1) = -2/9; (х) =(10/27) х” 8/3, (1) = 10/27; fw (х) = = —(80/81) х“11/3, /IV(1) = — 80/81; /v (х) = (880/243) х“14/3, fv (1) = 880/243. Следовательно, по формуле Тейлора получим У X = 1 + у (X— 1) —А- (X— I)2 + -AL- (X— I)3 — ~ 81-4! 243-5! 5)5 + ^s. где йг-АА(х-1)« = -А|А.Г^/з (х—1)% 1<|<х. А 1003. Представить функцию f(x) = ax (а > 0) в виде многочлена третьей степени относительно х. Д Имеем f(x)=ax, У (х) = ах In а, f" (х) =ах In2 а, У" (х)==ах In3 а, flv (х)=ах In4 а, /(0) = 1, У (0) = In а, Г (0) = 1п2л, У" (0) = In3 а, /IV (0х) = 1п4я«а9д?‘ 169
По формуле Маклорена получаем х2 In2 а , х3 In3 а . D ~2!~+-ЗГ-+*” х4 In4 а где R3=—^— 1004. Вычислить с точностью до 10 3 приближенное значение /29. А Представим заданный корень так: у 29= /27А^ = 3 1 А^^3» Вос- пользуемся биномиальным разложением (!+*>--1+=- «°+ .+ Отсюда получаем приближенное равенство d +х)««1+£x-i-^Д!,*+... 11 ^1 пл погрешность которого R +е¥)и-п-х «Л (п+1)[ х U-t-0-Ч может быть сделана как угодно малой при | х | < 1 и при достаточно большом п. Полагая х = 2/27 и т= 1/3, получим У29-ЗГ11 2 2'2 12'2'2'5 25,51 -J-P V 2У 81.81 + 81з , 814 +••• + «»J • Оценивая величины последовательных ошибок вычисления 3 | Rn [, находим з |/?! | < < 0,002, 3 I R21< —ёр'2'5 < 0,0003. Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять три члена, которые предшествуют остатку Т?2, т. е. /29^3(14-0,024—0,0006) = = 3,072. А 1005. Вычислить / е с точностью до 0,0001. Д Воспользуемся формулой Маклорена для функции ех: где 0Х р — ______хп + 1 *"~(п+1)! ’ У"ё=1 еХ = 1+Т!+^+-+7Г+^ 0 < 0 < 1. Полагая х = 1 /2, получаем 2-1! 22«2!~г23.3!‘г***'г2«.п! где е0/2 п _______X______ 2«+x(n+l)l е1/2 / ак как 0 < 0 < 1, 2<е<3, то rR„ < ,—г-тт-:. Но е1/2 < 2, поэтому 2п +1 (п А 1) ' 2^ (д а 1)~1 * Требуется определить п, так, чтобы выполнялось неравенство Rn Rn < 0,0001. 170
Если zi = 3, то R3 < g-gp Лз < jog, * п = 4, » Rt < 16.12q; Kt < 1920’ » n = 5, » Я5 <32^; Я5< 0,0001. Для определения У е с точностью до 0,0001 получаем приближенное равенство , _l_i____1_.__1___]__1___।__1 к 2 ‘ 22-2! * 23.3! * 24«4! * 25«5! ’ Произведем суммирование, обратив все слагаемые в десятичные дроби с одним лишним (запасным) знаком. В результате получим У е & 1,6487. А 1006. Дана функция /(х), непрерывная вместе со своими произ- водными до (и— 1)-го порядка включительно на отрезке [а, Ь] и имеющая производную n-го порядка в интервале ]а, Ь[, причем для этой функции выполняются равенства f (а) = f (хг) = f (х2) = ... == = f(xn-i) где а < xi < х2 < • • • < xn-i < Доказать, что в интервале ]а, Ь[ найдется по крайней мере одна такая точка L для которой /(п) Q) = 0. 1007. Рассмотреть частный случай предыдущей задачи, если f (х) = (х— 1) (х—2) (х—3) (х—4), а=1, хг = 2, х2 = 3, Ь = 4. Опре- делить £. 1008. Представить в виде многочлена третьей степени относи- тельно х—х0 (х0=^=0) функцию 1/х. 1009. В какой точке дуги АВ кривой у = х3—Зх касательная параллельна хорде АВ, если А (0; 0), В (3; 18)? Вычислить с точностью до 10 1010. cos41°. 1011. £/121. 1012. j/7. 1013. £/129. 1014. sin 36°. 2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Пусть в некоторой окрестности точки х0 (кроме, быть может, самой точки х0) функции f (х) и ср (х) дифференцируемы и ср'(х) 0. Если lim f(x)= lim ср(х) —0 или lim f (х) = Х-+Хо X -> Хо х -> Хц — lim ср(х) = оо, т. е. частное /(х)/ср(х) в точке х=х0 представляет собой неоп- Х->Л'О ределенность вида 0/0 или оо/оо, то lim = lim , x->x0<P (*) если предел в правой части этого равенства существует. Если частное f' (х)/ср' (х) в точке х = х0 также есть неопределенность вида 0/0 или оо/оо и производные /' (х) и ср' (х) удовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных и т. д. В случае неопределенности вида 0-оо или оо — оо следует алгебраически пре- образовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида 0/0 или оо/оо и далее воспользоваться правилом Лопиталя. В случае неопределенности вида 0° или оо° или 1°° следует прологарифмиро- вать данную функцию и найти предел ее логарифма. 171
Найти следующие пределы: Ю15. lim ^-J + lnx л->1 еХ~е Д Числитель и знаменатель стремится к нулю при х —> 1, а потому имеем неопределенность вида 0/0. Воспользуемся правилом Лопиталя, т. е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций: lim lim 2х+Ш=1. А х-+1 ех—е х->1 ех е г х—sinx 1016. lim ---=--- х->0 х3 А Это—неопределенность вида 0/0. Имеем lira *~stn* = lim '~cos x= lim ^=1, x-+0 xa x-^-0 Зх2 X-+0 6x 6 так как lim — i. Здесь правило Лопиталя применено дважды. Д х-+ о х хп 1017. lim —, если п—целое положительное число. ех Х-> оо А Это — неопределенность вида оо/оо. Применим правило Лопиталя п раз: lim lim lim n ~ ... = Iim n(^Mn~2). М=о . оо ех х-> оо ех х->ск> €х оо ех 1018. lim X 00 хех^2 х -j-ex А В данном случае также имеет место неопределенность вида оо/оо. Находим =4-iim 2 Х-+ 00 2+i i е*/2 2 lim Х-+ 00 1/2 (1/2) еА/2 =о.£ 1019. lim (х2 Inx). О Д Здесь мы имеем неопределенность вида 0-оо. Представим произведение функций в виде частного, а затем, получив неопределенность вида оо/оо, приме- ним правило Лопиталя: lim (х2 In х) = lim lim .-Vх —--------------L lim х2 = 0. А х->о х->о1/х2 х-> о — 2/х3 2,wo 1020. lim (1 х-> О \ х 1 \ ех — 1 ) ’ Д Это — неопределенность вида оо — оо. Для того чтобы найти предел функ- ции, приведем дроби к общему знаменателю, а затем, получив неопределенность вида 0/0, применим правило Лопиталя: lim ^=±=-?= lim е-~1 = lim - е* =JL А л-> о х(ех—1) х_*$ех—l-j-xex х-+о ех (2-{-х) 2 172
1021. lim (sinx)*. x-> 0 Д Это — неопределенность вида 0°. Обозначим данную функцию через у, т. е. y = (slnx)x1 и прологарифмируем ее: . . . In sin х In у = х In sin x = ———. * \(x Вычислим предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя (здесь имеем неопределенность вида оо/оо): I In sinx cos x/sin x lim In у = lim ------= lim ------——= x-^o x-^o 1/x x->o —1/x2 x2cosx t. ( x \ a — — lim --------— — lim ( x-cosx--------1=0. x —> о Sinx x-+ 0 \ Sin x J Следовательно, lim y = e° = l. A x->0 1022. lim (tg x)2C0S*. X-> Jl/2 Д Это — неопределенность вида oo°. Положим (tg x)2 cos x~y и прологариф- мируем: i л 1 x 2 In tgx In у = 2 cos x-ln tg x = —-. y '1/cosx Применяя правило Лопиталя, получим lim In у = 2 lim 1^=2 lim = х->я/2 х-*л/2 secx х-*л/2 sec x tg x =2 lim ^=2 lim -^.xtJx lim cosx = 0, x-+jT/2tg2x x-> л/г 2 tg x sec2 x х-*л/2 t. e. lim y = e°=l. Д X —> Л/2 1023. lim (l+x)In*. x—> 0 Д Это — неопределенность вида l00. Логарифмируя и применяя правило Лопи- таля, получим lim lnz/ = lim (In х In (14-х)) = lim — 0 — x->0 x->0 x-> 0 1/lnx = lim _ДД+Д_=_ lim 5 lim -Д.2-* д X-> o — l/(x In2 x) x->0 x+1 x->ol+l/x =_ lim И1п±)/£ x->0 —1/X2 2 lim 1^=2 lim -1Д- x-> 0 1/X x->0 —1/X2 0. Таким образом, lim y = e()~{. А D Найти пределы следующих функций: Неопределенность вида 0/0. 1024. 1. х3 — Зх2 + 2 liHl -3—. 2T-Q- . х^1%3_4х2+3 1025. ex—e~x x^oln(1+x) 1026. lim "-2arctgx. x -> оо e — 1 1027. lim 2~(eX+e~x) cosx x->o xi 1028. . e3x 3x 1 11Ш г-5-r . 1029. Um -si"^~3xeX+3^. ^->0 s‘n‘5x 0 arct§ x — sin x — X3/6 Неопределенность вида oofoo. 1030. lim x_>aln(e«— ea) 1031. lim (n>0). X-> ОО Л 173
Ю32. lim T+Xinx- 1033- 1034. lim’!*=’) X-> 0 1 "Г2 ln Sln x x_>1ln(l— X) x_>1 Ctg ЛХ Неопределенность вида 0-oo. 1035. lim (xctg nx). 1036. lim (arcsin x-ctgx). 1037. lim (1—cos x)- ctg x. x->0 Неопределенность вида оо — оо. 1038. lim f-!—-J-V 1039. limf—£------------. Inx) х-Д'Л~хр l-x«/ 1040. lim ctg2xV x->o 7 Неопределенности вида 0°, oo°, 1“. 1041. lim (n—2x)cos\ 1042. lim (cos2x)3^2. Х-*Л/2 X-*0 1043. lim (% + 2x)V\ 1044. lim /^V/A'2. X-> oo X _> 0 \ X J 3. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Функция f (х) на- зывается возрастающей в точке х0, если при любом достаточно малом h > 0 вы- полняется условие f(x0~h) < f (х0) < f(x0-{-h) (рис. 29). Рис. 30 Функция f (х) называется убывающей в точке х0, если при любодгдоста точно малом h > 0 выполняется условие f (х0—h) > f (х0) > f(x0~{-h) (рис^ЗО). Функция f (х) называется возрастающей в интервале ]а, 6[\/если для любых двух точек х± и х2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству х± < х2, выполняется неравенство f (Xi) < f(x2). \ Функция f (х) называется убывающей в интервале ]а, 6[,\если для любмх точек Xi и х± из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству хх < х2, выполняется неравенство f (хх) > /(х2). \ Признаки возрастания и убывания функции. 1) Если f' (х0) > 0, то функция f (х) возрастает в точке х0. 2) Если f' (х0) < 0, то функция f (х) убывает в точке х0. Значение f (х0) называется максимумом функции /(х), если при любом доста- точно малом h > 0 выполняются условия f (х0—h) < / (х0) и f (x0+/i) < / (х0). Точка х0 называется в этом случае точкой максимума функции f (х) (рис. 31). Значение f (х0) называется минимумом функции /(х), если при любом доста- точно малом h > 0 выполняются условия f (х0—h) > f (х0) и f (x0+/i) > f (х0). Точка х0 называется в этом случае точкой минимума функции f (х) (рис. 32). Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точка максимума или минимума функции называется точкой ее экстремума. Необходимое условие экстремума. Если функция f (х) в точке х0 имеет экстремум, то производная f' (х0) обращается в нуль или не существует. 174
Точка х0, в которой f'(х0) = 0, называется стационарной точкой. Точки, в которых /',(х) = 0 или f' (х) не существует, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума. ._______I I______I— #0-/i $Q+ti Рис. 31 1 ! J ха x0+ti & Рис. 32 Достаточные условия экстремума. Правило 1. Если х0—критическая точка функции f (х) и при произвольном достаточно малом h > 0 выполняются неравенства f' (x0 — h) > 0, /' (xQ-{-h) < О, то функция f (х) в точке х0 имеет максимум; если же ff (х0—h) < 0, /' (х0 -\-h) > О, то функция f (х) в точке х0 имеет минимум. Если знаки f' (х0—h) и f' (x0-{-h) одинаковы, то функция f (х) в точке xQ экстремума не имеет. Правило 2. Если f' (х0) = 0, f" (х0) # 0, то функция f (х) в точке xQ имеет экстремум, а именно максимум, если f” (х0) < 0, и минимум, если f" (х0) > 0. Правило 3. Пусть f' (хо) = О, f"(xo) = O, ..., /(«-D (х0) =0, Д") (х0) 0. В этом случае функция f (х) имеет в точке х0 экстремум, если п — четное число, а именно, максимум при фп) (х0) < 0 и минимум при (х0) > 0. Если же п — нечетное число, то функция f (х) в точке х0 экстремума не имеет. Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции f (х) на отрезке [а, 6] нужно из значений функции на границах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, выбрать наибольшее (наименьшее). 1045. Даны точки х = 3, х— 1, х =—1, х = 0,5. В каких из пе- речисленных точек функция у = х3 — Зх2 возрастает? Убывает? Д Найдем производную у' = 3х2— 6х. Имеем: если х = 3, то у'= 9>0 — функция возрастает; » х = 1 » у' = — 3<0 — » убывает; » х = —1 » л/'= 9 >0— » возрастает; » х = 0,5 » у'=—2,25 < 0— » убывает. Д 1046. Найти интервалы возрастания и убывания функции у = = Д1+КЦ. Д Находим / = 1 + (3/2) х1/2. Так как производная положительна в про- межутке [0, -|-оо[, то функция возрастает во всей области определения. Д 1047. Найти интервалы возрастания и убывания функции у = = х—2sinx, если 0^х^2л. Д Найдем производную: у' = 1—2cosx. Очевидно, что у' > 0 в интервале ]л/3, 5л/3[ и у' < 0 в интервалах ]0, л/3[ и ]5л/3, 2л[. Таким образом, в интер- вале ]л/3, 5л/3[ данная функция возрастает, а в интервалах ]0, л/3[ и ]5л/3, 2л[— убывает. А 1048. Исследовать на экстремум функцию у = (х—5)ех. Л Находим производную: у'= (х—4) ех. Приравниваем ее нулю и находим стационарную точку: ех (х—4) = 0, х = 4; у' (4—h)= — he*~h < 0, у' = =hei+h > 0. Согласно правилу 1 заключаем, что в точке х = 4 функция имеет минимум r/min = —е4. Д 175
1049. Исследовать на экстремум функцию y = xV 1—х2. Л Функция определена при —l^x^l. Найдем производную: у' = = (1—2х2)/]/' 1—х2; у' = 0 при 1—2х2 = 0; отсюда хг = — \/У 2, х2 = 1/1^2 (стационарные точки); г/' = оо при х=± 1, т. е. на границах области определе- ния функции. Найдем вторую производную: г/" = х(2х2—3)/(1—х2)3/2. Вычислим значения второй производной в стационарных точках. Прих=1/}А 2 имеем У" (1/V 2) _1-(1-3) V 2(1 —1/2)3/2 следовательно, согласно правилу 2 заключаем, что в точке x=l/V 2 функция имеет максимум t/max = (l/P^ %)V 1/2 =1/2. При х=— 1/V 2 получим _1-(1-3) V 2(1 —1/2) у" {-MV 2) т. е. в точке х = —l/V 2 функция имеет минимум г/т;п =—1/2. В критических точках х=± 1 экстремума нет, так как по определению точ- ками экстремума могут быть лишь внутренние точки области определения функ- ции. ± 1050. Исследовать на экстремум функцию у = (х—I)4. айдем производную: у'=4(х—I)3/, (х—1)3 = 0; х=1—стационарная точка. Вторая производная г/" = 12(х—I)2 их=1 равна нулю. Третья произ- водная у' =24 (х—1) при х=1 также обращается в нуль. Четвертая производ- ная r/IV = 24>0. Следовательно, согласно правилу 3 заключаем, что в точке х=1 функция имеет минимум г/min — 0./А Д 1051. V^следовать на экстрёмум функцию у=1— (х—2)4/5. 4 - . Производная не обращается в нуль ни при каких значениях х и не существует лишь при х = 2 (критическая точка). Так как при достаточно малом h > 0 выполняются неравенства у' (2—Я) > 0 и у' (2+^) < 0, то согласно правилу 1 заключаем, что при х = 2 функция имеет максимум г/тах=1- А 1052. Исследовать на экстремум функцию у — (х—2)2/3 (2x4-1). ли , 1° х—\ Д Находим /=т • -з?— |/ X Z Критические точки х=1 (производная равна нулю) и х = 2 (производная не существует). При достаточно малом h > 0 выпол- няются неравенства у' (1—/г) > 0, у' (1 Н~А) < 0, ; у' (2—/г) < 0, у' (2-\-h) > 0. Следовательно, в точке х=1 функция имеет максимум г/тах = 3, а в точке х = 2—минимум г/min = 0. А 1053. Найти наибольшее и наименьшее значения функции /(х) = = Зх—х3 на отрезке [—2, 3]. Д Находим производную: f' (х)=3—Зх2; 3—Зх2 = 0, т. е. х=± 1 — стацио- нарные точки. Определяем значения функции в этих точках: /(1) = 2, /(—1)=—2. Вычисляем значения данной функции на границах промежутка: f (—2) = 2, f(3) =—18. Из полученных четырех значений выбираем наибольшее и наименьшее. Итак, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наименьшее равно—18. Д 176
1054. Найти такой цилиндр, который имел бы наибольший объем при данной полной поверхности S. Л Пусть радиус основания цилиндра равен х, а высота равна у. Тогда S=2^2+2W, т. е. 2лх ) . Следовательно, объем цилиндра выразится так: 5 з = -£- X — лх3. У = У(х)=Ж2 . Задача сводится к исследованию функции V (х) на максимум при х > 0. тт « dV S Q 2 Найдем производную — = -£—и приравняем ее нулю, откуда х = =/з7(бл). J2 у _____ Найдем вторую производную: —-2- — — блх. Так как при x = frS/(Qn) вы- d2V полняется условие < 0, то объем имеет наибольшее значение, причем у==2 V3/(6л) = 2х, 2л К 5/(6л) т. е. осевое сечение цилиндра должно быть квадратом. А Найти интервалы' возрастания и убывания функций: 1055. у = 2 — Зх + х3. 1056. у= (х2 —1)3/2. 1057. у = хе~х. 1058. у = (2—х) (х+ I)2. Найти экстремумы функций: 1059. у = х2(1 — х]/"х). 1060. г/ = х+КЗ—х. 1061. г/ = In(х2 + 1). 1062. у = ch2х. 1063.1/ = -^. 1064. у = хе~^2. 1065. г/=(х—1)6/7. 1066. г/=(2х—1)/(х—З)2. 1067. у = х4—4х3-]-6х2 — 4х. 1068. у = х—2sin2x. 1069. у — е1'* sin\ 1070. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = х^—2х2 + 3 на отрезке [—3, 2]. 1071. На оси Оу найти точку, из которой отрезок АВ виден под наибольшим углом, если А (2; 0), В (8; 0). 1072. Пункт В находится на расстоянии 60 км от железной до- роги. Расстояние по железной дороге от пункта А до ближайшей к пункту В точки С составляет 285 км. На каком расстоянии от точки С надо построить станцию, чтобы затрачивать наименьшее время на передвижение между пунктами А и В, если скорость дви- жения по железной дороге равна 52 км/ч, а скорость движения по шоссе равна 20 км/ч? 1073. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в эллипс х2/25-ф у2/9 = 1. 1074. Проволока длиною / согнута в прямоугольник. Каковы размеры этого прямоугольника, если его площадь наибольшая? 177
1075. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна I. 1076. Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна S. 1077. Турист идет из пункта Л, находящегося на шоссейной дороге, в пункт В, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от А до В по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт В, если скорость его по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч? 1078. Канал, ширина которого 27 м, под прямым углом впадает в другой канал шириною 64 м. Какова наибольшая длина бревен, которые можно сплавлять по этой системе каналов? 1079. На какой высоте над центром круглого стола радиуса а следует поместить электрическую лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей? • Яртюсть освещения выражается формулой 1 = (k sin ср)/г2, где ср — угол наклона лучей, г—расстояние источника света от освещаемой площадки, k—сила источника света. 4. Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба. График функции y = f(x) назы- вается выпуклым в интервале ]а, Z?[, если он расположен ниже касательной, про- веденной в любой точке этого интервала (рис. 33). Рис. 33 Рис. 34 График функции y — f(x) называется вогнутыми интервале ]п, &[, если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 34). Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Если f" (х) < 0 в интервале ]а, £[, то график функции является выпуклым в этом интервале-, если же f" (х) > 0, то в интервале ]а, Ь[ график функции—вогнутый. у Точка (х0; f (х0)) графика функции, отделяющая уС его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой / перегиба (рис. 35). // Если xQ — абсцисса точки перегиба графика функ- '' ции y = f(x), то вторая производная равна нулю или р ок не существует. Точки, в которых f" (х)=0 или f" (х) ис‘ не существует, называются критическими точками II рода. Если х0 — критическая точка II рода и при произвольном достаточно малом h > 0 выполняются неравенства /" (х0—h) < 0, f” (xQ-\-h) > 0 (или неравенства f" (xQ—h) > 0, f" (x0-rli) < 0), то точка кривой y = f(x) с абсциссой x0 является точкой перегиба. Если же f" (Xq—h) и f" (x0 + /i) имеют одинаковые знаки, то точка кривой y = f(x) с абсциссой х0 точкой перегиба не является. 1080. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функ- ции + —6. 178
Д Имеем у' = 5х44~5, у" — 20х3. Если к < 0, то у” < 0 и кривая выпукла; если же х > 0, то у" > 0 и кривая вогнута. Итак, кривая выпукла в промежутке ]—оо, 0[ и вогнута в промежутке ]0, -|-оо[. А 1081. Найти экстремумы функции z/= (х-ф-1)2 (х—2) и точки пе- региба ее графика. Л Найдем первую производную: у' = 3 (х2— 1). Корни первой производной: Xi = —1, х2 = 1. Найдем вторую производную: у" = 6х. Вычислим значения вто- рой производной в стационарных точках: у" (—1) = — 6< 0, т. е. утах = 0; у" (1) = =6 > 0, т. е. = —4. Найдем точку перегиба, для чего вторую производную приравняем нулю: 6х = 0, т. е. х = 0. Слева от точки х = 0 имеем у" (0—h) < 0—кривая выпукла, а справа от точки х = 0 имеем у" (0 ф h) > 0—кривая вогнута; следовательно, точка с абсциссой х = 0 является точкой перегиба; уг.Пер = — 2. А 1082. Найти точки перегиба кривой z/ = (x—б)5/3ф-2. Л Находим у' = ?, (х — 5)2/3, у" — , - . Вторая производная не обра- щается в нуль ни при каких значениях х и не существует в точке х~Ь. Значе- ние х = Ь является абсциссой точки перегиба, так как у" (5—Л) < 0, у" > 0. Таким образом, (5; 2)—точка перегиба. А 1083. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой у — хех. 1084. Найти точки перегиба кривой у = —4)5 ф4хф 4. 1085. Найти точки перегиба кривой у~(х—1){/(х—I)6. 1086. Найти точки перегиба кривой z/ = x4—8х3-ф24х2. 5. Асимптоты. Прямая L называется асимптотой кривой y~f(x), если рас- стояние точки М (х\ у) кривой от прямой L стремится к нулю при неограничен- ном удалении этой точки по кривой от начала координат (т. е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности). Прямая х~а является вертикальной асимптотой кривой y^f (х), если lim /(х) = фоо или lim f(x) =—оо. а х-> а Прямая у — Ь является горизонтальной асимптотой кривой у ~ f (х), если существует предел lim f(x)~b или lim f(x)~b. X -> + ОО X — ОО Прямая y = kx-[-b является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы k~ lim , b— lim [/(*) — kx] t Х-+ + <х> X Х->+ 00 или £ = lim , b — lim [f(x) —kx], X~> — ао X оо 1087. Найти асимптоты кривой у = Ух3/(х—2). Д Функция определена в интервалах ]—оо, 0[ и ]2, фоо[. Так как lim Ух3/(х—2) = + оо, то прямая х = 2 является вертикальной асимптотой х->2 + О кривой. Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как lim У х3/(х— 2) и х + оо lim У х3/(х— 2) не являются конечными величинами. X -> - 00 179
Определим, существуют ли наклонные асимптоты. Находим: 1) &i= lim lim V^3/^—2) = lim т/_ X->4-oo x X->4-oo X %->+» r X— 2 = lim 1 f----!— = i, X -> 4- 00 Y 1 —2/X &i= lim {f(x) — k1x\= lim ( l/"= X -> + 00 x~>4-oo\ Г x — 2 / x (У x~ Ух— 2) x(x—x4-2) x->+oo У x—2 x-> + оо У x~ 2(|Л*+ V x—2) 2 = lim ----_------------------- = 1. Таким образом, существует правая наклонная асимптота у — х-\-\\ оч г. г f(x) .. /х3/(х—2) Vх/(х—2) 2) k2 = lim lim —---—----= lim -—---------- X -> — 00 Х х -> — 00 X X -> — оо 1 (разделили числитель и знаменатель на положительную величину —х), т. е. ‘‘—J?./ Ь2= Пт [/(х) — k2x]= lim ( 1/^^-s +*) = Л' “> — 00 X -> — 00 \ ' х / г ( I I- — хУ—х-\-хУ2 — X = lim I 1/ —— 4~* = lim -------------Л--------= х->-Дг 2—X • / х->-« /2 —X .. х (У~ х— У~2—х) .. х(~х~24-х) = — 11т ——------lim — -==-—7=-= — л'->-оо У2—х х->-оо]Л2—х (У—х-^~У2—х) Итак, существует левая наклонная асимптота у = — х—1 (рис. 36). 1088. Найти асимптоты кривой у = %4-2 arctg х. Рис. 36 Д Нетрудно видеть, что вертикальных и горизонтальных асимптот кривая не имеет. Ищем наклонные асимптоты: n , г х-f-2 arctgх 1) kt= lim —-------------= X -> + 00 -X ( 2 arctg х \ . = I'm Н-----------=1, X -> + 00 \ X, / bj= lim (x-f-2 arctg x—x) = 2 (л/2) = л; x -> + oo y^=x-{-n—правая наклонная асимптота; ox А Г x 4-2 arctg X 2) fc2= lim —---------= X -> - 00 X = lim ( 1+2_£^Li. ,V — оо \ X J b2~ lim (x4- 2 arctg x—x) = 2(—л/2) = — я; X -> — co y = x — л—левая наклонная асимптота. Д 180
1089. Найти асимптоты кривой у = х2е~х. Д Очевидно, вер1икальных асимптот нет. Если х—>оо, то у—> 0. Следова- тельно, ось Ох является горизонтальной асимптотой данной кривой. Определим, существует ли наклонная асимптота: k= lim lim 4 = 0. X -> оо x x -> оо e Таким образом, имеется только горизонтальная асимптота у = 0. А 1090. Найти асимптоты кривой У — Д Если х—>— 2, то у—>оо, т. е. х=—2—вертикальная асимптота. Найдем невертикальные асимптоты: < х2 — 2*4-3 . . ,. Г х2 — 2хЦ-3 1 k= m ----г -=1, b= lim -----------------х = — 4. х-+х х(х+2) *4-2 J Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение у = х—4. А Найти асимптоты кривых: 1091. z/ = 2x—44- 1092> = 3*- Ю93. //= j/x3 —6х2. 1094. t/ = 0,5% + arctgx. 1095. = — xarctgx. 6. Построение графиков функций по характерным точкам. При построении графика функции y = f(x) полезно выяснить его характерные особенности. Для этого надо: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на четность и нечетность; 3) найти точки пересечения графика функции с осями координат; 4) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва (если они существуют) и установить характер разрыва; найти асимптоты кривой у = f(x); 5) найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы; 6) найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. 1096. Построить график функции у =— Д 1) Область определения функции — вся ось Ох, за исключением точки х = 0, т. е. D(y) = ] — cnf 0 [UJ 0, +оо[. 2) Функция не является четной или нечетной. х3+4 z— 3) Найдем точки пересечения графика с осью Ох, имеем —= 0; х —— у 4. 4) Точка разрыва х = 0, причем limt/ = oo; следовательно, х = 0 (ось Оу) яв- х -> (Г ляется вертикальной асимптотой графика. Найдем наклонные асимптоты: х3 /(х) х34-4 & = lim = lim ——=1; х->о х х->« / х3-!-4 b = lim [f (x)—kx] = lim ( —%— r->oo r-*°° \ X \ 4 x = lim —x=0. J X~*oo X2 Наклонная асимптота имеет уравнение у = х. 5) Найдем экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем */' = 1—8/х3 = (х3 — 8)/х3; у'= 0 при х = 2; у'= сю при х = 0 (точка разрыва функ- ции). Точки х = 0 и х = 2 разбивают числовую ось на промежутки ]—ос, 0[, 181
]0, 2[ и ]2, +°°[, причем у' > 0 в промежутках ]—оо, 0[ и ]2, +°°1 (функция возрастает) и у' < 0 в промежутке ]0, 2[ (функция убывает). Далее, находим у" = 24/х*; у" (2) > 0,’ следовательно, х = 2—точка минимума; !/min — 3. 6) Найдем интервалы выпуклости и вогну- тости кривой и точки ее перегиба, Так как у” > 0, то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет. Используя полученные данные, строим график функции (рис. 37). А 1097. Построить график функции y=f/l—х3. Д 1) Область определения—вся ось Ох, т. е. D (//)=]—оо, 4-оо[. 2) Функция не является четной или нечетной. 3) Точки пересечения с осями координат: если х = 0, то если у = 0, то х = 1. 4) Точек разрыва и вертикальных асимптот нет. Имеем: k= lim -i-------= -1; Л'->оо X 1 Итак, наклонная асимптота у = — х. 5) Находим у' =—х21 р/(1 — х3)2; р' = 0 при х = 0; #' = оо при х=1. В окрест- ности критических точек производная не меняет знака, экстремумов нет. Так как у' < 0 при всех х 0, то функция убывает на всей числовой оси. 6) Находим у" = —2хЦ/(1 —х3)5; z/"=0 при х=0; у"=оо при х=1; у" (—h) > 0; tf (h) < 0, у" (1 — h) < 0; у" > 0. Следовательно, в промежутках ]—оо, 0[ и ]1, +оо[ кривая вогнута, а в промежутке ]0, 1[—выпукла. Точки перегиба имеют координаты (0; 1) и (1; 0). Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 38). А > Построить графики функций: 1098. y = sin2x. 1099. у==3у^х—х. 1100. г/ = 1п х—In (х—1). 1101. у = \п~^. 1102. у = -^—. 1103.?/ = ^-. » х2—4 V х 1104. t/=16x(x—I)3. 1105. у = (х—1)Цх. 182
