/
Автор: Като Т.
Теги: анализ математика математический анализ математическая физика монография функциональный анализ
Год: 1972
Текст
DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN
In Einzeldarstellungen
mit besonderer Beriicksichtigung
der Anwendungsgebiete
Band 132
Perturbation theory
for linear operators
Dr. Tosio Kato
Professor of Mathematics
University of California, Berkeley
Springer-Verlag Berlin • Heidelberg • New York
1966
Т. КАТО
ТЕОРИЯ
ВОЗМУЩЕНИЙ
ЛИНЕЙНЫХ
ОПЕРАТОРОВ
Перевод с английского
Г, А. Воропаевой, А. М. Стёпина и И. А. Шишмарёва
Под редакцией
В. П. Маслова
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» «МОСКВА 1972
УДК 517.43, 519.55, 517.5/9
Монография крупнейшего японского математика Т. Като
представляет собой выдающееся явление в математической
литературе. Она посвящена важному разделу функционального
анализа, тесно связанному с современной теоретической физи-
физикой.
Книга написана с большим педагогическим мастерством,
содержит значительное число интересных задач, часть из кото-
которых подробно разобрана. Предполагая знание лишь основ линей-
линейной алгебры, а также вещественного и комплексного анализа,
автор вводит читателя в круг современных проблем теории воз-
возмущений.
Книга представляет интерес для научных работников, зани-
занимающихся функциональным анализом, математической физикой
и смежными вопросами. Она будет, несомненно, полезна и фи-
аикам-теоретикам.
Редакция литературы по математическим наукам
2-2-3
10-72
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Начало спектральной теории возмущений было положено
в работах Реллиха [36*] — [38*] *) и Фридрихса [48*]. С тех
пор эта наука была существенно продвинута, в особенности бла-
благодаря работам автора этой книги проф. Тосио Като и его школы.
Настоящая книга является первым широко доступным учеб-
учебником по теории возмущений, который включает в себя все основ-
основные достижения математической теории возмущений до 1965 года.
В книге последовательно излагаются важнейшие факты функцио-
функционального анализа, так что по этой книге можно изучит» собственно
функциональный анализ и теорию линейных операторов. Эта
книга полезна не только для математиков, но и для физиков,
в частности для специалистов по квантовой механике. Яркие
примеры, иллюстрирующие теорию, помогут активно воспринять
материал специалистам по дифференциальным уравнениям и фи-
физикам-теоретикам. .
Хотя с 1965 года математическая теория возмущений сильно
продвинулась, книга Т. Като не устарела. Мы приведем здесь,
однако, перечень основных достижений в этой области за послед-
последние 6 лет, чтобы ориентировать читателя.
Наиболее бурно развивалась теория возмущений непрерывного
спектра и теория рассеяния в работах Т. Като, М. Ш. Бирмана,
В. С. Буслаева и др. (см. [2*], [4*]-[6*], [17*]—[20*], [22*],
[24*], [25*], [27*]-[30*], [34*], [41*], [44*], [47*], [49*], [52*]-
[54*]). Для класса дифференциальных операторов, включающих
одночастичное уравнение Шрёдингера, в некотором смысле окон-
окончательные результаты получены Като и Куродой [20*] и [24*1
(см. также [25*]).
Случаю, когда группы, порождаемые возмущенным и невозму-
невозмущенным операторами, действуют в различных гильбертовых про-
пространствах, посвящены работы [2*], [4*]—[6*], [17*], [25*], [44*],
[53*]. Для гиперболических уравнений теория рассеяния разви-
развивалась Лаксом и Филлипсом [27*] —[29*] (см. также [47*], [52*]).
Задача о многоканальном рассеянии, отвечающем многочастич-
многочастичному уравнению Шрёдингера,после классической работы Л. Д. Фад-
деева [45*] привлекла внимание столь обширного числа
ученых, как математиков, так и физиков, что мы не в состоянии
дать здесь перечень работ в этом направлении (см. [22*], [49*],
[54*] и др.).
Для несамосопряженных операторов теория рассеяния разви-
развивалась в работах [18*], [27*], [30*]. В случае возмущения дискрет-
дискретного спектра (возможно меняющего характер спектра) неогра-
неограниченным семейством операторов, зависящим от параметра 8
и сильно сходящимся к нулю при 8 ->¦ 0, в книге Като строится
формально ряд теорий возмущений. Вопросу о том, какое отно-
шение этот формальный ряд имеет к собственным функциям
х) См. в конце книги литературу, добавленную при переводе.
и собственным значениям возмущенного уравнения, а также
регуляризации расходящихся членов ряда теории возмущений,
посвящена книга [31*].
Коснемся еще одного, очень важного аспекта теории возму-
возмущений, не затронутого в книге Като. В физической литературе,
в особенности в квантовой электродинамике, давно используется
язык Г-произведений, т. е. функций от упорядоченных опера-
операторов. Так, в предварительных замечаниях к работе [46*] Р. Фейн-
1 2
ман отмечает, что если условиться обозначать (А + В) =
п
— S С*ВкАп~к, где А и В — некоторые самосопряженные опе-
оо i 2
раторы в гильбертовом пространстве Н,тоев-еА = 2 —i— =
п=0
-= еА+в. Он отмечает, что если ввести обозначения, определяю-
определяющие, какой из операторов действует первым, какой вторым,
а какой третьим, то после этого мы можем обращаться
с ними так же, как с коммутирующими операторами. Ис-
Исходя из этого, Фейнман вычисляет интеграл, определяю-
определяющий второй член теории возмущений для оператора gHA+еВ).
1 1 .? .11
(• i def I* 3 2 1 2 ,ЛА ЛА
\ е <1-т)л5е"А^т= \ ei^i-^ABeiTAqdx = JBr-T-i-g,
о oJ
Он замечает, что выражение в правой части, когда оно имеет
смысл, действительно совпадает со вторым членом теории воз-
возмущений. Заметим теперь, что если положить B=id/dx, А =х, то
р
Следовательно,
2 3 1 2
d_eix-eix .д
_ . гх L
Й 3 1 ~!я/ 3 1
X — X Х — Х
Это равенство (которое следует также из того соображения, что
3
д 3 1
iff{x — х)* = 0 при s ^ 2) не случайно. Оно, как оказалось,
связано со спектральным разложением функций от упорядоченных
операторов. Соответствующая теория, развитая в книге [32*],
позволяет преодолеть ряд трудностей метода теории возмущений
и установить тождества, отнюдь не столь очевидные, как написан-
написанные выше.
Наконец, теория возмущений «квазистационарных состояний»
(полюсов аналитического продолжения резольвенты), построен-
построенная А. Н. Базем, Я. Б. Зельдовичем и А. М. Переломовым [1*],
математически обоснована и распространена на трехмерный слу-
случай Т. М. Гатаулиным и М. В. Карасевым [13*].
В. П. Мослов
ПАМЯТИ
МОИХ РОДИТЕЛЕЙ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель этой книги — дать систематическое изложение теории
возмущений для линейных операторов. Можно надеяться, что
книга будет полезна как студентам, так и сложившимся ученым,
работающим в математике и физике.
Теория возмущений для линейных операторов представляет
собой набор довольно разнообразных результатов по спектраль-
спектральной теории линейных операторов, объединенных лишь тем, что
в них речь идет о поведении спектральных характеристик при
малом изменении операторов. Со времени ее создания Рэлеем
и Шрёдингером эта теория заняла важное место в прикладной
математике; в последние десятилетия она превратилась в мате-
математическую дисциплину со своим собственным кругом интересов.
Книга нацелена на математическое исследование предмета, при-
приложениям в ней также уделяется должное внимание.
Математической основой теории является функциональный
анализ. Но так как книга частично предназначена для ученых-
физиков, которые могут и не иметь опыта в функциональном
анализе, знание даже элементов этой дисциплины не предпола-
предполагается. Предполагается, что читатель знает основы линейной
алгебры, а также вещественного и комплексного анализа. Необ-
Необходимые методы функционального анализа (мы ограничиваемся
наиболее элементарными сведениями) развиваются по мере необ-
необходимости в тексте, в главах I, III и части глав V, VI.
Я весьма обязан многочисленным друзьям за их советы в тече-
течение длительного периода работы над книгой. В частности, я вы-
выражаю глубокую благодарность профессорам К. Кларку,
К. О. Фридрихсу, X. Фудзите, С. Голдбергу, Е. Хилле, Т. Икэ-
бэ, С. Какутани, С. Т. Куроде, Г. Нойбауэру, Р. С. Филлипсу,
Д. и О. Тоддам, Ф. Вольфу и К. Иосиде. Особенно я обязан
проф. Р. С. Ридделу за то, что он взял на себя труд прочитать
всю рукопись и исправил многочисленные ошибки, как матема-
математические, так и лингвистические. Я обязан д-ру Д. Хоулэнду,
д-ру Ф. Макграту, д-ру А. Макинтошу и м-ру С. С. Лину за
помощь в чтении корректур различных частей книги. Я хочу
поблагодарить проф. Ф. К. Шмидта, который предложил мне
написать эту книгу и постоянная поддержка которого помогла
окончить ее. И последняя по счету, но не по важности благодар-
благодарность — моей жене, Мидзуе, за утомительный труд по перепе-
перепечатке рукописи.
Беркли Тосио Kama
ВВЕДЕНИЕ
В этой книге термин «теория возмущений» означает «теория
возмущений линейных операторов». Существуют и другие разделы
математики, называемые теорией возмущений, например те, кото-
которые используются в аналитической (небесной) механике и нели-
нелинейной теории колебаний. Все эти теории возмущений основаны
на изучении систем, слабо отклоняющихся от некоторой простой
(идеальной) системы, которая полностью исследована. Однако
задачи, которые исследуются в этих разделах математики, и исполь-
используемые для их решений методы отличны от теории возмущений
для линейных операторов. Поэтому теория, развиваемая ниже,
по существу независима от упомянутых выше других теорий
возмущений.
Теория возмущений была создана Рэлеем и Шрёдингером (см.
Секефальви-Надь [1]). Рэлей дал формулу для вычислений собст-
собственных частот и мод колебаний системы, мало отличающейся
от более простой системы, которая допускает полное описание
частот и мод колебаний (см. Рэлей |1]], § 90, 91). С математической
точки зрения этот метод эквивалентен приближенному решению
задачи на собственные значения для линейного оператора, мало
отличающегося от более простого оператора, для которого эта
задача полностью решена. Шрёдингер развил аналогичный метод
для задач на собственные значения, возникающих в квантовой
механике (см. Шрёдингер [1], [1]).
Эти первоначальные работы были, однако, с точки зрения
математики весьма формальными и неполными. Неявно предпола-
предполагалось, что собственные значения и собственные векторы (или соб-
собственные функции) могут быть разложены в степенные ряды
по малому параметру, характеризующему отклонение «возмущен-
«возмущенного» оператора от «невозмущенного». Не было сделано никаких
попыток доказать сходимость этих рядов.
Окончательно вопрос о сходимости рядов был разрешен только
в серии работ Реллиха (см. Реллих [1]—[5]); правда, попытки
доказать сходимость рядов предпринимались и до Реллиха (см.
Уилсон [1]), но они не были исчерпывающими. Фундаментальные
результаты Реллиха, которые будут подробно изложены в гл. II
и VII, можно сформулировать следующим образом. Пусть в гиль-
гильбертовом пространстве Н задан ограниченный самосопряженный
оператор Т (х), зависящий от вещественного параметра х и раз-
разлагающийся в сходящийся степенной ряд:
Т (И) = Т + кК1) + х2ТС2) + . . . . A)
Предположим, что невозмущенный оператор Т — Т @) имеет
собственное значение к, изолированное от остальной части спектра
и конечной кратности т. Тогда оператор Т (х) имеет в точности m
собственных значений \ij (и), / = 1, . . ., /га (с учетом кратности),
в окрестности точки X для достаточно малых значений | х |. Более
ВВЕДЕНИЕ 9
того, эти собственные значения могут быть разложены в сходя-
сходящиеся степенные ряды
ц, (и) = X + хцУ> + «VV + B)
Соответствующие собственные векторы ф7- (к) оператора Т (к)
также можно разложить в сходящиеся ряды:
Ф;(к) = ф, + ИфТ + «V? + • • •, C)
причем выполнены условия ортогональности и нормировки
(ф; (и). ф* (к)) = Sjk- D)
1 (В формуле C) векторы ф^ суть векторы из ортонормированного
семейства собственных векторов оператора Т, отвечающих собст-
собственному значению К.)
Эти результаты совпадают с теми утверждениями, которые
сделали Рэлей, Шрёдингер и другие авторы, но строгое их дока-
доказательство было непростым делом. Даже в том случае, когда
пространство Н конечномерно (и, таким образом, проблема соб-
собственных значений решается алгебраически), доказательство
не совсем тривиально. В этом случае очевидно, что функции
\ij (и) — ветви алгеброидной функции от переменной и, но воз-
возможность наличия точки ветвления при х = О может быть исклю-
исключена только в предположении самосопряженности Т (и). В самом
деле, собственные значения самосопряженного оператора веще-
вещественны, а поэтому функция v.} (и), разлагающаяся в ряд по дроб-
дробным степеням и, не может быть вещественной одновременно для
положительных и отрицательных значений и, если только этот
ряд не сводится к ряду по целым степеням и. Доказательство
существования собственных векторов, удовлетворяющих условиям
C) и D), менее просто и требует более глубокого анализа.
В действительности Реллих рассмотрел более общий случай,
в котором оператор Т (и) не ограничен. Тогда ряд A) требует
новой интерпретации, которая составляет значительную часть
развитой теории. Реллихом были исследованы многие другие
задачи, связанные с рассмотренной выше, такие, как оценки
радиуса сходимости и точности приближения, проблема рассмот-
рассмотрения всех собственных значений и собственных векторов с выте-
вытекающим отсюда вопросом о равномерности, а также неаналити-
неаналитические возмущения.
Фундаментальные работы Реллиха стимулировали дальнейшие
исследования по аналогичным или родственным проблемам теории
линейных операторов. Новое направление было открыто Фрид-
рихсом, создавшим теорию возмущений непрерывного спектра
(см. Фридрихе [2]), которая чрезвычайно важна в теории рас-
рассеяния и в квантовой теории поля. В этой области пришлось
создать совершенно новый метод исследования, так как непре-
непрерывный спектр имеет совсем другой характер, чем дискретный.
10 ВВЕДЕНИЕ
Главной задачей, решаемой теорией Фридрихса, является задача
о подобии операторов Т (х) и Т, т. е. о существовании обратимого
оператора W (х), такого, что Т (х) = W (х) TW (к)'1.
Оригинальные результаты Реллиха о возмущении изолирован-
изолированных собственных значений были также обобщены. Было обнару-
обнаружено, что теория выигрывает в простоте и общности, если пара-
параметр х может принимать комплексные значения. И хотя для ана-
аналитической теории это вполне естественная идея, тем не менее
здесь приходится отказываться от предположения о том, что Т (к)
самосопряжен для всех х, так как оператор Т (х), аналитически
зависящий от х, не может быть в общем случае самосопряжен
для всех х в комплексной области (хотя он может быть самосо-
самосопряжен, скажем, при вещественных х). Это приводит к форму-
формулировке результатов для несамосопряженных операторов и опе-
операторов в банаховых пространствах, в которых превалирует
использование комплексных функций (Секефальви-Надь [2],
Вольф [1], Т. Като [6]). Оказывается, что основные результаты
Реллиха для самосопряженных операторов вытекают весьма
просто из общей теории.
С другой стороны, было обнаружено (Титчмарш [1], [2],
Т. Като [1]), что имеются случаи, в которых формальные ряды
типа рядов B) или C) расходятся или даже имеют только конечное
число членов, имеющих смысл; тем не менее эти члены прибли-
приближают величины Ц} (х) и ср7- (х) в асимптотическом смысле. Было
найдено, что много задач, не поддававшихся ранее трактовке,
принадлежат именно этой асимптотической теории, которая тесно
связана с сингулярной теорией возмущений для дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Другие неаналитические подходы ведут к обобщенной теории
возмущений спектра и к теоремам об устойчивости спектральных
свойств операторов; одним из главных результатов в этой области
является теорема об индексе (см. Гохберг и Крейн [1]).
В то же время Хилле и Филлипсом (см. Филлипс [1], Хилле
и Филлипс PJ) была развита теория возмущений для однопара-
метрических полугрупп операторов. Она является одновременно
и обобщением, и математической базой так называемой теории
возмущений для операторов квантовой механики, зависящих
от времени. Эта теория переплетается также с нестационарной
теорией рассеяния, которая в свою очередь тесно связана с тео-
теорией возмущений непрерывного спектра.
Из этого краткого обзора очевидно, что теория возмущений
не является четко очерченной дисциплиной. Можно сказать, что
эту область математики скорее объединяет метод исследования.
Истоки теории возмущений лежат в линейном функциональном
анализе, и значительная часть книги посвящена их обсуждению.
Упомянутые выше результаты вместе с некоторыми другими
занимают остальную ее часть.
ГЛАВА I
ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ
В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
Эта глава содержит предварительные сведения, необходимые для изло-
изложения в следующей главе теории возмущений линейных операторов в конеч-
конечномерном пространстве. Мы предполагаем, что читатель знаком с элементар-
элементарными понятиями линейной алгебры. В начальных параграфах этой главы
для удобства последующих ссылок приведены, по большей части без дока-
доказательств, основные результаты линейной алгебры. Несколько более подроб-
подробно обсуждаются понятия, связанные с нормированными векторными про-
пространствами и анализом в этих пространствах (сходимость векторов и опе-
операторов, векторнозначные и операторнозначные функции и т. д.). Весьма
подробно рассматривается задача на собственные значения, так как это один
из основных разделов теории возмущений. Подход к задаче на собственные
значения не алгебраический, а аналитический, основанный на теоретико-
функциональном изучении резольвенты. Этот подход представляется наибо-
наиболее естественным в связи с возможностью его распространения в последую-
последующих главах на бесконечномерный случай.
Хотя материал этой главы, равно как и используемые методы, вполне
элементарны, в ней содержатся некоторые результаты, нигде, по-видимому,
ранее не опубликованные (например, результаты о парах проекторов, при-
приведенные в п. 4.6 и 6.8).
§ 1. Векторные пространства и нормированные
векторные пространства
1. Основные понятия
Мы изложим здесь, в основном без доказательств, основные
факты о конечномерных векторных пространствах *). Векторное
пространство X — это совокупность элементов и, v, . . ., назы-
называемых векторами, для которых определены линейные операции
(сложение и -\- v двух векторов и, v и умножение аи вектора и
на скаляр а), подчиняющиеся обычным правилам. Во всей
книге скаляры предполагаются комплексными числами (так что
рассматриваются комплексные векторные пространства), если
не оговорено противное. Вектор аи иногда для удобства записы-
записывают в виде иа; вместо а~ги часто пишут и/а. Нулевой вектор
обозначается символом 0, тем же, что и нулевой скаляр.
*) См., например, Гельфанд [1], X а л м о ш [3], Гофман
а К у нце J1].
12 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Векторы щ, . . ., ип называются линейно независимыми, если
их линейная комбинация atut + . . . + а„и„ равна нулю только
тогда, когда а4 = . . . = а„ = 0; в противном случае эти век-
векторы линейно зависимы. Размерность пространства X, обозна-
обозначаемая dim X,— это наибольшее число линейно независимых
векторов в X. Если конечного такого числа не существует, мы
полагаем dim X = оо. В настоящей главе все векторные про-
пространства предполагаются конечномерными @ ^ dim X < оо),
если не оговорено противное.
Подмножество М в X называется линейным подпространством
или однородным линейным многообразием, если М само есть век-
векторное пространство относительно линейных операций в X.
Размерность М не превосходит размерности X. Для любого под-
подмножества S в X множество М всевозможных линейных комбина-
комбинаций векторов из S есть линейное подпространство; оно называет-
называется линейным подпространством, порожденным S, или (линейной)
оболочкой множества S. Согласно основной теореме о конеч-
конечномерных векторных пространствах, линейная оболочка М мно-
множества п векторов ui, . ¦ ., ип самое большее n-мерна; она в точ-
точности n-мерна тогда и только тогда, когда векторы щ, . . ., ип
линейно независимы.
В X существует только одно нульмерное линейное подпро-
подпространство; оно содержит один-единственный нулевой вектор
и будет обозначаться также через 0.
Пример 1.1. Множество X = С^ всех упорядоченных наборов и =
= (gj) = (|f, . . ., |jy) комплексных чисел есть .V-мерное векторное про-
пространство (комплексное евклидово пространство) с обычными «покоорди-
«покоординатными» линейными операциями.- Вектор и ? С*^ называется числовым век-
вектором и записывается в виде вектора-столбца (компоненты ?; расположены
по вертикали) или в виде вектора-строки (компоненты расположены по гори-
горизонтали), как удобнее.
Пример 1.2. Множество всех комплекснозначных непрерывных функций
и: х -*¦ и (х), определенных на интервале I вещественной оси, снабженное
естественными линейными операциями, есть бесконечномерное векторное
пространство. То же самое верно, если ограничиться функциями и с непре-
непрерывными производными до фиксированного порядка п. Интервал I можно
заменить произвольной областью 1) в m-мерном вещественном евклидовом
пространстве Rm.
Пример 1.3. Множество всех решений линейного однородного диффе-
дифференциального уравнения
и"» +«1 (х) и'") + ... + ап (х) » = °
с непрерывнылш коэффициентами aj (x) есть re-мерное векторное пространство,
так как каждое решение этого уравнения представпмо в виде линейной ком-
комбинации ге фундаментальных решений, которые линейно независимы.
х) Под областью в R мы понимаем либо открытое множество, либо
объединение открытого множества и его границы (всей или некоторой ее
части).
§ 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 13
2. Базисы
Пусть X есть iV-мерное векторное пространство и {хх, . . .
. . ., xN) — семейство1) N линейно независимых векторов в X.
Линейная оболочка векторов х(, i = 1, . . ., N, совпадает с X,
и каждый вектор и ? X представляется в виде
%1м ()
3=1
единственным образом. Семейство {xj}^ называется базисом2)
пространства X, а скаляры ?_,- — координатами (коэффициентами)
вектора и относительно этого базиса. Отображение u-v(^)
есть изоморфизм X на CN (см. пример 1.1) в том смысле, что оно
взаимно однозначно и сохраняет линейные операции, т. е.
аи + 0у ->- (alj + $r\j), если и-*-(%}) и v ->¦ (%).
Как известно, любое семейство х1: . . ., хр линейно незави-
независимых векторов добавлением к нему некоторых векторов xp+i, . . .
. . ., xN можно расширить до базиса.
Пример 1.4. В пространстве CN векторы xj = (. . ., О, 1, 0, . . .) с еди-
единицей на /'-м месте, / = 1, . . ., N, образуют базис (канонический базис).
Координатами вектора и = (|7) относительно канонического базиса служат
сами |j.
Любые два базиса {х}} и {x'j} в X связаны системой линейных
соотношений
afc = 2?#*J. k=l,...,N. A.2)
з
Координаты \j и ?] одного и того же вектора и относительно
базисов {xj} и {x'j} удовлетворяют соотношениям
Преобразования, обратные к A.2) и A.3), имеют вид
*;-=2т*7*». Ьк=^т«й. (i-4)
где (yjh) — матрица, обратная к матрице (yjk)'-
1 / = k
0| /?=fc' A.5)
. A.6)
Здесь det (yjh) обозначает определитель матрицы (yjk).
х) Под семейством понимается множество элементов, зависящих от неко-
некоторого параметра.
•) Это упорядоченный базис (ср. Гофман и Кунце [1J, стр. 47).
14 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Соотношения A.3) и A.4) удобно записывать в матричных
обозначениях:
(и)' = (С) (и), (и) = (С) (и)'; A.7)
здесь через (С) и (С) обозначены матрица (ул,) и ее обратная,
а (и) и (и)' обозначают векторы-столбцы с компонентами ?_,- и \)
соответственно. Следует принципиально различать (и) или (и)'
и «абстрактный» вектор и, который они представляют при спе-
специальном выборе базиса.
3. Линейные многообразия
Для любых подмножеств S и S' в X через S + S' обозначается
(линейная, или арифметическая) сумма S и S', т. е. множество
всех векторов вида и + и', где и 6 S, и' 6 S' *). Если S состоит
из одного вектора и, то вместо S + S' пишут и + S'. Если М —
линейное подпространство, то и + М называется (неоднородным)
линейным многообразием (или плоскостью), проходящим через и
параллельно М. Совокупность линейных многообразий и -f- M
при фиксированном М образует векторное пространство относи-
относительно линейных операций, определенных формулой
а (и + М) + р (v + М) = (аи + р») + М. A.8)
Это векторное пространство называется фактор пространством
X по М и обозначается через Х/М. Элементы пространства Х/М
называются также смежными классами линейного подпростран-
подпространства М. Нулевым вектором пространства Х/М является М,
iii/ + M = u + M тогда и только тогда, когда и — v 6 М. Раз-
Размерность Х/М называется коразмерностью (или дефектом) под-
подпространства М (относительно X) и обозначается codim M. Имеет
место равенство
dim М + codim М = dim X. A.9)
Если Mi и Мг — линейные подпространства, то Mt + М2
и Mi П М2 суть линейные подпространства и
dim (Mj + М2) + dim (Mj Г) М2) = dim Mj + dim M2. A.10)
Операция Mi + М2 для линейных подпространств (и для любых
подмножеств в X) ассоциативна в том смысле, что (М4 + М2) +
+ М3 = Mt + (Мг + М3); это позволяет говорить о сумме М4 +
-f- М2 + М3. Аналогично можно определить М4 -f- Мг + • . .
. . . -г М„ для s линейных подпространств Mj.
J) Следует отличать S -f- S' от объединения S и S', обозначаемого через
S U S'. Пересечение S и S' обозначается через S f] S'.
§ 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 15
Пространство X есть прямая сумма линейных подпространств
Мь . . ., М„ если X = Mj + . . . + Ms и 2 "/ = О (« 6 М,)
только тогда, когда Uj = 0, ; = 1, . . ., s. В этом случае мы
пишем
X = Mj Ф . . . © М3. A.11)
Каждый вектор и ? X допускает единственное представление
в виде
и = 2 uh ui € Mj, ; = 1, . . ., s. A-12)
Кроме того,
dim X = S dimM,. A.13)
Задача 1.5. Бели X «=¦ M4 ф М2, то dim M2 = codim M4.
4. Сходимость и нормы
Пусть {xj} — базис в конечномерном векторном пространстве
X и ип, п = 1, 2, . . .,— последовательность векторов из X
с координатами %nj относительно базиса {xj}. Говорят, что после-
последовательность ип сходится к нулю или имеет предел 0, и пишут
ип —v 0 при п -> се или lim ип = 0, если
П—юо
lim ^ = 0, / = 1, . . ., iV. A.14)
Последовательность и„ сходится к и (или имеет предел и), если
ип — и -+ 0; в этом случае пишут ип —>- и или lim un = и. Если
предел существует, то он единствен.
Определение сходимости не зависит от выбора базиса {xj}.
В самом деле, формула A.3) преобразования координат вектора
показывает, что равенство A.14) влечет равенство lim "E,'nj = 0,
гДе Enji /' = 1, . . ., iV, суть координаты вектора ип относительно
нового базиса [х]}.
Линейные операции в X непрерывны относительно введенной
сходимости в том смысле, что <хпип + vn —>- аи + v, если ап -v a,
ип -v и и vn -> v.
Для многих целей сходимость векторов удобно выражать
с помощью нормы. Фиксируем базис {xj} в X и положим
|| и || = max | Zj d A.15)
где ?j — координаты вектора и относительно {xj}. Равенство
A.14) показывает, что сходимость ип-^-и эквивалентна сходимо-
сходимости || ип — и \\-*~ 0. Число || и || называется «нормой» вектора и.
Функция || и ||, определенная равенством A.15), не является
единственной возможной для описания сходимости векторов.
16 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ|ПРОСТРАНСТВАХ
Мы могли бы взять также
II и и = 2 | Ь I A.16)
или
II«II==(SI^|3I/2- A.17)
Все эти функции удовлетворяют следующим условиям*
|| и )| ^ 0; || и || = 0 тогда и только тогда, когда и = 0;
|| аи || = | а | || и || (однородность); A.18)
||u + y||^||u||+||y|| (неравенство треугольника).
Каждая функция \\ и ||, определенная на X и удовлетворяющая
этим условиям, называется нормой. Заменяя и на и — г; в послед-
последнем из условий A.18), получаем
11М|-|1*>НК1|и-1>1|. A.19)
Вектор и с || и || = 1 называется нормированным. Для любого
и ф=- 0 вектор и0 = || и Ц и нормирован; говорят, что вектор
и0 получен нормировкой вектора и.
Для заданной нормы || ]| сходимость ип ->¦ и определяется
естественным образом как сходимость \\ип — и \\ ->¦ 0. Это опре-
определение сходимости в действительности не зависит от выбора
нормы и и, следовательно, совпадает с прежним определением.
Это следует из того факта, что любые две нормы || || и || ]|'
в конечномерном пространстве X эквивалентны в том смысле, что
о' II и II < II и II'<Р' II «II и еХ. A.20)
где а' и Р' — положительные постоянные, не зависящие от и.
Заметим, кстати, что для любой нормы || || и любого базиса
{xj) координаты \j вектора и относительно базиса {xj} удовле-
удовлетворяют неравенствам
IEjKyIMI. / = !.•• ^ A.21)
|| и ||< Y max | lj |, A.22)
j
где у, у' — положительные постоянные, зависящие только от нор-
нормы || || и базиса {xj}. Эти неравенства следуют из A.20), если
в качестве || ||' взять норму A.15).
Каждая норма \\ и \\ является непрерывной функцией вектора и.
Это означает, что из ип -v и следует || ип || -v || и ||, и вытекает
непосредственно из неравенства A.19). Неравенство A.19) пока-
показывает также, что каждая сходящаяся последовательность ип
есть последовательность Коши (или фундаментальная последо-
последовательность), т. е. удовлетворяет условию Коши
II ип — ит || -+ 0, т, п-+оо A.23)
Обратно, условие Коши достаточно для существования Iim ц„
§ 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 17
Хотя введение нормы не является необходимым для описания
сходимости векторов, однако норма оказывается очень удобным
инструментом для этого. В приложениях важно выбирать норму,
наиболее подходящую к рассматриваемой задаче. Векторное
пространство, в котором введена норма, называется нормирован-
нормированным {векторным) пространством. Каждое конечномерное вектор-
векторное пространство можно сделать нормированным. Одно и то же
векторное пространство можно превратить в нормированное раз-
разными способами, вводя в нем различные нормы. В последующем
мы часто будем рассматривать то или иное векторное пространство
как нормированное, вводя в нем подходящую норму. Понятие
конечномерного нормированного пространства служит моделью
(и частным случаем) понятия банахова пространства, которое
будет введено в третьей главе.
5. Топологические понятия в нормированном пространстве
Этот пункт посвящен краткому обзору некоторых топологи-
топологических понятий, относящихся к нормированным пространствам 1).
В наиболее интересующем нас здесь случае конечномерных про-
пространств нет никаких существенных отличий по сравнению со слу-
случаем вещественных евклидовых пространств. Изменения, появ-
появляющиеся при переходе к бесконечномерным пространствам,
будут отмечены ниже.
Нормированное пространство X есть частный случай метри-
метрического пространства, в котором определено расстояние между
любыми двумя точками. За расстояние между двумя точками
(векторами) и, v в X примем \\и — г; ||. (Открытый) шар в X
есть множество точек и, удовлетворяющих условию \\и — и0 \\ <
< г; точка и0 называется центром, а число г > 0 — радиу-
радиусом шара. Множество точек и, удовлетворяющих условию
|| и — и о il ^ ri называется замкнутым шаром. В том случае,
когда и0 = 0 и г = 1, мы говорим о единичном шаре. Любое
подмножество в X, содержащее шар с центром в точке и ? X,
называется окрестностью этой точки. Подмножество в X назы-
называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.
Само X ограничено, только если dim X = 0.
Точка и называется внутренней точкой множества S, если S
есть окрестность для и, и внешней точкой множества S, если и
есть внутренняя точка его дополнения S' = X\S. Точка и назы-
*) Нам потребуются лишь элементарные понятия топологии метрических
пространств. В качестве доступного руководства рекомендуем, например,
книгу Р о й д е н а [1]. (Или .Шилова [1*].— Ред.)
2 Т. Като
18 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
вается граничной точкой множества S, если она не является для
него ни внутренней, ни внешней точкой . Множество граничных
точек S есть граница 3S множества S. Объединение S (J dS назы-
называется замыканием множества S и обозначается через S. Множе-
Множество S называется открытым, если оно состоит из одних внутрен-
внутренних точек, и замкнутым, если S' открыто или, что эквивалентно,
если S = S. Замыкание S любого множества S замкнуто: S = S.
Если X конечномерно, то каждое линейное подпространство в X
замкнуто.
Приведенные выше понятия могут быть определены и в терми-
терминах сходимости последовательностей. Например, S есть множе-
множество таких и 6 X, что существует последовательность ип ? S,
сходящаяся к и. Далее, S замкнуто тогда и только тогда, когда
из ип ? S и ип —>¦ и следует и ? S.
Обозначим через dist (и, S) расстояние от точки и до множе-
множества S:
dist (и, S) = inf || и — v ||. A.24)
Если S замкнуто и и (J S, то dist (и, S) > 0.
Важным свойством конечномерных пространств X является
справедливость в них теорелш Больцано — Вейерштрасса: из каж-
каждой ограниченной последовательности векторов в X можно выбрать
сходящуюся подпоследовательности. Это свойство назовем лекаль-
лекальной компактностью пространства X х). Подмножество S с X
компактно, если любая последовательность элементов S содер-
содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу из S.
6. Бесконечные векторные ряды
Сходимость бесконечного ряда
У. ип A.25)
n=l
векторов ип (z X определяется так же, как и в случае числовых
рядов. Ряд A-25) сходится к v (или имеет сумму v), если после-
п
довательность частичных сумм vn = л щ, сходится к v. Сумма
ряда A.25) обычно обозначается тем же символом, что и сам ряд.
Достаточным условием сходимости ряда A.25) является схо-
сходимость числового ряда
21|и„||<оо. A.26)
*) Локальная компактность X существенно используется при доказа-
доказательстве неравенств A.20).
§ 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 19
Ввиду неравенств A.20) сходимость этого ряда не зависит от выбо-
выбора нормы. Если ряд A.26) сходится, то говорят об абсолютной
сходимости ряда A.25). Имеем
II 2«n IK'S II "nil- A-27)
п п
Задача 1.6. Пусть векторы ип и v Имеют соответственно координаты gnJ-
и t\j относительно базиса {х;}. Ряд A.25) сходится к v тогда и только тогда,
когда y^lnj = Л;* / = 1, . . ., Л'. Для абсолютной сходимости ряда A.25)*
п
необходима и достаточна абсолютная сходимость рядов 2?П7-, / = 1, . . ., N-
п
В абсолютно сходящихся рядах векторов можно произвольным
образом менять порядок членов ряда, не изменяя суммы,
ряда. Это становится очевидным, если перейти к коорди-
координатной записи векторных рядов (см. задачу 1.6). Дадим еще
набросок непосредственного, «бескоординатного» доказательства
этого факта. Пусть У}и'п — ряд, полученный из ряда A.25) неко-
некоторой перестановкой слагаемых. Очевидно, что 2 Нмп!1 =
= 2 II "п ||<оо- Для любого е>0 существует такое целое т,.
СП
что V ||и„|Ке. Пусть р таково, что векторы и1,...,цт
)i=m-j-l
содержатся в наборе и[, .. ., и'р. Для любых п>т и д>р имеем
q n оо
неравенство || 2 Щ— 2 "fcil< 2 ||мЛ||<е; переходя к преде-
1 ftl ftH
q oo
лу при и-^оо, получаем || 2] и]— 2 uh\\ <e для q~>p. Отсюда
3=1 Ь=1
следует, что ^и'п=^ип.
На этом примере видно, каким образом теоремы о числовых
рядах переносятся на векторные ряды. Аналогично можно дока-
доказать, например, что абсолютно сходящийся двойной ряд векторов
можно суммировать в произвольном порядке: по строкам, по столб-
столбцам или перенумеровать его в обыкновенный ряд.
7. Вектор-функщ:и
Наряду с последовательностями векторов, которые можно
рассматривать как вектор-функции целочисленного аргумента,
рассмотрим теперь функции ut = и (t) вещественной или ком-
комплексной переменной t, принимающие значения в X. По опре-
определению Нт и (t) = v, если || и (t) — v || -»- 0 при t —у а (с обьтч-
ной оговоркой t ф а) для некоторой (и, следовательно, для любой)
нормы в X. Функция и (t) непрерывна при t = а, если lim и (t) =
2*
20 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
= и (а); и (t) непрерывна в области Е, если она непрерывна в каж-
каждой точке из Е.
Производная функции и (t) определяется равенством
при условии, что предел в правой части существует. Как и в слу-
случае числовых функций, справедливы следующие формулы:
jL[u(t) + v(t)] = u'(t) + v'(t),
л С1-29)
-Jf №(*)•"(*)] =Ф (*)"'(*) +ф'(*)"(*)>
где ср (t) — комплексная функция.
Можно определить интеграл от вектор-функции и (t) так же,
как и для числовых функций. Предположим, например, что
и (t) — непрерывная вектор-функция вещественной переменной
ь
t, a =S^ t ^ Ъ. Интеграл Римана \ и (t) dt определяется как предел
а
сумм 2 {tj — ^y-i) u (^)i построенных по разбиению а = to <
<; ti <...<; tn = Ъ интервала [а, Ъ]. Аналогично можно опре-
определить интеграл \ и (t) dt непрерывной функции и (t) комплекс-
с
ной переменной t по спрямляемой кривой С. Доказательство
существования такого интеграла аналогично соответствующему
доказательству в случае числовых функций; достаточно лишь
заменить модуль комплексного числа на норму вектора. Для вве-
введенных интегралов справедливы формулы
J [аи @ + Р» (*)] dt = a J и (t) dt + $ \ v{t) dt,
" С1-30)
@1lI*l
Нетрудно сформулировать и определение несобственного интегра-
интеграла от вектор-функции. Ниже мы будем без специальных поясне-
пояснений пользоваться формулами дифференциального и интеграль-
интегрального исчисления для вектор-функций.
Хотя определение производной вектор-функции комплексного
аргумента совпадает по форме с соответствующим определением
в случае вещественного аргумента, однако, так же как и для
числовых функций, есть существенное различие между этими
двумя случаями. Дифференцируемая в области D комплексной
плоскости функция и (t) называется регулярной, или аналити-
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ И СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 21
ческой, или голоморфной в D. Большая часть теории функций ком-
комплексной переменной переносится без существенных изменений
на случай голоморфных вектор-функций *). Так, справедливы
интегральная теорема Коши, теоремы о рядах Тейлора и Лорана,
теорема Лиувилля и т. д. Например, если t = 0 — изолирован-
изолированная особая точка голоморфной вектор-функции и (?), то
u(t)=
где С — замкнутая кривая, скажем окружность, обходящая точ-
точку t = 0 в положительном направлении. Точка t = О представляет
собой регулярную точку (устранимую особенность), если ап = О
при п < О, полюс порядка к > 0, если a_k Ф 0 и ап = 0 при
и << —fc, и существенно особую точку в оставшемся случае.
Задача 1.7. Если t = 0 — полюс порядка /с, то || и (t) || = о (| t |-ft)
при / -»- 0.
Задача 1.8. Пусть ?,¦ (?) — координаты вектора ц (?) относительно неко-
некоторого базиса в X. Функция и (t) непрерывна (соотв. дифференцируема) тогда
и только тогда, когда все gj (t) непрерывны (соотв. дифференцируемы). Коор-
Координатами вектора и' (t) в том же базисе служат gj (t); векгор I м (t) dt имеет
координаты I \j (t) dt.
§ 2. Линейные формы и сопряженное пространство
1. Линейные формы
Пусть X — векторное пространство. Комплексная функция
/ [и], определенная на X, называется линейной формой или линей-
линейным функционалом, если
/ [аи + ри] = а/ [и] + Р/ Ы B.1)
для всех и, v 6 X и всех скаляров аир.
Пример 2.1. Если X = Cw (пространство JV-мерных числовых векто-
векторов), то всякая линейная форма на X представима в виде
N
/[в] =2 ajlj, где u=(lj). B.2)
1 В этой книге мы часто будем применять методы теории функций ком-
комплексной переменной; однако нам потребуются лишь элементарные факты
этой теории, излагаемые во всяком стандартном руководстве (см., скажем,
К н о п п [1, 2| (или Ш а б а т [1*].— Ред.). Мы будем использовать эти
факты применительно к вектор-функциям или операторным функциям без
особых пояснений, так как эти обобщения не представляют труда.
22 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Обычно и представляют как вектор-столбец с компонентами §,-; тогда / рас-
рассматривают как вектор-строку с компонентами a,-, a / [и] будет матричным
произведением этих двух векторов.
Пример 2.2. Пусть X — пространство непрерывных функций и = и (х),
рассмотренное в примере 1.2. Формулы
f[u] = u(x0), где х0 — фиксированная точка, B.3)
Ъ
/["]= ) <f>{x)u(x)dx, где ф—фиксированная функция, B.4)
определяют линейные функционалы на X.
Пусть {Xj} ¦— базис в X (dim X = N <С оо). Если и = ]>] ?,jXj,
то согласно B.1) имеем
/ [и] = V «.-?,, B.5)
где a,] = f [xj]. Каждая линейная форма представляется, таким
образом, числовым вектором (а^) в некотором базисе и, обратно,
каждый числовой вектор (а7) определяет линейный функционал /
по формуле B.5). Эта формула совпадает с формулой B.2) для
линейного функционала на CN.
Та же самая линейная форма / в другом базисе {x'j} представ-
представляется другим числовым вектором [а.]). Если новый базис {x'j}
связан со старым преобразованием A.2), или A.4), то связь между
представлениями {а]) и (ссу) дается формулами
Щ ~ / [x'j] = 2 yhjf [Xk] = 2 Vftj«ft»
h h
B.6)
j
В матричных обозначениях это можно записать так:
(/)' = (/) (С)-1, (/) = (/') (С), B.7)
где (С) — матрица (у}-к) (см. A.7)), а (/) и (/') — векторы-строки
с компонентами (а,-) и (aj) соответственно.
2. Сопряженное пространство
Комплексная функция / [и], определенная на X, называется
полулинейной (или сопряженно-линейной, или антилинейной) фор-
формой, если
f[au + f>v] =~af [и] +"р/ [v], B.8)
где а обозначает число, комплексно сопряженное к а. Очевидно,
что / [и] — полулинейная форма тогда и только тогда, когда
/ [и] — линейная форма. Для удобства изложения мы бу-
будем работать с полулинейными формами, а не с линей-
линейными.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ И СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 23
Пример 2.3. Всякая полулинейная форма / на CN имеет вид / [и] =
Пример 2.4. Пусть X — пространство непрерывных функций (см. при-
пример 2.2). Формулы
f[u] = u{x0), B.9)
[и] = ^ q> (x)V<SJ dx B.10)
задают полулинейные функционалы на X.
Линейная комбинация а/ + $g двух полулинейных форм
/ и g, определенная формулой
{af+$g)lu]=af[u]+$g[u], B.11)
есть, очевидно, полулинейная форма. Таким образом, множество
всех полулинейных форм на X является векторным простран-
пространством. Это пространство называется сопряженным к X и обозна-
обозначается через X*. Нулевой вектор пространства X*, обозначаемый
все тем же символом 0, есть функционал на X, переводящий каж-
каждый вектор и 6 X в нуль.
Удобно трактовать пространство X* как в некотором смысле
«ровню» пространства X. А именно мы пишем
/Ы=(/, и) B.12)
и называем (/, и) скалярным произведением элементов / ? X*
и и 6 X. Как следует из определения B.12), скалярное произведе-
произведение (/, и) линейно по / и полулинейно по и:
(а/ + pg, и) = а (/, и) +| (g, и), B.13)
(/, аи + ри) = а (/, и) + Р (/, v).
Пример 2.5. Пусть X = С^. Если элементы из X рассматриваются как
векторы-столбцы, то элементы из X* можно рассматривать как векторы-
строки. Скалярное произведение векторов / = (а,) ? X* и и = (|у) 6 X
задается форлгулои
(/,«) = 2 «Д;- B-14)
Замечание 2.6. В алгебраической теории векторных про-
пространств сопряженное пространство к X определяется как про-
пространство всех линейных форм на X. Наше определение сопря-
сопряженного пространства приспособлено для того, чтобы простран-
пространство, сопряженное к евклидову конечномерному пространству X
(см. § 6), можно было отождествить с самим X х).
г) См., например, X а л м о ш [2J. Иногда определяют X* как множе-
множество всех линейных форм / на X, но зато а/ определяют формулой (а/) [и] =
= а/ [и]; при этом / [и\ линейно по и и полулинейно по / (см., например,
Л о р х PI). Наше определение сопряженного пространства совпадает
с определением Рисса и Секефальвп-Надя [[1].
24 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
3. Сопряженный базис
Пусть {х}} — базис в X. Так же как и в случае линейных
форм, для каждого числового вектора (ah) существует вектор
/ 6 X* такой, что (/, xk) — ak. В частности, для каждого j суще-
существует единственный элемент е,- ? X* такой, что
(ej, xh) = 8,ft, j,k = l,...,N. B.15)
Легко видеть, что векторы ej линейно независимы. Каждый эле-
элемент / 6 X* можно представить единственным образом в виде
линейной комбинации элементов е$:
1 = 2 «&, где aj = (/, х}). B.16)
В самом деле, скалярное произведение разности / — 2 aiei
с каждым Xj и, следовательно, с каждым и ? X равно нулю; зна-
значит, / — 2 aiei есть нулевая форма.
Таким образом, N векторов е,- образуют базис в X*, называе-
называемый базисом, сопряженным к базису {xj} в X. Так как базис
{ej} состоит из N элементов, имеем
dim X* = dim X = N. B.17)
Для каждого и ? X имеем
и = 2 Ij*, *где L- = A~И). B.18)
Из B.16) и B.18) следует, что
(/, и) =- 2 «>Ii = 2 (/, ^) (^. «)• B-19)
Пусть {х^} и {#}} — базисы в X, связанные соотношением A.2).
Соответствующие им сопряженные базисы {ej} и {е)} в X* связаны
друг с другом формулами
<?j = 2?rteft> <?* = 2?йЛ- B.20)
h j
При этом
yjh = (e'j, xh), ykj = (eh,Xj). B.21)
4. Сопряженное к нормированному пространству
Так как X* конечномерно вместе с X, то можно так же, как
в п. 1.4, ввести понятие сходимости векторов в X*. В связи с этим
полезно ввести норму в X*. Обычно в X* вводят не произвольную
норму, а специальным образом связанную с нормой в X.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ И СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 25
В том случае, когда в X задана норма ||-||, в сопряженном
пространстве X* норму определяют формулой х)
||/||= sup Ц^- = sup \(f,u)\. B.22)
o^uex IIм И и и ц=1
Конечность ||/|| следует из того, что непрерывная функция
| (/, и) | от и достигает максимума на сфере \\ и || = 1 (ввиду
локальной компактности X). Легко проверить, что функция
|| / || обладает свойствами нормы A.18). Использование одного
и того же символа ||-|| для двух разных норм не поведет к недора-
недоразумениям.
Пример 2.7. Предположим, что в X фиксирован базис [xj} и норма ||-||
определена формулой A.15). Из B.19) вытекает, что | (/, и) I < (^] I aj l) II " II»
где aj = (/, Xj), причем равенство здесь действительно имеет место, если
вектор и = 2 %>jxj таков' чт0 I li I — • • • = I 5jv Iй все a&j веществен-
вещественны и неотрицательны. Отсюда следует, что
11/11 = 21 «Л- B-23)
Аналогично можно показать, что норма в X* задается формулой
|| / || = max I о/ |, B.24)
если норма в X определена формулой A.16). Мы можем сказать, таким обра-
образом, что нормы A.15) и A.16) сопряжены друг другу.
Из B.22) вытекает неравенство
К/, и) |< ||/|| ||u||, /eX*, и еХ, B.25)
называемое (обобщенным) неравенством Шварца. Оно является
просто следствием нашего определения нормы в сопряженном
пространстве и имеет содержательный смысл только в том случае,
когда норму в X* можно охарактеризовать независимым образом
(как, например, в случае евклидова конечномерного простран-
пространства, см. § 6).
Из B.25) следует, что \\и\\~^ | (/, и) \/\\f Ц. Справедливо
даже более сильное утверждение 2):
|| u||= sup Щф.= sup |(/,U)|. B.26)
Это вытекает из того факта, что для любого и0 6 X существует
функционал / ? X*, удовлетворяющий условиям
(/, ио) = 1, 11/11 = 1. B.27)
Доказательство этого факта требует несколько больших знаний
о свойствах нормы и будет дано в следующем пункте.
2) Мы предполагаем здесь, что dim X > 0; случай dim X = 0 тривиален.
2) В предположении, что dim X > 0.
26 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Задача 2.8. Если (/, ц) = 0 для всех и, ? X, то / = 0. Если (/, и) = 0
для всех / g X*, то и =-- 0.
Простым следствием неравенства Шварца является непрерыв-
непрерывность скалярного произведения (/, и) по аргументам / и и. В самом
деле *),
| (/', и') - (/, и) | =
- I (/' - /. И) + (/, !*'-!*) +
+ (/' - /, и' - и) |< B.28)
< II /' - / II II и || + || / || |[ и' -и\\+ ]| /' - / || || и' - и ||.
В частности, ип -> и влечет (/, ип) -*¦ (/, и) для каждого
/ ? X*; аналогично /п ->- / влечет (/„, и) —>- (/, и) для каждого
и f X. Аналогично, сходимость ряда У_ ип к и влечет сходимость
У (/, ип) к (/, и) для каждого / ? X* (т. е. скалярное умножение
можно производить почленно). Обратно, если (/, ип) —у (/, и)
для всех / ? X*, то un —>- и; это можно доказать, используя раз-
разложения векторов] ип и и в каком-нибудь фиксированном
базисе в X.
5. Выпуклость шаров
Пусть S — открытый шар в X. Шар S — выпуклое множество,
т. е. для любых векторов и, v ? S соединяющий их отрезок содер-
содержится в S. Другими словами,
%и + A — К) v ?S, если и, u6S, 0 < К < 1. B.29)
Действительно, обозначая через и0 центр и через г радиус
шара S, имеем
\\hi + (l-k)v- щ || =
= || Л (и - и0) + A - Л) (v - и0) ||< V + A - Л) г = г,
чем и доказано наше утверждение. В дальнейшем через S мы обо-
обозначаем единичный шар (и0 = 0, г = 1).
Так как пространство X изоморфно iV-мерному комплексному
координатному пространству С^, то оно изоморфно (как веще-
вещественное векторное пространство) 2Лг-мерному вещественному
координатному пространству R"jV. Поэтому S можно рассматри-
рассматривать как выпуклое множество в R2\ Воспользовавшись хорошо
известной теоремой о существовании опорной гиперплоскости 2),
М Непрерывность (/, и) следз^ет сразу из B.19). Однако доказательство,
использующее B.28), имеет то преимущество, что оно пригодно и в бесконечно-
бесконечномерном случае.
2) См., например, Э г л с т о н [1] (или Колмогоров и Фо-
м и п [1*Ц.— РеЭ.).
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ И СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО
заключаем, что для каждого и0 с || и0 \\ = 1 существует
ственно-линейная форма g [к] на X такая, что
g [и0] = 1 и g [и] < 1 для мб S. B.30)
Вещественная линейность формы g означает, что g принимает
вещественные значения и g [аи + фи] = ag [и\ + p"g [у] для всех
и, v 6 X и всех вещественных аир.
Форма g не является ни линейной, ни полулинейной на ком-
комплексном векторном пространстве X. Существует, однако, функ-
функционал / ? X*, связанный с g соотношением1)
(/, и) = flu] =g[u] + ig [iu]. B.31)
Так как аддитивность / очевидна, то для доказательства полу-
полулинейности / достаточно установить равенство / [(а + ip") и] =
= (а — ip") / [и] для вещественных аир. Оно доказывается так:
/ [(а + ip1) и] = g [аи + i$u] ~\- ig [iau — Рм] =
= ag [u] + $g [iu] + iag liu] — i$g [u] =
= (a - if>) {g [u] + ig [iu]) = (a - #) / [и].
Построенная форма / имеет следующие свойства:
(/, "о) = 1, 11/11 = 1- B-32)
Действительно, положим (/, и) = i?eie, где 6 вещественно
и Й^О. Как только что было показано, (/, егви) = е~*е (/, и) =
= Лн, следовательно, | (/, и) | = R =Ке (/, ети) = g[eie • и] <С 1,
если || ети || = || м || < 1. Отсюда видно, что || / || ^ 1. В ча-
частности, | (/, и0) | С 1- Но поскольку Re (/. и0) = g [и0] = 1, то
(/, щ) = 1 и 11/Ц = 1.
Заметим, что свойства B.32) эквивалентны свойствам B.27)
ввиду однородности нормы.
6. Второе сопряженное
Пространство X**, сопряженное к X*, есть совокупность
полулинейных форм на X*. Примером такой формы является
всякий функционал вида F (/) = (/, и), где и — фиксированный
вектор из X. Таким образом, каждому и ? X сопоставлен некото-
некоторый элемент F ? X**. Это отображение линейно, ибо если векто-
векторам вив соответствуют векторы F и G, то вектору аи + fiv соот-
соответствует вектор aF + |3G. Из того факта, что dim X** =
= dim X* = dim X, следует, чт® образом этого отображения
будет все пространство X**; другими словами, каждому элементу
F ? X** отвечает некоторый вектор и ? X. Далее, если X, а зна-
значит и X*, X** —нормированные пространства, то норма в X**
1) i — мнимая единица.
28 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
совпадает с нормой в X: || F \\ = |] и ||; это вытекает из B.26).
Таким образом, X** можно отождествить с X не только как
векторное, но и как нормированное пространство. В этом смысле
мы можем записать F [/] как и [/] = (и, /), так что
(и, /) = (/, и). B.33)
Стоит отметить, что при отождествлении X и X** мы существенно
использовали конечномерность X.
Задача 2.9. Если {ej} — базис в X*, сопряженный к базису {xj} в X*
то {xj} — базис в X** = X, сопряженный к {ej}.
Мы пишем /_|_м или и ± /, если (/, и) = 0. Если / j_ и для
всех и из некоторого подмножества Sc X, мы пишем / _|_ S.
Аналогично вводится обозначение и 1 S' для и 6 X и S' а X*.
Множество всех / ? X* таких, что / J_ S, называется аннулятором
S и обозначается через S . Аналогично, аннулятор S подмно-
подмножества S' с X* есть совокупность всех таких и ? X, что и _|_ S'.
Для любого подмножества S с X его аннулятор S-1- является
линейным подпространством. Аннулятор S множества S
совпадает с линейной оболочкой множества S. В частности, М =
= М для любого линейного подпространства М в X.
Задача 2.10. codim M = dim M-^-.
§ 3. Линейные операторы
1. Определения. Матричные представления
Пусть X и Y — векторные пространства. Отображение Т,
сопоставляющее каждому вектору и из X некоторый вектор v =
= Ти из Y, называется линейным отображением или линейным
оператором из X в Y, если Т сохраняет линейные соотношения,
т. е. если
+ а2и2) = aiTui + a2Tu2 C.1)
для всех Mi, u2 g X и всех скаляров oci и а2- Пространство X
называется областью определения, a Y — пространством значе-
значений. Если Y = X, мы говорим, что Т — линейный оператор в X.
В этой книге термин оператор означает линейный оператор, если
не оговорено противное.
Для любого подмножества S в X множество всех векторов вида
Ти с и ? S называется образом S относительно Т и обозначается
через TS. Если М — линейное подпространство в X, то ГМ —
линейное подпространство в Y. В частности, линейное подпро-
подпространство ГХ a Y называется образом Т и обозначается через
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 29
R (Т). Размерность подпространства R (Т) называется рангом
оператора Т и обозначается rank Т. Коразмерность R (Т) в Y
называется дефектом оператора Т и обозначается def Т. Таким
образом,
rank Т + def Т = dim Y. C.2)
Для любого подмножества S' в Y множество всех векторов
и ? X таких, что Ти 6S', называется прообразом S' и обозна-
обозначается через T^S'. Прообраз нуля в Y есть линейное подпро-
подпространство в X; оно называется ядром х) или нуль-пространством
оператора Т и обозначается через N (Т). Размерность ядра мы
обозначаем символом nul Т. Имеем
rank Т + nul Т = dim X. C.3)
Для доказательства достаточно заметить, что Т взаимно одно-
однозначно отображает факторпространство X/N (Т) (имеющее раз-
размерность dim X — nul Т) на R (Т).
Если nul Т = def Т = 0, то Т отображает X на Y взаимно
однозначно. В этом случае существует всюду определенный
обратный оператор Т~1ш, это оператор из Y в X, переводя-
переводящий Ти в и. Очевидно, что (Г) == Т. Оператор Т называет-
называется невырожденным, если Т~г существует и всюду определен-
и вырожденным — в противном случае. Для невырожден-
невырожденности Т необходимо, чтобы dim X = dim Y. Если dim X =
= dim Y, то условия nul T = 0 и def T = 0 эквивалентны и, сле-
следовательно, каждое из них влечет невырожденность оператора Т.
Пусть {xh} — некоторый базис в X. Каждый вектор и ? X
имеет представление вида A.1), так что
N
Tu=yilkTxh, iV = dimX, C.4)
u=i
Таким образом, оператор Т из X в Y определяется своими зна-
значениями Txk, к = 1, . . ., N. Обратно, можно произвольно задать
эти значения в Y, а затем определить оператор Т по линейности
(т. е. по формуле C.4)).
Если \у]} — базис в Y, то каждый вектор Тхк предствим
в виде
м
Txk = 2 -ЧьУи М = dim Y. C.5)
3=1
Подставляя C.5) в C.4), видим, что координаты г\} вектора v = Ти
относительно базиса {yj} выражаются через координаты th век-
вектора и относительно базиса {xh} по формуле
%-=2т^, 7 = 1, ...,М. C.6)
h
г) Начиная с гл. III термин «ядро» будет использоваться и в другом
•смысле.— Прим. перев.
30 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Таким образом, оператор Т из X в Y представляется МX TV-мат-
TV-матрицей (%jk) относительно базисов {xk} и {у}} в пространствах
X и Y соответственно. Обратно, каждой М X TV-матрице (xjft)
отвечает оператор Т из X в Y, представляемый ею при заданных
базисах. .
Пусть (x'jk) — матрица, представляющая тот же самый опе-
оператор Т, но относительно новой пары базисов {x'k} и {у]}. Связь
между матрицами (х]к) и (x]h) получается комбинированием фор-
формулы C.5) и формул A.2) и A.4) для координатных преобразова-
преобразований. В результате получаем
Т5л= 2 y'iitihyhk- C.7)
г, h
Итак, матрица (i'jh) есть произведение трех матриц: (y'jh), (тл)
и (ул).
Если Т — оператор в X, то естественно положить yj--=x; и
у] = х'у, в таком случае имеем
C.8)
Из A.0) следует, что
det(T-ft)-=det(Tyfc). C.9)
Таким образом, число clet (xjk) определяется самим оператором Т
и не зависит от выбора базиса. Оно называется детерминантом
оператора Т и обозначается det Т. Аналогично, след \ Xjj матри-
матрицы (xjh) не зависит от выбора базиса; он называется следом опе-
оператора Т и обозначается tr Т.
Задача 3.1. Если {/,-} — базис в Y*, сопряженный к базису {yj} в Y, то
tJk = (Txh,fj). C.10)
Задача 3.2. Пусть {.г/} и {<?^} — сопряженные базисы в пространствах
X п Xs соответственно. Если Т — оператор п X, то
tvT=V(Txj,ej). C.11)
2. Линейные операции над операторами
Если Т и S — линейные операторы из X в Y, то их линейная
комбинация а.Т ~\- $S определяется формулой
(aS + РГ) и = a (Su) + р (Ти), и 6 X, C.12)
и также является линейным оператором из X в Y. Обозначим
через $} (X, Y) множество всех операторов из X в Y; 38 (X, Y)
с определенными выше линейными операциями есть векторное
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 31
пространство. Нулевой вектор этого векторного пространства
есть нулевой оператор 0, определяемый формулой Ом = 0 для
всех и ? X.
Задача 3.3. rank E + Г) < rank S + rank T.
Размерность векторного пространства $ (X, Y) равна NM,
где N = dim X и М = dim Y. Действительно, выберем базисы
{xh} и {г/j} в X и Y соответственно и введем операторы Р-]к по
формуле
PjhXh = 6hhy}, к, h = i, . . ., N, j = l,...,M. C.13)
Эти MN операторов суть линейно независимые элементы из
!$ (X, Y); в силу C.5) имеем
Т = 2 rjhPjh. C.14)
Таким образом, {Pjk} — Пчзис в i? (X, Y), чем и доказано наше
утверждение. Базис {Pjh} назовем базисом в $8 (X, Y), ассоцииро-
ассоциированным с базисами {хп} и {yj} в X и Y. Формула C.14) показы-
показывает, что матричные элементы xjh суть координаты «вектора» Т
относительно базиса {Pjh}, а C-7) или C.8) — формулы коорди-
координатных преобразований в .%' (X, Y).
Произведение TS линейных операторов Т и S определяется
формулой
(TS) и = Г (Su) (и 6 X), C.15)
где X — область определения оператора S, причем область опре-
определения Т совпадает с пространством значений Y оператора S.
Справедливы следующие соотношения 1):
(TS) R = Г (SR) = TSR,
(осГ) S = Т (aS) = a (TS) = aTS, C.16)
(Т, + Т2) S = TtS + T2S,
Т (S± + S2) = TSi + TS2.
Задача 3.4. rank (TS) < max (rank T, rank S).
Задача 3.5. Если операторы S n T отпосителыго некоторых базисов имеют
матрицы (п1к) п (т7-д), то S + Т и TS имеют матрицы (a1k) + (т№) и (т^) @д)
соответственно. Если существует оператор Т'1, то его матрица'есть матрица,
обратная к (тд).
3. Алгебра линейных операторов
Если S и Т — операторы в X, то определено их произведение
TS и оно снова есть оператор в X. Таким образом, множество
$} (X) = 93 (X, X) всех линейных операторов в X является
~ означает «обозначается через».— Прим. ред.
32 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
не только векторным пространством, но и алгеброй. Алгебра
38 (X) не коммутативна, если dim X ^ 2, так как, вообще гово-
говоря, ST Ф TS. Если TS = ST, то говорят, что операторы Т и S
коммутируют. Имеем ГО = ОТ = 0 и Т1 = IT '= Т для каж-
каждого jT6J?(X); здесь 1 обозначает тождественный оператор,
определяемый формулой 1и = и, и ? X. Таким образом, 1 есть
единичный элемент х) алгебры SB (X). Операторы вида al назы-
называются скалярными'1) и по записи не будут отличаться от скаля-
скаляров а. Скалярный оператор коммутирует с каждым оператором
из 38 (X).
Мы пишем ТТ = Г2, ТТТ = Т3 и т. д. и полагаем Г = 1
по определению. Имеем
(ymyi = ymn^ m, п = I, 2, . . . . C.17)
Для каждого многочлена р (z) = а0 + cqz + . . . +anz™ опре-
определим оператор
р (Т) = а0 + а,Т + . . . + «„Г". C.18)
Отображение р (z) -*¦ р (Т) есть гомоморфизм алгебры многочле-
многочленов в 38 (X); это означает, что равенства р (z) + g (z) = г (z),
р (z) # (z) = г (z) остаются справедливыми при замене z на Г.
В частности, р (Г) и q (T) коммутируют.
Задача 3.6. Операторы Pjk, определенные формулой C.13), в случае
Y = X и yj = xj удовлетворяют соотношениям
PjhPih = bhiPjh> U *. t,h=l, . . ., N. C.19)
Задача 3.7. Положим Rn = R (Г") и Nn = N (Тп), га = 0, 1, .... После-
Последовательность {Rn} не возрастает, а последовательность {Nn} не убывает.
Существует неотрицательное целое число m ^ dim X, такое, что Rn ф Rn+i
для п < m и Rn = 15,1+1 для п ^ тп.
Если оператор Г 6 38 (X) невырожден, то
ТТ-1 = Г?1 = 1. C.20)
Если Т tsmqqi левый обратный Т' (т. е. такой оператор Т' ? 38 (X),
что Т'Т = 1), то mil Т = 0, так как Гм = 0 влечет и = Г'Ги =
= 0. Если Т имеет правый обратный Т" (т. е. ТТ" = 1), то Т
имеет нулевой дефект, так как каждый вектор и ? X имеет вид
ТТ"и и, следовательно, принадлежит R (Г). В рассматриваемом
нами конечномерном случае из существования любого из одно-
односторонних обратных для Т следуют невырожденность Т и ра-
равенство Г = Т-1 или Т" =Т~1.
1) Заметим, что 1 Ф 0 тогда и только тогда, когда dim X > 1.
2) Не следует смешивать это понятие с понятием скалярного оператора
в теории Данфорда спектральных операторов (см. Д а и ф о р д [1]).
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 33
Если S и Т — невырожденные операторы, то и произведение
TS невырождено и
(TS)-1 = S^T'1. C.21)
Для невырожденного Т отрицательные степени Т~п,п = 1, 2, . . .,
можно определить по формуле Т~п = (Г)™. При этом формула
C.17) верна для всех целых тп и п.
Следующие соотношения для детерминантов и следов непо-
непосредственно вытекают из задачи 3.5:
det TS = (det T) (det S),
tr (aT + 05) = a Tr T + p tr S, C.22)
tr ST = tr TS.
Задача 3.8. Последняя из формул C.22) верна даже для S ? 3$ (X, Y)
и Г ? J (Y, X), если только ST ? J8 (Y) и TS ? $ (X).
4. Проекторы. Нильпотентные операторы
Пусть М и N — (взаимно) дополнительные линейные подпро-
подпространства в X; это значит, что
X = М Ф N C.23)
(см. п. 1.3). Каждый вектор и ? X однозначно представим в виде
и == и' + и", где и' ? М и м" ? N. Вектор м' называется проекцией
и на М параллельно N. Если у = у' + у", где у' ? М, у" ? N, то
аи' + ру' есть проекция на М параллельно N вектора аи + Ру.
Положим и' = Рм; ясно, что Р — линейный оператор в X. Он
называется оператором проектирования (или просто проектором)
на М параллельно N. Оператор 1 — Р есть проектор на N парал-
параллельно М. Равенство Ри = и имеет место тогда и только тогда,
когда и ? М; Ри = 0 тогда и только тогда, когда и ? N. Образ
оператора Р есть М, а ядро — N. Удобно писать dim P вместо
dim М = dim R (Р). Так как Ри ? М для каждого и ? X, то
РРм = Рм, т. е. Р — идемпотент:
Р2 = Р. C.24)
Обратно, любой идемпотентный оператор Р является проек-
проектором. Действительно, положим М = R (Р) и N = R A — Р).
Если и' 6 М, то и' — Ри для некоторого и и, следовательно,
Ри' = Рам = Ри = и'. Если и" 6 N, то Ри" = 0, поэтому
и 6 М П N влечет и = Ри = 0, что дает МП N = 0. Каждый
вектор и ? X допускает представление в виде ц' -f- и", где и' =
= Ри 6 М и и" = A — Р) и 6 N. Итак, Р есть проектор на М
параллельно N.
Задача 3.9. Если Р — проектор, то
tr Р = dim P C.25)
3 т. Като
34 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Приведенные выше результаты можно распространить на слу-
случай нескольких линейных подпространств М1; . . ., Ms таких, что
X = Mi Ф . . . © М,. C.26)
Каждый вектор и ? X однозначно представим в виде щ + . . .
. . . -j- us, Uj 6 Mj, j = 1, . . ., s. Оператор Pj, определенный
формулой PjU = uh есть проектор на М; параллельно Nj =
= Mi © . . . Ф Mj_i Ф M;+i Ф . . . Ф Ms. Далее, имеем
2^ = 1, C-27)
PkPj = 8jhPj. C.28)
Обратно, пусть Рь . . ., Р3 — операторы, удовлетворяющие усло-
условиям C.27) и C.28) 1). Если положить Mj = R (Pj), то, как легко
видеть, выполнено C.26) и операторы Pj, 7 = 1, . . ., s, совпа-
совпадают с проекторами, построенными по разложению C.26). Рас-
Рассмотрим, в частности, случай s = 3 и положим Р — Р4 + Р2.
Тогда Pi = Р\Р = РР\ = РР\Р; Pi есть проектор, коммутирую-
коммутирующий с Р и удовлетворяющий условию R (Рх) cr R (Р). Такой
проектор Pi назовем подпроектором для Р (собственным под-
проектором, если кроме того Pi Ф Р); обозначение: Pi ^ Р.
Базис {xj} в X называется присоединенным к разложению
C.26), если несколько первых элементов базиса принадлежат
Mi, несколько последующих принадлежат М2 и т. д. Относительно
такого базиса каждый оператор P^ представляется диагональной
матрицей, диагональными элементами которой являются нули
и единицы, причем число единиц равно dim Mj. Обратно, каждая
такая матрица представляет проектор.
Для каждого линейного подпространства М в конечномерном
пространстве X существует дополнительное подпространство N
(такое, что выполнено C.23)). Таким образом, для каждого линей-
линейного подпространства существует проектор на него. Однако такой
проектор не единствен.
Линейный оператор Т ? 38 (X) называется нилъпотпенгпным опе-
оператором, или нилъпотентом, если Тп — 0 для некоторого нату-
натурального п. Нильпотентный оператор всегда вырожден.
Рассмотрим подробнее строение нильпотентного оператора.
Пусть п таково, что Тп = 0, но Тп~гф0 (мы предполагаем, что
dimX = N>0). Тогда R (Г") 9<= 0; пусть {х\, ..., xlPj\— базис
в RG'n~1). Каждый вектор х\ имеет вид х\ = Тп~1х? для некото-
х) Такой набор иногда называют полным ортогональным семейством
проекторов. Мы не будем пользоваться этим термином, чтобы избежать воз-
возможной путанмцы с понятием системы ортогональных проекторов в гиль-
гильбертовом пространстве.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
35
рого з:??Х, i=l, ...,pj. Если п>\, то положим Тп~2х? = х\,
так что Тх\ = х\. Векторы xb, к=\, 2, i=l, ...,;?!, принадле-
принадлежат R (Т7") и линейно независимы; действительно, применяя
оператор Т к обеим частям равенства V {atx\-\-^(х\) = 0, получаем
^а,1х\ = 0; следовательно, все аг = О и ^Р'^»^^' 0ТКУДа все
Р,- = 0. Расширим семейство {а?} до базиса в К(Г"~2), добавляя
в случае надобности новые векторы хг +1, ...,х^; при этом
можно считать, что Тх\ = 0 при i > pi.
Если п>2, то совершенно аналогично делаем следующий
шаг. В итоге получаем базис {х*?} в X со следующими свойствами:
к=\, ...,П, 7=1, ...,Ph, P^
0,
C.29)
здесь р0 = 0.
Если базисные векторы х\ упорядочить следующим образом:
{xj, . . ., я", х\, . . ., х™, . . .}, то матрица оператора Т в этом
базисе примет вид
/ 01
0 1
О 1
О 1
о
\
0 1
0 1
0 1
о
(все неуказанные элементы равны нулю).
Задача 3.10. Если оператор Т нильпотентен, то FN = 0 дляТУ = dim X.
Задача 3.11. Если оператор Т нильпотентен, то tr Т = 0 и det A-f- Г) = 1.
3*
36 Гл. Г. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
5. Инвариантность. Разложение
Линейное подпространство М называется инвариантным отно-
относительно оператора Т ? 38 (X), если ГМ с: М. В этом случае Т
индуцирует линейный оператор Тм в М, определяемый формулой
Тми = Ти, и ? M. Оператор Гм называется частью оператора
Т в М.
Задача 3.12. Подпространства Rn = R (Гп), п = 0, 1,2,.. ., инвари-
инвариантны относительно Г. Пусть m — число, определенное в задаче 3.7. Тогда
часть оператора Т в Rn вырождена, если п < те, и невырождена, если ге > та.
Задача 3.13. Если М инвариантно относительно Г, то М инвариантно
относительно р (Т) для любого многочлена р (z) и, кроме того, р (Т)ш =¦
Если для оператора Т существуют инвариантные линейные
многообразия М и N такие, что X = М © N, то говорят, что Т
приводится парой М, N. Вообще оператор Т приводится семей-
семейством линейных- подпространств Mi, . . ., М3, если выполнено
C.26) и каждое M^ инвариантно относительно Т (иногда мы будем
в этом случае говорить, что Т допускает разложение, соответствую-
соответствующее разложению C.26)). При этом Т полностью определяется
своими частями Ти,,] = 1, . . ., s. Оператор Т называется прямой
суммой операторов Тм- Он коммутирует с каждым оператором Pj
из семейства проекторов, соответствующего разложению C.26).
В самом деле, Р}и g M;-, TPjU g М;- и PhTPju = 8}kTPju; сумми-
суммируя последние равенства по j = 1, . . ., s, получаем Р^Ти =
= TPhu, или TPk = PkT. Как легко видеть, верно и обратное,
т. е. что оператор Т приводится семейством Mi, . . ., Ms, если
Т коммутирует с каждым Pj.
В базисе {х,}, присоединенном к разложению C.26), оператор
Т представляется матрицей, у которой ненулевые элементы имеют-
имеются лишь в s подматрицах вдоль главной диагонали (эти подматри-
подматрицы являются матрицами операторов Тш). Таким образом, матрица
оператора Т есть прямая сумма матриц операторов Тж .
Задача 3.14. Доказать, что, во введенных выше обозначениях,
J, ,.. C.31)
з м i
Замечание 3.15. Оператор PjT = TPj — PjTPj на векторах
из M^ совпадает с Г, а также Гм и потому отождествляется с Гм
в тех случаях, когда это не приводит к недоразумениям.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 37
6. Сопряженный оператор
Пусть Т ? J? (X, Y). Для каждого g 6 Y* скалярное произ-
произведение (g, Ти), м 6 X, является полулинейной формой на X
и, следовательно, может быть записано в виде / [и] = (/, и), где
/ ? X*. Определим отображение Т* из Y* в X*, положив / = T*g.
Таким образом, равенство
(T*g, и) = (g, Ти), g € Y*. и € X, C.32)
можно рассматривать как определение отображения Т*. Это
отображение есть линейный оператор из Y* в X*. Действительно,
для каждого и ? X имеем (Т* (а^ + a2g2), и) = (а^ +
+ а2?2, Ти) = Я1 (ft, Ти) + аг (g2, Ти) = a, (T*gi, и) +
+ а2 (T*gz, и) = (aiT*gi + a2T*g2, и) и поэтому Т* («ift +
+ azg2) — a\T*gi + a2T*g2- Оператор Т* называется сопряжен-
сопряженным к Т.
Операция сопряжения обладает следующими свойствами:
(aS + рГ)* = «5* + рГ*, (TS)* = S*T*. C.33)
Во второй из формул C.33) предполагается, что Т ? J? (Y, Z)
и S f i (X, Y), при этом оператор Г5 имеет смысл и принадле-
принадлежит Я (X, Z); отметим, что S* € * (Y*, X*), Г* 6 * (Z*. Y*)
и S*T* g .^ (Z*, X*). Доказательства формул C.33) просты;
например, вторая формула следует из цепочки равенств
((TS)* h, и) = (h, TSu) = (T*h, Su) = (S*T*h, и),
справедливых для всех h ? Z* и u 6 X.
Задача 3.16. Доказать, что 0* = 0 и 1* = 1 (нуль в левой части первого
равенства есть нулевой оператор из X в Y, а нуль справа—нулевой опера-
оператор из Y* в X*; аналогичное соглашение используется во втором равенстве,
где, кроме того, предполагается, что Y=X).
Если Г€#(Х, Y), то r*6^(Y*, X*) и Т** 6
6 № (X**, Y**). Отождествляя X** и Y** с X и Y соответствен-
соответственно (см. п. 2.6), получаем из C.32), что
Т** = Т. C.34)
Выбрав базисы {хь} и {xjj} в X и Y, представим оператор
Т?$?(Х, Y) матрицей (т^). Относительно сопряженных базисов
{eft} и {/;} в X* и Y* соответственно оператор Т* представляется
матрицей (т*3). Согласно C.10) матричные элементы операторов
Т иТ* вычисляются по формулам т/ь= (TXh, fj), xti = (T*fj, xk) =
= (fj, Txk). Поэтому
k=l, ..., 7V
38 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
и мы заключаем, что операторы Т и Т* представляются взаимно
сопряженными (эрмитово сопряженными) матрицами относительно
сопряженных базисов.
Задача 3.17. Если Т g & (X), то
t7?. C.36)
Пусть Т 6 $} (X, Y). Элемент g 6 Y* содержится в аннуля-
торе подпространства R (Т) тогда и только тогда, когда (g, Tu) —
= 0 для всех и 6 X. Отсюда и из C.32) следует, что T*g = 0.
Таким образом, аннуляпгор образа оператора Т совпадает с ядром
оператора Т* и, как следует из C.34), то же самое верно, если Г
и Т* поменять местами. Итак,
N (Г*) = R (ТI, N (Т) = R (Г*I. C.37)
Отсюда вытекает (см. C.2), C.3) и B.17)), что
nul T* = def T, nul Т = def Г*, rank Г* = rank Г. C.38)
Если, в частности, Y = X, то из C.38) следует, что оператор Т*
невырожден тогда и только тогда, когда оператор Т невырожден;
в зтом случае имеем
(Г*)-1 = (Т-1)*. C.39)
Для доказательства достаточно заметить, что Т* (Г)* =
= {Т-гТ)* = 1* = 1.
Задача 3.18. Для всякого Т ? & (X)
nul T* = nul T, def Т* = def Т. C.40)
Если Р 6 & (X) — проектор, то и сопряженный оператор
Р* 6 ^ (X*) — проектор, так как из Р* = Р следует Р*2 = Р*.
Разложения
X = M9N, M = R (P), N = R A — Р), C.41)
X* = М* Ф N*, М* = R (P*), N* = R A - Р*) C.42)
пространств X и X* связаны друг с другом соотношениями
N* = М-1, dim М* = dim M,
М* = N1-, dim N*= dim N, C.43)
как это видно из C.37) и C.40).
Аналогичные результаты справедливы и для семейства проек-
проекторов. Если {Pj} — множество проекторов в X, удовлетворяющих
условиям C.27) — C.28), то и семейство проекторов {Р*} в X*
удовлетворяет этим условиям. Многообразия ]\^ = R (Pj), M| =
§ 4. АНАЛИЗ В ПРОСТРАНСТВЕ ОПЕРАТОРОВ 39
R (Р|) связаны соотношениями
/ = 1, 2, ..., C.44)
М? = (Ма©...)Х, Mf = (M§©...)± и т. д. C.45)
Задача 3.19. Пусть {ж,} — базис в X, присоединенный к разложению
X = Mi ф . . . ф Ms, и {ej} — сопряженный базис в X*. Базис {ej} при-
присоединен к разложению X* = Mf ® . . . ф MJ. Для любого и ? X имеем
т)
Pju^^(u,eh)xh, C.46)
r=l
где {zjj, . . ., ж/mj} — часть базиса {xj}, содержащаяся в М;-, a mj = dim My.
§ 4. Анализ в пространстве операторов
1. Сходимость операторов и операторная норма
Так как множество J? (X, Y) всех линейных операторов из X
в Y есть Ж/У-мерное векторное пространство, где N = dim X <
<оо иЖ = dim Y < оо, то понятие сходимости последователь-
последовательности операторов {Тп} из 38 (X, Y) имеет смысл точно такой же,
как и в случае последовательности векторов из X. Введем матрич-
матричные представления (xnjh) операторов Тп ? $ (X, Y) относительно
фиксированных базисов {xk} и {г/;} в X и Y соответственно. Схо-
Сходимость Тп -*¦ Т эквивалентна сходимости xnj-k —>- x]h при каждых
/ и к, ибо числа xnjk суть координаты оператора Тп в базисе {Рщ}
пространства J? (X, Y) (см. п. 3.2). Числа xn}h, j — 1, . . ., М,
являются, кроме того, координатами вектора Txk в базисе {yj};
поэтому сходимость Тп -> Т эквивалентна сходимости Tnxk -*¦
-*¦ Txk для каждого к и, следовательно, сходимости Тпи —у- Ти
для каждого и 6 X. Каждое Из этих свойств можно было бы при-
принять за определение сходимости Тп -*¦ Т.
Сходимость операторов, так же как и сходимость векторов,
удобно выражать с помощью нормы. Норма в пространстве опера-
операторов обычно вводится не произвольно, а в зависимости от норм
в пространствах X и Y. Точнее, если X и Y — нормированные
пространства, то SB (X, Y) наделяется нормой, определяемой
формулой
= sup 4?lf= SUP Hyull= SUP HyuH. Ге#(Х, Y) D.1)
0?X II "II ||||1 ||||S1
и называемая операторной нормой. Совпадение различных выра-
выражений для нормы в D.1) легко проверяется 1).
г) Второй и третий члены в D.1) не имеют смысла, если dim X = 0; в этом
случае просто полагаем || Т || = 0.
40 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Ввиду компактности единичной сферы и единичного шара
можно в D.1) заменить «sup» на «max» (см. аналогичное заме-
замечание в п. 2.4 по поводу нормы элемента / ? X*); отсюда следует,
что || Т || конечна. Нетрудно проверить, что функция || Т ||, опре-
определенная на 98 (X, Y) формулой D.1), удовлетворяет условиям
A.18). Следовательно, сходимость Тп -*¦ Т эквивалентна сходи-
сходимости || Тп — Т || -»- 0. Необходимым и достаточным условием
сходимости последовательности {Тп} к некоторому Т является
выполнение условия Коши: || Тп — Тт || -»- 0 при п, т—>-оо.
Другое удобное выражение для нормы ]| Т || таково *):
IIтII = sup imnuii= sup \(Tu'f)\- D-2)
офех Win II и Н i|uii=i
|Я1
Эквивалентность D.2) и D.1) следует из B.26).
Если мы введем другие нормы в векторных пространствах
X и Y, то и в 98 (X, Y) норма изменится. Однако, так же как
и в случае норм в X, все эти операторные нормы эквивалентны
в том смысле, что для любых двух норм || || и || ||' существуют
такие положительные константы а' и р", что справедливы нера-
неравенства
а' || Г || < || Г И' < р" || Т ||. D.3)
Это утверждение является частным случаем предложения A.20)
применительно к нормированному пространству 98 (X, Y). Ана-
Аналогично, неравенства A.21) и A.22) приводят к следующим нера-
неравенствам:
I т,Л | < V II Т ||, j = 1, . . ., М; к = 1 , iV, D.4)
|| Г||< 7'max |tJft |, D.5)
где (tjjj) — матрица оператора Т относительно фиксированных
базисов в X и Y. Константы у и у' зависят от этих базисов и нормы
в 98 (X, Y), но не зависят от Т.
Так же как и для векторов, aS + рТ — непрерывная функция
от скаляров а, р и операторов S, Т 6 98 (X, Y), а || Т \\ — непре-
непрерывная функция от Т. Специфическим свойством операторной
нормы является следующее неравенство:
|| TS || < || Т ||.|| S || при Т 6 98 (Y, Z), S 6 98 (X, Y). D.6)
Это вытекает из неравенств || TSu || ^ || Т || || Su \\ ^
^ || Т || || S || || и ||; заметим, что неравенство D.6), вообще гово-
говоря, теряет силу, если заменить операторную норму на произволь-
произвольную норму в 98 (X, Y).
Задача 4.1. || 1 || = 1 (где 1 6 ^9 (X) — тождественный оператор,
dim X > 0). Если Р ? J} (X) — проектор и Р ф 0, то || i» || > 1.
>¦) Здесь предполагается, что dim X > 1, dim Y ^ 1.
§ 4. АНАЛИЗ В ПРОСТРАНСТВЕ ОПЕРАТОРОВ 41
Произведение TS — непрерывная функция от ? и Т. Други-
Другими словами, из Тп -*¦ Т и Sn -»- S следует TnSn -»- TS. Доказа-
Доказательство получается с помощью выкладки, аналогичной выкладке
B.28), нужно лишь применить неравенство D.6). Точно так же
можно доказать, что Ти есть непрерывная функция от Г и а.
В частности, из ип —>- и следует Тип —>- Ти. Таким образом, всякий
линейный оператор в конечномерном пространстве непрерывен.
Это позволяет, в частности, почленно применять линейный опера-
оператор Т к сходящимся рядам векторов:
7Bил) = 2Ги*. D.7)
п п
Если X — нормированное пространство, то 98 (X) = 9S (X, X)
есть нормированная алгебра (или нормированное кольцо) с нормой
D.2): для Т, S ? J? (X) выполняется неравенство D.6).
Если Т е.% (X, Y), то Т* 6.» (У*, X*) и
II Т* || = || Т ||. D.8)
Действительно, в силу D.2) || Т* \\ = sup | (T*f, и) j =
= sup | (/, Ти) \=\\Т ||, где и 6 X** - X, || и |[ = 1 и / € У*,
11/11 = 1-
2. Норма степени
В качестве примера использования нормы и имея в виду даль-
дальнейшие приложения, рассмотрим поведение норм || Т71 || для
Т 6 98 (X). Из D.6) следует, что
|| 7™+" || < || Тп || || Тп ||, || Гп|| < || Г |Г, ,.Q.
m, n = 0, 1, 2, . . . . {q'V)
Покажем, что lim || Тп ||1/п существует и равен inf || Тп Ц
Этот предел называется спектральным радиусом оператора Т
и обозначается spr Т. Как мы увидим позднее, spr T не зависит
от нормы, фигурирующей в определении.
Положим an = log|| 7"*||. Требуется доказать, что
°a- -v Ъ = inf -^-. D.10)
л n n
Неравенство D.9) дает
am+n ^ am + a-n D.11)
(такая последовательность {ап} называется полу аддитивной).
Зафиксировав натуральное число т, положим п = mq -\- г, где
9, г — неотрицательные целые числа, причем г < иг. Из D.11)
вытекает, что ап ^ qam + aT, так что
1
42 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
При п -> оо (и фиксированном т) q/n -*- 1/т, а г принимает одно
из значений 0, 1, . . ., т — 1. Поэтому lim sup anln ^ am/m.
Так как т произвольно, то lim sup ajn ^ Ъ. С другой стороны,
aJn^-Ъ и потому lim inf ajn ^ Ъ. Этим доказано D.10) *).
Замечание 4.2. На основании полученного только что результата мож-
можно было бы предположить, что последовательность [| Тп \\1^п монотонно
убывает (не возрастает). Это, однако, неверно, как видно из следующего
примера. Пусть X = С2, с нормой A.17) (X — двумерное евклидово про-
пространство, см. § 6). Пусть оператор Т задан матрицей
Легко вкдеть, что
Г2п = a2nj,2nl t f2n+l _ ain^inf ^ 11 f| | _ a2 >
\\T*n\\i/2n = ab, ||Г2п+1||1/2п+1=аЬ(а/ЬI/2п+1 >ab.
Рассмотрим теперь норму || Т'1 || и выведем неравенство,
дающее оценку || Г || через || Т \\ и det T, в предположении, что
оператор Т невырожден. Векторное равенство Ти = v эквивалент-
эквивалентно системе линейных уравнений C.6). Решая эту систему относи-
относительно |ft, получаем дробные выражения, в которых знаменателем
служит det T, а числители суть линейные комбинации перемен-
переменных T)fe, коэффициентами которых являются миноры матрицы
(x,-ft). Эти миноры — полиномы от Tjk степени N — 1, где N =
= dim X. Из неравенств || и \\ ^ у' max | ?/ | (см. A.22)),
I Tifc | < У" II Т || (см. D.4)) и | т), | < Г II » II (см- A.21)) еле-
дует, что существует такая константа у, что
и т и iv~1
или ||Г-1ц<уШ!^1. D.12)
Постоянная у не зависит от Т, но зависит от выбора нормы, фигу-
фигурирующей в D.12) 2).
3. Примеры норм
Поскольку норма || Т \\ оператора Т 6 3 (X, Y) определяется через
нормы в пространствах X и Y, то не существует такой свободы при выборе
операторной нормы, как при выборе нормы в X и Y. По этой же причине
не всегда легко вычислить точное значение нормы || Т \\. Однако часто тре-
требуется лишь знать оценку сверху для || Т ||. Мы покажем на примерах, как
можно получить такую оценку.
1) Ср. Пойа и Сегё [1], стр. 38. Ср. также Хилле и Фил-
лип с [1|.
2) Если X — евклидово пространство, то можно считать, что у = 1
(см. Т. К а т о [13]).
§ 4. АНАЛИЗ В ПРОСТРАНСТВЕ ОПЕРАТОРОВ 43
В качестве нормы в векторном пространстве наиболее часто используется
р-норма, определяемая формулой
3
ср>1, где %j — координаты вектора и относительно фиксированного бази-
базиса {xj} (который мы будем называть каноническим базисом).
Условия A.18) выполняются для р-нормы (третье условие в A.18) —
это в нашем случае не что иное, как неравенство Минковского 1)). Частные
случаи р — 1,2 уже встречались выше, см. A.16) и A.17). Норму || и || =
¦= max | \j | можно рассматривать как предельный случай р-нормы при
р = оо.
Предположим, что в пространствах X и Y введены р-нормы с одним
и тем же р. Оценим соответствующую операторную норму || Т \\ через эле-
элементы матрицы (т^) оператора Т относительно канонических базисов в X
и Y. Если v = Ти, то координаты |^ и Т)^ векторов т» удовлетворяют соот-
соотношениям C.6). Пусть
— суммы соответственно по строкам и по столбцам элементов матрицы
(| %jh |). Из C.6) следует, что
Так как неотрицательные числа | т^ \/xj, k = 1, . . ., N, дают в сумме 1
(при фиксированном /), то правая часть предыдущего неравенства есть взве-
взвешенное среднее чисел I |д |. Так как Хр — выпуклая функция 2) от Я при
% ^ 0, то р-я степень этого среднего не превосходит взвешенного среднего
чисел | |jj |p с теми же весами. Итак,
и потому
I Ю \р < хУ~1 2 I Ук 11 Ik I" < (max tJ)p-i
3
'p-1 (max тП || v ||p,
откуда
II Tu || = || v |K (max x'j) p (max т?) р || ц ||. D.15)
3 й
Окончательно получаем3)
l — —
|| Г IK (max tJ) p (max rft) p . D.16)
i
x) Доказательство можно найтн в любом учебнике по анализу. См.,
например, Хард и, Литлвуд и Пойа [1J; Р о й д е н [1J.
2) По поводу выпуклых функций см., например, Хард и, Литл-
Литлвуд и Пойа [1].
3) Это в действительности простое следствие теоремы выпуклости
М. Рисса (см. Хард и, Литлвуд и Пойа [1].
44 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Если р = 1, то первый сомножитель в правой части D.16) равен единице
и не зависит, следовательно, от x'j. Устремляя р к бесконечности, видим, что
D.16) верно и при р = оо; в этом случае второй множитель справа равен 1
и, значит, не зависит от тл.
Задача 4.3. Если (xjh) — диагональная матрица (т. е. т^ ¦» 0 при / Ф к),
то для любого р
||Г||<тах|т,Л- D.17)
4. Бесконечные операторные ряды
Сходимость бесконечных операторных рядов 2 Тп опреде-
определяется так же, как и в случае бесконечных векторных рядов;
мы не будем повторять здесь это определение. Аналогично, абсо-
абсолютная сходимость операторного ряда 2 Тп означает сходи-
сходимость ряда 2 || Тп || для некоторой (и, следовательно, для любой)
нормы || ||. В этом случае ряд 2 Тп сходится и || 2 Тп\ ^
< 2 I! тп п.
Ввиду возможности перемножения операторов имеются фор-
формулы, специфические для операторных рядов. Например:
s B тп) = 2 srn, B тп) s = 2 ад D.18)
здесь предполагается, что ряд сходится, а произведения имеют
смысл. Формулы D.18) следуют из непрерывности произведения
ST по S и Т. Далее, абсолютно сходящиеся ряды можно пере-
перемножить почленно, т. е.
(S^)(S^) = SWn, D-19)
если произведения имеют смысл. Порядок членов в правой части
D.19) произволен B SmTn можно также рассматривать как
двойной ряд). Доказательство D.19), по существу, не отличается
от соответствующего доказательства в случае числовых рядов,
и мы его не приводим.
Пример 4.4 (показательная функция).
Оо
eiT = exp {tT) = 2 ^Г еТ"' Т 6 ® (Х)* D>20)
п=0
Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного числа ?,
так как и-й член ряда D.20) оценивается по норме величиной
ИГ!!?1 Цп/и'- Имеем
т|(. D.21)
§ 4. АНАЛИЗ В ПРОСТРАНСТВЕ ОПЕРАТОРОВ 45
Пример 4.5 (ряд Неймана).
S Г\ |[(l_rr||<(l-||f||)-S Ге#(Х). D.22)
(V S
п=0
Этот ряд абсолютно сходится при || Г || < 1, так как || 7"* || <1
^ || Т ||п. Обозначим его сумму через S. После почленного пере-
перемножения получим TS = 57" = S — 1. Следовательно,
A — Г) S = S A — Г) = 1 и 5 = A — Г). Отсюда вытекает,
что оператор R ?38 (X) невырожден при || 1 — R || < 1. Следует
отметить, что выполнение или невыполнение условия || Т || < 1
(или || 1 — R || <С 1) зависит от выбора нормы в X; может слу-
случиться, что это условие выполнено для одной нормы, но не выпол-
выполнено для другой.
Задача 4.6. Ряд D.22) абсолютно сходится, если || Тт \\ < 1 для неко-
некоторого натурального числа т или, что эквивалентно, если spr T <С 1 (опре-
(определение спектрального радиуса spr T см. в п. 4.2); сумма ряда D.22) и в
этом случае равна A — Г).
В так называемых итерационных методах решения линейного
уравнения A — Т) и = v относительно неизвестной и берут
п
частичные суммы Sn — 2 Ть в качестве приближений к опера-
л=о
тору S = A — У)» а векторы ип = Snv — в качестве прибли-
приближений к истинному решению и = Sv. Ошибку такого приближе-
приближения можно оценить следующим образом:
оо оо
V и rh и I! T lln+1 //, оч\
IIZi II^ 11 = Тн]Т]Г* ^ ^
ft=n+l ft=n+l
При и = 0 формула D.23) дает || A — Т)~х — 1 ||<
< II Т || A — || Т И). Полагая i? = 1 — Т, видим, что Д -*¦ 1
при i? -*¦ 1. Другими словами, R'1 есть непрерывная функция
от R при R = 1. Это частный случай общего утверждения, что
Т~х есть непрерывная функция от Т. Точнее, если оператор
Т ? $? (X, Y) невырожден, то всякий оператор 5 ? JF (Y, X),
для которого норма || 5 — 7" || достаточно мала, тоже невырож-
невырожден, причем || S-1 — Г || -»- 0 при || S — Г \\ -^ 0. Отсюда сле-
следует, в частности, что множество всех обратимых элементов
в Я (X, Y) открыто. [Конечно, X и Y должны иметь одинаковые
размерности, если в ?t (X, Y) существуют невырожденные эле-
элементы.]
Для доказательства положим А = S — Т и допустим, что
\\А ||< 1/|| Т-1 ||. Тогда || AT-1 || < \\ А || || Г ||< 1 и по пре-
предыдущему 1 + AT'1 — невырожденный оператор в 38 (Y). Так
как S = T-\-A=(l-\- AT'1) T, то и оператор S невырожден,
причем S-1 = Т-1 A + AT11
46 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Используя оценки D.22) и D.23) для || A + ЛГ)1|
и Ц^ + ЛГ)—11|, получаем следующие оценки для IIS'1 |
и ||S-i_7-»||, где S = T + A:
II S-i |[ < llr"xll „5-! т-ч< \\А || || Г-i |р
П° Н^ 1-Ц Л || || Г-11|' И15 * 11<>1_||Л||||7-1||
при Н||<1/||^||. D.24)
Замечание 4.7. Существование оператора S'1 = (У + Л)
мы доказали выше при условии \\ А || < 1/|| 77 ||. Это условие
можно ослабить, если X = Y и TS = ST. В этом случае Л ком-
коммутирует с У и, следовательно, с Т'1. Поэтому
spr AT-1 = lim || (Л?1)" И1/" = lim || AnT~n Ц1/» <
< [lim || An H1/"] [lim || T~n ||i/*] =
= (spr A) (spr Г). D.25)
Отсюда вытекает, что S~* = Г A + AT'1)'1 существует, если
spr A < (spr Г)-1. D.26)
5. Операторнозначные функции
Операторнозначные функции Tt = T (t) вещественной или
комплексной переменной t, принимающие значения в §В (X, Y),
определяются и рассматриваются точно так же, как вектор-
функции (см. п. 1.7). Некоторые новые моменты, по сравнению
с п. 1.7, возникают в связи с функциями T(t)u(t) и S(t)T(t),
где и (t) — вектор-функция и S (t) — операторнозначная функ-
функция. Так, например, мы имеем формулы
4 Г @ « @=Г {t)u(t) + T (t)u' (t),
л D-27)
± (t)S' {t)
всякий раз, когда выражения, входящие в D.27), имеют смысл.
Кроме того,
-L. Г-1 (t) = - Г (t)-1 Г (t) T (ty\ D.28)
если Т (t)'1 и 7" (i) существуют. Это следует из тождества
S-1 _ Т-1 = -S-1 (S - Т) Т-1 D.29)
и непрерывности Т~х как функции от Т (см. п. 4).
Что касается интегралов от операторнозначных функций,
то справедливы формулы, аналогичные формулам A.30). Имеем,
§ 4. АНАЛИЗ В ПРОСТРАНСТВЕ ОПЕРАТОРОВ 47
кроме того,
\ Su (t) dt = S \ и (t) dt, \t (t)u dt = ( \ T (t) dt\ u,
\ST(t)dt = S\T (t) dt, \T(t) S dt=(\T (t) dt) S.
Для нас особенно будут важны голоморфные операторнознач-
ные функции Т (t) комплексной переменной t. К ним применимы
все замечания о голоморфных вектор-функциях (см. п. 1.7). Отме-
Отметим, что произведения S (t) T (t) и Т (t) и (t) голоморфны, если
их сомножители голоморфны, а функция Т (t)'1 голоморфна,
если Т (t) голоморфна и существует Т (t)'1 [последнее утверждение
следует из D.28)].
Пример 4.8. Показательная функция etT, определенная фор-
формулой D.20), является целой функцией от t (голоморфной во всей
комплексной плоскости), причем
e = Te = eT. D.31)
Пример 4.9. Рассмотрим ряд Неймана
00
n D.32)
С комплексным параметром t. Этот ряд абсолютно сходится при
| t | < 1/spr T (см. задачу 4.6). Оказывается, что радиус сходи-
сходимости г ряда D.32) в точности равен 1/spr Т. В самом деле, так
как функция S (t) голоморфна при | t | <С г, то, так же как и для
числовых рядов, справедливы неравенства Коши х) || Тп \\ <
< МТ'г'~п при всех п и г' < г {Мт, не зависит от п). Следова-
Следовательно, spr Т = lim || Тп II1/™ ^г'; переходя к пределу при
г' -»- г, получаем spr T ^ г, чем и доказано наше утверждение,
так как противоположное неравенство было доказано выше.
В качестве следствия получаем, что spr T не зависит от выбора
нормы, фигурирующей в определении.
1 Г
*) Имеем Г" = —— \ t-n-is (t) dt, так что
П1 U|=r'
1 Г
|| fn [| ^ -L- \ r'-I»-l || 5 (?) || | (f(
I *|=r-
где Mr' ¦» max || 5 (г) || < oo.
48 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
6. Пары проекторов
В дальнейшем нам понадобятся некоторые результаты о парах
проекторов (идемпотентов) в конечномерных нормированных про-
пространствах *). Мы получим их здесь в качестве примера приме-
применения операторного исчисления.
Напомним (см. п. 3.4), что проектор Р — это оператор
в 98 (X), такой, что Рг = Р. Оператор 1 — Р является проекто-
проектором одновременно с Р.
Пусть Р, Q ? $? (X) — пара проекторов. Оператор
R = (Р - 02 = Р + Q - PQ - QP D.33)
коммутирует с Р и Q; для Р это следует из равенств PR =
= Р — PQP = RP, и аналогично для Q. Так как 1 — Р — про-
проектор, то и оператор A — Р — QJ коммутирует с Р и Q. Имеет
место тождество
(P-Q)% + (l-P- Qf = 1, D.34)
которое проверяется непосредственным вычислением. Вот другое
полезное тождество:
(PQ - QPJ = {Р - QY - (Р - QJ = R2 - R; D.35)
его доказательство несложно, и провести его предоставляется
читателю.
Положим
V = QP + A - (?) A - Р), V - PQ + A - Р) A - <?).
D.36)
Оператор U' отображает R (Р) = РХ в QX и A — Р) X
в A — Q) X, а оператор V переводит QX в РХ и A — Q) X
в A — Р) X. Но эти отображения не являются взаимно обрат-
обратными; как нетрудно видеть, справедливы лишь равенства
V'U' = U'V = 1 - R. D.37)
Но так как R коммутирует с Р и Q, а следовательно, с U' и V,
то операторы U' и V можно подправить так, что они станут
взаимно обратными. А именно, введем операторы
U = V A - R)-l/1 = A - Ryl/2 U', D.38)
V = V A — R)~IJ2 = A — R)~m V.
х) Результаты этого пункта взяты из статьи Т. К а т о [9]. Они верны
и для бесконечномерных банаховых пространств. По поводу частного слу-
случая проекторов в гильбертовом пространстве см. п. 6.8. Близкие результаты
имеются в книге Ахиезера и Глазмана |[l| и статьях С е к е -
фальви-Надя [1], [2] и Вольфа [1].
§ 4. АНАЛИЗ В ПРОСТРАНСТВЕ ОПЕРАТОРОВ 49
Эти операторы определены в том случае, когда существует обрат-
обратный оператор к квадратному корню из 1 — R. Оператор A — R)'i/2
естественно определить как сумму биномиального ряда
% { D.з9)
Этот ряд абсолютно сходится при \\ R || < 1 или, более точно, при
spri?<l, D.40)
и его сумма Т удовлетворяет соотношению Т2 = A — R)'1 точно
так же, как и для числового биномиального ряда. Итак *¦)
VU = UV = 1, V = U-1, U = V1. D.41)
Из D.36) следует, что U'P = QP = QU' и PV = PQ = F'<?;
поэтому ?/Р = QU ж PV = VQ ввиду перестановочности R с Р
и (?• Отсюда получаем
Q = г//>г/-1, Р = U~lQU. D.42)
Итак, проекторы Р и Q подобны (см. п. 5.7). Они изоморфны друг
другу в том смысле, что каждое линейное соотношение вида
v = Pu переходит в соотношение v' = Qu при взаимно однознач-
однозначном линейном отображении U (и' = Uu, v' = Uv). В частности,
образы РХ и QX изоморфны и переводятся друг в друга операто-
операторами U и и~г. Тагаш образом,
dim Р = dim Q, dim (I - Р) = dim (I - Q). D.43)
Непосредственным следствием этого результата является
Лемма 4.10. Пусть Р (г) — проектор, непрерывно зависящий
от параметра t. пробегающего (связную) область вещественной
оси или комплексной плоскости. Тогда образы Р (t) X изоморфны
при всех t. В частности, функция dim P (t) X постоянна.
Для доказательства достаточно заметить, что
\\P(t')-P(t") ||<1
для достаточно близких t' и t", и потому полученные выше
результаты применимы к паре проекторов Р (t') и Р (?").
Задача 4.11. При условии D.40) имеем PQX = РХ и QPX == QX.
[Указание: PQ = PV = PU'1 (I — i?)V2.]
-1) Как будет показано ниже в п. 6.7, операторы U и V оказываются уни-
унитарными, если X — гильбертово пространство, а Р n Q — ортогональные
проекторы. Операторы U п V с такими же свойствами, как в п. 4.6,.построе-
4.6,.построены иным методом в статьях С е к е ф а л ь в и - Н а д я [1] и Воль-
Вольфа [1]; их совпадение с построенными выше операторами доказано п статье
Т. К ат о [9].
4 Т. Като
50 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Задача 4.12. Для любых двух проекторов Р и Q имеем
A — Р + QP) A — Q + PQ) = 1 — R, D.44)
A _ р + qp)-i = A _ д)-1 A _ о + PQ)t если spr Л < 1. D.45)
Здесь R задается формулой D.33). Если spr Я < 1, то оператор W = 1 —
— Р + 0.Р отображает РХ на фХ, причем Wu = и для и ? A — i>) X,
a W отображает ОХ на РХ и ЙР^и = и при и б A — Р) X. Кроме того,
X = QX ф A - Р) X.
Задача 4.13. Для любых двух проекторов Р и Q, удовлетворяющих усло-
условию spr (Р — ()J <; 1, существует функция Р (г), 0 <; г ^ 1, голоморфно
зависящая от t и такая, что Р @) = Р, Р A) = О. [Указакие: 2Р (?) =
= 1 + BР — 1 + 2* (О - Р)) A —' it A - {) Л)-1/*П
§ 5. Задача на собственные значения
1. Определения
В этом параграфе X обозначает векторное пространство конеч-
конечной (ненулевой) размерности N, причем всякий раз, когда в этом
появляется необходимость, X будет рассматриваться как норми-
нормированное пространство относительно подходящей нормы.
Пусть Т ? §1 (X). Комплексное число Я, называется собствен-
собственным {характеристическим) значением оператора Т, если суще-
существует ненулевой вектор и 6 X, такой, что
Ти => hi. E.1)
Вектор и называется в этом случае собственным (характеристи-
(характеристическим) вектором оператора Т, принадлежащим (соответствую-
(соответствующим) собственному значению Я,. Множество N>, векторов и ? X,
таких, что Ти = Ум, есть линейное подпространство в X; оно
называется (геометрическим) собственным подпространством опе-
оператора Т, соответствующим собственному значению X, a dim N^
называется (геометрической) кратностью собственного значения
Я,. Подпространство Nj, имеет смысл определить и для тех слу-
случаев, когда X не является собственным значением; тогда полагаем
Na, = 0. При этом удобно говорить, что Nj, есть собственное
подпространство для собственного значения Я с нулевой кратно-
кратностью, хотя это и не находится в строгом соответствии с определе-
определением собственного значения г).
х) Можно поставить обобщенную задачу на собственные значения (так
называемую нелинейную задачу на собственные значения), в которой разы-
разыскиваются решения уравнения Т (Х)и — 0, где Т (к) — некоторый линейный
оператор-, зависящий от параметра к; например, Т (Я) = Го + kTi + . . .
. . . + кпТп. Ненулевое решение и такой задачи существует, вообще говоря,
только для некоторых особых значений к (обобщенных собственных значе-
значений). Один частный случай такой задачи будет рассмотрен ниже в п. VII.1.3.
§ 5. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 51
Задача 5.1. Число X есть собственное значение оператора Т тогда и толь-
только тогда, когда X — ? есть собственное значение для Т — ?. Подпростран-
Подпространство N^ есть ядро оператора Т — X, и геометрическая кратность собственного
значения X равна mil (Т — X). Оператор Т — X вырожден тогда и только
тогда, когда X — собственное значение для Т.
Нетрудно доказать, что собственные векторы оператора Т,
принадлежащие различным собственным значениям, линейно неза-
независимы. Отсюда следует, что у оператора в X существует самое
большее N = dim X собственных значений. Множество всех соб-
собственных значений для оператора Т называется его спектром
и обозначается через 2 (Т). Таким образом, 2 (Т) — конечное
множество, содержащее не более чем N точек. '
Задача на собственные значения состоит прежде всего в оты-
отыскании всех собственных значений и собственных векторов (или
собственных подпространств) заданного оператора Т. Вектор
и =^= О является собственным вектором оператора Т тогда и только
тогда, когда одномерное линейное подпространство [и], порож-
порожденное вектором и, инвариантно относительно Т (см. п. 3.5).
Таким образом, задача на собственные значения есть частный
случай задачи отыскания всех инвариантных линейных подпро-
подпространств оператора Т (обобщенная постановка задачи на соб-
собственные значения).
Если М — инвариантное подпространство оператора Т, то
можно рассмотреть часть Тм оператора ГвМ. Нетрудно видеть,
что каждое собственное значение (собственный вектор) оператора
7м есть собственное значение (собственный вектор) для Т. Соб-
Собственные значения для Тм удобно называть собственными значе-
значениями оператора Т в М.
Если существует проектор Р, коммутирующий с Т, то опера-
оператор Т допускает разложение в прямую сумму своих частей в М =•
= РХ и N = A — Р) X (см. п. 3.5). Задача на собственные
значения для Т сводится в этом случае к соответствующим задачам
для операторов Тш и Т^1).
Часть Тм оператора Т в М можно отождествить с оператором
РТ = ТР = РТР в смысле замечания 3.15. Следует отметить,
однако, что оператор ТР имеет помимо собственных значений
1) Если Ти = Хи, то ТРи = РТи = ХРи, откуда следует, что вектор
Ри ? М, если он не равен нулю, есть собственный вектор оператора Т (и опе-
оператора Гм), принадлежащий собственному значению X; то же самое верно
и для вектора A — Р) и. Таким образом, каждое собственное значение опе-
оператора Т должно быть собственным значением по крайней мере одного и*
операторов Тм и rN, а каждый собственный вектор оператора Т есть сумма
собственных векторов операторов Гм и Гк, принадлежащих одному и тому
же собственному значению. Собственное подпространство оператора Т, отве-
отвечающее собственному значению X, есть прямая сумма собственных подпро-
подпространств операторов Гм и fN, отвечающих X.
4»
52 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
оператора Тш еще и нулевое собственное значение с собственным
пространством N и, следовательно, с кратностью N — тп (где
m = dim PX) !).
Задача 5.2. Никакое собственное значение оператора Т по абсолютной
величине не превосходит || Т ||, где || || — любая операторная норма в JJ (X)
(см. D.1)).
Задача 5.3. Если оператор Т представляется в некотором базисе диаго-
диагональной матрицей, то собственные значения оператора Т совпадают с диа-
диагональными элементами этой матрицы.
2. Резольвента
Пусть Т ? $} (X). Рассмотрим неоднородное линейное урав-
уравнение
(T-Qu = v, E.2)
где ? — заданное комплексное число, v ? X — известный вектор,
а и — искомый. Для того чтобы это уравнение имело решение
при каждом v, необходимо и достаточно, чтобы оператор Т — ?
был невырожден; другими словами, ? не должно быть собственным
значением оператора Т. В этом случае существует обратный опера-
оператор (Т — Q и решение уравнения E.2) дается формулой
и = (Т - Q-1 v. E.3)
Операторнозначная функция
Д(9 = Д(?, т) = (т- р-1 E.4)
называется резольвентой 2) оператора Т. Дополнение к спектру
2 (Т) (т. е. множество всех комплексных чисел, не являющихся
собственными значениями оператора Т) называется резольвентным
множеством оператора Т и обозначается через Р (Т). Резольвента
R (?) определена, таким образом, для всех ? 6 Р (Т).
Задача 5.4. Оператор R ( ?) коммутирует с Т. Собственными значениями
оператора Я (?) служат в точности. (kh — t,)-1.
Важное свойство резольвенты R (?) заключается в том, что
она удовлетворяет тождеству Гильберта (резольвентному тож-
тождеству)
i? (У - # (Ы = (?i- УЙЩЙ(у. E.5)
х) Строго говоря, это верно лишь тогда, когда Гм не имеет нулевого
собственного значения. Если же Гм имеет собственное значение 0 с соб-
собственным подпространством L, то собственным подпространством оператора
ТР, отвечающим нулевому собственному значению, будет N ф L.
2) Резольвента — это операторнозначная функция ?-*-/?(?). Однако
п значение этой функции при фиксированном ? также часто называют резоль-
резольвентой. Иногда резольвентой называют (? — Т)-1, а не (Г — Z)-1. В этой
книге мы следуем определению Стоуна HJ.
§ 5. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 53
Это тождество нетрудно вывести, если заметить, что левая часть
равна R (?,) (Г - ?2) R (?2) - R (Si) (Г - Si) R (?2). Из тожде-
тождества E.5) следует, в частности, что й (И в й (?2) коммутируют.
Кроме того, i? (Si) = [1 — (?2 — Si) i? (Si)l Я (?2). Представляя
оператор 1 — (?2 — Si) R (Si) в правой части последнего тожде-
тождества в виде ряда Неймана, мы приходим к разложению
оо
R(t,)=[l-&-{,o)R(Zo)r1R(Zo)= 2 (S-So)ntf(So)n+1; E-6)
тг=О
ряд в правой части абсолютно сходится по крайней мере для тех S»
которые удовлетворяют условию
К-So КПД (So) II E-7)
для некоторой операторной нормы. Мы будем называть разложе-
разложение E.6) первым рядом Неймана для резольвенты.
Разложение E.6) показывает, что R (?)— голоморфная функция
оо
от ?, ряд Тейлора1) которой имеет вид У! (t, — ?o)n R (So)Tl+1; сле~
довательно,
±)nR(Q = n\R&r+\ «=1,2,3..... E.8)
Согласно результату примера 4.9, радиус сходимости ряда E.6)
равен 1/spr R (?„); следовательно, этот ряд сходится тогда и толь-
только тогда, когда
К - So К 1/spr R tto) = (lim || R (So)" II1 "J. E.9)
Для достаточно больших по абсолютной величине S резоль-
резольвента R (?) допускает разложение
R @= -Г1 A-Г1?1)"^ - 2 Г'1?171, E.Ю)
п=0
причем ряд в правой части сходится тогда и только тогда, когда
| S I > spr T; таким образом, функция R (Q голоморфна в беско-
бесконечности.
Задача 5.5. При | ? | > || Т \\ справедливы неравенства
|!Л Ш 1КA Е I - II ГЦ)-1,
II я Ш + Е-1 II < I Е Г1 (I С I - II т ц)-1 и г п. E.И)
Спектр 2 G1) всегда непуст; оператор Т имеет по крайней
мере одно собственное значение. В противном случае резоль-
резольвента R (?) была бы целой функцией, стремящейся к нулю
х) Это один из примеров применения теории операторнозначиых функций
комплексного переменного; см. Кнопп [1], стр. 79.
54 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
на бесконечности [см. E.11)]; отсюда следовало бы по теореме
Лиувилля *), что R (?) =0. Но это противоречит равенству 2)
1 = (Г - ?) Д (?).
Нетрудно видеть, что каждое собственное значение оператора
Т есть особая точка аналитической функции R (?) 3). Так как
на границе области сходимости ряда E.10) существует 4) по край-
крайней мере одна особая точка резольвенты R (Q, то спектральный
радиус spr T совпадает с наибольшим (по абсолютной величине)
собственным значением оператора Т:
spr T = max | %h |. E.12)
/г
Отсюда снова следует, что спектральный радиус оператора не зави-
зависит от нормы, используемой в его определении.
Задача 5.6. Доказать, что spr T = 0 тогда и только тогда, когда опера-
оператор Т нильпотентен. [Указание (относящееся к «только тогда»): если spr T =
= 0, то spr Тм = 0 для части Тм оператора Т в инвариантном подпро-
подпространстве М. Таким образом, часть оператора Т в каждом из инвариантных
¦подпространств ТпХ (см. задачу 3.12) вырождена. Поэтому все включения
is цепочке X zd ТХ zd Т*Х zd . . . собственные, так что мы обязательно
дойдем до 0.]
3. Особые точки резольвенты
Особые точки R (?) суть в точности собственные значения
Ял, h = 1, • • ., s, оператора Т. Рассмотрим ряд Лорана 5) резоль-
резольвенты R (?) в точке ? = %h. Мы предположим сначала для про-
простоты, что y»h = 0, так что
Д(»= S ?Ап. E.13)
П=-00
Коэффициенты Ап определяются по формуле
E.14)
где Г — положительно ориентированная окружность с центром
в точке ? = 0 и столь малого радиуса, что все ненулевые соб-
собственные значения оператора Т лежат вне Г. Так как окружность
1) См. Кнопп |[1]|, стр. 113. По теорем Лиувилля функция R (?)
постоянна, а так как R (?) -*¦ 0 при % -*¦ 0, то она всюду равна нулю.
2) Напомним, что мы предполагаем, что dim X > 0.
•) Предположим, что к — регулярная точка (устранимая особенность)
аналитической функции R (?)• Тогда существует предел lim R (?) = R,
и поэтому (Т — к) R = lim (Т — 1) R (?) = 1. Таким образом, существует
(Т — Я)-1 = R, н, следовательно, к не является собственным значением.
«) См. Кнопп [l], стр. 101.
6) См. Кнопп |1], стр. 117.
§ 5. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 55
Г в формуле E.14) можно заменить на окружность Г' чуть боль-
большего радиуса, то имеем
А »А™ = (ш) 2 JJ
г' г
JJ
г' г
1] ^п'К'-т-г (?' - О [Д (Г) -
Г' Г
мы воспользовались здесь тождеством Гильберта. В двойном
интеграле справа повторное интегрирование можно производить
в любом порядке. Учитывая, что контур Г' лежит вне контура Г,
имеем
Г1",
E.15)
где
f 1 при п > О,
lf]n = { л л E.16)
\ 0 при /г<и.
Таким образом,
А I*
. E.17)
При га = т = —1 отсюда следует, что А\ = —Л_1. Поэтому
оператор —A_i есть проектор; мы обозначим его через Р. При
п, т>0 соотношение E.17) дает А\ = —-4_з, Л_2^4-з =
= —^1-4, .... Полагая —Л_2 = D, получаем 4_ft = —D*
при к ^ 2. Аналогично получаем, что Лп = 5th1 при п ^ О,
где 5 = Ло.
Возвращаясь теперь к общему случаю, рассмотрим особую
точку ?, = Xh резольвенты R (Q; мы видим, что ряд Лорана для
R (?) в точке Z, = Kh имеет вид
•=1 п=0
E.18)
Полагая в соотношении E.17) п = —1, т = —2, а затем п = —1,
m = 0, получаем
= DhPh = Dh, PhSh = ShPh = 0. E.19)
56 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Таким образом, правая часть в E.18) представляет собой разложе-
разложение оператора R (?) в прямую сумму, соответствующее разложе-
разложению X = Mh 0 Мл, где Mh = PhX и M'h = A — Ph) X. Так
как главная часть ряда Лорана E.18) сходится при Z, — hh ф О,
то часть оператора R (Q в Mh имеет единственную особенность
? — %ь', поэтому спектральный радиус оператора D^ равен нулю.
Отсюда вытекает (задача 5.6), что оператор D^ нильпотентен
и, следовательно (задача 3.10),
D%h = 0, mh^dimMh = dimPh. E.20)
Итак, главная часть разложения Лорана E.18) конечна и точка
? = %ь есть полюс порядка не выше mh. Поскольку это верно
для каждой особой точки %h резольвенты R (?), то R (?) — меро-
морфная функция 1).
Операторы Ph, h=i, ..., s, удовлетворяют следующим соот-
соотношениям:
i] TPh. E.21)
Первое соотношение можно доказать точно так же, как мы дока-
доказывали выше равенство Р\ = Ph) достаточно заметить, что
при условии, что ни одна из окружностей Th не лежит в другой.
Второе из соотношений E.21) получается интегрированием R (?)
по большой окружности, охватывающей все собственные значе-
значения оператора Т, с учетом разложения E.10) резольвенты R (Q
в бесконечности. Перестановочность Ph и Т вытекает непосред-
непосредственно из E.22).
Так как функция R (?) мероморфна и регулярна в бесконеч-
бесконечности, то разложение R (?) на элементарные дроби 1) имеет вид
Н(О--^11&-^Г1Рн+ 2 CQ-Kr^Df]. E.23)
ft=l и=1
Задача 5.7. Доказать, что
spr R (D = [min \Z-K I] = [diet (E. S (T))]-1.
h
Задача 5.8. Доказать, что
PhPh = DhPh = ЬыРъ.\ DhDh = 0, h ф k. E.24)
См. К н о п п [2], стр. 34.
§ 5. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 57
Задача 5.9. Для любой простой замкнутой (спрямляемой) кривой Г
с положительной ориентацией, не проходящей ни через какое собственное
значение Xh, справедлива формула
$д(9*Е=-2^. E-25)
г
где сумма берется по тем h, для которых А,Л лежит внутри Г.
Умножая обе части равенства E.14) слева и справа на Т и заме-
замечая, что TR (?) = R (?) Т = 1 + ?Д (?), получаем ГЛ„ =
= ^.„Т1 = бп0 + An-i- Если рассматривать особую точку ?, = %h
вместо ? = 0, то последнее соотношение при ге = 0 и и = —1
приводит к равенствам
(Г - %h) Sh = Sh {T - %h) = 1 - Ph, E.26)
P, {T - Xh) = {T- K) Ph = Dh.
Для каждого h = 1, . . ., s голоморфную часть ряда Лорана
E.18) назовем приведенной резольвентой оператора Т относи-
относительно собственного значения Xh и обозначим через Sh(t,):
Sh(i)=^(i-h)nSnh+\ E.27)
n=0
Из E.19) и E.26) следует, что
Sh = Sh (Xh), Sh (?) Ph = PhSh (?) = 0, E.28)
(T - t) Sh (Q = Sh (?) (Г - ?) = 1 - Ph. E.29)
Равенства E.29) показывают, что части операторов Т — t, и
i'.i, (?) в инвариантном подпространстве Мд = A — Ph) X суть
взаимно обратные операторы.
Задача 5.10. Доказать, что
(T-Xh)D%=D%*, « = 1,2 E.30)
(T-kh)mhph = 0, E.31)
mk~ ^
5а@=-2 I(C-^)-ip*+ S (S-Л*)-»-1^?]- E-32)
h--rh n=l
Задача 5.11. Функция -S1^ (?) при каждом fe удовлетворяет тождеству
Гильберта [см. E.5)] и уравнению
„ = l,2,.... E.33)
58 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
4. Каноническая форма оператора
Результаты предыдущего пункта приводят к канонической
форме линейного оператора Т. Обозначая через М/, образ проек-
проектора Ph, h = 1, . . ., s, имеем
X = М, Ф . . . Ф М,. E.34)
Так как проекторы Ph коммутируют с Г и между собой, то под-
подпространства Mft инвариантны относительно Г и Г допускает
разложение в прямую сумму, соответствующее разложению E.34)
(см. п. 3.5). Подпространство МЛ называется алгебраическим соб-
собственным подпространством, соответствующим собственному зна-
значению "Kh оператора Т', а число mh — dim МЛ — алгебраической
кратностью собственного значения %^. В дальнейшем Ph будем
называть собственным проектором, a Dh — собственным ниль-
потентом (или нилъпотентной частью) оператора Т, соответ-
соответствующими собственному значению %h. Всякий ненулевой вектор
и из МА называется обобщенным собственным вектором, при-
принадлежащим собственному значению %h.
Из E.26) следует, что
TPh = PhT = PhTPh = KPh + Dh, Л = 1, ...,*. E.35)
Таким образом, часть Тщ оператора Т в инвариантном подпро-
подпространстве Mh есть сумма скалярного оператора %h и нильпотент-
ного оператора Dh м , являющегося частью Dh в Мл. Нетрудно
видеть, что оператор Тм имеет единственное собственное зна-
значение %h.
Суммирование равенств E.35) по h с учетом E.21) дает
T = S + D, E.36)
где
S=y]lhPh, E.37)
л
D = %Dh. E.38)
h
Оператор S вида E.37), где %h Ф %k при h Ф к и операторы Ph
удовлетворяют соотношениям C.27) — C.28), называется диагона-
лизуемым, или полупростым. S есть прямая сумма (п. 3.5) ска-
скалярных операторов. Оператор D нильпотентен, ибо он является
прямой суммой нильпотентных операторов Dh и потому Dn =
= I' О/[ = 0 для п ^ max mh. Из E.24) вытекает, что D комму-
коммутирует с S.
Разложение E.36) показывает, что каждый оператор Т ? $? (X)
представим в виде суммы диагонализуемого оператора S и ниль-
потентного оператора D, коммутирующего с S.
§ 5. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 59
Собственное значение к^ оператора Т назовем полупростым,'
если соответствующий нильпотент Dh равен нулю, и про-
простым *), если mh = 1 (заметим, что mh = 1 влечет Dh = 0).
Оператор Т диагонализуем тогда и только тогда, когда все его
собственные значения полупросты. Оператор Г называется про-
простым, если все собственные значения Xh просты; в этом случае Т
имеет N собственных значений.
Разложение E.36) называется спектральным представлением
оператора Т. Оно единственно в следующем смысле: если Т —
сумма диагонализуемого оператора S и нильпотентного опера-
оператора D, коммутирующего с S, то S и D имеют вид E.37) и E.38)
соответственно. Для доказательства заметим сначала, что любой
оператор R, коммутирующий с диагонализуемым оператором S
вида E.37), коммутирует с каждым Ph, так что подпространство
М/, инвариантно относительно R- Действительно, умножая обе
части равенства RS = SR слева на Ph и справа на Ph и учитывая,
что PhPh = 6hk, получаем
XkPhRPh = %hPhRPh или PhRPh = 0 при h ф к.
Суммирование равенств PhRPh = 0 по к ф h при фиксированном
h дает PhR A — Ph) = 0 или PhR = PhRPh. Аналогично выво-
выводим равенство RPh = PhRPi» следовательно, RPu = PhR-
Предположим теперь, что
T'^S' + D', где S'=%KPk, D'S' = S'D',
ft=i
есть другое спектральное разложение оператора Т. Так как D'
коммутирует с каждым P'h, то D' = ^±D'h, где D'h = P'hD' = D'Pk.
Отсюда Т — I = 2 \(%к — QP'h + D'h] и, следовательно,
(Г-?)-*=- S [(?-А*) Р).+ (?-**)-¦ Z>h+...
h-l
КГ" D'hN-1), E.39)
что проверяется непосредственно умножением правой части
в E.39) слева и справа на приведенное выше разложение для
Т — ? (заметим, что D'hN = DN= 0, поскольку оператор D'
нильпотентен). Так как разложение операторнозначной меро-
морфной функции на элементарные дроби единственно (так же
как и для числовых функций), то сравнение E.39) и E.23) пока-
показывает, что s' = s, %'h = %h, Pi = Ph и Dh = Dh. Этим завер-
завершается доказательство единственности спектрального разложения.
*) Собственные значения, не являющиеся простыми, называются выро-
вырожденными.
60 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Спектральное представление E.36) приводит к жордановоп
канонической форме оператора Т. Для этого достаточно применить
теорему о структуре нильпотентного оператора к операторам Dh
(п. 3.4). Относительно надлежащего базиса в М^ часть Dh,Mh
оператора Dh в М^ имеет матрицу вида C.3). В этом же базисе
оператор Тщк представляется треугольной матрицей (т(^) вида
C.30), в которой диагональные элементы заменены на kh. Объе-
Объединяя выбранные базисы в Мь . . ., М„, получаем базис в X,
относительно которого матрица оператора Т есть прямая сумма
матриц (т$;). Отсюда следует, в частности, что (см. задачу 3.14)
det(r-?)= П (h~0mh, trr= S mhkh. E.40)
ft=l h--=l
При подсчете собственных значений оператора Т удобно счи-
считать каждое собственное значение Xh входящим mh раз (mh —
алгебраическая кратность собственного значения Х^) и соответ-
соответственно обозначать собственные значения так: \iit fx2, • • ч Prr
(скажем \it = . . . = \imii = V fimi+I = . . . = limi+m2 =
= %2, ¦ ¦ •)¦ Удобно называть набор ц,4, . . ., \iN полным набором
собственных значений. Формулы E.40) можно теперь переписать
в виде
N N
det(r-?)= П(Ц»-л), tvT=y\iih. E.41)
ft=i s=i
Задача 5.12. Геометрическое гоПствонлое подпространство N^, при-
принадлежащее собстоеняому значению Я/,, содержится в алгебраическом соб-
ствеппом подпространстве Мл. Равенство М^ = Nft имеет лесто тогда и толь-
только тогда, когда Xh — полупростое собственное значение.
Задача 5.13. Собственное значение ),h полупросто тогда и только тогда,
когда точка Z, — kh — простой полюс (полюс порядка 1) резольвенты Л (р.
Задача 5.14. Если п достаточно велико (скажем п > т), то ранг опера-
оператора Тп равен N — го, где го — алгебраическая кратность пулевого собствен-
собственного значения [напомним (п. 1.1), что по определению m — 0, ос ли 0 но
является собственным значением оператора Т].
Задача 5.15. Доказать неравенства
| tr Т | < (rank Т) \\ Т ||< .V || Т ||. E.42)
Задача 5.16. Собственные значения оператора Т суть корни алгебраиче-
алгебраического уравнения степени N (характеристического уравнения)
(let (T — I) =п 0. E.43)
Кратность корня kh этого уравнения равна алгебраической кратности соб-
собственного значения kh.
Каждую квадратную матрицу (Xjk) порядка N можно рас-
рассматривать как представление некоторого линейного оператора Т
в некотором векторном пространстве X, например в Л^-мерном
§ 5. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 61
координатном пространстве Су. Это означает, что матрица опе-
оператора Т относительно канонического базиса {х,} пространства X
совпадает с (т,'ь). Пусть {х\) — базис в X, относительно которого
матрица оператора Т имеет канонический вид.
Связь между базисами {xj} и {x'j} дается формулами A.2)
и A.4). Так как x'h суть обобщенные собственные векторы опе-
оператора Т, то числовые векторы (yih, . . ., у^ь), к = 1, . . ., N,
суть обобщенные собственные векторы матрицы (т^). Связь между
матрицами (х1ь) и (т^) дается формулой C.8). Таким образом,
приведение матрицы (т,-&) к каноническому виду (т^) осуще-
осуществляется с помощью матрицы (у,н), составленной из обобщен-
обобщенных собственных векторов матрицы (т^), а именно (т>) =
Если \h — полупростое собственное значение, то жорданова
клетка с номером h в матрице (т^.-,) есть диагональная матрица,
все диагональные элементы которой равны Л,д. Если Т — диаго-
нализуемый оператор, то (т^) есть диагональная матрица с диа-
диагональными элементами ^, . . ., \s, причем Xh повторяется mh раз
(т. е. диагональные элементы суть jj.b . . ., \iN). В этом случае
Gife' • • ч Tnjj)» к = 1, . . ., Лг,— собственные векторы матрицы
(t)k) в обычном смысле.
Задзча 5.17. Доказать, что (yju . . ., у N), / = 1, . . ., Л', суть обоб-
обобщенные собственные векторы транспонированной матрицы (т,7;).
5. Сопряженная задача
Если Т ? $ (X), то I* ? fft (X*). Существует простая связь
между спектральными представлениями операторов Т и 71*.
Если E.36) — спектральное представление оператора Т, то спек-
спектральное представление оператора 71* дается формулой
Г* = S* + D* = j\ (XhP*k + ДК), E.44)
ибо Р* удовлетворяют соотношениям C.27) — C.28), a D* суть
нильпотентные операторы, коммутирующие с Pt и между собой.
Отсюда следует, в частности, что собственные значения оператора
Т* комплексно сопряжены к собственным значениям Т и имеют те
же алгебраические кратности. Соответствующие геометриче-
геометрические кратности также совпадают; это следует из C.40).
Задача 5.18. Функция R*{'Q = R(Z., Г*) = (Г* —?)-i обладает следующими
свойствами:
62 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
6. Функции от оператора
Если р (?) — многочлен, то оператор р (Т) определен для
любого Т 6 98 (X) (п. 3.3). С помощью резольвенты R (?) =
= (Т — С)" мы сможем определить функции ф (Т) для более
широкого класса функций ф (Q. Стоит заметить, что оператор
R (Со) сам есть оператор вида ф (Т), где ф (?) = (? — &,,)-1.
Предположим, что функция ф (?) голоморфна в области А
комплексной плоскости, содержащей все собственные значения
%h оператора Т, и пусть Г с Д — простая замкнутая гладкая
кривая с положительной ориентацией, охватывающая все соб-
собственные значения Kh. Тогда ф (Т) определяется с помощью инте-
интеграла Данфорда—Тейлора:
Эта формула представляет собой аналог интегральной фор-
формулы Коши х) в теории функций комплексной переменной. Более
общим образом, можно считать, что контур Г состоит из несколь-
нескольких простых замкнутых кривых Г\, ограничивающих области A'h,
причем объединение областей AJ, содержит все собственные зна-
значения оператора Т. Отметим, что интеграл в E.47) не зависит
от выбора Г (в предположении, что Г удовлетворяет указанным
условиям).
Нетрудно проверить, что определение E.47) совпадает с опре-
определением C.18), в случае когда ер (?) — многочлен. Проверку
достаточно провести для одночленов ф (?) = ?™,га = 0,1,2,....
В случае п = 0 доказательство сразу следует из' формулы E.25).
При п > 1 заменим ер (?) = С" в E.47) на (Z, — Т + Т)п =
— (? — Т)п + ...-+- Тп; все члены, кроме последнего, дают
нулевой вклад в интеграл E.47), а последний дает Тп.
Задача 5.19. Если ф (?)= У] ant,n—целая функция, то ф (Г)= У]
Отображение ф(?)-»-ф(Г) есть гомоморфизм алгебры голо-
голоморфных функций на А в алгебру 93 (X):
Ф @ = сц-Ь Ш + а2ф2 (С) =Ф Ф (Г) = «1ф1 (Л + «2ф2 (Г), E-48)
? (Е) = ф1 Ш ф2 (С) =^ Ф (Т) = ф1 (Л ф2 (Г). E.49)
Эти свойства оправдывают обозначение ф (У) для оператора,
определенного интегралом E.47). Формула E.48) очевидна. Фор-
Формула E.49) доказывается точно так же, как соотношение E.17)
при га, пг < 0 (при этом Tjn + y\m — 1 = —1). На самом деле
См. К н о п п I1J, стр. 61.
§ 5. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 63
соотношение E.17) есть частный случай формулы E.49) при
Спектральное представление для ф (Т) получается подста-
подстановкой разложения E.23) в интеграл E.47). Если Т =
= 2 O-hPh + Dh) — спектральное представление оператора Т,
то в результате интегрирования получаем
Hil+() + h E.50)
Л=1
где1)
Так как D'h суть нильпотентные операторы, коммутирующие
с Рь и между собой, то из теоремы единственности следует, что
разложение E.50) есть спектральное представление оператора
ф(Т).
Таким образом, ф (Т) имеет общие с Т собственные проекторы
Ph, а собственные значения ф (Т) суть ф (Kh) с кратностями mh.
Строго говоря, эти утверждения верны лишь тогда, когда все
числа ф (Kh) различны. Если, скажем, ф (Я,4) = ф (к2), то соб-
собственное значение ф (Я,4) обладает собственным проектором Р4 -f- P2
и кратностью ш^ -\- т2.
Тот факт, что числами ф (Хп) исчерпываются все собственные
значения оператора ф (Т), есть частный случай так называемой
теоремы об отображении спектра.
Формулы E.48) и E.49) следует дополнить еще одним функ-
функциональным соотношением:
Ф (С) = «Ь {фг @) =$ф(Т) = ф1 {фг (Т)). E.52)
Здесь предполагается, что ф2 — голоморфная функция в области
Дг, содержащей все собственные значения Xh оператора Т, а ф1 —
голоморфная функция в области Д4, содержащей все собственные
значения ф2 (^д) оператора S = <f>2 (T). Из этих предположений
вытекает, что
Г1
где Г1! — контур (простой или составной), охватывающий все соб-
собственные значения ф2(^/0 оператора S. Но
kz — (p2(Q) (С,— I) aQ (о.04)
г2
х) Заметим, что Bяг)-1 \ (J—Х)~п~1 ф {Q й^ = ф(п) (Х)/п\, если Я лежит
г
внутри Г.
64 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
для z 6 Г4; это следует из формулы E.49) и того факта, что функ-
функции z — ф2 @ и (z — ф2 (О) голоморфны по С в некоторой
подобласти в А2, содержащей все числа Xh (при этом контур Г2
в этой подобласти должен быть выбран таким образом, чтобы
образ Г2 относительно отображения ф2 лежал внутри Г^). Под-
Подстановка E.54) в E.53) дает
= ~ \ фЛФЛт^-ТГ1 d?= ф (Т), E.55)
Га
чем и доказано свойство E.52).
Пример 5.20. В качестве примера применения интеграла Данфорда
определим логарифм
S = log T E.56)
от оператора Г ? J (X) в предположении, что этот оператор невырожден.
Выберем односвязную область Д в комплексной плоскости, содержащую все
собственные значения Ял оп ратора Т и не содержащую точки 0. Пусть Г —
простая замкнутая кривая в Д, охватывающая все Х^. Так как в области Д
существует голоморфная ветвь функции Ф (?) = log ?, то интеграл E.47)
определяет функцию
S = log Г = <М7) =—2^г j log ?Д (?)«*?• E-57)
Поскольку exp (log ?) = ?, то из E.52) вытекает, что
exp (log T) = Т-. E.58)
Следует отметить, что выбор области Д и ветви функции Ф (?) = log ?
не единствен. Поэтому существуют различные операторы log T, удовлетво-
удовлетворяющие соотношению E.58). Соответствующие друг другу собственные зна-
значения таких операторов отличаются на целое кратноо числа 2iii. Если mh —
алгебраическая кратность собственного значения Х^, то
tr (log T)= У] mh logX,ft+2rtrei, где и—целое число, E.59)
exp (tr (log Г)) ;= [] )™л = det Т. E.60)
7. Преобразования подобия
Пусть U — оператор из одного векторного пространства X
в другое пространство X', такой, что оператор U~x ? JF (X', X)
существует (отсюда следует, что dim X = dim X')- Отображение,
сопоставляющее каждому оператору Т 6 3S (X) оператор Т' 6
в SS (X'), определенный формулой
Г = UTU-1, E.61)
называется преобразованием подобия посредством оператора U.
Оператор Т' называется подобным х) оператору Т. Он имеет
х) В п. 4.6 мы уже рассмотрели один пример пары подобных проекторов.
§ 6. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 65
по существу ту же структуру, что и Т, так как взаимно однознач-
однозначное соответствие и -+¦ и' = Uu инвариантно в том смысле, что
Ти -+• Т'и' = UTu. Если {xj} — какой-нибудь базис в X,
a {x'j} — базис в X', причем х] = Uxj, то операторы Т и Т'
в базисах {х}} и {Uxj} соответственно представляются одной и той
же матрицей.
Если
T=yj(XhPh + Dh) E.62)
h
— спектральное представление оператора 7\ то
T' = 2(bhP'h + D'h), Pk = UPhU-\ Dh = UDhir\ E.63)
будет спектральным представлением оператора Т'.
§ 6. Операторы в гильбертовых пространствах
1. Гильбертовы пространства
До сих пор мы рассматривали общие линейные операторы,
не налагая на них никаких дополнительных ограничений. Однако
в приложениях чаще всего встречаются эрмитовы или нормаль-
нормальные операторы. Такие операторы определены в специальных
нормированных пространствах Н, называемых гильбертовыми
пространствами, в которых введено скалярное произведение (ц, v)
для любой пары векторов и, v. В этом параграфе мы увидим,
как для таких операторов можно уточнить наши общие резуль-
результаты, в частности результаты, относящиеся к задаче на собствен-
собственные значения. Мы по-прежнему предполагаем, что 0 < dim H <<
< с».
Скалярное произведение — это комплексная функция (ц, v)
пары векторов u, i?6H, эрмитово симметричная:
(и, v) = (i;, и) F.1)
и полуторалинейная, т. е. линейная по а и полулинейная по v.
Из F.1) следует, что (и, и) вещественно для всех и 6 Н; предпо-
предположим дополнительно, что скалярное произведение положи-
положительно определено х):
(и, и) > 0, если ифО. F.2)
Мы покажем вскоре, что скалярное произведение (u, v) можно
рассматривать как частный случай скалярного произведения
*) В любом конечномерном векторном пространстве X можно ввести
положительно определенную полуторалинейную форму и тем самым превра-
превратить X в гильбертово пространство.
5 т. Като
66 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
между элементами векторного пространства и элементами его
сопряженного. Этим оправдывается использование одного и того
же символа для этих двух объектов.
Среди различных возможных норм в векторном пространстве Н
имеется одна специальная (гильбертова) норма, тесно связанная
со скалярным произведением в Н. Именно эту норму, определяе-
определяемую равенством
|| и II = (и, и)У\ . F.3)
мы и будем использовать в дальнейшем. [Разумеется, все другие
возможные нормы эквивалентны гильбертовой норме; см. A.20).]
Первые два условия A.18) в определении нормы выполнены
очевидным образом. Прежде чем проверять третье условие (нера-
(неравенство треугольника), заметим, что справедливо следующее
неравенство Шварца:
| (u, v) ! < || и || || v ||; F.4)
равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда и и и
линейно зависимы. Неравенство F.4) следует из тождества
|| || р ||2 и - {и, v) v ||2 = (|| и ||2 || v ||2 - | (и, v) |2) || v ||2. F.5)
Неравенство треугольника вытекает из F.4):
|| и + v ||2 = (и + v, и + v) =
= || и ||2 + 2Re (и, v) + \\v ||2 <
< || и ||2 + 2 || и || || v || + II v ||2 = (|| и || + II v ||J.
Пример 6.1. Для числовых векторов и = (?lt . . ., |lV) и v = (t]i, . . .
. . ., T|jy) ПОЛОЖИМ
(и, *)=2*Я1« Нци2=2ил2- F-6>
Наделенное таким скалярным произведением iV-мерное координатное про-
пространство С^ становится гильбертовым пространством.
Задача 6.2. Гильбертова норма характеризуется следующим свойством'.
|| в + I» ||« + || в - I» II» = 2 || в ||« + 2 || в ||2. F.7)
Задача 6.3. Скалярное произведение (и, v) может быть восстановлено
ио гильбертовой норме:
(и, „)=^.(||в+»||»-||в-»||«+/||в + «|»||*-*||и-<«'111)- F.8>
Задача 6.4. Для каждой пары числовых векторов (?,) и (т]у) имеют
место неравенства
|S^!<(Sib-i2I/2(Si^-i2I/2,
^+i8I/2<(Si^iaI/2 + (Sii2I/2 F">
§ 6. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 67
2. Сопряженное пространство
Характеристическое свойство евклидова пространства Н состо-
состоит в том, что сопряженное к нему пространство Н* можно отож-
отождествить с самим Н, т. е. Н* = Н.
Именно, фиксируем ц ? Н и положим /u [v] = (и, v). Форма
/„ полулинейна на Н, и потому /и ? Н*. Отображение и -*- fu
линейно, поскольку из и = а^щ + а2и2 следует fu lv] = (и, v) —
= aj {ии v) + a2 ("г. у) = ai/uj М + «2/u2 lv], так что /u =
= ai/Ul + a2/u2- Линейный оператор Т: и -*¦ fu из Н в Н* изо-
метричен: || Ти || = || и ||. Действительно, согласно B.22) и нера-
неравенству Шварца, имеем || Ти \\ = ||/u || = sup | (u, v) | / || у || =
= || и ||. В частности, оператор Т взаимно однозначен. Так как
dim Н = dim Н*, то отсюда следует, что Т изометрично отобра-
отображает Н на все Н*. Это значит, что каждый вектор / ? Н* имеет
вид /и для некоторого однозначно определенного вектора и ? Н,
причем ||/ || = || и ||. Естественно отождествить feu; тем самым
мы отождествляем Н* с Н.
Так как (и, v) = f lv] = (/, v), то скалярное произведение
в Н совпадает со скалярным произведением между Н и Н*.
Мы можем перенести теперь на случай гильбертовых про-
пространств различные понятия, определенные в терминах скаляр-
скалярного произведения между векторным пространством и его сопря-
сопряженным (см. п. 2.2). Если (u, v) — 0, то мы пишем и _L v и гово-
говорим, что и и v взаимно ортогональны {перпендикулярны). Вектор
и ортогонален подмножеству S в Н (обозначение и _L S), если
и ± v для всех v б S. Множество всех и 6 Н, таких, что ц 1 S,
называется аннулятором S и обозначается через S-L. Подмноже-
Подмножества S и S' в Н называются ортогональными (обозначение:
S J_ S'), если каждый вектор и ? S ортогонален каждому век-
вектору v ?S'.
Задача 6.5. Доказать, что (и, v) есть непрерывная функция от и и v.
Задача 6.6. Доказать теорему Пифагора:
II и + v ||2 = |! и |!2 + || v ||2, если и i v. F.10)
Задача 6.7. Если и J. S, то ulM, где М — линейная оболочка мно-
множества S. Множество S-*- является линейным подпространством и S-L = М-^-»
Пусть X и X' — векторные пространства. Комплексная функ-
функция tlu, и'], определенная для и ? X, и' 6 X', называется полу-
торалинейной формой на X X X', если она линейна по и и полу-
полулинейна по и'. В том частном случае, когда X' = X, мы говорим
о полуторалинейной форме на X. Для полуторалинейной формы
tlu, v] общего вида значения t [u, v] и t lv, и] никак не связаны
между собой, и поэтому квадратичная форма t [u] = t [и, и\
5*
68 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
не обязана принимать вещественные значения. Справедливо,
однако, соотношение (принцип поляризации)
t [и, у] = — (t [и-f v] — t [и — v] + it [и-j- Щ — it [u—iv]), F.11)
аналогичное соотношению F.8). Таким образом, полуторалиней-
ная форма определяется ассоциированной с ней квадратичной
формой t [и]. В частности, t [и, у] = 0, если tlu] = 0. Форма
t [и, v] называется полярной формой для t [и].
Задача 6.8. Если | t [it] | < М || и ||2 для всех и ? H, то I t [и, v] I <
< Ш || и II II v ||.
Задача 6.9. Если Г — линейный оператор из Н в Н', то || Ти ||2 —
квадратичная форма на Н с полярной формой (Ти, Tv).
Замечание 6.10. Справедливость формулы F.11) тесно свя-
связана с существованием скаляра i. В вещественном векторном
пространстве квадратичная форма t [u\ не определяет форму
t [и, v].
3. Орт сформированные системы
Набор векторов xi, . . ., ж„ ?Н называется ортогональной
системой, если любые два различных элемента этого набора
взаимно ортогональны. Ортогональная система называется орто-
ортонормированной, если каждый ее вектор нормирован:
(х„ xh) = бЛ. F.12)
Как л згко видеть, векторы ортонормированной системы линейно
независимы. Ортонормированная система {хь . . ., хп} называется
полгюй, если п = N = dim H. Таким образом, такая система
есть базис в Н, называемый ортонормированным базисом.
Пусть М — линейная оболочка ортонормированной системы
{;,Ci, . . ., Хп). Для любого и ?Н вектор
п
и' = 2 (а, х}) и F.13)
принадлежит М, а вектор и — и' принадлежит М"Ч Вектор и'
называется ортогональной проекцией (или просто проекцией)
вектора и на М. Теорема Пифагора F.10) дает
п
-||ц —ц'||»= S К". *j)r + !l" —"'И2 F-14)
/—1
§ 6. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 69
и, следовательно,
и
2 | (и, Xj) |2-^|| и [|2 (неравенство Бесселя). F.15)
Для любого набора линейно независимых векторов щ, . . ., ип
можно построить ортонормированную систему х4, . . ., хп, такую,
что для каждого к = 1, . . ., п векторы хь . . ., xk порождают
то же линейное подпространство, что и векторы щ, . . ., и^.
Докажем это индукцией по к. Предположим, что х1; . . ., xk_i
уже построены. Если M^_i — их линейная оболочка, то Mfe_i
совпадает с линейной оболочкой векторов щ, . . ., a^_i. Положим,
Щ = uk — u'h, где щ — проекция uk на Mft_i (если к = 1, поло-
положим а" = ui). Из линейной независимости векторов Uj следует,
что ul Ф 0. Положим xk = ul || % II. Векторы хь . . ., xfe удо-
удовлетворяют всем поставленным условиям. Описанная конструк-
конструкция называется процессом ортогонализации Шмидта.
Так как каждое линейное подпространство М в Н имеет какой-
нибудь базис {uj}, то оно имеет и ортонормированный базис.
В частности, в Н существует полная ортонормированная система.
Произвольный нормированный вектор Xj можно включить в каче-
качестве первого элемента в ортонормированный базис в Н.
Из сказанного выше вытекает также, что каждый вектор
и ? Н имеет ортогональную проекцию и' на любое заданное линей-
линейное подпространство М. Вектор и' однозначно определяется
свойствами и' 6 М и и' = и — и' 6 М"Ч Таким образом, Н есть
прямая сумма М и М1:
Н = М © М-1. F.16)
В этом смысле М- называется ортогональным дополнением под-
подпространства М. Имеем
М11 = М, dim M1 = N - dim X. F.17)
В том случае, когда N сг М, подпространство М ("I N^ обозна-
обозначается также через MQ N; оно состоит из всех векторов и ? М,
перпендикулярных к N.
В частном случае М = Н имеем М-^ = 0 и поэтому и" = 0. Раз-
Разложение F.13) дает
IV
u=%(u,xj)xj. F.18)
Это — разложение вектора и по базису {xj}. Умножая разложение
F.18) скалярно на v, получаем
(и. v) = S (и, Xj) (xh v) = 2 (и, Xj) (JTij). F.19)
70 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В частности,
II в II2 = 2 I (", х}) |2 (равенство Парсеваля). F.20)
В дальнейшем нам потребуется следующая лемма.
Лемма 6.11. Для каждой пары линейных подпространств М
кМ'вН размерностей nun' соответственно справедливо неравен-
неравенство dim (М' П М^) ^ га' — га.
Это следует из формулы A.10), так как dim М = N — га,
dim (M' + М-1) < N.
Пусть {xj) — базис в Н (не обязательно ортонормированный).
Сопряженный базис {е^} в Н* можно считать базисом в Н, так
что (п. 2.3)
(«,, xh) = 8jk. F.21)
Говорят, что {xj} и {ej} образуют биортогональное семейство
(биортогоналъную систему) векторов в Н. Базис {xj} называется
самосопряженным, если е, = х}, j = 1, . . ., N. Таким образом,
базис в Н самосопряжен тогда и только тогда, когда он ортонор-
мирован.
4. Линейные операторы
Рассмотрим линейный оператор Т из одного гильбертова про-
пространства Н в другое гильбертово пространство Н'. Напомним,
что норма оператора Т определяется равенством || Т \\ =
= sup || Ти || / || и || = sup | (Ти, и') | / || и || || и' || [см. D.1)].
Функция
t Ы, и') = (Ти, и') F.22)
есть полуторалинейная форма на Н X Н'. Обратно, каждая
полуторалинейная форма t [u, и'] на Н X Н' может быть пред-
представлена в форме F.22), где Т — некоторый оператор из Н в Н'.
В самом деле, так как t [и, и'] — полулинейная форма на Н'
при фиксированном и, то существует единственный вектор w' ? Н',
такой, что t [и, и'] = (ц/, и') для всех и' ?Н'. Поскольку w'
определяется вектором и, то можно ввести функцию Т, положив
w' = Ти. Нетрудно проверить, что Т — линейный оператор
из Н в Н'. В частности, если t — полуторалинейная форма на Н
(т. е. Н' = Н), то Т — линейный оператор в Н.
Аналогичным образом, форму t [u, и'] можно представить
в виде
t [u, и'] = (и, Т*и'), F.23)
где Т* — линейный оператор из Н' в Н, называемый сопряженным
к оператору Т. Оператор Т* совпадает с сопряженным опера-
оператором, определенным в п.3.6, при отождествлении Н*, Н'*
с Н, Н' соответственно.
§ 6. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 71
Оператор Т*Т — линейный оператор в Н. Равенства
(u, T*Tv) = (T*Tu, v) = (Ти, Tv) F.24)
показывают, что оператор Т*Т соответствует полуторалинейной
форме (Ти, Tv) на Н. Отметим, что первые два члена в F.24)
суть скалярные произведения в Н, а последний — в Н'. Из F.24)
и D.2) следует, что || Т*Т || = sup | (Ти, Tv) | / || и || || v || ^
> sup || Ти ||2 / || и ||2 = || Г ||2. С другой стороны, || Т*Т ||<
< II Г* II II У II = II Т ||2, поэтому
|| Т*Т || = || Г ||2. F.25)
В частности, Г* Г = 0 влечет Т = 0.
Задача 6.12. Доказать, что N (Г*Г) = N (Г).
Задача 6.13. Для операторов Т в Н справедлив принцип поляризации:
{Ти, v)=-^[(T{u + v), u + v)-{T{u — v),u—v) +
+ i(T (u + iv),u + iv) — i{T {u—io), u — iv)\. F.26)
Задача 6.14. Пусть Т — оператор в Н. Если (Ти, и) = 0 для всех
и е н. то г = о.
Матричное представление линейного оператора связано с парой
сопряженных базисов в области определения и в пространстве
значений оператора (см. C.10)). Поэтому естественно ожидать,
. что выбор самосопряженных (ортонормированных) базисов наибо-
наиболее удобен для матричного представления операторов в гильбер-
гильбертовых пространствах.
Пусть Т — оператор из одного гильбертова пространства Н
в другое гильбертово пространство Н', a {xk}, {х]} — ортонор-
мированные базисы в Н и Н' соответственно. Полагая в C.10)
fj = х], получаем следующие формулы для матричных элементов
оператора Т относительно базисов {xk} и {х)):
xjh = (Txh,xl)) = (xh,T*x]). F.27)
Эти формулы следуют, ^впрочем, непосредственно из разложения
{Тхь=^(Тхп,х])х]. F.28)
i
Напомним, что в случае Н' = Н мы условились брать х] = Xj.
Задача 6.15. Если {х^} — ортонормированный базис в Н и Т — опера-
оператор в Н, то
1*Г=2(Г*л, **). (б-29!
h
Матрица сопряженного оператора Т* относительно базисо!
{x'j} и {xh} такова: т*3- = (Т*х), xh)- Сравнение этого выражения
72 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
с F.27) дает
т& = ^. F.30)
Таким образом, матрицы операторов Т и Т* (относительно одной
и той же пары ортонормированных базисов) эрмитово сопряжены
ДРУГ
5. Симметричные формы и симметричные операторы
Полуторалинейная форма t [и, v] на гильбертовом простран-
пространстве Н называется симметричной, если
t [v, u] = t[u, v] для всех и, i;?H. F.31)
Если форма t [и, v] симметрична, то ассоциированная с ней квад-
квадратичная форма t [и] принимает только вещественные значения.
Как следует из F.11), верно и обратное.
Симметричная полуторалинейная форма t (или ассоцииро-
ассоциированная с ней квадратичная форма) называется неотрицательной
(обозначение: t ^ 0), если t [и] ^ 0 для всех и, и положительной
(обозначение: t > 0), если t [и] > 0 для и Ф 0. Неравенство
Шварца и неравенство треугольника верны не только для скаляр-
скалярного произведения в Н (выделенной положительной формы на Н),
но и для любой неотрицательной формы:
|t[w, v]\^.t[u]mt[v]1/2^±(t[u] +
"W/2<tM1/2 + tM1/2, F.32)
Отметим, что свойство строгой положительности не использова-
использовалось при выводе этих неравенств для скалярного произведения.
Нижней границей (или нижней гранью) симметричной формы t
называется наибольшее вещественное число у такое, что
t [и] ^7II и II2- Верхняя граница у' определяется аналогично. Имеем
| t [и, v] | < М || и || || v ||, где М = max (| у |, | у' |). F.33)
Для доказательства заметим, что, не уменьшая общности, значе-
значение t [и, v] можно считать вещественным, ибо неравенство F.33)
не изменится, если умножить его на скаляр, по абсолютной вели-
величине равный единице. Так как форма t [и] вещественная, то из
F.11) следует, что t [и, v] = V4(t [u + v] — t [u — v]). Отсюда и из
неравенства 11 [и] \^.М || и ||2, справедливого для всех и, вытекает
оценка \t[u, v] |<V4M (|| u + v\\* + II u-v ||2) = V2M(|| и ||2+lk II2)-
Заменяя здесь и и v соответственно на аи и a 1f, где сс2 =
= ||и||/||и||, получаем оценку F.33).
§ 6. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 73
Оператор Т, связанный с симметричной формой t [и, v] соот-
соотношением F.22), в силу F.22), F.23) и F.31) совпадает со своим
сопряженным:
Т = Т*. F.34)
Операторы Т в Н, удовлетворяющие этому условию, называются
(эрмитово) симметричными или самосопряженными. Обратно,
всякий симметричный оператор Т определяет симметричную
форму t [и, v] = \Tu, v] на Н. Таким образом, скалярное произ-
произведение (Ти, и) вещественно тогда и только тогда, когда опера-
оператор Т симметричен. Симметричный оператор называется неотри-
неотрицательным (положительным), если ассоциированная с ним форма
неотрицательна (положительна). Для неотрицательного симмет-
симметричного оператора Т справедливы следующие неравенства, соот-
соответствующие неравенствам F.32):
\(Ти, v) |<(Ги, uI/2(Tv, vf\
(Т (и + v),u + v)m < (Ти, u)irl + (Tv, vf2.
Мы будем писать Т ^ О, если Т — неотрицательный симмет-
симметричный оператор. Вообще мы будем писать
Т > S или S < Т, F.36)
если S и Т — симметричные операторы и Т — S ^ 0. Верхняя
и нижняя границы квадратичной формы (Ти, и) называются
соответственно верхней и нижней границами симметричного опе-
оператора Т.
Задача 6.16. Если оператор Т симметричен, то и оператор аТ -\- f> сим-
симметричен для любых вещественных а и f>. Вообще для любого многочлена р
с вещественными коэффициентами оператор р (Т) симметричен.
Задача 6.17. Для любого линейного оператора Т из Н в Н' (где Н и
Н' — гильбертовы пространства) операторы Т*Т и ТТ* суть неотрицатель-
неотрицательные симметричные операторы в Н и Н' соответственно.
Задача 6.18. Если оператор Т симметричен, то Та ^ 0; при этом Т =[0
тогда и только тогда, когда Т = 0. Если Т симметричен и Г" = 0 для неко-
некоторого натурального п, то Т = 0.
Задача 6.19. ИзЛ<5и5<Г следует й < Т. Из S < Г и T^S
следует S = Т.
6. Унитарные, изометричные и нормальные операторы
Пусть Н и Н' — гильбертовы пространства. Оператор Т
из Н в Н' называется изометричным *), если
|| Ти || = || и || для всех и 6 Н. F.37)
ц *) Более общим образом, можно определить изометричные операторы,
Действующие из одного нормированного пространства в другое, однако такое
обобщение нам не потребуется.
74 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Это эквивалентно равенству ((Т*Т — 1) и, и) = 0 и, следова-
следовательно (см. задачу 6.14),
Г*Г == 1. F.38)
Отсюда следует, что
(Ти, Tv) = (и, v) для всех и, р^Н. F.39)
Изометричный оператор называется унитарным, если образ опе-
оператора Т совпадает со всем Н'. Так как из условия F.37) сле-
следует взаимная однозначность оператора Т, то необходимым
ж достаточным условием существования унитарного оператора
из Н в Н' является совпадение размерностей пространств Н и Н'.
Обратно, если dim Н = dim Н' < оо, то любой изометричный
оператор из Н в Н' унитарен. Как мы увидим ниже, для беско-
бесконечномерных пространств это неверно.
Задача 6.20. Оператор Т ? J) (Н, Н') унитарен тогда и только тогда,
¦когда Т'1 ? J) (Н', Н) существует и
Г-1 = Г*. F.40)
Задача 6.21. Оператор Т унитарен тогда и только тогда, когда унитарен
оператор Т*.
Задача 6.22. Если операторы Т g & (Н', Н") и S ? & (Н, Н') изометричны,
то п оператор TS ? 3 (Н, Н") изометричен. То же верно и для унитарных
операторов.
Симметричные и унитарные операторы в гильбертовом про-
пространстве суть частные случаи нормальных операторов. Оператор
Т 6 .5? (Н) называется нормальным, если Т и Т* коммутируют:
Т*Т = ТТ*. F.41)
Это свойство эквивалентно следующему (см. задачу 6.14):
|| Т*и || = || Ти || для всех ufH. F.42)
Важное свойство нормального оператора состоит в том, что
1 II — IM II » га — l, 4, . . » . \оло)
Отсюда следует, в частности, что (spr обозначает спектральный
радиус, см. п. 4.2)
spr T =\\Т ||. F.44)
Доказательство формулы F.43) мы начнем с частного случая
симметричного оператора Т. Согласно F.25), имеем || Г2 || =
= ||27 ||2. Так как оператор Т2 симметричен, то || Г* || = || Тъ ||а =
— \\ Т ||4. Рассуждая аналогично, видим, что равенство F.43)
верно для п = 2'", m = 1, 2, ... . Предположим теперь, что
оператор Т нормален, но не обязательно симметричен. Снова
применяя F.25), получаем || Т" ||2 = || Тп*Т ||. Но так как,
§ 6. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 75
согласно F.41), Тп*Тп = (Т*Т)п и оператор Т*Т симметричен,
то || Тп |р = || (Т*Т)п || =\\Т*Т ||" = || Т ||»п для п = 2т. Тем
?амым F.43) доказано для п = 2'". В случае произвольного п
выберем такое т, чтобы 2'" — п = г ^ 0. Так как формула F.43)
верна для п + г = 2"\ то || Т \\п+т = || Г"+г || < || Тп || || Г || <
< || Тп || || Г If, откуда || Т \\п < || Тп ||. Ввиду того что противо-
противоположное неравенство очевидно, равенство F.43) доказано.
Задача 6.23. Если оператор Т нормален, то и оператор р (Т) нормален
для любого полинома р.
Задача 6.24. Если оператор Т нормален и невырожден, то и оператор
Т'1 нормален.
Задача 6.25. Если Т нормален и Г»=0 для некоторого п, то Т = 0.
Другими словами, нормальный оператор нильпотентен тогда и только тогда,
когда он равен нулю.
7. Проекторы
Важным примером симметричного оператора является орто-
ортогональный проектор. Рассмотрим подпространство М в Н и раз-
разложение Н=МФ М1 [см. F.16)]. Оператор Р = Рм проекти-
проектирования на подпространство М параллельно M-L называется орто-
ортогональным проектором на М. Оператор Р симметричен и неотри-
неотрицателен, так как
(Ри, и) = (и', и' + и") = (и', и') > 0 F.45)
ввиду ортогональности и' и и" (здесь мы использовали обозначе-
обозначения п. 3). Таким образом,
Р* = Р, Р > 0, Р2 = Р. F.46)
Нетрудно видеть, что верно и обратное, т. е. что всякий симмет-
симметричный идемпотентный оператор Р 6 9В (Н) является ортого-
ортогональным проектором на М = R (Р).
Задача 6.26. Оператор 1 — Р есть ортогональный проектор вместе
с Р. Если Р — ортогональный проектор, то г)
0 < Р < 1, причем || Р || = 1, если Р Ф 0. F.47)
Задача 6.27. Доказать, что || A — Рм) и || = dist (и, М), и 6 М.
Задача 6.28. Соотношение Ml N эквивалентно равенству Р^Рц = 0-
Следующие три условия эквивалентны: М гэ N, Рм > PN, PM PN = PN.
Пусть Pit . . ., Рп — ортогональные проекторы, такие, что
PjPk = SjkPj- F-48)
х) Обозначение 0 ^ Р ^ 1 для отношения порядка между симметрич-
симметричными операторами [см. F.36)] согласуется с обозначением, введенным ранее
Для проекторов (см. п. 3.4).
76 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Тогда их сумма
P=%pi F-49>
также является ортогональным проектором, образ которого есть
прямая сумма образов проекторов Pj.
Ортогональные проекторы суть проекторы специального вида.
Мы можем, конечно, рассматривать и более общие «косые» проек-
проекторы в гильбертовом пространстве Н. Пусть Н = М Ф N, где
М и N не обязательно ортогональны, и пусть Р — проектор на М
параллельно N. Тогда Р* — проектор на N-1 параллельно М1-
[см. C.43)].
Задача 6.29. Доказать, что || Р || > 1 для всякого проектора Р Ф О,
причем || Р || = 1 тогда и только тогда, когда Р — ортогональный проектор.
[Указание (относящееся к части «только тогда»). Пусть и ? N-*-. Тогда и J.
1 A — Р) и, и по теореме Пифагора [| Ри ||2 = || и ||2 + || A — Р) и ||2.
Отсюда и из условия || Р || = 1 следует, что N-L- сМ. Аналогичные рассужде-
рассуждения, примененные к Р*, дают противоположное включение.]
Задача 6.30. Всякий нормальный проектор ортогонален.
Задача 6.31. Если проектор Р в гильбертовом пространстве нетривиа-
нетривиален, т. е. 0 ф Р ф 1, то !) || Р И = || 1 - Р \\.
8. Пары проекторов
Рассмотрим пару проекторов Р и О в Н; напомним (п.4.6),
что подпространства R (Р) и R (Q) изоморфны, если оператор
Р — О достаточно мал. Новым здесь будет тот факт, что оператор
U, определенный формулой D.38), унитарен, если проекторы
Р и Q ортогональны. Действительно, в этом случае U'* = V
и R* = R [см. D.36) и D.33)], откуда U* = V = U-1. Таким
образом, верна следующая
Теорема 6.32. Ортогональные проекторы Р и Q, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию || Р — Q || < 1, унитарно эквивалентны, т. е. суще-
существует такой унитарный оператор U, что Q = UPU'1.
Задача 6.33. Для каждой пары ортогональных проекторов Р, Q спра-
справедливо неравенство \\ Р — Q \\ ^ 1 [см. D.34)].
Несколько более глубокий результат в том же направлении
содержится в следующей теореме.
Теорема 6.34 2). Пусть Р и Q — ортогональные проекторы,
M = R(P),N = R@ и I
[|A-<?)Я|| = 6<1. F.50)
!) См. Т. К а т о [13].
2) См. Т. К а т о [12], лемма 221. Этот результат верен в случае dim H =
= то, чуть более слабый результат был получен ранее Ахиезером
и Глазманом [1], § 34.
§ 6. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 77
Тогда имеет место следующая альтернатива: либо
(i) Q отображает М на N взаимно однозначно и взаимно непре-
непрерывно и
II Р - Q II = II A - Р) Q II = II A - Q) Р II = б; F.51)
либо
(ii) Q отображает М взаимно однозначно и взаимно непрерывно
на некоторое собственное подпространство No в N, и если Qo —
ортогональный проектор на No, то
\\P-QA~ II A - Р) <?о II = II A - Qo) р II = II A - Q) ^11=6,
||Р-<?|| = 11A- />)<? 11 = 1. F.52)
Доказательство. Для любого вектора и ? М имеем
|| и - Qu И = II A - 0 Р» II < б || и || и потому || С« || >
^ A — б) || и ||. Таким образом, отображение и -+ Qu подпро-
подпространства М в подпространство N взаимно однозначно и непре-
непрерывно вместе со своим обратным. Следовательно, образ QM = No
этого отображения есть замкнутое подпространство в N. Пусть
Фо — ортогональный проектор на No.
Для любого w 6 Н вектор Qo w принадлежит No, поэтому Q<p =
= Qu для некоторого и ЕМ. Если Qow Ф 0, то и Ф 0 и
|| A - Р) Qow || = || A - Р) Qu || =
= || A - Р) (Qu - || 0u |р И и \Г и) || <
< || {Qu - || Qu |p || u ||-2 и) ||, F.53)
так как A — Р) и = 0. Следовательно,
ill A - Р) Qow |р < || Qu |P - || 0и ||* || « И"* =
= 1101 IP II и И (II « IP- Н<?^112) =
= || u ||-2 || Qow ||2 || A-Q)u |p <
<ll« ||-2|I^IPIIA-0^IP<62||^II2. F.54)
Это неравенство верно и для тех векторов и, для которых Qow =
= 0. Поэтому
Н A - Р) Qo || < б = || (l-Q)P ||. F.55)
Далее, для любого w € Н имеем
Н (Р - Со) и> |Р = || A - <?о) Pw -Q0(l-P)w IP =
= || A - Qo) Pw |p + || Qo (l-P)w ||«, F.56)
ибо образы проекторов 1 — QonQo взаимно ортогональны. Ввиду
78 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
того что Р8 = Ри1-Р = A- РJ, из F.56) следует неравен-
неравенство
|| (Р - <?0) w ||2 < || A - <?0) Р II2 II Pw II2 +
+ II <?о A - Р) II2 II (i-P)w ||2. F.57)
Так как (согласно определению Qo) Q0P = Q0QP — QP, то
|| A - <?0) Р || = || A - Q) Р || = б, и в силу неравенства F.55)
|| С A - Р) || = || «?0 A - Р))* || = || A - Р) <?0 II < S. Отсю-
да вытекает, что
|| (Р - Qo) w ||2 < б* (|| Pw |p + || A - JP) w ||«) =
= б2 i| w ||2; F.58)
поэтому II P — Qo || ^ б. В действительности здесь имеет место
равенство, поскольку
б = || A - Q) Р || = || A - <?0) Р || = || (Р - <?0) Р || <
<)\.Р- Qo II < S. F.59)
Из неравенства \\ Р — Qo || = б < 1 следует, что jP отображает
No = R (<?о) на М взаимно однозначно (см. задачу 4.11). Приме-
Применяя неравенство F.55) к паре Qo, Р, получаем || A — Qo) Р || ^
^ || A — Р) Qo ||. Сравнение с F.59) показывает теперь, что
в F.55) имеет место равенство.
В том случае, когда No = N, предыдущими рассуждениями
установлена справедливость пункта (i). Если No ф N, то остается
лишь доказать последнее из равенств F.52). Пусть v — элемент
из N, не принадлежащий No- Как уже отмечалось, PN0 = М;
поэтому существует вектор v0 ? No, такой, что Pv0 = Pv. Таким
образом, w = v — р0 6 N, w Ф 0 ш Pw = 0; значит, (Р — Q) w =
= —w и Q A — Р) w = Qw = w. Следовательно, \\ Р — Q \\ ^ 1
и || A — Р) Q || = || Q A — Р) || > 1. Так как противоположные
неравенства также верны (см. задачу 6.33), то доказательство
теоремы закончено.
В качестве приложения теоремы 6.34 выведем одно неравен-
неравенство, связывающее пару косых и пару ортогональных проекторов.
Теорема 6.35. Пусть Р', Q' — два косых проектора в Н,
М = R (Р'), N = R ((>'), и пусть Р и Q — ортогональные проек-
проекторы на М и N соответственно. Тогда
|| Р - Q ||< || Р' - Q' ||. F.60)
Доказательство. Так как \\ Р — Q \\ не превосходит
1 (см. задачу 6.33), то достаточно рассмотреть случай, когда
|| Р' — Q' || = б' < 1. Для любого ugH имеем (см. задачу 6.27)
|| A - (?) Ри || = dist (Pu, N) < || Pit - Q'Pu || = || (Р' - <?') Р и|| <
<б' || Ри || < б' || и II- Следовательно, || A — Q) Р ||< б' < 1.
§ 6. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 7^
Аналогично получаем ||A — Р) Q ||^б' < 1. Таким образом,
применима теорема 6.34, причем случай (ii) невозможен; поэтому г
согласно F.51), || Р - Q \\ = || A - Р) Q || < б' = || Р' - Q' ||.
Задача 6.36. Если Р' и Q' — косые проекторы, удовлетворяющие усло-
условию || Р' — Q || < 1, то существует унитарный оператор U, такой, что
UM. = N, и-гЛ = М, где М = R (Р') и N = R (<?'). [Это предложение допу-
допускает непосредственное обобщение на бесконечномерный случай (в каковом
оно уже не столь тривиально).]
Задача 6.37. Пусть Р' (х) — косой проектор, непрерывно зависящий
от х, 0 ^ у, < 1, и Р (х) — ортогональный проектор на М (х) = R (Р (х)).
Тогда Р (х) пепрерывно зависит от х и существует такой утштарный опера-
оператор U (х), непрерывно зависящий от х, что U (х) М @) = М (х>
и г/(и)-!м (*) = м@).
9. Задача на собственные значения
Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора
в гильбертовом пространстве Н. Для операторов общего вида
ситуация не намного упрощается от того, что оператор действует
в гильбертовом пространстве. Это становится ясным, если заме-
заметить, что каждое векторное пространство можно превратить
в гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение,
в то время как задача на собственные значения ставится безотно-
безотносительно к какому-либо скалярному произведению или даже
норме. Однако преимущества гильбертовых пространств обнару-
обнаруживаются, если рассматриваемый оператор Т обладает какими-
нибудь специальными свойствами как оператор именно в гиль-
гильбертовом пространстве, такими, как симметричность, унитарность
или нормальность.
Теорема 6.38. Всякий нормальный оператор диагонализуем,
и его собственные проекторы суть ортогональные проекторы.
Доказательство. Пусть Т — нормальный оператор.
Так как Т и Т* коммутируют, имеем
(Т - ?) (Т* - ?') = (Т* - П (Т - ?). F.61)
Если ? и ?' не являются собственными значениями операторов
Т и Т* соответственно, то
. д*(ОДШ=Д(Е)Д*(П, F-62)
где ii (Q и R* (Q — резольвенты операторов Т и Т*. Используя
выражение E.22) для собственного проектора Р^, принадлежащего
собственному значению %h оператора Т, и производя двукратное
интегрирование обеих частей равенства F.62) вдоль подходящих
контуров в ?- и ^'-плоскостях, получаем
PtPh = PhPt, h,k=l, ..., я; F.63>
80 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
напомним, что оператор Т* имеет собственные значения Xh и соб-
собственные проекторы Р% (см. п. 5.5). Из F.63) следует, в частности,
что Ph и Р% коммутируют; следовательно, все операторы Ph
нормальны. Этим доказано, что Ph —¦ ортогональные проекторы
(см. задачу 6.30):
Pt=Ph, h = l, ...., s. FM)
Так как Phm Т коммутируют между собой и Т коммутирует
с Г*, то нильпотентная часть Dh = (Т — Xh) Ph оператора Т ком-
коммутирует с сопряженным к ней оператором D% = (Т* — Kh) P% —
— (Т* — Xh) Ph; следовательно, Dh — нормальный оператор.
Однако всякий нормальный нильпотентный оператор равен нулю
(см. задачу 6.25). Таким образом, оператор Т диагонализуем.
Итак, спектральное представление нормального оператора
имеет вид
=2 xhph, f*=
2
F-65)
Операторы Т и Т* имеют один и тот же набор ортогональных соб-
собственных подпространств, являющихся одновременно алгебраи-
алгебраическими и геометрическими собственными подпространствами.
Далее, из F.65) следует, что
ft=i
Поэтому
Ти ||2 = (Т*Ти, и) = 2
h
= (max |
(Phu,
,ах
F.66)
(Phu, и) =
откуда видно, что || Т || ^ max
у
= | Kh | || и || для и
мального оператора
|
Mh = R (Ph)-
Г || = max
h
С другой стороны, || Ти \\ —
Таким образом, для нор-
нор| lh |. F.67)
Выберем ортонормированный базис в каждом из пространств
Мл; объединение этих базисов есть ортонормированный базис в Н.
Другими словами, существует ортонормированный базис {фп}
в Н, состоящий из собственных векторов оператора Т:
Т<Рп = |*»ф«| п = 1, . . ., N,
F.68)
§ 6. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 81
где цп — собственные значения оператора Т, взятые с соответ-
соответствующими кратностями. Матрица оператора Т в базисе {ср„}
имеет элементы
это диагональная матрица с диагональными элементами \ik.
Задача 6.39. Всякий оператор, имеющий спектральное разложение вида
F.65), нормален.
Задача 6.40. Собственные значения симметричного оператора веще-
вещественны. Нормальный оператор, имеющий вещественные собственные зна-
значения, симметричен.
Задача 6.41. Каждое собственное значение унитарного оператора по
абсолютной величине равно единице. Всякий нормальный оператор с таким
свойством унитарен.
Задача 6.42. Симметричный оператор неотрицателен (положителен) тогда
и только тогда, когда все его собственные значения неотрицательны (поло-
(положительны). Верхняя (нижняя) граница симметричного оператора совпадает
с наибольшим (наименьшим) из его собственных значений.
Задача 6.43. Если оператор Т нормален, то
1 1
min|? — kk\ dist (g, 2 (Т))'
k A : ' F.70)
Sh\\=-
здесь R (?) — резольвента оператора T, a Sh те же, что и в E.18).
10. Принцип минимакса
Пусть Т — симметричный оператор в Н. Он диагонализуем
и имеет вещественные собственные значения (см. задачу 6.40).
Пусть
И-1 < И-2 < • • • < И-jv ' F.71)
— полный набор собственных значений оператора Т, располо-
расположенных в порядке возрастания. Для каждого подпространства
М в Н положим
ц [М] = ц [Т, М] == min (Ти, и) = min ^~-^r • F.72)
u?M, 0=?u?M II и II
||и|| = 1
Принцип минимакса (или скорее максимина) гласит:
цп = max A [М] = max \i [M], F.73)
codimM=n-l codimM^n-1
где максимум берется по всем подпространствам, удовлетворяю-
удовлетворяющим указанным ограничениям на размерность. Равенства F.73)
6 Т. Като
82 Гл. I. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
эквивалентны двум следующим предложениям:
\лп ^ ц [М] для всех М коразмерности ^ га — 1; F.74)
№п ^ М* [Мо] для некоторого Мо коразмерности га— 1. F.75)
Мы докажем эти предложения по отдельности.
Пусть {фп} — ортонормированный базис со свойством F.68).
Каждый вектор и ? Н обладает разложением
U = 2 tn<Pn, In = (и, Фп), II U И2 = 2 I In I2, F-76)
относительно этого базиса. Имеем
Ти = 2 №,. = 2 М»Ф», (Ги, и) = 2 I*» I 5» I2- F.77)
Пусть М — произвольное подпространство коразмерности не
более га — 1. Тогда га-мерное подпространство М', порожденное
векторами <pl7 . . ., ф„, содержит по крайней мере один ненуле-
ненулевой вектор и, принадлежащий М (это следует из леммы 6.11, где
М надо заменить на М1). Координаты %п+и \n+z, •• •, iw век-
тора и равны нулю, и поэтому (Ти, и) == 2 М^ь I 1ь I2 ^
<цл ^ | 1ь |2 = \in || и ||2. Тем самым доказано предложение
F.74).
Подпространство Мо, состоящее из векторов, ортогональных
векторам ф4, . . ., фп_1, имеет коразмерность п — 1. У каждого
вектора и 6 Мо коэффициенты li, . . ., ^n_i нулевые. Поэтому
(Tut и) ^ цп 2 I ik I2 — М'п II w II2- Этим доказано предложе-
предложение F.75).
Принцип минимакса представляет собой удобное средство
для описания собственных значений без привлечения собственных
векторов. В качестве примера применения этого принципа уста-
установим следующий принцип монотонности.
Теорема 6.44. Если S и Т — симметричные операторы и
S ^.Т, то собственные значения S не превосходят соответствую-
соответствующих собственных значений оператора Т, т. е.
Vn IS) < jin [Л, п = 1, . . ., N. F.78)
Здесь \хп [Т] обозначает п-е собственное значение оператора Т,
причем предполагается, что собственные значения расположены
в порядке возрастания, как в F.71).
Доказательство следует непосредственно из принципа мини-
минимакса, так как S <! Т влечет {Su, и) < (Ти, и), и поэтому
ц [S, М] <! \а [Т, М] для любого подпространства М.
Задача 6.45. Для каждой пары симметричных операторов S и Т спра-
справедливы неравенства
Hi IS] + Hi IT) < Hi [5 + Л < Hi [s] + М'дг IT]. F.79)
6. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 83
Пусть М — подпространство в Н и Р — ортогональный проек-
проектор на М. Для всякого оператора Т в Н оператор S = РТР назы-
называется ортогональной проекцией оператора Т на М. Подпро-
Подпространство М инвариантно относительно S, и поэтому можно гово-
говорить о собственных значениях оператора S в М (точнее, о соб-
собственных значениях части ?м оператора S в М). Отметим, что
полный набор оператора Sm состоит из N — г собственных зна-
значений, где г = codim M.
Теорема 6.46. Пусть Т, S и SM me же, что и выше. Если опе-
оператор Т симметричен, то операторы S и SM также симметричны
и, кроме того,
, п = 1, ..., N-r. F.80)
Доказательство. Симметричность операторов S ж SM
очевидна. Собственное значение цп [SM] равно max ц [?м, М'],
где максимум берется по всем подпространствам М' с: М таким,
что коразмерность М' относительно М равна га — 1 (т. е.
dim М/М' = га — 1). Так как {SMu, и) = (Su, и) = (Ти. и) для
каждого и ?М, то ц [5М, M'] = ц [S, M'J = \i IT, M'], а из.
dim М/М' = га — 1 следует, что codim M' = dim H/M' = п +
+ г — 1. Следовательно, ц„ [?м] не превосходит \in+r [T] =¦
= тах}х[Г, М'], где максимум берется по всем подпростран-
подпространствам в Н коразмерности п + г — 1. Этим доказано второе нера-
неравенство в F.80).
Далее, цп [Т] = \ь [Т, Мо], где Мо — подпространство, фигу-
фигурирующее в утверждении F.75). Отсюда следует, что цп [Т] ^
< ц [Г, Мо П М] = ц [SM, Мо П М]. Подпространство Мо П М
имеет коразмерность в М не более га — 1, так как codim M =
= га — 1. Поэтому, согласно предложению F.74),
ц [5м, М,ПМ]< цп [5М].
Этим доказано первое неравенство в F.80).
6*
ГЛАВА II
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В этой главе мы изложим теорию возмущений линейных операторов,
действующих в конечномерном пространстве. Основной вопрос здесь —
каким образом изменяются собственные значения л собственные векторы
(пли собственные проекторы) при изменении оператора и, в частности, в том
случае, когда оператор аналитически зависит от некоторого параметра.
Эта задача является частным случаем более общей и более интересной задачи
о возмущении линейного оператора, действующего в бесконечномерном
пространстве.
Конечномерному случаю посвящена отдолытая глава по трем причинам.
Во-П'.'рзых, он не тривиален. Во-вторых, в этом частном случае довольно
хорошо пр-чянлнются некоторые черты общей теории, в особенности теории
возмущешш изолированных собственных зггачончй. Эти разделы теории
удобно обсудить в упрощенной ситуации, не обременяя себя трудностями,
возникающими из-за бесконечномерное™. Видопз.-ленопия, требующиеся при
переходе к бесконечномерному случаю, а также те разделы общей теории,
которые характерны именно для бесконечномерного случая, будут изложе-
изложены в последующих главах. В-третьих, конечномерный вариант теории пред-
представляет и самостоятельный интерес, тгапример в епязн с вычислительными
методами линейной алгебры. Читатель, которого интересует лишь конечно-
конечномерный случая, пандет в этой глаие все нужное ему, что избавит его от необ-
необходимости разбираться в общей теории.
Как ужо было сказано, рассматриваемые в этой главе вопросы никоим
образом не тривиальны; для их решения было предложено много различ-
различных методов. Мы исяользуом здесь метоз;. основанный па теоретико-функцио-
теоретико-функциональном изучении резольвенты, и в частности представление собственного
проектора как контурного интеграла от резольвенты. Это скорейший путь
для получошш общих результатов, а также различных оценок скорости
сходимости рядов теории возмущений. В некотором смысле применение
теории функций к ояератор>гоз,чачны:,г фупкпмм ire является совсем эле-
моптарнмм, однако, как правило, студенты, специализирующиеся но при-
прикладной математике, довольно хороню знают теорию функция, и автор
надеется, что налччие в книге небольшой порции тяорип операторпозначпых
функций комплексной переменной пэ послужит помехой для чцтателей-
прпкладшшов.
S 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 85
§ 1. Аналитическое возмущение собственных значений
1. Постановка задачи
Мы приступаем теперь собственно к одной из тем этой книги —
теории возмущений для задачи на собственные значения в конеч-
номерном векторном пространстве X *). Типичная задача этой
теории заключается в изучении поведения собственных значе-
значений и собственных векторов (или собственных подпространств)
линейного оператора Т, когда Т подвергается некоторому малому
возмущению2). При рассмотрении такой задачи удобно ввести
семейство операторов вида
Т (к) = Т ~хГ, A.1)
где у, — скалярный параметр, предполагаемый достаточно малым.
Оператор Т @) = Т называется невозмущенным оперен, пром,
а У.Т' — возмущением. Возникает вопрос, можно ли собс; .иные
значения и собственные векторы оператора Т (к) npe,v ч^вить
степенными рядами по х, т. е., другими словами, будут ли оеи
голоморфными функциями от х в некоторой окрестности точки
х = 0? Если это верно, то изменение собственных значений
и собственных векторов при достаточно малых | х | будет по по-
порядку величины таким же, как и само возмущение х7". Однако,
как мы увидим ниже, это не всегда так.
Вместо семейства A.1) можно рассматривать более общие
семейства
Т (х) = Т + хЛ1) + х2Л2> + - - . . A.2)
Вообще можно считать, что операторнозначная функция Т (к)
голоморфна в некоторой области Do комплексной и-плоскости 3).
1) В этом параграфе мы предполагаем, что 0 < dim X = jV < оо. В ряде
случаев X будем считать нормированным пространством с подходящим обра-
образом выбранной нормой.
2) Статей, в которых теория возмущений излагалась бы именно для
конечномерных пространств, немного; см. Р е л л н х [1] и 18]. Д э -
вис [1], Б. Л. Лившиц [1], В и шик и Люстерпнк [1J. Укажем
статьи, посвященные аналитической теория возмущений в банаховых про-
пространствах: Р о л л и х [1] — [5|, Секефальви-Надь [1]. [2],
В о л ь ф [1], Т. К а т о [I], [3], [6], Данфорд и Шварц [1], Рисе
и Секефальви-Надь |1J. См. также Бауигертель fl],
П о р а т [1], |2], Р е л л и х [6], Розенблум [1], Ш о ф к е [3] — [5],
Шредер [1]-[3], Шиульян [1].
3) Можно ограничиться вещественными значениями параиетра х, но так
как функцию A.2) от вещественной переменной х всегда можно продолжить
в комплексную область, то рассмотрение сразу случая комплексного пара-
параметра у. пе ограничивает общности.
86 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Собственные значения оператора Т (х) удовлетворяют харак-
характеристическому уравнению (см. задачу 1.5.16)
det (Т (х) -Q=0. A.3)
Это — алгебраическое уравнение относительно Z, степени N =
= dim X, коэффициенты которого суть голоморфные функции
от х, что становится видно, если записать уравнение A.3) с помо-
помощью матрицы оператора Т (х) относительно некоторого базиса
{х)} в X; действительно, каждый элемент этой матрицы является
голоморфной функцией от х (см. 1.3.10). Как следует из одного
хорошо известного результата х) теории функций, корни урав-
уравнения A.3) суть ветви аналитических функций от х, имеющих
только алгебраические особенности. Более точно, корни уравне-
уравнения A.3) для х 6 Do образуют одну или несколько ветвей одной
или нескольких аналитических функций, имеющих только алгеб-
алгебраические особенности в Do.
Отсюда следует, что число собственных значений оператора
Т (х) одно и то же, скажем равно s, для всех х ? Do, за исключе-
исключением некоторых точек, которые мы будем называть исключитель-
исключительными. В каждом компактном подмножестве в Do содержится лишь
конечное число исключительных точек. Число s равно 7V, если
аналитические функции, являющиеся корнями уравнения A.3),
все различны; в этом случае оператор Т (х) прост и, следова-
следовательно, диагонализуем для всех неисключительных значений х.
Если же среди аналитических решений уравнения A.3) есть совпа-
совпадающие, то s <C N; в этом случае будем говорить, что Т (х) имеет
постоянное вырождение.
Пример 1.1. Здесь собраны простейшие примеры, иллюстрирующие
различные возможности, описанные выше. Во всех примерах Т (х) будет
семейством операторов A.1) в двумерном пространстве (N = 2). Для про-
простоты отождествим оператор Т (у.) с его матрицей относительно некоторого
фиксированного базиса.
а) Г (*)=(* Д).
Собственные значения
Я±(х)=±A + х2I/2 A.4)
оператора Т (у.) суть Бетви одной двузначной аналитической функции
A + х2I^2. Таким образом, s = N= 2, а исключительными точками служат
у. = гИ- Операторы Т (±i) имеют единственное собственное значение 0.
Ь, Г(х,
х) См. К н о п п |[2|, стр. 119, где рассматриваются алгебраические
функции. Фактически уравнение A.3) определяет ? как алгеброидную (не обя-
обязательно алгебраическую) функцию, которая, однако, локально устроена
как алгебраическая. По поводу детального теоретико-функционального рас-
рассмотрения уравнения A.3) см. Баумгертель [1].
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 87
Собственные значения суть ±х; таким образом, две различные целые функ-
функции удовлетворяют характеристическому уравнению ?2 х2 = 0. В этом
случае существует одна исключительная точка х = 0, в которой Т (х) имеет
единственное собственное значение 0.
В этом случае Т (х) имеет постоянное вырождение, так как 0 является един-
единственным собственным значением оператора Т (х) при всех х. Характери-
Характеристическому уравнению удовлетворяют две совпадающие аналитические
функции, тождественно равные нулю. Исключительных точек нет.
d) 7(х) = (° I), . = 2.
( )
Собственные значения ± х1/12 образуют одну двузначную функцию х1'2.
Единственная особая точка —это х = 0.
.) rM-(J g. -2-
Собственные значения суть 0 и 1. Исключительных точек нет.
Собственные значения суть 0 и х; это две различные целые функции. Имеет-
Имеется одна исключительная точка х = 0.
2. Особые точки собственных значений
Рассмотрим подробнее собственные значения оператора Т (х).
Так как они образуют в общем случае многозначную аналитиче-
аналитическую функцию от х, то требуется некоторая аккуратность в обо-
обозначениях. Если х пробегает односвязную г) подобласть D основ-
основной области Do, не содержащую исключительных точек (такую
область будем называть простой подобластью), то собственные
значения оператора Т (к) можно представить в виде
Мх), Ых), • • -, Мх), (!-5)
где все функции Kh (к), h = 1, . . ., s, голоморфны в D и
Kh (к) Ф Kk (к) при h Ф к.
Рассмотрим теперь поведение собственных значений в окре-
окрестности какой-нибудь исключительной точки х; без ограничения
общности можно считать х = 0. Пусть D — малый диск, лежа-
лежащий в рассматриваемой окрестности и не содержащий точки
к = 0. Собственные значения оператора Т (х) при х 6 D можно
представить в виде A.5). При непрерывном перемещении диска D
вокруг точки х = 0 функции Xh (x) допускают аналитические
продолжения. В результате одного оборота диска D вокруг точки
См. Кнопп [1], стр. 19.
88 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
х = О функции Я4 (к), . . ., Xs (х) подвергнутся некоторой пере-
перестановке. Объединим функции A.5) в группы
{X, (х), . . ., Хр (к)}, {Xp+i (к), . . ., Xp+q (к)}, . . . A.6)
таким образом, чтобы функции каждой группы циклически пере-
переставлялись в результате одного оборота диска D вокруг точки
х — 0. Каждую такую группу назовем для краткости циклом
в исключительной точке х = 0, а число элементов цикла — ого
периодом.
Очевидно, что элементы цикла с периодом р образуют ветвь
аналитической функции (определенной в окрестности точки х = 0)
с точкой ветвления х = 0 (при р ^ 2); поэтому справедливо раз-
разложение Пюизо *)
Kh(x) = 'k + aliuhKi/p + a2a2hKz/P+ ..., /г = 0, 1, .... р-1, A.7)
где со = exp Bni/p). Здесь следует отметить, что в разложении
A.7) нет отрицательных степеней х1^'. так как коэффициент при
?Y в A.3) равен (—1)\ и, значит, функции Xh (x) непрерывны
в точке х = 0 ~). Число X = Xh @) назовем центром рассматри-
рассматриваемого цикла.
Разложение A.7) показывает, что величина | Xh (х) — X \.
h --- 1, ...,/?, имеет порядок | х \i/P при малых | х |. Поэтому
приращение собственных значений, входящих в цикл периода р.
в окрестности соответствующей исключительной точки представ-
представляет собой бесконечно большую величину по сравнению с изме-
изменением самого оператора Т (х) 3).
Задача 1.2. Сумма функций Xh (x), принадлежащих одному циклу,
голоморфна в окрестности соответствующей исключительной точки.
В общем случае существует несколько циклов с одним и тем же
центром X. О собственных значениях A.7), принадлежащих цик-
циклам с центром X, говорят, что они возникли при расщеплении
в точке х = 0 невозмущенного собственного значения X. Множе-
Множество таких собственных значений назовем '/.-группой, так как
при малых | х | они располагаются вокруг X.
Замечание 1.3. Исключительная точка не обязана быть точкой
ветвления аналитической функции, представляющей собственные
значения. Другими словами, возможен случай, когда все циклы
в исключительной точке х •= х0 имеют период 1. Однако хотя
бы два собственных значения, различных при х ф х, должны
М К н о п п 12], стр. 130.
2) К н о п п Щ, стр. 122.
я) Этот факт важен для вычислительных методов линейной алгебры.
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 89
совпадать при х = х0 (определение исключительной точки).
Таким образом, расщепление имеет место в каждой исключитель-
исключительной точке (и только в таких точках).
Пример 1.4. Вернемся к примеру 1.1. В а) и d) циклы имеют порядок 2.
В Ь) и f) в точке у. -- 0 существуют два цикла периода 1. В с) и е) исключи-
исключительных точек нет.
3. Возмущение резольвенты
Резольвента
R (^ х) = (Г (х) - О'1 A-8)
оператора Т (х) определена для всех ?, не равных" собственным
значениям Т (х), и является ыероыорфной функцией от с при
каждом фиксированном у. f- Do. Более того, верна
Теорема 1.5. R (S, х) — голоморфная функция переменных С,
и к в любой области, в которой S /te равно собственным значениям
оператора Т (и).
Доказательство. Пусть точка ? = So- х = х0 при-
принадлежит допустимой области; не ограничивая общности, можно
считать, что х0 = 0. Таким образом, So не принадлежит спектру
оператора Т @) = Г и
Г (х) - I = Т - So + (? - So) + ^ (к) =
= [1 - (? - ?0 _ 4 (х)) Д (t0)] (Г - ;0), A.9)
где i? (Q = Л (С, 0) = (Т — Q, а возмущение А (х) имеет вид
Л (и) =- Г (у.) - Г = У. х"/' п> A.10)
(разложение в точке х = 0 функции 71 (х) в ряд типа A.2)). Поэто-
Поэтому резольвента
R (?, х) = Л (So) [1 - (S - So - ^1 (х)) R (So)] (l.H)
существует, если член [ i может быть определен сходящимся
рядом Неймана (см. пример 1.4.5), а для этого достаточным усло-
условием служит, например, неравенство
|S-So|+S |хП|гт(пI1<ЦД(?оI!-1 A-12)
(ибо |S — So I + II -4 (tt) II не превосходит левой части A.12)).
Это неравенство очевидным образом выполняется для достаточно
малых |S — So I и I к d и в этом случае npacj-io часть формулы
A.11) можно представить в виде двойного степенного ряда отно-
<Ю Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
сительно ? — ?0 и х. Этим доказана голоморфность R (?, х) как
функции двух переменных ? и х в окрестности точки ? = ?0,
х = 0.
В дальнейшем нам будет более удобно записывать R (?, х)
в виде степенного ряда по х с коэффициентами, зависящими от ?.
Полагая ?0 = ? в A.11), получаем
= Д(Е) 2 [-^(х)Д(9]р = Д(С)+ 2 хпД1П1(р, A.13)
p=G n=l
где
A.14)
причем сумма берется по всем целым положительным р и vt, ...
. . ., vp, таким, что 1 ^ р ^ га, Vj -f- . . . + vp = га.
Разложение A.13) назовем вторым рядом Неймана для резоль-
резольвенты. Он равномерно сходится для достаточно малых х и ? ? Г,
если Г — компактное подмножество резольвентного множества
Р (Г) оператора Т = Т @). Это следует из A.12), ввиду того что
|| Д (?) Ц имеет положительный минимум на Г.
Пример 1.6. Резольвента оператора Т (к) из примера 1.1, а) имеет вид
A.15)
Задача 1.7. Найти резольвенты операторов Т (у.) из примера 1.1, b) — f).
4. Возмущение собственных проекторов
Пусть X — собственное значение оператора Т = Т @) крат-
кратности х) m и Г — замкнутый положительно ориентированный
контур (скажем, окружность), содержащийся в резольвентном
множестве Р (Т) и содержащий внутри себя А,, а больше никаких
других собственных значений оператора Т. Как отмечалось выше,
второй ряд Неймана A.13) сходится для достаточно малых | х |
равномерно по ? ? Г. Из существования резольвенты Д (?, х)
оператора Г (х) для всех ^ 6 Г вытекает, что на контуре Г соб-
собственных значений оператора Т (х) нет.
х) Всюду, где не оговорено противное, «кратность» означает «алгебраи-
«алгебраическая кратность».
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 91
Оператор*)
^«Н-ЕЙ^Сх^Е A.16)
г
является проектором и равен сумме собственных проекторов, при-
принадлежащих собственным значениям оператора Т (х), лежащим
внутри контура Г (см. задачу 1.5.9). В частности, проектор Р @) =
= Р совпадает с собственным проектором для собственного зна-
значения X оператора Т. Интегрируя почленно разложение A.13),
получаем
() +2
п=1
где
J A.18)
г
Ряд A.17) сходится для малых | х |, так что Р (х) — голоморфная
функция в окрестности точки х = 0. Из леммы 1.4.10 следует,
что образ М (х) оператора Р (х) изоморфен (алгебраическому)
собственному подпространству М = М @) = РХ оператора Г,
принадлежащему собственному значению X. Имеем, в частности,
dim Р (х) = dim Р = то. A.19)
Так как неравенство A.19) верно для всех достаточно малых
| х |, то собственные значения оператора Т (х), лежащие внутри
Г, образуют Я*-группу. Для краткости назовем Р (х) тотальным
проектором, а М (х) — тотальным собственным подпростран-
подпространством рассматриваемой А,-группы.
Если х = 0 не является исключительной точкой, то при
*л = 0 рассматриваемое собственное значение X не расщепляется.
В этом случае в окрестности точки X находится точно одно соб-
собственное значение X (х) оператора Т (к) и Р (х) есть собственный
проектор, принадлежащий X (х). Соотношение A.19) показывает,
что кратность X (х) равна т. Аналогичные результаты имеют
место и для любой другой неисключительной точки х = х0.
Рассмотрим теперь простую подобласть D в х-плоскости и мно-
множество A.5) собственных значений оператора Т (х) для х 6 D
и обозначим через Ph (x) собственный преектор. принадлежащий
собственному значению Xh (x), h = 1, . . ., s. Полученный выше
результат показывает, что каждый проектор Ph (x) голоморфен
х) Следующая интегральная формула играет основную роль на протя-
протяжении всей книги. В теории возмущений она была впервые применена С е -
кефальви-Надем [1] и Т. К а т о [1], что позволило значительно
упростить первоначальный метод Р е л л и х а [1] — [5].
92 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
в D и каждое собственное значение Xh (х) имеет постоянную крат-
кратность mh. Здесь существенно, что подобласть D проста (т. е.
не содержит исключительных точек); в самом деле, проектор
Pi (^о) даже не определен, если, например, Xt (х0) = Я,2 (хо)> что
может иметь место, если точка х0 — исключительная.
Пусть Mh (и) = Ph (х) X — (алгебраическое) собственное под-
подпространство, соответствующее собственному значению Xh (x).
Имеем (см. A.5.34))
. X = M1(xH...©Ms(x),
4i •'¦ С1-20)
dimMh Ы) — mh, 2jmh = N, x^D.
Собственный нильпотент D^ (к) оператора Т (х), соответствующий
%ь (к), голоморфен в D, так как согласно A.5.26)
Dh (к) = (Т (х) - Xh (x)) Ph (x). A.21)
.5. Особенности собственных проекторов
Рассмотрим поведение собственных проекторов Р^ (х) возле
какой-нибудь исключительной точки; снова можно считать, что
это точка х = 0. Как было показано выше, каждое собственное
значение X оператора Т вообще говоря расщепляется на несколько
собственных значений оператора Т (х) при х Ф 0, однако соот-
соответствующий тотальный проектор голоморфен в точке к = 0
(см. A.17)). Выберем снова в окрестности точки и = 0 малый
диск D, не содержащий самой этой точки; собственные значения
Xh (x), собственные проекторы Р^ (х) и собственные нильпотенты
Dh (x), как показано выше, определены и голоморфны в D. После
одного оборота диска D вокруг точки х = 0 (см. п.2) каждое
семейство {Я,/, (и)}> {Рк {"л)} и {Dh (x)} подвергается перестановке,
связанной с процессом аналитического продолжения. Докажем,
что эти перестановки для всех трех семейств совпадают.
Резольвента R (?, х) оператора Т (х) допускает разложение
на простейшие дроби:
Rit х)- У Г Ph{x)
) I Dh{K)
':; A.22)
(cm. A.5.23)); здесь предполагается, что t, находится где-то далеко
от спектра оператора Т, так что ? 6 Р (^(и)) для всех рассмат-
рассматриваемых х. Если собственные значения Я,4 (х), . '. ., А,р (х) обра-
образуют цикл (см. п. 2), то упомянутая перестановка переводит
Xh (и) в kh+i (х) при 1 ^ h ^ р — 1, а А,р (х) в Я-i (х). Так как
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 93
функция R (?, х) не изменяется в результате рассматриваемого
аналитического продолжения, то перестановка, действующая на
собственные проекторы, должна переводить Ph (x) в Ph+i (х) ПРЕ
1 ^ h ^ р — 1, а Рр (х) в Рг (х) г); отметим, что совпадение
проекторов Ph (к) и Pk (к) при различных h и к невозможно ввиду
равенства Ph (x) Ph (x) = 6hhPh (x). Как следует из A.21), ана-
аналогичный результат имеет место и для собственных нильпотентов
Dh (x), за тем исключением, что некоторые из операторов Dh (x)
могут совпадать (фактически все D^ (x) могут быть равны нулю).
Покажем, что операторы Р^ (х) и Dh (x) имеют самое большее
алгебраические особенности. Это достаточно доказать для соб-
собственных проекторов Ph (x), так как собственные нильпотенты
Dh (x) выражаются через них по формулам A.21). Заметим прежде
всего, что
Id /?¦ \ а??" /^ г\ t \ м т? И" \ II (\ 9Q\
231* J ' tPT^(x)
где Гл(х) — круговой контур радиуса Рл(х), охватывающий
только Х^(х). Далее, из A.4.12) вытекает, что
-^(x)|mft, A.24)
причем постоянная у зависит только от выбора нормы. Следо-
Следовательно,
max (||()|| + |Б|)П|
fe=i
A.25)
Предположим снова, что х = 0 есть исключительная точка,
и устремим х к нулю. Чтобы контур Th (x) охватывал только одно
собственное значение Xh (x), радиус р (х) должен стремиться
к нулю при х —>¦ 0, так как расстояния между Xh (x) и другими
собственными значениями Xh (x) той же Х-группы стремятся
к нулю. Ввиду того что функции Xh (x) имеют самое большее алгеб-
алгебраические особенности в точке х = 0 (см. A.7)), расстояния
I ^h (и) — ^ь (х) | имеют дробностепенной порядок относительно
I х [ при х ->¦ 0. Полагая ph (х) = | х |а и выбирая подходящий
показатель а > 0, получаем неравенство
х) Это следует из единственности разложения R {?,, и) на простейшие
дроби. Аналогичное рассуждение уже проводилось в п. 1.5.4.
94 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
где у' — некоторая положительная постоянная. Отсюда следует, что
II Ph (к) || <const | х ГBУ)а, A.26)
и поэтому главная часть разложения Лорана функции Р^ (х)
по степеням х1^ конечна.
Объединим полученные результаты в виде следующей теоремы.
Теорема 1.8. Собственные значения kh (x), собственные проек-
проекторы и собственные нилъпотенты Dh (x) оператора Т (х) суть
ветви аналитических функций в Do, имеющие только алгебраиче-
алгебраические особенности в некоторых (не обязательно всех) исключитель-
исключительных точках. Функции Xh (к) и Ph (x) имеют общие точки ветвления
(и одинаковые порядки точек ветвления), которые могут и не быть
точками ветвления для Dh (а). В частности, если функция Xh (x)
однозначна в некоторой окрестности исключительной точки х =
= х0 (т. е. kh (x) образует цикл периода 1), то Ph (x) и Dh (x)
также однозначны в этой окрестности.
6. Замечания и примеры
Хотя операторы Ph (x) n Dh (x) имеют алгебраические осо-
особенности, так же как и функции Х^ (х), однако имеются суще-
существенные различия в их поведении в окрестности особых точек.
Грубо говоря, Ph (x) и Dh (x) имеют более сильные особенности,
чем %^ (х).
Напомним, что указанные особые точки суть исключительные
точки, хотя обратное, вообще говоря, неверно. Как уже отме-
отмечалось, функции kh (к) непрерывны даже в исключительных точ-
точках и, следовательно, не имеют полюсов. Функции же Ph (x)
и Dh (x) в общем случае не определены в исключительных точках.
В частности, они могут быть однозначными и все же иметь полюс
в исключительной точке (см. ниже пример 1.12).
Тем более замечательна следующая теорема.
Теорема 1.9 1). Если х = х0 — точки ветвления для kh (x)
(и, следовательно, для Ph (х)) порядка р — 1^1, то Ph (x)
имеет полюс в этой точке: другими словами, разложение Лорана
для Ph (x) по степеням (х — коI/р обязательно содержит отрица-
отрицательные степени. В частности, || Ph (х) \\ -> оо при к ->¦ х0.
Доказательство. Предположим противное. Тогда раз-
разложение Лорана для оператора Ph (x), входящего в цикл
{Pi(k), ...,Pp(x)}, имеет вид
+---, h=U ..., р;
Эта теорема принадлежит Батлеру [1].
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 95
здесь мы снова предполагаем для простоты, что х0 = 0. Когда
точка х совершает один оборот вокруг нуля, оператор Ph (x)
переходит в Ph+i (х) для 1 ^ h ^ р — 1, а Рр (х) переходит
в Pi (х). Отсюда следует, что Ph+t — Ph при 1 ^ h ^. р — 1.
Далее, соотношение Ph (к) Ph+i (к) =0 в пределе при х ->¦ О
дает PhPh+i = 0, а из идемпотентности оператора Ph (x) следует,
что Pf, = Ph- Поэтому Ph = Р% = PhPh+i — 0- Но это противо-
противоречит тому факту, что dim Ph (х) X = mh >• 0 и, значит (см.
задачу 1.4.1) || Ph (x) || > 1.
Что касается порядка р — 1 точки ветвления х = х0 функции
Xh (х) или, что то же, периода р цикла {Xi (х), . . ., Хр (х)}, то
справедлив следующий результат. Собственное значение X крат-
кратности т не может быть точкой ветвления порядка больше чем
т — 1. Это очевидным образом следует из того факта, что соб-
собственное значение кратности т не может расщепиться более
чем на т собственных значений (см. A.19)).
Теорема 1.10. Пусть X — гильбертово пространство. Пусть
последовательность {хп}, сходящаяся к точке к0 ?D0 (быть
может, исключительной), такова, что оператор Т (%„) нормален
при всех п = 1, 2, . . . . Тогда все kh (х) и Ph (х) голоморфны
в точке х = х0, а все Dh (x) тождественно равны нулю.
Доказательство. Поскольку оператор Т (хп) нор-
нормален, то || Ph (хп) || = 1 (см. A.6.64)). Таким образом, по тео-
теореме 1.9 точка х = х0 не является точкой ветвления ни для одной
из функций Xh {к)- Следовательно, Xh (x) голоморфны в точке
х = х0. Поэтому операторные функции Ph (x) однозначны в окре-
окрестности точки х0, а так как они не могут иметь полюс по той же
самой причине, что и выше, то они голоморфны. Далее, голоморф-
голоморфные операторные функции Dh(x) = (Т (х) — Xh (x)) Ph (x) обра-
обращаются в нуль в точках хп и по теореме единственности равны
нулю тождественно.
Замечание 1.11. Вообще говоря, операторы Ph (x) и Dh (x)
в исключительной точке х0 не определены. Однако они могут
иметь в х0 устранимую особенность, как, например, в теореме 1.10.
В этом случае операторы Ph (x0) и Dh (x0) можно определить по
непрерывности, но они, вообще говоря, не будут собственным
проектором и собственным нильпотентом оператора Т (х0), соот-
соответствующими собственному значению Xh (^o)- Если, например,
^i (х0) = Х2 (х0) ф Xh (х0), к > 3, то Pi (х0) + Р2 (х0) (а не
•^1 (х0)) будет собственным проектором, принадлежащим A,t (x0).
Кроме того, собственный нильпотент, соответствующий собствен-
собственному значению Xh (x0), не обязан обращаться в нуль, даже если
Dh (х) = 0 (см. пример 1.12, a), d), f)).
"96 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 1.12. Рассмотрим собственные проекторы и собственные ниль-
потенты операторов Т (х) из примера 1.1.
а) Интегрируя выражение A.15) для резольвенты R (?,, х) по окруж-
окружностям, охватывающим собственные значения X,_ (х), получаем по форму-
формуле A.16)
±() ± 2 A (
Мы советуем читателю проверить соотношения Р± (х) = Р± (х),
Р+ (х) Р_ (и) = Р_ (х) Р+ (х) = 0. Собственные проекторы Р± (х) суть вот-
ви двузначной алгебраической функции с точками ветвления х = ±i. Так
как s = N = 2, то оператор Т (х) прости поэтому собственные нильпотенты
Л± (и) равны нулю при и ф +i. В исключительных точках" к = =fcj спек-
спектральное представление оператора Т (х) совсем иное:
Г(±') = 0+?±; A.28)
нуль является двукратным собственным значением, и поэтому оператор
Г (=Ы) совпадает со своим собственным нильпотентом.
b) Интегрируя резольвенту, как в а), получаем собственные проекторы
1 —1\
) (U9)
отвечающие собственным значениям ?ч (х) — х и Х2 (х) = —х. Снова Dt (x) =
= ^2 (х) = 0 при х ^= 0. Исключительная точка и = 0 не является особой
точкой для Xh (x), Ph (x) и Dh (x).
c) Собственный проектор и собственный нильпотент, соответствующие
единственному собственному значению % (к) = 0 оператора Т (к), таковы:
Р (х) = 1, D (х) = Т (к).
d) Имеем
1 / 1 _¦_-•-1/2 \
^^ Л() 0 ^0 A.30)
для Я«± (х) = ix1/2. Исключительная точка и = 0 служит точкой ветвления
для собственных значений и собственных проекторов. При и = 0 пуль являет-
является единственным собственным значением, и спектральное разложение имеет
вид Т @) = 0 + D, где D = Т = Т @). Таким образом, этот пример отли-
отличается от а) лишь тем, что здесь мы имеем только одну исключительную
точку.
е) Имеем
о о/' '""' \о 1/' """"' ' A>31)
для Х.1 (у.) = 1 и Х.2 (х) = 0. Все функции голоморфны при конечных х, так
как исключительных точек нет. Отметим, что Ph (х) не голоморфны при
х = оо, тогда как собственные значения \)ь (х) (постоянны и, следовательно)
голоморфны всюду. В следующем примере мы столкнемся с противополож-
противоположной ситуацией.
f) Собственные проекторы для ki (х) = х и >„2 (х) = 0 суть
/0 -х-1.
A.32)
Заметим, что операторы Р^ (х) имеют полюс в исключительной точке х = 0,
несмотря на то что %h (х) голоморфны в нуле. В точке х = оо ситуация обрат-
обратная. Спектральное разложение в точке х = 0 такое же, как и в d).
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 97
7. Случай, когда Т (и) линейно зависит от и
Предыдущие общие результаты несколько упрощаются в том
случае, когда Т (х) (см. A.1)) зависит от х линейно. В качестве
основной области Do в этом случае можно взять всю комплексную
плоскость. Коэффициенты характеристического уравнения A.3)
являются многочленами от х степени не выше N. Поэтому соб-
собственные значения kh (x) суть ветви алгебраических функций.
Если алгебраическое уравнение A.3) неприводимо, то все корни
этого уравнения образуют одну -/V-значную алгебраическую функ-
функцию, так что s = N. Если же уравнение A.3) приводимо, то соб-
собственные значения kh (х) распадаются на несколько групп таким
образом, что каждая группа соответствует одной алгебраической
функции. Если среди этих алгебраических функций есть совпа-
совпадающие, то s <С N (случай постоянного вырождения) *).
Алгебраические функции %h (x) не имеют полюсов при конеч-
конечных х. В точке х = оо они имеют самое большее полюс порядка 1.
Это становится ясным, если записать семейство A.1) в виде
Т (х) = х (Г + х-17) A.33)
и заметить, что собственные значения оператора Т' + к^Т
как функции от х непрерывны при х = 0. Более точно, эти
собственные значения допускают разложение ft/j + P/i (x~1I/p+. . .
(ряд Пюизо по х), и поэтому собственные значения оператора
Т (х) имеют вид
kh (х) = цлх + рлх»-1/р + . . ., х -^ оо. A.34)
Отметим, что операторы Ph (x) и Dh (x) могут быть голоморфны
в точке х = оо. даже если kh (x) не голоморфна в ней (см. при-
пример 1.12, f)).
8. Сводка результатов
Для удобства читателя основные результаты этого параграфа 2)
сведены здесь воедино.
Пусть Т (х) 6 & (X) — операторная функция, голоморфная
в области Do комплексной х-плоскости. Число s собственных
значений оператора Т (х) одно и то же для всех точек х, не являю-
являющихся исключительными; исключительных точек в каждом ком-
компактном подмножестве в Do содержится не более чем конечное
число. В каждой простой подобласти (односвязной подобласти,
не содержащей исключительных точек) D области Do собственные
значения оператора Т (х) представляются s голоморфными функ-
*) Сформулированные здесь результаты верны и в том случае, когда
Т (и) зависит от и полиномиально.
2) Более подробное изложение представленных в этом параграфе резуль-
результатов см. Б а у м г е р т е л ь [1].
7 Т. Като
98 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
циями kh (х), h — 1, . . ., s, причем собственные значения kh (к)
имеют постоянные кратности mh. Функции Xh (х) суть ветви одной
или нескольких аналитических функций в Do, которые имеют
только алгебраические особенности и всюду в Do непрерывны.
(Эти аналитические функции для простоты также обозначаются
через kh (%).) Исключительная точка х0 является либо точкой
ветвления для хотя бы одной из функций kh (к), либо регулярной
точкой для всех них; в последнем случае значения по крайней мере
двух различных функций kh (х) и Xk (х) совпадают при х = х0.
Собственные проекторы Ph (x) и собственные нильпотенты
Dh(x), соответствующие собственным значениям Xh (x) оператора
^(х), также голоморфны в каждой простой подобласти D и явля-
являются ветвями одной или нескольких аналитических функ-
функций (обозначаемых снова через Ph (х) и Dh (%)), имеющих лишь
алгебраические особенности. Аналитические функции Ph (x)
и kh (x) имеют общие точки ветвления одного и того же порядка,
но функции Р^ (х) всегда имеют полюс в точке ветвления, тогда
как функция %h (x) непрерывна в ней. Функции Ph (х) и Dh (x)
могут иметь полюс в исключительной точке, даже если Xh (x)
в ней голоморфна.
Если Xi (к), . . ., Хг (к) образуют ^-группу (совокупность соб-
собственных значений оператора Т (х), возникающих при расщепле-
расщеплении собственного значения X невозмущенного оператора Т =
= Т @)) для исключительной точки х = 0 и Р( (х), . . ., Рт (х) —
соответствующие им собственные проекторы, то тотальный проек-
проектор Р (х) = Pi (х) + . . . + Рг (х) голоморфен в точке х = 0.
Тотальная кратность тп^ + . . . -\- mr собственных значений, вхо-
входящих в ^-группу, равна кратности m собственного значения %
оператора Т. Далее, ^-группа состоит из нескольких циклов
{^i (х), .... Хр (к)} {Xp+i (х), . . .}, ..., {•••}, и то же верно для
собственных проекторов. Элементы каждого цикла циклически
представляются в процессе аналитического продолжения, когда
х совершает один оборот вокруг начала. Сумма входящих в цикл
собственных проекторов (скажем, Р4 (и) -(-...+ Рр (х)) одно-
однозначна в окрестности точки х = 0, однако не обязана быть голо-
голоморфной в этой точке (может иметь в ней полюс).
§ 2. Ряды теории возмущений
1. Тотальный проектор Х,-группы
В предыдущем параграфе нас интересовали общие свойства
функций Xh (к), Ph (x) и Dh (x), представляющих соответственно
собственные значения, собственные проекторы и собственные
нильпотенты оператора Т (х) ? 38 (X), голоморфно зависящего
§ 2. РЯДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 99
от комплексного параметра х. В этом параграфе мы построим
явно ряды Тейлора (если они существуют) для этих функций в за-
заданной точке и, причем без ограничения общности можно считать
х = 0. Так как рассмотрение общего случая слишком сложно,
то мы ограничимся выполнением нашей программы при опреде-
определенных упрощающих предположениях. Кроме того, мы дадим
здесь только формальные разложения; вопросы, касающиеся
сходимости полученных разложений и оценки погрешностей,
будут рассмотрены в последующих параграфах *).
Предположим, что нам задано разложение Т (х) в степенной
ряд
Т (х) = Т + хГA) + х2ТB> + . . . . B.1)
Пусть X — собственное значение невозмущенного оператора Т =
= Т @), имеющее (алгебраическую) кратность m, a P и D —
собственный проектор и собственный нильпотент оператора Т,
соответствующие X. Таким образом (см. п. 1.5.4),
ТР = РТ = РТР = %Р + D,
dim Р = m, Dm = 0, PD = DP = D. ^
Собственное значение X при малых х =^= 0 расщепляется в общем
случае на несколько собственных значений оператора Т (х), обра-
образующих Я-группу (см. п. 1.8). Тотальный проектор Р (х), соот-
соответствующий Я-группе, голоморфен в точке х = 0 (см. A.17)):
Р(х)= 2 и"Р("\ Pi0> = P, B.3)
п=0
причем коэффициенты Р(П) определяются по формулам A.18).
Подпространство М (х) = Р (к) X является m-мерным (см. A.19))
и инвариантным относительно Т (х). Собственные значения опера-
оператора Т (х), принадлежащие Х-группе, суть в точности собственные
значения части оператора Т (х) в М (х). Итак, для отыскания
собственных значений, принадлежащих Я-группе, достаточно
решить задачу на собственные значения в подпространстве М (х),
вообще говоря меньшего числа измерений, чем само X.
Задача на собственные значения для оператора Т (х) в М (х)
эквивалентна такой же задаче для оператора
Тг (х) = Т (х) Р{х)=Р (х) Т (х) = Р (х) Т (х) Р (х) B.4).
J) Ряды теории возмущений активно изучали в квантовой механике,
начиная сШрёдингера [11. В любом учебнике по квантовой механике
имеется глава, посвященная таким рядам (см., например, К е м б л |1],
Щ и ф ф [1] [или Ландау и Лифшиц [1*], Соколов, Лоску-
Лоскутов и Тернов |[1*].— Ред.]). Однако эти рассмотрения в большинстве
случаев относятся к самосопряженным (симметричным) операторам Т (и),
зависящим от вещественного параметра и. В этом параграфе мы рассмотрим
общий случай несимметричных операторов, предполагая, как и раньше,
что 0 < dim X < оо.
7*
100 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
(см. п. 1.5.1). Таким образом, если абсолютная величина | X \
невозмущенного собственного значения X настолько велика, что
' собственные значения, возникающие при расщеплении X, не обра-
обращаются в нуль при рассматриваемых значениях х, то собственные
значения оператора Т (х), образующие ^-группу, суть в точности
ненулевые собственные значения оператора Тг (х) х). Условие
на Я не ограничивает общности, так как можно, не меняя существа
дела, заменить Т на Т + а, где а — скаляр.
Итак, мы получаем следующее выражение для взвешенного
среднего собственных значений оператора Т (х), входящих в X-
группу:
X(x)-^trG1(x)JP(x)) = X + ^tr((f(x)-X)JP(x)), B.5)
причем весами служат кратности соответствующих собственных
значений (см. A.5.40) и A.3.25)). Если собственное значение X
не расщепляется, т. е. Х-группа состоит из одного собственного
значения X (х) кратности пг, то
X (х) = X (х); B.6)
в частности, это всегда так, если тп = 1. При отсутствии расщеп-
расщепления собственный проектор, соответствующий X (х), совпадает
с тотальным проектором B.3), а собственный нильпотент опре-
определяется по формуле (см. A.5.26))
D (х) = (Т (х) - X (х)) Р (х). B.7)
Формулы B.3) и B.5) — B.7) дают полное решение задачи на соб-
собственные значения для Х-группы, в случае когда невозмущенное
собственное значение не расщепляется, при этом Х(к), Р (х)
и D (х) все голоморфны в точке х = 0.
Найдем теперь явное выражение для коэффициентов рядов
B.3) и B.5) через коэффициенты Т<-щ ряда B.1). Здесь следует
отметить, что вместо коэффициентов Т{П) мы можем также исполь-
использовать коэффициенты ряда B.4), так как собственные значения
и собственные проекторы у операторов Т (х) и Тг (х) одни и те же,
если мы ограничиваемся рассмотрением Я-группы 2).
*) Отметим, что оператор Тт (и) имеет собственное значение 0 кратности
N — пг; соответствующий собственный проектор равен 1 — Р (п). См. также
подстрочное примечание *) на стр. 52.
2) Это замечание будет полезно в дальнейшем, когда мы будем рассма-
рассматривать задачу на собственные значения для неограниченных операторов
в бесконечномерном пространстве; при этом может оказаться, что разложе-
разложение B.1) не существует, а оператор B.4) допускает разложение по степеням и
см. п. VII.1.5).
§ 2. РЯДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 101
Коэффициенты Р<п) разложения B.3) даются формулами A.14)
и A.18). Таким образом,
V ,+ • • • +Vp=n
B.8)
где Г — положительно ориентированная окружность достаточно
малого радиуса с центром в точке X. Для того чтобы вычислить
интеграл B.8), заменим в подинтегральном выражении резоль-
резольвенту R (?) ее разложением Лорана A.5.18) в точке ?, = X, кото-
которое мы запишем в виде
#(?) = 2 (I — X)nS<n+1\ \-- - B.9)
где
S<0>=— P, S<n>=:Sn, S<~n>=—Dn, «>1. B.10)
Здесь S = S (X) есть значение приведенной резольвенты опера-
оператора Т в точке t = X (см. п. 1.5.3); таким образом, в силу A.5.19)
и A.5.26) имеем
SP = PS = О, (Т - X) S = S (Т - X) = I - Р. B.11)
Подстановка разложения B.9) в подинтегральное выражение
в B.8) дает ряд Лорана по степеням ? — X, причем лишь член
с (? — Х)~х дает вклад в интеграл B.8). В результате интегри-
интегрирования получаем при п ^ 1 конечную сумму:
= -S(-i)» S
Р=1 V,
B.12)
Например, " .
= J|[jm-i27(iI5m_ _ , DT{1)S2 PTa>S
— STa>P S2Ta)D— . . — »Sr'n7'<i'JDm-i
) у ^(ki)jy(i)^(h2)j^a>g(h3) f 2 13"!
ft+ft+fe2
В частности, если А, — полупростое собственное значение опера-
оператора J1 (см. п. 1.5.4), то Z) = 0 и поэтому вклад в сумму B.12)
j
'ввьвиве -о = 5pj (и (x '3) tf (y-3) + p = (x '3) tf (y - (*) .z)
охь 'хэАНэио (9P* p) ей 4й) tf (Y — (и) .i) doxedeno (x) Jj
охоэия qxBHndxBHOOBcI ИЭИА9 1чи иинэиоиьня ВЯХ090ИЛ. bitH ohbhHo
(() ) (x) d (х) I = (x) Jii BdoxBdano Biri/ эинэжoIГ8вd (g-g) я
'чхиьАкоц онжои (к) y ии!аннАф bitH эинэжоиевд
иинэьене xiqHHoaxogoo ooHtodo эоннэшэяед •%
— dd)IsS(i)Id (\)Id —
— eS(x)Id(i)Id(i)Id — d(i)Idd)IS(i)IzS +
+ d(i)Idd)IzS(i)IS + SWldWldd)IzS +
+ zS(i)Id(i)Id(i)IS + dd)ISh)Id(i)IzS +
+ dd)IzSli)Id(i)IS + d(i)IS(i)IzSd)Id +
+ d(i)IzSd)IS(i)Id + S(i)Idd)IzS(i)Id +
Sd)IzS(i)Id(i)Id +
. dd)IS(i)ISd)IS —
— dd)Id(z)IzS —
— d(z)Idd)IzS — dd)IzS(z)Id ~ d(z)IzSd)Id ~
— zSd)Id(z)Id — zS(z)Idd)Id — dd)IS(z)IS +
+ d(z)ISd)IS + Sd)Id(z)IS + S(z)Idd)IS +
S(i)ISiz)Id + S(z)IS(i)Id + d^)IS — S<.e)Id ~2= (s)d
— d(x)IzSd)Id — zS(i)Id(i)Id — dd)ISd)IS +
Sd)Idd)IS + Sd)ISd)Id + d(z)IS — S(z)Id — = (z)d:
'dd)IS — S(t)Id — = h)d
ty винеьвне eHHqirexBhHdxoeH ohiitox xoibK
я иинайглиеоя вилоил ui ""л EOT
:. - :¦'•¦¦• § 2. ряды теории возмущений •••:
где
?<П> = ~4п 2 (- 1)р { i? (О Т14* ... T^R (Q ii-
Vi+. ¦ • +vp=n Г
B.17)
при п >• 1 это выражение отличается от B.8) лишь множителем
? — Я, в подинтегральном выражении. Поэтому (ср. B.12))
P=l vi-K . .+Vp=n
B.18)
Так,
уч1> /)m-ij'<iI5m~1. .. DTA>S + рта)р — ST{1>D ...
. .._5m-1r<1'Z)m-1. B.19)
Снова формулы упрощаются в том случае, когда X — полу-
полупростое собственное значение оператора Т (т. е. когда D == 0);
например,
741) =
+
+
. B.20)
Ряд для взвешенного среднего Я, (х) собственных значений Я,-груп-
пы получается из B.5) и B.16):
2
п=1
104 Гл. II. ТЕОРВЯ'ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
где
. B.22)
Подстановка B.18) в B.22) дает выражения для коэффициентов
Х(п).
Существует, однако, другое выражение для % (х), которое
приводит к более удобным в вычислительном отношении форму-
формулам, а именно
j log [l+ B ^("J) *«)] «• С2-23)
Г \п=1
Здесь логарифмическая функция log A + ^4) определяется разло-
разложением
со
log (l + A)= ^ (~1)Р~1 Ар, (.2.24)
p=i
сходящимся при || А || < 1. Заметим, что определение B.24) совпа-
совпадает с A.5.57) при некотором специальном выборе области А
(надо взять в качестве А окрестность точки ? = 1, содержащую
все собственные значения оператора I -\- А).
При выводе формулы B.23) будем исходить из формулы
^ / — 2лгт J ^ v' lt>) У bi ^ ¦ )
Г
которая вытекает из B.5) и B.15). Подстановка вместо резоль-
резольвенты R (?, х) разложения A.13) дает
со
^ /^\ J\, =j tj. i ^ ir %) Н (Г) ( А (к) R @)^ dt' B 2Q)
Г Р=1
заметим, что слагаемое, отвечающее р = 0, не дает вклада в пра-
правую часть B.26), так как tr D — 0 (см. задачу 1.3.11).
Учитывая соотношение dR (?)/<#; = R2 (?) (см. A.5.8)), находим
= Л(х)Д(Е)...Л(х)Д*(?) + ... + ЛE«)Дг(?)...Л(}«):Д(?). B,27)
Применение равенства tr АВ = tr В А дает
tr А (^ (х) д (?))р = р tr В (?) D (я)- Д @)^, B.28)
§ 2. РЯДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ¦ • 105
и формула B.26) принимает вид1)
Г P=l
у ( — А W R (Q) »Ь B.2У)
(мы воспользовались интегрированием по частям). Полученное
выражение совпадает с B.23) (см. определение A.10) оператора
А (х)).
Если логарифмическую функцию в B.23) заменить разложе-
разложением B.24), то, сравнивая коэффициенты при степенях х, мы
получаем следующие формулы для коэффициентов разложения
ш tr 2
Применяя прием, использованный при вычислении интегралов
B.8) и B.17), получаем
__ ^ х^ (~^)р V» trT^^iS^1' ytvpJ^Cftp) B 31)
P=l V!+...+Vp=n
ft++ftp
Эта формула удобнее формулы B.22), ибо суммирование здесь
проще, чем в B.18). Так,
=—tr
т
L [t
2 J B.32)
— tr (rai^mD^ aST
[t
здесь мы использовали равенство tv AB = tv BA2).
г) Операции взятия следа и интегрирования коммутируют. Доказа-
Доказательство этого аналогично доказательству формулы A.4.30) и исполь-
использует тот факт, что tr является линейным функционалом на JJ (X).
\
2) Из этого равенства следует, например, что -тг (tr
+ tr T&PTMS) = tr Г'1»5Г<1)Р. Аналогичным образом использовано это
равенство в формулах B.33) ниже.
