/
Автор: Данфорд Н. Шварц Дж.Т.
Теги: анализ математический анализ монография функциональный анализ спектральная теория линейные системы
Год: 1966
Текст
н.длнфордмлж.т.шалрц
ЛИНЕЙНЫЕ
ОПЕРАТОРЫ
СПЕКТРАЛЬНАЯ
ТЕОРИЯ
LINEAR OPERATORS
Part II
SPECTRAL THEORY
SELF ADJOINT OPERATORS IN HILBERT SPACE
Nelson DUNFORD and Jacob T. SCHWARTZ
With the assistance
of William G. BADE and Robert G. BARTLE
1963
INTERSCIENCE PUBLISHERS
NEW YORK, LONDON
Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц
при участии
У. Бейда и Р. Бартла
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Спектральная теория.
Самосопряженные операторы
в гильбертовом пространстве
Перевод с английского
М. Г. Гасымова, В. Я. Лина и Б. С. Митягина
Под редакцией
А. Г. Костюченко
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1966
УДК 517.43
Эта книга представляет собой второй том фундаментальной
монографии по теории линейных операторов (первый том был
выпущен Издательством иностранной литературы в 1962 г.);
она посвящена многочисленным применениям теории линейных
операторов к различным вопросам анализа, в частности, общей
теории ограниченных и неограниченных самосопряженных
операторов, спектральной теории симметрических обыкновен-
ных дифференциальных операторов и операторов с частными
производными.
Изложение построено таким образом, что читателю почти
не приходится прибегать к другим источникам, в том числе
и к первому тому.
Книга рассчитана на математиков различных специально-
стей; она будет полезна преподавателям, аспирантам и студен-
там старших курсов математических факультетов университетов
и пединститутов. Она представит интерес также для физиков-
теоретиков, поскольку теория линейных операторов находит
широкое применение в современной физике.
Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая читателю книга является вторым томом обширно-
го труда американских математиков Н. Данфорда и Дж. Шварца,
первый том которого вышел в русском переводе в 1962 г. х)
В настоящем томе имеется шесть глав, из которых три —IX,
X и XII— посвящены общей теории. Именно, в главе IX излагается
теория банаховых алгебр, или, как у нас их часто называют, норми-
рованньпГколец” По" теории и различным "применениям банаховых
алгебр^впослёдние годы у нас появился целый ряд превосходных
книг (из них назовем «Коммутативные нормированные кольца»
И. М. Гельфанда, Д. А. Райкова, Г. Е. Шилова и «Нормированные
кольца» М. А. Наймарка). Однако читателю весьма удобно, когда
материал излагается таким образом, что нет необходимости прибе-
гать к другим источникам. Именно к этому и стремятся авторы.
Главы X и XII посвящены общей теории ограниченных и неограни-
ченных самосопряженных и нормально Весьма инте-
ресной; является' глава XI, где собраны различные применения
общей теории, развитой в предшествующих главах, к более спе-
циальным вопросам теории операторов и вообще анализа. Наиболее
интересными в этой главе, как нам кажется, являются параграфы,
посвященные несамосопряженным вполне непрерывным операторам,
некоторая степень которых является оператором Гильберта —
Шмидта. Этим операторам посвящено много весьма тонких работ
различных математиков. Укажем здесь только на известные работы
Т. Карлемана и М. В. Келдыша. Однако следует отметить, что одна
из самых замечательных в этой области теорем — теорема Т. Карле-
мана об особенностях резольвенты оператора Гильберта —Шмидта—
в книгах не была^МЛожена * 2). Эта' теорема "доказывается в гла-
ве XI; в ней имеется также большое число других весьма глубо-
ких и важных результатов, связанных с операторами Гильберта —
Шмидта.
Глава XIII посвящена спектральной теории симметрических
обыкновенных дифференциальных операторов. Тлава ~ содержит
вёсьШтгбтшфт^^ теоремы о разложении М. Г. Крей-
х) Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, общая теория,
ИЛ, М., 1962.
2) Недавно вышла книга И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [2*], посвящен-
ная несамосопряженным операторам.
6 Предисловие редактора перевода
на — К. Кодаиры, исследование индексов дефекта и спектра диф-
ференциальных операторов. Следует отметить, что более полно
этот материал излагается в книгах М. А. Наймарка «Линейные диф-
ференциальные операторы» и И. М. Глазмана «Прямые методы каче-
ственного спектрального анализа», которые посвящены специально
дифференциальным операторам.
Последняя, XIV глава посвящена спектральной теории симме-
трических ди^юренциальных операторов/главным образом эллип-
ТИчески^. До самого последнего времени эти вопросы излагались
только в журнальной литературе. Лишь недавно вышла книга
Ю. М. Березанского «Разложения по собственным функциям»,
где содержатся основные результаты спектральной теории эллип-
тических операторов.
Глава XIV содержит также некоторые сведения по теории обоб-
щенных функций, необходимые для понимания изложенного в этой
главе и, по-видимому, в дальнейшем для доказательства общей тео-
ремы о разложении по собственным функциям.
При переводе было устранено некоторое количество замеченных
опечаток и неточностей, а также сделан ряд примечаний, которые
уточняют изложение истории вопроса.
Терминология авторов, насколько это было возможно, прибли-
жена к принятой в советской математической литературе.
Перевод глав IX—XI выполнен В. Я. Лином, главы XIII—
М. Г. Гасымовым, глав XII и XIV—Б. С. Митягиным.
А. Г. Костюченко
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Обилие имеющегося материала помешало нам рассмотреть в этом
томе все вопросы, которые мы первоначально предполагали вклю-
чить во вторую часть «Линейных операторов».
Настоящий том содержит весь ранее анонсированный материал,
относящийся к классической спектральной теореме для самосопря-
женных операторов в гильбертовом пространстве. Хотя мы затра-
гиваем некоторые вопросы, относящиеся к несамосопряженным
операторам (такие, например, как приведенное в § XI.6 доказатель-
ство полноты системы собственных и присоединенных функций опе-
ратора Гильберта—Шмидта), изучение общей теории спектраль-
ных операторов и несамосопряженных краевых задач для диф-
ференциальных операторов мы откладываем до третьей части
настоящего трактата.
Поскольку во второй части рассматриваются в основном опера-
торы в гильбертовом пространстве, мы для удобства справок непо-
средственно после главы XIV воспроизвели определение IV.2.26
и § IV.4 из первой части. Это приложение содержит основные опре-
деления и геометрические свойства гильбертова пространства, ко-
торые постоянно используются в данном томе. Таким образом, чи-
тателю, хорошо знакомому с содержанием глав I, II, III и VII,
лишь изредка понадобится для справки первая часть. Схема,
помещенная в начале книги, показывает взаимную зависимость раз-
личных параграфов второй части; аналогичная схема для первой
части воспроизведена в конце книги.
Глава IX представляет собой введение в весьма обширную теорию
банаховых алгебр; она служит нам фундаментом при построении
спектральной теории ограниченных самосопряженных операторов,
представленной в главе X. Главы X и XII содержат сравнительно
полное изложение абстрактной спектральной теории для ограни-
ченных и неограниченных самосопряженных операторов в гиль-
бертовом пространстве. В главе XI собран целый ряд приложений
спектральной теоремы для ограниченных операторов и некоторые
родственные вопросы, а также изложена теория операторов Гиль-
берта — Шмидта и неравенства Рисса — Кальдерона — Зигмунда.
В главе XIII подробно рассматриваются приложения спектраль-
ной теоремы для неограниченных самосопряженных операторов
к самосопряженным краевым задачам для обыкновенных дифферен-
8
.словив авторов
циальных уравнений. Глава XIV представляет собой краткое вве-
дение в теорию линейных дифференциальных уравнений с частными
производными; она приведена здесь для того, чтобы указать еще
одно богатое поле приложений спектральной теоремы.
Читатель, знакомый с книгой Стоуна, имеющей сходное с нашей
название, заметит, что данная книга и хорошо известная работа
Стоуна почти не перекрывают друг друга. Наше изложение общей
теории основывается па исследованиях Гельфанда, а выбранные
нами приложения отличаются от выбранных Стоуном.
Мы обязаны многим ученикам и коллегам, обратившим наше
внимание на опечатки и ошибки, имеющиеся в первой части. Соот-
ветствующие исправления приведены в конце книги. Мы хотим
поблагодарить д-ров Е. Коппельмана, Г. Лейбовица, Р. Ленглендса,
Н. Митеса и Е. Торпа, отметивших многие из этих ошибок. В частно-
сти, Р. Ленглендс показал, что пример, о котором говорится в упраж-
нении 111.9.20, построить нельзя, и, таким образом, существенно
улучшил результат А. Д. Александрова (см. II 1.5.13). Мы весьма
благодарны мисс Р. М. Кастролл за ее компетентную редакционную
помощь при подготовке рукописи к печати, а также за чтение всех
корректур.
Нам приятно также поблагодарить администрацию Управле-
ния научных исследований Военно-воздушных сил и Службы
морских исследований за постоянную поддержку при подготовке
этой книги.
Оруэлл, Вермонт
Нью-Йорк
Июль 1963 г.
Нельсон Данфорд
Джекоб Шварц
ГЛАВА IX
Банаховы алгебры
1. Предварительные сведения
В математическом анализе часто встречаются классы функ-
ций, представляющие собой алгебры. Так, хорошо известными
примерами алгебр могут служить классы, состоящие из всех огра-
ниченных функций на некотором множестве, непрерывных огра-
ниченных функций на топологическом пространстве, функций
ограниченной вариации, почти периодических функций, функций,
обладающих несколькими непрерывными производными, и анали-
тических функций. Во всех перечисленных случаях алгебраичес-
кие операции являются обычными операциями над функциями
и выполняются по правилам
(a/) (з) = а/ (з), (/ + g) (s) = f (s) 4- g (s), (fg) (s) = f (s) g (s).
Некоторые распространенные функциональные пространства,
такие, например, как — оо, со), незамкнуты относительно
естественных алгебраических операций (произведение двух интег-
рируемых функций не обязательно интегрируемо), но тем не ме-
нее являются алгебрами относительно других, также весьма упот-
ребительных операций. Так, пространство —оо, оо) превра-
щается в алгебру, если в качестве умножения на скаляры и сло-
жения принять обычные операции, а произведение двух функций
/, g£L]X — оо, оо) определить как их свертку:
оо
(f*g)(s)= J f(s — t)g(t)dt.
— оо
Итак, многие линейные пространства, с которыми мы сталки-
ваемся в математике, при том или ином определении операций
являются также и алгебрами. Настоящая глава содержит аксио-
матическое изложение теории некоторых типов алгебр, встречаю-
щихся в анализе. Многочисленные приложения общей теории
к изучению различных конкретных алгебр читатель найдет в сле-
дующих двух главах.
10
Гл. IX. Банаховы, алгебры
1. Определение. Алгебра 36 с единицей е над полем комплекс-
ных чисел называется банаховой алгеброй, или В-алгеброй, если
она снабжена нормой | • |, удовлетворяющей соотношениям
|e| = l. х, z/СЗе,
и является относительно этой нормы В-пространством. Банахова
алгебра 36 коммутативна, если ху = ух для всех х, у£?£. Инво-
люцией в В-алгебре 36 называется такое отображение х-^х*
алгебры 36 в себя, что
(х + у)* = х* + у*, (ху)* = z/*x*,
(ах)* = ах*, (х*)* = х.
Все упомянутые выше алгебры функций, за исключением
Lt( — со, со) и алгебры аналитических функций, являются комму-
тативными В-алгебрами с инволюцией x*(s) = x(s). Простран-
ство Li ( — со, со) со сверткой в качестве умножения представ-
ляет собой коммутативную алгебру с инволюцией /♦($) = /( —s),
но не В-алгебру, ибо, в АД — со, со) отсутствует единичный
элемент. Покажем, как присоединить к такой алгебре единицу,
чтобы получить В-алгебру. Пусть алгебра 36 не имеет единицы,
но удовлетворяет всем остальным аксиомам В-алгебры. Положим
361 = Ф X 36, где Ф —поле комплексных чисел; таким образом, 36i
состоит из всевозможных упорядоченных пар [а, х], где а£Ф,
xg36. Операции и норму в 36t определим следующим образом:
[а, х] + [р, f/1 = [аД-р, х + у],
[а, х][р, у] = [ар, ау + рх + ху],
Z[a, х] = [Za, Zx], | [а, х] | = | а | + | х |.
Очевидно, что 361 представляет собой В-алгебру с единицей е =
= [1, 0], причем |е| = 1, и что отображение х—» [0, х] является
изометрическим изоморфизмом алгебры 36 в 36р
Имеется еще один тип алгебр, не являющихся банаховыми,
но тем не менее таких, что их изучение с алгебраической и топо-
логической точек зрения может быть сведено к изучению В-ал-
гебр. Пусть комплексное В-пространство 36 является в то же
время алгеброй с единицей е над полем комплексных чисел.
Мы не требуем выполнения условий \е | = 1 и | ху | < х 11 у |, но
предполагаем, что \е | Ф 0 и что произведение ху непрерывно
по каждому из сомножителей при фиксированном другом. Опре-
делим отображение т:х—->ТХ алгебры 36 в алгебру В(36) всех
линейных непрерывных операторов, действующих в В-простран-
стве 36, положив Тху = ху. Ясно, что отображение т является
1. Предварительные сведения 11
(алгебраическим) изоморфизмом алгебры ЭЕ и подалгебры т (ЭЕ)
алгебры В (ЭЕ). Покажем, что т —также и гомеоморфизм; это будет
означать, что алгебра ЭЕ топологически и алгебраически эквива-
лентна В-алгебре т(ЭЕ). Так как | х | =- [ хе | = | Тхе | < | е | • | Тх |, то
обратное отображение >х непрерывно. Чтобы доказать
непрерывность т, покажем сначала, что множество т (ЭЕ) замкнуто
в В (ЭЕ). Для этого заметим, что оператор Т из В (ЭЕ) принадлежит
т (ЗЕ) тогда и только тогда, когда (Ту) z = Т (yz) для всех у, z £ ЗЕ.
Действительно, если последнее условие выполнено, то, полагая
х = Те, имеем Ту = Т (еу) = (Те) у = ху, так что Т = Тх^х(Ш)х).
Если теперь Тп£т(ЗЕ) и Тп—>Т, то из соотношений
(Ty)z = lim (Тпу) z = lim Тп (yz) = Т (yz)
п п
следует, что Т (ЭЕ); таким образом, т (ЭЕ) замкнуто. Поэтому
т —взаимно однозначное линейное отображение В-пространства ЭЕ
на В-пространство т (ЭЕ), а так как обратное отображение т-1
непрерывно, то по теореме П.2.4 о замкнутом графике т явля-
ется гомеоморфизмом. Итак, доказано, что алгебра ЭЕ топологи-
чески и алгебраически эквивалентна В-алгебре т (ЭЕ).
Это рассуждение показывает, в частности, что каждая бана-
хова алгебра ЭЕ изометрически изоморфна подалгебре т (ЭЕ) с еди-
ницей 1 алгебры В (ЭЕ) всех непрерывных линейных операторов,
действующих в В-пространстве ЭЕ. В связи с этим желательно
было бы показать, что оператор Тх из т (ЭЕ) обратим в В (ЭЕ)
тогда и только тогда, когда элемент х имеет обратный в ЭЕ, при-
чем если обратный оператор Тхх существует и принадлежит В (ЭЕ),
то Т“1 = Т,х-1^т(ЭЕ). Ясно, что если х-1 существует, то ТХ-ТГХ =
= TxTx-i = I. Если Тхх существует в В (ЭЕ), то
Тх [(Т^у) z] = yz, (Тх'у) z = Т-1 (yz),
и если а = Т~1е, то az = Tx1z для всех г£ЭЕ. Кроме того,
ха = Тха ^е^Тх1 (Тхе) ~ Т”1 (ех) = (Тхге) х = ах.
Следовательно, = # существует и Тх\г = x-^z.
2. Определение. Элемент х банаховой алгебры ЭЕ называется
регулярным, если существует обратный к нему элемент х-1,
и сингулярным в противном случае. Спектр а(х) элемента х
состоит из тех комплексных чисел X, для которых элемент Хе — х
сингулярен. Число | о(х) | = sup |Х| называется спектральным
х) Справедливость обратного утверждения вытекает из ассоциативности
умножения в Ж. —Прим, перев.
12
Гл. IX. Банаховы алгебры
радиусом элемента х. Резольвентное множество q(x) есть допол-
нение Ф —а(х) спектра о(х). Функция x(Z) = (Хе — х)-1, опреде-
ленная для называется резольвентой элемента х. Эле-
мент х назовем правым (левым) топологическим делителем нуля,
если в 36 найдется такая последовательность {хп} с | хп | = 1,
п=1, 2,..., что хпх—>0 (соответственно ххп —>0). Если эле-
мент х является как правым, так и левым топологическим дели-
телем нуля, то он называется двусторонним топологическим дели-
телем нуля.
Предыдущее рассмотрение показывает, что в(х) = в(Тх)
и р (х) = р (Тх); здесь ст (Тх) и р (Тх) — соответственно спектр
и резольвентное множество оператора Тх, см. VII.3.1. Оно поз-
воляет также получить ряд утверждений, относящихся к В-алгеб-
рам, в качестве следствий из соответствующих результатов теории
операторов. Но поскольку непосредственные доказательства этих
утверждений, по преимуществу, вполне элементарны, мы, полноты
ради, приведем их здесь.
3. Лемма. Мультипликативная группа G регулярных элемен-
тов В-алгебры Ш открыта в X, и отображение х—^хг1 является
гомеоморфизмом G на себя.
Доказательство. Покажем сначала, что группа G содержит
шар {х| |е — х|< 1}. В самом деле, при \е — х|<1 ряд у =
оо
— 2 (е~х)п сходится (здесь, по определению, а° = е). Поэтому
п=0
оо оо
ух — ху — у — (е — х)у = 2 (е — х)п—’2\(е — х)п = е.
п=0 п=1
Следовательно, у = х~1 и
Iх-1 —el = | S (е —x)n|< i_L|e_Lr-
П=1
Таким образом, множество G содержит окрестность единицы
и х"1 является непрерывной функцией от х в точке х = е. Пусть
теперь xQG и | у — х | < | х-11-1. Тогда
IХ-1 У — е I = I *-1 (У — х) I < Iх'111 у—х I < 1,
и, следовательно, как только что было доказано, x^yQG, откуда
yQG. Если Уп-*У, то УпУ^-^е, и потому ууп1 =(УпУ^Г1 —
следовательно, уп~>у\ ч. т. д.
4. Лемма. Каждая граничная точка группы регулярных элемен-
тов В-алгебры является двусторонним топологическим делителем
нуля.
1. Предварительные сведения
13
Доказательство. Пусть x^G, xnQG, хп—>х. Если последова-
тельность { | хй11} ограничена, то х^х — е = Хп1 (х — хп)—> 0 и по
лемме 3 x^x^G для больших п. Это противоречит условию x$G.
Следовательно, последовательность {I хй11} неограничена, и мы
можем считать, что | [ —•>°°. Пусть уп = хй1/1 Хп11, так что
|г/п| = 1; тогда
УпХ = Уп (X — Хп) + -4г- О,
I хп I
хуп — (х хп) уп 4" ~ zr > О,
I Хп I
это означает, что х — двусторонний топологический делитель
нуля, ч. т. д.
5. Лемма. Спектр а (х) элемента х банаховой алгебры явля-
ется непустым ограниченным замкнутым множеством. Резоль-
вента х (Z) = (Ze — х)-1 элемента х аналитична на множестве
q (х), стремится к 0 при | Z | —> оо и удовлетворяет соотношению
х(К) — х(р) = (р —Z)x(Z)x(p), Z, p£q(x).
Доказательство. То, что множество q(x) открыто и, следова-
тельно, о(х) замкнуто, следует из леммы 3. Эта лемма показы-
вает также, что he — x = h(e — x/Z) gG для больших Z (ибо для
больших К элемент е — x/h близок к е), откуда вытекает ограни-
ченность множества о(х). Так как e — x/h—>e при |Z|—>оо, то
по лемме 3 х(Z) = V1 (е — x/Z)"1 —>0 при |Z| —>оо. Для любых
Z,pgQ(x) элементы х(р) и x(Z) коммутируют, и
(Ze — х) х (Z) х'(р) = х (р),
(ре —х) х (Z) х (р) = x(Z),
х (р) — х (Z) = (Z— р) х (Z) х (р),
откуда
=_Х(Х)Л.(И)
Согласно лемме 3, функция x(Z) непрерывна при Z£q(x); поэтому
последнее равенство показывает, что х' (Z) = — х (Z2) и, следо-
вательно, резольвента x(Z) аналитична на множестве q(x).
Наконец, если спектр о (х) пуст, то для любого линейного
функционала х* на ЗЕ функция x*x(Z) аналитична для всех К
и равна 0 на бесконечности; поэтому она равна 0 тождественно.
Поскольку в качестве х* можно взять любой элемент сопряжен-
ного пространства ЗЕ*, то отсюда следует (см. II.3.15), что
О = х (Z) = х (Z) (Ze — х) = е, но это противоречит предположению
и = 1.
14
Гл. IX. Банаховы алгебры
6. Теорема. Если В-алгебра не содержит отличных от О
двусторонних топологических делителей нуля, то она изометри-
чески изоморфна полю комплексных чисел.
Доказательство. Пусть х^ЭЕ. Согласно лемме 5, спектр о£(х)
непуст и ограничен, так что найдется точка X, принадлежащая
его границе. Тогда по лемме 4 Ze — х является двусторонним топо-
логическим делителем нуля, и пртому х = Хе. Так как | е | = 1,
то |х | = | X |, ч. т. д.
—» 7. Следствие. Если В-алгебра является телом, то она изо-
метрически изоморфна полю комплексных чисел.
8. Лемма. Спектральный радиус | о (х) | элемента х банаховой
алгебры удовлетворяет соотношениям
| о (х) | = lim |хп |1/п< | х |.
п
оо
Доказательство. При | % | > | х | ряд 2 x"An+I сходится и,
n=Q
поскольку
п=0 п=0
представляет резольвенту х(Х). Поэтому | о (х) |< | х |. По лемме 5
резольвента х(Х) аналитична на множестве q(x)h, следовательно,
для любого функционала х* g X* все особые точки скалярной
аналитической функции х*х(Х) заключены в круге | X | < | or (х) |.
Поэтому ряд х*х (X) = 2 x*xn/Xn+1 сходится при | К | > | or (х)
и, следовательно, для таких X
sup
х*хп
оо.
Поскольку х* —произвольный линейный непрерывный функцио-
нал на X, из принципа равномерной ограниченности (II.3.20)
вытекает, что
оо, п== 1, 2, . ...
Следовательно,
lim |хп |1/п<| X
П->оо
1. Предварительные сведения
15
Так как это верно для всех таких X, что | Л | > | о (х) |, то
lim \хп |1/n<| <т(х) |.
П->оо
Для завершения доказательства заметим, что если элемент Ле — х
сингулярен, то сингулярен и элемент Лпе —хп, ибо Лпе — хп
делится на Ле — х. Поэтому, если Л^сг(х), то Лп£сг(хп), откуда
| Лп |С| хп |; это показывает, что | Л |С lim | хп |1/п при Л^а(х).
Следовательно, | а (х) lim |хп |1/п, ч. т. д.
П—>оо
Если ЭЕ0 является В-подалгеброй (т. е. замкнутой подалгеброй
с единицей) В-алгебры X и xg3E0, то наряду со спектром о(х)
элемента х относительно алгебры ЗЕ можно рассмотреть его спектр
сг0 (х) относительно алгебры ЗЕ0. Множества о(х) и о0(х), вообще
говоря, различны; тем не менее предыдущая лемма показывает,
что спектральные радиусы | о (х) | и | о0 (х) | равны. Если е0 — идем-
потент в ЭЕ (т. е. е* = ео), отличный от 0 и е, а ЭЕ0 —е0ЗЕе0, то ясно,
что ог0 (х) ст (х) для любого х С ЗЕ0. Следующая лемма показы-
вает, что если единица подалгебры ЗЕ0 совпадает с е, то имеет
место обратное включение.
9. Лемма. Пусть В-подалгебра ЭЕ0 банаховой алгебры ЗЕ имеет
общую с ЗЕ единицу е. Тогда о(х)^о0(х) для любого х£ЗЕ0, в то
время как граница b (о0 (х)) множества о0 (х) содержится в гра-
нице 6(о(х)) множества о(х).
Доказательство. Так как единица е алгебры ЭЕ содержится
в ЗЕ0, то элемент, регулярный в ЗЕ0, регулярен и в ЭЕ. Поэтому
q0(x)sq(x) и (t(x)^(Jo(x). Если ЛС&((т0(х)), то Ле —х является
граничной точкой группы регулярных элементов алгебры ЭЕ0.
Тогда по лемме 4 Ле —х есть двусторонний топологический дели-
тель нуля в ЭЕо, а значит, и в ЗЕ. Следовательно, b (о0 (х)) ст (х),
что в сочетании с q0 (х) Q (х) дает
Qo (х) П <т0 (х) = b (ст0 (х)) s Q (х) П <т (х) = Ь (ст (х)),
ч. т. д.
10. Следствие. Если в дополнение к условиям леммы 9 мно-
жество Сто (х) нигде не плотно или же множество q (х) связно,
то ст0(х) = ст(х).
Доказательство. Если множество ст0(х) нигде не плотно, то,
поскольку оно замкнуто, ст0(х) — b (ст0(х) = b (ст(х) s ст (х) s ст0(х).
Если множество р(х) связно и существует точка ХСст0(х) П q(x),
то можно соединить ее с бесконечностью непрерывной кривой,
16 Гл. IX. Банаховы алгебры
целиком лежащей в р(х). Но тогда найдется граничная
точка множества о0(*), лежащая в р(х). Это противоречит лем-
ме. Следовательно, множество <т0 (х) П Q (*) пусто; значит, и в этом
случае а0 (*) ^сг(х) еа0 (х), ч. т. д.
11. Следствие. Если в дополнение к условиям леммы 9 спектр
сг0 (х) веществен, то он совпадает со спектром Oi(x) элемента х
относительно любой В-подалгебры 36i е X, содержащей х и еди-
ницу е алгебры 36.
Доказательство. Так как и{х) ^uQ{x), то <т(х) лежит на веще-
ственной оси. Согласно лемме 5, множество о(х) ограничено.
Поэтому q(x) связно, и следствие 10 показывает, что а0(*) =
= а (х) = оч (х).
Правым {левым) идеалом в 36 называется такое непустое собст-
венное линейное многообразие 3 в 36, что 336 = 3 (соответственно
363^3). Если одновременно 336 = 3 и 363 = 3> то идеал назы-
вается двусторонним. Множества 36 и {0} считаются тривиаль-
ными идеалами. Поскольку идеал является собственным подмно-
жеством множества 36, он не может содержать ни одного
регулярного элемента и потому содержится в дополнении G'
группы G регулярных элементов. Так как множество G открыто
(лемма 3), тоЗ^С' и потому 3 ¥= 36. Отсюда и из непрерыв-
ности алгебраических операций следует, что 3 есть идеал. Таким
образом, замыкание правого, левого или двустороннего идеала
снова является правым, левым или двусторонним идеалом. Это
показывает, что максимальный идеал (т. е. идеал, не содержа-
щийся ни в каком другом одноименном нетривиальном идеале)
всегда замкнут. Пусть 3 —правый идеал; упорядочим по вклю-
чению семейство всех правых идеалов, содержащих 3- Применяя
лемму Цорна, получаем, что это семейство содержит максималь-
ный элемент. Итак, каждый правый (аналогично левый или дву-
сторонний) идеал содержится в некотором максимальном правом
(соответственно левом или двустороннем) идеале. В частности,
если элемент х сингулярен, то хотя бы одно из множеств х36
и 36х является идеалом; поэтому х содержится в некотором мак-
симальном идеале. Перечисленные свойства идеалов собраны
в следующей лемме.
12. Лемма. Как для правых, так и для левых или двусторон-
них идеалов справедливы утверждения:
(а) Идеал не содержит регулярных элементов.
(Ь) Замыкание идеала есть идеал.
(с) Максимальный идеал замкнут.
(d) Каждый идеал содержится в некотором максимальном идеале.
1. Предварительные сведения
17
(е) Элемент х содержится хотя бы в одном максимальном
правом (левом) идеале тогда и только тогда, когда он не имеет
правого (соответственно левого) обратного.
Напомним, что смежные классы % + 3, х£ЗЕ, по двусторон-
нему идеалу 3 образуют алгебру относительно следующих опе-
раций:
(х + 3) + (у + 3) = (х + у) + 3,
а (х + 3) = («х) + 3, (х • Ь 3) (У + 3) = (ху) + 3.
Эта алгебра называется факторалгеброй алгебры ЗЕ по идеалу 3
и обозначается ЭЕ/3- Норма в факторалгебре банаховой алгебры ЗЕ
по двустороннему идеалу 3 задается соотношением
Iх + 3 | = inf\х + у\.
13. Лемма. Если 3 —замкнутый двусторонний идеал В-алгебры
ЗЕ, то Х/3 является В-алгеброй.
Доказательство. Для краткости класс % + 3 обозначим через х.
Ясно, что ЗЕ/3 есть алгебра с единицей е, так что остается лишь
показать, что выполняются аксиомы нормы. Если | х | = 0, то най-
дется такая последовательность хп(ЕЗ, что |х + хп|—>0, и, по-
скольку идеал 3 замкнут, х£3- Следовательно, ~х = 0, т. е.
х — нулевой элемент в ЗЕ/3- Пусть теперь г, и, v независимо про-
бегают идеал 3- Тогда
IхуI = I ху I = inf I ху + z I < inf | (х + и) (у + у) | < | х 11 у |.
Z и, V
Так как | е| = | е2|<С| е |2 и | е | 0, то |е|> 1. С другой стороны,
| е | = inf | е4-г |<| е | = 1. Следовательно, | е | = 1. Неравенство тре-
угольника проверяется аналогичной выкладкой:
ix + z/| = |x + y| = inf|x4-y + z|<
Z
<inf | х-\-и + у + v|<| х| + | у |.
и, V
Ясно, что |ах| = |а||х|. Наконец, докажем полноту простран-
ства 36/3- Пусть {хп} — последовательность Коши в Ж/3 и хп£хп,
п= 1,2, ... . Выберем из нее подпоследовательность {х'п} таким об-
разом, чтобы ряд 2 I х'п — x’n-i-t I сходился. Фиксируем произвольно
Zi С 3 и выбираем по индукции такие z2, z3, ... £ 3. что
II । Xt+i Xi |, / = 1, 2,....
18
Гл. IX. Банаховы алгебры
Тогда yn~x'n + zn есть последовательность Коши, ибо
р~1
I Уп+Р Уп I = I S G/n+fc+l — //n+fe) I
/г=0
Р-1 Р-1 __ __
| Уп+k+i Уп\к I 2 2 I Хл+к-1-1 Яп~Нг |*
к~0 k—Q
Пусть х= limz/n; тогда
|*п — X] — I уп — х|<| уп — х|—>0.
Таким образом, исходная последовательность Коши содержит
сходящуюся подпоследовательность и потому сама сходится,
ч. т. д.
2. Коммутативные В-алгебры
В коммутативной В-алгебре ЗЕ каждый идеал 3 является дву-
сторонним, и факторалгебра Ж/3 снова коммутативна; она является
В-алгеброй, если идеал 3 замкнут (1.13). Легко видеть, что каж-
дый идеал 3' алгебры ЗЕ, содержащий 3 в качестве собственного
подмножества, порождает в факторалгебре Ж/3 идеал 3\ состоя-
щий из всех классов х = х + 3, для которых хСЗ'- Обратно, вся-
кий идеал факторалгебры Ж/3 может быть получен таким спо-
собом.
1. Теорема. Пусть 3 — замкнутый идеал коммутативной
В-алгебры Ж. Факторалгебра Ж/3 тогда и только тогда изо-
метрически изоморфна полю комплексных чисел, когда идеал 3
максимален.
Доказательство. Если идеал 3 не максимален, то он строго
содержится в некотором идеале; тогда факторалгебра Ж/3 содер-
жит нетривиальный идеал и потому не является полем1). Если
же идеал 3 максимален, то Ж/3 не содержит нетривиальных
идеалов; но тогда 36/3 —поле. Требуемое утверждение вытекает
из леммы 1.13 и теоремы 1.6.
Пусть а//— множество всех максимальных идеалов коммута-
тивной В-алгебры Ж. Из теоремы 1 следует, что для каждого
и каждого х£Ж найдется такое комплексное число х(ЭЛ),„
что х’гЗЛ^х(5Ш)е + 9Л. Ясно, что отображение х —>х(5Ш) есть
гомоморфизм алгебры Ж в поле комплексных чисел Ф. Этот гомо-
морфизм непрерывен, ибо | х (ЗЛ) | == | х + 9Л |< | х |.
1) В этом рассуждении существенно лишь, что <£/3 и Ф алгебраически
изоморфны,—Прим, перев.
2. Коммутативные В-алгебры
19
2. Лемма. Пусть \i — ненулевой гомоморфизм коммутативной
В-алгебры ЗЕ в поле комплексных чисел Ф и
н(*) = 0}
— его ядро. Тогда ЭЛи — максимальный идеал алгебры ЗЕ и х(ЗЛи) =
= р(х) для любого х£ЭЕ. При этом соответствие р —>ЭЛИ между
множеством всех ненулевых гомоморфизмов и множеством q/Я всех
максимальных идеалов является взаимно однозначным.
Доказательство. Так как элемент р(х)е —х содержится в идеа-
ле ЗЛц, то он сингулярен, и потому число р(х) принадлежит
спектру о'(х). Тогда по лемме 1.8 |р(х)|<|х|. Поэтому гомо-
морфизм р непрерывен, идеал ЭЛИ замкнут и 36/ЭЛЦ является
В-алгеброй (см. 1.13). Гомоморфизм р постоянен на каждом
смежном классе х + ЭЛи и потому порождает некоторый изомор-
физм р факторалгебры ЭЕ/ЭЛу, в поле комплексных чисел Ф. Так
как р(ае) = а, то р отображает ЭЕ/ЭЛц на все Ф. Это показывает,
что ЗЕ/ЗЛ^есть поле, и, следовательно, идеал ЭЛИ максимален. Равен-
ство р (х) = х (ЭЛД вытекает непосредственно из определения
х(ЭЛц). Соответствие р—>ЗЛИ взаимно однозначно, ибо если
Р1->9ЛЦ1, р2 -> ЭЛЦ2 и 9ЛЦ1 = ЭЛ{12, то р! (х) = х (ЭЛЦ1) = х (ЭЛЦ2) ==
— р2 (х) для всех х£ ЗЕ.
3. Следствие. Всякий гомоморфизм коммутативной В-алгебры
в поле комплексных чисел непрерывен.
4. Лемма. Пусть о/Я — множество всех максимальных идеалов
коммутативной В-алгебры ЗЕ. Тогда х (&Я} == о (х) и
sup | х (ЭЛ) | = lim | хп |1/п.
п
Доказательство. Элемент х(9Л)е —х принадлежит максималь-
ному идеалу ЭЛ и потому сингулярен (1.12е). Следовательно,
х(ЭЛ)6о'(^)« Обратно, если Z^o(x), то сингулярный элемент
Ze —х содержится в некотором максимальном идеале ЭЛ (1.12е),
и потому Z = x (ЭЛ). Равенство sup |х (ЭЛ) j = lim\хп\i/n вытекает
п
из леммы 1.8.
5. Определение. Элемент х банаховой алгебры ЗЕ называется
топологическим нильпотентом, если |хп|1/п—>0. Радикал 31 есть
множество всех топологических нильпотентов В-алгебры ЗЕ. Если
9i = {0}, то алгебра ЗЕ называется полупростой.
6. Лемма. Радикал коммутативной В-алгебры совпадает
с пересечением всех ее максимальных идеалов.
2*
20
Гл. IX. Банаховы алгебры
Доказательство. Поскольку х(ЗЛ) = 0 тогда и только тогда,
когда х Е ЗЛ, эта лемма является следствием леммы 4.
7. Определение. Структурным пространством1) коммутатив-
ной В-алгебры Ж называется множество (М всех ее максимальных
идеалов, наделенное топологией, которая задается всеми окре-
стностями вида
А/ (ЭЛ0; | X (ЗЛ)-X (ЗЛ0) I < е, х£Л},
где е>'0, Л —произвольное конечное подмножество в ЗЕ, а
пробегает с//.
Семейство множеств указанного вида удовлетворяет условиям
леммы 1.4.7 и потому действительно определяет некоторую топо-
логию на множестве е/Л
8. Лемма. Структурное пространство <М коммутативной
В-алгебры ЗЕ является бикомпактным хаусдорфовым простран-
ством, и для любого х£ЗЕ функция х(ЗЛ) непрерывна на
Доказательство. Непрерывность х(-) в каждой точке ЗЛ0Е<^
вытекает из определения 7. Поэтому функция х(-) непрерывна
на сМ (1.4.16а). Обозначим через Qx замкнутый круг {%||Х|< | х |)
комплексной плоскости, и пусть Q= Ц Qx — тихоновское произ-
ведение всех таких кругов (см. 1.8.1). Так как |х(ЗЛ)|< |х|, то
х(ЗЛ)ЕФх для любого х£ЭЕ, и потому каждому ЗЛ из оЛ1 соот-
ветствует некоторая точка t/EQ» а именно точка с координатами
9(х) = х(ЗЛ). Различным максимальным идеалам ЗЛП ЗЛ2 отве-
чают в Q различные точки, ибо если х Е ЗЛ] и х^ЗЛ2> то
х (5Ш1) = О Ф х (ЗЛ2). Согласно теореме Тихонова (1.8.5) и лем-
ме 1.8.2, Q является бикомпактным хаусдорфовым пространством,
а УЖ топологически эквивалентно некоторому подмножеству про-
странства Q. Для завершения доказательства достаточно, в силу
1.5.7, показать, что wit, рассматриваемое как подмножество в Q,
замкнуто. Пусть ХЕ(,А е>0, А = {х, у, х | z/}, где х и у — про-
извольные элементы из ЗЕ. Окрестность N (X; е, А), рассматриваемая
как окрестность точки % в Q, пересекается с c/Z, и потому суще-
ствует такой максимальный идеал ЗЛ, что
|^(х) — х(ЗЛ)|<8, \Ш-у№)\<е,
I А. (х + у) — (х + у) (ЭЛ) I < е.
Так как (% + У) ($1) = х (№) + */ (ЗК), а 8>0 произвольно, то
К(х+у)-=К(х) -\-К (у).
1) В отечественной литературе чаще употребляется термин «пространство
максимальных идеалов».—Прим, перев.
2. Коммутативные В-алгебры
21
Подобным образом можно показать, что Х(е) = 1, Х_(ах) =
= аХ (х) и X (ху) = к(х)к (у). Следовательно, точка I £ М опре-
деляет ненулевой гомоморфизм алгебры X в поле комплексных
чисел; в силу леммы 2 существует такой максимальный идеал
ЗЛ^о#, ЧТО х(ЗЛх) = Х(х), хе3£. Итак, Хбо#, т. е. Л замкнуто
в Q, ч. т. д.
—>9. Теорема. Пусть о/И — структурное пространство комму-
тативной В-алгебры ЗЕ и С (М) есть В-алгебра всех комплексных
непрерывных функций на Тогда отображение х—»х(-)
является непрерывным гомоморфизмом алгебры ЗЕ в С (<М), причем
sup | х (ЗЛ) | < | х |. Это отображение является взаимно однознач-
ным тогда и только тогда, когда алгебра ЭЕ полупроста.
Доказательство. То, что отображение х —>х(-) является гомо-
морфизмом, следует из определения х(ЗЛ). В лемме 8 утвер-
ждается, что х(-)£С(М). Неравенство | х (ЗЛ) | < [ х | вытекает из
определения нормы в факторалгебре (а также из леммы 4).
В случае полупростоты алгебры X из леммы 6 следует, что если
х(ЗЛ) = 0 для всех ЗЛ£о#, то х = 0; таким образом, в этом слу-
чае отображение х—>х(«) взаимно однозначно. Обратно, если
это отображение взаимно однозначно, то та же лемма показы-
вает, что алгебра ЭЕ полупроста, ч. т. д.
10. Определение. Будем говорить, чтс| В-алгебра X поро-
ждается множеством Y ЭЕ, если наименьшая замкнутая под-
алгебра алгебры X, содержащая Y и единицу е, совпадает с ЭЕ-
В этом случае Y называется системой .образующих, а элементы
у Е Y — образующими алгебры X.
11. Теорема. Структурное пространство коммутативной
В-алгебры ЭЕ, порожденной множеством Y X, гомеоморфно замк-,
нутому подмножеству тихоновского произведения г$е У
пробегает Y,
Доказательство. Согласно лемме 4, у(<М) — в (у) и потому
соответствие ЗЛ —> у (ЗЛ) задает отображение пространства ©Ж
в 11 а(//)- Это отображение непрерывно, ибо непрерывны все
y£Y
функции у(-). Допустим, что у(ЗЛ1) = у(ЗЛ2) для всех y£Y.
Тогда, поскольку Y порождает X, имеем х (ЗЛ^ = х (ЗЛ2) Для всех
х£ЭЕ, откуда ЗЛ1 = ЗЛ2, так как если х£ЗЛ1 и х^ЗЛ2, то
х (ЗЛ1) = 0 Ф х (ЗЛ2). Поэтому рассматриваемое отображение являет-
ся непрерывным и взаимно однозначным отображением биком-
пактного хаусдорфова пространства М в хаусдорфово простран-
а
Гл. IX. Банаховы алгебры
ство П ст(у)- Следовательно (1.5.8), это отображение является
ver
гомеоморфизмом, причем образ еЛС (согласно 1.5.7) замкнут
в [[ст (/у), ч- т- fl-
12. Следствие. Если В-алгебра X порождается множеством
Y г X, то в качестве базы открытых множеств ее структур-
ного пространства можно взять все окрестности вида
А7(ЯЛ0; в, Л) |у(ЗЛ)-г/(Ш|<е, г/6 Л},
где А —произвольное конечное подмножество в Y.
13. Следствие. Структурное пространство В-алгебры с одной
образующей гомеоморфно спектру этой образующей.
14. Теорема. Подмножество комплексной плоскости тогда
и только тогда гомеоморфно структурному пространству неко-
торой В-алгебры с одной образующей, когда оно компактно и его
дополнение связно.
Доказательство. Пусть е/Ж — структурное пространство В-алгеб-
ры X с одной образующей z. Согласно следствию 13, компактное
множество ст(г) гомеоморфно оЖ. Допустим, что дополнение
к ст (г) несвязно, и пусть G —связная ограниченная компонента
этого дополнения. Для каждого хсХ найдется такая последова-
тельность полиномов {Рп}, что | Pn (г) —х|—>0; следовательно,
если % = z (ЗЛ), то
|Рп(Х)-хС»| = 1(Л1(г)-х)(ЭЛ)|<|Рп(г)-х|->0
равномерно относительно ЗЛ£еЖ. Так как г (&П) = о(г), то после-
довательность полиномов {РП(Х)} сходится равномерно на ст (г).
Тогда, как доказывается в теории функций комплексного пере-
менного, последовательность {Рп (X)} сходится равномерно
также на G. Для любого X £G и любого Ж положим х(Х) =
= lim Рп (X), где {Рп (X)} — такая последовательность полиномов, что
|Pn (z) —х|—>0. Ясно, что величина х(Х) не зависит от выбора
конкретной последовательности {Рп}, участвующей в ее определе-
нии. Для фиксированного Хо £G отображение х—>х(Х0) является
ненулевым гомоморфизмом алгебры X в поле комплексных чисел.
Поэтому по лемме 2 найдется такой максимальный идеал ЗП0,
что х(ЭЛо) = х(Хо) Для всех х^Х. В частности, X0 = z(Xc) =
= г(ЗН0)6г(вЖ) = ст (z), что противоречит тому, что XogGsQ —
— ct(z). Обратно, пусть ст — компактное подмножество комплекс-
х) Это вытекает из очевидного включения b(G)Qo(z), где b (G) — граница
области G, и принципа максимума модуля. —Прим, перге.
2. Коммутативные В-алгебры 23
ной плоскости, и пусть его дополнение Q связно. Пусть С (а)
есть В-алгебра всех комплексных непрерывных функций на мно-
жестве а с нормой
l/l = sup|/(X)|.
Z,6(J
Пусть z— элемент алгебры С (а), определяемый соотношением
<г(Х) = Х, ХЕсг, и пусть Жо есть В-подалгебра алгебры С (а),
порожденная элементом z и единичным элементом алгебры С (а).
Пусть а0 (г) — спектр элемента z относительно алгебры а
спектр г относительно С (а). Ясно, что а(г) = а; следовательно,
резольвентное множество q(z) = q связно и потому, согласно
следствию 1.10, сг0 (г) = а (г) = а, ч. т. д.
Мы закончим рассмотрение свойств структурного пространства
коммутативной В-алгебры приложением изложенной теории к дока-
зательству существования чеховского бикомпактного расширения
для вполне регулярного топологического пространства.
15. Определение. Топологическое пространство А вполне регу-
лярно, если всякое его одноточечное подмножество замкнуто
и для любого замкнутого множества Ао А и для любой точки
Х0^А0 найдется такая непрерывная на А функция f (X), что 0<С
<}(Х)<1 для всех ХЕ А; /(Хо)=1 и /(Х) = 0 при ХЕАо.
© * • "
16. Теорема (теорема Стоуна — Чеха о бикомпактном расши-
рении). Всякое вполне регулярное топологическое пространство А
гомеоморфно всюду плотному подмножеству о/И\ бикомпактного
хаусдорфова пространства М, такого, что любая комплексная
ограниченная непрерывная функция, ‘определенная на допу-
скает единственное непрерывное продолжение на х).
Доказательство. Пусть С (А) — банахова алгебра всех комплекс-
ных ограниченных непрерывных функций на А, а ^ — структур-
ное пространство этой алгебры. Пространство М хаусдорфово
и бикомпактно (лемма 8). Для каждого ХЕЛ отображение
х—->х (X) алгебры С (А) в поле комплексных чисел является гомо-
морфизмом, и потому (лемма 2) существует такой максимальный
идеал ЗЛх, что х(ЗЛд,) = х(Х). Поскольку пространство А вполне
регулярно, отображение X—>ЗЛ% пространства А в о/И взаимно
однозначно. Пусть о^д —образ А в о/fl при этом отображении.
Докажем, что о/И^ плотно в о/#. Если это не так, то существует
в (М окрестность вида
{ЗЛ | (ЗЛ)-Xi (ЗЛ0) I < s, Z= 1, 2, ..., п},
х) Пространство o//Z называется чеховским (или максимальным) бикомпакт-
ным расширением пространства А.—Прим, перев.
24
Гл. IX. Банаховы алгебры
не пересекающаяся с Тогда если yt = xt — (ЭЛ0) е, то для
каждого Х£Л найдется такое натуральное i<^n, что |yt (X) |> е.
Пусть
п ____
И^) = S yi Wz/iW;
г—1
тогда //(Х)>е2 для всех Х£Л, так что для у (К) существует
в С(Л) обратный элемент у~*. Следовательно (лемма 1.12), у не
содержится ни в каком максимальном идеале; но у ($Ш0) = О,
откуда //СЭЛ0. Полученное противоречие показывает, что
всюду плотно в М. Далее, для каждого х£С(Л) функция х(ЗЛ)
непрерывна на М (лемма 8) и является продолжением на М
функции х (?Шх) = х (X) (определенной первоначально на <у#л)«
Итак, для завершения доказательства достаточно показать, что
взаимно однозначное отображение 6:Х —пространства Л на
является гомеоморфизмом. Прообразом окрестности
(a) 1еО$Л, |хг(Ж) — х;(ЭЛ10)|<е, г=1,...,п}
при этом отображении является множество
(Р) {Х|Х£Л, \х1^)-х^)\<ъ, / = 1, и},
которое в силу непрерывности функций X/ открыто. ^Следова-
тельно, отображение 6 непрерывно. Чтобы доказать непрерыв-
ность 6"1, т. е. чтобы показать, что отображение 6 переводит
открытые множества в открытые, заметим сначала, что открытые
множества вида (Р) отображаются в множества вида (а), которые
открыты в Далее, полная регулярность пространства Л позво-
ляет установить, что каждое открытое в Л множество является
объединением некоторых множеств вида (Р). Действительно, пусть
G —окрестность точки Хо, а С (А) —функция, отделяющая точку
Хо от множества Л — G, т. е. (Х)<С 1; /(Хо)~1; f(k) — O при
X^G. Тогда множество
{х|хел, |/(x)-f(x0)|<4}
есть окрестность точки %о, содержащаяся в окрестности G. Сле-
довательно, множества вида ф) образуют базу открытых мно-
жеств в Л. Поэтому 6 переводит открытые множества в открытые
и является гомеоморфизмом, ч. т. д.
17. Следствие. Бикомпактное хаусдорфово пространство Л
гймеоморфно структурному пространству В-алгебры С (Л).
3. Коммутативные В*-алгебры 25
18. Следствие. Если Af и Л2 — бикомпактные хаусдорфовы
пространства, а алгебры С (Л^ и С (Л2) эквивалентны1), то про-
странства и Л2 гомеоморфны.
Чтобы понять, насколько замечательна теорема 16, рассмотрим
в качестве пространства Л полуоткрытый интервал
вещественной оси. Этот интервал является, очевидно, всюду
плотным подмножеством компактного пространства — отрезка
0<Х<1. Однако непрерывная и ограниченная на Л функция
sin(lA), имеющая, согласно теореме, непрерывное продолжение
на чеховское бикомпактное расширение интервала Л, не имеет,
разумеется, такого продолжения на отрезок получаю-
щийся добавлением к Л одной точки. В действительности никогда
не удается эффективно построить чеховское расширение неби-
компактного пространства.
3. Коммутативные В*-алгебры
Мы уже отмечали, что В-пространства всех ограниченных
функций на некотором множестве, непрерывных ограниченных
функций на топологическом пространстве и почти периодических
функций являются В-алгебрами с инволюцией /*(<$) = /($), если
в качестве алгебраических операций принять естественные опера-
ции над функциями. Согласно следующему определению, эти
алгебры являются также В*-алгебрами.
1. Определение. В*~алгеброй называется В-алгебра с инволю-
цией *, удовлетворяющей дополнительному условию | х*х | = | х |2.
Кроме уже перечисленных примеров, в которых В*-алгебры
являются коммутативными, можно указать алгебру В(^) всех
ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом
пространстве Инволюция в этой алгебре состоит в Церехрде
к гильбертовому сопряженному оператору (VI.2.9). Именно, если
то, по определению, Т* есть такой оператор из В (£>),
что
(I) (Тх, у) = (х, Т*у), х, у£&,
где (• , •) —скалярное произведение в !q. Для проверки тожде-
х) Здесь предполагается, что алгебры С (Ai), С (Д2) изоморфны топологи-
чески и алгебраически. Более сильный результат состоит в том, что для
гомеоморфизма пространств Д4 и Д2 достаточно, чтобы соответствующие
алгебры были алгебраически изоморфны. Этот результат является очевидным
следствием следующей теоремы Гельфанда: если коммутативные полупростые
В-алгебры изоморфны алгебраически, то они изоморфны и топологически.
(См. Гельфанд, Райков, Шилов [1*, стр. 68—70].) — Прим, перев.
26
Гл. IX, Банаховы алгебры
ства | Т*Т | = | Т |а заметим сначала, что
|T*T| = sup|(T*Tx, у) | = sup| (Тх, Ту)\>
>sup|(Tx, Тх) | — sup | Тх |2 = | Т|2,
где верхние грани берутся по всем х, у из Sq, для которых
) X | с 1, | у | < 1. С другой стороны,
|7’*bsnp|(T% z/)| = sup|(х, Ту)\==\Т\,
так что
\Т*Т\^\Т*\\Т\ = \Т\2.
Таким образом, | Т*Т | = | Т |2, что вместе с леммой VI.2.10
доказывает справедливость следующей леммы.
2. Лемма. Алгебра В(&) всех ограниченных линейных опера-
торов в гильбертовом пространстве в которой инволюция *
определена соотношением (I), является В'-алгеброй.
Главная цель настоящего параграфа состоит в описании ком-
мутативных В*-алгебр. Будет показано, что гомоморфизм х—>х(«)
(см. теорему 2.9) коммутативной В*-алгебры X в алгебру С (Л)
всех непрерывных функций на структурном пространстве Л
алгебры Ж является изометрическим изоморфизмом между Ж
и С (Л). Будет также показано, что этот изоморфизм является
*-изоморфизмом, т. с. сохраняет инволюцию. Этот основопола-
гающий результат, принадлежащий Гельфанду и Наймарку, найдет
много применений в следующих двух главах.
3. Лемма. Если Ж — коммутативная В*-алгебра, то |х2|^|х|2,
| х | = ] х* | и единица е удовлетворяет соотношению е---е*.
Доказательство. Для любого х£Ж имеем |х212 = | (х2)*х21 —
= | (х*)2 х21 = [ (хх*)* (хх*) | = | хх* |2 = | х |4. Таким образом, | х21 =
" | х |2. Аналогично | хх* | = |х|2, | хх* | = | х**х* | = | х* |2, откуда
|х| -|х*|. Далее, ее*-^е*, ее* =-= е**е* = (е*е)* = е и поэтому е* = е,
ч. т. д.
4. Определение. Гомоморфное отображение h В*-алгебры Ж
в В*-алгебру У) называется '-гомоморфизмом, если оно сохраняет
инволюцию, т. с. h (х)* ~h(x'). Если *-гомоморфизм h отобра-
жает /^-алгебру Ж взаимно однозначно на В*-алгебру S), т. е.
является изоморфизмом, то он называется '-изоморфизмом. Если
такой изоморфизм существует, то алгебры Ж и 2) называются
*-изоморфными или ^эквивалентными. Для записи *-эквивалент-
ности между алгебрами Ж и 3) иногда используется символ
Ж = ^). Структурное пространство (определение 2.7) В*-алгебры Ж
иногда называется спектром алгебры Ж и часто обозначается
символом а (Ж).
3. Коммутативные В*-алгебры
27
5. Лемма (Аренс). Если А является спектром коммутативной
В*-алгебры Ж, то отображение %—>%(•) алгебры Ж в С (А) пред-
ставляет собой *-гомоморфизм.
Доказательство. Согласно теореме 2.9, отображение х —>*(•)
является гомоморфизмом. Таким образом, достаточно показать,
что x*(X) = x(Z) • для всех ZgA и х£Ж. Пусть х(Л) = а + ф
и х*(К) — уф16, где а, р, у» в вещественны. Допустим, что
Р-J-6 =/= 0, и покажем, что это приводит к противоречию. Положим
у=[х ^х,1, — (ад y)r|/(P i б); тогда и y(h) = i. Пусть
А —вещественное число. Тогда (// j Nie) (Л) = у(К) + Ni = i (1 Д-N)
и, следовательно, | 1 N I < I У I Поэтому (1 + А)2<
< | y+Nie |2 = | (y+Nie) (y+Nie)* | = | (y I Nie) (y — Nie) | = | y2+N2e | <
^\y\2 + N2. Поскольку это неравенство должно выполняться
для всех вещественных N, то, подставляя N ~=\у\2, получаем
противоречие. Следовательно, p + S = O, и х(Л) = а + 04, х*(Л) =
= Y~(ix) (К) = ix (К) = — р + ш, (ix)*(h)= — ix*(h)~ — 0 —yi.
Поэтому из доказанного выше следует, что а —у = 0, так что
>r*(Z) = x(Z), ч. т. д.
6. Следствие. Если х = х*, то х(К) вещественно.
—> 7. Теорема (Гельфанд — Наймарк). Коммутативная В*-алгебра
изометрически ^-изоморфна алгебре всех комплексных непрерывных
функций на своем спектре.
Доказательство. Пусть А —спектр В*-алгебры Ж. Так как
по лемме 3 1хт| = |х|ш, если т является степенью 2, то
из леммы 2.4 вытекает, что
sup | х (Л) | = lim хп | = | х |.
XgA и
Поэтому отображение х —>%(•) алгебры Ж в С (Л) изометрично
и Ж не имеет радикала. По лемме 5 это отображение является
^-гомоморфизмом. Остается доказать, что каждой непрерывной
функции на Л соответствует некоторый элемент х из Ж. Для
этого мы применим обобщенную теорему Вейерштрасса (IV.6.17).
Обозначим через С подалгебру в С (Л), порожденную всеми
функциями %(•), х £Ж. Так как | х | = sup | х (К) | и пространство Ж
полно, то С —замкнутая подалгебра в С (А). Пусть ^ — раз-
личные максимальные идеалы в Л, и пусть У Тогда
у (Xi) Фу (Х2), так что С различает точки Л. Лемма 5 показывает,
что условия теоремы Вейерштрасса выполнены, и потому мы
заключаем, что С = С(Л), ч. т. д.
8. Следствие. Если Л — спектр коммутативной В*-алгебры Ж,
то гомоморфизм х—>х(-), фигурирующий в теореме 2.9, является
изометрическим ^-изоморфизмом между Ж и С (А).
28
Гл. IX. Банаховы алгебры
9. Следствие. Коммутативная В*-алгебра операторов в гиль-
бертовом пространстве изометрически *-эквивалентна В*-алгебре
всех непрерывных функций на ее спектре.
10. Следствие. Пусть $ является В*-подалгеброй коммута-
тивной В*-алгебры Ж, причем и Ж имеют общую единицу е.
Тогда элемент у из $ обратим в Ж в том и только том случае,
когда он обратим в f). Следовательно, спектр элемента у отно-
сительно ® совпадает с его спектром относительно Ж.
Доказательство. Если у1 существует в %), то, поскольку
Ж и $ имеют одну и ту же единицу, у"1 является обратным к у
и в Ж. Обратно, если у"1 существует в Ж, то, поскольку
(У1)*//* (//У1)* = е* = е, элемент //* имеет обратный в Ж. Следо-
вательно, у/* обратим в Ж. Но по теореме 7 спектр элемента уу*
неотрицателен, и потому резольвентное множество Q’(y/*) связно.
Из следствия 1.10 вытекает, что уу* имеет обратный в Поэтому
элемент у обратим в £), ч. т. д.
11. Следствие. Пусть х —элемент коммутативной В*-ал-
гебры Ж, и пусть В* (х) является наименьшей замкнутой В*~под-
алгеброй, содержащей х и единицу е алгебры Ж. Тогда алгебра
В*(х) изометрически ^-эквивалентна алгебре С(о(х)).
Доказательство. Ввиду следствия 10 спектр элемента х как
элемента алгебры В* (я) совпадает с его спектром о(х) относи-
тельно Ж. Поэтому мы можем предположить, что полиномы от е,
х и х* всюду плотны в Ж, т. е. что Ж-~В*(х). Пусть А = сг(Ж),
так что сг (%)==% (А). Рассмотрим непрерывное отображение
X—>х(Х) пространства Л на сг(х). Покажем, что оно взаимно
однозначно. Если %(Z) = x(Z'), то x*(Z) = %(X) = x(Z') = x*(X'),
и потому Z/(^)==y(^/) для любого полинома от е, х и х*.
Поскольку такие полиномы всюду плотны в Ж, получаем,
что для всех у из Ж. Тогда по следствию 8 любая
непрерывная на Л функция в точках Л и V принимает одинако-
вые значения. Так как бикомпактное хаусдорфово пространство
нормально, то это означает, что Z- --К'. Таким образом, Z—>х(Х)
является непрерывным взаимно однозначным отображением биком-
пактного пространства Л на бикомпактное пространство х(Л)^=
-^сг(х). Следовательно, сг(х) и Л гомеоморфны. Поэтому, согласно
теореме 7, Ж^В* (х) = С (сг(х)), ч. т. д.
Вообще говоря, имеется много различных изометрических
*-изоморфизмов между В* (х) и С(сг(х)), так как ясно, что каждый
гомеоморфизм о(х) на себя порождает изометрический автомор-
физм алгебры С(сг(х)) и, таким образом, преобразует один
3. Коммутативные В*-алгебры 29
*-изоморфизм между В*(х) и С(а(х)) в другой. Существует один
специальный изометрический *-изоморфизм между В*(х) и С(сг(х)),
который мы хотим выделить.
Используя обозначения предыдущего доказательства, рассмот-
рим ^изоморфизм1) у<---->у(х~1(-)) между В*(х) и С(а(х)); он
обладает тем свойством, что элемент х соответствует функции
х (х"1 (р)) = р, р£о(х). Очевидно, что требование соответствия
между элементом х и функцией g (р) == р определяет этот
*-изоморфизм однозначно, что приводит нас к следующему опре-
делению.
12. Определение. Пусть х —элемент коммутативной В*-алгебры,
и пусть /£С(сг(х)). Под f(x) мы будем понимать элемент в В* (х),
соответствующий функции / из С(сг(х)) при *-изоморфизме между
В*(х) и С(сг(х)), однозначно определяемом требованием, чтобы
х и g (р) = р были соответствующими элементами.
Обозначение /(х), введенное в определении 12, совпадает
с употреблявшимся ранее. В самом деле, если / (р) = S anmpnpm
полином от р и р, то f (х) = 2 ctnmxnx*m. Символ / (х) употреб-
ляется также для обозначения элемента (2nf)~1 f (к) (ke—x^dk
с
(см. определение VII.3.9) при условии, что / является однознач-
ной аналитической функцией, определенной на некотором откры-
том множестве, содержащем сг(х). Следующая лемма показывает,
что эти два определения элемента / (х) совпадают.
13. Лемма. Пусть f — комплексная функция, однозначная
и аналитическая на некотором открытом множестве, содержащем
спектр элемента х коммутативной В*-алгебры. Тогда значения,
придаваемые символу f(x) определениями 12 и VII.3.9, совпадают.
Доказательство. Пусть соответствие у<---->#(•) представляет
собой *-изоморфизм между В* (х) и С(сг(х)), участвующий в опре-
делении 12, и пусть
У = fW^-X^dk,
с
где кривая С удовлетворяет требованиям определения VII.3.9.
Т огда
у W =• i $ / (Ч (Ч - W Л » s Л = f (н).
с с
J) Здесь есть отображение о (х) на Л, обратное к отображению
к- Л х (ку, не следует путать его с функцией х-1 (к), которая существует,
гели элемент х обратим. —Прим, перев.
30
Гл. IX. Банаховы алгебры
и, таким образом, у совпадает с элементом /(х), введенным в опре-
делении 12.
Очевидно, что предыдущие следствия можно применить к опе-
ратору Т в гильбертовом пространстве § при условии, что Т
является элементом некоторой коммутативной В*-подалгебры
В*-алгебры В(ф) всех ограниченных операторов в Это при-
водит к понятию нормального оператора, которое вводится
в определении 14.
14. Определение. Ограниченный линейный оператор Т в гиль-
бертовом пространстве называется нормальным, если ТТ* = Т*Т\
и самосопряженным, если Т = Т*.
Ясно, что наименьшая замкнутая подалгебра в В($), содер-
жащая нормальный оператор Т, его сопряженный Т* и единичный
оператор /, является коммутативной В*-алгеброй. Таким образом?
мы можем сформулировать следующее следствие.
15. Следствие. Пусть Т — нормальный оператор в гильберто-
вом пространстве и пусть В* (Т) — наименьшая замкнутая
подалгебра в В($), содержащая /, Т и Т*. Тогда алгебра В* (Т)
изометрически *-эквивалентна алгебре С (а (Т)). Кроме того?
изометрический ^-изоморфизм этих алгебр однозначно опреде-
ляется требованием, чтобы оператору Т соответствовала функ-
ция £(р) |1, Если символ f(T) использовать для
обозначения оператора, соответствующего при этом изоморфизме
скалярной функции [ QC (а (Т)), то для каждой функции f?
однозначной и аналитической на некотором открытом множестве?
содержащем спектр о(Т), имеет место соотношение
с
где кривая С удовлетворяет требованиям определения VII.3.9.
Доказательство. Это вытекает из следствия 11 и леммы 13.
4. Упражнения
1. Пусть S--бикомпактное хаусдорфово пространство. Пока-
зать, что:
(I) Имеется взаимно однозначное соответствие между замк-
нутыми идеалами в C(S) и замкнутыми множествами FczS,
а именно
F<----= {/€C(S) |/(F) = 0}.
(II) Пусть ?1 —замкнутая подалгебра в C(S), содержащая
вместе с каждой функцией, в нее входящей, комплексно сопря-
женную. Тогда существует такое разложение пространства S
4. Упражнения
31
в объединение замкнутых подмножеств F, что на каждом из них
функции из 21 постоянны и любая непрерывная функция, посто-
янная на каждом множестве F, принадлежит 21.
2. Пусть S —компактное метрическое пространство, и пусть
3c:C(S) — совокупность всех функций f из C(S), обращающихся
в нуль на некоторой зависящей от f окрестности фиксированной
точки xogS. Тогда 3 Представляет собой идеал, замкнутый тогда
и только тогда, когда точка Хо является изолированной.
Таким образом, при условии, что S бесконечно, в С (S) су-
ществуют незамкнутые идеалы.
3. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово пространство, и пусть
п (S) — наименьшее число образующих в алгебре С (S). Найти n(S):
(а) для единичной окружности |z| = l;
(b) для единичной сферы в трехмерном евклидовом прост-
ранстве;
(с) для гильбертова параллелепипеда {х 11 xt | < 1 //} в 12,
(d) для конфигурации, образованной непересекающимися ду-
гами, соединяющими каждую из точек (0, 0, 1), (0, 0, 2) и (0, 0, 3)
трехмерного евклидова пространства с каждой из точек (1,0, 0),
(-1, 0, 0) и (0, 1, 0).
4. Пусть ЭЕ —банахова алгебра, элементы которой являются
непрерывными функциями на бикомпактном хаусдорфовом про-
странстве S, а операции сложения и умножения определяются
обычным образом. Предположим, что:
(а) если х(-)£Х, то х(-)£Х;
(Ь) еслих(-)СЭ£ и не обращается в нуль на S, то 1/х(•)£$.
Тогда для каждого максимального идеала ЗЛ с Ж найдется
такая точка t0^S, что х (ЗЛ) = х (to) для всех х£Х. Обратно,
если для каждого максимального идеала ЗЛ существует такая
точка to £ S, что х(ЗЛ) = х(/0), и если х(-)£Ж и не обращается
в нуль на S, то 1/х (•)£$.
5. Пусть Ж1~ банахова алгебра, удовлетворяющая условию (а)
упражнения 4, и пусть Х2 —всюду плотная в подалгебра,
удовлетворяющая условиям (а) и (Ь). Допустим, что Х2 можно
снабдить нормой, относительно которой она становится В-алгеб-
рой. Показать, что тогда Х4 также удовлетворяет условию (Ь).
6. Пусть Сп — класс всех комплексных функций x(t) на
отрезке [0, 1], обладающих п непрерывными производными. Пока- •
зать, что Сп с обычными операциями сложения и умножения
является В-алгеброй, если
И = SUP 2j bi
Описать максимальные идеалы.
32
Гл. IX. Банаховы алгебры
7. Пусть CBV [О, 1] —алгебра непрерывных функций x(t) огра-
ниченной вариации на отрезке [0, 1] с нормой
|х|= sup |x(0| + u(x, [0, 1])
0^1
и обычными операциями сложения и умножения. Показать, что
CBV [0, 1] является банаховой алгеброй. Найти максимальные
идеалы.
п
8. Пусть Л(п) — алгебра всех полиномов х=- 3 с ком-
к=0
п
плексными коэффициентами и нормой | х | = 2 | ak I- Сложение
h=0
и умножение определяются как обычно, за исключением того,
что при умножении считаем VH-i=0. Показать, что является
банаховой алгеброй с единственным максимальным идеалом.
9. Пространство Ц абсолютно сходящихся рядов а =
— {ап, — оо<л<оо) является коммутативной банаховой алгеб-
рой с умножением
оо
ab= 3 ате_прп, а — {ап},
г.=— оо
Пространство максимальных идеалов гомеоморфно веществен-
ной оси, приведенной по модулю 2л (т. е. окружности); этот
гомеоморфизм таков, что если ЖСе/Z и 0 — соответствующие
точки, то
оо
a (Ж) = 3 anei,,e.
п=—оо
10. (Н. Винер.) Если сумма абсолютно сходящегося тригоно-
метрического ряда g(9) = 2 aneinQ нигде не обращается в нуль,
П=~ оо
то обратная к ней функция l/g(0) также разлагается в абсолютно
сходящийся тригонометрический ряд.
11. (Н. Винер —П. Леви.) Доказать, что если / — однозначная
аналитическая функция в окрестности множества значений абсо-
лютно сходящегося тригонометрического ряда
оо
g(6)= 2 апе™в,
— оо
то существует такой абсолютно сходящийся тригонометрический
ряд
оо
Л(0) = 2ММ>
— оо
4. Упражнения
33
ЧТО
^(0) = /(g(0))-
12. Пусть h\ Sli—непрерывный гомоморфизм, и ЗГ2 —
банаховы алгебры. Допустим, что h(a) — 0 влечет а = 0, и пусть
не имеет радикала. Показать, что тогда 211 также не имеет ра-
дикала.
13. Пусть М — множество всех ограниченных регулярных
(см. определение III.5.11) счетно аддитивных борелевских мер р
на вещественной прямой R. Для р, % из М обозначим через
р X % меру на R х R, являющуюся прямым произведением мер р
и X. Определим меру р*Х на R, положив
(р*Л) (£) = (р х Л) (ЕД,
где Е— произвольное борелевское подмножество в R, a Ei —
= {(х, y)(zRxR\x + y€E}. Показать, что банахово простран-
ство М (см. часть I, стр. 177—179) с умножением р*А, является
коммутативной банаховой алгеброй.
14. Показать, что если —оо, со) и %(Е) = f (s)ds, то
Е
для любой меры р из пространства М упражнения 13
оо
(Х*[л) (Е) = ds f(s — t) p. (dt).
Е —оо
Р
Если при этом р(Е) = \ g(s)ds, где g СЕД—со, оо), то
е/
Е
оо
(А*р) (£) = $ ds f(s — t)g(t)dt.
Е —оо
15. Пусть £ принадлежит резольвентному множеству ограни-
ченного линейного оператора Т, и пусть d (£) — расстояние
от точки £ до спектра Т. Доказать, что
1 Crf(g)Т)\.
Здесь R (£; Т) — резольвента оператора Т, см. VII.3.1.
16. Пусть А и В — коммутирующие ограниченные операторы
в комплексном банаховом пространстве. Показать, что
{<у(Л + В) |<|о(Д)| + |о(В) |,
|о(ЛВ)|<|о(Л)||о(В)|.
17. Если (коммутативная) В-алгебра не имеет нетривиальных
идеалов, то она изометрически изоморфна полю комплексных
3 Заказ № 134
34
Гл. IX. Банаховы алгебры
чисел. Показать, что существуют некоммутативные алгебры, не
имеющие нетривиальных двусторонних идеалов, удовлетворяющие
всем аксиомам В-алгебры, за исключением закона коммутатив-
ности, и не изоморфные полю комплексных чисел.
18. Построить некоммутативную В-алгебру й, в которой
имеется элемент х=£0, не содержащийся ни в каком двусторон-
нем идеале и такой, что х2^0.
19. В коммутативной В-алгебре спектральный радиус является
непрерывной функцией элемента алгебры.
20. (Капланский.) Определим умножение в /ь положив
(*ь х2, хз, . ..) (г/1? у2, у3, ...) = (x^i, х2у2, х3у3, ...).
Показать, что при таком умножении Ц является коммутативной
алгеброй без единицы, причем |ху|<|х| • \у\.
(I) Показать, что имеется взаимно однозначное соответствие
между замкнутыми идеалами и подмножествами натурального ряда.
(11) Существует взаимно однозначное соответствие между
максимальными идеалами и натуральными числами.
(III) Топология на множестве максимальных идеалов дискретна.
(IV) Описать замкнутые подалгебры в /Р ;
21. Пусть Ж —коммутативная банахова алгебра со структур-
ным пространством оЯ. Предположим, что для каждого замкну-
того множества <М^С2(>Я и каждого максимального идеала ЗЛ1^^/1
найдется такой элемент х^Ж, что х (ЭЛ1) =# 0, а х^оЯ^^О. Дока-
зать следующие утверждения:
(а) Пусть 3 — пересечение всех максимальных идеалов, при-
надлежащих некоторому замкнутому множеству оЯ^асЯ. Тогда
(* —3) = *(^о)« Здесь х—3 является элементом факторалгебры
Ж/3,- а сг(х —3) —его спектром.
(Ь) Пусть U — собственное открытое подмножество в
у (ЗЛ) = 0 при ЭЛ € £7 и х(ЗЛ)=^=0 при ЗЛ$(А Тогда существует
такой элемент z, что zx — y принадлежит радикалу.
(с) Допустим, что алгебра Ж полупроста и для любого х£Ж
найдется такой элемент х£Ж, что х(ЗЛ)=х(ЗЛ) для всех ЗЛ
из оЯ. Пусть Е сг Ж и |х(ЗЛ) = 0, х£Е}. Показать, что
идеал, порожденный множеством £, содержит всякий элемент у.
для которого г/(ЗЛ) обращается в нуль для всех ЗЛ из некоторой
окрестности замыкания множества
5. Примечания и дополнения
Общую концепцию нормированной алгебры впервые предложили
Майкал и Мартин [1] и Нагумо [I]. Однако с момента опубликова-
ния в 1941 г. фундаментальных работ Гельфанда [1, 3, 4, 5] и
5, Примечания и дополнения 35
- Гельфанда и Шилова [1] изучение таких алгебр привлекло внимание
многих авторов. Поскольку для наших целей требуются лишь наи-
более элементарные аспекты теории В-алгебр, мы по поводу незатро-
нутых нами вопросов отсылаем читателя к монографиям Хилле [ 1 ]
(см. также переработанное совместно с Р. С. Филлипсом второе
издание), Люмиса [1], Наймарка [13] и Риккарта [10]1).
Предварительные сведения. Многие понятия этого параграфа
имеют прямые аналоги в В-алгебре ограниченных линейных опе-
раторов, действующих в В-пространстве, которые были уже рас-
смотрены в § VII. 11. Понятие топологического делителя нуля
принадлежит Шилову [2]. Сингулярные элементы В-алгебры
подробно изучалась Риккартом [4], которому принадлежит лемма 4;
в другой форме эта лемма была ранее доказана Бохнером и Фил-
липсом [2]. Мазур [3] высказал, а Гельфанд [1] доказал, что
если В-алгебра является полем, то она изометрически изоморфна
полю комплексных чисел. Это утверждение представляет собой
аналог теоремы Фробениуса; сходные результаты при широком
разнообразии предположений получили Аренс [8], Эдвардс [2].,
Лорх [10], Рамасвами [1], Шилов [5], Стоун [1], Торнхейм [1]
и Райт [1]. (Ср. теорему 6, следствие 7.) Лемма 9 принадлежит
Лорху [9]. Изучение В-алгебр при помощи их идеалов начато Гель-
фандом [1], которому принадлежит большинство результатов § 1.
В- и В*-алгебры. Результаты § 2 принадлежат Гельфанду [1].
Фундаментальная теорема 3.7 доказана Гельфандом и Наймарком [ 1Г
Их доказательство леммы 3.5 использует довольно глубокий
результат Шилова, что, вообще говоря, не является необходимым.
Приведенное в тексте доказательство этой леммы дано Аренсом [6],
который получил этот результат также и в большей общности
(Аренс [7]). Простое непосредственное доказательство следствия 3.6
дал Фукамия [2]; этим следствием можно воспользоваться для дока-
зательства леммы 3.5. Следствие 3.10 принадлежит Риккарту (6),
который получил также более сильные результаты о сохранении
спектра (см. Риккарт [9]).
Некоммутативные В*-алгебры. Хотя наше внимание было
направлено на коммутативные В-алгебры, но многое известно
и в некоммутативном случае. Отметим, что Гельфанд и Наймарк [1]
дали параллельно теореме 3.7 следующую характеристику неком-
мутативных В*-алгебр.
9 См. также книгу И. М. Гельфанда, Д. А. Райкова, Г. Е. Шилова [1*],
посвященную целиком коммутативным нормированным кольцам.—Прим. ред.
3*
36 Гл. IX. Банаховы алгебры
Теорема. Каждая В*-алгебра изометрически *-изоморфна под-
алгебре алгебры всех ограниченных линейных операторов на неко-
тором комплексном гильбертовом пространстве.
Следует заметить, что в своем доказательстве они предпола-
гают, что В*-алгебра Ж удовлетворяет дополнительному условию,
а именно, что для каждого элемент е-\-х*х обладает обрат-
ным; в этом случае алгебра называется С*-алгеброй. Лишь недавно
Капланский1), используя некоторые результаты Фукамия [3]
и Келли и Вота [1], доказал, что это условие является следствием
остальных требований и, таким образом, излишне (ср. Math. Rev.,
14 (1953), 884). Т. Оно (литературу и комментарии см. у Рик-
карта [10; стр. 248]) показал, что условие | х*х | = | х |а в опре-
делении 3.1 можно заменить условием | хх* | = | х | |х*|.
Теория слабо замкнутых некоммутативных В*-алгебр операто-
ров в гильбертовом пространстве широко развита Мерреем,
фон Нейманом и многими другими. Поскольку результаты этой
теории нам не потребуются, мы приведем лишь единственную
теорему в этом направлении, принадлежащую фон Нейману [2].
Если И — некоторая совокупность ограниченных линейных опера-
торов в гильбертовом пространстве ig, то множество 21е всех
ограниченных линейных операторов в коммутирующих с каж-
дым оператором из Я, называется централизатором (или комму-
тантом) множества Я.
Лемма. Централизатор В*-алгебры операторов в гильберто-
вом пространстве замкнут в слабой операторной топологии
и является В*-алгеброй операторов.
Доказательство. Легко видеть, что централизатор ЭДе В*-ал-
гебры ЭД является В*-алгеброй. Если обобщенная последователь-
ность {Ва} операторов из ЭДС сходится в слабой операторной тополо-
гии к оператору В, то для любого Д£ЭД и любых х, yC$Q имеем
(ВАх, у) = lim (ВаАх, у) = lim (АВах, у) = (АВх, у), следовательно,
В£ЭДС, ч. т. д.
Теорема. В*-алгебра операторов в гильбертовом пространстве
совпадает с централизатором своего централизатора тогда
и только тогда, когда она замкнута в слабой операторной
топологии.
Доказательство. Из определения централизатора непосред-
ственно следует, что ЭД s (ЭДС)С и что если ЭД = (ЭДС)С, то, согласно
лемме, алгебра ЭД замкнута в слабой операторной топологии.
М См. такэде Наймарк [13, стр. 281].—Прим, перев.
5. Примечания и дополнения 37
Для доказательства теоремы достаточно показать, что если
алгебра 31 замкнута в слабой операторной топологии, то каждая сла-
бая окрестность точки В£(ЭДС)С содержит некоторый элемент'из Я.
Для иллюстрации идеи доказательства этого утверждения
рассмотрим сначала случай, когда окрестность имеет вид
М = {ЛGB(S)| |(х„ (А-В)у>)\<г},
где е>-0, a Xi и ^ — фиксированные ненулевые элементы в
Пусть Е — оператор ортогонального проектирования $ на ЗЛ =
= sp {Аух | А б Я}J). Тогда ЛЗЛ = ЗЛ и Л*ЗЛ = ЗЛ для любого
А С 31, поэтому ЕАЕ — АЕ и ЕА*Е — А*Е. Переходя в последнем
равенстве к сопряженным операторам, получаем ЕА == ЕАЕ = АЕ,
т. е. E^W. Следовательно, Вг/1 = В£г/1 = ЕВ//1^ЗЛ, и потому най-
дется такой оператор Л£51, что | Лг/j — отсюда вы-
текает, что Л принадлежит Ni.
Рассмотрим теперь произвольную окрестность
А^ = {Л€В(|0)| |(хг, (Л - В) yt) | < в, i = l, 2, ...,«}
точки В; мы можем считать, что Пусть §+ —прямая
сумма (ср. IV.4.17) п экземпляров пространства и для каж-
дого оператора Л, определенного на $, пусть Л+—оператор,
определенный на $&+ равенством A+[zit ..., zn] = [AZi, ..., Azn]-
Множество всех операторов Л+, порожденных операторами А
из 31, обозначим через 31+. Произвольный ограниченный линей-
ный оператор С в имеет вид
C[zlt ..., zn]=[3 Cuzh .... SCniZi];
i=l i=l
поэтому (3l+)c состоит из таких операторов С, для которых все
операторы Ctj принадлежат 31е. Отсюда видно, что ((31+)е)е состоит
из таких операторов Л+, для которых Л£(31с)е. Ввиду такого
представления произвольного элемента в ((Э1+)с)с соображения,
использованные в случае п = 1, можно применить для доказа-
тельства существования в 31+ такого оператора Л+, что
|(Л+-В+)[г/ь •••> t/nl| = S |(Л-B)yt |<е,
1=1
откуда следует, что ч. т. д.
*) Если Q — подмножество в то sp (Q) — наименьшее замкнутое линей-
ное подпространство, содержащее Q (см. определение ПЛ.4). — Прим, пер ев.
38 Гл. IX. Банаховы алгебры
Эта теорема весьма важна, поскольку она характеризует
слабо замкнутые В*-алгебры операторов в алгебраических терми-
нах и наводит на мысль, что они представляют особый интерес.
Основы теории таких алгебр можно найти в работах фон
Неймана [2, 13, 14, 15] и Меррея и Неймана [1]. Обзор имеется
у Наймарка |2]; более исчерпывающее изложение дается в кни-
гах Диксмье [5] и Риккарта [10], где приводится библиография.