1106. у — х-\-е~х. 1107. у = In(х + Ух2+ 1). 1108. y = e2x~x*. 1109. у = т-^-. J у (х—2)2 § 3. кривизна плоской линии Углом смежности дуги АВ плоской линии называется угол <р между каса- тельными, проведенными в точках А и В этой линии (рис. 39). Отношение угда смежности к длине s дуги АВ называется средней кривизной дуги АВ, т. е. £ср = ф/з. Кривизной данной линии в точке А зывается предел средней кривизны дуги при В —т.е. k = lim (ф/s). s->0 Кривизна окружности йОкр=1/^> где а—радиус окружности; кривизна прямой равна нулю. Если линия задана уравнением у = [(х)9: то ее кривизна вычисляется по формуле на- АВ k= ' и 1 (1+г/'2)3/2 Если линия задана параметрическими уравнениями х=ф (0, (0, то k__ \ху—ух\ (х2 + Z/2) 3/2 * • dy •• d2x •• d2y y~~dt’ x~"di*’ • dx где x=~dt' Если линия задана в полярных координатах уравнением р = / (0), то ^|р2 + 2р'2-рр"| (рЧ-р'2)3/а , dp „ d2p где р'=^,р=^. Радиусом кривизны, называется величина, обратная кривизне: R~l/\k\. Окружностью кривизны данной линии в ее точке А называется предельное положение окружности, проходящей через три точки А, В, С кривой, когда В—+А и С—+А. Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны. Центр окружности кривизны называется центром кривизны и находится на нормали к линии, про- веденной в точке А в сторону вогнутости этой линии. Координаты £ и т) центра кривизны линии y=f(x) вычисляются по формулам у'о+у'2) / у” • Эволютой линии называется множество ее центров кривизны. Формулы для координат центра кривизны можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты (где параметром является абсцисса х исходной линии). 1110. Найти кривизну линии у = —х3 в точке с абсциссой х= 1/2. Д Имеем у’~— Зх2, у" = — 6х. При х = 1 /2 эти производные принимают зна- чения у' =—3/4, у" — —3 и I —3 I 3 = 192 ~|(1+9/16)3/2| 125/64“ 125’ А 1=Х 183
1111. Найти кривизну в любой точке циклоиды x = a(t —sin t), у = а{\ —cos t). Л x = a (1 — cos t), x = a sin t, y = asin t, y~a cos /, xy—yx = a2 (cos t — cos2 t — sin2 t) =— a2 (1 —cos /), х2-^гу2 = а2 (1 —2 cos Z-j-cos2 Z + sin2 t) = 2a2 (1 — cos /), k __ ~a2 (1 —cos t) I ____________1__________ * 23/2 n3(l —cos/)3/2 I 23/2« (1 — cos t)1,2 1112. Найти координаты центра кривизны линии х3 + у4 = 2 в точке /И (1; 1). Л Продифференцируем уравнение данной линии дважды: Зх2-±-4у3у' = 0 (*), бх-j-12у2у'2-{-4у5у" = 0 (**). Так как х=1, у = 1, то из уравнения (*•) находим у'= —3/4, а из уравнения (* *) получаем 6 + 27/4 -{- 4у” = 0, т. е. г/" = —51/16. Тогда . (1+/2)/_,_ (1+9/16) (-3/4) _43 s у" —51/16 68’ т. е. С (43/68, 26/51). А 1113. Составить уравнение эволюты параболы 2у2 = 2% + 1. Л Продифференцируем дважды уравнение параболы: 4«// = 2, /==^; 4//'2 + 4////" = 0, у" = -У—=— X. Определяем координаты центра кривизны: £=Х- П=// (l+zz'2)-/_ 1 (1 + 4//2) *2//_ У" У 2 -1/(4//») ~У' 1 ।_L । I ^4//2 . 3 о +-^-=yJr^i^=y-^-y = ~^- Получаем уравнение эволюты в параметрической форме: g = 3r/2, г) = —4у\ Исключив параметр у, найдем уравнение эволюты в явном виде: rj2 = 16£3/27. А 1114. Найти радиус кривизны эллипса х2/25 + z/2/9 = 1 в точке М(0; 3). 1115. Найти радиус кривизны в любой точке кардиоиды р = = а(1 +cos0) (а > 0). 1116. Найти кривизну линии x = et sin t, y = etcost в точке / = 1. 1117. Найти координаты центра кривизны линии у = 1/х в точке М(1; 1). 1118. Составить уравнение эволюты кривой x = t sinf + cos£, y—tsmt—sin/. 184
§ 4. ПОРЯДОК КАСАНИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ Если кривые y = f(x) и y = q(x) имеют общую точку М (х0; t/0), т. е. yQ = = f (xq) = ф (хд), и касательные-к указанным кривым, проведенные в точке М (х0; у0), не совпадают, то говорят, что кривые у = f (х) и y = q (х) пересекаются, в точке М. Условие пересечения этих кривых в точке М (х0; у0) таково: f W = ф (*о), Г (*0) Ф ф' (*<>)• Если же эти кривые имеют общую точку Л4(х0; г/0) и касательные в этой точке к обеим кривым совпадают, то говорят, что кривые касаются в точке М. Условие касания кривых в точке М (хс; у0) таково: f (*о) = ф (-Vo), Г Оо) = ф' Оо) • Если, наконец, /Оо)=фОо). Г(х0) = ф'(х0), Г Оа)=ф" (Хо), .... f,n> (х0) = ф<п> (х0), но (х0) ф(«+1) (х0), то принято говорить, что в точке М (х0; у0) кривые y = f(x) и г/ = ф(х) имеют касание п-го порядка. Если то кривые y = f (х) и y = q (х) в точке М (х0; yQ) имеют не только общую касательную, но и одинаковую кривизну. 1119. Какой порядок касания имеют кривые у = е~х и ху=1/е в точке х= 1? А Пусть f(x)=e~x, ф(х) = 1/(ех). Найдем последовательные производные этих функций: /' (х) = — е~х, f"(x)=e~x, ф'(х) =— 1/(ех2), ф" (х) = 2/(ех3), .... Теперь вычислим значения данных функций и их производных в точке х=1; имеем f (1) = е~1, /' (1) = —е-1, /" (1)=е~1; ф ф' (1) = —е-1, ф" (1)=2е-1. Таким образом, /(1) = ф(1), /' (1) = ф' (1), но f" (1) ф ф" (1). Следовательно, ука- занные кривые имеют касание первого порядка. А 1120. При каком выборе параметра а кривая у = еах имеет в точке х = 0 касание первого порядка с прямой у = 2x4-1? Л Пусть f(x)=eax и ф(х) = 2x4-1. Для того чтобы указанные линии имели в точке х = 0 касание первого порядка, необходимо выполнение равенств / (O)=qp (0) и /'(0) = ф'(0), т. е. еа’° =2-04- 1 и ае° = 2. Отсюда а = 2. А Определить порядок касания заданных кривых: 1121. у = 14-cos х и у = 2—х2 в точке х = 0. 1122. z/ = sin2x и оси Ох в точке х = 0. 1123. Цепной линии (е*4-£“*)/2 и параболы г/ = 14~0,5х2 в точке х = 0. 1124. Окружностей х2 + у2 = 2у и х2 + у2 = 4у в точке х = 0. 1125. Параболы у = х* и оси Ох в точке х = 0. 1126. у = In (1 4-х) и параболы у = х—х2 в точке х = 0. § 5. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА И ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯ Пространственную кривую можно задать параметрическими уравнениями х = х(/), y = y(t), z = z(t) или векторным уравнением г=х(/) 1+^(0 j+z(/)k. Последнее уравнение определяет переменный вектор г как вектор-функцию скалярного аргумента /, т. е. г = г (/)• Кривая, заданная уравнением г = г(/), на- зывается годографом переменного вектора г. 185
Производной вектор-функции г = г(/) по скалярному аргументу t называется новая вектор-функция, определяемая равенством , ... dr .. Аг r lim "л7* ut дг->о At Производная вектор-функции может быть вычислена по формуле dr dx . , dy , , dz t -dt=-dii+4i'+ -dik- n dr Производная есть вектор, направленный по касательной к годографу век- тора г в сторону возрастания параметра t, ~ , dr d2r Если t есть время, то -^- — вектор скорости конца вектора г, а ^ — вектор ускорения. Основные правила дифференцирования вектор-функции скалярного аргумента: ,0 d /г > г г ч *1 , dr8 dr3 . 1 • 77(ri+r2-r3)=dF+dF-dF: 2°. — , где с—постоянный вектор; 3°. (М~^4т4-г"37" ? где А--Л (/)—скалярная функция от /; Ul UL С1С Уравнения касательной к пространственной кривой r = x (t) 1-\-у (/) j-{-z (/) к в точке М0(х0; г/0; z0) записываются в виде (х—х0)/х0 = (у—уЛ)1у0 = (г—го)/го,- где х0 = х(/0), yo=y(to), zb = z(t0), х0 = х' (/)0, уа=у' (/0), г0=г'(/0)- Нормальной плоскостью называется плоскость, проходящая через точку каса- ния и перпендикулярная касательной. Уравнение нормальной плоскости имеет вид х0 (х—х0) + у0 (y—yQ) + г (г—г„) = 0. Дифференциал дуги пространственной кривой вычисляется по формуле ds = /х2+у2 + г2 dt. 1127. Какая линия является годографом вектор-функции г = =ai cos t + aj sin t + ctk? Л Эта линия имеет параметрические уравнения x=acos/, y = asint, z=ct, определяющие винтовую линию. А Найти годографы вектор-функций: 1128. г = i cos t + j-j-k sin t. 1129. r = /(i + j + k). 1130. r = i-|-j + ^k. 1131. r = icht + jsht. 1132. Найти производную скалярного произведения векторов == 3/i + 2j + 5k и r2 = 2i —3/j + k. Л Имеем d(rj-r2)_ dr2, drt —di---------------------------ri'dF+r2'dI- = (3/i + 2j + 5k)-(-3j) + (2i-3/j + k)-3i = -6 4-6 = 0. 186
Полученный результат объясняется тем, что скалярное произведение ri«r2 = 5, является постоянной величиной. А dr 1133. Показать, что векторы r = i cos t 4- j sin £ + к и перпен- дикулярны. dr Д Имеем —=—i sin /44 cos /• Находим скалярное произведение: r«-^-=—cos /sin t-j-sin t cos /4-1.0=0. 1 rdr . Следовательно, r I -rr . A dt 1134. Найти производную вектор-функции r = ich2/4~ jsh/ch/4- 4-ksh2/. 1135. r = ish/4~jch/4-k]/ch2^ — 3sh2/. Найти 1136. r1 = i/ + j72 + k/3, r2 = i^ + jZ3 + kZ. Найти --^*Гг)-. 1137. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой x = asin4, z/ = bsin tcos t, z = ccos2t в точке / = л/4. Л Находим x = nsin2/, y — bcos2t) z =— c sin 2t. При t = л/4 имеем: x0=a/2, </0 = &/2, z0=c/2, x0 = a, л/0 = °> z0 = —с. Уравнения касательной: (х— о/2) /а = (у—Z>/2)/0 = (z—с/2)/(— с). Уравнение нормальной плоскости: 1138. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к винтовой линии r = i cos/4- jsin/4-K3/k в точке t=n/2. 1139. На кривой х= t+1, у=1?—1, z = t3 найти точку, к кото- рой касательная параллельна плоскости x + 2y + z—1=0. 1140. Какой угол образует с плоскостью хОу касательная в вин- товой линии x = cos/, r/ = sin t. z = 2^2t в точке / = л/4? 1141. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой х = (1/К2) a* sin/, //= 1, г = (1/К2)e*cos/ в точке / = 0. 1142. Составить уравнения касательной к кривой х = e*(cos/4- 4-sin/), у = е* (sin/—cos/), z = e* в точке / = 0. 1143. Составить уравнения касательной к кривой r=/2i4~/3j + 4-/4k в точке / = 1. 1144. Показать, что кривые r = (u4-l)i + ^2j + (2u—1) к и r = =2y2i4-(3t>—2) j + y2k пересекаются, и определить угол между кри- выми в точке их пересечения. 1145. Составить уравнения винтовой линии, если радиус осно- вания цилиндра R = 4, шаг й = 6л, и найти дифференциал ее дуги. Л Уравнения винтовой линии имеют вид x = 4cos/, у = 4 sin t, z = 3t, так как z = h при t = 2n. Продифференцируем эти уравнения: х = — 4 sin/, у = 4 cos/, 187
z = 3. Следовательно, дифференциал дуги равен ds = \^х2у2z2 dt = 16 sin2 /+ 16 cos2 /4-9 dt = = К16 (sin2/ + cos2dt = $dt. A 1146. Найти дифференциал дуги кривой x = acos2/, z/ — = j/a2 + b2 sin t cos t, z = bs,\v^t. 1147. При каком шаге h длина дуги одного витка винтовой линии jc = cosf, ?/ = sin/, z = ct равна 4л? ф Воспользоваться тем, что при развертывании цилиндра на плоскость один виток винтовой линии превращается в отрезок прямой. 1148. Уравнение движения имеет вид г = 3i cos / + 3j sin / + 4/k, где t—время. Определить скорость и ускорение движения в произ- вольный момент времени. 1149. Уравнение движения имеет вид г = t\ + /2j + Z3k. Опреде- лить скорость и ускорение движения в момент /=1. § 6. СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ Во всякой точке М (х; у; г) пространственной кривой г = г(/) можно постро ить три взаимно перпендикулярных единичных вектора (рис. 40); единичный век тор касательной (тангенциальный единичный вектор) _ dr___ dr/dt Т ~~ ds — | dr/dt j ’ Рис. 40 единичный вектор главной нормали _ dr/ds V | dr/ds | ’ единичный вектор бинормали ₽ = tXv. Соответствующие неединичные векторы можно найти по формулам: т dr . Т = -^- (вектор касательной), dr d2r В=—(вектоР бинормали), N = BxT (вектор главной нормали). 188
Плоскость, содержащая векторы т и v, называется соприкасающейся плоско- стью; содержащая векторы v и (3,— нормальной плоскостью; содержащая векторы Р и т,— спрямляющей плоскостью. Трехгранник с вершиной в точке М, образованный соприкасающейся, нор- мальной и спрямляющей плоскостями, называется сопровождающим трехгранни- ком пространственной кривой (рис. 41). Кривизной линии в точке М называется число , где ф— угол поворота касательной (угол смежности) на дуге MN, As—длина этой дуги. , ч rz I dx I Если кривая задана уравнением r = r(s), то д = — . Если уравнение кривой имеет вид г = г(/), то I—X —I „ I к I dt I Кручением кривой в точке М называется число о= lim -г—, где 0 — угол д$->0 As поворота бинормали (угол смежности второго рода) на дуге MN. Если r = r (s), то о= , где знак «минус» берется в случае одинакового dP направления векторов и V, знак «плюс»—в случае их противоположного направления. Если г = г(/), то dr d2r d?r It'dP'dF I dr d2r i2 | dt X"dP| 1150. Найти тангенциальный вектор т кривой г = Z2i 4- Isj 4- /6к в точке t = 1. Л Имеем -^- = 2« + 3^j+6/5k, | | = /4<2+ 9^ + 36М«. При t~ 1 находим 4-21 + 31 + вк. |||-Г4Т9+ЗГ-7. 7-f^|=fl+4i + |k. А 1151. Найти тангенциальный единичный вектор кривой г = 5/14* +12j cos 14- 12k sin t в произвольной точке. 1152. Найти тангенциальный единичный вектор кривой x=t sin/4- 4- cos t, y = tcost—sin/, z = /2K2 в точке / = л/2. 1153. Найти вектор т винтовой линии x = ocos/, f/ = asin/, г = К-/?2—a2t, в произвольной точке. _____ _______________________________________ Л г = <21 cos Z-f-aj sin t-{~ У R2 —a2tk, — ai sin t a] cos t У R2—a2 k, 189
| fl2sin2 t-\-a2 cos2 t-[-R2—a2 = R, __ dr/dt _ — ai sin t-\~a] cos t + У R2~ a2 к T “ | dr/dt | R =* a sin t. , a cost . , У R2 — a2 =------+ - R fc- A 1154. Найти вектор p винтовой линии в произвольной точке. ДИмеем —ai sin t-Raj cos t-R У R2— n2k, — ai cos t—a] sin t. Найдем векторное произведение этих векторов: в=Ах^1- dt Х dt2 ~ i — a sin t — a cos t j k_____________ a cost У R2 — a2 —a sin t 0 = аУ R2—a2 sint A—а У R2 — a2 cos t • j-|-n2k; 11 X =Ka2 (Я2—a2) sin2 Z + a2 (Я2-а2) cos2/+a4=atf. Ul UL I Следовательно, В __ а У R2—a2 i sin t — аУ R2—a2 j cos t + a2k Р“ТвТ ОЙ УУ2 — а2 . . . УR2 — a2 . . , a t . =--------sin/.i— --------cos Л)+-^-к. A 1155. Найти вектор v винтовой линии в произвольной точке. Л Так как v = 0 X т, то УR2—a2 sin t R a sin t JT" ____k УR2 — a2 cos t a ~ R R a cost У R2 — a2 ^~R~ R = — i cos t—j sin t, Д 1156. Найти кривизну К винтовой линии. Л В задачах 1153 и 1154 было найдено, что — ==#, — х = aR; | uf । | ul ut^ | поэтому I*X^I I dt Л dt2 I _aR _ a — — ^2 ' “ Idt I 1157. Найти кручение о винтовой линии. А Имеем -^-=*—ai sin 14-aj cos t-\~yR2 — a2 k, d2r d3r = —ai cos t—ai sin tt -j^—aisint—a] cost. dt2 dt3 190
Найдем смешанное произведение этих векторов: dr d2r d3r Ttli2^' — asint a cos t УR2— a2 — a cos t — a sin t 0 a sin t — a cos t 0 = a2y R*—a2. В задаче 1154 было найдено, что dr d2r D r — x -7T5- \=aR. Следовательно, dt dt2 I dr vd2r I 8 202 т к «2 КR2—a2 VR2—a2 . pF x d7*| =a /? • Таким обРазом> *=—77^2—=—^2—• A 1158. Составить уравнение соприкасающейся плоскости винтовой линии в произвольной точке. А Эта плоскость проходит через точку (a cost; asint; У R2—a2 t) и пер- . о У R2 — a2 sin t . y~R2 — a2 cos t а пендикулярна вектору бинормали р = —----5------i— ----------5-----J + 'd’ R R R Поэтому уравнение соприкасающейся плоскости таково: у R2—а2 . , У R2—a2 cost а ( z------ д -------sin t (X— a cos t)—~-5-(Y—asm/)(Z— у R2—a2 t)=Ot R R R или X У R2— a2 sin t—Y У R2— a2 cos t-^aZ — а У R2— a2 t = 0. A 1159. Составить уравнение спрямляющей плоскости винтовой линии в произвольной точке. А Эта плоскость проходит через точку (д cos/; a sin/; У R2 — а2 /) перпен- дикулярно вектору главной нормали v =—i cos t—j sin t. Поэтому искомое урав- нение имеет вид — (X — a cos /) cos /—(Y—a sin /) sin / = 0, т. e. X cos t-{-Y sin / — a = 0. A 1160. Составить уравнение нормальной плоскости винтовой линии в произвольной точке. А гч . - О. sin t . . А Этаи плоскость перпендикулярна вектору касательной т =---—1 + ______ R , acos/. , УR2—а2 , / . . . ---т- д -|--Б— j + -----5--к и проходит через точку (a cost; a sin/; у R2 — a2 t). R R Поэтому искомое уравнение имеет вид asin//xz ,ч . a cost ... . . У R2 — а2 ( .г-^-—г л ----n~(^"~acos04----5—(/—asm/) + ----5---\Z — у R2—a2 /) = 0, R R R или Xa sin /—Ya cos /—Z У R2 — a2 + (R2 — a2)t = 0. A 1161. Найти вектор т кривой x = 6t, y = 3t\ z = t3 в точке t=l. 1162. Найти вектор р той же кривой при /=1. 1163. Найти вектор v той же кривой при t = l. 1164. Найти кривизну К той же кривой при / = 1. 1165. Найти кручение о той же кривой при /=1. 1166. Составить уравнение соприкасающейся плоскости той же кривой при t = 1. 1167. Составить уравнение спрямляющей плоскости той же кри- вой при t = 1. 1168. Составить уравнение нормальной плоскости той же кри- вой при t = 1.
1194. p = H4cos2<p. Найти и A -^-=4u3cos2<p, -^£-=m4-2 cos <p (—sin<p) =— u4sin2<p. A 1195. Показать, что функция z = y\n(x2—у2) удовлетворяет 1 dz , 1 dz z уравнению —-x—--------а~=т2- х дх 1 у ду у2 Л Находим dz 2ху dz 1 . 2 2Ч 2у2 дх~х2—у2’ ду~П^Х х2—у2’ Подставим найденные выражения в левую часть уравнения: J_. %ХУ J__L Г in (%2_г/2]_ ~1 __ _______2у [ (х2 У2) _ _£ х х2—у2' у [ ' J х2—у2\ х2—у2 х2—у2' у у2' Получаем тождество, т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению, А 1196. Показать, что функция z = уу/х sin (у !х) удовлетворяет урав- 9 dz . dz нению х э^ + хУ~д^ = Уг- Л Находим ^У’хЛпу sin (f )+//хcos Подставим найденные выражения в левую часть уравнения: — х2 ~-yv!x-\nys\n Х2.^-/'ХСОЗ + ^-xy^--yylx-1-sln (^)+xy~.yV/x.\ny.sin Л-ху-}~Уу1х cos (=ууу/х sin W Уг- Получаем тождество; следовательно, функция z удовлетворяет данному уравнению. А 1197. « = х2 + 2//2—Зху—4x-|-2z/4-5. Найти 1198. r = p2sin40. Найти . г ор от 1199. и = 4-~- Найти ?-> fL- У2 У дх ’ ду 1200. z = ex^x!+y^. Найти 1201. и = 2у^~х +3у2 f/z2. Найти . 1202. « = Найти . 1 дх ду дг 194
1203. z = arctg-г-р-2 . Найти~ . & 1 +х2 дх ду 1204. ? = е(*3+^2>2. Найти 4“ » • дх ду 1205. и = (х— у)(х—г) (г/ — z). Найти ~. 1206. и = езх‘+^2-хУ. Найти . дх ’ ду 1207. и = eFvz • sin — . Найти . х ду хг х j j 1208. Показать, что функция г = ^— 4*-я-4---- &у л х у 2 dz 2 дг х3 уравнению х* — +у* — = -. удовлетворяет 1209. Найти дх дх ~др ду ду др дд если x = pcos0, r/ = psinO. 2. Полный дифференциал. Полным приращением функции z = f(x, у) в точке М (х; у) называется разность Az = f (х-|~ Дх, у-{-Ау)—f (х, у), где Дх и Ду—про- извольные приращения аргументов. Функция z = f(x, у) называется дифференцируемой в точке (х; у), если в этой точке полное приращение можно представить в виде Дг = Л Дх+В Дг/4-о (р), где р = ]/’Дх2+Ду2. Полным дифференциалом функции z = f(x,y) называется главная часть пол- ного приращения Дг, линейная относительно приращений аргументов Дх и Ду, т. е. dz = А Дх4-В Ду. Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. ео dx = Ax и dy = ^y. Полный дифференциал функции z = f(x, у) вычисляется по формуле . dz , . dz , dz=-^~ dx-+-^—dy. дх ду Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов u = f(x, у, г) вычисляется по формуле , ди , .ди , .ди , du^=^— cZx4--x— dy-\--~- dz. дх 1 ду ' dz При достаточно малом р = VДх2 + Ду2 для дифференцируемой функции г = /(х, У) справедливы приближенные равенства Дг « dz-, /(х+Дх, у + Ду) « f (х, y)-\-dz. 1210. z = arctg-^i^.. Найти dz. % у Л Найдем частные производные: dz _ 1 —2у _ у dz _ I 2х __ х дХ~1 \ (Х + У\2' а:2 + у2’ ду~~ t /х + у\2\(х—у)2~хг + у2< ~Т\Х—у] "Цх—yj Следовательно, dz=^- dx-\-^- dy=-^2 дх 'ду х2+у2 m 7* IQ5
1211. и = хУ2*. Найти du. Л Имеем du=^- dx4-~ dy-\-~dz, где дх 1 dy у 1 dz ^—уЧ-хУ2*"1, ~ — -xZ^-ln x-2yzt ~ —x^-ln х«г/2. Следовательно, du = у2гхУ~г -1dx~f- 2yz • хУ2* -Inxdy-j- у2хУ2? -Inxdz. A 1212. Вычислить приближенно V sin21,55 + 8e0’015, исходя из значения функции z = ]/r svtf х + ЪеУ при х = л/2« 1,571, г/ = 0. Л Искомое число есть наращенное значение функции z при Дх = 0,021, Д# = 0,015. Найдем значение z при х = л/2,# = 0; имеем z= J/+in2 (л/2)+8е° = 3. Находим приращение функции: А dz А , dz А sin2x Дх + 8еУ ку 8-0,015 Л по дх ' dy 2 К sin2 х+8еУ 6 Следовательно, J^sin2 1,55 +8а0,015 ^3,02. А 1213. Вычислить приближенно arctg (1,02/0,95), исходя из зна- чения функции г = arctg (у/х) при х=1, у=1. Л Значение функции z при х=1, у=1 есть z = arctg (1/1) = л/4^0,785. Найдем приращение функции Дг при Дх = —0,05, Д г/= 0,02: . , dz . . dz А у кх . хку хку—укх 1-0,02+1-0,05 п dx 'dy х2 + #2 1 х“ + #2 х2-]-у2 2 Следовательно, arctg (1,02/0,95) =г + Дг « 0,785 + 0,035 = 0,82. 4k 1214. z — In (х2 + у2). Найти dz. 1215. z = In tg (у/х). Найти dz. 1216. z = sin (х2 + у2). Найти dz. 1217. г = х^. Найти dz. 1218. z/ = ln(x + J/х2 + у2). Найти du. 1219. z = e*(cosz/ + xsinz/). Найти dz. 1220. z = ex+y (хcosу + уsinx). Найти dz. 1221. z = arctg . Найти dz. & 4—xsinr/ 1222. u = exyz. Найти du. 1223. Вычислить приближенно l,024’05, исходя из значения функ- ции z — ху при х=1, у — 4 и заменяя ее приращение дифферен- циалом. 1224. Вычислить приближенно In (0,093 + 0,993), исходя из зна- чения функции г = 1п(х3 + //3) при х = 0, у=1. 1225. Вычислить приближенно 1,022 + 0,052, исходя из значе- ния функции г=|/х2 + у2 при х=1, у = 0. 1226. Вычислить приближенно j/5e0’02 + 2,ОЗ2, исходя из значе- ния функции г = И5е* + у2 при х = 0, у = 2. 1227. Вычислить приближенно |/1,041,99 +In 1,02, исходя из зна- чения функции ц = ху + In г при х=1, у = 2, г = 1. 196
3. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Частными про- изводными второго порядка от функции z = f(x, у) называются частные производ- ные от ее частных производных первого порядка. Обозначения частных производных второго порядка: д (dz\ d2z - д fdz\ d2z . z ч дх\дх] д2х~ хх (х’ У)’ dy\dxJ~dxdy~xy(X’V}' д fdz\___d2z _ д fdz\_d2z __ . дх\ду) ~~дудх ~ !ух ду\ду)~~ ду2 ~ ‘уу (Х’ У)' Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например: д (d2z\&z х dfd2z\ d3z f„ . , дх\дх2) дх3~^х^^Х’^’ <?Д <?х2 J —dt2^ ~ и Т’ Д‘ Так называемые «смешанные» производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непре- d2z d2z рывны, например Дифференциалом второго порядка от функции z = f(x, у) называется диффе- ренциал от ее полного дифференциала, т. е. d2z = d(dz). Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков: d?z = d(d2z); вообще dnz = d(dn~1z). Если х и //—независимые переменные и функция f (х, у) имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по фор- мулам d2z d2z d2z d2^dx2+2^-ydxdy+^dy2’ dsz = ~ dx3+3-^rdx^dy+3 -^-^dxdyi+~dy3. dx3 1 dx2dy 1 dxdy2 „ v * dy* * Вообще, имеет место символическая формула ( д л , д л \п dnz=[ -^dx-V— dy z, \дх ' dy J ’ которая формально раскрывается по биномиальному закону. 1228. z —r/lnx. Найти -^4, 44. дх2 дх ду ду2 а и v dz у Л Найдем частные производные: —; торно, получим d2z д дх2 дх dz 1пх. Дифференцируя пов- d2z d у d2z д л Л —т; -5-9—н-0п*) ~ ч—Ч-—ч- х2 ду2 ду дхду ду у 1229. z = Intg(z//x). Найти дх tg (р/х) ’ SeC Х} \ х2 J х2 ' sin(2z//x)’ d2z __ 1 2 у —2 cos (2у/х)-(2/х) дх ду~ х2 ’ sin (2yfx) х2 ’ sin2 (2z//x) ^хЧ^2(2у/х) ’ № C0S “ ~X Sin {2y/x})- A 197
dz \ d2z Л ду Х ’ dy2 U’ =0; 1230. 2 = sinxsin у. Найти d2z. . dz . dz . . Л —=cosxsinz/, g^=sinxcosr/, d2z . . d2z d2z ' —=-sinxsin z/> g^==cosxcos//; ^-^-sinxsinr/, d2z=—sinx sin ydx2-\-2 cos xcos ydxdy—sin xsin у dy2. A 1231. z = x2y. Найти d?z. . dz o d2z d*z n Л —==2xy, -^~2y, ^-x-=0, dx dx2 dx3 dy* ’ dx2dy~~ ’ dxdy2 d*z = Q • dx* 3 - 2dx2 dy4-3*0• dx-dy24-0• dy* = 6dx2 dy. Д . a = 4x3 4~ 3x2z/ 4- 3xy2 — у*. Найти . d2u . и = xy + sin (x + y). Найти . M = lntg(x+«/). Найти , z = arctg . Найти ^-4-. & 1—xy dxdy , z = x2ln(x4-y)* Найти v 1 dxdy , u = xs\nxy-\-ycQSxy. Найти . « = sin (x + cos z/). Найти , г = 0,51п(х24-у2). Найти d2z. . z = cos (x + у). Найти d2z. d*z , z = cos(ax + ^). Найти g^-. х*—8ху* уj о d*u . u=-----• Наити n 2n-. x—2у dx2 dy . z = xV. Проверить, что . г = х2 + у2—xy—2х+у + 7. Найти d2z. . Показать, что функция z = <р (х) g (у) удовлетворяет урав- d2z __dz dz dxdy~~ dx ’ dy' 1232. 1233. 1234. 1235. 1236. 1237. 1238. 1239. 1240. 1241. 1242. 1243. 1244. 1245. нению z 1246. Показать, что функция г = g (х) + yg' (х) удовлетворяет dz dz . d2z уравнению ^ = g- + ^. 1247. Показать, что функция и = уех "У удовлетворяет уравнению 1 du , 1 du___ и_ х * dx' у ’ dy у2* 1248. Показать, что функция удовлетворяет du 2 d2u уравнению =а2^2- 198
1249. и — ехУ. Найти d2u. 1250. и = \п(х + у). Найти d2u. 1251. и=у/х. Найти dhi. 1252. u=-xyz. Найти d?u. 1253. r/ = xlny. Найти d4i. 1254. и = ех+У. Найти dhi. 4. Дифференцирование сложных функций. Пусть'? = f (х, у), где х = ф(/)# ^=ф (/) и функции f (х, у), ф(/), ф(/) дифференцируемы. Тогда производная сложной функции ? = /[ф(/), ф (/)] вычисляется по формуле dz__dz dx.dz dy dt dx ’ dt ' dy dt* Если z = f(x, у), где г/ = ф(х), то полная npouaeodHan от z по х находится по формуле dz__dz .dz dy dx dx'dy ’ dx* Если же z = f(x, y)^ где х = ф(§, r]), z/ = (g, т]), то ^частные производные выражаются так: dz dz dx.dz dy dz dz dx.dz dy dl- dx diy dy * d£ И dr] dx ’ dr] ‘ dy dr]’ 1255. z = exZ+y2, где x = acos/, y = asin/. Найти J dt Л Имеем • ^=e*2+A2x(—asin t)-\-e^+y2.2y(acos 0 = dt dx dt 1 dy dt 4 1 v ' = 2аех2+У2 (г/cos t—xsin t). Выразив x и у через t, получим dz — = 2аеа2 (a sin /cos^ — a cos / sin t) = 0. A 1256. z = ln(x2—у2), где y^et. Найти dz 2x Л Имеем Используя формулу полной производной, находим С/Х х у dz___dz .dz dy_ 2x 2yex ___2 (x—yex) , dx dx'dy dx x2—y2 x2—y2 x2—y2 z = -g- In у, где и = tg2 x, v = ctg2 x. Найти z = гДе Z/ = 3x+l. Найти 9 TT о dz dz z = x2y, где у = cosx. Наити ч- и -т-. и dx dx < х—Ух2—у2 и о dz г = 1п---г- =1:, где y = xcosa. Наити -т-. Х+Ух2^у21 dx Z = x2 + y2, где у=1—П- Найти ||, и = 1п(х2 + у2), где-х = |т], # = -|- Найти Показать, что функция « = 1п(1//')> где г = *=И (х—а)2+(у—Ь)2, удовлетворяет уравнению 1257. 1258. 1259. 1260. 1261. 1262. 1263. 199
5. Производная в данном направлении. Градиент функции. Производной функ- ции z = f(x, у) в точке М (х; у) в направлении вектора 1 = Л4Л4Х называется предел dz lim /(Л41)— f (М) AZ 2"l Л~2 чу =! lim L1.. ...Уv lim p = V Ax2 + Ar/2. dl | Л4Л4Х | p-► о p r Если функция f (x, у) 'дифференцируема, то производная в данном направ- лении вычисляется по формуле dz dz . dz . cos sin a, dl dx 1 dy где a—угол, образованный вектором 1 с осью Ох. В случае функции трех переменных u = f (х, у, z) производная в данном на- правлении определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид du du , du n , du zrr=4- cos a-f-4- cos p4--=- cos v, dl dx • dy r 1 dz r где cos a, cos (3, cosy — направляющие косинусы вектора 1. rpadueHtnoM функции z = f(x, у) в точке М (х; у) называется вектор с на- чалом в точке УИ, имеющий своими координатами частные производные функции z: , dz . . dz , gradz=4- 1+з~ j. b dx 1 dys Градиент функции и производная в направлении вектора 1 связаны формулой dz , ^=npzgradz. Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной „ dz Л точке. Производная в направлении градиента имеет наибольшее значение, равное В случае функции u = f (х, у, z) градиент функции равен , du . , du . , du. grad« = 4- i+ч- j+a-k. b dx 1 dy3 1 dz 1264. Найти производную функции z = x2—у2 в точке М (1; 1) в направлении вектора 1, составляющем угол а = 60° с положитель- ным направлением оси Ох. Л Найдем значения частных производных в точке М: ^?=:2х, ~=—2у, (= 2,(^~] = — 2. Так как cos a=cos 60°= 1/2, sin a=sin 60°=1Аз /2, то \dxjM \ду J м г Д=2 dl 1265. Найти производную функции и = хуЧР в точке М (3; 2; 1) в направлении вектора МЛ/', где ЛТ(5;4;2). Л Найдем вектор MN и его направляющие косинусы: /ИЛ/ = 1 = (5—3) i+ + (4 — 2) j + (2 — 1) k = 2i + 2j + k; cos a = 2//22 + 22+ I2 = 2/3; cos p = 2/3; 200 1 — K 3