106 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Формулы B.32) упрощаются в случае полупростого собствен-
собственного значения Я,. Используя упомянутое только что равенство,
получаем
пг
B.33)
== —- tr
m
P 4-
= _L tr
! Ta>STa)STa)P — T^S^T^PTa>P],
_ Ta)STi3)P —
i
i
Задача 2.1. Если функция Г (х) линейна по к (т. е. Г"» = 0 при ге > 2),
то
= — trr^P»"-», n=l, 2, 3... .
B.34)
е: сравнить B.8) и B.30).]
Замечание 2.2. Полученные выражения для лс) принимают хорошо
известную (хотя и несколько более сложную) форму, если след выразить
"через матричные элементы. Предположим для простоты, что невозмущенный
оператор Т диагонализуем. Пусть %ь, Ph, h=l, 2, ..., — собственные значения
и соответствующие им собственные проекторы оператора Т, отличные от рас-
рассматриваемого собственного значения К и соответствующего ему проектора Р.
Пусть {xit ..., xm}—базис в M = R(P) и {xhl, ..., xhm } — базис в Mf, = R (P/,),
А=1, 2, ... . ©бъединение векторов xj и хл. образует базис в X, состоя-
состоящий из собственных векторов оператора Т и присоединенный к разложению
X = М ф Mi ф ... . Сопряженный базис в X* присоединен к разложению
X* = M»©Mf ф ..., где M*==R(P*), M* = R(P*), ..., и является объеди-
объединением базисов {ehi, ..., ehm } в М? и базиса {еь ..., ет} в М* (см. за-
задачу 1.3.19).
Для каждого и ? X имеем разложения
т
= 2 О».
2
3=1
в для каждого А ? J) (X)
2
3=1
ehj>xhv
= l. 2,
= l, 2, ....-.
§ 2. РЯДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 107
^Оператор 5 дается формулой A.5.32), если в ней убрать индекс h, поэтому
22
ft ft, j
Таким образом, ив B.33) получаем следующие выражения для Я<п>:
m *•
1 ' I <2-35>
X<2> = —~У. (TMxj, ej) У. (kk — Xj-i-ITMxi, ekj) (ТЫхьп et),
j i, h ft
Предположим, что собственное значение Я просто, т. е. что m = i.
Пусть ф—собственный вектор оператора Т, принадлежащий собственному
значению Я, положим Ж1 = ф. Пусть е\ — гр — собственный вектор оператора Т*,
принадлежащий собственному значению к. Занумеруем другие собственные
векторы оператора Т в последовательность ф1, ф2, ..., и пусть plt ц2, ... —
соответствующие им собственные значения, которые отличны от к, но не
обязательно различны между собой. Соответственно векторы eh- мы упорядо-
упорядочим в последовательность -ф_/, так что {г|>, -ф1( г[J, ...} будет базисом в X*,
сопряженным к базису {ф, ф4, ...} в X. В этих обозначениях приведенные
выше формулы для Х<п) можно переписать в виде
Я,<2> = (Г<2)ф, f) - 2 (W - ^)
з
здесь Х(П) = Я<П), так как нет расщепления. Эти формулы известны из учеб-
учебников квантовой механики *), правда там они выводятся в предположении,
что Т и Г<п> — симметричные (эрмитовы) операторы, так что достаточно
использовать ортонормированную систему собственных векторов, а не
биортогональную систему, как здесь. (В случае симметричных операторов
| ^ )
3. Процесс редукции
Если % — полупростое собственное значение оператора Т,
то D = 0 и формула B.16) дает
B.37)
п=0
Поскольку подпространство М (я) = R (Р (х)) инвариантно относи-
относительно Т (к), существует очевидная связь между частями опера-
х) См. К е м б л [1], Ш и ф ф [1] [или Ландау и Лифшиц
], Соколов, Лоскутов и Тернов [1*]. — Ред.].
108 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
торов Т (х) и 71*1) (х) в подпространстве М (х). Таким образом,,
задача на собственные значения для оператора Т (х) в М (х)
сводится к такой же задаче для Г*1) (х). Формула B.37) показы-
показывает, что функция 71*1) (х) голоморфна в точке х = 0, поэтому
мы можем применить к Г*1) (х) развитую выше теорию. Этот про-
процесс сведения задачи для Т (х) к соответствующей задаче для
Г*1) (х) мы назовём процессом редукции. Роль «невозмущенного-
оператора» для семейства 7Ч1) (х) играет (см. B.20))
f(b@)==f<1> = P7'<1>P. B.38)
Каждое собственное значение оператора 71*1) при малых | х |
вообще говоря расщепляется на несколько собственных значений
оператора К1) (х). Пусть Щ), / = 1,2,..., — собственные зна-
значения оператора 7Ч1) в инвариантном подпространстве М =
= М @) = R (Р) (нулевое собственное значение оператора И1>
в дополнительном подпространстве R A — Р) нас не интересует).
Спектральное разложение оператора j1'1) в М имеет вид
B-39)
Предположим сначала, что все Kf} отличны от нуля. При
возмущении каждое Kf расщепляется на несколько собственных
значений (образующих ^'-группу) оператора Та) (х), которые
представляются в виде степенных рядов по x1/pj при некотором
Pj>l1). Соответствующие собственные значения оператора Т (х)
имеют вид
k + xkfy + K piajh+..., k=l, 2 B.40)
Если среди собственных значений К]1) есть нулевое, то соответ-
соответствующее собственное подпространство содержит R A — Р). Эту
трудность можно преодолеть, добавляя к Т (х) член вида ах;
это приведет к добавке к Г*1) (х) члена вида аР (к). В результате
все собственные значения оператора 71*1) (х) в подпространстве
М (х) получают одно и то же приращение а [чего нельзя уже,
-1) Вообще говоря, ^'-группа разбивается на несколько циклов, одна-
однако все собственные значения этой группы можно представить в виде степен-
степенных рядов по х1^-7', где pj — наименьшее общее кратное длин циклов, входя-
входящих в VP'
§ 2. РЯДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 109
конечно, сказать о собственных значениях этого оператора в до-
лолнительном подпространстве R A — Р (х))], а соответствую-
соответствующие собственные проекторы и собственные нильпотенты не изме-
изменяются. Выбирая подходящее а, можем считать, что сдвинутые
•собственные значения XjV -f- а все отличны от нуля. Таким обра-
образом, предположение Xf> ф 0 не ограничивает общности и в даль-
дальнейшем мы будем принимать его всякий раз, когда это удобно.
Будем говорить, что собственные значения вида B.40) опера-
оператора Т (х) при фиксированных X и %f образуют X -f- xXf'-группу.
Из разложения B.40) сразу видно, что справедлива следующая
теорема.
Теорема 2.3. Если X — полупростое собственное значение
невозмущенного оператора Т, то каждое собственное значение
оператора Т (х), принадлежащее Х-группе, имеет вид B.40) и пото-
потому принадлежит некоторой X -j~ хХ^-группе. Эти собственные
значения непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности
точки х = 0 (даже в том случае, когда х = 0 есть точка ветвле-
ветвления). Тотальный проектор Р{3Х) (к) для X -\- кХ^-группы (сумма
собственных проекторов, соответствующих собственным значе-
значениям из этой группы) и взвешенное среднее собственных значений
этой группы голоморфны в точке х = 0.
Последнее утверждение теоремы следует из того факта, что
Р)" (к) есть тотальный проектор для А^'-группы собственных
значений оператора Г*1) (х). То же верно и для взвешенного
среднего Xf> (x) собственных значений этой Я'/'-группы.
Описанный выше процесс редукции можно далее применить
к собственному значению Xf} оператора 7Ч1), если оно полупро-
полупросто. При этом получим, что собственные значения Яф-группы
имеют вид Xf> -f- хЯ(Д} + о (у). Соответствующие собственные зна-
значения оператора Т (к) имеют вид
X + хХ?> + у*Ц% + о (х2). B.41)
Эти собственные значения при фиксированных /', к образуют
Я + %kf -f- х2^!'-группу собственных значений оператора Т (х).
Мы видим, таким образом, что процесс редукции может быть про-
продолжен, а собственные значения и собственные проекторы опе-
оператора Т (х) могут быть разложены в формальные степенные ряды
по х, если только невозмущенное собственное значение полупро-
полупросто на каждом шаге процесса редукции.
Однако нет необходимости продолжать процесс редукции
бесконечно даже тогда, когда это возможно. Так как все воз-
возможные расщепления произойдут за конечное число, скажем
за п шагов, то тотальный проектор и взвешенное среднее соб-
110 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ственных значений уже на n-м шаге дадут нам полное разложе-
разложение собственного проектора и собственного значения.
Замечание 2.4. Как же узнать, что после га-го шага процесса
редукции расщеплений больше не будет? Это очевидным
образом будет так, если тотальный проектор на и-м шаге одно-
одномерен. Однако никакого общего критерия нет. Тем не менее для
большинства задач, возникающих в приложениях, эта проблема
может быть решена следующим образом.
Предположим, что существует набор {А} операторов такой,
что А Т (х) = Т (х) А для каждого оператора А из этого набора
и каждого х. Тогда А коммутирует с резольвентой R (?, х)
и, следовательно, с каждым собственным проектором оператора
Т (к) (см. A.5.22)). Если полупростое собственное значение Я.
оператора Т расщепляется на первом шаге, то каждый оператор
Р(/' (х) из теоремы 2.3 и, следовательно, каждый оператор РC1) =
= Р(/' @) коммутируют с А. Так как Р(/> является собственным
подпроектором (см. п. 1.3.4) проектора Р, то мы получаем такой:
результат: если % — полупростое собственное значение и соответ-
соответствующий проектор Р неприводим в том смысле, что у него нет
ни одного собственного подпроектора, который коммутировал бы
со всеми А из набора {А}, то % не расщепляется на первом шаге.
Если известно, что рассматриваемое невозмущенное собственное
значение полупросто на каждом шаге процесса редукции, то непри-
неприводимость Р означает, что расщепления нет вообще. Аналогично,
если невозмущенный собственный проектор становится неприво-
неприводимым на некотором шаге, то в дальнейшем не будет расщеплений.
4. Формулы для приближений высших порядков
Степенной ряд для тотального проектора Pf> (к) рассматри-
рассматриваемой К + зсХ'/'-группы собственных значений оператора Т (х)
можно получить из степенного ряда B.37) для ГС1) (х) точно
так же, как разложение для Р (х) было выведено из разложения
для Г (х). Для этого нам потребуется приведенная резольвента
оператора Г*1), аналогично тому как раньше мы использовали
приведенную резольвенту S оператора Г. Искомый оператор
имеет вид
^"—4гA-.Р), B-42)
Kj
где член
возникает от части оператора 7Ч1) в М = РХ (см. A.5.32)), а вто-
второй член в B.42) возникает от части оператора .ГС1) в подпро-
§ 2. РЯДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ , ¦- Щ
странстве A — Р) X, в котором Г*1) тождественно равен нулю.
Отметим, что
f>Sf> = 0. B.44)
Применяя результаты п. 1.1, получаем
... ; . B.45)
коэффициенты этого разложения вычисляются по формулам B.12),
в которых операторы Т следует заменить на операторы у ,
определяемые формулой B.18), a S<k) следует заменить на
(s™ l-(\-P)\h при А>1, на -Р?> при к = 0 и на -{Df )~к
* Xj J
при ?^— 1. Если, например, Х}1} — полупростое собственное зна-
значение (т. е. Df = 0), то, согласно формуле B.14), имеем
(inv), B.46)
где (inv) обозначает выражение, полученное из предыдущего
обращением (inverting) порядка сомножителей в каждом члене.
Подстановка сюда выражения B.20) для Г<2) дает
Так как ?4U — полупростое собственное значение оператора РТа)Р,
то pf>T*>P = РУТ^Р? =К?>Р?\ Поэтому
р(.ц) = _p^T^Sy — P?}Ta>S + PfT^ST^Sp + (inv). B.47)
Отметим, что окончательное выражение для Р^ не зависит явно
от %f\ Аналогичным образом можно вычислить Pf2), правда
при этом получится довольно громоздкое выражение.
Взвешенное среднее ЦХ) (х) собственных значений Х^'-группы
допускает разложение
^(х) = ^1)+х>412) + х2Х$13)+...', _ B.48)
коэффициенты которого получаются по формулам B.31) с заме-
заменой те, Р, S, Tiv) на mf = dim P?>X, P?\ B.42) и ?(v+1) соот-
соответственно. Предполагая, например, что Я'/' — полупростое соб-
собственное значение, имеем
trfP? = -4г tr
•112 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
tr Р<3)Р51> г<2> f^1'
- tr
^
B.49)
Здесь мы вновь использовали равенство tr АВ = tr В А и соот-
соотношения B.44) и B.11). Взвешенное среднее собственных значений
"к -\- х^'-группы имеет разложение
Kj (к) = к + yXf (х) = к + у.\? + ха?уа) + хз^и) + . .. . B.50)
Если в к + х?^1'-группе нет расщепления (другими словами,
если эта группа состоит из одного-единственного собственного
значения), то B.50) служит разложением для этого собственного
значения. Так будет, например, в том случае, когда mf = 1.
Замечание 2.5. На первый взгляд может показаться странным, что
третий коэффициент Х^13) в разложении B.49) содержит член
tr Г<2)^'!1Т<2)Р^1), квадратичный по Г<2>. Однако здесь нет никакого
противоречия, в подтверждение чему рассмотрим следующий пример. Пусть
N = 2, и пусть
=0 при,г>3.
Собственные значения оператора Т (-/,) таковы:
± х A—22I/2 ( +
Мы видим, что коэффициент при и3, равный а2/2, действительно квадрати-
квадратичен по а (т. е. по Г<2>).
5. Теорема Моцкина — Таусской
В качестве приложения теоремы 2.3 мы докажем некото-
некоторые теоремы, принадлежащие Моцкину и Таусской
[11, [2].
Теорема 2.6. Допустим, что оператор Т (х) = Т + хГ'
диагонализуем при всех комплексных х. Тогда все собственные зна-
значения оператора Т (х) линейны по х (т. е. имеют вид kh -\- хаЛ),
а соответствующие собственные проекторы суть целые функции
от х.
§ 2. РЯДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ЦЗ
Доказательство. Собственные значения Xh (к) опе-
оператора Т (у.) суть ветви алгебраической функции (см. п. 1.7).
С другой стороны, согласно теореме 2.3, функции Xh (к)
непрерывно дифференцируемы при каждом х. Более того,
как видно из A.34), производные dXh (y.)/dyt ограничены при
и—>-°о. Отсюда следует, что эти производные постоянны (это
простое следствие принципа максимума для аналитических функ-
функций *)). Таким образом, функция Xh (и) линейна по и.
Так как Xh (к) имеет вид Xh + y.ah, то Xh + ха^-группа опе-
оператора Т (и) состоит из одного собственного значения. Следова-
Следовательно, собственный проектор Р^ (и), соответствующий Xh (и),
совпадает с тотальным проектором этой группы и поэтому
голоморфен в точке х = 0 (см. теорему 2.3). То же самое верно
и для любой другой точки х, так как Т (и) и Xh (и) линейны по и.
Таким образом, Ph (и) — целая функция.
Проектор Р^ (и) может иметь полюс в бесконечности (см. при-
пример 1.12, е). Но если Т' также диагонализуем, то функция Ph (и)
голоморфна и в точке и = оо, так как собственные проекторы
оператора Г (и) = и G" + х?1) совпадают с собственными про-
проекторами оператора Т' + х?1, а последние по предыдущему
голоморфны в точке и = сю. Итак, функция Р^ (и) голоморфна
всюду в расширенной плоскости, значит, по теореме Лиувилля 2)
постоянна. Отсюда следует, что операторы Т и Т' имеют общие
собственные проекторы (а именно, Ph @) = Ph (ею)) и поэтому
коммутируют. Итак, доказана следующая
Теорема 2.7. Если в условиях теоремы 2.6 оператор Т' диаго-
диагонализуем, mo T и Т' коммутируют.
Теоремы 2.6 и 2.7 можно сформулировать в следующей сим-
симметричной форме.
Теорема 2.8. Пусть операторы А, В ? $ (X) таковы, что
их линейные комбинации аА + $В диагонализуемы для всех отно-
отношений а : Р (включая сю), за исключением, быть может, одной точки.
Тогда все собственные значения оператора аА -)- f>B имеют вид
aXh -(- Рць, где Xh и \ah не зависят от а в р. Если же операторы
аА -j- $В диагонализуемы для всех без исключения отношений
а : р, то А и В коммутируют.
1) Поскольку функция ц (х) = dXh (x)/dx непрерывна всюду (включая
точку х = оо), то функция | [х (х) | принимает максимальное значение в не-
некоторой точке х = х0 (возможно, что х0 = оо). Следовательно, по принципу
максимума функция jx (x) должна быть постоянна; см. К н о п п [1], стр. 84.
{Если х0 — точка ветвления порядка р — 1, то принцип максимума следует
применить после подстановки (х — к о) = х'> если хо = °°t T0 надо сде-
сделать подстановку х-1 = х' и затем применить принцип максимума.]
2) См. К и опп [1], стр. 112.
8 Т. Като
114 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Замечание 2.9. Сформулированные выше теоремы носят гло-
глобальный характер в том смысле, что существенна диагонализуе-
диагонализуемость Т (х) для всех конечных % (или для всех отношений а : р,
за исключением, быть может, лишь одной точки). Из диагонализуе-
диагонализуемости Т (у) во всех точках некоторой области D комплексной
и-плоскости не вытекает, как видно из следующего примера, даже
голоморфность в D собственных значений оператора Т {%).
Пример 2.10. Пусть N = 3 и
/0 % 0\
Г(х) = 0 0 х , B.51)
\х 0 1/
Нетрудно проверить что оператор Т (х) диагонализуем для всех х за исклю-
исключением трех значений, удовлетворяющих уравнению1) х3 =—4/27. Таким
образом, Т (х) диагонализуем для всех х на некоторой окрестности точки
х = 0. С другой стороны, ряды Пюизо собственных значений оператора Т (х)
при малых х имеют вид
+ х3/2+..., 1 + *3+..., B.52)
откуда видно, что два из собственных значений не голоморфны в точке
х = 0.
Замечание 2.11. Теорема 2.6 без дополнительных ограничений неверна
для операторов в бесконечномерных пространствах. Рассмотрим дифферен-
дифференциальный оператор
в гильбертовом пространстве L2 (— оо, +оо) (мы подробно рассмотрим такие
операторы в следующих главах). Собственные значения и соответствующее
им собственные функции оператора Т (х) таковы:
„ (х, х) = ехр f — у ж2—кх\ Я„(а; + х); ге = 0, 2,
здесь Нп (х) — полиномы Эрмита. Собственные функции фп образуют полную
систему в L2 в том смысле, что каждую функцию из L2 можно сколь угодно
точно аппроксимировать линейной комбинацией функций ф„. Это следует,
например, из того, что функции вида
ехр (—(ж-4-Re xJ/2) X (многочлен от х)
образуют полную систему в L2, а оператор умножения на ехр(— j/rlmx)
унитарен. Таким образом, оператор Т (х) можно считать диагонализуемым
при каждом конечном х. Тем не менее функция %п (и) не линейна по х.
г) Характеристическое уравнение для Т (х) таково: ?3 — t? — х3 = 0.
Это кубическое уравнение имеет три различных корня и, следовательно,
оператор Т (%) диагонализуем, если к Ф 0 и х3 =^= —4/27. Диагонализуемость
оператора Т @) очевидна (его матрица уже диагональна).
§ 2. РЯДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Ц5
6. Ранги коэффициентов рядов теории возмущений
Ранги коэффициентов Р(п) и Г(п) рядов B.3) и B.16) обладают
характерным свойством:
rank P(n) < (л + 1) те, rank Кп) < (л + 1) те,
л = 1, 2, . . . . B'53)
Это вытекает из следующей леммы.
Лемма 2.12. Пусть Р (х) 6 i? (X) м i (и) ?^ (X) голоморфно
зависят от к вблизи к = О, и пусть Р (и) — проектор для всех х.
Тогда коэффициенты разложения
А(х)Р(х)=%х*Вп ¦ B.54)
п=0
удовлетворяют неравенствам
rank Я„ < (ге + 1) те, п = 0, 1, 2, ... ,, ' B.55)
где ?n = dim P @). Аналогичный результат имеет место и для
Р (и) А (и).
Доказательство. Пусть
Р(х)=У>кпРп. ; B.56)
п=0
Коэффициенты Рп удовлетворяют рекуррентным соотношениям
вида
Рп = Р0Рп + QnlP0Pn-i + • • • + QnnP0, .. __.
re — и, 1, л, . . . ,
ГДе Qnk — некоторые многочлены от Ро, Ри . . ., Рп. Соотно-
Соотношение B.57) доказывается по индукции. Из равенства Р2 (и) =
= Р {%) следует, что
Рп = Р0Рп + PiPn-i + • • • + РпР0; B.58}
тем самым B.57) доказано для ге = 1. Если B.57) верно для
1, 2, . . ., п — 1, то из B.58) следует, что
Рп = РоРп + Pi (Р0Рп-1 + Qn-l,iPoPn-Z + • • • + Qn-i.n-iPo) +
+ Р2 (Р0Рп-2 + Qn-Z,lP0Pn-3 + ¦ ¦ ¦ + Qn-2,n
= Р0Рп
Мы получили выражение вида B.57), чем индукция и завершена.
8*
116 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Предположим теперь, что У! кпАп есть разложение для А (и).
Из B.54), B.56) и B.57) получаем
Вп =А0Рп +AiPn.i + . . . +АпР0= ..,
- А0Р0Рп + (A0Qnl + Ах) Р0Рп_, +
+ (A0Qnz + -4i<?n-i,i + Аг) Р0Рп.г + . . .
• • • + (AoQnn + ^i<?n-i,n-i + ...+Ап) Ро. B.59)
Таким образом, Вп есть сумма п + 1 слагаемых, каждое из кото-
которых содержит множитель Ро и потому имеет ранг не больше чем
rank Ро (см. задачу 1.3.4), откуда и следует требуемое неравен-
неравенство B.55). Нетрудно видеть, каким образом надо изменить при-
приведенное рассуждение для того, чтобы получить аналогичный
результат для функции Р (к) А (х).
§ 3. Радиусы сходимости и оценки погрешностей
1. Простые оценки *)
В предыдущих параграфах мы рассматривали различные сте-
степенные ряды по х, не указывая явно условия их сходимости.
В этом параграфе мы исследуем такие условия.
Мы начнем с выражения A.13) для резольвенты R (?, к).
Ряд A.13) сходится при условии
IIА (х) R (?) || = ||( 2 *пТт) R (Q || < 1, C.1)
которое выполняется, если
оо
S 1. C.2)
Обозначим через г (?) такое значение | х |, при котором левая
часть неравенства C.2) равна 1. Тогда это неравенство выпол-
выполняется при | к | < г (Q.
Пусть Г — такая же кривая, как и в п. 1.4. Ясно, что ряд
A.13) сходится равномерно по ? 6 Г, если
| х |< г0 = min r (?), C.3)
?ег
поэтому ряды A.17) и B.3) для тотального проектора Р (к) схо-
сходятся при условии C.3). Таким образом, г0 дает также оценки
х) Излагаемый здесь метод, основанный на элементарных фактах теории
функций, использовался Секефальви-Надем [1], [2], Т. К а т о
[1], Шефке [3] -[5].
§ 3. РАДИУСЫ СХОДИМОСТИ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 117
снизу для радиуса сходимости ряда для Р (%). Очевидно, что га
служит также нижней границей радиусов сходимости рядов
B.21) и B.37) для X (и) и 7Ч1) (и) соответственно. До сих пор
в качестве контура Г можно было брать любую замкнутую
спрямляемую кривую, охватывающую только одно собственное
значение ? = X оператора Т. Теперь мы предположим, что
Г — выпуклый контур. В дальнейшем будет полезно выбирать
контур Г так, чтобы значение 7-0 для него было максимально
возможным.
Для оценки коэффициентов Мп> разложения B.21) используем
to обстоятельство, что при условии C.3) собственные значения
оператора Т {%), образующие ^,-группу, а значит и их взвешенное
среднее X (к), лежат внутри контура Г 1). Полагая
р = max | ? - X \, ' C.4)
видим, что функция X (и) — X в круге C.3) ограничена констан-
константой р и голоморфна. Из неравенств Коши 2) для коэффициентов
рядов Тейлора следует, что
|Я.(П)КрС «= 1, 2, .... C.5)
Эти неравенства полезны при оценке скорости сходимости
ряда B.21). А именно
2>=1
р=п+1
Пример 3.1. Предположим, что
|| Г<п> || < ас"-1, п = 1, 2, . . ., C.7)
для некоторых положительных постоянных а ж с. Такие постоянные всегда
существуют ввиду сходимости ряда A.2). Из C.7) следует, что неравенство
C.2) выполняется при а | к | A — с | к I) || Д (?) || < 1, или, что то же,
при ( х | < (а || R (?) || + с)-1. Мы получаем, таким образом, следующую
нижнюю границу для радиуса сходимости:
|| Л E) ||+ с)-\ C.85
2. Метод мажорирующих рядов
Другой метод оценки коэффициентов и радиусов сходимости
рядов теории возмущений основан на использовании мажорирую-
мажорирующих рядов 3). Мы будем называть функцию (ряд) Ф (t, — X, %)
г) Здесь существенна выпуклость контура Г.
2) См. К н о п п [1], стр. 77.
3) Применять мажорирующие ряды начал Р е л л и х [4], затем его
идеи были развиты Шредером [1] — [3]. Их подход основан на рекур-
рекуррентных соотношениях для коэффициентов рядов теории возмущений и отли-
отличается от теоретико-функционального подхода, используемого ниже.
118 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
мажорирующей для А (х) R (?) (см. A.13) и B.29)) и писать
А- (и) Д (?) = S хТ*»'Д (?) < Ф (? - А-, и) =
1
= 22 cftra(S-/v)ft5<n, C.9)
й 1
й= - оо п= 1
если каждый коэффициент скп не моныпе, чем норма соот-
соответствующего коэффициента в разложении А (х) R (Q по степе-
степеням ? — Я и х. Так как i? (Q имеет разложение Лорана A.5.18),
в котором Xh, Ph, Dh следует заменить на X, Р, D соответствен-
соответственно, то наше условие означает, что
\\tn, k>0. {°Ли>
Мы предполагаем, что ckn = 0 при к < —тп, так что Ф (z, и)
может иметь лишь полюс в точке ъ = 0; это условие не про-
противоречит нашему определению, так как Dm = 0.
Из C.9) следует, что
|| | @||(|
п=1
Таким образом, ряд A.13) сходится, если Ф (| Z, — X \, | х |) < 1.
Беря в качестве контура Г окружность | ? — X | = р, видим,
что нижней границей г радиуса сходимости ряда для Р (и), а также
ряда для X (х) будет служить наименьший положительный корень
уравнения
Ф (р, г) = 1. C.12)
Для того чтобы получить наилучшую оценку для радиусов схо-
сходимости, нужно выбирать р так, чтобы наименьший положитель-
положительный корень уравнения C.12) был возможно больше.
Функции Ф можно использовать для построения мажорирую-
мажорирующего ряда для X (к) — X. А именно, таким рядом будет
ч» = — 1 -iog(i-a>(?-a., «Ж. C.13)
1Е-М=Р
Для доказательства заметим, что вклад в интеграл B.29) дают
лишь те члены разложения Лорана (по степеням х и ? —¦ X) для
подинтегрального выражения в B.29), которые содержат по край-
крайней мере один множитель Р или D. Ранг каждого такого члена
не превосходит тп и, следовательно, его след не больше, чем его
норма, умноженная на тп (см. A.5.42)). Таким образом, мы полу-
получим мажорирующий ряд для % (и) — X, если отбросим множитель
§ 3. РАДИУСЫ СХОДИМОСТИ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Ц9
i/m и символ tr в правой части формулы B.29) и заменим коэф-
коэффициенты разложения подинтегрального выражения в B.29)
их нормами. Но эта мажорирующая функция в свою очередь мажо-
мажорируется функцией C.13), чем наше утверждение и доказано.
Как известно из теории функций, интеграл C.13) равен разно-
разности числа нулей и числа полюсов функции 1 — Ф (z, %), содер-
содержащихся в круге \ z | < р х). Однако единственный полюс этой
функции расположен в точке z = 0 и потому не дает вклад в упо-
упомянутую сумму. Таким образом, доказана
Теорема 3.2. В качестве мажорирующей функции для X {%) —¦ X
можно взять сумму нулей функции 1 — Ф (z, х) {как функции
от z) в окрестности точки z = 0 при к —*- О, причем кратные нули
учитываются с кратностями. Этот мажорирующий ряд, а зна-
значит, и мажорирующие ряды для Р (к) иХ (к) сходятся при | и | < г,
где г — наименьший положительный корень уравнения C.12);
здесь р — произвольное число такое, что окружность | Z, — X | = р
не охватывает собственных значений оператора Т, отличных от X.
Пример 3.3. Рассмотрим частный случай, когда Г(п» = 0 при п > 2
и X — полупростое собственное значение оператора Т (D = 0). Из неравенств
C.10) видно, что все коэффициенты, кроме cki и c_lit, можно считать рав-
равными нулю. Положим с_, Л = || Т^Р \\. Что же касается выбора коэффи-
коэффициентов сы, которые согласно C.10) должны удовлетворять неравенствам
«Ы > I! T^Sh+1 ||, к > 0, то заметим, что Sh+1 = S (S — аР)* при любом а,
так как SP = PS = 0. Положим поэтому си = || T^S || || S — аР ||ft.
Мы получаем следующее выражение для мажорирующей функции:
(? гу C.14)
где
р = ||Г'1)р||, д=||Га>5||, « = ||S-aP||. .-. C.15)
При малых | ¦/ ] у функции 1 — Ф (z, x) имеется единственный нуль
2 = 'Чг (и) ь окрестности точки z = 0. Функция 'Ч (х) по теореме 3.2 являет-
является мажорирующей функцией для X (к) — %. Несложные вычисления дают
= рх-Ь2рдх2[1 —(ps + z)x + Q(^)]-1= C.16)
-рК ' PqA ~rl-(Ps + g)>c-2p«?.9x2 + Q(x)' . ;
где ¦
1/2- C.17)
у) См. Кнопп [1|, стр. 134. Отметим, что I log / (z) dz =
— I /' (z) / (z)-1 z dz (это сразу получается интегрированием по частям).
120 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Каждый коэффициент степенного ряда для W (х) служит верхней границей
соответствующего коэффициента ряда для X (х) — X. Поэтому остаток перво-
первого ряда дает оценку сверху соответствующего остатка ряда для X (х). Таким
образом, используя второе и третье выражения в C.16), получаем
2р?'Х|а | , , C.18)
l-(ps-\-q)\x\
Подставляя C.14) в C.12), получаем нижнюю границу г радиусов схо-
сходимости рядов для Р (х) и Я (х). При
получаем максимальное значение *)
r=[(psI/2 + ?1/2]-2- C.21)
Отметим, что значение C.20) возможно, так как р ^ s-1= || S — аР Ц-1 ^ <2,
где d — расстояние от X до множества остальных собственных значений опе-
оператора Т. В самом деле, из A.5.32) следует, что (S — аР) и = — (Я — Х^),
если м = Pku (напомним, что PjPk = 0 при / Ф к и РРА = 0). Поэтому
|| S — аР || > | X — )»й I для всех А.
Задача 3.4. В примере 3.3
|i*|<f. \"^2)\<РЧ, | Я<3) j < р? (р.,-и ,),.... C.22)
Замечание 3.5. С помощью мажорирующей функции Ф можно
оценить и ряд для Р {%). Согласно A.16), A.13) и C.9), имеем
ф&-^)Г^, C.23)
где Ф4 (^ — Я,) — мажорирующая функция для Л (?). Если функ-
функции Фи$! явно заданы, то правую часть в C.23) можно вычис-
вычислить с помощью теории вычетов.
3. Оценки для собственных векторов
Часто требуется вычислить собственные векторы, а не соб-
собственные проекторы. Однако вполне определенных формул, выра-
выражающих собственные векторы оператора Т (х) как функций от х>
нет ввиду неоднозначности выбора собственных векторов. Пред-
Предположим для простоты, что тп = 1 (так что D — 0). В этом слу-
случае формула
Ф (и) = (Р (х) Ф, oj))-1 Р (к) ср C.24)
дает удобное выражение для собственного вектора ф (х) оператора
Т (и), принадлежащего собственному значению X (и); здесь ф —
х) Это видно также из формулы C.16), правая часть которой имеет
разложение, сходящееся при | х | < г, где г дается формулой C.21).
§ 3. РАДИУСЫ СХОДИМОСТИ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 121
собственный вектор невозмущенного оператора Т, принадлежащий
собственному значению X, а Ир — собственный вектор сопряжен-
сопряженного оператора Т*, принадлежащий собственному значению X
и нормированный условием (ф, ijj) = 1. Таким образом,
Рц> = Ф, P*Xf = ф, (Ф, -ф) = 1. C.25)
То что вектор в правой части C.24) является собственным для
Т (и), следует из одномерности подпространства Р (х) X. Выбор
коэффициента в C.24) эквивалентен любому из следующих нор-
нормировочных условий:
(Ф (х), Ч>) = 1, (ф (х) — ф, -ф) = О, Р (Ф (х) - Ф) = 0. C.26)
Равенство (Т (х) — X (х)) ф (и) = 0 можно переписать в виде
(Т - X) (Ф (х) - ф) + D (и) - Я (х) + Я) ф (и) = 0, C.27)
где А (к) — Т (и) — Т (отметим, что (Т — X) ф = 0). Умножая
C.27) слева на S и учитывая равенства 51 (Т — X) = 1 — Р
и C.26), получаем
ф (и) — Ф + S [А {%) — X (к) + М ф (и) = 0. C.28)
Замечая теперь, что 5ф = 0, и представляя ф (и) в виде ф (х) —
— ф + Ф, получаем, для достаточно малых к
ф (Х) _ ф = _ A + S [А («) — Я (х) + Я]) ?Л (х) Ф =
= - 5 [1 + А (к) S - (X (х) - Я) SJ-1 Л (х) ф, C.29)
где Sa = S — <хР и а — произвольное число. Это — удобная
формула для вычисления собственных векторов.
Из нее следует, в частности, что
Ф (и) - Ф < 1! S || A - Ф2 (х) - || Sa || W (х))-1 Ф3 (и), C.30)
где Ф2 (и) и Ф3 (х) суть мажорирующие функции г) для Л (х) S
и ^4 (х) ф соответственно (напомним, что W (х) — мажорирующая
функция для X (х) — Я). Поэтому собственный вектор ф (х) можно
вычислять по формуле C.30) для таких х, для которых правая
часть в C.30) меньше, чем || ф ||, ибо тогда ф (х) заведомо не нуль.
Умножая C.29) слева на Т — X, получаем
(Т - X) Ф (х) =
= - A - Р) [1 + А (х) S - {X (х) - X) So,]'1 А (х) ф, C.31)
и потому
(Т - X) Ф (х) < A - Ф2 (и) - И Sa || ? (х))-1 Ф3 (х). C.32)
х) Мажорирующий ряд (функция) для вектор-функций определяется
точно так же, как и для операторных функций.
122 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 3.6. Если Г<«) = 0 при п > 2, то 4(х) = хГ<1>, так что можно
положить
C.33)
Тогда формулы C.30) и C.32) после подстановки в них выражения C.16)
дают («о = 11-5 II)
9«,Л II TCli № II
о > C.34)
Задача 3.7. Доказать, что в предположениях примера 3.6 при | х | < г
•спраиедливы следующие соотношения:
ф(х) = ф—х5Г<1)ф + хад(ГA) —Х<1)MГA)ф_...1 C.36)
ф (х)-Ф <С Sox(i+(ps + q) х+..-) || ГA>Ф ||, C.37)
А1/21/2 C.38)
C.39)
(И)-Ф)||<|х| —ТТ7а ^(Р*> ' +9 ' )ЦГа)ф|1. C-40)
[Указание: при выводе соотношений C.38) и C.39) сделать подстановку х=±г
.иосле выделения множителей | х | и | х |2 в соответствующих рядах.]
4. Дальнейшие оценки погрешностей
Ввиду того что оценка скорости сходимости ряда теории воз-
возмущений для X (х) имеет большое практическое значение, мы
дадим здесь еще один метод оценки коэффициентов АД") этого ряда
(ср. C.5) и C.13)).
Запишем интегральное представление B.30) для /?(") в следую-
следующем виде:
C.42)
итель-
ительR (I) = Ro @ + S (Q, Ro (?) = PR (Q = Д (Q P C.43)
Здесь S (t,) — приведенная резольвента оператора Т относитель-
относительно собственного значения К (см. п. 1.5.3), т. е.
§ 3. РАДИУСЫ СХОДИМОСТИ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 123
•есть разложение R (?) на главную часть с полюсом в точке Z, = X
и голоморфную часть. Отметим, что второй член выражения в квад-
квадратных скобках C.42) голоморфен и поэтому не дает вклада в инте-
интеграл. Далее, это выражение в квадратных скобках может быть
представлено в виде
T^RoiQT^RG,) ...r(Vfl(S) +
(v.) (v л) (v )
i T l С (?~\ T p-if с /f-\ ti p d /?*\ /Q /iA\
• • • ~T~ + & \ъ) * * * * *~* \r>) * -**0 \?>}i \^*'* )
где каждое слагаемое содержит множитель Ro (Q == Pi? (Q.
Так как ранг этого множителя ^т, то и ранг каждого слагаемого
¦в C.44) не превосходит т и, следовательно, ранг всего выраже-
выражения C.44) не превосходит min (mp, N), где N = dim X. Таким
•образом, след в C.42) оценивается сверху по абсолютной величине
нормой выражения, стоящего под знаком следа, умноженной
на min (pm, N) (см. A.5.42)). Это приводит к следующей оценке:
|| У H(Q .. . 1 " R(l)~~
г
pm)
Несколько иную оценку можно получить в том частном случае,
когда 7ЧП) = 0 при п ^ 2. В этом случае можно исходить из фор-
формулы B.34). Снова оценивая след min (nm, N) раз взятой нормой
л учитывая, что согласно B.53) ранг проектора PC™) не превос-
превосходит min (nm, N), находим
) п = 1, 2, ... . C.46)
Далее, формула B.8) дает
4г J li (Ta)R ®)п IIIК \<ш JIITa)R @1ГI # К
г г
^@1Г1^|- C.47)
Подстановка C.47) в C.46) приводит к искомой оценке для к{П).
Замечание 3.8. Оператор TW в формулах C.46) — C.47)
при п ^ 2 можно заменить на ТО-) — а для любого скаляра а.
Это следует из того, что при этом Т (х) изменится лишь на скаляр-
скалярное слагаемое —ах, а значит, A/n) не изменится при п ^ 2.
В частности, || Г(х> || в последнем члене неравенства C.47) можно
заменить на
а0 = min || TW - а \\. .. C.48)
124 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
5. Частный случай нормального невозмущенного оператора
Предыдущие результаты, касающиеся радиусов сходимости
и скорости сходимости рядов теории возмущений, значительно-
упрощаются в том случае, когда X — гильбертово конечномерное-
пространство и Т — нормальный оператор. Тогда, согласно-
A.6.70), имеем
И R (О И = l/dist (?, 2 (Т)) C.49>
при каждом ? ? Р (Т).
Если при этом коэффициенты Г(") удовлетворяют неравен-
неравенствам C.7), то, согласно формуле C.8), число
r=min( 2 \-c\~1 C.50)
ici- \ dist (?, 2 (Г)) /
служит нижней границей радиусов сходимости рядов для Р (х)
и i (х). Выбрав в качестве контура Г окружность | ? — к \ —
= d/2, где d — расстояние от К до множества остальных соб-
собственных значений оператора Т (см. п. 2), получим
1. C.51)
Предположим теперь до конца этого пункта, что || Т^п) || = 0>
при п ^ 2. В этом случае можно положить с = 0, а а = \\ Г'1' ||,
и формула C.51) принимает вид
r°r=j= 2||Г<1)Ц * . (
Тем самым доказана
Теорема 3.91). Пусть X — гильбертово конечномерное про-
пространство, Т — нормальный оператор в X и Т (х) = Т + хГ'1).
Тогда степенные ряды для Р (к) и К (х) сходятся, если «.величина
возмущения» || xjH1) || меньше, чем половина расстояния d от соб-
собственного значения X до множества остальных собственных зна-
значений оператора Т.
Как показывает следующий пример, эта оценка — наилучшая
возможная.
Пример 3.10. Рассмотрим пример 1.1, а) и введем в X гильбертову нор-
норну A.6.6) относительно базиса, в котором Т (х) задается матрицей а). Нетруд-
то видеть, что Т нормален (даже симметричен), |] ГA) || = 1 и d = 2 для
каждого из двух собственных значений ±1 оператора Т. В то же время ради-
радикс сходимости ряда A.4) равен г0 = 1.
Замечание 3.11. Число а — || ft1) || в формуле C.52) можно-
заменить на число а0, определяемое формулой C.48), по той ж&
!) См. Т. К а т о [1], Ш е ф к е [4].
§ 3. РАДИУСЫ СХОДИМОСТИ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 125
причине, что и в замечании 3.8. Что касается коэффициентов
), то формула C.5) дает
(^у~\ п>2, C.53)
так как р для рассматриваемого контура Г равно d/2 (см. заме-
замечание 3.11). Формулы C.46), C.47) приводят к тем же оценкам
{3.53), если использовать тот же контур.
Однако в некоторых частных случаях C.46) может привести
к более точной оценке, нежели C.53). Так будет, например, в том
случае, когда Т симметричен и, следовательно, собственные зна-
значения Т вещественны. В этом случае в качестве Г мы можем взять
контур, образованный парой прямых 1\ и Г2, перпендикулярных
к вещественной оси и проходящих через точки (к + к^/2
и (X + ^г)/2, где ^ и ^ — собственные значения оператора Т,
ближайшие к К соответственно слева и справа. Полагая
d{ = % — %i, d% = %2 — ^i C.54)
видим, что
1/2. l?Th /==1,2, т] = 1т?. C.55)
Отсюда и из формул C.46) — C.47) получаем при
l ) (f + V *1+ J (f+ 2)
1 I d\ . „
= min A,—I —-—'-- a%--7r l-j-l +1-3- . C.56)
\ mn) n /rv, ( n_\ ° 2 L \ di I l \ d2 j J v y
2/
где Г обозначает обычную гамма-функцию. Следует отметить, что
если % — наибольшее или наименьшее собственное значение опе-
оператора Г, то можно положить di = оо или d2 = °° соответственно,
тем самым улучшая результат.
Интересно, что оценка C.56) является «наилучшей возмож-
возможной», как видно из следующего примера.
Пример 3.12. В примере 3.10 JV = 2, %=1, m = l, d1 = 2, d2=oo,
«o = ll ^A) 11 = 1; и потому оценка C.56) дает
C.57)
126 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Истинное собственное значение Х(х) равно '
р=0
Коэффициент Х<™> при у,п для четных п равен ( „ \ , что совпадает
с правой частью в C.57).
Множитель <хп = Г f^y-)/]ЛхГ (у) в C.56) для начальных»
принимает следующие значения:
п ап
2 1 = 1,0000
3 2/я = 0,6366
4 1/2 = 0,5000
5 4/(Зя) = 0,4244 . •
6 3/8 = 0,3750
При п -*¦ оо множитель <х„ асимптотически ведет себя как х) га~1/2.
Таким образом, оценка C.56) показывает, что ?(™> имеет самое-
большее порядок
const (-jY n~3/2, d — min(di, d2). C.59)
В случае N = оо множитель п~3^ должен быть заменен на п~1/2;
на практике такую замену делают и для конечных, но достаточно
больших N.
Задача 3.13. Оценка C.56) точнее, чем C.53).
Задача 3.14. Почему неравенства C.57) при четных п превращаются
в равенства?
Сравним результаты этого параграфа с оценками, полученными методом
мажорирующих рядов. Отметим прежде всего, что
D = 0, || Р || = 1, || 5 || = lid, C.60)
так как Т предполагается нормальным. Совершая в формуле C.21) подста-
подстановку р = || Л1) || = а, д = || Т&\\ || S || = aid и s = || S || = lid, полу-
получаем в качестве нижней границы для радиуса сходимости значение г = d/Da);
эта оценка в два раза слабее оценки C.52). Мажорирующий ряд C.16) для
X (и) — X после указанной подстановки принимает вид
1 2Л2
-2 (-1)-1
71=1
Гамма-функция имеет следующее асимптотическое представление:
Г (х +1) = Bл)±/2хх+1'2е~х A -f О (х-1)).
§ 3. РАДИУСЫ СХОДИМОСТИ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 127
Этот мажорирующий ряд дает следующие оценки для А,(п):
|?<1>1<а, |l<2)|<a2/d, | Я<з> |< 2ag/d2, | A,<*) |< 5a*/d3, ... C.62)
(здесь произведена, согласно замечанию C.8), замена а на а0). Оценки C.62)
точнее, чем C.53), при п ^ 5, но при п ^ 6 это уже не так. Эти оценки также
точнее, чем C.56) (где di и d2 заменены на d), при п ^ 3, но не при п ^ 4.
Во всяком случае метод мажорирующих рядов дает доволыю точные оценки
для нескольких первых коэффициентов рядов теории возмущений (но не для
последующих).
Аналогичным образом мажорирующий ряд C.34) для собственных век-
векторов принимает (в случае т = 1) вид
2х |
со
=M^?is (-1)" („+2iJ2n+1 (ir1**- (з-бз>
Заменяя а на ag, для начальных коэффициентов разложения ф(Я) — ф =
-— У\ хпф<и) получаем оценки
аЗ/^, .... C.64>
По тем же причинам, что и выше, || Г'^-'ф |[ в формулах C.64) можно заме-
заменить на min |] (Г<1) — а) ф || х).
а
6. Метод прямого подсчета числа членов
Оценки для коэффициентов №п) можно также получить прямым
подсчетом числа членов в формуле B.31) 2). Предположим для:
простоты, что X —гильбертово конечномерное пространство, Т —
нормальный оператор в X и Т(п) = 0 при п ^ 2. Вспоминая, что
S(h) = S'\ 5(°) = —Р и 5(-fe) = ?)fe = 0, к > 0, и учитывая
равенства C.60), получаем
J_ 2 [trr«i>5(ftl) ... T^Sikn)\. C.65)
ftl+...+ftn=n-l
Выражение под знаком следа в C.65) содержит по крайней мере
один множитель 5(°> = — Р и, следовательно, имеет ранг =sCm..
Поэтому след можно оценить нормой оператора, стоящего под
знаком следа, умноженной на т. В итоге получим
\j<nH< Bf»-2)I a? _fi п/2
г) По поводу результатов, близких изложенным, см. Р е л л н х [4J
Шредер [1] — [3].
2) См. Блох [1].
128 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Так же как и в предыдущем пункте, мы заменили здесь || 7Ч1) ||
на а0. Множитель 2п~1п$п = Bга — 2)!/((га — 1)!)а в C.66) равен
числу решений уравнения к^ + . . . + кп — п — 1. Для началь-
начальных значений п имеем
_
2 1=1,0000
3 1/2 = 0,5000
4 5/8 = 0,6250
5 7/8 = 0,8750
6 21/16 = 1,3125
Мы видим, что оценки C.66) точнее, чем элементарные оценки
C.53), лишь при п 5^ 5. При л->-оо множитель $п асимптотически
ведет себя как я~1/2га~3'/22п~1 и потому оценка C.66) гораздо сла-
слабее, чем C.53).
В действительности оценка C.66) является частным случаем
результата, полученного методом мажорирующих рядов: правая
часть в C.66) при п = 2 совпадает (если заменить а на а0) с п-ш
коэффициентом ряда C.61).
Таким образом, изложенный метод не приводит к новым
результатам. Более того, он не столь универсален, как метод
мажорирующих рядов, ибо в общем случае оценка коэффициентов
М11) посредством прямого подсчета числа слагаемых в B.31) —
далеко не легкое дело.
Суммируя все сказанное, заключаем, что в общем случае
метод мажорирующих рядов дает в удобной форме довольно
хорошие оценки коэффициентов (и в особенности начальных
коэффициентов) рядов теории возмущений. Однако в рамках этого
метода трудно учесть упрощающие задачу обстоятельства (такие,
например, как нормальность невозмущенного оператора). В неко-
некоторых частных случаях более простой метод контурного интегри-
интегрирования оказывается более эффективным. Оценки C.50), C.51)
и C.52) удается пока получить только этим методом.
§ 4. Преобразования подобия собственных
подпространств и собственных векторов
1. Собственные векторы
В предыдущих параграфах, посвященных теории возмущений
для задачи на собственные значения, мы всюду (за исключением
п. 3.3) рассматривали собственные проекторы, а не собственные
векторы, так как последние не определены однозначно. Однако
в ряде случаев требуется знать собственные векторы ф^ (х)
возмущенного оператора Т (х). В этом параграфе мы выведем
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ 129
формулы для них, однако для простоты мы будем рассматривать
обобщенные собственные векторы; обобщенным собственным
вектором мы называем любой ненулевой вектор, принадлежащий
алгебраическому собственному подпространству Mh (х) = Ph (х)
X для собственного значения %h (х) (см. п. 1.5.4). Разумеется,
обобщенный собственный вектор является собственным вектором
в обычном смысле, если kh (x) полупросто.
Выражения для обобщенных собственных векторов можно
получить, применяя операторы Ph (x) к векторам ц>к некоторого
линейно независимого набора в X. Возникающие таким образом
в ектор-функции
<phft (к) = Ph (к) 9ft D.1)
аналитичны при любых h и к и представляют собой обобщенные
собственные векторы Т (х) в тех точках, где они не обращаются
в нуль. Однако этот способ построения обобщенных собственных
векторов имеет ряд неудобств помимо того, что он выглядит
довольно искусственным. Во-первых, ц>нп (х) может обращаться
в нуль для некоторых х, не являющихся особыми точками %h (x)
или Ph (x). Во-вторых, векторы <phk (х) при фиксированном h
не обязаны быть линейно независимыми; в самом деле, существует
не более чем mh линейно независимых собственных векторов,
принадлежащих собственному значению %h (я) кратности mh.
Эти недостатки метода можно исправить, выбрав mh линейно
независимых векторов q>k из подпространства Mh (х0), где х0 —
фиксированная неисключительная точка. Векторы D.1) при фикси-
фиксированном h линейно независимы при малых | х — х0 |, так как
функция Ph (х) голоморфна в точке х = х0. Ввиду того что
dim M.h (x) = mh, векторы (phh (x), & = 1, . . ., mh, образуют базис
в Mjj (x). Таким образом, мы получили базис в Mh (x), голоморфно
зависящий от х.
Однако все это еще не совсем удовлетворительно, ибо векторы
(fhk (x) могут быть линейно зависимыми (и даже некоторые из них
могут обращаться в нуль) в некоторых неисключительных точках.
В следующих пунктах мы предложим другой метод построения
обобщенных собственных векторов, свободный от указанных
недостатков.
2. Трансформирующие функции х)
В общей форме нашу задачу можно сформулировать следую-
следующим образом. Предположим, что задан проектор Р (х) в X, голо-
голоморфный по х в области D комплексной х-плоскости. Тогда,
*) Результаты этого и последующих пунктов были получены Т. К а т о
[2] в связи с адиабатической теоремой квантовой механики.
9 т. като '
130 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
по лемме 1.4.10, dim Р (х).Х = т. Требуется найти т векторов
фь (х), /с = 1, . . ., то, голоморфных по х и образующих базис
в М (х) = Р (х) X для каждого х ? D.
Можно предположить без ограничения общности, что х = 0
принадлежит D. Наша задача будет решена, если удастся постро-
построить операторную функцию U (х) (назовем ее трансформирующей
функцией для Р (х)), удовлетворяющую следующим условиям:
A) обратный оператор U (х) существует и голоморфен в D
вместе с U (к);
B) U (х) Р @) U-1 (х) = Р (к).
Из условия B) следует, что U (х) отображает М @) на М (х)
взаимно однозначно (см. п. 1.5.7). Если {ф^, к = 1, . . ., т) —
базис в М @), то векторы
9ft (х)' = U (к) фь, к = 1, . . ., то, . D.2)
образуют искомый базис в М (х).
Мы построим трансформирующую функцию U (х) при условии,
что область D односвязна. Дифференцируя равенство
Р2 (х) = Р (х), . D.3)
получаем
Р (х) Р' (х) + Р' (к) Р (х) = Р' (х), D.4)
где символ ' означает дифференцирование по х. Умножая это
соотношение слева и справа на Р (х), находим
РР'Р = 0 D.5)
(здесь мы пишем для простоты Р вместо Р (х)).
Введем коммутатор Q операторов Р' и Р:
Q (х) = [Р' (х), Р (к)] = Р' (х) Р (х) — Р (х) Р' (к). D.6)
Очевидно, что Р' и Q голоморфны в D. Из D.3), D.5) и D.6) сле-
следуют формулы
PQ = —PP't QP = Р'Р. D.7)
Поэтому уравнение D.4) принимает вид
Р' = [Q, Р]. D.8)
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение
X' = Q (х) X ' D.9)
относительно неизвестной операторной функции X (х). Так как
это линейное дифференциальное уравнение, оно имеет единствен-
единственное голоморфное в D решение с заданным начальным значением
X @). Это можно доказать, например, методом последовательных
4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ ..! 131
приближений точно так же, как и для линейной системы обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений J).
Пусть U (х) — решение уравнения D.9), удовлетворяющее
начальному условию U @) = 1. Общее решение уравнения D.9)
можно записать в виде
X (х) = U (х) X @). D.10)
В самом деле, функция D.10) удовлетворяет уравнению D.9)
и начальному условию; по теореме единственности X (х) — тре-
требуемое решение.
Аналогично уравнение
Y' = -YQ (х) D.11)
имеет единственное решение Y (х) с заданным начальным значе-.
иием Y @). Пусть V (х) — решение уравнения D.11), удовлетво-
удовлетворяющее начальному условию V @) = 1. Покажем, что операторы
U (х) и V (х) взаимно обратны. Из дифференциальных уравнений
D.9) и D.11) следует, что (VU)' = VU + VU' = -VQU + VQU =
= 0. Поэтому VU не зависит от х и
V (х) U (х) = V @) U @) = 1. D.12)
Отсюда вытекает, что V = U^1 и, следовательно,
U (х) V (х) = 1. D.13)
В приведенном доказательстве используется конечномерность
пространства X. Так как в общем случае из D.12) не следует
D.13), мы дадим другое доказательство равенства D.13), пригод-
пригодное и в бесконечномерном случае. Имеем, как выше,
(UV)' = QUV - UVQ = [Q, UV]. D.14)
На этот раз совсем не очевидно, что правая часть равна нулю.
Однако D.14) можно рассматривать как линейное дифференциаль-
г) В самом дело, уравнение D.9) в матричном представлении эквивалент-
эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Удобнее, однако,
рассматривать D.9) как операторное дифференциальное уравнение, не обра-
обращаясь к матрицам, особенно в том случае, когда dim X = оо (отметим, что
все результаты этого пункта без каких бы то ни было модификаций спра-
справедливы и в бесконечномерном случае). Обычный метод последовательных
к
приближений (Хо (х) = X @), Хп (п) = X @) + \q (x) Xn_i (x) dx) дает
последовательность Хп (к) голоморфных операторных функций; здесь суще-
существенно, что область D односвязна. Нетрудно показать, что эта последова-
последовательность сходится к некоторой функции X (п), причем сходимость равно-
равномерна на каждом компактном подмножестве в D, и что X (х) есть единствен-
единственное голоморфное решение уравнения D.9) с данным начальным значением
X @). Здесь существенно, что отображение X -> Q (х) X есть линейный
оператор в М (X).
9*
132 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ное уравнение относительно Z = UV, и поэтому существует
единственная функция Z с начальным значением 1, удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению D.14). Так как функция Z (х) = 1 удовлетворяет
уравнению D.14) и начальному условию Z @) = 1 = U @) V @),
то UV = Z. Этим доказано D.13) г).
Покажем теперь, что U (х) удовлетворяет условиям A), B),
приведенным на стр. 130. Выполнение условия A) следует из
равенства U (х) = V (х), вытекающего из D.12) и D.13). Для
проверки условия B) рассмотрим функцию Р (х) U (х). Согласно
D.8) и D.9), имеем
{PU)' = P'U + PU' = (Р' -Ь PQ) U = QPU. D.15)
Таким образом, функция PU является решением уравнения D.9)
с начальным значением Р @) и потому, согласно D.10), должна
совпадать с U (х) Р @). Это эквивалентно свойству B).
Замечание 4.1. В силу D.7) оператор Q в последнем члене
в D.15) можно заменить на Р'. Таким образом, функция W (х) =
= U (х) Р @) = Р (х) U (х) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
W = Р' (k).W, D.16)
которое несколько проще, чем уравнение D.9). Аналогично
Z (х) = Р @) U (х) удовлетворяет уравнению
Z' = ZP' (х). D.17)
Замечание 4.2. Функции U (х) и U~x (x) можно продолжить
аналитически, если такое продолжение возможно для Р (х).
Однако в том случае, когда область изменения х не односвязна,
может случиться, что U (х) и U~x (x) не однозначны несмотря
на то, что Р (х) однозначна.
Замечание 4.3. Трансформирующую функцию U (х) можно
построить и в том случае, когда х — вещественный параметр.
В этом случае не требуется, чтобы Р (х) была голоморфна, доста-
достаточно непрерывной (или кусочно непрерывной) дифференцируе-
мостиЛ- Тогда U (х) имеет непрерывную (кусочно непрерывную)
производную и удовлетворяет условиям A) и B), за исключением
голоморфности U (х) и U (х).
Замечание 4.4. Трансформирующая функция U (х) для задан-
ного'семейства проекторов Р (х) не единственна. Другую функцию
U (х) можно построить, по крайней мере при малых | х |, с помо-
1) Равенство D.13) можно также вывести из D.12), исходя из общих
соображений, основанных на теореме об устойчивости индекса; см. п. Х.5.5.
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ ДЗЗ
щью результатов п. 1.4.6. Подставляя Р @), Р (х) вместо Р, Q
в A.4.38), видим, что
U (х) = [1 - (Р (х) - Р (О)J]-1/* X
X [Р (х) Р @) + A - Р (х)) A - Р @))] D.18)
есть трансформирующая функция х) при х столь малых, что
II Р (к)л— Р Ф) II < 1- Эта функция проще, чем построенная
выше, в том смысле, что она алгебраически выражается через
Р @) и Р (х), в то время как построенная выше была определена
как решение дифференциального уравнения. Однако трансфор-
трансформирующая функция D.18) имеет тот недостаток, что она опре-
определена лишь локально.
3. Решение дифференциального уравнения
Так как нас прежде всего интересует отображение подпро-
подпространства М @) на М (х), осуществляемое трансформирующей
функцией U (х), то достаточно рассмотреть функцию W =
= U (х) Р @) вместо U (х). Для отыскания W нужно решить диф-
дифференциальное уравнение D.16) с начальным условием W @) =
= Р @).
Решим это уравнение в том случае, когда Р (х) — тотальный
проектор Х-группы собственных значений оператора Т (х). Функ-
Функция Р (х) имеет разложение B.3), поэтому
Р'(*)= 2 (п+1)хпР<п+и. D.19)
Так как W @) = Р @) = Р, то
со
У! xnWiU>. D.20)
n=l
Подстановка D.19) и D.20) в уравнение D.16) приводит к следую-
следующим рекуррентным формулам для JF<™>
Р + (п — 1) Pt
. . . + P^W^-1), n = 1, 2, . . . . D.21)
Из соотношений D.21), используя выражения B.12) для Р<п),
можно последовательно найти коэффициенты \У(п~>. Мы получаем
1) Функция D.18) была в иной форме введена Секефаль-
вп-Надем [1].
134 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
таким образом
j[P*>]*P, D.22)
W<8> = ртр _|_ | | | []
Если собственное значение X полупросто, то согласно B.14) имеем
—STa>P,
D.23)
ST{2)P 4- STa)STa)P S2Til}PTll)P — PTA)S2Ta)P.
it
Если Х-группа состоит из одного собственного значения (расщеп-
(расщепления нет), то М (х) = Р (х) X есть алгебраическое собственное
подпространство оператора Т (х) и мы получаем набор обобщен-
обобщенных собственных векторов
щ (х) = W (х) Ф„, к = 1,..., то, D.24)
гДе {фй! & = 1, • • ., in} — базис в М @). В силу свойств функ-
функции W {%) векторы D.24) образуют базис в М(х).
Функцию Z (и) = Р @) U (х) можно найти так же, как W (г).
Однако нет нужды решать дифференциальное уравнение D.17).
Оно отличается от D.16) только порядком сомножителей
в правой части. Таким образом, ряд 2 х Z(") для Z (х)
можно получить, обращая порядок множителей в каждом члене
ряда для W (х). Это относится не только к выражениям для коэф-
коэффициентов Z(n) через Р^к\ но также и к выражениям через
Р, S, jT'1), Г*2), . . ., как в D.23) и следует из того факта, что
выражения B.12) для \Р(П) инвариантны относительно обращения
порядка сомножителей. Из этих замечаний следует, что если
собственное значение К полупросто, то
ZA>= —PTa>S,
D.25)
?B> _. PT{2)S 4- PTA}STa>S pf(bprfd)gi z_ pfa^gifwp
Замечание 4.5. Трансформирующую функцию U (x), опреде-
определенную равенством D.18), также можно разложить в степенной
ряд по х, при тех же самых предположениях. Нетрудно проверить,
что разложение функции U (х) Р совпадает с полученным выше
разложением для функции W (х) с точностью до второго порядка
включительно.
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ 135
4. Трансформирующая функция и процесс редукции
Построенную выше трансформирующую функцию U (х) для
тотального проектора Р (х) данной А,-группы можно использовать
в описанном в п. 2.3 процессе редукции. Так как собственные зна-
значения, образующие А,-группу, суть собственные значения опера-
оператора Т (х) в инвариантном подпространстве М (х) = R (Р (х)),
a U (х) переводит проектор Р в Р (х) (т. е. Р (х) = U (x) PC/ (x)),
то задача на собственные значения для Т (х) в подпространстве
М (и) эквивалентна соответствующей задаче для оператора
U (х)-1 Т (х) U (х) ' D.26)
в подпространстве М = М @) = R (Р) (которое инвариантно отно-
относительно оператора D.26)). Действительно, оператор D.26) имеет
тот же самый набор собственных значений, что и Т (х), в то время
как его собственные проекторы и собственные нильпотенты свя-
связаны с собственными проекторами и собственными нильпотентами'
оператора Т (х) преобразованием подобия, определяемым опера-
оператором U (х). Так как нас интересуют только собственные значе-
значения, принадлежащие ^-группе, то достаточно рассматривать
вместо D.26) оператор
PU (к)-1 Т (х) U (к) Р = Z (x) T (x) W (х); D.27)
здесь Z и W — операторы, введенные в предыдущих пунктах.
Таким образом, наша задача в той части, которая касается
собственных значений А,-группы, сведена к соответствующей задаче
для голоморфной операторной функции D.27) в подпространстве М
пространства X. Эта редукция первоначальной задачи имеет то
преимущество, что М не зависит от х, тогда как в процессе редук-
редукции, описанном в п. 2.3, подпространство М (х) зависело от х.
В этом смысле редукция к оператору D.27) имеет преимущество
перед процессом редукции п. 2.3, по крайней мере теоретически;
в практическом отношении эта редукция имеет то неудобство, что
конструкция оператора U (х) весьма сложна.
Из сказанного выше следует, в частности, что взвешенное сред-
среднее X (х) собственных значений А,-группы равно поделенному
на m следу оператора D.27):
i (и) = тп-1 tr Z (x) T (x) W (х) =
= X + m-1 tr Z (х) {Т (х) - Ц W (х). D.28)
Подстановка выражений D.23) и D.25) для коэффициентов разло-
разложений W (х) и Z (и) в степенные ряды приводит к тем же форму-
формулам B.33).
Задача 4.6. Проверить последнее утверждение.
136 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
5. Одновременное преобразование нескольких проекторов
Оператор U (х), рассмотренный в п. 2, преобразует проектор
Р @) в Р (х). Рассмотрим теперь несколько проекторов Р^ (х),
h = 1, . . ., s, удовлетворяющих условиям
Ph (x) Pk (x) - 6hkPh (x). D.29)
Мы построим ниже трансформирующую функцию U (х) такую, что
U (х) Ph @) U (х) = Ph(x), h^l,...,s. D.30)
Как следствие мы получим базис {фЙ1 (х), . . ., <$hmh (и)} в каж-
каждом из подпространств Mh (x) = R (Ph (x)), положив
<Pw («) = # (и)
где {фй1, . . ., фЛт } — базис в Mft = МЛ @).
Как и раньше, мы предположим, что операторы Ph (и) голо-
голоморфны в односвязной области D комплексной плоскости или
непрерывно дифференцируемые на интервале вещественной пря-
прямой. Предположим, далее, что набор проекторов Ph (и) полон
в том смысле, что
' ¦ , /. ¦' ': S РА(х) = 1. • .. D.32)
h=i
В противном случае мы можем ввести проектор Ро (и) =
s
= 1—2 Рп (х); новый набор {Ph (и), /г = 0, . . ., s} удовле-
h=i
творяет условиям A.29) и условию полноты, а оператор U (х)
удовлетворяет условиям D.30) тогда и только тогда, когда он слу-
служит трансформирующей функцией для этого нового набора.
Построение U (х) аналогично соответствующему построению
для одного проектора Р (х). Определим U (х) как решение диф-
дифференциального уравнения D.9) с начальным значением U @) =
= 1, где
S S
Q (*)=т 2 [^ (*)' р» (*)] = 2- p'h (х)
, =-2 ^л(«)П(х). . D.33)
Равенство трех последних выражений следует из D.32), так как
ZP'hPh + 2PhP'h = 2 (PI)' = 2Рд = 0. Отметим, что оператор
D.33) совпадает с оператором D.6) в том случае, когда рассмат-
рассматривается один проектор Р (х); кажущееся различие, связанное
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ 137
с наличием множителя 1/2, объясняется тем, что мы дополнили
Р (х) до полного набора {Р (х), 1 — Р (х)}.
Из рассуждений п. 2 (и, в частности, из формулы D.15)) сле-
следует, что соотношения D.30) будут доказаны, как только мы уста-
установим равенства
Рк{*) = [<?{*), Ph{*)], h = i,...,s. D.34)
Зтобы установить это, продифференцируем соотношения D.29):
P'hPk + PhP'k = 8hhPl D.35>
Умножая обе части этого равенства слева на Р^, получаем
или, что то же,
-[PhP'h. Ph] = PhP'h. D.36)
Суммирование по h = 1, . . ., s с учетом D.32) дает соотноше-
соотношение D.34).
Очевидно, что указанным здесь способом можно построить
трансформирующую функцию для набора всех собственных проек-
проекторов Ph (x) оператора Т (х) в любой односвязной области D,.
в которой Ph (x) голоморфны *).
6. Диагонализация голоморфной матричной функции
Пусть (Xjk (х)) — квадратная матрица порядка N, элементы
которой суть голоморфные функции комплексного переменного х.
При определенных условиях такую матрицу можно привести
к диагональному виду; это значит, что существует матрица
(x)) с голоморфными элементами, такая, что матрица
С& («)) = (УЖ WT1 (tJh («)) (yjk (*)) D.37>
голоморфна при каждом х.
Задача диагонализации сводится к задаче, рассмотренной'
в предыдущих параграфах. Для этого достаточно заданную мат-
матрицу рассматривать как оператор Т (х)в пространстве CN число-
числовых векторов и затем применить полученные выше результаты.
Если х пробегает односвязную область D, не содержащую исклю-
исключительных точек, то можно построить трансформирующую функ-
функцию U (х) и тем самым базис D.31), состоящий из вектор-функций,
голоморфных в D, и присоединенный к множеству собственных
проекторов Ph (x) оператора Т (х). В зтом базисе матричное-
представление оператора Т (X) принимает вид, описанный
1) Трансформирующая функция U (я) имеет важные применения в свя-
связи с адиабатической теоремой в квантовой механике; см. по этому поводу
Т. Кат о [2], Гарри до [1], Гарридо и Санчо [1].
138 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
в п. 1.5.4. В частности, мы получаем диагональную матрицу
с диагональными элементами Xh (х), если все операторы Dh (х)
тождественно равны нулю (как будет например в тех случаях,
когда все кратности mh = 1 или оператор Т (х) нормален при
вещественных х). Как следует из сказанного в п. 1.5.4, это экви-
эквивалентно существованию матричной функции (yjk (x)), удовлетво-
удовлетворяющей условию D.37). Отметим, что векторы yik (х), . . .
• • ч Ywfe (х) СУТЬ собственные векторы исходной матрицы
§ 5. Неаналитические возмущения
1. Непрерывность собственных значений
и тотального проектора
В предыдущих параграфах мы рассмотрели задачу на собствен-
собственные значения для оператора Т (х) ? 93 (X), голоморфно завися-
зависящего от х, и показали, что его собственные значения X (и) и соб-
собственные проекторы Р (х) аналитичны по х. В этом параграфе
нас будет интересовать поведение функций % (х) и Р (х) в случае
более общей зависимости Т (и) от х 1).
Сначала мы рассмотрим случай непрерывной зависимости
Т (х) от х. При этом предполагается, что х пробегает некоторую
область Do комплексной плоскости или некоторый интервал I
вещественной прямой. Даже при этих весьма общих условиях
часть результатов предыдущих параграфов сохраняется по суще-
существу без изменений.
Резольвента R (?, х) = (Т (и) — t,) теперь лишь непрерыв-
непрерывна по совокупности переменных ? и х в каждой области, не пере-
пересекающейся по спектрам оператора Т (х). Это следует из слегка
модифицированных рассуждений п. 1.3; достаточно заметить, что
операторная функция А (х) = Т (х) — Т @), хотя и не является
больше голоморфной, однако по-прежнему стремится к нулю
при и -^ 0 (Т = Т @)).
Отсюда следует (см. A.12)), что R (?, х) существует, когда ?
принадлежит резольвентному множеству Р (Т) оператора Т,
а | и | настолько мало, что
|| T(x)-T\\<)]R (С) И (Д (С) - Л (С, 0)). E.1)
Кроме того, R (?, и) -> Д (?) при и -> 0 равномерно по ?, при-
принадлежащим любому компактному подмножеству в Р (Т). ¦
J) Эти вопросы в случае симметрических операторов были рассмотрены
в статьях Р е л л и х а [1], [2], [8] (наиболее подробно в [8]).
§ 5. НЕАНАЛИТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 139
Пусть к — собственное значение оператора Т, имеющее
(алгебраическую) кратность т, и Г — контур вокруг %, не охва-
охватывающий других собственных значении оператора Т. Функция
|| R (?) Ц на контуре Г имеет положительный минимум б; поэтому
R (?, х) существует, если Z, ? Г и || Т (х) — Т || < б. Следова-
Следовательно, оператор Р (х) можно снова определить по формуле A.16),
и он оказывается непрерывным в окрестности нуля. Так же как
и в аналитическом случае, Р (х) является тотальным проектором
для собственных значений оператора Р (и), лежащих внутри Г.
Из непрерывности Р (и) снова следует, что
dim М (и) = dim М = пг,
E.2)
М (х) = Р (х) X, М = М @) = РХ, ¦
где Р = Р @) — собственный проектор оператора Т, принадле-
принадлежащий собственному значению %. Из формулы E.2) следует, что
сумма кратностей собственных значений оператора Т (х), лежа-
лежащих внутри Г, равна пг. Снова будем говорить, что эти собствен-
собственные значения образуют А,-группу.
Все это верно для каждого собственного значения Xh опера-
оператора Т. В любой окрестности собственного значения kh для доста-
достаточно малых | х | существуют собственные значения оператора Т (х)
с тотальной кратностью, равной кратности mh собственного зна-
значения Xh. Так как сумма всех mh равна N, то у рассматриваемых
Т (х) нет других собственных значений. ' Тем самым доказана
непрерывная зависимость собственных значений от х.
Мы предположили выше, что функция Т (%) непрерывна в неко-
некоторой области изменения переменной х. Однако те же рассужде-
рассуждения показывают, что из непрерывности Т (х) в нуле следует
непрерывность в нуле собственных значений оператора Т (х)
и соответствующих тотальных проекторов Р (х). Действительно,
достаточно заметить, что R (?, х) -* R (?) при х ->- 0 равномерно
по ? 6 Г. Можно даже заменить семейство Т (х) последователь-
последовательностью {Тп}, сходящейся к Т. При этом собственные значения
и тотальные проекторы оператора Тп сходятся при п ->¦ оо
к соответствующим собственным значениям и собственным
проекторам оператора Т. Итак доказана
Теорема 5.1. Предположим, что функция Т (х) непрерывна
в точке х = 0. Тогда собственные значения оператора Т (х) непре-
непрерывны в нуле. Для всякого собственного значения оператора Т =
= Т @) при достаточно малых \ х | имеет смысл понятие к-груп-
пы; тотальный проектор Р (х) для Х-группы непрерывен в нуле.
Если Т (к) непрерывна в области комплексной плоскости или
на интервале вещественной оси, то резольвента R (?, х) непре-
непрерывна по совокупности ? и х в указанном выше смысле.
140 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
2. Нумерация собственных значений
Доказанный выше факт, что собственные значения оператора
Т (х) непрерывно зависят от х в случае, когда Т (х) — непрерывная
функция, не совсем прост, так как число собственных значений
оператора Т (х) непостоянно. В аналитическом случае мы тоже
можем встретиться с фактом зависимости общего числа собствен-
собственных значений от х, однако там это число постоянно для всех
неисключительных х. В общем случае полное число собственных
значений зависит от х крайне нерегулярно; расщепление
и совпадение собственных значений может происходить весьма
сложным образом.
Для того чтобы преодолеть это неудобство, естественно учи-
учитывать собственные значения с их кратностями, как описан»
в п. 1.5.4. Полный набор собственных значений оператора обра-
образует неупорядоченную систему, состоящую из N комплексных
чисел. Два набора @ и ©' можно считать близкими, если при
подходящей нумерации <3 = (\ix, . . ., \iN), (&' — (\i't, . . ., \i'N)
их элементов числа ([хп — ц'п) малы для всех п = 1, . . ., N.
Можно ввести расстояние между <& и @' по формуле
dist ((э, ?>') = min max | \in — \i.'n |, E.3)
п
где минимум берется по всем возможным нумерациям элементов
одного из наборов. Например, расстояние между тройками @, 0, 1)
и @, 1, 1) равно 1, хотя множества их элементов совпадают.
Нетрудно проверить, что функция E.3) обладает всеми свойствами
расстояния.
Утверждение теоремы 5.1 о непрерывности собственных функ-
функций можно переформулировать следующим образом: полный
набор <& (х) собственных значений оператора Т (х) непрерывно
зависит от х. Последнее означает, что dist (@ (х), @ (х0)) -*¦ О
при х -*- х0. Указанная непрерывность есть непрерывность пол-
полного набора в целом. В связи с этим возникает вопрос о существо-
существовании N однозначных непрерывных функций \in (х), п = 1, ...
. . ., N, значения которых при каждом х образуют полный набор
собственных значений оператора Т (х). Такая «униформизация»
в общем случае невозможна. Это видно из примера 1.1, d), в кото-
котором собственные значения суть +Х1/2 и поэтому невозможно опре-
определить две однозначные непрерывные функции, представляющие
собственные значения в области комплексной плоскости, содер-
содержащей точку х = 0.
«Униформизация» возможна, если i) параметр х пробегает
интервал вещественной оси или ii) все рассматриваемые собствен-
собственные значения вещественны. В последнем случае «униформизую-
щие» функции \in (х) получаются просто при нумерации собствен-
§ 5. НЕАНАЛИТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ" 141
ных значений в неубывающем порядке:
Hi (и) < Ык) <•••'< Vn («)• E-4)
¦Следует отметить, однако, что этот способ упорядочения удобен
не всегда, так как он может приводить к недифференцируемым
функциям, тогда как другое упорядочение даст дифференцируемые.
Возможность «униформизации» в случае i) совсем не очевидна.
Она составляет содержание следующей теоремы.
Теорема 5.2. Пусть <3 (х) — неупорядоченный набор из N
комплексных чисел, непрерывно зависящий от параметра х
«з (открытом или замкнутом) интервале I. Тогда существуют
N однозначных и непрерывных функций ц„ (х), п = 1, . . ., Лт,
¦значения которых в точке х образуют набор <& (х) для каждого
¦х 6 I (будем говорить, что эти функции представляют набор
¦<? (х)).
Доказательство. Скажем, что подинтервал 10 интервала I
имеет свойство (А), если на 10 существует N функций, обладающих
свойствами, сформулированными в теореме. Требуется доказать,
что I обладает свойством (А). Покажем сначала, что множество
интервалов, имеющих свойство (А), замкнуто относительно объе-
объединения пары пересекающихся интервалов. Пусть (Ни1') и (ц42))
суть функции, представляющие набор 2> (х) на интервалах Ij
и 12 соответственно. Если х0 6 Ii П 1г, то после подходящей пере-
перенумерации набора (^42)) получим }41} (и0) = И> (и0), ге = 1, ...
. . ., N. Тогда функции (h(^)> определяемые на Io = Ij. U 1г
формулой
непрерывны и представляют набор <& (х) на 10.
Отсюда следует, что интервал I' с I имеет свойство (А), если
каждая точка из I' имеет окрестность со свойством (А).
После этих предварительных замечаний мы докажем теорему
5.2 по индукции. Теорема очевидным образом верна при N = 1.
Предположим, что теорема верна для всех N <С М и каждого
интервала I.' Пусть Г — множество точек х 6 I таких, что все
М элементов набора @ (и) совпадают. Множество Г замкнуто,
а дополнение А = 1\Г открыто в I. Покажем, что каждая точка
из Д имеет окрестность со свойством (А). Пусть я0 ? А. Так как
среди М элементов набора <В (х0) есть различные, то этот набор
можно разбить на два меньших набора с числом элементов JV\
и N2- Другими словами, набор 2> (х0) можно представить в виде
объединения непересекающихся JV^-набора и Л^-набора. Из не-
непрерывности 2> (я) следует, что для значений х, достаточно близ-
142 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ких к х0, набор (§> (х) также представим в виде объединения
Л^-набора и iV2-Ha6opa, непрерывно зависящих от х. Согласи»
предположению индукции, эти наборы в некоторой окрестности
А' точки х0 можно представить семействами непрерывных функ-
функций (Hi (х), . . ., \iNi (х)) и (nNl+1 (х), . . ., \iM (к)) соответ-
соответственно. Функции ]ih, k = 1, . . ., М, в совокупности пред-
представляют набор <g> (х) в Л'. Другими словами, А' имеет свой-
свойство (А).
Так как множество А открыто в I, то оно является объедине-
объединением не более чем счетного числа интервалов 11( 12, . . . . Так
как каждая точка в А имеет окрестность со свойством (А), то
из сделанного выше замечания следует, что каждый интервал 1Р
имеет свойство (А). Обозначим через ц4р> (х), п = 1, . . ., N,
функции, представляющие (а (х) в 1Р. С другой стороны, при
х ? Г набор © (х) состоит из N тождественных элементов ц (х).
Определим теперь функции цп (х), п = 1, . . ., N, по формуле
W, и е г. ^-6>
Эти N функций представляют @ (х) на всем интервале I. Нетрудно
проверить, что функции цп (х) непрерывны на I. Это завершает
индукцию, и тем самым теорема доказана.
3. Непрерывность собственных подпространств
и собственных векторов
Собственные векторы и собственные подпространства опера-
оператора Т (х), непрерывно зависящего от х, не обязательно непре-
непрерывны. Выше было доказано, что тотальный проектор Р (х)
Я-группы непрерывен, однако Р (х) определен только для тех
(достаточно малых по модулю) х, для которых собственные значе-
значения, образующие Я,-группу, близки к X.
Если Т (х) имеет N различных собственных значений Xh (x),
h = 1, . . ., N, для всех точек в односвязной области комплекс-
комплексной плоскости или на интервале вещественной оси, то можно
определить соответствующие им одномерные собственные проек-
проекторы Ph (x). Каждый проектор Ph (x) непрерывен по х, так как
он совпадает с тотальным проектором, соответствующим соб-
собственному значению Xh (x). В общем случае функцию Ph (x)
нельзя продолжить непрерывно на те значения х, в которых соб-
собственные значения расщепляются. В этом смысле собственные
значения ведут себя более регулярно, чем собственные проекторы.
Напомним, что даже в аналитическом случае Ph (x) может не
существовать в тех исключительных точках, где Xh (x) аналитична
(пример 1.12, f)); однако в таких точках Ph (x) имеет самое боль-
§ 5. НЕАНАЛИТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 143
шее полюс (см. п. 1.8): В общем же случае, который мы сейчас
рассматриваем, положение гораздо хуже. Тот факт, что собствен-
собственные проекторы могут иметь очень сильные особенности даже в том
случае, когда Т (х) — гладкая функция, вытекает из следую-
следующего примера, принадлежащего Реллиху *).
Пример 5.3. Пусть N = 2 и
. 2
sin —
(
2 * , Г@) = 0. E.7)
Функция Т (к) бесконечно дифференцируема на всей оси; собственные зна-
значения Т (х), которые равны ±«~ к при х Ф 0 и нулю при х = 0, тоже
бесконечно дифференцируемы. Соответствующие собственные проекторы при
х Ф 0 имеют вид
1 . 1 \
— cos — sm — \
X XI
11 1 • E-8>
cos—sm— cos2— /
хх у. i
Эти матричные функции бесконечно дифференцируемы всюду, кроме точки
х = 0, однако их нельзя доопределить в нуле по непрерывности. Более
того, нетрудно видеть, что у оператора Т (х) нет собственного вектора, кото-
который непрерывен в окрестности точки х = 0 и не обращается в нуль в самой
точке х = 0.
Отметим, что оператор E.7) симметричен при каждом вещественном к.
Это показывает, что теорема 1.10 о голоморфности собственных проекторов
голоморфного семейства нормальных операторов перестает быть верной,
если голоморфность заменить на бесконечную дифференцируемость.
4. Дифференцируемость в точке
Предположим теперь, что Т (х) — дифференцируемое семей-
семейство операторов. Отсюда не следует, вообще говоря, что соб-
собственные значения оператора Т (х) дифференцируемы; это не сле-
следует даже из голоморфности Т (х) (пример 1.1, d)). Однако имеет
место
Теорема 5.4. Если операторная функция Т (х) дифференцируе-
дифференцируема в нуле, то тотальный проектор Х-группы дифференцируем
в нуле:
Р (х) = Р + хР<!) + о (х), E.9)
где 2) Pi1) = — РТ' @) S — ST' @) Р, a S — приведенная резоль-
резольвента оператора Т в точке X (см. п. 1.5.3). Если % —• полупростое
х) См. Р е л лих [1]; мы приводим этот пример в слегка модифициро-
модифицированном виде.
2) Здесь о (х) обозначает операторнозначпую функцию F (х) такую,
что || F (и) || = о (х).
144 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
собственное значение оператора Т, то собственные значения опе-
оператора Т (х), принадлежащие %-группе, дифференцируемы в нуле:
Hj(x) =к + хц)" + о (к), j = 1, . . ., m, E.10)
еде Hj (x) — полный набор собственных значений, входящих
в Х-группу, и p/j1' — полный набор собственных значений опера-
оператора РТ' @) Р в подпространстве М = РХ (Р — собственный
проектор оператора Т, соответствующий X). Если Т диагона-
лизуем, то все собственные значения оператора Т (%) дифферен-
дифференцируемы в нуле.
Замечание 5.5. Предыдущая теорема требует некоторых пояс-
пояснений. Дифференцируемость собственных значений означает диф-
дифференцируемость полного набора © (х) собственных значений
оператора Т (х). Аналогично определяется дифференцируемость
собственных значений, входящих в А,-группу. Дифференцируемость
набора © (х) в точке х = 0 по определению означает, что в окре-
окрестности нуля © (х) можно представить дифференцируемыми в точ-
точке х = 0 функциями |д,п (х), п = 1, . . ., N. Набор ©' @), обра-
образованный числами ]i'n @), называется производным для © (х)
в точке х = 0. Нетрудно доказать (например, индукцией по N),
что €>' @) не зависит от выбора представляющих функций
цп (х). Если © (х) дифференцируем в каждой точке, а набор
©' (х) непрерывен, то набор © (х) называется непрерывно диф-
дифференцируемым.
Отметим, что © @) и ©' @) не определяют поведение 3 (х)
даже вблизи нуля. Например, наборы ©! (х) = (х, 1 — х)
и ©о (у) — (—и, 1 + х) имеют одинаковые значения @, 1) и оди-
одинаковые производные A, —1) в точке х = 0.
Доказательство теоремы 5.4. Как следует из
A.4.28), резольвента R (С, х) дифференцируема в точке х = 0 и
Здесь стоит отметить, что производная E.11) существует равно-
равномерно по переменной ?, пробегающей любое компактное подмно-
подмножество в Р (Т), так как при этих условиях сходимость R (?, х) —>
—>- R (?), х -> 0, равномерна (см. п. 1). Из выражения A.16) для
Р (к) следует, что функция Р (х) дифференцируема в точке х = 0 и
11
г г
= — PT'@)S — ST'@)P = Pa> (см. B.14)). E.12)
Таким образом, формула E.9) доказана.
§ 5. НЕАНАЛИТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ' : . ¦ 145
Если X — полупростое собственное значение, то, как и в ана-
аналитическом случае, собственные значения оператора Т (х), обра-
образующие Х-группу, имеют вид
ц;- (х) = X + xf41} (x), j = 1, . . ., m, E.13)
где \if (x) суть собственные значения оператора
х)<? E.14)
в подпространстве М (х) = Р (х) X (см. B.37)). Так как Т (х)
и Р (х) дифференцируемы в нуле и (Г — X) Р = 0, если X полу-
полупросто, то функция 7Ч1) (х) будет непрерывна в точке х = О,
если положить
f(i) @) = Г @) Р + (Т — X) Р' @) = Р7" @) Р; E.15)
последнее равенство следует из формулы E.12) и соотношения
(Г — X) S = 1 — Р (см. B.11)). Таким образом, собственные
значения оператора К1) (к) непрерывны в нуле. В частности,
собственные значения ц(^ (к) оператора 7Ч1) (х) в инвариантном
подпространстве М (х) непрерывны в нуле, хотя они и не обязаны
быть непрерывными при х ф 0. Отсюда и из выражений E.13)
следуют формулы E.10).
5. Дифференцируемость на интервале
До сих пор мы исследовали дифференцируемость собственных
значений X (х) и собственных проекторов Р (к) в точке х = 0.
Рассмотрим теперь дифференциальные свойства функций X (х)
и Р (х) в некоторой области изменения переменной х, предпола-
предполагая дифференцируемость Т (х) в этой области. Если х пробегает
область комплексной плоскости, то дифференцируемость в этом
случае означает голоморфность; так как этот случай был подробно
рассмотрен выше, мы будем считать, что функция Т (х) определена
и дифференцируема на интервале I вещественной оси 1).
Согласно теореме 5.4 полный набор @ (к) собственных зна-
значений оператора Т (к) дифференцируем на интервале I при усло-
условии, что Т (х) диагонализуем на I. Отнюдь не очевидно, однако,
что существуют однозначные и дифференцируемые на I функции
цп (х), п = 1, . . ., N, которые представляют полный набор
собственных значений оператора Т (х). Тем не менее это верно,
как утверждает следующая
х) Дифференцируемость собственных значений была изучена подробно
Р е л л и х о м [8] в том случае, когда оператор Т (х) симметричен при каж-
каждом вещественном %. Следует сказать, что эта задача далеко не тривиальна.
10 т. Като
146 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Теорема 5.6. Пусть © (х) — неупорядоченный набор N
комплексных чисел, зависящий от вещественного параметра х,
пробегающего интервал I. Предположим, что набор 2> (х) диф-
дифференцируем в каждой точке интервала I (в смысле замечания 5.5).
Тогда существуют комплекснозначные дифференцируемые на I
функции цп (х), п — 1, . . ., N, представляющие © (х).
Доказательство. Будем говорить, что подинтервал
в I имеет свойство (В), если для него справедливо заключение
теоремы 5.6; требуется доказать, что I имеет свойство (В). Так же
как в доказательстве теоремы 5.2, можно показать, что объедине-
объединение I4 U 12 перекрывающихся 1) интервалов Ii и 12, обладающих
свойством (В), также обладает свойством (В). Стоит отметить, что
перенумерацию чисел f.i42> (x) нужно производить таким образом,
чтобы обеспечить дифференцируемость функций E.5) в точке
х = х0; это возможно, так как набор © (х) дифференцируем
в точке % = %0.
Это замечание позволяет вести доказательство далее так же,
как в теореме 5.2. Лишь на заключительном этапе доказательства
требуется небольшая модификация, так как функции, определен-
определенные формулой E.6), могут иметь разрывы производных в изоли-
изолированных точках множества Г. Для того чтобы преодолеть это
затруднение, мы поступим следующим образом. Изолированная
точка х0 в Г является либо граничной точкой интервала I, либо
общей граничной точкой интервалов 1Р и Ig. В первом случае
не возникает никаких затруднений. Во втором случае семейства
(н4р)(х)) и (|^(х)) можно «гладко соединить» с помощью пере-
перенумерации одного из них, так как эти семейства дифференци-
дифференцируемых функций представляют набор © (х) справа и слева от точ-
точки дифференцируемости % = х0. Отсюда следует, что интервал,
составленный из Ip, Ig и х0, имеет свойство (В).
Пусть Г' — множество изолированных точек в Г. Множество
A U Г' относительно открыто в I и состоит из (не более чем) счет-
счетного числа интервалов \^. Каждый интервал Ц составлен в свою
очередь из (не более чем) счетного числа интервалов 1Р, соеди-
соединенных друг с другом точками из Г'. Применяя описанный выше
процесс «гладкого соединения», можно функции, представляющие
© (к) на 1Р, объединить в семейство дифференцируемых функций,
представляющих © (х) на Ц. Таким образом, каждый интервал
1й имеет свойство (В).
Построение N дифференцируемых функций цп (х), представ-
представляющих © (%) на всем интервале I, можно провести по формуле
E.6), в которой 1Р и Г следует заменить на 1? и Г"=Г\ Г' соот-
соответственно. Дифференцируемость определенных таким образом
Это означает здесь, что интервалы имеют общую внутреннюю точку.
. . , .... : . § 5. НЕАНАЛИТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ _ >, л 147
функций |д,п (х) в точке х0 € Г" следует из того, что производный
набор (а' (х0) состоит из N тождественных элементов, так же
как и (а (х0). Это завершает доказательство теоремы 5.6.
Теорема 5.7. Если в условиях теоремы 5.6 производный набор
(а' (и) непрерывен, то N функций цп (х) непрерывно дифферен-
дифференцируемы на I.
Доказательство. Предположим, что вещественная
часть функции \хп (х) разрывна при х = х0. Как известно из диф-
дифференциального исчисления, значения, принимаемые функцией
Re \x'n (х) в любой окрестности точки х0, заполняют интервал
длины, большей некоторого положительного числа 1). Однако
это невозможно, если набор (а' (х) непрерывен, так как значение
\х'п (х) принадлежит этому набору. По той же причине Im \x'n (х),
не может иметь точек разрыва.
Замечание 5.8. Мы видели (теорема 5.4), что собственные зна-
значения оператора Т (х) дифференцируемы на I, если семейство»
Т (х) дифференцируемо и диагонализуемо при каждом х ? I.
Естественно поэтому предположить, что собственные значения
дифференцируемы, если семейство Т (х) непрерывно дифферен-
дифференцируемо и диагонализуемо. Это, однако, неверно, как показывает.'
следующий пример 2).
Пример 5.9. Пусть N = 2 и
2 + sm-M\
И/ , хфО, Г@) = 0. E.16)
a /
[Если а > 1 и Р > 2, то функция Т (%) непрерывно дифференцируедга во
[всех точках вещественной прямой. Собственные значения оператора Т (и)
к
=^0, ц±@) = 0. EЛ7>
ггаковы:
/ 1 ' 1/2
)
1) Пусть вещественная функция / (t) вещественной переменной t диф-
дифференцируема на интервале а ^ t ^ 6; тогда /' (i) принимает на этом интер-
интервале любое значение между а = /' (а) и C = /' F). Предположим для опре-
определенности, что а < р. Для любого у ? (а, Р) положим g (t) — f {I) ~ yt-
Тогда g' (a) = a — 7 < 0, g' (b) = C — 7 > 0 и поэтому непрорывная
функция g (t) принимает минимальное значение в некоторой внутренней
точке t = с интервала (а, 6). Следовательно, g' (с) = 0 и поэтому /' (с) = у.
Если производная /' (t) разрывна в точке t = t0, то существует е > 0 такое,
что в любой ее окрестности существуют числа ^ и t2, для которых | /' (г,) —
— /' (*г) I > s. Из предыдущего следует, что /' (t) принимает любые значения
между /' (ti) и /' (i2). Поэтому значения /' (t) в любой окрестности точки %
покрывают интервал длины больше е.
2) Оператор в этом примере не симметричен. Для симметричных опера-
операторов гипотеза верна; см. теорему 6.8.
10*
148 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Так как |i+ (х) ф (д,_ (х) при х Ф О, то Т (х) диагонализуем при всех и .
Собственные значения |i± (и) дифференцируемы всюду в соответствии с об-
общей теорией. Однако их производные разрывны в пуле, если a-j-p<^4.
Этот простой пример показывает еще раз, что в случае неаналитических
возмущений возможны всякие патологии.
Замечание 5.10. Если функция Т (х) непрерывно дифферен-
дифференцируема в окрестности нуля и А, — полупростое собственное зна-
значение оператора Т @), то, как видно из формул E.12) и E.14),
тотальный проектор А,-группы непрерывно дифференцируем, а опе-
оператор 2Ч1) (х) непрерывен в окрестности нуля.
6. Асимптотическое разложение собственных значений
и собственных векторов
Дифференциальные свойства собственных значений, изученные
в предыдущих параграфах, можно рассмотреть с несколько иной
точки зрения. Так, например, теорема 5.4 о дифференцируемости
собственных значений в точке х = 0 дает в то же время асимпто-
асимптотическое разложение собственных значений \ij (х) с точностью
до членов первого порядка, если Т (х) асимптотически имеет вид
Т + хТ' + о (х), где Т' = 7" @). Естественно поставить вопрос
об асимптотическом поведении собственных значений с точностью
до членов второго порядка, в случае когда Т (х) имеет вид Т +
+ хЛ1) + и2ГB> + о (х2). Теорема 5.4 допускает непосредствен-
непосредственное обобщение в этом направлении.
Теорема 5.11. Пусть Т (х) = Т + х^1) + х2Г<2> + о (х2) при
х -> 0, X — собственное значение оператора Т и Р — соответ-
соответствующий собственный проектор. Тогда тотальный проектор
Х-группы собственных значений оператора Т (х) имеет вид
Р (х) = р + хР(х> + х2РB) + о (х2), E.18)
где операторы Р(х) и Р<2) определяются по формулам B.13). Если
X — полупростое собственное значение и Pf — собственный проек-
проектор оператора РТ^Р в РХ, соответствующий собственному зна-
значению Х)Х), то Т (к) имеет в точности т<,д)= dim PI' собствен-
собственных значений (учитываемых с кратностями) вида X + хЯ,/1) +
+ о (х). Тотальный проектор Pf (x) этой X -J- xXf]-группы
имеет вид
{у) = Р? + кРУ" + о (х). . E.19)
Если, кроме того, Xf> — полупростое собственное значение, то
Pfv определяется по формуле B.47) и собственные значения
§ 5. НЕАНАЛИТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ V. 149
Я -J- %kf -группы имеют вид
|*№ (х) = X + х/^> + х>&' + о (х2), к = 1, . . ., <\ E.20)
где Hj2), fc = 1, . . ., те'-1', — полный набор собственных значений
оператора Р^Т B)Р</) = PfT^Pf' - PpT&ST&P?' в под-
подпространстве Р^Х.
Доказательство. Из асимптотического разложения
Т (х) с точностью до членов второго порядка следует существо-
существование такого же разложения для резольвенты:
R a, х) = Д (?) - Д (О (Т (х) - Т) R @ +
+ R (Q (Т (х) -T)R (О (Т (х) - Т) R (Q + . . .
= R @ - nR (?) T&R (?) + х2 [-Д (?) ГB)Д (С) +
+ Д (С) Г^Д (О ГС^Д (D1 + о (х2). E.21)
Здесь о (х2) мало равномерно по переменной ?, пробегающей
любое компактное подмножество в Р (Г). Подстановка E.21)
в A.16) так же, как и в аналитическом случае, приводит к разло-
разложению E.18).
Если Я, — полупростое собственное значение, то оператор
7Ч1) (х), определяемый формулой E.14), имеет вид
№ (х) = РТ^)Р + xf<2) + о (х), E.22)
где 7"<2) выражается по формуле B.20). Применение теоремы 5.4
к Г'1) (х) приводит к утверждению теоремы. Вычисления членов
асимптотического разложения полностью аналогичны соответ-
соответствующим вычислениям в аналитическом случае.
7. Операторы, зависящие от нескольких параметров
До сих пор мы рассматривали операторы Т (х), зависящие
от одного параметра х. Рассмотрим теперь оператор Т (хь х2),
зависящий от двух комплексных или вещественных параметров
%1 И Х2-
В этом случае не будет ничего нового в том, что касается непре-
непрерывности собственных значений. Собственные значения непре-
непрерывны по совокупности переменных xi и х2 (в том смысле, как
это определено в п. 1,2), если функция Т (х4, х2) непрерывна.
То же самое верно и в отношении частных дифференцирований
(в случае когда х4 и х2 вещественны). Новое появляется в связи
с понятием дифферещируемости по совокупности переменных х4
и х2. Из дифференцируемости Т (хь х2) не следует дифференци-
руемость собственных значений по совокупности переменных х4
и х2, даже в том случае, когда оператор Т (х4, х2) диагонализуем
при всех xi, x2 (ср. с теоремой 5.4).
450 Гл. П. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 5.12 х). Пусть N = 2 и
-9-
E-23)
Оператор Т (Xi, и2) диагонализуем при всех вещественных х4, х2 и диффе-
дифференцируем по совокупности этих переменных. Однако его собственные зна-
значения
U (Xi, х2) = ± (xj + xlI/2 E.24)
не дифференцируемы в точке Xi = х2 = 0.
Как видно из предыдущего примера, собственные значения
голоморфного семейства Т (xi, x2) могут иметь довольно сложные
особенности 2).
Замечание 5.13. Оператор E.23) становится симметричен при
вещественных xi и х2, если в X = С2 введено обычное скалярное
произведение. Таким образом, пример 5.12 показывает, что тео-
теорема 1.10 не допускает обобщения на случай операторов, зави-
зависящих от нескольких параметров 3).
8. Собственные значения как функции оператора
Введение параметра и, задающего возмущение, иногда пред-
представляется довольно искусственным, хотя в ряде случаев оно
соответствует смыслу задачи. Можно изучать изменение собствен-
собственных значений оператора Т, когда Т получает малое приращение
общего вида. С этой точки зрения собственные значения опера-
оператора Т следует рассматривать как функции самого оператора. Так
как число собственных значений зависит от оператора и не посто-
постоянно, то при нашем подходе удобно рассматривать полный набор
1) См. Р о л л и х [1].
2) Однако простые собственные значения и соответствующие им соб-
собственные проекторы голоморфны по совокупности переменных х4 и х2; это
следует из теоремы 5.16.
3) В связи с рассмотрением двухпараметрического семейства Т (xi, х2)
можно поставить вопрос о том, когда Т (х1; и2) имеет ненулевое ядро (нуль-
пространство). Эту задачу можно рассматривать как обобщение основной
задачи теории возмущений собственных значений, которую мы до сих пор
рассматривали. Обычная теория возмущений отвечает на вопрос: при каких
х и А, оператор вида Т (х) — А, имеет нетривиальное нуль-пространство.
Общий случай двухпараметрической зависимости приводит к теории воз-
возмущений в нелинейной задаче на собственные значения, упомянутой в под-
подстрочном примечании на стр. 50. Мы не будем рассматривать такую общую
теорию возмущений. Отмстим, однако, что в некоторых частных случаях
нелинейные задачи можно свести к рассмотренным выше линейным задачам.
Предположим, что нам задано семейство операторов вида Т (к) — х. Обыч-
Обычная теория возмущзний дает нам «собственныз значения» х как аналитиче-
аналитические функции «параметра» X. Обратные функции дадут пам «нелинейные»
собственные значения X как аналитические функции параметра х. Существу-
Существуют и другие приемы рассмотрения нелинейных задач. По этому поводу см.,
например, Клуазо [1]. . . ...
• , § 5. НЕАНАЛИТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ • 151
(g> [T\ собственных значений как функцию оператора Т. Это
эквивалентно зависимости © [Т] от N2 матричных элементов
оператора Т относительно фиксированного базиса в X.
Теорема 5.14. (§> [Т] непрерывно зависит от Т. Это означает,
что для любого Т расстояние между (§ [Т + А] и (§ [Т] стремит-
стремится к нулю при || А || -> 0.
Доказательство этой теоремы вытекает из результатов п. 1 и 2,
где доказана непрерывность полного набора собственных значений
как функции от параметра возмущения. Анализ приведенных
там рассуждений показывает, что параметризация возмущения
несущественна в доказательстве.
Непрерывность (а [Т] равномерна в любой ограниченной
(т. е. содержащейся в некотором шаре || Т \\ < R) области изме-
изменения переменной Т, так как переменная Т эквивалентна набору
из TV2 комплексных чисел. Степень непрерывности (§> [Т] для
некоторых (недиагонализуемых) Т может быть очень слабой,
как это видно из того факта, что ряд Пюизо для собственных
значений оператора Т + хГ^1) + . . . может иметь вид X +
+ ак^Р + . . . (см. A.7) и пример 1.1, d)).
Рассмотрим теперь дифференцируемость функции @ [Т]. Как
мы видели, собственные значения не всегда дифференцируемы
даже в случае аналитической зависимости Т (х) от х. С другой
стороны, если Т диагонализуем, то собственные значения опера-
оператора Т + хГ^1) дифференцируемы в нуле для любого 7Ч1) (в смыс-
смысле п. 4), и диагонализуемость Т необходима для того, чтобы это
было верно для любого 2Ч1). Таким образом, доказана
Теорема 5.15. (§> [Т] имеет производные в точке Т = То по
всем направлениям тогда и только тогда, когда оператор То
диагонализуем.
Дифференцируемость по направлению 2Ч1) означает, что
(§> [Т + %Т(Щ имеет производную в точке % = 0; из дифферен-
цируемости <§ [Т] по всем направлениям следует существование
всех частных производных функции © [Т] по матричным эле-
элементам оператора Т.
Теорема 5.15 становится неверной, если дифференцируемость
по направлениям заменить на (полную) дифференцируемость.
Действительно, пример 5.12 показывает, что набор (§> [Т] не обя-
обязан быть дифференцируемым даже на двумерном подпространстве
в 38 (X). Напомним, что комплексная функция ц (Т), Т ? 38 (X),
называется дифференцируемой в точке Т = То, если существует
линейная функция vTo [A], A ? 38 (X), такая, что
.\\А Ц-1 | ix (То + А) - ц (Го) - vro (А) \ -+ 0
при || А || -> 0. . ' '
152 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Это определение не зависит от выбора нормы, так как в рассмат-
рассматриваемом случае все нормы эквивалентны. Функция vTo [A]
называется полным дифференциалом функции fi [Т] в точке Т =
= То. Ясно, что функция fi [T] дифференцируема тогда и только
тогда, когда она дифференцируема как функция N'2 матричных эле-
элементов оператора Т.
Вышеприведенное определение дифференцируемости немедлен-
немедленно обобщается на случай упорядоченного набора N комплексных
чисел. Однако не совсем просто определить дифференцируемость
неупорядоченного набора (э [Г], и мы не будем здесь это делать.
Ограничимся частным случаем диагонализуемого оператора То
с простыми собственными значениями. Тогда оператор Т =
= То + А в силу непрерывности @ [Т] имеет N различных соб-
собственных значений при достаточно малых (по норме) А. Таким
образом, собственные значения оператора Т в некоторой окрестно-
окрестности оператора То представляются N однозначными непрерывными
функциями Xh (T), h = 1, . . ., N. Докажем, что верна
Теорема 5.16. Функции Х^ [Т] не только дифференцируемы,
но даже голоморфны в окрестности То.
Замечание 5.17. Комплексная функция \х (Т) называется голо-
голоморфной в точке Т = То, если она допускает разложение в абсо-
абсолютно сходящийся степенной ряд относительно А = Т — Го;
р [То + А] = ii [То] + ц<1) [То, А] + ,i2 [Го, А] + . . ., E.26)
где [А(П) [Го, А] — форма степени га по -А; последнее означает,
что существует симметричная га-линейная форма х) \х(П) [То, Аи . . .
. . ., Ап] такая, что
ц<"> (То, А) = ц<"> [То, А, ..., А]. E.27)
Ясно, что функция |Х (Г) голоморфна при Т = Т0 тогда и только
тогда, когда \х [То + А] можно разложить в сходящийся степен-
степенной ряд относительно N2 матричных элементов оператора А.
Таким же образом можно определить голоморфную зависимость
от Т операторнозначной функции R [Т] ? ЗЦ (X), Т ? ЭВ (X).
Доказательство теоремы 5.16. Покажем сна-
сначала, что одномерные собственные проекторы Ph[T], соответ-
соответствующие собственным значениям XhlT], голоморфны относи-
относительно Т. Имеем (ср. A.17))
со ,
^. E-28)
г) Функция / (Ait . . ., Ап) симмещричца, если ее значения не изме-
изменяются при перестановке аргументов, и п-липейгьа, если она линейна по каж-
каждому переменному Ап. , ¦.;¦-.:,
§ 6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ СИММЕТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ 153
где Ro (?) = (То — Q, а Г^ ¦— окружность достаточно малого
радиуса с центром в Xh [To]. Ряд в подинтегральном выражении
в E.28) сходится равномерно по ?, ? Th при \\ А || -< 8h, где 8h —
минимум на Г^ функции || Ro (?) \\~г. Так как правая часть в E.28)
после интегрирования становится степенным рядом относительно
А, то голоморфность Ph [T] доказана.
Ввиду того что проектор Р^ [Т] одномерен, имеем
Xh [То + A] = tr {(То + A) Pk [То + А]}. E.29)
Подстановка сюда степенного ряда E.28) показывает, что
^h [Уо "Ь А] — также степенной ряд относительно А, что и тре-
требовалось доказать.
§ 6. Теория возмущений симметричных операторов
1. Аналитические возмущения симметричных операторов
Многие теоремы, доказанные в предыдущих параграфах, можно
упростить или усилить в том случае, когда рассматриваемые
операторы действуют в гильбертовом пространстве Н. Ориенти-
Ориентируясь на приложения, мы будем рассматривать в основном сим-
симметричные операторы.
Предположим, что нам задано семейство Т (и) вида A.2), при-
причем все операторы Г, И1), Г<2), . . . симметричны. Тогда оператор
Т (и) симметричен при вещественных х. Ясно, что в общем случае
Т (и) не может быть симметричен для всех и из области комплекс-
комплексной плоскости.
Итак, будем считать, что нам задана операторнозначная функ-
функция Т (к) ? 38 (Н), которая голоморфна в области Do, пересе-
пересекающейся с вещественной осью, и симметрична при веществен-
вещественных х:
Т (и)* = Т (и) при Im х = 0. F.1)
Для краткости такое семейство назовем симметричным. Мы будем
также говорить о симметричном возмущении, в случае когда
Т (и) рассматривается как возмущенный оператор. Семейство
Т (и)* голоморфно в области Do (зеркальном образе Do относи-
относительно вещественной оси) и совпадает с Т (х) при вещественных х.
Согласно теореме единственности отсюда следует, что Т (и)* =
== Т (к) для всех х Е Do П Do. Таким образом,
Т (х)* = 7- (х), F.2)
если и и и принадлежат области Do- Это можно использовать для
аналитического продолжения Т (и) на область тех значений хг
154 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
для которых х или х принадлежит Do- Итак, не ограничивая
общности, можно предполагать, что область Do симметрична
относительно вещественной оси.
Так как симметричный оператор нормален, то следующая тео-
теорема вытекает непосредственно из теоремы 1.10.
Теорема 6.1. Если голоморфное семейство Т (х) симметрично,
то собственные значения %h (х) и собственные проекторы Ph (х)
голоморфны в точках вещественной оси, тогда как собственные
иилъпотенты Dh (х) тождественно равны нулю 1).
Задача 6.2. Если Т (х) = Т + хГ'1», где Т и T^i симметричны, то наи-
наименьшее собственное значение оператора Т (%) есть кусочно голоморфная
вогнутая функция от к. [Указание4, применить A.6.79).]
Замечание 6.3. Теорема 6.1 не обобщается на случай двух
и более параметров. Как видно из примера 5.12, собственные зна-
значения оператора Т (х1( х2), голоморфно зависящего от х4 и х2
и симметричного при вещественных х4 и х2, не обязаны быть голо-
голоморфными для вещественных хь х2.
Замечание 6.4. Теорема, аналогичная теореме 6.1, верна, если
оператор Т (х) нормален для вещественных х или, более общим
образом, для всех точек х некоторой кривой в Do- Однако такая
теорема не имеет большой практической ценности, так как условие
нормальности Т (х) в точках заданной кривой не имеет в общем
•случае удобного выражения в терминах коэффициентов Г(П)
разложения A.2).
Вычисление коэффициентов рядов теории возмущений, при-
приведенное в п. 2, также упрощается в случае симметричных воз-
возмущений. Так как невозмущенный оператор Т симметричен, то
все его собственные значения полупросты (D = 0) и поэтому
применим процесс редукции, описанный в п. 2.3. Оператор Т^1) (х),
определенный формулой B.37), симметричен, так как Р (х) сим-
симметричен и коммутирует с Т (х). Таким образом, в процессе редук-
редукции сохраняется симметричность и поэтому процесс можно про-
продолжать бесконечно. Расщепление собственных значений прекра-
прекратится после конечного числа шагов, и когда это произойдет, мы
получим собственные значения и собственные проекторы по форму-
формулам B.5) и B.3). Таким образом, процесс редукции дает алгоритм
для точного вычисления собственных значений и собственных
проекторов в случае симметричного возмущения.
Замечание 6.5. Нет общего критерия, позволяющего выяснить,
на каком этапе процесса редукции прекратится расщепление
¦собственных значений. Однако прием, основанный на соображе-
См., однако, замечание 1.11.
% 6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ СИММЕТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ 155
ниях приводимости (см. замечание 2.4), полезен, особенно в случае
симметричных возмущений. Так как невозмущенные собствен-
собственные значения на каждом этапе процесса редукции автоматически
полупросты, то расщепление прекратится на том шаге процесса,
на котором невозмущенный собственный проектор окажется
неприводимым относительно набора операторов {^4}.
В приложениях набор {А} часто оказывается группой уни-
унитарных операторов, относительно которой инвариантны опера-
операторы Т (и). Так как рассматриваемые собственные проекторы
ортогональны, то проектор Р неприводим относительно {А}
тогда и только тогда, когда в пространстве РН нет отличного
от него самого подпространства, инвариантного относительно всех
унитарных операторов А.
Замечание 6.6. Общая теория несколько упрощается даже
в том случае, когда лишь невозмущенный оператор симметричен
или нормален. Например, все собственные значения Xh {%) непре-
непрерывно дифференцируемы в окрестности нуля ввиду диагонализуе-
диагонализуемости оператора Т (теорема 2.3). Как было показано в п. 3.5,
оценки радиусов и скорости сходимости рядов теории возмущений
также упрощаются в том случае, когда невозмущенный оператор
симметричен или нормален.
Замечание 6.7. Оценка C.52) не улучшаема и в классе сим-
симметричных возмущений, так как оператор в примере 3.10 сим-
симметричен.
2. Ортонормированные семейства собственных векторов
Рассмотрим голоморфное симметричное семейство Т (%). Для
каждого вещественного и в Н существует ортонормированный
базис {фи (%)}, составленный из собственных векторов оператора
Т (к) (см. A.6.68)). В связи с этим возникает вопрос, можно ли
эти ортонормированные собственные векторы ц>п (к) выбрать так,
чтобы зависимость от к была голоморфной. Для вещественных и
ответ утвердительный.
Так как собственные значения Xh (x) и собственные проекторы
Ph (и) голоморфны в точках вещественной оси (теорема 6.1),
то метод п. 4.5 можно применить для построения голоморфной
трансформирующей функции U (х), удовлетворяющей условию
D.30). Оказывается, что оператор U (и) унитарен при веществен-
вещественных и. Для доказательства этого факта напомним, что семейство
U (х) было построено как решение дифференциального уравнения
U' — Q (и) U с начальным условием U @) = 1, где Q (и) опре-
определяется формулой D.33). Так как операторы Ph (к) симметричны,
то Р^ (%)* = Ph (и), и то же самое верно для Р'ь, (и). Отсюда еле-
156 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
дует, что семейство Q (х) кососимметрично: Q (х)* = —Q (х),.
и U (х)* удовлетворяет дифференциальному уравнению
С другой стороны, V (х) = U (x)~J удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению V = —VQ (х) с начальным условием V @) = 1.
По теореме единственности имеем
U (х)* = U (к). F.4)
Последнее равенство показывает, что U (х) унитарен при веще-
вещественных х.
Отсюда следует, что базис ф^ (х) = U (х) фЫг (ср. D.31))
ортонормирован при вещественных х, если векторы q>hh образуют
ортонормированный базис (существование последнего следует
из симметричности оператора Т). Следует отметить, что векторы
(phil (x) суть (не обобщенные, а настоящие) собственные векторы
оператора Т (х), так как Т (х) диагонализуем. Существование
такого ортонормированного базиса, гладко зависящего от х,—
один из наиболее замечательных результатов аналитической тео-
теории возмущений симметричных операторов. Ниже мы увидим,,
что аналитичность здесь существенна.
3. Непрерывность и дифференцируемость
Рассмотрим теперь неаналитические возмущения операторов
в гильбертовом пространстве Н. Пусть оператор Т (х) 6 $? (Н)
непрерывно зависит от вещественного параметра х. Собственные
значения оператора Т (х) зависят от х непрерывно, причем суще-
существуют непрерывные функции [лп (х), п = 1, . . ., N, представ-
представляющие полный набор собственных значений Т (х) (см. п. 5.2).
В том частном случае, когда операторы Т (х) симметричны, ничего
нового по сравнению с общей теорией нет, за исключением того,
что функции |хп (х) принимают вещественные значения и поэтому
можно использовать упорядочение E.4).
Новый факт обнаруживается при переходе к дифференцируе-
дифференцируемым семействам симметричных операторов.
Теорема 6.8 1). Предположим, что семейство Т (х) симмет-
симметрично и непрерывно дифференцируемо на интервале I веществен-
вещественной оси. Тогда существуют непрерывно дифференцируемые на I
функции |хп (х), га = 1, . . ., N, которые представляют полный
набор собственных значений операторов Т (х).
1) Эта теорема принадлежит Р е л л и х у [8]. Напомпим, что она
перестает быть верной для общих (несимметричных) возмущений (см. заме-
замечание 5.8).
§ 6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ СИММЕТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ 157
Доказательство. Предлагаемое доказательство
довольно сложно х). Фиксируем некоторое значение х; не ограни-
ограничивая общности, можно считать, что х = 0. Пусть К — одно
из собственных значений оператора Т = Т @), m — его кратность
и Р — соответствующий собственный проектор. Так как X —
полупростое собственное значение, то производные в точке х = 0
от собственных значений оператора Т (х), принадлежащих Х-груп-
пе и учитываемых с кратностями, образуют полный набор соб-
собственных значений оператора РТ' @) Р в подпространстве М =
= РХ (теорема 5.4). Пусть %[, . . ., Х'р —различные собственные
значения оператора РТ' @) Р в М, а Рь . . ., Рр — соответ-
соответствующие собственные проекторы. Подпространства Mj = PjM
суть подпространства в М. Как следует из предыдущего замеча-
замечания, ^-группа собственных значений оператора Т (х) при малых
| х | ф 0 делится на р подгрупп, а именно на X + xXj-группы,
j = 1, . . ., р. Так как каждая из этих подгрупп отделена от дру-
других собственных значений, то можно определить для них тоталь-
тотальные проекторы Р (х). Оператор Рj (x) служит в то же время
тотальным проектором Xj-группы собственных значений опера-
оператора Г'1) (х), определенного формулой E.14). Как было показано
в п. 5.4, функция 77A) (х) непрерывна в окрестности нуля (непре-
(непрерывность при х Ф 0 очевидна). По теореме 5.1 отсюда следует,
что функция Рj (x) непрерывна в окрестности нуля, и то же самое
можно сказать относительно функции
Г, (х) = Р} (х) Г (х) Р] (х), F.5)
так как функция Т' (х) = dT (y)ld% непрерывна по предполо-
предположению.
Вообще говоря, % + xXj-группа оператора Т (х) состоит из не-
нескольких различных собственных значений, число которых не
обязано непрерывно зависеть от х ни в какой окрестности нуля.
Пусть % (х0) — одно из этих собственных значений, х0 Ф О,
a Q (х0) — соответствующий собственный проектор. Собственное
значение X (х0) может расщепиться при малых | х — х0 \ ф 0,
однако производная любого из возникающих собственных значе-
значений должна совпадать с собственным значением оператора
Q (х0) Т' (х0) Q (х0) в подпространстве Q (х0) Н (по теореме 5.4).
Так как X (х0) принадлежит X -\- xXj-группе, то Q (х0) Н cz
¦cz Pj (х0) Н и поэтому Q (х0) Г (х0) Q (х0) = Q (х0) Т} (х0) Q (х0).
Итак, рассматриваемые производные суть собственные значения
ортогональной проекции оператора Tj (к0) в смысле п. 1.6.10
на подпространство М; (х0) = Pj (х0) Н. Так как оператор Т} (х0)
симметричен, то из теоремы 1.6.46 следует, что эти собственные
г) Первоначальное доказательство Реллиха еще сложнее.
158 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
значения лежат между наибольшим и наименьшим собственными
значениями оператора Tj (х0) в подпространстве М; (х0). Ввиду
непрерывности семейства Tj (и) собственные значения оператора
Tj (х0) в М,- (х0) стремятся при и0 ->¦ 0 к собственным значениям
оператора PjT' @) Р} в My, т. е. к числам Ц. Отсюда видно, что
производные собственных значений оператора Т (х), принадле-
принадлежащих X + x^j-группе, стремятся к Ц при х -> 0. Этим доказана
непрерывность производных собственных значений \хп (х), постро-
построенных в теореме 5.6. (В этом доказательстве симметричность опе-
оператора Т (х) существенна для применимости теоремы 1.6.46. Это
объясняет, почему результат, аналогичный теореме 6.8, неверен
в общем случае.)
Замечание 6.9. Если отбросить предположение об аналитич-
аналитичности возмущения, то, так же как и в общем случае, собственные
проекторы (или собственные векторы) обладают более слабыми
свойствами непрерывности даже в случае симметричных возму-
возмущений. Пример 5.3 хорошо иллюстрирует это; функция Т (и)
там бесконечно дифференцируема по и и симметрична (относи-
(относительно обычного скалярного произведения в С2), однако не суще-
существует непрерывного в нуле семейства собственных векторов опе-
оператора Т (у).
4. Собственные значения
как функции симметричного оператора
Как и в п. 5.8, собственные значения симметричного опера-
оператора Т можно рассматривать как функции самого оператора. Эти
функции непрерывны в указанном в п. 5.8 смысле. Однако теперь
ситуация проще, так как при желании можно считать полный
набор собственных значений упорядоченным по возрастанию:
|*i IT] < |л2 [Л < . . . < |iw [T]. F.6)
Такое упорядочение дает N вещественных функций, определенных
на множестве всех симметричных операторов в Н. Непрерывность
собственных значений означает теперь непрерывность функций
ixn IT] (из Г -> Т следует ]хп IT'] -> ]хп [Т]).
Простое упорядочение F.6) собственных значений не всегда
удобно, так как функции \хп [Т] могут оказаться недифференци-
руемыми. В этом проще всего убедиться, рассматривая собствен-
собственное значение \\п [Т + кТ'] как функцию вещественной перемен-
переменной х (при этом операторы Г и Г' предполагаются симметричны-
симметричными). По теореме 6.1 собственные значения оператора Т + кТ'
представляются голоморфными функциями от х. Графики этих
функций могут пересекаться при некоторых значениях х (исклю-
(исключительные точки). В таких точках график функции ]хп [Т -\- иТ'],
имеет излом при переходе с одной гладкой кривой на другую..
§ 6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ СИММЕТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ 159
Другими словами, функция \хп [Т -j- хТ'\ непрерывна, но не обя-
обязательно дифференцируема. Однако каждая из этих функций
кусочно голоморфна, так как на каждом конечном интервале может
быть лишь конечное число исключительных точек. к.
Таким образом, иногда удобно по-прежнему рассматривать
полный набор собственных значений (g> [Т] как неупорядоченный
набор. Из результатов предыдущего пункта следует, что набор
<& [Т] непрерывно дифференцируем по всем направлениям. Однако
дифференцируем набор @ \Т] лишь для тех Т, которые имеют N
различных собственных значений (см. снова пример 5.12). В окре-
окрестности таких точек функции F.6) не только дифференцируемы,
но даже голоморфны по Т.
5. Приложения. Теорема Лидского
Теория возмущений интересуется в первую очередь тем, что
j; приходит при малых изменениях рассматриваемых величин.
t Здесь мы рассмотрим ряд задач, касающихся поведения собствен-
- ных значений, когда оператор испытывает конечное возмуще-
возмущение 1). Более точно, нас будет интересовать связь между соб-
собственными значениями двух симметричных операторов A vs. В
в зависимости от их разности С = В — А.
Обозначим через ап, f>n, уп, п — 1, . . ., N, расположенные
; в неубывающем порядке полные наборы собственных значений
1 операторов А, В vs. С соответственно. Положим
Т (к) = А + хС, 0<и<1, F.7)
и обозначим через \хп (х), п = 1, . . ., N, полный набор собствен-
собственных значений в неубывающем порядке. Как показано в преды-
предыдущем параграфе, функции (хп (х) непрерывны и кусочно голо-
голоморфны, причем \хп @) = ап и f*n A) = $п. На интервале 0 ^
^ х ^ 1 находится лишь конечное число исключительных точек,
в которых производные функций \хп (х) имеют разрывы.
Согласно сказанному в п. 2, для каждого х можно выбрать
полное ортонормированное семейство {ф„ (х)}, состоящее из соб-
собственных векторов оператора Т (х):
(Г (х) - ц„ (х)) q>n (х) = 0, п = 1, . . ., N, F.8)
и притом так, чтобы все другие функции фп (х) были кусочно голо-
голоморфны. Функции фп (х) могут иметь разрывы в исключительных
точках; причиной этого является несколько искусственное упо-
упорядочение собственных значений fin (х). Если х — неисключи-
1) По поводу более общей теории конечных изменений собственных
значений и собственных векторов см. Д э в и с [1].
160 Гл. II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
тельная точка, то дифференцирование соотношения F.8) дает
(С - ii'n (х)) Фп (х) + (Т (х) - ]хп (х)) Ф; (х) = 0. F.9)
Умножая обе части этого равенства скалярно на ц>п (х) и исполь-
используя симметричность Т (х) и условие нормировки || ц>п (х) || = 1,
получаем
]х'п (х) = (С<рп (х), (fn (x)). F.10)
Так как функции цп (х) непрерывны, а фп(х) кусочно непрерывны,
го интегрирование равенства F.10) дает
1
рп—:ап = [АпA) — \хп@)= \ (Ссрп(и), фп(х))йх. F.11)
о
, Обозначим через {xj} ортонормированный базис, состоящий из соб-
собственных векторов оператора С:
Схп = упхп, п = 1, . . ., N. F.12)
Имеем
? i
и поэтому соотношение F.11) принимает вид
К - °-п = S ffn/7i, F-13)
¦:' з -.¦ :¦-¦;,¦
где
1
°nj=^\Dn{*), Xj)\ZdK. F.14)
о
Из свойства ортонормированности систем {ц>п (х)} и {xj} следует,
что
3^=1, Sffn; = l, anj>0. F.15)
i n
Как хорошо известно из теории матриц, квадратная матрица
(anj), удовлетворяющая условиям F.15), принадлежит выпуклой
оболочке множества всех матриц перестановок *). Таким образом,
соотношение F.13) приводит к следующей теореме, принадлежа-
принадлежащей Лидскому [1].
Теорема 6.10. Пусть А, В, С, ап, рп, уп те же, что и выше.
Вектор ((¦$! — «i, .... PN — ccN) принадлежит выпуклой оболоч-
оболочке векторов, получающихся из вектора (у^, . . ., yN) в результате
всевозможных перестановок его координат.
1) См. Б и р к г о ф [1]. Каждой перестановке ] —>- я (/), / = 1, . . ., п,
ставится в соответствие матрица (ад) этой перестановки следующим обра-
образом: ад = 1, если к = л (]), и ад = 0 в остальных случаях.
§ 6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ СИММЕТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ 16.
Другим следствием соотношения F.13) является
Теорема 6.11. Для любой выпуклой функции Ф (t) вещественной
переменной t верно следующее неравенство:
2}Ф(Рп-ап)<2фЫ- F.16)
П ф
Доказательство немедленно следует из F.13), F.15) и выпук-
выпуклости функции Ф, так как
Пример 6.12. Если Ф (t) = | t |р, р > 1, то неравенство F.16) дает 1)
') Гофман и Виландт [1] показали, что неравенство F.17)
верно при р = 2 и в том случае, когда А и В — нормальные операторы,
надо лишь заменить правую часть на tr С*С и выбрать подходящую нуме-
нумерацию собственных чисел ап. Отметим, что оператор С = А — В не обязан
быть нормальным, даже если А и В — нормальные операторы.
11 Т, Като
ГЛАВА III
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ОПЕРАТОРОВ
В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Эта глава снова вводная; в ней излагаются те разделы теории операто-
операторов в банаховых пространствах, которые потребуются для построения теории
возмущений в последующих главах книги. Материал этой главы вполне
элементарен, изложение довольно полное, в ряде случаев делаются ссылки
на первую главу — все это позволяет читать ее без предварительного знания
теории банаховых пространств. Эта глава может служить также введением
в теорию операторов. Чтобы объем главы не выходил за разумные пределы,
мы сформулировали без доказательства некоторые фундаментальные теоремы
(как, например, теорему Бэра о категориях и теорему Хана — Банаха
о продолжении линейного функционала) х).
Особое внимание уделяется спектральной теории операторов и, в част-
частности, изучению резольвенты. Результаты теории, являющиеся характерны-
характерными для операторов в гильбертовом пространстве, в эту главу не включаются
и будут детально изложены в гл. V и VI.
§ 1. Банаховы пространства
1. Нормированные пространства
С этого момента нас будут в основном интересовать бесконеч-
бесконечномерные пространства. Поскольку в таком пространстве не суще-
существует конечного базиса, в нем невозможно ввести понятие схо-
сходимости векторов столь простым способом, как в конечномерном
пространстве. Для наших целей с самого начала удобно ввести
понятие нормированного (векторного) пространства.
Нормированное пространство — это векторное пространство
X, в котором определена функция ||-||, обладающая свойствами
нормы A.1.18). Сходимость последовательности векторов {ип}
из X к вектору u ^ X можно определить предельным соотноше-
соотношением || ип — и || -> 0. Легко видеть, что предел и всякий раз,
когда он существует, определен однозначно последовательностью
{ип}. Как было показано в п. 1.1.14, каждое конечномерное век-
*) Перечислим основные учебники по теории операторов в банаховых
пространствах: Банах [l], Дьёдонне [1], Данфорд и Шварц.
Р], Голдберг [1], Хилле и Ф и л л и п с [1], Л о р х [1], Л ю -
стерник и Соболев [1], Рисе и Секефальв и-Н а д ь J1],
С. Л. Соболев Щ, Тейлор 11Ц, И о с и д a f 11, 3 а а н е н Щ.
§ 1. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА ; igg
торное пространство можно превратить в нормированное про-
пространство.
Всюду в дальнейшем рассматриваются только нормированные'
пространства. Конечномерные пространства не исключаются
из рассмотрения, однако мы всегда будем предполагать, что*
dim X > 0.
Пример 1.1. Пусть X — множество всех последовательностей и =>
= {S&}i к = 1, 2, . . ., комплексных чисел. Множество X является беско-
бесконечномерным векторным пространством относительно обычных линейных
операций. Обозначим через m подмножество в X, состоящее из всех ограни-
ограниченных последовательностей и = {!&}. Это линейное подпространство в X
и, следовательно, m само является векторным пространством. Определим
норму вектора и ? m равенством
II» 11= И и IU = Ци||» = япр I lk \. ¦ A.1)
k
Нетрудно проверить, что функция || и || удовлетворяет условиям A.1.18),
и потому m — нормированное пространство. Норму A.1) можно рассматри-
рассматривать как бесконечномерный аналог нормы A.1.15). Обозначим через 1 множе-
множество всех последовательностей и = (|д) ? X, таких, что ~S) I ?ь I < °°»
k
и положим
l|«ll = [l«lli = ll"*lli=Sl6ft|. ¦ A-2)'
h
Пространство 1 является нормированным пространством с нормой || и \\v-
Более общо, можно определить нормированное пространство 1 , введя норму г)
Пространство m можно рассматривать как предельный случай про-
пространств 1Р при р -»¦ оо, и потому его обозначают через 1°°. Пространство 1Р
является собственным подмножеством I9, если р < д.
Пример 1.2. Наиболее важными примерами нормированных пространств
являются функциональные пространства. Простейшим примером такого
пространства является пространство С [а, Ь] всех комплексных непрерывных
функций и = и (х) на ограниченном замкнутом интервале [а, Ь] 2) веще-
вещественной оси (см. пример 1.1.2), снабженное нормой
11«11 = Ци|1с[а ь]Н1иН»= mai|u(x)|. A.4)
Вообще множество С (Е) всех непрерывных функций и (х) = и (xit . . ., хт)
на компактном подмножестве Е m-мерного пространства Rm (или, более'
общо, на компактном топологическом пространстве Е) является нормирован-
х) Неравенство треугольника для нормы A.3) называется неравенством"
Минковского. Доказательство этого неравенства, а также доказательство
неравенства Гёльдера можно найти в любом учебнике по вещественному
анализу; см., например, Ройден j[l] или Хард и, Литлвуд
и П о й а [1].
г) Замкнутый интервал мы обозначаем через [а, Ъ], открытый интервал
через (а, Ъ) и полуоткрытый интервал через [а, Ъ) или (а, 6].
И*
164 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
ным пространством, если норму определить следующим образом:
A.5)
Пример 1.3. Можно ввести и другие нормы в С [а, Ь], например
. A.6)
Введение такой нормы превращает С [а, Ъ] в другое нормированное про-
пространство. Норму A.6) можно распространить на более широкий класс функ-
функций. Обозначим через \F (а, Ъ) пространство всех измеримых по Лебегу
комплексных функций и — и (х) на конечном или бесконечном интервале
(а, 6), для которых интеграл A.6) конечен. Нетрудно показать, что Lp (a, 6)
является нормированным пространством относительно обычных линейных
операций и нормы A.6); Отметим, что в Lp (а, Ъ) любые две функции и и v
отождествляются всякий раз, когда они эквивалентны, т. е. совпадают почти
всюду на (а, 6); именно в силу этого соглашения выполнено первое условие
в A.1.18) !).
Вообще для любого измеримого подмножества Е в Rm множество Lp (E)
всех измеримых на Е функций и (х) с конечным интегралом A.6) является нор-
нормированным пространством относительно нормы A.6). Как и выше, экви-
эквивалентные функции должны быть отождествлены. В пределе при р -*• оо
пространство Lp (Е) становится пространством L°° (Е) = М (Е), состоящим
из всех существенно ограниченных функций на Е с нормой
tt(z)l- (I-7)
Другими словами, || и ||та есть наименьшее число М, такое, что | и (х) | ^ М
почти всюду в Е.
Точно так же можно определить пространство Lp (E, d\i) с нормой
| I | и (х) ]Р d\i (x)\i/p; здесь (Е, ц) — пространство с мерой2).
Пример 1.4. Пусть С [а, Ь] — множество всех непрерывно дифферен-
дифференцируемых функций на конечном интервале [а, 6]. Это нормированное про-
пространство с нормой
II в 11= II и II. + II в' II». A-8)
где норма || и ||оо определена формулой A.4) и и' = duldx.
Замечание 1.5. Неравенства Тёлъдера 3). Если числа р ^ 1 и g ^ 1 свя-
связаны соотношением р-1 + q~x = 1 (допускаются бесконечные значения р
х) В этом смысле пространство Lp скорее является множеством классов
эквивалентных функций, чем множеством самих функций. Однако принято
представлять элемент пространства Lp функцией, учитывая сделанные выше
отождествления.
2) Рассматривая функциональные пространства с интегральной нормой,
мы предполагаем, что читатель знаком с основными результатами веществен-
вещественного анализа, включая интеграл Лебега (по этому поводу мы отсылаем чита-
читателя к стандартным учебникам; см., например, Ройден [1]). Однако
в большинстве случаев эти предварительные сведения используются лишь
в примерах; в основном тексте книги они не используются.
'«•¦ 3) Доказательство см. в книге Р о й д е н а [1], стр. 97.
§ 1. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА ' 165
или д), то
h
где нормы || м ||р и [|w||g определены формулой A.3), и
^u(x)v(x)dx\[^\\u\\p\\v\\q, A.10)
где II ир || и || vq || определены формулой A.6).
Задача 1.6. Для норм || ||р, определенных формулой A.6), справедливы
неравенства
II uv II, < || и ||р || v II,, если .-» = p-i + ,-1, ¦ A.11)
II »«w II, «? II " Нр II ^ II, II w ||„ если s-1 = р-1 + «Г1 + v-\ A.12)
и т. д. Аналогичные неравенства верны и для нормы || ||р, определенной
в A.3). [Указание: применить неравенство A.10) к функции | u-v \s и т. д.]
в
2. Банаховы пространства
Сходимость ип ->• и в нормированном пространстве X была
определена предельным соотношением \\ ип — и || —*- 0. Так же,
как и в случае конечномерного пространства, из сходимости
последовательности следует, что она фундаментальна, т. е.
|| ип — ит || -v 0 при п, т -> с» (см. A.1.23)). Однако в беско-
бесконечномерном пространстве X последовательность Коши (фунда-
(фундаментальная последовательность) не обязана иметь предел и 6 X.
Нормированное пространство, в котором каждая последователь-
последовательность Коши имеет предел, называется полным. Полное нормиро-
нормированное пространство называется банаховым. Понятие банахова
пространства чрезвычайно полезно, так как, с одной стороны,
полнота необходима для дальнейшего развития теории норми-
нормированных пространств, а, с другой стороны, нормированные
пространства, возникающие в приложениях, как правило, обла-
обладают этим свойством х). Напомним, что конечномерное нормиро-
нормированное пространство всегда полно (см. п. 1.1.4).
Пример 1.7. В пространстве С (Е) (см. пример 1.2) сходимость м„ -»¦ и
означает равномерную сходимость ип (х) К и (х) на Е. Условие Коши A.1.23)
означает, что | ип (х) — ит (х) | -»- 0 равномерно на Е. Хорошо известно2),
что отсюда следует равномерная сходимость ип (х) к непрерывной функции
и (х). Таким образом, С (Е) полно.
г) Кроме того, каждое нормированное пространство X можно попол-
пополнить. Это означает, что X можно отождествить с линейным подпространством
полного нормированного пространства X. Более того, X можно выбрать так,
что X будет плотно в X. Пополнение X строится как множество классов экви-
эквивалентных фундаментальных последовательностей в X; две последователь-
последовательности Коши по определению эквивалентны, если lim (ип — vn) = 0. Под
робности см. в книге И о с и д ы [lj.
2) См., например, Кнопп [1], стр. 71.
166 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пример 1.8. Пространства 1Р и Lp (E), l^p^ оо (см. примеры 1.1
¦1.3), являются полными. Доказательство мы опускаем1).
Большая часть топологических понятий, введенных в § 1.15
для конечномерных пространств, имеет смысл и для банаховых
пространств. Здесь мы укажем лишь' некоторые модификации
и сделаем ряд дополнительных замечаний.
Линейное подпространство М банахова пространства X не обя-
обязательно замкнуто. Замкнутое линейное подпространство М в X
само является банаховым пространством. Замыкание линейного
подпространства есть замкнутое линейное подпространство.
Лемма 1.9. Если М — замкнутое линейное подпространство,
то линейное подпространство М', порожденное подпространством
М и конечным набором векторов uit . . ., ит, замкнуто.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай
т = 1; утверждение леммы выводится из этого частного утвер-
утверждения по индукции. Если Uj ? М, то М' = М и поэтому М'
замкнуто. Если и^ (+ М, то dist (щ, М) = d > 0, так как М зам-
замкнуто. Подпространство М' состоит из векторов вида и' = \и^ + v,
v ? М. Имеет место неравенство
m < и w и / d. (i.i3)
В самом деле, || |-1м' [] = || Wi + ?~1^ || ^ d, если ? Ф 0, если же
\ = 0, то неравенство A.13) очевидно.
Предположим, что м^ ? М' и и^ -> и' при п -> оо; требуется
доказать, что и' ? М'. Пусть и'п = %пщ -{- vn, vn ? М. Применение
неравенства A.13) к вектору i4 — и'т дает | ?n — ?m I ^s
^ II Мп — «т || / d-> 0. Следовательно, ^„ стремится к некоторо-
некоторому пределу \ и vn = м^ — |n wt -> u' — ^wt. Так как М замкнуто
и у„ 6 М, то v = и' — %Ui 6 М. Итак, и' = \щ + v 6 М', что
и требовалось доказать.
Для любого подмножества S в X существует наименьшее зам-
замкнутое линейное подпространство, содержащее S (т. е. замкну-
замкнутое линейное подпространство М' :э S). Такое подпространство
совпадает с замыканием линейной оболочки множества S и назы-
называется замкнутым линейным подпространством, порожденным
множеством S, или просто замкнутой линейной оболочкой мно-
множества S.
Пример 1.10. В пространстве 1Р векторы (gft) с нулевой первой коорди-
координатой li образуют замкнутое подпространство. В 1°° множество с тех векто-
векторов (gft), для которых существует предел Нш \^ = \, является замкнутым
подпространством. Подмножество с0 в с, состоящее из всех векторов (^),
г) См. любой учебник по вещественному анализу; например, Р о й -
ден [1].
?'¦:. 4" § 1. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА .« ,,; 167
таких, что lim %k = 0, есть замкнутое подпространство в Г и с. Примеры
замкнутых линейных подпространств в С [a, b]: a) множество функций и (х),
таких, что к (а) = 0: б) множество функций, обращающихся в нуль в точках
а и 6. Само С [а, Ь] можно рассматривать как замкнутое линейное подпро-
подпространство в L°° [a, 6].
Подмножество S всюду плотно в X, если замыкание S совпа-
совпадает с X. В этом случае каждый вектор и ? X можно аппроксими-
аппроксимировать элементом из S в том смысле, что для любого г > 0 суще-
существует вектор г; ? S, такой, что \\ и — у || <; е. Более общо, под-
подмножество Si плотно относительно S2, если S2 с: Si (Si плотно
в S2, если, кроме того, S4 с: S2). Тогда каждый вектор и ? S2
можно аппроксимировать элементами из S4.
Если S плотно относительно S2 и S2 плотно относительно S3,
то Si пло о относительно Ss-
Пример 1.11. В пространстве С [а, Ъ], где интервал [а, Ъ] конечен, мно-
множество всех полиномов всюду плотно (теорема Вейерштрасса) х). То же самое
верно для пространства Lp(a, Ь), 1 < р < 00. В Ьр(а, Ъ) (интервал не обя-
обязательно копечныи) всюду плотным является множество CJ3 (а, Ъ) всех беско-
бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем 2). Если Е —
открытое множество в R , то множество всех бесконечно дифференцируемых
функций с компактным носителем в Е всюду плотно в \? (Е), 1 ^ р < оо 3).
В отличие от конечномерного нормированного пространства
бесконечномерное банаховое пространство X не является локаль-
локально компактным (см. п. 1.1.5). Таким образом, в X существует
ограниченная последовательность {ип}, не содержащая сходя-
сходящихся подпоследовательностей. Последовательность {ип} будет
обладать этим свойством, если
|| ип || = 1, || ип — ит || = 1 при пфт. A.14)
Такую последовательность можно построить по индукции.
Предположим, что элементы и\, . . ., ип уже построены; обозна-
обозначим через М„ их линейную оболочку. Как вытекает из следующей
ниже леммы 1.12, существует вектор и 6 X такой, что || и \\ = 1
и dist (и, Мп) = 1. Положим un+i — и.
Лемма 1.12. Для любого замкнутого линейного подпростран-
подпространства М в X, М =т^ X, и любого г > 0 существует вектор и ? X
такой, что \\ и \\ = 1 и dist (и, М) ^ 1 — г. Это утверждение
верно и для е = 0, если dim M <С °°-
г) См., например, Ройден [1], стр. 150.
2) Функция имеет компактный носитель, если она обращается в нуль
вне компактного множества. Таким образом, и ? С?° (а, 6), если существуют
все производные dnu/dxn и и (х) = 0 вне замкнутого интервала [а', 6'] с:
с (а, Ь), где а' и V зависят от и.
3) Относительно доказательства см., например, Соболев [I], стр. 13.
168 Гл. Ш. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Доказательство. Существует вектор ий ? X, не при-
принадлежащий М, и потому dist (и, М) = d > 0. Найдется вектор
"о € М, такой, что || м0 — v0 || ^ d/(l — е). Положим ut = и0 —
— р0. Тогда || щ || < d/(l - e) и
dist (щ, М) = inf || щ — v || = inf || u0 — v || =
щ?М щ?М . <
= dist (и0, М) = d >A — е) || uj ||.
Искомый вектор и получится нормировкой вектора щ : и =
= «1 / || и^ ||. Если М конечномерно, рассмотрим подпростран-
подпространство Хо, порожденное М и вектором ий. Применяя доказанную
часть леммы к подпространству М линейного подпространства Хо,
построим последовательность ип ? Хо, такую, что || ип || = 1
и dist (ип, М) ^ 1 — п~г. Так как dim Хо < оо, то Г , локально
компактно, и поэтому {ип} обладает сходящейся п< оследова-
тельностью. Нетрудно видеть, что ее предел и удовлетворяет
условиям || и || = 1 и dist (и, М) = 1.
Подмножество S в X называется фундаментальным, если зам-
замкнутая линейная оболочка S совпадает с X (другими словами,
если линейная оболочка^ всюду плотна в X). Множество S сепа-
рабелъно, если оно содержит счетное подмножество, плотное в S.
Для сепарабельности X достаточно, чтобы X содержало счетное
фундаментальное подмножество S', так как множество всех линей-
линейных комбинаций элементов из S' с рациональными коэффициен-
коэффициентами счетно и всюду плотно в X. Подмножество сепарабельного
множества само сепарабельно 1).
Пример 1.13. Пространство С [а, Ь] сепарабельно, так как из теоремы
Вейерштрасса следует, что множество одночленов ип (х) = хп, п = 0, 1, . . .,
фундаментально в С [а, Ь] (см. пример 1.11). Пространство 1Р сепарабельно,
если 1 ^р < оо. Канонический базис, состоящий из векторов ип = (бпд),
и = 1, 2, . . ., фундаментален в 1Р. Пространство Lp(a, Ъ) также сепара-
сепарабельно при 1 ^р<°о. Множество функций и^а, j,')(x)> которые равны 1
на (а', &') и нулю в остальных точках, фундаментально, когда а' и V про-
пробегают все рациональные числа в (а, Ъ) 2). Аналогично, Lp (R ) сепарабельно
при 1 ^ р < с». Отсюда следует, что Lp (Е) также сепарабельно, если Е —
измеримое подмножество в Rm, так как это пространство можно рассматри-
рассматривать как подпространство в Lp (R™), состоящее из всех функций, обращаю-
обращающихся в нуль вне Е.
Важным следствием полноты банахова пространства является
теорема Бэра о категориях3).
Теорема 1.14. Если X является объединением счетного числа
замкнутых подмножеств Sn, п = 1, 2, . . ., то по крайней мере
одно из этих множеств содержит шар.
х) См. Данфорд и Шварц [1].
а) Это следует из свойств интеграла Лебега; см. Р о й д е.н [1].
3) См., например, Р о й д е н [1], стр. 121, или любой другой учебник
по функциональному анализу.
§ 1. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА ¦¦ 169
Несмотря на существенные различия в топологической струк-
структуре банаховых и конечномерных пространств, большая часть
сформулированных в п. 1.1.6 и п. 1.1.7 результатов относительно
последовательностей, рядов и вектор-функций верна и для бана-
банаховых пространств. Эти результаты мы будем использовать в даль-
дальнейшем без каких бы то ни было оговорок. Следует отметить, что
полнота пространства X является здесь существенной. Например,
она используется при доказательстве существования интеграла
\ и (t) dt непрерывной вектор-функции и (t) и суммы абсолютно
сходящегося ряда Ъип. Отметим также, что результаты теории
функций комплексной переменной применимы к аналитическим
вектор-функциям со значениями в банаховом пространстве. С дру-
другой стороны, результаты из § 1.1, опирающиеся на существование
конечного базиса, неверны в общем случае.
3. Линейные формы
Линейную форму / [и] на банаховом пространстве X можно
определить так же, как в п. 1.2.1. Мы же рассмотрим здесь линей-
линейные формы, определенные только на линейном подпространстве
D в X. Такую форму / мы будем называть линейной формой в X,
а подпространство D = D (/) — областью определения /. Форма
/ называется продолжением формы g (a g — сужением /), если
D (/) гэ D (g) и / [и] = g [и] для и ? D (g); в этом случае мы пишем
/ =э g или g czf.
Форма / [и] непрерывна в точке и = и0 6 D, если \\ип — и0 || ->
-> 0, ип ? D, влечет за собой / [и„] -> / [и0]. Так как / [ип] —
— / [и0] — f [ип — и0], то из непрерывности формы f в точке
и = 0 следует ее непрерывность всюду в D. Такая форма называется
непрерывной.
Каждая линейная форма на конечномерном пространстве
непрерывна. В общем случае это неверно, хотя и не совсем просто
привести пример разрывной линейной формы, определенной всюду
на банаховом пространстве *).
Если линейная форма / непрерывна, то существует б > О
такое, что из || и || < б следует | / [и] | ^ 1. В силу свойства
однородности отсюда следует, что
где М = 1/6. Линейная форма /, обладающая свойством A.15),
называется ограниченной. Наименьшее число М, для которого
неравенство A.15) верно, называется нормой f и обозначается
через ||/ ||. Нетрудно видеть, что из неравенства A.15) следует
г) См., подстрочное примечание 2) на стр. 171.
170 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
непрерывность формы /. Таким образом, линейная форма непре-
непрерывна тогда и только тогда, когда она ограничена.
Лемма 1.15. Ограниченная линейная форма f вполне опреде-
определяется своими значениямиЧна подмножестве D', всюду плотном
в D (/).
Доказательство. Для каждого и ? D (/) существует
последовательность ц„ ( D', сходящаяся к и. По свойству непре-
непрерывности / [и] = lira / [ип].
Теорема 1.16 (принцип{"продолжения по непрерывности).
Ограниченная линейная форма с областью определения D может
быть продолжена до ограниченной линейной формы^с областью
определения D (замыканием D). Это продолжение единственно
и сохраняет норму.
Доказательство. Единственность продолжения сле-
следует из леммы 1.15. Для того чтобы построить такое продолжение,
выберем произвольный вектор и и ? D и последовательность
ип 6 D, сходящуюся к и. Так как | / [ип] — f [ит] | —
= |/[«п — ит] |< ||/ || || Un — um ||-s-0 при п, т-> оо,то/[цп]—
последовательность Коши. Предел /' [и] этой последователь-
последовательности не зависит от выбора последовательности {ип}, сходящейся
к и, так как из соотношений и„->-и, vn -*- и следует, что ип —
— vn -s- 0 и поэтому / \ип] — / lvn] = / [ип — vn] -> 0. Нетрудно
показать, что /' [и] — линейная форма с областью определения D.
Совпадение норм / и /' следует из неравенства | /' [и] \ ^
^ || / || || и ||, являющегося результатом перехода к пределу в не-
неравенстве \f[un] |< ||/ 11-Ц и„ ||.
Пример 1.17. В 1Р, 1 ^ р < оо, рассмотрим линейную форму, опре-
определенную формулой
Если в качестве D (/) взять множество всех векторов и ? 1Р, имеющих лишь
конечное число ненулевых координат, то коэффициенты а& в A.16) могут
быть произвольными. Однако такие /, вообще говоря, не ограничены. Форма
/ ограничена, если 1
M=(^\[ah\9)i^<oo1 где 9-1 + р-1 = 1. A.17)
Тогда, согласно неравенству Гёльдера A.9), | / [и] | < М \\ и ||. В этом
случае в качестве области определения D (/) можно взять все пространство
1Р; нетрудно показать, что || / || => М. Далее, известно, что при р < °° любая
ограниченная линейная форма на 1Р может быть представлена в виде A.16)
с коэффициентами ak, удовлетворяющими условию A.17) х).
г) См., например, Ройден [1], стр. 103; Тейлор [1], стр. 193;
И о с и д а Р], стр. 168.
§ 1. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА ,., ,,; i 171
Пример 1.18. Для каждого и ? С [а, Ь] положим f [и] = и (х0), где х0 —
фиксированная точка интервала [а, Ь] (см. 1.2.3). Форма / является ограни-
ограниченной линейной формой с областью определения X. Вообще если / (х) —
комплексная функция ограниченной вариации на [а, Ь), то интеграл Стиль-
тьеса
ь
u(x)df(x) A.18)
определяет линейную форму на С [а, 6]. Эта форма ограничена, так как
I / Ы) I ^ М || и ||, где М — полная вариация функции /. Отсюда следует,
что II / II ^ М. На самом деле || / || = М и любую ограниченную линейную
форму на С [а, Ъ] можно представить в виде A.18) г).
{Пример 1.19. Для каждой функции и ? С' [а, Ь] (см. пример 1.4) поло-
положим / [и] = и' (х0). Форма / есть ограниченная линейная форма на С [а, Ъ],
ее можно рассматривать также и как форму в С [а, Ь] с областью определе-
определения D (/) = С [а, Ъ]. В такой интерпретации / не является ограниченной,
так как число | и' (х0) | может быть сколь угодно большим для функций из
единичного шара в С [а, Ь] 2).
Пример 1.20. Для и ? Lp (Е) и / ? L* (Е), р-1 + q-1 = 1, положим
)u(x)dx. A.19)
При фиксированном/ получаем ограниченную линейную форму/ [и] на Lp (E),
причем, согласно неравенству A.10), || / || ^ || / ||д. Известно, что || / || =
= ||/ ||д и любая ограниченная линейная форма на Lp (E), р < оо, имеет
вид A.19), где /6LP(EK).
4. Сопряженное пространство
Полулинейные формы и ограниченные полулинейные формы
в банаховом пространстве X определяются точно так же, как
и для конечномерного пространства (см. п. 1.2.2). Определим про-
пространство X*, сопряженное к X, как пространство всех ограни-
ограниченных полулинейных форм на X. Пространство X* — норми-
нормированное векторное пространство относительно нормы
/[«II
Как и прежде, определим скалярное произведение для элементов
X* и и ? X: (/, и) = f [и]; обобщенное неравенство Шварца
A.2.25) оказывается тогда следствием определения нормы ||/||.
х) См., например, Тейлор [1], стр. 382.
2) Форма / — это пример неограниченной линейной формы, однако
D (/) не совпадает со всем пространством С [а, Ъ]. Продолжая /, можно постро-
построить неограниченную линейную форму с областью определения С [а, Ь],
однако для этого придется применять аксиому выбора.
3) См., например, Ройден р], стр. 103, Тейлор [l], стр. 382,
И о с и д a [1J, стр. 166.
172 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В дальнейшем мы будем без специальных оговорок использовать
те понятия и результаты из гл. I, которые автоматически пере-
переносятся на случай банаховых пространств.
Пространство X* банахово. Для доказательства полноты X*
рассмотрим последовательность Коши {fn} в X*. Для каждого
и е X
I (fn ~ /m, И) | < || /n - 1т || || U || -» 0 При В, I» -» 00, A.20)
и поэтому существует предел Mm (fn, и) = f [и]. Ясно, что / [и] —
полулинейная форма. Устремляя п к бесконечность в неравенстве
I (fn, ") К II /» II II и ||, получаем | / Ы | < М \\ и ||, где М =
= lim || /п ||; последний предел существует и конечен в силу того,
что числа || /„ || образуют последовательность Коши. Таким
образом, форма / ограничена и || / || ^ М. Переходя к пределу
при т —у- оо в неравенстве A.20), получаем | (fn —/, и) | ^
<lim || /п —/т || || м ||, или, что то же самое, ||/„—/||<
т-
lim ||/n—/m||. Отсюда следует, что lim ||/n— / ||<
^ lim \\fn— /m II = 0. Таким образом, /„->-/ и> следова-
следовательно, X* полно.
Все эти рассуждения были бы бесполезными, если бы не суще-
существовало ограниченных полулинейных форм на X, за исключением
нулевой. По этой причине теорема Хана—Банаха, которая утвер-
утверждает, что существует «достаточно много» ограниченных линей-
линейных (или полулинейных) форм на X, является основной в теории
банаховых пространств. Мы сформулируем эту теорему в удобной
для нас форме, хотя и не в максимальной общности.
Теорема 1.21. Каждая ограниченная линейная форма в банахо-
банаховом пространстве X (с областью определения D с X) может быть
без увеличения нормы продолжена до ограниченной линейной фор-
формы на X.
Мы не приводим здесь доказательство зтой теоремы х) и огра-
ограничимся лишь некоторыми замечаниями. Как только эта теорема
доказана для вещественных банаховых пространств, можно рас-
рассмотреть комплексный случай, используя метод, описанный
в п. 1.2.5. В случае вещественного пространства теорема допу-
допускает следующую геометрическую интерпретацию. Пусть S —
открытый единичный шар в X. Пересечение So шара S с D есть
единичный шар в D. Если в D существует гиперплоскость Мо,
х) См., например, Р о й д е н [1J, стр. 162, или любой учебник по функ-
функциональному анализу.
§ 1. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 173
опорная для So (см. п. 1.2.5), то в X существует опорная для S
гиперплоскость М, содержащая Мо *).
Следствием предыдущей теоремы является
Теорема 1.22. Пусть М — замкнутое линейное подпростран-
подпространство в X и вектор и0 ? X не принадлежит М. Тогда существует
форма / 6 X* такая, что (/, и0) = 1, (/, и) = 0 для и ? М и
|| / ]| = 1/dist («0, М).
Доказательство. Обозначим через М' линейную обо-
оболочку М и и0. Так же как в доказательстве леммы 1.9, каждый
вектор и ? М' имеет вид и = ?u0 + v, v ? М. Число \ однозначно
определяется вектором и, и потому можно определить функцию
/ [и] = ? на М'. Ясно, что / полулинейна и, согласно неравен-
неравенству A.13), ограничена, причем || / || ^ lid, где d — dist (и0, М).
На самом деле || / || = lid, так как существует вектор и f M'
такой, что || и || = 1 и dist (и, М) > 1 — е (см. лемму
1.12), и поэтому 1 — е < dist (и, М) = dist (\и0 + v, M) =
= | Ё | dist (u0, M) = | \ | d, или, что то же самое, | / \и] | >
> A — е) || и || / d. Продолжая / на все пространство с сохране-
сохранением нормы, получаем требуемую форму.
Следствие 1.23. Для любых двух векторов и, v, и Ф v, в X
существует элемент / ? X*, различающий их, т. е. такой,
что (/, и) Ф (/, у). В этом смысле X* содержит достаточно
много элементов.
Следствие 1.24. Для каждого и0 ? X существует форма / 6 X*
такая, что (/, ц0) = || и0 ||, || / || = 1 (см. A.2.27)).
Из этого следствия вытекает, что формула (Т.2.26) верна для
любого банахова пространства:
|| «Ц= sup ЩФ= sup |(/,«)|= sup |(/,и)|. A.21)
Пример 1.25. Пусть и=(|й)ё!Р и / = («ft) 6 I9. _причем р-1 + g-i = l и
оо. При фиксированном / форма / |u]= ^ «ftift является ограничен-
ной полулинейной формой на X, и, обратно, любая ограниченная полу-
полулинейная форма на X представима в таком виде (пример 1.17). По этой
причине пространство, сопряженное к 1 , отождествляется с I9, и мы пишем
{/, и)= ^ «ftift- Аналогично, пространство, сопряженное к Lp (E), 1О< оо,
отождествляется с Lq (E), где q-l-\-p~1 = i. Скалярное произведение для
элементов / g L9 (Е) и и ? Lp (E) имеет вид
A.22)
!) То же самое верно, если открытый единичный шар заменить произволь-
произвольным открытым выпуклым подмножеством в X. *
174 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пространством, сопряженным к С [а, Ь], является пространство BV[a, b]
всех непрерывных слева функций / (х) ограниченной вариации с нормой
||/||, равной полной вариации функции /. Скалярное произведение в этом
случае имеет такой вид:
ъ
x)df(x), и?С[а, 6], /?BV[a, О]. A.23)
Задача 1.26. Каждое конечномерное линейное подпространство М в X
имеет дополнительное подпространство N: M(J)N = X. [Указание: достаточно
рассмотреть случай, когда dimM = l. Пусть и?М, и ф 0; выберем элемент
/ ? X* такой, что (/, и) = 1. Положим N —{у?Х, (/, t>) = 0}.]
Второе сопряженное пространство X** также является банахо-
банаховым пространством. Как и в конечномерном случае, каждый век-
вектор и ? X можно рассматривать как элемент из X** (см. п. 1.2.6).
В этом смысле можно писать (и, /) = (/, и), и ? X, / ? X*. Отсю-
Отсюда не следует, однако, что X** можно отождествить с X, как это
было в конечномерном случае, так как могут существовать формы
на X*, которые не представимы в виде (/, и), и ? X. Если таких
форм нет, то X называется рефлексивным; в этом случае его можно
отождествить с X**. В общем случае X отождествляется с неко-
некоторым подпространством пространства X**.
Следует также видоизменить результаты п. 1.2.6, касающиеся
аннуляторов. Для любого подмножества S в X аннулятор S-L
является замкнутым линейным подпространством в X* (так как
скалярное произведение — непрерывная функция своих аргу-
аргументов). Аннулятор S-L-L аннулятора S-L является замкнутым
линейным подпространством в X**, однако не обязан быть под-
подмножеством в X (относительно упомянутого выше отождествле-
отождествления). Независимо от этого верна формула
S1-L П X = [S], A.24)
где [S] — замкнутая линейная оболочка S. Так как S с: S-L-L,
ясно, что [S] cz S-L-L. Для доказательства равенства A.24) доста-
достаточно показать, что каждый вектор и ? X, не принадлежащий [S],
не удовлетворяет условию (/, и) = 0 ни для какого / ? S-J- = [S1-L.
Но это следует из теоремы 1.21.
5. Принцип равномерной ограниченности
Следующие результаты являются одними из основных теорем
теории банаховых пространств. Всюду в этом параграфе X обо-
обозначает банахово пространство.
Теорема 1.27. Пусть {ип} — последовательность векторов в X,
такая, что числовая последовательность {(/, Un)} ограничена
для каждого f ? X*. Тогда {ип} ограничена: || ип || ^ М.
§ 1. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 175-
Теорема 1.28. Пусть {{п} — последовательность векторов в X*,
такая, что числовая последовательность {(/п, и)} ограничена для
каждого фиксированного и 6 X. Тогда {/„} ограничена: \\fn || ^ М.
Эти теоремы являются частными случаями следующей теоремы;
Теорема 1.29. Пусть {р% [и]} — семейство неотрицательных
непрерывных функционалов, определенных на X и таких, что
Рх Ы' + и"] ^рх \и'\ + рх 1и'], рх 1-й] = рх [«]. A.25)
Если множество {рх [и]} ограничено для каждого фиксированного'
и, то семейство {рх} равномерно ограничено*в единичном шаре
II и || < 1.
Доказательство. Обозначим через Sn множество всех
и ? X таких, что р% [и] ^ п для всех К. Множества Sn замкнуты,
поскольку функции рх [и] непрерывны. Из предположения тео-
теоремы следует, что для каждого и ? X существует п такое, что
Рх Ги] ^ п для всех К. Следовательно, X является объединением
множеств Sn, re = 1, 2, ... . Из теоремы о категориях (теоре-
(теорема 1.14) следует, что по крайней мере одно из множеств Sn содер-
содержит некоторый шар К. Пусть и0 и г — центр и радиус этого шара.
Каждый вектор и 6 X, длина которого не превосходит 2г,
можно записать в виде и — и' — и", где и', и" ? К; для этого-
достаточно положить и' = и0 + и/2, и" = и0 — и/2. Согласно
A.25), отсюда следует, что р^ [и] ^ ря, [и'] + р^ [и"] ^ 2ге. Таким
образом, семейство {рх} равномерно ограничено в шаре || и || ^
^ 2г. Если 2г ^1, то утверждение теоремы доказано. Если
2г < 1, то выберем целое число т, большее чем 1/2г. Тогда ,
из неравенства || и || ^ 1 следует, что |] и/т |] ^ 2г и потому
рх Ы/тп] ^ 2ге. Снова используя A.25), получим| рх Ы] ^ 2тп
при || и || ^ 1.
Для того чтобы вывести теорему 1.28 из теоремы 1.29, доста-
достаточно положить рп [и] = | (/п, и) |. Для доказательства теоре-
теоремы 1.27 заменим пространство X в теореме 1.29 на X* и положим
Рп Ш = I (/, Un) |.
Задача 1.30. Пусть последовательность /„ ? X* такова, что предел
lim (/„, и) = f [и] существует для всех и ? X. Тогда / ? X* и || / || г=С
<liminf |[/п ||<оо.
6. Слабая сходимость
Последовательность к„ 6 X называется слабо сходящейся, если
для каждого / 6 X* последовательность (м„, /) сходится. Если
существует вектор и 6 X такой, что для каждого / выполняется
равенство lim (ип, /) = (и, /), то мы будем говорить, что {ип}
слабо сходится к и, а вектор и назовем слабым пределом. Слабую
176 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
сходимость будем обозначать так: ип —*¦ и или и = w-lim м„.
w
Ясно, что слабый предел единствен, если он существует *). Для
того чтобы отличить от слабой сходимости введенную ранее схо-
сходимость по норме, назовем последнюю сильной сходимостью.
В тех случаях, когда требуется подчеркнуть, что сходимость
ип -»- и сильная, мы пишем м„-»-к, или и = s-lim и„. Всюду
в дальнейшем, если не оговорено противное, сходимость озна-
означает сильную сходимость.
Очевидно, что из сильной сходимости следует слабая. Обрат-
Обратное, вообще говоря, неверно, если только пространство X не яв-
является конечномерным. Более того, слабо сходящаяся последо-
последовательность не обязана иметь слабый предел. Если каждая слабо
сходящаяся последовательность имеет слабый предел, то про-
пространство X называется слабо полным.
Слабо сходящаяся последовательность ограничена. Это сразу же
следует из теоремы 1.27. Отметим также, что
||u||<liminf ||un||, A-26)
если и = w-lim и„.
Это следует из равенства (и, /) = Нш (ип, /), если в качестве /
взять такой элемент из X*, что ||/ || = 1 и (и, /) = || и || (см.
следствие 1.24).
Лемма 1.31. Предположим, что последовательность ип ? X
ограничена. Для слабой сходимости последовательности ип ? X
(к и) достаточно, чтобы для каждого элемента f из некоторого
фундаментального подмножества S* в X* последовательность
(ип, f) сходилась (к (и, /)).
Доказательство. Линейная оболочка D* множества
S* плотна в X*. Очевидно, что последовательность (ип, f) схо-
сходится к (и, /) для всех / ? D*. Пусть g ? X* и е > 0. Так как
D* плотно в X*, то существует элемент / ? D* такой, что
II S — / II < 8- Далее, последовательность (ип, /) фундаментальна,
и, следовательно, существует такое натуральное число N,
что | (ип — ит, f) | <; е при п, т> N. Таким образом,
I К, g) — (Urn: g) \< \ (Un, g - f) I + I (Un — Um, f) I +
+ I (um, t - g) I < BM + 1) 8 при n, m > N, где М =
= sup || un \\. Это показывает, что последовательность (ип, g)
сходится для всех g 6 X*. Если (ип, /) -»- (и, /) для всех / ? D*,
то, применяя предыдущие рассуждения к вектору ип — и вместо
"п — ит, мы покажем, что (ип, g) ->- (и, g) для всех g ? X*.
*) Слабая сходимость связана со слабой топологией в X, так же как
сильная сходимость связана с топологией, порожденной нормой. В этой
книге мы не используем факты, связанные с понятием слабой топологии;
для наших целей будет достаточно понятие слабой сходимости.
§ 1. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 177
Связь между сильной и слабой сходимостью устанавливает
Теорема 1.32. Последовательность ип ? X сильно сходится
тогда и только тогда, когда {(ип, /)} сходится равномерно в еди-
единичном шаре | ] / 11 ^ 1, / 6 X*.
Доказательство. Необходимость следует из оценки
i К. Л —("т. /) К II ип — ит II II / ||< II ип — ит ||. Для до-
доказательства достаточности предположим, что (ип, /) сходится
равномерно в шаре || / || ^ 1. Это означает, что для любого е > О
существует натуральное N такое, что | (ип — ит, /) | < е, если
n,m>N и ||/||^1. Поэтому, согласно формуле A.21),
|| ип — ит || = sup | (ип — ит, /) | < е при п, т> N.
l/l
Замечание 1.33. В теореме 1.32 достаточно предположить рав-
равномерную сходимость последовательности (ип, /) на подмножестве,
плотном в единичном шаре пространства X*. В самом деле, если
неравенство | (ип — ит, /) | ^ е верно для всех / из множества,
плотного в единичном шаре, то оно верно всюду в единичном шаре
II/IK1-
Задача 1.34. Пусть М — замкнутое линейное подпространство в X.
Тогда из ип ? М и ип —^ и следует, что и ? М. [Указание: применить теоре-
теорему 1.22.]
Рассмотрим теперь вектор-функцию и (t) вещественной или
комплексной переменной t. Мы уже отмечали, что понятия силь-
сильной непрерывности, сильной дифференцируемости и сильной ана-
аналитичности таких функций, а также интеграл \ и (t) dt непрерыв-
непрерывной функции можно определить точно так же, как в конечномер-
конечномерном случае (см. п. 2).
Функция и (t) называется слабо непрерывной, если (и (t), /)
непрерывна для каждого / ? X*. Ясно, что из сильной непрерыв-
непрерывности следует слабая непрерывность. Далее, функция и (t) назы-
называется слабо дифференцируемой, если для каждого / ? X* функция
(и (t), f) дифференцируема. Если производная функции (и (?), /)
имеет вид (v (t), f) для каждого /, то v (t) называется слабой произ-
производной функции и (t).
Если и (t) слабо непрерывна в точке t — t0, то |! и (t) || огра-
ограничена в окрестности t0; это следует из теоремы 1.27. Если и (t)
слабо непрерывна на компактном множестве значений t, то
|| и (t) || ограничена на этом множестве.
Лемма 1.35. Если и (t) слабо дифференцируема на интервале
(а, Ъ) и слабая производная тождественно равна нулю, то и (t)
постоянна.
12 т. Като
178 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Доказательство. Согласно предположению, функция
(и (t), f) имеет нулевую производную и поэтому (и (?'), /) ==
= (и (t"), f) для всех / ? X*. В силу следствия A.23), отсюда
вытекает, что и (?') = и (t").
Из леммы 1.35 следует, что и (t) постоянна, если и (t) сильно
дифференцируема и du (t)/dt = 0. Желательно, однако, иметь
прямое доказательство этого факта, ввиду того что лемма 1.35
не совсем элементарна, поскольку она опирается на теорему
Хана — Банаха. Мы дадим здесь прямое доказательство несколь-
несколько более общего результата.
Лемма 1.36. Если и (t) сильно непрерывна на интервале (о, Ь)
и правая сильная производная D+u (t) равна нулю, то и (t)
постоянна.
Доказательство. Производная D+u (t) определяется
как Нш h'1 [и (t + h) — и (t)] при h \ 0 1). Не теряя общности,
можно считать, что а = 0 и и @) = 0. Докажем, что || и (t) || ^
^ et для любого е > 0; устремляя е к нулю, получаем, что
и (t) = 0. Зафиксируем е > 0. Так как D'u @) = 0, то || и (t) \\ <
^ Et для достаточно малых t. Пусть [0, с) — максимальный подин-
тервал в [0, Ъ), на котором верна оценка \\и (t) || ^ &t\ покажем,
что с= Ь. Если с << Ь, то по непрерывности || и (с) || ^ ее. Из ра-
равенства D+u (с) = 0 следует, что || и (с + Щ \\ ^ || и (с) || +
+ о (h)^. гс + о (h) ^ е (с + h) для достаточно малых h > 0.
Однако это противоречит определению с.
По аналогии с предыдущим можно определить слабо голоморф-
голоморфную функцию и (t) комплексной переменной t. Оказывается,
однако, что понятия слабой и сильной голоморфности совпадают.
Точнее, имеет место
Теорема 1.37. Пусть функция и (?) ? X, определенная в обла-
области А комплексной плоскости, такова, что для каждого f ? X*
числовая функция {и (?), /) голоморфна в А. Тогда и (?,) голоморфна
в сильном смысле (сильно дифференцируема по Q.
Доказательство. Пусть Г — положительно ориенти-
ориентированная окружность в А. Запишем интегральную формулу
Коши для голоморфной функции (и (?), /):
г
здесь предполагается, что точка Z, лежит внутри Г. Отсюда сле-
следует, что
. . A-27)
1) Запись А \ 0 означает, что h > 0 и h -*¦ 0.
§ 1. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 179
Так как и (?) слабо непрерывна, то она ограничена на Г, и поэтому
! (и (?'), /) | < М || / || для 'С,' ? Г. Следовательно, разность A.27)
можно оценить при малых | г\ | числом вида | Т) | М' ||/ ||. Эта
оценка показывает, что тр1 (и (? + л) — и (?)> /) сходится рав-
равномерно в единичном шаре || / || ^ 1 к d (и (?), f)/dZ, при г\ -v 0.
Из теоремы 1.32 следует, что тр1 (и (? + К) — и (?)) сильно схо-
сходится. Это доказывает сильную дифференцируемость u (Q и, сле-
следовательно, ее голоморфность.
Замечание 1.38. Если || и (?) || предполагается локально огра-
ограниченной, то в теореме 1.37 достаточно предполагать, что
{и (?), /) голоморфна для всех / из фундаментального подмноже-
подмножества в X* (ср. с замечанием 1.33).
7. w*-сходимость
В сопряженном пространстве X* существует еще одно понятие
сходимости, так называемая лу*-сходимость 1). Последователь-
Последовательность /п ? X* лу*-сходится к /, если (и, /п) ->¦ (и, f) для каждого
и ? X. Так определенная лу*-сходимость слабее, чем слабая схо-
сходимость в банаховом пространстве X*, так как последняя требует
сходимости (F, /п) для всех F 6 X**. Для \у*-сходимости мы
используем такие обозначения:
fn-^t или / = w*-lim/n; , .
ограниченность w*-сходящейся последовательности следует не-
непосредственно из теоремы 1.28.
Отметим, что из сходимости последовательности (и, fn) для
каждого и ? X следует, что существует w*-lim /„ = / Е X* (см. за-
задачу 1.30). В этом смысле пространство X* является \у*-полным.
Следующие предложения можно доказать точно так же, как
это было сделано для слабой сходимости.
Последовательность {fn} сильно сходится тогда и только-
тогда, когда {(и, /„)} сходится равномерно в единичном шаре
пи н<i, «ex.
Если {/п} ограничена, то для \у*-сходимости последователь-
последовательности {/„} достаточно, чтобы сходилась {(и, /„)} для всех эле-
элементов и и фундаментального подмножества в X.
Если / (?) 6 X* является w*-голоморфной в области Д ком-
комплексной плоскости (т. е. для каждого и ? X функция (/ (?), и)
голоморфна в А), то / (?) голоморфна в сильном смысле.
Задача 1.39. Пусть м„, и ? X, /„, / ? X*. Тогда (м„, /„) -> (и, /), если
(i) un -?¦ и и /„ -^ / или (ii) ип ~+ и и /„ -^ /.
1) Нам не потребуется понятие w*-TononorHH. j
12*
180 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
8. Факторпространство
Если М — линейное подпространство в векторном простран-
пространстве X, то факторпространство X = Х/М определяется как мно-
множество всех смежных классов и = и + М по модулю М (или
всех линейных многообразий, параллельных М) с линейными
операциями, определенными по формуле A.1.8). Если X — нор-
нормированное пространство, то X становится нормированным про-
пространством относительно нормы
|| и || = inf || v || = inf || и — z || = dist (и, М). A.28)
Нетрудно проверить, что функция A.28) удовлетворяет условиям
(Ы.18). Напомним, что и = и тогда и только тогда, когда
и — и'?М.
Факторпространство X является банаховым пространством,
если X — банахово пространство и М—замкнутое линейное под-
подпространство. Докажем это. Пусть {ип} — последовательность
Коши в X. Обозначим через п (к) такое натуральное число, что
\{un—WraII<2~ftflflHre, wi> га(&).Можносчитать,чтогаA)<;геB)-<
Положим yft = un(ft+1) —и„(й), fc—-1, 2, .... Ясно, что ||yfe|K2""\
и поэтому для каждого к можно выбрать вектор Vk(Euk такой,
что || Vk ||-^Н vk || -\-2~к^.21~к. Обозначим через и сумму абсолют-
но сходящегося ряда ип A) + 2 vk (ряд сходится, так как про-
ft+i
странство X полно). Обозначим через w^ частные суммы этого
ряда; ясно, что и>ь = ип&+1>- Так как \\wk — u ||<!|| wh — u\\ ->-0
при Ar-voo, то ||мП(&) — м||-»-0. Выберем столь большое к, что
II "п сй> — и\\<г и 2'"<е; тогда || un—u||<||7in—un(ft) || +
+ Нмп(.'!) — м||<2е при n>re(fc). Таким образом, последователь-
последовательность {ип} имеет предел и 6 X.
Коразмерность (или дефект) линейного подпространства М
определяется равенством codim М = dim Х/М, как и ранее
в п. 1.1.3.
Лемма 1.40. Если М замкнуто, то codim M = dim M-L
и codim M-L == dim M.
Доказательство. Предположим, что codim M = т <
< оо. Тогда существует конечный базис {xj}, j = 1, . . ., т,
в X = Х/М. Пусть Xj ? Xj. Для любого и ? X вектор и можно
однозначно представить в виде и = lixi + . . . + |тят- Следо-
Следовательно, вектор и представим в виде
и = liXi + . . . + lmxm + v, v € М. ,.. A.29)
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 181
Обозначим через Mj линейную оболочку М и векторов xt, ...
. . ., %i-i, Xj+i, • • •, хт. Согласно лемме 1.9, подпространство
Му замкнуто, и поэтому существует форма fj ? X* такая, что
fj ? Mf и (fj, xj) = 1 (теорема 1.22). Другими словами, fj E M-L
и (/я жь) = S;h. Ясно, что fj (j ~ 1, . . ., т) линейно независимы.
Пусть / ? M-L и а, = (/, Xj). Тогда вектор / — aifi — ...
... — <zmfm имеет нулевые скалярные произведения со всеми
векторами xh, всеми v ? M и, как следует из A.29), со всеми век-
векторами и ? X. Это означает, что / = a4/i + . . . + amfm. Таким
образом, подпространство M-L порождено векторами /ь . . ., /т,
и поэтому dim M-L = т.
Если codim М = оо, то существует бесконечная последова-
последовательность замкнутых линейных многообразий Мп, такая, что
Mj с: М2 с: . . ., причем все включения собственные. Таким обра-
образом, M-L Z3 М^- Z3 MJ- Z3 . . ., где все включения собственные
(см. A.24)). Итак, M-L = оо.
Предполон?им теперь, что dim M = т <С оо, и обозначим через
{xi, . . ., хт) базис в М. Как и выше, построим формы fj ? X*,
j = 1, . . ., т, такие, что (fj, xh) = 8^. Каждый вектор / g X*
m
можно представить в виде / = S (/> я*) /ft + /', где /' g M-L.
h=l
Обозначим через / и /^ элементы пространства X*/M-L, соответ-
соответствующие элементам / и fk из X*. Мы видим, что / есть линейная
комбинация векторов fh. Так как fk, к = 1, . . ., /те, линейно
независимы, то codim M-L = пг.
Если dim M = оо, то существует бесконечная последователь-
последовательность конечномерных линейных подпространств М„, такая, что.
Mi с М2 с . . . с М, причем все включения собственные. Пере-
Переходя к аннуляторам, получаем цепочку собственных включений:
MJ-гэ M2J- zd . . . zd M-L. Это показывает, что codim M-L = оо.
Следствие 1.41. Если М — конечномерное линейное подпро-
подпространство, то M-L-L = М.
Задача 1.42. Если codim M < dim N (откуда следует, что codim M =
= т < оо), то dim (MflN) > 0. [Указание: и ? М тогда и только тогда,
когда (в, fj) = 0, где fj, j — 1, . . ., т, суть векторы, построенные в пер-
первой части доказательства леммы 1.40.]
§ 2. Линейные операторы в банаховых пространствах
1. Линейные операторы. Область определения и область значений
В дальнейшем через X, Y, Z, если не оговорено противное,
обозначаются банаховы пространства. Определение линейного
оператора (или просто оператора) аналогично определению, кото-
182 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
рое было дано в конечномерном случае (см. п. 1.3.1). Однако
в целях дальнейших приложений нам потребуется несколько
более общее определение.
Часто оказывается необходимым рассматривать операторы,
которые определены не для всех векторов пространства определе-
определения. Поэтому мы понимаем под оператором Т из X в Y линейное
отображение (см. A.3.1)), которое сопоставляет каждому век-
вектору и некоторого линейного подпространства D с X некоторый
вектор v пространства Y и удовлетворяет условию A.3.1) для
щ, иг 6 D. Подпространство D называется областью определения
оператора Т и обозначается через D (Т). Область значений (или
образ) R (Т) оператора Т определяется как множество всех век-
векторов из Y вида Ти, и ? D (Т). Пространство X называется про-
пространством определения, a Y — пространством значений опе-
оператора Т *). Если D (Т) плотно в X, то оператор Т называется
плотно определенным. Если D (Т) = X, то говорят, что Т опре-
определен на X. Если Y = X, то Т называется оператором в X. Ядро
(нуль-пространство) N (Т) оператора Т — это множество всех
векторов и 6 D (Т) таких, что Ти = 0.
Понятие оператора, определенного на подпространстве про-
пространства определения, приводит к понятиям продолжения и суже-
сужения операторов точно так же, как и в случае линейных форм
(см. п. 1.3). Если S и Т — два оператора из X в Y такие, что
D (S) с D (Г) и Su — Ти для всех и ? D (S), то Т называется
продолжением, или расширением S, a S — сужением Т; мы при-
примем такие обозначения:
Т z=> S и S с= Т B.1)
соответственно. Оператор Т называется конечным продолжением
оператора S, a S — конечным сужением оператора Т, если Т гэ S
и [T/S] — dim D (T)IT> (S) = m < <х>. Число m называется поряд-
порядком продолжения или сужения. Если m = 1, то мы называем Т
простым продолжением оператора S, a S — простым сужением
оператора Т.
Для любого подмножества S в пространстве определения X
оператора Т мы обозначаем через TS образ множества S П D (Т),
т. е. множество всех векторов вида Ти, где и ? S fl D (T); TS —
подмножество в пространстве значений Y. Прообраз T~^S под-
J) Может показаться излишним рассматривать операторы, которые
не определены всюду в пространстве определения X, поскольку такой опе-
оператор Т можно рассматривать как оператор из D (Т) в Y или R (Т). Мы не
разделяем такой точки зрения, так как подпространство D (Т), вообще гово-
говоря, не замкнуто в X, и, следовательно, не является банаховым простран-
пространством (относительно нормы в X). Далее, в том случае, когда X = Y, часто
бывает удобно и даже необходимо рассматривать Т как оператор в X, а не
как оператор между различными пространствами D (Т) и X.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 183
множества S' в Y определяется как множество всех и ? D (Т)
таких, что Ти ? S' х).
Обратный оператор Т~г для оператора Т из X в Y опреде-
определяется только в том случае, когда отображение Т взаимно одно-
однозначно или, другими словами, когда из равенства Ти — О сле-
следует, что и = 0. По определению, Т~х есть оператор из Y в X,
переводящий Ти в и. Таким образом,
D (Г-1) = R (Г), R (Г-1) = D (Г), B.2)
Г (Гм) = и, и е D (Г); Г (Г!;) = у, у 6 R (Л- B-3)
Оператор Г называется обратимым, если существует Г. Любое
сужение обратимого оператора обратимо.
Пример 2.1. Линейная форма в X есть оператор из X в С (одномерное
пространство комплексных чисел).
Пример 2.2. В том случае, когда пространства X и Y суть функцио-
функциональные пространства (такие, как С (Е), Lp (E)), можно определить оператор
умножения Т; каждую функцию из области определения он умножает на
некоторую фиксированную функцию. Пусть, например, X = Lp (E), Y =
= Lq (Е) и оператор Т определен по формуле Ти (х) = / (х) и (х), где / (х) —
фиксированная комплексная измеримая функция на Е. Подпространство
D (Г) должно быть таким, что из и ? D (Т) следует fu ? L9- Если D (Г) —
максимальное подпространство, обладающее этим свойством (т. е. D (Т)
состоит из всех функций и f Lp (Е), удовлетворяющих условию fu ? L9 (Е)),
то Т называется максимальным оператором умножения па / (х). Оператор Т
обратим тогда и только тогда, когда / (х) Ф 0 почти всюду в Е. В частности,
если р — д, максимальный оператор умножения определен на всем простран-
пространстве Lp (E) в том и только в том случае, когда / (х) существенно ограничена
на Е.
Пример 2.3. Если X и Y — пространства последовательностей (напри-
(например, с или 1р, 1 ^ р ^ оо), то оператор Т из X в Y можно определить с по-
помощью бесконечной матрицы (T,ft), /, k = 1. 2, .... Формально Т определяет-
определяется равенством Ти = v, где и = (?^), v = (т^-) и
оо
Л;= 2 Vjklk, / = 1,2, .... B.4)
Подпространство D (Т) сг X должно обладать таким свойством, что для
любого и ? D (Г) ряд B.4) сходится при каждом / и результирующий вектор
v = (r\j) принадлежит Y. Если D (У) состоит из всех таких векторов и, то Т
называется максимальным оператором из X в Y, определенным матрицей
(тд). То, насколько велика область определения D (Т) при фиксированных
X и Y, зависит от свойств матрицы (т,-^).
Предположим, например, что существуют постоянные М' и М" такие,
что
= 1, 2,...; т?= 2|тл|<М', *=1,2, .... B.5)
1) Прообраз T-1S' определен и тогда, когда обратный .оператор Т~г
(см. ниже) не существует. Когда же Т~г существует, прообраз r-1S' совпа-
совпадает с образом множества S' относительно Т'1.
184 Гл. Ш. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Если X = Y = 1Р, 1 s^ji < оо, то вычисления, аналогичные тем, которые
были проделаны в п. 1.4.15, показывают, что Ти существует для любого
и е X и
|| Ти || = || v ||< м'1~-1/рМ'л/р || ы || < max (М', М") || и ||. B.6)
Таким образом, максимальный оператор Т определен на всем пространстве 1р.
В частности, это так, если (т,^) — диагональная матрица с ограниченными
диагональными элементами.
Пример 2.4. Оператор вида г)
Tu[y) = v(y)=^t(y,x)u{x)dx, г/gF, ' B.7)
Ё
называется интегральным оператором с ядром t (у, х). Ядром t (у, х) служит
комплексная измеримая функция переменных i?Emj?F(EhF могут быть
подмножествами конечномерных гильбертовых пространств не обязательно
одинаковой размерности). Если X и Y суть пространства функций на Е и F со-
соответственно, например X = Lp (Е) и Y = Lq (F), то формула B.7) опреде-
определяет оператор Т из Хв Y при некотором выборе D (Т). Подпространство D (Т)
должно быть таким, что для и ? Т> (Т) интеграл в правой части B.7) суще-
существует (в некотором смысле) для почти всех у и результирующий вектор
v (у) 6 Y. Если D (Г) состоит из всех таких векторов, то Т называется мак-
максимальным интегральным оператором из X в Y, определенным ядром t.
Предположим, например, что существуют постоянные М' и М" такие,
что
^ y?F; J ] t(y, x)} dy < M", x?E. B.8)
P
Если X = Lp (E) и Y = Lq (F), то максимальный оператор Т определен
на всем X и, кроме того,
II Ти || = || v || < Mri~i/P M"i/P || и ||< max (M', М") \\ и ||. B.9)
Это неравенство доказывается так же, как неравенство A.4.15), причем нера-
неравенства для сумм заменяются интегральными неравенствами. Для доказа-
доказательства существования интеграла B.7) для почти всех у потребуется при-
применение теоремы Фубини 2).
Если, в частности, Е и F компактны и ядро t (у, х) непрерывно по сово-
совокупности переменных х и у, то условия B.8) очевидным образом выполнены.
В этом случае Т можно рассматривать как оператор из С (Е) или Lp (E)
в С (F), определенный на всем X, так как функция Ти (у) непрерывна для
каждой интегрируемой функции и (х).
и
FB
Задача 2.5. Допустим, что \\ \ t (у, х) |2 dx dy — Afa < оо; тогда фор-
формула
= v(y)=\ t(y, x)u{x)dx
г) Для простоты мы пишем Ти (у) вместо (Ти) (у). Никакого другого
толкования символа Ти (у) быть не может, так как выражение Т [и (у)]
не имеет смысла (и (у) — комплексное число, Т — оператор).
2) См., например, Р о й д е н PJ, стр. 233.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 185
определяет оператор f из X = L2 (Е) в Y = L2 (F), причем D (Т) = X
и || Ти || ^ М || и ||. [Указание: согласно неравенству Шварца, | v (у) |2 ^
< II u IP j I t (у, х) !2 dx.}
Е
Пример 2.6. К понятиям продолжения и сужения операторов мы при-
приходим естественным образом, рассматривая дифференциальные операторы.
Простейшим примером дифференциального оператора является оператор
= и'(*) = ^У?. B-Ю)
Точнее, пусть X = С [а, 6], где [а, 6] — конечный интервал; будем рассма-
рассматривать Т как оператор в X. Подпространство D (Т) состоит из непрерывно
дифференцируемых функций. Если D (Т) содержит все такие функции, то Т
называется максимальным оператором в X, определенным формулой B.10).
Такое D (Г) является собственным подмножеством в X = С [а, Ь]. Пусть
Dj — подмножество в D (Т), состоящее из всех и ? D (Т), удовлетворяющих
граничному условию и (а) = 0. Оператор Tt в X, определенный равенствами
D (Ti) — Di и Тги = и', является простым сужением оператора Т. Анало-
Аналогично определяется прямое сужение Тг оператора Т, соответствующее гра-
граничному условию и F) = 0. Еще одно граничное условие таково: к F) =
= ки (а), к — постоянная; возникающее прямое сужение оператора Т обо-
обозначим через Тз, а соответствующую область определения через 1>з. Далее,
граничное условие и (а) = и F) = 0 приводит к еще одному сужению То
(с областью определения Do) оператора Т. Оно имеет порядок 2 и является
простым сужением каждого из операторов Tt, Тг и Г3. Все эти операторы
представляют собой простейшие примеры дифференциальных операторов.
Максимальный дифференциальный оператор необратим, так как Ти =0
всякий раз, когда и (х) постоянна. Операторы Т{, Т2 и Т3 обратимы. Подпро-
Подпространство D (Тг1) — R (Т^ совпадает со всем пространством X = С[а, 61
X
и T^xv (х) = \ и (t) dt для каждого v ? X. Таким образом, Т^1 — интеграль-
а
ный оператор с областью определения X. Оператор То обратим как сужение
обратимого оператора Tt (или Т2), однако область определения оператора
ъ
Тд1 не совпадает с X; D (Го1) состоит из всех v ? X таких, что \ v (x) dx = 0.
а
Оператор Т3 обратим тогда и только тогда, когда к Ф 1; в этом случае Tj1
определен на всем X и
х Ъ .-.---
Следует отметить, что Т плотно определен, но это уже не так в отношении
операторов Тп, п = 0, 1, 2, 3.
Пример 2.7. Дифференциальный оператор B.10) можно рассматривать
и в других функциональных пространствах, например в Lp (a, 6). В этом
случае функция Ти (х) = и' (х) не обязана быть непрерывной; далее, здесь
удобно понимать дифференцирование в обобщенном смысле: и' (х) суще-
существует, если и (х) абсолютно непрерывна [т. е. и (х) является неопределенным
интегралом локально интегрируемой по Лебегу функции v (x)\ в этом случае
по определению к' = v]. Таким образом, максимальный дифференциальный
оператор Т, определенный формулой B.10) в X = L (а, Ъ), имеет область
186 • ' Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ,',¦ „
определения D (Г), состоящую из всех абсолютно непрерывных функций
и (х) ? Lp (a,b) таких,- что и' (х) ? Lp (а, 6). Так же, как и в предыдущем при-
примере, можно, рассматривая различные граничные условия, определить суже-
сужения То, . . ., Т3 максимального оператора Т. Все операторы Т, Tq, . . ., Т3
плотно определены, если 1 sgj p < оо. Как и в примере 2.6, обратные опера-
операторы Т^1, Т^1 и Гд1 существуют и являются интегральными операторами.
До сих пор мы предполагали, что интервал (а, 6) конечен. Однако опера-
оператор B.10) можно рассмотреть на всей вещественной оси (—оо, +оо) или
на полуоси @, оо). Максимальный оператор Т определяется точно так же.
как и выше. Полезно рассмотреть также минимальный оператор Т, который
является сужением оператора Т на подпространстве D (Г) = С" (а, 6) с: X
{см. пример 1.11). [Оператор Т можно определить и в том случае, когда интер-
интервал (я, 6) конечен.] Далее, на полуоси можно определить сужение 7\ cz T,
соответствующее граничному условию и @) = 0.
Когда мы рассматриваем граничное условие типа и (а) = 0 для диффе-
дифференциального оператора в L9 (а, Ь), важно понимать, что означает и (а).
Вообще говоря, и (а) не имеет смысла для и ? Lp (а, 6), так как в Lp (а, Ь)
эквивалентные функции отождествляются (см. пример 1.3). Однако если
функция и эквивалентна непрерывной функции v, то выражение и (а) можно
понимать как значение v в точке х = а. Каждая функция и ? D (Т) эквива-
эквивалентна функции, непрерывной на [а, 6), если а > — оо, как это следует
аз условия и' ? Lp (а, Ъ).
2. Непрерывность и ограниченность
Оператор Т из X в Y непрерывен в точке и = и0 ? D (Т), если
кз || ип — и0 || -v 0, ип е D (Т), следует, что || Тип — Ти0 || -> 0.
Так же, как и в случае линейных форм (п. 1.3), оператор Т непре-
непрерывен всюду в области определения, если он непрерывен в нуле.
Оператор Т непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен:
|| Ти || ^ М || и ||, и ? D (Т). Наименьшее число М, для которого
имеет место предыдущее неравенство, называется нормой опе-
оператора Т и обозначается через || Т \\. Иногда говорят, что неогра-
неограниченный оператор имеет бесконечную норму.
Принцип продолжения по непрерывности, доказанный ранее
для линейных форм (теорема 1.16), можно обобщить на случай
ограниченных операторов из X в Y. Следует только отметить, что
при доказательстве существования предела v ? Y последователь-
последовательности {Тип}, где {ип} — сходящаяся последовательность в X,
должна быть использована полнота пространства Y.
Задача 2.8. Оператор с конечномерной областью определения ограничен.
Задача 2.9. Предположим, что Т ограничен и R (Г) плотно в Y. Если
множество D' с: D (Т) плотно в D (Г), то jf'D' плотно в Y.
Задача 2.10. Оператор Т'1 существует и ограничен тогда и только тогда,
когда существует m > 0 такое, что
|| Гк || > и || к ||, и?1)(Т). B.12)
Пример 2.11. Максимальный оператор умножения Т, определенный
в примере 2.2, ограничен при g = р тогда и только тогда, когда / (х) суще-
ствепно ограничена на Е; в этом случае || Т || = || / Ц,». Оператор Т, опре-
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 187
деленный в примере 2.3 с помощью матрицы (т»), ограничен, если выпол-
выполнены условия B.5), при этом, согласно B.6), || Г || ^ Af'i-i/PAf"i/p, Инте-
Интегральный оператор Г, введенный в примере 2.4, ограничен, если выполнены
условия B.8), причем Ц Т \\ < М'1~1/рМ'р согласно неравенству B.9).
Интегральный оператор Г из задачи 2.5 также ограничен и || Т || ^ М.
Пример 2.12. Все дифференциальные операторы, рассмотренные в при-
примерах 2.6 и 2.7, неограничены, так как норма || и' || может быть сколь угодно
большой для функций из единичного шара; это верно для каждого из про-
пространств С [а, 6] или L (а, 6) независимо от налагаемых граничных условий *).
Однако обратные операторы Т^1 ограничены; это следует из предыдущего
примера, так как операторы T^i суть простейшие интегральные операторы.
3. Обыкновенные дифференциальные операторы
второго порядка
В примерах 2.6 и 2.7 мы рассмотрели простейшие примеры дифферен-
дифференциальных операторов. Рассмотрим теперь более или менее подробно обыкно-
обыкновенные дифференциальные операторы второго порядка и их обратные 2).
Выражение
Lu = ра (х) и" + Pl (х) и' + р2 (х) и B.13)
мы будем называть формальным дифференциальным оператором, определенным
на конечном интервале а ^ х ^ 6, если р0, Pi и р2 — вещественные функции
на [а, 6], такие, что pi, р{ и р2 непрерывны на [а, Ь] и р0 (х) < 0. С помощью
формального оператора L можно построить разнообразные дифференциальные
операторы в различных функциональных пространствах.
Положим сначала X = С [а, Ъ]. Пусть D — множество функций и ?
z С [а, Ь], имеющих непрерывную вторую производную и". Введем оператор
Г в X с областью определения D (Г) = D, полагая
Ти = Lu, и 6 D. B.14)
Налагая граничные условия, мы сужаем подпространство D и приходим
к различным дифференциальным операторам Т. Мы не будем рассматривать
все возможные граничные условия и ограничимся лишь некоторыми типич-
типичными примерами, а именно:
Ти D (Tt) = D4 : и (а) = 0, и (Ъ) = 0 B.15)
(нулевые граничные условия),
Т2, D (Т2) - D2 : и' (а) -- hau (а) = 0, и' (Ъ) + hbu E) = 0 B.16)
(условия упругой границы),
Т3, D (Т3) = Оз : и (а) = 0, и' (а) ;= 0 B.17)
(нулевые начальные условия),
То, D (Го) = Do : и (а) = и' (а) = и F) = и' F) = 0. B.18)
Оператор Г — максимальный оператор в X, построенный по формальному
оператору L. Операторы Г4, Г2, Гз суть сужения порядка 2 оператора Г
и в то же время продолжения порядка 2 оператора Го.
Оператор Г необратим, так как уравнение Ти =¦ 0 имеет два линейно
независимых решения щ, к2 6 X. Операторы Th, k = 0, 1, 2, 3, обратимы,
возможно, при некоторых дополнительных условиях. Оператор Т^1 суще-
существует и определен на всем X, так как задача Коши всегда имеет решение
*) Однако оператор дифференцирования dldx ограничен, если его рас-
рассматривать как оператор из С' [а, 6] в С [а, Ъ].
*) Более подробное изложение теории обыкновенных дифференциальных
операторов см. в книгах Коддингтон и Левинсон [1J, Г о л д -
б е р г [I], H а й м а р к Щ, Стоун [1].
188 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
и притом единственное. Он является интегральным оператором Вольтерра 1),
определенным формулой
v
Т?»(У) = j ["i (У) иг (х) — и2(у) щ (х)] _^((Уро(а;) • B-19)
а
где щ, щ—любые два линейно независимых решения уравнепия Tu—-Qt
a W (х) — их вронскиан:
X
W (х) = щ (х) и'2 (х) — и2 (х) и[ (х) = const ехр ( — f -^- dx) . B.20)
V J Pa I
Оператор То также обратим, так как он является сужением оператора Г3.
Оператор Т^1 является интегральным оператором
ь
Tlxv{y)=[g{y,x)v(x)dx, B.21)
а
где g (у, х) — функция Грина 2) для нулевых граничных условий;
и{ (у) щ (х)
— (х) W (х) ' у^х<
U2{V)U^1_ y>x. B>22)
-Po(x)W(x)'
Здесь щ, иг — нетривиальные решения уравнения Lu = 0, такие, что щ (а) —
= 0, и2 (Ь) = 0 и W — их вронскиан, определенный формулой B0). Ядро g
корректно определено, если Ui F) Ф 0, так как тогда W (Ъ) Ф 0 и, следова-
следовательно, W (х) всюду отличен от нуля. Это условие выполняется, если, напри-
например, р2 > 0 на [а, 6]. В самом деле, если щ (Ь) = щ (а) = 0, то щ (х) имеет
положительный максимум или отрицательный минимум 3). Если щ (х0) —
положительный максимум, х0 ? (а, 6), то и{ (х0) = 0, и'{ (х0) < 0, и мы при-
приходим к противоречию, поскольку Lui (х0) = 0, р0 (х0) < 0, р2 (х0) > 0.
Аналогичным образом исключается возможность отрицательного минимума.
Итак, Ti обратим, если р2 > 0 на [а, 6], и Г-f1 — интегральный оператор
B.21), определенный на всем X [заметим, что ядро g (у, х) непрерывно по
совокупности переменных х и у].
Аналогично можно показать, что оператор Т2Х существует, определен
на всем X и является интегральным оператором вида B.21), если, например,
р2 > 0 на [а, 6] и ha, hj, ^ 0.
Задача 2.13. Область определения оператора Гц1 не совпадает со всем
пространством X; она состоит из функций, удовлетворяющих условиям
ь
Jr (т\ 1/± tx\ 1} tv\ dx П h- 19 Iе) 93\
a . ' ¦*
где
r(x)= y- exp
— Po(x)
г) Ядро t (у, х) (и соответствующий интегральный оператор) называется
вольтерровым, если t (у, х) = 0 при у < х (или при у > х).
2) Относительно функции Грина и других элементарных результатов,
используемых ниже, см., например, Коддингтон и Левинсон [1J.
3) Так как L имеет вещественные коэффициенты, то функцию и4 (х) без
ограничения общности можно считать вещественной.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 189
Предполагая, что р2 > 0, оценим норму оператора Т^1. Для этого пока-
покажем, что g (у, х) 5s 0 и
ь
[ g (у, х) dx < с, с = min p2 (х) > 0. B.24)
J X
а
То, что g (у, х) > 0, следует из формулы B.22), так как функции us, иг мож-
можно выбрать положительными по причинам, указанным выше. [Это следует
также и из того факта, что g (г/, х) не может иметь отрицательный минимум
по у при фиксированном х, так как g удовлетворяет уравнению Lyg = 0
при у Ф х и имеет характеристическую особенность х) в точке у = х,\ Для
доказательства неравенства B.24) обозначим через щ (у) его левую часть.
Функция и0 (у) удовлетворяет дифференциальному уравнению Lu0 = 1,
причем и0 (а) = и0 F) = 0. Пусть и0 (х0) — максимум функции и0 (х). Имеем
и'о (х0) = 0, и" (х„) < 0, и поэтому из Lu0 (х0) = 1 следует, чтор2 (^о) "о (^оХ
^ 1, откуда вытекает B.24).
Теперь из формулы B.21) следует, что для и = T^v
Ь
|| и||=тах| и (у) |< max | v (x) | max \ g(y, ж)йж<|| иЦ.с.
у х у J
а
Поэтому
II 7Y1 И < е-1. B.25)
Задача 2.14. Оценка B.25) верна и для Т\~х, если ha, h^ ^ 0. Рассмо-
Рассмотрим теперь дифференциальный оператор L в другом банаховом пространстве.
На этот раз положим X = ~\!Р (а, 6), 1 ^ р ^ оо. Так как С [а, Ь] являет-
является подмножеством в Lp (а, Ъ), то введенные выше операторы Т и Тп можно
рассматривать как операторы в Lp (a, b). Однако данное выше определение
подпространства D (Г) не является теперь столь уже естественным, так как
и" не обязана быть непрерывной для того, чтобы функция Lu принадлежа-
принадлежала X. Естественно считать, что и' абсолютно непрерывна на (а, 6) и и" ?
? X = Lp 2). Пусть D — множество всех таких функций; определим опера-
оператор Т формулой Ти = Lu, и ? D (Г) = D. Сужения Tk, к = 0, 1, 2, 3,
оператора Т можно определить так же, как и выше, «уменьшая» подпро-
подпространство D с помощью граничных условий B.15) — B.18). [Отметим, что
функция и' непрерывна на [а, Ь], так как и" ? Lp, и поэтому выражения
и (я), и' (а) и т. д. имеют смысл; ср. пример 2.7.]
Все результаты, касающиеся существования операторов Т~1 и Т^1,-
полученные выше в случае X = С [а, Ь], справедливы для пространства
L (а, 6). Достаточно сделать лишь следующее замечание. Функции Грина
строятся по формальному оператору L независимо от выбора банахова про-
пространства X. Тот факт, что операторы Т^1 ограничены и определены на всем
X, вытекает из формулы B.21) и свойств функций Грина.
Оценка B.25) неверна для Т^1 в Lp (a, b). Для того чтобы в рассма-
рассматриваемом случае получить аналогичную оценку, воспользуемся неравенством
ь
B.26)
J) Функция dg (у, x)ldy разрывна по у в точке у = х, причем ее скачок
равен 1/р0 (х).
2) Не обязательно предполагать, что и" ? X для того, чтобы равенство
Ти = Lu определяло оператор в X; достаточно предположить только, что
и ? X и Lu ? X. Однако это на первый взгляд более широкое определение
приводит к тому же оператору Т; см. замечание 2.16.
190 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Здесь предполагается, что с' > 0. Замечая, что g (х, у) является функцией
Грина сопряженного формального оператора
Mv = (pov)" — (piv)' + p2v, B.27)
и применяя неравенство B.24) к оператору М, получаем B.26). Неравенства
B.24), B.26) и результат примера 2.И приводят к оценке
||Г-1||<1/с1-1/р<;'1/р<1/тт(с, с'). B.28)
Задача 2.15. Функции ruk, к = 1, 2, в B.23) суть решения сопряжен-
сопряженного уравнения Mv = 0.
Замечание 2.16. Мы предположили в начале этого пункта, что интер-
интервал (а, 6) конечен, функции pJJ, p[, р2 непрерывны на замкнутом интервале
[а, Ъ\ и р0 < 0. В этом случае оператор L называется регулярным- Рассмо-
Рассмотрим теперь сингулярные случаи, в которых по крайней мере одно из упомя-
упомянутых условий не выполняется. Предположим, что функции р'ё, pi, рг не-
непрерывны на открытом интервале (а, Ь) и р0 Ф 0; функции р^ могут быть
комплексными, а интервал (а, Ь) бесконечным.
Не все операторы 1\ можно определить в сингулярном случае. Однако
всегда можно определить максимальпыи оператор Т и минимальный оператор
Т в Lp (а, 6), 1 ^ р < оо. Оператор Т задается формулой Ти = Lu, где
D (Г) — мпожество всех непрерывно дифференцируемых на (а, Ь) функций
и (х) ? X и таких, что и (х) абсолютно непрерывна на (а, 6) [так что и" (х)
определена почти всюду] и Lu ? X. Оператор Т есть сужение Т на подпро-
страпство D (Т) = Со° (а, 6) (см. пример 1.11). Операторы Т и Т плотно
определены.
В сингулярном случае совсем не просто определить сужения оператора Г,
аналогичные операторам Т^ и соответствующие «хорошим» граничным усло-
условиям. Сам оператор Т часто оказывается довольно «хорошим» оператором —
в каком именно смысле, мы уточним позднее.
В регулярном случае введенный ранее оператор Т на первый взгляд
отличается от только что определенного максимального оператора, так как
первоначальное определение требует, чтобы и" ? X, в то время как согласно
новому определению должно выполняться включение Lu g X. Однако в дей-
действительности эти два определения эквивалентны, так как из Lu g X в ре-
регулярном случае следует, что к" ? X. Это вытекает из свойства непрерывной
дифференцируемости на [a, fc] решения и дифференциального уравнения
Lu = I ? X.
§ 3. Ограниченные операторы
1. Пространство ограниченных операторов
Обозначил! через 38 (X, Y) множество всех ограниченных опе-
операторов, отображающих пространство X в Y. Оно соответствует
множеству всех операторов, отображающих X в Y в конечномер-
конечномерном случае (см. п. 1.3.2). Вместо J? (X, X) мы пишем 3$ (X).
Так как каждый оператор, принадлежащий §$ (X, Y), опре-
определен на всем X, а его образ содержится в Y, то линейная комби-
комбинация a.S + рГ операторов S и Т ? 33 (X, Y) имеет смысл (см.
п. 1.3.2). Результирующий оператор линеен и ограничен. Таким
образом, 36' (X, Y) — нормированное пространство с нормой
. •"¦:•¦¦ § 3. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ; , 191
|| Т || (см. п. 1.4.1). Произведение TS операторов Т ? % (Y, Z)
и S ? 36 (X, Y), определенное формулой A.3.15), принадлежит
38 (X, Z).
Пример 3.1. Рассмотрим оператор Т, построенный по матрице в при-
примере 2.3. Если условие B.5) (см. пример 2.11) выполнено, то максимальный
оператор Г в X = 1Р определен всюду в X и ограничен. Таким образом,
Т ? ?& (X). Множество всех операторов такого типа является линейным под-
подпространством в М (X). Если Т и S — операторы такого типа, определенные
матрицами (Тд) и (а^) соответственно, то оператор TS ? 3$ (X) построен
по матрице (тд)(
Пример 3.2. Рассмотрим интегральный оператор вида B.7). Рассма-
Рассматриваемый как максимальный интегральный оператор из X = Lp (E) в Y =
= Lp (F), оператор Т определен на всем X и ограничен; его норма || Т || =С
< Vj/'i-i/PAP'VP, если выполнено условие B.8). Итак, Т ? ?В (X, Y). Инте-
Интегральные операторы такого типа образуют линейное подпространство в
3 (X, Y).
Рассмотрим интегральный оператор S ? Зб (Y, Z) того же типа с ядром
s (z, у), где i/?F, z?GhZ — Lp (G). Произведение ST определено и при-
принадлежит & (X, Z). Оператор 5Т оказывается интегральным оператором
с ядром
. r(z,x)=[s(z,y)t(y,x)dy. C.1)
Это следует из равенства (ST)u = S (Ти), если поменять в нем цорндок
интегрирования; здась применима теорема Фубини, так как все возникаю-
возникающие при этом интегралы абсолютно сходятся. Нетрудно видеть, что ядро г,
определенное формулой C.1), удовлетворяет условию B.8), если ядра s и t
удовлетворяют условию B.8).
Задача 3.3; Ядро N (Г) оператора Т ? 3& (X, Y) есть замкнутое линей-
линейное подпространство в X.
Пространство J? (X, Y) банахово. Для доказательства его
полноты обозначим через {Тп} последовательность Копта
в 3S (X, Y). Так как || Тпи - Тпи \\ < || Тп - Тп || || и || -»- О,
то {Тпи} — последовательность Коши в Y для каждого фиксиро-
фиксированного и ? X. Поскольку Y полно, существует вектор v ? Y
такой, что Тпи ->- v. Определим оператор Т, полагая Ти = v.
Рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены при
доказательстве полноты пространства X* в § 1.4, показывают, что
Т линеен и ограничен, так что Т ? 3S (X, Y) и || Тп — Т || ->- 0.
Большую часть результатов относительно пространства
38 (X, Y), полученных в конечномерном случае, можно перенести
на рассматриваемый общий случай (за возможным исключением
тех результатов, которые используют существование базиса);
отметим, в частности, выражение A.4.2) для нормы || Т ||, нера-
неравенство A.4.6) для || TS || и различные результаты о бесконечных
рядах и операторнозначяых функциях, приведенные в § 1.4.
192 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В отличие от конечномерного случая в пространстве i? (X, Y)
можно ввести различные виды сходимости. Пусть Т, Тп ?
6 $/ (X, Y), п = 1, 2, . . . . Сходимость по норме в % (X, Y)
называется равномерной сходимостью. Говорят, что последова-
последовательность {Тп} в 3? (X, Y) сильно сходится к оператору Т ?
? i? (X, Y), если Тпи-у- Ти для каждого и ? X. Отметим, что
сходимость последовательности {Тп} по норме эквивалентна рав-
равномерной сходимости последовательности {Тпи} в шаре [| и || ^ 1.
Далее, последовательность {Тп} сходится слабо, если {Тпи} схо-
сходится слабо для каждого и ? X, другими словами, если последо-
последовательность (Тпи, g) сходится для каждого «fXig^ Y*. Если
для каждого и 6 X вектор Ги является слабым пределом после-
последовательности {Тпи}, то Т называется слабым пределом последо-
последовательности {Тп}. (Слабый предел единствен.) Последователь-
Последовательность {Тп} сходится по норме тогда и только тогда, когда (Тпи, g)
равномерно сходится при || и || ^ 1 и || g || ^ 1 (см. теорему 1.32).
Если пространство Y слабо полно (см. п. 1.6), то слабо сходящаяся
последовательность в 3? (X, Y) имеет слабый предел. Из сходи-
сходимости по норме вытекает сильная сходимость, которая влечет
за собой слабую сходимость. Мы используем следующие обозна-
обозначения: Т = u-lim Тп, Тп —»- Т для сходимости по норме, Т =
= s-lim Тп, Тп —> Т для сильной сходимости и Т = w-lim Tn,
Тп —*¦ Т для слабой сходимости.
w
Задача 3.4. Если {Tvu} сильно сходится для каждого и ? X, то {Тп}
сильно сходится к некоторому Tg^(X, Y).
Слабо сходящаяся последовательность {Тп} равномерно огра-
ограничена; это значит, что ограничена последовательность {|| Тп ||}.
Чтобы убедиться в этом, напомним, что слабо сходящаяся после-
последовательность {Тпи} ограничена при каждом и 6 X (см. п. 1.6).
Наше утверждение следует теперь из принципа равномерной огра-
ограниченности (нужно применить теорему 1.29 к семейству р% (и) =
= II Тпи ||). Из неравенства A.26) следует, что
||w-lim Тп || < lim inf || Тп ||. C.2)
Следующие леммы будут часто использоваться в дальнейшем.
Все операторы в этих леммах, если не оговорено противное, при-
принадлежат пространству 3? (X, Y).
Лемма 3.5. Равномерно ограниченная последовательность {Тп}
сильно сходится (к Т), если {Тпи} сильно сходится (к Ти) для всех
векторов и из фундаментального подмножества в X.
Лемма 3.6. Равномерно ограниченная последовательность {Тп}
слабо сходится (к Т), если {(Тпи, g)} сходится (к (Ти, g)) для
всех и из фундаментального подмножества в X и всех g из фунда-
фундаментального подмножества в Y*.
Г §3. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ' ,• 193
Доказательства этих двух лемм аналогичны доказательству
леммы 1.31, и мы не приводим их.
Лемма 3.7. Если Тп —>- Т, то Тпи равномерно сходится к Ти
S
для всех и из некоторого компактного подмножества S в X.
Доказательство. Заменяя в случае необходимости Тп
на Тп — Т, можно считать, что Т = 0. Компактное подмножество
S вполне ограничено, т. е. для каждого е > 0 существует конеч-
конечное число uk 6 S, таких, что каждый элемент и ? S лежит на рас-
расстоянии не более чем е от некоторого uk г). Так как Tnuh -*- 0
при п-у- оо, то существуют положительные числа nh такие, что
II Tnuk || < е при п > щ. Если и 6 S, то || Гпц || <
< || Тп (и - Uft) || + || Tnuk || < (М + 1) е, когда п > max nh,
где вектор щ таков, что \\ и — uh \\ < е, a iW = sup || 7"n ||
п
(согласно предыдущему замечанию, М конечно).
Лемма 3.8. Если Тп -> Т в 38 (Y, Z) u Sn -^ S в 38 (X, Y),
S S
то Гп?п -+TS в 38 (X, Z).
Доказательство. Tn5nw — TSu = fn E„ — S) и +
+ (Гп — Т) Su -у- 0 для каждого м f X, Отметим, что семейство
{Тп} равномерно ограничено и потому || Тп {Sn — S) и \\ ^
< М || E„ - 5) и || -* 0.
Лемма 3.9. Если Тп -+ Т в % (Y, Z) и Sn -+ S в @ (X, Y),
mo TnSn -+TS в % (X, Z).
W
Доказательство аналогично доказательству лем-
леммы 3.8; отметим только, что | (Тп (Sn — S) и, g) | ^
< М || g || || (Sn — 5) w || -> 0 для каждого w 6 X и g g Z*.
Задача 3.10. Если и„—>-м и Тп—>-Т, то Tniin^Tu. Если и„ ^- м
и Тп-+Т, то Тпип-+Ти.
Используя рассмотренные выше виды сходимости в J? (X, Y),
можно ввести различные понятия непрерывности операторно-
значных функций t —> T (t) ? $? (X, Y) вещественной или ком-
комплексной переменной t. Так, функция Т (t) непрерывна по норме,
если || Т (t + Л) — Т (t) || ->- 0 при А ->- 0. Функция f (t) сильно
непрерывна, если вектор-функция Т (t) и сильно непрерывна для
каждого и ? X; Т (t) слабо непрерывна, если Т (t) и слабо непре-
х) Если бы это было не так для некоторого & > 0, то нашлась бы бес-
бесконечная последовательность ип g S такая, что || и„ — «,„ || ^ 8, n ^= m;
такая последовательность не содержит сходящейся подпоследовательности.
13 т. Като
194 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
рывна для каждого и 6 X, т. е. функция (Т (t) и, g) непрерывна
для всех и 6 X и g ? Y*.
Функция || Т (t) || непрерывна, если Т (t) непрерывна по нор-
норме. Это неверно, вообще говоря, для сильно непрерывных функ-
функций Т (t). Если же Т (t) слабо непрерывна, mo \\ T (t) \\ локально
ограничена и полунепрерывна снизу. Локальная ограниченность
следует из того факта, что последовательность {\\ Т (tn) ||} огра-
ограничена, если tn ->- t; полунепрерывность снизу следует из C.2).
Аналогично можно ввести различные понятия дифференци-
руемости. Функция Т (t) дифференцируема по норме, если отно-
отношение h'1 [T (t + h) — Т (t)\ имеет предел по норме, который
называется производной по норме функции Т (t). Сильная произ-
производная Т' (t) = dT (t)/dt определяется равенством Т' (t) и =
— lim /i [T (t + h) и — Т (t) и]; аналогично можно определить
слабую производную.
Задача 3.11. Если и (t) ? X и Т (t) ? J) (X, Y) —сильно дифференцируе-
дифференцируемые функции, то Т (t) и (t) ? Y сильно дифференцируема и -т- (Т (I)] и («)) =
= 7" (t) u(t)+ T (t) и' (t).
Можно также определить различные понятия интеграла опера-
торнозначной функции Т (t) вещественной переменной t. Если
Т (t) непрерывна по норме, то интеграл \ Т (t) dt можно опре-
определить так же, как в конечномерном случае. Если Т (t) лишь
сильно непрерывна, то для каждого и g X можно определить
интеграл и = [ Т (t) и dt. Ясно, что || v \\ <f || T (t) и \\ dt <
^ II и II \ II Т (t) || dt; отметим, что функция |[ Т (t) || не обязана
быть непрерывной, однако она ограничена и полунепрерывна
снизу и потому интегрируема х). Таким образом, отображение
и —*- v — Su определяет оператор S ? 38 (X, Y), норма которого
не превосходит \ || Т (t) \\ dt. Полагая \ Т (t) dt — S, мы опре-
делим интеграл в сильном смысле \ Т (t) dt сильно непрерывной
функции Т (t), обладающий следующими свойствами:
<
^\\T(t)\\dt, C.3)
1) Если вещественная функция / (f) полунепрерывна снизу, то множе-
множество {1: f (t) > а} открыто для каждого а. Следовательно, / измерима по
Лебегу.
§ 3. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ • • j 195
слева в последнем равенстве фигурирует сильная производная.
Аналогично можно определить интеграл функции Т (?) комплекс-
комплексной переменной Z, вдоль кривой на комплексной плоскости.
Так же, как и для вектор-функций, понятия равномерной, силь-
сильной и слабой голоморфности для операторнозначных функций сов-
совпадают. Точнее, имеет место
Теорема 3.12. Пусть функция Т (?) со значениями в 38 (X, Y)
определена в области А комплексной плоскости и для каждого
и 6 X и g ? Y* функция (Т (?) и, g) голоморфна в А. Тогда Т (?)
голоморфна по норме в А {дифференцируема по норме в А).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.37, и мы
опускаем его. Следует отметить, что в случае локально ограни-
ограниченной функции || Т (?) || для голоморфности Т (?) достаточно
предположить, что (Т (?) и, g) голоморфна для всех и из фунда-
фундаментального подмножества в X и для всех g из^ фундаменталь-
фундаментального подмножества в Y*.
Задача 3.13. Пусть Тп ? М (X, Y) таковы, что функции (Тпи, g) огра-
ограничены при каждом и ? X и каждом g ? Y*. Тогда последовательность
{II Т-п 11} ограничена.
2. Операторная алгебра J'(X)
Пространство 38 (X) = 38 (X, X) — это пространство всех
ограниченных операторов в X. В 38 (X) определены не только
линейные комбинации двух операторов S и Т, но также и их
произведение ST, которое также принадлежит 38 (X). Таким
образом, 38 (X) — полная нормированная алгебра (банахова алгеб-
алгебра) (см. п. 1.4.1). И снова, большая часть результатов относитель-
относительно алгебры 38 (X), полученных в конечномерном случае, можно
перенести на общий случай, за возможным исключением тех фак-
фактов, доказательство которых использует существование базиса.
Следует отметить, что здесь существенна полнота простран-
пространства 38 (X); так, доказательство существования суммы абсолютно
сходящегося ряда операторов зависит от полноты 38 (X) [ср.
с рядом Неймана A.4.22) и показательной функцией A.4.20)].
Оператор Т ? 38 (X) называется невырожденным, если Т~г
существует и принадлежит 38 (X). В действительности достаточно
знать лишь, что Т'1 определен на всем X; ограниченность Т~г
в этом случае следует из теоремы о замкнутом графике (см. ниже
задачу 5.21).
Если || Т || <1, то оператор 1 — Т невырожден; это можно
доказать, используя ряд Неймана так же, как в п. 1.4.4. Далее,
Т непрерывно зависит от Т [на открытом множестве всех невы-
невырожденных операторов в 38 (X)]. Если Т (?) ?38 (X) зависит от ?
13*
196 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
голоморфно и невырожден, то Т~г (?) также голоморфен (см.
п. 1.4.5) *).
Для каждого Т 6 38 (X) можно определить спектральный
радиус spr Т = lim || Тп |[1/1п так же, как в конечномерном случае
(см. п. 1.4.2). Оператор Т называется квазинилъпотенпгным, если
spr T = 0.
След и детерминант, вообще говоря, не определены для опе-
операторов из Т 6 38 (X) (здесь мы имеем примеры понятий, введен-
введенных в конечномерном случае с помощью явного использования
базиса). Однако позднее мы это сделаем для некоторых специаль-
специальных классов операторов в 38 (X).
Пример 3.14. Максимальный интегральный оператор Т из примера 2.4
принадлежит М (X), если F = Е, Y = X = LP (Е) и выполнены условия
B.8). То же самое верно для максимального матричного оператора из при-
примера 2.3. Операторы, обратные к дифференциальным операторам Tit Г2, Т3
из примеров 2.6 и 2.7, принадлежат JJ (X), но Т^1 $ J? (X) (Т^1 ограничен,
но не определен всюду на X). Аналогично, операторы, обратные к диффе-
дифференциальным операторам Ti, Гг. ?з из п. 2.3, принадлежат д& (X) (при опре-
определенных условиях, сформулированных в § 2.3), но Tq1 (J J8 (X).
Пример 3.15. Интегральный оператор Вольтерра обычно (но не всегда)
квазинильпотентен. Рассмотрим, например, ядро t (у, х), которое непрерыв-
непрерывно в треугольнике j^i^j^Jb обращается в нуль при а ^ у < х ^.Ъ.
Соответствующий интегральный оператор Г в С [а, 6] или Lv (а, Ъ) квази-
квазинильпотентен. Для доказательства заметим, что ядро tn (у, х) оператора
Тп, » = 1, 2, . . ., является ядром Вольтерра (т. е. tn (у, х) — 0 при у < х).
При у > х имеем
Мп(и — х)п-1 Мп(Ь о»™
К <* «Ж A-1)! < (l-l/, - » = 1.2..... C.5)
где М = max [ t (у, х) \; эта оценка выводится по индукции из формулы
композиции ядер C.1). Из C.5) следует, что || Тп \\ <: Мп (Ь — а)п1(п — 1)!
(см. пример 2.11) и поэтому spr T = 0.
Пример 3.16. Пусть X = V, 1 <J р ^ оо, и Т — максимальный опе-
оператор в X, определенный матрицей (Тд), у которой все элементы, за исключе-
исключением элементов Tjj+i = Xj, / = 1, 2, . . ., равны нулю. Такой оператор
называется оператором левого сдвига, а последовательность {т,-} — опре-
определяющей для Т. Если эта последовательность ограничена, то Т ? М (X) и
Тх,. = 0, Тх2 = ед, Тхъ = т2х2, . . ., C.6)
где {xj} — канонический базис в X. Кроме того,
II Т || = sup | %j |. .. C.7)
Степень Tm оператора Т представляется матрицей (т^™'), у которой все
элементы, за исключением элементов вида т(т}_|_т = т;-т7-+1 ... х}-+тп^, равны
нулю. Таким образом,
|| Тт || = sup | XjXhi ... Xj+m-i |. C.8)
г) То же самое верно, когда Т (?) ? J? (X, Y) голоморфно зависит от
и г-1 ш e^8(Y, х). ¦••...
, § 3. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 197
Отсюда следует, в частности, что
sprT = T, если |т/|->т при ji-^oo. C.9)
Аналогично, оператор правого сдвига Т' определяется матрицей (Tjft), у кото-
которой все элементы, за исключением т^ , 4 j = ^p равны нулю. Если последо-
последовательность {x'j} ограничена, то Т' ? М (X) и
Гж1 = ф2, Т[х2 = х'гхг, ... . C.10)
Верны также формулы, аналогичные формулам C.7) и C.9).
3. Сопряженный оператор
Так же, как и в конечномерном случае (см. п. 1.3.6 и п. 1.4.1),
для каждого Т ? $ (X, Y) можно определить сопряженный опе-
оператор Т* 6 $ (Y*, X*). Для каждого g ? Y* отображение и ->-
->- (g, Ти) является ограниченной полулинейной формой на X
в силу неравенств | (g, Ти) | < || g || || Ти || < || Т || || g || || и ||;
поэтому (g, Ти) можно записать в виде (/, и), где / ? X*. Опре-
Определим оператор Г*, полагая T*g = /. Как и прежде, || 7**^ || ==
= II / 11 = sup | (/, и) К И Г И || g ||; поэтому || Т* || < || Г ||.
II «Н^ 1
Для того чтобы получить более точный результат || Т* \\ = \\ Т ]|,
мы несколько видоизменим рассуждения из п. 1.4.1, в которых
используется равенство X** = X, не выполняющееся в общем
случае. Применяя предыдущий результат к Т*, получаем
|| Т** |К || Т* |К || Т \\. Если X канонически отождествить
с подпространством в X**, то окажется, что Т** id T, так как
(Т**и, g) = (и, T*g) = (T*g, и) = (gTTu) = (Tu, g). Это пока-
показывает, что полулинейная форма Т**и на Y представима с помо-
помощью Ти ? Y, и потому 7***^ = Ти при отождествлении. Из T**zd T
следует, что || Т** \\ > || Т || и, значит, || Т \\ = || Т* ||.
И снова остается в силе большая часть результатов, полу-
полученных ранее в конечномерном случае. Среди исключений следует
упомянуть то обстоятельство, что второе соотношение в A.3.37)
должно быть заменено равенством
N (Г) = R (Т*)± П X. C.11)
Соответствующим образом можно обобщить и соотношения A.3.38)
между размерностями нуль-пространств, дефектами и рангами
операторов Т и Т*. Эти вопросы будут рассмотрены более подроб-
подробно в гл.IV.
Соотношения между операторами Т'1 и 71*, установленные
в гл. I, нужно изменить следующим образом. Если оператор
Т?&{Х, Y) имеет обратный Т~х ? J> (Y, X), то Т* имеет
обратный Т*'1 = Т*1* ? $} (X*, Y*). Этот результат получается
переходом к сопряженным операторам в равенствах Т~ХТ = 1Х,
ТТ~г — 1Y AХ — тождественный оператор в X). Обратно, из су-
существования 7'*^i?(X*, Y*) следует существование Т~г ?
198 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
6 $} (Y, X); доказательство этого факта нетривиально и будет
дано позднее в более общем случае неограниченных операторов
(см. теорему 5.30).
Пример 3.17. Рассмотрим максимальный иптегральный оператор Т
из примера 2.4: Т ? $ (X, Y), где X ? Lp (E), Y = Lp (F) (см. пример 3.2).
Таким образом, Т* ? М (Y*, X*), где X* = L5 (E), Y* = Lq (F), р-1 +
+ q-1 = 1 (см. пример 1.25; здесь мы предполагаем, что р < оо). Оператор
Т* оказывается интегральным оператором, ядро которого является эрмито-
эрмитово сопряженным к ядру оператора Т:
t* (x, у) = t(y,x). C.12)
Это следует из равенств
(T*g, u) = (g,Tu)=\g(y)dy\t(y, x)u(x)dx= \lT(x)dx \t(y,x)g(y)dy.,
F E В F
где и ? X, g ? Y*; изменение порядка интегрирования возможно (по теореме
Фубини), так как условие B.8) обеспечивает абсолютную сходимость соот-
соответствующего двойного интеграла.
Пример 3.18. Пусть Т — максимальный оператор в X = I9, 1 < р <
< оо, определенный матрицей (т,-д) (см. пример, 2.3). Если выполнено усло-
условие B.5), то Т ? & (X) (пример 3.1). Тогда Т* ? М (X*), где X* = Iе,
д-1 + р-1 = 1 (пример 1.25). Оператор Т* определен матрицей
Тд = ту. C.13)
Доказательство аналогично тому, которое было проведено в предыдущем
примере.
Пример 3.19. Операторы1Г и Т' из примера 3.16 сопряжены друг к дру-
другу, если Т и Т' определены в пространстве 1Р и 1? соответственно, где
р-1 + д-1 = 1, 1 < р < ОО И X) = Xj.
4. Проекторы
Идемпотентный оператор Р 6 93 (X) (это значит, что Р2 = Р)
называется проектором. Проектору Р соответствует разложение
X = М 0 N, C.14)
где М = РХ и N = A — Р) X, см. п. 1.3.4. Следует добавить, что
М и N — замкнутые линейные подпространства в X. Это следует
из того, что М и N суть нуль-пространства операторов 1 — Р и Р
соответственно (см. задачу 3.3).
Обратно, разложение C.14) банахова пространства в прямую
сумму двух замкнутых линейных подпространств определяет
проектор Р (на М параллельно N). Ясно, что Р — линейный опе-
оператор в X, однако доказательство ограниченности Р не просто.
Оно будет приведено в следующем параграфе в качестве прило-
приложения теоремы о замкнутом графике (теорема 5.20).
Для заданного замкнутого линейного подпространства М в X
не всегда существует подпространство N, дополнительное к М
§ 3. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ' 199
в том смысле, что имеет место разложение C.14) *). Другими
словами, не для каждого подпространства существует проектор.
С другой стороны, М может иметь несколько проекторов.
Задача 3.20. Пусть даны of X и / ? X*. Оператор Р, определошшй
равенствами Ри = (и, /) v, D (Р) = X, является проектором тогда и только
тогда, когда (v, f) = 1. В этом случае РХ есть одномерное подпространство
[v], порожденное вектором v, а N (Р) — замкпутое линейное подпространство
в X, состоящее из всех таких и, что (и, /) = 0 (N (Р) = [/] П X). Имеем
]\Р II < 11/11 II» II-
Задача 3.21. Результаты п. 1.4.6 о парах проекторов сохраняют силу
для проекторов Р и Q в банаховом пространство X. В частности, РХ и <?Х
изоморфны 2), если \\ Р — Q || < 1.
Результаты п. 1.3.4 о семействе проекторов Рь . . ., Ps в X,
удовлетворяющих условиям PjPp, = SjhPj, также можно без изме-
изменений перенести на случай банахова пространства.
Если Р ¦— проектор в X, то Р* — проектор в X*. Тогда М* =
= Р*Х = N A — Р*) = R A — P)-L == №- и, аналогично, N* =
= A - Р*) X* = M-J-.