Обобщения. Мы закончим упоминанием о том, что Аренс [2,9]
и Майкл |2] распространили многие результаты, относящиеся
к В-алгебрам, на более общие топологические алгебры. В каче-
стве введения в теорию топологических колец и алгебр рекомен-
дуем работу Капланского [4].
ГЛАВА X
Ограниченные нормальные операторы
в гильбертовом пространстве
1. Терминология и предварительные сведения
Спектральная теорема, которую нам предстоит доказать в этой
главе, послужит введением в теорию, которая в случае гильбер-
това пространства соответствует классической теории приведе-
ния нормальной комплексной матрицы в л-мерном унитарном
пространстве. Всюду в данной главе символом Г* обозначается
гильбертов сопряженный оператор в гильбертовом пространстве
Для обозначения скалярного произведения векторов х, у из
употребляется символ (х, у). По определению, (Тх, у) = (х, Т*у).
Оператор Т называется нормальным, если ТТ* = Т*Т. Теорема
Гельфанда и Наймарка IX.3.7 о представлении коммутативной
В*-алгебры (в частности, ее следствия IX.3.9 и IX.3.15) позво-
ляет для нормальных операторов в гильбертовом пространстве
построить теорию приведения более полную, чем развитая
в гл. VII для общих операторов в комплексном В-пространстве.
Хотя изложение в настоящей главе не зависит от результа-
тов гл. VII, но рассмотрение задачи приведения в свете общих
результатов гл. VII помогает мотивировать изучение нормальных
операторов. В гл. VII мы с каждым оператором Т в комплексном
В-пространстве связали некоторую булевскую алгебру множеств
комплексной плоскости, названных спектральными множествами.
Спектральные множества были определены как такие подмноже-
ства спектра 0(7), которые одновременно открыты и замкнуты
в его относительной топологии. Каждому спектральному множе-
ству о соответствует проектор
(!) = i J (W-Л"1^,
С (о)
где С (о) — какая-нибудь спрямляемая жорданова кривая в q(T),
охватывающая сг и такая, что внутри ограниченной ею области
нет точек из в(Т) — сг. Сейчас нас интересует не столько опре-
деление (I) проекторов В (сг), сколько некоторые их свойства.
40 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Эти проекторы удовлетворяют соотношениям
(П) £(аПб) = £(а)Л£(б). £(<tU6) = £(o)V£(S).
Е(<у(Т)) = /, Г(0) = О,
где а и 6 —произвольные спектральные множества, а 0—пустое
множество. Здесь мы употребили обозначения А/\В и A\JВ
для пересечения и объединения коммутирующих проекторов А
и В. Напомним, что эти операторы определяются равенствами
ЛДВ ИВ, A\J В = А~\- В — АВ и что пересечение и объединение
двух коммутирующих проекторов снова являются проекторами.
Кроме того, области значений пересечения и объединения двух
коммутирующих проекторов находятся соответственно из соотно-
шен и й (А Л В) ЭЕ - (А ЭЕ) П (ВЭЕ) и (А V В) ЭЕ - (А ЭЕ) + (ВЭЕ)=sp (А ЭЕ, ВЭЕ).
Таким образом, в булевской алгебре проекторов отношение
порядка А^В, которое по определению означает, что ЛВ = Л,
допускает геометрическую интерпретацию в виде ЛЗЕ ВЭЕ. С дру-
гой стороны, соотношения (II) показывают, что соответствие
о—>Е (а) является гомоморфным отображением булевской алгебры
спектральных множеств на булевскую алгебру проекторов в ЭЕ;
кроме того, этот гомоморфизм переводит единицу о (Г) алгеб-
ры спектральных множеств в единицу I алгебры проекторов.
Эти замечания приводят к понятию спектральной меры в В-про-
странстве ЗЕ. Спектральной мерой в ЗЕ называется гомоморфное
отображение булевской алгебры множеств в булевскую алгебру
проекторов в ЗЕ, переводящее единицу исходной алгебры в еди-
ничный оператор /. Таким образом, с каждым ограниченным
оператором Т в комплексном В-нрострапстве связана посред-
ством соотношения (I) спектральная мера Е, определенная на се-
мействе спектральных множеств оператора Т. Эта спектральная
мера связана (см. VII.3.20) с Т также соотношениями
(Ш) Е(6)Т = ТЕ(6), о(Гб)-6,
где 6 — произвольное спектральное множество оператора Г,
а (т(7>) - спектр сужения Т6 оператора Т на многообразие
ЭЕа -Е (6) ЗЕ.
Таким образом, если спектральные множества б1? ...,
оператора 'Г пе пересекаются и в сумме составляют весь спектр
а(Т), то пространство ЭЕ можно разложить в прямую сумму
ЗЕ = ЭЕа, © • • • © ЭЕап, где Т отображает каждое пространство
ЭЕа. = Е (6J ЭЕ в себя,’ и спектр о (Та.) сужения оператора Г на ЭЕа.
совпадает с 6^. Это показывает, что изучение оператора Т можно
свести к изучению его сужений на инвариантные подпростран-
ства ЭЕа.. Очевидно, желательно знать, возможно ли дальнейшее
1. Терминология и предварительные сведения 41
расщепление оператора Т, т. е. можно ли расширить область
определения спектральной меры до большей булевской алгебры
множеств на плоскости таким образом, чтобы сохранились соот-
ношения (II) и (III). Ясно, что без ослабления условия (III) это
невозможно, ибо если б = в(Т&), то, поскольку спектр оператора
всегда замкнут (IX. 1.5), каждое множество из области опреде-
ления спектральной меры, удовлетворяющей условию (III), необ-
ходимо замкнуто и открыто1), т. е. является спектральным мно-
жеством. Однако для того чтобы свести изучение Т к исследо-
ванию этого оператора на инвариантных подпространствах,
на которых он имеет меньший спектр, вполне достаточно найти
спектральную меру, удовлетворяющую вместо (III) условиям
(IV) Е (б) Т = ТЕ (б), сг (Тб) б,
где б —замыкание множества б. Как будет показано в следующем
параграфе, нормальный оператор Т в гильбертовом пространстве §
порождает спектральную меру, определенную на булевской
алгебре $ всех борелевских множеств плоскости и удовлетво-
ряющую условию (IV) для всех б£^?. Эта спектральная мера,
связанная с нормальным оператором, счетно аддитивна на St
в сильной операторной топологии. Это означает, что
°° оо
(V) 3 £(Ш = £( и х£&
i—1 i=i
&ля любой последовательности {6J непересекающихся борелев-
ских множеств.
Спектральная мера Е, определенная на борелевских множе-
ствах плоскости и удовлетворяющая условию (IV) для каждого
борелевского множества б и условию (V) для любой последо-
вательности непересекающихся борелевских множеств {6J, назы-
вается разложением единицы для Т. В этой терминологии спек-
тральная теорема для ограниченных нормальных операторов
в гильбертовом пространстве утверждает, что каждый такой
оператор обладает однозначно определенным разложением еди-
ницы.
Одно из многих применений этой теоремы состоит в построе-
нии для нормальных операторов обобщенного операторного исчи-
сления, подобного операторному исчислению для конечных матриц,
развитому в § VII. 1. Прежде чем описать операторное исчисле-
ние для нормальных операторов, напомним, какую форму при-
1) Открытость такого множества вытекает из того, что его дополнение
замкнуто, ибо, по определению булевской алгебры, оно также принадлежит
области определения спектральной меры и потому является спектром неко-
торого оператора. — Прим, перев.
42
Гл. X, Ограниченные нормальные операторы
нимйет это исчисление для нормальных матриц в конечномерном
пространстве. Если Т —нормальный оператор в конечномерном
гильбертовом пространстве ф, то его минимальный многочлен
имеет лишь простые корни, и потому индексы vb . ..^
(см. определение VII. 1.1) всех собственных значений^, ..., Л&
равны 1. Таким образом, для конечной нормальной матрицы Т
операторное исчисление (см. VII.1.8) задается формулой f(T) =
h
S / (^/) £ (^)> гАе /-произвольный многочлен, a E(Zf) —
i 1
оператор, проектирующий $ на собственное подпространство
(T — kiI)x = 0} оператора Т, соответствующее собствен-
ному значению X,-. Определим для каждого борелевского множе-
ства 6 спектра Е (б) как сумму проекторов Е (^) по всем
точкам спектра Zjg6, если такие существуют, а в против-
ном случае положим Е(б) = 0; тогда функция Е (б) представляет
собой разложение единицы для Т, а операторное исчисление
задается формулой
(VI) f(T) = $ /(Z)B(dZ),
а(Г)
k
где интеграл определяется как конечная сумма
г=1
Если гильбертово пространство бесконечномерно, то для нормаль-
ного оператора с разложением единицы Е все же существует опе-
раторное исчисление, задаваемое формулой (VI), но в этой ситуа-
ции необходимо определить интеграл, участвующий в (VI),
и алгебру скалярных функций f, к которым эта формула применима.
Оператор f (Т) был уже определен для одного класса скаляр-
ных функций /, отличного от класса многочленов, а именно для
класса С (в (Т)) всех комплексных непрерывных функций на спек-
тре п(Т). Действительно, следствие IX.3.15 показывает, что
между С (а (Т)) и В*-алгеброй В* (Г), порожденной оператором Г,
существует изометрический *-изоморфизм, который определяется
однозначно, если мы потребуем, чтобы скалярная функция g(Z) = Z
и оператор Г были соответствующими элементами. Оператор f (Т)
есть, по определению, тот однозначно определенный оператор
в гильбертовом пространстве, который при этом *-изоморфизме
соответствует непрерывной скалярной функции f. Этот абстракт-
ный *-изоморфизм f <----> f (Т) между С (о (Т)) и В* (Т) имеет
конкретное аналитическое представление в виде равенства (VI),
которое, таким образом, определяет операторное исчисление.
Термин «операторное исчисление» употребляется здесь и в дру-
гих местах в следующем смысле. Пусть есть гомо-
морфное отображение В-алгебры скалярных функций в В-алгебру
/. Терминология и предварительные сведения 43
операторов в банаховом пространстве. Тогда каждый метод вычис-
ления оператора Т (f) по скалярной функции f называется опера-
торным исчислением. Обычно операторное исчисление принимает
вид аналитической формулы, которая дает конкретное представ-
ление абстрактного гомоморфизма В настоящей главе
все гомоморфизмы будут *-гомоморфизмами В*-алгебр.
При изучении формальных операторов' важные применения
находят исчисления, определенные в виде различных обобщений
формулы (VI). Это приводит к необходимости определить инте-
грал f (X) Е (t/X) скалярной функции f по операторнозначной
функции множества Е. В настоящей главе нам придется интегри-
ровать лишь ограниченные функции и потому ниже при
построении интеграла мы ограничимся этим случаем. Пусть задана
алгебра S подмножеств множества S, и пусть £ —функция,
отображающая S в алгебру ограниченных линейных операторов,
действующих в В-пространстве Ж. Предположим, что функция Е
аддитивна и ограничена, т. е. существует такая постоянная Д, что
(VII) E(6Ua) = £(6) + E(cr) и |£(сг)|<Д
для любой пары непересекающихся множеств 6, а из 2. При
определении интеграла необязательно предполагать, что Е яв-
ляется спектральной мерой или что операторы Е (б) являются
проекторами. Таким образом, основой при построении интеграла
является любая ограниченная аддитивная операторнозначная функ-
ция Е, заданная на алгебре 2 подмножеств абстрактного мно-
жества S.
Функции, которые мы будем интегрировать, являются ограни-
ченными и S-измеримыми. Функция f называется ^-измеримой
(ср. IV.2.12), если /-1(Д)€2 для любого борелевского мно-
жества А из области значений f. Если S —семейство всех боре-
левских множеств топологического пространства S, то S-измери-
мые функции называются также измеримыми по Борелю, или
проще, борелевскими функциями. Класс B(S, S) (ср. IV.2.12)
является, по определению, замкнутым линейным многообразием
в пространстве всех ограниченных функций на S, порожденным
характеристическими функциями множеств из S. Норма в про-
странстве всех ограниченных функций на S (и, таким образом,
норма в В (S, S)) определяется соотношением | f | = sup | f (s) |.
ses
Мы будем называть ^-простой всякую функцию на S, имею-
щую вид
(VIII)
44
Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
где — характеристическая функция множества из S. Легко
проверить, что если 2 = 2 РДо.> то 2 агЕ (б0 = 3 № (ff/),
i==l /=1 J Z=1 j—i
и потому интеграл от 2-простой функции (VIII) можно опреде-
лить равенством
п
J f(s)E(ds)='^alE (6г).
S г=1
Тогда, поскольку полная вариация скалярной аддитивной функции
множества р на 2 не больше, чем 4 sup | р (S) | (см. III. 1.5), для
в£2
каждой 2-простой функции f имеем
| х*[ f (s) Е (ds)] х | = | f (s) x*E (ds) x I <
s s
< 4 sup | f (s) | sup | E (S) 11 x 11 x* |, xg$, х*£Ж*,
и, таким образом (см. II.3.15),
I f (s) £ (ds) I < 4/( sup | f (s) |,
IJ I ees
где К —постоянная, участвующая в (VII). Это неравенство пока-
зывает, что если последовательность 2-простых функций {fn}
сходится в В (S, 2) к функции f, то последовательность интегра-
лов {$ fn(s)E(ds)} сходится и ее предел зависит только от f
и не зависит от конкретной последовательности {fn}, использо-
ванной для аппроксимации f. Таким образом, мы можем опреде-
лить интеграл от f равенством
f (s) Е (ds) = lim fn (s) E (ds),
s n s
Для множества 6 из S интеграл f(s)E(ds) равен, по определе-
o
нию, f (s) xa (s) E (ds). Ясно, что отображение f —» f (s)E (ds)
s s
является непрерывным линейным отображением B(S, S) в алгебру
ограниченных операторов на Ж. Если функция множества Е есть
спектральная мера, то отображение f—> f (s) Е (ds) оказывается
s
также гомоморфизмом. Действительно, пусть f, g£B(S, S); заме-
1. Терминология и предварительные сведения
45
тим, что оба оператора f(s)g (s) Е (ds) и f (s) Е (ds) J х
3 s
X [ Jg(s)£(<**)] линейно и непрерывно зависят от g и что если
8
g — характеристическая функция множества б из S, то
$ f (*) R (*) Е (ds) = J f(s)E (ds Q 6) =
s s
e J f(s)E(ds)E(8)=[ J f(s)E(ds)] [J g(s)E(ds)] .
s s s
Таким образом, если f£B(S, S), то равенство
J f (s) g (s) E (ds) = [ J f(s) E (ds) ] [J g (s) E (ds) ]
S 8 - 8
имеет место для всех S-простых функций g, и, следовательно,
в силу непрерывности обеих его частей по g, оно справедливо
для всех f и g из B(S, S). Если, кроме того, Е —самосопря-
женная спектральная мера в гильбертовом пространстве, что
означает, что £(б) = £(б)* для всех б из S, то отображение
f —> f(s)E (ds) является *-гомоморфизмом В*-алгебры В (S, S)
8
в В*-алгебру ограниченных линейных операторов в гильбертовом
пространстве. Чтобы показать это, рассмотрим S-простую функ-
цию f (см. VIII). Имеем
п
= F&E(ds)
S г=1 s
и, поскольку простые функции плотны в B(S, S), получаем, что
f (s) Е (ds) J f(s)E(ds) для всех f из B(S, S).
s s
В результате мы установили следующую теорему.
1. Теорема. Пусть Е — ограниченная самосопряженная спек-
тральная мера в гильбертовом пространстве, определенная на
алгебре S подмножеств множества S. Тогда отображение
f —>Т (f), определенное равенством
T(f)=\f(s)E(ds), f£B(S,Z),
8
Является непрерывным ^-гомоморфизмом В*-алгебры B(S, S)
ограниченных ^-измеримых функций на S в В*-алгебру ограни-
ченных операторов в гильбертовом пространстве.
46
Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Возвращаясь к общему интегралу f(s)E(ds), где Е — просто
ограниченная аддитивная операторнозначная функция множества,
мы замечаем, что интеграл определен в терминах равномерной
операторной топологии. Ясно, что аналогично можно определить
интеграл / (s) и (ds) ограниченной S-измеримой функции f по огра-
ниченной аддитивной векторнозначной функции множества v. Таким
образом, если Е - ограниченная аддитивная функция множества
на И, значения которой Е (б) являются ограниченными операторами
в В-пространстве Ж, несли то интеграл f (s) Е (ds)x опре-
делен для каждой ограниченной S-измеримой функции f на S.
Из определения интеграла немедленно следует, что
[ J f (5) Е (ds) J х = \j(s)E (ds) х:
s s
Аналогично, если х£Х и х*£Ж*, то любая ограниченная
S-измеримая функция f на S интегрируема по ограниченной адди-
тивной скалярной функции множества х*Е (б)х, 6 £ S, и
х* | f (s) Е (ds) х = f(s)x*E (ds) x.
s s
В гильбертовом пространстве это тождество принимает вид
Q J f(s)E(ds) | х, у) • JJ )'(s)(E(ds)x, //), х,у£&
S ' 8
Обозначение f (s) Е (ds) говорит само за себя, но, быть может,
8
будет полезно явно указать, что символы
$ /(.S') $ R(t)E(dt) и J [(s)E(ds(]8)
S ds S
обозначают интегралы от [ по аддитивным операторнозначным
функциям множества
g (t) Е (dt) и £(0 0 6)
О
соответственно. Интеграл f (s) Е (ds П б) сам является ограничен*
s
ной аддитивной функцией множества 6gS, а интеграл от функ*
1. Терминология и предварительные сведения
47
ции g из В (S, 2) по этой функции множества записывается в виде
$ f (s) Е (dsftdt).
s s
Если / — характеристическая функция множества 6^2, то
(IX) $ g (0 $ / (*) Е (ds ftdt)=^g (t) f (0 E (dt),
8 8 8
и так как обе части этого равенства линейны и непрерывны от-
носительно /, то (IX) имеет место для всех /, g£B(S, X).
Пусть S —нормальное топологическое пространство, и пусть
функция множества Е регулярна в том смысле, что для любых
х^Ж и х*£Ж* регулярна скалярная мера х*Е(-)х. Тогда из обра-
щения в нуль интеграла f (s) Е (ds) для каждой ограниченной
s
непрерывной на S функции f вытекает, что
х* [ J f(s)£(ds)]x= J f(s)x*E(ds)x = 0, f£C(S),
s s
и потому (см. IV.6.2) х*Е(б)х = 0 для любого борелевского
множества 6czS. Следовательно (см. II.3.15), £(б) = 0. Таким
образом, если Е и Л— ограниченные аддитивные регулярные опе-
раторнозначные функции множества, определенные на борелев-
ских множествах нормального топологического пространства S,
и если \ f (s) Е (ds) = \ f (s) A (ds) для любой ограниченной непре-
S S
рывной на S функции /, то Е(8) = А(8) для каждого борелев-
ского множества 6czS.
Еще одно свойство интеграла, которое часто будет применяться,
носит название принципа замены меры. Этот принцип состоит
в следующем. Пусть Е и Е^ — две спектральные меры на 2,
связанные соотношением
[E(8) = Ei(h'1 (б)), б С2,
где h — отображение S в себя, обладающее тем свойством, что
для любого б из 2 множество /г1 (б) = {s | h (s) С 6} принадлежит 2.
Если / — характеристическая функция множества б £2, то соотно-
шение между Е и Ei может быть записано в виде
\ f(s)E(ds) = \ f (h(s)) Ei(ds).
S S
'48 Гл, X. Ограниченные нормальные операторы
Так как обе части этого равенства линейно и непрерывно зави-
сят от f£B(S, S), то ясно, что оно справедливо для любой огра-
ниченной S-измеримой функции f.
Элементарные свойства интеграла f (s)E (ds), рассмотренные
s
в данном параграфе, будут неоднократно применяться на протя-
жении этой главы, причем обычно без явной ссылки на свойство,
о котором идет речь.
2. Спектральная теорема
для ограниченных нормальных операторов
Перед доказательством того, что ограниченный нормальный
оператор в гильбертовом пространстве обладает разложением еди-
ницы, мы докажем следующую ниже более общую теорему, кото-
рая часто будет использоваться в ситуации, когда применение
ее частного случая (т. е. обычной спектральной теоремы) затруд-
нительно. Эта общая теорема позволяет для любого семейства
коммутирующих нормальных операторов построить спектральную
меру, которая одновременно приводит каждый оператор данного
семейства. Эта теорема вместе с теоремой Гельфанда —Наймарка
{IX.3.7) дает ключ ко всей теории нормальных операторов в гиль-
бертовом пространстве. Настоящая глава представляет собой
в известном отношении перечень следствий и частных случаев
этих двух результатов. В следующей главе указанные теоремы
найдут применение к разнообразным задачам анализа.
—> 1. Теорема (общая спектральная теорема). Любая коммута-
тивная В*-алгебра ЭД операторов в гильбертовом пространстве Q
изометрически *-эквивалентна алгебре С (Л) всех комплексных
непрерывных функций на своем спектре Л. Кроме того, каждый
изометрический ^-изоморфизм -------->T(f) между этими алгеб-
рами однозначно определяет спектральную меру Е, заданную
на алгебре $ всех борелевских подмножеств спектра Л и обла-
дающую следующими свойствами:
(I) для любых х, у£$$ функция множества (Е(о)х, у),
является регулярной и счетно аддитивной на
(II) Е(6)Т = ТЕ(Ь), Е(б) = Е(б)*, Т€ЭД;
(III) f(k)E(dk), fee (К).
Л
Доказательство. Первое утверждение составляет содержание
следствия IX.3.9. Для доказательства второго потребуется сле-
дующая лемма.
2. Спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов 49
2. Лемма. Ограниченная билинейная форма, удовлетворяющая
соотношению [х, у] = [у, х], однозначно определяет такой огра-
ниченный самосопряженный оператор А, что [х, у\ = (Ах, у).
Доказательство. Для фиксированного у величина [х, у] линейно
и непрерывно зависит от х, и, следовательно (IV.4.5), найдется
такая точка Ау£& что [х, у] = (х, Ау). Так как форма [х, у]
ограничена и билинейна, то оператор А линеен и ограничен,
а соотношение [х, у] == [у, х] показывает, что он самосопряжен.
Продолжая доказательство теоремы, заметим, что для каждой
пары х, у С $ величина (Т (f) х, у) линейна относительно f
и | (Т(f)x, у) | < | f 11 х| | у |. Таким образом, по теореме Рисса
о представлении линейного ограниченного функционала (IV.6.3),
на $ существует единственная регулярная мера р(-,х, у), для
которой
(a) (T(f)x,y)=\f(K)ii(dk,X,y), КС (Л.),
А
(b) Ifx(e, х, у)1<и(ц(-, х, у), у\,
Так как (T(f)ax, y) = a(T(f)x, у), то, учитывая (а), имеем
f (X) р (dZ, ах, у) = f (Z) ар (dZ, х, у), f £ С (Л),
Л Л
и поскольку регулярная мера однозначно определяется функцио-
налом, ясно, что р (б, ах, у) = ар (б, х, у). Аналогично можно
показать, что мера р (б, х, у) билинейна по х и у. Если теперь
функция f вещественна, то T(f) — T (f) = Т (/)*, так что (Т (f) х, у) =
= (Т (f) у, х). Из (а) следует, что
§ f (М И (dk, x,y)—\*f (X) (dZ, у, х), КС (Л),
А А
откуда, по соображениям единственности, р (б, х, у) = р (б, у, х).
Лемма 2 и неравенства (Ь) показывают, что для каждого б из
найдется единственный ограниченный самосопряженный опера-
тор Е(б), для которого р (б, х, у) — (Е(д)х, у). Ясно, что функ-
ция Е(б) аддитивна на а из (Ь) следует, что | Е (б) |< 1.
Таким образом, свойство (III) вытекает из (а). Чтобы убедиться,
что Е (б) Е (о) = Е (б Q о), заметим, что для любой пары f, g
из С (Л) мы имеем
J НМ 5 £(н)£ (ФП^Мв J НМ J
ЛА A dk
= $ нм£.(М£(^м=т)==
Л
4 Заказ № 134
50 Гл, X. Ограниченные нормальные операторы
= T(f)T(g)=\ f(K)T(g)E(db) = J f(%) J g(n) E(dji) E (dk).
Л Л Л
Таким образом,
$ £ (И) E (dp П 6) = $ g (H) E (dp) E (6), 6 G g G С (Л),
A A
и, следовательно, E (o f] 6) = E (cr) E (б) для любой пары о, б из
Поэтому Е является спектральной мерой, и, в частности, все
проекторы Е (б) коммутируют. Но тогда из свойства (III) следует,
что проекторы Е (б) коммутируют также с Т (/), а это завершает
доказательство теоремы.
3. Следствие. Спектральная мера является счетно аддитив-
ной в сильной операторной топологии.
Доказательство. Если последовательность {бп} борелевских
множеств стягивается к пустому множеству, то в силу свой-
ства (I) | Е (бп) х|2 = (Е (бп) х, Е (бп) (х) = (Е (8п) х, х) 0, ч. т. д.
Последнее рассуждение показывает также, что регулярность
скалярной меры (Е (б) х, у) для любых х, у из влечет регу-
лярность векторной меры Е (б) х относительно сильной топологии
в т. е. для любых 6£J? и е>0 существуют такое замкну-
тое множество А^б и такое открытое множество бзб, что
|E(cf)x|<8 для любого а из .$?, содержащегося в G — F. Это
следует из равенства | Е (а) х |а ~ (Е (а) х, х). Таким образом, для
самосопряженной спектральной меры (т. е. спектральной меры,
удовлетворяющей условию Е (б) = Е (б) *) понятия счетной адди-
тивности и регулярности не зависят от того, рассматриваются
они в слабой или в сильной операторной топологии. Эти поня-
тия никогда не будут рассматриваться в равномерной оператор-
ной топологии, так как | Е | > 1 для каждого ненулевого проек-
тора Е в любом Я-пространстве. Поэтому мы можем, не опасаясь
недоразумения, употреблять такие выражения, как «регулярная
счетно аддитивная самосопряженная спектральная мера».
4. Следствие. Ограниченный нормальный оператор Т одно-
значно определяет на борелевских множествах комплексной пло-
скости регулярную счетно аддитивную самосопряженную спек-
тральную меру Е, обращающуюся в нуль на q(T) и обладающую
тем свойством, что
f(T)= $ f(X)E(dA), КС(а(Т)),
а(Т)
2. Спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов 51
Доказательство. Если мы положим Е (6) = 0, когда 6 П о(Т)
пусто, то следствие 4 непосредственно вытекает из теоремы 1
и следствия IX.3.15.
5. Определение. Однозначно определенная спектральная мера,
соответствующая по следствию 4 нормальному оператору Т,
называется разложением единицы для Т.
Для того чтобы связать это определение с определением раз-
ложения единицы, данным в § 1, докажем следующее следствие.
6. Следствие. Если Е —разложение единицы для нормального
оператора Т, а 8 — борелевское множество комплексных чисел, то
Е(8)Т = ТЕ(8), в(Т6)^8,
где Т6 —сужение оператора Т на Е(8)&
Доказательство. Первое утверждение следует из теоремы I
(II). Далее, из теоремы 1.1 и следствия 4 вытекает, что если
то оператор \ (£ — Z)"1xe(Z)E (dZ) удовлетворяет равен-
ству /?(£/ — Т) = Е(8), ч. т. д.
7. Следствие. Регулярная счетно аддитивная самосопряжен-
ная спектральная мера Е, определенная на борелевских множе-
ствах комплексной плоскости, тогда и только тогда является
разложением единицы для нормального оператора Т, когда
Т = J ZE(dZ).
о(Т)
Доказательство. Если Т = ZE (dZ) и мера Е является
а (Г)
самосопряженной, то Т* = ZE (dZ). Таким образом, по теоре-
ме 1.1 для каждого полинома p(Z, Л) отЛиЛ имеем р (Т,Т*) =
== р (Л, Л) Е (dZ). Из аппроксимационной теоремы Вейерштрасса
а(Т)
следует, что f(Z)E(dZ) для каждой функции f из
а (Т)
С (а (Г)). Таким образом, по следствию 4 Е является разложе-.
нием единицы для Т. Обратное утверждение непосредственно
вытекает из следствия 4.
—>8. Следствие. Пусть Е — разложение единицы для ограничен-
ного нормального оператора Т\ для каждой комплексной ограни-
4*
52
Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
ценной борелевской функции f на спектре а (Т) положим
(I) = J HX)£(dZ).
а т
Тогда отображение f —»f (Т) является непрерывным ^гомомор-
физмом В*-алгебры ограниченных борелевских функций на в(Т)
в В*-алгебру ограниченных операторов в гильбертовом простран-
стве, причем функции /(Л)==Х и /(Z)= 1 отображаются соот-
ветственно в операторы Т и I. Этот гомоморфизм обладает
еще следующими свойствами:
(II) |/(Т)х[2== J \f(k)\2(E(dk)x,x), х£&
от
(III) если равномерно ограниченная последовательность {fn}
комплексных борелевских функций сходится в каждой точке
спектра а(Т) к функции f, то в сильной оператор-
ной топологии.
Доказательство. Согласно теореме 1.1, отображение f —> f(T)
является непрерывным *-гомоморфизмом. По следствию 4 функ-
ции Л и 1 отображаются в операторы Т и I соответственно. Дока-
жем утверждение (II). Имеем
\[(Т)х\*:-([(Т)х, f(T)x) = (f(T)*f(T)x,x) —
— (j(T)[(T)x,x)~ J \f(k)\^E(dk)x,x).
o'm
Утверждение (III) следует из (II), поскольку
\fn(T)x—f (Т)х\2^ J |fn(X)-f(Z)|2(^(dX)x,x)->0
от
по теореме Лебега об ограниченной сходимости.
Иногда желательно иметь операторное исчисление, подобное
тому, которое дается в теореме 1.1, но представляющее собой
изометрический *-изоморфизм (а не просто непрерывный ^гомо-
морфизм) между коммутативной В*-алгеброй операторов в гиль-
бертовом пространстве и В*-алгеброй, элементами которой
являются классы эквивалентности функций. Пользуясь таким
исчислением, которое мы сейчас опишем, можно получать огра-
ниченные операторы из функций, не обязательно ограниченных.
Пусть Е — счетно аддитивная самосопряженная спектральная
мера, определенная на а-алгебре 2 подмножеств из S. Скаляр-
ная или векторная функция f на S называется существенно
2. Спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов 53
ограниченной относительно Е, если величина
vrai sup | f (s) I = inf sup | f (s) |
E s£S E(b)=I SG6
конечна. Так как мера Е счетно аддитивна, то найдется такое
множество 60 из 2, что Е(60) = ^ и
vrai sup | f (s) | = sup | f (s) |.
E s£S sGdo
Таким образом, если функция f существенно ограничена, то
существует такая ограниченная на S функция f0, что f(s) = fo(s)
почти всюду относительно меры Е. Если функция f S-изме-
рима, то /0 —ограниченная 2-измерймая функция, т. е. эле-
мент В*-алгебры B(S, 2). Алгебра EB(S, 2) существенно огра-
ниченных относительно Е и 2-измеримых функций на S есть
В*-алгебра, элементами которой являются классы эквивалентности
2-измеримых скалярных функций на S, определенные всевозмож-
ными ограниченными 2-измеримыми скалярными функциями таким
образом, что каждый класс состоит из всех 2-измеримых функ-
ций, отличающихся от некоторой ограниченной 2-измеримой функ-
ции лишь на множестве, имеющем нулевую меру Е. Иными сло-
вами, EB(S, 2) получается из B(S, 2) приведением по модулю
множеств нулевой Е-меры. Норма в EB(S, 2) есть
lfl = vrai sup | f(s) |.
E sES
Хотя элементами алгебры EB(S, 2) являются классы эквивалент-
ных функций, мы для удобства будем говорить об этих элемен-
тах как о функциях на S. Ситуация здесь вполне аналогична
встретившейся нам в случае пространства Boo(S, 2, р). Алгебраи-
ческие операции в ЕВ (S, 2) определяются естественным образом;
в частности, инволюция определяется как f* = f, где, как обыч-
но, f(Z) = /(Z). Для ограниченной 2-измеримой функции g
на S имеем g(s) Е (ds)= \ g(s)E(ds), если Е(6) = /; поэтому
d s
можно определить интеграл от существенно ограниченной отно-
сительно Е функции f как интеграл от какой-нибудь ограничен-
ной 2-измеримой функции g, отличающейся от f лишь на мно-
жестве нулевой Е-меры. Из теоремы 1.1 вытекает, что отобра-
жение f(s)E(ds) алгебры EB(S, 2) в алгебру операторов
s
в гильбертовом пространстве является непрерывным *-гомомор-
физмом. Следующий более сильный результат показывает, что
это отображение представляет собой изометрический *-изомор-
физм.
54
Гл. X, Ограниченные нормальные операторы
9. Следствие. Пусть Е — счетно аддитивная самосопряженная
спектральная мера на в-алгебре 2 подмножеств множества S.
Тогда отображение f —» Т (/) алгебры EB(S, 2) в алгебру опера-
торов в гильбертовом пространстве, определенное соотношением
(I) f(s)E(ds), f^EB(S^),
s
является изометрическим *-изоморфизмом и обладает следующими
свойствами:
(II) оператор Т (f) тогда и только тогда имеет > ограничен-
ный обратный Т(/)-1, когда функция l/f существенно ограничена
на S относительно меры Е;
(III) o(T(f))= П Ж fQEB(S,Z);
E(6)=I
(IV) \T(f)x\2 = ^\f(K)\2(E(dk)x,x), feEB(S^);
s
(V) если {fn} — ограниченная последовательность в EB(S,Z)
и \im fn(s) = f (s) почти всюду относительно E, mo T(fn)x—>
n
—>T(f)x для каждого x из гильбертова пространства.
Доказательство. Утверждения (IV) и (V) можно доказать
так же, как соответствующие утверждения следствия 8. Чтобы
показать, что отображение f—> Т(/) изометрично, рассмотрим
любое такое 6 £2, что Е(д) = 1. Тогда
|Т0| = Ц f(l)E(db)|<sup|f(%)|
I « I ш
и, следовательно, | Т (f) I < vrai sup I f (s) |. Обратно, пусть
E s£S
r< vrai sup | f (s) | и dr = {s 11 f (s)| >r), так что £(бг)=^=0, и пото-
Е s£S
му 0=^х = £(6г)х для некоторого вектора х. Тогда, со-
гласно (IV),
|7’(f)x|2= J \f(W(E(db)E(dT)x, х) =
S
= |Н^)|2(£(^ПМ^ х)=Л | / (X) |2 (£ (JX) х, х)>г2|х|2,
S 6г
откуда |T(/)|>r, поскольку х=^=0. Так как г — произвольное
число, меньшее чем vrai sup I f(s)|, то I T (f) | > vrai sup | f (s) это
E s£S E s£S
означает, что | T (/) | = | f |, и доказывает, что отображение
f —> Т (/) является изометрическим *-изоморфизмом. Чтобы дока-
2. Спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов 55
зать (II), заметим, что если функция 1// существенно ограни-
чена на S относительно меры Е, то Т(Uf)-T (f) = T (I) = I,
т. e. T (f)-1 существует. Обратно, пусть Т (f)'1 существует
и является ограниченным оператором в гильбертовом простран-
стве; пусть r^>\T Покажем, что £(бг) = 0, где бг =
= {з 11 1 /f (s) | > г} {s 11 f (з) | < г-1}. Действительно, если это не
так, то найдется такой вектор х, что 0#=х = £(бг)х, и тогда,
согласно (IV),
IТ (f) х |2 = J | f (з) |2 (Е (ds) х, х) < г’21 х |2.
dr
Поэтому |x| = | T(f)'17’(f)x| < r | T(f)x|<| x|, что невозможно;
полученное противоречие завершает доказательство утвержде-
ния (II). Наконец, чтобы доказать (III), предположим, что
X0^f(6), где Е(б) = /. Тогда функция 1/(Х0 — f) существенно
ограничена относительно Е, и потому Хо С Q (Т (/)). Это доказы-
вает, что f (б) з a(T(f)), и, таким образом,
Е(6)=1
Обратно, если Х0Се(7’(/:)), то, согласно (И), функция 1/(Л0 — f)
существенно ограничена относительно Е; следовательно, найдется
такое множество б £2, что £(б) = / и ^o^f(S)- Это показывает,
что о (/’(/))= П f (6), ч. т. д.
£(б)=1
10. Следствие. Пусть f^EB(S,^), где Е — спектральная
мера из следствия 9, и пусть Ef —разложение единицы для опе-
ратора Т (f). Тогда Еf (б) = Е (f*1 (б)) для каждого борелевского
множества б комплексной плоскости.
Доказательство. Поскольку функция f существенно ограни-
чена относительно Е, то существует такая постоянная М и та-
кое множество ст0^2, что Е(сг0) = / и | f (з) |<.Л1 при з£о0- Пусть
7 = 7(f). Тогда, согласно 9(11), для каждого К1£д(Т) функция
l/(Xi — f) существенно ограничена относительно Е, и потому
найдется такая окрестность Nt точки что Е (f-1 (Nt)) = 0.
Конечное число таких окрестностей покрывает множество бп,
состоящее из всех таких комплексных чисел X, для которых
| X | <М и расстояние от 1 до о(Т) не меньше, чем 1/п. По-
этому Е (f-1 (б,()) = 0. Так как мера Е счетно аддитивна, то
Е (f*1(Q(T))) = O- Следовательно, Е (/-1(б f| а(Т))) = Е (f'1 (б)) для
любого борелевского множества б комплексной плоскости. Таким
56 Гл» X. Ограниченные нормальные операторы
образом, по правилу замены меры при интегрировании,
J XE(f^(ds)) = J f(s)E(ds) = T,
<т(Т) S
и потому по следствию 7 Еу(6) = Е(/~1(6)), ч. т. д.
3. Собственные значения и собственные векторы
Одно из отличий спектральной теории в общем В-пространстве
(или в гильбертовом пространстве) От соответствующей теории
в конечномерном пространстве состоит в том, что в общем слу-
чае оператор pJ —Т может иметь обратный даже тогда, когда
р принадлежит спектру о(Т) оператора Т. С рядом таких при-
меров мы встречались в § VII.5, где была также дана общая
классификация точек спектра. Мы повторим здесь эту класси-
фикацию в применении к операторам в гильбертовом пространстве
и изучим некоторые ее связи с теорией нормальных операторов.
1. Определение. Пусть о (71) —спектр ограниченного линей-
ного оператора Т в гильбертовом пространстве Множество
всех комплексных чисел Л из п(71), для которых оператор
XI—-Т не является взаимно однозначным, называется точечным
спектром оператора Т и обозначается <ур(Т). Каждое число р
из вр(Т) называется собственным значением оператора Т, а каж-
дый вектор х-/=0, для которого (р/ —Т)х = 0 при некотором
pgcTp(T), называется собственным вектором оператора, соот-
ветствующим собственному значению р, или проще, собствен-
ным вектором оператора Т. Множество всех р£ст(Т), для кото-
рых оператор р/ — Т взаимно однозначен и для которых много-
образие (р/ — T)Sq всюду плотно в $ (но не совпадает со всем ^),
называется непрерывным спектром оператора Т и обозначается
вс(Т). Множество всех р£в(Т), для которых оператор р/ — Т
взаимно однозначен, но многообразие (р/ — T)Sq не является
всюду плотным в Sq, называется остаточным спектром оператора
Т и обозначается огг(Г).
Следует заметить, что если оператор XI —Т взаимно одно-
значен и (X/— Т)$ ---ф, то (см. II.2.2) оператор (XI — 71)-1 опреде-
лен на всем $ и ограничен, и потому X не принадлежит спектру
о(Т). Это показывает, что каждая точка комплексной плоскости
лежит в одном из непересекающихся множеств q(T), ор(Т), ос(Т),
вг(Т)- Напомним еще, что в(Т) есть непустое замкнутое множе-
ство (IX. 1.5), содержащееся в круге {Л 11Л | < | Т |} (см. VII.3.2).
Следующая лемма резюмирует вышеизложенное.
2. Лемма. Пусть Т — ограниченный оператор в гильбертовом
пространстве. Тогда резольвентное множество q(T) открыто,
3. Собственные значения и собственные векторы
57
а спектр является непустым замкнутым подмножеством круга
{Х||Х|<|Т|}. Кроме того, множества q(T), ор(Т), ас(Т) и ог(Т)
попарно не пересекаются и их объединение совпадает со всей
комплексной плоскостью.
Для иллюстрации введенных понятий рассмотрим гильбер-
тово пространство Z2 всех последовательностей x = комплекс-
ных чисел, для которых |х| = (2 lad2)1/2< °°* Скалярное произ-
ведение в Z2 определяется формулой (х, #) = 3 «гРь где x = {aj,
= Пусть у = Тх — оператор сдвига в Z2, определенный соот-
ношением у = {а2, а3, •••}, где х — {щ, а2, аз, •••}• Так как
| Т | < 1, то по лемме 2 спектр о (Г) содержится в круге
{X11 X | 1}. Если | X | < 1, то последовательность х = {1, X, X2, ...}
принадлежит Z2 и Тх = Хх, так что каждое X с |Х|< 1 является
собственным значением оператора Т. Так как спектр о (Г) замк-
нут и содержится в единичном круге, то о (7) = {X11 X [< 1}.
Ясно, что единственным, с точностью до скалярного множителя,
собственным вектором, соответствующим собственному значению X
при |Х|< 1, является вектор {1, X, X2, так что многообра-
зие {x|xgZ2, (Г — Х/)х = 0} одномерно. Если |Х| = 1, то Х^ор(Т),
поскольку в этом случае {1, X, X2, ...} не принадлежит Z2. Та-
кие X лежат в ис(Т). Чтобы показать это, рассмотрим в Z2 про-
извольный вектор у = {PJ, и пусть k — такое натуральное число,
оо
что 2 I Рг I2 <е2, где е —заданное положительное число. Ясно,
i=k
что мы можем найти такую последовательность х = {ап}, что
«п+1 = 0 при n>k и Хап —ап+1 = рп при n^k. Таким образом,
оо
\№-т)Х-у\ = ( 2 |М2)1/2<8,
откуда следует, что стс(7") = {X | | Х[= 1} и что остаточный спектр
ог(Т) пуст. Можно также привести примеры операторов А, для
которых (5Г (Л) = о(Л); для таких операторов точечный и непре-
рывный спектры пусты.
Следующая лемма показывает, что для нормального опера-
тора характер точки спектра определяется разложением единицы.
3. Лемма. Если Е —разложение единицы для нормального
оператора Т, то:
(I) если множество 6 не пусто и открыто в относительной
топологии спектра о(Т), то £(6)^=0;
(II) точечный спектр ор(Т) оператора Т состоит из всех
комплексных чисел р, для которых Е ({р}) =/= 0;
(III) остаточный спектр ог (Т) оператора Т пуст.
58
Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Доказательство, Пусть 6 открыто, Е(6) = 0 и Х0СдПсг(Т).
Тогда функция (Хо — X)"1 существенно ограничена на а (Г) отно-
сительно меры Е и, согласно следствию 2.9 (II), ХоЕсНГ), что
приводит к противоречию, доказывающему справедливость утвер-
ждения (I). Чтобы доказать пункт (II), допустим, что Е({р})х =
= х#=0. Тогда
Тх — KE (dX) Е ({р}) х = ХЕ (dX П {ц}) х = цх,
0(Т)
так что ^£вр(Т). Обратно, если ху=0 и Тх = цх, положим
fnW =
1
[1—х ’
о,
Тогда fn(T)(pI—T) = Е{к\ |Х — р|>1/п), и так как
(р/ — Т) х = 0, мы имеем Е ({k | | X — р | > 1/п}) х = 0. Устремляя п
к бесконечности и применяя следствие 2.8 (III), получаем, что
£({Л|Х#=р))х = 0, откуда Е ({р}) х = х #= 0. Чтобы доказать (III),
достаточно показать, что если (р/— Т) !q не плотно в £), то
pC<7j, (Г). Для такого р по следствию II.3.13 и теореме IV.4.5
найдется вектор х=#0, ортогональный к (р/ — T)Sq, откуда
(р7 — Т*)х - 0. Согласно (II), для разложения единицы А опера-
тора Т* имеем Д({р})^=0. Таким образом, в силу следствия 2.10
0 Ф А ({р}) = Е ({р}) и, согласно (II), р£ар(Т), ч. т. д.
4. Теорема. Если спектр ограниченного нормального опера-
тора Т в $ счетен, то в существует ортонормальный базис В,
состоящий из собственных векторов оператора Т. Кроме того,
х — 2 (*< «/)//•
ven
и для каждого х все коэффициенты (х, у), за исключением, быть
может, счетного числа, равны нулю.
Доказательство. Пусть о(Г)=^{р1, р2, •••} и §п^Е(рп)§,
где Е — разложение единицы для Т. Если Ф 0, то из леммы 3
следует, что Qn состоит целиком из собственных векторов опе-
ратора Т. По теореме IV.4.12 в каждом подпространстве $£п
имеется ортонормальный базис Вп. Если мы положим В= [} Вп,
п=1
то каждый элемент из В будет собственным вектором опера-
тора Т. Так как Е(рп)х = х для х из Вп и Е (pn) Е (рт) = 0 при
4. Унитарные, самосопряженные и положительные операторы 59
п=^т,то В является ортонормальным множеством. Кроме того,
по следствию 2.3
оо
х — Е (d%) х = Е (рп) х, x£Sg,
о(Т) п=Л
и, таким образом, не существует ненулевого вектора, ортого-
нального ко всем элементам множества В. Следовательно, В
полно и по теореме IV.4.13 является ортонормальным базисом
в Оставшиеся два утверждения теоремы следуют из опреде-
ления IV.4.11 и теоремы IV.4.10.
—> 5. Следствие. Спектр вполне непрерывного нормального
оператора Т в $ счетен и не имеет на комплексной плоскости
предельных точек, кроме, быть может, точки р = 0. Каждая
отличная от нуля точка спектра является собственным значе-
нием, и число соответствующих ей линейно независимых собст-
венных векторов конечно. В существует ортонормальный
базис, состоящий из собственных векторов оператора Т.
Доказательство. Первые утверждения следуют из теоремы
VII.4.5, а последнее —из теоремы 4.
4. Унитарные, самосопряженные и положительные операторы
В этом параграфе мы вкратце рассмотрим некоторые специ-
альные классы нормальных операторов, часто встречающиеся
в математическом анализе.
1. Определение. Ограниченный оператор Т в гильбертовом
пространстве § называется унитарным, если ТТ* = Т*Т = Г, само-
сопряженным, симметрическим или эрмитовым, если Т = Т*;
положительным, если он самосопряжен1) и (Тх, х)>0 для
любого х из положительно определенным, если он положите-
лен и (Тх, х)>0 для любого х=й=0 из §2).
Ясно, что операторы всех этих классов являются нормаль-
ными.
Унитарные операторы имеют ряд других характеристических
свойств. Например, если —унитарный оператор, то (х, у) =
i) При определении положительного оператора в комплексном простран-
стве достаточно ограничиться требованием (Тх, х) 0, так как при его
выполнении оператор Т автоматически оказывается самосопряженным.—Прим,
перев.
2) Иногда оператор Т называют положительно определенным лишь в том
случае, когда для некоторого а>0 и для всех выполняется неравен-
ство (Тх, х)^ а|х|2.— Прим, перев.
60 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
= (U*Ux, y) — (Ux, U**y) = (Ux, Uy). Обратно, пусть оператор U
удовлетворяет равенству (х, у) = (Ux, Uy). Тогда (х, y) = (U*Ux, у),
и если оператор U имеет обратный, то это означает,
что оператор U унитарен. Другими словами, унитарный оператор
представляет собой изоморфизм пространства § на себя, сохра-
няющий скалярное произведение (и, следовательно, сохраняющий
все свойства пространства §). По этой причине операторы А и В,
действующие в $ и связанные соотношением A = U*BU, где опе-
ратор U унитарен, обладают одинаковыми свойствами. Такие
операторы называются унитарно эквивалентными.
Эрмитовы операторы образуют в В(^) подкласс, роль кото-
рого в В (£>) во многом напоминает роль подкласса вещественных
чисел в классе всех комплексных чисел. В частности, каждый
оператор Т£В($) однозначно представим в виде Т — A-\-iB, где
А и В—эрмитовы операторы. Очевидно, А и В должны опреде-
ляться формулами
т_1_т* т__Т*
Ясно, что оператор Т нормален тогда и только тогда, когда его
«вещественная» и «мнимая» части А и В коммутируют.
Понятие положительного оператора позволяет нам ввести
в пространстве В($&) отношение порядка: мы пишем если
оператор T — S положителен. Таким образом, В($) становится
частично упорядоченным векторным пространством и обладает,
как таковое, многими интересными свойствами; некоторые из них
приводятся в упражнениях в конце этой главы.
Связь между классами унитарных, эрмитовых и положитель-
ных операторов и соответственно комплексными числами, по
модулю равными единице, вещественными числами и положи-
тельными числами иллюстрируется следующей теоремой.
2. Теорема. Ограниченный нормальный оператор является
унитарным, эрмитовым или положительным тогда и только
тогда, когда его спектр лежит соответственно на единичной
окружности, вещественной оси или неотрицательной веществен-
ной полуоси.
Доказательство. Если N — ограниченный нормальный оператор,
то по следствию IX.3.15 соотношение NN* = N*N = I выполня-
ется тогда и только тогда, когда XX =1 для каждого X, принад-
лежащего спектру оператора N; аналогично соотношение
равносильно тому, что Х = Х для каждого Xgo(N). Пусть Е —
разложение единицы для самосопряженного оператора А. Если
его спектр неотрицателен, то сам оператор положителен,
4. Унитарные, самосопряженные и положительные операторы
61
поскольку по следствию 2.7 (Ах, х) = %(E(dX)x, х). Обратно,
а(А)
если открытый интервал б отрицательной полуоси пересекается
со спектром, то по лемме 3.3 (I) Е (б) у= 0. И если 0 =/= х = Е (б) х,
то (Ах, х) = J k(E(dk)E(8)x, х)= J X (Е (dXQ6) х, х) =
<j(A) а(А)
= X(E(dX)x, х)<0, т. е. оператор А не является положи-
<т(А)Лб
тельным, ч. т. д.
Установленные в этой теореме связи между спектром нор-
мального оператора N и значениями формы (Дгх, х) могут быть
значительно углублены (см. упражнение 8.8). Здесь мы иссле-
дуем эти связи в частном случае вполне непрерывного само-
сопряженного оператора N. В этом случае, согласно следствию
3.5, спектр o(N) состоит из последовательности {XJ} (возможно,
конечной или пустой) положительных чисел, последовательности
отрицательных чисел {Хй} (возможно, конечной или пустой) и нуля
(при условии, что пространство $ бесконечномерно). Кроме того,
согласно следствию 3.5, множество собственных векторов, соот-
ветствующих любому ненулевому собственному значению, обра-
зует конечномерное пространство. Размерность этого простран-
ства называют кратностью соответствующего собственного зна-
чения. Мы можем предположить, что положительные собственные
значения занумерованы в порядке убывания, причем каждое
из них повторяется столько раз, какова его кратность: > Х2 > ....
Последовательность {Хп} либо пуста (что мы пока исключим),
либо конечна, либо бесконечна; в последнем случае —> 0.
Тогда
а(Т)
так что (Мх, х)/[х [2С Следовательно, наибольшее положи-
тельное собственное число можно охарактеризовать соотноше-
нием Рэлея
(I) М = max -дуД •
X I Л I
Как, зная охарактеризовать Х2? Легко видеть, что если Xi —
ненулевой собственный вектор, соответствующий значению то
{*] Х2= max .
(х, Х1)=0 I х I
Так как эта формула явно содержит собственный вектор хп она
во многих случаях оказывается неудобной. Более удовлетво-
62
Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
рительная характеристика Х2 состоит в следующем. Для любого
вектора у мы можем найти такую ненулевую линейную комби-
нацию вектора Xi и собственного вектора х2, соответ-
ствующего собственному значению Z2 и ортогонального к xit что
(а^ 4-а2х2, J/h-O. Поскольку |«1Х1-|-а2х2|2 = |а1|2|х1|2 +
+1 «г |2| Хг |2, мы имеем
(N (щх, + а2х2), ад + а2х2) = М I «i I21 х, |2 +
+ ^>2 I «2 [21 х212 > А21 + а2х212.
Следовательно,
Х2-< max
(х, р)=0
(Nx, х)
И2
С другой стороны, соотношение [*] показывает, что если поло-
жить то последний максимум в точности равен Х2. Таким
образом, мы получаем
а . (Nx, х)
л2 = тш max ---• •
У (Х,У)=О И2
Таким же способом можно показать, что
A^ — min max *-
1/1. 1/2 (х, 1/^=0
(х, 1/2)=О
и вообще
(II) • %a+i= min max
yv . . ->yk (X, I Х I
i=i, .. ., k
k>\.
Следующая теорема резюмирует изложенное.
—> 3. Теорема. Пусть • — положительные собственные
значения вполне непрерывного самосопряженного оператора N,
причем каждое из них повторяется столько раз, какова его крат-
ность. Тогда собственные значения Л2, ... определяются
формулами (I) и (II).
Характеристика k-ro по величине собственного значения, дан-
ная в теореме 3, кроме многих теоретических приложений, имеет
многочисленные применения к приближенному вычислению^ соб-
ственных значений. Здесь мы лишь проиллюстрируем применение
этой теоремы примером. Пусть L и М — вполне непрерывные
самосопряженные операторы, а {Хп} и {рп} — последовательности их
положительных собственных значений, расположенные в порядке
убывания, причем каждое повторено столько раз, какова его крат-
5. Спектральное представление
63
ность. Тогда если Л<Л1, то Доказательство очевидно,
ибо L^M влечет (Lx, х)^(Мх, х). Следовательно, формулы
для и рп, данные в теореме 3, показывают, что
5. Спектральное представление
Пусть р —конечная положительная мера, определенная на o'-
алгебре $ борелевских множеств комплексной плоскости и рав-
ная нулю на дополнении некоторого ограниченного множества S.
Одним из простейших примеров ограниченного нормального опе-
ратора может служить оператор Г, определенный формулой
(Гх)(Х) = Лх(Л), x£L2(S, р). Легко видеть, что спектр о (Г)
оператора Т совпадает с носителем меры р, т. е. с дополнением
наибольшего открытого множества 6, для которого р (6) = 0.
Спектральное разложение оператора Т определяется для каждого
борелевского множества е формулой (Е(е) х) (Х) -=хе(Х)х(Л);
таким образом, для каждой ограниченной измеримой по Борелю
функции F оператор F (Т) задается формулой (F(T)x)(K) =
= F (X) х(Х). Первая цель настоящего параграфа—показать, что
приведенный пример описывает в некотором смысле типичную
структуру произвольного нормального оператора.
Говоря более ясно, если Т — нормальный оператор, действую-
щий в то существует такое унитарное отображение U прост-
ранства $ на подходящим образом выбранное функциональное
пространство L2(S, 98, и) или на прямую сумму таких прост-
ранств, что оператор UTU”1 имеет вид «умножения на X». Точ-
ный смысл этой фразы поясняется следующим ниже определе-
нием. Здесь и в дальнейшем символ употребляется для
а
обозначения прямой суммы гильбертовых пространств
(см. 1V.4.18 и IV.4.19). Проекция элемента х из в
а
обозначается ха.
1. Определение. Пусть Т — нормальный оператор в гильбер-
товом пространстве а {ца} — семейство конечных положитель-
ных регулярных мер на борелевских множествах комплексной
плоскости. Отображение U пространства § на назы-
а
вается спектральным представлением $ в ^L2 (На) относительно
а
оператора Т, если выполняются следующие условия:
(а) каждая мера ра равна нулю на дополнении спектра опе-
ратора Т;
(Ь) оператор U является линейным отображением $ на все
пространство J] L2 (ца) и сохраняет скалярное произведение;
а
64 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы'
(с) для каждой борелевской функции f, ограниченной на
спектре оператора Т, любого х из § и любого а
(t/(f(Dx))a(X) = fW(^)a(X)
почти всюду по мере ца.
Сначала мы рассмотрим случай, когда $ обладает спектраль-
ным представлением в пространстве А2(р).
2. Теорема. Пусть Т — нормальный оператор в гильбертовом
пространстве $. Предположим, что для некоторого вектора х
из $ линейные комбинации векторов вида Т‘сТ*пх, т, п>0,
всюду плотны в Тогда $$ допускает спектральное представ-
ление относительно Т в гильбертовом пространстве L2(h)-
Доказательство. Пусть Е — разложение единицы для Т,
и пусть р = (£'(•)%, х), а ©t —линейное многообразие в
состоящее из всех векторов вида f(T)x, где / — ограниченная
борелевская функция на о (Г). По предположению, St всюду плотно
в £). Заметим, что если f (T)x = g(T)x, то
О -1 {/ (Т) - g (Т)} х р = $ I f (X) - g (%) I* и (d%),
откуда следует, что f=g почти всюду относительно меры р-
Следовательно, мы можем определить оператор действующий
из в /-2(р), полагая Ясно, что оператор Ut
линеен, и для у /’ (7’)x, z g(T)x мы, согласно следствию 2.8,
имеем
(!/> г) - J f(W)[i(d*) = (l/i!/, Utz).
Это показывает, что сохраняет скалярное произведение
и, таким образом, является взаимно однозначным и непрерыв-
ным. Поэтому он допускает единственное продолжение U на
пространство 1)! ф, причем U отображает § на замыкание по
метрике пространства Л2(р) множества всех ограниченных боре-
левских функции, т. е. на L2(p). С помощью элементарных сооб-
ражений непрерывности можно показать, что U является изомет-
рическим изоморфизмом между $ и Л2(р). Если теперь fn(T)x—>
—> у, то fn—>Uy в Л2(р), и поскольку (Uf(T)fn(T)x)(K)^=
/(Х)/\(Х), мы имеем (Uf (Т) у) (X) - f (X) (Uy) (Л), ч. т. д.
Рассмотрим теперь случай, когда Т — произвольный ограни-
ченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве
Назовем подпространство $ допустимым, если
T*fei и найдется такой вектор что линейные комби-
нации векторов TnT*mXi всюду плотны в С помощью леммы
5, Спектральное представление
65
Цорна можно показать, что существует максимальное семейство
{^а} взаимно ортогональных допустимых подпространств. Пусть
91 —ортогональное дополнение к подпространству, порожденному
семейством {§а}; ясно, что операторы Т и Т* отображают 91
в себя. Таким образом, если 91=И=0, то в нем содержится нену-
левое допустимое подпространство, что противоречит максималь-
ности семейства {^а}. Это показывает, что подпространства
в совокупности порождают все Ясно, что мы можем рассмат-
ривать как прямую сумму = У, гильбертовых пространств
(см. лемму IV.4.19). Применяя теперь теорему 1 к сужению
Та оператора Т на пространство $а, мы можем построить такую
регулярную положительную меру ра, равную нулю на дополне-
нии к о(Га) (а значит и на дополнении к о (Г)), и такое уни-
тарное отображение Ua пространства на Л2(На), что
(Uaf(T)x) (h) = f (Л) для каждой ограниченной борелев-
ской функции f и каждого х из Мы можем резюмировать
сделанные замечания в виде следующей теоремы.
3. Теорема. Каждое гильбертово пространство допускает
спектральное представление относительно произвольного ограни-
ченного нормального оператора, определенного на $q.
Мы видели, что теорема 3 является следствием спектральной
теоремы для нормальных операторов. Стоит отметить, что на
самом деле эти теоремы эквивалентны. Действительно, если опе-
ратор UTU'1 в пространстве ^L2(g(T), 98, р,а) имеет вид,
а
предписанный определением 1, и если для каждого борелевского
множества е^о(Т) оператор проектирования Р(е) определен
соотношением (P(e)Cfz/)a(Z) = %e(Z)(C^)a(Z), У 6$, то спектраль-
ная мера Е, определенная равенством Е (е) = U^P (е) U, является
разложением единицы для Т,
Часто бывает удобно выразить результат теоремы 3 несколько
иначе.
4. Следствие. Пусть Т — нормальный оператор в гильбертовом
пространстве Тогда существуют пространство (S, 2, ц)
с регулярной положительной мерой ц, ограниченная ^-измеримая
скалярная функция f на S и изометрический изоморфизм U про-
странства § на L2(S, 2, ц), сохраняющий скалярное произведе-
дение и такой, что для любого у из Sq
(UTy)(s) = f(s)(Uy)(s)
для почти всех относительно ц точек s из S,
Доказательство. Используя обозначения предыдущей теоремы
и ее доказательства, рассмотрим множества Sa = o(Ta) как под-
5 Заказ № 134
66 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
множества различных экземпляров комплексной плоскости, так
что для различных индексов а, £ множества Sa, Sp не пересе-
каются. Пусть S = J Sa, и пусть 2 состоит из всех множеств,
a
имеющих вид е U^a, где еа — борелевское подмножество в Sa.
a
Для таких е положим ц (е) = На (^а), если этот ряд содержит
а
лишь счетное число ненулевых членов и сходится; в противном
случае пусть р(е) —оо. Определим расстояние между двумя точ-
ками s, I из S как обычное расстояние на комплексной плоскости,
если s и t принадлежат одному и тому же Sa. В противном
случае будем считать, что это расстояние равно \Т\. Легко
видеть, что (S, 5, р) — пространство с регулярной мерой. Для
каждого s из S положим f(s)==s. Ясно, что функция f является
р-измеримой, и так как норма сужения оператора Т на не
более \Т\, то из леммы 3.2 следует, что | f (s) |< | Т\. Пусть
состоит из всех конечных сумм вида х-=^ха., где ха. £^а.,
и пусть Ui — отображение множества Si в Л2(3, 2, р), заданное
равенством Щ (2 ха.) = 2 гДе функции t/axa для s из
определены так же, как в теореме 2, а для точек s, не принад-
лежащих доопределены соотношением (Uaxa) (s) = 0. Ясно,
что отображение линейно, изометрично и сохраняет скалярное
произведение. 11оскольку область определения отображения Ui
плотна в а множество его значений плотно в L2(S, 2, р), то
это отображение допускает единственное' непрерывное продолже-
ние U, которое является изометрическим изоморфизмом между
и L2(S, 2, р) и сохраняет скалярное произведение. Так как для
элемента х=^ха. из Si мы имеем
(UiTx) (S) -~= 2 (^Txai) (s) f (s) (2 UaXaJ (s) = f (s) (U.x) (s),
TO UTx f(-)Ux для любого X из ч. T. Д.
5. Следствие. Если пространство § сепарабельно, то меру р
в следствии 4 можно выбрать так, чтобы она была конечной.
Доказательство. Если $ сепарабельно, то в нем существует
счетная система взаимно ортогональных допустимых подпрост-
ранств п \, 2, ..., которые в совокупности порождают
Достаточно так выбрать хп из $&п, чтобы |xn|2 = 1/2п и чтобы
линейные комбинации векторов Т1Т*}хп, были плотны
в £п. При таком выборе векторов хп мы имеем pn(Sn) = 1/2п
и р (S) < 1, ч. т. д.
Спектральное представление, рассмотренное в предыдущих
теоремах, дает важную информацию о структуре нормального
5. Спектральное представление 67
оператора. Ясно, однако, что меры, удовлетворяющие определе-
нию 1, могут быть выбраны многими способами. Сейчас будет
показано, что в случае сепарабельности гильбертова простран-
ства $ имеется в некотором смысле «наилучший» способ сделать
выбор, и если этот «наилучший» выбор сделан, то полученное
семейство мер характеризует оператор Т с точностью до унитар-
ной эквивалентности. Этот результат включает в себя то, что
известно под названием теории спектральных типов.
6. Определение. Пусть Т — ограниченный нормальный оператор
в гильбертовом пространстве и пусть Е — его спектральное
разложение. Вектор х из называется максймальным относи-
тельно Г, если каждая мера вида (£(•)//, z/), абсолютно
непрерывна относительно меры (£(-)х, х).
7. Лемма. Пусть Т — ограниченный нормальный оператор
в сепарабельном гильбертовом пространстве Sg. Пусть уо —
заданный вектор из $$. Тогда существует в § такой максималь-
ный относительно Т вектор х, что у0 лежит в подпространстве
%(x) = sp{Tn(T*)mx\n, т>0}
пространства fg.
Доказательство. Очевидно, мы можем предположить, что
| 1 = 1. Пусть у0, yi9 у2, . . . — ортонормированный базис в
с начальным элементом у0. Пусть Е — спектральное разложение
для Т; положим vn (е) = (Е (е) уп, уп) для каждого борелевского
множества е. Применяя теорему Лебега о разложении меры
(III.4.14), построим последовательность борелевских множеств {еп},
п— 1
для которой 2 vj(en) = ®, и такую, что если е — борелевское под-
п— 1
множество дополнения е'п множества еп и 2 vi (е) = 0, то оп (е) = 0.
;=о
Пусть а0 — комплексная плоскость; положим вп = J е7- при п> 1.
j=n
Тогда {ап} — убывающая последовательность борелевских множеств,
п— 1
причем 2 yj(an) = 0, и если е — борелевское подмножество мно-
7=0
п— 1
жества в'п и 2 vi (е) — 0, то vn (в) = 0.
7=0
оо
Положим 2 (<Ъ‘) У г Чтобы показать, что вектор х
j=0
максимален, рассмотрим борелевское множество е, для которого
(Е (е) х, х) = | Е (е) х |2 = 0.
5*
68 Гл, X. Ограниченные нормальные операторы
Так как г>Д<Тп) = О при /<п, то £(<тл)^ = 0 при j<n. Таким
образом,
Е (е П (ffn-i — оп)) х = § 2~jE Л (<b-i — <Ъ»)) Е (а,-) у) =
= 2-<"-1)£(еП(ап-1-ап))г/п_1,
так что
I Е (е П (On-i — <тп)) х |2 = 2'2in-iyvn-l (е f| (an_t — <тп)).
Поэтому, учитывая, что yJ(an_1) = 0 при /<п—1, имеем
п— 1
2 2-2>0; (е П (<Тп-1 — <ТЛ)) = | Е (е f| — о„)) х |2 =
j=0
= IЕ (Gn-i — Un) Е (е) х I2 = 0.
Следовательно,
п—1
3 c»j(ef)(an-i —оп)) = 0.
7=0
Так как an-! —s On, то
S уДеГКап-! —оп)) = 0.
3=0
Так как on-i — <rnfe ^n+i, т0
П-Н
S и}(е(](ап-1 — an)) = 0.
3=0
Продолжая по индукции, мы получаем, что (е Q (Стп-i — ап)) = 0
для всех /. Суммируя по п, видим, что оДе) = 0 для всех /.
Таким образом, поскольку Vj (е) = \Е (е) yj |2, имеем Е (е) yj = 0 для
всех /. Отсюда следует, что E(e)y = Q для всех у из ig, ибо
{Уз} ~ ортонормированный базис в Jg. Итак, (Е(е}у, у) = 0 для
всех у из т. е. вектор х максимален.
Ясно, что у0 = Е (<т0 — <*i) х. Следовательно, лемма будет дока-
зана, если мы покажем, что
E(a0-o1)xGsp{Tn(T*)’n^l«, т>0}.
По теореме Вейерштрасса об аппроксимации и следствию 2.8
^р {Тп (Т*)т х | п, т > 0} {/(Т) х | f € С (о (Т))}.
Пусть задано е>0. Согласно замечанию, предшествующему
следствию 2.4, мы можем найти такое открытое множество
{/=?о0—Ст1 и такое замкнутое множество Csffo-at, что
|£(t/ — С)х| < е. Тогда ясно, что если /—непрерывная функция,
5. Спектральное представление 69
равная 0 на U' и 1 на С и всюду заключенная между О и 1,
и если % — характеристическая функция множества а0 — то
\E(<J0—Gi)x—f(T)x\2 = J |/(Л)-%(Л)|2(Е(е/%)х, х)<8.
и-с
Таким образом,
£ (Сто _ а1) Х (2^ {/ (£) X I / G С (О (Т))},
ч. т. д.
8. Лемма. Пусть Т—ограниченный нормальный оператор
в сепарабельном гильбертовом пространстве и пусть Е обо-
значает его разложение единицы. Тогда существует такая после-
со
довательность {хп} s Sq, что = 2 $ (*г), где
г=1
£(xO = ^{/(mi/GC(o(T))},
и такая убывающая последовательность борелевских множеств
{еп}, что (Е(е)хп, хп) = (Е(е[\еп)х^ х4), п>1.
Доказательство. Пусть {уп} — полная ортонормальная систе-
ма в Применяя лемму 7, выберем максимальный относи-
тельно Т вектор таким образом, чтобы Обозначим
через Т2 сужение оператора Т на ортогональное дополнение
подпространства ^(г4). Так как операторы Т и Т* отображают
$(?i) в себя, то и подпространство ®(?i) они отображают в себя.
Отсюда непосредственно следует, что оператор Т2 нормален.
Выберем теперь в ®(?i) такой максимальный относительно Т2
вектор г2, чтобы подпространство (г2) = sp {Тп (T*)m z21 n, т>0}
содержало ортогональную проекцию вектора у2 на Тогда
z/i и у2 лежат в $(zi)@ ^(z2). Кроме того, из максимальности
следует, что мера ц2 = (£(•) *2, ^2) абсолютно непрерывна относи-
тельно Hi —(£(’)г1, г1)-
Обозначим через Т3 сужение оператора Т2 на ортогональное
дополнение Ж (г2) подпространства (г2) в $ (г4) и т. д. Ясно, что,
продолжая по индукции, мы получаем такую последовательность
{zn}<=£) и такие меры рл = (Е(-)гп, гл), что многообразия @(гл)
взаимно ортогональны, векторы у±, ..уп принадлежат @ ...
...©£) (гп) и мера рп+1 абсолютно непрерывна относительно
оо
для л>1. Так как уп для любого п>1 лежит в т0
г=1
ЯСНО, ЧТО
оо
Ш)-
г=1
70
Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Применяя теорему Радона —Никодима, обозначим через
измеримую по Борелю плотность меры рп относительно р1? так что
Нп (£)= Qn (X) Pi (dX)
е
для каждого борелевского множества е. Так как обе меры р4
и рп неотрицательны, то мы можем выбрать плотность Qn так,
чтобы она тоже была неотрицательной. Пусть еп = {X | Qn (X) > 0}.
Так как мера pn+i абсолютно непрерывна относительно рп, то
Pi (en+i”-£n) = 0. Таким образом, изменяя Qn+1, если это необхо-
димо, на множестве ргмеры нуль, мы можем считать, что после-
довательность множеств еп убывает и что совпадает со всей
плоскостью.
Для п>2 положим = где
]{.-+ оо
xnk= $ {Qn(X)}-l/2E(dM*n> snft={%|e4X)>l} .
Этот предел существует, поскольку для k>j
\xnh — xnj\2= § Qn(Z)-1|£(dZ)^n|2=:
~'z Q/i (X) 1 Qu (X) pi (dX) Pi (Suh Snj) pi (an Snj)>
^nk~^nj
так что \xnk — xnj\—>0, когда /, fe—>co.
Полагая Xt = Zi, мы для п>1 получаем
(E(e)xn, хп) = | Е (а) хп |2 =
= lim Д Qn(Kyl\E(dtyzn\*==
1<~+ОО «'
- lim \ | Е (dty Xi |2 -(£ (ееп) х1г Xi),
k-^сю V
l!^nk
Ч. Т. Д. !)
х) На самом деле доказательство не закончено: нужно еще показать, что
оо
У § (хп). Для этого достаточно проверить, что § (xn) = § (zn). При
П=1
это тривиально, так как Пусть п>1. Непосредственно из определе-
ния хп вытекает, что Хп£§(?п), откуда § (хп) § (zn). Чтобы доказать
обратное включение, покажем, что гп^§(хп). Рассмотрим ограниченные боре-
5. Спектральное представление
71
На протяжении оставшейся части этого параграфа запись
Pi ~ Иг используется для обозначения того, что мера pt абсо-
лютно непрерывна относительно меры р2. Если pi < р2 и Н2 ~ Рь
то мы употребляем запись pi Р2-
9. Определение. Пусть р — положительная мера, определенная
на борелевских множествах комплексной плоскости, и пусть
{еп} _ убывающая последовательность борелевских множеств, при-
чем eY есть вся плоскость. Спектральное представление сепара-
оо
бельного гильбертова пространства $ в L2(en, относительно
ограниченного нормального оператора Т называется упорядочен-
ным представлением fg относительно Т. Мера р называется мерой
упорядоченного представления. Множества еп называются множе-
левские функции фпл; (^)> л, k> j>l, определенные соотношениями
если Qn (%) < \/k,
tynkj (М — *
О,
Qn(X)1/2,
если (X)<j
если X С S£ = {X I Qn (X) > /}•
С помощью несложной выкладки получаем, что если k' > k, то
(О *nk. = Е (S’ft) zn + j1/* {Qn (X)}-V2 e (dk) zn.
ъ.
S7'
n
Так как правая часть не зависит от k', то при k' —>00 получаем
(П хп = Е (S}nh) zn + j4* J {о„ (X)}"1^ E (dX) zn.
s7'
n
Заметим, что
| /1/2 5 (W1/2 E (dk) zn |2 * * s *=/ J {o„ (X)}-1 (£ (dX) zn, zn) < |in (S’).
sJn
Ясно, что lim E (S}nk) zn = E (en) zn и limpn (S^) = 0. Поэтому существует пре-
fe->oo j~->oo
j->oo
дел lim (T) xn} = E (en) zn=zn — E (е!—еп) zn. Далее, | E (e1—en)zn |2 =
k, J->OO
=Hn(ei—en)— \ Qn (X) щ (dX)=O, и потому lim (T) xn] = zn. Если
b’ k, >->OO
е1~еп
НС(о(Т)), то \^nkj(T)xn-f(T)xn\^= J \^nkj(K)-f(k)\^E(dk)xni xn),
и так как непрерывные функции всюду плотны в гильбертовом пространстве
Ь2 {(£ (dk) хп, хп)}, то zn€$(xn), что завершает доказательство.—Прим,
перев.
72
Гл. X, Ограниченные нормальные операторы
ствами кратности упорядоченного представления. Если р (eft) > О
и р (ел+1) = О, то говорят, что упорядоченное представление имеет
кратность k. Если р (eft) > 0 для всех k, то представление имеет
бесконечную кратность. Два упорядоченных представления U
и О пространства $ относительно операторов Т и Т соответ-
ственно с мерами р и р и множествами кратности {еп} и {ёп}
называются эквивалентными, если р^р и р (епДеп) = 0 = р (епД?п)
для п— 1, 2, ... .
Замечание. Отметим, что эквивалентные упорядоченные пред-
ставления имеют одинаковую кратность. Действительно, если
р (е>£) — О для некоторого k, то p(eft) = O, ибо р^р. Так как
р(елДел) = 0, то р(ед) = 0. В силу симметрии заключаем, что
р (еЛ) — 0 тогда и только тогда, когда р (ел) = 0.
—> 10. Теорема. Сепарабельное гильбертово пространство & обла-
дает упорядоченным представлением относительно любого огра-
ниченного нормального оператора Т в %, и любые два упорядо-
ченных представления пространства § относительно Т эквива-
лентны.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из леммы 8
и теоремы 2 (см. доказательство теоремы 2). Следовательно,
в доказательстве нуждается лишь утверждение о единственности.
Пусть U и U — упорядоченные представления $ относительно
оо оо
Т в гильбертовых пространствах Я - У, L2(en, р) и 3?= У L2(en, р)
п-~1 1
соответственно. Символом /2, •••], где /^££2(еь и), будем
обозначать элемент из Я; аналогичное обозначение употребляется
для элементов из Я. Пусть V = UU'1, так что V представляет
собой изометрическое отображение Я на $. Напомним, что если
F-—ограниченная борелевская функция и у —элемент из $, то
(UF(T) у)п(У) --F(X) (Uy)n(h) почти всюду на еп относительно
меры р,
(UF (Т) у)п (Z) F (Z) (Оу)п (X) почти всюду на еп относительно
меры р.
Отсюда следует, что
[*] V[F(.)f^(.)] = [F(.)(V/)^(.)], п=1, 2, ... .
Покажем теперь, что Вследствие симметрии достаточно
доказать, что Будем доказывать это от противного. Допу-
стим, что р,(е) = О и 0<р(е)<оо для некоторого ограниченного
5. Спектральное представление
73
борелевского множества е, и рассмотрим вектор
/=1Х«> О, О,
Беря в равенстве [*] в качестве F функцию %в, получаем, что
V7=V[x!. О, 0, ...J-lXeOb Xe(V/)2, ...].
Далее, | f |* = р (в) > 0, но
ни
IV/Г X $ lx-(M(V/)„(MI2H(^) =
>• — I <41
<*>
п*-. 1 ©про
это противоречит тому, что отображение V изометрично, и дока-
зывает, что
Покажем теперь по индукции, что ц (еп\еп) = 0 = ц (еп\еп)
для n= 1, 2, ... . При п = 1 это следует из того, что и Ci сов-
падают со всей комплексной плоскостью. Допустим, уже изве-
стно, что
И = 0 = ц (ejkej), 1< / < п.
Чтобы показать, что эти равенства справедливы также и для
/ = п+1, достаточно доказать, что ц (еп+1 —еп+1) = 0, ибо тогда
в силу симметрии ц (en+i — еп+1) = 0, а так как то отсюда
следует, что р (еп+1 — еп+1) = 0 и р (en+i — еп+1) = 0.
Допустим, что р (еп+1 — en+i) > 0, и пусть а — произвольное
фиксированное борелевское подмножество множества еп+1—'вл+1,
для которого 0<р(о)< со. Определим векторы f1, ..., fn+1 из &
соотношениями
Г = 0, 0, ...],
/2= [0, Ха, 0, ...],
Г^[0,\\’.,0,’ха,’6,’..\],
где в последней строке функция Ха стоит на (и + 1)-м месте. Эта
векторы ненулевой длины, ортогональные в $. Следовательно^
векторы Vf1, ..., Vfn+1 также имеют ненулевые длины и орто-
гональны в Ж. Пусть
Vfl = [fh> / = 1, 2, i = l,2........... П+1.
Так как а = e„+i, а последовательность {ет} убывает, то>
р(пПет) = 0 Для п, и потому /Д(%) = 0 почти всюду на о
74''Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
относительно меры р при т>п. Пусть теперь б — произвольное
борелевское подмножество в <т, причем р (б) > 0; определим векто-
ры g1, .... gn+1 так же, как f1, ..., /п+1, но с заменой /о на хе-
Тогда векторы Vgl отличны от нуля и ортогональны в и в силу
соотношения [*1
Таким образом,
п ____
(iy, vgh)=$ [ 2 w W] и (dX)=(s);
6 j—1
i, k = 1, ...» n + 1.
Поскольку 6 произвольно, то отсюда следует, что для почти всех
относительно меры р точек X из а
j=l J J
£|7Ш)12>0’ ' = 1. 2, .... /г+1,
i-i 3
Если Xo — точка, в которой выполняются все эти соотношения,
то стрбки (Аф), ...,/‘(Ао)|, »'=1, n+1, представляют собой
ненулевые попарно ортогональные векторы в n-мерном унитарном
пространстве Еп, что невозможно. Это противоречие завершает
доказательство.
11. Лемма, Пусть (S, 2, р) и (S, 2, р) — пространства с мера-
ми, причем р^р. Тогда существует такое линейное изометриче-
ское отображение U пространства L2 (S, 2, р) на пространство
L2 (S, 2, р), что для любой функции f из L2 (S, 2, р) и характе-
ристической функции %в любого множества е из 2
Доказательство. По теореме Радона — Никодима существуют
такие положительные функции б, б, что
р(е)= J 6(%)p(dX); р(е)= J 6(X)p(dX), е&.
е е
Определим линейное отображение U, полагая для / из L2 (S, 2, р)
t// = {6(.)]1/2/.
5. Спектральное представление
75
Тогда это отображение изометрично, так как
J | / (Л) |*И (dX) = J I / (X) 1’6 (X) р (dX) = 5 I (Uf) (X) (dX).
8 6 8
Чтобы показать, что U отображает L2(S, 2, р) на все L2(S, 2, р),
определим второе линейное отображение V из L2(S, 2, р)
в L2 (S, 2, р), полагая Vf [д (-)]1/2/. Ясно, что V изометрично.
Так как для всех е из 2
|*(е)~ J 6(X)6(X)p(dX),
в
то почти всюду 6 (X) S (X) = 1. Следовательно, отображения U и V
взаимно обратны. Поэтому U отображает L2(S, 2, р) на все
L2(5, 2, р). Непосредственно из определения U следует, что оно
обладает требуемым свойством, ч. т. д.*
В связи со следующей теоремой напомним, что два оператора
7\ и Т2 в гильбертовом пространстве @ называются унитарно
эквивалентными, если они связаны соотношением T2~VTiV~1, где
У—-унитарный оператор в $$. Было замечено (см. § Х.4), что
унитарно эквивалентные операторы в обладают одинаковыми
свойствами.
12. Теорема. Два ограниченных нормальных оператора в сепа-
рабельном гильбертовом пространстве тогда и только тогда
унитарно эквивалентны, когда эквивалентны соответствующие
им упорядоченные представления пространства
Доказательство. Пусть Т, Т — ограниченные нормальные опера-
торы в и пусть U и U — отвечающие им упорядоченные пред-
оо оо
ставления £) в пространствах 2 L2(en, р) и 2 Ь2(еп, Р-) соответ-
п=1 п=1
ственно. Предположим сначала, что Т и Т унитарно эквивалентны,
т. е. что T = V7V-1, где V —унитарный оператор. Мы покажем,
что при этом предположении существует упорядоченное представ-
' оо
ление относительно Т в пространстве 2 L2(en, р). Тогда из тео-
ремы 10 будет следовать, что U и U эквивалентны. Пусть Е
и Е — разложения единицы для Т и f соответственно. Из след-
ствия 2.7 вытекает, что E = VEV~1, и потому
F(f) = VF(T)V-i
для любой ограниченной борелевской функции F. Отображение
76
Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
ОО
W = UV пространства ф на У! Lz (еп, р), очевидно, изометрично, и
п=1
WF (Т) х = UVF (Т) х = UF (Т) Vx = F (X) UVx - F (Л) Wx.