cos у = 1/3- Вычислим значения частных производных в точке М: ди « - ди п „ ди 9 9 = r/2z3; 5-=2xyz3; =--3xy2z2; дх * ду * 1 dz =4; м = 12; м Следовательно, ди 2 2 1 л=4-у+12-з+36-Т 22 — 22 з • 1266. Найти производную функции z = In (х2 + у2) в точке Л4 (3; 4) в направлении градиента функции г. Л Здесь вектор 1 совпадает с градиентом функции z = 1п (х2+у2) в точке (3; 4) и равен . f 2х \ . . f 2у X 6 . , 8 . gra г \*аЧ-Л/а)лг25,+25J- Следовательно, dz , , , ,// 6 V , / 8 V 2 . dl |gradz| у (^5) +(,2б) ~5 ’ 1267. Найти величину и направление градиента функции ц = = tgх—x-\-3siny—sin3у + z + ctgz в точке M (л/4; л/3; л/2). Л Найдем частные производные о * ди _ 0-9 ди . 9 — — sec2x—1, —=3cos#—3 sin2 у cos у, -^- = 1—cosec2 z dx dy * * dz и вычислим их значения в точке М (л/4; л/3; л/2): (ди\ _2_1=1 =3 1_з/KIY 1-1 (д±\ -1-1-0 UJm b \ду)м 3 2 Ч 2 / 2~8’ Uhl" 1 Следовательно, (grad и)м = i 4-1 j; I grad и |Л = К 12 + (3/8)2 = / ТС/в; 1 8 „ . 3 . cos а=—;=—= -7.^ ; cos р =sin а=—▲ К 73/8 К 73 К73 1268. Найти производную функции z = x2—ху-\-у2 в точке Л4(1; 1) в направлении вектора 1 = 6i-J-8j. 1269. Найти производную функции и = arcsin (zlV х2 + У2) в точке М (1; 1; 1) в направлении вектора MN, где 7V (3; 2; 3). 1270. Найти производную функции и = In (х2 4- у2 + z2) в точке /И(1;2; 1) в направлении вектора r = 2i4-4j4-4k. 1271. Найти величину и направление градиента функции «=1/г, где r=Vx2 + y2-\-z2, в точке М (х0; z/0; z0). 1272. Найти величину и направление градиента функции и = xyz в точке М (2; 1; 1). 1273. Найти производную функции и = х/2 4- у 13 + z/б в направ- лении 1 — 6i 4-3j—6k в произвольной точке. 6. Дифференцирование неявных функций. Производная г неявной функции у=у(х), заданной с помощью уравнения F (х, у)=0, где F (х, у)—дифференци- руемая функция переменных х и yt может быть вычислена по формуле Л dFjdx dF , y ==~dFid^n^ Услов™^°- 201
Производные высших порядков неявной функции можно найти последова- тельным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом у как функцию от х. Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных z = ср (х, г/), заданной с помощью уравнения F (х, уу z)=0, где F (х, у, z)—диф- ференцируемая функция переменных х, у и z, могут быть вычислены по формулам dz dF Idx dz dFIdy dF . „ , x- — — при условии x- 0. dx dF/dz dy dF/dz dz 1274. cos(x + //)+// = 0. Найти у'. dF dF Л Здесь F (x, r/) = cos (хЧ-£/)Ч-г/. Найдем ^=—sin(x+#), =□ = — sin (x-|-*/) +1« Следовательно, —sin (x+t/) _ sin (x-}-y) . У 1—sin(x+r/) 1—sin (x-h«/)* A 1275. y — siny==x. Найти yr и у". dF dF U Л Здесь F (x, y) =y—sin y—x. Имеем — 1> -g^- = 1 — cos# = 2sin2у , откуда f “1 1 о У У =-27ki4W2j=TCOSeC -2 • Найдем вторую производную: у” = -2 cosec — cosec ctg . 2- у' = — 2. cosec4 Д ctg Д . А 1276. z3—3xyz~a3. Найти u dx А Здесь F (х, у, z) =z3—3xyz—a3. dz И x~ . dy „ dF o dF o dF Находим =—3yzf —3xz, -v—= dx dy dz = 3z2 — Зху. Тогда dz —3yz yz dz —3xz xz « dx 3z2—3xy~~ z2—xy ’ dy~~~ 3z2—3xy z2—xy * 1277. xyz = x+y + z. Найти dz. a tz , dz , . dz . „ dz dz А Как известно, dz=-=^dx-Y~dy, поэтому найдем сначала^ и dz yz — 1 dz xz — 1 dx xy—1 ’ dy xy—1 ' Следовательно, dz=~7tT~\^yz~!)&/]. A 1278. x2 +1/2+In (x2 +1/2) = а2. Найти у'. 1279. (y/x) + sin (y/x) = а. Найти у’. 1280. (xy—a)2 + (xz/—P)2 = r2. Найти у', у". 1281. х3 + 2у3—2xy\f2xy-sr 1 =0. Найти у'. 1282. lntg(f//x)—у/х — а. Найти у'. 1283. (x2 + z/2—bx)3 — a3 (х2-\-у2). Найти у' в точке М (Ь; &). 1284. 3sin (Кxly) — 2cosKx/t/+1 =0. Найти у'. 202
1285. 0,5In(x24-у2)—arctg (у lx) =0. Найти у'. 1286. x2—x-2y+14-4y—x-{-2^+2 = 0. Найти у'. 1287. x-\-y—ex+y = 0. Найти у', у". 1288. х + у + г = ег. Найти 1 v 1 дх ду 1289. х34-г/3 + г3—Зхг/г = 0. Найти 1290. х = z In (z/г/). Найти dz. 1291. xsiny + z/sinx + zsinx = a. Найти 1292. хг/xz-J-z/z = 1. Найти dz. 1293. хеу уех-]-гех = а. Найти ||. 1294. z = x+arctg—— . Найти . Z X ох § 3. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, со- держащая в себе касательные ко всем кривым, проведенным на поверхности через точку М. Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через М перпендикулярно касательной плоскости в этой точке. Если поверхность задана уравнением F (х, у, г) = 0и в точке М (х0; у0; zQ) ( dF \ f dF \ f dF \ частные производные I j м , \"дг//м’ ("dz/м конечны и не обращаются в нуль одновременно, то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке Л4 (х0; г/o’, го) записывается в виде (ТЕГ )м (Х-Хо) + ( w)м + (4F)л!(г-го) = 0> а уравнения нормали к поверхности в этой же точке—в виде X —Xq _ У~—Уъ Z — Zq ( dF \ /dF_\ ' \ дх )м \ду Jм \дг )м Если же уравнение поверхности задано явным образом: z = /(x, (/), где част- (dz\ ( dz\ ,л . . . ные производные -ч- и ч- в точке М (х0; у0; z0) конечны (и могут быть \ ox J м \ оу ) м равны нулю одновременно), то уравнение касательной плоскости в точке М запи- сывается в виде а уравнения нормали—в виде *0 _ у — у0 Z — Zp / dz \ ( dz\ —1 \ dx )м \ду ]м Равенство нулю, например означает, что касательная плоскость парал- лельна оси Ох, а нормаль лежит в плоскости х=х0. 1295. Дана поверхность г = х2—2ху-]-у2—х-]-2у. Составить урав- нение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке М (1; 1; 1). 203
Л Найдем частные производные —=2х—2у—1 и —2х-\-2у-\-2 и их а, /1 1 н f dz \ , I dz\ п значения в точке М (I; I; I): ^- ) = — I, “ = 2. \oxJm \oyjM Уравнение касательной плоскости: z— I = — (х— 1) + 2 (у— 1), или х—2y-]-z = 6. Уравнения нормали: (х—1)/(—1) = (г/—1)/2 = (z—1)/(—1). А 1296. К поверхности х2 + 2у2 + Зг2 = 11 провести касательные плоскости, параллельные плоскости x + y-\-z=l. /\ Здесь F (х, у, z) = х2 4 2r/2-|-3z2—11. Найдем частные производные: dF ‘ dF . dF а тл = 2х, -^- = 4г/, -^-=6z. Из условия параллельности касательной плоскости и данной плоскости следует, что (dF/dx)/l = (dF/ду) 1 = (dF/dz)/\, или (2х)/1 = = (4у)/1 = (6z)/l. Присоединив к этим уравнениям уравнение поверхности х2 + H~2//2 + 3z2 = 11, найдем координаты точек касания: Л41(У 6; 6/2; У 6/3) и М2 (—V 6; —V 6/2; —У' 6/3). Следовательно, уравнения касательных плоско- стей имеют вид 1(х± /6)4-1 • (у ± / 6/2)4-1 .(г ± / 6/3) = 0, - т. е. _ x+y+z+11/У 6 = 0 и х+у + z— 11/К 6 = 0. А 1297. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по- верхности г=1-|-^2 + //2 в точке М (1; 1; 3). 1298. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по- верхности х2 + У2—г2 =—1 в точке М (2; 2; 3). 1299. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по- верхности г = In (%2 4-у2) в точке /И (1; 0; 0). 1300. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по- верхности г = sinx cos у в точке М (л/4; л/4; 1/2). 1301. Составить уравнения касательных плоскостей к поверх- ности х2 + 2у2 + 3г2 = 21, параллельных плоскости x-]-4y-]-6z = 0. 1302. Доказать, что касательные плоскости к поверхности \/ х+ + Кг/4- Кг = Fa (а > 0) отсекают на осях координат отрезки, сум- ма которых постоянна. 1303. В какой точке эллипсоида х2/4-}- у2/4+г2 = 1 нормаль к нему образует равные углы с осями координат? тт dz cos a dz cos В о 1304. Доказать, чточ-=-----, ------- , если cos a, cos 6, дх cos у ’ ду cos у ’ 1 cosy — направляющие косинусы нормали к поверхности z = f(x, у). § 4. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Экстремум функции. Функция z = f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке Мо (х0; у0), если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке М (х; у) некоторой окрестности точки 7И0, т~е. f (*вт */о) > f (х, У) [соответственно f (хс, у0) < / (х, у)] для всех точек М (х; у), удо- влетворяющих условию | М$М | < 6, где б—достаточно малое положительное число. Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка Мо, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума. 204
Если дифференцируемая функция z = f(x, у) достигает экстремума в точке MQ(x0; Уо), то ее частные ^производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е. df(x<s, у0) 0 df(x0, у0) Q дх ’ ду (необходимые условия экстремума). Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационар- ными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума. Пусть Мо (х0; у0)—стационарная точка функции z = f(x, у). Обозначим Л _(Хо, у0) d2f (х0, у0) _ d*f (х„, у0) йх2 ’ дх ду ’ Зу2 и составим дискриминант \ = АС—В2. Тогда: если А > 0, то функция имеет в точке Мо экстремум, а именно максимум при А < 0 (или С < 0) и минимум при А > 0 (или С > 0); если А < 0, то в точке /Ио экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума); если Д = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай). 1305. Найти экстремум функции z = x2 + *z/ + y2—Зх—бу. Д Находим частные производные первого порядка: ^=2х+у—3, дх 1 dz ду ~х-\-2у—6. Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки: 2x4- У—3 = 0, Л Л о 10 Д П откуда х = о,у = 3; М (0; 3). х4~2г/—6 = 0, Находим значения частных производных второго порядка в точке М: d2z__ d2z___ d2z __ . дхду и составляем дискриминант Д = 4С—В2 = 2-2—1 =3 > 0; А > 0. Следовательно, в точке М (0; 3) заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке Hmin = —9. ± 1306. Найти экстремум функции z = 4x#+(47—х—у) (у+у) • Л Находим частные производные первого порядка: dz 1 2 , 47 dz 1 1 . 47 дх~~~\2у~~3х^"3 ' ду" ~~2У 12Х+Т* Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационар- ные точки: __1_ __2 47_ 12^ 3Х±3 ’ |8х-|~у=188, 1 1 । 47 п ИЛИ I хЧ-6у=141 -2-^-12X+t=0’ 1 + У Отсюда х = 21, у = 20; стационарная точка М (21; 20). Найдем значения вторых производных в точке М: 1 d2z 1 = ~4> Тогда Д = ЛС-В2 = (-2/3)(-1/2)-(-1/12)2=1/3- С/Ик (Jу 1 — 1/144 > 0. Так как Л < 0, то в точке М (21; 20) функция имеет максимум: zmax = 282. А a2z 2 дх2 3 ’ ду2 — 205
Найти экстремумы функций: 1307. ? = ,п/2(1—х—у). 1308. г = х3 + у3— 15л/. 1309. г = 4 —(х2 + г/2)2/3. 1310. ? = (х2 + ^2) (e-(*2+^ —1). 1311. z = V (а—х)(а—у) (х+у—а). 2. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Условным экстремумом функции z = f(x,y) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные х и у связаны уравнением ср (х, г/) = 0 (уравнение связи). Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа u = f(x, у)Хер (х, у), где X—не- определенный постоянный множитель. Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид дх дх 1 дх I ду ду 1 ду V ф(*. Z/) = °- Из этой системы трех уравнений можно найти неизвестные х, у и %. Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замк- нутой области, надо: 1) найти стационарные точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках; 2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области; 3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее. 1312. Найти экстремум функции z = xy при условии, что х и у связаны уравнением 2х4~3г/—5 = 0. Д Рассмотрим функцию Лагранжа и =ху-\-'к (2х-!-Зг/—5). Имеем ^=у-]-2Х, ди —- — х-}-ЗХ. Из системы уравнений (необходимые условия экстремума) У ( г/+2Х = 0, J х+ЗХ = 0, (2х+3г/—5 =0 находим 1 = —5/12, х = 5/4, г/ = 5/6. Нетрудно видеть, что в точке (5/4; 5/6) функ- ция z=xy достигает наибольшего значения zmax = 25/24. А 1313. Из всех прямоугольных треугольников с заданной пло- щадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее зна- чение. А Пусть х и у—катеты треугольника, a z—гипотенуза. Так как г2 = х2+г/2, то задача сводится к нахождению наименьшего значения функции х24-г/2 при условии, что хиг/ связаны уравнением xyj2 = S, т. е. ху—28 = 0. Рассмотрим функ- цию и = х2 г/2 + X (ху—28) и найдем ее частные производные + 2х+^’ Так как х > 0, у > 0, то из системы уравнений ( 2хД-Хг/ = 0, 4 2г/+Хх = 0, ( xyl2=S получаем решение Х = —2, х = г/=)А28. 206
Таким образом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты треуголь- ника равны между собой. А 13Г4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции г — = х2 + У2 в круге (х— K2)2 + (z/— ]/2)2<9. Д Здесь рассматривается область D, ограниченная окружностью (х—У 2)2+ (у—у 2)2 = 9, включая и точки окружности. тт „ « , dz о dz _ Найдем стационарные точки данной функции; имеем — = 2х, —=2у; в силу необходимых условий экстремума находим х = 0, у = 0. Нетрудно видеть, что в точке (0; 0) функция z=x2-\-y2 имеет наименьшее значение гНаим = 0, причем указанная точка является внутренней точкой области D. Исследуем на условный экстремум функцию z = x2-]-y2, если х и у связаны соотношением (х—У 2)2 + (г/—У 2)2 = 9. Рассмотрим функцию и=х2-]-у2-^ 4-Х[(х—У 2)2+(г/— У 2)2 —9]. Находим частные производные 2х-^ +2Х(х-К 2), ^ = 2f/+21(z/-K 2). стему уравнений Для определения х, у и 1 получаем си- {х4-Х(х—]Л2)=0, ^+^(г/-К'2)=0, (x-V 2)2 + G-K 2)2 = 9. Эта система имеет два решения: х=у = 5У 2/2, 1 = —5/3 и г = 25; х=у = = — У 2/2, Х = —1/3 и г=1. Значит, наибольшее значение функция принимает в точке (5 У 2/2; 5 У 2/2). Итак, гнаим = 0, гнаиб=25. А 1315. Найти экстремум функции г = х24-г/2, если х и у связаны уравнением х/4 + г//3 = 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функций: 1316. г = х2—ху + у*—4х в замкнутой области, ограниченной прямыми х = 0, у = 0, 2х + 3у—12 = 0. 1317. z= ху-\-х-\-у в квадрате, ограниченном прямыми х=1, х = 2, у —2, у = 3. 1318. z = xy в круге х2 + //2^1. 1319. z = x2 + 3z/24-x—у в треугольнике, ограниченном прямыми х = 1, у =\, х + у = 1. 1320. z—1—х2—у2 в круге (х—1)2 + (г/—1)2<И. 1321. z = sinx + siny + sin(x + y) в области 0^х^л/2, 0 sCysC л/2. 1322. z = sinx4-sin«/4-cos(x+z/) в области О^х^Зл/2, Ос/у^Зл/2. 1323. z = cosxcosz/cos(х+у) в области 0</х</л, О^г/^л. 1324. Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот, площадь которого наибольшая. 1325. Из всех треугольников, имеющих данный периметр, найти наибольший по площади. 1326. Из всех прямоугольников с заданной площадью S найти такой, периметр которого имеет наименьшее значение. 1327. Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, имею- щего при данной полной поверхности S максимальный объем.
ГЛАВА IX НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 1. Непосредственное интегрирование. Функция F (х) называется первообраз- ной для функции /(х), если F'(x)=/(x) или dF (х) = f (х) dx. Если функция f (х) имеет первообразную F (х), то она имеет бесконечное мно- жество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении F (х) + С, где С—постоянная. Неопределенным интегралом от функции f (х) (или от выражения f (х) dx) называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение: f (х) dx = F (х)+С. Здесь —знак интеграла, f (х)—подынтегральная функция, f (х) dx—подынтег- ральное выражение, х—переменная интегрирования. Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции. Свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования) 1°. (p(x)dr)' = /(x). 2°. d ( f (х) dx^ = f (х) dx. 3°. J dF(x) = F(x) + C. 4°. af (x) dx = a f (x) dx, где a—постоянная. 5°. J [/i (x) ± f2 (x)] dx = J (x) dx ± p2 W dx. 6°. Если J f (x) dx = F (x) + С и и = (p (x), to J f (u) du = F (и) -f- C. Таблица основных интегралов I. dx=x-]~C. VIII. sinxdx = — cosx-f-C. II. ( * %tn +1 | ^=^рт+с при m & ~L cos x dx = sin x + C. III. j^=ln|x|+C. 4 sec2xdx = tgx+C. IV. f Y^=aTctgx+c- XI. cosec2 xdx = — ctgx-|-C. 4 dX - = arcsin x -4- C. XII. J shxdx = chx-|-C. VI. J ex dx=ex-\-C. XIII. ch x dx = sh x+C. VII. C a* dx=-^-+C. J Ina 1 XIV. XV. c dx .. , \ -rn-==—cthx+C. J sh2x 1 208
1328. Найти интеграл (2х3 — 5х24-7х—3)dx. Л Используя свойства 4° и 5°, получаем (2х3—5х24~7х—3) dx~2 С x3dx—5 х2 dx-f-7 ^xdx—3 dx. К первым трем интегралам правой части применим формулу II, а к четвер- тому интегралу—формулу I: j (2х®—5х24-7х—3)</х = 2-^-5--^-4-7-^-Зх4-С = =|х‘-|х3 + 1х2-Зх+С. А 1329. Найти интеграл У х4~ ^dx. Г* [_ 1 \2 С f х^^ 1 \ Л J vН = (х4-2х1/в4-х-2/3) dx = xrfx4-2 j х1/6 dx-\- j х~2?3 dx = х2 х7/6 х1/3 х2 12 6z- з/- , ==^_+2"77б'+17з’+С=“2'+7ГХ * *+3 * Х~гС' А 1330. Найти интеграл 2х • З2* • 53* dx. Д C2*-32*-58*dx= С (2-32-53)Л rfx= f 2250xrfx=^^^+C. А Свойство 6° позволяет значительно расширить таблицу основных интегралов с помощью приема подведения функции под знак дифференциала. 1331. Найти интеграл J (14-х2)1/2 xdx. Л Этот интеграл можно привести к формуле П, преобразовав его так: У (14-x2)1/2xdx=y J (lH-x2)1/2-2xdx=-i-y (1 4-х2)1/2 d(1 4-х2). Теперь переменной интегрирования служит выражение 14-х2 и относительно этой переменной получается интеграл от степенной функции. Следовательно, У (14-х2)1/2 X rfx =4•(1 + *2^- - + С=1 (I +х2)3/2 4-С. А 1332. Найти интеграл J (х2—Зх4-1)10(2х—3) dx. Л Здесь, поступая так же, как и в предыдущем примере, имеем У (х2—3x4-i)Wd(x2—3x4-i)=l(x2—Зх4-1)и4-д А 1333. Найти интеграл У (In /)4 . Д Выражение — можно записать как d (In f), поэтому C(in/)4d(in0=4-(ln05+G- А •J о 209
1334. Найти интеграл J £3C0SXsinxdr. Л Заданный интеграл можно представить так: J е3 C0SXsinx cfx=y J e3<cosx.3 slnxdx, но 3 sin х dx = — d (3 cos x), а потому У e3 cos x sin x dx = — ~ J e3 cos x d (3 cos x), т. e. переменной интегрирования является 3 cos x. Следовательно, интеграл бе- рется по формуле VI: §e3C0SXsinxdx = -jeSC0SX+C. £ 1335. Найти интеграл (2 sin х 3 cos х) dx. Л Находим J (2sinx4-3 cosx) dx = 2 sinxdx4-3 cosxdx = —-2cosx4-3sinx4~C (см. формулы VIII и IX). A 1336. Найти интеграл ptgx+ctgx)2<ir. Д Имеем (tgx4-ctgx)2dx= (tg2x+2ctgxtgx4-ctg2x)dx = = J (tg2x4~14~14-ctg2x) dx = J (tg2x4-l)dx4-(14~ctg2x) dx = = J sec2 x dx4- J cosec2 xdx = tg x—cfgx4-C (см. формулы X и XI). A Найти интегралы: 1337. (x^xdx. 1338. 1339. J J j/x J /1— X2 1340. §~£-dx. 1341. §eSx-3xdx. 1342. j tg2xdx. 1343. J(shx—sinx)dx. 1344. x— 1345. (2 tgx-f-3ctgx)2dx. 1346. J x cos (x2) dx. 1347. 1348. j(ax2 + &)V3.xdx. 1349. J Ksin x cos x dx. 1350. J sin (a + bx) dx. 1351. J cos (sin x) • cos x dx. 2. Замена переменной в неопределенном интеграле. Замена переменной в неопре* деленном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: 1) х = ф(£), где ф (t)—монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид р (x) dx= р [<р Ц)'^' (/) dt-, 210
2) « = ф(х), где и — новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: J / [ф (х)1 Ф' (х) ^х== J f (и) 1352. Найти интеграл С dx. J V х* з/~ Л Произведем подстановку t=y х, т. е. x—t3. Эта подстановка приведет к тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не корень из нее. Найдем дифференциал dx = 3t2dt. Отсюда получаем С sin у/ х , f З/2 sin t f . q n j - dx = j —= 3 J sin t dt = — 3 cos /+C. Ответ должен быть выражен через старую переменную х. Подставляя в ре- , ъ / зультат интегрирования t = у х, получим р . 3/“ ( sin у X . о 3/— I -dx = — 3cos]/ х + С. Д J ух2 1353. Найти интеграл (2х +1)20 dx. Д Этот интеграл можно найти и не производя замены переменной. Здесь достаточно развернуть выражение (2х-|-1)20 по формуле бинома Ньютона и при- менить почленное интегрирование. Однако этот прием связан с большим количе- ством вычислений. С помощью замены переменной можно сразу свести данный интеграл к табличному. Полагая 2х-|-1 = /, имеем 2dx = dt, т. е. dx=(l/2)dt. Отсюда получаем ^(2х+1)2»Л=1р20Л = 1.1^+С=1(2х+1)21+С. Д Вообще, если интеграл f (х) dx является табличным, то интеграл / (ях+6) dx может быть легко найден с помощью подстановки ax-[-b = t. Например, применим эту подстановку к интегралу sin (ax-{-b) dx. Имеем ax-i~b = t, adx=dt и dx = (l/a) dt. Следовательно, У sin (ax-[-b) dx = J sin t>^- = -^- J sin t dt =— -^-cos + Возвратившись к старой переменной, получаем J sin (ах -±-Ь) dx= — cos (ах -j- b)+С. Аналогично можно показать, что У cos (ax~[-b) dx = -^ sin (ax-j- b)-^-C, ^eax+b dx =-^*eax+b-{-C и т. д. При нахождении интеграла f (ax-{-b) dx записи самой подстановки ax-}-b=t можно фактически и не производить. Здесь достаточно принять во внимание, что dx=^-d (ах-{-Ь). Таким образом, р (ах + Ь) dx= ± F (ах+ b) + С, где F—первообразная для f. 211
1354. Найти интеграл Jx2Kx3 + 5dx. Д Положим угх3 + 5 = /; тогда х3-{-5—/2. Дифференцируем обе части равен* ства: Зх2 dx = 2t di. Отсюда х2 dx = (2/3) t dt и, следовательно, jx2 Кx34-5dx = J /x3 + 5x2dx=j/--|-/d/=-| J /2<tt = 9 9 ____ 9 ____ = т/3 + С=-(Гх3 + 5)3 + С=т(х3+5) К^Н-б + С. Данный интеграл можно найти и с помощью подстановки х3+5 = Л Эта под- становка сразу приводит интеграл к табличному вследствие того, что первый мно- житель подынтегрального выражения х2 отличается от производной подкоренного выражения х34-5 только постоянным множителем 1/3, т. е. х2 = (1/3) (х34~5)'. А Вообще, если подынтегральная функция является произведением двух мно- жителей, один из которых зависит от некоторой функции ф(х), а другой является производной ф (х) (с точностью до постоянного множителя), то целесообразно сделать замену переменной по формуле ф(х) = /. юсс и v C(2 1nx + 3)3 1 1355. Наити интеграл —-ах. Л Перепишем данный интеграл в виде J (2 lnx-|-3)3 dx. Так как производ- ная выражения 2 1п хЦ-3 равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается от этой про- изводной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку 21пх4-3 = Л Тогда 2~=dt, Следовательно, J (21nx+3)3^=p34d/=^-J/3d/ = l/1+C=l(21nx+3)*4-C. А 1356. Найти интеграл § dx. Л Произведем подстановку f(x) = t. Тогда /' (х) dx = dt и f dx= С 4=1п I{I + С=ln I Нх) 1 + С. J I W J * Например, с xdx 1 Г 2х dx 1 . / о , 1Ч , J ^+1= 2j ^+Т=Т1П(Х +» + с- Здесь знак модуля опущен, так как х21 >0. А 1357. Найти интеграл " Л Положим f(x) = t. Тогда /' (х) dx — dt и jFS)‘'"f-r7-Jr,'I‘“-W+c-2/7+c-2K^,+c- Заметим, что данный интеграл можно было найти с помощью подстановки ▲ 1358. Найти интеграл \ -у- 2, если 212
Л Для того чтобы свести интеграл к табличному (см. формулу IV), разде- лим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на а2: С dx _____С (dx)/a2 ___ 1 Р d(xfa) J х24-а2 J l + (x/zz)2“n J 1 + (х/«)2’ Мы подвели постоянный множитель 1/а под знак дифференциала. Рассматри- вая х/а как новую переменную, получим С dx 1 , х । ~ \ —Z—,—5 = — arctg —--j-C. , х2 + «2 а а К этому же результату мы пришли бы и с помощью подстановки x=at. Д с б/х 1359. Найти интеграл \ — л_——, если а > 0. J У а2—х2 Л Разделив числитель и знаменатель на а, получаем Г _____________________Г ____________Г (х /Q) J J V 1-(W Принимая x]a за новую переменную, получим Г dx J У а2—х2 a Дополним теперь таблицу основных интегралов следующими формулами xvi. Swdx==ln'f(x) l+c' XVIII. / w УШ С dx dx- j х24-а2 dx х2—а2 2а dx У а2—х2 ‘ dx У х2+% dx 1п| 2Vf(x)+C. arcsin -— a 1 1 arctg — 4-C. a a 1 tg ~ 14-C = In | cosec x — ctgx|+C. I + 1 = 1п I sec x-j-tgx 14-C. J sin х I XXIII. С-— =1п J COS X XXIV. tg xdx~ — In | cosx| + C. XXV. ctgxdx = ln | sinx| + C. Формулы I—XXV нужно знать наизусть, так как большинство интегралов, используемых на практике, сводится к интегралам, берущимся по этим формулам. С dx 1360. Найти интеграл I —......... J X у ZX ~У 213
Д Произведем подстановку }^2х—9 = /; тогда 2х—9 = /2, х=(г24-9)/2 ц dx = tdt. Итак, Р dx р t dt dt J хК2Г^9~у2 + 9 t j’W'* 2 sin Применив формулу XVIII, получим J^s=5=Tar^3+c“3"',s-L-3-+c- А 1361. Найти интеграл f ~^sin 2х d~ . J К3—cos4x Д Произведем подстановку cos2x = Z; тогда —2 cosxsinxdx = d/, т. е. sin2xdx = — dt. Теперь находим Г sin 2х Г dt t . cos2x , „ I —_ .. dx = — | _ ... -- = — arcs in ——- 4- C = — ar csin ——- 4- C J к3— cos4x J К3-Z2 3 /3 (мы использовали формулу XX). A 1362. Найти интеграл J (2sin-^ + 3)2cosy dx. Л Применим подстановку 2 sin (х/2) -}-3 = t\ тогда cos (х/2) dx=dt и J 2 sin у+3^ cos dx = J t2 dt = -^ 1363. Найти интеграл f r JjAxio__2 Д Применим подстановку x5 = /; тогда 5x*dx = dt, x4 dx = (l/5) dt и C " > in|,+/rai+c J)'x19-2 5 J 2 5 (см. формулу XXI). Итак, Г —44 =Д- 1п|х5+КхТ“ТГ2|Ч-С'. A 31Лх10-2 о 1 it м 1364. Найти интеграл j —• Д Преобразуя знаменатель дроби, получим х4 + 2х2 + 5 = (х2+1)2 + 4. Про- изведем подстановку х2+1 = /; тогда х dx = (\/2) dt. Отсюда С х dx _ 1 С _ 1 1 f t ( г J х4 + 2х2 + 5 “ 2 J /2 + 4~“2 ”2 arc g 2"+С (см. формулу XVIII). Таким образом, С dx 1 , х2 + 1 . . i^T+^+5=Tarcfg — Р е2х 1365. Найти интеграл \ ^X_z^dx. Л Положим е2х = /, тогда е2х dx = (1/2) dt Г e2xdx __ 1 Г dt _ 1 1 ] е4* —5~ 2 I /2-5~2W 2 и In 214
(мы применили формулу XIX). Итак, е2х dx 1 . е2х—У 5 е2Л_|_]/"5 +с-А 1366. Найти интеграл . Л Произведя ту же подстановку, что и в предыдущем примере, получим f е2х dx 1 Г di 1 . t . „ 1 . е2х , „ . I п- ।'с = о- I а . arctg —С=—— arctg——4-С. А J eix + 5 2 J t24-5 2 Y 5 У 5 2У 5 /5 1367. Найти интеграл С sin K*+cos х r J J<xsin2/x Л Полагая ]/" x = t, x~t2, dx = 2t dt, получим Г sin У x-f-cos У х , __ С (sin /-}-cos t) -2t , J Г xsin2 /-^’ J C sin /-|-cos t j. C ( 1 । 1 \ ,, П । = \ 1dt ~ \ [-----------------г-I—;—у- ) dt — In tg ——Ft" ) ”F"tn tg -77 -4-C J sin t cos t J \ cos t ‘ sin t J j \ 2 1 4 J | ‘ | 2 | 1 (см. формулы XXII и XXIII). Возвращаясь к старой переменной, получим л т Ух sin 2 Ух dx=ln tg 4-с. Найти интегралы: 1368. f e^2X- .dx. 1369. ( х3 (1— 2xi\2dx. J/2x—1 J ’ 1370. sin (2—Зх) dx. 1371. J x ch (5x2 + 3) dx. 1372. J {хУ}ух • 1373, $*(*a + l)3/2^- 1374. 1375. J . 1376. 1377. f----1378. f-f2dx : . J (x—7) Yx J У16—ex dx. у 4—x4 1379 ф Представить интеграл в виде суммы интегралов. 1380. С xldx..^ . 1381. - - dx. J У2-Зх3 J К3-х2 !382. f -2- 1383. С Х3х-+ 5- dx. 1384. (* . J х2—6х+25 J х J 2х4 + 5 3. Интегрирование по частям. Интегрированием по частям называется на- хождение интеграла по формуле и dv~uv— J v du, 215
где u = cp(x), у=ф(х)— непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла и dv сводится к отысканию другого интеграла J v du; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за и берется такая функция, которая при дифференцировании упро- щается, а за dv—та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой из- вестен или может быть найден. Так, например, для интегралов вида J Р (х) еах dx, Р (х) sin ах dx, Р (х) cos ах dx, где Р (х)— многочлен, за и следует принять Р (х), а за dv — соответственно выражения еах dx, sinaxdx, cosaxdx; для интегралов вида P(x)lnxdx, J Р (х) arcsin х dx, Р (х) arccos х dx за и принимаются соответст- венно функции Inx, arcsinx, arccosх, а за dv—выражение P(x)dx. 1385. Найти интеграл \ Inxdx. dx Л Положим п = 1пх, dv — dx; тогда v = x, du — —. Используя формулу ин- тегрирования по частям, получаем У In хdx—x In х—J x~=x In x— dx — — x In x—x+C = x (In x— 1) + C. A 1386. Найти интеграл Jarctgxdx. dx Л Пусть w = arctgx, dv — dx, тогда du = — 2- , v — x. По формуле интег- 1 —f— x рирования по частям находим f* х dx 1 arctg xdx = x arctg x— \ ——^- — xarctgx—- In (1 + x2)-|-C. Д J 1 "T" X £t 1387. Найти интеграл J x sinxdx. А Положим u = x, dv = sin x dx; тогда du = dx, x ——cosx. Отсюда xsin xdx = — x cos x-(- cos x dx = —x cos x +sin x + C. Если бы выражения и и dv мы выбрали иначе, например и = sinx, dv = xdx, то получили бы du = cos х dx, v — (\/2) х2, откуда J xsin xdx = -^-x2sinx—У — х2 cos xdx = -^x2 sinx—§ x2 cosxdx, и пришли бы к интегралу более сложному, чем исходный, так как степень со- множителя при тригонометрической функции повысилась на единицу. А 1388. Найти интеграл §x*exdx. А Положим и — х2, dv = exdx; тогда du~2xdx, v=ex. Применяем формулу интегрирования по частям: f x2exdx = x2ex— 2 f хех dx. 216