Пример 3.22. Пусть X = С [ — а, а], а > 0, М и N — подмножества
в X, состоящие из всех четных и нечетных функций соответственно. Под-
Подмножества М и N суть дополнительные замкнутые линейные подпростран-
подпространства в X. Проектор Р на М параллельно N задается формулой
Ри{х) = ±(и(х) + и{-х)). C.15)
Нетрудно видеть, что \\ Р || = || 1 — Р || = 1. Пространство М можно далее
разложить в прямую сумму замкнутых линейпых подпространств Мо и Mi
таким образом, чтобы рассматриваемые на интервале [0, а] функции и ? Мо
и и g Mi были соответственно четны и нечетны относительно центра х = а/2
этого интервала. Диалогично, N представляется в виде No -\- Ni, так что
X = Мо ffi Mt ф No ® Nt. Каждый из четырех проекторов, ассоциирован-
ассоциированных с этим разложением пространства X, снова имеет норму единица. Легко
видеть, что те же результаты верны и для V (—а, а).
Пример 3.23. Пусть X = С [--я, п\ и
Рпи{х)— I \ cos пх и (х) Ах J cos пх, л=1, 2, ... . C.16)
-я
Операторы Рп суть проекторы (см. задачу 3.20), удовлетворяющие соот-
соотношениям РтРп = &тпРп, причем
II рп и <з4- II c°s nx Hi iicos пх и»=4 • (зл?)
То же самое верно и для пространства V (—я, я), если нормы || j|t
и И Цоо заменить на || ||в и || ||р, где р-1 + q-1 = 1. В частности || Рп || = 1,
если р = 2.
х) См. Д а н ф о р д и Шварц [1J, стр. 587.
2) Банаховы пространства X и Y изоморфны, если существует оператор
V 6 *& (X, Y) такой, что U-1 ? М (Y, X).
ЩО Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 4. Компактные операторы
1. Определение
Существует класс ограниченных операторов, называемых ком-
компактными (или вполне непрерывными) операторами, которые
во многих отношениях аналогичны операторам в конечномерных
пространствах. Оператор Т ? i? (X, Y) является компактным,
если образ {Тип} любой ограниченной последовательности {ип}
в X содержит подпоследовательность Коши.
Пример 4.1. Интегральный оператор Т (см. пример 2.4) из L1 (Е) в'
С (F) компактен, если Е и F суть компактные множества, а ядро t (у, х) не-
непрерывно по совокупности переменных х и у. Чтобы убедиться в этом, заме-
заметим, что
\Ти(у')-Ти(у")\<С
i < || и j| max ! (f (у', x)-t(y», х)\. D.1)
х
Так как функция t (у, х) равномерно непрерывна, то величину | Ти (у') —
— Ти (у") | можно сделать сколь угодно малой за счет \ у' — у" \. При этом
степень малости [ у' — у" | зависит только от || и ||. Другими словами,
функции Ти равностепенно непрерывны, если и пробегает ограниченное мно-
множество. Так как семейство {Ти} равномерно ограничено, когда ограничено
множество {и}, то по теореме Асколи 1) последовательность {Тип} содержит
равномерно сходящуюся подпоследовательность, если последовательность
{ип} ограничена. Это означает, что {Тип} содержит подпоследовательность
Коши в С (F) и потому оператор Т компактен.
То же самое верно, если интегральный оператор Т рассматривать как
оператор из X в Y, где X = С (Е) или IP (E), a Y = С (F) или Lq (F),
1 ^ р, q ^ оо. Это следует из того факта, что ограниченная последователь-
последовательность в X заведомо ограничена по норме || и \\и а последовательность Коши
в С (F) является последовательностью Коши в Y 2).
Пример 4.2. Пусть X = С [а, Ь) и Y = С [а, Ь] (норма в простран-
пространстве С определена формулой A.8)). Так как X — подмножество в Y,
то оператор Т, переводящий функцию и ? X в ту же самую функцию "и ? Y,
есть оператор из X в Y, определенный на всем X. Оператор Т компактен.
Это снова следует из теоремы Асколи, так как семейство {Ти} равностепен-
равностепенно непрерывно и равномерно ограничено, если ограничено семейство {и} 3).
Задача 4.3. Каждый оператор Т ? & (X, Y) компактен, если по край-
крайней мере одно из пространств X, Y конечномерно.
х) См., например, Ройден [1J, стр. 155.
2) Ряд других элементарных примеров компактных операторов приведен
книге Люстерника и Соболева [1].
t
I Г
3) Заметим, что [ и (t) — и (s) | = \ и' (х) dx
1 J
их-
§ 4. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 201
Задача 4.4. Тождественный оператор 1Х в банаховом пространстве X
компактен тогда и только тогда, когда X конечномерно. Это другая форма
предложения, утверждающего, что X локально компактно тогда и только
тогда, когда X конечномерно (см. п. 1.2).
Задача 4.5. Проектор Р ? J) (X) компактен тогда и только тогда, когда
его образ конечномерен.
Задача 4.6. Операторы, обратные к дифференциальным операторам Ть,
к = 1, 2, 3, из примеров 2.6 и 2.7, компактны. То же самое верно для диф-
дифференциальных операторов второго порядка, рассмотренных в п. 2.3.
2. Пространство компактных операторов
Обозначим через J?o (X, Y) множество всех компактных опе-
операторов в J? (X, Y).
Теорема 4.7. Множество J?o (X, Y) есть замкнутое линейное
подпространство в банаховом пространстве Зв (X, Y). Таким
образом, J?o (X, Y) само является банаховым пространством
относительно нормы из SB (X, Y).
Доказательство. Докажем сначала, что SB0 (X, Y) —
линейное подпространство. Так как оператор аТ компактен
одновременно с Т, то остается показать, что сумма 7" -)- Т" двух
компактных операторов 7" и Т" есть компактный оператор. Пусть
{ип} — ограниченная последовательность в X. Выберем в ней
подпоследовательность {и'п} такую, что {Т'и'п} — последова-
последовательность Коши в Y; затем выберем в {и'п} подпоследовательность
{и'п} такую, что {Т"и'п} — последовательность Коши в Y. Ясно,
что {G" + Т") и'п} — последовательность Коши. Это значит, что>
7" + Т" компактен.
Докажем замкнутость подпространства J?o (X, Y). Пусть
{7^} — последовательность компактных операторов, такая, что
|| Th — Т || -*- 0 при к ->- оо для некоторого Т 6 J* (X, Y); тре-
требуется доказать, что Т компактен. Фиксируя ограниченную после-
последовательность {ип} в X, выберем в {ип}подпоследовательность
{ц?'} так, чтобы {Ti ц?'}была последовательностью Коши, а затем
в {и^} выберем подпоследовательность {i4f'} так, чтобы {T2Un'}
была последовательностью Коши и т. д. Диагональная последо-
последовательность {z;n = ипп)} обладает тем свойством, что {Tvn} есть,
последовательность Коши. В самом деле, так как {z;n} является
подпоследовательностью каждой последовательности {unh^}, та
{ТъРп} ~~ последовательность Коши при фиксированном к. Для
любого е > 0 выберем столь большое к, чтобы выполнялось нера-
неравенство || Тк — Т || < е, и затем столь большое N. чтобы выпол-
выполнялось неравенство || Thvn — Thvn+P \\ -< е при и > N', р > 0.
Тогда
И Tvn - Tvn+P || < И (Т - Tk) (vn - Vn+P) || +
+ II Tk (vn - vn+p) || < BM + 1) e,
202 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
где М = sup || ип || <; оо. Так как неравенство D.2) верно для
любого п > N, то {Tvn} — последовательность Копш. Это дока-
доказывает компактность Т.
Теорема 4.8. Произведение компактного оператора на ограни-
ограниченный оператор есть компактный оператор. Точнее, пусть
Т е^о (X, Y), А 6 38 (Y, Z) и В ? 38 (W, X), где W, X, Y, Z —
банаховы пространства. Тогда AT 6 98ъ (X, Z) и ТВ 6 ^0 (W, Y).
Доказательство. Пусть {ип} — ограниченная после-
последовательность в X. Выберем в {ип} подпоследовательность {и'п}
такую, что {Ти'п} — последовательность Коши в Y. Тогда
{АТи'п} — последовательность Коши в Z; отсюда следует, что
оператор AT компактен. Пусть vn — ограниченная последова-
последовательность в W. Тогда {Bvn} ограничена в X и поэтому содержит
подпоследовательность {Bv'n} такую, что {TBv'n} — последова-
последовательность Коши. Это значит, что ТВ — компактный оператор.
В частном случае, когда Y = X, из теоремы 4.8 следует, что
произведение (в любом порядке) оператора из J?o (X) = !$0 (X, X)
на оператор из J? (X) принадлежит 98 й (X). Это означает, что
J?o (X) — замкнутый двусторонний идеал в банаховой алгебре
$ (X).
Задача 4.9. Если dim X = оо, то каждый оператор Т ? «!$0 (X) вырож-
вырожден (т. е. Т-1 $ ЗА (X)).
Теорема 4.10. Оператор, сопряженный к компактному опе-
оператору, компактен, т. е. если Т 6 ^о (X, Y), то Т* 6 98й (Y*, X*).
Доказательство. Докажем сначала, что образ ком-
компактного оператора является сепарабельным. Для этого доста-
достаточно показать, что образ TS единичного шара S в X сепарабелен,
так как R (Г) есть объединение множеств TS, 2TS, 3TS, . . .,
каждое из которых подобно TS. Для каждого натурального п
существует конечный набор из элементов рп, принадлежащих TS,
такой, что расстояние от каждой точки TS до некоторых рп не пре-
превосходит 1/и. В противном случае существовала бы бесконечная
последовательность точек Тип (ип ? S), все попарные расстояния
между которыми больше чем 1/и; из такой последовательности
нельзя извлечь последовательность Коши, что противоречит
предположению о компактности оператора Т. Объединение (по
всем п) упомянутых наборов из рп точек счетно и плотно в TS.
Сепарабельность TS доказана.
Возвращаясь к доказательству теоремы, зафиксируем
Т б^о (X, Y). Ясно, что Т* ?98 (Y*, X*). Мы должны пока-
показать, что из любой ограниченной последовательности {gn} в Y*
можно выделить подпоследовательность {g'n} такую, что {T*gn}—
§ 4. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 203
последовательность Коши в X*. Пусть v^ — последовательность,
плотная в R (T) a Y; существование такой последовательности
¦было только что доказано. Так как числовая последовательность
{(gn vk)} ограничена при фиксированном к, то с помощью диаго-
диагонального метода можно выделить из {gn} подпоследовательность
{/„}, такую, что {(/„, 17^)} — последовательность Коши при каж-
каждом фиксированном к. Так как {vh} плотна в R (Т), то {(/„, v)} —
последовательность Коши для каждого v ? R (Т). (Рассуждения
при этом аналогичны рассуждениям, использованным при дока-
доказательстве теоремы 4.7.)
Положим / [и] — lim (/„, v). Форма / — полулинейная форма
на R (Т), ограниченная ввиду ограниченности последователь-
последовательности {fn}. Форму / можно продолжить до ограниченной полу-
полулинейной формы на Y (по теореме Хана — Банаха), которую мы
обозначим также /. Таким образом, для каждого v ? R (Т) имеем
(fn> v) -*¦(/> v)> / € Y*, т. е. для всех и 6 X при п -*¦ оо
(/„, Tu)^(f, Tu). ¦ D.3)
Покажем теперь, что T*fn —*- T*f. Это завершит доказатель-
доказательство, так как {/„} — подпоследовательность, выделенная из {gn}.
Положим /„ — / = hn; требуется доказать, что T*hn —+- 0. Пред-
Предположим противное; тогда существует число б > 0 такое, что
|| T*hn || ^ б для бесконечного числа индексов п. Заменяя после-
последовательность {hn} на подходящую подпоследовательность, мы
можем считать, что || T*hn || ^ б для всех п. Так как || T*hn || =
= sup | (T*hn, и) |, то для каждого п существует вектор
|| и ||=1
ип ^ X такой, что
I (К, Тип) | = | {Т*К, и») I > 6/2, || ип || = 1. D.4)
Из компактности Т следует, что {Тип} содержит последователь-
последовательность Коши. Заменяя {Тип}, если это необходимо, подходящей
подпоследовательностью, можно считать, что {Тип} есть после-
последовательность Коши. Таким образом, для любого е > 0 суще-
¦ствует такое N, что || Тип — Тит || < е при п, т> N. Далее,
из D.4) следует, что
Jlf = sup||An||.
Переходя к пределу при п —*- сх> и фиксированном та, получаем
612 ^ Me, так как из D.3) следует, что (hn, Tu) ->- 0. Число е
произвольно, и поэтому 6=0.
204 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ Б БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
3. Вырожденные операторы. След и детерминант
Оператор Т ? 33 (X, Y) называется вырожденным, если ов
имеет конечный ранг или, другими словами, если R (Т) конечно-
конечномерно. В этом случае образ оператора обязательно замкнут. Так
как конечномерное пространство локально компактно (п. 1-1.5),
то вырожденный оператор компактен. Легко видеть, что множе-
множество всех вырожденных операторов является линейным подпро-
подпространством в 98 (X, Y), вообще говоря, незамкнутым.
Легко проверяется также, что произведение вырожденного
оператора Т и ограниченного оператора есть вырожденный опе-
оператор, причем его ранг не превосходит ранга оператора Т (можно
дать несколько более точную формулировку этого предложения,
как это было сделано в теореме 4.8). В частности, множество всех
вырожденных операторов в J? (X) есть (не обязательно замкну-
замкнутый) двусторонний идеал в алгебре $ (X).
Задача 4.11. Оператор Т 6 & (X, Y) вырожден тогда и только тогда,,
когда коразмерность нуль-пространства N (Т) конечна (dim X/N (Т) <с оо).
Задача 4.12. Пусть Тп — вырожденные операторы и || Гп — Г || -»¦ 0.
Тогда оператор Т компактный, хотя и не обязательно вырожденный.
Вырожденный оператор Т 6 9& (X, Y) допускает удобное опи-
описание с помощью базиса yit . . ., ym в R (Т), где m = rank T.
Так как Ти ? R (Т) для каждого и 6 X, то можно записать
m
Ти=^г],У}. D.5)
3=1
Коэффициенты rj^ однозначно определяются вектором и и зависят
от и линейно. Более того, эти линейные формы ограничены, так
как, согласно A.1.21), | г\} | < у || Ти || < у || Т \\\\ и ||. Следо-
Следовательно, мы можем написать т);- = (ej, и) = {и, е}) для некото-
некоторых ej 6 X*, и тогда формула D.5) принимает следующий вид:
Tu= J\{u,ej)yj. - D.6)
Вместо формулы D.6) удобно писать так: •
Для любого g 6 Y* имеем
(T*g,u) = (g,Tu)=%(ej,u)(g,yj)=*(^ig,yj)ej,uy. D.8)
Так как это верно для всех и 6 X, то
H{g,yj)ej, или Г*«
3=1 .
§ 4. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 205
Отсюда следует, что подпространство R (Т*) порождено векто-
векторами е±, . . ., ет. Таким образом, Т* также вырожден и rank T* ^
^ rank Т. Применение этого результата к Т* показывает, что
Т** также вырожден и rank T** ^ rank Т. Так как, однако, Т
можно рассматривать как ограничение оператора Т**, то rank T ^
^ rank T**. Таким образом, доказана
Теорема 4.13. Оператор Т вырожден тогда и только тогда,
когда Т* вырожден. Если Т вырожден, то
rank Т = rank T*. D.10)
Равенство D.10) сохраняет силу для всех Т ? 98 (X, Y), если
допускается бесконечное значение ранга оператора Т.
т
Задача 4.14. Интегральный оператор с ядром вида ^ f) (x) 8j (у)
3=1
«ырожден (здесь /ygX*, gj?Y).
Задача 4.15. Векторы ej в формуле D.9) образуют базис в R (Т*), ассо-
ассоциированный с базисом {г/;} в К(Г). Для другого базиса {/;-} в R (Г*) фор-
формулы D.7) и D.9) примут вид
Важное свойство вырожденных операторов Т ?.33 (X) заклю-
заключается в том, что для них можно определить след, а для опера-
операторов вида 1 + Т можно определить детерминант х). Образ R (Г)
конечномерен и инвариантен относительно Т. Обозначим через
TR часть оператора Т в R = R (Г). Определим детерминант
оператора 1 + Т формулой
det A + Т) = det AR + TR), D.11)
где 1R — тождественный оператор в R. (Определение детерми-
детерминанта оператора в конечномерном пространстве см. в п. 1.3.1.)
Любое подпространство М в X, содержащее R, также инва-
инвариантно относительно Т. Если М конечномерно, то определен
детерминант det AМ + Тм). Оказывается, что
det AМ + Тш) = det A + Т). D.12)
Для доказательства выберем в R какой-либо базис и расширим
его до базиса в М; матрица оператора Тм в этом базисе обладает
тем свойством, что все строки, соответствующие элементам базиса,
не содержащимся в R, состоят из нулевых элементов. Поэтому
детерминант суммы этой матрицы и единичной матрицы равен
¦det AR + rR), что по определению есть det A + Т).
1) Существует более широкий класс операторов, для которых можно
определить след или детерминант; см. Р а с т о н |[l|, Гротенди к,. [11
<случай гильбертова пространства рассмотрен в п. Х.1.4).
206 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Если оператор Т имеет вид D.7), где г/7- = Xj образуют базис
в R, то матричные элементы оператора 2r в этом базисе суть
(xh, ej). Поэтому
det A + Г) = det ф,к + {xj, eh)). D.13)
Отметим, что эта формула верна и в том случае, когда оператор Т
определен формулой D.7), причем векторы у} = Xj ? X необяза-
необязательно линейно независимы. Это можно доказать с помощью пре-
предельного перехода в формуле D.13).
Определенный выше детерминант обладает следующим свой-
свойством:
det (A + S) A + Г)) = det A + S) det (I + Т). D.14)-
Заметим, что A + S) A + Т) = 1 + R, где R = S + Т + ST
есть вырожденный оператор, если таковы S и Т. Для доказатель-
доказательства формулы D.14) обозначим через М конечномерное подпро-
подпространство, содержащее R (S) и R (Т). Тогда R (R) cr M и, соглас-
согласно D.12), det (A + S) A + Т)) = det A + R) = det AM + RM) =
= det AМ + SM + Тш + SMTM) = det (AM + SM) A„ + 7IM)) =
= det AM + SM) det AM + TM) = det A + S) det A + T).
Из D.13) следует, что det A + xT) есть полином по х степени
не выше rank Т = dim R. Коэффициент при х в этом полиноме
называется следом оператора Т. Таким образом, используя пре-
предыдущие обозначения, имеем
tr Т = tr Гн = tr Тш. D.15)
Если Т задан формулой D.7), то, согласно D.13), имеем
3=1
След вырожденного оператора обладает следующим свойством^:
tr ТА = tr AT, . D.17)
где Т — вырожденный оператор из 38 (X, Y) ш А — любой опера-
оператор из J? (Y, X). Отметим, что ТА — вырожденный оператор-
в Y, а А Т — вырожденный оператор в X. Для доказательства
формулы D.17) введем следующие обозначения: R = R (T) cr Y
и S = AR cz X. Пространства R и S конечномерны е R DГ) =
= ^4R (Т) = S, в то время как R (ТА) с R (Т) = R. Поэтому,
согласно D.15), достаточно доказать равенство tr (ТА)-& =
= tr(^r)s. Очевидно, что (AT)S = AT, где Т' — оператор
из S в R, индуцированный оператором Т (т. е. Т'и = Ти для
и ? S), и А' — оператор из R в S, индуцированный оператором А;
аналогично, (ТА)Я=Т'А'. Таким образом, D.17) /сводится;
к известному равенству tr ТА' = tr A'T для операторов в конеч-
конечномерных пространствах (см. задачу 1.3.8).
§ 5. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ 207
Задача 4.16. det A + Т*) = det A + Т), tr Г* = tr Т.
Задача 4.17. det A + TS) = det A + ST) [здесь предполагается, что-
по крайней мере один из операторов Т ? ?& (X, Y) и S ? ж (Y, X) вырожден].
Задача 4.18. Обобщить соотношения A.3.25) и A.5.42) на случай выро--
жденных операторов.
Задача 4.19. Если Т ? ?В (X) вырожден и нильпотентен, то tr T = О
и det A + Т) = 1.
§ 5. Замкнутые операторы
1. Замечания о неограниченных операторах
В предыдущих параграфах мы видели, что многие важные"ре-
зультаты теории операторов в конечномерных пространствах пере-
переносятся без существенных изменений на операторы из 38 (X, Y)
[или 38 (X)]. Для неограниченных операторов, область определе-
определения которых не совпадает со всем пространством, положение
совершенно иное, и мы встречаемся с рядом трудностей.
Приведенное в п. 3.1 построение линейных комбинаций и про-
произведений ограниченных операторов требует некоторых модифи-
модификаций в случае неограниченных операторов. Линейная комбина-
комбинация aS + рг двух операторов S и Т из X в Y снова определяется
по формуле A.3.12), но область определения этого оператора есть
по определению пересечение областей определения S и Т:
D (aS + рГ) = D (S) Л D (Т). E.1)
Действительно, aSu + $Tu не имеет смысла, если вектор и не при-
принадлежит пересечению D (S) f) D (Т). Может случиться, что пере-
пересечение E.1) состоит только из нулевого вектора; тогда aS +
+ РГ — тривиальный оператор, область определения которого-
состоит лишь из нуля пространства X (его образ также состоит-
из нулевого вектора пространства Y).
Задача 5.1. ОГсО, 0+7=77+0=Г для любого оператора Т.
Задача 5.2. Для любых трех операторов R, S, Т из X в Y имеем
(R + S) + Т == R + (S -г Т); этот оператор мы будем обозначать через.
R + S + Т. Далее, S + Т = Т + S; однако (S + Т) — Т cz S (вклю-
(включение в общем случае нельзя заменить равенством).
Произведение TS оператора Г из Y в Z и оператора S из X
в Y определяется по формуле A.3.15); его область определения
состоит по определению из всех векторов и 6 D (S) таких, что
Su ? D (Г) — в противном случае правая часть A.3.15) не имеет
смысла. Таким образом,
D (TS) = S-Ч) (Т). . ' ' E.2)
И снова может оказаться, что D (TS) состоит из одного вектора 0.
.208 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Задача 5.3. Пусть ?__— оператор из X в Y, Т — оператор из Y в Z
и Л — оператор, имеющий X в качестве пространства значений. Оказывает-
Оказывается, что (TS) R = Т (SR); этот оператор мы будем обозначать через TSR.
Кроме того, (аТ) S = Т (aS) = a (TS) для а ф 0; при а = 0 эти равенства
следует заменить включением (ОТ) S = 0 (TS) cz T (OS), так как области
определения операторов (ОТ) S и 0 (TS) совпадают согласно E.2), в то время
как область определения оператора Т (OS) равна D (S). Далее, (Т± + Tz) S =
= 7*15 + T2S, но Т (Si + S2) =з TSi + TS2, где знак id, вообще гово-
говоря, нельзя заменить знаком =. Далее, 1Y Т = Г1Х = Т, где 1Х — тож-
тождественный оператор в X.
Задача 5.4. Если Т — обратимый оператор из X в Y, то т~хТ = 1Х
и ТТ-1 с 1у.
Замечание 5.5. Из сказанного следует, что надо соблюдать
осторожность, когда мы имеем дело с операторами, определенными
не на всем пространстве. В таких случаях удобнее работать с век-
векторами, чем с самими операторами. Мы пишем, например,
Г (Ти) = и, и 6 D (Т), вместо включения Т~ХТ с 1Х. Как
правило, мы будем свободно производить различные операции
над операторами лишь только в том случае, когда они принадле-
принадлежат классу 98 (X, Y).
2. Замкнутые операторы
Среди неограниченных операторов выделяются операторы,
которые называются замкнутыми; они допускают довольно подроб-
подробное изучение и к тому же важны в приложениях.
Пусть Т — оператор из X в Y. Последовательность ип 6 D (Т)
называется Т-сходящейся (к и ? X), если {ип} и {Тип} — после-
последовательности Коши (и ип ->- и). Для обозначения Г-сходимости
последовательности {ип} к и мы будем писать ип —>- и. Оператор
Т называется замкнутым, если из ип ->- w следует, что а ? D (Г)
л Ти = lim Ггг„; другими словами, для любой последователь-
последовательности ип ? D (Г) такой, что ип -*¦ и и Гмд -> у, вектор м принад-
принадлежит D (Т) и Ти = v. Понятие замкнутости на первый взгляд
несколько напоминает понятие непрерывности, однако в действи-
действительности эти понятия весьма различны.
Множество всех замкнутых операторов из X в Y мы будем
обозначать % (X, Y) х). Мы пишем также % (X) вместо % (X, X).
Ограниченный оператор Т замкнут тогда и только тогда,
когда подпространство D (Т) замкнуто. В самом деле, из ип -*¦ и,
ип ? D (Т), следует сходимость последовательности {Тип}. Итак,
замкнутость Т эквивалентна тому, что из сходимости ип —*- и,
ип 6 D (Т), следует и 6 D (Т). В частности, каждый оператор из
3S (X, Y) замкнут: S& (X, Y) сг « (X, Y).
г) В § IV. 2 мы введем в % (X, Y) метрику и превратим это множество
в метрическое пространство.
§ 5. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ 209
Задача 5.6. Т -\- А замкнут, если Т замкнут и А ограничен, причем
D(A)=>D(T).
Задача 5.7. Если Т ? % (Y, Z), S ? g (X, Y) и Г f J (Z, Y), то
TS 6 g (X, Z).
Имея дело с замкнутыми операторами, удобно оперировать
с графиком оператора. Рассмотрим произведение X X Y, состоя-
состоящее из всех (упорядоченных) пар {и, v} элементов и ? X, v ? Y.
Множество X X Y становится векторным пространством, если
в нем определить линейные операции по формуле
«1 {, Vi) -\- a2 {u2, v2} = {а±щ + а2и2, а^ + а-&2}. E.3)
Далее, X х Y становится нормированным пространством, если
норму определить равенством *)
II {и, v} || = (|| и ||2 + || v И2I/2. E.4)
Очевидно, что пространство X X Y полно и, значит, банахово.
График G (Т) оператора Т из X в Y — это по определению
подмножество в X X Y, состоящее из всех элементов вида {и, Ти),
где и 6 D (Г). Подмножество G (Г) является линейным подпро-
подпространством в X X Y. Ясно, что последовательность {ип} в X
является Г-сходящейся тогда и только тогда, когда {ип, Тип} —
последовательность Коши в X X Y. Таким образом, замкнутость
оператора Т эквивалентна замкнутости линейного подпростран-
подпространства G (Т) в X X Y.
Задача 5.8. S cz Т эквивалентно G (S) с: G (Т).
Задача 5.9. Если Т ? % (X, Y), то нуль-пространство N (Т) оператора
Т — замкнутое линейное подпространство в X X Y.
Задача 5.10. Для того чтобы линейное подпространство М в XX Y
было графиком оператора из X в Y, необходимо и достаточно, чтобы в М
не было элементов вида {0, v}, где v Ф 0. Отсюда следует, что линейное под-
подпространство графика есть график.
1) Возможны и другие выборы нормы, например |] {и, v) || = |] и || +
+ |] v || или max (|| и1|, |] v ||). Мы используем норму E.4) в основном
потому, что такой выбор обеспечивает выполнение равенства (XX Y)* =
= X* X Y*. Для других норм это уже неверно, если только в про-
пространствах X X Y и X* X Y* выбор нормы не осуществляется различ-
различными способами. Равенство (XxY)*= X* X Y* означает следующее:
(i) каждый элемент {/, g} ? X* X Y* определяет элемент Ff (XX Y)*
по формуле ({и, v}, F) = (и, f) + (у, g), и, обратно, каждый элемент F ?
? (X X Y)* единственным образом представляется в таком виде; (И) норма
элемента F = {/, g) равна || {/, g} || = (|| / Ц2 + || g [I2I/2. Утверждение (i)
почти очевидно. Для доказательства утверждения (И) достаточно заметить,
что | ({и, и), {/, *}) I < I (в, /) I + | (v, в) I < II и II II / II + II v || || * II <
< (II и |Р + И v |P)V» (|! I |p + || g И2I/2 < || {u, v} || || {/, g) || и что, кроме
того, для фиксированной пары {/, g) и е > 0 существует пара {и, v}, удов-
удовлетворяющая условиям || и || = || / Ц, II v || = || g ||, (и, /) > A — е) || / ||2,
U, g) > A - е) || g |р, и поэтому | ({и, v), {/, g}) | > A - в) (|| / ||2 +
+ II е II2)-
14 Т. Като
210 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ Б БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Задача 5.11. Конечное продолжение (см. п. 2.1) замкнутого оператора
замкнуто. [Указание: применить лемму 1.9.]
Задача 5.12. Пусть Т ? g" (X, Y). Если «п 6 D (Т), ип —> и ? X и Тип —*¦
w w
-> v ? Y, то и ? D (Т) и Ти = v. [Указание: применить утверждение зада-
задачи 1.34 к G (Т).]
Если оператор S действует из Y в X, то график G (S) есть
подмножество в Y X X. Иногда же удобно рассматривать G (S)
как подмножество в X X Y. Точнее, пусть G' (S) — линейное
подпространство в X X Y, состоящее из пар вида {Sv, v},
v ? D (S). Назовем G' (S) обратным графиком оператора S. Так
же как и график, G' (S) является замкнутым линейным подпро-
подпространством тогда и только тогда, когда оператор S замкнут.
Если оператор Т из X в Y обратим, то
G (Т) = G' (Г). E.5)
Таким образом, замкнутость Т~1 эквивалентна замкнутости 7\
Задача 5.13. Линейное подпространство М в X X Y является обратным
графиком тогда и только тогда, когда М не содержит элементов вида {и, 0},
ифО.
Пример 5.14. Все дифференциальные операторы, рассмотренные в при-
примерах 2.6 и 2.7, замкнуты. В самом деле, Т± замкнут, так как замкнут fj ?
6 ?И (X). То же самое верно для операторов Т2 и Т3. Оператор То замкнут
ввиду того, что он является наибольшим общим сужением операторов Tj
и Г2 [другими словами, G {T0) = G (Ti) f\ G (T2)]. Точно так же можно уста-
установить, что все дифференциальные операторы, введенные в п. 2.3, замкнуты.
Задача 5.15. Оператор Т замкнут, если пространство R (Т) замкнута
и существует число m > 0 такое, что || Ти || > m ]| и \\ для всех и ? D (Т)„
3. Операторы, допускающие замыкание
Оператор Т из X в Y допускает замыкание {замыкаем), если
Т имеет замкнутое продолжение. Это условие эквивалентно тому,
что график G (Т) есть подпространство замкнутого линейного,
подпространства, являющегося графиком. Отсюда следует, что
Т допускает замыкание тогда и только тогда, когда замыкание
G (Т) графика G (Т) есть график (см. задачу 5.10). Таким обра-
образом, мы получаем следующий критерий: Т замыкаем тогда и толь-
только тогда, когда ни один элемент вида {0, г;}, v Ф 0, не является
пределом элементов вида {и, Ти}. Другими словами, Т допускает
замыкание тогда и только тогда, когда
ип 6 D (Т), ип -> 0 и Тип -> v => v = 0. E.6)
Если Т замыкаем, то существует замкнутый оператор Т такой,
что G (Т) = G (Т). Оператор Т называется замыканием опера-
оператора Т. Из определения немедленно следует, что Т является
наименьшим замкнутым продолжением оператора Т в том смысле,
§ 5. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ , 211
что любое замкнутое продолжение оператора Т оказывается про-
продолжением оператора Т. Так как включение и ? D (Т) эквива-
эквивалентно условию {и, Ти} 6 G (Г), то и 6 X принадлежит D (Т)
тогда и только тогда, когда существует последовательность
{ип}, Т-сходящаяся к и. В этом случае Ти = lim Tun.
Пусть Т — замкнутый оператор и S — замыкаемый оператор,
причем S = Т. В таком случае подпространство D (S) называется
ядром оператора Т. Другими словами, линейное подпространство
D в D (Т) является ядром оператора Т, если множество элемен-
элементов {к, Ти}, и g D, плотно в G (Г). Для этого необходимо (но,
вообще говоря, недостаточно), чтобы D было плотно в D (Т).
Задача 5.16. Если Т ограничен и замкнут, то любое линейное подпро-
подпространство D в D (Т), плотное в D (Г), является его ядром.
Задача 5.17. Каждый ограниченный оператор замыкаем (принцип про-
продолжения по непрерывности; см. п. 2.2).
Задача 5.18. Каждый замыкаемый оператор с конечным рангом ограни-
ограничен. (Таким образом, неограниченная линейная форма не допускает замы-
замыкания.)
Задача 5.19. Пусть Т — оператор из X в Y, причем Т'1 ? J? (Y, X).
Тогда D' cr D (Г) есть ядро оператора Т тогда и только тогда, когда ТХ)'
плотно в Y.
4. Теорема о замкнутом графике
Мы уже видели выше, что ограниченный оператор с областью
определения X замкнут. Докажем обратное предложение.
Теорема 5.20. Замкнутый оператор Т из X в Y с областью
определения X ограничен. Другими словами, из того, что Т ?
б % (X, Y) и D (Т) = X, следует Т 6 3S (X, Y).
Доказательство. Пусть S — прообраз относительно Т
открытого единичного шара в Y (мы еще не знаем, открыто мно-
множество S или нет). Так как D (Т) = X, то X есть объединение
множеств S, 2S, 3S, .... Рассуждения, использованные в дока-
доказательстве теоремы 1.29, показывают, что замыкание S множе-
множества S содержит некоторый шар К, Обозначим через иож г центр
и радиус этого шара.
Каждый вектор и 6 X, норма которого меньше 2г, можно
представить в виде и—и' — и", где и', и" 6 К (см. там же). Так
как К cz S, то существуют последовательности и^,, и"п ? S, схо-
сходящиеся к и', и" соответственно. Неравенство || Т (i4 — и"п) || ^
^ || Тщг || + || Ти'п || < 2 показывает, что и'п — и^, 6 2S. Таким
образом, и = lira (и^, — и"г) 6 2S. Из однородности нормы сле-
следует, что для любого К > 0 шар || и || < hr содержится в мно-
множестве XS.
14*
212 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Выберем в X произвольный вектор и, норма которого меньше
г, и зафиксируем 8 из интервала @, 1). Так как и 6 S (это отме-
отмечалось выше), то существует вектор Ui ? S такой, что \\и — щ || <
-< гг и || Тщ || < 1. Поэтому, согласно изложенному выше,
и — Щ ? sS, и, следовательно, существует вектор и2 6 sS такой,
что || и — Ui — u2 || < е2/1 и || Ги2 || < е. Продолжая этот про-
процесс по индукции, мы строим последовательность {Un}, обла-
обладающую следующими свойствами:
• || и - щ - . . . - ип ||< епг, || Тип || < в»-1, л = 1, 2, . . . .
Полагая irn = u1-(- ... + ип» мы получаем, что || и — wn || <snr->-0
п+р
при вн-оо и lir^-r^+plK 2 ||71uft||<sn + sri+1+ ...
->-0 при п-уоо. Отсюда следует, что wn-+u.
. ..<!A — s)~xsn->-0 при п-уоо. Отсюда следует, что
Так как Т замкнут, то Tu = limTwn- Из неравенства \\Twn\\<_
<l-i-e-l-s2-f ... = A — s) мы заключаем, что || Ги||<A —s).
Так как это верно для всех и?Х из шара || и || О, то Т огра-
ограничен и || Т ||-<A — s) r. Поскольку s произвольно, ||Г||<;1/г.
В качестве приложения теоремы 5.20 мы докажем ограничен-
ограниченность проектора Р на М параллельно N, определенного форму-
формулой C.14). Достаточно показать, что Р замкнут, так как Р опре-
определен всюду на X и линеен. Пусть {ип} — произвольная Р-схо-
дящаяся последовательность: ип -*- и, Рип ->- v. Так как Рип 6 М
и М замкнуто, то v g М. Аналогично, из условия A — Р) ип 6 N
и замкнутости- N следует, что и — v = lim (un — Рип) g N. Таким
образом, Ри — v по определению, и замкнутость Р доказана.
Задача 5.21. Пусть Т ? % (X, Y) и R (Г) = Y. Если Г обратим, то
Т-1 6 & (Y, X).
Задача 5.22. Пусть Т ? «$ (X, Y) и 5 — замыкаемый оператор из Y
в Z, такой, что D (S) гэ R (Г). Тогда ST ? $} (X, Z). [Указание: 5Г замы-
замыкаем, имеет область определения X и поэтому замкнут.]
5. Сопряженный оператор
Оператор Т из X в Y и оператор S из Y* в X* называются
сопряженными друг к другу, если
(*, Ти) = (Sg, u), и 6 D (T), g 6 D E). E.7)
* Для оператора Т из X в Y существует, вообще говоря, много
операторов из Y* в X*, сопряженных к Т. Однако если Т опре-
определен на всюду плотном подмножестве в X (плотно определен),
то существует единственный максимальный оператор Т*, сопря-
сопряженный к Т. Это означает, что Г* сопряжен кГ,а любой другой
-. ¦ ; S 5. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ 213
оператор S, сопряженный к Т, является сужением оператора Т*.
Оператор Г* называется сопряженным к Т.
Оператор Т* можно построить следующим образом. Подпро-
Подпространство D (Г*) состоит из всех g ? У* таких, что для неко-
некоторого / 6 X*
(g, Tu) = (/, и) E.8)
для всех и ? D (Т). Элемент / ? X* определяется однозначно по g,
так как из равенства (/, и) — (/', и), справедливого для всех
векторов и из D (Г), следует равенство / = /', так как D (Т)
плотно в X по предположению. Оператор Г* из Y* в X* опреде-
определяется равенством T*g = /. Очевидно, что Г* линеен и сопря-
сопряжен к Т; далее, сравнение равенств E.7) и E.8) показывает, что
S cz T* для любого оператора S, сопряженного к Т.
Условие сопряженности E.7) допускает простую интерпре-
интерпретацию в терминах графиков. Рассмотрим произведение банаховых
пространств X и Y, введенное в § 2. Равенство E.7) можно перепи-
переписать в виде (—Sg, и) + (g, Tu) = 0; отсюда следует, что вектор
{и, Ти} ? X X Y аннулируется функционалом {—Sg, g) 6
Е X* X Y* = (X X Y)* г). Другими словами, Т и S сопряжены
тогда и только тогда, когда график оператора Т и обратный
график оператора (-S) аннулируют друг друга: G (T) _L G' (—S).
Аналогично, равенство E.8) показывает, что обратный гра-
график оператора — Т* есть аннулятор графика оператора Т:
G' (-T*) = G (Т)±. E.9)
Предположение о плотной определенности оператора Т гаранти-
гарантирует, что G (Г)-1- является обратным графиком. Так как аннуля-
аннулятор замкнут (см. п. 1.4), то Г* — замкнутый оператор. Отметим,
что это верно даже в том случае, когда Т не является замкнутым
или не допускает замыкания; однако может случиться, что опе-
оператор Г* тривиален (его область определения состоит из нуле-
нулевого вектора).
Задача 5.23. Если Т ? М (X, Y), то приведенное выше определение
сопряженного оператора совпадает с определением из § 3.3.
Задача 5.24. Если Т и S сопряжены и Т допускает замыкание, то Т
и S также сопряжены. В частности, Т* = (Г)*.
Задача 5.25. Из Т а Т' следует Т* zd Т'* (если Т плотно определен).
Задача 5.26. Пусть Т действует из Y в Z, a S действует из X в Y, при-
причем оператор TS плотно определен в X. Тогда (TS)* гэ S*T*. Здесь вклю-
включение можно заменить равенством, если Т ? М (Y, Z).
Задача 5.27. Для любого плотно определенного оператора Т
N (Г*) = R (ТI. E.10)
1) См. примечание на стр. 209.
214 Гл. II. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Понятие сопряженности приводит к очень удобному критерию
замкнутости, а именно, верна
Теорема 5.28. Пусть оператор Т, действующий из X в Y,
и оператор S, действующий из Y* в X*, сопряжены друг к другу.
Если один из них плотно определен, то другой замыкаем.
Доказательство. Если Т плотно определен, то Г*
существует, замкнут i Г* э 5, Итак, S замыкаем. Если S плотно
определен, то G' (—S)— есть график в X** X Y** [так же как
G (T)-L является обратным графиком в X* X Y*, если Т плотно
определен]. Так как G (Т) аннулирует G' (—S), то G (Т) есть
подмножество в G' (—iS)-L, и то же самое верно относительно
замыкания G (Т) (рассматриваемого как подмножество в X** X
X Y**). Отсюда следует, что G (Т) — график, т. е. Т допу-
допускает замыкание.
Теорема 5.29. Пусть пространства X и Y рефлексивны. Если
оператор Т из X в Y плотно определен и допускает замыкание,
то Т* замкнут, плотно определен и Г** = Т.
Доказательство. Так как X и Y рефлексивны, то,
согласно A.24), G (ГI1 = G [Т) = G (Т) (мы отождествляем
X** с X и Y** с Y). Поэтому G (Т) = G' (— Г*)-Ц откуда сле-
следует, что Т* плотно определен; в противном случае существует
•вектор v ? Y такой, что 0^»i D (У*); следовательно, {0, г;} ?
6 G' (—r*)-L = G (Т). Последнее включение противоречит тому,
что G (Т)— график. Таким образом, определен оператор 7"**
жз X** = X в Y** = Y и G (Г**) = G' (-Г*)±= G (f), откуда
следует, что Г** = Т.
Теорема 5.30. Пусть оператор Т 6 ^ (X, Y) плотно опре-
определен. Если Т~х существует и принадлежит 38 (X, Y), то Г*-1
существует и принадлежит 38 (X*, Y*), причем
Г*-1 = (Г)*. E.11)
Обратно, если У*-1 существует и принадлежит 3$ (X*, Y*),
, то Т'1 существует и принадлежит 38 (Y, X) и, кроме того,
выполняется равенство E.11).
Доказательство. Предположим, что Т'1 ? 38 (Y, X).
Тогда (Г")* 6 38 (X*, Y*). Для каждого g 6 D (Т*) с Y* и каж-
каждого v 6 Y имеем (G7-1)* T*g, v) = {T*g, Т~ги) = (g, ТТ~Ь) =
= (g, v); поэтому (Т)* T*g = g. G другой стороны,
((Г-1)* /, Tit) = (/, Т-хТи) = (/, и) для каждого / 6 X* и каж-
каждого и 6 D G1) с X; значит, (З1)* / 6 D B1*) И7 согласно опре-
§ 5. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ц ;•;., . ; 215
делению сопряженного оператора, Т* (J1)* / = /. Это пока-
показывает, что оператор 71*-1 существует и равен G1)*.
Обратно, предположим, что 71* ? J? (X*, Y*). Для каж-
каждого / 6 X* и каждого и 6 D (Г) имеем (Г*-1/, fit) = (Г*Г*/, м) =
== (/, и). Далее, для каждого и ? X существует форма / такая,
что || / || = 1 и (/, и) = || и || (см. следствие 1.24). При таком
выборе / имеем || и || = (Т*~Ч, ^«) < II ^*"х II II ^« ||. Отсюда
следует, что Т обратим и || Т~г || ^ || 21* ||. Так как Т~х огра-
ограничен и замкнут, то подпространство R (Т) замкнуто. Остается
доказать, что R (Т) = Y. Для этого достаточно показать, что
ни один ненулевой вектор g из Y* не аннулирует R (Т). Однако
это очевидным образом следует из E.10), так как равенство T*g —
= 0 означает, в силу обратимости Т*, что g = 0.
Пример 5.31. Найдем сопряженные операторы к операторам Т, Тп,
п = 0, 1, 2, 3, определенным с помощью формального дифференциального
оператора L => dldx в X = Lp (а, Ъ) (см. пример 2.7). Обозначим через S, Sn
те же операторы, действующие в пространстве X* = L9 (a, b), p-1 -f- q-1 = 1,
1 ^ р < оо. Нетрудно видеть, что операторы Г и —50 сопряжены друг
к другу. Покажем, что Т* = — So. Пусть g ? D (Г*) и / = r*g; тогда
ь Ь
j fudx = U, и) = (r*g, и) = (g, Ги) = j gu' dx E.12)
о о
для каждого ц?О(?)- Положим h(x)=\ f dx. Так как f = h' и й(а)
о
E.12) после интегрирования по частям приводит к равенству
ъ ' •
u'dx— h(b)u(b) = O. , E.13)
а
Для любой функции v ? X существует функция ц ? X такая, что и' — v
ж и (b) = 0. Поэтому g + /i ? X* аннулирует все векторы г; ? X и, следова-
следовательно, g -f- h = 0. Тогда из E.13) вытекает, что /i F) и (Ь) = 0. Но так как
существует функция и ? D (Г), не обращающаяся в нуль в точке Ь, то h (b) ==
•= 0. Итак, функция g = —h абсолютно непрерывна, причем g' = —h' =
= / ? X* и g (a) = g F) = 0; поэтому g 6 D №) и T*g = / = —50g. Это
доказывает требуемое равенство Г* = —SB, так как ранее мы отметили, что
Т* zd -So.
Точно так же можно доказать, что Т$ = —S, Tf = — S2, T$ — —Sit
?з (А) = —Ss (ilk). Аналогично можно получить равенство Т* = —S
в. в общем случае, когда интервал (а, Ь) не предполагается конечным (Т —
минимальный оператор; см. пример 2.7).
Пример 5.32. Рассмотрим операторы из п. 2.3, построенные по формаль-
формальному дифференциальнму оператору L второго порядка [см. B.13)]. Сначала
рассмотрим общий (сингулярный) случай (см. замечание 2.16) и введем мак-
максимальный и минимальный операторы Г и Г в X = Lp (а, Ь), 1 ^ р <; оо.
216 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ Б БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Аналогично определим максимальный и минимальный операторы S и S,
построенные по оператору М, формально сопряженному к L [см. B.27)].
Наш основной результат здесь состоит в том, что
Т* = S. E.14)
В самом деле, тот факт, что Т и S сопряжены друг к другу, легко сле-
следует из тождества Лагранжа
Р
\ (vLu— uMv)dx=[pou'v — и (Pov)'-i-Piuv]^ , ' E.15)
где и g D (T) = CJ° (а, Ь), v g D (S), причем функция и (x) обращается
в нуль вне конечного интервала (a, f5).
Для доказательства более сильного результата E.14) введем для е > О
интегральный оператор К = Ке с ядром
к (у, х) =¦ \у — х\ц(у — х), E.16)
где г) (t) — бесконечно дифференцируемая функция вещественной перемен-
переменной t, такая, что х\ (f) = 1 в точках интервала | t | ^ е/2 и r\ (t) = 0 при
| t | ^ е. Ядро к (у, х) бесконечно дифференцируемо, за исключением точек
вида у — х и к (у, х) = 0 при | у — х | > 8.
Пусть w (х) — бесконечно дифференцируемая функция, тождественно
обращающаяся в нуль вне интервала (а + 28, Ь — 2г); положим и = Kw*
Так как ядро к (у, х) обращается в нуль при | у — х \ ^ е, то функция
и (х) равна нулю вне интервала (а + е, Ь— 8). Из непрерывности ядра
к (у, х) в точках вида у = х следует, что и' = K'w, где К' — интегральный
оператор с ядром к' (у, х) = дк (у, хIду. Так как к' (у, х) имеет скачок, рав-
равный двум в точке у — х, то вторая производная и' не может быть получена
простым дифференцированием под знаком интеграла; правильное выраже-
выражение для и" таково:
и" = 2w + K"w, E.17)
где К" — интегральный оператор с ядром к" (у, х) = д2к (у, х)/ду2. Отме-
Отметим, что функция к" всюду бесконечно дифференцируема. Таким образом,
и бесконечно дифференцируема и тождественно равна нулю вне интервала
(а + 8, Ь — 8); поэтому и ? D (Т) и
Ти = Lu = 2p0w + paK"w -f- piK'w + p2Kw. E.18)
Пусть g ? D (T*) и / = T*g. Для всех бесконечно дифференцируемых
функций и, равных нулю вне интервала (а + 8, Ь — 8), имеем (g, Ти) =
= (/, и), и поэтому
BPog + K"*pog + K'*Pig + K*P2g, w) = (K*f,\w). E.19)
Отметим, что К, К' и К" — ограниченные операторы в X (так как ядра
к, к' и к" суть ограниченные функции; см. примеры 2.4 и 2.11), а их сопря-
сопряженные являются интегральными операторами с эрмитово сопряженными
ядрами (пример 3.17). Так как бесконечно дифференцируемые функции ю,
обращающиеся в нуль вне интервала (в + 2 8, Ъ — 2е), образуют плотное
множество в Lp (a + 2е, Ь — 2е), то из E.19) следует, что
g (x)= i [K*f (x)-K*p2g (x)-K'*Pig (x)-K"*Pog (x)] E.20)
zp0 (г)
для почти всех точек х ?- (a -f- 2e, b — 2е).
§ 5. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ 217
Ввиду того что /, g ? X* = L9, правая часть в E.20) непрерывно зави-
зависит от х (отметим, что ядра к, к' и к" суть гладкие или кусочно гладкие функ-
функции). Отсюда следует, что g непрерывна на интервале (а + 2е, b — 2е).
Так как е > 0 произвольно, то g непрерывна на (а, 6). Возвращаясь к фор-
формуле E.20), видим, что g (х) непрерывно дифференцируема на (a -f- 26 — 2е}
и, следовательно, на (а, 6). С помощью таких же рассуждений можно пока-
показать, что g' абсолютно непрерывна, a g" локально принадлежит L9 [любому
собственному подинтервалу из (а, Ь)], так как из E.20) следует, что функция
g" — flpQ непрерывна.
Используя это локальное свойство функции g, с помощью интегрирова-
интегрирования по частям получаем: (/, u) = (g, Ти) = (Mg, и) для каждой функции
и ? D G), так что Mg = / 6 X* = L9 (а, Ь). Таким образом, g ? D (S) и Sg =
= Mg = } = T*g. Это завершает доказательство равенства E.14), так как-
5 cz T*.
Предположим теперь, что оператор L регулярен (см. замечание 2.16),
и найдем операторы Т* и Т%. Так как Т} :э Т, то Т$ cz T* = S. Поэтому
тождество Лагранжа дает
[Pou'g-u(pQg)' + Piug]ba=(g, Tu)-(Sg, u) = (g, Tiu)-(Ttg, u) = 0 E.21)
для каждого и 6 D (Tj) и каждого g 6 D (Tf) с: D (S). Так как и' (а) и и' (b)
могут принимать произвольные значения, в то время как и (а) = и F) = 0,.
из E.21) следует, что g (a) = g (b) = 0. Таким образом, g удовлетворяет
граничным условиям для 5ц и поэтому Г? = St. (Операторы Sn определяют-
. ся в X* с помощью М точно так же, как операторы Тп строятся в X по L.)-
Аналогично можно показать, что Т* = SB, T$ = S2 (при этом констан-
константы ha, ht в граничных условиях для Т2 и S2 должны быть надлежащим обра-
образом связаны), Т$ = 1?4> Tf = S3 (индекс 4 указывает на то, что в граничных
условиях типа 3 точка а заменена на Ь) и rj = S.
Эти результаты показывают, что оператор S (в общем случае) и операто-
операторы Sn (в регулярном случае) замкнуты, согласно теореме 5.29. Так как соот-
ношение между L и М симметрично, операторы Т и Тп также замкнуты (по>
крайней мере при 1 < р < оо).
: Задача 5.33. Если функция и" непрерывна и и (х) = 0 вне замкнутого
подинтервала [а', Ь'] в (а, 6), то и g D (Т).
6. Коммутативность и разложение .-Н
Так же как в конечномерном случае, два оператора S и Т ?
6 98 (X) по определению коммутируют, если ST = TS. Не совсем
просто распространить это определение на неограниченные опе-
операторы в X: это объясняется трудностями, связанными с обла-
областями их определения. Обычно ограничиваются промежуточным
случаем, когда один из операторов принадлежит 9S (X). Опе-
Оператор Г в X коммутирует с оператором A g J? (X), если
AT с ТА. ' E.22)
Это означает, что всякий раз, когда и 6 D (Т), вектор Аи также
принадлежит D (Т) и ТАи = АТи. ,; • ,fi
218 Гл. Ш. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Задача 5.34. Определение E.22) эквивалентно старому определению
АТ = ТА, если?;Г ? «# (X).
Задача 5.35. Любой оператор Г в X коммутирует с каждым скалярным
оператором ccl A —тождественный оператор в X).
Задача 5.36. Если Т ? g (X) коммутирует с Ап ? М (X) и если 4П —*•
—*¦ А ?«$(Х), то Т коммутирует с А. [Указание: см. задачу 5.12.]
W
Задача 5.37. Если обратимый оператор Г в X коммутирует с А ? М (X),
то Т'1 также коммутирует с А.
Понятие подпространства М в X, инвариантного относительно
оператора Т ? 98 (X), можно определить так же, как в конечно-
конечномерном случае, посредством включения ТМ с М. Довольно труд-
трудно перенести это понятие на неограниченные операторы в X,
так как включение ГМ с: М будет иметь место всякий раз, когда
М содержит лишь нулевой вектор из D (Т) (по поводу обозна-
обозначения ГМ см. п. 2.1).
Однако понятие разложения оператора Т, определенного парой
М, N взаимно дополнительных подпространств [см. C.14)], можно
перенести на общий случай. Оператор Т допускает разложение
относительно прямой суммы X = М Ф N. если
PD (Т) с: D (Г), ГМ<= М, ITNc N, E.23)
где Р — проектор на М параллельно N (см. п. 3.4). Отметим, что
первое из условий E.23) исключает отмеченный выше сингуляр-
сингулярный случай.
Условия E.23) эквивалентны условию коммутирования Т та. Р:
TPzdPT. E.24)
В самом деле, из условий E.23) следует, что для любого вектора
и 6 D (Т) Ри?Ъ (Т) и ТРи 6 М, Т A — Р) и е N. Следова-
Следовательно, A — Р) ТРи = 0 и РГ A - Р)и = 0, и поэтому ТРи =
= РТРи = РТи, откуда вытекает E.24). Аналогично прове-
проверяется, что из E.24) следует E.23).
В том случае, когда Т допускает разложение относительно
прямой суммы МФ N, можно определить части Гм и Т^ опе-
оператора Т в подпространствах М и N соответственно: Тш есть
оператор в банаховом пространстве М с областью определения
D (Т) П М, действующий по формуле Тши = Ти 6 М; оператор
!TN определяется аналогично. Если Т замкнут, то же самое верно
относительно Гм и Тц, так как G (Тм) есть пересечение G (Т)
с замкнутым множеством М X М (рассматриваемым как подмно-
подмножество в X X X).
Понятие разложения можно обобщить на случай нескольких
проекторов Pi, . . ., Ps, удовлетворяющих условиям РъРь ==
&P Оператор Т допускает разложение относительно пря-
§ 6. РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ 219
мой суммы X = Mi Ф . . . © М„ где Мл = PhX, если Т ком-
коммутирует со всеми Ph. Так же как и выше, можно определить
части TMh оператора Т в подпространствах Mh.
Задача 5.38. Предположим, что Т плотно определен в X. Если Т допу-
допускает разложение относительно прямой суммы М4 ф . . . ф Ms, то часть Гм^
ллотно определена в Mh.
§ 6. Резольвенты и спектры
1. Определения
Задача на собственные значения, рассмотренная в § 1.5 для
конечномерного случая, требует существенных изменений, когда
мы переходим к рассмотрению операторов в банаховом про-
пространстве X х). Как и раньше, собственное значение оператора Т
определяется как комплексное число X, для которого существует
ненулевой вектор и 6 D (Т) с X, называемый собственным век-
вектором, такой, что Ти — 7м. Другими словами, к есть собственное
значение, если нуль-пространство N (Т — К) не тривиально;
это нуль-пространство называется геометрическим собственным
подпространством для К, а его размерность — геометрической
кратностью собственного значения Я.
Может случиться, что оператор вовсе не имеет собственных
значений, а если и имеет, то недостаточно много собственных
векторов.
Для того чтобы обобщить, по крайней мере частично, резуль-
результаты, полученные в конечномерном случае, удобно ввести сна-
сначала понятие резольвенты. В дальнейшем предполагается, что
Т является замкнутым оператором в X. Тогда и оператор Т — ?
замкнут для любого комплексного числа ?. Если Т — ? обратим и
R(t,)=R (L T) = (T- S) 6 3S (X), F.1)
то число ? по определению принадлежит резольвентному мно-
множеству оператора Т. Определенная таким образом на резольвент-
резольвентном множестве Р (Г) операторнозначная функция R (?) назы-
называется резольвентой оператора Т. Для любого ? 6 Р (Т) оператор
R (Q имеет область определения X и область значений D (Т).
Это определение резольвенты согласуется с определением, данным
в конечномерном случае (см. п. 1.5.2) 2).
х) Мы предполагаем, что dim X > 0.
а) Мы определили Р (Т) и 2 (Т) только для замкнутых операторов в X.
Эти понятия можно определить для более широкого класса операторов в X.
Если Т замыкаем, то положим Р (Т) = Р (Г), 2 (Т) = 2 (Т). Если Т не
„допускает замыкания, то Р(Г) пусто и 2 (Г) совпадает со всей плоскостью
220 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Задача 6.1. Число ? принадлежит Р (Т) тогда и только тогда, когда опе-
оператор Т — ? имеет обратный с областью определения X (см. теорему 5.20)..
Задача 6.2. Если ? ? Р (Т), то
R (?) Т с TR (?) = 1 + ?Д (Q € Л (X). F.2)
Таким образом, Т коммутирует с R (?) (см. п 5.6).
Задача 6.3. Если Р (Г) не пусто, то подпространство D' с: D (Т) являет-
является ядром оператора Т тогда и только тогда, когда (Т — ?) D' плотно в X для
некоторого (или всех) ? ? Р (Т) (см. задачу 5.19).
Задача 6.4. Если оператор А из X в Y допускает замыкание, причем
D (А) гэ D (Т), то AR (?, Т) е& (X, Y) для каждого ? ? Р (Г). [Указание:
задача 5.22.]
Теорема 6.5. Предположим, что Р G1) ке пусто. Для того
чтобы Т коммутировал с А ? 98 (X), необходимо, чтобы для
каждого ? 6 Р (^) выполнялось равенство
R(Z)A= AR Ш, F.3)
и достаточно, чтобы это равенство выполнялось для некоторого
I 6 Р (Т).
Доказательство немедленно следует из утвержде-
утверждения задачи 5.37.
Задача 6.6. Операторы R (?) коммутируют друг с другом при различ-
различных ?.
Резольвента R (?) удовлетворяет резольвентному уравнению
A.5.5) для каждой пары ?i, ?2 6 Р {Т). Доказательство такое же,
как и в конечномерном случае; следует заметить только, что
TR (?) определен всюду на X [см. F.2)]. Отсюда следует, что для
резольвенты сохраняется разложение Неймана A.5.6), однако-
доказательство этого факта не тривиально. Обозначим временно
правую часть A.5.6) через R' (?); R' (?) существует для чисел ?,
достаточно близких к ?0. Для каждого и ? D (T) имеем R' (?) X
X (Г — ?) и = и, так как Д (?„) (Г — ?) u = и — (? — ?„) х
X i? (Co) и- Аналогично приходим к формальному равенству
(Т — t,) R' (t,) v = v для каждого v ? X. Для обоснования этого
равенства заметим, что из замкнутости оператора Т следует
включение R' (?,) v ? D (Т). Это показывает, что ? ? Р B1)
и i?' (?) = i? (Q для всех точек ?,, в которых ряд A.5.6) сходится.
Таким образом, доказана
Теорема 6.7. Множество Р (Т) является открытым подмно-
подмножеством комплексной плоскости и R (?) (кусочно) голоморфна
на Р (Г). (Мы говорим о «кусочной» голоморфности, когда Р (Т) не
связно.) Каждая компонента множества Р (Т) является естест-
естественной областью определения для R (?) (это означает, что R (?)
нельзя продолжить аналитически за пределы Р G1)).
§ 6. РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ ,. < 221
Множество 2 (Т), дополнительное (в комплексной плоскости)
* Р (Г), называется спектром оператора Т. Таким образом,
? ? 2 (Т), если оператор Т — ? необратим или его образ не сов-
совладает со всем X. В конечномерном случае Б (Т) состоит из конеч-
конечного числа точек (собственных значений оператора Т); в общем
¦случае структура спектра гораздо сложнее. Спектр может быть
пустым, а может совпадать со всей комплексной плоскостью.
Естественно, что нас будут интересовать, если можно так сказать,
промежуточные случаи, которые в некотором смысле близки
к конечномерному случаю; однако и в этой ситуации спектр часто
оказывается несчетным множеством.
Пример 6.8. Рассмотрим дифференциальные операторы Т и Тп из при-
примера 2.6. Множество 2 (Т) совпадает со всей плоскостью. В самом деле,
уравнение (Т — ?) и = и' — \и = 0 всегда имеет нетривиальное решение
и (х) = е^х, принадлежащее X. С другой стороны, сужение Tt оператора Т,
соответствующее граничному условию и (а) = 0, имеет пустой спектр. Дей-
Действительно, резольвента Ri (?) = R (?, Т{) существует для каждого ?
ш задается формулой
v
^-txv[x)dx. F.4)
Аналогично можно доказать, что множество S (Г2) пусто. Спектр опера-
оператора Г3 состоит из счетного множества изолированных точек (являющихся
собственными значениями оператора Т3) вида
в = 0, ±1, ±2, ... . F.5)
Если ? не совпадает ни с одной из точек Я^, то резольвента 2?g (?) = 2? ( ?, Ts)
существует и является интегральным оператором [ср. B.11)]:
у Ъ
e [j С* (Ьв)С j~CX] F-6)
"И, наконец, S (Го) совпадает со всей комплексной плоскостью. Дело в том,
что оператор (То — ?)-1 существует и ограничен для каждого ?, однако
•его область определения не совпадает со всем пространством. Действительно,
каждый вектор v 6 D ((То — I)'1) = R (То — ?) имеет вид и' — Z,u, причем
и (а) = и (Ь) = 0, поэтому v удовлетворяет условию
~^xv(x) dx = Q. . F.7)
¦;;¦¦ .• ¦¦¦ г.; -\
Полученные выше результаты сохраняют силу и в том случае, когда диффе-
дифференциальный оператор dldx рассматривается в пространстве L на конечном
интервале (а, Ь) (пример 2.7).
В рассмотренных примерах R (?, Т) не существует, так как область
определения Т слишком велика, в то время как R (?, Го) не существует,
так как D (То) слишком мало. Операторы Г1( Т2 и Т3 лишены этих недо-
недостатков.
222 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Задача 6.9. Рассмотрим оператор d/dx в X = L @, оо) и определим Т
и Ti так же, как в примере 2.7. Оказывается, что Р (Т) совпадает с правой
полуплоскостью Re t, > 0, а Р {Ti) — с левой полуплоскостью, причем
(?. T)v(y)=- ^е-^х-У^{х)йх, Re?>0, /
F.8),
V
V
R(t,,Ti)v(y)=[e^y-x'>v(x)dx, Re?<0.
о
Задача 6.10. Рассмотрим оператор d/dx на всей вещественной оси и
построим максимальный оператор Т в X = L (—оо, -j-oo)- Оказывается,,
что обе полуплоскости Re ? S 0 принадлежат Р G1) и
(г/) =
— [ e-^x-y)v{x)dx, Re?>0,
V . " F.9>
У
Г
Re?<0.
Пример 6.11. Рассмотрим дифференциальные операторы Тп и Т из
п. 2.3 в пространстве X = С [а, Ь]. Резольвентное множество Р (Т) пусто,
так как уравнение (Т — ?) и = 0 имеет два линейно независимых решения
в X. С другой стороны, 2 (Т3) пусто, так как резольвента Rs (?) = R (?, Г3),
существует для каждого ? и является интегральным оператором типа B.19).
Множество 2 (Ti) не пусто и не совпадает со всей плоскостью. Решение-
уравнения {Ti — ?) и = у определяется интегральным оператором вида.
B.21), где ядро g {у, х) заменено на g {у, х\ ?)"•
«-W^O (б.юу
(у; 0 (з; I)
Здесь i/lf м2 — решения уравнения {L — С) и = 0, удовлетворяющие началь-
начальным условиям U! (а; ?) == 0, ui (а; ?) = 1 и ц2 F; 0 = 0> (&; 9 = 1;
PF (г, ?) — вронскиан этих решений, причем
= -(«; e). F.11)
Резольвента Rt {%) = R {t,, Ti) существует тогда и только тогда, когда,
Wo (Q Ф 0. Так как Wo (t) — целая функция, ее нули образуют счетное
множество {Яп} (Яп суть собственные значения оператора Т^. Таким обра-
образом, 2 {Tj) есть счетное множество, образованное собственными значениями.
Тот факт, что 2 (Г4) непусто, можно доказать, например, сводя задачу на,
собственные значения для оператора 7\ к самосопряженной задаче с помо-
§ 6. РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ 22$
щью простого преобразования 1). Из этого замечания следует также, что
все %п вещественны.
Далее, напомним, что функция Грина B.22) существует, если min р2 (х) =
= с > 0, и что справедлива оценка B.25). Применяя этот результат к опера-
оператору L — ?, видим, что резольвента i?i (?) существует и
если Re5<c = mmft(i), F.12)
X
по крайней мере для вещественных ?. Покажем, что оценка F.12) сохраняет-
сохраняется и для комплексных j. Если Re ? <: с, то |ц+ ? | <: jx -f с для доста-
достаточно больших вещественных (х. Так как из предыдущего неравенства сле-
следует, что —fx <С с, то, по доказанному выше, резольвента Ri (—jx) суще-
существует и || Ri (—|х) || <: 1/((х + с). Тогда из A.5.7) следует, что Ri (?) суще-
существует, и оценка F.12) следует из A.5.6) (нужно положить ?0 = —(х), когда
(X -*- оо.
Аналогично, 2 (Т2) состоит из счетного множества собственных значе-
значений. Полуплоскость Re L, < с принадлежит резольвентному множеству,
и при условии, что ha, hb ^ 0, верна оценка F.12).
Эти результаты сохранятся и в том случае, если мы рассмотрим опера-
операторы, действующие в Lp (о, 6); единственное отличие от рассмотренного нами
случая состоит в том, что константу с следует заменить на min (с, с'),
где с' = min (р2 — р{ + р%) [см. B.26)].
2. Спектры ограниченных операторов
Рассмотрим теперь оператор Т ? S8 (X). В этом случае мно-
множества Р (Г) и 2 G1) непусты. Точнее, Р G1) содержит внешность
окружности
| ? | = spr Т = lim || Г* Ц1/» = inf || Тп \\и* F.13)
(эта окружность вырождается в точку ? = 0 тогда и только
тогда, когда spr Г = 0, т. е. Т — квазинильпотентен), в то время
как на самой окружности существует по крайней мере одна точка
из 2 (Т) 2). В частности, 2 (Т) содержится в замкнутом круге
? | < || Т \\. Отметим также, что
||?Д(?) + 1 И-»-0 при ?->оо. F.14)
Эти результаты были получены в конечномерном случае (см.
п. 1.5.2); доказательства без существенных изменений перено-
переносятся на общий случай. Мы видим, что ряд Неймана в правой
части формулы A.5.10) сходится в точках, лежащих вне окруж-
!) Дифференциальное уравнение Lu = Ku можно привести к виду
X
-1/2 Г 1 Г / Pi \ 1
(PoV)'-\-qv = Kv, где у = ( — ро) ' ехр —»- \ I — \dx\ и и q = p2 —
— (р'о — PiJ/4po + (p'q—р[)/2. Это самосопряженная задача на собственные-
значения, и поэтому существует счетное множество {А,„} вещественных соб»
ственных значений (см. п. V. 3.6).
а) Поэтому spr Т = sup | X |.
Я?2(Т) -¦¦-.¦ ¦ , .
224 Гл. t II. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
ности F.13). Тот факт, что сумма этого ряда совпадает с резоль-
резольвентой R (Q, можно установить так же, как в доказательстве
теоремы 6.7. Так как область сходимости ряда A.5.10) есть мно-
множество | ? I > spr Г, то на окружности [ Z, | = spr T существует
по крайней мере одна точка из 2 (Г), если только spr T > 0.
Если же spr T = 0, то 0 ? 2 (Г), так как в противном случае
R @ будет целой функцией, что противоречит свойству F.14)
и теореме Лиувилля.
Задача 6.12. Рассмотрим оператор сдвига Т ? & (X), X = 1Р, такой,
что Txi = 0, Тхп = ?„_! (л > 2). Доказать, что 2 G1) = {?: | ? | < 1}.
3. Бесконечно удаленная точка
При разбиении комплексной плоскости на резольвентное мно-
множество Р (Г) и спектр 2 (Г) оператора Т из рассмотрения исклю-
исключалась бесконечно удаленная точка. По ряду причин полезно
продолжить это разбиение до разбиения расширенной плоскости.
Для этого мы докажем сначала такой результат:
Теорема 6.13. Пусть Т ^_% (X) и Р (Т) содержит внешность
некоторого круга. Тогда имеет место такая альтернатива:
i) Т ? 98 (X); Д (Q голоморфна в точке ? = оо и R (оо) = 0.
ii) R (?,) имеет существенную особенность в точке ? = оо.
Доказательство. Предположим, что точка ? = оо
не является существенной особенностью резольвенты. Так как
R (Q ф. 0, то для больших | ? | имеет место разложение
R\t\ = ?A + l^B + ..., F.15)
где А, В, . . . 6 98 {Х),А Ф 0, к — целое число. Тогда '¦
TR @ = 1 + ?Д (?) = ! + Sft+1^ + ?*? + . . . . F.16)
Покажем сначала, что к ^ —1. Если /с ^ 0, то ?-ft~1 i? (?) -> 0
и Г?~'1~1# (?) -> Л при ? -> оо, и поэтому А = 0 в силу замкну-
замкнутости оператора Г, что противоречит предположению А ф 0.
Итак, А < —1 и потому Д (?) -> 0 и ГД (?) -> 1 + (lim ?ft+1) Л
при ?^-оо. И снова из замкнутости оператора Т следует, что
1 + (lim ?ft+1) Л = 0; последнее равенство возможно, лишь если
к = —1 и Л = —1. Таким образом, для каждого и ? X имеем
?Д (?) м -> —и и Г?Д (Q и-+ Ви при ? -> оо. В силу замкну-
замкнутости Т имеем u?D (Т) и Ти = —Ви. Другими словами,
Т= —В б 9S (X).
В соответствии с теоремой 6.13 естественно включить беско-
бесконечно удаленную точку в резольвентное множество оператора Т,
если Т 6 38 (X), и в спектр 2 (Т) в противном случае. В тех
§ 6. РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ ,. . 225
случаях, когда нужно подчеркнуть отличие обобщенных понятий
резольвентного множества и спектра (как подмножеств расши-
расширенной комплексной плоскости) от ранее введенных понятий
резольвентного множества и спектра, мы говорим о расширенном
резольвентном множестве и расширенном спектре и используем
обозначения Р (Г), 2 (Г). Таким образом, ? = оо ? Р (Т) тогда
и только тогда, когда Т ? 9S (X). Расширенный спектр неогра-
неограниченного оператора 2 (Т) всегда содержит бесконечно удаленную
точку; если точка ? = со является изолированной в 2 (Г), то
она является существенной особенностью резольвенты R (?).
Задача 6.14. Множество 2 (Т) не пусто.
Теорема 6.15. Пусть Т — замкнутый обратимый оператор
в X. Множества 2 (Г) и 2 (Г) переходят друг в друга при ото-
отображении ? -> ?-1 расширенной комплексной плоскости на себя х).
Доказательство. Пусть О Ф ? 6 Р (У); поэтому i? (?)
существует. Положим 5 (?) = TR (?) = 1 + ?i? (?) 6 * (X). Для
каждого вектора и 6 X имеем S (?) и = 77? (?) и и Г".!? (?) и =
= R (?) м = С E (?) - 1) и. Поэтому
-?(Г- ?M(?)и = и. F.17)
Отсюда следует, что X есть область значений оператора Т'1 —
— ?-1. Более того, этот оператор обратим, так как из
(Г~* — ?-1) v = 0 следует, что у = ?Г~1у, Гу = ?у, v = 0. Итак,
из F.17) вытекает, что (Г - ?) = — ?5 (?) ? # (X) и ?"х 6
е р (г-1).
Если 0 ? Р (Г), то Г € ^ (X) и, стало быть, (И = оо ?
? Р (Г) по определению. Если оо ? Р (Г), то Г 6 ^ (X) и, сле-
следовательно, 0 = оо-1 ? Р (Т'1). Итак, Р G1) отображается на
Р (Г) при отображении ? —v ?~x. То же самое верно и для допол-
дополнительных множеств 2 (Г) и 2 (Г).
Задача 6.16. Спектр оператора R (Jo) есть ограниченное множество,
в которое переходит 2B") при преобразовании ?-*¦?' = (?—So)- Далее,
Д(К-Ь)-1, Д (&,))=-(?-?о)-(?-&))аД@. F.18)
Более того, spr Л (?<>) = 1/dist (go> 2 (Т)).
г) Теорема 6.15 является частным случаем теоремы об отображении
спектра, которая утверждает, что спектр «функции» ф (Т) оператора 7"
есть образ множества 2 (Т) при отображении ф. Оператор ф (Т) определяет-
определяется интегралом Данфорда — Тейлора так же, как в A.5.47). Мы не приводим
здесь доказательство этой общей теоремы (см. Дан форд и Шварц [II).
15 т. Като ' '
226 ¦ Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
4. Разбиение спектра
Может случиться, что спектр 2 (Т) замкнутого оператора Т
содержит ограниченную часть 2', отделенную от оставшейся
части 2" в том смысле, что существует спрямляемая простая
замкнутая кривая Гс= Р (Т) (или, более общо, конечный набор
таких кривых), во внутренней части которой содержится 2',
а во внешней 2". (В большинстве последующих приложений
часть 2' состоит из конечного числа точек.) В такой ситуации
справедлива следующая теорема о разложении:
Теорема 6.17. Пусть 2 (Т) допускает описанное выше разбие-
разбиение на части 2' и 2". Тогда существует разложение оператора Т
относительно некоторой прямой суммы X == М' © М" {в смысле
п. 5.6), такое, что спектры частей Tw, Ты» совпадают с 2',
2" соответственно и Тм, ? $ (М'). Таким образом, 2 (TV) =
= 2', в то время как 2 (TV') может содержать бесконечно уда-
удаленную точку.
Доказательство. Положим
р=—ш\ R&)<%e# W- \i, F-19)
г
Вычисления, аналогичные тем, которые были проделаны при
выводе формулы A.5.17), показывают, что Р% = Р. Таким обра-
образом, Р — проектор на М' = РХ параллельно М" = A — Р) X.
Более того,
PR (?) =Rtt)P, I е Р (Т), F.20)
и поэтому Р коммутирует с Т (теорема 6.5); это означает, что Т
разложим относительно прямой суммы М' ф М" на части ГМ'
и Тж„
Нетрудно видеть, что части RM> (Q и i?M" (?) резольвенты
R (?) в подпространствах М' и М" суть операторы, обратные
к Тш> — ? и ТМ" — ? соответственно. Отсюда следует, что Р GV)
и Р GV) содержат Р (Т). Кроме того, Р {Тш>) содержит 2".
Чтобы убедиться в этом, отметим прежде всего, что i?M' (С) и —
= R{l)u = R (9 Ри для меМ', I 6 Р (Л- Для любой точки
? 6 Р (Л) не лежащей на Г, согласно F.19) и резольвентному
уравнению A.5.5), имеем
г
F.21)
Если ?, лежит вне контура Г, то .
§ 6. РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ ' 227
Так как правая часть в F.22) голоморфна вне Г, то R (?) Р и, сле-
следовательно, i?M' (9 имеют аналитические продолжения, голо-
голоморфные вне Г . Тот факт, что такое продолжение RM> (?) являет-
является резольвентой оператора ТШ', следует из теоремы 6.7. Таким
образом, Р {Ты>) содержит внешнюю часть, ограниченную зам-
замкнутой кривой Г, и, следовательно, 2 (Тм>) а 2'.
Аналогичным образом из F.21) следует, что
(П-^г. ' F-23)
если ? лежит во внутренней части кривой Г. Это показывает, что
R (?) A — Р) имеет аналитическое продолжение, голоморфное
во внутренней части замкнутой кривой Г. Как и выше, это при-
приводит к заключению, что 2 (Tu«)cz 2".
С другой стороны, точка Z, ? 2 не может принадлежать одно-
одновременно Р (Тм.) и Р (Тм«); в противном случае она принадле-
принадлежала бы Р (Т), так как оператор i?M. (?) Р + Ryi" (9 A — Р)
является обратным к Т — ?. Отсюда следует, что 2 (Тм') = 2'
и 2 (ЗД = 2".
Покажем, наконец, что
РТ а ТР = -JL J уД (у dS= —^j- j ^ (?) dC 6 i? (X). F.24)
г г
Включение РТ cz ТР означает, что Т коммутирует с Р. Второе
равенство в F.24) очевидно, так как TR (?) = 1 + t,R (?,). Первое
равенство получается формальным умножением обеих частей
F.19) слева на Т. Эта операция законна ввиду замкнутости опе-
оператора Т [нужно аппроксимировать интеграл F.19) конечной
суммой и использовать ограниченность оператора TR (?) =1 +
Из F.24) следует, что Тм> 6 $ (М'). Доказательство закончено.
Отметим ряд фактов, полученных попутно при доказательстве
теоремы. Резольвенту!? (?) можно записать в виде
R @ = R' @ + R" Ш, F.25)
где
Q = R{t)P, R"tt)={l-P)Rtt) = R (9 A-Р).
Функция R' (Q голоморфна вне 2', ее сужение на М' совпа-
совпадает с i?M' (P, а сужение на М" равно нулю. Аналогично,
R" (9 голоморфна вне 2" и совпадает с i?M" (?) на М", обращаясь
в нуль на М'.
Теорему 6.17 нетрудно обобщить на тот случай, когда 2 (Т)
допускает разбиение на несколько частей 2Ь . . ., 2S и 20,
15*
228 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
где каждое множество 2Л, 1 <| Л <j s, ограничено и охватывается
кривой (или некоторым набором таких кривых) так, что ни одна
из'кривых ГЛ не лежит внутри другой; часть 20 не охватывается
кривыми 1\, 1 ^ h ^ s, и может быть неограниченной. Тогда
операторы Ph, определенные формулой F.19) с Th вместо Г,
удовлетворяют соотношениям PhPh — б/^-Рь, h, к = 1, . . ., s.
Оператор Т коммутирует с каждым Ph и поэтому допускает раз-
разложение относительно прямой суммы X = Mi Ф . . . ф Ms ф
Ф М„, Mft = PhX, где Ро = 1 - Р,- . . . - Ps. Часть ГМд
оператора Т в МЛ имеет спектр 2ft и Тш ? 38 (МЛ) при h ^ 1.
5. Изолированные собственные значения 1)
Предположим, что спектр 2 (Г) оператора Т ? % (X) имеет
изолированную точку X. Очевидно, что 2 (Г) допускает разбие-
разбиение на части 2' = {К} и 2" = 2 (Т) — 2' в смысле, указанном
в предыдущем пункте; любую замкнутую кривую, охватываю-
охватывающую %, но не охватывающую другие точки спектра 2 (Т), можно
выбрать в качестве Г. Спектр оператора Г^, построенного в тео-
теореме 6.17, состоит из одной точки К. Следовательно, оператор
Тш« — X квазинильпотентен (см. § 2). Ряд Неймана (см. A.5.10))
для Тш, — X
оо
о / 5-\ ^Ч^ /5- 1 \—п.—1 / т1 1 \тг (О. &L О)
1\ ]yj' I L, ) / | I L, Л I I -^ М' ^/
п=0
сходится всюду, кроме точки ? = X. Формула F.26) эквивалентна
равенству
.и' (?) = Л(?) Р= —т— У,-— п+1 , F.27)
п=1 .
где оператор
Dr={T-К) Р = —2^-j (S-^) Д(9 dS€ ^ (X) F.28)
г
квазинильпотентен и
D = DP = PD. F.29)
С другой стороны, оператор Дщ» (?) голоморфен в окрестности
точки $ = Я, и поэтому допускает разложение Тейлора в этой
точке (см. A.5.6)). Оно эквивалентно разложению
2
п=0
х) Термин «изолированное собственное значение» несколько двусмыслен.
Мы имеем в виду собственное значение, которое является изолированной
точкой спектра (а не изолированной точкой в множестве собственных зна-
значений).
.-. § 6. РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ 229
где
S = i?M- (Я) A - Р) = lim R (Q A - Р). F.31)
(Отметим попутно, что оператор R (X) не существует.) Оператор
R" (?,) назовем приведенной резольвентой оператора Т, соответ-
соответствующей собственному значению X.
Из F.27) и F.30) следует, что
оо оо
д@ = —Ё^Г- 2 (f5pr + 2 (S--^)n^n+1- F.32)
n=l n=0
Это — разложение Лорана для R (?,) в окрестности изолирован-
изолированной особой точки ? = Я,.
Оператор «S обладает свойствами, аналогичными свойствам
оператора Sh, введенного в конечномерном случае (см. п. 1.5.3),
а именно
= PS = 0. F.34)
Разложение Лорана F.32) аналогично разложению A.5.18)
в конечномерном случае с тем единственным отличием, что глав-
главная часть теперь может оказаться бесконечным рядом. Однако
главная часть в F.32) конечна, если пространство М' конечно-
конечномерно, так как в этом случае оператор DM- = ТШ' — "К нильпо-
тентен (см. задачу A.5.6)), и то же самое верно для D. В рассмат-
рассматриваемом случае число "к оказывается собственным значением
оператора Т. В самом деле, так как X принадлежит спектру конеч-
конечномерного оператора Тм, оно является собственным значением
для Тщ' и, следовательно, для Т. В этом случае dim M' назы-
называется (алгебраической) кратностью собственного значения К,
а операторы Р и D называются собственным проектором и соб-
собственным нилъпотентом оператора Т, соответствующими числу
X. Если dim M' = оо, то X может и не быть собственным значе-
значением оператора Т.
Эти результаты можно распространить на случай конечного
набора {Х}, . . ., Xs} изолированных точек из 2 (Т). Замечание,
сделанное в конце § 4, немедленно приводит к разложению
[сГ(с=^] F-35)
/1=1 П=1
Здесь Ph — проекторы, a Dh — квазинильпотентные операторы,
удовлетворяющие соотношениям
PhPu = 8hhPh, PhDh = DhPh = Dh, (T - Xh) Ph = Dh. F.36)
230 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Оператор RQ (?) голоморфно зависит от ? в точках Kh, h = 1, ...
. . ., s, и
Ro (?) = Р0Д (?) = Д (?) Р0) Ро = 1 - (Р, + . . . + Р.), F.37)
и снова ^ оказывается собственным значением оператора Т,
если Mh = Р^Х конечномерно, a Ph и D;, суть собственный проек-
проектор и собственный нильпотент, соответствующие этому Kh. Далее
имеем
ТР = 2 (Ь„Р„ 4- Z)h), Р = Р, + ... + Р,- F.38)
Л=1
Это разложение можно рассматривать как спектральное пред-
представление оператора Т в некотором ограниченном смысле. Оно
не так полно, как спектральное представление в конечномерном
случае (п. 1.5.4), поскольку изолированные точки, вообще говоря,
не исчерпывают спектр 2 (Г), а если и исчерпывают, то таких
точек, вообще говоря, бесконечно много. Тем не менее представ-
представление F.38) дает довольно полное описание оператора Т, если
ограничиться рассмотрением части комплексной плоскости, в ко-
которой лежит лишь конечное число точек спектра 2 (Т), являю-
являющихся собственными значениями конечной кратности. Такой
набор собственных значений мы будем для краткости называть
конечной системой собственных значений. Для конечной системы
собственных значений ситуация в значительной мере аналогична
конечномерному случаю, подробно рассмотренному в § 1.5. Боль-
Большинство результатов, полученных в § 1.5, можно перенести
на рассматриваемый случай, и если это не вызывает особых труд-
трудностей, мы будем в дальнейшем использовать соответствующие
факты без специальных пояснений.
Задача 6,18. Предположим, что в теореме 6.17 dim М' = т < оо. Тогда
2' является конечной системой собственных значений с суммарной крат-
кратностью т.
Пример 6.19. Рассмотрим дифференциальный оператор Гз из приме-
примера 2.6 (или 2.7). Спектр этого оператора состоит из изолированных точек Хп
вида F.5). Найдем соответствующие собственные проекторы Рп. Интегрируя
резольвенту R3 (?) (см. формулу F.6)) по окружности малого радиуса с цен-
центром в точке ? = Хп (число%п является пулем функции к — е<~ь~а^), имеем,
согласно F.19),
1 1* ЛпУ (•
e
а
(промежуточный интеграл был вычислен методом вычетов) г). Оператор Рп
х) Строго говоря, такие формулы, как F.39) или F.41), требуют обосно-
обоснования, так как интеграл в F.19) является интегралом операторнозначпой
функции Л (?), в то время как в F.39) и F.41) входят значения функций.
Для пространства X = С [а, Ь] доказательство тривиальпо, так как и (у),
в 6 С [в, Ь], при фиксированном у является ограниченной лииейной формой
§ 6. РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ 231
является вырожденным интегральным оператором ранга 1 с ядром
j^>. F.40)
Каждое Кп есть изолированное собственное значение оператора Т3 кратности
1 (простое собственное значение), и, следовательно, собственные нильпотен-
ты обращаются в нуль.
Пример 6.20. Рассмотрим дифференциальный оператор Т^ из п. 2.3.
Спектр 2 (Т{) состоит из изолированных точек Хп, являющихся нулями
целой функции Wo (?); см. пример 6.11. Собственные проекторы Рп можно
найти так же, как в предыдущем примере: резольвента Я4 (?) является инте-
интегральным оператором с ядром g (у, х; ?) вида F.10), а Рп вычисляются
с помощью формулы F.19) так же, как в F.39). Так как существует констан-
константа к такая, что и2 (х, Хп) — кщ (х, Хп) ввиду обращения в нуль вронскиана
в точке кп, то простое применение метода вычетов дает
Функция фп (х) является собственной функцией оператора Tt, соответствую-
соответствующей собственному значению Хп. Оператор Рп — вырожденный интегральный
оператор ранга 1. Попутно заметим, что свойство Р\ = Рп эквивалентно
равенству
которое можно проверить, непосредственно используя дифференциальное
уравнение, которому удовлетворяет грп (х). Из F.42) следует, что W'^ (Xn) Ф
Ф 0, так как Я„, а следовательно, и фп вещественны х) (см. пример 6.11).
Пример 6.21. В качестве более специального примера рассмотрим опе-
оператор
Ти = —и", 0 < х < я, . F.43)
с граничными условиями
и @) = м (я) = 0.
Будем рассматривать Т как оператор в С [0, я]; этот оператор является
частным случаем оператора Ti из предыдущего примера, если положить
о = 0, Ъ = я, ро = —1, pi = 0, р2 = 0. Собственные значения и нормиро-
нормированные собственные функции таковы:
\п = ге2, фп (х) = sin пх, п = 1, 2, 3, . . .. F.44)
в С [а, Ь]. Доказательство не так просто для пространства X = Lp (a, 6).
В этом случае заметим сначала, что из F.19) следует равенство (Pv, f) =
= - BЯ0 \ (Я Ш v, f) dt, для v е X и / е X* = L9 (а, 6), р-1 + q-1 = 1.
Вычисляя интеграл в правой части и замечая, что / ? X* произволен, видим,
что равенства F.39) и F.41) справедливы для почти всех у.
*) Wq (Кп) может быть нулем, если одна из функций р0, pt, рг не является
вещественной или если мы рассматриваем невещественные граничные усло-
условия. Если W'Q Скп) = 0, то Рп уже не является, вообще говоря, оператором
ранга 1 и Я (?') может иметь полюс порядка выше 1.
232 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Резольвента R (?,) = R (?; Т) является интегральным оператором, ядро
которого совпадает с функцией Грина уравнения и" + ки = 0, а именно
при х ^ у в правой части F.45) нужно поменять местами х и у. Полюсы
g (у, х, ?) как функции от ? суть собственные значения Хп = и2.
Разложение Лорана функции g (у, х; Z) по степеням Z, — ге2 соответству-
соответствует разложению F.35). Это замечание приводит к выражениям для Р и S,
соответствующим числу Хп = п2. Эти операторы являются интегральными
операторами с ядрами р и s соответственно, где
р(у, х) = — sin ny sin nx,
s(y, х) = — —-^- cos nysinnx-\ —sin ny cos nx + F.46)
+ -?p sin ny sin nx\ , у < ж;
при ж < ^ в правых частях этих формул нужно поменять местами х и у.
Для дальнейшего изложения мы выведем здесь некоторые оценки для
резольвенты Д(?). Согласно заключительному замечанию в примере 2.4,
(?) у рр
Л (Z) || не превосходит max \ \ g (у, х; ?) | dx. Так как | sin z | ^ ch (Im z)
у J
F.47)
у
для любого комплексного числа z, то простые вычисления дают
Р | ? l1/z (s
Отсюда получаем оценки
Imi
I PI I? Г' [ ^^-. F.48)
- . " ^"^|?|1/2|йпя«| ^|osin«a|' • . ,. ... ,
Уравнение Re^/? —a задает в комплексной ^-плоскости параболу
? = a2 — -т-Ц" i где |=Re?, ri = Im?. F.49)
Из F.48) следует, что в точках этой параболы || R {Q [| <!я/| a sin яа |.
6. Резольвента сопряженного оператора
Существует простая связь между резольвентой замкнутого
оператора Т в X и резольвентой сопряженного оператора Т*
(предполагается, что Т плотно определен и, следовательно, Т*
существует). Следующая теорема является прямым следствием
теоремы 5.30.
§ 6. РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ 233
Теорема 6.22. Р (Г*) и 2 (Т*) суть зеркальные отражения
Р (Т) и 2 (Т) относительно вещественной оси; при этом
R (?, Г*) = R (? Т)*, шР(Г)- F-50)
Согласно этой теореме, любой результат о спектре 2 (Г)
можно превратить в двойственный результат о спектре оператора
Т*. Например, если 2 (Т) можно разбить кривой Г на части 2'
и 2" в смысле, указанном в п. 4, то 2 (Т*) допускает разбиение
кривой Г на части 2' и 2" (черта над Г означает зеркальное отра-
отражение). Разложения пространств X = М' © М" и X* = М'* ©
Ф М"*, описанные в теореме 6.17, соответствуют проекторам Р
и его сопряженному Р*:
М' = РХ, М" - A - Р) X,
М'* = Р*Х*, . М"* = A —Р*) X*. 1 ;'
Это (Следует из выражений
с учетом равенства F.50) и того обстоятельства, что интегралы
в F.52) взяты по контурам Г и Г в положительном направлении.
Из F.51) следует, что
dim M' = dim M'*, dim М* = dim M"*; F.53}
в связи с зтим см. теорему 4.13.
Предположим, в частности, что 2 (Т) содержит изолированные-
точки li, . . ., Ks; при этом R (t) = R (?, Т) имеет вид F.35).
Соответствующее выражение для R* (?) = R (?, Т*) таково:
где проекторы Р* удовлетворяют соотношениям P%Pt = &hkP*h
и i?* (?) = Ro (Q* голоморфна в точках t, = %h, h = 1, . . ., s.
Если пространство Mh = P^X конечномерно, то таково же М? =
= Р*Х*, dim|M* = dim Mh и Kh является собственным значе-
значением оператора Т*, (алгебраическая) кратность которого равна
кратности собственного значения %h оператора Т.
Замечание 6.23. Изолированное собственное значение К опе-
оператора Т конечной кратности m (такое, как, например, Хп) близко
по своим свойствам собственному значению конечномерного опе-
оператора. Так, например, не только (алгебраическая) кратность
собственного значения % оператора Т* равна т, но и геометриче-
234 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
екая кратность % равна геометрической кратности собственного
значения А, оператора Т. Далее, линейное уравнение (Т — К) и =
= v разрешимо тогда и только тогда, когда v _L N (Т* — %),
а уравнение (Т* — X) g = / разрешимо тогда и только тогда,
когда / _L N (Г — К). Эти результаты получаются немедленно,
если заметить, что задача сводится к конечномерной задаче для
частей I'm- и Т^*, которые можно рассматривать как опера-
операторы, сопряженные друг к другу.
Замечание 6.24. Если dim МЛ=оо, то может случиться, что
%h является собственным значением для Т, a %h не является
собственным значением для Г*, и наоборот."
Пример 6.25. Мы продолжим рассмотрение примера 6.20. Оператор Рп,
определенный формулой F.41), есть интегральный оператор с ядром
.Рп (У< х) = Фп (у) $п (*). гДе
Число Хп должно быть простым собственным значением оператора Tf, при-
причем соответствующий собственный проектор Р* является интегральным опе-
оператором с ядром р* (у, х) = я|)п (у) фп (х). Итак, i))n (x) —¦ собственная функ-
функция оператора Т*, отвечающая собственному значению Ял (отметим, что
Хп> i))n, фге вещественны). Здесь мы рассматриваем Т\ в \F (a, b), a не в С 1а, Ь],
так как в последнем случае Tt не является плотно определенным.
7. Спектры компактных операторов
Спектр компактного оператора по своей структуре аналогичен
спектру оператора в конечномерном пространстве.
Теорема 6.26. Предположим, что оператор Т ? .$ (X) ком-
компактен. Тогда 2 (Т) — счетное множество, не имеющее предель-
предельных точек, отличных от нуля. Каждое число % ? 2 (Г), % ф 0,
является собственным значением конечной кратности для Т, а % —
•собственным значением той же кратности для Т*.
Доказательство мы проведем в несколько этапов.
I. Сначала докажем, что % =^= 0 не может быть предельной
точкой для собственных значений оператора Т. Предположим
противное, и пусть {^п} — последовательность различных соб-
собственных значений оператора, такая, что 0 Ф %п -> % ф. 0. Обо-
Обозначим через ип собственный вектор оператора Т, соответствующий
Хп, и через М„ — подпространство, порожденное векторами
ut, . . ., ип. Подпространство Мп инвариантно относительно Т.
Так как векторы щ, и2, . . . линейно независимы, то Mn_i —
собственное подпространство в Мп, и потому существует вектор
§ 6. РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ 235
vn ? Mn такой, что || vn \\ = 1 и dist (vn, Mn_t) = 1 (см. лем-
лемму 1.12). Определив таким образом последовательность {vn},
покажем, что {Я^1Гуп} не содержит подпоследовательности Коши,
а это противоречит предположению о компактности оператора Т
(заметим, что последовательность {K^Vn} ограничена). При m <С.п
имеем
Xn'Tvn - b?Tvm=vn - {b?Tvm-Kl (Т - %п) vn).
Второй член в правой части этого равенства принадлежит Mn_i
ввиду того,' что vm ? Mn_i, Mn_i инвариантно относительно Т
и (Г — %п) vn 6 М„_4. Так как dist (vn, Mn_t) = 1, то расстояния
между элементами последовательности {k^}Tvn} не меньше еди-
единицы, т. е. никакая подпоследовательность этой последователь-
последовательности не может быть сходящейся.
II. Докажем теперь, что подпространство R (Т — ?) зам-
замкнуто, если ? Ф 0 и t, не является собственным значением для Т.
Предположим, что (Т — Q ил ->¦ d, и докажем включение v ?
? R (Т — Q. Если последовательность {ип} ограничена, то
{Тип} содержит последовательность Коши; заменяя {ип} подпо-
подпоследовательностью, можем считать, что {Тип} — последователь-
последовательность Коши. Пусть Тип -> и>. Тогда t,un = Тип — (Г — ?) ип —*-
—*- w — v. Применяя оператор Т к этому предельному соотноше-
соотношению, получаем ^Тип -*¦ Т (w — v). Таким образом, \w = Tw —
— Tv и, следовательно, v = t~r (T — I) (w — v) 6 R (T — Q.
Остается показать, что последовательность {ип} ограничена.
В противном случае, заменяя {ип} на подпоследовательность,
можем считать, что || ип || -> оо. Положим и'п = ип/ || ип ||. Тогда
{uJn} — ограниченная последовательность и (Т — ?,) и'п -> 0.
Повторяя предыдущие рассуждения, получаем, что Ти'п —>¦ w,
(Т — Р if = 0 и ^и^ ->- if. Таким образом, || if || = lim || ^u^ || =
= | t, | > 0 и вектор и? оказывается собственным вектором опе-
оператора 7\ отвечающим собственному значению ?,— противоречие.
III. Назовем временно комплексное число Z, исключительным,
если либо ? — собственное значение для 71, либо ? — собствен-
собственное значение для Т*. Так как оператор Т* компактен одновре-
одновременно с Т (теорема 4.10), то из доказанного выше следует, что
множество исключительных точек счетно и не имеет предельных
точек, отличных от нуля. Каждая неисключительная точка ? Ф 0
принадлежит Р (Г). Действительно, так как R (Т ¦— ?,) замкнуто,
то достаточно заметить, что R (Т — 0-L= N (Т* — ?) = 0.
С другой стороны, исключительные точки, очевидно, принадлежат
2 (Т) (см. теорему 6.22). Таким образом, 2 (Г) совпадает с мно-
множеством исключительных точек. Согласно результатам предыду-
предыдущего параграфа, теорема будет доказана, если мы покажем, что
собственный проектор Р, соответствующий числу If2 (T),
^ Ф 0, конечномерен.
236 Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Оператор Р имеет представление F.19), где Г — окружность
достаточно малого радиуса с центром в точке X. Резольвента
R (Q = R (?,, я), вообще говоря, не является компактным опе-
оператором, но оператор R (?) + t,'1 — t,~xTR (?) компактен одно-
одновременно с Т (теорема 4.8). Так как I ?-1 dt, = 0, то Р равен
г
интегралу по Г от компактного оператора R (?) + t,'1 и поэтому
сам компактен (ввиду того что этот интеграл есть предел по норме
конечных сумм компактных операторов). Согласно утверждению
задачи 4.5, оператор Р конечномерен.
Замечание 6.27. Так как комплексное^число % Ф О либо^при-
надлежит Р (Т), либо является изолированным собственным
значением конечной кратности, то к Я, применимо замечание 6.23.
Получающийся при этом результат известен как теорема Рисса —
Шаудера; эта теорема обобщает классическую теорему Фред-
гольма для интегральных уравнений.
Замечание 6.28. Пусть Кп, п = 1, 2, . . .,— собственные зна-
значения компактного оператора, а Рп и Dn — соответствующие
собственные проекторы и нильпотентные части. Положим Qn =
= Pi + . . . + Рп и. QnX = М„; {Мп} — возрастающая после-
последовательность конечномерных подпространств в X: Mt cz M2 с:
cz М3 .... Каждое Мп, инвариантное относительно Т, имеет
спектральное представление вида
m
TQn=^(KhPh + Dh) F.55)
/i=i
[ср. F.38)]. Это приводит к предположению, что 2' =
оо
= У] (khPh -\- Dh), однако без дополнительных ограничений
на оператор Т такое представление неверно *). В самом деле,
оператор Т может вовсе не иметь собственных значений (напри-
(например, квазинильпотентный оператор не имеет ненулевых собствен-
собственных значений; примером квазинильпотентного оператора может
служить интегральный оператор Вольтерры; см. пример 3.15).
Однако, как мы увидим в дальнейшем, сформулированная выше
гипотеза верна для нормальных компактных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве (теорема V.2.10).
х) Это интересная, но трудная задача. Она состоит в том, чтобы описать
класс операторов, для которых такое спектральное разложение возможно.
По этому поводу см. гл. II книги Данфорда и Шварца [1]. Постав-
Поставленная задача также связана с теорией спектральных операторов, развитой
Данфордом (см. Д а н ф о р д [1]).
§ 6. РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ 237
8. Операторы с компактной резольвентой
Другим классом операторов, спектры которых аналогичны
спектрам операторов в конечномерном пространстве, является
класс операторов с компактной резольвентой. Пусть Т — зам-
замкнутый оператор в X, такой, что R (?) = R (?, Т) существует
ж компактна по крайней мере для некоторого ?0. Согласно резуль-
результатам предыдущего пункта, 2 (R (?0)) — счетное множество,
не имеющее ненулевых предельных точек. Так как 2 (R (?0)) —
это образ множества 2 (Г) при отображении ?-*-(?— So)
(см. задачу 6.16), то спектр 2 (Т) состоит только из изолирован-
изолированных точек (не имеющих предельной точки, кроме оо). Собственный
проектор, соответствующий X ? 2 (Г), совпадает с собственным
проектором оператора R (?о)> соответствующим собственному зна-
значению \i = (к — So)! это следует из F.18) и F.19) с помощью
замены переменной интегрирования. Отсюда следует, в частности,
что dim Р -< оо, т. е. каждое собственное значение % оператора 7"
имеет конечную кратность. Далее, соотношение R (?) =
= Д (?о) A + (? — So) -R @) Для любого ? € Р B1), вытекающее
из резольвентного уравнения, показывает, что оператор R (?)
компактен для каждого Z, ? Р (Г). Таким образом, доказана
Теорема 6.29. Пусть Т — замкнутый оператор в X, такой,
что для некоторого ^резольвента R (Q существует, и компактна.
Тогда спектр оператора Т состоит из изолированных собственных
значений1), имеющих конечные кратности, и R (Q компактен
для каждого ? 6 Р (Т).
, "ДТакой оператор называется оператором с компактной резоль-
резольвентой, а спектр описанного типа — дискретным. Таким обра-
образом, оператор с компактной резольвентой имеет дискретный
спектр. Операторы с компактной резольвентой часто встречаются
в математической;физике. Можно сказать, что большинство диф-
дифференциальных операторов, возникающих в связи с классической
граничной задачей, принадлежит этому типу.
Задача 6.30. Если оператор в X с компактной резольвентой ограничен,
то X конечномерно.
Пример 6.31. Дифференциальные операторы из примеров 2.6 и 2.7
и п. 2.3, для которых резольвентное множество не пусто, суть операторы
с компактной резольвентой, так как их резольвенты — это интегральные
операторы с непрерывными ядрами (см. пример 4.1). Отсюда немедленно сле-
следует, что спектры этих операторов состоят из изолированных собственных
значений конечной кратности (ср. примеры 6.19 и 6.20).
В связи с понятием оператора с компактной резольвентой
оказываются полезными следующие леммы и их следствия.
См. примечание па стр. 228.
238 • Гл. III. ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Лемма 6.32. Пусть операторы Ту, Т2 Е ^ (X, Y) обладают
следующими свойствами: i) Ту и Т2 суть продолжения одного
и того же оператора То, причем порядок продолжения Ту конечен;
ii) операторы Т^1 и Т~г существуют и принадлежат $ (Y, X).
Тогда оператор А = Т\г — Т'1 вырожден и N (A) zd R (Го), где
codim R (Го) <С оо. Порядки продолжений Ту и Т2 оператора То
равны (и поэтому Т2 также является конечным продолжением опе-
оператора То).
Доказательство. Положим Dt = D G^), D2 =
= D (Т2), Do = D (To), Ro = R (Го). Каждый вектор v ? Ro
имеет вид v = Тои = Туи и, следовательно, T"^v = T'^v = и.
Поэтому Av = 0 и Roc N (А). Так как операторы Ту и Г2 суть
взаимно однозначные отображения, то dim (Y/Ro) =
= dim (TiDJTiDo) = dim (D/Do) и, аналогично, dim (Y/Ro) =
= dim (D2/D0)- Отсюда следует, что dim (Y/N (A)) < dim (Y/Ro) =
= dim (D2/Do) = dim (Di/D0) -< оо и, следовательно, А вырож-
вырожден, согласно утверждению задачи 4.11.
Лемма 6.33. Пусть Tt, Тг ? Чё (X, Y) обладают следующими
свойствами: i) Ту и Т2 суть сужения одного и того же оператора Т,
причем порядок сужения Ту конечен; ii) Т^1 и Т'1 существуют
и принадлежат $ (Y, X). Тогда А = Т'1 — Т~г вырожден и
R (А) а N (Г), где dim N (Г) < оо. Порядки сужений Тх и Т2
оператора Т равны.
Доказательство. Для любого v ? Y имеем TT'^v =
= TiT~lv = v и, аналогично, TT'^v = v. Поэтому TAv = 0
и R (А) а N (Г). Но так как Т является конечным продолжением
оператора Ту и Ту отображает Dt = D (Г4) на Y, то dim N (Г) =
= dim (D/Dj), где D = D (Г). Аналогично, dim N (Г) =
= dim (D/D2). Отсюда следует, что dim R (А) <; dim N (Т) =
= dim (D/D2) = dim (D/Dj) < оо.
Следствие 6.34. Пусть операторы Tif Т2 6 ^ (X) имеют
непустые резольвентные множества. Предположим, кроме того,
что Тг и Т2 суть продолжения (сужения) одного и того же опе-
оператора То, причем порядок продолжения (сужения) Ту конечен.
В этих условиях Ту имеет компактную резольвенту тогда и только
тогда, когда Т2 обладает этим свойством.
Пример 6.35. Результат примера 6.31 о том, что операторы из приме-
примеров 2.6 и 2.7 и п. 2.3 имеют компактные резольвенты, не случаен. Эти опера-
операторы суть конечные продолжения одного и того же оператора Го к в то же
время конечные сужения оператора Т.
Мы докажем здесь еще одну лемму, связанную с предыдущими
леммами.
6. РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРЫ
Лемма 6.36. Предположим, что выполнены предположения
лемм 6.32 и 6.33. Тогда оператор А = Т[х — Т~г имеет вид
т
А = 2 ( ,gj) "* Uj 6 N (Т), gjtn (ToI. F.56)
Доказательство. Так как R (А) а N (Г), согласно
m
лемме 6.38, то Аи = S ?./ ^ ";> гДе wy> 7 = 1> • • •> mi— линей-
но независимее векторы из N (Т). Очевидно, что gj [у], / = 1, ...
. . ., т,— ограниченные линейные формы на Y, обращающиеся
в нуль на R (То), согласно лемме 6.32. Поэтому можно считать,,
что gj [v] = (v, gj), где gj 6 R (ToI.
ГЛАВА IV
ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
В этой главе мы исследуем устойчивость при малых возмущениях раз-
различных спектральных свойств линейных операторов в банаховых простран-
пространствах. Основными предметами изучения являются вопросы устойчивости
(или неустойчивости) спектра и возмущение резольвенты. Результаты этой
главы будут существенны для дальнейшего развития теории возмущений
в последующих главах. Рассматривается устойчивость фредгольмовского
и полуфредгольмовского свойств операторов, а также устойчивость дефекта,
индекса и т. д. Сделана попытка рассматривать этн проблемы для неограни-
неограниченных операторов и наиболее общих типов возмущений.
Одной из основных проблем прн этом является определение «малого»
возмущения для неограниченных операторов. Существует довольно общее
определение «малости», полезное также и в приложениях, основанное
на понятии относительно ограниченного возмущения. Однако в общей теории
это определение слишком стеснительно. Наиболее естественное н общее
определение малости возмущения можно дать в терминах метрики в про-
пространстве % (X, Y) всех замкнутых линейных операторов, действующих
из одного банахова пространства X в другое Y. Такая метрика давно известна,
но в теории возмущений до снх пор не использовалась. Значительная часть
результатов этой главы получена на основе систематического использования
этой метрики.
Так как метрика в % (X, Y) определяется в терминах графиков опера-
операторов, являющихся замкнутыми подпространствами в XX Y, то такая метрика
оказывается частным случаем метрики на множестве всех замкнутых под-
подпространств банахова пространства. По этой причине значительная часть
главы посвящена построению метрики на множестве подпространств и род-
родственным задачам. Строя теорию таким образом, мы приходим к таким
понятиям, как фредгольмовское (нлн полуфредгольмовское) свойство пары
подпространств, их дефект, индекс н т. д. Результаты о подпространствах
естественным образом приводят к соответствующим результатам для опе-
операторов.
§ 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТОСТИ?И ОГРАНИЧЕННОЙ ОБРАТИМОСТИ 241
§ 1. Устойчивость замкнутости
и ограниченной обратимости
1. Устойчивость замкнутости
при относительно ограниченных возмущениях
Пусть Т 6 $ (X, Y), где X и Y — банаховы пространства
(напомним, что % (X, Y) — множество всех замкнутых операто-
операторов из X в Y). Мы уже отмечали ранее (задача III.5.6), что опе-
оператор Т + А также замкнут, если А ? if (X, Y). Другими сло-
словами, замкнутость устойчива при ограниченном возмущении А.
Мы обобщим здесь эту теорему устойчивости на случай неогра-
неограниченных возмущений.
Обобщение такого рода можно получить в случае относительно
ограниченных возмущений. Пусть операторы Т и А имеют одно
и то же пространство определения X (но не обязательно одно
и то же пространство значений) и D (Т) с: D (-4). Если для неко-
некоторых положительных констант а и Ъ
\\Аи ||< а || и || + Ъ || Ти |[, ueD(T), A.1)
то оператор А назовем ограниченным относительно Т или просто
Т-ограниченным. Нижняя грань Ьо всевозможных констант Ъ
в A.1) называется относительной границей {относительной гра-
гранью) оператора А по отношению к Т или просто Т-границей
(Т-гранью) оператора А. Если число Ъ близко к Ьо, то требуе-
требуемая константа а может оказаться очень большой; таким образом,
в A.1) нельзя, вообще говоря, положить Ъ = Ьо.
Очевидно, что ограниченный оператор А У-ограничен для
любого такого Т, что D(T)a D (А), причем- его Г-граница
равна нулю.
Сформулируем теперь упомянутую выше теорему об устой-
устойчивости замкнутости.
Теорема 1.1. Пусть Т и А — операторы из X в Y, причем А
Т-ограничен и его Т-граница меньше единицы. В этих условиях
оператор S — T + A замыкаем тогда и только тогда, когда Т
замыкаем; в этом случае замыкания операторов Т и S имеют одну
и ту же область определения. В частности, S замкнут тогда
и только тогда, когда Т замкнут.
Доказательство. Можем считать, что константа Ъ
в A.1) меньше единицы. Поэтому
-а || и || + A - Ъ) || Ти || < || Su || <
<fl||«|| + (l + b) \\Tu\\, ueV(T). A.2)
16 Т. Като
242 '¦' Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Фиксируя Т-сходящуюся последовательность {ип} (т. е. схо-
сходящуюся последовательность {ип}, для которой Тип также схо-
сходится; см. п. III.5.2) и применяя второе из неравенств A.2) к век-
вектору ип — ит, мы видим, что {ип} является ^-сходящейся после-
последовательностью. Аналогично из первого неравенства в A.2)
следует, что S-сходящаяся последовательность является также
Г-сходящейся. Из 5-сходимости к нулю последовательности
{ип} следует ее Т-сходимость к нулю, и поэтому Тип -> 0, если
Т допускает замыкание (см. (III.5.6)); далее, из второго неравен-
неравенства в A.2) следует, что Sun -> 0, т. е. оператор S замыкаем.
Аналогично, Т допускает замыкание, если S замыкаем.
Пусть Т и S — замыкания Т и S соответственно. Для каж-
каждого и ? D (S) существует последовательность {ип}, ^-сходящаяся
к и (см. п. III.5.3). Так как, согласно предыдущему, {ип} Г-схо-
дится к и, то и ? D (Т) и поэтому D (S) cr D (Т). Обратное вклю-
включение доказывается аналогично.
Задача 1.2. Если константа Ь в A.1) меньше единицы, то
5«||). A.3)
В частности, оператор А 5-ограничен и его 5-граница не превосходит
6A — Ь)'1. Вообще, любой Г-ограниченный оператор с Г-границей |3 ока-
оказывается также 5-ограниченным, причем его ^-граница не превосходит
рA-Ь)-1.
Предположения теоремы 1.1 несимметричны по отношению
к Т и S, в то время как утверждения симметричны. В связи с этим
представляет интерес следующее «симметризованное» обобщение
теоремы 1.1.
Теорема 1.3. Пусть Т и S — операторы, из X в Y такие, что
для
||5«-21и||<а||и[| + Ь'|[21«|| + Ь/'||5и||, и 6 D(f) = D (S), A.4)
где а, Ъ' и Ъ" — неотрицательные константы, причем Ъ' <С 1
и Ъ" <С 1. Тогда справедливы заключения теоремы 1.1.
Доказательство. Пусть А — S — Т, Т (х) = Т +
+ V.A, 0 ^ к. ^ 1. Операторы Т (х) имеют одну и ту же область
определения D (Т) и Т @) = Т, Т A) = S. Так как Ти = Т (х) и —
— хАи и Su = Т7 (х) ^ + A — у) Аи, то из A.4) следует, что
||4и||<а II и || + (Ь' + Ъ") \\Т{у)и || + Ъ\\Аи ||, где Ь =
= max (Ь', Ь"). Поэтому
^ \\Т^)и\\).'_ A.5)
§ 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТОСТИ И ОГРАНИЧЕННОЙ ОБРАТИМОСТИ 243
Отсюда вытекает, что оператор А Г(х)-ограничен и его Г(х)-гра-
ница не превосходит Р = A — b)'1 (b' + Ъ"). Следовательно, опе-
оператор (х' — х) А 2'(х)-ограничен и его ?1(х)-граница меньше
единицы, если | х' — х | < 1/C, и поэтому по теореме 1.1 опе-
оператор Т (х') допускает замыкание тогда и только тогда, когда
Т (х) замыкаем. Это замечание немедленно приводит к утвержде-
утверждению теоремы; так, например, свойство оператора Т (к) допускать
замыкание «распространяется» от точки х = 0 до точки х = 1
за конечное число шагов величины не больше 1/C.
Замечание 1.4. Пусть Т ? % (X, Y). Положим
III^ ц|,= п«ц+ \\ти\\, иету(Т). A.6)
Нетрудно видеть, что D (Т) становится банаховым пространством
X относительно нормы |||-|||; полнота X является прямым след-
следствием замкнутости Т. Если А — оператор из X в Y', причем
D(A)^d D (Т), то сужение оператора А на D (Т) можно рас-
рассматривать как оператор А из X в Y'. Ясно, что А ^-ограничен
тогда и только тогда, когда А замкнут.
Замечание 1.5. Если Т замкнут и А замыкаем, то из включе-
включения D (T) a D (.4) следует, что оператор А Г-ограничен. Для
доказательства рассмотрим пространство X и оператор А, вве-
введенные в предыдущем замечании. Оператор А замыкаем, так как
4-сходящаяся последовательность в X является А -сходящейся
последовательностью в X. Ввиду того что А определен на всем
пространстве X, оператор А замкнут и, следовательно, ограничен
по теореме III.5.20. Таким образом, А ^-ограничен согласно
замечанию 1.4.
2. Примеры относительно ограниченных операторов
Так как понятие относительной ограниченности весьма важно в теории
возмущений, мы рассмотрим здесь несколько примеров, иллюстрирующих
это понятие 1).
Пример 1.6. Пусть (а, Ъ) — конечный интервал, X = С [а, Ь] или Lp (а, &),
Т и А — максимальные операторы, определенные равенствами Ти = —и"
жАи= и' (см. примеры 2.6—2.7 и п. III.2.3). Мы покажем, что А Г-ограничен
и его Г-граница равна нулю. Для этого воспользуемся тождеством
и' = Gu" + Ни, A.7)
х) Неравенства, приводимые ниже, являются частными случаями нера-
неравенств Соболева; см. С.Л.Соболев [1J, Голдберг [1].
16*
244
Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
где G и Я — интегральные операторы с ядрами g- (у, х) is. h (у, х) соответ-
соответственно и
(b-a)(y-a)n "'
«(«4-1) F — аг)п-1
—^^
здесь п — любое положительное число. Тождество A.7) проверяется непо-
непосредственно с помощью интегрирования по частям. Операторы G и И огра-
ограничены, так как
ь ь
f \g(V, *)|Ar<4xT.
j I g (г/, *) \dy ¦
a
A.9)
1.10)
где для простоты предполагается, что « > 1. Из (III. 2.9) следует, что
Поэтому A.7) приводит к оценке
(U2)
Так как коэффициент при || и" \}р можно сделать сколь угодно малым за счет
выбора п, мы доказали наше утверждение.
Заметим, что для оценки нормы функции и' в том случае, когда X=L°°
или С, достаточно использовать лишь первые из неравенств A.9) и A.10).
В этом случае A.12) заменяется оценкой!
Отметим, что в оценках j(l. 12) и A.13) на и (х) не налагаются никакие
граничные условия.
Предположим теперь, что и ж и" принадлежат Lp @, оо). Оценка A.12)
верна для а = 0 и любого 6 > 0. Фиксируя i>0a полагая п — Ык,
устремляем Ь к бесконечности. Мы видим, что норма \\и' ||р, рассматриваемая
на интервале @, Ъ), ограничена при Ь -*¦ оо и поэтому и' ? Lp @, оо); кро-
кроме того
1К]1р<й||и"!1р-Ьу11«11р. A.14)
Такое же неравенство справедливо и в случае всей числовой оси (— оо, 4-оо).
Так как к > 0 произвольно, то оператор А = d/dx Г-огранжчен и его Т-
грапица равна нулю в случае бесконечного интервала.
Задача 1.7. Из A.14) вывести неравенство
A.15)
(в случае бесконечного интервала).
§ 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТОСТИ И ОГРАНИЧЕННОЙ ОБРАТИМОСТИ 245
Пример 1.8. Пусть (а, Ь) — конечный интервал, X = Lp (а, Ъ), Ти,— и'
и Аи = и (с), где с g [а, Ъ]. А — линейная форма, причем неограниченная,
если р < °°. Мы покажем, что форма А Т-ограничена и ее Г-граница рав-
равна нулю при р > 1 и положительна при р = 1. Для этого мы воспользуемся
тождеством
и (с) = (»',*)+(«*.*). A-16)
где
»-«)(L«)n ^
— F — ж)«+1 ., (ге + 1)(Ь г)"
здесь ге — любое положительное число. Это тождество можно проверить
с помощью интегрирования по частям. Непосредственные вычисления при-
приводят к неравенствам
(L)
для любого q^-i. Отсюда, из тождества A.16) и из неравенств Гёльдера
следует оценка:
Если р > 1, то g < то и коэффициент при [| и' \\р в правой части A.19) мож-
можно сделать сколь угодно малым за счет выбора п; таким образом, форма А
Г-ограничена и ее Г-грашща равна нулю. Если р = 1, то д = оо, и пере-
переходя к пределу в A.19) при п -*- 0, получаем оценку
I и (с) I < II и' Hi + II " lliW - «)• С1-20)
Итак, при р = 1 форма А Г-ограничена и ее Г-граница не превосходит 1.
Если с = а или с = Ъ, то Г-граница в точности равна 1; это вытекает из
существования последовательности {щ} такой, что и^ (&) = 1, || uk ||i = 1
и II uk Hi ~v 0 при ft -v оо. Примером такой последовательности может слу-
служить «ь (х) = (х — a)h/(b — a)ft. Если а < с < &, то Т-граница формы 4
V2. В
() ( )( )
равна V2. В самом деле, имеем
l():i<
,
A.21)
для доказательства этой оценки заметим, что тождество A.16) справедливо
для функций g ж h вида
<<6
*(*>= 2^&1С) ' А(^= 2(Ь-С)
Ясно, что || g ||о, = 1/2 и || А И» = max ((с — а)-1, (& — с)-1)/2. Г-гра-
ница формы А в рассматриваемом случае не меньше У2, так как суще-
существует последовательность {uk} такая, что uk (с) = 1, [[ ад ||4 = 2 и |[ uk Цх -*¦
-»-0 при А-»- оо. Примером такой последовательности может служить
при
при
246 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Пример 1.9. Пусть (а, 6) — конечный интервал, X=LP (а, Ъ), Т: и -*•
-v и' — оператор в X, как и в предыдущем примере, и А: и -*¦ и — оператор
из X в Y = С [а, Ь]. Так как каждая функция и ? D (Т) непрерывна, то
D (T) a D (^4). Далее, ввиду того, что A.19) справедливо для любого числа
с 6 [а, 6], а правая часть этого неравенства не зависит от с, \\ Аи \\ = \\ и \\х
не превосходит правой части в A.19). Отсюда следует, что А Г-ограничен
и его Т-граница равна нулю при р > 1 и единице при р = 1. Отметим, что
оценка A.21) бесполезна в рассматриваемом случае, так как правая часть
в A.21) не ограничена по с. Однако если А рассматривать как оператор
из L1 (а, 6) в Y' = С [а', &'], а < а! < V < Ъ, то из A.21) следует, что
Г-граница оператора А равна 1/2.
Пример 1.10. Рассмотрим максимальный дифференциальный оператор
Т из п. III.2.3, построенный по формальному оператору B.13). Рассмотрим
также другой формальный дифференциальный оператор, получающийся
из B.13) заменой функций р0, р1? р2 на q0, qt, q2, и построим соответствую-
соответствующий максимальный оператор S. Операторы Т и S имеют одну и ту же область
определения, состоящую из всех функций и 6 X таких, что и', и" ? X. Мы
покажем, что оператор S Г-ограничен, и оценим его Г-границу. Для любой
функции и ? D (Т) имеем
|| Su\\ < No || и " || + Nt || и' || + N2 || и ||,
N, = max | g,- (x) |, / = 0, 1, 2. ¦' A.23)
х?[а,Ъ] ¦
Неравенство A.12) можно переписать в виде
II «' II < е И и" || +Се\\и ||, A.24)
где е > 0 произвольно, а Сг — подходящая константа. Из A.23) и A.24)
следует, что
|| Su || < (No + eNu || и" И + {CeN, + N2) || и ||. A.25)
С другой стороны, полагая m0 = min | рд (х) | и Mj = max | pj [х) |, / =
= 1, 2, имеем
|| Ти || > то || и" || - М, || и' || - М2 || и || >
> (m0 - eJIfO || и" || -{CaMi + JW2) || и ||. A.26)
Если число 8 выбрать столь малым, что т0 >Е Ми то
Устремляя 8 к нулю, видим, что Г-граница оператора S не превосходит
Njm0. Следует отметить, что коэффициенты при || Ти \\ и || и \\ в A.27) ста-
становятся сколь угодно малыми, если число N = max (NB, Nt, N2) достаточно
мало. Отметим также, чго в рассуждениях этого примера функция q0 (x)
не обязана быть положительной.
Рассмотрим теперь сужения Г4, Т2 и т. д. оператора Т и введем сужения
iSi, 1S2 и т. д. оператора S, порожденные теми же граничными условиями.
Из предыдущих рассуждений следует, что оператор Sn Тп-ограничен, п =
= 1, 2 и т. д.
3. Относительная компактность
и теорема устойчивости
По аналогии с понятием относительной ограниченности введем
понятие относительной компактности. Пусть Т и А — операторы,
имеющие одно и то же пространство определения X (но, возможно,
§ 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТОСТИ И ОГРАНИЧЕННОЙ ОБРАТИМОСТИ 247
различные пространства значений). Предположим, что D (T) cz
cz D (^4) и для любой последовательности, составленной из
ип 6 D (Т), ограниченной вместе с {Тип}, последовательность
{Аип} содержит сходящуюся подпоследовательность. В такой
ситуации будем говорить, что оператор А компактен относи-
относительно Т или просто Т-компактен х).
Из Г-компактности следует Г-ограниченность. В самом деле,
если А не является Г-ограниченным, то существует такая после-
последовательность ип 6 D (Г), что || ип || + || Тип || = 1, но || Аип || ^
^ п, п = 1, 2, ... . Очевидно, что {Аип} не содержит сходя-
сходящейся подпоследовательности.
Теорема 1.11. Пусть Т и А — операторы из X в Y, причем
оператор А Т-компактен2). Если Т допускает замыкание, то
и S = Т + А замыкаем, замыкания операторов Т и S имеют
общую область определения и А S-компактен. В частности, если
' Т замкнут, то и S замкнут 3).
Доказательство. Докажем сначала, что А ^-ком-
^-компактен, если Т замыкаем. Предположим, что последовательности
{ип} и {Sun} ограничены; требуется доказать, что {Аи^} содер-
содержит сходящуюся подпоследовательность. Так как А Г-компактен,
то достаточно показать, что {Тип} содержит ограниченную под-
подпоследовательность. Предположим противное, т. е. что || Тип || ->¦
—>- оо. Положим и'п = uj || Тип ||; тогда *4 ->- 0, 5i4 ->- 0, а после-
последовательность {Ти'п} ограничена. Поэтому {Аи'п} содержит схо-
сходящуюся подпоследовательность. Заменяя {ип} на подходящую
подпоследовательность, можем считать, что Aun-^-w, тогда Ти'п =
= Suit — Av!n -*¦ —w. Так как и'п —>- 0 и Т замкнут, то w — 0.
Но это противоречит тому, что вектор —w служит пределом
последовательности Ти'п, где || Ти'п \\ = 1.
Докажем теперь, что S замыкаем. Пусть ип -> 0 и Sun —*¦ v,
покажем, что v = 0. Так как А S-компактен, то {Аип} содержит
сходящуюся подпоследовательность. И снова можно считать, что
Аип -*¦ w; тогда Тип = Sun — Аип -> v — w. Так как ип —>- 0
и Т замыкаем, то Тип -> v — w = 0. Ввиду того что А Г-ограни-
чен, Аип -*¦ 0; поэтому w = v = 0.
-1) По поводу примеров относительно компактных дифференциальных
операторов см. Бальслев [1].
2) Здесь в противоположность предположениям теоремы 1.1 мы не на-
налагаем ограничение на «относительную норму» оператора А.
3) Утверждения этой теоремы несимметричны относительно Т и S (в про-
противоположность теореме 1.1). Возможно даже, что Т не допускает замыкание,
в то время как S замкнут. Простой пример такого рода мы получим, полагая
Т = —А = /, где / — неограниченная линейная форма на X; здесь Y —
одномерное пространство С (см. примечание 2 на стр. 171). Т не допускает
замыкания, согласно утверждению задачи III.5.18, форма А 7-компактна,
однако форма S = 0 и, следовательно, замкнута.
248 ' ' Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ •
Пусть Т и S — замыкания Т и S соответственно. Если
и f D (Т), то существует последовательность {ип}, Г-сходящаяся
к и. Ввиду того что оператор S, так же как и А, Г-ограничен,
последовательность {ип} 5-сходится к и и поэтому и ? D (S).
Обратно, предположим, что и ? D (S). Тогда существует 5-схо-
дящаяся к и последовательность {ип}. Так же как в первой части
доказательства, можно показать, что {Тип} ограничена. Поэтому,
как и раньше, можно считать, что Аип ->ю и Тип = Sun —
— Aun-+v— w. Таким образом, {ип} Г-сходится к и, т.е.
и б D (Т). Итак, доказано, что D (Г) = D E).
Замечание 1.12. Предположим, что Т замкнут iDD)dD (T).
Рассмотрим пространство X и оператор А, введенные в замеча-
замечании 1.4. Оператор А Г-компактен тогда и только тогда, когда
А компактен.
Замечание 1.13. Можно определить относительно вырожденные
операторы как частный случай относительно компактных опе-
операторов. Оператор А Т-вырожден, если А Г-ограничен и про-
пространство R (А) конечномерно. Нетрудно видеть, что 7"-вырож-
денный оператор Г-компактен.
Мы дадим явное описание Т-вырожденных операторов. Пусть
Т действует из X в Y; рассмотрим пространство X X Y (см.
п. III.5.2). Так как из ^-ограниченности оператора А следует,
что || Аи || ^ const || {и, Ти} ||, то А можно рассматривать как
ограниченный оператор из X X Y в Y' (пространство значений
оператора А) с областью определения G (Т) (график оператора Т).
Ввиду того что пространство R (А) конечномерно, Аи можно
записать в виде
где g'j суть линейные формы на G (Т). Так как | g] [и] \ ^
^ const || Аи || согласно A.1.21), то g] — ограниченные формы
на X X Y с областью определения G (Т). По теореме Хана —
Банаха формы g] можно продолжить до ограниченных форм
на X X Y. Так как (X X Y)* = X* X Y*, то эти продолжения
можно записать в виде {и, v} -> (и, fj) + (v, gj), где fj 6 X*
и gj б Y*. Если {и, v}?G (Т), то g'} [и] = (и, f}) + (Ти, g,).
Таким образом, мы приходим к следующему общему виду для
Г-вырожденного оператора из X в Y':
Аи= 2 [{и, fj) + (Tu, gj)\y'h /;6X*, gveY*, йб Y'. A.29)
3=1
§ 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТОСТИ И ОГРАНИЧЕННОЙ ОБРАТИМОСТИ 249
Задача 1.14. Предположим, что существует плотно определенный опе-
оператор S из Y* в X*, сопряженный к Т (см. (III.5.7)). Тогда Г-граница Г-вы-
рожденного оператора А равна нулю. [Указание: приблизить gj из A.29)
элементами из D (S).]
Пример 1.15. В примере 1.6 оператор А Г-компактен, если (а, Ь) —
конечный интервал. В самом деле, если последовательность {ип} такова,
что последовательность Тип = —и'п ограничена, то семейство Аип = и'п
равностепенно непрерывно. Если, кроме того, {ип} ограничена, то {и'п (х))
равномерно ограничена по х и п. Таким образом, по теореме Асколи {и^}
содержит равномерно сходящуюся подпоследовательность, являющуюся
последовательностью Коши в X. Оператор А не будет Г-компактным на ин-
интервале @, оо) или (—оо, +оо), хотя он Г-ограничен, причем его Г-граница
равна нулю (см. A.14)). Оператор А из примера 1.8 не только Г-компак-
тен, но даже Г-вырожден. Это очевидно, так как оператор А Г-ограничев
и его пространство значений одномерно.
4. Устойчивость ограниченной обратимости
Пусть Т ? % (X, Y). Мы покажем, что свойство обратного
оператора быть ограниченньш устойчиво при малых возмущениях.
Теорема 1.16 х). Пусть Т и А — операторы из X в Y. Пред-
Предположим, что Г существует и принадлежит 95 (Y, X) (отсюда
следует, в частности, что Т замкнут). Предположим, кроме того,
что А Т-ограничен, причем константы а, Ъ в A.1) удовлетворяют
неравенству
а || Г || + Ъ < 1. A.30)
Тогда оператор S = Т + А замкнут и обратим, причем S'1 ?
б Я (Y, X) и
-1 г-
Если, кроме того, Т'1 компактен, то S'1 компактен.
Доказательство. Так как, согласно условию A.30),
Ъ < 1, то S замкнут по теореме 1.1. Доказательство других утвер-
утверждений теоремы почти не отличается от соответствующих рас-
рассуждений в конечномерном случае (см. конец п. 1.4.4); заметим
сначала, что
S = Т + А =A +АТ-1) Т, АТ^еЯСУ, A-32)
так как AT-1 — оператор из Y в Y и || AT~xv ||< a \\ T~xv \\ +
+ Ъ || v ||< (а || Т -1 || + b)\\v ||. Таким образом,
\\AT-i\\^a\\T-i\\ + b<U A.33)
поэтому 1 + AT'1 отображает Y на Y взаимно однозначно и при-
применимы рассуждения п. 1.4.4. Единственное отличие состоит
г) Эта теорема будет обобщена в следующем параграфе (см. теорему 2.21).
250 ¦ Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
в том, что здесь мы используем оценку A.33) вместо простой
•оценки H^IjT || ^ ]| А \\-\\ Т'1 ||, использованной в п. 1.4.4.
Если Г компактен, то S'1 = Т'1 A + AT'1)'1 компактен
ло теореме III.4.8.
Замечание 1.17. Если оператор А в теореме 1.16 ограничен,
то можно положить а = || А ||, Ъ = 0 и неравенства A.31) сведутся
к A.4.24). Если, кроме того, А коммутирует с Т (предполагается,
что X = Y), то можно доказать существование S'1 при более
-слабых предположениях, а именно:
Теорема 1.18. Пусть Т — оператор в X и Т~х ? JF (X). Если
А 6 38 (X) коммутирует с Т и Spr A < 1/Spr T'1, то оператор
(Т + А)'1 существует и принадлежит $} (X).
Доказательство. Коммутирование А с Т эквивалент-
эквивалентно равенству AT'1 = Т~ХА (см. задачу III.5.37). Таким образом,
доказательство теоремы совпадает с доказательством соответ-
соответствующего результата в конечномерном случае (замечание 1.4.7).
§ 2. Обобщенная сходимость замкнутых операторов
¦'¦¦ 1. Раствор между подпространствами
Когда мы рассматриваем задачи теории возмущений для
8амкнутых операторов, необходимо уточнить, что значит «малое»
возмущение. В предыдущем параграфе мы рассматривали возмуще-
возмущения специального вида, а именно относительно ограниченные
возмущения. Однако это понятие довольно ограничительно,
и в связи с этим мы дадим здесь более общее определение малости
возмущения для замкнутых операторов.
Это можно сделать наиболее естественным образом, вводя
метрику в множество % (X, Y) всех замкнутых операторов из X
л Y. Если Т, S ?<ё (X, Y), то их графики G (Т) и G (S) суть
замкнутые линейные многообразия в пространстве X X Y. Таким
образом, расстояние между Т и S можно измерять величиной
«раствора» между G (Т) и G (S). Мы приходим, таким образом,
к задаче измерения раствора между двумя замкнутыми подпро-
подпространствами банахова пространства.
В этом пункте через L, M, N, . . . мы обозначаем замкну-
замкнутые подпространства банахова пространства Z.
Обозначим через Sm единичную сферу в М (множество всех
.векторов из М, имеющих норму 1). Для любых двух замкнутых
§ 2. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОПЕРАТОРОВ 251
подпространств в Z положим г)
б (М, N) = sup dist (и, N), B.1)
S
б (М, N) = max [б (М, N), б (N, М)]. B.2)
Определение B.1) теряет смысл, если М = 0; в этом случае мы
полагаем б @, N) = 0 для любого N. С другой стороны, как
видно из определения, б (М, 0) = 1, если М Ф 0; величину
б (М, N) можно также определить как наименьшее число б такое,
что
dist (и, N) < б || и || B.3)
для всех и 6 М. Число б (М, N) назовем раствором между М и N.
Следующие соотношения вытекают непосредственно из опре-
определений:
б (М, N) = 0 <=> М с= N, B.4)
б (М, N) = 0 <=> М = N, ' ¦ '" " ' B.5)
б (М, N) = б (N, М), "* B.6)
0<б(М, N)<1, 0<6(М, N)<1. . B.7)
Несмотря на то что B.5) и B.6) являются свойствами метрики,
функция б (М, N) не есть метрика на множестве подпространств,
так как она, вообще говоря, не удовлетворяет неравенству тре-
треугольника 2).
Это затруднение можно преодолеть, несколько изменяя опре-
определения B.1), B.2). Положим
d(M, N)= sup dist (и, SN), '•¦ г B.8)
d (M, N) = max [d (M, N), d (N, M)] 3). B.9)
Определение B.8) теряет смысл, если М = 0 или N = 0. В этих
случаях положим
d (М, 0) = 2, М Ф 0; d @, N) = 0 для любого N. B.10)
х) См. Гохберг и Крейн [1], Т. Като [12], К орд ее и
Л а б р у с [1].
2) б удовлетворяет неравенству треугольника, если Z — гильбертово
пространство. Это следует из равенства S (M, N) = \\ Р — Q Ц, где Р и Q —
ортогональные проекторы на М и N соответственно (см. теорему 1.6.34).
В этом случае S оказывается более удобной метрикой, чем вводимая ниже
метрика d.
3) См. Гохберг и Маркус [1]. Иная по форме, но эквивалент-
эквивалентная метрика была введена Н ь ю б а р о м [2]; d является хаусдорфовой метри-
метрикой на множестве единичных сфер SM (при этом исключается из рассмотре-
рассмотрения случай М = 0); см. Хаусдорф [1], стр. 145. Функция d (M, N)
в точности совпадает с р (SM, SN) в обозначениях Хаусдорфа. По поводу
сравнения различных метрик см. Б е р к с о н [1].
252 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ '
Соотношения B.4) —B.7) сохраняют силу, если б и б заменить
на d и d. Более того, функции d и d удовлетворяют неравенству
треугольника:
d(L, N)-<d(L, M) + d(M, N),
d (L, M)<J (L, M) + d (M, N). ( *
Второе из этих неравенств следует из первого, которое в свою
очередь без труда выводится из определения. Доказательство
предоставляется читателю. (Случай, когда по крайней мере одно
из подпространств L, М, N обращается в нуль, следует рассмот-
рассмотреть отдельно.)
Множество всех замкнутых подпространств становится метри-
метрическим пространством, если за расстояние между М и N принять
d (M, N). Последовательность {Мп} замкнутых подпространств
сходится к М, если d (Mn, M) -*¦ 0 при п -> оо. В этом случае мы
пишем Мп -> М или lim Mn = М.
Хотя раствор б и не является метрикой, однако в приложе-
приложениях функция б более удобна, чем метрика d, так как ее опреде-
определение несколько проще. Более того, обе функции б и d приводят
к одной и той же топологии в множестве всех замкнутых под-
подпространств. Это вытекает из следующих неравенств *):
6 (М, N)< d (М, N) < 26 (М, N), B.12)
б (М, N)< d (М, N) < 26 (М, N).
Вторая строчка в B.12) следует непосредственно из первой;
неравенство б (М, N) ^ d (M, N) тривиально. Для доказательства
неравенства d(M, N)<J26 (М, N) достаточно, предположив N=^0,
показать, что
dist (и, SN) < 2dist (и, N) B.13)
цля каждого и ? Z, || и || = 1. Для любого е > 0 существует
вектор v ? N такой, что || и — v || •< dist (и, N) + в. Можно
считать, что v Ф 0, так как в противном случае можно немного
ззменить v, не нарушая неравенство. Тогда v0 — vl || v \\ ? SN
i dist (и, SN)< || и - v0 |K || u - v |j + |[ v - y0 ||. Ho
I ^ - y0 II = I II v || - 1 I = I || v И - IJ u III < || v - и ||, и по-
>тому dist (и, SN) ^ 2 || u — f || < 2 dist (и, N) + 2e. Это дока-
(ывает B.13) ввиду произвольности е > 0.
Из B.12) следует, что предельные соотношения d(Mn, М) -> О
i б (М„, М) -> 0 эквивалентны. Таким образом, сходимость Мп ->¦
¦*¦ М можно определить с помощью соотношения б (М„, М) -> 0,
[е обращаясь к метрике d. В дальнейшем мы почти всегда будем
[спользовать раствор б, а не метрику d.
х) См. Гохберг и Маркус [1]. : ••
§ 2. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОПЕРАТОРОВ 253
Замечание 2.1. Введенное выше метрическое пространство
всех замкнутых подпространств в Z полно; если {Мп} — последо-
последовательность Коши (т.е. d (Mn, Мт) -> 0 при п, т-*-оо), то
существует замкнутое подпространство М такое, что d (Mn, M) ->
->• 0. Так как это утверждение нам не пригодится, мы не дока-
доказываем его здесь.
Следующая лемма потребуется в дальнейшем.
Лемма 2.2. Для любых замкнутых подпространств М и N
в Z и любого и ? Z справедливо неравенство
{1 + 6 (М, N)) dist (и, М) > dist (и, N) - || и || б (М, N). B.14)
Доказательство. Для любого е > 0 существует вектор
v 6 М такой, что || и — v ||< dist (гг, М) + е, и по v можно вы-
выбрать такой вектор w ? N, что || v — w || < dist (v, N) + е. По-
Поэтому dist (й, N) ^ || и — и; || < dist (и, М) + dist (v, N) +
+ 2е < dist (и, М) + || v || б (М, N) + 2е. Но || i? ||< || и —
— у || + || и || ^ || и || + dist (и, М) + е. Отсюда следует, что
dist (и, N) < A + б (М, N)) dist (и, М) + || и || б (М, N) +
+ 2е + еб (М, N). Устремляя 8 к нулю, получаем неравен-
неравенство B.14).
2. Раствор и размерность
Следующая лемма является основной при изучении раствора
между замкнутыми подпространствами.
Лемма 2.3 *). Пусть М и N — подпространства в банаховом
пространстве Z. ?"сш dim М >> dim N, то существует вектор
и ? М такой, что
dist (и, N) = || и || > 0. B.15)
Замечание 2.4. Если ввести факторпространство Z = Z/N
(см. п. III.1.8), то B.15) можно записать в виде
II и 11 = П«П>0. B.16)
Отметим, что N замкнуто, так как, согласно предположению лем-
леммы 2.3, dim N < оо.
Доказательство леммы 2.3. Можно считать, что
М и N конечномерны, так как dim N < оо, а подпространство М
можно заменить его конечномерным подпространством размер-
размерности dim N + 1. Следовательно, само Z можно считать конечно-
конечномерным, так как достаточно рассматривать лишь подпростран-
подпространство М + N.
х) См. Крейн, Красносельский и Мильмап [1], Г о
берг и Крейн [1] и Т. К а т о [12]. , .
254 ' Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ ' . '¦ -
Предположим сначала, что Z строго выпукло; под этим мы
подразумеваем, что || и + v || <С || и || + || v [| всякий раз, когда
и, v линейно независимы. Нетрудно видеть, что в этом случае
для каждого вектора и 6 Z в N существует ближайший к и век-
вектор v = Аи, причем отображение и -> Аи непрерывно х). Опера-
Оператор А, вообще говоря, нелинеен, но он обладает тем свойством,
что А (—и) = —Аи. Согласно теореме Борсука а), существует
такой вектор и 6 М, что || и \\ = 1 и Аи = 0. Это доказывает
лемму в рассматриваемом частном случае.
В общем случае будем рассматривать Z как вещественное
банахово пространство; выберем базис /ь . . ., fm в простран-
пространстве, вещественно сопряженном к Z. Тогда
определяет новую норму в Z и превращает Z в строго выпуклое
пространство. Для каждого п = 1, 2, ... существует вектор
ип 6 М такой, что distn (un, N) = |[ ип \\п = 1, где distn обо-
обозначает расстояние, порожденное нормой ||-||п. Так как || ип \\ <!
^ II ип \\п ~ 1) то последовательность {ип} содержит сходящуюся
подпоследовательность. Предел и этой подпоследовательности,
как нетрудно видеть, и есть искомый вектор.
Замечание 2.5. Нелинейность оператора А, построенного
в доказательстве леммы 2.3, придает этой лемме неэлементарный
характер. Если Z — гильбертово пространство, то А оказывается
оператором ортогонального проектирования на N и доказатель-
доказательство леммы становится вполне элементарным.
Следствие 2.6. Пусть М и N — замкнутые подпространства.
Если б (М, N) < 1, то dim М < dim N; если же б (М, N) < 1,
то dim М = dim N.
Замечание 2.7. Следствие 2.6 показывает, что пространство
замкнутых подпространств пространства Z представляется в виде
объединения непересекающихся открытых множеств, каждое из
которых состоит из замкнутых подпространств фиксированной
размерности.
3. Двойственность
Существует простая связь между раствором подпространств
в банаховом пространстве Z и раствором подпространств в сопря-
сопряженном банаховом пространстве Z*. Напомним, что аннулятор
замкнутого подпространства Me Z обозначается через М-1-; М
х) Существование ближайшего к и вектора у в N следует из локальной
компактности N. Единственность v и его непрерывная зависимость от и
следуют из строгой выпуклости пространства Z.
а) См. Александров и Хопф [1], стр. 483.
§ 2. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОПЕРАТОРОВ 25S
есть замкнутое подпространство в Z*, состоящее из векторов.
/ ? Z* таких, что / 1 М (см. п. III.1.4).
Лемма 2.8. Пусть М — замкнутое подпространство в Z,
О =5^= М ф Z. Справедливы, равенства
dist (/, Мх) = Jsup | («, /) i == !f /м II, /6Z% B.17>
«esM
dist (и, M)= sup |(ц,/) , w?Z, B.18>
где /м — сужение f на М.
Доказательство. Пусть / ? Z*. По теореме Хана —
Банаха существует функционал g?Z*, являющийся продолже-
продолжением /м, причем || g || = II /м II- Так как (и, /) = {и, g) для «?М,
то h = / — g 6 М1. Таким образом, dist (/, М1) < Ц / — h \\ =
= II ^ II = II/м 11= sup |К/) |.
S
G другой стороны, для любого h ? М имеем | (и, /) | ==
= | (и, f — /i) | < || / — h ||, если и 6 SM- Поэтому | (и, /) | <
^ dist (гг, М ), откуда следует противоположное неравенство-
dist (/, М1) ^ sup | (и, /) | и тем самым B.17).
s
Пусть и ? Z. Для каждого / ? SMj^ имеем | (и, /) | =
= | (и — v, /) | ^ || и — и ||, где v ? М. Отсюда следует, что-
| (и, /) | ^ dist {и, М), и поэтому sup | (и, /) | ^ dist (и, М).
Противоположное неравенство следует из существования вектора
/ ? SMj^ такого, что | (и, /) | = dist (и, М) (это прямое следствие
теоремы III. 1.22).
Теорема 2.9. Для замкнутых линейных подпространств MmN
в Z справедливы равенства
б (М, N) = б (N1, М1), б (М, N) = б (М-1, N-1). B.19)
Доказательство. Второе равенство следует из пер-
первого, которое в свою очередь вытекает из леммы 2.8, так как
б (М, N) = sup dist (it, N) = sup sup [ (it, g) | =
?S u?SM g?SNi_
sup sup \(u, g)\= sup dist (g-, M-L) = 6 (N-1, M-1)..
S?SN_|_ U?SM ?S
(Вышеприведенное доказательство применимо в том случае, когда
M^OhN^Z. Если М = 0, то М-1 = * и поэтому б (М, N) =
= 0 = 6 (N1, М1). Если N = Z, то Nx = 0 и, следовательно,
б (М, N) = 0 = б (N-1, М-1).)
256 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТЙЧИОВОСТИ
4. Раствор между замкнутыми операторами
Рассмотрим множество % (X, Y) всех замкнутых операторов
из X в Y. Если операторы Т, S ?% (X, Y), то их графики G (Г)
и G (S) суть замкнутые линейные многообразия в пространстве
X X Y. Положим
б (Г, S) = б (G (Г), G (S)),
б (Г, S) = б (G (Г), G (S)) = max [б (Г, 5), б E, Г)]. ' )
Число б (Г, 5) называется раствором между Т л S г).
Аналогично можно ввести расстояние d (Г, S) между опера-
операторами Т и S как расстояние d (G (Г), G (?)) между их графи-
графиками; при этом 'ё (X, Y) становится метрическим простран-
пространством. В этом пространстве сходимость последовательности Тп ?
6 % (X, Y) к Т 6 ^ (X, Y) определяется предельным соотно-
соотношением d (Тп, Т)—уО. Ввиду неравенств B.12) это соотношение
эквивалентно соотношению б (Тп, Т) —>¦ 0. В этом случае мы
будем говорить, что {Тп} сходится к Т (или Тп —>- Г) в обобщен-
обобщенном смысле.
Отметим, что ранее мы определяли сходимость только для
операторов класса JF (X, Y). Было введено несколько понятий
сходимости: сходимость по норме, сильная и слабая сходимости.
Мы покажем вскоре, что введенное здесь понятие обобщенной
сходимости замкнутых операторов является обобщением сходи-
сходимости по норме для операторов из J? (X, Y).
Замечание 2.10. Когда Т пробегает % (X, Y), график G (Г)
пробегает собственное подмножество в множестве всех замкнутых
подпространств в X X Y. Это подмножество незамкнуто и, сле-
следовательно, % (X, Y) не является полным метрическим про-
пространством (предполагается, конечно, что dim Х^ 1 i dim Y ^
^ 1). Доказать это в общем случае не совсем просто, однако
в частном случае, когда Y = X, доказательство несложно. Рас-
Рассмотрим последовательность {nl}, где I — тождественный опе-
оператор в X. G (nl) есть подмножество в X X X, состоящее из эле-
элементов вида {п'Ы, и}, и ? X; нетрудно видеть, что Km G (nl) су-
существует и совпадает с множеством всех элементов вида {0, и},
и ? X. Однако это множество не является графиком. Таким
образом, {nl} — последовательность Коши в % (X) = % (X, X),
не имеющая предела.
х) Аналогичное понятие введено Ньюбаром [2], там же доказаны
некоторые из теорем, приводимых ниже. В частном случае, когда X ж Y —
гильбертовы пространства, большинство излагаемых здесь результатов упро-
упрощается и допускает усиление; см. Кордес и Лабрус [1].
§ 2. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОПЕРАТОРОВ 257
Лемма 2.11. Пусть Т 6 Я (X, Y). Если S 6 % (X, Y) и
8 (S, Т) <С A + II Т ||2)~1/2, mo S ограничен (и, следовательно,
подпространство D (S) замкнуто).
Доказательство. Пусть ф — элемент единичной сферы
в G (S): ф = {и, Su} e G (S), и 6 D (S) и
|| и ||2 + \\Su\f = || Ф ||2 = 11). B.21)
Пусть б' — такое положительное число, что б (iS, Т) <С б' <С
•< A + II Т \?)~1/2- Вектор ф отстоит от G (Г) менее чем на б',
и поэтому существует вектор г|э = {v, Tv} ? G (Г) такой, что
Цф-я|) ||<б':
|| и - v \f + || Su - Tv \f = || Ф - ф |р < б'2. B.22)
Положим А = S — Г; согласно неравенству Шварца и B.22),
имеем || Аи ||2 = || Su — Tv - Т {и — у) ||2 < (|| Su — Tv \\ +
4- || || Т || и - v ||J < 8'2 A + II Т ||2). Так как, ввиду B.21),
1 = || и |р + || Га + Ли ||2 <
< A + || Г ||2) || и ||2 + 2 || Г || || и || || Аи || + || 4а ||2,
то
|| Аи ||2 < б'2 A + || Т |р) [A + || Т ||2) || и ||2 +
+ 2 || Г || || и || || Ли ||+ || Л»||»].
Решая это неравенство относительно ||Ли||, получаем
2)
B-23)
отметим, что знаменатели в этих дробях положительны.
Так как. B.23) однородно по и, то это неравенство верно для
всех векторов и ? D (S), а не только для нормированных. Отсюда
следует, что оператор А ограничен и поэтому S = Т + А ?
е ss (х, Y).
Лемма 2.12. Пусть Т ? 98 (X, Y). ?сш S 6 « (X, Y) и
б (Г, 5) < A + || Т И2)/2, mo S плотно определен 2).
2) Здесь следует напомнить, что норма в X X Y определяется равен-
равенством И {и, и} || = (ЦВ [|2+ ||и|П1/2.
2) Даже более того, S g J} (X, YV, см. задачу 5.21.
17 Т. Като •'. .
258 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Доказательство. Пусть v — вектор из X, нормиро-
нормированный так, что г|з = {v, Tv} имеет норму 1:
|| v ||2 + || Tv |р - || ^ ||2 = 1. B.24)
Пусть б' таково, что б (Т, S) < б' < A + || Т И2)-1/2. Тогда
существует вектор ср = {и, Su}, удовлетворяющий неравенству
B.22) (при этом B.21) может не выполняться). Отсюда следует,
что || v — и || <С б' и поэтому dist (v, М) < б', где М — замы-
замыкание подпространства D (S). Но так как, согласно B.24), 1 ^
< С1 + || Т |]2) || v ||2, то dist (v, М) < б' A + || Т НУ/* || „ ц.
Последнее неравенство однородно по v и, следовательно, верно
для всех v 6 X. Так как б' A + || Г И2I/* < 1, то М = X; в про-
противном случае, согласно лемме III.1.12, существует вектор v ^= О
такой, что dist (у, М) > б' A + || Т Ц2I/2 || v ||. Итак, D (S) плот-
плотно в X.
Теорема 2.13. Пусть Т 6 95 (X, Y). Если S 6 ^ (X, Y) столь
близок к Т, что б (S, Т) < A + |.| Т \\2)~У2, mo S 6 55 (X, Y) и г)
\S-T\\<? A + »rll')fl(^r) , B.25)
Доказательство. Как следует из лемм 2.11 и 2.12,
оператор S ограничен, D (S) замкнуто и плотно в X. Следователь-
Следовательно, D'(S) = X ж S ? ^ (X, Y). Оценка B.25) следует из B.23)
ввиду того, что б' можно выбрать сколь угодно близко к б (S, Т).
Теорема 2.14. Пусть Т ? % (X, Y) и А есть Т-ограниченный
оператор, относительная граница которого меньше 1 (это значит,
что в неравенстве A.1) константа Ъ может быть меньше 1).
Тогда S = Т + А ?% (X, Y) и
8 (S, Т) < A — Ъ)-1 (аа + &2)V2. . B.26)
В частности, если А 6 95 (X, Y), то
Ь(Т + А, Т)^\\А ||. ф B.27)
Доказательство. Тот факт, что S ^% (X, Y), был
доказан в теореме 1.1. Докажем неравенство B.26). Пусть ср =
= {и, Su} — произвольный вектор из G (S) такой, что || ср ||2 =
= || и Ц2 _|_ || Su ||2 = 1. Полагая я|з = {и, Ти) ? G (Г), имеем,
согласно A.3), || Ф - ф || = || (S - Т) и ||< || Аи ||< A - Ъ)-Хх
х(а И и || + Ъ || <Su ||). Из неравенства Шварца и B.21) следует,
что || ф - ф ||< A - Ъ)-1 (а2 + Ь2I/^ откуда dist (Ф, G (Г)) <
^ A — ^)-i (а2 -|- Ь2I/2, и так как ф — произвольный эле-
элемент единичной сферы в G (S), то б (S, Г) = 8(G(S), G (Г))^
< A - ЬГ1 (а2 + Ь2I/2-
В B.25) б (S, Т) можно заменить на б (Г, 5), см. задачу 5.21.
§ 2. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОПЕРАТОРОВ 259
б (Г, S) можно оценить аналогично, используя A.1) вместо
A.3): б (Г, S) ^ (а2 + Ь2I</2. Таким образом, мы приходим к оцен-
оценке B.26) для б (S, Т) = max [б (S, Т), б (Т, S)].
Задача 2.15. Если выполняется неравенство A.4), причем 6 =
= max {Ъ', Ъ") < 1, то
Ь (S, Т) < A - б)-1 [а2 + {V + Ь"J]1/2. B.28)
Замечание 2.16. Теорема 2.13 показывает, что JF (X, Y) —
открытое подмножество в % (X, Y). Из B.25) и B.27) следует,
что топология в $ (X, Y), определенная метрикой d (или, что
то же, функцией раствора б), совпадает с топологией, порожден-
порожденной нормой.
Теорема 2.17. Пусть Т, S 6 # (X, Y) и А 6 9& (X, Y). Тогда
б (S + А, Т + Л)< 2 A + || A ||2) б (S, Т). B.29)
Доказательство. Из включения Т ?_% (X, Y) сле-
следует, что Г + i ?« (X, Y), причем D (Т + А) = D (Г). Ана-
Аналогично 5 + -4 6-g (X, Y).
Пусть q> ? G (S -\- А), \\ ц> \\ — 1. Существует вектор и ? Т) (S)
такой, что ф = {и, (S + А) и} и
|]и||2+ || E + А) и |]2 = ||ф||2 = 1. . 'B.30)
Пусть || и ||2 + II Su ||2 = г2, г > 0. Вектор г {и, Su} принадле-
принадлежит единичной сфере в G (S). Следовательно, для любого б' >
> б (S, Т) = б (G (S), G (Г)) расстояние от г {и, Su} до G (Г)
меньше б'. Поэтому существует вектор v ? D (Г) такой, что
II и - v II2 + II Su - Tv ||2 < г2б'2. Полагая of = {и, G1 + A) v},
имеем
И Ф - гМ12 = II и - v ||2 + || (S +A)u-{T + A)v ||2 <
< || и — v ||2 + 2 || Su - Tv ||2 + 2 || А ||2 || и - v ||2 <
< 2 A + \\А Ц2) г2б'2. B.31)
С другой стороны, согласно B.30), г2 = || и ||2 -f || Su ||2=
= II и ||2 + || (S + 4) ц - Аи Ц2 < || и IIs + 2 || (S + А) и ||2 +
+ 2 || 4 ||2 || и ||2 < 2 + 2 || Л ||2 || и ||» < 2 + 2 || Л ||2. Поэтому
|| ф _^ ||2 < 4 A + II А ||2) б'2. Так как <р 6 G (Г + Л), то
dist (ф, G G1 + А)) < 2 A + || Л ||2) б', а так как <р —произ-
—произвольный элемент единичной сферы в G (S + А), то б (S + А,
Т + А) = б (G (S + Л), G (Г +.4)Х 2 A + JI Л ||2) б'. ,0тсю-
17*
260 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
да следует оценка B.29), так как в предыдущих рассуждениях
можно поменять местами S и Т, а число б' можно выбрать сколь
угодно близко к 8 (S, Т).
Теорема 2.18. Предположим, что Т, S ? % (X, Y) плотно
определены. Тогда б (Г, S) = б (S*, Т*) и 8 (Т, S) = б (Г*, S*).
Доказательство. Имеем 8(S*, T*) = 6(G(S*), G(T*)) =
= 6(G'(S*), G'GT*))=6(G(-5I, Cx(-r)-L)=6(G(-r), G (-?)) =
= б (G (T), G (S)) = б (Г, S), где G (Г) cz X X Y - график Г
и G' (T*) cz X* X Y* — обратный график оператора Т* 6 *ё х
X (Y*, X*); отметим, что G' (T*) =G (-TI, согласно (III.5.9),
и б (N-1, М-1) = б (М, N), согласно B.19). Равенство б (G (S*),
G (Т*)) = б (G' E*), G' (Г*)) выполняется ввиду специального
выбора нормы в X X Y (см. ниже п. 5).
Задача 2.19. Оператор Т ? % (X, Y) ограничен тогда и только тогда,
когда б (Г, 0) < 1. Включение Т ? ?В (X, Y) эквивалентно неравенству
•6 (Г, 0)<1.
5. Дальнейшие результаты
об устойчивости ограниченной обратимости
График G (R) оператора R ? % (Y, X) есть замкнутое под-
подпространство в Y X X, а обратный график G' (R) — замкнутое
подпространство в X X Y, являющееся образом G (R) при ото-
отображении {у, х) -*¦ {х, у} (см. п. III.5.2). Так как это отобра-
отображение сохраняет норму и, следовательно, раствор между зам-
замкнутыми подпространствами, то б (Ri, R2) = б (G (Ri), G (R2)) =
= б (G' (Ri), G' (Rz)), и то же самое справедливо для функций
б, dm d. Таким образом, рассматривая раствор или расстояние
между операторами в % (X, Y), мы можем заменять графики
этих операторов их обратными графиками.
Если Т 6 « (X, Y) обратим, то Г 6 « (Y, X) и G' (Г) =
= G (Т) [см. (III.5.5)]. Следующая теорема немедленно вытекает
из сделанных замечаний.
Теорема 2.20. Если операторы Т, S ?% (X, Y) обратимы,
то
б E-\ Г) = б (S, Т), б (S-1, Т-1) = б (S, Т). B.32)
Обозначим через %t (X, Y) подмножество в to (X, Y), состоя-
состоящее из всех обратимых операторов; теорема 2.20 означает, что
отображение Т ->¦ Т'1 является изометрическим отображением
^г (X, Y) на 'Si (Y, X). Вообще говоря, структура множества
%1 (X, Y) в % (X, Y) довольно сложна. Мы покажем, однако,
§ 2. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОПЕРАТОРОВ 261
что множество операторов Т ? "ёг- (X, Y) таких, что Г ?
6 $ (Y, X), открыто в % (X, Y). Это наиболее общая форма
теоремы об устойчивости ограниченной обратимости.
Теорема 2.21. Предположим, что Т ? % (X, Y) обратим
и T^e^iY, X). Если Se%(X,Y) и 8(S, Г)<A + Ц2г'-1112)-1/2»
то S обратим: „S ? J> (Y, X). '
Доказательство. Если оператор S обратим, то
б {S-1, Т-1) = б (S, Т) < A + || Г-1 Ц2)-1/2 и поэтому S ?
? ^ (Y, X) по теореме 2.13 (примененной к паре S'1, Т'1). Таким
образом, достаточно показать, что S обратим.
Предположим, что Su = О, || и || = 1. Тогда вектор {и, 0}
принадлежит единичной сфере в G (S) и поэтому существует
вектор {v, Tv} 6 G (Т) такой, что || и — v ||2 + || Tv ||2 < б'2,
где б' — любое число, удовлетворяющее неравенствам б (S, Т) <
< б' < A + || Т~х ||2)/2. Отсюда получаем противоречие:
1 = || и ||2 < (|| и - v ||+ || v ||J <
< (II и - v || + || Г || || Гу ||J < A + || Г-1 ||2) б'2 < 1-
Замечание 2.22. Теоремы, доказанные в этом и предыдущем
пунктах, не являются наилучшими с точки зрения количе-
количественной теории, так как в доказательствах использовались
довольно грубые оценки. Так, например, из теорем 2.14 и 2.21,
следует,, что (Т + А)'1 существует и принадлежит 38 (Y, X),.
если || А || < A + II Т'1 ||2)/2. Это условие слишком сильное,
достаточно предположить, что \\ А || < || Т'1 Ц (это частный,
случай теоремы 1.16).
Результаты, полученные в п. 4, 5, можно усилить с помощью
следующего приема. Применяя, например, теоремы 2.14 и 2.2Г
к операторам аТ, аА, а > 0, мы видим, что оператор а (Т + А)
имеет ограниченный обратный, если а \\ А || < A + с&~2 || Т ||2)~1/2
или, что то же, \\ А || < (а2 + || Г Ц2)-1/2. Так как а можно,
выбрать сколь угодно малым, то (Т + А) ? JF (Y, X), если
|| Л || < || Т~г Ц. Таким образом, мы получили из общих теорем
новое доказательство одного частного результата. Описанный:
здесь вспомогательный прием часто позволяет улучшить (с коли--
чественной точки зрения) получаемые результаты.
6. Обобщенная сходимость
Напомним, что Тп сходится к Т (Тп —>- Т) в обобщенном смыс-
смысле, если б (Тп, Т) —>¦ 0. Следующая теорема является непосред-
непосредственным следствием замечания 2.16, теорем 2.17, 2.18 и 2.20
262 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Теорема 2.23. Пусть Т, Тп^% (X, Y), п = 1, 2, . . . .
a) Если Т (Е 98 (X, Y), mo Tn-> T в обобщенном смысле тогда
и только тогда, когда Тп ? 98 (X, Y) для достаточно больших п
и\\Тп-Т\\-+0.
b) Если оператор Т~г существует и принадлежит 38 (Y, X),
то Гп —> Т в обобщенном смысле тогда и только тогда, когда Т^1
сутцестеует и принадлежит 38 (Y, X) для достаточно больших п
и, кроме того, \\ Тп1 — Т'1 || -> 0.
c) Если Тп-+Т в обобщенном смысле и А ? 38 (X, Y), то
Тп -\- А -*¦ Т -\- А в обобщенном смысле.
d) Если операторы Тп и Т плотно определены, то обобщенная
сходимость Тп-^- Т эквивалентна обобщенной сходимости Т*п ->
-> Г*.
Другое достаточное условие для обобщенной сходимости мож-
можно получить из теоремы 2.14.
Теорема 2.24. Пусть Т ? % (X, Y). Предположим, что опера-
операторы Ап, п — 1, 2, . . ., Т-ограничены, т. е. || Апи || ^ ап |] и ]| +
+ Ъп ]| Ти || 5ля и 6 D (Г) с= D (Ап). Если ап -> 0 и 6П -> 0, пго
Т„ = Г + X 6 ^ (X, Y) 9ля достаточно больших пи Тп—>-Т
в обобщенном смысле.
Утверждения Ь) и с) теоремы 2.23 приводят к очень удобному
критерию обобщенной сходимости в случае Y = X.
Теорема 2.25. Предположим, что оператор Т ? Ч§ (X) имеет
непустое резольвентное множество Р (Т). Для того чтобы последо-
последовательность Тп ? % (X) сходилась к Т в обобщенном смысле,
необходимо, чтобы каждое число ? ? Р (Т) принадлежало Р (Тп)
для достаточно больших п и
|| Д (Б, Tn)-R{L T) ||-*0; B.33)
достаточно, чтобы последнее соотношение выполнялось для
некоторого ?0 ? Р (Г).
Эта теорема полезна по той причине, что замкнутые операторы,
возникающие в приложениях, как правило, имеют непустые
резольвентные множества. Из теоремы 2.25 следует, что предель-
предельное соотношение B.33) справедливо для всех ? ? Р (Т), если оно
выполняется для некоторого So 6 Р {Т)- Мы вернемся к этому
вопросу в следующих параграфах.
Теорема 2.26. Пусть Тп, Т 6 ^ (X) и Тп-+Т в обобщенном
смысле. Если все операторы Тп имеют компактную резольвенту
и Р (Т) непусто, то Т имеет компактную резольвенту.
Доказательство. Если Z, ? Р (Т), то, согласно B.33),
R (?, Т) является равномерным пределом компактных опера-
операторов R (?, Тп) (см. теорему III.4.7).
§ 2. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОПЕРАТОРОВ 263
Замечание 2.27. Теорема 2.26 не допускает обращения: операторы Тп
не обязаны иметь компактную резольвенту, если резольвента оператора Т
компактна. Простой контрпример: пусть X = 1 и оператор S ? ?В (X)
в каноническом базисе имеет диагональную матрицу с диагональными эле-
элементами ilk, к = 1, 2, . - .; пусть, далее, Sn — диагональный оператор
ть -4- к
с диагональными элементами ;— , к = 1, 2, . . .. Операторы Т = S'1
и Тп = S^1 существуют и принадлежат % (X). Нетрудно провеоить, что
О ? Р (Гп) для всех га, 0 6 Р (Г), Д @, Тп) = Sn ->¦ R (О, Т) = S и Т имеет
компактную резольвенту (так как S компактен). Но резольвента оператора
Тп некомпактна при любом га (так как Sn некомпактен). Следует отметить,
однако, что утверждение, обратное теореме 2.26, справедливо, если операто-
операторы Тп — Т являются У-ограниченными. Более точную формулировку см.
в теореме 3.17. См. также теорему VI.3.6.
Задача 2.28. Пусть ТЕ 'ё (X, Y). При каких условиях на Т последова-
последовательность п~^-Т (соответственно A+ п~х) Т) сходится к 0 (соответственно к Т)
в обобщенном смысле?
В заключение мы приведем еще одно достаточное условие обоб-
обобщенной сходимости 1).
Теорема 2.29. Пусть Тп, Т ? $ (X, Y). Предположим, что
существуют банахово пространство Z и операторы Un, U ?
6 $ (Z, X) и Vn, V ? 3S (Z, Y) такие, что Un, U отображают Z
взаимно однозначно на D (Tn), D (Т) соответственно и TnUn = Vn,
TU = V. Если || Un — U || -> 0 и || 7„ — F || -»- 0, п -> оо, то
Тп —>- Т в обобщенном смысле.
Доказательство. Отображение z ->- ф = {Uz, Vz} =
= {Uz, TUz) есть взаимно однозначный ограниченный линейный
оператор из Z на G (Т). Так как G (Т) замкнуто, то этот оператор
имеет ограниченный обратный:
II z ||2 < с2 II Ф II2 = с2 (|| Uz ||2 + || Vz |p). B.34)
Пусть ф = {Uz, Vz} — произвольный элемент в G (Т). Тогда
Фп = {Unz, Vnz) 6 G (Тп) и
, II Ф - Ф» II2 = (II U - Un ||2 + \\V-Vn ||2) || z ||2 <
< c2Vn || Ф ||2, B.35)
где Ы = || U - Un ||2 + || V - Fn ||2. Отсюда следует, что
dist(q>, G(rn))<c6n|| ф||, и поэтому б {Т, Тп) = б (G {Т), G (Гп))<
^ сб„ ->- 0, п ->¦ оо.
Аналогично имеем S (Гп, Г) ^спбп, где константа сп играет
роль константы с в B.34), если операторы U, V заменить на Un,
Vn. Мон^но считать, что последовательность {с„} ограничена;
в самом деле, из B.35) следует, что || ф ||< ||ф„ || +|| ф — фп II <
г) Это дискретный аналог определения (см. Р е л л и х [3]) аналитиче-
аналитической зависимости семейства операторов Т (к) от параметра к.
264 ' "' Гл. IV, ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ .-г; .
< II 4>п II + сб„ || ф ||, поэтому || ф ||< A — C6J || ф„ II и со-
согласно B.34) || z || ^ || ф || с ^ с A — сбп)'1 || ф„ ||. Итак, можно
положить сп = с A — сЬп)'1. Отсюда получаем, что б (Тп, Т) -*- О
и поэтому б (Тп, Т) -»- 0.
§ 3. Возмущение спектра
1. Верхняя полунепрерывность спектра
В этом параграфе мы изучим поведение спектра 2 (Т) и резоль-
резольвенты /? (?) = R (?, Г) при «малых» возмущениях оператора
Г1).
Теорема 3.1. Пусть Т ? $ (X) и Г — компактное подмноже-
подмножество резольвентного множества Р (Г). Существует б > 0 такое,
что Yd P E), если 5 е« (X) и 6 E, Г) < б.
Доказательство. Пусть ? ? Г с Р (Г). Так как
(Г — ?)-1 = R CQ ? i? (X), то из обобщенной теоремы об устой-
устойчивости ограниченной обратимости (теорема 2.21) следует, что
(S — t,)'1 638 (X) или, что то же, ? 6 Р E), если б (S — ?, Г — ?)<
<; A + || Д (Q II2)/2. Согласно теореме 2.17, последнее условие
выполняется, если
2 A+ | С |») 8 (S, Т)< A + || R (?) ||2)-V2. C.1)
Так как || R (?) || непрерывно зависит от t, то
{( + ||)( l|()T . C.2)
отсюда следует, что Гс Р (S), если б (S, Т) <С б.
Замечание 3.2. Если S = Т + А, где 4 6 J? (X), то теорему
3.1 можно уточнить, а именно: в силу теоремы 1.16
Г с Р (S), если И А Ц< min || R (Q Ц. C.3)
Е6Г
Если, кроме того, Т 6 ^ (X), то Г может быть любым замкнутым
(не обязательно ограниченным) подмножеством в Р (Т); в этом
случае \\ R (Q 1Г1 имеет положительный минимум на Г, так как
|| R (С) ||^0 при Б-*оо.
Замечание 3.3. Теорема 3.1 и замечание 3.2 показывают,что
2 (Т) является полунепрерывной сверху функцией от Т ? i? (X).
Другими словами, для любого Т ? S8 (X) и s > 0 существует
-1) Возмущения спектров операторов (и элементов банаховых алгебр)
подробно рассмотрены Ньюбаром [1].
§ 3. ВОЗМУЩЕНИЕ СПЕКТРА 265
б >0 такое, что х) р B (S), 2 (Т)) = sup dist (%, 2 (Т)) < е,
Л?2(8)
если || S — Т || < б. Это следует из теоремы 3.1, если в качестве
Г взять множество точек, отстоящих от 2 (Т) на расстояние,
не меньшее е. И для замкнутых операторов теорему 3.1 можно
интерпретировать как утверждение о верхней полунепрерывности
спектра в несколько ослабленном смысле.
Задача 3.4. Существуют такие замкнутые операторы Т и Тп ? % (X),
что Ъ (Тп, Т) ->• 0, однако расстояние между 2 (Т ) и 2 (У) бесконечно для
каждого га. Проверить это на следующем примере: X = 1Р-, Т — диагональ-
диагональный оператор с диагональными элементами к, к = 1, 2, . . ., и Уп = A -\-
+ гга) Г. [Указание: , оператор Тп — Т Г-ограничен.]
Замечание 3.5. Трудно дать простое выражение для числа б,
фигурирующего в теореме 3.1, но естественно ожидать, что б
можно выбрать большим, если расстояние от Г до 2 (Т) достаточ-
достаточно велико. При некоторых дополнительных ограничениях на
характер возмущения это расстояние полностью определяет вели-
величину возможных возмущений.
Теорема 3.6. Предположим, что операторы, Т ? % (X) и
А ? SB (X) коммутируют. Тогда расстояние между 2 (Т) и
2 (Т + А) не превосходит spr А и, следовательно, \\ А \\.
Доказательство. Резольвента i? (?) коммутирует с А
(см. теорему III.6.5). Поэтому, согласно теореме 1.18,
(Т + А — 1Уг 6 SB (X), если spr A < 1/spr R (Q. Так как по
теореме III.6.16 spr R (?) = 1/dist (?, 2 (Г)), то ? 6 Р (Г + 4),
если spr A < dist (?, 2 G1)). Другими словами,
dist (?, 2 (У)) < spr А, если ? 6 2 G1 + Л). C.4)
Ввиду того, что А коммутирует также с Т + А, результат C.4)
можно применить к паре Т + А, —А. Получаем, что
dist (?, 2 (Т -f- A)) << spr А, если ? ? 2 (Г). Это доказывает тео-
теорему.
Замечание 3.7. Из теоремы 3.6 следует, что спектр 2 (Т -\- А)
непрерывно зависит от А, если возмущение коммутирует с Т.
2. Нижняя полунепрерывпость спектра
В конечномерном случае собственные значения оператора Т
зависят от Т непрерывно (см. п. П.5.8). Даже для операторов
в банаховом пространстве спектр 2 (Т) зависит непрерывно
!) По поводу р см. примечание 3 на стр. 251. Метрика Хаусдорфа получает-
получается симметризацией функции р. Эта метрика измеряет расстояния между точеч-
точечными множествами. Расстояние в смысле Хаусдорфа отличается от расстоя-
расстояния между полными наборами собственных значений, введенного в п. II.5.2;
при вычислении хаусдорфова расстояния кратности собственных значений
не принимаются во внимание. . :
266 [Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
от Т ? 98 (X), если возмущение коммутирует с Т (см. замеча-
замечание 3.7) г). Однако это неверно для возмущений общего вида;
в общем случае спектр обладает лишь свойством полунепре-
полунепрерывности сверху.
Грубо говоря, полунепрерывность сверху, доказанная в пре-
предыдущем пункте, означает, что 2 (Т) не может скачком увели-
увеличишься при непрерывном изменении Т. Однако уменьшиться
скачком спектр может, как это видно из следующего примера.
Пример 3.8. Пусть X = 1Р (—°о, +оо); вектор и ? X — это двусторон-
двусторонняя последовательность A-j), /=..., —1, 0, 1, 2, . . ., и || и [|
= (Б | ?,- \Р)^Р. Пусть {хп} — канонический базис в X, т. е. хп = (Л7)
Рассмотрим оператор левого сдвига Т ? & (X); это значит, что Тх0 = О,
Тхп = xn-i, п Ф 0 (см. пример III.3.16). Так как соотношение (III.3.9)
выполняется в нашем случае, то spr У = 1 и поэтому Б (У) есть подмно-
подмножество замкнутого единичного круга. Более того, Б (У) совпадает с еди-
ОО
яичным кругом; в самом деле, для любого ?, i ? | < 1, вектор и = ^ ?™*п
п=0
является собственным вектором для У — ?, принадлежащим собственному
значению ?, и поэтому ? ? 2 (У).
Пусть А ? & (X) таков, что Ах0 = ж_ь 4гп = 0, п Ф 0. Положим
У (и) = У -f- х4. Т (х) — оператор левого сдвига, причем Г (х) х0 = хж_1,
Г (х) хп = ж„_1, л^=0; поэтому spr Т = 1 и 2 (У (х)) — подмножество еди-
единичного круга. Однако если х =^= 0, то внутренность единичного круга содер-
содержится в Р (У (и)). Это следует из того, что У (х) существует и является опе-
оператором правого сдвига: У (х)ж_4 = хо/х, Т'1 {x)xn-i = ж„, гс =#= 0; поэто-
поэтому spr У (х) = 1 и, следовательно, внешность единичного круга принадле-
принадлежит Р (У-1 {%)). Отсюда вытекает наше утверждение (см. теорему II 1.6.15).
В этом примере возмущение хА мало не только по норме (|| х.А \\ =
= | х | —>- 0 при х -*¦ 0), но также и в том смысле, что А —• вырожденный
оператор ранга 1. Возмущение кА «мало» в любой более сильной разумной
топологии в JJ (X). Таким образом, спектр 2 (У) не обладает свойством полу-
полунепрерывности снизу даже относительно более сильной операторной топо-
топологии.
Пример 3.9. В предыдущем примере 2 (У) изменяется скачком при
малом возмущении: из полного круга превращается в окружность. Суще-
Существует пример, в котором это изменение более резко выражено, а именно
круг превращается в свой центр 2). Конечно, такое изменение не может про-
произойти при вырожденном возмущении, как в предыдущем примере 3).
х) Известны и другие случаи непрерывной зависимости спектра от опе-
оператора. Например, Б (У) непрерывно зависит от У, если У пробегает множе-
множество самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Более
точную формулировку см. в п. VIII.1.2.
2) См. Р и к к а р т [1J, стр. 282. В примере построена последователь-
последовательность Тп нильпотентных операторов такая, что || У — У || ->- 0, где У не
является квазинильпотентным и 'Z, (T) есть круг положительного радиуса
с центром в нуле.
3) Компактное возмущение сохраняет существенный спектр, который
совпадает с единичным кругом в рассматриваемом случае; см. теорему 5.35
и пример 5.36. .
§ 3. ВОЗМУЩЕНИЕ СПЕКТРА 267
Задача 3.10. В условиях примера 3.8 рассмотрим оператор R (?, к) =
=¦ R (?, Г + »с4). Доказать, что
н д а, х) и < (I u -1)-1 при u i > 1, i х i < 1,
I! R (?, х) И < | х I A - | ? I)-1 при | U < 1, 0 < | к | < 1.
3. Непрерывность и аналитичность резольвенты
Покажем, что резольвента R (?, Г) не только непрерывна
по Г, но и в определенном смысле аналитична.
Теорема 3.11. Фиксируем ТО?С6(Х). Оператор R (?, Т)
кусочно голоморфен по совокупности переменных Т ? То + 98 (X)
UP (Л
Здесь ro-j-J?(X)—множество всех операторов вида Г
В ? J? (X), снабженное метрикой, порожденной нормой в 98 (X).
Теорема 3.11 означает следующее. Во-первых, множество пар (?, Г)
таких, что ^Р(Г), открыто в пространстве Cx[ro + J'(X)]
(здесь С — комплексная плоскость); другими словами, для лю-
любого Т ? То + 9В (X) и любого ?о 6 Р {Т) число ? принадлежит
Р (S), если величины | ? — ?0 | и || S — Г || достаточно
малы. Во-вторых, R (^, /S1) можно представить в виде сходяще-
сходящегося двойного степенного ряда по степеням ? — ?0 и А, где А ?
? J? (X), S = Г + .4. В частности, при То = 0 резольвента
Д (?, Г) кусочно голоморфна по Т 6 -^ (X) и ? б Р (Г).
Доказательство теоремы 3.11 в основном совпадает с доказа-
доказательством теоремы II.1.5; достаточно лишь заменить Т (х) на S
и А (х) на А.
Обобщение теоремы 3.11 на тот случай, когда Т ? % (X),
вызывает затруднения, так как *ё (X) не является алгеброй
(и даже линейным пространством). Тем не менее мы дадим следую-
следующее обобщение теоремы 3.11.
Теорема 3.12. Резольвента R (?, Т), Т б % (X), I 6 Р (Т),
кусочно голоморфна по Z,u R {Z,o, Т), где ?0 — фиксированное ком-
комплексное число, в следующем смысле. Существует функция
Ф (т), В), определенная на открытом подмножестве в С X 98 (X)
и принимающая значения в 98 (X), с такими свойствами:
i) Ф (ц, В) кусочно голоморфна по совокупности г\ и В (в смысле
теоремы 3.11).
ii) Пусть Т 6 ^ (X) и ?О6Р(Г). Число ? принадлежит Р(Г)
тогда и только тогда, когда определен оператор Ф (?—?0, i?(Soi ^)),
этом
R E, Г) = Ф (? - So, Л (So, Л)- C-5)
Доказательство. Имеет место тождество
(S, Г) = - (S - Q -
- (S - ?о)"а Д ((S - So), R (So, z1)); C.6)
268 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
оно следует из (II 1.6.18) и справедливо, если ?, ?0 ? Р (Т) и
? =/= ?о- Определим Ф (т), 5) равенством
Ф (О, В)=В, Ф ft, В) = -г] - тг2Д (т)-1, В), C.7)
если г]^0и т] 6 Р (#)• Тогда равенство C.5) выполняется
всякий раз, как только ?,, ?0 ? Р (Г).
Областью определения Ф (tj, 5) служит множество всех пар
(г], В) 6 С X f (X) таких, что либо г\ = О, либо т] 6 Р E).
Согласно теореме 3.1 и замечанию 3.2, это множество открыто
в С х| (X). Из теоремы 3.11 очевидным образом следует, что
функция Ф (т|, В) голоморфна по г\ и В, если г\ Ф 0. С другой
стороны, тождество
Ф (т), В) = —л - тг2 (В - тг1)-1 =
= -г] + г] A - tjB) = В A - лЯ)-1 C.8)
и равенство Ф @, В) — В показывают, что Ф (г\, В) голоморфна
при т] = 0.
Остается доказать, что если ?0 ? Р (Г), то ? ? Р (Г) тогда
и только тогда, когда определен оператор Ф (? — ?Oi ^ (So^ ^))-
Это очевидно, если ? = ?0. Если же ? ^ ^0, это следует из того
факта, что равенство C.6) справедливо всякий раз, как только
существует оператор справа или слева в C.6).
Замечание 3.13. Теорема 3.12 показывает, что величина
|| R (?, S) — R (?,, Т) || мала для всех Z,, если она мала для неко-
некоторого ?0. Точнее, для любого Т ? % (X) и любых Z,, to 6 Р (Т)
существует такая константа М, что
|| R (?, S)-R a, T)\\^M\\R (go, S)-R (?0, Г) || C.9)
для любого оператора S ?% (X), для которого ?0 6 Р E) и число
|| R (?0, S) — R (^0, Г) || достаточно мало (тогда, в частности,
? 6 Р (-5))- Таким образом, мы получаем другое доказательство
утверждения, сделанного в замечании к теореме 2.25.
Задача 3.14. Доказать следующее уточнение неравенства C.9):
2
)-R& Г)Н<-
гI
C.10)
если || Л (go, S) — R (Jo> Г) II столь мало, что знаменатель в правой части
C.10) положителен. Здесь r_t? обозначает оператор (Г — ?0) (Г — Q =
= (Г - С) Д (С, Г) = 1 + (? - Со) л (С. Л-
Теорема 3.15. Резольвента R (?, Г) непрерывна по совокуп-
совокупности Т ^'ё (X) м So6PG') в следующем смысле. Для любых
§ 3. ВОЗМУЩЕНИЕ СПЕКТРА 269
Т 6 ^ (X), ?0 6 Р (Т) и 8 > 0 существует число б > О такое, что
1 е Р E) и II Л B, 5) - Л (So, Г) II < г, если | ? - ?0 |< б
и б (S, Г) < б.
Доказательство. По теореме 2.25 R (?0, 5) суще-
существует и величина \\R (So, S) — R (?0, Г) || сколь угодно мала,
если выражение б (S, Т) достаточно мало. Наше утверждение
следует теперь из теоремы 3.12, так как резольвента R (?, S)
представима в виде двойного степенного ряда по ? — ?0 и
R (So, S) - R (So, Г)-
4. Полунепрерывность изолированных частей спектра
Выше мы доказали верхнюю полунепрерывность спектра
2 (Т), Т ? $ (X). Докажем теперь несколько более сильный
результат: каждая изолированная часть спектра полунепрерывна
сверху. Разбиение спектра на изолированные части и связанное
с ним разложение пространства X и оператора Т были рассмот-
рассмотрены в п. III.6.4. Для простоты изложения мы сформулируем
здесь результат для случая, когда спектр допускает разбиение
на две изолированные части; обобщение на случай нескольких
частей очевидно.
Теорема 3.16. Предположим, что спектр 2 (Т) оператора
Т ? % (X) можно разбить кривой Г на части 2' (Т) и 2" (Т)
так же, как в п. III.6.4. Пусть X = М' (Т) ф М" (Т) — соот-
соответствующее разложение пространства X. Существует число
б > 0, зависящее от Т и Г, со следующими свойствами. Если
S ? % (X) и б (S, Т) < б, то спектр 2 (S) разбивается контуром
Г на части 2' (S) и 2" (S) (Г содержится в Р E)). В соответ-
соответствующем разложении X = W(S) © Mrr E) слагаемые изоморфны
пространствам М' (Г) и М" (Г). 5 частности, dim М' E) =
= dim M' (T), dim M" (S) = dim М" (Т7) и, следовательно, 2' E)
и 2" (S) непусты, если это верно для Т. Разложение X = М' (S) ©
Ф М" (S) непрерывно зависит от S в том смысле, что проектор
Р [S] пространства X на М' (S) параллельно М" (S) стремится
по норме к Р[Т], если 8 (S, Т)-^0.
Доказательство. Из доказательства теоремы 3.1 сле-
следует, что ГсРE), если
б (S, Г) < б = min 2-i A + |S I2) A + || R (S) II2)-1/2.
Поэтому 2 (S) разбивается контуром Г на две части 2' E)
и 2" (S). Проектор Р [S] на М' (S) параллельно М" (S), согласно
(III.6.19), допускает представление
. C.11)
270 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ .
Так как контур Г компактен и резольвента R (?, Т) непрерыв-
непрерывна по совокупности ^ и Г, согласно теореме 3.15, то величина
|| R (?, S) — R (?, Т) || равномерно мала по ?, если б (S, Т)
достаточно мало. Отсюда и из C.11) следует, что Р [S] и Р [Т]
близки по норме, если раствор б (S, Т) достаточно мал. Изомор-
Изоморфизм М' (S) и М' (Т) следует из одного результата п. 1.4.6 {этот
результат верен также и для банаховых пространств).
5. Непрерывность конечной системы
собственных значений
Мы видели выше, что спектр 2 (Т), Т ? % (X), не является
непрерывной функцией от Т даже в том случае, когда Т про-
пробегает J? (X). Это резко контрастирует с ситуацией в конечно-
конечномерном случае. Мы покажем, однако, что, так же как в конечно-
конечномерном случае, часть спектра 2 (Г), образованная конечной систе-
системой собственных значений (см. п. III.6.5), непрерывно зависит
от Т.
Пусть 2' (Т) — конечная система собственных значений.
2' (Т) отделяется от остальной части спектра 2" (Т) замкнутой
кривой Г (см. п. III.6.4). Соответствующее разложение X =
= М' (Т) © М" (Т) обладает тем свойством, что dim М' (Г) =
= m <Z оо, где m — тотальная кратность собственных значений
рассматриваемой системы.
Предположим теперь, что {Тп} сходится к Г в обобщенном
смысле. Тогда 2 (Тп) при достаточно больших п разбивается
на части 2' {Тп) и 2" (Тп), причем пространства М' (Тп), М" (Тп)
изоморфны М' (Т) и М" (Т) соответственно (теорема 3.16). В ча-
частности dim М' (Тп) = m и поэтому часть 2' (Тп), лежащая вну-
внутри Г, является конечной системой собственных значений с сум-
суммарной кратностью т.
Тот же результат верен, если 2' (Т) заменить любым из соб-
собственных значений, входящих в 2' (Т). Мы видим, таким образом,
что изменение конечной системы 2' (Г) собственных значений
замкнутого оператора Т мало (в смысле п. П.5.1), если Т испы-
испытывает достаточно малое возмущение в смысле обобщенной схо-
сходимости.
Согласно теореме 3.16, тотальный проектор пространства X
на М' (Т) параллельно М" (Т) зависит от Т непрерывно.
Суммируя предыдущее, можем сказать, что поведение конечной
системы собственных значений замкнутого оператора при малых
возмущениях аналогично поведению спектра в конечномерном
случае. Мы можем продолжить эту аналогию, вводя неупорядо-
неупорядоченный набор ©' (Т) собственных значений (учитываемых вместе
с кратностями), представляющий конечную систему 2' (Т), как
1 § 3. ВОЗМУЩЕНИЕ СПЕКТРА 271
описано в я. II.5.2. Оказывается, что расстояние между ©' (Тп)
и <3' (Т) стремится к нулю, если Тп сходится к Т в обобщенном
смысле.
6. Изменение спектра при относительно
ограниченном возмущении
Результаты, касающиеся верхней полунепрерывности спектра
2 (Т) и аналитичности резольвенты R (?, Т) как функции от ?
и R (?0, Г), имеют весьма общий характер, но не совсем удобны
для приложений. Здесь мы приведем теорему не столь общую,
как упомянутые результаты, однако более полезную в при-
приложениях.
Теорема 3.17. Пусть Т — замкнутый оператор в X и А —
Т-ограниченный оператор в X (т. е. D (А) id D (Т) и справедливо
неравенство A.1)). Если существует число ?, ? Р (Т) такое, что
a\\Rtt, Т) 11 + 6 || 77? (Z, Т)\\<1, C.12)
то оператор S = Т + А замкнут и ?, ? Р (S), причем
\\R(Z, S)\\^\\R(Z, T)\\(i-a\\R(Z, Т)\\- ¦;•¦:;
- 6 И TR {I, T) I))-1. C.13)
Если, в частности, Т имеет компактную резольвенту, то и S
имеет компактную резольвенту.
Эта теорема легко следует из теоремы 1.16. Она удобна, так
как неравенство C.12) дает явное условие принадлежности числа ?
резольвентному множеству Р (S). С помощью этого замечания
доказывается
Теорема 3.18. Б обозначениях предыдущей теоремы предполо-
предположим, что S (Т) допускает разбиение на две части замкнуЩзй кри-
кривой Г так же, как в теореме 3.16. Если
sup (а || R (?, Т) || + Ъ || TR (?, Г) ||) < 1, C.14)
Е?Г
иго S E) также разбивается кривой Г и справедливы утверждения
теоремы 3.16.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.16; сде-
сделаем лишь несколько замечаний. Из C.11) и (П.1.11) следует,
что величина || Р [S] — Р [Т] \\ мала, если норма оператора
AR (?, Т) достаточно мала для всех ? ? Г, в частности если
а и Ъ достаточно малы. В этом случае утверждение теоремы выво-
выводится так же, как в доказательстве теоремы 3.16. В действитель-
действительности малость констант а и Ъ не обязательна, достаточно лишь
условие C.14). Для доказательства введем семейство Т (х) =
= 7' + и4,0<и<1. Из (II.1.11) следует, что R (С, Т + хА) —
272 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
непрерывная (даже голоморфная) функция от ? и х, С € Г, 0 ^
< х < 1, и поэтому Р (х) = — BЯ*)-1 ^ й (?, 21 + хЛ) dl непре-
г
рывно зависит от х, 0 ^ х ^ 1.
Пример 3.19. Пусть Т и S — операторы fi и 54 из примера 1.10. Опера-
Оператор А = 5 — Т удовлетворяет условию C.14), если разности ql (х) — р; (х),
i = 0, 1, 2, достаточно малы.
7. Одновременное рассмотрение
бесконечного числа собственных значений
Изменение собственных значений при малом изменении опе-
оператора Т не обязано быть равномерно малым. Так, например,
пусть Т имеет дискретный спектр, состоящий из неограниченного
множества Кп собственных значений. Положим Т (х) = Т + кТ;
возмущение хГ У-ограничено. Собственные значения оператора
Т (х) суть A + х) Хп и приращение хХп может быть сколь угодно
велико для любых значений параметра х.
Однако существует ряд случаев, когда изменение спектра
равномерно. Мы не будем изучать это явление сколько-нибудь
подробно, а ограничимся рассмотрением одного примера.
Пример 3.20. Рассмотрим обыкновенный дифференциальный оператор Т
из примера III.6.21 (Ти = —и", причем и@) = и (л) = 0). Собственные
значения оператора Т суть Яп = п2, ге = 1, 2, 3, . . .; далее, справедливы
оценки (III.6.47) — (III.6.48) для резольвенты R (Q. Для любого 6 > 0
рассмотрим уравнение
- = б. C.15)
| a sin яа
Если целое число N больше я/б, то существуют последовательности
и {а^}корней уравнения C.15) такие, что
N<a"N<N+-L, ге—1 <«;<„<«.;< n + y, n>N, C.16)
+° () (ЗЛ7>
Согласно замечанию, сделанному в конце примера III.6.21, неравенство
II R (?) II < б C.18)
выполняется на каждой параболе |= a2 —Ti2/4a3, где а = <х'п или а^. Из
(III.6.48) следует также, что неравенство C.18) выполняется в точках гори-
горизонтальных прямых ц = ±2/6. Обозначим через Гп, п > N, криволинейный
прямоугольник, образованный параболами | = а2 — т]2/4а2, а = а^, а^,
и прямыми линиями г| = ±2/6. Каждый коптур Гга охватывает в точности
одно собственное значение Хп •= ге2 и в точках контура Гп выполняется нера-
неравенство C.18). Остающиеся собственные значения ге2, и =С N, можно окру-
§ 3. ВОЗМУЩЕНИЕ СПЕКТРА 273
жить контуром Го, состоящим из параболы | = а2 — гJ/4а2, а = a"N, гори-
горизонтальных прямых г| = ±2/6 и вертикальной прямой, расположенной
достаточно далеко от мнимой оси; и снова C.18) выполняется для ? ? Го.
Обозначим через Г контур, составленный из Гп, ге > N, и Г„. Отметим, что
для больших п контур Гп близок к квадрату с центром ге2 и стороной 4/6.
Рассмотрим теперь возмущенный оператор S= Т -\-A, A ?J)(X).
Выберем б так, что \\ А || = а < 1/6. Условие C.14) выполнено ввиду того,
что || Л (?) || < б в точках контура Г (в рассматриваемом случае Ь = 0).
Из теоремы 3.18 следует, что каждый контур Гп, п > N, охватывает в точ-
точности одно собственное значение оператора S, а Го охватывает N собственных
значений. Эти собственные значения исчерпывают 2 (S), так как любое ?,
лежащее вне контура Г, удовлетворяет C.18) и поэтому принадлежит Р (S).
Ввиду того что размеры контура Гп ограничены при ге —>- оо, приращения
собственных значений оператора Т равномерно ограничены для ограничен-
ограниченных возмущений А: каждое собственное значение Хп при достаточно больших
ге лежит внутри фигуры, близкой к квадрату со стороной 4 || А ||, центром
которого служит невозмущенное собственное значение.
Обозначим через Рп [Т\ и Рп [S], п > N, собственные проекторы, соот-
соответствующие собственным значениям операторов Т и S, лежащим внутри Гп.
Оказывается, что операторы Рп [5] — Рп [Т] равномерно ограничены.
В самом деле,
Pn[S]-PnlT]=—±r
II/
= 1НГ$Д(С,5)АЯ(С,Г),
где | Гп | — длина контура -Гп и поэтому ограничена по ге.
Замечание 3.21. Как мы увидим ниже, оценку (III.6.47) можно улуч-
улучшить, если рассматривать оператор Т в пространстве X = L2 @. я), и как
следствие можно получить более точный результат о возмущении собствен-
собственных значений оператора Т. Следует, однако, отметить, что существуют опера-
операторы, которые ограничены в С [0, я], но не ограничены в L2. Таким образом,
результаты, полученные в предыдущем примере, имеют самостоятельный
интерес.
8. Применение к банаховым алгебрам.
Теорема Винера
Понятия спектра и резольвенты можно определить не только
для линейных операторов, но и в более общей ситуации, а именно
для элементов банаховой алгебры. Мы уже отмечали ранее, что
98 (X) является банаховой алгеброй (см. п. 1.4.1 и п. III.3.2).
Здесь мы введем ряд понятий из теории банаховых алгебр и пока-
покажем, что многие полученные выше результаты верны в этой более
общей ситуации1).
-1) Более или менее подробное изложение теории банаховых алгебр см.
нигах Хилле и Филлипс [1] и Риккарт [1].
в книгах
18 т. Като
274 Гп. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Банахова алгебра 98 — это по определению банахово про-
пространство, в котором определено произведение TS ?38 любых
двух элементов Т, S ?38, причем || TS ||< || Т \\-\\ S ||. Еди-
Единица 1 алгебры 38 — это такой элемент, что \Т — Т1 = Т для
всех Т 6 98 ¦ Банахова алгебра не обязательно содержит единицу,
однако если единица существует, то она единственна. Мы будем
рассматривать банаховы алгебры с единицей. Элемент al, где
а, — произвольный скаляр, будем обозначать а.
Элемент Т ? SB обратим, если существует S ? 38 такой, что
TS = ST = 1; S однозначно определен элементом Т и обозна-
обозначается Г (обратный элемент для Т).
Резольвентное множество Р (Т) элемента Т ? SB — это множе-
множество всех скаляров ? таких, что Т — ? обратим. Функция R (?) =
= (Т — ?)-1, определенная для ? ? Р (Г), называется резоль-
резольвентой элемента Т. Множество 2 (Т), дополнительное в ком-
комплексной плоскости к Р (Г), называется спектром элемента Т.
Многие другие понятия (теоремы), введенные (доказанные)
для 38 (X), можно обобщить на случай банаховых алгебр. Как
правило, это такие понятия (теоремы), которые можно ввести
(доказать), не обращаясь к основному пространству X. Так,
например, спектральный радиус spr Т элемента Т ? 38 можно оп-
определить так же, как в п. 1.4.2. Разложение Неймана A.4.22) верно
для Т ? SB и поэтому 1 — Т обратим, если spr T < 1. В частно-
частности, имеет место первое разложение Неймана A.4.22) для резол!-
венты, откуда следует, что Р (Т) открыто, 2 (Т) замкнуто и т. д.
Большинство результатов о возмущении спектров переносится
на случай банаховых алгебр, однако при этом мы должны огра-
ограничиться результатами об операторах из SB (X), так как неогра-
неограниченные операторы не имеют аналога в теории банаховых алгебр.
Например, 2 (Г), полунепрерывная сверху функция от Т ? .99г
не является, вообще говоря, полунепрерывной снизу. Однако
спектр 2 (Т) зависит от Т непрерывно при возмущениях спе-
специального вида (см. замечание 3.7).
Отметим одно новое и интересное обстоятельство, отсутствую-
отсутствующее в SB (X). Банахова алгебра SB может оказаться коммутатив-
коммутативной (это означает, что все элементы в SB коммутируют между
собой); отметим, что алгебра ЗВ (X) не коммутативна, если
dim X ^ 2. Если 38 коммутативна, то справедливы теорема 3.6
и замечание 3.7. Таким образом, 2 (Т) непрерывно зависит от Т
в этом случае.
Пример 3.22. Важным примером банаховой алгебры служит банахово
пространство 1 (множество всех последовательностей Т = (т^) таких, что
II Т || = 2 I %п I < °°! см- пример III.1.1), в котором произведение TS
k
двух элементов Т = (т^) и S = (aft) определяется как свертка:
TS = (pft), Qk = 2 XjOk-}. C.19)
§ 3. ВОЗМУЩЕНИЕ СПЕКТРА
Нетрудно проверить, что || TS || < || Т || || S || и что алгебра 1 коммутатив-
коммутативна. В определении пространства 1, приведенном в примере III.1.1, индекс к
принимает значения 1, 2, . . ., в этом случае алгебра 1 не имеет единицы.
Если же к пробегает целые значения от 0 до оо или от — оо до оо, то элемент
\ = (бдо) служит единицей в 1. В дальнейшем мы считаем, что к принимает
все целые значения и полагаем М = 1.
Каждому элементу Т ? М поставим в соответствие комплексную функцию
Т(е*) = 2 Т^"9' ' C-2°)
Й=-00
определенную на единичной окружности (для вещественных 6); отметим,
что ряд Фурье в правой части C.20) абсолютно сходится. Из определения
C.19) следует, что
TS (eie) = T (eie) S (ei9). :. V C.21)
Покажем, что
; (Г)= а-. т(е™)= ?>• ¦¦¦•¦ C-22>
Отсюда следует, в частности, что Т обратим, если Т (е ) ф 0. Если поло-
положить S = Т-\ то S (eie) = i/T (em). По определению функция S (е1в)
имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Таким образом, из C.22) вытекает
следующая теорема, принадлежащая Винеру: если комплексная функция
Т (е*®) с абсолютно сходящимся рядом Фурье не обращается в нуль {для веще-
вещественных значений 6), то функция \1Т (ег ) имеет абсолютно сходящийся
ряд Фурье г).
Сначала докажем C.22) в предположении, что Т (ег9) имеет аналитиче-
аналитическое продолжение Т (z) на окрестность единичной окружности К. Если ?
не принадлежит множеству значений функции Т (ег9), то 2) (Т — ?) (z) =
= Т (z) — ?, не обращается в нуль в некоторой окрестности окружности К.
Поэтому функция R (z) = (Т (г) — Q-1 аналитична в окрестности окруж-
окружности К. Из неравенств Коши для коэффициентов разложения Лорана сле-
следует, что функция R (е ) имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Последо-
Последовательность R коэффициентов Фурье этой функции принадлежит ?В и
R (Т — ?) = (Т — ?) R — 1; таким образом, элемент Т — 'Q обратим.
С другой стороны, как следует из C.21), Т — ? не обратим, если t, принад-
принадлежит множеству значений функции Т (е1®).
Предложение C.22) следует теперь из непрерывной зависимости спектра
2 (Т) от Т (напомним, что алгебра ?!& коммутативна). В самом деле, для
любого Т 6 3i существует последовательность {Тп} такая, что |[ Тп — Т \\ ->-
-»- 0 и каждая функция Тп (е ) имеет аналитическое продолжение в окрест-
окрестность окружности К. В качестве такой последовательности можно взять,.
п
например, Тп (et9) = ^ хь.еМ- Так как S (Тп) совпадает с множеством
ft=—п
значений функции Тп (ег6), то 2 (Т) = lim 2 (Тп) совпадает с множеством
значений функции Т (егв) = lim Tn (егв).
г) См. Рисе и. Секефа л ь ви-Ндя б-PJ.
2) Отметим, что 1 (eie) = 1.
18*
276 Гп. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 4. Пары замкнутых подпространств
1. Определения
Этот параграф следует рассматривать как вспомогательный по
отношению к следующему параграфу, где построена теория возму-
возмущений для таких целочисленных характеристик операторов, как
дефект и индекс. Возможно, что предмет этого параграфа имеет
самостоятельный интерес.
Приведенные здесь задачи связаны с рассмотрением пар М, N
замкнутых подпространств в банаховом пространстве Z. Полу-
Полученные результаты будут применены в следующем параграфе к опе-
операторам из класса % (X, Y), причем в качестве Z рассматривается
произведение пространств X и Y. Некоторые основные резуль-
результаты в этом направлении получены в § 2, в дальнейшем нам потре-
потребуются и другие результаты этого параграфа.
Пусть Z — банахово пространство и М, N — замкнутые под-
подпространства в Z. Тогда М П N — также замкнутое подпростран-
подпространство. Мы определим степень вырождения пары М, N равенством
nul (M, N) = dim (МП N). D.1)
Далее, М -\- N — подпространство (не обязательно замкнутое);
определим дефект пары М, N следующим образом 1):
def (M, N) = codim (М + N) = dim Z/(M + N. х) . D.2)
Индекс пары М, N определяется равенством
ind (M, N) = nul (M, N) - def (M, N), D.3)
при этом предполагается, что одна из величин в правой части
конечна.
Пара М, N называется фредголъмовой {полуфредголъмовой),
если подпространство М + N замкнуто и величины nul (M, N)
и def (M, N) конечны (rfo крайней мере одна из этих величин
конечна).
Введем, кроме того, величину
V(M,N)= inf .Д8* (ц'ГС> (^1). ¦ D.4)
Этой формулой величина у (М, N) определена, когда М (? N.
х) Возможно другое определение def (M, N), в котором используется
замыкание подпространств М + N. Оба определения совпадают для полу-
фредгольмовых операторов.
§ 4. ПАРЫ ЗАМКНУТЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ 277
Если Mcz N, положим у (М, N) = 1. Очевидно, что у (М, N) =
= 1, если Мгэ N. Функция у (М, N) не симметрична относитель-
относительно М и N. Положим
у (М, N) = min [у (М, N), у (N, М)] D.5)
и назовем у (М, N) минимальным раствором между М и N.
Задача 4.1. у (М, N) ^ б (М, N), за исключением случая, когда Мс N.
[Указание: dist (и — z, N) = dist (и, N) для u ?M, z MfN]
Хотя величины у (М, N) и у (N, М) не равны, они не незави-
независимы, а именно
V(N, M)> Ji^. D.б,
Докажем это.
Теорема 4.2. Для замкнутости подпространства М + N
необходимо и достаточно, чтобы у (М, N) > 0.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный слу-
случай, когда МП N = 0. Если подпространство М + N = Zo зам-
замкнуто, то Zo — банахово пространство и каждый вектор и ? Zo
единственным образом представим в виде v -\- w, v ? М, w ? N.
Таким образом, равенство Ри — v определяет проектор Р про-
пространства Zo на М параллельно N. Согласно замечанию к теоре-
теореме III.5.20, оператор Р ограничен. Так как dist (v, M П N) =
= 1М1 (напомним, что МП N = 0), то ||P|| = sup \\ Ри || / || и || =
= sup || v || / || v + w И = sup || v || / dist (у, N) = 1/y (M, N).
¦o?M,U)?N i)?M
Поэтому
V (M, N) = 1/ЦР || >0. ', ? D.7)
Равенство D.7) не имеет смысла, если М = 0. В этом случае
по определению у (М, N) = 1 > 0.
Обратно, пусть у (М, N) > 0; можем считать, что М Ф 0.
Пусть vn + wn ->- u, yn ?M, шп 6 N. Тогда || vn — vm || <
<dist(un-i;m, N)/T(M, NXH^ —pm+wn —bm ||/T (M, N)-»-0.
Поэтому существует lim y^ = у и wn = (у„ + гс„) — yn ->- м — v.
Так как М и N замкнуты, то у ? М, и — у? Nh поэтому и ? М4- N.
В рассматриваемом частном случае неравенство D.6) следует
из D.7) и формулы у (N, М) = 1/|| 1 — Р || ввиду того, что
II 1 — Р || ^ 1 4- || Р ||. Это доказательство теряет силу, если
М = 0 или N = 0, однако в этих случаях неравенство D.6) оче-
очевидно.
В общем случае, когда L = М f] N Ф 0, рассмотрим фактор-
пространство Z = Z/L. Так как L замкнуто, то Z — банахово
пространство (см. п. III.1.8). Пусть М — множество всех и 6 Z
278 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
таких, что и ? М; отметим, что смежный класс и целиком содер-
содержится в М, если существует вектор и из и, содержащийся в М.
Аналогично определим N. Ясно, что М, N суть замкнутые под-
подпространства в Z, причем МП N = 0. Далее, М + N замкнуто
в Z тогда и только тогда, когда М + N замкнуто в Z.
Таким образом, доказательство теоремы в общем случае све-
сведется к рассмотренному частному случаю, если установить равен-
равенство
7 (М, N) = -у (М, N). . D.8)
Оно в свою очередь следует из тождества
dist (и, М) = dist (и, М) D-9)
и аналогичных тождеств, в которых М заменяется на N и L. Для
доказательства D.9) достаточно заметить, что dist (и, М) =
= inf || и — "и [| = inf inf || и — v — z || = inf || и — v \\ =
= dist (и, M). И снова отдельно следует рассмотреть особый
случай М d N, однако равенство D.8) в этом случае очевидно.
Замечание 4.3. Ввиду D.8) равенство D.7) сохраняется и в об-
общем случае, если М =ф 0 , при этом в качестве Р нужно взять
проектор в пространстве М + N на М параллельно N. Отметим,
что неравенство D.6) справедливо всегда, если М + N замкнуто.
Оно справедливо и в том случае, когда М + N не замкнуто, так
как тогда 7 (M, N) = 7 (N, М) = 0 по теореме 4.2.
Лемма 4.4. Предположим, что подпространство М + N зам-
замкнуто. Тогда для любого вектора и 6 Z
dist (u, M) + dist(u, N)>4-7(M, N) dist (и, Mf]N). D.10)
Доказательство. Ввиду равенств D.8) и D.9) доста-
достаточно доказать неравенство D.10), в котором и, М, N заменены
на iii M, N соответственно. Возвращаясь к прежним обозначе-
обозначениям) можем считать, что МП N = 0 (и поэтому dist (и, М ("| N) =
= II и ||).
Для любого е ;> 0 существуют векторы v ? М и w ? N такие,
что. dist (и, М) > || и — v || — е, dist (и, N) > || и — w \\ — г.
Если || v ||< || и Ц/2, то dist (и, М) > || и \\ — \\ v || — е >
> || и ||/2 — е; если же || v \\ > || и ||/2, то dist (и, М) +
+ dist (и, N) > || и — v || + || и — w || — 2е > || у — и; || - 2е>
> dist (v, N) - 2е> ||i; ||y (M, N) - 2e >1 || u Ц7 (M, N)-2e.
§ 4. ПАРЫ ЗАМКНУТЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ . 279
Б любом случае левая часть в D.10) не меньше чем
-— || и || v (M, N) — 2е. Ввиду произвольности е > 0 отсюда
следует утверждение леммы.
Задача 4.5. ind (М, 0) = —codim M, ind (M, Z) = dim M.
Задача 4.6. Пусть М' гэ М, причем dim М'/М = т < оо. Тогда
ind (M\ N) = ind (M, N) + т.
Задача 4.7. Если def (M, N) < оо, то подпространство М + N замкну-
замкнуто. [Указание: существует М' такое, что М' zd М, M'("|N = M(~|N, M' +
+ N = Z, dim М'/М < оо. Тогда 0 < у (М', N) < у (М, N).]
2. Двойственность
Для любого подмножества S в Z аннулятор S^ есть замкнутое
подпространство в Z*, состоящее из векторов / ? Z* таких, что
/ J_ S. Для любой пары М, N замкнутых подпространств в Z верна
формула
(М + NI = М1 П N1. " D.11)
Двойственная формула М + N = (М f] N)^ не всегда верна
по той причине, что (М fl N) всегда замкнуто, а подпространство
М.-1- + N1- не обязано быть замкнутым. Мы покажем, что М1- + JP"
замкнуто тогда и только тогда, когда М + N замкнуто.
Теорема 4.8. Пусть М и N — замкнутые подпространства
в Z. Замкнутость подпространства М + N в Z эквивалентна
замкнутости подпространства М^ + N-1- в Z*. Если М + N
замкнуто, то
М1 + N1 = (М П NI, D.12)
mil (Мл, N1) - def (M, N), def (M1, N1) = nul (M, N), D.13)
Y (М-1, N-1) = у (N, М), у (М1, N1) = у (М, N). D.14)
1Формулы D.14) верны и без предположения о замкнутости М +
+ N.]
Доказательство этой теоремы будет проведено в несколько
шагов.
Лемма 4.9. Если подпространство М + N замкнуто, то верна
формула D.12). В частности, подпространство М*~ + N" зам-
замкнуто.
Доказательство. Ясно, что М1 + N1 с (М f] N)-1.
Докажем противоположное включение.
280 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Пусть / 6 (М П N)-1. Рассмотрим скалярное произведение (/, и)
для и 6 М + N. Вектор и имеет вид v -{- w, v ?M, w ? N; однако
такое представление может быть не единственно. Если и = v' -f-
-\- w' — другое такое разложение, то v — v' = w' — ш ? М f! N
и поэтому (/, v — v') = (/, w — w') = 0. Таким образом, (/, v) =
== (/, v') или, другими словами, скалярное произведение (/, и)
однозначно определяется вектором и. Функционал g [и] = (/, v),
определенный для и ? М + N, очевидно, полулинеен. Аналогич-
Аналогично вводим функционал h (и) = (/, w). Отметим, что
g [и] = 0 для и е N и h [и] = О для и ? М. D.15)
Функционалы g и h ограничены. В самом деле, | g [и] | =
= | (/, v) | <: || / || || v ||, где v можно заменить вектором v — z
для любого z 6 L == М П N. Поэтому | ^ {и] | ^ || / || dist (у, L).
Так как || и || = || » + и; || > dist (у, N) > у (М, N) dist (», L),
то | g М | ^ |[/ || || и \\/у (М, JV). Другими словами, g ограни-
ограничен и
1|?||<11Я1/У(М, N). D.16)
По теореме Хана — Банаха g можно продолжить с сохране-
сохранением нормы до ограниченной полулинейной формы на Z; это
продолжение обозначим тем же символом g. Аналогично h можно
продолжить до элемента из Z*, обозначим его h. Из D.15) сле-
следует, что
g e N1, he M1. D.17)
Так как (/, и) = (/, v) + (/, w) = g lu] + h[u] = (g, и) +
+ (h, и) для и 6 М -f- N, то формы / и g -\- h совпадают на М + N.
Таким образом, / — g — /г = /е?(М+ N)^ cz M~. Поэтому h -(-
+ к е М-1 и / = g + (h + к) 6 М-1 + N-1.
Лемма 4.10. Если М + N замкнуто, то у (М, N) ^ у (Nx, M1).
Доказательство. Для любого g0 ? N^ и любого /г0 6
? Ш± положим / = g0 + h0. Тогда / 6 Ш1 + N1 = (М П Щ1
по лемме 4.9. Согласно доказательству леммы 4.9, вектор / можно
представить в виде g + h, g ? 'N~L, h ? M^, так, что будет верна
оценка D.16). Но так как g — g0 = h0 — h 6 M f| N-, то
II g II = II ^o + g — go II > dist (g0, М-1 fl N-1). Таким образом, иа
D.16) следует, что dist (g0, М1 П N1) < || ?0 + h0 \\/y (M, N).
Так как последнее неравенство верно для любого h0 ? М-1-, то
dist fe0, М-1 П N1) < dist (g0, M1)^ (M, N) для любого g0 ? N1.
Отсюда следует требуемое неравенство. (Особый случай, когда
Me N, тривиален.)
§ 4. ПАРЫ ЗАМКНУТЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ 28f
Лемма 4.11. Если М + N замкнуто, то у (N, ЛР) ^
< Y (M, N).
Доказательство. Особый случай здесь также три-
тривиален, и поэтому мы предположим, что М (? N. Мы пишем для
простоты у вместо у (М, N) и L вместо М П N.
Для любого е > О существует вектор у ? М такой, что
О < dist (у, N) < (у + е) dist (v, L). D.18)
Далее, существует форма /6Z*, для которой / ? L-L и 0 < (/, у) =
= ||/ || dist (у, L) (см. теорему III.1.22). Так как по лемме 4.9
jj- = Ш1- + N > то / можно представить в виде g + h, g ? М",
/z. ? N-1. Таким образом, || / || dist (у, L) = (/, у) = (g + h, v) =
= (g, v) = (g, v — w) = (g — k, v — ц?) < || g — k || || v — ц? ||,.
где векторы ш ? N и k ? М П N-1 произвольны. Отсюда сле-
следует, что 0 < || / || dist (v, L) < dist (g, M± fl N1)-dist (y, N).
Учитывая неравенство dist (g, M1) ^ \\ g + h \\ = \\f\\, полу-
получаем
dist (g, M1) dist (y, L) < dist (y, N) dist (g, M1 |~1 N1). D.19)
Из D.18) и D.19) следует неравенство dist (g, M~) =gC
+ e) dist (g, M-Lfl N1). Так как g ? N1, то у (N1, M-L) <
+ e. Ввиду произвольности е лемма доказана.
Лемма 4.12. ^сли М^+ N замкнуто, то М + N замкнуто.
Доказательство. Пусть Zo — замыкание подпро-
подпространства М + N. Обозначим через Вм и BN единичные шары
в М и N соответственно. Покажем сначала, что замыкание S
множества S = Вм + BN содержит шар пространства Zo.
Предположим, что и0 g Zo не принадлежит S. Так как S —
замкнутое выпуклое множество, то в Zo существует гиперпло-
гиперплоскость, отделяющая и0 от S. Другими словами, существует форма
/о 6 Z* такая, что х)
Re (/0, у + ш)< Re (/„, u0) D.20)
для всех у 6 Вм, w ? BN. Форму /0 можно продолжить с сохра-
сохранением нормы на все пространство Z; такое продолжение обо-
обозначим также через /0.
х) Пусть d = dist (и0, S) > 0 и S' — множество всех и ? Zo, таких,
что dist (u, S) < d/2. S' — открытое выпуклое множество, не содержащее щ.
Таким образом, существование /0 следует из теоремы Хана — Банаха (см.
примечание на стр. 173).
282 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ.
Так как в D.20) векторы v и w можно умножать на произ-
произвольные фазовые множители (комплексные числа абсолютной вели-
величины 1), то левую часть в D.20) можно заменить на | (/0, v)\-\-
+ |(/о, w)|. Согласно B.17), sup | (/<,, у) | = dist (/„, М1). Поэтому
dist(/0, M1) + dist(/0, ^)<Ве(/0, мо)<[| «о II П/оН- D-21)
По лемме 4.4 левая часть в D.21) не меньше y'dist(/0, M П №"), где
¦у' = ? (Мх, Nx)/2> 0. Далее, dist (/„, М1 П N1) = dist (/0,(М + NI) =
= dist(/0, ZJ-) = || /о| Zo || -= || /о ||. Отсюда получаем, что || щ \\>у'.
Это означает, что любой вектор и ? Z с нормой, меньшей у',
принадлежит S. Другими словами, S содержит шар в Zo радиуса
у' с центром в нуле. С помощью рассуждений, аналогичных тем,
которые были использованы в доказательстве теоремы о замкну-
замкнутом графике, можно показать, что само множество S содержит
шар пространства Zo. Так как М + N — подпространство, содер-
содержащее S, то М + N совпадает с Zo и, следовательно, замкнуто.
Леммы 4.9—4.12 в совокупности доказывают теорему 4.8.
Отметим, что соотношения D.13) немедленно вытекают из D.11)
и D.12) (см. лемму III.1.40).
Следствие 4.13. Фредголъмовостъ (полуфредголъмовостъ) пары
М, N замкнутых подпространств эквивалентна фредголъмовости
(полуфредгольмовости) пары М^, N^. Если пара М, N полуфред-
голъмова, то
ind (M, N) = -ind (M1, NJ). :.... . D.22)
3. Регулярные пары замкнутых подпространств
Мы отмечали выше, что, вообще говоря, у (М, N) ф у (N, М).
Назовем пару М, N регулярной, если у (М, N) = у (N, М).
Известно, что любая пара М, N регулярна, если Z — гиль-
гильбертово пространство *). Другим примером регулярной пары
является пара X, Y в произведении Z = X X Y. Здесь X отож-
отождествляется с замкнутым подпространством в Z, состоящим из
элементов вида {и, 0}, и ? X; аналогичное отождествление сде-
сделано для Y. Нетрудно видеть, что у (X, Y) = у (Y, X) = 1.
Отметим, что существуют и другие нетривиальные регулярные
пары в пространстве Z = X X Y. Существуют даже такие зам-
х) Этот факт имеет место благодаря тождеству || 1 — Р || = \\ Р |[,
которое справедливо для любого косого проектора Р, 0 Ф Р Ф 1, в гиль-
гильбертовом пространстве; см. задачу 1.6.31.
§ 4. ПАРЫ ЗАМКНУТЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ 283
кнутые подпространства N в Z, что пара {М, N} регулярна для
любого М в Z. Такие замкнутые подпространства будем называть
отмеченными.
Теорема 4.14. X является отмеченным подпространством
в Z = X X Y.
Доказательство. Напомним, что норма в Z опреде-
определяется равенством
|| {х, у} ||» = || х |Г + || у |Г, х € X, у € Y. D.23)
Пусть М — замкнутое подпространство в Z. Положим L =
= М П X.
Сначала вычислим у (М, X). Пусть и = {х, у} ? М; тогда
«list (и, XJ = baf (|| х-х' ||2 + И у ||2) = || у ||2 и dist (и, LJ =
= inf (|| х-х' ||2 + || т/ |р) = || х ||2 + || у ||2, где х € X =
= X/L. Отсюда следует, что
(M, X)= inf ^ ||у|1—-^ = 1-г-^, D.24)
{}6м (||*||« + IU И»I'2 A+T2)t/2 . 1 ^
Еде ¦ ... -
.,'¦¦•¦. v= iQf IIУ11/11«||. . /-, D.25)
С другой стороны,
¦y(X,M) = mf d;s "'
- = inf (ll»Ha + lly||»)/_ inf
? ||
Для заданного вектора {х1, у'}?М существует вектор ж"?Х про-
произвольной нормы, для которого || х + %" II = || х || -J- || х" ||. Отсюда,
используя неравенство Шварца, получаем, что
у (X, М) = inf
II*' 11 +11**
¦- inf (l + J|fp-)^ = ?/(l + T.)V».- D.26)
Из D.24) и D.26) заключаем, что у (М, X) = у (X, М). (Приве-
(Приведенные выше рассуждения теряют силу, если Md X или ХсМ.
Однако в этих случаях у (М, X) = у (X, М) = 1.)
284- Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
4. Аппроксимативная степень вырождения
и аппроксимативный дефект
Пусть М и N — замкнутые подпространства в банаховом
пространстве Z. Определим аппроксимативную степень вырожде-
вырождения nul' (M, N) как верхнюю грань (фактически максимальный
элемент, как будет показано ниже) множества D натуральных
чисел т (допускается бесконечное значение т) таких, что для
любого 8 > 0 существует m-мерное замкнутое подпространство
МесгМ, удовлетворяющее условию б (Ме, N) < е.
Задача 4.15. nul' (M, N) > nul (M, N).
Определим аппроксимативный дефект пары М, N равенством
def (M, N) = nul' (M1, N-1). D.27>
Отметим, что величины nul (M, N) и def (M, N) были опре-
определены в чисто алгебраических терминах. С другой стороны,
определение nul' (M, N) и def (M, N) существенно зависит от
топологии основного пространства Z.
Как отмечалось выше, nul' (M, N) является максимальным
элементом множества D. Это очевидно, если число nul' (M, N)
конечно. В том случае, когда nul' (M, N) = оо, это замечание
вытекает из следующей леммы.
Лемма 4.16. Предположим, что для любого г > 0 и любого
конечного т существует т-мерное подпространство Ме с: М,
для которого б (Ме, N) <С 8. Тогда для любого е > 0 существует
бесконечномерное подпространство Ме с: М, для которого
б (Ме, N) < 8.
Доказательство. Для любого замкнутого подпро-
подпространства М'сМ конечной коразмерности в М существует под-
подпространство МЕ с М такое, что dim Me > dim M/M' и
б (Ме, N) < 8. Тогда dim (М' Л Ме) > 0 (см. задачу Ш.1.42),
и поэтому существует вектор и' Ф 0 в М' такой, что dist (u, N) <С
< е || и ||. Таким образом, лемма 4.16 вытекает из следующей
леммы.
Лемма 4.17. Предположим, что для любого е > 0 и любого
замкнутого подпространства Ж cz M конечной коразмерности
в М существует ненулевой вектор и 6 М' такой, что dist (и, N) ¦<
< 8 || и ||. Тогда для любого г > 0 существует бесконечномерное
подпространство М8 с М такое, что б (Ме, N) <С е. В частно-
частности, nul' (M, N) = оо.
§ 4. ПАРЫ ЗАМКНУТЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ 285
Доказательство. Мы построим две последовательно-
последовательности ип и fn, удовлетворяющие следующим условиям:
К, /„) = 1, (ип, fh) =0 для к<п, D.28)
dist К, N) < 3"П8.
Предполагая, что элементы uh, fh, к — i, 2, . . ., п — 1, уже
построены, укажем способ построения ип и /„. Пусть М' — множе-
множество всех и 6 М таких, что (u, fk) = 0, к = 1, . . ., п — 1.
Так как М' — замкнутое подпространство, причем dim M/M' ^
^« — 1, то существует нормированный вектор ип 6 М', для
которого dist (Un, N) < 3~™8. Далее, существует форма /n ^ Z*
такая, что ||/„ || = 1 и (ип, /„) = 1 (см. следствие III.1.24).
Из D.28) следует, что векторы ип линейно независимы и поэто-
поэтому их линейная оболочка Me бесконечномерна. Каждый вектор
и 6 Ме имеет вид
и = Ъ1Щ + . . . + 1пип. D.29)
Покажем, что коэффициенты 1^ удовлетворяют неравенствам
\Ък |< 2й |! и ||, /с = 1, 2, . . ., п. D.30)
Согласно D.29) и D.28), имеем
(и, /,) = I, (щ, f}) + ...+ 1,_± (^_ь fj) + I]. D.31)
Предполагая, что неравенства D.30) доказаны для к <7, из D.31)
получаем
\Ы<\ (и, fj) I + I li I I (, /;)! + •••+! ly-1 I ! (»/-!, /;) I <
< || и || + || и || + . . . + 2^ || и || = 23'-1 || u ||;
так как | |t | = [ (и, /t) | ^ || и ||, то неравенства D.30) дока-
доказаны. -
Из D.28) — D.30) получаем
dist (u, N) < | It | dist («i, N) + . . . + | ln | dist (un, N) <
< C-1 + 2-3-2 + . . . + 2n~1-3-n) в || и ||< 8 || и ||.
To же самое неравенство верно для всех векторов и из замыкания
М8сМ подпространства Ме. Поэтому б (МЕ, N) < 8.
Теорема 4.18. Если подпространство М + N замкнуто, то
nul' (M, N) =nul (M, N), def (M, N) = def (M, N). D.32)
Доказательство. По теореме 4.8 замкнутость под-
подпространства М + N эквивалентна замкнутости М + N. Ввиду
равенств D.13) и D.27) достаточно доказать первую из фор-
формул D.32).
286 , ГЛ. IV ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Предположим, что существует Ме cr M такое, что dim Me >
> nul (M, N) = dim (МП N) и б (Ме, N) < е. Тогда существует
нормированный вектор и ? Ме, для которого dist (и, МП N) = 1
(см. лемму 2.3). Далее, dist (и, N) ^ у dist (и, М П N) = у, где-
7 = 7 (M, N) > 0 по теореме 4.2. С другой стороны, dist (и, N) <1
^ || и || б (М8, N) < 8. Поэтому 8 не может быть меньше у. От-
Отсюда следует, что nul' (M, N) ^ nul (M, N). Так как справедливо
и обратное неравенство (см. задачу 4.15), то теорема доказана.
Теорема 4.19. Если подпространство М + N не замкнуто,,
то
nul' (M, N) = def (M, N) = со. D.33)
Доказательство. Достаточно доказать равенство
nul' (M, N) = со. Для любого М' с М конечной коразмерности
в М многообразие М' -f N не замкнуто (в противном случае
М + N было бы замкнуто по лемме III.1.9). Таким образом,
у (М', N) = 0 по теореме 4.2. Поэтому для любого 8 > 0 суще-
существует вектор и ? М' такой, что dist {и, N) ^ 8 dist (и, М' П N)C
^ е || it ||. Применение леммы 4.17 завершает доказательство-
Задача 4.20. nul' (M, N) и def (M, N) симметричны по М, N.
Задача 4.21. def (M, N) > def (M, N). , . ¦ . : ,.\-
Задача 4.22. nul' (M, N) = def (Мх, N1). . ¦ '
В заключение этого пункта приведем простой критерий
того, что nul' (M, N) = со.
Теорема 4.23. Равенство nuT (M, N) == со имеет место тогда
и только тогда, когда существует последовательность нормиро-
нормированных векторов ип ? М, не содержащая сходящейся подпоследова-
подпоследовательности и такая, что dist (un, N) —v 0.
Доказательство. Предположим, что nul' (M, N) =
= со. Построим последовательность ип ? М такую, что \\ип \\ =
= 1, dist (un, N) ^ 1/га и \\ ип — ит || ^ 1 при пфт. Допу-
Допустим, что векторы щ, . . ., ип уже построены; обозначим череа
Мп их линейную оболочку. Так как nul' (M, N) = со, то суще-
существует {п + 1)-мерное подпространство М'сМ такое, что-
А
б (М', N) ^ —7-f . Согласно неравенству dim M' > dim М„, суще-
ствует вектор и 6 М', для которого dist (и, М„) = || и \\ = 1
(см. лемму 2.3). Этот вектор можно взять в качестве ип+1.
Обратно, предположим, что nul' (M, N) < со. Покажем, что
любая последовательность нормированных векторов ип ? М, для
которой dist (un, N) —v 0, содержит сходящуюся подпоследова-
подпоследовательность. Так как подпространство М + N замкнуто (согласно-
теореме 4.19), то у (М, N) = у > 0 по теореме 4.2 и поэтому
§ 4. ПАРЫ ЗАМКНУТЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ 287
nul (M, N) <С оо (см. теорему 4.18). Таким образом,
dist (ип, МП N) ^ у1 dist (ura, N) -v 0. Это означает, что суще-
существует последовательность zn ? М П N такая, что ип — zn -v 0.
Так как последовательность {zn} ограничена и dim (М П N) =
= nul (M, N) <С оо, то {^ содержит сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность. То же самое верно и для {ип}, так как ип — zn —v 0.
5. Теоремы устойчивости
Покажем теперь, что величины nul (M, N), def (M, N)r
ind (M, N) и свойство подпространства М + N быть замкнутым
устойчивы при малых возмущениях подпространства М.
Теорема 4.24. Пусть М, N, М' — замкнутые подпространства
в Z, и пусть М + N замкнуто. Тогда из б (М\ М) < у (N, М)
следует, что nul' (M\ N) < nul (M, N), а из б (М, М') < у (М, N)
следует неравенство def (М\ N) ^ def (M, N). (Напомним, что
б (М, N) и у (М, N), вообще говоря, не симметричны по М и N.)
Доказательство. Допустим, что б (М', М) <; у (N, М).
Докажем, что величина б (Ne, M') не может быть сколь угодна
малой на множестве замкнутых подпространств Ne с: N, раз-
размерность которых больше чем nul (M, N). Отсюда следует нера-
неравенство nul' (M\ N) = nul' (N, M')<nul (M, N) (см. задачу 4.20).