Таким образом, W — упорядоченное представление Jg относитель-
оо
но Т в пространстве У Lz(en, р). Этим доказано, что U и U экви-
п=1
валентны.
Для доказательства обратного утверждения допустим, что U
и U эквивалентны. По лемме И существует изометрия Vn про-
странства Ь2(еп, р,) на пространство L2(en, р). Определим изоме-
оо
тричсское отображение V пространства У L2(en, р) на простран-
71 — 1
ОО
ство У Lz(en, р), полагая VLz(en, р) = VnLz(en, р). Тогда линей-
п = 1
ное преобразование Y U WU представляет собой унитарный
оператор в .£) и, применяя лемму 11, имеем
YTx U 'VUTx U^V (XUx)==U~1KVUx = TU~1VUx==TYx
для каждого х из £). Этим доказана унитарная эквивалентность
операторов Т и Г, ч. т. д.х)
6. Формула для спектрального разложения
На практике важно иметь возможность вычислять разложение
единицы для конкретных операторов. Следующая теорема дает
метод вычисления разложения единицы для самосопряженного
оператора Т с помощью его резольвенты R (а; Т) = (а/ —Т)"1.
Не лишне напомнить (см. теорему 4.2), что спектр самосопря-
женного оператора Т веществен, и потому его резольвента
R (а, Т) заведомо определена для всех невещественных значений а.
—> 1. Теорема. Если Е — разложение единицы для ограниченного
самосопряженного оператора Т и если (а, Ь) —интервал а<Л<Ь
!) В приведенном доказательстве использовано усиление леммы 11, состоя-
щее в том, что равенство U~lfx,eUf=Xef (см- формулировку леммы) сохраняется,
если характеристическую функцию заменить любой существенно ограничен-
ной функцией g (А) (понятия существенной ограниченности относительно р
и р совпадают, так как р р); именно, нужен случай g (А) = А (это суще-
ственно ограниченная функция, ибо мера р сосредоточена на компактном
множестве —спектре оператора Т). Это усиление легко получить, аппрокси-
мируя g (А) линейными комбинациями характеристических функций. —
Прим, перев.
7. Теория возмущений
77
вещественной оси, то в сильной операторной топологии
ъ-ь
E((a,b))~ lim lim [R(p — U', T) — R(^ + u; T)]dp.
6^0+ e->0+
Доказательство. Положим для б>0, 0<6<(b —a)/2 и веще-
ственных Л
b-б
/(6, s, A,) — 2Ш- —8f—% p, + ef—%]
a-j-6
Интегрируя, получаем
/(fi, 8, X) = [arctg -arctg ,
и потому 1/(6, 8, X)|C1. Ясно, что
lim lim/(6, 8, X) = %(o> b) (X), — co<X<oo,
6—>0 e->0
где x(a,b) — характеристическая функция интервала a<X<&.
Таким образом, в силу следствия 2.8 (III)
lim lim /(б, 8, Т)х = Е((а, Ь))х, х£$.
б—>0 Е->0
Поэтому для завершения доказательства достаточно показать, что
Ь-б
п /(6,8, Т)= 2^ J [W-8i; T)-/?(H+8t; Т)]ф.
а+б
Чтобы убедиться в этом, заметим, что функция, стоящая под знаком
интеграла, определяющего /(6, б, X), непрерывна по (X, р,)
для и рС[я + 6, Ь — 6]. Поэтому римановские суммы, опре-
деляющие этот интеграл, сходятся к нему равномерно при X £ от (Т),
и потому соотношение [*] вытекает из следствия IX.3.15.
7. Теория возмущений
Общую теорию возмущений, обсуждавшуюся в § VII.6, можно
распространить на случай, когда рассматриваемые операторы явля-
ются нормальными операторами в гильбертовом пространстве.
В настоящем параграфе нас будут интересовать возмущения в силь-
ной операторной топологии. Мы находим удобным употреблять
обозначение Tn—>ST для выражения того, что Тп—>Т в сильной
операторной топологии, т. е. Тпх—*Тх для любого х из про-
странства, на котором определены операторы Г, 7\, Т2, ... .
78
Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
1. Лемма. Пусть S, Т, Sn, Тп (п> 1) —ограниченные линейные
операторы в гильбертовом пространстве, причем Sn-^> S и Тп—>Т
в сильной операторной топологии. Тогда в этой топологии
Sn + Tn—»SaSn—>aS и SnTn—> ST. Если, кроме того,
операторы S и Sn(n>l) нормальны, то > S* в сильной опера-
торной топологии.
Доказательство. Первые два утверждения очевидны. Согласно
теореме II.3.21 о равномерной ограниченности, существует такая
постоянная К, что |Sn|<7<, откуда
| SnTnx - STx |< | SnTnx - SnTx | + I SnTx -STx\<
<K\Tnx-Tx\ + \(Sn-S) Tx\->0,
что доказывает справедливость соотношения SnTn —> ST в сильной
операторной топологии. Предположим теперь, что все операторы
Sn(n>l) и S нормальны. Тогда
I S*х |2 - (Six, Six) = (SnSlx, x) = (SISnx, x) = (Snx, Snx) =
= | Snx |2 -> | Sx |2 = (Sx, Sx) =
=- (S*Sx, x) = (SS*x, x) - (S*x, S*x) = | S*x |2,
и, следовательно,
| SIx - S*x I2 -1 SIx |2 - (S*x, S* x) - (Six, S*x) 4-1 S*x |2 —> 0.
Это означает, что SI сильно сходится к S*, ч. т. д.
2. Теорема. Пусть последовательность {Тп} ограниченных нор-
мальных операторов в гильбертовом пространстве сходится к нор-
мальному оператору Т в сильной операторной топологии. Тогда
для всякой комплексной борелевской функции f, определенной
на комплексной плоскости, f(Tn)—>f(T) в сильной операторной
топологии, если только разложение единицы для Т обращается
в нуль на некотором замкнутом множестве, содержащем все
точки разрыва функции f.
Доказательство. По принципу равномерной ограниченности
(II.3.21) существует такая постоянная /<, что \ Тп\, \ Т\^К- Тогда,
согласно лемме 3.2, спектры в(Тп), от (Т) содержатся в замкнутом
круге D = {| X | | X | и поэтому мы можем рассматривать только
ограниченные борелевские функции на D. Обозначим В*-алгебру
всех комплексных ограниченных борелевских функций на D с нор-
мой | /1 = sup | / (X) | через 35, и пусть © — подмножество в 35,
состоящее из всех таких функций /, для которых f (Тп) —»f (Т)
в сильной операторной топологии. Множество К замкнуто в 95.
8. Упражнения
79
В самом деле, если и \fm — /|—>0, то
I f (Тп) x-f (Т) х |< | (Тп) х - (Т)х\ +
+ \fm(Tn)x-fm(T)x\^2K\f-fm\\x\ + \fm(Tn)X-fm(T)x\
и
\im\f(Tn)x-f(T)x\^2K\f-fm\ |х|, т>1.
Отсюда следует, что f (Тп)—> sf (Т), поскольку |J — fm\ —>0.
Из леммы 1 вытекает, что © является В*-подалгеброй алгебры 93.
Так как функция /(Х) = Х, по предположению, принадлежит
то любой полином от X и X также принадлежит К. Таким образом,
в силу теоремы Вейерштрасса © содержит все нёпрерывные на
D функции. Пусть теперь £(о) = 0, где от—замкнутое множество,
содержащее все точки разрыва функции /. Согласно лемме Урысона
(1.5.2), для каждого т>1 найдется такая непрерывная функ-
ция gm, что 0<gm(XXl, и
gm (^) — '
1, если расстояние (X, а) > ,
0, если Х£(У.
Таким образом, в силу следствия 2.8 (III) gm(T)—>I в сильной
операторной топологии. Так как последовательность {/(7\)} равно-
мерно ограничена, то, чтобы убедиться в сильной сходимости f(Tn)
к f(T), достаточно' показать, что f(Tn)gm(Tn) для любого т>1
сильно сходится к f(T)gm(T). А это вытекает из того, что функ-
ция fgm непрерывна.
3. Следствие. Пусть Еп, Е — разложения единицы для нор-
мальных операторов Тп, Т соответственно, и пусть Тп—>Т
в сильной операторной топологии. Если Е обращается в нуль
на границе борелевского множества от, то Еп (от) —> Е (о) в сильной
операторной топологии.
8. Упражнения
1. Доказать, что оператор в $ положителен тогда и только
тогда, когда его можно представить в виде ТТ*.
2. Если коммутативная В*-алгебра операторов на $ не имеет
нетривиальных инвариантных подпространств, то пространство $
одномерно.
3. Если слабо замкнутая В*-алгебра 31 операторов на $ не имеет
нетривиальных инвариантных подпространств, то 21 =-£(.§). (Указа-
ние: воспользоваться второй теоремой § IX.5.)
4. Пусть 21 является В*-алгеброй операторов в конечномерном
гильбертовом пространстве Показать, что $ единственным
80 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
образом разлагается в прямую сумму $ = @ @ $Qn инва-
риантных ортогональных подпространств не содержащих мень-
ших нетривиальных инвариантных подпространств.
5. Пусть Т — нормальный оператор в гильбертовом простран-
стве. Показать, что оператор Т вполне непрерывен тогда и только
тогда, когда
(а) а(Т) представляет собой счетное множество {Хд};
(b) а (Г) не имеет предельных точек, за исключением, быть
может, 0;
(с) если ХЛ=И=0, то оператор Е (кп) конечномерен (т. е. ото-
бражает й на конечномерное подпространство).
6. Из положительного оператора можно единственным образом
извлечь положительный квадратный корень.
7. Произведение двух положительных коммутирующих опера-
торов является положительным оператором.
8. Показать, что если оператор N нормален, то замыкание
множества значений, принимаемых квадратичной формой (Nx, х)
при | х | ~ 1, представляет собой наименьшее замкнутое выпуклое
множество, содержащее
9. Пусть ЭД — коммутативная В*-алгебра операторов в конечно-
мерном гильбертовом пространстве $&. Показать, что в $ суще-
ствует ортонормальный базис, каждый элемент которого является
собственным вектором для любого
10. Положительный оператор Т обладает ограниченным обрат-
ным тогда и только тогда, когда для некоторого е>0 оператор
T—&I является положительно определенным.
И. Ограниченный оператор Т обладает ограниченным обрат-
ным тогда и только тогда, когда для некоторого в>0 оба. опера-
тора ТТ*—&1 и Т*Т—ъ1 являются положительно определенными.
12. Нормальный проектор самосопряжен. Если и £2 —само-
сопряженные проекторы, то справедливость неравенства Ei>E2
в смысле § 4 равносильна его справедливости в смысле опреде-
ления VI.3.4.
13. Если N — нормальный оператор в и Е — его спектраль-
ное разложение, то Е содержится в слабом замыкании В*-алгебры,
порожденной операторами N и N* (т. е. для любого борелевского
множества о комплексной плоскости оператор Е (а) принадлежит
этому замыканию).
14. Слабо замкнутая В*-алгебра 21 порождается содержащи-
мися в ней самосопряженными проекторами.
15. Обозначим через Р прямое произведение счетного числа
экземпляров комплексной плоскости, и пусть / — единичный интер-
вал. Показать, что существует такое взаимно однозначное ото-
бражение h пространства Р на /, что h (е) является борелевским
множеством тогда и только тогда, когда е — борелевское множе-
8. Упражнения
81
ство. (Указание: воспользоваться десятичным представлением
вещественных чисел.)
16. Пусть Ni, N2, ...—счетная последовательность нормаль-
ных операторов в коммутирующих между собой. Показать,
что существует единственный эрмитов оператор Т, для которого
каждый из операторов Nk является борелевской функцией от Т.
(Указание: воспользоваться теоремой 2.1 и упражнением 15.)
17. Показать, что для операторов А, В и С в гильбертовом
пространстве
(а) и В^А влечет Л =
(Ь) ЛСВ и ВеС влечет ЛеС;
(с) И BieB2 влечет Ar + + В2;
(d) ЛеВ и а>0 влечет аЛе«В;
(е) ЛеВ влечет —Be—Л;
(f) если оператор Л эрмитов, то существуют такие числа m
и Л4, что mlеЛеА1/.
18. Показать, что если операторы Л и В коммутируют, то
из ОеЛеВ следует Л2еВ2, но это не верно, если не предпо-
лагать перестановочности Л и В1).
19. Если Т — положительный оператор в то
\(Тх, у) |2<(7х, х)(Ту, у).
20. Равномерно ограниченная обобщенная последовательность
положительных операторов Та в стремится к нулю в сильной
операторной топологии тогда и только тогда, когда Та —> 0
в слабой операторной топологии, или, что то же, когда (Тах, х)—>0
для любого х£& (Указание: воспользоваться упражнением 19.)
21. Если Та — равномерно ограниченная обобщенная последо-
вательность операторов в и если влечет то
существует сильный предел (Указание: воспользоваться
а
упражнением 20.)
22. Пусть 7\ и Т2 — вполне непрерывные эрмитовы операторы.
Пусть %2, ...—последовательность положительных собствен-
ных значений оператора Л, расположенных в порядке убывания,
причем каждое из них повторяется столько раз, какова его
кратность; пусть рч, р2, ... и v2, ...—аналогичные последо-
вательности для операторов Т2 и 7\-^Т2. Тогда
(a) Vfe+f-iCpfe + Xb
(b) |vA-^|^|T2|.
23. Показать, что последовательность Х2, ... положитель-
ных собственных значений вполне непрерывного эрмитова опера-
г) Однако 0<Л<В влечет при а<1.— Прим. ред.
6 Заказ Ns 134
82 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
тора Т, расположенных в порядке убывания и повторенных в соот-
ветствии с их кратностями, можно получить по формуле
* . (Тх, х)
лп -- max min ,
хеёп (х’х)
где —произвольное л-мерное подпространство в
24. Рассмотреть в гильбертовом пространстве всех измеримых
и интегрируемых с квадратом по Лебегу функций на отрезке [0,1]
интегральные операторы с ядрами
Ki(x, = i sgn(x-y), К2(х, у) = \х — у\
и вычислить их собственные значения и собственные функции.
25. Показать, что ограниченный оператор Т в гильбертовом
пространстве вполне непрерывен тогда и только тогда, когда
выполняется одно из условий:
(а) Тхп —> 0 сильно, если хп —+ 0 слабо,
(Ь) (Тхп, Хп) —> 0, если хп — > 0 слабо.
(Указание: для доказательства достаточности условия (Ь) пока-
жите, что из него вытекает, что (Тхп, уп) —> 0, если последо-
вательности {x,J и {уп} слабо сходятся к нулю.)
9. Примечания и дополнения
Основные результаты этой главы, относящиеся к спектральной
теории эрмитовых операторов, восходят к работе Гильберта [1; IV].
Доказательства этих теорем даны также Ф. Риссом [20,6]; вклад
в эту область был сделан также многими другими авторами.
Мы отсылаем читателя к энциклопедическому обзору Хеллингера
и Теплица [3], относящемуся к раннему периоду развития теории
гильбертовых пространств, а также к трактату Уинтнера [1],
в котором изложение ведется в терминах бесконечных матриц;
в этих работах приведена обширная библиография. Около 1930 г.,
после периода относительного затишья, появились фундаменталь-
ные работы фон Неймана |7, 8, 2] и Стоуна [10,3], придавшие
спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве
современную форму. Книга Стоуна |3] содержит полное изложе-
ние спектральной теории в сепарабельном гильбертовом простран-
стве, что делает ее весьма ценной; в ней главным образом рас-
сматриваются неограниченные операторы. В книге Секефальви-
Надя 13|, как и в более новой книге Рисса и Секефальви-Надя [1],
дается краткое изложение теории для ограниченного и неограни-
ченного случаев. Халмош [6] рассматривает лишь ограниченные
операторы, но зато развивает теорию спектральных типов. Укажем
еще книги Ахиезера и Глазмана [1] и Кука [1], а также весьма
ясное изложение, данное Ионеску [1].
9, Примечания и дополнения 83
Поскольку имеется целый ряд доступных работ, освещающих
развитие спектральной теории в историческом аспекте, мы сделаем
лишь краткие замечания, относящиеся к результатам, приведен-
ным в тексте. Это даст нам возможность обсудить некоторые
важные и интересные поп рос hi, которые мы формально не рас-
сматривали.
Спектральная теорема, Спектральная теорема для ограничен-
ных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве
принадлежит Гильберту |Н IV|. Читателю следует также позна-
комиться с дока inтельствами Ф. Ригса |20, 6|, которые вполне
современны по духу. Было дано много других доказательств
спектральной теоремы для самосопряженных, унитарных и нор-
мальных операторов, как для ограниченных, так и для неограни-
ченных. Мы отсылаем читателя к монографиям Лхиезера и Глаз-
мана [1], Уинтнера [1], Люмиса [1], Рисса и Секефальви-Надя [1],
Секефальви-Надя [3], Стоуна [3] и Халмоша [6]. Кроме того, раз-
личные доказательства этой теоремы для ограниченных и неограни-
ченных операторов можно найти в следующих работах: Веккен [1],
Уинтнер [2], Иосида [11, 12; I], Иосида и Накаяма [1], Карле-
ман [1], Кодаира [2], Кристиан [1], Купер [1, 2], Купмен и Дуб [1],
Леньел [1], Леньел и Стоун [1], Лорх [5], Мак-Шейн [3],
Накано [7, 12, 13], фон Нейман [2, 7, 16, 22], Огасавара [7],
Реллих [3], Ф. Рисе [14], Рисе и Лорх [1], Смит [1], Стоун [7],
Тейхмюллер [2], Фридрихе [4], Хеллингер [1], Цудзи [1], Эбер-
лейн [5] и Эссер [1]. В книге Кука [1] воспроизводятся некоторые
из этих доказательств. См. также статью Фелла и Келли [1].
Фон Нейман [2; стр. 401] доказал, что коммутирующее семей-
ство нормальных операторов в сепарабельном гильбертовом про-
странстве допускает одновременное спектральное приведение.
Это же утверждение справедливо для счетной системы операторов
в произвольном гильбертовом пространстве (см. также Хаар
[2; стр. 781—790], Секефальви-Надь [3; стр. 66—69] и Рисе
и Секефальви-Надь [1; § 130, 131]). Первое изложение этого вопроса
для В*-алгебры операторов без ограничения счетности, как в тео-
реме 2.1, дано Данфордом [13], хотя слабо замкнутые алгебры
ранее рассмотрел Иосида [12; I], а аналогичные результаты для
абелевых колец операторов были получены Стоуном [7].
Систематическое употребление операторного исчисления
в форме, данной в теореме 1.1, введено фон Нейманом [18]
н Стоуном [3; гл. VI]; см. также Лорх [2, И].
Следующая теорема доказана, по существу, фон Нейманом
|2; стр. 393] и [18; стр. 213].
Теорема. Пусть А —ограниченный самосопряженный оператор
и сепарабельном гильбертовом пространстве, и пусть Т — ограни-
6*
84
Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
ченный оператор, который коммутирует со всеми операторами,
перестановочными с А. Тогда существует такая ограниченная
измеримая функция f, что Т = f (Л).
В явном виде эту теорему доказал Ф. Рисе [21]. Мимура [1]
упростил доказательство Рисса и распространил теорему на неогра-
ниченные операторы. Более элементарное доказательство дано
Секефальви-11адем [3; стр. 63—65] (см. также Рисе и Секефальви-
Надь [1; § 129], Накано [8, 9] и Веккен [2]). Эта теорема,
как установлено, не верна в несепарабельном случае, однако
Сигал [5; II, стр. 38] получил соответствующее ее распространение.
Обобщение этого результата на В-пространства было получено
Бейдом [3, 4]. Мы рассмотрим его в гл. XVII.
Спектр самосопряженного оператора. Теорема 4.3 представляет
собой один из многих способов вычисления собственных значений
вполне непрерывного самосопряженного оператора. Некоторые
дополнительные соображения см. у Рисса и Секефальви-Надя
[1; § 95, 96|. За более развернутым изложением методов Рэлея —
Ритца, Вайнштейна и многих других читатель может обратиться
к книге Коллаца |1|. Этой проблеме посвящен ряд недавних
работ, выполненных Ароншайном и его сотрудниками; см., напри-
мер, Ароншайн |3, 4|, где можно найти дальнейшие ссылки.
Леньел и Стоун [ 11 показали, что если оператор Т является
самосопряженным, то верхняя (нижняя) грань множества
{(Тх, х) 11 х | = 1} достигается тогда и только тогда, когда она
является собственным значением оператора Т.
Иногда бывает удобно воспользоваться тем обстоятельством,
что если оператор Т нормален, то X тогда и только тогда при-
надлежит его спектру о (Г), когда для любого 8>0 найдется
такой вектор х О, что \Тх — Хх | < е | х |. Доказательство
см. у Халмоша |6; стр. 51]. По поводу некоторых результатов
и библиографии, относящейся к спектру, в частности вполне
непрерывных операторов, мы отсылаем читателя к работам Рисса
и Секефальви-Надя [1; § 133, 134] и Цзяна [1].
Ссылки на классическую литературу по этому вопросу
см. у Холлингера и Теплица [3; § 32—35].
Спектральное представление и теория спектральных типов.
Результаты § 5 тесно связаны с теорией спектральных типов,
изучавшейся Хеллингером [1] и Ханом [5]. Более новое изложение
см. у Стоуна [3; гл. 7] и фон Неймана [15] для случая сепара-
бельного гильбертова пространства и у Халмоша [6] для общего
9. Примечания и дополнения 85
случая. Халмош интересуется кратностью спектральной меры, и его
результаты обобщают работы Накано [10, 11], Плеснера и Рох-
лина [1] и Веккена [2]. В книге Ахиезера и Глазмана [1; §§ 69—73]
рассматривается также случай неограниченных операторов.
Пусть Т—самосопряженный оператор, и пусть 21 (Т)— кольцо
всех ограниченных операторов, коммутирующих с Т. Иосида [3]
показал, что операторы Tt и Т2 унитарно эквивалентны тогда
и только тогда, когда между 21 (Л) и 21 (Т2) существует ^изо-
морфизм, переводящий в Т2.
Другие формулировки теории спектральных типов, связанные
с алгебрами операторов в гильбертовом пространстве, были даны
Сигалом [5; II] и Келли [6]. Мы приведем теорему Сигала, которая
часто может заменить спектральную теорему.
Теорема. Максимальная симметричная абелева алгебра огра-
ниченных операторов в гильбертовом пространстве унитарно
эквивалентна алгебре всех операторов умножения на ограничен-
ные измеримые функции в пространстве Ь2 на некотором прост-
ранстве с мерой.
Вычисление разложения единицы. Формула теоремы 6.1 при-
надлежит, по существу, Стильтьесу [1; стр. 72—75] и служит
основным инструментом в работе Хеллингера [1]; См. также
Стоун [3; стр. 183] и статьи Леньела [1] и Купмена и Дуба [1].
Теория возмущений. Литература по теории возмущений была
уже указана в § VII. 11. Результаты § 7 принадлежат в основ-
ном Реллиху [2; II]. См. также Рисе и Секефальви-Надь
[1, § 134—136]х).
Инвариантные подпространства. Если Т — оператор в В-про-
странстве ЭЕ, а ЗЛ — отличное от {0} и всего ЭЕ замкнутое линей-
ное подпространство, для которого ТЗЛ ЗЛ, то ЗЛ называется
(нетривиальным) инвариантным подпространством пространства ЭЕ
относительно Т. Если ЭЕ гильбертово, а ЗЛ и его ортогональное
дополнение ЭЕ03Л являются инвариантными подпространствами
в ЭЕ относительно Т, то говорят, что подпространство ЗЛ приводит
оператор Т. Легко видеть, что нетривиальное подпространство
гильбертова пространства может быть инвариантным подпро-
странством для оператора, но не приводить его. В действитель-
ности оператор может иметь много нетривиальных инвариантных
подпространств, но ни одного нетривиального приводящего (эле-
ментарный пример см. у Халмоша [6; стр. 40]).
х) Интересные приложения этой теории можно найти в книге В. П. Мас-
лова [1*].—Прим. ред.
86 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Спектральная теорема гарантирует, что нормальный оператор
(отличный от нулевого и тождественного) приводится по крайней
мере одним нетривиальным подпространством. Для операторов,
не являющихся нормальными, это далеко не ясно, и потому зна-
чительный интерес представляет отыскание нетривиальных инва-
риантных подпространств для заданного оператора. Неизвестно,
обладает ли каждый оператор, отличный от нулевого и тождест-
венного, нетривиальным инвариантным подпространством. Из тео-
ремы VII.3.10 легко следует, что если Т — ограниченный линейный
оператор в В-пространстве ЗЕ и если о(Т) содержит по крайней
мере две компоненты связности, то Т обладает инвариантным
подпространством. Ароншайн и Смит [1] показали, что любой
вполне непрерывный оператор имеет инвариантное подпростран-
ство, даже если о»(Т) = {0}. Из одной теоремы Годмана [1; стр. 136]
следует, что инвариантным подпространством обладает изометриче-
ский линейный оператор, отображающий В-пространство ЗЕ на себя.
Если Т QВ (ЗЕ) и | Тп | < А, п = 0, ± 1, ±2, ..., то ЭЕ можно пере-
нормировать таким образом, что оператор 7 станет изометрическим;
поэтому Тобладает инвариантным подпространством. Уэрмер [1]
показал, что если | Тп | = О (е'па) для некоторого а, 0<а<1,
и если о (Т) содержит по крайней мере две точки, то Т имеет
инвариантное подпространство. Он также доказал, что то же
справедливо, если | Тп | = О( | n\k) для некоторого k (см. Уэрмер [2]).
Уэрмер [4; стр. 275] доказал, что если Т—нормальный опера-
тор, а о (7) не имеет внутренних точек и не разделяет плоскость,
то каждое замкнутое инвариантное относительно Т подпрост-
ранство инвариантно также относительно Т* и потому при-
водит оператор Т. В его статье рассматривается также следую-
щая задача. Допустим, что множество собственных векторов
оператора Т из В (ЭЕ) фундаментально в ЗЕ. При каких условиях
можно утверждать, что всякое замкнутое инвариантное относи-
тельно Т подпространство ЗЛ порождается содержащимися в нем
собственными векторами? Эта задача относится к проблеме
спектрального синтеза, которую мы обсудим в § XI.4. Аналогич-
ная задача изучалась Берлингом [4], которому удалось описать
все замкнутые инвариантные подпространства для оператора
умножения на z в гильбертовом пространстве функций, аналити-
ческих при | z | < 1.
Сужение оператора. Пусть ЗЛ —замкнутое подпространство
гильбертова пространства Легко видеть, что если ЭЛ служит
инвариантным подпространством самосопряженного оператора Т,
то сужение оператора Т на ЭЛ является самосопряженным операто-
ром в гильбертовом пространстве ЭЛ. Для нормальных операторов
9. Примечания и дополнения
87
ситуация радикально меняется. Например, если 3) = L2 на окруж-
ности | z | = 1, а ЭЛ — подпространство, представляющее собой
замыкание в Q множества функций, аналитических в круге
|z|<l и непрерывных при | 1, то оператор умножения на z
нормален в но не в ЭЛ, поскольку оператор, сопряженный
к Т в ЭЛ, задается соотношением1)
(T7)(z) = 2-1(/(2)-f(O)), /СЗЛ.
Теорема Уэрмера [4], цитированная в предыдущем абзаце, дает
условия, при которых сужение нормального оператора на любое
инвариантное подпространство снова является нормальным опе-
ратором. Уэрмер [5] изучал сужение оператора Т на подпро-
странство ЭЛ, не инвариантное относительно Т"1, но такое, что
для некоторого х£ЭЛ множество векторов Тпх, п = 0, 1, 2, ...,
фундаментально в’ЭЛ. В этом случае сужение оператора Т на ЭЛ
допускает представление в виде оператора умножения на г в про-
странстве аналитических функций.
Халмош, Люмер и Шеффер [1] доказали, что сужение нор-
мального оператора может обладать обратным оператором,
но не допускать извлечения квадратного корня (см. также Халмош
и Люмер [1]).
Продолжение оператора. Из предыдущего пункта следует,
что важно знать, когда можно продолжить (в некотором смысле)
данный оператор А в гильбертовом пространстве 3? до оператора В
в гильбертовом пространстве Й, содержащем ф, таким образом,
чтобы В обладал свойствами, которыми А не обладает.
Одно из возможных определений продолжения таково: если
гильбертово пространство St содержит 3? и если Р — самосопряжен-
ный проектор St на 3?, то оператор В называется продолжением
оператора А, если АР^РВР. Халмош [1] доказал, что каждый
ограниченный оператор А в гильбертовом пространстве 3? допускает
продолжение В на 3?©3?> причем если И —оператор сжатия
(т. е. | А | 1), то оператор В можно выбрать так, чтобы он был
унитарным. Далее, как подметил Майкл, если А — положительный
оператор в 35 и |Л|< 1, то в §©35 существует самосопряжен-
ный проектор, являющийся продолжением оператора А. Из этого
результата вытекает ряд интересных следствий; например, если
35—бесконечномерное гильбертово пространство, то замыкание
х) Функции из продолжаются по формуле Коши внутрь круга | z | < 1,
и потому имеет смысл говорить об их значениях во внутренних точках
круга. —Прим.' перев.
88 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
в слабой операторной топологии множества всех унитарных опе-
раторов совпадает с множеством всех сжатий, а замыкание мно-
жества всех самосопряженных проекторов совпадает с множеством
всех положительных сжатий.
Следующая теорема, принадлежащая Секефальви-Надю [8, 10],
является важным обобщением одного из цитированных выше
результатовх).
Теорема. Если А —оператор сжатия, определенный на гиль-
бертовом пространстве то существуют такое гильбертово
пространство SV о $ и такой унитарный оператор U, действую-
щий в SV, что если Р — самосопряженный проектор й на Sq,
то А”Р r PUnP, п= 1, 2, .... Кроме того, Й может быть выбрано
минимальным в том смысле, что оно порождается элементами
{Ullx\xQ^, k = 0; ±1; ±2; ...}, причем в этом случае й и U
определяются однозначно с точностью до унитарной эквива-
лентности.
Весьма элементарное доказательство этой теоремы, исключая
условие минимальности, было дано Шеффером [I]. Распространение
на случай В-пространств дано Секефальви-Надем [10; стр. 114],
а аналогичные результаты для полугрупп сжатий можно найти
у Секефальви-Надя [8, 10] (см. также Купер [3]). Первоначальное
доказательство Секефальви-Надя опирается на следующую тео-
рему, принадлежащую Наймарку [3].
Теорема. Пусть S — абстрактное множество и % —алгебра
(соответственно о-алгебра) подмножеств в S. Пусть F — адди-
тивная (соответственно слабо счетно аддитивная) функция на 2
со значениями в множестве положительных операторов на гиль-
бертовом пространстве Iq, удовлетворяющая условиям F (0) = 0
и F (S) I. Тогда существуют такое гильбертово пространство
$ и такая аддитивная (соответственно слабо счетно адди-
тивная) функция Е на 2 со значениями в множестве самосопря-
женных проекторов из В($1‘), что если Р— самосопряженный
проектор SI на то F (е) Р РЕ(е) Р для всех е£%.
Подробное обсуждение этих важных результатов и общую
теорему, объединяющую их, см. у Секефальви-Надя [11].
Из работы Секефальви-Надя вытекает, что если А — оператор
сжатия в гильбертовом пространстве & то существует сильно
счетно аддитивная функция F, определенная на борелевских
подмножествах окружности |z| = 1, принимающая значения в мно-
1) Более общая теорема еще ранее была доказана И. М. Гельфан-
дом [6].— Прим. ред.
9. Примечания и дополнения
89
жестве положительных операторов на $ и такая, что
2Л
А(п) = J eineF(d&),
о
где А(п) = Ап, если п>0, и Л(п) = Л*|п|, если п<0. Шрейбер [1]
воспользовался этим представлением, чтобы построить операторное
исчисление для функций, являющихся граничными значениями
ограниченных функций, аналитических при |г|<1.
Расширение оператора. Пусть Л —оператор в гильбертовом
пространстве £>. Интересно найти условия, при которых опера-
тор А допускает нормальное расширение на некоторое гильбертово
пространство $ т. е. условия, при которых в $ существует
такой нормальный оператор В, что если Р — самосопряженный
проектор $ на £), то АР = ВР. Брем [1], отправляясь от работы
Халмоша [1], исчерпывающе исследовал такие операторы и назвал
их субнормальными. В противоположность продолжению, нормаль-
ным расширением обладает не каждый оператор (ср. Халмош [1; стр.
133]). Следующий результат, принадлежащий Брему, представляет
собой улучшение теоремы Халмоша (см. Секефальви-Надь [11;
стр. 18]).
Теорема. Для того чтобы ограниченный линейный оператор А
в гильбертовом пространстве $ допускал нормальное расширение,
необходимо и достаточно, чтобы для любого конечного набора
элементов х0, xlf ..., хТ из $ выполнялось неравенство
3 (Лпхт,
т, п=0
Если это условие выполнено, то минимальное нормальное рас-
ширение единственно с точностью до унитарной эквивалентности.
Другой критерий был дан Бремом в работе [1; стр. 79], где
исследуется связь между спектрами оператора А и его минималь-
ного нормального расширения и другие вопросы. Соотношения
между спектрами рассматривал также Халмош [9].
Спектральные множества Неймана. Фон Нейман [3] называет
замкнутое множество S комплексной сферы спектральным мно-
жеством ограниченного линейного оператора Т в гильбертовом
пространстве, если для любой рациональной функции f, для которой
|/(<г)|<1 при всех z£S, существует f (Т) и |/(Т)|<1. Понятно,
что если S —спектральное множество, то (J(P)^S, и что если
оператор Т нормален, то о (Т) является спектральным множеством
в этом смысле. Представляет интерес следующая теорема.
90 Гл. X. Ограниченные нормальные операторы
Теорема. Если | Т | < 1, а функция f аналитична в области,
содержащей круг | z | < 1, и | [ (z) | < 1 при | z | < 1, то | f (Т) | < 1.
Отсюда следует, что круг | z | < 1 является спектральным мно-
жеством оператора Т тогда и только тогда, когда |Т|<1. Эта
теорема была впервые доказана фон Нейманом [3; стр. 269];
другое доказательство было дано Гайнцем [2]; особенно простое
доказательство принадлежит Секефальви-Надю [8, 11; стр. 15].
Доказано, что оператор Т нормален тогда и только тогда, когда
о (Г) является спектральным множеством (ср. фон Нейман [3;
стр. 2801), и что Т самосопряжен (соответственно унитарен) тогда
и только тогда, когда некоторое ограниченное подмножество веще-
ственной оси (соответственно подмножество единичной окружности)
является спектральным множеством. По поводу доказательств этих
утверждений и некоторых дополнительных результатов см. фон
Нейман [3] или Рисе и Секефальви-Надъ [1; § 152 — 155].
Квадратный корень оператора. Говорят, что оператор В
является квадратным корнем оператора А, если В2 = А. Простым
следствием спектральной теоремы является тот факт, что всякий
положительный самосопряженный оператор в гильбертовом про-
странстве обладает положительным самосопряженным квадратным
корнем. Доказательство, не использующее спектральную теорему,
можно найти у Виссера |2], Век йена |1] или у Рисса и Секефальви-
Надя |1; стр. 285|. Халмош, Люмер и Шеффер |1] показали, что
существуют обратимые операторы в гильбертовом пространстве,
не имеющие квадратного корня; на самом деле Халмош и Люмер [1]
доказали, что операторы, из которых можно извлечь квадратный
корень, не образуют среди операторов, обладающих обратным,
даже плотного множества (относительно равномерной топологии).
Аналогичный результат имеется у Шеффера [2]. Жюлиа [1 — 4]
детально исследовал совокупность всех самосопряженных квад-
ратных корней данного положительного оператора как в огра-
ниченном, так н в неограниченном случаях. Распространение
на случай корней //-й степени и иесамосонряженные квадратные
корни рассмотрены Жюлна в работах [5, 6].
Перестановочность операторов. Тривиально доказывается, что
если Л и В — коммутирующие самосопряженные операторы в гиль-
бертовом пространстве, то оператор АВ тоже самосопряжен. Было
отмечено (см. упражнение Х.8. 7), что если А и В —коммутирующие
положительные операторы, то оператор АВ тоже положителен.
Если А — нормальный оператор, а В —оператор, коммутирующий
с Л, то В коммутирует с А*. Это было высказано фон Нейманом и
доказано Фуглидом [1] и Халмошем [3, 6; стр. 68]. Отсюда следует,
9. Примечания и дополнения 91
что если А и В — коммутирующие нормальные операторы, то опе-
ратор АВ нормален.
Браун [1] показал, что если каждый из операторов Т и Т*-
коммутирует с ТТ*, то оператор Т нормален, а Путнам [3] доказал,
что Т нормален, если он коммутирует с ТТ* — Т*Т.
Обобщая результат Фуглида [1], Путнам [1] показал, что если
операторы А и В нормальны, а Т—такой обратимый оператор,
что А = TBT-l, то существует такой унитарный оператор [/, что
A = UBU*.
Довольно неожиданным является то, что из нормальности
операторов А, В и АВ не следует, что оператор ВА нормален
(см. Капланский [6]). Однако, развивая некоторые исследования
Вигмана [1], Капланский получил условия, при которых это верно
(например, если в дополнение к сделанным предположениям хотя
бы один из операторов А, В вполне непрерывен, то оператор В А
нормален). Отметим еще, что если операторы А и АВ нормальны,
то оператор ВА нормален тогда и только тогда, когда В коммути-
рует с А*А.
Если заданы два оператора Л и В, то величина их коммута-
тора АВ —В А является мерой того, насколько эти операторы
не коммутируют. Уинтнер [3] показал, что если А и В —ограни-
ченные самосопряженные операторы, то их коммутатор не может
быть ненулевым кратным единичного оператора, а Путнам [2]
заметил, что метод Уинтнера не требует самосопряженности.
Виландт [2] получил более сильный результат, применимый
к В-алгебрам. Халмош [10; II] (см. также Шеффер [2]) доказал,
что если А коммутирует с АВ — В А, то АВ — В А является дву-
сторонним топологическим делителем нуля. По аналогии с теоремой
Джекобсона Капланский высказал предположение, что если Л ком-
мутирует с АВ — В А, то последний оператор квазинильпотентен,
а Путнам [3] доказал это в предположении, что и В тоже комму-
тирует с АВ — В А. Видав [1] дал другое доказательство результата
Путнама, справедливое в любой В-алгебре. Несколько более
сильный результат был получен Сингером и Уэрмером [1], которые
доказали, что если А и В —ограниченные операторы в В-простран-
стве, то оператор АВ— ВА квазинильпотентен, если он содержится
в равномерно замкнутой алгебре, порожденной операторами Ли I.
Полярное разложение. Полярное разложение, или каноническая
факторизация, особенно важно для неограниченных операторов
и будет изучено в § XII.7. Однако достаточный интерес оно пред-
ставляет также в рассмотренном здесь случае ограниченных опера-
торов. Оператор U в гильбертовом пространстве называется
частичной изометрией с начальной областью определения ЗЛ, если
j Ux j = | x | при х^ЗЛ и Ux=--Q при х £$©ЗЛ.
92 Гл. X'. Ограниченные нормальные операторы
Теорема. Каждое ограниченное линейное преобразование Т
в гильбертовом пространстве может быть представлено в форме
UP, где U--частичная изометрия, а Р — положительный опера-
тор. Если оператор Т нормален, то оператор U можно выбрать
так, чтобы он был унитарным и чтобы операторы U и Р ком-
мутировали между собой и с каждым оператором, коммутирующим
с Т и Т*.
Элементарное доказательство см. у Рисса и Секефальви-Надя
[1; § 110]. Вообще говоря, U и Р не коммутируют, но Браун [Ц
изучил операторы Т, для которых U и Р коммутируют, и доказал,
что для этого необходимо и достаточно, чтобы оператор Т ком-
мутировал с Т*Т. Понятно, что такой оператор Т может быть
разложен в прямую сумму нормального оператора и оператора
обобщенного сдвига.
Неравенство Гайнца. Если А и В —положительные ограничен-
ные операторы, a Q--такой ограниченный ' линейный оператор
в гильбертовом пространстве что | Qx |<| Ах | и | Q*x || Вх J
для всех х из то для каждого вещественного числа а, 0^а< 1,
и для всех х, у из $ справедливо неравенство | (Qx, у) | <
| А{1х 11 В1 "у |. Это —принадлежащее Като [5] усиление неравен-
ства, доказанного Гайпцсм [1]. Като и Гайнц показали, что это
неравенство остается в силе и для неограниченных операторов.
Другое доказательство, основанное на теореме Рисса о выпуклости
и пригодное для полилинейных форм, было дано Диксмье [6].
Недавно Гайнц [4] дал короткое и элегантное доказательство это-
го результата.
Симметризуемые и нормализуемые операторы. Может слу-
читься, что оператор Т не является симметричным (или нормаль-
ным), но для некоторого нетривиального оператора Л один из опе-
раторов /17” или ТЛ оказывается симметричным (или нормальным).
В этом случае иногда удастся получить важную информацию
относительно спектральной природы оператора Т. Такие операторы
естественно возникают при изучении интегральных уравнений
(ср. Хеллппгер и Теплиц (3; § 38]). Интегральные операторы,
а также и абстрактные операторы указанного типа были в значи-
тельной степени изучены, особенно в случае их полной непрерыв-
ности. По поводу этой теории мы отсылаем читателя к книге
Заанепа [5; гл. 12] и статьям Заанена [3, 7, 8], Рида [1, 2], Уил-
кинза [1] и Циммерберга [1, 2]. Особое внимание уделяется воз-
можности разложения по собственным функциям.
ГЛАВА XI
Различные приложения
Эта глава посвящена приложениям спектральной теории нор-
мальных операторов к задачам, относящимся к ряду различных
областей математики. Поскольку рассматриваемые здесь вопросы
лежат в стороне от основного русла наших интересов, мы не будем
стремиться к сколько-нибудь исчерпывающему их изложению.
Однако вследствие глубины и силы общей спектральной теории
оказывается возможным не только дать удовлетворительное построе-
ние их основ, но и изложить их главные результаты; это мы
и попытаемся сделать. К исследуемым в этой главе вопросам
относятся: теория групп и теорема Петера —Вейля; теория почти
периодических функций Гарольда Бора; преобразование Фурье,
свертки и теория Планшереля в L2(G), где G —локально биком-
пактная абелева группа; теоремы Винера о замкнутости в Ц
и связанные с ними классические тауберовы теоремы; операторы
Гильберта —Шмидта и теория Фредгольма для них; преобразование
Гильберта и неравенство Кальдерона—Зигмунда.
1. Бикомпактные группы
Этот параграф посвящен изучению бикомпактных топологиче-
ских групп. Для таких групп при помощи одной из теорем о непод-
вижной точке из § V.10 доказывается существование меры Хаара
(теорема 1). Мера Хаара используется для получения основопола-
гающего результата Петера и Вейля, который в свою очередь
применяется для доказательства основного свойства непрерывных
характеров бикомпактной абелевой группы.
1. Теорема. Для любой бикомпактной топологической группы G
существует единственная неотрицательная регулярная счетно
аддитивная мера р, определенная на в-алгебре X борелевских
подмножеств в G, и такая, что р (G) = 1 и р (sE) = р (Е) для
каждого s из G и каждого Е из 2. Кроме того, р (Es) = р (Е)
и р(Е"х) = р(Е) для всех s из G и всех Е из 2.
94
Гл, XI. Различные приложения
Доказательство. Обозначим через С (G) банахово пространство
всех непрерывных вещественных функций на G, и пусть е — функ-
ция, тождественно равная 1. Пусть К — подмножество в C*(G)r
состоящее из всех таких функционалов х*, для которых х* (е) = 1
и х*(/)>0, если /(s)>0 для всех s из G. Ясно, что К выпукло
и замкнуто в С* (G) относительно С (О)-топологии. Если функция f
принадлежит единичному шару в C(G), то —e(s)<f(s)^.e(s)„
и потому -1 ^х*(/)< 1 при это показывает, что I х* | < 1
при х*£/(. Таким образом, К является выпуклым подмножеством
единичного шара в C*(G), замкнутым в С (О)-топологии. Из след-
ствия V.4.3 вытекает, что К бикомпактно в этой топологии.
Для каждого s из G определим в С (G) линейное отображение Ls
соотношением (Lsf) (/) = f (st). Ясно, что LsLt ~ Lst и Li = 1, где
1—единица группы G. Поскольку L*L* ~ (LsLt)* = L*t, семей-
ство {L*|s£G} представляет собой группу операторов в C*(G).
Очевидно также, что ЦК^К для любого s из G.
Покажем прежде всего, что группа {Lt\sQG} операторов в C*(G)
образует на множестве К равностепенно непрерывное (см. V.10.7)
относительно С (О)-топологии семейство. Для этого рассмотрим
в С* (G) окрестность нуля V, определенную положительным
числом е и функциями Д, ..., fn из C(G). Построим в С*(G)
такую окрестность нуля (7, что для каждой пары элементов х*г
у* из К, для которой х* — y*£U, вектор L*(x* — у*) при любом s
из G принадлежит V.
Конечное множество ..., fn компактно в С (G), и потому
в силу следствия IV.6.9 каждому положительному числу б соот-
ветствует такая окрестность единицы N в G, что для любой пары
элементов t, и из G, для которой u-1/ выполняется неравенство
/ = 1,
Предположим, что irHQN. Тогда для любого s из G элемент
(su)'1 (st) - и'Ч принадлежит А/, и потому
I (и) - (UJ (/) I I fj (Sil) - fj (st) I < 6, j = 1, ..., n.
Из следствия IV.6.9 вытекает, что замыкание множества {LJj\sQG>
/--1, компактно в C(G) и поэтому в силу теоремы 1.6.15
вполне ограничено. Следовательно, существуют в C(G) такие
функции gm, что каждый из элементов Lsfj удален менее
чем на е/4 от одного из элементов g^ gm. В качестве
окрестности нуля U в С* (G) возьмем окрестность, определенную
числом е/2 и функциями ..., gm. Если теперь х* и у* при-
надлежат К и х* —то, выбирая i подходящим образом
1. Бикомпактные группы
95
и учитывая, что | х* |,| у* |< 1, получаем, что
< I (х* - у*) (Lsfj - gi) | +1 (X* - у*) gi | <
<2|£8/ — £d + | (**-«/*)gi |<y + -J = 8
для любого s из G. Таким образом, как и утверждалось, семей-
ство {L*} равностепенно непрерывно на К.
Теперь можно применить теорему V.10.8, из которой следует
существование такой точки х*£К, что Цх*=^х* любого s
из G. Из теоремы Рисса о представлении линейных функциона-
лов (IV.6.3) вытекает, что на семействе 2 борелевских подмножеств
группы G существует однозначно определенная счетно аддитивная
регулярная мера р, для которой
x*(f)=^(s)n(dS), /CC(G).
G
Поскольку функционал х* положителен, то из теоремы Рисса сле-
дует, что мера р неотрицательна, а так как х*(е) = 1, то p(G) ^ 1.
Теперь если мера ps определена соотношением ps (Е) = р ($-1Е),
то, поскольку x* = x*Ls1 мы имеем
? /(/)Н(dt) = \ f(st)и(dt) =\f(t)(dt), fec(G).
G G G
Легко проверить, что мера ps регулярна, и, следовательно, теорема
Рисса и приведенное выше тождество показывают, что ps = p;
это доказывает первую часть теоремы (кроме утверждения о един-
ственности инвариантной меры, доказываемого ниже).
Аналогично предыдущему доказывается, что существует такая
неотрицательная регулярная счетно аддитивная функция множе-
ства v, определенная на 2, что v (G) = 1 и v(Es) = v(E) для каж-
дого Е из 2 и каждого s из G. Пусть Vi —какая-нибудь из таких
функций, и пусть р! — неотрицательная регулярная мера на 2,
причем p1(G)=l и pi (sE^ Pi (Е). Мы покажем, что pi^v^ этим
будет установлена единственность меры р и показано, что р (Es) =
= р(Е). Итак, рассмотрим какую-нибудь непрерывную на G ска-
лярную функцию f. Функция Ц, определенная на декартовом
произведении G х G равенством Д (s, t) = f (st), непрерывна и, сле-
довательно, измерима относительно Vt х Поскольку Pi(G)^
= (G) = 1, из теоремы Фубини (III. 11.9) следует, что
J f (t) р,! (dt) = J f (st) Ц, (dt) = J f (st) (dt)} Vi (ds) =
G G G G
= § {\ f(st)vi(ds)} yi(dt)= f (st) (ds) = f(s)v,(ds).
G G G G
96
Гл. XI. Различные приложения
Так как это справедливо для любой непрерывной функции f,
то из теоремы Рисса (IV.6.3) следует, что pi^Vp Наконец, чтобы
убедиться, что р (£)--р (£-1), рассмотрим меру Л, определенную
на 2 равенством Х(£) = р(£_1). Тогда X(G) —1, и K(sE) =
~ р (Е"1.?”1) — р (Е’1) - Л (£). Кроме того, поскольку отображение
s—>s”1 является гомеоморфизмом G на себя, мера X регулярна.
Поэтому из единственности р вытекает, что Л = р, ч. т. д.
2. Определение. Мера, существование и единственность которой
установлены в теореме 1, называется мерой Хаара на бикомпакт-
ной группе G.
Используя меру Хаара, мы покажем, что класс непрерывных
функций на G, являющихся конечномерными в смысле следую-
щего определения, образует фундаментальное множество в 0(G),
а также в L2(G, S, р).
3. Определение. Пусть / — комплекснозначная функция, опре-
деленная на группе G. Пусть для s£G функция fs определена
соотношением f* (/) f (ts). Функция fs называется сдвигом функ-
ции f на 5. Будем говорить, что функция f конечномерна, если
конечномерно комплексное векторное пространство функций,
порожденное множеством {fs\s£G} всех сдвигов функции f.
В доказательстве следующей теоремы используется спектраль-
ная теорема, и потому в качестве поля скаляров принимается
поле комплексных чисел.
4. Теорема (Петер — Вейль). Пусть G — бикомпактная топо-
логическая группа с о-алгеброй борелевских множеств 2 и мерой
Хаара р. Тогда множество комплексных непрерывных конечно-
мерных функций фундаментально и в C(G), и в L2(G, 2, р).
Доказательство. Пусть L2 = L2(G, 2, р), и пусть 91 — ортого-
нальное дополнение в Ь2 множества всех непрерывных конечно-
мерных функций. Мы докажем, что последнее множество всюду
плотно в Ь2, показав, что 5R ^{0}. Для этого достаточно дока-
зать, что произвольный элемент из ортогонален к любому
элементу множества C(G), всюду плотного в L2. Произвольный
элемент / из C(G) может быть записан в виде f = h-\-ig, где
£(*)=4[Г(^)-ть
Так как функции h и g удовлетворяют соотношениям h (s) = Л (s-1),
g(s) -^g(s~1), то достаточно показать, что всякая непрерывная
функция g, для которой g(s) = g(s"1), ортогональна к Л.
1. Бикомпактные группы
97
Доказательство этого утверждения опирается на некоторые
свойства линейного оператора Tg1 определенного в L2 равенством,
(Tgf) (s) = J g (sir1) f (U) jx (du), f € L2.
G
Так как g£C(G), то из следствия IV.6.9 вытекает, что для каж-
дого е>0 в G найдется такая окрестность единицы U, что если
st^fU, то |g(s) — g(0|<e. Пусть f принадлежит Л2 и имеет
норму и пусть st1 £ U. Тогда, поскольку (su"1) (/tr1)-1 = st-1
лежит в U, имеем
\(Tgf)(s) — (Tgf)(t)\ = \ J {g(su-1)-g(tu-1)}f(u)n(du)^
G
<е | J |/=(«)||x(d«)| <e | J |f(u)|2p(du)J-1/2<e.
G G
Ввиду следствия IV.6.9 это неравенство показывает, что Tg ото-
бражает единичный шар пространства Л2 в условно компактное
множество в C(G). Таким образом, оператор Tg, рассматриваемый
как отображение L2 в C(G), вполне непрерывен (см. VI.5.1)
и, a fortiori, он вполне непрерывен как отображение Л2 в L2.
Затем, используя свойство g(s) = можно убедиться, что
оператор Tg самосопряжен, ибо из теоремы Фубини следует, что
любая пара элементов f, h из L2 удовлетворяет соотношениям
(Л Tgh) = J f (s) g (st !)/i (t) |X (dt)\ p (ds) =
G G
= $ h (0 { J g (st'1) f (s) H (ds)J- p (dt) =
G G
= ^W){\g (is-1) f (s) p (ds)} p (dt) = (Tgf, h).
G G
По теореме X.3.5 существует полная ортонормальная система
{фа} собственных функций оператора Tg, а по VII.4.5 собствен-
ные функции, соответствующие собственному значению Х^=0,
образуют конечномерное пространство. Если Т^ср = Ахр, А,^0, то
g ф (u) Н = ^Ф ($), $ С G,
G
так что функция ф (s) непрерывна. Заменяя s на st и и на ut
7 Заказ № 134
98 Гл. XI. Различные приложения
и используя соотношение р(Е/) = р.(£), мы видим, что
g (su"1) ср (ut) pi (du) = Aq> (st),
о
т. е. любой сдвиг ф' собственной функции ф, соответствующей
собственному значению Л, также является собственной функцией
с собственным значением к. Таким образом, каждая собственная
функция оператора Tg, соответствующая ненулевому собственному
значению, является конечномерной непрерывной функцией. Сле-
довательно, % ортогонально к любой собственной функции опе-
ратора ТЙ, за исключением (быть может) собственных функций,
соответствующих Л. = 0. Из теоремы Х.3.4 следует, что всякий
элемент h из 91 можно представить в виде h = Z(h, фа)фа, где
суммирование производится по всем таким а, для которых Tg(pa = 0.
Таким образом, если h С 91, то Tgh — 0, т. е.
0 = \ g (su"1) h (и) р. (du) = \g (us"1) h (и) p (du),
a g
Если в этом равенстве s заменить на единичный элемент группы G,
то оно сведется к равенству (h, g) = 0, которое показывает, что
функция g ортогональна к 91. Итак, мы доказали, что конечно-
мерные непрерывные функции образуют фундаментальное множе-
ство в L2.
Осталось показать, что конечномерные непрерывные функции
всюду плотны в C(G). Предположим, что k — функция из C(G)
и что задано некоторое число е > 0. Как и выше, применяя след-
ствие IV.6.9, находим такую окрестность V единицы группы G,
что | k (s) — k (st)\ <e/2 для любых s из G и t из V. Так как ото-
бражение s —> s1 есть гомеоморфизм, то в G существует такая
окрестность единицы W, что W и W"1 содержатся в V; таким
образом, множество U = W U W"1 является окрестностью единицы
в G и обладает свойствами U = V и U = U"1. Поскольку биком-
пактное пространство нормально (1.5.9), из теоремы Урысона
(1.5.2) следует, что на G существует неотрицательная непрерыв-
ная функция h 0, которая па дополнении множества U обра-
щается в нуль. Эти свойства функции h сохраняются, если мы
пронормируем ее, потребовав, чтобы ее Ц (G, S, р)-норма | h рав-
нялась 1. Функция h', определенная соотношением h' (s) =
~[h(s) -|-/i(.s'‘1)]/2, обладает всеми перечисленными свойствами
функции/г и, кроме того, свойством h' (s) = h' (s"1). Итак, мы мо-
жем предположить, что h.(s) = h(s"1). Далее, С(0)-норма функ-
ции k — Thk выражается формулой
I k — Thk I — sup I k (s)— \ h (st"1) k (t) p (tft)| .
' Л 1
, 1. Бикомпактные группы 99
Заменяя t на ts, получаем
I k—Thk I = sup Ц Л (Г1) {k (S) - k (ts)} и (dt) | <
«€G I J ।
<sup h (/-1) | k (s) — k (/s)| (Л (d/)<
6£G J
< | \h (Г1) и (dt) = | h (t) p (dt) = 41 h к = f .
U U
Согласно первой части теоремы, существует такая линейная ком-
бинация g непрерывных конечномерных функций, что
Так как
\Thk — 7\g| = supl h(st-1){k(t) — g(t)}n(dt)\^.
SEG N I
^sup | J /i(s/-1)2p(d/)}1/2|fe — g|2<|/i|2|fc-g|2<-|-.
G
to \k — 7\gKe. Таким образом, для завершения доказательства
достаточно показать, что функция Thg является линейной комби-
нацией конечномерных непрерывных функций и потому сама
конечномерна. Мы уже отмечали, что функция Thg непрерывна,
поэтому осталось показать только, что она конечномерна, если
конечномерна функция g.
Так как
(Thg) (S) = J h (st-1) g (t) |Л (dt),
G
то, заменяя s на su и t на tu, получаем
(Thg) (su) = h (st-^g^u) p (dt);
G
это означает, что (Thg)u — Th(gu). Далее, если g\ ..., gUn обра-
зуют базис в пространстве сдвигов функции g, то для любого и
п
из G сдвиг gu можно представить в виде 2 и потому
г=1
(Thg)u=^uiTh(gui)=^ai(Thg)U1.
i= 1 i= 1
7*
100
Гл. XI. Различные приложения
Отсюда следует, что пространство сдвигов функции Thg конечно-
мерно. Таким образом, Thg — конечномерная функция, ч. т. д.
В случае бикомпактной абелевой группы теорема 4 может
быть до некоторой степени усилена.
5. Определение. Если G —абелева группа, то ее характером
называется комнлекспозначная функция х> определенная на G
и такая, что х(е) 1 и x(sO = X(s)X(O для всех s, t из G.
6. Теорема. Пусть G — бикомпактная абелева группа, 2 —
сг-алгсбра ее борелевских подмножеств, а р — мера Хаара на %.
Тогда множество непрерывных характеровг) фундаментально как
в C(G), так и в L2(G, 2, р).
Доказательство. В силу теоремы 4 достаточно доказать, что
каждая непрерывная конечномерная функция f является линей-
ной комбинацией непрерывных характеров. Для каждого s£G
определим на L2 оператор R* соотношением Rsg = gs. Поскольку
группа G абелева, легко видеть, что {7?s | s£G} представляет собой
коммутативное семейство унитарных операторов, определенных
на /<>. По предположению, подпространство 5, порожденное сдви-
гами функции /, конечномерно и инвариантно относительно каж-
дого из операторов Rs.
Пусть Д*| /-{0} —подпространство в инвариантное относи-
тельно каждого из операторов Rs и не содержащее меньших
нетривиальных инвариантных подпространств. Покажем, что тогда
подпространство Дч одномерно. Пусть s фиксировано, a Z(s) —
собственное значение оператора R8, рассматриваемого на прост-
ранстве Si. Пусть ® = Rsh = k(s)h}; тогда, поскольку
Rs(Rth) = k(s)(Rth), ясно, что инвариантно относительно
множества операторов {Rt}, а так как ^=^={0}, то отсюда следует,
что $ = ?\ч- Это означает, что в произвольный оператор Rs
кратен единичному оператору, а именно Rs = k(s) поэтому
размерность пространства ^ч должна быть равна 1, так как
в противном случае в имелись бы нетривиальные инвариант-
ные подпространства. Поскольку операторы Rs унитарны, они
оставляют инвариантным также подпространство ’ ЗЮ ftn и мы
можем, повторяя проведенные выше рассуждения, разложить $
х) Если Х( • ) — непрерывный характер бикомпактной абелевой группы б,
то |X(s)|-—1, s£G. Действительно, в этом случае X принадлежит L2 (б, 2, р)
и является для любого s£G собственной функцией унитарного оператора
сдвига Rs: g—> gs с собственным значением X(s), и потому | X (s)j = 1. Это
обстоятельство используется, в частности, при доказательстве леммы 2.3.
В случае небикомпактной абелевой группы требование | X («)[ = 1 обычно вклю-
чают в определение характера. —Прим, перев.
2. Почти периодические функции/0/
в прямую сумму 51® ... ф&г нетривиальных ортогональных
одномерных инвариантных подпространств. Кроме того, на каждом
из подпространств 5г каждый оператор Rs действует как умно-
жение на скаляр X, (s), т. е.
Отсюда следует, что если ft 0, то нигде не обращается в нуль,
и потому, подставляя в предыдущее равенство вместо t единицу е
группы G, мы видим, что функция Xi принадлежит 5* и потому
непрерывна и что = Кроме того, полагая
в том же равенстве еще и s = e, получаем, что Лг(е)=1. Таким
образом, К (s) — непрерывный характер группы G. Поскольку
одномерно, оно состоит из скалярных кратных характера Л/.
Итак, каждая функция из 5 (и, в частности, функция /) является
конечной линейной комбинацией непрерывных характеров группы
G, ч. т. д.
2. Почти периодические функции
Изложенная в предыдущем параграфе теория бикомпактных
групп имеет интересное и важное приложение к изучению прост-
ранства АР почти периодических функций на вещественной прямой
— оо, оо). В настоящем параграфе эта теория будет приме-
нена для доказательства основного результата Г. Бора о почти
периодических функциях. Ранее было показано (IV.7.6), что суще-
ствует такое бикомпактное хаусдорфово пространство S, что АР
изометрически *-изоморфно пространству С (S). В действитель-
ности R может быть вложено в S в качестве всюду плотного
подмножества, причем таким образом, что каждая функция f
из АР допускает единственное продолжение до функции fi
из C(S). Это вытекает из следствия IV.6.19 и замечания, состоя-
щего в том, что периодические (а значит, и почти периодические)
функции различают точки из R. Кроме того, соответствие f <——» f i
является изометрическим и алгебраическим изоморфизмом между
АР и C(S). Таким образом, АР можно рассматривать как семей-
ство сужений всевозможных функций из C(S) на всюду плотное
в S множество R.
Следующий шаг состоит в доказательстве того, что групповая
структура множества R может быть продолжена по непрерыв-
ности на S таким образом, что S становится бикомпактной абе-
левой топологической группой. Чтобы доказать это, мы восполь-
зуемся следующей леммой.
1. Лемма. Пусть f^AP и 8>0. Тогда найдутся такоечисло
«>0 и такое конечное множество функций hY, ..., hm из АР,
102
Гл, XL Различные приложения
что если х^ х2, у2 —какие-нибудь числа, для которых
[*] |М*1) — Л/(х2)|<6, \hi(yi)—hi(y2)\<.b
при 1—1, .... т, то
\f(x1+yl)—f(x2+y2)\<e.
Доказательство. Пусть В —множество всех функций g вида
g(x) = /(x+u), где — со < и < со. Тогда В содержится в некото-
ром бикомпактном подмножестве пространства АР (см. IV.7.2).
Следовательно (1.6.15), в АР существует такое конечное множе-
ство функций hi, ..., hm, что для каждой функции g из В най-
дется такая функция hi, что | g —-hi | <е/8. Предположим, что
соотношения [*] выполняются при S = е/4. Тогда для любой
функции g из В имеем
I g (Xi) — g(x2)\< I g (xt) — ht (xf)| +1 hi (Xi) — hl (x2)| +
-|-1 ht (x2) — g (x2)|
Аналогично |£'(z/i) — g'(«/2)|<e/2 для любой функции g' из В.
Возьмем теперь в качестве g и gf функции из В, определенные
соотношениями
Я(х) f(x\y^, g' (x) = f(x + x1), x£R.
Так как g(xi) = f (Xi y2) - g’ (y2), to
I f (Xi + У1) - f (X2 + z/2) КI g' (У1) - g' (z/2) I +
+ l£(*i)-g(*2)|<y + y = e,
что доказывает лемму.
2. Теорема. Прямая R может быть таким образом вло-
жена в качестве всюду плотной подгруппы в бикомпактную
абелеву топологическую группу S, что АР оказывается семейст-
вом сужений j\R на R всевозможных функций f из C(S). При
этом отображение f—>f\R является изометрическим ^-изомор-
физмом С (S) на АР, Группа S называется боровским бикомпакт-
ным расширением вещественной прямой.
Доказательство. Справедливость всех утверждений этой тео-
ремы, за исключением того, что S является абелевой типологи-
ческой группой относительно операции, совпадающей на R
со сложением, уже была установлена. Пусть и s2 —точки
из S; определим Si@s2. Обозначим через совокупность всех
окрестностей точки а через %2 —совокупность всех окрест-
2. Почти периодические функции
103
ностей точки s2. Положим для UtCUt, г = 1, 2,
W ((Л, и2) = (Ui(]R) + (U2[\R),
где сумма берется в R, а замыкание в S. Если ViQUi,
то W (t/1? U2) П W (Vj, V2) з W (Ui Г) U2 П V2), и потому семейство
множеств W = {W (t/1? U2) | Ui £ является центрированным,
т. e. обладает тем свойством, что любое конечное число входя-
щих в него множеств имеет непустое пересечение. Поскольку S
бикомпактно, множество Т (si, s2) = А не пусто. Покажем, что
Т (s1? s2) содержит только одну точку, которую мы и обозначим
S1 © s2-
Допустим, что Т (s15 s2) содержит две различные точки t2.
По теореме Урысона (1.5.2) в С (S) найдется такая неотрицатель-
ная функция /, что f (^) = 1, f(t2) = 0. Применяя лемму 1 к суже-
нию функции f на R, заключаем, что найдутся такие функции
hi, ..., hm из АР и такое число 6>0, что если для каких-нибудь
четырех вещественных чисел хь х2, ух, у2 при /== 1, ..., пг выпол-
няются неравенства | hi (%i) — hi (х2) | < 6 и | ht (i/i) — hi (у2) | < S,
то \f (%1 + z/i) — f (x2 + y2)\<Z 1/2. Каждая из функций ht имеет
единственное непрерывное продолжение на пространство S;
мы обозначим это продолжение той же самой буквой hi- Следо-
вательно, найдутся такие окрестности Ui и U2 точек Si и s2 соот-
ветственно, что | hi (sj — hi (s) | < 6/2 для каждого s из Ui
и I hi (s2) — hi (s) | < 6/2 для каждого s из U2 (/ = 1, m).
Выберем Xi, x2 в Ui(]R, a z/1? z/2 — b U2(]R. Тогда \hi(Xi)-~
— hi(x2)\<zd и \hi (z/i) — hi (y2) | <S при i = l, ..., tn, откуда
получаем, что | f (Xi + yj — f (x2 + y2) | < 1/2. Это показывает, что
если Ui, и2 принадлежат множеству (Ui A R) + (U2 A R), то | f (и^ —
— f (^2) I < 1/2. В силу непрерывности f мы можем утверждать,
что если Ui, и2 лежат в W (Ui, U2), то | f (щ) — f (и2) |< 1/2.
Так как U, t2 принадлежат W (6\, U2) при любом выборе Ui
и U2, то
что невозмо жно. Полученное противоречие доказывает, что
Г (sb s2) состо ит в точности из одной точки, которую мы обо-
значим Si©S2.
Ясно, что если Si и s2 принадлежат R, то s1©s2 = s1 + s2,
так что операция © представляет собой распространение опера-
ции сложения с R на все S. Для того чтобы доказать, что опе-
рация © непрерывна на S х S, рассмотрим какую-нибудь окрест-
ность V точки Si@s2. Если для любых Ui из и U2 из и2
множество W (Ui, U2) пересекается с дополнением V' окрестно-
сти V, то семейство множеств {V' A W (U{, U2) | Ut Q Ui} является
104 Гл. XI. Различные приложения
центрированным и поэтому имеет непустое пересечение, т. е.
V' А Т (sp s2) — V' А ( А №) =И= 0 • Выше мы видели, что Т (s1? s2)
содержит лишь единственную точку Si@s2, и потому сделанное
предположение приводит к противоречию. Таким образом, най-
дутся такие окрестности что W (U^ Я2)^1Л Если теперь
ut QUt, i = 1, 2, то
{щ © U2} = и2) — W7 1» U2),
следовательно, Ui@u2^V. Этим доказана непрерывность опера-
ции ©. Отсюда, из того что R всюду плотно в S и что опера-
ция © совпадает на R с обычным сложением, мы немедленно
заключаем, что s@0 = s, s1@s2^s2@s1 и si©(s2©s3) =
= (Si © s2) © s3.
Осталось показать, что для каждого s из S в S существует
обратный относительно операции © элемент. Рассмотрим ото-
бражение Я: АР—>АР, определенное соотношением (Hg) (х) —
— g( — x), X€R- Ясно, что Я является алгебраическим изомор-
физмом АР на себя, перестановочным с операцией перехода
к комплексно сопряженной функции, т. е. H(g)=Hg, g£AP.
Так как АР эквивалентно C(S), то отображение Я можно рас-
сматривать как оператор на C(S). По теореме IV.6.26 существует
такой гомеоморфизм h пространства S на себя, что (Hf)(s)=^
= f£C(S), s£S. В частности, если s£R, то h(s)=— s,
так что s@h(s) = 0 для всех s, принадлежащих всюду плотному
в S множеству R, а потому и для всех s из S. Следовательно,
h (s) является обратным к элементу $, и S представляет собой
топологическую группу, ч. т. д.
3. Лемма. Непрерывные характеры бикомпактной абелевой
группы S представляют собой продолжения на S функций вида
eiKx, x£R, где X — произвольное вещественное число.
Доказательство. Заметим прежде всего, что если функция %
имеет вид i{x) = eiKx, xQR, то, поскольку она периодична, она,
a fortiori, является почти периодической и допускает непрерыв-
ное продолжение на S. Кроме того, так как X (* + */) =
= Х(х)х(//) и X (0) = 1 Для всех x,y£R> то эти тождества
имеют место и для продолжения Хь итак, Xi является непрерыв-
ным характером группы S.
Обратно, если Xi — непрерывный характер группы S, то обо-
значим через % его сужение на R. Тогда х(0)==1, X (* + #)“
= ХЙХ({/), IxWI^K1) х, и функция х непрерывна на R.
См. сноску на стр. 100.—Прим, перев.
3, Алгебры со сверткой
105
Пусть число а > 0 таково, что | X (х) — 1 | < 1 при | х | < а, и пусть
X(a) = ei0, | 0 | < л/3. Так как X («) = [X (сс/2)]2, то х (а/2) = ег0/2,
и по индукции х (а/2п) = eiQ^n. Отсюда следует, что если г = 2~пт,
где т и п— целые числа, то %(ra)==eiQr. По непрерывности это
соотношение справедливо для всех вещественных чисел г. Полагая
Х = 0/а, имеем %(x) = eiKx, x£R, как и утверждалось.
Имея в своем распоряжении эти предварительные результаты,
мы в состоянии теперь доказать основную теорему относительно
почти периодических функций на прямой.
4. Теорема (Г. Бор). Непрерывная функция на прямой
R( — co, со) тогда и только тогда является почти периодиче-
ской, когда она может быть равномерно аппроксимирована конеч-
ными линейными комбинациями функций, принадлежащих семей-
ству {еа*|Х£7?}.
Доказательство. Так как АР является В-пространством (IV.7.5),
то ясно, что семейство функций, принадлежащих замкнутому
линейному многообразию, порожденному периодическими функ-
циями, содержится в АР. С другой стороны, было показано
(теорема 2), что АР изометрически изоморфно пространству С (S),
где S — бикомпактная абелева группа, а также (лемма 3), что
непрерывные характеры группы S имеют вид eiKx. По теореме 1.6
множество непрерывных характеров фундаментально в C(S); сле-
довательно, их сужения на R образуют фундаментальное множе-
ство в пространстве АР, ч. т. д.
Из существования изометрического изоморфизма между про-
странствами АР и С (S) и из теоремы Рисса о представлении
линейных функционалов (IV.6.3) мы можем вывести следующий
результат.
5. Теорема. Пространство АР* изометрически изоморфно про-
странству rca (S) всех регулярных счетно аддитивных мер, опре-
деленных на борелевских подмножествах боровского бикомпакт-
ного расширения S вещественной прямой R. Изоморфизм
> Hi С rca (S) задается формулой
f£AP,
s
где fi — однозначно определенное продолжение на пространство S
функции f из АР.
3. Алгебры со сверткой
В гл. IX мы видели, что некоторые функциональные простран-
ства являются В-алгебрами относительно поточечного умножения;
таким образом, теория таких алгебр может быть непосредственно
106 Гл. XI. Различные приложения
применена к этим пространствам. Однако если Li обозначает про-
странство функций на вещественной прямой ( —оо, оо), интегри-
руемых по Лебегу, то Ц не является В-алгеброй относительно
поточечного умножения. Имеет место важная и полезная теорема,
состоящая в том, что в пространстве можно определить
умножение так, что после присоединения единицы станет
В-алгсброй, к которой применимы результаты гл. IX. В качестве
«произведения» двух функций f и g из Ц мы возьмем их свертку
/•£, задав ее соотношением
оо
(f.g)(x) = J f(x — y)g(y)dy, — со<х<со.
— ОО
Мы увидим, что изучение алгебры Ц со сверткой в качестве
умножения тесно связано с преобразованием Фурье.
Вместо того чтобы ограничить наше рассмотрение случаем
аддитивной группы вещественных чисел, мы изучим общий слу-
чай локально бикомпактной абелевой группы, которую обозна-
чим R. Будем предполагать, что группа R является о-бикомпакт-
ной, т. г. представляет собой объединение счетного числа
бикомпактных множеств. Для каждой такой группы существует
неотрицательная счетно аддитивная мера, которая определена
на п-алгебре борелевских множеств 2, конечна на бикомпактных
множествах, положительна или бесконечна на открытых множе-
ствах, инвариантна относительно сдвигов, т. e. A(x-|-£‘) —Z(E)
для Е из 2 и х из R, и обладает свойством регулярности:
sup X (F) = Х (Е) = inf X (G) для Е из 2, где F пробегает всевоз-
можные замкнутые подмножества множества Е, a G — всевоз-
можные открытые множества, содержащие Е. Такая мера един-
ственна с точностью до положительного множителя и называется
мерой Хаара. В случае R = (—оо, оо) мера Хаара (после пере-
нормировки, если она необходима) совпадает с мерой Лебега;
для бикомпактной группы существование и единственность меры
Хаара были доказаны в теореме 1.1. Читатель, не знакомый
с мерой Хаара, может обратиться за справкой к примечаниям,
помещенным в § 11 под заголовком Алгебры со сверткой.
Оп может также при первом чтении считать, что R —-аддитивная
группа вещественных чисел. Однако читатель, который хорошо
знаком с теорией меры Хаара, естественно, заметит, что приве-
денные ниже доказательства без изменения применимы в общем
случае локально бикомпактной а-бикомпактной абелевой группы.
Мы обращаем внимание такого читателя на то, что, начиная
с доказательства леммы 3 и всюду далее в этом параграфе,
мы считаем, что группа R не дискретна. Дискретный случай
3. Алгебры со сверткой
107
может быть без всякого труда изучен отдельно; некоторые заме-
чания на этот счет имеются в примечаниях.
Итак, мы изучаем недискретную локально бикомпактную
и сг-бикомпактную абелеву группу 7?; при этом мы пользуемся
элементарными свойствами ее меры Хаара, хорошо известными
в случае меры Лебега на прямой. Если интегрирование произ-
водится по мере Хаара, что имеет место в большинстве случаев,
мы пишем dx вместо k(dx). Пространство LP(R, 2, X) будем
обозначать через LP(R).
Начнем изложение с формулировки и доказательства некото-
рых основных свойств свертки.
1. Лемма, (а) Функция f (х — у) является (кх ^-измеримой,
если к-из мерима функция f.
b) При f, gQLi(R) функция f(x — y)g(y) интегрируема по у
для почти всех х, а свертка f * g, определенная формулой
(f *g) W = J ta—y)g (У) dy,
R
принадлежит Lx (R) и удовлетворяет неравенству
I f * g li< I f 111 g li-
Линейное пространство Ц (R) co сверткой в качестве умножения
является коммутативной и ассоциативной алгеброй,
(с) Для f^mjR) и g£L2(R) свертка f(x — y)g(y)dy
R
существует для почти всех х и принадлежит L2(R), при-
чем | f * g |2< | f |i | g 1г- Произведение f *g линейно по каждому
из сомножителей и удовлетворяет равенству h*(f * g) = (h*f)* g
для h, f из Li(R) и g из L2(R). Если f^Li(R), то гильберто-
вым сопряженным оператором к ограниченному линейному опера-
тору g—>f*g в L2(R) является оператор g—>f*g, где 'f(x) =
= — .
(d) Если f^Li(R) и gQLoo(R), то интеграл, задающий
свертку f*g, существует для всех х и определяет функцию
из С (R) с нормой, не превосходящей | f |i | g [оо.
(е) Если функции fug принадлежат L2(R), то интеграл,
представляющий их свертку, существует для всех х и опреде-
ляет функцию из С (R) с нормой, не превосходящей | /121 ST |г-
(f) Если f£Lp, l^p<Zco, и если функция fy определена
соотношением fy(x) = f(x —у), xQR, то отображение y—*fy
группы R в пространство LP(JR) непрерывно.
108
Гл. XI. Различные приложения
Доказательство. Утверждение (а) было доказано в лемме
VIII.1.24 для случая, когда R — аддитивная группа вещественных
чисел. Общий случай будет рассмотрен в примечаниях в конце
главы.
Поскольку подинтегральное выражение в интеграле, опре-
деляющем свертку, измеримо, мы, применяя теорему Тонелли
(III. 11.14), видим, что
$ I/ (x-y)g(y)\d(xx у) =
RXR
- J \g(y)\ {5 \f(x-y)\dx}dy^--\f\i\g\^
R R
таким образом, функция f(x — у) g (у) является (Л х ^-интегри-
руемой. Тогда первое утверждение пункта (Ь) следует из теоремы;
Фубини (III. 11.9). Остальные утверждения этого пункта доказы-
ваются при помощи простой замены переменных; это доказатель-
ство мы здесь опустим, так как оно встречалось уже раньше
(см. лемму V111.1.25).
Докажем ([). Если 1<^р<оо, то из следствия III.3.8
и регулярности меры Л вытекает, что множество непрерывных
финитных функций (т. е. таких, которые обращаются в нуль
вне некоторого бикомпактного множества) плотно в LP(R). Пусть
f£Lp(R), и пусть /г —такая непрерывная финитная функция, что
|/ — k\p<&: Так как функция /г равномерно непрерывна, ТО’
| kz — ky Ip < если точка z достаточно близка к у. Следовательно,
I fz fy\p^=>\fz kz \р + I kz ky \p + I ky fy^^ Зв,
что и требовалось.
Утверждение (d) легко вывести из (f). В самом деле, посколь-
ку y—>fy является непрерывным отображением R в Li(/?), инте-
грал / (х - у) g (у) dy при g С L.x. (R) представляет собой непре-
рывную функцию от х 1) и
| j f(x — y)g(y)dy\^.\f\l\g\0O.
Пункт (е) доказывается аналогично.
х) Нужно воспользоваться вытекающей из предыдущего непрерывностью»
отображения х -> fx = f (х-— у).— Прим, перев.
3. Алгебры со сверткой
109
Чтобы доказать (с), допустим, что /C^i(^) и ё-> h£L2(R).
Из (е) вытекает, что интеграл
J |£(х—у)1Цх)\(1х
R
является непрерывной функцией от у и ограничен величиной
| g |21 h |2. Следовательно, по теореме Тонелли
\f(y)g(x—y)h(x)\d(xXy) =
RxR
т. е. двойной интеграл, стоящий в левой части, конечен. Тогда
в силу теоремы Фубини
I/1)1 = 1 $ { J f(x-y)g(y)dyj h.(x)dx\ =
R R
= | J {J f(y)g(x — y)dy^h(x)dx\^.\f\i\g\2\h\2
R R
для всех h из L2(R). Этим доказано, что f*g принадлежит L2(R)
и что |/*g|2<J |/11 | S’1г- Второе предложение пункта (с) следует
из соответствующего утверждения пункта (Ь) и того факта, что
Ц (R) П L2(R) всюду плотно в L2(R). Доказательство последнего
утверждения пункта (с) сводится к проверке того, что (/*g, h) =
= (g, 7*h), т. е.
J {\ f(x—y)g(y)dy} h(x)dx = J g(y) { J J(у — x)h (x)dxj dy.
R R R R
Но это равенство следует из теоремы Фубини, утверждающей,
что оба выписанных выше интеграла совпадают с двойным инте-
гралом
$ f(x-y)g(y)h(x)d(xxy),
RXR
в существовании которого мы уже убедились. Лемма доказана.
Из пунктов (Ь) и (е) леммы 1 вытекает следующее утверж-
дение.
2. Следствие. Линейное пространство Li(R) со сверткой
в качестве умножения удовлетворяет всем аксиомам коммута-
тивной В-алгебры, за исключением, быть может, одной, посту-
ИО Гл. XI. Различные приложения
лирующей существование единицы. Кроме того, унарное отобра-
жение f—>f алгебры в себя является инволюцией, т. е.
(f+g)=f+g< (fg)=g7,
(Th=vT 7=f-
В дальнейшем мы присоединим к алгебре Ц (R) единицу, пре-
вратив ее, таким образом, в коммутативную В-алгебру. Преды-
дущее следствие показывает, что расширенная алгебра Li(R)
является коммутативной В-алгеброй с инволюцией. Однако она
не является В*-алгеброй, поскольку равенство |7*/| = |/[2 не
выполняется.
3. Лемма. Пусть для f£Li(R) оператор Т (/), действующий
в L2(R), определен равенством
T(f)g = f*g^ g^L2(R)-
Тогда отображение f Т (/) представляет собой непрерывный
изоморфизм алгебры Lr (R) на некоторую коммутативную алгеб-
ру 210 операторов в гильбертовом пространстве L2(R), причем
T(fr=T(7),
Кроме того, замыкание алгебры 210 в равномерной операторной
топологии не содержит единичного оператора.