. Мы добились понижения степени х на единицу. Чтобы найти хех dx, при- меним еще раз интёгрирование по частям. Полагаем и = х, dv =ех dx\ тогда du— = dx, v = ех и J х2ех dx = х2ех —2 (хех — J exdx^ =х2ех—2хех-)-2ех-|-С = ех (х2— 2х-|-2) + С. А 1389. Найти интеграл /=^e*sinxdx. Л Пусть и=ех, dv — sin хdx\ тогда du=exdx, v =—cos х. Следовательно, I =—ех cos х+ ех cosxdx. Создается впечатление, что интегрирование по частям не привело к цели, так как интеграл не упростился. Попробуем, однако, еще раз проинтегрировать по частям. Приняв и—ех, dv = cosxdx, откуда du=exdx, v = sinx, получаем 1=—ex cos x+(ex sin x—/), т. e. 1 =—ex cos x-}-exsin x—I. Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой части снова получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с не- известным интегралом /. Из этого уравнения находим ех 21 =—ех cos х-$-ех sin х, т. е. / =-2-(sinx — cosx) + C. В окончательном результате мы прибавили к найденной первообразной функ- ции произвольную постоянную. Д 1390. Найти интеграл $ Ка2—x2dx, если а > 0. Л Положим и = Уа2—х2, dv = dx, откуда du =----^х..— t v = x. Следо- У а2—х2 вательно, Г 1/—2-5 , ,/-“2-2 С —x2dx /—5------------- С а2~х2—а2 I у а2—x-dx = xy а2—х2— | ... = хУ а2—х2— I — dx J J /а2-х2 J У а2~х2 или У У а2—х2 dx = xyа2—х2—У а2—х2 dx-|-a2 arcsin ~ . Отсюда получаем 2 J У а2—х2 dx = xy а2—х2 + а2 arcsin , т. е. У а2 —х2 = * К«2-х2+-|- arcsin + С. А 1391. Вывести рекуррентную формулу для интеграла С 2 . J (Х“ -f-U ) А Заданный интеграл можно преобразовать так: 7 _ 1 С а2 + х2—х2 "“J (х2 + а2)"— a2 J “ (х2 + а2)" ____1 С dx__________1 f x-xdx _ 1 J 1 xdx а2 } (x2+a2)n~1 a2 J (х2-\-а2)п a2 n~r a2 j (х2-^а2)п * 217
Положим и — х, dv = 7^~.— (х2-\-а2)п , тогда du=dx, v==-i- С (x2-[-a2)~n'd (х2 + а2) = 1 I 2(п—!)* (x2 + tz2)«-i откуда г =±r , L Г х__________________________!___С dx ] п а2 п~1 II. III. IV.~г а2 [2(п— 1) (х24-а2)«-1 2 (и — 1) J (х^а2)"-1]1 или т __ 1 т |_______________X_________________1 Г "~^2" n”1-i"2a2(rt —1) (x2^^2)"-1 2a2(n —1) п~и т. е. ____________х___________. 1 2п —3 . п~ 2а2 (п—1) (х2-}-а2)п~1 * а2 2п—2 п~^* Полагая п~ 2, получаем выражение интеграла /2 через элементарные функ- ции. Полагая теперь п = 3, находим интеграл /3 (ведь интеграл /2 уже найден). Таким образом, можно найти 1п при любом целом положительном п. А Найти интегралы: 1392. Jxlnxdx. 1393. arcsin xdx. 1394. J х2 arctgxdx. 1395. J(%4-l)e*dr. 1396. jx2sinxdx. 1397. ^x*ex2dx. 1398. ^Vx2 + Xdx. 9 Положить x2 = i. 1399. J (x2 + 2x + 3) cos xdx. 1400. J e2x cosxdx. 1401. J sin Inxdx. 1402. J sinK* dx. ф Положить j/*X = t. § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 1. Интегрирование простейших дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где Р (х) и Q (х)—многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р (х) ниже степени многочлена Q (х); в про- тивном случае дробь называется неправильной. Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби сле- дующего вида: I. -А—; х—а 4 II. , где т—целое число, большее единицы; (х—a)tn III. » где ----Ж 9, т- e- квадратный трехчлен x2-{-px^q не имеет действительных корней; тх7. Ах-\~В Л „ IV. т-5-:—Н—п;, где п—целое число, большее единицы, и квадратный (х2 + рх+<?)« трехчлен х2-|-рх + <7 не имеет действительных корней. Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, а—действительные числа. Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III и IV типов. 218
Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов. Имеем I. С —— dx = A In | х—а | + С; j х а тт С A dx _ А__________1_____. J (х— а)т~~ т — 1 (х— а)т~х' III. С 2,dX г 2==--arctg. ^х+р--+С. J х2 + Рх + <7 4q—р2 У4q — р2 Действительно, для этого частного случая простейшей дроби III типа полу- чаем х2+рх+<7=(х+уУ + <7—или x2-}-px+q = t2 + a2, . . Р y^Q~~P2 / Р2 Л\ где / = х+у, а = -1—% „ (здесь -q < 0), откуда р dx Г dt 1 . t . „ 2 v . 2х±р )^+px+q-)^+a^~aarC8 а+ ~ у^—рЪ Э С у4q—p* Р dx 1403. Найти интеграл J x2_|_6x_|_25~ ’ * С___dx_______С_____dx ______С d(x-|-3) 1 . Л J х24-6х-|-25 J (х+3)24-16— J (х+3)2+16 4 s 4 Т • А Р dx 1404. Найти интеграл 2х2—2x4-3'• 1 . 2х—1 , „ . —^-arctg -4-С. А. У 5 /5 Требуется найти Покажем, как интегрируются в общем виде простейшие дроби III типа. Ах+В р2 Л п х !;—dx, -----q < 0. Выделим в числителе дроби х2 + рх+7 4 производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде Лх4-в = (2х4-р)‘4-4£'+в- Тогда Ах+в ле 2х+р л । f d Ар А С dx ^ + px+qax- 2 Jx2 + px+/X±^ 2 Jjx2 + px-H- В первом интеграле числитель является производной знаменателя; поэтому J X^i+q dX = 1П (Х2+ РХ+ + С> так как х2 + рх+^ > 0 для любого значения х. Второй интеграл, как уже было отмечено, находится по формуле Р dx 2 . 2хА-р , I тп----• - arctg—т- ---------------- J х2 4-/7X4-? /4?—р2 V4q—P* 219
Итак, f Ах+В л А , , 9 , , ч t 2В — Ар 2x-j-p | -гл—!—7— dx = -к- In (х2 + рх4- а) 4-—==- arctg ——=== р 2х_____1 1405. Найти интеграл \ —2— R dx. X *tX [ о Q Л Г 3,-1 ., + ° _ J х2 —4x4-8 х J X2 —4x4-8 х 3 Р 2х —4 , . с Р dx .. 3 2 л г о\ г к С dx J х2—4x4-8 Jx + 5J х2-4х4-8 ~ 2 1П(% 4х + 8) + 5 J (х-2)24-22” = |ln(x2_4x + 8) + |arctgiZ^+C. 1406. Найти интеграл J ^"у^х-Р 5' С xdx _ [ Т (4х+2>~У _1С 4х+2 1 С dx _ AJ2x2+2x+5~J 2х2 + 2х + 5 “Х~ 4 J2x2 + 2x4-5dX 2 J 2х2 + 2х + 5 “ = 1 In (2х2+2х+ 5) -1.1 С-Г = Т 1п (2х2 + 2х+5) ~ J х2+х+т J_ Г d(x+4) _J_ 2 2 _ 1. 1 . х+1/2 _ 4 1 , 1 \2, / 3 у - 4 (2 +2х+5) 4 3/2 arc S 3/2 +с~ J 4+т} +Ы = 1 In (2х2+2х + 5)-1 arctg ^~+С. А 1407. Найти интеграл ^4^-4+1rfx- Л Предварительно в этом интеграле произведем замену переменной х2 = /, тогда 2xdx = dt, х dx = (1 /2) dt. Следовательно, С (2x2 + 3)xdx= 1 С (2t+3)dl= 1 Г (2f+l) + 2 J х‘ + х2 + 1 2 J t2 + /+l 2J /2 + < + 1 iv+/K3 J +(— = lln(/2 + /+l) + -A. arctg1±Я+С = = lln(x<+x2+l)+-l.arctg 1^±L+C A уз уз Рассмотрим теперь частный случай интеграла от простейшей дроби IV типа. , С dt / Для интеграла ^п~\ "^2_^а2^п \п — иел°е положительное число) имеет место следующая рекуррентная формула: ' J - 1 z * п-- 1 2n—3 2a2 (n — 1) ’ (t2 + a2)n-1 "r a2'2n — 2 220
Эта формула позволяет после (п— 1)-кратного применения свести данный интеграл 1п к табличному интегралу \ /2-v-2 • j l -f-a 1408. Найти интеграл /3 = J (хГр)5 • Л Здесь п = 3. После первого применения рекуррентной формулы получаем 1 х 2-3—3 I х 3 /з~2(3 —1)' (х2+1)3-!+2-3—2’/з-1 4 (х2-Н)2+4 '2> К интегралу лагаем п = 2): / - С dx 2 J(x2+1)2 снова применяем рекуррентную формулу (здесь по- ! х 2-2—3 = I х 1 '2~2(2 — 1)’ (х2Н-1)2-1 +2-2—2 2-1~ 2 х2-Н +2 х , 1 С dx X . 1 , , „ ~ 2(х2+1) + 2 J х2+1 ~ 2(х24-1) + 2 аГС gx+C* Итак, Р dx __ х . 3 Г х . 1 1 . J (х2+1)3 ~ 4(х2+1)2 + 4 [ 2(х2+1) +2 arc gxj+c* Окончательно имеем I3 4(х2+1)2 Зх .3 , f л» А 8(х2+1) +§ агс,&х+с- А Покажем теперь в общем виде, как интегрируются простейшие дроби IV типа. ~ С Ах + В р2 п Требуется наити \ -7 9 ,--j—— ах, —-----q < 0. J (x2 + px + q)n 4 Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в зна- менателе: Р Лх+В Г -Т<-2х + Р) + (В-^-} С dx_ I _2_________\______2 / dx__ J (х2 + рх+<?)« J (х2 + рх+^)л _1 Л Р 2х + р . , f о _ Ар С dx ~ 2 J (х24-рх+<7)« Х+\ 2 /J (х2 + рх+<?р ' Первый интеграл в правой части равенства легко находится с помощью под- становки х24-рх + ^ = Л а второй преобразуем так: dx (х2+рх + ?)п р р2 Полагая теперь х+«у = /, dx = dt и обозначая q—=а2у получаем С dx _ Р dt J (x2 + px + qYl “J (t2 + a2)” ‘ Таким образом, интегрирование элементарной дроби IV типа может быть выполнено с помощью рекуррентной формулы. 1409. Найти интеграл С Зх+2 я J (х2 + 2х+10)2 аХ' 221
Л Имеем Q J (х2 + 2х+ 10)2 J (х2+2х+ IO)2 _ 3 Р 2x4-2 С dx ~2 J (х24-2х4-10)2 ах J [(х+1)2 + 9]2• В первом интеграле произведем замену х24-2х-|-10 = г4-(2г4-2)dx = dz, а во втором интеграле положим х4-1=^, dx = dt. Отсюда С 3x4-2 3 С Д* _ С dt __3 0 Р dt J (X24-2x4-10)2 2 J 22 J (/24-9)2 2J J ('24-9)2 _ 3 Г 1 t 1 2-2—3 Р dt 1 ~ 2 2 [2(2—1)-9‘ (/2-49)2-1 । 9 ’ 2-2—2 J /24-9]^ _ 3 1 t 1 1 . t , r 2z 18>4-9 18' 3 arc g 3 +C* Возвращаясь к старой переменной, получаем Р 3x4-2 3 1 X-J-1 1 х4-1 J (х2 4-2Х4-10)2 2 (х24- 2x4-10) 18' (х4-1)24-9 54агс g 3 +С~ 3 1 х 4" 1 1 , х4-1 _ . = —2(х24-2х4-10)-18' х24-2х4-10 54аГС g-3 А Найти интегралы: 1410- УтЛ*- 14,L |412- Уи=й+Т8- 141М?тё+з' ,414- УетГ/*' l4,5‘ У tJ-f юТ+29 ^Х- ,416* У ^Х‘ <417‘ У (лг + 2)3 ‘ 14,8‘ J | 2I | - 2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простей- шие дроби. Перед интегрированием рациональной дроби Р (x)/Q (х) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления: 1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т. е. представить в виде Р(х) Q(x) = М (х) р1 (*) <2 W ’ где М (х) — многочлен, a Pi(x)/Q(x) — правильная рациональная дробь; 2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители: где Q(x) = (x—а)т ... (x2-j-px-}-q)n ...^ р2 -------q < 0, т. е. трехчлен x2-\-px-\-q имеет комплексные сопряженные корни; 3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби: р 1 W __ 1____А2____1 . Q (х) (х—а)т'(х—а)тп'~1~^ * ‘ х—а'~ BiX-\-Cj .________С2_________ Bwx-|- е (х2 + рх + ^)п~‘ (х2 +р^ + ^)п~1 ‘ “ ^~х2 + рх + </ * ” ’ 4) вычислить неопределенные коэффициенты Aff Л2, Ат,...3 Bi, Си В2, С2, ... , Вп, Сп, ...» для чего привести последнее равенство к общему знаме- 222
яателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относи- тельно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим спо- собом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффи- циентов. В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей. Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни, т. е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени. 1419. Найти интеграл С -4АХ- А {Так как каждый из двухчленов х—1, х—2, х—4 входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть пред- ставлена в виде суммы простейших дробей I типа: х2 + 2х + 6 А_______В. С_ (х—1) (х—2) (х—4) х—1* х—2~* х—4* Освобождаясь от знаменателей, получим х24~2х4~6 = А (х —2) (х—4) + В (х—1) (х—4)4-С(х— 1) (х—2). (*) Следовательно, х2 + 2х + 6 = А (х2—6х + 8)+В (х2 —5x4-4)4-С (х2 — Зх + 2). Сгруппируем члены с одинаковыми степенями: х24-2х4-6 = (А+В4-С) х24-(— 6А —5В —ЗС)х4-(8А4-45 4-2С). Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений г А4- В+ С = 1, J — 6А —5В —ЗС = 2, I 8А4-4В4-2С = 6, из которой найдем А=^3, В =—7, С = 5. Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид х2 4-2x4-6 _ 3_______7______5 (х—1) (х —2) (х —4)”х—1 х —2 ‘ х—4 ’ Неизвестные А, В, С в разложении можно было определить и иначе. После освобождения от знаменателя можно придать х столько частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном случае—три частных значения. Особенно удобно придавать х значения, являющиеся действительными корнями знаменателя. Применим этот прием к решению данного примера. После освобожде- ния от знаменателя мы получили равенство (*). Действительными корнями зна- менателя являются числа 1, 2 и 4. Положим в этом равенстве х=1, тогда 124-2-1 4-6 = А (1—2)(1 — 4)4-В (1-1) (1-4) 4-С (1-1) (1-2), откуда 9 — ЗА, т. е. А = 3. Полагая х = 2, получаем 14 = —2В, т. е. В = —7; полагая х = 4, имеем 30 = 6С, т. е. С = 5. В результате получились те же зна- чения, что и при первом способе определения неизвестных. Таким образом, С х2 + 2х+6 3 С 7 (’ dx 15С J(x-l)(x-2)(x-4)aX б’х-1 Jx-2 + °Jx-4~ =3 In I x—11—7 In I x—2 | + 51n I x—4 |4-C—In I | + C. A I Vе I 223
Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некото- рые из них кратные, т. е. знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются. 1420. Наити интеграл Ст-------гл,-!;—-^-dx. F J (X-1)3 (X4-3) д Д Множителю (х— I)3 соответствует сумма трех простейших дробей ------- В । С о „ к D -л -----TTg-j------— , а множителю х4~3— простейшая дробь —— . Итак, [X — 1) X — 1 X -j- <5 X2+1 __ А В С . Р (х—1)3(* + 3) ‘ (х — I)3 "Т" (%—— + Освободимся от знаменателя: х24~1 = А (х4-3) + В(х— 1) (х+3) + С(х-1)2 (х4-3)4-0 (х— I)3. Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и —3. Полагая х=1, получаем 2 = 4А, т. е. А = 1/2. При х = —3 имеем 10 = —640, т. е. О = —5/32. Сравним теперь коэффициенты при старшей степени х, т. е. при х3. В левой части нет члена с х3, т. е. коэффициент при х3 равен 0. В правой части коэф- фициент при х3 равен С4-0. Итак, С4-0 = 0, откуда С = 5/32. Остается определить коэффициент В. Для этого необходимо иметь еще одно уравнение. Это уравнение можно получить путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х (например, при х2) или придав х какое-нибудь числовое значение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможно меньше. Полагая, например, х = 0, получаем 1=ЗЛ-ЗВ + ЗС-£>, или 1=4-35+12+^, т. е. В = ±. Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид х24-1 1 3 5 5 (х—1)3(х-|-3) 2 (х—I)3 ' 8 (х—I)2 32 (х—1) 32(х4-3) ' Таким образом, получим х2+1 If dx , 3 f dx , 5 C dx 5 f dx _ (x—l)s(x—3)- 2 J (x-l)3+8j (x-1)2+32J x-l—32 J x+3“" 1_________3____, _5 . x—11 4 (x— I)2 8(x—1) 'г32 |х+ЗИ Ж Случай 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни, т. е. разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители. 1421. Найти интеграл • Л Разложим знаменатель на множители: х5—х2=х2 (х3— 1) = х2 (х— 1) (х24-х4-1). Тогда 1 __________1_________=ГА _В___________С Рх + Е X5 —X2 х2 (х—1)(х24-х4-1) X2 * X ‘ X—1 ‘ х24-х4-1 Освобождаемся от знаменателя: 1 = А(х— 1) (х24-х4-1)4-Вх (х-1)(х24-х4-1)4- 4-Сх2 (х2 4-х4-1) 4- (Рх+Е) х2 (х— 1). 224
Действительными корнями знаменателя являются числа 0 и 1. При х = 0 имеем 1=—Л, т. е. А~—1; при х=\ имеем 1 =3 С, т. е. С — 1/3. Перепишем предыдущее равенство в виде 1 = А (х3 — 1) + В (х4—х) + С (х4 + х3+х2) + Их4 + Ex3—Dx3—Ex2. Сравнивая коэффициенты при х4, х3, х2, получаем систему уравнений B + C + D = 0, Л + С + £-_£=0, С-—£ = 0, из которой найдем В = 0, D-—1/3, 2? = 1/3. Итак, 1 1 । 1 х~! х5—х2~ х2 ‘ 3(х — 1) 3(х2+*+1)* Следовательно, С dx Р dx . 1 Р rdx IP х— 1 J хГ^-”” J х2""1" 3 J x-l“T J x2 + *+l = 7-+yln| (X—1)|—g-ln(x2+x+l)+-i- C---3 +т 1.1, (x—I)2 . 1 . 2x+l . _ . ———“-7+—= arctg --4-C- A x 1 6 x2 + * + l 1 у 3 }< з Случай 4. Среди корней знаменателя имеются кратные комплексные корни, т. е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители. 1422. Найти интеграл Jdx. А Так как х2+1 есть двукратный множитель, то х3—2х _ Ах-\-В \Cx-\-D (х2+1)2 (х24-1)2 + x2+’f * Освобождаясь от знаменателей, получим х3—2x = Ax + B + (Cx + D) (х2+1). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х\ х3 х2 X х° 1=С, 0 = 2), —2 = Л + С; 0 = B4-D; Л=—3f В — 0. Следовательно, С х3 — 2х j __ С —3x’dx . Р xdx __ 3 Р d (х2 +1) 1 Р d (х2+ 1)__ J “(х2 + 1)2 J (x2 + i)2 12"+^ S'J (x2 + i)2 + 2" J x2 + l“ ~ 3 1 = 2(x2+l)+‘2 ln +') + C‘ Заметим, что данный интеграл можно было найти проще с помощью подста- новки х2+1 =/. 8 № 1474 225
1423. Найти интеграл J ** 25*-- - dx. Л Выделим целую часть данной неправильной рациональной дроби; х34~Зх24- 5x4-7 |х2+ 2 х3 4-2х 3x4-1 Зх24-Зх4-7 *+3+^Л+"2 “~3х2 4-6 Зх+1’ Итак, xs+3x2 + 5x+7_ . „ , Зх+1 x2-f-2 “ХТ’,Т х2+2 ’ Отсюда находим ==lx2+3x+|1n(x2+2) + _l_arctg-^ + C. А 1424. Найти интеграл Г —ттт4-т4—гт dx. r J х34-бх24-11x4-6 Л Так как подынтегральная функция является правильной дробью, то ее следует сразу представить в виде суммы простейших дробей. Легко видеть, что многочлен х34-6х2 4-11x4-6 обращается в нуль при х = —1, поэтому он делится без остатка на х4-1. Выполним деление: х34-6х24-11х4-6|х4-1 **+ **_________ Х2_|_5х_|_6 5х2+11х 5х24- 5х 6x4-6 6х-|-6 Следовательно# хз+6х24-11х4-6 = (х+1) (х24-5х4-6) = (х4-1) (х4-2) (х4-3); х4-4 _ Х'4-4 __ А . В . С х34-6х24-11x4-6 “(х4-1) (х4-2) (х 4- 3)“Т^+Гр2+х+3 • Освобождаясь от знаменателей, получим х+4 = Л(х + 2)(х+3)4-В(х4-1)(х4-3) + С(х4-1)(х+2). Полагая х =—1, найдем 3 = 24, т. е. 4 = 3/2. Если х =—2, то получим 2 =— В, т. е. В =—2. При х =—3 получим 1=2С, т. е. С =1/2. Итак, С х4-4 , _ 3 С dx л С dx . 1 С dx _ J х3Н-6х2+11x4-6 ax~'2Jx+l ZJ х+г'т'Т J х+З-*. = |ln|x+l|-21n|x + 2|+lln|x+3| + C. А 1425. Найти интеграл § 16• dx. 226
Д Прежде всего нужно выделить целую часть: __х5+ 1 |*4—8х24-16 х5—8х34~16х 8х3—16x4-1 8Х3—16x4-1 Х+х4_8х2_|_1б Следовательно^ х5+1 । 8х3—16x4-1— 8х3—16x4-1 л*—й^-Нб^+х4—8х24- 16~*+ (х—2)2 (х4-2)3 ’ Разложим теперь правильную дробь на простейшие: 8х3—16x4-1 А В . С . D (х—2)2(х4-2)2~ (х—2)2 +х-2'1’(х+2)2+х4-2- Освободимся от знаменателей: 8Х3— 16x4-1=4 (х4-2)24-В (х—2) (х4-2)2-|-С (х—2)24-D (х—2)2 (х+2). Полагая х = 2, найдем 33 = 16Л, т. е. А = 33/16; При х =—2 получим —31 = 16С, т. е. С = — 31/16; Если х = 0, то 1 =44—8B4-4C4-8D. Заменив А и С их значениями, получаем 1=^—8В — ^4-80, или —16В4-16О = 1. Для того чтобы найти В и D, составим еще одно уравнение. Сравнив коэф- фициенты при х3, получим 8 = B + D. Решив систему уравнений ( В+ D — 8f [—16В4-16Р = 1, находим D = 129/32, В = 127/32. Итак, С *5+1 , С Г . 33/16 127/32 31/16 129/32 ] J х4 —8x24-16dX-J Г+ (х—2)2 ' х —2 (х4-2)2‘ Х4-2 J dx~ х2 33 , 127, . ' . , 31 , 129, • — 2 16(х—2)^32 2|+16(х-|-2)+32 1п1*+21 + С-А. 1426. Найти интеграл С 4 d*. J \х 1) Л Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью и можно было бы найти интеграл, представив эту дробь в виде Суммы простейших Дробей. Однако нахождение интеграла можно значительно упростить, если произ- вести замену переменной х—1=/; тогда х = /-|-1 иdx — dt. В результате получаем С x2dx С(/4-02^ р/24-2/ + 1^ . С dt = J----fl---dt~) •F+2J'F+j-F= _ 1 2 1 c_ 1 2 2t2 3fl 4fl + 2(x — I)2 3(x— I)3 , 1 ,/._ 6x2—4x4-1 , . 4 (x— l)4^ 12(x-l)4 Ф 1427. Найти интеграл С 4 //г.п • J X “р ОХ “д’* о Л Преобразуем знаменатель: х44-6х2-|-5 = (х24-3)2—4. Теперь имеем (* xdx ______(• х dx J x44-6x24-5 ~J (x24-3)2—4 • 8* 227
Првиаведемлзаиену *24~3= t, .тогда 2x.dx = dt и С х dx ________С ' xdx _____ 1 Р dt _ J х«+6х2+5 J (х2 + 3)2 —4—7 J /2—4^ 1 1 t U — 21 , 1 , х24-1 , z, — 2 ’ 4 П Ь. + гр С— 8 Пх2 + 5+С‘ Из последних двух примеров видим, что иногда перед интегрированием рацио- нальной дроби следует произвести замену переменной. А Найти интегралы: 1428 С - dx 1429 С- 2*2+*+3________________ Jx(x—3) ** J (х+2)(х2+х+1Г изо. 1432. 1433. 1131 С *+1 dx 1435 С (19/16) х2 + х+1 .°4* J (х2+1)(х2 + 9) d 1435, J (x2 + 4)(x2+2%+5)d С х2 + 2 1ЛО- С x2dx 1436. \ —т—т~-г dx» 1437. \ —я—j—j—q • J x4-j-4 J х2 — 4x4-3 ф Представить знаменатель в виде х4 + 4 = (х24-2)2—4х2. 1438. 1439‘ J X2—6x4-5 J х4—15 J х® + х 3. Интегралы вида R(ex)dx, где /? —рациональная функция. С помощью , v г jj. j dt dt подстановки ex = t, откуда ех dx = dt, dx = -^-=—p, интеграл указанного вида преобразуется в интеграл от рациональной функции 1441. Найти интеграл 3 Л Положим ex = t; тогда ех dx = dt, dx=-^-, откуда С Зе2*4-е*4-1 , С 3/2 + /+1 J е2х_2е*— 3 X”J t(t2 — 2t — 3) Так как t (t2—2t — 3) = t (t4- 1) (t—3), то разложение на простейшие дроби имеет вид 3/2_|_/+1 _Л В С t(t+i) (t—3)“ t + /4-1 + /—з ‘ Освобождаясь от знаменателей, получим 3/2-1-1+1=4 (/4-1) (/—3)4-В/ (/—3)4-С/ (/4-1). Если / = 0, то 1=—34, т. е. 4=—1/3, если же / = —1, то 2 = 4Д, т, е. В =1/2, наконец, если /=3, то 31 = 120, т. е. 0 = 31/12. Итак, 3/24-/4-1 —1/3 . 1/2 31/12 /(/2_2/ —3) / ~‘/4-1‘ /—3 228
и значит, = _2.1п^ + 11п(гх+1)+^1п|ех_3| + С = =-|+41n(^+D+Slnl^-3|+c. А Найти интегралы: 1442 С ^+3^+j6 J eix —16 UX' f 2е*4-3 , 1443. \ /о 2v-~. х / оv—i—гг^х. J (2е2х —ех — 1) (е2х + 1) ^+1Л= /-1 = 3 § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 1. Интегралы вида R (х, (ах-\-Ь)т^П1, (ах-r Ь)'П1Пг,... ) dx, где R— рацио* нальная функция; rtf, т2,г п2, ...— целые числа. С помощью подстановки аХ-\- b = ts, где s — наименьшее общее кратное чисел nlt n2t ... , указанный интег- рал преобразуется в интеграл от рациональной функции. 1444. Найти интеграл I — С--------------------гт • 1 J (2x + 1)2/3-(2x4-1)V2 А Здесь «4 = 3, п2 = 2; поэтому s = 6. Применим подстановку 2х4~1=/6; тогда х = (/3—1)/2, dx = 3t’>dt и, следовательно, г Г 3t*dt о С /2 dt d/=A /2+3/+з1П| z_j |+с< Возвратимся к старой переменной. Так как / = (2х4-1)^6, то / = А (2х+ 1)1/3 + 3 (2х+ 1)1/6Н-3 In | V2x4-1 —1 | + С. А р dx 2. Интегралы вида j -^========- . Такие интегралы путем’ выделения полного квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам XX или XXI. 1445. Найти интеграл С -— dx _______. J Ух*+2х + 5 Д Преобразуем квадратный трехчлен к виду x2 + 2x-J-5 = (x-|-1)24~4. Тогда С dx -= С d(x~h^. -=1п | х4-1 4-КX2 4-2x4-514-С. А J /х2 + 2х4-5 J К(*4-1) 4-4 т т it ж 1446. Найти интеграл f , dx . Е J К-Зх24-4х-1 л dx 1 „ d (х— = —* arcsin -—— -4-С— * arcsin (Зх—2)4-С. А /з 1/з К з 229
о и f* 4x 4- В j ту 3. Интегралы вида I -- _•,dx. Для нахождения этого интеграла J Ках* + Ьх+с выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, и разложим интеграл на сумму двух интегралов: A Ah ~{2ах+ьи.в_— Ах-±В dx=t J у ах2~±-Ьх-\-с J ~У ах2Ьх с , А Г d (ах2-{- bx-}-c) . /& АЬ \ Г dx J Kax24-Z?x4-c ' J Ках2-\- Ьх-\-с Первый из полученных интегралов есть табличный интеграл XVII, а второй рассмотрен в п. 2 § 3. 1447. Найти интеграл f dx. J /2x24-8x4-1 Л Выделим в числителе производную подкоренного выражения: 5 (4х4-8)-13 rfx = I : —::: dx=A J /2х24-8х4-1 5 Г 4х-(-8 „Г dx — ~Г I г_____~ -dx—13 I —..... 4 J /2х24-8х4-1 J /2х2-48x4-1 =-+g+s+i-#L/ + , 5х—3 К _________ 1Q =+/2х2 + 8х+1---— 1п х 2 1Л 2 1448. Найти интеграл С — —..dx. J К—х24-бх—8 4 (-2x4-6) +13 ______________ -+==========- dx = — х2 + 6х—8_J /_х2 + 6х_8 3 г -2х+6 С dx 2 J /—х2+6х—8 J /1 —(Х—З)2 3x4-4 dx 4. Интегралы вида i---------"*.... .. . . с помощью подстановки х — J (х—а) /ах2+Ьх + с — а=1// этот интеграл приводится к рассмотренному в п. 2. (* dx 1449. Найти интеграл I —: , к J хКбх2-2х4-1 Л Положим х= 1/t, тогда dx =—(\/t2)dt и С dx f (d/)//2 _ J хКЗх2—2х4~1 J (1/0 Кб//2-2//4-1 = - С In Н- 1 + К^2-2/ + 5 I + С ~ = -ln - 2 7+6 +C=-ln 1—х + /5х2—2х+1 X 230
1450. Найти интеграл |---- _==•♦ J (х-1)К~х2 + 2х+3 А Полагаем к—1 = 1//, тогда х=1//-|-1 и dx = — (1 lfl)dt. Следовательно, Г________dx_______=_ Г_____________(dt)lt* _________ J (х-1) /• _х2 + 2х+з J j/_^l+^y+2(l+l)+3 1451. Найти интеграл 1—\---------— ... ? .— dx. Е J (х+1)Кх4 + Зх+3 Д Записав числитель подынтегральной функции в виде Зх + 2=3(х+1)— 1, получим /-(• 3<‘+'>-‘ <- J <»+ 1) V «Ч-Зх+З Представим данный интеграл как разность двух интегралов: ____dx______С______dx______ Vх2 + 3х+“3 J (х+1) |<^+Зх+3 ’ К первому интегралу применим формулу XXI, а ко второму—подстановку х+1 = 1//: / = 3 1„ | «+4 + +3х+з | + С =®===== 1 ' Ч/(т-')+3(|-1)+3 _зн |,+2+г?ТДТ-3|+у_^ = =3in|x+|4-r х*+Зх+з|-Нп | /+у+Г /2+/+1 |+с= qi I । 3 . —2"т q—[—q । । I 1 , 1 । V"х2-4-Зх4“3 . ~ . ^зьр+у+кх2 + 3х + 3 4-1п + - Л км Г л 7 X 5. Интегралы вида г---- __ /.= , где Рп (х) — многочлен л-и степени. J Уах2+Ьх±с Интеграл такого вида находится с помощью тождества f - dx = <?„-! (X) Vax* + bx+c+% С -fr. — , J /ах2 + Ьх+с И м2 + М-с 231
где Qn-i (x) — многочлен (n—1)-й степени с неопределенными коэффициентами^ X — число. Дифференцируя указанное тождество и приводя результат к общему знамена- телю, получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэф- фициенты многочлена Q/Z_x(x) и число А. 1452. Найти интеграл С* ~/2х +3х+4 J К х2+2х+2 Л Здесь п = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид С —^Э1.+Зх+- dx=(M2+M+62) v х2+2х+2+х С —-dx -................ J J/x2 + 2x-{-2 J К*24-2х+2 Дифференцируя обе его части, получаем Х3 + 2Х"+-Д4=(2&ох+ bj Vх2 + 2х+2 + у х2-|-2х-|-2 4“ §х* 4~ ьix 4~ ь2) — —Л —— „ , • • у х24-2x4-2 У х24-2x4-2 Освобождаемся от знаменателя: X34- 2х2 4- Зх4- 4 = (26ОХ 4- bj (х2 4- 2х4- 2) 4- (60х2 4- Ь1Х4- Ь2) (х 4- 1) 4- X, или X3 4- 2х2 4- Зх 4-4 = ЗбоХ3 4- (5/>о + 2^1) х2 4- (460 4- зьг 4- Ь2) X4- (2Ьг 4- Ь2 4- Л). Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим (360 = 1, 56o + 26i = 2, 4&о 4~ Ь2 = 3, 2^1 + ^ + ^ = 4. Решая систему, найдем Ьо = 1/3, Ь± = 1/6, = 7/6, Х = 5/2. Следовательно, Г х34-2х24-Зх-{-4 , / 1 2 . 1 . 7 \ | — •—— dx=[ -тг х24-—%+— у x24-2x-j-24- I 5 1 +-2 ln Найти интегралы: 1453. С , dx J 1/1_9 — 6 /— —»•>- dx. dx j <X2— X— 1 __..5b+3--dr.. —x24-4x+5 dx dx У —х2 — 2x4-8 ?. С-Д*+2 dx. dx (x+2) К x2 + 2x -----X~1 dx. (x+1) Kx2+1 х 2х2 —2х— 1 Г^±2х + 3 J -х2 + 4х 6. Интегралы от дифференциальных биномов хт (« + bxn)p dx, где т, п, р — рациональные числа. Как доказал П. Л. Чебышев, интегралы от дифференци- альных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях; 232
1) р — целое число, тогда данный интеграл сводится к интегралу от рацио- нальной функции с помощью подстановки х = /5, где s — наименьшее общее кратное знаменателей дробей тип; 2) (т-р\)/п— целое число, в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью подстановки a~pbxn = ts; 3) (m+l)/n + р — целое число, в этом случае к той же цели ведет подстанов- ка ax~n~pb = ts, где s—знаменатель дроби р. 1463. Найти интеграл С—_ . ----гтт. J К х (/ х+1) Д Здесь подынтегральную функцию можно записать в виде х-1^2 (х1^4-}-1)“10, т. е. р =—10—целое число. Значит, имеем первый случай-интегрируемости диф- ференциального бинома. Поэтому следует применять подстановку х = /4; тогда dx = 4/3 dt и искомый интеграл принимает вид С____Г 4t*dt Г tdt J /х(/х+1)10 Ь^ + 1)10 J^ + l)10’ Последний интеграл находится так: Р tdt — I С rdt Р dt _ J(/+l)10 J G+l)10 J«+l)9 J (*+i)10 — Таким образом, г* dx 1 4 J ()"““ 2 ( У «+ l),+9 (/T+ 1)-+C' Ж 1464. Найти интеграл С-------x_dx__ . r J (a2—x2) /a2 —x2 Д Переписав- подынтегральную функцию в виде х3 (а2—х2)”3//2, имеем /п = 3, п = 2, р — — 3/2. Так как (т-р 1)/и = (3+1)/2 = 2—целое число, то имеет место второй случай интегрируемости. Используя подстановку а2—х2 = /2, получим — 2xdx = 2/d/, xdx = —tdt, х2 = а2 — t2. Следовательно, Jx3^2—x2)-3/2dx = —j(a2-/2)/-M<#= —= f., „2 C dt t,a2_i_r t2+a2 । r 2a2—x2 , „ . dt—a? j _=/ + t+C=_7_+C=7_+C. A 1465. Найти интеграл С-------— - . J x*Y 1 + X2 Л Здесь m = — 4, n = 2, p = ~l/2 и (m-P l)/n-f-p = (— 4+ l)/2—1/2 = -— 2 —-целое число. Поэтому имеет место третий случай интегрируемости дифференциаль- ного бинома. Полагаем х~2+1=/2; тогда — 2х~3 dx = 2t dt, x~^dx — — tdt. Преобразуем данный интеграл таким образом: = p-4[x2(x-2+l)]-1/2rfx=p-2 (x-2+l)-1/2x-3rfx. 233