Из неравенства dim N8 > dim (М П N) следует, что суще-
существует вектор и ? N8 с: N, для которого dist (и, М П N) =
= ]| и || = 1 (лемма 2.3). Поэтому dist (и, М) ^ у (N, М), соглас-
согласно формуле D.4). Заменяя N на М и М на М' в неравенстве B.14),
получаем dist (и, М') >[1 + б (М\ М)]-1 [у (N, М) - б (М', М)].
Отсюда следует, что dist (и, М') и, следовательно, б (N8, M')
не могут быть сколь угодно малыми.
Второе утверждение теоремы вытекает из первого, если вместо
М, N, М' рассматривать подпространства М~Ч N1", М'^; при этом
следует воспользоваться формулами B.19), D.13), D.14) и D.27).
Следствие 4.25. Пусть М, N — фредгольмова (полуфредголъ-
мова) пара. То же самое можно сказать о паре М', N, если
б (М\ М) < у (М, N). Кроме того, nul (M\ N) < nul (M, N),
def (M\ N) <def (M, N).
Доказательство. Что касается последнего утвержде-
утверждения, то оно следует из теоремы 4.24, так как выполнены оба
условия этой теоремы.
Если М, N — полуфредгольмова пара, то по крайней мере
одна из величин nul (M, N) и def (M, N) конечна. Поэтому либо
nul' (М', N) < оо, либо def (M\ N) < оо. Тогда М' + N зам-
замкнуто по теореме 4.19 и по крайней мере одно из чисел nul (M', N) =
= nul' (M', N) и def (M', N) = def (M', N) конечно (см. тео-
288 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
рему 4.18). Таким образом, М', N — полуфредгольмова пара.
Если М, N — фредгольмова пара, то nul (M, N) и def (M, N)
конечны и поэтому nul (M', N) и def (M\ N) конечны.
Замечание 4.26. В теореме 4.24 подпространство М' + N
не обязано быть замкнутым, если nul (M, N) = def (M, N) = оо.
Можно привести пример пары М, N, для которой существует под-
подпространство М', сколь угодно близкое к М и такое, что М' + N
не замкнуто.
Замечание 4.27. Вследствие 4.25 у (М', N)>0, так как М',
N — полуфредгольмова пара. В общем случае трудно дать оценку
у (M', N) снизу через у (М, N) и б (М', М). Другими словами,
величина у (М, N) может быть разрывной при малых измене-
изменениях М. Причиной этого служит разрывное поведение подпро-
подпространства М П N, фигурирующего в определении у (М, N) (см.
D.4)). Однако величина у (М, N) полунепрерывна снизу, если
М П N = 0 или МП N = Z. В этих случаях предыдущие резуль-
результаты можно уточнить.
Лемма 4.28. Предположим, что М + N замкнуто и nul (M, N) =
= 0. Если б (М', М) < у (N, М)/[2 + У (N, М)], то М' + N зам-
замкнуто, nul (M', N) = 0 и def (M\ N) = def (M, N).
Доказательство. В силу неравенства D.6) б (М', М) ^
< min [7 (М, N), 7 (N, М)] = у (М, N). Поэтому М' + N зам-
замкнуто, nul (M', N) = 0 и def (М\ N) ^ def (M, N), согласно след-
следствию 4.25. Остается показать, что def (M, N) ^ def (M', N).
Для этого достаточно доказать неравенство б (М', М) <
<7 (^'i N), так как тогда мы можем применить вторую часть
теоремы 4.24, поменяв местами М и М'.
Пусть и € N. Так как М П N = 0, то dist (и, М) > 7 (N> м) X
X dist (и, М П N) = 7 (N, М) || и ||. Из B.14) следует (при замене
N на М и М на М'), что dist (и, М') > [1 + б (М\ Ш)]-1 х
X [у (N, М) — б (М', М)] || и ||. Так как последнее неравенство
выполняется для любого и 6 N, то
У(ЯМ) (
М) • (
Применение неравенства D.6) приводит к требуемому результату:
V(M' Ю> V(N.M') _V(N, M)-6(M', M) g
•так как б (М', М) < 7 (N, М)/[2 + У (N, М)] по предположению.
Лемма 4.29. Пусть М + N = Z {т. е. def (M, N) = 0). Если
•S (М\ М) < 7 (M, N)/[2 + 7 (М, N)], то М' + N = Z {т. е.
df (M', N) = 0) и nul (M', N) = nul (M, N).
§ 5. ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОЛУФРЕДГОЛЬМОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 289
Доказательство. Достаточно применить лемму 4.28
к М~, N1, М.'1 вместо М, N, М' и при этом воспользоваться тео-
теоремами 4.8 и 2.9.
Теорема 4.30. Пусть М, N — фредгольмова (полуфредголъмова)
пара. Тогда существует б > О такое, что М', N — фредгольмова
(полуфредголъмова) пара и ind (M', N) = ind (M, N), если
б (М\ М) <б.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай полу-
фредгольмовой пары, так как из равенства ind (M', N) =
= ind (M, N) следует, что пара М', N фредгольмова тогда и толь-
только тогда, когда М, N фредгольмова. Более того, можно считать,
что del' (M, N) < оо; случай nul (M, N) < оо можно свести к пре-
предыдущему, переходя к аннуляторам.
Если def (M, N) = т < оо, то можно найти подпространство
No=> N такое, что dim N0/N=m, No fl M = N fl MhM+N0 = Z.
Согласно лемме 4.29, существует б>0 такое, что def (M\ No) =
= 0 и nul (M', No) = nul (M, No) = nul (M, N), если б (М\ М) <
< б. Поэтому ind (M', No) = nul (M, N) и из утверждения зада-
задачи 4.6 следует, что ind (M', N) = ind (M', No) — т =
= nul (M, N) - def (M, N) = ind (M, N).
Замечание 4.31. Теорема 4.30 показывает, что индекс полу-
фредгольмовой пары {М, N} устойчив при малых возмущениях М.
Это свойство устойчивости имеет место и при одновременном возму-
возмущении М и N, однако доказательство становится более сложным.
Нелегко дать простую оценку константы S, фигурирующей
в теореме 4.30. Неизвестно х), в частности, постоянен ли индекс
,ind (M\ N) для всех М', рассматриваемых в следствии 4.25, за
исключением того случая, когда Z — гильбертово пространство 2).
§ 5. Теоремы устойчивости
для полуфредгольмовых операторов
. ¦ *(
1. Степень вырождения, дефект и индекс оператора ',;
В этом параграфе мы определим степень вырождения, дефект,
индекс и т. д. для линейного оператора Т ? % (X, Y) и докажем
ряд теорем устойчивости для этих характеристик 3). Результаты
х) Ср. Нойбауэр [1].
2) Ср. Т. Кат о [9].
3) По тематике этого параграфа см. Аткинсор fl], Б р а у д е р [1],
[2], [3], Кордес и Лабрус [1], Дьёдонне [1], Гохберг
и К р е й н [1], К а а ш у к [1], Кэньел и Шехтер \\\, Т. К а т о
[12], Крейн и Красносельский [1], Секефальви-Надь
[3], Нойбауэр [1], [2], Юд [1].
19 т. Като . ¦
290 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
этого параграфа в основном следуют из соответствующих резуль-
результатов о парах замкнутых подпространств, полученных в преды-
предыдущем параграфе 1). Эти результаты будут дополнены некоторыми
специальными теоремами, относящимися только к операторам.
Так же как и в конечномерном случае (п. 1.3.1), степень вырож-
вырождения nul Т оператора Т из X в Y определяется как размерность
подпространства N (Г). Так как N (Т) — это геометрическое
собственное подпространство оператора Т, соответствующее нуле-
нулевому собственному значению, то nul T — геометрическая крат-
кратность нуля.
Дефект def Т оператора Т — это коразмерность R (Т) в Y:
def (Т) = dim Y/(R (Г) 2). Величины nul Г и def Г принимают
целые неотрицательные значения. В том случае, если nul Т < оо
или def Т <С оо, индекс ind Т оператора Т определяется равен-
равенством 3)
ind T = nul T — def Т. E.1)
Понятия степени вырождения и дефекта зависят от пространств
X и Y. В самом деле, оператор Г из X в ? можно рассматривать
как оператор из X в пространство Y', содержащее Y как под-
подпространство; при этом def T увеличивается на dim Y'/Y. С дру-
другой стороны, Т можно рассматривать как оператор из X' в Y,
где X' = X Ф Хо, причем Ти = 0 для и ? Хо; при этом nul T
увеличивается на dim Xo. Если пространство определения и про-
пространство значений фиксированы, то nul T и def T корректно
определены.
Итак, фиксируем банаховы пространства X и Y. Теорема B.21)
об устойчивости ограниченной обратимости утверждает, что свой-
свойство nul Т = def Т = 0 оператора Т ? % (X, Y) устойчиво при
малых возмущениях. При некоторых дополнительных предполо-
предположениях мы докажем здесь аналогичную теорему устойчивости
для других значений def T и nul Т.
Одним из дополнительных предположений будет замкнутость
подпространства R (Т). Это условие автоматически выполнено,
если def Т = 0. Оператор Т ? % (X, Y) называется фредголъмо-
еьш4), если подпространство R (Т) замкнуто и nul T и def T
у) Метод доказательства теорем об операторах с помощью соответствую-
соответствующих результатов о парах подпространств является, по-видимому, новым.
Он обладает том преимуществом, что позволяет в полной пере использовать
теоремы двойственности для подпространств. Применение этого метода тре-
требует ограничиться плотно определенными операторами, для которых суще-
существуют сопряженные.
2) Иногда def Т определяют как dim Y/R (Г), где R (Г) — замыкание
подпространства R (Т). Оба определения совпадают для полуфредгольмовых
операторов.
3) Некоторые авторы индексом называют выражение def T — nul Т.
4) Отметим, что термин «фредгольмовый» иногда употребляется в совер-
совершенно другом смысле; см., например, Гротендик [1J.
§ 5. ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОЛУФРЕДГОЛЬМОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 291
конечны. Оператор Т называется полуфредгольмоеым, если R (Т)
замкнуто и nul Т <с оо (или def Т <; оо). Индекс E.1) корректно
определен для полуфредгольмовых операторов. Основной резуль-
результат этого параграфа состоит в том, что свойство оператора быть
фредгольмовым [полуфредгольмовым] устойчиво при малых возму-
возмущениях.
Для доказательства нам потребуются некоторые сведения
о замкнутых операторах с замкнутой областью значений.
Нуль-пространство N = N (Т) замкнутого линейного опера-
оператора Т ? % (X, Y) является замкнутым подпространством в X.
Поэтому факторпространство X = X/N — это банахово простран-
пространство относительно нормы (см. п. III.1.8)
||tt|| = inf ||u|| = inf || м — z|| = dist(u, N), u?u. ¦ E.2)
Если и 6 D (Т), то любой вектор и ?и принадлежит D (Т), так
как и' — и ? Nc D (Т). Более того, Ти = Ти', так как N —
нуль-пространство оператора Т. Таким образом, можно опреде-
определить оператор Т из X в Y по формуле
TZ=Tu. E.3)
Область определения D(f) состоит из векторов м?Х таких, что
каждый вектор и?и принадлежит D(T).
Очевидно, что Т линеен. Кроме того, он замкнут. В самом
деле, пусть ип есть Г-сходящаяся последовательность в X: ип ? D (Т),
м„->м^Х, Tun~+-v?Y. Пусть ип?ип, и?и; из сходимости
м„->м следует, что dist(wn-—u, N)-»-0. Поэтому существуют
векторы zn?N, для которых ип — и — zTi-*-0. Так как Т (ип — zn) =
= Tun = Tun-)~v, то последовательность un — zn Г-сходитСя к и.
Из замкнутости Т следует, что u?D(T) и Tu — v, поэтому u?D(T)
и Tu = Tu = v. Замкнутость Т доказана.
Оператор Т обратим. В самом деле, из Ти = 0 следует, что
Ти~0 ш поэтому и ? N и и = N; но подпространство N служит
нулевым элементом пространства X.
Определим число у (Т) равенством у (Т) = 1/|| Т'11|; при этом7
подразумевается, что у(Т) = О, если Т'1 неограничен, и у(Т) — оо,
если Т~1 = 0. Из определения E.3) следует, что у (Т) — это наи-
наибольшее число у такое, что
\\Tu\\>y\\Z\\ = y&at(n, N), u?D{T). E.4)
Отметим, что у (Т) = оо тогда и только тогда, когда D (Т)
и R (Т) нульмерны; последнее эквивалентно включению Т а О
19*
292 • Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
(т. е. Ти — 0 для всех и?1)(Т)). Для того чтобы E.4) имело
смысл и в этом случае, следует считать, что оо х 0 = 0.
Назовем у (Т) приведенным минимальным модулем оператора Т.
Если N (Т) = 0, то у (Т) совпадает с минимальным модулем *)
оператора Т, который определяется как inf [| Ти || / || и ||, 0 Ф
фи?Т)(Т).
Задача 5.1. у (Т) = у (Т).
Теорема 5.2. Область значений оператора Т с ?¦ (X, Y) зам-
замкнута тогда и только тогда, когда у (Т) > 0.
Доказательство. По определению неравенство у (Т) >
> 0 эквивалентно ограниченности оператора Т'1, а это в свою
очередь эквивалентно тому, что подпространство D B1) =
= R (f) = R (Т) замкнуто (см. п. III.5.4).
Пример 5.3 2). Пусть Х=1Р и {х,}— канонический базис в X. Рассмо-
Рассмотрим оператор сдвига Т ? J?(X) такой", что Тх^ = 0, Тх2 = х±, Тх3 = х2, . . .
(см. пример III.3.16). Нетрудно проверить, что N (Г) — одномерное подпро-
подпространство, порожденное вектором xlt и что R (Т) = X. Таким образом,
Т — фредгольмов оператор, причем nul Т = 1, def Т = 0 и ind Г = 1.
(оо
21 ^ ip I/р=
= || Ти ||. Поэтому || Ти ||/|| и || = 1 для каясдого ненулевого вектора м ? X
и, следовательно, у (Т) = 1.
Пример 5.4. Пусть X = lp, {xj} — канонический базис в X и Г ? J) (X)
таков, что Тх{ = х2, Тх2 = х3, .... Этот оператор сопряжен к оператору Т
из примера 5.3, действующему в пространстве I9, q~x + р'1 = 1. Нетрудно
видеть, что N (Т) = 0 и R G1) — подпространство, порожденное векторами
ж2, ж3, .... Поэтому Т — фредгольмов оператор, прп этом nul 7=0,
<3ef T = 1, ind T= — 1. В рассматриваемом случае X = X, Т = Г, || Ти || =
= || м || и, следовательно, 7 (У) = 1-
Пример 5.5. Возьмем в качестве X пространство 1Р, состоящее пз дву-
двусторонних последовательностей. Пусть {xj} — канонический базис в X
и Т е ^9(Х) таков, что Тх0 = 0, Txj = хм, / = +1, ±2, . . .; N G') —
одномерное подпространство, порожденное' вектором х0, a R (Т) подпро-
подпространство, порожденное векторами xj, ] Ф 1. Оператор Т — фредгольмов,
причем nul Т -— 1, def Т = 1, ind Г = 0. Рассуждения из примера 5.3 пока-
показывают, что у (Т) = 1.
Задача 5.6. Если Г ? g(X, Y), то ? ? Р (Г) тогда и только тогда, когда
nul (Т — 0 = def G- 0 = 0.
2. Общая теорема устойчивости
Степень вырождения, дефект и замкнутость области значений
можно удобно охарактеризовать как свойства графика оператора.
Такая переформулировка важна для теории возмущений, так
х) См. Гиндлер я Тейлор [1].
2) V (Т) для дифференциальных операторов Т подробно изучается в книге
Голдберга [I].
§ 5. ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОЛУФРЕДГОЛЬМОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 293
как «малое» изменение замкнутого оператора означает малое
изменение его графика.
Рассмотрим пространство Z = X X Y. Удобно отождествить
вектор и ? X с {и, 0} ? Z и v ? Y с {0, v) ? Z. При этом X отож-
отождествляется с подпространством ХхОв Z, a Y — с 0 X Y.
Таким образом, Z приобретает структуру прямой суммы X ф Y.
Ясно, что каждое подмножество в X или Y отождествляется
при этом с некоторым подмножеством в Z.
Пусть Т е % (X, Y). График G (Г) оператора Т — это зам-
замкнутое линейное многообразие в Z, состоящее из всех элементов
вида {ы, Ти}, где ы ? D (Т). Вектор и ? X принадлежит N (Т)
тогда и только тогда, когда {и, 0} ? G (Т7). Согласно введенному
выше отождествлению, это означает, что
N (Т) = G (Г) П X. E.5)
Далее, имеем
R (Г) + X = G (Т) + X. E.6)
В самом деле, R (Г) + X — это множество всех пар {v, Ти},
где и ? D (Т7) и v ? X, в то время как G (Т) -\- X есть множество
пар вида {и + у, Уи}, где к ?D (T7), у 6 X. Совпадение очевидно.
Из E.5) и E.6) следует, что (см. D.1) и D.2))
mil Т = dim (G (Т) П X) = mil (G (Т), X),
E.7)
def Т = codim (G (Г) + X) = def (G (Г), X).
Итак, степень вырождения и дефект оператора Т совпадают
с соответствующими характеристиками пары G (Т), X замкнутых
подпространств в Z.
Далее, нетрудно видеть, что подпространство R (Т) замкнуто
в Y тогда и только тогда, когда X + R (Г) замкнуто в Z. Соглас-
Согласно E.6), замкнутость R (Т) эквивалентна замкнутости подпро-
подпространства G (Т) -г X.
Приведенный минимальный модуль у (Т) оператора Т доволь-
довольно просто связан с минимальным раствором у (G (Т), X) между
графиком G (Т) и подпространством X. Согласно E.4), у (Т) равен
inf || Ти ||/ \\и || = inf || у || / || ы ||, где ~и 6 X = Х/ЩТ).
?() {u, »}eG(T)
Ввиду формулы E.5) эта величина равна у (X, G (Т)) (см. D.25)).
Поэтому, учитывая формулы D.24) и D.26), имеем
у (G (Т), X) = у (X, G (Г)) = j
Мы видим, таким образом, что все характеристики замкнутого
оператора Т можно выразить в терминах пары G (Г), X замкну-
замкнутых подпространств в Z.
294 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Для того чтобы сделать это соответствие полным, мы определим
аппроксимативную степень вырождения и аппроксимативный
дефект оператора Т равенствами
mil' Т = mil' (G (Т), X), def Т = def (G (Т), X). E.9)
Следующие результаты являются прямыми следствиями соот-
соответствующих результатов о парах замкнутых подпространств,
полученных в предыдущем пункте.
Задача 5.7. Пусть Т G g(X, Y). Из def Т < оо следует, что у (Т)'}> О
(см. задачу 4.7).
Задача 5.8. Если Ti — продолжение порядка m оператора Т, то ind Tt =¦
= ind T + m (см. задачу 4.6).
Теорема 5.9. Число пиГ Т является наибольшим числом т ^
^ оо, обладающим следующим свойством: для любого е > 0 суще-
существует т-мерное замкнутое подпространство Ne cz D (Т) такое,
что || Ти ]| ^ е || и || для каждого и ? Ng (см. определение
в п. 4.4).
Теорема 5.10. Для любого Т ? % (X, Y) справедливы неравен-
неравенства пиГ Т ^ nul T, def T ^ def Т. Равенства здесь имеют
место, если R (Т) замкнуто. Если же R (Т) не замкнуто, то
пиГ Т = def T = оо (см. задачу 4.15, теоремы 4.18 ы 4.19).
Теорема 5.11 а). Равенство пиГ Т7 = оо выполняется тогда
и только тогда, когда существует последовательность нормиро-
нормированных векторов ип ? D (Т), не содержащая сходящуюся подпосле-
подпоследовательность и такая, что Тип -*- 0 (см. теорему 4.23).
Задача 5.12. пиГ (аТ) = пиГ Т, def (аТ) = def Т, если а =И= 0. [Ука-
зание: применить теорему 5.10.]
Предположим теперь, что Т 6 ^ (X, Y) плотно определен
и, следовательно, сопряженный оператор Т7* существует и при-
принадлежит % (Y*, X*). Нам будет удобнее рассматривать обрат-
обратный график G' (Т*) оператора Т* вместо G {Т*); G' (Т*) — это
замкнутое подпространство в X* X Y* = Z*, состоящее из эле-
элементов вида {T*g, g}, где7# пробегает D (T*) cz Y*. Как было
показано в п. III.5.5, справедливо соотношение
G' (-T7*) = G (Г)!. E.10)
Так как G' (Т7*) — это образ графика G (Т7*) при отображе-
отображении {g, /} ->- {/, g) пространства Y*jX X* на X* X Y*, то суще-
существует очевидное соответствие между свойствами G (Т*) и G' (Т7*).
х) Эта теорема принадлежит Вольфу [4]. •. .: ,.
§ 5. ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОЛУФРЕДГОЛЬМОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 295
Таким образом, в соответствии с E.7) — E.9) имеем
N(r*) = N( — 77*) = G'(-77*)nY* = GG7)-LnX-L, E.11)
RG1*) + Y*==R(-71*) + Y* = G'(-71*) + Y* = G(fI + X-i, E.12)
nul Г* = dim (G (TI П X1) = nul (G (TI, X1),
ii ii E.13)
def 7'* = codim(GG1I + X-L) = def(GG1)J-, X1), ¦: : ¦¦¦
^^ \h ^ • ..:' E.14)
-, X1). E.15)
Здесь G (T) и X^- = Y* рассматриваются как подпространства
в Z* = X* X Y* (в связи с E.15) отметим задачу 5.12).
Из теоремы 4.8 вытекает
Теорема 5.13 *). Предположим, что Т* существует. Подпро-
Подпространство R (Т) замкнуто тогда и только тогда, когда ЩТ*)
замкнуто. В этом случае имеем 2)
R (ТI = N (Т*), N (ТI = R (Г*), E.16)
nul Г* = def T, def Т* = nul T, E.17)
у (Г*) = у (Т). E.18)
Последнее равенство выполняется и без предположения о замкну-
замкнутости R (Т).
Следствие 5.14. Предположим, что оператор Т* существует.
Оператор Т фредголъмов (полуфредголъмов) тогда и только тогда,
когда Т* фредголъмов (полуфредголъмов). В этом случае
ind T* = —ind Т. E.19)
Задача 5.15. nul' T* = def T, def Т* = nul' Т.
г) Эта теорема доказана в книге Банаха [1] для ограниченных Т.
Для неограниченных операторов она доказана различными авторами; см.
Б р а у д е р [1], [3], Д ж о й ч и [1], Т. К а т о [12], Рота [1]. В связи
с формулами E.16) плотно определенный оператор Т g ^(X, Y) с замкну-
замкнутой областью значений называется также нормально разрешимым.
2) Здесь N (Т), R (Т), N G1*), R (Г*) рассматриваются как подмноже-
подмножества в X, Y, Y*, X* соответственно. Для доказательства E.16), например,
заметим, что, согласно D.11), (R (Т) + XI = (G (Т) + XI = G (Г^П Х±=
= G (— Г*)П Y* = N (Т*); все подпространства в этой цепочке равенств
рассматриваются как подпространства в Z* = X* X Y*. Отсюда следует,
что R(f)-L= NG**), причем обе части этого равенства рассматриваются
как подпространства в Y*. Аналогично второе из соотношений E.16) следует
из формулы D.12), примененной к паре G (Т), X.
296 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Теоремы устойчивости для замкнутых подпространств, дока-
доказанные в п. 4, немедленно приводят к соответствующим теоремам
устойчивости для операторов (см. теоремы 4.24, 4.30 и след-
следствие 4.25).
Теорема 5.16. Предположим, что Т, S ? % (X, Y) и В. (Т)
замкнуто (т. е. у (Т) = у>0). Тогда из неравенства 6 (S, Т) <;
< Y A + у2)-1/2 следует, что nul' S ^ nul T, а из неравенства
6 (Т, S) < у A + Т2)/2 следует, что def S < def T.
Теорема 5.17 1). Предположим, что Т, S ?.% (X, Y) и Т —
фредголъмов [полу фредголъмов) оператор. Если б (S, Т) <
<С у A + 72)~1/2' г^е Y ~ 7 (^)t mo S — фредголъмов {полуфред-
{полуфредголъмов) и nul S ^ nul Г, def S ^ def 71. Кроме того, суще-
существует б > 0 2) такое, что ind S = ind Г 3), если б E, 71) < б,
Предыдущие результаты получены при рассмотрении пары
подпространств G (Т) и Хв ХхУи пары соответствующих
аннуляторов. Интересно выяснить, какие результаты получаются
при аналогичном рассмотрении пары G (T), Y. Оказывается,
что получающиеся при этом результаты относятся к ограничен-
ограниченным операторам, а не к фредгольмовым. Мы сформулируем неко-
некоторые из этих результатов в виде задач с указаниями для решения.
Задача 5.18. Пусть Т ? g(X, Y); Т ограничен тогда и только тогда,
когда y(G(T),Y)>0 G (Y, G (Г)) > 0). Если Т ? М (X, Y), то
7 (G (T), Y) = 7 (Y, G (Т)) = A + || Т ||2)/2 (ср. с теоремой 4.14).
Задача 5.19. Пусть Т ? <ё(Х, Y). Тогда nul (G (T), Y) = 0. Т ограничен
тогда и только тогда, когда подпространство G (Т) + Y замкнуто.
Т g М (X, Y) тогда и только тогда, когда def (G (T), Y) = 0. [Указание:
G (Т) + Y = D (Т) + Y.]
1) Эта теорема устойчивости для nul T, def T и ind T в приведенной
здесь форме, по-видимому, является новой. Для Т, S ? J[)(X, Y) и малом
значении \\ S — ГЦ теорема такого типа известна давно (А т к и н с о и [1],
Дьёдоные [1], Крейн и Красносельский [1]). Секе-
фальви-Надь [3] обобщил этот результат на неограниченные опера-
операторы и относительно ограниченные возмущения. Гохберг и Крейн
[1] и Т. Като [12] получили аналогичные результаты с некоторыми качест-
качественными уточнениями. Кордес и Лабруо [1] рассматривали общие
возмущения, как в теореме 5.17, однако предполагали, что X = Y — гиль-
_бертово пространство. Недавно Нойбауэр [1] доказал теорему, ана-
аналогичную теореме 5.17.
2) Если X и Y — гильбертовы пространства, то можно положить 6 =
= 7 A+Т2)~1/2- В общем случае трудно дать простую оценку для 6 (см.
по этому поводу Нойбауэр [1]).
3) Эта теорема устойчивости для индекса важна во многих отношениях.
8 частности, это один из наиболее мощных методов для доказательства суще-
существования решений функциональных уравнений. В качестве примера такого
примепения теоремы 5.17 рассмотрим лемму Х.5.14. В этой лемме построены
семейства операторов W (у) и Z (х) 6 «38 (X), голоморфно зависящие от у.
и такие, что Z (у.) W {у) = 1, W @) = Z @) = 1. Применение теоремы устой-
устойчивости показывает, что W (к) отображает X на X [т. е. уравнение W (х) и =
— v имеет решение для любого v ? X].
§ 5. ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОЛУФРЕДГОЛЬМОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 297
Задача 5.20. Пусть Т 6 % (X, Y) плотно определен. Ограниченность
Т эквивалентна ограниченности Т* г). [Указание: применить утверждение
предыдущей задачи к оператору Т*.]
Задача 5.21. Пусть Т ? & (X, Y). Если S ? <g (X, Y) и б (Т, S) <
<A+|1 У||2)~1/2> то S ? J) (X, Y) и справедливо неравенство B.25), в ко-
котором б (S, Т) нужно заменить на б (Г, S) 2). [Указание: См. теорему 4.24
и задачу 5.19.]
3. Другие теоремы устойчивости
Теорему 5.17 можно назвать общей теоремой устойчивости,
так как единственное предположение состоит в том, что величина
6 (S, Т) мала; при этом не налагаются никакие ограничения
на взаимное расположение областей определения операторов
S и Т. Если же такие предположения сделать, то можно получить
несколько более сильный результат.
Теорема 5.22. Предположим, что оператор Т ? 'ё (X, Y)
полуфредголъмов [т. е. у = у (Т) > 0). Пусть А есть Т-ограни-
Т-ограниченный оператор из X в Y, причем константы а,Ъ в A.1) удовлет-
удовлетворяют неравенству
а < A — Ъ) у. E.20)
Тогда оператор S = Т + А принадлежит % (X, Y), S полу-
фредгольмов и
mil S < mil T, def 5 < def T, ind 5 = ind T. E.21)
Доказательство. Из условия E.20) следует, что Ъ <С 1
и поэтому S ^'ё (X, Y), согласно теореме 1.1. Покажем сна-
сначала, что операторы Т и А можно считать ограниченными.
Зафиксировав е > 0, введем в D (Т) новую норму
||! и ||| = (а + е) || и || + (Ь + г) || Ги || > е || и \\. E.22)
1) Это нетривиальный результат. Близкие к нему вопросы привлекли
внимание ряда математиков; ом. Браун [1], Нойбауэр [1], Г о л д -
б е р г |1]. Существует тесная связь между этим предложением, теоремой
о замкнутой области значений (теорема 5.13) и теоремой 4.8. Мы здесь выве-
вывели первые два предложения из последнего. Б р а у и [1] вывел второе из
первого. Браудер вывел теорему 4.8 из теоремы 5.13 (устное сообщение).
2) Это дает частичное усиление теоремы 2.13. Для доказательства нера-
неравенства B.25), в котором 6 (S, Т) заменено на 6 (Т, S), заметим, что для каж-
каждого вектора v ? X существует вектор и ? X, удовлетворяющий неравенству
B.22), где 6' — любое число, для которого 6 (Т, S) < 6' < A + || Т |[2)~1/2
(см. доказательство леммы 2.12). Так же, как в доказательстве леммы
2.11, || Аи || < 5' A + И Т ||2I/2. Поэтому || Av ||< \\ Аи \\ + \\А || || и -
— v || < 6' A + || Т II2I-'2 + || А || 6', так как || и — v || < 6' в силу B.22).
Так как || v ||2 A + || Г ||2) > 1, согласно B.24), то \\А \\ < 6' A + || Т ||2) +
+ \\А || 6' A4-Ц ГЦ2I'2, или || Л || < 6' A + || Т ||») [1 - б' A + || Т IP)]1/2.
Устремляя б' к о G\ S), получаем требуемый результат.
298 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Относительно этой нормы D (Т) становится банаховым про-
пространством, которое мы обозначим X (см. замечание 1.4). Можно
рассматривать операторы Т и А (точнее, сужение А на D (Т))
как операторы из X в Y; эти операторы обозначим через Т и А
соответственно (см. замечание 1.5). В силу A.1) и E.22) опера-
операторы Т, А е 38 (X, Y) и
imi<(& + e)-i, ||Л||<1. E.23)
Так как B.(T) = 'R(T), то Т имеет замкнутую область значений.
Очевидно, что
nul t = nul T, defT^def?7, nul S = nul S, E.24)
где $ =
Поэтому оператор Т полуфредгольмов и достаточно показать,
что S полуфредгольмов и что соотношения E.21) справедливы
для S ж Т.
Выразим у{Т) через у = у(Т). По определению у(Т) —
= inf||7'U||/|||«||| = mf||27«||/|||u|||,j>rSeS:eX/N = N(f) = NB7) (под-
(подпространство N замкнуто в X и X). Так как Tz = 0, то
|||||| ||||||
~(а + е)\\и\\ + (Ъ + г)\\Ти\\. '' ' E.25)
Поэтому
y(f)= inf JTu" -, 1 Ih , ч . E.26)
V eD(T) (a + ?)\\u\\ + (b + e)\\Tu\\ (a+e)+(b + eO
Из E.20) и E.26) вытекает, что у (t) > 1 при достаточно малом е.
Так как || А ||< 1 в силу E.23), то \\ А \\<у {?). Заменяя опе-
операторы Т, A, S на Т, А, 5 соответственно, мы видим, что доста-
достаточно доказать теорему в том частном случае, когда Т, A, S ?
-6 SS (X, Y) и || 4 ||< у (Т) = у.
Однако в этом случае теорема вытекает немедленно
из общей теоремы устойчивости. В самом деле, пусть a > 0
таково, что \\А || < yl{{ + аУI/2. Тогда || аА\\ = а\\А \\]<
< 7 (аТ)/A + у (aTJ)i/2, так как ay (Т) = у (аГ). С другой сто-
стороны, Ъ (aS, aT) <; ||а^4 ||, согласно B.27), и мы видим, что пред-
предположения теоремы 5.17 выполнены для пары aS, aT. Поэтому
<xS и, следовательно, S — полуфредгольмовы операторы и nul S =
= nul aS ^ nul aT = nul T; аналогичное неравенство справед-
справедливо для def S.
§ 5. ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОЛУФРЕДГОЛЬМОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 299
Остается показать, что ind S = ind Т. Из теоремы 5.17 сле-
следует, что это так, если оператор А достаточно мал по норме.
В противном случае рассмотрим непрерывное семейство Т (%) =
= Т + кА, 0 < х < 1. Так как || кА ||< \\ А || < у, то Т (к)
полуфредгольмов для каждого и. Из теоремы 5.17 следует, что
ind T (%) непрерывно зависит от х и поэтому постоянен на отрезке
[О, 1], т. е. ind S = ind T.
Замечание 5.23. Пусть Т ш А — операторы в конечномерном
пространстве X. В этом случае ind (Т + А) = 0 и поэтому третье
равенство в E.21) выполняется всегда (см. A.3.2), A.3.3)). Пред-
Предположим, что mil Т = def Т > 0 и А = — ?. Тогда mil (Т — Q =
= def (Т — Q = О для достаточно малых | ? | ф 0, так как соб-
собственные значения оператора Т изолированы. Итак, первые два
неравенства в E.21), вообще говоря, не сводятся к равенствам.
Пример 5.24. Рассмотрим оператор Т из примера 5.3 и положим А = — ?.
Вычислим nul (Т + А) = nul (Т — ?). Пусть и = (lh) g N (Т — ?). Тогда
Sft+i = Sift, и поэтому lk = S'1-1!!. Если | ? | < 1, то (г;*-1^) 6 X; если
же | ? | ^ 1, то (^"^О Х^ при |i =7^= 0 (предположим для простоты, что
1 < р < оо). Таким образом, nul (Т — ?) = 1 для | ? [ < 1 и nul (Г — ?) =
= 0 для | U > 1.
Аналогичные рассуждения, примененные к оператору 71* (который совпа-
совпадает с оператором Т из примера 5.4), показывают, что nul (Т* — ?) = О
для любого ?. Далее, оператор Г — j имеет замкнутую область значений
для | ? j Ф 1; это следует из теоремы 5.22, так как 7 (Л = Y A) = !• Итак,
71 — ? является фредгольмовым оператором для | Z, | ^ 1 и nul (Т — Q = 1>
def (f — ?) = 0, ind (f — ?) = 1 для | ? | < 1, в то время как
nul (Т — Z) = def (Г - ?) = ind (Г - ?) = 0 для U | > 1-
Следует отметить, что оператор Т — Z, не является фредгольмовым ни
для какого Z, из единичной окружности. В самом деле, если бы Т — ?0 был
полуфредгольмовым для некоторого ?0, [ ?0 | = 1, то ind (T — ?) был бы
постоянен в некоторой окрестности точки ?0« Это противоречит предыдущему
результату. Таким образом, предположение E.20) в теореме 5.22, вообще
говоря, нельзя ослабить.
Задача 5.25. Пусть Т — оператор из примера 5.5. Если | ? | < 1, то
оператор Т — ? фредгольмов, причем nul (Т — Q — def (Т — ?) = 1,
ind (Г — ?) = 0. Если | ? | > 1, то оператор Г — ? также фредгольмов
и nul (Г — ?) = def (Г — ?) = ind (Г — ?) = 0. (Проверьте эти резуль-
результаты непосредственно, где это возможно.) Оператор Т— ? не является
полуфредгольмовым, если | ? | = 1.
Теорему 5.22 (или более общую теорему 5.17) иногда называют
первой теоремой устойчивости. Во второй теореме устойчивости
вместо малых возмущений рассматриваются относительно ком-
компактные возмущения *).
л) В связи со второй теоремой устойчивости см. Аткинсон [1],
Фридман [1], Гохберг и Крейн [1], Сокефальви-Надь
[3], Ю д [1]. Эта теорема была обобщена на строго сингулярные возму-
возмущения (не обязательно относительно компактные); см. Т. К а т о [12],
Гохберг, Маркус и Фельдман |1J, Голдберг [1]и другие
работы, цитированные в книге Голдберга.
300 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Теорема 5.26. Предположим, что оператор T^rS(X, Y)
полуфредгольмов. Если А есть Т-компактный оператор us X в Y,
то S = Т-\-А ?f<? (X, Y) также полуфредголъмов, причем ind 5 =
= ind T.
Доказательство. Эту теорему также можно свести
к частному случаю, когда Т, А ? !% (X, Y) и А компактен. Для
этого достаточно, так же как в доказательстве теоремы 5.22, рас-
рассмотреть пространство X и операторы Г, A, S (здесь константы
а и Ъ несущественны и поэтому в E.22) мы положим а = Ъ = 1
и е = 0). Из Г-компактности оператора А следует компактность А
(см. замечание 1.12).
Итак, предположим, что Т, А ? $ (X, Y) и А компактен.
Сначала рассмотрим случай mil T <С оо и докажем, что
nul' S < оо; тогда из теоремы 5.10 следует, что S полуфредголь-
полуфредгольмов оператор. Для доказательства воспользуемся теоремой 5.11.
Покажем, что последовательность ип ? X такая, что || ип || = 1
и Sun -*- 0, содержит сходящуюся подпоследовательность. Так
как Л компактен, то существует подпоследовательность {vn}
в {ип}, для которой ili;,, ->- ш ^ Y. Тогда Tvn = Гь>п = («S — >4) ип -*¦
->¦ —w, где ^Х = X/N (Г), а Г — оператор из X в Y,
определенный равенством E.3). Так как оператор Т имеет огра-
ограниченный обратный, то последовательность vn сходится. Это
означает, что существует последовательность zn ? N (Т) такая,
что vn — zn сходится. С помощью рассуждений, использованных
в доказательстве теоремы 4.23, приходим к заключению, что
последовательность {vn} и, следовательно, последовательность
{ип} содержат сходящиеся подпоследовательности.
Допустим теперь, что def T < оо. Тогда nul T* < оо. Так
как Т* полуфредгольмов к А* — компактный оператор, то из до-
доказанного выше следует, что оператор S* = Т* + А* и, следо-
следовательно, оператор S полуфредгольмовы.
Поскольку известно, что S полуфредгольмов, то нетрудно
доказать равенство ind S = ind Т. Рассмотрим семейство Т (я) —
= Т + кА, 0 ^ и <; 1. Так как кА компактен, то Т (и) полу-
полуфредгольмов для каждого %. Поэтому функция ind T {%), непре-
непрерывная по первой теореме устойчивости, постоянна.
Пример 5.27. Пусть Т — оператор из примера 5.5. Напомним, что
Тх0 = 0, Txj = xj-i, j = ±1, ±2, . . .. Мы видели (задача 5.25), что опера-
юр Т — ? фредгольмов, если | ?1^=1, и
nul (Т _ 0 = def (Г - 0 = 1, ! С | < 1,
nul (Т - Й = def (Г _ Q = 0, К | > 1.
E.27)
Пусть оператор А ? М (X) таков, что Ахй = xt, Axj = 0, / Ф 0. Оператор
А компактный и, более того, вырожденный оператор ранга 1. Из теоре-
§ 5. ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОЛУФРЕДГОЛЬМОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 301
мы 5.26 следует, что оператор Т (к) — ? фредгольмов для ] ? | Ф 1 и лю-
любого у.', здесь Т (х) = Т + У.А. Известно, что Б (Т (х)) — это единичный
круг I ? I = 1 Для к ?= 0 (см. пример 3.8). Поэтому
mil (Т (к) - ?) = def (Т (к) - ?) = 0, | ? | ^ 1, х #= 0. E.28)
4. Изолированные собственные значения
Теорема 5.28. Пусть Т ? г<? (X), Я, — изолированная точка
спектра 2 (Г) u P — проектор, соответствующий числу К (см.
п. III.6.5). ?слы dim Р <С оо, то оператор Т — Я, фредгольмов,
причем nul' (Г — X) = nul (Г — Я,) < dim P, def (T — К) =
= def G1 — X) < dim Р. Если dim P = оо, то nul' (Г — Я,) =
= def (Т — X) = оо.
Доказательство. Оператор Г допускает разложение,
соответствующее прямой сумме X = М' ф М", М' = РХ, М" =
= A — Р) X (см. п. III.6.4—Ш.6.5), и ^eP(TV), т. е.
nul' (Гм» — Я,) = def (ГМ" — Я,) = 0. С другой стороны, опера-
оператор Гм' — Я, ограничен и квазинильпотентен. Если dim Р << оо,
то М' конечномерно и, следовательно, аппроксимативная степень
вырождения и аппроксимативный дефект оператора Гм< — Я
не превосходят dim Р. Если же dim Р = оо, то nul' {Tw — Я,) =
= def (TV — Я,) = оо по теореме 5.30, которая будет доказана
ниже. Утверждение теоремы 5.28 легко следует из указанных
свойств частей ГМ' п ГМ"-
Лемма 5.29. Предположим, что оператор Т ? % (X, Y) имеет
замкнутую область значений, причем nul Т << оо. Тогда для
любого замкнутого подпространства Me X подпространство ГМ
замкнуто.
Доказательство. Рассмотрим пространство X = X/N,
N = NBn), и оператор Т, введенные в п. 1. Ясно, что ГМ = 77М,
где М — мно?кество таких элементов и?Х, которые содержат
по крайней мере один вектор из М. Так как оператор Т имеет
ограниченный обратный (теорема 5.2), то достаточно доказать
замкнутость М в X.
Предположим, что ип ? М, ип -»- и ? X. Отсюда следует, что
dist(u7l — и, N)->0, т. е. существуют векторы zn?N такие, что
ип — и — гд->0. Так как мы можем считать, что мп?М и M + N
замкнуто согласно неравенству dim N < оо (лемма III.1.9),
то ugM + N и, следовательно, и?М. Лемма доказана.
Теорема 5.30. Пусть оператор Т ? $ (X) квазинильпотентен.
Если dim X = оо, то nul' T = def T = оо.
Доказательство. Ввиду теоремы 5.10 достаточно пока-
показать, что dimX<<oo, если подпространство щ(Т)s замкнут^
302 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
и mil T <с оо (или def T << оо). Второй случай можно свести
к первому, рассматривая Т* вместо Т (Т* квазинильпотентен
одновременно с Т). Итак, докажем, что dim X <; оо, если R (Т)
замкнуто и mil Т < оо. Поскольку R = R (Т) = ТХ замкнуто,
то последовательно применяя лемму 5.29, видим, что все под-
подпространства ТпХ, п — 1, 2, . . ., замкнуты.
Так как Х=> ГХп Г2Х=э . . ., то пересечения ТпХ с N =
= N (Т) образуют убывающую последовательность. Поскольку
эти пересечения суть подпространства конечномерного простран-
пространства N, то для достаточно больших ге, скажем для п^ тп, под-
подпространство N П ТпХ не зависит от п; обозначим его через No.
Положим Хо = Г^Х; так как Хо — замкнутое подпространство
в X и ТХоа Хо, то можно определить часть То оператора Т
в подпространстве Хо. Имеем N (То) = N [~| Хо = No. Далее,
Noc= 7™+nX = Г*Х0 = Г?Х0 для всех п = 1, 2, .... Таким
образом, N (Го) содержится во всех подпространствах R (Г").
Отсюда в свою очередь следует, что N (Г") cz R (Го) х) для
всех п. Докажем это по индукции. Для п = 1 наше утверждение
верно. Предположим, что оно доказано для п и пусть Г"+1и = 0;
требуется доказать, что и ? R (Го). Из Г"м = 0 следует включе-
включение Ту 6 Noc= R (f™+1), или, что то же, 7> = Г™+1 для неко-
некоторого v 6 Хо. Тогда и — Го^ 6 N G1") d R (Го), откуда следует,
что и 6 R (Го)-
Так как dim No < сю, то в Хо существует подпространство
Мо, дополнительное для No: Хо = No Ф Мо. Оператор То ото-
отображает Мо на R (То) = Ro взаимно однозначно. Пусть So —
обратное отображение из Ro на Мо; So ограничено, согласно утвер-
утверждению задачи III.5.21; (Отметим, что подпространство Ro =
= Г0Х0 = ГХ0 = Гп+1Х замкнуто.)
Пусть и0 ? No. Так как No с: Ro, то определен вектор и^ —
= ^о"о- Поскольку Т\щ = Тои0 = 0, то щ 6 N (Г„) cz Ro. Поэто-
Поэтому определен вектор и2 = ^owi- Так как Т*и2 = Г^! = 0, то
и2 6 N (Г„) d Ro и, следовательно, определен вектор us = S0u2.
Продолжая этот процесс, мы построим последовательность ип ?
6 Ro такую, что ип = Soun..i, п = 1, 2, ... . Таким образом,
мп = ?>„ и || мге || < || ^0 ||" [I и0 ||. С другой стороны, имеем
и0 = Т\ип = Тпип и поэтому || и0 || < И Тп || || So \\n || и0 ||. Так
как lim || Тп Ц1/™ = 0 по предположению, то для достаточно боль-
больших п будет || Тп || || ?о ||п < 1- Отсюда следует, что и0 = 0.
Так как вектор и0 ^ No произволен, то No = 0, Мо = Хо.
Отсюда вытекает, что Т~г существует и равен So. Поэтому
II и \\ ^ II So II II Таи || для любого и 6 Хо и, следовательно,
II и II < II 50 II" II ?> II- Так как || Ци \\ < || Тп || || и ||, то рас-
Последовательности подпространств N (Тп) и R (Г") рассматривались
и с различными задачами. См. Д анфс
к у х а р а [1], Кэньел и Шехтер [1].
в связи с различными задачами. См. Данфорд и Шварц Р], X у -
— [Г].
§ 5. ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОЛУФРЕДГОЛЬМОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 303
суждения, приведенные выше, приводят к заключению, что и = 0,
Хо = 0, т. е. ТтХ = 0.
Тогда Хс N (Тт) и, следовательно, X конечномерно, так как
dim N (Тт) ^ т dim N. Теорема доказана.
5. Другая форма теоремы устойчивости
Согласно теореме 5.17, степень вырождения и дефект полу-
фредгольмова оператора не увеличиваются при малых возмуще-
возмущениях. Трудно дать достаточно общие условия, при которых эти
характеристики сохраняются при малом возмущении. Можно
получить один результат в этом направлении, если ограничиться
возмущением вида кА, где А — фиксированный оператор.
Теорема 5.31. Предположим, что оператор Т ? % (X, Y)
полуфредгольмов и А есть Т-ограниченный оператор из X в Y.
Тогда Т + хА полуфредгольмов и функции nul (T + кА),
def (Т + к А) постоянны для достаточно малых \ % | > 0.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, ког-
когда Т, А 6 93 (X, Y); общий случай сводится к этому частному
случаю так же, как в доказательстве теоремы 5.22.
I. Предположим, что nul T << оо. Определим последователь-
последовательности Mn a XiRnc Y равенствами г)
М„:= X, М„ = А-1^,
п = 0, 1, 2, . . . ; E.29)
Ro = Y, Rn+i — ТШП1
здесь Л~1К обозначает прообраз Re Y относительно оператора
А. Нетрудно доказать по индукции следующие включения:
М0=з Mi=D М2=э . . ., Ro=> Rt=D R2=d . . . . E.30)
Все М„ и Rn суть замкнутые подпространства. Это также можно
доказать по индукции; если Rn замкнуто, то Мп замкнуто как
прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении,
a Rn+j = ТМп замкнуто по лемме 5.29.
Пусть X' = \~] М„ и Y' =P Rn; подпространства X' и Y'
п п
замкнуты. Обозначим через Т' сужение Г на X'. Если и' 6 X',
то и' ? М„ и Т'и' = Ти' g TMn = Rn+i для всех п и поэтому
R G") с= Y'. Покажем, что R G") = Y'.
Пусть v' ? Y'. Так как v' g Rn+i — ^М„ для каждого п, то
прообраз Т'1 {v'} содержит элемент из М„. Множество Г {г/}
является линейным многообразием вида и + N (Т). Так как
dim N (Т) = nul Т < оо, то пересечения Т'1 {ь>'} П Мп обра-
Если Y = X и А = 1, то М„ = Rn = R (Г").
304 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
зуют убывающую последовательность (непустых) конечномерных
неоднородных подпространств. Поэтому подпространства
Т'1 {v1} П М„ не зависят от п для достаточно больших п и, сле-
следовательно, совпадают с (непустым) пересечением Г {i/} (] X'.
Пусть и' принадлежит этому пересечению. Тогда и' ? X' и Т'и' ~
= Ти' = v. Итак, доказано, что R G") = Y'.
Можно рассматривать 7" как оператор из X' в Y': 7" ?
6 3? (X', Y'). Обозначим через Л' сужение Л на X'. Так как
и' ? Mn = А-11{п для всех п, если и' 6 X', то Лм' 6 Rn и поэтому
-4м' ? Y'. Таким образом, А' также можно рассматривать как
оператор из X' в Y': А' 6 98 (X', Y') х). Применяя теорему 5.17
к паре 7", хА', получим, что для достаточно малых | х |
def G" + хА') = def 7" = 0 и mil G" + «Л') = ind G" + я4') =
= ind 7" = nul 7", так как def 7" = 0. Таким образом, функции
mil G" -{- хЛ') и def G" + хЛ') постоянны для малых | х |.
С другой стороны, имеем
N (Т + кА) = N (Г + хЛ'), х Ф 0. E.31)
В самом деле, пусть и 6 N (Т + хЛ). Тогда 7"м = —хЛи, и по
индукции заключаем, что и 6 М„ для всех /г, т. е. и 6 X'.
Из равенства E.31) следует, что функция nul (Т -\-'кА) =
= nul (Т'-\-нА') постоянна для малых | х | > 0. Так как индекс
оператора Т + хА постоянен, то функция def (T + хА) также
постоянна для малых | х | > 0.
II. Случай def T <. оо можно свести к случаю I, рассматривая
операторы Т* и А*; см. теорему 5.13.
Задача 5.32. Пусть nul Т < оо. Для того чтобы в теореме 5.31 функ-
функции nul (Т -\- кА) и def (Г + хА) были постоянны в окрестности нуля, необ-
необходимо и достаточно, чтобы N (Т) а Мп для всех п 2).
6. Структура спектра замкпутого оператора
Пусть Т g Чё (X). Комплексное число ? принадлежит резоль-
резольвентному множеству Р (Т) оператора Т тогда и только тогда, когда
nul (Т — С) = def (Т — Q = 0. В связи с этим введем функции
v (Q = nul G* - 0, ц (Q = def (Г - ?),
E.32)
v' (С) = nul' (Г - 0, ц' (?) = def (Г - О
х) Это означает, что X' и Y' образуют инвариантную пару подпространств
для Т и А. Если, в частности, Y = X и А = 1, то Y' = X' и X' инвариантно
относительно Т, так как в этом случае Мге = Rn для всех п. Аналогичное,
но несколько более детальное разложение пространств X и Y рассмотрено
в статьях Т. К а т о [12] и Гамелина [1].
2) Если это условие не выполнено, то существует разложение про-
пространств X и Y на «инвариантные пары» подпространств; см. предыдущую
сноску.
i 5. ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОЛУФРЕДГОЛЬМОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 305
и классифицируем точки комплексной плоскости в соответствии
со значениями этих функций 1).
Пусть Д — множество всех комплексных чисел ? таких, что
оператор Т — ? полуфредгольмов 2). Обозначим через Г множе-
множество, дополнительное к Д. Из теоремы 5.17 следует, что А открыто
и Г замкнуто. Теорема 5.10 показывает, что
v'(S) =|i'(?) = «<*=> ?6 Г. . E.33)
В общем^случае множество А является объединением счетного
числа компонент (связных открытых множеств) Ап. По теореме 5.17
функция ind (Т — 0 = v (?) — (х (?) постоянна на каждом Дп.
Согласно теореме 5.31 (примененной к 4 = 1, и=?0 — ? и к
Г — ?0 вместо Г), v(Q и ц (Q постоянны на каждом Ап, за исклю-
исключением множества изолированных значений ?. Обозначая эти посто-
постоянные значения через vn, \xn, а исключительные точки в Ап через
%nj, имеем
v (?) = vn, (х (?) = (in, S 6 Д„, I ф Ки
E.34)
v (М = vn + rn>, ц (knj) = H-» + rnh 0<rn]< oo.
Если vn = (xre = 0, то An — подмножество в Р (Т), за исключе-
исключением точек 'knj, являющихся изолированными точками спектра
2 (Т); %nj суть изолированные собственные значения оператора Т
конечной (алгебраической) кратности, как это следует из теоре-
теоремы 5.28, а числа rnj суть их геометрические кратности. В общем
случае (когда по крайней мере одно из чисел vn, [in положительно)
числа Хп}- также являются собственными значениями оператора Т
и ведут себя подобно изолированным собственным значениям
(хотя таковыми и не являются, если уп > 0), в том смысле, что
их геометрические кратности на rnj больше, чем у других доста-
достаточно близких к ним собственных значений.
Назовем множество Г существенным спектром оператора Т
и обозначим его через 2е (Т) s). Это подмножество спектра 2 (Т),
2) Результаты этого параграфа имеют многочисленные применения в спек-
спектральной теории. По поводу применений к теории интегральных уравне-
уравнений Винера — Хопфа см. Гохберг и Крейн [1].
2) Множество Д называется полуфредгольмовой областью оператора Т.
Аналогично, можно определить фредгольмову область Д-р как подмножество
в Д, состоящее из всех ? таких, что v (Q < <х> и fj, (Q < <х>.
s) В литературе существуют значительные расхождения по поводу опре-
определения существенного спектра. Вольф [3] определяет существенный
спектр как «множество, дополнительное к фредгольмовой области AF» (см.
предыдущую сноску); это множество получается из 2е (Т) присоединением
тех компонент Дп, для которых одно из чисел vn, цп бесконечно. К этому
множеству можно присоединить все другие компоненты множества Д, не со-
содержащиеся в резольвентном множестве; при этом получим другое возмож-
возможное определение существенного спектра (см. Б р а у д е р [2]). См. также
Ш е х т е р [1].
20 т. като
306 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
состоящее из всех ? таких, что либо R (Т — ?) не замкнуто, либо
R (Т — 0 замкнуто, но v(Q = n(?) = oo. Простое описание
существенного спектра дано в предложении E.33).
Граница множества А и границы компонент Ап суть подмно-
подмножества в 2еG1). Если А состоит более чем из одной компоненты
(т. е. А не связно), то 2е (Т) несчетно. Другими словами, множе-
множество А связно и, следовательно, v (Q и (А (?) постоянны в А,
за исключением множества изолированных точек %j, при условии
что 2е (Т) не более чем счетно. Если Т ? SS (X), то почти всюду
в А имеем v(?) = n(?) = 0, так как в этом случае Р (Т) непусто
и, следовательно, совпадает с А. Таким образом, доказана
Теорема 5.33. Если существенный спектр 2е (Т) оператора Т
не более чем счетен, то его спектр Е (Т) не более чем счетен и каж-
каждая точка спектра, не принадлежащая 2е (Т), является изолиро-
изолированным собственным значением конечной (алгебраической) крат-
кратности *).
Замечание 5.34. Компактный оператор Т 6 38 (X) удовле-
удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, причем Ее (Т) = {0}.
если dim X = оо.
Теорема 5.35. Существенный спектр сохраняется при относи-
относительно компактных возмущениях. Точнее, пусть Т ? CS (X) и А
Т-компактен. Тогда операторы Т и Т + А имеют одинаковый
существенный спектр 2).
Доказательство. Достаточно заметить, что S = Т -\-
+ А 6 "^ (X) и оператор А ^-компактен по теореме 1.11. В силу
теоремы 5.26 Т — ? полуфредгольмов тогда и только тогда, когда
S — ? полуфредгольмов.
Пример 5.36 s). В условиях примера 5.24 имеем v (?) = 1, (х (?) = 0
для | ? | < * и v (?) = ц (Б) = 0 для | ? | > 1, причем R (Т) замкнуто
для 1 ? | ф 1. Поэтому Д распадается на две компоненты: внутренность
и внешность единичной окружности; сама единичная окружность | ? | = 1
образует существенный спектр. Аналогичные результаты имеют место в ус-
условиях примера 5.25. . ¦
г) Отсюда следует, что 2е (Т) непуст, если Т ? ?$ (X) и dim X = оо.
2) Теорема 5.35 остается в силе и для второго определения 2е (Г) (как
множества, дополнительного к Др), так как Т — ? фредгольмов тогда и
только тогда, когда Т + А — ? фредгольмов. Эта теорема была доказана
В е й л е м [1] для самосопряженных операторов; см. также X а р т -
м а н 11].
3) По поводу описания существенных спектров дифференциальных опе-
операторов см. Бальслев и Гамелин [1], Крейт и Вольф [1],
Рота [1], Вольф [3], [4].
§ 6. ВЫРОЖДЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ • 307
Задача 5.37. Граничная точка множества Р (Т) принадлежит 2е (Т),
вела она не является изолированной точкой спектра.
Задача 5.38. Два оператора Т, S ? % (X) имеют одинаковый суще-
существенный спектр, если существует число ? 6 Р (Г)ПР (S) такое, что опера-
оператор (Т — t,)-1 — (S ~ Q компактен 1).
§ 6. Вырожденные возмущения
1. Определители Вайнштейна — Ароншайна
В случае вырожденных (или, в общем случае, относительно
вырожденных) возмущений существуют явные формулы, выве-
выведенные Вайнштейном и Ароншайном2), посредством которых
изменение собственных значений связано с нулями и полюсами
некоторой мероморфной функции, имеющей вид детерминанта.
Эти формулы представляют собой количественное уточнение неко-
некоторых теорем устойчивости. Перейдем к выводу формул Вайн-
Вайнштейна — Ароншайна.
Здесь мы рассматриваем задачи двух типов. В первой мы имеем
дело с оператором вида Т -\- А, где Т — невозмущенный опе-
оператор, а А есть Т-вырожденное возмущение. Во второй рассматри-
рассматривается оператор вида РТР, где Т — невозмущенный оператор
и Р — проектор с конечным дефектом. Как мы покажем ниже,,
вторую задачу можно свести к первой.
Пусть Т — замкнутый оператор в банаховом пространстве-
X, а А есть Г-вырожденный оператор в X (замечание 1.13). Послед-
Последнее означает, что А Г-ограничен и R (А) конечномерно. Для любо-
любого ? ? Р (Т) оператор А (Т — О^^? (X) вырожден и определена,
функция (см. п. III.4.3)
со (Q = со (?; Т, А) = det A + А (Т - Q) =
= det [(Т + А - ?) (Т - С)!. F.1)-
Функция со (?; Т, А) называется W-A-детерминантом (первого
рода), построенным по Т и А.
Если А абсолютно вырожден, то Аи можно представить в виде
(см. (III.4.6))
m
F.2)
*) По теореме 5.35 операторы (Т — Q'1 и (S — Q-1 имеют одинаковые
существенные спектры. Но 2е ((Г — ^)-1) получается из 2е (Г) в результате
преобразования X -> (к — Q'1. По поводу применения этого результата
к дифференциальным операторам см. Бирман [5].
2) См. Вайнштейн [1], [2], [3], Ароншайн [1], [2], А р о н -
тайн и Вайнштейн [1], [2]. В связи с вырожденными возмущения-
возмущениями см. также Фогель [2], К л е й н е к е [1], [2], Л и ф ш и ц [1], [2], [3],
Вольф 12].
20*
308 . Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Тогда (R @ = (Т - Q-1)
А (Т - 1)-^и = 2 (Д @ и, е,) х3 = 2 (и, Д (?)* в,) ж, F.3)
и (см. (Ш.4.13))
со Ц- Т, А) = det (8jh + (xh R (?)• 6fc)) =
= det (8jh + (R(Q x}, eh)). F.4)
Если. А относительно вырожден, то F.2) нужно заменить
выражением вида
m
F.5)
где to — фиксированная точка из Р (Т). Это равенство полу-
получается, если F.2) применить к оператору А (Т — ^о)"- Из F.5)
следует, что
<о (?; Г, А) = det (бм + ((Т - ?0) (Г - О ^
... = det (8Jh + (Xj, fh) + (l- t0) ((T - t) xh /0). F.6)
Итак, со (?; 71, 4) — мероморфная функция в любой области
комплексной плоскости, состоящей из регулярных точек и изо-
изолированных собственных значений оператора Т конечной (алгеб-
(алгебраической) кратности.
W-A-детперминант второго рода строится по оператору Т ?
€ ?? (X) и проектору Р в X, для которого N = N (Р) = A — Р) X
конечномерно и содержится в D (Т). Пусть {xt, . . ., xm] —
базис в N и {ej, . . ., em) ? N* = A — Р*) X* — биортогональ-
ный к {Xj} набор
(xj, eh) = 6jh, ], к = 1, . . ., m. F.7)
W-A-детермияант в этой ситуации определяется формулой
со Ш = сор^; Т) = det ((Т - Q-1 xJ7 ek). F.8)
Функция Юр (t; У) определена с помощью базиса в N, однако
от выбора базиса не зависит. Мы докажем это, установив, что
сор (?; Т) с точностью до скалярного множителя совпадает
с W-A-детерминантом первого рода, построенным по Т ж А, где
А = РТР - Т = —РГ A - Р) - A - Р) Г. F.9)
Оператор ^4 Г-вырожден, так как A — Р) Т является Г-огра-
ниченнъш оператором, РТ A — Р) € i? (X) (см. задачу III.5.22)
и эти операторы имеют конечный^ранг.
Соотношение, которое нам предстоит доказать, таково:
' -' ' ' " "(-S) соР (?; Г) = со (?; Г, Л). , F.*0)
§ 6. ВЫРОЖДЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 309
Доказательство начнем с тождества
РТР - I = A + 1~1РТ A - Р)) (РТ - ?), ? :# 0. ' F.11)
Так как Г + -4 = РТР, то из F.1) и F.11) следует, что
со (?; Г, Л) = det ((РТР - Q (Т - ?)-*) =
= det (A + ?-^Г A - Р)) (РТ -Q(T- Q) -
- det A + t-ipT (I - Р)) det ((РТ - ?) (T - О'1) F.12)
(см. (III.4.14) и формулу F.13) ниже). Первый детерминант в'пра-
вой части в F.12) равен единице, так как оператор РТ A — Р)
нильпотентен (его квадрат равен нулю) (см. задачу III.4.19).
Для того чтобы вычислить второй детерминант, заметим, что
(РТ - ?) (Т - ?)-* = l — (i-P)T(T- I)'1, F.13)
где второй член справа вырожден и A — Р) Т (Т — Q и =
= 2 (Г (Г — t,)'1 и, в]) X). Поэтому детерминант оператора F.13)
равен (в силу соотношений биортогональности F.7) и равенства
1 - Р = 2 (, е,) xs)
det (б№ -(Т (Т - ?)-* ж,, ek)) = det (-? ((Г - Q-* Х], eh)) =
= (-0- det (((Г - Q-^xj, ek)) = (-0m coP (|; Г).
Соотношение F.10) доказано.
Мы предположили BHDie, что ? Ф 0. Ио так как функции
со (?; Г, Л) и ©р (?; Г) мероморфны, то F.10) выполняется для
? = 0, если со и сор определены в нуле.
2. W-A-формулы
Для того чтобы выписать W-A-формулы, нам понадобятся
некоторые вспомогательные функции. Пусть ф (?) — мероморфная
функция в области А комплексной плоскости. Введем функцию
кратности v {?,; ф) для функции ф следующим образом:
{к, если ?, — нуль функции ф порядка к.
— к, если ?—-полюс функции ф порядка к, F.14)
0 в остальных случаях.
Таким образом, v (?; <f>) принимает значения 0, ±1, ±2, . . .
или +оо; имеет место альтернатива: либо v (С; Ф) конечна для
всех ^ 6 А, либо v (?; ф) = +°° (последний случай эквивалентен
тождеству ф ^ 0).
310 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Введем также функцию кратности v (?; Т) для оператора
Т е'ё (X):
Г 0, если С€Р(П.
v(?; T)= I dimP, если ? —изолированная точка в 2 (Т), F.15)
t -|- оо в остальных случаях,
здесь Р — проектор, соответствующий точке С 6 2 (Г) (см.
п. III.6.5). Таким образом, функция v (С; Т) определена для всех
комплексных чисел и принимает значения 0, 1, 2, ... или + оо.
Задача 6.1. v(?, Т) > nul (Г — Q.
Сформулируем теперь основную теорему этого параграфа, до-
доказательство которой будет приведено в п. 3.
Теорема 6.2. Пусть Т ? $ (X), А есть 7'-вырожденный опера-
оператор г) в X и со (С) = со (С; Т, А) — соответствующий W-A-de-
терминант первого рода. Если область А состоит из регулярных
точек и изолированных собственных значений оператора Т конеч-
конечной кратности, то со (С) мероморфна в А и для S = Т -\- А
v (С; S) = v (?; Т) + v (С; со), ? 6 А- F.16)
Соотношение F.16) назовем первой УУ-А-формулой2). В связи
с этой формулой сделаем несколько замечаний. Так как v (?; Т)
конечна для всех ? ? Д по предположению, a v (?; со) либо конеч-
конечна для всех ? ? А, либо тождественно равна +оо, то имеем аль-
альтернативу: либо v (?; S) конечна для всех ? ? А, либо v (?; 5) =
= +°°- В первом случае А, за исключением не более чем счетного
числа собственных значений конечной кратности, содержится
в Р (S); во втором случае Ас 2 (S). Ниже на примере мы пока-
покажем, что вторая возможность осуществляется. Будет дан крите-
критерий того, что со ф. 0.
Рассмотрим первый случай указанной альтернативы. Из F.16)
следует, что каждый нуль К порядка к функции со является соб-
собственным значением оператора S, причем его кратность на к
превосходит кратность К как собственного значения оператора Т
(если число "к не является собственным значением для Т, то его
кратность полагается равной нулю). Аналогично, в каждом
полюсе X порядка к функции со кратность % уменьшается на к.
Число К служит полюсом порядка к для со лишь в том случае,
2) По поводу обобщения этой теоремы на более общие возмущения
(но только в гильбертовом пространстве) см. К у р ода [5].
2) Применение W-A-формул к вопросам приближенного вычисления
собственных значений см. в статьях Б а з л и [1], Баяли и Фокс [1],
Гулд [1], Вайнштейн [1], [21, [3].
§ 6. ВЫРОЖДЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 311
когда X — собственное значение оператора Т кратности ~^к.
Таким образом, изменение собственных значений оператора Т
при возмущении А полностью определяется W-A-детерминантом
<о(О
Теорема 6.3. Пусть Т ? ^ (X) и Р — проектор в X с конеч-
конечным дефектом. Если со (?) = сор (?; Т) — соответствующий
W-A-детерминант второго рода, то соотношение F.16) спра-
справедливо для S = РТР, за исключением точки ? = 0.
В этом случае соотношение F.16) назовем второй W-A-форму-
лой. Так как соР (?; Т) отличается лишь множителем (—Q™
от функции со (?; Г, А), где Л = Р7\Р — Т (см. F.10)), то тео-
теорема 6.3 является прямым следствием предыдущей теоремы.
3, Доказательство]|\?-А-формул
Так как теорема 6.3 следует из теоремы 6.2, то достаточно
доказать последнюю *). Рассмотрим по отдельности два случая:
0) = 0и со щк 0.
Допустим сначала, что^со (?)= 0. Согласно F.1), отсюда сле-
следует, что оператор (Т + А — Q (Т — Q имеет нулевое соб-
собственное значение для всех ? ? А. Поэтому t, является собствен-
собственным значением оператора S = Т -\- А для всех ? ? А П Р G1)-
По определению v отсюда следует, что v (?, S) = +оо. Так как
в рассматриваемом случае v (?, со) == +°о, то F.16) доказано.
Допустим теперь, что со (Q =? 0. Покажем, что множество А,
за исключением не более чем счетного множества точек, содер-
содержится в Р (S) и имеет место следующее тождество 2):
_*5^.<B(S) = tr(B'-S)-l-E-0-1). • \ F-17)
Требуемое соотношение F.16) получается интегрированием тож-
тождества F.17) вдоль|окружности* Г малого радиуса, охватывающей
заданную точку X ? А. Напомним, что
далее, собственный проектор Р для оператора Т, соответствующий
собственному значению X, допускает представление
T-®** = P FЛ8)
*) Приведенное здесь доказательство принадлежит К у р о д е [5].
По поводу других доказательств см. Ароншайн [1], Г у л д [1]].
а) Это тождество доказано Крейном [6] и Куродой [5].
3) См. Кнопп [1J, стр. 131. ; -
312 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
и v (?; Т) = dim P = tr P. Отметим также, что оператор
(Т _ Q-1 _ E - Б)-* = E - Б)-* Л (Г - О вырожден.
Для доказательства тождества F.17) рассмотрим число ? ?
€Р(Л такое, что со (Р # 0. Имеем (см. A.5.60)) *)
со @ = del A+5 @) = exp (tr log A+5 (?))), F.19)
где 5 (^) = А (Г — Р. Так как со (Р=/=0, то —1 не является
собственным значением для В (р, и поэтому логарифмическую
функцию в F.19) можно определить равенством
log A + Д (9) = ^ { log A+ *)(*-Я (?))-*&, F.20)
с
где С — замкнутый контур, охватывающий все собственные зна-
значения вырожденного оператора В (Р и не охватывающий точку —1
(см. A.5.57)).
Из F.19) и F.20) следует, что
с
~ jtr [log A + 2) B- В (О)"* В'
с
(см. (I.
(см. A.5.53)) = tr[(l+ ?(?))-* Я'(Ql- ; ¦¦'• F.21)
Здесь мы воспользовались формулой tr АВ = tr BA, совер-
совершили интегрирование по частям и поменяли местами символы
интегрирования и следа. После подстановки В (?) = А (Т — Q'1
и В' (Q = А (Г — Q-2 последнее выражение в F.21) прини-
принимает вид
tr [(Т - О A + В (О)'1 Л (Т - ?)-Ч -
= tr [(Т + А - ?)-» Л (Г - Q] = tr [G1 - О-1 - (S - Р].
Доказательство тождества F.17) закончено. Отметим, что
(S - р-1 = (Т - Р A + В (Р)-1 е SB (X) и поэтому % 6 Р E).
х) Результаты гл. I применимы к со (Q, так как ошратор 4 (Г
вырожден; см. п. III.4.3.
§ 6. ВЫРОЖДЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 313
4. Условия, исключающие сингулярный случай
Как отмечалось выше, вообще говоря, возможно, что в F.16)
к (?) = 0 и поэтому v(S; S) е= +оо (это эквивалентно включе-
включению Ас 2 (S)).
Пример 6.4. Рассмотрим операторы из примера 3.8. Изменим обозначе-
обозначения следующим образом: Т -*• S, А -*• —А, Г + Л ->- ? — А = Т. Откры-
Открытый единичный круг Д принадлежит Р (Т) и поэтому v (?; Г) = 0 в* Д.^Но
так как Д сг 2 E), то v (?; 5") = оо в Д. В силу F.16) v (?; со) = оо и,
следовательно, со = 0. Этот результат можно получить иначе. Ранг опера-
оператора А равен 1, поэтому в F.2) m = 1 и в качестве хь е, в F.2) можно взять
векторы — ж_!, е0 (е0 — это вектор х0, рассматриваемый как элемент из X*).
Поэтому со (?) = ш (?; Г, 4) = 1 — ((Т — Q^s-i, e0). Как нетрудно про-
оо
верить, (Т — Е)*-* = 2 ?Ц' Для Е ё д и> следовательно, ш (Е) = 0 в Д.
j=o
Теорема 6.5. Для того чтобы функция со (?) б теореме 6.2
ке равнялась тождественно нулю в области А, необходимо и доста-
достаточно, чтобы по крайней мере одна точка ? ыз А принадлежала
РE).
Это предложение следует из теоремы 6.2 и последующих
замечаний.
Приведем несколько достаточных условий того, что со (?) Ф 0.
а) со (?) ф 0, если || Л (Г — С) II < 1 для некоторого С € А.
В этом случае ? € Р E1): так как E — J;) можно построить
с помощью ряда Неймана, как в (П. 1.13);
б) а (?) ф 0, если Г* существует и плотно определен в X*
и существует последовательность ?п ? А такая, что | ?п | -»- оо
и { I tn I I! {T — ^п.) 11} ограничена. Для доказательства доста-
достаточно показать, согласно предложению а), что || А (Т — tn)~x ||->
—*¦ 0. В соответствии с формулой F.5) имеем
А (Т - U « = 2 ((Г - So) (^ ~ С») и, f}) xj =
= 2 (в, (Г* - So) (Т* - L)-1 fj) xh
и поэтому
\\А(Т- U-1 II < 2 || (Г* - So) (У* - Q-yfj II II ^ II. F-22)
Последовательность операторов В% = (Т* — ?0) (J* — Сп)) дей-
действующих в X*, равномерно ограничена, так как операторы Вп =
= 1 + (Sn — So) {T — Сп) равномерно ограничены по пред-
предположению. Далее, ?*/ = (Г* — Sn) (Т* — So) /-»¦ 0, если
314 Гл. IV. ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
/ б D (Г*), так как || (Г* - Q II = I! {Т - U~l II -»- 0. Из
леммы III.3.5 следует, что В^ сильно сходится к нулю, и поэтому
правая часть в F.22) стремится к нулю при п ~*- <х>.
в) со (Q ф 0, если Т ? J? (X) и существует ^ 6 Д такое, что
I ? I ^ II ^ II- В этом случае область А можно расширить таким
образом, что она будет содержать внешность окружности | ? | =
= ]| Т ||. Нетрудно видеть, что в расширенной области А' выпол-
выполняются условия предложения б). Поэтому со (?) ф 0 в А' и, сле-
следовательно, в А.
Замечание 6.6. Условия предложения б) выполнены, если
X — гильбертово пространство и Т -г- самосопряженный опе-
оператор (см. гл. V).
ГЛАВА V
ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Хотя гильбертово пространство является частным случаем банахова,
оно заслуживает отдельного рассмотрения ввиду важности его для прило-
приложений. В гильбертовых пространствах остаются в силе основные результаты,
полученные в предыдущих главах, и в то же время возникают новые про-
проблемы.
Отличительной чертой гильбертова пространства является существо-
существование в нем скалярного произведения и связанного с ним понятия ортого-
ортогональности. Для линейных операторов это приводит к понятиям симметрич-
симметричного, самосопряженного и нормального операторов. В гильбертовом про-
пространстве имеется также более широкий класс аккретивных (или диссипа-
тивных) операторов, важная роль которых в приложении к дифференциаль-
дифференциальным операторам общепризнана. В теории возмущений в связи с этим возни-
возникают такие проблемы, как возмущение ортонормированной системы векто-
векторов, возмущение самосопряженных операторов (с приложениями к операто-
операторам Шрёдингера и Дирака) и др., которые будут рассмотрены в этой главе.
Эта глава снова является отчасти подготовительной. Она начинается
с элементарного изложения тех специфических результатов теории операто-
операторов в гильбертовых пространствах, которые не охватываются общей теорией
банаховых пространств. Особое внимание уделяется аккретивным и секто-
риальным операторам ввиду дальнейших их приложений к аналитической
и асимптотической теориям возмущений.
§ 1. Гильбертово пространство
1. Основные понятия
Понятие гильбертова пространства — это обобщение понятия
конечномерного гильбертова пространства, рассмотренного в § I.61).
Гильбертово пространство Н есть банахово пространство,
норма в котором введена с помощью скалярного произведения
(и, v), определенного для всех пар м, v векторов и удовлетворя-
удовлетворяющего условиям, перечисленным в п. 1.6.1. Норма || и || задается
с помощью формулы A.6.3). Пространство Н предполагается
полным относительно этой нормы2):
1) Общая теория гильбертовых пространств изложена в книгах А х и е -
зера и Глазмана [1J, Данфорда и Шварца Щ, Ц2]], Хал-
м о ш a [I], Секефальви-Надя |lj, Рисса и Секефаль-
в и - Н а д я [1]], Стоуна [1], И о с и д ы [1], 3 а а н е н a [1J.
а) Векторное пространство Н со скалярным произведением, которое
не обязательно полно, называется предгильбертовым пространством. Такое
пространство может быть пополнено до гильбертова пространства Н. Про-
316 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Большинство результатов § 1.6 может быть перенесено на гиль-
гильбертово пространство Н, и мы будем использовать их без особых
пояснений в тех случаях, когда они очевидны. Однако имеются
и такие результаты, обобщение которых требует некоторых моди-
модификаций или по крайней мере пояснений. Это будет сделано в этом
и следующем пунктах. Здесь следует отметить, что неравенство
Шварца A.6.4) остается справедливым и что (и, v), как и раньше,
непрерывно по совокупности переменных.
te-
tell рвиер 1.1. Пространство I2 является гильбертовым пространством
(см. пример III.1.1), если скалярное произведение определено по формуле
(и, v)=2Ia%. " = (ёй)> v = {T\h)- (!¦!)
ft
Пространство L2 (E) также является гильбертовым (см. пример III.1.3),
если скалярное произведение определено так:
. \(и, v)= \ u(x)v(x)dx. ¦ A.2)
Если Н — гильбертово пространство, то сопряженное про-
пространство Н* может быть отождествлено с Н. В частности, Н** =
= Н* = Н и Н рефлексивно. Доказательство этого факта, данное
в п. 1.6.2, существенно опирается на конечномерность и не может
быть использовано в общем случае.
Мы начнем доказательство в общем случае с теоремы об орто-
ортогональной проекции: каждое замкнутое линейное подпростран-
подпространство М в Н имеет ортогональную проекцию. Другими словами,
Н можно представить в виде . ,
Н = МФМ1, * " A.3)
где MJ — ортогональное дополнение к М>(т. е. множество всех
и 6 Н таких, что (и, v) = 0 для всех v ?*М). Заметим, что М1
также является замкнутым подпространством в Н; это — непо-
непосредственное следствие непрерывности скалярного произведения.
Для любого и ? Н положим d = dist (и, М) и возьмем после-
последовательность ип ? М такую, что || ип — и || -»- d. Имеем в силу
A.6.7)
т (ип -y ит) — и
Т{ип — ит)
A.4)
странство Н определяется как множество классов эквивалентности последо-
последовательностей Коши {ип} (см. примечание 1 на стр. 165). Скалярное произве-
произведение двух элементов из Н, представленных последовательностями Коши
{ип} и {»„}, определяется как lim (un, vn).
;¦ .' • § 1. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 317
При п, т -*~ оо правая часть стремится к d2, тогда как первый
член в левой части не меньше чем d2, ибо (ип + ит)/2 ? М. Поэто-
Поэтому !! ип — мт||-*-0 и существует и' ?Н такое, что ип -*- и' (II пол-
полно). Так как М замкнуто, то и' ? М. Кроме того, имеем \\и — и' ||=
= lim || и — ип || = d.
Мы покажем теперь, что и" = и — и' ? М"Ч Для этого доста-
достаточно доказать, что (и", х) = О для любого г f M с || х || = 1.
Но это следует из того, что
d2 = || и" ||2 = || и" - (и", х) х И2 + | {и", х) |2 > d2 + | (и*, *) |2
(мы положили и = и", v = х в формуле A.6.5)).
Возможность разложения м = и' + и" для каждого и ? Н
доказывает справедливость A.3). Единственность этого разложе-
разложения доказывается просто. Как и в конечномерном случае, из A.3)
следует, что
М1-1 = М. " A.5)
Таким образом, A.3) определяет ортогональный проектор Р = Рм
на М с помощью соотношения Ри = и', как и ранее.
Докажем теперь возможность отождествления Н* с Н. Пусть
/ ? Н*; форма / — ограниченная полулинейная форма на Н.
Пусть N = N (/) есть нуль-пространство /; оно является зам-
замкнутым линейным подпространством в Н. Если / ф 0, то N Ф Н,
так что N-1- Ф 0. Пусть и ? N , v Ф 0. Можно считать, что
/ М = 1. Для любого w ? Н имеем м/ = м? — / [w] v ? N, так как
/ [w'\ = 0. Следовательно, 0 = (у, и?') = (у, w) — f [w] || и ||2, или
/ [Ы = (и, w), где м = и/1| и ||2. Таким образом, каждое f ? Н*
может быть отождествлено с некоторым и ? Н (теорема Рисса).
Остальные рассуждения, необходимые для завершения доказа-
доказательства, остаются теми же, что и в п. 1.6.2.
Как и в случае банаховых пространств, в И можно определить
кроме обычной (сильной) сходимости понятие слабой сходимости
(см. п. III.1.6).
В силу отождествления Н* = Н сходимость ип —*- и эквива-
w
S
U.
лентна сходимости (ип, v)->~ (и, v) для каждого v ? Н.
Лемма 1.2. Если ип -+ и и lim sup || ип || ^ || и ||, то ип
Доказательство. Имеем \\ ип — и ||2 = || ип ||2 —-
- 2 Re (ип, и) + || и ||2. . Но (ип, и) ->- (и, и) = \\ и ||2 и
lim sup || ип ||2 < || и |[2. Следовательно, lim || ип — и || = 0.
Лемма 1.3. Пространство Н слабо полно: если {ип} слабо схо-
сходится, то ип ->- и для некоторого и g H.
Доказательство. Так как {ип} ограничена (см.
л. III. 1.6), то lim (м„, v) = f [v] определяет ограниченную полу-
полулинейную форму /.
318 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Следовательно, / [v] — (и, v) для некоторого в ^ Н и вв ->¦ в.
Лемма 1.4. Пространство Н секвенциально слабо компактно.
Другими словами, если ип ? Н — ограниченная последователь-
последовательность, то найдется такая ее подпоследовательность {vn}, что
vn -у v для некоторого v ? Н.
W
Доказательство. Поскольку | (ип, щ) | < || ип || |] ui \\
ограничено по п, то найдется такая подпоследовательность {и*}
последовательности {ип}, что (и*» щ) сходится. Так как (м*, и2)
ограничено по п, то найдется такая подпоследовательность {и\\
последовательности {и\}, что (и2п, и2) сходится. Продолжая этот
процесс, мы получим последовательность подпоследовательностей
{и™}, обладающих тем свойством, что {и™+1}п==1:2, есть
подпоследовательность последовательности {u™}n=ii 2, ... и
lim (м™, мт) существует. Тогда для диагональной последователь-
п
ности {vn}, vn = u™, lim (yn, um) существует для всех т. Так как
п
|| уп || ограничено по п, отсюда следует, что lim (vn, и) существует
для любого и из замкнутой линейной оболочки М множества
{ип} (см. лемму III.1.31).
Кроме того, lim (vn, и) существует для любого и ?М , так
как (vn, и) = 0. Таким образом, {vn} слабо сходится и, следова-
следовательно, vn -* v для некоторого v (лемма 1.3).
w
Полуторалинейная форма t [и, и'] на Н X Н', где Н, Н' —
гильбертовы пространства, может быть определена так же, как
в п. 1.6.2, и мы снова имеем формулу A.6.11). Форма t назы-
называется ограниченной, если существует константа М такая, чта
| t [и, и'} |< М || и || || и \\. A.6)
Наименьшую из таких констант М мы обозначим через || t ||-
Ограниченная полуторалинейная форма t [и, и'] непрерывна по
совокупности переменных и, и'; доказательство такое же, как
и в случае скалярного произведения. Справедливо и обратное
утверждение: полуторалинейная форма t[u, и'] ограничена,
если она непрерывна по и при каждом фиксированном и' и непре-
непрерывна по и' при каждом фиксированном и. Это следствие принципа
равномерной ограниченности (п. II 1.1.5).
Задача 1.5. Доказать последнее утверждение.
Задача 1.6. Пусть {tn} — последовательность ограниченных полуто-
ралинейных форм на Н X Н', и пусть {tn [и, и']} ограничена по п для каж-
каждого фиксированного и 6 Н и и' 6 Н'. Тогда последовательность {|| tn \\}
ограничена. [Указание: еще раз применить принцип равномерной ограничен-
ограниченности.]
§ 1. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 319
2. Полные ортонормированные системы
В общем банаховом пространстве мы не вводили понятия
базиса. В гильбертовом пространстве роль базиса играет полная
ортонормированная система.
Система {х^} векторов из Н, где индекс [х пробегает некоторое
множество, называется ортонормированной, если
Для любого и ? Н числа
1» = (и, Ч) '¦" A-8)
называются коэффициентами вектора и относительно системы
{х^}. Так как любая конечная подсистема {х^, . . ., х^п) из
{хц} также ортонормирована, то из A.6.15) следует, что
п
2 | 1ць I2 ^ II и II2- Поскольку это верно при любом выборе
Щ> • • ч Рп) мы получаем неравенство Бесселя
2l^!2 = 2lK^)l2<IM!2- v. A-9)
и и
Из неравенства A.9) следует, в частности, что каждое и ? Н
имеет не более чем счетное множество отличных от нуля коэффи-
коэффициентов |р,.
Из A.9) следует также существование такого и' ? Н, что
и'= 2 ЕЛ = 5! (". *V) *V AЛ0>
ц М-
Действительно, правая часть A.10) содержит не более чем счетное
множество отличных от нуля! коэффициентов. Обозначим их
в* произвольном порядке через \^ , к = 1, 2, . . . . Тогда и'п =
п
= 2 1и.,^ц, образуют последовательность Коши, ибо
п
II "u — «m 11= 2 |?ц.,г|2->-0' т,п^ ос,
ft=m+1
в силу неравенства A.9). Легко видеть, что предел и' последо-
последовательности {и'п} не зависит от способа нумерации последова-
последовательности {fxft}. Он равен ортогональной проекции Ри вектора и
на замкнутую линейную оболочку М системы {х1Ь}, ибо ясно, что
и' ? М, тогда как и" = и — и' ? М1-, поскольку (и", х^) =
= (и — и', х^) = |ц — B ?v*v> ?ц) = 0 для каждого fx. В ча-
частности,
320 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Ортонормированная система называется полной, если М = Н.
Необходимым и достаточным условием полноты является равен-
равенство и" = 0 для всех м G Н; это условие эквивалентно равенству
Парсеваля
и м-
для каждого и ? Н. В этом случае мы имеем также
это разложение и по полной ортонормированной системе {х^}.
Если Н сепарабельно (см. п. III.1.2), то любая ортонормиро-
ортонормированная система {х^} в Н состоит из не более чем счетного множе-
множества элементов. Чтобы"доказать это, обозначим через {ип} счетное
всюду плотное в^Н подмножество. Для каждого |х найдется такое
ип, что || агц — ип || < 1/2. Так как || а?ц — xv || = j^2 при у, =/= v,
то индекс п различен для различных \х. Таким образом, между
системой {х^} и подмножеством множества натуральных чисел
{п} можно установить взаимно однозначное соответствие.
Обратно, Н сепарабельно, если в нем существует полная орто-
ортонормированная система {хп}, состоящая из счетного множества
элементов, ибо множество всех (конечных) линейных комбинаций
хп с рациональными коэффициентами счетно и плотно в Н.
Если Н сепарабельно, то полная ортонормированная система
может быть построена с помощью процесса ортогонализации
Шмидта (см. п. 1.6.3) из любой плотной в Н последовательности.
Подобное построение можно использовать даже и в несепарабель-
ном пространстве с привлечением аксиомы выбора, но мы не будем
вдаваться в подробности, поскольку в основном будем иметь дело
с сепарабельными пространствами.
Задача 1.7. Ортонормированная система {хп) полна тогда и только
тогда, когда не существует ненулевого вектора, ортогонального всем хп.
Задача 1.8. Канонический базис в I2, состоящий из векторов хп =
= Fnh), является полной ортонормированной системой.
Задача 1.9. Множество тригонометрических функций Bя) ' е
±1 ±2 б
-1/2 inx
п —
д рр фуц ()
=0, ±1, ±2, ..., образует полную ортонормированную систему в
L2 (а, а-\- 2я), где а — любое вещественное чиско х).
Задача 1.10. Пусть фй (ж), г|O- (у) — две последовательности функций
на Е и F, образующие полные ортонормированные системы в L2 (Е) и L2 (F)
соответственно. Тогда функции Xkj (ж> У) — 4>h (x) Ч1} (У) образуют полную
ортонормированную систему в L2 (Е X F) — пространстве всех измеримых
функций w (х, у), определенных при х ? Б, у ? F и таких, что || w ||2 =
*) См. любой учебник по рядам Фурье или гильбертовым пространствам;
например, Стоун [1].
§ 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 321
ибо
= \ | w (х, у) f8 dx dy < 00. Ортонормированность %hj очевидна,
EXF
(%ft.p %и) ~ (фА> Фг) (^j? ^i) = &hfiji- Чтобы доказать полноту, достаточно
показать, что из (и>, %h-) = 0 для всех к, / следует w = 0 (задача 1.7). Поло-
Положим
«'ft (У) = | w (ж, У) фйИ йж; A.14)
Ё
тогда ц>? ? L2 (F), так как [ н>д (г/) |2 ^ \ | г» (х, у) |2 йг в силу неравенства
Е
Е
Шварца и
F ExF
Это позволяет написать (w, %k-) = (w, (f^j) = (щ< tyj)- Таким образом,
из того, что (w, Xkj) = 0 Для всех к и jf, следует, что (w^, i|)j) = 0, и пото-
потому в силу полноты {г|)_,-} w^ = 0. С другой стороны, w^ (у) определено для
почти всех у ? F и его значения должны быть равны нулю при каждом к
для почти всех у. В силу полноты {срд} из A.14) вытекает теперь, что w (x, у) =
= 0 для почти всех х и у. Таким образом, w = 0 как элемент из L2 (E XF).
§ 2. Ограниченные операторы
в гильбертовых пространствах
1. Ограниченные операторы и их сопряженные
Оператор (линейный) Т из гильбертова пространства Н в дру-
другое гильбертово пространство Н' определяется так же, как в бана-
банаховых пространствах. Однако имеются некоторые специфические
свойства, присущие операторам в гильбертовых пространствах
(или между ними). Мы начнем с ограниченных операторов Т ?
б Я (Н, Н').
Отметим, прежде всего, что
Г** = Т; B.1)
это равенство справедливо, ибо Н рефлексивно (см. п. III.3.3).
Оператор Т ? Sj (H, Н') тесно связан с ограниченной полуто-
полутора линейной формой t на Н X Н':
t [и, и'} = (Ти, и') = (и, Т*и). B.2)
Отметим, что У* ? % (Н, Н'), ибо Н* = И, Н'* = Н\ Фор-
Формула B.2) устанавливает взаимно однозначное соответствие между
множеством всех ограниченных полуторалинейных форм t на
Н X Н', множеством всех Т ? SS (Н, Н') и множеством всех
Т* ? $8 (Н', Н). Это можно доказать так же, как в конечномерном
случае (см. п. 1.6.4). Очевидно, что (Ти, и') — ограниченная
21 Т. Като
322 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
форма, ибо
\(Ти, и') К || Ги || || и' \\<\\Т || ||и || || И' ||.
Обратно, ограниченная полуторалинейная форма t [и, и'] может
быть записана в виде (i/, и'), v' ? II', так как она является огра-
ограниченной полулинейной формой по и' при фиксированном и.
Полагая v' = Ти, определяем линейный оператор Т из Н в Н';
его ограниченность следует из того, что
|| Т || = sup \(Tu, и') |/ || и || ||и' || =
= sup |t [и, и'] |/ || и || || и' || = ||t ||.
Задача 2.1. Пусть Тп ? М (Н, Н') таковы, что (Тпи, и') ограничено для
каждой фиксированной пары и 6 Н, и' ? Н'. Тогда семейство {Тп} равно-
равномерно ограничено (т. е. ограничено {|| Тп ||}). [Указание: принцип равно-
равномерной ограниченности. J
Для оператора Т ? J? (H, Н') имеет место матричное представ-
представление того же вида, что и в конечномерном случае (п. 1.6.4). Для
простоты предположим, что Н и Н' сепарабельны, и пусть {xk},
{x'j} — полные ортонормированные системы в Н и Н' соответ-
соответственно. Матрица оператора Т определяется по формуле A.6.27),
и остается верным разложение A.6.28) (теперь, вообще говоря,
справа будет стоять бесконечный ряд).
Замечание 2.2. {Ти, и') для неограниченного оператора
Т также есть полуторалинейная форма, которая, однако, не обя-
обязательно определена для всех и 6 Н. Связь между оператором
и полуторалинейной формой в этом случае довольно сложна.
Позже мы рассмотрим ее подробно в частном случае так называе-
называемых секториальных операторов.
Симметричная полуторалинейная форма t [и, v] в гильбер-
гильбертовом пространстве Н определяется, как и в п. 1.6.5, равенством
t [v, и] = t [и, v]. Если при этом форма t ограничена, то все
установленные там результаты остаются в силе. Оператор Т 6
6 J? (H), связанный с ограниченной симметричной полуторали-
полуторалинейной формой t соотношением B.2), обладает тем свойством, что
Т* = Т; B.3)
в этом случае говорят, что оператор Т симметричен. Понятие
положительного (или неотрицательного) симметричного опера-
оператора (или формы) и отношение порядка S ^ Т для симметричных
операторов S, Т ?.$? (Н) определяются, как и раньше (см. там же).
Результаты п. 1.6.7 о проекторах также остаются в силе;
речь идет об операторах Р ? 38 (Н), удовлетворяющих условию
Р2 = Р. См. также результаты п. III.3.4 о проекторах в банахо-
банаховых пространствах. Приведем еще следующую лемму.
§ 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 323
Лемма 2.3. Пусть {Рп} — последовательность ортогональных
СО
проекторов в Н таких, что РпРт = ЬтпРп. Тогда 2 Рп = Р
п=1
существует в сильном смысле и Р — ортогональный проектор.
Область значений Р есть замкнутая линейная оболочка объеди-
объединения областей значений всех Рп.
п
Доказательство. Для любого и?Н имеем 2 Il-Pftw||2 =
п ' п
= | 2 Рр.и IP ~^|| м||2, так как 2 ^*ft есть ортогональный проек-
оо
тор [см. A.6.49)]. Следовательно, 2 ll-fft^lP сходится и
2^ ПРИ п-^-оо. Таким образом,
n+P
2
h=n
PkU ||2
n+p
= s
2 Рп = Р сильно сходится. Легко видеть, что так определенный
п=1
оператор Р обладает требуемыми свойствами.
Мы будем говорить, что последовательность {Рп} леммы 2.3
полна, если 2 Рп = 1-
Нормальный оператор Т 6 $s (H) определяется равенством
Т* Т = уу*. результаты п. 1.6.6 остаются в силе. Например
spr Т = || Т ||, если Т — нормальный оператор. B.4)
Задача 2.4. Квазинилыготентный нормальный оператор является нуле-
нулевым.
Пример 2.5. Рассмотрим интегральный оператор Т из примера III.2.4
с ядром t (х, у). Если Е = F и t (х, у) = t (у, х) (эрмитово симметричное ядро),
то Т — симметричный оператор в Н = L2 (Е) (см. пример III.3.17). Это же
верно и для оператора Т из примера III.2.3, определенного данной матрицей
(Xjh), если он рассматривается в Н = I2 и если (xjk) эрмитово симметрична
i^j = Тд); см. пример III.3.18.
Неограниченные симметричные и нормальные операторы будут
подробно изучены в дальнейших параграфах.
2. Унитарные и изометричные операторы
Говорят, что оператор Т ? 93 (Н, Н') изометричен, если он
сохраняет норму:
II Ти || = || и || для каждого и ? Н. B.5)
Как и в конечномерном случае (п. 1.6.6), это означает, что Т*Т =
— ^я (единичный оператор в Н) и (Ти, Tv) = (и, v) для всех
и,, v е Н.
21*
: ::4 Гл. v. операторы в гильбертовых пространствах ' ¦ ,
Изометричный оператор Т обратим, так как из Ти = 0 сле-
следует, что и — 0. Но Т'1 не обязательно принадлежит 98 (Н', Н),
поскольку его область определения может не совпадать со всем
пространством Н'. Отметим, что это может случиться в отличие
от конечномерного случая даже тогда, когда Н' = Н.
Изометричный оператор Т называется унитарным, если область
определения Т'1 есть все Н', т. е. если область значений Т есть
все Н'. Тогда Т'1 ? 98 (Н\ Н) и является унитарным. Таким
образом, оператор Т ? 98 (Н, Н') унитарен тогда и только тогда,
когда
Т*Т = 1Н и ТТ* = 1Н', B.6)
что в свою очередь эквивалентно равенству
Т-1 = Т*. B.7)
Существование унитарного оператора Т из Н в Н' означает,
что Н и Н' как гильбертовы пространства имеют одинаковую
структуру, ибо Т сохраняет линейные операции и скалярное
произведение. Оператор А' в Н' называется унитарно эквива-
эквивалентным оператору А в Н, если существует унитарный оператор Т
из Н в Н', такой, что
А'Т = ТА, или А' = ТАТ-1 = ТАТ*. B.8)
Это означает, что D (А') есть в точности образ D (А) при унитар-
унитарном отображении Т и А'Ти = ТАи справедливо для любого
и ? D (А). Операторы А' и А имеют одинаковую внутреннюю
структуру, ибо соответствие и •«-»• и' = Гм не изменяется при
действии операторов А ж А' в силу того, что Аи ¦*-*¦ ТАи = А' Ти =
j|j Пусть Т 6 -^ (Н, Н') — изометричный оператор, и пусть М' =
= R (Т). Изометрия означает, что М' — замкнутое линейное
подпространство в Н'. Оператор Т* ^_PS (H', Н) является про-
продолжением оператора Т~х, как это легко видеть из т*Т = 1н,
поскольку Т*и' = 0 тогда и только тогда, когда в' f M [см.
(III.5.10)]. Таким образом, Т* не изометричен, если Т не 5гни-
тарен; он является частично изометричным.
Оператор W 6 98 (Н, И') называется частично изометричным,
если существует замкнутое линейное подпространство М в Н
такое, что || Wu \\ = || и || для и 6 М и И^и = 0 для и 6 М1.
Подпространство М называется исходным множеством, а М' =
= WM. — финальным множеством для W; М' — замкнутое линей-
линейное подпространство. Эквивалентное определение таково:
|| Wu || = || Ри || для любого мбН, B.9)
§ 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 325
где Р — ортогональный проектор Н на М. Определение B.9)
в свою очередь эквивалентно такому определению:
W*W = Р. B.10)
Для любого и 6 Н имеем W A — Р) и = 0, так как A — Р) и 6
? М-1-. Следовательно,
W = WT. B.11)
Мы имеем W*u' = 0 для и 6 М'^, как и в случае изометричного
оператора. Кроме того, соотношение || W*Wu || = || Ри || =
= || Wu || показывает, что || W*u' || = || и' || для и' 6 М'. Сле-
Следовательно, W* — тоже частично изометричный оператор с исход-
исходным множеством М'. Применение этого результата к W, заменен-
замененному на W*, показывает, что финальное множество W* совпадает
с исходным множеством М для W** = W. Таким образом, имеется
полная симметрия между W и W*. Следующие соотношения
являются прямыми следствиями этих рассуждений (Р' — орто-
ортогональный проектор Н' на М'):
W*W = P, WP = P'W =W, WW*W = W, B.12)
WW* = P', W*P' = PW* = W*, W*WW* = W*.
Задача 2.6. Оператор W ? ^ (H, H') частично изометричеи тогда и толь-
только тогда, когда W = WW*W. [Указание: из W = WH"W следует, что
W*W = W*WW*W. Таким образом, Р =W *W — ортогональный проектор
Н на некоторое подпространство в М.]
Пример 2.7. Пусть Н = L2 (Е) и Н = L2 (Е'), где Е и Е' — веществен-
вещественные гс-мерные гильбертовы пространства (так что их можно отождествить),
точки которых мы обозначим через х = (xit . . ., хп) и k = (&j, . . ., кп)
соответственно. Преобразование Фурье и = Ти, определяемое формулой
и{к) = {2я)-п12 [e~ik-xu(x)dx, k-x = kiXi+...+knxn, B.13)
Е
задает унитарный оператор Т из Н в Н. Обратный оператор Г-1и = ц опре-
определяется так:
п/2 [ eik-xu(k)dk. ' B.14)
Е
Эти результаты известны как теорема Фурье — Планшереля. Интегралы
в B.13) и B.14) понимаются в смысле предела в среднем: интеграл B.13)
берется сначала по ограниченному подмножеству К с Е, а получившаяся
в результате функция сходится по норме || |] пространства Н к и, когда К
стремится к Е 1). Таким образом, Т и Т~х не являются интегральными опе-
операторами в смысле примера III.2.4.
1) См. по этому поводу Стоун [I].
326 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пример 2.8. Пусть Н = 1? (—я, я). Для любого и 6 Н определены
коэффициенты Фурье
я
?„ = Bя)-1/2 С и (х) e-inx dx, и = 0, ±1, ±2, .... B.15)
-я
Оператор Т, который переводит и в вектор v = (?„), есть унитарный опера-
оператор из Н в Н' = I2. Обратный оператор Т~1 ставит в соответствие каждому
v = Aп) ? Н' функцию и (х), определяемую рядом Фурье
2j чпе > \*-щ
n== - oo
который сходится по норме II ]|. Эти результаты суть выражение полноты
системы тригонометрических функций einX. Аналогичные результаты справед-
справедливы для любой полной ортонормированной системы в Н = L2 (—я, я)
или в любом абстрактном гильбертовом пространстве.
Пример 2,9. Примером изометричного оператора, не являющегося уни-
унитарным, может служить оператор сдвига (см. пример III.3.16). Пусть
{xn}n=,ll 2,... — полная ортонормированная система в гильбертовом про-
пространстве Н, и пусть Т ? 3 (Н) таков, что Тхп = xn+i. Оператор Т изомет-
ричен, а Т* частично изометричен, Т*хп+1 = хп и Т*х} = 0. Исходное
множество оператора Т есть Н, а финальное множество есть подпространство
Н, натянутое на хг, хз, ....
3. Компактные операторы
Пусть Т ? 38 (Н) —компактный оператор. Мы знаем, что
спектр 2 (Т) состоит из не более чем счетного множества соб-
собственных значений, имеющих конечную кратность, за исключе-
исключением, быть может, нуля (теорема III.6.26). Пусть %t, К2, . . . —
эти отличные от нуля собственные значения, расположенные
в порядке убывания их величин, и пусть Pi, P2, ... — отвечаю-
отвечающие им собственные проекторы. Отметим, что | %i \ равно спек-
спектральному радиусу оператора Т:
| Kt | = spr T = lim || Tn ||1/n B.17)
(см. п. III.6.2; надо положить A,t = 0, если отсутствуют ненуле-
ненулевые собственные значения).
Предположим, кроме того, что Т — нормальный оператор.
Тогда Ph — ортогональный проектор, как и в конечномерном
случае (см. п. 1.6.9), и соответствующие собственные нильпотенты
равны нулю. Полагая Qn = Pi + Рг + ¦ ¦ ¦ + Рп, видим, в силу
(III.6.55), что TQn\= KiPi + . . . + 1пРп. Так как Qn коммути-
коммутирует с Т, Т A — Qn) — нормальный оператор, имеющий соб-
собственные значения kn+i, Х„+2, ... и, возможно, 0. Для нор-
нормального оператора спектральный радиус совпадает с нормой
[см. B.4)]. Поэтому, в силу B.17), мы имеем || Т A — Qn) || ==
§ 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 327
= spr Т A — Qn) = | Xn+i | ->¦ 0 при п->- оо. Это дает х)
II Т -(V>i + • • • + *»/>„) II -> 0 при и -* оо. B.18)
Таким образом, оказывается справедливой спектральная теорема,
аналогичная полученной в конечномерном случае [см. A.6.65)].
Теорема 2.10. Если Т 6 93 (Н) — нормальный компактный
оператор, то имеет место спектральное представление
T=^]XhPh, P% = Ph, dimi>h<oo, B.19)
h
в смысле сходимости по норме. Проекторы Ph вместе с ортогональ-
ортогональным проектором Ро на нуль-пространство N (Т) образуют полную
ортогональную систему.
Доказательство. Нам осталось доказать только
последнее утверждение. Пусть Q — ортогональный проектор на
подпространство Н, натянутое на все /\Н; имеем Q = s-lim Qn
(см. лемму 2.3). Оператор Q коммутирует с Т, ибо все Qn комму-
коммутируют с Т. Таким образом, QH и A — Q) Н инвариантны отно-
относительно Т. Но часть Го оператора Г в A — Q) Н не имеет ненуле-
ненулевого собственного значения, ибо из Тои = hi с в ? A — Q) Н
и % Ф 0 следует, что Ти = Ум. Поэтому X — %h для некоторого h
и uf ^ЧН, так что и = Phu = PuQu = 0, поскольку Ph = PhQ
и Qu = 0. Так как Го —нормальный оператор, то в силу B.19),
примененного к То, То = 0. Это означает, что A —Q) Her N (Г).
IIocKonbKv, с другой стороны, Т не есть нуль в QK, то A —Q) Н =
= N (Т).
Иногда удобно рассматривать собственные векторы опера-
оператора Т, а не собственные проекторы. В каждом подпространстве
/\Н выберем произвольный ортонормированный базис, состоящий
из mh = dim Ph векторов. Вместе эти векторы образуют орто-
ортонормированный базис {фь} в подпространстве QH., и B.19) может
быть записано в виде
со
Т= 2 Ы , фь)фь, B.20)
ft=i
где [xft — собственные значения Т с собственными векторами ф^
(каждое собственное значение %] учитывается столько раз, какова
его кратность). [По поводу обозначений в B.20) см. (III.4.7).]
Рассмотрим теперь произвольный компактный оператор Т ?
€^о(Н, Н'), где И' —другое гильбертово пространство. Так
1) Оператор Т может иметь лишь конечное число п собственных значений;
п
тогда B.18) означает, что Т = 2 ^kPk- Подобные изменения нужно делать
fc=i
и в некоторых последующих формулах.
328 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
как Т*Т —неотрицательный симметричный компактный опера-
оператор в Н, то мы имеем такое спектральное разложение (отметим,
что собственные значения Т*Т неотрицательны):
оо
Г*Г= 2 «К , фй)ф/;> (Ф;, Ф*) = бд, B.21)
ft=i
где Г*Гф/; = а|ф/;, А; = 1, 2, ... и ^>а2> .. .>0. Положим
Ф^а^ГфьбН', Л =1,2,.... B.22)
Векторы фй образуют ортонормированную систему в Н', ибо
(фЬ Фй) = («j-afe) (Уфу, ^фй) = (a^ft) (Г* Г фу, фй) =а/**1 (фл фй) =
= 6yft. Мы утверждаем теперь, что
оо
Т= 2 «*( . Ф*)фк- B-23)
Поскольку {фй}, {фй} — ортонормированные системы и зд-э-О,
ряд в B.23) сходится по норме. В самом деле,
|| 2 «ft (и. ФО Фк II2 = 2 «! | К S
так что || 2 ah ( > фл) Щ II ^ кп -> 0 при ?г-> оо. Поэтому
ft=7l
достаточно доказать справедливость B.23) для плотного подмно-
подмножества в Н. Для этого достаточно в свою очередь доказать B.23)
для и — ф„ и и = г|зп, где {1)з„} — ортонормированный базис
в N (Г) = N (Г* Г) (собственные векторы Г* Г, отвечающие нуле-
нулевому собственному значению). Но это очевидно в силу B.22)
и того факта, что ф„ _L i|)m.
Равенство B.23) называется каноническим разложением опе-
оператора Т. Строго говоря, оно не единственно, так как {q>k} можно
выбирать разными способами, если имеет место вырождение соб-
собственных значений сс| оператора Т*Т. Числа «i, а2, . . . назы-
называются ненулевыми сингулярными значениями (с учетом их крат-
ностей) *) оператора Т.
Из B.23) следует, что
со
Т* = 2 «ft ( , Фй) фь B-24)
fc=i
является каноническим разложением для Т*. Также имеем
ТТ* = 2 «1 ( , фл) Фй- B-25)
-1) Очевидным образом можно определить множество всех сингулярных
значений Г и их кратности. Нуль должен быть включен.в это множество,
если Т*Т имеет нулевое собственное значение. . ... .
§ 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 329>
Следовательно, кратные ненулевые собственные значения ТТ*
есть в точности а%. Другими словами, Т и Т* имеют одинаковые
ненулевые сингулярные значения.
Кроме того, положим
I Т | = ? ak ( , фО <pft, | Г* | = 2 «* ( . Ф*) Ф*- B-26)
Отметим, что | Т | определяется оператором Г независимо от
выбора фй.
Задача 2.11. Любой компактный оператор из ?В (Н, Н') есть предел
по норме последовательности вырожденных операторов.
Задача 2.12. Если Т — компактный и симметричный оператор, то син-
сингулярные значения Т суть абсолютные величины собственных значений Т.
Задача 2.13. Для любых унитарных операторов U и V операторы Т
и UTV имеют одинаковые сингулярные значения.
4. Класс Шмидта
Одним из наиболее важных классов компактных операторов
в Si (H, Н') является класс Шмидта. В этом пункте мы ради
простоты будем считать, что Ни Н' сепарабельны, хотя резуль-
результаты справедливы и в общем случае.
Пусть Т ? 38 (Н, Н'); положим : ¦
imiz=B 11Гф*Н'I/2. '¦:.-• . B-27)
где {cpft} —полная ортонормированная система в Н. Если ряд
в B.27) расходится, положим || Т ||2 == оо. Норма || Т |]2 назы-
называется нормой Шмидта оператора Т.
Норма Шмидта не зависит от выбора системы {фй}, участвую-
участвующей в определении. Чтобы доказать это, заметим, что
2II ?V II2 = 2 SI (Тщ, ф;) |2= 2 21 (ф*. т*ч>'}) |а= 2II т*^ \\\
h hi i ft i
B.28)
где {ф5} —полная ортонормированная система в Н'; изменение
порядка суммирования в B.28) законно, поскольку все члены
ряда неотрицательны. Левая часть B.28) не зависит от выбора
системы {ф]}, тогда, как правая часть не зависит от выбора системы
W\- Следовательно, обе части не зависят от выбора систем
Попутно мы доказали, что
II Т ||2 = || Г* ||2. B.29)
330 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Подмножество в g} (Н, Н'), состоящее из всех Тс || Т ||2 <; оо,
называется классом Шмидта; он будет обозначаться через
#2 (Н, И')-
Мы имеем неравенства:
II СТ II .--"¦ II СМИТ1 II II ТС II ^-" II Т II II С II 10 1Г\\
II "->¦« Иг ^ II о II II -« Иг) II ¦«" Иг ^ |М Иг II <-> II- (АЗО)
Их надо понимать в следующем смысле: если T?$Z(R, H')
и 5б^(Н', Н"), то ST?&2(n, H") и справедливо первое
неравенство в B.30); аналогично понимается второе неравенство.
Задача 2.14. ,$2 (Н, Н') есть векторное пространство, аТ + |35 при-
принадлежит <Й2 (Н, Н'), если S, Т 6 <$2 (Н, Н').
Задача 2.15. || Г || < Ц Т2 ||.
Мы можем ввести скалярное произведение (б1, Г) для S, Т7 ?
? J?2 (Н, Н'), так что .^2 (Н, Н') становится гильбертовым про-
пространством с нормой Шмидта в качестве нормы. Положим
(S, т) = 2 (Si*, г-фО- B-31)
к
Ряд сходится абсолютно, так как 2 | (/Scp^, Уф^) | ^ || ^ф^ ||2 +
+ II Тщ |Р, а || 5 ||2, || Т ||2 конечны. В силу тождества A.6.8)
имеем
/с гр\ 1\\ Я -i-T И2 \\ Я 71II2_1_7"IIS'_1_771II2 j'll? 7'II2\
^i-*; —""' ' —" — Н2"гг II ° "г " 112'—"г II ° — " \\й)-
B.32)
¦Формула B.32) показывает, что (S, Т) не зависит от выбора
системы {фь}, используемой в определении B.31). Легко видеть,
что (S, Т) удовлетворяет всем условиям, предъявляемым к ска-
скалярному произведению, и что
II Т |Е = (Т, Т). B.33)
Это в свою очередь показывает, что || ||2 обладает свойствами
нормы.
Докажем, что J?2 (Н, Н') — полное пространство; пусть {Тп} —
последовательность Коши в J?2 (Н, Н'), т. е. || Тт — Тп ||2->
-> 0 при т, и-> оо. Тогда || Тт — Тп ||->0 в силу резуль-
результата задачи 2.15, так что существует оператор Т ? J? (Н, Н')
такой, что || Тп — Т || -> 0. Так как
S \\{т)щ\\^пт\\\<
ft—1
для достаточно больших т, п и любых 5, то при т->- оо
§ 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 331
для достаточно больших п и любыхя. Следовательно, \\Тп — Т ||2<С
^ е для достаточно больших п. Отсюда следует, что Тп — Т 6
?Яг (Н, Н'); значит, Т 6 ?г (Н, Н') и \\Тп-Т ||2-* 0.
Отметим, что i?2 (H, Н') <^ -^о (Н, Н'): каждый оператор
вз J?2 (Н, Н') компактен. Чтобы доказать зто, возьмем п столь
боЛЬШИМ, ЧТобы 2j II ^фй IP < g2- ПОЛОЖИМ Г„ф/; = Гф^ ДЛЯ
ft=n+l
i^nn ^пфй = 0 Для к ^> п. Ясно, что оператор Тп может быть
продолжен до вырожденного линейного оператора и || Тп — Т \\ ^
^ || Тп — Т ||2 <! е. Следовательно Г, как предел по норме
последовательности {Тп} компактен (см. теорему III.4.7).
Задача 2.16. Если а^ суть кратные сингулярные значения операто-
оператора Г, то
||Г||2=Bа|I/2- B.34)
к
Задача 2.17. Если Т ? 3i (H, Н'), то каноническое разложение B.23)
для Т сходится по норме || ||2.
Задача 2.18. Т ? ?Вг (Н, Н') тогда и только тогда, когда Т* f J§2 (Н', Н)
и
(S, Т) = (Т*, S*). B.35)
Задача 2.19. Интегральные операторы Гильберта — Шмидта. Пусть
t(y, х) — ядро, определенное для х ? Е, у ? F, где Е, F — измеримые мно-
множества гильбертова пространства, и пусть
И12= Jj
E
Jj Иг/, x)\zdxdy<°o. B.36)
ExF
Тогда интегральный оператор с ядром t (у, х) определяет оператор Т ?
€ J§2 (Н, Н'), где Н = L2 (Е) и Н' = L2 (F).
Для доказательства заметим сначала, что формальное выражение
<Ш.2.7) для Ти определяет оператор Т ? j) (Н, Н') (см. задачу III.2.5).
Чтобы показать, что Т ? ?%г (Н, Н'), обозначим через {ф/;(а;)} и {ф^- (г/)}
полные ортонормированиые системы в Н и Н' соответственно. В силу B.27)
и B.28)
2= S jj
EF
t {У-, х) фй (х)
з, ft з, ft ' e"x~f
B.37)
eVi
здесь использован тот факт, что функции ф^ (х) ф^ (у) образуют полную орто-
нормированную систему в гильбертовом пространстве L2 (Е X F) (см. при-
пример 1.10).
Пусть s (у, х), t (у, х) ? L2 (Е X F); определим, как и выше, соответ-
соответствующие интегральные операторы S, Т ? J§2 (H, Н'). Тогда в силу B.37)
s(y, x)t(y, x)dxdy. B.38)
e'x'f
332 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ Б ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ • ¦
Равенство B.38) показывает, что отображение t-*- Т есть изометричное?
преобразование из L2 (Е X F) в JJ2 (Н, Н'). В действительности это пре-
преобразование унитарно: каждое Т ? JJ2 (H, Н') может быть получено таким
способом из ядра t ? L2 (Е X F). Чтобы доказать это, достаточно вспомнить
каноническое разложение B.23) для Т, которое сходится по норме . || ||2
(задача 2.17). Так как частичная сумма этого разложения есть интегральный
оператор с ядром
Е и IKII2=2al' B-39>
то отсюда следует, что Т есть интегральный оператор с ядром t (у, х), являю-
являющимся пределом в L!(E X F) последовательности tn (у, х).
5. Возмущение ортонормированных систем
В качестве применения теории операторов класса Шмидта
рассмотрим возмущение полной ортонормированной системы в се-
парабельыом гильбертовом пространстве Н. Пусть {ф7-}, ) =
= 1,2,...,— полная ортонормированная система в Н, а {ф^} —
последовательность векторов из Н, не обязательно ортонорми-
ортонормированных, такая, что разности г|з7- — ф7- в том или ином смысле
малы. Задача состоит в нахождении условий, при которых после-
последовательность {г|^} фундаментальна (полна) или является базисом
в Н. Напомним, что {г|^} фундаментальна, если множество всех
линейных комбинаций векторов г|з;- плотно в Н; {tyj} называется
базисом в Н, если каждый вектор и 6 Н может быть единственным
образом представлен в виде
оо п
" = 2 Ш = s-lim 2 тыр,'- B-40)
3=1 П->-оо j=l
Условие базиса сильнее условия фундаментальности.
Удобной мерой малости разностей г|з^ — ф^ является величина
со
г2=2Н^—Ф.-Н2- B-41)
3=1
Теорема 2.20 х). Пусть {tyj} — полная ортонормированная
система в Н, a {t|3j} — такая последовательность, что г2 < оо.
Тогда {г|^} является базисом в Н, если из B.40) для и = 0 следует,
что все г\] = 0 2).
Доказательство. Определим линейный оператор Т
в Н, полагая
со со (
Ти=^\1^3 для и=2?Л>.Л B-42)
3=1 3=1
х) См. Бари [1], К р е й н [4].
2) Последнее условие выражают словами: ty являются «-линейно
независимыми.
§ 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 333
Возможность такого определения следует из того, что любое
и 6 Н имеет единственное разложение вида B.42) с 2
2
I2 ~
2 j
= || и ||2 и что ряд Ти — и = 2 \j (tyi — 4>з) сходится абсолютно
в силу неравенства Шварца:
\\Tu~u |р < B I I, I2) B II Ф; - Ф> II2) = г2 И и |f. B.43)
Полагая |^ = 6;-ft в B.42), видим, что 7"cpft = i|)ft, А: = 1, 2, . . . .
Следовательно,
II ^ - 1 IS = 2 II (т - 1) ф/ И2 = 2 II ъ - & II2 = г* < оо,
B.44)
так что Л = Т — 1 6 i?2 (H) с |М ||2 < '•• В частности, А —
компактный оператор, и поэтому Т = 1 + А имеет обратный
Т'1 6 $ (Н), ибо 0 не является собственным значением Т (тео-
(теорема III.6.26). В самом деле, из Ти = 0 следует, что 2 %fPi — О
ж, по предположению, все |j = 0, так что и = 0.
Таким образом, область значений Т есть все пространство Н,
и B.42) показывает, что для любого элемента v = Ти из Н спра-
справедливо разложение v = 2 1/Ф/- Единственность этого разложе-
разложения следует из последнего условия теоремы.
Легко видеть, что это условие удовлетворяется, если г доста-
достаточно мало; например, достаточно, чтобы г<1, ибо из прове-
проведенного выше доказательства видно, что Т = 1 + А имеет в этом
случае ограниченный обратный оператор, так как \\ А || ^
^ || А \\2 ^ г < 1 (ряд Неймана для Г). Несколько более
¦слабое условие дает
Теорема 2.21. Пусть {ф;} — полная ортонормированная систе-
система в Н. Тогда последовательность {i|^} ненулевых векторов является
базисом в Н, если
3=1
Доказательство. Из определения сразу же следует,
что {"фу} является базисом тогда и только тогда, когда {р/ф,/}
есть базис, где р;- — любые отличные от нуля комплексные числа.
Поэтому {ф7-} является базисом, если можно выбрать р7- так, чтобы
2 II Р/Ф,/ — фЛ12 < 1 (см- замечание выше). Наилучший выбор p^
•обеспечивается минимизацией величины || р/ф7- — фу ||. Если Pj —
¦ортогональный проектор на одномерное подпространство, натя-
334 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ:* ;
нутое на яру, то этот минимум г) равен
г? = II A - Pj) Фу II2 = II A - Pj) (фу - Ъ) II2 =
= II Ф; - !>у IIя - II Р}(Ъ-Ъ) II2 =
= II Фу - ^ II2 - I (фу ~ VJ, ^Py) I2 / II яру IIs.
Формула B.45) есть в точности условие, что 2 'I2 < 1- Отметим,
что минимизирующие значения ру отличны от нуля, ибо г)< 1.
Следствие 2.22 J). Каждое из следующих условий, в которых
Г] = || яру — фу ||, достаточно для того, чтобы {яру} было базисомг
ii) ||^|| = 1
: iii) Лру, фу) = 1
Доказательство. Условие i), очевидно, влечет B.45)^
В случаях и) и iii) положим %} = \|)у — фу; тогда если || гру || = \г
то 1 = || Фу II2 = || гру - X/ II2 = 1 - 2Re (Ху, яру) + ||Ху II2-' Сле-
Следовательно, | (ху, яру) | > Re (ху, яру) = || Ху ||2/2 = г|/2, и из ii)
следует B.45). Если (яру, фу) = 1, то (ху, фу) = 0, так что
№у - Vj, Ъ) = (Xj, Фу + %j) = II Ху II2 = г) ж Ц яру ||2 =
= II ФУ + Ху !12 = 1 + II Ху II2 = 1 + А- Таким образом, из iii)
следует B.45).
Следствие 2.23 2). Пусть {фу} — полная ортонормированная-
система, а {яру} — ортонормированная система. Тогда {яру} полнау
если ^ А{\ - Т т*) < оо, где г} = || яру - фу ||.
Доказательство. Как в доказательстве следствия 2.22,
из предположения теоремы следует, что ряд У] ]| руяру — фу ||2'
сходится для подходящей последовательности комплексных чисел
ру. Может случиться, что некоторые из ру равны нулю, но имеется
лишь конечное число таких ру, ибо || фу || = 1. Следовательно,
мы можем заменить эти обращающиеся в нуль ру, скажем, на
ру = 1, при этом ряд 2 II Pj^j ~~ Ф/ II2 по-прежнему сходится
и все ру ф 0. Далее, из 2 'ЧуР/Фу = 0 следует, что riy = 0, так
как яру — ортогональные и ненулевые векторы. Следовательно,
{руфу} образует базис в Н в силу теоремы 2.20, а значит, и {яру}
образует базис.
х) См. X и л д и н г [1].
2) СМ. И С ЭК И [i].
§ 3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 335
§ 3. Неограниченные операторы
в гильбертовых пространствах
1. Общие замечания
Пусть Н, Н' — гильбертовы пространства, а Т — оператор
из Н в Н'. Если Т плотно определен, то определен сопряженный
оператор Т*, действующий из Н' = Н'* в Н* = H*. В соответствии
с (III.5.9) обратный график G' (—Г*) для —Т* есть аннулятор
графика G (Т) оператора Т. Но теперь произведение пространств
Н X Н', в котором лежат графики G (Т) и G' (—Т*), является
гильбертовым пространством, в котором скалярное произведение
двух элементов {и, и'} и {v, v'} полагается по определению
равным сумме (u, v) + (ur, v') [что согласуется с нашим опре-
определением (III.5.4) нормы в Н X Н']. Если Т замкнут, то G (Г)
и G' (—Т*) суть ортогональные дополнения друг к другу
в Н х Н'.
В частности, мы имеем теорему III.5.29: если Т замыкаем,
то Т* замкнут, плотно определен и Т** = Т (замыкание опе-
оператора Т). Если, в частности, Т ?% (Н, Н'), то 21** = Т. Обрат-
Обратно, Т замыкаем, если Т* плотно определен, ибо Т** zd Т.
Пусть Т ? % (Н, Н') плотно определен. В силу симметрии
между Т и Т*, имеем (см. задачу III.5.27):
N (Т*) = R {ТI, N (Л = И G7*I. . ' C.1)
Заметим, далее, что R (Т*) замкнуто тогда и только тогда, когда
замкнуто R (Т) (теорема IV.5.13). В этом случае
Н = N {Т) ф R G1*), Н' = N (Т*) 0 R (Т). C.2)
2. Числовая область значений
Для операторов в гильбертовом пространстве Н в различных
приложениях оказывается важным понятие числовой области
значений (или поля значении).
Пусть Т — оператор в Н. Числовая область значений 0 (Т)
оператора Т есть множество всех комплексных чисел (Ти, и),
где и пробегает все D (Г), || и || = 1. (Мы предполагаем, что
dim H>0.)
В общем случае множество в (Т) не является ни открытым,
ни замкнутым, даже если оператор Т замкнут. Следующая
теорема Хаусдорфа является очень важной, но ее доказатель-
доказательство х) мы опускаем.
Доказательство см. в Стоун J1J, стр. 131.
336 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Теорема 3.1. Множество G (Т) выпукло.
Обозначим через Г замыкание в (Т); Г — замкнутое выпуклое
множество. Пусть Д — дополнение к Г в комплексной плоскости.
Ввиду выпуклости Г простое геометрическое рассуждение при-
приводит к следующему результату: А является связным открытым
множеством, за исключением того особого случая, когда Г есть
полоса, ограниченная двумя параллельными прямыми (возможен
и предельный случай, когда прямые сливаются). В этом особом
«лучае А состоит из двух компонент At и А2, являющихся полу-
полуплоскостями.
Теорема 3.2. Пусть Т ? % (Н), а Г, A, Ai, A2 определены
так же, как и выше. Для любого ? 6 А оператор Т — ? имеет
замкнутую область значений, nul (Т — Q = 0, def (Т — ?) посто-
постоянен для ? 6 Д> зя исключением указанного выше особого случая,
в котором def (Т — ?) постоянен в каждом из Д4 и А2. [Это посто-
постоянное значение (или пара значений) называется индексом дефекта
¦ оператора Т.] Если def (Т — ?) = 0 для Z, ? А (? 6 Ai или ? ? А2),
mo A (Ai или А2) ecwib некоторое подмножество в Р (Г) ц
||Д(?, Т) И <l/dist(L Г).
Доказательство. Эта теорема является следствием
первой теоремы об устойчивости размерности нуль-пространства
и дефекта (см. теорему IV.5.17). Отметим прежде всего, что
| (Ти, и) - 1\ = | {{Т - 0 и, и) |< || (Т - I) и || для любого
и ? D (Т) с || и || = 1 и любого комплексного числа ?. Если
I 6 А» так что dist (?, Г) = б >0, то || (Т — Q u || > б при
II и || = 1, или
|| (Т — I) и || > б || и || для любого и 6 D (Г). C.3)
Отсюда вытекает, что nul (Т — ?) = 0 и -у (Г — ?) ^ б (см.
п. IV.5.1, где определено y)"> следовательно, R (Т — ?) замкнуто
(теорема IV.5.2). Теперь из теоремы IV.5.17 следует, что
def (Т — ?) = —ind (Г — ?) постоянен в А, если А связно,
и в каждом из А^ в противном случае.
Следствие 3.3. Если Т ? J? (Н), «го 2 (J1) есть подмножество
замыкания Q (Т).
Доказательство. Множество в (Т) и его замыкание Г
ограничены, так как | (Ти, и) | ^ || Т \\ при || и \\ = 1. Следова-
Следовательно, А — связное открытое множество, содержащее внешность
круга | ? | <С || Т \\. Но внешность круга принадлежит Р (Т),
так что здесь def (Т — ?) = 0. В силу теоремы 3.2 это же спра-
справедливо для всех Z> 6 Д- Поскольку мы имеем также, что
nul (Г — Q = 0 для ? 6 Д, то отсюда следует, что Д с= Р (Л>
а это эквивалентно включению Г:э 2 (J1).
§ 3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 337
Теорема 3.4. Если Т определен на плотном множестве и Э (Т)
не совпадает со всей комплексной плоскостью, то Т замыкаем
(следовательно, Т* также плотно определен).
Доказательство. Так как В (Г) — выпуклое мно-
множество, не совпадающее со всей плоскостью, то 6 (Г) содержится
в полуплоскости. Заменяя Т на аТ + р" с некоторыми комплекс-
комплексными числами аир, мы можем считать, что 6 (Т) лежит в правой
полуплоскости. Это означает, что
Re (Ти, и) > 0 для и 6 D (Г). C.4)
Пусть мы имеем последовательность ип ? D (Т) такую, что
ип -*- 0, Тип —>- v; достаточно показать, что v — 0.
Для любого w 6 D (Т) имеем
0<Re (Т (ип + w), un + w) =
= Re l(Tun, un) + (Тип, w) + (Tw, un) + {Tw, w)].
Отсюда при п —у оо получаем ¦
0 < Re (v, w) + Re {Tw, w).
Если мы заменим w на aw, a > 0, разделим получившееся нера-
неравенство на а и устремим а к 0, то получим, что' 0 ^ Re (v, w).
Так как w?D (Т) произвольно и D {Т) плотно в Н, v должно
быть нулем.
Задача 3.5. Чему равна числовая область значений оператора Т, опре-
определенного матрицей I Ч в С1 (двумерное гильбертово пространство)?
Задача 3.6. Если Т ? % (Н), то существенный спектр оператора Т
(см. п. IV.5.6) является подмножеством замыкания в (Т).
Задача 3.7. Если Т замыкаем, то в (Т) плотно в в (Г) и множества
в (Г) и в (У) имеют одинаковое замыкание.
3. Симметричные операторы
Оператор Т в гильбертовом пространстве Н называется сим-
симметричным, если он имеет плотную область определения и
Т* zd T; . . ¦ C.5)
если .,'.". ' ¦' ¦ ,
• ' ¦ Т* = Т, ¦•' ¦ C.6)
то Т называется самосопряженным. Если D (Т) = Н, то из C.5)
следует, что Т* — Т. Таким образом, данное здесь определение
симметричного оператора согласуется с определением п. 2.1 для
ограниченных операторов.
22 т. Като
338 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Задача 3.8. Оператор Т симметричен тогда и только тогда, когда он
определен на плотном множестве и
{Ти, v) = (и, Tv) для любых и, v?D{T). C.7)
Задача 3.9. Определенный на плотном множестве оператор Т симме-
симметричен тогда и только тогда, когда числовая область значений в (Т) пред-
представляет собой подмножество вещественной прямой.
Из C.7) видно, что (Ти, и) вещественно. Если (Ти, и) ^ О,
то симметричный оператор Т называется неотрицательным (это
обозначается так: Т ^ 0). Условие C.5) показывает, что сим-
симметричный оператор замыкаем, ибо Т* замкнут. Поскольку
из C.5) следует, что f***^D Г**, итак как Г** — замыкание Т,
то замыкание симметричного оператора является симметричным
оператором. Симметричный оператор называется существенно
самосопряженным, если его замыкание Т** самосопряженно.
Задача 3.10. Если Т — симметричный оператор, то следующие усло-
условия эквивалентны:
a) Т существенно самосопряженный;
b) T* симметричный;
c) Т* самосопряженный;
d) T** самосопряженный.
Задача 3.11. Если оператор Т симметричен, обратими имеет плотную
область значений, то оператор Г симметричен.
Задача 3.12. Замкнутый симметричный оператор ограничен тогда и
только тогда, когда его область определения есть все Н. [Указание: теоре-
теорема о замкнутом графике.]
Пример 3.13. Пусть (т^) — (эрмитова) симметричная матрица:
^ = 4j, 7, Л = 1, 2, 3 C.8)
и пусть
2 I xih I2 < °° Для любог0 /• •, С3-9)
h
Покажем, что матрице (Xjh) можно сопоставить симметричный оператор Та
в Н = I2. Пусть D — линейное подпространство в Н, натянутое на канони-
канонический базис хп = (8hn). Подпространство D является подмножеством обла-
области определения максимального оператора Т, определенного так же, как
в примере III.2.3, ибо Тхп = (xhn) принадлежит Н в силу C.8) и C.9). Опре-
Определим Го как сужение Т на область D. Оператор То симметричен, так как D
плотно в Н, и C.7) справедливо для То в силу условия C.8).
Оператор Т не является, вообще говоря, замкнутым или существенно
самосопряженным, но можно показать 1), что Г* — Т. Таким образом, Т
симметричен, только если Та является существенно самосопряженным (см.
задачу 3.10). В общем случае довольно трудно решить, справедливо ли это
для данной матрицы (т/й). Это заведомо так в довольно специальном случае
диагональной матрицы: т;-й = Я,;-бд с вещественными диагональными эле-
элементами %]•, доказательство будет дано ниже, но и прямое доказательство
также очень просто.
Пример 3.14. Пусть Н = L2 (а, Ъ), где (а, Ь) — конечный или бесконеч-
бесконечный интервал; рассмотрим дифференциальный оператор dldx. Пусть Т и Т —
г) См. Стоун [1], стр. 90.
§ 3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ " ; 339
соответствующие максимальный и минимальный операторы в Н (см. при-
пример III.2.7). Из примера III.5.31 следует, что —Г* = Т id Т, а это означает,
что it симметричен. Аналогично можно показать, что оператор iT0 из того
же примера симметричен [для конечного интервала (а, &)].
Оператор iT не симметричен на конечном интервале (а, 6), ибо —Т* =
= То есть собственное сужение Т. С другой стороны, если (а, Ъ) = (—оо, + оо),
то iT = (iT)* не только симметричен, но и самосопряжен. Для доказатель-
доказательства достаточно показать, что iT симметричен (задача 3.10). Пусть и, v ?
G D (Г). Так как Ти=и', то (Tu)~v^r~UTv=(uv)' и
Ь'
lim u(b') v(b') = и @) у@) + lim \ ((r«)^ + uTv) dx C.10)
b'-»oo b'->oo J
существует; заметим, что it, v, Tu, Tv принадлежат H = IA Предел C.10)
должен быть равен нулю, ибо в противном случае uv не было бы интегрируе-
интегрируемо, а это невозможно в силу того, что и, v ? L2. Аналогично, и (х) v (x) -*¦ О
при х-*- — оо, так что
(Tu, v) + (и, Tv) = lim и (&') F') v— lim it (a') v (a1) =0. C.11)
bf—>-оо а'—> — со
Это показывает, что ?Г симметричен.
Для конечного интервала (а, Ь) были определены операторы Гь Г2, Т3,
которые являются сужениями оператора Т и продолжениями То (см. при-
пример III.2.7). Как легко видеть, операторы гГ, и гГ2 не являются симметрич-
симметричными; 1Т3 симметричен тогда и только тогда, когда постоянная к, входящая
в граничное условие и F)= ки (а), равна по модулю единице (к = ег® с ве-
вещественным 6).
4. Спектры симметричных операторов
Пусть Т — замкнутый симметричный оператор в Н;?поскольку
каждый симметричный оператор замыкаем, то предположение
о замкнутости Т не является существенным ограничением.важ-
ограничением.важным свойством оператора Т является равенство
|| {Т -1)и ||2 = \\{Т -Rot) и ||2 + (Im If || и ||2, C-12)
и 6 D (Т).
Его нетрудно получить, заметив, что Т — Re ? есть симметрич-
симметричный оператор. Из C.12) вытекает неравенство
|| (Г- Qu || > |Im U || ы. ||, ueD(T). C.13)
Отсюда следует, что Т — ? имеет ограниченный обратный опе-
оператор с нормой, не превосходящей | Im С I. Следовательно,
R (Т — Z) замкнута для невещественных ?,. Отсюда в силу первой
теоремы об устойчивости размерности нуль-пространства и дефек-
дефекта (теорема IV.5.17) вытекает,г что def (Т — t) постоянно в каж-
каждой полуплоскости Im ? ;г 0. Это также непосредственно следует
22*
340 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
из теоремы 3.2; отметим, что числовая область значений G (Т)
оператора Т есть подмножество вещественной оси, и поэтому А
в теореме 3.2 либо является связным множеством, либо состоит
из указанных выше полуплоскостей. Пара (тп', тп") постоянных
значений def (Т — Z) для Im ? =э 0 называется индексом дефекта
симметричного оператора Т. Если Т не замкнут, то его индекс
дефекта определяется как индекс дефекта его замыкания Т.
В силу равенства C.1), примененного к Т — ?, Т* — ? =
= (Т — ?)* имеет область значений, совпадающую с Н, и раз-
размерность нуль-пространства тп" или то/ в соответствии со знаком
Im ? ^ 0. *
Если то' = 0, то R (Т — ?) при Im ? > 0 есть все Н и суще-
существует i? (?, Т) = (Г — ?)~х ? J5 (Н). Другими словами, верхняя
полуплоскость принадлежит резольвентному множеству Р (Г).
Если тп > 0, то никакое ? из верхней полуплоскости не при-
принадлежит Р (Т). Аналогичные результаты справедливы для тп"
и ? с Im ? <; 0. Таким образом, имеет место следующая альтер-
альтернатива:
i) то' = то" = 0. Все невещественные числа принадлежат
Р (Т), спектр 21 (Т) представляет собой подмножество веществен-
вещественной оси.
ii') тп' = 0, то" > 0; Р (Т) есть открытая верхняя полупло-
полуплоскость Im Z > 0 и 2 (Т) есть замкнутая нижняя полуплоскость
Im ? < 0.
ii") то' > 0, то" = 0; надо поменять местами слова «верхняя»
Ж «нижняя» в ii').
iii) та' > 0, та" >» 0; Р (Г) пусто и 2 (Г) есть вся плоскость.
Задача 3.15. Случай i) имеет место всякий раз, когда Р (Т) содержит
хотя бы одно вещественное число.
Замкнутый симметричный оператор называется максимальным,
если хотя бы одно из чисел тп', та" равно нулю [случаи i), ii')
или ii")]. Максимальный симметричный оператор не имеет соб-
собственных симметричных продолжений. Чтобы доказать это, пред-
предположим, что то' = 0. Пусть Т\ — симметричное продолжение Т;
можно считать Т^ замкнутым (в противном случае возьмем его
замыкание). Для любого и 6 D (Ti) найдется v 6 D (Т) такое, что
(Г - i) v = {Ti - i) и, ибо R (Т - i) = Н. Так как ТаТи
то (Ti — i) (и — v) == 0. Отсюда в силу того, что Tt симметричен,
получаем и — v = 0. Это означает, что D (Tj) cr D (Т), и потому
Ti = Т.
Если и та', и та" равны нулю [случай i)], то Т — самосопряжен-
самосопряженный оператор. Справедлива
' Теорема 3.16. Замкнутый симметричный оператор Т имеет
Шдекс дефекта @, 0) тогда и только тогда, когда он самосопря-
.¦ • .• § 3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 341
жен. В этом случае резольвента R{t,, Т) = (Т — Z)'1 существует
при Im X, ?= 0 и
|| R (?, Т) || < | Im I \-\ || (Т - Re 9 Д (С, Г) || < 1. C.14)
Доказательство. Пусть Т имеет индекс дефекта @, 0).
Тогда область значений обоих операторов Т ± i есть все Н,
так что для каждого и ? D (Т*) существует v ? D (Г) такое, что
(Г — i) v = (Т* — i) и. Так как Т а Т*, это можно переписать
так: (Т* — i) (и — v) = 0. Но размерность нуль-пространства
оператора Т* — i равна нулю, ибо т" = 0, и потому и — у = 0.
Таким образом, D (Т*) с: D (Г) и, значит, Т* = 7\
Обратно, пусть Т* = Т. Тогда 21* также симметричен, а раз-
размерность нуль-пространства операторов Т* ± i должна быть
равна нулю. Но эта размерность есть дефект для Т + i; следова-
следовательно, индекс дефекта оператора Т/ есть @, 0).
Неравенства C.14) следуют непосредственно из C.12).
Задача 3.17. Симметричный оператор Т является существенно само-
самосопряженным тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих
условий (ср. с задачей 3.10):
a) Т* не имеет невещественных собственных значений;
b) R (Т — ?) плотно в Н для.каждого невещественного ?;
c) R (Т — ?) плотно в Н для некоторого ? = ?' с Im ?,' > 0 и для не-
некоторого ? = ?" с Im ?" < 0.
Задача 3.18. Если Т самосопряжен и обратим, то Т~г также самосопря-
самосопряжен. [Указание: воспользуйтесь, например, задачей 3.11 и теоремой III.6.15.
Отметим, что Г определен на плотном множестве, так как из и ? R (Т)-*-
следует, что Ги = Т*и — 0, ц = 0.]
Задача 3.19. Если Т — замкнутый симметричный оператор с конечным
индексом дефекта, то Т* является конечным продолжением Т (см. п. III.2.1).
Задача 3.20. Пусть Г, S — замкнутые симметричные операторы, и пусть
S — конечное продолжение Т порядка г. Если Т имеет индекс дефекта
(пг', пг"), то индекс дефекта оператора S равен (т/ — г, т" — г).
Пример 3.21. Найдем индекс дефекта замкнутого симметричного опера-
оператора iT0 из примера 3.14. Так как (iT0)* = iT, достаточно решить уравне-
уравнения iTu = dziu, т. е. и' = +и. Решения этих дифференциальных уравнений
суть и (х) = се±х (где с — константа). Если интервал (а, Ъ) конечен, эти.
решения принадлежат D (Т) при любом с и удовлетворяют уравнениям iTu =
= ±iu. Таким образом, для обоих операторов iT ± i размерность нуль-
пространств равна 1; индекс дефекта для iTa есть A,1).
Если (а, Ь) = (—оо, -f-co), то указанные выше решения не принадлежат
Н, если с Ф 0. Таким образом, размерность нуль-пространства для iT ± i
равна нулю, и индекс дефекта оператора iT равен @, 0) 1). Это согласуется
с результатом, установленным в примере 3.14 и состоящим в том, что опера-
оператор iT = (iT)* в этом случае самосопряжен.
Рассмотрим теперь случай полубесконечного интервала (а, Ь), скажем
а = 0, Ъ = с». Тогда функция е~х принадлежит D (Г), а ех нет. Итак, раз-
г) Отметим, что iT не замкнут.
342 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
мерность нуль-пространства для iT — i равна нулю, тогда как для опера-
оператора iT + I она равна единице, и индекс дефекта оператора iT есть A, 0).
Замыкание iT есть максимальный симметричный оператор, однако он не само-
самосопряжен и не имеет самосопряженного продолжения. (На самом деле
Т = Ти)
Наконец, рассмотрим симметричный оператор iTs cz iT на конечном
интервале (я, Ь) с граничным условием и (Ь) = ей (я). Так как iTs симме-
симметричен и является продолжением iTo, а индекс дефекта г7'0 равен A,1), то
индекс дефекта iTs равен @, 0) и, стало быть, iTs самосопряжен.
Задача 3.22. Пусть Н = L2 (Е), а Т — максимальный оператор умно-
умножения на вещественную измеримую функцию / (х) (см. пример III.2.2). Тогда
Т самосопряжен.
.5. Резольвента и спектр самосопряженных операторов
Пусть Т — самосопряженный оператор в Н. Его спектр
2 (Т) есть подмножество вещественной оси, и резольвента R (?) =
= R (?, Т) = (Т — ?)-1 определена по крайней мере для всех
невещественных ?. В силу (III.6.50)
R (?)• = Д ("р. C.15)
Отсюда следует, что R (?) — нормальный оператор, ибо R (Р
для различных ? коммутируют друг с другом.
В частности, в силу B.4) имеем || R (Р || = spr R (?) и, сле-
следовательно, в силу результата задачи III.6.16,
|| Д (?) || = 1/dist (?, Б (Т)) < | Im ? Г1. .' / C.16)
Далее,
\\TR(Q ||= sup | Я. | | Х- ? I, C.17)
A2T)
ибо ГД (Q = 1 + ?Д (S), так что || TR (Q || = spr A + ? @)
= sup I 1 + ? (A, — p | = sup | X (X — ?)~х |. [Отметим, что
спектр 1 + ?Д (р есть образ Е (Т) при отображении Я-> 1 +
+ Б (Ь - Р.]
Если вещественное число а принадлежит резольвентному мно-
множеству Р (Т), то Р (Т) содержит некоторую окрестность а; мы
говорим тогда, что 2 (Т) имеет лакуну в точке а. Заметим, что
Р (Т) — связное множество, если 2 (Т) имеет хотя бы одну
лакуну.
Предположим, что 2 (Т) имеет лакуны в точках аи Р, а< р.
Пусть Г — замкнутая кривая, проходящая через а и Р и ограни-
ограничивающая часть 2 (Т) между аир. Далее, предположим, что
Г симметрична относительно вещественной оси [например, в каче-
качестве Г можно взять круг, для которого отрезок (а, |3) является
диаметром]. Спектр 2 (Т) разбивается кривой Г на две части;
часть 2' лежит в интервале (а, |3), а часть 2" лежит вне этого
§ 3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 343
интервала. Пусть
Н = М' Ф М" C.18)
есть соответствующее разложение пространства Н (см. п. 111,6.4).
Здесь М' и М" — ортогональные дополнения друг к другу, ибо
проектор Р на М' параллельно М" ортогонален:
Р* = Р; C.19)
это следует из определенных формулой (III.6.52) выражений
для Р и Р*, а они совпадают ввиду того, что Т* = Т и кривая Г
симметрична относительно вещественной оси.
Если 2 (Т) имеет изолированную точку Я, (которая обяза-
обязательно вещественна), то для R (?) = R (?, Т) мы получаем раз-
разложение Лорана (III.6.32). Здесь не только Р, но также D и S
симметричны (и ограничены). Из (III.6.28) следует, что D* = D,
а из (III.6.31), что S* = S. Но D как симметричный квазиниль-
потентный оператор должен быть нулевым (см. задачу 2.4). Сле-
Следовательно, (Т — 1) Р = 0 и А, — собственное значение Т с соот-
соответствующим собственным подпространством М' = РН. Отметим,
что в этом случае М' является как геометрическим, так и алгеб-
алгебраическим собственным подпространством. Далее, имеем
II 5 II = Ш, -где d = dist (I, 2"), C.20)
а 2" — спектр Т с единственной исключенной точкой К. Мы будем
называть d изолирующим расстоянием собственного значения к.
Соотношение C.20) можно доказать так же, как и C.16), если
принять во внимание то, что S можно рассматривать как значение
в точке к резольвенты части Гм» оператора Т, спектр которой
есть в точности 2" [см. (III.6.31)], и то, что М' _L M".
Аналогичные результаты имеют место при наличии в спектре
2 (Т) нескольких изолированных точек Я,ь . . ., Ks. Имеем
1см. (III.6.35)]
где Рь обладают следующими свойствами: ч
P*h = Ph, PhPh = 8hkPh, C.22)
a Ro (Q голоморфна при ? = Kh, h = 1, . . ., s. И снова Xh —
•собственные значения оператора Т с соответствующими собствен-
собственными подпространствами М^ = Р^Н, ортогональными друг
к другу.
344 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
6. Обыкновенные дифференциальные операторы
второго порядка ,,
Рассмотрим дифференциальный оператор
d du
Lu=~dl:P<-X'>dl+q^U' a<x<b' '¦ :C-23)
где p (x) — положительная непрерывно дифференцируемая функция, а
q (x) — вещественная непрерывная функция на открытом интервале (а, Ь).
Оператор L формально самосопряжен: М = L, где М — формально сопря-
сопряженный к L оператор, определенный формулой (III.2.27). Таким образом,
-pu'v]"a,, а<а'<Ь'<Ь. C.24)
а'
Рассмотрим линейные операторы Т, Т и т. д., построенные по i в
п. III.2.3, где теперь X = Я = L2 (а, Ь) (см. также пример III.5.32). В силу
(III.5.14) имеет место соотношение Т* = Т zd T, так что минимальный
оператор Т симметричен; Т существенно самосопряжен тогда и только
тогда, когда максимальный оператор Т симметричен (см. задачу 3.10). Будет
ли это верно, зависит от свойств коэффициентов р (х), q (x).
Это заведомо не так, если (а, Ь) — конечный интервал, функции р (х),
q (х) непрерывны в замкнутом интервале [а, Ь] и р > 0 (регулярный случай).
Тогда Т не является симметричным; замыкание Т есть в точности оператор Т„
с граничным условием и (а) = и' (а) = и (Ь) = и' (Ь) = 0 и То имеет индекс
дефекта B.2). Это очевидно, поскольку Т$ = Т и уравнение (Т ± i) и = 0
имеет два линейно независимых решения (принадлежащие Н). Существует
бесконечное множество самосопряженных операторов И таких, что То а
с: Н а Т. Не пытаясь определить все г) такие Н, отметим лишь, что Т\,
Т2 и Тз из п. III.2.3 являются такими операторами; это немедленно следует
из последних результатов примера III.5.32 ввиду того, что S = Т.
Желая получить типичный пример сингулярного дифференциального
оператора, рассмотрим случай, когда (а, 6) = (— оо, +оо). Мы покажем,
что Т существенно самосопряжен (а Т самосопряжен), если р (х) > 0 огра-
ограничена, a q(x) ограничена снизу на (—оо, +оо). Без ограничения общности
можно считать, что q (x) 5s 1> ибо добавление вещественной постоянной к Т
не влияет на его самосопряженность. Тогда
со
(Ти, и)= \ (р\ и' р+д |ц|2)йж> II ц||2, u?D(f), C.25)
так что числовая область значений в (Г) лежит справа от ? = 1, и это же
верно для в (Т) (см. задачу 3.7). Отсюда следует, что дополнение к в (Т)
есть открытое связное множество, содержащее начало координат. Поэтому
для доказательства самосопряженности Т достаточно показать, что R (Т)
имеет нулевой дефект или что размерность нуль-пространства оператора
Т = Т* равна нулю (см. п. 3 и 4).
По этому поводу см. Стоун [1].
§ 3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 345
Предположим теперь, что Ти = 0. Возьмем любую гладкую веществен-
вещественную функцию w (х), обращающуюся в нуль вне конечного интервала. Тогда
v = wu принадлежит D (Т) (см. задачу .5.33), и прямое вы сление
дает
Tv = Lv = wLu — (pw')' u — 2pw'u'.
Так как Lu=Tu = 0, отсюда следует, что
оо оо
(Tv, v)=— I (pw'y w\u\2 dx — 2 I pw'wu'udx =
I —OO — OO
ОЭ OO
= (" pw'*\ u\2dx + \ pw'w(uu' — u'u)dx C.26)
— OO —OO
(интегрирование по частям). Так как (Tv, v) вещественно, первый член в пра-
правой части C.26) вещественный, а второй чисто мнимый, то этот второй член
равен нулю. Поскольку (Tv, v)~^\\ v\\2, получим
ОО ОО ОО
(" w^\u\2dx = \\ у||2< [ pw'2 | и \2 dx < с [ w'2\u\*dx, C.27)
— оо —оо —оо
где р (х) -^ с по предположению.
Из C.27) легко получить, что м = 0. С этой целью положим w(x) рав-
равной 1 при | х |<; г с | w' |-< s всюду. Тогда C.27) дает
C.28)
f |u|2dx< (" и;2 | и Р dx < с [ w"i \ и Р dx < с«2 Г |ц|2Аг.
-г -оо -оо |ж|^г
При фиксированном s можно брать г сколь угодно большим. Полагая г -*- оо
оо
при фиксированном s, получаем \ | и |2 dx = 0, поскольку известно, что
— оо
и ? IA Таким образом, и = 0.
Задача 3.23. Сделанное вйше предположение о том, что функция р (х)
ограничена, может быть заменено более слабым условием, что интегралы
от р (х)-1/2 на интервалах (— оо, 0) и @, оо) расходятся.
Наконец, рассмотрим случай (а, Ъ) = @, оо) и предположим, что р (х)
положительна и ограничена, a q (х) ограничена снизу на [0, оо) *). Сообра-
Соображения, аналогичные приведенным выше, показывают, что Т имеет индекс
дефекта A,1). Типичное самосопряженное продолжение Tt оператора Т
получается сужением Т с помощью граничного условия и @) = 0.
И снова предположение о том, что р (х) ограничена, можно заменить усло-
вием I p (x)'1/2 dx = оо. Провести подробное доказательство мы предостав-
о
ляем читателю. ' ' . '
-1) Функция р (х) может стремиться к 0, a q (*); может; стремиться к + сх>
при х -*¦ оо. . - ..
346 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
7. Операторы Т*Т
Следующая теорема фон Неймана имеет фундаментальное
значение.
Теорема 3.24. Пусть Н, Н' — гильбертовы пространства,
а Т ^_% (Н, Н') определен па плотном множестве. Тогда опера-
оператор Т*Т самосопряжен в Н и D (Т*Т) есть ядро Т.
Доказательство. Как указано в п. 1, графики G (Т)
и G' (—Т*) являются ортогональными дополнениями друг к другу
в гильбертовом пространстве Н X Н'. Поэтому любой вектор
{и, и'} 6 Н X Н' можно представить в виде {v, Tv} -f- {—T*v', v'}
с некоторыми v и v', v ? D (Т), v' 6 D (T*). Если, в частности,
и' — 0, то и = v — T*v' и 0 = Tv -j- v'. Следовательно, Tv =
= — v' 6 D (Г*) и и = A + Т*Т) v. Так как и g Н — произ-
произвольный вектор, то оператор S = 1 + т*Т имеет область зна-
значений, совпадающую с Н. Легко видеть, что S'1 симметричен
и || S'1 || ^ 1. Таким образом, S симметричен и принадлежит
33 (Н); значит, он самосопряжен. Следовательно, S и Т*Т также
самосопряжены (см. задачу 3.18). Отсюда следует, что Т*Т плотно
определен, что отнюдь не очевидно.
Чтобы доказать, что D = D (Т*Т) — ядро Т, достаточно пока-
показать, что множество всех элементов {v, Tv} с v 6 D плотно в G (Т)
(см. п. III.5.3). Таким образом, нам нужно показать только, что
элемент {и, Ти} с и f D (Т), ортогональный всем {v, Tv}, где
v ? D, равен нулю. Но из этого условия ортогональности следует,
что 0 = (и, v) + (Ти, Tv) = (и, A + Т*Т) v) = (и, Sv). А так как
Sv заполняет все пространство Н, когда v пробегает D, то и = О,
что и требовалось доказать.
Пример 3.25. Рассмотрим операторы Т, То и т. д. из примера 3.14 для
конечного интервала (а, Ь). Мы знаем, что Т% = —Т,Т*= —Т2, Т% = — Ti,
у* = __у0 (см. также пример III.5.31). Итак, имеем Т*Т = —Т0Т; это
дифференциальный оператор —d2/dx2 с граничным условием Ти ? D (То),
т. е. и' (а) = и' (Ь) = 0 (совпадающий с Т2 из п. III.2.3 в специальном слу-
случае, когда р0 = —1, Pi = Рг = 0, ha = Ъь = 0). Далее, имеем Т%Т0 =
= —ТТо', это тот же дифференциальный оператор —d2/dx2 с граничным
условием и (а) = и (Ь) = 0 (он совпадает с Ti из того же примера).
Наконец, T*Ti = —^2^1 есть тот же дифференциальный оператор с гра-
граничным условием и (а) = и' F) = 0, а Т%Т% = —Г1Г2 получается из него
заменой а на 6 и 6 на а. Самосопряженность этих дифференциальных опера-
операторов является непосредственным следствием теоремы 3.24.
Пример 3.26. Конструкция, подобная указанной выше, в применении
к дифференциальным операторам второго порядка из п. III.2.3 с X = Н =
= L2, приводит к различным самосопряженным дифференциальным опера-
операторам четвертого порядка.
§ 3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ '¦ ¦ 347
8. Нормальные операторы *¦¦
Самосопряженные операторы представляют собой особый слу-
случай нормальных операторов. Определение не обязательно огра-
ограниченного нормального оператора в гильбертовом пространстве Н
формально такое же, как для нормального оператора из $8 (Н):
Т является нормальным оператором, если он замкнут, определен
на плотном множестве и
Т*Т = ТТ*; C.29)
заметим, что оба оператора Т*Т и ТТ* самосопряжены (см. пре-
предыдущий пункт). Из C.29) следует, что || Ти || = || Т*и || для
и 6 D = D (Т*Т) = D (ТТ*). Так как D является ядром для Т
ж Г*, то D (Т) = D (Т*) == Bi (=dD) и || Ти || = || Г*м ]| для
любого и 6 Dj.
Для любых комплексных чисел ?, ?' имеем
D[(f* — ?') (Г — ?)] = D. В самом деле, из того, что
«6D [(Т* — t'M2"— ?)L вытекает, что и 6 Di и Ги — ^и 6 Di5
следовательно, Гм ? D4 и поэтому и 6 D. Обратное включение
очевидно. Поскольку, аналогично, D [(Т — ?) (Г* — ?')] = D,
то из C.29) вытекает, что (Г* — ?') (Г — Q== (Г — Q (Т7*— ^').
Отсюда, в частности, следует, что если ? g Р (Г) и ?' g Р (Т7*),
то [мы пишем R (Q = Д (S, Г). д* (?) = ^ (S, Г*)]
Л* (?') R{Q = R Ш R* (О- C.30)
Равенство C.30) означает просто, что резольвенты R (Q
и /?* (^') коммутируют. Поскольку в силу (III.6.50) R* (?') =
= /? (?')*' то -^ @ ~~ нормальный оператор. Как и в C.16)
и C.17), имеем
^t^ll^'ymr sup IS-^I»
, Z(i)) xes(T) ; -331
.. || гл (s, Г) и = sup |&,(c-a,)-i|.
Предположим, что спектр 2 (T) нормального оператора Т
разделен на две части 2' и 2". Проектор Р, ассоциированный
с этим разбиением, и его сопряженный Р* снова задаются фор-
формулами (III.6.52). Из C.30) следует, что Р и Р* коммутируют,
так что Р нормален. Как и в конечномерном случае, это означает,
что Р — ортогональный проектор (см. задачу 1.6.30). Если 2'
состоит из одной точки, то соответствующий квазинильпотентный
оператор D аналогичным образом оказывается нормальным,
а значит, D = 0 (см. задачу 2.4). Таким образом, мы приходим
к тому же выражению C.21) для R (Q, как и в случае самосопря-
самосопряженного оператора Т, когда 2 (Т) содержит изолированные соб-
собственные значения ?ч, . . ., А,„, с единственным отличием в том,
что собственные значения %h не обязательно вещественны.
348 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Задача 3.27. Если Т нормален, то Г и Г* имеют одинаковое нуль-
пространство.
Пусть Т — нормальный оператор с компактной резольвентой
(см. п. III.6.8). Применение B.19) к резольвенте R (?) = R (?, Т)
со
приводит к формуле i? (?) — 2 V-hPh, гДе fH — собственные
/i—i
значения R (?) и \ih-+0 при й-*-оо, а Р^— соответствующие
собственные проекторы. Ортогональное семейство {Р^} полно,
так как R (Q имеет нуль-пространство, состоящее из одного нуля
(см. теорему 2.10). Но R (Q и Г имеют одинаковое множество
собственных проекторов, а собственные значения Xh оператора Т
связаны с ]ih соотношением цк = (Xh — ?)-1. Таким образом,
получаем
д@ 2 ^ ^ *¦¦'¦ (з32)
2^/1—1 (сильная сходимость). C.33)
/i=i
Пример 3.28. Равенство C.32) справедливо для всех самосопряженных
сужений оператора IT из примера 3.21. Это же верно для всех самосопряжен-
самосопряженных сужений оператора Г из п. 6 в регулярном случае (см. пример III.6.31).
Все эти операторы имеют дискретные спектры, состоящие из вещественных
собственных значений конечной кратности (которая не превышает порядка
т. рассматриваемого дифференциального оператора, поскольку дифферен-
дифференциальное уравнение порядка т имеет не более т линейно^независимых
решений).
9. Приведение симметричных операторов
Предположим, что симметричный оператор Т разложен в соот-
соответствии с разложением пространства Н = МФ М в прямук>
сумму взаимно ортогональных подпространств М и М~. В силу
(III.5.24) это возможно только тогда, когда Т коммутирует
с ортогональным проектором Р на М:
РТ<= ТР. C.34)
В этом случае мы говорим, что Т приведен подпространством М.
Так как 1 — Р|есть проектор на М , то Т приводится подпро-
подпространством М тогда и только тогда, когда он приводится подпро-
подпространством М .
Симметричный оператор ТТ приводится подпространством
М тогда и только тогда, когда из и 6 D (Т) следует, что Ри 6
§ 3 НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ - .' 349
? D (Т) и ТРи ? М. Утверждение «только тогда» очевидно в силу
C.34); докажем утверждение «тогда». Из нашего предположения
следует, что ТРи = РТРи для каждого и ? D (Т). Следовательно,
(и, PTPv) = (РТРи, v) = (ТРи, v) = (и, PTv) для всех и, v 6
? D (Г), откуда РГРу = PTv. Итак, 2Тм = РТРи = РГм для
u E D (Г), что эквивалентно соотношению C.34).
Задача 3.29. Пусть Н = М4 © М2 © . . . © М„ есть разложение Н
в прямую сумму взаимно ортогональных подпространств. Если симметрич-
симметричный оператор Т приводится каждым Mj, то Т разлагается в смысле п. III.5.6
в соответствии с указанным выше разложением пространства Н.
10. Полуограниченные и аккретивные операторы
Говорят, что симметричный оператор Т ограничен снизу, если
его числовая область значений (являющаяся подмножеством
вещественной оси) ограничена снизу, т. е. если
(Ти, и) > 7 (", и), и 6 D (Т). . ...; C.35)
В^этом случае мы пишем Т ^ у. Наибольшее число у, обладающее
этим свойством, называется нижней границей (или нижней гранью)
Т. Аналогично определяется ограниченность сверху и верхняя
грань. Симметричный оператор, ограниченный сверху или снизу,
называется полуограниченным.
Если Т ограничен одновременно сверху и снизу, то он огра-
ограничен и его норма равна наибольшей по абсолютной величине
грани. Доказательство такое же, как в конечномерном случае
1см. A.6.33)]. В этом случае Т 6 <$ (Н), если Т замкнут.
Если Т самосопряжен, то Т ограничен снизу (с нижней гранью
7т) тогда и только тогда, когда 2 (Т) ограничено снизу (с нижней
гранью ух). В самом деле, пусть Т ограничен снизу. Тогда откры-
открытое множество А, дополнительное к замыканию © (Т), связно,
включает в себя вещественные числа ?, ?,<Сут, и содержится
в резольвентном множестве Р (Т) (см. теорему 3.2). Ита'к, S (Т)
ограничено снизу и его нижняя грань Yz ^ Ут- Обратно, пусть
2 (Г) ограничено снизу, а 7х есть нижняя грань. Положим Т' =
= Т — 72- Спектр Т' лежит на неотрицательной вещественной
полуоси, и для любого а > 0 имеем, в силу C.14), || (Т' + а) || =
= а. Поэтому для любого и ? D (Т) выполняется неравенство
"|| и || ^ а || (Т' + а) и || и, следовательно,
Г || и ||2 < а || Т'и ||2 + 2а" (Ги, и) + || и ||2, C.36)
или 0 ^ а || Т'и ||2 + 2 (Т'и, и). Устремляя а к сю, получаем,
что (Т'и, и) > 0, так что Т' > 0, Т > ух- Таким образом, Т огра-
ограничен снизу и 7т ^= 7х-
350 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Оператор ГвН называется аккретивным х), если его числовая
область значений в (Т) есть некоторое подмножество правой полу-
полуплоскости, т. е. если
Re (Ти, и) > 0 для всех и ? D (Т). C.37)
Если Т замкнут, то, как следует из результатов п. 2^
def (Т — ?) = ]i постоянен для Re Z, < 0. Если \i = 0, то откры-
открытая левая полуплоскость содержится в резольвентном множе-
множестве Р(Г)и
Оператор Т, удовлетворяющий условиям C.38), мы будем назы-
называть m-аккретивным 2).
т-аккретивный оператор Т является максимальным аккретив-
аккретивным оператором в том смысле, что Т аккретивен и не имеет соб-
собственных аккретивных продолжений. Действительно, рассужде-
рассуждения, использованные выше, приводят к неравенству C.36), в кото-
котором 7" заменено на Г и (Т'и, и) — на Re (Ти, и), а также к тому,
что Re (Ти, и) ^ 0. Таким образом, Т аккретивен. Пусть Тг —
аккретивное продолжение Т. Тогда B"i ~j- Х)~г существует и яв-
является продолжением (Т -\- X)'1 при Re k > 0. Но область опре-
определения последнего оператора есть все Н, поэтому G\ + X)
и (Т -\- X)'1 совпадают, а значит, и Т± = Т.
m-аккретивный оператор Т определен на плотном мно-
множестве. В самом деле, поскольку D (Т) есть область значений
оператора (Т -f- X)-1, Re X > 0, достаточно показать, что из
((Т -f X)-1m, v) = 0 для всех и ? Н следует, что v = 0. Полагая
и = v и (Г + X) и = и;, получаем: 0"= Re ((Т + X) у, у) =
= Re (w, (T + X) w) ^ Re X || ю ||2; следовательно, ю = 0, у = 0.
Будем говорить, что Т7 — квазиаккретивный оператор, если
2" -f- а аккретивен для некоторого числа а. Это эквивалентно-
условию, что О (Т) лежит в полуплоскости вида Re t, ^ const.
Аналогично будем говорить, что Т — квази-тп-аккретпивный опера-
оператор, если Т + а является m-аккретивным для некоторого а.
Как и яг-аккретивные операторы, квази-77г.-аккретивные опе-
операторы максимальны и плотно определены.
х) В этом случае оператор —Т называется диссипативны.ч. Диссипатив-
ные операторы изучались Фридрихсом [6] (в этой работе и был вве-
введен термин «аккретивный») и Филлипсом [2] — [4]. См. также Д о л ь ф
[1], [2], Дольф и Пенцлин [1], М. С. Лившиц [1], Брод-
Бродский и Лившиц [1]. Некоторые авторы определяют диссипативпый
оператор условием Im (Ти, и) ^ 0. Л ю м ер и Филлипс [1] дали
определение диссипативяых операторов в банаховых пространствах.
2) m-аккретивный оператор эквивалентен замкнутому максимальному
аккретивному оператору; здесь мы не доказываем полностью этого утвер-
утверждения; см. Филлипс [3].
§ 3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ " - .' 351
Задача 3.30. Если Т — аккретивный и обратимый оператор, то Т'х
аккретивен.
Задача 3.31. Если Т есть m-аккретивный оператор, то Т*, (Т + V)-1
и Т (Т + X)-1 также m-аккретивны при Re % > 0. Если Т является т-ак-
кретивным и обратимым, то Т~х тоже ти-аккретивен.
Задача 3.32. Если Т симметричен, то Г является m-аккретивным опера-
оператором тогда и только тогда, когда он самосопряжен и неотрицателен. Если
Т самосопряжен и неотрицателен, то такое же утверждение верно для
(Т + к)-1 и Т (Т + к)-* при I. > 0. Кроме того, || Т (Т + 7,)-1 || < 1 и
0 < (Т A Н- аТ)-1 и, и) < (Ти, и), u?D(T), а > 0. C.39>
Задача 3.33. Если Г является тга-аккретивным, то A + п^Т)-1 -> 1
в сильном смысле. [Указание: \\ A + п^Т)-1 \\ <1 и || A + п^Т)-1 и —
— и || = ге II A + га?1)-1 Ги || < гс-1 |1 Ги Ц -*¦ 0, если и 6 D (Г).)
У некоторых квазиаккретивных операторов Г числовая область
значений О (Г) не только лежит в полуплоскости Re Z, ^ const,
но является подмножеством сектора | arg (? — у) | ^ 6 <С л/2.
В таком случае Т называется секториалънозначныж или просто-
векториальным оператором; 7 и 6 называются вершиной и геодг/-
углом секториального оператора Т (они определены неоднознач-
неоднозначно). Оператор Т называется m-секториалъныж, если он сектори-
альный и квази-??г-аккретивный.
Если Т есть яг-секториальный оператор с вершиной у и полу-
полууглом 8, то 2 (Т) представляет собой подмножество сектора
[ arg (?'— у) |^6. Другими словами, Р (Т) содержит внешность
этого сектора. Это следует из теоремы 3.2, поскольку дополнение
к в (Г) является связным множеством.
Пример 3.34. Рассмотрим формальный регулярный дифференциальный
оператор Lu = р0 (х) и" + pt (х) и' + р2 (х) и на конечном интервале [а, Ь]
(см. п. III.2.3), где pk (х) вещественны и р0 (х) < 0. Пусть Т^ — оператор,
определенный в гильбертовом пространстве Н = L2 (а, 6) по оператору L
с граничным условием и (а) = и (Ь) = 0 (см. п. III.2.3). Покажем, что Т\
является m-секториальиым оператором.
Для и 6 D (Ti) имеем ,
(Till, и)= \ (рои"-гPiU'+ p2u) udx=
ъ '
пах.
Так как —р0 (х) 5> т0 > 0 и \Pi(x) — р'0(х)\?СМ\, \ р2 (х) | <^ М2 с некото-
рыми положительными постоянными т0, М±, М2, то
Re (Тщ, и) > то0 f | и' |2 Лг — Aft f | и' \\ и \ dx — М2 \\ и |* &,
Im \ (pj — ро) м'м ^ж < -^1 1 I м' I I и I ^ж-
, и) | =
352 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Следовательно, для любого ft > О
Re (Z>, и) — ft | Im (Г,м, и) | >
>m0
f | м'Р^ж —A + А;) Afi f | и'| J i* ( dar—ЛГа f | и
где 8 > 0 произвольно. Если 8 выбрано так, что тге0—8 A -j- ft) М4 > 0, то
Re (fjM, и) — ft | Im (Tiu, «) [ > у («, «) для некоторого отрицательного у.
Таким образом,
|Im(Z>, и) |<-j-Re ((ft— у) и, и).
К
Это означает, что 0 (Tt) лежит в секторе с вершиной у и полууглом 9 =
= arctg (I/ft). Таким образом, 7\ — секториальный оператор с произвольно
малым полууглом.
Чтобы показать, что ft квази-тге-аккретивен, достаточно заметить, что
(Ti + Я,)* = Si + Я, где А, вещественно, а 54 — оператор в Н, определенный
по формально сопряженному к L оператору М (см. пример III.5.32). Опера-
Оператор Si секториальный, также как и оператор Гь и 5t + X имеет размерность
нуль-пространства равную 0, если Я, достаточно велико. Итак, дефект опе-
оператора Ti + Я, равен нулю, а значит, Tj — квази-тге-аккретивный оператор.
Нетрудно доказать, что аналогичный результат справедлив для диффе-
дифференциального оператора второго порядка в частных производных эллипти-
эллиптического типа.
11. Квадратный корень m-аккретивного оператора
Целью этого пункта является доказательство следующей
теоремы 1):
Теорема 3.35. Пусть Т есть т-аккретивный оператор. Суще-
Существует единственный т-аккретивный квадратный корень Т1/2
оператора Т, такой, что (Г1/2J = Т; Т1/2 имеет следующие свой-
свойства:
i) T1/2 есть т-секториалъный оператор с числовой областью
значений, содержащейся в секторе | arg t, \ ^ я/4;
ii) D (Т) — ядро оператора Т1/2;
in) T1/2 коммутирует с любым оператором В ? $} (Н), ком-
коммутирующим с Т;
iv) если Т самосопряжен, и неотрицателен, то это же верно
и относительно Г1/2.
Доказательство начнем с рассмотрения специального случая,
когда Т — сильно аккретивный оператор, т. е. Re (Tu, и) ^
^ б || и ||2, и ? D (Т), б > 0. Отсюда следует, что Т — б является
да-аккретивным; поэтому
II (Т + О || < (Re I + б)-1, Re ? > 0. C.40)
Ср, Л а н г е р [1].
5 3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ' ¦¦¦ ' 353
Определим теперь оператор А при помощи интеграла Данфорда —
Тейлора:
J-1/2Cr'-S)-1dS; . C.41)
здесь контур интегрирования Г принадлежит резольвентному
множеству оператора Т, начинается и оканчивается на —оо
и обходит в положительном направлении начало координат (это
возможно, ибо Р (Т) содержит полуплоскость Re ? < б). Зна-
Значения ?~1/2 должны быть выбраны так, чтобы ?/2 >0в точке,
где контур Г пересекает положительную вещественную полуось.
Интеграл C.41) сходится абсолютно в силу неравенства C.40).
Таким образом, А определен и принадлежит ЭВ (Н).
~К
Лемма 3.36. А2 = Т
Доказательство. Возьмем еще одно выражение для А,
в котором контур интегрирования Г заменен немного сдвинутым
контуром Г', не пересекающим контур Г, и перемножим два эти
выражения. Так как двойной интеграл сходится абсолютно,
порядок интегрирования безразличен. Применяя резольвентное
уравнение для (Т— Q (Т— V), приходим к такому резуль-
результату:
j~1G'-?)"ld?==7V- C'42)
Это в точности такой же прием, как и в доказательстве соотно-
соотношения A.5.17).
Из равенства Аг = Т^1 следует, что А обратим, ибо если
Аи = 0, то Т~ги = А2и = 0 и и = 0. Определим теперь Ti/2 так:
Ti/2 = А-1, так что T~i/2 = (Г172) = А. Заметим, что в силу
C.41) T~i/2, а также Т1'2 коммутируют с резольвентой (Т — П.
if?
Более удобное выражение для Т~ получается деформацией
контура интегрирования Г к контуру, состоящему из верхнего
и нижнего берегов разреза вдоль отрицательной вещественной по-
полуоси. Полагая ? = —А- и замечая, что ?~1/2==н=А~ /2,
получаем
ОО
. • ¦•¦ Г-1/2 = If ^-1/2G*+Л,) ЙЛ,. ' C.43)
о
Отсюда видно, в частности, что Т~ — неотрицательный само-
самосопряженный оператор, если Т самосопряжен, ибо (Т + К)'1
обладает этими свойствами. В общем случае Т~ аккретивен,
так как (Т + Я) — аккретивный оператор, откуда следует, что
23 т. Като
354 Гл- V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Т1/2 то-аккретивный (см. задачу 3.31). Кроме того,
ОО * °О
|| Т- 1/2 || ^1 f I- 1/2 || (Г _Ц Ц-1 || dk-tC-^ J A," I/2 (к + б)-1 d% = б- 1/2.
О О
C.44)
Лемма 3.37. (Г1/2J = Т.
¦ Доказательство. Пусть и ? D G1). Так как ^2Гм = и,
то м ? R D) = D (Т1/2) и Г1/2и = А~Ч = АТи. Следовательно,
Ti/2u ?D (TU2) и Г1/2 (TU2u) = А-гАТи = Tu. Обратно, пусть
ii?D ((Г1/2J); положим v = (Г1/2J и. Тогда T^v = 42 (Г1/2J и =
= 4 (Г1/2и) = и, так что и 6 D (Л И ^w = v = (Г1/2J м. Лемма
доказана.
Лемма 3.38. D (Т) является ядром Ti/2.
Доказательство. Пусть и g D (Т / ); мы должны пока-
показать, что существует последовательность ип ? D (У) такая, что
м -> м и Г1''2 (и„ — м) -> 0. Такой последовательностью является,
например, последовательность ип = A + п^Т)'1 и = п(Т-\- и)-1и.
В самом деле, ясно, что ип 6 D {Т). Положим v = Ti/2u; тогда
и — Av и ип = п (Т + га)" Av = пА (Т + и) у (см. замечание
выше), так что Ti/2un = п (Т + п)'1 v -> v = Т1/2и (см- зада-
задачу 3.33).
Попутно отметим, что справедлива формула
\ C.45)
которая получается из C.43) заменой и на Ти с учетом того, что
T'i/2Tu = Ti/2u, в силу леммы 3.37.
Задача 3.39. Доказать, что Ro (Ti/2u, и) > б1/2 || и ||2, и g D (Г1/2). [Ука-
Re ((Г+ X) Г», и) > 6 F + X) || u |p.J
Лемма 3.40. Предложение i) теоремы 3.35 имеет 'место, если
Т — сильно аккретивный оператор.
Доказательство. Мы получим из C.41) еще одно
представление для А, деформируя контур интегрирования Г
к двум берегам разреза вдоль луча ? = — Xeie, 0 < X < оо, где
9 — фиксированный угол с | 9 | < я/2. Вычисления, аналогич-
аналогичные использованным при выводе C.43), дают .
е^)-1 dX; C.46)
§ 3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ •¦ 355
интеграл абсолютно сходится, так как || (Т + Хе19)'1 || ^
^ (б + X cos 9)-1 в силу C.40). Оператор Т + Xeie аккретивен
одновременно с Т, ибо Re Xeie = X cos 9 > 0; значит, и (Т + Хе1в)~г
также аккретивен. Следовательно, е~ш/2 {Т~У2и, и) имеет, в силу
C.46), неотрицательную вещественную часть. Так как это спра-
справедливо для | 9 | <С я/2, то значения {Т~У2и, и) лежат в секторе
| arg Z, [ ^ я/4; это условие можно записать так:
| Im {ТУЧ, и) К Re {ТУЧ, и), и ? D {ТУ2). C.47)
Предложение ш) следует из формулы C.41), которая показы-
показывает, что А = Т~У2 коммутирует с В. Сопоставляя полученные
выше результаты, видим, что наша теорема доказана в специаль-
специальном случае сильно аккретивного оператора Т, за исключением
единственности ТУ2. Докажем при некоторых ограничениях
единственность У1/2.
Лемма 3.41. Предположим, что Т сильно аккретивен и что
существует т-аккретивный оператор S, такой, что S*1 = В ?
HS2 = Т. Тогда S = ТУ2.
Доказательство. Оператор В — S'1 коммутирует
с В2 = Т~~г, а значит, коммутирует с Т и с резольвентой {Т — ?)~"х
(см. теорему III.6.5). Из C.41) следует, что В А = АВ. Так как
А2 = Т-1 = В\ то {А + 5) {А —В) = А2 - В2 = 0. Поэтому
для любого и ? Н имеем {А + 5) v = 0, где v = {А — В) и.
Отсюда Re {Av, v) + Re {Bv, v) = Re {{A +5) v, v) = 0. Но оба
выражения {Av, v) и {Bv, v) имеют неотрицательные веществен-
вещественные части, ибо А и В — аккретивные операторы; поэтому
Re {Av, v) = 0, или Re {w, T1/2w) = 0, где w = Av. Так как
Re {w, T1/2w) ^ 61/2 || w ||2 в силу результата задачи 3.39, то
w = 0, {А — В) и = v = ТУ2ю = 0, а поскольку и произвольно,
то В = А и, следовательно х), S = ТУ2.
Теперь мы избавимся от сделанного выше предположения
о сильной аккретивности оператора Т. Пусть Т является т-аккре-
тивным. Для любого е > 0 оператор Тг = Т + е сильно аккре-
аккретивен, так что T\l2 = Ss, может быть построен так же, как выше.
Покажем, что в некотором смысле существует Hm Se = S.
Е-+0
Для любого и ^D{Te) = D (Г) мы имеем для SEu выражение
C.45), в котором Т заменено на Тг. Так как {ТЕ-^-Х)~1Теи =
Е + %)~1и, то -fL(Te + h)-1Teu =
= X {Т + 8 + Х)-2и = X {ТЁ+Х)~2и= — Х^г- {Те+Х)-^. Следовательно,
%) Использованное здесь рассуждение является обобщением доказатель-
доказательства Рисса и Секефвльвл-Надя [1], в котором рассматри-
рассматриваются симметричные операторы Т ^ 0.
23»
35б Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
d
de,
0
= — \'к-и*{Тг + Кг1иа% = ^Т1тщ . C.48)
0
здесь произведено интегрирование по частям и использовано
C.43) для Tzi/2. Интегрируя C.48) от г| до е, где 0<Ст|<е,
?
получаем: Ssu—Snu = y \ T^i/2ude. Используя оценку || Т
<^8~4/2, которая вытекает из C.44), получаем:
8
Л SeK—VIKlJH Те 1/2и || de<-
ё1/2
Я Т1
C.49)
Это показывает, что lim Seu = S'u существует для и 6 D (Г)
е->-0
И ЧТО
|| Seu - S'u И < е1/2 || ц ||, и € D (Т). C.50)
Таким образом, оператор S' — 5Е [с областью определения D (Т)]
ограничен, а его норма ^е1/2. Так как D (T) =D (TE) есть ядро
Se, (см. лемму 3.38), то из теоремы об устойчивости замкнутости
(теорема IV.1.1) следует, что S' замыкаем и замыкание S — S'
имеет ту же область определения, что и 5Е [откуда в свою очередь
вытекает, что D (Se) не зависит от е]. В то же время неравенство
C.50) может быть распространено на все и ? D (S) с заменой
в левой части S' на S. Поэтому можно написать
SB = S + Be, Be б & (Н), || Вг || < е1/2. C.51)
Так как EЕм, и) -> Eм, м) при е -> 0, и е D E) = D EЕ), то
5 — секториальный оператор, причем в E) содержится в сек-
секторе | arg Z, | ^ л/4, ибо это справедливо для 5е. Кроме того,
любое ?, лежащее вне этого сектора, принадлежит резольвент-
резольвентному множеству оператора S, в силу представления R (?, 5)
с помощью ряда Неймана для S = 5? — Ве, где е выбрано столь
малым, что е1/2 меньше расстояния от ? до этого сектора. Это
показывает, что 5 то-аккретивен.
Лемма 3.42. 5я = Т.
Доказательство. Пусть и ? D (jT); положим v& =
= 5Ем. Имеем vE —> 5м, е —> 0. Поскольку мы знаем, что 5§ =
= Те, то Уе 6 D Eе) = D E) и 5еу8 = ГеМ. Следовательно,
§ 3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 357
Sv,, ¦= (Se — Ве) vz = Tzu — BevE ->¦ Ти при e -> 0. Так как
S замкнут, то Su ? D E) и 55и = Ги. Таким образом, доказано,
что Т <= S2. Отсюда Г + 1 с S2 + 1 = (S + i) {S - i), и поэто-
поэтому {Т+ i)-1a{S— i)-4S+ 1)-1. Но (Г + 1) и {S±i)~1
принадлежат 38 (Н); поэтому вместо последнего включения надо
поставить знак равенства, откуда в свою очередь следует, что
Т = S2.
Полагая S = Т1'2, видим, что предложения i), ii) теоремы 3.35
доказаны [ii) следует из того, что S = S'h Предложение iv)
очевидно, ибо Sz и S симметричны и, следовательно, самосопря-
самосопряжены, если Т — самосопряженный оператор.
Лемма 3.43. Равенство C.45) справедливо в общем случае.
Доказательство. Интеграл в C.45) сходится
абсолютно, ибо \\ к~У2 (Т + К)'1 || < К~3!2 при Я^-оо и
|| Х-1'-2 (Т + К)'1 Ти || < 2X-V2 || и || при А,-*- 0. Соответствующее
интегральное представление для Те/2и обладает теми же свой-
свойствами, причем оценки не зависят от е. Так как {Tz -f- Я) ТЁи —
- (Т + к)-1 Ти = -X [(Те + к)'1 и — (Т + X)-1 и]^0 при е -»-
->¦ 0 для каждого Я> 0, то в силу принципа мажорантной схо-
сходимости Т\>ги сходится к правой части формулы C.45). Посколь-
Поскольку Т1[2и ->¦ Т1/2и, то Т1/2и должно быть равно правой части C.45).
Лемма 3.44. Справедливо предложение ill) теоремы 3.35.
Доказательство. Оператор В коммутирует с Те —
= Т + е, а значит, и с Se = 7\!/2, в силу доказанного выше. Как
легко видрть, (Se + I)-»- E + I) при 8 -> 0; поэтому В
коммутирует с (S -f- 1); а следовательно, и с 5 = Г1/2 (см. тео-
теорему III.6.5).
Лемма 3.45. Пусть R — любой т-аккретивный квадратный
корень из Т: i?2 = Т. Тогда R коммутирует с резольвентой опе-
оператора Т и D (Т) — ядро R.
Доказательство. Пусть А- Ф 0 вещественно; тогда
область значений (R — iX) (R + iX) = R2 + X2 = Т + ^2 есть
все Н, и это же верно относительно R — iX. С другой стороны,
размерность нуль-пространства оператора R — iX равна нулю,
ибо если Ru = гХи, то Ти = R2u = iXRu = —Х2и, т. е.
(Т + Х2)и = 0яи = 0. Таким образом, ±i^€ Р (Щ и (Т + ^2) =
= (R — iA,)' (Л + iA,) и, стало быть, R коммутирует с (Т -\- X2)'1.
Отсюда также следует, что D (Д)гэ D (Т) и (Л — ii) D (Т) =
= R [(Л — а) (Г + X2)-1] = R [(Л + г^)'1] = D (R) плотно в Н.
так что D (Т) есть ядро R. . .
358 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Лемма 3.46. Существует единственный т-аккретивный квад-
квадратный корень из Т.
Доказательство. Пусть R — любой т-аккретивный
квадратный корень из Т; тогда Д 4~ е сильно т-аккретивен
при любом 8 > 0 и {R 4- еJ = R2 + 2еД 4- е2 = Т 4- 2еД +
4- е2 == Qe также сильно аккретивен и даже то-аккретивен. Что-
Чтобы доказать последнее, достаточно заметить, что оператор R
ограничен относительно Т, поскольку D(R)^>D(T) (см. заме-
замечание IV.1.5), так что (Qe 4- I) ? 38 (Н) для достаточно малых г
(см. теорему IV. 1.16). В силу леммы 3.41, R -\- г совпадает с един-
единственным квадратным корнем QV2.
Пусть u?D (Г); тогда и 6 D (Д) и (Д 4- е) и -> Ru, г -> 0.
С другой стороны, как будет показано, Ql/2u -> T11/2^. Поэтому
Дц = Тг^и для и ^ D G1). Так как D (Т) является ядром для Д
и Т1/2 (см. лемму 3.45), то R = Т1!2, что и требовалось доказать.
Чтобы доказать, что Ql/2u -> Г1/2м, е -> 0, и 6 D G1), мы вос-
воспользуемся формулой C.45) и аналогичным выражением для
Q\l2u (см. лемму 3.43). Поскольку (Г4-^)~1 Ти — и — %(Т-{.%)-1и,
мы имеем
оО
Ql^u — TViu^ -
= -ljX</2 «?e 4- Я) BД + е) (Т 4- *,)-% йЯ. C.52)
о
? со
Для оценки этого интеграла разобьем его на две части: и ,
0 е
причем в первом интеграле будем использовать первую часть
формулы C.52), а во втором — вторую. Заметив, что Д комму-
коммутирует с (Т 4- ^)-1 (см. лемму 3.45), получим:
я||#/2ц_г1/2и||<|
о
||BД + в)и|| =
= 481/21| и || 4- 2s1/21| BД + е) и || -> 0, е -> 0.
Задача 3.47. Если Т ? & (Н) — симметричный и неотрицательный опе-
оператор, то И Г1'2 || = И Т ||1'2. ...
§ 3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 359
Задача 3.48. Если Т есть тге-аккретивный оператор, то следующие усло-
' вия на и эквивалентны: а) Ти = 0, b) Ti/Zu = 0, с) (X + Т)-1 и = Х~1и,
%> 0.
Теорема 3.49. Пусть Т — m-аккретивный оператор. Он имеет
компактную резольвенту тогда и только тогда, когда Т1^ имеет
компактную резольвенту.
Доказательство. Пусть S = Т1/2. Доказанная выше
(при доказательстве леммы 3.42) формула (Т -f-1) = (S + i)X
X(S-i)'1 показывает, что Т имеет компактную резольвенту,
если S имеет компактную резольвенту. Чтобы доказать обратное
утверждение, положим, как и выше, Ts = T -f- e и Ss = ТУг.
Оператор S^1 задается формулой C.43), в которой справа Т
заменен на Те. Так как интеграл сходится по норме и (Ts + Я)
компактен для всех А-> 0, то ^г1 компактен. Таким образом, Se
имеет компактную резольвенту, так что A -f- ^g) компактен.
Далее, в силу C.51)
|| A + Ss)-1 - A + S)-1 || = || A + S,)'1 A + S)-1 (S - Se) || <
^ || В. II ^ e1/2 -> 0 при 8 -> 0.
Следовательно, A + S)'1 компактен и S имеет компактную резоль-
резольвенту.
Замечание 3.50. Более общо можно определить дробные сте-
степени Та, 0 <; а <с 1, /п-аккретивного оператора Т с помощью кон-
конструкции, аналогичной приведенной выше для Г1/2. Если Т —
строго m-аккретивный оператор, то для получения Т~а можно
просто заменить ?,~1/2 на ?,~а в формуле C.41). Формула, соответ-
соответствующая C.43), е э'юм случае имеет такой вид:
,р-а sin ЯСС Г \-а IT J_ 1 \-1 fl\ CQ 53^
. I , ¦ 0
Общий случай допускает изучение методом, описанным в данном
пункте. Следует отметить, что степени Та могут быть определены
для более общего класса операторов, действующих в банаховом
пространстве.
Задача 3.51. Пусть 7^, Т суть тге-аккретивные операторы, такие, что
Тп -*¦ Т в обобщенном смысле. Тогда (Тп + 8)"" ^2 -»- (Г + s)^1^2 по норме
для любого 8 > 0.
Задача 3.52. Пусть Тп, Т суть те-аккретивные операторы и (Тп + X)'1 —>
-ЧГ+ X)-1 для всех Х> 0. Тогда (Гп+ е)~ 1/2 ->• (Г + s)~1/2 для любого
s s
8 > 0.
360 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 4. Возмущение самосопряженных операторов
1. Устойчивость самосопряженности
Поскольку самосопряженные операторы образуют наиболее
важный с точки зрения приложений класс операторов, изучение
возмущений самосопряженных операторов и устойчивости само-
самосопряженности является нашей главной задачей х).
Рассмотрим сначала вопрос о том, при каких условиях для
«малых» возмущений сохраняется самосопряженность. Основной
результат в этом направлении дает
Теорема 4.1. Пусть Т — самосопряженный оператор. Тогда
существует б> 0 такое, что любой замкнутый симметричный
оператор S с б (S, Т) <; б является самосопряженным; б (S, Т)
обозначает раствор между S и Т.
Доказательство. Так как ±i принадлежит Р (Т),
то в силу теоремы IV.3.15 существует б> 0, такое, что из
б (S, Т) <с б следует ±i ^ P (S). Тогда S самосопряжен в си-
силу теоремы 3.16.
Следствие 4.2. Пусть Т, Тп — замкнутые симметричные опе-
операторы и {Тп} сходится к Т в обобщенном смысле (см. п. IV.2.4).
Если Т самосопряжен, то Тп — самосопряженные операторы для
достаточно больших п.
Хотя эта теорема является довольно общей, она не очень
удобна для приложений , поскольку определение раствора б (S, Т)
сложно. Менее общий, но более удобный критерий получается
с помощью относительно ограниченных возмущений.
Напомним, что оператор А ограничен относительно операто-
оператора Т (или^ Г-ограничен), если D(A)z^D(T) и
|Mu||<a||u|| + 6||ru||, »?D(r) D.1)
(см. (IV.1.1)). Эквивалентным условием является следующее
условие:
|| Аи ]]» < а'2 || и ||2 + Ь'2 || Ти |Р, и € D (Г), D.2)
где постоянные а', Ъ', вообще говоря, конечно, отличны от а и Ъ.
Легко видеть, что из D.2) следует D.1) с а = а', Ъ = Ъ', тогда
как из D.1) следует D.2) с а'2 = A + е) а2, Ъ'2 = A + е) Ь2
при любом е> 0. Поэтому Г-грань (определенная как точная
нижняя грань всех^Ь) может быть определена и как точная ниж-
нижняя грань всех V.
*) В этом параграфе все операторы, если не оговорено противное, пред-
предполагаются действующими в гильбертовом пространстве.
§ 4. ВОЗМУЩЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 361
Теорема 4.3 J). Пусть Т — самосопряженный оператор. Если
А — симметричный и Т-ограниченный оператор с Т-гранъю,
меньшей 1, mo T -f- А также самосопряженный оператор. В ча-
частности, Т -f- А самосопряжен, если А ¦— ограниченный симмет-
симметричный оператор] с D (A)z^ D (Г).
Доказательство. Очевидно, Т -f- А имеет область
определения D (Т) и симметричен. Без ограничения общности
можно считать, что D.2) выполняется с константами а!, V такими,
что и' > 0 и 0 < Ь' < 1. В силу тождества C.12), условие D.2)
можно записать так:
|| Аи || < || (Ъ'Т =f la') и\\, и е D (Т). D.3)
Отсюда, положив (Т + ic') и = у, имеем
II 4Д (±ic') у || < V \\v ||, с' = о'/Ь', D.4)
где R (Q = R (?,, Т) — резольвента Т. Так как Т — самосопря-
самосопряженный оператор, v пробегает все пространство Н, когда и изме-
изменяется в D (Т); поэтому
В± = —AR (±icr) 6 3S (Н), || 5± || < Ъ'. D.5)
Поскольку 6'<; 1, то A —В±)~г существует и принадлежит
Ш (Н) (ряд Неймана), так что 1 — В± взаимно однозначно ото-
отображает Н на себя. Но Т + A q= ic = A — В±) (Т + ic') и образ
Т + ic' есть все Н; поэтому образ Т -{- А + ic' также совпадает
с Н, а это доказывает, что Т -f- А есть самосопряженный опе-
оператор. Отметим, что данное здесь доказательство по существу
такое же, как и доказательство теоремы IV.3.17.
Теорема 4.4. Пусть Т — существенно самосопряженный опе-
оператор. Если А — симметричный и Т-ограниченный оператор
с Т-гранъю, меньшей 1, то Т -f- A — существенно самосопряжен-
самосопряженный оператор и его замыкание (Т -f- А)~ равно Т -f- А. В частно-
частности, это имеет место, если А — симметричный и ограниченный
оператор с D {A)^> D (Т).
г) Теоремы 4.3 и 4.4 принадлежат Р е л л и х у [3]. См. также Т. К а[т о
[3, 4]. Эти теоремы оказываются удобными для установления самосопря-
самосопряженности или существенной самосопряженности ^различных операторов,
встречающихся в приложениях. Применение к операторам Шрёдингера
и Дирака будет рассмотрено в § 5. По поводу приложений^ квантовой тео-
теории поля см. И. К[а т о [1] и К а т о и М у г и]б а я с и [1]; ср. также
Кук [2].
S62 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Доказательство. Сначала покажем, что А является
У-ограниченным, т. е. что
D B) =э D (?) и || Аи ||2 < а'2 || и ||2 + Ь'2 || Ти \\\ D.6)
и ев (л,
если выполнено D.2). Для любого и 6 В (Т) существует последо-
последовательность {ип}, которая Г-сходитея к и (т. е. ип ->¦ w и Тип-+
->¦ Ги). Неравенство D.2) показывает, что {и„} является также
.4-сходящейся, так что и 6 В (Л) и Ли„ —>• Аи. Неравенство D.6)
получается теперь из D.2) заменой и на ип и переходом к пределу.
Попутно мы получаем также, что (Т -j- А) ип —>- {Т + 2) и, так
что и 6 В ((Г + Л)~) и (Г + Л)~ и = (Г + J) и. Это показы-
показывает, что
(Т + А)~=>Т + А. D.7)
Отметим, что мы пока не использовали тот факт, что Ъ' < 1.
С другой стороны, из теоремы 4.3, примененной к операторам
Т, А, следует, что Т -\- А есть самосопряженный оператор (здесь
мы используем предположение о том, что Ъ' < 1). Таким образом,
Т + А есть замкнутое продолжение оператора Т -\- А, а поэтому
и оператора (Т -\- А)~. Сопоставляя это с D.7), видим, что Т +
+ А = (Т + .А)~. Теорема доказана.
Теоремы 4.3 и 4.4 не симметричны по отношению к операторам
Т и S = Т -\- А. Следующий симметризованный вариант является
обобщением этих теорем. Его доказательство аналогично доказа-
доказательству соответствующей теоремы об устойчивости замкнутости
(теорема IV.1.3) и может быть опущено.
Теорема 4.5. Пусть Т, S — два симметричных оператора,
таких, что D (Т) == D (S) = D и
\\(S-~T)u\\^a\\u\\ + b(\\Tu\\+\\Su\\), и 6 В, D.8)
где а и Ъ — неотрицательные константы, причем Ъ < 1. Опера-
Оператор S существенно самосопряжен тогда и только тогда, когда Т
существенно самосопряжен; в этом случая S и Т имеют одинаковую
область определения. В частности, S самосопряжен тогда и толь-
только тогда, когда самосопряжен оператор Т.
2. Случай, когда относительная грань равна 1
В теоремах, доказанных в предыдущем пункте, предположение
о том, что относительная грань меньше 1, в общем случае (по край-
крайней мере «самосопряженном») не может быть опущено. Это видно
из простого примера, в котором Т — не ограниченный и самосо-
§ 4. ВОЗМУЩЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 363
пряженный оператор и А — — Т; здесь оператор А является
Г-ограниченным с Г-гранью, равной 1, а Т + А есть собственное
сужение нулевого оператора, которое не является самосопря-
самосопряженным.
В этой связи представляет интерес следующая теорема, отно-
относящаяся к случаю, когда относительная грань равна 1 (но не
исчерпывающая этот случай).
Теорема 4.6. Пусть Т — существенно самосопряженный и А —
симметричный операторы. Если А является Т-ограниченным
и неравенство D.2) справедливо с Ъ' = 1, то Т + А — существенно
самосопряженный оператор.
Доказательство. Сначала мы предположим, что Т
самосопряжен, и определим операторы В+ так же, как в доказа-
доказательстве теоремы 4.3. Тогда \\В+ || =?^ 1 в силу D.5), а области
значений операторов 1 — В± не обязательно будут совпадать
со всем Н. Однако мы докажем, что они плотны в Н; тогда в силу
проведенных ранее рассуждений области значений операторов
Т -\- А + ic' будут плотны в Н, откуда вытекает, что Т -\- А
существенно самосопряжен [см. задачу 3.17, с)].
Для того чтобы доказать, что область значений оператора
1—5+плотна в Н (оператор 1—5_ рассматривается аналогично),
достаточно показать, что любое v ? Н, ортогональное этой области
значений, равно нулю. Для такого v выполняется соотношение
B%v = v. В силу леммы 4.7, которая будет доказана ниже, отсюда
следует, что B+v = v, т. е. AR (ia') v -\- v = 0 (заметим, что
с' — а', поскольку Ъ' = 1). Полагая и = R (ia') v g D (T), имеем
(Т -\- А — ia') и ¦= 0. Но так как Т -\- А — симметричный опера-
оператор иа'> 0 (как предполагалось выше), то и = 0 и, следователь-
следовательно, v = 0. Тем самым, в предположении, что Т самосопряжен,
теорема доказана.
Рассмотрим теперь общий случай, в котором Т предполагается
только существенно самосопряженным. В этом случае мы имеем
включение D.7); напомним, что D.7) было получено без предпо-
предположения, что Ь'<1- Теперь Т самосопряжен и D.6) выполняется
с Ъ' = 1. Применяя доказанное выше для операторов Т ш А,
видим, что Т + А есть существенно самосопряженный оператор.
Формула D.7) показывает, что замкнутый симметричный опера-
оператор (Т + А)~ является продолжением существенно самосопря-
самосопряженного оператора. Таким образом, (Т + А)~ самосопряжен,
а, стало быть, Т -\- А существенно самосопряжен.
Лемма 4.7. Пусть В 6 $ (Н) и \\ В \\ ^ 1. Тогда равенство
Вы = и эквивалентно равенству В*и = и (такой оператор В
называется сжатием).
364 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Доказательство. Так как В** = В и || В* || ^
^ || В || ^ 1, достаточно показать, что из Ви = и следует В*и =
= и. Но это очевидно, ибо
И В*и - и Ц2 = || В*и ||2 + || и ||2 - 2 Re (B*u, и) <
< 2 || и ||2 — 2 Re (u, 5и) = 0.
3. Возмущение спектра
Результаты § IV.3 о возмущении спектра замкнутых линейных
операторов применимы к самосопряженным операторам, часто
со значительными упрощениями. В качестве примера оценим
возмущение изолированных собственных значений.
Пусть Т — самосопряженный оператор, а А есть Г-ограни-
ченный оператор с Г-гранью, меньшей 1, т. е. выполняется нера-
неравенство D.1) с Ь<1. В общем случае нет необходимости пред-
предполагать, что А симметричен; поэтому оператор S, замкнутый
в силу теоремы IV. 1.1, не обязательно симметричен. Рассмотрим
вопрос о том, когда данное комплексное число ? принадлежит
Р (S).
Достаточное условие для выполнения этого включения дается
неравенством (IV.3.12). Но так как Т самосопряжен, имеем [см.
C.16) и C.17)]
||Д(Б, Г) ||= sup \V-l\-\ ЦГЛ(Е, Г)Ц= sup \l'\\l'-t\-\
V?2(T) VgZ(T)
D.9)
Следовательно, ??РE), если
a sup \Г-1\-1 + Ъ sup \%'\\%.' — l\-1<i. D.10)
В частности, пусть Т имеет изолированное собственное зна-
значение % кратности ffi<oo с изолирующим расстоянием d (см.
п. 3.5). Пусть Г — круг с центром в точке X и радиусом d/2. Если
Е 6 Г, то | К' - Е I < Ш и
I v {V - о-1 К 1 + (IБ - М + | я, |) | V - ? |-i <
< 2 + 2 ! % \ld.
Следовательно, D.10) выполняется, если
а + Ъ (| X | + d) <d/2. ' D.11)
Из теоремы IV.3.18 следует, что Г содержит в точности т
(с учетом кратностей) собственных значений оператора S = Т + А
и не содержит других точек 2 (S). Если, кроме того, А симметри-
симметричен, то S самосопряжен и любое собственное значение S должно
быть вещественным. Поэтому S, имеет точно пг собственных зна-
значений (с учетом кратности) [и не имеет других точек из S (S)]
§ 4. ВОЗМУЩЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 365
на интервале (X — d/2, X + d/2) при условии, что выполнено
D.11).
Условие D.11) не является очень общим; более слабое доста-
достаточное условие может быть получено путем непосредственного
применения теоремы IV.3.18.
Задача 4.8. Пусть 2" — нормальный оператор, А ? М (Н), a d (?) =
= dist(?, 2 (Г))- Тогда из d (Q > \\ А \\ следует, что ?6Р(Г+Л) и
|| Д(?, Т+ А) ||< l/(d@- IM ||).
Замечание 4.9. Мы видели в п. IV.3.1 и IV.3.2, что спектр
замкнутого оператора полунепрерывен сверху относительно Т,
но не обязательно полунепрерывен снизу. Однако, если рассмат-
рассматривать изменение Т на множестве самосопряженных операторов,
то можно показать, что 2 (Т) полунепрерывен также и снизу,
так что 2 (Т) непрерывен относительно Т. Здесь полунепрерыв-
полунепрерывность 2 (Т) снизу означает, что любое открытое множество ком-
комплексной плоскости, содержащее точку из 2 (Г), содержит также
точку из 2 (Тп) при достаточно большом п, если Т и все Тп
самосопряжены и {Тп} сходится к Г в обобщенном смысле. Эта
полунепрерывность снизу спектра будет доказана в дальнейшем
при небольших ограничениях. Здесь мы ограничимся доказатель-
доказательством более слабой теоремы, в которой, однако, очень четко
выражена указанная непрерывность спектра.
Теорема 4.10. Пусть Т — самосопряженный, а А 6 $ (Н) —
симметричный операторы. Тогда S = Т + А самосопряжен и
dist B (S), 2 (Т)) < || Л ||, т. е.
sup dist (С, 2 (Г))< || А ||, •
sup dist (I, 2 (S)) < || A ||. . D.12)
Доказательство. Так как S так же, как и Т, само-
самосопряжен, то из соображений симметрии достаточно доказать
первое неравенство. Для этого в свою очередь достаточно пока-
показать, что любое ? такое, что dist (?, 2 {Т))> \\ А ||, принадле-
принадлежит Р (S). Но это очевидно, поскольку || R (?, Т) || < || А И
в силу D.9), и второй ряд Неймана для R (?, Т + Л) сходится
[см. (П.1.13)].
4. Полуограниченные операторы
Важным свойством относительно ограниченных симметричных
возмущений является то, что они сохраняют полуограниченность.
Более точно, справедлива
Теорема 4.11. Пусть Т — самосопряженный ограниченный
снизу оператор, а А — симметричный оператор, Т-ограниченный
366 Гл- V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
с Т-гранью, меньшей единицы. Тогда S = Т + А самосопряжен,
и ограничен снизу. Если выполняется неравенство D.1) с Ъ < 1,
то для нижних граней ут и ys операторов Т и S справедливо нера-
неравенство
D.13)
Доказательство. Поскольку самосопряженность ?
доказана в теореме 4.3, нам надо показать только, что любое
вещественное число ?, меньшее правой части D.13) (которую мы
обозначим через у), принадлежит резольвентному множеству
Р (S) (см. п. 3.10).
Обращаясь ко второму ряду Неймана для R (?, S) =
= R (?, Т + А), видим, что нам достаточно доказать только
неравенство || AR (?) || < 1 для I < у, где R (Z) = R (?, Т).
Но в силу D.1), C.16) и C.17)
< а (ут - Q + Ь sup | Я. | (Я. - О <
Я?2(Г)
< в (Ут ~ 1У1 + Ъ max A, | ут | (ут -?)-i). D.14)
Последний член в D.14) меньше 1, если t,<Ly.
Из теоремы 4.11 вытекает
Теорема 4.12х). Пусть Т — самосопряженный и неотрица-
неотрицательный оператор, А — симметричный оператор, D (A) id D (У)
и || Ли |К || Ги || для и б D (Г). Тогда
|Dи, и) |<(Г«, и), ueD(T). D.15)
Доказательство. Для любого вещественного «, —1 ¦<
<х<1, теорема 4.11 мон^ет быть применена к операторам 71
и хА с а = 0, Ъ = |х|иуг =0. В результате мы получим, что
Т + кА ограничен снизу с нижней гранью ^0. Следовательно,
—х (Аи, и) ^ (Ти, и), откуда, устремляя х к ±1, мы приходим
к D.15).
Замечание 4.13. Теорема 4.11, вообще говоря, не имеет места,
если возмущение не является относительно ограниченным. Если
последовательность самосопряженных операторов Тп сходится
в обобщенном смысле к самосопряженному оператору Т, огра-
ограниченному снизу, то операторы Тп не обязательно ограничены
1) Это частный случай более общего неравенства, принадлежащего
Лёвнеру [1] и Хайнцу [1]. См. также Р е л л и х [7], Т. К а т о
Г51. П41. Knnitfic Ml.
их с " п с jj j t-'-J ¦" •*'- ы
[5], [14], Кор дес [1].
§ i. ВОЗМУЩЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
367
снизу, и даже если каждый оператор Тп ограничен снизу, их
нижняя грань может стремиться к —оо при гс->- оо. Это видно
из следующего примера г).
Пример 4.14. Пусть Н = L2 @, 1), и пусть Т (х) — дифференциальный
оператор —сР/dx2 с граничным условием и @) = 0, ни' A) — и A) = 0.
Легко видеть, что Т (х) самосопряжен при любом вещественном х [ср. п. 3.6;
Рис. 1. Собственные значения оператора —и" на отрезке [0, 1]
с граничными условиями и @) = 0, хм'A) = и A).
отметим, что граничное условие при х = 0 является граничным условием
типа (III.2.15), а при х = 1 — типа (III.2.16)]. Резольвента Л (?, х) =
= Л (?, У (х)) может быть представлена с помощью интегрального операто-
оператора с ядром (функция Грина)
g(y, х\
X
sin Г ' —1
X [?, sin Z, A — х) — х cos ? A—х)], D.16)
0 ^ г/ ^ а; ^ 1 (при х ^ у надо поменять ролями ж и у). Эта резольвента
существует всюду, за исключением тех ?, для которых знаменатель обра-
обращается в нуль; эти значения ? совпадают с собственными значениями Т (х).
Нетрудно видеть, что имеется лишь одно отрицательное собственное значе-
значение Хо (х) оператора Т (х) при 0 < х < 1, и это Хо (х), будучи нижней гранью
для Т (у.), стремится к — оо при х \ 0, тогда как Т @) неотрицателен (см.
рис. 1). Тем не менее Т (х) сходится при к->-0к Г @) в обобщенном смысле;
это видно из того факта, что g (у, х; ?, х) -»- g (у, х; Z,, 0) при х -*¦ 0 равно-
равномерно для любого фиксированного невещественного ?, откуда следует, что
R ( ?, х) ->- i? (?, 0) гсо норме. (Проверку этих утверждений мы предостав-
предоставляем читателю. Ср. пример VII.1.11.)
Который принадлежит Ре л лиху [5], [6].
368 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
5. Полнота собственных проекторов слабо
несамосопряженных операторов
В п. IV.3.7 мы упоминали о трудностях, возникающих при
одновременном рассмотрении всех собственных значений или
собственных проекторов возмущенного оператора S = Т + А.
Там мы привели пример возмущенного оператора в банаховом
пространстве, для которого можно было получить равномерные
оценки всех возмущенных собственных значений и собственных
проекторов. Здесь мы будем изучать полноту собственных проек-
проекторов несамосопряженного оператора как задачу о возмущении
самосопряженного оператора.
Теорема 4.15. Пусть Т — самосопряженный ограниченный сни-
снизу оператор с компактной резольвентой и простыми (т. е. крат-
кратности 1) собственными значениями hi < h2 < . . ., такими, что
hh — Xh_i —>¦ оо при /г->- оо. Пусть оператор iff (H) {не обя-
обязательно симметричный). Тогда оператор S = Т + А замкнут,
имеет компактную резольвенту, а его собственные проекторы
полны в следующем смысле: существует последовательность (?ь
(?2, • • • собственных проекторов оператора S, такая, что
s-lim 5 <?ft=l. D.17)
Кроме того, dim Qh = 1, за исключением конечного числа номеров h.
Доказательство. Известно, что S замкнут и имеет
компактную резольвенту (см. теорему IV.3.17); заметим, что
? = щ удовлетворяет неравенству (IV.3.12), если | ц [ достаточно
велико.
Пусть Ph — собственный проектор оператора Т, отвечающий
собственному значению Xh. Так как Т самосопряжен и имеет ком-
компактную резольвенту, проекторы Ph образуют полное множество
собственных проекторов в том смысле, что РьРь. = §ъ,ъРъ, и [°м-
C.33)]
limSPftU = u, и?Н. . ,. ' D.18)
Пусть dh = max (kh ¦— A,ft_i, hh+i — Xft) есть изолирующее рас-
расстояние для "kh; тогда dh ->- оо по предположению. Поэтому суще-
существуют целое N и б такие, что \\ A \\<z8^dh/2 для h> N.
Пусть Th —¦ окружность с центром в точке Xh и радиусом б,
h>N, а Го — окружность с диаметром [A,t — б, Х^ + б]. Тогда
каждая окружность 1\ при /i> N охватывает точно одно соб-
собственное значение \\h оператора S, а Го охватывает ровно N
собственных значений (с учетом их кратностеи) оператора S, и эти
собственные значения исчерпывают спектр S. Это очевидно в силу
§ 4. ВОЗМУЩЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 369
тех же соображений, что и в п. 3; отметим, что все рассматривае-
рассматриваемые окружности лежат одна вне другой и || R (?, Т) || ^ 1/6 <
< || А Ц, если ? принадлежит одной из этих окружностей или
лежит вне всех них, так что R (?, 5) существует.
Пусть ()h, /i> TV,— одномерный собственный проектор, отве-
отвечающий собственному значению \ih оператора S, a Qo — тоталь-
тотальный проектор, отвечающий конечному числу собственных зна-
значений S, лежащих внутри Го. Тогда
h
= — j R (?, S) AR (?, T) dg, Л = 0 или h > iV, D.19)
где Ро = i3! + . . . -f- Р№. Следовательно, для п> N
h=N+l h=N+l
D.20)
где Yn есть объединение Го, F^+i, . . ., Гп. Так как подинтеграль-
ное выражение голоморфно вне объединения всех кругов, огра-
ограниченных Го и 1\, то контур интегрирования может быть проде-
формирован в прямую линию Гп, перпендикулярную вещественной
оси и проходящую через точку ап = (%п + Хп+1)/2; отметим, что
(см. задачу 4.8)
"Д^^'КD21)
где d (?) = dist (t,, 2 (Т)), так что подинтегральное выражение
по норме убывает на бесконечности как | Z, \~2 и замена контура
Г„ на Т'п законна. Для ? = ап + щ ? Yn имеем
"¦" \\R&, 1 Ь^
II д(^.
Следовательно,
24 т. Като
370 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Поэтому D.20) стремится к нулю по норме при п-+<х>. Так как
п
{Ро+ 2 Ph)u-+u в силу D.18), то
h=N+l
п
(<?о+ 2 Qh)u-+u,
ft=JV+l
Поскольку Qo есть сумма собственных проекторов Qok, отвечаю-
отвечающих собственным значениям S, лежащим внутри Го, то мы полу-
получаем требуемый результат D.17), перенумеровав последователь-
последовательность {Qok, Qh}.
Результат теоремы 4.15 зависит от способа нумерации соб-
собственных проекторов Qh оператора S. Желательно, чтобы равен-
равенство D.17) имело место при любом способе нумерации. Это можно
доказать при несколько более сильных предположениях отно-
относительно оператора Т,
Теорема 4.16. В теореме 4.15 предположим дополнительно,
оо
что ряд 2 (^>г+1 — hn)~2 сходится. Тогда равенство D.17) выпол-
к=1
няется при любом способе нумерации Q^. Кроме того, суще-
существует константа М такая, что II 2 Qh |мС М для любого
hei
конечного множества I натуральных чисел1).
Доказательство. I. Докажем сначала второе утверждение
теоремы. Так как 2 Ph является ортогональной проекцией,
ft?I
то Ц2-Р&И -^ 1- Поэтому достаточно показать, что
/г?1
II 2 (Qh — Ph)\\^M' для любого множества I номеров h>Nr
ибо Qh с k > N исчерпывают все собственные проекторы опера-
оператора S за исключением конечного их числа (мы используем обо-
обозначения из доказательства теоремы 4.15).
В силу D.19) имеем
Ш J R^ S)AR& T)AR(^ T)dl = B'h + B"h; D.22)
Ш
ft
здесь использована формула R (?, S) = R (?, Т) — R (?, 5) X
X AR (?, Т). Второй член B"h из D.22) оценивается просто. Контур
х) Отсюда следует, что S — спектральный оператор (см. Д а н ф о р д.
[1]). Относительно теорем 4.15, 4.16 и их обобщений см. Шварц [1] ш
Г. Крамер [1].
§ 4. ВОЗМУЩЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 371
Тп может быть продеформирован в большую окружность с центром
в точке %h и радиусом dhl2 (ибо Кн — единственная особенность
внутри этого круга). Используя оценку D.21), нетрудно видеть,
что норма подинтегрального выражения не превосходит
|| А ||2/1-?-\ \~Y~ II А ||) • Так как длина окружности есть ndht
то
/4D ) D-23>
Поскольку| из условия 2(^«+i—^Г2< °° следует, что 2^й2<
<оо, то из D.23) имеем
2 ||5л||<оо. . . D.24)
С другой стороны, первый член B'h в D.22) в силу (И.2.14)
представим в виде
B'h = -PhARh - RhAPh, D.25)
где Rh — приведенная резольвента Т в hh [заметим, что B'h равно
РA), члену первого порядка в ряде теории возмущений для соб-
собственного проектора Р (%)]. Но так как для любого и 6 Н
Vм!
то
Аналогично
I! 2 ^^, I!=112 (ARh)* ph ||<B iPi?ft)*ii2I/2 = BII ли II2I/2.
Следовательно,
BI/2BИд||2I/2. ¦ D.26)
Поскольку ||i?ft||^l/dh в силу C.20), получаем
Н2^2I/2<оо. D.27)
Г>?1 n=l
Сопоставляя D.23) и D.27), видим, что || 2 (#д + 5л) || <
h?I
^ Af' << оо для любого конечного множества I номеров h (>iV).
24*
372 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
II. Теперь легко закончить доказательство теоремы. Будем
использовать обозначение {Qh} для собственных проекторов опе-
оператора S, перенумерованных таким образом, что справедливо
утверждение теоремы 4.15. Пусть {Q'h} —произвольная переста-
перестановка операторов Qh. Мы должны показать, что
п
2 Q'hU -»- и при п-^-оо. D.28)
п
для всех и 6 Н. Поскольку выше мы доказали, что 2 Q'h рав-
Л=1
номерно ограничена, достаточно доказать D.28) для всех и из
плотного в Н подмножества.
п
Пусть Mh — область значений Qh. Если и 6 Mfe, то 2 Q'hV =
¦= Qhu = и для достаточно большого га, ибо множество {Q[, . . .
. . ., Q'n) должно содержать Qk и QhQh = 8hhQh. Следовательно,
D.28) справедливо для и ? М&. Поскольку к произвольно, D.28)
имеет место для всех и из линейного подпространства М, натя-
натянутого на Mfe. Но М плотно в Н, ибо любое и g H есть сильный
п
предел сумм 2 Qhu G М при в->оов силу теоремы 4.15.
Замечание 4.17. В приведенных выше теоремах предположение
о том, что Т ограничен снизу, не является существенным. Если
Т неограничен как сверху, так и снизу, мы можем перенумеровать
его собственные значения так: . . . < Я_2 < ^-i < Яо < %у ¦< . . .
и соответствующим образом собственные проекторы Ph. Затем
предположим, что Яп+1 — Кп —>¦ оо при га-^±оо (теорема 4.15)
со
или 2 (^п+1 — ^п.) < °° (теорема 4.16). Изменяя очевидным
?г= — оо
образом приведенное выше доказательство, можно показать, что
собственные проекторы оператора S могут быть занумерованы
п
как Qh, h = 0, ±1, ±2, . . ., и lim 2 Qh.u = и для любо-
тп, п—>-оо ft= — m
то u 6 Н.
Пример 4.18. Рассмотрим дифференциальный оператор S = — -r-j +
-+ q (х) на замкнутом интервале 0 =^ х =SC 1 с граничным условием и @) =
= и A) = 0, где q (x) — ограниченная комплекснозначная функция. Если
А — оператор умножения на q (х), то А ? М (Н), где Н = L2 @, 1). Опера-
Оператор Т = —d2/dx2 с теми же граничными условиями, что и у S, является
самосопряженным оператором с собственными значениями Хп = п2п2, п =
= 1, 2, .... Таким образом, теорема 4.16 применима к этому случаю и
•собственные проекторы S образуют полное множество при любом способе
нумерации. Поэтому S — спектральный оператор.
5. ОПЕРАТОРЫ ШРЁДИНГЕРА И ДИРАКА 373
§ 5. Операторы Шрёдингера и Дирака
1. Дифференциальные операторы в частных производных
Теперь мы применим полученные выше результаты к некоторым
дифференциальным операторам в частных производных, а именно
к операторам Шрёдингера и Дирака, с которыми имеет дела
квантовая механика.
Начнем с рассмотрения оператора Шрёдингера
L = -А + q (x) E.1)
в области Е трехмерного евклидова пространства R3 с коорди-
координатами х = (xi, x2, х3). Здесь А обозначает лапласиан
Q2, Q2, Q%
a q (x) = q (xt, x2, z3) — вещественная функция, определенная
в Е. Исходя из формального дифференциального оператора L
могут быть построены различные линейные операторы, действую-
действующие в некоторых функциональных пространствах (так же, как
и в случае обыкновенных дифференциальных операторов; см.
п. III.2.3). В дальнейшем мы будем рассматривать только линей-
линейные операторы в гильбертовом пространстве Н = L2 (Е), кото-
которое является наиболее важным для приложений.
Совсем не очевидно, что E.1) определяет линейный оператор
в Н. Функция и = и (х) должна быть достаточно гладкой, чтобы
Аи имело смысл, но произведение q (х) и {х) может для таких
функций не принадлежать Н = L2, если q (x) — слишком «пло-
«плохая» функция. Поэтому мы раз и навсегда предположим, что
q (х) локально интегрируема с квадратом, т. е. q ? L2 (К) для
каждого компакта КсЕ. Тогда q (х) и (х) принадлежит Нт
если и — гладкая функция с компактным носителем в Е (т. е.
и обращается в нуль вне компактного подмножества из Е, кото-
которое зависит от и). Обозначим через Со° = Со° (Е)|множество всех
бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителя-
носителями в Е, а через S — сужение L на D (S) = С™. Оператор S —
линейный оператор в Н с плотной областью определения; ов
называется минимальным оператором, построенным по фор-
формальному дифференциальному оператору L.
Область определения S сужена больше, чем это необходимо;
в приведенном выше определении можно заменить С^ на С^ (мно-
(множество дважды непрерывно дифференцируемых функций с ком-
компактными носителями), поскольку в выражение для Аи входят
только вторые производные, при этом мы получим продолжение
374 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
оператора S. Мы можем также определить еще большее продол-
жение S оператора S, беря в качестве области определения S
все функции и ? Н такие, что и ? С2 (Е) (дважды непрерывно
дифференцируемые в Е функции) и Lu = —ки + qu ? Н (здесь
и не обязано иметь компактный носитель). В некотором смысле
S — наибольший оператор в Н, построенный по L. Так как
5гэ S, то S определен на плотном множестве в Н- [Формально
S может быть определен без предположения, что q {x) локально
интегрируема с квадратом, однако тогда трудно решить, будет ли
S определен на плотном множестве.] Одна из основных задач
для дифференциальных операторов состоит в изучении соотноше-
соотношений между операторами S, S и их сопряженными.
Оператор L формально самосопряжен; это означает, что спра-
справедливо тождество Грина
Е
j((Lu)v-uLv)dx= j (^.v-u^)dS, .; E.3)
Ео дЕ0
где Ео ¦— любая подобласть в Е с компактным замыканием и с глад-
гладкой границей 9Е0, dS — элемент поверхности, а д/дп — произ-
производная по внутренней нормали к дЕ0. Если и ? DE) и v ?J)(S),
то из E.3) получим, заменив v на v, что
Eм, v) = (u, Sv). ' ' E.4)
Это означает, что 5 и 5 сопряжены; следовательно;
] SczSczS*, SczS = S**czS*c:S*. , / E.5)
В частности, 5 симметричен и симметрично его замыкание
S = S**. Возникает вопрос, будет ли 5 самосопряженным. Вооб-
Вообще говоря, ответ отрицательный, как вытекает из рассмотрения
обыкновенных дифференциальных операторов (см. примеры
в п. 3.6). Но отметим, что S существенно самосопряжен, толь-
только если S симметричен. Действительно, из самосопряженности
S** следует, что S** = S*** = S*, так что E-5) влечет за собой
S* — S* zd S. Обратно, 5 существенно самосопряжен, если S
симметричен. Доказательство этого утверждения требует более
глубоких знаний свойств дифференциальных операторов.
В общем случае существует много самосопряженных опера-
операторов, лежащих между 5 и S*, обычно они получаются сужением
оператора S* (который оказывается дифференциальным опера-
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА И ДИРАКА ' 375
тором в обобщенном смысле) с помощью соответствующих гра-
граничных условий (так же, как и в случае обыкновенных дифферен-
дифференциальных операторов; см. п. 3.6). Например, предположим, что
q (х) = 0; тогда граничное условие и = 0 на дЕ определяет опе-
оператор, отвечающий задаче Дирихле, а граничное условие ди/дп =
= 0 задает оператор, отвечающий задаче Неймана. Мы будем
называть S* максимальным оператором, построенным по L.
2. Оператор Лапласа во всем пространстве
В этом пункте мы рассмотрим специальный случай, в котором
Е = R3 (все пространство) и q (х) = 0. Мы покажем, что мини-
минимальный оператор Т, построенный по формальному оператору
Лапласа L = —А, существенно самосопряжен, и, кроме того,
дадим полное описание самосопряженного оператора Но =
Эти результаты легко получаются с помощью преобразования
Фурье. В силу теоремы Фурье — Планшереля (см. пример 2.7)
каждой и (х) ? L2 отвечает фурье-образ и (к) 6 L2, определенный
формулой B.13). Для удобства мы считаем, что и (х) и и (к) при-
принадлежат разным гильбертовым пространствам Н = L2 (х) и Н =
= L2 (к). Отображение и -*¦ и = Uu определяет унитарный опе-
оператор U из Н в Н.
Если и ^ CS°, то, как легко видеть, Ти = —Аи имеет фурье-
образ \к \2и(к), где | к |2 = к\ -\-'к\ + к\. Пусть теперь К2 —
максимальный оператор умножения на | к |2 в гильбертовом про-
пространстве Н (см. пример III.2.2). Оператор К2 самосопряжен
(см. задачу 3.22). Обозначим через Но оператор
Но = и~1КЮ. E.6)
Оператор НГ самосопряжен в Н, поскольку он является уни-
унитарным образом самосопряженного оператора К2 Н, причем
D (Но) = U~XD {К2). Другими словами, D (Но) есть множество
всех и ? L2 (х) таких, что их фуръе-образы, будучи умноженными
на | k j2, принадлежат L2 (к). Из сказанного выше следует, что
Логэ Т. Таким образом, тот факт, что Т существенно самосо-
самосопряжен, эквивалентен утверждению, что Т имеет замыкание Но,
т. е. что D (Т) = Со° является ядром Но (см. III.5.3).
Прежде чем доказывать это предложение, отметим, что суще-
существуют другие подмножества в D (ff0), также являющиеся ядром
Но- Например, множество S всех функций вида
е-1ж|2/2/> ^ (р ф __ полиномы относительно Xi, x2, х3) E.7)
376 Гл- V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
является ядром Но. Чтобы доказать это, достаточно заметить,
что множество S фурье-образов функций E.7) образует ядро опе-
оператора К2. Докажем последнее утверждение. Так как К2 —
неотрицательный оператор, то в силу результата задачи III.6.3
достаточно доказать, что К2 -\- 1 отображает S на плотное мно-
множество в Н. Но преобразование Фурье функций вида E.7) имеет
тот же вид, с тем отличием, что х заменено на к. Замечая, что
функция (| к |2 + 1) e~lftl2/4 = / (к) ограничена, видим, что
(К2 -f- I) S является образом множества S' всех функций вида
е-МУьр (к) E.8)
при действии оператора F [максимальный оператор умножения
на / (к)]. Но множество S' плотно в L2 (к), так как оно содержит
множество всех функций Эрмита г). Поскольку F — ограничен-
ограниченный симметричный оператор, размерность ядра которого равна
нулю, и, следовательно, R (F) плотно в Н, то (К2 + 1) S плотно
в Н (см. задачу III.2.9).
Теперь мы можем доказать, что Т = Но. Обозначим через Tt
сужение Но на множество S. Так как выше было показано, что
Ti = Но, то достаточно доказать, что Tzd Ti (ибо отсюда Tzd
id Ti = Но). Для этого построим по каждому и вида E.7) после-
последовательность ип ? С" такую, что ип —*- и и Тщ, = —Аип —>-
S S
->¦ —Аи = Т±и. Искомая последовательность задается, например,
S
формулой
(^)(x), E.9)
где w (х) — вещественная функция из Со° такая, что всюду
О =s^ w (х) ^ 1 и w (х) = 1 при [ х |^1. Очевидно, ип ? С^
и ип —>- и. Далее, равенство
S
u(x) + — (gradw) (-^-) -grad u(x) +
^()(х) E.10)
показывает, что Аип -+ Аи.
S
С точностью до размерной постоянной Но является гамиль-
гамильтонианом для свободной частицы в нерелятивистской квантовой
механике, а К2 дает его представление в импульсном пространстве.
х) О полноте ортонормированной системы функций Эрмита см. Ку-
Курант и Гиль&ерт Ц]. Рассматриваемые здесь трехмерные функции
Эрмита являются произведением одномерных функции. . .. ,
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ШРЙДИНГЕРА И ДИРАКА 377
Задача 5.1. Пусть Т — оператор S из п. 1 в том частном случае, когда
L = —Д. Он является симметричным и существенно самосопряженным,
причем Т = #о- Приведите прямое доказательство того факта, что (Ти, и)
вещественно для каждого и ? D (Т).
Замечание 5.2. Самосопряженный оператор Но не является
дифференциальным оператором в обычном смысле, ибо функция
и (ж) ? D (Но) не обязана быть всюду дифференцируемой. Но
и (х) имеет производные до второго порядка в обобщенном смыс-
смысле, принадлежащие IA Обобщенная производная ди/дх}-, как
естественное обобщение случая «гладких» и (ж), определяется
как обратное преобразование Фурье от ikju (к), и, аналогично,
обобщенная производная d2u/dxj дх\ есть обратное преобразование
Фурье от —kjkiu (к). Поскольку м? D (Но) влечет за собой
A + I к |2) и (к) ? L2, то все эти обобщенные производные при-
принадлежат L21).
Благодаря этой обобщенной дифференцируемости функции
из D (Но) более «регулярны», чем обычные функции из IA В самом
деле, каждая функция и ? D [Но) является (эквивалентна) огра-
ограниченной и равномерно непрерывной функцией. Чтобы доказать
это, заметим, что
где а> 0 произвольно. Но хорошо известно (и легко проверяет-
проверяется), что функция и (х) ограничена и непрерывна, если ее фурье-
образ интегрируем, причем
| и (г) К Bл)/2 f \ и (к) [ дк < саГт || (#0 + а2) и [| <
<с(сГ1/2 ||Я0и|| + а3/2 ||и||), E.12>
где с — некоторая постоянная. В частности, значение и (х) функ-
функции и в любой фиксированной точке х является .fl"„-ограниченным
с относительной гранью, равной нулю.