Доказательство. Сравнение этого предложения с леммой 1 (с)
показывает, что достаточно доказать лишь последнее утвержде-
ние и тот факт, что Т(/) = 0 влечет / = 0.
В следующем ниже доказательстве впервые используется под-
разумеваемое, но не высказанное явно в формулировке леммы
предположение о том, что группа R не дискретна. Допустим
сначала, что замыкание алгебры в равномерной операторной
топологии содержит единичный оператор, так что в Li (R) суще-
ствует такая функция /, что | f * g — g |2< (1/2) | g |2 для всех g
из L2(R). Поскольку Ц (R) Loo (R) всюду плотно в Li(R), мы
можем, без ограничения общности, предположить, что f принад-
лежит Li (R) П Lqo (R). Так как мера одноточечного множества {0}
равна нулю, то из регулярности меры X и того факта, что мера
всякого открытого множества положительна, вытекает, что в R
найдутся такие окрестности [7П, п = 1, 2, ..., точки 0, что
0 #= L (Un) < 1/п2. Положим gn (х) = (X (t/n))“1/2 при х £ Un и gn (х) =
= 0 в остальных точках. Тогда функция gn принадлежит
3. Алгебры со сверткой
11/
Ц (7?) и L2 (R), причем |gn|2=l, |gn|i<l/n. Следовательно,
-r>\gn ~f*gn\22 = \gn(x)-(f»gn)(x)\2dx>
R
> [\gn(x) — (f*gn)(x)\2dx>
Un
> inf {\gn(x) — (f*gn)(x)\2}k(Un)-
x£Un
По лемме 1 (d) | (/*gn)(x) |<|/!«,n'1 для любого x из R, и потому
из предыдущей цепочки неравенств мы заключаем, что
т> {(М^п)Г1/2-1/1=оП-1}^Ш-
Поскольку правая часть стремится к 1, получаем противоречие.
Таким образом, замыкание алгебры 210 в равномерной оператор-
ной топологии не содержит единичного оператора.
Допустим, что T(f) = O для некоторой функции f из £х(/?),
так что для каждой функции g из L2(R) имеем (f*g)(x) = 6
для почти всех х. Пусть h — какая-нибудь функция из Лоо(/?),
обращающаяся в 0 вне некоторого бикомпактного множества С;
тогда h принадлежит АД/?) Q Л2(/?). Так как h£L2(R), то (/*й)(х) =
= 0 почти всюду, а поскольку Л£Лоо(/?), из леммы 1 (d)
вытекает, что функция f*h непрерывна. Следовательно,
0 = (/*й)(0)=$ K-y)h(y)dy.
с
Далее, функция й, определенная соотношениями h(y)=^0, у$С,
и h (у) = |/ ( — у) |(/(~^))”1, У^С, принадлежит, очевидно^
Лоо(/?). Приведенное выше рассуждение позволяет нам заклю-
чить, что
| /(%) | dx= 0
с
для любого бикомпактного множества С; итак, |/|1==0. Это
доказывает, что отображение f —>Т(/) взаимно однозначно, ч. т. д.
Сейчас мы введем некоторые определения и обозначения, кото-
рые будут играть важную роль на протяжении оставшейся
части этого параграфа. Поскольку многие из последующих резуль-
татов будут сформулированы в терминах, введенных в следую-
щем абзаце, читатель должен изучить его особенно тщательно
В оставшейся части данного параграфа 31 будет обозначать
В*-алгебру операторов 2(о©{^}» где / — тождественный оператор
112
Гл. XI, Различные приложения
в гильбертовом пространстве L2(R), а 21о — замыкание алгебры
в равномерной операторной топологии. Буквой обозначим
пространство максимальных идеалов алгебры й, а т: 21—»С(&$)
будет обозначать изометрический изоморфизм алгебры на
С (<М), существование которого утверждается в следствии IX.3.8.
Для f из L| (/?) мы обычно пишем т/ вместо т(Т/). Буква Е будет
обозначать спектральную меру, определенную на борелевских
подмножествах пространства <Ж, отвечающую в силу теоремы Х.2.1
изоморфизму т. Таким образом, для / из LX(R) и g из L.2(R)
имеем
(V) (т) Е (dm) g.
м
Так как Л(/) = 1 для каждого (комплекснозначного) нетривиаль-
ного мультипликативного линейного функционала h и так как
всякий такой функционал, согласно IX.2.3, непрерывен, то любой
мультипликативный линейный функционал на §1 полностью опре-
деляется своим сужением на 210. Таким образом, в о/Я суще-
ствует единственная точка роо, для которой (т/)(роо) = 0 при
всех / из Ц (7?); эта точка роо соответствует мультипликативному
линейному функционалу А, определенному соотношениями h(f) = O
при /рЛо и Л (/)—!. Для любой другой точки р из о/Я в Ц (R)
найдется такая функция /, что (т/)(р)#=0. Точку роо мы впредь
будем называть бесконечно удаленной точкой пространства о/Я.
Для удобства положим еще < < Я — {р^}.
4. Лемма. В обозначениях, введенных выше, мы имеем Е ({роо}) = 0.
Доказательство. Пусть g = Е ({роо}) g, так что для борелев-
ского множества 6, не содержащего точки роо, мы имеем £(6)^ = 0
и, таким образом, для f из Li (R)
f*g~ \(xf)(m)E(dm)g = J (т/) (m) Е (dm) g.
r'/Ц (РоЛ
Так как (т/)(р.„)— 0 для всех / из L{(R), то /*g = 0 для
любой функции / из L) (R). Если f принадлежит Ц (R) П L2(R),
то функция f*g непрерывна (см. лемму 1 (е)), так что
0-(/*£)(0)=$ f(-y)g(y)dy,
R
Так как Li(R)(]L2(R) всюду плотно в L2(R), то (g, h) = 0 для
всех h из L2(R). Таким образом, g~G, ч. т. д.
5. Лемма. Если е —такое борелевское подмножество про-
странства о/Я, что е не содержит р<х>, то оператор Е(ё) огра-
3. Алгебры со сверткой
113
ничей не только как отображение Lz(R) в L2(R), но и как ото-
бражение L2(R) в C(R).
Доказательство. Поскольку Li (А!) L2 (Я) является всюду
плотным линейным подпространством в Ц (R), для каждой
точки р из е можно выбрать в L, (7?) П L2 (R) такую функцию f,
что (т/)(р) = 2. Так как по лемме 1 функция f*f принадлежит
Ц (R) П ад) и
(т(/.7))О»)-(т(7’(/*7))(т) =
- (т (Г (/)Т (/)*)) (ш) > |(т/)(т)|Д
то можно считать, что функция т/ неотрицательна на <М. Так
как (т/) (p)"2i то найдется такая окрестность N (р) точки р,
что (т/)(т)>1 для всех т из N (р). Поскольку множество е
бикомпактно, существует конечный набор таких окрестностей
.... N (рп), покрывающий е, причем соответствующие
функции /ь .... /п обладают тем свойством, что для их суммы
g = Д + ... fn при всех т из М справедливо неравенство
(xg) (tri) > 1. Таким образом, (xg) на <М, и отсюда в силу
теоремы Х.1.1 следует, что оператор
Р= (Tg)(/n)-1£(dm),
е
действующий в £2(Я), ограничен, причем T(g)P = E(e). По лем-
ме Д(е) Т (g) является ограниченным оператором из L2(R) в С(7?),
а потому таким же является и оператор Е (е)> ч. т. д.
Ввиду леммы 5 ясно, что для каждого функционала х* из
С (7?)* и каждого борелевского подмножества е пространства о<,
замыкание которого не содержит точки роо, скаляр х*Е (е) g
линейно и непрерывно зависит от функции g из L2(R). Тогда,
согласно теореме IV.4.5, каждый функционал х* из С (R)* един-
ственным образом определяет в L2(R) такую функцию Л, что
х*Е (е) g = (g, h) для всех g из L2(R). Это замечание в примене-
нии к функционалу 6 из С (7?)*, заданному равенством
<5/ = /(0), /еС(7?),
мы используем в следующей лемме.
6. Лемма. Существует единственная неотрицательная регу-
лярная мера |л, определенная на семействе S всех борелевских
подмножеств пространства q/Hq и обладающая следующими свой-
ствами:
(I) |л конечна на бикомпактных множествах;
К Заказ Кг 134
114
Гл. XI. Различные приложения
(II) если jx(e)<oo, то е содержится в счетном объединении
бикомпактных множеств из (Ло;
(III) ц положительна на непустых открытых множествах;
(IV) для всякого борелевского множества е, для которого
Роо^е, справедливо равенство ц (е) — I гр (е) !2, где гр (е) —функция
из L2(R), однозначно определяемая соотношением
6E(e)g = (g, ф(е)), gEL2(R);
через 8 здесь обозначен функционал из С (R)*, заданный форму-
лой 8f = f(0).
Доказательство. Пусть состоит из всех таких множеств е
из для которых роо^е. В замечании, предшествовавшем фор-
мулировке леммы 6, было указано, что для всякого е из
в L2(R) существует единственная функция гр (а), удовлетворяю-
щая соотношению 8E(e)g=(g, гр (a)), g£L2(R). Пусть функция
множества р0 определена на равенством р0 (е) = IФ (е) |а- Сна-
чала мы покажем, что функция р0 счетно аддитивна на
а затем установим, что она допускает продолжение на обла-
дающее нужными свойствами.
Если е2 принадлежат то, поскольку оператор Е (е2)
самосопряжен (Х.2.1), для всех g из L2(R) мы имеем
(g, E(e2)^(el)) = (E(e2) g, Wi)) =
= 6Е (et) Е (е2) g = дЕ (^ й е2) g = (g, ф (61 Л 62)).
Следовательно, E (e2) ip (et) = ф (et p e2); таким образом, E (e2) ip (e2) =
==ф(е2), и если et и e2 не пересекаются, то Е (е2) ip (et) = 0, т. е.
тогда функции ip (et) и тр (е2) ортогональны, и
Ф (ei U б2) = Е (et [J е2) тр (at U е2) =
= [Е (еО -г Е (е2)] тр (ех (J е2) =
= Е (et) ip (at U б2) + Е (е2) ip U б2) =
= ip(ei) + ip(e2),
так что векторнозначная функция 1р (•) аддитивна на Поэтому
если е1Пе2=0, то функция множества р0 удовлетворяет соот-
ношениям
Но (в1 U е2) = (ф (61 (J е2), ip (et U е2)) =
= (Ф (61) + Ф (е2), ф (ei) + ф (е2)) =
= (Ф(в1), Ф(б1)) + (ф(е2), ф(б2)) =
= Но (ei) + Но (ег)>
т. е. ро аддитивна на ^0.
3. Алгебры со сверткой
115
Чтобы убедиться в том, что функция множества ц0 счетно
аддитивна на допустим, что еп, n > 1, — непересекающиеся
множества из объединение которых е также принадлежит 3?0.
Пусть rn = еп (J^n+iU •• •, так что E(rn)g —>0 для любой функ-
ции g из L2(R), и, согласно лемме 5,
(g, q(fn)) = 8E(e)E(rn)g-*0.
Это рассуждение показывает, что векторнозначная аддитивная
функция множества ф слабо счетно аддитивна на сг-алгебре,
состоящей из всех борелевских подмножеств множества е. В силу
теоремы Петтиса (IV. 10.1) она счетно аддитивна в сильной топо-
логии, т. е. | ф (гп) |2 = Цо (Gi) —> 0; этим доказано, что функция
множества ц0 счетно аддитивна на ^0.
Теперь мы продолжим ц0 до счетно аддитивной функции
множества ц, определенной на всем Пусть е — множество
из Если е содержится в объединении возрастающей последо-
вательности {еп} множеств из ^0, то положим
[*] p(e) = limp0(een),
п
а в противном случае пусть ц(е) —оо. Так как функция р0
неотрицательна, то последовательность {ц0(^еп)} не убывает,
так что предел (быть может, бесконечный), определяющий ц(е),
существует. Чтобы убедиться, что он зависит лишь от множе-
ства е, а не от выбора последовательности {еп}, предположим,
что {#п} — другая возрастающая последовательность множеств
из объединение которой содержит е. Пусть bn = en f] ап.
Очевидно, достаточно показать, что lim ц0 (е^п) = Нт ц0 (ееп).
Поскольку ebn^een, то щ(еЬп)>[1о(ееп), так что для того чтобы
доказать единственность предела, достаточно показать, что если
lio(ebn)>k для некоторого п, то для любого е>0 найдется
такое т, что ц0(^m)>k — е. Так как (Jеет = е, то {еетЬп, т> 1}
представляет собой возрастающую последовательность множеств
с объединением ebn. Поскольку функция ц0 счетно аддитивна
на то (ebn) = [i0 {eembn)> k, так что для некоторого т
т
справедливы неравенства (еет) > p-о (eembn) k — е. Это пока-
зывает, что -наше определение ц на корректно.
Докажем теперь счетную аддитивность функции р. Пусть
{ап}— последовательность непересекающихся множеств из S8.
Ясно, что р ( U «п) > Р («п), так что если р (а„) = со для какого-
нибудь /г, то справедливость равенства р (J ап) = 2 р- (ап) три-
виальна. Поэтому мы можем считать, что р (ап) <со для всех п.
Следовательно, существует такое счетное семейство возрастающих
последовательностей {enm} множеств из ^0, что ап s U епт.
пг=1
8*
116
Гл. XI. Различные приложения
Полагая е^ — U етп, получаем такую возрастающую последо-
вательность (вл} множеств из 4?0, что а = (J ап = U eft. Так как
последовательность положительных чисел {t0(anek) с ростом k
стремится, возрастая, к пределу р(ап), то (см. Ш.6.17)
ОО 00
lim У р(ап)- Таким образом, поскольку р0 счетно
Л п=«1 п=»1
аддитивна на .^0, имеем
р(а) = Нтр0(аеА) = Пт 2 Ро(апеА) = 3 р(ап).
k k n=i n=l
Этим установлена счетная аддитивность функции р.
Теперь докажем, что мера р регулярна. Допустим, что
р(г)<оо и {еп} —такая последовательность непересекающихся
множеств из ,<Й0, что е- - (J еп. Пусть задано е>0, и пусть N
“ ~ N
столь велико, что >, р (<?,,)< е/2. Положим е= (Jen. Тогда е
N+i __ 1
принадлежит .#о, так что ф(е) имеет смысл. Поскольку
в силу Х.2.1 мера |£(-)ф(е)|2 = (Е(-)ф(е), ф(е)) для фиксирован-
ного ё регулярна, мы можем найти в ё такое замкнутое, а следова-
тельно, и бикомпактное подмножество d, что
|£(с/)Ф(е)|2-|-|>|£(ё)ф(ё)|2.
Как уже было отмечено, Е (е2) ф (е4) — ф (et П с2), так что р0 (d) =
= IФ (d) |2 = | Е (d) ф (е) |2 и р0 (е) = | ф (е) |2 = | Е (е) ф (ё) |2. Таким
образом,
р (d) + е > р (ё) + у > р (е).
С другой стороны, поскольку М бикомпактно, а значит, и нор-
мально, найдется такая последовательность {ип} открытых мно-
жеств из .«’о, что enso„. Так как мера | Е (•) ф (vn) |2 регулярна,
то для каждого п найдется такое открытое множество ауп, что
I Е (wn) ф (ип) |2 | ф (wn) |2 = ро (оуп) = р (шп) < р (еп) 4- .
Таким образом, открытое множество w — (J wn содержит е, причем
11=1
р(да)<р(е) + е. Следовательно, мера р регулярна.
Если К—бикомпактное подмножество множества то
по определению р(/<) = Ро(К)<со- Чтобы закончить доказатель-
ство, рассмотрим какое-нибудь непустое открытое подмноже-
3. Алгебры со сверткой
117
ство и множества о#о. Поскольку и содержит такое непустое
открытое подмножество v множества е#0> что р«> $ о, мы можем
с самого начала считать, что роо^и. Достаточно показать, что
в L2(R) существует такая функция g, что (£(u)g)(0)#=0. Если
это не так, то Л(0)*-0 для каждой функции h из L2(R), для
которой £(и)Л»®Л. Тик как все операторы S из Я комму-
тируют с £(«), то (5’Л) (()) — (), если h -Е (и) h. Если, кроме того, f
принадлежит (Я) П 4» (Я)< то
0Н7’(Л/»|(<’) -(7*/0(0) r(y)h(y)dy^(h, f).
Поскольку Л (Я) fl/->(/?) всюду плотно в L2(R), мы заключаем,
что /<» 0, и, следовательно, Е(и); 0. Пусть теперь F — непре-
рывная функция на е^, обращающаяся в 0 на дополнении мно-
жества и, но не равная 0 тождественно, и пусть So - - т'1 (Е) —
оператор из ?!, отвечающий функции F при изометрическом изо-
морфизме т:ЭД—»С(©#). По теореме X.2.1(111)
So= F(m)E(dm) = F (т) Е (dm).
all и
Если Е(и) = 0, то Е(а) = 0 для всех а ей, так что So = O.
Противоречие, так как отображение т взаимно однозначно.
Замечание. В процессе доказательства регулярности меры р
было показано, что если е принадлежит & и р(е)<оо, то для
всякого е>0 найдутся такое открытое множество и и такое
бикомпактное множество с, что с е е s и и р (и — с)<8.
В оставшейся части данного параграфа и в следующем пара-
графе буква р будет обозначать меру, существование которой
мы только что установили.
7. Лемма. Если f принадлежит Li (R) f| L2 (R) и если е —
борелевское подмножество в М, замыкание которого не содержит
точки роо, то
J СФ (т) р (dm) = 6 [£ (е) f ] = (f, ф(е)),
е
где ^(е) —функция из L2(R), определенная в лемме 6.
Доказательство. Будем вместо ф(е) писать просто ф. Тогда
(А Ф)= § f(x)ty(x)dx = f(x — 0) ф (х) dx =
R R
= J 7(0—х)ф(х)£1х = (7*ф)(0) = 6(/*ф).
R
118. Гл, XI. Различные приложения
Поскольку оператор Т (/) свертки с J коммутирует с Е (е)
и поскольку, как мы видели в доказательстве леммы 6, Е (е) гр = гр,
из определения гр следует, что
б(/*гр) = б (£ (е) (/* гр)) = (/* гр, гр).
Так как T(f) — T (/)*, то предыдущие вычисления показывают,
что
fl) д£(е)/ = (/, гр) = д(/*гр) = (гр,7*гр) = «
= (/»гр, гр) = J (т/) (m) (Е (dm) гр, гр).
м
С другой стороны, если а —борелевское подмножество в <г$, то,
как показано при доказательстве леммы б, Е (а) гр (е) = гр (ае)
и потому
(гр(ае), гр (е)) = (Е (а) гр, гр) = (£ (а)2гр, гр) =
= (£ (а) гр,' £ (а) гр) = (гр (ае), гр (ае)) = р (ае).
Следовательно,
J (т/) (т) (Е (dm) гр, гр) = J (т/) (т) р (dm),
.'ll в
что в сочетании с формулой (I) завершает доказательство.
8. Лемма. Если f принадлежит Lt(R) (]LZ(R), то
J I (V) (т) |2 р (dm) = J | / (х) |2 dx.
Доказательство. Пусть е — борелевское подмножество в
с бикомпактным замыканием; тогда £ (е) (f*f) = E (е) Т (f)f =>
= f*(E (е) f). Применяя предыдущую лемму, получаем
6|/.£(с)/| b\E (e)(f»fj\ =
J (т (/ * /)) (т) Н (dm) = $ I (V) («») I2 Н (dm).
<: с
Так как функция т/ непрерывна на оЛ1 и равна 0 в точке р<х>,
то множество ап = {т 11 (т/) (/и) | > 1 In} является борелевским
подмножеством в с бикомпактным замыканием; кроме того,
функция т/ обращается в 0 на дополнении к []ап. По лемме 4,
Е (р^)/ = 0, а так как мера | Е (е) f [2 регулярна, то существует
такая возрастающая последовательность {Ьп} бикомпактных под-
множеств в что по норме пространства L2(R\
3. Алгебры со сверткой
119
Полагая еп = ап\]Ьп, имеем
| (т/) (т) |а р, (dm) = lim | (т/) (т) |2 р (dm) =
у. п->оо V
= lim 6 [/ * Е (еп) f] = lim б [Т (/) Е (еп) f],
П—>оо П->ОО
Так как, согласно лемме 1 (е), Т (/) представляет собой ограни-
ченное отображение пространства L2(R) в C(R), то последнее
выражение равно
6[Г(/)7] = 6(/*7) = J f(V-y)T^dy^ \f(y)\2dy.
R R
Это доказывает лемму.
Здесь мы остановимся, чтобы сделать обзор полученных
результатов. Мы видели, что каждая функция f из (7?) порож-
дает в гильбертовом пространстве L2(R) ограниченный линейный
оператор, представляющий собой свертку с /. Привлекая к рас-
смотрению минимальную В*-алгебру 31 операторов, содержащую
все указанные операторы свертывания, мы ввели бикомпактное
топологическое пространство максимальных идеалов алгебры 31,
так что каждому элементу из 31 отвечает непрерывная функция
на М. Отбросив бесконечно удаленную точку пространства М,
мы получили локально бикомпактное пространство rf0. Разло-
жение единицы для алгебры 31 мы использовали для построения
на классе борелевских множеств пространства счетно
аддитивной регулярной меры р. Итак, каждой функции / из Lt(R)
соответствует некоторая непрерывная функция т/ на Л, обра-
щающаяся в нуль на бесконечности, причем всегда |т/|оо =
= I ^ (/) 1^1 / |i- Однако если / принадлежит Li (R) Q L2 (R), то
отображение т представляет собой изометрию в пространство
L2(^o). Далее будет показано, что отображение т единственным
образом может быть продолжено до изометрического изомор-
физма между L2(R) и Л2Ио) и что если множество е принад-
лежит 5?, то применению к функции / из L2(R) оператора
проектирования Е (е) отвечает умножение соответствующей функ-
ции т/ из L2(q/#0) на характеристическую функцию множества е.
Аналогично свертке в L2(R) отвечает поточечное умножение
в L2(<?/^o)«
9. Теорема, (а) {Планшерель.) Отображение действую-
щее из Li(R, 2, 7c)QL2(R, 2, К) в L2(cM^ р), допускает
единственное продолжение до изометрии пространства L2(R, 2, 7с)
на пространство L2(M^ ц).
120 Гл. XL Различные приложения
(Ь) Если обозначить это продолжение тем же самым сим-
волом т, то хЕ (е) — (р (е) для каждого борелевского подмноже-
ства е пространства <^0, где fcp(е)/] (/и) = xf(m) при т£е
и [ср (е) /1 (т) 0 при т^е. Таким образом, Е (е) = т-1ф (е) т.
Доказательство. Поскольку Li (R) Q L2 (R) всюду плотно
в L2(R), из предыдущей леммы и теоремы 1.6.17 немедленно
следует, что т допускает единственное продолжение до изометрии
пространства L2(R) в 12(е<о). Таким образом, установлена спра-
ведливость утверждения (а), за исключением того, что продол-
жение, которое мы также обозначим т, отображает L2(R) на все
пространство L2(e#0)-
Докажем теперь утверждение (Ь). Напомним сначала, что
если /ELJR), a gGLi(R)flL2(^). то
Поскольку т, рассматриваемое как отображение алгебры 31 вС(^),.
непрерывно, мы заключаем, что T(Sg) = tS-Tg для S из 210 и g
из L\ (R)0 A2(R)- Но x(/g) xg xl-xg, и потому x(Sg) = xS-xg
для S из 31 и g из L|(R)QL2(R). Так как Li(R)nL2(R) всюду
плотно в L2(R), а т является непрерывным отображением про-
странства L2(R) в L2(Jl0), то
x(Tg) xT-xg, Т^, g£L2(R).
Если gt — какая-нибудь другая функция из L2(R), то
J (тТ) (пг) (Е (dm) g, gt) = (Tg, gt) =
оМ/
=--(x(Tg), Tg,) = J (r (Tg)) (m) (xgi) (m) p (dm) =
- - 'j (tT) (m) (xg) (m) (xgiT(m) p (dm) =
Л
-- (xT) (m) v (dm), TQ$l,
где мы положили v(e)= (xg) (m)(xgl) (m)^(dm). Поскольку
«-Poo
мера v абсолютно непрерывна относительно меры р, ее регу-
лярность следует из регулярности р. Из полученного выше
•равенства, регулярности меры (E(-)g, gt) и утверждения о един-
ственности представляющей меры в теореме Рисса IV.6.2 еле-
3. Алгебры со сверткой
121
дует, что
(Е (е) g, gi) = v (е)
для любого борелевского множества е Используя уже
доказанную часть утверждения (а), получаем
(т£ (е) g, rgt) = (Е (е) g, g^ = J (rg) (m) (rgt) (m) p, (dm).
e
Так как это равенство справедливо для любой функции gt
из L2(R), то т (Е (е) g) (т) = rg (т) для почти всех относительно
меры р, точек т из е и т (Е (е) g) (m) = 0 для почти всех т
из о/Иц — е. Если мы теперь покажем, что отображение т"1 опре-
делено всюду на Мц, то утверждение (Ь) будет доказано.
Утак, нам осталось доказать, что т отображает Е2(7?) на все
Е2(с^о)- Для этого достаточно показать, что tL2(7?) содержит
характеристическую функцию любого множества, для которого
конечна мера р; более того, как следует из замечания, сделан-
ного после доказательства леммы 6, достаточно показать, что
tL2(7?) содержит характеристическую функцию любого множе-
ства е из ^0. Как мы видели при доказательстве леммы 5,
в Lx (7?) П L2 (/?) найдется такая функция g, что xg (р) > 1 > 0
для всех р из е. Пусть Q—такой ограниченный оператор из 21,
что tQ совпадает с функцией из С(с<), обратной к функции xg
на множестве е1). Из того, что уже было доказано, следует, что
x(Qg) = vQ-xg, так что t(Qg)(p) = l для р из е. Из уже дока-
занной части утверждения (Ь) вытекает, что т[Е (е) Qg] = ср (е) r(Qg),
так что т [Е (е) Qg] является характеристической функцией мно-
жества е, ч. т. д.
10. Следствие. Положим для каждой функции f из Li(R)
и каждого борелевского подмножества а комплексной плоскости
(xfY1 (а) = {т £ сЛо | т/ (т) С а}, и пусть М (а)—оператор умноже-
ния на характеристическую функцию множества (т/)-1 (а) в про-
странстве L2(q/Hq). Тогда спектральное разложение оператора
свертки Т(f) в L2(R) может быть представлено в виде т-17И (•) т,
а спектр оператора Т (/) совпадает с множеством значений
функции xf. Комплексное число а принадлежит точечному спектру
оператора Т (/) тогда и только тогда, когда р, ((т/)-1 (а)) =# 0.
Доказательство. Первые два утверждения вытекают из пре-
дыдущей теоремы и следствий Х.2.10 и X.2.9 (III). Для дока-
х) Говоря точнее, функцию 1 /xg, непрерывную на е, нужно продолжить
до непрерывной функции на всем оЛ и взять оператор, соответствующий этому
продолжению. — Прим, перев.
122
Гл. XI. Различные приложения
зательства утверждения, относящегося к точечному спектру,
напомним, что если g принадлежит А2(7?), то
т(/*g) = rf-T^.
Если т/ (т) =-• а для всех т из борелевского множества е s
то g- т ’х,, является собственной функцией оператора Т (f),
соответствующей собственному значению а. Обратно, если
f»g~ag, то
(т/ —a)-Tg = 0.
Так как по теореме 9 (а) отображение т изометрично, то из^^О
следует, что xg (m) =^= 0 на некотором множестве с положитель-
ной мерой |1, и потому на этом множестве t/(m)^a, ч. т. д.
В следующем разделе этого параграфа будет показано, что
имеется взаимно однозначное соответствие между точками про-
странства q/Hq и непрерывными гомоморфизмами группы R в мульти-
пликативную группу комплексных чисел, равных по модулю
единице. Множество всех таких гомоморфизмов образует абелеву
группу. Так что пространство о<0 может быть естественным
образом наделено структурой локально бикомпактной абелевой
группы.
Доказательство следующей теоремы использует представление
пространства Л.ю (/?) как сопряженного к L^R). В случае когда
мера Хаара X па R является о конечной, возможность такого
представления следует из теоремы IV.8.5. Общий случай обсу-
ждается в примечаниях, помещенных в конце настоящей главы1}
11. Теорема. Можно установить взаимно однозначное соот-
ветствие между точками т пространства Мц и непрерывными
комплексными функциями hm на R, удовлетворяющими соотноше-
ниям |/длп(х) | = 1, hm(x + y) = hm(x\hmy, x>y£R* Это соот-
ветствие задается формулой
Доказательство. Если tn — точка из то функция срт,
определенная равенством (/) = (т/) (m), f£Li(R), представляет
собой ненулевой линейный функционал на удовлетво-
ряющий тождеству Так K3K | xf |оо < | f |1,
то норма функционала срт не превосходит 1, так что в силу тео-
х) Заметим, что из предположения о о-бикомпактности группы R, сделан-
ного в начале данного параграфа, вытекает, что мера К является о-конечной.
По поводу общего случая см. также замечание после доказательства тео-
ремы IV.8.5.—Прим, перев.
3. Алгебры со сверткой
123
ремы IV.8.5 в Loo (/?) найдется такая, в существенном единствен-
ная, функция йт, что | hm |о» < 1 и
фт(/) ’ J й,„ (х) f (X) dx.
к
По теореме Фубини для любой пары функций f, g из Lt(7?) имеем
$ Aw(v)/(v- y)dx}dy = J {hm(x) Jj f(x — y)g(y)dy}dx =
« Л R R *
- фм (I • g) (f) (g) = $ {g (g) $ hm (x) hm (y) f (x) dx} dy.
R R
И1 рйнгпгтва крайних членов для всех g из L\(R) заключаем, что
1*1 hm (х) f(x—y)dx — hm(y) hm(x)f(x)dx
R R
для почти всех у. При подходящем выборе функции f интеграл,
стоящий в правой части равенства [*], отличен от нуля, а так
как по лемме 1 (d) интеграл в левой части непрерывен, то hm
почти всюду совпадает с непрерывной функцией. Изменяя функ-
цию hm на множестве меры нуль, мы можем считать, что онд
непрерывна. С помощью замены переменных в [*] получаем, что
для всех / из Li(7?)
§ hm (х + у) f (х) dx = hm (у) hm (х) f (х) dx,
R R
откуда следует, что для любого у равенство hm (х + у) = hm (у) hm (х)
выполняется для почти всех х. Так как обе части последнего
равенства непрерывны, то hm(x у) = hm(x) hm(y) для всех
х, y£R. Поскольку hm не обращается в нуль тождественно, из
(^) (б) — hm (^) следует hm (б) — 1. Так как | hт |оо 1» то
]йт(х)К1 для всех х из R. Но | hm (х) hm ( — х) | = | hm (0) | = 1,
так что | hm (х) | = 1 для всех x^R. Таким образом, описанная
процедура сопоставляет каждой точке т из е<0 функцию йт,
обладающую требуемыми свойствами. Очевидно, что функция hm
определяется однозначно.
Мы закончим доказательство теоремы, показав, что если
дана непрерывная функция Н, удовлетворяющая соотношениям
| Н (х) | = 1 и Н (х + у) = Н (х) Н (у), то существует такая (очевидно,
единственная) точка т из что (т/) (/и) = Н (х) f (х) dx
R
для всех f из L^R). Пусть т0 — точка из <М0-, воспользовавшись
уже доказанным, найдем такую непрерывную на R функцию Но,
124
Гл, XL Различные приложения
что |Яо(*)|=1| Но(х + у) = Но(х) Но(у) И
(т/) (m0) = Яо (х) / (х) dx, (R).
R
Положим Нх (x) = H (x) Ho (x) и определим отображение Ф равен-
ством
(Ф/)(х) = Я1(х)/(х).
Тогда Ф можно рассматривать как сохраняющий норму линей-
ный оператор как в Li(R), так и в L2(R). Так как Я“1(х) =
Л7, ( —х), то для всех / из Li(R) и всех g из L2(R) имеем
{ФТ (/) Ф-1^} (х) = J Hi (х) f (х—у) Н^ (y)~^g (у) dy =
R
= J Hi(x—y)f(x—y)g(y)dy = {T(Q>f)g}(x).
R
Таким образом, ФТ(/)Ф-1=Т(Ф/), и, следовательно, ФТ(Ц(R))Ф"1 е
s T(Lt (R)). Так как Ф является унитарным отображением
пространства L2 — L2(R) в себя, то А—»ФЛФ-1 есть сохраняющее
норму отображение, действующее в пространстве ограниченных
линейных операторов, переводящих L2(R) в себя. Из соображений
непрерывности немедленно следует, что Ф31Ф-1 s 31. Таким обра-
зом, Д-'-ФЛФ* представляет собой сохраняющий норму изо-
морфизм алгебры 31 на себя. Следовательно, отображение ф,
определенное на C(®/Z) формулой ф/ — т (Ф (т-1/) Ф-1), является
изоморфизмом С (М) на себя и сохраняет норму. Поскольку
ФЛЛ1Ф-1 — ФЛФ-1ФЛ1Ф-1, отображение ф в действительности
является изоморфизмом алгебры С(<М) на себя и потому по
теореме IV.6.26 имеет вид (ф/) (m) = /(%m), где % — некоторый
гомеоморфизм J на о#. Положим m = x(m0).
Как мы видели выше, ФТ(/) Ф-1 = Т(Ф/) для f из Li(R),
так что для таких f
(xf) (m) = (фт/) (mo) = (хТ (Ф/)) (m0) =
-- (тФ/) (m0) - Но (х) (Ф/) (х) dx =
R
— Но (х) Нх (х) f(x)dx= Н (х) f (х) dx.
R R
12. Следствие. Функцию hm из теоремы 11, соответствующую
точке т£с$о, можно получить по формуле
hm(y)
_ (xfv)(m)
~ (xf)(m) '
3. Алгебры со сверткой
125
где f—какая-нибудь функция из (/?), для которой (т/)(т) =/=(),
« fу —функция из Li(R), определенная равенством fv(x) =
= f(x—y), xQR.
Доказательство. Это утверждение в точности представляет
собой содержание формулы [*] из первой части доказательства
теоремы 11.
Несколько следующих ниже предложений описывают топо-
логию пространства (Ло непосредственно в терминах функций hm,
введенных в теореме 11.
13. Определение. Пусть R — множество всех непрерывных
функций ft, определенных на R и удовлетворяющих соотноше-
ниям h (х + у) =h (х) h (у), |ft(x)| —1. Очевидно, что R является
абелевой группой относительно естественно определенной опера-
ции умножения функций, причем единичным элементом этой
группы служит функция, тождественно равная 1. Группа R
называется группой характеров, или двойственной группой
группы R. Мы топологизируем R, принимая за базис топологии
множества вида
2V (ft, К, e) = {ftiC£| \hi(x)-h(x)\<e, x£R},
где 8 —любое положительное число, а /<—произвольное биком-
пактное подмножество группы R.
14. Лемма. Группа характеров R является топологической
группой.
Доказательство. Проверку того, что множества N(h,R,&)
образуют базис некоторой топологии, мы предоставляем читателю.
Если g N (h, /<, s) и ft2 С N (hQ, R, 8), то С N (hh0,R2, 8),
так что умножение непрерывно. Если hi (h, R, s), то
h~l QN (ft"1, R, 8), и потому отображение ft—>ft"1 также непре-
рывно, ч. т. д.
15. Теорема. Взаимно однозначное отображение m—>hnl,
существование которого было установлено в теореме 11, пред-
ставляет собой гомеоморфизм на R.
Доказательство1). Сначала мы покажем, что отображение
/и—» ft™ непрерывно. Пусть т0 —произвольная точка в Mq,
О < 8 < 1, и пусть N (hmQ, R, 8)— окрестность функции hmo. Оче-
Э В переводе первая часть этого доказательства немного изменена.—
Прим, перев.
126
Гл. XI. Различные приложения
видно, в Ц (R) найдется такая функция f, что | f |t < 1
и (т/) (m0) =/= 0. Пусть а = | (т/) (т0) |, так что 0<а<1, и пусть
£7—такая окрестность точки т0, что | (т/) (т) — (т/) (/п0) | < ае/2
для всех т из £7.. Тогда (т/) (т) =/= 0 для всех т из U, и потому,
согласно следствию 12, имеем
I ] Лто(у)— ’ т^и.
По лемме 1(f) y—>fy является непрерывным отображением 7?
в Lt(R). Следовательно, отображение у—»т/у группы R в С (М)
непрерывно. Из бикомпактности множества КрТ? и теоремы IV.6.7
вытекает, что {т/у | у £ К} — равностепенно непрерывное множество
в С(а//). Пусть Vs£7 — такая окрестность точки т0, что
| (т/,;) (/п) — (т/у) (/п0) | < ае/2 для всех т из V и всех у из К.
Тогда для всех т из V и всех у из К
\hm(y) hrna (у) |
(т/и)('«) (т/у)(ш) | | (т/у)(т) (т/у)(т0) I
(*/)("') ’ (т/)(»10)1 Г(т7Г(т0) (т/)(/п0) 1“
4 I Ihn (</) I • I (V) (/П) - (Tf) (//!0) l + 4"l (xfv) <m) - (TA/) (mo) l<
1 « ae , 1 ae
< a + =
Следовательно, если tn^V, то hm£N (hmo, К, e), так что отобра-
жение tn —>hm непрерывно.
Обратно, пусть £7 —такая окрестность точки /По, что роо(££7.
Тогда существует такая непрерывная на <Л функция Н, что
Н(т0) — 1 и Н(т) — 0 при гп$£7. Так как Н принадлежит тЭД0,
а операторы Т (/), соответствующие функциям f из Lt(/?), обра-
зуют всюду плотное подмножество в то в Li(7?) найдется
такая функция f, что (т/) (/п0) > 3/4 и | (т/) (/и) | < 1/4 для всех
/п^£7. Пусть К —такое бикомпактное подмножество в R, что
J |f(x)|dx<11g,
п-к
и пусть в (8 | f IJ”1, Тогда если hm принадлежит N (hmQ, К, е)т
то из теоремы 11 и неравенства Гёльдера следует, что
| (т/) (/п) — (xf) (m0) I = | § f (х) {hm (х) — Amo (х)} dx | <
R
<2 J |/(х) |dx + e | /(х) |dx<-^ + 4 = 4 ’
R-К К
3. Алгебры со сверткой
127
Следовательно, | (т/) (т) | > 1/2, так что m^U. Это показывает,
что отображение hm—>m непрерывно и потому^ является гомео-
морфизмом, ч. т. д.
Ввиду только что доказанной теоремы естественно опреде-
лить в групповую операцию формулой
(-^) = («^) (%)'
При таком определении сложения множество o/fi0 становится
локально бикомпактной абелевой группой, топологически и алге-
браически изоморфной группе характеров R. Желательно было бы
иметь более симметричное обозначение для hm (х), и для упроще-
ния некоторых формул следующего параграфа мы введем обоз-
начение
[х, т] =
Так как —гомоморфизм, то гомоморфизмом является и hm.
(Для некоторых целей удобнее пользоваться вместо h комплексно
сопряженной функцией h. Это соглашение имеет еще то допол-
нительное преимущество, что в случае, когда R является мульти-
пликативной группой точек единичной окружности, наше обозна-
чение согласуется с тем, которое используется обычно в теории
рядов Фурье.) Ясно, что |[х, /и]| = 1, [Xt + x2, т][хь m] [х2, т]
и [х, mi 4-m2] = [х, mJ [х, т2] для всех х, х19 х2 из R и m, т2
из R. Из этих соотношений следует также, что [ — х, т] =
= [х, —т] — [х,т]. Кроме того, из определения 13 и теоремы 15
с очевидностью следует, что функция [я, т] непрерывна по каж-
дому из аргументов1). В этих обозначениях формула теоремы И
принимает вид
(xf) {tn) = [х, т\ f (х) dx, fZUiR), т£а/%0.
R
В теореме 9 отображение т было продолжено на L2(R); мы
хотим получить для этого продолжения аналогичное интегральное
представление. Пусть § —- семейство всех борелевских подмно-
жеств в R с конечной мерой; упорядочим S по включению.
х) Более того, нетрудно показать, что она непрерывна как функция
на R X т. е. по совокупности аргументов. Это следует из ее непрерыв-
ности по каждому аргументу, если учесть локальную бикомпактность /?,
(т/^) (т)
формулу hm(y) = -—г- и то обстоятельство, что для любого бикомпакт-
ах/) \т)
ного множества K^R семейство непрерывных на М функций {т/у | у £ К}
равностепенно непрерывно. — Прим, перев.
128
Гл, XI. Различные приложения
Если обозначает характеристическую функцию множества е
из %, a f принадлежит L2(R), то %ef принадлежит Ц (R) f| L2 (R),
причем f является пределом по норме пространства Л2(/?) обобщен-
ной последовательности {%ef}- Следовательно, по теореме 9 функция
xf является пределом обобщенной последовательности {т (/«/)}
по норме пространства £2(®^о)- Поэтому
lira [х, -]f(x)dx, f€E2(R),
е J
е
где предел понимается в смысле сходимости в Л2(сЖ0).
Теперь мы покажем, что при помощи аналогичной процедуры
можно восстановить функцию f по т/.
16. Теорема. Обозначим через % семейство бикомпактных под-
множеств q/Hq, упорядоченное по включению. Тогда всякая функ-
ция f из L2(R) равна пределу по норме этого пространства обоб-
щенной последовательности функций {Д>, е £ S}, определяемых
формулой
/,,(а) J |х, m\(xf)(m)n(dm), x£R.
в
Доклзат1’.л1>ство. Из следствия 12 вытекает, что
1*1 (т/(/)(/п) I//,/»1 (т/)(т),
если f£Lt(R), yQR, и (т/) (in) -£0. Если (xf)(m) = 0,
то должно быть и (х[у) (т) --- 0, ибо в противном случае, приме-
няя следствие 12, мы получили бы
(xf) (т) = (т (fy) -у) (т) = [ — у, т\ (xfy) (tn) #= 0.
Таким образом, равенство [*] справедливо также и в случае
(xf)(m) 0. Замена у на — х в равенстве [*] дает
1**1 |х, tn] (xf) (т) --- (xf-x) (т).
Если е борелевское подмножество в и f принадлежит
(/?) [] L2(R), то из соотношения [**] и теоремы. 9(b) сле-
дует, что
т [Е (е) fy] = хл (fy) = [ — у, -1 хл/ = X ((Е (е) f)y];
таким образом, Е (е) fy = (Е (е) f)y. Используя это равенство,
лемму 7 и формулу [**], получаем
J [х, т] (xf) (т) р (dm) = 6 [Е (е) (f-x)] = б ЦЕ (е) f)-x] = (Е (е) f) (х),
3. Алгебры со сверткой
129
если /С Lj (R) fl L2 (R). Интеграл в этом равенстве существует
и в том случае, когда f £ L2 (R) и е С t. Так как Ц (R) f] L2 (R) всюду
плотно в L2(R), то
§ [х, т] (т/) (т) р (dm) = (Е (е) f) (х), f£L2(R).
е
Теорема доказана, поскольку обобщенная последовательность
{E(e)f, egt} сходится к f по норме пространства L2(R).
17. Следствие. Если /СЛДТ?), то (xfy) (т) = [у, т] (т/) (т) для
всех т из <Мц. Если f£L2(R), то это равенство справедливо
для почти всех относительно меры [1 точек т из Мц.
Доказательство. Случай /СЦ (R) уже был рассмотрен в дока-
зательстве предыдущей теоремы. Если f£L2(R), то сформули-
рованное утверждение следует из теоремы Планшереля, из того,
что Li(R) П L2(R) всюду плотно в L2 (R), и из того, что предел
сходящейся последовательности функций из£2(Л) определяется
однозначно с точностью до его значений на множестве меры
нуль.
Следующая лемма содержит аналогичный результат для Ь2 (о<о)-
18. Лемма. Если F£L2(qLIq), а функция Fp определена равен-
ством Fp(m)=F (т — р), т£о^0, то (т"1^) (х) = [х, р] (т"1/7) (х)
для почти всех х из R. Если h£Li(R) и hi(x) = [x, p]h(x) для
всех х из JR, то (т/ii) (т) = (т/z) (т — р) для всех т из
Доказательство. Чтобы доказать второе утверждение, заме-
тим, что функция hi (х) также принадлежит Li (7?), ибо модуль
характера равен 1. Следовательно,
(rhi) (m) — [х, т\ hi (х) dx =
R
= [х, т — р] h (х) dx — (rh) (т — р), m^MQ.
R
Для доказательства первого утверждения1) воспользуемся тем,
что существует такая последовательность функций {Fn}, сходя-
щаяся к F по норме пространства L2 (q/Hq), что т"1/7” £ Lx (R) f| L2 (7?),
zz = 1, 2, ... . Функции hn, определенные для x£R равен-
ством hn (х) = [х, р] (т"хЕп) (х), принадлежат Li (R) f) L2 (R)
и образуют последовательность Коши в L2(R). По доказанному
г) Изложение этой части доказательства в переводе изменено.— Прим,
перев.
9 Заказ № 134
130
Гл. XL Различные приложения
выше (xhn) (т) Fp (tn) для всех т из о^0, и потому в силу тео-
ремы Планшереля последовательность {Fp} сходится в L2(<^o)
к некоторой функции G. С другой стороны, учитывая III.3.6
и III.6.13 (а), можно считать, что Fn(m)-^F(m) почти всюду на
е^о, следовательно, Fp (т) = Fn (т— р)—> F (т—р) = Fp почти всюду
на с^о- Поэтому G(m)=Fp(m) почти всюду на откуда сле-
дует, что последовательность {Fp} сходится к Fp в L2(<^o)-
Но тогда t-1F£ —»r^Fp в L2(R). В то же время r~1Fp = hn =
~ I •>/*] (x-1Fn) —>[•, р] (r-1F) в L2(R). Так как предельная функ-
ция последовательности, сходящейся в L2(R), определена одно-
значно с точностью до значений на множестве меры нуль, то
(t-1Fp) (х) — [х, р] (x-1F) (х) почти всюду на R, ч. т. д.
19. Теорема. Мера р на <M0~R инвариантна относительно
сдвигов, т. е.
р(еН р) -р(<0, е£Я, р^<Мй.
Доказательство. Заметим сначала, что утверждение триви-
ально, если ц (с | р) р(е) = оэ, так что мы должны рассмотреть
лишь тот случай, когда по крайней мере одно из чисел р(е + р),
р(е) конечно. Пусть р(е)<оо, и пусть для FQL2(e^0) функция
Fp определена равенством Fp(m) - F(m — р\, т,р£оМ0. Если %е
обозначает характеристическую функцию множества е, то легко
видеть, что (%е)р = - х„.|.р. Из предыдущей леммы следует, что
(т-1Хе+р) (х) = [х, р] (т_1%е) (х), х С R-
Поскольку всякий характер по модулю равен 1, из теоремы
Планшереля вытекает, что
{И (е + р)}2 = {р (е)}2.
Итак, мы доказали, что если [х(е)<оо, то величина р(е + р)
также конечна и равна р (а). Если известно, что конечна вели-
чина р (е |р), то, заменяя в только что приведенном доказа-
тельстве е и р на е + р и —р, приходим к выводу, что величина
р,(е)^ р>(С‘\ р — р) конечна и равна р,(е + р), ч. т. д.
Предположим теперь, что R обозначает группу вещественных
чисел, и покажем, что тогда группа характеров R группы R
алгебраически и топологически изоморфна R.
20. Теорема. Пусть R — аддитивная группа вещественных
чисел, и пусть R — ee группа характеров. Тогда существует
такое гомеоморфное и изоморфное отображение t группы R на
3. Алгебры со сверткой
131
всю группу R, что
[х, rn] = eixt(m\ xQR, m£R,
2лр (е) = Л (t (е)), е С
где $ —семейство борелевских подмножеств в R, а Л — мера
Хаара на R.
Доказательство. Для фиксированной точки т из = R харак-
тер [х, т], xQR, является непрерывной функцией от х, удовле-
творяющей для всех х и у из R соотношениям | [я, т] | = 1
и [х, т] [у, т] = [х + у, т\. Хорошо известно (см. VIII. 1.2, где
содержится более общая формулировка этого элементарного
утверждения), что в этом случае существует такое вещественное
число /(т), что
[х, т] = xQR.
Если t (mJ = t (т2), то [х, mJ = [х, т2] для всех х из R, поэтому
в силу теоремы 11 отображение m—>t(m) взаимно однозначно.
Так как функция h(x) = eixt удовлетворяет соотношениям
| h (х) | = 1 и h(xA-y) = h(x)h(y), то т—>t(m) отображает R
на все R. Чтобы убедиться, что отображение t есть гомеомор-
физм, заметим, что
| [х, 0] — [х, m] | = | 1 — eixU^ | = {(1 — cos xt (m))2 + (sin xt (m))2}1/2
и что эта величина тогда и только тогда будет малой для всех х
из бикомпактного множества | х | < X, когда мала величина 11 (т)
Таким образом, характер т тогда и только тогда близок к харак-
теру, тождественно равному 1, когда величина t (m) близка
к нулю. Так как
| [х, mJ — [х, т2]\^=\ [х, 0] — [х, т2 — тJ |,
то отображение t: R—>R является гомеоморфизмом. Тождество
e^(mi+m2) = [х, mi + т2] = [х, mi] [х, т2] = eix^m^+l(m^
показывает, . что t (т1 + т2)^/(т1) + /(т2), так что t является
алгебраическим изоморфизмом.
Чтобы доказать заключительное утверждение теоремы, опре-
делим на семействе борелевских подмножеств е группы R функ-
цию множества полагая (е) = р (Г1 (е)). По теореме 19
функция множества инвариантна относительно сдвигов, т. е.
Xi (е) Xi (е + х) для всех х из R, так что в силу единственности
меры Хаара существует такая постоянная с, что = сЛ. Покажем,
что с=1/2л, и тем самым закончим доказательство. Вычислим
сначала образ при отображении т функции f (х) = е~х2/2, xQR,
9*
132
Гл. XI. Различные приложения
принадлежащей Li(7?) П L2(R). Обозначая t(m) просто через t,
имеем
(т/)(/п)= J e-ixle~x2/2dx = e~t2/2 J e-WMdx.
— оо —оо
Выражение
J e-(x+zt)2/2 dx
— оо
определяет целую 'функцию от г, которая при всех веществен-
ных г, а значит, и вообще при всех г, равна
е-ж2/2 dx = (2л)1/2.
— оо
Следовательно,
(т/)(т) = (2л)1/2е-<'(™»2/2.
По теореме Планшереля
\e~x2/2\2dx= J |/(x)|2dx= J |(t/)(m)|2p(dm).
— оо — ОО qTI'Q
Заменяя в последнем интеграле переменную интегрирования т
на t = t(m) и вспоминая, что (e) = p,(t~1(e)) = ctk(e) для любого
борелевского множества получаем
\e~x2^\2dx = 2n J |e-'2/2|U1(d/) = 2nc J \e~i2/2\2dt,
— ОО —ОО —оо
так что 2лс = 1, и доказательство закончено.
Теорема 20 оправдывает отождествление пространств R и А
при условии, что преобразование Фурье определяется таким
образом, чтобы компенсировать множитель 2л. Это замечание
позволяет нам переформулировать теорему Планшереля и теорему
об обращении (теоремы 9 и 16) в более принятых обозначениях.
—>21. Теорема. Пусть R — аддитивная группа вещественных
чисел. Тогда для любой функции f из L2(R) существует предел
N
(a) g(/) = (K/)(0 = —— lim \ f (х) e~ixt dx
|/2л N->oo jJy
в смысле сходимости по норме пространства L2(R). Отображе-
ние К представляет собой унитарный оператор, действующий
3. Алгебры со сверткой
133
в гильбертовом пространстве L2(R), и называется «Е2-преобразо-
ванием Фурье»1).
(Ь) Обратный к К оператор задается формулой
N
f(x) = (K*g)(x) = -l= lim \ g(t)eixldt,
. у 2Л лг->со Ум
где предел существует в смысле сходимости по норме в L2(R).
(с) Если h^Li(R), то спектр оператора свертки, опреде-
ленного на функциях f из L2(R) по формуле T(h)f = h*f, совпа-
дает с замыканием множества значений «[^-преобразования
Фурье» функции h, которое задается равенством
(тЛ) (t) — h (х) e~ixt dx.
—оо
Функция xh непрерывна, и точечный спектр оператора Т (Л)
совпадает с множеством всех чисел а, для которых множество
{t С R | а = (tft) (0} имеет положительную меру,
(d) Если h^Li(R) и f£L2(R), то
T(h)f = h*f = (R^M (th) К) f,
где через М (xh) обозначен оператор умножения на непрерывную
функцию xh.
Аналогичным образом можно изучить случай локально биком-
пактной аддитивной группы Rn вещественных n-мерных векторов
х = [%1, ..хп]. Читатель, несколько модифицируя метод, исполь-
зованный в доказательстве теоремы 20, легко докажет следую-
щую теорему, дающую аналитическое представление характеров
группы Rn.
22. Теорема. Пусть Rn— аддитивная группа вещественных
п-мерных векторов, и пусть Rn — ee группа характеров. Тогда
существует такое гомеоморфное и изоморфное отображение t
группы Rn на всю группу Rn, что
[х, т] = = exp {i (х^ (т) + ... + xntn (m))}
и
(2n)nii(e) = X(t(e)), е£@п,
где &п —семейство борелевских подмножеств в Rn, а К —мера
Лебега на Rn.
х) Употребляется еще термин «преобразование Фурье — Планшереля».—
Прим, перев.
134
Гл. XL Различные приложения
В рассматриваемом случае также можно придать теореме
Планшереля несколько более конкретную форму, если восполь-
зоваться полученным выше представлением характеров группы Rn.
Как легко видеть, в этой теореме утверждается, что если
fQF2(Rn), то предел
N
/п) = (2л)-’’/2 lim t
N~+OO V
N
$ 7(^i.
— N
• • ? %n) X
X exp { — i . + tnxn)} dx{ ... dxn
существует в смысле сходимости по норме в L2(Rn) и опреде-
ляет в этом пространстве унитарный оператор, обратный к кото-
рому задается формулой
N
f(xl4 ..., хп) = (2л)“п/2 lim
N->oo
N
jj g(ti, ...,tn)x
-N
X exp {i (tiXi + ... + tnxn)} dt{ ... dtn
При этом последний предел также существует в смысле сходи-
мости по норме в L2(R ).
Ясно, что и остальные утверждения теоремы 21 можно
обобщить на случай нескольких переменных, но мы не будем
здесь входить в детали. Вместо этого укажем, как можно
использовать теорему Планшереля в случае двух переменных
для того, чтобы получить некоторые сведения относительно
преобразования Ганкеля. Воспользуемся полярными координатами
г, 0 на плоскости и рассмотрим функции F из L2 (7?2) специального
вида F (х, у) =^f(r) einQ, где п — целое число. Так как
оо оо 2л оо оо
о° ~> | F (х, у) |2 dx dy = \ | f (г) |2 г dr df) — 2л г | f (г) |2 dr,
— оо —оо 0 0 0
то преобразование Un, определенное соотношением
(Unf)(x, у) =
1_ МУ*2+у2)
У2л y*2 + z/2
Qin arctg(y/x)
представляет собой изометрический изоморфизм пространства
L2(0, оо) на некоторое (необходимо замкнутое) подпространство Ж
пространства Л2(^2). Преобразование Фурье G функции F имеет
вид
G(«, t>) = lim-У- И f(r)einQe~i(~xu+^dxdy,
Р х2+гу2<^р2
3. Алгебры со сверткой
135
где предел берется в смысле сходимости по норме в Л2(Т?2).
Вводя полярные координаты u = s cos ф, y = ssin(p, получаем
xu-Yyv — rs cos (0 —ф), так что
R 2зт
G(u, o) = lim f (г) г dr \ е~^ге cos(9-<₽)-n9} de.
2п J t
После подстановки 0' —0— ф + (л/2) и упрощений имеем
в 2л
G(u, v)=*(-iei4>)n lim \ f (г) Г dr \ ei(n9'-rssin9')d0'.
2« В->оо J J
С помощью бесселевой функции Jn порядка п,
2л
Jn = 2зт ei(n0-2 sin 6)
о
можно записать G(u, v) в виде
в
G (и, v) = lim (— ie^y1 ? rf (г) Jn (rs) dr,
B->oo J
а применяя изометрический изоморфизм [7П, введенный выше,
получаем
G (и, v) — lim ]/~2л i~n (UngR) (и, v),
R->oo
где
в
gR(s) = s1^ J rf(r) Jn(rs)dr.
0
Таким образом, полагая f(r) — r1/2f(r) и
в
(Яп/) (s) = \im j (rs)1/2 Jn(rs))(r)dr,
видим, что предел, определяющий Нп, существует в смысле
сходимости по норме в А2(0, оо) и что Нп- i^U^KUn, где К
обозначает преобразование Фурье. Далее, формулу обращения
преобразования Фурье можно интерпретировать как утверждение,
что К2 = М, где (Mf)(x, y) = f( — x, —у). Так как
М (f (г) е^) = f (г) ein(Q+^ = (- 1 )п f (г) eiriQ,
то Un iMUn = (— l)n I. Таким образом,
Н2п = (г)-2п и~{кипОп1КОп = (i)~2nUnlMUn = (- l)"n( - l)nI = 1.
Это доказывает следующую теорему.
136 Гл. XI. Различные приложения
23. Теорема. Пусть f принадлежит пространству L2(0, °°)
функций, интегрируемых с квадратом по мере Лебега. Тогда
предел
R
(Hnf) (s) = lim (rs)1/2 Jn (rs) f (r) dr
R-oo J
существует в смысле сходимости по норме в L2(0, оо) и преоб-
разование Ганкеля, определенное этой формулой, представляет
собой изометрический изоморфизм пространства L2(0, оо) на
себя, причем обратное к Нп преобразование совпадает с Нп.
В гл. ХШ мы обобщим этот результат на нецелые значения п
и покажем, как можно получить более сложные унитарные пре-
образования такого типа.
4. Теоремы замкнутости
Как и в предыдущем параграфе, буквой R будем обозначать
недискретную локально бикомпактную абелеву группу, а интегри-
ровать всегда будем по мере Хаара на этой группе. В следст-
вии 3.2 было отмечено, что комплексное В-пространство L,(^)
является коммутативной В-алгеброй1) с операцией свертки в ка-
честве умножения. В настоящем параграфе мы изучим эту алгебру
с целью дать представление о теоремах замкнутости, группирую-
щихся вокруг знаменитой теоремы Норберта Винера (теорема 7),
в которой утверждается, что необращение в нуль преобразования
Фурье функции из Lj (R) есть необходимое и достаточное условие
того, что линейные комбинации сдвигов этой функции всюду
плотны в Li(/?). Эта теорема Винера о замкнутости приобретает
особое значение, если ее интерпретировать как теорему тауберова
типа; такого рода приложения можно найти в § 5. Более глубо-
кое представление о теории замкнутости в Lt можно получить
при изучении задачи Берлинга о возможности спектрального
синтеза, которая также обсуждается в настоящем параграфе.
Проблема спектрального синтеза состоит в том, чтобы узнать,
содержится ли заданная ограниченная и измеримая на R функ-
ция <р в Li-замкнутом линейном подпространстве пространства
Loo(₽), порожденном теми характерами группы R, которые
принадлежат Li-замкнутому подпространству пространства Loo (/?),
натянутому на всевозможные сдвиги функции <р. Анализ этой
J) Точнее, полной нормированной алгеброй; В-алгеброй Lj (7?) становится
после присоединения единицы.— Прим, перев.
4. Теоремы замкнутости
137
задачи приводит к результатам, более общим, чем первоначаль-
ная теорема Винера о замкнутости; см. теорему 21.
Изучение свойств замкнутости в Lt(/?) будет основано на
рассмотрении двух тесно связанных коммутативных алгебр опе-
раторов в гильбертовом пространстве L2(R). С одной из этих
алгебр—с алгеброй И предыдущего параграфа—мы уже встреча-
лись раньше. Для удобства мы повторим здесь ее определение
и некоторые свойства. Для каждой функции f из Lt(R) свертка
(/•£)(*)- J f(x-y)g(y)dy, g£L2(R),
задает в гильбертовом пространстве L2(R) ограниченный линей-
ный оператор Т (/):
T(f)g~f*g> g^L2(R).
Свертка f*g определена также и тогда, когда обе функции /, g
принадлежат Ц (R), но в этом случае она . содержится в Ц (Я),
а не обязательно в £2 (R)- Комплексное В-пространство Ц (R)
является коммутативной нормированной алгеброй с операцией
свертки в качестве умножения, и отображение f —>Т(/) пред-
ставляет собой непрерывный изоморфизм алгебры Lt(R) в алгебру
B(L2(R)) ограниченных линейных операторов, действующих
в L2 (R)- Ни алгебра Т (Lt (R)), ни ее замыкание Т (Ц (R)) в равно-
мерной операторной топологии не содержат единицы 1 алгебры
B(L2(R)). Алгебра 21 есть по определению В-алгебра, получаю-
щаяся присоединением единицы I к Т (Lt (R)). Ее элементы имеют
вид а! + А, где А принадлежит Т (Lt (7?)). Эта алгебра 21 является
также В*-алгеброй, и для f из Lt(R) гильбертов сопряженный
оператор к Т (/) задается соотношениями
т(/)*=т(7),
Если для каждой функции f из Lt (R) определить новую норму
оператора Т (/), полагая | Т (/) |i = | f где |/|i — норма функции f
в Lt (R), то алгебра Т (Lt (/?)) с такой нормой изометрически
изоморфна Lt(R) и, таким образом, удовлетворяет всем аксиомам
В-алгебры, за исключением существования единицы. Единицу /
можно присоединить, как это описано в § IX. 1, рассматривая
все пары (а, Т (/)), где а принадлежит полю комплексных
чисел Ф, а / — функция из Lt(R). Обозначим эту алгебру пар
(а, Т (/)) с нормой
| (а, 7’(Л)|1==]аЦ-|/|1
через Stр Поскольку подалгебры алгебры 31 ь состоящие из эле-
ментов вида (а, 0) или (0, Т (/)), эквивалентны соответственно
138
Гл. XI. Различные приложения
алгебрам Ф и Т (Ц (В)) с /^-нормой, то можно иногда вместо
(а, Т (/)) писать а/ + 7(/). Таким образом, символу (а, Т (fY), или
aI + T(fY где f принадлежит ЛДВ), можно сопоставить две
нормы: одну как элементу алгебры 21, а другую как элементу
алгебры 21Р Эти две нормы связаны неравенством
Доказательства предыдущих утверждений можно найти в на-
чале § 3.
Буквы М, мы будем употреблять для обозначения струк-
турных пространств алгебр 21, 2Г± соответственно. Буквой т будем
обозначать естественное гомоморфное отображение коммутативной
В-алгебры в пространство всех непрерывных функций, опреде-
ленных на ее структурном пространстве (IX.2.9). Так как 21
является В*-алгеброй, то отображение т:21—>С(а<) представляет
собой изометрический *-изоморфизм алгебры 21 на всю алгебру
С(о^) (IX.3.8). Напомним (IX.2.2), что для любой коммутативной
В-алгебры 21 существует взаимно однозначное соответствие
между ее максимальными идеалами и ненулевыми гомоморфиз-
мами в поле комплексных чисел. Это соответствие задается
равенством
Н (х) = (тх) (т), х С 21,
где В —гомоморфизм алгебры 21, отвечающий максимальному
идеалу ш. Такой гомоморфизм непрерывен (следствие IX.2.3).
Поскольку как для 21, так и для 211 любой ненулевой гомомор-
физм Н в поле комплексных чисел непрерывен, причем 27 (Z) = 1,
то он полностью определяется своими значениями на элементах
вида Т (/), где Таким образом, каждое из пространств
<М, Mi имеет бесконечно удаленную точку роо, соответствую-
щую гомоморфизму В, который определяется равенствами
77(7) = 1, В(Т(Л) = 0, /€£!(/?).
Итак, если р — какая-нибудь точка, отличная от р<х>, то
(хТ (/)) (р) 0 для некоторой функции f из Li(7?). Как и раньше,
иногда нам будет удобно употреблять символ для обозна-
чения множества М — {роо}.
1. Теорема. Структурные пространства алгебр 21 и 211 гомео-
морфны, причем этот гомеоморфизм задается отображением,
сопоставляющим каждому максимальному идеалу алгебры 21 его
пересечение с 211.
Доказательство. Это доказательство удобнее провести в тер-
минах нетривиальных гомоморфизмов в поле комплексных
чисел, а не на языке максимальных идеалов. Если Н — такой
4. Теоремы замкнутости
139
гомоморфизм алгебры 21, то его сужение Hi = Н1211 является
нетривиальным гомоморфизмом алгебры 211 в Ф. Таким образом,
отображение Н—> Hi определяет отображение 4 в Поскольку
оба эти гомоморфизма непрерывны (IX.2.3) и 211 всюду плотно
в 21, это отображение взаимно однозначно. Чтобы убедиться
в том, что множество его значений совпадает со всем М^ рас-
смотрим какой-нибудь ненулевой гомоморфизм Hi алгебры 211.
Если Hi(T(J)) = 0 для всех / из то Hi является суже-
нием гомоморфизма Н алгебры 21, определенного равенством
Н(а1-]-А) = а. Если Hi(T(f)) не обращается в нуль тождест-
венно для всех f из то, как было показано в первой
части доказательства теоремы 3.11, существует такой непре-
рывный характер h группы /?, что
Hi(T(f))= J KLi(R).
R
В той же теореме 3.11 показывается, что этот характер опреде-
ляет гомоморфизм алгебры 21, сужение которого на совпа-
дает с Hi. Итак, Н —> Hi = Н\ 2It порождает взаимно однозначное
отображение пространства М на все Mi. Далее, по определению
(IX.2.7) базисы открытых множеств в М, Mi строятся при помощи
всевозможных конечных множеств элементов из 21, 21± соответ-
ственно, так что непрерывность отображения М —>Mi вытекает
непосредственно из определения топологии в М и М^ Поскольку
эти пространства бикомпактны (IX.2.8), из леммы 1.5.8 сле-
дует, что отображение M—>Mi является гомеоморфизмом, ч. т. д.
В силу теорем 1 и 3.15 структурное пространство алгебры 2^
гомеоморфно бикомпактному расширению R (J {₽«>} группы харак-
теров группы R. Обозначение Л U {Р°°} оправдывается тем, что
при указанных в теоремах 1 и 3.15 гомеоморфизмах пространств
М, Mi и /?U{Poo} «бесконечно удаленные точки» этих про-
странств переходят друг в друга. Часто нам будет удобно считать
эти пространства отождествленными посредством указанных
гомеоморфизмов.
Если пространства М, Mi и R J {Р°°} отождествлены при
помощи этих гомеоморфизмов, то функция (тТ(/))(/л), которая,
как показано в предыдущем доказательстве, для некоторого
непрерывного характера h группы R задается интегралом
h{x)f(x)dx, принимает в точке т одно и то же значение неза-
R
висимо от того, рассматривается Т (/) как элемент алгебры 21
или 211. Таким образом, в то время как в символе Т (/) все еще
140
Гл, XI. Различные приложения
заключена некоторая неопределенность, поскольку его норма
может быть определена только после указания той из алгебр ЭД,
ЭД(, элементом которой мы его считаем, такое указание относи-
тельно символа хТ (f) не является больше необходимым. Так как
хТ (/) зависит лишь от f, то нам будет иногда удобно обозначать
эту функцию символом xf или f. Таким образом, отображение
f—*j является изоморфизмом между алгеброй (R) со сверткой
в качестве умножения и некоторой подалгеброй алгебры С (а$) =
. С (Л,) С (R U {Р°о})-
2. Лемма. Пусть точка р=/=р«> принадлежит дополнению
бикомпактного подмножества С пространства <М. Тогда най-
дется такая функция f из (R) f) Lz (R) и такая окрестность N
точки р, что
0С/(т)С1,
f(m) = 0, т£С; f(m)=\, m<^N.
Доказательство. Будем считать, что пространство <М отожде-
ствлено с бикомпактным расширением R U {р«>} группы характе-
ров. Допустим сначала, что р = 0, и выберем окрестность W
точки 0 так, что ее замыкание бикомпактно, не содержит р^
и не пересекается с С. Пусть V—такая окрестность 0, что
— V V и V | V-| VslF. Пусть gx, g2 — характеристические
функции множеств V, V-| V соответственно, а р—мера, введен-
ная в лемме 3.6. Из этой леммы следует, что р(^)<оо,
и потому функции gt, gz принадлежат Lz(R, р), где ^ — се-
мейство борелевских подмножеств в R. По теореме Планше-
реля (3.9) функции /гг = т-1§г, 1=1, 2, принадлежат L2 (R), так
что функция h, определенная на R равенством /г(х) = /г1(х)/г2(х),
принадлежит (R). Из теоремы 3.9 (Ь) вытекает, что £(^')йг = hp,
следовательно, по лемме 3.5 функция h непрерывна и ограничена
и потому принадлежит Lz(R). Далее,
/г (т) = (х, т[ hi (х) h2 (х) dx.
п
Пусть £i, т— сдвиг функции gt, определенный соотношением
gi, ,„(</) + Тогда, применяя лемму 3.18, находим, что
(x^gi, т) (х) = [х, —т] (x^gi) (х) =- [X, т] (х);
таким образом, поскольку отображение т-1 унитарно,
А (//г) = J (x^gt, т) (X) (x^gz) (х) dx = J gt (q + m) g^q) p (dq).
R R
4. Теоремы замкнутости
141
Если т С V, то gi (q + т) g2 (<?) gt (q + m), так что из теоремы
3.19 следует, что (r/i)(/n)-- |х (V) при m£V. Если m^V + V-j-V,
то подинтегральное выражение обращается в нуль, поэтому
h(m) = 0 для таких т; в частности, h(m) = Q для всех т из С.
Для всех q и т имеем gt(q \т) g2(q)^.gi(q + m), и так как
мера р инвариантна, то
А (///) J gt (q | т) р (dq) == р (V).
П
Беря в качестве / функцию Л/р(У), получаем утверждение леммы
для р —0. Справедливость леммы в общем случае вытекает
из предыдущего и из тождества
(т/) (т—р) = (т {[ •, р] f (•)}) (/л),
которое было доказано в лемме 3.18.
3. Лемма. Пусть Clt С2 —непересекающиеся бикомпактные
подмножества пространства М, причем р<х,$С2. Тогда в
Lt (И) fl L2 (R) существует такая функция f, что
0</(т)<1, т^М-,
f(m) = 0,- mQCi, f(m)=l, mQC2.
Доказательство. Согласно предыдущей лемме, для каждой
точки р из С2 найдется такая окрестность Np и такая функция fp
из Li (R) f| L2 (R), что fp обращается в нуль на С15 тождественно
равняется 1 на Np и для всех т. Так как С2
бикомпактно, то имеется такой конечный набор Д, ..., fn функ-
ций из Li (R) f| L2 (R), что соответствующие этим функциям окрест-
ности Ni, Nn покрывают С2. Функция f = fi + f2 — fi*f2 при-
надлежит Li (R) f| L2 (R), причем
f (fn) = fi (m) + f2 (m) — fa (m) f2 (m) = 1, m £ Ni (J N2;
f(m)-=0, m£Ci, ОС/
Ясно, что, повторив этот процесс конечное число раз, мы полу-
чим функцию, обладающую желаемыми свойствами.
4. Теорема. Пусть функции fug интегрируемы на R,
и пусть С —бикомпактное подмножество пространства М,
не содержащее бесконечно удаленной точки. Если g обращается
в нуль на дополнении к С, a f ни в одной точке множества С
не равняется нулю, то существует такая интегрируемая функ-
ция h, что g = f*h.
142 Гл. XI. Различные приложения
Доказательство. Так как т является *-изоморфизмом между ЭД
и С(е//), то из леммы 3.1 (с) следует, что так что
т(/*/) (т) = | f(m) [2. Таким образом, т(/*/)(т)>8 для некоторого
положительного числа 8 и всех точек т из некоторой окрест-
ности N множества С. Из предыдущей леммы вытекает, что
в Ц (R) П L2 (R) найдется такая функция k, что
О k (т) < 1, т С М;
k{m)—\, mQC; k(m)~0, m^N.
Следовательно, k (m) g (m) == g(m) для всех m из о/ll, а так как ото-
бражение /—>/ представляет собой изоморфизм, то k*g = g.
Так как т(/ + *f)(jn)>® для всех т из о#, то оператор
I+ Т (—&+ f * /) не принадлежит ни одному максимальному идеалу
алгебры ЭДЬ и потому по лемме IX. 1.12 (е) в ЭД1 найдется
обратный к нему элемент а1~+-Т(а). Таким образом, для всех пг
из Я
g(m) = (a + a(m))(l—k (m) + f (m) f (m)) g (m) =
= (a + a (fn)) f (m) f(m) g (tn),
откуда следует, что функция /z, определенная равенством
h = * g-\-a* f * g, обладает тем свойством, что g (m) = h (tn) f (m)
для всех in из Я. Так как отображение /—>/ является изомор-
физмом, то это означает, что g = h*f, ч. т. д.
5. Лемма. Множество функций f из АД/?), для которых f
обращается в нуль в окрестности бесконечно удаленной точки г
всюду плотно в (R).
Доказательство. По лемме 3.6 множество всех функций
из А2(Л, р), равных нулю вне бикомпактных множеств, всюду
плотно в этом пространстве, а по теореме Планшереля множество
всех функций f из L2(R), для которых f обращается в нуль
всюду, за исключением некоторого бикомпактного подмно-
жества в R, плотно в L2(R). Так как [/, g]—>fg является непре-
рывным отображением пространства L2(R)xL2(R) на все про-
странство Li(R), то множество произведений /g, где f и g —
такие функции из L2(R), что их преобразования f и g обращаются
в нуль вне некоторых бикомпактных подмножеств R, всюду
плотно в Li(R). Итак, для завершения доказательства доста-
точно показать, что если /, g£L2(R) и /, g обращаются в нуль
вне бикомпактного множества С R, для которого С=— С, то
т(/^) равно нулю вне бикомпактного множества В силу
4. Теоремы замкнутости
143
теоремы Планшереля отображение т унитарно, и потому из леммы
3.18 следует, что
* (fg) (т) = J [х, tn] f (x)g(x)dx =^f(p + m)g(p)iL (dp).
Я R
Доказательство закончено, так как подинтегральная функция
равна нулю, если только т не принадлежит множеству С + С.
Напомним, что //-сдвиг fy функции f на jR определяется
равенством fy(x) = f(x — y). Говорят, что множество функций
на jR замкнуто относительно сдвигов, если для каждого у из R
функция fy принадлежит этому множеству всякий раз, когда
ему принадлежит функция /.
6. Лемма. Замкнутое линейное многообразие, порожденное
всевозможными сдвигами функций из некоторого множества
S L{ (R), совпадает с замкнутым идеалом алгебры Li (R),
порожденным множеством S.
Доказательство. Заметим сначала, что если f,g£Li(R)
и cpgLoo(R), то функция ф(х)/(х — y)g(y) является Л х^-интегри-
руемой, так что
(I) $ (х) (f * g) (х) dx = J Ф(х) { J f(x — y)g(y)dy\ dx--
R R R
= $ g(y) <?(x)f(x-y)dx}dy.
R
R
Пусть теперь £ —замкнутое линейное многообразие, порожден-
ное сдвигами функций из S, а $ —наименьший замкнутый идеал
в Ц (R), содержащий S. Из инвариантности меры К относительно
сдвигов следует, что £ замкнуто относительно сдвигов. Пусть
F — непрерывный линейный функционал на Li(R), равный 0 на £,
и пусть ф —ограниченная измеримая функция, представляющая F
(IV.8.5); пусть f — какая-нибудь функция из £. Тогда, так как
O = Ffy= ф (х) f (х — у) dx, из равенства (I) следует, что
r
F(f*g) = O &ля. любой функции g из Li(R). Отсюда в силу след-
ствия II.3.13 получаем, что f*g£S> для любой функции g
из (R), а это означает, что £ является идеалом; итак, £^Q.
Обратно, пусть f принадлежит замкнутому идеалу Q алгебры
АД/?), a F — непрерывный линейный функционал, равный 0 на 3-
Тогда если функция ф представляет F, то
J Ф (x)dx = 0,
R
g£Li (Я)*
144
Гл, XL Различные приложения
Из равенства (I) следует, что функция cp(x)f (х — y)dx равна О
R
для почти всех у из R, а так как она непрерывна по у (лем-
ма 3.1(d)), то равна 0 для всех у из R. Таким образом, в силу
следствия II.3.13 все сдвиги функции f принадлежат 3» т. е-
идеал 3 инвариантен относительно сдвигов. Это показывает,
что 3 — и завершает доказательство леммы.
—> 7. Теорема (теорема Винера о Li-замкнутости). Линейные
комбинации сдвигов функции f из Li(R) всюду плотны в Li(R)
тогда и только тогда, когда ее преобразование f не равно нулю
ни в одной точке группы характеров группы R.
Доказательство. Пусть £ — замкнутое линейное подпростран-
ство, натянутое на сдвиги функции f из Ц (R); допустим, что
f(tn)^O для каждой точки т из отличной отроо. Тогда £
замкнуто относительно сдвигов и по предыдущей лемме является
идеалом. Если g — такая функция из Li(R), что g обращается
в нуль на дополнении некоторого бикомпактного подмножества
в то по теореме 4 в Ц (R) найдется такая функция h, что
g — f*h- Это показывает, что £ содержит любую такую функ-
цию g. Из леммы 5 следует, что £ = (/?).
Обратно, предположим, что линейные комбинации сдвигов
функции f из Lf (R) всюду плотны в Li (R), и допустим, что
f(m) = 0 для некоторой точки т^=р^. По лемме 6 функции вида
h=-f*g, где g£Li(R), всюду плотны в Li(R), ибо они образуют
идеал, который в силу очевидного соотношения fy*g = f*gy
содержит все сдвиги функции f. Для такой функции h имеем
h(m) = f (т) g(m) = 0, откуда в силу непрерывности отображения
h—>h следует, что /г(т) = 0 для всех h из Li(R). Поскольку
т^рсо, это противоречит лемме 2; доказательство закончено.
8. Теорема. Если £ — собственное замкнутое линейное подпро-
странство в Li (R), инвариантное относительно сдвигов, то в R
найдется такая точка т, для которой f(m) — 0 для всех f из 2.
Доказательство. Допустим противное. Пусть С —бикомпактное
подмножество в R, a g — функция из АД/?), преобразование
которой g равно нулю на дополнении к С. По предположению
для каждой точки р из С в £ найдется такая функция
что fp(p)=^=O. Так как £ —идеал (лемма 6), то fp*fp принадле-
жит £, а поскольку ^(fP*fP) (т) = | fp(т) |2, можно считать,
что функции /р выбраны таким образом, что £р(т)>0 для всех
4. Теоремы замкнутости
145
tn из R. Пусть Np — окрестность точки р, на которой функция fp
положительна. Так как С бикомпактно, то конечное число этих
окрестностей NPi, ..., NPn покрывает С. Функция f =
• • • +/рп принадлежит В и /(т)>0 на С. По теореме 4 в L{(R)
существует такая функция h, что g~f*h. Из леммы 6 следует,
что g принадлежит В. Так как g и С были взяты произвольно,
то по лемме 5 S = Li(/?), что противоречит условию теоремы.
Следующий результат можно рассматривать как двойственный
к только что доказанному.
9. Теорема. Ненулевое линейное подпространство простран-
ства Loo(R), инвариантное относительно сдвигов и Li(R)-3aMKHy~
тое в L^R), содержит по крайней мере один характер группы R,
Доказательство. Пусть S? — подпространство в Аоо(/?), обла-
дающее указанными свойствами, и пусть В —сопряженно-орто-
гональное дополнение к т. е. множество всех h из Li (/?),
для которых
(1) h (х) ф (х) dx = О
R
при всех ф из Так как Й содержит ненулевые векторы,
то В —собственное подпространство пространства L{(R). Из ин-
вариантности й следует, что если и фСЙ, то ф_уС® и
О = h (х) ф_у (х) dx = h (х) ф (х + у) dx =
R R
= h (х — у) ф (х) dx hy (х) ф (х) dx,
R R
а это означает, что hy принадлежит В, и доказывает инвариант-
ность В относительно сдвигов. В предыдущей теореме доказы-
вается, что в R найдется такая точка т0, что й(т0) —0 для
всех h из В. Кроме того, так как 5? замкнуто в Loo(R) относи-
тельно Ц (7?)-топологии, то из следствия V.3.12 вытекает, что Й
является сопряженно-ортогональным дополнением к В, т. е. если
равенство (I) справедливо для некоторой функции ф из LOO(R)
и всех h из В, то ф принадлежит Таким образом, если
hm0 = [ •, m0] — характер, соответствующий точке т0 (теорема 3.11),
то для любой функции h из В
О = h (т0) = h (х) [х, то\ dx=^ h (х) [х, т0] dx,
R R
откуда следует, что характер [ •, mQ\ принадлежит ч. т. д.
10 Заказ № 134
146 Гл. XI. Различные приложения
Только что доказанная теорема показывает, что если ограни-
ченная и измеримая на R функция <р отлична от нуля на неко-.
тором множестве положительной меры, то в £гзамкнутом линейном
подпространстве Я'(ф) пространства LX(R), порожденном сдвигами
функции <р, содержится по крайней мере один характер груп-
пы R. Проблема спектрального синтеза для -функции, постав-
ленная А. Берлингом, состоит в определении того, содержится
ли функция <р в Li-замкнутом линейном подпространстве прост-
ранства Lx(R), натянутом на характеры, принадлежащие й(ф).