Следовательно, Z = —J (ti~\)t~1tdt = —^(ti — \)dt = =/--^-4-c=Kx-^+i -тЛ(х-~2+1)3+с^ О о У1 + х2 К(1-|-х2)3 (2х2—1)/ 14-х2 . х Зх* * Зх3 *” Найти интегралы: 1466. 1468 dx 14-х3 1467. 1469. 1471. f -dx. J Кк *4-1 Р dx J хЛ+?‘ г 4* J х31/ 2—х3 § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1. Интегралы вида j Я(sinx, cosх) </х, где R — рациональная функция. Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = /. В результате этой подстановки имеем: 2tg(x/2) 2/ 1— tg2 (x/2) I—/2 SU1X- i+tg2(x/2)“l + /2; COSX“l+tg2(x/2)~l + /V n + . %dt x = 2arctg/; r7s. 1472. Найти интеграл \ ------rr- r J 4 sin *4-3 cosx + 5 Л Подынтегральная функция рационально зависит от sin х и cos х; применим + . 2/ I—/2 л 2dt подстановку tg(х/2) = /, тогда smx = y-j-^, cos х = f_pf2 и S2dt 1+^2 Л 2t . ч 1—/2 v/T+7r1" r+72± —2 f dt ' - Г _______L-+C J2/24-8/4-8 J Р4-2)2 Z4-2 ‘ Возвращаясь к старой переменной, получим С________dx___________1 J 4sin х+3 cos х+5 tg(x/2)4-2 Р dx 1473. Найти интеграл J 234
л Полагая tg(x/2) = /, получим __________dx__________ (а2 + b2) — (а2—b2) cos х 2dt 1+Z2 1 —/2 (а2+Ь2) — (а2—Ь2) • 2 С______________dt_________________f dt _ J (a2 + b2)(l+t2) — (a2~b2)(l~l2) }a2t2+b2~ 1 f* d (at) a J (at)2+b2 larctg-^+C=larctg(|.tg|)+C. A Универсальная подстановка tg(x/2) = Z во многих случаях приводит к слож- ным вычислениям, так как при ее применении sin х и cos х выражаются через t в виде рациональных дробей, содержащих t2, В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида 7?(sinx, cosx)dx может быть упрощено. 1. Если 7? (sin х, cos х) — нечетная функция относительно sinx, т. е. если 7? (— sin х, cos х) = — R (sin х, cos х), то интеграл рационализируется подстановкой cos X— t. 2. Если 7? (sin х, cos х) — нечетная функция относительно cosx, т. е. если 7? (sin х, —cos х) = — 7? (sin х, cosx), то интеграл рационализируется с помощью подстановки sinx = /. ' 3. Если 7? (sin х, cosx) — четная функция относительно sinx и cosx, т. е. если 7? (-—sin х,—cosх) = 7? (sinх, cosx), то к цели приводит подстановка tgx = /. тт v С (sin x4-sin3х) dx 1474. Наити интеграл ~. .j cos 2х Л Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то пола- гаем cosx = /. Отсюда sin2,x=l — /2, cos 2х = 2 cos2x—1 =2/2—1, dt =— sinxdx. Таким образом, Р (sin x + sin3x) dx_Р (2 — t2) (—dl) __ P (Z2—2)dt __ J cos 2x 2/2 —1 J 2/2 — l __lP2/2-4 _1P 3 P dt __ ~ 2 J 2/2-1 2 J . 2 J 2/2-1- _t 3 Cd(tf^_t 3 . t K2-1 r “2 2/"2J 2'2-1 2 2/2 " //"2+1 + Следовательно, Г (sin x + sin3 x)dx 1 3 2 cosx — 1 J cos 2x 2 2 у 2 2 cosx-f-1 Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда может быть записан в виде 7?* (sin2 х, cos х) sin xdx. Д - Л-- и <, Р (cos3 x4~cos6x) dx 1475. Наити интеграл \ -—т—А. r J sin2x4-sm4x Д Здесь подынтегральная функция является нечетной относительно косинуса. Поэтому применяем подстановку sinx = Z; тогда cos2x=l—sin2x=l—/2, cos х dx = dt. Следовательно, (cos3 x-f-cos5 x) dx P cos2x (1 4-cos2 x) cos xdx P (1 —t2) (2 — t2) dt sin2x4-sin4x J sin2^4-sin4x j /24-/4 235
_ (l-/2)(2-/2) .2 6 , . Так как <2ц_|_/2) 4~/2 i-j_/2> то Г (1 — Z2) (2 —/2) rfZ . 2 . . J /2(14-/2) ~l t 6arc,Sz + C’ Окончательно получаем С (cos3 x4-cos5 х) dx . 2 с . п J sin2x4-sin4x sinx Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда может быть записан в виде /?*(sinx, cos2 х) cos х d> 1476. Найти интеграл \ —г-н—:------------—о—. r J sin2 X4-2 sin X COS X —COS2 X Д Подынтегральная функция четна относительно синуса и косинуса. Пола- ' . tgx t 1 гаем tgx = /; тогда sinx = — — К 14-tg2* 1 i i 1 dt ~ = - : ; x = arctg /; dx = —-x . Отсюда / l + z2 i + ^2 dx co S X — — — V l+tg2X dx sin2 x4~2sin x cos x—cos2 x t2 dt 1 + Z2 2/ 1 1 1 + /2 — 1 * Далее, имеем C dt Г rf(z+D 1 , J /2 + 2Z —1 J Q2 _ (j< 2)2 2/2 и, следовательно, Г_____________________dx__________________l_ ' sin2 x4~2 sin x cos x—cos2 x 2 j/*"2 tgx+l-K 2 tgx+l + r”2 Заметим, что нахождение интеграла можно упростить, если в исходном интег- рале разделить числитель и знаменатель на cos2x: С С С I dx __I cos2x _________l d (tg x) . J sin2 x 4-2 sin x cos x—cos2x Jtg2x4~2tgx— I Jtg2x4~2tgx—I ’ 2. Интегралы вида sin"1 x cos"x dx. Выделим здесь два случая, имеющие особенно важное значение. Случай 1. По крайней мере один из показателей т или п — нечетное поло- жительное число. Если п — нечетное положительное число, то применяется подстановка sinx=/; если же т — нечетное положительное число,— подстановка cosx = /. 1477. Найти интеграл J sin4 х cos5 х dx. А Полагая sinx = /, cos xdx — dt, получим sin4x cos5xdx= sin4x (1 — sin2x)2 cosx dx= J /4 (1 — i2)2 dt == . 2 J/6Л + у Z8d/ = y/5—- =-i-sin5x—sin7 x+4 sin9 Xrf- C. Д o / 9 236
1478. Найти интеграл f— J COS X j/ COS X /\ Имеем f sin3xdx sin3 x cos'4/3 xdx = (* (1—cos2x) cos" 4/3 xsinxdx. COS X y' COS X J J Полагая cosx = C —sin x dx = dt, получим I -Sin3xrfx C 0_/2) f-4/З df-_ ( /-4/3 dt+ f Z2/3 d( = J COS X у COS X J J J /5/з-|-С=:C0S X' COS2x+C. Д 5 у COS X 5 Случай 2. Оба показателя степени tn и п — четные положительные числа. Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул sin х cos х = -g- sin 2x, sin2 x = y (1 —cos 2x), cos2 x=*g- (1 -p cos 2x). (1) (2) (3) 1479. Найти интеграл sin2xcos2xdx. Д Из формулы (1) следует, что sin2 х cos2 x = (sin x cos \2 1 sin 2x] = -rsin22x. 1 4 Применив теперь формулу (2), получаем .о о 1 1—cos 4х 1 . ч sin2xcos2x=-7- •---х----—— (1 —cos 4х). 4 2 8 Итак, sin2xcos2xdx = y С (1 — cos4x)dx = cos 4х dx==-^ х — ~ sin 4x-j-C. Д 1480. Найти интеграл Jcos6xJx. Л Используя формулу (3), получим С ал С/ 2 C/14-cos2x\3, \ cos6 xdx=\ (cos2 х)3 dx= \ I ——g-j dx=z == J (1 + 3 cos 2x 4- 3 cos2 2x + cos3 2x) dx = =-g-^ dx4~^- J cos2xdx-|-~ J cos22x6/x-|—g- J cos32xdx=s 1 । 3 . o . 3 f 14- co$ 4x . ^TX+T6S,n2x+8-j--------2---dx+ 237
H--g-J(l—sin22r)cos2xJx=-i-x4-^sin2x4- 4~-^У dx-j-y^y c°s4xdx4~y cos 2xdx-- IP 1 1 3 —\ sin2 2X—d (sin 2x) = —x-j-—sin 2x-f- о J 2 о lb +Ax+lisin4x+As,'n2x~Asin32x+c= j=~ x4-4-sin 2х-|-Д sin4x —~ sin3 2x4~C. ▲ 16 1 4 ‘64 48 1481. Найти интеграл J sin2xcos4 xdx. * C . 2 4 л C / • \2 2 л C f 1 • о V 1 + cos 2x , A \ sin2x cos4xdx= \ (sinxcosx)2cos2xdx= \ sin 2x 1 —!—-dx = = -g- J sin2 2x dx-f—g- sin2 2x cos 2x dx = 1 P 1—cos4x , .IP. 2O 1 ,z . o 4 = j J -%—~ dx+J J sm2 2x--^d (sin 2x) = =~ у dx~~je Jcos dx~^~ 1б Уsin2 %x (sin = = ^4s;n4x+Asin32x+c. 3. Интегралы вида \^tgmxdx и ^ctgwxdx, где m — целое положительное число. При нахождении таких интегралов применяется формула tg2x = sec2x—1 (или ctg2 х = cosec2 х—1), с помощью которой последовательно понижается сте- пень тангенса или котангенса. 1482. Найти интеграл J t^xdx. Л ^tg7 х dx = ^tg5 х (sec2x— 1) dx= j* tg5xd(tgx) — J tg5xdx = =ЦД —J tg3 x (sec2 x—1) dx = —У tgx(sec2x— 1) dx = =i^_UL«+lt'+1„k0„l+c. A 1483. Найти интеграл ctg6xdx. Л У ctg6 xdx = y ctg4x (cosec2x—1) dx = —У ctg4 x d (ctg x) — У ctg4xdx = CtS5* C 4 2 / 2 14 J =-----------\ ctg2 x (cosec2 x— 1) dx = ctg5x . ctg3x . Pz 9 . ctg5x , ctg3x . , a ==---1—|—|-----M (cosec2x—l)dx =----1----1—|----ctgx—x+C. Д 4. Интегралы вида tgOTx see" xdx и ^ctgOT x cosec" x dx, где n — четное поло- жительное число. Такие интегралы находятся аналогично рассмотренным в п. 3 с помощью формулы sec2х= 1-(-tg2х (или cosec2х= 1 + ctg2х). 238
1484. Найти интеграл § tg4 х sec* х dx. Д tg4 х sec6 xdx = J tg4 x sec4 x-sec2 x dx = = § tg4x(l+tg2x)2d(tgx)=^ tg4xd(tgx)4-2^ tgexd (tgx)+Jtgsxd(tgx) = = * tg6x+Ttg’x4-±tg»x+C. ± U I J f' dx 1485. Найти интеграл \ . A s~^x=У cosec4 x dx = J cosec2 x • cosec2 x dx = J (1 + ctg2 x) cosec2 x dx = s= C cosec2 xdx-— C ctg2 x d (ctg x) = —ctg x—~ctg3x4-C. A J J d 5. Интегралы вида j sec2*+1x<Ir и cosec2*+1 x dx. Интегралы от нечетной положительной степени секанса или косеканса проще всего находятся по рекур- рентным формулам: С sec2*+1 xdx = ~ • —hf 1—4-^ f sec3*-1 xdx, (1) J 2л cos2* x 1 \ 2n) J ’ v/ cosec2*+1 x dx = —-4- • 1 — 4“ 1 f cosec2*"1 xdx. (2) 2л sin2* x ‘ V 2л / J v 7 1486. Найти интеграл cosec5xdx. Л Применяя рекуррентную формулу (2) при 2л 4-1=5, т. е. при п = 2, получим С Л л 1 cos х . 3 Р 8 . \ cosec5 xdx —-т • ;—г ~г \ cosec3 х dx; J 4 sm4x 4 J ’ полагая теперь 2л 4-1=3, т. е. л = 1, по той же формуле имеем С ч л 1 cos х . 1 С . \ cosec3xdx =--• -г-,—гтг \ cosecxdx. J 2 sin2x ‘ 2 J Так как V cosecx dx= C-^-=ln 1 tgI4-C, то J J sinx I 2 I 1 j cosec2 xdx=-2^±4-l In J tg || + C, C cosec5 x dx = — —4"°^X4~4~ln I tg v l + C- A J 4sin4x 8sin2x 1 8 I 5 2 1 1 m 6. Интегралы вида j sin mx cos nx dx, J cos mx cos nxdx, j sin mx sin nx dx. Тригонометрические формулы sin a cos ₽ = y [sin (a + ft) + sin (a — ₽)],- (1) cos a cos ₽ =-^-[cos (a + P)4~cos (a —P)], (2) sin a sin ₽ = y [cos (a —₽) —cos (a4~P)] (3) дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы. 239,
1487. Найти интеграл J sin 2xcos 5xdx. Л Используя формулу (1), получим У sin 2х cos 5xdx = ~ j* [sin 7x+sin (— Зх)] dx~ — J sin 7xdx—~y sin3xdx =—~^cos 7xcos 3x-]-C. A 1488. Найти интеграл \ cos x cos ~ cos dx. Л Применим к произведению cos x cos -у формулу (2): X X Iff cos x cos — cos — ях = -£-\ I cos If 3x x , . 1 | = 2 C0S 2-СОЗТЛ+Т ’X , X \ X , 2+cos J J cos^-rfx = X X , cos -x- cos -r dx. 2 4 Снова используя ту же формулу, находим х х , Iff 7х . 5х\ . . 1 Р / Зх . „ х X cosxcos-^cos-j-dx=-^- \ I cos-4 4-cos-4 I dx+4- \ I cos-4- 4-COS \ dx = 1 . 7x , 1 . 5x . 1 . 3x , . x , ~ A =ysin 4-4-5- sm-j+ysin -j+sm-^+C. A Найти интегралы^ ________dx_______ 3 4- 5sin x-f-3cos x * 1490. dx 1 —sinx cos2 x dx sin2x+4sinxcosx * cos3 x dx sin2 x+sinx ф Положить ctgx=/. 1493. C 3sin2x^x—r. J cos3x — sin2x—1 1496. sin2 (x/4) cos2 (x/4) dx. 1498. Jig4 (x/2) dx. 1500. ^secexdx. 1502. sec3 xdx. 1504. J sin 3x sin x dx. 1494. Csin’xdx. 1495. J J sinx 1497- $ cos4 x dx. 1499. ctg3 3xdx. 1501. J sin4x 1503. J ctg2 x cosec x dx. 1505. J cos (x/2) cos (x/3) dx. 7. Тригонометрические подстановки. Интегралы вида ^7? (х, V'a2— x2)dx9 R (х, У~а2 + х2) dx, J 7? (х, Ух2—a2) dx приводятся к интегралам от рацио- нальной относительно sin t и cos t функции с помощью надлежащей тригоно- метрической подстановки: для первого интеграла x=asin/ (или x=acosi), для. второго х = а tg t (или х = а ctg t) и для третьего x = asecZ (или x = acosec/). 240
1506. Найти интеграл I a2 — x~< ------dx. x Л Положим x = asin/, тогда dx = a cos t dt и заданный интеграл примет вид a2 — a2 sin2t , ,, -----:—------a cos t dt = a sin t 1 —sin2/ P dt C . . .. -----:—-—dt = a\ ——7—a \ sm tdt — sin t J sin t J = a In | cosec t — ctg t Ц-а cos t-\-C. n C dt , « C dt Для нахождения интеграла \ мы воспользовались формулой jr— = = In | cosec t — ctg t так как с ее помощью легче перейти к прежней пере- менной х. Таким образом, получаем 7 1 I 1 cos/| , . , п I —а Ш -7—7-----:—Г +« cos ГЧ-С, I sin t Sin t I где sin t = x[a, cos t = У a2— x2/a. Следовательно, = а In х 1507. Найти интеграл Z= —7==. J x у a2 x2 Л Применим подстановку x = atgt, откуда dx — a sec2 t dt. Тогда получим / — f a sec2 dt _______ If sec2 IM__ ~ J a tg/ K^+«2tg2 t~~ J t sec / — 1 С sec t 1 P dt 1 . . , , . . , _ = — \ -7—у dt = — \ -—. — — In cosec t — ctg t 4-C, a J tg t a J sin / a 1 & i v , где tg/ = x/a и, следовательно, ctg/ = a/x, cosec t — У1 + ctg2/ = -\-x2/x. Итак, a [ x I 1508. Найти интеграл / = . F J /X2_ a2 Л Применим подстановку x = a sec /, откуда dx = a sec t tg t dt. Тогда получим , P a2 sec21 • a sec t tg t P 1 = I --> - - =— dt = a2 | sec3 t dt. J )^a2sec2/—a2 J Далее применим рекуррентную формулу (1) п. 5 при п = \: С q j. j. 1 sin t . 1 С , sin t . 1 С dt J sec 1 dt ~T j secZ dt~’^5Й~ГT j cgs7~~ =2-S+T1"l“;' + tB'l + C’ где sec/ —x/a, cos/=a/x, sin/ = yrx2—a2lx, tgt = ]/‘x2—а2/а. Следовательно, . a2 sin t , a2 f , , , . ,, , _ /=TO7+2~ln|sec^+tg<l+c = 2 *2 j a I 9 № 1474 241
Найти интегралы: 1509. С—------. 1510. С 1511. [• J (1 —X2)’/2 v'^-rA-)3'* J; § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ dx Найти интегралы: 1512. sin2 х sin 3xdx. 1513. J (2x2—-2x4- 1) с-лУ: 1514. 1515. J^arctgxdx. 1516. \ (2х2— 1) cos 2х dx. 1517. xIn2xdx. 1518. 1520. С 2е2х— ех —3 . \ "ч?— J е-Л—2ех—3 1519. 1521. arctg Кxdx. p dx |/ 2х — 1 dx. ’i/i+x*' 1522. j К 6 + 4х—2х2 dx. 1523. J e-x sin ex dx. 1524. С dx 1525. sin 2x In cosxdx. J cos2 х 2-|-5 tg2x 1526. (х+2) cos(x2-j-4x+1) dx. 1527. C x cos x dx J sin3x 1528. t-^L=dx. J V l + e* 1529. In (x2 -j- x) dx. 1530. C dx 1531. cos In x dx. Jx4+x2 ’• 1532, f 1 + ^ , J 1533. e“*sin0xdx. 1534. d*x cos fix dx. 1535. C dx J a2 cos2 x-[-b2sm- x 1536. C dx 1537. C dx J sin2 x cos2 x * J (1-HT ’ dx.
ГЛАВА X ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, 6]. Разделим отрезок [а, на п произвольных частей точками a~xQ < xt < х.2 < . • • < xn_i < х}1 = b, выбе- рем на каждом элементарном отрезке [х/г-!,х^] произвольную точку и найдем длину каждого такого отрезка: Дх^ = х^ —X£_i. Интегральной суммой для функ- п ции / (х) на отрезке [а, /?] называется сумма вида о — 2 / (Ы Ах#, причем эта /?=1 сумма имеет конечный предел I, если для каждого 8 > 0 найдется такое число 6 > 0, что при max Дх^ < б неравенство [о—/| < 8 выполняется при любом выборе чисел £/>. Определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [б?, Ь] (пли в пределах от а до Ь) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наи- большего из элементарных отрезков (max Дх/J стремится к нулю: Z~\/(x)Jx = lim <т = lim 2 max Ах^О max Дх^О л= j /О Ах*. Если функция f (х) непрерывна на [a, b]f то предел интегральной суммы сущест- вует и не зависит от способа разбиения отрезка [а, на элементарные отрезки и от выбора точек- £* (теорема существования определенного интеграла). Числа а и b соответственно называются нижним и верхним пределами ин- тегрирования. Ь Если f (х) > 0 на [а, Ь], то определенный интеграл f (х) dx геометрически а представляет собой площадь криволинейной трапеции—।фигуры, ограниченной линиями у = f (х), х~а, х=Ь, у —О (рис. 42). Основные свойства определенного интеграла ь ь 5°. J C’f (*) Ci f (х) dxt где а а С—постоянная. 944
6°. Оценка определенного интеграла', если на [a, Ь], то Ъ m(b — a)< f (х) dx < М (Ь —а), а Правила вычисления определенных интегралов 1. Формула Ньютона—Лейбница'. Ь J f (х) dx— F (х) а b = F(b)—F(a), а где F (х) — первообразная для f (х), т. е. F' (х) = f (х). 2. Интегрирование по частям: Ь и dv = uv а b b — v du, а а где и = и(х), v = v(x) — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [а, 6]. 3. Замена переменной: Ъ |3 р (х) cte= р [Ф (/)] Ф' (/) dt, а а где х = ф(/) — функция, непрерывная вместе со своей производной ф' (/) на от- резке п = ф(а), 6 = ф ((3), f [ф (/)] — функция, непрерывная на [а, Р]. 4. Если f (х) — нечетная функция, т. е. f (—х)= — /(х), то а f (х) dx = 0. — а Если f (х) — четная функция, т. е. f (—х)=/(х), то а а f (х) dx = 2 f (х) dx. -a Q 1 1538. Вычислить интеграл ^x2dx как предел интегральной о суммы. Д Здесь / (х) = х2, а = 0, Ь = \; разделим отрезок [0, 1] на п равных частей, тогда Дх/г = (6—п)/п=1/п; выберем ^ = х^. Имеем: n 1 2 и—1 п х0 0, хх — п , х2 — — , ..., Хл-! — - , хп — — — 1; / 1 \ 2 / 9 \ 2 / п \ 2 / h \ 2 1 Следовательно j С г 12 + 22 + 32+...+п2 J л->00 п3 0 п (я-р 1) (2n+ 1) .. (1-!- п / ( 2”^ п / 1 = lim —4^4------1—-= lim ------ — -к- П->ос ^П ц -> оо 6 3 Здесь использована формула суммы квадратов натуральных чисел. Д 244
1539. Вычислить \ 1-— по формуле Ньютона — Лейбница. Д COS X л/6 Л/4 р dx J COS2X л/6 18 1540. Оценить интеграл J Уо г ! + * А Так как | cos х | 1, то при х> 10 получим неравенство cos х < 10-2. Следовательно, cos х dx ут+х* < 8-Ю"2 < 10-1, т. е. cos х dx /ГД4 <0,1. А 1541. Оценить интеграл Л/2 С dx J 54~3cos2x’ о А Поскольку 0s^cos2x=Cl, имеем Л/2 _1_ 1 1 л Г dx л . 8 5 + 3 cos2 х 5 И 16 J 5-рЗ cos2 х 10 ’ о 1 1542. Вычислить хе~х dx. о Д Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим и ~ х, dv~e~xdx, откуда du = dx, v = — е~х. Тогда 1 1 J хе~х dx = — хе~х I -]-§e~xdx =—е-1—= —2е-1-]- 1 =g А о о 1543. Вычислить 1 dx Д Положим 1пх = /; тогда ——dt\ если х = 1, то / = 0; если х—е, то / = 1. Следовательно, Г!2!^цх= С ?dt=Т /Т=4 а3—о3)=Т ▲ J х J о |о о о 1 0 г 1544. Вычислить J Vг2—х2 dx. о 245
А Положим x = rsin/; тогда dx = г cos t dt\ если x = 0, то f = 0; если х = г^ то £ = л/2. Поэтому г л/2 л/2 г2—x2dx — j У г2— г2 sin21 г cos t dt—г2 cos2/d/ = оо о л/2 =у''2 J (14-cos2/)d/=y/-2 p+y Sin2/j'^’ = 0 T2 Г / л , 1 . \ f , 1 . \1 nr2 . = 2 [(т+-281п,1;-^0+т51п0;]=т- a л/3 1545. Вычислить /= C ~*m.x dx. J COS2X -n/S л/3 t r C xsinx, ту Д Подынтегральная функция — четная, а потому 1 — 2 \ c2 v dx. Интегри- tub X 0 , sin xdx , , 1 руем по частям, полагая a = x, dv=-%—; тогда du = dx, v =-. Отсюда COS X COS X находим л/з л/з C xsinx , х 1л/3 ___ С dx __ л . . / х . л J cos2x х cos х |0 J cosx ~3 cos (л/3) П £ I 2 4 о о 4 2л , . / л . л \ , 1 . л 2л t . 5л ==__Intg^_+_J+lnfg_==__lntg_., _ / 2л . . 5л \ . Следовательно, 1 = 2 I — Intg —у 1. Д \ о 1Z у 1546. Вычислить /= С х j!--csin - dx. J Г 1+х2 — 1 А Подынтегральная функция — нечетная, следовательно, / = 0. А 1 1547. Вычислить ^xdx как предел интегральной суммы, о 1 1548. Вычислить е* dx как предел интегральной суммы, о 1 1549. Оценить интеграл $*(1—x)2dx. о л/2 1550. Оценить интеграл J esin!>xdx. о л 1551. Оценить интеграл J ^~dx. л/2 246
Вычислить интегралы: з т 1552. dx. 1553. 1 0 2 1 1554. ^e^dx. 1555. ^ex+e* dx. 1 0 e71/2 л/6 1556. C cos Inxdx. 1557. C sin -*dx. J J cos x i о 2 In 2 2л 1558. J . 1559. J cos5xcosxdx. In 2 0 л/3 Л/4 1560. C cos3 xsin2xdx. 1561. C £±^dx. J J 14-cosx о 0 2 Л/2 1562. 1563. f e* cos xdx. J x2-j-x J 1 0 3 T 1564. j XX2^Xdx. 1565. J x arctgxdx. -3 -1 9 Использовать свойство нечет- ф Использовать свойство четной ной функции. функции. 1566. Доказать, что л С . . j | 0 при т п. \ sinmx sinnxdx = < F ’ J [ л при т==п - л (tn и п—целые положительные числа). § 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1. Основные понятия. Несобственными интегралами называются: 1) интег- ралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл от функции f (х) в пределах от а до -ф- оо опреде- ляется равенством + <» ъ f f (х) dx — lim f f (x) dx. j + 00 J a a Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл назы- вается сходящимся’, если же предел не существует или равен бесконечности,—рас- ходящимся. Аналогично, b Ь + оо b f f (х) dx= lim f f (х) dx и f f (x) dx = lim ? f (x) dx. J 00 J £—>— QO -co a -co 247
Если функция f (х) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [а, Ь] и непре- рывна при а^.х < с и с < х^Ь, то по определению полагают Ь с—а b f f (х) dx= lim f f(x)dx-\- lim f f(x)dx. J a->o J b->o J a a * c+p b Несобственный интеграл f (x) dx (где /'(c)=oo, a < c < b) называется exo- a дящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящим- ся, если не существует хотя бы один из них. + оо 1567. Вычислить несобственный интеграл J cos xdx (или устано- о вить его расходимость). Л Имеем ь lim \cosxdx = lim sinx = lim (sin b — sin 0) = lim sin b, b-+ +00 Q + 00 10 > + co £>-> + 00 т. e. предел не существует. Следовательно, несобственный интеграл расходится. А -1 1568. Вычислить j* — 00 Л Найдем Iim f [--------------= Iim а-> —оо J X а->— о© I % .1 а а—>- —со \ П / а т. е. несобственный интеграл сходится. А 1569. Найти С J 1+-1 a rr л. C dx Д Подынтегральная функция — четная, поэтому \ —j—g- и 1 X о dx _ -rr2- ТогДа о dx ъ Г dx I* lim arctg х = lim . -> + <ю 1° д->+оо arctg 6—у о Таким . С dx . . образом, \ = л, т. е. несобственный интеграл сходится. Д J 1 хй 1570. Найти у . о Д Подынтегральная функция f(x) = l/x в точке х = 0 неограничена, а по- тому имеем Р /7 v 11 \—= lim In х = lim (In 1 — 1па) = 4-оо v X a->0 la a->0 о т. е. несобственный интеграл расходится. Д 248
1571. Найти хе~х2 dx. о Д Имеем + оо b С xe~x2dx = lim ^хе~х2 dx = lim [—4-е-х21 — lim f--------L^-b2 j=—- J d-^+xJ Ь-+ + Л 2 Jo b-* + n\2 2 J 2 т. e. несобственный интеграл сходится. Д Вычислить несобственные интегралы: + оо О 1572. f ^^dx. 1573. f /х . J 1+*2 J 44-х2 о -»• 2 1 1 1574. 2 • 1575. С—, 1576. f J К4—х2 JKMI-x) _V 1 + X 1577 С х In2 г dх 1578 С dx J J (х2 + 1)(х2 + 4) 0 — х 2. Признаки сравнения. При исследовании сходимости несобственных интег- ралов пользуются одним из признаков сравнения. 1. Если функции f (х) и ф (х) определены для всех х^а и интегрируемы на отрезке [а, Л], где А^а, и если O^f(x)^cp(x) для всех х^а, то из сходи- + X + X мости интеграла ф (х) dx вытекает сходимость интеграла f (х) dx, причем а а + х + х f (х) dx^ ф (х) dx. а а 2. (а) Если при х—>-J- оо функция f(x)^O является бесконечно малой по- + оо рядка р > 0 по сравнению с 1/х, то интеграл f (х) dx сходится при р > 1 и а расходится при р^1. (б) Если функция / (х) О определена и непрерывна в промежутке а^х <Ь и является бесконечно большой порядка р по сравнению с \/(Ь—х) при х—>Ь—О, ь то интеграл J f (х) dx сходится при р < 1 и расходится при р^ 1. а + X 1579. Исследовать сходимость интеграла а А По определ-ению С dx J А Йт ^x~-pdx= lim Л->+хД Л->+х а А а 1 ~Р+1 lim Л-/? + х - Л-.-LOO 1 -р+1 а~Р + х 249
Допустим, что р > 1; тогда lim 4"7? + 1 = 0. Значит, при р > 1 интеграл А-+ + оо + со сходится. Пусть р^1; тогда lim A~p + 1 = <х>, т. е. интеграл \ —- прир<^1 Д->+оо J хр а расходится. + 00 1580. Исследовать сходимость интеграла sin(x2)dx (интеграл о Френеля). + 00 + 00 Л Пусть х = ]^т; тогда \ sin(x2)dx = ~ \ б/т. Представим стоящий о о F т справа интеграл в виде суммы: Первое слагаемое есть собственный интеграл, так как lim = 0- а ко т->о у т второму применим интегрирование по частям, полагая « = 1/)/'т, dc' = smrdT: т dx cos x cos х dx л/2 л/2 1 р COS X dx t J T3/2 л/2 Т гт COS Т 1 Последний интеграл сходится, так как ----, а интеграл _ С sin х , /п . ся. Поэтому \ —— dx сходится на основании признака (2а), а Г Т С dx J 7^сх°дат- л/2 следовательно, данный интеграл также сходится. А + со 1581. Исследовать сходимость интеграла 1 dx 1 Ч-х10 ‘ Л Подынтегральная функция / (х) = 1/(1-j-х10) в промежутке интегрирования + со С dx меньше, чем <р (х) = 1/х1 °, а интеграл \ является сходящимся. Следователь* 1 но, данный интеграл также сходится. Д b 1582. Исследовать сходимость интеграла J (а<Ь). а Л По определению Ь Ь-е С dx dx 1 .. ,, . я, - р-8 \ л--г—= lim \ 7г----------— lim (6—= J (Ь — х)Р е->о J (Ь — х)Р —РЧ~1е->о |а а а —Ц- lims“/7+1-]-i-7-r (6—а)"/7+х. Р— 1 8->о * — Р-Н 250
Если р < 1, то 11’ш8"/? + ^ = 0; если же р > 1, то lim e~/?+1 — оо; если, нако- £->С е—>о нец, р= 1, то ь-& Ь-е =. сю. а а b dx (Ь—х)Р СХ°ДИТСЯ> а при /9^1—рас- а ХОДИТСЯ, 1 1583. Исследовать сходимость интеграла С - dx. /1-х2 lim \ -----—lim In (b—х) е->о J b—x е_>о Следовательно, при р < 1 интеграл Д Подынтегральная функция является бесконечно большой при х—> I. Представим ее в следующем виде: f w= COS2 X 1 1+х 1 — X COS2 X 1 т. е. порядок этой бесконечно большой функции при х—> 1 по сравнению с 1/(1—х) равен р = 1/3 < 1. Поэтому данный интеграл сходится на основании призна- ка (26). А 1584. Исследовать сходимость интеграла С dx. J е пх—1 о Л Подынтегральная функция f (х) в промежутке интегрирования положи- тельна и f (х) —> оо при х —> 0. Пользуясь теоремой об эквивалентных беско- нечно малых, преобразуем числитель и знаменатель подынтегральной дроби; имеем 111(1-)-]/^ х)~х1//з, а esinx—l~sinx при х—»-0, откуда lim 1п(1+/х)|= esln*—1 г Х1/3 г 1 Iim ______= lim =оо; х->0 X х->0 X2'3 т. е. f (х) является бесконечно большой порядка р = 2/3 по сравнению с 1/х. Сле- довательно, по признаку (26) заданный интеграл сходится. А Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов: 1585. С 1п °+л;) dz. 1586. С 1587. С -S!g4 dx. + 00 + оо 1588. Г (1— cos-W 1589. С J \ х} J х3 1 1 159°- ,5М<7^7- о ev — 1 О § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x} [/(х)^0], прямыми х = а и х = Ь и отрезком [а, 6] оси Ох, вычисляется по формуле ь S == ^ f (х) dx. а 251
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=fi(x) и y = fz(x) [/1 (х) /2 W1 и прямыми х а и х=Ь, находится по формуле Ь $ [/2 (х) — fi (x)]dx. а Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми х — а, х = Ь и отрезком [а, оси Ох, выражается формулой ^2 S=^(/)x' (/) dt, h где /т и /2 определяются из уравнений a = x(/i), 6 = х(/2) \у (/) 0 при ti^t^t^]. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в поляр- ных координатах уравнением р = р(0) и двумя полярными радиусами 0 = а, 0 = Р (а < Р), находится по формуле I с S=T i p2rfe' а 1592. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у=4х—х2 и осью Ох. Л Парабола пересекает ось Ох в точках О (0; 0) и М (4; 0). Следовательно, 4 5 = \ (4х—х2) dx= [ 2х2 —Lx3l4 = ^ (кв. ед.). Д J I 3 10 о 0 1593. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = (х—I)2 и гиперболой х2—у2/2 = 1. Л Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для чего решим сов- местно уравнения этих кривых: х2—(Х~~^) = 1, или х4,—4х34~4х2—4х4-3 = 0. Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители: (х—1) (х—3)(х24-1) = 0, откуда Xi=l, х2 = 3 и у{ — 0, у% = 4. Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках А (1;0) и В (3;4) (рис. 43). Следовательно, з S = j [j<2(x2—1)— (х— I)2] dx= 1 +in | х+|]?-4 [(*-1)41= =К^-[зК8+1п(3+К'8)]-4=т+^-1п(3+К'8) « 4,58 (кв. ед.). ▲ 1594. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды х = 2 (/— sin/), у=2 (1—cos/) (см. рис. 5) и осью Ох. 252