Аналогичные вычисления дают
где у — любое положительное число, меньшее 1/2, Су — посто-
постоянная, зависящая только от у, и а — любое положительное число.
В выводе E.13) отметим следующие моменты: | elk'x — е гк'у \ =
== | е^-(х-у) — 1 | не более 2 или | к \ \ х — у \, и потому
г) Эти обобщенные производные являются частным случаем производ-
производных в теории обобщенных функций (или распределений). По поводу обобщен-
обобщенных функций см., например, И о с и д a [if [или Владимиров [12*],
Г е л ь ф а я д и Ш я л о bj [14*1. — Ред.].
378 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
не более 2*~v | к |v | х — у |7, а интеграл \ \ к \у \ и (к) | dk,
оцениваемый как в E.11), конечен, если 0<<y<1/2. Неравенство
E.13) означает, что и (х) непрерывна по Гёльдеру с любым пока-
показателем, меньшим 1/2.
Формулы E.12) и E.13) являются частными случаями нера-
неравенств Соболева *).
Замечание 5.3. Установленные выше результаты могут быть
распространены на га-мерный случай, за исключением неравенств
E.12) и E.13), для которых существенна трехмерность простран-
пространства.
3. Оператор Шрёдингера со статическим потенциалом
Теперь мы рассмотрим оператор Шрёдингера E.1) во всем
пространстве Е = R3. Здесь мы предположим, что q (x) не только
локально интегрируема с квадратом, но может быть представ-
представлена в виде
q = qo + qi, где <?„ € L~ (R3), qt € L2 (R2). E.14)
Как и выше, рассмотрим минимальный оператор 5 и «более широ-
широкий» оператор 5, построенные по 1 = —А + q. Пусть Т —
минимальный оператор для q = 0, изученный в предыдущем
пункте. Тогда S можно представить в виде
S = T + Q = T + Q0 + Qit E.15)
где Q, Qo и Qi — максимальные операторы умножения на q (x),
<7о (x)i Qi ix) соответственно; заметим, что S ш Т имеют одну и ту же
область определения С^° (R3). Оператор S не может быть пред-
представлен подобным образом, ибо нет простой зависимости между
областями определения операторов S и Т (Т — соответствующий
оператор при q = 0).
Сейчас мы докажем, что S — существенно самосопряженный
оператор. Для этого достаточно применить теорему 4.4, рассмат-
рассматривая S как оператор, полученный из Т добавлением возмуще-
возмущения Q, и доказывая, что оператор Q является Т-ограниченным
с относительной гранью, равной нулю. Обозначая через Н и Но
самосопряженные замыкания S и Т соответственно, мы покажем
далее, что
Н = H0 + Q, D (Н) = D (Яо) с: D (Q). E.16)
См. Соболев [I].
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА И ДИРАКА 379
. Каждая функция и (х) ? D (Но) является ограниченной в силу
E.12). Поэтому QiU принадлежит L2, причем
| < || 9l ||s || и И» < с || Ql ||8 (a-i/
К тому же Qou ? L2 и || Qou || ^С || д0 Цк, || и ||. Следовательно,
D (Q)=> D (#„)=> D (Г), № ||< а || и || + Ь || Яои ||,
Ъ = са-i/ || 91 |]2, а = саз/2 |[ qi ||2 + || д0 ![„. E.17)
Так как а может быть выбрано сколь угодно большим, то E.17)
показывает, что Q #0-ограничен (и заведомо Г-ограничен) с отно-
относительной гранью, равной нулю. Итак, мы получаем из тео-
теоремы 4.3, что оператор Но + Q самосопряжен, а из теоремы 4.4,
что оператор 5 = Т + Q существенно самосопряжен.
Поскольку очевидно, что Но + Qzd S, то оператор HQ + Q
совпадает с замыканием S. Таким образом, возмущенный опера-
оператор Н имеет ту же область определения, что и невозмущенный
оператор Но. Наконец, отметим, что в силу теоремы 4.11 Н огра-
ограничен снизу. Объединяя доказанные утверждения, получаем
такой результат:
Теорема 5.4 х). Если выполнено условие E.14), то S — суще-
существенно самосопряженный оператор. Его самосопряженное про-
продолжение Н равно Но + Q, причем D (Н) = D (#0) и оператор Н
ограничен снизу.
Задача 5.5. Кулоновский потенциал q (х) = е \ х \~х удовлетворяет E.14).
При каких Р условие E.14) выполняется для q (х) = е | х |~&?
Замечание 5.6. Полученные выше результаты могут быть
распространены на оператор Шрёдингера для системы из s частиц,
взаимодействующих друг с другом по закону Кулона. В этом
случае оператор Шрёдингера имеет вид E.1), где А есть 3«-мер-
ный лапласиан, а потенциал q (x) равен
г) Данное здесь доказательство принадлежит Т. К а т о [4]. Этот резуль-
результат, однако, не очень сильный, хотя его доказательство совсем простое. Было
получено много более сильных результатов (см. Штуммель [1], В ь е н -
хольц [1], Б pay не л [1], Икэбэ и Каю [1], Роде [1],
Г. Хельвиг [I], Б. X е л ь в и г [1], Й о р г е н с [1]), но большин-
большинство этих работ используют специальные свойства дифференциальных опе-
операторов. Бэббит [1]и Нельсон [1] получили интересные резуль-
результаты в этом направлении, используя интеграл Винера в функциональных
пространствах.
380 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
где е;-, е^ — постоянные и
2
"" j-2 i-^3j-i ^rx3j) ' ,
,1/2
Можно доказать, что минимальный оператор Т, построенный
по формальному оператору —А, существенно самосопряжен
с самосопряженным замыканием Но (замечание 5.3) и что Q
-?Г„-ограничен и 7-ограничен с относительной гранью, равной
нулю. Приведенное выше для случая s = 1 доказательство непо-
непосредственно неприменимо, ибо неравенство E.12) не выполняется,
но оно может быть модифицировано с учетом того обстоятельства,
что q (x) состоит из членов, каждый из которых на самом деле
зависит лишь от 3 переменных х).
Рассматривая спектр оператора Н, мы получим более полные
результаты, если сделаем дополнительное предположение отно-
относительно q (x).
Теорема 5.7. Пусть выполнено условие E.14), и, кроме того,
предположим, что q0 {х) -*- 0 при | х \ -*¦ оо. Тогда существенный
спектр Н совпадает с неотрицательной вещественной полуосью.
{Таким образом, спектр Н на отрицательной вещественной полу-
полуоси состоит только из изолированных собственных значений конеч-
конечной кратности 2).)j
Доказательство. Легко видеть, что спектр Но совпа-
¦дает с неотрицательной вещественной полуосью, которая является
в то же время существенным спектром Но. Поэтому в силу теоремы
IV. 5.35 достаточно доказать следующую лемму:
Лемма 5.8. В предположениях теоремы 5.7 оператор Q компак-
компактен относительно Но.
Доказательство. Пусть {ип} — ограниченная после-
последовательность в Н такая, что {Ноип} также ограничена; надо
показать, что последовательность {Qun} содержит сходящуюся
подпоследовательность. Так как Q = Qo -f- Qt, то достаточно
доказать это отдельно для {Qoun} и {QiUn}.
В силу E.12) и E.13) ип (х) равномерно ограничены по х и п
и равностепенно непрерывны. По теореме Асколи {ип} содержит
подпоследовательность {vn}, равномерно сходящуюся в любой
ограниченной области пространства R3. Обозначим через v ее
предел; функция v непрерывна, ограничена и принадлежит Н.
х) Относительно деталей см. Т. К а т о [4].
2) О спектре операторов Шрё'дингера см. Т. К а т о [4], [4а], П о в з н е р
[1], Бирман [5], Б р а у н е л [2], Ж и с л и н [1], И к э б э [1].
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ШРЁДИНГЕРА И ДИРАКА 381
Тогда Q±vn = q\Vn -> qtv в Н в силу теоремы о мажорантной
S
сходимости. Чтобы доказать, что qovn -> qov в Н, возьмем любое
8>0и столь большое R, что | д0 (х) | ^ е при | х | ^ R. Тогда
j \qovn — q0v\2dx^.2e*(\\vn\\2+\\v\\2)^4M42 при всех re,
где М = sup || и„ ||, и
\ | 9оу" — 4ov \2 dx -+ 0 при ге ->¦ оо
в силу равномерной сходимости уп -v у при \ х \ ^. R. Отсюда
qovn -*¦ ?оу в Н, что завершает доказательство.
S
Замечание 5.9. В доказанных выше теоремах предполагалось,
что q (x) — вещественная функция, однако в некотором смысле
это требование не существенно. Конечно, оператор S не симмет-
симметричен, если q (x) невещественна, и о существенной самосопря-
самосопряженности S не может быть и речи. Тем не менее можно рассмат-
рассматривать спектр оператора S; при этом, например, теорема 5.7
имеет место, если оператор И заменить на S; ее доказательство
остается в силе, ибо в нем существенно лишь то, что Qo и Qi ком-
компактны относительно Но, а это верно и тогда, когда q0 и q{
не обязательно вещественны.
4. Оператор Дирака '
В связи с оператором Шрёдингера интересно также рассмот-
рассмотреть оператор Дирака1). Для свободной частицы этот оператор
имеет следующий вид (с точностью до размерной постоян-
постоянной) 2):
L = i^a-grad + р. ; E.19)
Оператор L — снова формальный дифференциальный оператор,
действующий на векторнозначные (или, скорее, спинорнозначные)
функции и (х) = (и.! (х), . . ., иА (х)) с четырьмя компонентами,
зависящие от х = (xi, x2, х3). Обозначим через С4 четырехмерное
комплексное векторное пространство, в котором лежат значения
и (х). Вектор а есть вектор а = (а15 а2, сс3) с тремя компонен-
компонентами аи, которые являются операторами в С4 и могут быть отож-
г) По поводу самосопряженности оператора Дирака см. Т. К а т о [4],
П р о с с е р [1].
2) См., например, Ш и ф ф [1].
382 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
дествлены с их представлениями в виде квадратных D X ^-мат-
^-матриц. Аналогично C есть D X 4)-матрина. Таким образом, Lu =
— v = (pi, . . ., t>4) имеет компоненты
3 4 4
^(*) = *-г2 2(а0л-^+2РлМ*). E.20)
1=1 Л=1 Л=1
Матрицы ak и Р эрмитовы и удовлетворяют соотношениям ком-
коммутации:
+ afca, = 2бЛ1, ;, fc - 1, 2, 3, 4; E.21)
для удобства мы положили а4 = Р A есть единичная D X 4)-мат-
рица). Известно, что такая система матриц с^, р существует; для
наших целей не требуется выписывать их в явном виде.
Так как L — формальный дифференциальный оператор, то
по нему можно строить различные операторы в гильбертовом
пространстве Н = (L2 (R3)L, состоящем из всех С4-значных функ-
функций, таких, что
o, |и(г)|»=21иН*)Р-- E-22)
3=1
Соответствующее скалярное произведение таково:
4 ' ' ' '
(ц, у)= \ u{x)'v(x)dx, ul(x)'v(x) = ^ uj(x)vj(x). E.23)
3=1
Обозначим через Т минимальный оператор Ти = Lu с областью
определения D (Т) = (Со°L, состоящей из всех и (х) с компонен-
компонентами, принадлежащими Co°(R3).
Оператор Т существенно самосопряжен. Доказательство снова
легко получить с помощью преобразования Фурье. Пусть и (к)
есть фурье-образ и (х); это означает, что и (к) имеет 4 компоненты
Uj (к), которые являются фурье-образами Uj (x). Отображение
и —*¦ и = Uu снова определяет унитарный оператор из Н в Н =
= (L2 (к)L. Легко проверить, что для и 6 D (Т), Ти = Lu = v
имеет фурье-образ, равный
v (к) = (к -а + Р) и (к) = (&!«! + к2а2 + к5а3 + р) и {к). E.24)
Определим оператор К в Н как максимальный оператор умноже-
ниятна fe-a + Р; здесь термин «оператор умножения» употребляет-
употребляется^'обобщенном смысле, ибо к'а, + Р ПРИ каждом фиксированном
к является D X 4)-матрицей, а не скаляром. Поскольку порядок
$ 5. ОПЕРАТОРЫ ШРЁДИНГЕРА И ДИРАКА 383
этой матрицы конечен, легко показать, что К — самосопряжен-
самосопряженный оператор (как и в случае обычных операторов умножения).
Положим
#0 = U^KU. E.25)
Оператор Но является самосопряженным в Н с областью опре-
определения D (Но) — и~гТ) (К), a D (К) по определению есть множе-
множество всех и 6 (L2L, таких, что (к-а + Р) и (к) ? (L2L. Так как
матрица к-a -f- |3 эрмитова и в силу E.21)
(fc.a + P)» = (fc»+ 1I, E.26)
то включение и f D (К) эквивалентно тому, что
j (к2 + 1) | и (к) |2 dk = || Ки ||2 < оо. ' E.27)
Из сказанного выше следует, что Т cz Но. Таким образом, Т
существенно самосопряжен тогда и только тогда, когда Т = Но..
Чтобы доказать существенную самосопряженность Т, пока-
покажем, что К является прямой суммой четырех операторов, два
из которых изоморфны оператору умножения на A + к2I/2,
а два других — оператору умножения на — A + &2I/2- Введем
при каждом к новый ортонормированный базис в С4, состоящий
из собственных векторов эрмитовой матрицы к-a -f- p. В силу
E.26) собственные значения этой матрицы суть + (к2 -j- 1I/2,
и известно, что существует по два собственных вектора, отвечаю-
отвечающих каждому знаку + и —, которые образуют ортонормирован-
ное множество из четырех собственных векторов. С введением
для каждого к такого базиса (который никоим образом не является
единственным из-за вырожденности собственных значений) гиль-
гильбертово пространство Н распадается в прямую сумму четырех
подпространств, в каждом из которых оператор К действует
просто как оператор умножения на (к2 + lI^2 или на
— (к2 -f- 1I/2. Таким образом, доказательство существенной само-
самосопряженности оператора Т может быть проведено так же, как
и в случае оператора Шрёдингера для свободной частицы.
Детали предоставляем читателю г).
Оператор Дирака для частицы в статическом поле с потенциа-
потенциалом q (x) задается выражением
L = i-4t-grad + Р + Q, E-28)
где Q — оператор умножения на q (х) 1. Если q (x) вещественна
и локально интегрируема с квадратом, то минимальный оператор
Ср. П р о с с е р [1].
384 Гл. V. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
S с областью определения (Со"L, построенный по E.28), определен
на плотном множестве и симметричен (ср. с п. 1). Однако, для
того чтобы S был существенно самосопряженным, нам потре-
потребуются некоторые предположения. Не стремясь к большой общно-
общности, мы ограничимся тем, что покажем, что кулоновский потен-
потенциал
q(x)=e/\x\, \x\ = (x* + xl + x*)W, E.29)
обеспечивает существенную самосопряженность S, если | е |
не слишком велико. Чтобы доказать это, достаточно проверить,
что оператор Q является #0-ограниченным с относительной
гранью, меньшей 1 (см. аналогичные рассуждения в предыдущем
пункте). Но хорошо известно, по крайней мере для скалярных
функций, что
х | | и (х) |2 dx < 4 [ | grad и (х) |2 dx =
кг | и (к) |2 dk. E.30)
= 4 [
Это же неравенство дляТвекторнозначных функций и ? (Со°L
получается простым сложением неравенств E.30) для отдельных
компонент Uj (x). В силу E.29) и E.27) это дает неравенство
\\Qu\\^2\e\\\Kd\\ = 2\e\ \\Hou\\ E.31)
для и ? D (Т); оно может быть распространено на все u6D(i70),
ибо Но — замыкание Т, как было показано выше. Таким обра-
образом, оператор Q Я0-ограничен с относительной гранью ^2 \е \.
Итак, доказана (см. теоремы 4.4 и 4.6)
Теорема 5.10. Если q (х) = е/\ х | с вещественным е таким,
что | е | ^ 1/2, то минимальный оператор Дирака S существенно
самосопряжен. Если \ е \ <С 1/2, то замыкание оператора S имеет
ту же область определения, что и Но.
Задача 5.11. Аналогичный [результат справедлив, если
\ ' E'32)
. Iх а] I
з
где aj, /=1,2,...,— точки в R3, з0 (z) ~ ограниченная функция и
S I ч ! < 1/2-
Замечание 5.12/,Теорема 5.10 не вполне удовлетворительна,
поскольку условие \ е \ ^ 1/2 слишком ограничительно, чтобы
охватить все интересные случаи водородоподобных атомов. В обыч-
обычной системе единиц условие | е \ ^ 1/2 означает, что | Z \ <;
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ШРВДИНГЕРА И ДИРАКА 385
«с; 137/2 = 68,5, где Z — атомный номер и 1/137 — константа
тонкой структуры. В этой связи следует отметить, что условие
| е | ^ 1/2 может быть несколько улучшено, если использовать
теорему VI.3.11. В самом деле, легко видеть, что | Но | = {Н\I1г
есть также оператор умножения на (к2 + 1I/2 в Н. Но мы имеем
k^(\H0\u, и); E.33)
это можно доказать, используя фурье-образ оператора | х \'х,
который является интегральным оператором с ядром
1/2л2 | к — к' |2. Из указанной теоремы теперь следует, что если
то S имеет самосопряженное продолжение с областью определения,
содержащейся в D ([ Но \i/2). Условие E.34) означает, что | Z \ ^
< 137/1,57 = 87.
Следует отметить, что хотя теорема VI.3.11 не гарантирует
единственности самосопряженного продолжения S для каждого
фиксированного е, рассматриваемое продолжение «аналитично»
по е и является единственным продолжением, обладающим таким
свойством. Этот результат следует из теоремы VII.5.1
25
Т. Като
ГЛАВА VI
ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
И АССОЦИИРОВАННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В конечномерном гильбертовом пространстве понятия полуторалиней-
ной формы и линейного оператора эквивалентны, причем симметричным
формам соответствуют симметричные операторы. Для ограниченных форм
и ограниченных операторов это верно даже в бесконечномерном гильберто-
гильбертовом пространстве. Однако для неограниченных форм и операторов такой
очевидной связи нет. Тем не менее существует замкнутая теория о связи
между полуограниченными симметричными формами и полуограниченными
самосопряженными операторами х). При определенных ограничениях эта
теория может быть распространена на несимметричные формы и операторы.
Так как ее результаты существенны для применений в теории возмущений,
они будут подробно изложены в этой главе 2). В нее же включены и некото-
некоторые непосредственные применения; дальнейшие результаты содержатся
в гл. VII и VIII.
Последний параграф этой главы посвящен спектральной теореме и воз-
возмущению спектральных семейств. Эти вопросы не связаны существенным
образом с полуторалинейными формами, хотя приводимое здесь доказатель-
доказательство спектральной теоремы использует некоторые результаты из теории
форм. Учитывая тот факт, что спектральная теорема обладает довольно спе-
специфическими особенностями, мы всюду, где это возможно, стараемся избе-
избегать ее применения. Но поскольку эта теорема необходима для самой форму-
формулировки некоторых задач теории возмущений, полностью обойтись без нее
невозможно, и нам кажется уместным обсудить ее после предварительного
рассмотрения гильбертовых пространств.
§ 1. Полуторалинейные и квадратичные формы
1. Определения
В п. V.3.1 мы рассмотрели ограниченные полуторалинейные
формы, определенные на прямом произведении Н X Н'. Займемся
теперь неограниченными формами t [и, v); при этом мы будем рас-
рассматривать лишь только те формы, которые определены для и. v
из линейного подпространства D гильбертова пространства Н.
Итак, пусть функция t [и, v] комплекснозначна, линейна по
и 6 D при каждом фиксированном v ? D и полулинейна по v 6 D
при каждом фиксированном и 6 D. Будем называть D областью
1) Эта теория принадлежит Фридрихсу [1]. См. также Т. К а т о [8].
2) О других подходах к этой проблеме см. Ароншайн [4J, Ли-
Лионе [1].
§ 1. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 387
определения формы t и обозначать через D (t). Если множество
D (t) плотно в Н, то мы будем говорить, что форма t плотно
определена.
Назовем функцию t [и] = t [и, и] квадратичной формой,
ассоциированной с t [u, и]. Согласно A.6.11), t [и, v] опреде-
определяется по t [и] однозначно, а именно
t[u, v] = -?(t[u+v] — t[u—v] + it[u + iv] — it[u — iv]). A.1)
Отметим еще раз, что равенство A.1) справедливо только в ком-
комплексном гильбертовом пространстве (замечание 1.6.10). В даль-
дальнейшем будем называть i [и, и] или t [и] просто формой, если
нет возможности их спутать.
Две формы t и t' равны, t = t', тогда и только тогда, когда
они имеют одну и ту же область определения D и t [и, и] =
= i' lu, и] для всех пар и, v из D. Продолжения и сужения форм
определяются очевидным образом, так же как и для операторов,
и обозначаются следующим образом: t' zd t или tc: t'.
Тот факт, что область определения формы не обязательно
совпадает со всем пространством, усложняет действия над фор-
формами, как и в случае операторов. Сумма t = ti + t2 двух форм
tt и t2 определяется формулой
t lu, v] = tt [и, v] + t2 [и, v], D (t) = D (tt) П D (ta), A.2)
а произведение at формы t на скаляр a — формулой
(at) [и, v] = at lu, v], D (at) = D (t). ' A.3)
Единичная форма 1 [и, v) по определению равна скалярному про-
произведению (и, v), а нулевая форма 0 [и, и] принимает нулевое
значение ¦ для всех и, и, причем областью определения обеих
форм является Н. Таким образом, Oic: 0 для любой формы t,
и t + a = t + al определяется для любой формы t так:
(t + ее) [и, v] = t lu, v] + а (и, v), D (t + ее) = D (t). A.4)
Форму t назовем симметричной, если
t [и, v] = Г[и, и], и, v 6 D (t). A.5)
Из A.1) ясно, что форма t симметрична тогда и только тогда,
когда функция t [и] вещественнозначна.
С каждой формой t связана другая форма t*, которая назыг
вается сопряженной к t и определяется равенством .
t* [u, v] = t [v, и], D (t*) = D (t). A.6)
Форма t симметрична тогда и только тогда, когда t* = t. Имеет
место тождество
a2t2)* = ajt* + a2t*. ,. , - A.7)
25*
388 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Для любой формы t две формы ij ж t, определенные равенствами
$ = ±(t + t*), f = 4"(t-t*). A-8)
симметричны, причем
t = tj + it A.9)
Будем называть ij ж t соответственно вещественной и мнимой
частью формы t и обозначать так: ij = Re t, ? = Im t. Такое
обозначение оправдано тем, что
Ij [и] = Re t [w], ![w] = Imt[it], A.10)
хотя функции I) [ц, и] и ? [ц, у] не являются вещественными
-И не имеют ничего общего с Re (t [и, v]) и Im (t [и, v]).
2. Полуограниченность
Симметричная форма ?) называется ограниченной снизу, если
множество (вещественных) значений t) [и] для \\ и || = 1 ограни-
ограничено снизу или, что эквивалентно,
t) [и] > у И и Ц2, u6D(?)). . A.11)
Этот факт будем записывать так:
Ь>Ъ •' A-12)
Наибольшее число у, обладающее этим свойством, называется
нижней гранью формы Ц и обозначается у%. Если ?) ^ 0, то форма
?) называется неотрицательной. Аналогично вводятся понятия
ограниченности сверху, верхней грани, неположительности и т. д.
Так как мы будем большей частью иметь дело с формами, ограни-
ограниченными снизу, то символ у будет использоваться только для
обозначения нижней грани.
Если I) — неотрицательная симметричная форма, то справед-
справедливо неравенство A.6.32). Если симметричная форма f) ограни-
ограничена снизу и сверху, тогда она ограничена и ее норма равна
большему из абсолютных значений верхней и нижней граней.
Иными словами, если | I) [и] | ^ М || и ||2 для всех и 6 D (Ц),
то | I) [и, v] | ^ М || и || || v || для всех и, v 6 D (I)). Доказатель-
Доказательство проводится так же, как и в конечномерном случае [см.
A.6.33)]. Следует заметить, что в более общем случае, если
| i [и] К ЖЕ) [и] для всех и 6 D = D (?)) = D (!), то | J [и, у] |<
<[Mt) Ы1/2 I) М1/2 для всех и, v 6 D, если формы I) и ? симмет-
симметричны и форма I) неотрицательна.
Рассмотрим теперь несимметричную форму t. Множество
значений, которые принимает функция t [и], когда и ? D (t),
.||> и || = 1, называется числовой областью значений формы t и обо-
§ 1. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 389
значается 0 (t). Так же как и в случае операторов, В (t) — выпук-
выпуклое множество в комплексной плоскости (ср. с теоремой V.3.1).
Симметричная форма J) ограничена снизу тогда и только тогда,
когда в (f|) — конечный или полубесконечный интервал веще-
вещественной оси, ограниченный снизу. Более общо будем говорить,
что форма t ограничена слева, если 0 (t) является подмножеством
полуплоскости вида Re ? ^ у. В частности, форму t назовем
секториалъно ограниченной слева (или просто секториалъной),
если 0 (t) —¦ подмножество сектора вида
|arg(? —7)|<8, O<0<-J, у вещественно. A.13)
Это означает, что
^>7 и |t[u]|<(tg8)ft-v)[«], »6":D(t), A.14)
где f) = Re t, f = Im t. Числа у и 9 определяются формой t
неоднозначно; будем называть у вершиной, а 9 — соответствующим
ей полууглом формы t. Из сделанного выше замечания следует, что
I № - у) Ы, v] |< (^ - у) Ы1/2 ft - у) Ыт,
I t Ы, v] |< (tg 6) (!) - у) Ы1/2 $ - 7) Ы"\ A.15)
| (t - у) [и, v] |< A + tg 9) {Ц - 7) Ы1/2 ft - У) М1'2.
В следующих параграфах мы будем иметь дело в основном с сек-
ториальными формами.
Задача 1.1. Из A.15) следуют неравенства
tt-V) М < I (t-V) М | < (sec 6) ($-v) [и],
| (t_V) [и+„] |l/2 <(Sec 6I/2 { | (t-v) [в] 11/2+1 (t-y) [v] |1/2}, A.16)
I (t-Y) [u + v] |<2(sec6) { | (t-v) [uj | + | (t-v) M I }•
Пример 1.2. Пусть Т — оператор в Н; положим
t [и, v] = (Та, v), D (t) = D (Л- A-17)
Области числовых значений оператора Т и формы t совпадают. В частности,
форма t симметрична, если оператор Т симметричен; t ограничена снизу,
если Т ограничен снизу; t ограничена слева, если Т квазиаккретивен; t сек-
ториальна, если Т секториален (см. п. V.3.10).
Пример 1.3. Пусть S — оператор из Н в другое гильбертово простран-
пространство Н' (которое может и совпадать с Н); положим
f) [и, v] = (Su, Sv), D (t>) = D (S), A.18)
где скалярное произведение берется, конечно, в Н'. Форма I) неотрицательна
и симметрична.
Пример 1.4. Пусть Н = I2 и
п
t[u, v]= 2 сс;|я; пря и = (у, »=(%•). ' A-19)
390 Гл- VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ .:
где {a.j} — последовательность комплексных чисел. Определим D (t) как
множество всех и = (?,j) ? Н, таких, что У' | а.] | ||7- |2 < оо. Пусть t —
сужение формы t на область D (t), состоящую из всех в?Н, имеющих лишь
конечное число ненулевых компонент. Форма t плотно определена; заведомо
это верно для формы t. Форма t симметрична тогда и только тогда, когда
все Uj вещественны; t секториальна с вершиной у и полууглом 0 тогда
п только тогда, когда все о, лежат в секторе A.13).
Можно получить дальнейшее сужение tt формы t, потребовав, чтобы
каждый элемент и ? D (ti) удовлетворял (в дополнение к условию и ? D (t))
условию
оо
Sfe-0, , A-20)
5=1
где {ру} — фиксированная последовательность комплексных чисел, не все
из которых равны нулю. Форма ti плотно определена тогда и только тогда,
когда ^ I Р; I2 = °°- Чтобы убедиться в этом, рассмотрим вектор и> = (?7-) ?
€ Н, ортогональный к множеству D (tj). Так как вектор (Рд, 0, . . ., —р(,
О, . . .) с k-а компонентой — р4 принадлежит D (ti), то pft t,i — Pi Ей. = 0.
Поскольку это верно для всех к, то ?i : ?,2 '¦ • • • = Pi: P2 : • • •• Если ~S) |p7 |2=
= оо, то все t,j = 0, так что и> = 0. Это показывает, что множество D (у
плотно в Н. Если 2 I Pj I2 < °°> то вектор (ру) = Ъ принадлежит Н, а зна-
значит, ортогонален в силу A.20) множеству D (ti). Следовательно, множество
D (ti) не плотно в Н.
Пример 1.5. Пусть Н = L2 (Е) и ¦ *; V
^f{x)u[x)V?)dx, . ' A.21)
Е ' "
где / (х) — комплексная измеримая функция на Е. По определению D (t) —
множество всех и 6 Н, таких, что \ | / (х) | | и (х) |2 dx <C оо. Форма t плот-
плотно определена (так же как и в случае максимального оператора умножения;
«м. пример III.2.2). Форма t симметрична, если / (х) вещественна. Форма t
секториальна с вершиной у и полууглом 0, если значения / (х) лежат в сек-
секторе A.13).
Предположим, что Е — ограниченное открытое множество. Тогда суже-
сужение t формы t на область D (t) = С™ (Е) — также плотно определенная
форма. Пусть ti — сужение формы t с областью определения D (t4), состоя-
состоящей из всех и ? D (t), таких, что
\f(xju(x)dx=0, . A.22)
Е
где g (х) — локально интегрируемая функция. Тогда форма ti плотно опре-
определена, если 0 Ф g ^ La (E), и не является плотно определенной, если
6 Ф g ? L2 (Е). Доказательство проводится так же, как в предыдущем при-
примере.
§ 1. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 391
Пример 1.6. Пусть Н = L2 @, 1) и
I) [u, v) = м @)Т@). A.23)
По определению D (I)) — это множество всех функций и (х), непрерывных
(более точно, эквивалентных непрерывным) на замкнутом интервале [0, 1];
тогда значение и @) определено для всех и 6 D (f;). Форма ^ плотно опре-
определена, симметрична и неотрицательна. Действительно, t) является частным
случаем формы A.18) при 5м = м @), где S' — оператор из Н в одномерное
пространство С.
Пример 1.7. Пусть Н = L2 (а, Ъ), где (а, Ъ) — конечный интервал;
положим
и
[и, и] ~ \ {р (х) и' (х) и' (х) + q (x) и (х) и (х)
-f- г (ж) и' (ж) г; (ж)-}-5 (х) и (ж) v' (x)) dx-\-hau (a) v (a)-\-hi>u (b) v (b), A.24)
где p (x), q (x), r (x), s (x) — фиксированные комплексные функции, a ha, hb —
константы. Предположим, что функции р, q, r, s непрерывны на замкнутом
интервале [а, Ь] (регулярный случай), и пусть D (t) — множество всех и ?
6 Н, таких, что и (х) абсолютно непрерывна на [а, 6], причем и' (х) 6 Н
(так что правая часть A.24) определена для и, v ? D (t))]. Форма t плотно оп-
определена и симметрична, если функции р, q вещественны, г (х) = s (x) и числа
1га, кь вещественны. Если мы сузим D (t) до множества всех и (х), для кото-
которых и (а) = и (Ь) -- 0, то получим сужение t0 формы t, причем форма t0
плотно определена. Определим дальнейшее сужение t формы t0, положив
D (t) = С (а, Ь).
Форма t секториальна, если р (х) > 0 на [а, Ь]. Для того чтобы убедить-
убедиться в этом, заметим, что существуют положительные числа 6 и М такие, что
р \х) > б, | д (х) | < М, | г (х) | < М, 1 s (х) | < М. Таким образом,
Re t [и] > [ {б | и' |2 — М (| и |2 + 2 | мм' ])} dx —
- | К | | и (а) |» - | hb | | м (Ь) \\
Так как 2 | мм' | < 8 | и' \2 + е | м |2, то мы получим, используя (IV.1.19)
при р = 2, неравенство
I) [м] = Re t [м] > б || м' ||2 - И || м Ц2, A.25)
в котором положительные числа б и М, вообще говоря, не те, что былн вве-
введены выше. Аналогично получаем, учитывая, что функция р (х) вещественна:
| Пи] | = | Imt [и] | < в И и' Ц2 +Мв\\и ||2, A.26)
где 8 > 0 можно выбрать сколь угодно малым. Таким образом, легко видеть,
что справедливо неравенство вида A.14) с подходящими константами у и 9,
причем 0 может быть выбрано произвольно малым, если —у выбрано доста-
достаточно большим.
Задача 1.8. Форма t из предыдущего примера секториальна, даже если
функция р (х) не является вещественной, при условии, что Не р (х) > 0
(функция р (х), как и выше, предполагается непрерывной).
Пример 1.9. Пусть Н = L2 (R3) и
t [и, v] = \ [grad м (х) -grad vjx) + q (х) и (x}.vjx)] dx, A.27)
392 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
где q (х) — фиксированная функция, которая предполагается локально
интегрируемой. В качестве D (t) мы можем выбрать Со (R3) (множество
непрерывно дифференцируемых функций с компактными носителями). Фор-
Форма t плотно определена; она симметрична, если функция q (x) вещественна.
Мы можем сузить D (t), потребовав большей гладкости функций и (х), и (х)
(например, D (t) = C^°(R3)) и сохраняя при этом указанные свойства фор-
формы t, или несколько расширить D (t), включив функции с некомпактными
носителями.
3. Замкнутые формы
Пусть t — секториальная форма. Последовательность векто-
векторов {ип} будем называть t-сходящейся (к и 6 Н) и обозначать
ип -> и, тг->оо, A.28)
t
если ип 6 D (t), ип -> и и t [ип — ит] ->• 0 при п, т -> оо. Заме-
Заметим, что и может и не принадлежать D (t) (ср. с замечанием из
п. III.5.2 о Г-сходимости в случае, когда Т — оператор).
Непосредственно из определения следует, что t-сходимость
эквивалентна (t + а)-сходимости для любого скаляра а. Далее,
t-сходимость эквивалентна Ц-сходимости, где I) = Re t; это сле-
следует из формулы A.16), согласно которой (Ц — у) [ип — ит] -> О
тогда и только тогда, когда (t — у) [ип — ит] -> 0. Кроме того,
если ип -*- и и vn -> v, то аип + $vn -> аи + $v. Для доказатель-
t t t
ства достаточно заметить, что форму t можно без потери общно-
общности считать симметричной и неотрицательной в силу предыдущего
замечания; требуемый результат вытекает тогда из A.6.32).
Секториальная форма t называется замкнутой, если из ип -»- и
t
следует, что и ? D (t) и t [ип — и) -> 0. Согласно сделанным
выше замечаниям, t замкнута тогда и только тогда, когда форма
Re t замкнута; t замкнута тогда и только тогда, когда t + a
замкнута.
Задача 1.10. Ограниченная форма замкнута тогда и только тогда, когда
ее область определения является замкнутым линейным подпространством.
Пусть fj — симметричная неотрицательная форма, и пусть
(и, рЦ = $ + 1) [и, v] = § [и, v) + (и, v), u,v 6 D ($). A-29)
Мы можем рассматривать форму (и, v)^ как скалярное произве-
произведение в D (I)), так как она симметрична и ассоциированная с ней
квадратичная форма положительно определена:
II и ||| = (и, и)% = ($ + 1) [и] = !) M-J+ || и ||2 > || и ||2. A.30)
Будем обозначать линейное подпространство D (!)) через Hi),
если оно рассматривается как предгильбертово пространство со
скалярным произведением ( , к.
§ 1. ПОЛУТОРА ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 393
Для фиксированной секториальной формы t определим пред-
предгильбертово пространство Щ, совпадающее с Hv при ?)' =
= Re t — 7^0, где у — вершина формы t. Будем называть Н4
предгильбертовым пространством, ассоциированным с формой t.
Оно совпадает с D (t) как векторное пространство, однако скаляр-
скалярное произведение ( , )t = ( , V в Hj зависит от выбора у,
так что Ht определяется формой t неоднозначно. Во всяком слу-
случае, следующее утверждение является непосредственным след-
следствием неравенства A.30). Последовательность ип 6 D (t) является
t-сходящейся тогда и только тогда, когда она фундаментальна
в Hf. Если и ? D (t), то t-сходимостъ ип -> и эквивалентна схо-
t
димости по норме \\ ип — и \\t -> 0.
Из A.15) и A.30) получаем
| t [и, v] |< | у | | (и, v) \ + A + tg в) Ц' [и}1/2 у [v}i/2 <
< It Ml и и \\v ц + (l + tg 9) и и ||t || v ||t <
<Aт I + i + tg e) и ы ||t iMIt- (i.3i)
Это показывает, что t [и, v] является ограниченной полуторали-
нейной формой, определенной всюду в Hj.
Теорема 1.11. Секториалъная форма t e H замкнута тогда
и только тогда, когда предгильбертово пространство Hj полно.
Доказательство. Поскольку форма t замкнута тогда
и только тогда, когда замкнута форма t)' = Ее t — у, мы можем
предположить, что t = f) — симметричная и неотрицательная
форма, и скалярное произведение в Ht = Hj, определяется фор-
формулой A.29). Предположим, что форма ?) замкнута, и пусть после-
последовательность {ип} фундаментальна в Н^: || ип — ит \\^ -+¦ 0.
Тогда {ип} фундаментальна также и в Н в силу A.30), так что
существует и 6 Н, такое, что ип -»- и. Так как \) [ип — ит] -^- О
в силу A.30), то последовательность {ип} [)-сходится, и из замкну-
замкнутости формы tj следует, что и ? D (Ц) = Щ и § [и^ — и) ^- 0.
Следовательно, и \\ ип — и ||^ -> 0 в силу A.30), а это показы-
показывает, что пространство Н^ полно.
Обратно, предположим теперь, что пространство Н^ полно.
Пусть ип -»- и; тогда § [ип — ит] -> 0 и \\ ип — ит \\ -»- 0, так что
II «п — ит |1й~>0 В СИЛУ A.30). ПОСКОЛЬКУ ПроСТраНСТВО Hfy
полно, то существует вектор и0 6 Н^ = D (ty, такой, что
394 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
И ип —- и0 || -»- 0. Из A.30) следует, что I) [ип — и0] -*- 0 и
|| ип — ит || -»- 0. Следовательно, и = и0 € D (t)) и t) [мп — м] -v
-*¦ 0. Это доказывает замкнутость формы I).
Теорема 1.12. Пусть t — векториальная форма. Если ип —>- и
Г
и уп —»- у, ww существует lim t [wn, yn]. Если t замкнута, то этот
t ¦ ¦
предел равен t [и, v]
Доказательство. Имеем
1 t [и„, уп] — t [ип, vm] | < | t [ип — ит, vn] | +
+ | t [ит, уп — ут] | <
< A + tg 9) {§ [un - Mni]Va [, [%]V2 + I, [„ji/a ^ [^ _ Um]i/«}i
где предполагается, что у = 0 [см. A.15I. Так как ип-*¦ и вле-
t
чет за собой Ц [ип — ит] —»- 0 и ограниченность последователь-
последовательности I) [ип\ и то же самое справедливо для vn, то существует
lim t [un, vn]. Вторую часть теоремы можно доказать таким же
образом, рассматривая t [un, vn] — t [и, v].
Пример 1.13. Рассмотрим симметричную неотрицательную форму
"?) [и, v] = (Su, Sv) из примера 1.3. Форма ii замкнута тогда и только тог-
тогда, когда S — замкнутый оператор. Чтобы убедиться в этом, достаточно
заметить, что сходимость ип —у и эквивалентна сходимости ип —>- и, а схо-
1) S
димость Ц [ип — и] -*¦ 0 эквивалентна сходимости Sun -*¦ Su (см. п. III.5.2).
Пример 1.14. Рассмотрим форму t [и, и] — ^ а;'1;%> определенную
в примере 1.4, и предположим, что все а,- лежат в секторе A.13), так что
форма t секториальна. Тогда она замкнута. Действительно, || и ||| =
= У A + Re aj — 7) I h I2 Для " = (lj)- Ho Ht = D (t) — множество всех
и ? H, таких, что У | a.j \ | %j |2 < оо, и, как легко видеть, при сделанных
нами предположениях это условие эквивалентно условию || и \\% < оо. Таким
образом, Hj. включает все и = (|^-), для которых || и ||t < оо, и поэтому
является полным (так же как и I2).
Пример 1.15. Рассмотрим форму t [и, v] — ^ / (х) и (х) v (x) dx из при-
примера 1.5. Если предположить, что значения функции / (х) лежат в секторе
A.13), так что форма t секториальна, то она замкнута. Доказательство про-
проводится так же, как и в предыдущем примере.
В заключение приведем теорему, которая является важной
с той точки зрения, что позволяет установить, принадлежит ли
данный элемент и 6 Н области определения замкнутой формы t.
По определению замкнутости и ? D (t), если существует после-
последовательность ип 6 D (t), такая, что ип—*- и и t lun — ит] -*¦ 0.
В действительности, однако, достаточно более слабого условия,
а именно справедлива
§ 1. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 395
Теорема 1.16. Пусть t — замкнутая секториальная форма.
Пусть мп 6 D (t), un-+u и последовательность {t [un]} ограни-
ограничена. Тогда и ? D (t) ц Ret [и] ^ lira inf Re t [un].
Доказательство будет дано после того, как будет установлена
теорема о представлении (см. п. 2.2).
4. Замыкаемые формы
Секториальная форма называется замыкаемой, если она имеет
замкнутое продолжение.
Теорема 1.17. Для того чтобы секториальная форма t была
замыкаемой, необходимо и достаточно, чтобы из ип —>- 0 следо-
t
вало, что t [un] ->- 0. Если это условие выполнено, то t имеет
замыкание (нашпеньшее замкнутое продолжение) t, которое опре-
определяется следующим образом. Множество D(t) есть множество
всех и 6 Н таких, что существует последовательность {ип},
обладающая следующими свойствами: ип —»- и и
t : ,
t [и, v] = lim t [un, vn\ ¦ A.32)
для любых ип -> и, vn —>- v. Любое замкнутое продолжение формы
t t ^
t является также продолжением формы t.
Доказательство. Пусть ti — замкнутое продолжение
формы t. Из ип —>- 0 следует ип ->- 0, так что t [ип] = ti [un] =
t k
= ^ [ип — 0] —>- 0 в силу замкнутости ti. Этим доказана необ-
необходимость.
Для доказательства достаточности определим D (t) так же,
как это сделано в формулировке теоремы. Тогда по теореме 1.12
существует предел в правой части формулы A.32). Мы покажем,
что этот предел зависит лишь от и, у и не зависит от выбора после-
последовательностей {ип}, {vn}. Пусть {и'п}, {v'n} — другие последова-
последовательности, такие, что и'п —>- и, v'n —>¦ v. Тогда и'п — ип -^- 0, v'n —
— vn ->- 0 (см. п. 3), так что t [и'п — ип\ ->- 0, t [v'n — vn\ ->- 0
по предположению. Следовательно, t [u'n, v'n] — t lun, vn] =
= t [u'n — u'n, Vn] + [un, vn — vn] -> 0, так же как и в доказа-
доказательстве теоремы 1.12
Заметим, что
t [ип — и] -> 0, если un ->- и. A.33)
Действительно, lim t [ма — м] = lim lim t [un — ит] в силу
соотношения A.32), а этот предел равен нулю, так как ип ->- м.
396 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Мы ввели форму t с областью определения D A). Очевидно,
что эта форма секториальна и tiD t. Покажем, что она замкнута.
Рассмотрим предгильбертово пространство Hj, ассоциированное
с t; достаточно показать, что это пространство полно (см. тео-
теорему 1.11).
Так как tZD t, то Ht — линейное подпространство в H-j-
Из приведенного выше построения формы t ясно, что Ht плотно
в Hj и что любая фундаментальная последовательность в Ht
имеет предел из H-j- [см. A.33I. Как известно, это означает, что
пространство Hf полно *).
То, что t является наименьшим замкнутым продолжением
формы t, следует также из самого построения, ибо если форма
tiiD t замкнута и ип ->- и, то ип -> и, а значит, и ? D (ti). Сле-
Следовательно, D (t)z3 D (ti) и t [и, v] = ti [и, v] в силу A.32)
и теоремы 1.12.
Теорема 1.81. Пусть t, t — введенные выше формы. Числовая
область значений в (t) формы t является плотным подмножеством
числовой области значений G (*) формы t.
Доказательство. Для любого «6D (t), || и || = 1,
существует последовательность ип 6 D (t) такая, что мп ->- и.
Мы можем предполагать, что ||и„ ]] = 1, в противном случае
нужно лишь заменить ип на ип1\\ ип \\. Утверждение теоремы
следует немедленно из того, что t \un\ -> t [и].
Следствие 1.19. Вершину у и полуугол Э формы t можно выбрать
такими же, как и для формы t. Если Ц — симметричная ограни-
ограниченная снизу замыкаемая форма, то Ъ) и I) имеют равные нижние
грани.
Теорема 1.20. Замыкаемая секториальная форма t с областью
определения Н замкнута.
Доказательство. Форма t обязательно замкнута, так
как t и t имеют одинаковую область определения Н, а значит,
t = t. Мы опять можем предположить, что t имеет нулевую
х) Пусть {ип} — фундаментальная последовательность в Н~; так как
Hj. плотно в Н~, то существует последовательность vn g Ht, такая, что
|| vn — ип \\~ ^ 1/ге. Тогда последовательность {vn} фундаментальна, так
что vn -*¦ v для некоторого v ? Н~; поэтону ип -*¦ v, и Ht полно.
§ 1. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 397
вершину. Полное гильбертово пространство Ht, ассоциированное
с t, совпадает с И как векторное пространство, причем || и ||t ^
^ || и ||. По теореме о замкнутом графике эти две нормы экви-
эквивалентны, т. е. существует константа М, такая, что || и ||t ^
^ М || и ||. (Для доказательства рассмотрим оператор Т из Ht
в Н, определенный равенством Ти = и; этот оператор ограничен:
|| Т || ^ 1, и отображает Ht на все Н; отсюда получаем, согласно
результату задачи III.5.21, что оператор Т~х ограничен.) Следо-
Следовательно, 0 < !) [и] < М2 || и ||2 и |t [и, v] | < A + tg 8) X
хМ2 || и || || v || в силу A.15).
Пусть t — замкнутая секториальная форма; линейное под-
подпространство D' множества D (t) называется ядром формы t,
если ее сужение t' с областью определения D' имеет своим замы-
замыканием форму tit' = t (ср. с соответствующим замечанием
относительно операторов; п. III.5.3). Очевидно, что линейное
подпространство D' является ядром формы t тогда и только тогда,
когда оно является ядром формы t + а для любого скаляра а.
Если форма t ограничена, то D' является ее ядром тогда и только
тогда, когда оно плотно в D (t) (заметим, что в этом случае D (t) —
замкнутое линейное подпространство).
Две следующие теоремы вытекают непосредственно из дока-
доказательства теоремы 1.17.
Теорема 1.21. Пусть t — замкнутая секториальная форма.
Для того чтобы линейное подпространство D' области определе-
определения D (t) являлось ее ядром, необходимо и достаточно, чтобы D'
было плотно в гильбертовом пространстве^.^, ассоциированном с t.
Теорема 1.22. Пусть t', t" — две секториалъные формы,
такие, что t' с: t". Пусть Hf и Ht» — ассоциированные с ними
предгильбертовы пространства 1). Если форма t" замкнута, то
для замкнутости формы t' необходимо и достаточно, чтобы про-
пространство Hf било замкнутым подпространством пространства
Ht«- Если форма t" замыкаема, то t' = t" тогда и только тогда,
когда Hf плотно в Ht».
Пример 1.23. Рассмотрим форму § [и, v] = (Su, Sv) из примеров 1.3
и 1.13. Она замыкаема тогда и только тогда, когда оператор S замыкаем.
Действительно, сходимость ип —>- 0 эквивалентна сходимости ип —*- 0, а схо-
i) s
димость t) [ип\ -*¦ 0 — сходимости Sun ->¦ 0. Если S замыкаем, то
1 [и, v] = (Su, Sv), D (|) = D (S). A.34)
x) Здесь мы предполагаем, что для t' и t" выбрана общая вершина у,
а нормы в Н,,, Н,„ определяются соответственно следующим образом:
(Re t' - у) [и] + || и ||», (Re f - у) [и] + || и ||».
398 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ •' ;
Мы знаем, кроме того, что форма I) замкнута тогда и только тогда, когда
замкнут оператор S; в этом случае подмножество D' линейного подпростран-
подпространства D(i)) = D (S) является ядром формы f) тогда и только тогда, когда
оно является ядром оператора S.
Пример 1.24. Рассмотрим форму I {и, i>] = ^ aj%fllj из примеров 1.4
и 1.14. Предположим, что все а,- лежат в секторе A.13), так что форма t
секториальна и замкнута. Форма t замыкаема, причем t = t; это следует
из того, что, как легко проверить, D (t) плотно в Щ. Рассмотрим теперь
замыкание формы t4. Дополнительное условие A.20) может быть представле-
представлено ' в виде 2 A + Re aj - у) ffe = 0, где fy = fy A + Re о,- - у)-1.
Принимая во внимание формулу || и ||? = ^ A + ^е aj ~ У) I %j I2 из при-
примера 1.14, мы видим, что D (ti) плотно в Н, тогда и только тогда, когда
У1 A + Re aj — у) | Pj |2 = оо (см. аналогичное рассуждение в примере 1.4).
Как легко видеть, это условие эквивалентно условию
2 (I а} | + I) | р, I2 = оо. A.35)
Итак, ti = t тогда и только тогда, когда выполняется условие A.35). С дру-
другой стороны, если левая часть в A.35) сходится, то D (tt) является плотным
подмножеством ортогонального дополнения М в Н, линейной оболочки век-
вектора (PJ) ? Н, и D (ti) совпадает с М. Таким образом, вектор и ? D (t4)
характеризуется тем, что ^ (I aj I + *) I S/ I2 < °° и ^ $)%i = ° [заме-
[заметим, что ряд V Y-fij абсолютно сходится при и ? D (t), в чем можно убедить-
убедиться, применяя неравенство Шварца].
Пример 1.25. Рассмотрим форму t [и, v]= \ f{x)u (x)v(x) dx из приме-
примеров 1.5 п 1.15 и предположим, что значения функции / (х) лежат в секто-
секторе A.13), так что форма t секториальна и замкнута. С помощью рассужде-
рассуждения, аналогичного использованному в предыдущем примере, можно пока-
показать, что t = t п что t4 = t тогда и только тогда, когда
!/(*) 1+ I) \g{x)?dx= оо. . . A.36)
Пример 1.26. Примером плотно определенной секториальной (и даже
симметричной п неотрицательной), но не замыкаемой формы является форма
I) [и, v] —- и @) v @) из примера 1.6. Чтобы убедиться в этом, достаточно
заметить, что ип —*- 0 влечет за собой || ип || -*¦ 0, а также существование
lim ип @) = а (где {ип} — последовательность непрерывных функций),
однако а не обязано быть равным нулю.
§ 1. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 399
5. Формы, построенные с помощью
секториальных операторов
Напомним, что оператор Т, действующий в пространстве Н,
называется секториалышм, если его числовая область значений
есть подмножество -сектора вида A.13) (см. п. V.3.10). Пусть
оператор Т секториален; положим (см. пример 1.2)
t [и, и] = (Ти, v), D (t) = D (Т). A.37)
Очевидно, что форма t секториальна с вершиной у и полууглом 8.
Теорема 1.27 х). Форма t, определенная выше с помощью сек-
'"пгориального оператора Т, замыкаема 2).
Доказательство. Мы можем предположить без огра-
ограничения общности, что оператор Т имеет вершину 0, так что
Ij = Re t ^ 0. Пусть последовательность ип ? D (t) = D (T) t-cxo-
дится к нулю: ип ->- 0' и t [ип — ит\ -*¦ 0; мы должны показать,
что t [un] -»- 0.
В силу A.15) имеем:
I t [ип] | < | t [ип, ип — ит] | + | t \ипит] | <
< A + tg 9) ц [ип}1/2 Ъ [ип - О'72 + I {Тип, иту |. A.38)
Так как 1} [ип — ит] -+ 0, то для любого 8> 0 существует такое
iV, что t) [ип — ит] < е2 при п, т ^ N. По той же причине после-
последовательность I) [ип] ограничена, поэтому из A.38) следует, что
| t [ип] |< Мг + | (Тип, ип) |, п, m > N, A.39)
где М — некоторая константа. При тп -> схз мы получим, что
I t [ип] | ^ Me для п Г> N, т. е. t [ип] -> 0, что и доказывает
утверждение теоремы.
Следствие 1.28. Если Т — симметричный оператор, ограни-
ограниченный снизу, то форма A-37) замыкаема.
Задача 1.29. В условиях теоремы 1.27 справедливо равенство t [и, v] —
— ( Ти, v) для всех и 6 D (Т) и v 6 D (t).
Пример 1.30. Рассмотрим оператор Т из п. III.2.3 при X = Н =
= L2 (а, Ь), который является минимальным оператором в Н, соответствую-
соответствующим дифференциальному оператору Lu = рои" -\- ptu' + p2u. Интегрируя
по частям,, получаем:
ь
x. , A.40)
х) Эта теорема принадлежит Ш е х т е р у [3]. Автор первоначально
доказал ее только для случая 6 < я/4; ср. с работой Т. К а т о [15].
2) Заметим, что секториальный оператор допускает замыкание, если
он плотно определен (см. теорему V.3.4). '
400 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Эта форма имеет такой же вид, как и форма t из примера 1.7, и является
секториальной, если р0 (х) < 0 и р0, р'о, pi, p2 непрерывны на замкнутом
конечном интервале [а, Ь]. Следовательно, форма t [и, v] = {Tu, v) замы-
замыкаема.
6. Суммы форм
Теорема 1.31. Пусть t±, ¦ • ., ts — векториальные формы в Н,
и пусть t = ti + . . . + ta [с D (t) = D (tl) П - • ¦ П » №
Тогда форма t секториалъна. Если все tj замкнуты, то и t зам-
замкнута. Если все tj замыкаемы, то и форма t замыкаема, причем
?<=?, + ...+7S. A.41)
Доказательство. Без ограничения общности можно
предположить, что все формы t; имеют нулевую вершину. Пусть
б;- — полууглы форм tj, соответствующие нулевой вершине.
Числовая область значений формы t7- есть подмножество сектора
I arg ? I ^ Qj < л/2, поэтому числовая область значений фор-
формы t есть подмножество сектора | arg ? | ^ б = шах б;- ¦< я/2.
Итак, форма t секториальна с вершиной 0 и полууглом 6.
Предположим, что все tj замкнуты, и пусть ип —> и. Тогда
ип —>- и, где !) = Re t = !)i + • • ¦ +fys> i)j = Re tf, поэтому
ц [ип — um] -+¦ 0 при n, m->-oo. Так как tjj^O, то l)j [un — um]-*-0
для каждого ;'. Итак, ип—+и, а значит, ип~—*-и, так что и ? D (tj)
и tj [un — и] —»- 0 для каждого j. Следовательно, и 6 D (f)
и t [м„ — и] -»- 0. Это доказывает замкнутость формы t.
Предположим теперь, что все ty замыкаемы. Тогда форма
ti + • • • + ts замкнута согласно только что доказанному утвер-
утверждению и является продолжением формы t- Следовательно,
форма t замыкаема, причем справедлива формула A.41).
Замечание 1.32. Включение в формуле A.41), вообще говоря,
не может быть заменено равенством, даже если все tj симмет-
симметричны х). Теорему 1.31 можно распространить на случай сумми-
суммирования бесконечного числа форм при некоторых предположе-
предположениях, обеспечивающих сходимость и секториальную ограничен-
ограниченность суммы.
Пусть t — секториальная форма в Н. Форма t' в Н (не обя-
обязательно секториальная) называется ограниченной относительно
формы t или просто t-ограниченной, если D (t') zd D (t) и
| t' [и] |< a 1| и И2 + Ъ | t [и] |, и 6 D (t), . A.42)
Относительно контрпримера, см. Т*>Кат,о. :[8]v
§ 1. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 401
где а и Ъ — неотрицательные константы. Наибольшую нижнюю
грань всех возможных значений Ъ мы будем называть t-гранью
формы t'.
Очевидно, что t-ограниченность эквивалентна (t + (^-огра-
(^-ограниченности для любого скаляра а. Кроме того, t-ограниченность
эквивалентна ^-ограниченности, если !) = Re t, так как нера-
неравенство A.42) эквивалентно [см. A.16)] неравенству
|t'[wl К a IMP + Ь%[и], w€D(t) = Dft); A.43)
константы а и Ъ в A.42) и A.43), вообще говоря, не совпадают.
Если обе формы t и t' секториальны и замыкаемы, то нера-
неравенство A.42) распространяется на все и ? D (t) с теми же кон-
константами а и Ъ и формами t, t' вместо форм t, t' соответственно
[как следствие получаем, что D (t') id D (t)l. Чтобы в этом убе-
убедиться, достаточно рассмотреть для каждого и ? D (t) последо-
последовательность {ип}, такую, что ип-+и, и перейти к пределу в нера-
неравенстве | t' [ип] | < а || ип И2 + Ъ |Т [ип1 |.
Для симметричных форм можно ввести понятие относительной
полуограниченности. Пусть I) — симметричная форма, ограни-
ограниченная снизу. Симметричная форма I]' (не обязательно полуогра-
полуограниченная) называется полуограниченной снизу относительно !)
или просто Ц-полуограниченной снизу, если D (I)') Z3 D (f)) и
У [и] > -а' || и [|2 - Ъ'Ъ [и], и 6 D (?)), A.44)
где а', Ъ' —неотрицательные числа. Аналогично форма Ь,' назы-
называется ij-полуограниченной сверху, если D (L)') zd D (t)) и
I)' lu] < а" || и ||2 + Ь"Ц [и], и е D (?)). A.45)
Если форма f)' 1)-полуограничена сверху и снизу, то она ^-огра-
^-ограничена. Заметим, что понятия ^-полуограниченности сверху и сни-
снизу не совсем аналогичны, так как форма Ц предполагается полу-
полуограниченной снизу.
Теорема 1.33. Пусть t — секториалъная форма, и пусть
форма t' t-ограничена с константой Ъ ¦< 1 в A.43). Тогда форма
t -j- t' секториалъна. Для замкнутости формы t -f- t' необходимо
и достаточно, чтобы была замкнута форма t. Для замыкаемости
формы t + t' необходимо и достаточно, чтобы была замкнута
форма V, в этом случае D (t + i') = D (t).
Доказате льство. Поскольку D (t') гэ D (t), то
D (t + t') == D (t). Мы можем предположить без ограничения
общности, что форма t имеет нулевую вершину, так что Ц =
= Бе t ^ 0; заметим, что замена I) на f) — у не изменяет кон-
константу Ъ из A.43) (хотя может изменить а). Обозначив полуугол
26 т. Като
402 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
формы t через 8 и положив Е = Im t, t)' = Re t', f = Im t\
получим
| (E + !') Ы | ^ ! E [u] I + I Г [u] |< I E Ы | + | t' [u] | <
^ (tg 9 + b) f) [u] +a\\u ||2, A.46)
(I) + Ц) [u] > ^ tu] - | V [и] | >A - b) 1} [и] - a || и ||2. A.47)
Следовательно,
(]!-H) [u] |<A -fc) (tg 8 + Ь) (ft + V) Ы + a) + a A.48)
при || и || = 1. Это показывает, что числовая область значений
формы t' + t' есть подмножество сектора | arg (t, + R) \ ^ 8'
при достаточно большом й и В'< я/2, т. е. форма t + t' сек-
ториальна.
В силу A.42) из ип-+и следует ип ->- и, а значит, un—>и.
t t' t+t'
Обратно, из A.47) следует, что мп > и (эквивалентно: ип >и)
влечет за собой ип—>-и (эквивалентно: ип ->- и). Аналогично убе-
% t
димся в том, что сходимость последовательности t [ип — и] -> О
эквивалентна сходимости последовательности (f + t') [un — и) -у
—у 0. Оставшиеся утверждения теоремы непосредственно следуют
из этих эквивалентностей. Заметим попутно, что если форма t
замыкаема, то все приведенные выше неравенства распростра-
распространяются на случай, когда м ? D (t), с заменой форм t, t + t'
и т. д. на формы t, (t + t') и т. д.
Замечание 1.34. Если в теореме 1.33 форма t' также секто-
риальна и замыкаема, то D (t') < D (t) и (t + t') = t + t'.
Действительно, (t + t')~ с t + t' по теореме 1.31, а из теоре-
теоремы 1.33 следует, что D ((t + t')-) = D (T).
Замечание 1.35. Если в теореме 1.33 формы t, t' симметричны,
то достаточно предположить лишь t-полуограниченность формы
t' сверху и снизу с константой Ь'<1 в A.44).
Пример 1.36. Рассмотрим форму t жз примера 1.7. Она может быть
представлена в виде t = ti + t2 + 1з, где
tj [и, г:] = \ р (х) и'v' dx,
'2 Iй, 1:] — \ {? (х) uv + r{x) и'п-j-s (х) uu'} dx, ¦ A.49)
t3 [и, v}=hau (a) v (a) ТЩ
§ 1. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 403
я D(ti) = D (t2) = D (t3) = D (t). Если, как и прежде, предполагать, что
р (х) > 0, то форму ti можно представить в виде ti [и, и] = (Su, Sv), где
S — линейный оператор, определенный формулой Su (х) = р (а;I/'2ц' (х)
с D (S) = D (t). Если область D (t) такая же, как в примере 1.7, то S —
замкнутый оператор в Н [см. пример III.5.14 и задачу III.5.7; заметим,
что функция р (х)-1 ограничена]. Следовательно, форма t^ неотрицательна
и замкнута согласно результату примера 1.13.
С другой стороны, формы t2 и 1з являются ti-ограниченными с ti-гранью
0; фактически это было доказано в примере 1.7. Таким образом, из теоре-
теоремы 1.33 следует замкнутость формы t. Аналогично сужение t0 формы t из
примера 1.7 есть замкнутая форма; это следует из того факта, что соответ-
соответствующее сужение So оператора S — замкнутый оператор (см. пример
III.5.14).
Задача 1.37. Пусть формы t, t' секториальны, причем t замкнута, a f
замыкаема. Если D (f) гэ D (t), то форма t' t-ограничена. [Указание: см.
теорему 1.20.]
7. Относительная ограниченность форм и операторов
Мы ввели важные для теории возмущений понятия относи-
относительной ограниченности операторов и квадратичных форм (для
последних — только в гильбертовом пространстве). К секто-
риальным операторам S и S' применимы оба понятия: с одной
стороны, S' может быть ^-ограничен; с другой стороны, секто-
риальная форма (S'u, и) может быть (-ограничена при \ (и, v) =
= (Su, v). При подходящих предположениях относительно зам-
замкнутости и достаточной малости относительной грани операторы
S + S' и S в первом случае и соответствующие замкнутые формы
во втором случае имеют одну и ту же область определения.
В общем случае неясно, есть ли какая-либо связь между этими
двумя понятиями относительной ограниченности. Однако если
рассматривать лишь симметричные операторы S, S', то относи-
относительная ограниченность форм слабее, чем относительная огра-
ограниченность соответствующих операторов. Более точно, спра-
справедлива
Теорема 1.38. Пусть оператор Т самосопряжен и ограничен
снизу, а симметричный оператор А Т-ограничен с Т-гранью Ъ.
Тогда форма (Аи, и) является t-ограниченной при t (и, v) =
= (Ти, v) с t-гранью ^ Ъ, и то же верно для замыканий этих
форм г).
Доказательство. Имеет место неравенство || Аи || ^
^ а' |[ и || + Ъ' || Ти ||, и ? D (Т), где константу Ъ' можно выбрать
сколь угодно близкой к Ъ. Из теоремы V.4.11 следует, что опера-
оператор Т (и) = Т + у.А самосопряжен и ограничен снизу, если к
вещественно и [и [ < Ь'~\ причем нижняя грань у (и) оператора
Эта теорема по существу совпадает с теоремой V.4.11.
26*
404 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Т (у) удовлетворяет неравенству
_b'|X| ' а' + Ь'\Ут\)- A-50)
Поскольку у (%) — нижняя грань оператора Т (х), то
-х (Ли, и) < -у (к) (и, и) + (Ти, и), и 6 D (Т). A.51)
Число ±х можно выбрать сколь угодно близким к Ь'~г, а зна-
значит, и к &; поэтому из A.51) следует, что форма (Аи, и) t-orpa-
ничена с t-гранью ^Ь. Последнее утверждение теоремы следует
из замечания, сделанного в п. 6.
§ 2. Теоремы о представлении
1. Первая теорема о представлении
Если tlu, v] — ограниченная форма, определенная всюду
в Н, то существует ограниченный оператор Т 6 38 (Н) такой, что
tlu, v] = (Ти, v) (см. п. V.2.1). Теперь мы можем обобщить эту
теорему на случай неограниченной формы t, предполагая, что
она плотно определена, секториальна и замкнута. Возникающий
при этом оператор Т секториален, как это и следует ожидать
ввиду замкнутости формы t. В действительности этот оператор
оказывается даже m-секториальным (см. п. V.3.10), а значит,
он замкнут и его резольвентное множество Р (Т) содержит внеш-
внешность множества в (Т). В частности, оператор Т самосопряжен
и ограничен снизу, если t — симметричная форма. Точный резуль-
результат дает
Теорема 2.1 (первая теорема о представлении) 1). Пусть
tlu, v] — плотно определенная замкнутая векториальная полу-
торалинейная форма в Н. Существует такой т-секториальный
оператор Т, что
i) D (Т) <= D (t) и !
t [u, v] = {Ти, v) B.1)
для всех и?Т> (Т) uv {В (t);
ii) D (Т) является ядром формы t;
Ш) если м 6D(t), w ? Н и равенство
t [и, v] = (и?, v) B.2)
х) Для случая симметричной формы t эта теорема принадлежит Ф р и д -
р и х с у [1]. Обобщение на несимметричные формы t сделано, по-видимому,
многими авторами, по крайней мере неявно; систематическое изложение этих
результатов можно найти в работе Л и о н с а [1], где эта теорема дана
в несколько иной формулировке.
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ 405
справедливо для всех v, принадлежащих ядру формы t, то м f D (Г)
и Ти = w.
Условие i) определяет т-секториалъный оператор Т одно-
однозначно.
Следствие 2.2. Если форма to определена с помощью оператора
Т us теоремы 2.1 равенством t0 Ы, v] = (Ти, v) и D (t0) = D (Т),
mo t = t0.
Следствие 2.3. Числовая область значений в (Г) оператора Т
есть плотное подмножество числовой области значений в (t)
формы t.
Следствие 2.4. Если оператор S таков, что D (S) a D (t)
м t [u, v] = (Su, у) йля всех и ? D E) и <?с<?а; и, принадлежащих
ядру формы t, то S cz Т.
Будем называть Т m-секториалъным оператором (или просто
оператором), ассоциированным с формой t. В этом случае мы часто
будем писать Т = Tt.
Теорема 2.5. Если Т = Tt, mo T* = Тр. Иными словами,
если Т — оператор, ассоциированный с плотно определенной зам-
замкнутой секториалъной формой I, то Т* — оператор, ассоцииро-
ассоциированный с формой t*, сопряженной к t (которая также плотно
определена, секториалъна и замкнута).
Теорема 2.6. Если I) — плотно определенная, симметричная
замкнутая форма, ограниченная снизу, то оператор Т = 7\,
ассоциированный с формой f), самосопряжен и ограничен снизу.
Оператор Т и форма I) имеют одинаковые нижние грани.
Теорема 2.7. Соответствие t^-T = Tt между множеством
всех плотно определенных замкнутых секториалъных форм и мно-
множеством всех т-секториальных операторов взаимно однозначно.
Форма t ограничена тогда и только тогда, когда оператор Т
ограничен. Форма t симметрична тогда и только тогда, когда
оператор Т самосопряжен.
Замечание 2.8. Эти результаты показывают, что замкнутые
секториальные формы представляют собой удобное средство для
построения ттг-секториальных операторов (в частности, самосо-
самосопряженных операторов, ограниченных снизу), так как такие
формы легко строить благодаря тому факту, что не существует
«максимальных» секториальных форм.
406 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
2. Доказательство первой теоремы о представлении
При доказательстве теорем 2.1 и 2.5 мы можем предположить,
не ограничивая общности, что форма t имеет нулевую вершину,
так что I) = Re t ^ 0. Пусть Нг — (полное) гильбертово про-
пространство, в которое превращается линейное подпространство
D (t)), если ввести в нем скалярное произведение (и, v)i = (и, иЛ,
определенное формулой A.29).
Рассмотрим форму ti = t + 1. Она, так же как и форма t,
ограничена в Н{. Следовательно, существует оператор S ^ j? (Hj)
такой, что
ti [и, v] = (Bu, v)t, и, v e Ht = D (t). B.3)
Поскольку || и HI = (Е) + 1) [и] = Re tt [и] = Re (Bu, u)t <
^ II Bu ||t || и ||t, то || и ||t ^ || Bu ||t. Следовательно, В имеет
ограниченный обратный/? с плотной в Ht областью определения.
Эта область есть все Hj, так что В'1 ? i? (Ht), причем || В~г ||t ^
^ 1 х). Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что любой
элемент и ? Н±, ортогональный в Ht к множеству D (В'1) =
= R (В), равен нулю. Это ясно из равенства || и ||| =
= Re (Bu, u)t = 0.
При любом фиксированном и g H рассмотрим полулинейную
форму V—у 1и [и] = (и, и), определенную для v ? Ht. Эта форма
ограничена вН,с нормой <||| м II, так как | 1и Ы | ^ || и || || у || ^
^ II u II II v lit- По теореме Рисса (п. V.1.1) существует единствен-
единственный элемент и' 6 Ht) такой, что (и, v) = lu [v] = (и', v)t,
II и' lit ^ II и II- Определим теперь оператор Л равенством Ли =
= 5~1ы'; это линейный оператор с областью определения Н и обла-
областью значений в Ht. Рассматриваемый как оператор в Н, он при-
принадлежит 9& (Н), причем || А || ^ 1, так как || Аи || = || В~хи || ^
^ || В~ги' |[t ^ || и' ||t ^ || и ||. Из определения оператора А сле-
следует, что
(и, v) = (u', y)t = (ВАи, v)t = ti W«, у] = (t + 1) [Аи, v]. B.4)
Следовательно,
t [Ли, и] = (и — Ли, и), и 6 Н, и е Ht = D (t). B.5)
Оператор А обратим, так как из равенства Аи = 0 следует,
согласно формуле B.4), что (u, v) = 0 для всех и ? D (t) и D (t)
плотно в Н. Полагая w = Аи, и = A~xw в B.5), получим
t [w, v] = (А-1 — 1) w, v) = (Tw, v) для всех u? 6 D (Г) =
x) Этот результат известен как теорема Лакса — Мильграма; см.
кс иМильграм [1].
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ 407
= R(i)cD(r)i^D (t); здесь Т = А~1 — 1. Этим доказано
утверждение i) теоремы 2.1.
Оператор 71 замкнут в Н, так как iff (H). Он секториален,
так как в (Т) а О (t); последнее следует из того, что (Ти, и) =
= t [и] в силу равенства B.1). Оператор Т яг-секториален, так
как R (Т + 1) = R (А-1) = D (Л) = Н (см. п. V.3.10).
Для доказательства утверждения ii) теоремы 2.1 достаточно
показать, что множество D (Т) = R (А) плотно в Ht (см. теоре-
теорему 1.21). Поскольку В есть непрерывное в обе стороны отображе-
отображение пространства Ht на себя, достаточно показать, что множество
Z?R (A) = R (ВА) плотно в Ht. Пусть элемент v g Ht ортогонален
в Ht к множеству R (ВА). Тогда из B.4) следует, что (и, v) = 0
для всех w 6 Н, так что v = 0. Следовательно, множество R (ВА)
плотно в Hf
Следствие 2.2 есть иная формулировка только что доказанного
утверждения ii), а следствие 2.3 можно получить из него, исполь-
используя теорему 1.18.
Для доказательства следующих утверждений теоремы удобно
на этом этапе рассмотреть форму t*, сопряженную к t. Форма
t*, так же как и форма t, плотно определена, секториальна с вер-
вершиной 0 и замкнута; поэтому можно построить ассоциированный
с ней ттг-секториальный оператор Т' так же, как мы строили Т
по форме t. Тогда для любого и 6 D (t*) = D (t) и v 6 D (f)
t* [у, и) = (T'v, и) или t [и, v] = (и, T'v). B.6)
В частности, полагая и 6 D (T) cr D (t) и v 6 D G") с: D (t),
из формул B.1) и B.6) получаем, что (Ти, v) = (и, T'v). Поэтому
Т' а Т*. Но так как оба оператора Т* и Т' являются ттг-секто-
риальными (а значит, максимально аккретивными; см. п. V.3.10),
то Т' = Т*, а следовательно, Г* = Т.
Отсюда сразу же следует утверждение iii) теоремы 2.1. Дей-
Действительно, если равенство B.2) выполняется для всех v из ядра
формы t, то оно может быть распространено по непрерывности
на все v g D (f). Для элементов v 6 D (Tr) мы получим тогда, что
{и, T'v) = t [и, v] = (w, v). Следовательно, и 6 D (Г*) = Ъ(Т)
и w = Т'*и = Ти по определению оператора Т"*.Следствие 2.4
вытекает непосредственно из условия iii), а единственность ттг-сек-
ториального оператора Т, удовлетворяющего условию i), выте-
вытекает из самого следствия. Это завершает доказательство тео-
теоремы 2.1.
Теорема 2.5 непосредственно следует из доказанного выше
равенства Т' = Т*. Этим доказана также и теорема 2.6, так как
если t = t*, то Т = Т*; утверждение о нижней грани формы t
а оператора Т вытекает из следствия 2.3.
408 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Доказательство теоремы 2.7. Заметим прежде
всего, что отображение t -> Т = Tt взаимно однозначно; это
вытекает непосредственно из теоремы 2.1 и следствия 2.2. Остается
показать, что любой яг-секториальный оператор Т ассоциирован
при данном отображении с плотно определенной замкнутой секто-
риальной формой t. Согласно следствию 2.2, такая форма! является
замыканием формы
t0 [u, v\ = (Tu, v), D(to) = D(r). B.7)
Форма t0 плотно определена и секториальна; в силу теоремы 1.27
она замыкаема. Рассмотрим оператор Т±, ассоциированный
с формой t = t0; согласно следствию 2.4, 7\:э Т. Но оба опе-
оператора Т и Tt являются ттг-секториальными, поэтому Т = Tt.
Доказательство теоремы 1.16. Теперь мы можем
провести доказательство теоремы 1.16. По предположению после-
последовательности {ип} и {(Ret — у) Ып}} ограничены. Так как
замкнутость формы t влечет за собой замкнутость формы I)' =
= Re t — у и сходимость ип —>• и эквивалентна сходимости ип-^-и
t V
(см. п. 1.3), то, не ограничивая общности, можно предполо-
предположить, что форма t = I) симметрична и неотрицательна.
Рассмотрим определенное ранее гильбертово пространство Н^.
Последовательности {|| ип ||} и {[] [ип]} ограничены, поэтому
последовательность {ип} ограничена в Н . Следовательно, суще-
существует слабо сходящаяся в Hj, подпоследовательность {ип} после-
последовательности {ип} (см. лемму V.1.4). Пусть v g Hf, — слабый
предел последовательности {vn}, и пусть Н = Т-ц. Для любого
w e D (Я)
-> (v, w)b = ft + 1) [v, w] = (v, (H + 1) и;).
С другой стороны, (vn, (Н -\- 1) w) -> (и, (Н -\- 1) w), откуда
(и — v, {Н + 1) w) = 0. Но если w пробегает всю область D (Н),
то (Н + 1) w принимает все значения из Н. Поэтому и = и, так
что и 6 Hj, = D ft).
Таким образом, || и \L ^ || v \k ^ lim inf || vn \k, что в силу
A.30) эквивалентно неравенству I) [и] ^ lim inf I) [vn]. Так как
мы могли бы заменить последовательность {ип} любой подпосле-
подпоследовательностью, то I) [и] ^ lim inf I) \un].
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ • 409
3. Расширение по Фридрихсу
В этом пункте мы будем обозначать через S плотно опреде-
определенный секториальный оператор. Определим форму § следующим
образом: § [u, v] = (Sit, v), D (§) = D (S); согласно теореме 1.27,,
эта форма замыкаема. Пусть t = f, и пусть Т = Tt — ассоцииро-
ассоциированный с формой t ттг-секториальный оператор. В силу след-
следствия 2.4 Tzd S, так как D (S) = D (\) — ядро формы t. Будем
называть оператор Т расширением по Фридрихсу, или фридрих-
совым расширением оператора S. Первоначально расширение по
Фридрихсу определялось для полуограниченных симметричных
операторов S; в этом случае, согласно теореме 2.6, оператор Т
самосопряжен *).
Теорема 2.9. Если оператор S т-секториален, то он совпадает
со своим расширением по Фридрихсу. В частности, расшире-
расширение по Фридрихсу оператора Т, являющегося расширением по
Фридрихсу плотно определенного секториального оператора, сов-
совпадает с Т.
Это ясно из того, что яг-секториальный оператор не имеет соб-
собственного секториального расширения (см. п. V.3.10).
Следущие две теоремы представляют собой характеристиче-
характеристическое описание расширения по Фридрихсу. Здесь операторы S, Т
и формы f, t те же, что и выше.
Теорема 2.10. Из всех m-секпгориалъных расширений Т' опе-
оператора S расширение по Фридрихсу Т имеет наименьшую область
определения формы {т. е. область определения ассоциированной
с ним формы t содержится в области определения формы, ассо-
ассоциированной с любым из операторов Т').
Доказательство. Определим форму t' равенством
t' [и, v] = (Ги, v), D (О = D G"). Тогда оператор Г соот-
соответствует форме f (см. теорему 2.7). Но поскольку Т' :э S, то.
t'=э \, так что t' гз \ = t. Поэтому Г> (±') г=э D (t).
Теорема 2.11. Расширение по Фридрихсу оператора S являет-
является его единственным т-секториалъным расширением с областью-
определения, содержащейся в D (t) 2)
х) См. Фридрихе [1], Фрейденталь [1]. Об обобщении поня-
понятия расширения по Фридрихсу на случай операторов из банахова про-
пространства X в его сопряженное X* см. Бирман [2].
2) Ср. Фрейденталь [1]. Мы не рассматриваем задачу об опре-
определении всех m-секториальных расширений оператора S. Для цолуогра-
ниченных самосопряженных расширений полуограниченного симметрично-
симметричного оператора S эта задача решена К р е й н о м [1,2]. См. также Б и р-
м а н [1], В и ш и к [1].
410 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Доказательство. Пусть Т' — любое тга-секториальное
расширение оператора S с областью определения D (T') cz
d D (t). Пусть форма t' та же, что и ранее. Для любых и ? D (Т')
и v ? D (t) справедливо равенство (Т'и, v) = t' [и, v] — t [и, v],
так как Т' = T~i,"t' zd t и D {T')a D (t). Из следствия 2.4 выте-
вытекает, что Т' cz Т. Но поскольку оба оператора Т' и Т являются
лг-секториальными, то Т' = Т.
Замечание 2.12. Значение понятия расширения по Фридрих-
су состоит в том, что каждому плотно определенному секториаль-
ному оператору S ставится в соответствие определенное т-сек-
ториальное расширение, даже если замыкание S оператора 5
не есть ттг-секториальный оператор.
4. Некоторые другие примеры приложения теоремы
о представлении
Пример 2.13. Рассмотрим форму 1) [и, v] = (Su, Sv) из примеров 1.3,
1.13 и 1.23. Предположим, что оператор S плотно определен и замкнут;
тогда форма I) также обладает этими свойствами. Пусть Т = 7V. Так как
{Su, Sv) = (Tu, v) для всех и 6 D (Г) и v 6 D (f)) = D (S), то Т a S*S.
Очевидно, что оператор S*S симметричен, а оператор Т самосопряжен; сле-
следовательно, Т = S*S. Итак, D (Т) есть ядро формы t, а значит, и опера-
оператора S, согласно теореме 2.1 и результату примера 1.23. Тем самым дано
другое доказательство того факта, что оператор S*S самосопряжен в Н,
¦если S — плотно определенный замкнутый оператор из Н в Н', и что D (S*S)
¦есть ядро оператора S (см. теорему V.3.24).
Пример 2.14. Рассмотрим форму t [и, v] = ^ а}\р\] из примеров 1.4,
1.14 и 1.24. Пусть Т = Tv и= (|?) ? D (T), Tu = w = (^) и v = (т]?) g
б D (t). Имеем: ^ S/ty = (ю' у) = (Ум' v) = t\u, v] = ^ ajlfqj. Полагая,
в частности, r\j = бд, мы получим, что Zh = ah^h- Поскольку w 6 I2, то
~У\ I aj \2'\ Sj I2 < °°> Это условие является достаточным для того, чтобы
элемент и ? I2 принадлежал 0G"), так как в этом случае t [и, v] =
= 2 аД.ЛЬ = 2 ^/ty = (Н7' ^' так чт0 элемент ^и существует и равен
и; = (аДу-) в силу теоремы 2.1,ш.
Рассмотрим теперь сужение t4 формы t, определяемое дополнительным
условием 2 Р_/?; = 0 при и ? D (ti); мы предполагаем, что
21P;I2=«>, ^(\aj |+ I) | fy|2< oo. B.8)
Форма t4 плотно определена, а форма ti есть собственное сужение формы t
(см. указанные выше примеры). Пусть Ту = Т~, и = (?/) 6 D (Г^, Г1И =
= ш = (Zj) и у ? D (U). Тогда, как и прежде, ^ (^ — а7-^) %• = °- Пусть,
в частности, % = р^, 1]^ = —Pj, а все остальные t]j равны нулю [тогда v с
§ 2: ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ 411
? D(ti)]. Поэтому l,i — a4ii : t,k — ah^k = Pi • Pft и' поскольку это верно
для всех к, то Zj — afej = р[3/, где р не зависит от /. Так как w ? I2, то число
р должно быть таким, что V | ctj?/+ рРу |2 < оо. Из B.8) следует, что
существует не больше одного р, обладающего таким свойством. Поэтому
каждое и ? D (Ti) удовлетворяет следующим условиям:
2 (I aj | + 1) ! lj |2 < <», V p^g. = о и 2 I аД; + РР; I2 < °° B-9)
для некоторого р. Эти условия также достаточны для того, чтобы элемент
и ? I2 принадлежал D (Tt), так как в этом случае и ? D (t4) и ti [и, v] =
— 2 а^Л/= S ("¦'^ + р^") ^ = (Н7)")при ш = (а7^"+ рРу) ?12 для всех
f = (т1у) 6 D (tj). Таким образом, элемент ^к существует и равен ш в силу
теоремы 2.1, iii.
Пример 2.15. С формой t[u, v\ = I /ии йж из примеров 1.5, 1.15 и 1.25
можно поступить так же, как в предыдущем примере. В результате Т = Т,
есть максимальный оператор умножения на / (х) (см. пример III.2.2). Если
функция g (х) такова, что ^ \ g (x) \2 dx = оо, но интеграл в левой части
A.36) сходится, то 7*1 = Т~ задается формулой Т^и (х) = / (х) и (х) +
ti
+ pg (х), где р определяется из условия Tju ? IA
Пример 2.16. Рассмотрим форму t из примеров 1.7 и 1.36 при сделан-
сделанных в этих примерах предположениях. Пусть Т = Т^ и и ? D (Т), Ти = w.
Соотношение (w, v) = (Ти, v) = t [и, v], v ? D (t), означает, что
¦ъ ь
\ ivvdx=\ {pu'v'-!rquv-^rru'v-fsuv'}dx-\-kau(a)v(a)-\~hbu(b)v(b). B.10)
а а
Пусть 2 — первообразная (интегрируемой) функции w — qu — ти':
z' = w — аи — ги'. B.11)
Тогда
ь ь ъ
l (w—qu—ru')vdx= \ z'vdx = z (b)v(b) — z (a) v (a)—\ zv'dx,
a a a -
и из B.10) следует, что
Ь
f (pu' +z-f su)v'dx-{- [hau (a) + z(a)]V(a)-Jr[hbu (b) — z(b)\ ^Jb) = O. B.12)
¦a
Равенство B.12) верно для любого v ? D (t), т. е. такого v, что функция
v(x) абсолютно непрерывна и v' ? L2 (a, 6). Для любой функции v' ? L2,
ь х
обладающей тем свойством, что \ v' dx = 0, функция v (x) = \ v' (x) dx
а а
удовлетворяет условиям v ? D (t) и v (a) = v (b) = 0, так что функция
ри' + г + su ортогональна в силу B.12) функции v'. Таким образом, функ-
функция ри' + z + su должна быть равна константе с, так как она ортогональна
412 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
всем функциям, ортогональным 1. Поэтому из B.12) получаем
[-с + hau (a) + z (a)} v (а) + [с + hbu (Ъ) - z (Ъ)) v (Ъ) = 0. B.13)
Поскольку v (а) ж v (Ь) принимают все комплексные значения, когда v (х)
пробегает всю область D (t), коэффициенты при v (о) и v (b) в B.13) равны
нулю. Учитывая, что с — р (а) и' (а) + z (a) + s (а) и (а) = р (Ь) и' (Ь) +
+ г (Ъ) + « (Ь) и F), мы приходим к следующим равенствам:
р (а) и' (а) + (s (а) - ha) и (а) = 0, р (Ъ) и' (Ъ) + (s (Ъ) + hb) и (Ь) = 0.
B.14)
Так как ри' -j- z -j- su = с, то ри' абсолютно непрерывна и (ри')' = —г' —
— {su)' = —w + ди + ги' — (su)', или w = —• (ри')' + ди + ru' — («и)'.
Таким образом, мы доказали, что каждое и ? D (Т) обладает следующими
свойствами:
i) и (х) и и' (х) абсолютно непрерывны и и" ? L2 (а, Ь);
п) и (х) удовлетворяет граничным условиям B.14).
Обратно, любая функция и 6 IA удовлетворяющая условиям i) и п)„
принадлежит D (Т) и
Ги = и; = — (ри')' + qu + ru' — (su)'. B.15)
В самом деле, интегрирование по частям показывает, что t [u, v] = (w, v)
для всех v ? D (t), и доказываемое утверждение следует непосредственно'
из теоремы 2.1, ш. Таким образом, мы получили следующее описание опера-
оператора Т.: Т = Т. есть дифференциальный оператор второго порядка B.15)
с граничными условиями B.14). Оператор Т аналогичен оператору Гг из
п. III.2.3.
Отсюда следует, что такой дифференциальный оператор тге-секториален,
в частности самосопряжен, если функция g (х) вещественная, г (х) — s (x)
и числа ha, hb вещественны.
Пример 2.17. Рассмотрим сужение t0 формы t из предыдущего примера
с областью определения, состоящей из всех и ? D (t), таких, что и (а) =
= и(Ь) = 0. Можно показать, что форма t0 замкнута, так же как это было
сделано в случае формы t. Положим То = Т, . Если и ? D (Го) и Тои = и>,
то снова справедливо равенство B.10), где v (a) = v (Ь) = 0. Такое же рассуж-
рассуждение, как и выше, приводит к выводу, что w определяется равенством B.15).
Поэтому каждая функция и 6 D (Го) обладает свойством i) из предыдущего
примера и
ii') и (х) удовлетворяет граничным условиям и (а) = и (Ь) = 0.
Эти условия также достаточны для того, чтобы функция и ? 1? при-
принадлежала D (То); в этом случае Тои определяется правой частью равен-
равенства B.15). Доказательство опять следует из того, что t0 [и, v] = (w, v),
как показывает интегрирование по частям, для всех v g D (t0). Итак Го —
дифференциальный оператор B.15) с граничными условиями и (а) = и (Ь) =
= 0.
Заметим, что выполнение этих граничных условий требовалось уже
в определении формы t0. С другой стороны, граничные условия B.14) для
оператора Т из предыдущего примера налагались лишь на этот оператор,
но не на форму t. В этом смысле условия B.14) называются естественными
граничными условиями *).
г) По аналогии с соответствующий понятием в вариационном исчи-
исчислении. ¦ . .'¦;¦•, ,-, -., ¦¦. •• '¦.'.¦.. ¦
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ 413
Задача 2.18. Пусть Т — минимальный оператор в La (а, Ъ), соответ-
соответствующий формальному дифференциальному оператору B.15). Все опера-
операторы Т из примера 2.16 с различными константами ha, h^ и То из приме-
примера 2.17 суть m-секториальные продолжения оператора Т. Какой из этих
операторов является расширением по Фридрихсу оператора Т (ср. с при-
примером 1.30)?
5. Дополнительные замечания
Самосопряженность является важным, но довольно тонким,
а поэтому трудным для доказательства свойством. Установленное
нами соответствие Ц -*¦ Н = Ти приводит к удобному методу
получения самосопряженных операторов, так как строить зам-
замкнутые формы сравнительно легко. Примеры из п. 4 показывают,
что действительно таким путем можно получать различные виды
самосопряженных операторов. Единственный недостаток этого
метода состоит в том, что он позволяет строить не все, а лишь
лолуограниченные самосопряженные операторы. Однако если
рассматривать несимметричные формы, то все т-секториальные
операторы могут быть построены с помощью полуторалинейных
форм.
Следующие соображения иллюстрируют, насколько удобен
этот способ построения самосопряженных иди т-секториальных
операторов. Если формы ti и t2 замкнуты и секториалъны, то
но теореме 1.31 этими же свойствами обладает и их сумма t =
= tt + t2. Если форма t плотно определена, то определены
ассоциированные с указанными формами гге-секториальные опе-
операторы Т, Ti: T2. Оператор Т можно рассматривать как сумму
операторов Tif T2 в некотором обобщенном смысле; мы будем
записывать этот факт так:
Т = П + Тг. B.16)
Для любых двух самосопряженных ограниченных снизу опера-
операторов Г4, Т2 существуют ассоциированные с ними формы U, t2;
а обобщенную сумму этих операторов можно положить по опре-
определению равной Tt, если форма t = ti -f- t2 плотно определена.
Сформулированное условие является более слабым, чем тре-
требование, чтобы обычная сумма S = Т± -)- Т2 была плотно опре-
определена, а оператор S не обязан быть самосопряженным или суще-
существенно самосопряженным, даже если он плотно определен.
В любом случае Т есть продолжение оператора 7\ + Tz, а потому
и его единственное самосопряженное продолжение, если Ti -f-
+ Tz — существенно самосопряженный оператор (в этом легко
убедиться, применяя теорему 2.1, ш).
Этот результат можно распространить на случай, когда Тц
и Т2 /тг-секториалъны; тогда существуют ассоциированные с ними
414 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
замкнутые формы tj и t2, а обобщенная сумма B.16) определена,
если множество D (ti) f] D (*г) плотно (см. замечание 2.8).
Если Ti и Т2 — самосопряженные операторы, ограниченные
снизу, и их сумма 7\ -\- Т2 плотно определена, то существует
продолжение по Фридрихсу TF оператора Tt -f Тг (см. п. 3).
Однако, вообще говоря, TF отличен от оператора B.16). Это пока-
показывает следующий пример.
Пример 2.19. Пусть ti, t2 — формы A.24) при различном выборе
чисел ha, къ, которые предполагаются вещественными. Для простоты будем
предполагать в дальнейшем, что р (х) = i и q = г = s = 0. Тогда t =
= -к-(*1+ h) есть форма такого же вида. Таким образом, все формы tlT
t2 и t симметричны; ассоциированные с ними операторы Т\, Гг и 7" самосо-
самосопряжены и формально задаются как —cP/dx2 с граничными условиями вида
B.14) при р = 1, s = 0 и различными парами констант ha, hi,. Поэтому
1
оператор S — ~п~ {Ti + Т2) имеет область определения D (S) = D (Г^П
П D ( Т2), состоящую из всех таких и, что и" ? L2, и (а) = и (Ь) = и' (а) =
= и' F) = 0. Замыкание формы (Su, v), определенной на D (S), есть форма
t0 из примера 2.17 (см. также пример 1.30), так что Tf является дифферен-
дифференциальным оператором —dVdr2 с граничным условием и {а) = и (Ь) = О
и не совпадает с Т.
Другое преимущество рассмотрения симметричных форм, а не
симметричных операторов состоит в том, что такие формы легко
продолжить: за исключением ограниченных форм, определенных.
наН, любая замкнутая симметричная форма, ограниченная снизу,
допускает собственное замкнутое симметричное продолжение,,
ограниченное снизу; не существует такого объекта, как макси-
максимальная симметричная форма, тогда как максимальный симмет-
симметричный оператор существует (самосопряженные операторы
являются максимальными симметричными). Аналогичное заме-
замечание можно сделать и в более общем случае: для секториальных
форм, с одной стороны, и m-секториальных операторов —
с другой.
Возникает такой вопрос: какова связь между )тг-секториаль-
ными операторами Hl7 Я2, соответствующими двум таким формам
f)i и fJ. что ?)i с; ?J? На этот вопрос не удается ответить прямо:
не существует простой связи между областями определения этих
операторов. Позже мы ответим на этот вопрос лишь частично.
Другой вопрос касается связи между самосопряженными опе-
операторами Hi и Н2, ассоциированными с двумя симметричными
формами Ьц и 1J, такими, что f)i>-tJ- Мы находим удобным опре-
определить отношение порядка fjj ^ fJ для любых двух симметричных
ограниченных снизу форм f)j, IJ следующим образом:
Dfti) и ^ [и] > fJ [и] для m€D(W. B.17)
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ 415
Заметим, что, согласно этому определению, для симметрич-
симметричных и ограниченных снизу форм fL, tJ из <vn cz tyz следует f)j ^ fJ.
Задача 2.20. Если f^ > IJ, T0 fyi ^%z-
Пусть Hi, H2 — самосопряженные ограниченные снизу опе-
операторы, ассоциированные с замкнутыми симметричными ограни-
ограниченными снизу формами ?)i и Цг соответственно. Будем писать
Hi 2^ Я2, если l)t ^ 1J в указанном выше смысле. Это понятие
порядка совпадает с обычным в случае, когда Н\ и Я2 симмет-
симметричны и принадлежат 38 (Н).
Теорема 2.21. Пусть HL, Я2 — самосопряженные ограниченные
снизу операторы с нижними гранями уи у2 соответственно. Для
того чтобы Ну ^ Я2, необходимо, чтобы 7i ^ 7г и R (?, Ну) ^
^ Л (?, Н2) для всех вещественных Z, < у2, и достаточно, чтобы
R (?, Я4) ^ R (I,, Н2) для некоторого ? •< min G1, 72) (через R
обозначена резольвента).
Доказательство. Сначала докажем необходимость.
Пусть f)y, Ь12 — ассоциированные с операторами Ну, Н2 симмет-
симметричные ограниченные снизу формы. По определению, отношения
Ну ^ Hi и l)j ~^ Ь2 эквивалентны; следовательно, у-ь ^ у^ .
Поскольку 7i = Ttjji Тг = 7ь2' согласно теореме 2.6, то 71 ^ 7г-
Таким образом, при ^ < 7г существуют резольвенты ft (?, Ну)
и Л (?, Я2). Заменим iH — ?,, Ц2 — L Ну — ?, Я2 — ? на ql5 b2,
Яь Я2 соответственно; достаточно показать, что из неравенств
Ну > Я2 > б > 0 следует Я71 < Я^ [где Я^1, Я ? .» (Н)].
Для любого к f Н положим L't = Я7ги, у2 = Я^и. Тогда
(Я71м, u)a = (ult Я2г;2J = ^2 [У1, г;2]2 < ^2 [и,] ^а [г;2]<
< f)i Ы fJ [u2l = (^"j^i, vi) (H2v2, v2) = (м, Я^м) (m, Я!*),
откуда получается требуемый результат: (Н'^и, и) ^ (Н^и, и).
Заметим, что Vy 6 D (Я4) с: D (^) с: D (Ь12) и что операторы Яь
Я2, Я71, Я^1 симметричны и неотрицательны.
Докажем достаточность. Опять заменим Ну — Z, на Ну и т. д.;
достаточно показать, что если оба оператора Ну и Я2 имеют поло-
положительные нижние грани и Я71 ^ Я^1, то Я4 ^ Я2, т. е. Ьц ^ tJ-
С этой целью мы вначале применим первую часть теоремы к паре
неотрицательных ограниченных операторов Si = Я71, ?2 = Я^1;
поскольку по предположению Sy ^ Sz, получаем: (Si + а) "^
^ E2 + а), а> 0. Обозначая через f)in, IJn формы, ассоцииро-
ассоциированные с ограниченными симметричными операторами (Si -j-
-f и) = Я4 A -f п-1)^)-1 и Я2 A -f га^Яг)-1, получаем, таким
образом, что I)l7l ^ 1Jп.
416 Гп. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
С другой стороны, ijin ^ "9i, fJn ^ ^2- Действительно, пусть
и ? D (Hi); тогда, согласно результату задачи V.3.32, t)ln [и] =
= (Hi A + п^Н,)-1 и, и) ^ (Htu, и) = tL [и]. Этот вывод пере-
переносится на все и ? D (f^), так, как D (Яа) есть ядро формы Ьц.
Пусть и ? D (fy). Тогда, как доказано выше, Ц2п [и] ^
^ t)in [м] ^ t)j [м], так что форма \Jп М ограничена. Поло-
Положим ип = A + п-хН2)-1 и е D (Я2) с: D (у. Тогда fJn [u] =
( 12)-1и, и) = (Я2ип, A + п-хН2) ип) = (Н2ип, ип) +
+ || 2^ ||2 > (Я2и„, и„), так что форма (Н2ип, ип) = tJ [м„]
ограничена сверху формой [jj [и].
Поскольку ип ->- и, согласно результату задачи V.3.33, то мы
заключаем, используя теорему 1.16, что и 6 D (?J) и tJ [u] ^
^ t)i [м]. Требуемый результат f)i ^ 1]2 доказан х).
Задача 2.22. Пусть К — симметричный ограниченный снизу оператор,
и пусть Н — его продолжение по Фридрихсу. Тогда Н > Я' для любого
самосопряженного ограниченного снизу продолжения Н' оператора К.
6. Вторая теорема о представлении
Пусть Ъ) — плотно определенная, замкнутая, ограниченная
снизу, симметричная форма, и пусть Я = Тъ — ассоциированный
с ней самосопряженный оператор. Соотношение I) [и, v] = (Ни, v),
связывающее форму I) с оператором Я, неудовлетворительно
в том отношении, что оно имеет смысл не для всех и, v g D (ti),
так как D (Я), вообще говоря, есть собственное подмножество
множества D (?)). Более полное представление формы f) дает сле-
следующая теорема.
Теорема 2.23 (вторая теорема о представлении). Пусть t) —
плотно определенная замкнутая симметричная форма, Ь ^ 0.
и пусть Н = Тц — ассоциированный с ней самосопряженный опе-
оператор. Тогда D (Я1/2) = D (tj) и
f) [и, v] = (Hi/2u, Hi/2v), и, v 6 D ft). B.18)
Подмножество D' множества D (Ь) является ядром формы Ь
тогда и только тогда, когда оно является ядром оператора Я "•
Замечание 2.24. Напомним, что оператор Я ' определен
в п. V.3.11, так как неотрицательный самосопряженный опера-
тор Н т.-аккретивен. В теореме 2.23 существенно то, что Я '"
самосопряжен, неотрицателен, (Я ) = Я и что D (Я) есть ядро
оператора Н1/ (см. теорему V.3.35). ¦
х) Приведенное доказательство теоремы 2.21 не является простым. Не-
Несколько более простое доказательство, использующее втору®* теорему о пред-
представлении, дано в п. 6. , .;
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ 417
Доказательство теоремы 2.23. Определим сим-
симметричную форму t/ [и, v] = (H1J2u, Hi/2u) с областью определе-
определения D ({)') = D (Я ). Оператор Я плотно определен и замкнут
(так как он самосопряжен), и потому такими же свойствами обла-
обладает форма Ь)' (см. пример 1.13). Поскольку множество D (Я)
есть ядро оператора Я1 , оно также является ядром формы Ц'
(см. пример 1.23). С другой стороны, D (Я) является ядром формы
Ц, согласно теореме 2.1. Но на множестве D (Я) формы t) и Ц'
совпадают, так как
15 Ы, v] = (Ни, v) = (Hi/2u, Hl/2v), и, v 6 D (Я). B.19)
Итак, I) и f)' должны совпадать, поскольку они являются замы-
замыканиями одной и той же формы — сужения формы \) на множество
D (Я). Этим доказано равенство B.18). Последнее утверждение
теоремы следует из того, что ?) = Ъ)', и из результата примера 1.23.
Задача 2.25. Пусть I) — плотно определенная симметричная замкну-
замкнутая форма с нижней гранью у, и пусть И = 2V. Тогда для любого ? ^ у
d ft) = d ((я- о1/2). % [«*. *] = ((я - 01/2 «, (я - 01/2 v) + с (и, *).
Теорема 2.26. Пусть I) и И такие же, как в теореме 2.23,
и, кроме того, ?) имеет положительную нижнюю грань. Подмно-
Подмножество D' множества D (?)) является ядром формы \) тогда и толь-
только тогда, когда Я1/2Б' плотно в Я.
Доказательство. Эта теорема следует из теоремы 2.23
и результата задачи III.5.19 [заметим, что оператор Я1/2 имеет
положительную нижнюю грань, как это видно из теоремы 2.23,
так что обратный к нему принадлежит 38 (Н)].
Следствие! 2.27. Пусть I) — плотно определенная симметрич-
симметричная форма, § ^ 0, и пусть Я — самосопряженный оператор,
ассоциированный с ее замыканием Ъ). Тогда D (f)) является ядром
оператора Я ' . Если \) имеет положительную нижнюю грань,
то множество Н1/2Т) (!}) плотно в Н.
Замечание 2.28. В следствии 2.27 множество D (Ej) не обяза-
обязательно должно быть ядром оператора Я, даже если оно является
подмножеством множества D (Я).
Замечание 2.29. Вторая теорема о представлении была дока-
доказана только для симметричных форм. Соответствующая теорема
для несимметричных форм неизвестна. Естественное обобщение
этой теоремы на несимметричные формы t должно было бы выгля-
выглядеть так: t [и, v] = (TV*u, T*V2v), D (t) = D (T1/2) = D (T*1/2),
27 Т. Като
418 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
где Т = Tt, но вопрос о том, верно ли это для замкнутой сек-
ториальной формы (с вершиной ^0) в общем случае, остается
открытым, несмотря на то что операторы Г1/2, Г*1/2 определены
корректно (п. V.3.11) *).
В качестве применения второй теоремы о представлении дадим
другое определение отношения порядка Я4 ^ Я2 для двух само-
самосопряженных ограниченных снизу операторов. В предыдущем
пункте мы ввели это отношение как отношение, эквивалентное
отношению порядка l]i ^ ЕJ для ассоциированных с этими опе-
операторами замкнутых форм bi и ЕJ, которое было определено сле-
следующим образом: D (tL) с; D AJ) и L}t [и] ^ [J [и] для всех
и ? D (?)i). Согласно теореме 2.23, это в свою очередь означает, что
D(#J/2)crD(tf?/2) и || Н\12и || > || Н\!ги || при 1л€О(Я,1/2)
B.20)
в предположении, что Hi и Я2 неотрицательны (это не ограни-
ограничивает общности, так как отношения Я4 ^ Я2 и Ff -f a ^ Нг -\-
-+- а эквивалентны). Если, кроме того, мы предположим, что Я5
имеет положительную нижнюю грань, так что H~\i2 = (Н[12)~х ?
(: $ (Н), то соотношения B.20) эквивалентны следующим соот-
соотношениям:
^/21/2 ^2 1/2 B.21)
которые в рассматриваемом случае можно принять за определение-
отношения порядка Я4 ^ Я2.
Теперь можно дать более простое доказательство теоремы 2.21.
Как отмечалось в приведенном выше доказательстве этой теоремы,
основным его моментом является то, что отношения Я4 ^ Я2
и Я71 ^ Я эквивалентны, если Я4 и Я2 имеют положительные
нижние грани. Ввиду эквивалентности условия Я4 ^ Я2 и усло-
условия B.21) остается лишь доказать следующую лемму.
Лемма 2.30. Пусть S, Т — плотно определенные замкнутые
операторы в Н, такие, что сопряженные к ним операторы S*, Г*
обратимы. Если D {S) гэ D (Т) и || Su || ^ || Ти \\ для всех
и е D {Т), mo D (Г*-1)^ D E*-1) и || Г*-1^ || < || 5*-^ |
и 6 D (б1*).
Доказательство. Пусть и ? D (S*) = R E*); и =
= S*g для некоторого ^fD E*). Для любого у 6 D (T) a D E>
тогда имеет место равенство (и, и) = (S*g, v) = (g, Sv), так что
I (и, у) |< Ik II II ^ II < Ik II II Tv ||. Таким образом, из Гг; = 0
следует, что (и, и) — 0, а из 7Vj = Г^г следует, что (и, vt) =
= (м, у2). Поэтому форму (и, и) можно рассматривать как функ-
1) По этому вопросу см» работы Л и о н с а [1], Т. К а т о [16].
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ 419
цию вектора w = Tv, полулинейную по w. Если v пробегает мно-
множество D (Т), то область изменения вектора w есть плотное линей-
линейное подпространство Н, так как R (T)-L = N (Т*) = 0. Поскольку
норма этой полулинейной формы не превосходит || g ||, как это
видно из приведенного выше неравенства, ее можно продолжить
по непрерывности на все w ? Н. Тогда она может быть представ-
представлена в виде (/, w) с однозначно определенным / ? Н, таким, что
I! / I! ^s II S !!• Таким образом, получаем (и, v) = (/, w) = (/, Tv)
для всех v 6 D (Т), откуда следует, что / ? D (Т*) и и = Г*/.
Итак, w€K(r*) = D(?1*-1) и || Г*-1!/ || = || / ||< \\ g || =
= || 5*"% ||, что мы и хотели показать.
Пример 2.31. Рассмотрим форму t [и, v] из примеров 1.4, 1.14, 1.24
и 2.14. Предположим, что все a.j вещественны и неотрицательны, так что
t — симметричная и неотрицательная форма. Пусть Т = Т^, оператор Т
описан в примере 2.14. Теперь легко видеть, что Г — максимальный диа-
диагонально-матричный оператор (а;1/2). Аналогично для формы t [и, v] ¦=»
= \ fuv dx из примеров 1.5, 1.15, 1.25 и 2.15 Г1''2 есть максимальный опера-
Е
тор умножения на /(гI/2 в предположении, что / (х) > 0, так что форма t
неотрицательна и симметрична.
Замечание 2.32. За исключением простых примеров, таких,
как приведенные выше, оператор Ti/2 трудно описать в элемен-
элементарных терминах даже в тех случаях, когда Т описать легко.
В частности, это относится к дифференциальному оператору Т
из примера 2.16. В этом смысле формула B.18) имеет скорее тео-
теоретический, чем практический интерес. Однако, как мы увидим
позже, некоторые результаты, имеющие практическое значение,
легче вывести с помощью формулы B.18), чем какими-нибудь
другими методами.
7. Полярное разложение замкнутого оператора
Пусть Т — плотно определенный замкнутый оператор, дей-
действующий из гильбертова пространства Н в другое гильбертово
пространство Н'. Рассмотрим симметричную форму I) [и, v] =
= (Ти, Tv). Как мы видели в примере 2.13, форма Ь, неотрица-
неотрицательна, замкнута и с ней ассоциирован самосопряженный опе-
оператор 7\ = Н = Т*Т. Пусть G = Я1/2. По второй теореме
о представлении
(Ти, Tv) = (Си, Gv), |! Ти || = || Gu ||, и, v e D (Т) = D (G).
B.22)
Отсюда следует, что соответствие Gu -*¦ Ти определяет изометри-
изометрическое отображение U множества R (G) а Н на множество R (Т) с
27*
420 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
сг Нг : Ти — UGu. Оператор U можно по непрерывности продол-
продолжить до изометрического оператора, отображающего R (G) [замы-
[замыкание множества R (G)] на R (Т). Более того, U можно продол-
продолжить до оператора из .5? (Н, Н'), который мы будем обозначать
также через U, полагая Uu = 0 при и ? R (G) = N (G). Так
определенный оператор U частично изометричен с исходным мно-
множеством R (G) и финальным множеством R (Т) (см. п. V.2.2),
причем
Т = UG, D {T)= D (б). B.23)
Формула B.23) называется полярным разложением операто-
оператора Т; здесь оператор G неотрицателен и самосопряжен, a U
частично изометричен. Если, как и выше, потребовать, чтобы U
имел R (G) в качестве исходного множества, то разложение B.23)
единственно. Действительно, из B.23) легко видеть, что
Т* = GU* B.24)
|откуда следует, что D (Г*) есть прообраз множества D (G) при
отображении U*]; поэтому Т*Т = GU*UG = G2, так как U*Uu =
= и для всех и из исходного множества оператора U. Таким
¦образом, G является неотрицательным квадратным корнем из опе-
оператора Т*Т и тем самым определен однозначно (см. п. V.3.11).
Поэтому формула B.23) определяет оператор [/ на R (G), а зна-
значит, и всюду, так как по определению U = 0 на R (G)^-.
По аналогии с комплексными числами оператор G называется
абсолютной величиной оператора Т и обозначается через | Т |.
Таким образом, оператор | Т | определен для любого плотно
определенного замкнутого оператора из Н в Н' и является неотри-
неотрицательным самосопряженным оператором в Н; разумеется, его
не следует путать со скаляром || Т ||.
Аналогично | Т* \ есть неотрицательный самосопряженный
оператор в //'; он связан с оператором | Т \ следующим образом:
| Т* | = U | Т | U*. B.25)
Для того чтобы в этом убедиться, положим G' = U | T | U* =
= UGU*. Тогда G'u = 0 при и ? R (ТI, так как U*u = 0 и
R (G1) сг R (U) = R (Т). Таким образом, оператор G' равен
нулю на R (ТI, а на R (Т) он унитарно эквивалентен проекции
на R (G) оператора G. Следовательно, оператор G' самосопряжен
и неотрицателен. Но G'2 = UGU*UGU* = tfGGC/* = ТТ*; поэто-
поэтому G' должен совпадать с | Т* \ в силу единственности квадрат-
квадратного корня.
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ 421
Из B.23), B.24), B.25) получаем следующие равенства:
т = и\т\^=\т*\и = ит*и,
Т* = U* \Т* | = \Т \U* = U*TU*, B.26)
. I у* I = ит* = re/* = г/1 г | и*.
В частности, равенство У* = U* | Г* | есть полярное разложе-
разложение оператора Т*.
Задача 2.33. N (Г) = N (| Г |); R (Г) = R (| Г* |).
Пример 2.34. Каноническое разложение компактного оператора Т ?
6 М (Н, Н'), обсуждавшееся в п. V.2.3, является частным случаем полярного
разложения. Пусть С/срд = <j?, и = 1, 2, . . ., в формуле (V.2.23). Если
система {<р&} не полна, то положим Uu = 0 для и J_ <р&, А = 1, 2, ....
Тогда | Г | = ^ «а (, <Ра) Фа tCM> (V.2.26)] и равенство (V.2.23) совпадает
с равенством Т — V \ Т |.
Рассмотрим теперь частный случай, когда оператор Т = Н
самосопряжен: Н* = i7. Пусть Н = U \ Н \ — его полярное
разложение. Поскольку Н = i7* = U* \ Н* \ = U* \ Н \ есть
полярное разложение того же оператора, то U* = U в силу дока-
доказанной выше единственности. Более того, согласно результату
задачи 2.33, исходное множество R (| Н \) оператора U совпадает
с его финальным множеством R (Я); обозначим это подпростран-
подпространство пространства Н через R. Имеем U2u = U*Uu = и при м ? R
и Uu = 0 при и ? R-Ч Любое u ? R может быть представлено
в виде и = и+ + и_, где ?/и+ = и+ и ?7и_ = —к_; для этого
достаточно положить и± = A ± ?7) и/2. Более того, это разло-
разложение, как легко видеть, единственно. Пусть М± — подпростран-
подпространства пространства R, состоящие из всех таких и, что Uu = ±и.
Таким образом, имеет место разложение
Н = М+ © М_ © Мо, Мо = R-1, B.27)
где все три подпространства попарно ортогональны.
Из B.66) следует также, что UH = U*E = | Я \ = | Я* | =
= HU* = HU, т. е. Н и U коммутируют. Аналогично. | Н \
коммутирует с U. Поэтому из определения пространств R, М±
следует, что Н и | Н \ можно разложить в соответствии с разло-
разложением B.27). При и ? Мо мы получим Ни = ] Н \ и = 0, так
как Мо = R (| Н II = N (| Н |) = N (Н) (см. задачу 2.33). При
и ? М+ получим Ни = HUu = \ Н \ и и аналогично Ни =
= — | Н | и при и 6 М_. Поскольку оператор | Н | положителен
в R, его проекция на М+ положительна, а на М_ отрицательна.
Таким образом, разложение B.27) приводит к разложению one-
422 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
ратора Н на положительную, отрицательную и нулевую части
и к соответствующему разложению оператора |.ЙГ|.
В частности, отсюда следует, что Н и \ Н \ коммутируют,
поскольку это утверждение, очевидно, справедливо для проекции
этих операторов на каждое из трех рассматриваемых подпро-
подпространств. [Под этим мы подразумеваем, что резольвенты R (?, Н)
и R (?', | Н |) коммутируют, так как коммутативность двух
неограниченных операторов не была определена.]
Задача 2.35. Если оператор Н самосопряжен, то D (Я) = D (| Н \)
и при и ? D (Н)
|| Ни \\ = |П Н | и ||, | {Ни, в) | < (| Я | в, и), B.28)
||(Я + а) и И < ||(|Я|+ |а|) в И,
(|Я+ а |в, В)<((|Я|+ |а|)и,в)
{Указание: относительно последнего неравенства см. (V.4.15).]
Задача 2.36. Ортогональные проекторы на подпространства М+, М_
и Мо определяются формулами
Р+ = (№ + tO/2, P. = (IP — U)/2, Po = 1 - U2. B.29)
Лемма 2.37. Если оператор А ? J? (Н) коммутирует с опе-
оператором Н, то он коммутирует с | Н \ и U.
Доказательство. Оператор А коммутирует с резоль-
резольвентой оператора Н, а значит, и с резольвентой оператора IP,
поскольку {ЕР — I)-1 = {Н — t,1'2)-1 {H + Zi/2)-K Отсюда в силу
теоремы V.3.35 следует, что А коммутирует с | Н \ = [ЕРI1 .
Для того чтобы показать, что А коммутирует с U, заметим, что
AU | Н | = АН а НА и UA \ Н \ с U \ Н \ А = НА. Следо-
Следовательно, AUu = UАи при гг ? R. С другой стороны, если и 6
6 К = Мо = N (Я), то AUu = 0 = t/Лгг, так как из Ягг = О
следует НАи = 4Яи = 0. Поэтому AU — НА.
Лемма 2.38. Разложение B.27) пространства Н на подпро-
с транства, в которых Н является положительным, отрицатель-
отрицательным и нулевым оператором, единственно в следующем смысле.
Пусть Н приводится подпространством М' и (Ни, и) ^ 0
[{Ни, и) < 0] для всех и 6 М' ( D (Я). Гогда М' есть под-
подпространство пространства М+ Ф Мо = М:Г (М_ Ф Мо = М_).
Доказательство. Пусть Р' — ортогональный проек-
проектор на М'. Так как М' приводит Н, то Р' коммутирует с Н.
Из леммы 2.37 и формул B.29) следует, что Р' коммутирует с U
шР±,Р0. Поэтому Р'Р_ = Р_Р' является проектором на М' П М_.
Но это — нулевое подпространство, так как из и ? D' = D (Н) П
П М' П М_ следует, что и = 0 [в противном случае мы имеем
§ 3. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 423
противоречие: {Ни, и)>0и (Ни, и) << 0] и множество D' плотно
в М' П М_, поскольку последнее приводит Н. Этим доказано,
что Р'Р. = Р.Р' = 0, а значит, М' <= М^:.
§ 3. Возмущение полуторалинейных форм
и ассоциированных с ними операторов
I. Вещественная часть т -секториального оператора
В этом параграфе мы будем рассматривать возмущение тп-сек-
ториального оператора Т при малом возмущении ассоциированной
с ним формы t.
Лемма 3.1. Пусть Ц — плотно определенная симметричная
неотрицательная замкнутая форма и Н = 7V — ассоциирован-
ассоциированный с ней неотрицательный самосопряженный оператор. Пусть
форма а является ^-ограниченной, так что
[ а Ы К М) [и], и 6 D (fj). C.1)
Тогда существует оператор С ? J* (Н) с нормой || С || ^ гЬ
(е = 1 или 2 в зависимости от того, является ли симметричной
форма а), такой, что
а [и, v) = (CGu, Gv), G = Я1/2; и, v 6 D (Ь) = D (О). C.2)
Доказательство. Из C.1) следует, что
| о [и, у] К вЭД [u]1/2 f) [v]i/2 = гЪ И Gu || || &; ||; C.3)
чтобы убедиться в этом, нужно применить A.15) к Re1/2 а и
Im а и учесть тот факт, что I) [u] = || Gu ||2 по второй теореме
о представлении. Из C.3) следует, что значение формы a [u, v]
определяется элементами Gu, Gv, так как Gu = Gu', Gv = Gv'
влечет за собой а [и', v'] — а [u, v] = а [и' — и, v}-{-
+ а [и, v' — v] = 0. Таким образом, а [и, v] можно рассмат-
рассматривать как ограниченную полуторалинейную форму, зависящую
от переменных х = Gu, у = Gv; эту форму можно продолжить
на все х, у из замыкания М области значений оператора G. Сле-
Следовательно, существует ограниченный оператор С из М в М,
ракой, что D (С) = М, [| С || ^ еЪ и а[и, v] = (Сх, у). Для удоб-
удобства оператор С можно продолжить без увеличения нормы до
оператора из 98 (Н), полагая Сх = 0 при х ? M-L.
В качестве применения этой леммы выведем соотношение,
связывающее тп-секториальный оператор Т с его вещественной
частью Н. Пусть Т — оператор, ассоциированный по теореме 2.7
424 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
с замкнутой плотно определенной секториальной формой t.
Пусть Н = Т^, где симметричная форма I) = Re t также зам-
замкнута. По определению оператор Н является вещественной частью
оператора Т (символически Н — Re Т). Если Т ограничен,
то, очевидно, Н = -х- (Т + Т*), но в общем случае это неверно.
Из теоремы 2.5 непосредственно следует, что Re Т* = Re Т.
Теорема 3.2. Пусть Т есть т-секториальный оператор с вер-
вершиной 0 и полууглом 0. Тогда оператор Н'= Re T неотрицателен
и существует симметричный оператор В ? 98 (Н) такой, что
\\В ||<tge и
Г = G A + Ш) G, G = Я1^. C.4)
Доказательство. Пусть Т = Т± и 1} = Re t, f =
= Im t. Так как по предположению | 1) [u] | ^ (tg 6) Ъ) [и], то
в силу леммы 3.1 I [u, v] = (BGu, Gv), где В — симметричный
оператор, ||J5||^tg9. Следовательно,
t [u, »] = (!)+ й) [и, »] = (A + i#) Си, Gv). C.5)
Пусть теперь и? D (Т). По определению оператора Г имеем
t [u, у] = (Ти, и) для всех i; 6 D (t) = D (?)) = D ((?). Сравни-
Сравнивая это равенство с C.5) и учитывая, что оператор G самосопря-
самосопряжен, мы видим, что вектор G A + iB) Gu существует и равен
вектору Ти. Это показывает, что Т a G A -f- iB) G. Но легко
видеть, что оператор G A + Ш) G аккретивен. Учитывая, что
оператор Т m-аккретивен, мы должны знак включения заменить
знаком равенства. Тем самым формула C.4) доказана.
Теорема 3.3. Пусть Т есть т-секториальный оператор, Н =
= Re Т. Резольвента оператора Т компактна тогда и только
тогда, когда компактна резольвента оператора Н.
Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем
предположить, что оператор Т имеет положительную вершину,
так что точка ? = 0 принадлежит резольвентному множеству
операторов Г и Я [т. е. операторы Г и Н~г принадлежат SB (H)].
Предположим, что Н имеет компактную резольвенту; тогда резоль-
резольвента оператора G = Н1/2 также компактна (см. теорему V.3.49).
Поскольку Т-1 = G-1 A + iB)-1 G'1 в силу C.4), то Т'1 ком-
компактен, откуда следует компактность резольвенты оператора Т.
Доказательство обратного утверждения несколько сложнее. Изве-
Известно, что GT~a 6 % (Н) при 1/2 < а < 1 г) и что оператор Т'а~а>
компактен, если Т имеет компактную резольвенту 2). Поэтому
*) См. Т. К а т о [15], [16].
2) См. теорему V.3.49 и замечание V.3,50.
§ 3. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 425
оператор GT'1 = GT~aT~a~a\ а значит, и оператор G'1 =
=A + IB) GT'1 компактны. Таким образом, оператор Н~х =
= G компактен, и .// имеет компактную резольвенту.
2. Возмущение ж-векториального оператора
и его резольвенты
Пусть t — плотно определенная замкнутая тп-секториальная
форма, и пусть Т = Tt — ассоциированный с ней тп-секториаль-
ный оператор. Зададим такой вопрос: как изменяется Т, если t
испытывает «малые» возмущения. Мы рассмотрим эту задачу
в случае, когда возмущение формы t относительно ограничено.
Напомним, что если форма а t-ограничена с t-гранью, мень-
меньшей чем 1, то форма t + а = f также секториальна и замкнута
(теорема 1.33). Прямое сравнение оператора S = Тг, ассоцииро-
ассоциированного с формой f, с невозмущенным оператором Т не является
простой задачей, так как S и Т не всегда имеют одинаковую
область определения. Однако мы можем сравнить резольвенты
R (?, S) и R (?, Т) и оценить их разность через t-грань фор-
формы а.
Теорема 3.4. Пусть t — плотно определенная замкнутая
секториалъная форма, причем i) = Re t ^3= О, и пусть Т = 2\ —
ассоциированный с ней m-секториальный оператор. Пусть форма
а является Х-ограниченной:
\а[и] К а || и ||2 + Щ Ы, и е D (t>) = D (t) cr D (a), C.6)
где а и Ъ — неотрицательные числа и Ъ < 1. Тогда форма \ =
= t + а также секториалъна и замкнута. Пусть S — Тс —
ассоциированный с этой формой т-секториалъный оператор. При
Ъ <С 1/2 существуют резольвенты R (?, Т) и R (?, S), причем
\\R&,S)-R(Z,T)\\<?
2а
A-26) (-Be t)
(если Ъ = 0, то вместо alb следует писать оо). Если Т имеет ком-
компактную резольвенту, то и S имеет компактную резольвенту.
Доказательство. Замкнутость формы J была доказа-
доказана в теореме 1.33. Пусть р — положительное число (которое
будет определено позже), t = t+p, J)' = Ret' = !.}-rp, и пусть
7" == 71 + р, Н' = Н -]- р ^ р> 0 — операторы, ассоциирован-
426 ' ' Гл. VI. ПОЛУТОГАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
ные с формами t' и Ц'. В силу C.5) справедливо равенство
t' lu, v] = (A + iB') G'u, G'v), где G' = Н'тжВ'* 6 В' 6 98 (Н).
С другой стороны, C.6) можно представить в виде
| а [и] | <ЭД' [и], C.8)
где к = max (b, alp). Поэтому из леммы 3.1 следует, что а [и, v] =
=l(CG'u, G'v), || С || <2fc. Для формы )' = § + р мы имеем
выражение f [и, v] = (t' + с) [и, у] = (A + iB' + С) G'u, G'v).
Отсюда получим так же, как и при доказательстве формулы C.4),
что
S + р = S' = G' A + iB' + С) G', || С || < 2к. C.9)
Таким образом, 5 - ? = 5" - ?' = С A - ^'Я' + Ш' +
+ С) G', где ?' = С + Р, так что
R (С, S) = Л (?', 5') = G' A - %'Н'-1 + iB' + С)-1 G'-1
(ЗЛО)
при условии, что средний сомножитель правой части существует
и принадлежит 98 (Н). Но оператор A — 1,'Н'-1 + iB)-1 ? 9В (Б)
существует и его норма ^1, если число р выбрано так, что Re ?' =
= Re ? + р ^ 0, так как в этом случае числовая область значе-
значений оператора 1 — Х^Н'~Х + iB' ?$ (Н) лежит в полуплоско-
полуплоскости Re z ^ 1. Следовательно [см. A.4.24)], указанный сомножи-
сомножитель существует и
|| A - I'H'-1 + iB' + С) - A - I'H'^+iB)-1 \\ <
< 2к A — 2к)~\ C.11)
если 2к <; 1. Поэтому из C.10) и аналогичного выражения для
R (?. Т), которое получается из C.10), если положить С = 0, сле-
следует неравенство
|| R (С, S) - R а, Т) || < 2к A - 2k)-1 р-ь C.12)
здесь мы также использовали тот факт, что || G' || ^ р/2. Если
положить р = —Re ?, то из C.12) и определения C.8) числа к
мы получим требуемое неравенство C.7).
Если оператор Т имеет компактную резольвенту, то и резоль-
резольвенты операторов Н, Н', G' компактны, согласно теоремам 3.3
и V.3.49. Поэтому оператор G', а значит, согласно C.10), и опера-
оператор R (?, S) компактны.
Замечание 3.5. Теорема 3.4 показывает, что величина
|| R (?, 5) — R (?, Т) || мала, если а и Ъ достаточно малы. Из C.7)
это следует только при Re Z, <С 0. Однако, согласно замечанию
IV.3.13, это утверждение верно для любых ? ? Р (Т); используя
§ 3. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛУ ТОР АЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 427
(IV.3.10), можно получить явную формулу, оценивающую
разность R (?, S) — R (?, Т), хотя мы и не будем ее выписывать.
Такая формула будет дана в следующем пункте для симмет-
симметричного оператора Т, так как в этом частном случае она особенно
проста.
Теорема 3.6. Пусть t — плотно определенная, замыкаемая
секториалъная форма, и пусть {tn} — последовательность форм
с D (tn) = D(t) такая, что
| (t - tn) [и] \ < ап || и ||2 + &nt) [и], и 6 D (t), C.13)
где \) = Re t и положительные числа ап, Ъп стремятся к нулю
при п—*¦ оо. Тогда при достаточно большом п формы tn также
секториалъны и замыкаемы. Пусть t, tn — замыкания форм t utn
соответственно, и пусть Т, Тп — ассоциированные с ними т-сек-
ториальные операторы. Тогда последовательность {Тп} сходится
к Т в обобщенном смысле (см. п. IV.2.4). Если Т имеет компакт-
компактную резольвенту, то Тп при достаточно большом п также имеет
компактную резольвенту.
Доказательство. То, что формы tn секториальны
и замыкаемы, следует из теоремы 1.33. Заметим также, что нера-
неравенство C.13) справедливо, если t, tn заменить на 1, tn соот-
соответственно.
Без ограничения общности мы можем предполагать, что h ^ 0
(в противном случае следует добавить к f и tn одну и ту же кон-
константу). Предположим также, что ап = Ъп (в противном случае
достаточно заменить ап и Ъп числом max (an, &„)). Тогда из C.7)
следует, что || R (-1, Тп) - R (-1, Т) \\ < 2ап A - 2а,,)-1 -^ 0,
что доказывает сходимость Тп к Т в обобщенном смысле. Послед-
Последнее утверждение теоремы следует из теоремы 3.4.
Замечание 3.7. Теорема 3.6 дает удобный критерий сходимо-
сходимости в обобщенном смысле последовательности операторов Тп к опе-
оператору Т. Полезно сравнить этот критерий с аналогичным кри-
критерием, относящимся к относительно ограниченным возмущениям
оператора, который дает теорема IV.2.24.
Замечание 3.8. Все результаты, касающиеся сходимости после-
последовательности операторов в обобщенном смысле, применимы
к операторам Тп из теоремы 3.6. Заметим, например, что спектр
оператора Т не расширяется скачком и, в частности, любая конеч-
конечная система собственных значений устойчива относительно заме-
замены Т на Тп (см. п. IV.3.5).
428 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕИНЫЕ ФОРМЫ
3. Симметричные невозмущенные операторы.
Теорема 3.9. Пусть Ь, — плотно определенная замкнутая
симметричная ограниченная снизу форма, и пусть форма а
(не обязательно симметричная) Ъ-ограничена, так что D (а) и>
=э D (fj) и
\а[и] | <а || и ||2 + Ы) [и], C.14)
где 0 ^ Ъ < 1, а число а может быть положительным, отри-
отрицательным или равным нулю. Тогда форма \ = I) + а секто-
риалъна и замкнута. Пусть Н, S — операторы, ассоциированные
с Ь), \ соответственно. Если % 6 Р (Н) и
(?,Я)||<1, . ,:•• C.15)
то I 6 Р E) и
д (?, S)-д (?, Я) ц< A*Д(;+^*Дв %|[||J IIД (С, Я) Ц. C.16)
Здесь 8 = 1 или 2 е зависимости от того, симметрична или нет
форма а.
Доказательство. Предположим сначала, что Ь> О,
и положим {)' = {)-{- аЬ + б, j' = \ + аб + б, где число 5
будет определено позже. Форма ']' так же, как и f, замкнута
согласно теореме 1.33. С i)' и \' ассоциированы операторы Я' =
= Я + аЬ-1 + б и S' = 5 + аЬ + б.
Согласно C.14), i, + ab > 0, так что {)' > б. Из C.14)
следует также, что | а [и] | ^ Щ' [и]. Теперь мы можем приме-
применить рассуждение, использованное в доказательстве теоремы 3.4;
заметим, что форма а [и, v] может быть представлена в виде
(CG'u, G'u), где || С || ^ гЬ, е = 1 или 2 в зависимости от
того, симметрична или нет форма а (см. лемму 3.1), G' ^ б1/2
или || G''1 || ^ б/2. Таким образом, получаем
|| R (?, S) - R (I, Я) || < еЬЖ2 A - еЪМ)-1 б, C.17)
если еЬЖ < 1, где ikf = || A — fH'-1)'1 ||, g' = ? + ab + &
(заметим, что здесь В' = 0, так как оператор Т = Н симметри-
симметричен). Таким образом,
М = || Я' (Я' - ?')-i || = || (Я + аЪ-1 + б) (Я - ?)-*<
(Г, H)\\ + 8\\R (?, Я) ||. C.18)
Требуемое неравенство C.16) следует из C.17), если учесть оцен-
оценку C.18) и положить б = а A — а) A + а) р-1, где а =
= в || (о + ЬН) R (S, Н) || и р = гЪ || Л (?, Я) ||; заметим, что
1 — еЬМ = A — а) A + а) <0, если а < 1.
Утверждение теоремы в случае Ъ = 0 получается переходом,
к пределу при Ъ -> 0.
§ 3. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 429
Замечание 3.10. Условие C.15) при Z, ? Р (S) вполне удовлет-
удовлетворительно, но оценка C.16) не совсем точна, как это видно из
рассмотрения частного случая Ь = 0. В этом случае, согласно
A.4.24), имеется более точная оценка с правой частью, равной
га || R ||2 A - га || R ||)-\ где R = R (?, Н), так как из | a [u] | =
= | (j — I)) [и] К а || и |Р следует \ а [и, v] [ < га || и || || v ||, так
•что а [и, v] = (Си, v), S = H + С, где || С ||^ га. Значение теоре-
теоремы 3.9 скорее всего объясняется тем, что а может быть отрица-
отрицательным. Можно было бы получить более удовлетворительный
результат, если в оценке явно использовать тот факт, что у ^ 0
является нижней гранью формы а + ЪН.
4. Псевдорасширения по Фридрихсу
Расширение по Фридрихсу рассматривалось нами для плотно
определенных секториальных операторов, и потому оно тесно
связано с секториальной ограниченностью. Теперь мы изучим
расширение нового вида, аналогичное расширению по Фридрих-
Фридрихсу, которое применимо не только к секториальным операторам;
новое расширение симметричного оператора приводит к само-
самосопряженному оператору *).
Теорема 3.11. Пусть Н — самосопряженный оператор, и пусть
юператор А таков, что D = D (А) с D (Н) и
| {Аи, и) |<а || и ||2 + fe(| Я \и, и), u?DD), C.19)
где 0 ^ Ъ <С 1 или 0 ^ Ь << 1/2 в зависимости от того, симме-
симметричен или нет оператор А. Если D (А) есть ядро оператора
J Н |1/2, то существует единственное замкнутое расширение Т
оператора Н + А, такое, что D (Т) a D (| Н |1/2), D (Т*) с;
a D (| Н |1/2) и щ 6 Р{Т) для всех вещественных т] с достаточно
большим модулем. Оператор Т самосопряжен, если А симметри-
симметричен. (Будем называть Т псевдорасширением по Фридрихсу, или
псевдофрид рихсовым расширением оператора Н -\- А.)
Доказательство. Напомним, что | Н \ = (Я2I/2 —
самосопряженный оператор с областью определения D(| H \) =
= D (Н) и что этот оператор коммутирует с Л в смысле, указан-
указанном в п. 2.7 2).
Мы можем предположить, не ограничивая общности, что &> 0.
Положим Н' = | Я | + afe + б, где б> 0. Из ,C.19) следует,
*) Результаты этого пункта не связаны существенным образом с полуто-
ралинейными формами. Мы рассматриваем их здесь потому, что в доказатель-
доказательствах используется такая же техника, как и в предыдущих пунктах.
2) Эта коммутативность существенна для доказательства; именно по
этой причине мы должны предполагать, что оператор самосопряжен.
430 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
что | (Аи, и) | < Ъ (Е'и, и) = Ъ || G'u ||2, где G' = Я'1/2. Посколь-
Поскольку множество D (А) есть ядро оператора | Я |1/2, то оно является
и ядром оператора G', и из последнего неравенства следует, что
форма (Аи, и) может быть продолжена до формы а [и, v] с обла-
областью определения D (а) = D (G1), такой, что | а [и, v] \ ^
^ гЪ (G'u, G'v), где 8 = 1 или 2 в зависимости от того, симметрич-
симметрична или нет форма а (см. предыдущий пункт). Отсюда получим
(см. п. 1):
a [u, v] = (CG'u, G'v), С 6 Я (Я), || С ||< еЬ. C.20)
Потребуем теперь, чтобы оператор Т, определенный формулой
Т = G' (НН1-1 + С) G', C.21)
обладал свойствами, указанными в формулировке теоремы. Ясно,
что D (Т) с D (С) = D (| Я \т). Пусть u?D D); тогда век-
вектор G'EH'-Чх и существует и равен Ни, так как Я' = G'2, a G'
и /7 коммутируют. Поскольку, кроме того, (Аи, v) = а [и, у] =
= (CG'u, G'v) для всех у ? D (Л), где D (А) — ядро оператора G',
то вектор G'CG'u существует и равен Аи. Таким образом, вектор
Ти существует и равен (Н + А) и, т. е. Т id H + А.
Пусть С 6 Р (Щ. Тогда Г - ? = С [(Я - ?) Я' + С] G',
так как 1 id G'E'~XG', так что
(Г - ?)-i = G' [(Я - 5) Я'-1 + С]-^'-1 C.22)
при условии, что (Я — t,) H' ~г -\- С имеет обратный, принадлежа-
принадлежащий 98 (Н). Это верно, если норма оператораС[(Я — ?) Я'~1]~1=
= СЕ' (Я — ^)~1 меньше, чем 1 (ряд Неймана), или если
|| С || || (| Я | + аЬ-1 + б) (Я - ?)-! || < 1. C.23)
Вспоминая, что || С || sj eb, видим, что это условие выполнено,
если
е || (а + Ъ | Я | + Ьб) (Я - Q-i || < 1. C.24)
Выбирая вещественное т] достаточно большим, мы можем до-
добиться, чтобы величина | а + 66 | || (Я — щ)'1 II была сколь
угодно малой и выполнялось неравенство || | Я | (Я — "i) II =
= || | Я | (Я - щ)-1 || < 1; поэтому (Т - гт]) 6 Я (Н) суще-
существует, если гЪ < 1 и | т) | достаточно велико. Таким образом,
оператор Т замкнут и множество Р (Т) непусто.
Если оператор А симметричен, то С и Ттакже симметричны,
(заметим, что ЕН1'1 — симметричный оператор). Следовательно
оператор Т самосопряжен.
Из C.22) следует, что (Т* —_S) = G' [(Я - I) Я' +
+ С*] G'-1; заметим, что [(Я — ?) Я' + С*], как и выше,.
5 3. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 431
существует в силу того, что || С* || = \\С ||. Следовательно,
D (Т*) = R ((Г* — I)) c= R (G1-1) = D (С) и
71* = G' (ЯЯ'-1 + С*) G'. C.25)
В заключение докажем единственность оператора Т. Предпо-
Предположим, что Ti — замкнутое продолжение оператора Я + А,
обладающее свойствами, указанными в формулировке теоремы.
ПустыгбО^*), pgD (А). Тогда и ?D (С) и G>, у) = (и, 2» =
= (и, (Я + Л) у) = (и, Щ = (и, G'iHH'-1 + C)G'v) =
= {{НН1'1 + С*) Си, G'y). Поскольку это верно для всех
i; 6 D (.4) и поскольку D (А) есть ядро оператора G', вектор
Т*и = G' (НН'-1 + С*) G'u существует и равен Т*и. Отсюда
ясно, что Т\аТ*, а значит, Tl zd Т и Ti — С => Т — Z,. Число
? = гт| принадлежит при достаточно больших [ т] [ обоим множе-
множествам Р (Т) и Р (ГО; поэтому Ti — С = Т7 — L или 7\ = Т.
Следствие 3.12. Пусть оператор Н самосопряжен, и пусть
операторы Ап, п = 1, 2, . . ., удовлетворяют условию C.19) для
оператора А с константами ап, Ъп вместо а, Ъ, причем ап —>- О,
Ъп -*- 0 гери тг->-оо. Предположим, что множество D (Ап) с
cr D (Я) является ядром оператора | Я I1/2 герм любом п. Тогда
при достаточно больших п существуют псевдопродолжения по
Фридрихсу Тп операторов Н + Ап, причем Тп —*- Н в обобщенном
смысле.
Доказательство. Прежде всего можно предположить,
что ап = ?»„ > 0. Мы можем использовать доказательство теоре-
теоремы 3.11, полагая 6 = 0; тогда Я' = | Я ( + 1. Неравенство C.24)
выполняется для любого ? ? Р (Я), если а и Ъ заменены на ап
ж Ьп ш п достаточно велико. При таких п существуют резольвенты
(Тп — ^)~1, которые образуют последовательность, сходящуюся
по норме к (Я — 'О'1, поскольку
[(Я - О Я' + CJ + [(Я - О Я']
в силу того, что || Сп || —>- 0 (операторы Сп определяются очевид-
очевидным образом). Таким образом, Тп -*- Н в обобщенном смысле
(см. теорему IV.2.25).
Замечание 3.13. Поскольку D (| Я |) = D (Я) и | {Ни, и) | <
^ (| Я [ и, и) согласно B.28), то неравенство C.19) выполняет-
выполняется, если
| {Аи, и) |< а || и ||2 + Ь | {Ни, и)\, и^Ъ (А). C.26)
Задача 3.14. Пусть Н — самосопряженный, А — симметричный опе-
операторы, и пусть D (Л) = D (Н). Если оператор А Я-ограничен: \\ Аи ||2 ^
< а2 || и ||2 + Ь2 \\ Ни ||2, то он удовлетворяет условию C.19). [Указание:
учесть тот факт, что || А и || ^ || (а + Ь | Н \ и \\, и использовать теоре-
теорему V.4.12.]
432; Гп. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
§ 4. Квадратичные формы
и оператор Шрёдингера
1. Обыкновенные дифференциальные операторы
Ранее мы уже встречались с простыми типами регулярных
дифференциальных операторов (см. примеры 2.16, 2.17). Поэтому
теперь мы рассмотрим сингулярный дифференциальный оператор
вида г)
L = —dVdx* + q (x), 0 < х < оо. D.1)
Предположим для простоты, что функция q (x) вещественна,
хотя это условие и не является необходимым. В дальнейшем мы
будем также временно предполагать, что j (i) > 0 и что q (x) —
локально интегрируемая на @, оо) функция.
Так же, как и в § V.5, нас будет главным образом интересовать
построение по формальному дифференциальнму оператору L
самосопряженного оператора, действующего в пространстве Н =
= L2 @, оо). Здесь следует заметить, что при довольно слабых
ограничениях, которые мы налагаем на q (x), нельзя определить
«минимальный» оператор, такой, как оператор Т из п. III.2.3
или п. V.5.1, так как при и 6 С™ функция Lu не всегда принадле-
принадлежит L2 [поскольку от функции q (x) не требуется, чтобы она ло-
локально принадлежала L2].
Вместо этого мы рассмотрим полуторалинейную форму
t) = ^o + f)', D.2)
где
оо
: Ыи, v]= \u'v'dx = (u', v'); u@) = v@) = 0, D.3)
о
00
I)' [и, v] = \ q(x) uvdx. D.4)
о ¦
Определим D (?H) как множество всех и ? Н, таких, что функция
и (х) абсолютно непрерывна, и' ? Н и и @) = 0. Как и выше
(ср. с примером 1.36), форма 1H симметрична, неотрицательна
и замкнута. Область определения D ([)') формы ?)' есть множе-
множество всех и ? Н, таких, что \ q (х) \ и \2 dx <. оо; форма ?)' также
симметрична, неотрицательна и замкнута (пример 1.15). Поэтому
по теореме 1.31 форма f)=fy0 -\- Ц' симметрична, неотрицательна
г) Мы выбрали полубесконечный интервал @, <х>), поскольку он более
важен для приложений, чем интервал (— оо, оо). Последний случай может
быть рассмотрен аналогично.
§ 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ОПЕРАТОР ШРЁДИНГЕРА 433
и замкнута. Кроме того, форма ?) плотно определена, так как
С°°о @, оо) с D (I)) = D (f>0) П D ({,')•
Согласно теореме о представлении, существует неотрицатель-
неотрицательный самосопряженный оператор Н = Тц, ассоциированный с I).
Так же, как и в примере 2.16, оператор Н может быть описан
следующим образом: функции и ? D (Я) характеризуются сле-
следующими условиями: i) и, и' абсолютно непрерывны на (О, оо) и при-
СО
надлежащ Н; ii) и @) = 0; ш) 1 # | и|а dx <С оо; iv) Lu = —и" +
о
+ qu ? H; для таких функций i/u = Lu. При выводе этого резуль-
результата нужно отметить следующие моменты. Для доказательства
необходимости условий i—iv рассмотрим тождество, аналогичное
тождеству B.12), в котором v ? Со\ граничные члены отсутствуют
и в котором используется неопределенный интеграл z от функции
w — qu (полагаем г = s = 0); заметим, что функция w — q локаль-
локально интегрируема, так как w = Ни ? L2, функция и G D (Н) а
сг D (t)) непрерывна, а функция q локально интегрируема. Для до-
доказательства достаточности заметим, что если и удовлетворяет
условиям i—iv, то и ? D (tj) и для любого v 6 D (I))
ъ ъ
Ц [и, v] = lira I u'v dx-{- \ quvdx =
a-*Q , b—юо J J
a a
= — lira u' (a) vja) + lira u' (b) пЩ+ [ ( — и"+ qu)vdx. D.5)
Если первые два члена в правой части равны нулю, то ?) [и, у! =
= (—и" + qu, v), и мы получаем по теореме 2.1, что и ? D (if),
//"и = —и" + gw. Далее, из D.5) следует существование пределов
lira и' (х) v (х) при х -»- 0 и а; -»- оо. Отсюда lira и' (г) у (ж) дол-
жен равняться нулю, так как функция u'v (x) интегрируема на
(О, оо), причем и' и v принадлежат Н. Таким же образом получим,
что lim u'v = 0 ввиду того факта, что функция vix интегрируема
х-уО
с квадратом в окрестности точки х = 0, тогда как функция Их
неинтегрируема. Действительно, имеет место неравенство *)
сю
\ x~
D.6)
2) Если и ? CJJ°, то неравенство D.6) можно доказать, интегрируя тожде-
тождество d (х-1 | и \*)ldx = —ж | и |2 + 2л Re u'u и замечая, что
[х~г | и\2 dx = 2 Re \' г-Va da; < B Ja; | и |2 dxI'2 (|| и' |2 dx)lf*.
Для произвольного и ? D A)о) неравенство получается путем предельной^
перехода, так как С?° является ядром формы lj0.
28 т. Като
434 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Замечание 4.1. Функция Ни = —и" + qu принадлежит Н =
= L2 при и 6 D (Щ, но и" ж qu в отдельности не обязательно
принадлежат L2, даже локально. Однако они локально принадле-
принадлежат L11).
Ослабим теперь сделанное выше предположение о том, что
q (х) ^ 0. Предположим, что
Я = qi + Q2 + q3, ?i (x) > 0, D.7)
где функция <7л (г) локально интегрируема, функция #2 (г) локаль-
локально равномерно интегрируема (и не обязательно неотрицательна),
a q3 (x) удовлетворяет неравенству
| q3 (х) | < а/4г2, а < 1. D.8)
Локально равномерная интегрируемость функции q2 (x) означает
следующее:
a+i
[ \q2(x)\dx^M<oo, a>0, D.9)
где М не зависит от а.
Введем формы Ь,], j = 1, 2, 3, с помощью замены q на qj в D.4).
Форма % ^-ограничена с 1H-гранью, равной 0. Для того чтобы
в этом убедиться, используем неравенство
х+1 х+1
|и(а:)р<8 j \u'(y)\*dy+S j | и (у) f dy, ' D.10)
X X
которое следует из (IV.1.19) при р = 2; здесь s> 0 может быть
выбрано произвольно малым, если б выбрано достаточно большим.
Из D.9) и D.10) вытекает [полагаем q2 (х) = 0 при х <. 0], что
y-i
lH[ul + 6||u||2). D.11)
С другой стороны, форма % !H-ограничена с ?)о-гРаиью ее < 1,
как это ясно из D.6) и D.8). Следовательно, форма Ц'3 также (?H +
+ ["(^-ограничена с относительной гранью а (ср. с задачей IV. 1.2,
в которой имеется аналогичное утверждение об операторах).
Поскольку форма 1H замкнута, то t)o + %, а значит, и tH +
+ ^ + ?)g ограничены снизу и замкнуты (см. теорему 1.33).
х) Оператор Л, конечно, плотно определен; хотя этот факт отнюдь не
тривиален, он может быть без труда доказан, если использовать специальные
свойства дифференциального оператора L.
§ 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ОПЕРАТОР ШРЕДИНГЕРА 435
Как и прежде, форма I)i неотрицательна и замкнута; поэтому
по теореме 1.31 сумма ft = (Ь)о + К + §з) + % — Цо + Ц' замк-
замкнута. Описание оператора Н — 7V ассоциированного с f), мож-
можно получить точно так же, как и выше. Таким образом, доказана
Теорема 4.2. Пусть q (x) — q\ -f- q2 + q3, где все qj веществен-
вещественны, функция q\ неотрицательна и локально интегрируема, функ-
функция q2 локально равномерно интегрируема, a q3 удовлетворяет
неравенству D.8). Пусть оператор Н определен формулой Ни =
= —и" -\- q (х) и, причем D (Н) состоит из всех таких и ? Н =
= L2 @, оо), что i) и, и' абсолютно непрерывны на @, оо) и и' ? Н;
ii) и @) = 0; iii) q\/3u ? H; iv) —и" -\- qu 6 Н. Тогда оператор Н
самосопряжен в Л и ограничен снизу.
Замечание 4.3. Отметим, что в формулировке теоремы 4.2
не имеется ссылок на теорию форм. Ее можно было бы доказать
и не используя результатов этой теории, однако в этом случае
доказательство стало бы сложнее.
Замечание 4.4. Можно показать, что С^° есть ядро формы t).
Если это известно, то в D.5) достаточно рассматривать только
интегральные члены, так как можно ограничиться функциями у
из Со", и тогда дополнительные члены не возникают.
4
2. Форма Дирихле и оператор Лапласа
Рассмотрим форму Дирихле
Ъ) [и, v] = (grad и, grad v) =
_ Г
~ J
R3
LJ!Lj_ —-^--4- ди д" \ dx
R3
в трехмерном пространстве R3. To, что размерность равна 3, не су-
существенно; большинство из последующих результатов справедли-
справедливо в случае m-мерного пространства. Мы рассматриваем t) как
полуторалинейную форму, определенную в гильбертовом про-
пространстве Н = L2 (R3). Будем временно предполагать, что D (?))
состоит из всех непрерывно дифференцируемых функций и (х),
таких, что I) [и] < оо. Очевидно, форма ?) плотно определена,
симметрична и неотрицательна.
Форма t) допускает замыкание. Это можно доказать разными
способами. Например, D.12) можно записать в виде \) [и, v] =
= (Ти, Tv), где Ти = grad и — линейный оператор из Н в Н' =
= (L2 (R3)K — пространство, состоящее из всех векторнозначных
функций с тремя компонентами, каждая из которых принадлежит
L2 (R3). [Обозначение (grad и, grad v) в D.12) в точности соответ-
28*
436 ' Гл. Vt. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
ствует этой интерпретации.] Оператор Т*, сопряженный к Т,
существует и формально задается равенством Т*и' = —div и'.
Действительно, равенство (grad и, и') = — (и, div и') справедли-
справедливо по крайней мере в том случае, когда векторнозначная функция
и' (х) непрерывно дифференцируема и имеет компактный носи-
носитель. Поскольку такие функции образуют плотное множество
в Н', оператор Т* плотно определен и, следовательно, оператор
Т допускает замыкание (см. п. V.3.1). Поэтому, согласно примеру
1.23, форма ?) допускает замыкание.
Другой способ изучения формы ?) состоит в введении фурье-
образов и (к), v (к) функций и (х), v (х) (см. пример V.2.7).
Тогда формулу D.12) можно записать в виде
. I) [и, v] = J | к |2 и (к) T(k)dk, | к |2 = к\ + к\ + Щ. D.13)
Формула D.13) определяет замкнутую форму ?), если область
определения этой формы состоит из всех таких и 6 Н, что инте-
интеграл \ | к |2 | и (к) |2 dk конечен (см. пример 1.15), так как ото-
отображение и —»- и унитарно. Правда, данное ранее определение
области D (Ц) не столь широко, как это, но отсюда по крайней
мере следует, что форма t) замыкаема. Более того, замкнутая
форма, определенная с помощью преобразования Фурье, совпада-
совпадает с замыканием первоначальной формы Ь,\ это можно доказать
так же, как в п. V.5.2, где установлена существенная самосопря-
самосопряженность оператора Лапласа. В действительности мы могли сузить
D (?)) до С^° (R3), не изменяя результат.
Отсюда непосредственно следует, что оператор Н = Тт-, ассо-
ассоциированный с замыканием!) формы ?), определяется следующим
равенством (см. пример 2.15):
{Ни) ' (к) = | к |2 и (к); , ' ' ,, D.14)
его область определения D (Н) состоит из всех и ? Н, таких, что
I к |2 и (к) ? L2 (R3). Таким образом, Н совпадает с замыканием
рассмотренного ранее оператора —А (см. п. V.5.2).
В частности, справедливо равенство
{) [и, v) = (—Аи, г;) D.15)
для любого cfD (t)), если, например, и (х) имеет непрерывные
вторые производные и и. Аи ? Н. Равенство D.15) справедливо
даже для всех и ? D (Н) и v ? D (fy), если t) заменить на f), а диф-
дифференцирование в Аи понимать в обобщенном смысле (ср. с заме-
замечанием V.5.2). . .
§ 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ОПЕРАТОР ШРЁДИНГЕРА 437
3. Оператор Шрёдингера в R3
Рассмотрим оператор Шрёдингера
L = -А + q (х) D.16)
во всем пространстве R3 [см. (V.5.1)], причем функция q (x) пред-
предполагается вещественной, хотя это и не является необходимым.
По аналогии с одномерным случаем (п. 1) мы сначала предполо-
предположим, что функция q (х) локально интегрируема и неотрицательна.
Наша цель состоит в том, чтобы построить по формальному опера-
оператору L самосопряженный оператор, действующий в Н = L2 (R3).
Вновь заметим, что «минимальный» оператор, такой, как S
из п. V.5.1, вообще говоря, не существует как оператор в Н,
поскольку при и ? С?° функция Lu не обязана принадлежать Н.
Вместо этого мы начнем с рассмотрения формы I) = 1}о + t)'>
где 1)о — замкнутая форма Дирихле (замыкание формы I), кото-
которая рассматривалась в предыдущем пункте) и
V [и, v] = \ q (x) и (х) JJx) dx, D.17)
R3
причем D ([)') — множество всех и ? Н, таких, что V [и] < оо.
Согласно результату примера 1.15, форма Ц' неотрицательна,
симметрична и замкнута. По теореме 1.31 форма ?) замкнута,
как сумма двух замкнутых форм. Кроме того, она плотно опре-
определена, так как С^° с: D ([)) в силу предположения о локальной
интегрируемости функции q (х). Поэтому оператор Н = Ти,
ассоциированный с формой Ц, определен и является неотрица-
неотрицательным и самосопряженным.
Исследуем теперь связь между оператором Н и формальным
дифференциальным оператором L. Предположим, что и ? D (Я)
и KCcD(t)) = D ft0) П D (?)')• Тогда
(Ни, v) = i) [и, v] = IH [и, v] + Ц' [и, v] = (и, —Ay) + \ quv dx
D.18)
в силу B.1) и D.15). Следовательно,
(и, — Ли) = [ (Ни — qu)~v dx. D.19)
Здесь функция qu локально интегрируема, так как 2q \ и | ^
^ q -\- q | и |2 и обе функции q и q \ и |2 локально интегрируемы
[заметим, что и ? D (Н) a D (?)')]¦ Следовательно, функция Ни —
— qu локально интегрируема, а из D.19) следует, что
— Дм = Ни — qu, или Ни = —Aw + qu, D.20)
причем оператор А понимается в обобщенном смысле *).
г) Это в точности совпадает с определением оператора -Д е обобщен-
обобщенном смысле; см. И о с и д a [1J [или Владимиров [12*J, Тихонов
и Самарский [43*].— Ред.].
438 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
В этом смысле Н есть дифференциальный оператор L с надле-
надлежащим образом суженной областью определения. Однако трудно
дать полное описание области определения оператора Н без даль-
дальнейших предположенийх) относительно q (х). Заметим, что мы
показали лишь необходимость существования функции Аи в обоб-
обобщенном смысле для того, чтобы и ? D (Н).
Для того чтобы ввести такие предположения, сформулируем
следующую лемму, доказательство которой будет дано ниже.
Лемма 4.5. Пространство Со" (R3) является ядром формы I),
если q (х) ^ 0 и если при некотором р > 0 функция
Mq(x)
= \ \x-y\~i-('\q(y)\dy D.21)
локально ограничена.
В предположениях этой леммы мы можем доказать, что функ-
функция и ? D (I)) принадлежит Т> (Н), если Аи существует в обоб-
обобщенном смысле и Lu = —Аи + qu ? Н. Действительно, для
любого у ? Со°
i) [u, у] = tH [и, у] +Ц [и, v] = (и, — Ду) + J quv dx = ^
= — f Аиуйж+ \ quvdx= tB силу D.15)] (поскольку D.22)
J J Ди существует в обобщен-
— (Lu, v). ном смысле)
Так как Lu ? Н и формула D.22) справедлива для всех у ? С?°,
причем С^° есть ядро формы I), согласно лемме 4.5, то из теоре-
теоремы 2.1 следует, что и ? D (Я) и iJu = Lu.
Эти результаты можно теперь распространить на тот случай,
когда функция q (x) не обязательно неотрицательна. Предполо-
Предположим, что
q = Qi + 12 + q3, D.23)
где qi (x) ^ 0, а функции q2 и q3 не предполагаются знакоопреде-
ленными. Предположим, что функция Mqi (x) локально ограни-
ограничена, а функция Мъ (х) ограничена во всем пространстве R3.
Относительно функции qz мы будем предполагать, что она являет-
является суммой конечного числа слагаемых вида е, \ х — aj |~2, где
сумма всех | е7- | для отрицательных в] (если такие есть) должна
быть меньше чем 1/4.
Теорема 4.6. Пусть Н — оператор в Н, определенный следую-
следующим образом: D (Н) есть множество всех таких и ? Н, что
i) обобщенная производная grad и принадлежит Н' = Н3;
г) Заметим, что в одномерном случае (п. 1) не требовалось никаких
дополнительных предположений. .
§ 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ОПЕРАТОР ШРЁДИНГЕРА 439
ii) I #1 (х) | и (х) [2 dx <C оо; Ш) Дц существует в обобщенном
смысле и Lu — —Аи + qu принадлежит Н; rej»u и ? D (//") /го
определению Ни = Lu. Если функция q удовлетворяет сформули-
сформулированным выше условиям, то оператор Н самосопряжен и ограни-
ограничен снизу.
Доказательство. Определим Н как оператор, ассо-
ассоциированный с замкнутой симметричной формой ?) = ?)о -\- I)' =
= ?)о + i)i + fjg + ^'3+ + V3-i ГДе форма Ьо та же, что и выше
(форма Дирихле), а \)) определяются формулой D.17) с заменой
q на qj, / = 1, 2, 3 (формы ?)'з± определяются положительной
и отрицательной частями функции <jr3)- Как показано выше, формы
tH, t)i и %+ неотрицательны и замкнуты. Основным моментом
в доказательстве замкнутости формы ?) является то, что формы
?)з и ?)д_ ЬH-ограыичены с 1H~гРанями 0 и d<l соответственно.
Отсюда вытекает замкнутость формы ?) так же, как и в доказа-
доказательстве теоремы 4.2. Относительная ограниченность формы ^
может быть доказана с помощью неравенства D.28), которое
будет выведено ниже; так как Мq% (x) ^ const по предположению,
то из D.28) следует неравенство | Ц'2 [и] | ^ const (Д"^о fuJ +
+ Rp~2 || и ||2), где число Z? может быть выбрано сколь угодно
малым. Относительная ограниченность формы fy3 следует из нера-
неравенства
х — а |-2 | и (х) |2 dx < 4 f | grad и (г) |2 dx = Цо lu], D.24)
которое можно доказать так же, как D.6) (используя полярные
координаты с центром в точке а). Нам также потребуется тот факт,
что С™ есть ядро формы Е)о -f Ъ)[ -f §$+, при этом мы можем по-
поступить со слагаемым ?)з+ точно так же, как и с ?)^, используя
вместо неравенства D.28) неравенство D.24). Детали доказатель-
доказательства предоставляется восполнить читателю.
[]3амечание4.7. Ha#i (x) в теореме 4.6 налагается только локаль-
локальное условие, а именно требование локальной ограниченности
функции Mqi (х); единственное условие при | ж | -»- оо состоит
в том, чтобы qi (x) ^ 0.
Замечание 4.8. Теорема 4.6 может быть перенесена без суще-
существенных изменений на случай оператора Шрёдингера в Rm при
wi> 3. Для этого надо лишь показатель степени —1 — р в опре-
определении D.21) функции Mq (х) заменить на 2 — т — р, а оценку
1/4 суммы 2 I ej | для отрицательных е}- в формуле для q3 (x)
заменить на (т — 2J/4. Теперь понятно, почему в одномерном
случае (п. 1) такое условие, как в формулировке леммы 4.5, было
ненужным.
440 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Задача 4.9. Условие леммы 4.5 выполняется, если q (х) локально при-
принадлежит Lp при р > 3/2 и, в частности, локально принадлежит L2.
Доказательство леммы 4.5. Пусть j (х) — функция из CJ°,
такая, что 0 <; j (х) < 1, 7 (ж) = 0 при | х | ^ 1, / (ж) = 1 в некоторой
окрестности нуля и ^* / (ж) dx = 1. Положим /п (ж) = / (xln); jn (х) = 0 при
| х | ^ я и /„ (х) = 1 в окрестности точки ж = 0, которая бесконечно уве-
увеличивается с ростом га.
Пусть и ? Н; положим u.n (ж) = ;'п (ж) и (х); тогда u.n (ж) = 0 при | х | ^
^ и и а„ (i) -»¦ в (i), «-к», при фиксированном я. Поскольку | ип (х) | <;
< | и (х) |, то "п -*¦ » в Н. Если и. ? D (tH), то grad u.n = /n grad и +
+ u grad /n. Ho grad jn (x) = re (grad j) (xln) -*¦ 0 равномерно. Следова-
Следовательно, grad un —>- grad и в Н', так что ип —*¦ и. Если и ? D ({)'), то
s 5)o
д (z) | un (ж) — u (z) |2 ^- 0 при каждом я и д (ж) | uh (x) — и {х) |2 <
^ q (х) | и (х) |2 ? L1 (R3), так что ип —у и. Значит, u.n—>- и, если в f D E) =
= D(ljo)f"] D (if'). Отсюда следует, что множество функций вида ип обра-
образует ядро формы i).
Для того чтобы доказать лемму 4.5, мы должны «сгладить» функции ип
так, чтобы они стали бесконечно дифференцируемыми. С этой целью мы
используем интегральные операторы J\/т с ядрами т)^,т (у — х) =
= mj (т (у — х)). Эти ядра неотрицательны, и интегралы от них по х, так
же как и по у, равны единице; поэтому операторы /j ,m ограничены в любом
из банаховых пространств Lp (R3) или С (R3) (см. пример III.2.11). Мы ут-
утверждаем, что
Ji/mu—>-u, т->- оо, и ? Н. D.25)
Поскольку операторы Jцт равномерно ограничены, достаточпо это
доказать для всех и из плотного подмножества пространства Н, например
для всех и ? С?°. Но это легко сделать ввиду того, что ядра т]^,т (у — х)
равны нулю вне малого шара | х — у \ < 1/т, и интегралы от них по х
равны единице.
Если и ? D (tH), то grad Jl/m и (у) = J m2 (grad ;) (т (у — х)) и (х) dx =
= \ тЦ т (У — х)) Sra(i «* (х) &х ~ Ji/m (grad ") ~*" Sra(l и (в Н'), т -*¦ оо.
Следовательно,
JHmui?- и' т -+ °°> если " ? D (^о)- D.26)
Теперь докажем, что
/1/m"-t", m-*oo, при ugDft); D.27)
для этого нам потребуются предположения леммы. Начнем с неравенства
И ^0\^^и()\^ + НР-2\и(у)\^)\ух\-^Р\(х)\ахау, D.2S)
которое выполняется для любых R > 0 и у ? С1 (R3). Доказательство этого
неравенства будет дано ниже. Предположим, что и (х) ? D A)), и положим
итп = Ji/mun> ип (*) = /и И и (я). Тогда и„ ? D AJ), как показано выше.
и ип (х) = 0 при | х | > я, а значит, ц,^ ? С1?, причем к^п (ж) = 0 при
| а; I ^ га + 1, если т > 1. Положим теперь Л = 1 в D.28) и подставим
§ 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ОПЕРАТОР ШРЙДИНГЕРА 441
итп — Щп'п вместо v. Поскольку v (у) = 0 при | у | ^ п + 1, то интеграл
в D.28) можно брать по области \ х — у \ ^ R, \ у \ ^ п-\- I. Интегрируя
сначала по х и учитывая, что при | у | ^ п -j- 1 значения Мч (у) огра-
ограничены, получаем оценку tf [«,„„ — Щп'ъ) < const (*)о ("mn — «m'J +
-г II Щпп — Щп'п II2) -*- °> т> т' "*• °°> так как Щпп -+ит ян- оо, в силу
1
)
D.26). Форма ^' замкнута; поэтому ип g D (V) и lj' [и„ — г^^] ->- 0, ян- то.
Таким образом, для любого 8 > 0 можно выбрать столь большое н, что
(I) + 1) [и — ип] < е, а затем выбрать такое т, чтобы выполнялось нера-
неравенство (^ + 1) [ип — umn] < е; тогда (f) + 1) [и — umrj < 4e. Поскольку
Щпп 6 <^о°» отсюда следует, что С?° есть ядро формы I).
Доказательство нера в ен с т в а D.28). Начнем с неравенства
к к
Hdr, D.29)
где г = \ х \, vr = dvldr, а интеграл берется по любому фиксированному
лучу, выходящему из начала координат; это неравенство непосредственно
следует из (IV.1.20). Поскольку направление луча произвольно, мы можем
усреднить D.29) по всем направлениям; в результате получим
j \\** D-30>
Поскольку в качестве начала координат можно выбрать любую точку, то
HI^ + -4^if J r-»|"(*)l^, г = |у-*|. D.31)
Вообще, рассмотрим выражение
g(y)= \ r-*f(x)dx, /(г)>0. ••• D.32)
Для любой функции q (x) ^ 0 мы покажем, что
j з (у) 8 (г/J<*у < -~ лр jj '•"pl/(^)l2g(j/)^d(/. D.зз>
Тогда, применяя это неравенство к каждому из двух слагаемых в правой
части D.31) и полагая при этом / (х) = Dл)1 grad v (х) | и / (х) = DлЯ)-11 у (ж) |
соответственно, мы получим D.28). Из D.32) в силу неравенства Шварца
следует, что
g(yJ< f rp~3dx f г-1-°/(гJ^<4яр-1ДР f г'-^г)'*!, D.34>
откуда сразу же получается неравенство D.33).
4. Ограниченные области
Если область Е пространства R3 или Rm, в которой рассматривается
Дифференциальный оператор D.16), ограничена, то могут возникнуть неко-
некоторые трудности, связанные с возможностью наложения различных гранич-
граничных условий. Для того чтобы упростить ситуацию, предположим, что область.
442 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Е открыта, имеет гладкую границу 5Е, и что q (ж) является гладкой функцией
в замкнутой области Е. Тогда так же, как и в п. V.5.1, может быть опреде-
определен минимальный оператор S в Н = La (E), и может показаться, что для
построения самосопряженных операторов по оператору L не нужно привле-
привлекать теорию форм. Тем не менее использование формы lj = lj0 + I)', ана-
аналогичной той, которая рассматривалась в предыдущем пункте (интегриро-
(интегрирование в этом случае должно проводиться по Е), является удобным способом
получения различных самосопряженных продолжений оператора S.
Предположим сначала, что D (f)) = С?° (Е) (множество бесконечно диф-
¦ференцируемых функций на Е с компактными носителями); как и выше,
можно показать, что форма I) плотно определена, симметрична, ограничена
¦снизу и замыкаема. Обозначим эту форму через ^ и положим Hi = Т~.
Ы
Теперь мы расширим область определения формы I) и включим в D (lj) все
¦функции, непрерывно дифференцируемые в замкнутой области Е; получен-
полученная форма, которую мы будем обозначать через 1J, плотно определена,
симметрична, ограничена снизу и замыкаема. Положим Н^ = Т~. Очевид-
но, что Ijj с 1J, так что 1L с 1J. Согласно определению отношения порядка
для самосопряженных операторов, данному в п. 2.5, отсюда следует, что
% > 1J и Hi > Я2.
Определим третью форму 1)8 равенством
^з [и, v] = IJ [и, v] + | ouv dS,
дЕ
D A)з) = D AJ), D.35)
где интеграл берется по границе <ЭЕ, а а — фиксированная гладкая функция,
определенная на ЗЕ. Можно показать, что дополнительное слагаемое в D.35)
%2-ограничено с А2-грапью 0. Доказательство мы опускаем; заметим только,
что утверждение соответствует тому факту в примере 1.36, что форма t3 ti-
ограничена. ^ _
Положим #з = Т~. Отметим, что Ь3 id h4, а значит, 1)з => Ьь так как
граничный член в D.35) равен нулю при и ? D (I)i). Отсюда опять следует,
ЧТО 1)з ^ 1I И #3 ^ -ffl.
Теперь можно показать, что Hit Нг, Н3 — самосопряженные продолже-
продолжения минимального оператора S и сужения максимального оператора S*.
Грубо говоря, каждый из этих операторов есть формальный дифференциаль-
дифференциальный оператор L = —Д + q (x) со следующими граничными условиями на дЕ:
и = 0 для Hi,
. . . !? = 0 для Я2, ;,¦ D.36)
ди
— — Оц = 0 для Я3,
где i9/3n — производная по внутренней нормали, как подсказывает сравне-
сравнение с обыкновенными дифференциальными операторами (см. пример 2.16).
Однако это утверждение нуждается в некоторых комментариях. Функция и
из области определения любого из этих операторов не обязана быть диффе-
дифференцируемой в обычном смысле, оператор La нужно понимать в обобщенном
¦смысле; соответствующим образом следует интерпретировать граничные усло-
условия D.36). Во всяком случае легко видеть, что функция и с непрерывными
вторыми производными в Е, удовлетворяющая граничному условию
§ 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ОПЕРАТОР ШРЁДИНГЕРА 443
ди/дп = О, принадлежит D (Нг) и И2и = Lu. Для этого нужно лишь
проверить, что 1J [и, v] = {Lu, v) для всех v ? D (iJ) (см. теорему 2.1);
здесь мы имеем дело только с гладкими функциями, и потому трудностей
не возникает.
Эти результаты можно обобщить, вводя форму
з
Е j,h=l дЕ
где(рд (х)) — симметричная C X 3)-матрица, элементами которой являются
вещественные гладкие функции переменной х, причем предполагается, что
эта матрица равномерно положительно определена; это означает, что суще-
существуют числа а, |3 ]> 0, такие, что
з'Л
для всех комплексных векторов (Ij, |2, Es)- Неравенство D.38) эквивалентно
тому условию, что собственные значения симметричной матрицы (р_^ (х))
лежат между а и р\ Заметим попутно, что эти собственные значения являются
гладкими функциями переменной х\ это следует из теории возмущений для
симметричных операторов (см. п. II.5.5).
Из D.38) вытекает, что форма I) из D.37) сравнима с прежней формой 1)
в том смысле, что каждая из них ограничена относительно другой, так что
они, так же как и их замыкания, имеют одинаковые области определения.
(Как и прежде, мы должны различать три различные формы ijn, п = 1, 2, 3.)
Таким образом, мы пришли к самосопряженным операторам Нп, и = 1, 2, 3,
которые формально совпадают с одним и тем же дифференциальным опера-
оператором
•¦-. L"=-S^(*)?+*H" <> D.39)
с различными граничными условиями. Последние аналогичны условиям
D.36), но отличаются тем, что д/дп означает дифференцирование по направ-
направлению конормали, которая определяется функциями (pj^ (x)).
Одно из преимуществ рассмотрения форм t)n состоит в том, что, как было
указано выше, замыкания форм i)n имеют такие же области определения,
как в частном случае р^ (ж) = 6^, а значит, не зависят от коэффициентов
Pjh (ж)> ? (ж) и с (х) при условии, что матрица (р^ (х)) равномерно положитель-
положительно определена ж q (х), а (х) — гладкие функции. В общем случае не существу-
существует простой связи между областями определения операторов Нп при различ-
различных выборах коэффициентов.
Однако более глубокая теория дифференциальных операторов х) пока-
показывает, что зависимость областей определения операторов Нп от коэффи-
коэффициентов pjk (x) и т. д. определяется исключительно зависимостью граничных
условий от этих величин. Свойства функций u f D (Нп) во внутренних точках
одинаковы для всех и и не зависят от pj^ (x); самым важным фактом здесь
является то, чтобы обобщенные производные второго порядка функции и
принадлежали IA Обращаясь к рассмотренным выше граничным условиям,
мы видим, что условие Дирихле (и = 0 на дЕ) не зависит от pjk (х) и q (x).
Следовательно, D {Нх) не гависит от коэффициентов рд (х) и q (x).
См., например, Лионе
444 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
§ 5. Спектральная теорема и возмущение
спектральных семейств
1. Спектральные семейства
Пусть {М (к)} — неубывающее семейство г) замкнутых под-
подпространств гильбертова пространства Н, зависящее от веще-
вещественного параметра к 6 (—°°, °°), причем пересечение всех
М (к) содержит лишь 0, а их объединение плотно в Н.
Тогда для любого фиксированного к пересечение М (Я + 0}
всехМ (Я')сЯ'> к содержит М (Я). Аналогичном (к) эМ(^-О),
где М (к — 0) — замыкание объединения всех М (к') с к' < к.
Будем говорить, что семейство3{М (к)} непрерывно справа в точке Я,
если М (к + 0) = М (к); непрерывно слева, если М (к — 0) =
= М (Я), и непрерывно, если оно непрерывно справа и слева,
Как легко видеть, семейство {М (к + 0)} обладает теми же свой-
свойствами, что и {М (к)}, и, более того, оно всюду непрерывно справа.
Эти свойства могут быть сформулированы как свойства семей-
семейства {Е (к)} ортогональных проекторов на М (к). Имеем
Е (к) не убывает: Е (к1) < Е (к") при к' < к", E.1)
s- lim Е (к) = 0, s: lim Е {к) = 1. E.2)
Я *-»¦ — оо )i—i--\-oo
Свойство E.1) эквивалентно равенству
Е (к) Е ([х) = Е (ц) Е (к) = Е (min (к, ц)). E.3)
Семейство {Е (к)} ортогональных проекторов, удовлетворяющее
условиям E.1) и E.2), называется спектральным семейством или
разложением единицы.
Проекторы Е (к ± 0) на М (к ± 0) задаются формулой
Е (к ± 0) = lim E {к ± г). E.4)
е-Ч-0
Таким образом, семейство {М (к)} непрерывно справа (слева)
тогда и только тогда, когда семейство {Е (к)} сильно непрерывно
справа (слева). Обычно спектральное семейство предполагается
всюду непрерывным справа:
Е (к + 0) = Е (к), -со < к< +оо; E.5)
мы будем следовать этому соглашению. В любом случае семей-
семейство {Е (к + 0)} всюду непрерывно справа.
Спектральное семейство {Е (к)} называется ограниченным сни-
снизу, если Е (\i) = 0 для некоторого конечного ц [тогда тем более
х) То естьМ(Х') с М(Я") при к'<Х". ...
§ 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 445
Е (к) = 0 при к < ц]. Наименьшая верхняя грань всех таких (я
называется нижней гранью семейства {Е (к)}. Аналогично семей-
семейство {Е (к)} ограничено сверху, если Е (ц) = 1 для некоторого
конечного [i; соответственно определяется верхняя грань. Заме-
Заметим, что оператор Е (к) не обязан быть нулевым, если к — нижняя
грань, тогда как Е (к) = 1, если к — верхняя грань; это объяс-
объясняется принятым нами соглашением E.5).
Для любого полуоткрытого интервала I = (к', к"] веществен-
вещественной оси положим
Е (I) = Е (к") — Е (к1); E,6)
оператор Е (I) является проектором на подпространство М (I) =
= М (к") 0 М (к') 1). Если два таких интервала It и 12 не имеют
общих точек, то подпространства М A0 и М A2) ортогональны;
действительно, если Ij лежит слева от 12, то М A2) = М (к) Q
0 М (к'2) X М (k'z) гз М (k"{)zD M (It). Соответствующее утвержде-
утверждение для проекторов состоит в том, что
Е (It) E (I2) = E (I2) E A0 = 0 E.7)
.для непересекающихся It, I2; это также можно проверить непо-
непосредственно, используя E.3).
Проектором на М (к) Q М (к — 0) является оператор
Р (к) = Е (к) — Е {к- 0). E.8)
Как и выше, получим
Р (к) P([i)=P (ц) Р(Х) = 0 . : '• E.9)
при к =Ф [I. Неравенство Р (к) =Ф 0 выполняется тогда и только
тогда, когда Е (к) имеет разрыв в точке к. Если пространство Н
сепарабельно, то ортогональная система ненулевых проекторов
не более чем счетна. Следовательно, в сепарабельном пространстве
Е (к) имеет не более чем счетное множество точек разрыва.
Если множество S является объединением конечного числа
интервалов вещественной оси (открытых, замкнутых или полу-
полуоткрытых), то оно может быть представлено как объединение
непересекающихся множеств вида I = (к', к"] или {к}. Опреде-
Определим Е (S) как сумму соответствующих Е (I) и Р (к); легко видеть,
'что Е (S) обладает таким свойством: Е (S') E (S") = Е (S' П S").
¦Функция Е (S) называется спектральной мерой на классе всех
множеств S описанного вида. Эту меру Е (S) можно распростра-
распространить на класс всех борелевских множеств S вещественной оси
с помощью стандартной конструкции, используемой в теории
меры.
х) Множество М Q N = MfjN-'- является ортогональным дополнением
к N в М (см. п. 1.6.3). . . • ' -
446 ГЛ. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Для любого и 6 Н скалярное произведение (Е (к) и, и) являет-
является неотрицательной, неубывающей функцией от к, которая стре-
стремится к нулю при X ->¦ —оо и к || и ||2 при X ->¦ +оо. Для любых
и, v ? Н полярная форма (Е (X) и, v), согласно формуле A.6.26),
может быть представлена в виде линейной комбинации функций
вида (Е (X) и>, w). Следовательно, комплекснозначная функция
(Е (к) и, и) переменной X имеет ограниченную вариацию. В этом
можно убедиться более непосредственным образом. Для любого
I = (X', X"] имеем
| (Е (X") и, v) - (Е (X') u,v)\=\(E (I) и, у) | =
= ! (Е (I) и, Е (I) v) ! <
< || Я (I) и || || ? (I) у ||. E-Ю)
Если Ij, . . ., In — система непересекающихся интервалов ука-
указанного вида, то
S | (Е (I,) и, v) |< ? || Е (lj) и || || Е (I,) v || <
i
\2j ^ \\j) ui u) Bл " (i/j yi v) ^ II w II I! y II- (o>.ll/
Таким образом, полная вариация функции (Е (X) и, v) не пре-
превосходит || и || || v ||.
Точка Я, = а называется точкой постоянства спектрального
семейства {Е (X)}, если функция Е (X) постоянна в окрестности а:
Е (а + е) = Е (а — е), е> 0. Точка а в этом случае является
внутренней точкой максимального интервала, в котором функция
Е (X) постоянна. Множество всех точек, не являющихся точками
постоянства, называется носителем спектрального семейства Е (X)
[или спектральной меры Е (S)]. Спектральное семейство {Е (X)}
ограничено снизу (сверху) тогда и только тогда, когда его носи-
носитель ограничен сверху (снизу).
2. Самосопряженные операторы,
порождаемые спектральным семейством
Любое спектральное семейство {Е (X)} порождает самосопря-
самосопряженный оператор Н, который определяется формулой
#= \ %dE(X); E.12>
§ 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 447
D (Н) есть множество всех и ? Н, таких, что х)
кЧ{Е{к)и, ц)<оо. E.13)
Для таких м- скалярное произведение (Ни, v) определяется фор-
формулой
00
(Ни, и)= j kd(E(k)u, v), v^. E.14)
— оо
Сходимость интеграла в E.14) следует из оценки E.10), которую
можно представить в виде | d (E (к) и, v) \ ^ [d (E (к) и, и) X
X d (E (к) v, у)]1/2, условия E.13) и неравенства Шварца. Очевид-
Очевидно, что Н — симметричный оператор. Его самосопряженность
будет доказана ниже. Отметим, что
оо
|| Ни ||2 = {Ни, Ни) = \Ы(Е (к) и, Ни) =
— оо
;' ОО ОО
= j Ых j [idp, {Е (к) и, Е (ц) и) =
— оо — со
оо оо оо
= f %di. \ \id(E(n)u, u)= \ кЧ{Е(к)и, и) E.15)
¦ — оо — оо — оо
при и 6 D (Н); здесь была использована формула E.3). Обобщая
данную конструкцию, мы можем аналогичным образом опреде-
определить операторы
со
ф(Н)= j <f,(k)dE{k). E.16)
— оо
Формула E.14) соответствует частному случаю ф (к) = к. В опре-
определении E.16) ф (к) может быть любой комплексной непрерывной
функцией 2). Если функция <? (к) ограничена на носителе 2 спек-
спектрального семейства {Е (к)}, то условие, соответствующее усло-
условию E.13), всегда выполнено, так что D (ф (Н)) = Н и оператор
х) Интегралы в E.13) и E.14) являются интегралами Стилътъеса с не-
непрерывными подинтегралышми функциями к и Я2.
2) Можно рассматривать функции ф более общего вида, но тогда инте-
интеграл (Ф{Л) и, v) = J ф (к) d (E (X) и, v) нужно брать в смысле Радона —
Стильтьеса. Относительно деталей см., например, Стоун [1J.
448 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
ф (Я) ограничен [ср. с E.15)]:
|| ф (Я) || < sup | ф (X) |. ( E.17)
Итак, оператор ф (Я) принадлежит Я (Н). Далее, оператор
<р (Я) нормален. Это следует из общих соотношений
ф (Я)* = ф (Я), если ф (X) = ф (X); E.18)
= ф, (Я) ф2 (Я), если ф (X) = ф, (X) ф2 (X); E.19)
ф (Я) = а,ф, (Я) + а2ф2 (Я),
если ф (X) = а^! (X) + агфг (X), ( ™
где функции ф, ф1 и ф2 предполагаются ограниченными на 2.
Доказательства формул E.18) и E.20) просты. Формула E.19)
может быть доказана с помощью вычислений, аналогичных про-
проведенным в E.15). Эти соотношения оправдывают обозначение
ф (Я) для оператора E.16).
Важным частным случаем является функция ф (X) = (X — V)'1,
где Z, — число с ненулевой мнимой частью. Оказывается, что соот-
соответствующий этой функции оператор ф (Я) является резольвен-
резольвентой (Я — ?)"*, откуда следует самосопряженность оператора Я.
Для доказательства прежде всего заметим, что ф (Я) (Я — Q и =
= и при и ? D (Я); это опять легко получить с помощью вычисле-
вычислений, аналогичных проведенным в E.15). Отсюда следует, что
ф (Я) id (Я — Q. С другой стороны, любой элемент и ? R (ф (Я))
удовлетворяет условию E.13) ввиду того, что функция X (X — ?)-1
ограничена [здесь снова используются такие же вычисления,
что и в E.15)]. Следовательно, (Я — Q = ф (Я), что мы и хоте-
хотели показать.
Функция (Я — 1)~1 = \ (X — t,)'1 dE (X) определена и при-
принадлежит $8 (Н) не только при Z, с ненулевой мнимой частью,
но также и при любом вещественном ?, являющемся точкой
постоянства для Е (X), так как при X 6 2 значения функции
(X — ?)~х ограничены. Следовательно, такие ?, принадлежат
резольвентному множеству Р (Я), а значит, 2 (Я) cz 2. В дей-
действительности 2 (Я) = Б. Для доказательства заметим, что
со
||(#-,1)И||а= j (X-\ifd{E(X)u, и), u,eD(H), E.21)
— оо
в чем можно убедиться, применяя равенство E.15) к Я — ц.
Если ^б^, то Е' = Е (\к + е) — Е (\i — г) Ф 0 для любого
е> 0. Следовательно, существует и^=0, такое, что Е'и = и,
откуда Е (ц, — .е) и = 0 и Е (ц, + е) и = и. Поэтому из E.21)
§ 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ' 449
Ц-гЕ
получаем, что |[ (Я — \i) и ||2 = I ^ е2 |j и ||2. Поскольку такое
и существует для каждого е> 0, [i не принадлежит Р (Я). Таким
образом, Не 2 (Я), а значит, 2=2 (Я).
Из E.21) следует также, что (Я — \i) и = 0 тогда и только
тогда, когда функция (? (Я) ц, и) постоянна в окрестности любой
точки, кроме точки X = ц, где она имеет такой разрыв, что
Е (\i) и = и, Е (ц — 0) и = 0. Следовательно, \i является соб-
собственным значением оператора Я тогда и только тогда, когда
р (|я) ^= 0, аи является соответствующим собственным вектором
тогда и только тогда, когда Р (\i) и = и.
Для операторов ф (Я) может быть построено операторное
исчисление. Если функция ф (X) неограничена, то и оператор
ф (Я), вообще говоря, неограничен; множество D (ф (Я)) состоит
из всех и ? Н, таких, что \ | ф (к) |2 d (E (К) и, и) < со. Если
не требовать ограниченности функций ф, ф1, ф%, то формула E.18)
остается справедливой, тогда как E.19) и E.20) нужно, вообще
говоря, заменить следующими соотношениями:
ф (Я) zd ф, (Я) ф2 (Я), ф (Я) =э а1ф4 (Я) + а2ф2 (Я). E.22)
Однако равенство E.19) справедливо и тогда, когда обе функции
ф2 и ф\ф2 = Ф ограничены на 2.
Задача 5.1. Все операторы Е (Я) и Е (X — 0) коммутируют с Н, или, что
эквивалентно, подмножества М (Я) и М (Я — 0) приводят Н.
Задача 5.2. Объединение областей значений М ((х) О М (Я) операторов
?¦([!) — Е (Я) по всем Я, удовлетворяющим условию —оо <Я<[х< оо,
является ядром оператора Н.
Задача 5.3. Неравенство Н ^ у выполняется тогда и только тогда,
когда Е (у — 0) = 0.
ОО
Задача 5.4. Если И > 0, то Я1/2 = J Я1/2 dE (Я).
о
Задача 5.5. Если Hi > Я2 в смысле п. 2.5, то dim Ei (Я) ^ dim i?2 (Я)
(обобщение теоремы 1.6.44) 1).
Мы показали, что любое спектральное семейство {Е (X)}
определяет по формуле E.12) самосопряженный оператор Я.
Покажем теперь, что различные спектральные семейства приводят
к различным самосопряженным операторам. Для этого достаточно
вывести явную формулу для определения Е (X) по оператору Я.
х) Если пространство Н конечномерно, то функция Е (Я) чисто разрыв-
разрывна по Я; множество ее точек разрыва совпадает с множеством собственных
значений оператора Н.
29 т. Като
450 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Определим оператор
\Н\= j \k\dE(k) = j kdE(k)- j ЫЕ{к), E.23)
— оо 0 — оо
причем D (| Н j) == D (Я). Легко видеть, что оператор j Н \
самосопряжен и неотрицателен и что N (| Н |) = N (Я) =
= R (Р @)). Легко также видеть, что \ Н \ и = Ни, если Е @) и =
= 0, и | Я | ц = —Яи, если и = Е (—0) и. Следовательно,
Я = [1 - ? @) - ? (-0)] | Я |. E.24)
Но оператор /7 = 1 — Е @) — ? (—0) обладает тем свойством
что Uu = 0 при и 6 N (Я) = R (Р @)), и || ?/ц || = || и ||, если
Р @)и = 0. Таким образом, формула E.24) является в точности
полярным разложением оператора Н (см. п. 2.7), которое одно-
однозначно определяет операторы | Н j и U по оператору Я.
Заменяя в этом рассуждении Я на Я — Я, мы получаем, что
оператор
U (X) = 1 — Е (к) — Е (к — 0) E.25)
есть однозначно определенный частично изометричный оператор,
участвующий в полярном разложении Я — к = ?/ (Я,) \ Н — к \
оператора Я — к. Поскольку из E.25) следует, что
E(\)=l-±[U(\) + U(W], E.26)
то Е (к) Допределен по оператору Я.
Приведенное выше определение оператора U (Я), однако,
не является явным. Явную формулу дает ' .
Лемма 5.6. Справедливо равенство
s-limUStP(k) = U(k)=l-E(k)-E(X—uji ,' E.27)
в->о
р->0
где ¦'""* - ¦ ¦ : . .••.-¦
{ Мг1, E.28)
Доказательство. Равенство E.27), очевидно, выпол-
выполняется для любого элемента и g R (Р (к)) = N (Я — к), так как
в этом случае ?/б,Р (к) и = 0 тождественно и A — Е (к) —
— Е (к — 0)) и = 0. Поэтому достаточно доказать, что это равен-
равенство выполняется для любого элемента и 6 М (к — 0) или и 6
§ 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 451
? М (Я,)-Ц так как рассмотрение обоих этих случаев проводится
.аналогично, то мы можем предположить, что и ? М (А,)-Ц т. е.
Е (к) и = 0, и доказать, что
U&,p (X) и -»- и = A - Я (Я,) - Е (к - 0)) а. E.29)
Далее, легко видеть, что
и6<р(Х) = ф6,рЛ(Н), E.30)
где
р
, . , 2 f ц—Я ,
Таким образом, | фв.рд (|а) I ^ 1, откуда следует неравенство
II ^б,р (Я.) || ^ 1. Поэтому для того, чтобы доказать формулу
E.29) при Е (К) и = 0, достаточно показать, что она справедлива
для любого и, такого, что Е (X + е) и = 0 при некотором е> О
[множество таких и плотно в М (%)-L ]. Имеем
00
(?/б, р (к) и, и) = f фв, Pi я, ([х) d (^ (ц) и, w)->- -
, и) = (м, м), б->-0, р->оо,
так как <?>а,рд (|а) ->- 1 равномерно при \i ^ Я, + е. Поэтому
|| ?/в)Р (Я.) и — и [|2 =
= || ?/б,р (X) а Ц1 + || и ||2 - 2Re (f/e>p (Я,) и, и)<
<2 || м. ||2 - 2Re (f/6,p {%) и, и) -»- О,
что и доказывает E.29).
Задача 5.7. Для любых вещественных Я и jx, таких, что X <; jt, спра-
справедливо равенство
4- [Е (ц) — Е(а — О)] —i- [E (%) + Е (Я—0)] =
= s-lim -^— [ (Я —?)-id?, E.32)
где Ге — объединение двух спрямляемых кривых г? и Ге> которые опре-
определяются следующим образом: Ге — любая кривая в верхней полуплоскости
с началом в (х + is и концом в X -f- is; Гё — любая кривая в нижней полу-
полуплоскости с началом в X — ie и концом в (х — ге.
Задача 5.8. Оператор А ? J) (H) коммутирует с оператором Я тогда
и только тогда, когда он коммутирует с Е (Я) при любом Я. В частности,
подпространство М пространства Н приводит Н тогда и только тогда, когда
29*
452 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
ортогональный проектор Р на подпространство М коммутирует с Е (к) при
любом к. Это в свою очередь верно тогда и только тогда, когда подпростран-
подпространство М инвариантно относительно Е (к) при любом к.
Задача 5.9. Пусть Н = | к dE (к); тогда к g P (Н) в том и только том
случае, когда Е (к + е) — Е (к — е) = 0 при некотором е > 0, и к ? 2 (Я)
тогда и только тогда, когда Е (к + е) — ? (X — s) =^= О при любом е > 0.
3. Спектральная теорема
Мы показали выше, что каждое спектральное семейство {Е (X)}
определяет по формуле E.12) самосопряженный оператор. Спек-
Спектральная теорема утверждает, что любой самосопряженный опе-
оператор Н допускает представление E.12) с помощью спектрального
семейства {Е (А.)}, которое однозначно определяется операторомН.
Если провести в обратном порядке рассуждения предыдущего
пункта, то мы получим естественное доказательство спектральной
теоремы. Определим Е (X) формулой E.26), где U (X) — частично
изометричный оператор, возникающий при полярном разложе-
разложении И — X = U (X) \ Н — X | оператора Н — X. Мы должны
показать, что операторы Е (X) образуют спектральное семейство
и что оператор Н, определяемый формулой E.12), совпадает
с данным оператором Н.
Отметим прежде всего, что Е (X) = 1 — Р+ (X) = Р_ (X) +
+ Ро (X), где Р+ (X), Ро (X) совпадают с Р±, Ро из B.29), если
в этих формулах Н заменить на Н — X, Следовательно,
((Я — X) и, и) < 0 при и е D (Я) П М (X), где М (X) = R (Е (X)).
Если (г > X, то для таких и заведомо ((Н — (г) и, и)^0. По-
Поскольку М (X) приводит оператор Н (см. п. 2.7), из леммы 2.38
следует, что М (X) cz M (fi), а это эквивалентно условию E.1).
Таким образом, {Е (X)} является монотонным семейством
проекторов; отсюда следует, что существуют сильные пределы
Е (±°°) = s-lim Е (X) [ср. с E.4)]. Поскольку все М (X)
Х-^ ±оо
приводят Н, то подпространства М (±°°) = R (Е (±°°)) также
приводят Н и множество D (Н) П М (±°°) плотно в М (±°°)-
Пусть и 6 D (Н) П М (—оо). Тогда и 6 М (X) при любом X, так
что ((Н — X) и, и) ^ 0 при всех X < 0. Следовательно, (и, и) ^
^ X'1 (Ни, и) при всех X < 0, и элемент и должен быть равен
нулю. Этим доказано, что М (—оо) = 0, или Е (—оо) = 0. Анало-
Аналогично можно доказать, что Е (оо) = 1.
Таким образом, мы показали, что {Е (X)} — спектральное
семейство. Осталось показать, что это семейство непрерывно
справа. Оператор Е (X + 0) является проектором на М (X + 0) —
пересечение семейства {М (fi)} при [i> X. Поскольку каждое
из множеств М (ц.) приводит Н, этим же свойством обладает мно-
множество М (X + 0). Для каждого и 6 D (Я) |~| М (X + 0) справед-
§ 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА . . 453
ливо неравенство (Ни, и) ^ fi (и, и) при любом ц> X, так что
(Ни, и) ^ А, (и, и). Из леммы 2.38 следует, что М (X + 0) с: М(А,)-,
поэтому Е (X + 0) ^ Е (X). Поскольку справедливо и противо-
противоположное неравенство, имеет место равенство Е (X + 0) = Е (X).
В заключение мы должны показать, что самосопряженный
оператор Н' = \ X dE (X) совпадает с Н. Поскольку оба операто-
оператора Н и Н' являются самосопряженными и поскольку объедине-
объединение областей значений М (X, fi) = М (ц) 0 М (X) операторов
Е (\х) — Е (X) является ядром оператора Н' (см. задачу 5.2),
достаточно доказать, что М (X, \а) с: D (Я) и Ни = Н'и при
С этой целью мы заметим сначала, что множество М (X, fi) при-
приводит оператор Н и что X (и, и) ^ (Ни, и) ^ [i (и, и) при и 6 D' =
= М (X, fi) П D (//). Таким образом, /7 ограничен на подмноже-
подмножестве D'. Поскольку это подмножество плотно в М (Я, fi), оно
должно совпадать с М (X, fi) в силу замкнутости Н. Другими
словами, справедливо включение М (X, fi) a D (Н). Поскольку
Н имеет на М (X, |л) верхнюю грань fi и нижнюю грань X, норма
оператора Н — (X + [х)/2 равна (fi — Х)/2.
Разделим теперь интервал I = (X, fi] на п равных подинтер-
валов 1Ь . . ., 1„; пусть Хк — средняя точка интервалов Ife, к =
== 1, . . ., п. Определим Е (lk) по формуле E.6) и положим uk =
= Е (Ift) и. Имеем: и = щ + . . . + ип и все uk взаимно орто-
ортогональны. Каждое множество Е (Ife) Н приводит Н; поэтому Huk
принадлежит Е (lh) Н. Значит, векторы (Н — Xk) uk также взаим-
взаимно ортогональны. Кроме того, || (Н — Xk) uk || ^ (\i — X) || uk \\/2n,
согласно сделанному выше замечанию. Таким образом,
2Xk)uh\\^^^^\\uh\\^^^\\u\\\ E.33)
ft ft
Переходя к пределу при п ->оо, получаем, что2 Е (lh) и = Ни. Отсю-
h
да следует, что (Н'и, v) = f X (dE (X) и, v) = lira 2 ^fe (E (lk) u> v) =
ft
= (Hu, v) для всех у^Н, а значит, Ни —Ни, что мы и хотели
показать.
4. Теоремы об устойчивости для спектральных семейств
Спектральное семейство {Е (X)}, порожденное данным само-
самосопряженным оператором Н, является весьма важным объектом,
и потому естественно напрашивается вопрос, является ли зави-
454 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
симость Е (к) от И непрерывной в том или ином смысле *). Ясно,
что, вообще говоря, ответ на этот вопрос отрицателен, так как
даже в случае конечномерного пространства Н спектральное
семейство Ем (к) оператора Н% = И + х будет разрывным при
тех значениях х, для которых Н -\- х имеет к своим собственным
значением.
Однако такая разрывность спектрального семейства Е (к)
как функции оператора Н по своей природе связана с разрывно-
разрывностью Е (к) как функции к. Разумно ожидать, что Е (к) будет
изменяться непрерывно с изменением Н, если к — точка непре-
непрерывности спектрального семейства {Е (к)}. Однако оказывается,
что это может быть так, а может быть и не так в зависимости
от того, в каком смысле мы будем понимать «непрерывность» 2).
Простейший результат такого рода можно получить, рассма-
рассматривая случай, когда 2 (Н) имеет лакуны в точках к = а и к = (i,
а < Р (см. п. V.3.5). В этом случае аир являются точками посто-
постоянства спектрального семейства {Е (к)}. Из E.32) следует, что
H-trdt, E.34)
где Г — например замкнутая положительно ориентированная
окружность с диаметром, соединяющим аир. Оператор E.34)
есть в точности ортогональный проектор Р на подпространство М',
соответствующее части 2' множества 2 (Н), заключенной внутри Г
[см. (V.3.18)]. Мы знаем, что такая часть 2' спектра полунепре-
полунепрерывна сверху и что проектор Р изменяется непрерывно при непре-
непрерывном изменении Н в смысле обобщенной сходимости (см. теоре-
теорему IV.3.16). Таким образом, доказана
Теорема 5.10. Пусть оператор Н самосопряжен, и пусть его
спектр 2 (Н) имеет лакуны в точках а, р (а <С Р). Тогда суще-
существует такое б > 0, что для любого самосопряженного операто-
оператора Н', удовлетворяющего условию б (Н', Н) < б, 2 (Н') имеет
лакуны в точках а, р и
|| IE' (р) - Е' (а)] - [Е (р) - Е (а)] || + 0, E.35)
если б (#',Я)-»-0.
Замечание 5.11. Если Н' = Н -\- А, где А — симметричный
и Н — ограниченный оператор с малыми коэффициентами а и Ъ
в (V.4.1), то б (Н', Н) мало (см. теорему IV.2.14). Кроме того
1) В последующем через {Е (X)}, {?" (К)}, {Еп (Я)} и т. д. обозначаются
спектральные семейства самосопряженных операторов Н, Н', Еп и т. д.
2) В этом пункте речь идет о непрерывности Е (к) по норме. Непрерыв-
Непрерывность Е (X) в сильном смысле будет рассмотрена в гл. VIII. ____
§ 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА .<¦/• 455
в этом случае Н' ограничен снизу, если Н ограничен снизу (см. тео-
теорему V.4.11), и нижняя грань оператора Н' стремится к нижней
грани оператора Н, когда а, Ь -*- 0. Поэтому, если а достаточно
мало (алгебраически), то Е' (а) = Е (а) — 0 в E.35). Таким
образом, || Е' (Р) — Е (Р) || ->- 0, а, Ь ->- 0, если 2 (Я) имеет
лакуну в точке (J. Замечателен, однако, тот факт, что это утверж-
утверждение верно, даже если Н не является полуограниченным. А имен-
именно справедлива
Теорема 5.12 *). Пусть оператор Н самосопряжен, и пусть
Ап — симметричные и Н-ограниченные операторы: \\ Апи || ^
< «п II и || + Ьп || Ни ||, и 6 D (Я) с D (Ап), где ап-+0,Ъп-+0
при п ->¦ оо. Тогда при достаточно больших п операторы Нп =
= /7 + Ап являются самосопряженными и Нп -^- Н в обобщен-
обобщенном смысле. Если 2 (Н) имеет лакуну в точке р, то и 2 (//„)
имеет лакуну в точке р ирм достаточно больших п, причем
|| Еп (Р) — Я (Р) || ->¦ 0, ког5а и ->¦ оо.
Дальнейшим обобщением этой теоремы является2)
Теорема 5.13. Пусть Н — самосопряженный, а Ап — симме-
симметричный оператор, причем D (An) cz D (Н). Предположим, что
\(Anu,u)\^an{u,u) + bn{\H \u,u), ^DD), E.36)
где ап, Ъп —*¦ 0. Если при каждом п множество D (Ап) является
ядром оператора \ Н |1/2, то при достаточно большом п опреде-
определено псевдопродолжение по Фридрихсу Нп оператора Н + Ап,
и Нп ->Яв обобщенном смысле. Если 2 (Н) имеет лакуну в точ-
точке р, то и 2 (Нп) при достаточно больших п имеет лакуну в точ-
точке р и ||Я„(Р)-Д(Р) II-» 0, гс-^оо.
Доказательство. В следствии 3.12 было доказано,
что операторы Нп существуют и Нп -*-Яв обобщенном смысле.
Для упрощения доказательства заметим, что оператор | Н \
в правой части неравенства E.36) можно заменить на \ Н — Р |
(при этом, возможно, ап и Ъп изменятся), так как (| Н \ и, и) ^
^ | Р | {и, и) -\- (| Н — Р | и, и), согласно B.28). Это означает,
что мы можем без ограничения общности положить р = 0. В этом
случае | Н | имеет положительную нижнюю грань, так что мы
можем далее положить ап = 0, изменяя, если это необходимо, Ъп.
Тогда в конструкции псевдопродолжения по Фридрихсу, приве-
приведенной при доказательстве теоремы 3.11, мы можем положить
*) Эта теорема была доказана Хайнцем [1]. Доказательство более
общей теоремы 5.13, данное ниже, принадлежит в основном X а й н ц у.
а) Заметим, что неравенство E.36) выполняется, если операторы Ап
Я-ограничены, как и в теореме 5.12 [положим D (Ап) = D (Н) и восполь-
воспользуемся результатом задачи 3.14].
456 Гл. VI. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
6 = 0, так как число б было введено для того, чтобы И' имел
положительную нижнюю грань. При этих упрощениях восполь-
воспользуемся обозначениями из доказательства теоремы 3.11; в частно-
частности, И' = | Н |.
Далее, из C.22) следует, что
i[-CnK{Q,V>G'-i, . E.37)
p=i
где
К | g| = H'R (g) = | H | (H - g)-1. E.38)
Из обобщенной сходимости Нп -*¦ H следует, что 2 (Нп)
имеет лакуну в точке р (см. теорему IV.2.25). Таким образом,
по лемме 5.6 имеем
1 - 2Еп @) = Un @) = s-lim -i- f Rn (ir\) di\
7J-»-00 J ; 'i
-P
и аналогичное выражение для 1 — 2Е @). В силу E.37) для любых
и, Н
- 2п ([Я„ @) - Е @)] и, ») = lira С ([ Д„ (гт]) Д (it])] u, ») dt, =
р->оо J
-р
р оо
= lim \ G'-^K {щ) У, [ - СпК (щ)]р G'~4, v) di\. E.39)
Оценим последний интеграл. Имеем: || К (щ) \\ = || | И | (Н — щ)'1 || <
<;1. Поскольку || Сге |К^&П, согласно C.20), то подинтегральная
функция в правой части E.39) мажорируется рядом
оо
2 Ь11| К (it]) G'-^u || || К (Щ* G'-iv || =
= -[~Ь-\\ G'R(ir\)u\\ \\G
(с учетом того, что | Н \ = //' = G'2).
Следовательно, интеграл в E.39) не превосходит числа
00
\G'R(iT))u\f d4))i/2 ( \ ]\G'R ( — щ)и\\2с
§ 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ' 457
Но
|| G'R (ir\) и ||а = {G'W (щ) R(-i4)u,u) = (\H\ (Я2 + п2) Щ и)г
оо оо ..
\ \\G'R(ir\)u\\2dr]
[см. (V.3.43); нужно также учесть, что \ Н \ = (Я2I/2 по опреде-
определению]. Следовательно,
или
Замечание 5.14. Если Яп ->¦ Н в обобщенном смысле, то не
обязательно || ^д (Р) — Е (Р) [[->- 0. Контрпримером является
пример V.4.14, где оператор Т (к) самосопряжен при веществен-
вещественных х, и dim Ек @) = 1 при 0<и< 1 (так как Т (х) имеет
одно отрицательное собственное значение), но Ео @) = 0 (так как
оператор Т @) положителен).
ГЛАВА VII
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Теория аналитических возмущений исторически явилась исходным раз-
разделом теории возмущений. Эта теория изучает главным образом поведение
изолированных собственных значений и соответствующих собственных век-
векторов (или собственных проекторов) оператора, голоморфно зависящего
от параметра.
Мы уже рассмотрели эту задачу в том частном случае, когда основное
¦пространство конечномерно. По сравнению с этим частным случаем в общем
случае с формальной точки зрения мало нового. Как только введено понятие
голоморфной зависимости (вообще говоря, неограниченных) операторов
от параметра, нетрудно показать, что результаты, полученные в конечно-
конечномерном случае, можно без существенных изменений перенести на общий
случай.
Таким образом, основной задачей этой главы является определение
голоморфных семейств операторов и отыскание достаточных условий голо-
голоморфности. Общее определение голоморфности можно ввести естественным
образом в рамках теории обобщенной сходимости, построенной в гл. IV.
Существует несколько полезных критериев голоморфности. В соответствии
с этим мы рассматриваем различные типы голоморфных семейств: (А), (В),
(Во) и (С). Тип (А) определяется через ограниченность возмущения относи-
относительно невозмущенного оператора. Тип (В) определяется для гильбертова
пространства в терминах голоморфного семейства полуторалинейных форм,
причем возмущающая форма ограничена относительно невозмущенной
формы. Тип (Во) является частным случаем типа (В) и связан с понятием
расширения по Фридрихсу. Тип (С) формально аналогичен типу (Во), однако
отличается от него во многих отношениях. Разумеется, каждый из этих
типов голоморфных семейств имеет свою специфику.
§ 1. Аналитические семейства операторов
1. Аналитичность векторно- и операторнозначных функций
Мы будем рассматривать семейства и (х) векторов в банахо-
банаховом пространстве X или семейства Т (х) операторов из X в другое
банахово пространство Y; особенно нас будет интересовать слу-
случай, когда и (х) или Т (х) голоморфны по х в области D комплекс-
комплексной плоскости. Голоморфную вектор-функцию мы уже опреде-
определили как функцию, дифференцируемую в каждой точке х ? D;
при этом несущественно, в каком смысле понимается дифферен-
дифференцирование: в сильном или слабом (см. п. III.1.6). Таким образом,
и (х) голоморфна тогда и только тогда, когда функция (и (х),"/)
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 459
голоморфна по х для каждого / 6 X*. В приложениях часто бывает
удобен следующий критерий: и (х) голоморфна тогда и только
тогда, когда у каждой точки х ? D существует окрестность,
в которой || и (х) || ограничена и (и (х), /) голоморфна для всех f из
фундаментального подмножества в X* (см. замечание п. III.1.38).
Иногда мы рассматриваем семейство и (х), зависящее от веще-
вещественного параметра х, а < я < &. Вектор-функция и (х) назы-
называется вещественно-голоморфной, если она допускает разложение
Тейлора в каждой точке х. В этом случае и (х) можно продолжить
с помощью разложения Тейлора на некоторую комплексную
окрестность D интервала (а, Ь). Возникающее таким образом
продолжение голоморфно в D.
Пример 1.1. Пусть X = V @, оо), 1 г?Г р < оо, и м (х) = и (х\ х) =
= е~кх. Для того чтобы и (х) ? X, число х должно удовлетворять условию
Re х > 0. Так как du (x)/dx = — хи (х) ? X, то и (х) голоморфна при Re x >
> 0. Если положить X = Lp (а, Ь), где (а, Ь) — конечный интервал, то
и (и) = е~иж оказывается голоморфной для всех х. Далее, положим и (и) =
= и (х; х) = (ж — х)-1 и X = Lp (a, 6). Функция и (х) голоморфна во всей
комплексной плоскости, за исключением точек отрезка а ^ х ^ Ъ веще-
вещественной оси.
При рассмотрении операторнозначных голоморфных функций
Т (х) мы ограничимся пока случаем, когда Т (х) 6 J? (X, Y).
Функция Т (х) голоморфна, если она дифференцируема по норме
в каждой точке комплексной области. Имеем следующий крите-
критерий: Т (х) 6 3S (X, Y) голоморфна в области D тогда и только
тогда, когда у каждой точки области D существует окрестность,
в которой Т (х) ограничена и функция (Т (к) и, g) голоморфна
для каждого и из фундаментального подмножества в X и каждого
g из фундаментального подмножества в Y* (см. п. III.3.1).
Отметим также, что в том случае, когда Т (х) 6 $ (X, Y)
голоморфна и существует оператор ^(хо)^^ (Y, X), функ-
функция Т (х) существует, принадлежит $8 (Y, X) и голоморфна
для достаточно малых | х — х0 |. Это следствие теоремы об устой-
устойчивости ограниченной обратимости (см. разложение Неймана
для обратного оператора в теореме IV.1.16); согласно A.4.28)
нмеем \dldv) Т (х)-1 = — Т (х)-1 (dT (x)ld%).
Вещественно-голоморфное семейство Т (х) определяется ана-
аналогично вещественно-голоморфной вектор-функции; Т (х) можно
продолжить до голоморфного семейства в некоторой области D
комплексной плоскости.
2. Аналитичность семейства неограниченных операторов
В приложениях мы не можем ограничиться рассмотрением
лишь ограниченных операторов, и поэтому возникает необходи-
необходимость обобщить понятие аналитической зависимости семейства
460 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
операторов от параметра на случай неограниченных операторов.
Для того чтобы отличить введенное выше понятие голоморфности
от обобщенного понятия, которое будет сейчас определено, мы
будем называть функцию Т (х) ? $1 (X, Y) ограниченно-голоморф-
ограниченно-голоморфной, если она голоморфна в смысле п. 1.
Обобщение понятия голоморфной зависимости на неограни-
неограниченные операторы подсказывается понятием обобщенной сходи-
сходимости, введенным в п. IV.2.4. Семейство операторов Т (х) ?
6 $ (X, Y), определенное в окрестности точки х = 0, называется
голоморфным в нуле (в обобщенном смысле), если существует
третье банахово пространство Z и два семейства операторов
U (х) 6 $ (Z, X) и V (х) ? J* (Z, Y), ограниченно-голоморфные
в точке х = 0 и такие, что U (х) отображает Z на D (Г (х)) взаимно
однозначно и
Т (х) С/ (х) = V (х) 1). A.1)
Функция Г (х) голоморфна в области D комплексной плоскости,
если она голоморфна в каждой точке х ? D. Голоморфная функция
Г (х) непрерывна в обобщенном смысле: Т (х) ->¦ Т (х0) в обоб-
обобщенном смысле, если х-+к0; это следует из теоремы IV.2.29.
Это новое понятие голоморфности обобщает понятие, введен-
введенное в п. 1: Т (х) ? §8 (X, Y) голоморфна в новом смысле тогда
и только тогда, когда Т (х) ограниченно-голоморфна. Для доказа-
доказательства необходимости заметим, что оператор U (х) из A.1)
отображает Z на X и поэтому U (х) 6 $ (Y, X) (см. задачу
III.5.21). Тогда U (х) (см. п. 1) и, следовательно, Т (х) =
= V (х) U (х) ограниченно-голоморфны.
Если Т (х) голоморфна и Т (х0) € 9S (X, Y), то Г (х) 6 * (X, Y)
для достаточно малых | х — х0 | [и поэтому Т (х) ограниченно-
голоморфна для таких х]. Это следствие теоремы IV.2.23, так как
Т (х) непрерывна в смысле обобщенной сходимости.
Понятие вещественно-голоморфного семейства Т (к) можно
определить так же, как и выше, требуя, чтобы U (и) и V (х) были
вещественно-голоморфны. Однако в общем случае нельзя продол-
продолжить вещественно-голоморфное семейство в комплексную пло-
плоскость. Функции U (х) и V (х) можно продолжить в комплексную
область, но U (х) может не быть взаимно однозначным отображе-
отображением для невещественных х 2).
г) Это определение соответствует теореме IV.2.29, которая дает доста-
достаточное условие для обобщенной сходимости. Это формальное обобщение опре-
определения, предложенного Реллихом [3], в котором предполагается,
что Z = X = Y.
2) Пусть, например, Т (х) = (U — и)-1, где U ? 3 (X) и х — веще-
вещественное число. Предположим, что невещественные собственные значения
оператора U плотны в комплексной окрестности нуля. Функция Т (х) веще-
вещественно-голоморфна [можно положить U (х) = U — х, V (х) = 1], однако^
не продолжается в комплексную область в достаточно малой окрестности
§ i. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 461
Задача 1.2. Если Т (х) голоморфна и А (х) ограниченно-голоморфна,
то Т (х) + А (х) голоморфна.
Теорема 1.3 1). Пусть семейство Т (х) ? ^ (X) определено
е окрестности нуля и ? ? Р (Г @)). Семейство Т (х) голоморфно
в нуле тогда и только тогда, когда ^ Р (Г (х)) и резольвента
R (?, х) = (Г (х) — ?)-1 ограниченно-голоморфна для достаточно
малых | х [. 5 а/пол* случае R (?, х) ограниченно-голоморфна по сово-
совокупности переменных Z, и х таких, что t, ? Р (Г @)) w | х | доста-
достаточно ма.1 (в зависимости от ?).
Доказательство аналогично соответствующему дока-
доказательству для обобщенной сходимости (п. IV.2.6). Предположим,
что Г (х) голоморфна и С/ (х), F (х) удовлетворяют A.1). Имеем
(Г (х) — О С/ (х) = V (х) — t,U (х), причем оператор V @) —
— ?,U @) отображает Z взаимно однозначно на X. Поэтому
IV ф) - %U (О)] 6 # (X, Z) и функция [F (х) - %U (х)] огра-
ограниченно-голоморфна в окрестности нуля (см. аналогичные рас-
рассуждения выше). Таким образом, (Т (к) — t,)'1 = U (к) [V (к) —
— ?,U (я)]'1 ограниченно-голоморфна. Обратно, предположим, что
Л (?, х) ограниченно-голоморфна по х. Чтобы удовлетворить
соотношению A.1), достаточно положить Z = X, U (х) = R (t,, к),
V (х) = 1 + ??/ (х). Тот факт, что /? (?, х) голоморфна по сово-
совокупности переменных ? и х, следует из теоремы IV.3.12, согласно
которой /? (?, х) голоморфно зависит от ?, и /? (?0, 7* (х)).
Понятие голоморфности, введенное здесь, интересно в том
отношении, что непостоянная функция Т (х) может быть голоморф-
голоморфна всюду в расширенной плоскости 2). В связи с этим смотри
Пример 1.4. Пусть Т (х) — обыкновенный дифференциальный оператор
на интервале @, 1), определенный равенством Т (х) и = — и" на функциях,
удовлетворяющих граничным условиям и @) = 0, и' A) + хм A) = 0. Опе-
Оператор Т (х) зависит от х только через граничное условие в точке х = 1. Опе-
Оператор Т (оо) соответствует граничному условию и A) = 0. Резольвента
Я ( ?, х) есть интегральный оператор с ядром g (г/, х; ?, х) (функция Грина
¦оператора Г (х) — ?):
w, g.r . 3fa?1/2y [cos ?1/2 (!-*) + *?-1/2 sing1/2 A-х)]
нуля. В самом деле, 0 6 Р (Т @)), так как Г (О)-1 = Z7 6,5B(X); поэтому
0 ? Р (Т (х)) и Г (х) ограниченно-голоморфна для достаточно малых | х |,
если существует голоморфное продолжение функции Т (х) в некоторую ок-
окрестность нуля (см. теорему 1.3). Тогда Т (х) = U — х, так как это ра-
равенство выполняется для вещественных х. Это приводит к противоречию,
так как оператор U — к необратим, если х — собственное значение.
1) Эта теорема доказана Р е л л и х о м [3] в том случае, когда Т (х) —
•самосопряженное семейство (см. § 3).
2) Как обычно, считаем, что функция Т (х) голоморфна в бесконечности,
«ели Т I—j голоморфна в нуле.
462 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
при 0 <[ у <J х, <J 1, причем х и у в правой части в A.2) следует поменять,
местами, если х <J у. При фиксированном L, функция A.2) голоморфна по х
всюду, за исключением полюса у. = — ?1;2ctg f1/2. Для любого щ можно
указать ? такое, что вблизи х0 нет полюсов функции g (у, х\ ?, х). Согласно
теореме 1.3, семейство Т (у) голоморфно всюду в расширенной комплексной
плоскости.
Пример 1.5. Пусть Т (х) — обыкновенный дифференциальный опера-
оператор и -*¦ —и" с граничными условиями и @) = 0, пи' A) — и A) = 0. Опе-
Оператор Т (х) совпадает с оператором Т (—х'1) из примера 1.4 и голоморфен
для всех х. Резольвента R (?, х) задается функцией Грина (V.4.16).
Замечание 1.6. Справедлива ли теорема единственности для
операторных функций, голоморфных в определенном выше смысле?
Другими словами, пусть Т± (х) и Т2 (и) голоморфны в (связной)
области D о Г) (х„) = Тг (хп) для последовательности {хп}, схо-
сходящейся к точке х0 g D такой, что х0 Ф кп для всех и. Верно ли,
что 7\ (х) = Т2 (х) для всех к ? D? Неясно, верно ли это в общем
случае. Однако это так, если Y = X и семейства 7^ (к) и Г2 (и)
имеют непустые резольвентные множества для каждого к g D.
Для доказательства заметим сначала, что Тх (х0) == Т2 (и0) =
= То в силу единственности обобщенного предела. Пусть ?0 6
? Р (Го); по теореме 1.3 R (?0, 7\ (х)) ий([0, Г2 (х)) существуют
и ограниченно-голоморфны в окрестности точки х0. Так как теоре-
теорема единственности верна для ограниченно-голоморфных функций,
так же как и для числовых функций [достаточно рассмотреть
функцию (R (?0> Ti (х)) и, /) при фиксированных и g X и / ? X*],
Toi? (^0, Ti (х)) = Д ($0, Га («)) и, следовательно, 7\ (х) =^2 (и>
в указанной окрестности.
Теперь нетрудно показать, что 71! (х) = Т2 (х) для всех х 6 D.
Продолжение тождества Tj (х) = Гг (и) с окрестности на всю-
область D совершается с помощью стандартного приема х), и мы
опустим соответствующее рассуждение.
3. Разложение спектра и конечные системы
собственных значений
Теорема 1.7. Если спектр оператора Т (х) ?_% (X), голоморф-
голоморфно зависящего от х, допускает разложение на две части, то под-
подпространства в X, соответствующие этим частям, зависят от ус
голоморфно.
Доказательство. Сначала уточним формулировку тео-
теоремы. Пусть Т (х) голоморфна в окрестности нуля и 2 @) =
= 2 (Т @)) разбивается замкнутой кривой Г на части 2' @)
и 2" @) (см. п. III.6.4). Так как Т (х)]сходится к У @) в обобщен-
х) См. К п о п п [1], стр. 87. (См. также любой курс теории аналитиче-
аналитических функций.— Прим. перев.)
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 463
ном смысле при х ->- 0, то, согласно теореме IV.3.16, Г с: Р (х) =
= Р (Т (х)) для достаточно малых | х | и 2 (х) разбивается кри-
кривой Г на части 2' (х), 2" (х). Пусть М' (х) © М" (х) — разложе-
разложение пространства X, соответствующее этому разбиению. Проектор
Р (х) на М' (х) параллельно М" (х) выражается по формуле:
(см. (IV.3.11))
J
Так как R (?, х) ограниченно-голоморфна по совокупности пере-
переменных ? и х (теорема 1.3), то из A.3) следует, что семейство
Р (х) ограниченно-голоморфно в окрестности нуля. Это и означает
по определению, что подпространства М' (х) и М" (х) голоморфно
зависят от х.
В том случае, когда 2 (х) допускает разбиение, как в теоре-
теореме 1.7, задача на собственные значения для Т (х) сводится к соот-
соответствующим задачам для частей оператора Т (х) в подпростран-
подпространствах М' (х) и М" (х). То обстоятельство, что эти подпространства
зависят от х, вызывает некоторые неудобства. Эти неудобства
можно преодолеть с помощью следующего приема.
Так как проектор Р (х) на М' (х) голоморфен, то существует
трансформирующая функция U (x) ? 58 (X), ограниченно-голо-
ограниченно-голоморфная вместе с функцией U (х) 6 98 (X) и преобразующая
Р @) в Р (х):
/> (к) = U (х) Р @) С/ (х)-1 A.4>
(см. п. П.4.2, результаты этого пункта верны также и для
банаховых пространств). Поскольку оператор Т (х) коммутирует
с Р (х) (см. п. III.6.4), то оператор
Т (х) = U (х) Г (х) U (х) A.5)
коммутирует с Р @). Поэтому для каждого х оператор t (x)
разложим относительно подпространств М' @) = Р @) X и М" @) =
= A — Р @)) X. Задача на собственные значения для части
оператора ^(х) в М' (х) эквивалентна соответствующей задаче
для части оператора Т (х) в М' @), так как собственные значения
этих частей совпадают, а их собственные проекторы и нильпотент-
ные части связаны посредством трансформирующей функции U (х).
Опишем эту связь более подробно в предположении, что
2' @) есть конечная система собственных значений (см. п. III.6.5).
Тогда М' @) конечномерно и, согласно A.4), то же самое верно
для М' (х). Пусть
Т (х) Рь (х) = К (х) Ph (x) + Dh (x), h~l,...,s, A.6)
есть решение задачи на собственные значения для части оператора.
464 , Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
I (х) в М' @), где [см. A.5.35)]
Ph (х) Р@)=Р @) Ph (х) = Ph (х),
A-7)
Dh (к) Р @) = Р @) Dh (х) = Dh (х).
Тогда решение задачи на собственные значения для части опера-
оператора Т (х) в М' (х) имеет вид
Т (х) Ph (х) = Xh (х) Ph (х) + Dh (х), и = 1, . . ., s, A.8)
где
i\(x) = U(x)Ph(x) U(x)~\
A-9)
Dh (x) = *7 (к) Dh (x) U (к).
Все результаты аналитической теории возмущений в конечно-
конечномерном пространстве (гл. II) можно применить к задаче на соб-
собственные значения для Т (к) в фиксированном подпространстве
М' @). Таким образом, изучение конечной системы собственных
значений оператора Т (к) сводится к задаче в конечномерном
случае. Отметим, что часть оператора t (к) в М' @) равна части
ограниченно-голоморфного оператора / (к) Р @) = U (к) Т (х) X
X Р (к) U (к) в М' @); семейство Т (к) Р (х) ограниченно-голо-
ограниченно-голоморфно, как это следует из (III.6.24).
Применяя результаты, полученные в п. П.1.8, мы приходим
к следующей теореме.
Теорема 1.8 х). Если семейство Т (к) голоморфно в окрестно-
окрестности нуля, то любая конечная система собственных значений Xh (к)
оператора Т (к) представляется ветвями одной или нескольких
аналитических функций, имеющих самое большее алгебраические
особенности в нуле. То же самое верно и для соответствующих
собственных проекторов Ph (к) и собственных нильпотентов D^ (к).
Более подробную информацию о функциях Kh (%), Ph (к)
и Dh (к) можно извлечь из результатов § II.1; все эти результаты
верны в рассматриваемом случае, поскольку мы ограничились
конечной системой собственных значений.
В качестве применения полученных результатов докажем две
теоремы, касающиеся «нелинейной задачи на собственные зна-
значения» 2).
х) Эта теорема доказана Секефальви-Надем [2], Вольфои[1]
и Т. К а т о [6]. См. также Баумгертель [1] (где содержится
наиболее полное описание аналитических функций Хп (х)) и Ш е ф к е
[1] — [5].
2) См. сноску1) на стр. 50. Если Т (х) = кТ, где Т компактен, то
особая точка х в теореме 1.9 обратна собственному значению оператора Т.
По этой причине мы говорим здесь о «нелинейной задаче на собственные зна-
значения». Теорему 1.9 доказал Аткинсон [2] (см. также Секефаль-
вп-Надь [4]) в предложении, что Т (к)—полином х.
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 465
Теорема 1.9. Пусть Т (х) — голоморфное в области Do семей-
семейство комнатных операторов в X. Назовем х особой точкой, если 1
является х) собственным значением для Т (х). Тогда либо 2) все
х ? Do суть особые точки, либо каждое компактное подмножество
в Do содержит лишь конечное число особых точек.
Доказательство. Если точка х0 6 Do не особая, то
1 6 Р {Т (х0)), так как Т (х0) компактен. По теореме 1.3 1 ?
? Р (Г (к)) для достаточно малых | х — х0 |. Если значение х0
особое, то 1 является изолированным собственным значением
конечной кратности для Т (х0) (см. п. III.6.7). Из теоремы 1.8
следует, что собственные значения оператора Т (х) в некоторой
окрестности единицы образуют конечную систему, если точки х
и х0 достаточно близки, причем эти собственные значения имеют
самое большее алгебраические особенности при х = х0. Если
некоторые из этих значений тождественно равны единице, то все
точки х в окрестности х0 особые. В противном случае вблизи х0 нет
особых точек, если х и х0 достаточно близки.
Итак, для каждого х0 ? Do существует окрестность D, либо
целиком состоящая из особых точек, либо не содержащая их.
Отсюда следует утверждение теоремы.
Теорема 1.10. Предположим, что семейство Т (х) 6 *& (X)
голоморфно в Do и для каждого х ? Do оператор Т (х) имеет ком-
компактную резольвенту. Назовем х особой точкой, если 0 является 3)
собственным значением для Т (х). Тогда справедливо заключение
теоремы 1.9.
Доказательство. Для каждого х0 существует нену-
ненулевое ?0 ? Р (Т (х0)), причем оператор t,0R (?,„, х) компактен
и голоморфен по х в окрестности точки х0. Сингулярная точка х
является особой в смысле теоремы 1.9 для семейства компактных
операторов —t,0R (?0, х). Отсюда вытекает утверждение теоремы
для некоторой окрестности точки х0. Но так как х0 6 Do произ-
произвольно, то теорема верна и для Do.
4. Замечания о бесконечных системах
собственных значений
При рассмотрении бесконечного набора собственных значений
оператора Т (х) возникают различные трудности 4). Для упроще-
упрощения рассматриваемой ситуации предположим, что оператор Т (х)
г) Значение 1 можно заменить любым числом а Ф Q.
2) Первая возможность исключается, если || Т (щ) || < 1 для некото-
некоторого х0 6 Do.
•) Значение 0 можно заменить на любое комплексное число.
4) См. Р е л л и х [5]; в этой статье содержится пример 1.11 и ряд дру-
других примеров.
30 т. Кате
466 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
имеет компактную резольвенту для каждого х 6 Do. Удобно
считать, что точка % = 0 принадлежит Do. Каждое собственное
значение X @) оператора Т @) изолировано, имеет конечную
кратность и может быть включено в одно или несколько семейств
К (к) собственных значений операторов Т (к). Каждое из этих
семейств аналитично в некоторой области D' с: Do, причем D'
может зависеть от семейства К {%). Значения функций Я, (к) не обя-
обязательно исчерпывают все собственные значения операторов
Т (х) независимо от того, насколько мало %. Возможен даже
такой случай, когда оператор Т @) не имеет собственных значений
(пустой спектр), в то время как Т (к) при % ф 0 имеет бесконеч-
• ное число собственных значений. Таким образом, в общем случае
нельзя говорить об аналитической зависимости от к собственных
значений операторов Т (к).
Пример 1.11. Рассмотрим семейство Т (х) из примера 1.5. Это семей-
семейство голоморфно в расширенной комплексной плоскости и имеет компактную
резольвенту. Собственные значения оператора Т (х) являются нулями целой
функции
Г1''2 sin ?1/2 - к cos ?u;
эта функция служит знаменателем соответствующей функции Грина, см.
(V.4.16). Собственные значения оператора Т @) сутьХ„ = п2п2, п = 1, 2, . . .,
а соответствующие собственные функции у 2 sin плх образуют полную орто-
нормированную систему в Н = L2 @, 1). Так как каждое собственное зна-
значение Хп — простое, то соответствующие собственные значения Хп (х) опера-
оператора Т (и) голоморфны в окрестности нуля. Из рис. 1 (см. стр. 367) мы видим,.
что Хп (х) — Яп возрастает по п при фиксированном вещественном х, и поэто-
поэтому сходимость степенного ряда для Хп (у) ухудшается при возрастании п.
Отметим еще одну особенность этого примера. Нетрудно проверить,
что числа Хп (х) исчерпывают все собственные значения оператора Т (х)
при х ^ 0, а для х > 0 появляется «новое» собственное значение Хо (х).
Если 0 < х < 1, то А.о (х) = —р (хJ, где р (х) — (единственный) положи-
положительный корень уравнения th р = хр. Функция Хо (х) голоморфна в окрест-
окрестности положительной вещественной полуоси и Хо (х) -*¦ —<х> при v, \ 0;
эта функция не может быть аналитически продолжена через точку х = &
на отрицательные значения х х).
Если выйти в комплексную область, то окажется, что все функции
Хп (х), включая Хо (х), имеют аналитические продолжения и образуют одну
аналитическую функцию X (х), которая является обратной к мероморфной
функции ?~ ^2 tg ?1/2. Аналитическая функция X (х) весьма сложно устроена
в окрестности нуля; сама точка х = 0 является предельной для точек вет-
ветвления. Это объясняет невозможность продолжения функции Хо (у,) вдоль-
вещественной оси на отрицательные значения х; однако в любой комплекс-
комплексной окрестности нуля можно, обходя вокруг подходящей точки ветвления,
перейти от ветви Хо (х) к любой ветви Хп (х) с достаточно большим п.
*) При вещественном х оператор Т (х) самосопряжен и его собственные-
векторы фп (х) образуют полную ортонормированную систему. Если х > 0,
то эта система содержит собственный вектор ф0 (х), соответствующий соб-
собственному значению А.о (х). Таким образом, полная система собственных
векторов {фп @)}, п > 1, оператора Т @) при возмущении Т (х), х > 0,.