Хотя это не всегда имеет место, мы увидим, что иногда это
справедливо. В определении 10 вводится основное понятие, кото-
рым пользуются при изучении проблемы спектрального синтеза.
10. Определение. Спектральным множеством <т(ф) ограничен-
ной измеримой функции ф на R называется множество всех
характеров группы R, содержащихся в £гзамкнутом подпрост-
ранстве й(ф) пространства L^R), порожденном сдвигами функ-
ции ф.
Следующая лемма содержит некоторые элементарные свой-
ства спектральных множеств, которыми мы будем пользоваться
при изучении спектрального синтеза.
11. Лемма. Пусть ф и ty —функции из LX(R), а—комплексное
число, фм (х) - ф (х--//) и ф(х) —ф( —х) при х, y£R. Тогда
(а) спектральное множество а (ф) является замкнутым подмно-
жеством в R, причем оно пусто тогда и только тогда, когда
Ф -= 0;
(Ь) а(аф) = ст(ф), а=#0;
(с) а(фг,) = <т(ф), а(ф) = о(ф);
(d) если [•, т]—характер группы R, то
<т(Ь «г]ф(-)) = а(ф) + т;
(е) а(ф + ф) = а(ф)1)ог(Ф)-
Доказательство. Из теоремы 9 следует, что а(ф) пусто тогда
и только тогда, когда ф —0. Чтобы убедиться в том, что о(ф)
замкнуто, рассмотрим в £t (/?) сопряженно-ортогональное допол-
нение £(ф) к й(ф). По следствию V.3.12 характер т из R тогда
и только тогда принадлежит ст(ф), когда
(I) / (т) = [х, т] f(x)dx — 0, / 6 8 (ф).
R
Так как функцияа/ непрерывна, то множество {т \т £ R, f(m) = 0}
замкнуто; поэтому множество о (ф), представляющее собой пере-
сечение таких множеств по всем также замкнуто. Это
4. Теоремы замкнутости
147
доказывает (а). Утверждения (Ь) и а (фу) = а (ср) очевидны, так
как они следуют непосредственно из определения подпростран-
ства Я(ф), согласно которому $(ф) = ^(аф)== 3?(фу). С помощью
простой выкладки получаем, что /££(ф) тогда и только тогда,
когда /££(ф), а так как нули функций т/ и т/ совпадают, то,
учитывая равенство (I), убеждаемся в справедливости утвержде-
ния (с). Положим теперь ф (х) = [х, т] ф (х), так что /££(ф)
тогда и только тогда, когда [•, яг]/(•) принадлежит £(ф). Таким
образом, используя условие (I), получаем, что mi принадлежит
а(ф) тогда и только тогда, когда
[х, mJ [х, m]/(x)dx = 0, /С£(Ф).
R
Очевидно, что это равносильно тому, что mi + mga(ф), т. е.
а(ф) + яг = а(ф). Утверждение (d) доказано.
Пункт (е) мы докажем от противного, предполагая, что
в а(ф + ф) имеется точка т, не принадлежащая ни одному из
спектральных множеств а(ф), а(ф). Из условия (I) следует, что
найдутся такие функции /, g из £(ф) и £(ф) соответственно,
что /(m)=^0, g(m)=#0. Положим h = f*g, так что h (т) =
g (m) #= 0. Так как /С £(ф), то
h (х) ф (х—у) dx = f (х — z) g (z) ф (х — у) dx dz =
R R R
= ^ /(x) (p(x + z —г/) g(z) dxdz =
R R
= 0-g(z)dz = 0.
R
Итак, /ig8((p). Аналогичным образом убеждаемся в том, что
/i££(i|>); следовательно, h С£ (<р + 4>). Так как т принадлежит
а(ф + ф), то из условия (I) получаем, что h (т) = 0. Противоречие.
Лемма 12 связывает понятие спектрального множества с опе-
рацией свертки.
12. Лемма. Пусть фСЛоо(7?) и fQLi(R).
(а) Характер т принадлежит о(ф) тогда и только тогда,
когда g(m) = 0 для тех g из ^(7?), для которых £*ф = 0.
(b) ст(/*ф)^ст(ф).
10*
148 Гл. XI. Различные приложения
(с) Спектральное множество а (/ ♦ ф) не пересекается ни с одним
открытым множеством в R, на котором f обращается в нуль1).
Доказательство. Функция /*<р ограничена и непрерывна
(лемма 3.1 (d)), так что утверждения, которые должны быть
доказаны, имеют смысл. Чтобы доказать (а), заметим сначала,
что £*ф-0 тогда и только тогда, когда функция g принадле-
жит подпространству 2(ф), представляющему собой сопряженно-
ортогональное дополнение к ®(ф) в пространстве Ц(%). При
доказательстве предыдущей теоремы было отмечено, что харак-
тер т принадлежит о(ф) тогда и только тогда, когда g(m) = 0
для всех g из 2 (ф). Утверждение же пункта (а) состоит в том,
что т принадлежит о(ф) тогда и только тогда, когда g(m) = 0
для тех g из £1(7?), для которых #С2(ф). Легко видеть, что
эти два утверждения равносильны, ибо {xg) (т) ~g{m).
Пусть теперь д'С2(ф). Тогда, как показано в предыдущем
абзаце, £*ф 0. Следовательно, g*f*<p — 0, так что й'СЙ(/*ф).
Это доказывает, что 2(<р) 2(/*ф). Отсюда немедленно следует
справедливость (Ь), ибо m£ci{q>) тогда и только тогда, когда
g{m) 0 для всех g из й(ф), и /?гСа(/*ф) в том и только том
случае, когда g{m) 0 для всех g из 2(/*ф).
Наконец, пусть f (т) 0 для всех т из открытого множества'
N. Пусть pQN. Применяя лемму 3, выберем в £4 (7?) такую
функцию /г, для которой /г(р)= 1 и /г(т) -=0 на дополнении к N.
Тогда т{h*f) = hf —0, и так как т —изоморфизм, то h*f = Q.
Таким образом, й*(/*ф) = 0. Так как Я(р)^О, то из пункта (а)
следует, что р^о*(/*ф)» ч. т. д.
13. Теорема. Если q —ограниченная и измеримая функция
на R, ст (ф)ее спектральное множество, a N — какая-нибудь
его окрестность, то ф содержится в Ь^-замкнутом линейном
подпространстве пространства L™ (7?), порожденном характе-
рами из N. Обратно, если ф принадлежит Ц-замкнутому линей-
ному многообразию, порожденному характерами из некоторого
замкнутого множества F, то о (ф) F.
Доказательство. Допустим, что ф не принадлежит /^-замкну-
тому подпространству, порожденному характерами из N. По след-
ствию V.3.12 в £1(7?) найдется такая функция /, что /(т) = 0
1) Иными словами, о (/ * <р) не содержит ни одной точки, являющейся
внутренней для множества нулей функции f.— Прим. перев.
4. Теоремы замкнутости
149
для всех т из N и f (х) ф (х) dx 0. Так как (т/) (т) = f (т),
то (r/j(/n) = 0 для всех т из JV; таким образом, из леммы 12 (с)
следует, что пересечение ст(7»ф)П^ пусто. По леммме 12 (Ь)
ст (7* <p) s ст(ф) г М, так что ст(7*ф) пусто, и по лемме 11 (а)
имеем 7»ф = 0. В силу леммы 3.1 (d) функция f*q> непрерывна
и потому равна 0 тождественно; в частности,
0*-(7*ф)(0)- J 7(*)Ф(~x)dx - J J(xj<p(x)dx,
п я
что противоречит выбору функции /.
Для того чтобы доказать обратное утверждение, допустим,
что в о (<р) имеется характер р, не принадлежащий множеству F.
По лемме 2 в Li(R) найдется такая функция Д что /(р)—1
и — Q для всех т из F. Тогда
f (*) k,tn\dx~f (tn) = 0, m£F,
R
и потому f(x)ty(x)dx — 0 для всех ф из /^-замкнутого под-
R
пространства 5?, порожденного характерами из F. Так как
[% + р, т] = [х, tn] [у, т\, то £гзамкнутое линейное многообра-
зие 5?, порожденное характерами из F, инвариантно относительно
сдвигов. Таким образом, поскольку ф по предположению лежит
в 5?, все ее сдвиги также принадлежат Я. Так как Я является
£гзамкнутым, то из определения 10 следует, что [ •, р] принад-
лежит Я. Но тогда f(p) = f(x) [х, p]dx = 0, и мы получаем про-
R
тиворечие.
В дальнейшем теорема 13 будет усилена, а именно, в теоре-
ме 20 мы покажем, что функция ф принадлежит подпростран-
ству, порожденному характерами из а(ф), если граница ее
спектрального множества не содержит непустых совершенных
подмножеств. Перед тем как доказывать это, полезно получить
некоторую предварительную информацию. С этой целью мы
вводим, как это указано ниже, линейное отображение Ф про-
странства L2(R) в L2(R). Пусть ф£Аоо(/?), так что для любой
функции f из L2(R) функция ф/ также принадлежит L2(R), при-
чем | ф/|2<|ф|оо|/|2- Отображение Ф определяется для f^L2(R)
150
Гл. XI. Различные приложения
равенством Ф(/) = т (<р/). По теореме Планшереля Ф непрерывно.
Из леммы 3.18 следует, что если ф —характер mQ из R, т. е.
ф(х) = [х, гн0|, x£R, то Ф(/) представляет собой сдвиг (т/)Шо
функции т/, который задается формулой (Ф[)(т) — [ (т — т0).
В следующих леммах нас будет интересовать тот частный случай,
когда функция ф из Loo(R) такова, что а(ф) = {0}.
14. Лемма. Пусть q^L^R), а(ф) = {0} и f^Li(R)[\L2(R)-
Тогда функция Ф(/) равна нулю на каждом открытом подмно-
жестве в R, на котором f обращается в нуль. *
Доказательство. Пусть I т — произвольная точка открытого
множества N, на котором f обращается в нуль, и пусть V —
такая окрестность нуля в R, что V=—V и m + V N. По тео-
реме 13 найдется такая обобщенная последовательность, элемен-
г
тами которой являются линейные комбинации фа (х) = 3 I*» mi\
г=1
характеров [•,/пг], пц^У, что
(О Ф (х) g (х) dx = lim £ фа (х) g (х) dx, gQLi (R).
it а к
Так как m4- V- - tn — Vs N, to m — mi^N, откуда следует, что
для линейного оператора Фа, соответствующего функции фа,
равенство (Фа/) (т) — 0 выполняется при всех а. Из равенства (I)
получаем
(Ф/) (т) = [х, т] ф (х) f (х) dx =
к
= lim \ [х, т] фа (х) f (х) dx — lim (Фа/) (tn) = О,
“и а
т. е. Ф/ обращается в нуль в произвольной точке т из N, ч. т. д.
15. Лемма. Пусть функция ф из LX(R) такова, что ст(ф) = {0}.
Тогда существует такое комплексное число а, что
Ф (т-гХу) = axv
для любого открытого в R множества V, замыкание которого
бикомпактно.
Доказательство. Из леммы 3.6(1) вытекает, что p.(V)< со;
таким образом, как было отмечено в замечании, следующем
за доказательством этой леммы, для каждого целого положи-
тельного п найдется такое открытое множество Un s V, что
UnsV и р(У(Ж)<1/п. Можно считать, что Un = Un+1,
4, Теоремы замкнутости
151
п =1, 2, .... По лемме 3 в Ц (R) П L2 (R) существуют такие
функции /п, что fn обращаются в 0 на дополнении к V, fn (т) = 1
для mQjJn и все значения fn заключены между 0 и 1. Ясно,
что последовательность {fn} стремится к %у по норме в L2(R),
так что {Ф(/п)} сходится в этом же пространстве к Ф(т-1%у).
По следствию III.6.13 (а) некоторая подпоследовательность этой
последовательности сходится почти всюду, и потому можно счи-
тать, ЧТО {Ф/п} СХОДИТСЯ ПОЧТИ ВСЮДУ К Ф(т-1%у).
Так как fn обращается в 0 на дополнении к V, то из пре-
дыдущей леммы следует, что Ф/п также обладает этим свойством
(нужно учесть, что V бикомпактно, а функция Ф//г непрерывна,
ибо Покажем, что функция Ф/п постоянна на Un,
Пусть m1? tn2QUn. По лемме 3.18 функции gn и gn, определен-
ные на R соотношениями gn (х) = [х, mJ fn (х) и g'n (х) = [х, т2] fn (х),
имеют преобразования gn (m) = fn (tn + mJ и g'n (tn) = fn (т + т2).
Из той же леммы и из замечания, предшествующего лемме 14,
следует, что (&gn) (m) - (Ф/п) (m + пц) и (Ф^) (т) = (Ф/п) (m + т2)
для всех /и. Таким образом,
* (gn — gn) (tn) = fn (m + mJ — fn (m + m2) - 0,
если только m принадлежит пересечению W множеств Un — tni
и Un — tn2. Понятно, что W — окрестность нуля в R. Таким обра-
зом, из леммы 14 следует, что (Ф§-п) (m) = (®g'n) (tn) для всех т
из W, а это означает, что (Ф/п) (т + m J = (Ф/п) (m + т2) при
т£ W, и, следовательно, a fortiori, (Ф/п) (mJ = (Ф/п) (т2). Итак,
доказано, что функция Ф/п равна 0 на дополнении к V и постоян-
на на Un.
Так как разность fn+i — fn равна 0 на Un, то Ф/п+1 = Ф/Л
на Un (лемма 14). Таким образом, существует такое комплексное
число ау, зависящее, быть может, от V, но не зависящее от п,
что (Ф/п) (т) ~ ау для каждого т из \J Un при всех достаточно
п=1
больших п. Итак, для почти всех т
(Ф*-1Хг) (m) = lim (Ф/„) (m) = ar%r (zn).
п
Осталось доказать, что число ау на самом деле не зависит
от открытого множества V. Если f (R) f) L2 (R), а ^ = 0на
дополнении к V и f (т) = 1 для всех т из открытого подмноже-
ства Уо множества V, то приведенное выше рассуждение пока-
зывает, что (Ф/)(т) = ау для всех tn из Vo, а потому аУо = ау.
Пусть теперь Vt —произвольное открытое подмножество в R
152
Гл. XI. Различные приложения
с бикомпактным замыканием. Тогда из только что доказанного
утверждения следует, что аУ1 = аУиУ! = ау, т. е. ау не зависит
от V, ч. т. д.
16. Теорема. Если спектральное множество ограниченной
измеримой функции ср состоит из единственной точки т, то
существует такое комплексное число а, что <р(х) = а[х, т] для
почти всех х из R.
Доказательство. В силу леммы 11 (d) достаточно доказать
теорему для т = 0. В этом случае предыдущая лемма дает такое
а, что
(I) т<Рт-1Ху = аХу
для каждого открытого множества V = £ с бикомпактным замы-
канием. Поскольку всякое бикомпактное подмножество в R
содержится в некотором открытом множестве с бикомпактным
замыканием, то из замечания, сделанного после доказательства
леммы 3.6, следует, что равенство (I) справедливо для любого
открытого множества конечной меры. Тогда из регулярности
меры р вытекает справедливость его для любого борелевского
подмножества в $ конечной меры. Так как тфт"1/ линейно
и непрерывно зависит от f^L2(R)1 то т(рт-1/ = а/ и срт"1/ = ат"1/
для всех / из L2(R). Следовательно, ср(х)^а для почти всех х
из R, ч. т. д.
17. Следствие. Если преобразование xf функции f из Lr(R)
равно 0 в точке mQl то f представима как предел в Li (R) такой
последовательности {/п}, что каждая из функций xfn равна 0
в какой-нибудь окрестности точки mQ.
Доказательство. Пусть 8 —замыкание множества всех таких
функций h из Li (R), для которых преобразование xh равно 0
в какой-нибудь окрестности точки т0. Покажем, что f содер-
жится в 3.
Если #£8, то найдется такая сходящаяся к g последова-
тельность {gn}, что каждая из функций gn равна 0 в какой-
нибудь окрестности точки т0- Тогда h*gn —» h*g для любой
функции h из Li(R), а так как x(h * gn) = hgni то h,*g принад-
лежит 8, так что 8 является идеалом. Из леммы 6 следует, что
идеал 8 замкнут относительно сдвигов. Поэтому Ж, сопряженно-
ортогональное дополнение кЗв LOO(R)1 также замкнуто отно-
сительно сдвигов. Далее, [•, т0] — единственный характер, при-
надлежащий Ж, так как если то по лемме 3 в Li (R)
найдется такая функция g, что ее преобразование g равно О
4. Теоремы замкнутости
153
в окрестности т0, а в точке т отлично от 0. Но тогда [•, т\
не принадлежит Ж, так что [•, т0] —действительно единственный
характер из Ж. Из предыдущей теоремы следует, что Ж состоит
из функций, отличающихся от [•, т0] лишь скалярным множи-
телем. Так как /(то) = О, то f принадлежит сопряженно-ортого-
нальному дополнению к Ж, которое по следствию V.3.12 совпа-
дает с £, ч. т. д.
18. Следствие. Пусть mQ —точка множества R. Тогда в Li(R)
существует такая обобщенная последовательность {/ia}, что
| |i = 1 для всех а и ha*f 0 в Li(R) для тех
функций f из Ai(7?), для которых
Доказательство. Пусть V — окрестность нуля в R с биком-
пактным замыканием, и пусть W — такая окрестность нуля, что
W = —W и Тогда характеристическая функция Xvr
принадлежит L2(R) и имеет норму | %w |2 = р (№)1/2. Из теоремы
Планшереля следует, что неотрицательная функция pv =
= (^Xw) и W-1 имеет В (#) норму I Pv 11 = 1. Поскольку
отображение т унитарно, то по лемме 3.18
Pv М = J хи, {tn + /Hi) (m) p (dm),
R
так что pv(0)=l и pv(m) = 0 при m^V. Положим hv(x) =
=Дх, ^olPv(*) Для x£R. Тогда hv£Li(R), | hv |i = 1 и hv(m0) =
= Pv (0) = 1. В качестве направленного множества {Е, С}
индексов а, используемого при построении нужной нам обоб-
щенной последовательности, возьмем семейство окрестностей
нуля в А с бикомпактным замыканием, упорядоченное таким,
образом, что означает, что U Тогда искомая обоб-
щенная последовательность есть {hv}, где функции hv опреде-
лены выше. Нам осталось лишь показать, что hv *f —» 0 в Ц (R),.
если f£Li(R) и f(mo) = O. Из леммы 3.18 следует, что hv(m) = 0,
если m^mo + V. Далее, если 8>0, то по предыдущему следст-
вию в Ц (R) найдется такая функция g, что g равняется О
в некоторой окрестности U точки т0 и |/ — g|i<e. В {£, <}
найдется такая окрестность Ve, что m0 + V^U для каждой
окрестности V из {Е, <}, для которой Следовательно,
если V£<V, то функция т (hv * g) — hvg равна 0 тождественно,
и потому hv * g = 0. Отсюда, учитывая лемму 3.1(b), имеем
\hv*f\i = \hV *f—hv*g\i<\f — g|i<e,
Доказательство закончено.
154
Гл. XI. Различные приложения'
19. Лемма. Если q£Loo(R), f^Li(R) и = O для всех т
из спектрального множества а (ср), то множество <г(/*ср) не
имеет изолированных точек.
. ‘ Доказательство. Будем доказывать эту лемму от противного,
предположив, что mQ — изолированная точка множества o(f*cp).
Так как по лемме 12 <г(/*ср) о(ср), то /(т0) —0. Пусть h —
такая функция из Ц (7?), что Л(т0) = 1 и Л(т) = 0 для т из неко-
торого открытого множества, содержащего <?(/*ср) —{т0}.
Из леммы 12 следует, что множество о (Л*/* ср) содержит
не более одной точки zn0, а тогда по теоремам 9, 16 и лемме
3.1(d) существует такое число а, что (Л */*ср) (х) = а[х, т0] для
всех х из R. Чтобы показать, что а = 0, рассмотрим обобщенную
последовательность {hv}, о которой говорится в следствии 18.
Тогда, поскольку f (/zz0) = 0, из этого следствия вытекает, что
—> 0 в £1(7?), и потому hv *(h*f*q) 0. С другой сто-
роны,
Лу*(Л*/*#)(х) а [х — у, mQ]hv(y)dy =
н
— а[х, /??о1 \У, mo]hv(y)dy==a[x, т0].
п
Так как а [х, т0] не зависит от V, то а = 0 и (Л ♦ f *ср) (х) =
= а [х, т0] = 0 для всех х из R. Поскольку h (т0) = 1, из
леммы 12(a) следует, что т0^<т(/*ф), а это противоречит
нашему предположению.
Используя эти предварительные результаты, покажем теперь,
что если спектральное множество ограниченной измеримой функ-
ции <р таково, что всякое непустое замкнутое подмножество его
границы содержит изолированную точку, то ср является преде-
лом в £утопологии пространства Loo (7?) некоторой обобщенной
последовательности линейных комбинаций характеров из о (ср).
20. Теорема. Если граница спектрального множества ограни-
ченной измеримой функции ср не содержит непустых совершен-
ных подмножеств, то ср принадлежит Li-замкнутому подпрост-
ранству пространства Loo(R), порожденному характерами из о (ср).
Доказательство. Если ср не принадлежит £уЗамкнутому под-
пространству, натянутому на характеры из о (ср), то по следст-
вию V.3.12 в £1(7?) найдется такая функция /, для которой
4. Теоремы замкнутости
155
f(tri) = O при всех т из о(ф), причем
f (х) Ф W dx = 1.
R
Так как по лемме 3.1(d) функция /*Ф непрерывна, то из этого
равенства следует, что /*ф^=0. Из леммы 12(b) получаем, что
о(/*ф) е сг(ср), а из леммы 12(c) и соотношения т/ = т/следует,
что а(/*ф) не содержит внутренних точек множества сг(ф).
Следовательно, п(/*ф)--замкнутое подмножество границы мно-
жества а(ф). Так как ср =/-(), то по лемме 11(a) множество
а(/*Ф) непусто. Таким образом, по предположению о(/*ф)
содержит изолированную точку, что противоречит лемме 19.
Следующий результат устанавливает поразительную связь
между проблемой спектрального синтеза и первоначальной тео-
ремой Винера о /^-замкнутости.
21. Теорема. Пусть f, g^Li(R), и пусть / = 0 в каждой
точке, в которой g~0. Если при этом граница множества
нулей функции g не содержит непустых совершенных подмно-
жеств, то f принадлежит замкнутому линейному подпростран-
ству пространства L^R), порожденному сдвигами функции g.
Доказательство. Пусть 2 —замкнутое линейное подпростран-
ство пространства Ц (R), натянутое на сдвиги функции g, и пусть
Ж —сопряженно-ортогональное дополнение к 2 в пространстве
Loo(R). Тогда 5? замкнуто относительно сдвигов. Кроме того,
множество характеров, принадлежащих Ж, состоит в точности
из тех характеров [•, т], которых т является элементом
множества о нулей функции g. Если f не содержится в 2, то
по следствию II.3.13 найдется такой функционал х*, равный О
на 2, что x*f=l. Если ф — ограниченная измеримая функция,
представляющая этот функционал, как в теореме IV.8.5, то ф
принадлежит Ж и f (х) ф (х) dx = 1, поскольку х*2 = 0. Так как
R
свертка /*ф является непрерывной функцией (лемма ЗД (d)), то
/*ср=^=О. Далее из определения 10 следует включение а(ф)^о,
ибо ф£$. Так как т/ — т/, то т/ = 0 на о. Тогда из леммы 12
следует, что о (7* ф) —замкнутое подмножество границы мно-
жества о, которая по предположению не содержит непустых
совершенных подмножеств. Поэтому, поскольку f*g=^O,
156
Гл, XI. Различные приложения
из леммы 11(a) получаем, что o(/*g) имеет изолированные
точки, что противоречит лемме 19.
22. Теорема. Если спектральное множество о(ф) ограничен-
ной измеримой функции ф конечно, то <р является линейной
комбинацией характеров из ст (<р).
Доказательство. Пусть <т(<р) состоит из характеров [•, mJ, ...
тТ\. Согласно теореме 20, <р содержится в /^-замкнутом
линейном многообразии в LX(R), натянутом на эти характеры.
Из следствия V.3.12 вытекает, что если f£Li(R) и
f (х) [х, mJ dx = 0, i = 1, ..., г,
я
то f (х) ф (х) dx = 0. Но тогда по лемме V.3.10 ф является
я
линейной комбинацией характеров [•, mJ, тт], ч. т. д.
Следующий результат, дающий описание спектрального мно-
жества ограниченной измеримой функции, особенно интересен,
поскольку его можно обобщить на случай неограниченной функ-
ции. Мы будем употреблять обозначение, введенное перед лем-
мой 14, связывающее с каждой функцией ф из £«, (R) линейное ото-
бражение Ф пространства L2(R) в L2 (R), определенное равенством
Ф (/) = т (ф/). Так как ф/6 Ц (R) fi L2(R), если f^Li(R)(}L2(R)t
то Ф преобразует каждую функцию из Li(R)fiL2(R) в непре-
рывную функцию на RU{p<»}> равную нулю в точке р™.
23. Теорема. Пусть ф—ограниченная измеримая .функция
на R. Точка т0 из R тогда и только тогда принадлежит допол-
нению спектрального множества функции ф, когда в R сущест-
вует такая окрестность нуля V и такая окрестность V точки
т0, что т (ф/) — 0 на U для всякой функции f из Lt (R) fi L2 (R),
преобразование которой xf равно 0 на дополнении к V.
Доказательство. Если тофа(ф), то в R найдутся такая окре-
стность нуля V и такая окрестность U точки т0, что множество
С7 fi (сг (ф) -1 V J V) пусто. Пусть / —такая функция из Ц (R) fi L2 (R),
что xf 0 на дополнении к V, и пусть 21 — линейное много-
образие «в Loo (R), состоящее из функций вида
<Pv(x) = 3c; l*>
i=l
где m, £ а (ф) + V. Для каждой такой функции фу определим
отображение Фу : L2 (R) —» L2 (R) по формуле Фу (/) = т (фу/),
4. Теоремы замкнутости
157
и пусть Ф(/) = т(ф/), Тогда
п п
(Фу/) (т) = 2 с» 5 iZ”m —m,] / (х) dx = 2 cif (m—тд-
<=1 Я г=1
Это означает, что Фу/ 0 на U, так как если m^U, то
tn — tnt принадлежит дополнению к V. Согласно теореме 13, <р
является пределом в Lt -топологии пространства £«>(7?) некоторой
обобщенной последовательности {<р«} функций из 21. Таким
образом, для т из U
(Ф/)(т)==^ |х, щ| <(» (х) / (х) dx
н
- lim \ [х, т\ фа (х) / (х) dx = lim (Фа/) (т) = О,
° А а
т. е. т(ф/) = 0 на U.
Обратно, пусть /—такая функция из (R) f| L2(R), что
/(0)=#0 и f(tri) = O на дополнении к V (существование такой
функции утверждается в лемме 2), и пусть g = fy — сдвиг функ-
ции /. Тогда по следствию 3.17 g (0)^=0 и g(m) = 0 для всех т
из дополнения к V. Таким образом, по предположению функция
Ф (g) = т (ф§) обращается в нуль на U. Следовательно, для всех
т из U
0 = [t/, т] (<bg) (tn) = [г/, т] [х, /и] /(х — у) ф (х) dx =
н
= [х—у, т] / (х — у) Ф (х) dx.
R
Положим теперь /i(x) = [x, m0]f( — х), x£R. Тогда, так как
т0 € £Д то из предыдущего равенства следует, что й*ф = 0. Но
h(m0)=^ [х, т0] h (х) dx = [х, tn0][x, fn0}f ( — x)dx =
R R
= J /(x)dx = /(0)=^ 0,
R
и по лемме 12(a) mQ о ((₽)» ч, т. д.
В случае когда 7? —аддитивная группа ( —оо, оо) вещест-
венных чисел, спектральное множество ограниченной измеримой
функции можно описать в терминах теории аналитических функ-
ций. Такое описание позволяет распространить понятие спект-
158
Гл. XL Различные приложения
рального множества ограниченной измеримой функции на неко-
торые неограниченные функции. Ниже буквой t мы будем обо-
значать общий элемент группы характеров £ = ( —оо, оо) и будем
считать, что группа R естественным образом вложена в плос-
кость комплексного переменного г.
24. Теорема. Пусть у —комплексная измеримая существенно
ограниченная функция вещественного переменного, a f—комплекс-
ная функция комплексного переменного г, определенная формулой
f(z) =
e~izx<p (х) dx,
о
о
(х) dx,
Im z < О,
Imz>0.
Тогда спектральное множество функции <р состоит из всех
таких вещественных чисел f, для которых не существует ана-
литического продолжения функции f в окрестность точки t.
Доказательство. Предположим, что функция / допускает
аналитическое продолжение в некоторую окрестность точки t0
вещественной оси. Для е>0 положим
Фе(х) —q>(x)c-ei“i, x£R,
так что фе (х) ограниченно сходится1) к ф(х), когда е —* 0.
Тогда
оо
<ре (/) = e~ixie~е 1 х 1 ф (х) dx —
— оо
0 оо
= е_*х(/+*е)ф (х) dx+ е-гх(/-ге)ф (х) dx =
— оо 0
= — f(t-\- ie) — ie).
Так как функция f аналитична вблизи t0, то она равномерно
непрерывна на некоторой бикомпактной окрестности (J точки t0,
и потому фе(0 сходится к 0 равномерно по t^U при е —> 0.
По лемме 2 в Ll(R)(\L2(R) найдется такая функция h, что
h (t0) =£ 0 и h (/) = 0 для всех t из дополнения к U. Поскольку
1) То есть vrai sup | ф (х) — фе(х)| —> 0 при е —> 0 для любого биком-
х£К
пактного множества X CZ R, и существует такое число С > 0, что | фе loo С С
для всех е>0.— Прим, перев.
4. Теоремы замкнутости
159
Фе (х) ограниченно сходится к ф(х),
ОО оо
(Л*ф)(1/)= ? h(х — у)ф(х)с/х = lim \ h(x — y)ye(x)dx.
V е->0 <•’
Согласно следствию 3.17, hu(t) - е где hv (х) = h (х — у).
Таким образом, так как п 0 на дополнении к U, а ф8 при
е 0 стремится к 0 равномерно на U и qe£L2(R), то по тео-
реме Планшереля
№
(А»ф)(//) Hljl «W (тА)(/)(Тфе)(/)Л^0.
Поскольку Л*ср 0, а (тй)(/0) — (тЛ)(^0) =#=0, из леммы 12 сле-
дует» что t{) не принадлежит спектральному множеству а(ф).
Обратно, допустим, что ^^(ф)- Пусть U — такая окрест-
ность точки что ее замыкание не пересекается с о (ср). Тогда
по теореме 13 функция ср содержится в Li-замкнутом линейном
подпространстве пространства Lco( —оо, оо), натянутом на такие
характеры eitx, для которых t принадлежит дополнению к U.
Для каждой функции ф из Loo ( — со, оо) определим функцию
соотношениями [*] с заменой ф на ф, и пусть g (t/) —линейное
многообразие всех таких функций ф из Loo( — оо, оо), для кото-
рых Д, допускает аналитическое продолжение на открытое мно-
жество комплексной плоскости, содержащее U, С помощью
элементарной выкладки можно показать, что функция соот-
ветствующая ф (х) = eitx, имеет вид (г) = /(/—- г)"1. Следова-
тельно, если t лежит в дополнении к 0, то эта специальная
функция ф принадлежит g (17). Поскольку ф содержится
в Li-замкнутом линейном подпространстве пространства
Loo( —оо, оо), натянутом на функции eitx, t^U, и так как эти
функции принадлежат g(t7), то, для того чтобы показать, что
Ф (Е g (L7), достаточно доказать, что Q(U) является Li-замкнутым.
Теорема Крейна —-Шмульяна (V.5.7) показывает, что достаточно
проверить Li-замкнутость пересечения g (U) с каждым поло-
жительным кратным единичного шара в Loo(—оо, оо). Так как
пространство Li(—оо, оо) сепарабельно, то в силу теоремы
V.5.1 достаточно показать, что предел сходящейся в Li-топо-
логии ограниченной последовательности функций из g (U) также
принадлежит g([7).
Для этого рассмотрим ограниченную последовательность {фп}
функций из g (U), сходящуюся в Li-топологии к функции ф,
и пусть Мы должны доказать, что допускает анали-
тическое продолжение на некоторое открытое множество, содер-
160
Гл, XI. Различные приложения
жащее U. Для каждого фиксированного числа г, для которого
Imz<0, функция ft, определенная соотношениями
с / х ( О, *<°,
h (х) = 1
I e~izx, х>0,
принадлежит ЛД —оо, оо); таким образом, поскольку фп стре-
мится к ф в Li-топологии пространства Lo©(—оо, оо), можно
утверждать, что fn(z) —> /ф(г) равномерно на каждом биком-
пактном подмножестве полуплоскости Imz<0. Аналогичные
доводы показывают, что fn (z) —» /ф (z) равномерно на каждом
бикомпактном подмножестве полуплоскости Imz>0. Если бы
было известно, что последовательность f/n) равномерно сходится
в некоторой окрестности множества U, то аналитичность ее пре-
дела была бы очевидна. К сожалению, пока не ясно, схо-
дится ли последовательность {fn} равномерно в какой-нибудь
области, содержащей интервал вещественной оси, так что необ-
ходимо дополнительное рассмотрение.
Пусть U—-открытый интервал (а, Ь) и Q — контур прямо-
угольника с вершинами а ± i, b±i. Ясно, что последователь-
ность {[„} равномерно сходится на любой части контура Q,
замыкание которой не содержит точек а и Ь. Пусть М —мажо-
ранта последовательности фп, так что
по
\fn(a \-\ \e-l"x\c’,xdx ^-.М. , -1 <s<0.
о |s|
Аналогичным образом получаем, что |/n(a + is)|<Al|s|_1, когда
Подобные оценки величины |/п(г)| можно получить
и при z = 6 + is- Следовательно, последовательность {gn}, опре-
деленная формулой
fn(z)(z — ay (г-by, гфа, Ь,
0, 2 = а, Ъ,
Rn (z) =
равномерно сходится на Q и ее предел равен
g(2) =
/,,,'(г)(2 —а)2(г —6)2, г#=а, Ь,
О, z = a, Ь,
Из принципа максимума модуля следует, что последовательность
{gzl} сходится равномерно в области, ограниченной контуром Q,
к аналитической функции G, которая в каждой точке этой
области, не лежащей на вещественной оси, удовлетворяет соот-
ношению
— (2) (2— a)2(z — Ьу.
5. Упражнения
161
Таким образом, функция G (г) (z — d)~2 (z — b)~2 является аналити-
ческим продолжением функции /ф в открытую область, ограни-
ченную контуром Q. Это показывает, что ф содержится в S (10-
Теорема доказана.
5. Упражнения
А. Упражнения по почти периодическим функциям
1. Показать, что если F£AP и inf ]F(x)|>0, то функ-
— ОО<Х<ОО
ция также принадлежит АР.
2. Если F£AP, то существует предел
М(О = Ит 4г
Т
F (х) dx.
-т
т
Кроме того, lim (1/2Т) \ F (x + a)dx = M(F) равномерно по а.
т-ж Ут
3. Пусть F£AP', определим для — оо<Х<оо функцию F^
равенством F^(x) = eiKxF (%), и пусть g(x) = F (x)F (х). Положим
а (X) = М (Fh), где М определяется так же, как в упражнении 2. По-
казать, что а(Х) = 0 всюду, за исключением, быть может, счетного
числа значений /=1, 2, ..., и что М (g) = jp | а (Х,) [2.
t=i
4. Если / — неотрицательная функция из АР и Л1 (/) = О
(в обозначениях упражнения 2), то / = 0.
5. Непрерывная функция / двух вещественных переменных
х = х2) называется почти периодической, если для каждого
е>0 существует такое число Л(е), что в каждом круге радиуса
£(е) на плоскости переменных (хь х2) найдется вектор у, для
которого |/(х) —/(% + у)|<е. Показать, что каждая такая
функция может быть равномерно аппроксимирована линейными
комбинациями функций вида exp i + t2x<^.
6. Непрерывная функция / на топологической группе G
называется почти периодической, если для каждого е>0 суще-
ствует такое бикомпактное множество К (е) G, что для всякого
элемента ggG в множестве /<(e)g найдется элемент й, для
которого |/(*)—-/(*й)|<8. Показать, что множество всех непре-
рывных функций %(•), для которых линейное пространство, натя-
нутое на всевозможные сдвиги x(-g), конечномерно, фундамен-
тально в пространстве почти периодических функций; это
последнее пространство является нормированным, норма задается
равенством
|/| = sup|/(x)|.
11 Заказ № 131
162 Гл. XI. Различные приложения
Показать, что если группа G абелева, то всякая почти перио-
дическая функция может быть равномерно аппроксимирована
линейными комбинациями непрерывных функций х, для которых
I* (g)| = l> *(gig2) = *(gi)*(g2).
В. Две задачи о мере Хаара
7. Обозначим через 172 группу унитарных преобразований
двумерного комплексного гильбертова пространства с определи-
телем 1. Показать, что матрица и из U2 имеет вид
%! + i z/i х2 + 1у2
^2—1У2 — *1 + 4/1
где + + + = 1- Показать, что отображение ф:и—>
—»(хь х2, у2) является гомеоморфизмом группы U2 на поверх-
ность S единичного шара в четырехмерном пространстве. Показать,
что существует такая постоянная К, что мера Хаара любого
борелевского множества e<=U2 равна Ко (ф (е)), где о (ф (е)) —
гиперплощадь подмножества ф (е) поверхности S; вычислить абсо-
лютную постоянную К.
8. Пусть Un обозначает группу всех унитарных преобразований
n-мерного комплексного гильбертова пространства Еп. Показать,
что мера Хаара множества F всех и из Un, для которых
det (и +1) — 0, равна 0. Показать, что отображение
. и—I
т и+1
является гомеоморфизмом между Un — F и множеством 2 всех
эрмитовых операторов в Еп. Построить взаимно однозначный
линейный гомеоморфизм ф пространства 2 на п2-мерное веще-
ственное евклидово пространство Еп2. Найти явное выражение
для меры v, определенной для каждого борелевского подмноже-
ства е пространства Еп2 формулой v (е) = р ((фф)"*1^, где р —мера
Хаара на группе Un.
С. Теорема Винера о замкнутости как теорема глауберова типа
9. (Тауберова теорема Винера.) Пусть f~ функция из
£оо(—оо, оо), а ф —функция из Li (—оо, оо), преобразование
Фурье которой нигде не обращается в 0. Допустим, что для
5. Упражнения
163
некоторой постоянной а
оо
lim (ф ♦ f) (х) = а \ ф (/) dt.
Х->оо
— оо
Тогда
оо
Пт(ф*/)(х) = а
Х-»оо «
— оо
ДЛЯ любой функции ф ИЗ Li-
10. Пусть ф^Л^О, оо), /££оо(0, оо), и предположим, что
оо
Ф (/) tlx dt =И= 0, — оо<х< + оо.
о
Допустим, что для некоторой постоянной a
оо оо
lim Ф 67) / (0 dt = а ? ф (/) dt.
о 4 У о
Тогда
оо оо
lim-Ц ф("у') /(0<# = a ty(t)dt
Х-^ОО * J к * У J
для любой функции ф из Li(0, оо). (Указание: воспользоваться
упражнением 9.)
11. (Обобщение теоремы Таубера, принадлежащее Харди
и Литлвуду; непрерывный случай.) Пусть /££«>(0, со) и
оо
lim-e~Vxf(t)dt = A.
Х-.ОО * J
Тогда
X
lim — f(t)dt = A.
12. Пусть функция f измерима, ограничена на каждом ограни-
ченном подмножестве положительной полуоси и неотрицательна.
оо
Тогда если интеграл (/)dt существует для всех х>0 и
о
оо
lim — e~t,xf (t) dt — А,
И*
164
Гл.Х1. Различные приложения
ТО
х
(I) функция у f (t) dt ограничена при х>0,
о
оо
(II) lim—?— e~i/xF (/) dt = А,
Х-+ОО Х V Х
где
t
= J f(s)ds.
о
Кроме того,
х
(III) lim -4- te~lF (t) dt = A, e > 0,
X->oo X v
1
(IV) lim—Ц- \ (X—t*-1)f(xt)dt — A, s>0,
x->oo8-l J
1
(V) Vvm\f(xt)dt = A,
x-wo J>
(VI)
X
lim -- \
л-»оо x .1
f(t)dt—- A.
13. Пусть / — вещественная измеримая ограниченная снизу
функция, ограниченная на каждом ограниченном подмножестве
оо
положительной полуоси. Тогда если интеграл e~~tfxf(t)dt суще-
о
ствует при всех х>0и
оо
lim — e~t/xf(t)dt = А,
Х->оо Х J
ТО
х
lim-1- f(t)dt = A.
Х-^со Х и
(Указание: воспользоваться упражнением 12. Сравнить посылки
и заключение с упражнением 11.)
14. Пусть /GLoo(0, оо). Если
t
lim ( t^-dx = A\og-±-, z = l,2,
i->oo J. x ct
c,t
5. Упражнения
165
для двух таких чисел сь с2, что 0<С1<с2<1 и что logcj
не является рациональным кратным logc2, то
t
lim — f(x)dx = А.
1 о
Заключение перестает быть справедливым, если log сч является
рациональным кратным logc2.
15. Пусть b (х) — измеримая неотрицательная функция, ограни-
ченная на каждом ограниченном подмножестве полуоси (0, со).
Предположим, что при х—> оо
X
j) &(//)(у — Y^)di/ = a1logx + a2-|-o(l).
1
Тогда
X
(I) функция у b(y)dy ограничена при х>2;
х/2
х
(И) функция В(х) = -^- b(y)dy ограничена при х>1;
1
X
(III) t/z/ = a1logx-|-a2-)-o(l), х->оо;
1
X
(IV) lim 4-1 /8-1В (/) dt = ai) е > 0;
X-too ХЪ u
1
(V) lim -Ц- £ (1 - /e—1) b (xt) dt = aj, e > 0;
x-»oo8-l Л
1
(VI) lim b(xt)dt = a1;
x->oo J
X
(VII) lim — b(t)dt = tLi.
X-.00 * J
(Указание: воспользоваться упражнением 14.)
16. Пусть b — вещественная измеримая ограниченная функция
на (0, оо). Тогда если
X
lim f b(y)(±--±-'}dy = a,
Х->ОО X У л У
166
Гл. XI. Различные приложения
ТО
г С а
lim \ —— ау = а.
X-tOO J У
(Указание: воспользоваться упражнением 15.)
17. (Харди — Литлвуд.) Пусть Ь — измеримая вещественная
функция на [0, оо). Предположим, что она ограничена на каждом
ограниченном [подмножестве полуоси [0, со), а функция xb(x)
ограничена при 0<х<оо. Тогда если
lim i { § b (s) dsj- dt = а,
*_>’00 о о
то
t
lim \ b(s)ds -а.
1^00
(Указание: воспользоваться упражнением 16.)
18. (Харди— Литлвуд.) Пусть Ь — измеримая вещественная
функция на [0, оо). Предположим, что она ограничена на каждом
ограниченном подмножестве полуоси (0, оо), а функция xb(x)
ограничена при 0<х<оо. Пусть, кроме того, интеграл
е~,/хЬ (0 dt
о
существует для всех л>0. Тогда если
lim \ e~t/xb (t) dt = а,
Х-оо J
то
lim b(t)dt — a.
Х-*оо
^Указание: показать, пользуясь методом упражнения II.4.53, что
X
функция b (t) dt ограничена, и воспользоваться упражнениями 13
о
и 17.)
5, Упражнения
167
19. (Харди —Литлвуд.) Пусть последовательность веществен-
ных чисел ап ограничена снизу, и пусть ряд
оо
2 &пХП
п=0
сходится при |х|< 1. Тогда если
оо
lim (1— х) 3 апхп = А,
х->1 —О п=0
ТО
п—1
(Указание: положить f(t) — an при + l и воспользоваться
упражнением 13.)
20. (Харди —Литлвуд.) Пусть ^ — последовательность веще-
ственных чисел, и пусть последовательность пап ограничена. Пусть
оо
ряд 2 апхП сходится при |х|<1. Тогда если
п=0
оо
lim 3 апхп = Л,
х—>1 —О п=0
ТО
п
lim 3 ат — А.
п—>оо т=0
(Указание: положить f(t) = an при п^Л<п-\-\ и воспользоваться
упражнением 18. Это знаменитая теорема Харди и Литлвуда,
обобщающая теорему Таубера из упражнения И.4.54. Сравнить
предпосылки и методы доказательства этих теорем.)
21. Пусть / — вещественная измеримая и ограниченная функция
на [0, оо). Предположим, что для каждого s>0 существует
интеграл
Тогда если
j (s+02 dte
о
то
(S-H)2 s
0
при s—» 0,
f (t) dt ~ /Is
при s —> 0-j-,
о
168
Гл. XL Различные приложения
а если
Г f (О А
\ 7" ---- ПОИ S—>оо,
(s+02 S r
о
то
оо
f (t) dt — 4s при s —> оо.
о
22 Л Пусть ^ — измеримая вещественная функция на [0, оо),
a xf(x) ограничена при 0<х<оо. Предположим, что f ограни-
чена на каждом ограниченном подмножестве полуоси [0, оо) и что
интеграл
V'u"
.) s-H
О
существует для всех .$• > 0. Тогда если
(X»
Г JJQ dt ~ as-l При S —> оо ,
о
то
8
1 ini /(/) dt ~ а.
Я -0
(Указание: приспособить метод доказательства упражнения 18.)
23. Пусть функция f определена на [0, оо) и обладает двумя
непрерывными производными. Предположим, что f" (х) = О (х~3)
при х—> оо и что х/(х)—>4 при х—>оо. Тогда х2/'(х)—» —4
при х—>оо. (Указание: положить р(/) = t3f"(/) при />1и приме-
нить результат упражнения 10 к ограниченной функции р.)
24. Пусть функция f определена на [0, оо) и имеет две непре-
рывные производные. Пусть а >2, /" (х) = О (х~а) при х—>со
и ха”2/ (х)—> Л при х — > оо. Тогда х^1/' (х)—> (2 — а) А при х—> оо.
6. Операторы Гильберта — Шмидта
В этом параграфе развивается теория операторов Гильберта —
Шмидта и доказываются довольно глубокие фундаментальные
теоремы о полноте системы собственных функций таких операторов
и связанных с ними неограниченных операторов. Эти результаты
основаны на одном сильном неравенстве, принадлежащем Карле-
ману, которое также выводится в настоящем параграфе. Некото-
рые из этих результатов используются в последующих главах.
6. Операторы Гильберта — Шмидта 169
В качестве приложения упомянутых результатов в ряде упражне-
ний § 8 развивается в общей форме классическая теория Фред-
гольма интегральных операторов.
Формальное определение класса операторов Гильберта — Шмидта
в гильбертовом пространстве будет дано ниже; однако в порядке
введения укажем здесь, что если гильбертово пространство пред-
ставлено как пространство L2(S, 2, pi) с положительной мерой р,,
то операторами Гильберта —Шмидта являются такие операторы
которые допускают представление вида
(К/) ($) = J k (s, 0 f (/) ft (Л), f G L2 (S, S, p),
s
где
? | k (s, t) |2 pi (ds) pi (dt) < co.
s s
Эти операторы вполне непрерывны, однако они обладают некото-
рыми важными свойствами, не присущими произвольным вполне
непрерывным операторам. В некоторых изложениях теории Гиль-
берта-Шмидта предполагается, что ядро k эрмитово-симметрично,
так что оператор К является самосопряженным. Мы не наклады-
ваем здесь никаких ограничений такого рода, и потому получен-
ные теоремы о полноте применимы к некоторым классам несамо-
сопряженных краевых задач.
В большинстве последующих рассмотрений удобнее работать
с абстрактным гильбертовым пространством, а не с каким-нибудь
его представлением в виде пространства L2; в связи с этим дадим
общее определение класса операторов Гильберта —Шмидта.
1. Определение. Пусть {ха, а С Л} —полное ортонормальное
множество в гильбертовом пространстве Ограниченный линей-
ный оператор Т называется оператором Гильберта —Шмидта,.
если величина \\Т\\, определенная равенством
II 11 = { S |7Х|2}1/2,
аЕА
конечна. Число ||Т|| иногда называется нормой Гильберта-
Шмидта или дубль-нормой оператора Т. Класс всех операторов.
Гильберта —Шмидта на § будет обозначаться HS.
В этом определении класса HS участвует некоторая ортонор-
мальная система. Следующая лемма показывает, что класс HS
зависит лишь от самого гильбертова пространства, а не от выб-
ранного в нем базиса.
2. Лемма. Норма Гильберта — Шмидта не зависит от выбора
ортонормального базиса, участвующего в ее определении. Если Г
170 Гл. XI. Различные приложения
принадлежит HS, a U —унитарный оператор в Sq, то оператор
U~lrrU принадлежит HS и || Т || = || U~lrTU ||. Кроме того, | Т | <
< НП и ||7|| = И* 11-
Доказательство. Пусть ||Т||А и || Т||в — дубль-нормы операто-
ра Т, определенные при помощи полных ортонормальных систем
{ха, а£Л} и {г/р, РЕ В} соответственно. Используя тождество
.|х|2 = 21(х» //р)|2, которое было доказано в теореме IV.4.13,
3
получаем
iim=si7Xd2=ssi(7Xc.
а а 3
= 231 (Ха, I2 = 2 I Т*у, I2 = || Т* ||2в.
Ра 3
Если в качестве двух полных ортонормальных систем взять одну
и ту же систему, то это тождество показывает, что ||Т,*||В =
= ||Т||В; таким образом, ||Г||А = ||Г*||В = ||Т||В, что доказывает
первое и последнее утверждения леммы.
Если 17 —унитарный оператор, то множество {Uxa, а£Л}
также является полной ортонормальной системой в а так как
jx| = | (7-1х |, то
3 \U-lTUxa\*= 2 | TUxa |2 = || Т ||2;
а£А а£А
это означает, что U^TU есть оператор Гильберта — Шмидта,
^если таковым является Т.
Наконец, если 8>0, найдем такой элемент xQ, что | х01 = 1
и |Т|2<|Тх0|2 + е. Так как существует полная ортонормальная
система, содержащая элемент xQ, то ясно, что (Т |2|| Т ||2 + 8,
и потому | Т |<|| Т\\, ч. т. д.
3. Следствие. Если T£HS и {ха, а£Л} — какая-нибудь пол-
ная ортонормальная система в то
нп = { 3 \{Тха, W)1/2.
а, ЗЕА
Доказательство. Это следует из того, что | Тха |2 =
= 2 I (Тха, Хр)|2; двойная сумма существует, так как все члены
ЗЕА
неотрицательны.
4. Теорема. Множество HS всех операторов Гильберта-
Шмидта с дубль-нормой представляет собой В-пространство.
Кроме того, HS является алгеброй, причем ||TS||<;||T||-||S||
для любых S и Т из HS.
6. Операторы Гильберта — Шмидта
171
Доказательство. Очевидно, что если Т £HS, а я —скаляр, то
||аТ|| = |а|-||Т||. Пусть T,S£HS и {ха, а £ А} — полная орто-
нормальная система в Из следствия 3 и неравенства Минков-
ского вытекает, что
||T + S|| = [3 | ((Т + S)ха, х₽)|2}1/2<
а, Р
<{2 I(Тха, х₽)Н1/2 + {2 1(5ха, х₽)Н1/2 = ||Т||+1|5||,
а, Р а, р
так что T-]-S^HS. Чтобы доказать полноту пространства HS,
рассмотрим последовательность {Тп} операторов из HS, для кото-
рой ||ТП —Тт||—>0. Из леммы 2 следует, что | Тп — Тт| —> 0,
и потому существует такой линейный ограниченный оператор
Т, что \Т — Тп\—>0. Чтобы убедиться в том, что Т принад-
лежит HS, обозначим через k верхнюю грань последовательности
{|| Тп Если Лх —какое-нибудь конечное подмножество множе-
ства Л, то
2 |Txa|2 = lim 2 \ Tnxa\^k\
a£Ai n->oo a£Ai
и потому || T'||2= 2 l^xa|2^^2> откуда следует, что T£HS.
а£А
Пусть /и (е) выбрано так, что ||Т„ — Тт||<;е при и,/п>/п(е). •
Тогда при m > tn (е)
2 I (Т-Tm) ха |2 = lim 2 |(Tn-Tm)xa|2<ikii||Tn-Tni||2<82;
а£А1 n->oo a£Ai п->оо
поэтому ЦТ —Tw(|<e при m>m(e). Итак, HS с нормой Гиль-
берта-Шмидта является В-пространством.
Наконец, пусть TQHS, и пусть В — какой-нибудь ограничен-
ный линейный оператор в Тогда
||ВТ||2= 2 I ВТха I2 < 1ВI2 2 |Тха|2 = |В|2||Т1|2,
a£A <z£A
II ТВ\\ = || (ГВ)* II = ||В*Т*||<|В| II т\\.
В частности, если S £HS, то Ц ST ||<| S11| Т ||< Ц S Ц -|| Т Ц, посколь-
ку |S |C||S||, ч. т. д.
5. Следствие. Множество операторов Гильберта —Шмидта
является двусторонним идеалом в В-алгебре всех ограниченных
линейных операторов в гильбертовом пространстве fa. Кроме
того, если Т принадлежит HS, а В — ограниченный оператор,
то ЦТВЦ <||Т||.|В| и ЦВТ||<|В|.||Т||.
Доказательство. В ходе доказательства предыдущей теоремы
мы видели, что HS является подалгеброй алгебры В(^), а послед-
ний абзац этого доказательства показывает, что HS — двусто-
ронний идеал и что неравенства, приведенные в формулировке
следствия, справедливы.
172
Гл. XI. Различные приложения
6. Теорема. Каждый оператор Гильберта —Шмидта вполне
непрерывен и представим в виде предела по норме Гильберта —
Шмидта последовательности конечномерных операторов (т. е. опе-
раторов с конечномерными областями значений).
Доказательство. Пусть {ха, а £ Л} — полная ортонормальная
система в и пусть T£HS. Так как
НП2= 3 1^а|2<
а£А
то лишь счетное число слагаемых | Тха |2 может быть отлично от
нуля. По этой же причине для каждого натурального п найдется
такое конечное множество Ап А, что
Пусть для каждого п линейный оператор Тп определен соотно-
шениями Тпха = Тха при а£Ап и Тпха=--0 при а(£Лп. Тогда
область значений оператора Тп конечномерна.
Кроме того,
И-М2 = 2 |ТМ<^,
а^Ап
так что \Т — Тп | < || Г — Тп || < — • Следовательно, оператор Г
является пределом последовательности {Тп} как в HS, так и в рав-
номерной операторной топологии. Из леммы VI.5.3 следует, что
оператор Т вполне непрерывен.
Однако не всякий вполне непрерывный оператор принад-
лежит HS. Например, пусть {хп} —полная ортонормальная система
в сепарабельном гильбертовом пространстве, и пусть Т — опера-
тор, определенный соотношениями Тхп = п~^2хп, п=1, 2, ....
Этот оператор вполне непрерывен (см. упражнение Х.8.5), но не
принадлежит HS.
Выше было отмечено, что класс операторов Гильберта —
Шмидта с нормой ||-|| представляет собой банахову алгебру (без
единицы, если бесконечномерно). Легко показать, что если
в этой алгебре определить скалярное произведение
((S, T)) = 3(Sxa,Txa),
а
где {ха} —полная ортонормальная система, то оно удовлетворяет
всем требованиям, накладываемым обычно на скалярное произве-
дение в гильбертовом пространстве, причем ((Г, Т)) = || Т ||2.
6. Операторы Гильберта Шмидта 173
Таким образом, алгебра HS является гильбертовым пространством,
в котором имеется еще инволюция S —>S*, удовлетворяющая
отношению
((ST, Я)) = ((Т, S*#)).
Такие алгебры, известные под названием //*-алгебр, изучал
Амброз [1], который показал, что всякая В*-алгебра топологически
и алгебраически изоморфна алгебре операторов Гильберта —Шмид-
та в некотором гильбертовом пространстве.
7. Теорема. Если Т — оператор Гильберта —Шмидта, a f—
однозначная аналитическая функция, определенная в окрестности
его спектра и равная 0 в нуле, то f(T) — также оператор Гиль-
берта-Шмидта, и отображение пространства HS
в себя непрерывно. Кроме того, если {fn} — последовательность
таких функций, имеющих в качестве общей области определения
некоторую окрестность N спектра оператора Т, и если
равномерно для X из N, то в HS.
Доказательство. Если гильбертово пространство конечно-
мерно, то результат тривиален, так что мы предположим, что !q
бесконечномерно. По теореме 4 HS является В-пространством
и алгеброй, в которой || TS ||<|| Т || || S ||. Способом, описанным
в § IX. 1, к HS можно присоединить единицу, в результате чего
получается В-алгебра, состоящая из всех пар вида [а, Т], где
а —скаляр, а Т — оператор из HS. Норма в этой алгебре опре-
деляется равенством | [а, Т] | ~ | а | +1| Т ||. Алгебру, полученную
присоединением единицы к HS, мы будем обозначать HS+.
Поскольку пространство бесконечномерно, из теорем 6
и IV.3.5 следует, что единичный оператор не принадлежит HS,
так что HS — алгебра без единицы.
Заметим сначала, что элемент [а, Т] из HS+ обладает обрат-
ным тогда и только тогда, когда оператор а/ -\-Т обратим в алгеб-
ре В($) всех ограниченных операторов в <q. Действительно, если
[р, S] = [a, Г]’1, то [1, 0] = [сх, ТИР, S] = [ap, aS + pT + TS],
и потому р = а"1 и aS -|- рТ -|- TS — 0. С помощью простой выкладки
получаем, что тогда р/ 4-S = (а/ -J-T)'1. Обратно, пусть В =
= (а/4-7)"1. Так как оператор Т вполне непрерывен, а простран-
ство бесконечномерно, то а не может быть равно нулю, ибо
если а = 0, то из следствия 5 и теоремы 6 следует, что единич-
ный оператор I — BT вполне непрерывен, что противоречит тео-
реме IV.3.5. Пусть S = В — а-1/. Тогда а-1ВТ = а“1В(Т + а/ — а/) =
== а-1 (/ — аВ) = — S. Поэтому S-— (Г1 ВТ и по следствию 5 S
принадлежит HS. Этим доказано, что если оператор (а/ + Т)-1
существует и ограничен, то [a, Г]-1 существует в HS+ и совпа-
дает с [a-1, SJ.
174
Гл. XL Различные приложения
Следовательно, спектр оператора Т из //S, если рассматри-
вать Т как элемент В-алгебры HS+, совпадает со спектром опе-
ратора Г, если его рассматривать как элемент алгебры В($@)
всех ограниченных операторов в <д. Поскольку в любой В-алгебре
операция перехода к обратному элементу непрерывна (IX. 1.3),
отображение X—>[Х, — 7]"1 непрерывно при Х^а(7). Если 0 —
отображение алгебры HS+ в В(^), переводящее [а, Т] в а/+ 7,
то 0 непрерывно и 0{[Х, — 7]“1} = /?(Х; 7).
Так как [X, — 7|-1 является непрерывной функцией от X на
дополнении спектра о (7), то интеграл
1*1 -ТГМ1,
с
где С — положительно ориентированная спрямляемая жорданова
кривая, содержащаяся в области определения функции f и охва-
тывающая спектр <т(Т), существует в смысле нормы простран-
ства HS¥. Если |р, f/] —элемент из HS\ равный интегралу [*],
то по теореме III.2.19
1 [/- о{|р, па=/(Т).
с
Покажем, что р, —0. ! Пусть ц— мультипликативный линейный
функционал на //S+, ^определенный равенством ц {[а, Т]} = а.
Так как т] является гомоморфизмом, то т) {[X, Г]'1} — X"1, а так
как т] непрерывен, то из теоремы III.2.19 (с) следует, что
Р = U]}= 277 $ =
с
По предположению f (0) = 0, так что f (Т) — U,n потому f (Т) при-
надлежит HS.
Если lim Тп — Т по норме пространства HS, то из леммы VII.6.5
следует, что для всех достаточно больших п контур С, по кото-
рому берется интеграл [*], охватывает спектр а(Тп). Из след-
ствия VII.6.3 получаем, что в смысле сходимости по норме в HS+
lim IX, -7Т1
71-+OO
равномерно относительно Х£С. Таким образом, по теореме Ш.2.19
lim f(Tn)= lim О -ПГ1 dk} =
П->оо TW-oo I g J
= 2H^7?(X; Tjd'k — ffT),
c
где предел понимается в смысле сходимости по норме в HS.
6. Операторы Гильберта — Шмидта
175
При доказательстве последней части настоящей теоремы мы,
очевидно, можем предполагать, что контур С в интеграле [*)
лежит целиком внутри множества W. Тогда
/(П = 9 {1S7 5/(W. -тг1а} =
- Um 0 [ X ( /„ (X) |Х, - Т\-' dd = lim fn (Т)
П-+6Р г и, J п-ьоо
в смысле сходимости по норме в IIS, ч. т. д.
Как было показано в предыдущей теореме, алгебра операто-
ров Гильберт! -Шмидта возникает из алгебры конечномерных
операторов при замыкании последней по норме более сильной,
чем обычная норма в В (fa). Поэтому естественно ожидать, что
некоторые свойства конечномерных операторов, которые в случае
общего линейного оператора в гильбертовом пространстве без-
возвратно теряются, сохранятся для операторов Гильберта —
Шмидта. Чтобы показать, что это в самом деле так, нам пона-
добится вывести ряд неравенств для операторов в конечномерном
гильбертовом пространстве. Наиболее важными из них являются
хорошо известное «детерминантное неравенство Адамара», откры-
тие которого в начале этого века проложило путь к пониманию
интегральных операторов, и замечательное неравенство Карлемана,
приведенное в теореме 15.
В следующих нескольких теоремах мы будем иметь дело
с конечномерными гильбертовыми пространствами и изложим
некоторые элементарные факты, связанные с понятием следа
оператора.
8. Определение. Пусть {х1? хп}—-базис в конечномерном
комплексном гильбертовом пространстве Еп. Пусть А —оператор
п
в £п, и пусть1) Axi= 2! atjxv * = b • ••, я- След оператора А,
3—1
обозначаемый символом tr(A), определяется равенством
tr(4) = 3 ап.
_______ г=1
г) Заметим, что такое определение матрицы, соответствующей оператору Д,
отличается от того, которое обычно применяется. Это отличие приводит
к тому, что если Д—В~*(Ьц), то АВ~> (btj) (ац) вместо обычного
АВ—> (ац) (Ьц). Это следует иметь в виду и при доказательстве леммы 6.21,
где речь идет о приведении оператора к треугольному виду.— Прим, перев.
176 Гл. XI. Различные приложения
В лемме 9 будет показано, что след оператора А не зависит
от выбора базиса {%/}, участвующего в его определении. Вполне
очевидно, что след является линейной функцией от А.
9. Лемма. След оператора А в Еп не зависит от базиса,
используемого при его определении. Кроме того, если А и В —
какие-нибудь операторы в Еп, то tr {АВ) = tr {ВА).
Доказательство. Докажем сначала второе утверждение. Пусть
п
Bxt 2 bijXj. Тогда
Л-1
ABxi = 22 bijUjkXk, BAxi =22 atjbj^Xk.
j—i k—i j=l k—i
Следовательно,
tr(4B)= 2 2 bi}a}i^tr(BA).
i=i ?=1
Чтобы установить справедливость первого утверждения, рас-
смотрим н Еп какой-нибудь другой базис {yt, уп}. Тогда
оператор С, определенный соотношениями yt — Cxi, i = i,
взаимно однозначно отображает Еп на себя. Вычислим след опе-
ратора А по отношению к базису {//ь уп}. Заметим, что
AC~'yi .= Axi=^ ciijXj = С-1 2 а1}у},
так что
п
САС ^Уг = 2
5=1
Отсюда следует, что след оператора СЛС"1, вычисленный отно-
п
сителыю базиса {yj}, ранен 2 ап- По уже доказанному след опе-
ь 1
ратора САС' совпадает со следом оператора А = С~гСА при усло-
вии, что оба следа вычисляются относительно базиса {у1у ..уп}.
Это доказывает справедливость первого утверждения.
Напомним, что характеристический многочлен А (X) оператора А
в Еп находят, представляя оператор А матрицей в каком-нибудь
удобном базисе пространства Еп и вычисляя определитель матри-
цы X/ — А, а именно
A (К) = det (М-Л).
6. Операторы Гильберта — Шмидта
177
Д (X) = det
Используя элементарные свойства определителей, легко пока**
зать, что А (А,) не зависит от выбора базиса.
10. Лемма, (а) След оператора А в Еп равен коэффициенту
при V-1 его характеристического многочлена, взятому с обрат-
ным знаком,
(Ь) След оператора в Еп равен сумме всех чисел, принадлежа-
щих спектру оператора, причем каждое из этих чисел считается
столько раз, какова его кратность как корня характеристиче-
ского многочлена,
(с) След нильпотентного оператора в Еп равен нулю.
Доказательство. Если {х1? ..., хп} — базис в Еп и Axt^
= 2 anxv т°
2=1
А»— Оц —012 • • • —ain
— $21 Аг — 022 • • • — &2п
6^ni бьП2 • • • А/ апп
Вычисляя этот определитель, мы видим, что он представляет
собой многочлен А (А,) = A,n — qA/1”1 + ... +cn, rAeq = tr (Л). Чтобы
доказать утверждение (Ь), достаточно вспомнить, что спектр
о (Л) состоит из всех чисел А,, для которых матрица XI —А син-
гулярна, т. е. из всех X, для которых А (А,) = 0. Так как сумма
корней уравнения А(А) = 0, если считать m-кратный корень т раз,
равна Ci, то утверждение (Ь) доказано. Наконец, если оператор Л
нилъпотентен, то сг(Л) = {0}, так что в силу (b), tr (Л) = 0, ч. т. д.
11. Лемма. Если А — линейный оператор в пространстве
Еп, сг(Л) = {М, ..., A,/J и если mj = dimE (Xt; А)Еп, / = 1, ..., k,
ь
то 1г(Л)= 3
г=1
Доказательство. Если Хг£ст(Л), то по теореме VII. 1.7 опера-
тор A—Xtl нильпотентен на Е А) Еп. Следовательно, АЕД) =
= %гЕ(Хг; A)A-Ni, где N, — нильпотентный оператор в Еп. Так
k
как / = 2 Е Ckt; А), то
г=1
h h
A=^ktE (Лг; Д)+ 2 Ni-
i=i i=l
След является линейной функцией оператора; кроме того, если
Р — проектор, то, выбирая в качестве базиса в Еп теоретико-мно-
12^3аказ № 134
178
Гл. XI. Различные приложения
жественное объединение базиса в РЕп и базиса в (1 — Р)Еп, полу-
чаем немедленно, что tr (Р) = dim РЕп. Из этого замечания
k
и леммы К) (с) следует, что tr (А) = 3 /пДь ч. т. д.
i=l
Замечание. Число dim£(p; А)Еп равно кратности р как корня
характеристического многочлена оператора А. Этот результат
содержится в упражнении VII.2.3; учитывая это, заключаем, что
k
в формуле tr (Л) = 2 тД/ леммы 11 число mt можно считать
г=1
кратностью как корня характеристического многочлена. Так
определенная кратность точки спектра р отлична от размерности
многообразия {x|xg£n, Ах = цх} собственных векторов оператора
Д, соответствующих собственному значению ц. Для самосопря-
женных, или эрмитово-симметричных, матриц эти два понятия
кратности совпадают. Если Л — оператор в £п, то мы будем гово-
рить, что ..., — собственные значения оператора А с учетом
их кратностей, если каждое является собственным значением
оператора А и каждое собственное значение р оператора А встре-
чается в этом списке т раз, где т= dim# (р; Л) Еп. Аналогичная
терминология будет в дальнейшем употребляться для операторов
Гильберта — Шмидта.
12. Теорема. (Неравенство Адамара.) Если (atj) есть пхп-мат- .
рица комплексных чисел, то
[*] I det П Ы2)1/а-
i=i }
Заметим, что это неравенство можно интерпретировать как
утверждение, что объем ft-мерного параллелепипеда никогда
не превосходит объема прямоугольного параллелепипеда со сто-
ронами той же длины.
Доказательство. Это неравенство очевидно для п—\ и легка
может быть проверено для п - 2. Предположим, что оно справед-
ливо для м — 1, и продолжим по индукции. Пусть (atj) есть я х ft-
матрица. Рассмотрим в пространстве Еп множество, состоящее
из ft элементов Uj = [ai3,a2j, ..., anj], 7=1, ...,ft. Если Ui = 0,
то обе части неравенства [*J обращаются в нуль, и результат
п
тривиален. Если | Ui | = { 3 I |2|1/2 =# 0, то, поскольку обе части
;=i J
неравенства [*] однородны по можно считать, что | щ | = 1.
Пусть оъ v2) vn — ортонормальный базис в Еп, причем Vi = Uit
6. Операторы Гильберта — Шмидта
179
и пусть W — унитарный оператор, определенный равенствами WVi =
= [1,0, 0, , 0], Гр2 = [0, 1, 0, ..0], W = [0,0,0, ..1].
Так как абсолютная величина определителя унитарного оператора
в Еп равна 1, то
| det (аИ)\ = | det (щ, иг, ..., ип)\ = | det (W) det («,, и2, Ип)| =
= | det (WUl, Wu2, ...» Wun)|.
Пусть wnk] — координаты вектора Wtik- Тогда, так как
№^ = [1,0,0, 0], то
det (Wui, Wu2, .. Wun) — 1 0 ^12 • • W22 • • • Win • w2n = w22 . . • w2n
0 ™n2 • • . wnn Wn2 • • • wnn
Используя предположение индукции, заключаем, что
|det(^)|< J]
Э=2 i=2
Но так как
= /=1,п,
г=2 ' i=l
и [ ui [ = 1, то это доказывает теорему.
Неравенство Адамара ниже будет применено в следующей
ситуации. Пусть (а^) — матрица оператора А в Еп относительно
ортонормального базиса 61 = [1, 0, ..., 0], ..., 6п = [0, ..., 0, 1].
Обозначим через А, алгебраическое дополнение элемента ац,
т. е. Aij представляет собой умноженный на (—1)г+^ определи-
тель (п — 1) х (п— 1)-матрицы, получающейся из матрицы (а^)
вычеркиванием Z-й строки и /-го столбца. Тогда det (Л) =
п п
= S cuAij 11 2 aijAih = Q при j^=k. Если оператор А взаимно
i=i «=1
однозначен, то из правила Крамера для вычисления Л-1 получаем,
что матрица оператора det (Л) Л-1 относительно базиса ..., 6П
совпадает с матрицей, транспонированной к матрице (Л^). Сле-
довательно, если х = [|1, |п] и = ..., |п], то
detG4)G4-4y)= 3 АиЫ}.
г, j=i
12*
180
Гл. XI. Различные приложения
G другой стороны,
det (Л) (Л-1х, у) = —
$1 • • • Сп
Оц . . .
Вп ®п! • • • &пп
в чем можно убедиться, разлагая определитель в правой части
по первому столбцу и первой строке и учитывая предыдущее
равенство. Неравенство Адамара будет применено для оценки этого
определителя.
13. Лемма. Пусть (atj) — матрица'взаимно однозначного опе-
ратора А в Еп относительно базиса dt — [1,0, ..., 0], ..., 6П =
= [0, ..., 0, 1]. Тогда дубль-норма оператора А выражается
формулой
II л II -I £ 1<ю12}х/а-
> =i
Кроме того, если х =|В1» •••. Bn] « У = [В1> •••, Вп]—два век-
тора в Еп, то
0 с, ... Вп
, Bi Oil ••• atn IX1-1у|-||ЯII"-1
11 1............. (n-1)<"-‘>/2 •
Bn &ni • • ' Onn
Доказательство. Первое утверждение, которое справедливо
и без предположения о взаимной однозначности оператора Л,
вытекает из следствия 3. Если х = 0, то неравенство ['] три-
виально. В силу однородности этого неравенства по х достаточно
рассмотреть случай, когда |х| = 1. По аналогии с доказательством
теоремы 12 рассмотрим такой унитарный оператор W, действую-
щий в Еп, что х Wdn. Из предыдущих замечаний следует, что
последнее утверждение леммы равносильно неравенству
| det (Л) (Л-Ч //)|<Ы || Л ||-1 («- 1)-(п-1)/2.
Так как оператор W унитарен, то det (Л) = det и (А^х, у) =
= (Л-’Г6П, y) = (W~1A-lW8n, W^y). Полагая B = W~1AW, имеем
В"1 = IF-1 Л"1 W, а из леммы 2 следует, что ||В|| = ||Л||. Кроме
того, поскольку оператор W унитарен, вектор z = W-1y имеет
норму |г\ = \у|. Следовательно, утверждение, которое требуется
доказать, может быть записано в виде
| det (В) (B-i6n, г) | < | z | || В ||-1 (п -
6. Операторы Гильберта — Шмидта
181
Выписывая определитель, стоящий в левой части этого неравен-
ства, видим, что достаточно доказать лемму в частном случае,
когда 0 = ^= ... =^п_1 и 1=£п- Таким образом, определитель,
который требуется оценить, имеет вид
£1 ... tn 11 а11 ••• ап-1,1
dll • • • Clin ____
dn-1,1 • • • Cln-l^n ^>n Clin • • • ^n-1, n
Пусть D обозначает абсолютную величину этого определителя.
Тогда неравенство Адамара показывает, что
1*1 КТ}1/а-
г= 1 j— 1
Так как среднее геометрическое конечного набора положи-
тельных чисел не превосходит их среднего арифметического
(ср. VI. 11.34), то
п—1 п п—1 п
i=l г=1
IIЛ IP
п— 1
п—1
Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратный корень
и комбинируя получающееся неравенство с [*], видим, что
Г)<\У\ IMII”-1
Лемма доказана.
14. Лемма. Пусть А—оператор в п-мерном гильбертовом
пространстве Еп\ предположим, что 1г(Л)~ 0. Тогда в Еп суще-
ствует такой ортонормальный базис {(pt, ..., <рп}, что (Лфг, (р;) =
= 0, 1^г‘С/г.
Доказательство. Если п =1, то А — 0, поскольку tr(A) = O,
и утверждение очевидно. Докажем по индукции, что в Еп найдется
такой ненулевой вектор <р, для которого (Лер, <р) = 0. Рассмотрим
сначала случай п = 2 и предположим, что в £2 выбран такой
ортонормальный базис, в котором матрица оператора Л имеет
треугольный вид
1а 0\
\Ь —а/
Пусть <р = [1, z], так что (Лер, <р) = а(1 — | z |2) + bz. Если а = 0,
мы полагаем z = 0. Если же а =/= 0, то пусть z = гег0, где 0 выби-
182 Гл. XI. Различные приложения
рается так, чтобы число c — ba~1e'iQ было вещественным, аг —
положительный корень уравнения г2 — ст —1=0. Легко видеть,
что в обоих случаях (Лф, ф) = 0.
Пусть теперь п>2. Допустим, что утверждение, которое мы
должны доказать, неверно. Тогда
пнпЦЛф, ф) |>0.
1ч>|=1
Так как единичная сфера в Еп компактна, то на некотором
векторе ф( этот минимум достигается. Пусть /п = (4ф1, ф^.
Выбирая ортонормальный базис {фь ..., фп}, имеем по предполо-
жению
1г(Л) = /и+ 2 Ифь фг) = °-
i=2
Это равенство можно переписать в виде
3(?О=о.
г=2
где Е — самосопряженный оператор проектирования простран-
ства Еп па подпространство S, порожденное векторами ф2, ..., фп-
Очевидно, что оператор Е ^Л |-п~-отображает S в себя.
Поэтому из предположения индукции следует, что в S найдется
единичный вектор ф, для которого
Поскольку Еф = ф, это означает, что
Иф>
Таким образом,
IИф, ф)| -^£т<1(Лф1, Ф1)|,
что противоречит определению вектора фр Следовательно,
(Лфп фО - .О.
Мы можем теперь закончить доказательство леммы по индук-
ции. Пусть ф—такой вектор нормы 1, что (Лф, ф) = 0. Пусть
So — ортогональное дополнение к одномерному подпространству,
натянутому на ф, и пусть Ео — оператор ортогонального проекти-
рования пространства Еп на 30. Было отмечено, что лемма спра-
ведлива в случае п=1; предположим теперь, что она справед-
лива для (п—1)-мерного пространства. Тогда в So существует
такой ортонормальный базис {ф2, • • • > Для которого (£0Афг, ф;) =
6. Операторы Гильберта — Шмидта
183
= (Л1рп ^0 = °» 2<л<пх). Ясно, что {ср, 1р2» •••»%} представ-
ляет собой искомый базис в Еп, ч. т. д.
15. Теорема. Пусть А —оператор в Еп и Х2, ..., Хп —
его собственные значения с учетом их кратностей; пусть Ху=0 —
комплексное число, не принадлежащее спектру оператора Л. Тогда
|П(1_^еВД(и_^|<|Х|{ехр1(1+^} .
г—i
Доказательство. Пусть В = Д/Х, так что по теоремам VII.3.11
и VII.3.19 а(В) = {Л1/Л, ..., Х„/Х} и B) = E(kt; А). Кроме
п
того, tr (В) = 2 А.г/% = tr (Л)/Х. Пусть N — какое-нибудь целое
г=1
число больше |tr(B)|. Для каждого такого Af определим в про-
странстве En@EN оператор BN соотношением BN[x, у] =
= [Вх, ( — 1//V)tr (В) у]. Ясно, что 1г(В^ = 0 и что собственными
значениями оператора I — BN являются числа
1__1__________Кп, 1 I tr (В) 1 । tr (В)
1 х ’ • • •’ X ’ 1 "Г /V » • • •» 1 /V •
Следовательно, определитель det(/ — BN) равен произведению
этих чисел, т. е.
(I) |det(/-BJV)| = |(l+t<-ayn(l-^|.
i=l
Так как (l/Af) | tr (В) | < 1 и X то обратный оператор (/ — В^"1
существует, и легко видеть, что
(l-BN)~i[x, у] = [(1-В)-'х, (l+^tr(B))’\] .
Поэтому | (/ —В)-1| ^ | (/ —Вл)_] |, так что
(И) | det (/ - BN) | • | (I - B)-i | < | det (/ - BN) | • | (I - BNy* |.
Из леммы 13 следует, что
(HI) I det (I -M ! (' ~ Bv)- I <
Далее, так как tr(B^ = O, то по лемме 14 в En@EN существует
такой ортонормальный базис ..., zn+N, что (BNzh, zk) = 0.
На главной диагонали матрицы оператора I — BN относительно
х) Здесь используется то обстоятельство, что след сужения оператора
EqA на подпространство So равен нулю; это легко следует из равенства
(Аф, ф) = 0 и предположения tr(A)=O.— Прим перев.
184 Гл. XI. Различные приложения
базиса z1( ...,zn+N стоят единицы, а на остальных местах —
соответствующие элементы матрицы BN, взятые с обратными
знаками. Следовательно,
(IV) H/-BHa = ^ + « + IIM2 = W + n + Antr(B)mW-
Комбинируя формулы (I) —(IV), получаем
п
г=1
(N + п + N-11 tr (В) |2 +11 В 112)^+«- > )/2 _
(Л? + л_1)^+п-1)/2
/ | tr (В) |2 , || Д |Р \ (N+n-i )/2
_ < ^N + nJ
Z 1 \(N+n-l)/2
V N + nJ
Это неравенство выполняется для всех достаточно больших N,
и потому
п
(/ —В)-1 |<ехр {у (1+||В||2)} .
<*» 1
Отсюда немедленно следует справедливость утверждения леммы,
п
если вспомнить, что В -А/к и что tr(B) - У Л,/Л.
Установив эти предварительные теоремы, относящиеся к слу-
чаю конечномерного пространства, вернемся теперь к изучению
операторов в общем гильбертовом пространстве. Желательно
было бы обобщить понятие следа на некоторые операторы в гиль-
бертовом пространстве; на первый взгляд может показаться, что
данное выше определение следа непосредственно применимо
к операторам Гильберта —Шмидта. Однако, как показывает сле-
дующий пример, это неверно. Пусть {хп} —ортонормальный базис
в гильбертовом пространстве ф, и пусть Г —линейный оператор,
определенный равенствами Тхп~~хп/п. Тогда ряд
оо оо
I Тхп I2 =
п=1 п=1
сходится, так что Т является оператором Гильберта —Шмидта,
в то время как ряд
оо оо
2 (^*хп, хп) — ~ >
п= 1 п— 1
6. Операторы Гильберта — Шмидта
186
который мы могли бы надеяться использовать для определения
следа tr(T), расходится. Итак, след не может быть определен
таким способом для любого оператора из класса HS. Мы увидим,
однако, что если T = UV, где оба оператора U и V принадлежат
классу HS, то ряд
оо оо
2 (Тхп, хп) = 2 (Vxn, U*xn)
П=1 П=1
сходится и определяет полезное понятие «следа». Это незначи-
тельное изменение в подходе по сравнению с конечномерным
случаем оказывается достаточным для того, чтобы можно была
развить теорию вплоть до обобщения теоремы 15 на произволь-
ные операторы Гильберта —Шмидта.
16. Лемма. Если S и Т — операторы Гильберта —Шмидта,
в гильбертовом пространстве и если {ха} —полный ортонор-
мальный базис в то ряд 2 (Sxa, Т*ха) абсолютно сходится
a
к пределу, не зависящему от базиса.