Л Здесь dx = 2(l — cos /) dt, a t изменяется от /х = 0 до /2 = 2л. Следова- тельно, 2л 2л 5=^ 22(1—cos/)2d/=4^ (1 — 2 cos /^-cos2 t) dt = о о fl 1 12л t—2sin/-4-“2 ^+^sin L = 12 л (кв. ед.). Д Рис. 43 1595. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лемниска- той p2 = 2cos29 (см. рис. 2). Д Четвертой части искомой площади соответствует изменение 0 от 0 до л/4, а потому Л/4 S=4--g- У 2cos 20d0 = 2sin 20 =2 (кв. ед.). А О Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями: 1596. у = — х2, х + у + 2 = 0. 1597. t/ = 16/x2, z/=17—х2 (I четверть). 1598. у2 = 4х3, у = 2х2. 1599. xz/ = 20, х2 + у2 = 41 (I четверть). 1600. t/ = sinx, у = cosx, x = 0. 1601. i/=0,25x2, i/ = 3x—0,5x2. 1602. xz/ = 4K2, x2—6x4~(/2 = 0, */ = 0, x = 4. 1603. x= 12cos(-j-5sin/, i/ = 5cos/— 12sin/. 1604. x = acos3/, i/ = asin3(. 1605. p = 4/cos(9—Л/6), Q = jt/6, 0 = n/3. 1606. p = acos0, p = 2acos0. 1607. p = sin2 (0/2) (справа от луча 0 = л/2). 1608. p = asin39 (площадь одной петли). 1609. р = 2cos9, р=1 (вне круга р=1). 253
1626. Начти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой г/2 = (х—I)3 и прямой х = 2 (рис. 44). 2 2 А У = лУ y2dx = n§ (x—l)3dx=-^- л (х— I)4 |" = у л (куб- ед.). 1 1 1627. Найти объем тела, в основании которого лежит равно- бедренный треугольник с высотой h и основанием а. Поперечное сечение тела есть сегмент параболы с хордой, равной высоте сег- мента (рис. 45). Л Имеем ] АВ | = а, | ОС \=h, ] МК | = | DE |, | ОК |=х. Выразим площадь поперечного сечения как функцию от х, для чего предварительно найдем уравне- ние параболы. Длину хорды DE можно найти из подобия соответствующих тре- угольников, а именно: | DE \/а = (h—x)/h, т. е. | DE | = a (h—x)/h = | МК |. Положим \DE\ = m, тогда уравнение параболы в системе координат uKv 4 примет вид v = m-----и2. Отсюда находим площадь поперечного сечения данного тела: т/2 с о С / 4 2\ , 2 2 с / . 2 a2(h—x)2 S = 2 \ т-----и2 ]du = — т\ или S (,v)=— . —Ц-—- J \ т ) 3 v ' 3 h2 о Таким образом, h h о о Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фи- гур, ограниченных линиями: 1628. х2 = 8у. и х2+16 ’ и 1629. г/2 = х, х2 = у. 1630. y^Yxe*, х=1, у — 0. 1631. г/ = х2/2, у=*х*18 256
1632. Найти объем тела, ограниченного плоскостями х=1, х = 3, если площадь его поперечного сечения обратно пропорциональ- на квадрату расстояния сечения от начала координат, а при х = 2 площадь сечения рав- на 27 (кв. ед.). 1633. Найти объем цилиндрического кли- на по его размерам, указанным на рис. 46 (задача Архимеда). 1634. В цилиндрический стакан с водой вложен параболоид вращения вершиной вниз. Основание и высота параболоида совпадают с основанием и высо- той цилиндра. Найти объем оставшейся в стакане воды, если ра- диус основания равен г, а высота равна h. § 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Если дуга гладкой кривой y = f(x) (a^x^b) вращается вокруг оси Ох, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле b _______ 8х=2я уУ \-\-y,2dx. а Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х (/), у=у (t) (4^ то ^2 ____ 8х = 2я уУх2-\-у2 dt. 1635. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги синусоиды у = sin2x от х = 0 до х = л/2. А Находим у' = 2 cos 2х\ тогда л/2 5х=2л sin 2х ]/" 14-4 cos2 2х dx. о Произведем замену переменной: 2 cos 2х = t< —4 sin 2х dx~dt, .sin 2х dx= (—1 /4) dt. Найдем пределы интегрирования по t\ если х = 0, то / = 2; если х = л/2, то t = —2. Таким образом, — 2 2 S = 2n J = j /T+T2dz = 2 -2 (2/5+llnE5±|\=||-2|<5 + In(^-5 + 2)] (кв ед) \ у о — 2 / z Найти площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси Ох дуг кривых: 1636. r/ = 2ch(x/2) от х = 0 до х = 2. 1637. у = х3 от х = 0 до х= 1/2. 257
1638. x2/a2 + j/2/62=l. 1639. x = t—sin/, i/=l—cos/ (площадь, образованную враще- нием одной арки). § 7. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ ДУГ И ФИГУР Пусть на плоскости хОу задана система материальных точек y-fo А2 (х2; У 2), • • •, (хл; уп) с массами ть т2, • • •, тп. Статическим моментом Мх этой системы относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты: k — n Мх = 2 ткУк- к=Л Аналогично (как сумма произведений масс точек на их абсциссы) определяется статический момент системы относительно оси Оу. k=n Му= 2 mkxk* k=l Моментами инерции 1Х и /?/ системы относительно осей Ох и Оу называются суммы произведений масс точек на квадраты их расстояний от соответствующей оси. Таким образом, k — n k—П iх= 2 у= 2 k=l &=1 За статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур принима- ются соответствующие моменты условных масс, равномерно распределенных вдоль этих дуг и фигур с плотностью (линейной или плоскостной), равной единице. Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y = f (х) (а х Ь) вычисляются по формулам Ь Ь г Ь ъ Mx=^ydL; My=^xdL-, Ix=^y*dL-, 1у=^х2йЬ3 а а а а где dL = K*l+r/'2dx—дифференциал дуги кривой. Статические моменты и моменты инерции криволинейной трапеции, ограничен- ной кривой y=f(x), осью Ох и двумя прямыми х = а и х=Ь, вычисляются по формулам b b b ь Мх = ~^ ydS=-^ y2dx, Му = § xdS= § xy dx, а а а а b Ъ Ь /х = -~ y3dx, 1у=^ x2dS=^ x2ydx. а а а В этих формулах dS — ydx—дифференциал площади криволинейной трапеции. 1640. Найти статический момент и момент инерции полуокруж- ности у = Vг2—х2 (— г х г) относительно оси Ох. ъ А Статический момент Мх будем вычислять по формуле Мх=^уdL, где а 258
dL = V l~[-y'2dxt yr = — х/Уr2—x2. Тогда получим i-------------------г J у 1+^5 dx=r px = 2A -r -r Находим момент инерции относительно оси Ох\ а —г г г = г У г2—x2dx = 2r У г2—x2dx. -г о Введем подстановку x = rsin/, dx = г cos t dt; если x = 0, то t = Q; если X —г, то / = л/2. Следовательно, л/2 I x~2r J У г2 — г2 sin2 / г cos/t// = о л/2 С Г 1 1 Л/2 лт3 = г3 \ (1 + cos 2t)dt = r3 t+-^ sin 2t ▲ о 1641. Найти момент инерции площади эллипса x = acos/, # = bsirU относительно оси Оу. а А Момент инерции площади эллипса относительно оси Оу равен Iy~ \ х2 dS, -а где dS = 2ydx. Из параметрических уравнений эллипса находим dS = 2bsintX Ха (— sin /) dt = —2ab sin2 t dt, откуда о 0 Iy = 2 a2 cos21 (—2ab sin21) dt — — 4a?b J sin21 cos21 dt = Л/2 Л/2 Л/2 1 С лп^Ь =--а3Ь \ (1 — cos 4/) J/ = -^—. Д о 1642. Найти статические моменты и моменты инерции дуги астро- иды x = acos3/, y = asin:4, лежащей в I четверти (рис. 47). А В силу симметрии астроиды относительно координатных осей Mx = Myi 1х~1у. Поэтому достаточно вычислить моменты относительно оси Ох. Для I чет- верти имеем О t < л/2. Находим dL = x'f 4-у'* dt = За sin t cos t dt^ b л/2 л/2 p P I 3 Afx=\r/dL== \ a-sin3 t-3a sin t cos t dt~—^~ sin5 t =-^-a2i J J о I 5 a 0 0 b n/2 л/2 7* = J t/2 dL = J tz2 sin6 f-3tzsin /cos t d/ = -|-a3sin81 | =~a3. a Q 0 Итак, Mx — My = (3/5) a2; Ix = Iy — (3/8) a3. Д 259
1643. Найти момент инерции параболического сегмента, у кото- рого хорда равна а, а стрелка относительно хорды равна h (рис. 48). Л Имеем | АВ | = <7, \OC\=h. Уравнение параболы записывается в виде y = h — Nx2, где неопределенный коэффициент N можно найти, пользуясь тем, что точка В (а/2; 0) принадлежит параболе: 0 = h — Na2/4, или N = 4h/a2; следова- тельно, y=h — 4hx2ia2. Теперь находим искомый момент инерции: а/2 а/2 S y3dx=i§ (ft~5x2)3£/x=iSa/l3, -а,/2 0 1644. Найти статический момент и момент инерции дуги цепной линии у = ~ (ех/а + е~х/а), где 0 х а, относительно оси Ох. 1645. Найти статический момент и момент инерции треугольника с основанием а и высотой h относительно его основания. 1646. Найти момент инерции параболического сегмента, ограни- ченного параболой у = 4—х2 и прямой у = 3, относительно оси Ох. 1647. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и b относительно осей симметрии прямоугольника. 1648. Найти полярный момент инерции круга диаметра d, т. е. момент инерции относительно оси, проходящей через центр круга и перпендикулярной его плоскости. § 8. НАХОЖДЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ. ТЕОРЕМЫ ГУЛЬДЕНА Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой г/ = /(х)(а^ выражаются формулами ь ь x=T$xdL’ y=T$ydL’ а а где dL = Vrl-J-i/'2 dx, a L — длина дуги. Координаты центра тяжести криволинейной трапеции вычисляются по формулам ь ъ ь ь ~x=-^xdS=-^xydx’ y=iSydS=iSy2dx’ а а а а где dS = ydx, a В— площадь фигуры. Теоремы Гульдена Теорема 1. Площадь поверхности,) полученной при вращении дуги плоской 260
кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги. Теорема 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры, 1649. Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии у = a ch (х/а), —а х а. Л Так как кривая симметрична относительно оси Оу, то ее центр тяжести лежит на оси Оу, т. е. х = 0. Остается найти у. Имеем у' = sh (х/а); тогда dL = = У 1 +sh2 (х/а) dx = ch (х/а) dx\ длина дуги а а а L= \ /1 + у'2 dx ~ 2 \ ch — dx = 2а sh — = 2а sh 1. J J а «I -а О О Следовательно, - 1 С , 2 х , 1 С и2 Х А 1 С ( 1 . и л У = о—гт \ а с^2 — dx = -r—г \ ch2 — dx = х-гг, \ 1 4- ch — ] dx = * 2а sh 1 J a sh 1 J a 2 sh 1 J \ 1 a J -a 0 0 1 Г a 2x1 a a ( 1 \ a(2-|-sh2) - x4-— sh — — 14-— sh 2 =—tyt ~ 1,18a. A 2 sh 1 L * 2 a J о 2 sh 1 \ 1 2 у 4 sh m __а2Ь ~ 3S ’ 1650. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой эллипса x = acosZ, z/^bsin t, расположенной в I четверти, и осями координат. Д В I четверти при возрастании х от 0 до а величина t убывает от л/2 до 0; поэтому а 0 х=-у J ху dx — -^ J a cos t-b sin /(—nsin/)J/ = 0 л/2 л/2 a2b С . 2 . . , a2b 1 . ч = -— \ sin21 cos t dt = —— — sin31 о J о о 0 Воспользовавшись формулой площади эллипса S = nab, получим х = = (4а2Ь)/(Зла0 = (4а)/(3л). Аналогично находим а 0 У = ?У2 £/x = oV ? *2sin2 t (— asin t) dt = Zu Zu 0 Л/2 0 2йЬ2 C Z1 2.4 A M 4 I яЛ° 46 e=--— \ (1 — cos2 t) d (cos /) =— cos/—— cos3/ . nab J л I 3 ]л/2 3л л/2 Таким образом, х = 4а/(3л), г/ = 46/(3л). А 1651. Найти площади поверхностей и объемы колец (торов), образованных вращением круга (х—ау-[-(у—Ь)2^г2 вокруг осей Ох и Оу (a~^r, Ь^г). Д Если круг вращается вокруг оси Ох, то центр тяжести круга отстоит от оси вращения на расстоянии Ь; поэтому площадь поверхности, согласно первой 261
теореме Гульдена, равна Sx = 2яг-2лЬ = 4л2Ьг, а объем, согласно второй теореме Гульдена, равен Vx = nr2-2nb~2n2br2. Если же вращение производится вокруг оси Оу, то расстояние центра тяжести круга от оси Оу равно а. Тогда Sy = 2лг-2ла==4л2аг, Уу==лг2-2ла==2л2аг2. Д 1652. Пользуясь теоремой Гульдена, найти координаты центра тяжести четверти круга х2 + у2^г2. Д При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушаробъем которого равен У = (1/2)- (4лг3/3) = 2лг3/3. Согласно второй теореме Гульдена, У = (пг2/4)-(2лу). Отсюда у = 2УЦп2г2) = 2-2лг3/(Зл2г2) = 4г/(3л). Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т. е. на биссектрисе I координатного угла, а потому х=# = 4г/(3л). А 1653. Найти координаты центров тяжести полуокружности у = = V г2—х2 и полукруга, ограниченного этой полуокружностью и осью Ох. 1654. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями х = 0, х = я/2, у = 0, у = cos х. 1655. Найти координаты центра тяжести параболического сег- мента, ограниченного линиями у = 4—%2, у = 0. 1656. Найти координаты центра тяжести дуги астроиды х = s=acos3/, у = a sin3 / (в I четверти). 1657. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями у = 2х—я2, у = 0. 1658. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями х = 0, х = л/2, г/ = 0, у = sinx. 1659. Пользуясь теоремой Гульдена,^найти объем тела, образо- ванного вращением полукруга радиуса г вокруг касательной, парал- лельной диаметру. 1660. Пользуясь теоремой Гульдена, доказать, что центр тяжести треугольника отстоит от его основания на одну треть высоты. ф Найти объем тела, полученного вращением треугольника вокруг основания. 1661. Пользуясь теоремой Гульдена, найти объем тела, получен- ного при вращении прямоугольника со сторонами 6 и 8 вокруг оси, проходящей через его вершину перпендикулярно диагонали. § 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ И ДАВЛЕНИЯ Работа переменной силы X = f(x), действующей в направлении оси Ох на отрезке [х0, xj, вычисляется по формуле *1 А = f (х) dx. Хо Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому давление жидкости на площадку равно ее площади S, умноженной на глубину погружения h, на плотность р и ускорение силы тяжести g, т. е. P = pghS. 1662. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть 262
дружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см? Д Согласно закону Гука, сила X Н, растягивающая пружину на х м, равна X = kx. Коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если х — 0,01 м, то Х = 1 Н; следовательно, k= 1/0,01 = 100 и X — ЮОх. Тогда 0,04 0,04 А = 100х dx = 50x2 =0,08 Дж. о о 1663. С помощью подъемного крана извлекают железобетонную надолбу со дна реки глубиной 5 м. Какая работа при этом совер- шается, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром 1 м (рис. 49)? Плотность железобетона 2500 кг/м3, плотность воды 1000 кг/м3. Д Высота тетраэдра Д = / 6/3 м, объем тетраэдра У—У~ 2/12 м3. Вес надолбы в воде с учетом действия архимедовой силы равен Р = (1/12)./2.2500-9,8—(1/12)./1-1000.9,8 = 1225 / 2 (Н), поэтому работа при извлечении надолбы до момента появления на поверхности воды ее вершины составляет Ло=1225/ 2 (5—h) = 1225/ 2 (5 — / 6/3) « 7227,5 (Дж). Теперь найдем работу At при извлечении надолбы из воды. Пусть вершина тетраэдра вышла на высоту 5-]-*/; тогда объем малого тетраэдра, вышедшего из воды, равен 3 / Зу3/8, а вес тетраэдра Р <У) = 250?29’- К 2- / 2—1 (/3 3 1000-9,8. 12 12 о J УТ/з = j (1225 /"2 + 3675 /З/) А/= о 1225 /^ + ^5р< 3/К 6/3 « 2082,5 (Дж). Отсюда Д = Л0 + Л1 = 7227,5 Дж+2082,5 Дж = 9310 Дж = 9,31 кДж. 263
1664. Найти работу, совершенную при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а, радиус г (рис. 50). Л Объем элементарного слоя воды, находящегося на глубине х и имеющего длину а, ширину т = 2У г2—х2 и толщину dx, равен dV = amdx = 2ay г2 — х2 dx. Элементарная работа, совершаемая при поднятии этого слоя воды на высоту х, равна dA = 2pgax г2 — х2 dx, где р—плотность воды. Следовательно, г A = 2pga J х У r2 — x2dx = —pga (г2 —х2)3/2 j^ = -|-pg2r3. А 1665. Водопроводная труба имеет диаметр 6 см; один конец ее соединен с баком, в котором уровень воды на 1 м выше верхнего края трубы, а другой закрыт заслонкой. Найти силу давления на заслонку. Л Заслонка представляет собой круг радиуса 0,03 м. Разобьем площадь этого круга на элементы — полоски, параллельные поверхности воды. Площадь одного такого элемента, находящегося на расстоянии у от центра, равна (с точ- ностью до бесконечно малых высшего порядка) dS = 2y$—y2dy. Найдем силу давления, испытываемую этим элементом: dP = 2pg(l,03 —у) У9—у^у = 19600 (1,03—у) y^y^dy (здесь р=Ю00 кг/м3). Следовательно, з Р=19600 ^ (1,03—у) y^y^dy^ -з = 19 600 [ 1,03 arosin (Э-//2)372]^ =я = 9 800-9,27л и 0,09л Н. А 1666. Найти силу давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, диаметр которого 6 м и находится на поверхности воды (рис. 51). Плотность воды р= 1000 кг/м3. Л Дифференциал силы давления на элементарную площадку выразится так: dP = 2pgx У 9—х2 dx~ 19 600% У 9—х2 dx. Отсюда з Р = 19600 j х КЭ^Т2 dx = —(9-х2)3/2 О 3 = 176 400 Н = 176,4 кН. 4 о 1667. Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндри- ческом баке высотой h = 3,5 м и радиусом основания г = 1,5 м, на его стенки, если р = 900 кг/м3. Д Элемент силы давления на поверхность стенки в выделенной полоске выразится так: dP ~pg-2nrx dx. Отсюда h P = 2nrpg xdx = Tipgrh2 = 9,8ji' l,5*3,52«900 H = 161 700л; H = 161,7л; кН. A о 264
1668. Какую силу давления испытывает прямоугольная пластинка длиной а и шириной b (а > Ь), если она наклонена к горизонтальной поверхности жидкости под углом а и ее большая сторона находится на глубине h (рис. 52)? Д Площадь выделенной на глубине х элементарной полоски равна dS = = (a/sina)dx. Следовательно, элемент силы давления dP = (axpg/sin a) dx (р — плотность жидкости). Отсюда находим h + b sin а C xdx apg t i J sin a sin а * 2 h + b sin а 2'sfna + 2bh Sin а + 62 sin2 —/[21 = 1669. Найти силу давления на пластин- ку, имеющую форму равнобочной трапеции с основаниями а и & и высотой Л, погруженную в жидкость на глубину с (рис. 53). Д Площадь элементарной полоски выражается так: dS = (а + 2Z) dx, где Z = = (f>—ci) (х—c)/(2h) (I определяется из подобия треугольников). Следовательно, c + h п С Г । —а / Г ах2 . b—a f 1 о сх2 \ Дс+ Л ₽ = pg J [a+-I-(x-c)]xdx = pg[-J-+— (-х* —с = С = сА+4~<а+26)] Р£- А 1670. Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из конического сосуда, основание которого горизонтально и располо- жено ниже вершины, если радиус основания равен г и высота равна h. 1671. Из цилиндрической цистерны выкачивается жидкость. Какую работу надо совершить при этом, если длина цистерны равна а, а диаметр равен d? 1672. С помощью каната подъемным краном из воды поднимают камень конической формы. Найти работу, совершаемую при полном извлечении камня из воды, если вершина конуса находилась на Л h 265
поверхности воды. Радиус основания конуса 1 м, высота 3 м, плот- ность 2500 кг/м3. ф Здесь Р (у) = 14700-[-(9800/27) ш/3, где Р выражается в ньютонах. 1673. Чугунный прямой конус высотой 0,4 м и радиусом осно- вания 0,4 м находится на дне бассейна, наполненного до краев неф- тяным маслом. Найти работу, которую надо совершить при извле- чении этого конуса из бассейна, если плотность чугуна рх = 7220 кг/м3, а плотность нефтяного масла р2 = 890 кг/м3. ф Здесь Р (у) равна весу конуса без веса нефтяного масла, вытесненного частью конуса, т. е. Р (у) =— Ji-0,43pig—( — л-0,43 — -^-лг/3 ] p2g, где Р выра- о о о J жается в ньютонах. 1674. Цилиндрический баллон диаметром 0,24 м и длиной 0,8 м наполнен газом под давлением 2 кПа. Какую работу надо совершить при изотермическом сжатии газа до объема, в два раза меньшего? 1675. В жидкость с плотностью р погружена треугольная пла- стинка вершиной вверх. Найти силу давления жидкости на пла- стинку, если основание треугольника равно а, высота равна h. Вер- шина треугольника расположена на поверхности. 1676. Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндри- ческом баке высотой й = 4 м и радиусом г = 2 м (р = 900 кг/м3), на стенки бака на каждом метре глубины. 1677. В жидкость с плотностью р погружена круглая пластинка диаметром d, касающаяся поверхности жидкости. Найти силу дав- ления жидкости на пластинку. Составляя соответствующие интегральные суммы и производя предельный переход, решить следующие задачи: 1678. Найти массу стержня длины 1 м, если линейная плотность стержня меняется по закону б = 20х + 0,15х2, где х—расстояние от одного из концов стержня, в м; 6 — в кг/м. 1679. Скорость точки меняется по закону v = 100 + 8/ (где v выражается в м/с). Какой путь пройдет эта точка за промежуток времени [0, 10]? 1680. Точка движется по оси Ох, начиная от точки 7И(1; 0), так, что скорость ее равна абсциссе. Где она будет через 10 с от начала движения? 1681. Скорость точки изменяется по закону v = 2 (6 — t) (где v выражается в м/с). Каково наибольшее удаление точки от начала движения? § 10. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 1. Гиперболические функции. Гиперболическими функциями называются функ- ции, определяемые следующими равенствами: qX__е—х sh х =---5----гиперболический синус, 266
ch x — cx Jre~x гиперболический косинус9 2 th х = — гиперболический тангенс, ,, chx ех4-е~х cth х ----—гиперболический котангенс. shx ех—е~х Гиперболический косинус [является четной функцией, т. е. ch (—x) = ch(x), а гиперболические синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями: sh(— х) = — shх, th (— х) = — tgx, cth (— х) =— cthx. Полезно иметь в виду, что sh0=0, ch 0=1, ch2x—sh2x=l, th xcthx = 1. Г рафики гиперболических функций t/ = shx, r/ = chx и у = th х изображены соответст- венно на рис. 54—56. Рис. 55 Рис. 54 График гиперболического косинуса называется цепной линией. Цепная линия является линией провисания тяжелой нити, подвешенной в двух точках. Производные гиперболических функций находятся по формулам (shх)' = ch х, (chx)'=shx, (thх)' = 1/ch2х, (cthx)'=—l/sh2x. При интегрировании гиперболических функций используются формулы shxrfx = chx4-C, J chxdx=shх4~С, Ш=,|,х+С’ УA=-di,-+c- 2. Обратные гиперболические функции. Для гиперболических функций shx, ch х, th х, cth x обратные гиперболические функции определяются с помощью сле- дующих формул: arsh х = In (х+ Vх2+ 1) (— оо < х < + оо)—гиперболический ареа-синус, arch x=iln(x4- Ух2—1) (х^ 1)—гиперболический ареа-косинус1 1 1 -J-х arthx=Y^n y~''x (1*1 < 1)—гиперболический ареа-тангенс^ 1 х4-1 arcth х = у In ----- (I х | > 1)—гиперболический ареа-котангенс. Производные обратных гиперболических функций находятся по формулам <,гЛ'>'=лЪ’ (,rch’)'-±7iEf (arth X)’ = , (arcth x)' = — . Обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции связаны между собой следующими соотношениями (в комплексной плоскости): arsh х = — i arc sin xi; arch x = i arccos x, arth x = — i arc tg xi; arcth x — i arcctg xi. 267
1682. Доказать справедливость равенства sh (х + а) = sh х ch а ф- ch х sh а, Л По определению гиперболического синуса имеем qX + OL q — (X + <2) gX . qCL q — X , — (t sh (x+«) =-------g-----=---------2------• Так как e* = chx-{-shx, e~x = chx—shx, ea = ch a-j-shat e~a = oha— sh cz, to sh (x | a) — (Ch x + sh (ch 62 + sh a) — (ch x — sh x) (ch a — sh a) Выполнив алгебраические преобразования, получаем sh (*+<я) = sh х ch a-{-ch x sha. A 1683. Выразить ch(x + a) через гиперболические функции аргу- ментов х и а. Л Продифференцировав по х равенство sh (х4- а) = sh х ch а -}- ch х sh а, получаем ch (x-{-<2) = chxch a-{-sh xsh a. A 1684. Выразить sh2x и ch2x через shx и chx. Л Имеем sh 2x = sh (x-f-x) = sh x ch x-\- ch x sh x, ch 2x = ch (x-{-x) =ch x ch x-J- sh xsh x, t. e. sh 2x = 2 sh x ch x; ch 2x = ch2 x-}-sh2 x. A 1685. Выразить ch2x и sh2x через ch2x. Д Решив систему уравнений ( ch2 x-{-sh2 x = ch 2x, ( ch2x—sh2x= 1 относительно ch2x и sh2x, получаем ch2 x = (ch 2x-{- l)/2, sh2 x = (ch 2x — l)/2. Д 1686. Выразить гиперболические функции chxz и sbxz мнимого аргумента через sinx и cosx. А Находим exi___________e-xi exi____gxi_L_e—xi sh xi =-------= i------—---= i sin x, ch xi = —-4-= cos x. 2 2i 2 Итак, sh xi = i sin x, ch xi = cos x, A 1687. Выразить тригонометрические функции sinxz и cosxf мни- мого аргумента через shx и chx. А Подставив в формулы shxz = f’sinx и chxz = cosx (см. задачу 1686) xi вместо х, получим sh xi2 = i sin xz, chxz2 = cosxz, t. e. sin xi = =s = zshx, cosxz = ch(—x)=chx. Итак, sin xz = zshx, cosx/ = chx. A 1688. Какая линия определяется параметрическими уравнениями x = ach/, x = ash/ при а > О? А Исключим из этих уравнений /, для чего из х2 вычтем у2: х2—y2 = a2(ch2t—sh2/), т. е. х2—у2 = а2. 268
Кривая х2—у2 = а2 является равносторонней гиперболой, асимптотами которой служат прямые z/=±x. Данная кривая является правой ветвью этой гиперболы, так как x = aoht > 0 при любом t (рис. 57). А 1689. Точка М лежит на правой ветви равносторонней гиперболы x = ach/, y = asht. Из точки М опущен перпендикуляр MN на ось абсцисс и эта же точка соединена отрезком ОМ. с началом коор- динат. Из вершины А гиперболы восставлен перпендикуляр АК до пересечения в точке Л с отрезком ОМ (рис. 58). Доказать, что ( NM |:tz = sh t, [ ON |: a = ch/, \AK |:a = th t. Д \ NM\:a = y:a=sh t, \ ON\:a = x:a = ch t, | AK |:a = | NM |;| ON | = (| NM |:a)/(| ON |:a) = sh //ch/-th t. Д 1690. Точка M лежит на правой ветви равносторонней гиперболы x = ach/, y = Вычислить площадь гиперболического сектора, ограниченного ветвью гиперболы, осью абсцисс и отрезком ОМ (рис. 59). х Л Имеем S — SqNM.—$ANM — ХУ — ^ydx. Так как x = ach/, у = а sh /, то а dx = ashtdt, откуда t t 1 Pl р S = — я2 sh / -ch t—a2 \ sh2 t dt = -^a2sh / -ch /-1 (ch 2t — 1) dt = J J о 0 1 1 CL2 CL2t =4 a2 sh 2t—ra2 sh 2Z+4- <=44. 4 4 1 2 2 Таким образом, t = 2S/a2. Итак, аргумент t гиперболических функций можно рассматривать как частное от деления удвоенной площади гиперболического сек- тора ОАА4 на квадрат действительной полуоси. А 1691. Найти производные функций: 1) у= In (chx + Kch2%+ 1); 2) z/ = 5sh3 (x/15) + 3sh5 (х/15); 3) z/ = 2arctg (th(x/2)); 4) i/ = thx—-|-th5x + -g-th5x; 5) y = arcctg(l/shx); 6) t/ = lnth(№/4). 269
1692. В какой точке цепной линии у = chx касательная образует с осью абсцисс угол а = л/4? 1693. Исследовать на экстремум функцию у = ch (х/2)— 1. 1694. Найти: 1) ^*x2chxdx; 2)- J sh4xdx; 3) J =dx; 4) yshxsinxdx; 5) j* dx; 6) J sh3 (x/3) ch2 (x/3) dx. 1695. Вычислить определенные интегралы: ln(l+V"2) In 2 In з f ch x dx n\ С Г 1) J }/~4—sh2x’ 2) J th2xdr> 3) J xchxdx. 0 0 0 1696. Выразить sh(x—a) nch(x—а) через гиперболические функ- ции аргументов х и а. 1697. Выразить th(x + a) и th(x—а) через thx и th а. Найти th2x. 1698. Выразить через chx гиперболические функции половин- ного аргумента sh(x/2), ch(x/2) и th(x/2). 1699. Привести к виду, удобному для логарифмирования, выра- жения shx ± shy, chx ± ch у, thx ± thy. 1700. Выразить shx и chx через th (х/2). 1701. Представить произведения гиперболических функций shx ch у, shx shy, chx ch у в виде сумм. 1702. Вычислить площадь, ограниченную кривой y = shx и пря- мыми х = 1п5, у = 0. 1703. Найти длину дуги кривой у = ach (х/a), заключенной между прямыми х = 0, х = а. 1704. На кривой x = ach/, y = ash/ даны точки М и N, соот- ветствующие значениям t = tt и t — Вычислить площадь сектора 0MN. 1705. Какая линия определяется уравнениями x = a/cht, у = = b th t, если a > 0, b > 0? 1706. Какая, линия определяется уравнениями x = ch2/, y = sh2/? 1707. Дано sin a = th/. Выразить cos а и tga через /. 1708. Упростить выражение (cos х ch у + i sin x sh y)2—(cos x sh у -j- i sin x cos y)2. 1709. Упростить выражение (x ch / 4~ у sh/)2—(x sh t -j- у ch /)2. 1710. Доказать тождества: , ,1. i_ (chx 4 shx)" 4-(chx—shx)” (ch x + sh x)" = ch nx + sh nx; ch nx= -1; h (chx-f-shx)"— (chx—shx)” тл (ex~e~x)n (ex+ e~x)n 1711. Используя равенства sh" x = -——~~ ’> ch" x = -—, доказать, что ch3 x = 4- ch 3x 4- 4- ch x, sW x = X sh 5x—X sh 3x 4- 4- sh x. 4 1 4 16 16 1 8