теряет свойство полноты.
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 467
Зная расположение точек ветвления, можно найти радиусы сходимости
степенных разложений для функций Хп (х).
Пример 1.12. В качестве примера, более простого, чем предыдущий,
рассмотрим дифференциальный оператор первого порядка Т (у.) = —i -z- ,
О =sS х =S= 1, c граничным условием A + iy.) и @) = A — zx) и A). Так
же как в предыдущем примере, нетрудно видеть, что семейство Т (к) голо-
голоморфно в расширенной комплексной плоскости. Собственные значения опе-
оператора Т (х) суть
Хп (х) = 2 arctg х + 2пл, п = 0, ±1, ±2, . . .. A.10)
Оператор Т (и) самосопряжен при вещественных х, если его рассматривать
в гильбертовом пространстве L*@, 1). Из A.10) следует, что ряд Тейлора
для каждой функции %п (х) имеет радиус сходимости 1. Все функции Хп (х)
в совокупности образуют одну аналитическую функцию 2 arctg х, имеющую
логарифмические особенности в точках ±i.
Интересно выяснить, что представляют собой точки х= +( в терминах
семейства Т (х). Оказывается, что операторы Т (±i) не имеют собственных
значений: их спектры пусты. Если Т (i) рассматривать как невозмущенный
оператор, а в качестве параметра возмущения взять х' = v. — i, то окажет-
окажется, что для семейства Т (х) = Т (i -\- х') не существует рядов теории воз-
возмущений (здесь нет противоречия с общим результатом, согласно которому
ряды теории возмущений для простых собственных значений — ряды Тей-
Тейлора).
Замечание 1.13. В предыдущих примерах многообразие
D (Т (%)) зависело от к. В том случае, когда операторы Т (к)
имеют одну и ту же область определения, можно ожидать более
регулярное поведение собственных значений. Мы вернемся к этому
вопросу позднее (см. п. 3.5, 4.7).
5. Ряды теории возмущений
Формальные степенные ряды по к для собственных значений
оператора Т (к), входящих в конечную систему, можно получить,
применяя метод § II.2,3 к ограниченно-голоморфному семейству
Тт (х) = Т (х) Р (х) = Тт + хПХ) + v?T? + . . .. A.11)
Сделаем, кроме того, следующие замечания:
a) Трансформирующую функцию U (к) не обязательно вво-
вводить явно, как это было сделано в п. 3, достаточно применить
результаты из § II.2,3 непосредственно к A.11).
b) Если интересоваться только собственными значениями,
входящими в Х-группу (см. п. II.1.2), где X — изолированное
собственное значение оператора Т = Т @), то удобно выбрать
в качестве контура Г окружность, охватывающую одно собствен-
собственное значение X оператора Т; тогда Р (к) совпадает с проектором
Р (х) из § П.2,3. Следует отметить, что ряд (II.2.1) в рассматри-
рассматриваемом случае теряет смысл, так как семейство Т (к) не обязано
30*
468 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
быть ограниченно-голоморфным. Таким образом, коэффициенты
УС1) нужно заменить коэффициентами разложения A.11). Что
касается оператора S [см. (II.2.11)], то в качестве его определе-
определения следует взять (III.6.31). Операторы Р), S) и т. д. определяются
так же, как и раньше.
с) Следы различных операторов, фигурирующие в (II.2.5),
(П.2.32) и т. д., также можно определить в рассматриваемом слу-
случае ввиду того, что по крайней мере один множитель в каждом
выражении под знаком следа является вырожденным оператором,
в то время как остальные множители ограничены (теорию следа
см. в п. III.4.3). Так, например, все операторы Р (%) Р, D, Рф, Sty
вырождены, причем их ранги не превосходят кратности собствен-
собственного значения К. Далее, коэффициенты Т[п) разложения A.11),
которыми, согласно предыдущему замечанию, следует заменить
коэффициенты 7ЧП> конечномерного разложения (II.2.1), также
вырождены. Это следует из леммы II.2.12, если ее применить
к семейству Тт (х) = Т (х) Р (к), где Тт (х) ограниченно-голо-
ограниченно-голоморфен, а Р = Р @) вырожден.
6. Голоморфное семейство,
связанное с вырожденным возмущением
Пусть семейство операторов Т (х) 6 ^ (X) определено в неко-
некоторой окрестности нуля и существуют операторы То, Т° ? Ч§ (X)
такие, что
Гос Т (х)с Т°, [Т (к)/Т0] = [Г» IT {%)} = m < oo. A.12)
Другими словами, оператор Т (х) является продолжением конеч-
конечного порядка пг фиксированного «минимального оператора» То
и в то же время сужением порядка m одного и того же «максималь-
«максимального оператора» Т°. (Такая ситуация часто встречается в теории
обыкновенных дифференциальных операторов; см. ниже при-
пример 1.15.) Далее, предположим, что для некоторого ?, резольвенты
R (?, х) = (Т (%) — Q существуют для всех х.
Нас интересует здесь следующий вопрос: при каких условиях
оператор Т (к) голоморфно зависит от к? Для того чтобы отве-
ответить на этот вопрос, заметим прежде всего, что оператор
4(?, х) = R {I, х) - R (Б, 0) A.13)
вырожден и может быть представлен в виде
A(t>,x)u= 2 ajk(t,*){u,fj)wh, A.14)
i, ft=i
где векторы wh, к = 1, . . ., т, образуют базис в N (Т° —
а векторы /;-, / = 1 б R (Г
(см. лемму III.6.36).
где векторы wh, к , , , обру с (
а векторы /;-, / = 1, . • ., тп, образуют бази& в R (Го —
( III.6.36
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 469
Пусть векторы Uj ? X, ;" = 1, . . ., т, линейно независимы
относительно R (То — ?) и образуют систему, биортогональную
для {fj}. Полагая и = и} в A.14) и подставляя A.13), получаем
Д(?, x)uj-R&, O)uj= S «*(?. *)»*• A-15)
Пусть е;-, у = 1, . . ., m,— линейно независимые линейные фор-
формы, определенные на D (Т°) и такие, что det {еь [wk]) Ф 0. Приме-
Применение формы ег к обеим частям предыдущего равенства дает
в, [Л E, х) и,] -вг [Д E, 0) uj] = S <Ы (?, и) ft
i, /=1, .. ., m.
Эти уравнения позволяют найти коэффициенты ajh (?, к), кото-
которые оказываются голоморфными по х, если функции
etlR (t,,x)uj]t i,j = 1, . . ., m, A.17)
голоморфно зависят от х. Возвращаясь к A.14) и A.13), мы видим,
что резольвента Я (?, к) голоморфна по к. Таким образом,
доказана
Теорема 1.14. Семейство Т (к) голоморфно, если т2 функций
A.17) голоморфны по к.
Пример 1.15. На конечном интервале (а, 6) рассмотрим обыкновенный
дифференциальный оператор
Lu = р0 (х) и" + Pi (x) и' + р2 (х) и A.18)
с граничными условиями
и' (а) — К и (а) = 0, и' (Ъ) + hb и (Ь) = 0. A.19)
Предположим, что ha и hf, суть голоморфные функции от "а. Тогда операторы
Т (х) в пространстве X = IP (а, Ъ) или ^? [а, 6], определенные формальным
оператором L и граничными условиями A.19) (так же как оператор Т$ из
п. III.2.3), образуют голоморфное семейство. Для доказательства достаточно
применить теорему 1.14 с оператором То в качестве «минимального операто-
оператора» То и максимальным дифференциальным оператором Т в качестве Т"
(см. п. III.2.3). Здесь т = 2и векторы wh 6 N (Т — Q и /_,- ? R (То — Q1 =
= N ( Г^ — ?) могут быть любыми двумя линейно независимыми решениями
уравнения (L — ?) w = Ои формально сопряженного уравнения (А/ — S/ =
= 0 соответственно. В качестве линейных форм ег можно выбрать, например,
такие: et [wk] = w^ (ct), где с4, с2 — любые две точки на (а, Ь) такие, что
det (w^ (ci)) Ф 0. Тогда функции A.17) голоморфны и применима теоре-
теорема 1.14. В самом деле, для любого и ? X вектор v = i? ( ?, х) и является
единственным решением уравнения (L — Q s = ц, удовлетворяющим гра-
граничным условиям A.19), и поэтому у (г) для любого фиксированного х являет-
является голоморфной функцией от %, если ha и h-ъ также голоморфны по %, при
условии, что ^ не является собственным значением оператора Т (х).
Таким образом, мы видим, что граничные условия, голоморфно зависящие
от параметра, приводят к голоморфному семейству операторов. Следует
470 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
отметить, что «голоморфными» граничными условиями мы можем считать
условия вида
1аи' (а) — hau (а) = 0, 1ъи' (Ь) + hbu (Ь) = 0, A.20)
где la, ha, If,, кь голоморфно зависят от х, причем детерминант
'а К
не обращается в нуль. Таким образом, в граничных условиях A.19) величи-
величины ha (х) и къ (х) могут принимать значение оо. Так будет в том случае,
когда, например, ha и fy> линейны по х. Итак, семейство Т (х) может ока-
оказаться голоморфным во всех точках расширенной плоскости (ср. приме-
примеры 1.4, 1.5).
§ 2. Голоморфные семейства типа (А)
1. Определение
Важный класс голоморфных семейств операторов образуют
семейства, которые мы назовем голоморфными шипа (А) х). Семей-
Семейство операторов Т (к) ? % (X, Y), определенное в области Do
комплексной плоскости, называется голоморфным типа (А), если
i) многообразие D (Т (к)) = D не зависит от х и ii) вектор-функ-
вектор-функция Т (к) и голоморфна в Do для каждого и ? D.
В этом случае Т (к) и имеет разложение Тейлора в каждой
точке к g Do. Если, например, точка х = 0 принадлежит Do, то
Т {%) и = Ти + кТ^и + у?Т^)и + . . ., и 6 D, B.1)
причем радиус сходимости этого ряда не зависит от и. Коэффи-
Коэффициенты Т(п1 суть линейные операторы из X в Y с областью опре-
определения D [их линейность следует из единственности разложе-
разложения B.1) и линейности Т (х)].
Тот факт, что голоморфное семейство Т (к) типа (А) голоморф-
голоморфно в смысле п. 1.2, может быть доказан следующим образом.
Фиксируем произвольную точку в Do, без ограничения общности
можно считать, что эта точка нулевая. Так как оператор Т = Т @)
замкнут, то D = D (Т) является банаховым пространством отно-
относительно нормы ||| и |[| = || и || + || Ти || (см. замечание IV. 1.4);
обозначим это пространство через Z. Пусть U — оператор, пере-
переводящий каждый вектор и 6 Z в вектор и ? X; U ограничен,
так как ||и||^|||и|||. Оператор Т (и), рассматриваемый как
г) Голоморфные семейства этого типа и, в частности, ограниченно-голо-
ограниченно-голоморфные семейства изучались, начиная с работ Р е л л и х а [1] и [3] (в кото-
которых рассматриваются только самосопряженные семейства). См. X а й н ц [1],
Гёльдер [1], Т. Като [1], [3], [6], С е ке ф а л ь ви - Н а д ь [1], [2],
Порат [1], [2], Ре л лих [6], [7], [8], Розенблум [1], Ш е ф к е
[3], 14], [5], Шредер [1], [2], [3], Ш м у л ь я н [1], В о л ь ф [1].
§ 2. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (А) 471
оператор из Z в Y, обозначим через V (х). Ввиду неравенства
II и II ^ II! и III из замкнутости Т (х) следует замкнутость V (х).
Так как оператор V (х), кроме того, определен на всем Z, то он
принадлежит SS (Z, Y) (см. теорему III.5.20). Поскольку вектор-
функция V (х) и = Т (х) и голоморфна для каждого и 6 Z, то
семейство V (х) ограниченно-голоморфно (см. теорему III.3.12).
Так как U отображает Z на D взаимнооднозначно и Т (х) U =
= V (х), то семейство У (к) голоморфно.
Кстати, из ограниченной голоморфности V (х) следует, что
отношение (|| и || + || V (х4) и ||)/(|[ м || + || F (и2) и ||) ограниче-
ограничено для всех xi и х2 из компактного подмножества D с: Do и всех
и 6 Z. Так как F (х) и = 21 (х) и, то
(|| и || + || Т (хО и ||)/(|| и\\+\\Т (х2) и ||) < М,
хь х2 6 D, и 6 D. B.2)
Далее, имеем Т' (х) и = V (х) и, где Т' (х) — оператор, опре-
определенный равенством Т' (х) и ~ dT (x) u/dx, u g D. Так как
отношение || V (х) и ||/(|| и \\ + || V (х) и ||) ограничено для всех
X 6D и «6Z, то справедливо неравенство вида
|| Г (х) и ||< а' || и || + V || Г (х) и ||, х 6 D, и 6 D. B.3)
Отметим, однако, что оператор Т' (х) может быть незамкнут;
поэтому семейство Т' (х) не обязано быть голоморфным.
Аналогично можно показать, что для любого е> 0 суще-
существует такое б> 0, что
И Т (хО и-Т (х2) и || <8 (|| и || + || Т (х) и ||), B.4)
если Xi, х2, х g D и | Xi — х2 | < б. Иначе можно сказать, что
каждый оператор Т (х) ограничен относительно любого операто-
оператора Т (х') и семейство У (х) относительно непрерывно.
Пример 2.1. В дальнейшем мы приведем много примеров голоморфных
семейств типа (А). Здесь мы дадим почти тривиальный пример такого семей-
семейства. Пусть Т 6 % (X) и Т (х) = хТ. При х =^= 0 операторы Г (х) образуют
голоморфное семейство типа (А). Нулевую точку, вообще говоря, следует
исключить из рассмотрения, так как оператор 0 с областью определения
Л(Т) незамкнут, если Т неограничен. [Можно было бы не исключать точку
V. = 0, если бы мы не требовали замкнутости Т (у,) в определении голоморф-
голоморфного семейства, однако по ряду причин удобно рассматривать именно голо-
голоморфные семейства замкнутых операторов Т (у,).]
Более того, семейство Т (х) = У.Т нельзя сделать всюду голоморфным
{не говоря уже о типе (А)], полагая Т @) = 0 (с областью определения X).
Оператор Т @) в этом случае замкнут, однако, как нетрудно видеть, резоль-
резольвента R E, х) = (Т (х) — Q не является ограниченно голоморфной в точ-
точке х = 0 для любого ? [даже в том случае, когда существует ? ф 0, при-
принадлежащее Р (Т (х)) для всех х в окрестности нуля]. Поэтому, согласно
теореме 1.3, семейство Т (х) не может быть голоморфным.
472 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Замечание 2.2. Остается открытым вопрос: является ли голо-
голоморфное семейство Т (х), для которого D (Т (х)) не зависит от х,
голоморфным типа (А) х)? При некоторых не очень жестких допол-
дополнительных предположениях на этот вопрос можно ответить поло-
положительно.
Теорема 2.3. Пусть операторы Т (х) ? % (X) имеют постоян-
постоянную {не зависящую от х) область определения D и образуют голо-
голоморфное в окрестности нуля семейство. Далее, предположим, что
оператор Т @) имеет непустое резольвентное множество, Т @)
и Т @)* плотно определены (в X в X* соответственно) и опера-
оператор Т @) R (?,, к) равномерно ограничен в окрестности нуля для
некоторого ? ? Р (Т @)). Тогда Т (х) — голоморфное семейство
типа (А) в окрестности нуля.
Доказательство. Прежде всего отметим, что из равен-
равенства D (Т @)) = D (Т (х)) следует, что Т @) R (?, х) gjP(X),
Т @) R (?, 0) 6 98 (X) (см. задачу III.5.22). Существенно, что
операторы Т @) R (?, х) ограничены равномерно по х в окрест-
окрестности нуля.
Предположим для простоты, что ? = 0. Тогда семейство
R @, х) ограниченно-голоморфно по теореме 1.3. Поэтому функ-
функция Ф (и; /) = (Т @) R @, и) и, /) = (R @, и) и, Т @)* /) голо-
голоморфна в окрестности нуля для каждого и ? X и каждого / ?
6 D (Т @)*) == D* сг X*. Так как многообразие D* плотно в X*
и функция || Т @) R @, х) || ограничена по предположению, то из
теоремы III.3.12 и следующего за ней замечания вытекает, что
семейство (Т @) R @, х)) ограниченно-голоморфно. Поэтому се-
семейство (Т @) R @, и)) = Т (х) R @, 0) ограниченно-голоморф-
ограниченно-голоморфно (см. замечание в конце п. 1.1) и, следовательно, вектор-функция
Т (х) и голоморфна для каждого и ? D (Т @)).
Как мы увидим в последующих параграфах, голоморфные семей-
семейства типа (А) по сравнению с общими голоморфными семействами
обладают рядом специфических свойств. В этой связи представ-
представляет интерес
Теорема 2.4. Предположим, что операторы Т (к) ?% (X),
х ? Do, образуют голоморфное семейство типа (А) и имеют непу-
непустое резольвентное множество для каждого и. Если для некоторого
х0 оператор Т (и0) имеет компактную резольвенту, то все опера-
операторы Т (х) имеют компактную резольвенту.
г) В этой связи интересно отметить, что Р е л л и х [5] привел пример ве-
вещественно-голоморфного семейства Т (и) с постоянной областью определения
D = D (Т (х)), для которого вектор-функция Т (и) и не является веществен-
вещественно-голоморфной ни для какого и ?D. Это семейство имеет (комплексно)
голоморфное расширение Ti (и), для которого, однако, многообразие
D (Т (а)) зависит от ч.
§ 2. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (А) 475"
Доказательство. Пусть D' — множество тех х, для
которых Т (х) имеет компактную резольвенту; докажем, что Dr
открыто и замкнуто в Do. Тот факт, что D' открыто, следует
из теоремы IV.3.17, так как оператор Т (х2) ограничен относи-
относительно Т (щ), если Xi и х2 достаточно близки [см. B.4)]. С другой:
стороны, теорема IV.2.26 показывает, что D' замкнуто в Do [здесь-
семейство Т (х) не обязано быть голоморфным типа (А)].
Пример 2.5. Примером, в некотором смысле противоположным при-
примеру 2.1, служит семейство Т (х) = (U + к), где оператор U ? J} (X)
квазинилъпотентпен и обратим. Тогда D (Т (х)) = X для х Ф О, в то время
как D (Т @)) = R(?7) является собственным подмножеством в X. Семей-
Семейство Т (х) — голоморфное семейство типа (А) для х Ф 0; более того, оно
ограниченно-голоморфно. Интересно отметить, что семейство Т (х) голо-
голоморфно для всех х (это следует из равенств Т (х) U (х) = 1, U (х) = U +х),.
но не является голоморфным типа (А) для всех и.
Предположим теперь, что U компактен. Тогда Т @) = U'1 имеет ком-
компактную резольвенту. Однако Т (и) не обладает этим свойством, если а Ф 0.
Это замечание показывает, что теорема 2.4 неверна для общих голоморфныг
семейств Т (х).
2. Критерий голоморфности типа (А)
Теорема 2.6 г). Пусть Т — замыкаемый оператор из X в Y'
и 74"), п = 1, 2, . . .,— операторы из X б Y, области опреде-
определения которых содержат D (Г) = D. Предположим, что суще-
существуют постоянные а, Ь, с ^ 0 такие, что
|[ Г<п>и || < с" (а И и || + & || Ти ||), u€D, га = 1, 2,
B.5>
Тогда ряд B.1) Зля | х | < 1/с определяет оператор Т (х) с обла-
областью определения D. .Если | х | < (Ь + с), /гао оператор Т (х)
замыкаем и замыкания Т (х) образуют голоморфное семейство-
типа (А).
Замечание 2.7. Условие B.5) записано таким образом, чтобьь
оно принимало удобный вид, когда Т^ = Т^ = . . . = 0. В этом
Iслучае можно положить с = 0, если
' || ТЫи || < о || и || + Ь || Ги ||, и ? D. B.6>-
Отметим также, что требуемые константы а, Ь, с существуют, если
ряд B.1) конечен и операторы JW Г-ограничены (см. п. IV.1.1).
Доказательство теоремы 2.6. Если | х | <С с,
то оператор Т (х) корректно определен равенством B.1), так как
1) Эта теорема по существу доказана Р е л л и х о м [3] (в этой стать»-
рассматриваются самосопряженные семейства).
474 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
< (с"-1 | х|"+. . . + с п+р-1 |х |»+р) (а || и || + 6 || Ги ||Х
< с"-1 | и |" A - с | х I)-1 (о || и || + Ь || Ги ||) -+ О, ?г->оо,
тг, следовательно, ряд в правой части B.1) сходится.
Если мы запишем B.1) в виде Т (х) и = Ти + А (х) и, то из
предыдущих неравенств будет следовать, что
|| Л (х) и || < | х | A -с | х Г1 (а || и || + Ъ || Ти ||), и 6 D. B.7)
Таким образом, оператор Л (х) является Г-ограниченным, причем
его Г-грань не превосходит Ь |х| A — с | х I) и, следователь-
следовательно, меньше 1, если | х | < (Ь + с). Из теоремы IV.1.1 следует,
что Т (х) замыкаем при | х | <С (Ь + с). Отметим попутно сле-
следующее неравенство, которое следует из (IV. 1.3):
а || и || + Н| Ти || < A - с | х |) A - (Ь + с) | х I)-1 X
X (о || и || + Ь || Г (х) и ||). B.8)
Пусть Т — замыкание оператора Т. Многообразие D = D (Т)
является банаховым пространством относительно нормы ||| и \\\ =
= (а + 8) || и || + Ь || Ти ||, е> 0; обозначим это банахово про-
пространство через Z. Многообразие D плотно в Z ввиду того, что
Т есть замыкание Т. Обозначим через F<™> оператор ГС1), рас-
рассматриваемый как оператор из Z в Y; F(n) плотно определен
и || F(")u || <c"-x HI uj||. Поэтому F(n> имеет замыкание F(n> 6
6 J> (Z, Y), причем || F<"> || < с1*. Если обозначить через F (x)
h"F операторы Т (х) и Г, рассматриваемые как операторы из Z
в Y, то имеем
V (х) = V + х7« + x2FB> + . . .; B.9)
очевидно, что V (х) имеет замыкание F (х), получающееся заменой
операторов V и У'п> в правой части B.9) на V и F(n). Таким обра-
образом, для каждого и ? D вектор-функция Г (х) и = F (х) и голо-
голоморфна, если | х | < (Ь + с).
Замечание 2.8. Неравенства B.5) необходимы для того, чтобы
семейство Г (х) было голоморфным типа (А) в следующем смысле.
Если семейство Т (х) голоморфно типа (А) в окрестности нуля,
то имеет место разложение B.1), причем коэффициенты 74") этого
разложения удовлетворяют условиям B.5). Это вытекает из того
факта, что введенное выше семейство V (х) ограниченно-голоморф-
ограниченно-голоморфно в окрестности нуля и, следовательно, допускает степенное
разложение вида B.9). Имеем || V<n) || ^ Мг~п, где г — любое
положительное число, меньшее радиуса сходимости этого ряда
{неравенства Коши). Поэтому || Т(пЫ || = || F(">u || < Мг~п \\\и\\\,
откуда вытекают условия B.5).
S 2. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (А) 475
3. Замечания о голоморфных семействах типа (А)
Результаты о голоморфных семействах операторов упрощаются
и уточняются, если ограничиться голоморфными семействами
типа (А). Здесь мы приведем эти модифицированные результаты
в виде ряда замечаний.
Замечание 2.9. Предположим, что спектр 2 = 2 (Т) опера-
оператора Т разбивается на две части замкнутой кривой Г. Тогда
по теореме 1.7 2 (х) = 2 (Т (х)) также разбивается кривой Г
для достаточно малых х. Можно дать оценку, насколько для этого
должно быть мало х. Согласно теореме IV.3.18, достаточно, чтобы
условие (IV.3.14) выполнялось для всех ? 6 Г, причем ввиду нера-
неравенства B.7) постоянные а, Ъ следует заменить на а | х | A —
— с | х I) и Ъ | х | A — с | х I). Это означает, что разбиение
спектра кривой Г имеет место, если
| х |< го = min (о || Д Ц, Т)\\ + Ъ || TR (?, Т) \\ + с)'\ B.10)
Проектор Р (х), определяемый формулой A.3), голоморфен по и.
Если часть спектра 2, лежащая внутри контура Г, является
конечной системой собственных значений, то эти собственные
значения и соответствующие им собственные проекторы и ниль-
потентные части рассматриваемого оператора Т (х) аналитичны
при условии B.10) и при этом возможны лишь алгебраические
особенности (см. п. 1.3).
Замечание 2.10. Существование формального степенного ряда
для Т (х), которого может и не быть в случае общего голоморфного
семейства, дает возможность перенести на рассматриваемый слу-
случай результаты § II.1, П.2 без замены 7ЧП> на ТгП) (см. п. 1.5).
Это возможно из-за того, что разложение (II.1.13) справедливо
и для неограниченных операторов J1'"); эти операторы входят
в формулы п. II. 1.2 только в комбинациях вида T^R (?), T^S,
Т(")/>, T<-nW = T<-n>PD, каждая из которых принадлежит $? (X)
(согласно утверждению задачи III.5.22). Таким образом, мы видим,
что все формулы из п. II.1.2 справедливы в рассматриваемом
случае.
Отметим, однако, следующее важное обстоятельство. Такие
формулы, как (II.2.28), теряют смысл в рассматриваемом случае,
так как операторы, фигурирующие в них под знаком следа, вообще
говоря, не являются вырожденными. Тем не менее окончатель-
окончательный результат (II.2.29) и последующие аналогичные формулы
верны ввиду того, что в этих формулах все операторы под знаком
следа содержат множитель Р и, следовательно, вырождены.
Это проверяется явным вычислением интеграла так же, как
(II.2.18); в результате интеграл принимает вид полинома от огра-
476 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
ничейных операторов, каждый член которого содержит в качестве
множителя вырожденный оператор. В каждом таком члене сомно-
сомножители можно переставлять циклически под знаком следа. Как
нетрудно проверить, это приводит к доказательству форму-
формулы (И.2.30).
Замечание 2.11. Для приложений условие B.5) полезно обоб-
обобщить следующим образом1):
|| TWU ||< с" х (II и ||, || Ти ||), u6D, n = 1,2 B.11)
Здесь х (s, t) — неотрицательная функция переменных s, t ^
^Э= 0, обладающая следующими свойствами:
i) х (s, t положительно однородна порядка i, т. е. % (ks, kt) =
= Н (s, t);
ii) x (s, t) монотонно возрастает по совокупности s и t, т. е.
X (s, t)^% (s\ t'), если 0 < s < s' и 0 < t < f. Теорему 2.6
можно обобщить, заменяя условие B.5) на B.11), при этом заклю-
заключение теоремы примет вид: Т (и) — голоморфное семейство типа
(А), если | к | < (х (+0, 1) + с). Число г0 из условия B.10)
вычисляется по формуле
г0 = min (х (|| R (С, Т) ||, || TR (?, Т) \\) + с)~К B.12)
Примерами функций х (s, t) могут служить
as + Ы, a (stI'*, (as2 + bt2I'*. B.13)
Следует отметить, что из B.11) вытекает условие B.5) с под-
подходящими постоянными а и Ъ. Но дело здесь в том, что, усиливая
предположения, мы получаем более сильные результаты.
Пример 2.12. На конечном интервале [а, Ь] рассмотрим формальный
дифференциальный оператор
L (и) и = р0 (х, и) и" + pi (х, к) и' + рг (х, к) и, B.14)
коэффициенты которого предполагаются голоморфными по ч в окрестности
нуля, вещественными для вещественных ч и обладающими подходящими
свойствами непрерывности по х. Далее, пусть —р0 (х, x)^J> б > 0 для веще-
вещественных х. Обозначим через Т (ч) оператор в X = С [а, Ь] или^Ьр (а, 6),
построенный по L (х), так же как в п. III.2.3 по L был построен оператор Ti
[граничные условия и {а) — и (Ь) = 0]. Семейство Т (и) удовлетворяет пред-
предположениям теоремы 2.6. В самом деле, Т (ч) можно представить в виде B.1)v
где ГС) = Т,
)и' + р^(х)и, ц(а) = и(Ь) = 0, B.15)
и pj") (x) суть коэффициенты Тейлора функции pj (x, ч). Поскольку эти
коэффициенты удовлетворяют неравенствам вида | р^ (х) \ <: KNn, то,
как следует из (IV.1.27), условия B.5) выполнены. Учитывая, что спектр
См. Ш р ё д е р [1], Ш е ф к е [4], П о р а т [1].
§ 2. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (А) . 477
оператора Т — Т @) состоит из изолированных собственных значений крат-
яости 1 (см. пример (III.6.20)), мы видим (теорема 2.6), что эти собственные
значения и соответствующие им собственные проекторы голоморфны по у.
в окрестности нуля.
Пример 2.13. Рассмотрим оператор Шрёдингера
L (и) и = —Дм + q (х) и + и?<х> (х) и B.16)
ъ R3. Предположим, что потенциал q (х) вещественнозначный и может быть
представлен в виде q0 + qu где gt ? L2 (R3), а функция q0 ограничена. Тогда
существует самосопряженное сужение Н оператора L @) [действующее
в Н = 1? (R3)], которое определяется как замыкание минимального опера-
оператора (см. п. V.5.3). Многообразие D (Н) совпадает с D (Яо), где Но — част-
частный случай оператора П для q == 0. Оператор Q умножения на функцию
q (x) является ^0-ограниченным, и его относительная грань равна нулю.
Оператор ()A) = дA) (х) также ^/0-ограничен, и, следовательно, ^-ограни-
^-ограничен (Я-грань равна нулю), если функция дA) представима как сумма двух
вещественных функций из L2 и L00. Итак, операторы Т (ч), определенные
как замыкания минимальных операторов для L (ч), образуют самосопря-
самосопряженное семейство, определенное для всех комплексных ч. Отсюда следует,
что изолированные собственные значения и соответствующие собственные
проекторы оператора Т (у) голоморфно зависят от у, по крайней мере в окрест-
окрестности вещественной оси 1).
4. Радиусы сходимости
и оценки погрешностей приближения
Полученные в конечномерном случае (см. § II.3) оценки радиу-
радиусов сходимости рядов теории возмущений, а также оценки погреш-
погрешностей приближений, даваемых частичными суммами этих рядов,
можно перенести без существенных изменений на случай голоморф-
голоморфных семейств типа (А). Проектор Р (х), определенный форму-
формулой A.3), голоморфен в круге | х | < г0, где г0 вычисляется по
¦формуле B.10) или B.12) в зависимости от рассматриваемого
случая. В частности, голоморфен тотальный проектор Р (х),
-соответствующий А,-группе собственных значений оператора
Т (х), где К — изолированное собственное значение кратности m
оператора Т; контур Г, охватывающий точку ? = X, следует
выбрать так, чтобы число г0 было максимально возможным.
"Среднее арифметическое К (х) собственных значений Я-группы
(учитываемых с кратностями) также голоморфно в круге | х | <
< г0 и, следовательно, радиусы сходимости рядов для Р (х)
и X (х) не меньше чем г0. Если Я^-группа состоит из одного соб-
¦ственного значения Я (х) (нет расщепления), как, например, в слу-
случае m = 1, то X (х) представляется степенным рядом, сходящимся
¦в круге | х | < г0. . . ¦ ¦ . .
х) Здесь мы использойкаи некоторые результаты q ' ««цмрсопряженных
¦семействах. • *
478 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Результаты п. П..3.2, II.3.3 переносятся на рассматриваемый
случай без изменений; отметил!, что в этом случае операторы
в (П.3.10) ограничены (см. замечание 2.10).
Другие результаты § 3 главы II также полезны в нашем случае.
Ясно, что теперь нужно положить N = оо в формуле (П.3.45)
и последующих формулах, в которые явно входит размерность N
пространства X. Эти оценки могут не быть очень точными, однако
большинство из них достаточно удовлетворительно, так же как
в конечномерном случае (см., в частности, п. П.3.5).
Оценка (П.3.32) для (Т — %) ф (х), которая также верна в рас-
рассматриваемом случае, заслуживает особого внимания. Так как
оператор Т — Я, вообще говоря, неограничен, то эта оценка
довольно сильная. Соединенная с оценкой (П.3.30) для ф (х),
она приводит к оценке погрешности приближения для функции
Ф (х) относительно нормы
HI и ||| = а || и || + Р || (Т — X) и ||, B.17)
более сильной, чем исходная норма ||-||. Это дает возможность,
например, оценить погрешность приближения в L°°-норме для
собственной функции оператора в L2 или дать оценку производ-
производных собственной функции.
Пример 2.14. Пусть X = С [0, я] :). Рассмотрим семейство Т (х) =
= Т + х?1'1', где Т — дифференциальный оператор Ти = — и" на интер-
интервале 0 ^ х <J я с граничными условиями и @) = и (л) = 0 (см. примеры
III.6.21 и IV.3.20), а У1' — ограниченный оператор. Каждое собственное
значение Хп = п2 оператора Т изолировано и имеет кратность 1, поэтому
соответствующие собственные значения Хп (х) оператора Т (х) голоморфны,
по крайней мере для малых х. Оценим радиус сходимости ряда Тейлора
функции кп (х).
Для этого рассмотрим замкнутую кривую Г^, аналогичную кривой Гп
из примера IV.3.20, но большую по размерам: Г^ состоит из отрезков пара-
парабол | = а? — гJ/4а2, а = и ± -=- [см. (III.6.49)], и отрезков горизонталь-
горизонтальных прямых т) = + Bп — 1)/я. Из (III.6.48) следует, что || R (?) || <
п —;г-1 для ? ? Т'п. Так как контур Г^ охватывает одно собствен-
собственное значение Хп, то нижняя граница для радиуса сходимости ряда Тейлора
функции Хп (к) дается формулой B.10), в которой следует положить Ъ =
= с=0иа=|| УA> ||. Таким образом, получаем
г, в = ||Г<1)||. B.18)
Коэффициенты Х^ ряда Тейлора для Хп (х) можно оценить, например,
по формулам (II.3.5). Для этого требуется вычислить максимальное рас-
расстояние от точки %п = п2 до точек контура Г^. Непосредственные вычисле-
:) Мы рассмотрим ниже ту же задачу в пространстве L2 @, л); см. при-
пример 2.17.
§ 2. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (А) 479
яия приводят к неравенству р <; A + 4я~2I^2 п ^ 1,2 п и поэтому
*, v=l, 2,.... B.19)
Эта оценка не очень точна, по крайней мере для малых v. Лучшую оценку
можно получить методом мажорирующих рядов. Для этого вычислим вели-
величины р, д, s из (II.3.15), соответствующие собственному значению кп = га2.
Оператор S = Sn в рассматриваемом случае есть интегральный оператор
с ядром s (у, х), определенным формулой (III.6.46), и поэтому || S || =?j
я
<; sup ^ \ s (у, х) \ dx (см. пример III.2.11; так как X = С [0, л], то при-
о
менима оценка для р = то). Таким образом, имеем *) || S || < 1,7ге и
|| s — Р/Ап2 || < У2/П. Так как || Р || = 4/я < 1,3 (см. пример III.3.23),
то справедливы следующие оценки:
р < 1,3а, д < l,7a/n, s < 1,5/». B.20)-
Подстановка этих неравенств в (П.3.21) дает нижнюю границу для рассма-
рассматриваемого радиуса сходимости:
г > 0,136п/а; B.21)
эта оценка не так точна, как оценка B.18). Из (II.3.22) следует, что
[d<l,3e, |d<2,3a«/n, |^3)|<8,la3/n2, B.22)
эти оценки значительно точнее тех, которые получаются из B.19). Аналогич-
Аналогично с помощью (II.3.18) оцениваем погрешность первого приближения для
Хп (х):
| %п (И)_п2_и^и |< 8,8 | х I* «а/п, B.23)
если | х | < 0,136ге/а.
Отметим, что коэффициент 8,8 в правой части неравенства B.23) опре-
определяется областью изменения переменной х; этот коэффициент можно умень-
уменьшить, если сузить область изменения х. Если, например, | х | < 0,12n/a, то
I К (х) — гР—хк™ |< 4,9 | х2 | аУп. B.24)
Для собственной функции Фд (х), нормированной условиями (П.3.26), спра-
справедлива оценка (см. (II.3.38)):
|| фд (х) — sin rex || < 3,7 | х | а/п, B.25)
если | х | ^ 0,12ге/а; здесь sin nx — невозмущенная собственная функция
нормы 1. Отметим, что в (П.3.26) имеем г|з (ж) = 2л-1 sin nx, и поэтому из
условия нормировки следует, что векторы sin nx и <рп (х) — sin nx орто-
ортогональны.
Оценка для (Т — Хп) срп (х) = —фп (х) — га2фп (х) дается неравенст-
неравенством (II.3.40). Так как правая часть этого неравенства совпадает с точностью
до s0 с правой частью в (II.3.38), то при | х [ < 0,12ге/а имеем
|| Ф; (и) + «2Фп (х) || < 2,2 | х | а. B.26).
Оценки B.25) и B.26) приводят к неравенству
II d?/dx* (Фп (х) - sin nx) || < B,2 + 3,7n) \x\a, B.27)-
г) См. Розенблум [1], где тот же самый пример изучен другим-
методом. Отметим, что сумма первых двух членов в выражении (III.6.46)»
для ядра оператора S служит ядром оператора S ~ Р/4п2.
-480 Гл. VIII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
откуда после интегрирования по х получаем
|| dldx (ф„ (х) — sin пх) |Кя B,2 + 3,7n) | x | а; B.28)
•отметим, что производная функции фп (х) — sin ад обращается в нуль в не-
некоторой точке интервала @, я), так как сама функция срп (х) — sin пх равна
нулю в точках 0 и я.
Замечание 2.15. Оценка B.28) очень грубая. Более точный результат
можно получить с помощью формулы
Ф„ (х) — sin пх = Sn (Г — %п) (Фп (х) — sin иг); B.29)
отметим, что Sn (Т ~ %п) cz 1 — Рп и Рп (срп (х) — sin пж) = 0 согласно
нормировке функции срп (х). Так как Sn — интегральный оператор с ядром
s (у, х), то, дифференцируя B.29), получаем
¦^ [фп (x)-sin пх] = 5^ (Г-^) (Фп (х) -sin пх), B.30)
где SJj, — интегральный оператор с ядром — s (у, х), которое кусочно-непре-
кусочно-непрерывно по х и у. Поэтому
•^-[фп (х)—sinnx]
B.31)
¦Здесь || Sn || оценивается величиной sup f | — s (у, х) I dx, которая, как
можно показать, ограничена при п-и». Таким образом, B,31) приводит
к более точному результату, чем B.28).
Задача 2.16. В примере 2.14 оценить по формулам (II.3.19) и C.41)
погрешность второго приближения для Хп (х) и погрешность первого при-
приближения для фга (х).
5. Нормальные невозмущенные операторы
Если X = Н — гильбертово пространство и Т = Т @) —
нормальный оператор, то предыдущие результаты значительно
упрощаются. При этом требуются лишь незначительные модифи-
модификации по сравнению с соответствующим конечномерным случаем
(см. п. П.3.5).
В силу неравенств (V.4.9) формула B.12) принимает вид
го = min [ х ( sup | X' — ? I, sup | X' | | X' - ? I) + e]'1.
?еГ *?Z(r) B.32)
Если X — изолированное собственное значение оператора Т и d —
расстояние от X до множества остальных собственных значений,
то удобно взять в качестве контура Г окружность | ? — X | = d/2.
Тогда [X' ~ ? Г^г/йи \Х' ЦХ'-? I'^l+I ? |1 X' - ? Г1 <
^ 1 _(. (| х | 4- 2-xd) 2d-J = 2 + 2 | X | d для А/ 6 2 (Г) и ? ? Г.
Поэтому
B.33)
§ 2. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (А) . 481
Если наложить условие B.5), то предыдущая оценка принимает вид
1, B.34)
что соответствует формуле (П.3.51).
На мажорирующие ряды, рассмотренные в предыдущем пунк-
пункте, можно перенести результаты п. II.3.2—3.3, полагая
р = || ТПР ||, q = || Т&S ||, s = || S || = Ш B.35)
[см. (II.3.15) и (V.3.20)]. Если оператор 77'1) ограничен, то можно
положить
Р = II УA) II. Я = II УA) ll/d, s = 1/d, B.36)
так как || Р || = 1.
Пример 2.17. Рассмотрим в гильбертовом пространстве Н = L2 @, я)
оператор из примера 2.14. В рассматриваемом случае оператор Т самосопря-
самосопряжен; так же, как и выше, собственные значения оператора Т суть кп = п?,
а нормированные собственные функции имеют вид <рп = B/пI/2 sin пх.
Резольвента R (Q оператора,Т есть интегральный оператор с тем же ядром
s (у, х), но другой нормой по сравнению с предыдущим примером. В частно-
частности, норма приведенной резольвенты S, соответствующей собственному зна-
значению кп = п2, равна 1/d [см. B.35)], где d = dn — расстояние от Хп = п2
до множества остальных собственных значений:
dn = 2п — 1, п > 2, dj = 3. B.37) '
Рассмотрим теперь возмущенный оператор Т (х) = Т + ч?1*1», где
оператор Г'1' предположим Т-ограниченным [см. B.6)]. Радиус сходимости
ряда Тейлора для собственного значения кп (х) оператора Т (х) оценивается
согласно B.34), где следует положить с = 0. Если оператор f<lj ограничен,
то можно считать, что а = j| ГA> ||, Ъ = 0, и в качестве нижней границы
для радиуса сходимости получим величину
^ = -^^; B.38)
2а а ч '
если п = 1, то множитель п — 1/2 следует заменить на 3/2. Эта оценка точ-
точнее, чем оценка B.18), получепная в предыдущем примере; следует, однако,
отметить, что ограниченный в С [0, я] оператор Т'1' не обязан быть огра-
ограниченным в L2 @, л), а если он ограничен, то не обязательно имеет ту же
самую норму. Если ТA> — оператор умножения на функцию д (х), то
II ^A) Не = II 21'1' Hl2 = SUP I 1 (х) 1> в этом слУчае 1Атеория дает более
точную оценку для г0.
В этой связи поучительно сравнить различные оценки, получаемые
методом мажорирующих рядов в Ь2-теории и С-теории. Подставляя значе-
значение d = dn из B.37) в B.36) и используя формулу (II.3.21), получаем в каче-
качестве нижней границы для радиуса сходимости величину (п — 1/2)/2о; эта
оценка слабее, чем B.38). Следующие оценки получаются так же, как в при-
примере 2.14:
2
К (х)-
re —1/2
1/2-
J 2а, 41/»'
31 Т. Като .
482 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
|С<», |С|<<*2/2(га-1/2), |О<<*3/2 (га-1/2J B.40)
\Ъп{х)-п*-хк™\<С2\х\»аЧ(п-Щ, если |к[ < П~^/2 , B.41)
, . , /~~2 . II ^ 2 I к|а , , га —1/2
пМ-J/ — sta rax j| <: Д^ , |и|<—2~. . B.42)
При га = 1 во всех предыдущих формулах выражение ге — 1/2 следует заме-
заменить на 3/2. Оценки B.39) — B.42) интересно сравнить с соответствующими
оценками в примере 2.14. При этом следует иметь в виду, что нормы в B.25)
и B.42) суть С-норма и 1Анорма соответственно, собственные значения
одинаковы в обоих случаях, а собственные функции отличаются лишь нор-
нормирующими множителями. Оказывается, что 1Атеория дает, как правило,
более точные результаты, чем С-теория, в том случае когда || Г<х> || с =
= || Л1) Hjl.2 (например, для оператора умножения на функцию).
Оценки погрешностей приближения для собственных векторов, полу-
полученные в рамках С-теории, имеют самостоятельный интерес, так как С-нор-
С-норма сильнее нормы пространства L2. При получении этих оценок мы можем
использовать результаты Ь2-теории. В самом деле, при построении мажори-
мажорирующей функции для собственного вектора (см. II.3.30)) мы использовали
мажорирующую функцию Т (к) для к (к) — Л, а так как собственные значе-
значения рассматриваемого семейства одинаковы в двух теориях (С и L2), то в ка-
качестве ? (к) можно взять мажорирующую функцию, построенную в L2-
теории.
В заключение отметим, что оценки для собственных функций в С-норме
можно вывести в рамках Ь2-теории. Для этого нужно сначала оценить
(Т — Хп) (фп (х) — 1/ — sin nx) по формуле (II.3.32) и затем применить
формулу B.29) (где в соответствии с Ь2-нормировкой функцию sin nx следу-
ет умножить на 1/ —). Если мы вычислим норму оператора Sn, рассма-
триваемого как оператор из L2 в С, то сможем оценить С-норму вектора
Фп (к) — Л/ — sin nx- Норму такого оператора Sn можно оценить в тер-
г JX
минах ядра s (у, х) величиной sup || s (у, •) ||2 [|| s (у, ¦) ||2 означает Ь2-норму
у
s {у, х), рассматриваемую как функция от х при фиксированном у].
§ 3. Самосопряженные голоморфные семейства
1. Общие замечания
При рассмотрении голоморфных семейств Т (х) операторов
в гильбертовом пространстве Н наиболее важным частным слу-
случаем следует считать тот, в котором операторы Т (х) самосопря-
самосопряжены для вещественных х. Точнее, предположим, что семейство
операторов Т (х) 6 ^ (Н) голоморфно в области Do, симметричной
относительно вещественной оси, операторы Т (х) плотно опреде-
определены для каждого х и Т (х)* = Т (х). Такое семейство Т (х)
§ 3. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА 483
назовем самосопряженным голоморфным семейством. Ясно, что
оператор Т (х) самосопряжен для каждого вещественного х ? Do.
Предположение самосопряженности приводит к значительным
упрощениям в общей теории голоморфных семейств, изложенной
в предыдущих параграфах. Предположим, например, что для не-
некоторого вещественного х0 6 Do спектр 2 (х0) = 2 (Т (х0)) имеет
лакуны в точках аир. Пусть Г — замкнутая кривая, проходя-
проходящая через точки а и |3, рассмотренная в п. V.3.5, и М' (х0) Ф
ф М" (х0) — соответствующее разложение пространства Н в пря-
прямую сумму. Согласно общим результатам п. 1.3, 2 (х) = 2 (Т (х))
также разбивается кривой Г на части 2' (х), 2" (х) и имеет место
соответствующее разложение Н = М' (х) Ф М" (х), если число х
достаточно близко к х0. В частности, спектр 2 (х) самосопряжен-
самосопряженного оператора Т (х) для вещественных х, близких к х0, имеет
лакуны в точках а и |3. Проекторы Р (х) на М' (х) параллельно
М" (х) образуют самосопряженное семейство:
Р (х)* = Р (х). C.1)
Для доказательства достаточно заметить, что равенство C.1)
справедливо для вещественных х, так как Т (х) самосопряжен
и, следовательно, Р (х) — ортогональный проектор. Затем равен-
равенство C.1) продолжается в комплексную область по теореме един-
единственности [которая здесь очевидна, так как семейство Р (х)
ограниченно-голоморфно].
Часть оператора Т (х) в инвариантном подпространстве М' (х)
можно отождествить с оператором Тт (х) = Т (х) Р (х) ==
= Р (х) Т (х) Р (х), который ограниченно-голоморфен по х и само-
самосопряжен. Для того чтобы избежать неудобств, связанных с зави-
зависимостью М' (х) от х, введем так же, как в п. 1.3, трансформирую-
трансформирующую функцию U (х). Оператор U (х) в рассматриваемом случае-
унитарен для вещественных х, так же как в конечномерном случае
(п. II.6.2). Операторы Т (х), определенные формулой A-5), обра-
образуют самосопряженное семейство, которое можно рассматривать
как самосопряженное ограниченно-голоморфное семейство в (фик-
(фиксированном) гильбертовом пространстве М' (х0) [которое инва-
инвариантно относительно Т (х)]. Если, в частности, подпространство
М' (х0) конечномерно, то М' (к) также конечномерно и к семей-
семейству Т (х) можно непосредственно применять результаты § II.6.
Эти рассмотрения приводят к следующим результатам. Если
для вещественного х0 оператор Т (х0) имеет конечную систему
собственных значений, то эти собственные значения голоморфно
зависят от х в окрестности точки х0. При этом собственные зна-
значения могут расщепляться, но они не имеют особенностей. Соот-
Соответствующие собственные проекторы также голоморфны по к,
а нильпотентные части тождественно равны нулю. Короче говоря,
31*
484 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ,;
существует полная аналогия с конечномерным случаем, если мы
рассматриваем ограниченную часть спектра 2 (х) для значений х,
близких к х0.
По поводу общих свойств рядов теории возмущений для само-
самосопряженных голоморфных семейств Т (х) мы отсылаем читателя
к материалу п. 1.5 и параграфа 2 гл. II. Самосопряженность
семейства Т (х) (так же как и в конечномерном случае, см. п. П.6.1)
обеспечивает неограниченную применимость процесса редукции
к изолированному собственному значению К конечной кратности
пг оператора Т @). Этот процесс следует применять до того момен-
момента, с которого прекращается расщепление и, следовательно, сред-
среднее арифметическое собственных значений соответствующей груп-
группы совпадает с самим собственным значением. В рассматриваемом
случае процесс редукции неограниченно применим потому, что
на каждом шаге процесса оператор Г<п> @) является (конечно-
(конечномерным) самосопряженным оператором. Мы не будем входить
в дальнейшие подробности, так как здесь нет ничего нового по
сравнению с конечномерным случаем [см. п. II.6.1], поскольку
мы рассматриваем ограниченно-голоморфное семейство Г,- (х) -=
= Т (х) Р (к), которое по существу является частью Т (х) в /га-
/галерном подпространстве М (х) = Р (х) Н.
Задача 3.1. Необходимым условием того, что % (к) не расщепляется.
служит скалярность оператора Г'1' @). [В том случае, когда семейство Т (к)
определено формулой B.1), J'1' @) = РТ^Р.]
Если Т (х) — самосопряженное голоморфное семейство типа
(А) в окрестности точки х = 0, то оно представимо в виде B.1),
где Т — самосопряжен, а все Г<п) симметричны [так как скаляр-
скалярное произведение (Г(п'и, и) должно быть вещественным]. Обрат
но, семейство Т (х), определенное равенством B.1), самосопряже-
самосопряжено и принадлежит типу (А), если Т самосопряжен, а операторы
ГС) симметричны и удовлетворяют условиям B.5) или B.11);
это прямое следствие теоремы 2.6 и теоремы 4.4 главы V.
2. Продолжение собственных значений
Если Т (х) — самосопряженное голоморфное семейство, то
изолированное собственное значение Я, конечной кратности опера-
оператора Т = Т @) расщепляется, вообще говоря, на несколько соб-
собственных значений Я, (х) оператора Т (х), голоморфных в окрест-
окрестности нуля [предполагается, что точка х = 0 принадлежит обла-
области определения Do семейства Т (хI. Собственное значение А, (х)
и соответствующий ему собственный проектор будем продолжать
вдоль вещественной оси, в результате снова получим собственные
значения и собственные проекторы для операторов семейства
Т (х). Это верно даже в том случае, когда график функции К (х)
§ 3. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА 485
пересекает график другой такой функции, поскольку собствен-
собственное значение изолировано и имеет конечную кратность. Таким
образом, возникает максимальный интервал I вещественной оси,
на котором функции Я (х) и Р (х) голоморфны и представляют
собственные значения и собственные проекторы операторов Т (х) х).
Максимальный интервал I, вообще говоря, зависит от функции
% (х). В конце интервала I собственное значение X (х) может
вести себя по-разному: оно может стремиться к бесконечности
или может поглощаться непрерывным спектром 2). Мы проиллю-
проиллюстрируем эти явления на ряде примеров.
Пример 3.2. В качестве примера, в котором К (у) -*¦ —оо в граничной
точке максимального интервала, возьмем собственное значение \д (у) из
примера 1.11. Максимальный интервал в этом случае есть полуось @, оо)
и % (у) -»- — оо при х -> +0 (см. рис. 1 на стр. 367).
Пример 3.3. Пример поглощения собственного значения непрерывным
спектром дает оператор Шрёдингера, соответствующий прямоугольной потен-
потенциальной яме. Рассмотрим в Н = L2 @, оо) дифференциальный оператор
Т (у) = —d?/dx* + щ (х) с граничным условием и @) = 0; предположим,
что функция q (x) имеет вид
д(х) = — 1, ~0<г <6; ?(ж) = 0, х > 6. C.2)
Как следует из замечания в конце п. 1, Т (у) — самосопряженное голоморф-
голоморфное семейство типа (А); возмущение здесь даже ограничено, так как опера-
оператор умножения на функцию д (х) ограничен. Допустим, что Т (х) имеет
собственную функцию ф (ж) = ф (ж; у), принадлежащую отрицательному
собственному значению К = К (у.). Функция ср удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальным уравнениям
Ф° + (Я, + у) ф = 0 для 0<ж<6иф"+Я,ф=0 для х > Ъ. C.3)
Поэтому ф = a sin (К + хI^ х для х < Ь и <р = pV(~xI/2X для х > 6.
Постоянные %, а, р" определяются из условий непрерывности функций ф (х)
и ф' (х) в точке х = Ъ, так как все функции из D (Т (у)) = D должны удов-
удовлетворять этим условиям. Таким образом, приходим к следующему урав-
уравнению для (х = —X (у) > 0:
У х - (х ctg (У й=^Гб) = - У jl. C.4)
Нетрудно показать, что это уравнение имеет N положительных кор-
корней, если .
/ 1 \2
где yN=lN— y| я2гг2; C.5)
каждый из этих корней возрастает, начиная с нуля, при возрастании х
(см. рис. 2).
С другой стороны, известно, что Т (х) не имеет неотрицательных соб-
собственных значений; его спектр состоит из отрицательных изолированные
собственных значений и непрерывной компоненты, заполняющей положи-
положительную вещественную полуось 3).
х) Трансформирующая функция U (у) существует и унитарна для х 6 I
и поэтому существует ортонормированный базис {<pj (у)} в Р (у) Н, такой,
что каждая вектор-функция ф^ (у) голоморфна для у t I; см. п. 1.3 и п. II.6.2.
2) Точное определение непрерывного спектра приведено в § Х.1.
3) Строгое доказательство этого факта будет приведено в главе X; см.
сноску 2) на стр. 676.
486
Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Предположим теперь, что к возрастает от —оо до +оо. Оператор Т (к)
не имеет собственных значений, если к ^ Ки первое собственное значение
%i (х) возникает при к = щ + 0, функция Х4 (к) убывает и Я( (xi) = 0; второе
собственное значение Х2 (х) возникает при к = к2 + 0, Х% (к) убывает
и Хг (и2) = 0 и т. д. Максимальным интервалом для Кп (к) служит (кп, то).
Рис. 2. Спектр оператора —и" -\-щ(х)и на полуоси @, со) с граничным
условием и@)=0; потенциал—прямоугольная яма ширины b и глубины к.
В левом конце этого интервала собственное значение Хп (к) поглощается
непрерывным спектром. Простые вычисления показывают, что функция
Я„ (х) ведет себя в концах интервала (кп, оо) следующим образом:
C.6)
3. Уравнения Матье, Шрёдингера и Дирака
Приведем другие примеры самосопряженных голоморфных
семейств типа (А).
Пример 3.4. Уравнение
и" + (Х+ 2к cos 2х) и = 0, —я
я,
C.7)
называется уравнением Матье. Рассмотрим решения этого уравнения (функ-
(функции Матье), периодические по г с периодом 2я. Эти решения суть собствен-
собственные функции оператора
Т (х) = Т + кГ<1>, Г = —cPlcb?, Т<Ь = —2 cos 2г, C.8)
с граничными условиями
к (я), и' (-я) = и' (я). v
C.9)
Будем считать, что операторы в C.8) действуют в гильбертовом про-
пространстве Н = L2 (—я, я). Оператор Г самосопряжен и имеет дискретный
§ 3. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА 487
спектр. Его собственные значения и нормированные собственные функции
таковы:
Х+ = п2, ф + {х)=^я~1/2 cosnx, ¦ C.10)
^п—п , (рп (г) = я~1/ sin nx, ге=1, 2, 3, ...;
мы видим, что каждое положительное собственное значение п2 имеет крат-
кратность 2. Оператор Т1^ умножения на функцию —2 cos 2x симметричен
и ограничен, причем || ГA> || = max [ 2 cos 2х | = 2. Очевидно, что Т (к) —
самосопряженное голоморфное семейство типа (А). Вырожденность собствен-
собственных значений оператора Т не усложняет рассмотрение задачи на собствен-
собственные значения для Т (к), так как операторы Т и Т7'*' вполне приводимы отно-
относительно разложения '
где верхние индексы + соответствуют множествам функций, симметричных
и антисимметричных относительно точки х — 0 (четные и нечетные функции),
а нижние индексы 0 и 1 отвечают множествам функций, соответственно сим-
симметричных и антисимметричных относительно точки х = я/2 (здесь мы
предполагаем, что все рассматриваемые функции периодически продолжены
на всю вещественную ось с периодом 2я). Так, например, М^" — это множе-
множество функций, симметричных как относительно нуля, так и относительно
точки х = я/2. Очевидно, что четыре подпространства в C.11) взаимно орто-
ортогональны и порождают все пространство, а операторы Г и Г'1* разложимы
в прямые суммы, соответствующие C.11), причем части этих операторов
в каждом из подпространств М?, М|, Mj, Mf снова самосопряжены. Каждая
такая часть оператора Т имеет простые собственные значения, указанные
в следующей таблице:
Мо: А.о, фо и Кп, фп, п = 2, 4, 6, .,.,
М]"; кп> Фп, п = 1, 3, 5, ...,
М7; Я.Й, Фп, «=1, 3, 5, ...,
МГ: Я.Й, фп. 1 = 2, 4, 6, ... .
Таким образом, при рассмотрении возмущенного оператора Т (х) мы
можем считать собственные значения Ко и X* простыми; расстояния d0 и d^
от этих собственных значений до множества остальных собственных значе-
значений в подпространствах C.11) таковы:
Й± = ге2_(„_2J = 4(п—1) для ге>3.
Так как || Г'1' || = 2, то в качестве нижней границы радиуса сходимости г^
ряда для собственного значения X* (к) и соответствующей собственной функ-
функции оператора Т (х) можно взять число d^/2 || Г'1) || [см. B.34), где следует
положить Ь = с = 0]; таким образом,
гО>1» г1±>2, /-2>1, ^>3, г±>га-1 для и>31). C.13)
х) См. также Шефке [4]. Число г0 изучалось Уотсоном [1]
(он показал, что г0 > "J/2) и Баукэмпом [1] (го = 1,468 . . .) посред-
посредством прямого, но более сложного метода.
488 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
В соответствии с результатами § II.3 и с учетом B.36) можно также выписать
мажорирующие ряды для собственных значений и собственных функций
оператора Т (у).
Отметим, что аналогичное изучение семейства Т (у) можно провести
также в пространстве С [—л, я] (или, точнее, в его подпространствах, состо-
состоящих из периодических функций). Хотя результаты, касающиеся собствен-
собственных значений, получатся при этом слабее, оценки для собственных функций
могут оказаться полезными, особенно, если они улучшены с помощью оценок
для собственных значений, полученных в рамках 1Атеории (ср. пример 2.17).
Пример 3.5. Рассмотрим оператор Шрёдингера
Т (х) = — Д + Q + yQ' C.14)
в R3, где Q и Q' суть операторы умножения на вещественные функции д (х)
и д' (х) соответственно. Предположим, что д и q' представимы в виде суммы
функции из La (R3) и функции из L°° (R3) (см. V.5.3). Тогда функция д + к?'
обладает таким же свойством для всех у и поэтому Т (у) самосопряжен для
вещественных ~л (если лапласиан Л понимать в обобщенном смысле).
Далее, так как Q и Q' ограничены относительно оператора Н = —Д,
причем их относительные границы равны нулю, то Q' ограничен относитель-
относительно оператора Т @) = Н + Q и его Н -\- ^-граница равна нулю (см. зада-
задачу IV.1.2). Следовательно, операторы Т (у) образуют самосопряженное
голоморфное семейство типа (А). Отсюда следует, что собственные значения
и собственные функции оператора C.14) суть голоморфные функции от у,.
Так же как в предыдущих примерах, можно дать оценки для радиусов схо-
сходимости рядов теории возмущений (см. также пример 4.23).
Точно так же мы можем рассмотреть оператор Дирака
2» = -j-grad + p + Q+>cQ' C.15)
. ь
и ^получить аналогичные результаты, если потенциалы Q и Q' имеют вид
(V.5.29) и Q не слишком сильный (см. п. V.5.4 и, в частности, замечание 5.12),
4. Скорость роста собственных значений
В ряде случаев представляет интерес вопрос о том, как быстро
возрастает собственное значение К (х) оператора Т (х) в зависи-
зависимости от х. Для простоты мы ограничимся случаем самосопря-
самосопряженного голоморфного семейства Т (к) и вещественными значе-
значениями х; таким образом, операторы Т (х) самосопряжены, а функ-
функция X (х) вещественна.
В общем случае трудно оценить скорость роста функции X (х).
Так, у оператора Т (х) из примера 1.11 существует собственное
значение Хо (и), х> 0, которое стремится к —оо при х ->¦ +0.
Мы покажем сейчас, что такое быстрое возрастание собственных
значений не имеет места для голоморфных семейств типа (А).
Для этого удобно рассматривать не только голоморфные функ-
функции К (х), но также и кусочно-голоморфные непрерывные функции
|х (к), образованные из частей функций К (х). Такие функции
получаются переходами с графика одной функции К (х) на график
другой такой функции в точках пересечения их графиков. Соб-
Собственные значения, рассмотренные в п. II.6.4, принадлежат этому
§ 3. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА 489
типу. Такая функция ц. (х) может быть определена на большем
интервале, чем любая из составляющих ее голоморфных частей.
Предположим, что в области Do определено самосопряженное
голоморфное семейство Т (х) типа (А). Справедливо неравен-
неравенство B.3), которое утверждает, что Т' (х) ограничен относитель-
относительно Т (х):
|| Г (х)иЦ^а' \\и\\ + Ъ' ||Г(х)и||, u?D, x6I, C.16)
где D = D (Т (х)) и Icz Do — отрезок вещественной оси. Посто-
Постоянные а' и Ъ', вообще говоря, могут зависеть от выбора I. Пред-
Предположим для удобства, что I содержит точку к = 0.
Теорема 3.6. Сохраним обозначения предыдущего абзаца.
Пусть \i (х) — непрерывное кусочно-голоморфное собственное зна-
значение оператора Т (х). Тогда
±(a' + b')\[i(O)\)(eb'l-\-l), C.17)
если и ? I и функция jx определена в точке х.
Доказательство. Для любой точки х, в которой
|х (х) голоморфна, имеем
ц' (х) = (Г (х) Ф (х), Ф (х)), C.18)
где ф (х) — нормированный собственный вектор, принадлежа-
принадлежащий собственному значению jx (x) х); представление C.18) доказы-
доказывается так же, как формула (II.6.10), с одним лишь несуще-
несущественным отличием, что семейство Т' (х) здесь не постоянно.
Из C.12) и C.16) следует, что
| fx' (х) | < || Г (х) Ф (х) || < а' + Ъ' || Т (х) Ф (х) || =
= а' + Ъ' | ц (х) |. C.19)
Поскольку функция | (д, (х) | кусочно-голоморфна, так же как
и (д. (х), то нетрудно решить дифференциальное неравенство C.19)
и, как следствие, получить оценку C.17).
Замечание 3.7. Оценка C.17) показывает, что функция (д. (х)
не может расти быстрее, чем показательная функция. Таким
образом, собственное значение Я, (х) не может стремиться к бес-
бесконечности в вещественной точке х ? Do.
Задача 3.8. В теореме 3.6 предположим, что Т @) ограничен снизу.
То же самое верно для всех операторов Т (к), х ? I, и нижняя граница v (и)
оператора Т (х) удовлетворяет неравенству C.17). Это верно даже в том
случае, когда Т (х) имеет непрерывный спектр. [Указание', применить нера-
неравенство (V.4.13) к Т = Т (к) и S = Т (х + rfx) и вывести дифференциальное
неравенство типа C.19) для v (*)¦]
г) Существование нормированного собственного вектора ф (к), кусоч-
кусочно-голоморфного для х gl, следует из утверждения в сноске *) на стр. 485.
490 . \ Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
5. Одновременное рассмотрение всех
собственных значений
Результат предыдущего пункта используется при изуче-
изучении поведения всей совокупности собственных значений опера-
оператора Т (х) в том случае, когда эти операторы образуют самосо-
самосопряженное голоморфное семейство типа (А). Так как наличие
непрерывной компоненты в спектре оператора Т (х) приводит
к значительным трудностям при изучении совокупности всех
собственных значений этого оператора, то мы предположим, что
Т (х) имеет компактную резольвенту. Достаточно предположить
это для одного значения х, так как тогда в силу теоремы 2.4
то же самое верно для всех ?. В этом случае каждое собственное
значение X (х), начиная с собственного значения X = X @) опера-
оператора Т = Т @), можно продолжить голоморфно на все веществен-
вещественные точки х ? Do (мы предполагаем, что точка х = 0 принадле-
принадлежит Do); другими словами, максимальный интервал для X (х)
совпадает со всем интервалом 10 вещественных чисел х, принад-
принадлежащих Do (будем считать для простоты, что 10 связен).
Пусть I — максимальный интервал для X (х); предположим,
что его правая граничная точка xt является внутренней точкой
интервала 10. По теореме 3.6 функция X (х) ограничена прих / щ.
Покажем, что X (х) стремится при х / х4 к собственному значе-
значению [X оператора Т (xj). Так как Т (xj) имеет компактную резоль-
резольвенту, то существует лишь конечное число изолированных соб-
собственных значений ц±, . . ., \iN оператора Т (и4) в интервале
| X | <С М, где М — такая постоянная, что | X (х) \ <С М при
х Z1 щ; все другие точки интервала | % \ < М принадлежат
Р (Т (х4)). Согласно свойству полунепрерывности сверху спектра
(см. п. IV.3.1), часть 2 (Т (х)), лежащая в интервале | А, | ¦< М,
сосредоточена в малой окрестности множества {\ij, / = 1, . . ., N}
при условии, что х достаточно близко к Xj. Поэтому X (х) как
собственное значение оператора Т (х), должно сходиться при
х / Xj к некоторому числу [X = [Xj. Таким образом, X (х) совпа-
совпадает с одной из голоморфных функций, представляющих соб-
собственные значения оператора Т (х), возникающие при расщепле-
расщеплении собственного значения jx оператора Т (xj). Итак, X (х) допу-
допускает аналитическое продолжение за точку х4 в противоречии
с предположением, что щ является правым концом максимально-
максимального интервала для X (х).
Теорема 3.9 -1). Пусть Т (х) — самосопряженное голоморфное
семейство типа (А), определенное в окрестности интервала 10
вещественной оси. Предположим, что Т (х) имеет компактную
Эта теорема доказана Реллихом [5] другим методом.
§ 3. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА 491
резольвенту. Тогда все собственные значения операторов Т (х)
представляются голоморфными на 10 функциями. Точнее, суще-
существует последовательность скалярных функций |хп (х) и последо-
последовательность вектор-функций ц>п (х), голоморфных на 10 и таких,
что для каждой точки х ? 10 последовательность |хп (х) пред-
представляет полный набор собственных значений оператора Т (х),
а последовательность фп (х) образует полное ортонормированное
семейство собственных векторов этого оператора.
Доказательство. Первая часть теоремы была доказа-
доказана выше *). Остается показать, что собственные векторы образуют
полную систему. Но это — другое выражение того факта, что
все собственные проекторы самосопряженного оператора с ком-
компактной резольвентой образуют полный набор (см. V.3.8).
Замечание 3.10. Каждая функция Я,„ (х) голоморфна в неко-
некоторой комплексной окрестности интервала 10, однако эта окрест-
окрестность зависит от п; поэтому в общем случае не существует ком-
комплексной окрестности интервала 10, в которой определены все
функции 1п (х).
Замечание 3.11. Предположение теоремы 3.9 о том, что Т (х)
имеет компактную резольвенту, довольно существенно. Анало-
Аналогичный результат можно ожидать для самосопряженного голо-
голоморфного семейства компактных операторов Т (х); при этом
некоторые трудности связаны с наличием в спектре оператора
Т (х) точки, предельной для собственных значений. В самом деле,
каждое собственное значение X (х) оператора Т (х) можно продол-
продолжать аналитически до тех пор, пока оно не обратится в нуль.
Если же Я- (х0) = 0, то функция X (х) может не иметь аналитиче-
аналитического продолжения через точку х0- Можно указать достаточное-
условие того, что X (х) нигде не обращается в нуль, если только
К (х) ф 0; в этом случае заключение теоремы 3.9 сохраняет силу,
если систему {фп (х)} дополнить собственными векторами, при-
принадлежащими собственному значению Я,о (х) == 0 оператора Т (х).
В качестве примера такого достаточного условия 2) приведем
следующее: существуют положительные постоянные m, M такие,
что для вещественных х
и» || Т @) и Ц < || Т (х) и || < М || Т @) и ||, ие Н. C.20)
*) По поводу существования ортонормированного семейства {<рп (х)}
собственных векторов см. сноску г) на стр. 485.
а) Другое достаточное условие таково: 0 < тпТ @) < Т (х) < МТ @);
доказательство достаточности такое же, как для условия C.20). Эти условия
даны Реллихом [5].
492 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
В самом деле, из C.20) следует, что ядро N оператора Т (х) не за-
зависит от х (для вещественных'х). Таким образом, любое ортонор-
мированное семейство в N может служить частью системы {ц>п (х)},
соответствующей собственному значению Кп (х) = 0. Поскольку
Т (х) самосопряжен для вещественных %, то он разложим в пря-
прямую сумму своих частей в N и N-1. В подпространстве Ш- опера-
оператор Т (х) не имеет нулевого собственного значения и поэтому
справедливо заключение теоремы 3.9.
§ 4. Голоморфные семейства типа (В)
1. Ограниченно-голоморфные семейства
полуторалинейных форм
Пусть {t (х)} — семейство полуторалинейных форм в гиль-
гильбертовом пространстве Н. Предположим, что t (х) —¦ ограничен-
ограниченная полуторалинейная форма с областью определения Н для каж-
каждого х ? Do и что функция t (х) [и] голоморфна в области Do
для каждого и 6 Н. Такое семейство назовем ограниченно-голо-
ограниченно-голоморфным.
Из принципа поляризации следует, что функция t (к) [и, v)
голоморфна в Do для каждой пары и, v ? Н [см. (VI. 1.1)]. Семей-
Семейство операторов Т (х) ? $ (Н), определенных равенством
(Т (х) и, v) = t (x) [и, v\, является ограниченно-голоморфным се-
семейством операторов; это следует из теоремы III.3.12. Отсюда,
в частности, следует, что формы t (к) равномерно ограничены
в каждом компактном подмножестве области Do.
Аналогичный результат верен для семейства t (x), определен-
определенного для вещественных х. Допустим, что семейство t (к) опреде-
определено на интервале —г < х < г и функция t (x) [и\ допускает
разложение в степенной ряд, сходящийся на интервале (—г, г).
Тогда соответствующее семейство операторов Т (х) можно про-
продолжить в круг | х | < г комплексной плоскости, причем это
продолжение ограниченно-голоморфно.
Достаточно показать, что семейство t (x) можно продолжить
в круг | к | <С г в классе ограниченных форм. Пусть
t (x) [и, v] = t lu, v] + xt*1» [и, v] + x2t<2> [ц, v] + . . : D.1)
— разложение Тейлора функции t (x) [и, v], получающееся поля-
поляризацией разложения для t (х) [и]. Очевидно, что форма t = t @)
ограничена. Покажем, что все t<n> суть ограниченные полутора-
линейные формы. Полуторалинейность t<n> есть простое след-
следствие полуторалинейности формы t (x) и единственности разло-
разложения Тейлора. .
§ 4. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (В) 493
Из D.1) следует, что tA> lu, v] = Hm x (t (х) — t) [и, v].
Х-+0
Так как этот предел существует для каждой пары и, v ? Н и t (и) —
— t — ограниченная форма для каждого вещественного х, то из
принципа равномерной ограниченности следует, что форма t*1'
ограничена (см. задачу III.1.30). Далее, согласно разложению D.1),
имеем t<2> lu, v] = lim х~2 (t (х) — t — xt^) lu, v] и рассужда-
рассуждала О
яия, аналогичные предыдущим, показывают, что форма t<2) ограни-
ограничена и т. д.
Таким образом, существуют операторы 74") ? $F (H) такие,
что t(™> [м, v] = {Т(пЫ, v), и поэтому разложение D.1) можно
записать в следующем виде:
{Т (х) и, v) = (Tu, v) + к (ТЫи, v) + к (ГB>м, «) + .... D.2)
Этот ряд сходится в круге | к \ < г для каждой пары и, у ? Н.
Поэтому r'n (J4n>w, i>) ->- 0 при п -> схз для всех м, у и каждого
г' <С г. Еще раз применяя принцип равномерной ограничен-
ограниченности (см. задачу III.3.13), видим^ что последовательность
{г'п || Т(п) ||} ограничена при п—*- <х>. Поэтому ряд
Т (х) = Т + хЛ1» + х2ГB) + • • • • D.3)
абсолютно сходится (по норме) для | к | <г и определяет опера
тор Т (к) ? 9S (Н). Таким образом, равенство t (к) [и, v] =
= (Т (%) ц, v) продолжено с интервала {—г, г) на круг | к \ < г
комплексной плоскости, причем операторы Г (х) образуют огра-
ограниченно-голоморфное семейство.
Замечание 4.1. Пусть t (х) — семейство полуторалинейных
форм с областью определения Н такое, что функция t (x) [и]
голоморфна в области Do для каждого и ? Н. Если, кроме того,
существует последовательность кп ? Do, сходящаяся к точке
х0 ? Do, х0 ф хп, такая, что формы t (xn) ограничены для всех п,
то t (x) — ограниченно-голоморфное семейство.
Применяя принцип равномерной ограниченности, покажем,
что формы t (х) ограничены для всех х ? Do. Можно считать,
что х0 = 0, хп Ф 0. Из существования предела lim (T {кп) и, v) =
n-юо
= lim t (xn) [и, у] = t [и, f] следует, что последовательность
Т {кп) равномерно ограничена и, следовательно, форма t огра-
ограничена. Далее, равенство t*1) [и, v] = lim хй1 (t (xn) — t) [u, v]
показывает, что форма t^1' ограничена и т. д. Таким образом,
формы t (x) ограничены в окрестности нуля и это свойство рас-
распространяется на все точки х ? Do.
494 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
2. Голоморфные семейства форм типа (а)
и голоморфные семейства операторов типа (В)
Рассмотрим семейство t (х) полуторалинейных (возможно,
неограниченных) форм, определенное в области Do. Это семейство
назовем голоморфным семейством типа (а), если i) каждая форма
t (х) секториальна и замкнута, причем многообразие D (t (х)) =
= D не зависит от х и плотно в Н, и ii) функция t (х) [и] голоморф-
голоморфна в Do для каждого w?D. Отметим, что из предположения ii)
и принципа поляризации следует, что функция t (х) [и, v] голо-
голоморфна в Do для каждой пары м, у ? D. (По поводу секториальных
форм см. главу VI.)
Теорема 4.2. Пусть t (х) — голоморфное семейство форм
типа (а) и Т (х) = 7*t <Х) — для каждого % есть т-секториалъный
оператор, соответствующий форме t (х). Тогда Т (х) — голоморф-
голоморфное семейство, а сами операторы Т (х) локально равномерно секто-
риалъны.
Голоморфное семейство m-секториальных операторов, постро-
построенное в теореме 4.2 по голоморфному семейству форм типа (а),
назовем голоморфным семейством типа (В) 1).
Доказательство теоремы 4.2. Можно считать,
что точка х = 0 принадлежит Do и что f) = Re tS^l, t = t @);
в противном случае нужно сдвинуть начало комплексной пло-
плоскости и прибавить подходящую постоянную к t (х).
Пусть Н = T<l 2? 1 — самосопряженный оператор, соответ-
соответствующий замкнутой форме f) ^ 1 [Н есть по определению веще-
вещественная часть оператора Т = Т @), см. п. VI.3.1]; рассмотрим
формы t0 (x) [и, v] = t (x) [G"%, G~h], где G = Я1/2. Так как
G~xu 6 D (G) = D (t,) = D согласно теореме VI.2.23, то t0 (x) —
секториальная форма, определенная всюду на Н. Как нетрудно
проверить, форма t0 (x) замыкаема и поэтому, согласно теоре-
теореме VI.1.20, она ограничена. Так как функция t0 (x) [и, v] очевид-
очевидным образом голоморфна в Do для каждой пары и, v ? Н, то формы
t0 (x) образуют ограниченно-голоморфное семейство. Поэтому
существует ограниченно-голоморфное семейство операторов То (х)
такое, что t0 (х) [и, v] = (То (х) и, v) (см. предыдущий пункт).
Заменяя и, v на Gu, Gv соответственно, получаем
t (х) [ц, у] = (То (х) Gu, Gv), и, v e D, G = Я1/2. D.4)
Рассуждения, аналогичные тем, которые были использованы при
выводе формулы (VI.3.4), дают
Т (х) = GT0 (х) G, D.5)
Т (х)-1 = G-*T0 (x)-1 G-1. . , D.6)
х) В частном случае самосопряженных операторов такие семейства
были введены в статье Т. К а т о [8].
§ 4. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (В) 495
Здесь G'1 ? 8) (Н) и семейство То (к)'1 ограниченно-голоморфно
в окрестности нуля, так как семейство То (х) ограниченно-голо-
ограниченно-голоморфно, а оператор То @) имеет вид 1 + W, В* = Б [см. (VI.3.4)]
и поэтому То (О) 6 8/ (Н). Следовательно, семейство Т (к) голо-
голоморфно в окрестности нуля по теореме 1.3. Так как начало ком-
комплексной плоскости можно выбирать произвольно, то Т (х) голо-
голоморфно зависит от х всюду в Do. Из D.4) следует, что формы t (х)
равномерно секториалыш в окрестности нуля, поскольку То @) =
= 1 + Ш и операторы То (у,) равномерно ограничены в окрест-
окрестности нуля. То же самое, следовательно, верно и для Т (х).
Теорема 4.3. Пусть Т (х) — голоморфное семейство операто-
операторов типа (В). Если для некоторого х0 оператор Т (х0) имеет ком-
компактную резольвенту, то и все операторы Т (х) обладают этим
свойством.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.4; нуж-
нужно только воспользоваться теоремой VI.3.4 вместо теоремы IV.3.17.
(Отметим, что m-секториальный оператор имеет непустое резоль-
резольвентное множество.)
Замечание 4.4. В определении голоморфного семейства форм
t (х) типа (а) достаточно потребовать замкнутость форм t (х)
только для значений х, образующих последовательность кп, схо-
сходящуюся к точке х0 ? Do, x0 =/= кп. Для доказательства заметим,
что форма t0 (и), введенная в доказательстве теоремы 4.2, замкну-
замкнута для к = х„. Согласно замечанию 4.1, формы t0 (к) ограничены
всюду в Do и доказательство теоремы 4.2 проводится как обычно.
Далее, из равенства 4.4 следует, что форма t (x) замкнута для
достаточно малых | к |; затем мы распространяем это свойство
на все х ? Do.
Это замечание дает возможность ограничиваться проверкой
замкнутости формы t (и) только для вещественных к в том слу-
случае, когда область Do пересекается с вещественной осью.
Замечание 4.5. Для голоморфного семейства t (к) типа (а)
имеют место следующие неравенства, которые соответствуют
аналогичным неравенствам B.2) — B.4) для семейства операто-
операторов типа (А). (Здесь, так же как в доказательстве теоремы 4.2,
мы предполагаем, что Ц ^ 1.)
11 (хО Ы [ < b | t (x) Ы [,
[ t' {щ) [a, v] | < V | t (x) [u] |V» | t (x) [v] I1'2, D.7)
| (t (щ) - t (x2)) [ц, v] К e | t (x) Ы I1/2 | t (x) lv\ |V2.
Здесь и ? D и a, b, a', V — постоянные, если х и xt пробегают
компактное подмножество в Do; число е можно сделать сколь
угодно малым, если к± и х2 достаточно близки. Неравенства D.7)
496 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
нетрудно доказать, используя представление D.4). Отметим также
что выражение | t (х) [и] | в правых частях этих неравенств мож-
можно заменить на f) (х) [и] = Re t (х) [и], изменяя соответствующим
образом постоянные а, Ъ и т. д. [см. (VI.1.42) — (VI.1.43)]. Нера-
Неравенства D.7) выражают тот факт, что формы t (х) ограничены
относительно друг друга и изменение формы t (х) непрерывно от-
относительно t (х).
Замечание 4.6. Существует несколько полезных тождеств
для резольвенты R (?, х) оператора Т (¦/). Предполагая, как
в доказательстве теоремы 4.2, что Ej ^ 1, имеем
= - (t (xi) - t (x2)) IT (щ)-1 и, Т (x2)*-i v]. D.8)
Это следует из равенств t (xt) [Т (xj) и, g] = (и, g) и
t (х2) I/, У W1 wl = Г(х2)*[7'(х2)*-11;>/] = (Uj) = (/, у), где
/ = Т (хО-1 и 6 D, g = Г (хг)* i; g D.
Устремляя Xi к х2 в D.8), получаем
(±.Т(к)-Ч, v) = -t'(х)[Т(хГи, Г(х)-И D.9)
так как вектор-функция Т (х) м непрерывна (и даже голоморф-
голоморфна) по норме || w ||{ = || Gw \\ в силу формулы D.6).
При замене t (х) и Т (х) на t (х) — ? и Т7 (х) — ? соответ-
соответственно формулы D.8) и D.9) дают
С, хО-
D.10)
, x)u, Д(?, x)*v]. D.11)
Учитывая неравенства D.7), получаем из D.11)
, K)u]\i/2\t(x)*lR(Z, x)*v}\i/2 =
= b'\(T(K)]R(l, к)и, Л(?, x)U)|1/2|(r*
Но || Т (к) R (?, х) || < 1, если ? < 0 (см. задачу V.3.32) и ана-
аналогично || Т (х)* i? (?, х)* || < 1. Поэтому
D.12)
Замечание 4.7. Если t (x) — голоморфное семейство форм
типа (а) и функция t (x) [и] вещественна для вещественных %
(предполагается, что вещественная ось пересекает область Do)-
§ 4. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (В) " 497
то, как нетрудно видеть, t (х)* = t (х); в этом смысле формы
t (х) образуют самосопряженное семейство. Тогда Т (у,)* = Т (х)
и Т (х) образуют самосопряженное семейство операторов (см.
п. 3.1); в частности, для вещественных х оператор Т (х) само-
самосопряжен.
В этом случае по второй теореме о представлении оператор
(Т (у) + А,I/2 имеет постоянную область определения D для веще-
вещественных у. и больших К. Неясно, однако, верно ли то же самое
для комплексных значений и, хотя оператор (Т (х) + Я.I^ кор-
корректно определен, согласно результатам п. V.3.11. Таким образом,
мы не знаем, образуют ли операторы (Т (х) + Я,I/2 голоморфное
семейство типа (А), если Т (х) принадлежит типу (В) или даже
является самосопряженным семейством.
Однако голоморфное семейство операторы (Т (х) + КI/2 обра-
образуют. Для доказательства воспользуемся формулой [см. (V.3.43)]
+ K + v.)-idVi. D.13)
Правую часть в D.13) можно дифференцировать по х под знаком
интеграла, так как, согласно D.12), справедлива оценка
|| d (Т (у.) + Я, + ц)-Ч<1и || < Ъ' (Я, + jx)-1 и поэтому интеграл,
возникающий при дифференцировании подинтегрального выра-
выражения, абсолютно сходится. Это показывает, что операторы
(Т (к) + А,)/2 образуют ограниченно-голоморфное семейство.
Отсюда следует по теореме 1.3, что семейство (Т (х) + XI/2
голоморфно.
3. Критерий голоморфности типа (В)
Теорема 4.8. Пусть t(n), re = 0, 1, 2, ...,— последователь-
последовательность полуторалинейных форм в Н. Предположим, что форма
t = t@> секториалъна, замыкаема и имеет плотную в Н область
определения D (t) = D. Далее, предположим, что формы tn),
п ^ 1, ограничены относительно f(°), т. е. D (t'n)) zd D и
I t С1) [и] | < с"-1 (а |1 и IIя + Ь^ [и]), m6D, ге>1, D.14)
где Ц = Re / и а, Ъ 2? 0. Тогда форма
n=0
D.15)
и соответствующая, полярная форма t (x) [и, v] определены в кру-
круге | х | < 11с. Форма t (x) секториалъна и замыкаема при условии
A х | < 1/(& + с). Замыкщия, % (к) форм t (у) образуют голоморф-
32 т. Като
498 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
ное семейство типа (а), если | х | < 1/(Ь -f- с). Операторы Т (х)
соответствующие формам t (х), образуют голоморфное семей-
семейство типа (В).
Доказательство. Правая часть в D.15) сходится при
| и | < 1/с и определяет квадратичную форму. Полярная полу-
торалинейная форма t (х) [и, v] также определена для | к | •<;
< 1/с. Имеем
| (t (х)-1) [и] |< t _[*'х ( (а || ц |Р + ^ [ц]), |х|<1/с. D.16)
По теореме VI. 1.33 форма t (к) секториальна и допускает замы-
замыкание, если Ъ | х |/A — с | х |) < 1, или, что то же, | к | <<
< i/(b -\- с). Из той же теоремы следует, что замыкания t (x)
и t имеют общую область определения D = D (t). Остается пока-
показать, что для каждого вектора и ? D функция t (x.) [и] допускает
разложение в степенной ряд:
2И D.17)
Здесь t@) = t и t(n) — продолжение формы t<n> с областью
определения D (не обязательно замыкание формы t<n))> причем
такое, для которого справедливо неравенство D.14) с i) = Re t
вместо f). Для и ? D число t<n) [и] определяется как предел
lim t(n> [itj, где последовательность {uk} такова, что uk —> и;
fc-+oo t
существование этого предела следует из D.14). Разложение D.17)
следует из D.15), если в последнем и заменить на и^ и перейти
к пределу при к -> оо.
Так как оператор Т (к) в теореме 4.8 голоморфно зависит от х,
то резольвента R (?, к) = R (?, Г (х)) голоморфна по совокуп-
совокупности Z, и х в подходящей области изменения этих переменных.
Опишем эту область и оценим радиус сходимости ряда Тейлора
и погрешности приближений. Такие оценки можно получить
из доказательства теоремы VI.3.4. Предположим для простоты,
что t) = Ret^0na^0. Заменим в формуле (VI.3.10) оператор
S на Т (к); тогда С в правой части зтой формулы следует заменить
на оператор С (х), определенный формулой (t (х) — t) [и, v\ =
= (С (х) G'u, G'v). Напомним, что G' = Я'1/2, Н' = Н + р > 0.
Ввиду разложения D.17) оператор С (к) имеет вид
С (к) = 2 х"С(п), C(nN^(H), (C(re)G'u, G'y) = tTn) [м, у]. D.18)
71=1
Имеем
|| С(п> || < 2сп-гк, к = max (Ь, а/р) D.19)
•¦ § 4. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (В) ¦ 499
[см. (VI.3.8) — (VI.3.9)]. Таким образом, резольвента Д (?, S) =
= Д (?,, Т (х)) = R (?,, у) имеет разложение
R (?, х) = С-* A - Ъ'Н'-i + iB' + C (x))-1 G'-i =
- D.20)
= Д (Б) + G'-i 2 /(?)(- С (х) / (С))р G'-i,
p=i
где
Л (С) = R (Б, 0) = Д (Б, Г), / @ = A - Е'Я' + iB')-1,
Б' = I + p, D.21)
если | х | настолько мал, что
II С (х) || || /(Р ||<|| / (С) || 2 | х Г || С<"> || < 1. D.22)
д1
В силу неравенств D.19) условие D.22) выполнено, если
| х |< B& || / E) || + с). D.23)
Здесь молчаливо предполагается, что / (Q ? J? (Н); в общем
случае трудно сказать, когда это предположение выполнено,
но если Re I' < 0, то / (?) 6 # (Н) и || / (?) || < 1. Поэтому
условие D.23) выполнено, если
| х |< B& + с)'1, Re ?' = Re ? + р < 0. D.24)
В частности, если — Re ?> а/Ь, то, не нарушая условия Re ?' ^
^ 0, можно считать, что р> alb; в этом случае k = h и усло-
условие D.24) принимает вид | х | < BЬ + с). Другими словами,
резольвента i? (?, х) разлагается в ряд по степеням х, сходящийся
в круге | х | < BЬ + с)'1, если число — Re ? достаточно велико
и положительно. Это приводит к другому доказательству голо-
голоморфности Т (х) в точке х = 0.
Эти результаты можно несколько усилить, если невозмущен-
невозмущенная форма t = I) симметрична и, следовательно, соответствую-
соответствующий оператор Т = Н самосопряжен. В этом случае форма Ц
не обязана быть положительной, постоянная а может быть отри-
отрицательна и для каждого Z, ? Р (Н) оператор / (?) ограничен.
Для доказательства нужно сделать лишь следующие модифика-
модификации в предыдущих рассуждениях. Положим р = аЪ~1 + б, б>> 0;
тогда, согласно D.14), Н' =Д" + р^б>0, неравенства D.19)
справедливы при к = Ъ и ряд по степеням х для Д (?, х) сходится
в круге | х |< BЬ || / (?) || + с) [см. D.23)]. Так как теперь
5' =0, то / (?) = A - I'H'-i)-* = Н' (Н' - П = (Я +
+ ab-1 + 8) (Н - Z)-1 = Ъ-1 (а+ ЪН + Ьв) Д (?). Поскольку
б > 0 произвольно, мы заключаем, что ряд по степеням х для
Д (?, х) сходится в круге | х |< B || (а + ЪН) R (Б) || + е)~1.
Множитель 2 в последнем неравенстве можно опустить, если
32*
500 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
все формы t<n> симметричны, так как тогда из (t<n) [и] | ^
< ЪЦГ [и] следует, что | t<n> [и, v] |< b || G'u || || G'v ||. Случай
6=0 можно рассмотреть, переходя к пределу при Ь -> 0. Из сде-
сделанных замечаний следует
Теорема 4.9. Пусть в условиях теоремы 4.8 форма t = ц сим-
симметрична {оператор Т = Н самосопряжен) и постоянная а в не-
неравенствах D.14) не предполагается неотрицательной. Тогда для
любого ? 6 Р (-Й) резольвента R {t,,v) существует и представ-
представляется рядом по степеням у, в круге
| к |< (е || {а + ЬН) R (?, Я) || + c)-i, D.25)
г,9е е = 1 или 2 б зависимости от того, все формы t<n> симметрич-
симметричны или нет.
Замечание 4.10. Можно дать также оценку для самой резоль-
резольвенты R (?, к), аналогичную оценке (VI.3.16), в которой постоян-
постоянные а, Ъ следует заменить подходящими функциями от х. Дета-
Детали опускаем.
Пример 4.11. Рассмотрим форму
ъ ь
i (у.) [и, v]=\p (x) u'V dx + \
+ (ha + кС) и И v («) + (Ль + У-К') и (Ь) v <Ь), D.26)
где р (a;), g (x), q^ (х) — непрерывные функций на отрезке [о, 6] и р (х) >- О
[см. пример VI. 1.7; здесь мы для простоты положили S (х) — г (х) — 0,
но последующие результаты верны и без этого предположения]. Как мы
видели в примере VI.1.36, форма t (и) удовлетворяет предположениям теоре-
теоремы 4.8 со сколь угодно малой постоянной Ъ, так как все формы в правой части
D.26), за исключением первой, ограничены относительно первого члена и име-
имеют нулевые относительные границы. Оператор Г (и), ассоциированный с фор-
формой t (x), имеет вид
Т (х) и = - (ри'У + (? + и?A)) и D.27)
ж определен на функциях, удовлетворяющих граничным условиям
р (о) и' (а) - (К + х^>) и (а) = 0, р (Ь) и' (b) + (hb + к/#>) и (Ъ) = 0.
D.28)
Таким образом, операторы Т(к) образуют голоморфное семейство типа (В),
определенное для' всех комплексных к.
Сузим форму t (к) на многообразие функций, удовлетворяющих гранич-
,ным условиям
и {а) = 0, и (Ь) = 0. D.29)
Этому сужению t0 (и) соответствует другое голоморфное семейство То (к),
определенное формальным оператором D.27) и граничными условиями D.29).
Однако этот результат тривиален, так как операторы То (х) имеют постоян-
постоянную область определения, а возмущающий оператор хд*1' в D.27) ограни-
ограничен, и поэтому семейство То (и) принадлежит типу (А). .
Ограничивая область определения формы t (к) условием и (о) = 0,
мы получаем третье семейство операторов, определенных формальным опера-
оператором D.27) и граничными условиями: D.28) — в точке Ъ, D.29) — в точ-
точке а. Это семейство также голоморфное типа (В). '
§ 4. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (В) ': ¦ • 501
4. Голоморфные семейства типа (Во) : '
В теореме 4.8 невозмущенная форма t может и не быть замк-
замкнутой. Если же t замкнута, то возмущенные формы t (х) также
замкнуты, так как тогда D (t (х)) = D. Однако критерий голо-
голоморфности типа (В) (теорема 4.8) полезен и в приведенной здесь
общей форме без предположения о замкнутости t.
Проиллюстрируем это на одном важном примере. Предполо-
Предположим, что нам задано семейство операторов S (х) вида
S (х) = S + xS'1) + х5<2) + . . ., D.30)
где оператор S плотно определен и секториален, D E(™)) =>
=> D (S) и
| (S(n)u, и) | < с" (а || и ||2 + Ь Re (Su, и)), ^D (S), D.31)
причем постоянные а, Ъ таковы, что а^зО, 0 ^ Ь < 1.
Тогда для форм t [и, v] = (Su, v) и t(n> [и, v] = (S'n)u, v)
выполнены предположения теоремы 4.8, так как форма t заны-
каема (см. теорему VI.1.27). Построенный в теореме 4.8 оператор
Т (х) является расширением по Фридрихсу для S (х) (см.
п. VI.2.3). Таким образом, доказана
Теорема 4.12. Пусть S (к) — введенное выше семейство. Рас-
иирения по Фридрихсу Т (х) операторов S (х) существуют и обра-
уют голоморфное семейство типа (В) в круге | и | < (Ъ -f с).
Семейство Т (х), построенное в теореме 4.12, назовем голо-
голоморфным семейством типа (Во) 1). Такие семейства являются
частным случаем голоморфных семейств типа (В). Области опре-
определения операторов Т (х) для различных к имеют общую плот-
плотную в Н часть D (S), что не всегда верно для семейств типа (В).
Оператор Т (х) является замкнутым расширением оператора
S ("л), однако он может не совпадать с замыканием оператора S (к).
Если Т (x)=/=S (x), то может существовать другое семейство 7\ (к),
образованное пг-секториальными расширениями операторов S (х).
В этой связи замечательна следующая теорема, по существу при-
принадлежащая Реллиху [3].
Теорема 4.13. Если замыкание S оператора S т-секториалъно,
то семейство Т (х), построенное в теореме 4.12, является един-
единственным голоморфным семейством 2) в окрестности нуля, состоя-
состоящим из расширений операторов S (к) и таким, что Т @) = S.
2) В частном случае голоморфных семейств этот тип введен Р е л л и-
х о м [3].
2) Как следует из доказательства, единственность имеет место даже
в том случае, когда семейство Т (х) предполагается лишь вещественно-голо-
вещественно-голоморфным.
502 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ .
Доказательство. Операторы Т = Т @) и S совпада-
совпадают, так как Т является m-секториальным расширением операто-
оператора S. Пусть 71! (х) — голоморфное семейство в окрестности нуля,
такое, что Тх (х) =з S (х) и 7\ = Тх @) = S = Т. Тогда резоль-
резольвентное множество Р (Тх) непусто. Если ? ? Р (^i), то резоль-
резольвента
Л (?, Tt («)) = R + иЛ, + *2Я2 + • • • D.32)
ограниченно-голоморфна в окрестности нуля по теореме 1.3.
Для любого вектора и ? D E) имеем J? (?, 7\ (х)) E (х) — Q и =
= и, так как 7\ (и)гэ 51 (х). Поэтом5г
(Л + xRt + x2i?2 + • • •) (S — I + xSW. + х25<2) + . . .) и = и
D.33)
и сравнение коэффициентов дает
Л E - ?) » = »,
J?! E - ?) м = —RSMu, D.34)
- ?) u = -RSW R^M
для каждого вектора м ? D E). Эти соотношения определяют
операторы R, Л4, Л2, ¦ . • 6 ^ (Н) однозначно, так как много-
многообразие (S — t) D E) = (У — t) D E) плотно в Н ввиду равен-
равенства Т — S (см. задачу III.6.3).
Замечание 4.14. Существенным моментом в теореме 4.13,
помимо единственности семейства Т (х), является тот факт, что
замыкание оператора S (х) не обязано совпадать с Т (х) при
х Ф 0. Во многих задачах, возникающих в приложениях, опера-
операторы Т (к) совпадают с замыканиями операторов S (х) или даже
Т (х) = S (х). Даже в этих случаях применение теоремы 4.8
и, в частности, оценки D.25) в том случае, когда оператор Т = Н
самосопряжен, приводит к результатам более точным, чем резуль-
результаты, получаемые другими методами.
Пример 4.15. Рассмотрим формальный дифференциальный оператор
L (х) и = —и" + ¦х.х-Н, 0 < х < те. D.35)
Пусть Т (ч) — минимальный оператор в Н =¦ L2 @, те), построенный по
оператору D.35), D (Т (х)) = С^° @, со). Оператор Т (х) симметричен для
вещественных х; он секториален для каждого комплексного х, удовлетворяю-
удовлетворяющего условию Re х > —1/4. Последнее вытекает из (VI.4.6) и равенства
оо
— ( и", и) = \ \ и' |2 dx. Таким образом, семейство Т (х) удовлетворяет
§ 4. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (В) 503
условиям теоремы 4.12 и поэтому расширения по Фридрихсу Т (х) операто-
операторов Т{ ч) образуют голоморфное семейство типа (Во).
Является ли Т (х) единственным голоморфным семейством, состоящим
из m-секториальных расширений операторов Т (ч)? Ответ зависит от вида
рассматриваемой области Do. Если Do содержит точку ч = 3/4, то ответ
положительный. В самом деле, известно, что оператор Т C/4) существенно
самосопряжен х); таким образом, мы находимся в условиях применимости
теоремы 4.13, если точку ч = 0 заменить на ч = 3/4 (см. также замеча-
замечание 1.6). Интересно отметить, что для х < 3/4 оператор Т (х) не является
существенно самосопряженным и, следовательно, Т (ч) не единственное
самосопряженное расширение оператора Т (х). Тем не менее семейство Т (ч)
является единственным голоморфным расширением семейства Т (ч)_.
Это семейство Т (ч) характеризуется условием D (Т (ч)) с D (t), где
t — замыкание формы t = t C/4), соответствующей оператору Т C/4),
00
/>
т. е. 1 [ц] = (и', и') + C/4) \ ж2 [ и |2 dx, и ? С™. Учитывая неравенство
(VI.4.6), нетрудно видеть, что D (t) есть множество всех векторов и ? Н
таких, что и' ? Н и и @) == 0 (ср. задачу VI.2.18). Следовательно, Т (ч)
является сужением оператора L(x) на многообразие D (Т (ч)) векторов
и ? Н таких, что и' ? Н и ц @) = ц.
5. Связь между голоморфными семействами типов (А) и (В)
Возникает естественный вопрос: существует ли связь между
голоморфными семействами типа (А) и типа (В). В самом общем
случае такая связь не может существовать, поскольку семейства
типа (А) определены в любом банаховом пространстве, в то время
как семейства типа (В) — только в гильбертовом пространстве.
Если же ограничиться самосопряженными семействами секто-
риальных операторов, то оказывается, что семейства типа (В)
образуют более широкий класс, чем семейства типа (А). Точнее,
верна
Теорема 4.16. Самосопряженное голоморфное семейство Т (х)
типа (А) принадлежит также типу (Во), по крайней мере е окрест-
ности вещественной оси, если оператор Т (и) ограничен снизу
для некоторого вещественного у, {тогда операторы Т (х) ограни-
ограничены снизу для всех вещественных и).
х) При х = 0 мы имеем для уравнения D.35) случай предельной точки,
•если ч ^ 3/4, и случай предельной окружности, если ч < 3/4 (см. К о д -
дингтон и Левинсон |1] стр. 247). В самом деле, уравнение
L (х) и — 0 имеет два линейно независимых решения и± = ха±, где 2а± =
= 1 ± A + 4чI/2; если 4ч < 3, то оба решения и± принадлежат L2 @, 1),
если же 4ч ^ 3, то решение ц_ не принадлежит пространству L2 @, 1).
Отсюда следует, что для вещественных ч оператор Т (ч) существенно само-
самосопряжен тогда и только тогда, когда ч > 3/4 (в бесконечности для урав-
уравнения D.35) имеем случай предельной точки при любом вещественном ч).
504 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Доказательство. Можно считать, что точка х = у
принадлежит области Do определения семейства Т (х) и оператор
Т — Т @) самосопряжен и неотрицателен. Тогда имеет место
разложение B.1) для вектор-функции Т (х) и, и ? D = D (Т (х)),
причем коэффициенты Г(п) симметричны и удовлетворяют нера-
неравенствам вида B.5) (см. замечание 2.8). Замечая, что а || и [| -\-
+ Ь |! Ти || ^ ]/~2" || {а + ЪТ) и ||, с помощью теоремы V.4.12 при-
приходим к неравенству
| (Т1пЫ, и) Kj/lc" ((a + ЪТ)и,и), 11 = 1,2,.... D.36)
Пусть TF (и) — расширение по Фридрихсу оператора Т (х).
Ввиду неравенства D.36) из теоремы 4.12 следует, что операторы
ТF (х) существуют в окрестности точки % = 0 и образуют голо-
голоморфное семейство типа (В). Операторы Т (к) и TF (x) совпадают
для вещественных к, так как Г (х) самосопряжен, a TF (x) —-
самосопряженное расширение оператора Т (х). Поскольку Т (х)
и TF (x) образуют голоморфные семейства, то из теоремы един-
единственности (замечание 1.6) следует, что Т (х) = TF (x) для всех
х в общей области определения семейств Т (х) и TF (x). Это дока-
доказывает, что семейство Т (х) в окрестности нуля принадлежит
типу (В); отсюда следует, что оператор Т (х) секториален п, в част-
частности, ограничен снизу для вещественных х.
Для того чтобы завершить доказательство теоремы, покажем,
что полученный выше результат справедлив для некоторой окрест-
окрестности каждого вещественного числа х из области определения Dc,
семейства Т (и). Для зтого в свою очередь достаточно доказать,
что оператор Т (х) ограничен снизу для каждого вещественного
у. 6 Do. Предположим, что для некоторого вещественного числа
х0 6 Do оператор Т (х0) ограничен снизу. Так как, согласно нера-
неравенству B.4), оператор Т (х) — Т (х0) ограничен относительно
Т (х0) и его относительная граница меньше единицы для малых
| х — у-о I) то из теоремы V.4.11 следует, что оператор Т (х)
ограничен снизу для вещественных х, близких к к0. Поскольку
требуемая близость х и х0 равномерна в любом компактном под-
подмножестве области Do, то полуограниченность оператора Т (х)
распространяется с точки х = 0 на все вещественные х ? Do.
6. Ряды теории возмущений для собственных значений
и собственных проекторов
Общие результаты п. 1.3 о конечных системах собственных
значений операторов Т (х) применимы к голоморфным семействам
типа (В). Мы собрали здесь некоторые результаты, характерные
для этого типа голоморфных семейств. Для простоты ограничимся
случаем, рассмотренным в теореме 4.9.
§ 4. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (В) • ¦ 505»
Пусть Я, — изолированное собственное значение оператора Н
и Р — соответствующий собственный проектор, причем dim P =
со
= т < оо. Тотальный проектор Р (х) = Р + У, хп.Р(п) для
п=1
^-группы собственных значений оператора Т (х) голоморфен поя,
что следует из формулы A.3). Подстановка в A.3) разложения*
D.20) дает [ср. (И.2.8)]
p(n)=-2(-i)p 2 4u
P=l vi+...+Vp=n
.../(?) C(v'>/(?) G'-!d?._ D.37)
Здесь G' = Я1/2, Я'=Я + р = Я + ab + б, а оператор / (?)
определен формулой D.21), где В' = 0, так как форма t предпо-
предполагается симметричной:
/ (?) = Н' (#' - S') = H'R (?), Л (S) = (Я - t)- D-38>
Операторы С<') определены формулами D.18). Так же как
в п. П.2.2, можно получить степенной ряд для среднего арифмети-
арифметического рассматриваемых собственных значений. Отметим, однако,,
что формула (П.2.23) теперь не имеет смысла, поскольку операто-
операторы Т(п) не определены. Вместо (II.2.23) имеем
) l. D.39)
n=l
Эту формулу с помощью интегрирования по частям и формулы
tr АВ = tr В А можно вывести из (П.2.25), где резольвенту
R (?,, х) нужно заменить разложением D.20). При интегрировании
по частям используем равенство / (?,) G'~2J (?) = H'R (?J =
= (d/dt,) H'R (?). Возможность применения формулы tr АВ =
= tr В А под знаком интеграла непосредственно не очевидна,
однако ее можно обосновать с помощью рассуждений, приведен-
приведенных в п. 2.3 для семейств типа (А).
Формула D.39) дает следующие выражения для коэффициен-
коэффициентов ряда \ (х) = К + 2 и"*(П) [ср- (И-2.30I:
/(Q^. D.40>
Если с помощью равенства Я (?) = — (S — Я) Р + 5 +
+ (S - Я) 5а + . . . [см. A.5.18) и (III.6.32)] ввести приведен-
приведенную резольвенту S (оператора Н) для собственного значения % ~
506 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
то формулы D.37) и D.40) примут вид [ср. (П.2.12) и (II.2.31)]
= -2 (-1)р 2 G'-ij^C^ ... J'-^C^^J^^G''1,
Р V1+ . . . +Vp=n
D.41)
... CiVl>)Jlkp), D.42)
у ^
"» ^ Р Vl+. . .+Vp=n
р ftl+- ¦ .+ftp=p-l
где
, JW=H'S\ fc>l. D.43)
Желательно выразить коэффициенты />(п> и Я,(п) через задан-
заданные формы t(n>, не используя вспомогательные величины Н'', (?',
С(п) и т. д. В общем случае это сделать нелегко, но несколько
лервых коэффициентов можно вычислить без особого труда.
Например,
= —- tr
т
= — tr СаШ'Р = —У, (СA)Я'ф., ф Л =
tr С/ tr СШР
т т т
3=1
771 m
¦ = i 2 т<1) [с'ф^ g'(p^ = i 2
3=1 3=1
где {ф;, 7 = 1, . . ., т} — ортонормированный базис в собствен-
собственном подпространстве РИ [заметим, что С-1ф; == (Я, + ab'1 +
+ 6)V« ]
Задача 4.17. Формулы D.37) и D.40) формально совпадают с формула-
ли (II.2.8) и (II.2.30) соответственно после подстановки выражения D.38)
вместо /@ и G'-iycDG'-1 — вместо С<">.
Оценим теперь радиус сходимости ряда для Р (и). Согласно
неравенству D.25), в качестве нижней границы для радиуса
«ходимости можно взять
.го= inf(e || (о + ЬЯ) В (QH + c)-1 = inf (б ?±^- +с)~\ D.45)
rev Jgr v M- — fe /
тде 8 = 1 или 2 в зависимости от того, симметричны формы t(П)
или нет. Так же как и выше, выбор контура Г позволяет получить
оценки для радиуса сходимости, коэффициентов и остатка ряда
-функции % (х).
Если в качестве Г взять окружность | ? — К | = d/2, где d —
расстояние от X до множества остальных собственных значений
оператора Н, то ||i?(Q||<2/d и || (Н — Ц R (С) || < 2 для
§ 4. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (В) 507
I е Г (см. 2.5). Поэтому
||(в + ЬЯ)Д(?)||<(в + 6Л)||Л(С)!| + Ь||(Я-Л)Л(С)||<
<-| (а + ЬА,)-Ь 26 D.46)
(отметим, что, хотя число а может быть отрицательным, a -j- ЬЯ, ^
^ 0, так как а -\-.ЬН ^ 0 и К — собственное значение для Н).
Итак, из D.45) вытекает оценка
]-\ D.47)
Интересно проследить сходство и различие между D.47) и оцен-
оценкой B.34) для семейств типа (А).
Более аккуратный выбор контура Г может привести к улучше-
улучшению оценки D.47) (см. пример 4.20).
Замечание 4.18. Процесс редукции при построении рядов
теории возмущений для собственных значений и собственных
проекторов применяется к оператору Тт (х), определенному фор-
формулой A.11). Применение этого процесса здесь довольно сложно,
поскольку оператор Т (х) не имеет явного представления в виде
степенного ряда [как в случае семейств типа (А)].
Это неудобство можно до некоторой степени избежать, рас-
рассматривая собственные значения и собственные проекторы опера-
оператора R (?, х) = (Т (х) — ?)-* при фиксированном ?. Так как
резольвента R (?, х) ограниченно-голоморфна по х и, следователь-
он, имеет разложение Тейлора D.20), то ее собственные значения
и собственные проекторы можно вычислять с помощью процесса
редукции, описанного в конечномерном случае. Поскольку соб-
собственные значения и собственные проекторы оператора Т (х)
и его резольвенты довольно просто связаны между собой, мы
получаем таким образом искомые ряды теории возмущений
для Т (х) *).
Так, например, собственные значения резольвенты R (?, х),
соответствующие собственному значению (к — ?)-1 «невозму-
«невозмущенного» оператора В (?, 0) = R (?) имеют вид
(X - О — «vj + . • ., j = 1, • • -, m, D.48)
где числа v;- суть собственные значения оператора
PG'-Ч (
в конечномерном пространстве РН. Но РС^)Р — ограниченный
оператор, соответствующий ограниченной форме
х) Семейство Т (ч)-1 вместо Т (ч) применялось Т. К а т о [3, 7] и
В. Крамером [1, 2] (в основном в рамках асимптотической теории
возмущений).
508 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
v) = (CWPu, Pv) = TVHG'-Wu, G'~xPv\ =
= (k + ab-1 + S^l^lP^Pv].
Поэтому v'j — (X — ?)~a [ij, где {[ij, / = 1, . . ., m} — полный набор
собственных значений m-мерного оператора, соответствующего
форме tA) [u,v], суженной на га-мерное пространство РН. Из
D.48) следует, что собственные значения оператора Т(х) имеют вид
К + щ] + . . . . D.50)
Заметим, что этот результат уточняет формулу D.44), которая
дает только среднее арифметическое т собственных значений \х].
Аналогичным образом можно вычислить следующие коэффициен-
коэффициенты рядов для собственных значений.
Задача 4.19. Необходимым условием отсутствия расщепления в первом
приближении служит равенство t<°> [и, v] = %' (и, v), где и, v ? PU, X' —
постоянная. Эта постоянная равна ii[ = . . . = \i'm.
Пример 4.20. Рассмотрим задачу на собственные значения:
—и" + щ (я) и = % (ч) и, и @) = и (я) = 0, 0 < х < я. D.51)
Предположим для простоты, что функция д (х) непрерывна на отрезке [0, я].
Эта задача является частным случаем задачи, рассмотренной в примере 2.17
(в качестве Т{1) нужно взять оператор умножения на q (x)). Поэтому здесь
применимы результаты примера 2.17, в которых следует положить || ГA) || =
= || q || оо = max | q (ж) |. Однако оценки B.38) — B.42) могут быть доволь-
довольно грубыми, если max \ q (x) \ велик по сравнению со средним значением
функции | q {x) |. В таком случае могут оказаться полезными результаты
этого пункта. Заметим, что здесь мы имеем семейство Т (ч) = Т + ч2"A>
типа (А) и (В) одновременно; это очевидно, так как оператор ГA> ограничен.
Пусть s (х) — первообразная функции q (x). Имеем
I f 9 | u |2 da = [s'\u\*dx
J J J
x
= I f s (u'u+ uu') da:
и, и), D.52)
где о, Ь > 0 и аЪ = (max | s |J [отметим, что || и' \\% = (Ти, и)]. Оценка для
радиуса сходимости ряда, соответствующего собственному значению X = Кп =
= га2, дается формулой D.47), где с = 0, d = 2га — 1 (d = 3, если п = 1)*
Наилучший выбор постоянной а в рассматриваемой задаче таков: о =
= (га2 + 2га — l)Va max | s |; тогда
(е = 1, если функция q (x) вещественна).
X
Аддитивную постоянную в интеграле I q (x) dx = s (x) следует выбрать
таким образом, чтобы минимизировать max \ s \. Поскольку величина max | s |
может быть мала по сравнению с max | q |, то оценка D.53) независима от
оценки B.38), в которой || ГA' || = max | q \. ....
§ 4. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (В) . 509
Тот же метод можно применить к уравнению Матье (см. пример 3.4).
Однако коэффициент q (x) = cos 2x таков, что оценка D.53) в этом случае
не приводит к улучшению соответствующего результата примера 2.17.
7. Скорость роста и полная система собственных значений
Для самосопряженного семейства Т (х) типа (В) можно оце-
оценить скорость роста собственных значений точно так же, как
для семейств типа (А) (см. п. 3.4). Воспользуемся неравенством
{см. D.7)]
| t' (х) [u] | < а' (и, и) + b't (х) [и], и 6 D, х 6 I, D.54)
где многообразие D = D (t (х)) не зависит от х, а интервал I
вещественной оси содержит точку х = 0. Снова рассмотрим
кусочно-голоморфную непрерывную функцию и. (х), образован-
образованную из нескольких изолированных собственных значений опера-
оператора X (х) так, как это описано в п. 3.4.
Теорема 4.21. Для функции \i (х) справедлива оценка
^ '1»«1-1). D.55)
Доказательство. Оценка D.55) аналогична соответ-
соответствующей оценке C.17) для типа (А) с тем лишь отличием, что
здесь вместо | \i @) | фигурирует \i @). Доказательство зтой,
опенки аналогично доказательству теоремы 3.6; при зтом тре-
требуются некоторые модификации, поскольку теперь выражение
7" (х) ср (х) не имеет смысла. Воспользуемся результатом зада-
задачи 4.19, по которому
|л' (х) = t' (x) [ф (х)] D.56)
в любой точке х, где график функции \i (x) не пересекается с гра-
графиками других собственных значений. Поэтому
и.' (х) < а' + b't (х) [ф (х)] = а' + V (Т (х) Ф (х), Ф (х)) =
= а' + Ъ'ц (х). D.57)
Это неравенство отличается от C.19) тем, что оно связывает зна-
значения функции [i (x) и ее производной, а не их абсолютные значе-
значения. Решая дифференциальное неравенство D.57), приходим
к оценке D.55).
Замечание 4.22. Так же как в п. 3.5, можно доказать, пользуясь
на сей раз теоремой 4.21, что теорема 3.9 справедлива для само-
самосопряженных семейств типа (В) с компактной резольвентой [опе-
[оператор Т (х) имеет компактную резольвенту для всех х, если это
верно для некоторого х0, см. теорему 4.3]. Таким образом, суще-
510 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ "
ствует полное семейство нормированных собственных векторов
и соответствующее семейство собственных значений, которые
голоморфны всюду на рассматриваемом интервале значений х *).
8. Применения к дифференциальным операторам
Теория голоморфных семейств операторов типа (В) широко применяется
в теории возмущений дифференциальных операторов. Простейшие из таких
применений к регулярным обыкновенным дифференциальным операторам
были приведены в примерах 4.11 и 4.20. Здесь мы приведем ряд других
примеров в этом направлении, связанных с регулярными дифференциальны-
дифференциальными операторами в частных производных и некоторыми сингулярными диффе-
дифференциальными операторами, как обыкновенными, так и в частных произ-
производных.
Пример 4.23. Рассмотрим формальный дифференциальный оператор
в ограниченной области Е с Rm. Коэффициенты pj^ (ж, ч) и q (ж, ч) пред-
предполагаются достаточно гладкими функциями по ж в замкнутой области Е
и голоморфными по вещественному параметру ч. Кроме того, предположим,
что функции pjk, q вещественны и матрица (р^ (ж, ч)) симметрична и поло-
положительно определена равномерно по х и ч.
Как мы видели в п. VI.4.4, рассматривая квадратичную форму
D.59)
можно определить различные самосопряженные операторы в Н = L2 (Е),
соответствующие формальному дифференциальному оператору L (х).
Сужение tL (ч) формы f) (ч) с областью определения D (t^), состоящей
из функций и, удовлетворяющих нулевому граничному условию и \ дЕ = О,
приводит к оператору Hi (x) = L (ч) с нулевым граничным условием. Форма
1J (ч) = 1) (х) без каких-либо ограничений на область определения приводит
к оператору #г(ч) = L (ч) с обобщенным условием Неймана [ди/дп = О,
где п — конормаль к границе ЗЕ, которая определяется через матрицу
(х, х)) и поэтому зависит от х]. Форма 1)з(х), получающаяся при добав-
лении к tj2(x) граничного члена \ а (ж, ч) | и |a dS, приводит к оператору
ЭЕ
#з (ч) = L (ч) с обобщенным граничным условием третьего рода ди/дп —
— аи = 0.
Согласно результатам п. VI.4.4, формы $п (ч) при различных ч (но при
фиксированном п = 1, 2, 3) ограничены относительно друг друга, причем
то же самое верно для их замыканий. Из теоремы 4.8 следует, что замыкания
форм Ijn (ч) имеют аналитическое продолжение tn {%), которое является
голоморфным семейством типа (а), определенным в окрестности вещественной
оси. Поэтому операторы Нп (ч), определенные выше для вещественных ч,
имеют аналитическое продолжение на комплексную окрестность веществен-
вещественной оси. Операторы Тп (ч) образуют самосопряженное голоморфное семей-
семейство типа (В). Отсюда следует, в частности, что собственные значения и соб-
г) См. Ре л л их [5], где это доказано для семейств типа (Во)-
§ 4. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (В) 5Н
ственные проекторы операторов Тп (ч) голоморфны в окрестности веще-
вещественной оси.
Фактически семейство Г4 (ч) принадлежит типу (А). Мы не доказываем
это здесь. Отметим, что аналитичность собственных значений и собственных
проекторов оператора Я4 (х) следует уже из того факта, что #4 (ч) образуют,
как было доказано, голоморфное семейство типа (В).
Пример 4.24. Рассмотрим сингулярный дифференциальный оператор
L (ч) и = -и" + д (x) и + щ <1> (х) и, 0<х<оо; D.60)
здесь функции д (х) и д'1) (х) могут иметь особенности. Предположим, как
в п. VI.4.1, что функция д может быть представлена в виде д, + дг-\- д3,
где все слагаемые вещественны, gi ^ 0 локально интегрируема, д^
равномерно локально интегрируема и дз мажорируется функцией 1/4жг
[как в (VI.4.8)]. Тогда можно построить замкнутую форму f) [и] =
со
= \ (I и'\ а + Ч (х) I u la) dx и соответствующий ей самосопряженный опера-
о
тор Н @) = L @) в Н = La @, с»), определенный на функциях, удовлетво-
удовлетворяющих граничному условию и @) = 0. Предположим далее, что функция
q(h также может быть записана в виде суммы трех функций gj1', обладающих
указанными выше свойствами. Кроме того, предположим, что g[v =^ C^
для некоторой постоянной C. Легко видеть, что форма fy1* [и] =
= I yi1' (х) | и |2 dx ограничена относительно I), поскольку gi,1' и Й1' огра-
ограничены относительно fH [и] = \ | и' |2 dx. Из теоремы. 4.8 следует, что
t (и) = !j + xt)A) — самосопряженное голоморфное семейство типа (а) и
соответствующие операторы Т (х) = L (ч) образуют самосопряженное голо-
голоморфное семейство типа (В). Область определения оператора Т (х) состоит
из всех векторов и 6 Н = L2 @, то) таких, что i) и и и' абсолютно непрерыв-
непрерывны на полуоси @, сю) и и' ? Н, ii) и @) = 0 и ш) д}У2и и L (х) и принадлежат
Н(см. теорему VI.4.2). На своей области определения оператор Т (ч) совпа-
совпадает с L (ч). Отметим, что многообразие D (Т (х)) зависит от х через усло-
условие Hi).
Следует отметить также, что возмущающий потенциал д*1) (ж), имеющий
особенность типа i/x2, приводит к голоморфному семейству Т (ч).
Пример 4.25. Рассмотрим оператор Шрёдингера
L (ч) и = — Аи + д (х) + щ^ (х) и D.61)
в пространстве R3. Предположим, что функция д может быть записана
в виде д4 + ?2 + ?з, где все слагаемые вещественны, ?, > 0 и Mqi (x) локаль-
локально ограничена [функция Mq (x) определена формулой (VI.4.21)], М„ (х) —
ограничена и gs является суммой конечного числа слагаемых вида ej \ x —
— uj |~2, причем ^ I ej I < 1/4. Тогда по теореме VI.4.6 с помощью сим-
ej <0
метричной формы ^[и]= \ (I grad и \2-{• q \ и \*) dx можно определить
самосопряженное сужение оператора L @). Предположим далее, что функ-
функцию дA) также можно записать в виде суммы трех слагаемых д&> с указанны-
указанными выше свойствами (ограничение на коэффициенты ej для д^ можно отбро-
отбросить, так как мы рассматриваем только малые значения | х |); кроме того,
512 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
предположим, что q[v ^ P<?i для некоторой постоянной р\ Так же, как в пре-
предыдущем примере, можно показать, что в окрестности нуля определено само-
¦сопряженное голоморфное семейство типа (В) операторов Т (ч) [в Н =
= L2( R3)], являющихся сужениями операторов L (у.). Многообразие D (Т (у,))
•определяется следующим образом: и ? D (/ (у.)) тогда и только тогда, когда
i) grad и ? Н' = Н3, ii) \ qt | и [2 dx < оо н iii) Д и существует в обобщенном
смысле и L (у.) и ? Н. Здесь многообразия D (Т (у,)), вообще говоря, зави-
зависят от у; эта зависимость исчезает, если функция ?A) имеет достаточно слабые
особенности (см. пример 2.13).
9. Двухэлектронная задача *)
В качестве еще одного применения построенной выше теории рассмо-
рассмотрим задачу, возникающую в квантовой механике атомных систем. Опера-
Оператор Шрёдингера системы, состоящей из фиксированного ядра и двух элек-
электронов, в подходящей системе единиц имеет вид 2):
Здесь основным пространством является 6-мерное евклидово пространство
Re, координаты в котором обозначаются х\, yit г4, х2, Уг, ^г\ А? это трех-
трехмерный оператор Лапласа дУдх* + д21ду) + д2/дг2р / == 1, 2; rj = (г? +
+ У) + z^I/2 и r12 = [(xt - x2f + (У1 - y2f + (г4 - z2J]1/2; Z - атомное
число ядра, Z = 1, 2, 3, ....
Оператор Н самосопряжен в Н = L2 (R6), если лапласианы Д( и Д2
понимаются в обобщенном смысле. Можно сначала определить оператор Н
равенством D.62) на многообразии CJJ° (R6) и затем взять его замыкание.
Так или иначе, самосопряженный оператор Н определяется однозначно,
причем его область определения D совпадает с областью определения опера-
тора —Д4 — Дг. Это следует непосредственно из результатов п. V.5.3 (см.
замечание V.5.6).
Положим
D.63)
Я0=-Д1-Д2-2^-2^1 Я<1Jгг1 % Z-i; k '
будем рассматривать Н (у) как оператор, возникающий из Но при возму-
возмущении уН^К Нас интересует поведение в зависимости от у собственных
значений оператора Н (у) в окрестности точки у = 0.
Заметим прежде всего, что оператор 7/A) ограничен относительно Hq
и его относительная граница равна нулю. Это следует из того факта, что
операторы умножения на функции 2rfx, Ът^} и 1г\\ ограничены относительно
Но и их относительные границы равны нулю (см. задачу IV.1.2). Следова-
Следовательно, Н (у) (или точнее аналитическое продолжение этого семейства)
является самосопряженным семейством типа (А), определенным для всех
комплексных у (см. теорему 2.6). Отсюда следует, что изолированные соб-
собственные значения конечной кратности и соответствующие им собственные
проекторы оператора Н (у) голоморфно зависят от у в окрестности веществен-
вещественной оси.
Теперь нас будет интересовать оценка радиуса сходимости степенного
ряда, представляющего наименьшее собственное значение Xi (у) оператора
х) См. Т. К а т о [3].
2) См. К е мб л [1], стр. 209; мы предполагаем, что ядро имеет бесконеч-
бесконечную массу,
§ 4. ГОЛОМОРФНЫЕ СЕМЕЙСТВА ТИПА (В) 513
Н (х). Радиус сходимости можно было бы оцепить по формулам п. 2.5, по
мы воспользуемся оценками из п. 4.6. Как мы увидим, этот путь более прост;
семейство Н (х) фактически принадлежит типу (Во), а также типу (А), посколь-
поскольку операторы Н (х) ограничены снизу для всех вещественных х (см. теоре-
теорему 4.16).
Структура оператора Но хорошо известна. Пространство Н = L2 (R6)
можно рассматривать как тензорное произведение ') Н( 0 H2 двух экзем-
экземпляров Н( п Н2 пространства L2 (R3), при атом оператор Но принимает вид
(Н^ 01)+ A0 Нг), где Hi, Нг — два экземпляра оператора — Д + 2»-1,
действующего в L2 (R3). Последний является оператором Шрёдингера для
атома водорода (в подходящей системе единиц), и его спектр, как известно,
состоит из изолированных отрицательных собственных значений —га~2,
п — 1, 2, 3, . . ., с кратностямн я2 соответственно и непрерывного спек-
спектра, заполняющего положительную вещественную полуось2). Из этого
описания структуры Но следует, что нижняя часть спектра оператора Но
состоит из изолированных собственных значений
к, = -2, к2 = -5/4, . . ., %п = -1 - га, . . ., D.64)
сходящихся к —1. Значение Xt — простое, значение Хп имеет кратность 2га2.
Так как собственное значение Xt просто, то радиус сходимости степенно-
степенного ряда, представляющего собственное значение А,, (х) оператора II (х),
а также ряда для соответствующего собственного проектора Pt (x), оцени-
оценивается снизу числом г0 из формулы D.45). Для вычисления г0 нам потребуют-
потребуются значения постоянных а и Ъ. В связи с этим рассмотрим оператор
Н0-ря<1> = (-аД1-21Т»)-г(-аД!!-2^) + [-A-а)(Д1 + Аа)-2ргцМ.
D.65)
где постоянные а, C подчинены условиям 0 < а < 1, р > 0. Первый член
в правой части D.65) имеет вид ffia 0 1, Я)а — оператор —а А — 2г~х
в L2 (R3). Вообще, наименьшее собственное значение (т. е. нижняя граница
спектра) оператора —аД — l^r'1 равно —fWa; это выводится из рассмо-
рассмотренного выше частного случая а = C = 1 простым преобразованием подо-
подобия. Поэтому первые два члена в правой части D.65) имеют нижнюю грани-
границу —1/а. Третий член можно привести к аналогичному виду с помощью
линейного преобразования координат (соответствующего отделению дви-
движения центра масс от относительного движения); в результате получим,
что этот оператор имеет нижнюю границу —132/2 A — а). Таким образом,
-РДA>)Ц, Ц) >-(-!+ 2A^а) уи, и). D.66)
Это приводит к неравенству
О < (#(*>«, Ц)< а (и, и)+ b (Hou, и), D.67)
где
^+^ b D68>
Наилучший выбор постоянной а при фиксированном Ь, как нетрудно видеть,
таков:
') О тензорных произведениях см. Диксмье [1]. Нам потребуются
лишь элементарные результаты о тензорных произведениях, которые извест-
известны из квантовой механики.
2) См. К е м б л [1], стр. 157.
33 т. Като
514 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Подставим D.69), с = 0 и.е = 1 (заметим, что ЯA> симметричен) в форму-
формулу D.45). Контур Г в этой формуле выберем таким образом, чтобы из всех
собственных значений D.64) он охватывал только точку Х{ = —2. При вычи-
вычислении нижней грани D.45) критическим значением ? является точка ?0,
в которой Г пересекает отрицательную ось между точками Xi = —2 и Хг =
= —5/4; другие значения ? несущественны, если форму контура Г выбрать
подходящим образом (например, взять в качестве Г прямоугольник с доста-
достаточно длинными вертикальными сторонами). Для того чтобы^го было мак-
максимальным, ?0 должно удовлетворять уравнению
. D.70)
(заметим, что а + ЪХ{ > 0). Отсюда получаем
13а — 20Ь 3
8a-13b ' Г°~ 8а-136 ~~ 36 + 46-4-16 *
( ''
Так как 6 > 0 произвольно, то наилучшее значение г0 получаем лри Ъ =
= 2/У 3:
Таким образом, мы приходим к заключению, что ряды для Xi (x) и Pt (у.)
сходятся в круге | х | < 1/7,7, или, что то же самое, \ Z \> 7,7.
Замечание 4.26. Нет никаких причин, указывающих на то, что разло-
разложение оператора Н на невозмущенную часть и возмущение следует выбирать
именно в виде D.63). Так, например, часть выражения —2i\l — 2rjx можно
включить в возмущение. Посмотрим, не приведет ли это к улучшению полу-
полученного выше результата.
Положим
D.73)
Оператор Ну {к) отличается от Н (я) всюду, за исключением^точки х =11»
хотя оба семейства весьма похожи. Постоянная у будет выбрана позднее.
Так же как и выше, рассмотрим оператор Ноу — (Шу1. Простые вычи-
вычисления, аналогичные тем, которые были проведены при выводе неравенства
D.67), приводят к оценке
, и)<[Mz^v)i+_L_1 (в, и) +1 {Щуи, в). D.74)
Поскольку оператор Я^>, в противоположность Я<1>, не является положи-
положительно определенным, необходимо также оценить сверху скалярное произ-
произведение — (Н^и, и). Для этого заметим, что
откуда следует оценка
^' «). D.76)
§ 5. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ' ' 515
Изменяя а, минимизируем коэффициент в первом члене правой часги нера-
п j ft v 2 '
венства D.74). В результате получим значение -д- A — v — Pv + -^") > если
1 — v — ?>У Э= 0. Удобно выбрать значение постоянной у таким образом,
чтобы этот коэффициент равнялся коэффициенту в первом члене правой часта
D.76). Это условие приводит к значению
V = 1/4Z. D.77)
Имеем
| (Н™и, и) \^а(и,и)+ Ъ (Ноуи, и), D.78)
где 6 = 1/р и
Вычисляя г0 по формуле D.45), следует иметь в виду, что собственные
значения оператора Ноу суть — A — уJ A + п~2), п = 1, 2, 3, .... В ре-
результате вместо D.71) получаем
,2 -,-1
—13
Максимизируя г0 по переменной 6, получаем окончательный результат:
Бели г0 > 1, то ряды теории возмущений в рассматриваемом случае сходят-
сходятся, если у, = 1, т. е. для реальной физической системы. Как следует из D.81),
эта сходимость имеет место, если Z > 4,1. Этот результат значительно улуч-
улучшает предыдущий (Z > 7,7), однако недостаточен для рассмотрения важ-
важного случая атома гелия (Z = 2).
§ 5. Другие задачи аналитической теории возмущений
1. Голоморфные семейства типа (С)
В п. 4.4 мы рассматривали семейства операторов Т (и), являю-
являющихся расширениями по Фридрихсу операторов вида
S (к) = S + xSM + и2?B> + . . ., E.1>
причем оператор S предполагается секториадьным. Это предполо-
предположение существенно, поскольку мы определили расширения по<
Фридрихсу только для секториальных операторов. Для симмет-
симметричных операторов это условие сводится к ограниченности;
снизу.
Однако если оператор S = Н самосопряжен, то в ряде случаэв
можно определить голоморфное семейство Т (х) даже тогда, когда
33*
516 Гл- VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Н не является полуограниченным. Это семейство строится с помо-
помощью техники псевдофридрихсовых расширений, изложенной
в п. 3.4 главы VI.
оо
Теорема 5.1. Пусть S = Н самосопряжен, D = [~| D (?(")) с:
71=1
¦с D (Я) и
| (S(">u, u) | < с" (о || и ||» + Ь (| Я | и, и)),
мб D, n = 1, 2, . . ., l j
где 6, с ^ 0 и а произвольно. Если D — ядро' многообразия
D (| Я I1/2) (или, эквивалентно, ядро формы, соответствующей
оператору | Я |), тео псевдофридрихсовы расширения Т (к) опе-
операторов S (х), определенных разложением E.1), существуют в круге
| х | <С (eft + с) и образуют там голоморфное семейство; s = 1
или 2 в зависимости от того, симметричны все операторы ?(")
или нет. Семейство Т (к) самосопряжено, если операторы ?(П>
симметричны. Если D является ядром многообразия D (Я), то
Т (х) — единственное голоморфное расширение семейства S (х).
Доказательство в основном аналогично доказатель-
доказательству теоремы VI.3.11. Используя введенные там обозначения,
имеем | (S(n)u, и) | ^ 6с™ || G'u ||2 и поэтому форма (S^u, и)
может быть продолжена до формы t(n> [u] на многообразии
D (G'). Форму, полярную t<n> [u], можно представить в виде
t<"> [u, v) = (C<n)G'u, G'v), где С<"> 6^ (Н), || С<п) || < гЬс71-1
[см. (VI.3.20)]. Положим
T(k) = G'(HH'-1 + C(x))G', C(x)= 2 *пСт; E.3)
71=1
нетрудно видеть, что Т (к) гэ S (к) и что Т (к) — голоморфное
семейство в некоторой окрестности нуля [ср. (VI.3.21) — (VI.3.22)].
оо
Поскольку || С (к) ||< гЬ 2 с" | х Г = еб | х | A — с | х I),
71=1
то возможная область изменения х такова: гЬ | х | A — с | х l)"-^
< 1, или, что то же самое, | х | <; (еб + с).
Единственность Т (х) доказывается так же, как в теореме 4.13.
Замечание 5.2. Если оператор 5 симметричен и ограничен
снизу, то расширение по Фридрихсу Т (х), построенное в п. 4.4,
является частным случаем рассмотренного здесь псевдофридрих-
псевдофридрихсова расширения; достаточно в качестве Я взять фридрихсово
расширение оператора S и заменить операторы 5<п) сужениями
на D = D (S). Как нетрудно видеть, из D.31) следует неравенство
E.2), и многообразие D служит ядром для D (| Я |1/2) (ср. заме-
замечание VI.3.13). G другой стороны, семейство типа (А), построенное
в теореме 2.6, также является частным случаем псевдофридрихсова
расширения при условии, что невозмущенный оператор Т ^ 0
§ 5. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ " "-; 517
существенно самосопряжен и все операторы f(™) симметричны,
поскольку из B.5) с помощью D.36) вытекает неравенство
| (Т(п)и, и) | < 1/2: с" ((а + Ь 1 Т \) и, и). Таким образом,
семейства типа (С) образуют довольно широкий класс, охватывая
как частный случай голоморфные самосопряженные семейства
типов (А) и (Во).
Замечание 5.3. Большую часть результатов о семействах типа
(В0) с помощью очевидных модификаций можно перенести на
семейства типа (С). Здесь мы отметим только, что оценки D.45)
и D.47) справедливы, если Я и X заменить соответственно на | Н \
и \1 I.
2. Аналитическое возмущение спектрального семейства
В аналитической теории возмущений мы интересуемся анали-
аналитическим характером зависимости различных величин от пара-
параметра х, предполагая, что заданное семейство операторов Т (х)
аналитично. До сих пор мы рассматривали такие величины, как
резольвента/? (?, х) = (Т (к) — ?)~\ изолированное собственное
значение Кп (х) и соответствующие ему собственный проектор
Рп (х) и нильпотентная часть Dn (х), а также проектор Р (х)
на подпространство, отвечающее изолированной части спектра
2 (Т (х)).
Существует много других величин, которые могут служить
предметом изучения в рамках аналитической теории возмущений.
Так, например, для любой функции ф (?) комплексного перемен-
переменного можно поставить вопрос о том. голоморфно ли семейство
ф (Т (х)) или нет. В общем случае, функция ф (Q должна для
этого быть голоморфна в некоторой области комплексной плоско-
плоскости. Однако если Т (х) — самосопряженное семейство, то ф (С)
может принадлежать более широкому классу функций, если толь-
только рассматривать вещественные значения х, в соответствии с опре-
определением ф (Н) для самосопряженного оператора Н, приведенным
в п. VI.5.2. Важным примером функции ф (?) является экспонента
el(? с вещественным показателем t. Соответствующая задача
будет рассмотрена в главе IX.
Спектральная теория для самосопряженных операторов приво-
приводит к другим величинам, которые могут служить предметом изу-
изучения в аналитической теории возмущений. В качестве примера
возьмем спектральное семейство Е (К, х) оператора Т (у.) при веще-
вещественном х, когда Т (х) — самосопряженное семейство. Простые
рассуждения показывают, однако, что оператор Е (X, х) не обязан
зависеть аналитически от х для каждого фиксированного л, если
Т (х) — голоморфное семейство (см. п. VI.5.4). Тем не менее
в некоторых случаях Е (К, х) голоморфно зависит от х.
518 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Пусть Н — самосопряженный оператор и {Е (X)} — его спек-
спектральное семейство. Если спектр 2=2 (Н) имеет лакуны в точ-
точках аир,а< р, то, как мы знаем, оператор Е ($) — Е (а) непре-
непрерывно зависит от Н (см. теорему VI.5.10). Пусть Н (х) — голо-
голоморфное самосопряженное семейство. Предположим, что Н —
= Н @) имеет лакуны в спектре в точках аир. Ранее было пока-
показано, что спектр 2 (Н (я)) самосопряженного оператора Я (я)
при вещественном я также имеет лакуны в точках а и р и что
проектор Р (я), соответствующий изолированной части спектра
2 (Н (я)) между аир, голоморфен для малых | я |. Так как
Р (х) = Е (р, х) — Е (а, х), то отсюда следует, что оператор
?"(Р, х) —Е (а, х) голоморфен в окрестности нуля, если 2 (Я)
имеет лакуны в точках аир. Следует отметить, что, хотя семей-
семейство Е (X, я) определено только для вещественных я, разность
Е (р, я) — Е (а, я) имеет аналитическое продолжение Р (к), голо-
голоморфное в окрестности нуля.
Сам проектор Е (р, я), вообще говоря, не голоморфен по я
в том случае, когда 2 (Н) имеет лакуну в точке р. Соответствую-
Соответствующий контрпример можно извлечь из примера 1.11; здесь 2 (Н (%))
является подмножеством положительной вещественной полуоси
при к < 0, а при 0 < я < 1 существует отрицательное собствен-
собственное значение А,о (и), причем А,о (и) -> —оо при х\0. Таким обра-
образом,
, х<0,
:-
и поэтому проектор Е @, я) не является голоморфным в окрестно-
окрестности нуля, хотя 2 (Я (я)) имеет лакуну в нуле при к < 1.
Можно показать, однако, что проектор ^(Р, и) голоморфно
зависит от и в частном, но важном случае, когда голоморфное
самосопряженное семейство принадлежит типу (А) или, более
общо, типу (С).
Теорема 5.4 *). Пусть Н (я) — самосопряженное голоморфное
семейство типа (С) и Е (X, к) — соответствующее спектральное
семейство, определенное для вещественных к. Если 2 (Н @)) имеет
лакуну в точке р. то 2 (Н (к)) также имеет лакуну в точке р
при малых я и проектор Е (Р, х) голоморфен в окрестности нуля.
Доказательство. Достаточно перенести на рассма-
рассматриваемый случай рассуждения в доказательстве теоремы VI.5.13.
При этом нужно сделать следующие изменения: заменить
Нп, Ры (?)> En (ty на Н(к), R (?, х), Е (X, х) соответственно; заме-
заменить Сп на семейство С (х), использованное в доказательстве тео-
х) Эта теорема доказана Хайнцем [2] для семейств типа (А). Отме-
Отметим, что для семейств типа (В) результат тривиален (см. задачу 5.5).
§ 5. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 519
ремы 5.1; заменить ап, Ъп соответственно на ас" | х |, be11'1 \ x |.
В результате получим разложение оператора Е (О, х) — Е (О, 0)
в степенной ряд, сходящийся для достаточно малых | х | (здесь
предполагается, без ограничения общности, что Р = 0).
Задача 5.5. Пусть Н (у.) — голоморфное семейство такое, что операто-
операторы Я (ч) имеют общую нижнюю границу у > — то для всех достаточно
малых вещественных я. Тогда проектор Е (f5, ч) голоморфен в окрестности
нуля, если 2 (Н @)) имеет лакуну в точке |3. [Указание: Е (а, ч) = 0 для
достаточно малых а.]
3. Аналитичность | if (x) | и | Н (и) |е
Продолжим изучение семейства Н (х) типа (С), рассмотренного
в теореме 5.4, предполагая, что 0 ? Р (Т). Из голоморфности
семейства Е @, х) следует голоморфность \ Н (к) | для веществен-
вещественных х, так как
| Н (х) | = A - 2Е @, х)) Н (х),
| Н (х) |-i = A - 2Я @, х)) Я (х)-1 E.4)
для вещественных х; напомним, что, согласно (VI.2.26), | Н (х) | =
= С/ (х) Н (к), где С/ (х) = 1 - 2? @, х) по формуле (VI.5.25).
Из E.4) следует, чтй семейство | Н (х) I представляется сте-
степенным рядом по х, поскольку A — 2Е @, х)) и Н (х) допуска-
допускают такое представление. Семейство | Н (х) | можно продолжить
до голоморфного семейства П^ (х), определенного в окрестности
вещественной оси, при этом Н^ (х) не совпадает с | Н (х) | для
невещественных х.
Из E.4) также следует, что Н^ (х) — семейство типа (А), если
Н (х) принадлежит типу (А).
Результаты этого параграфа можно обобщить следующим
образом: семейство | Н (х) | имеет голоморфное аналитическое
продолжение для любого 9 из отрезка [0, 1] 1). Для доказатель-
доказательства удобно воспользоваться формулой [см. V.3.53)]
. E.5)
Возможность разложения | Н (х) |~е в сходящийся ряд по степе-
степеням х устанавливается так же, как в доказательстве теоремы 5.4;
подробности опускаем.
г) Аналитичность | Н (х) f доказана Ханнцем [1J для семейств
типа (А). См. замечание 5.6. . . .
520 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Замечание 5.6. Можно доказать, что | Н (%) f имеет аналити-
аналитическое продолжение типа (А), если 0 ^ В < 1/2. Если Н (%) —
семейство типа (А), то | Н (%) |е принадлежит типу (А) для всех
9 6@, 1].
§ 6. Обобщенная задача на собственные значения
1. Общие замечания
До сих пор мы рассматривали задачу на собственные значения
в следующем виде: Ти = Ки, где Т — линейный оператор в бана-
банаховом пространстве X. В приложениях часто встречается задача
на собственные значения в более общей форме:
Ти = КАи, F.1)
где Т и А — операторы в X или, в более общем случае, операторы
из X в другое банахово пространство Y.
Существует несколько различных подходов к обобщенной
задаче на собственные значения. Например, если существует
оператор А'1, то уравнение F.1) можно переписать в виде
А-гТи = Ки. F.2)
Поскольку А ~ХТ — оператор в X, то мы свели задачу F.1) к обыч-
обычной задаче на собственные значенця. Уравнение F.1) можно
переписать также в виде
TA~1v = kv, v = Аи, F.3)
и снова мы приходим к обычной задаче на собственные значения,
на сей раз для оператора ТА'1, действующего в пространстве Y.
Можно сделать преобразование к более симметричному виду
A-WTA-Ww = ku>, w = АУ2и. F.4)
Этот прием удобен, когда Т и А — симметричные операторы
в гильбертовом пространстве. Конечно, в F.4) предполагается,
что Y = X.
В каждом из приведенных выше приемов есть элемент произ-
произвола. Ни один из них не является более предпочтительным, чем
другие. Кроме того, не ясны связи между первоначальной задачей
на собственные значения и спектрами операторов А~гТ и ТА'1.
Конечно, каждое собственное значение задачи F.1) является
в то же время собственным значением задачи F.2) или F.3) и каж-
каждый собственный вектор для уравнения F.1) соответствует соб-
собственному вектору задачи F.2) или F.3). Однако, неясно, что
следует понимать под изолированным собственным значением
§ 6. ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 521.
задачи F.1) или под алгебраической кратностью такого собствен-
собственного значения; может случиться, что число А, является изолиро-
изолированным собственным значением для F.2) и не является таковым
для F.3), и наоборот.
Более естественным подходом к рассмотрению обобщенной
задачи на собственные значения является изучение обобщенной
резольвенты (Т — ^А) и соответствующего ей обобщенного спек-
спектра. Конечно, при этом потребуется сделать ряд модификаций
по сравнению с обычной теорией. Так, например, резольвентное
уравнение примет вид
{Т - ?M)-i_(Z-- VA)-1 =
= (V - П (Т - i'A)~i (Т - fA)-\ F.5)
Далее теряет смысл утверждение о том, что резольвенты для раз-
различных ? коммутируют между собой, поскольку теперь резоль-
резольвента — оператор из Y в X.
В этой книге мы не будем рассматривать обобщенную задачу •
на собственные значения в полной общности. Вместо этого мы
ограничимся некоторыми частными случаями, когда достаточно
рассматривать задачу в форме F.2) или F.3).
Предположим, что Т ? Ч§ (X, Y), А ? 9S (X, Y) и 4 ?
6 SS (Y, X), тогда А^Т ef (X) и ТА-1 ? <ё (Y) и поэтому зада-
задача F.1) эквивалентна любой из задач F.2) или F.3).
Пусть К — изолированное собственное значение конечной крат-
кратности для оператора А~ХТ и Р, D — собственный проектор
и нильпотентная часть, соответствующие собственному значе-
значению К. Имеем [см. (III.6.28) — (III.6.29)]
РА-^Т а А-^ТР = КР + D, D = DP = PD. F.6)
Оператор Q = АРА'1 является проектором в Y, так как Q ?
6 9И (Y) и Q*1 = Q. Аналогично, G = ADA'1 — нильпотентный
оператор в Y. Умножая F.6) на А слева, получаем
QT cz ТР = КАР + AD = KQA + GA, G = GQ = QG. F.7)
Рассмотрение собственного значения К оператора ТА'1 приводит
к тому же результату; в самом деле, оператор Q является соб-
собственным проектором, соответствующим собственному значению к
оператора ТА'1, a G — соответствующая нильпотентная часть.
Резольвента (А^Т — ?)-1 оператора А~ХТ имеет разложение
5, (Е-Я)^i F.8)
0
5
71=0
в окрестности точки Z, = К [см. (III.6.32)]. Здесь S — приведенная
резольвента оператора А~1Т в точке t, = А,. Умножение справа
522 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
на А ~1 дает
(Т - 1А Г1 = - (С - Я) РА* - 2 (С - Я)""-1 DM + •
+ 2 (С—л,) §
п=0
" + 2 (Б-ЬУМ-ЧГ"*1, F.9)
где U — ASA'1 — приведенная резольвента оператора ТА'1,
Если числа Xh, h = 1, . . ., s, являются изолированными
собственными значениями оператора А'ХТ', a Pft и Z)h — соб-
собственный проектор и нильпотентная часть, соответствующие
числу Kh, то имеем (Qh = APhA~1, Gh =
QhT с TPh = lhAPh + ADh = XhQhA + GhA,
Dh = DhPh - PhJDh, Gh = Gh9ft = ^ftGft, ' F.10)
PhPk = 6ftftPh, QhQk = 6ftfe(?ft.
Предположим теперь, что Т ш А — симметричные операторы
в гильбертовом пространстве X = Y = Н. Операторы А~гТ
и Т~ХА не являются, вообще говоря, симметричными. Однако,
А~1Т становится симметричным оператором относительно нового
скалярного произведения
{{и, v)) = {Аи, v); F.11)
здесь предполагается, что оператор А положителен. Пространство
Н полно по новому скалярному произведению, поскольку А ?
? 9$ (Н) и А'1 ? $ (Н). Следовательно, собственные значения \
и %h вещественны, Р и Ph суть ортогональные проекторы (и поэто-
поэтому имеют единичную норму) в новой метрике, a D и Dh обращают-
обращаются в нуль. Возвращаясь к прежней метрике, мы заключаем, что
операторы Р и Ph ограничены, причем их нормы не превосходят
фиксированной постоянной, зависящей только от А. В самом деле,
как нетрудно показать,
\\р KiM-'riM
Отметим также, что (в симметричном случае)
Q = р*, р = Q*. F.13)
Доказательство вытекает из следующего замечания. Если соб-
собственный проектор Р оператора А Г принадлежит собственному
значению К, то Р* — собственный проектор оператора (А~гТ)* =
= ТА, соответствующий собственному значению X = X.
§ 6. ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 523
Другой подход к задаче F.1) в симметричном случае состоит
в переходе к уравнению F.4). Оператор А~х1гТ А~х>г симметричен,
подобен операторам А ~ХТ и ТА'1 и, следовательно, самосопряжен.
Нильпотентная часть оператора А~х1гТА~х1г, отвечающая изоли-
изолированному собственному значению Я, равна нулю, а соответ-
соответствующий ортогональный проектор равен А1/2РА~1/г.
2. Теория возмущений
Здесь нас будет интересовать, в основном, задача на собствен-
собственнее значения в следующей форме:
Т (х) и = I (х) А (х) и, F.14)
где Т (х) и А (х) — голоморфные семейства замкнутых операторов
из X в Y, определенные в окрестности точки х = 0. Возникает
вопрос, являются ли собственные значения А. (х) задачи F.14)
и соответствующие им собственные векторы голоморфными функ-
функциями от "л. В соответствии с предположениями, сделанными в пре-
предыдущем пункте, мы будем считать, что семейство А (х) огра-
ограниченно-голоморфно и, следовательно, может быть представлено
сходящимся степенным рядом
А (х) = А + kAW + хМB) + . . ., А, А(п) ? .<% (X, Y). F.15)
Предположим, кроме того, что оператор А имеет ограниченный
обратный; тогда в некоторой окрестности нуля существует огра-
ограниченно-голоморфное семейство А (и), причем
А (х) = А'1 — кА
+ х2 (А^А^А^А^А-1 — А-Ы^А-1) + . . . . F.16)
Задача F.14) эквивалентна обычной задаче на собственные
значения:
Та (к)и = А (х)-1^ (к) и = Я, (к) и. F.17)
Здесь Та (и) — замкнутые операторы в X, образующие, как
нетрудно проверить, голоморфное семейство. Таким образом,
построенную в этой главе аналитическую теорию возмущений
можно применить к семейству Та (х). В результате получим, что
каждое собственное значение оператора Та = Та @) = А~ХТ @)
можно продолжить до аналитической функции, представляющей
собственные значения операторов Т (у). Аналогичные результаты
верны для собственных проекторов Р (х) и нильпотентных частей
D (х) оператора Та (х), а также для собственных проекторов
•Q (х) = А (х) Р (к) А (х) и нильпотентных частей G (х) =
= А (х) D (х) А (х) оператора Ть (х) = Т (х) А (х) =
= А (х) Та (х) А (х) (см. предыдущий пункт).
524 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ : •
Можно указать другое преобразование уравнения F.14) [кото-
[которое особенно удобно в том случае, когда операторы Т (х) и А (х)
самосопряжены]. Запишем семейство F.15) в следующем виде
А (х) = A + хС2 (х)) А = A + хС2 (х)I/2 А A + xd (x)I/2,
F.18)
где семейства
С2(х) =
n=0
ограниченно-голоморфны. Первое равенство в F.18) очевидно.
Второе является следствием формулы
A + В А'1I1 А = А A + А~ЩК, А, В е 9$ (X, Y), F.20)
которая верна для любого к и любого оператора В с достаточно
малой нормой. Для доказательства этой формулы достаточно
воспользоваться биномиальным разложением.
Равенства F.18) позволяют преобразовать уравнение F.14)
к виду
A + хС2 (х)Г1/2 Т (х) A + хС\ (и))"'2 w = Я (х) 4и>, :' F.21)
где
и? = A + хС\ (*))'/2 и- F.22)
Отметим, что операторы в правой части F.21) образуют самосо-
самосопряженное семейство, если Т (х) ж А (х) — самосопряженные
семейства.
Оператор А в правой части F.21) можно исключить в случае
необходимости с помощью преобразования вида F.4). Однако
это делать не обязательно, поскольку оператор А не зависит от х.
Если А — положительный оператор, то при введении новой
метрики F.11) оператор в левой части F.21) становится самосо-
самосопряженным после умножения слева на Л и задача F.14) сво-
сводится к обычной задаче на собственные значения. Описанный здесь
прием удобен ввиду того, что все требуемые дробные степени
операторов вычисляются с помощью биномиального разложения.
Задача 6.1. Пусть Т (х) п А (х) — самосопряженные семейства и А >
> 0. Тогда функция X (х) — вещественная для вещественных х, X (х)
и Р (х) голоморфны в окрестности вещественной оси и D (х) = 0.
3. Голоморфные семейства типа (А)
Предположим, что Т (х) из F.14) является голоморфным
семейством типа (А) в окрестности нуля; тогда имеет место раз-
разложение B.1). Семейство Та (х) = А (х) Т (х) обладает тем
§ 6. ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 525
же свойством и
Та (х) и = А~хТи + х (А^П1) — A-UWA-i-T) и + . . . . F.23)
Ряды для собственных значений Xj (x), возникающих при рас-
расщеплении собственного значения л оператора Та@) =А~гТ,
и для соответствующих собственных проекторов Pj (x), можно
вычислить, применяя формулы из § II.2 к семейству Та (х).
Так, например, ряд для среднего арифметического X (х) собствен-
собственных значений Xj (х) имеет вид: • , ,
\ / 1 * * * ' ' .ь, '
-L „ / Л — 1 ТЧ—1 Л—1 Л(\} Л 1 Т^ 7")
F.24)
= — tr (А^Т'1 — А^А^А^Т) Р =
= — tr (А'Ч^ - Ы-М.'1') Р;
здесь Р — собственный проектор оператора А~гТ, отвечающий
значению X, m = dim P, а соответствующая нильпотентная часть
предполагается равной нулю.
Если {ий}, к = 1, . . ., т,— базис в подпространстве РХ
и {ek} — сопряженный базис в Р*Х* (образующий вместе с {uh}
биортогональную систему), то имеем
ft_i
та
А
—._L у (G1'1' ХАа)) Uh fi) F 25)
где векторы
/й = (A-1)* ek б (А*)~1Р*Х* = (РА-1)* X* = F.26)
= (А'1*?)* X* = Q*A*~!X* = Q*Y*
характеризуются следующими свойствами:
(Аи}, fh) = Sjfe, {Аи, fh) = 0, если Pu = 0. F.27)
В частном случае, когда X = Y = Н — гильбертово про-
пространство, семейства Т (х) и А (х) самосопряжены и А — поло-
положителен, удобно выбрать векторы uh так, чтобы /ft = uk. Послед-
Последнее эквивалентно условию
(Auj, uh) = 8jh. F.28)
Если, в частности, пг = 1, то ' ¦
(Аи, и) . . \ ¦/
526 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
где и — собственный вектор оператора А~ХТ, соответствующий
собственному значению X. Коэффициенты Я<п), п ^ 2, вычисляют-
вычисляются тем же методом.
Мы придем к тем же самым результатам, если будем рассма^
тривать симметричную форму F.21) задачи на собственные зна-
значения. Однако в этом случае есть одно неудобство, связанное
с тем, что операторнозначная функция в левой части F.21) может
не принадлежать типу (А); это не позволяет непосредственно вос-
воспользоваться формулами § II.2.
4. Голоморфные семейства типа (В)
Предположим, что Т (х) из уравнения F.14) является голо-
голоморфным семейством типа (В) в окрестности точки х = 0. Тогда
Т (х) являются m-секториальными операторами, которые соот-
соответствуют семейству секториальных форм t (x) с постоянной
областью определения D = D (t (x)), имеющему разложение Тей-
Тейлора вида D.15).
В этом случае мы также приходим к результатам п. 3, однако
вычисление рядов теории возмущений теперь не так просто, как
для семейств типа (А). Здесь удобно рассмотреть семейство Т (х)
вместо Т (х), предполагая временно, что формы t (x) имеют поло-
положительную вершину у, не зависящую от х. Тогда семейство
^(х) ограниченно-голоморфно. Поскольку К (х) является соб-
собственным значением задачи
Т (х) v = А, (х)-1 А (х)-1 v, v = А (х) и, F.30)
то его можно вычислить методом предыдущего пункта и затем
получить разложение для К (х). Например, если А- — простое
собственное значение невозмущенного уравнения Ти — КАи, то
мы приходим к разложению
вычисления аналогичны тем, которые были проведены в п. 4.6
и мы их опускаем (см., в частности, замечание 4.18).
Мы предположили выше, что операторы Т (х) имеют положи-
положительную вершину, однако это предположение можно отбросить,
если ограниченные формы (А (х) w, и) имеют положительную
вершину. В этом случае нужно рассмотреть семейство Т^ (х) =
= Т (х) + аА (х) вместо Т (х). Если а — достаточно большое
вещественное число, то операторы Т^ (х) имеют положительную
вершину, а собственное значение Ki (x) уравнения F.14) с опера-
оператором Т% (х) вместо Т (х) равно Я (х) + а.
. Замечание 6.2. Задача на собственные значения вида Ти =
= "КАи естественным образом возникает при рассмотрении пары
§ 6. ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 527
квадратичных форм t [и] и а [и]. Рассматривая квадратичные
формы t [и] в гильбертовом пространстве Н, мы интересовались
в основном связями между t [и] и единичной квадратичной формой
|| и ||2. В том случае, когда две формы t и а рассматриваются
безотносительно к единичной форме, нет необходимости считать,
что t и а определены в гильбертовом пространстве. Вместо
этого можно рассматривать формы t и а в векторном простран-
пространстве X и, если нужно, можно превратить X в гильбертово про-
пространство, вводя скалярное произведение, подходящим образом
связанное с этими формами. Так, например, если а — положи-
положительная симметричная форма, то в качестве скалярного произве-
произведения полезно взять а [и, v]. Теорию возмущений для задачи:
F.14) также можно изложить на языке форм *).
Мы не будем углубляться в эту теорию. Заметим только, что
задача на собственные значения Ти = ХАи переформулируется
в терминах форм t и а, соответствующих операторам Т и А,
следующим образом:
t [и, v] = Ха [и, v] для всех v 6 D (t) П D (а). F.32)
Отметим также, что в том случае, когда формы t и а симметрич-
симметричны и собственные значения задачи Ти = ХАи образуют дискрет-
дискретное множество, ограниченное снизу, эти собственные значения
можно охарактеризовать с помощью принципа минимакса, при-
примененного к отношению t [u]/a [и] [ср. A.6.72)].
5. Возмущения границы
В качестве применения полученных выше результатов рас-
рассмотрим так называемые граничные возмущения 3) в задаче на соб-
собственные значения. В качестве простого примера рассмотрим
задачу
—Аи (х) = Ы (х), х 6 Е cr Rft F.33)
с нулевым граничным условием
и (х) = 0, х ?дЕ. ¦. F.34)
Возникает вопрос: как изменяются собственные значения этой
задачи при малых деформациях области Е?
*) В связи с общей теорией квадратичных форм см. Ароншайн
[2, 4].
2) См. Р е л л и х [8], Курант и Гильберт [1], стр. 419,
С и г е л [1]. По поводу формальной теории см. Морс и Фешбах
[1], С а и т о [1]. Об устойчивости существенного спектра при изменении
границы см. Вольф [3], Крейт и Вольф [1]; об устойчивости абсо-
абсолютно непрерывного спектра см. Бирман [6].
528 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Точнее, фиксировав семейство ограниченных областей Е (х),
зависящее от малого вещественного параметра х, выясним харак-
характер зависимости от х собственных значений задачи F.33) — F.34)
в области Е (х). Предположим, что Е (х) получается из Е = Е @)
взаимно однозначным преобразованием
х -» у = х + хф (х), F.35)
где ф (х) — достаточно гладкое отображение в себя открытого
множества, содержащего замыкание Е = Е U 5Е области Е.
Это отображение можно рассматривать как вектор-функцию с ком-
компонентами фА (х) = (pk (жь . . ., хп), к = 1, . . ., п.
Задача на собственные значения F.33) — F.34) в области
Е (х) связана с квадратичной формой
[ \grzdu(y)\*dy, F.36)
определенной в гильбертовом пространстве Н (х) = L2 (Е (х))
с нормой
ll«i!2= j \u{y)fdy. F.37)
E(v.)
Для того чтобы избежать неудобства, связанного с зависимостью
от х гильбертовых пространств Н (х), мы введем преобразование
Н (х)->- Н = Н @):
и(х)=и(у), в?Н(х), «6Н, F.38)
где х и у связаны соотношением F.35). Заметим, что и удовлетво-
удовлетворяет граничному условию и = 0 на дЕ тогда и только тогда, когда
и удовлетворяет граничному условию и = 0 на дЕ (х).
Итак, F.36) и F.37) определяют две квадратичные формы
в Н, зависящие от х:
Щ~л) Е k j
a(x)[u]= \ \u(y)\*du=\\u(x)fJ{x)dx, F.40)
J J
В(и) Е .
где /(х) — якобиан преобразования F.35), ..; ¦ ',
J(x) = J (x, x) = det(8Jh + x^). F.41)
Согласно ограничениям, наложенным на ф, якобиан / (х) является
гладкой функцией на Е и поэтому а (х) — ограниченная симме-
симметричная форма с положительной нижней границей. Соответствую-
Соответствующий оператор А (х) — это оператор умножения на / (х, х).
§ 6. ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 529
Интересующие нас собственные значения К (х) — это соб-
собственные значения пары форм t (x) и а (х) в смысле предыдущего
пункта, или, что то же, собственные значения задачи
Т (х) и = X (х) А (х) и, F.42)
где Т (х) — оператор, соответствующий форме t (x). Формы t (x),
а (х), а также операторы Т (х), А (х) определены в фиксирован-
фиксированном гильбертовом пространстве Н и поэтому к ним можно будет
применить полученные выше результаты, если мы покажем, что
Т (х) и А (х) голоморфно зависят от х.
Поскольку функции q>h (х) гладкие, то из F.41) следует, что
/ (х) — полином по х со свободным членом 1. Поэтому семейство
А (х) ограниченно-голоморфно по х и А (х) ^ б для некоторой
постоянной б> 0, если J х | достаточно мал. Рассмотрим теперь
семейства Т (х) и t (x); мы видим, что в правой части F.39) произ-
производные dXj/dyk, а также J (х) зависят от х. Так как матрица
(dxjldyh) служит обратной к матрице (dyj/dxh) = (8Jh + Kd<f>j/dxh),
то семейство t (x) можно представить в виде
t (х) [и] = t [и] + х t'1) [u] + х? [и] + ..., F.43)
где
t М = \ I Srad "• (я) |2 dx,
Е F.44)
Е i, ft
и /)$•?' (а;) — гладкие функции, удовлетворяющие неравенствам
IpJPHKfe'-1, хбЕ, F.45)
с положительными постоянными Ъ ш с. Применяя неравенство
Шварца, нетрудно показать, что формы t<r) удовлетворяют нера-
неравенствам вида 11 'г' Ы] | ^ Ьсг~Н [и] с теми же постоянными
Ъ и с, что в F.45). Отсюда следует, что формы t (x) имеют голо-
голоморфное аналитическое продолжение типа (а) и поэтому Т (х) —
голоморфное семейство типа (В) согласно теореме 4.8.
Из результатов пункта 2 вытекает, что собственные значения
Х(х) задачи F.33), F.34) в области Е (х) голоморфны в окрестно-
окрестности нуля, если область Е (х) получается из Е = Е @) преобразова-
преобразованием вида F.35). Собственные функции и (к) =и(у, х) также голо-
голоморфно зависят от х, однако это требует уточнения, поскольку
область Е (х) изменения у зависит от х. Мы не будем входить
в подробности, ограничимся лишь замечанием, что преобразо-
преобразованные собственные функции и (х) = и (х, х) голоморфны как
вектор-функции со значениями в Н.
34 т. Каго "
530 Гл. VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ ¦'•
Эти результаты можно обобщить в нескольких направлениях.
Во-первых, нулевое граничное условие можно заменить другим,
например условием Неймана ди/дп = 0. В этом случае нужно
заменить введенную выше форму t (х) ее продолжением tt (х),
которое определено на всех гладких функциях, не связанных
граничными условиями. Соответствующий оператор Т\ (х) являет-
является дифференциальным оператором второго порядка с граничным
условием Неймана и действует на функции и (х) ? Н = L2 (Е).
Аналогично можно рассмотреть случай граничного условия третье-
третьего рода
|j|- + a(a:)w —0, .ге<?Е(х), F.46)
добавляя к tj (x) [и] член, зависящий от граничных значений
функции и и определенный надлежащим образом с помощью
преобразования F.35) (ср. п. VI.4.4).
Во-вторых, полученные выше результаты без существенных
изменений переносятся на тот случай, когда оператор Лапласа
в F.33) заменен на произвольный дифференциальный оператор
второго порядка эллиптического типа:
Е^ЙгЕ^ . F.47)
В &том случае вместо F.36) нужно рассматривать форму
- <6-48>
J
Е(Х) 3, k
В-третьих, полученные выше результаты без существенных
изменений переносятся на тот случай, когда оператор L и гра-
граничные условия F.46) зависят от х через коэффициенты а}к (х),
bj (x), с (х) и 0 (х) (случай одновременного возмущения диффе-
дифференциального оператора и границы).
ГЛАВА VIII
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
В предыдущих главах мы имели дело почти исключительно с аналитиче-
аналитической, или равномерной теорией возмущений, в которой основную роль играет
непрерывность резольвенты по параметру в смысле сходимости по норме.
Теперь мы займемся теорией, в которой основным понятием является силь-
сильная непрерывность резольвенты. В этой теории предположения настолько
ослаблены, что резольвента или собственные значения оператора, вообще
говоря, не являются аналитическими функциями параметра, но при некото-
некоторых условиях возможны асимптотические разложения этих величин.
Как и в аналитической теории, в данном случае поведение резольвенты
оказывается определяющим. Мы даже введем понятие обобщенной сильной
сходимости для неограниченных операторов в терминах сильной сходимости
их резольвент.
Специфическая трудность этой обобщенной задачи состоит в том, что
изолированное собственное значение X не обязано оставаться изолированным
при возмущении. Поэтому необходимо различать устойчивые и неустойчивые
относительно данного возмущения собственные значения. Для устойчивых
собственных значений мы можем развить теорию асимптотических разложе-
разложений; возмущенные собственные значения и собственные векторы имеют
асимптотическое разложение по параметру до определенного порядка, зави-
зависящего от свойств невозмущенного собственного пространства.
Если собственное значение X не является устойчивым, то при «включении»
возмущения оно может поглощаться «непрерывным спектром». В этом случае
бессмысленно говорить о возмущенном собственном значении. Однако пред-
предполагается, что возникающий непрерывный спектр имеет своего рода кон-
концентрацию вблизи точки X,— это так называемое явление спектральной
концентрации.
Асимптотическая теория, которая будет здесь развита, грубо говоря,
соответствует тому, что в теории дифференциальных уравнений называют
сингулярной теорией возмущений1). Результаты этой главы носят общий
характер и по идее должны были бы быть применимы к дифференциальным
уравнениям. В настоящее время, однако, абстрактная теория развита не
настолько, чтобы включать в себя сингулярную теорию возмущений для
дифференциальных операторов.
§ 1. Сильная сходимость в обобщенном смысле
1. Сильная сходимость резольвенты
Пусть {Тп} — последовательность замкнутых операторов в ба-
банаховом пространстве X. В этом параграфе мы изучим в общем
виде вопрос о сильной сходимости резольвент Rn (Q = (Тп — Z)'1-
г) Общее обсуждение вопроса см. в работе Фридрихса [5].
34*
532 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Напомним основной результат, касающийся сходимости по норме
последовательности резольвент: если Rn (?) сходится по норме
к резольвенте R (?) = (Т — Q~l замкнутого оператора Т при
некотором Z, 6 Р (Т), то это же верно для любого Z, ? Р (Т)
(см. теорему IV.2.25, замечание IV.3.13 и задачу IV.3.14).
Соответствующей теоремы для сильной сходимости резольвент
не существует. Тем не менее мы можем доказать несколько теорем
о множестве точек ?, в которых последовательность Rn (?) сильно
сходится или ограничена.
Определим область ограниченности Аь для последовательно-
последовательности {Rn (т))} как множество всех комплексных чисел ? таких, что
Z, 6 Р (Тп) при достаточно больших п и последовательность
{II -^n (Q 11} ограничена (при столь больших га, что i?n (?) опре-
определены) х). Пусть, далее, As — множество всех t, таких, что суще-
существует s-lim Rn (?) = i?' (?); будем называть это множество обда-
стъю сильной сходимости для {i?n (Q}. Аналогично определим
область Аи сходимости по норме для {i?n (t)}. Очевидно, что
Аи с= As с Аь.
Теорема 1.1. А], является открытым подмножеством комплекс-
комплексной плоскости. Последовательность {Rn (?)} равномерно ограни-
ограничена по п и t, на любом компактном подмножестве множества Д^.
Доказательство. Пусть ^0 € ^ь! разложим i?n (Q
в ряд Неймана (см. п. III. 6.1): для \ ?, — ?,0 \< \\ Rn (?,0) \\~х
Rn @ = 5 (?- У" ДЛЕо)^. A-1)
ft=0
Если ||i?n(So) IK^o, то ||i?n@ ll<Mo(l -Mo^-Col)-1
при | ^ — ^о I < -^о1- Отсюда непосредственно следует утвержде-
утверждение теоремы.
Из теоремы 1.1 вытекает, что Аь состоит из не более чем счет-
счетного числа связных открытых множеств Аьь Льг, • • • (компо-
(компонент множества Аь)-
Теорема 1.2. Множество Ач относительно открыто и зам-
замкнуто в Аъ (так что As является объединением некоторых ком-
компонент Abk множества Аь). Сильная сходимость Rn (Q -^-R' (?)
равномерна 2) на каждом компактном подмножестве множества Д3.
х) Для удобства мы обозначаем через Л^ также и область ограниченно-
ограниченности последовательности {Тп}, если это не может привести к недоразумению.
Аналогично используются символы As и Ди.
2) Сильная сходимость Rn (Q -*- R' @ является равномерной по ?,
если |[ 7?п @ и — Л' (Q и II -*¦ 0 равномерно по ? при каждом фиксирован-
фиксированном в Е X.
§ i. СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ В ОБОБЩЕННОМ СМЫСЛЕ . 533
Доказательство. Если существует s-lim Rn (Со) = А,
то s-lim Rn (to)fl = Ак, к = 1, 2, . . . . Поскольку ряд A.1)
мажорируется по норме числовым рядом ^Мо I С — Со Г\
то существует s-lim Rn (Q, равный Л A — (?, — t,0) А)'1 при
1С — Со I < ^о1- Этим доказано то, что множество As открыто,
а также последнее утверждение теоремы.
Докажем относительную замкнутость множества As. Пусть
Z, ? А],; предположим, что в каждой окрестности точки Z, содер-
содержится точка ?0 ? As. Поскольку ? 6 Аь, то || i?n (?) || <1 М, где
Л/ = const. Выберем ?0 € As так, чтобы выполнялось условие
[?-?о|<1/2М. Тогда || i?n (?0) ||< A - 2) М = 2М s
== Мо, и s-lim Rn (?) также существует, так как | Z, — Со I <
< 1/2М = М~\. Следовательно, ? ? As. Сильный предел R' (Q
последовательности i?n (V) при С 6 As не обязательно является
резольвентой. Однако R' (С) удовлетворяет резольвентному урав-
уравнению
R' (СО - R' (С2) = (Ci - С2) R' (СО Д' (С2), Ci, C2 6 As, A.2)
будучи сильным пределом последовательности операторов Rn (?),
удовлетворяющих тому же уравнению. По этой причине R' (t)
называется псевдорезолъвентой. Заметим, что R' (^) и R' (?2)
коммутируют.
Из A.2) следует, что нуль-пространство N = N (R' (?,))
и область значений R = R (/?' (?)) оператора R' (С) не зависят
от ?,. Действительно, из A.2) видно, что R' (?,2) = 0 влечет
R' (t,i) и = 0 и что и = R' (?2) у влечет и = R' (^) ц?, где w =
= У — (Ci — Сг) и.
Псевдорезольвента i?' (?) является резольвентой (некоторого
замкнутого оператора 71) тогда и только тогда, когда N = 0.
Необходимость этого условия очевидна. Для доказательства
достаточности заметим, что любой элемент и 6 R представим
в виде и = R' (?) у (С), где v (?) определяется однозначно, если
N = 0. Применяя A.2) к и, получаем
R' (CO R' (Сг) (^ (Сг) - v (I,)) = Я' (?0 u-R' (Q и =
= (Ci - С2) R' (Ci) R' (С2) и,
а значит, у(Сг) — у (Ci) = (Ci — Сг) и, поскольку N = 0. Отсюда
следует, что вектор v (?) + t,u не зависит от ?; обозначим его
через Ги. Очевидно, что I7 — линейный оператор в X с областью
определения D (Т) = R, и Гм — ?м = у (?) = Д' (Q и. Сле-
Следовательно, i?' (С) = (Т — С) является резольвентой операто-
оператора Т; замкнутость оператора Т следует из того, что R' (С) 6 SS (X).
Заметим, что As есть подмножество резольвентного множества
Р (Т).
534 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Теорема 1.3. Пусть множество As непусто. Имеет jiecmo аль-
альтернатива: либо оператор R' (S) необратим при любом S ? Д8,
либо R' (?) является резольвентой R (?) = (Т —¦ Q~x однозначно
определенного оператора Т ? % (X). 5 последнем случае As =
= Р (Т) П Аь-
Доказательство. Только последнее утверждение тео-
теоремы еще не доказано. Выше мы доказали, что As с Р (Г), поэтому
As с: Р (Г) П Аь. Для того чтобы доказать обратное включение,
воспользуемся тождеством
Яп @ - Д (?) = A + (? - So) Д„ (?)) (Д„ (So) - Л (So)) X
х A + (S - So) R (S), A-3)
которое справедливо при t, So € Р (Т) П Ль и является простым
следствием резольвентных уравнений для Rn (Q и R (S). Если
So 6 As, то s-lim Дп (?o) = Д' (So) = R (So), так что из A.3) выте-
вытекает, что s-lim Rn (S) = i? (S) в силу равномерной ограниченности
последовательности {Rn (t)}. Это показывает, что S € ^s- Дока-
Доказательство завершено.
Следствие 1.4. Пусть Тп и Т — самосопряженные операторы
в гильбертовом пространстве с резольвентами Rn (S) и R (S).
Если s-lim Rn (?) = i? (S) 9ля некоторого комплексного S> ^o
это же верно для любого невещественного ?,.
Доказательство. Поскольку || Rn (S) [| ^ 1/| Im S I,
то Аь, так же как и Р (Т), содержит все невещественные S- Поэто-
Поэтому Р (Т) П Аь также содержит все невещественные S> и наше
утверждение следует из теоремы 1.3.
Если реализуется вторая альтернатива теоремы 1.3, то будем
говорить, что Rn (S) сильно сходится к Д (Q «a As и что Тп сильно
сходится к Г (и будем писать Тп ->- Т) в обобщенном смысле х).
Критерий обобщенной сильной сходимости дает
Теорема 1.5. Пусть Тп, Т ?_% (X), и пусть существует ядро
D оператора Т такое, что каждый вектор и ? D принадлежит
D (Тп) при достаточно больших п и Тпи —*¦ Ти. Если множество
Р (Г) П Аь непусто, то последовательность Тп сильно сходится
к Т в обобщенном смысле и As = Р (Т) (~| Аь.
Доказательство. Для любого S 6 Р (Т) {] Аь имеем
Rn (S) м - Д (S) u = Rn (S) (Т - Тп) Д (S) и -»- 0, если Д (S) и €
6 D (заметим, что последовательность || Дп (S) II ограничена).
Но множество таких векторов и плотно в X, так как D является
ядром оператора Т (см. задачу III.6.3). Поскольку последователь-
Ср. М а с л о в [2].
§ 1. СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ В ОБОБЩЕННОМ СМЫСЛЕ ' 535
ность || Rn (Q || ограничена, то Rn (?) -+ R (?) (см. лемму
s
III.3.5). Таким образом, Д3 э Р (Т) |~| Аь и реализуется вторая
альтернатива теоремы 1.3.
Следствие 1.6. Пусть Тп, Т — самосопряженные операторы
в гильбертовом пространстве, и пусть существует ядро D опера-
оператора D такое, что Тпи-^~ Ти при и ? D. Тогда Rn(t,)^>-R (?) для
любого невещественного ?, и Тп сильно сходится к Т в обобщенном
смысле.
Замечание 1.7. Вообще говоря, даже в том случае, когда
Тп 6 & (X) и s-lim Тп = Т существует в обычном смысле, нет
простой связи между сильной сходимостью в обобщенном смысле
последовательностей {Тп} и {Тп} (в предположении, что Тп
плотно определены, так что Г* существуют). Однако справедлива
следующая
Теорема 1.8. Пусть последовательности {Тп} и {Тп} сильно
сходятся в обобщенном смысле к Т и Т* соответственно, причем
операторы Тп и Т плотно определены. Пусть Д3 и Д* — области
сильной сходимости резольвент операторов Тп и Тп соответствен-
соответственно. Тогда Д* совпадает с зеркальным отражением Д3 множества
As относительно вещественной оси.
Доказательство. Эта теорема является прямым след-
следствием формулы As = Аь П Р (Т) и аналогичной формулы для
А*, поскольку AJ = Аь и Р (Т*) = Р (Т) (см. теорему III.6.22).
Замечание 1.9. Мы рассматривали сильную сходимость после-
последовательности резольвент {Rn (?,)}, но точно так же можно было
рассматривать семейство резольвент R (?,, х) = (Т (к) — S),
зависящее от непрерывного параметра. В дальнейшем мы так
и будем поступать, без специальных пояснений.
Пример 1.10. Пусть Н — самосопряженный оператор в гильбертовом
пространстве Н, и пусть Тп = пг^Н. Тогда Тпи -*¦ 0 при любом и ? D (Я).
Поскольку множество D (Н) плотно в Н, то оно является ядром ограничен-
ограниченного оператора Т = 0. Поэтому применимо следствие 1.6, согласно которо-
которому Rn ( Q сильно сходится к R (?) = —1/? при любом невещественном ?.
Отсюда следует, что при любом невещественном а имеет место сильная схо-
сходимость A — п^аН)'1 -»- 1. Этот результат не совсем тривиален. Если
спектр 2 (Н) оператора Н совпадает со всей вещественной осью, то Д^ являет-
является объединением верхней и нижней полуплоскостей (Im ? г 0), и Дь =
= Д8 = Р (Т')ПДь (Р(У) есть вся плоскость, за исключением начала коор-
координат).
Пример 1.11. Пусть X = L2 @, то) и Тп, Т — операторы, определяе-
определяемые формулой
Тп = — &ldx* + qn (х), Т = -d2ldx2 + q (x), A.4)
с граничным условием и @) = 0; функции q (x) и qn (x) вещественнозначны.
При определенных условиях (см. п. V.3.6) операторы Тпж Т являются само-
536 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
сопряженными, а С^° @, оо) является ядром оператора Т. Предположим
теперь, что
ь
0 A.5)
при любых а, Ь таких, что 0 < а < Ъ < оо. Тогда Тпи -+¦ Ти при и ? C[J°.
Из следствия 1.6 вытекает, что Rn (?) —*• Л (?) при любом невещественном ?.
Это означает, что решение граничной задачи
-м"+ qn(x) и — Z,u = f(x), м@) = 0, и Е L2 @, оо), A.6)
сходится в L2 @, оо) к решению той же задачи, в которой qn заменено на q.
См. также примеры п. 4.
Пример 1.12. Рассмотрим оператор Т (х) = Г+ х4, где Г и Л —
операторы сдвига в 1Р (— оо, оо), рассмотренные в примере IV.3.8. Спектр
2 (Т (и)) при х Ф О является единичной окружностью | ? | = 1. Пусть
R (?, х) = (Г (х) - g-i. Поскольку || Я (Б, х) || < (| Б I - I) при | ? |>
> 1 и | х | ^ 1 (см. задачу IV. 3.10), то внешность единичного круга при-
принадлежит области ограниченности Д), для R (?,, х) при х -*• 0. Но внутрен-
внутренность этого круга не принадлежит Д^ (см. там же). При этом множества
Р (Т), Д)) и Д8 совпадают с внешностью единичного круга.
Пример 1.13. Пусть Т — замкнутый максимальный симметричный не-
несамосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н. Мы можем
предположить, что верхняя полуплоскость Im ? > 0 является резольвент-
резольвентным множеством Р (Г), тогда как нижняя полуплоскость не пересекается
с Р (Г). Пусть {Рп} — последовательность ортогональных проекторов,
обладающая следующими свойствами: i) последовательность {Рп} не убы-
убывает (Pt ^ Р2 < . . .) и s-lim Рп = 1; ii) РпХ с: D (Т); ш) РпТРпи -*¦ Ти,
00
если и принадлежит линейному подпространству D = \^j PnX; iv) D являет-
ся ядром оператора Т. Такая последовательность может быть построена
следующим образом х). Пусть ип 6 D (Г) — последовательность, плотная
в Н, a {vn} — ортонормированная система, которая получается в результате
применения процесса ортогонализации Шмидта к последовательности
{ип, (Т — i)-1 ип}. Если Рп — проектор на гс-мерное подпространство,
порожденное векторами vit . . ,, vn, то последовательность {Рп} обладает
требуемыми свойствами.
Пусть Тп = РпТРп. Операторы Тп, очевидно, ограничены и симметрич-
симметричны, а значит, самосопряжены. Поэтому область ограниченности Д^, для {Тп}
содержит все невещественные числа. Кроме того, из iii), iv) и теоремы 1.5
следует, что множество Д8 = Р (Г) f| Дь в точности совпадает с верхней
полуплоскостью. Здесь мы имеем пример, когда Д8 есть собственное под-
подмножество множества Д),.
2. Обобщенная сильная сходимость и спектры
Мы видели выше, что спектр 2 (Т) полунепрерывен сверху
по отношению к обобщенной сходимости операторов, т. е. 2 (Т)
не расширяется скачком при непрерывном в смысле обобщен-
обобщенной сходимости изменении оператора Т. Совсем иная ситуация
возникает, если вместо обобщенной сходимости рассматривается
обобщенная сильная сходимость, определенная выше, или даже
г) См. Стоун [I]), стр. 166
§ 1. СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ В ОБОБЩЕННОМ СМЫСЛЕ 537
просто сильная сходимость. Это является одной из причин, по ко-
которой в теоремах, доказанных выше, мы должны были вводить
область сильной сходимости As.
Простой контрпример доставляет последовательность {Еп} орто-
гона.яьных проекторов в гильбертовом пространстве такая, что
Еп -*¦ 0. Предельный оператор 0 имеет спектр, состоящий из един-
единственной точки Z, = 0, но Е (Еп), вообще говоря, содержит две
точки I, = 0, 1. Поскольку, с другой стороны, спектр Е (Г),
вообще говоря, не является полунепрерывным снизу даже в смыс-
смысле сходимости по норме, мы заключаем, что он не является полу-
полунепрерывным ни сверху, ни снизу в смысле сильной сходимости.
Однако полунепрерывность спектра снизу может быть доказана
при некоторых ограничениях.
Теорема 1.14. Пусть Нп, Н — самосопряженные операторы,
в гильбертовом пространстве Н, и пусть Нп сильно сходится к Н
в обобщенном смысле. Тогда всякое открытое множество, содержа-
содержащее хотя бы одну точку множества Е (Н), содержит по крайней
мере одну точку множества S (Нп) при достаточно больших п.
Доказательство. Пусть Я ? Е (Н); положим Z, = Я -f-
+ is, е> 0. В силу самосопряженности оператора Н имеем
|| R (?) || = 1/е, так что существует вектор и ? Н такой, что-
|| R (?) и || ^ 1/2е. Но, согласно предположению, Rn (?) и —>-
->- R (?) (см. также следствие 1.4). Поэтому || Rn (Q и || ^ 1/Зе
при достаточно больших п. Поскольку операторы Нп являются
самосопряженными, то существуют такие Кп ? 2 (Нп), что
I ^п — ? I ^ Зе, или | Кп — К | ^ 4е. Так как е < 0 произвольно,
то теорема доказана.
Следующая теорема в некотором смысле усиливает теоре-
теорему 1.14.
Тоерема 1.15. Пусть Нп = \ d Еп (К) — спектральные пред-
представления операторов, фигурирующих в теореме 1.14. Тогда *)
s-lim Еп (К) = Е (Ц, если Е (% — 0) = Е (%). A.7)-
г) Обобщением формулы A.7) является соотношение s-lim En (Хп) =
= Е (Я) при Хп -*¦ X. Для доказательства достаточно воспользоваться равен-
равенством Еп (Хп) = Еп (X), где Е'п — спектральное семейство оператора Н'п =
= Нп — (Хп — X), и тем фактом, что Н'п —>¦ Н, так как Яп — X ->- 0. Заметим
также, что s-lim ?Jn (Xn — 0) = Е (X). Для доказательства следует учесть,
что сильные пределы последовательностей Еп (Хп) и Еп (Хп — ге) совпадаюг
и равны ? (Я), так что Еп (Кп) — Еп (Хп - 0) -> 0.
Можно также поставить вопрос, верно ли, что <р (Нп) -^- ф (Н) для любой*
заданной функции ц> (Н). Мы не будем рассматривать эту задачу в общем
виде. О соответствующей задаче для спектральных операторов см. Фо-
Фогель [1].
538 гл. viii. асимптотическая;теория возмущений
Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем
предположить, что Я = 0. Напомним, что оператор Еп @) +
+ Еп (—0) описывается леммой VI.5.6, в которой Я = 0, а Я заме-
заменяется на Яп, так что
¦{1-Еп @)-Еп(-0))Нп {H
о
р
при этом нет нужды писать Нт \ в правой части, так как
8-» 0 J
р->-оо Е
интеграл абсолютно сходится в силу неравенства
|| Нп {HI + т,2)-1 Яп (Щ + I) || < min A, г,). A.9)
Заметим далее, что (Еп @) - Еп (-0)) Нп (Щ + I) = 0, так
как Еп @) — Еп (—0) есть проектор на нуль-пространство опе-
оператора Яп. Следовательно, Еп (—0) в левой части равенства A.8)
можно заменить на Еп @). В результате мы получим формулу,
аналогичную формуле A.8), для операторов Я, Е вместо Я„, Еп
соответственно.
Подинтегральная функция в A.8) сильно сходится при п —*¦ оо
к Я (Я2 + Т12) Я (Я2 + I), так как Rn (?) -> R (?) при любом
невещественном ?. В силу A.8) из принципа мажорантной сходи-
сходимости следует, что
A - 2Еп @)) Нп {HI + l)-i -> A - 2Е @)) Я (Я2 + 1)~К A.10)
"С другой стороны, Нп (Нп + I) —> Я (Я2 -(- I), так как
Лп (±0 ~> Д (=Ь0- Следовательно,
A - 2Еп @)) [Я„ (Я?, + I)-1 - Я (Я2 + 1)-Ч -> 0. A.11)
S
^Из A.10) и A.11) получаем
(?п @) - Я @)) Я (Я2 + I) -* 0. A.12)
S
Отсюда вытекает, что Еп @) и —>- Е @) и, если м =
= Я (Я2 + I) у, v 6 Н, т. е. если и принадлежит области зна-
значений оператора Я (Я2 + I). Но эта область значений плотна
в Н, ибо оператор Я (Я2 + I) самосопряжен и размерность его
ядра равна нулю (см. III.5.10). Так как последовательность
Еп @) ограничена, то Еп @) —* Е @) (см. лемму III.3.5).
§ i. СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ В ОБОБЩЕННОМ СМЫСЛЕ 539
Замечание 1.16. Рассуждение, использованное в приведенном
доказательстве, можно обобщить следующим образом. Пред-
Предположим, что требуется доказать сильную сходимость Ап -*¦ А;
для этого можно сначала доказать, что Апср (Нп) —*- Aq> (H) для
8
некоторой функции ф, а затем, что ф (#„) —> ф (Н). Тогда
Ап(р (Нп) — Апср (Н) —V 0, если известно, что операторы Ап рав-
S
номерно ограничены. Следовательно, (Ап — А) <р (Н) —>¦ 0. Если
функция ф такова, что область значений оператора ф (Я) плотна
в Н, то мы заключаем, что Ап —=> А,
3. Возмущения собственных значений и собственных векторов
Тот факт, что спектр не является сильно полунепрерывным
сверху по отношению к возмущениям, вносит определенные труд-
трудности в теорию возмущений спектров и, в частности, изолирован-
изолированных собственных значений. В противоположность случаю возму-
возмущений, малых в смысле обобщенной сходимости, может оказаться,
что изолированное собственное значение оператора Т поглощается
непрерывным спектром1), если Т подвергается возмущениям,
малым в смысле сильной сходимости. Покажем на простых приме-
примерах, как может происходить такое на первый взгляд исключитель-
исключительное явление.
Пример 1.17. Пусть X = L2 (—оо, оо), и пусть Т — интегральный
оператор с ядром t (у, х) = —/ (у) f (х), где / (х) — непрерывная функция,
такая, что ||/ || = 1 и / (х) Ф 0 при любом х. Пусть ГA> — максимальный
оператор умножения на х\ Г'1'и (х) = хи (х). Оператор Т ограничен, само-
самосопряжен и имеет собственные значения —1, 0, причем первое из них являет-
является простым, а кратность второго равна оо.
Положим Т (х) = Т + хГ*1' при х Ф 0. Оператор Т (х) самосопряжен
при вещественных х. При комплексных х числовой образ 0 (Т (х)) опера-
оператора Т (х) является подмножеством полосы П>:, заключенной между пря-
прямыми T)=gtg9HT)= —1 + ? tg G, где ? = 5 + Sri и6 = arg x. Далее,
•оператор Т (х — Q-1 = X (Г'1' + х-1Г — х^) существует и принад-
принадлежит М (X), по крайней мере при || х~хГ || = | х-1 | < Im (х-1?) | =
= Ц (ГA> — х-1^)-1 Ц-1, т. е. при ?, достаточно удаленных от полосы Пх.
Таким образом, индекс дефекта оператора Т (х) равен @, 0) и внешность
указанной полосы принадлежит Р (Г (и)), причем || Л (?, х) || ^ 1/dist (?, Пи)
<см. п. V.3.2).
Предположим теперь, что и принадлежит области Do: | Im x | <
< М | Re х |. Из предыдущего результата следует, что если ? лежит в одном
из двух секторов т) > ф E) + е, т) < ф E) — е, где 8 > 0 и
ф (|) = max [-Ml, M(l+ 1)] > 0, A.13)
то || R (?, х) || < е-1 (М2 + 1I/2.
х) Мы не вводили понятие непрерывного спектра оператора. Здесь мы
используем этот термин в довольно расплывчатом смысле, подразумевая
множество всех неизолированных точек спектра. Позже будет дано точное
определение для самосопряженных операторов (гл. X).
540 Гл. VII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Пусть теперь х -»- 0 таким образом, что х ? Do. В силу полученного
выше результата секторы
П±: т]>ф(|) и т)<— ф(|) A.14)
принадлежат Дь. Кроме того, Г (х) и ->- Ти, если af D G1'1»). Так как
D (Г'1') является ядром оператора Т и П± ?Р (Т), то, согласно теореме 1.5,
множества П± также принадлежат Д8. Таким образом, Т (х) —>¦ Г в обоб-
обобщенном смысле.
Аналогичные результаты справедливы и в том случае, когда х принад-
принадлежат области Di: | Im х [ > те | Re x |, те > 0. В этом случае множества
Ль и Дд содержат секторы | ц | < те?, | т) | < —те (? + 1) и Г (х) —>- Т
в обобщенном смысле, если к -*¦ Q таким образом, что х ? Di-
Рассмотрим спектр оператора Г (х). Ясно, что 2 (Г*1') совпадает с веще-
вещественной осью, с которой в то же время совпадает существенный спектр
2е (Г*1') оператора З7'1' (см. п. IV.5.6). Поскольку оператор Г вырожден
и ранг его равен 1, то оператор Г*1' + х~хТ имеет тот же существенный
спектр, что и ТA) (см. теорему IV.5.35). Отсюда следует, что при любом
х Ф 0 существенный спектр оператора Т (х) = х (Г*1) -{- х?1) является
прямой, проходящей через точки 0 и х, так что остаток спектра 2 (Т (и))
состоит из изолированных собственных значений конечной кратности
(см. там же).
В частности, при вещественных х оператор Т (х) не имеет изолированных
собственных значений (так как он самосопряжен и спектр его расположен
на вещественной оси). Более того, он вообще не имеет собственных значений.
Действительно, предположим, что Т (х) и = Ям. Тогда
— (и, f)f(x)~xxu(x,) = ku(x), A.15)
A.16)
Но такой вектор и принадлежит X только тогда, когда и = 0, так как зна-
знаменатель хх — Я обращается в нуль в точке х = Я/х, если Я вещественно.
С другой стороны, Т (х) не имеет невещественных собственных значений,
как было отмечено выше. Можно показать, что Т (х) имеет чисто непрерывный,
спектр на всей вещественной оси 1).
С другой стороны, при невещественных х формула A.16) может опре-
определять ненулевой вектор и, принадлежащий X. Собственное значение Я
определяется уравнением
хх — Я
— со
Можно показать, что уравнение A.17) однозначно определяет Я как функцию
от х, по крайней мере при малых | х [ и | Я + 1 |, и что Я = Я (х) стремится
к Я @) = —1 при х -*¦ 0, у. g D4.
Таким образом, собственное значение —1 оператора Т поглощается
непрерывным спектром оператора Т (х) при вещественных и, тогда как при
х ? Di оно непрерывно переходит в изолированное собственное значение.
Собственное значение 0 оператора Т также во всех случаях поглощается
существенным спектром; этого можно было ожидать ввиду того факта, что
его кратность равна оо.
J) Это можно доказать с помощью того факта, что Т (х) = х (Г*1) + х-^Т),
где оператор Г*1) имеет абсолютно непрерывный спектр, а оператор Т выро-
вырожден (см. теорему Х.4.4). ,, , , .
§ 1. СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ В ОБОБЩЕННОМ СМЫСЛЕ 541
Пример 1.18. Пусть X и Г те же, что в примере 1.17, и пусть ГA> =
= ж2. Снова Т (х) = Г+ хГ'1' сильно сходится к Г в обобщенном смысле,
если х -*¦ О и х ? Do или х ? D4. В этом случае, однако, при х > О оператор
Т (х) имеет ровно одно собственное значение, так как в формуле, соответ-
соответствующей формуле A.16), мы имеем теперь знаменатель хж2 — Я, который
не обращается в нуль при Я < 0. Легко показать, что условие, которое
получается из A.17), если хж — Я заменить на хж2 — Я, определяет Я =
= Я (х) как отрицательную возрастающую функцию от х при х > 0 и что
% (х) -»• —1 при х \ 0. Кроме того, существенный спектр оператора Т (х)
при х > 0 совпадает с неотрицательной вещественной полуосью. Спектр
2 (Т (х)) при х > 0 состоит из одного отрицательного собственного значе-
значения X (х) и непрерывного спектра, покрывающего положительную веще-
вещественную полуось. Возмущение спектра при х > 0 имеет самый обычный
вид, если рассматривается изолированное собственное значение —1 опера-
оператора Т. Аналогичного поведения спектра оператора Т (х) можно ожидать
и для невещественных х при | arg х | ^ я — е, е > 0.
Но ситуация оказывается совсем иной, если х вещественно и отрицатель-
отрицательно. В этом случае, как легко видеть, Т (х) не имеет собственных значений;
изолированное собственное значение —1 оператора Т поглощается непрерыв-
непрерывным спектром при переходе от Г к Т (х).
Пример 1.19. Пусть X — любое из функциональных пространств
Lp @, 1), 1 sg: p < оо, или С [0, 1], и пусть
Т{к) = 2а~х-~, а* 0, A.18)
i
¦с граничными условиями
и@) = иA) = 0. A.19)
Оператор Т (х) замкнут при х Ф 0, причем D = D (Т (х)) не зависит от х.
Этот оператор даже самосопряжен, если X = L2, х вещественно, х Ф 0,
.а а —¦ чисто мнимое число. Простые вычисления показывают, что при х ф. 0
спектр оператора Т (х) состоит из изолированных собственных значений
?^(х) = гс2я2х + — , п— 1, 2, 3, .... A.20)
Чему равен «предел» оператора Т (х) при х ->• 0?. Формально вроде бы
Г@) = 2ad/dx. Если сохранить граничное условие A.19) для этого диффе-
дифференциального оператора первого порядка, то спектр замыкания Т @)~
•оператора Т @) есть вся комплексная плоскость (пример III.6.8). Но Т @)~
не является разумным пределом для Т (х), так как для дифференциального
оператора первого порядка естественно ставить одно, а не два граничных
условия. Существует бесконечно много граничных условий, совместимых
с A.19), а именно
в@) = ввA), A.21)
где 9 — фиксированное комплексное число (допускается 8 = оо). Задача
•состоит в выборе из всех условий вида A.21) «корректного» граничного усло-
условия. Такая постановка является типичной для сингулярной теории возму-
возмущений дифференциальных операторов.
Трудность этой задачи состоит в том, что она не покрывается теоре-
теоремой 1.5. Конечно, Т (х) и -*¦ Т @)~, х -*¦ 0, при и ? D, но множество Р (Т @~)
пусто и невозможно найти расширение оператора Т @)~, которое имело бы
непустое резольвентное множество и для которого множество D являлось
•бы ядром.
542 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
В действительности Т (х) сходится к определенному замкнутому опера-
оператору Т в смысле сильной обобщенной сходимости, и даже в смысле (просто)
обобщенной сходимости, при условии, что х -> 0 таким образом, что х/а
не является чисто мнимым. Наиболее прямое доказательство состоит в по-
построении резольвенты R (?, х) = (Т7 (к) — Й как интегрального опера-
оператора с функцией Грина gK(y, х; Z) в качестве ядра. Непосредственное вычис-
вычисление дает
До,-*)
ёк (<Л я; S) = ^f— X
V ?
x \ v __^ ' • * ' . A 22)
Пусть теперь к -»• 0. Если при этом | arg (х/а) | < б < я/2, то, как легко
показать,
0, у<х, .
1 , A.23)
Ш' у> '
причем функция #и (у, х; 0) равномерно ограничена в квадрате 0 ^ х ^ 1,
0 ^ У ^ !• Предельное ядро g (у, х; 0) есть в точности функция Грина для
оператора Т = iadldx с граничным условием и @) = 0, что соответствует
условию A.21) при 9 = 0. Из A.23) в силу принципа ограниченной сходи-
сходимости следует, что
1 1
J JUxO/. x;0)~g(y, x;0)Pdxdy-*0. . A.24)-
о о
Если X = L2, то || Л @, и) — R @) ||2, где R (I) = (Т — Q-1, не превышает
левой части формулы A.24) (см. задачу III.2.5). Поэтому R (?, у.) ->- Д (J)
по норме при ? = 0, откуда следует, что то же справедливо для любого
l?J?(T) (см. замечания IV.3.13 и IV.3.14). Иными словами, Т (х) ->- Г
в обобщенном смысле. Таким образом, мы заключаем, что корректный выбор
граничного условия вида A.21) состоит в том, чтобы положить 9 = 0, если'
х -*¦ 0 таким образом, что | arg (х/а) | ^ б < я/2. Интересно заметить,
что спектр оператора Т (х) уходит на бесконечность при х ->- 0; если, напри-
например, а — положительное число, то 2 (Т (х)) содержится в полуплоскости
Re ? ^ | х |~х cos б. Это не противоречит полунепрерывности спектра сверху
по отношению к возмущениям, малым в смысле обобщенной сходимости,
так как спектр оператора Т пуст (см. пример III.6.8).
Аналогично, корректное граничное условие для «предела» Т оператора
Т (х) дается формулой A.21) при 9 = о©, если х ->- 0 таким образом, что
| arg (—х/а) I < б < я/2. И наконец, Т (х) не имеет предела в смысле
обобщенной (и даже сильной обобщенной) сходимости, если у. -*¦ 0 таким
образом, что величина х/а является чисто мнимой. Доказательство мы опу-
опускаем; этого результата можно было ожидать ввиду того, что в данном слу-
случае не существует ннкакого выделенного 9 в A.21). Поведение спектра опера-
оператора Т (х) при х -*¦ 0 весьма сложно. Если, например, а — чисто мнимое
число и х > 0, то все собственные значения A.20) вещественны. Каждое из-
§ 1. СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ В ОБОБЩЕННОМ СМЫСЛЕ 543-
стремится к — оо, если х ->- +0, тогда как их расположение становится
все более плотным. Поэтому всю вещественную ось можно рассматривать
как предел спектра 2 (Т (х)).
Пример 1.20. Пусть пространство X то же, что в примере 1.19, и пусть
с граничными условиями
и @) = и' @) = и A) = и' A) = 0. A.26)
Оператор Т (к) (при малых к > 0) возникает при описании движения натяну-
натянутой струны с малой жесткостью, закрепленной на обоих концах. Если х ->-
-»- +0, то Т (к) формально стремится к Т @) = —ad2/da;2. Но граничное
условие A.26) является слишком сильным для дифференциального операто-
оператора второго порядка d^/dx2; здесь опять мы имеем дело с задачей сингулярной
теории возмущений: основная задача состоит в нахождении корректного
граничного условия для Т @). Физическая интуиция немедленно подсказы-
подсказывает предположение, что
и @) = и A) = 0 A.27).
является искомым граничным условием. Действительно, можно показать,
что пределом в смысле обобщенной сходимости оператора Т (х) является
оператор Т = —ouP/dx2 с граничным условием A.27), по крайней мере если
X = L2. В этом факте можно убедиться непосредственно, рассматривая,
как и в примере 1.19, функцию Грина, но позже мы выведем его, рассматри-
рассматривая вопрос с более общей точки зрения (см. пример 3.8).
Из обобщенной сходимости Т (к) -*¦ Т следует, что каждое изолирован-
изолированное собственное значение %п оператора Т непрерывно переходит в соответ-
соответствующее собственное значение Ап (х) оператора Т (к). Известно 1), что
[/ v \ 1/2 -1
1 + 4^—) -fO(x) , x>0. A.28)
Поэтому собственные значения непрерывны в точке к = 0, но не диффе-
дифференцируемы.
Этих примеров достаточно для того, чтобы показать, что спектр
оператора может вести себя очень сложно при «сингулярных»
возмущениях. В частности, следует заметить, что его поведение
может быть существенно различным для различных направлений,
по которым параметр и стремится к нулю.
Таким образом, возмущения в примерах 1.19 и 1.20 являются
«не очень сингулярными», если а> 0 и х\0, так как в этом
случае имеет место обобщенная сходимость Т (к) -»- Т.
При сингулярных возмущениях изолированное собственное
значение, вообще говоря, не остается изолированным; оно может
поглощаться непрерывным спектром. Поэтому если требуется
развить сингулярную теорию возмущений изолированных соб-
собственных значений, то необходимо явно предположить, что такое
поглощение не имеет места. Вопрос о том, когда это предполо-
предположение выполняется, сложен; в общем случае, по-видимому, удо-
См. Рэл е й
544 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
влетворительного ответа не существует. Мы еще вернемся к этому
вопросу ниже.
Мы не можем говорить о возмущении собственного значения X,
если оно поглощается непрерывным спектром. Иногда, однако,
непрерывный спектр возмущенного оператора в некотором смысле
концентрируется вблизи точки X. Это явление спектральной кон-
концентрации будет обсуждаться в § 5.
4. Устойчивые собственные значения
Согласно замечанию предыдущего пункта, рассмотрим возму-
возмущение изолированного собственного значения в предположении,
что при возмущении оно остается изолированным. Для уточнения
этого предположения дадим следующее определение.
Пусть Тп~^ Т, п —>¦ оо, в обобщенном смысле. Изолированное
собственное значение X оператора Т называется устойчивым
относительно этого возмущения, если выполняются следующие
условия:
i) Область сходимости As для Rn (?,) содержит некоторую
выколотую окрестность точки X. Иными словами, существует
¦б > 0 такое, что каждое t,, удовлетворяющее условию 0 <
<С | Z, — X \ < б, принадлежит Р (Тп) при достаточно больших п
(зависящих от Z), и Вп (?) ~^ В (?), п—>¦ оо.
Из этого условия следует, что окружность Г: | ? — X | = г,
О < г < б, является подмножеством множества As и что сходи-
сходимость Rn (?) 7* R (С) равномерна на Г (см. теорему 1.2). Поэтому
проектор - ., , ,,,
определен, и
где Р — собственный проектор, соответствующий собственному
значению X оператора Т.
ii) dim Pn ^ dim P при достаточно больших п.
В силу формулы A.30) из условия ii) в действительности сле-
следует, что при достаточно больших п
. A.31)
Этот факт вытекает из следующей леммы.
Лемма 1.21. Пусть {Рп} — последовательность проекторов
в банаховом пространстве X. Если Рп -*¦ Р, &.-*- оо,,що оператор
§ 1. СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ В ОБОБЩЕННОМ СМЫСЛЕ 545
Р также является проектором. Если dim Pn =SC dim P <L оо при
всех п, то Рп -*- Р по норме и dim Pn = dim P при достаточно
больших п.
Доказательство. Из Р'п = Рп следует, что Р2 = Р,
поэтому Р есть проектор. Пусть х^, . . ., хт — базис в простран-
пространстве РХ, и пусть {ей . . ., ет} — сопряженный базис в простран-
пространстве Р*Х*: (Xj, eh) = 8jk. По предположению имеем Pnz;-—>-
->¦ Pxj = Xj при каждом j. Следовательно, (PnXj, eh) ->¦ (Xj,eh) =
= 8jk и det (PnXj, ek) -*- 1. Этот определитель при достаточно
больших п отличен от нуля, поэтому т векторов PnXj, / = 1, ...
. . ., т, линейно независимы. Поскольку размерность простран-
пространства РПХ не превосходит т, то оно то-мерно с базисом {Pnxj}.
Так как det {PnXj, P?eft) = det (PnXj, eh) —>¦ 1, то векторы
{PnSk} образуют базис в пространстве Р*Х, почти биортогональ-
ный базису {PnXk} пространства РпХ. С помощью небольшого
изменения этого базиса {Pnh} мы можем построить базис {fnh}
пространства Р*Х, строго биортогональный базису {Pnxhj.
Поскольку при п -*- оо это небольшое изменение сколь угодно
мало, то очевидно, что
fnh~+eh, n^oo. A.32)
В силу биортогональности имеем
¦т т
Pu=%(u, ek)xk, Pnu=% (и, fnk)PnXk A.33)
h=l ft=i
И • •"
m
Pu — Pnll= 2 [("' eh — fnh)Xh + (u, fnk)(Xk — PnXh),
*=» A.34)
m
|| {Pn - P) и |[<|| и || S {|| eh-U II II xh || + || fnk || || a%~Pnxh ||>.
ft=l
Так как выражение в фигурных скобках из последнего неравен-
неравенства стремится к нулю при п —»-оо, то мы получаем требуемый
результат [| Рп — Р \\ ->¦ 0.
Из того что dim Рп = dim Р = т < оо, следует, что часть
спектра оператора Г^, лежащая внутри окружности Г, состоит
из *А изолированных собственных значений с тотальной кратно-
кратностью т. Это верно при любом выборе радиуса г окружности Г,
если п достаточно велико; следовательно, указанные собственные
значения оператора Тп сходятся к X при п—*- оо. В то же время
из A-31) следует, что тотальный проектор, соответствующий этим
собственным значениям (т. е. проектор на 7п-мерное пространство,
равное прямой сумме алгебраических собственных подпространств,
отвечающих этим собственным значениям), стремится по норме
35 т. Като
546 Гл. VII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
к собственному проектору, соответствующему собственному зна-
значению X оператора Т. Таким образом, устойчивость собственного
значения % влечет сходимость соответствующих собственных
значений и собственных подпространств. Следует заметить, одна-
однако, что собственные проекторы, отвечающие каждому отдельному
собственному значению оператора Тп, не обязаны сходиться при
п—>-оо; они не обязаны даже иметь постоянную размерность.
Пример 1.22. Собственное значение —1 оператора Т из примера 1.17
не является устойчивым относительно рассмотренного возмущения, если
х вещественно и х -> 0. Но оно устойчиво, если х -> 0 по прямой, отличной
от вещественной оси. В примере 1.18 собственное значение —1 оператора Т
устойчиво, если х ->- 0 по лучу, отличному от отрицательной вещественной
полуоси. В примере 1.19 оператор Т не имеет собственных значений вообще,
так что вопроса об устойчивости не возникает. В примере 1.20 все собствен-
собственные значения оператора Т устойчивы, если х -> 0 вдоль положительной
вещественной полуоси.
§ 2. Асимптотические разложения
1. Асимптотическое разложение резольвенты
В этом параграфе мы будем иметь дело с довольно частным,
но практически важным случаем, когда оператор Т (х) формально
представим в виде Т (х) = Т -\- хТ^1'. Более точно, предположим,
что даны два оператора Т, 7Ч1) и параметр х такие, что
i) Г€«(Х);
ii) множество D = D (T) f) D GЧ1)) является ядром опера-
оператора Т;
ш) Т (х) принадлежит % (X) и является продолжением х)
оператора Т -\- хЗН1', определенного в области D при
0<х<1. B.1)
Прокомментируем эти предположения. Условие B.1) на область
изменения х не является слишком ограничительным. Даже при
комплексных х мы должны ограничиваться случаем, когда х
стремится к 0 вдоль некоторого луча, так как поведение оператора
Т (х) различно для различных направлений, по которым х при-
приближается к 0 (см. примеры предыдущего параграфа). В таком
случае область изменения параметра х можно свести к проме-
промежутку B.1), если представить х в виде х = | х | eie и заменить
| х | на х и е1®Т(х) на 7Ч1) соответственно. Если условие ii) не вы-
выполняется, мы можем заменить оператор Т замыканием его суже-
сужения на множество D; это доставляет условие ii), не влияя на опре-
определение оператора Т (х).
J) Таким образом, оператор Т (х) может быть разрывным по х при
х > 0, так как он не определяется однозначно операторами Т, Г'1'.
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 547
Теперь мы можем найти область ограниченности Аь и область
сильной сходимости As для семейства резольвент Д (?, х) =
= (Т (к) — Q-1, где к -у 0 (см. замечание 1.9). По определению
lim sup || R (?, х)\\ = М (?) < оо, ?6 Аь- B.2)
Так как Т (х) и —>- Ти при и —>¦ О, если u g D и D является ядром
оператора Т, то из теоремы 1.5 следует, что Т (х) —> Т в обобщен-
обобщенном смысле, причем
As = Аь П Р (Л, B.3)
если выполняется дополнительное предположение
iv) множество Аь (] V (Г) непусто.
Итак, мы имеем
s-lim R (?, y)=R (О, I 6 As- B.4)
Это означает, что R (?, х) и —>- й (^) и при любом и ? X. Теперь
мы хотим более точно оценить скорость этой сходимости. Для
этого, однако, нужно сделать некоторые специальные предполо-
предположения относительно рассматриваемых элементов и. Мы докажем
ряд теорем, дающих такие оценки; при этом будем предполагать,
что выполнены условия i) — iv), если не оговорено противное.
Теорема 2.1. Пусть I б As. Если R (?) и б D (Г<1)), то спра-
справедливо равенство
Д(?, х) м = R (?) и - хД (О ТЧЗД (Q и + о (х). B.5)
Здесь через о (у.) обозначен элемент пространства X, норма кото-
которого есть о (х) при у, —>¦ 0.
Доказательство. В силу B.4) равенство B.5) следует
непосредственно из тождества
R{Z,y,)u-R{Z)u = -R (?, х) (Г (х) - Г) Д (?) и =
= - хД (S, х) тД (^) и; B.6)
ааметим, что Д (^) и 6 D = D (Г) f] D (Г^1)) по предположению.
Теорема 2.2. Яг/сть ^ 6 As. ?"сли Д (Q и б D (Г^1)) и
Д {Q TMR (I) и б D GЧ1)), то
Д (S х) и = Д @ и - хД (?) ГA)Д (у и +
+ хгД (О ГСЧД (S) TWR (Z)u + o (хг). B.7)
Доказательство. В правой части формулы B.6) заме-
заменим и на ГA)Д (Z) и т применим B.5).
Очевидно, что мы можем продолжать таким же образом, полу-
получая разложение функции Д (?, к) и по степеням к при все более
35*
548 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
сильных предположениях. Возникающий таким образом ряд
есть в точности второй ряд Неймана для R (?, х) (см. (II.1.13)).
Мы знаем, что второй ряд Неймана сходится, если оператор Т*-1)
Г-ограничен (см. теорему IV.3.17). Здесь такая относительная
ограниченность не предполагалась, но приведенные теоремы
показывают, что второй ряд Неймана имеет смысл как асимпто-
асимптотическое разложение до определенного порядка по х, если нужное
число начальных членов имеет смысл.
Формулы B.5) и B.6) приводят к соответствующему разложе-
разложению скалярной функции (R (?, х) и, v), где и ? X удовлетворяет
сформулированным выше условиям, a v ? X*. Так как
(R (?, х) и, v) = (и, R (?, х)* v), то аналогичное разложение
справедливо, если v, Т* и ГI)* удовлетворяют условиям, анало-
аналогичным условиям на и, Т и Tl1). Для простоты мы сформулируем
эти результаты в случае, когда X — гильбертово пространство,
а Т и Т (х) — самосопряженные операторы. Замечательным фак-
фактом здесь является то, что если оба вектора и и v удовлетворяют
условию теоремы 2.1, то может быть получено разложение функ-
функции (R (?, х) и, v) до порядка и2, а именно справедлива
Теорема 2.3. Пусть X = Н — гильбертово пространство,
Т (х) и Т — самосопряженные операторы, 7Ч1) — симметричный
оператор. Если Z, и ? принадлежат As и R (?) и 6 D
R(Qv = R @* v 6 D
(Д (?, х) и, у) = (R (?) и, и) - х (Я Ш УA)Д (Е) ", и) +
+ х2 (Д (?) ГA) Д (Е) u, ft1)/? (?) у) + о (х2). B.8)
Доказательство. Ввиду B.6) и равенства R (С, и)* =
•= Д (?, х) имеем
(Д (?, х)и, у) -(Д (Е)», и) = • .
?) и, r (f, х) „). : ¦ . ¦ -.- B.9)
Формула B.8) получается из B.9) с помощью формулы B.5),
в которой ^ и а следует заменить на ? и v соответственно.
Таким же образом мы можем получить разложение функции
(R (?, х) и, v) до порядка х4, если существуют векторы
ГОД (t) TVR @ и и Г(г)(Д (I) Г!1)/? A) у.
Замечание 2.4. Формулы B.5) и B.7) дают асимптотическое
разложение решения уравнения (Т (х) — ?) у = и, которое,
например, может представлять собой некоторую краевую задачу
в случае, если Т (х) —- дифференциальный оператор. Однако
эти "формулы*имеют ограниченное применение, так как они спра-
справедливы лишь при довольно сильных предположениях. В § 3, 4
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ¦ 549
будет развита более удовлетворительная теория асимптотических
разложений для R (?, у), основанная на теории полуторалиней-
ных форм в гильбертовом пространстве.
Пример 2.5. Рассмотрим оператор Т (х) из примера 1.17. Если мы пред-
представим его в виде Т (х) = Т + [ х | eier^> и заменим | % |, е^Г*1) на х, Г<х>
соответственно, то Т (у.) будет удовлетворять основным условиям i) — iv)
(относительно условия iv) см. пример 1.17). Применимость теорем 2.1, 2.2
зависит от свойств векторов и и /. Так как Т =—(,/)/> II / II = 1, то легко
вычислить R ( ?) и.; имеем
Если и, / 6 D (Г'1)), то Я (?) и ? D (Г'1)) и применима теорема 2.1. В атом
случае R ( ?) Г*1) Л ( ?) и является линейной комбинацией векторов Г*1) и,
Г'1)/ и /. Если существуют [Г'1)]2 и и [Г*1)]2 /, то R (?) Г*1) Л (?) и ? D (Г'1))
и применима теорема 2.2 и т. д. Можно сформулировать аналогичные резуль-
результаты, относящиеся к примеру 1.18. [
2. Замечания об асимптотических разложениях
Вообще говоря, асимптотическое разложение резольвенты, определяе-
определяемое формулами B.5) или B.7), справедливо лишь при специальных ограни-
ограничениях на и, сформулированных в этих теоремах. Более того, это разложе-
разложение справедливо лишь до определенного порядка по х, зависящего от и.
Таким образом, это есть разложение более общего вида, чем те, которые
обычно называются асимптотическими разложениями, в которых требуется,
чтобы формула давала разложение, справедливое до любого порядка по
параметру.
Это замечание особенно важно в связи с тем, что в теории сингулярных
возмущений обыкновенных дифференциальных операторов разложение для
R ( ?, у.) обычно дается до любого порядка по х с тем ограничением, что один
или оба конца рассматриваемого интервала должны быть исключены. Рас-
Рассмотрим, например, оператор Т (х) из примера 1.19; положим ?= 0, и (х) =
= 1. Простые вычисления дают
Л @, x)a(*) = JL-^—1 ~2еа , B.10)
2а A-е * )
где первый член х/2а есть нулевое приближение R @) и (х). Дополнительный
член в правой части формулы B.10) имеет нулевую асимптотику (до любого
порядка по х), если 0 < х < 1, и эта асимптотика равномерна при 0 < х.<
< Ъ' < 1.
Таким образом, можно предположить, что в атом примере не нужно
никаких ограничений, для того чтобы существовало асимптотическое разло-
разложение функции R (Z,, к), и что разложение справедливо до любого порядка,
по крайней мере если и. (х) — гладкая функция. Но это неверно. Хотя оста-
остаточный член в правой части формулы B.10) убывает быстрее любой степени
параметра х при фиксированном х < 1, он не обязательно мал на всем
интервале @, 1). Действительно, простые вычисления показывают, что L2-
норма этого остаточного члена равна
550 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
где опущенные члены убывают быстрее любой степени х. Поэтому мы долж-
должны сделать вывод, что в атом примере разложение функции R @, х)ц как
элемента us L2 справедливо лишь до нулевого порядка по х, причем остаток
имеет порядок х1/2.
Более того, следует заметить, что положение нельзя улучшить, рас-
рассматривая разложение B.10), скажем, по полуцелым степеням х. Достаточно
беглого взгляда на формулу B.10), чтобы исключить такую возможность.
В атом смысле невозможность асимптотического разложения функции
R @, х) и существенна, если мы рассматриваем ее как вектор из L2, а не огра-
ограничиваемся рассмотрением фиксированных значений х. Аналогичные заме-
замечания применимы ко всем асимптотическим разложепиям, которые встре-
встречаются в сингулярной теории возмущений дифференциальных операторов х).
3. Асимптотическое разложение изолированных собственных
значений и собственных векторов
Рассмотрим теперь скорость сходимости собственных значений
и собственных векторов оператора Т (х), соответствующих соб-
собственному значению X невозмущенного оператора Т, считая, что
выполнены основные предположения п. 1, а также дополнитель-
дополнительное предположение о том, что X есть устойчивое собственное зна-
значение. Предположим, что X имеет кратность т -< оо. Мы будем
употреблять обозначения Аь, As> 8, г, Г и т. д. из п. 1.4. Заметим,
в частности, что область сильной сходимости As содержит множе-
множество точек ? таких, что 0 < | ? — X | -< б.
Напомним также, что часть спектра 2 (Т (у.)), лежащая вну-
внутри окружности Г: | ?, — X \ = г, состоит из изолированных соб-
собственных значений тотальной кратности тп, которые сходятся
к А, при у, —>¦ 0. Обозначим эти собственные значения (с учетом
кратности) через р,± (х), . . ., \лт (х):
A,(х)-*Я,, x-v0, j = l,...,m. ¦ B.12)
Тотальный проектор
р (и) = —2ST J Л (?l X) d* BЛЗ)
г
стремится по норме к собственному проектору Р, соответствую-
соответствующему X (см. A.31)):
|| р (Х) _ р Ц-,-0, dim Р (х) = dim P = т. B.14)
J) Второй член в правой части формулы B.10), имеющий нулевую асим-
асимптотику при каждом х < 1, называется вкладом пограничного слоя. Вообще
говоря, асимптотическое разложение функции R @, х) и (х) должно допол-
дополняться вкладом пограничного слоя, который имеет нулевую асимптотику
в фиксированной внутренней точке х, но не обязан быть малым глобально.
Подробную теорию пограничного слоя и вообще сингулярных возмущений
см., например, в работах X а р р и с а [1, 2], X ь ю [1—7], К у м а н о -
Го [1], Л а д ы ж е н с к о й [1], Л е в и н с о н а [1], М о р г е н ш т е р-
на [1], М озер а [2], Нагумо [1], Вишика и Люстерни-
ка [2].
; § 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 551
Если т = 1, то Р {%) является собственным проектором на
одномерное собственное подпространство оператора Т (х), соот-
соответствующее собственному значению X (х) = \ii (x), которое схо-
сходится к X. Из B.14) следует, что собственный вектор ср (х) опе-
оператора Т (х), соответствующий X (х), может быть выбран таким
образом, что
ф(х)->-ф, и-^0, B.15)
где ф — собственный вектор оператора Т, соответствующий X:
Гф = Адр, Т (х) ф (х) = X (к) ф (х). B.16)
Для доказательства достаточно положить ср (х) = Р (х) ср.
В общем случае невозможно получить более точные резуль-
результаты, касающиеся скорости сходимости в B.12), B.14) или B.15).
Такое уточнение возможно, однако, если сделать дальнейшие
предположения относительно собственного пространства РХ опе-
оператора Т. Именно справедлива следующая х)
Теорема 2.6. Пусть X — изолированное полупростое собствен-
собственное значение оператора Т, а Р с dim Р = m < оо — соответ-
соответствующий собственный проектор. Предположим, что X устойчиво
и что jPXc: D (Т1-1)). Тогда собственные значения fi;- (х) допускают
асимптотические разложения 2)
[х;- (х) = X + xfxA) + о (х), / = 1, .... то, B.17)
где f^1) — собственные значения (с учетом кратности) оператора
РТ(Х)Р, рассматриваемого в т-мерном пространстве РХ.
Тотальный проектор Р (х), соответствующий этим собственным
значениям, обладает тем свойством, что
Р (Х) р = р - xSTWP + о (х)и, B.18)
где S — приведенная резольвента оператора Т в точке X (см.
п. III.6.5), а через о (х)и обозначен такой оператор, что
к.'1 || о (х)и || ->- 0 при х ->- 0. Если, в частности, т — 1, то соб-
собственный вектор ср (х), соответствующий собственному значению
X (х) = [X! (к) оператора Т (х), можно выбрать таким образом,
что
Ф (х) = ф — х5ГA)ф + о (к), B.19)
где ф — собственный вектор оператора Т, соответствующий X.
х) Результаты этого и следующих пунктов были получены в работах
Т. К а т о [1,3] для самосопряженных операторов с помощью спектраль-
спектрального представления. Обобщение на случай операторов в банаховом простран-
пространстве, которое здесь дается, требует совершенно иного доказательства.
2) Если Т, Т (х) — самосопряженные операторы (в гильбертовом про-
пространстве), то разложения для \ij (x) справедливы до порядка х2; см. теоре-
теорему 2.9 и подстрочное примечание к ней.
552 Гп. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Доказательство. I. Начнем с замечания, что R (?) Pv =
= (К — t)-1 Pv ? D (Г'1)) при любом v е X, так что из B.6)
следует, что
R (?, х) Pv = (К — I)'1 Pv — к {"к— I)'1 R (?, х) TMPv =
= (А, — Q-1 Ри — х (Я, — I)-1 R @ Г^Ри + о (х),
где о (х) мало равномерно по ? при ? ? Г. Так как dim РХ =
= т?г < оо, то г)
R (?, х) Р = (X - Q-V - х (Я - S) Д (?, х
= (X - О Р - х (К - S)-1 Д (Q Г<1)Р + 0 (х)и, B.20)
где оценка о (х)и равномерна по ? ? Г. Подстановка B.20) в B.13)
и умножение последнего равенства на Р справа немедленно при-
приводят к B.18); напомним, что справедливо разложение R (?) =
= (к- О Р + S + U - *) S2 + • • • (см. (Ш.6.32), где Z> =
= 0 по предположению) и что
ттр е % (X), B.21)
так как по предположению РХ с D (К1)). Соотношение B.19)
следует из B.18), если положить <р (х) = Р (х) <р = Р (х) Р<р,
где ф е М = РХ.
II. Для получения асимптотического разложения функций
]ij (x) введем оператор (см. только что доказанную формулу B.18))
V (х) = 1 - Р + Р (х) Р = 1 - xSTWP + о (х)„. B.22)
Так как F (х) Р = Р (х) Р и V (х) A - Р) = 1 - Р, то F (к)
отображает собственное подпространство М = РХ на М (х) =
= Р (х) X и оставляет неподвижным каждый элемент из допол-
дополнительного подпространства A — Р) X. Отображение М -»-
-> V (х) М является отображением на, поскольку величина
]] Р (х) — Р || мала в силу B.14) (см. п. 1.4.6). Следовательно,
обратный оператор
V (х)-1 = 1 + kSTWP + о (х)и B.23)
отображает М (х) на М, оставляя неподвижным каждый элемент
из A — Р) X (ср. также с задачей 1.4.12).
Рассмотрим теперь Rt (?, х) = V (х) R (?, х) V (х) Р. Со-
Согласно сделанному выше замечанию, областью значений опера-
оператора V (х) Р является М (х); R (?, х) переводит М (у.) в себя,
поскольку Р (х) коммутирует с R (?, х), а У (и) отображает
М (х) на М; значит, область определения оператора Ri (?,, х)
х) Заметим, что из АпВ -*¦ 0 следует || АпВ \\ ->- 0, если В имеет конеч-
S
ный ранг.
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 553
лежит в М. Таким образом, ¦¦-•:
R, (?, х) = PR, (?, х) = PF-1 (х) R (?, к) V(h)P= " '
= (Р + о (х)ц) Л (?, и) (Р - hSTMP + о (х)и) .
(заметим, что PS = 0). Подставляя сюда R (?, х) Р из B.20)
и учитывая, что Л (?, и) 5Г№Р -*¦ R (?) .STWP. по норме,
PR (Q = (% — S)-1 и Р61 = 0, получаем
= (Я, - О Р - х (Я - Q-2 P7WP + о (х)ц, B.24)
где оценка о (х)и равномерна по ^ ? Г.
Умножая B.24) на —?/2яг, интегрируя по Г и учитывая, что
Г(х)Р(и)=-2^СД(С,х)^ B.25)
г
(см. (III.6.24)), находим1)
F (и)-1 Г (к) Р (х) V (к) Р = Я,Р + нРТЫР + о (х)„. B.26)
Далее, функции [г7- (к) являются собственными значениями (с уче-
учетом кратности) оператора Т (к), рассматриваемого в та-мерном
подпространстве М (я); следовательно, они равны собственным
значениям оператора Т (к) Р (к) в М (к), а значит, и оператора
V (к)-1 Т {%) Р (к) V (к) = То (к), подобного оператору Т (к) Р (к).
Согласно сделанному выше замечанию, V (к) М (к) = М, поэто-
поэтому рассматриваемые собственные значения равны в свою очередь
собственным значениям оператора То (к) Р, т. е. оператора B.26),
рассматриваемого в М. В силу B.26) и теоремы II.5.4, касающейся
дифференцируемости собственных значений в конечномерном про-
пространстве, это замечание немедленно приводит к разложеник>
B.17).
Замечание 2.7. Формула B.18) показывает, что Р (к) Р допу-
допускает асимптотическое разложение до первого порядка по к.
Сам оператор Р (к), оказывается, не обладает таким разложением,,
так как его формальное разложение имеет вид Р (х) = Р —
— к (STWP + PTMS) + . . . (см. (II.2.14)), где член PTMS
не обязан иметь смысл при сделанных предположениях. (Это
одна из причин того, что доказательство теоремы 2.6 довольно
сложно.) Таким образом, асимптотика B.19) собственного вектора
(но не собственного проектора) является наилучшей возможной:
даже при тп — 1.
J) В силу неограниченности оператора Т (у) было бы трудно вывести
формулу B.26), просто разлагая левую часть в формальный ряд по степе-
степеням х.
554 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
В условиях теоремы 2.6, вообще говоря, невозможно сделать
какое-либо утверждение о поведении собственных векторов и соб-
собственных подпространств оператора Т (х) за исключением случая
тп = 1. Если, однако, предположить, что собственные значения
\11У различны, то справедлива
Теорема 2.8. Пусть в предположениях теоремы 2.6 т соб-
собственных значений \i(f оператора РТМР различны, и пусть
P'j1 — соответствующие собственные проекторы. Тогда собствен-
собственные значения \ij (х) также различны при достаточно малых | х |.