Доказательство. Пусть {ха} и {//р} —два ортонормальных
базиса в В силу неравенства Шварца и теоремы IV.4.13
2 I (Sxa, г/₽) (T*xa, г/р) | < (2 I <Sxa, Уд H1/2 (21 (T*xa, y$ |2)1/2 =
a, 3 a, 3 a, р
= (21 sxa |2}1/2 {21 т*ха H1/2=|| s || • || т* Ц.
a a
Таким образом, двойной ряд
[ ] 2 (^а> z/p) (T*Xa, Z/p)
a, P
абсолютно сходится; поэтому соответствующие повторные ряды?
сходятся и их суммы равны. По теореме IV.4.13
П 2 (5ха, Т*ха) = 23 (Sxa, г/р) (Т*ха, г/р) =
a v ар
= 32 (Туг, ха)(5*г/р, ха) = 2(Тг/р, $*г/₽).
За р
Таким образом, сходимость и равенство повторных рядов, соот-
ветствующих двойному ряду ['], влечет сходимость и равенство-
только что выписанных одинарных рядов. Беря в качестве {г/р}
тот же самый базис {ха}, видим, что 2 (Sxa, Т*ха) = 2 (Тха, S*xa),
а а
так что это выражение симметрично относительно S и Т. Отсюда,.
186
Гл. XI. Различные приложения
«еще раз применяя ["], получаем, что это выражение не зависит
ют базиса, ч. т. д.
17. Определение. Если S и Т — операторы Гильберта —Шмид-
та в ф, то следом пары S, Т назовем выражение
tr(S, T) = S(Sxa, Т*ха), .
а
где {ха} — какой-нибудь ортонормальный базис в
18. Теорема. След является симметричной билинейной функцией,
определенной на произведении пространства HS на себя. Кроме
.того, если S и Т принадлежат HS, то
|tr(S, T)|<||S||.||T||, tr(T, T*) = ||T|p.
Доказательство. Симметрия следа и неравенство | tr (S, Т) |
|| S || • || Т || были установлены в ходе доказательства предыдущей
-леммы. Билинейность и соотношение tr (Т, Т*) = || Т ||2 вытекают
непосредственно из определений 1 и 17.
Из полученных выше результатов легко следует, что HS —
гильбертово пространство относительно скалярного произведения
jS, Т] —tr(S, Г*). Хотя этот факт представляет определенный
интерес, но он не найдет в дальнейшем изложении сколько-
нибудь значительных применений. Однако сам по себе след
является полезным инструментом.
19. Следствие. Функция tr (S, Т), рассматриваемая как ото- ,
бражение пространства HS ф HS в поле комплексных чисел,
непрерывна.
20. Лемма. Пусть Т — ограниченный конечномерный линейный
оператор в гильбертовом пространстве <$. Пусть $1 — нуль-про-
странство оператора Т, а Е — оператор ортогонального проек-
тирования на какое-нибудь конечномерное подпространство про-
странства содержащее 91±. Тогда
(а) спектры операторов Т и ЕТ совпадают;
(Ь) если f — аналитическая функция из класса (Т)
(ср. VII.3), такая, что / (0) = 0, то f(ET) = Ef(T), f(T) =
- f (Т) Е, tr (f (T), Т) -tr (/ (ЕТ), ЕТ), a tr (f(ET), ЕТ) совпа-
дает со следом сужения оператора ETf(T) на конечномерное
подпространство ESq.
Доказательство, (а) Поскольку пространство $ бесконечно-
мерно, точка 0 принадлежит спектру каждого из операторов Т
и ЕТ. Допустим, что число Х^О принадлежит спектру опера-
тора Т. Так как оператор Т вполне непрерывен, то по теоре-
ме VII.4.5 X является его собственным значением, т. е. Тх=-~кх
6. Операторы Гильберта — Шмидта 187
для некоторого ненулевого вектора х из и потому (ЕТ) (Ех) =
= ХЕх, ибо Т = ТЕ. Следовательно, X принадлежит спектру опе-
ратора ЕТ1). Обратно, предположим, что отличное от 0 число X
принадлежит спектру оператора ЕТ. Тогда для некоторого нену-
левого вектора х из Е^ имеем ЕТх^'кх. Поэтому Тх^Ъх + у,
где у принадлежит подпространству (/ —Е)^, а потому и нуль-
пространству оператора Т. Положим u = Тогда Т(х^и)^=
^=Х(х-|-и); следовательно, X является собственным значением
оператора Т.
(Ь) Пусть X принадлежит резольвентному множеству опера-
тора Т. Легко проверить справедливость тождества
U - Т = (X/ - ЕТ) Г1 (I - Е) (X/ - Т) + (X/ - ЕТ) Е,
раскрывая скобки в правой части и учитывая, что Т=ТЕ. Умно-
жим это тождество слева на (V — ЕТ)-1 и справа на (X/ —Т)-1,
получим
[*] (X/ - ЕТ)-1 = Г1 (/ - Е) + Е (V - Т)-1.
Предположим, что аналитическая функция f принадлежит классу
JF (Т), а значит, в силу (а) и классу & (ЕТ), и что /(0) = 0.
Учитывая соотношение [*], выбирая подходящий контур интегри-
рования С и используя определение оператора f(T), данное
в § VII.3, получаем
f (ЕП - (Ч (К -<и = i{$ ф41} (1 — £) +
С с
с
Почти таким же способом можно доказать, что f(T)E = f(TE),
а это показывает, что f (Т) Е = f (Т), поскольку Т— ТЕ.
Пусть {ха, а £ Л} —ортонормальный базис в Так как под-
пространство ESq конечномерно, без ограничения общности можно
предположить, что в А имеется такое конечное подмножество В,
что {ха, офВ}— ортонормальный базис в ESq, а {ха, а£Я— В} —
ортонормальный базис в (I-E)Sq. Тогда, поскольку Т = ТЕ,
имеем Т* — ЕТ* и
П tr (/(££), £T) = tr(£f(T),£T) =
= 2 (Ef(T)xa, (ЕТ)*ха) =
а£А
х) Вектор Ех не равен нулю, ибо в противном случае х £ $1, откуда
Хх — Тх — 0.— Прим, перев.
188
Гл. XI. Различные приложения
= S {f(T)xa, Т*ха) =
(Х6В
= а3 (ETf(T)xat ха) =
= tr(£T/(T)|£^).
Так как f(T)E = f(T), то /(Т)(/-Е) = 0 и f(T)xa = 0 для
а£ Д — В; и из третьей строки соотношений ['] следует, что
tr(/(T), П=3(/(Лха, Т*Ха) =
а£А
= 3 (/(ЛХа, Т*ха) =
аев
(f(ET), ЕТ).
Доказательство закончено.
21. Лемма. Пусть Т — линейный оператор в конечномерном
гильбертовом пространстве Еп, и пусть Xi, ...,'kn — его собст-
венные значения с учетом кратностей. Тогда в Еп найдется
такой ортонормальный базис {х»}, для которого
(Txt, Xt) — kt, i—l,...,n.
Доказательство. Покажем, что в Еп существует ортонормаль-
ный базис {х<}, в котором матрица (а^) оператора Т имеет
треугольный вид, т. е. а^ — 0 при j > I. Докажем это индук-
цией по п. Если и=1, то утверждение очевидно. Пусть п>1,
и пусть X — собственное значение оператора Т. Тогда оператор
Т — X/ отображает Еп в некоторое подпространство So ф Еп. Пусть
S —такое (п— 1)-мерное подпространство в Еп, что Тогда
поскольку подпространство S инвариантно относительно операто-
ра Т — в нем по предположению индукции найдется такой
ортонормальный базис (xt, . ..,xn-i}, что ((Т — M)xt, ху) = 0 при
j > i. Пусть хп — вектор с нормой 1, ортогональный к S, так что
{xi, .... хп)—ортонормальный базис в Еп. Тогда матрица опера-
тора Т — X/ в базисе (хь ..., хп} имеет своими элементами
числа ((Т — X/) Xt, Xj), причем ((Г—$J)xt, х,) = 0 при j>i.
Нужный ортонормальный базис построен.
Таким образом, определитель det (X/ — Т) можно вычислить
по формуле
det (X/ - Т) = (X - (Тхь хО)... (X — (Тх„, хп)).
Следовательно, из замечания, предшествовавшего теореме 12,
вытекает, что последовательность (Txt, х,), i = 1, ..., п, является
6. Операторы Гильберта — Шмидта 189
последовательностью собственных значений оператора Т с учетом
их кратностей, ч. т. д.
Замечание. Пользуясь разложением в степенной ряд показа-
тельной функции от оператора, легко показать, что если матрица
оператора А в Еп относительно базиса {xlf ..., хп} имеет тре-
угольный вид с диагональными элементами то матрица
оператора еА в том же самом базисе также имеет треугольный
вид с диагональными элементами е%1, ..., еКп; таким образом,
определитель этой последней матрицы равен
. е^п = • • • 4“^) = еХт (А\
Это означает, что det еА = etr Поскольку, согласно доказатель-
ству предыдущей леммы, для любого оператора найдется базис,
в котором его матрица имеет треугольный вид, это тождество
справедливо и в общем случае. Если 4 —такой оператор в Еп,
для которого существует 4”1, так что может быть определен
оператор log 4, то указанное тождество можно переписать в виде
det 4 = det elos А = elr <los А).
Это тождество будет нам полезно в дальнейшем.
В лемме 22 и в следствии из нее мы делаем существенный
технический шаг, необходимый для перенесения результатов,
полученных для конечномерного пространства, на бесконечно-
мерный случай.
22. Лемма. Пусть К, z —комплексные числа, причем
и пусть
f (2v, Z) = Z-1 [log (1 — X,Z) + 2vZ].
Пусть {ха} —ортонормальный базис в гильбертовом простран-
стве и пусть Т—оператор Гильберта —Шмидта, спектр
которого не содержит точки V1. Тогда для каждого конечного
подмножества В az {ха} справедливо неравенство
I exp (tr (f (А., Т), Т)]|<
<вХр{у 2 l^al2} [еХр{4 2 Re(^xa> *“)}] Х
хаАв ха$в
X П (1 - 2 Ке (КГХа, ха) +1 КГха |2)Ч
ха£В
Доказательство. Уже было отмечено, что Тха = 0 для всех,
кроме, быть может, счетного числа векторов ха. Пусть {ха.} —
множество всех тех ха, для которых ТХе^О; положим хг = ха..
Можно считать, что В = {хь Пусть Tk—линейный
190
Гл. XI, Различные приложения
оператор, определенный следующими равенствами:
TkXi — Txi,
TkXt = 0, i>k,
Thxa = Q, ха$В.
Область значений оператора Th конечномерна, и последователь-
ность {Th} сходится к Т по норме Гильберта—Шмидта.
Если %— О, то утверждение леммы тривиально. Пусть Х^=0;
тогда f (X, 0) = 0. Пусть ^ — подпространство в натянутое
на xt, ..., Xh- Обозначим через Eh оператор ортогонального'
проектирования $ на &л, и пусть fk — EhTk]£)k—сужение опера-
тора EhTh на S^h- По лемме 20
tr(f(X, Th), Th) = it(fhf&, Th)).
Таким образом, используя теорему 12 и замечание, предшествую-
щее формулировке доказываемой леммы, имеем
| t,tr(<(%. ТА), 7ft) | = | etr(log(Z-X7\)+M%) | =
= । etr(log(/-Xfft))eX tr (Tfi) । =
-|det(/-%n)||eMrC?*)|<
С п К7 — *Л) Xi | eRc (Х tr <
1-1
k
< п I (I - ВД Xi I eRe a tr =
1=1
k
= Д [1 - 2 Re (XThXi, Xi) +1 KThXi |2]‘/2 eRe & tr<™> =
h k
П 11 -2 Re (KTxlt хг) + |ХТхг|2]1/2ехр(2 Re(XTxi, хг)).
1=1 i=l
Задавшись натуральным числом и, выберем k>n. Тогда, при-
меняя неравенство для — 2Re(XTxf, xf) +1 KTxt |2„
получаем, что последнее выражение в приведенной выше после-
довательности неравенств не превосходит
Д [ 1 -2 Re {XTxi, Xi) +1 XTxi |2],/2 x
Л k k
- 5 Re (ХТхг, x;) (1/2) 2 1^Тжг12 S Re (Х.Тяг, x;)
x e i=n+l e i=n+l ei=l _
6. Операторы Гильберта — Шмидта 19 f
= ft 11 — 2 Re (УГхг, хг) +1 ХТхг |2]1/а х
г=1
п h
У Ве(ГГх;,Х;) (1/2) У |ХТхг|2
Xei=l е i=n+i
Таким образом, для каждого k>n
['] | exp [tr (/(X, Тк), TA)] JJ[1—2 Re (ХТхь xf) +1 Х7хг |2]1/2 x
1=1
X exp ( 2 Re (^Txt, xj) exp Q- У I XTxt |2) .
1=1 1=П-}-1
По теореме 7, f(X, Tk) сходится к f(X, T) по норме Гильберта —
Шмидта. Следовательно, в силу непрерывности функции следа
(см. следствие 19)
tr(/(X, 7\), Tft)->tr(/(X, Т), Т).
Устремляя в ['] k к бесконечности, получаем требуемое нера-
венство.
23. Следствие. Для любого е>0
lim 1 exp [tr (/(X, Т), Т)]| = 0.
I Х|->ОО
Доказательство. Выберем конечное множество В столь боль-
шим, чтобы выполнялось неравенство
3 |Тха|2<8.
И(£В
Обозначим для удобства А1 = У|(Тха, ха)|. Из леммы 22 сле-
а£В
дует, что
e-sW2|exp[tr(f(^, Т), Т)]|<
< П 11 - 2 Re (ХТха, ха) 4-1 ХТха J2[1/2 м>/2
а£В
Выражение, стоящее в правой части неравенства, стремится*
очевидно, к нулю, ч. т. д.
Теперь мы можем пожинать плоды своих трудов, получая
бесконечномерные обобщения основных конечномерных резуль-
192
Гл. XI. Различные приложения
татов. Эти обобщения даются в следующих двух теоремах и далее
в теореме 27.
На протяжении нескольких следующих страниц полезно пом-
нить, что оператор N в гильбертовом пространстве квазиниль-
потентен, если lim |АР|1/П = О (см. VII.5.12 и IX.2.5). По лемме
П->оо
VII.3.4 это равносильно условию <т (7V) = {0}.
24. Теорема. Пусть N—квазинильпотенпгный оператор Гиль-
берта—Шмидта. Тогда tr(V, N) = 0.
Доказательство. Поскольку a(N) = {0}, функция f(X, N)
из леммы 22 определена для любого комплексного числа X
и по теореме 7 имеет своим значением оператор Гильберта —
Шмидта. Так как для каждого X
/(Х+ДХ, z)—/(X, г) _д/(Х, г)
wo М ~
равномерно по z в некоторой окрестности точки г = 0, то из тео-
ремы 7 следует, что предел
Пт /(Х+ДХ, ЛГ)-/(Х, N)
дх»-*о
существует в смысле сходимости по норме в HS и равен
д[ (X, V)/dX. Таким образом, f (X, N) — аналитическая функция,
со значениями в пространстве HS. Из следствия 19 вытекает,
что функция g, определенная равенством
g(X) = tr(f(X, N), N),
аналитична для всех X. Ясно также (это следует из определения
f (X, А/)), что g(0) = 0. Предыдущее следствие показывает, что
1ехр (g (X)) | = о (е81Х12) при А,—» со для всякого положительного 8.
Таким образом, для каждого 8>0
ДА,
Г1 Hm (Re(g(X))-8|X|2]<0.
|Х|->оо
Теперь, применяя простую и хорошо известную теорему Кара-
теодори из теории функций комплексного переменного (ее форму-
лировка и доказательство даны ниже в лемме 32), из последнего
неравенства получаем, что
lim = p
Таким образом, функция g(X)/X2 в точке Х = оо аналитична
и равна нулю. Отсюда непосредственно следует, что g(X) в окре-
6. Операторы Гильберта — Шмидта 193
стности точки X — оо разлагается в ряд Лорана
g (X) = аК + b + у + ... .
Следовательно, функция g(K) — dk аналитична при любом X,
конечном или бесконечном, и равна 0 при Х = 0. По теореме
Лиувилля отсюда следует, что g*(X) — аХ = 0, т. е. g(K) = ak.
Далее, поскольку /(X, z) = z-1 [log(l — %z) + Xz], ясно, что
оо
их, г)=-2^,
h=2
причем этот ряд равномерно сходится для достаточно малых Хиг.
Таким образом, из теоремы 7 следует, что ряд
оо
fe=2
сходится по норме пространства HS для всех достаточно малых К.
По следствию 19
оо
аЛ = ^(Х)=-2 4tr(^-\ N).
k=2
Отсюда немедленно следует, что tr(N, N) = 0, ч. т. д.
25. Теорема. Пусть Т— оператор Гильберта —Шмидта,
пусть Х2, ... —последовательность его ненулевых собственных
значений с учетом их кратностей. Если f и g— функции, ана-
литические в окрестности спектра оператора Т и равные нулю
в начале, то f (Т) и g (Т) —операторы Гильберта — Шмидта, и
оо
1г(ЦТ),
г=1
причем ряд в правой части абсолютно сходится.
Доказательство. Покажем сначала, что
[*] Slf(W<oo-
г-1
Из теоремы 7 и теоремы об отображении спектра (VII.3.19) следует,
что достаточно рассмотреть случай f (z) = z и доказать, что
[**] 2|^|2<оо.
1=1
13 Заказ № 134
'194
Гл. XL Различные приложения
Пусть £(Х(; Т) — проектор, определенный в § VII.3, и пусть
Тп —сужение оператора Т на подпространство
S £(М Т)$.
i=l
Ясно, что М ..., Хп являются собственными значениями опера-
тора Тп в $п. Так как, кроме того, || Тп || < || Т ||, а из леммы 21
и следствия 3 мы имеем
2Щ2<Ш12.
г=1
то неравенство [**] справедливо.
оо
Таким образом, абсолютная сходимость ряда 3 f (к) g
:=1
следует из (*] и неравенства Шварца. Пусть замыкание под-
00
пространства и пусть —ортогональное дополне-
ние к Пусть (ср,,) — ортонормальный базис в ф', выбранный
так, что {ф(, .... фП1}— базис в {<pi, фП2} —базис в &2
и т. д. Пусть — ортонормальный базис в Тогда, очевидно,
из определения 17 следует, что
tr(/(D, g(T))-§ (/ (Т)<рх, g(ma).
i~i а
По теоремам VII.3.20, VII.3.19 и лемме 10
ОО nj
3 (/СО фь g(T)4i) = lim3 (/(Т)фг, £(Л*фО =
г=1 j-*oo г=1
= limtr ((gf) (Т) | &) = 3 g (М НМ-
j->oo г=1
Доказательство настоящей теоремы будет, следовательно, закон-
чено, если мы покажем, что 2 (f <Т) Я5— g (ТУ* ’М —
Поскольку g(T)*^a) = (g(T)^a, /(Т)*фа), спра-
ведливость нужного нам равенства следует, очевидно, из справед-
ливости трех соотношений
f(T)*^a)=o,
а
in Stem- g(n*^)=o,
а
s am) m- (f+g)(T)*%)=o,
6. Операторы Гильберта — Шмидта
195
которые все имеют одну и ту же форму; поэтому достаточно
привести доказательство первого из них. По теореме VII.3.20
оператор f (7) отображает пространство в себя, а потому
f (Т)* отображает Sq" в себя. Пусть = S. Тогда по тео-
реме 7, лемме 2 и определению 1 S является оператором Гиль-
берта-Шмидта. Имеем
(Pf (Т) х, у) = (f (Т) X, у) = (X, f (ТУ у), х,уе
где Р —оператор ортогонального проектирования на Sq". Таким
образом, Р/(Г) | £)" = S*. Следовательно, первое из соотношений [']
равносильно утверждению
И tr (S, S)-0.
Из теоремы 24 следует, что для того чтобы доказать ["],
достаточно показать, что оператор S квазинильпотентен. Если S
не является квазинильпотентным оператором, то по теореме VII.4.5
существуют такое ненулевое комплексное число р и такой нену-
левой вектор х£ что Sx-^px. Поэтому снова по теореме VII.4.5
Е (р; / (Г)*) {0}. Из абзаца, следующего за определением
VII.3.17, леммы VI.2.10 и определения VII.3.9 следует, что
£(И; /(Т)*) = Е(Й; f(T))*.
Тогда, согласно теореме VII.3.20, найдется такое ненулевое
комплексное число v, что Е (v; Т)* {0}. Однако, поскольку
по определению (^", Е (v; Т) $) = 0 для любого ненулевого
комплексного числа v, мы получаем противоречие, которое
доказывает справедливость настоящей теоремы.
26. Теорема. Пусть Т — оператор Гильберта — Шмидта с нену-
левыми собственными значениями Х2, ... с учетом их крат-
ностей. Тогда бесконечное произведение
оо
г=1
сходится и определяет функцию, аналитическую при Х=Д0. Для
каждого фиксированного эта функция является непрерыв-
ной комплекснозначной функцией на В-пространстве всех опера-
торов Гильберта —Шмидта.
Доказательство. Заметим сначала, что если £ —комплексное
число и | £|< 1, то
13*
196
Гл. XI. Различные приложения
при >0. Пусть /(£) = £ 1 log{еЦ1—£)} и gQ) = £, так что
функции fug аналитичны всюду, кроме £=1, и равны 0 при
£ = 0. Если Г —оператор Гильберта —Шмидта, все ненулевые
собственные значения которого А2, ... отличны от 1, и если
Х=#=0, то, согласно VII.3.11, оператор 7/Л. имеет собственные
значения At/A, кг1к, .... Применяя теорему 25, получаем
(>-¥)}
k=i
причем ряд в правой части абсолютно сходится, если А #= Ал для
всех k.
Так как А*—>0, то из оценки [*] следует, что ряд
2 log {Ля (1-^)}
сходится равномерно и абсолютно на каждом компактном мно-
жестве чисел X, не содержащем ни точки 0, ни никакой из точек
Поэтому, потенцируя, получаем, что произведение
оо
<рнп-П^д(1_т-)
/г-~1
равномерно сходится на каждом таком компактном множестве.
Так как это произведение, очевидно, сходится к нулю при X =
то легко видеть, что функция q%(T) аналитична при Z=£0
и обращается в нуль лишь при Л go (Г).
Осталось показать, что если Z=^0, то функция у>к(Т) непре-
рывна по Т относительно нормы Гильберта —Шмидта в HS. Рас-
смотрим в HS такую последовательность {Тп}, что || Тп — Т ||—>0.
Тогда если С — компактное подмножество множества р(Г),
то из неравенства | —Т|<|| Тп — Т\\ и леммы VII.6.3 следует,
что C^q(Tn) для всех достаточно больших п. Если / — функция,
введенная в начале доказательства, то для достаточно больших п
операторы f (7\/Х) определены для всех Л из С и по теореме 7
принадлежат HS. Из теоремы 7 следует, что
равномерно по А на компактном множестве С. Таким образом,
по теореме 14
равномерно по 1 на С.
6, Операторы Гильберта — Шмидта 197
Далее, поскольку (px(T) — exp{tr(f(T/X), 77Х)} для X из q(T),
из предыдущего соотношения следует, что
<Рх (Л = lim <рх (Тп)
П->оо
равномерно по Л на С. Но для каждого п функция у>к(Тп) ана-
литична при Х=7^=0. Следовательно, если С —контур, не охваты-
вающий точку Л = 0, то из равномерной сходимости последова-
тельности {qK(Tn)} на С и принципа максимума модуля вытекает
равномерная сходимость этой последовательности внутри контура С,
даже если С охватывает ненулевые точки спектра о (Г). Поэтому
Фх (Тп) —»фх (Т) для всех Л=^0, что доказывает непрерывность
на HS отображения Т—хрх(Т), ч. т. д.
Предыдущие результаты дают довольно много информации
относительно распределения собственных значений оператора
Гильберта —Шмидта. Мы видели, что такой оператор может иметь
не более счетного числа собственных значений, причем они
должны достаточно быстро сходиться к единственной пре-
дельной точке Х = 0, чтобы ряд ^1М2 сходился. Кроме того,
существует такая аналитическая при функция фх(Т), что
ее нули в точности совпадают с ненулевыми собственными зна-
чениями оператора, причем эта аналитическая функция является
довольно простой. Используя свойства функции фх(Г), изложен-
ные в теореме 26, мы в состоянии теперь распространить фунда-
ментальное неравенство Карлемана, полученное в теореме 15
для операторов в конечномерном пространстве, на произвольные
операторы Гильберта —Шмидта.
При изложении следующего результата мы продолжаем поль-
зоваться обозначением
оо
Фх(П= п
k=i
напомним, что функция срх(Т) аналитична при и равна
нулю на множестве cr (Г) — {0}.
27. Теорема (Карлеман). Если X принадлежит резольвент-
ному множеству оператора Гильберта — Шмидта Т, то
I фх (Г) (X/ - Г)"11 < IXI ехр {4- (1 + .
Доказательство. Из теорем 26, 6 и леммы VII.6.1 следует, что
достаточно рассмотреть случай, когда область значений 91 опе-
ратора Т конечномерна. Пусть ^ — область определения опера-
тора Т, и пусть = {х£ <q | Тх = 0}. Тогда оператор Т отобра-
жает взаимно однозначно на ЭГ Таким образом, подпрост-
198 Гл. XI. Различные приложения
ранство 91"1’ должно быть конечномерным. Пусть — одномерное
подпространство в 31, SDlj = 31х+ '$ + <& и ЗЛ2 — ЗЛ1-. Тогда
ТЯНз 0 11 Т’ЗЛ) = ЗЛр Положим Тг — Т19Л1. Тогда ясно, что
||7'1]| ||7’||, <т(7’1) = ст (Г), фх(Л) = фл(Г). Кроме того, если
и //i2€W2, то (X/ — Т) 1 (mi + tn2) = (kl — Ti)-1mi + 'k~1m2.
Таким образом,
| (X/ - Г)"1| = max (| X"11, | (X/ - |).
С другой стороны, неравенство
| Х|-1> | (X/ —7'1)“1|
не может иметь места, поскольку тогда из леммы VII.6.1 следо-
вало бы, что оператор 7\ обратим, что невозможно, ибо собст-
венные векторы из <S принадлежат его области определения ЭЛр
Итак,
|(Х/-7’Г| = |(Х/-Л)-1|.
Следовательно, настоящая теорема вытекает непосредственно
из теоремы 15.
28. Следствие. Пусть N — квазинильпотентный оператор '
Гильберта — Шмидта. Тогда для всякого к^=0
|/?(Х; N)\<\Х|ехр {* (1 l ||v||2)} •
Эффективность неравенства Карлемана при изучении свойств
полноты системы собственных функций операторов Гильберта —
Шмидта станет ясной из следующей теоремы, в которой в весьма
общем случае при помощи рассуждений теоретико-функциональ-
ного характера, основанных на принципе Фрагмена —Линделефа,
устанавливается важное свойство полноты.
В следующей теореме и в ее следствиях символом sp(T), где
Т — ограниченный или неограниченный оператор в гильбертовом
пространстве Q, будет обозначаться замкнутое подпространство,
порожденное всеми векторами х из гильбертова пространства
удовлетворяющими уравнению (X/ — Т)пх = О для какого-нибудь
комплексного X и какого-нибудь неотрицательного целого п.
29. Теорема. Пусть ..., — непересекающиеся дифферен-
цируемые дуги на комплексной плоскости, выходящие из начала
координат. Предположим, что каждая из пяти областей, на
которые эти дуги делят плоскость, содержится в секторе
с углом раствора меньшим, чем л/2. Пусть N > 0 — целое число,
и пусть Т — оператор Гильберта —Шмидта в гильбертовом
6. Операторы Гильберта — Шмидта 199
пространстве 1g, резольвента которого допускает оценку
\R&; T)\—O(\h\~N),
если X—>0 вдоль какой-нибудь из дуг у^. Тогда подпростран-
ство sp(T) содержит подпространство TnSq.
Доказательство. По теореме Хана —Банаха (II.3.13) доста-
точно показать, что всякий элемент у из удовлетворяющий
соотношению (х, у) — 0 для всех х из sp (Г), удовлетворяет
также соотношению (TNx, у) = 0 для всех х из
Пусть у — такой элемент. По теореме VII.4.5 функция у(Х) =
Т*)у аналитична всюду на комплексной плоскости,
кроме, быть может, точки X —0 и счетного множества изолиро-
ванных точек таких, что —> 0; в точках функция у (Л)
может иметь полюсы. Если X содержится в малой окрестности
точки кт и то
y^) = %NE(km-, Т*)Я(%; T*)z/4-Xa>(A; T*)(I-E^m-, T*))y =
~hNE(km', T)*R(K; ТУу + у^У
из теоремы VII.3.20 и леммы VII.3.2 следует, что функция
У1 (Л) аналитична и при Л = Покажем теперь, что функция
у2 W (Xw; Т)*7?(Х; Т)* у равна нулю; этим будет доказано,
что функция у (X) аналитична во всех точках так что может
не быть аналитической лишь в точке Х = 0. Заметим, что
(г/2(^), Т)*г/, х) =
= XN(y, Е(Кп; T)R(K; Т)х).
Из теоремы VII.4.5 следует, что элемент E(Xm; T)R(k, Т)х
принадлежит sp (Т). Так как у принадлежит sp (Т)-1-, то (у2 (X), х) = 0
для каждого х из таким образом (П.3.14), z/2(X) = 0. Итак,
функция Т*)у аналитична на всей плоскости, кроме, быть
может, начала координат. Допустим, что нам известно, что эта
функция аналитична также и в начале. Тогда из тождества
Т*^(Л; = Т*) у — ^~1у-^-2Т*у— ... -T4N~l)y
следует, что функция T*NR (X; Т*) у аналитична на всей плос-
кости. Поскольку эта функция на бесконечности обращается
в нуль, то из теоремы Лиувилля вытекает, что T*NT?(X; Т*)у =
= 0; поэтому, разлагая резольвенту в ряд Лорана в окрестности
бесконечно удаленной точки, получаем, что T*Ny = 0 (ср. VII.3.4).
Итак, (у, TNx)^=0 для всех х из что мы и собирались дока-
зать.
200 Гл. XI. Различные приложения
Таким образом, доказательство основывается на утверждении,
что функция у (X) XNJ? (Л; Т*) у аналитична в начале. Чтобы
доказать справедливость этого утверждения, поступим следую-
щим образом. Поскольку функция у(Х) имеет самое большее
единственную изолированную особенность в точке Х = 0, она
допускает разложение в ряд Лорана (ср. § III. 14)
У (X)= • • • + Д-А-’ ~г • • • 1
справедливое при X 0. Таким образом, для каждого х из §
функция (у(Х), х) разлагается в ряд Лорана
(у(Х), х) = ... +(а_в, х)Х’в + ....
Ниже мы покажем, что для всякого х из эта последняя функ-
ция аналитична на всей плоскости. Отсюда будет следовать, что
(а-з, х) = 0 для каждого s>0 и каждого х из так что
по теореме Хана —Банаха а_, — 0 для всякого s>0. Следова-
тельно, функция у(Х) аналитична при X — 0. Итак, чтобы закон-
чить доказательство, мы должны лишь показать, что функция
^(Х) ~ (XW/?(X; Т*) у, х) при всяком х из Jg аналитична в начале
координат. Оператор Г* отображает ортогональное дополнение
sp(T)-1- подпространства sp(T) в себя. Пусть S —сужение опера-
тора Г* на sp(7’)±. Допустим, что оператор S не является ква-
зинилыютентпым. Поскольку по лемме 2 и теореме 6 оператор S
вполне непрерывен, то из теоремы VII.4.5 следует, что сущест-
вуют такое ненулевое комплексное число р. и такой ненулевой
вектор х в sp(7’)J-, что Sx = px. Таким образом, снова по теореме
VII.4.5 £(р; Т*) (sp(T)-L)=/={0). Из абзаца, следующего за опре-
делением VII.3.17, леммы VI.2.10 и определения VII.3.9 выте-
кает, что
£(р; T*) = £(jT; Т)*.
Согласно теореме VII.4.5, £ (р; Т) § s sp (Т) и, таким образом,
(sp(T)J-, £(р; Т)$) = 0. Поэтому (£ (р; T*)sp(T)-L, £) = 0, а это
противоречит тому, что £ (р; Т*) sp (Т)± Ф {0}. Полученное проти-
воречие показывает, что оператор S квазинильпотентен. По след-
ствию 28 резольвента оператора S допускает оценку
|Я(Х; S) | = О(ei's42/2iM2) при X-> 0.
Итак, функция f обладает следующими двумя свойствами:
(a) |/(X)| = |(X^(X; Т*)у, х) | = О (eiisn*/2ia,|s) При Х ->0;
(b) f ограничена на каждой из пяти дуг уг (по условию тео-
ремы).
6. Операторы Гильберта — Шмидта
201
Из принципа Фрагмена —Линделефа следует, что функция f
аналитична в начале координат, ч. т. д.
Для удобства читателя набросок доказательства принципа
Фрагмена —Линделефа приложен в конце настоящего параграфа.
30. Следствие. Пусть дуги ..., у5 выбраны так же, как
в предыдущей теореме*, предположим, что, когда % стремится
к нулю вдоль какой-нибудь из этих дуг, резольвента R(k, Т)
оператора Гильберта —Шмидта Т допускает оценку | (/? (X; Т) | =
= О (| X |-1). Тогда подпространство sp(T) совпадает со всем
гильбертовым пространством
Доказательство. Так как из предыдущей теоремы следует,
что подпространство sp (Т) содержит замыкание области значений
оператора Т, то достаточно показать, что совместная замкнутая
линейная оболочка области значений Э?(Т) и нуль-пространства
У1(Т) совпадает со всем пространством Пусть {Zn} —сходя-
щаяся к нулю последовательность комплексных чисел, лежащих
на одной из двух и пусть х — произвольный вектор из
Тогда по предположению последовательность Т)х} огра-
ничена. Поэтому без ограничения общности можно считать
(см. IV.4.7), что эта последовательность слабо сходится к неко-
торому элементу у. Доказательство будет закончено, если мы
покажем, что (а) Ту = 0 и что (Ь) вектор х — у принадлежит
подпространству 9t(T). Для того чтобы доказать (а), заметим,
что для всякого г из §
| {Ту, г) | = | {у, T*z) | = | lim (х, ^R (Xn; Т*) T*z) | =
TWOO
= | lim [(x, VnR (V, T*) z) - (x, z)J | <
iwoo
ClimlAnl.lxHzH^CV, T*)| + lim|Zn||x||z| =
n->oo n->oo
= lim|An|O(l) = 0.
71—>OO
Чтобы доказать (b), заметим, что для любого z из ортогональ-
ного дополнения к Э1(Т)
{х — у, z) = lim (х — XnR {/m‘, Т) х, z) = — lim {TR (Лп; Т)х, г) = 0,
п->оо п->оо
и, следовательно, х — у принадлежит (?К (Т)±)1 = (Г), ч. т. д.
31. Следствие. Пусть Т — неограниченный оператор в гиль-
бертовом пространстве $, определенный на всюду плотном под-
202
Гл. XI. Различные приложения
множестве и обладающий тем свойством, что для некоторого
Ло из резольвентного множества Q (Г) оператор R (Хо; Т) принадле-
жит классу Г ильберта — Шмидта. Пусть у,, ..., у5 — непересекаю-
щиеся дифференцируемые дуги, каждая из которых имеет пре-
дельное направление на бесконечности, причем угол, образуемый
на бесконечности любыми двумя соседними дугами, меньше чем
л/2. Предположим, что резольвента R (X; Т) допускает оценку
Т)\-О(\Ъ\М), когда К—> оо вдоль какой-нибудь из дуг yt.
Тогда подпространство sp(T) совпадает со всем гильбертовым
пространством !q.
Доказательство. Допустим определенности ради, что Хо = О,
так что Т~г является оператором Гильберта —Шмидта. Из тож-
дества
R (Л-1; Т-Х) = Х/-Х2/?(Х; Т)
следует, что при некотором целом положительном N оператор Т~1
удовлетворяет условиям теоремы 29. Из теоремы VII.9.8 легко
следует, что множество всех векторов х, удовлетворяющих при
каком-нибудь комплексном X и каком-нибудь целом неотрицатель-
ном п уравнению (X/ —Т)пх-0, совпадает с множеством всех
векторов х, удовлетворяющих при каком-нибудь комплекс-
ном и и каком-нибудь неотрицательном целом m уравнению
(р/— Г"1)"‘х = 0. Отсюда и из теоремы 30 мы заключаем,
что существует такое целое положительное N, для которого
sp(T) э Так как область определения оператора Т всюду
плотна в то = и, следовательно, (Г-1)27 $ == <§, ч. т.д.
Закончим этот параграф доказательством двух хорошо извест-
ных теорем из теории функций комплексного переменного, кото-
рыми мы воспользовались выше.
32. Лемма (Rapameodopu). Пусть f —функция, аналитическая
в круге | z комплексной плоскости, и пусть / (0) = 0. Тогда,
если при |z|--- R, то |/(z) |<2/И при |z|<R/2.
Доказательство. Изменяя масштабы измерения зависимого
и независимого переменного, можно, очевидно, предположить,
что М =- R = 1. Пусть
Тогда, так как отображение £ —> £ (2 — £)-1 переводит полуплос-
кость Re£<ll в единичный круг и оставляет точку £ = 0
на месте, | g (z) | 1 при | z | = 1, g (0) = 0. Применяя к функции
6, Операторы Гильберта — Шмидта
203
g(z)/z принцип максимума модуля, находим, что
I / (?) I + /(г) I I
2 + 1 f (г) П I 2 —/ (z) Р 2
при |^| <1/2. Таким образом, 1 — | f(z) |/2 > 0 при | г |< 1/2, ч. т. д.
33. Лемма (Фрагмен — Линделеф). Пусть g — функция ком-
плексного переменного г, аналитическая внутри замкнутого угло-
вого сектора о единичного круга, образованного парой непересекаю-
щихся дифференцируемых жордановых дуг yi и у2, идущих из начала
к единичной окружности и образующих в начале угол с раствором
меньшим, чем л/2. Предположим также, что функция g анали-
тична в окрестности каждой из полуоткрытых дуг yt — {0}
и Y2 —{0}, ограничена на каждой из этих полуоткрытых дуг
и допускает оценку
когда г—>0, оставаясь внутри о. Тогда
|£(г)1 = О(1),
если г—>0, оставаясь внутри сектора о.
Доказательство. Очевидно, что, поворачивая (если нужно)
комплексную плоскость, мы можем без ограничения общности
предположить, что о является подмножеством углового сектора
*1= {zl 121< 1, | argz|<-J - б} ,
где S —малое положительное число. Пусть М — верхняя грань
для |g| на множестве, составленном из полуоткрытых дуг Yi — {0},
у2 —{0} и дуги
Уз= {zG<r| |z| = .
Для каждого е>0 рассмотрим функцию
h& (z) = exp (— ez-2-6) g (z).
Так как arg (z~2~6) | < (2 — 6) (л/4 —S) < л/2 —6 для всех z
из ст4, то
Г] |ехр( —ez-2-6)|<l, zGffi,
и даже
{"] ]exp(— ez~2-e) |<ехр( —e|z|-2-еsin6), zEct4.
Итак, поскольку \g(z) | = 0(е!21-2), из ["] следует, что | (z) |
сходится к нулю, когда z стремится к нулю, оставаясь в ст.
204
Гл. XI. Различные приложения
Поэтому из ('] вытекает, что величина \he(z) | ограничена постоян-
ной М на всей границе области
о2= {zG<r| |z|<4} •
Применяя принцип максимума модуля, мы выводим отсюда, что
величина | йе (z) | ограничена постоянной М всюду на о2. Если
е—* О, то йе(г)—>g(z). Таким образом, полагая е—>0, получаем,
что модуль функции g(z) ограничен внутри <т2 постоянной М, ч. т. д.
7. Преобразование Гильберта и неравенство
Кальдерона — Зигмунда
В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые важные
сингулярные интегральные операторы и некоторые неравенства
для этих операторов, полученные в одномерном случае Гильбертом
и М. Риссом, а в n-мерном случае — Кальдероном и Зигмундом.
Эти операторы и неравенства, интересные и сами по себе, найдут
также определенные применения в последующих главах1).
Мы будем рассматривать интеграл свертки
(1) \ k{x — y)f(y)dy
как оператор в Lp(En) и дадим условия, при которых можно
утверждать, что линейное отображение 7\: f —> k * f является
ограниченным оператором в Lp(En). Если \k(y)\dy <Z оо, то
Еп
из леммы 3.1 следует, что интеграл свертки (1) существует для
почти всех х и определяет ограниченное отображение простран-
ства Lp(En), 1<р<оо, в себя. Для р — \, р=со и р = 2 норма
этого отображения может быть точно вычислена. Если р = 2, то
n-мерный аналог теоремы 3.21 (d) (см. обсуждение теоремы 3.22) дает
|ГА|2= sup К е^х> & k (х) dx |.
ve£nlj„ 1
Так как £*=£«,, то из теоремы IV.8.5 следует, что
|7л|«>=^ \k(x)\dx.
Еп
х) Особенно большие применения имеют эти неравенства в теории общих
граничных задач эллиптических уравнений (Агмон, Дуглис, Ниренберг [1*])
и сингулярных уравнений (Михлин [2*]).— Прим, ред.
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 205
А так как |ПI = 17*|, то ясно также, что
17'л |i - 'i I k (х) | dx.
к»
Поскольку в некоторых случаях интегралу
(2) v> k (х) dx
кп
можно придлть смысл, даже гели \k(x)\dx -со (например,
|,;П
по теоремам Планшереля XI.3.9 и XI.3.22 это можно сделать,
если | k (х) |Мх < со^), это наводит на мысль попытаться
Еп
определить оператор 7\ и тогда, когда \k(x)\dx — co. В этих
Еп
случаях мы можем надеяться, что интеграл (1) существует в «сред-
нем» или в смысле «главного значения» и определяет ограниченное
отображение пространства L2(En) в себя, если только интеграл (2)
существует в некотором аналогичном смысле и является ограничен-
ной функцией от у.
Рассмотрим, например, случай п=1 и возьмем &(х)=1/х.
Интеграл (1) принимает вид
<3> !
— оо
этот интеграл изучался Гильбертом. Интеграл (2) можно интер-
претировать в смысле главного значения Коши:
F eixy J ( е . F 1 eixv 1 <. F eixy — e~ixy ,
\ -----dx= lim 4 \ + \ f-----------ах = lim \------------ах =
е) Х £->0 I е? е) J Х е->0 е) Х
—оо —оо g е
= lim 2i ? dx = lim 21 sgn (y) - -n-*- dx =
e-*0 *' x 8->0 p , x
e ejvl
= 21 sgn (y) J dx = ni sgn (y).
0
Это ограниченная функция. Таким образом, имеются причины
ожидать, что интеграл Гильберта (3) определяет отображение
пространства L2( —°°> °°) в себя и что норма этого отображения
206
Гл, XL Различные приложения
равна в точности л. Вскоре будет показано, что это в самом
оо
деле так. Поскольку^ |x|"1dx=oo, интеграл (3) не определяет
— оо
ограниченного отображения в ( — оо, оо) (аналогично, он не опре-
деляет ограниченного отображения в Лоо( —оо, оо)). М. Рисе
показал, что этот интеграл определяет ограниченный оператор
в пространствах Lp{ — со, оо), 1<р<оо. В этом параграфе
мы приведем принадлежащее ему красивое доказательство этого
факта. Неравенство М. Рисса является значительно более глубоким,
чем рассматривавшееся как его прототип элементарное неравенство
по оо оо оо
| k(x — y)f(y)dy^ dx^. | | & (x) | \f(x)\pdx,
— 00 —oo — oo —00
00
справедливое при | k (x)|dx< co; об этом свидетельствует нару-
шение неравенства М. Рисса в предельных случаях р=1 пр —со.
В связи с рассмотрением интеграла Гильберта (3) следует под-
черкнуть, что примененная здесь регуляризация интеграла при-
годна лишь потому, что функция Мх при отрицательных х при-
нимает значения, равные по величине и противоположные по знаку
значениям, принимаемым ею при положительных х. Это обстоятель-
ство приводит, например, к тому, что
— =0
J X
-1
(в смысле главного значения). Если мы попытались бы в качестве
ядра в интеграле свертки взять функцию | х |-1, т. е. рассмотрели бы
вместо (3) интеграл
оо
\ l^dx,
.1 I*—у\
— оо
то все наши рассуждения оказались бы несостоятельными.
В многомерном случае мы рассмотрим интеграл свертки вида
оо
(4) \
—-оо 1 Х У 1
изучавшийся Кальдероном и Зигмундом. Здесь Q —функция,
задающая зависимость величины
Q(x)
И”
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 207
от направления вектора х; следовательно, предполагается, что
она удовлетворяет условию Q(x) = Q(/x), />0. Например, в част-
ном случае интеграла Гильберта (3) Q (х) = sgn х. В случае когда Q
является нечетной функцией, т. е. Q( — х)= — Q(x), используя
неравенство М. Рисса, легко показать, что если поверхностный
интеграл от Q по единичной сфере в Еп конечен, то интеграл (4)
определяет ограниченное отображение пространства Lp (Еп) в себя
при 1<р<оо. Это будет сделано ниже. Однако, 'даже если
Q(—-х)=Д —Q (х), может все же случиться (при п>1, но не при
п = 1), что поверхностный интеграл от Q по единичной сфере в Еп
равен нулю. Примером этого при п = 2 является важный интеграл
С \ W
г J (z—W)Z
-оо —оо
du do,
где z = x + h/, w = u + iv. Этот интеграл имеет вид интеграла (4),
где Q (?) = (| z — четная функция, а поверхностный интеграл
от Q по единичной сфере в Е2 есть
2 Л
e-2i0d0-O.
о
Если поверхностный интеграл от Q по единичной сфере равен
нулю, то интеграл (4) определяет ограниченное отображение про-
странства Lp(En) в себя для 1<р<оо независимо от того,
является функция Q нечетной или нет. Это утверждение, которое
справедливо при слабых предположениях относительно гладкости
функции Q, составляет содержание неравенства Кальдерона —
Зигмунда. Большая часть настоящего параграфа посвящена его
доказательству. Как было отмечено, трудности возникают для
четной функции Q; эти трудности можно обойти сведением случая,
когда Q четна, к случаю, когда Q нечетна.
Поскольку здесь будут рассматриваться ядра со свойством
«радиальной» симметрии, мы имеем веские причины на протяже-
нии этого параграфа производить вычисления в «сферических
полярных координатах». Поэтому поясним способ, которым можно
ввести эти координаты. Пусть Еп — евклидово n-мерное простран-
ство, S —единичная сфера в Еп, ^ — лебегова мера в Еп, Е™ =
= Еп — {0} и R — положительная вещественная полуось. Поскольку
Е^ и Еп отличаются лишь на единственную точку, то с точки
зрения теории меры их можно считать идентичными. Каждую точку х
из Е^ можно единственным образом представить в виде х = гсо,
где r£R, co^S, и отображение [г, со]—>х = гсо является, очевидно,
208
Гл. XI. Различные приложения
гомеоморфизмом R х S на Е". Таким образом, cr-алгебра боре-
левских подмножеств в Е, является произведением о-алгебры
борелевских подмножеств в R и о-алгебры борелевских под-
множеств в S в смысле определения III. 11.3. Имеем
(1) jj f(tx)dx = \t\~n J f(x)dx, t^O, f^Li(En).
f.n E"
Таким образом, мера
е£Яп,
обладает тем свойством, что
(2) а(/е) = |/|а(е).
Определим меру ц на полагая
2] хе), е£$в-
Эта мера ц, по причинам, которые станут ясны ниже, называется
мерой гиперповерхности на S. Используя равенство (2), получаем
2~np (е) - a ((2"n, 2‘n+,J хе), е £ &в, п>0,
и,.складывая все эти неравенства, имеем
2ц (е) ~ а ((0, 2] х е), -^’s-
используя еще раз равенство (2), находим, что
fy(e) = a((0,/jxe), eC-^s, />0,
так что
(Ь — а) ц(е) = а ((а, 6] х е), е£$в, оо>&>а>0.
I
Отсюда при помощи стандартных рассуждений теории меры полу-
чаем, что
А-! (d) ц (е) = a (d X е), d£$R, e<iSSs-
Таким образом, пространство с мерой (Е", «) является пря-
мым произведением пространств с мерой (Е, ffiR, XJ х (S, %s, ц).
Применяя теорему Фубини III. 11.9, теоремы III. 11.14 и III. 10.4,
находим, что для всякой %га-интегрируемой функции /, а также
для всякой неотрицательной Хп-измеримой функции f
f (х) dx = (ги) rn~1} р. (dco) dr.
Еп 0 S
7. П реобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 209
Применение этой формулы, в также связанного с ней частного
случая теоремы Фубини мы будем называть «записью интеграла
f(x)dx в сферических полярных координатах». В оставшейся
Еп
части этого параграфа мы будем свободно пользоваться такой
заменой переменных, инея да не оговаривая этого.
Мера р гиперповерхности на S удовлетворяет двум полезным
тождествам
|'( •'Hl'О').
||(<») 11(10').
где V—произвольное ирищенир прострпистнн /?". Кроме того,
I «чД-кг 1 1
чем мы будем постоянно пользоваться.
Мы начнем формальное изложение с рассмотрения измеримых
по Лебегу функций f, определенных на «-мерном евклидовом
пространстве Еп и имеющих в конечном числе точек неинтегри-
руемые по Лебегу особенности, и с определения для таких функ-
ций интеграла, аналогичного интегралу в смысле главного значе-
ния Коши.
О
1. Определение. Пусть /—измеримая по Лебегу функция,
определенная на n-мерном евклидовом пространстве Еп. Пред-
положим, что в Еп существует такое конечное множество точек
pit ..., pk, что для любых в > 0 и R > 0 функция / интегри-
руема по Лебегу на множестве
S(R, в; pi, ..., pk)={x^En\\x\^.R, \x—pt\>e., i = l,
Тогда если существует предел
lim \ / (х) dx = а,
8->0, R-+00 J
S(R, е; рг .. ., pft)
то будем говорить, что функция / интегрируема е смысле глав-
ного значения, и писать
еГ f(x)dx — а.
Еп
Если f неинтегрируема по Лебегу в окрестности каждой из точек
р{, ..., р^ то будем называть эти точки ее особенностями.
Н Заказ № 134
210
Гл. XI. Различные приложения
2. Лемма. Пусть f и g—измеримые функции на Еп; пред-
положим, что fug интегрируемы в смысле главного значения.
Тогда
(I) если а и $ —скаляры, то функция af+fig интегрируема
в смысле главного значения и
ST {а/ (х) + Pg (х)} dx = асР f (х) dx -j- Р<гР g (х) dx;
Ji’n Еп En
(II) для всякого ненулевого вещественного числа а функция h,
определенная соотношением й(х) —/(ах), интегрируема в смысле
главного значения и
ST h (х) dx = | а | ~nST / (х) dx;
Еп Еп
(III) если U — однородное линейное изометрическое отображе-
ние пространства Еп в себя, то функция h, определенная соот-
ношением h (х) --- f(Ux), интегрируема в смысле главного значе-
ния и
ST Л (х) dx = ST / (х) dx;
Еп Еп
(IV) если |/(х) | - - о (|х |1-п) при |х|—>оо, то для любого х0
из Еп функция h, определенная соотношением А(х) = /(х + х0),
интегрируема в смысле главного значения и
ST Л (х) dx — ST / (х) dx.
Еп Еп
Доказательство. Утверждение (I) очевидно. Утверждения (II)
и (III) являются очевидными следствиями определения 1 и формул
ср (х) dx = ср (L/x) dx,
Еп Еп
<p (ax) dx = | a |-n <p (x) dx,
En En
справедливых для всякой интегрируемой по Лебегу функции <р.
Утверждение (IV) будет доказано таким же способом, как только
мы покажем, что условие |/(х)| = о(|х|1~п) влечет за собой
соотношение
lim ? / (х) dx = О,
Я"*00 S(0, B)AS(x0> R)
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 211
где S (у, R)~ {х£Еп\\х —y\<^.R}, a b&e = (b J е) (Ь П е)' обозна-
чает симметрическую разность множеств b и е. Так как
S(O,7?)AS(xo,7?)s(S(O,/? + |xo|))(S(O, 7?-|Хо|))' и |/(х)| =
= о(|х|1 п) при |х|—>со, то ясно, что достаточно показать, что
aR = Zn [S (0, /? +1 х01) (S (О, Я-|х01))'] = 0
при R—*co. Но переходя к сферическим полярным координатам
и обозначая через соп меру р единичной сферы в Еп, имеем
Я+|хо|
aR = ®n J
R-|хо)
ч. т. д.
В следующей лемме мы вводим один специальный класс син-
гулярных интегралов, с которым мы главным образом и будем
иметь дело.
3. Лемма. Пусть g—измеримая функция, определенная на Еп.
Предположим, что точки pi. .... р^ из Еп таковы, что для
некоторого е>0 функция g интегрируема по Лебегу на множе-
стве {х 11 х — pt | > 8, i = 1, .... k}. Предположим также, что
в ъ-окрестности каждой из точек рь .... рь функция g имеет
вид
(х Pi) £ /
где Qj(x) —Qf (/х), />0, причем функция интегрируема
no единичной сфере в Еп и поверхностный интеграл от нее равен
нулю, а функция ft непрерывно дифференцируема. Тогда инте-
грал в смысле главного значения
& J g (х) dx
Еп
существует.
Доказательство. Если р (е) означает гиперповерхностную меру
борелевского подмножества е единичной сферы S в Еп. то для
Z = l, .... k
б
$ 7$йг(®)н(^<о).= 0.
6>|х-рг1>«1 1 х р‘1 61 s
14*
212
Гл. XI. Различные приложения
Отсюда следует, что для некоторой постоянной Д’ л для доста-
точно малых 6 > 6i >0
б
| J g(x)dx\^. jj -у- J |Йг(со)||Л(х—pt)— Л (р,) I И
б> |я-pj|>6i 61 8
6
|Йг(<о)|р(<йо) =
61 8
= K(6-Si) JIЙ,(®)Iи(d®).
8
Таким образом,
lim g(x)dx — 0, i = l, ,...,k.
ь^о б>|х-рг|>бг
Существование предела
lim \ g(x)dx
6->o J
{xgE»||x-Pi|>6,
г=1.....h}
следует теперь из критерия сходимости Коши.
4. Определение. Пусть й(х)—функция от х£Еп, определен-
ная при х#=0 и такая, что
(I) й« = й(|7|), х^О, х£Еп;
(И) поверхностный интеграл от Q по множеству S существует
и равен нулю.
Тогда выражение
Кй (х, у) = , X ф у, х,у£Еп,
I х—У\
называется ядром типа Кальдерона —Зигмунда.
5. Лемма. Пусть и й2 — бесконечно дифференцируемые
функции, обладающие свойствами (I) и (II) предыдущего опреде-
ления. Предположим, что Ut — нечетная, а й2 — четная функции.
Тогда найдется такая нечетная функция Q3, обладающая свой-
ствами (I) и (II), что интеграл
(1) du,
\\х-и\п \и—у\п
Еп
существующий при х=£у по лемме 3, может быть записан
в виде
^з(x—у)
\Х- у\п
7, Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 213
Доказательство. Обозначим через К (х, у) функцию, определен-
ную для х у, х, у£ Еп, интегралом в смысле главного значе-
ния (1). Тогда по лемме 2 К(х, у) = К(* — у, 0) = Ki (х—у), где
через Kt мы обозначили функцию Ki (х) = К (х, 0). Так как
Q; (ах) = Q, (х), i = 1,2, а > 0, то по лемме 2 Ki (ах) = a~nKi (х)
при а>0, так что функция Q3(x) = |x|”Ki(x) удовлетворяет
условию (I) предыдущего определения, и
К(х, у) = ^=^.
\х — у\п
Из леммы 2 следует, что функция й3 является нечетной, ибо
Ki(-x) = <H ~U) -^}-du =
J | х-\-и\п \и\
Еп
е Qi (х+ и)
|х+«|п
Еп
ф С Qj (х— у)
^^-du =
1“Г
®^dv= -Ki (x).
|v|n K ’
Так как Q3 (x) = — Q3 ( —x), то ясно, что поверхностный интеграл
от Q3 по единичной сфере равен нулю1); таким образом, лемма
полностью доказана.
6. Определение. Если функции Q2 и связаны между
собой так же, как в лемме 5, то ядро Kq3 называется сверткой
ядер /Cqj и /<Й2. При этом мы пишем Kq3 == Кщ * Kq2. Аналогично
символом обозначается функция g, определенная интегра-
лом в смысле главного значения
£(Х) = И
если этот интеграл существует.
7. Лемма. Пусть Ка — ядро типа Кальдерона —Зигмунда
в п-мерном евклидовом пространстве Еп; предположим, что
функция Q бесконечно дифференцируема при х=/=0. Пусть
f — функция из С°°, равная нулю вне некоторого ограниченного
подмножества пространства Еп. Тогда функция Ka*f при-
г) Этот интеграл существует, так как функция Q3 ограничена на S, что
легко показать, используя прием, примененный при доказательстве леммы 3. —
Прим, перев.
214
Гл. XI. Различные приложения
надлежит Lp(Еп) при р>1 и
F(Ka.f)(x)-F (/) (х) • S- ( -&М е«>- »> dy,
где F(g) обозначает Ь2-преобразование Фурье функции g из
L2(En), т. е.
F(g) (x) = l.i.m. (2л)-п/2 £ g (у) е{(х- dy.
R-*°° Ivlin
В частности, интеграл в смысле главного значения
Q{y)\y\~ne^v>dy
ЦП
существует.
Доказательство. Допустим, что ?(у) = 0 при | у | > Ro. Тогда
если |х | >Ro ( 1, то
1(К0*/)(*)| = И ^f(x-y)dyU
Еп У
-----!----- \ \f(y)\dy,
(И-*о)п J'
Еп
где М — верхняя грань функции |£2(е/)|. Итак, (Ка*/)(х) =
= О(|х|-п) при |х|—»со. Так как
(Ка * /) (х) = lim y)dy,
то функция (Кв » /) (х) измерима.
Пусть ЛЬ —общая мажоранта для и
и пусть % —характеристическая функция шара радиуса 2(7?0+1).
Согласно определению 4 (II), Q (®) р. (d®) = 0, так что
s
X(t/)dt/ = O,
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 215
а потому при | х | < Ro +1
2(Ro+l)
dr =
о
= 2MAf1®n(/?o+l),
где <оп, как и выше, обозначает меру ц единичной сферы в Еп.
Таким образом, функция Kq * f ограничена. Заметим (мы восполь-
зуемся этим ниже), что почти таким же рассуждением можно
показать, что интегралы
f(.x~y) dy
J I у I
|vl>e y 1
равномерно ограничены при e > 0. Если положительные постоянные
Со, Ci и а таковы, что | (Кц » /) (х) | < Со при х Q Еп и | (Kq * /) (х) I
<Ci|xj-n при |х|>а, то
$ |(KQ*/)(x)|pdx<(o„Cga"+ J Cp\x\~npdx =
En |х|^а
= ®nC?an + С?(о„ =
= conCo«n + соЛСi (и (p — 1 ))-1 a~n(P-1 > < оо.
Итак, Ka*f принадлежит пространству Lp(En).
Из теоремы Планшереля 3.9 и теоремы 3.22 следует, что если
{/?;} — последовательность положительных чисел, стремящаяся
к бесконечности, то
(l)E(K*/)(u) = (2n)-n/2l.i.m. {
мЦ 1 in1*1
= (2л)~п/2 l.i.m. efux-[ lim (
Мёк. l£->0 Ы
dx;
здесь и ниже мы употребляем запись их цля скалярного произ-
ведения (и, х). Поскольку, как было отмечено выше, интегралы,
заключенные в последней формуле в фигурные скобки, ограничены
равномерно по 8, из теоремы Лебега об ограниченной сходи-
216
Гл. XI. Различные приложения
мости (III.6.16) и из теоремы Фубини IIL11.9 следует, что равен-
ство (1) можно записать в виде
F(K*/)(«)=(2n)-n/2l.i.m. lim £ eiuxf ^rf(x-y)dy\dx=
= (2n)~"/2 l.i.m. lim Г - -[ ? eij,xf (x—y)dx] dy =
^°° E~*° lyl'Ls Ы |Лв7 J
= (2n)-n/2 l.i.m. & -W Г eiuxf(x—y) dx] dy.
Переходя к подпоследовательности, мы без ограничения общно-
сти можем считать (см. III.6.3. и III.3.6), что для почти всех и
т-?П
из Е
(2) Г(Х./)(и) = Пт(2л)-”'2^ f f ?“7(x-j)dx) Л/.
иЬ>,
Если / (х) ; 0 при | х | > Rq, то
f eiuXf(x — y)dx,
е1 их[ (х — у) dx - л;»
О,
I у I < Ri—Roi
I у I > Rj + Ro-
Итак, если — характеристическая функция множества
{х| |х|<2?у4-^0}, то
1^5 S e^xf(x-y)dx]dy-
Еп'у\ \x\^Rj
eiuxKx-y)dx}dyU
ЁпЫ вп J 1
< $ $ |/(x)|dx<
R}-1/1 еп
j+Bo
Rj+Ro
Стах | й(х) | Л | f(x) | dx-p(S) —C
1x1=1 jn R~Ro
<7?2%nP,(lS>maXlQ(X>1 l/Wldx>
Kj—Ko |X|=1 J
В»
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 217
что, очевидно, стремится к нулю при /—>оо. Таким образом,,
равенство (2) дает
F (К*/)(и) = (2л) п/2Дт^ J { J eiuxf(x — y)dx}dy =
Еп Еп
= xj (.'/) F (/) (a),
*-H°o < I y\ J
En
если только существует предел, заключенный в последнем равен-
стве в фигурные скобки. Итак, для завершения доказательства
настоящей леммы достаточно показать, что
(3)
0 (и) = зЦ -^4 е^и dy = lim “С"] е^‘ dy
существует при любом и. По лемме 2 интеграл 0 (tu) существует,,
если существует Q(u) и />0; по той же лемме интеграл Q(Vu)r
где» У —вращение пространства Еп, существует и равен
Г BMgi(x,vu)dx==^ f -HIM е^у> “) dy,
J |x|n J |у|п у’
Еп Еп
если только существует интеграл
е _£IDLei(y,u) dy.
< И"
Еп
Таким образом, для того чтобы доказать существование инте-
грала (3) в общем случае, достаточно рассмотреть случаи а = 0
и и = [1, 0, 0]. Если а ~0, то очевидно, что
^-dx = 0,
Еп
ибо Q (со) р (dco) = 0. Следовательно, достаточно показать, что*
s
существует интеграл еР eixiQ (х) | х |“n dx. Пусть х0 — характери-
Еп
стическая функция единичного шара. Тогда по лемме 3 существует
интеграл
eixi*° ттрг dx-
Еп
218
Гл. XI. Различные приложения
Поэтому достаточно доказать существование предела
R ircoi
{*] lim ? е1®1 ^^-dx= lim Q(®) f ? -—-dr} p(d®),
R^°° i<i*|xl R^°°s 4 J
где (Oi обозначает первую компоненту единичного вектора со. Так
R
как предел lim \ r^e^dr существует для всех со, для которых
Я->оо и
<о4 ф 0, т. е. для почти всех относительно меры р значений со,
то существование предела [*] будет следовать из теоремы Лебега
об ограниченной сходимости, если мы сумеем найти такую р-инте-
грируемую функцию <р(со), что
I Г /rW1 I
\ —-—dr <ф(со), cogS, R>1.
i
Заметим, что при —l^co^l, со±Ф 0 и
I Г Л I Г ^SgnO1 А
jTdr = J ~7—<
1 I (01 1
girsgncoi I
< — log | (Oj | | j J - r - -- dr j < — log | coi |4- K,
R I oi I
где К — постоянная, ограничивающая | exp (± ir) dr!г | при
1
7?>1; такая постоянная существует, поскольку существуют пре-
R
делы lim \ ехр(± ir)dr!r. Итак, для завершения доказательства
R->oo J
достаточно показать, что функция <р (со) = — log | ®t | является
ц-интегрируемой на S. Теорема Фу бини дает
1
~V'-Tl-dx = dr { $ ( —logr —log[<0i |) н (dco)} ,
1/2^[х|^1 1/2 S
так что
1
<p(<o)p.(d(o) = 2 -dx + 2p (S) log(r)dr,
и достаточно доказать, что первый интеграл в правой части
конечен. А это легко установить, ибо функция |х|1-п в области
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 219
1 ограничена, а
(—log|xt|)dx< ( — log|xt|)dx =
1/2^| max |х. |^1
1
= 2n~1 J ( — log[JVi |)dXi< оо.
-1
Следующая теорема содержит неравенство М. Рисса.
8. Теорема. Пусть 1<р<оо, и пусть функция f принад-
лежит классу С°° (-—оо, оо) и вне некоторого ограниченного мно-
жества обращается в нуль. Тогда существует такая конечная
постоянная /(р, что интеграл Гильберта
со
t) Л у
— оо
понимаемый в смысле главного значения, удовлетворяет неравен-
ству \Hf\p^KP\f\P-
Доказательство. Мы знаем из леммы 7, что {F (Hf)} (у) =
= ял sgn (у) {F (f)} (у), где F (g) обозначает преобразование Фурье
функции g. По теореме Планшереля (3.21) | Hf\2^n.\f\2. Покажем
сначала, что постоянную Кр, обладающую свойством, указанным
в формулировке нашей теоремы, можно найти при р = 2п, а затем
используем этот факт и некоторые вспомогательные соображения
(теорему Рисса о выпуклости и рассуждение, привлекающее сопря-
женный к Н оператор) для того, чтобы получить этот же резуль-
тат при других значениях р. Пусть J = л,П + Н1). Тогда ясно
(см. лемму 7), что
[ О, z/<0, / g Ь2 (— ос, оо),
fW)M=l 2„if(/)W. ,>0.
Пусть функция / принадлежит классу С°°( — оо, оо) и обращается
в нуль вне некоторого ограниченного множества, и пусть g = F(Jf).
Так как функция F (/) принадлежит Ц( — оо, оо) и ограничена,
г) Оператор Н первоначально определен для функций f из класса
С°° (— оо, оо), обращающихся в нуль вне ограниченного множества. Такие
функции всюду плотны в Ь2( — оо, оо), и коль скоро для них доказано неравен-
ство | Hf |2 Кг I f I2» оператор Н можно продолжить по непрерывности на все
Ь2 (—00, со); такое продолжение единственно, обозначается той же буквой Н
и удовлетворяет неравенству | Hg |2 < К21 g |2 Для всех g из Т2. Таким образом,
оператор J = ш7 -\-Н можно считать определенным на всем пространстве
L2 (— 00, 00).—Прим, перев.
220
Гл* XL Различные приложения
то функция F(Jf) тоже принадлежит Ц( — оо, оо) и ограничена.
Если положить gn = g*gn-i, то из соображений индукции
следует, что каждая функция gn равняется нулю для почти всех
х<0. Кроме того, согласно 3.21,
gn-F((Jf)n).
Точно так же, как во втором абзаце доказательства леммы 7,
можно показать, что функция (Hf) (х) равномерно ограничена
и что | (Hf) (х) | = О (| х I"1) при ] х | оо. При п>\ функция (Jf)n
принадлежит Li(—оо, оо), так что по 3.21
со
\/ ZTC V
— оо
и функция gn непрерывна; таким образом, gn(0) = 0 при п>2.
Следовательно, полагая х 0, находим, что
(1) jj (nif(y) | (Hf)(y)r‘dy = 0, т>1.
(XI
Пусть / вещественна, так что Hf также вещественна. Тогда,
беря вещественную часть равенства (1), получаем
m оо
h=Q —оо
В силу неравенства Гёльдера это дает
т — 1
I Hf 2 ( 2* ) IЯ/ lim| f |22£rft)<0.
ft=0 4
Положим a = I Hf |2m/| f |2in. Тогда
?n— 1
Следовательно, a не превосходит наибольшего вещественного
корня rm уравнения
т—1
Таким образом, \Hf\2m^.rm\f\2m. Поскольку комплексная функция
может быть представлена как сумма своей вещественной и мнимой
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 221
частей, это доказывает нашу теорему для специального случая
р = 2т.
Отсюда немедленно следует, что при р=^2т оператор Н един-
ственным способом может быть продолжен до ограниченного ото-
бражения пространства Lp( — оо, оо) в себя. Справедливость этого
утверждения для всех р>2 сразу же следует из теоремы Рисса
о выпуклости (VI. 10.11).
Теперь обратим внимание на область 1 <р<2. Так как
по лемме 7 FHF"1 представляет собой оператор умножения на функ-
цию msgn(y), то (FHF'1)* = —FHF'1. Так как по теореме План-
шереля (3.21) оператор F унитарен, то Н*= —Н и потому
л^а2.
Таким образом, если 2<р<со и l/p+1/p' = 1, а функция
/ принадлежит С°° и равна 0 вне ограниченного множества, то
по непрерывности получаем
(Hf) (x)g(xjdx = — f(x)Hg(x)dx, g£Lp(—со, со).
— оо —оо
Поэтому по теореме IV.8.1, по теореме Хана — Банаха (II.3.14)
и неравенству Гёльдера имеем
ос
|tf/|p, = sup| jj Hf (х) g(xj dx | < KP | f |p',
— oo
и теорема доказана для всех р, 1<р<оо.
Доказав основное неравенство М. Рисса, перейдем к доказа-
тельству общего неравенства Кальдерона —Зигмунда. Наш первый
шаг состоит в том, что мы придадим результату М. Рисса экви-
валентную прежней, но технически более удобную форму. Это
делается в следующей лемме.
9. Лемма. Пусть 1<р<оо. Существует такая конечная
постоянная Лр, что если функция f из С°°(—со, оо) равна нулю
вне ограниченного множества, то функция g, определенная равен-
ством
= ^f^ — y)dy,
1 vFSsl
удовлетворяет неравенству | g |р < Ар | f |р.
Доказательство. Пусть ср —бесконечно дифференцируемая не-
отрицательная функция, равная нулю при 111 > 1 и удовлетворяю-
222
Гл. XI. Различные приложения
1
щая соотношению ф 1. Пусть
— 1
со оо
= & t l/(x_y)dy = ^ f -r^dy.
v У »J Л У
—оо —оо
Тогда по леммам 7 и 3:1 <p*f7/ = H<p*f.
Далее, из рассуждений, аналогичных приведенным во втором
абзаце доказательства леммы 7, следует, что функция Н (<р) (у)
ограничена. Таким образом, так как
Iя(<р)(г/) —у|< J
y-i
"ри ы~"”’
то Н— где функция ф определена равенствами ф(у) =
| у | > 1; ф (у) О, | у | < 1. Следовательно, по теореме 8, лемме 3.1
и теореме Рисса о выпуклостих) имеем
\U\p I Wlp чф*//(/) — А/(ф)*/ + Ф*/|Р<
<|ф*//(/)|р+|(^(ф)-ф)*/|рс
<{К>> |-|//(ф)-ф|1}|/|р,
ч. т. д.
Теперь для нечетного ядра типа Кальдерона —Зигмунда легка
получить неравенство, совершенно аналогичное установленному
в лемме 9.
10. Лемма. Пусть Я — такая нечетная функция, определенная
на Еп, что Я (tx) = Q (х) при t > 0; предположим, что Я бесконечна
дифференцируема в окрестности единичной сферы* 2) S простран-
ства Еп. Пусть функция f принадлежит С°° (Еп) и равна нулю
вне ограниченного множества. Тогда если 1<р<оо и Лр —
постоянная из леммы 9, то LP(En) -норма функции g, опре-
деленной равенством
g(x)--= $ ~yrf(x-“)du,
|иЫ |u|
не превосходит 2"1 Лр | f \р | Я (со) | р (dco), где р — мера гиперповерх-
s
ности на S.
1) В силу этой теоремы из пунктов (Ь) и (d) леммы 3.1 следует, что если
uCM, v^Lp, то | и ♦ v |р< | и |41 v |р. Это используется при оценке |g|p.—
Прим, перев.
2) То есть всюду, за исключением начала координат.— Прим, перев.
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 223
Доказательство. Записывая интеграл в полярных координатах,
видим, что1)
g(*) = $ Я (“) Н (</<>) f (х-&г) =
S 1
- -- jj Q (<•>) и ((/«)) J dt-
н I г Г? t
Из леммы Ш.11.16 (Ь) и теорем III.11.17 и 111.2.20(a) следует,
что
F (a, b)vt (c/a)|’’v2(^)} '/Р
В А
\F(a, b)|pv2(db)}1/Pa(vi, da)
АВ
для всякой (Vi х v2)-H3MepHMoft функции F на произведении
(Л, Vt) х (В, v2) пространств с мерой, если только мера v2 поло-
жительна. Поэтому
i«(®)iH(d®){j I $ dtрд1/р,
8 En
и достаточно доказать, что
(2)
$| J dtfcx^p\f\*.
En Ю>1
Так как наружный интеграл в неравенстве (2) инвариантен отно-
сительно вращения системы координат, то можно, не ограничи-
вая общности, выбрать в Еп такую систему координат, в кото-
рой (о = [1, 0, Тогда неравенство, которое мы должны
доказать, примет вид
| dt^dxidx2... dxn
ЕПП|^1
x2, ..., xn) \pdXi dx2... dxn.
En
’) Это единственное место в доказательстве, где используется нечетность
||)\нкиии У.— Прим, иерее.
224
Гл. XI. Различные приложения
Далее, неравенство
J I J dt\pdXi<
-оо
сю
If (xlt ...,Xn)|pdXi, —со<х,<со, / = 2,
— оо
является очевидным следствием леммы 9. Интегрируя его по
х2, . получаем неравенство (3).
Теперь мы в состоянии установить неравенство Кальдерона —
Зигмунда для нечетного ядра.
11. Теорема. Пусть 1<р<оо. Пусть ^1 —такая нечетная
измеримая ограниченная функция, определенная на Еп, что Q (х) =
= Q(/x) при />0. Тогда для всякой функции f из Lp(En) предел
(Ка * /) (х) = lim ? (х~u)du
‘v* |ц|
существует в смысле сходимости в среднем порядка р, и если
Лр — постоянная из предыдущей леммы, то
|Ха*/|р<Лр J | Я (со) | Ц (d<o) | f |р.
в
Доказательство. Докажем сначала, что функция g, опреде*
ленная равенством
(1) §(х)= J y^-f(x-u)dM,
|u|^i
удовлетворяет неравенству |g|p</Ap| f |р, где I = | Я (со) | р,(с/со).
s
Для этого рассмотрим такую последовательность {Ят} нечет-
ных функций, бесконечно дифференцируемых в окрестности
единичной сферы и удовлетворяющих соотношениям Qm(tx) =
= Ят (х), t > 0, m > 1, что
lim \ |Ята(со) — Я (со) | jx (dco) = 0.
m->o° •'
о
Допустим, что функция f бесконечно дифференцируема и равна
нулю вне некоторого ограниченного множества. Пусть
ЯтМ= \ ^£-Hx-u)du.
luiic 'ц|
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 225
По предыдущей лемме {gm} является последовательностью Коши
в Lp (En) и, следовательно, сходится по норме в Lp(En) к неко-
торой функции ср из Lp(En), которая по той же лемме удовлет-
воряет неравенству | ф |Р<ЛР/ | f |р. Переходя к подпоследователь-
ности, можно считать, что gm(x)—>(f(x) %ля почти всех х.
Но ясно, что gm (х) —> g (%) для всех х. Следовательно, Ф = £;
это доказывает, что | g | f |р, если f принадлежит С°° (Еп)
и обращается в нуль вне ограниченного множества.
Пусть теперь f принадлежит Lp(En), и пусть {/™} —такая
последовательность финитных функций из С°°(ЕП), что
I f — fm \р —-> 0. Положим
hm(x) = ^fm(x- и) du.
iuiii|U1
По только что доказанному {hm) является последовательностью
Коши в Lp(En) и, следовательно, сходится по норме в Lp(En)
к некоторой функции ф из Lp(En), которая удовлетворяет нера-
венству | ф |Р<ЛР/ | f\p. Переходя к подпоследовательности, можно
считать, что hm(x)—>ф(х) для почти всех х. С другой стороны,
поскольку для всякого q > 1
оо
iii1 И 1 '1
= max | Q (x) \q.(n (q — I))-1 < oo,
x£S
то ясно, что hm(x)—>g(x) для любого x. Итак, интеграл (1)
существует для любого х из Еп и любой / из ЛР(ЕП), и функ-
ция g, определенная этим интегралом, удовлетворяет неравенству
I g Лр/ | f |р.
Далее, для каждого 8>0 определим следующим образом
отображение Яе пространства Lp(En) в себя:
(Яе/)(х)= ( ^f(x-u)du, f£Lp(En).
Julie I"1
Ясно, что, полагая и = 8И, получаем
(Hef) (х) = / (х - 60) 6« dv = (Te'HiTef) (х),
i4i е -
где ТЕ обозначает отображение пространства Lp (Еп) в себя, опре-
деленное равенством (Tef) (х) = f (ex). Так как
ITJ |р = { 8-" J I f (V) \Pdv }1/p = е-п/р I / |р, / G Lp,
Еп
15 Заказ № 134
226
Гл. XI. Различные приложения
то из уже доказанного немедленно следует, что | Н8 |р = | Hi |РС
<ЛР/. Покажем, что предел Нш//е/ существует в смысле схо-
8—>0
димости по норме в Lp (Еп) для всех f из некоторого фундамен-
тального в Lp(En) множества; тогда в силу II.3.6 наша
теорема будет доказана. Предположим, что / принадлежит С°° (Еп)
и обращается в нуль вне множества {x||x|<R}. Тогда, как
было показано в начале доказательства леммы 7, интеграл в смысле
главного значения
(2) (Кй */)(%) = lim (Яе/)(х)
£—>0
существует и является ограниченной функцией1) от х. Так как
— Q пРи | У | > R, то при |х|>^+1 и 0<е<1 имеем
(HJ) (х) — (Ка * /) (х), так что достаточно доказать, что
lim
£—>0
J \(Hef)(x) —(Ka*f)(x)\vdx = 0.
|x|^R4-l
По следствию III.6.16 это будет вытекать из равенства (2), если
будет показано, что функции е>0, ограничены в сово-
(п । 1/2
2 I (д/dyi) f (у) |2 г
г=1 )
Тогда, пользуясь теоремой о среднем из дифференциального
исчисления и определением 4(1), (II), получаем
1 = 1 $ ^{f(x-u)-f(x)}du\<
< Lji (S) max | Q (и) | £ dr =
|U|=1 J
= 2Lp (S) (R + 1) max | Q (u) | < oo,
|u|=l
что завершает доказательство.
Введем теперь полезную нечетную вспомогательную функцию.
12. Лемма. Существует такая ненулевая постоянная с, что
& ---^~тт е^х' y^dx = с ~-~г~, / = 1, ..., п.
J |x|rt+1 Ы '
Еп
Доказательство. В эвристических рассуждениях относительно
интеграла Гильберта в четвертом абзаце данного параграфа мы
х) Предполагавшаяся в лемме 7 бесконечная дифференцируемость функ-
ции Q при доказательстве этого факта не использовалась.— Прим, перев.
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 227
уже вычислили искомый интеграл при и=1 и нашли, что с = ш.
Поэтому здесь мы рассмотрим лишь случай п > 1. При этом
можно ограничиться случаем /=1. Обозначим интеграл, стоящий
в левой части рассматриваемой формулы, через <р(#). Тогда
по лемме 2
(I) Ч>(*У) = Ч>(У)>
(II) ф (*/) = -~Ч(—у),
(Ш) =
если U — вращение в Еп, оставляющее точку [1, 0, ..., 0] на месте.
Любые две точки и, v£En, которых Ui = Vi и |u| = | v|, могут
быть переведены одна в другую одним из вращений, описан-
ных в (III). Следовательно, при у^=0 и /=1 функцию f(p(у)
можно записать в виде q(y) = ty(yi/\y\, |#|). В силу равенства
(I) ф не зависит от второго из своих аргументов, а в силу (II)
является нечетной функцией. Таким образом, <р (у) = ф (r/i/| у |).
Пусть Ф (у) обозначает интеграл
J |х|п^
Еп
Тогда ясно, что
<IV> «(!/) = < +* Скг) •
Пусть V —вращение в плоскости #i,#2 (т- е- вращение в Еп>
которое оставляет на месте все точки подпространства у3,
Тогда V переводит у±-[- iy2 в eiQ (yi + iyz) и xl + ix2 в eiQ (Xi-\-ix2)-
По лемме 2
(V) Ф (Уу)-е^Ф (у).
Пусть т] (r/i + iy2) = Ф ([#i, у2, 0, ..., 0]). В силу (IV) и (V) имеем
(VI) т] (ei0z) = eier] (г), г =# 0,
(VII) ц (tz) = ц (г), />0, z =7^=0.
В силу (VI) г] (reiQ) — ei0r| (r), в силу (IV) и (II) величина т] (г) —
чисто мнимая и наконец в силу (VII) tj (r) = с не зависит от г.
Таким образом, ц (reiQ) = ceiQ, и потому
"Ф 2 ) = ЧР (#»’ ^2’ °’ • • • ’ °) = ‘Im ф (У^ У* 0, ...»0) =
^УУ1 + У1 '
= i Im т] + iy2) = i Im т] (ei0) = с cos 0 = с- -~4=.
Vi/l + »2
так что ф (х) = сх. и настоящая лемма будет доказана, если мы
покажем, что с^=0.
15*
228
Гл. XL Различные приложения
Если с = 0, то по лемме 7 Kq*/ = 0 для всякой функции f
из С°° (Еп), обращающейся в нуль вне ограниченного мно-
жества; здесь мы положили
Пусть функция f=£0 выбрана таким образом, что она неотри-
цательна, а при Xi>0 равна нулю. Тогда при yt > О
(Кй * f) (У) = & J ^+1 f(y-x)dx = J x^f(y-x)dx>0,
Х1>У1
что противоречит тому, что Ко*/ —О, ч. т. д.