ГЛАВА XI ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ § 1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ОБЛАСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ Пусть задано линейное неравенство с двумя переменными х^ и х2: 0i*i Ч" 0-2*2+ (1) Если величины Xf и х2 рассматривать как координаты точки плоскости, то сово- купность точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (1), называется областью решений данного неравенства. Областью решений неравен- ства (1) является полуплоскость. Для того чтобы установить, какая из двух полуплоскостей соответствует неравенству (1), достаточно привести это неравенство к виду x2'^kx1-\-l или к виду x2^kxt-{-l. В первом случае искомая полуплоскость лежит выше прямой -\-а2х2-}-Ь = б, во втором — ниже ее. Если же а2 = 0, то ?неравенство при- водится к одному из видов Xi й или Xi h, т. е. полуплоскость лежит справа или слева от прямой Xi = h. В случае же, когда задана система неравенств Ч~ 012*2 Ч~^1^0> 021*1 Ч" 022*2 +^2^0, (2) ^mlxi4~ агл2х2 0, где т— конечное число, получим пересечение конечного числа полуплоскостей, образующее многоугольную область D. Область D называется областью решений системы неравенств (2). Эта область не всегда бывает ограничена, она может быть и неограниченной и даже пустой. Последний случай имеет место тогда, когда система неравенств (2) противоречива. Могут быть также случаи лишних нера- венств, входящих в совместную систему и определяющих прямые, не имеющие с областью D общих точек. Такие неравенства можно исключить. Область решений обладает важным свойством—она является выпуклой, т. е. вместе с любыми своими двумя точками содержит и весь соединяющий их отрезок. Прямая, которая имеет с областью по крайней мере одну общую точку, притом так, что вся область лежит по одну сторону от этой прямой, называется опорной по отношению к этой области. Аналогично истолковывается геометрически и система неравенств с тремя переменными: ' 0Ц*1 Ч-012*2 + 013*3 021*1 Ч- 022*2 Ч" 023*3 Ч“^2^^> /о\ < 0/Я1*1 + 0/722*2 Ч~0/Л 3*3 4“ ^3 Здесь каждое из неравенств выполняется для одного из полупространств, на кото- рые разбивает все пространство соответствующая плоскость. Система неравенств (3) представляет собой пересечение полупространств, т. е. многогранную область реше- ний системы неравенств. 1712. Найти полуплоскость, определяемую неравенством 2xx4- + 3х2—12^0. 271
Д Заменяя знак неравенства на знак точного равенства, получим уравнение прямой 2х1-\-Зх2—12 = 0 или х2 = (—2/3)хх4-4 (рис. 60). Приведем данное нера- венство [к виду х2<:(—2/3) Xi4-4. Следовательно, искомая полуплоскость распо- ложена ниже прямой х2 = (—2/3) Xi4~ 4. Д 1713. Какую полуплоскость определяет неравенство 2xx—Зх2^0? Л Заменяя знак неравенства на знак точного равенства, получим уравнение прямой 2хх—Зх2 = 0 или x2 = (2/3)xi, проходящей через начало координат. Из неравенства 2xf—Зх2^>0, т. е. х2^(2/3)х1, вытекает, что искомая полуплоскость расположена ниже прямой x2 = (2/3)xi (рис. 61). Д 1714. Найти область решений системы неравенств —1^0, х2—1^0, %!4-х2—3^0, —6х,—7х24~42^0. Д Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, получим уравнения четырех прямых: х±—1=0, х2—1=0, х14~а'2 — 3 = 0 и 6xx4-7x2—42 = 0, изобра- женных на рис. 62. Приведем данные неравенства к виду хх^1, х2>*1, х2^—Xi4-3, х2<(—6/7) Хх4-6. Штриховка показывает те из полуплоскостей, которые служат областями решений соответствующих неравенств. Областью реше- ний системы неравенств является выпуклый четырехугольник. 4k 1715. Найти область решений системы неравенств xt 0, xt + ^2 — — 2^0, —х24-1^0, %! <^2. Д Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, получим уравнения четырех прямых: хх = 0, Хх4-х2 — 2 = 0, хх—х2+1 = 0, Хх = 2, изображенных на рис. 63. Приведем данные неравенства к виду Xi^O, х2>=—Xi-f-2, *2^*1+1, Xi<;2. Областью решений системы неравенств является неограниченная выпуклая фигура. Д 1716. Найти область решений системы неравенств хх^2, %х 4- Зх2 %i—х2 4-1 0. Д Построим соответствующие прямые. Из рис. 64 видно, что не существует ни одной точки, общей для всех трех полуплоскостей. Это означает, что область решений «пустая» и заданная система неравенств несовместна. Д 1717. Найти область решений системы неравенств 2xt—х2^—2, *1 — *2>— 2, 2хх—х2^3. Д Эта система неравенств не имеет решений. Геометрически это означает, что не существует ни одной точки, координаты которой удовлетворяют всем неравен- ствам данной задачи (рис. 65). Д 1718. Найти область решений системы неравенств Зхх—х2^0(а), *!—х2<0(б), 2%14-х2^6(в), Х{<2(г), Зхх—х2> — 4(д). 272
л Пяти заданным неравенствам соответствует множество точек плоскости, эразующее треугольник АОВ (рис. 66). Неравенства (г) и (д) могут быть исклю- эны, так как неравенство (д) определяет граничную прямую, не имеющую с тре- гольником АОВ общих точек, а прямая, определяемая неравенством (г), имеет дну общую точку с треугольником и является опорной. А 1719. Найти область решений системы неравенств %i^0, х2^0, з^О, + —1^0, 3xj + %2—Зх3 0. Д Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, получим уравнения носкостей *1 = 0, х2 = 0, х3 = 0, Xi + x2 —1=0, 3xi^-x2 — Зх3 = 0, которые изоб- ижены на рис. 67. Областью решений системы неравенств служит выпуклый [етырехгранник ABOCD. А 1720. Как расположена полуплоскость, координаты точек кото- рой удовлетворяют неравенству х±—х2—10^0? Найти область решений системы неравенств: 1721. х±-]-х2— 5^0, —х2— 5^0, ^^7. 1722. Х]_ — 5х2-|-5^0, х^Зл^— 3^0, 1723. Xi + Xj^O. 1724. —.r2H-1^0, 2x1-|-x2 — 7^0, —2x2 + 4^0. 1725. x2^0(a), 4xt — x2^0(6), x2^6(b), 4xx + x2 40 (r), *1--*2 + 8>0(д). 1726. x2 1, x3>0, x1-]-x2Jrx3 — 5^0. 1727. xt ^4, 2x2—x3^0, x2 + x3 3, x3^0. 10 № 1474 273
§ 2. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Задача линейного программирования заключается в изучении способов отыс- кания наибольшего или наименьшего значений линейной функции при наличии линейных ограничений. Функция, наибольшее или наименьшее значение которой отыскивается, назы- вается целевой функцией, а совокупность значений переменных, при которых дости- гается наибольшее или наименьшее значение, определяет так называемый опти- мильный план. Всякая же другая совокупность значений, удовлетворяющая ограничениям, определяет допустимый план (решение). Пусть ограничения заданы совместной системой т линейных неравенств с п переменными: (^11*1 + ^12*2 + ♦•• ainxn'^ ^21*1 + а22Х2 + • • • + а2ПХП + > amixi + ат2х2 + * • • + ^тпхп Среди неотрицательных решений этой системы требуется найти такое решение,’ при котором линейная функция (целевая функция) L = c1x1 + c2x2 + ... +спхп+с0 принимает наибольшее (наименьшее) значение или, как говорят, максимизировать (минимизировать) линейную форму L. Покажем, как решается указанная задача геометрическим методом, для чего ограничимся рассмотрением совместной системы линейных неравенств с двумя и тремя переменными. Пусть, кроме того, задана линейная функция Ь — с1х±-\-с2х2-\-с0. Найдем среди множества точек (Xi; х2) из области решений совместной системы неравенств такие, которые придают заданной линейной функции наименьшее (наи- большее) значение. Для каждой точки плоскости функция L принимает фиксиро- ванное значение L=Li. Множество всех таких точек есть прямая CiXi + с2х2 + с0 — Ьн перпендикулярная вектору С^; с2), выходящему из начала координат. Если эту прямую передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора С, то линейная функция L = + с2х2 + с0 будет возрастать, а в противоположном направлении — убывать. Пусть при движении прямой L в положительном направ- лении вектора С она впервые встретится с многоугольником решений в его вер- шине, тогда в этом положении Li прямая L становится опорной, и на этой прямой функция L принимает наименьшее значение. При дальнейшем движении в том же направлении (положительном) прямая L пройдет через другую вершину многоугольника решений, выходя из области решений, и станет также опорной прямой L2; па ней функция L принимает наибольшее значение среди всех значе- ний, принимаемых на многоугольнике решений. Таким образом, минимизация и максимизация линейной функции L = CiXi + + с2х2 + с0 на многоугольнике решений достигаются в точках пересечения этого многоугольника с опорными прямыми, перпендикулярными вектору С (сх; с2). Опорная прямая может иметь с многоугольником, решений либо одну общую точку (вершину многоугольника), либо бесконечное Множество точек (это множество есть сторона многоугольника). Аналогично, линейная функция трех переменных L = сАхг + с2х2 + с3х3 + с0 принимает постоянное значение из плоскости, перпендикулярной вектору С (сх; с2; с3). Наименьшее и наибольшее значения этой функции на многограннике решений достигаются в точках пересечения этого многогранника с опорными плоскостями,- перпендикулярными вектору С (сх; с2; с3). Опорная плоскость может иметь с мно- гогранником решений либо одну общую точку (вершину многогранника), либо бесконечное множество точек (это множество есть ребро или грань многогранника). 1728. Максимизировать линейную форму Л = 2%1 + 2%2 при огра- ничениях: 3^1—2х2>— 6, 3x1Jrx2'^3t А Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим область решений по уравнениям прямых Зхх —2х2 + 6 = 0, Зхх + *2 —3 = 0, Xi = 3 (рис. 68). 274
Областью решений неравенств является треугольник MNP. Построим вектор С (2; 2). Тогда опорная прямая при выходе из треугольника решений пройдет через точку Р (3; 15/2), а потому в точке Р линейная функция L = 2x1-\~2x2 принимает наи- большее значение, т. е. максимизируется, и Лтах = 2-3 + 2« (15/2) = 21. А 1729. Минимизировать линейную функцию L=l2x1-\-iix2 при ограничениях: х1-\-х2'^2, Xj^l/2, х2^4, хг—х2^.О. Л Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим область решений, ограниченную прямыми Xi4*^2 = 2, х±= 1/2, х2 = 4, Xi—х2 = 0. Область Рис. 68 Рис. 69 Рис. 70 решений — многоугольник MNPQ (рис. 69). Строим вектор С (12; 4). Опорная прямая проходит через точку М (1/2; 3/2) — это первая точка пересечения много- угольника решений с прямой L при перемещении этой прямой в положительном направлении вектора С. В точке М линейная функция L = 12x14~4x2 принимает наименьшее значение Amjn= 12- (1/2) 4-4- (3/2) = 12. А 1730. Найти наибольшее значение функции Ь = х1-уЗх.-\-Зх3 при ограничениях: х24-*3^3, xt—х2^0, Зх± + 15. Д Построим область решений системы неравенств по уравнениям плоскостей: х2 + х3 = 3, Xi—х2 = 0, х2=1, Зх14~х2=15. Областью решений является много- гранник MNPQRS (рис. 70). Построим вектор С(1; 3; 3). При перемещении опорной плоскости в положи- тельном направлении вектора С она выйдет из многогранника решений в точке N (4; 3; 0). Поэтому в точке N линейная функция L — xt 4-Зх2 4- Зх3 примет наибольшее значение, т. е. Amax-44-3.34-3.0=13. JL 1731. Найти наибольшее значение функции £ = 3%! — 6х24-2х3 при ограничениях: 3^4“ 4~3х2 4~ 2х3 6, х± 4- 4х2 4- 8х3 8. Д Построим область решений системы линейных неравенств, взяв плоскости Зхх + Зх2 + 2х3 = 6, хг + +4х2+ 8*3 = 8, *1 = 0, х2 = 0, Хз — 0. Эта область есть многогранник MN0PR (рис. 71). Построим вектор С(3; —6; 2). При перемещении опорной плоскости в поло- жительном направлении вектора С она выйдет из мно- гогранника решений в точках ребра MR. Следовательно, наибольшее значение данной функции принимается в точках отрезка MR. Убеждаемся в этом, подставив координаты точек М (2; 0; 0) и 7? (16/11; 0; 9/11) в линейную форму L; получим 10* 275
1732. Найти наибольшее значение функции L = x1-\-3x2 при огра- ничениях: *i4-4*2^4, *х4- *2^6, *2^2. 1733. Минимизировать функцию L = x1—х2 при ограничениях: 3<Z*X + х2 <17, 1 х2 4, х± <14. 1734. Найти наибольшее значение функции L = 3*x— 4х2 при ограничениях: %х— 2*2^6, *х4-2*2^0, *х^6. 1735. Найти наибольшее значение функции L =— *х4-2*2 при ограничениях: %х—8*2 10, хх4-*2^1> %х— 5*2^— 5, Зхх+ 4~ Ю*2 30. 1736. Найти наибольшее значение функции L = 8*x—2х2 при ограничениях: 3%х + 4*2 18, 3*х—*2^3, *2^6, 2x1Jrx2 18, 4*х— *2^24. 1737. Минимизировать линейную форму L = — 2*х—*24-3*3 при ограничениях: хх4-х2^2, 3*х 4-*2 6, *3^3. 1738. Найти наибольшее значение функции L = xt; + 2х2 4- З*3 при ограничениях: хх + *2^3, хх4-*2—*3^0, Зхх4-3*2—*3^0. 1739. Найти наибольшее значение функции L = 10*x4-*3 при ограничениях: Зхх 2х2 4- х3 6, 3*х—Зх24-*3^6, *3^3. § 3. СИМПЛЕКС-МЕТОД w 1. Понятие о симплекс-методе. Решение основной задачи линейного програм- мирования геометрическим методом является наглядным в случае двух и даже трех переменных. Для случая же большего числа переменных геометрический метод становится невозможным. Так называемый симплекс-метод принадлежит к числу аналитических методов решения основной задачи линейного программиро- вания. Система ограничений в вычислительных методах обычно задается системой линейных уравнений f 011*14“ 012*2 4" • • • 4"0f«*n = bi, 021*1 4" 022*2 4" ••• 4" 02Л*П = b2f Q) < 0/Z?l*l 4"0/л2*2 4" • • • 4“0/Z?n*n ~ bm и среди неотрицательных решений системы уравнений (1) надо найти такие, кото- рые максимизировали бы линейную функцию L = сххх 4- с2*2 4- • • • 4- спхп 4- со* Выразим хх, *2, (г^т) через остальные переменные: f *i = 0i, r+i*r+i4~ •• • 4“0in*n4~^i, , *2 = 02, Г+lXr+l 4" • • • 4_02П*н4“^2, (П\ *г ~аг, г+1*г+14“ • • • 4-0ГП*п4- Ьг, где b2 ^0, ..., b'r^O. Если ограничительные условия заданы неравен- ствами, то их можно преобразовать в равенства путем введения новых неотрица- тельных переменных, так называемых балансовых (выравнивающих). Например, в неравенстве ах*х 4-012*2 4-••• 4~0«*п достаточно добавить к левой части некоторую величину *л+!^0 и получится равенство 0i*i 4" 02*2 4" • • • ~Vanxn 4~*«+i=b. Ограничительные условия могут задаваться и смешанным образом, т. е. нера- венствами и уравнениями, тогда указанным путем их можно свести только к уравнениям. Переменные (неизвестные) *х, *2, ...,*г называются базисными, а 276
весь набор {xf, х2, ..., хг} — базисом, остальные переменные называются свободны ми 5 система ограничений (2) называется системой, приведенной к единичному базису. Подставляя в линейную форму L вместо базисных переменных их выражения через свободные из системы (2), получим — То + У г + 1х г +1 + • • • + Упхп- Теперь, полагая все свободные переменные равными нулю, найдем значения базисных переменных: ад —b[, х2 = Ь2, . •., xr-=b'r. Таким образом, решение (b'\, b2, 0, ..., 0) системы является допустимым — оно называется базисным. Для полученного базисного решения значение линейной формы ДБ —у0. Реше- ние задачи с помощью симплекс-метода распадается на ряд шагов, заключаю- щихся в том, что от данного базиса Б мы переходим к другому базису Б' с таким расчетом, чтобы значение Lb уменьшалось или, по крайней мере, не увеличи- валось, т. е. Lb,^Lb. Идею метода проследим на конкретных примерах. 1740. Максимизировать линейную форму L =—х44-х5 при ограни- чениях: Хх + %4—2х5 = 1, х2 — 2х4 + х5 = 2, х3 + Зх4 + х5 = 3. А Данная система уравнений-ограничений совместна, так как ранги матрицы системы /10 0 1 — 2\ (010—2 1 ) \0 0 1 3 1/ и расширенной матрицы /10 0 1 — 2 1\ (010—2 12) \0 0 1 3 13/ совпадают и равны 3. Следовательно, система уравнений совместна и три пере- менные (базисные) можно линейно выразить через две свободные переменные. Выразим, например xlt х2 и х3 через х4 и х-а, т. е. приведем систему к единичному базису: ( *1=1—x4-f-2x5, •! х2 = 2-|-2х4—х5, (л) I ад = 3—Зх4—х5. Линейную форму L — — *4 + *5 выразим через свободные переменные х4 и х5 (в данном примере L уже выражена через х4 и *5). Теперь при х4 = 0, х5 = 0 найдем значения базисных переменных: ад = 1, ад = 2, *3 = 3. Таким образом, первое допустимое решение системы уравнений есть ад = 1, ад = 2, х3 = 3, х4 = 0, х5—0, или (1, 2, 3, 0, 0). При найденном допустимом решении линейная форма L имеет значение 0, т. е. Т1 = 0. Теперь попытаемся увеличить значение L4; увеличение х4 уменьшит Li, так как перед х4 стоит отрицательный коэффициент, а увеличение х5 дает увеличение и L1. Увеличим поэтому *5 так, чтобы ад, х2, *3 не стали отрицательными, оставив лд = 0. Из второго уравнения системы (••>•) следует, что ад можно увеличить до 2. Таким образом, получаем следующие значения переменных: ад = 5, *2 = 0, *з=1» *4 = 0, х5 = 2 или (5, 0, 1, 0, 2). Значение линейной формы L при этом допустимом решении равно L2 = 2, т. е. при втором шаге оно увеличилось. Далее, примем за свободные переменные х2 и х4, т. е. именно те переменные, которые в новом решении имеют нулевые значения. С этой целью из второго уравнения системы (❖) вырази1\1 ад через х2 и *4 и получим *5 = 2 — а2 + 2*4. 277
Тогда f Xi — 5 — 2x2 + 3*4,' < X3=l+*2 —5*4, I *5 = 2 —X2 4-2*4, <**) L = 2— *2 + *4« Для увеличения значения L будем увеличивать х4. Из второго уравнения системы (**) видно, что при условии неотрицательности х3 значение х4 можно довести до *4=1/5. При этом условии новое допустимое решение есть *1 = 28/5, *.2 = 0, *з = 0, *4=1/5, *5=12/5 или (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5). Значение линейной формы при этом L3 = 11/5. Выразим теперь х1} х4, х5 через свободные переменные х2 и *3: / хх = 28/5 — (3/5) *3 — (7/5)*2, < х4=1/5—(1/5)х3 + (1/5)х2, I х5= 12/5 —(2,5)х3—(3/5)х2, (***) L =11/5 — (1 /5)*3 — (4/5)*2. Так как в последней линейной форме обе свободные переменные входят с от- рицательными коэффициентами, то наибольшее значение L достигается при х2 = 0, *з = 0. Это означает, что решение (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5) является оптимальным и ^тах = 11/5. А 1741. Максимизировать линейную форму L = x2 + x3 при ограни- чениях: —х2 + х3 = 1, х2 — 2х3 + xi = 2. Д Система уравнений-ограничений совместна, так как ранги матрицы систе- мы уравнений и расширенной матрицы одинаковы и равны 2. Следовательно, две базисные переменные можно выразить линейно через другие две свободные. При- мем за свободные переменные х2 и *3. Тогда I *1 = 1+*2 —*3, ( *4 = 2—*2 4-2*3 j L=*2 + *3. При *2 = 0 и *з = 0 базисные переменные хх = 1, х4 = 2, т. е. имеем первое допус- тимое решение (1, 0, 0, 2) и Lx = 0. Увеличение L можно осуществить при уве- личении *3 до 1. Тогда при х3=1, х2 = 0 значения базисных переменных хх = 0, х4 = 4. Новое допустимое решение (0, 0, 1, 4) и L2 = l, Выразим теперь х3 и х4 через хх и х2: ( *3 — 1—*1 + *2, ( *4 = 4 — 2*14~*2, L = 1 —хх + 2х2. Увеличение L возможно при увеличении *2. Увеличение же х2 не ограничено, судя по последней системе уравнений. Таким образом, L будет принимать все большие положительные значения, т. е. Ьгпах = 4~°о. Итак, форма L не ограни- чена сверху, а потому оптимального решения не существует. ▲ 1742. Задана система ограничений: хл + х2 + 2х3—х4 = 3, х2 + 2х4 = 1 и линейная форма Л=5хх—х3. Найти оптимальное решение, миними- зирующее линейную форму. Л Эту задачу можно было бы свести к задаче нахождения максимума фун- кции Li=—L, т. е. Lx =—бХ1 + *з, но это необязательно. Рассуждая аналогич- но предыдущему, ее можно решить, не сводя к максимизации. Данная система уравнений совместна, так как ранги матрицы системы и расширенной матрицы одинаковы и равны 2. Следовательно, систему уравнений можно, например, пе- 278
реписать так: Г Xf = 2— 2х3—l-3x4j \ х2 = 1—2х4, L = 10 — 11Хз -г 16x4. Здесь за базисные переменные приняты х4 и х2, а за свободные х3 и х4. При х3 = 0 и х4 = 0 первое базисное решение есть хх = 2, х2=1, х3 = 0, х4 = 0 или (2, 1, 0, 0), a Lj = 10. Уменьшение линейной формы L вызывается увеличением х3, так как перед х3 в форме L стоит отрицательный коэффициент, причем уве- личение Хз возможно только до 1, а значение х4 = 0 остается. Если примем х3 = 1, то xi = 0, х2 = 1, х3 = 1, х4 = 0 или (0, 1, 1, 0)—второе базисное решение, при котором L2— —1. Выразим х2 и х3 через новые свободные переменные х± и х4: ( х2=1—2х4, I Хз = 1 —(1/2)х1 + (3/2)х4, L = — 14- (1 i/2)xi — (3/2)х4. Теперь уменьшение значения формы L зависит от увеличения х4 до х4 = 1 /2 (при этом х2 неотрицательно), а значение хх = 0 остается. В этом случае имеем новое допустимое решение х4 = 0, х2 = 0, х3 = 7/4, х4 = 1/2 или (0, 0, 7/4, 1/2), при котором L = —7/4. Выразим х3 и х4через свободные переменные х4 и х2: Г Хз = 7/4-(1/2)х1-(3/4)х2, \ х4= 1/2 —(1/2)х2, L = -7/4 + (11/2)xi + (3/4)x2. Так как дальнейшее уменьшение значения формы L невозможно из-за положи- тельности коэффициентов при Xi и х2, то допустимое решение задачи (0, 0, 7/4, 1/2) является оптимальным. Наименьшее значение L равно — 7/4. А 1743. Максимизировать линейную форму L = 2x1—х4 при следу- ющей системе ограничений: (Xi -f- х2 5х3 ~ 20, х2 —2х4 5, — Xf -j- х2 -f- Хз 8. А Так как система ограничений задана смешанно, то приведем ее к системе уравнений, введя новую неотрицательную переменную х5 в левую часть второго условия с отрицательным коэффициентом, а хб — в третье условие с положитель- ным коэффициентом. Тогда получим систему уравнений ( Xi -j- х2 -|- 5х3 = 20, । х2 —j-2х4 — Х5 = 5,’ \ —Xi — x2-j- Хз-f- Хз = 8. Приведем эту систему к единичному базису, выбрав за базисные переменные х15 х2, х3 (в силу того, что ранг матрицы системы равен 3): Xi = 15 + 2х4—х5, х2 = 5—2х44~х5, х3 = 28 — хб. (*) Линейная форма тогда примет вид L = 30+3x4—2х5. При х4 = 0, х5 = 0, хб = 0 базисные переменные имеют значения х4 = 15, х2 = 5, х3 = 28, т. е. первое допустимое решение (15, 5, 28, 0, 0, 0); при этом Lf = 30. Для того чтобы значение L увеличилось, необходимо увеличивать х4, так как эта переменная входит в выражение для L с положительным коэффициентом. Увеличение же х4 возможно до х4 = 5/2—это видно из второго условия системы ограничений (*). При х4 = 5/2, х5 = 0, хб = 0 значения других переменных тако- вы: Xi = 20, х2 = 0, х3 = 28 т. е. получим второе допустимое решение (20, 0, 279
28, 5/2, 0, 0), и линейная функция L примет вид £ = 75/2— (3/2)х2— (1/2)х5, а при втором допустимом решении ее значение равно L2 = 75/2. Теперь, поскольку коэффициенты при переменных в L отрицательны, увели- чение значения L невозможно. Следовательно, £тах = 75/2 = 37,5. А 1744. Для изготовления изделий двух видов имеется 100 кг металла. На изготовление одного изделия I вида расходуется 2 кг металла, а изделия II вида — 4 кг. Составить план производства, обеспечивающий получение наибольшей прибыли от продажи изде- лий, если отпускная стоимость одного изделия I вида составляет 3 руб., а изделия II вида—2 руб., причем изделий I вида требу- ется изготовить не более 40, а изделий II вида — не более 20. Д Пусть изготовлено хг изделий I вида и х2— II вида. Тогда имеем следую- щие ограничения на переменные х± и х2: г лд^40, < х2 С 20, I 2хг + 4х2 = 100. Целевая функция имеет вид £ = Зад 4-2х2. Преобразуем смешанную систему ограни- чений в систему ограничений в виде уравнений, введя новые переменные х3 и ад: ( *1’4“ *з = 40, \ Х2 ~F ^"4 == 20, V ад4"2х2 = 50. Ранг матрицы этой системы /1 0 1 0\ (0101 V 2 0 0/ равен 3. Выберем за базисные переменные хъ ад, х3 и перейдем к единичному базису: г ад=10 4-2ад, < ад = 20— ад, I *з = 30 — 2х4. Первое допустимое решение получится при х4 = 0, *4=10, *2 = 20, ад = 30. При этих значениях переменных £ = 70. Увеличения значения целевой функции можно достигнуть путем увеличения х4 до х4=15, судя по третьему уравнению. Тогда при *4=15, *1 = 40, х2 = 5, а:3 = 0 имеем £=130. Второе допустимое решение (40, 5, 0, 15); хх = 40 — х3, х2 = 54- (1/2) ад, х4=15 — (1/2) ад, £=130 — 2х3. Коэф- фициент при х3 в целевой функции отрицателен, а потому дальнейшее увеличение £ невозможно. Следовательно, оптимальное решение ад = 40, х2 = 5 и £max=130. Д 2. Симплексные таблицы. Систему ограничений сведем к единичному базису: *1+ • • • + i xr + i+ • • • хп = ^i, */+••• г + 1 *г + 1+ • • • ~\~ain хп — хг + • • • г + 1 *г + 1+ • • • ~Yarnxn — br, а линейную форму £ — к виду + Yr + i + !+ ••• + 7fx /+••♦+ Упхп = То* (1) 280
В виде таблицы эти данные можно тредставить так: Базисные перемен- ные Свободные члены Xi Xi Xr Xr+l xj Xn Xi bi 1 0 0 ^1» r + 1 an am xi bi 0 1 0 ah r + 1 alJ ain Хг br 0 0 1 ar> r + 1 °rj arn L То 0 0 0 Yr + I Т/ ... Уп Равенство (1) будем называть приведенным (к свободным переменным) выражением для функции L, а коэфициенты у у— оценками (индексами) соответствующих сво- бодных переменных Ху. 1. Выбирают разрешающий столбец ар из условия: оценка ур < 0 и хотя бы один элемент aip > 0. 2. Выбирают /y-ю разрешающую строку из условия bqlaqp^mm{bilaip} для aip > 0. 3. Производят пересчет элементов разрешающей q-й строки по формуле • aqk = aqklaqp (k=0, 1,...,/г). 4. Вычисляют элементы всех остальных строк (при k £ р) по формуле a'ik=aik—aqkaip (*=0, 1, 7—1, 7+1, ..., г). Следует иметь в виду основную теорему симплексного метода, которую приве- дем без доказательства. Теорема. Если после выполнения очередной итерации: 1) найдется хотя бы одна отрицательная оценка и в каждом столбце с такой оценкой окажется хотя бы один положительный элемент, т. е. у^ > 0 для некоторых k, и а^ > 0 для тех же k и некоторого i, то можно улучшить реше- ние, выполнив следующую итерацию; 2) найдется хотя бы одна отрицательная оценка, столбец которой не содер- жит положительных элементов, т. е. у^ < 0, а^ < 0, для какого-то k и всех i, то функция L не ограничена в области допустимых решений (Lmax оо); 3) все оценки окажутся неотрицательными, т. е. для всех k, то достигнуто оптимальное решение. 1745. Найти наименьшее значение линейной функции + 5х2 на множестве неотрицательных решений системы уравнений r 2хг + 3x2 + = 19, 2хх + х2 + х4=13, 3X2 4“ ^5 =: 1^> 3xi + = 18. 281
Л Ранг матрицы системы уравнений /2 3 1 О О 0\ 2 10 10 0] о з о о 1 о у 3 0 0 0 0 1/ равен 4. Ранг расширенной матрицы также равен 4. Следовательно, четыре пере- менные (базисные) можно выразить через две (свободные), т. е. {х3 = 19 — 2хх —Зх2, х4 = 13—2хх— х2, Х5 = 15—Зх2, хб = 18—Зхх. Кстати, линейная форма L = 7xx4-5x2, или L — 7хх — 5х2=0 уже выражена через эти же свободные переменные. Имеем исходную таблицу (табл. 1). Таблица 1 Базисные переменные Свободные члены *1 х2 Хз х4 Х8 Хе *3 19 2 3 1 0 0 0 х4 13 2 1 0 1 0 0 *5 15 0 — 3 — 0 0 1 0 хб 18 3 0 0 0 0 1 L 0 — 7 — 5 0 0 0 0 Таблица 2 Базис- ные пере- менные Свободные член ы Xi х2 Хз х4 *5 Х« *3 4 — 2 — 0 1 0 —1 0 х4 8 2 0 0 1 -1/3 0 Х2 5 0 1 0 0 1/3 0 хб 18 3 0 0 0 0 1 L 25 —7 0 0 0 5/3 0 282
Таблица 3 Базис- ные пере- менные Свободные члены Xi Хз Х4 х6 х9 XI 2 1 0 1/2 0 -1/2 0 х4 — 4 0 0 —1 1 2/3 0 х2 5 0 . 1 0 0 1/3 0 Хб 12 0 0 —3/2 0 3/2 1 L 39 0 0 7/2 0 — 11/6 0 Таблица 4 Базис- ные пере- менные Свободные члены *1 х2 Хз Х4 *5 Х9 Xi 5 1 0 -1/4 3/4 0 0 Х5 6 0 0 —3/2 3/2 1 0 х2 3 0 1 1/2 -1/2 0 0 Xq 3 0 0 3/4 —9/4 0 1 L 50 0 0 1 3/4 11/4 0 0 Выясняем, имеются ли в последней строке (индексной) отрицательные оценки. Таких чисел два: —7 и —5. Берем, например, —5 и просматриваем столбец для х2» в этом столбце имеем три положительных элемента 3, 1, 3. Делим на эти числа соответствующие свободные члены: 19/3, 13/1, 15/3, из полученных частных наименьшее есть 15/3. Следовательно, разрешающим является элемент 3, стоящий на пересечении строки для х5 и столбца для х2. Выделим эту строку и этот столбец рамками. Новый базис состоит из х3, х4, х2, х6. Для составления следую- щей таблицы умножим выделенную строку табл. 1 на 1/3, чтобы получить на месте разрешающего элемента 1, и полученную таким образом строку пишем на месте прежней. К каждой из остальных строк прибавляем вновь полученную, умно- женную на такое число, чтобы в клетках столбца для х2 появились нули, и пишем преобразованные строки на месте прежних. Этим завершается I итерация. Теперь все рассуждения повторяются применительно к табл. 2, т. е. выпол- няем II итерацию. Новый разрешающий элемент, находящийся на пересечении строки для х3 и столбца для хъ есть 2. Переходим к следующей таблице. 283