Пусть Р'У (х) — одномерный собственный проектор оператора
Т (х), соответствующий \ij (x). Тогда
РУ(х)-+Р1}\ х-»-0. B.27)
Доказательство. Проектор Р$" (x) является собствен-
собственным проектором оператора 7Ч1) (х) = х (Т Ы) — X) Р (х), соот-
соответствующим собственному значению х (\ij (х) — X) = \i'f +
+ о A). Но в силу B.26) имеем
V (х)ГA) (х) V (х) Р = PTWP + о A)ш B.28)
так как V (х) Р (х) V (х) Р = V (к)'1 V (х) Р = Р. Оператор
PT^iP имеет m различных собственных значений ц{)\ а значит,
и оператор B.28) обладает этим же свойством. Поэтому мы можем
выбрать m его собственных векторов т|57- (к) ? М таким образом,
что 1|); (х) —>¦ (fj, где фу ^ М — собственные векторы оператора
РТМР (непрерывность собственных значений и собственных
проекторов; см. п. II.5.1). Далее, <р^ (я) = V (к) \|^ (х) есть соб-
собственный вектор оператора Т(г) (к), и <р^ (к) ->- <ру-, ибо V (х) ->- 1.
Векторы ф^ (к) образуют базис в М (х), так что для любого
w ? X имеем
Р (х) и; = gd (х) ф! (х) + . . . + ?т (х) фт (х).
Так как ф^ (х) ->- ф^ и векторы ф^ образуют базис в М и так как
Р (х) w-*~ Pw, то легко видеть, что lim |; (х) = |у- существует
х-> О
И PW = &1ф! + . . . + 5тфт. С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, lj (x) (fj (X) =
= Pj1' (x) w и ^-ф! = Pf>w. Следовательно, Pf] (x) if -»- PWw,
т. е. РA) (х) сильно сходится к Pf\ Поскольку dim P(/' (х) =
= dim Р(/' = 1, то, согласно лемме 1.21, эта сходимость является
сходимостью по норме. Теорема 2.8 доказана.
4. Асимптотические разложения до более высокого порядка
Теперь мы покажем, что можно получить более точную аппрок-
аппроксимацию, если в дополнение к предположениям теоремы 2.6
потребовать, чтобы оператор РГ'1) был ограниченным. Так как
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 555
¦образ этого оператора содержится в подпространстве М = РХ,
то его можно продолжить до оператора из $1 (X) с образом в М.
Если оператор Г'1) не является плотно определенным, то такое
продолжение неединственно; мы выберем какое-нибудь одно
и обозначим его через [РТ(г)\; заметим, что Р [РТ(Щ = [РТ<-Щ.
Если Г*1) плотно определен, то РГ*1) ограничен тогда и только
тогда, когда Т(г)*Р* ? i? (X*); в этом случае продолжение [РТ(г)]
единственно.
Для того чтобы сформулировать теорему, которая дает более
точную аппроксимацию, удобно несколько изменить обозначения
теоремы 2.6 и ввести еще некоторые новые. Пусть kj, j = 1, ...
. . ., s,— различные собственные значения оператора РТ^Р (т. е.
различные числа из {[Xj}) в подпространстве РХ, и пусть Р'/' —
соответствующие собственные проекторы. Тогда справедлива
Теорема 2.9 х). Предположим, что множество D является
ядром оператора Т (х) при х> 0. В условиях теоремы 2.6 пред-
предположим, что оператор РГ^1) ограничен, и определим [РТ^Щ ?
? J? (X) так же, как и выше. Пусть все собственные значения
Я'/' оператора РТ(г)Р являются полупростыми2). Тогда суще-
существует такая перенумерация \ijh (х), / = 1, . . ., s, к = 1, ...
. . ., mf\ собственных значений \ij (х), что справедливо асимпто-
асимптотическое разложение
iijh (н) = Х+ х^1' + х2D> + о (и2), B.29)
где [х$, к = 1, . . ., mf\— собственные значения (с учетом крат-
кратности) оператора Р(/' [РК1)] 1STA)P</). Тотальный проектор
.Р'/' (х), соответствующий mf} собственным значениям ja;-ft (x)
при к = 1, . . ., m(j\ имеет асимптотическое разложение
Pf (х) = Р$» + хР^ш + о (х)в, B.30)
где через о (x)s обозначен такой оператор, что х-1о (x)s -*¦ 0 и
pj.ii) = _ pu> [PT™] S + Pf [РГA)] ST^SP —
Sp [PT^]ST^Pf\ B.31)
x) Эта теорема дает разложение собственных значений до порядка х2.
Без сомнения, можно обобщить ее и получить разложение до порядка кп
при дополнительных предположениях, но пока это сделано лишь для того
частного случая, когда Та Т (х) самосопряжены и выполнены некоторые
предположения относительно расщепления собственных значений (см.
Т. К ато [1, 3]).
2) Все эти условия выполняются в предположениях теоремы 2.6, если
X — гильбертово пространство, Т и Т (и) — самосопряженные операторы,
a T^i —симметричный оператор, так как РТ^ сг (ТЛР)*. Следует заме-
заметить, что в этом случае не нужно предполагать, что D есть ядро оператора
Т (и). Это предположение используется только при доказательстве тожде-
тождества B.33), но последнее можно получить, если в B.20) заменить ? на ?
и перейти к сопряженному тождеству.
556 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Тотальный проектор Р (х), соответствующий т собственным
значениям [ijh (х), имеет асимптотическое разложение
Р (я) = р - х (вТЫр + [РТЫ] S) + о (x)s. B.32)
Замечание 2.10. Формулы B.29) — B.32) по внешнему виду
совпадают с некоторыми формулами из теоремы II.5.11, но по*
существу сложнее, чем последние, так как здесь мы имеем дело>
с неограниченными операторами. Следует заметить тем не менее,
что операторы ТЫР, ТЫР(}) = ТЫРР()), T^Sty = TWPSty
принадлежат JF (X).
Доказательство. Доказательство этой теоремы доволь-
довольно сложно. Мы проведем его в несколько этапов.
I. Сначала докажем тождество
Pi? (?, х) = (X. - ЪУ1 Р - х (% - О [РТЫ] R (?, х), B.33)
которое в некотором смысле двойственно тождеству B.20). Обо-
Обозначим правую часть через А; тогда
А (Т (х) - 0 и = (X - С) Р (Т - С - хП1))и -
-к(%- E)-i [РТЫ] и =
= Ри + я (X - Е)-1 РТЫи — к{%— I)'1 РТЫи = Ри B.34)
для любого и 6 D = D (Т) (] D (ТЫ) (заметим, что РТ cz ТР =
= %Р). Так как по предположению D есть ядро оператора Т (я),
то равенство А (Т (у) — ?) и = Ри можно распространить на все
и 6 D (Г (и)). Это показывает, что А = PR (?, х). Тождество^
B.33) доказано.
Так как R (?, х) -|- Л (Q при х-»-0, то из B.33) следует,
что г)
PR (С, х) = (К - С) Р -
- х (Я - С) [РГ*1)] Д (?) + о (х)в, B.35)
где оценка о (хK равномерна при Z, ? Г, т. е. х-1о (x)s и -»- 0 рав-
равномерно по ? при каждом и.
Умножим теперь B.33) справа на Р и воспользуемся выраже-
выражением B.20) для произведения R (?, х) Р, которое возникает
в правой части; получим
PR (С, и) Р = (А. — S) Р — х (Я, — О'2 PWP +
+ х2 (X. - О [РГ'1)] R (Е) Г'1)^ + о (х2)и B.36)
(заметим, что [Pff1)] Р = РТЫР, так как РХ <= D (Г'1))).
!) В B.35) нельзя заменить о (x)s на о (х)и. Даже если В имеет конеч-
конечный рапг, из А -> 0 не следует || /?4U || ->• 0; ср. с подстрочным примеча-
примечанием на стр. 552.
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ¦ 557
Интегрирование равенств B.35) и B.36) по контуру Г дает,
как и выше,
РР (к) = Р - х [РТЩ S + о (x)s; B.37)
РР (к) Р = Р — х2 [РТЩ S*TMP + о (х2)и; B.38)
здесь мы использовали разложение R (?) = (% — Q P -\- S -\-
+ (? - X) S2 + . . . .
II. Теперь мы докажем, что справедливо разложение B.32)
для тотального проектора Р (к). Положим Q (х) = Р (х) — Р.
Используя B.37) и аналогичное разложение B.18) для Р (х) Р,
выведенное выше, получим
Q (хJ = Р (х) + Р — i> (к) i> — РР (к) = Q (к) - кРС1) + О (x)s,
Pi1) = —STMP — [РТ(Щ S. B.39)
Следовательно,
A - Q (к)) (Q (к) - xP(i)) = х^ (х) Р<х) + о (х)в = о (и)в, B.40)
так как Q (х) = о A)и в силу B.14). Используя эту же оценку,
получим
Q (я) - яРт - A - Q (к)) о (х)8 = о (х)в, B.41)
чем и доказано B.32).
III. Введем теперь оператор
U(k) = A-Q (K)a)"V2 [(I _ р (х)) A - Р) + Р (х) Р =
= 1 _ р _ Р (х) 4- 2Р (к) Р + О (х2)и; ^Л^
заметим, что Q (к) — О (х)и; это следует из B.41), так как о (x)s =
= О (к)а в силу принципа равномерной ограниченности. Из B.18)
и B.32) получаем
J7 (х) = 1 + х ([PTi1)] S - STWP) + о (к)в. B.43)
Свойства оператора U (х) были подробно изучены в п. 1.4.6.
Из доказанных там результатов вытекает, что
U (к)'1 = A - Q (xJ)-V2 [A _ р) A _ р (х)) + РР (х)] =
= 1 - Р - Р (х) + 2РР (х) + б» (х2)и =
= 1 + и (SrwP - [РЯ1)] S) + о (x)s', B.44)
Р (х) = U (x) PC/ (к)-1. B.45)
Напомним, в частности, что Q (хJ коммутирует с Р и Р (х).
Заметим далее, что PU (х) Р можно разложить до второго
лорядка по к:
(К) Р + у
B.46)
558 Гл. vni. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
здесь мы использовали B.38) и равенство Р (Pf1'J Р =
= [РТ№\ S2TA)P (которое справедливо в силу того, что PS —
= SP = 0), а также тот факт, что о (хK Р = о (х)и (поскольку^
dim P < оо). Точно так же можно показать, что
PU (х)-1 Р = Р - i-x2 [РТ(Щ SWhP + о (х2)и. B.47>
IV. Заменим теперь оператор V (к), использованный при дока-
доказательстве теоремы 2.6, оператором U (к). Преимущество послед-
последнего состоит в том, что для него выполняется соотношение B.45),
которое не имеет места для V (х). В связи с этим следует заметить,
что оператор U (х) полезен лишь при сделанных предположениях,
в силу которых [РТ^Щ S имеет смысл.
Вычислим теперь PU (я)*1 R (?, х) U (к) Р. Этот оператор
можно представить в виде
PU (к)'1 R (?, х) U (я) Р = А, + А2 + А3 + А,, B.48)
Ai = PU (к)-1 PR&, х) PU (к) Р, .-¦ =
А2 = PU (х)-1 A - Р) R (?, х) PU (х) Р,
А, = PU (х)-1 A - Р) R (С, к) A - Р) U (к) Р.
В ^4 подставим B.36), B.46) и B.47), после чего получим
(учитывая, что Р — Рг)
At = (Я, — S)-1 Р — х (А, — S)-
- х2 (X - S)-1
+ к2 (Я - О [Pri1)] R (Q ТМР + о (*V
Что касается А2, то заметим, что (см. B.44) и B.20))
PU (х) A - Р) = —х [РГ*1)] 5 + о (х)а, B.49)
A - Р) R (С, к) Р = -х (% - ?)-* A - Р) Л (S) тР +
+ о (х)и, B.50)
откуда следует (с учетом равенств 1 — Р = A — РJ и SP = 0),
что
А2 = у? (X - Z)-1 [РТ1Щ SR
где о (x)s о (х)и = о (х2)и, так как о (х)и содержит сомножитель Р
на крайнем месте справа. Аналогично имеем
о (х2)
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 559
Суммируя все эти оценки и учитывая, что R (?) и S коммутируют,
приходим к равенству
PU {к)'1 R (?, х) U (х) Р = (А, — С) Р — х (А, - ?)"• РГ(»>Р -
— х2 (А, — х)-1 [РТЫ] S'TWP +
+ х2 (А. - у [РГС1)] Д (Е) [1 + 2 (А, - Е) -S + (Я. - О2 S2] X
ХГ<1>Р + о (х2)и. B.51)
Умножим, наконец, B.51) на ? и проинтегрируем по Г. Так
как все оценки о (х2)и равномерны по ? 6 Г, мы получим, таким
образом, ввиду формулы B.25)
PU (к) Г (х) Р (к) U (я) Р =
= ХР + xPTWP — я2 [PTW] STWP + о (хя)„. B.52)
Здесь мы учли, что коэффициент при х2 в B.51) приводится к виду
[РТ(Щ [(А. — С) Р + (Л — Б) 5] Г^Р.
V. Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 2.9.
Как и выше, рассмотрим оператор Г'1) (я) = я'1 (Т (я) — X) Р (я).
Так как Р (я) коммутирует с Т (я) и U (я)'1 Р (я) U (я) = Р
согласно формуле B.45), то по формуле B.52) имеем
Ту (х) = U (я)-1 ГA) {я) U (я) =
= рт(i)P - к [РТ(Щ STMP + о (х)и. B.53)
Этот оператор можно рассматривать как оператор в т-мерном
пространстве М = РХ. Оператор РТ^)Р имеет собственные зна-
значения %\х\ которым соответствуют собственные проекторы Pf\
Применение теоремы II.5.4 к B.53) (с заменой Т на РГA)Р, А. на
А//\ Р на Р?\ Т' @) на — [РТ(Щ 5ТA)Р)_показывает, что %fy-
группа собственных значений оператора Т^ (я) имеет вид
A,J1)H-x|aJJ) + o(x), A=l, ..., mf\ B.54)
где ц$ те же, что в формулировке теоремы. Оператор Г'1' (я)
имеет точно такие же собственные значения, а собственные зна-
значения оператора Т (я) даются формулой B.29).
Для тотального проектора, соответствующего Я'/'-группе соб-
собственных значений оператора Г^х), справедлива формула (П.5.9)
с заменой Р на Pf, Т @) на — \РТ(Щ STWP и S на SfK Это
дает
(x)u. B.55)
Соответствующий проектор Р)Х) (я) для Т(г) (я), который является
тотальным проектором для % -\- хА^'-группы собственных зна-
значений оператора Т (х), получается из B.55) с помощью умноже-
560 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
ния слева на U (я) и справа на'^С/ (и). Замечая, что выраже-
выражение B.55) не изменяется при умножении на Р справа или слева
и что
U (к) Р = Р — xSTWP + о (х)и, B.56)
PU {к)-1 = 1 — х IPTI1)] S + о (х)в,
получаем требуемый результат B.30). Этим завершено доказа-
доказательство теоремы 2.9.
Пример 2.11. Предположения теорем 2.6 и 2.9 просты и легки для про-
проверки х). Здесь мы рассмотрим оператор Т (х) из примера 1.17. Представим
«го, как в примере 2.5, в виде Т (х) = Г+ хТ<Ъ, где х > 0, T<i> — ei%x\
собственное значение —1 оператора Т устойчиво, если е невещественно
(см. пример 1.22), что мы и предположим. Так как / есть собственный вектор
оператора Г, соответствующий простому собствепному значению —1, и так
как 71'1) отличается от самосопряженного оператора х только числовым мно-
множителем егв, то теорема 2.9 применима, если / 6 D (УA)), т. е. если xf (х) ?
? L2. (Конечно, это можно получить и непосредственно из A.17).) Аналогич-
Аналогичные результаты можно сформулировать для оператора Т (х) из примера
1.18; теорема 2.9 применима к собственному значению —1 оператора Т,
если / 6 D (ГЛ
§ 3. Обобщенная сильная сходимость секториальных
операторов
1. Сходимость последовательности ограниченных форм
¦
Пусть {tn} — последовательность ограниченных всюду опре-
определенных полуторалинейных форм на гильбертовом простран-
пространстве Н. Будем говорить, что эта последовательность сходится
к форме t, и писать tn ->¦ t, если форма t также ограничена
и определена всюду на Н и если tn[u, v] ->¦ t [и, v] при любых
и, и f H. В силу принципа поляризации (VI.1.1) достаточно
предположить, что tn Ы] ->¦ t [и]. Пусть Тп, Т ? 38 (Н) — опе-
операторы, ассоциированные с tn, t- Тогда сходимость tn —>¦ t экви-
эквивалентна сходимости (Тпи, v) —>¦ (Ти, v) при любых и, v, т. е.
сходимости Тп~^ Т. В общем случае, однако, трудно извлечь
из слабой сходимости Тп ~?~ Т сколько-нибудь интересные выводы
о спектральных свойствах операторов Тп и Т. Поэтому мы должны
сделать некоторые дополнительные предположения относительно
сходимости последовательности {tn} для того, чтобы получить
результаты, интересные с точки зрения теории возмущений.
х) Они выполняются во многих задачах, связанных с дифференциаль-
дифференциальными уравнениями, за исключением случая, когда оператор Г'1) более высо-
высокого порядка, чем Т, с граничными условиями, которые не удовлетворяются
для элементов из РН. Некоторые из примеров, рассматриваемых ниже (§ 4)
в связи с теорией форм, можно также считать примерами на применение тео-
теорем 2.6, 2.8 и 2.9.
§3. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 561
Основной теоремой о сходимости последовательности огра-
ограниченных форм {tn} является
Теорема 3.1. Пусть {tn} — последовательность ограниченных
полуторалинейных форм, определенных всюду на Н. Предположим,
что формы tn равномерно секториалъны в том смысле, что
| Im tn lu] \^M Re tn lu], и 6 Н, C.1)
где число М > 0 не зависит от п. Если tn —*- О, то последователь-
последовательность операторов Тп ? JF (Н), ассоциированных с формами tn,
сильно сходится к нулю. То же верно для последовательности
{П}.
Доказательство. Из C.1) следует, что f)n = Re tn ^
>0. В силу (VI.1.15) имеем
| (Тпи, v)\ = \tn [и, v) | < A + М)\ [и]1'» Ъп lvV/к C.2)
Положим v = Гпи в C.2). Поскольку последовательность Тп
слабо сходится и, таким образом, равномерно ограничена
(II Тп || ^N), то последовательность 1)„ [у] = !)„ [Тпи] =
= Re B"^и, Тпи) ограничена числом N9 \\ и [|2. По предположе-
предположению, ?)п [и] = Re tn [и] ->- 0, поэтому из C.2) следует, что
|| Тпи [| -у 0. Так как сопряженные формы t* удовлетворяют
тем же условиям, что и tn, то имеем также T%~f~O.
Следствие 3.2. Если последовательность ограниченных неотри-
неотрицательных самосопряженных операторов слабо сходится к 0,
то она также и сильно сходится к 0.
К рассматриваемому кругу вопросов относится также
Теорема 3.3. Пусть {?)„} — не возрастающая последователь-
последовательность симметричных форм, определенных всюду на Н и ограни-
ограниченных снизу:
^ > fys > . . . > -с. C.3)
Тогда существует ограниченная симметричная форма i) такая,
что I)n S: Ь, Ъ)п—*~ ?)• Соответствующие ограниченные самосо-
самосопряженные операторы Нп, Н обладают тем свойством, что Нп
сильно сходится к Н.
Доказательство. Из C.3) следует, что для каждого
и ? Н последовательность i)n [и] не убывает и ограничена снизу
числом —с ]| и ||2. Следовательно, существует lim t)n [и], так что,
согласно принципу поляризации, для любых и, v существует
lira §п [и, v] = Ъ)[и, v]. Форма Ij ограничена в силу принципа
равномерной ограниченности. Имеем 1)„ ^ f), fyn -> fy последнее
утверждение теоремы вытекает из следствия 3.2.
36 т. Като
562 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ -
Замечание 3.4. В следствии 3.2 последовательность не обязана
быть монотонной, зато предполагается существование предела.
Эта ситуация в некотором смысле обратна той, которая имела
место в теореме 3.3. Очевидно, имеют место аналогичные теоремы,
в которых знак ^ заменен на ^.
В следующих пунктах указанные результаты будут обобщень
на случай неограниченных секториальных форм. Здесь мы при-
приведем еще одну теорему.
Теорема 3.5. Пусть выполнены условия теоремы 3.3, причем
операторы Нп — Н компактны при всех п. Тогда
|| Нп- Н 11+0.
Доказательство. Положим Нп — Н = Кп; тогда
Кп ^ 0 и Кп сильно сходится к 0 согласно теореме 3.3. Так как
оператор К^ компактен, то для любого е> 0 существует разло-
разложение Н = М © N пространства Н в прямую сумму ортогональ-
ортогональных подпространств М, N, инвариантных относительно Ki, таких,
что dim М < оо, || Куи ||< е || и || при и б N (см. п. V.2.3).
Любой элемент и ? Н можно представить в виде и = и' + и",
где и '? М, и" ? N. Поскольку Кп > 0, то, согласно неравенству
треугольника,
0 < (Кпи, „)< 2 (Кпиг, и') + 2 (Кпи\ и"). C.4)
Множество М конечномерно, поэтому сходимость Кп —*- 0 локаль-
локально равномерна на М, так что существует такой номер N, что
0 < (Кпи\ и') < 8 || и' |р, п> N. C.5)
С другой стороны, в силу определения множества N инеем
0 < (Кпи", и") < (KiU", и") < е || и" ||2 при любом п. C.6)
Из неравенств C.4) — C.6) следует, что
0 < (Кпи, «)< 2е (|| и' ||2 + II и" |р) = 2е || и \\\ п> N. C.7)
Поэтому || Кп || ^ 2е, и> N, так что || Кп \\-*-0, п ->¦ оо.
2. Сходимость секториальных форм «сверху»
Рассмотрим сходимость последовательности неограниченных
полуторалинейных форм в Н. Следующая фундаментальная тео-
теорема является обобщением теоремы 3.1.
§ 3. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 563
Теорема 3.6 х). Пусть tn, п = 1, 2, . . ., и t — плотно опре-
определенные замкнутые секториалъные формы на Н, обладающие сле-
следующими свойствами:
i) D(tn)cr D(t), в = 1, 2
ii) Формы tn = tn — t равномерно секториалъны в томгсмысле,
что
|1т^Ы |<М Ret; [u], ueD(tn), M> 0. C.8)
iii) Существует ядро D формы t такое, что D с: lim inf'D (tn)
(т. е. каждый вектор и € D принадлежит}!) (tn) ири достаточно
больших п) и
lim tn lu] = t Ы, ugD. C.9)
П->оо
Пусть Tn и Т суть т-секториалъные операторы, соответствующие
формам tn, t согласно первой теореме о представлении (теоре-
(теорема VI.2.1). Тогда последовательности^ Тп, Т* сильно сходятся
в обобщенном смысле к Т и Т* соответственно. Более точно, пусть
As, А% — области сильной сходимости для {Тп}, {Т*} соответ-
соответственно. Тогда At является зеркальным отображением области As
относительно вещественной оси, оба множества Д8, А* содержат
полуплоскость Re t, <iy, где у есть вершина формы t, и при
п -> оо
Rn (С) "Г R @, t \Rn (Qu-R (?)[u] -^ 0, t; [Rn (Q и] -+ 0,
Rn @* -r i? (о*, t Ш„ (о* и - л (?)* и]-* о, t; [д„ @* и] -> о (З.Ю)
^ g As* ы 6 Н, где Rn (С), -R (Q —резольвенты операторов
Тп, Т соответственно. Сходимостъ\в\($А0) равномерна на каждом
компактном подмножестве множества As.
Доказательство. I. Положим t)n = Re tn, I) = Re t,
Ijn = Re tn- Мы можем предположить, добавив, если необходимо,
подходящий скаляр к tn и t, что t имеет вершину у = 0, так что
Ь„ [и] > Ъ) [и] > 0, и g;D (tn) c= D (t), C.11)
где I)n ^ I) в силу C.8). Таким образом, полуплоскость Re ? < 0
принадлежит множествам Р (Тп), Р (Г), причем (см. (V.3.38))
|1 Rn (С) || < I/Re (-Q, Ц i? (С) || < I/Re (-Q, Re ? < 0. C.12)
1) Результаты этого и следующих пунктов были доказаны в работах,
Т. К а т о [3, 7, 8] для симметричных форм и соответствующих им само-
самосопряженных операторов. О применении этих теорем см. К и л л и н [1],
а также Бирман [3, 4], Гольдберг [1]. Аналогичные результаты
для несимметричных форм впервые были получены Хью [1, 2]; в этих
и в следующих его работах [3—7] содержатся приложения к дифференциаль-
дифференциальным урадьгениям с частными производными.
36*
564 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Вспоминая определение операторов Тп и Т, мы видим, что
для любых и f Н и Re ? — Е < О
ft - ?) [Rn @ и] < ($в - ?) [Дв @ и] = Re (tn - 0 Шп @ и] =
- Re ((Тп - С) Дв @ и, Д„ (Р и) = Re (и, Rn (?) и) <
< || и || || Rn (?) и ||<
< (-g)-V» || и || (ft - ?) [Дв (Q и]I/». C.13)
Из C.13) следует, во-первых, что (I) — ?) [Rn (?,) и] ^ (—I)"*
•|| и ||2, а во-вторых (из рассмотрения второго и последнего чле-
членов), что
.%} Г7?_ /П т/Л 1
— ?) [Rn @"]<Д — I) II w II2- C.14)
II. Пусть v ? D и и ? Н. По предположению v ? D (t),
i?n(S) D(tn)c D(t) и
(t — t) [Rn (t,)u — R (t) u, v] = (tn — t) [Rn @ u, v] —
— tn Шп Ш U, V] — (t — I) [R (I) U, V] =
= —tn[Rn (?) м, и], C.15)
так как первый и третий члены в средней части взаимно уничто-
уничтожаются (оба равны (и, v)). В силу C.8) и (VI.1.15) имеем
| (t — С) [Д„ (Qu — R (?) и, v) | <
< A + М) % [Д„ (I) и]У* % [y]V* _*. 0; C.16)
действительно, последовательность 1^ [Дп (Q и] ограничена в силу
C.14) и Ъ)'п [v] = Re tn [у] ->¦ 0 в силу условия Ш).
Пусть Нц — гильбертово пространство, в которое превра-
превращается D (t) при введении скалярного произведения (и, v) q ==
= i) \u, v] + (и, у) и соответствующей нормы || и || * (см.
п. VI.1.3). То, что D является ядром формы t, означает, что D
плотно в Htj (теорема VI. 1.21). С другой стороны, из C.14) сле-
следует, что последовательность Rn (Q и ограничена в Нд. В частно-
частности,
(t- ?)[Дп(Б)и- Д (?)м, Д(?)и]-*0, га^-оо. C.17)
III. Итак,
(t - s) [дв @ и - д (о u] +1; [дв (р и] =
• = (tn - S) [Дп (D м] + (t - Е) [Д @ и] -
— (t —- ?) [Д„ @ w, Д @ и] — (t — Q [i? (С)Ъ, i?n (Q и] =
' ={t — С)[Д (С)и —Дп(С)и, Д (СМ-^0, C.18)
§ 3. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 565
поскольку первый и последний члены в средней части взаимно
уничтожаются (каждый из них равен (и, Rn (Q и)). Выделяя
в C.18) вещественные части и учитывая, что ?), —?, §'п неотрица-
неотрицательны, получаем Rn (?) и-+ R (С) и, ?) [Rn (?) и — R (С) и] ->- О,
!)„' [Rn (С) и] ->- 0 при п ->- оо. Отсюда в силу секториальности
форм t, tn следуют три первых соотношения из C.10) для случая
Re С < 0.
IV. До сих пор мы предполагали, что Re С < 0. Теперь отбро-
отбросим это ограничение. Первая формула в C.10) верна для всех
С ? As в силу определения множества As. Для доказательства
второй формулы достаточно показать, что f) [Rn (С) и — R (Q и] ->
—>¦ 0. Используя A.3), находим
!, [Rn (?) и - Д (С) и] = I) [A + (С - Со) Дп @) wnl <
< 2^ lvn) + 2 К - Со 12?) [Дп @ "» I, C-19)
где vn = (Д„ (С) - Д (W) A + (?- ?о)Д(?))и, Со-любое
фиксированное число такое, что Re Co < 0- Как было доказано
выше, ij [vn] ->- 0. Далее, имеем ?) [/?„ (С) vn) < f)n [i?n (С) vn] =
= Re (tn - С) №n (С) у»] + Re С || Rn (С) Уп II2 = Re (vn, Rn (С) у„) +
+ Re С II Rn (С) vn [|3 —>— 0, так как vn ->- 0 и последовательность
i?n (С) равномерно ограничена при гс-*-оо, поскольку С 6 As-
Таким образом, правая часть в C.19) стремится к нулю при
п —>¦ оо, что мы и хотели показать. Из C.19) следует также, что
рассматриваемая сходимость равномерна на любом компактном
подмножестве множества As (здесь надо учесть, что R (С) при-
принимает значения из компактного подмножества пространства Н^
и применить лемму III.3.7).
Поскольку первые две формулы из C.10) распространяются
на любое С ? Дв> т0 эт0 же верно в силу C.10) и для третьей.
Наконец, заметим, что сопряженные формы tn, t* также удо-
удовлетворяют условиям теоремы. Поэтому доказанные результаты
справедливы, если заменить Тп, Т на Тп, Т* соответственно.
Это доказывает формулу C.10), а равенство Д| = As следует
иэ теоремы 1.8.
Теорема 3.6 дает очень полезный признак обобщенной сильной
сходимости Тп —+- Т. Часто она эффективнее, чем теорема 1.5
S
(в случае X = Н).
Пример 3.7. Пусть Н = L2 @, оо) и
t [a] = j ( \u> (x) |» + q (x) |и (x) |«) Ax,
0
1„ [и] = I (| u' (x) }?+fc (a;) | (z) j2) dx,
о ' ¦. ¦
C.20)
566 ' Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
где q и дп —• вещественные функции, обладающие свойствами, сформулиро-
сформулированными в п. VI.4.1, так что t и tn — замкнутые симметричные формы, огра-
ограниченные снизу (при подходящем выборе их областей определения). Далее,
пусть qn (х) > q (х) и
ь
(qn(x)-q(x))dx^0 . C.21)
для любых а, 6 таких, что 0 < а < Ь < то. Легко проверить, что предпо-
предположения теоремы 3.6 выполнены (при D == D (t)). Операторами, соответ-
соответствующими введенным формам, являются Т = —cPldx2 + q (х), Tn =
= —cPldx2 + qn (х) (см. теорему VI.4.2) с подходящими областями опреде-
определения. Из теоремы 3.6 следует, что Тп —>¦ Г в обобщенном смысле. Заметим,
что условие C.21) слабее, чем соответствующее условие A.5) в примере 1.11.
Следует также заметить, что q и qn не обязаны быть вещественнозначными,
существенным условием является здесь равномерная секториальность раз-
разности qn — q.
Пример 3.8. Рассмотрим оператор Т (х) из примера 1.20. Очевидно, что
в этом случае применима теорема 3.6 с заменой Тп на Т (х). Если Re a > 0,
Re х > 0, то Т (х) соответствует форме
t (х) [u,"v] = \ (аи' (х) v' (х) + '*м" (х) v" (x))dx C.22)
с граничным условием A.26). Легко показать, что форма t (х) секториальна
и замкнута. Имеем t (х) -»¦ t, x ->¦ 0 (в смысле, требуемом в теореме 3.6),
где форма t [и, v] задается первым слагаемым в формуле C.22) с граничным
условием и @) = и A) = 0. Действительно, t (х) [и] -*¦ t [и] при и ? D =
= D (t (x)) (это множество не зависит от х) и, как легко видеть, D является
ядром формы t.
Оператор, ассоциированный с этой формой t, в точности совпадает
с оператором Т из примера 1.20. Так как, кроме того, форма t (х) — t равно-
равномерно секториальна в смысле C.8), если х принимает значения из сектора
| arg х | < б < я/2, то из теоремы 3.6 вытекает, что Т (х) ->- Т в обобщен-
S
ном смысле. Если, далее, предположить, что а и х положжтельны, то Т (х), Т
являются самосопряженными и имеют компактные резольвенты (как это
всегда имеет место в случае регулярных дифференциальных операторов
в ограниченной области), и из монотонности последовательности t (x) [и]
по х следует, что Т (х)-1 монотонно не убывает при х -*¦ 0 (см. теорему VI.2.21).
В силу теоремы 3.5 Т (х) ->- Т'1 по норме, так что также R (?, х) ->- R (Q
по норме и Т (х) -»- Т в обобщенном смысле. Этим дано полное доказатель-
доказательство всех утверждений из примера 1.20.
Заметим, что к этому примеру теорема 1.5 неприменима, так как D (Т (х))
не является ядром оператора Т. В связи с этим стоит заметить, что к приме-
примеру 1.19 неприменима даже теорема 3.6, так как предельная форма t[u, v] =¦
i
= 2сс \ и' (х) v (x) dx, которая соответствовала бы предельному операто-
о
ру Т, не является секториальной.
Замечание 3.9. Другое замечание к теореме 3.6 состоит в том,
что сходимость C.9) требуется только при и 6 D, где D — неко-
§ 3. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 567
торое ядро формы t такое, что Dcr lim inf D (tn). He обязательно,
чтобы условие C.9) выполнялось при всех и ? lim inf D (tn).
Это иллюстрирует следующий пример.
Пример 3.10. Пусть Н = L2 @, 1); определим форму tn равенством
1
Um] = *-1 j \u'(x)\*dx+\u@)\* + \u(l)\* C.23)
О
без каких-либо граничных условий. Область определения D (tn) => Do есть
множество всех и ? L3 таких, что и' ? L8; отметим, что Do не зависит от п.
Теорема 3.6 применима, если мы положим t = 0 (с областью определения
D (t) = Н). Единственным условием, которое следует рассмотреть, является
условие ш); два других условия очевидным образом выполнены. Условие
ш) выполняется, если выбрать в качестве D множество всех таких и ? Do,
что и @) = и A) = 0. Даже при этих ограничениях D является ядром формы
t, так как форма t ограничена, а множество D плотно в Н. Из теоремы 3.6
следует, что Тп -*¦ 0 в обобщенном смысле. Этот результат никоим образом
S
не является тривиальным. Оператор Т„ есть дифференциальный оператор
— n^dP/dx3 с граничными условиями и @) = пи @), п' A) = —пи A).
Следует заметить, что lim tn [и] существует при всех и ? Do, но этот
предел не обязательно равен t [и] = 0.
3. Неубывающая последовательность симметричных форм
В теореме 3.6 предполагалось, что предельная форма t дана.
Было бы желательно получить теорему, в которой дана только
последовательность {tn}, а предельная форма t или по крайней
мере предельный оператор Т должны быть построены. Замеча-
Замечание 3.9 и пример 3.10 показывают, однако, что это совсем не легкая
задача, так как lim tn [и] в теореме 3.6 не обязан быть равным
t [и] при всех и, для которых этот предел существует.Тем самым
попытка построить форму t с помощью равенства t [и] =
— lim tn [и] обречена на неудачу.
В настоящее время, по-видимому, нет теорем такого рода для
последовательности несимметричных секториальных форм. Но мы
можем все-таки привести теорему о монотонной последователь-
последовательности симметричных форм.
Напомним, что если t)l7 fJ — симметричные формы, ограни-
ограниченные снизу, то запись i)i ^ fJ означает, что D(t)i)c: D (lJ),
i)i[u] > lJ [и] при и g D (t)i) (большая форма имеет более узкую
область определения!) (см. п. VI.2.5). Последовательность {?]„}
симметричных форм, ограниченных снизу, является невозрастаю-
щей (неубывающей), если ?)„ > ?)n+i (?)n ^ f}n+i) ПРИ всех п.
Теорема 3.11. Пусть {!)„} — невозрастающая последователь-
последовательность плотно определенных замкнутых симметричных форм,
равномерно ограниченных снизу: ?)„ ^ у, где у — константа.
Если Нп — самосопряженный оператор, ассоциированный с ?)„, то
568 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
последовательность {Нп} сильно сходится в обобщенном смысле
к самосопряженному оператору Я ^ у. При п —>¦ сю имеем (пола-
гая Rn (?) = (Нп - С), R (С) = (Я - С))
, C.24)
S
(Hn~l)i/2u-^(H-l)i/2u при ueUD(W, |< у. C.25)
п
Если, в частности, симметричная форма I), определяемая равен-
равенством Ц [и] = lim 1)л [и], с областью определения D (I)) =
= U D (t)n) замыкаема, то Я есть самосопряженный оператор,
п
ассоциированный с замыканием ?) формы f), и сходимость в C.25)
является сильной.
Доказательство. Без ограничения общности мы можем
предположить, что у = О, так что !}„, Я„ неотрицательны. Как
известно (см. теорему VI.2.21), из свойства невозрастания после-
последовательности {1)п} следует, что последовательность ограничен-
ограниченных самосопряженных операторов Rn (!) при ? < 0 является
неубывающей. Так как операторы Rn (?) равномерно ограничены
сверху числом (—I), то из теоремы 3.3 (с обратным отношением
порядка) следует, что s-lim Rn (^) = R (|) существует. Из обра-
обратимости R (!) и того факта, что 0 ^ Rn (^) ^ R (|), следует, что
R (|) и = 0 влечет i?n (|) u = 0, а значит, и = 0. Согласно
теореме 1.3, 2? A) является резольвентой замкнутого линейного
оператора Я. Этот оператор самосопряжен в силу самосопря-
самосопряженности R (?•). Из теоремы 1.3 следует также, что Rn (?) —>
S
—v i? (|) = (Я — С) при любом ? таком, что Re ?<0, так как
S
такие ?, принадлежат области ограниченности Aj,.
Поскольку 0 ^ Rn (?•) ^ R (^) при ^ << 0, то Ял — \^
> Я — | (в силу теоремы VI.2.21), откуда следует, что D (!)„) =
= D ((Я„ — 1)V2) cr D ((Я — g)V2). Аналогично D (^m)cr D (^„)
при т <Сп. Поэтому для любых и g D (^m), у f H, п> т, ^<0
имеем
((Яв - II'* u - (Я - 1)!/2 ц, (Я! - I)-1/2 р) =
= (и - (Я„ - g)-V« (Я - g)V« u, Япг;) -^ 0, п -v оо, C.26)
где ?„ = (Яп — g)Va (Я1 — 1)-V2 g i? (H), так как
D ((Яп — g):/a) = D (jjn) гэ D (i)i); заметим, что из Rn A) —» R A)
следует Д„ (g)V« -+ R (g)V. (см. задачу V.3.51) и что || Я„в|| < 1,
S
так как Ъ)п ^ ^. Поскольку последовательность || (Нп — ^)V2 ц ||
ограничена при и -^- оо величиной || (Ят — II/2 и || и оператор
(Я4 — 1)~1/2 у отображает Н на множество D (^t), плотное в Н,
§ 3. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 56&'
то (Я„ — Ifh u—>(H— g)V2 и при и 6 D (Цт). Так как то
произвольно, то формула C.25) доказана.
Пусть теперь предельная форма t, фигурирующая в условиях
теоремы, замыкаема. Тогда мы находимся в условиях теоремы 3.6
с ?)„, Ц в качестве tn, t соответственно. Пусть Но — самосопря-
самосопряженный оператор, ассоциированный с ?). Имеем Но = Н, так
как каждый из операторов (Н — ?)-1, (Яо — t,)'1 является силь-
сильным пределом последовательности Rn (?). Остается только дока-
доказать, что сходимость в C.25) является сильной. Поскольку слабая
сходимость уже была доказана, то достаточно показать (см. лем-
му V.1.2), что || (#„ - g)V» и ||2 -»- || (Я - |)х/2 а |р при и €
g U D (^п). Но это просто иное выражение того факта, что
п
Ъ)п Ы] -*¦ 1) [и] = f[u].
Замечание 3.12. Вообще говоря, слабую сходимость в C.25)-
нельзя заменить сильной. Это показывает пример 3.10, в котором
предельное соотношение ?)„ [и] ->- ?) [и] имеет место не при всех
D0.
4. Сходимость снизу
Теоремы 3.6 и 3.11 относятся к сходимости последовательно-
последовательности форм «сверху». Рассмотрим теперь сходимость в противополож-
противоположном направлении. Следует заметить, что нельзя ожидать полной
симметрии между этими двумя случаями, так как мы имеем дело
исключительно с векториальными формами, для которых понятия
«сверху» и «снизу» неравноправны.
К сожалению, не известно, верна ли теорема, соответствующая
теореме 3.6. Мы можем доказать лишь теорему, соответствующую
теореме 3.11.
Теорема 3.13. Пусть {?)„} — неубывающая последовательность
плотно определенных замкнутых симметричных форм, ограничен-
ограниченных снизу числом Yi и не превосходящих формы ?H, обладающей
аналогичными свойствами:
Ъ < Ь < Ь < • • • < V C.27)
Пусть Нп — самосопряженный оператор, ассоциированный с \)п.
Тогда Нп сильно сходится в обобщенном смысле к самосопряжен-
самосопряженному оператору Н, ограниченному снизу. Если t) — ассоциирован-
ассоциированная с Н симметричная форма, то ?)„ << f) и при п -*• оо
bnlu,v\-4*f>\u,v}, и, ueDft), C.28)
;...;' лв(о-^л(о, Bes<Tj, • C.29)-
C.30)
570 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
Доказательство. Как и в доказательстве теоре-
теоремы 3.11, из C.27) следует, что {Rn (?)} при ? <С Yi является
невозрастающей последовательностью ограниченных неотрица-
неотрицательных самосопряженных операторов. Таким образом,
s-lim Rn (|) = R (?) существует в силу теоремы 3.3. Поскольку
из t)n < Цо вытекает, что Rn (?) > Ro (I) > 0, то R (g) > Ro (?) >
^ 0. Поэтому оператор i? (?) обратим. Из теоремы 1.3 следует,
что R (?) является резольвентой замкнутого оператора Я, кото-
который опять оказывается самосопряженным, и C.29) получается,
как и выше.
Пусть ?) — симметричная форма, ассоциированная с Я, т. е.
D (f)) - D ((Я - ?)V«), tj [U] = || (Я - |)V2 ц |р + in и |р (СМ.
задачу VI.2.25). Из Rn (?) > Д (?) следует Ял - ? < Я - ?,
поэтому 1)п ^ Ц.
Положим '
Вп = (Я„ - g)V« Д (?)Vi. , C.31)
Так как 1)п ^.Ц, то 5n g 38 (Н), ||5П ]| ^ 1 (см. аналогичный
результат в доказательстве теоремы 3.11). Покажем теперь, что
Вп —> 1. Этим формула C.30) будет доказана, ибо ее можно
записать в виде Вп (Я — g)V2 и -»- (Я — |)V2 u. Тогда C.28)
будет следовать из ([)„ — ?) [и, v] = ((Я„ — |)Va м, (Ял — ?)V2 v)
и аналогичного выражения для I) [и, v].
Воспользуемся тождеством
Д (E)Vi A - 5Л) = В* (ДЛ (|)Vi - Д (?)Vs), C.32)
которое легко проверить, применив обе части ка^Ни умножив
¦скалярно на v ? Н. Поскольку i?n (?) -»- R {%) влечет Rn (|)Va —>.
~^" i? (?I/2, как отмечалось в доказательстве теоремы 3.11, то
из C.29) и C.32) следует, что R (g)Va A — 5П) -> 0. Переходя
к сопряженным, мы видим, что A —В*) R (|I/2 ->¦ 0. Но так
как \\Вп || = |j Вп || ^ 1 и область значений оператора R (|I/з
плотна в Н, то В* —*¦ 1, а значит, также и 5,, —> 1. Наконец,
поскольку || Вп || ^ 1 = ]] 1 ||, то на самом деле Вп-*-\ сильно,
что мы и хотели показать (см. лемму V.1.2).
Замечание 3.14. Вообще говоря, неясно, характеризует ли
C.28) форму t). В силу монотонности последовательности {Цп [и]}
очевидно, что ее предел существует, по крайней мере при и ?
? D AH). Если ?)' — форма, определяемая равенством [)' [и, v] =
= lim ?jn [и, v], с областью определения D (t)'), состоящей из
всех таких и ? П D (Цп), что lim t)n [u] существует, то C.28)
п
доказывает, что ?)сг Ц'. Но неизвестно, совпадают ли ^ и ?)'.
§ 3. ОБОБЩЕННАЯ СХОДИМОСТЬ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 571
5. Спектры сходящихся операторов
' Пусть {Тп} — последовательность операторов, определенная
в одной из теорем 3.6, 3.11 или 3.13. Последовательность {Тп}
сильно сходится к Т в обобщенном смысле. Пусть X — изолиро-
изолированное собственное значение оператора Т с конечной кратно-
кратностью т. Если это собственное значение устойчиво в смысле п. 1.4,
то существует ровно т собственных значений (с учетом кратности)
оператора Тп в окрестности точки X, и эти собственные значения
сходятся к X. Это можно показать точно так же, как и в п. 1.4.
В условиях теоремы 3.6 собственное значение X устойчиво
(относительно возмущения Т —>¦ Тп) тогда и только тогда, когда
Я является устойчивым собственным значением оператора Т*
(относительно возмущения Т* ->¦ Г?). Это утверждение легко
следует из теоремы 3.6.
Здесь опять не существует общего признака устойчивости
данного собственного значения X. Но в случае, когда операторы
Тп являются самосопряженными, такой признак есть. Именно
справедлива
Теорема 3.15. Если нижняя часть X <с р спектра оператора Н
из теоремы 3.11 состоит из изолированных собственных значений
с конечной кратностью, то эти собственные значения устойчивы
относительно рассматриваемого возмущения. То же верно и в усло-
условиях теоремы 3.6, если tn и t симметричны, так что Т = Н
и Тп — Нп — самосопряженные операторы. При п —>¦ оо собствен-
собственные значения \ik оператора Нп стремятся сверху к соответствую-
соответствующим собственным значениям \ih оператора Н.
Доказательство. Поскольку Нп ^ Н ^ у, то (см.
задачу VI.5.5)
dim Еп (X) < dim E (X), — оо<Я<оо, C.33)
где Еп (X) и Е (X) — спектральные семейства, соответствующие
операторам Нп, Н. Если X < р, то dim E (X) < оо, поэтому
dim Z?n (X) <С оо при X <С р. Отсюда следует, что часть спектра
оператора Нп, расположенная на полупрямой X < р, состоит
из изолированных собственных значений. Обозначим собственные
значения (с учетом кратности) операторов Н иЯ„, лежащие на этой
полупрямой, через
1*1 < 1*2 < • • • < Р, V{n) < Ип) < . . - < Р. C-34)
Тогда из C.33) вытекает, что (ср. с теоремой 1.6.44)
|ij,n>>l*k, n, к = 1, 2, ... . C.35)
В случае когда выполнены условия теоремы 3.11, так что ?)„
и Нп не возрастают, последовательность [х^п> при фиксированном
к является невозрастающей.
572 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ '
Далее,
|| Еп (X) - Е (X) || -> 0, и->оо, Х<$, Я =# ^. C.36)
Для того чтобы в этом убедиться, мы прежде всего заметим, что
Еп (X) -f- Е (X) при любом X таком, что Е (X — 0) = Е (К), в ча-
частности при любом X, отличном от \ih и меньшем, чем {} (см. тео-
теорему 1.15). Поскольку dim Е (X) < оо, то C.36) следует в силу
C.33) из леммы 1.21. Из C.36) в свою очередь следует, что'
dim Еп (X) — dim E (X) для таких X при достаточно больших п.
Поэтому, как легко видеть, т^ ->• \ih, п -> оо.
Так как || Rn (?) || ^ 1/dist (?,, Е (#„)), то любое веществен-
вещественное ? =^= (ife принадлежит области ограниченности Дь, 'а следова-
следовательно, множеству As, согласно теореме 1.3. Этим наша теорема
доказана.
Пример 3.16. Применяя теорему 3.15 к примеру 3.7, мы видим, что
собственные значения оператора Т = —dVdx2 + q (x) устойчивы относитель-
относительно рассматриваемого возмущения, если вещественнозначный потенциал
q (х) таков, что нижняя часть спектра оператора Т состоит из изолированных
собственных значений.
Замечание 3.17. Полученные выше результаты, по-видимому, неспра-
несправедливы в случае несамосопряженных операторов. На первый взгляд можно
было бы ожидать, что в условиях теоремы 3.6, когда tn стремится к t «сверху»
(в том смысле, что Re tn ^ Re t), собственные значения оператора Тп долж-
должны также стремиться сверху к собственным значениям оператора Т, по край-
крайней мере в части спектра оператора Т, состоящей из изолированных соб-
собственных значений. Однако это предположение неверно. Действительно,
рассмотрим пример 1.19 при X = 1! i к > 0, и> 0. Оператор Т (х) ассо-
ассоциирован с квадратичной формой! (х) [и]=2а ^ [и' (х) и{х) -f-x | и' (х) |2] dx,
6
которая при х > 0 является секториальной и замкнутой и которая убываег
при убывании х. Но собственные значения оператора Т (х) даются форму-
формулой A.20), из которой следует, что каждое из них возрастает при убывании
х, если х достаточно мало.
> § 4. Асимптотические разложения
для векториальных операторов
1. Постановка задачи.
Нулевое приближение для резольвенты
Мы продолжим начатое в § 2 изучение асимптотических р азло-
жений г) при х-v 0 для резольвенты R (?, х) и изолированных
х) Результаты этого параграфа были получены Титчмаршем [1],
[2], Т. К а т о [3, 7, 9], В. К р а м е р о м "[1, 2] в симметричном случае.
Некоторые результаты для несимметричного случая получены Хью [1, 2].
Доказательство приводимых ниже теорем может быть значительно упрощено-
в симметричном случае; см. цитированные работы.
§ 4. РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 573
¦собственных значений оператора Т (х), зависящего от параметра х.
Мы опять будем рассматривать случай, когда Т (х) можно фор-
формально представить в виде Т + хТ1'1), но теперь будет дано точ-
точное определение оператора Т (х) с помощью секториальных форм
в гильбертовом пространстве Й.
Рассмотрим семейство секториальных форм t (x) в Н, опре-
определяемое формулой
t(x) =. t + xt*1*, 0<х<1. D.1)
На протяжении этого параграфа мы будем считать, что выполнены
¦следующие основные предположения:
i) t, tW — плотно определенные замкнутые секториальные
*формы.
ii) tA) имеет нулевую вершину; t имеет вершину y-
ш) Множество D = D (t) f] D (t'1)) является ядром формы t.
Опять сделаем некоторые замечания относительно этих пред-
предположений. Предположение ii) не вносит каких-либо ограничений,
так как если t и tf1^ имеют вершины у и у(*), то мы можем положить
$(!) = у^1) + t', где t' — секториальная форма с вершиной О,
я D.1) примет вид
t (x) = xyl1) + t + xt'. D.2)
Малая скалярная добавка хуA) не играет существенной роли
ш большинстве задач, которые будут рассмотрены ниже, и может
•быть опущена, так что можно переобозначить t' через t^1).
Из D.1) опять следует, что D (t (х)) = D (t) О D (t^1)) = D.
Если бы множество D не являлось ядром формы t, мы могли
•бы заменить эту форму замыканием ее сужения на D; это не изме-
изменяет форму t (x), в то время как D оказывается ядром новой
•формы t. По той же причине мы могли бы предположить, что
D является также ядром формы t^1*, но нет нужды предполагать
это явно.
Поскольку обе формы t и t^1) замкнуты и секториальны, то
такими же свойствами обладает и t (x) (см. теорему VI.6.1).
Множество D (t (х)) = D плотно, так как оно, согласно пред-
предположению ш), является ядром плотно определенной формы t.
Пусть Т (х) есть m-секториальный оператор, ассоциированный
по первой теореме о представлении с формой t (x). Аналогично
обозначим через Т m-секториальный оператор, ассоциированный
с формой t.
Далее, к рассматриваемой задаче применима теорема 3.6
с заменой tn, t, Тп на t (x), t, T (х) соответственно. Следователь-
Следовательно, Т (х) при х-v 0 сильно сходится к Г в обобщенном смысле.
574 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Более точно, имеем в силу C.10)
Я(?,х)->Д(?), Д (?,*)*-*#(?)*,
?, x)*u-i?(?)*u]->0,
xtA) [Д (?, x) и] -> 0, xt«> [Л (?, х)* и] -> 0,
О D.3)
D.4)
D.5)
где, как обычно, полагаем Д (?, х) = (Г (х) — Q, i? (?) =
= G1 — ?)-х. Сходимость в формулах D.3) — D.5) равномерна
на каждом компактном подмножестве множества Дв, и Д8 содер-
содержит полуплоскость Re ? << у.
В следующих пунктах мы изучим, при каких условиях выра-
выражения R (L, я) и, (R (?,, к) и, v) допускают асимптотическое раз-
разложение по степеням х.
Положим
Ц = Ret, f)*1» = Re tt1),
D-6)
Ц (х) = Re t (x) = Ц + x^1), I = Re I
и обозначим через К1), Н, HW, H (х) операторы, ассоциирован-
ассоциированные с формами t'1), I), I^1), ?)(x) соответственно. Имеем
Im Ы К М (Ц - у) [и], | Im tt1) [и] | < М'^1) [и]. D.7)
Здесь М = tg 0, М' = tg 0', где 9, 9' — полууглы секториаль-
ных форм t, tA). Заметим, наконец, что между множествами
D (Г) и D (Г'1)) не обязательно должна существовать какая-либо
простая связь, так что оператор Т (х) не обязательно равен Т -\-
+ П1
Замечание 4.1. Поскольку D (t*) = D (t) и т. д., то из пред-
предположений i) — iii) следует, что таким же предположениям удо-
удовлетворяют и сопряженные формы.
2. Приближение порядка 1/2 для резольвенты
, Теорема 4.2. Пусть I 6 Дв, и ? Н, R (?) и 6 D (i^)). Тогда
.при х —*- 0 имеют место оценки
|| Д (?, х) и - Л (?) и || = о (х1/2), D.8)
11Д (?, х) - Д (Б) и] = о (х), ,
tt1» [Л (?, х) и - Л @ и! = о A). ^ ;
Если R (?) и 6 D (t'1)), i? (?)* у 6 D
(Д (?, х) и, у) = (R (^) и, v) - xtt1' [Л (?) и, Д (?)* у] +
+ о (х). D.10)
§ 4. РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 575
Доказательство. I. Положим
W = ц; (Х) = R (?, х) И - Д (О И. D.11)
Заметим, что »6D, так как Д (S) ы 6 D (Г)с: D (t), R (t,) и ?
6 D (t^1)) по предположению и так как
R (I, х) и € D (Т (х)) с= D (t (х)) = D.
Далее, имеем
¦ (t (х) - S) М = (t (х) - 5) [Я (S, х) м - Л (S) и, ю] =
= (и, iv) — (и, и>) — xtf1) [R (?) п, u>] =
= - xtW [R (?) ы, w]. D.12)
Предположим временно, что ? = Re ? < 0, и положим для про-
простоты у = 0 (что не ограничивает общности). Тогда Re (t (x) — ?) =
= Ц — | + хЕ)'1) ^= х^1) ^ 0, и из D.12) следует, что
х^ f1) [и?] <х И'1) Ш @ и, ю] К
< A + М') xt)*1) [Я (?) u]1/» f,(i) [10IV2 . D.13)
(см. (VI.1.15)); поэтому
ty1) [и>] < A + М'J^1) [i? (?) и]. ' D.14)
Это показывает, что элемент и? = w (к) ограничен при х ->¦ О
по норме || w ||i)(i) = (^f1) [Ы + || w ||2I/2, введение которой пре-
превращает D (t'1)) в гильбертово пространство Ht(i). Но для любого
'Н (^1) + 1) [ (Ж1) II ] ( )О
р () р рр
i; 6'Н имеем (^f1) + 1) [w, (Ж1) + I) v] = (и?, у)-уО, так как
ю->0в силу D.3). Множество (Я*1) + I) Н = D (Ж1)) являет-
является ядром формы ^f1) и, следовательно, плотно в Ht(i), поэтому
w слабо сходится к нулю в Ht(i). Поскольку t^ —ограниченная
форма на Ht(i), то t^1' [R (?) и, v] -> 0. Таким образом, правая
часть в D.12) есть о (х).
Опять выделяя вещественную часть в D.12) и учитывая, что
Re (t (x) - S) Ш = I) Ы + (—1) || w ||2 + х^1) [w], причем все
три слагаемых в последней сумме неотрицательны, мы видим,
что каждая из функций §[w], || w ||2, x^f1) [w] есть о (и). Это
доказывает формулы D.8) и D.9).
II. Далее, мы можем распространить D.8) и D.9) на общий
случай, когда С6А$ и Д (Q u 6 D (tA)). Для того чтобы это
сделать, используем соответствующий вариант формулы A.3):
r E, х) - r а) = A + (s - So) л (S,«)) х
X (i? (Со, х) - R (&,)) A + (S - Со) Л (S)), D-15)
где фиксированное число ?0 выбрано так, чтобы Re ?0 < 0. Поло-
Положим х = A + (С - So) Д (?)) ". Тогда R (So) * = Л (S) « 6
^ D (tA>) в силу резольвентного уравнения. Следовательно,
576 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
у (х) == (R (?0, у) — R (?0)) х = о (к1'2), согласно доказанным выше
результатам. Поскольку резольвента R (?,, х) ограничена при
% -*• 0, то D.8) следует из равенства (R (?, х) — R (?)) и =
= A + (S - So) Л а, х)) у (х).
Для доказательства формулы D.9) учтем, что ;
ij (х) [(Д (S, x) - Л (?)) u] =
= f) (x) [г/ (х) + (Z - So) Д (S, «) J/ (и)! <
< 2^ (x) [г/ (х)] + 2 | S - So I2 Ц («) [Д (S, и) J/ (x)]. D.16)
Покажем, что последнее выражение в D.16) есть о (к). Для пер-
первого члена это верно в силу уже доказанных результатов. Во вто-
втором члене мы можем заменить t) (х) на t)(x) — ?, поскольку
|| R (S, х) г/ (х) ||2 = о (х), как было доказано выше. Но
(t) (х) - |) Ш (S, х) г/ (х)] = Re (t (x) - S) [Л (S, «) г/ (*)] =
= Re (у (х), i? (S, x) у (х)) < || i? (S, x) ||.|| J/ (x) ||2 = о (x).
Таким образом, каждое из выражений в D.16) есть о (х); отсюда
немедленно следует D.9).
III. Для доказательства формулы D.10) используем тождество
(w, v) = (t- S) lw, R @* v] =
. = (t - S) Ш (S, x) u, R @* v]-(t- I) [R (S) и, Д (S)*y] =
= (и, R (S)* у) - xt*1» [i? (S, x) u, R (S)* у] - (и, R{t)*v) =
= - xtf1) [Д (S) и, i? (S)* v] - xtf1) [ш, Л @* и], D.17)
которое справедливо, поскольку R (Q* г; ^ D, что, как и выше,
следует из условия R (?)* v g D (t^). Формула D.10) вытекает
из D.17) в силу D.9), откуда следует, что w -*- 0 в Htd).
3. Приближения первого
и более высоких порядков для резольвенты
Как только доказана теорема 4.2 о приближении порядка 1/2,
дальнейшие приближения получаются довольно просто. Напри-
Например, справедлива
Теорема 4.3. Пусть ? 6 \ и и 6 Н. Если R (Q и g D (TW),
то справедлива формула
R (?, х) и = R (S) u — xR (S) Г'1»;? (S) и + о (х). D.18)
?Ъш i? @ и 6 D (Я1)) ы R @* у 6 D (T11)*), то
(R (S, х) и, у) = (Л (S) и, v)-h (R (S) ТЧЧД (?) и, у) +
+ х2 (R (S) Я1)/? (S) и, Г^Д @* и) + о (х2). D.19)
§ 4. РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 577
Доказательство. В обозначениях предыдущего пунк-
пункта, для любого v ? Н имеем
(w, v) = (t(x) — ?) [w, R (?, x)* v] =
= (t(x) - Q [R (?, x) u, Д (?, x)* y] -
= (u, Д (?, x)* y) - (u, Д (?, x)* v) -
- xtf1) [Д @ u, Д (?, x)* v] =
= — x (^f1)/? (?) u, R (?, x)* y) =
= - x (Д (?, x) ГС1)/? (Q u, v), '¦' D.20)
поскольку i? (Q u f D (TW). Следовательно,
Д (S, x) u - i? (Q u = w = — xi? (?, x) T(l)R (?) u. D.21)
Отсюда в силу D.3) следует D.18).
Предположим теперь, что R (Q* у ^ D (ТЧ1)*). Так как опе-
операторы Т*, 71 (х)* и Tf1)* ассоциированы с сопряженными фор-
формами t*, t(x)* и t'1' (x)* соответственно, то применение фор-
формул D.21) (с заменой ? на ?) к этим сопряженным формам дает
R (?, х)* v - R (Q* и = -xi? (?, х)* ^f1)*/? (?)* v. D.22)
Умножая D.22) скалярно на и и используя D.21), получаем
<Д (?, х) и, у) - (Д (?) u, v) = -х (Д (?, х) и, ТЧ1)*/? (Q* у) =
= —х (Д (?) и, TW*R (?)* у) +
+ х2 (Л (?, х) TWR (?) и, ТЧ1)*/? (?)* у), D.23)
откуда в силу D.3) следует D.19).
Теорема 4.4. Если R (?) Jf1)/? (?)u существует и принадлежит
D (
Д (S, х) и = Д @ и - хД (О ^A»й (S)u + о (х3/2). D.24)
Если, кроме того, R (?)* Ti~x)*R (Q у существует и принадлежит
D (tf1)), mo
(Д (?, х) ц, у) = (Д (?) и, у) - х (Л (С) Г*1'/? (?) и,
+ ха (Д (S) T(i)R (Q u,
- )t3t О Ш (9 У^'Л (Q и,
+ t(x3). D.25)
Доказательство. Равенство D.24) получается, если
применить оценку D.8) к правой части формулы D.21). Для дока-
доказательства равенства D.25) достаточно применить D.10) к послед-
37 т. Като
578 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
нему выражению в D.23) (с заменой и, v на TMR (?) и,
TA)*R (?)* v соответственно).
Теперь легко видеть, как можно получить дальнейшие при-
приближения. Нет нужды выписывать их явно.
Задача 4.5. Если В (Q Г*1) R (Q и существует и принадлежит D (tA>)
и если R (Q* v ? D (t*1)), то
(R а, х) и, и) = (R (Q и, и) - х (R Ш T^R (Q и, v) +
+ x2t<l> [R Ш и, R (?)* v] + о (х2). D.26)
Замечание 4.6. Все вышеприведенные формулы, несмотря на внешвше
различия, по существу представляют собой второй ряд Неймана для резоль-
резольвенты, который может быть формально записан в виде
R а, х) = R (В - хД (О Г^Д (?) +
+ x3i? (О 7<l)i? (g) уезд (g) + . . . . D.27)
Например, коэффициент при х3 в D.25) формально равен
- t <D [R (D Г<!> i? (С) и, R (?)• УН* Д (g)* Р] =
= — (Г'1' R (?) Г<!) i? (^) и, Л (С)* 71'1'* i? (?)* f) =
= — (R (?) Г'1) Д g) T'l) Д (О Г*1) Л (?) и, г), D.28)
что совпадает с коэффициентом при х3 в D.27). На самом деле формула D.28)
корректна только в том случае, когда выражение T^'R ( Q T&R ( Q T a> R(Z) и
имеет смысл. Левая часть в D.28) существует, однако, и не при столь силь-
сильных ограничениях на и, если для v выполнены сформулированные выше
предположения. Формула D.25) особенно полезна, когда t и t*1' симметрич-
симметричны, а ? вещественно; в этом случае Т7'1'* = Г<х>, R (?)* = R (?), так что
она применима при и = и, если мы предположим лишь, что R ( ?) Г<Х»Д ( ?) и g
6 D (t'1'). Аналогичное замечание применимо и к остальным формулам.
Пример 4.7. рассмотрим |дифференциальный |оператор
^ .), 0<*<оо, D.29)
с граничным условием и @) = 0. Этот оператор ассоциирован с квадратич-
квадратичной формой
со
^ )\u(x)^]dx. D.30)
Этот пример является вариантом примера 3.7 с непрерывным параметром х
вместо дискретного параметра п. Если q (x) удовлетворяет условиям теоре-
теоремы VI.4.2 и если функция дA) (х) неотрицательна и локально интегрируема,
то оператор Т (к) самосопряжен и применимы полученные выше результаты.
Формула D.3), дающая нулевое приближение для резольвенты, справедлива
при любом и ? Н = L2 @, оо); формула D.8), дающая приближенно порядка
1/2, справедлива, если R (Q и 6 D (t<lj), т. е. если
оо
-, ¦ f q^(x)\R(Qu{x)\2dx<oo; . D.31)
¦ - ' 0
§4. РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 579
формулы D.18) и D.19), дающие приближение первого порядка при и = v,
справедливы, если R (Q и ? D (Т<$), т. е. если
и (z) \* dx < оо, D.32)
и т. д.
Предположим, в частности, что q (х) -*¦ О при х -*¦ 0, как это часто быва-
бывает в случае оператора Шрёдингера; w = R (Q и является решением урав-
уравнения (Т — ?) w = и, или
—w" + q{x) w — t,w= и (x), w @) = 0. D.33)
Можно показать, что если и (х) очень быстро убывает по абсолютной вели-
величине при х -*¦ оо, то при ? < 0 таким же свойством обладает решение w (x)
задачи D.33). В таком случае формулы D.31) и D.32) справедливы, даже
если функция q^> (x) велика по модулю при ж->- оо.
Эта функция может также иметь довольно сильную особенность при
х = 0. Если q (х) есть о (х~2) при х -*¦ 0, то го (х) = R (?,) и (х) есть О (х).
Поэтому для того чтобы выполнялось условие D.31), достаточно, чтобы функ-
функция д*1' (х) имела порядок О (х~3~^Е), где е > 0. Апалогично, д'1' (х) может
иметь особенность порядка О (ж'5+8), если речь идет оо условии D.32).
Таким образом, полученные выше результаты вполне удовлетворительны
для приложений к задачам такого рода. Аналогичное замечание относится
и к возмущению оператора Шрёдингера в многомерном случае.
Пример 4.8. Рассмотрим оператор
Г(х) = -а^+х^г- 0<ж<1' ""¦ ... D-34)
из примера 1.20. Этот оператор ассоциирован с формой 1(х), определенной
в примере 3.8. Снова R (?) и является нулевым приближением для R (?, х) и
при любом и f Н = L2 @, 1). Условия теоремы 4.2 о приближении порядка
1/2 требуют, чтобы w = R (?) и ? D (t'1'), т. е. чтобы функция w (x) была
дважды дифференцируемой и удовлетворяла граничным условиям w @) =
— w' @) = w A) = w' A) = 0. Дифференцируемость автоматически сле-
следует из того факта, что w (x) является решением дифференциального урав-
уравнения второго порядка (Т — ?) w = и. Также и граничные условия, соот-
соответствующие оператору Т, требуют, чтобы w @) = w A) = 0, но остальные-
два условия w' @) = w' A) = 0 удовлетворяются лишь в исключительных
случаях. Необходимым и достаточным условием для этого является равенство
(x)dx = 0, D.35)
так как рассматриваемое условие означает, что и принадлежит области зна-
значений сужения Го — ? оператора Т — ?, которое определяется четырьмя
указанными граничными условиями, а это выполняется лишь для и, при-
принадлежащих нуль-пространству оператора (То — ?)*. Но Т% есть просто
дифференциальный оператор —d^/dx2 без каких-либо граничных условий,
так что нуль-пространство оператора (То — ?)* натянуто на два элемента
е± (-?) ^я
37*
580 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Таким образом, мы заключаем, что «вообще говоря» оценки; D.8) '-&
D.10) неверны. Например, если и (х) = 1 и ? = 0, то А • ' >"'-¦
D-36)
Верно, что эта функция имеет асимптотическое разложение
при любом фиксированном х, таком, что 0 < х < 1, причем опущенный
остаток «. . .» меньше, чем любая конечная степень к при к -*¦ 0. Но этот
остаток вовсе не так мал на всем интервале @, 1). В самом деле, простые
вычисления показывают, что по норме он имеет в точности порядок к3/4.
Итак,
Л@, x)M=r-iii-JL l/ — 4-0(ч3/4), D.38)
причем порядок и '* точен. Можно ожидать, что аналогичный результат
справедлив для любой другой функции и (х), во всяком случае, если она
является гладкой на [0, 1]. Таким образом, мы видим, что в этом примере
невозможно получить удовлетворительное асимптотическое разложение,
по крайней мере если речь идет о глобальном поведении функции R (?, х) и.
С другой стороны, известно, что скалярная величина вида (R (?, к) и, v)
допускает асимптотическое разложение по степеням ч1^2 до любого порядка
при достаточно гладких и (х) и v (x). Конечно, с помощью доказанных выше
общих теорем нельзя исследовать вопрос об асимптотическом разложении
по дробным степеням х) параметра ч.
4. Асимптотическое разложение собственных
значений и собственных векторов
Рассмотрим теперь изолированное собственное значение Я,
оператора Т с конечной кратностью m и предположим, что это
собственное значение устойчиво относительно возмущения Т —>-
->- Т (к) (в смысле п. 1.4). Так как Т (у) сильно сходится к Т
в обобщенном смысле, то в окрестности точки X существует ровно
тп собственных значений (с учетом кратности) оператора Т (к)
и эти собственные значения стремятся к X при х -*¦ 0 (см. п. 3.5).
Обозначим через (х7- (х), / = 1, . . ., пг, эти собственные зна-
значения (с учетом кратности) оператора Т (и); для других рассма-
рассматриваемых величин мы будем использовать обозначения п. 2.3—2.4.
г) Появление дробных степеней параметра х — вполне обычное явление
в сингулярной теории возмущений для дифференциальных операторов;
см. ссылки на литературу в подстрочном примечании на стр. 550.
. § 4. РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 581
Теорема 4.9. Пусть собственное значение К оператора Т
является полупростым, и пусть область значений каждого из опе-
операторов Р, Р* содержится в D (tt1)). Тогда собственные значения
\ij (к) допускают асимптотическое разложение
ц} (х) = X + хц'-1' + о (х), j = 1, . . ., т, D.39)
где jij1', 7=1, • • •, т,— собственные значения полуторалинейной
формы t*1) [Pu, P*v], рассматриваемой в т-мерном пространстве
РН (см. ниже замечание 4.11). Тотальный проектор Р (к), соот-
соответствующий этим т собственным значениям ц7- (к), обладает
тем свойством, что
И Р (к) — Р || = о («V2). D.40)
Замечание 4.10. Если форма t симметрична (так что оператор
Т самосопряжен), то Р* = Р, и достаточно потребовать, чтобы
PHcD (f1))
Замечание 4.11. Пусть t — произвольная полуторалинейная
форма в Н, и пусть проектор Р таков, что каждое из множеств
РН, Р*Н содержится в D (t). Тогда равенство tP [и, v] =
= t [Pu, P*v] определяет форму tP с областью определения Н.
Легко показать, что эта форма ограничена и что dim Р = m <; оо.
Поэтому существует оператор ТР g $j (H) такой, что tP [и, v\ =
= (Тр и, v) для всех и, v g H. Поскольку tP [Pu, v] =
= tP [u, v] = tP [и, P*v] при любых и, v, то ТРР = Тр =
= РТр. Таким образом, подпространство М = РН инвариантно
относительно ТР. Собственные значения оператора ТР, рассма-
рассматриваемого в М, будем называть собственными значениями формы
tP в М.
Если форма t замкнута и секториальна и если РН с: D (Т),
где Т = Tt — оператор, ассоциированный с t, то, как нетрудно
видеть, Тр = РТР. В общем случае, однако, оператор РТР
может и не иметь достаточно широкой области определения.
Доказательство теоремы 4.9.1. I. Заметим прежде
всего, что (мы используем обозначение из B.18))
R(Z,x)P-R(QP = o (xV2)u, ? б Дв, D.41)
причем оценка о (x^2)a равномерна на любом компактном подмно-
подмножестве Г области Дв. Равенство D.41) следует из того факта,
что и 6 -РН влечет R (?) и = (К — Q-1 и 6 D (tA)), так что
R (?, к) и — R (Q и = о (х1/а) в силу D.8) (ср. с доказатель-
доказательством формулы B.20)). Равномерность по ? 6 Г может быть легко
доказана с помощью D.15). Выбирая в качестве Г окружность
| ? — Я, | = г и интегрируя D.41) по Г, мы таким образом получим
Р (%) Р - Р = о (xV*)u. D.42)
582 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Поскольку % является устойчивым собственным значением
оператора Т*, согласно замечанию из п. 3.5, то для операторов
Р* и Р (х)* справедлива формула, аналогичная формуле D.42).
Переходя в этой формуле к сопряженным, находим
РР (х) — Р = о (xV«)u. D.43)
Из D.42) и D.43) с помощью рассуждения, аналогичного прове-
проведенному при доказательстве формулы B.41), получаем, что
Q (х) =з Р (х) — Р = о (и1/2)и. Это доказывает формулу D.40).
П. Введем теперь оператор U (х), определяемый формулой
B.42), и рассмотрим оператор U (х) R (?, х) U (х) Р. Вспоми-
Вспоминая, что U (х) Р = Р (х) U (х) (см. B.45)), что- Q (хJ =
= (Р (х) — РJ = о (х)и коммутирует с Р и Р (х) и что Р (х)
коммутирует с R (?,, х), и учитывая B.42) и B.44), получаем
U (х)-г7? (С, к) U (к) Р = U (к)-1 Р (и) i? (С, х) Р (и) С/ (х) =
= A+о (х)и) РР (х) i? (С, х) Р (х) Р A + о (х)„) =
. =pp(x)i?(s, x)p + o(x)u= ;
= РР (х) PPi? (С, х) Р +
+РР (х) A - Р + A - Р)) Д (С, х) Р + о (х)и. D.44)
Второй член в правой части есть о (х)и; это следует из того, что
РР (х) A - Р) = Р (Р (х) - Р) A - Р) = о (хх/2)и в силу D.40)
и A - Р) R (^, х) Р = A - Р) (й (С, х) - Д (С)) Р = о (xV.)u
в силу D.41). Что касается первого слагаемого, то заметим, что
РР (к) Р = Р - PQ (х)а = Р + о (х)и. Следовательно,
U (х)-1 i? (С, х) ?7 (х) Р = PR (С, х) Р + о (х)„. D.45)
Первое слагаемое в правой части равенства D.45) можно
вычислить, используя D.10). Заменяя в D.10) u, v на Ри, P*v,
получаем
(PR (t, х) Ри, v) = (R (С, х) Рм,
= (Я, — С) (Ри, у) — х (А, — ?)-2 tW [Pu, P*v\ + о (х). D.46)
Поскольку dim P < оо, то отсюда следует, что
РЛ (?, х) Р = (Я, - С)-1 Р - х (А - С) ^р* + о (х)и, D.47)
где Тру — ограниченный оператор, ассоциированный с формой
Wlu, v] = tt1) [Pu, P*v) (см. замечание 4.11).
Подстановка D.47) в D.45) дает разложение, аналогичное раз-
разложению B.24), а разложение D.39) для \ij (x) получается так же,
как и в теореме 2.6.
Перейдем теперь к разложению собственных значений \ij (x)
до второго порядка по х.
§4. РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ¦ 583
Теорема 4.12. Предположим, что выполнены условия теоремы
4.9 и что, кроме того, РЯ б D (?1A)) и ^*Н <= D (Tf1)*). Если
собственные значения (без учета кратности) Xj, j = 1, . . ., s,
оператора Тф являются полупростыми, то справедливы все
результаты теоремы 2.9.
Замечание 4.13. Оператор [РТС1)] из теоремы 2.9 равен в дан-
данном случае G1A)*р*)*; заметим, что Г(г)*Р* б 38 (Н), так как
Р*Н с: D (Jt1)*) по предположению.
Доказательство теоремы 4.12. Если и 6
то R (Q и = (А, — С) и ?D (Г*1)), так что справедливо разло-
разложение D.18) для R (?, к) и. Оценка о (х) в правой части фор-
формулы D.18) равномерна по ? на любом компактном подмножестве
области As, как ясно из D.21) и леммы III.3.7. В предположении
dim Р < оо мы опять получаем формулу B.20) для R (?, и) Р.
Рассматривая сопряженные i? (?)* и т. д., мы приходим к фор-
формуле, которая получается из B.20) при замене Р, R (Q, ...
на Р*, i? (?)*,.... Переходя к сопряженным, мы получаем
формулу B.35) для PR (?, и) с о (х)и вместо о (x)s.
После того как получены эти два выражения, дальнейшее дока-
доказательство проводится точно так же, как и в теореме 2.9.
Замечание 4.14. Таким же образом можно получить разложе-
разложения собственных значений и собственных векторов до более высо-
высокого порядка по %. Мы не будем останавливаться на этом подроб-
подробно *), так как в большинстве приложений достаточно иметь при-
приближение второго порядка для собственных значений. Заметим
только, что, поскольку в формальном разложении для "К (и)
третий коэффициент АД3' содержит выражение tr T^STMSTWP =
= t<x) [5Г<1)ф, 5*ГA)*ф] (при т = 1), то мы должны предполо-
предположить, что
STWPX cz D (tt1)), S*TW*P*X cz D (tt1)), D.48)
для того чтобы получить разложение собственных значений до
порядка и3. Аналогично, для разложения собственных значений
до порядка и4 нужно потребовать, чтобы существовали
TWSTWP, Tm^S^Ti1)*?* e % (Н). D.49)
Пример 4.15. Рассмотрим дифференциальный оператор Т (к), опреде-
определяемый формулой D.29), с граничным условием и @) = 0 (см. пример 4.7).
Предположим для определенности, что вещественный невозмущенный потен-
потенциал q (х) стремится к нулю при х —*¦ оо. Тогда, как хорошо известно, невоз-
невозмущенный оператор Т имеет только отрицательные собственные значения,
г) См. В.Крамер [1, 2], где приведены подробные результаты для
частного случая, когда Н (к) есть самосопряженное семейство Фридрихса
(т. е. t (к) определяется формулой t (к) [и] = (К (я) и, и), где К (к) —
данное семейство симметричных операторов).
584 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
причем все они изолированы. Пусть X — одно из этих собственных значений
(простое) и пусть ф — соответствующая собственная функция. Поскольку
соответствующий собственный проектор Р является ортогональным проек-
проектором на одномерное подпространство, натянутое на ф, то теорема 4.9 при-
применима к X, если
GO
[ g<i> (х) | ф {х) |2 dx < оо. D.50)
J0
Аналогично, теорема 4.12 применима, если (заметим, что Р и Г'1' являются
в данном случае самосопряженными)
оэ
¦: . \ g<D (яJ | qp (я) |2 dz < оо. • ¦' D.51)
. • о
Иными словами, можно получить разложение до порядка я, если выполняется
D.50), и до порядка я2, если выполняется D.51).
Хорошо известно, однако, что ф (х) ведет себя как х при х —*¦ 0 и как
ехр [— (—XI/2 х] при х -*¦ оо (детали поведения зависят от q (x)). Поэтому
условия D.50) и D.51) налагают очень слабые ограничения на §A>. Напри-
Например, D.50) выполняется, если д'1' (х) есть О (а;~3+?) при и-0иО (хп) при
х -»- оо для любого п. Можно также убедиться, что условия D.48) и D.49)
выполняются при весьма общих условиях на <?A>; достаточно заметить, что
функция w = 5ГA)ф является решением дифференциального уравнения
—w" + q (x) w — kw = 1|з {х) с дополнительным условием (w, ф) = 0, где
i|) = A — Р) Г'1)ф (т. е. 1|з (х) = д'1) {х) ф (х) — сф (а;), где с определяется
по формуле D.50)).
§ 5. Спектральная концентрация
1. Неустойчивые собственные значения
Исследуя возмущение изолированного собственного значения
Я, мы предполагали, что это собственное значение устойчиво
относительно рассматриваемого возмущения (см. п. 1.4, 2.3, 2.4,
3.5, 4.4). Были даны некоторые достаточные условия устойчи-
устойчивости, но выполняются они не всегда. Очень часто оказывается,
что данное собственное значение % неустойчиво; в этом случае
спектр возмущенного оператора может вести себя по-разному,
и было бы трудно дать общее описание его поведения.
В случае самосопряженных операторов наиболее распростра-
распространенным явлением, связанным с неустойчивостью собственного
значения Я, является поглощение этого собственного значения
непрерывным спектром: возмущенный оператор имеет непрерыв-
непрерывный спектр, который покрывает интервал, содержащий точку X,
и не имеет собственных значений вблизи этой точки х). В таком
х) Существует противоположное явление, состоящее в том, что непрерыв-
непрерывный спектр превращается при возмущении в дискретный, но мы не будем
его рассматривать; см. М а с л о в [1], [3].
' ; 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ ¦-, ,. 585-
случае не имеет смысла говорить о «возмущении собственного
значения X».
Тем не менее часто возможно получить формальный степенной
ряд для «возмущенного собственного значения Я (и)» с помощью
формул, данных в гл. VII, по крайней мере до некоторого порядка
по и, и тогда возникает вопрос, что же такой ряд означает.
Было предположено, что, хотя спектр возмущенного опера-
оператора непрерывен, имеет место некая концентрация спектра в точ-
точках, совпадающих с зтими псевдособственными значениями, вычис-
вычисленными с помощью формального ряда.
Здесь мы дадим определение «концентрации» и докажем неко-
некоторые теоремы, показывающие, что такая концентрация имеет
место в точности там, где расположены псевдособственные зна-
значения х).
2. Спектральная концентрация
Пусть Н — гильбертово пространство, {Нп} — последователь-
последовательность самосопряженных операторов в Н, {Еп (X)} — соответ-
соответствующая последовательность спектральных семейств. Обозна-
Обозначим через Еп (S), S cr R, спектральную меру2), построенную
с помощью Еп (к). (В дальнейшем все рассматриваемые подмно-
подмножества вещественной оси предполагаются борелевскими.)
Пусть Sn с: R, п = 1, 2, . . . . Будем говорить, что спектр
оператора Нп {асимптотически) концентрируется на Sn, если
?n(SJ-*l, гс^оо, E.1)
S
или, что эквивалентно,
?n(R-Sn)^0, :. E.2)
S
где R — Sn есть дополнение множества Sn в R. Множество Sn = S
может не зависеть от тг; в этом случае будем говорить, что спектр
оператора Нп концентрируется на S. Очевидно, что если спектр
оператора Нп концентрируется на Sn, то он также концентрирует-
концентрируется на любом S^j, таком, что Sn с S^.
1) Спектральная концентрация была рассмотрена Титчмаршем.
[3] — [5] (в частном случае обыкновенных дифференциальных операторов),
который показал, что аналитическое продолжение функции Грина, являю-
являющееся ядром резольвенты возмущенного оператора, имеет полюс вблизи
вещественной оси (как функция параметра Q, если невозмущенное ядро
имеет полюс на вещественной оси. Более абстрактные результаты были полу-
получены Фридрихсом и Рейто [1], Конли и Рейто [1]. В рабо-
работе Т. К а т о [3] дается несколько иная постановка задачи. Спектральная
концентрация тесно связана с так называемым слабым квантованием в кван-
квантовой механике; в этой связи см. также Б р а у н е л [4].
2) См. п. VI.5.1 и X.1.2. Здесь нам потребуются лишь элементарные
свойства спектральной меры; в большинстве случаев достаточно рассматри-
рассматривать множества S, которые являются объединениями интервалов.
586 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Таким образом, спектральная концентрация является асимп-
асимптотическим понятием, связанным с данной последовательностью
(или семейством) операторов {Нп}; не имеет смысла говорить
о спектральной концентрации по отношению к одному оператору
Н (за исключением тривиального частного случая, когда все
члены последовательности {Нп} совпадают с Н).
Обобщая, мы будем говорить, что часть спектра оператора
Нп, содержащаяся в некотором подмножестве Т вещественной
оси, (асимптотически) концентрируется на Sn, если
Еп (Т - Sn) ч» 0, E.3)
S
где Т — Sn = Т П (R — Sn) (множества Sn не обязаны содер-
содержаться в Т). Очевидно, что из E.2) следует E.3) для любого Т,
поскольку Еп (Т — Sn) ^ Еп (R — Sn). Обратно, если части
спектра оператора Нп в Т и R — Т концентрируются на Sn, то
и весь спектр концентрируется на Sn, так как En(R—Sn) =
= Еп (Т — Sn) + Еп (R — T — Sn). По этой причине в боль-
большинстве случаев достаточно рассматривать концентрацию по отно-
отношению к некоторому данному множеству Т.
Основным результатом о спектральной концентрации является
Теорема 5.1. Пусть Нп сильно сходится в обобщенном смысле
к самосопряженному оператору Н, и пусть S с R — открытое
множество, содержащее 2 (Н). Тогда спектр оператора Нп асимп-
асимптотически концентрируется) на S. Кроме того, Еп (S [\ I) —>-
—>- Е (I) для любого интервала I, концы которого не совпадают
с собственными значениями оператора В. (через Е обозначена спек-
спектральная мера для Н).
Доказательств о.J Открытое множество S является
объединением не более чем счетного числа непересекающихся
интервалов lh, каждый из которых, за исключением, возможно,
одного или двух, является конечным. Из условия 2 (Н) cz S
следует, что ^\Е A^) = Е (S) = 1, причем ряд сходится сильно.
k
Следовательно, линейная оболочка подпространств Е A^) Н плот-
плотна в Н. Поэтому для доказательства формулы E.1) достаточно
показать, что Еп (S) u ->¦ и, если и ? Е (lu) H при некотором к.
Предположим сначала, что интервал lh = (ah, bh) конечен.
Тогда точки ak, bk принадлежат Р (Н), поскольку они не могут
принадлежать 2 (Я). Следовательно, существуют a'h, Ь'ь такие,
что ак -< а^ <С bh < bh и интервалы [ak, ak], [bk, bk\ содержатся
в Р (Й). Полагая % = (a'h, b'h), получаем Е (lk) = Е (l'h), позто-
му Еп (lk)u = Еп {b'k - 0)u - Еп (ак)и -+ Е (Н) и - Е [ак)и =
= Е (Д) и — и (см. теорему 1.15 и подстрочное примечание
§ 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ 587
к ней). Поскольку Ц cr S, то Еп (I?) ^ En (S), следовательно,
Еп (S) и ->¦ и, что мы и хотели показать.
Если интервал [k не является конечным, то нужно немного
изменить доказательство. Пусть, например, Ък = схз; положим
b'h = схз; тогда Еп (со) и = и = Е (схз) и и приведенное доказа-
доказательство проходит.
Последнее утверждение теоремы следует из того, что
Еп (S П I) = Еп (S) Еп (I), ибо Еп (I) -+Е(\) в силу теоре-
S
мы 1.15.
3. Псевдособственные векторы
и спектральная концентрация
Теорема 5.1 показывает, что если Нп —*¦ Н в обобщенном смыс-
S
ле, то спектр оператора Нп асимптотически концентрируется
на любой окрестности множества 2 (Н). В частности, пусть А,
является изолированным собственным значением оператора Н
с расстоянием d от других собственных значений, и пусть I =
= (к—d/2, X + d/2). Тогда часть спектра оператора Нп,
лежащая в I, асимптотически концентрируется на произвольно
малой окрестности точки X (см. E.3)).
Теперь мы уточним этот результат, локализуя концентрацию
на уменьшающемся интервале (или интервалах), зависящем от п,
при некоторых дополнительных предположениях.
Теорема 5.2. Пусть Нп —>¦ Н в обобщенном смысле и пусть
К и 1 те же, что и выше. Пусть Р — собственный проектор опе-
оператора Н, соответствующий X, и пусть dim Р = т ¦< оо. Пред-
Предположим, что существует т последовательностей «псевдособствен-
«псевдособственных значений)} {hjn} и «псевдособственных векторов» {фуп} опера-
оператора Нп, таких, что
\\(Нп — %Jn) (fjn || = ем ->• 0, фм -> фу, п -> схз, E.4)
где векторы ф1, . . ., фт образуют ортонормированный базис в
РН. Тогда часть спектра оператора Нп, лежащая в I, асимптоти-
асимптотически концентрируется на объединении интервалов ljn =
— i^jn — «n8yn> hjn + an&jn), где {ап} — любая последователь-
последовательность положительных чисел, такая, что ап —>¦ схз.
¦ Доказательство. Из E.4) следует, что
+ 00
j d(En(\x,)<p]n,
588 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Поэтому || A — Еп (Ijn)) Win li ^ l/«n -»- 0, п -*- оо. Поскольку
|| A - Еп (ljn)) (фуп - фу) || < || фу» - фу И -> О, ТО
A - ?n (Iyn)) Фу -> 0, гс+оо. . E.5)
Обозначим через 1П объединение интервалов 11п, . . ., Imn; тогда
1 — Еп AП) < 1 — ?п Aуп), поэтому из E.5) следует, что
A —Еп (In)) фу -*¦ 0. Поскольку фу порождают РН, то
A — Еп (In)) P -v 0 по норме. E.6)
С другой стороны,
Sn(I)(l -^)^0, E.7)
так как Еп (I) ->¦ Z? (I) = Р по теореме 1.15. Умножая E.6)
S
на Еп (I), E.7) на 1 — Еп AП) и складывая результаты, получаем
Еп (I — 1П) = Еп (I) A — Еп AП)) -> 0, что мы и хотели показать.
s
Замечание 5.3. Мы можем выбрать ап так, чтобы | ljn \ =
= 2ап8;п -> 0. Следовательно, часть спектра оператора Нп, лежа-
лежащая в I, асимптотически концентрируется на множестве 1„ с мерой
I In I-> 0, и теорема 5.2 усиливает теорему 5.1. Следует заме-
заметить, что для любой окрестности I' cz I точки "К при достаточно
больших п справедливо включение 1П сг Г. Действительно, пусть
интервал I", содержащий Я, является собственным подмноже-
подмножеством интервала Г; тогда Еп (I") фу -*¦ Рфу = фу, так что
Еп (hn П I") Фу = Еп Aуп) Еп (I") Фу -+ фу в силу E.5). Посколь-
Поскольку I i;n | -> 0, то 11п сг Г; следовательно, 1П сг Г при достаточно
больших тг. В частности, Kin -у К для любого /•
4. Асимптотические разложения
Рассмотрим теперь семейство И (к) самосопряженных опера-
операторов, формально представимых в виде Н -\- кШ1), где Н —
самосопряженный, Н^1) — симметричный оператор. Более точно,
предположим, что выполнены условия ii), Hi) из п. 2.1, а именно,
что D = D (Н) П D (Ж1)) является ядром оператора И и что
оператор И + кЁК1) (с областью определения D) имеет самосопря-
самосопряженное продолжение Н (х) при 0 < х ^ 1. Тогда условие iv
из п. 2.1 выполняется автоматически, так как множество Аь П
П Р {Щ содержит все невещественные комплексные числа.
Было показано, что при этих условиях Н(х)^Н, х -*¦ 0,
в обобщенном смысле (см. п. 2.1) *). Из теоремы 5.1 следует, что
х) Такой же результат справедлив, если вместо вышеприведенных
условий выполнены предположения из п. 4.1 ж, кроме того, формы t = I)
и tA) = 1)A) симметричны (так что операторы Т = И и Т (я) = И (х)
самосопряжены).
§ 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ ,,ч 589
спектр оператора Я (к) асимптотически концентрируется на любой
окрестности множества 2 (Н). Если X — изолированное соб-
собственное значение оператора И с расстоянием d от остальных
собственных значений и собственным проектором Р, то часть
спектра оператора Я (х), лежащая в I = (А, — d/2, К + d/2),
асимптотически концентрируется на любой малой окрестности
точки К, причем
Е (I, к) -> Р, х -> 0. E.8)
S
Теперь мы уточним этот результат при дополнительных предпо-
предположениях относительно невозмущенного собственного простран-
пространства РН.
Теорема 5.4. Пусть dim Р = т < оо и PR a D (Ж1)). Пусть,
далее, ixf}, / = 1, . . ., та,— собственные значения (с учетом
кратности) симметричного оператора РН^Р в т-мерном под-
подпространстве РН. Тогда часть спектра оператора Н (х), лежа-
лежащая в I, асимптотически концентрируется на объединении т
интервалов длины о (к) с центрами в Я + хц.$1>.
Замечание 5.5. Теорему 5.4 можно интерпретировать так:
Н (к) имеет т псевдособственных значений X + кр]1* + о (х)
(ср. с соответствующей теоремой 2.6 для случая устойчивого Я\).
Конечно, такое утверждение не совсем обосновано до тех пор,
пока не построены соответствующие псевдособственные векторы;
последнее будет сделано в процессе доказательства.
Доказательство. Пусть {ф^} — ортонормированный
базис в РН, образованный собственными векторами оператора
= ^>Ф,, j = 1, . . ., т. E.9)
Будем искать псевдособственные векторы оператора Н (%) в виде
Ф> (*) = Ф; + Хф;п («), II Ф? (х) || < м> E.Ю)
так что при х -> 0
х-1 || (Я («) - Я, - хцУ) Ф; (х) || < е (х) -> 0. E.11)
Тогда применение теоремы 5.2 приведет к требуемому результату
(при этом дискретный параметр п заменяется непрерывным пара-
параметром х): достаточно выбрать в качестве \jK интервал с центром
X + X(j,jX) длины 2ха (х) 8 (х), где а (х) -> оо и а (х) 8 (х) -> 0.
Пусть S — приведенная резольвента оператора Н, соответ-
соответствующая Я (см. п. III.6.5). Тогда S б % (Н), (Я — X) S = 1 — Р.
Пусть е> 0. Поскольку 5Я<1)ф^б D (Я) и D есть ядро операто-
оператора Я, то существует вектор ф} б D такой, что || ц>] || ^
< 5Я! + 1 < М и || (Я - I) (ф; + б'Ж^ф; || < е/2. Так
590 Гл. VIII. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
как (Я - К) SHMy, = A - Р) Ж^ф, = Ж*>фУ - \if\j, то (за-
(заметим, что (Я — Я) ф7- = 0)
х-1 || (Я (х) - Я, - хцН (Ф, + Хф5) || =
= И || (Я - %) ф; + X (Я - Я) ф} +
+ х (Ж1) - fi</>) Ф, + х2 (Ж1) - |^>) ф5 || <
< (е/2) + х || (Ж1) - ц«>) ф5 ||.
Таким образом, существует б > 0 такое, что
х-1 || (Я (х) - К - хц(/') (Фу + хф5) ||< 8, 0 < х < 8; E.12)
заметим, что ф^ также зависит от 8.
Пусть теперь е4 > е2> . . ., гп -> 0. Через 8П и ф^„ обозначим
б и ф3' в формуле E.12), соответствующие 8 = еп. Мы можем
предположить, что 6t> 62> . . ., 6„-»-0. Положим
Ф; (и) = Ф; + иф;-„ при бп+1 < х < бп. E.13)
Тогда E.11) выполняется, причем
е (х) = еп при бп+1 < х < 8п. %
Этим завершается доказательство.
Замечание 5.6. Теорема 5.4 показывает, что псевдособствен-
псевдособственные значения допускают асимптотическое разложение до первого
порядка по х, причем имеется спектральная концентрация на объе-
объединении т интервалов длины о (х). Аналогично можно показать,
что псевдособственные значения допускают асимптотическое раз-
разложение до порядка х™, причем имеется спектральная концен-
концентрация на объединении т интервалов длины о (хп), если выпол-
выполнено следующее условие: все выражения вида Z4 . . . XkP,
где к ^ п, а каждое Xj равняется S или 7ТAM, определены всюду
в Н *). Легко видеть, что в этом случае формальное разложение
для тотального проектора Р (х), данное в п. II.2.1, имеет смысл
до порядка хп.
Пример 5.7. Для оператора Т (я) = Н (х) из примера 1.17 спектраль-
спектральная концентрация имеет место, если я вещественно; мы будем теперь писать.
Я, #<х> вместо Т, Z1'1' (в обозначениях примера 2.5 это соответствует случаю
е = ±1). Действительно, основные предположения этого пункта выпол-
выполнены (см. тот же пример). Если xf (x) ? L2, то выполнены условия теоре-
теоремы 5.4, так что" для Н (я) имеется спектральная концентрация вблизи точки
X = —1 на интервале длины о (я) с псевдособственными значениями X +
+ я \ х | / (х) ]2 dx. Можно показать, что если / (х) быстро стремится к О
при х-*- ±°°, то имеет место концентрация более высокого порядка.
Этот результат доказан Ридделом [1].
§ 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ 591
Пример 5.8 {эффект Штарка). Типичным примером спектральной кон-
концентрации является эффект Штарка. Если мы ограничимся простейшим слу-
случаем атома типа водорода, то соответствующий оператор действует в Н =¦
= L2 (R3) и формально записывается так:
— Д ~ + хх1. E.14}
2
Невозмущенный оператор Н = —А , представляющий собой опера-
оператор Шрёдингера для атома водорода, изучен в п. V.5.3. Известно, что этот
оператор самосопряжен, и С^° является его ядром. Можно показать х), что
при вещественных я Ф О оператор E.14) с областью определения С[5° суще-
существенно самосопряжен; обозначим через Н (я) единственное самосопряженное
продолжение этого оператора. Тогда множество D = D (Н (я).) f] D (Н)
содержит CJJ°, поэтому оно является ядром как для Я, так и для Н (я). Таким
образом, основные предположения выполнены. Далее, можно показать,
что для любого собственного значения к оператора Н (которое обязательно
отрицательно) условия, сформулированные в замечании 5.6, выполнены
при любом целом п. Следовательно 2), псевдособственные значения имеют
асимптотическое разложение до любого порядка по х (которое, таким обра-
образом, в точности совпадает с формальным рядом теории возмущений), причем
для любого п имеет место спектральная концентрация на объединении конеч-
конечного числа интервалов длины о (яп).
г) См. Штуммель [1], Като и Икэбэ [1].
2) Подробности см. в работе Рид дела [1].
ГЛАВА IX
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Предмет изучения данной главы берет начало в так называемой зави-
зависящей от времени теории возмущений в квантовой механике; в этой теории
основной проблемой является исследование возмущений унитарной группы,
порождаемой некоторым гамильтонианом, при малых возмущениях пос-
последнего. Эта задача естественным образом приводит к теории возмущений
полугрупп, которая сама по себе не менее важна для приложений.
Глава начинается с краткого описания основных результатов общей
теории полугрупп операторов. Здесь рассматриваются только квазиогра-
квазиограниченные полугруппы, причем подчеркивается важность голоморфных полу-
полугрупп, являющихся частным случаем квазиограниченных полугрупп.
В следующих параграфах изучаются различные задачи теории возму-
возмущений полугрупп. Показано, что голоморфные полугруппы довольно хорошо
ведут себя по отношению к возмущениям, что, вообще говоря, не имеет
места для произвольных квазиограниченных полугрупп. В последнем пара-
параграфе изложена теория аппроксимации полугрупп с помощью дискретных
полугрупп. Эта теория является основой для аппроксимации некоторых
дифференциальных уравнений с помощью конечно-разностных уравнений.
§ 1. Однопараметрические полугруппы
и группы операторов
1. Постановка задачи
В этой главе мы рассмотрим зависящую от времени теорию
возмущений. Ее возникновение связано с исследованием решения
зависящего от времени уравнения Шрёдингера в квантовой меха-
механике
¦%-=-Ши, A.1)
где и = и (t) есть элемент гильбертова пространства Н, а Н —
самосопряженный оператор в Н. Если Н = Н (и) зависит от мало-
малого параметра я, то возникает вопрос о зависимости решения
уравнения A.1) от и.
Уравнение A.1) есть частный случай уравнения вида
$ 1. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ II ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ 593
в банаховом пространстве X. Здесь Т — линейный оператор в X,
t обычно пробегает полубесконечный интервал 0 <; t <C со, и при
t = О ставится начальное условие. Решение задачи A.2) формаль-
формально дается выражением и = и (t) = e~tTu @). Таким образом,
наша первая задача — выяснить, как можно определить экспонен-
экспоненциальную функцию e~tT от оператора Т; затем мы должны иссле-
исследовать, как изменяется e~tT при изменении х, в предположении,
что Т = Т (х) зависит от параметра к.
Функция e~tT есть частный случай функции от оператора Т.
Ранее мы уже рассматривали теорию возмущений для некоторых
функций от Т. Простейшей из них является резольвента (Г — ?)"*,
подробно изученная в предыдущих главах. В случае когда Т =
= Н — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве,
мы рассмотрели также такие функции от Я, как \ Н \, \ Н |1/2,
и Е (%) — спектральное разложение оператора Н. Важность
функции e~iT в ее тесной связи с уравнением A.2), которое имеет
широкое поле применений. Ввиду основного тождества е~<Н-ог =
= e~sTe~tT семейство операторов {e~tT}t>o называется однопара-
метрической полугруппой операторов. Если t может изменяться
на всей числовой прямой —оо << t < оо, то {e~tT} есть однопара-
метрическая группа операторов.
2. Определение экспоненциальной функции !
Пусть X — банахово пространство. Если Т ? $ (X), то опе-
оператор e~tT может быть определен просто с помощью ряда Тейлора:
71=0
который абсолютно сходится для любого комплексного числа t
(см. пример 1.4.4). Поэтому e~~iT также принадлежит .^ (X)
и является голоморфной функцией от t во всей f-плоскости (целой
функцией). Групповое свойство
е-ште~п A.4)
непосредственно следует из A.3). Имеем также
d e-iT=-Te-tT=e~iTT, A.5)
dt
где дифференцирование понимается в смысле нормы. Таким обра-
образом, и (t) = е ~tTu0 является решением дифференциального урав-
уравнения A.2) при любом и0 ? X.
Если Т — неограниченный оператор, то определить e~tT по
формуле A.3) нельзя, ибо области определения операторов Тп
38 т. Като
594 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
сужаются с увеличением п. Формула e~tT = lim (l Т)п,
n-»oo * п I
написанная-по аналогии с числовым случаем, не годится по той же
причине. Однако небольшое видоизменение этой формулы,
а именно
е~1Г= lim (l +±rYn, (l.G)
оказывается полезным. В самом деле, A4 71) есть с точно-
точностью до константы резольвента оператора —Т, и она может быть
возведена в степень даже в том случае, когда оператор Т неогра-
неограничен.
Следующие условия являются достаточными для того, чтобы
предел A.6) существовал в интересующем нас смысле:
i) Т ? % (X) и область определения D (Т) оператора Т
плотна в X.
ii) Отрицательная вещественная полуось принадлежит резоль-
резольвентному множеству оператора 7*, и резольвента (Т -\- \)~1 удо-
удовлетворяет неравенству
Н^ + агМКу, ?>о. A.7)
Для доказательства заметим прежде всего, что из A.7) следует
• ||A + аГ)-Ч1<1, «>0. ' A.8)
Положим
(Lyn t>0,' n=i, 2, ... . A.9)
Поскольку из A.8) следует, что || Vn (i) || ^ 1, то функции Vn (t)
равномерно ограничены. Кроме того, каждая функция Vn (t)
голоморфна по t при t> 0, ибо (Т + ^) голоморфна по % при
?> 0, в частности
( ^yn\ . A.10)
Функция Vn (t) не обязательно голоморфна в точке t = 0, но она
сильно непрерывна в этой точке:
Vn (t) -+ Vn @) = 1 при * ^ 0, A.11)
это следует из того, что
A +ссГ)-1-7М, а %0, A.12)
что в свою очередь может быть доказано, как в задаче V.3.33.
§ 1. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ И ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ 595
Чтобы установить существование предела lim Vn (t), оценим
разность Vn {t) и — Vm (t) и. Имеем в силу A.11)
t-г
Vn(t)u — Vm(t)u = lim \ -т- [Vm(t — s) Vn (s)u] ds =
Ё
t-г
= lim ( [-V'm(t—s)Vn(s)u + Vm(t — s)V'n(s)u)ds. A.13)
Подинтегральную функцию преобразуем с помощью A.10):
Vn{t)u-Vm(t)u =
t-e
e-vO J ' " m / \ m ) \ n J
A.14)
Оценить A.14) для любого и не просто, однако это легко сде-
сделать для и 6 D (Г2). Поскольку резольвента оператора Т ком-
коммутирует с Г (в смысле п. III.5.6), из A.14) вытекает, что
Vn{t)u—Vn{t)u =
отметим, что подинтегральная функция непрерывна при 0 ^ s ^ t
в силу A.11). Отсюда и из A.8) следует, что
t
\\Vn(t)u-Vm{t)u\\<?\\T*u\\ j [± + ±z
?12"!l- A.16)
Таким образом, Vn (t) и — последовательность Коши и lim Vn (t)
существует равномерно по t, принадлежащему любому конечному
интервалу, при условии, что ufD (У2). Но D (Т2) плотно в X,
ибо D (Г2) = (Т + I)'1 D (Т) при ?> 0, а образ оператора
(Т -(- I) совпадает с множеством D (Т), которое плотно в X
(см. задачу III.2.9). Ввиду равномерной ограниченности Vn (t)
отсюда вытекает, что существует
Z7 (*) = s-lim Fn (*) = s-lim (l+ — 21)"", t>0 A.17)
38*
596 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
(см. лемму III.3.5). В следующем пункте мы покажем, что U (t)
обладает свойствами экспоненциальной функции, и мы положим
по определению e~tT = U (t).
Задача 1.1. Доказать, что
Задача 1.2. Сильная сходимость в A.17) равномерна по t на каждом
конечном интервале (т. е. Vn (t) и -*¦ V (t) и равномерно по t на каждом
конечном интервале при любом фиксированном и ? X).
Задача 1.3. || Т (Т + I)-1 || < 2, если выполнено A.7). Ср. с зада-
задачей V.3.32.
3. Свойства экспоненциальной функции
Поскольку Vn (t) и -> U (t) и равномерно по t на любом конеч-
конечном интервале (см. задачу 1.2) и Vn (t) и непрерывно зависит от t,
то U (t) и также непрерывно зависит от t. Другими словами,
функция U (t) сильно непрерывна при t ^ 0. Кроме того,
||?/(г)||<1, t/ @) = 1, A.18)
ибо || 7» @ ||<1 и Vn@) = 1.
Далее, из A.10) следует, что
(^I. A.19)
Но в силу A.11)
у (l+J_r)~1u=(l+^-r)"lfu->71u для меВ(Г). A.20)
Следовательно, третий член в A.19), будучи применен к и.
стремится1) к —U (t) Ти. Аналогично Vn (t) (I -j ¦ Г) и стре-
мится к U {t), поэтому в силу замкнутости Т значение TU (t) и
определено и равно U (t) Ти. Другими словами, Т коммутирует
с U (t):
TU @ =э U (t) Т. A.21)
Из A.10) и A.11) вытекает также, что
t
A.22)
*) Здесь и в дальнейшем мы часто используем, не оговаривая этого
^собо, следующее утверждение: если Ап ^- А и Bn^t-B, то АпВп —*¦ АВ
(лемма III.3.8).
§ 1. ОДНОПАРАМЕТРЙЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ И ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ 597
Поскольку A + ^ Л"" = A + ~ Ту1 Vn (t)-+ U (t) равномер-
равномерно no t на любом конечном интервале, то, переходя к пределу
при п ->¦ со под знаком интеграла в A-22), получаем
t
U(t)u — u= -\u{s)Tuds, w6D(f). A.23)
Так как U (s) Tu непрерывно зависит от s, то из A.23) следует
дифференцируемость U (t) и по t при и 6 D (Г), причем
-?-U{t)u=—U(t)Tu=—TU(t)u, t>0, ueD(T); A.24)
второе равенство здесь есть следствие A.21). Итак, и (t) = U (t) u0
является решением дифференциального уравнения A.2) с началь-
начальным условием и @) = и0 при условии, что и0 принадлежит D (Г).
Это решение единственно. В самом деле, пусть и (t) — произ-
произвольное решение A.2); под этим мы понимаем, что функция и (t)
непрерывна при t ^ 0, ее сильная производная и ¦ существует
при всех t > 0 г), U (t) 6 D {Т) для всех t > 0 и выполняется A.2).
Тогда (см. лемму III.3.11) имеем в силу A.24)
-?rU(t — s)u(s)= —U' (t — s)u() + ( ) ()
= U(t — s)Tu(s) — U(t — s)Tu(s) = O, 0<s<i. A.25)
Таким образом, U (t — s) и (s) постоянно для 0 ^ s ^ t (см. лем-
лемму III.1.36). Полагая s = t и s = 0, получаем
u(t) = U (t — s)u (s) = U (t)u @), 0 < s < t. A.26)
Применяя A.26) к решению и (t) = U (t) u0, получаем
U (t) u0 = U (t — s) и (s) = U (t — s) U (s) u0. Поскольку это вер-
верно для всех и0 6 D (Г), имеем U (t) == U (t — s) U (s), или
U (t + s) = U (t) U (s), s, t > 0. A.27)
Итак, {U (t)}t^0 есть однопараметрическая полугруппа. Так как
|] U (t) || ^ 1, то {U (t)} называется сжимающей полугруппой.
Оператор —Т называется инфинитезималъныж, или производя-
производящим, оператором (генератором) этой полугруппы. Мы пишем
U (t) = e~tT.
Наконец, докажем, что различные инфинитезималъные опера-
операторы порождают различные полугруппы. Для этого достаточно
получить формулу, выражающую оператор Т через U (t). Таковой
1) В задачах с начальными данными обычно не требуют дифференци-
руемости решения при t = 0.
598 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
является формула
СО
^t, Re?>0, A.28)
показывающая, что резольвента (Т + С) оператора Т есть
преобразование Лапласа полугруппы U (t). Отметим, что интеграл
в A.28) — это несобственный интеграл Римана, определяемый
как предел (в смысле сходимости по норме) при т -> оо сильного
т
интеграла Римана I (понимаемого как оператор А (т) такой,
о
х
что А (г) и = \e~*lU (t) и dt для любого и ? X, а этот последний
о
интеграл имеет смысл, ибо подинтегральная функция непрерывна
по t); (см. п. III.3.1).
Докажем A.28). Пусть и ? D {Т), тогда
оо
Интегрируя это равенство, получаем и = \е~^Л (t) (T -\- ?,) и dt.
о
оо
Это дает (Т + Q v =| е^< С/ (i) у *, где у = (Г + S) и- Если
о
Z, вещественно и > 0, то ? 6 Р (—Г) и, таким образом, у пробегает
все X, когда и пробегает D (Т). Следовательно, мы доказали A.28)
для ?> 0. Но правая часть в A.28) голоморфна по ? при Re ?>
> 0, ибо || U (t) || ^ 1. Поэтому A.28) справедливо при Re ?> 0
(см. теорему III.6.7).
В частности, полуплоскость Re ?> 0 принадлежит Р (—Т) и
A.29)
хотя предположение И), из которого мы исходим, означает, что
A.29) выполняется лишь для вещественных ?> 0. Конечно, A.29)
можно непосредственно вывести из ii).
Замечание 1.4. Мы построили сильно непрерывную сжимаю-
сжимающую полугруппу U (t), исходя из данного производящего опера-
оператора — Т. Обратно, если дана сильно непрерывная сжимающая
полугруппа операторов U (t), то можно определить инфинитези-
мальный оператор —Т с помощью A.28) и показать, что Т удов-
удовлетворяет условиям i), ii) и что полугруппа, порожденная опера-
оператором —Т, совпадает с U (t). Мы не будем приводить доказатель-
§ 1. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ И ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ 599
ства этих утверждений, хотя они несложны 1). Ограничимся
следующим замечанием.
Пусть Т удовлетворяет условиям i), ii), и пусть имеется опе-
раторнозначная функция V (t) такая, что функция || V (?) || огра-
00
яичена и ] е~»G (t) dt = (Г + I)'1 для,, всех ?> 0. Тогда
о
V (t) = U (t) = e~tT.
Для доказательства положим W {t) = V (t) — U (t). Имеем
CO
j е~*' W (t) dt = О для всех ? > 0. Полагая e~l = s, видим, что
и
i
\ s% -1 (W (log s) и, f) ds = 0 для всех |> 0 и всех и ? X,
о
/ ? X*. Итак, непрерывная по s функция (И7 (log s) u, /) орто-
ортогональна ко всем sa, п = О, 1, 2, . . ., стало быть, она равна
нулю тождественно. Этим доказано, что W (t) = 0.
Замечание 1.5. Как мы видели выше, функция e~tT и сильно
дифференцируема по t для и ? D (Г). Обратное утверждение спра-
справедливо в более сильной форме: если функция e~iT и слабо диффе-
дифференцируема при t = 0, причем слабая производная равна v, mo
и 6 D (Т) и —Ти = v. Действительно, заметим, что
h~x (U (t + h) и — U (t) и) = U (t) h-1 (U {h) и — и) имеет слабый
предел U (t) о при h \ 0. Следовательно, е~^ (?/ (?) и, /) имеет
правую производную е~^1 (U (t) (v — ?м), /) для каждого / 6 X*.
Так как эта производная непрерывна по t, то с помощью интегри-
со
рования получаем (и, /) = — J e~s' (t/ (i) (v — ?м), /) й^, так
о
что и = — i e-E'tf (*) (у - gu) <Й = - (Г + Е)-1 (у - I").
и
Этим доказано, что и ? D (Г) и что Ги + |и = —у + lw^
т. е. Ти = —у.
Пример 1.6. Если X = Н — гильбертово пространство и Т = Ш, где
Л" — самосопряженный оператор, то и Т, и —Т удовлетворяют условиям
i), ii). Следовательно, функция U (t) = e'lT определена для —оо < t< +°°
п удовлетворяет уравнению A.24). Отсюда, как и выше, следует, что A.27)
выполняется для всех вещественных s, t, положительных, отрицательных
или равных нулю. В частности, U (t) U (—t) = U @) = 1, так что
|| U (t) и || = |1 и ||, т. е. U (t) — изометричный оператор. Поскольку
U (t)'1 = U (—t) G Щ (Н), то оператор U (t) даже унитарен; таким образом,
оператор U (t) = eitH образует унитарную группу операторов.
*) Подробное изложение теории полугрупп операторов см. в книгах
Хилле д Ф и л л и п с а |[Щ и Иосиды [1J.
600 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Пример 1.7. Пусть X = Lp @, то), 1 < р < оо, Т = dldx и граничное
условие таково: и @) = 0. При %>0 тогда (У+ ^^ — интегральный
оператор, задаваемый формулой (см. задачу III,6.9)
~^y'x')u(x)dx. A.30)
Так как ( е~^у-х) йу = \Ц и С е-^у~х) fo< 1/g, то
(см. пример Ш.2.11). Таким образом, условия i) и ii) выполнены и опера-
оператор— Т порождает полугруппу ?/(i) = e~'r. Эта полугруппа задается соот-
соотношениями U (t) и (х) = и (х— t) при i>ta!7(!)ii(i) = 0 при ?<г, ибо
0
Пример 1.8. В предыдущем примере заменим оператор Т на оператор
Т = —dldx без какого бы то ни было граничного условия. Тогда (см. зада-
задачу III.6.9)
^-^x-^u(x)dx, A.31)
и можно, как и выше, показать, что Т удовлетворяет условиям i) и ii). Полу-
Полугруппа U (t) = e~tT задается соотношением U (t) и (х) = и (х + *)•
Задача 1.9. Пусть X = Lp (— оо, +оо) и Т = dldx. Операторы Т и —Т
удовлетворяют условиям i) и ii), так что Т порождает группу операторов
U (t) = e~tT, которая задается равенством U (t) и (х) = и (х — t) (см. зада-
задачу III.6.10).
Задача 1.10. В приведенных выше примерах и задачах построить e~tT
непосредственно по формуле A.17).
Задача 1.11. Если Ти = Як, то e~iT и = е~м и, t > 0.
Задача 1.12. В примере 1.6 имеем
A.32)
— ОО
где {Е (К)} — спектральное семейство для оператора Н.
4. Ограниченные и квазиограниченные полугруппы
Условия i) и ii) из п. 2 не являются необходимыми для того,
чтобы оператор —Т порождал полугруппу U (?) ограниченных
линейных операторов. Например, неравенство A.7) может быть
§1. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ И ГРУППЫ.ОПЕРАТОРОВ 601
заменено более слабым условием
|| (Г + ?)-* ||<М/?\ ?>0, к = 1, 2, 3, ...,- A.33)
где Af — постоянная, не зависящая от | и /Ь.
Действительно, из A.33) следует, что
||A +аГ)-й ||<М, а>0, ' A.34)
так что операторы Vn (t), определенные формулой A.9), равно-
равномерно ограничены, || Vn (t) || ^ М. Следовательно, построение
U (t) = s-lim Vn (t) можно провести в точности так же, как рань-
раньше, только в правую часть A.16) надо ввести множитель М2.
Функция e~iT = U (t) снова сильно непрерывна при t^On удо-
удовлетворяет условиям
}\U(t)\\<M, E/@) = l. ., A.35)
Полугрупповое свойство U (t) и все остальные результаты преды-
предыдущих пунктов могут быть доказаны тем же путем. Мы будем
называть U (t) ограниченной полугруппой.
Условие ii) на оператор Т можно еще более ослабить. Именно,
рассмотрим следующее условие:
ii') Пусть полубесконечный интервал ? > C принадлежит
резольвентному множеству оператора —Т, и пусть
\\(T + trh\\<Mtt-$r\ ?>p, fc = l, 2, 3, .. . . A.36)
Тогда оператор Т^ = Т -\- ft удовлетворяет указанным выше
предположениям, так что определена ограниченная полугруппа
f I (t) = e~iTl. Если положить U (t) = eP'f i (t), то, как легко
проверить, U (t) обладает всеми установленными выше свой-
свойствами, только A.35) надо заменить на
|| U (t) |[< Me**, U @) = i. A.37)
Равенство e~iT = U (t) определяет полугруппу, порожденную
оператором —Т. Здесь функция |[ U (t) || не обязательно огра-
ограничена при t —>- оо. Мы будем называть U (t) квазиограниченной
полугруппой J). Множество всех операторов Т, удовлетворяющих
условиям i) и ii'), обозначим через "§ (М, Р) 2). Оператор — Т
является производящим оператором сжимающей полугруппы тог-
тогда и только тогда, когда Т ? "§ A, 0).
Задача 1.13. Доказать, что М > 1, если $ (М, Р) не пусто 3).
х) Существуют более общие типы полугрупп (см. Хилле и Фил-
ли пс [1]), но мы будем иметь дело только с квазиограничеппыми полу-
полугруппами.
2) Точная нижняя грань множества тех р, для которых Т ? % (М, Р)
называется типом полугруппы {е~1Г}.
*) Предполагается, что dim X > 0.
602 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Задача 1.14. Если Г g S (М, Р), то Т — а 6 % (м, а + Р) и е~* (г~а) m
= е^ e~tT.
Задача 1.15. Если Т ? <§ (М, 0), то v
• . f tbe-Ve-tTdt = k\(T + Q-b-i-, Re?>p. A.38)
Из A.38) следует, что полуплоскость Re ? > Р принадлежит резольвентному
множеству Р (—Г) и справедливо следующее обобщение неравенства A.36)
<ср. A.29)):
II (Г + ?)-" ||<Af (Re ?- p)-fc, Re^>p, fc = 1, 2, . . . . A.39)
Задача 1.16. Если Г 6 S (M, 0), то
|| A + аТ)~ъ A + а'Г)-л ||< М, а, а' > 0, А, А = 1, 2 A.40)
Ото справедливо и в случае более чем двух сомножителей. [Указание: A.38).]
Задача 1.17. Пусть Т ? Ч, (М, 0). Используя предыдущую задачу,
доказать, что в правой части формулы A.16) достаточно ввести множитель М
(а не М2, как выше). Кроме того,
Задача 1.18. Пусть X — гильбертово пространство. Оператор Т при-
принадлежит % A, 0) тогда и только тогда, когда он m-аккретивен. Опера-
Оператор Т принадлежит ij (I, P) для некоторого C тогда и только тогда, когда
он квази-те-аккретивен.
5. Решение неоднородного дифференциального уравнения
Пусть Г^ (М, Р). Тогда U (t) = e~tT дает решение диффе-
дифференциального уравнения du/dt = —Ти в виде и — и (t) =
= U (t) и @) (см. A.26)). Полугруппу U (t) можно также исполь-
использовать для решения неоднородного дифференциального уравнения
^L=-Tu + f(t), *>0, A.42)
где / (t) — заданная функция со значениями в X, сильно непре-
непрерывная при t ^ 0.
Если и = и (t) — решение уравнения A.42), то вычисления,
аналогичные A.25), дают (d/ds) U (t — s) и (s) = U (t — s) f (s).
Интегрируя по интервалу @, t), получаем (заметим, что функ-
функция U (t — s) { (s) сильно непрерывна по s)
t
u(t)=--U(t)uo+\ U(t — s)f(s)ds, щ = и@). . A.43)
и
В частности, отсюда вытекает, что решение уравнения A.42)
однозначно определяется по и @).
Обратно, справедлива
§ 1. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ И ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ 603
Теорема 1.19 1). Пусть Т ? 3 (М, 0) и функция / (t) непре-
непрерывно дифференцируема при t^O. При любом и0 ? D (Т), функ-
функция и (?), определенная в A.43), непрерывно дифференцируема
при t ^ 0 и является решением уравнения A.42) с начальным усло-
условием U @) = Uq.
Доказательство. Мы знаем, что первый член U (t) u0
в правой части A.43) удовлетворяет однородному дифференциаль-
дифференциальному уравнению и начальному условию. Поэтому достаточно
показать, что второй член удовлетворяет уравнению A-42) и нуле-
нулевому начальному условию. Обозначая этот член через v (t), имеем
t t
](r)rfr. A.44)
Ho
'¦'¦¦¦'>
T j U(s)ds=U(r) — U(t), 0<r<<, A.45)
r
поскольку если и g D (Г), то TU (s) и = — dU (s) u/ds и, значит,
t
I TU (s) и ds = U (r) u — U (t) u0. Вспоминая определение инте-
r
грала, зто можно записать так: Т \ U (s) и ds = (U (г) — Z7 (tj) и
г
(ибо оператор Т замкнут); неконец, это равенство может быть
распространено на любое и ? X, так как выбрав последователь-
последовательность ип ? D (Г), такую, что un ->- и, и перейдя к пределу,
t t
получим f U (s) ип ds -»- f Z7 (s) w ds и (Z7 (r) — Z7 (t)) un -v
r r
->¦ (С/ (г) — [/ (f)) u (здесь снова использована замкнутость 2").
Итак, A.45) доказано.
Из A.45) следует, что
r), 0<><f. A.46)
г) См. Ф и л л и п с
604 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Из A.44) и A.46) видно, что y(«NDB") и что
t ' ¦
|+f(l_Z7(*-r))/'(r)rfr =
5
= f(t)-U(t)f(O)-\u(t-r)f(r)dr. A.47)
5
t
С другой стороны, v(t)= \ U (s)f(t — s)ds, и потому
I(s)f(t — s)ds. A.48)
Сравнивая A.47) и A 48), видим, что dv (t)/dt = —Tv (t) + f (t),
как и требовалось. Также легко показать, что v (t) —>¦ 0, t ->- 0.
Непрерывность dy/df вытекает из A.48) ввиду непрерывности
/' (*)•
Оценим для дальнейшего [| и' (t) || и || Ти (t) ||. Из A.43)
и A.48) получаем
Г (t-s)\\ds, ¦ A.49)
6. Голоморфные полугруппы
Конструкция полугруппы U (t) = e~tT, описанная в преды-
предыдущих пунктах, довольно сложна. Возникает вопрос, нельзя ли
использовать для этой цели интеграл Данфорда — Тейлора
-1dS. A-50)
Очевидно, A.50) справедливо, если Т ? <& (X) и Г — положи-
положительно ориентированная замкнутая кривая, содержащая внутри
себя спектр оператора —Т. В более общем случае, когда Т ?
? W (М, Р) можно пытаться обосновать A.50), беря в качестве
контура Г прямую, идущую от с — ioo к с + i°o с с> Р, по ана-
аналогии с обычным обратным преобразованием Лапласа. Однако
довольно трудно доказать сходимость этого интеграла.
Тем не менее A.50) удобно использовать, если предположить
несколько больше относительно оператора Т. Именно пусть Т
§ 1. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ И ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ 605
определен на плотном множестве и замкнут, Р {—Т) содержит
не только полуплоскость Re ?> 0, но и сектор | arg ? | < я/2 +
+ со, со > 0, и пусть для любого s > 0
причем Ме не зависит от ?, z). Тогда интеграл в A.50) сходится
абсолютно при ?> 0, если в качестве Г выбрана кривая, лежащая
в упомянутом секторе, идущая из бесконечности с arg ? =
= —(" + со — е) и уходящая на бесконечность с arg ? = -?- +
+ со — е, где е <С со.
Полугрупповое свойство так определенной полугруппы U (t)
может быть легко доказано с помощью стандартных вычислений.
Пусть U (s) задается формулой A.50), в которой контур Г заменен
на аналогичный контур Г", сдвинутый немного вправо. Тогда
Г' Г
I" Г
— С «с* (г + S)-i dS С et-- (S — S')-1 dg'] =
Г Г'
)-1dS=Z7(f + s). ' A.52)
Здесь мы использовали резольвентное уравнение (Т -f t,')'1 X
X (Т + S)-1 = (? - ?')"х НТ + Г) - (У + S)] и соотно-
соотношения
J = 0,
Формула A.50) определена даже для комплексных I, если
| arg ^ | <С со, ибо тогда можно деформировать контур Г так, чтобы
| arg tt, | > я/2 для ? 6 Г и | ? | -»- оо. Поскольку A.50) можно
дифференцировать по t под знаком интеграла, то функция U (t)
голоморфна по t в открытом секторе \ arg t \ <C со. Действитель-
Действительно, имеем
?^L | arg* |< со, A.53)
*) Основное отличие A.51) от A.39) для Т 6 $ (Af, P) состоит в появ-
появлении | ?| вместо Re ?.
606 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
ибо
dU (t) 1
dt
здесь при вынесении Т из-под интеграла использована замкнутость
оператора Т.
Производя замену переменной интегрирования ?' = t,t, полу-
получаем из A.50)
Т + у) ~Z || ^
^ const | tit,' | при | arg t | ^ со — e, то имеем || U (t) || ^
<! const Ji | e?/ || ?,' I | dt,' | = const. Таким образом, функция
Г'
U (t) равномерно ограничена: ,
|| U (t) || < М'в при | arg t |< со — -А..1 A.55)
Аналогично имеем оценку
8. A.56)
Кроме того,
-1 = -Щ- \ *t'
Г'
Г'
так что
для
если | t | -»- 0 с | arg ? | ^ со — г. Поскольку множество D (Г)
плотно, а функция U (t) равномерно ограничена, то
s-lim U (t) = U @) = 1 (| arg t \ < со - е). A.58)
<->о
Итак, мы доказали, что полугруппа U (t) голоморфна при
| arg t | <С со, равномерно ограничена при ] arg ? | ^ со — е и
сильно непрерывна (внутри этого меньшего сектора) при t = 0,
§ 1. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ И ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ 607
причем U @) = 1. Будем называть U (t) = e~iT ограниченной
голоморфной полугруппой *).
Замечание 1.20. Так как функция U (t) голоморфна, ее можно
дифференцировать любое число раз. Вычисления, аналогичные
использованным при выводе A.56), приводят к оценкам (для про-
простоты рассматриваем только вещественные t~> 0)
dnU (()
t>0.
Отметим также неравенство
|| Т (U (t) - U (s)) || < М2 (i - s)/ts, О
Для доказательства достаточно заметить, что
A.59)
t. . A.60)
\T(U{t)-U(s))\\4.
U (r)
dr
dr\\ =
Обозначим через Ш (со, 0) множество всех определенных.
на плотном множестве замкнутых операторов Т, обладающих
свойством A.51). Через Ш (со, Р), где Р вещественно, обозначим
множество всех операторов вида Т = То — р с То ? $? (со, 0).
Очевидно, е~1Г = е&1е~1Т° есть голоморфная полугруппа при
| arg t | <С со; функция е~1Т не обязательно равномерно ограни-
ограничена, но она квазиограничена в том смысле, что ]| e~lT || ^
^ const | еР( | в любом секторе вида | arg t | ^ со — е.
Замечание 1.21. Вовсе не очевидно, что условие A.51) сильнее
условия A.33) для производящего оператора ограниченной полу-
полугруппы. Но это так, как видно из доказываемой ниже теоремы 1.23.
Замечание 1.22. Если Т ? SB (со, Р), то функция и (t) =
= e~tTu0 удовлетворяет уравнению du (t)/dt = —Ти (t) при t> О
для любого и0 ^ X (см. A.53)). В этом существенное отличие
от случая Т е V (М, Р).
Теорема 1.23. Условие Т ^ Ж (со, 0) эквивалентно существова-
существованию при каждом е> 0 постоянной М'е, такой, что elQT ?
& (Mi, 0) для любого вещественного Эс|0 |^со — г. В частно-
частности, Т ? в (М, 0) при некотором М.
*) Это частный случай голоморфных полугрупп, подробно изученных
у Хилле и Филлипса [1] и И о с и д ы [1]. , .
608 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Доказательство. Пусть Т ? Ж (ы, 0). Из A.53) снова
выводим формулу обращения A.38). Поскольку в силу A.55)
|| U (t) || ^ const для вещественных ?> 0, получаем отсюда,
что \\(Т + g)-*-1 H^M'I-"-1 при к = 0, 1, 2, . . ., |> 0.
Этим доказано, что Т ? *§ (М', 0). Далее, мы можем сдвинуть
контур интегрирования в A.38) с вещественной положительной
полуоси на луч t = rew, r> 0, при условии, что | Э | ^ о — е.
Так как \\ U (t) || ^ const для таких t в силу A.55), мы получаем
неравенство || {le'iQ + T)-k~* || < M^-h-\ E> 0 (? = &?-«).
Этим доказано, что егвТ ? & (Afg, 0).
Обратно, пусть eief ? § (A/g, 0) для | Э | ^ со — е. Это
означает, что спектр оператора егвТ содержится в полуплоскости
Re ? ^ 0 для каждого Э с | 0 | < со. Следовательно, сектор
I arg ? I < л/2 + со принадлежит множеству Р (—Г). Если
0 < arg t, ^ я/2 + со — 2е, то Re е-'(и-?)^ > | ? | sin e> 0
и потому || (е-Чо-^Г + е-^~еЩ-г || ^ Afg/Re е-Ми-?)? <
^.M'EI\ t, | sin e (см. A.39)). Поскольку аналогичный результат
справедлив при — (я/2 + о> — 2е) ^ arg t, ^ 0, то A.51) ,
доказано.
Другой удобный критерий того, что оператор —Т является
производящим оператором голоморфной полугруппы, дает
Теорема 1.24. Пусть Т — тп-секгпориальный оператор в гиль-
гильбертовом пространстве Н с вершиной 0 (так что его числовой
образ Q {Т) есть подмножество сектора \ arg t, \ ^ л/2 — со,
0 <С со ^ л/2). Тогда Т ? $? (со, 0), и функция e~tT голоморфна
при | arg t | < со ^ ограничена: || е~'г || ^ 1.
Доказательство. В соответствии с теоремой 1.23
достаточно показать, что eieT ? */ A, 0) при | Э | ^ со. Но
0 (eieT) = eieQ (T) является подмножеством правой полуплоско-
полуплоскости, если | 0 | ^ w. Следовательно, eieT есть /тг-секториальный
оператор, и левая полуплоскость содержится в Р (ei6T). Поэтому,
если Re ?> 0, то || (t, + e^T)-1 || не превосходит обратной
величины расстояния от ?, до мнимой оси, в частности не превос-
превосходит ?~х для вещественных ?> 0. Это показывает, что
eiQT 6 $ A, 0).
Пример 1.25. Если И — неотрицательный самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве, то при Re t > 0 функция е~ш голоморфна
И ||е-'Я||<1.
Пример 1.26. Рассмотрим дифференциальный оператор Lu = р0 (х) и" -J-
+ pi {х) и' + р2 (х) и на отрезке а ^ х ^ Ъ, с р0 (х) < 0. Известно,
что оператор Tt в Н = L2 (а, 6), определенный по ? и по граничному условию
и (а) = и F) = 0, является m-секториальным (см. пример V.3.34). Следова-
Следовательно, в силу теоремы 1.24 Tt ? &в (со, |3) при некотором <в > 0.
Аналогичный результат имеет место для дифференциальных уравнений
в частных производных второго порядка эллиптического типа.
§ i. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ И ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ- 609
7. Неоднородное дифференциальное уравнение
для голоморфной полугруппы
1 В случае когда —Т есть производящий оператор голоморфной
полугруппы, справедлив более сильный, чем в теореме 1.19,
результат относительно решения неоднородного дифференциаль-
дифференциального уравнения A.42).
Теорема 1.27. Пусть Т ?$? (а, Р), и пусть функция / (t)
непрерывна по Гёлъдеру при t ^ 0:
\\f(t)-f(s)\\^L(t-S)\ O^s^t, A.61)
где L и к — некоторые постоянные, 0 < к ^ 1. Для любого и0 ? X
функция и (t), определенная в A.43), непрерывна при t ^ 0, непре-
непрерывно дифференцируема при t > 0 и является решением уравнения
A.42) с Щй) = и0.
Доказательство. Поскольку U (t) u0 удовлетворяет
однородному дифференциальному уравнению и начальному усло-
условию (см. замечание 1.22), достаточно показать, что второй член
v (t) в правой части A.43) удовлетворяет уравнению A.42) при
t > 0. (Снова легко показывается, что v (t) —>- 0 при t —>¦ 0, ибо
функция U (t) ограничена при t -+¦ 0.)
Имеем
t t
v(t)=^U(t-s) [f (s)-/@1 ds + [ f U(t-s) de] /(t), A.62)
о о
так что Tv (t) существует и равно
t
Tv(t) = T \ U(t-s)[f(s)-f(t)]ds + [l-U(t)]f(t), A.63)
о
(cm. A.46)); существование первого интеграла в правой части
следует из оценки
II TU (t - s) || || / (s) ~ / (t) || ^ const (t - s) L(t- s)k =
= const (t — s)ft~1,
справедливой в силу A.56) и A.61).
С другой стороны, из A.44) вытекает, что
t l+h
• . . ¦' • t+h ' .:.•¦¦::¦:¦
~U(h)v{t)+ J U(t-bh-s)f(s)ds,:- , A.64V
39 Т. Като
610 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
где t> 0 и h> 0. Вычисляя lim h~x [v (t + h) — v (?)], получаем
(D+ обозначает правую производную)
D*o{t) = -Tv (t) + f (t), A.65)
ибо известно, что v (t) ? D (T).
Далее, функция Tv (t) непрерывна при t > 0, как будет пока-
показано ниже (лемма 1.28). Следовательно, функция D+v (t) также
непрерывна. Отсюда вытекает1), что производная dv(t)ldt суще-
существует при t > 0 и равна —Tv (t) +/(?), что и требовалось
доказать.
Лемма 1.28. Функция Tv (t) непрерывна при t ^ 0 и для любого
е > 0 непрерывна по Гёлъдеру при t ^ e с показателем к.
Доказательство. Второй член в правой части A.63)
удовлетворяет утверждению леммы, ибо функция / (t) непрерывна
по Гёльдеру, а функция U (t) голоморфна при t > 0.
Обозначим через w (t) первый член в правой части A.63).
Тогда
w(t + h) — w(t) = T \ [U(t + h — s) — U(t — s)][f(s) — f(t)]ds +
о
t
+Т ^U(t + h-s)[f(t)-f(t + h)]ds+ A.66)
+ T j
Для оценки Wi используем A.60) и A.61):
t
'1 s-1+k ds<const hk.
J) Если правая производная D+v (t) непрерывна, то производная
dv (t)/dt существует и равна D+v (t). Для доказательства положим w {t) =
/
= J D+v (s) ds, где a > 0. Тогда D+ (w (t) — v (t)) = 0. Поскольку функция
a
w {t) — v (t) непрерывна, она должна быть постоянной (см. лемму III.1.36),
так что dv (t)ldt = dw (t)ldt = D+v (t).
§ 1. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ И ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ 611
Для оценки w2 используем A.45) и A.61):
II w2 \\=\\W(h)-U(t + h)] If (t) -f(t + h)] ||
Наконец, w3 оценим с помощью A.59) при в == 1:
\\Щ\\< ) \\TU(t + k-s)\\\\f(s)-f(t + h)\\ds =
Сопоставляя полученные оценки, видим, что функция w (t) непре-
непрерывна по Гёльдеру с показателем к равномерно х) по t > 0.
8. Приложения к уравнению теплопроводности
и уравнению Шрёдингера
Мы уже упоминали выше (пример 1.26), что если Т — дифференциаль-
дифференциальный оператор второго порядка эллиптического типа, то полугруппа е-т
голоморфна. Рассмотрим более подробно полугруппу, порожденную опера-
оператором Лапласа в R3.
Как было показано раньше (п. V.5.2), —Д определяет естественным
образом самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве La (Rs).
Здесь мы будем рассматривать оператор Т = —Д в банаховом пространстве
X = Lp (Rs), 1 ^ р < °о, или X = С (Rs). Проще всего определить опера-
оператор Т с помощью явной формулы для его резольвенты (Т-\- Q как инте-
интегрального оператора с ядром
e-YZ\v-x\
g(y'*;a= Ы\у~Х\ ' ReV?>0. A.67)
Как легко видеть из примера III.2.И, это ядро определяет интегральный
оператор G (t) 6^ (X) и
g(y, ж; l)\dy= \ \g(y,x;
IC lj
A.68)
при I arg ? | ^ л — 8. Хорошо известен тот факт, что (? — Д) G (?) и = и
для достаточно гладких функций и (я), скажем для и 6 С^° (Rs). Оператор
Т определяется как такое продолжение оператора—Д, определенного на этом
множестве гладких функций, для которого (Т -\- ?)-1 совпадает с G (?).
Из A.68) следует, что Т 6 <55? (—, 0) и что —Т порождает полугруппу
e~tT, голоморфную при Re t > 0. Кроме того, e~tT — сжимающая полу-
полугруппа для вещественных t > 0:
|| e~tT ]] ^ 1 для вещественных t>0, A.69)
*) Но Гу (t) не обязательно непрерывна по Гёльдеру сверху при t = 0,
ибо для ?/ (t) это не всегда так.
39*
G12 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
ибо из A.68) при е = я вытекает, что || (Г + I)-1 Ц = \\G (g) || < 1/| при
|>0.
Для любого и0 6 X функция и (t) = е-*Ти0 является решением диффе-
дифференциального уравнения du{t)/dt=—Tu{t), представляющего собой аб-
абстрактный вариант уравнения теплопроводности
~=^и. A.70)
Такое решение единственно при любом начальном значении щ, если потре-
потребовать, чтобы и (t) ? X. Таким образом, любое решение уравнения теплопро-
теплопроводности, принадлежащее X, голоморфно по t (как функция со значениями
в X). Вообще говоря, это не означает, что функция и (t, x) аналитична по t
при каждом фиксированном х, но последнее действительно следует из аб-
абстрактной аналитичности в случае X = С (R3), ибо сходимость в этом про-
пространстве — это равномерная сходимость функций.
В силу A.50) оператор e~tT представим в виде интегрального оператора
с ядром
\V-x\t
c.Qdt, = D.M)~3/2e kt , Ret>0, A.71)
где Г выбрано так же, как в п. 6.
Формула A.71) наводит на мысль, что е-«т является интегральным
оператором с ядром
h(y, x; И) = (АлЩ-3'2е ш . A.72)
Однако это не очевидно; не ясно даже, в каком смысле A.72) является инте-
интегральным ядром. Мы знаем, что если X = I? (R3), то оператор Т самосопря-
самосопряжен и, следовательно, {e~itT} есть группа, определенная для — оо < t < + оо.
В этом случае e-i<T и в самом деле является интегральным оператором с яд-
ядром A.72) в устанавливаемом ниже смысле.
Для простоты рассмотрим вместо A.72) его одномерный аналог
к (у, х; Щ = (^ЯН)~1'ге ш , A.73)
где х, у, t изменяются на вещественной прямой (— оо, +оо). Тогда выра-
женнэ . ,
оо
. K(t)u(y)=[ k{y,x;it)u{x)dx A.74)
определено по крайней мере, когда и (х) достаточно быстро стремится к нулю
при ?-*-±°О' Например, простые вычисления показывают, что
Ь(ж-аJ
K(t)u (x) = (l+iibt)-i/2e~~ 4+4Ш для и(х) = е-ъ<-х-а>\ Ъ > 0. A.75)
Если мы возьмем две функции такого вида uj (ж) = е~ъ3^х~а^г, j = 1, 2,
и построим К (t) uj по формуле A.75), то, как показывают элементарные
вычисления,
_
'•" {К (t) и„ К (t) и,) = {щ, u2)= (j^) 1/2 Г Ь1+Ь2 п\ а2 • A-76)
¦ • ' § 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛУГРУПП ... i .. .¦ 613
Отсюда видно, что любая линейная комбинация функций вида A.75) удо-
удовлетворяет равенству || К (t) и \\ = \\ и \\. Другими словами, оператор К (t)
изометричен, если его рассматривать ыа множестве D таких функций и.
Но D плотно в IA Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что множе-
множество фурье-образов функций из D плотно в L2 (поскольку преобразование
Фурье унитарно отображает L2 в L2). Фурье-образ и функции и вида A.75)
равен и (р) = B6I/2 е-(Р2МЬ)-«м\ Предположим, что функция v (p) 6 L2
ортогональна всем функциям и такого вида с фиксированным Ь и перемен-
переменным а. Это означает, что функция w (р) = е~Р21ЬЪ v (р), принадлежащая L1,
имеет нулевой фурье-образ. Таким образом w (р) = О и, значит, v (p) =0,
т. е. множество и, плотно в IA
Поэтому оператор К (t), определенный на D, можно единственным обра-
образом расширить до изометричного оператора из L2 в L2, который мы будем
по-прежнему обозначать через К (t). Этот оператор К (t) может и не быть
интегральным оператором в собственном смысле слова, но он является инте-
интегральным оператором в обобщенном смысле:
К(и)и(у)=-ЛЛ.т. (АяЩ-1'2 f e Ш и (х) dx, -oo<f<co, A.77)
так же как в теореме Фурье — Планшереля.
Нам осталось показать, что обобщенный интегральный оператор К (t)
совпадает с е~нт. Для этого достаточно показать, что К (t) и = е~иТи для
и ^ D. В справедливости этого равенства убеждаемся, устремляя t к веще-
вещественной оси из нижней полуплоскости Im t < 0, где это равенство очевидно
(см. ниже задачу 1.29).
В трехмерном случае достаточно в проведенных рассуждениях в каче-
качестве D взять множество линейных комбинаций функций вида и (х) =
= е~ъ ' ж~а12, b > 0, а ? R3. Тогда е~ит будет интегральным оператором,
задаваемым формулой
_
e-itTu(y) = l.i.m.(init)~3/2\ e ш u(x)dx, -oo<f<oo. A.78)
R3
Эти результаты можно распространить и на m-мерный случай, надо только
заменить 3/2 на т/2.
Задача 1.29. Если X = L2, то полугруппа e~tT сильно непрерывна и
И е-Щ\ < 1 при Re t > 0.
§ 2. Возмущение полугрупп
1. Аналитическое возмущение квазиограниченных полугрупп -1)
Возникает вопрос: сохраняется ли при малых возмущениях
свойство оператора быть производящим оператором полугруппы?
И если да, то как изменяется порождаемая им полугруппа?
Подробнее см. Хилле иФиллйпс [1J, гл. {3, Ф и л л и п о [1].
614 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Прежде всего мы покажем, что свойство оператора быть произ-
производящим оператором полугруппы устойчиво относительно добав-
добавления ограниченного оператора.
Теорема 2.1. Пусть Т ?$ (М, 0) и А ?98 (X). Тогда Т +
+ А 6 (М, Р + М \\А ||) и е"( <Г+А> при фиксированном t > О
есть голоморфная функция от А. В частности, в-*(-А+*-А> —
целая функция комплексной переменной х.
Доказательство. Если — (Т -\- А) — производящий
оператор квазиограниченной полугруппы V (t) = е~*<г+А), то
выполняется дифференциальное уравнение
dv(t)
dt
B.1)
для v(t) = V (t) u0, uoeB(T + A) = B (T).
В соответствии с п. 1.5 решение уравнения B.1) должно удо-
удовлетворять интегральному уравнению
v{t) = U @ uo—\u{t — s)Av (e) ds, B.2)
где U (t) ~ e~tT — невозмущенная полугруппа. Подставляя
v (t) = V (t) щ, получаем
t
V (t) = U'(«) —\u(t~s)AV(s) ds. B.3)
о
Хотя мы доказали операторное равенство B.3) лишь примени-
применительно к и0 ? D (Г), однако на самом деле оно справедливо для
всех и, так как обе его части принадлежат 38 (X), a D (Г) плотно
в X. Отметим, далее, что интеграл в B.3) понимается в сильном
смысле; функция U (t — s) AY (s) u0 непрерывна по s при каждом
и о g X и потому интегрируема.
Будем решать уравнение B.3) методом последовательных
приближений:
V{t)=%Un(t), B.4)
Un+i(t)=-[u(t-s)AUn(s)ds, « = 0,1,2,..., B.5)
где Uo (t) = U (t). Поскольку функция U (t) сильно непрерывна,
то, как легко доказать по индукции, все функции Un {t) определе-
определены (интеграл в B.5) — это сильный инте'грал от сильно непре-
непрерывной функции) и сильно непрерывны по t. Кроме того, спра-
¦¦• ¦ . § 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛУГРУПП ; . . . 615
ведливы оценки
II U If} II <Г Mn+1 II А Ип />8* —— л О А 9 19 РЛ
которые могут быть доказаны по индукции. Действительно, оцен-
оценка B.6) верна при п — 0; допуская, что она верна для и, полу-
получаем из B.5) с учетом того, что || U (t — s) || ^ ikfeP(f~s),
t
|| ?/п+1@ || <ЖИ+2 \\А [Г1— j еК«-)ер.8п& =
. о
= Мп+2 II Л 1Г+1 еР'~^—
" " (ге + 1)!
В силу B.6) ряд B.4) абсолютно сходится, его сумма У (t) есть
решение интегрального уравнения B.3) и
ОО
B.7)
Чтобы показать, что V (f) действительно является полугруппой,
порожденной оператором —(Т + А), умножим B.3) на
и проинтегрируем по О$С?<С°°, предполагая, что Re
> р + М || А ||. Тогда
@- B-8)
Это показывает, что (Г+5)Л1(Й = 1—ЛЛ1(?), или (Г+Л+?)Д,(?) =
= 1. Так как —^6^B"+^), ввиду того, что || Л ||<M-1Re(C—Р)<
1 (см. A.39)), то Л1E)
Таким образом, имеем при & = 0, 1, 2, ...
. , ^ч_&-1 и 1 II dk 1ГГ , 4 , ?._, || 1
^_ Г ^\e-V\\\V(t)\\dl = ^ \
'о о
Ц)-*-1, B.9)
а это показывает, что Г + А удовлетворяет оценке A.36) с Р,
замененным на Р + М \\ А ||, т. е. что Г + А принадлежит
3 (М, р + М \\А ||).
G16 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Итак, с учетом замечания 1.4 (или, точнее, его обобщения
на Г^ (М, Р)), мы видим, что V (t) = e-t(-T+A).
Выражение B.4) для V (t) = e~t(-T+A) представляет собой
разложение по степеням оператора А; этим доказано, что V (t) —
голоморфная функция от А (см. замечание II.5.17).
Замечание 2.2. Проведенное выше доказательство того, что
— (Т + А) — производящий оператор, является косвенным; мож-
можно и непосредственно проверить неравенство B.9). Эта проверка
в общем случае довольно сложна г). Но при М = 1 доказательство
тривиально: в этом случае достаточно проверить B.9) лишь для
к = 1, а это очевидно, как показывает ряд Неймана для резоль-
венты (Т + А + S)-1 = |] (Т + Q-1 [-А (Т + С)!" и оцен-
оценка || (Т + Q-i||<(Re Г-V1-
Задача 2.3. Доказать методом последовательных приближений, что
vn (t) = Un (f) u0 удовлетворяет дифференциальному уравнению dvjdt =
= —Tvn — Avn_t (здесь положено y_t = 0) и что v = ~^ivn удовлетворяет
уравнению dv/dt= — (Т + A) v, при условии что uof D (Т). [Указание:
теорема 1.19.]
2. Аналитическое возмущение голоморфных полугрупп
В предыдущем пункте мы рассмотрели возмущение производя-
производящего оператора —Т квазиограниченной полугруппы ограниченным
оператором. В общем случае не приходится рассчитывать на то,
что оператор Т останется производящим при добавлении к нему
неограниченного оператора А. Например, оператор—(Т + А) не
обязательно будет производящим оператором квазиограниченной
полугруппы, даже если оператор А ограничен относительно Т.
Однако если —Т — производящий оператор голоморфной полу-
полугруппы, то допустимы возмущения довольно широкого класса.
Теорема 2.4 2). Для любого Т ?$? (со, Р) и любого е> 0 суще-
существуют положительные постоянные у, б такие, что если опера-
оператор А ограничен относительно Т, так что
|| Ли || ^ а || и ||+ Ь || Ги ||, и 6 D (T) c= D (А), B.10)
с а <С б, Ъ <с б, то Т + А 6 <М (со — 8, у). В частности, если
Р = 0 и а = 0, то Т + А 6 Ш (w — 8, 0).
г) См. Хвале к Фи л afHBc flj.
2) См. X и л л е и Ф и л л и п с [1].
. § 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛУГРУПП . ' ¦ . ' 617
Доказательство. Как легко видеть, без ограничения
общности можно считать, что Р = О 1). Из B.10) вытекает, что
\\А (Т + Q-i || < а || (Т + Q-1 || + Ъ || Т (Т + Q-i ||. B.11)
Если | arg ? |< л/2 + со - 8, то || (Т + ?)-* ||< Л/у | ? | в силу
A.51) и || Г (Г + О'1 II = II 1 - ? (Г + S)-1 II < 1 + ^е. Сле-
Следовательно,
|| Л (Г + ?)-* || < аАГе | ? Г1 + Ъ A + Мв), B.12)
и второй ряд Неймана для (Г + ? + ^)~х сходится, если правая
часть в B.12) меньше 1, причем
Если Ъ < A +Л/"8)-1, то, как видно из B.13),
||(Г + ? + 4)-1||<ЛГ7К-7| при |arg(S-Y) l<^ +
+ (о — е, где М' и 7 — некоторые положительные постоянные,
зависящие от а, & и Afe. Если а = 0, то можно взять <у = 0.
Следствие 2.5. Если —Г — производящий оператор квази-
квазиограниченной голоморфной полугруппы, а оператор А ограничен
относительно Т с относительной границей 0, то оператор
Т + А также является производящим оператором некоторой
квазиограниченной голоморфной полугруппы.
Доказательство. Достаточно заметить, что в доказа-
доказательстве теоремы 2.4. Ъ может быть выбрано как угодно малым.
Теорема 2.6. Пусть Т (к) ^% (X) — голоморфное семейство
типа (А), определенное в некоторой окрестности точки к = 0.
Если Т @) — производящий оператор квазиограниченной голоморф-
голоморфной полугруппы, то это же верно и для Т (х) при достаточно
малых \ к \. В этом случае функция U (t, x) = e~tTW голоморфна
по х и t, если t лежит в некотором открытом секторе, содержащем
полуось t > 0. Далее, все производные dnU (t, х)/дхп сильно непре-
непрерывны по t, включая и t = 0 2). Если, в частности Т (к) = Т +
г) Если р < 0, то Г ? й?(со, Р) сг &е (со, 0). Если Р > 0, то положим
То= Т+ Р; тогда Та 6 <Я?(со, 0) и ||Лм || < (а + &Р) |[ и || + & II Го« ||.
Если уо, бо обозначают числа у, б из теоремы, соответствующие Р = 0, то
Та + 4 ?<й? (со — е, уо) при а + ЬР < б0, Ь < 60. Следовательно, Г + A g
? <й?(со — е, 7о + Р)> если а < 60/2, Ь < rain F0, (S0/2) P), так что доста-
достаточно взять 7 = 7о + Р, б = min (б0, (бо/2) Р).
2) Как видно из доказательства, утверждения теоремы справедливы
для любой голоморфной функции Т (х), при условии что Т (х) ?&С (со, Р)
для малых | х |. Предположение насчет типа (А) используется для того,
618 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
+ у-А, где Т и А удовлетворяют условиям следствия 2.5, то
e-t (т+кА) естпъ целая функция от к при каждом t, лежащем в этом
секторе.
Доказательство. Так как разность Т (х) — Т @) огра-
ограничена относительно Т @) (см. п. VII.2.1), то Т (х) принадлежит
некоторому Ш (со, Р) при достаточно малых | и |. Заменяя, если
нужно, Т (х) на Т (к) + Р, можем считать, что Т (к) ?38 (ю, 0).
В силу A.50) имеем
дП т-г , . ч 1
Но
') + ?Г1(х' — х)-"-Мх\ B.15)
где С — малый круг на х-плоскости и х лежит внутри С. Посколь-
Поскольку A.51) выполняется для Т = Т (х) равномерно по х в некото-
некоторой окрестности к = 0, то при достаточно малых | и | имеем
|<" + «)-е, B.16)
где N — некоторая постоянная. Поэтому те же самые рассужде-
рассуждения, что и в п. 1.6, показывают, что функция dnU(t, у,)/дкп
голоморфна по t в некотором открытом секторе и сильно непре-
непрерывна вплоть до t = 0. В частности, отсюда следует, что функция
U (t, x) голоморфна по х, причем ее коэффициенты Тейлора
голоморфны по t.
Наконец, последнее утверждение теоремы выполнено, ибо
Т (х) удовлетворяет условиям теоремы при всех х в силу след-
следствия 2.5.
Эти результаты показывают, что голоморфные полугруппы
довольно устойчивы относительно возмущений.
3. Возмущение сжимающих полугрупп
Как мы уже отмечали в предыдущем пункте, если —Т —
производящий оператор ограниченной полугруппы, то оператор
—(Т + А) не будет, вообще говоря, производящим, даже когда
чтобы показать, что если Т @) ?<й? (соо, ро)> то Т (к) ?&? (со, Р). Легко
видеть, что «тип (А)» можно заменить на «тип (В)» (см. п. VII.4); в этом случае
форма t (к) — t @) ограничена относительно t @), (t (x) обозначает форму,
ассоциированную с Т (к)), так что Т (к) ?&в (со, Р) с некоторыми постоянны-
постоянными со, р для всех х из любого компактного подмножества области измене-
изменения х.
§ 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛУГРУПП 619
оператор А ограничен относительно Т. Исключение представляет
•случай, когда оба оператора —Т и —А являются производящими
операторами сжимающих полугрупп. Именно, имеет место
Теорема 2.7 х). Пусть операторы Т и А принадлежат & A, 0)
и оператор А ограничен относительно Т с относительной Т-гра-
Ницей, меньшей 1/2. Тогда (Т + А) ? "§ A, 0).
Доказательство. Множество Р (Т) содержит полу-
полуплоскость Re t < 0 и || (Т + I) || < \~1 при ?> 0. Опера-
Оператор А удовлетворяет неравенству вида B.10) с Ъ < 1/2, так что
II А {Т + |)-i || < о || (Г + I) || + Ь || Т (Т + |)-i || < й|-1 +
+ 2Ь < 1, если g достаточно велико. Из второго ряда Неймана
для резольвенты следует поэтому, что резольвента (Т + А + 5)
существует при каждом ?.
Оценим (Г + А + I). Для этого рассмотрим вектор v (t) =
= в-"е-*<г+«и, где и 6 D (Г) с D (Л). Имеем
и — »(*) = (и — e~tAu) + e~u (u - e~i(-T+^u). B.17)
Поскольку e~<Au и ?~'(Г+?)и дифференцируемы по i, то в силу
A.24)
lim Г1 (и — » @) = Лм + (Г + Е) и. B.18)
С другой стороны, || v (t) || ^ е~'^ || и ||, ибо е~'л и е~'г — сжи-
сжимающие полугруппы. Следовательно,
-41 и - v (t) || > i-i (|| и || - e-*S I! и ||) -* g || и ||, * -s» 0. B.19)
Из B.18) и B.19) следует, что
|| (Т + А + I) и || > I || и ||, B.20)
откуда || (Т + А + I) II < |-\ так что (Г + А + 5) суще-
существует по крайней мере для достаточно больших \. Используя
первый ряд Неймана, заключаем, что (Т + А + |)~х существует
и удовлетворяет тому же неравенству для всех |> 0. Это пока-
показывает, что 71 + A g ^ A, 0), что и требовалось установить.
Задача 2.8. Если Т 6 # A. Р). А ? Ъ A, Р') и оператор 4 ограничен
относительно Т с Г-границей, меньшей 1/2, то Г + А ? S/ A, Р + Р').
Задача 2.9. В случае когда X — гильбертово пространство, число 1/2
для Г-границы оператора А в теореме 2.7 и задаче 2.8 можно заменить на 1.
2) Эта теорема и теорема 2.11 по существу имеются уТроттера |2], где
Лт -~А
полугруппа e~t(T+A) построена как предел последовательности (е п е п )п
при п -*¦ <х>. Интересные приложения этого метода даны Нельсоном
?1]. См. также Б э б б и т [1].
620 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Замечание 2.10. Из теоремы 2.7 не следует, что функция
e-t(.r+xA) голоморфна по х. Действительно, значения к <Z 0,
вообще говоря, не допускаются, если оператор кА должен при-
принадлежать Ъ A, Р). Но можно показать, что функция е~* (т+хА)
сильно непрерывна по х при х ^ 0. Более общо, e~t{T+An^e~tTy
если Ап стремятся к нулю в том смысле, что Ап являются Г-огра-
ниченными и || Апи || < ап \\ и || + Ъп \\ Ти ||, где в„, Ъп -+ 0.
Это следствие доказываемой ниже теоремы 2.16.
В теореме 2.7 Г-ограниченность оператора А использовалась
по существу только при доказательстве того, что —t, ^P (T -\- А}
при достаточно больших ?. В случае когда и 6 D (Т + А) =
= D (Т) П D (А), доказательство неравенства B.20) проходит
и без такого предположения. Если область значений оператора
Т + А + ? плотна в X и если оператор Г + ^ замыкаем, то
— \ ? Р E), причем || (S + I) II ^ I, где 5 — замыкание опе-
оператора ^ 4" А. Если оператор S определен на плотном множестве,
то, как и выше, S ? & A, 0). Таким образом, мы получили сле-
следующую теорему, в которую операторы Т и А входят симметрично.
Теорема 2.11. Пусть Т и А принадлежат A, 0), множество
D (Г) П D (А) плотно в X и оператор Т -\- А 4- \ имеет плотную
область значений при достаточно больших вещественных \. Если
оператор Т -\- А замыкаем, то его замыкание S принадлежит,
У A, 0).
4. Сходимость квазиограниченных полугрупп
в узком смысле
Вернемся к производящим операторам квазиограниченных
полугрупп. Если —Т — такой оператор, то в общем случае труд-
трудно доказать, что оператор —S = —(Т 4- А), где А — неограни-
неограниченный оператор, является производящим. Однако если мы пред-
предположим, что —S — также производящий оператор, то можно
показать, что оператор e~ts — e~iT мал относительно Т при
условии, что оператор А мал относительно Т, даже если А неогра-
неограничен. Более точно, имеет место
Теорема 2.12. Пусть Т, S ?§ (М, Р), Р > 0, и пусть S =
= Т + А, где оператор А ограничен относительно Т, так что
выполнено B.10). Тогда при |> р
|] (g-t8 _ e-tT) {f + D-IJK
< МЧе& [Ъ (М 4- 1) 4- (а + ЬР) М (% — р)]. B.21)
Доказательство. Пусть и 6 D (Т) = D E). Тогда, как
н в B.2), имеем
t
.-• . (e-'s — e-tT)u==— \ e-V-WAe-^uds; . B.22)
• ' ' § 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛУГРУПП 621
здесь Ae~st и =А (Т + l)~xe~sT (Т + Q и непрерывно зависит от s,
потому что оператор А (Т -\- \)-г ограничен. Поскольку
(Т + I)'1 v 6 D (Г) для любого v 6 X, то, полагая в B.22) и =
= {Т + Е) i7, получим
j B.23)
о
Так как || e-('-»)s
|| Л (Г + ?)-i ||< о || G1 + g)-1 || + & || Г (Г + ?)-* || <
< аМ A - р)-1 + Ъ || 1 - | (Т + |)-1 || <
< Ъ A + М) + М (а + 6р) (| - р)-1, B.24)
то B.21) следует из B.23).
Замечание 2.13. Теорема 2.12 показывает, что (e~iS — e~tT) и
стремится к нулю при а, Ъ -*- 0, хотя не равномерно по -Ц и |] ^ 1,
но равномерно по всем и 6 D (Г) таким, что || (Г + |) и || ^ 1.
В этом направлении мы можем пойти дальше и получить
определенного вида оценку для e~ts — e~tT без каких-либо
предположений относительно S — Т
Теорема 2.14. Пусть Т, S 6 ^ (М, Р). Тогда
|| E + Q - (Г + Q-11| при Re ^> р. B.25)
If Доказательство. Функция e~tT(Г + Q сильно диффе-
дифференцируема по ?:
и аналогично для e~i8 (S -\-ty~1. Следовательно,
JL e-(t
ne-r. B-26)
Интегрируя по s на @, t), получим
- ( «-(«-^[(Г + СГ-^ + СПе-11^ B-27)
о
откуда в силу неравенств || e-C(-s)s ]| ^ Me^~s^, \\ e~sT\\ <
и следует B.25).
622 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Пример 2.15. Пусть Т = Ш, где Н — самосопряженный оператор-
в гильбертовом пространстве Н. Если К — симметричный оператор, .Неогра-
.Неограниченный с ff-границей, меньшей 1, то оператор Н + К самосопряжен
(см. теорему V.4.3). Унитарный оператор е~ин+к стремится к e-mt в смы-
смысле замечания 2.13, когда К стремится к нулю в указанном выше смысле.
5. Сильная сходимость квазиограпиченпых полугрупп
Если ограничиться изучением сильной сходимости полугрупп,
порожденных данной последовательностью производящих опе-
операторов, то можно ослабить предположения на рассматриваемые
возмущения. Следующая теорема является основополагающей
в теории аппроксимаций полугрупп.
Теорема 2.16. Пусть операторы Т и Тп, п = 1, 2, . . ., при-
принадлежат & (М, Р). Если
(Тп+ ?)-1_*(Г + Q-i B.28>
для некоторого ?, c*Re ?> p, то
е-(Г» -*¦ e~tT B.29)
равномерно на любом конечном интервале t ^ 0 *). Обратно, если
B.29) выполняется для всех t, таких, что 0 ^ t ^ Ъ, Ъ> 0, то
B.28) имеет место для каждого ?, с Re ?> C.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что Р = 0. Заменим в тождестве B.27) S на Тп\ поскольку
Л е_(г-8)Гп || «^- ^ т0 дДЯ ЛЮ5ОГО и ^ х имеем
II [(Тп + О -(Т + ?)"*] e~sTu || ds. B.30)
о
Если (Тп + Q—*- (Т + ?)"*> то подинтегральная функция в пра-
вой части B.30) стремится к нулю при п -> оо для каждого фикси-
фиксированного s. Кроме того, она мажорируется выражением
2М\~1М || и ||, 1 = Re ?> 0, которое не зависит от п. Поэтому
правая часть в B.30) стремится к нулю в силу принципа ограни-
ограниченной сходимости. Очевидно, сходимость равномерна по t на лю-
любом конечном интервале.
Итак, мы показали, что
tTn — e-tT)v-+O, n-*-oo, B.31)
h Напомним, что условие B.28) означает, что Г„-*Гв обобщенном
' S
смысле (см. § VIII.1). Достаточные условия для справедливости условия B.28)
подробно изучены в § VIII.1 и VIII.3. :
§ 2. ВОЗМУЩЕНИЕ^ПОЛУГРУПП . . 623
равномерно по t; здесь v = (Т -\- t,)'1 и. Соотношение B.31)
выполняется для всех v ? D (Т), так как v пробегает все D (Т),
когда и пробегает X. Но оператор в левой части B.31) равно-
равномерно ограничен и его норма не превосходит 2М2?~1. Следова-
Следовательно, B.31) выполняется для всех v ? X.
Далее, имеем
(Тп + ?)-! е-тП17_е-*тп (Г + q-i „ =
o]-+0, B.32)
ибо |г|Г»|<Ми (Tn + Q^v — iT + Q^v-i-O. Аналогично,
e-Ty-^O. B.33)
Из B.31) — B.33) следует, что
(e-tTn-e-tT)(T + t,)^v-4~0. B.34)
Это означает, что (e~tTn — е~4Г) iw -> 0 для всех w g D (Г).
Отсюда, как и выше, следует, что е~ п — e~iT —*¦ 0. Эта сходи-
сходимость равномерна по t, ибо равномерна по t сходимость в B.31) —
B.33). В отношении B.31) это уже отмечалось выше, для B.32)
это очевидно, а равномерность сходимости в B.33) следует из не-
непрерывности e~tTv no t, из которой вытекает, что множество-
векторов e~tTv, где t пробегает любой конечный интервал, ком-
компактно, так что применима лемма III.3.7.
Обратно, предположим, что B.29) выполняется для 0 ^ t ^ Ъ.
Поскольку e~mtT = (e—tT)m и т. д., то B.29) справедливо при
любом t ^ 0. Поэтому
e~l\e-tTn—e-tT)dt-+O, Re ?> 0,
по теореме о мажорантной сходимости. Этим в виду формулы
обращения A.28) и доказано B.28) для каждого ? с Re ?> 0.
В теореме 2.16 предел —Т производящих операторов —Тп
предполагался производящим оператором. Естественно возникает
вопрос, не является ли это следствием других предположений.
Оказывается, что ответ положителен, если потребовать определен-
определенную равномерность поведения резольвент операторов Тп.
Именно, справедлива
Теорема 2.17 *). Пусть Тп 6 "§ (М, 0), п = 1, 2, . . . и
s-lim A + аТл)-1 = 1 равномерно по п. Пусть s-lim (Tn -\- t,)*1
а\0 и->со
См. Т р оттер [1].
624 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
существует для некоторого ? с Re ?> C. Тогда существует такой
оператор Т ? */ (М, C), что справедливы утверждения теоре-
теоремы 2.16 2).
Доказательство. Снова мы можем считать, что ($ = 0.
Поскольку Тп ? ^ (М, 0), то операторы (Г„ -f- О равномерно
ограничены по п при каждом фиксированном комплексном ?
с Re ?> 0. Другими словами, правая полуплоскость Re ?> 0
принадлежит области ограниченности Аь последовательности
резольвент —Тп (см. п. VIII.1.1). По условию теоремы по край-
крайней мере одно значение ? с Re ?> 0 принадлежит области силь-
сильной сходимости As. Так как по теореме VIII.1.2 множество As
относительно открыто и замкнуто в Дь, то As должно содержать
полуплоскость Re ?> 0.
Таким образом, s-lim (Тп + ?)~х = —R' (?) существует для
всех ? из этой полуплоскости и R' (?) является псевдорезоль-
псевдорезольвентой (см. п. 8.1). Покажем теперь, что R' (?) есть резольвента
некоторого замкнутого определенного на плотном множестве
оператора —Т.
Для любого и ? X имеем w = lim (I + аТп)-1 и =
\+0
= lim Ъ, (Тп + ?)-1 и. Поскольку эта сходимость по пред-
положению равномерна по ге, то
и = — lim ?Д' (?) и, и 6 X. B.35)
Далее, i?' (?) имеют общее ядро N и общий образ D (см. там
же). Если и ? N, то i?' (?) и = 0, так что и = 0 в силу B.35).
Итак, N = 0. Далее, из B.35) следует, что D плотно в X, ибо
любая точка w g X является пределом точек —\R' A) и 6 D.
Отсюда вытекает (см. там же), что R' (?) есть резольвента опре-
определенного на плотном множестве D оператора —Т: R' (?) =
= ~{Т + О.
Неравенства || (Тп -\- |)-ft || < М/1 при п -> оо приводят
к таким же неравенствам для || (Т + 1)~к II- Это показывает, что
Т ? ^ (М, 0), и доказательство теоремы закончено.
6. Асимптотическое возмущение полугрупп
Мы смогли построить удовлетворительную аналитическую
теорию возмущений для квазиограниченных полугрупп только
в случае ограниченных возмущений (см. п. 1). В более узком
классе голоморфных полугрупп допустимы, как выяснилось,
х) Равенство s-lim (I + ajTJ-1 = 1 следует из того, что Тп 6 Ъ (М, $},
см. A.12). Существенным является требование равномерности по п этой
сходимости.
§ 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛУГРУПП . 625
и относительно ограниченные возмущения (см. п. 2). В приложе-
приложениях, однако, часто встречаются неголоморфные полугруппы,
причем наиболее важен случай унитарных групп в гильбертовом
пространстве. Поэтому весьма желательно развить теорию воз-
возмущений для неголоморфных полугрупп, допуская неограничен-
неограниченные возмущения. Естественно, нам придется тогда довольство-
довольствоваться более слабыми результатами, чем аналитическая зависи-
зависимость полугруппы от параметра и. На этом пути мы приходим
к рассмотрению асимптотических рядов по я, имеющих место
при я -> 0. Простой пример асимптотического поведения полу-
полугрупп получается, если положить А = и?1'1) и устремить и к 0
в теореме 2.12 (предполагая, что Т + KTW ? 3 (М, |$) для
.всех я). В последующих пунктах мы распространим этот резуль-
результат на более высокие степени параметра и *).
Для простоты рассмотрим семейство операторов
Т (и) = Т + хТО), B.36)
•хотя можно с тем же успехом рассматривать формальный беско-
бесконечный ряд по степеням и. Предположим, что Т ? "§ (М, |})
и что оператор ГA> ограничен относительно Т:
<а \\и || + Ъ || Ти ||, и е D (Т) с= D {ТA)), B.37)
Как отмечалось выше, это не гарантирует того, что —Т (я) являет-
является производящим оператором какой-нибудь полугруппы, хотя
в силу теоремы IV.1.1 Т (%) и является при || я || < ИЪ замкну-
замкнутым оператором с областью определения D = D (Т). Поэтому
мы добавим предположение, что Т (я) ? & (М, |}) при и ? Do,
где Do — некоторое подмножество круга | и | < 1/b; Do может
быть открытым множеством, подмножеством вещественной оси
или подмножеством положительной вещественной полуоси. Всюду
в дальнейшем мы считаем, что и ? Do. Также мы примем, что Р= 0,
ибо это не ограничивает общности (можно взять Т (я) + Р вместо
Т (я)).
При этих предположениях оператор —Т (я) для каждого х
порождает полугруппу U (t, я) = e~tT (к). Будем писать U (t, 0) =
= U (t). Функция U (t, я) равномерно ограничена:
|| U (t, я) ||< М, t^ 0. B.38)
Теорема 2.18. U (t, я) —> U (t), и ->0, равномерно по t на любом
конечном интервале.
Доказательство. Это — прямое следствие теоре-
теоремы 2.12.
J) Приводимые ниже теоремы'получены Т. К а т о|3] для случая, когда
Т (у.) — самосопряженный оператор. • . . ¦ ..
40 т. Като
626 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Теорема 2.19. Пусть и ? D. Тогда
U (t, к) и = U (t) и + им'1) (*) + о (к), и -> 0, B.39)
где
U(t-s)TaW(s)uds, B.40)
а о (х) обозначает вектор, норма которого есть о (х) равномерно
на каждом конечном интервале изменения t. Подынтегральная
функция в правой части B.40) непрерывна по s, так что интеграл
имеет смысл.
Доказательство. Второй член в правой части B.39)
совпадает с vt (t) = 17± (t) в из п, 1, если положить А — xTi1)
и и0 = и. Хотя оператор 71'1) неограничен, п одинтегра льное
выражение в B.40) непрерывно по s, ибо
где (см. B.24))
5(Q = TW (Т + t,)-1 е % (X), Re I > 0, B.42)
|| В (?) И < aMl'1 + Ъ A + М), \ = Re ?. B.43)
Аналогично T^U (s, x) w непрерывно зависит от s. Чтобы
доказать это, запишем
T^U (s, х) и = В (?, х) U (s, к) (Т (х) + ?) и, B.44)
где
? (С, х) = Г'1* (Г (х) + ?)-!?# (X), B.45)
потому что оператор 7Ч1) является Г (х)-ограниченным (см. зада-
задачу IV.1.2). Функция В (?, х) даже голоморфна по ?, и х, ибо
из второго ряда Неймана для (Т (х) + У = (Т + ? + 1
следует, что
%()(Q B.46)
Поскольку w6D, то С/(<, х) w^Dh ^ " — —T{K)U(t, х)ы =
=—TU(t,x)u — xTa)U(t, х)и; поэтому в силу A.43)
— s)Ta>U(s, y)uds. B.47)
Соотношение B.39) вытекает из B.47), если доказать, что интеграл
в правой части стремится к —и(г) (t) при х -»- 0 равномерно по ?.
Чтобы доказать это последнее, достаточно установить, что
§ 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛУГРУПП \ - 627
|| ТО-)U (t, %) и — К1)U (t) и || -> 0, причем норма в левой части
ограничена по t (теорема об ограниченной сходимости). Но это
очевидно ввиду B.44) и B.41), ибо функции В (?, и), U (t, и),
(Т (я) + t) и = (Т -\- ?) и + хГ^и все равномерно ограничены,
Б (?, х)—? (?) и ?/¦(«, х)-» ^7 @ по теореме B.18) (Б фикси-
" s
ровано).
Теорема 2.20. Пусть и 6 D (Г2).
U (t, х) и = U (t) и + ииС1) (*) + *V2> (f) + о (и2) B.48)
равномерно на каждом конечном интервале изменения t, где w^1) (t)
дается формулой B.40), а
t
««»(*)= — ( U(t-s)Ta>u^{s)ds; B.49)
о
значение ГA)и<1) (?) определено и непрерывно зависит от t, так
что подинтегралъное выражение в B.49) непрерывно по s.
Доказательство. Прежде всего покажем, что функция
T^U (t) и, которая определена, ибо U (t) и 6 D, непрерывно
дифференцируема по t, причем
~Ta>U{t)u=—T^U (t)Tu. B.50)
В самом деле, имеем T^)U (t) и = В (Q U (t) (T -\- Q и в силу
B.41), и, значит, (d/dt) TMU (t) и =-В (Q U (t) Т (Т + Q и =
= -В (О U (t) (Т +0 Tu=—TA)U (t) Tu, поскольку Т (T+Q и
существует по предположению.
В силу теоремы 1.19 функция и'1) (?), определенная форму-
формулой B.40), непрерывно дифференцируема и функция Ти^ (t)
непрерывна. Поэтому функция Т^Ы1) (t) = В (Q (Т + t) wC1) (t)
также непрерывна. Этим доказано последнее утверждение теоремы.
Ввиду B.47), B.41) и B.49) формула B.48) будет доказана,
если мы покажем, что
\ U{t — s)T°> {~-[U{s, k)u-U(s)u] — u^(s)\ ds-+O B.51)
о
равномерно на каждом конечном интервале изменения t. Так как
\\U (t — s) || ^ М и оператор 7ТA) является Г-ограниченным, то
B.51) выполняется, если
(T + Q{±[U(t, x)u-U(t)u)-u<»(t)}-+0, B.52)
причем левая часть ограничена для каждого фиксированного ?.
40*
628 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Но
(Г + l)W{t, x)u-U(t)u] =
. - (Т + О (Т (х) + 1У1 U (t, х) (Т (х) + 0 и -
-U(t)(T + Q и =
= A + хЯ (S))-1 С/ (*, х) (Т + I + xJf1)) и -
-U(t)(T + С) и =
< = -хВ @ A + 5<5 (О) С/ («, х) (Т + ? + xJt1)) u +
+ [?7(t, x) - U (t)\ {Т + ?) и + иС/(г, х) ^(^и. B.53)
Следовательно,
. B-54)
где у'1) (t) — коэффициент при я в асимптотическом разложении
U (t, к) (Т + ?) и, которое имеет место в силу теоремы 2.19,
поскольку (Т -f- S) w 6 D (Г). Другими словами,
. B.55)
Поскольку 5 (?) С/ (г) (Г + Q и = T^U (t) и, то правая часть
в B.54) равна
t
t
j U(t-s)Ta>U(s)uds; B.56)
о
здесь мы воспользовались A.47) с / (?) = T(X)U (t) и и учли B.50).
Этим доказано B.52) и закончено доказательство теоремы.
Замечание 2.21. Доказательство теоремы 2.20 довольно слож-
сложно по той причине, что из предположения w ? D {Т2) не следует,
что и ^ D (Г2 (и)). Получить на том же пути дальнейшие при-
приближения для U (t, и) и без введения жестких дополнительных
ограничений на и не удается. Например, невозможно получить
третий член разложения U (t, я) и по степеням к при одном пред-
предположении, что и ? D (Т3); надо дополнительно потребовать,
чтобы Т^и ? D (Т). Мы не останавливаемся дольше на этой
проблеме.
§ 3. АППРОКСИМАЦИЯ ДИСКРЕТНЫМИ ПОЛУГРУППАМИ 629
Пример 2.22. Пусть Т = Ш, где Н — самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве Н, и Та) = iK, где К — симметричный И-
ограниченный оператор. Тогда оператор Н + хК самосопряжен для доста-
достаточно малых вещественных х и Т (х) = Т + хТ41' порождает некоторую
унитарную группу, как и Т. Таким образом, основное наше условие будет
выполнено, если мы возьмем в качестве Do некоторую окрестность точки
у. = 0 на вещественной оси, ив этом случае к U (t, у) = е-ЩН+хК) приме-
применимы теоремы 2.18 и 2.20.
§ 3 Аппроксимация дискретными полугруппами
1. Дискретные полугруппы
Изложенную в предыдущем параграфе теорию возмущений
полугрупп можно рассматривать как теорию аппроксимаций
полугруппы U (t) семейством полугрупп, зависящих или от
дискретного параметра п (теоремы 2.16 и 2.17) или от непрерыв-
непрерывного параметра к (теоремы 2.18—2.20). В этом параграфе мы
рассмотрим аппроксимации полугруппы U (t) с помощью после-
последовательности дискретных полугрупп; полученные результаты
будут применены к теории аппроксимации дифференциальных
уравнений конечно-разностными уравнениями г).
Дискретная полугруппа—это просто семейство {^fe}h=o,i,2, •••;
состоящее из степеней некоторого оператора U ? $ (X); она
обладает полугрупповым свойством UWh = UHh. В теории
аппроксимаций необходимо связать показатель к с «временем» t.
Для этого мы каждой дискретной полугруппе {Uk} поставим
в соответствие некоторую «единицу времени» т> 0 и напишем
W = U (кт), к = 0, 1, 2, . . . ; функция U (t) будет, таким
образом, определена только для дискретного множества значений
t = кт. Будем называть {U (кт)} дискретной полугруппой с еди-
единицей времени х. Соответственно полугруппы {U (?)}, рассматри-
рассматривавшиеся в предыдущих параграфах, будем называть непрерыв-
непрерывными полугруппами.
Говорят, что дискретная полугруппа {U (ki)} ограничена,
если || U (кх) || < М, к = 0, 1, 2, . . . ; при этом М > 1, ибо
17@) = 1.
Для дискретной полугруппы {U (кх)} с единицей времени
т положим
Т = т-1 A - U (х)). C.1)
Оператор —Т навивается производящим оператором (генерато-
(генератором) полутруппы {?7 (кт)}. Таким образом,
U (кх) = A - тТ)К ¦ C.2)
х) Последующее изложение существенно опирается на реаулыаты Т р о т -
тер a [I]. ¦ : ¦ .-¦ v .
630 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Поскольку Т ? !& (X), то оператор —Т порождает также непре-
непрерывную полугруппу {e~tT}, которая называется непрерывной
полугруппой, соответствующей дискретной полугруппе {U (кт)}.
Полугруппа {e~tT} является в определенном смысле аппрокси-
аппроксимацией для {U (кх)}, как показывает следующая
Лемма 3.1. Если полугруппа {U (кх)} ограничена, \\ U (кх) || ^
^М, то полугруппа {e~tT} также ограничена, причем || e~tT || ^
< М, и
C.3)
Доказательство. Функцию e~tT можно представить рядом
Тейлора. Так как — tT= — (t/x) + (t/x)U (т), то
),. , ¦ C.4)
следовательно,
оо
П=0
В частности, |[е~'г|К;Л/. . . .
Поскольку U (кх) и Т коммутируют, то . . ,
%((j))(()-e~*T). C.6)
Но
U (х) — е~хт=1 — хТ — е-хТ= — (т — s) <rs7T2 ds,
6
так что в силу C.5)
\\и((к-}-1)х)е-*Ци(х)-е-^)и\\<С ¦ ¦
X
(x-s)M\\T*u\\ds = ~
о
Поэтому C.3) следует из C.6).
Замечание 3.2. Во избежание неудобств, связанных с тем, что
дискретная полугруппа U (t) определена только для t ~ кх,
§ 3. АППРОКСИМАЦИЯ ДИСКРЕТНЫМИ ПОЛУГРУППАМИ 631
ПОЛОЖИМ -' ,
для любого t ^ О, где [t/x] обозначает целую часть числа tlx.
Конечно, {U (?)} не становится при этом непрерывной полу-
полугруппой, но мы имеем
C,8)
Действительно, пусть kx^t<(& +1) т; тогда U(t) = U(kx)
t
и \\e-tTu-e-^Tu\\^\ \ e-sTTuds <Л/т||Ги||, так что C.8) сле-
следует из C.3).
2. Аппроксимация непрерывных полугрупп
дискретными полугруппами
Рассмотрим последовательность {Un} дискретных полугрупп
с единицами времени т„, п — 1, 2, . . ., где т„ -> 0. тг ->• оо.
Говорят, что последовательность {Un} аппроксимирует непре-
непрерывную полугруппу U = {U (t)} в точке t = t0, если
Un (Kxn) -> С/ (t0), n -> оо, C.9)
S
для любой последовательности {кп} неотрицательных целых
чисел, такой, что кпхп -> t0. Говорят, что {Un} аппроксимирует U
на интервале I, если C.9) имеет место для каждого t0 ? I.
Лемма 3.3. Если {Un} аппроксимирует U на каком-нибудь
интервале 0 ^ t < Ъ, то {Un} аппроксимирует U на всем интер-
интервале 0 ^ t <С оо. (В этом случае говорят просто, что {Un} аппрок-
аппроксимирует U и пишут Un -*¦ U.)
Доказательство. Пусть t0 ^ 0 и knxn -> t0. Пусть
т — целое число, такое, что t0 < тЪ, и пусть кп = mqn + /•„,
0 ^ гп < т (Яп.1 гп — целые числа). Тогда гпхп —>¦ 0 и qnxn
-*- tQlm < Ъ. Следовательно, Un (rnxn) -*¦ U @) = 1 и Un (qnxn)
s
-> U (to/m), так что С/„ (кп хп) = Un (qnxn)m Un (rnxn) -v
Xu{tQlm)n = U (t0).
s
Лемма 3.4. .Если ?/„->- С/, mo ?7n равномерно кеазиограничены
в том смысле, что
\\Un(t) ||<МеР', «>0, . ¦. C.10)
г5е Ж м р ме зависят от п и t, a Un (t) определено для всех t ^ О
тго формуле C.7).
632 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Доказательство. При каждом фиксированном и ? X
значения || Un (kxn) и || ограничены для всех целых пик, таких,
что кхп ^ 1, ибо в противном случае существовала бы последо-
последовательность {кп}, такая, что || Un (кпхп) и ||-> оо, кпхп -*- t0 ^
^ 1, когда п -*- оо по некоторой подпоследовательности, что
противоречит условию леммы. Отсюда в силу принципа равно-
равномерной ограниченности следует, что || Uh (ктп) || ^ М для кхп ^ 1
(отметим, что М ^ 1).
Если к> 1/т„ и хп <С 1, то к = gmn 4- ?¦, где 0 ^ г < /ггп =
= [1/тп] (g, r — целые числа). Имеем
II Un (Ат„) || = || ?/„ (л^т»)* Un (rtn) || <
< II ^п (»пт„) ||3 || #„ (ггл) || < М«+К
Но так как тп + 1 > 1/тп, то ?^ Л/пгп ^ А;тп/A —
П U (к) (
п ^ ( п) ^ п
если хп ^ 1/2. Поэтому || Un (кхп) || ^ М ехр (Лтп log M), что
также имеет место при кхп ^ 1. Поскольку Un (t) = Un (kxn),
где к = [*/т„] < «/т„, получаем || Un (t) || < М ехр (« log M). Так
как имеется лишь конечное число номеров п, для которых хп >
> 1/2, то этим и доказана лемма, с {3 = log M (быть может, зна-
значения Мир нужно еще очевидным образом подправить, учтя
конечное число отброшенных номеров).
Лемма 3.5- Для того чтобы Un -> U, необходимо, чтобы
&п @ —*¦ U (t) равномерно на каждом конечном интервале изме-
изменения t, и достаточно, чтобы это имело место хотя бы для одного
интервала [О, Ь].
Доказательство. Пусть Un -»- U. Предположим, что
для некоторого и ? X и некоторого конечного замкнутого интер-
интервала I неверно, что Un (t) и -»¦ U (t) и равномерно no f ? I. Тогда
существует последовательность tn g I, такая, что
|| Un (tn) и-U (tn) и || > е> 0 C.11)
(в случае надобности заменяем {Un} на подпоследовательность).
Выбирая еще раз подпоследовательность, можно считать, что
tn -*¦ h 6 I, п -»- оо. Положим А;„ = HJxn]. Тогда А^т„ -^- t0, ибо
тп -*¦ 0. Поскольку Un (tn) = Z7n (knxn) в силу C.7) и поскольку
Un (tn) u-*~ U (t0) и в силу сильной непрерывности U (t), то C.11)
дает lim sup || Un (knxn) и — U (tg) и || ^ ев противоречии с C.9).
Обратно, предположим, что Un (t) и -э- U (t) и равномерно
по t 6 [0, Ь] для каждого и g X. Тогда Z7n (/с„т„) и —
— U (knxn) и ->• 0 для /сптп 6 [0, Ь]. В частности, это имеет
место, если кпХп —> t0 <i Ь. Так как С/ (А^т„) и ^- U (t0) и в силу
сильной непрерывности С/ (?), то C.9) выполнено при t0 < Ъ.
Следовательно, Un —>¦ U по лемме 3.3.
§ 3. АППРОКСИМАЦИЯ ДИСКРЕТНЫМИ ПОЛУГРУППАМИ 633
3. Аппроксимационные теоремы
В этом пункте мы рассмотрим последовательность {Un}
дискретных полугрупп с единицами времени тп и производящими
операторами —Тп, причем хп —>¦ 0. Для того чтобы последова-
последовательность {Un} аппроксимировала некоторую непрерывную полу-
полугруппу, необходимо, чтобы {Un} была равномерно квазиограни-
квазиограниченной (см. лемму 3.4). Поэтому будем рассматривать только'
такие последовательности {Un}.
Теорема 3.6. Пусть последовательность {Un} равномерно-
квазиограничена в смысле C.10) и U — непрерывная полугруппа
с производящим оператором —Т. Для того чтобы Un —>¦ U, необ-
необходимо и достаточно, чтобы Тп —>¦ Т в обобщенном смысле; дру-
S
гими словами, необходимо, чтобы
(Тп + ?)-i —(Г+ Р C.12)
S
для каждого t, с Re ?> р, и достаточно, чтобы C.12) выполнялось
хотя бы для одного ? с Re ?> р.
Доказательство. Нетрудно видеть, что общий случай
можно свести к случаю р = 0 с помощью преобразования Un (t) —*-
-+е~~&ип (t), U (t) -> e~$lU (t). Поэтому мы будем считать, что
последовательность {Un} равномерно ограничена: || Un (t) || ^ М,
t ^ 0, где функция Un (t) определена при всех t ^ 0 по формуле
C.7).
Пусть Un -* U. Тогда по лемме 3.5 Un (t) —*¦ U (t) равномерно
s
на каждом конечном интервале изменения t. Поэтому при Re ?> О
(Тп + ?)-i - [? + tn1 (I - Un (тп))Г =
00 ОО
_т -^ ип (krn) f Un @ dt
По теореме о мажорантной сходимости
ибо
последний же член интегрируем на интервале 0 ^ t < оо.
634 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
Обратно, предположим, что C.12) выполнено для некоторого
? с Re ?> 0. Поскольку Тп ? У (М, 0) по лемме 3.1, то из тео-
теоремы 2.16 вытекает, что C.12) имеет место при любом ? с Re ?> 0
и что е~п"- —*¦ e~iT равномерно на каждом конечном интервале
.изменения t. Таким образом, остается показать, что
Un{t)~e-tTn-+ 0 C.13)
S .
равномерно на каждом конечном интервале.
Для этого мы воспользуемся оценкой C.8) с U, замененным
на Un. Беря (Тп + I) и вместо и, видим, что
| (Un (t) - е-«») (Тп+ 1)-» ||<Мтп D-41 П(Тп + I)1| +
) + 0,
поскольку || П {Тп + I) II < A + М)\ || Тп (Тп + I)-2 || <
< М A + М). Так как (Тп+ I) -> (Г + I) и функции *7„ (t),
tT
¦е~ п равномерно ограничены, то
Поскольку множество R ((Т + 1)~2) плотно в X, то C.13) сле-
следует снова из равномерной ограниченности Un (t) и е~х п.
Замечание 3.7. Соотношение C.12) выполняется, если суще-
существует ядро D оператора Т такое, что Тпи —>¦ Ти для и ? D (см.
теорему VIII.1.5).
Пример 3.8. Пусть Т ? % (М, 0) и V (t) = e'tT. Пусть, далее, Un {kin) =
= A +re-17')-fe. Очевидно, Un — дискретная полугруппа с единицей времени
хп = 1/и. Производящим оператором полугруппы Un будет ~Тп, где Тп =
= я [1 — A + n-i-T)-1^ Т A + и-1 Г)-1. Следовательно, Тпи = A +
+ ге?1)-1 Ти^>- Ти для и 6 D (Т) (см. A.12)). Таким образом, Un ->- Е/
в силу замечания 3.7; это просто другая формулировка результата п. 1.4,
где Е/ (t) было определено в точности тем же образом.
Следующую теорему, в которой явно не предполагается, что
предел в C.12) является резольвентой производящего оператора,
можно доказать точно так же, как теорему 2.17.
Теорема 3.9. Пусть последовательность {Un} равномерно ква-
зиограничена, A + аТп)~г ->• 1, а \ 0, равномерно по п и
S
s- lim (Tn -f J;) существует при некотором Z, с Re ?> 0.
Тогда существует непрерывная полугруппа U (t) = e~tT, такая,
что Un ->• U и Тп—уТв обобщенном смысле.
s
§ 3. АППРОКСИМАЦИЯ ДИСКРЕТНЫМИ ПОЛУГРУППАМИ 635
4. Вариация пространства
Аппроксимационные теоремы, доказанные в предыдущем пунк-
пункте, неприменимы непосредственно для аппроксимации дифферен-
дифференциальных уравнений конечноразностными г), поскольку конеч-
норазностные операторы действуют в пространствах, отличных
от тех, в которых действуют дифференциальные операторы. При
изучении таких задач встает, следовательно, проблема аппрокси-
аппроксимации непрерывной полугруппы U операторов в банаховом про-
пространстве X с помощью последовательности {Un} дискретных
полугрупп операторов, действующих в банаховых простран-
пространствах Х„.
Пусть X и Хп — банаховы пространства. Предположим, что
при каждом п существуют оператор Рп 6 SS (X, Х„) такой, что
i) II Рп II ^ N {N не зависит от и);
ii) || Рпи || -*• || и ||, ге-^оо, для каждого и ? X;
Ш) существует постоянная N' (не зависящая от п), такая, что
каждый вектор г; 6 Хп можно представить в виде v = Рпи, где
11»11<лг' IMI-
Говорят, что последовательность {ип}, ип g Х„, сходится
к и ? X, и пишут ип -v и, если 2)
\\ип~Рп и ||->О, п^оо. C.14)
Говорят, что последовательность Ап ? 38 (Хп) сильно сходится
к А ? 38 (X) и пишут Ап —> А, если
AnPnu -> Аи, т.е. \\АпРпи-РпАи\\^О. C.15)
Легко показать, что из Ап —v А следует, что Ап равномерно
ограничены, а из Ап —>¦ А и Bns—> В следует, что АпВп —+АВ.
S S S
Коль скоро введено понятие сильной сходимости, обладающее
указанными свойствами, можно в точности так же, как раньше,
определить аппроксимацию Un ->- U непрерывной полугруппы
в X последовательностью {Un} дискретных полугрупп Un, дей-
действующих в пространствах Хп. Легко проверить, что леммы и тео-
теоремы 3.3—3.9 справедливы по-прежнему. Подробности предостав-
предоставляем читателю 3).
Пример 3.10. Пусть X = С [0, 1], Хп = С™" (множество гоп-мерных
числовых векторов v = (|lt . . ., imn) с нормой || v || = шах | \j |). Для
каждого и ? X положим Рпи = v = (i,j) f Х„ с ^ = и (jhn), hn = l/(mn + 1);
Рпи аппроксимирует непрерывную функцию и (х) множеством ее значений
в тп точках сетки с шагом hn. Если тп -*¦ схз, то условия i) —tiii) выполняются
L) Исключая тот случай, когда время t дискретно.
2) В дальнейшем мы обозначаем одним и тем же символом || || нормы
в различных пространствах Хи Хп; это не должно привести к недоразумениям.
3) См. Т р о тт е р [1].
636 Гл. IX. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
с N = N' = 1. Введенное выше понятие сходимости ип -*¦ и хорошо приспо-
приспособлено именно к такой аппроксимации.
Рассмотрим теперь операторы Т и Тп, определенные следующим обра-
образом: Т — оператор в X, задаваемый равенством Ти = —(Puldx* с граничным
условием и @) = и A) = 0; Тп — оператор в Х„, такой, что для v = (?^>
имеем Tnv = w = (r|j), где
Tlj (Елч - 2tj + Ij^lhl
(полагаем ?0 — Smn+i =0)- Легко видеть, что ТпРпи -*- Ти для u^Dfl}
в смысле C.15). Тем самым выполнено условие замечания 3.7, поэтому дискрет-
дискретные полугруппы Un, порожденные операторами —Тп, аппроксимируют
U (t) = е при условии, что Un равномерно квазиозраничены 1). Будет ли
выполнено это условие или нет, зависит от скорости сходимости хп -»- 0.
Известно 2), что это условие выполнено, если тп/й2 < с < 1/2.
Далее, если мы положим Г^ = 7гпA-|-тп/'7г)~1 и рассмотрим дискретные
полугруппы f/^, порожденные операторами—Т^ с единицами времени хп, то
условия теоремы 3.6 будут выполнены и U'n -+Un при одном только условии
тп-* 0 (без всяких ограничений на отношение тп/й^). Последовательности
{Un} и {и„\ отвечают соответственно выбору конечных разностей по вре-
времени вперед или назад при аппроксимации уравнения теплопроводности
2/32 конечноразностными уравнениями.
J) Это условие называется условием устойчивости.
2) См., например, Рихтмайер и Мортон [1]].
ГЛАВА X
ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
И УНИТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
Эта глава посвящена теории возмущений непрерывных спектров. Рас-
Рассматриваемые операторы, как правило, являются самосопряженными.
Устойчивость непрерывного спектра относительно малых возмущений изуче-
изучена довольно широко, хотя результаты никоим образом не являются исчерпы-
исчерпывающими. Известно, что непрерывный спектр весьма неустойчив, даже относи-
относительно вырожденных возмущений. В этом отношении он ведет себя гораздо
хуже, чем существенный спектр (который, вообще говоря, шире, чем непре-
непрерывный). С другой стороны, абсолютно непрерывный спектр (который, вообще
говоря, уже, чем непрерывный) устойчив относительно некоторых ограни-
ограниченных возмущений; кроме того, абсолютно непрерывные части возму-
возмущенного и невозмущенного операторов унитарно эквивалентны.
Эти результаты тесно связаны с теорией рассеяния в квантовой механике.
Они даже доказываются здесь с помощью так называемого нестационарного
метода теории рассеяния, поскольку это, по-видимому, самый простой путь
для получения общих результатов. В теории рассеяния есть и другие полез-
полезные методы (стационарные методы). Невозможно изложить здесь эти методы
полностью, отчасти из-за того, что они непрерывно и быстро развиваются.
Все-таки в последнем параграфе мы даем краткое изложение одного из таких
методов, позволяющего получить результаты, которые нельзя получить
с помощью нестационарного метода.
§ 1. Непрерывный спектр самосопряженного
оператора
1. Точечный и непрерывный спектры
Пусть Н — самосопряженный оператор н гильбертоном про-
пространстве Н. Имеем спектральное представление (см. § VI.5)
оо
= \ KdE{K), A.1)
где {Е (к)} — непрерывное справа спектральное семейство опе-
оператора Н. Положим
Р (к) = Е (К) — Е (I — 0). A.2)
Р (X) =?=¦ 0 тогда и только тогда, когда Я, есть собственное значение
оператора Н\ в этом случае Р (К) является ортогональным проек-
проектором на соответствующее собственное пространство. Операторы
638 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Р (к) при различных К взаимно ортогональны: Р (К) Р (|л) = О
при X Ф \i.
Множество всех собственных значений оператора Н называет-
называется его точечным спектром и обозначается через 2Р (Н). Оно
не более чем счетно, если пространство Н сепарабельно.
Пусть Нр — замкнутое линейное подпространство, порожден-
порожденное всеми Р (Я,)Н. Если Нр = Н *), то говорят, что оператор Н
имеет чисто точечный спектр, или что он является спектрально
разрывным. Подпространство Нр приводит Н, поскольку этим
свойством обладает Р (К) при любом К. Пусть Нр — часть опе-
оператора Н в Нр. Оператор Нр спектрально разрывен; в самом деле,
если пространство Р (k) H содержит не только нулевой вектор,
то оно совпадает с собственным подпространством оператора Н^
для Я,.
Если Нр = 0, то говорят, что оператор Н имеет чисто непре-
непрерывный спектр, или что он спектрально непрерывен; в этом случае-
спектральное семейство Е (%) сильно непрерывно по К. Вообще
говоря, часть Нс оператора Н в Нс = Нр спектрально непре-
непрерывна. Множество 2 (Нс) называется непрерывным спектром 2)
оператора Н и обозначается через 2С (Н). Будем называть Нр
и Нс соответственно разрывной и непрерывной частями оператора
Н. Подпространства Нр и Нс называются соответственно подпро-
подпространством разрывности и подпространством непрерывности
для Н.
Замечание 1.1. Собственное значение оператора Н не обяза-
обязано быть изолированной точкой множества 2 (Н), даже
если Н имеет чисто точечный спектр. Точечный спектр может
быть счетным множеством, всюду плотным на вещественной оси.
Задача 1.2. Для того чтобы вектор и принадлежал Нс, необходимо-
и достаточно, чтобы функция (Е (Я) и, и) была непрерывна по X.
Для отделения точечного спектра от непрерывного удобна
пользоваться эргодической теоремой о среднем. Эта теорема позво-
позволяет выразить Р (К) с помощью группы {eitH}, порождаемой опе-
оператором Ш. (Об операторе eitH см. пример IX. 1.6.)
х) Отсюда не следует, что 2 (Н) = 2р (Н); в самом деле, множество»
2 (Н) замкнуто, тогда как 2Р (Н) замкнутым быть не обязано. Но отсюда
следует, что 2 (Н) является замыканием 2р (Н).
2) Здесь мы следуем книге Рисса и Секефальви-Надя [1].
Существует другое определение непрерывного спектра, применимое к любому
оператору Т ? g (X) в банаховом пространстве X. Согласно этому опре-
определению, комплексное число Я принадлежит непрерывному спектру оператора
Т тогда и только тогда, когда оператор Т — Я обратим и имеет плотную
область значений, но оператор (Т — X)-1 неограничен. Следует признать,
что имеется некоторое несоответствие между определениями точечного
и непрерывного спектров.
§ 1. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 6391
Теорема 1.3. Для любого вещественного % справедлива формула
«2
Р(Х)= s-lim (t2-t^1 \ еине~Ыdt. A.3)
Доказательство. Мы можем предположить, что К = 0.
Это сводится к рассмотрению Н — % вместо Н. Если и ? Р @) Н,.
то Ни = 0 и еия и = и, значит,
= и -у- и = Р @) и, t2 - f4 -^ оо. A.4)
Если и принадлежит образу оператора /f, так что и = Hv, v ?
6 D (Я), то е1ш и = е1Ш Ни == — i (d/Л) eitH v в силу (IX.1.24).
Следовательно, левая часть в A.4) равна —i (t2 — fi) X
X (е«2Н _ eihH) v _^ о = P @) и, так как Р @) гг = ЯР @) i; =
= 0. Таким образом, равенство A.3) верно, если его применить
к любому и, принадлежащему линейной оболочке образов опера-
операторов Р @) и Н. Но эта линейная оболочка плотна в Н, так как
любой вектор и ? Н, ортогональный образу оператора Н, при-
принадлежит Р @) Н, ядру оператора Н* = Н (см. III.5.10). Отсюда
следует, что равенство A.3) справедливо, поскольку оператор
в правой части этого равенства равномерно ограничен (см. лем-
лемму Ш.3.5).
Замечание 1.4. Если Я, — изолированная точка спектра опе-
оператора Н, то Р (А.) можно представить в виде контурного интеграла
от резольвенты оператора Н (см. VI.5.34). В общем случае это
сделать невозможно, и равенство A.3) является удобной заменой
такого представления.
2. Абсолютно непрерывные и сингулярные спектры
Удобно разделить спектрально непрерывную часть Нс само-
самосопряженного оператора Н на две части.
Спектральное семейство {Е (Я,)} определяет спектральную меру
Е (S). ЕслиЭ есть интервал (а, Ъ], то Е ((а, Ъ]) = Е (Ъ) — Е (а).
Для интервалов других типов положим Е (la, b]) = Е (b) —
— Е (а — 0), Е (la, Ь)) = Е (Ъ - 0) — Е (а — 0), Е ((а, Ь)) =
= Е (Ь — 0) — Е (а) по определению. Ясно, что это определяет
проекторнозначную функцию Е (S) на борелевских множествах S
¦640 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
вещественной оси, обладающую следующими свойствами *):
, A.5)
E(S[)S') = E(S) + E(S'), если SnS'=0, A.6)
оо со
E{{JSn)= ^ E(Sn), если SnflSm=0 щптфп. A.7)
1 1
п=1 п=1
Для любого фиксированного и ? Н функция множеств ?п„ (S) =
= (?¦ (S) и, и) = || Е (S) и ||2 является неотрицательной счетно-
аддитивной мерой 2), определенной на борелевских множествах S.
Если эта мера абсолютно непрерывна (по отношению к мере
Лебега | S |), то мы будем говорить, что вектор и абсолютно
непрерывен по отношению к Н. Иными словами, вектор и абсо-
абсолютно непрерывен по отношению к Н тогда и только тогда, когда
из | S | = 0 следует Е (S) и = 0. Если же мера ти (S) сингуляр-
сингулярна, то будем говорить, что вектор и сингулярен по отношению к Н.
Таким образом, вектор и сингулярен тогда и только тогда, когда
существует борелевское множество So с | So | = 0, такое, что
ти (S) = ти (S П So). Это эквивалентно равенству A-Е (So)) u=
= 0.
Множество всех и ? Н, абсолютно непрерывных (сингулярных)
по отношению к Н, обозначается через Нас (Hs) и называется
подпространством абсолютной непрерывности (сингулярности)
но отношению к Н (см. следующую ниже теорему).
Теорема 1.5 3). Нас и Hs суть замкнутые линейные подпро-
подпространства в Н; они являются ортогональными дополнениями
друг к другу и приводят Н.
Доказательство. Покажем сначала, что Нао J_ Hs.
Пусть и ? Нас и v ? Hs. Существует борелевское множество
So с | So | = 0, такое, что A — Е (So)) v = 0. Поскольку
Е (So) и — 0, то отсюда следует, что (u, v) = (и, Е (So) v) =
= (Е (So) и, v) = 0.
Покажем теперь, что Нас -f- Hs = Н, т. е. что любой вектор
w ? Н имеет вид ц + у, где и ? Нас и у f Hs. Для этого предста-
представим неотрицательную меру mw(S) в виде суммы абсолютно непре-
непрерывной меры т' (S) и сингулярной меры ?гг" (S) (разложение
Лебега). Мере т" соответствует борелевское множество So, такое,
J) Точное определение спектральной меры см. в стандартных курсах
по теории гильбертовых пространств, например, в книгах X а л м о ш а
fl], Стоуна [I].
2) Элементарные результаты из теории меры, используемые здесь и ниже,
изложены, например, в книге Р о й д е н а [1].
3) Эта теорема есть частный случай одной теоремы из книги X а л -
м о ш а Р].
§ 1. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 641
что | So | = 0, т" (S) = т" (S f] So). Пусть v = Е (So) w ш и =
= ю — v. Тогда и ? На0 и у g Hs. Действительно, ?n0 (S) =
= II Е (S) v ||2 = || ? (S) Е (So) и; ||2 = И Е (S П So) u; |Р =
= mw(S f] So) = m" (S), поскольку m! (S П So) = 0, ттг" (S f) So) =
= /n" (S), и /nu (S) = || E (S) u ||2 = || E (S) A - E (So)) 10 ||2 =
= || E (S) 10 ||2 - || E (S П So) 10 ||2 = /»„, (S) - /n" (S) = m' (S).
Таким образом, мера mu абсолютно непрерывна, а мера т„ син-
сингулярна: и ? Нас и г; ? Hs.
Как легко видеть, из ортогональности подпространств Нас
и Hs и из равенства Нао + Hs = Н следует, что Нао и Hs суть
замкнутые линейные подпространства в Н и что они являются
ортогональными дополнениями друг к другу.
Если вектор и абсолютно непрерывен, то этим же свойством
обладает Е (%) и при любом к, так как если | S | = 0, то
Е (S) Е (к) и = Е (к) Е (S) и = 0. Таким образом, Нас, а поэто-
поэтому и Hs = Нас приводят Н. Этим завершается доказательство
теоремы 1.5.
Теорема 1.6. Пусть подпространство М пространства Н
приводит оператор Н. Тогда ортогональные проекторы Е на М
и Р на Нас коммутируют. Иными словами, если и ? М, то Ри 6 М,
а если и Q Нас, то Ей 6 Нао.
Доказательство. Оператор Q = 1 — Р является
проектором на Hs. Для любого w ? Н существует множество So
такое, что | So | = 0, Qw = v = Е (So) w; So может зависеть от w
(см. доказательство теоремы 1.5). Поскольку М приводит Н,
то ЕЕ (So) ==¦ ?¦ (So) Е, так что A — Е (So)) E Qw = 0 и вектор
.Е1^ сингулярен. Таким образом, PEQw = 0 для всех и f H
и потому Р2?(? = 0, EQ = QEQ. Переходя к сопряженным, полу-
получим, что QE = QEQ, поэтому QE = EQ, РЕ = ЕР.
Очевидно, что Нас cz Но (см. задачу 1.2). Следовательно,
Hs id Нр. Положим НсНас = Hsc. Тогда
Н = Нас ф Hsc ф Нр = Нао ф Hs = Нс ф Нр. A.8)
Если Нас = Н (так что Hs = 0), то оператор Н называется
{спектрально) абсолютно непрерывным; если Hs = Н, то Н (спек-
(спектрально) сингулярен, если Hsc = Н, то Н (спектрально) син-
сингулярно непрерывен. В общем случае часть Hac (Hs, Hsc) опе-
оператора Н в подпространстве Нас (Hs, Hso) называется спектраль-
спектрально абсолютно непрерывной (сингулярной, сингулярно непрерывной)
частью оператора Н. Множество 2 (Нас) B (Hs), 2 (#sc)) назы-
называется абсолютно непрерывным (сингулярным, сингулярно непре-
непрерывным) спектром оператора Н и обозначается через 2ас(.йг)
BS (Н), 2so (Я)).
41 Т. Като
642 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
^ / т^ / -\ \ \ d , -п , г< \ г t \ / 4 ОЛ
Теорема 1.7. Если и 6 Нас и f 6 Н, то функция (Е (X) и, /)
абсолютно непрерывна по X и почти всюду выполняется неравенство
d
~dX
где /0 — проекция вектора f на Нас.
Доказательство. Заметим, что правая часть в A-9)
неотрицательна и конечна почти всюду, так как функции
(Е (X) и, и) и (Е (X) /о, /о) являются абсолютно непрерывными
и неубывающими по X.
Далее, (Е (X) и, / = (Е (X) и, /0), поскольку Е (X) и ? Нас
согласно теореме 1.6. Но, как ясно из принципа поляризации
A.6.26), функция (Е (X) и, /0) абсолютно непрерывна. Неравен-
Неравенство A.9) следует непосредственно из оценки
| (Е (I) и, /0) |2 < || Е (I) и ||2 || Е (I) /0 ||2 =
= (Е (I) и, и) (Е (I) /0, /0),
где Е (I) = Е (X") - Е (X'), X' < X".
Замечание 1.8. Для большинства возникающих в приложе-
приложениях самосопряженных операторов (спектрально) непрерывная
часть абсолютно непрерывна, так что сингулярно непрерывной
части нет. Однако существуют обыкновенные дифференциальные
операторы, которые (спектрально) сингулярно непрерывны г).
Пример 1.9. Рассмотрим самосопряженный оператор умножения Н
в гильбертовом пространстве Н == L2 (Е), определяемый формулой Ни (х) =
= / (ж) и (х), где / (ж) —вещественная измеримая функция, заданная, напри-
например, в области Е cr Rn. Тогда образ оператора Ё (X) есть множество всех
и g Н таких, что и (ж) = 0 при / (ж) > X. Следовательно, ]| Е C) и |]2 =
= ^ | и (х) |2 dx. Предположим, что функция / (ж) непрерывно диффе-
дифференцируема и grad / (ж) ф 0 почти всюду в Е; тогда оператор И спектрально
абсолютно непрерывен.
Пример 1.10. Пусть Н — самосопряженный оператор в Н = L2 (R"),
соответствующий дифференциальному оператору —А (см. п. V.5.2). Опера-
Оператор Н унитарно эквивалентен оператору умножения на | х |2, следователь-
следовательно, он спектрально абсолютно непрерывен.
Замечание 1.11. Существует третий способ разложения спектра
самосопряженного оператора Н на две части. Удалим из спектра
все изолированные точки, которые являются собственными зна-
значениями с конечной кратностью; оставшаяся часть Бе (Н) есть
существенный спектр оператора // (см. п. IV.5.6) 2).
lsi См. Ароншайн [3].
2) Как мы отмечали в п. IV.5.6, имеется много определений множества
2е (Т). Но все эти определения совпадают, если Т~—самосопряженный
оператор.
§ 1. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 643
Точка % 6 2е (Н) характеризуется тем, что
dim [Е (к + е) — Е (к — г)] = оо для любого е> 0. A.10)
Другая характеризация такова: виГ (Н — к) = def (Н — к) —
= оо (см. (IV.5.33)). Эквивалентность этого условия и усло-
условия A.10) легко проверить, если вспомнить определение пиГ
и def (см. теорему IV.5.9). Положим М? = [Е (к + е) —
— Е (к — г)] Н. Если A.10) выполняется, то || (Н — к) и ||<
^ е || и || для всех и f М?, где dim МЕ = оо. Поскольку е> 0
произвольно, то nul' (H — к) = оо; заметим, что def (H — к) =
= пиГ (Н — к), так как оператор Н самосопряжен. Если же
dim МЕ = т -< оо при некотором 8> 0, то nul' (H — к) << оо.
Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим подпространство
NE такое, что || (Н — к) и || < е || и ||/2 при и 6 Ne. Если
dim N& > т, то должен существовать вектор и ? Ne, w =^= 0,
такой, что м J_ Mg. Тогда || (Н — к) и \\ ^ е || и ||, что противо-
противоречит приведенному выше неравенству. Таким образом, dim NE ^
^ т, так что mil' (H — к) ^ т <С оо.
Задача 1.12. 2е (Я) id 2С (Я).
3. tr-класс
" В дальнейшем мы будем иметь дело с некоторыми классами
компактных операторов в сепарабельных гильбертовых простран-
пространствах. Мы уже рассмотрели довольно подробно класс Шмидта
$ 1 (Н, Н') (п. V.3.2). Рассмотрим теперь так называемый tr-класс,
который мы будем обозначать через J?4 (Н, Н') (или через i?! (H),
если Н' - Н).
Пусть Т ? .9?о (Н, Н') (класс компактных операторов, опре-
определенных на Н и принимающих значения в Н'), и пусть ап —
сингулярные значения оператора Т (см. п. V.2.3). Определим
tv-норму оператора Т равенством
imii= 2 «ft.. ¦ ¦ -¦ ¦ (l.ii)
fe=i
Если ряд в правой части расходится, то положим || Т \\у ~ оо.
Множество всех Т таких, что [| Т \\х << оо, образует tr-класс
$?i (H, Н'). То, что || ||i обладает всеми свойствами нормы,
может быть легко проверено; исключение составляет лишь нера-
неравенство треугольника, которое мы докажем позже.
Поскольку ненулевые сингулярные значения операторов Т,
Г* и | Г | совпадают, то (см. (V.2.34))
II Т Ц, = || Т* ||, = || | Т | Ц, = || | Т |"8 !|22. A.12)
Очевидно, что
!! т \\2 < || т, и, #,(н, Н')<=#8(Н, н'). A-13)
41*
644 Гл- X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Кроме того, . ¦
II ST ||, < || S ||2 || Т ||2. A.14)
Это нужно понимать в следующем смысле: если Т ? J?2 (Н, Н'),
5 6^2(Н', Н"), то STt&iCH, Н") и справедливо неравен-
неравенство A.14). Для доказательства рассмотрим каноническое раз-
разложение
, Ph>0, A.15)
оператора ST ? ,3?0 (Н, Н") (см. V.2.23). По определению, имеем
\\st ц4 =
Hz II 5* ||2 - || Г ||2 || 5 ||2. A.16)
Обратно, любой оператор T ? 3?, (H, H') можно представить
в виде произведения двух операторов класса Шмидта, причем
оба эти оператора принадлежат 3$г (Н), если Т ? i?! (H). Напри-
Например, мы можем согласно (VI.2.26) положить Т = JJ \ Т \ =
= U \Т I1'2 | Т |V2, где | Т |V2 принадлежит .з§>2 (Н) в силу A.12),
а С/ | Г р-72 принадлежит ,Й?2 (Н, Н'), так как U 6 » (Н, Н').
Далее, справедливы неравенства
II ST \k < || S || || Т ||„ || Г5 ||! < || Г ||, || S ||, A.17)
которые следует понимать в том же смысле, что и неравенство
A.14). Докажем A.17); пусть, как и выше, Т = U \ Т \. Тогда
ST = SU \T \ = SU \T |J/2 | Т |V2, Так что
И st п, < н 5г/1 г г ц2 и | т |va ,|2 ^
<||5?ПМ| \Т Г ПК || ^ ПП^ ||, A.18)
в силу A.14), (V.2.30) и A.12). Второе неравенство в A.17) может
быть доказано точно так же или выведено из первого с помощью
равенства || TS \\, = \\S*T* ||,.
Наконец, докажем неравенство треугольника
II Т + S ||, < || Т ||, + || S |k. A.19)
Пусть T = U\T\,S = V\S\,T + S = W\T + S\— поляр-
полярные разложения операторов Т, S, T -f- S соответственно. Обо-
Обозначая через Хй собственные векторы оператора | Т + S \ и пола-
§ 1. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 645
гая %к = W%k, получим, как и в A.16)
<\\\T
m
U*
F*
5||1. A.20)
Пространство J?t (H, H') является нормированным векторным
пространством с нормой || ||t. Это пространство полно, однако
доказательство полноты мы опустим х).
Задача 1.13. Если Т ? «$t (H, Н'), то каноническое разложение (V.2.23)
для оператора Т сходится в норме || \\t.
Задача 1.14. Если оператор Т ? 2В± (Н) симметричен, то || Т\ II рав-
равняется сумме (с учетом кратности) собственных значений оператора Т, взя-
взятых по абсолютной величине.
Замечание 1.15. Кроме класса Шмидта и tr-класса, существуют
и другие классы компактных операторов с аналогичными свой-
свойствами. Каждый из этих классов может быть определен с помощью
некоторой нормы. Примером такой нормы является р-норма
imip = (Sa?I/P, 1<?<оо. A.21)
h
Множество всех компактных операторов Т таких, что || Т ||р<< оо,
образует нормированное векторное пространство с нормой || ||р.
Это пространство полно и является двусторонним идеалом в $& (Н),
если Н' = Н.
Более общо, можно определить аналогичную норму ||| Т \\\
как некоторую функцию сингулярных значений ah оператора Т,
симметричную по ak и неубывающую по каждому ah. Мы не будем
формулировать точное условие, при котором эта функция опре-
определяет норму. Во всяком случае норма ||| Т \\\ унитарно инва-
инвариантна в том смысле, что
UTV III =
A.22)
для любых унитарных операторов U, V; это является простым
следствием задачи V.2.13. Множество всех Т таких, что ||j T ||| <;
< оо, образует банахово пространство. Норму ||| ||| обычно
Ред].
См. Ш а т т е н [1] [или Гельфанд и Виленкин [14*].—
646 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
выбирают так, чтобы ||| Т ||| = 1, если \Т \ — одномерный орто-
ортогональный проектор. Такие нормы называются кросс-нормами *).
При р = оо р-норма совпадает с обычной нормой: || Ц» =
= || ||; это ясно из того факта, что с^ = ||| Т ||| = || Т ||. Обыч-
Обычная норма и tr-норма являются наименьшей и наибольшей среди
кросс-норм; именно,
для любого Т ? %0 (Н, Н').
Задача 1.16. Если оператор Т ? М (Н, Н') имеет конечный ранг т,
то || Т \\р < т1/р И Т \\.
Задача 1.17. Если || Тп - Т \\ ->- 0 и \\ Тп 1L < ЛТ, то || Т |L < М-
[Указание. Из || Гп — Т || ч- 0 следует || | Гп |2 — | Т |2 || -+¦ 0, так что
aAn ~^~ ak ПРИ каждом Л, где akn, к = 1, 2, . . .,— сингулярные значения
оператора Тп (непрерывность спектра для самосопряженных операторов).
m in
Таким образом, V а^ г^ lim sup У; а^п г^ Mv прп любом тп.\
й=1 h"l ' ¦
4. След и детерминант
В предыдущих главах (см. п. III.4.3 и § IV.6) мы рассмотрели
след tr T оператора, однако это понятие было определено лишь
для вырожденных операторов Т. Теперь мы покажем, что tr T
можно определить для операторов Т из tr-класса J?i (H). Как
мы видели выше, оператор Т ? 38i (H) можно представить в виде
произведения Т = АВ двух операторов А, В из класса Шмидта
98г (Н). Определим tr T формулой
tr T = (А, В*) = (В, А*) A.24)
(мы используем обозначения из (V.2.31) (см. также (V.2.35)). Так
определенный след не зависит от выбора разложения Т = АВ,
поскольку
trJ = (B, 4*)=2(Яфл. ^*Фа)=Е(^%^Ф/0=2(?1Ф^ Фй)-A-25)
fc ft ft
Таким образом, tr T представляет собой сумму диагональных эле-
элементов матрицы оператора Т в любом матричном представлении
этого оператора, отвечающем полной ортонормированнои системе.
В силу A.25) ряд, составленный из диагональных элементов,
всегда абсолютно сходится.
Из A.24) следует, что
. \хАВ = \хВА A.26)
1) Подробности см. в книге Ш а т т е н а [1].
§ 1. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 647
при А, В ? 382 (H). Это равенство верно и в более общем случае
А 6 :#z (Н, Н'), В 6 .Я»а (Н', Н), так как тогда Л? ?.#i (H'),
ZM ^i?i(H), и доказательство следует из (V.2.35). Равенство
.A.26) верно также для А 6 .»i (Н, Н') и Б ? J> (Н', Н); в этом
случае снова АВ ? J?j (И'), В А ? i?! (H). Для доказательства
положим 4 = CD, где С gi?2 (Н, Н'),? ? J>2 (Н). Тогда tr AB =
= tr CDB — tr DBC = tr BCD = tr BA; здесь мы применили
A.26) сначала к паре операторов С, DB (каждый из них принад-
принадлежит классу Шмидта), а затем к паре D, ВС.
До сих пор детерминант был определен лишь для операторов
вида 1 -f- Г, где Г — вырожденный оператор. Теперь мы можем
распространить это определение на случай Г ? 38^ (Н). Именно,
ПОЛОЖИМ
det A + Г) = etnog(i+T)< A.27)
Это определение не совсем корректно ввиду того, что log (I -f- Г)
не определен однозначно для всех Г ? 38 ^ (Н). Однако если
|| Г || << 1 (или в более общем случае, если spr Г << 1), то
log A + Т) может быть определен с помощью ряда Тейлора
log A + Т) = Т A — Г/2 + Г3/3 — . . .) и принадлежит.»! (Н),
так же как и Г. Следовательно, A.27) определяет det (I -f- T)
при || Г || << 1. Даже в общем случае формула A-27) полезна, если
более аккуратно определить log A + Т). Другой способ опре-
определения det A + Г) — рассмотреть аналитическое продолжение
функции det (I -f- zT), которая определяется, как и выше, рядом
Тейлора, по крайней мере для \ z | << || Т Ц-1. Мы не будем вда-
вдаваться в подробности, поскольку нам не придется использовать
det A + Т) для произвольного Т ? J?t (H) г).
Пример 1.18. Пусть Н = L2 (а, Ъ) и Т ? М\ (Н). Оператор Т может быть
представлен в виде Т = RS, где R, S ? ?В2 (Н); R и S можно рассматривать
как интегральные операторы Гильберта — Шмидта (пример V.2.19). Таким
образом, Т является интегральным оператором с ядром
ь
t (у, х) = f г (у, z) s (z, х) dz. - AЩ
а
Поэтому
)= Г \ r(x, z)s* {x, z)dxdz= f f r (x, »)«(*, x)dzdx, ¦ .
или
ь
[ t(x, x)dx. ' A.29)
х) Подробнее относительно следа и детерминанта см., например, в книга
Данфорда и Шварца |1]. ', . , ¦'• ¦••¦', ;
648 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Следует, однако, заметить, что равенство A.29) верно только тогда,
когда используется ядро, определяемое формулой A.28). Отметим, что при
этом функция t (х, х) определена почти для всех х. Если же дано просто
ядро t (у, х) оператора Т как интегрального оператора в том или ином смысле,
то правая часть в A.29) не обязана иметь смысл, так как можно произвольно
изменять значения функции t (х, х), не меняя Т.
Можно показать, что если оператор Т ? «58 4 (H) представлен в виде инте-
интегрального оператора с ядром t (у, х), непрерывным по х и у, то формула A.29)
верна. (Однако следует заметить, что не все интегральные операторы с непре-
непрерывным ядром принадлежат ti-классу.) В этом случае можно определить
след tr T формулой A.29), но он может и не обладать свойствами следа,
выведенными выше.
§ 2. Возмущение непрерывных спектров
1. Теорема Вейля — фон Неймана
Один из важных результатов теории возмущений непрерывных
спектров был получен Вейлем и позже обобщен фон Нейманом.
Соответствующая теорема утверждает, что любой самосопряжен-
самосопряженный оператор Н в сепарабелъном гильбертовом пространстве Н
можно превратить в самосопряженный оператор Н -\- А с чисто
точечным спектром, добавив к нему подходящий «малый» опера-
оператор *) А. Малость оператора А может быть выражена тем усло-
условием, что А принадлежит классу Шмидта и его норма Шмидта
II А ||2 достаточно мала- Более точно, справедлива
Теорема 2.1 2). Пусть Н — самосопряженный оператор в сепа-
сепарабелъном гильбертовом пространстве Н. Для любого г > 0 суще-
существует самосопряженный оператор А ?38 % (Н) с \\ А ||2 < е,
такой, что оператор H-j-A имеет чисто точечный спектр.
Для доказательства этой теоремы нам потребуется следующая
лемма.
Лемма 2.2. Для любых / 6 Н, Т] > 0 существуют конечно-
конечномерный ортогональный проектор Р и самосопряженный оператор
Y б J?2 (Н) такие, что || A — Р) / || < i\, \\ Y ||2 < т] и РП при-
приводит Н -j- Y.
со
Доказательство. Пусть Н = \ X dE (X) — спектраль-
— оо
ное представление оператора Н. Выберем а> 0 таким образом,
чтобы
II [1 - (Е (а) - Е (-a))] f ||< tj; B.1)
х) С точки зрения теории возмущений непрерывных спектров это доволь-
довольно негативный результат.
2) Доказательство, данное ниже, принадлежит фон Нейману.
Теорема будет обобщена в следующем пункте; см. теорему 2.3.
§ 2. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ 649'
это возможно, поскольку левая часть стремится к нулю при
а -*¦ оо. Пусть га — положительное целое число; положим
h = E{—— aJ—E(—^ а) , fc=l, 2, ..., п. B.2)
Операторы Eh образуют ортогональную систему ортогональных
проекторов: EjEh = 6ihEh. Положим
fh = Ekf, gh = || fk ||-i/k, fc = 1, 2, . . ., n, B.3)
причем если /fe = 0, то условимся считать, что gk = 0. Поскольку
fh, 8h 6 ^fcH, то векторы gh образуют ортонормированную систе-
систему (если исключить те gh, которые равны 0). Имеем
2ll/ft[|?ft= %fk = ((E{a)-E(-a))f. B.4>
Векторы gh являются приближенными собственными векто-
векторами оператора Н в том смысле, что
lh)gh\\^a, Xh= 2к~^-{ а, B.5)
как ясно из (VI.5.21). Пусть Р — ортогональный проектор на
подпространство, порожденное векторами gu . . ., gn, так что-
dim Р ^ га. Поскольку A — Р) gh = 0, то
|| A - Р) Hgh || = || A - Р) (Н - Xh) gh || <
< || (Я - lh) gh || < aln. B.6>
Кроме того, имеем
(A - Р) Hgh A - Р) Hgk) =0, 7 ф к. B.7)
Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что A — Р) Hgh 6
6 ЕкЯ. Но #gh 6 ЕкЯ, поскольку gh 6 ^лН и Z?feH приводит Я.
Следовательно, Hgh 1 ^, / # к, поэтому PHgh = ^ №&ъ, gj) g) =
= (Я^Л, gh) gfe 6 й'йН и, таким образом, A — Р) Hgk 6 ?ftH.
Далее, для любого и ? Н в силу B.7), B.6) и неравенства
Бесселя имеем
@1()-2Ци||2, B-8)
„ ' . . к
т. е.
|| A - Р) HP || < aln. B.9>
Оператор A — Р) HP вырожден, причем его ранг не превос-
превосходит га. Следовательно (см. задачу 1.16),
|| A - Р) HP ||2 < raV» || A - Р) HP || < aln1'*. B.10)
650 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Далее имеем
Н = РНР 4- A - Р) Н A - Р) + A - Р) HP +
+ [A - Р) HP)*. B.11)
Первые два слагаемых в правой части приводятся подпростран-
подпространством .PH. Норма Шмидта каждого из двух последних слагаемых
не превосходит а/п1''2, согласно B.10), а значит, может быть сде-
сделана меньшей, чем т)/2, если п выбрать достаточно большим.
С другой стороны, из B.4) следует, что A — Р) (Е (а) — Е (—а)) / =
— 0, так что
|| A - Р) / || = || A -P)lf- (Е (а) - Е (-а)) /1 ||< t| B.12)
в силу B.1). Таким образом, достаточно положить —Y =
= A - Р) HP + [A - Р) HP]*.
Доказательство теоремы 2.1. Пусть {uh}, к =
= 1, 2, . . .,— плотное подмножество в Н. Применим лемму 2.2
при / = щ и г\ = е/2; соответствующие Р и Y обозначим через
Pi и У4. Применим, далее, ту же лемму к части оператора Н + Fd
в подпространстве A — PJ Н при / = A — Р\) и2, г\ = г/22;
соответствующие Р и Y обозначим через Р2 и Y 2. Продолжим
Р2 и Y2 на все пространство Н, положив P2v — 0, Y2v = 0 при
v d PiH; тогда оператор Н + Yt + Y2 приводится подпростран-
подпространствами PdH и Р2Л. Применим теперь лемму к части оператора
Н -Ь Yt + Y2 в A - Pt - Р2) Н при / = A - Л - Р2) из, Л =
= е/23, обозначим через Р3, Y3 соответствующие Р и Y и про-
продолжим эти операторы на все Н, положив их равными нулю
в (Pi 4- Р2) Н. Продолжая этот процесс, получим ряд проекторов
Pit P2, ... и ряд самосопряженных операторов У4, Y2, . . .,
таких, что || A - Pi - ... - Ph) uh ||< e/2fe и || Yn \\2 < е/2\
Положим А = Yi + Y2 + . . . ; поскольку || У^ ||2 <J e/2",
то этот ряд сходится по норме Шмидта и, таким образом, опре-
определяет самосопряженный оператор А ? J?2 (Н) с \\ А ||2 ^ 8.
Покажем, что этот оператор обладает и другими свойствами, тре-
требуемыми в теореме 2.1.
Операторы Ph образуют по построению ортогональную систе-
оо
му проекторов. Эта система полна: 2j Pk = 1- Действительно,
для любых фиксированных и ? Н и ц > 0 существует ге такое,
что || wn — и||<г| и е/2п<т]. Поскольку || A — Pt — . . .