13. Лемма. Пусть ар принадлежит L2(En), f принадлежит
L^En), и пусть Q удовлетворяет условиям теоремы 11. Тогда
(1)
Ко * (ар * /) = (Ко * ар) * /.
Доказательство. По теореме 11 и лемме 3.1 обе части этого
равенства меняются непрерывно в топологии пространства £2 (Еп)
при непрерывном изменении ар и f в топологиях пространств
L2(En) и Li (Еп) соответственно. Следовательно, соображения
непрерывности показывают, что достаточно доказать равенство
(1) для случая, когда обе функции f и ар принадлежат С°° (Еп)
и равны 0 вне некоторого ограниченного множества. Пусть
/ и ар—преобразования Фурье от f и ар соответственно, и пусть
J ^^eiyudu'
Тогда по леммам 7 и 3.15 преобразование Фурье как левой, так
и правой части формулы (1) равно К/ар, так что настоящая лемма
вытекает из теоремы Планшереля (3.9 и 3.22).
14. Лемма. Пусть Q2 и связаны между собой так, же,
как в лемме 5 и определении 6. Положим
^2 С^)
I .71 ’
lxl>2
•фг (х) =
О , |х|<1;
Фз (х) =
О , |х|<2.
Пусть е>0, S —единичная сфера в Еп, а |х — мера гиперповерх-
ности на S. Тогда существует такая постоянная Кг, завися-
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 229
щая лишь от г и Qu что
(I) J |Й3(«>) 1н(ско)<Х { J | Q2(co) |1+> (d«)}1/(1+8>,
(И) J |ф3(х)-(Кй1*ф2)(х)|с/х</(е { 5 |Q2(®)|1+%i(d(0)}1/<,+£;.
Еп S
Кроме того, функция S2;) нечетни и ограничена.
Доказательство. При | х |. > 2
(О (KU144.,)(v)
0г(«) ,Й1 (х--и)/Л. ,r, Г <Ji (* — “) л,._
-*4 ТФ dU f 3 Х(,,) I» |" ’ |Х -u\»dU~
Еп
= ^W-a> $ • 7."
Еп
где через % обозначена характеристическая функция множества
{х||х|С1}. Функция |ы| "£,},(«) бесконечно дифференцируема
при и ее производная по Ui равна
- tlUl I U \-П~2^ (и) + (^7 ) («) | И Г”-
Так как Qi(tu) = Qi(u) при />0, то
/=1, n;i>0, |u|>0.
Поэтому
^{\и ги («)} = - nut I и \-п-2^ (и) -1 ( £2. ) (, ии! ) I и Г"-* =
= О(|иГ-*).
По теореме о среднем из дифференциального исчисления суще-
ствует такая конечная постоянная L (зависящая лишь от Q^, что
I 1 J ц) _ Q1 (х) 1 I J I v l-n-l
I |« I t |x—u|n IX I" J
при |u|C 1, |x|>2. Поэтому при |x|>2 второй интеграл в фор-:
муле (1) оценивается следующим образом:
I Р й2(“) (Qi(x—u)
| 3 |«|« t IX—и п
I и|«и
| П2 (со) I ц, (с/со) •
8
$ dr^~
о
{p(S)}Mi+e)L|x|-n-‘ ( J | q2(w)|1+V(dco))1/(1+<
230
Гл. XI. Различные приложения
Следовательно,
(2)
|и|^2
I Фз (И) - (Кй1 * ф2) (а) | IQ2 (а>) |1+V (dro)}V(1+8),
где
оо
Ке = {и (S)}6L jj г-2 dr = | L {и (S)}6
2
и 6 = 8/(1 +e), так что ясно, что К& зависит лишь от 8 и
(В оставшейся части доказательства мы продолжаем пользоваться
символом К& для обозначения постоянной, зависящей только от 8
и QP) Тем же способом мы можем прийти к выводу, что суще-
ствует другая постоянная /Q, такая, что
(3) $ Ы«)-(Кй1*4'2)(ы)|1+Е^</<в $ |£22(со)|1+гн(^).
I и |^2 8
Так как по теореме 11 существует такая постоянная /Q, что
(^) | Kqi * Фг 114-е | Фг |14-8 “
= { J — dr}‘/(I+8) { J IА (СО) |‘+Wc0)}I/(1+8) =
1 8
= Ке{ J |Q2(o)|1+Wc0)}1/(1+8),
k 8
то из неравенства (3) следует существование такой постоянной /Се,
что
I |1+е = { $ | Q3 (со) Гн (^)}{ $ г—1 dr} 1/(1+Г
8 2
СКе { J | й2(со) |1+V (dco)}1/(1+8).
k 8
Итак,
J |fi3(co)|H(dco)<{H(S)}e/(1+E) { J |Й3(со)|1+ен(с/со)}1/<1+Е)<
8 8
оо
<ц(5)8/(1+еГ { j г—‘dr}-1/(1+8) {Jf |Q2(a))|,+EH(cico)}1/(1+e),
2 S
что доказывает справедливость неравенства (I).
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 231
Применяя соотношения (4) и неравенство Гёльдера, получаем
5 ККй!*^) (x)|dx<
1*1=52
<[2W)]e/(I+e){ $ |(KQ1^2)(x)|1+Edx}1/(1+£><
|x(^2
<[2«H(S)]e/(1+E)7<e { J I Q2(®) |‘+V (d(0)}1/(1+8);
s
отсюда и из неравенства (2) вытекает справедливость утвержде-
ния (II). Нечетность функции Q3 следует из леммы 5. Наконец,
для того чтобы доказать ограниченность функции Q3, заметим,
что мы должны лишь показать, что функция /<^*^2 при |х| >2
ограничена, ибо, как уже было доказано, при |х|>2 второй
интеграл в правой части равенства (1) ограничен. Если положить
(х) = йх (х) | х |“п при | х | > 1 и ipt (х) = 0 при | х | < 1, то ясно, что
(5) (XO1»tp2)W = (i|)1*ip2)(x)4-^ J
Еп
Точно так же, как мы сделали это для второго интеграла в пра-
вой части равенства- (1), можно показать, что второй интеграл
в правой части соотношения (5) ограничен. Поскольку | (фх *ф2) W | <
I121 Ф21г, лемма полностью доказана.
15. Лемма. Пусть 1<р<оо, и пусть Q — четная функция,
определенная на Еп, бесконечно дифференцируемая на поверхности
единичного шара и удовлетворяющая соотношению Q(/x) = Q(x),
/>0. Пусть f— бесконечно дифференцируемая функция, опре-
деленная на Еп и равная нулю вне некоторого ограниченного
множества. Пусть е>0 и
/£={ J |й(®) |‘+8lx(dft>)}1/(1+8),
8
где S —единичная сфера в Еп, а \ь — мера гиперповерхности на S.
Тогда существует такая конечная постоянная Ae>p, зависящая
лишь от р и е, что Ер(Еп)-норма функции g, определенной
равенством
d Iй-
lu ISH
не превосходит Ле,р/е |/|р.
232
Гл. XI. Различные приложения
Доказательство. Положим Qj (х) = с | х | где с —постоян-
ная из леммы 12. Тогда по леммам 12 и 7
(у)
для всякой функции / из С°° (Еп), равной нулю вне ограничен-
ного множества; здесь F (g) обозначает преобразование Фурье
функции g. По теореме Планшереля (3.9) и теореме 11 обе части
этого равенства являются непрерывными линейными операторами
в пространстве L2(£n) (точнее, результатами применения таких
операторов к функции /), так что
F(KQi*h)(y)=^F(h)(y), ACZ,2(E").
Следовательно,
ЗКй.*(Кйг*Л) = /г’ ЛС^(£П).
Пусть яр (u) = Q (и) | и |-п при | и | > 1 и яр (и) = О при | и | < I.
По лемме 13 и теореме 11
Шр = | 2^аг*(А’^*яр)*/|Р<
«=1 £ ‘
<ApnL max | (/Q * яр) * f |р,
l^i^n L
где | yi | pt(dco), a Ap —постоянная, зависящая лишь от р
8
(поскольку постоянная Ар, фигурирующая в теореме 11," совпа-
дает с постоянной леммы 9). По лемме 14 Kq. можно пред-
ставить в виде
где cpz (u) = (и) | и \~п, \и\> 1; <pz(u) = 0, |и|<1; Й^)(м)=Й<О(/и),
t>0; при этом функция й<0 нечетна и ограничена;
J |Q^((o)|p(d<o)<Ke/e
8
И
\ht (х) \dx^KJs-
Еп
Тогда по леммам 10 и 3.1
I * яр) * f |Р < (1 + 2-1Ар) КгЬ I f |р,
ч. т. д.
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона — Зигмунда 233
Теперь мы можем доказать общую теорему Кальдерона —
Зигмунда.
16. Теорема (Кальдерон—Зигмунд). Пусть 1<р<оо и е<0.
Пусть Q— такая ограниченная измеримая функция, определен-
ная на Еп, что Q (х) = Q (tx) при / > 0 и
Q (со) ц (dco) = О,
где S —единичная сфера в Еп, а ц—мера гиперповерхности на S.
Тогда для всякой функции f из Lp(En) предел
(КЪ*/)(*) = lim — и) du
существует в смысле сходимости в среднем порядка' р, и суще-
ствует такая конечная постоянная кЕ,р,\зависящая только от р
и 8, что
| КQ * f |р Ле)р/е I f |р,
где
/е = | § IQ (со) 11+8[Л (dco) |1/(1+8) < оо.
Доказательство. Пусть con = p,(S). Тогда в силу неравенства
Гёльдера
J |Й(й)|р((йо)<й8/(1+8)78.
S
Следовательно, по теореме 11 настоящая теорема справедлива,
если функция Q нечетна. Поскольку Q можно представить
в виде суммы ее четной и нечетной частей, достаточно рас-
смотреть случай четной функции1). Но в этом случае теорема
выводится из леммы 15 точно так же, как теорема 11 выво-
дится из леммы 10.
IX гт гл 7 X Q(x) + Q( —х) , Q(x) — Q( — х)
х) Пусть Qi(x)~—- ----и Q2(x) =———2~ —четная
и нечетная части функции Q. Если обозначить через IE(Qp, 1Е (Q2) и IE (Q)
интегралы 1Е, вычисленные для функций Q2 и Q соответственно, то
из инвариантности меры р относительно отображения со->—со и нера-
венства Минковского следует, что /е (Q^ + Zg (Q2)<; 2/е (Q).— Прим, перев.
234
Гл. X/. Различные приложения
8. Упражнения
А. Упражнения на интегралы Фурье1)
1. Пусть — подпространство пространства Lt( — со, со),
состоящее из функций от /, равных нулю при /<0. Показать,
что £f образует замкнутую подалгебру алгебры со сверткой
Lt( —оо, оо) и что если т — мультипликативный линейный функ-
ционал на алгебре £|, то существует такое комплексное число z
с Imz>0, что
m(f)= eizxf (х) dx, f £ .
о
2. Пусть Д и /2 —функции из Л2( —оо, оо), и пусть f(x) =
= fi(x) f2(x). Показать, что если F, Ft, F2 — преобразования
Фурье функций /, /i, f2 соответственно, то
оо
F(x)= J Ft(x — y)F2(y)dy.
— оо
3. Обобщить упражнение 2 на случай произвольной локально
бикомпактной абелевой топологической группы.
4. Пусть р> 1, и пусть/ —функция из Li( —оо, оо), a g —функ-
ция из £р( —со, оо). Показать, что свертка
оо
(f*g)W = J f(x — y)g(y)dy
—оо
существует для почти всех х и принадлежит Lp(— оо, оо) и что
\f*g\p<\fh\g\p-
5. Показать, что если /, g £ Ц( — оо, oo)QZ,2( — °°) и
X
g(x)= J f(y)dy,
а
то преобразования Фурье F и G функций / и g соответственно
связаны соотношением
— itG(t) = F(t).
х) Обращаем внимание читателя на то, что в этом параграфе прямое
преобразование Фурье записывается в виде eitxf (х) dx, в отличие от § 3,
где под интегралом стояло e~itx.— Прим, перев.
8, Упражнения
235
6. Пусть и пусть f—функция из Z,p(—оэ, оэ).
Показать, что предел
А
F (t) = lim eitxf(x)dx
А->оо
—А
существует в смысле сходимости по норме в пространстве
Lq( — оо, оо), где (Указание: см. VI. 11.43.)
7. Показать, что в предположениях и обозначениях упраж-
нения 6
А
lim F (t) e~ltx dt = f (х)
А->ОО <
—А
в топологии пространства Lp(— оо, оо). (Указание: см. IV.4.19.)
8. Показать, что в предположениях и обозначениях упраж-
нения 6
оо
J \b(t)\2-p\F(t)[pdt<oo
— оо
для всякой функции b из Lp( — со, оо).
9. Пусть X —такая вещественная функция вещественного пере-
менного, что X(-)F(-) является преобразованием Фурье функции
из пространства Ах( — оо, оо) всякий раз, когда F(-) является
преобразованием Фурье функции из этого пространства. Пока-
зать, что если 1 то Х(-) F (•) является преобразованием
Фурье функции из Lp( — оо, оо) всякий раз, когда F(-) является
преобразованием Фурье функции из Lp( —оо, оо); преобразование
Фурье определяется так же, как в упражнении 6.
10. Пусть X —такая функция, определенная на ( — оо, оо),
что ее полная вариация конечна. Показать, что если 1
и F — преобразование Фурье функции из Lp( — со, оо), то тако-
ва же функция Х(-)/*(•). Преобразование Фурье определяется
так же, как в упражнении 6. (Указание: воспользоваться нера-
венством М. Рисса.)
11. Пусть —числовая последовательность, определенная
при — оо < п < оо и имеющая конечную полную вариацию. Пока-
оо
зать, что если 3 aneinx является рядом Фурье функции из
71——оо
оо
£р(0, 2л), то о ряде 2 anKeinx можно сказать то же самое.
П=—оо
12. Пусть / — функция из Щ — оо, оо), и пусть F — ее пре-
образование Фурье. Показать, что если функция / в окрестности
236
Гл, XL Различные приложения
точки х имеет ограниченную вариацию, то
А
f (х) = lim \ F(t)e~itxdt.
А->оо J
—А
(Указание: см. IV. 14.17.)
13. Показать, что утверждение упражнения 12 остается спра-
ведливым, если условие /££«(— оо, со) заменить требованием
f £ L2 (- 00, со).
14. Показать, что в Лх(—оо, оо) QA2( — со, оо) найдется такая
непрерывная функция /, что предел, фигурирующий в упражне-
нии 12, не существует при х = 0.
15. Показать, что в £t( — 00, 00) существует функция/, для
которой семейство функций
А
Л(х)=^-
—А
где /*’ обозначает преобразование Фурье функции /, не удовле-
творяет неравенству
sup \ |/А(х) \dx<Z 00.
л.-о J
16. Показать, что не всякая непрерывная функция, опреде-
ленная при — оо < t < 00 и стремящаяся к нулю, когда t стре-
мится к + оо или к — оо, является преобразованием Фурье неко-
торой функции / из — 00, 00).
17. Найти в Лх( —оо, оо) такую функцию f, что она является
неопределенным интегралом некоторой другой функции из
Ц(— оо, оо) и что преобразование Фурье F функции / удовле-
творяет условию
оо
J \F(t)\dt—co.
— 00
Показать, что это невозможно, если / является интегралом
функции из L2( — 00 > °0)-
18. Пусть / — функция из Лх(— оо, со), и пусть F — ее пре-
образование Фурье. Тогда
оо
a(0)/(x) = lim-A- J F{t)e-^a^)dt,
— 00
если функция а ограничена, непрерывно дифференцируема в нача-
ле и принадлежит Lt( — со, оо) вместе со своим преобразова-
нием Фурье. Предел понимается в смысле топологии простран-
8. Упражнения
237
CTBaLi(—оо, оо). Кроме того, если дополнительно предположить,
что преобразование Фурье функции а ограничено сверху четной
монотонно убывающей функцией из то
оо
<Ц0Ш*) = Игп$ F (t) e~itxa (Ж) dt
— оо
(I) для почти всех х и (II) для каждого х, при котором функция f
непрерывна. (Указание: см. VIII.9.5.)
19. Пусть — оо, оо) и предположим, что преобразова-
ние Фурье F функции f также принадлежит Li( — оо, оо). Пока-
зать, что почти всюду
оо
/W = 2?г $ e-ixtFJJ)dt.
— оо
(Указание: воспользоваться упражнением 18.)
20. Пусть 1 и пусть Еп обозначает и-мерное вещест-
венное евклидово пространство, a f принадлежит Lp(En)\ в каче-
стве меры в Еп возьмем меру Лебега. Показать, что предел
А
F(t19 ..., tn) = lim ? .
А-»оо
—А
tXnjdxt ... dxn
существует в смысле сходимости по норме в Lq (Еп), где
р-1 + 7-1=1. Показать также, что
/(*1, ..., хп) —
А
= lim (2л)~п .
А->оо *
? t^dt^ .. .dtn
—А
А
в топологии пространства Lp(En). (Указание: см. упражне-
ния 6 и 7.)
В. Упражнения на неравенства и сингулярные интегралы
21. (Харди и Литлвуд.) Пусть для функции f из ^(0, 2л)
2л
сп (/)=§/ (*) e-inx dx = 0, п < 0.
о
238
Гл. XI. Различные приложения
Показать, что
оо 2 Л
2 [\f(x)\dx,
п=1 0
где К—некоторая абсолютная постоянная. (Указание: показать,
используя упражнение IV. 14.88, что в Z,2(0, 2л) существуют такие
две функции Д, f2, что сп(/г) = 0, n<0, t = l,2, и что / = Л/2-
Затем воспользоваться упражнением 3.)
22. (Сопряженный тригонометрический ряд.) Пусть /—функ-
ция из Лр(0, 2л), где 1<р<оо. Положим
2л
сп f (х) e~inx dx, — оо < n < оо.
о
Показать, что ряд
оо т
[*] У sgn (n) cn (f) = lim V sgn (и) сп (/) einx
n=—оо m->oo n=_m
сходится в среднем порядка
р к функции, определяемой
лярным интегралом
2л
сингу-
О
—f(x-y)dy.
tg-4—
Здесь этот интеграл понимается как предел’
П
/ = Пт
е->0
--7^rf(x-y)dy,
который существует в смысле сходимости в среднем порядка р.
(Указание: воспользоваться методом упражнения IV. 14.19 для
доказательства сходимости в среднем ряда и теоремой 7.8 для
доказательства сходимости в среднем интеграла.)
23. (Кальдерон —Зигмунд.) Пусть 1<р<оо, и пусть Q —
функция, определенная на Еп и обладающая следующими свой-
ствами:
(I) Q(/x) = Q(x), />0;
(II) Q (со) |л (dco) -О,
s
где S — единичная сфера в Еп, а ц — мера гиперповерхности на S;
(III) Q (х) — непрерывно дифференцируемая функция от х при
х =/= 0.
8. Упражнения
239
Показать, что если f£Lp(En), то сингулярный интеграл
е->0
ГДе
(^7)(^) = $ ^f(y-x)dx,
lx|>8
существует для почти всех у. (Указание: пусть (р —обращаю-
щаяся в нуль вне ограниченного множества неотрицательная
функция из С°°(ЕП), интеграл от которой равен единице. Поло-
жим фе (х) = епф (ех) для каждой функции ф. Показать, что
в Ц (Еп) найдется такая функция р, что
Jef — ф8 * (КЪ * /) = Qe * Л
Затем воспользоваться подходящим обобщением упражнения
VIII.9.6.)
24. Пусть 1<р<оо; тогда для всякой функции f из Lp
предел ['] из упражнения 22 существует почти всюду.
С. Упражнения на локализацию собственных значений1)
25. (А. Брауэр.)2) Пусть A = (ajk) есть (п х п)-матрица, рас-
сматриваемая как линейное преобразование в комплексном и-мер-
ном пространстве Еп. Для каждого k, обозначим через
Ck круг радиуса
rft = min(S |ал|,
с центром в точке Показать, что каждое собственное значе-
ние матрицы А лежит в некотором круге С&. (Указание: пусть
[Xi, ..., хп] —собственный вектор, принадлежащий собственному
значению X; показать, что если
|xft|= max |хг|, то | Л — akk |<S I aJh |.)
26. (А. Брауэр.) Предположим, что все круги Ck из упражне-
ния 25 попарно не пересекаются. Показать, что каждый из них
содержит в точности одно простое собственное значение матри-
цы А. Если, кроме того, предположить, что все элементы матрицы А
вещественны, то все ее собственные значения вещественны.
(Указание: пусть D — матрица, диагональные элементы которой
г) Доказательства многих утверждений этого раздела можно найти в книге
Пароди М. [1*]. —Прим, перев.
2) Впервые этот результат получен советским математиком С. А. Герш-
гориным [1*]. —Прим, перев.
240
Гл. XI. Различные приложения
совпадают с соответствующими элементами матрицы А, а осталь-
ные элементы равны нулю; рассмотреть матрицы аА + (1 — а) D,
0<а<1.)
27. Показать, что в обозначениях упражнения 25
I det (Л) | > [J (\akk-rk),
k-— 1
если все сомножители произведения положительны.
28. (Перрон.) Пусть А есть (и х п)-матрица, и пусть ., сп —
произвольные положительные числа. Тогда каждое собственное
значение X матрицы А удовлетворяет неравенству
| Л | < шах с]1 3 I ajh | ck.
k— 1
29. Для каждого п и каждого т^п обозначим через Ет про-
странство всех кососимметрических функций 12, . .., im) от
индексов, каждый из которых изменяется от 1 до п. (Это озна-
чает, что a (Ji, i2, .. ., iln) —н(/н j2, ..., jm), если упорядочен-
ные последовательности и jm отличаются един-
ственной перестановкой.) Положим
(а, Ь) У) a(it,
О > • ... »in
превратив тем самым Е% в гильбертово пространство. Если А = (aj^)
есть (п х и)-матрица, то через А0'0 обозначим преобразование
в Emi определенное равенством
(jЬ • • • , jm)-
Показать, что (AB)(m) = A(w)B(m) и что (A*)(w) = (A(m))*. Показать,
что если ..., Хп — собственные значения матрицы А (каждое
собственное значение повторено столько раз, какова размерность
области значений оператора Е (к, А)), то собственными значе-
ниями преобразования А(ж) являются числа где
Zb 12, • ••, fm —произвольная последовательность целых чисел,
такая, что 1 ц << 12 < .. . < im п.
30. (Г. Вейль.) Пусть А и {АД означают то же, что и в упраж-
нении 29. Пусть В — единственный положительный квадратный
корень из АА*, и пусть {pj — собственные значения матрицы В.
Предположим, что {ЛД и {рг} расположены в порядке убывания
их абсолютных величин. Показать, что
|^i|<Jpi> | ^Аг 1 Р1Р2» 1 ^Аг^з I Р1Р2Р3» и т. д.
(Замечание: этот результат —наи лучший из возможных (Горн).)
8. Упражнения
241
31. (Г. Вейль.) Пусть {Л.,} и {рг} означают то же, что в упраж-
нении 30. Показать, что из неравенств упражнения 30 следует, что
i—i i=l
(Указание: + k^k'14- . является возрастающей функ-
цией каждой из своих переменных, пока
k\>k2, k}>kik3, k}>k2k^ и т. д.)
32. (Г. Вейль.) Пусть {Хг} и {р.г} означают то же, что в упраж-
нении 30. Показать, что
p>i>
з |W*IP< 2 (Hi^)p. P>1.
И Т. Д.
33. Пусть Л —оператор в n-мерном гильбертовом простран-
стве, и пусть В = (Л + Л*)/2. Пусть р_ и ц+ —соответственно
наименьшее и наибольшее собственные значения оператора В,
и пусть X — собственное значение оператора А. Тогда
p_<Re (Л.)<р.+.
34. (Бендиксон.) Пусть А — то же, что в упражнении 25;
предположим также, что элементы матрицы А вещественны.
Пусть С —(А — А*), и пусть g — максимум абсолютных величин
элементов матрицы С. Тогда
(Указание: воспользоваться упражнением 33 и упражнением 31
для случая р = 2.)
35. (Пик.) Пусть С — вещественная кососимметрическая (п х «)-
матрица с элементами (с^); рассмотрим С как отображение «-мер-
ного гильбертова пространства в себя. Показать, что
lCl<gctg-A ,
где g —максимум абсолютных величин элементов матрицы С.
Следовательно, неравенство упражнения 34 может быть усилено,
а именно справедливо неравенство
16 Заказ № 134
242
Гл. XI. Различные приложения
(Указание: располагая компоненты Xi вектора х в таком порядке,
что Im(XkXj — XjXit)>0 при &</’, показать, что
I (Сх, х)|< — ig S (xkx} — XjXA)<g|x|ctg 2L .)
k<j 2n >
36. (Паркер.) Пусть матрица А такова, как в упражнении 26.
Показать, что если Л. —собственное значение матрицы А, то
п
|^|<утах 2{|<М + |Й«1}-
h i=i
37. (Фробениус.) Пусть А — матрица, все элементы которой
положительны. Показать, что
(I) наибольшее по модулю собственное значение X является
простым и, кроме того, вещественным и положительным;
(II) в собственном подпространстве, соответствующем собст-
венному значению Л, имеется вектор х с положительными ком-
понентами;
(III) всякий собственный вектор матрицы Л, имеющий поло-
жительные компоненты, пропорционален вектору х;
(IV) собственное значение Л совпадает с наибольшим из чисел Ло,
для которых существует такой вектор у с положительными ком-
понентами, что каждая компонента вектора Ау не меньше соот-
ветствующей компоненты вектора Хог/. (Указание: воспользоваться
теоремой Брауэра о неподвижной точке; еще лучше — рассмотреть
итерации Л71.)1)
38. Пусть р>1, и пусть (S, 2, ^ — пространство с положи-
тельной мерой, а Л —вполне непрерывный оператор в Lp (S, 2, ц).
Предположим, что А переводит положительные функции в поло-
жительные. Показать, что существует такое положительное соб-
ственное значение X оператора Л, которое не меньше, чем модуль
любого другого собственного значения, и которому соответствует
неотрицательная собственная функция.
39. Пусть Ли В являются (п х п)-матрицами, и пусть {ZJ-
последовательность собственных значений матрицы АВ. Пока-
зать, что
3 А II ||В||.
г=1
(Указание: привести матрицу АВ к треугольному виду; || А || —
норма Гильберта—Шмидта оператора Л.)
40. (Лалеско.) Пусть А и В —операторы Гильберта—Шмидта.
1) Далеко идущие обобщения этого примера можно найти в книге
М. А. Красносельского [5*].—Прим. ред.
8. Упражнения
243
Пусть (X,) —последовательность собственных значений операто-
ра АВ с учетом их кратностей. Показать, что
Sim- miiii^ii-
i * 1
D. Упражнения no теории Фредгольма
операторов I и льберта — Шмидта
В следующей группе упражнений Л —заданный оператор
Гильберта —Шмидта, {A-i) -• последовательность его ненулевых
собственных значений, каждое из которых повторяется столько
раз, какова его кратность, 6 (X)- функция, определенная сходя-
щимся бесконечным произведением
6(Х) = Ц (1-ХХг)?Ч
2=1
а Д (X) — аналитическая операторнозначная функция
Я (А,"1; Л)6(Х)
(ср. теорему 6.26).
41. (Смитис.) Показать, что
(а) если /(z, X) = z-1[log(l — Xz)4-Xz], то
6 (X) = exp {tr (/(Л, X), Л)}, Х^Х"1;
оо
(b) 6(Х) = ехр {~2 ’
п=2
где
оп У з» и 2;
>1
оо
(с) 6'(Х) = (~ S Xn-‘on)6(X);
n=2
(d) 6(X) = 2 ЬМ det (Pn),
n=0
где Po = 1, а если n > 1, то Pn есть (n x и)-матрица
(° n— 1 0 ... . . 0\
^2 0 n — 2 ... . . 0
<*3 °2 0 . . 0
РП
.............................1
On ......................о3ст20/
16*
244
Гл. XI. Различные приложения
42. (Смитис.) Показать, что
(a) (Z —ХЛ) Д (X) = Х6 (X)Z;
(Ь) если 6(Х) = 2 sn^n и Д(А-)= 2 ДдА,*, то Ао = О и
п=0 п=0
Ап = бп-1/ + А6п_24"А26п_3-|~ ... -]-Ап *6о;
(с) оператор Дп может быть записан в виде символического
(п х п)-определителя
п>2,
где P„-i есть (п — 1) х (п — 1)-матрица из пункта (d) предыдущего
упражнения.
43. (Смитис.) Функция А (А.) — Х6 (X) / является аналитической
функцией от X, даже если рассматривать ее как функцию со зна-
чениями в пространстве HS операторов Гильберта —Шмидта. Сле-
довательно, ряд
А (X) - Х6 (X) I = 2 (Д„ - Хп,
п=2
где Ап и бп определены так же, как в предыдущем упражнении,
сходится по норме Гильберта —Шмидта.
44. Пусть (5, 2, р) — пространство с положительной мерой.
Оператор А, действующий в пространстве L2 (S, 2, р), тогда и толь-
ко тогда является оператором Гильберта —Шмидта, когда на S х S
существует такая (р X р)-измеримая функция А(-, •), что
(I) { J. J M(s, 012м(^)р(^)}1/2<о=
S S
и
(II) (A/) (s) = J A (s, 0 f (0 р (dt), f(MS, 2, р),
s
почти всюду на S, т. е. тогда и только тогда, когда оператор А
может быть представлен как интегральный оператор с ядром, удов-
летворяющим условию (I). Если такое ядро А(-, •) существует,
то оно единственно (с точностью до значений на множестве
8. Упражнения
245
(р. х р)-меры нуль) и норма || А || в точности равна конечной вели-
чине (I). Следовательно, если А (•, •) есть (р х р)-измеримая функ-
ция, определенная на S х S и удовлетворяющая условию (I), то
формула (II) определяет оператор А, действующий в L2(S, 2, р)
и принадлежащий классу Гильберта —Шмидта.
45. Допустим, что в качестве гильбертова пространства §
упражнения 43 рассматривается пространство Lz(S, S, р) упраж-
нения 44. Пусть &n(s, t)—ядро, которое представляет в смысле
упражнения 44 оператор Д„ —6n-i/ из упражнения 42. Тогда сте-
пенной ряд
Д (s, /;%)=§ ХПДП (s, /)
п==2
сходится для почти всех относительно меры р х р точек [s,
из S х S, и Д (s, t; X) является ядром, представляющим оператор
Д(Х)— Х6(Х)/ в смысле упражнения 44.
46. (Гильберт.) Допустим, что выполняются предположения
предыдущего упражнения.
(а) Показать, что постоянные 6П и операторы Дп из упражне-
ния 42 однозначно определяются равенствами б0= 1> 64 = 0, До = О,
Д1 — 801 и рекуррентными соотношениями
Ап — 5п-1/ + ЛДп-1
и
б„= —l-tr(An-6n_J, Л).
(Ь) Пусть А (•, •) — ядро, представляющее оператор А в смысле
упражнения 44. Пусть 6П — последовательность постоянных, опре-
деленная формулами 60 = 1,
= 3 • • • Bn(st, .... sn)p,(dsi)... p(dsn), n> 1,
s s
где Bn(s1, ..., sn)—~ определитель (n x и)-матрицы, общий элемент
которой (т. е. элемент, стоящий в t-й строке и в j-м столбце)
равен Л(5г, sj, если i Ф j, и 0, если / -—/.Пусть An(s, ^ — функ-
ции, определенные формулами Д2 (s, t) = A (s, t) и
л / Пп Р Р ~
Ап+2 (s, /) = ni J • • • Вп (s, t; si, ..., sn) p, (dSi) ... ц (dsn),
s s
1,
246
Гл. XI. Различные приложения
где Bn(s, t\ st, ..., sn) — определитель (n + 1) X (п-г 1)-матрицы,
общий элемент которой задается равенствами
Иц = A (s, /);
av = A (s, sj_i),
a;i = A (sj-i, /),
ct/j = О,
A sj-i),
fl + 1 / Z> 15
fl + 1 j > 1 \
n +1 > z = / > 1;
n + 1 > i =/= j > 1.
Показать, что функция Дп (s, t) удовлетворяет условию (I) упраж-
нения 44 и, следовательно, представляет некоторый оператор Дп
типа Гильберта —Шмидта. Показать, наконец, что если Дп (s, t) —
функции из предыдущего упражнения, то Дп (s,/) — Д„ (s,/) для
почти всех относительно меры р х ц точек [s, t\ и что
&п 6„, п >2.
47. Пусть <Т| — произвольное число и d (X) = 6 (%) exp (— Xoi).
Показать, что')
(Х>
<Г(Х) (-- 2 r-‘<T„W)
п- I
И ЧТО
оо
d(*) = 2 Tdet(fln),
n=0
где Ro = 1, а если n > 1, то Rn есть (и х п)-матрица
Лз II /О! п— 1 0 ... 0 \ ст2 01 п — 2 ... 0 О3 02 ... 0 \а„ . . ... О1/
Показать, что операторнозначная функция D (X) = d (%) (X-1/ — Л)"1
оо
аналитична по X и что £>(Х) = 3 Dnkn, где Do = O, Di = I, а при
п=0
х) Определение постоянных оп, 2, см. в упражнении 41.— Прим, перев.
8. Упражнения
247
п>2 оператор Dn представляется символическим определителем
48. (Детерминантный ряд Фредгольма.) Пусть выполнены пред-
посылки предыдущего упражнения; предположим, что в качестве
гильбертова пространства рассматривается L2(S, S, р,), где
(S, S, ^ — пространство с положительной мерой. Пусть А(-, •) —
ядро, представляющее оператор А в смысле упражнения 44. Пред-
положим, что это ядро выбрано таким образом, что формула / (s) =
= A(s, $) определяет р-измеримую р-интегрируемую функцию1).
Возьмем в качестве числа Oj из предыдущего упражнения
CTi= A (s, s) р (ds).
8
Тогда справедливы следующие утверждения:
(а) Числа dn = det (/?„) можно вычислить по формулам d0 = 1 и
dn = С (si, ..., sn) р, (dst)... р. (dsn), n > 1,
s s
где C(si,...,sn) — определитель (n x п)-матрицы с общим эле-
ментом A (St, sj).
(b) Формулы D2 (s, t) = A (s, t) и
Dn+2(s, t) = C'(s, t; Si, ..., SnJpAdSi).. .p(ds„), 1,
8 8
x) Назовем множество E £2 точным атомом, если р, (Е) =# О и если из
того, что F £ 5, F ^Е, вытекает, что либо F = E, либо Е = 0. (Ср. с определе-
нием IV.9.6; заметим, кстати, что следующее за этим определением утверждение,
что пространство с конечной положительной мерой может иметь не более чем
счетное множество несовпадающих атомов, неверно; оно становится верным,
если атомы заменить на точные атомы или если два атома считать совпадаю-
щими, когда мера их симметрической разности равна нулю. Если всякое одно-
точечное подмножество пространства S измеримо, то точными атомами являются
все одноточечные подмножества ненулевой меры, и только они.) Заметим, что
изменение функции A (s, /) на множестве (р, х р,)-меры нуль не меняет опера-
тора А. Легко показать, что если S содержит не более конечного числа точ-
ных атомов, то, изменяя (если это необходимо) функцию A (s, t) на некотором
множестве (р, х р,)-меры нуль, можно считать, что функция A (s, s) является
реинтегрируемой. Если же число точных атомов бесконечно, то требование
р,-интегрируемости функции A (s, s) является дополнительным ограничением
на оператор А, даже если мера р, конечна.— Прим, перев.
248'Гл. XI. Различные приложения
С' (s, /; slt ..., sn) — определитель (n+ 1) x (n~H 1)-матрицы,
элементы которой задаются равенствами
аи = Л(5, t);
ао = Л (s, sj-i), ал = Л(в;_1, t), «+!>/>!;
а(; = Л (Si-ь Sj.j), п + 1 > i, j > 1;
определяют ядра, удовлетворяющие условию (I) упражнения 44
и представляющие операторы Dn—(П—\) f из предыдущего
упражнения. Кроме того, для почти всех относительно меры р х р.
точек [s, /] ряд
оо
D(s, = 2 ^=^Dn(s, О
п=2
сходится при всех X, и D(s, t; X) является ядром, представля-
ющим (в смысле упражнения 44) оператор D(X)—Xd(X)/ из пре-
дыдущего упражнения.
Показать, наконец, что, выбирая Л (s, t) так, что Л(з, s) = 0
для всех s из S, мы получаем результат упражнения 46 как
следствие результатов данного упражнения1). (Указание; обоб-
щить метод упражнения 46.)
49. Говорят, что оператор Гильберта — Шмидта Л обладает
со
следом, если 2 IX» |< оо. След tr (Л) такого оператора определи-
1=1
сю
ется по формуле tr (Л) = 2 Доказать следующие утверждения.
(а) Если оператор Л упражнения 47 обладает следом и постоян-
ная Oi этого упражнения выбрана так, что Oi = tr (Л), то d(X) =
сю
= П (I-М)» причем это бесконечное произведение сходится
1=1
абсолютно и равномерно по А на всяком ограниченном множестве.
(Ь) Произведение А двух операторов Ai и Л2 типа Гильберта —
Шмидта обладает следом, причем 1г(Л) = 1г(Л1, А2).
(с) Пусть операторы Л, Ai и Л2 пункта (Ь) являются операто-
рами, действующими в L2(S, S, jx), где (S, 2, ^ — пространство
с положительной мерой, и пусть Л1 (•, •), Л2(-, •) —ядра, пред-
ставляющие в смысле упражнения 44 операторы Ai и Л2 соответ-
х) Если EczS—точный атом (см. примечание на стр. 247), то функция
f ($)=A(s, s) постоянна на Е, причем величина этой постоянной однозначно
определяется оператором А и не может быть изменена без изменения опера-
тора А. Поэтому в случае, когда в S имеются точные атомы (например, когда
мера р, дискретна), результаты упражнения 46 не являются, вообще говоря,
следствиями результатов упражнения 48.—Прим, перев.
8. Упражнения
249
ственно. Тогда ядро Л(-, •), определенное формулой
A (s, t) = Д1 (s, г) Д2 (''» О И (dr)
для всех s и t, для которых интеграл в правой части существует,
представляет оператор А в смысле упражнения 44. Кроме того,
tr (Л) - \ A (s, s) р (ds).
н
(d) Если оператор (ДД*)^1 обладает следом, то оператор А
также обладает следом (Указание: воспользоваться неравенством
Вейля из упражнения 30.)
Е. Различные упражнения
50. (Хальберг.) Пусть (S, 2, р)— пространство с а-конечной
мерой. Пусть Тр—однопараметрическое семейство ограниченных
операторов, определенное на некотором подинтервалё I интервала
1Ср^оо, причем оператор Тр действует в пространстве
LP(S, 2, р). Допустим, что для любых pi, р2 из I операторы TPi
и Тр2 совпадают на пересечении пространств LPi(S, 2, р) и
Lp2(S, 2, р). Доказать, что log |о (Тр) | — выпуклая функция от р.
51. Пусть выполнены предположения упражнения 50. Пока-
зать, что
если Р1<р2<Рз; Pi, Рг, рз£1-
52. Пусть выполнены предположения упражнения 50. Показать,
что если pi и р2 принадлежат I, то каждая компонента множе-
ства o(TPl) пересекается с а(Тр2).
53. Пусть выполнены предпосылки упражнения 50; предполо-
жим, что число 2 содержится в I и что оператор Т2 эрмитов.
Показать, что <у(Т2)^а(Тр) для любого р из I.
54. Пусть выполнены предпосылки упражнения 50; предполо-
жим дополнительно, что мера р конечна. Пусть p,q£I, p<.q,
и А 4 ст (Тр). Тогда А 4 ст (Tq) в том и только том случае, когда
(А/ Тр) (Lp Lq) £ Lp Lq.
55. Пусть выполнены предпосылки упражнения 50; предполо-
жим дополнительно, что 61 — множество целых чисел и что каждая
точка из S имеет меру 1. Пусть p,q£l, p>q, и А4<т(Тр).
Тогда А4сг(Тд) в том и только том случае, когда
(А/ Тр) (Lp Lq) £ Lp Lq.
56. (Шмидт.) Пусть выполнены предпосылки упражнения 44;
предположим, что оператор А эрмитов. Пусть {ф,} —ортонор-
250 Гл. XI. Различные приложения
мальная последовательность собственных функций оператора А,
a {pi} —последовательность соответствующих собственных значе-
ний. Показать, что ____
Л (з, 0 = 3 Н*Ф* (s) Ф« (0»
г
причем этот ряд сходится в топологии пространства
^2 ((^> 2, И) X (S, X, р,)).
57. Пусть S — бикомпактное пространство и (S, 2, р) — про-
странство с конечной регулярной мерой. Пусть K(s, t) — непре-
рывная функция на S X S; предположим, что
К(з, о =
так что формула
О(з)= j^(s, O/(OH(dO
определяет вполне непрерывный эрмитов оператор К в L2(S, 2, р).
Пусть {ф|} — последовательность собственных функций опера-
тора К, а Ш(} —последовательность соответствующих собственных
значений. Показать, что если g -Kf для некоторой функции f
из L3(S, X, ц), то функция g непрерывна и ее разложение в ряд
по собственным функциям сходится равномерно и абсолютно.
58. (Мерсер.) Пусть выполнены предпосылки предыдущего
упражнения; предположим, что оператор К неотрицателен.
Показать, что
K(s, t) = 2 НФ* («) (fi V),
i
причем ряд в правой части равномерно сходится. (Указание:
показать, что К. (/, /) = 2 RI ф; (О I2» и отсюда вывести, что
i
последний ряд равномерно сходится. Воспользоваться упражне-
ниями 57 и 56.)
59. Пусть <рп —такое ортонормальное множество функций
в гильбертовом пространстве L2(S, X, ц), что | <рп (з) | <оо
при s£S и п — 1, 2, .... Для каждой функции f из положим
Cn~\f <Pn I1 Показать, что для любого р, 1 <р2,
S
существует такая конечная постоянная что
ОО
( 2 Iс- 1Р«Р'2)1/р <Кр { $ I / (S) I рн (<*«)}1/р
п=1 S
(Указание: воспользоваться интерполяционной теоремой Марцин-
кевича, приведенной в параграфе «Примечания ц дополнения»,
завершающем настоящую главу.)
9. Классы Ср вполне непрерывных, операторов 251
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов.
Обобщенные неравенства Карлемана1)
Если Т — вполне непрерывный оператор в гильбертовом про-
странстве, то неотрицательный самосопряженный оператор Т*Т
вполне непрерывен (следствие VI. 5.5); таким образом, по след-
ствиям Х.3.5, VI.5.5 и Х.2.8 оператор А = (Т*Т)1/2 также является
вполне непрерывным, неотрицательным и самосопряженным.
Ненулевые собственные значения pi, р2, ... оператора Л, рас-
положенные в убывающем порядке и повторенные в соответствии
с их кратностями, образуют по теореме VII.4.5 последовательность
чисел, стремящуюся к нулю (если область значений оператора А
бесконечномерна). Эти числа называются характеристическими
числами оператора Т; через pn (Т) мы обозначаем n-е характе-
ристическое число оператора Т.
В терминах характеристических чисел можно описать различ-
ные классы вполне непрерывных операторов, определяя для них
различные нормы.
I. Определение, (а) |Т|р = (3 {р™ (T)}p]i/p, 0<р<оо;
(b)| Т |оо = sup [ pn (Т) | = р4 (Т) = | Т (с) класс Ср состоит из
15^П<оо
всех вполне непрерывных операторов, для которых величина | Т |р
конечна.
Последнее равенство пункта (Ь) следует из теоремы Х.2.1
и леммы IX.3.2. В лемме 2 и ее следствиях устанавливаются
основные свойства характеристических чисел.
2. Лемма. Характеристические числа рп(Т) вполне непрерыв-
ного оператора можно найти по формуле
^n+i(T)= min ’max |^ф|, n>0.
Ф1,...,ФП 1Ф: = 1
(Ф, Ф1)=. . .=(Ф, фп)=0
Доказательство. Эту формулу можно записать в виде
(Pn+i (Г))2 = min max |Тф|2.
Ф1,...,фп [ф[=1
(Ф, Ф1)=-.-=(Ф, Фп)=о
Так как |7\р|2 —(7\р, Тф) = (Т*7\р, ф), то ясно, что наша лемма
является частным случаем «минимаксной формулы» для собствен-
ных значений вполне непрерывного самосопряженного оператора,
содержащейся в теореме Х.4.3.
В дальнейшем будет удобно принять формулу леммы 2 за
определение характеристического числа pn (Т) в случае, когда
х) Более полно эти вопросы, а также и многие другие связанные с ними
излагаются в книге И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [2*].— Прим, ред.
252
Гл. XI. Различные приложения
оператор Т не является вполне непрерывным. Заметим, что при
таком определении формула | Т | = (Т) приобретает совершенно
общий характер.
3. Следствие. Характеристические числа вполне непрерывных
(или просто ограниченных) операторов удовлетворяют неравен-
ствам
Нп+тп+1 (Т1 + У 2) Hn+l (Т1) + Нш+1 (Т2),
Hn+zn+l (Т\Т2) pTi+l (Т1) (^г)*
Доказательство. В самом деле, имеем
min max | (Л + Т2) <Р I <
Ф1». • •» Фп+гп |Ф1==1
(Ф> Ф1)=- . .=(ф> фп+тп)=о
< min max (I Лф 1 +1 Т’гф |Х
Ф1»...» Фп+гп |ф|«1
(ф» Ф1)™« • »в(ф» Фп+т)а»0
< min max |Т1ф| +
Ф1.....ФП |ф|*Н
(Ф. Ф1)-. . -=-(ф. Фп)=0
' Ь min max | T2q |;
Фп+1». Фп+гп |Ф|=1
(ф> Фп+1)“- • -=(ф> Фп+гп)=0
это доказывает справедливость первого утверждения.
Аналогично
min max | Т1Т2ф I <
Ф1,.«.» Фп+тп 1ф|=1
(Ф, ф1)=. . . =(ф, фп+гп)=0
< min max | 7Wp | =
Ф1, • • •» фп+гп 1ф|=1
(ф, Т*Ф1)=.. .=(Ф, Т*фП)=0
(Ф, Фп+1)=« • • =(Ф» Фп+гп)=0
- min max (I Г2<р I \
“ф1.._Фп+т(Т2ф,Ф1)= =(Т2Ф,фП)=0 < И2<Р| ) к 1Ф1
(ф» Фп+1)=« • -=(Ф, Фп+гп)=0
< { min max |7’p|’l} X
х{ min max | T2^
фп+1,. Фп+гп |ф|=1
(Фэ Фп+1)=. • .=(ф, фп+гп)=о
что доказывает справедливость второго утверждения.
4. Следствие, (а) | |лп (Л) —|лп (Т2)]<| Л —Т2|-
(b) щМСМП IА |; Ип(ЛТ)<|Я|МЛ-
(с) р-п (TU) = рп (Т), если | U | = | U'11 = 1, и, в частности, если
oneparnop U унитарен.
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 253
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) являются частными
случаями неравенств леммы 3; утверждение (с) сразу следует
из (Ь).
Неравенство (а) предыдущего следствия дает возможность
получить некоторые результаты относительно аппроксимации
общих вполне непрерывных операторов вполне непрерывными опе-
раторами, имеющими конечномерную область значений. Такая
аппроксимация является основным техническим приемом настояще-
го параграфа. Следующая лемма содержит полезное для прило-
жений вспомогательное утверждение, показывающее, что проис-
ходит при этом с собственными значениями аппроксимирующих
операторов.
5. Лемма. Пусть Тп,Т—вполне непрерывные операторы,
и пусть Тп—*Т в равномерной операторной топологии. Пусть
Кп. (Т) — последовательность ненулевых собственных значений
оператора Т, каждое из которых повторяется столько раз,
какова его кратность. Тогда существует такая последователь-
ность кт (Тп) ненулевых собственных значений оператора Тп
(с учетом их кратностей), что
lim (Tn) = (T), m> 1,
П->оо
причем эта сходимость равномерна по т.
Доказательство. Выберем такую убывающую и стремящуюся
к нулю последовательность чисел е*, что граница круга C8ft
радиуса еА с центром в начале лежит целиком в резольвентном
множестве вполне непрерывного оператора Т. Найдем такую убы-
вающую последовательность положительных чисел 6ft<eA, что
круги радиуса 6* с центрами в точках спектра о (Т), лежащих
вне Cek, попарно не пересекаются. Тогда по леммам VII.6.4,
VII.6.5 и VII.6.7 найдется такая возрастающая последова ель-
ность натуральных чисел nft, что при п > Пд каждая точка из а (Тп)
либо содержится в Свд, либо удалена не более чем на бд от не-
которой ненулевой точки из о (Т). Кроме того, если каждую
точку из о(Тп) считать столько раз, какова ее кратность, то
число точек из о(Тп), удаленных не более чем на 6ft от точки
X £ ст (Г) — СЕд, в точности равно кратности Л.
При занумеруем точки из а(Тп) следующим
образом.
(I) Расположим точки кх, ...,ki из ст(Т) —СЕд в том порядке,
и котором они встречаются в последовательности кт(Т). Прону-
меруем сначала все точки из ст (Тп), лежащие в бд-окрестности
254
Гл. XI. Различные приложения
точки затем все точки из в(Тп), лежащие в б^-окрестности
точки Г2, и, наконец, все точки, лежащие в б^-окрестности
точки Л/. Во всех случаях мы повторяем каждую точку столько раз,
какова ее кратность.
(П) Перенумеруем точки из а (Тп) f| С£д любым способом,
но с учетом их кратностей.
Пусть теперь е>0; выберем такое натуральное М, что
|Aj(7,)|<e при ]>М. Легко видеть, что можно найти столь
большое k, что еА<е и все точки ^(Т), ...,км(Т) лежат вне
Сед, в то время как |ХДТ)1 + бд<е при ]>М. Пусть
По построению | Xj (Тп) — X, (Т) | < бА при /<Л4, в то время как
|Xj(Tn)| и |ХДТ)| не превосходят е при ]>М. Таким образом,
лемма доказана.
6. Лемма. Пусть Т —вполне непрерывный оператор и ХП(Т) —
расположенная в порядке убывания абсолютных величин последо-
вательность его собственных значений, каждое из которых пов-
торяется столько раз, какова его кратность. (Если имеется
лишь конечное число N ненулевых собственных значений, пола-
гаем Кп(Т) 0 при n>N.) Тогда для любого целого положитель-
ного т
(а) | А, (Т) ... ... Ит(Т);
m m
(b) 2 1МЛГ< S {иЖ P>1;
1 э= 1
(с) Ит(Т) = Ит(Т*).
Доказательство. Мы объединили эти три слабо связанных
друг с другом утверждения по причине сходства их доказа-
тельств. По лемме 5 и следствию 4, а также в силу того простого
факта, что всякий вполне непрерывный оператор можно аппрок-
симировать по норме последовательностью {Тп} конечномерных
операторов, достаточно доказать лемму в частном случае, когда
конечномерна область значений оператора Т.
Заметим, что если Т имеет конечномерную область значений,
то Т^~=ЕТ, где Е — оператор ортогонального проектирования
на область значений оператора Т. Поэтому Т* = Т*Е*, так что
область значений оператора Т* также конечномерна. В дальней-
шем мы будем время от времени пользоваться этим замечанием
без особой оговорки.
Пусть S — конечномерное подпространство, содержащее области
значений операторов Т и Т*\ обозначим через d его размерность.
Тогда ясно, что 5 инвариантно относительно Т и Т*, а так как
х) = (5х, Т*х)===0 для всех х, то 7ех = {0}; аналогично
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов
255
Т*<5х = {0}. Таким образом, легко видеть, что
Xn(T) = Xn(T|(S), Xn(T) = 0, n>d;
(1) |ЛП (T) = |ЛП (ТI g), pn(T) = 0, n>d;
PnCT*Wn((7W), |*n(T*) = 0, n>d.
Следовательно, достаточно доказать утверждения (а), (Ь) и (с)
для операторов в конечномерном гильбертовом пространстве.
В этом случае (а) и (Ь) представляют собой известные неравен-
ства Вейля, приведенные в § 8 в качестве упражнений 8.31 и 8.32.
Для доказательства (с) заметим, что всякий оператор в конечномер-
ном пространстве может быть сколь угодно точно аппроксимиро-
ван невырожденными операторами; таким образом, не ограничивая
общности, мы можем считать, что оператор Т невырожден. Пусть
Тогда ясно, что оператор U — невырожденный
и U*U — = I, так что U — унитарный оператор. Имеем
UT = (T*T)1/2-, поэтому UTT^U-^T^T, так что U =
= (T*T)1/z. Отсюда следует справедливость (с), ибо унитарно
эквивалентные операторы имеют одинаковые собственные значения.
7. Следствие. Если Т £СР, 0<р<оэ, то ряд 3 СО)Р
г=1
абсолютно сходится и
оо оо
21МЛ1р<2{МЛ}р.
г=1 i=l
Доказательство. Это следует из пункта (Ь) предыдущей леммы,
оо
8. Следствие. Если Т gCi, то ряд tr(T)= 2 hi (Т) абсолютно
г=1
сходится и
I tr (TJKITIp
Замечание. Величина tr (Т) называется следом оператора Т.
В следующей лемме доказываются полезные элементарные
свойства пространств Ср. Приведенные в этой лемме неравенства
для норм при 1 < р < со являются грубыми и будут улучшены
несколько позже.
9. Лемма, (а) Если р^р, то СР<=,СР’\ \Т\Р убывает с рос-
том р.
(Ь) Если л, Т2€Ср, то Т^Т^Ср и | 7\ + Т2 |р< 21/р | |р +
I 21/р|Т2|р, р>1; |Т1 + Т2|?<2|Т1|р + 2|Т2|р, 0<р<1.
256
Гл, XL Различные приложения
(с) Если Ti^Cri и Т2£СГ2, то Т {Т2^Сг, где 1/^4-1/г2= 1/г.
Кроме того,
|Л7’2|Г^21/Г|Л|Г1|Т2|Г2, 0<г<со.
(d) Если Т £СГ, а А —ограниченный оператор, то операторы
АТ и ТА принадлежат Сг; кроме того,
|ЛТ|Г<|Л||Т|Г; |ТЛ|Г<|Т|Г|Л|.
(е) С2 совпадает с классом операторов Гильберта —Шмидта
и \ Т |2==||Т || при Т£С2.
Доказательство. Часть (d) сразу следует из пункта (Ь) след-
ствия 4. Если {фг} — ортонормированная система собственных
векторов оператора Т*Т, отвечающих собственным значениям
{(МП)2}, ТО1)
iti:= s (мл)2= s |7’<рп12=иц».
Это доказывает справедливость утверждения (е).
Утверждение (а) следует прямо из определения 1.
Чтобы доказать (Ь), положим T — Ti + T2 и заметим, что по
следствию 3
Р-2П+1 (П + Г2) О + Hn+i (П),
Н2п+2 (П + П) С Цп+1 (П) + Цп+2 (Т2).
Пусть сначала р > 1. Тогда по неравенству Минковского
ОО ОО оо
( 2 IН2п+1(Л 3 i|xnMW)1/p44 2Ж+1(ПН}1/Р<
п=0 п=0 п=0
•Cl Ti |р-|-1Т2 |р.
Таким же способом получаем
(S |Н2П+2(ПН1ЛЧ|П |р + |Т2|р.
п—О
Возводя эти неравенства в степень р и складывая, получаем
первое из утверждений (Ь). Утверждение пункта (Ь), относящееся
к области 0 < 1, доказывается точно так же с заменой нера-
венства Минковского на элементарное неравенство | х |р +1 у |р >
>|х + р]р, справедливое в этой области значений р.
х) Последнее из следующих ниже равенств вытекает из того, что систему
{<Рг} можно дополнить до ортонормального базиса в § таким образом, чтобы
оператор Т переводил добавленные векторы в 0.— Прим, перев.
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов
257
Аналогично, применяя следствие 3 и неравенство Гёльдера
1Ш !')'"< IS iPiri1"2.
справедливое, если + — и 0<г4, г2, г<<х>, получаем (с).
Некоторая неортодоксальность «неравенства треугольника»,
приведенного в пункте (Ь) предыдущей леммы, не мешает нам
воспользоваться нашими «нормами» для определения топологии
в Ср, Множество U Ср называется открытым, если для каж-
дого Т из U найдется такое 8>0, что {Т 11Т' — Т |р< s} U.
Из леммы 6 (с) сразу же следует, что отображение Т —> Т* про-
странства Ср в себя непрерывно. Из леммы 9 следует, что ото-
бражёние Т—пространства Ср в Ср> при р'> р, отображение
[Т1, Т2] —> Л + Т2 пространства Ср х Ср в Ср, а также отображе-
ние [Л, Т2]—>Т1Т2 пространства Ср х Cq в Сг, где = р-1-J-?"1,
являются напрерывными. Из обычных свойств метрического про-
странства теряется пока лишь утверждение, что | Т |р является
непрерывной функцией на Ср. Позднее, когда мы уточним (для
случая 1<р<оо) лемму 9(b), избавившись от лишнего множи-
теля 21/р, мы сможем доказать и это.
Пространство Ср обладает свойством полноты, сформулиро-
ванным в следующей лемме.
10. Лемма. Если Тп^Ср —такая последовательность опера-
торов, что \ Тп — Тт\р—>0 при т, п—>со, то существует такой
вполне непрерывный оператор Т, что Тп—>Т (в топологии про-
странства Ср) при п—>со.
Доказательство. По лемме 9(a) и следствию VI.5.5, согласно
которому семейство вполне непрерывных операторов замкнуто в
равномерной операторной топологии, существует такой вполне
непрерывный оператор Т, что Тп—>Т в равномерной топологии.
Таким образом, по следствию 4(a) lim \Ьц(Тп — Tm) = \ik (Тп — Т),
Отсюда следует, что
N ____оо ___
{ 2 2 IlMT’n-Тт)|г,)1/Р= lim |Tn-Тт\р.
h=l m->°° m->oo
Поэтому, устремляя N к бесконечности, получаем
I Т \р lim | Тп Тт |р,
т-*оо
так что
lim|Tn —Т|р< lim | Тп — Тт !Р = 0,
n->oo т, п—>оо
Ч. т. д.
Впоследствии нам будет полезна следующая простая лемма.
17 Заказ № 134
258 Гл. XI. Различные приложения
11. Лемма. Пусть Т —вполне непрерывный оператор. Тогда
существует такая последовательность Тп вполне непрерывных
операторов с конечномерными областями значений, что
(а) Тп—>Т в равномерной топологии при п—>со;
(Ь) если Т £СР, то \ Тп — Т\р—*О при п—>со;
(с) если Т£СР, то |ТП|Р—»|Т|р при п—>со.
Доказательство1). Пусть $0 = {х| Т*Тх = 0}, ^oo = ^oL и ко-
оператор ортогонального проектирования на $0- Из спектральной
теоремы для вполне непрерывного самосопряженного оператора
Т*Т легко следует, что ортонормальная система фь ф2, • • • соб-
ственных векторов этого оператора, соответствующих собственным
значениям (pi(T))2, (ihtT))2, ..., является базисом простран-
ства $оо. Пусть Ед —оператор ортогонального проектирования
на подпространство, порожденное векторами фЬ . ..,фд, а Еп =
= Еп + Ео и Е'п — 1—Ёп- Положим Тп ТЁп и Т'п^ТЕ’п-, тогда
Т — Тп + Тп. Заметим, что {х\Тх 0} {х | Т*Тх - 0} — (одно
включение тривиально, другое следует из равенства (Т*Тх, х) =
— | Тх |й). Поэтому Тп = ТЁп — ТЕп + ТЕ0 = ТЕп, так что оператор Тп
имеет конечномерную область значений.
Так как Е'п—>0 в сильной топологии, то |Епх|—>0 равномерно
по х на всяком компактном множестве. Поэтому ЕпТ*х—>0
равномерно по х на всяком ограниченном множестве и, следова-
тельно, | Е'пТ* | = | Тп | —> 0. Это доказывает пункт (а).
Так как ТпТп^=ЕпТ*ТЕп==Т*ТЕп, то ясно, что
p*7n(Тп) = (Л/д (Т), mп\ mZ> и.
Поэтому справедливость утверждения (с) очевидна* По тем же
причинам
Цт (Тп) “ (^)> m 1,
откуда следует справедливость утверждения (Ь).
В конце концов нам придется доказать непрерывность (или,
что то же, аддитивность) функции tr(T), введенной в следствии 8.
К сожалению, в этом доказательстве имеется одна тонкость, ана-
логичная уже доставившей нам трудности на пути к теоремам
XI.6.24 и XI.6.25. Мы преодолеем это препятствие, используя
методы теории функций комплексного переменного, почти совпа-
дающие с примененными ранее в § 6.
г) В оригинале доказательство леммы 11 содержит неточности. Оно не
проходит, если ядро оператора Т нетривиально. Кроме того, в нем неявно
предполагается сепарабельность пространства что совсем не обязательно.
В переводе доказательство исправлено.— Прим, перев.
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 259
12. Лемма. Если Т{ и Т2 —конечномерные операторы, то
tr (T1 + 712) = tr (Ti)J-tr (Т2). Следовательно, для таких операто-
ров |tr(T1)-tr(T2)|< \1\-Т2\1.
Доказательство. Пусть (£ — конечномерное подпространство
гильбертова пространства, содержащее области значений опера-
торов Т2, Т* и Т*. Положим Т3 = 7\+Т2. Из соображений,
аналогичных приведенным в третьем абзаце доказательства лем-
мы 6, следует, что tr(7’1) = tr(7’1|5), tr (Т2) = tr (Т21 $) и tr(T3) =
= tr (Т31S). Поэтому первое утверждение нашей леммы вытекает
из соответствующего утверждения для операторов в конечномер-
ном пространстве (см. определение 6.8 и лемму 6.10). Второе
утверждение следует из первого и из следствия 8, если учесть,
что tr(a7’) = atr(7’).
Лемма 12 показывает, что функция tr(T’) допускает единст-
венное продолжение по непрерывности с плотного в Cj множества
конечномерных операторов на все Ср Обозначим это продолже-
ние через tr(T). Следующей основной вехой наших рассуждений
будет доказательство того, что функции tr (Т) и tr (Т) совпадают
на СР Сначала установим некоторые легко доказываемые свой-
ства функции tr(T’).
13. Лемма1), (а) Функция tr(7) линейна и непрерывна на про-
странстве Ср
(Ь) Если {фа} — ортонормальный базис, то
tr (Т) = (Тфа, фа),
а
причем ряд сходится абсолютно.
Доказательство. Утверждение (а) немедленно следует из пре-
дыдущей леммы и из определения tr(T’).
Пусть $^ = {x\(TT*)1/2x^Q} и Тогда ортонормаль-
ная система собственных векторов фр ф2, • • • оператора (7Т*)1/2,
соответствующих собственным значениям |ii(T), ihtT),...,
является базисом в ^оо. Пусть {фр} —ортонормальный базис в $q0.
Заметим, что если х £ то | Т*х |2 = | (7Т*)1/2 х |2 = 0; поэтому
i) В оригинале формулировка и доказательство леммы 13 содержат неточ-
ности. В формулировке неявно предполагается сепарабельность пространства
что излишне, а доказательство не проходит, если Кег (7Т*)1/2 =£{0}. В переводе
сделаны соответствующие изменения.— Прим, перев.
17*
260
Гл. XI. Различные приложения
Т*фр = О. Кроме того, ясно, что | Т*-ф;| = рД7'). Поэтому
(*] 2 I (Т’фа» фа) I “21 2 фа» Ф7) СФ>> фа) + 2 (^Фа, 'Фр) (Фр, фа) |
а а j— 1 р
оо
фа) I I (Ф.м фа)<
а j=l
оо оо
< 2 131ГЧ-- Фа)12}1/2{3|(ф>, Фа)Н1/2= 3 МЛ = 1П-
;=1 а а 7=1
Это доказывает абсолютную сходимость ряда в правой части
соотношения (Ь); так как сумма этого ряда линейна по Т,
то из неравенства [*] следует, что она зависит от Т непрерывно.
Поэтому в силу леммы 11 формула (Ь) будет доказана в общем
случае, если мы сумеем обосновать ее для оператора Т с конечно-
мерной областью значений. Такой оператор является суммой
конечного числа операторов с одномерными областями значений.
Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что область
значений Т одномерна, т. е. что Т имеет вид х—>(х, и) и. Для
такого оператора след легко вычисляется: tr(T) = (u, о); таким
образом, формула (1>) сводится к формуле
(u, фа) (фа» V),
а
которая является простым следствием полноты ортонормального
базиса {фа}-
Следующая лемма позволяет уточнить неравенства леммы 9
для норм, относящиеся к случаю пространств Ср с 1<:р<со.
14. Лемма, (а) Пусть 1<р-<со и д-1 + р-1 — 1. Пусть С°
обозначает множество всех ненулевых ограниченных операторов
с конечномерными областями значений. Тогда если А£СР, то
(1) Mlp- sup -гъ-т-1-1 •
ве<;о I ° I?
(Ь) Если р и q такие же, как в пункте (a), AQCP и B£Cq,
то АВ и В А принадлежат Сь
(2) tr (АВ) = tr(BA)
и |tr (АВ) |<| А |р| B\q.
(с) Если р, q, А и В такие же, как в пункте (Ь), то
| ABhCl A|p|B|q.
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов
261
(d) Пусть 1<р<оо, и пусть А и Ai принадлежат Ср.
Тогда
I Л-j-Ai |р<1| А |р + \Л1 |р.
Доказательство. Ясно, что неравенство (d) следует из фор-
мулы (1) пункта (а). Аналогично, если (а) и (Ь) уже доказаны,
то по лемме 9 (d)
I , , , I tr (ЛЛ±В) I ' MIplABIq
| АА1 i = sup -1—Уд ,1 < sup---j-s-j-< IА |р I Ai |g.
I D I BGCO I D I
Таким образом, в доказательстве нуждаются лишь пункты (а) и (Ь).
Допустим, что утверждение (а) доказано в частном случае,
когда область значений оператора А конечномерна. Для любого А
из Ср можно, согласно лемме 11, найти последовательность Ап
конечномерных операторов, сходящуюся к оператору А в равно-
мерной топологии и в топологии пространства Ср. Если
то из непрерывности отображения [Л, В]—»ЛВ пространства
Соо х С{ в Ci и из непрерывности функции tr на Сг следует, что
| tr (ЛВ) | = lim | tr (ЛПВ) lim | Лп |р | ВЛ |р | В
П—>оо п-хоо
С другой стороны, найдется такая последовательность {Вп} опе-
раторов из С°, что |Bn|g=l и Цг(ЛпВп)|>| Лп|р—1//г. Так как
оператор АВп — АпВп принадлежит С°, то по леммам 12 и 9(c)
| Гг (ЛВп - АпВп) | < I (Л - Ап) Вп I, < 2 IЛ - Ап |р,
так что
| tr (ЛВП) | | Ап |р 2 | Л Ап |р — —> | Л \р.
Следовательно, из справедливости утверждения (а) для опера-
торов с конечномерными областями значений вытекает его спра-
ведливость в общем случае. С помощью простых рассуждений,
подобных примененным в третьем абзаце доказательства леммы 6
(детальное их проведение мы оставляем читателю), можно пока-
зать, что для обоснования утверждения (а) в общем случае
достаточно рассмотреть случай, когда гильбертово пространство
конечномерно.
В этом частном случае доказательство проводится так. Пусть
р<оо. Поскольку обе части соотношения (1) непрерывны по Л,
а всякая конечная матрица может быть сколь угодно точно
аппроксимирована невырожденными матрицами, достаточно рас-
смотреть случай невырожденного преобразования Л. При этом
оператор Т = (ЛЛ*)1/2 также невырожден, и если U = T'M,
то UU* = Т~'1Т2Т = 1, так что оператор U унитарен и A = TU.
Пусть BQ = U^T^1. Тогда АВО = ТР, так что tr (ЛВ0) = 3 {Иг И)}р.
262
Гл. XI. Различные приложения
С другой стороны, ВиВ* = L'~1T2(P lyU, так что р,г (Во) = р,-(Л)р 1 и
I Но I, (2 (Ж9-9)1/9 = (2 [Hi (Ж)1-1/₽-
Отсюда
|tr(4B0)| . А,
|BolQ 1р’
и потому правая часть формулы. (1) не меньше ее левой части.
Для доказательства обратного неравенства достаточно пока-
зать, что
(3) I к(ДВ)|<| Л|р|В|д;
как и выше, мы видим, что это неравенство достаточно доказать
для случая, когда Л и В невырождены. Поскольку, как было
показано выше, невырожденная матрица имеет вид A=--TU, где
[7—унитарная, а Т—положительно определенная эрмитова матрица,
и так как по спектральной теореме Т можно представить в виде
Г - VDV*, где D - положительная диагональная матрица с теми же
собственными значениями, что и Т, то неравенство (3) вытекает
из неравенства
\ir(Vl)iVfD^')\<\Di\p\D2\q.
В силу тождества tr (SS') — tr (S'S) достаточно доказать, что для
любой пары унитарных матриц U, U и любой пары положитель-
ных диагональных матриц D2
(4) \ir(DiUD2U)\^\Di\p\D2\q.
Неравенство (4) можно записать в виде
| 3 uijuji (^l)i (d2)j |<(S (^i)O (3 №)?) •
з
По теореме Рисса о выпуклости (VI. 10.7) последнее неравенство
справедливо в общем случае, если оно справедливо в частных
случаях р---Ц q~-co и 7 = 1, р=оо; но в этих случаях оно
вытекает из очевидных неравенств
| UijUji I 1 > 2L1 I I >
3 i
справедливых для любой пары унитарных матриц (7, (7. Таким
образом, соотношение (1) доказано при р=#оо. Несложное рас-
пространение этого доказательства на случай р = оо мы оставляем
читателю.
Поскольку линейный функционал tr непрерывен на
и поскольку, как было отмечено в абзаце, следующем за лем-
мой 9, отображение [Л, В]—> АВ пространства Ср х Cq в С\ непре-
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 263
рывно, из леммы 11 следует, что для доказательства утверж-
дений пункта (Ь) в общем случае достаточно доказать их в случае,
когда операторы А и В конечномерны. Но для таких операторов
неравенство пункта (Ь) является, очевидно, следствием формулы (1),
а тождество (2) вытекает из соответствующего тождества для
операторов в конечномерном пространстве. Это завершает дока-
зательство настоящей леммы.
Из леммы 9(d), неравенства | А |< | А |р, леммы 10 и предыду-
щей леммы немедленно следует, что при семейство опера-
торов Ср с нормой | • |р является полной нормированной алгеброй;
если гильбертово пространство бесконечномерно, то это алгебра
без единицы. Поэтому соображения, использованные при доказа-
тельстве теоремы 6.7, с незначительными изменениями могут быть
применены для доказательства следующей леммы.
15. Лемма. Если р> 1, Т £СР и f — однозначная аналитическая
функция в окрестности спектра оператора Т. равная 0 в нуле,
то f(T)£Cp и отображение T—>f(T) пространства Ср в себя
непрерывно. Кроме того, если {fn}—последовательность таких
функций, имеющих в качестве общей области определения неко-
торую окрестность N спектра оператора Т. и если fn (К) —> f (X)
равномерно на N. то в топологии пространства Ср.
Изменения, необходимые для распространения доказательства
теоремы 6.7 с частного случая р = 2 на общий случай р>1.
столь незначительны, что не могут причинить читателю особого
беспокойства. Поэтому мы их опустим.
Пусть Г £ СР По лемме 15 отображение Т —> log (/ + zT) опре-
делено при — z-1^(r(T) и непрерывно по Т. Поэтому функция
det(/ + zT)==exp(tr(log(/ + zT))) определена и непрерывна по Т.
если — z-1 лежит в резольвентном множестве оператора Т. Так
как при — z-1^(r(T) предел
1 im log (! + (? +Л g) —log (1+^)
существует в смысле равномерной по £ сходимости в окрестности
спектра о(Т). то из леммы 15 следует, что предел
lim !og (/ + (?4-Л Л-log (/ + гТ)
h
существует в смысле сходимости в топологии пространства Ср
Поэтому tr (log (/ + zT}) является аналитической функцией от z
при всех z. для которых — z-1 (Т). Следующая лемма уста-
навливает для этой функции важное неравенство.
264
Гл. XL Различные приложения
16. Лемма. Пусть Т £С4. Тогда
оо
(a) |det(/-|-zT)|< I] (1 +|г|Ип(Т));
П=1
(Ь) функция det (I-\-zT) имеет в точках z, для которых
—-2“1Gcr(T), устранимые особенности, и потому можно считать,
что она аналитична по z при всех г.
Доказательство. Левая часть неравенства (а) непрерывна по Т.
В ходе доказательства леммы И было показано, как построить
такую последовательность конечномерных операторов Тп, что
U'n —T’li—*о, цт(Тп) = цт(Т) при /п<п и при Ш>п.
Поэтому неравенство (а) будет доказано в общем случае, если
мы установим его справедливость для операторов Т с конечно-
мерными областями значений. Рассуждая так же, как в третьем
абзаце доказательства леммы 6, мы можем даже, не ограничивая
общности, считать, что Т—оператор в гильбертовом пространстве
конечной размерности d.
Для конечной невырожденной матрицы А справедлива формула
etr(loB л) --1 det (Л), где det (Л) обозначает определитель матрицы Л.
Поскольку определитель матрицы Л равен произведению ее соб-
ственных значений, то из леммы 6 (а) следует, что
d
|det(/-|-zT)| — П |Ап(/ + 2Т)|<
П=1
d d
С П Pn(/ + zT)< П (l+|z|pn(T)),
n=l n=l
что завершает доказательство пункта (а).
Если Тп — оператор в конечномерном пространстве или, более
общо, оператор с конечномерной областью значений, то det (/ -|- zTn)
является целой аналитической функцией (и даже полиномом) от z.
Так как ограниченная сходящаяся последовательность аналити-
ческих функций сходится к аналитической функции, то функция
det (/ Н- гТ) аналитична при —z-1^ct(T). Так как, согласно (а),
функция det (/ + zT) ограничена (во всякой ограниченной области),
то ее особенности устранимы1), и утверждение (Ь) доказано.
Замечание. По принципу максимума модуля ограниченная
последовательность аналитических функций, сходящаяся вне неко-
торого множества, состоящего из изолированных точек, сходится
всюду; поэтому det является непрерывной функцией от Т
для всех Т g Ci независимо от того, принадлежит точка — 1
х) Напомним, что эта функция имеет особенности лишь в изолированных
точках —Хп1, где Хп—ненулевые собственные значения оператора Т.— Прим,
перев.
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 265
спектру а (Т) или нет. Столь же очевидно, что предыдущее рас-
суждение достаточно для доказательства следующей, несколько
более общей леммы.
17. Лемма. Пусть T,B£Ct. Тогда функция det (I + Т + zB)
аналитична при всех г.
Теперь мы в состоянии доказать, что tr(T) = tr(T). В лемме 18
мы делаем первый шаг, доказывая это равенство для квазиниль-
потентного оператора Т.
18. Лемма. Если оператор N €Ct квазинильпотентен, то
Гг(АО = О.
Доказательство. Так как ст (А/) = {0}, то —z-1 о (N) для всех г.
Поэтому L (z) = tr (log (J + zN)) — целая функция от z. Выберем
оо
столь большое k, что 2 Hn(N)<e- Тогда из леммы 16(a)
п=Ь4-1
следует, что
k оо
|exp(L(z))|< П (l + |z|pn(N))exp (|z| 2
n=i n=k-{-i
k
< П (l + |z|pn(N))exp(e|z|);
n=l
здесь мы воспользовались неравенством 1+а<Сеа при а>0.
Следовательно, Re L (z) 2в | z | для достаточно больших | z |.
Тогда из леммы 6.32 следует, что | L (z) |<8в | z | для достаточно
больших | z |, так что
lim =0.
|z|-»oo I % |
Поэтому функция L(z) / z аналитична и равна нулю при z = oo.
Следовательно, ряд Лорана для L (z) в окрестности точки z = оо
имеет вид
L(z) = я + у+ ... ,
так что функция L ограничена на бесконечности и по теореме
Лиубилля постоянна. Так как Л (0) = tr(log7) = tr (0) = 0, то L = 0.
По лемме 15
1 /Г 1 Л7\ V (—l)^"1^^
log (/ + = 2j ----4------ ’
k=l
266
Гл. XL Различные приложения
откуда
оо
0ȣ(2) = 2 .
k=i
Таким образом, tr(Nft) = 0 при £>1, ч. т. д.
Пусть теперь Т — произвольный оператор из СР Пусть
Ei E(Ki(T)\ T1) —конечномерный проектор, соответствующий
ненулевой изолированной точке (Т) из в (Г). Пусть
§» = S E&i(Ty, т)&
г=1
£оо —замыкание множества U£?n, а ^ — ортогональное дополне-
п
ние к §оо.
Пусть {фп} — ортонормальный базис в §оо, выбранный таким
образом, что {фь .... фщ} — базис в {ф(, фП2} — базис
в и т. д. Пусть — ортонормальный базис в §±. Очевидно,
из леммы 13(b) следует, что
1*1 Гг(7 ) £ (7 фь ф() I 2 (7Ч«, W
I 1 а
С другой стороны, по лемме 6.10 и определению tr(T)
П ;
ОО J
ф{)==Пш 2(7фь Vi) = limtr(T|§j) =
г=1 3-^°° i=i 3-*°°
nJ
= \imy.Kl(T) = ir(T).
j->oo i=1
Таким образом, для доказательства равенства tr (Т) = tr (Т) мы
должны лишь показать, что вторая сумма в формуле [*] равна
нулю.
Так как подпространство инвариантно относительно Т,
то подпространство ^*L = (^OO)_L инвариантно относительно Г*.
По лемме 13(b) имеем
3 (^а. ta) = 3 = &О1)-
а а
Если бы вполне непрерывный оператор Т* | не был квазиниль-
потентным, то по теореме VII.4.5 существовали бы такое нену-
левое комплексное число р и такой ненулевой вектор х £ что
T*x = ]i.x. Поэтому снова по теореме VII.4.5 мы имели бы
Е (р; Т*) §-*- Ф {0}. Из абзаца, следующего за определением
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 267
VII.3.17, леммы VL2.10 и определения VII.3.9 вытекает, что
£(р; 7’*) = £(ц; £)*.
Следовательно, мы имели бы £(р; £)*^±_¥:{0}, т. е.
£(р; 7)^)=^0. Но это невозможно, ибо £(ц; =
= Отсюда следует, что оператор квазинильпотен-
тен; поэтому по предыдущей лемме tr (Т* | = 0. Это завер-
шает доказательство того, что tr (Т) = tr (Т) для всех Т £СР
Сформулируем этот важный результат в виде отдельной теоремы.
19. Теорема. Функционал tr(T) непрерывен и линеен на С1в
Для всех Т справедливо равенство tr (Т) = tr (Т), где tr(T) —
выражение из леммы 13(b).
Теперь мы остановимся на уточнении других неравенств
леммы 9.
20. Лемма. Пусть А2£СГ2, Л3£СГЗ, где г~г + 1.
Тогда
(а) | tr (Л^гЛз) | | At | Г11 А21Г21 А31 Гз.
(Ь) Если Г1 = г;1 + г~г, г2, г>1, то |Л1Л2|ГС|Лх | Г11А2\Г2.
Доказательство. По лемме 11, а также в силу непрерывности
tr(T) при T^Ci, непрерывности произведения TS, отмеченной
в абзаце, следующем за леммой 9, и непрерывности нормы, сле-
дующей из неравенства треугольника леммы 14(d), можно, не
ограничивая общности, считать, что все рассматриваемые опера-
торы имеют конечномерные области значений. По тем же сообра-
жениям, что и в третьем абзаце доказательства леммы 6, можно
считать, что наше гильбертово пространство имеет конечную
размерность d. Лемма 14(a) показывает, что (Ь) немедленно
следует из (а). Таким образом, мы должны доказать лишь три-
линейное неравенство (а) для операторов в d-мерном гильберто-
вом пространстве.
Рассуждая так же, как в абзаце доказательства леммы 14,
следующем за формулой (3), где мы доказали билинейное нера-
венство, вполне аналогичное рассматриваемому здесь трилиней-
ному, мы видим, что достаточно доказать неравенство
(1) \tv{DiUiD2U2D3U3)\^\Di\ri\D2\r2\D3\r3,
где Ut — унитарные, a Di — положительные диагональные матрицы.
Из теоремы Рисса о выпуклости (точнее, из леммы VI. 10.7) сле-
дует, что для доказательства справедливости неравенства (1)
достаточно доказать его в трех частных случаях: г4=1, г2=оо,
г3=оо; гА = оо, r2= 1, г3=со и rl=co1 r2=oo, r3= 1. Но
268
Гл. XI. Различные приложения
неравенство
| tr (DJJJ)2U2D3U3) | < \D{ |41 Z?2 [oo | D3 |oo
(и два другие, аналогичные ему) немедленно следует из леммы
9(d) и следствия 8.
Теперь можно приступить к главной цели настоящего пара-
графа— выводу неравенств для резольвенты оператора из Ср,
обобщающих неравенство Карлемана, установленное в теореме
6.27. Сначала введем соответствующее семейство обобщенных
определителей.
21. Определение. Пусть где k — целое число
не меньше 1, и пусть Т£СР. Пусть i>l. Тогда
оо л 2 k
detft (I + Т) = П {(1 + к) exp (} •
.1=1
22. Лемма. Пусть р и k такие же, как в определении 21.
(а) Произведение, определяющее deU(/ + T), абсолютно схо-
дится.