То же повторим применительно к табл. 3. Здесь разрешающим является элемент 2/3, находящийся на пересечении строки для х4 и столбца для х5. Пере- ходим к табл. 4. Поскольку в индексной строке нет отрицательных оценок, мы получили оптимальный план (5, 3, 0, 0, 6, 3) и наибольшее значение линейной формы L есть Lmax = 50. А Найти оптимальные неотрицательные решения, минимизирую- щие линейную форму: 1746. — 2х2 -j- Хз = 1, Xi4~3x24~ Х4 = 2, L = x1 — х3. 1748. Т ^2 — х3 — <^4 — 2, х2 — х4 = 1, L = 2x3 —х2. ( Xi — 2-j-2x3—х4, 1747. { х2 = 1~Ь*з—2х4, V Х5 — 5 — •^зЧ~^4> L = Х1ф- х2. 4xi 4~ Зх2 Х3 = 180, 4х2 4~ 9х3 4~ 12x4 ~ 9G0, L — \ 2xi Ч~ ^Х‘2 4~ Зхз» 1749. ( Х14~*4‘Н-6х6 = 9, 1750. 1 Зл*14~х2 — 4х34"2х6 = 2, \ АД-р 2х3 4-^5 Ч~ 2Хб = 6. L = х± — х2 4~ %3 4"~ -^4 “Т *5— Xq, Найти оптимальные неотрицательные решения, максимизирую- щие линейную форму: 1751. ( *14" Хъ-}-5х3— 20, х2 + 2х4^5, Xi х2— х3^8, 1752. L — 2xi 4~ х4» Xi — 2х2 4- Зх3 — 1, 2xi — х2 — х3 —1, I- —= — Xi — 2х2—Зхз» 1753. Производственная мощность цеха сборки составляет 120 изделий типа А и 360 изделий типа В в сутки. Технический конт- роль пропускает в сутки 200 изделий того или другого типа (без- различно). Изделия типа А вчетверо дороже изделий типа В. Тре- буется спланировать выпуск готовой продукции так, чтобы пред- приятию была обеспечена наибольшая прибыль. 1754. Для изготовления изделий двух видов склад может отпус- тить металла не более 80 кг, причем на изделие I вида расходу- ется 2 кг, а на изделие II вида — 1 кг металла. Требуется сплани- ровать производство так, чтобы была обеспечена наибольшая при- быль, если изделий I вида требуется изготовить не более 30 шт., а изделий II вида не более 40 шт., причем одно изделие I вида стоит 5 руб., а II вида — 3 руб. 1755. Для откорма животных употребляют два вида кормов; сто- имость 1 кг корма I вида — 5 коп., а корма II вида — 2 коп. В каж- дом килограмме корма I вида содержится 5 ед. питательного ве- щества Л, 2,5 ед. питательного вещества Б и 1 ед. питательного 234
вещества В, а в каждом килограмме корма II вида соответственно 3, 3 и 1,3 ед. Какое количество корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты на откорм были минималь- ными, если суточный рацион предусматривает питательных единиц типа А не менее 225 ед., типа Б—не менее 150 ед. и типа В — не менее 80 ед.? 3. Понятие о вырожденном решении. При рассмотрении симплексного метода предполагалось, что Ь[ > 0 (см. с. 276) как в исходной системе, так и в системах, получаемых после очередных итераций. Если же в некоторых уравнениях свобод- ные члены Z?/ = 0, то в соответствующем этой системе опорном решении базисные переменные, относительно которых эти уравнения разрешены, принимают нулевые значения. Опорное решение, в котором хотя бы одна из базисных переменных при- нимает нулевое значение, называется вырожденным решением, а задача линейного программирования, имеющая хотя бы одно вырожденное решение,— вырожденкой задачей. Применяя в этом случае последовательные итерации, мы можем вернуть- ся к ранее встречавшемуся набору базисных и свободных переменных, т. е. появ- ляется так называемое зацикливание в схеме расчета. Приведем правило для уст- ранения зацикливания (мы не касаемся теоретического обоснования этого правила, являющегося специальным вопросом так называемой проблемы вырождения). Если на каком-либо этапе расчета возникает неопределенность в выборе раз- решающей строки, т. е. оказывается несколько равных минимальных отношений bi/aip, то следует выбирать ту строку, для которой отношение элементов сле- дующего столбца к разрешающему является наименьшим. Если при этом снова оказываются равные минимальные отношения, то составляют отношения элемен- тов следующего столбца, и так до тех пор, пока разрешающая строка не опре- делится однозначно. 1756. Максимизировать линейную форму Л = 4х5 + 2х6 при огра- ничениях: х4 + + 12, х2 + 5х5—хб = 30, х.з + %5—2х6 = 6, 2х4+ +3х5—2хб = 18, х4^0, х2^0, х3^0, х4^0, х5^0, хб^0. Д Исходной системе соответствует опорное решение (12, 30, 6, 9, 0, 0) и значение L = 0. Ниже приводится последовательность итераций симплексного метода: Исходная таблица X/ । 4 2 bilaip ац/aip Xi х2 Хз х4 х5 Л'в Х1 12 1 1 1 12 х2 30 1 5 —1 6 -1/5 *3 6 1 1 । 1 1 1 ц । —2 6 —2 х4 18 2 3 —2 6 —2/3 L 0 —4 —2 285
I итер ация *1 6 1 —1 3 2 х2 0 1 —5 9 0 —5/9 *5 6 1 1 —2 Х4 0 — —3 1 2 1 4 0 —3/4 L 24 4 —10 II итерация xi 6 1 5/4 —3/2 24/5 х2 0 — 1 । 1 | 7/4 1 1 1 —9/2 — 0 Х5 6 -1/2 1 I Хв 0 -3/4 1/2 L 24 —7/2 5 III итерация Xi 6 1 -5/7 | 12/7| 1 1 । Хз 0 4/7 1 — 18/7 х5 6 2/7 —2/7 1 хб 0 3/7 —10/7 1 L 24 2 —4 286
IV итерация x4 7/2 7/12 —5/12 1 xb 9 3/2 —1/2 1 ХЪ 7 1/6 1/6 1 x6 5 5/6 -1/6 1 L 38 7/3 1/3 После I итерации получили систему, разрешенную относительно базисных пере- менных Xi, х2, *4, *5, которой соответствует опорное решение (6, 0, 0, 0, 6, 0) и значение Li = 24. II и III итерации не изменяют опорного решения и значения L2=L3 = 24 и только IV итерация дает оптимальное решение (0, 0, 9, 7/2, 7/5) и Lmax = 38. В данной схеме расчетов зацикливание не появилось, хотя в течение трех итераций мы как бы «топтались на месте», менялись только базисные и сво- бодные переменные. В рассмотренном примере в исходной таблице оказалось три равных наименьших отношения: Ь2/а2ъ = Ь31азь ~ Ь^/а^ = 6. Поэтому, пользуясь правилом устранения возможного зацикливания, берем отношения элементов сле- дующего за свободным столбца: a2(i/a25 =—1/5, a3cja35 ==—2, а^/а45=—2/3. Наименьшим оказалось отношение а36/а35 =—2. Следовательно, третья строка должна быть взята в качестве разрешающей и т. д. (см. таблицы). А 1757. Максимизировать линейную функцию L = 2x4 + 4x2 при ограничениях: —2xt + х2 + х3 = 6, —хг + (3/2) х2 + х4 = 9, —xt + 5х,+ 4-х5 = 30, —+ = 12, х2^0, х3^0, х4^0, х5^0, > 0. § 4. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ Каждой задачей линейного программирования можно сопоставить определен- ным образом с ней связанную другую задачу, которая называется двойственной по отношению к первой. Так, если исходная задача (задача I) линейного программирования состоит в минимизации линейной функции L =C]Xi + с2х2+ • * * + слхп, когда заданы ограничения в форме неравенств {#п*1 + #12*2 + • ♦ • + ainxn bi, а21Х1 + а22Х2 + • • • + а2пхп Ь2 , агп1х1~Г ат2х2~Г • • • + &тпхп Ьт при условии неотрицательности х^ (k=li 2, ... , и), то с ней связана двойствен- ная задача (задача Г), состоящая в том, что требуется максимизировать линейную функцию Т — biy1-ir b2y2-{~... + Ьтут при условии ограничений {а11У1 + а21У2 +•••+ ат\Ут «С Ci , #12^/1 "Т а22У2 + ♦ ♦ ♦ + ат2Ут С2 , #1и#1 + а2пУ2 + • • • + О-тпУт «С сп и неотрицательности r/z-^0 (t = I, 2, ... , m). Заметим, что в задаче I и в двойственной задаче I' матрицы (Qii cii2 ... ain \ /#ii #21 • • • ctmi \ #21 #22 • • • #2n | и Д' a12 #22 • • • #ТЛ2 ] a * t 4 • « • / l &mi Ct-in'i • * • ^mn/ \ain «•1 ^mn/ 287
составленные из коэффициентов при переменных, получаются друг из друга транс- понированием. В правых частях системы ограничений каждой задачи стоят коэф- фициенты линейной функции, взятой из другой задачи. В системе ограничений задачи I (минимизация) все неравенства типа «^», а в системе ограничений за- дачи I' (максимизация) все неравенства типа « ». Понятие двойственности яв- ляется взаимным, т. е. если задачу Г записать в форме, аналогичной задаче I, то двойственной к ней окажется исходная задача I. Поэтому задачи I и Г называ- ются взаимно двойственными или взаимно сопряженными. Доказывается, что ^гп'1п~Лпах> а также, что необходимым и достаточным условием оптимальности решений любой пары двойственных задач является равенство L (х)~Т (у), где х и у—допустимые решения задач I и I'. 1758. Дать геометрическую интерпретацию следующих взаимно двойственных задач: Исходная задача (I): найти неотрицательные значения (хп х2) из условий Xj + 2%2^4, хг—х.^—1 и минимизации линейной функ- ции £ = 3х1-ф2х2. Двойственная задача (Г): найти неотрицательные значения у2) из условий z/i + у2 3, 2у1—у2^% и максимизации линейной функ- ции Т = Л Построим систему ограничений задач I и I'. В точке Р (2/3; 5/3) достига- ется минимум линейной функции L, т. е. £min = 3*(2/3)2«(5/3) = 16/3, а в точке Р'(5/3; 4/3) — максимум линейной функции Г, т. е. Ттах = 4- (5/3)—4/3=16/3 (рис. 72). А 1759. Исходная задача (I): найти неотрицательные значения (xlf х2), минимизирующие линейную функцию L = 3x1-j-2x2, если Рис. 72 дана система ограничений 7х1-ф2х2^14, 4х1Д-5х2^20. Составить двойственную задачу и решить ее. 1760. Исходная задача (I): найти неотрицательные значения (хп х2), максимизирующие линейную функцию L = 5x1-]-4x2 при системе ограничений 4х1-фЗх2^24, Зх1 + 4х2^24. Составить двойст- венную задачу и решить ее. 1761. Исходная задача (I): найти неотрицательные значения (Xi, х2), минимизирующие линейную функцию L = 3x1-\-3x2 при системе ограничений 5х1 —4х2^—2, x1-\-2x2'^Q. Составить двойст- венную задачу и решить ее. § 5. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА Одной из типичных задач линейного программирования является так назы- ваемая транспортная задача. Она возникает при планировании наиболее рацио- нальных перевозок грузов. В одних случаях это означает определение такого 288
плана перевозок, при котором стоимость последних была бы минимальна, а в дру- гих— более важным является выигрыш во времени. Первая задача получила на- звание транспортной задачи по критерию стоимости, а вторая — транспортной задачи по критерию времени. Первая задача является частным случаем задачи линейного программирова- ния и может быть решена симплексным методом. Однако в силу особенностей этой задачи она решается проще. Пусть в р пунктах отправления находятся соответственно ai, а2, ... , ар единиц однородного груза, который должен быть доставлен q потребителям в ко- личествах bi, b2, ... bg единиц. Заданы стоимости С[р перевозок единицы груза из /-го пункта отправления &-му пункту потребления. Обозначим через */£^0 (/=1, 2, ... , р; k=\, 2, ... , q) количество единиц груза, перевозимого из i-ro склада &-му потребителю; тогда переменные Х[р должны удовлетворять следующим а р ограничительным условиям: 1) 2 xik~ai (/ = ’, 2,..., р); 2) 2 k=\ 1=л (k = \, 2, ... , q); 3) Суммарные затраты на перевозки равны L = Cii*n+ 4~Ci2*i2 +... ~Vcpqxpq- Следовательно, требуется найти pq переменных х/£, удов- летворяющих указанным условиям и минимизирующих целевую функцию L. Решение такой задачи разбивается на два этапа: 1) определение исходного опорного решения; 2) построение последовательных итераций, т. е. приближение к оптимальному решению. 1. Определение исходного опорного решения. Пусть мы имеем таблицу исход- ных данных задачи. Исходное опорное решение будем строить по так называемому правилу «северо-западного угла». Ьк at Ь< Ь-2 Ьк at 1 С11 | С12 1 clk 1 cl? *11 *12 Xlk xlq а2 1 с21 | С22 . . . 1 c2k | C2<7 Х21 *22 X2k x2q • .... .... .... .... .... ai 1 С<1 1 с1г | cik | *л Х12 xik xiq • .... .... .... .... .... .... ар 1 СР1 I СР2 1 cpk 1 cpq Хр1 Хр2 xpk xpq Заполним вышеуказанную таблицу, начиная с левого верхнего угла, двигаясь далее или по строке вправо, или по столбцу вниз. В клетку (1, 1) занесем мень- шее из чисел а± и Ь±, т.е. x1i = min{tf1, bx}. Если ai > Z?!, то хц—Ь^ и первый столбец «закрыт», т.е. потребности пер- вого потребителя удовлетворены полностью. Двигаемся далее по первой строке, 289
записывая в соседнюю клетку (1, 2) меньшее из чисел at—bi и b2, т. е. х12 = = min {cii—bi, b2}. Если же b2 > ai, то аналогично «закрывается» первая строка и далее перехо- дим к заполнению соседней клетки (2, 1), куда заносим x2i = min {а2, bt—at}. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока на каком-то этапе не исчерпы- ваются ресурсы ар и потребности bq. 1762. В двух пунктах отправления А и В находится соответст- венно 150 и 90 т горючего. В пункты 7, 2, 3 требуется доставить соответственно 60, 70 и 110 т горючего. Стоимости перевозки тонны горючего из пункта А в пункты 7, 2, 3 составляют соответственно 6, 10 и 4 руб., а из пункта В —12, 2 и 8 руб. Составить оптималь- ный план перевозок горючего так, чтобы общая сумма транспорт- ных расходов была наименьшей. Таблица 1 12 3 bk а‘ 60 70 ПО 150 1 6 1 10 1 4 60 70 20 90 1 12 1 2 1 8 90 Л Запишем исходные данные в табл. 1. Заполнение начнем с клетки (1, 1): ад = min (150, 60) з=60, первый столбец закрыт. Переходим к клетке (1, 2): ад = = min {150—60, 70} = 70, второй столбец закрыт; далее, переходим к клетке (1, 3): ад = min {150 — 60—70, 110} =20. Так как в третьем столбце оказался остаток, равный 90, то переходим к заполнению клетки (2, 3), куда заносим x23 = min{90, 90} = 90. Поскольку остатки по строке и столбцу равны нулю, опорное исходное решение построено. Этому плану соответствуют затраты в количестве L = 6*60 + 4- 10.70 + 4-20 + 8.90= 1860 руб. В правиле «северо-западного угла» не учитывается величина затрат а потому исходное опорное решение часто может быть далеким от оптимального. Применяют также прием «минимального элемента», в котором учитывается вели- чина с/#. В этом случае построение исходного опорного решения начинают с клет- ки с наименьшей величиной с;ь, в данном примере—с клетки (2, 2), где с22 == = 2 (табл. 2). В эту клетку заносим x22 = min{a2, Z?2} = min{90, 70} = 70. Таблица 2 7 2 3 ьк <4 60 70 но Остаток 150 1 6 1 10 1 4 60,0 60 90 90 1 12 1 2 1 8 20,0 70 20 Остаток 0 0 20,0 290
Остатки по строке и столбцу записываем в соответствующие клетки строки и столбца остатков. Столбец Ь2 закрыт. Теперь переходим к клетке (1, 3), так как после с22~2 наименьшим является с13==4. В клетку (1, 3) заносим х13 = = min {at — d3} = min{150—60, 110} = 90. Затем переходим к клетке (1, 1): xn = min{ni, = min {150, 60} = 60. Наконец, переходим к клетке (2, 3), в ко- торую заносим x23 = min{a2—b2, b3} = min{90—70, 110} = 20. Применяя это правило, мы получили другой вариант исходного опорного решения, при котором затраты L = 6-60-]-4-90-f-2-70-|-8-20= 1020 руб., т.е. сум- ма затрат ближе к оптимальному плану. 2. Построение последовательных итераций. Получив исходное опорное реше- ние, перейдем теперь к построению новых опорных решений, улучшающих друг друга: для этого применим метод потенциалов. Итак, после построения исходного опорного решения все переменные разбиты на две группы: х^— базисные и xpq—свободные; линейные функции стоимости перевозок выразятся через свободные переменные так: l=Svmxw+Yo- (0 PQ Для нахождения коэффициентов ypq при свободных переменных сопоставим каждому пункту отправления А( некоторую величину uz-(i=l, 2, ... , m), кото- рую назовем потенциалом пункта Л/, и каждому пункту назначения Bj величину vj—потенциал пункта By. Свяжем эти величины равенством zzfc4"£z—Qz» где c^i — стоимость перевозки одной тонны груза из пункта А/, в пункт В[. Доказы- вается, что совокупность уравнений «/г4~г7~ £fcz> составленных для всех базисных переменных, составляет совместную систему линейных уравнений, причем значе- ние одной из переменных можно задавать произвольно, и тогда значения осталь- ных переменных находятся из системы однозначно. Обозначим для свободных пе- ременных сумму соответствующих потенциалов через cpq, т.е. up + vq = Cpq, и назовем ее косвенной стоимостью (в отличие от данной стоимости cpq). Тогда коэффициенты при свободных переменных в соотношении (1) определяются с по- мощью равенства 4pq = cpq— cpq. Если все величины ypq неотрицательны, то исходное решение является опти- мальным. Если же среди них имеются отрицательные, то переходим к следующе- му базису путем увеличения члена с отрицательным коэффициентом, оставляя другие переменные равными нулю. Воспользуемся изложенными общими понятиями и продолжим решение задачи 1762. Мы получили исходное опорное решение (следуя правилу «минимального элемента»): Xii = 60, х12 = 0, х13 = 90, х21 = 0> х22 = 70, х23 = 20, L=1020. Для нахождения потенциалов необходимо решить систему zzi 4"£1 ~ £11 ~ 6, Ui-ф- г3 = Ci3 = 4, и2 v2 = с22 = 2, и2 4-v3 — с2з = 8. Значение одного из неизвестных зададим произвольно, например и± = 1. Тогда ^1 = 5, г3—_3, u2 = 5, v2 =—3. Далее вычисляем косвенные стоимости сг • Cj2 = Z/1 4" ^*2 =—2, c2i = zz2 4~ — 10. Подсчитаем теперь разности ypq~cpq—cpq: 712~с12>—£12 = Ю — (—2) = 12, у21 = c2i — c2i = 12—10 = 2. Следовательно, выражение L через свободные переменные имеет вид L = = 10204-12х124-2x2i. Среди коэффициентов при переменных в правой части нет отрицательных. Значит, исходное опорное решение является оптимальным. Таким образом, правило «минимального элемента» сразу дает оптимальное решение. Решим теперь эту же задачу при условии, что исходное решение получено по правилу «северо-западного угла», т.е. xu = 60, х12 = 70, х13 = 20, х23 = 90, 291
L = 1860. Для нахождения потенциалов необходимо решить систему 4“ t’l = Сц = 6, Ui 4“ ^2 ~ £12 ~ Ю, til 4- 1/3 = С13 — 4, &2 4“ £3 ~ £23 ~ 8. Полагая «1=1, получим t’x = 5, l’2 = 9, t'3 = 3, и2 = 5. Вычисляем косвенные стоимости c'pq: £21 = ^2 4~ £1 — Ю, С22 = ^2 ~Ь £2 ~ 14. Подсчитаем теперь разности ypq=^cpq—c'pq: у21= £21 —£21= 12 —10 = 2, у22= £22—£22= 2 —14 — —12. Следовательно, выражение L через свободные переменные имеет вид L = = I86O4- 2*21 — 12х22- Среди коэффициентов при переменных в правой части есть отрицательный при х22, следовательно, можно попытаться уменьшить L, увеличив х22 (сохранив нулевое значение х21). Положим х22 = Х. Поскольку суммы значений неизвестных по строкам и столбцам должны остаться неизменными, нужно про- извести следующий балансовый пересчет: 60 70—2. —>-204-2, 1 f X.... ....90 -X Добавление к к х22 компенсируется вычитанием X из х12, а это в свою очередь — прибавлением X к х13 и т. д. до тех пор, пока мы не вернемся обратно к х22. Обходя клетки по пунктирной ломаной линии, в одной из вершин которой нахо- дится свободная переменная х22, а в остальных вершинах—базисные переменные (причем не обязательно все), мы получим так называемый цикл пересчета (лома- ная называется циклом), отвечающий свободной клетке х22. Как видно из табли- цы, для неотрицательности переменных X можно увеличить до Х = 70, тогда получим второе опорное решение: 60 0 90 0 70 20 т. е. Хп = б0, х12 = 0, х13 = 90, х21 = 0, х22 = 70, х23 = 20. Значение функции L для него составляет £ = 1860—12-70=1020, т. е. полу- чили оптимальное решение (судя по предыдущему решению). А Таким образом, правила вычислений по методу потенциалов сводятся к сле- дующему. 1. Находят потенциалы ир и vt всех пунктов отправления и назначе- ния Вр 2. Выбирают какую-нибудь свободную переменную, для которой сумма по- тенциалов строго больше соответствующей стоимости, это соответствует элементу с отрицательным коэффициентом при свободной переменной в правой части функ- ции £. 3. Для выбранной в п. 2 переменной находят соответствующий ей цикл пере- счета и производят сдвиг по этому циклу. Этот сдвиг приводит к новому допус- тимому решению. 4. Вышеуказанные операции 1—3 повторяют до тех пор, пока не получат оптимальный базис, т. е. неотрицательные коэффициенты при свободных перемен- ных в правой части линейной функции £. 292
1763. На двух складах А и В находится по 90 т горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты 1, 2, 3 соответственно стоит 1,3 и 5 руб., а перевозка одной тонны со склада В в те же пункты—соответственно 2, 5 и 4 руб. В каждый пункт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего. Составить такой план перевозки горючего, при котором транспорт- ные расходы будут наименьшими. 1764. В резерве трех железнодорожных станций Л, В и С нахо- дятся соответственно 60, 80 и 100 вагонов. Составить оптимальный план перегона этих вагонов к четырем пунктам погрузки хлеба, если пункту № 1 необходимо 40 вагонов, № 2 — 60 вагонов, № 3— 80 вагонов и № 4 — 60 вагонов. Стоимости перегонов одного вагона со станции А в указанные пункты соответственно равны 1, 2, 3, 4 руб., со станции В — 4, 3, 2, 0 руб. и со станции С — 0, 2, 2, 1 руб. 1765. Завод имеет три цеха Л, В, С и четыре склада №1,2, 3, 4. Цех А производит 30 тыс. шт. изделий, цех В — 40 тыс. шт., цех С — 20 тыс. шт. Пропускная способность складов за то же время характеризуется следующими показателями: склад № 1—20 тыс. шт., склад № 2—30 тыс. шт., склад № 3 — 30 тыс. шт., склад № 4 —10 тыс. шт. Стоимости перевозки 1 тыс. шт. изделий из це- ха Л в склады № 1, 2, 3, 4 соответственно равны 2, 3, 2, 4 руб.; из цеха В—3, 2, 5, 1 руб., а из цеха С — 4, 3, 2, 6 руб. Соста- вить такой план перевозки изделий, при котором расходы на пере- возку 90 тыс. шт. изделий были бы наименьшими. 1766. На трех складах Л, В, С находится сортовое зерно соот- ветственно 10, 15, 25 т, которое надо доставить в четыре пункта: пункту № 1—5 т, № 2—10 т, № 3—20 т и № 4 —15 т. Стои- мости доставки одной тонны со склада Л в указанные пункты соот- ветственно равны 8, 3, 5, 2 руб.; со склада В—4, 1, 6, 7 руб. и со склада С—1, 9, 4, 3 руб. Составить оптимальный план пере- возки зерна в четыре пункта, минимизирующий стоимость перевозок.
ОТВЕТЫ Глава I 4. 1) 8; 2) 3. 5. 1) 1/2; 2) —9/4. 6. М (7). 7. C(l), D(3). 8. С (—9), D (— 1). 16. 1) 13; 2) 3. 19. 5. 20. (—1; 8), (1; 9), (3; 10). 21. 5 = 0, т._е. точки А, В, С лежат на одной прямой. 22. D (17; 12). 23. С (—10; —7). 24. У 53, У82, У185. 25. 24 кв. ед. 29. А (4; л/6); В (3; — л/2); С (4 У2 Зл/4); _£> (2; —л/4); Е (2 У 2 ; 4л/3); F (7; л). 30. Л (0; 10); В (— У 2 ; — У 2 ); С (0; 0); £) (К2/2; —У2/2)-, Е(—У2/2-, —У2/2); F (-У2/2; У 2 /2). 31. Kpi + pi—2Plp.2 cosfOi—0г). 32. 5. 33. Afj (р; —0). 34. Aff (р; л + 0). 35. 1) |(3; 7 л/6), (5; — л/3) и (2; 5л/6); 2) (3; —л/6), (5; —2л/3) и (2; л/6). 36. All (р; я—0)- 44. у = 2х—1,5. 45. Биссектриса I и III координатных углов. 46. Биссектриса II и IV координатных углов.^47. х2-|-//2—2х—2у = 0. 48. Зх2 -f- А- 2хуА~Зу2—4х—4у — 0. 49. р = а. 50. 0=а. 51. p=acos0. 57. Прямая у — 2х. 58. х2/а2-|-//2/62= 1 (кривая называется эллипсом). 59. х2/а2—//2/62 = 1 (кривая называется гиперболой). 60. Отрезок прямой АВ, где Л(1;0), В (0; 1). 61. х2/3+{/2/з=а2/3. 62. х = а (t sin ?4-cos t), y = a (sin t — /cos/) (кривая назы- вается эвольвентой круга). 67. 1) хА-2у—2^5=0; 2) у = (—1/2) хА~У5', 3) х/(2У5)+у/У5 =1; 4) (1 /Уз) х+(2/У 5 ) у—2 = 0. 68. 135°. 69. 54 кв. ед. 70. Нет. 72. /Зх+у—1=0. 73. х^у—4 = 0. 74. Зх—2у = 0. 75. хА-у—7 = 0. 76. х+3=0, z/4-4 = 0. 77. хА-У—5=0, х+//+5=0. 99. tga = 27/ll. 100. х—// = 0, 5х-|-3//—26 = 0, 3x4-5//—26 = 0. 101. 14x4-14//—45 = 0, 2х—2//+ 4-35 = 0. 102. Зх—//4-14 = 0, х—5//—14=0, х4-2// = 0. 103. х—2 = 0, у—7 = 0. 104. 4,4. 105. 2,4. 106. т = 4. 107. х—у = 0, х-|-5//—14=0, 5x4-//—14 = 0. 108. л/6. 109. (0; 5) и (4; 3). ПО. (7/8; 0) и (—27/8; 0). 111. 13x4-6//—82 = 0, Зх-)-4//—23 = 0, 5=31,5 кв. ед. 112. Зх—2// = 0, 5х4-//4-6 = 0. 113. 5х 4-4 = 0. 114. 5х4-8//4- 11 =0. 115. 5//4-2 = 0. 116. 17х-|-11^ = 0. 117. х4-^4-1=0. 118. х=а, у=Ь. 119. х=1; у = х. 120. 30°. 121. <р = 53°8'. 122. 5х—3//4-2 = 0. 123. У 3 кв._ед. 125. В (1; 3), С(11; 6). 126. 1) х/4-|-_///6 = 1; 2) х/4(У 2-1)4- + «//(—6) (К2 4-1) = 1; 3) х/(—4) (К2 4-1)4-///6 (К2 —1) = 1. 127. Зх-4//- — 9 = 0, Зх—4//4-16 = 0, 4x4-3//—37 = 0 или 4x4-3//-)-13 = 0. 134. 1) а = 4, Ь = —3, г = 5; 2) а = —5, Ь = 2, г = 0; уравнение определяет точку; 3) а = 2, Ь = —7, г2 =—1; уравнение не имеет геометрического смысла (мнимая окруж- ность). 135. tg<p = —2,4. 136. (x+l)2 + (z/—1)2 = 5. 137. (х—3)24-(z/—4)2 = 25. 138. х = 3,2. 139. Зх —4z/ + 8 = 0, 4х—Зг/ + 7 = 0. 140. (х — 2)2 + //2 = 16. 142. (4; 1,8); (4; —1,8); (—4; 1,8); (—4; —1,8). 143. b2/a. 144. 4x4-3z/ +12 = 0. 145. 16x2-j-25z/2 = 41. 146. Точка М — вне эллипса; точка N — на эллипсе; точка Р — внутри эллипса. 147. e = sin(a/2). 148. М (—5; 7). 149. 3x2 + 3z/2— 2ху — — 2х — 2у—1=0. 150. х2/3z/2/4 = 1. 151. Искомая кривая — эллипс. Если на- править оси координат по сторонам прямого угла (точка А лежит на оси Ох), то уравнение этого эллипса 9х236г/2 = 4п2. 155. х2/9 — У2,8 = 1. 156. х2/3—у2/Ъ = 1. 157. (—4; —3). 158. х2/64 + у2/48 = 1. 159. Гх2 — г/2 = 8/225. 160. е = 2//3~- 161. (—8, 0). 162. х2/4—у2/12 = 1. 163. 6 и 14. 166. Правая ветвь гиперболы х2 —//2/3=1. 169. у2 = 4х. 17О._Л41(2; 4) и Л42 (2; — 4). 171. у2 = 4х, у2 = ~4х. 172. у = ±2 У2 х. 173. у2=У2 х. 174. ГЛ4 (0; 0), М, (18; —24). 175. у2=х, tga = 8/15. 179. (3; 2). 180. (8; —6). 183. 1) 0,(1; 2), р = —1/4; х'2 = —(1/2)/; 2)О!(1;3); р = -1/2; х'2 = -у'\ 3) О, (1/16; 1/8), р = —1/8; г/'2 = (—1/4) х'; 4) 0,(1; —2), /2=1/2; z/'2 = x'. 184. 1) х'у' = 1/8; 2) х'у' = 13/9; 3) х'//' = —6/5; 4) x'z/'=l/2. 187. Окружность (х — l/2)2+(z/—4/3)2= 1. 188. Эллипс x'2/25-|-z/'2/16= 1; новое начало Of (1; —1). 189. Гипербола х'2/4 —z/'2/9= 1; новое начало О'(2; 3). 190. Точка О' (2; 1). 191. Мнимый эллипс х'2/(—1)+//'2/(—1/4) = 1; x'=xt 294
192. Гипербола у'2—х'2=1; новое начало О' (3; 0). 193. Парабола х'2 =— у'\ новое начало О'(1; 5/2). 194. Прямые х = 2 и х = 4. 195. Мнимые прямые. 205. Совокупность двух параллельных прямых 5x-f-£/4-l = 0 и 5х + 4~у—1 =0. 203. Совокупность двух слившихся прямых х + ^+1=0. 204. Сово- купность двух пересекающихся прямых 2х—Зу-{-1~0, 4х— Зу—1=0. 205. х"2/304-r/"2/5 = 1. 206. х"2/9—/2/36=1. 207. у"2 = — 2х". 210. х=1/2, #=1/2. 211. Система противоречива (решений не имеет). 212. х = а-{-Ь, у = а—Ь. 213. Система неопределенная (имеет бесчисленное множество решений: х остается произвольным, а у — —(3/2) х+ 1/12. 214. x = y = z = t. 215. x = cosa, # = sincc. 216. х = 2/, y = t, z = 2t. 222. 0. 223. 2. 224. 2 (ad~be). 225. x=l, y = 2, z = 3. 226. x = 0, # = 0, z = —2. 227. x = 0,, y = 0, z = 0. 228. x = t, y=2t, z = —3t. 229. x