. . . - Рп) ип || <е/2" < л, то || A - Л - . . . - Рп) и ||< 2t|.
Следовательно, 2^ftM = м> что и требуется показать (использо-
(использована лемма V.2.3).
Покажем теперь, что каждое подпространство -Р^Н приводит
Н-\-А. По построению -РПН является подпространством
? 2. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ ' 651
в A - Р, - ... - *>„_,) Н и приводит Н + У, + . . . + Yn.
Следовательно, Рп коммутирует с FT -f- У\ + . . . -{- УЛ. Посколь-
Поскольку PnYh = YhPn = 0 при /с> га, то Р71 коммутирует с 77 + А,
т. е. -РПН приводит Н -\- А.
Из того факта, что РпИ приводит //, следует, что существует
конечное число собственных векторов оператора Н -\- А, которые
образуют базис в пространстве РпИ. конечномерном по построе-
построению. В силу полноты системы {Рп}, совокупность этих собствен-
собственных векторов для различных п образует полную ортонорлиро-
ванную систему в Н. Это показывает, что Н + А имеет чисто
точечный спектр; теорема 2.1 доказана.
2. Обобщение
То, что в теореме 2.1 фигурирует норма Шмидта \\А ||2, не очень
существенно. Справедливо следующее обобщение, принадлежащее
Кур оде [1].
Теорема 2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Опера-
Оператор А можно выбрать таким образом, что \\\ А ||| <С е. Здесь
III III ~~ любая {унитарно инвариантная) кросс-норма, за исклю-
исключением Xv-нормы или ей эквивалентной.
Доказательство. Достаточно показать, что || Y ||2
в лемме 2.2 можно заменить на ||| У |||; тогда проходит доказа-
доказательство теоремы 2.1 с заменой || ||г на ||| |||. Вспомним, что
в неравенстве B.10), использованном при доказательстве леммы,
главный момент состоял в том, что правая часть стремилась
к нулю при й-юо; поэтому достаточно показать, что
\\\Хп \\\<псп \\Хп || B.13)
для любого вырожденного оператора Хп ранга п, где сп — число-
числовая последовательность с lim cn = 0.
п-+оа
Поскольку обе нормы ||| ||| и || || унитарно инвариантны,
мы можем предположить, что операторы Хп неотрицательны
и симметричны. Пусть at ^ а2 ^ . . . ^ ап— положительные
собственные значения (с учетом кратности) оператора Хп, так что
j| Хп || = cq. Поскольку ||| Хп ||| не убывает по каждому из ah
(см. замечание 1.15), то достаточно доказать утверждение при
а, = . . . = ап = 1, т. е. доказать, что
п-1\\\Еп\\\^сп-^0 B.14)
для любого ортогонального проектора Еп такого, что dim En = га.
Заметим, что в силу унитарной инвариантности ||| Еп \\\ зависит
только от п.
652 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Оператор Еп можно представить в виде суммы Pt + . . . + Рп,
где Ph образуют ортогональную систему одномерных ортогональ-
ортогональных проекторов. Следовательно,
л
lJp2+...+Jpn+1lll=
+...+Л,||| = (и + 1)|||Яп||!, B.15)
поскольку ||| Pt + . . . + Рп HI = HI P2 + . . . + Pn+i HI и т. д.
в силу унитарной инвариантности нормы ||| |||. Из B.15) сле-
следует, что последовательность сп является невозрастающей.
Предположим, что формула B.14) неверна, т. е. что сп ^
> с> 0. Тогда ||| Еп ||| >жи при ак > 0
пс (в1 + . . . + ап) < (о, + . . . ап) ||| Еп ||| =
= ||| (О! + . . . + О») (Pt + ...+ Рп) III <
+ . . . + апРп III + III «гЛ + • • •
= n HI о,Л + . . . + «Л HI, B.16)
снова в силу унитарности нормы ||| |||. Учитывая, что
«Л + • • • + апРп = Хп, получаем из B.16)
с\\Хп 1К1ЦХ, |||; B.17)
это неравенство справедливо для любого вырожденного оператора
Хп произвольного ранга. Теперь B.17) можно распространить
на все X такие, что ||| X ||| -< оо, аппроксимируя X последова-
последовательностью вырожденных операторов Хп и переходя к пределу
при п-уоо. Полученное неравенство ||| X \\\ ^ с \\ X ||, озна-
означает, что норма ||| HI эквивалентна tr-норме || ||t, так как про-
противоположное неравенство всегда верно (см. A.23)). Этим дока-
доказано требуемое обобщение леммы 2.2 и завершено доказательство
теоремы 2.3.
Замечание 2.4. Остался невыясненным вопрос о том, спра-
справедлива ли теорема 2.1 с заменой \\ А ||2 на \\ A Ijj. Ответ оказы-
оказывается отрицательным; позже мы увидим, что самосопряженный
оператор Н с ненулевой абсолютно непрерывной частью Н&с
никогда не может быть превращен в оператор с чисто точечным
спектром с помощью добавления оператора из tr-класса (тео-
(теорема 4.3) х).
х) О возмущении непрерывного спектра обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных операторов (задача Штурма — Лиувилля) см. Ароншайн [3],
Путнам [1], [2], Б ат л е р [2], [3], М о з е р [1].
§ 3. ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ СПЕКТРА 653
Замечание 2.5. Теоремы 2.1 и 2.3 утверждают, что чисто
непрерывный спектр может быть превращен в чисто точечный
с помощью возмущения оператора «малой» добавкой. Не следует
думать, что этот точечный спектр состоит из изолированных соб-
собственных значений. Напротив, собственные значения будут рас-
распределены всюду плотно на интервале I, если непрерывный спектр
невозмущенного оператора покрывал I. Этот факт является след-
следствием устойчивости существенного спектра при добавлении
вполне непрерывного оператора (см. теорему IV.5.35), поскольку
2С (Н) есть подмножество в 2е (Н), так что Ic Ee (H) =
= 2е (Н -[- А). (Отсюда следует, что множество собственных
значений оператора Н + А должно быть плотным в I, если Н + А
имеет чисто точечный спектр.)
§ 3. Волновые операторы
и устойчивость спектра
1. Введение
В дальнейшем мы будем иметь дело исключительно с сепара-
белъным гильбертовым пространством Н. Пусть Hj, H^ — два
самосопряженных оператора в Н. Рассмотрим однопараметриче-
ские группы e~itHi, e~iW2, порожденные операторами —Ш\,
—гН2 соответственно, и однопараметрическое семейство унитар-
унитарных операторов
W (t) = eiiHie-iiH\ —оо < t < oo. C.1)
Вообще говоря, W (t) не образуют группы. Нас интересует
асимптотическое поведение семейства { W if)} при t-*¦ ±оо, кото-
которое важно для физических приложений, поскольку W (t) исполь-
используется для описания движения квантово-механической системы
в так называемом представлении взаимодействия. В частности,
пределы W± семейства {W (?)} при t ->¦ ± оо, если они суще-
существуют, называются волновыми операторами, a S = W+W-. —
оператором рассеяния; это — основные величины в теории рас-
рассеяния *). С другой стороны, вопрос имеет самостоятельный мате-
математический интерес, так как он тесно связан с проблемой уни-
унитарной эквивалентности операторов Ht и Н2, как будет ясно
из доказываемых ниже теорем.
х) Математическая формулировка теории рассеяния содержится в рабо-
работах Фридрихса [4], Я у х а [1], [2], К у р о д ы [2]. То, о чем рас-
рассказывается в этой главе, соответствует весьма частному случаю явления
рассеяния (простой рассеивающей системе, согласно Я у х у). Математиче-
Математические результаты, относящиеся к более общему случаю многоканального рас-
рассеяния, немногочисленны; см. Яух [2], Хэк [2], Фаддеев [1], [2].
654 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
В этих исследованиях одной из главных проблем является
проблема существования волновых операторов. Естественно, вол-
волновые операторы существуют лишь при довольно сильных огра-
ограничениях. Необходимо, чтобы оператор Н2 отличался от опе-
оператора Hi лишь ненамного в том или ином смысле; таким образом,
задача по сути дела относится к теории возмущений. Другой
важный вопрос состоит в том, является ли оператор S унитарным.
Можно было бы ожидать, что операторы W^., будучи пределами
семейства {W (?)}, должны быть унитарны. Однако это не всегда
так. Если мы предположим, что W± являются сильными преде-
пределами семейства {W (?)}, то они изометричны, но не обязаны быть
унитарными. Оператор S = WXW- унитарен тогда и только
тогда, когда образы операторов W± совпадают х). В физических
приложениях существенно, чтобы оператор S был унитарным 2).
Таким образом, другой основной математической задачей является
исследование того, при каких условиях совпадают образы опе-
операторов W±.
Теория волновых операторов специфична для бесконечно-
бесконечномерного гильбертова пространства и не имеет никаких аналогов
в конечномерном пространстве. Действительно, разумно ожи-
ожидать, что волновые операторы существуют только тогда, когда Н%
имеет чисто непрерывный спектр. Предположим, что #i имеет
собственное значение К: Нхи = Ум, и Ф 0. Тогда W (t) и —
~eit(H2-K)Um Если W+ = s-lim W (t) существует, то
i->oo
[| W (t + а) и —W{t)u\\= \\eia №-*>ы — и || ->- 0, t ->- оо, '
при любом вещественном а. Отсюда следует, что eio(H2~^ u= и,
так что Л2и = Ум. Таким образом, любой собственный вектор
оператора Ht должен также быть собственным вектором опера-
оператора Н2 с тел! же собственным значением. За исключением этого
частного случая, волновые операторы существуют только тогда?
когда Hi имеет чисто непрерывный спектр.
Пример 3.1. Пусть Н = L2 (— оо, оо), Ну =¦ —idldx, Н2 = —ld/dx +
+ q (х), где д (х) — вещественная функция. Оператор Ну самосопряжен.
Оператор Н% также самосопряжен, по крайней мере если функция q (x)
ограничена (и, значит, определяет ограниченный оператор). Мы знаем, что
оператор —Шу = —dldx порождает группу e~ltHt, причем е~^1\ и (х) =
= и (х — t) (см. задачу IX. 1.9). Посмотрим, что собой представляет группа
х) Иногда сами операторы W± унитарны, так что S унитарен автомати-
автоматически. В таком случае W± имеют свои собственные спектральные представ-
представления. Здесь мы не интересуемся спектральными свойствами этих операторов.
По этим п смежным вопросам сы. П у т н а м [4], [6], [8] — [10].
2) Как легко видеть, S коммутирует с Ну. Поэтому S можно представить
в виде прямого интеграла от унитарного оператора S (к), —оо < Я. < оо,
где S (к) действует в гильбертовом пространство Н( (Я), а Ну — в виде пря-
прямого интеграла от скалярного оператора % в Н4 (к) (о прямом интеграле см.
Диксмье fl]j. Оператор S (X) называется S-матрицей.
§ 3. ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ СПЕКТРА 65S
е~чнг. Как легко проверить, Н2 можно представить в виде H^Wo^HiWo,-
где Wo— унитарный оператор, определяемый формулой Wou (х) '=«<?(*> и (х),.
X
где р (х) — \ q (у) dy. Таким образом, {Н2 — Q'1 = Wq-1 (#t— Q~l w0 при
и
любом невещественном ?, откуда следует, что еин2 =W^1eltHi w0. Поэтому
е^Нг и (х) = e-ip<*) e«Hi Wo и (ж) = e-*P<x) eip<.t+<) ц (ж + i). Следовательно.
W(t) является оператором умножения на el<pi*+*i-p<*». Переходя к пределу
при t—*¦ оо, получаем
W+= ехр ( г
г j-g (i,)i!/j , ' C.2>
л:
оо
при условии, что существует несобственный интеграл \ д (у) dy. Легко про-
I)
верить, что предел C.2) существует как сильный предел. Очевидно, что опе-
оператор W л. унитарен. Аналогично, и>_ существует и определяется формулой
X
W'_ =ехр (—i I g (у) dy), при условии что соответствующий несобственный
интеграл существует. Если существуют оба этих интеграла, то S=W^\V_ =
со
= exp (—i i q (у) dy), т. е. S является оператором умножения на скаляр,
— оо
равный 1 по абсолютной величине.
2. Обобщенные волновые операторы
Обозначим через Hhac, А; = 1, 2, спектрально абсолютно
непрерывную часть оператора Hk, т. е. часть оператора Hh в про-
пространстве Нйас абсолютной непрерывности для Нк. Ортого-
Ортогональный проектор на Hft>ac будем обозначать через Ph, к = 1, 2.
Выше было отмечено, что волновые операторы, вообще говоря,
существуют только тогда, когда Hi имеет чисто непрерывный
спектр. Как мы увидим, часто оказывается, что
W± = W± (#2, Hi) = s- lira W (t) Pi C.3)
существует даже тогда, когда собственно волновые операторы
не существуют а). По этой и другим причинам мы предпочитаем
рассматривать пределы C.3), а не собственно волновые операто-
операторы. Если оператор W+ {W_) существует, то мы будем называть его
обобщенным волновым оператором, соответствующим паре Н\, Hz-
х) Выбор сильного предела существен для того, чтобы операторы W±
были частично изометричными. Иногда, однако, определяют W± как слабые
пределы, или как пределы в каком-либо ином, более слабом смысле. См.
Кук [2]. Пределы при t-*¦ +°о операторов вида W(t) AW(t)-1 рассмотре-
рассмотрены Като и Мугибаяси [1].
'656 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Если, в частности, оператор Hi спектрально абсолютно непре-
непрерывен, так что Pi = 1, то W± совпадают с собственно волновыми
операторами.
Основные свойства обобщенных волновых операторов даются
следующими теоремами1)
Теорема 3.2. Если оператор W+ = W+ (Н2, Ht) существует,
то он частично изометричен, причем его исходным множеством
является Hi t ас, о- финальное множество М+ содержится в Н2> ас.
Подпространство М+ приводит Н2. Таким образом,
W* W+ = Ри W+Wt = ?+ < Р2, C.4)
W+ = W+Pi = E+W+ = P2W+,
W% = PiW% = W%E+ = W*+P2, C-5)
где E+ является ортогональным проектором на М+ и коммути-
коммутирует с Н2- Кроме того, имеем
H2W+ = H2PZW+ = W+HiPi zd W+Hi, HiWt zd W*H2. C.6)
В частности, из C.6) следует, что оператор Hiiac унитарно
эквивалентен части оператора H2iac в М+ и 2ас (Hi) c:2ac (-^г)-
Аналогичный результат справедлив для оператора W-, если он
существует.
Доказательство. Так как W+ = s-lim W (t) Pi, то
|| W+u || = lim И W (t) PiU || = || P{u || при любом и ? Я, что
эквивалентно равенству И^И7 = Р^ Следовательно, оператор
W+ частично изометричен, с исходным множеством Р^ = Hi>ac
(см. п. V.2.2). Оператор Е% = W+W^ является проектором
на финальное множество оператора W+, которое мы обозначим
через М+. Этим доказаны C.4) и C.5), за исключением формул,
в которые входит Р2.
Далее 2), для любого вещественного s имеем
+ = S4im W(s + t) eisH* = W+eisHi. C.7)
Умножим обе части на ег-'&, Im ? < 0, и проинтегрируем по s
от 0 до оо (преобразование Лапласа); получим (см. (IX. 1.28))
(Я2 - S)-i W+ = W+ (Hi - С)-1. C.8)
!) См. Т. Кат о [10], [И], [17], Курода [2].
2) Формулы C.7) —C.9) и C.12) верны, даже если W + является не силь-
.ным, а слабым пределом семейства {W(t)}. Но в этом случае оператор W+
не обязан быть частично изомотричным и даже может быть нулевым; тогда
«оответствующие результаты бессодержательны.
§ 3. ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ СПЕКТРА 657
То же верно и при Im ?> 0; надо лишь интегрировать по s от
—оо до 0. Равенство C.8) эквивалентно тому, что х)
H2W+ =э W+Hi. C.9)
Как легко видеть, из C.9) следует двойственное соотношение
HiWl з WtH2.
Следовательно,
Е+Н2 = W+WXHi a W+HiWl a E2W+W*+ = Н2Е+. C.10)
Это показывает, что Е+ коммутирует с Н2, и поэтому М+ при-
приводит Я2. Имеем также Е+Н2Е+ с: Н2Е+Е+ = Н2Е+. Здесь,
однако, мы можем заменить включение равенством, поскольку
операторы Е+Н2Е+ и Н2Е+ имеют одинаковые области определе-
определения. Итак, Н2Е+ = Е+Н2Е+, и потому (после умножения C.10)
справа на Е+) мы можем все знаки включения заменить знаками
равенства. В частности, Е+Н2Е+ = W+HiW*+E+ = W+HiW*,
следовательно,
HZW+ = H2E+W+ = E+H2E+W+ = W+
= W+H,PX. C.11)
Пусть Ek (X), к — 1, 2,— спектральное семейство для //;,.
Для любой точки К, в которой семейство Ek (X) непрерывно,
Еь (h) можно представить в виде интеграла от (//& — Q по неко-
некоторой кривой (см. лемму VI.5.6). Поскольку Eh (к) имеет не более
чем счетное множество точек разрыва, то из C.8) получаем, что
Е2 (к) W+ = W+Et (К), -оо < К < оо, C.12)
сначала для тех К, в которых оба семейства {Ек (К)} непрерывны,
а затем для всех К в силу непрерывности справа этих семейств.
Поскольку PiU ? Ht ас, то из C.12) следует, что функ-
функция || Е2 (X) W+u\f = || W+E{ (X)u\f - || PiEi (X) и |'|2 =
= || E-i (к) Р{и ||2 абсолютно непрерывна по X. Поэтому W+и ?
€ Н2,ао = ^гН при любом и g Н. Этим доказано, что М+ с: Н2,ас,
или Е + ^ Р2, поскольку образом оператора W+ является М+ =
== Е+Н. В частности, W+ = P2W+, W^ = W*+P2, и это вместе
с C.11) завершает доказательство формулы C.6) и оставшихся
равенств в C.4) и C.5).
В теореме 3.2 М+ является подмножеством в H2jac5 причем,
вообще говоря, собственным подмножеством. Если М+ = Н2>ао,
или, что эквивалентно, Е+ = Р2, то будем называть волновой
') Доказательство эквивалентности формул C.8) и C.9) аналогично
доказательству того, что ограниченный оператор W коммутирует с Н тогда
и только тогда, когда W коммутирует с резольвентой (// — Q; см. теоре-
теорему Ш.6.5.
42 т. Като
658 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
оператор W+ полным *). Аналогично вводится понятие полноты
для PF_. Если один из операторов W+ или W_ существует и являет-
является полным, то HiiSLC и Я2,ас унитарно эквивалентны.
Теорема 3.3. Если W+JrW+(H.2, II х) существует, то при t—>-oo
iHt C.13)
s
C.15)
C.16)
¦ A - ?+) ri(H' Pt -> 0, A - P2) e-iiU* Pi -*- 0. C.17)
s s
Аналогичные соотношения справедливы при t —>¦—оо с заменой
W + на W_, при условии, что последний существует.
Доказательство. Первая формула в C.13) является
определением оператора W+; из нее после умножения слева 2)
на e~itH2 следует первая формула из C.14); вторая получается
с помощью дальнейшего умножения на eltHi. Вторая формула
в C.13) следует из второй формулы в C.14) после умножения
справа на И7*. Первые формулы в C.15) и C.14) совпадают в силу
C.7) и равенства W+ = W+Pu вторая формула в C.15) получает-
получается из первой с помощью умножения слева на —W* (заметим, что
W^PF.). = Pi коммутирует с e~imi). Каждое из соотношений C.16)
получается из соответствующих соотношений C.15) с помощью
умножения слева на eitHi. И наконец, первая из формул C.17)
следует из
|| A - Е+) е~ин> 1\и || = || е«н* A - Е+) е"ш/' Р{и \\ =
= || A - Е+) е»н* е~^ PiU || - || A - Е+) W+и || = О,
а вторая — из первой, поскольку 1 — Р2 =SC 1 — Е+.
Теорема 3.4 (цепное правило). Если W + (II2, Hi) и W+ (Н3, II2)
существуют, то W + (Я3, Нх) также существует и
W+ (Яз, Я,) = W+ (Я3, Н2) W+ (Я2, Я,). C.18)
Аналогичный результат справедлив для W'_.
х) Пример неполного оператора W+ дай Като и Куродой [1].
2) Заметим, что любое соотношение вида At -*¦ 0 можно умножать слева
S
на равномерно ограниченный оператор Bt, тогда как умножать на В( спра-
справа, вообще говоря, можно только тогда, когда Bt не зависит от t.
§ 3. ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ СПЕКТРА 659
Доказательство. W+ (Н2, Нх) = s-lim епПг е~ин>-Р1
и W+ (Я3, Н2) = s-lim eitH2 e"iiHi Рг, откуда
W+ (Я3, Я2) W+ (Н2, Я,) = s-lim eitHs Р2е^^Ри C.19)
поскольку Р2 и eitH2 коммутируют. Доказательство будет за-
завершено, если мы покажем, что s-lim eitHa (I — Р2) e~itHi Pl = 0.
Но это очевидно в силу второго из соотношений C.17).
Теорема 3.5. Пусть W+ (Н2, Ht) и W+ (Ни Н2) существуют.
Тогда
W+ (Ни Н2) = W+ (Я2, Ht)*; C.20)
оператор W+ (Я2, //4) частично изометричен, с исходным множе-
множеством Hi,ас и финальным H2iao)' оператор W+ (Hit H2) частично
изометричен, с исходным множеством Н2_ас и финальным Hi>ac-
Каждый из двух обобщенных волновых операторов является полным,
а Н\ас и Hyt ac унитарно эквивалентны. Такие же результаты
справедливы для W—
Доказательство. Положим Н3 = Hi в теореме 3.4;
получим W+ (Hi, H2) W+ (Я2, Н^ = Pi, поскольку очевидно,
что W+ (Нх, Hi) = Pi. Далее, обозначая для простоты W21 =
— W+ (Я2, Н^ и т. д., имеем Wi2W2i = Pt, поэтому W2iWi2 =
= Р2 в силу симметрии. Отсюда, учитывая C.5) и C.6), получаем
W12 = PiW12 = (W*\W2i) Wi2 = Ш*Л (W2iW12) = WIP2 = Wl.
Это доказывает формулу C.20); остальные утверждения полу-
получаются автоматически.
Замечание 3.6. В доказанных выше теоремах несущественно,
что оператор Ри фигурирующий в определении C.3) операторов
W±, является проектором на Hiac. Мы могли бы с тем же успе-
успехом выбрать в качестве Рх проектор на Hi)C, пространство непре-
непрерывности для Ht. Выбор пространства Hiao важен тогда, когда
мы рассматриваем условия существования для W±.
3. Достаточное условие существования
волнового оператора
Следующая теорема дает достаточное условие существования
обобщенного волнового оператора, довольно грубое, но удобное
для приложений.
Теорема 3.7 *). Предположим, что существует фундаменталь-
фундаментальное подмножество D пространства Н( <ас, обладающее следующими
свойствами: если и ? D, то существует вещественное s такое,
См. К у к [1], Я у х [1], К у р о д а [2].
42*
660 ' Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
что e-iiHl и ? D (Я,) f] D (Я2) тг/ж s < ? < 00, (Я2 — Я^ e~itHl и
непрерывно зависит от t и функция || (Я2 — Hi) e~itHi и || интегри-
интегрируема на (s, оо). Тогда W + (Я2, Я4) существует. (С очевидными
изменениями эта теорема справедлива для W_ (Я2, Я1).)
Доказательство. Если и б D, то (d/df) PF (<) и =
= (d/dt) eiiH* e-itHi и = ie"H* (Я2 - Я,) е"""* и (см. п. IX.1.3),
и эта производная непрерывна по предположению. Интегрируя,
получим
itn*(H2 — IU)e-itR4idt. C.21)
Поскольку ||е'Ш2|| = 1, то
I"
|| W(t")u-W(t')u ||< j || (#2-#0e-"Hiw || df. C.22)
j
"Так как подинтегральная функция в правой части интегрируема
на (s, 00), то правая часть стремится к нулю при t', t" —v 00
и s-lim PF (f) u. существует.
/ч-оо
Поскольку это верно для всех и из множества D, фундамен-
фундаментального в Hliac, и поскольку семейство W (t) равномерно огра-
ограничено, то (см. лемму III.3.5) рассматриваемый предел существует
для любого и б Hi>ac = PiH, что эквивалентно существованию
оператора W+ (Я2, Я1).
В связи с тождеством C.21) приведем следующую лемму, кото-
которая будет полезна в дальнейшем.
Лемма 3.8. Пусть Я, = Hi + А, где А б % (Н). Если W+ =
= W+ (Я2, Я4) существует, то для любого и б Hi, ас справедливо
равенство
II IT/ ,, ш tf\ j, i|2— 2 Im t (eisHiW*Ap-isHiu >/W« f4 ?4\
I
Доказательство. Если и б D (Я1), то справедливо
тождество C.21). Это тождество верно даже для любого и б Н,
если заменить Я2 — Я1 на А, ибо в этом случае обе части тожде-
тождества являются элементами из S (Н). Если, в частности, и б Hi, ac,
то lim W (t") и = W+и существует, так что
f-юо
оо
W+u — W(t)u=i [ eisa*Ae-isU4ids, u6Hi,ac. C.24)
t
Так как || W+и \\ = \\ и ||, поскольку и g H4 ас, и так как опе-
оператор W (t) унитарен, то || W+u — W (t) и ||2 = 2 || и ||2 —
§ 3. ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ СПЕКТРА 661
— 2Re (W (t) и, W+u) = 2Re {W+u — W (t) u, W+ и). Подстав-
Подставляя сюда C.24) и учитывая, что W+eisH* = eisHl W+ (соотно-
(соотношение, сопряженное к C.7)), получим C.23).
4. Применение к потенциальному рассеянию
Пусть Н = L2 (R3), и пусть
Ht = -А, Я2 = -А + q (х), . C.25)
где А — оператор Лапласа, q (х) — некоторая вещественная
функция. Мы знаем, что оператор Ht самосопряжен, если А пони-
понимается в обобщенном смысле, и что оператор Н2 с областью опре-
определения D (Н2) = D {Hi) также самосопряжен, по крайней мере
если q (х) является суммой функции из L2 (В3) и ограниченной
функции (см. теорему V.5.4). Заметим далее, что оператор Ht
спектрально абсолютно непрерывен (см. пример 1.10), так что
Pt = 1.
Покажем, что теорема 3.7 применима к паре Hi, Нг при неко-
некоторых дополнительных ограничениях на q (x). Положим
и{х) = е-1*-«|*/21 а е R3, • C.26)
тогда
е-'Ш1 и (х) = A + 2ii)~3/2 е I х~а I 2/2A+2г*), C.27)
как это ясно из результатов п. IX. 1.8 (соответствующей одно-
одномерной формулой будет (IX.1.75)). Функция C.27) ограничена
по х: она не превосходит по модулю числа
Следовательно,
|| (Н2 - Я,) e-«Hi ц ||< A + At*)-3'* || q ||, ' C.28)
если q ? L2 (R3); через || q || обозначена Ь2-норма функции д. Оче-
Очевидно, что функция C.28) интегрируема на —оо <; t <C оо. По-
Поскольку множество всех функций вида C.26) с различными а
фундаментально в Н (см. § IX.1), то из теоремы 3.7 следует, что
операторы W± (H2, Ht) существуют и что они являются настоя-
настоящими волновыми операторами, поскольку Рг = 1. В частности,
оператор Hi унитарно эквивалентен некоторой части Н2- Отсюда,
между прочим, следует, что 2 (Н2) содержит всю положительную
вещественную полуось. Это нетривиальный результат, и получить
его прямое доказательство было бы нелегко.
Сделанное выше предположение о том, что q 6 L2, можно
слегка ослабить, если учесть, что правая часть в C.28) убывает
как | t |-s/2, т. е. быстрее, чем необходимо для интегрируемости.
662 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Для того чтобы получить лучшую оценку, заметим, что
C-29)
при любом в таком, что О <С е < 1. Произведение двух послед-
последних сомножителей в правой части ограничено по х числом, не за-
зависящим от t (заметим, что | ехр (— \х — а \2/2 A + 2it)) | =
= ехр (— \х — а |2/2 A + At2))). Второй сомножитель в области
| х — а | ^ 1 мажорируется функцией | q (x) \ I A -f- | x |)(Х-Е)/2,
умноженной на некоторый коэффициент. Следовательно, интеграл
от | vt (x) |2 по этой области не Превосходит некоторого кратного
A + At2)'1'*!2, если
f(l + |a:| )~Не| Я (z) \2dx< оо для некоторого е>0. C.30)
С другой стороны, интеграл по области \ х — а \ ^ 1 от
| vt (x) \2 мажорируется интегралом от | q (x) \2 по этой ограни-
ограниченной области с коэффициентом A + At2)-2'2 (по той же причине,
что и в C.28)). Следовательно, \\vt \\ ^ const A + At2) ~ ^2 -?/4
и JJ vt JJ интегрируема на (—оо, оо).
Таким образом, доказана
Теорема 3.9х). Пусть Нь Н2 — введенные выше операторы,
причем q (x) являет.ея суммой функции из L2 (R3) и ограниченной
функции. Если q (x) удовлетворяет дополнительному условию
{3.30), то W± (H2, Н^ существуют и являются настоящими
волновыми операторами. В частности, оператор Hi унитарно
эквивалентен некоторой части Н2 и Еас {Нг) содержит положи-
положительную вещественную полуось.
Замечание 3.10. Условие C.30) выполняется, если q(x)=--
--О ([а;]"8) при |а: | —у- оо.
Замечание 3.11. Согласно теореме V.5.7, Hz имеет только
изолированные собственные значения на отрицательной веществен-
вещественной полуоси, если выполнено условие, аналогичное условию
теоремы 3.9; но это показывает лишь, что положительная веще-
вещественная полуось есть Ее(//2)- Таким образом, теорема 3.9 и тео-
теорема V.5.7 дополняют друг друга.
i
х) См. Курода [2]. См. также Кук [1], Хэк [1], Яух и Цин-
нес [1], Браунел [3]. О волновых операторах в случае системы мно-
многих частиц см. Хэк [2].
§ i. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ПОЛНОТА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 663
§ 4. Существование и полнота волновых операторов
1. Возмущения ранга 1 (частный случай)
Теперь мы перейдем к доказательству ряда теорем существо-
существования и полноты волновых операторов W± (Н2, Н\). Доказатель-
Доказательство будет проведено в несколько этапов. Мы начнем с рассмот-
рассмотрения весьма частного случая.
Пусть Н = L2 (—оо, оо), и пусть 77 4 — максимальный опера-
оператор умножения, определяемый формулой Н(и (х) = хи (х). Опе-
Оператор Hi с областью определения D (Ht), состоящей из всех
и ? Н таких, что хи (х) ? Н, самосопряжен и спектрально непре-
непрерывен. Пусть А — оператор ранга 1, определяемый формулой
Аи = с (и, /) /, D.1)
где с — вещественная постоянная, / — заданный элемент про-
пространства Н, ]]/ || =-- 1. Предположим, далее, что f = f (х) —
гладкая функция, быстро убывающая при ?-у±оо.
Положим Н2 = Нх -\- А; оператор Н2 с областью определения
D (Hz) — D (Hi) самосопряжен. Покажем, что операторы
Wх. (Hz,Hi) существуют. Для этого достаточно показать, что
выполнены условия теоремы 3.7. При любом и ? Н имеем
Ae-iiHiu = c(e-UHiu, /) • D.2)
и
f e~Uxu(x)JJx)dx . D.3)
Если и (х) — гладкая быстро убывающая функция, то преобразо-
преобразование Фурье от и/ есть снова гладкая быстро убывающая функция,
так что функция D.3) интегрируема по t на (—оо, оо). Таким
образом, предположения теоремы 3.7 выполнены, поскольку
множество таких функций и плотно в Н = Hi ac.
Оценим скорость сходимости W (t) -+¦ W+, t-*-oo. Подста-
Подстановка D.2) в C.23) дает
i\W+u-W(t)u\\°-= ~2clm
j
'\ \ \{elsHiWlf, u)fds^'2. D.4)
' t
Интегралы в правой части этой формулы сходятся. Действительно,
(e~isHi и, /) есть преобразование Фурье от uf, как отмечено выше,
664 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
так что (равенство Парссваля)
I /g-isHiK, f) 2 ds — 2 л I w/1!2 <С2л ||/||2|1ы.1|а = 2 л II и IIs D 5)
и такие же неравенства справедливы для других интегралов
в D.4). Через || и ||<х> обозначена супремум-норма функции и (х),
гладкой по предположению. Заметим, что || W*f || ^ || / || = 1,
так как оператор W* частично изометричен.
Поскольку мы не знаем, что собой представляет функция
W'l f {x), то заменим второй интеграл в правой части форму-
формулы D.4) его мажорантой 2л [[ и [|L; получим
~"\ D.6)
Эта формула дает оценку скорости сходимости W (t) и —v W+и.
Извлекая квадратный корень из D.6) и вычитая одно из другого
два неравенства для различных значений t, получаем
111 '¦'/I I ~Т I ] ' * '¦'/I [• \/
' I' '' t"
Следует заметить, что эта формула не содержит ни W+, ни W*.
Более того, тот факт, что / (х) — гладкая функция, не отражен
явно в этом неравенстве (входящие в него интегралы конечны,
если выполнено лишь условие / 6 Н, см. D.5)). Это наводит
на мысль, что формула D.7) верна для любого f 6 Н и любого и ?
? Н П L00. Докажем это с помощью предельного перехода х),
отправляясь от гладких / и и.
Пусть сначала / {х) — гладкая быстро убывающая функция,
а и (; Н fl L°°. Существует последовательность {ип} гладких
быстро убывающих функций, такая, что || ип — и |[ —>- 0 и
I! ип \\°° -*- II и ||оо. Поскольку неравенство D.7) верно для каж-
каждого ип, то, переходя к пределу при п —v оо и используя нера-
неравенство
2 Г 7 , , ...„. „ ,., , '11/2
i \\\е
ii/2[[Wn-HII/ik-^0, D.8)
}) Довольно странно, но до сих пор неизвестно ни одного прямого дока-
доказательства формулы D.7).
§ i. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ПОЛНОТА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 665
заключаем, что оно верно для и. Первое неравенство в D.8)
является неравенством треугольника в L2 (t, оо), а второе полу-
получается из D.5), если ми/ поменять ролями.
Рассмотрим теперь общий случай: / ? Н, || / || = 1, и ? Н f] L°°.
Пусть /п — последовательность гладких быстро убывающих функ-
функций, такая, что || /„ || = 1 и || /п — / || ->¦ 0. Положил! Н2п =
= Hi + с ( , /„) /п; тогда неравенство D.7) верно, если в нем
заменить / на /„ и W (t) на Wn (t) = eimtne"iiHi. Отсюда полу-
получаем D.7) с помощью предельного перехода при п —>¦ оо; при этом
используем следующие факты. Поскольку || Н2п — Ht || ^
< 2 | с | ||/„ — / ||-»-0, то в силу теоремы IX.2.1 || Wn (t) -
— W (t) || = || eltHzn —еш/2||-->-0. Снова интегралы в правой
части неравенства D.7) для /„ вместо / сходятся при п ->¦ оо к та-
таким же интегралам для /; доказательство аналогично доказатель-
доказательству неравенства D.8), при этом ми/ меняются ролями.
Поскольку интегралы в правой части неравенства D.7) суще-
существуют, то из D.7) следует, что lim W (t) и существует при любом
t-MO
и ? Н f] L°°. Отсюда, как и выше, заключаем, что s-lim W (?) =
t-+ со
= W+ (Hz, Hi) существует. Такая же ситуация имеет место при
t —>¦ —оо; таким образом, доказана
Теорема 4.1. Пусть Н = L2 (—оо, оо), и пусть Hi — опера-
оператор умножения: HiU (x) = хи(х). Тогда оператор Ht спектрально
абсолютно непрерывен и волновые операторы W±{H2, Hi) суще-
существуют для любого самосопряженного оператора Н2, который
получается при возмущении оператора Hi оператором ранга 1:
Я2 = Hi + с (,/)/, / 6 Н.
Замечание 4.2. Приведем одно обобщение теоремы 4.1, которое
будет полезно в дальнейшем. Предположим, что Ht — самосопря-
самосопряженный оператор в абстрактном гильбертовом пространстве Н
и что оператор Я4 >ас унитарно эквивалентен оператору Hi из тео-
теоремы 4.1. Тогда мы утверждаем, что операторы W± (ff2, H^)
существуют для любого Н2 = Я( + с (,/)/,/ f H.
Это утверждение можно доказать с помощью таких же рас-
рассуждений, какие были проведены при доказательстве теоремы 4.1.
Заметим прежде всего, что Н1ас можно отождествить с
L2 (—оо, оо), a #i,ac с Hi из теоремы 4.1. Положим / = g + ht
g = Pif, h = A — Pi) f. Вектор g принадлежит Hijao = L2,
так что его можно представить в виде функции g (x). Рассмотрим
сначала случай, когда g (x) — гладкая быстро убывающая функ-
функция. Тогда существование операторов W± может быть доказано
так же, как и выше. Единственное изменение, которое нужно
внести,—это потребовать, чтобы вектор и принадлежал Н1>ас
(так что и = и (х) ^ L2); тогда и = Р±и и (e~itBi и, /) =
= (e~itHiu, Pif) = (e~itHi и, g) можно представить в виде такого
C66 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
же интеграла, как в D.3), с заменой / на g. Также и оценка D.4)
верна, если / заменить на g (W*f заменять не нужно, но этот
вектор принадлежит Ъ1>лс, а значит, может быть представлен
функцией из L2). Следовательно, формулы D.6) и D.7) верны,
если / заменить на g.
Теперь неравенство D.7) можно распространить на любые
и (х) 6 L2 f] L°° так же, как и выше (всюду / заменяется на g).
Дальнейшее распространение на произвольные / может быть
также проведено, как выше; мы полагаем fn — gn + h, где gn =
= gn (x) 6 H1>ac — гладкие функции, такие, что || gn || = || g \\
и \\gn — g 11-^0 (так что ||/„ || = 1, ||/„ — / ||->0), и доказа-
доказательство проходит без изменений.
Следовательно, lim W (t) и существует при любом и ? L2 f| L°°.
Поскольку такие и образуют плотное множество в L2 = Hiac,
то существование s-lim W (t) доказано.
2. Возмущения ранга 1 (общий случай)
В теореме 4.1, доказанной выше, невозмущенный оператор Ht
имел весьма специальный вид: это был оператор умножения на х
в Н = L2 (—оо, оо). Избавимся теперь от этого ограничения.
Сначала рассмотрим случай, когда Н = L2 (S), где S —
произвольное борелевское подмножество вещественной оси
{—оо, оо), а Н\ — максимальный оператор умножения: Н^и (х) =
= хи (х), с областью определения D (#i), состоящей из всех
и (х) g Н таких, что хи (х) ? Н; как и выше, оператор Я4 спек-
спектрально абсолютно непрерывен. Покажем, что волновые опера-
операторы W± (Hz, H^ существуют для любого оператора Нг =
= Hi + с ( , /) /, который получается из Hi с помощью возму-
возмущения ранга 1.
Мы можем рассматривать Н как подпространство более широ-
широкого гильбертова пространства Н' = L2 (—оо, оо)', образуемое
всеми и ? Н' такими, что и (х) = 0 при х (j S. Пусть Н\ — мак-
максимальный оператор умножения на ? в Н'. Тогда подпростран-
подпространство Н пространства Н' приводит Н[, и часть Н\ в Н совпадает
€ Н^. Пусть Н'2 = Н[ + с ( , /) /, где / мы рассматриваем как
элемент из Н', полагая / (х) =0 при х (J S'. Тогда Н'2 также при-
приводится пространством Н, и его часть в Н есть Я2. Таким обра-
образом, e~itHl и e~itHi также приводятся подпространством Н, и их
частями в Н являются e~ltlIi и e~ltHi соответственно.
Но мы знаем из теоремы 4.1, что W (t) = eitH* e~itHl имеет
сильные пределы при t —>¦ ±оо. Поскольку оператор W (t) также
приводится подпространством Н и его часть в Н есть W (t) =
= eiffljrifflij т0 цг± = s-lim W (t) существует.
t~>±<x>
§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ПОЛНОТА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 667
Снова мы можем распространить полученный результат на бо-
более общий случай, когда оператор Hi не обязательно абсолютно
непрерывен, с помощью способа, описанного в замечании 4.2.
Предположим, что оператор Hi ac унитарно эквивалентен рас-
рассмотренному выше оператору Hi умножения на х в L2 (S). Мы
утверждаем, что для любого #2 = Нх + с ( , /) /, / ? Н, суще-
существуют обобщенные волновые операторы W± (Н2, Hi). Для дока-
доказательства достаточно провести такое же рассуждение, как в заме-
замечании 4.2. Мы можем отождествить Н] ас с L2 (S) и Hi&c —
с оператором умножения на х и рассматривать Hj _ ас. = L2 (S)
как подпространство более широкого гильбертова пространства
Щ = L2 (—оо, оо), а Н — соответственно как подпространство
пространства Н' = Щф HliS (Hi s является подпространством
сингулярности для Hi). Тогда Н^ можно рассматривать как часть
в Н оператора Н\ = Н[%ас ф #ijS, где Н[^ас — оператор умно-
умножения на г в Щ = L2 (—оо, оо). Положим Н'г = Н[ + с ( , /) /,
где / мы рассматриваем как элемент из Н', полагая / = g + к,
.g ? Н^, h 6 Hls, где g (х) — 0 при а; $ S (первоначально функция
g (ж) была определена при а: ? S). Далее проходит то же рассуж-
рассуждение, что и выше, с использованием замечания 4.2 вместо тео-
теоремы 4.1.
Рассмотрим теперь возмущение ранга 1 без каких-либо пред-
предположений относительно Hi. Пусть Нг — произвольный само-
самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н; положим
Л2 = Hi -\- с ( , /) /, где / 6 Н, || / || = 1, с вещественно. Пусть
Но — наименьшее содержащее / подпространство, которое при-
приводит Hi, и пусть Ро — проектор на Но. Подпространство Но
можно охарактеризовать как замкнутую линейную оболочку
множества векторов {Ei (к) /} для всех вещественных X. Оператор
Л2 также приводится подпространством Но, поскольку Рои ?
6 D (Я,) = D (Я2), если m^D (Я2) = D (Hi) и Н2Р0и = HiPou -f
+ с (Рои, /) / б Но.
Пусть Н^ ортогональное дополнение к Но в Н. Подпро-
Подпространство HjL приводит как Hi, так и Нг, и HiU = Н2и при и ? HJ-.
Следовательно, И^ (^) и = е*Шз е-ня» и = и при м ^ Hjf. Посколь-
Поскольку и б Hi- влечет PiU ^ HJ- в силу теоремы 1.6, то VF (t) Рги =
= PjU, а значит, и s-lim ЙК (t) Рги = Дгг при и 6 HJ-. Поэтому
для доказательства существования операторов W± (H2, Н^ =
= s-lim W (t) Pi достаточно доказать, что существует
•s-lim W (t) PiU при и б Но. Так как каждый из операторов Рг,
Hi, Hz приводится подпространством Но и так как Hfeac П Но,
к = 1, 2, совпадает с подпространством абсолютной непрерыв-
непрерывности для части оператора Hk в Но согласно теореме 1.6, то мы
можем с самого начала предположить, что Но = Н (это означает
просто изменение обозначений).
668 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Таким образом, мы предполагаем, что наименьшее содержащее
/ подпространство, которое приводит Н{, есть все Н *). Пусть
f = g + h, g = PJ, A = A - Pt) f. D.9)
Поскольку подпространство, порождаемое множеством {Е (к) /},
есть Но = Н, то линейная оболочка подпространств, порожден-
порожденных множествами {Е (к) g} и {Е (к) h}, есть все Н. Но эти два
подпространства состоят соответственно из абсолютно непрерыв-
непрерывных векторов и сингулярных векторов относительно fft. Следо-
Следовательно, они должны совпадать с подпространствами абсолют-
абсолютной непрерывности и сингулярности для Hi. Иными словами,
Hi ас порождается множеством {Е (к) g}, a Hi ,s — множеством
{Е (к) h}. Таким образом, Hi>ac есть замыкание множества всех
векторов вида ф (П\) g = \ ф (к) dE (к) g, где ф (к) — любая
ограниченная (измеримая по Борелю) функция (можно ограни-
ограничиться гладкими функциями ф (к)).
Далее, имеем
ОО
Г, фz{Hi)g)= J
— оо
= ^!(k)^2(k)dk, D.10)
где
^(к) = фк(к)р(кI/2, к=1,2, p(k) = d(Ei(k)g,g)/dk, D.11)
a S есть множество всех к таких, что производная d (Et (к) g, g)ldk
существует и положительна; заметим, что эта производная суще-
существует почти всюду, поскольку g ? Hi>ac. Мы можем также счи-
считать, что S — борелевское множество.
Если ф (к) пробегает множество всех ограниченных функций,
то ty (к) — ф (к) р (кI/г пробегает плотное подмножество про-
пространства L2 (S). Следовательно, мы можем отождествить Н4 ае
с L2 (S) с помощью отображения ф (Hi) g -v ip. В этой
реализации пространства Hi,ac оператор Hi представляется
оператором умножения на к 2). Поэтому абсолютно непрерывная
часть i/i,ac оператора Н\ есть оператор рассмотренного выше
типа; отсюда следует существование волновых операторов. Таким
образом (с учетом теоремы 3.5), доказана следующая теорема.
х) Иными словами, Hi имеет простой спектр, а / является порождающим
вектором.
2) Это, в сущности, теорема о том, что любой спектрально абсолютно
непрерывный оператор с простым спектром унитарно эквивалентен операто-
оператору умножения на X в некотором пространстве 1? (S); см., например, С т о -
уп 11].
§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ПОЛНОТА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 669
Теорема 4.3 г). Пусть Hi, Hz — самосопряженные операто-
операторы в гильбертовом пространстве Н, такие, что Н2 = Н\ +
+ с ( > /) /> / € Н, с вещественно. Тогда обобщенные волновые опе-
операторы W± (H2, Hi) и W± (Hi, II2) существуют и являются
полными. В частности, абсолютно непрерывные части Hia0,
Hi _ ac этих операторов унитарно эквивалентны.
3. Возмущения ir-класса
Теорему 4.3 можно обобщить следующим образом.
Теорема 4.4 2). Пусть Hi, H2 — самосопряженные операторы
в гильбертовом пространстве Н, такие, что Нг —- Hi -\- А, где
А принадлежит tr-классу J?i (H). Тогда обобщенные волновые
операторы W^(H2, Hi) и W±(Hi, II2) существуют и являются
полными 3). Абсолютно непрерывные части операторов Н\, II\
унитарно эквивалентны.
Доказательство. Пусть разложение оператора А (см.
(V.2.20)) дается формулой
оо
А--= Sc,;( , /ft)/ft, D.12)
где /^ образуют ортонормированную систему собственных векто-
векторов, а (вещественные) числа ск являются соответствующими
(с учетом кратности) собственными значениями. Если А ? .%\ (Н),
то
^\сь\ = \\А\и<оо D.13)
(см. задачу 1.14).
Пусть Ап — частичная сумма ряда D.12). Обозначим Я<п) =
= Hi + Ап, Я(°) = Я,. Каждый из операторов Ж") — Ш")
имеет ранг 1 и W±(H(n\ H(n~1)) существует в силу теоремы 4.3.
Последовательное применение цепного правила (теоремы 3.4)
показывает тогда, что Wn± — W± (#("), Н^) существует при
я = 1, 2, . . . . '
г) Ср. с работой Т. К ато [10], в которой эта теорема доказана «ста-
«стационарным» методом.
2) Эта теорема была доказана Розенблюмом [1]в случае, когда
оба оператора Hi, H^ спектрально абсолютно непрерывны, и Т. К а т о [11]
в общем случае.
3) Оператор рассеяния S =W%W_ унитарно отображает J"iH на себя
и коммутирует с Я4. Соответствующая 5-матрица S (X) (см. подстрочное
примечание 2 на стр. 654) изучена Бирманом и Крейном [1].
которые использовали формулу для следа, принадлежащую Л и ф ш и ц у
[4] и Крейну [3], [6J.
670 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Лемма 3.8 показывает, что для каждого и ? Н4 ас
Wn+u-Wn(t)u\\z= -2Im
\\ j
где Wn (?) = е'ш (")e-*№. Оценим правую часть в D.14). Поскольку
(eisHiWt+Ane-i^u, и) = 2 cft (е-«н'и, Д) (eisH'^*+/ft, u), D.15)
то, согласно неравенству Шварца,
Wn+u- Wn (t) и ||«<2 [2 I Cfe I f I e-isH'M, /ft)
fti <
I I I , /) p] x
где ^„ = VF*+/ft, ||gftn||<l.
Правая часть в D.16) конечна, не обязательно для всех и 6
? ?*iH, но во всяком случае для и, удовлетворяющих некоторому
дополнительному условию. Это ясно из следующей леммы, дока-
доказательство которой будет дано ниже.
Лемма 4.5. Пусть И = \ "К dE (X) — самосопряженный опе-
— оо
ратор в Н. Пусть вектор и ? Н абсолютно непрерывен относи-
относительно Н, и пусть
||| и ||р = ess sup d (E (X) и, u)ldl. D.17)
x
Тогда г) для любого / 6 Н
j \{e-Mu,f) |'#<2я HI «ГЦ/Ц*. -• D-18)
— со
Из этой леммы следует, что первый из двух сомножителей
(не считая коэффициента 2) в правой части неравенства D.16)
не превосходит ]^2я ||| и \\\ B | ck |)Va = Щ и щ Bя || Л H^Va,
поскольку || fk || =1. То же верно и для второго сомножителя. Мы
используем эту оценку только для второго сомножителя; получим
|| Wn+u - Wn (t) и || < HI и |||V. (8я || А НО1/4 т] (t; ufH, D.19)
где
оо оо
^uW\\A\\i. D.20)
г) Это является обобщением формулы D.5).
§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ II ПОЛНОТА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 671
Далее, из D.19) вытекает, что ' ¦ .
|| Wn (t") u-Wn (О и ||<
< ||| и |||V» (8я || A HO^Iti (f; иI'* + л (*"; wI/*] D.21 >
для любого и ? Hiac.
Теперь мы можем перейти к пределу при п —*- оо в D.21).
Поскольку Н2 = #(">+ Л — Лп и || А — Л„ Ц->- 0, то eim^ ->*¦
-*- еШг по норме (см. теорему IX.2.1), и поэтому Wn (t) —>¦ W A}
по норме при любом фиксированном t. Таким образом, D.21) дает
|| W (О и — W (О и || <
< Н! и Пр/» (8л || Л И,I'* [т, (f; u)V4 + Ti (Г; иI/*]; D.22)-
эта оценка показывает, что lim W (t) и существует, если ||| и ||| <С
<Ссо, так как в этом случае г| (t; и) -*¦ 0, как ясно из D.20).
Множество всех м^Н1>ас таких, что |||м|||<:оо, плотно-
в Н] ас. Действительно, пусть y?Hi>ac; мы должны показать,
что существует последовательность векторов «„бН^ас, такая,
'что HI ип ||| <С со и un—>-v. Функция (Ei (к) v, v) абсолютно-
непрерывна, а ее производная р (X) = d (Ei (X) v, v)ldk суще-
существует почти всюду и является неотрицательной. Пусть Sn —
множество значений "К, при которых р (К) > h; тогда {Sn} —
невозрастающая последовательность, lim Sn = 0. Обозначим ип —
= (l-?1(Sn))i;. Тогда (Е^Х)^, ип) = (A -^ (SB)) El (X) v, v) =
= I A - %п (Г)) d (Ex (X1) v, v) = \ A - %п (Х-)) р (X') dX'.,
— j? —CO
где 1п (X1) = 1 при X' б Sn и х» (V) = 0 при V $ SB. Следо-
Следовательно, d (Ei (X) ип, un)!dX = A — Хп (Я,)) р (X) ^ и почти всю-
всюду и ||| ип ||р < п. Поскольку Ei (Sn) v->-0 в силу абсолютной
непрерывности вектора v, то м„ —>¦ у.
Так как семейство W (t) равномерно ограничено, то lim W (t) и
существует при любом w ? Hiac = PiH. Иными словами, суще-
существует s-lim W (t) Pi — W+. Поскольку то же верно и для
s-lim W (t) P и поскольку Hi = Я2 — А, где —А ? i?t (H), та
f->—со
доказательство теоремы 4.4 завершено.
Заметим между прочим, что, полагая ?"—>-оо в D.22), получим
|| W+u -W(t)u\\^ HI и |||V» (8я || А И,I/.,! (Г, иI'* <
< Щи |||Dя \\А ЦО1/». D.23)
Доказательство леммы 4.5. Обозначим через Р
проектор на подпространство Нас абсолютной непрерывности
для Н. Поскольку и = Ри, то функция (Е (X) и, /) абсолютна
непрерывна, и ее производная мажорируется функцией
672 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
[^ (Е (к) и, и) ^ (Е (к) /0, /
гДе /о ~ ^/ (см- теорему 1.7). Следовательно,-~- (Е (к) и, /) при-
принадлежит L2 (— оо, оо) с Ъ2-нормой, не превышающей
||| и ||| [ \d (Е (к) /0, /0)]»/2 = HI м HI ||/0 И < Hi и HI ||/ ||. Но
(е~ияи, /) = I' e~itx d (Z? (X) u, /) есть преобразование Фурье
— оо
функции -г;: (Е (к) и, /). Поэтому лемма 4.5 следует из теоремы
Парсеваля.
4. Волновые операторы для функций от операторов
Покажем теперь, что существуют не только (обобщенные)
волновые операторы W± = W± (H2, Ih), но также и волновые
операторы W± (ф (Н2), <f> (Hi)) для некоторых функций ф (к) при
условии, что Н2 — Нх принадлежит классу $± (Н). Это намного
расширит возможность применения теоремы 4.4. Более того,
справедлив замечательный результат, состоящий в том, что ¦
W± (ф (Н2), ф (Hf)) не зависит от ф для широкого класса функ-
функций ф. Это так называемая инвариантность волновых операторов.
Сначала будет доказана
Лемма 4.6. Пусть ф (к) — вещественная функция на (—оо, оо),
обладающая следующими свойствами: интервал ( — оо, оо) можно
разделить на конечное число подынтервалов таким образом, что
на каждом открытом подинтервале ф (к) дифференцируема, при-
причем ф' (к) непрерывна, локально является функцией ограниченной
вариации и положительна. Тогда для любого w (k) ? L2 (—оо, оо)
со оо
2я||и7||2> \ dt l.i.m. \ e-il*-ll»Ww (к) dk 2->- 0 при s^ + oo.
о
D.24)
Доказательство. Пусть Н — самосопряженный опе-
оператор Hw (к) = kw (к), действующий в Н = L2 (—оо, оо), и пусть
U — унитарный оператор, задаваемый преобразованием Фурье.
Тогда внутренний интеграл в D.24) представляет собой функ-
функцию BлI/2 (Ue~u^H w) (t), и средний член в D.24) равен
2л || Еие-иф<-н~> w ||2 < 2я || w ||2, где Е — проектор в Н на под-
подпространство, состоящее из всех / (t) таких, что / (t) =0 при
t < 0. Следовательно, формула D.24) эквивалентна тому, что
s-lim Е1/е~иф(-Н) = 0. Поскольку оператор EUe~is<-H^ равно-
y-v-^oo
мерно ограничен единицей, то достаточно доказать D.24) для
§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ПОЛНОТА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 673
всех w, принадлежащих фундаментальному подмножеству про-
пространства Н. Таким образом, мы можем ограничиться рассмот-
рассмотрением характеристических функций w (X) конечных интервалов
[а, Ъ}\ w (X) = 1 при X 6 \а, Ь] и w(X)=0 при X (J la, Ь]. Кроме того,
мы можем предположить, что [а, Ь] содержится в открытом интер-
интервале, в котором функция ф (X) непрерывно дифференцируема
и обладает свойствами, указанными в формулировке леммы.
Тогда
оо Ъ
v{t,s)= \ e-it^-
D.25)
Если t, s> О, то i|) (к) = (t + s<f>' (Я)) — положительная функ-
функция с ограниченной вариацией. Элементарный подсчет показывает,
что полная вариация функции т|з (к) на la, b] оценивается следую-
следующим образом:
. ъ
'^M/c(t + cs),
где с> 0 — минимум функции </>' (X) на la, b], a M — ее полная
вариация на [а, Ъ\. Интегрируя D.25) по частям, получим
v{t, s) = i
Следовательно, средняя часть в D.24) равна
\v(t, s)|2
Теперь мы можем доказать инвариантность волновых опера-
операторов в следующей форме.
Теорема 4.7 х). Пусть Hi, H2 — самосопряженные операторы
такие, что Н2 = Hi + А, где 4 (й1! (Н). Если функция ф (X)
г) Эта теорема может быть обобщена дальше на функции ф, возрастаю-
возрастающие на некоторых подиитервалах и убывающие на других. Тогда операторы
W±, Ф =W (ф (Я2), Ф {Hi)) по-прежнему существуют, однако уже не равны
операторам W±. Вместо этого мы имеем FK±, фм = W±u или W±i <ри = W^u
при и ? Ei (I) H, где I — один из подинтервалов, на котором ф возрастает
или убывает. Доказательство в сущности такое же, как и доказательство
теоремы 4.17. См. Т. К а т о [17J, Бирман [9] — [11].
43 т. Като
74 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
обладает свойствами, описанными в лемме 4.6, то обобщенные вол-
волновые операторы W±(§ (Н2), ф (Hi)) существуют, полны и не зави-
зависят от ф; в частности, они равны соответственно W± (Н2, Hi).
Доказательство. Начнем с оценки D.23), заменив
в ней и на v = g-'s+(Hi) и. Поскольку (?\ (X) и, и) = (Ei (X) и, и),
то ||| v HI = HI и HI в силу D.17). Полагая t = О, получаем
|1/2 (8л || А |ЬI/4
и |||1/2 (8л || А |ЬI/4 П @; e-is«HlVI/4, D.26)
где
п @; e-^(Hi)u) = 2 I с" I j I (е-"н1-*«+№)и, /ft) |2 Л,; D.27)
ft=l 0
согласно D.20)
Интегралы в правой части формулы D.27) имеют вид D.24),
где w (к) нужно заменить на производную d (Ei (X) и, f^ldX,
которая принадлежит L2 (—оо, оо) с L2-нормой ^ ||) и \\\, как
отмечено в конце п. 3. Согласно лемме 4.6, каждый член в правой
части D.27) стремится к 0 при s-> +oo. Поскольку ряд равно-
равномерно (по s) мажорируется сходящимся рядом 2 I ck I 2я ||| и |||3 =
= 2л ||| и |||2 || A Hi, то его сумма стремится к 0 при s ->¦ +оо.
Поскольку множество всех и таких, что П|м|||-<оо, плотно
в PiH, как отмечалось в п. 3, то
_^ о, s-^+oo. D.28)
Но W+e~isHHi) = е-^Ш2)\у+ в силу C.12) (заметим, что
со
e-tsKHi) = | е-г8б(я) dEi (X)). Умножая D.28) слева на ег8ф(-ы*\
получаем, таким образом,
s-lim е^Ф («2)e-is6 (я1)р1 = W+P± = w+_ D.29)
Этим доказано, что оператор W+ (ф (Н2), ф (^А)) существует
и совпадает с W+ = W+ (Н2, Н{), если показать, что Pi также
является проектором на подпространство абсолютной непрерыв-
непрерывности для <р (Н\), т. е. что указанное подпространство совпадает
С Н^ас-
Убедимся в этом; пусть {Ei (X)} — спектральное семейство
оператора <? (Hi). Тогда J)
F, (S) = Ei (ф-* (S)) D.30)
для любого борелевского подмножества S вещественной оси; через
ф~х (S) обозначен прообраз множества S при отображении <|>.
J) См. Стоун [1].
§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ПОЛНОТА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 675
Если | S ] = 0, то ] ф (S) | = 0 в силу свойств функции ф, так
что Ft (S) и = 0 для и 6 Hi ас- С другой стороны, jF± (ф (S)) =
= #! (ф-1 [ф (S)]) > ?4 (S). Если | S | = 0, то | Ф (S) | = 0, так
что || Ei (S) и || < || Fi (ф (S)) u || == 0 для векторов и, абсолютно
непрерывных относительно ф (Hi). Этим требуемый результат
доказан.
Рассматривая различные конкретные функции ф, мы можем
получить много полезных следствий *) из теоремы 4.7. Например,
справедлива
Теорема 4.8 2). Пусть Hi, Н2 — самосопряженные операторы
с положительными нижними гранями {так что обратные к ним.
принадлежат §8 (Н)). Если Ща — Н~а принадлежит Хг-классу-
при некотором а> 0, то операторы W± (Н2, Hi) существуют^
равны W^ (Ща, Ща) и полны.
Доказательство. Функция ф (X), равная —Я,'™ при
X ^ у и X при X < у, удовлетворяет условиям леммы 4.6 (у> 0 —
меньшая из нижних граней операторов Hi п 1Г2)- Теорема 4.8
следует из теоремы 4.7, примененной к Н~а, Н~а вместо Н\, Н2
соответственно и к функции ф (к), введенной выше; значения
функции ф (X) при X <С у в данном случае роли не играют. Заме-
Заметим, что W± (H2, Hi) = Жт (-Я2, -Я.).
Теорема 4.9 3). Пусть оператор Н± самосопряжен и ограничен
снизу, а оператор V симметричен и Неограничен с Н^-гранью,
меньшей, чем 1. Кроме того, пусть V = V"V, где V (Hi — у)-1
и V"* (Ht — у) -~ операторы Гильберта — Шмидта при неко-
некотором у, меньшем, чем нижняя грань оператора Hi. Тогда опе-
оператор Н2 = Hi + V самосопряжен и ограничен снизу, и операто-
операторы W.± (H2, Hi), W± (Hi, H2) существуют и являются полными.
Доказательство. Оператор Нг самосопряжен и огра-
ограничен снизу в силу теоремы V.4.11. Поскольку W ±(Н2—у,
Hi — у) ~ W± (H2, Hi), то мы можем считать, что оба оператора
1) Если мы положим ф (к) = 2 arcctg X, то оператор е k ==(//"ft —
— l)(H\-\-1)'1 представляет собой так называемое преобразование Кэли опера-
оператора Hfr. Поскольку ф удовлетворяет условиям теоремы 4.7, то lim U^UfP
rt->oo
— W± (Ф {Н%), Ф {Hi)) = W± (Я2, Hi). Этот предел является дискретным ана-
аналогом предела C.3). Ср. с работой Бирмана и Крейна [1].
2) См. Бирман [8]. Идея рассматривать Н^1, Н^1 для доказательства
унитарной эквивалентности операторов Hi, Я2 принадлежит Путна-
му [21. См. также Бирман и Крейн [1].
3) См. Кур ода [2], [3]. Имеется аналогичная теорема, в которой
Hi, H2 ассоциированы соответственно с ограниченными снизу симметричными
формами I)!, 1J, такими, что fJ = I)i + а, где а принадлежит «tr-классу
относительно t) i». Мы не приводим точную формулировку теоремы, отсылая
читателя к работам К у р о д ы [2], [4]. См. также задачу 4.14.
43*
676 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Hi, Я2 имеют положительные нижние грапи, и предположения
теоремы выполнены при у = 0. (Заметим, что если V (Ht — ?)-1 6
6 J?2 (Н) при I = у, то это же верно и при любом I ? Р (#0,
так как V (Щ - Q-i = V (Я< - 7Г1 (#1 - у) (#t - ?)"\ где
(Щ -у) (Щ- g)-i ? ^ (Н).)
Таким образом, теорема следует из теоремы 4.8 при а = 1,
если мы покажем, что Н'1 — Н;1 ? 3S (Н). Но Я — Я =
= -H?VH? = - G**Я^)* (ГЯ^1) принадлежит #, (Н), по-
поскольку V"*H2l и F7/ принадлежат i?2 (H), VH;1 — по пред-
предположению, а 7"*Я~1 = (F"*^1) (Н1Щ1) — в силу предполо-
предположения и того факта, что HiH^1 6 ^ (Н).
Пример 4.10 1). Рассмотрим опять операторы Я4 = —А, Я2 = —Д +
tj(j)bH = L! (R3), см. п. 3.4. Мы показали (теорема 3.9), что операторы
W± (Hz, Hi) существуют прп некоторых общих условиях на q (ж), но не дела-
делали никаких утверждений относительно их полноты.
Покажем теперь, что операторы W± (//, Ht) являются полными, если 2)
q GL^R^nLMK3). D.3i)
Поскольку мы знаем, что при q ? L2 оператор V = д {х) Я^-ограничен
с Яггранью 0, то достаточно показать, что | V \1/г (Ht + с2)-1, с > 0, где | V \ 1h—
оператор умножения па | q (x) |1/г, является оператором Гильберта — Шмид-
Шмидта. (Применена теорема 4.9 при V = V"V, V = \ 7 |Va, V" = U \ V |1/2,
где U ¦— (ограниченный) оператор умножения на sign q (x).) Оператор
(Hi -f- с2) является интегральным оператором с ядром е~с\у—х|/4л \ у — х |
(см. (IX.1.67)). Следовательно, | V |'/2 (Ht + с2) есть интегральный опера-
оператор с ядром | q (у) \li2 е~с I у — х 1/4я | у — х |. Это ядро является ядром типа
Шмидта, так как
И
R3XR3
И и-» i
R3XR3 R3
если д g L1. То же верно для t/ ] 7 |'/г (tff + с2).
В частности, получаем, что оператор Яг,ас унитарно эквивалентен Я4
(оператор Я4 абсолютно непрерывел). Вообще говоря, Я2 имеет сингулярную
часть F2,s, включающую в себя разрывную часть. Неизвестно, может ли Н2
иметь непрерывную сингулярную часть 3).
х) В качестве других примеров применения приведенных теорем отме-
отметим: абсолютную непрерывность матриц Теплица (П у т н а м [3], [5], Р о -
з е н б л ю м [2]); инвариантность абсолютно непрерывного спектра диффе-
дифференциальных операторов с частными производными относительно изменения
границы и граничного условия (Бирман [6], [7]); некоторые задачи
теории нейтронного рассеяния С и д з у т а [2]).
2) Аналогичные результаты справедливы для одномерной задачи Hi =
= —cPldx2, Я2 = —d2jdx2 -)- q (х) в Н = L2 @, оо) (с граничным условием
и @) = 0), если q ? L1HL2. Более тонкое исследование (см. подстрочное
примечание к теореме 4.9) показывает, что достаточно, чтобы функция q
принадлежала L1 (в этом случае Яг следует определить так же, как в теоре-
теореме VI.4.2).
3) Известно, что при несколько иных предположениях относительно
q (х) оператор Я2 не имеет непрерывной сингулярной части. Это было доказа-
доказано с помощью стационарного метода в работе И к э б э [1], где W+ строятся
i. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ПОЛНОТА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ
677
5. Усиление теорем существования
Теперь мы ослабим предположение теорем 4.4 и 4.7 о том, что
оператор Н2 — Hi принадлежит tr-классу. Сначала будет до-
доказана
Лемма 4.11. Пусть Rk (?) = (Hh — Q — резольвента опера-
оператора Hh, к = 1, 2. Если В2 (S) — Ri (S) 6 -^i (H) герц некотором
невещественном S, то это же верно для любого невещественного ?.
Доказательство. Предположим, что i?2 (So) —
— i?! (So) € $?i (H). Разлагая /?й (S) в ряд Неймана по формуле
A.5.6), получим
-*! (?)=-- 2 (С-Ч
п=1
при IS —LO|<|ImSol (заметим, что || Rh (SoXl
ft=O
n
2
fe=0
1)-
(So))
Следовательно (см. задачу 1.17),
Г11
)""
= II Л2 (So) — ДЛео) Hi A — | I
Эта оценка показывает, что R2 (S) — -Й1 (S) € &i (Щ ПРИ всех S>
лежащих внутри окружности с центром ?0, касающейся веще-
вещественной оси. Последовательное применение этого рассуждения
показывает, что все невещественные S в полуплоскости, содержа-
содержащей So* обладают этим свойством. То же верно и для всех S из дру-
другой полуплоскости, поскольку R2 (S) ~ #i (S) = (-Й2 (S) —
- Rt (I))*-
явно как сингулярные интегральные операторы, ядра которых являются
обобщенными собственными функциями (не из L2) оператора Нг. Об этих
собственных функциях см. также Буслаев [1], Хунцикер [11,
И к э б э [2J. Аналогичные результаты, относящиеся к оператору —А в об-
области, являющейся дополнением ограниченного множества в R3, см. в рабо-
работах С и д з у т ы [1], И к э б э [3J. По поводу формулы фазового сдвига
см. Грин и Лэнфорд [1], К у р о д а [6]. Имеются задачи рассея-
рассеяния, связанные не с уравнением Шрёдингсра, а с волновым уравнением (даже
нелинойным): см. Браудер и Штраус [1], Лаке и Филлипс
[1], Нижник [1], Штраус [1], [2J.
678
Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Теорема 4.12 г). Пусть R2 (?) — i?4 (?) 6 $i (H) при неко-
некотором невещественном ?. Е'сли функция ф обладает свойствами,
сформулированными, в лемме 4.6, то операторы W± (ф (#г)> <? (#i))
существуют, полны и не зависят от ф. В частности, операторы
W± (Н2, Hi) существуют и полны, и абсолютно непрерывные
части операторов Н± и Н2 унитарно эквивалентны.
Доказательство. I. Пусть г > 0; положим
ЦТ (X) = XI {\ + г-2Х2), —оо < X < оо, D.32)
¦ ' Фг (р) = 2ц/[1 + A - 4г-уI/2], -г/2 < ц, < г/2. D.33)
Функция фг (ц,) является обратной к сужению функции а|)г (X)
на отрезок —г ^ А, ^ г (на котором функция о|)г обратима). Для
Рис. 3. Функции %r(ty, Xs (^) и интервалы I, Jr, J.s.
удобства продолжим фг(ц) на все вещественные (х, положив фг (ц) =
= 2|_i при | [х | > г/2, так что фг удовлетворяет условиям лем-
леммы 4.6.
Обозначим Хг (X) = фг СФг (^))| функция Хг непрерывна, нечет-
нечетна и
Хг (X) =Х при -г < X < г. D.34)
Функция Хг (X) монотонно убывает до 0 при X -*¦ оо (см. рис. 3).
Положим теперь
Hk,r = Фг (#ft), ^,г = Хг (ЯО, Л = 1, 2. D.35)
Согласно правилам операционного исчисления для самосопряжен-
самосопряженных операторов 2) имеем
ККг = Фг <$т (ЯЛ)) = ФГ (Hh,)t к = 1,2. D.36)
В силу D.34), однако, А"Й)Г и Яй совпадают на подпространстве
Hfeir ^ (Е'й (г) — Ek (—г)) Н, которое приводит Hh и iffeir. Сле-
х) См. Бирман [9], [10], Т. Кат о [17].
2) См. Стоун [1], гл. 6.
§ i. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ПОЛНОТА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 679
довательно,
e-"*<*ft.r>u = «,-"¦<«*>„ при иеНКг. D.37)
II. Поскольку Hh<r = Hh A + г-тГ1 = (г2/2) [(#„ + *г)-Ч
+ (Hh — i/1)], то из леммы 4.11 следует, что Я2,г — Я4г ? ^4 (Н).
Поэтому операторы
W± (ф (фг (#2,г)), ф (фр (Я11Г))) = W± (Фг (#2,г), Фг (Я11Г)) =
= W±(tf2,r, Я1рГ) = W±ir D.38)
существуют в силу теоремы 4.7, так как для любой функции ф,
удовлетворяющей условиям леммы 4.6, сложная функция
ф (фг (к)) также удовлетворяет тем же условиям. В силу D.36)
это означает, что
здесь Pi является проектором на Hi>ac> но подпространство
абсолютной непрерывности для ф (К{ г) совпадает с Н4, ас (это
доказывается так же, как и теорема 4.7). Поэтому, используя
D.37) при к = 1, получаем
e-"*(K«.'-)e~il*(H0P1u-^W+,ru при и€Н1)Г. D.39)
III. Пусть I = (а, Ъ], где 0 < а < Ь < г. Прообраз интервала
I при отображении %г является объединением самого интервала I
и другого конечного интервала Jr, лежащего справа от г (см.
рис. 3). Если мы обозначим через Fk r спектральную меру опера-
оператора Kk,T = Хг Wk), А = 1, 2, то (см. D.30))
FKr (I) = Eh fa1 (I)) = Ek (I) + Eh (Jr) > ^fe (I). D.40)
Пусть и 6 Ei (I) H. Тогда u g Н1г и формула D.39) выпол-
выполняется. Поскольку W+ г = W+ (К2 г, Ki г) в силу D.38) и и ?
€^1,г (I) H в силу D.40), то
v = W+irueF2!r(l) H D.41)
в силу формулы C.12) при Нг = Z2r, Я4 = ККт.
Далее, все эти результаты справедливы, если заменить г
на большее число s. Если, однако, s> r достаточно велико, то
Js лежит справа от Jr и не пересекается с Jr (см. рис. 3). Таким
образом,
v = F2ir (I) v = F2iS (I) v = F2>r (I) F2tS (I) v =
= (E2 (I) + Ez (Jr)) (E2 (I) + E2 (J,)) у = ^2 (I) v.
Следовательно, правая часть в D.39) не изменяется при умно-
умножении на Е2 (I) слева. Поскольку Ег (I) еиф <*2- r) = i^2 (I) 'Ф№>
680 . Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
в силу D.37), то получаем
Е2 (I) е*'+ №)е-*'Ф Uh)plU ^.w+tru, t -> +00. D.42)
Сомножитель jf?2 (I) в этой формуле может быть опущен. Дей-
Действительно, обозначая W$(t) = е1Ьф (н^е~иф <н'\ имеем
|| Е2 (I) Жф (t) PiU ||2 + || A - Е2 (I)) ^ф (t) Ptu |p =
= И W* (t) PlU ||» = ||PlM И* = ||^+>ru!p,
так что A — E2 (I)) ТУф (t) Piu -> 0 в силу D.42).
IV. Мы доказали, что
\УФ (t) Ptu-+ W+iTu, t^+oo, D.43)
при условии, что и 6 Ei (I) Н, где I = (а, Ь] и 0 < а < 6 < г.
Этот результат справедлив, если I заменить на (—Ъ, —а]. Допу-
Допустимые и и их линейные комбинации плотны в KiT = (Ei (r) —
— Ei (—г)) Н всюду, за исключением собственных подпространств
оператора Hi, соответствующих собственным значениям 0 и г,
если таковые имеются. Но эти собственные подпространства
не важны, так как они аннулируются оператором Pj.
Поскольку операторы, образующие семейство {\?ф (?)}, уни-
унитарны и равномерно ограничены, то формула D.43), таким обра-
образом, справедлива для всех и ? Hi г.
Поскольку s-lim W$ (t) Ptu существует для всех u?H1>r
и поскольку объединение всех Н^,. при /•>• 0 плотно в Н, то
получаем окончательно, что s-lim W$ (t) P^ = W+ (<j> (ff2), ф (#i))
существует. Этот предел не зависит от ф, как ясно из D.43). Оче-
Очевидно, что то же верно для W_. Поскольку предположения тео-
теоремы симметричны относительно операторов Нх и Н2, то это же
верно, если операторы Hi, E2 поменять местами, так что эти
волновые операторы полны.
Замечание 4.13.|Предположение R2 (?) — Ri @ 6 -#i (H) тео-
теоремы 4.12 не является существенным. Основной момент состоит
в том, что при г> 0 существует функция if>r (X), обладающая сле-
следующими свойствами:
1) я])г (к) кусочно монотонна, так же как и г|э (X), но может
возрастать на одних подинтервалах и убывать на других;
2) г|;г (X) обратима при — г < X < г,
3) i|)r (Н2) = xpr (Ei) + Ат, где Аг 6 &<. (Н).
Доказательство теоремы 4.12 с небольшими модификациями
проходит и в этом общем случае 1).
Согласно этому обобщению, результаты теоремы 4.12 верны,
если R2 (?)m — i?i (Qm 6 ^1 (H) при любых чисто мнимых ?
х) Это дает весьма общее достаточное условие существования и полноты
обобщенных волновых операторов. Имеются и некоторые другие условия;
см. Бирман [11], Бирман и Энтина [1], Станкевич [1].
§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ПОЛНОТА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ (J81
(или по крайней мере для последовательности ?n = ±irn при
гп -*- оо). В этом случае мы должны только положить я|)г (к) =
= i[(r + ik)~m ~ (r — ik)~m], где г = /•„. Функция я|)г (Я) обра-
обратима в некоторой окрестности точки к = О, размеры которой про-
пропорциональны г.
Задача 4.14. В теореме 4.9 отбросим предположение о том, что оператор
Hi ограничен снизу и у вещественно. Тогда верны все утверждения теоремы,
за исключением того, что оператор Hi ограничен снизу.
6. Зависимость операторов W± (Hi, Hi) от Hi и Н2
Теорема 4.15. Пусть Ни Н2 — такие самосопряженные опе-
операторы, что существует W+ (Н2, Hi). Тогда W+ (Н2 + A, Hi)
и W+ {Н2, Н\ -\- А) существуют при любом А ? JFj (H) и
W+(H2 + A, EJ-^W+iH^ Я,),
S
W+{H2, Н,+А)~^ W+ (Я2, Я.) D.44)
W
при || A ||i -> 0. Справедливы аналогичные результаты, если заме-
заменить W+ на W_.
Доказательство. Согласно теореме 4.4, существует
оператор W+ (Я2 + А, Н2); поэтому W+ (Я2 + А, Н^ суще-
существует и равен W+ {Н2 + А, Я2) W+ (Я2, Я4) в силу теоре-
теоремы 3.4. Аналогично, существует оператор W+ {Н2, Hi -\- А) =
= W+ (H2, H^ W+ (Hi, Hi -\- А). Таким образом, достаточно
доказать формулы D.44) в частном случае Н2 = Н^
Полагая t = 0 в D.23), видим, что || W+ (Hi -\- A, Hi) и — и ||<
< ||| и ||| Dя || A \\i)V2 -»- 0 при || Л ||t -^ 0. Так как множество
всех и, ||| и |]| < оо, плотно в Р4Н, то W+ (Hi + A, Hi) =
= Ж+ (Я. + A, Hi) Pi-^P1 = W+ (Hu Hi) при || A ||, -^ 0.
Так как Ж+ (Hu Нх-\- А) = W+ (Hi + A,Ht)* в силу теоремы
3.5, то W+ (Ни Hi + А) -+ Р\ = Р4 = И/+ (Я„ Я4).
Следствие 4.16. .Если И7-!- (Я2, /7,) существует, то оператор
W+ (Н2 -\- В, Hi -\- А) существует и слабо сходится к
W+ (Н2, Hi) при || A ||j -»> 0, || В ||i -^ 0.
Замечание 4.17. Полученные выше результаты относительно
непрерывности операторов W±(H2, Hi) как функций от Яь Я2
являются весьма слабыми, поскольку Hi, H2 рассматривались
в очень сильной топологии. Более сильные результаты получаются
при использовании теоремы 4.12 вместо теоремы 4.4. Так, напри-
например, W+ (Н2 + A, Hi) —> W+ (Я2, Hi), если А сходится к нулю
682 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
в том смысле, что || (Н2 + А — Q — (Н2 — Q ||i -*- 0 при
некотором невещественном ?; здесь оператор А не обязан быть
даже ограниченным х).
Задача 4.18. В примере 4.10 исследовать непрерывность операторов
W± (Н2, Hi) при изменении функции q (х).
§ 5 Стационарный метод
1. Введение
Имеются и другие способы построения обобщенных волновых
операторов W± (H2, Ht). В противоположность нестационарному
методу, развитому в предыдущих параграфах, эти схемы не исполь-
используют явно «временную переменную» t и поэтому известны как
стационарные методы 2). В этом параграфе мы дадим описание
одного из таких методов, который, по-видимому, наиболее эффек-
эффективно дополняет нестационарную теорию.
В рамках этого метода операторы W± строятся как решения
некоторых операторных уравнений. Чтобы вывести эти уравне-
уравнения, удобно начать с нестационарных формул (поскольку мы
определили W± в нестационарной схеме). Для простоты пред-
предположим, что Н2 = Hi + А, где iff (H). Тогда справедлива
формула C.21), из которой следует тождество
i"
W(t") — W(t') = i \ eitH* Ae~UH dt E.1)
?>
(см. доказательство леммы 3.8). Аналогично, меняя местами /Jj
и Н2, получим
I"
W (Г) - W (О = - i \ eitHK4e-ilH* dt. E.2) ¦
Предположим теперь, что существует W+ — s-lim W (t) Pj.
t —*- oo
Тогда W (t)'1 W+ —* Pi при t —>¦ oo. Таким образом, форму-
x) С помощью использованного выше метода трудно доказать еще более
сильную непрерывность операторов W± (Я2, Hi). Но существует другая
топология для Hit #2, Для которой получается более сильная непрерывность
W± (H2, Hi), например непрерывность по норме. Один частный случай будет
рассмотрен в следующем параграфе. Разрывность операторов W± по норме
изучалась Путнамом [7].
2) О стационарных методах см. Бирман и Энтина [1], д е
Б р а и ж [1], Т. К а т о [10], К у р о д а [7], [8], а также работы, связан-
связанные с уравнением Фридрихса (см. примечание на 2 стр. 683).
§ 5. СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД gg3
цл E.'2), умноженная справа на —W+, дает при t' =± 0 m t" -> оо
оо
: ??+-/>! = * f eita*AW+e-im*dt; " E.3)
о
здесь мы использовали также равенство e~iiHiW+ — W+e~itli2
,(см. C.7)). Интеграл в правой части формулы E.3) существует
t"
(
t"
как сильный предел при t" -*¦ оо интеграла I .
о
В этом месте удобно ввести обозначения
t, - '. E.4)
в случае, когда один или оба интеграла в правой части суще-
t-
ствуют как сильные пределы *) при t" -*¦ ± оо интеграла \ . Тогда
о
E.3) принимает вид
. E.5) +
Аналогично, если существует оператор W. = W- (Н2, Н^, то
он должен удовлетворять уравнению
W. = Л + Г1 DW_). ' E.5).
- Забудем теперь все предположения о существовании операто-
операторов W± (И2, Н^. Вместо этого начнем с «интегральных уравне-
уравнений» E.5)± и попытаемся построить W± как их решения. Эти
уравнения «стационарны», так как время t не участвует в них
явно.
Операции Г± и уравнения E.5)± были введены Фридрихсом,
хотя его первоначальное определение формально отличается
от приведенного нами 2). Следует отметить, что они являются
линейными операторами в пространстве 38 (Н) ограниченных
линейных операторов в Н; они определены не всюду в <$ (Н),
ибо интегралы E.4) не обязаны существовать при всех Т ? <% (Н).
J) Иногда удобно определение Т{, использующее слабую сходимость
вместо сильной. Однако это определение мы не будем рассматривать.
2) Фридрихе определил Г* для интегральных операторов Т специального
вида; см. Фридрихе [2], [3], [7]. Уравнения E.5)± называются уравне-
уравнениями Фридрихса. Об этих уравнениях см. также Фаддеев [3], Ла-
Ладыженская и Фаддеев [1], Рейт о [1], [2], Шварц [2] —
[4]. Дискретный аналог уравнения Фридрихса был рассмотрен недавно
Ф р и л э н о м [1], который определяет Г с помощью некоторой дискретной
полугруппы вместо группы e~itH.
684 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
В следующих пунктах мы изучим основные свойства Г^ шг
используя полученные результаты, докажем, что решения урав-
уравнений E.5)± действительно являются обобщенными волновыми
операторами W± (Я2, Hi). После этого мы приступим к решению-
уравнений E.5)±.
2. Г-операции
Операции Г* = I#i, определяемые формулой E.4), зависят
от самосопряженного оператора #i. В этом пункте мы будем
писать Я вместо Hi и Т± вместо Tf; H может быть любым само-
самосопряженным оператором. Области определения и образы опера-
операторов Г± обозначаются через 3 (Г±), М (Г±) соответственно;
они являются линейными подпространствами в $ (Н).
Лемма 5.1 '). Пусть В ? J? (Н) коммутирует с Н. Тогда если
Т ? 3 (Г+), то ВТ и ТВ также принадлежат 3 (Г+) и Т+ (ВТ) =
= В (ГТ), Г+ (ТВ) = (Г+Г) В. Аналогичное утверждение спра-
справедливо для Г".
Доказательство. Это очевидно, поскольку В комму-
коммутирует с e±itH.
Лемма 5.2. Пусть Г ? ?2 (Г+) и S = Г4" Т. Тогда SD (Н) а
с= D (Н), Ти = SHu — HSu при любом и? D (Н) и Se~itH -»- D
S
при t—*- +оо. Аналогичное утверждение с заменой -f-°° ка —оа
справедливо для Г~.
Доказательство. Имеем
(сходимость сильная); это ясно, если умножить E.4) на eiiH слева,
и на е~нн справа. Обозначая через 5 (?) правую часть форму-
формулы E.6), получаем eiiH S = S (t) eitH. Поскольку dS (t)ldt --=
= —ieitH Te~iiH (в смысле сильной сходимости), то
4г eitHSu = J-S{t) eitHu =, - ieimTu + i5 (/) <?"я Яи
Cot OX
при и ? D (Я). Таким образом, функция eitH S сильно дифферен-
дифференцируема по t, откуда следует, что Su ? D (Я) (см. замечание-
IX.1.5), так что (dldt) eiiH Su = ieitH HSu. Полагая t = 0, полу-
получаем, таким образом, HSu = —Ти -j- SHu, что доказывает пер-
первую часть леммы.
1) Свойства операторов Г*, сформулированные в следующих леммах,,
доказаны Ф р и д р и х с о м [2], [3]. Нам приходится доказывать их ш>-
другому, поскольку мы применяем формально иное определение Г*-
§ 5. СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД 685
Последняя часть следует из равенства E.6), из которого выте-
вытекает, что eiiH Se~itu -*¦ О при t ->- +00; умножение слева на уни-
унитарный оператор е~нн дает Se~ltH -*¦ 0.
Лемма 5.3. Для того чтобы оператор S ? 98 (Н) принадлежал
.М(Т+), необходимо и достаточно, чтобы SD (Н) c= D (Я), опе-
оператор SH — HS (определенный на D (Я)) был ограничен и Se~iiH -*¦
-*¦ 0 при t -*- + 00. В этом случае S = Г+ Т, где Т является замы-
S
-канием оператора SH — HS. Аналогичное утверждение, с заменой
+ <х> на —оо, справедливо для Г".
Доказательство. Необходимость была доказана в лем-
лемме 5.2. Для доказательства достаточности заметим, что
A eisHse-isHu = ieisn (#? - SH) e~isHu, E.7)
если и ? D (Я), ибо в этом случае е~ини ? D (Н), а значит, Se~isU и
? D (Н) по предположению. Поскольку оператор HS — SH мож-
можно заменить его замыканием, то, интегрируя E.7) по s от 0 до t,
получим
^H-S)u^ — (г j e"HTe-isHds'} и. E.8)
о
Здесь ограничение и ^ D (#) можно отбросить, поскольку вхо-
входящие в E.8) операторы ограничены и множество D (Н) плотно
в Н. Переходя к пределу при t -*- +00 и используя предположе-
предположение Se~ltH —=* 0, мы видим, что правая часть в E.8) имеет предел
S
—Su. Это означает, что оператор Г+77 существует и равен S.
Лемма 5.4. Пусть Г', Т" 6 ЗЬ (Г+). ГогЗа (Г+7") Г" +
+ Г' (Г+Т") принадлежит 3 (Г+) и
Г+ [(Г+7") Г" + 7" (Г+Г")] = (Г+71') (Г+71"). E.9)
Аналогичное утверждение справедливо для Г".
Доказательство1). Обозначим T+T'=S', Г+7"' =
= 5". Мы утверждаем, что 5"' ? М (Г+). Поскольку согласно
лемме 5.2 каждый из операторов S', 5"' отображает D (Я) в себя,
то этим же свойством обладает S'S". Если и ? D (Я), то
?'?"Ям - Я5'5"м = 5' E"Ям - HS"u) + E"Я - HS') S"u =
= S'T'u + T'S"u E.10)
J) Аналогично мы можем вывести равенство Г* [Г' (Г-Г") + (Г+Г') Т")=
= (Г+Г) (Г-Г") в предположении, что Г', Г" 6 Z (Г+) П ^ (Г~), и много
других формул подобного рода.
686 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
в силу леммы 5.2. Таким образом, S'S"H — HS'S" имеет ограни-
ограниченное расширение
Т = S'T" + T'S" e $ (Н). E.11}
Наконец,
S'S"e-itH = S' (S"e-itu) -> 0 при t -> +оо E.12)
S
в силу леммы 5.2. Из леммы 5.3 следует, что Т ? 3 (Ff) и Т+Т =
= S'S", что в точности совпадает с E.9).
Замечание 5.5. Лемма 5.3 показывает, что оператор Г+ в не-
некотором смысле является обратным к оператору коммутирования
5 —у [S, Н] = SH — HS. Соотношение E.9) является обратным
к соотношению
[S'S", Н] = S' IS", Н] + [Sr, Н] S". E.13)
Лемма 5.6. Если Т и Т* принадлежат 3 (Г+), то (Г+Г)* =
= —Г+ (Т*). Аналогичное утверждение справедливо для Г~.
Доказательство. Это сразу вытекает из определе-
определения E.4). Заметим, однако, что из Т ? 3 (Г+) не следует Т* 6
6 3 (Г+).
Замечание 5.7. Мы рассмотрели выше операции Г+ Т только
для Т ? §& (Н). Это ограничение не является ни необходимым*
ни естественным, и мы можем до некоторой степени его ослабить.
Обозначим
.,..,-. (VtT)u=\eiiHTe-itHudt. E.14)
о
Эта формула имеет смысл при и ? 3 (Н) по крайней мере тогда,
когда оператор Т iT-ограничен. Если (FJ71) и имеет предел v
при s —>¦ +оо, то мы можем писать v = S'u. Если оператор S'
ограничен, то его замыкание определяет оператор S ? #9 (Н),
который мы и возьмем по определению в качестве Г+Г. Боль-
Большинство сформулированных выше результатов справедливо для
этого обобщенного определения Г+, но мы не будем на этом оста-
останавливаться.
3. Эквивалентность стационарной и нестационарной теорий
Теперь может быть доказана
Теорема 5.8. Пусть Ht и А — самосопряженные операторы?
и пусть А ? $& (Н). Предположим, что существует оператор
W+ ? SB (H), удовлетворяющий уравнению E.5)+. Тогда обобщен-
§ 5. СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД . . • 687
ный волновой оператор W+ (Hz, Hi), где Н2 = Н\ + А, суще-
существует и совпадает с W+. Аналогичное утверждение справедливо
для уравнения E.5) _.
Доказательство. Так как W+ — Pi = Г| (AW+), то
в силу леммы 5.2 (W+ — -Pi) Htu — Н± (W+ — Pt) и = AW+u
при и ? D {Н\). Поскольку PJIiU = HiP^u, отсюда следует, что
H2W+u = W+Hiu, или
HZW+ zd W+Hi. E.15)
Из E.15) в свою очередь вытекает, что (Н2 — t,)'1 W+ =
= W+ (Hi — О при любом невещественном ?, а значит (вспом-
(вспомним конструкцию операторов е1(Я& из п. IX.1.2),
ешн w+ = W+e"H«, —оо < * < +оо. E.16)
Из леммы 5.2 следует также, что (W+ — Pi) e~ilHl -*¦ 0 при
t —*- +оо. В силу E.16) отсюда вытекает, что e~itH2 W+—e~itHtPi—>-
->- 0. Умножая слева на еш/а, получаем W+ — eitH* e~itHi Pi ~T 0.
Это показывает, что W+ (H2, Hi) существует и совпадает с W+.
Замечание 5.9. Уравнения E.5)± имеют смысл и могут иметь
решения, даже если оператор А несимметричен. Приведенное
доказательство проходит в этом общем случае всюду, за исклю-
исключением последней части, в которой использовано умножение
на егШг; заметим, что оператор iH2 = i (Hi + А) порождает
квазиограниченную группу (см. теорему IX.2.1), однако эта
группа может не быть ограниченной. В частности, отметим, что
формулы E.15), E.16) справедливы для несимметричного опе-
оператора А.
4. Применение Г-операций к вырожденным операторам
В этом пункте мы рассмотрим самосопряженный оператор Н
со спектральным семейством {Е (к)} и операторы Г* = Tfj.
Сначала зададимся вопросом, при каких условиях оператор
Т = ( , g) f E.17)
ранга 1, где / и g предполагаются абсолютно непрерывными отно-
относительно Я, принадлежит 3) (Г±).
Для любого и 6 Н имеем (обозначение FJ введено в E.14))
'.'¦'• а -
(TtT)u = iBn)il2 \ $u<g(t)euHfdt, E.18)
688 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
где
, E.19)
заметим, что функция (Е (к) и, g) абсолютно непрерывна, если
вектор g абсолютно непрерывен (см. теорему 1.7).
Используя спектральную формулу eltH = \ elt% dE (к), полу-
получаем из E.18)
?7>=гBяI/2 J
E.21)
где
<«.в(Ь) = BяI/2 J фи,еЩе"ь<Н. E.22)
о
Функцию Bя)~х аа, u, g можно рассматривать как обратное пре-
преобразование Фурье функции xJ @ ^u,g 00 > гДе XJ @ — характе-
характеристическая функция интервала @, а).
Предположим теперь, что (через pg мы обозначаем pgig)
III g III2 = II Pg ||~ = «up d (E (к) g, g)ldk < oo i). E.23)
Тогда <f>Utg 6 L2 (—оо, оо), причем || <f>uig |[ < ||| g \\\ || u || (см.
лемму 4.5). Таким образом, %i(f>u tg -*- %+<f>a,g в L2 при а->оо,
где x+ — характеристическая функция интервала @, оо). Произ-
Производя преобразование Фурье, мы видим, что aJ]U >g —>¦ aj)g в L2,
где aj,g/2n — обратное преобразование Фурье функции x+<i>Utg:
оо
aj>g(^) = BnI/2l.i.m. j^.*@'"**, E-24)
так что
||||||g|||. E.25)
Далее, из E.21) следует, что (Г^Г) м стремится при а ->¦ со к
(Г+Г)и = iatti{H)f E.26)
при условии, что |||/|||<оо. Действительно, || crJiU|g (Я) /—
- aSiS (Я) / [|2 = j | <u ig (X) - aS,g (Л) |2 (d/<u) (? (Л) /, /) ЙЛ <
1) Здесь и в дальнейшем мы пишем просто sup там, где должны были бы
писать ess sup.
§ 5. СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД ' ¦ 689
< II crJiUig — ajig |р III/ |||-*-0. Это показывает, что Т+Т суще-
существует, и оправдывает обозначение (Т+Т)и, использованное в E.26).
В то же время имеем
Следовательно,
||Г+Г ||< 2я HI /HI |||*|||. E.27)
Как мы видели выше, фурье-образ функции aj, я/2я совпадает
с фурье-образом функции pu,g, умноженным на %+. Обозначим
ots = 2nG+Pu,g; E.28)
оператор G+ является ортогональным проектором в L2, будучи
преобразованием Фурье оператора умножения на %+ (t). С опе-
оператором G+ связано так называемое преобразование Гильберта.
Удобное выражение для G+ дается формулой
-^u \ 1^-e^- E-29)
Для ее доказательства заметим, что оператор умножения на %+ (t)
является сильным пределом при е \ 0 оператора умножения
на е~~Е*х+(О- При переходе к фурье-образам последний оператор
превращается в оператор
оо оо
С+р (X) = Bл)-1 [eiKte-etdt f
О
равный оператору из E.29).
С оператором Т~Т можно поступить точно так же. В оконча-
окончательном результате нужно только заменить оператор G+ на опе-
оператор G~, определяемый с помощью замены е на —г в E.29).
Таким образом, доказана
Лемма 5.10. Пусть оператор Т = ( , g) /, где /, g абсолютно
непрерывны относительно самосопряженного оператора Н, есть
оператор ранга 1. Если |||/ ||| и \\\ g ||| конечны, то Т±Т суще-
существует и (Г14?1) и ¦= iOu, g (H) f при любом и ? Н. Здесь
at, g = 2nG±Pl g, pUi „{X) = d (E (X) u, g)/dk € L1 f\ V.
Справедлива оценка || Г±Г ||< 2я ||| / ||| ||| g \\\.
Рассмотрим теперь оператор конечного ранга
44 т. като
690 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
где все /й, gk абсолютно непрерывны относительно //. Так как
Т является суммой операторов ранга 1, то применение леммы 5.10
доказывает, что Т±А существует, если |||/fe |||, |||gft ||| конечны,
и || Г±Л || < 2я S Ill/fe III III 8h\\\- Но мы выведем несколько
более точные оценки
Лемма 5.11. Пусть оператор Т mom же, что и выше. Тогда
т
Т*Т существуют и || Т*Т ||<2яар\ где aa = sup 2 Р/ь (*) " Р2 =
ft=i я
m
= S"P S Pgft (*) • ЗЗесь Р/ (X) = Р/, у (X) = d (E (X) /, /)/а.
h— 1
Доказательство. В силу леммы E.10) (Г±Г)и =
m
= i S au gh(H)fh- Следовательно,
m
(Г*^)«||я = . 2 (a± g. (Я) /7-, a* gft (H) fk) =
3 j Д—1
..' = S J < s} (*-) < ^ M d (^ (^) /^ h) <
j, h
[в силу A.9I < J [2 I < gh (I) | p/ft (ЯI/2]2 <a<
(в рилу A.9)]< BлсфJ J р„ (А,) ЙЛ = BясфJ1| u ||2
§ 5. СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД 691
5. Решение интегральных уравнений в случае,
когда rank Л = 1
Решим теперь «интегральные уравнения» E.5). Для простоты
будем предполагать в оставшейся части этого параграфа, что
оператор Я4 спектрально абсолютно непрерывен, так что Pi = 1,
и вместо Hi будем писать Я. Вводя для удобства числовой пара-
параметр к, рассмотрим уравнение
W = 1 + кТ (AW); E.31)
здесь через Г, W обозначены Г+, W+ или Г", W_ соответственно.
Для решения уравнения E.31) естественно воспользоваться
методом последовательных приближений:
=^ KnW{n), W ,
n=o E.32)
W(n+i) = Y(AW(n)), n = 0, 1, 2, ... .
Но совсем неясно, можно ли построить операторы W(n), так как
операция Г не определена всюду в 98 (Н).
Мы покажем, однако, что этот метод применим, если А имеет
ранг 1:
А = ( , g) f, E.33)
и если /, g выбраны должны образом. Позже мы распространим
наши результаты на более общие случаи. Мы не предполагаем,
что оператор А симметричен; то, что уравнение E.31) можно
решить для несимметричных А, представляет собой весьма инте-
интересный факт.
Предположим, что |||/|||, \\\ g ||| конечны (см. E.23)). Тогда
лемма 5.10 показывает, что W(x> = ТА существует и || TV*-1) || ^
^ 2я |||/ HI HI g |||. Для построения W<2' мы применим лем-
лемму 5.10 при Т = AWW = ( , g(^) f, где
g(i) = W^)*g = (ТА)* g = -(ТА*) g = -iagtt (Я) g E.34)
в силу лемм 5.6 и 5.10 (заметим, что А* = ( , /) g также удовле-
удовлетворяет предположениям леммы 5.10). Следовательно,
(d/dk) (Е (Л) gW, g(i>) =\ag,f (k) \*.(d/dk) (E (X) g, g),
так что HI g^ ||[^M|||g|[[<;oo, если мы предположим, что х)
II og,f || = sup \o8,f(k)\ = M< oo. E.35)
J) Функция Pg, f ограничена, поскольку | pg, / {%) |2 ^ pg (X) pg (К), но
отсюда еще не следует ограниченность функции ag, f = 2ябр (G = G*).
Известно, что ag, / (X) ограничена (и удовлетворяет условию Гёльдера), если
р . (к) удовлетворяет условию Гёльдера и достаточно быстро стремится
к нулю при | X | -*• оо. В рассматриваемой задаче удобно предположить,
что условие E.35) выполнено.
44*
692 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Оказывается, что можно построить W<n) при га = 3, 4, . . .,
не делая каких-либо дальнейших предположений. Действительно,
мы можем применить лемму 5.10 для построения W(n+1) no W(n>;
оператор 4РК) = ( , #(П)) / имеет ранг 1, причем
(_0» Ogi f
откуда следует, как и выше, что
\\\g(n) \\\^Mn\\\g |||< с». ¦ E.37)
Формула E.36) может быть доказана по индукции; имеем
g("Hi) = W(n+1)*g = (IMVF(n>)* g = -[Г DPF(n))*] g =
= -iag,g(H)g(n),
поскольку D, Wt*1))* = ( , /) g<n>.
Из предыдущего следует, что
|| W(n+1> || = || Г DW)) || < 2я HI g(n) HI HI / HI <
<2яМге|||/|||||и|||. E.38)
Таким образом, ряд E.32) сходится по норме, если | х | < ИМ.
Легко видеть, что его сумма удовлетворяет уравнению E.31):
достаточно показать, что FDlf) можно вычислять почленно,
подставляя вместо W ряд E.32). Это можно делать, так как
|| Га (AW(n)) || < 2лМп ||| / HI и так как Га (AWln)) -^- Г (AW(n))
при а -*¦ оо для каждого п.
Таким образом доказана
Лемма 5.12. Если А — ( , g) f, где \\\ f \\\ и ||| g ||| конечны
и || сг„,/ ||оо = М <С оо, то уравнение E.31) имеет решение W =
= W (х), голоморфное по к при | х | ¦< 1/М.
Для дальнейшего изучения функции W (к) удобно рассмот-
рассмотреть уравнение
Z = 1 - хГ B4), E.39)
которое в некотором смысле двойственно уравнению E.31). Урав-
Уравнение E.39) может быть решено точно так же, как и выше, если
выполнены некоторые условия. А именно, имеем
E.40)
= ( ,g)fn\ fn)=Z™f=(-i)nofi
Поскольку <7/>g (A,) = crg, / (А,), то заключаем, что справедлива
Лемма 5.13. При тех же условиях, что и в лемме 5.12, урав-
уравнение E.39) имеет решение Z — Z (х), голоморфное при \ % \ <
1/М
§ 5. СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД \ 693
Существует простая связь между решениями уравнений E.31)
и E.39). Именно, справедлива
Лемма 5.14. При любом фиксированном к, таком, что | я | ¦<
< ИМ, решение каждого из уравнений E.31), E.39) единственно.
Эти решения связаны соотношениями
Z(x) = W (x)-\ W (х) = Z (х)-1.
Доказательство. Пусть W и Z — любые решения
рассматриваемых уравнений. Перемножая эти уравнения, полу-
получаем
ZW = 1 + *Г (AW) — хГ (ZA) — х2Г (ZA) Г (AW).
Используя E.9), а также еще раз уравнения E.31) и E.39),
находим
ZW = 1 + хГ [AW — ZA — хГ (ZA) AW — xZAT (AW)] =
= 1 + хГ [ZAW — ZAW] = 1. E.41)
Отсюда следует, что область значений оператора Z есть Н;
иными словами, Z является полуфредгольмовым оператором,
причем def Z = 0 (см. п. IV.5.1). В частности, это относится
к оператору Z (х) из леммы 5.13 при всех х. Но поскольку функ-
функция Z (х) голоморфна по х, то из теоремы устойчивости для индек-
индекса (см. теорему IV.5.17) следует, что nul Z (х) есть постоянная.
Так как Z @) = 1, то эта постоянная равна нулю. Таким образом,
Z (х) взаимно однозначно отображает Н на себя, и Z (х) обла-
обладает тем же свойством.
Далее, E.41) показывает, что Z (x) W = 1, следовательно,
W = Z (х). Поскольку это верно для любого решения W урав-
уравнения E.31), то решение этого уравнения единственно. Анало-
Аналогично, подставляя W = Z (х) в E.41), получим ZZ (х)~х = 1,
или Z = Z (х). Поскольку это верно для любого решения Z урав-
уравнения E.39), то решение этого уравнения единственно *).
Суммируя приведенные леммы, заключаем, что справедлива
Теорема 5.15. Пусть оператор Н самосопряжен и спектрально
абсолютно непрерывен, и пусть А = ( , g) /, где |||/ [|| ¦< оо,
HI g HI ¦< оо и || о/, з ]|оо = М < оо. Тогда уравнения E.31) и
г) Это можно обосновать, и не используя теорему об индексе. В силу
E.41) имеем Z {¦/) W {¦/.) = 1. Поскольку W (к) и Z (к) голоморфны по х,
причем W @) = Z @) = 1, то W {я)'1 существует при достаточно малых
| х |, и Z (и) = W (х); следовательно, W (и) Z (и) = 1. Но так как функ-
функция W (x) Z (к) голоморфна при | у. | < 1/7W, то W (и) Z (¦/.) = i при | х | <
< 1/7W. Таким образом, Z (и) = W (и)-1 при | х | < 1/ЛГ, и единственность
следует из E.41). Например, любой оператор W должен удовлетворять соот-
соотношению Z (к) W = 1, значит, W — Z (х) = W' (к).
694 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
E.39) имеют единственные решения W+ (х) и Z+ (х) соответствен-
соответственно при Г = Гя и | х | < ИМ. Эти решения голоморфны по х
и взаимно обратны. Аналогичные результаты справедливы для
Г = Гй. Оператор Н (х) = Н -+- хА подобен оператору Н: Н (х) =
= W+ (х) HW+ (х)'1. Если f = g и х вещественно, то оператор
Н (х) самосопряжен и унитарно эквивалентен Н, а операторы
W± (x) унитарны и совпадают с волновыми операторами
W± (Н (х), Н). Спектральное семейство Е (к, х) оператора И (х)
голоморфно по х (для вещественных х) при каждом фиксирован-
фиксированном А. х).
Подобие операторов Н (х) и Н следует из замечания 5.9,
а совпадение W±(x) с волновыми операторами — из теоремы 5.8.
Заметим, что || о?, /]]«, = || ст/, /|Ц, так что оба оператора W±(x)
существуют, если g — f. Утверждение, относящееся к Е (К, х),
вытекает из равенства
Е (X, х) = W+ (х) Е (К) W+ (х)-1.
6. Решение интегрального уравнения в случае вырожденного А
Результаты предыдущего пункта можно обобщить непосред-
непосредственно на случай, когда оператор А вырожден (с конечным
рангом т):
т
Л= S ( , gk)h, /ft€H
ft=i
(мы по-прежнему предполагаем, что оператор Н спектрально
абсолютно непрерывен). Для решения уравнения E.31) можно
использовать последовательные приближения E.32). Действи-
Действительно, легко видеть, как и выше, что
(n)= S ( . gin))tk, ¦ . E-43)
3=1
по крайней мере формально (мы положили для краткости okj =
= og /.). Как и выше, нетрудно убедиться, что эти результаты
справедливы, если |||/ft |||, \\\ gk ||| и \\\akJ ||| конечны.
Чтобы оценить || W(re) ||, заметим прежде всего, что функция
Р/ (^I/2 = Ы (Е (%) /, fjIdX]1/21 при любом фиксированном К удо-
удовлетворяет неравенству треугольника по/: pf+g (Я,I/2 ^ р/ (ЯI/2 +
!) В нестационарной теории мы не доказывали никаких теорем о непре-
непрерывности по норме операторов W± (Н + кА , Н) как функций от к (не гово-
говоря уже об аналитичности). Таким образом, теорема 5.15 дополняет ранее
полученные результаты.
§ 5. СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД 695
-f- P? (kI/z, как ясно из A.9). Применим это неравенство к сум-
сумме E.44); обозначая через р(?) (к) функцию pg (к) при g = gW,
получаем
pTW'^SK./MIP*"''^I'8 E.45)
i=i
(заметим, что если / = ст (Я) g, то р/ (А,) = | <т (к) |2 pg (Я,)).
Обозначим через М (X) норму линейного оператора, опреде-
определяемого матрицей (| ohj (%) |) и действующего в яг-мерном гиль-
гильбертовом пространстве Ст. Тогда из E.45) следует, что
Последовательное применение этой формулы дает
(Ы* МI/г <М(k)n(^9h МГ2. E-46)
Положим ilf = sup М (к); число М конечно, так как мы пред-
положили, что || Ojik Цсо конечны. Применяя лемму 5.11 к Т =
= AW (см. E.43)), получаем, таким образом:
SPeJI- IISPift||i/2- E-47)
Отсюда следует, как и в предыдущем пункте, что ряд для W (х)
сходится при | х | <С ИМ и дает решение уравнения E.31).
Остальные утверждения теоремы 5.15 можно вывести теперь
так же, как и выше. Таким образом, доказана
т
Теорема 5.16. В теореме 5.15 заменим А на А = 2 С gk) /ft>
где HI /ь |||< oo, HI gh |||< oo u || agfe(/. ||<oo,/, ft = Г, . . ., m.
Тогда все утверждения по-прежнему справедливы, если М =
= sup М (к), где М (к) — норма т X т-матрицы (| og *.(к) \)
как оператора в т-мерном гильбертовом пространстве. {В по-
последнем утверждении теоремы 5.15 условие f = g нужно заме-
заменить условием fh = ±?ь, где знак выбирается произвольно для
каждого к.)
Замечание 5.17. Пусть М' — норма т X иг-матрицы
(II aSk'f- ID» ТОГДа М ^ М'. Это следует из того простого факта,
что норма матрицы с неотрицательными элементами не убывает,
если некоторые из ее элементов увеличиваются.
Замечание 5.18. Эти результаты могут быть обобщены далее
на случай, когда оператор А уже не является вырожденным
и ряд E.42) бесконечен. Учитывая E.47), мы можем ожидать, что
696 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
последовательные приближения сходятся, если
g. L<oo и х|<1/М, E.48)
где М = sup M (%), & M (X) представляет собой норму оператора,
действующего в С°° = I2 и определяемого бесконечной матрицей
(I °gfc./- W D- Следует, однако, заметить, что надо бы сделать
какое-нибудь дополнительное предположение, скажем
2 II/ь II II gh II < °°, E.49)
для того чтобы А ? $ (Н), так как мы определили ТХ только
для ограниченных X. Условие E.49) не является необходимым
и может быть заменено более слабым. Между прочим, из E.49)
следует, что А ? 3S\ (H).
Замечание 5.19. Можно распространить полученные резуль-
результаты на случай непрерывного аналога формулы E.42). Предпо-
Предположим, что
А = 1 ( , gk) /ь dk, E.50)
где /ь и gh зависят от непрерывного параметра к. Естественно
ожидать, что метод последовательных приближений может быть
применен точно так же, как и выше, если
|| I p/h dk |U < оо, \\l 9gh dfc IU < oo и | x |< 1/Af, E.51)
где M = sup M (X), a M (X) есть норма интегрального оператора
Тх, действующего в L2, с ядром
t (к, /; X) = | ogh, f. (X) |. E.52)
Условия E.51) являются аналогами условий E.48).
Мы молчаливо предполагали, что fh, gh ? Н. Но даже это
предположение может быть опущено. Конечно, некоторые вели-
величины, использованные выше, потеряли бы в этом случае точный
смысл, но они допускают естественные интерпретации в конкрет-
конкретных задачах. Предположим, например, что Н = L2 @, оо) иЯ —
оператор умножения на координату X. Предположим, далее, что
/ft = /ft (Ц являются функциями, не обязательно принадлежа-
принадлежащими L2. Тогда оператор E.50) можно интерпретировать как
интегральный оператор с ядром а (X, ц) = \ fk (к) gh (,u) dk; этот
оператор вполне может быть ограниченным, даже если fh, gk и не
принадлежат L2. Так как d (Е (X) /, g)ldX — f (X) g (X), если
/, g 6 Н, то мы должны положить Pfj,gk (X) = fj (X) gh (X), даже
если fj, gk не принадлежат L2.
Как и прежде, нужно некоторое дополнительное условие,
подобное E.49), для того чтобы обеспечить ограниченность опе-
оператора А, если строго придерживаться данного выше опреде-
определения Г.
§ 5. СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД , 697
Мы не будем подробно доказывать эти результаты. Следует
заметить, что доказательство здесь не вполне аналогично доказа-
доказательству в «дискретном» случае E.42), так как Р/3-, gft(A,) может
яе иметь преобразования Фурье 1).
7. Применение к дифференциальным операторам
В качестве простого приложения предыдущих результатов рассмотрим
дифференциальный оператор 2)
Я = —dVdx2, 0<x<oo, E.53)
с граничным условием и @) = 0 и возмущенный оператор Я (и) = Я + у.А,
где А — оператор умножения на функцию q (х). Предположим для простоты,
что функция д (х) ограничена.
Оператор Н самосопряжен в Н = L2 @, оо) (см. п. V.3.6). Он может быть
«диагонализован» с помощью преобразования
оо
) = B/яI/2 I sin kxu (х) dx E.54)
О
О
в том смысле, что || и || = || и \\ и
(Ни)~ (к) = к*й(к), О < к < оо. E.55)
Для того чтобы привести оператор умножения на к2 к стандартному виду,
произведем замену переменной К = к2. Учитывая, что
оо
= f
о
u(k)\*dk ^[ \и(к1'2)\*%-1/2аХ, . E.56)
о
положим
оо
"" :) u(x)dx\ E.57)
и (х) -*¦ и (X) является унитарным преобразованием пространства L2 @, оо)
в себя, и Я переходит поэтому в оператор умножения на X:
(Ни)* (%) = Яи(Х). E.58)
Как легко видеть, оператор умножения на q (x) в х-представлепии пере-
переходит в интегральный оператор с ядром
00
f sm(iii/2x)sm(Xi'2x)q(x)dx. E.59)
О
О
Далее, E.59) совпадает с формулой E.50), если в ней заменить к на х
и положить
4 sin
sin {Xl'2x) дг (х),
1/2"
где ?! и g2 таковы, что q (х) = qt (х) q2 (х) и | qt (х) | = || q2 (х) || = | q (x) |
г) Эти обобщения доказаны в работе Т. К а т о [18], где использован
несколько иной метод.
2) Более подробное обсуждение этого примера и его обобщение на слу-
случай более высоких размерностей см. в работе Т. К а т о [18].
698 Гл. X. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ
Функции fx и gx не принадлежат L2 @, ех>), но это не является серьезной
трудностью 1), поскольку оператор А ограничен. Для того чтобы применить
замечание 5.19, мы должны вычислить pf , р и М.
1 х &Х
Поскольку в Я,-представлепии Н есть оператор умножения на Я,, то
Pfx (X) = 0 при Я, < 0 и (формально)
9tx (X) = -^(Е (X) fx, fx) = | fx (%) |" =
= иг* X~1/2 sin2 (X^2x) | q (x) |< jt-i* \q(x)\
при X > 0 (заметим, что sin2 (X1/2 x) < sin (X1/2x) \ < X1/2x). Следовательно,
первое неравенство в E.51) выполняется, если
f x\q(x)\dx< oo. ; .,'.', E.61)
О ¦
То же верно и для второго неравенства.
Для вычисления М заметим, что
рех> tv ^=gx W ^} = ЯЯ1/2 sin (Я1/2ж)sin
при Я, > 0 и = 0 при Я, < 0. Следовательно, а+ . = 2nG+pg f задается
формулой (см. E.28))
° 9)
Их>'
у
И ит f !X/2siD^1^f(!xl/2j/) dp. E.62)
В предположении 0 < х <; у элементарный подсчет показывает, что предел
в правой части равен
&т{Х1'2х) для Я, > 0,
Как легко видеть, оба эти выражения ограничены по абсолютной величине
-функцией лх = пт\и{х, у). Следовательно, получаем из E.62)
| ogxi ^ (X) | < min (*, y)\g(x)\i/2\g (у) I1/2. E.63)
Далее, норма М (X) интегрального оператора в L2 @, оо) с ядром | о , (X) I
не превышает его гильберто-шмидтовой нормы N (X). Но E.63) показывает,
что
оо оо оо оо
N (Я,J = f f I Ggx, t (Я.) I2 dx dy < f f [min (x, y)f\g (x) \* \ g (у) \ dx dy = TV2,
о о х о о
E.64)
x) Эта кажущаяся трудность может быть легко ирео&олена с помощью
замены /х (Я,), gx (X) на fx(X) A + еЯ,), гж (Я,) A +. еЯ,)"* и перехода к пре-
пределу при е \ 0. ' ¦ ' . •
§ 5. СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД 699
Поэтому М (к) ^.N при всех X, а значит, Af=sup M (X) <^iV. Таким образом,
из замечания 5.19 следует, что заключение теоремы 5.16 справедливо, если
выполнено условие E.61) *) и если
I у. |< ИМ.
¦Замечание 5.20. Так как [(min (x, у)]2 < ху, то
оо
V'= \ x\g(x)\dx. E.66)
О
Следовательно, E.65) выполняется при | у. | < i/N'. Иными словами,
операторы —d2/dx2 и —d2/dx2 + g (ж) подобны (и унитарно эквивалентны,
если функция g (ж) вещественна), если iV' < 1 2). Интересно отметить, что
это условие является «наилучшим». Действительно, известно (и легко про-
проверяется), что для любого N' > 1 существует вещественная функция g (x)
00
такая, что J x \ g (x) \ dx — N', причем оператор —cP/dx2 -\- g (x) имеет
О
отрицательные собственные значения, так что он не может быть подобен
оператору —d2/dx2 (например, достаточно положить g (х) = —Иг при
1 < х <; 1 -f- s, где s достаточно мало, и g {х) — 0 в остальных точках).
х) На самом деле условие E.61) не является необходимым, если N < оо;
см. Т. К ат о [18].
2) Ср. с работой М о з е р а [1], в которой аналогичные результаты
выводятся при более сильных условиях. См. также Шварц [2].
БИБЛИОГРАФИЯ
СТАТЬИ
Ароншайн (Aronszajn N.)
[1] The Rayleigh-Ritz and the Weinstein methods for approximation of
eigenvalues. I. Operators in a Hilbert space. II. Differential operators,
Proc. Nat. Acad. Sci., 34 A948), 474—480, 594—601.
[2] Approximation methods for eigenvalues of completely continuous sym-
symmetric operators, Proceedings of the Symposium on Spectral Theory and
Differential Problems, Oklahoma A. M. College, 1955, 179—202.
[3] On a problem of Wey in the theory of singular Sturm-Liouville equations,
Am. J. Math., 79 A957), 597—610.
[4] Quadratic forms on vector spaces, Proceedings of International Sympo-
Symposium on Linear Spaces, Hebrew Univ., Jerusalem, 1960, 29—87.
Ароншайн и Вайи штейн (Aronszajn N.,Weinstein A.)
[1] Existence, convergence and equivalence in the unified theory of plate»
and membrans, Proc. Nat. Acad. Sci., 64 A941), 181 — 191.
[2] On a unified theory of eigenvalues of plates and membranes, Am. J.
Math., 64 A942), 623—645.
Агкинсон (Atkinson F. V.)
[1] Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных
пространствах, Матем сб., 28 G0) A951), 3—14.
[2] A spectral problem for completely continuous operators, Ada Math.
Acad. Sci. Hungar., 3 A952), 53.—60.
[3] On relatively regular operators, Ada Sci. Math. Szeged., 15 A953),
38—56.
Б а з л и (В a z 1 e у N. W.)
[1] Lower bounds for eigenvalues, /. Math. Mech., 10 A961), 289—308.
Базли и Фокс (Bazley N. W., D. W. Fox)
[1] Lower bounds to eigenvalues using operator decompositions of the form
B*B, Arch. Rat. Mech. Anal., 10 A962), 352—360.
Бальслев (Balslev E.)
[1] Perturbation of ordinary differential operators, Math. Scand., 11 A962),
131-148.
Бальслев и Гамелин (Balslev E., Gamelin T. W.)
[1] The essential spectrum of a class of ordinary differential operators,
Pacific. J. Math., 14 A964), 755-776.
Бари Н. К.
[1] Sur les systemes complets de fonctions orthogonales, Матем. сб., 14
E6) A944), 51—108.
Батлер (Butler J. В., jr.)
[1] Perturbation series for eigenvalues of analytic non-symmetric operators,
Arch. Math., 10 A959), 21-27.
Баумгертель (Baumgartel H.)
[1] Zur Storungstheorie beschrankter linearer Operatoren eines Banachschen
Raumes, Math. Nachr., 26 A964), 361—379.
БИБЛИОГРАФИЯ 701
Баукэмп (Bouwkamp С. J.)
[1] A note on Mathieu functions, Indag. Math., 10 A948), 319—321.
Берксон (Berkson E.)
[1] Some metrics on the subspaces of a Banach space, Pacific J. Math., 13
A963), 7—22.
Биркгоф (Birkhoff G.)
[1] Three observations on linear algebra, Univ. Nac. Tucumdn Rev., ser.
A., 5 A946), 147—151.
Бирман М. Ш.
[1] К теории самосопряженных расширений положительно определен-
определенных операторов, Матем. сб., 38 A956), № 4, 431—450.
[2] О методе Фридрихса — расширения положительно определенного
оператора до самосопряженного, Зап. Ленингр. горн, ин-та, 33 A956),
№ 3, 132-136.
[3] Метод квадратичных форм в задачах о малом параметре при старших
производных, Вестн. Ленингр. ун-та, № 13 A957), 9—12.
[4] О многомерных краевых задачах с малым параметром при старших
производных, УМН, 12 A957), вып. 6, 212—213.
[5] Возмущения квадратичных форм и спектр сингулярных задач, ДАН,
125 A959), № 3, 471—474.
[6] О возмущении спектра сингулярного оператора при изменении гра-
границы и граничных условий, ДАН, 137 A961), 761—763.
[7] Возмущения непрерывного спектра сингулярного эллиптического
оператора при изменении границы и граничных условий, Вестн.
Ленингр ун-та, № 1 A962), 22—55.
[8] Об условиях существования волновых операторов, ДАН, 143 A962),
506—509.
[9] Об одном признаке существования волновых операторов, ДАН, 147
A962), 1008—1009.
[10] Об условиях существования волновых операторов, И АН, сер. матем.,
27 A963), 883—906.
[11] Локальный признак существования волновых операторов, ДАН,
159, A964), 485—488.
Бирман М. Ш. и Эптина СБ.
[1] О стационарном подходе в абстрактной теории рассеяния, ДАН,
155 A964), 506-508.
Бирман М. Ш. и К р е й н М. Г.
[1] К теории волновых операторов и операторов рассеяния, ДАН, 144
A962), 475-478.
Блох (В 1 о с h С.)
[1] Sur la theorie des perturbations des etats lies, Nuclear Phys., 6 A958),
329-347.
Бранж (de L. Branges)
[1] Perturbations of self-adjoint transformations, Am. J. Math., 84 A962),
543-560.
Браудер (Browder F. E.)
[1] Functional analysis and partial differential equations. I, Math. Ann.,
138 A959), 55-79.
[2] On the spectral theory of elliptic differential operators. I, Math. Ann.,
142 A961), 22—130.
[3] Functional analysis and partial differential equations. II, Math. Ann.,
145 A962), 81—226.
Браудер и Штраус (Browder F. E., Strauss W. A.)
[1] Scattering for non-linear wave equations, Pacific J. Math., 13 A963),
23-43.
702 БИБЛИОГРАФИЯ
Браун (Brown A.)
[1] On the adjoint of a closed transformation, Proc. Am. Math. Soc, IS
A964), 239-240.
Браунел (Brownell F. H.)
[1] A note on Kato's uniqueness criterion for Schrodinger operator self-ad-
self-adjoint extensions, Pacific J. Math., 9 A959), 953—973.
[2] Finite dimensionality of the Schrodinger operator bottom, Arch. Rat.
Mech. Anal., 8 A961), 59—67.
[3] A note on Cook's wave-matrix theorem, Pacific J. Math., 12 A962),
47-52.
[4] Perturbation theory and an atomic transition model, Arch. Rat. Mech.
Anal., 10 A962), 149—170.
Бродский М. С. и Лившиц М. С.
[1] Спектральный анализ несамосопряженных операторов и проме-
промежуточные системы, УМН, 13 A958), вып. 1, 1—85.
Буслаев В. С.
[1] Формулы следов для оператора Шредингера в трехмерном простран-
пространстве, ДАН, 143 A962), 1067-107.
Б э б б и т (Babbitt D.)
[1] The Wiener integral and perturbation theory of the Schrodinger opera-
operator, Bull. Am. Math. Soc, 70 A964), 254—259.
Вайнштейн (Weinstein A.)
[1] Etude des spectres des equations aux derivees partielles de la theorie
des plaques elastique, Memor. Sci. Math., 88, 1937.
[2] The intermediate problems and the maximum-minimum theory of eigen-
eigenvalues, /. Math. Mech., 12 A963), 235—246.
[3] Bounds for eigenvalues and the method of intermediate problems, Pro-
Proceedings of International Conference on Partial Differential Equations-
and Continuum Mechanics, 39—53, Univ. of Wisconsin Press, 1961.
В ей ль (Weyl H.)
[1] Xjber beschrankte quadratische Formen, deren Differenz vollstetig ist,
Rend. Circ. Mat. Palermo, 27 A909), 373—392.
В и ш и к М. И.
[1] Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных
уравнений, Труды Моск. матем. об-ва, 1, 1952, 187—246.
Вишик М. И. и Люстерник Л. А.
[1] Возмущение собственных значений и собственных элементов для
некоторых несамосопряженных операторов, ДАН, 130 A960), 251 —
253.
[2] Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифферен-
дифференциальных уравнений с малым параметром, УМН, 12 A957), вып. 5,
3—122.
Вольф (Wolf F.)
[1] Analytic perturbation of operators in Banach spaces, Math. Ann., 124
A952), 317—333.
[2] Perturbation by changes one-dimensional boundary conditions, Indag.
Math., 18 A956), 360—366.
[3] On the invariance of the essential spectrum under a change of boundary
conditions of partial differential boundary operators, Indag. Math.,
21 A959), 142-147.
[4] On the essential spectrum of partial differential boundary problems,
Comm. Pure. Appl. Math., 12 A959), 211—228.
Вьенхольц (Wienholtz E.)
[1] Halbbeschrankte partielle Differentialoperatoren zweiter Ordnung vom
elliptischen Typus, Math. Ann., 135 A958), 50—80.
БИБЛИОГРАФИЯ 703
Гамелин (Gamelin T. W.)
[1] Decomposition theorems for Fredholm operators, Pacific J. Math., 15
A965), 97-106.
Гарридо (Garrido L. M.)
[1] Generalized adiabatic invariance, /. Math. Phys., 5 A964), 355—362.
Гарридо и С а н ч о (Garrido L. M., S a n с h о F. J.)
[1] Degree of approximate validity of the adiabatic invariance in quantum
mechanics, Physica, 28 A962), 553—560.
Гёльдер (Holder F.)
[1] tjber die Vielfachheiten gestorter Eigenwerte, Math. Ann., 113 A937),
620-628.
Гиндлер и Тейлор (Gindler H. A., T а у 1 о г А. Е.)
[1] The minimum modulus of a linear operator and its use in spectral theory,
Studia Math., 22 A962), 15—41.
Гольдберг В. Н.
[1] О возмущении линейных операторов с чисто дискретным спектром,
ДАН, 115 A957), 643—645.
Гохберг И. Ц. и Крейн М. Г.
[1] Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индек-
индексах линейных операторов, УМН, 12 A957), вып. 2, 43—118.
Гохберг И. Ц. и Маркус А. С.
[1] Две теоремы о растворе подпространств банахова пространства,
УМН, 14 A959), вып. 5, 135—140.
Гохберг И. Ц., Маркус А. С. и Фельдман И. А.
[1] О нормально разрешимых операторах и связанных с ними идеалах,
Иве. Молд. фил. АН СССР, 10 G6) (I960), 51—70.
Гофман и Виландт (Hoffman A. J., Wielandt H. W.)
[1] The variation of the spectrum of a normal matrix, Duke Math. /., 20-
A953), 37—39.
Грай нер (Greiner P. C.)
[1] Eigenfunction expansions and scattering theory for perturbed elliptic
partial differential operators, Bull. Am. Math. Soc, 70 A964), 517—
521.
Грин и Ланфорд (Green Т. A., Lanford О. Е. Ill)
[1] Rigorous derivation of the phase shift formula for the Hilbert space scat-
scattering operator of a single particle, J. Math. Phys., I A960), 139—148.
Данфорд (Dunford N.)
[1] A survey of the theory of spectral operators, Bull. Am. Math. Soc, 64
A958), 217-274.
Джойчи (J о i с h i J. T.)
[1] On operators with closed range, Proc. Am. Math. Soc, 11 A960), 80—83.
Д о л ь ф (D о 1 р h С. L.)
[1] Recent developments in some nonself -adjoint problems of mathemati-
mathematical physics, Bull. Am. Math. Soc, 67 A961), 1—69.
[2] Positive real resolvents and linear passive Hilbert systems, Ann.
Acad. Sci. Fenn., ser. A. I., Do. 336/9 A963).
Дольф и Пенцлин (Dolph С. L., Penzlin F.)
[1] On the theory of a class of nonself-adjoint operators and its applications
to quantum scattering theory, Ann. Acad. Sci. Fenn., ser. A. I., No.
263 A959).
Дьёдонне (Dieudonne" J.)
[1] Sur les homomorphismes d'espaces normes, Bull. Sci. Math., 67 A943),
72—84.
704 БИБЛИОГРАФИЯ
Д э в и с (Davis С.)
[1] The rotation of eigenvectors by a perturbation, /. Math. Anal. Appl.,
6 A963), 159-173.
Ж и с л и it Г. М.
[1] Исследование спектра оператора Шрёдингера для системы многих
частиц, Труды Моск. матем. об-ва, 9, 1960, 81—120.
И к э б э (Ikebe Т.)
[1] Eigenfunction expansions associated with the Schrodinger operators and
their applications to scattering theory, Arch. Rat Mech. Anal., 5 A960),
1—34.
[2] On the phase-shift formula for the scattering operator, Pacific J. Math.,
15 A965), 511-523.
[3] Orthogonality of the eigenfunctions for the exterior problem connected
with — Д. Arch. Rat. Mech. Anal., 19 A965), 71—73.
И>эбэ и К а то (Ikebe Т., К a t о Т.)
* [1] Uniqueness of the self-adjoint extension of singular elliptic differential
operators, Arch. Rat. Mech. Anal., 9 A962), 77—92.
Исаки (Iseki K.)
[1] On complete orthonormal sets in Hilbert space, Proc. Japan Acad., 33
A957), 450—452.
Йоргенс (Jorgens K.)
[1] Wesentliche Selbstadjungiertheit singularer elliptischer Differentialo-
peratoren zweiter Ordung in C™{G), Math. Scand., 15 A964), 5—17.
Каашук (Kaashoek M. A.)
[1] Closed linear operators on Banach spaces, Thesis, University of Leiden,
1964.
К а т о И. (K a t о Y.)
[1] Some converging examples of the perturbation series in the quantum
field theory, Progr. Theor. Phys., 26 A961), 99—122.
Каю и Мугибаяси (Kato Y., Mugibayashi N.)
[1] Regular perturbation and asymptotic limits of operators in quantum
field theory, Progr. Theor. Phys., 30, A963), 103—133.
К а то T.jKato T.)
[1] On the convergence of the perturbation method. I, II, Progr. Theor.
Phys., 4 A949), 514-523; 5 A950), 95-101, 207-212.
[2] On the adiabatic theorem of quantum mechanics, /. Phys. Soc. Japan, 5
A950), 435—439.
[3] On the convergence of the perturbation method, /. Fac. Sci. Univ.
Tokyo, sect. 1, 6 A951), 145—226.
[4] Fundamental properties of Hamiltonian operators of Schrodinger type,
Trans. Am. Math. Soc, 70 A951), 195—211.
¦ [4a] On the existence of solutions of the helium wave equation, Trans. Am.
Math. Soc, 70 A951), 212—218.
[5] Notes on some inequalities for linear operators, Math. Ann., 125 A952),
208—212.
[6] On the perturbation theory of closed linear operators, /. Math. Soc.
Japan, 4 A952), 323—337.
[7] Perturbation theory of semi-bounded operators, Math. Ann., 125 A953),
435—447.
[8] Quadratic forms in Hilbert spaces and asymptotic perturbation series,
Technical Report No. 7, Univ. Calif., 1955.
[9] Notes on projections and perturbation theory, Technical Report No.
9, Univ. Calif., 1955.
' [10] On finite-dimensional perturbation of selfadjoint operators, /. Math.
Soc. Japan, 9 A957), 239—249.
БИБЛИОГРАФИЯ 705
[11] Perturbation of continuous spectra by trace class operators, Proc. Japan
Acad., 33 A957), 260—264.
[12] Perturbation theory for nullity, deficiency and other quantities of linear
operators, /. Analyse Math., 6 A958), 261—322.
[13] Estimation of iterated matrices, with application to the von Neumann
condition, Numer. Math., 2, A960), 22—29.
[14] A generalization of the Heinz Inequality, Proc. Japan Acad., 6A961)
305—308.
[15] Fractional powers of dissipative operators, /. Math. Soc. Japan, 13
A961), 246-274.
[16] Fractional powers of dissipative operators. II, /. Math. Soc. Japan.,
14 A962), 242-248.
[17] Wave operators and unitary equivalence, Pacific J. Math. 15 A956),
171—180.
[18] Wave operators and similarity for non-selfadjoint operators, Math.
Ann. 162 A966), 258—279.
Като и Курода (К a t о Т., К u ro da S. Т.)
fl] A remark on the unitarity property of the scattering operator, Nuovo
Cimento, 14 A959), 1102—1107.
Кестер (Coester Ft.)
[1] Scattering theory for relativistic particles, Helv. Phys. Ada, 38 A965),
7-23.
К и л л и н (К i 1 1 е е n J.)
[1] Asymptotic perturbation of differential equations, Technical Report
UCRL-3056. Radiation Lab., Univ. Calif., 1955.
Кпейнеке (Kleinecke D. C.)
[1] Degenerate perturbations, Technical Report No. 1, Univ. Calif., 1953.
[2] Finite perturbations and the essential spectrum, Technical Report No.
4, Univ. Calif., 1954.
К л у а з о (des Cloizeaux J.)
[1] Extension d'une formule de Lagrange a des problemes de valeurs propres,
Nuclear Phys., 20 A960), 321 — 346.
К о н л и и Р е й т о (С о n 1 е у С. С, R e j t о Р. А.)
[1] On spectral concentration. Technical Report IMM-NYU 293, New
York Univ., 1962.
К о р д е с (С о r d e s И.О.)
fl] A matrix inequality, Proc. Am. Math. Soc, 11 A960), 206—210.
Кордес и Л а б р у с (Cordes H. O., Labrousse J. P.)
[1] The invariance of the index in the metric space of closed operators,
/. Math. Mech., 12 A963), 693—720.
Крамер R. (Kramer V.A.)
[1] Asymptotic inverse series, Proc. Am. Math. Soc, 7 A956), 429—437.
[2] Asymptotic perturbation series, Trans. Am. Math. Soc, 85 A957),
88—105.
Крамер Г. (Kramer H. P.)
[1] Perturbation of differential operators, Pacific J. Math., 7 A957), 1405—
1435.
К р е й н М. Г.
[1] О самосопряженных расширениях ограниченных и полуограниченных
эрмитовых операторов, ДАН, 48 A945), 323—386.
[2] Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых
операторов и ее приложения. II, Матем. сб., 29 F2) A947), 431—498.
[3] О формуле следов в теории возмущений, Матем. сб., 33 G5) A953),
597—626.
45 т. Като
706 БИБЛИОГРАФИЯ
[4] О базисах Бари пространства Гильберта, УМН, 12 A957), вып. 3,
333—341.
[5] К теории линейных несамосопряженных операторов, ДАН, 120 A960),
254-256.
[6] Об определителях возмущения и формуле следов для унитарных и са-
самосопряженных операторов, ДАН, 144 A962), 268—271.
Крейн М. Г. и Красносельский М. А.
[1] Устойчивость индекса неограниченного оператора, Матем. сб., 30
G2) A952), 219—224.
Крейн М. Г., Красносельский М. А. и М и л ь м а н Д. П.
[1] О дефектных числах линейных операторов в банаховом пространстве
и о некоторых геометрических вопросах, Сб. трудов Ин—та математики
АН УССР, 11, 1948, 97—112.
Крейт и Вольф (Kreith К., Wolf F.)
[1] On the effect on the essential spectrum of the change of the basic region,
Indag. Math., 22 A960), 321—315.
Кук (Cook J. M.)
[1] Convergence to the Moller wavematrix, /. Math. Phys., 36 A957),
82-87.
[2] Asymptotic properties of a boson field with given source, /. Math.
Phys., 2 A961), 33—45.
Кумано-Го (Kumano-go H.)
[1] On singular perturbation of linear partial differential equations with
constant coefficients. II, Proc. Japan Acad., 35 A959), 541 — 546.
К у р о Д a (K u г о d a S. T.)
[1] On a theorem of Weyl — von Neumann, Proc. Japan Acad., 34 A958),
11—15.
[2] On the existence and the unitary property of the scattering operator,
Nuovo Cimento, 12 A959), 431—454.
[3] Perturbation of continuous spectra by unbounded operators. I. /. Math,
Soc. Japan.. 11 A959), 247—262.
[4] Perturbation of continuous spectra by unbounded operators. II. /. Math.,
Soc. Japan.. 12 A960), 243—257.
[5] On a generalization of the Weinstein-Aronszajn formula and the infinite
determinant, Sci. Papers Coll. Gen. Ed. Univ. Tokyo. 11 A961), 1—12.
[6] On a paper of Green and Lanford, /. Math. Phys.. 3 A962), 933—935.
[7] Finite-dimensional perturbation and a representation of scattering ope-
operator, Pacific J. Math., 13 A963), 3305—1318.
[8] On a stationary approach to scattering problem, Bull. Am. Math. Soc,
70 A964), 556-560.
Кэньел и Шехтер (Kaniel S., Schechter M.)
[1] Spectral theory for Fredholm operators, Comm. Pure Avpl. Math., 16
A963), 423-448.
Ладыженская О. А.
[1] Об уравнениях с малым параметром при старших производных в ли-
линейных дифференциальных уравнениях с частными производными,
Вестн. Ленингр. ун-та, № 7 A957), 104—120.
Ладыженская О. А. и Фаддеев Л. Д.
[1] К теории возмущений непрерывного спектра, ДАН, 120 A958), 1187—
1190.
Лаке и Мильграм (Lax P. D., M i I g r a m A. N.)
[1] Parabolic equations. Contributions to the theory of partial differencial
¦ ' equations, Annals of Mathematics Studies, No. 33, 167—190, Princeton,
1954.
БИБЛИОГРАФИЯ 707
Лаке и Филлипс (Lax P. D., Phillips R. S.)
[1] Scattering theory, Bull. Am. Math. Soc, 70 A964), 130—142.
Пантер (L a n g e r H.)
[1] "Cber die tlurzeln eines maximalen dissipativen Operators, Acta Math.
Acad. Sci. Hungar., 13 A962), 415—424.
Левинсон (Levinson N.)
[1] The first boundary value problem for e Аи + Aux + Byv + Си = D
for small e, Ann. Math., 51 A960), 429—445.
Лёвнер (L owner K.)
[1] Uber monotone Matrixfunctionen, Math. Z., 38 A934), 177—216.
Лившиц Б. Л.
[1] Метод возмущений для оператора простой структуры, ДАН, 133
A960), 800—803.
Лившиц М. С.
[1] О спектральном разложении линейных несамосопряженных опера-
операторов, Матем. сб., 34 A945), № 1, 145—199.
Лидский В. Б.
[1] О собственных значениях суммы и произведения симметрических
матриц, ДАН, 75 A950), 679—772.
Лионе (Lions J. L.)
[1] Espaces d'interpolation et domaines de puissances fractionnaires d'ope-
rateurs. /. Math. Soc. Japan, 14 A962), 233—241.
Л и ф ш и ц И. М.
[1] К теории регулярных возмущений, ДАН, 48 A945), 83—86.
[2] О вырожденных регулярных возмущениях. I. Дискретный спектр,
Ж. экспер. и теор. физ., A947), № 11, 1017—1025.
[3] О вырожденных регулярных возмущениях. II. Квазинепрерывный
и непрерывный спектры, Ж. экспер. и теор. фиг. A947), № 12, 1076—
1089.
[4] Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статисти-
статистикой, УМН, 7 A962), вып. 1, 171—180.
Люмер и Филлипс (Lumer G., Phillips R. S.)
[1] Dissipative operators in a Banach space, Pacific J. Math., 11 A961),
679-698.
M а с л о в В. П.
[1] Теория возмущений при переходе от дискретного спектра к непрерыв-
непрерывному, ДАН, 109 A956), № 2, 267-270.
[2] Теория возмущений линейных операторных уравнений и проблема
малого параметра в дифференциальных уравнениях, ДАН, 111 A956),
531—534.
[3] Метод теории возмущений для отыскания спектра обыкновенных диф-
дифференциальных операторов с малым параметром при старшей произ-
производной, ДАН, 111 A956), 977—980.
Мозер (Moser J.)
[1] Storungstheorie des kontinuerlichen Spektrums fur gewohnliche Diffe-
rentialgleichungen zweiter Ordnung, Math. Ann., 125 A953), 366—393..
[2] Singular perturbation of eigenvalue problems for linear differential equa-
equations of even order, Comm. Pure Appl. Math., 8 A955), 251—278.
Моргенштерн (Morgenstern D.)
[1] Singulare Storungstheorie partieller Differentialglecihungen, /. Ra-
Rational Mech. Anal., 5 A956), 204—216.
Моцкиы и Таусская (Motzkin T.S., Taussky О.)
[1] Parirs of matrices with property L, Trans. Am. Math. Soc, 73 A952),
45*
708 ' БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Pairs of matrices with property L. II, Trans. Am. Math. Soc, 80 A955),
387-401. '
Нагумо (Nagumo M.) On singular perturbation of linear partial diffe-
differentia equ ations with constant coefficients. I Proc. Japan A cad., 35
A959), 449—454.
¦ Нейман (von Neumann J.)
[1] Charakterisierung des Spectrums eines Integraloperators, Actualites Sci.
Ind., No. 229, 1935, 38-55.
Нельсон (Nelson E.) Feynman inetgrals and the Schrodinger equation,
/. Math. Phys., 5 A964), 332—343.
Нижние Л. П.
[1] Задача рассеяния при нестационарном возмущении, ДАН, 132 A960),
40—43.
Ной б а уэр (Neubauer G.)
[1] t)ber den Index abgeschlossener Operatoren in Banachraumen, Math.
Ann., 160 A965), 93—13 0.
[2] tjber den Index abgeschlossen er Operatoren in Banachraumen. II, Math.
Ann., 162 A965), 92-119 .
Ньюбар (Newburgh J. D.)
[1] The variation of spectra, Duke Math., U., 18 A951), 165—176.
[2] A topology for closed operators, Ann. Math., 53 A951), 250—255.
Повзнер А. Я.
[1] О разложении произвольных функций по собственным функциям
оператора — Аи+си, Матем. сб., 32, A953), № 1, 109—156.
Порат (Porath G.)
[1] Storungstheorie der isolierten Eigenwerte fur abgeschlossene lineare
Transformationen im Banachschen Raum, Math. Nachr., 20 A959),
175—230.
Проссер (Prosser R. T.)
[1] Relativistic potential scattering, /. Math. Phys., 4 A963), 1048—1054.
[2] Convergent perturbation expansions for certain wave operators, /.
/. Math. Phys., 5 A964), 708—713.
П у т н а м (Putnam C. R.)
[1] On the continuous spectra of singular boundary value problems, Canad.
J. Math., 6 A954), 420—426.
[2] Continuous spectra and unitary equivalence, Pacific J. Math., 7 A957),
993—995.
[3] Commutators and absolutely continuous operators, Trans. Am. Math.
Soc, 87 A958), 513-525.
[4] On differences of unitarily equivalent self-adjoint operators, Proc.
Glasgow Math. Assoc, 4 A960), 103—107.
[5] A note on ToeplitE matrices and unitary equivalence, Boll. Un. Mat.
Ital., 15 A960), 6—9.
[6] Commutators, perturbations and unitary spectra, Ada Math., 106
A961), 215—232.
[7] On the spectra of unitary halfscattering operators, Quart. Appl. Math.,
20 A962/63), 85—88.
[8] Absolute continuity of certain unitary and half-scattering operators,
Proc. Am. Math. Soc, 13 A962), 844—846.
[9] Absolutely continuous Hamiltonian operators, /. Math. Anal. Appl., 7
A963), 163-165.
[10] Commutators, absolutely continuous spectra and singular integral ope-
operators, Am. J. Math., 86 A964), 310-316.
Math. Ann
П,
[II,
(V,
V,
Math.
Math.
Math.
Math.
.,113
Ann.,
Ann.,
Ann.,
Ann.,
A937)
113
116
117
118
, 600—
A937),
A939),
A940),
A942),
БИБЛИОГРАФИЯ 709
P а с т о н (R u s t о n A. F.)
[1] On the Fredholm theory of integral equations for operators belonging to
the trace class of a general Banach space, Proc. London Math. Soc, 33
A951), 109—124.
P e й т о (R e j t о Р. А.)
[1] On gentle perturbations. I, Comm. Pure Appl. Math., 16 A963), 279—
303.
[2] On gentle perturbations. II, Comm. Pure Appl. Math., 17 A964) 257—
292.
P e л л и x (R e 11 i с h F.)
[1] Storungstheorie der Spektralzerlegung. I,
619.
[2] Storungstheorie der Spektralzerlegung.
677—685.
[3] Storungstheorie der Spektralzerlegung.
555—570.
[4] Storungstheorie der Spektralzerlegung.
356—382.
[5] Storungstheorie der Spektralzerlegung.
462—484.
[6] Strorungstheorie der Spektralzerlegung, Proceedings of the International
Congress of Mathematicians, 1950, V. 1, 606—613.
17] New results in the perturbation theory of eigenvalue problems, Nat.
Bur. Standards Appl. Math. Ser., 29 A953), 95—99.
[8] Perturbation theory of eigenvalue problems, Lecture Notes, New York
Univ., 1953.
P и д д е л (R i d d e 11 R. C.)
[1] Spectral concentration for selfadjoint operators, Thesis, Univ. Calif.,
1965.
Роде.. (Rohde H.-W.)
[1] "Cher die Symmetrie elliptischer Differentialoperatoren, Math. Z. 86
A964), 21-33.
Розенблум (Rosenbloom P.)
[1] Perturbation of linear operators in Banach spaces, Arch. Math., 6 A955),
89—101.
Розе и блюм (Rosenblum M.)
[1] Perturbation of the continuous spectrum and unitary equivalence,
Pacific J. Math., 7 A957). 997—1010.
[2] The absolute continuity of Tooplitz's matrices, Pacific J. Math., 10
A960), 987—996.
Рота (Rota G. C.)
[1] Extension theory of differential operators. I, Comm. Pure Appl. Math.,
11 A958), 23-65.
С а и т о (S a i t о I.)
[1] The perturbation method due to the small change in the shape of the
boundary, /. Phys. Soc. Japan., 15 A960), 2069-2080.
Се кефаль в и-Н а д ь (S z.-N a g у В.)
[1] Perturbations des transformations autoadjaointes dans l'espace de Hil-
bert, Comment. Math. Helv., 19 A946/47), 347—366.
[2] Perturbations des transformations lineaires fermees, Ada Sci. Math.
Szeged., 14 A951), 125—137.
[3] On the stability of the index of unbounded linear transformations,
Ada Math. Acad. Sci. Hungar., 3 A952), 49—51.
[4] On a spectral problem of Atkinson, Ada Math. Acad. Sci. Hungar., 3
A952), 61—66.
710 БИБЛИОГРАФИЯ
С иг ел (S egel L. А.)
[1] Application of conformal mapping to boundary perturbation problems
for the membrane equation, Arch. Rat. Mech. Anal., 8 A961), 228—262.
Сидзута (Shizuta Y.)
[1] Eigenfunction expansion associated with the operator —Д in the exterior
domain, Proc. Japan Acad., 39 A963), 656—660.
[2] On fundamental equations of spatially independent problems in neut-
neutron thermalization theory, Progr. Theor. Phys., 32 A964), 489—511.
Станкевич И. В.
[1] К теории возмущения непрерывного спектра, ДАН A962), 279—282.
Титчмарш (Titchmarsh E. С.)
[1] Some theorems on perturbation theory, Proc. Roy. Soc. London, ser.
A, 200 A949), 34—46.
[2] Some theorems on perturbation theory. II, Proc. Roy. Soc, London,
ser. A, 201 A950), 473—479.
[3] Some theorems on perturbation theory. Ill, Proc. Roy. Soc. London,
ser. A, 207 A951), 321—328.
[4] Some theorems on perturbation theory. IV, Proc. Roy. Soc. London,
ser. A., 210 A951), 30—47.
[5] Some theorems on perturbation theory. V, /. Analyse Math., 4 A954/56),
187—208.
Троттер (Trotter E. F.)
[1] Approximation of semi-groups of operators, Pacific J. Math., 8 A958),
887-919.
[2] On the product of semi-groups of operators, Proc. Am. Math. Soc, 10
A959), 545-551.
Уилсон (Wilson A. H.)
[1] Perturbation theory in quantum mechanics. I, Proc. Roy. Soc. London,
ser. A, 122 A929), 589-598.
Уотсон (Watson G. N.)
[1] The convergence of the series in Mathieu's functions, Proc Edinburgh
Math. Soc, 33 A915), 25—30.
Фаддеев Л. Д.
[1] Строение резольвенты оператора Шрёдингера системы трех частиц
и задача рассеяния, ДАН, 145 A962), 301—304.
[2] Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы
трех частиц. Труды Матем. ин-та АН СССР, 69, 1963, 1—122.
[3] О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра.
Труды Матем.[ин-та АН СССР, 73, 1964, 292—313.
Филлипс (Phillips R. S.)
[1] Perturbation theory for semigroups of linear operators, Trans. A m. Math.
Soc, 74 A954), 199-221.
[2] Dissipative hyperbolic systems, Trans. Am. Math. Soc, 86 A957),
109-173.
[3] Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential
equations, Trans. Am. Math. Soc, 90 A959), 193—254.
[4] Dissipative operators and parabolic partial differential equations,
Comm. Pure Appl. Math., 12 A959), 249—276.
Фогель (F о g u e 1 S. R.)
[1] A perturbation theorem for scalar operators, Comm. Pure Appl. Math.,
11 A958), 293—295.
[2] Finite dimensional perturbations in Banach spaces, Am. J. Math.,
82 A960), 260—270.
БИБЛИОГРАФИЯ 711
Фрейденталь (Freudenthal H.)
[1] Uber die Friedrichssche Fortsetzung halbbeschrankter Hermiteschre
Operatoren, Proc. Acad. Amsterdam, 39 A936), 832—833.
Фридман (Friedman B.)
[1] Operators with a closed range, Comm. Pure Appl. Math., 8 A955),
539—550.
Фридрихе (Friedrichs K. 0.)
[1] Spektraltheorie halbbeschrankter Operatoren und Anwendung auf die
с—1,4-.„1„__1 von Differentialoperatoren. I, Math. Ann., 109
[2] "Cber die Spektralzerlegung eines Integraloperators eines Integralopera-
tors, Math. Ann., 115 A938), 249—272.
13] On the perturbation of continuous spectra, Comm. Pure Appl. Math.,.
1 A948), 361-406.
[4] Zur asymptotischen Beschreibung von Streuprozessen, Naclir. Akad.
Wiss. Gottingen Math.-Phys. KL, lib, 1952, 43-50.
[5] Asymptotic phenomena in mathematical physics, Bull. Am. Math.
Sec, 61 A955), 485-504.
[6] Symmetric positive linear differential equations, Comm. Pure Appl.
Math., 11 A958), 333-418.
Фридрихе и Рейто (Friedrichs К. О., R e j t о Р. A.)
[1] On a perturbation through which a discrete spectrum becomes continuous,
Comm. Pure Appl. Math., 15 A962), 219—235.
Фримэн (Freeman J. M.)
[1] Perturbations of the shift operator, Trans. Am. Math. Soc, 114 A965),
251—260.
X а й н ц (Heinz E.)
[1] Beitrage zur Storungstheorie der Spektralzerlegung, Math. Ann., 123
A951), 415—438.
Хартман (Hartman P.)
[1] On the essential spectra of symmetric operators in Hilbert space, Am.
J. Math., 75, 229—240 A953).
X a p p и с (Harries W. A., jr.)
[1] Singular perturbations of twopoint bundary problems for systems of
ordinary differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal., 5 A960), 212—
225.
[2] Singular perturbations of eigenvalue problems, Arch. Rat. Mech.
Anal., 7 A961), 224—241.
Хельвиг (Hellwig B.)
fl] Ein Kriterium fur die Selbstadjungierlheit elliptischer Differentialopera-
Differentialoperatoren im Rn, Math. Z., 86 A964), 255—262.
X и л д инг (Н ild i ng S. H.)
[1] On the closure of disturbed complete orthonormal sets in Hilbert space,
Ark. Mat. Astr. Fys., 32 B, No. 7 A946).
Хукухара (Hukuhara M.)
[1] Theorie des endomorphismes de l'espace vectoriel, /. Fac. Sci. Univ.
Tokyo, sect. I, 7 A954), 129—192; 305—332.
Хунцикер (Hunziker W.)
[1] Regularitatseigenschaften der Streuamplitude im Fall der Potential-
streuung, Helv. Phys. Ada, 34 A961), 593—620.
Хью (Н u e t D.)
[1] Phenomenes de perturbation singuKere, C. R. Acad., Sci. Paris., 244
A957), 1438—1440; 246 A958), 2096—2098; 247 A958), 2273—2276;
248 A959) 58—60.
712 БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Phenomenes de perturbation singuliere dans les problemes aux limites.
Ann. Inst. Fourier Grenoble, 10 A960), 1—96.
[3] Perturbations singulieres, С R. Acad. Sci. Paris, 257 A963), 3264—3266.
[4] Perturbations singulieres, С R. Acad. Sci. Paris, 258 A964), 6320—6322.
[5] Perturbations singulieres relatives au probleme de Dirichlet dans un
demi-espace, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 18 A964), 425—448.
[6] Sur quelques problemes de perturbation singuliere, Portugal. Math.
(в печати).
[7] Perturbations singulieres, С R. Acad. Sci. Paris, 259 A964), 4213—4215.
X э к (Hack M. N.)
[1] On convergence to the Mailer wave operators, Nuovo Cimento, 9 A958),
731—733.
[2] Wave operators in multichannel scattering, Nuovo Cimento, 13 A969),
A959), 231—236.
Шварц (Schwartz J.)
[1] Perturbations of spectral operators and applications. I. Bounded pertur-
perturbations, Pacific J. Math., 4 A954), 415—458.
[2] Some non-selfadjoint operators, Comm. Pure Appl. Math., 13 A960),
609—639.
[3] Some non-selfadjoint operators. II. A family of operators yielding to
Friedrichs'method, Comm. Pure Appl. Math., 14 A961). 619—626.
[4] Some results on the spectra and spectral resolutions of a class of singular
integral operators, Comm. Pure Appl. Math., 15 A962), 75—90.
Ш е ф к e (S с h a f k e R. W.)
[1] Zur Parameterabhangigkeit beim Anfangswertproblem fur gewohnliche
lineare Differentialgleichungen, Math. Nachr., 3 A949), 20—39.
[2] Zur Parameterabhangigkeit bei gewohnlichen linearen Differentialglei-
Differentialgleichungen mit singularen Stellen der Bestimmtheit, Math. Nachr., 4 A951),
45-50.
[3] L'ber Eigenwertprobleme mit zwei Parametern, Math. Nachr.. 6 A951).
109-124.
[4] Verbesserte Konvergenz- und Fehlcrabschatzungen fiir die Stomngsre-
chung, Z. angew. Math. Meek., 33 A953), 255—259.
[5] Zur Storungstheorie der Spektralzerlegung, Math. Ann., 133 A957).
219—234.
Ш e x т e p (S с h e с h t e r M.)
[1] Invariance of the essential spectrum, Bull. Am. Math. Soc, 71 A965),
365—367.
[2] On the essential spectrum of an arbitrary operator. I, /. Math. Anal.
Appl., 13 A966), 205—215.
[3] On the essential spectrum of an arbitrary operator. II (в печати).
Ш т у м м е л ь (S t u m m e 1 F.)
[1] Singulare elliptische Differentialoperatoren in Hilbertschen Raumen,.
Math. Ann., 132 A956), 150—176.
Ш м у л ь я н Ю. Л.
[1] Вполне непрерывные возмущения операторов, ДАН, 101 A955),
35—38.
Шредер (Schroder J.)
[1] Fehlerabschiitzungen zur Storungsrechnung bei linearen Eigenwertpro-
blemen mit Opcratoren eines Hilbertschen Raumes, Math. Nachr., 10
A953), 113—128.
[2] Fehlerabschatzungen zur Storungsrechnung fur lineare Eigenwertpro-
Eigenwertprobleme bei gewohnlichen Differentialgleichungen, Z. angew. Math. Mcch.,
34 A954), 140—149.
[3] Storungsrechnung bei Eigcnwert- und Verzweigungsaufgaben, Arch.
Rat. Mech. Anal., 1 A958), 436—468.
БИБЛИОГРАФИЯ 713
Шрёдингер (Sclirodinger E.)
[1] Quantisierung als Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung: Strorungstheo-
rie, mit Anwendung auf den Starkcffekt der Balmerlinien), Ann. Physik,
80 A926), 437—490.
Штраус (Strauss W. A.)
fl] Scattering for hyperbolic equations, Trans. Am. Math. Soc, 108 A963),
13-37.
[2] Les operateurs d'onde pour des equations d'onde non lineaires indepen-
dants du temps, C. R. Acad. Sci. Paris, 256 A963), 5045—5046.
Ю д (Y о о d B.)
[1] Properties of linear transformations preserved under addition of a com-
completely continuous transformation, Duke Math. J. 18 A951), 599—612.
Я ух (J au ch J. M.)
[1J Theory of the scattering operator, Helv. Phys. Ada. 31 A958), 127—158.
[2] Theory of the scattering operator. II. Multichannel scattering, Helv.
Phys. Acta, 31 A958), 661—684.
Яух и Циннес (Jauch J. M.. Zinnes I. I.)
[1] The asymptotic condition for simple scattering systems, Nuovo Cimento,
11 A959), 553-567.
УЧЕБНИКИ И МОНОГРАФИИ
Александров и Хопф и т. д. (Alexandroff P., Hopf H.)
Щ Topologie. I, Berlin, Springer, 1935.
А х и е з е р Н. И. н Г л а з м а н И. М.
PJ Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2-е изд.,
«Наука», М., 1966.
Банах (Banach S.)
[1] Theorie des operations lineairez, Warsaw, 1932. • . •¦
Г е л ь ф а н д И. М.
р] Лекции по линейной алгебре, «Наука», М., 1966.
Голдберг (Golbberg S.)
Р] Unbounded linear operators with applications, N. Y., McFraw-Hill,
1966.
Гофман и Купце (Hoffman К., К u n z e R.)
[1Ц Linear algebra, Englewood Gliffs, Trentice-Hall, 1961.
Гротеыдик (Grothendieck A.)
PJ Produits tenzoriels topologiques et espaces nucleaires, Mem. Am. Math.
Soc, No. 16, 1955.
Г у л д (Gould S. H.)
flj Вариационные методы в задачах о собственных значениях, «Мир», М.г
М., 1970.
Дан форд и Шварц (Dunford N., Schwartz J. T.)
Р] Линейные операторы. Общая теория, ИЛ, М., 1962.
[2]| Линейные операторы. Спектральная теория, «Мир», М., 1966.
Диксмье (Dixmier J.)
PJ Les algebres d'operateurs dans I'espace hilbertein, Paris, Gauthiers-Vil-
lars, 1957.
Дьёдонне (Dieudonne F.)
p] Основы современного анализа, «Мир», М., 1964. - ,
3 а а н е н (Z a a n e n А. С.)
[1J Linear analysiz, N. Y., Interseience, 1953.
714 БИБЛИОГРАФИЯ
Иосида (Yosida К.)
[1] Функциональный анализ, «Мир», М., 1967.
К е м б л (К е m Ы е Е. С.)
[1] The fundemental princeiples of quantum mechanics, N. Y., Dover, 1958.
Кнопп (Кпорр К.)
[l], Щ Theory of functions (English translation), Parts I, II N. Y., Dover,
1945, 1947.
Коддингтон и Левинсои (Coddington E. A., Levin-
son N.)
[1Ц Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958.
Курант и Гильберт (Courant R., Hilbert D.)
fl]j Методы математической функции, т. I, Гостехиздат, М., 1951.
Лионе (Lions J. L.)
[11 Equations differentielles operationnelles et problemes aux limited,
Berlin-Gottingen-Heidelberg, Springer, 1961.
Л о p x (Lorch E. R.)
[I] Spectral theory, N. Y., Oxford University Press, 1962.
Люстерник Л. А. и Соболев В. И.
[1] Элементы функционального анализа, 2-е изд., «Наука», М., 1965.
Морс и Фешбах (Morse P. M.. Feshbach H.)
[lj Методы теоретической физики, т. 2, ИЛ, М., 1958.
Напмарк М. А.
[1| Линейные дифференциальные операторы, 2-е изд., «Наука», М., 1969.
Пойа и Сегё (Р 6 1 у a G., Szego G.)
[1] Задачи и теоремы анализа, ОНТИ, 1937.
Рихтмайер и Мортон (Richtmyer R. D.,' Morton К. W.)
[1] Разностные методы решения краевых задач, «Мир», М., 1972.
Риккарт (Rickart С. Е.)
[1] General theory of Banach algebras, Princeton D. van Nostrand, 1960.
Рисе и Секефальви-Надь (Riesz F., S z.-N a g у В.)
[1] Лекции по функциональному анализу, ИЛ., М., 1954.
Ройден (Hoyden H. L.)
[1] Real analysis, N. Y. Macmillan, 1963.
P э л е й (Lord R а у 1 e i g h)
[1] The theory of Sound, v. 1, London, 1927.
Рекефальви-Надь (Sz. -Nagy)
P] Spektraldarstellung linearer transformationen des Hilbertsehen Raumes.
Engelnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Berlin, Springer,
1942.
Соболев С. Л.
[1] Некоторые применения функционального анализа в математической
физике, Л., 1950.
Стоун (Stone М. Н.)
[1| Linear transformations in Hilbert space and their applications to ana-
analysis, Providence, Am. Math. Soc. Colloq. Pub!., v. 15, 1932.
Тейлор (Taylor A. E.)
[1] Introduction to finctional analysis, N. Y., Wiley, 1961.
Фридрихе (FriedrichsK. 0.)
[1Ц Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве, «Мир»,
М.. 1969.
БИБЛИОГРАФИЯ 715
Халмош (Halmos P. R.)
|[1J Introduction to Hilbert space and the theory of Spectral multiplicity,
N. Y., Chelsea, 1951.
[2]1 Конечномерные векторные пространства, Физматгиз, М., 1963.
Хард и, Литлвуд и Пойа
[1J Неравенства, ИЛ, М., 1948.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
[lj Mengenlchre. 3. Aufl. Berlin-Leipzig, W. de Gruyter, 1935.
Хельвиг (Hellyig G.)
[1] Differentialoperatoren der mathematischon Physik, Berlin-Gottingen-
Heidelberg, Springer, 1964.
Хплле m Филлипс (Hille E., Phillips R. S.)
[1J Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ., М., 1962.
Шаттен (Schatten R.)
[1] Norm ideals of completely continuous operators, Ergebnisse derMathe-
matik und ihrer Grenzgebiete, Berlin-Gottingen-Heidelberg, Springer,
1942.
Ш ифф (Schif f H. I.)
[1J Квантовая механика, ИЛ, М., 1957.
Шрёдингер (Schro'dinger E.) :
[l]j Collected papers on wave mechanics, N. Y.-Toronto-London, McGraw-
Hill., 1955.
Эглстон (Eggleston E. G.) . ¦ .
[1J Convexity, Cambridge University Press, 1963. . • ',
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ
[1*] Б а з ь А. И.. Зельдович Я. Б. и Переломов А. М., Рас-
Рассеяние и распады в нерелятивистской квантовой механике, «Наука»,
М., 1971.
[2*] Белопольский А. Л. и Бирман М. Ш., Существование
волвовых операторов в теории рассеяния для пары пространств, И АН,
32 A968), 1162—1175.
[3*] Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям
самосопряженных операторов, Наукова думка, Киев, 1965.
[4*] Бирман М. III., О спектре сингулярных граничных задач, Машем ¦
сб.у 55 A961), № 2, 125—174.
[5*] Бирман М. Ш., Задачи рассеяния для дифференциальных опера-
операторов, Функ. анализ, 3 A969), § 3, 1 — 16.
[6*J Бирман М. III., Задачи рассеяния для дифференциальных опера-
операторов при возмущения пространства, ИАН, сер. матем., 35 A971)
№ 2, 440-455.
[7*] Бирман М. III. и Соломяк М. 3., Двойные операторные инте-
интегралы Стильтьеса. I, II, сб. «Проблемы математической физики», ЛГУ,
вып. 1, 1966, 33—66; вып. 2, 1967, 26—60.
[8*] Буслаев В. С, Рассеянные плоские волны, спектральные асимп-
асимптотики и формулы следа во внешних задачах, ДАН, 197 A971), 999—
1002.
[9*] Буслаев В. С, О формулах следа в многоканальных задачах,
Записки научн. семинаров ЛОМИ, т. 27, 1972, 47—70.
[10*] Буслаев В. С. и Матвеев В. Б., Волновые операторы для
уравнения Шрёдингера с медленно убывающим потенциалом, ТИФ, 2
A970), № 3, 367—376.
716 БИБЛИОГРАФИЯ
[11*] Буслаев В. С. и Фаддеев Л. Д., О формулах следов для диф-
дифференциального сингулярного оператора Штурма — Лиувилля, ДАН.
132 A960), 13-16.
[12*] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, «Наука»,
1971.
[13*] Г а т а у л л и н Т. М. и К а р а с е в М. В., О возмущении квази-
квазиуровней оператора Шре'дингера с комплексным потенциалом, Теор.
и мат. физ., 9 A971), № 2, 252—263.
[14*] Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Обобщенные функции и дей-
действия над ними, Физматгиз, 1959.
[15*] Г л а з м а и И. М., Прямые методы качественного анализа сингуляр-
сингулярных дифференциальных операторов, М., 1965.
[16*] Д е й ч В. Т., Приложения метода ядерных возмущений в теория рас-
рассеяния для пары пространства, Изв. ВУЗ-ов., Математика, Да 6, A971),
33-42.
[17*] Като (Kato Т.), Scattering theory with two Hilbert spaces,
J. Fund. Anal., 1 A967), 342—369.
[18*] Като (Kato Т.), Wave operators similarity ior some nonselfad joint
operators, Math. Ann., 162 A966), 258—279.
[19*1 Като (Kato Т.), Scattering theory and perturbation of continuous
spectra, Aetes du Congres Int. de Math., Gauthier-Villars, Paris, 1970,
135—140.
[20*] Като и Курода (Kato T.,Kuroda S. Т.), Theory of sim-
simple scattering and eigenfunction expansions, Functional Analysis and
Related fields, Springer, 1970, 99—131.
[21*] Колмогоров А. Н. и Фомин С. В., Элементы теории функций
и функционального анализа, «Наука», 1972.
[22*] Ком б (Combes J. M.), Time-dependent approach to nonrelativis-
tic multichannel scattering, Nuovo Cimento, 64 A A969), № 1, ill—144.
[23*] Крейи М. Г., О некоторых новых исследованиях по теории возму-
возмущений самосопряженных операторов, сб. «Первая летняя математиче-
математическая школа», т. 1, Киев, 1964.
[24*] Курода (Kuroda S. Т.), Some remarks on scattering for Schrodin-
ger operators, /. Fac. Sci. Univ. Tokyo, sect. I A, 17 A970), 313—329.
[25*] Курода (Kuroda S. Т.), Spectral representations and the scat-
scattering theory for Schrodinger operators, Actes du Congres Int. Math., v. 2,
Gauthier-Villars, Paris, 1970, 441—445.
[26*] Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Квантовая механика. Нере-
Нерелятивистская теория, Физматгиз, 1963.
[27*] Лаке и Филлипс (Lax P. D., Phillips R. S.), Теория
рассеяния, «Мир», М., 1971.
[28*] Лаке и Филлипс (Lax P. D., Phillips F. S.), Scattering
theory, Rocky Mountain J. Math, (u печати).
[29*] Лаке и Филлипс (Lax P. D., Phillips R. S.)> Decaying
Modes for Wave Equations in exterior of an obstacle, Comm. Pure Appl.
Math., 22 A969), 737—787.
[30*] Лин (Lin S. C), Wave operators and similarity for generators of
semigroups Banach spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 139 A969), 469—
494.
[31*] M а с л о в В. П., Теория возмущений и асимптотические методы,
Изд. МГУ, М., 1965.
[32*] Масло в В. П., Операционные методы, «Наука», М. (в печати).
БИБЛИОГРАФИЯ 717
133*] Матвеев В. Б. и С к р и г а и о в М. М., Волновые операторы
для уравнения Шродингсра с быстро осциллирующим потенциалом,
ДАН, 202 A972), 755—758.
[34*] Мотидзуку (М о с h i z u k u K.), On the large perturbations
by a class of non-selfadjoint operators, /. Math. Soc. Japan., 19 A967),
123-158.
:[35*] Путнам (Putnam C. R.), Commytation properties of Hilbert
space operators and related tepics, Berlin, Springer, 1967.
C6*] Реллих (Rellich F.), Storumgstheory der Spektalzerlogimg. I.
Math. Ann., 113 A936), 600—619.
137*] Реллих (Rellich F.), Storumgstheory der Spektralzerlegung. II.
Math. Ann., 113 A936), 677—685.
138*] Реллих (Rellich F.), Storumgstheory der Spektralzerlegung.
Ill, Math. Ann., 116 A949), 555-570.
f39*] С a x н о в и ч Л. А., Диссипативные операторы с абсолютно непре-
непрерывным спектром, Труды ММО, т. 19, 1968, 211—270.
{40*] Сахнович Л. А., Принцип инвариантности для обобщенных вол-
волновых операторов, Функц. анализ, 5 A971), Л° 1.
|41*] С и г а л о в М. Г., Интегральные возмущения, Сибирский мат. ж., 7
A966), № 2, 375—408.
D2*] Соколов А. А., Лоскутов Ю. М. u T е р и о в И. М., Кванто-
Квантовая механика и атомная физика, «Просвещение», 1970.
J43*] Тихонов А. Н. и Самарский А. А., Уравнения .математи-
.математической физики, ГИТТЛ, 1953.
{44*] У и л к о к с (W i 1 с о х С. В.), Wave operators and asymptotic solu-
solutions of wave propagation problem of classical physics, Arch. Rat. Mech.
Anal., 22 A966), 37—78.
145*] Фаддеев Л. Д., Разложение по собственным функциям оператора
Лапласа на фундаментальной области дискретной группы на плоскости
Лобачевского, Труды ММО, т. 17, 1967, 323—350.
146*] Фейнман (Fey n man В..), An operators calculus having appli-
applications in quantum electrodynamics, Phys. Rev., 84 B) A951), 108—128.
[Русский перевод: Фейнман Р. П., Об операторном исчислении,
имеющем приложения в квантовой электродинамике, Сб. «Проблемы
современной физики», № 3, ИЛ, М., 1955, 37—59.]
147*] Ф и л л и п с (Phillips R. S.), Scattering theory for hyperbolic
systems, Actes du Congres Int. Math., v. 2, Cauthier-Villars, Paris, 1970,
778—784.
148*] Фридрихе (Friedrichs K-. O.), lOber die Spectralzerlegung
eines Integral-operators, Math. Ann., 115 A938), 259—272.
{49*] Хепп (Нерр К.), On the quantum mechanical TV-order problem,
Helv. Phys. Ada, 42 A969), 425—459.
J50*] Шаба! Б. В., Введение в комплексный анализ, «Наука», 1969.
[51*] Ш п л о в Г. Е., Математический анализ. Специальный курс, Фнзмат-
гиз, 1961.
J52*] Шмидт (Schmidt G.), Spectral and scattering theory for Max-
Maxwell's equatins, Arch. Rat. Mech. Anal., 28 A968), 289—322.
153*] Ш у л е н б е р г и Уилкокс (Schulenberg J. R.,
W i lc о х С. Н.), Completeness of the wase operators for perturbations of
uniformly propagative systems, /. Functional Analysis, 7 A971), 447—474.
^54*] Якубовский О. А., Строение резольвенты R (?) оператора Шрё-
дингера системы четырех частиц при комплексных ?, Вест. Ленингр.
ун-та, № 19 A968), 98—101.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ ,
Александров П. С. 254
Ароншайн (Aronszajn N.) 307, 311,
386. 527, 642, 652
Аткинсон (Atkinson F. V.) 289, 296,
299, 464
Ахиезер Н. И. 48, 76, 315
Базли (Bazley N. W.) 310
Базь А. Н. 6
Бальслев (Balsiev E.) 247, 306
Банах (Banach S.) 162, 295
Бари Н. К. 332
Батлер (Butler J. В., jr.) 94, 652
Баукэмп (Bauwkamp С. J.) 487
Баумгертель (Baumgiirtel H.) 85, 86,
97, 464
Берксон (Berkson E.) 251
Биркгоф (Birkhoff G.) 160
Бирман М. Ш. 5, 307, 380, 409, 527,
563, 669, 673, 675, 676, 678, 680,
682
Блох (Bloch С.) 127
де Бранж (Branges L., de) 682
Браудер (Browder F. E.) 289, 295,
297, 305, 677
Браун (Brown A.) 297
Браунел (Brownell F. Н.) 379, 380,
585, 662
Бродский М. С. 350
Буслаев В. С. 677
Бэббит (Babbitt D.) 379, 619
Вайыштейн (Wainstein A.) 307, 310
Вейль (Weyl H.) 306, 648
Виландт (Wielandt H. W.) 161
Виленкин Н. Я. 645
Вишик М. И. 85, 409, 550
Вольф (Wolf F.) 10, 48, 49, 85, 294,
305, 306, 307, 464, 470, 527
Вьенхольц (Wienholtz E.) 379
Гамелин (Gamelin T. W.) 304, 306
Гарридо (Garrido L. М.) 137
Гатаулин Т. М. 6
Гельфанд И. М. 11, 645
Гёльдер (Holder F.) 470
Гильберт (Hilbert D.) 376, 527
Гиндлер (Gindler H. А.) 292
Глазман И. М. 48, 76, 315
Голдберг (Goldberg S.) 162, 187, 243,
292, 297, 299
Гольдберг В. Н. 563
Гофман A. (Hoffman A. J.) 161
Гофман К. (Hoffman К.) 11, 13
Гохберг И. Ц. 7, 251, 252, 253, 289,
296, 299, 305
Грин (Green Т. А.) 677
Гротендик (Grothendieck A.) 205, 290
Гулд (Gould S. Н.) 310, 311
Данфорд (Dunford N.) 32, 85, 162,
168, 199, 225, 236, 302, 311, 370,
646
Джойчи (Joichi J. T.) 295
Диксмье (Dixmier J.) 513, 654 • ,
Дольф (Dolph С. L.) 350
Дьёдонне (Dieudonne J.) 162, 289, 296
Дэвис (Davis С.) 85, 159
Жислин Г. М. 380 ' '¦
Заанен (Zaanen А. С.) 162, 311
Зельдович Я. Б. 6
Икэбэ (Ikebe Т.) 10, 379, 380, 591,
676, 677
Иосида (Josida К.) 162, 165, 170„
171, 311, 377, 437, 599, 607
Исэки (Iseki К.) 334
Йоргенс (Jorgens К.) 379
Каашук (Kaashoek M. А.) 289
Карасев М. В. 7
Като И. (Kato Y.) 361, 655
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
719
Като Т. (Kato Т.) 5, 6, 7, 42, 48,
49, 76, 85, 91, 116, 124, 129, 137,
251, 253, 289, 295, 296, 299, 304,
361, 366, 379, 380, 381, 386, 399,
400, 418, 424, 464, 470, 494, 507,
512, 551, 555, 563, 572, 585, 591,
625, 656, 658, 669, 673, 678, 682,
697, 699
Кембл (Kemble E. С.) 99, 107, 512,
513
Киллин (Killeen J.) 563
Клейнеке (Kleinecke D. С.) 307
Клуазо (Cloizeaux J., des) 150
Кнопп (Кпорр К.) 21, 53, 54, 56,
62, 86, 87, 88, ИЗ, 117, 119, 165,
311, 462
Коддингтон (Coddington E. А.) 187,
188, 503
Колмогоров А. Н. 26
Конли (Conley С. С.) 585
Кордес (Cordes H. О.) 251, 256, 289,
296, 366
Крамер В. (Kramer V. A.) 507, 572,
583
Крамер Г. (Kramer H. Р.) 370
Красносельский М. А. 253, 289, 296
Крейн М. Г. 7, 251, 253, 289, 296,
299, 305, 311, 332, 409, 669, 675
Крейт (Kreith К.) 306, 527
Кук (Cook J. M.) 361, 655, 659, 662
Кумаио-Го (Kumano-Go H.) 550
Кунце (Kunze R.) 11, 13
Курант (Courant R.) 376, 527
Курода (Kuroda S. Т.) 5, 310, 311,
651, 653, 656, 658, 659, 662, 675,
677, 682
Кэньел (Kaniel S.) 289, 302
Лабрус (Labrousse J. P.) 251, 256,
289, 296
Ладыженская О. А. 550, 683
Лаке (Lax P. D.) 5, 406, 677
Лангер (Langer H.) 352
Левинсон (Levinson N.) 187, 188,
503, 550
Левнер (Lowner К.) 366
Лившиц Б. Л. 85
Лившиц М. С. 350
Лидский В. Б. 160
Лионе (Lions J. L.) 386, 404, 418,
443
Литлвуд (Littlewood J. E.) 43, 163
Лифшиц И. М. 307, 669
Лорх (Lorch E. R.) 23, 162
Люмер (Lumer G.) 350
Люстерник Л. А. 85, 162, 200. 550
Лэнфорд (Lanford О. Е., III) 677
Маркус А. С. 251, 252, 299
Маслов В. П. 534, 584
Мильграм (Milgram A. N.) 406
Мильман Д. П. 253
Мозер (Moser J.) 550, 652, 699
Моргенштерн (Morgenstern D.) 550
Морс (Morse P. M.) 527
Мортон (Morton К. W.) 636
Моцкин (Motzkin T. S.) 112
Мугибаяси (Mugibayashi N.) 361, 655
Нагумо (Nagumo M.) 550
Наймарк М. А. 187
Нейман (Neumann J., von) 648
Нельсон (Nelson E.) 379, 619
Нижник Л. П. 677
Нойбауэр (Neubauer G.) 289, 296, 297
Ньюбар (Newburgh J. D.) 251, 256,
264
Пенцлин (Penzlin F.) 350
Переломов А. М. 7
Повзнер А. Я. 380
Пойа (Polya G.) 42, 43, 163
Порат (Porath G.) 85, 470, 476
Проссер (Prosser R. Т.) 381, 383
Путнам (Putnam С. R.) 652, 654,
675, 676, 682
Растои (Ruston A. F.) 205
Рейто (Rejto P. А.) 585, 683
Реллих (Rellich F.) 5, 6, 85. 91, 117,
127, 138, 143, 145, 150, 156, 157,
263, 361, 366, 367, 460, 461, 465,
470, 472, 473, 490, 491, 501, 510,
527
Риддел (Riddell R. С.) 590. 591
Риккарт (Rickart С. Е.) 266, 273
Рисе (Riesz F.) 23, 85, 162, 275, 311,
355, 638
Рихтмайер (Richtmyer R. D.) 636
Роде (Rohde H.-W.) 379
Розенблум (Rosenbloom P. ) 85, 470,
479
Розенблюм (Rosenblum M.) 669, 676
Ройден (Royden H. L.) 17, 43, 163,
164, 166-168, 170-172, 184, 200,
640
Рота (Rota G. С.) 295, 306
Рэлей (Rayleigh, Lord) 8, 543
Саито (Saito T.) 527
Санчо (Sancho F. J.) 137
Сегё (Szego G.) 42
720
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Секефальви-Шдь (Sz.-Nagy В.) 8,
23, 48, 49. 85, 91, 116, 133, 162,
275, 289, 296, 299, 315, 355, 464,
470, 638
Сигел (Segel L. А.) 527
Сидзута (Shizuta Y.) 676, 677
Соболев В. И. 162, 200
Соболев С. Л. 162, 167, 243, 378
Станкевич И. В. 680
Стоун (Stone M. Н.) 52, 187, 311,
320, 325, 335, 338, 344, 447, 536,
640, 688, 674, 678
Таусская (Taussky О.) 112
Тейлор (Taylor A. E.) 162, 170, 171,
292
Титчмарш (Titchmarsh E. С.) 572,
585
Троттер (Trotter H. F.) 619, 623, 629,
635
Уилсон (Wilson A. H.) 8
Уотсон (Watson G. N.) 487
Фаддеев Л. Д. 5, 653, 683
Фейныан (Feynman R.) 6
Фельдман И. А. 299
Фешбах (Feshbach H.) 527
Филлипс (Phillips R. S.) 5, 42, 162,
273, 350, 599, 601, 603, 607, 613,
616, 677
Фогель (Foguel S. R.) 307, 538
Фокс (Fox D. W.) 310
Фомин С. В. 26
Френдеыталь (Freudentha) H.) 409
Фридман (Friedman В.) 299
Фридрихе (Friedrichs К. О.) 5, 10,
350, 386, 404, 409, 531, 585, 653,
683, 684
Фримэн (Freeman J. М.) 683
Хайнц (Heinz E.) 366, 455, 470, 518,
519
Халмош (Halmos P. R.) 11, 23, 311,
640
Харди (Hardy G. Н.) 43, 163
Харрис (Harris W. A., jr.) 550
Хартман (Hartman P.) 306
Хаусдорф (Hausdorff F.) 251
Хельвиг Б. (Hellwig В.) 379
Хельвиг Г. (Hellvig G.) 379
Хилдинг (Hilding S. Н.) 334
Хилле (Hille E.) 7, 42, 162, 273,
599, 601, 607, 613, 616
Хопф (Hopf H.) 254
Хукухара (Hukuhara M.) 302
Хунцикер (Hunziker W.) 677
Хью (Huet D.) 550, 563, 572
Хэк (Hack M. N.) 653, 662
Циннес (Zinnes I.. I.) 662
Шабат Б. В. 21
Шаттен (Schatten R.) 645, 646
Шварц (Schwartz J. Т.) 85, 162, 168,
199, 225, 236, 302, 311, 370, 646,
683, 699
Шефке (Schafke F. W.) 85, 116, 124,
464, 470, 476, 487
Шехтер (Schechter M.) 289, 302, 305,
399
Шилов Г. Е. 17
Шифф (Schiff L. I.) 99, 107, 381
Шмульян Ю. Л. 85, 470
Шредер (Schroder J.) 85, 117, 127,
470, 476
Шрёдингер (Schrodinger E.) 7—9, 99
Штраус (Strauss W. А.) 677
Штуммель (Stummel F.) 379, 591
Эглстон (Eggleston H. G.) 26
Энтина С. Б. 680, 682
Юд (Yood В.) 289, 299
Яух (Jauch J. M.) 653, 659, 662
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
абсолютная величина оператора 420
абсолютная сходимость 19, 44
абсолютно непрерывный вектор 640
абсолютно непрерывный спектр 221
аккретивный оператор 350
алгебра банахова 195, 274
— коммутативная 274
— нормированная 41
— операторная 195
алгебраическая кратность 58, 229,
305
аналитическое возмущение 85, 153,
458, 613
аннулятор 28, 67, 174
антилинейная форма 22
аппроксимативная степень вырожде-
вырождения 284, 294
аппроксимативный дефект 284, 294
аппроксимация вектора 167
— полугрупп 622, 631
асимптотическое разложение 148 ....
ассоциированная форма 387
ассоциированный оператор 405
базис 13, 332
— канонический 13, 43, 168
— ортонормированный 68
— присоединенный 34
— самосопряженный 70
— сопряженный 24
банахова алгебра 195, 274
банахово пространство 17, 165
Бесселя неравенство 69, 319
биортогональная система 70
Вайнштейна — Ароншайна опреде-
определители 307
вектор 11
— абсолютно непрерывный 640
— нормированный 16
— нулевой 11
— порождающий 668
— сингулярный 640
1/4 46 Т. Като
вектор собственный 50, 219
— — обобщенный 58, 129
— характеристический 50
— числовой 12
вектор-столбец 12
вектор-строка 12
векторное пространство 11
верхняя граница 72, 349
— грань 72, 349
вершина оператора 351
— формы 389
вещественная часть формы 388
вещественно-линейная форма 27
вклад пограничного слоя 550
внешняя точка 17
внутренняя точка 17
возмущение 85
— аналитическое 85, 153, 458, 613
— вырожденное 307, 468, 694
— граничное 527
— конечное 159
— ортонормированных систем 332
— относительно компактное 299
— относительно ограниченное 241,
271, 360, 425, 625
— полугрупп 613
— полуограниченных операторов
365
— полуторалинейных форм 423, 492,
561
— резольвенты 89, 531, 546, 572
— самосопряженных операторов 360,
368
— симметричное 153
— симметричных операторов 153
— собственных векторов и собствен-
собственных проекторов 85, 270, 307, 462,
504, 523, 544, 550, 580
— спектра 264, 364, 536, 571, 648
— спектрального семейства 453, 517
— m-секториальных операторов 425
волновой оператор 653
вольтерров оператор 188
вполне непрерывный оператор 200
вронскиан 188
722
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
всюду плотное подмножество 167
выпуклое множество 26
вырождение постоянное 86
вырожденное возмущение 307, 468,
694
— собственное значение 59
вырожденный оператор 29, 204
гамильтониан 376
генератор 597, 629
геометрическая кратность 50, 219,
305
Гёльдера неравенство 164
Гильберта преобразование 689
— тождество 52
Гильберта — Шмидта оператор
331
гильбертова порма 66
гильбертово пространство 65, 315
голоморфная полугруппа 607
голоморфное семейство 460
типа (А) 470
(а) 494
(В) 494
(Во) 501
(С) 515
гомоморфизм 32
граница 18
— верхняя (нижняя) 72, 349
грань верхняя (нижняя) 72, 349
— относительная 241
граничная точка 18
граничное возмущение 527
график 209
— обратный 210
группа операторов 592
— унитарных операторов 155, 599
Данфорда — Тейлора интеграл 62
двухэлектронная задача 512
детерминант 30, 205, 647
дефект 14, 29, 180, 276, 290
— аппроксимативный 284, 294
диагонализация матричной функции
137
диагонализуемый оператор 58, 114
Дирака оператор 381, 488
Дирихле задача 375
Дирихле форма 435
дискретная полугруппа 629
дискретпый спектр 237
диссипативный оператор 350
дифференциальный оператор 185 ..
дифференцируемость 143, 145, 156,
159
дополнение ортогональное 69, 316
дополнительные лицейные подпро-
подпространства 33, 199
единица алгебры 274
— времени (дискретной полугруп-
полугруппы) 629
единичная форма 387
единичный шар 17
— элемент 32
задача Дирихле 375
— двухэлектронная 512
— на собственные значения 51, 79,
219
— нелинейная 50, 138, 464
— обобщенная 50, 520
самосопряженная 223
сопряженная 61
— Неймана 375
замкнутая линейная оболочка 166
— форма 392, 437
замкнутое множество 18
замкнутый оператор 208
— — шар 17
замыкаемая форма 395
замыкаемый оператор 210
замыкание множества 18
— оператора 210
— секториальной формы 392
значение псевдособственное 585
— сингулярное 328
— собственное 50, 219
— — вырожденное 59
— — изолированное 228, 301, 544,
550
— — неустойчивое 584
— — полупростое 59
— — простое 59
— — устойчивое 544
— характеристическое 50
идемпотент 33
идеал 202
изолированная точка 228
изолированное собственное значение
228, 301, 544, 550
изолирующее расстояние 343
изометричный оператор 73, 323
изоморфизм 13, 49
инвариантное подпространство 36,
218
инвариантность волновых операто-
операторов 672
индекс 276, 290
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
723
индекс дефекта 336, 340
интеграл 20, 46
— в сильном смысле 194
— Данфорда — Тейлора 62
— прямой 654
— Радона — Стильтьеса 447
— Римана 20
— Стильтьеса 447
интегральный оператор 184, 188,
191, 196, 198, 200, 323, 331, 539
— — tr-класса 647
инфинитезимальный оператор 597
исключительная точка 86
исходное множество 324
итерационный метод 45
каноническая жорданова форма 60
— форма 58
канонический базис 13, 43, 168
каноническое разложение 328
квадратичная форма 67
квадратный корень оператора 352
квазиаккретивный оператор 350
квази-т-аккретивный оператор 350
квазинильпотентный оператор 196
квазиограниченная полугруппа 601
класс Шмидта 329, 643
коммутативная алгебра 274
коммутативность 32, 217
коммутатор 130, 686
компактное (под) множество 18
компактный оператор 200, 234
комплексное пространство 27
компонента 14, 532
конечная система собственных зна-
значений 230, 270
конечное продолжение 182
— сужение 182
Кэли преобразование 675
координата 13
конечное возмущение 159
коразмерность 14, 180
Коши последовательность 16, 165
коэффициент 13, 319
— Фурье 326
кратность алгебраическая 58, 229,
305
— геометрическая 50, 219, 305
кросс-норма 646
Кулоновский потенциал 379
лакуна 342
Лапласа оператор 375, 435
левый обратный 32
линейная зависимость 12
— комбинация 12
линейная оболочка 12, 168
— сумма 14
— форма 21
линейное многообразие неоднород-
неоднородное 14
• однородное 12
— отображение 28
— подпространство 12
линейные операции 11
линейный оператор 28, 70, 182
— функционал 21
максимальный интервал 485
— оператор 183—185, 187, 340, 375
— — умножения 183
— симметричный оператор 340
матрица 30
— сопряженная 38
матричное представление 28, 71
метод итерационный 45
— прямого подсчета числа членов
127
— стационарный 682
метрика хаусдорфова 251
метрическое пространство 17, 252
минимальный модуль 292
минимальный оператор 186, 373
— раствор 277
Минковского неравенство 163
мнимая часть формы 388
многоканальное рассеяние 653
множество выпуклое 26
— замкнутое 18
— исходное 324
— компактное 18
— открытое 18
— финальное 324
модуль минимальный 292
— приведенный 292
невозмущенный оператор 85
невырожденный оператор 29, 195
Неймана задача 375
Неймана ряд 53, 90, 548, 578
нелинейная задача на собственные
значения 50, 138, 464
неограниченная форма 386
неограниченный оператор 207, 322,
335
неоднородное линейное многообра-
многообразие 14
неотрицательная форма 72
неотрицательный оператор 73
непрерывная полугруппа 629
— форма 109
46*
724
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
непрерывная часть оператора 638
непрерывное семейство 444
непрерывный спектр 638
непрерывность векторно (оператор-
но)значной функции 19, 46
— линейной формы 169
— линейных операций 15, 40
— нормы 15
— оператора 40, 186
— — Т'1 относительно Т 45
— сильная 193
— слабая 177, 193
— собственных значений и т. д. 138,
142, 156, 270, 543
— тотального проектора 139
неприводимое уравнение 97
неравенство Бссселя 69, 319
— Гёльдера 164
— Миикопского 163
— Соболева 243, 378
— треугольника 16, 72
— Шварца 25, 66
неустойчивое собственное значение
584
нижняя граница 72, 349
— грань 72, 349 ;
нильпотепт собственный 229
нильпотеитная часть оператора 58
нильпотентный оператор 34
норма 16, 24, 39, 41, 169
— гильбертова 66
— упитарпо инвариантная 645
— Шмидта 329
нормально разрешимый оператор 295
нормальный оператор 73, 81, 124,
323, 347, 480
нормированная алгебра 41
нормированное пространство 17, 162
нормированный вектор 16
нормировка 16
носитель 446
нулевой вектор 11
нуль-пространство 29, 182
нумерация собственных значений 140
область 12
— значений 182
— — числовая 335, 388
— ограниченности 532 !
— определения 28, 169, 182, 386
— полуфредгольмова 305
— сильной сходимости 532
— сходимости по норме 532
— фредгольмова 305
обобщенная задача на собственные
значения 50, 520
— резольвента 521
обобщенная сильная сходимость 534
— сходимость 256
обобщенный волновой оператор 655
— собственный вектор 58, 129
— спектр 521
образ 28, 182
обратимый оператор 183
— элемент 274
обратный график 210
— оператор 29, 183
— элемент 274
ограниченная полугруппа 601
— форма 169, 171, 318, 389
ограниченно-голоморфное семейство
492
ограниченное подмножество 17
— спектральное семейство 445
ограниченность сверху 349, 388, 445
— слева 389
— снизу 349, 388, 444
ограниченный оператор 186, 190, 321
однопараметрическая полугруппа
593
однородное линейное многообразие
12
окрестность 17
оператор 28, 181
— аккретивный 350
— — сильно 352
— то-аккретивный 350
— ассоциированный 405
— волновой 653
— — обобщенный 655
— вольтерров 188
— вполне непрерывный 200
— вырожденный 29, 204
— Гильберта — Шмидта 331
— диагонализуемый 58, 114
— Дирака 381, 488
— диссипативный 350
— дифференциальный 185
— — формальный 187
— замкнутый 208
— замыкаемый 210
— изометричный 73, 323
— — частично 324
— интегральный 184, 188, 191, 196,
198, 200, 323, 331, 539
— — tr-класса 647
— инфинитезимальный 597
— квазиаккретивный 350
— квази-то-аккретивный 350
— квазинильпотентный 196
— компактный 200, 234
— Лапласа 375, 435
— линейный 28, 70, 182
— максимальный 183—185, 187, 340,
375
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
725
оператор минимальный 186, 373
— невозмущенный 85
— невырожденный 29, 195
— неограниченный 207, 322, 335
— неотрицательный 73
— нильпотентный 34
— нормально разрешимый 295
— нормальный 73, 81, 124, 323,
347, 480
— обратимый 183
— обратный 29, 183
— — левый (правый) 32
— ограниченный 186, 190, 321
— относительно вырожденный 248
— — компактный 247
— — ограниченный 241
— плотно определенный 182
— подобный 64
— положительный 73
— полный 658
— полуограниченный 349
— полупростой 58
— полуфредгольмов 291
— производящий 629
— простой 59
— рассеяния 653
— регулярный 190
— самосопряженный 73, 337, 360
— — существенно 338
— — формально 374
— сдвига левого 196
— — правого 197
— секториальный 351, 399
— то-секториальный 351, 404
— симметричный 73, 322, 337
— сингулярный 190, 432
— скалярный 32
— с компактной резольвентой 237
— сопряженный 37, 70, 197, 213
— спектрально абсолютно непрерыв-
непрерывный (сингулярно непрерывный,
сингулярный) 641
— — разрывной (непрерывный) 638
— спектральный 370
—¦ тождественный 32
— умножения 183, 186, 342, 411,
419, 642
— унитарно эквивалентный 324
— унитарный 74, 324
— фредгольмов 290
— Шрёдингера 373, 378, 437, 477,
488, 511, 512, 591
операторная алгебра 195
— норма 39
опорная гиперплоскость 26, 173
определяющая последовательность
196
ортогональная проекция 68, 83
47 т. Като
ортогональная система 68
ортогональное дополнение 69, 316
ортогональные векторы 67
— подмножества 67
ортогональный проектор 75
ортонормированная система 68, 319
ортонормированный базис 68
особая точка 54, 465
открытое множество 18
отмеченное подпространство 283
относительная граница (грань) 241
относительно вырожденный опера-
тор 248
— компактное возмущение 299
— компактный оператор 247
— ограниченная форма 400
— ограниченное возмущение 241,
271, 360, 425, 625
— ограниченный оператор 241
— полуограниченная форма 401 . .
пара полуфредгольмова 276
— регулярная 282
— фредгольмова 276
Парсеваля равенство 70, 320
период 88
перпендикулярные векторы 67
плотно определенная форма 387
— определенный оператор 182
плотное подмножество 167
подмножество всюду плотное 167
— компактное 18
— ограниченное 17
— плотное 167
— сепарабельное 168
— фундаментальное 168
подобласть простая 87
подобный оператор 64
подпроектор 34
— собственный 34
подпространство абсолютной непре-
непрерывности (сингулярности) 640
— инвариантное 36, 218
— линейное 12
— непрерывности (разрывности) 638
— отмеченное 283
— собственное алгебраическое 58,
229
— — геометрическое 50, 219
— тотальное 91
поле значений 335
полная ортонормированная система
68, 320
— последовательность 323
полное пространство 165
полный дифференциал 152
— — набор собственных значений
60
726
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
подпространство абсолютной непре-
непрерывности (сингулярности) неупо-
неупорядоченный 152
упорядоченный 158
— оператор 658
положительная форма 72
положительный оператор 73
полуаддитивная последовательность
41
полугруппа голоморфная 607
— дискретная 629
— квазиограниченная 601
— непрерывная 629
— ограниченная 601
— однопараметрическая 593
— сжимающая 597
полулинейная форма 22, 171
полуограниченный оператор 349
полупростое собственное значение 59
полупростой оператор 58
полуторалинейяая форма 67
полуугол оператора 351
— формы 389
полуфредгольмова область 305
— пара 276
полуфредгольмов оператор 291
полюс 21
полярная форма 68
полярное разложение 420
пополнение 165, 315
порождающий вектор 668
порядок продолжения (сужения) 182
последовательность Коши 16, 165
— определяющая 196
— полная 323
— полуаддитивная 41
— слабо сходящаяся 175
— Т -сходящаяся 208
постоянное вырождение 86
потенциал кулоновский 379
потенциальное рассеяние 661
правый обратный 32
предгильбертово пространство 315
предел 15
— в среднем 325
— слабый 175, 192
представление матричное 28, 71
— взаимодействия 653
преобразование Гильберта 689
— Кэли 675
— подобия 64
— Фурье 325
приведенная резольвента 57, 229
приведенный модуль 292
приводимое уравнение 97
приводимость 36, 348
принцип минимакса (максимина) 81
— монотонности 82
принцип поляризации 68
— продолжения по непрерывности
170, 186
принцип равномерной ограниченно-
ограниченности 174
присоединенный базис 34
продолжение 169, 182, 387
— конечное 182
— простое 182
проектор 33, 198
— ортогональный 75
— собственный 58, 229
— тотальный 91, 545
проекция 33
— ортогональная 68, 83
произведение пространств 209
— скалярное 23, 65
— тензорное 513
производящий оператор 629
прообраз множества 182
— оператора 29
простая подобласть 87
простое продолжение 182
— собственное значение 59
— сужение 182
простой оператор 59
пространство значений 28, 182
— определения 182
процесс ортогонализации Шмидта 69
— редукции 108
прямой интеграл 654
псевдорасширение по Фридрихсу
429
псевдорезольвента 533
псевдособственное значение 585
псевдофридрихсово расширение 429
Пюизо разложение 88
равенство Парсеваля 70, 320
равномерная сходимость 192, 532
радиус 17
— спектральный 41, 196
Радона — Стильтьеса интеграл 447
разложение 36, 69, 218, 320
— асимптотическое 148
— единицы 444
— каноническое 328
— полярное 420
— Пюизо 88
размерность 12
разрывная часть оператора 638
ранг 29
расстояние 140, 256
— изолирующее 343
раствор 251, 256
— минимальный 277
расширение 182
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
727
расширение по Фридрихсу 409
расширенное резольвентное множе-
множество 225
расширенный спектр 225
расщепление 88
регулярная пара 282
— точка 21
регулярный оператор 190
резольвента 52, 219, 274
— обобщенная 521
— приведенная 57, 229
резольвентное множество 52, 219,
274
— — расширенное 225
— уравнение 220
рефлексивное пространство 174
Римана интеграл 20
ряд Неймана для резольвенты вто-
второй 90, 548, 578
— — — — первый 53
ряды теории возмущений 98, 467,
477, 504
самосопряженная задача на собствен-
собственные значения 223
самосопряженное голоморфное семей-
семейство 483, 497
— семейство Фридрихса 583
самосопряженный базис 70
— оператор 73, 337, 360
свертка 274
секвенциально слабо компактное про-
пространство 318
секториальная форма 389
секториальный оператор 351, 399
семейство голоморфное 460
типа (А) 470
(а) 494
(В) 494
(Во) 501
(С) 515
— — самосопряженное 483, 497
— непрерывное 444
¦— ограниченно-голоморфное 492
— симметричное 153
— самосопряженное Фридрпхса 583
— спектральное 444
— — ограниченное 445
сепарабельное подмножество 168
— пространство 320
сжатие 363
сжимающая полугруппа 597
сильная непрерывность 193
— сходимость 176, 192, 635
сильно аккретивный оператор 352
симметричная форма 72, 322, 387
симметричное возмущение 153
симметричное семейство 153
симметричный оператор 73, 322, 337
сингулярно непрерывный спектр 641
сингулярное значение 328
сингулярный вектор 640
— оператор 190, 432
— спектр 641
система биортогональная 70
— ортогональная 68
— ортонормированная 68, 319
¦ полная 68, 320
скалярное произведение 23, 65
скалярный оператор 32
слабая непрерывность 177, 193
— производная 177
— сходимость 175, 192
слабо полное пространство 176
— сходящаяся последовательность
175
слабый предел 175, 192
след 30, 206, 646
смежные классы 14
Соболева неравенство 243, 378
собственный нильпотент 58, 229
— проектор 229
собственное алгебраическое подпро-
подпространство 58, 229
— геометрическое подпространство
50, 219
— значение 50, 219
собственный вектор 50, 219
— нильпотент 229
— подпроектор 34
— проектор 58, 229
сопряженная задача на собственные
значения 61
— матрица 38
— форма 387
сопряженно-линейная форма 22
сопряженное пространство 23, 171
сопряженные (друг к другу) 212
сопряженный базис 24
— оператор 37, 70, 197, 213
спектр 221
— абсолютно непрерывный (сингу-
(сингулярно непрерывный, сингуляр-
сингулярный) 641
— дискретный 237
— непрерывный 638
чисто 638
— обобщенный 521
— расширенный 225
— существенный 305, 642
— точечный 638
— — чисто 638
спектральная концентрация 531, 544,
585
— мера 445, 585, 639
47*
728
ПРЕДМЕТНЫЕ! УКАЗАТЕЛЬ
спектральная теорема 452
спектрально абсолютно непрерывная
часть оператора 641
¦— — непрерывный оператор 641
— непрерывный оператор 638
— разрывный оператор 638
— сингулярная часть оператора 641
— сингулярно непрерывная часть
оператора 641
— — непрерывный оператор 641
— сингулярный оператор 641
спектральное представление 59, 230
— семейство 444
спектральный радиус 41, 196
— оператор 370
стационарный метод 682
степень вырождения 276, 290
— — аппроксимативная 284, 294
Стилыьеса интеграл 447
строго выпуклое пространство 254
сужение 169, 182, 387
— конечное 182
— простое 182
сумма линейная 14
— операторов 413
существенно особая точка 21
— самосопряженный оператор 338
существенный спектр 305, 642
сходимость 15, 18, 560, 635
— абсолютная 19, 44
— обобщенная 256
— равномерная 192, 532
— сильная 176, 192, 635
— — обобщенная 534
— слабая 175, 192
тензорное произведение 513
теорема Бэра о категориях 168
— Лидского 160
— Моцкина — Таусской 112
— об отображении спектра 63, 225
— — устойчивости индекса 132
ограниченной обратимости
261
— о замкнутом графике 211
монотонной последовательно-
последовательности симметричных форм 567
— — разложении 226
— Рисса 317
— Рисса — Шаудера 236
— спектральная 452
— устойчивости 241
— — вторая 299
— — общая 297
— — первая 299
— Хана — Банаха 172
— эргодическая о среднем 638
теория рассеяния 653
тип полугруппы 601
тождественный оператор 32
тождество Гильберта 52
тотальное подпространство 91
тотальный проектор 91, 545
точечный спектр 638
точка внешняя 17
— внутренняя 17
— граничная 18
— изолированная 228
— исключительная 86
— особая 54, 465
— постоянства 446
— регулярная 21
— существенно особая 21
треугольника неравенство 16, 72
унитарная группа 155, 599
унитарно инвариантная норма 645
— эквивалентный оператор 324
унитарный оператор 74, 324
упорядоченный базис 13
уравнение Матье 486
— неприводимое 97
— приводимое 97
— резольвентное 220
— теплопроводности 612
— Фридрихса 683
— характеристическое 60
условие Коши 16, 165
— устойчивости 636
устойчивое собственное значение 544
— замкнутости 241
факторпространство 14
финальное множество 324
форма антилинейная 22
— вещественно-линейная 27
— Дирихле 435
— единичная 387
— замкнутая 392, 437
— замыкаемая 395
— каноническая 58
— — жорданова 60
— квадратичная 67
— — ассоциированная 387
— линейная 21
— неограниченная 386
— неотрицательная 72
— непрерывная 169
— ограниченная 169, 171, 318, 389
— относительно ограниченная 400
— — полуограниченная снизу (свер-
(сверху) 401
— плотно определенная 387
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
729
форма положительная 72
— полулинейная 22, 171
— полуторалинейная 67
— полярная 68
— секториальная 389
— симметричная 72, 322, 387
— сопряженная 387
— сопряженно-линейная 22
— t-сходящаяся 392
формально самосопряженный опера-
оператор 374
формальный дифференциальный опе-
оператор 187
фредгольмов оператор 290
фредгольмова область 305
— пара 276
фридрихсово расширение 409
фундаментальная последователь-
последовательность 16,165
фундаментальное подмножество 168
фундаментальные решения 12
функциональное пространство 163
функция алгеброидная 86
— аналитическая 20
— вещественно-голоморфная 459
— голоморфная 21
— Грина 188
— дифференцируемая по норме 194
— — слабо 117
— кратности 309
— кусочно-голоморфная 488
— мажорирующая 118
— мероморфная 56
— иепрерывпая 19
— — абсолютно 185
— — по норме 193
— — сильно 193
слабо 177, 193
— обобщенная 377
— ограниченно-голоморфная 400
— операторнозначная 46
— полунепрерывная сверху 264
— регулярная 20
— симметричная 152
— с компактным носителем 167
— трансформирующая 130 .
— гс-линейная 152
Фурье коэффициент 326
фурье-образ 375
Фурье преобразование 325
характеристический вектор 50
характеристическое значение 50
— уравнение 60
хаусдорфова метрика 251
центр шара 17
— цикла 88
цепное правило 658
цикл 88
частично изометричный оператор 324
часть оператора 36, 218
— — нильпотентная 58
— — непрерывная (разрывная) 638
— — спектрально абсолютно непре-
непрерывная (сингулярная, сингулярно
непрерывная) 641
— формы вещественная 388
— — мнимая 388
чисто непрерывный спектр 638
— точечный спектр 638
числовая область значений 335, 388
числовой вектор 12
шар 17
— замкнутый 17
— единичный 17
Шварца неравенство 25, 66
Шмидта класс 329, 643
— норма 329
Шрёдингера оператор 373, 378, 437',
477, 488, 511, 512, 591
эквивалентные нормы 16 :
— функции 164, 165 . 1
элемент единичный 32
— обратный 274 • ,
эргодическая теорема о средней
638
эффект Штарка 591
ядро 29, 211, 397
тга-аккретивный оператор 350
тга-секториальный оператор 351, 404
р-иорма 42, 645
Г-граница (Г-грань) 241
Г-сходящаяся последовательность
208
tr-норма 643
tr-класс 643
^-матрица 654
\\г*-сходимость 179
\у*-топология 179
W-A-детерминант первого рода 307
— — второго рода 308
— формула первая 310
— — вторая 311
t-грань 401 ;
t-сходящаяся форма 392
Х-группа 88
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
(А), тип 470 G (T), G' (Г) 209, 210
(а), тип 494 %{M, В) 601
(В), тип 494 Е Е Esc 641
(Во), тип 501 ' ¦ Нс, Яр 638
Яас, Н 640
НР, HD 638
& (X, Y), 3i (X) 30, 31, 190 BLC 641
3Z0 (X, Y), ?0 (X) 201, 202 ' Н+, Н. 392, 393
&i (Н, Н'), &i (H) 643 * , %
&г(Е, Н'), Лг(Н) 330 f^ ; V/i л/ '
BV [а, 6] 174 • ¦ to > Ь, h < 5i 414
с с Тбб ind (М- N) Ш
G>iV 12 ' ind Г 29°
с [в, ь], С(Е) 163 }• 'р; J7 т^3№, тр (V
С [а, 6] 164 , LP (а- 6)' LP (E>- LP <E'
С («, 6), СГ (Е) 167 iiJSJTC,(E) 164
% (X, Y), ^ (X) 208 lim 15
codim M 14
m 163
п ,„, ,, . ' ¦ М(Е) 164
d(M, N), i(M, N) 251 М Q N 69
й(Г, 5) 256
пгп11ю ¦ N (Л 29. 182
D Г) 182 nul (м, N) 276 . '
D (*) d87 nul Г 29 290
3 (Г±) 684 nul' (M, N) 284
def (M, N) 276 ' nul' T 294
del' T 29, 290
def (M, N) 284
def T 294 О (х), о (х) 143, 547
det (yjk) 13 , О (x)s, о (x)s 555
det Г 30 ' • О (x)u, о (x)u 551, 557
dim X 12
dim P 33
dist (u, S) 18 P (x), Pft(x) 91
/ [M] 21 Rm 12
U, u) 23 ¦ ¦ ' Л (?) 52
/ia 28 -¦¦'- _ ¦'¦ Л(?, х)89
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
731
R (У) 29, 182 •
?R (Г*) 684 . ' '
Re T 424
Re t 388
rank У 29
© 140
5-L 28
S + S' 14 -/•>-..
s-lim 176, 192
spr У 41
Г * 37
Г** 37
У1/* 352
I T | 329, 420
rt 405
У (х) 85, 470
Т<™> 85, 470
fw 103
ГЧ) (х) 107
У > 5, 5 < Т 34, 73, 322, 415
г; 5 413
t [м, v] 67, 387 . .
t(x)
tr T 30
IT/S] 182
u-lim 192
(и, f) 28
(и, v) 65
м1 / 28
»1 i; 67
w-lim 175, 192
w*-lim 179
X X Y 209
X* 23, 171
X** 27, 174
Г±, Tg 683, 684
Ts± 686
у (М N), V (М, N) 276, 277
у (Т) 291
Лъ. As, Au 532
Aj; 305
б (М, N), Ь (М, N) 251
б (У, S), Ь (Г, S) 256 •
в (Т) 335
6 (t) 389
ft V*"/ *
X (x) 100
W") 103
P (T) 52, 219
Р(Г) 225
2 (Г) 51, 221
2 (У) 225
2ac (H), 2S (Я), 2SC (Я) 641
2C (Я) 638
2е(Г) 305, 642
2р (Я) 638
(
1
1
1
, ) 23, 28, 65
Ц 15, 25, 39, 164
Si II lip 163, 164, 2
1!» 163, 164
-*¦ 15, 39, 256
->-, -^, ~> 175, 176, 192, 534
s u w
-»- 179
W*
-+ 208
_
т
* 392
t
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
ВВЕДЕНИЕ 8
Глава I. Теория операторов в конечномерных
векторных пространствах и
§ 1. Векторные пространства и нормированные векторные про-
пространства 11
1. Основные понятия И
2. Базисы 13
;' 3. Линейные многообразия 14
4. Сходимость и нормы 15
5. Топологические понятия в нормированном простран-
пространстве 17
6. Бесконечные векторные ряды 18
7. Вектор-функции 19
§ 2. Линейные формы и сопряженное пространство 21
1. Линейные формы 21
2. Сопряженное пространство 22
3. Сопряженный базис 24
4. Сопряженное к нормированному пространству ... 24
5. Выпуклость шаров 26
6. Второе сопряженное 27
§ 3. Линейные операторы 28
1. Определения. Матричные представления 28
2. Линейные операции над операторами 30
3. Алгебра линейных операторов 31
4. Проекторы. Нильпотентные операторы 33
5. Инвариантность. Разложение 36
6. Сопряженный оператор 37
§ 4. Анализ в пространстве операторов 39
1. Сходимость операторов и операторная норма .... 39
2. Норма степени 41
3. Примеры норм 42
4. Бесконечные операторные ряды 44
5. Операторнозначные функции ........... 46
6. Пары проекторов 48
§ 5. Задача на собственные значения 50
1. Определения 50
.2. Резольвента 52
3. Особые точки резольвенты 54
4. Каноническая форма оператора 58
5. Сопряженная задача 61
6. Функции от оператора ...... 62
7. Преобразования подобия 64
ОГЛАВЛЕНИЕ " 733.
§ 6. Операторы в гильбертовых пространствах 65
1. Гильбертовы пространства 65
2. Сопряженное пространство 67
3. Ортонормированные системы 68
4. Линейные операторы 70
5. Симметричные формы и симметричные операторы . . 72
6. Унитарные, изометричные и нормальные операторы 73
7. Проекторы 75
8. Пары проекторов 76
9. Задача на собственные значения 79
10. Принцип минимакса 81
Глава II. Теория возмущений в конечномерном
пространстве 85
§ 1. Аналитическое возмущение собственных значений .... 85
1. Постановка задачи 85
2. Особые точки собственных значений 87
3. Возмущение резольвенты 89
4. Возмущение собственных проекторов 90
5. Особенности собственных проекторов • 92
6. Замечания и примеры 94
7. Случай, когда Т (у) линейно зависит от у. 97
8. Сводка результатов 97
§ 2. Ряды теории возмущений 98
1. Тотальный проектор Х-группы 98
2. Взвешенное среднее собственных значений 102
3. Процесс редукции 107
4. Формулы для приближений высших порядков .... 110
5. Теорема Моцкина — Таусской 112
6. Ранги коэффициентов рядов теории возмущений ... 115
§ 3. Радиусы сходимости и оценки погрешностей 116
1. Простые оценки 116
2. Метод мажорирующих рядов 117
3. Оценки для собственных векторов 120
4. Дальнейшие оценки погрешностей 122
5. Частный случай нормального невозмущепного опера-
оператора 124
6. Метод прямого подсчета числа членов 127
§ 4. Преобразования подобия собственных подпространств и
собственных векторов 128-
1. Собственные векторы 128
2. Трансформирующие функции 129
3. Решение дифференциального уравнения 133
4. Трансформирующая функция и процесс редукции . . 135
5. Одновременное преобразование нескольких проекто-
проекторов 136
6. Диагонализация голоморфной матричной функции 137
' § 5. Не аналитические возмущения 138
1. Непрерывность собственных значений и тотального
проектора 138
2. Нумерация собственных значений 140
3. Непрерывность собственных подпространств и соб-
собственных векторов 142
4. Дифференцируемость в точке 143
5. Дифференцируемость на интервале . 145-
734 ОГЛАВЛЕНИЕ
, . 6. Асимптотическое разложение собственных значений
и собственных векторов 148
. . 7. Операторы, зависящие от нескольких параметров . . 149
8. Собственные значения как функции оператора ... 150
§ 6. Теория возмущений симметричных операторов 153
1. Аналитические возмущения симметричных операторов 153
2. Ортонормированные семейства собственных векторов 155
3. Непрерывность и дифференцируемость 156
4. Собственные значения как функции симметричного
оператора 158
5. Приложения. Теорема Лидского 159
Тлава III. Введение в теорию операторов
в банаховых пространствах 162
§ 1. Банаховы пространства 162
1. Нормированные пространства 162
2. Банаховы пространства 165
3. Линейные формы 169
4. Сопряженное пространство 171
5. Принцип равномерной ограниченности 174
6. Слабая сходимость 175
7. -№*-сходимость 179
8. Факторпространство 180
§ 2. Линейные операторы в банаховых пространствах .... 181
1. Линейные операторы. Область определения и область
значений 181
2. Непрерывность и ограниченность 186
3. Обыкновенные дифференциальные операторы второго
порядка 187
§ 3. Ограниченные операторы 190
1. Пространство ограниченных операторов 190
2. Операторная'алгебра J? (X) 195
3. Сопряженный оператор . . . 197
4. Проекторы 198
§ 4. Компактные операторы , 200
1. Определение 200
2. Пространство компактных операторов 201
3. Вырожденные операторы. След и детерминант . . . 204
§ 5. Замкнутые операторы 207
1. Замечания о неограниченных операторах 207
2. Замкнутые операторы 208
3. Операторы, допускающие замыкание 210
4. Теорема о замкнутом графике 211
5. Сопряженный оператор 212
6. Коммутативность и разложение 217
§ 6. Резольвенты и спектры 219
1. Определения 219
2. Спектры ограниченных операторов . .' 223
3. Бесконечно удаленная точка 224
4. Разбиение спектра 226
5. Изолированные собственные значения ....... 228
6. Резольвента сопряженного оператора 232
7. Спектры компактных операторов 235
8. Операторы с компактной резольвентой 237
ОГЛАВЛЕНИЕ 735
Глава IV. Теоремы устойчивости 240
§ 1. Устойчивость замкнутости и ограниченной обратимости 241
1. Устойчивость замкнутости при относительно ограни-
ограниченных возмущениях 241
2. Примеры относительно ограниченных операторов . . 243
3. Относительная компактность и теорема устойчивости 246
4. Устойчивость ограниченной обратимости 249
§ 2. Обобщенная сходимость замкнутых операторов .... 250
1. Раствор между подпространствами 250
2. Раствор и размерность 253
3. Двойственность 254
4. Раствор между замкнутыми операторами 256
5. Дальнейшие результаты об устойчивости ограниченной
обратимости 260
6. Обобщенная сходимость 261
§ 3. Возмущение спектра 264
1. Верхняя полунепрерывность спектра 264
2. Нижняя полунепрерывность спектра 265
3. Непрерывность и аналитичность резольвенты .... 267
4. Полунепрерывность изолированных частей спектра 269
5. Непрерывность конечной системы собственных зна-
• • чений 270
6. Изменение спектра при относительно ограниченном
возмущении 271
7. Одновременное рассмотрение бесконечного числа соб-
собственных значений 272
8. Применение к банаховым алгебрам. Теорема Винера 273
$ 4. Пары замкнутых подпространств 276
1. Определения 276
2. Двойственность 279
3. Регулярные пары замкнутых подпространств . . . 282
4. Аппроксимативная степень вырождения и аппрокси-
аппроксимативный дефект 284
5. Теоремы устойчивости 287
:§№• Теоремы устойчивости для полуфредголъмовых операторов 289
1. Степень вырождения, дефект и индекс оператора . . 289
2. Общая теорема устойчивости 292
3. Другие теоремы устойчивости 297
4. Изолированные собственные значения 301
5. Другая форма теоремы устойчивости 303
6. Структура спектра замкнутого оператора 304
^ 6. Вырожденные возмущения 307
1. Определители Вайнштейна — Ароншайна 307
2. W-A-формулы 309
3. Доказательство W-A-формул 311
4. Условия, исключающие сингулярный случай .... 313
Тлава V. Операторы в гильбертовых простран-
пространствах 315
§ 1. Гильбертово пространство 315
1. Основные понятия 315
. . 2. Полные ортонормированные системы 319
736 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Ограниченные операторы в гильбертовых пространствах 321
1. Ограниченные операторы и их сопряженные .... 321
2. Унитарные и изометричные операторы 323
3. Компактные операторы 326
4. Класс Шмидта 329
5. Возмущение ортонормированных систем 332.
§ 3. Неограниченные операторы в гильбертовых пространствах 335
1. Общие замечания 335
2. Числовая область значений 335
3. Симметричные операторы 337
4. Спектры симметричных операторов 339
5. Резольвента и спектр самосопряженных операторов 342
6. Обыкновенные дифференциальные операторы второго
порядка 344
¦ ' " 7. Операторы Т*Т 346
8. Нормальные операторы 347
9. Приведение симметричных операторов 348
10. Полуограниченные и аккретивиые операторы .... 349
11. Квадратный корень ти-аккретивного оператора . . . 352
§ 4. Возмущение самосопряженных операторов 360
1. Устойчивость самосопряженности 360
2. Случай, когда относительная грань равна 1 .... 362
3. Возмущение спектра 364
4. Полуограниченпыо операторы 365
5. Полнота собственных проекторов слабо иесамосопря-
женных операторов 368
§ 5. Операторы Шредингера и Дирака 373
. 1. Дифференциальные операторы в частных производных 373
2. Оператор Лапласа во всем пространстве 375
3. Оператор Шредингера со статическим потенциалом 378
4. Оператор Дирака 381
Глава VI. Полутора линейные формы в гильбер-
гильбертовых пространствах и ассоциирован-
ассоциированные операторы 386
§ 1, Полуторалинейные и квадратичные формы 386-
1. Определения 386
2. Полуограниченность 388
3. Замкнутые формы 392
4. Замыкаемые формы 395
5. Формы, построенные с помощью секториальпых опе-
операторов 399
6. Суммы форм 400
7. Относительная ограниченность форм и операторов . . 403
§ 2. Теоремы о представлении 404
1. Первая теорема о представлении 404
2. Доказательство первой теоремы о представлении . . 406
3. Продолжение по Фридрихсу 409
4. Некоторые другие примеры приложения теоремы о
представлении 410-
¦ . 5. Дополнительные замечания 413
6. Вторая теорема о представлении 416-
. 7. Полярное разложение замкнутого оператора .... 419»
ОГЛАВЛЕНИЕ 737
§ 3. Возмущение полу тор алипешьых форм и ассоциированных
с ними операторов 423
1. Вещественная часть то-секториального оператора . . 423
2. Возмущение то-секториального оператора и его резоль-
резольвенты 425
3. Симметричные невозмущенные операторы 428
4. Псевдопродолжения по Фридрихсу 429
§ 4. Квадратичные формы и оператор Шредингера .... 432
1. Обыкновенные дифференциальные операторы . . . 432
2. Форма Дирихле и оператор Лапласа 435
3. Оператор Щрёдингера в R3 437
4. Ограниченные области 441
§ 5. Спектральная теорема и возмущение спектральных се-
семейств 444
1. Спектральные семейства 444
2. Самосопряженные операторы, порождаемые спектраль-
спектральным семейством 446
3. Спектральная теорема 452
4. Теоремы об устойчивости для спектральных семейств 453
Глава VII. Аналитическая теория возмущений 458
§ 1. Аналитические семейства операторов 458
1. Аналитичность векторно- и операторнозначных функ-
функций 458
2. Аналитичность семейства неограниченных операторов 459
3. Разложение спектра и конечные системы собственных
значений 462
4. Замечания о бесконечных системах собственных зна-
значений 465
5. Ряды теории возмущений 467
6. Голоморфное семейство, связанное с вырожденным
возмущением 468
§ 2. Голоморфные семейства типа (А) 470
1. Определение 470
2. Критерий голоморфности тина (А) 472
3. Замечания о голоморфных семействах типа (А) ... 475
4. Радиусы сходимости и оценки погрешностей приближе-
приближения 477
5. Нормальные невозмущенные операторы 480
§ 3. Самосопряженные голоморфные семейства 482
1. Общие замечания 482
2. Продолжение собственных значений 484
3. Уравнения Матье, Шредингера и Дирака 486
4. Скорость роста собственных значений 488
5. Одновременное рассмотрение всех собственных зна-
значений 490
? 4. Голоморфные семейства типа (В) __• 492
1. Ограниченно-голоморфные семейства полуторалиней-
ных форм ^9-
2. Голоморфные семейства форм типа (а) и голоморфные ^
семейства операторов типа (В) ™±
3. Критерий голоморфности типа (В) 49/
4. Голоморфные семейства тина (Во) • • • • ^\
5. Связь между голоморфными семействами типов (А) и (В) ЬОЗ
738 ОГЛАВЛЕНИЕ
6. Ряды теории возмущений для собственных значений
и собственных проекторов 504
7. Скорость роста и полная система собственных значений бОЭ'
8. Применения к дифференциальным операторам . . . 510-
9. Двухэлектронная задача 512'.
§ 5. Другие задачи аналитической теории возмущений .... 515-
1. Голоморфные семейства типа (С) 515
2. Аналитическое возмущение спектрального семейства 517
3. Аналитичность | Н (х) | и | Н (х) |6 519
§ 6. Обобщенная задача на собственные значения 520
1. Общие замечания 520
2. Теория возмущений 523
3. Голоморфные семейства типа (А) 524
4. Голоморфные семейства типа (В) 526.
5. Возмущения границы 527.
Глава VIII. Асимптотическая теория
возмущений > • . . 531!
§ 1. Сильная сходимость в обобщенном смысле 531
1. Сильная сходимость резольвенты 531
2. Обобщенная сильная сходимость и спектры .... 536'
3. Возмущения собственных значений и собственных век-
. . торов 539'
4. Устойчивые собственные значения 544
§ 2. Асимптотические разложения 54&
1. Асимптотическое разложение резольвенты 546
2. Замечания об асимптотических разложениях .... 549
3. Асимптотическое разложение изолированных собствен-
собственных значений и собственных векторов 550
4. Асимптотические разложения до более высокого поряд-
порядка 554
§ 3. Обобщенная сильная сходимость векториальных операто-
операторов 560
1. Сходимость последовательности ограниченных форм 560
2. Сходимость секториальных форм «сверху» 562
3. Неубывающая последовательность симметричных форм 567
4. Сходимость снизу 56&
5. Спектры сходящихся операторов 571
§ 4. Асимптотические разложения для секториальных опера-
операторов 572:
1. Постановка задачи. Нулевое приближение для резоль-
резольвенты 572
2. Приближение порядка 1/2 для резольвенты .... 574
3. Приближения первого и более высоких порядков для
резольвенты 575
4. Асимптотическое разложение собственных значений
и собственных векторов 580
§ 5. Спектральная концентрация 584
1. Неустойчивые собственные значения 584
2. Спектральная концентрация 585
3. Псевдособственные векторы и спектральная концен-
концентрация 587
4. Асимптотические разложения 588
ОГЛАВЛЕНИЕ 739
Глава IX. Теория возмущений полугрупп
операторов - 592
§ 1. Однопараметрические полугруппы и группы операторов
1. Постановка задачи 592
2. Определение экспоненциальной функции 593
3. Свойства экспоненциальной функции 596
4. Ограниченные и квазиограниченные полугруппы . . 600
' ¦'. ' . 5. Решение неоднородного дифференциального уравнения 602
6. Голоморфные полугруппы 604
7. Неоднородное дифференциальное уравнение для голо-
голоморфной полугруппы 609
8. Приложения к уравнению теплопроводности и уравне-
уравнению Шрёдингера 611
§ 2. Возмущение полугрупп 613
1. Аналитическое возмущение квазиограниченных полу-
полугрупп 613
2. Аналитическое возмущение голоморфных полугрупп 616
3. Возмущение сжимающих полугрупп 618
4. Сходимость квазиограниченных полугрупп в узком
смысле 620
5. Сильная сходимость квазиограниченных полугрупп 622
6. Асимптотическое возмущение полугрупп 624
§ 3. Аппроксимация дискретными полугруппами 629
1. Дискретные полугруппы 629
2. Аппроксимация непрерывных полугрупп дискретными
полугруппами 631
3. Аппроксимационные теоремы 633
4. Вариация пространства 635
Глава X. Возмущение непрерывных спектров
и унитарная эквивалентность .... 637
§ 1. Непрерывный спектр самосопряженного оператора .... 637
1. Точечный и непрерывный спектры 637
2. Абсолютно непрерывные и сингулярные спектры . . 639
3. tr-класс 643
4. След и детерминант 646
§ 2. Возмущение непрерывных спектров 648
1. Теорема Вейля — фон Неймана 648
2. Обобщение 651
§ 3. Волновые операторы и устойчивость непрерывного спектра 653
1. Введение 653
2. Обобщенные волновые операторы 655
3. Достаточное условие существования волнового опе-
' ратора 659
'•¦ 4. Применение к потенциальному рассеянию 661
§ 4. Существование и полнота волновых операторов 663
1. Возмущения! ранга 1 (частный случай) 663
2. Возмущения ранга 1 (общий случай) 666
3. Возмущения tr-класса 669
4. Волновые операторы для функций от операторов . . 672
5. Усиление теорем существования 677
6. Зависимость операторов W+ (Я2, Нх) от Н± и #2 . • • Ь81
740 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Стационарный метод 682
1. Введение 682
2. Г-операции 684
3. Эквивалентность стационарной и нестационарной
теорий 686
4. Применение Г-операций к вырожденным операторам 687
5. Решение интегральных уравнений в случае, когда
rank А = 1 691
6. Решение интегрального уравнения в случае вырожден-
вырожденного А 694
7. Применение к дифференциальным операторам .... 697
Библиография 700
Именной указатель 718
Предметный указатель 721
Указатель обозначений 730
Т. КАТО . .
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Редакторы В. И. Аеербух, Д. ф. Борисова и И. А, Маховая
Художник Б. Л. Кузнецов. Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Я. А. Мовлева
Сдано в набор 29/IV 1972 г. Подписано к печати 9/Х 1972 г.
Бумага Яя 1 60x9Ci/ie^=23,13 бум. л., 46,25 печ. л. Уч.-изд. л. 47,78.
Изд. № 1/6135. Цена 3 р. 65 к. Зак. 0292
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Московская типография М5 7 «Искра революции»
Государственного Комитета Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Москва, Трехпрудный пер., 9