(b) deU (/ Н- Т) является непрерывной на Ср функцией от Т.
(с) Если Т'^СР, mo deU (/ + Т + zT') является целой анали-
тической функцией комплексного переменного z, причем все про-
изводные этой функции непрерывно зависят от Т и Т'.
(d) Если k—l^p^k, mo существует такая конечная посто-
янная Г, зависящая только от k и р, что
| det* (/+ Т) |Сехр (Г | Т |р).
(е) Если > 2 и p^k — 1, то
detft (/ + Т) = exp ( tr + Г)-
(f) dett(/-|-T) совпадает с функцией det(/ + T) из леммы 16.
Доказательство. Очевидно, что
+ = ”р" 1^-1 — °-
2 k 1 [ О (| А/ р-1) при | X ! —» со.
Поэтому, используя элементарное неравенство | ez— 1 | < | z |
находим, что для некоторой достаточно большой постоянной Г
(1) |(i+X)exp(-A+...+-^=^V-1)-l |<
1 + |Х| ехр(Г 1 + |Х| )
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 269
как в окрестности так и н окрестности Х=--оо. Поскольку
в ограниченной области, не содержащей точку Х = 0, правая
часть этого неравенства не обращается в нуль, а функция, стоя-
щая в левой части, ограничена, то можно, увеличивая Г, счи-
тать, что неравенство (1) имеет место для всех X.
Аналогично если 7с1 * р- А’, то можно найти такую посто-
янную Г, зависящую лишь от р, что
(2) |(l+XJexp( - к | . . | ( Д ‘ l)|<exP(rNP)-
Следовательно, абсолютная сходимость произведения, определяю-
щего det* (/ \-Т), вытекает из сходимости ряда
<3> а
П=1
Если то все величины |ХП|, кроме, быть может,
п=1
конечного числа, не превосходят 1; значит, если ряд
сходится, то сходится и ряд (3). Поэтому по следствию 7 произ-
ведение из определения 21 абсолютно сходится, если Т£СР
и рС&. Это доказывает справедливость утверждения (а).
Справедливость оценки (d) при k — 1<р<£ следует из нера-
венства (2).
Если | Xi (Т) |к < оо, то по уже доказанному произведения,
1=1
определяющие det* (/ + Т) и det/H1(/ | Т), сходятся, и прямо
из определения 21 получаем, что
det* (/ 4- Г) ехр £ X'1} = detft+1 (/ + Т).
г=1
Отсюда сразу вытекает (е), ибо по теореме об отображении
спектра (VII.3.19) =
2 = 1
Докажем теперь пункт (Ь). При |Х|<1, увеличивая, если
необходимо, постоянную Г, неравенство (1) можно записать
в виде
(4) | (1+%)ехр(-к -! ... |<Г|Х|\
Заметим, что из тождества
а! ... — 1 = (ai — 1)а2 • • • -r(<Z2 — 1)«з • • • «п -I • • + («n — 1)
270
Гл. XI. Различные приложения
и очевидного неравенства следует, что
оо оо оо
3 1».1)ехр(2 Ki).
п=1 i=l i=l
Поэтому если все числа меньше 1, то
оо
| П {(1+Мехр (-Хг + ... V1)} - 1 к
г=1
оо оо
<{Г2 IM |ft} exp {Г IV} •
г=1 2=1
Если —такое семейство последовательностей, зависящих
от натурального параметра т, что
(I) Xi(m)—равномерно по i при т—> оо,
(II) lim V | kt {ni) \k = 0 равномерно по m,
^°° г=г
ТО
(III) суммы 2 I \k ограничены постоянной, не завися-
2=1
щей от т, и
(IV) Ki {т) —> 0 при i —> оо равномерно по пг.
Поэтому, в силу полученного выше неравенства, для такого
семейства последовательностей
оо
iim [J |(14-Хг(/п))ехр(^—Xi(m)+... + -^4zT~^-1(/n))} = 1
г=г+1
равномерно по т, так что
г
П {(l+%i(/n))exp(—(«)+-..+->
2=1
ОО
-> П {(1 exp (^ — Xi(ffl) + • • • + (~7-f~~
2=1
равномерно по т при г—> оо. С другой стороны, в силу (I)
г
lim J] {(1 4-Хг(/п))ехрГ— Хг(/п)+... т V1 (/»))} =
m->oo . t I
г=1
= II }(1 + М ехР — Хг + ... + ( 1 .
i=i
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов
Поскольку порядок двух последовательных предельных переходов
можно изменить, если при одном из них. сходимость равномерна,
из (I) и (II) следует, что
to П {(1+Хг(/п))ехр(^—Хг (/«) + ...+-Ц^—Xi ‘(w))} =
оо
= П {с1 +^)ехР( -^+• • • } •
г=1
Так как
2 | Хг (/и) |& < max | X/ (/п) |Е | Хг (/n)
то свойства (I), (II) вытекают из следующих свойств (Г), (1Г):
(Г) равномерно по i при пг—>оо,
(1Г) суммы 2 |k-8 ограничены постоянной, не завися-
щей от т.
Поэтому, используя определение 21, лемму 5 и следствие 7,
находим, что
deU(/ + ^)->deU(/ + ^),
если Тт, Т^Ck-г и Тт—>Т в топологии пространства С^_е. Это
доказывает утверждение (Ь) при р < k.
Для того чтобы справиться с предельным случаем p = k,
заметим, что если Тт —» Т в топологии пространства Сд, то из
уже доказанного следует, что
det/н-! (/ + Tm) —> detft+i (J + ^)-
Но, согласно (e),
detfe+1 (/ + Tm) = exp tr (Tkm)) detft (I + Tm),
detft+1 (I + T) = exp tr (Tft)) detft (I + T).
По замечанию, сделанному после доказательства леммы 9,
Tm—>Tk в топологии пространства но тогда по теореме 19
tr(T™) —» tr(7^). Следовательно, (b) справедливо и при p = k.
Поскольку ограниченная сходящаяся последовательность ана-
литических функций сходится равномерно вместе со всеми произ-
водными, то из утверждения (Ь) и леммы 11 следует, что для
доказательства утверждения (с) в общем случае достаточно рас-
смотреть частный случай, когда оба оператора Т, Т' конечно-
272
Гл. XI. Различные приложения
мерны. Соображения, высказанные в третьем абзаце доказатель-
ства леммы 6, сводят этот случай к случаю, когда конечномерно
гильбертово пространство. Так как определитель (в обычном
смысле) матрицы Т в d-мерном гильбертовом пространстве равен
произведению ее собственных значений, а след —сумме собствен-
ных значений, то
d
П {(1+МЛ)ехр(-МЛ+.-- =
г—1
= det (/ + Т) exp ( - tr (Т) + ... + tr .
Ясно, что последнее выражение зависит от элементов конечной
матрицы Т аналитически; таким образом, (с) доказано.
В ходе доказательства леммы 16 мы видели (см. замечание,
следующее за этой леммой), что функция det(/ + T) непрерывна
по Т. Поэтому, согласно (Ь) и лемме 11, для доказательства
утверждения (f) в общем случае достаточно проверить его спра-
ведливость в частном случае, когда оператор Т конечномерен.
Рассуждения третьего абзаца доказательства леммы 6 позволяют
свести этот случай к случаю оператора в конечномерном гиль-
бертовом пространстве. Но в этом последнем случае каждая
из функций deti (/ + Т) и det (/ + Т) совпадает с обычным опреде-
лителем матрицы I + T. Для deti (J + T) это было установлено
только что, а для det (J + T) это было показано в предпоследнем
абзаце доказательства леммы 16. Таким образом, утверждение (f)
справедливо, и лемма доказана.
В следующей лемме приводится формула дифференцирования,
являющаяся ключом наших дальнейших построений.
23. Лемма. Пусть k —целое число, не меньшее 2, и пусть
Т, B^Ch. Тогда если ( —1)$сг(Т), то
[*] 4det*(/+7’+zB)i*=°=
= detA (/ + Т) tr [{(/ + Г)'1 1 В].
Доказательство. Заметим сначала, что так как функция g (£) =
= (1 + У-1— 1 + ... + ( — имеет (k — 1)-кратный нуль при
£ = 0 и аналитична на спектре оператора Т, то ее можно предста-
вить в виде g (0 = h (£) £;‘-2, где функция h (£) аналитична на ст (Т),
а в нуле равна 0. Следовательно,
g (Т) = (/ + Т)-1-1+...+ (- 1 Л1?*-2 = Tk~2h (Г).
Согласно лемме 15 и замечаниям, следующим за леммой 9, отсюда
вытекает, что если Тп—>Т и Вп—> В в топологии пространства
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов
273
Ch. то g (Тп) —> g (Г) в топологии пространства Ck/(k-i). в то время
как g (Тп) Вп-^ g(T) В в топологии пространства Ср Поэтому
по теореме 19 след в правой части формулы [*] определен
и непрерывен по Т и В. В силу утверждения (с) предыдущей
леммы и по лемме 11 для доказательства справедливости фор-
мулы [*] в общем случае достаточно рассмотреть лишь частный
случай, когда Т и В имеют конечномерные области значений.
Рассуждая, как в третьем абзаце доказательства леммы 6,
мы сводим этот случай к случаю гильбертова пространства конеч-
ной размерности п. В этом последнем случае, как мы видели
в конце доказательства предыдущей леммы,
detk(I + T + zB) =
=det (J+T+zB) exp {tr [ -(Т + zB)+. • • + (-=^ '(T + ZB)^ ] } .
Так как
A(t+zB)’|2=0=S т'вг-ч
1=0
то
^-tr((T + zBy)|2=0=7tr(r-’B).
Поэтому
Г| 4 exp {tr [ - (Г + гВ) + ... + (T + гВ)'-> ] }'|^ =
= exp {tr [ — T + ... 4- (~2^i1 ] } x
x tr [(-/+...в] .
С другой стороны, если (я^) и (Ьц) — матрицы линейных преобра-
зований А и В в n-мерном пространстве, то, поскольку опреде-
литель является линейной функцией каждой своей строки, мы
имеем
fell fei2 . . • fefn «11 «12
Adet(X+zB) |г=0 = «21 а22 • • . a2n +••• + «П-1, 1 «n-1, 2 • ’ • «П-l, n
«п! &п2 • • • &пп ^nl &n2 • • bnn
Таким образом, применяя формулу разложения Лагранжа и фор-
мулу Крамера для обратной матрицы, получаем
п п
det (Л + zB) |2=0 =22 = det И)tr И-1В),
i=i j=l
18 Заказ № 134
274
Гл. XI. Различные приложения
где уц обозначает алгебраическое дополнение элемента мат-
рицы А. Подставляя A==I-j-T и учитывая ['], мы сразу получаем
формулу [*].
Замечание. Утверждение (с) леммы 22 показывает, что выра-
жение в левой части формулы [*] непрерывно по Т и В. Таким
образом, функция, стоящая в правой части формулы [*], может
быть доопределена по непрерывности для всех Т независимо
от того, принадлежит точка — 1 спектру оператора Т или нет.
Это соответствует следующему факту: так как det& (/4-рТ) имеет
я-кратный нуль в каждой точке р, для которой p-1gcr(T)
является /г-кратным собственным значением, тогда как (/ + рТ)-1
в такой точке имеет полюс порядка не выше п (см. VII.3.20,
VII.3.18), то функция
detfe (/ + ?)(/ + Г)"1 1 )^Тк~2
может быть доопределена по непрерывности и для тех опера-
торов Т, для которых (— 1)бо'(^)- В дальнейшем мы будем
свободно пользоваться этим замечанием, явно этого не оговаривая.
Теперь совсем легко вывести обобщенное неравенство Карле-
мана.
24. Теорема. Пусть k —целое число не меньше 2, и пусть
k— 1 Тогда существует такая постоянная Г, зависящая
лишь от р, что
| detk (I + Т) {(/ + П’1 1 )'4-1Т;£-2} |9 <ехр (Г (| Т |? + 1)),
где р~г + q-1 = 1.
25. Следствие. Если /г >2— целое число и k—l^p^k, mo
существует такая постоянная Г, зависящая лишь от р, что
| detfe (/ + Т) (/ + Г)’11<ехр (Г (| Т +1)).
Доказательство теоремы 24. Используя формулу леммы 23 и фор-
мулу дифференцирования
1С1=1
из теории функций комплексного переменного, получаем
detfe (/ + Т) tr [{(/ + Ту1 1 В] =
= S rdetft(/ + ^ + ^)^.
l£l=l
9, Классы Су вполне непрерывных операторов 275
Таким образом, по лемме 22 (d) существуют такие постоянные Г
и Г', зависящие лишь от р, что
| tr fdetfe (/ + Т) {(/ + Т)-1 В] I <
<ехр {Г (| Т |р +1В |РН <ехр (Г (| Т |£ + 1))
при в с Ср и I В|р< 1. Поэтому теорема 24 немедленно следует
из леммы 14 (а).
Доказательство следствия 25. Справедливость этого следствия
вытекает из теоремы 24 и леммы 9, ибо существует такая постоян-
ная Г, зависящая лишь от р, что
\Г |С|Г |рСехр (Г (| Т |р+1)), /=1,..., £-2.
При 0<р<1 нельзя рассуждать точно так же, как выше,
но некоторая модификация нашего метода доказательства позво-
ляет и в этом случае без труда получить соответствующие резуль-
таты.
—> 26. Теорема. Пусть 0<р<Д. Тогда существует такая
постоянная Г, зависящая лишь от р, что
|det(/ + T)(/ + 7yi|<exp(r|T|£).
Доказательство. Из того что (/ ~’г рТ)-1 зависит от р анали-
тически, сразу следует, что достаточно доказать нашу теорему
в случае, когда (—l)^o'(T). Если Тп—>Т в топологии прост-
ранства Ср, то по лемме 9 (а) и определению 1(b) Тп—>Т рав-
номерно, так что при условии (—l)^o'(T') выражение
I det (1 + Тп) (1 + Тп)-^\
стремится к выражению, стоящему в левой части доказываемого
неравенства. По леммам И и 9(b) достаточно доказать нашу
теорему в частном случае, когда оператор Т имеет конечномер-
ную область значений. Соображения, аналогичные изложенным
в третьем абзаце доказательства леммы 6, показывают, что можно*
ограничиться случаем конечномерного гильбертова пространства.
В действительности мы покажем, что для невырожденного опе-
ратора S в d-мерном гильбертовом пространстве
d-1
(1) |(detS)S-1|< II Hi(S).
i=l
Отсюда будет следовать справедливость нашей теоремы, так как
по следствию 3 р^ (/+ Т)< 1pf (Т) и так как при р<1 сущест-
вует такая постоянная Г, зависящая только от р, что
1 + Ы<еГ1ЩР-
18*
216
Гл. XI. Различные приложения
Поскольку в третьем абзаце доказательства леммы 14 мы
показали, что S -=UMU', где V и U' — унитарные, а М — диаго-
нальная матрица с элементами щ (S), ..., p<i(S), можно при
доказательстве неравенства (1) без ограничения общности счи-
тать, что S = M. Но тогда (det М) М"1 — также диагональная
матрица, причем ее n-й диагональный элемент равен
d
Пм$).
i=i
Так как числа nt(S) занумерованы в порядке убывания, то
наибольший из диагональных элементов матрицы (det М) М"1
совпадает с выражением, стоящим в правой части неравенства (1),
что доказывает теорему.
В частном случае квазинильпотентного оператора из теорем 26
и 24 вытекает следующее следствие.
27. Следствие. Пусть N — квазинильпотентный оператор
и N С С,» еде 0 < р < оо. Тогда в окрестности точки X — О резоль-
вента N) допускает оценку
|№
где Г — некоторая конечная постоянная, зависящая от р и N.
Теперь доказательство теоремы 6.29 без труда может быть
перенесено на случай вполне непрерывного оператора из класса Ср.
Это доказательство основывалось на неравенстве из следствия
6.28, непосредственным обобщением которого является нера-
венство из предыдущего следствия, и на теореме Фрагмена —
Линделефа (лемма 6.33). Нужная нам здесь общая формулировка
теоремы Фрагмена — Линделёфа такова.
28. Лемма {Фрагмен— Линделёф). Пусть g— функция ком-
плексного переменного г, аналитическая внутри углового сек-
тора ст, ограниченного двумя непересекающимися дифференцируе-
мыми жордановыми дугами Yi и у2, выходящими из начала коор-
динат и образующими угол, меньший л/р. Предположим, что
функция g аналитична также в окрестности каждой из полу-
открытых дуг Yt —{0} цуг~{0}» ограничена на каждой из этих
полуоткрытых дуг и |g(z)| = O(explz|_p), когда z—>0, оставаясь
внутри сектора ст. Тогда | g (z) | = О (1), когда г—>0, оставаясь
внутри а.
Доказательство. Применить лемму 6.33 к функции h (z) —
= g(z^);
Теперь, имея следствия 27 и 28, можно воспользоваться дока-
зательством теоремы 6.29, для того чтобы получить следующую
теорему.
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов 277
29. Теорема. Пусть 0<р<<х>, и пусть Т£СР. Пусть ...
..., уs — семейство непересекающихся дифференцируемых дуг на.
комплексной плоскости, выходящих из начала координат. Допус-
тим, что каждая из s областей, на которые эти дуги делят
плоскость, содержится в секторе с вершиной в начале и углом
раствора, меньшим л/р. Пусть 0 — целое число, и пусть
резольвента оператора Т допускает оценку
|Я(М Т)Н.О(|Х|-"),
когда X—>0 вдоль какой-нибудь из дуг у^. Тогда подпространство
sp(T) содержит подпространство
Весьма незначительные изменения доказательства теоремы
6.29, необходимые для получения доказательства теоремы, сфор-
мулированной выше, мы оставляем читателю.
Заметим, что число дуг s должно быть не менее [2р] +1.
30. Следствие. Предположим, что, когда X стремится к нулю
вдоль какой-нибудь из дуг yt предыдущей теоремы, резольвента
оператора Т допускает оценку | R (X; TJ^OOXI”1). Тогда под*
пространство sp(T) совпадает со всем гильбертовым простран-
ством
31. Следствие. Пусть Т —- неограниченный оператор в гиль-
бертовом пространстве $£ со всюду плотной областью определе-
ния, и пусть 0<р<оо. Допустим, что для некоторого Ао
из резольвентного множества оператора Т резольвента R (Хо; Т)
принадлежит классу Ср. Пусть у^ .. .,у8 — цепересекающиеся
дифференцируемые дуги, каждая из которых имеет предельное
направление на бесконечности', предположим, что угол, образо-
ванный в бесконечности любой парой соседних дуг, меньше я/р.
Допустим, что, когда X—> оо вдоль какой-нибудь из дуг уг, резоль-
вента /?(Х; Т) допускает оценку |/?(Х; Т) | = О( | X |N). Тогда
подпространство sp(T) совпадает со всем гильбертовым прост-
ранством $g.
Доказательство следствия 30 слово в слово совпадает с дока-
зательством следствия 6.30; доказательство следствия 31 отли-
чается от доказательства следствия 6.31 лишь незначительными
деталями; их мы оставляем читателю.
Для того чтобы применять предыдущие теоремы, необходимо
иметь критерии, обеспечивающие принадлежность данного опе-
ратора классу Ср. Ниже приводится ряд простых условий такого
рода.
278
Гл. XI. Различные приложения
32. Лемма. Пусть 0<р<С2. Пусть {<ра}—- полное ортонор-
мальное множество в а Т — ограниченный оператор. Если
{3 I Т<ра оо,
а
то Т£СР.
Доказательство. При р = 2 справедливость леммы следует
из определения 6.1. Пусть р<2, и пусть уа = | Т(ра |. Определим
оператор В равенствами Вфа = (Тфа) уа/2-1. Тогда ясно, что
2 |Я<Ра|2 = 3 Ы/2)2<ОЭ,
а а
так что по определению 6.1 оператор В принадлежит классу С2
операторов Гильберта —Шмидта. Если положить Лфа = Уа-Р/2<Ро,
то ясно, что оператор А самосопряжен и принадлежит классу Сг,
где г(1 — р/2) = р, т. е. г = р (1 — р/2)-1. Таким образом, по
лемме 9 оператор Т = ВА принадлежит классу Cs, где s-1 =
= 1/2+ (1 — р/2)р~1 = р~1, т. е. Т принадлежит Ср, ч. т. д.
Если оператор А действует в пространстве L2(0, 2л) и отобра-
жает einx в (т)-1 при яу=0, a l=eiOjT в —%, то его область
значений двумерна и
4- einx — A (einx), п=£0,
in v ’
О— A(einx), /г = 0.
X
einy dy = *\
о
Отсюда, очевидно, следует, что оператор интегрирования принад-
лежит каждому из классов С1+8 (но не классу С\)г). Поэтому,
например, если К(х, у) — такое ядро типа Гильберта —Шмидта,
что
2л 2л
J J y)\2dxdy<co,
О о
то
2л
J К (х, у) f (у) dy =
О
2л у 2л
= — $ z/)) j f(f)dt} dy + K(x, 2л) J f(y)dy,
0 0 о
x) Легко показать, что если /2я—оператор интегрирования в Л2(0, 2л),
то р-А (/2л) = 4 (2& —I)-1, k = i, 2, ... .— Прим, перев.
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов
279
так что по лемме 9 К^СГ, где г-1 = 2-14-(1+е)-1; таким образом,
КбСг/з+г для любого е. Аналогично, если
2л 2л
$ 5 I #)j2dxdz/<co, 0<s<£,
о о
то К принадлежит классу C2/(2A+i)+s- Если
2 л
{КФ'К(Х' Ф А'<”'
то таким же образом можно показать, что К принадлежит классу
С1/Н-8-
Аналогичные результаты легко получить прямой оценкой харак-
теристических чисел рп(Т). Предположим, например, что ядро К
удовлетворяет условию Гёльдера
(1)
1
Л“а { \К(х, y + h) — K(x, у) |2 dxJ1/2 <Г,
L о
0<х, 1,
й>0.
Тогда если / — функция из L2(0, 1), удовлетворяющая п линей-
ным условиям
0Ч-1)/п
<2) J /(x)dx = 0, / = 0, /г—1,
i/n
то
1 1
(3) (К/)(х)= J К(х, y)f{y)dy= $ {К(х, у)-КЛх, y)}f(y)dyt
о о
где
Кп(х, у) = к(х, 0</<и — 1.
* у ГС II/
Если — убывающая последовательность положительных чисел,
то ясно, что
j=i
поэтому рп(КХ«-1/2|К|2- Условия (2) можно записать в виде
(Л Ч>а)=О, k = \, п, где <рА(х) —характеристическая функция
280
Гл. XI. Различные приложения
отрезка £ ~~ур~ » ] • В СИЛУ леммы 2
4i,
Р*2П (^С)
min max
</, Ф1)=
(/,41)=-
(/, ф1)=...=(/, фП)=0
(/, 41)=. • .=(/, 4п-1)=0
max
1/1=1
...=(/, Фп)=0
..=(/, 4п-1)=0
l(K-K„)/|
\к?\=
min'
4'1, • • •, 4n-i
., 4n-i
1 1
<|in(K — Kn)<n-1/2{ § \K(x, y)-Kn(x, y)\2dxdyy/2
0 0
1/n
J t2adty/2 =r,n-1/2-“,
0
t. e.
(4)
Н2п(К)<Г'п-1/2-а.
Поэтому К С Cp при р (1 /2 + а) > 1, т. е. при р> 2/(1 + 2а).
Много подобных результатов можно найти в работе Хилле
и Тамаркина [1].
Аналогичные результаты такого типа для бесконечного интер-
вала можно получить следующим образом. Так как отображение
х
1а>?(х)—* f(y)dy, действующее в пространстве L2(0, Л), после
о
деления на А связано с формально идентичным ему отображе-
нием Ц в пространстве L2(0, 1) унитарным преобразованием
/(%)—>f(Ax) А1/2, то из проведенных ранее вычислений следует
существование такой постоянной А4, что рп (1а)^.МАп~1. Таким
образом, если К —такое ядро на [0, оо) х [0, оо), что
оо оо
$ $ {|К(х, у)12 + + к(*, У) Г} dxdyCco,
о о
то К = Кв + К'вАв, где Кв и Кв —интегральные операторы с ядрами
Кв(х, у) = К(х, В), у^В-, Кв(х, у) = К(х, у), у>В;
К'в(х, у) = 0, у>В; Кв(х, у) = —^-К(х, у), у^В.
Поэтому в силу следствия 3 и оценки для характеристических:
чисел оператора Гильберта —Шмидта, использованной выше, имеем
1 оо оо
ИзпСКХМ'Вп-^ + п-1/2 J\Кв(х, y)\2dxdyy/2.
О о
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов
281
Предположим теперь, что
у) \2 dxdy = O (В~а).
о о
Тогда полученное выше неравенство можно записать в виде
Нзп [Вп' + В-*],
где М"— некоторая конечная постоянная. Поскольку В мы можем
выбрать по своему усмотрению,
Нзп (KX^'n-d^-ba/Ca+D).
Поэтому К g Ср, если p>(2a + 2)/(3a4- 1).
Рассуждения, основанные на формуле (3), легко приспособить
к случаю, когда переменные х и у ядра К (%, у) изменяются
в ограниченной области d-мерного пространства. В этом случае
область следует разделить на nd подобластей. Поэтому если К
удовлетворяет условию Гёльдера (1), то результат, соответствую-
щий неравенству (4), имеет вид
H2nd(K)<r"n-d/2n-«.
Это неравенство можно записать в форме
Аналогично если производные по у ядра К до порядка s вклю-
чительно квадратично интегрируемы, то
Hn (K)<rw/i-(i/2+s/d),
Поэтому К С Ср при р >2d/(d-(-2a) в первом случае и К£СР при
p>2d/(d-|-2s) во втором случае.
10. Субдиагонализация1) вполне непрерывных операторов
Всякий эрмитов оператор в конечномерном пространстве может
быть приведен к диагональному виду унитарным преобразованием.
Как показывает теорема о приведении к жордановой нормальной
форме, это утверждение становится неверным, если опустить
слово «эрмитов». Неверно даже, что всякая конечная матрица
может быть приведена к диагональному виду невырожденным
преобразованием. С другой стороны, как показывает доказатель-
ство леммы 6.21, каждая конечная матрица может быть приве-
дена унитарным преобразованием к треугольному виду. В этом
х) В русской литературе чаще употребляется термин «приведение к тре-
угольному виду». В переводе мы пользуемся и тем и другим.— Прим. перев.
282 Гл. XI. Различные приложения
параграфе мы рассмотрим аналог этого результата для произ-
вольного вполне непрерывного оператора в гильбертовом про-
странстве. Наше исследование приведет к ряду интересных нера-
венств, которые позволят получить полезное обобщение результатов
предыдущего параграфа. На протяжении данного параграфа мы
для простоты изложения предполагаем, что гильбертово простран-
ство сепарабельно1).
Представление оператора в треугольном виде связано с изуче-
нием его инвариантных подпространств. Таким образом, ключом
к ситуации, которую мы хотим исследовать, является следующая
общая, интересная и важная теорема Ароншайна и Смита.
—>1. Теорема. Пусть Т — вполне непрерывный оператор в
В-пространстве Ж размерности больше 1. Тогда в Ж существует
такое собственное ненулевое замкнутое подпространство что
Доказательство. Н.сли Ж конечномерно, то результат тривиален,
так как в этом случае существует собственный вектор. Поэтому
будем считать, что Ж бесконечномерно и не содержит собствен-
ных векторов оператора Т. Выберем вектора с | х | = 1. Поскольку
замкнутое подпространство Жо, порожденное векторами Тгх, />1,
инвариантно, мы можем предполагать, что Ж0 = Ж. Если бы
вектор Тпх линейно выражался через векторы множества А =
— ..., х}, то вектор Тп+1х также выражался бы через
векторы из А, равно как и все векторы Т^х, так что Ж было
бы конечномерным. Резюмируя вышеизложенное, мы можем, без
ограничения общности, считать, что
(I) векторы х, Тх, ... линейно независимы;
(II) замкнутое линейное подпространство, порожденное векто-
рами х, Тх, ..., совпадает с Ж.
Пусть Ж(Л) для каждого натурального k означает (k-\- ^-мер-
ное подпространство, порожденное векторами х, Тх, ..., Tkx.
х) Это предположение не слишком обременительно, ибо если § — произ-
вольное гильбертово пространство, а Т — вполне непрерывный оператор в §
(именно такие операторы изучаются в основном в этом параграфе), то про-
странство § можно разложить в прямую сумму двух таких орто-
гональных подпространств §0, что (1) сепарабельно, инвариантно отно-
сительно операторов Т, Т* и содержит все векторы вида Тх, Т*х (х £ §);
(2) если то Тх=Т*х = 0. Для доказательства этого утверждения доста-
точно положить §0={х | Тх—Т*х=0], и заметить, что тогда §1 =
= sp {Tmxn | m > 0, n > 1}, где x2> • • • —ортонормальная последователь-
ность собственных векторов вполне непрерывного самосопряженного операто-
ра Т*Т, соответствующих всем ненулевым собственным значениям этого опе-
ратора. — Прим, перев.
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 283
Для каждого замкнутого подпространства 3) пространства 36
и всякого xQ& обозначим через р(х, ^)) величину
inf |х — у\.
Тогда легко проверить, что
(III) Q(X + X, $)<Q(X, ?)) + б(Х, $),
(IV) Q(ax, $) = №(*> ?)),
(V) Q(x, ?))<|x|.
В силу (II) имеем
(VI) limp(x, X(ft)) = 0,
k->oo
Для каждой последовательности подпространств простран-
ства 36 положим
lim ?)й = {х| limg (x, $А) = 0).
Л-*оо
Из (III), (IV) и (V) легко следует, что limS)^ является замкнутым
подпространством в 36.
Пусть для всякого подпространства 2) пространства 36 и вся-
кого х символ 2) (%) обозначает некоторый вектор у С 2), такой,
что | ?) (х) — х |С2р (х, ?)). Определим линейное преобразование Th
пространства 36(fe) в себя, полагая
Тh («о* + • • • + akThx) = cl0Tх + ... + ak-iTkx + aft36(Zl) (Т,г+1х).
Ясно, что
\(T^Th)(aQx+ ...+akTkx)\<
С 21 a* | g (7,/i+1x, 3e(ft)) = 2q(ahTk+1x, 3e(h)).
Таким образом, так как £>(* + #, ?)) = q (х, *J)) для любого
У С?), то
(VII) I (Т —Ta)x|C2q(Tx, 36(fe)), x£36(fe).
Так как пространство 36(fe) конечномерно, то лемма 6.21 показы-
вает, что в 36(fe) существует такая возрастающая цепочка подпро-
странств
36(fe)
что 36(fe,5) имеет размерность j и 7\36(fe’5) 36(ft’5).
Теперь мы докажем, что если — какая-нибудь пара после-
довательностей, такая, что ki —-> оо и то 3 = lim 36</?г ’
является инвариантным подпространством. В самом деле, пред-
{0} - 36(fe’0) <= 36(fe> ° с=... 36(fe’ fe) =
284
Гл. XI. Различные приложения
положим, что zG3> так чт0 существует последовательность век-
торов хп из сходящаяся к вектору z при п—+<х>. Поло-
жим Тг- и; тогда Тхп—>и. Кроме того, 1\пхп£ Х(кп’3п), тогда
как в силу (III) —(VII)
\и — Thnxn\<\u — Тхп\ + \(Т — 7\п)хп|<
<|u-Txn| + 2e(Txn, 3£(ftn))<
^-\и-Тхп\ + 2ц(и-Тхп, tfkn)) + 2Q(u, ,V'n)<
<3|u-7'xn|4-2Q(u, 3e(ftn))-*0,
что доказывает наше утверждение.
Заметим, что в действительности мы доказали несколько более
сильное утверждение, а именно:
(VIII) если 3—lim 3t<ftn’гп) и и = lim Тхп, где xn £ 36(ftn’ Зп\ то и G 3-
Осталось лишь построить такие последовательности kn, jn,
для которых инвариантное подпространство 3 отлично от {0}
и от Ж. Это делается так.
Выберем «0 столь малым, что (х<1и|Тх|>а|Т|. Посколь-
ку х С -• Ж(*‘для всех k, то числа Q (х, 0)), ..., q (х, X(ft’ ft))
убывают от 1 до 0. Таким образом, для каждого k существует
единственное j(k), для которого
(IX) q(x, 3e(fe’3(fe)))>a>Q(x; зе(Л>i(ft)+1)).
Выберем такую последовательность хп £ ЗЕ("’ ’(п)+1), что |xn — х|<а.
Тогда найдется такая подпоследовательность Xk., что Txk. сильно
сходится к некоторому элементу у (поскольку оператор Т вполне
непрерывен). Положим Зг = £ » 3i = * , и пусть
3 = Пт Зь 3'= 1™ЗЬ Так как Зг — 3* Для всех *» т0 легко
видеть, что 3—3'- Из (VIII) следует, что у£8', а так как
| у — Тх\ — lim | T(xi,t — х) |<а|Т|и|Т/|>а|Т|, то у 0 и потому
3'=#{0). С другой стороны, согласно (IX), ни в одном из под-
пространств 3« нет точек, удаленных от х менее чем на а;
поэтому нет таких точек и в подпространстве 3» так что 3=И=36-
Если предположить, что в Ж нет собственного инвариантного
подпространства, то должно быть 3 = {0} и 3/=={^}- Тогда из
условия (IX) и из полной непрерывности оператора Т следует, что
(X) Txi—>0, если {хг} —ограниченная последовательность
и X;G3i-
С другой стороны, поскольку dim (31/30 = 1 > существует
такой вектор и^Зь что 3< + = 31- Так как 3/ конечномерно,
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 285
то можно даже считать, что вектор Ut выбран таким образом,
ЧТО | Ui | = 1 и
inf \ z — Ui\ = \ut\= 1.
zC8i
Тогда ясно, что
(XI) р«г|>|р| и 2|г/ + ₽иг|>|гг|, ?г£Зг.
Поскольку 3' = ЭЕ, можно найти такие последовательности
ZiEB* и такие 0f, 0Ь что
Zf + X И Zi + pfUf -» ТX.
Согласно (XI), последовательности 0,, 0f, zt, zt ограничены,
а тогда, согласно (X), &Тщ —>Тх и —>Т2х. Поэтому после-
довательность | 0f | должна быть ограничена снизу положительной
постоянной, но тогда подпоследовательность ограниченной после-
довательности 0j/0j сходится к некоторой постоянной у, и мы
получаем уТх = Т2х, что противоречит свойству (I).
2. Определение. Пусть Г —оператор, а £ —проектор. Мы
говорим, что Е является субдиагонализирующим проектором
для Т, если область значений проектора Е инвариантна относи-
тельно Т, т. е. если ЕТЕ — ТЕ.
3. Лемма. Для всякого оператора Т в гильбертовом простран-
стве существует максимальное линейно упорядоченное множе-
ство р ортогональных субдиагонализирующих проекторов, т. е.
линейно упорядоченное множество субдиагонализирующих проек-
торов, не содержащееся ни в каком большем линейно упорядо-
ченном множестве субдиагонализирующих проекторов1). Каждое
такое семейство ер содержит сильные пределы всех монотонно
убывающих и всех монотонно возрастающих последовательностей
проекторов из р.
Доказательство. Первое утверждение сразу следует из теоремы
Хаусдорфа 1.2.6. Пусть {Еп} — монотонно возрастающая последо-
вательность проекторов из р, £оо —ее сильный предел и Е —
проектор из р. Если ЕпрЕ для всех п, то Еоо^Е; если Еп^Е
для некоторого п, то £Оо>£’. Таким образом, если Е^ присоеди-
нить к р, то р останется линейно упорядоченным. С другой
стороны, так как ЕпТЕп = ТЕп, то в пределе мы получаем ЕРТЕ™ =
= ТЕОО. Поэтому область значений проектора Е^ инвариантна
г) Поскольку общая проблема Банаха о существовании инвариантного
подпространства у ограниченного оператора пока не решена, не исключен,
быть может, случай, когда р состоит только из нулевого оператора 0 и из
тождественного оператора I. Если Т вполне непрерывен, то теорема 1 избав-
ляет нас от этой неприятности.— Прим, перев.
286
Гл. XI. Различные приложения
относительно Т. Из максимальности jF следует, что Е^ер-
Доказательство для случая монотонно убывающей последователь-
ности проекторов из аналогично.
Если Е и F — операторы ортогонального проектирования и E>F^
то EF = FE = F. Поэтому все проекторы из максимального линейно
упорядоченного семейства JT ортогональных проекторов комму-
тируют. Пусть {Хп} — всюду плотное множество векторов в гиль-
бертовом пространстве; положим
оо
П=1
I Ехп |2
(1 +1 М2) 2П *
Тогда ясно, что функция ф(£) возрастает вместе с проектором Е.
Если Е, Е^^р и ф(£) = ф(£1), то Е = ЕХ. Действительно, так
как рр линейно упорядочено, мы можем, для определенности,
считать, что Е^Ег, тогда | Ехп |2 = | EiXn |2 для всех п, так что
Exn = EiXn и Е — Ё^. Аналогично из неравенства ф(Е’)<ф(£’1)
следует неравенство Е^.ЕХ при условии, что Е, E^jp. Если
£п, £ EjF и ф (£п), возрастая, стремится к пределу ф (£), то из уже
доказанного следует, что {Еп} — возрастающая последовательность
проекторов, причем Еп^Е. Если £оо —ее сильный предел, то
Еоо^Е и ф (£оо) = ф (£). Отсюда следует, что £оо = £. Итак, дока-
зано, что если ф(£п), возрастая, стремится к ф(£), то Еп воз-
растает и сильно сходится к Е. Точно таким же образом можно
показать, что если Еп,Е£$р и ф(£п), убывая, стремится к ф(£),
то последовательность {Еп} убывает и сильно сходится к Ё.
Поскольку всякая сходящаяся последовательность содержит моно-
тонную сходящуюся подпоследовательность, из доказанного
следует, что если £n, ££jF и ф(£п)—»ф(£), то Еп—>Е в силь-
ной топологии. Следовательно, если выбрать такое счетное мно-
жество {£J^jF, что множество {ф(£г)} всюду плотно в.области
значений функции ф на то всякий проектор £ из ер будет силь-
ным пределом некоторой монотонной последовательности проекто-
ров из {£/}. Ниже будет показано, что существует такой эрмитов
оператор Я, что все проекторы £j принадлежат его спектральному
семейству и что всякий проектор из спектрального семейства
оператора Н является сильным пределом линейных комбинаций
проекторов £j. Предположим пока, что это уже доказано. Тогда
ясно, что все проекторы £ из принадлежат спектральному
семейству оператора Н. Мы воспользуемся этим для того, чтобы
при помощи результатов гл. X о спектральном представлении
оператора Н получить спектральное представление для макси-
мального линейно упорядоченного семейства $р субдиагонализи-
рующих ортогональных проекторов вполне непрерывного опера-
тора Т.
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 287
Это можно осуществить следующим образом. По лемме Х.5.8
существует такая последовательность {хп}, векторов нашего
гильбертова пространства что Sq разлагается в прямую сумму
ортогональных подпространств где
(1)
и существует такая убывающая последовательность множеств епг
что (Е(е)хп, хп) = (Е (ееп)х^ xQ), п>0, для всех борелевских мно-
жеств е. (Здесь £(•) — спектральное семейство (разложение еди-
ницы) оператора Н.)
Кроме того, можно считать, что | х01 = 1.
Положим X (£) — | Exq |2. Тогда, как и выше, мы видим, что
X (£) — возрастающая функция от £ и что если £ь £2G<^r, TQ
A, (£J = А, (£2) влечет Е^ — Е2, a A(£i)<A(£2) влечет ЕА^Е2.
Кроме того, если Еп,Е^^ и А(£п)—>А(£), то Еп—>Е в силь-
ной топологии. С другой стороны, ясно, что из Еп—*Е следует
X (£п) —> X (£). Таким образом, в силу леммы 3 область значений С
функции А на & является замкнутым подмножество^ отрезка [0,1].
Так как отображение £—> А(£) множества на С взаимно одно-
значно, то его можно обратить и тем самым параметризовать
максимальное множество субдиагонализирующих проекторов,
а именно ^={Е%\К^С}. Как отмечалось выше, £х непрерывно
зависит от А и возрастает с ростом X; кроме того, | E^xq |2 = Л.
Пусть (а, Ь) — смежный интервал1) замкнутого множества С.
Тогда, поскольку максимально, в гильбертовом пространстве §
не существует замкнутого подпространства Ж, инвариантного отно-
сительно Т и удовлетворяющего условиям Еа$ё cz Ж cz Ebfe (оба
включения строгие). Рассмотрим теперь отображение TQ =
= (Еъ~Еа)Т |(£о —£о) & Если Жо—замкнутое собственное под-
пространсто гильбертова пространства (£& —£о)^д, инвариантное
относительно То, то ясно, что Ж = Еа$$ замкнуто, инвариант-
но относительно Т и удовлетворяет условиям Еа$ cz X cz £bJg. Таким
образом, То не имеет собственных замкнутых инвариантных подпро-
странств. Поскольку оператор То вполне непрерывен, из теоремы 1
немедленно следует, что пространство (£& —£о)^д одномернц.
Пусть g — функция, определенная на отрезке [0, 1], непрерыв-
ная справа и принимающая лишь конечное число значений, причем
каждое из них—-на некотором подинтервале отрезка [0, 1], и пусть
все ее точки разрыва принадлежат замкнутому множеству С.
Такая функция имеет вид
(2) g(s) = at, af<s<ai+i>
э То есть один из счетного семейства ненересекающихся открытых
(на [0, 1]) интервалов, составляющих множество [0, 1] — С.— Прим, перев.
288
Гл. XI. Различные приложения
где
<3) 0 = < а2 < ... < an+i = 1,
и числа щ попарно различны. Обозначим класс всех таких функ-
ций через 3- Пусть Um—-отображение, переводящее функцию gG3
в вектор
п
(4) 2 (^f+1 Х™'
Тогда
п 1
I uog |2 = 2 1аИ2(йг+1—«0= \g(s)\2ds-
г—1 0
поэтому отображение Uo можно единственным образом расширить
до изометрии между замыканием множества 3 в ^2 [О, Н и замы-
канием в ^(%о) множества векторов вида (4) (с т = 0). Легко
видеть, что замыкание множества 3 в ^[0,1] состоит из всех
функций, постоянных на каждом смежном интервале замкнутого
множества С; обозначим это подпространство пространства L2 [0, 1]
символом L2(C). Так как всякий проектор из спектрального семей-
ства оператора Н, а потому и всякая непрерывная функция от Я,
является сильным пределом линейных комбинаций проекторов
то из (1) вытекает, что замыкание в $$(хт) векторов вида (4)
совпадает с $(хт)- Отсюда при т —О следует, что Uo можно
расширить до изометрического изоморфизма между L2(C) и $q(x0);
этот изоморфизм мы будем тоже обозначать через Uo.
Пусть S —ограниченный оператор в ^(х0), коммутирующий
с каждым проектором Е^. Пусть 1 — функция из Л2(С), тождествен-
но равная 1. Если = h (х), то ясно, что (U^SUog) (х) =
= g(x)h(x) Для всякой функции g£Q, так что, поскольку 3 плотно
в L2 (С), имеем (U^SUog) (х) = g(x)h (%) для всех g £ L2 (С). Для того
чтобы оператор S был ограниченным, необходимо, очевидно, чтобы
функция h была ограниченной, а для того чтобы S был проекто-
ром,, необходимо, чтобы h(x)~ 0 или 1 почти всюду. В частности,
для каждого проектора Е(е) из спектрального семейства опера-
тора Н должно существовать такое борелевское подмножество е
«отрезка [0,1], что {U^E{e)UQg)(<x) = ^e(x) g(x), где %е — характе-
ристическая функция множества е. Если E(f) — другой проектор
из спектрального семейства оператора Н и то Е (е) Е (/) =
= £(/), и потому (^1£'(7)L?og)(x) = x/(x)g(x), где / = е. С дру-
гой стороны, из определения отображения Uo легко следует,
что (U~^E)JJog') (х) = Х[о, x)(x)g(x). Из доказанного вытекает,
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 289
что должно существовать такое убывающее семейство
эе32... борелевских подмножеств отрезка [0, 1], что
(5) (Еьхт, хт) = (ЕКЕ (ет) х0, х0) = н((°> A)f|em), т>1,
где р, —мера Лебега на [0, 1].
Пусть (а, Ь) — смежный интервал замкнутого множества С.
Тогда при т>1 векторы (Еъ — Еп)хт и (Еь — Еа)х0 ортогональны.
Как было показано выше, область значений проектора Еь — Еа одно-
мерна, и потому (Еъ — Еа)хт = 0. Таким образом, ет(](а, Ь) = 01).
Итак, множества eit е2, ... содержатся в множестве С.
Из формулы (5) следует, что если т>1 и то
п
I Umg I2 = 2 I IV (Vi> ам] П em) = J | g (s) I2ds.
i=i em
Поэтому отображение Um можно расширить до изометрии между
замыканием множества 3 в пространстве L2(em, р) и замыканием
в $$(хт) множества векторов вида (4). Так как каждый проектор
из спектрального семейства оператора Н, а потому и всякая непре-
рывная функция от ЕЕ является сильным пределом линейных ком-
бинаций проекторов Et, то из (1) следует, что замыкание мно-
жества векторов вида (4) совпадает с $(хт). С другой стороны,
поскольку ет С, легко видеть, что замыкание множества 3
в пространстве L2(em, р) совпадает со всем пространством Ь2(ет, р).
Таким образом, Um можно расширить до изометрического изомор-
физма между L2(em, р) и Sg(xm)-, это расширение мы будем
обозначать также через Um. Из определения Um следует, что
(JJmE%Umg) (х) = (х) g (я), т 1.
Поскольку гильбертово пространство разлагается в прямую
сумму ортогональных подпространств отображение
оо
Igo (A gi{x), .. 3 Umgm
7П=0
является изометрическим изоморфизмом между пространствами
£2 (С) ©£2(^1, р)@Л2(е2, и)© ••• и $. С другой стороны, ясно,
что отображение имеет вид
IgoW, gi(x), [X[0,%)W go (x), х[01М(х)^(х), ...].
Изложенное исследование приводит нас к следующей теореме.
х) Точнее, из доказанного вытекает, что р ((a, b) f| ет)=0. Так как уда-
ление из ет множества точек меры нуль не нарушает справедливости
равенств (5) и так как число смежных интервалов множества С не более чем
счетно, то можно считать, что (a, b) Q ет = 0.— Прим, перев.
19 Заказ № 134
290 Гл. XI. Различные приложения
4. Теорема Пусть — максимальное линейно упорядоченное
семейство субдиагонализирующих ортогональных проекторов вполне
непрерывного оператора Т в гильбертовом пространстве <д. Тогда
на отрезке |0, 1] существует такое замкнутое множество С
и такая последовательность е2 . борелевских подмно-
жеств этого множества, что ер изометрически эквивалентно
семейству проекторов {£\|А,£С} в пространстве
@о — L2 (С, |х) @ Ь2 (еь р,) @ L2 (е2, р) @ ,
определяемых формулой
Ex[g0(x), gi(x), • • .] = [%x(x)go(x), XK(x)gi(x),
где %к(х) — характеристическая функция полуинтервала [0, Z),
а рь — мера Лебега на [0, 1].
Доказательство. Для завершения доказательства этой теоремы
мы должны лишь показать, что если Ei — счетное линейно упоря-
доченное семейство ортогональных проекторов, то существует
такой эрмитов оператор //, что
(а) все операторы Е/ принадлежат спектральному семейству
оператора //;
(Ь) всякий проектор из спектрального семейства оператора Н
является сильным пределом линейных комбинаций проекторов Et.
Пусть ЭД — коммутативная В*-алгебра операторов, порожден-
ная проекторами Еь и пусть А —ее спектр. Если со —какой-
нибудь элемент из А, т. е. какой-нибудь непрерывный гомомор-
физм алгебры ЭД в поле комплексных чисел, то обозначим через S (со)
последовательность [«(Ej), 0, со(Е2), 0, со(Е3), 0, ...]. Так как
El~Ei, то последовательность S (со) состоит из нулей и единиц,
и мы можем рассматривать ее как двоичное разложение некоторого
вещественного числа г (со) из отрезка [0, 1].
Пусть Е (е) — спектральное разложение1) для алгебры ЭД, так
что Е (е) — счетно аддитивная регулярная борелевская мера на А,
значениями которой являются операторы ортогонального проекти-
рования в § (см. теорему Х.2.1). По теореме Х.2.1
о)(Еп)Е (Жо) = Еп.
л
Определим оператор Н формулой
Н= J r(o))E(d(o).
А
г) Точнее, Е (•) — спектральная мера, соответствующая каноническому
*-изоморфизму А-^со(А) алгебры 21 на алгебру С (А). Напомним (см. теорему
Х.2.1), что каждому *-изоморфизму ЭД на С (А) соответствует некоторая
спектральная мера. Здесь нужна именно указанная мера.— Прим, перев.
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 291
Легко видеть, что
оо
г((°)=т2
П=1
этот ряд равномерно сходится на А, а так как все функции
ы(Еп) непрерывны на А, то г (со) — непрерывная вещественная
функция. Поэтому оператор Н эрмитов и принадлежит 31.
Если Е —спектральная мера на отрезке [0, 1], определен-
ная формулой Е (е) = Е (г-1 (е)), е^[0, 1], то, применяя правило
замены меры при интегрировании, получаем
1
Н= jj rE(dr).
о
Поэтому, согласно следствию Х.2.7, Е (е) является разложением
единицы для эрмитова оператора Н. Если dn(r) обозначает п-й
двоичный знак в двоичном разложении вещественного числа г,
то ~
Е ({г | d2n-i (г) = 1}) = Е ({со | d2n_! (г (и)) = 1}) =
= Е ({со | со (Еп) = 1}) = to(£n)£(dto) = £n.
Л
Таким образом, каждый проектор Еп принадлежит спектральному
семейству эрмитова оператора Н.
С другой стороны, пусть задано борелевское множество е s Л.
Выберем в гильбертовом пространстве всюду плотное множество
векторов хп. Поскольку мера Е (е) регулярна, то для каждого
натурального т существуют такое замкнутое множество fm <= е
и такое открытое множество От з е, что
|£(e)xn|2-l<|£(fm)xn|2<
< I Е (От) хп I2 < I Е (е) хп I2 + ±
С помощью теоремы Урысона (1.5.2) можно найти такую непре-
рывную на Л функцию (рт (к»), что 0<фт(«>)<1, фт((о) = 0 при
© 4 0т и фт (<о) = 1 при to С /т- Тогда если
®т= фт (to) £ (Лй),
ТО
I (Е (е) — Фт) хп I2 = | Хе (to) — фт(<о)|2|£(Й(о)хп|2<^-,
19*
292 Гл. XI. Различные приложения
Поэтому Е (е) является сильным пределом операторов Фт. С дру-
гой стороны, из теоремы Х.2.1 следует, что оператор Фт принад-
лежит алгебре й, так что Фт является пределом линейных ком-
бинаций произведений операторов Ei. Поскольку проекторы Е^
образуют линейно упорядоченное семейство, произведение лю-
бого конечного набора этих проекторов равно наименьшему
из £/, входящих в этот набор (т. е. проектору с наименьшей
областью значений). Таким образом, Е(е) является сильным пре-
делом линейных комбинаций проекторов Ei.
Это доказывает справедливость утверждений (а) и (Ь) и завер-
шает доказательство теоремы 4.
В частном случае операторов Гильберта — Шмидта мы не
встречаем существенных технических трудностей при доказатель-
стве теоремы о субдиагонализации, так как всегда существует
представление таких операторов при помощи ядер. В лемме 5
описывается это представление и излагаются некоторые его
простые свойства.
5. Лемма. Пусть Т—оператор Гильберта —Шмидта в про-
странстве введенном в теореме 4. Тогда существует едши
ственное семейство ядер О» определенных и квадратично
интегрируемых на |0, 1] х|(), 1], и таких, что
(I) /) = О, если sfjez-i, />2, или если j>2;
(II) Kij(s, t)=--K и (s', t), если s и s' лежат в одном и том же
смежном интервале множества С;
(III) Ки (s, /) = /Czi (s, /'), если tut' лежат в одном и том же
смежном интервале множества С;х)
оо 1 1
(iv) и к и2 = 2 И |/Co (s’
i,j==l 0 О
(V) Т[Л(5), /2(з), |g! (8), g2(s),
1) Функции Ktj (s, /) определены с точностью до значений на множест-
ве (р X р)-меры нуль, поэтому условия (I) —(III) нуждаются в некотором
разъяснении. Поясним, например, как следует понимать (III). Пусть /±, /2, ...—
совокупность всех смежных интервалов множества С; тогда множество
оо
М = [0, 1] X U {In х 1п} можно рассматривать как подмножество куба
п=1
[0,1] X [0, 1] X [0, 1] в пространстве переменных s, t, V. Условие (III) озна-
чает; что функция /Gi (s,/) —Kii (s, О равна нулю почти всюду на А4
относительно меры р х р X р.— Прим, перев.
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов
293
где
ОО 1
3=1 b
причем этот ряд безусловно сходится в топологии простран-
ства L2. Обратно, если семейство ядер Кц(в, t) удовлетворяет
условиям (I) —(IV), то формула (V) определяет оператор Гиль-
берта— Шмидта в пространстве и дубль-норма этого опера-
тора может быть вычислена по формуле (IV).
Доказательство. Пусть А = [0, 1] х N, где N—множество
целых чисел n > 1. Если рассматривать N как пространство
с мерой, считая, что каждое натуральное число имеет меру 1,
а на отрезке [0, 1] рассматривать обычную меру Бореля — Лебега,
то можно считать, что Л — пространство с мерой v, равной произ-
ведению этих мер. Сначала мы установим, что каждый оператор
Гильберта —Шмидта Д' в Г2(Л) представляется единственным
ядром Д' (• , •) g L2 (Л х Л) таким образом, что
(О 1Ю2= $ $ \К(а, 6)|2v(da)v(d&)<oo
А А
И
(2) (Kf)(a) = J К (a, b)f(b)v(db).
А
Мы покажем также (это понадобится в дальнейшем), что если К
представляется ядром К (а, Ь), то сопряженный оператор К* пред-
ставляется ядром К(Ь, а). Обратно, если ядро /<(-,•) удовлет-
воряет условию (1), то формула (2) определяет оператор Гиль-
берта — Шмидта.
Для доказательства этих утверждений рассмотрим в L2 (Л)
ортонормальный базис {tpj. Тогда из определения произведения
пространств с мерой следует, что каждая функция из L2 (Л X Л)
может быть аппроксимирована линейной комбинацией характе-
ристических функций множеств вида ех/, где е и / — измеримые
подмножества в Л. Поэтому линейные комбинации функций вида
ф (а) т] (Ь) всюду плотны в £2(ЛхЛ). Таким образом, функции
{<Pi (а) ср; (&)} образуют ортонормальный базис пространства L2 (Лх Л).
Пусть К—оператор Гильберта —Шмидта в £2(Л). Тогда если
Cij = (Кф,, ср/), то по следствию 6.3 3 I Сц |2 = || К ||2 < со- Поэтому
в L2 (Л X Л) существует функция Д' (а, Ь)у коэффициенты Фурье
которой относительно базиса {ф/ (а) ф7- (Ь)} равны С^. Очевидно,
/<(•,•) удовлетворяет условию (1). Из теорем III.2.20, III.11.17
294 Гл. XI. Различные приложения
и неравенства Шварца вытекает, что
| j К (a, b) f (b) v (db) |2 v (da)|
1 А А
<{jj { J \К(а, b)\*v(da)]v(db)y/2 { \ ]/(&) |2 v (d&)}1/2;
ЛА А
поэтому интеграл, стоящий в правой части равенства (2), задает
ограниченный оператор Д. Из определения ядра Д(- , •) следует,
что
(Кф;> Ф/) = (Кфу» ф()
для всех i и /. В силу линейности и непрерывности скалярного
произведения
(К/, g), Л гб12(Д),
так что Д —Д, и условие (2) выполняется.
Поскольку (Д*Ч\л (р/) (Д<р/, <ру) Cji, то^ядро, представляющее
оператор Д*, имеет коэффициенты Фурье Сд и потому совпадает
с функцией Д (Ь, а) К* (а, Ь)1).
Если Д(а, /;)~ядро, удовлетворяющее неравенству (1), то мы
видели, что правая часть формулы (2) определяет ограниченный
оператор Д. Так как числа (Дер,, <р0 равны, очевидно, коэффи-
циентам Фурье функции К (а, Ь) относительно ортонормального
базиса {фг (а) <р7- (&)}, то из следствия 6.3 вытекает, что K£HS
и дубль-норма оператора Д определяется равенством (1). Следо-
вательно, если ядро Д(- , •) представляет оператор 0, то
Д (а, Ь) = 0 почти всюду по мере vxv. Таким образом, все сфор-
мулированные выше вспомогательные утверждения доказаны.
Так как А является произведением пространств с мерой
[О, l]xN, то ясно, что всякий элемент из L2(A) можно рас-
сматривать как последовательность
f2(s), •••]
функций из L2 [0, 1 ]; норма такой последовательности опреде-
ляется формулой
оо 1
|/|2 = 2 $\fi(s)\*ds.
1=1 0
1) Здесь используется доказываемая ниже единственность представля-
ющего ядра.— Прим, перев.
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов
295
Аналогично функцию К (• , •) g L2 (Л X Л) можно рассматривать
как бесконечную матрицу /Gj(s, t) функций из Л2([0, 1] X [0, 1]).
Поэтому наши предыдущие выводы можно переформулировать
следующим образом.
Если К — оператор Гильберта — Шмидта в L2(A), то существует
единственное семейство ядер Кц (s, t), представляющее К в том
смысле, что
(3) K[/1(S), /2(S), .. .] = [gl(s), g2(s),
где
оо 1
(4) ^(s) = 3 $
1=1 0
причем ряд сходится безусловно в топологии пространства L2.
Кроме того, выполняется соотношение (IV). Сопряженный опера-
тор К* представляется семейством ядер
Наконец, если t) —-какое-нибудь семейство ядер, удовле-
творяющих неравенству в (IV), то формулы (3), (4) определяют
оператор Гильберта —Шмидта К в Л2(Л), удовлетворяющий
равенству в (IV).
Ясно, что гильбертово пространство введенное в теореме 4,
является подпространством пространства L2(A). Легко проверить,
что оператор Е ортогонального проектирования L2(A) на
определяется формулой
f2(s), . .. ] = [gi (s), g2(s), ...],
где gj (s) = %ej (s) fj (s), />2, a elt e2, ... — борелевские множе-
ства из теоремы 4, и
gi(s) = A(s), 8 С С,
£i(s) = 777y s£l,
I
где / — произвольный смежный интервал замкнутого множества С,
a |i(/) —его мера Лебега.
Мы можем выбрать в L2(A) ортонормальный базис, явля-
ющийся объединением ортонормального базиса пространства
и ортонормального базиса пространства ^о-; поэтому из опре-
деления 6.1 следует, что если Т — оператор Гильберта —Шмидта
в §0, то К = ТЕ — оператор Гильберта —Шмидта в L2(A). Ясно,
что
еке = к, К\^о=Т, К*\$о=Т*.
296 Гл. XI. Различные приложения
Кроме того, по определению 6.1 || /< || = || Т ||. Таким образом,
класс операторов Гильберта — Шмидта в ф?0 состоит из сужений
на операторов Гильберта — Шмидта в L2(A), удовлетворяющих
условию ЕКЕ = К, или, что то же, ЕК — КЕ = К. Отображение
класса таких операторов, действующих в Л2(Л), на множество
их сужений на изометрично.
Так как очевидно, что оператор /С тогда и только тогда
удовлетворяет условиям ЕК = КЕ = /С, когда представляющие
ядра Kij(s, t) удовлетворяют условиям (I), (II) и (III), то настоя-
щая лемма полностью доказана.
Мы доказали также следующее следствие.
6. Следствие. Оператор, сопряженный к оператору Т преды-
дущей леммы, представляется семейством ядер Kij, определен-
ных формулой
K*j(s, t) = Kji(t, s).
Теорема 7 показывает, что полученное представление опера-
тора Гильберта —Шмидта ядрами Kij является треугольным.
7. Теорема. Пусть & и Т—такие же, как в теореме 4,
и пусть Т—оператор Гильберта —Шмидта. Тогда ядра Kij?
построенные в лемме 5, при s>t удовлетворяют условию
Kt As, t) = 0,
кроме, быть может, случая, когда i = j=l, a su t принадлежат
одному и тому же смежному интервалу множества С х). Обратно^
если семейство ядер Kij обладает этим свойством, то ер— мак-
симальное семейство субдиагонализирующих ортогональных про-
екторов для Т * 2).
х) Точный смысл этого условия таков. Пусть 12, ...—смежные
интервалы множества С. Положим Nfj = {(s, t)\ s>t, Kij (s, t) #= 0}
И N= U {(s, t)\s, t£ln}. Тогда (itX p) (Nij)=0 при « + />2 в
п=1
(pX p) (Хц— N) = 0. Следует иметь в виду, что в доказательстве этой теоремы
рассуждения ведутся «с точностью до множеств (р х р)-меры нуль», что
в тексте явно не оговорено.— Прим, перев.
2) Здесь имеется в виду следующее. Пусть Т — оператор Гильберта —
Шмидта в ф, С — замкнутое подмножество отрезка [0, 1], содержащее точки О
и 1, е^е2^е^...—борелевские подмножества в С, и пусть ф0 =
= L2 (С) ф L2 (еь р) @ L2 (е2, р) ф ... . Допустим, что существует такой
изометрический изоморфизм U : ф0 —>- ф, что ядра Kij, представляющие
оператор Гильберта—Шмидта U^TU, действующий в фо, обладают указанным
в формулировке теоремы свойством. Положим где % £ С, a
— проектор в фо, определенный равенством [gi (х), £г(х), •••] =
= [Хх (х) gi W, Хх W ft W. • • •!• Тогда утверждается, что {Ек | X С С}
является максимальным линейно упорядоченным семейством субдиагонали-
зирующих ортогональных проекторов для Т.— Прим. перев.
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 297
Кроме того, для того чтобы оператор Т был квазинилыго-
тентным, необходимо и достаточно, чтобы /Cn(s, t) = 0 всякий
раз, когда s и t лежат в одном и том же смежном интервале
множества С.
Доказательство. Поскольку область значений проектора
инвариантна относительно Т, то {1 — Е^)ТЕ^ = б. Из найденного
в теореме 4 представления проектора Е^ следует, что ядра, пред-
ставляющие оператор (/ — Ех)ТЕ%, имеют вид
%x(s)Kij(s, ОХА(О>
где —характеристическая функция полуинтервала [О, А), а хх —
характеристическая функция отрезка [X, 1]. Поэтому если суще-
ствует такое AgC, что s>A>/, то Kij(s, /) = 0. Другими сло-
вами, если s>/, то Ktj(s, /) = 0, кроме, быть может, случая,
когда s и t принадлежат одному и тому же смежному интервалу
множества С. Так как по лемме 5 Кц (5, 0 = 0, если
и s, t принадлежат одному и тому же смежному интервалу мно-
жества С, то наше первое утверждение доказано.
Обратно, допустим, что ядра Кц обладают свойством, опи-
санным в формулировке настоящей теоремы. Тогда, обращая
шаг за шагом предыдущее рассуждение, мы заключаем, что
(/ — Еь)ТЕь = 0 для каждого Л из С. Поэтому область значений
проектора Е^ инвариантна относительно Т, т. е. Е^ является
субдиагонализцрующим проектором для Т. Для доказательства
второго утверждения теоремы мы должны лишь проверить, что
если Е — такой субдиагонализирующий проектор, что для всякого А
из С либо Е^Е^, либо Е^.Ех, то Е содержится в . Положим
A0 = sup{A| AgC, £>£х}1). Легко видеть, что Е^Е^, тогда
как £<£х при А>А0. Поэтому если Aj = inf {А, | Л g С, А>А0}2),
то £<Г,£хг Ясно, что либо А^Ао, либо (Ао, АД — смежный
интервал замкнутого множества С. Если А^Ао, то £%0<£<£х0?
так что £gj^. Если же (Ао, AJ —смежный интервал замкнутого-
множества С, то нетрудно показать, что область значений про-
ектора Е^ — Е^о одномерна3). Так как £х0<£<£хг то отсюда
х) Если {А | А £ С, Е Е^} = 0, то Е^Е% для всех А £ С. Так как
0£С (см. второе примечание к формулировке теоремы), то Е<;Ео. Так как
проектору Ех в пространстве соответствует оператор покоординатного-
умножения на Хх (х), то Eq=0 и потому E=Q—Eq£^E,— Прим, перев.
2) Если {А | А £ С, А > Ао}=0, то Е > Ех для всех А С С; рассуждая как
в предыдущем примечании, мы получаем, что Е=-1—Ех£ &. — Прим, перев.
3) Действительно, проектору Е^ — Е^ в пространстве соответствует
оператор покоординатного умножения на функцию Х[х0 Xi) (х)* всяка5®
298 Гл. XL Различные приложения
следует, что либо Е = Е%01 либо Е = E^v так что и в этом случае
и второе утверждение теоремы доказано.
Предположим теперь, что оператор Т квазинильпотентен.
Пусть (а, Ь) — смежный интервал множества С, а % —его харак-
теристическая функция. Пусть (s, t) с при s, t £ (а, Ь) (см.
утверждения (II) и (III) леммы 5). Тогда из уже доказанного
следует, что если f — вектор
/=[%, о, О, ...],
то
Т/ = [с(6 —a)x + gi, g2, ...],
где [gi, g2, •••] принадлежит области значений проектора Еа-
(Здесь пространства g0 и считаются отождествленными
при помощи изоморфизма U, и потому не делается различия
между операторами в § и соответствующими им операторами
в jQo-) Поскольку область значений проектора Еа инвариантна
относительно Т, то по индукции мы получаем
7,7 = [cn(b-a)nx + g(1n), g(2n), ...J,
где g^, . • • ] принадлежит области значений проектора Еа.
Поэтому
(Г’/, f) = cn(b — a)n+l.
Так как оператор Т квазинильпотентен, то для всякого положи-
тельного 8 имеем | Тп | = О (еп) при п—>оо. Поэтому с = 0, т. е.
Ки (s, t) = 0, если s и t принадлежат одному и тому же смеж-
ному интервалу множества С.
Обратно, предположим, что /<и (s, t) = 0, если s и t принад-
лежат одному и тому же смежному интервалу множества С.
Докажем, что тогда оператор Т квазинильпотентен. По лем-
мам 6.2, VII.6.7, VII.6.8 и теоремам 6.6, VII.4.5 предел по норме
Гильберта —Шмидта последовательности квазинильпотентных опе-
раторов Гильберта —Шмидта является квазинильпотентным опе-
ратором. Поэтому из леммы 5 следует, что можно, не ограни-
чивая общности, считать, что |/Gj(s, Z)|<JVI для некоторого
конечного числа М и что (для некоторого конечного d) Kij (s, t) = О,
если i>d или j^>d. Очевидно, что n-я степень Тп оператора Т
функция из Ь2(С) постоянна на [Хо, Xj), а всякая функция из L2(en, pt) (п > 1)
на [Хо, Xj) равна 0; поэтому последний оператор сводится к ортогональному
проектированию на одномерное подпространство пространства порожден-
ное элементом [Х[%0 Xi) W’ 0...].— Прим, перев.
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов
299
представляется семейством ядер определенных формулами
Ki^(s, /) = 0, если или j>d,
t) =
d 1 1
= 2 $ • • • J (S’ Gh> *ili2 <Gh’ ai2> • • • Ч-1’ 0 dGil • • d%-l.
4..Vl=1 0 0
если 1<Z, j<d.
Следовательно, учитывая, что ядра Кц ограничены числом М
и что Ktj (5, t) — 0 при s>/, можно получить для Kif (s, t)
оценку
\K^(s,t)\<(dM)n J... J dOi...dan-^-в^.
Таким образом, по леммам 5 и 6.2 \Тп\ =о(еп) для всякого е>0;
поэтому оператор Т квазинильпотентен, ч. т. д.
8. Лемма. Пусть Н — такой вполне непрерывный самосопря-
женный оператор в пространстве Qo, что область значений
каждого из проекторов Е%, введенных в теореме 4, инвариантна
относительно Н. Тогда
f2(s), ...] = [fn(s)/i(s), О, 0,
где m(s) — ограниченная функция, равная нулю на С и постоян- ,
ная на каждом смежном интервале множества С.
Доказательство. Если Е^НЕ^^ НЕ^ то, переходя к сопря-
женным операторам, имеем Е^Н = Е%НЕ^^= НЕ^. Поэтому Н ком-
мутирует со всяким ортогональным проектором, область значений
которого инвариантна относительно Н. Пусть е — такое борелев-
ское множество, что каждый смежный интервал множества С
либо целиком содержится в е, либо не пересекается с е. Опре-
делим в пространстве проектор Е(е) по формуле
£(e)(A(s), /г(з), ...] = [хе(8)Л(8), xe(s)f2(s),
где хе — характеристическая функция множества е. Если Ij =
= (а, Ь) — смежный интервал множества С, то Е (Ij) Н = НЕ (Ij)
(ибо Е (I^) = Еъ — Еа)-, поэтому НЕ(С) = Е(С)Н. Таким образом,
область значений X проектора Е(С) инвариантна относительно Н,
а сужение Н оператора Н на ЗЕ является вполне непрерывным
эрмитовым оператором в гильбертовом пространстве ЗЕ. Мы хотим
показать, что Я =
300 Гл. XL Различные приложения
Допустим, что это не так. Тогда, согласно следствиям Х.3.5
и Х.2.8, существует такое число Х^=0, что подпространство-
ЗЕо ~ {* I Tlx = Хх} нетривиально и конечномерно. По теореме X.2.1
в $о должен существовать такой вектор х^=0, что для всякого
борелевского множества е, для которого определен оператор Е (е),
либо /:(?)х-^х, либо Е(е)х = О1). Поскольку £(С)х = х, отсю-
да следует, что если С разложено в сумму 2П непересекающихся
борелевских множеств Cj с диаметрами, не превосходящими 2“п,
то для одного (и только для одного) из них E(ej)x = x. Таким
образом, для каждого натурального п существует такое борелев-
ское множество еп cz С, что диаметр его не превосходит 2“п
и Е(еп)х = х. Поскольку еп можно, сохраняя нужные нам свой-
ства, заменить на еп= U ет, можно даже считать, что мно-
m > п
жества еп образуют монотонно убывающую последовательность.
Но тогда из определения проекторов Е(е) легко следует, что
Е(еп)у —>0 для любого у. Следовательно, мы получаем противо-
речие, которое показывает, что // 0, так что Н-=НЕ(С')Т
где С'—дополнение к С.
Если lj— смежный интервал множества С, то, как было
показано при доказательстве теоремы 4, область значений проек-
тора Е (/у) одномерна. Поэтому существует такая постоянная mjr
что |щу|С|Т| и HE(lj)—mjE(lj). Если определить функцию
m(s) равенствами = для s£lj и m(s) = 0 для s£C
и положить
A4[/i(s), f2(s), ...] = [/«(s)Л(s), 0, 0, ...],
то ясно, что HE(Jj) = ME(Ij), так что НЕ([0, 1] —С) =
= ME ([0, 1 ] — С). Отсюда, поскольку НЕ (С) = МЕ (С) = 0, сле-
дует, что Н — М, и лемма доказана.
*) Пусть 35—совокупность всех борелевских множеств, для которых выше
был определен оператор Е (е). Если бы было доказано, что НЕ {е)== Е (е) Н
для всех то отсюда легко следовало бы, что Жо инвариантно относи-
тельно Е (е), е£35. Тогда, применяя теорему Х.2.1 к Ь*-алгебре 51 операто-
ров, порожденной сужениями проекторов Е (е) (е £ на пространство ЭЕо,
и учитывая, что ЗЕо конечномерно, мы получили бы, что в 36о существует
вектор %, собственный для всех операторов из 51. Так как Е (ё) — проектор,
то либо Е(е)х~х, либо Е(ё)х=Л). Для доказательства равенства НЕ(е) =
— Е(е)Н можно сначала рассмотреть случай открытого множества е из 35
(концы интервалов, составляющих открытое множество е £ 35, принадлежат С),
а затем применить предельный переход, учитывая, 4то если е, еп£35, еп^_е
и р (еп — е) —>- 0, то Е(еп)-+Е(е) в сильной топологии. (Заметим, что
при этом, быть может, придется аппроксимировать открытыми множествами
еп С 35 не само множество е, так как это не всегда возможно, а некоторое
другое множество е’£35, такое, что е' С е и р, (е— е') = 0.)—Прим, перев.
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 301
Напомним, что если Т — оператор в гильбертовом пространстве,
то (Т 4- Т*)/2 называется его вещественной, или эрмитовой,
частью, а (Т— T*)/2i — мнимой, или антиэрмитовой. частью.
Заметим, что, как было показано, квазинильпотентный опе-
ратор
х
f(y)dy
О
в L2 [0, 1] принадлежит классу Ci+e для каждого положительного
<8, но не принадлежит классу СР С другой стороны, сопряжен-
ный к J оператор имеет вид
1
— i J f(y)dy.
X
Поэтому
(2Z)-4J-J*)/(.) = 2-^ f[y)dy,
О
т. е. мнимая часть оператора J является одномерным оператором.
Отсюда ясно, что лишь в случае р>1 можно надеяться вывести
принадлежность оператора N классу Ср из предположения, что
«его мнимая часть принадлежит Ср. Следующая теорема показы-
вает, что это действительно можно сделать для р >* 1.
9. Теорема. Если 1<р<оо и Т — вполне непрерывный квази-
нильпотентный оператор, мнимая часть которого принадлежит
классу Ср. то сам оператор Т принадлежит классу Ср.
Докажем сначала несколько предварительных лемм и теорем.
Начнем с теоремы о выпуклости для классов Ср. которая во мно-
гом аналогична теореме Рисса о выпуклости из § VI. 10 и даже
тесно связана с этой теоремой.
10. Теорема. Пусть 1<р, г. р'. г'^со. р>р'- Пусть —
ограниченное линейное преобразование, отображающее класс
вполне непрерывных операторов Ср в класс вполне непрерывных
операторов Сг. Предположим, что является также ограни-
ченным линейным преобразованием подкласса Ср> класса Ср в класс
СГ'. Тогда если 0<а<1, 1/р" = а/р-|-(1 — а)/р', l/r" = cx/r-h
+ (1—а)/г', то <!Р является ограниченным линейным преобразовав
ванием класса Ср» в Сг„.
Доказательство. Для каждого Т из Ср и каждого вполне
непрерывного оператора В с конечномерной областью значений
положим
Ф(Т. B) = tr((<FT)B).
302
Гл. XI, Различные приложения
Лемма 9.14 показывает, что для того чтобы получить желаемый
результат, достаточно установить существование такой постоян-
ной Г, что
|Ф(Т, В)|<Г|Т|Г|В^,
где
1 _ а 1—а 1 . 1 ________< 1 . 1 «
V' ~ Я * ’ Я ‘ г — ’ Я' ‘ г’ ~~
Так как по лемме 9.14 при каждом операторе В с конечномерной
областью значений Ф(Т, В) непрерывно зависит от Т, то
из леммы 9.11 следует, что можно без ограничения общности
считать, что и Т конечномерен.
Далее, с помощью рассуждений третьего абзаца доказатель-
ства леммы 9.6 можно свести нашу теорему к следующему пред-
ложению.
Если Ф(Т, В) —билинейная форма, определенная на семействе
всех матриц в d-мерном гильбертовом пространстве, и если
|Ф(Т, В) |<Г | Т |р| В |,;,
|Ф(Т, В)|<Г| Т\р. I В|дЧ
то
(1) |Ф(Т,В)|<Г|Т|г|В|д»,
где р, р’, р" и q, q', q" связаны приведенными выше соотноше-
ниями. Так как множество невырожденных матриц всюду плотно
в множестве всех конечных матриц, то при доказательстве нера-
венства (1) можно считать, что Т и В невырождены. Для этого
случая в четвертом абзаце доказательства леммы 9.14 было пока-
зано, что Т = и^и2, B = ViD2V2, где (7Ь U2, V2 — унитарные,
a D2—диагональные матрицы. Таким образом, наша теорема
вытекает из следующего утверждения.
Если Ф(7\ В) —билинейная форма на множестве всех матриц
в d-мерном гильбертовом пространстве и если
| Ф (U^U* Vjjyj | < Г | Di |p ID2 |q,
| Ф (и^и2, VJbVJ I < ГI Di |p' ID2 k'
для любых унитарных матриц Uu U2, Vlt V2 и диагональных
матриц Dlt D2, to
| Ф (l/iDA, ViD2V2) I < Г I Di |p» ID2 |q„.
Из определения 9.1 нормы в классе Ср видно, что это утверж-
дение является непосредственным следствием теоремы Рисса
о выпуклости (лемма VI. 1017), ч. т. д.
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов
303
11. Следствие. Если 1<р<оо, Т £СР и {^ — ортонормаль-
ное множество векторов, то
оо
{ 2 1(7фь <pi)ITp<l7’lp-
г=1
Доказательство. Ясно, что отображение of. переводящее Т
в оператор ofT, определенный формулой
оо
(</>?) (х) = 2 (7фь фг) <₽; (*, фг)>
г=1
ограничено, если его рассматривать как отображение класса С<»
в себя (его норма не больше 1). Лемма 9.13 показывает, что
СО
если Т £СЬ то ряд (^Фь ФО абсолютно сходится и
г=1
оо
£|(7фь Фг) |<|
i=i
Поэтому преобразование рассматриваемое как отображение
класса в себя, ограничено. Теперь наше утверждение сразу
следует из предыдущей теоремы.
Пусть Kij — семейство ядер, представляющих оператор Гиль-
берта-Шмидта Д' в смысле леммы 51). Положим
q (s, t) = 0, если s и t принадлежат одному и тому
же смежному интервалу множества С;
q(s, /) = sgn(/ — s) в противном случае;
n (s, 0 = (е (§, О)2.
Пусть qK — оператор Гильберта — Шмидта, представляемый
ядрами Кц(з, t) q(s, t), а — оператор Гильберта —Шмидта,
представляемый ядрами /О, (s, t) г) (s, t). Из леммы 5 следует, что
*) Ниже (до конца доказательства теоремы 9) рассматривается следующая
ситуация: С — фиксированное замкнутое подмножество (положительной меры
Лебега) отрезка [0,1], содержащее точки 0 и 1; е4^е25 • ••—фиксированные
борелевские подмножества в С; = (Q Ф ^2 (еь И) Ф ^2 (е2> р) ©•••’, U—
фиксированный изометрический изоморфизм бесконечномерного сепарабельного
гильбертова пространства § на пространство §0; {Е% | X € С} — семейство
проекторов в §0, действующих по формуле, указанной в формулировке тео-
ремы 4. Каждому оператору в § при изоморфизме U соответствует некоторый
оператор в и обратно (эти операторы обозначаются одним и тем же сим-
волом). Таким образом, определяемые ниже отображения q и ч классов Ср
зависят от выбора множеств С, е2, ... и изоморфизма U; непосредственно
в доказательстве теоремы 9 в качестве множеств С, е2, ... и изоморфизма
U выбираются множества и изоморфизм, соответствующие (по теореме 4) рас-
сматриваемому вполне непрерывному оператору Т, — Прим, перев.
304
Гл. XI. Различные приложения
q и т] являются ограниченными линейными преобразованиями
класса С2 операторов Гильберта —Шмидта в себя. Лемма 12 пока-
зывает, что соответствующее утверждение справедливо также
при р#=2.
12. Лемма. Пусть 1<р<со. Тогда определенные выше
линейные преобразования q и г] могут быть продолжены1) до
линейных ограниченных отображений класса Ср в себя.
Доказательство проводится по той же схеме, что и доказа-
тельство неравенства М. Рисса (теорема 7.8). Именно, мы
(а) рассматриваем случай p = 2k, где k — натуральное число;
(Ь) при помощи интерполяции распространяем результат пункта
(а) на общий случай 2Ср< оо;
(с) используя соображения «двойственности», переходим от
случая 2<р<оо к случаю 1<рС2.
Детали таковы (предполагается, что 1<р<оо и /С^СРПС2):
если $ и t не принадлежат одному и тому же смежному интер-
валу множества С, то T|(s,/) 1; поэтому из леммы 5 следует,
что оператор Гильберта — Шмидта К — ?\К представляется таким
семейством ядер Кц, что Кц -О, если i-|-/>2, Kn(s, t) = 0,
если 5 и t не принадлежат одному и тому же смежному интер-
валу множества С, и Ku(s, t) — Kn(s, t), если s и t принадлежат
одному и тому же смежному интервалу множества С.
Пусть Ij — последовательность всех смежных интервалов мно-,
жества С, и пусть
1
(р(Ъ)1/2 ’
О,
Ф, ($) =
8^
где р обозначает меру Лебега, так что {фД — ортонормальное
множество функций. Положим
фу = [фл 0, 0, ...],
так что еру —ортонормальное множество векторов в гильбертовом
пространстве теоремы 4. Из отмеченных выше свойств опера-
тора К —лК и из леммы 5 (II), (III) следует, что
оо
(К-цК)х= 2 (Кчм фДфЛ*» фД-
j=l
г) Если то Срсс2, так что в этом случае Q и т] уже определены
на Ср и нужно лишь доказать их ограниченность по норме | • |р. Если же
р>2, toqht) определены на СрПС2, и так как СрПС2 всюду плотно в Ср,
то достаточно проверить, что Q и т) ограничены по норме | - |р на Cpf]C2.—
Прим, перев.
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов
305
Таким образом, по предыдущей лемме К является
ограниченным отображением класса Ср в себя, так что К——
также ограниченное отображение класса Ср в себя, 1<р<оо.
По леммам 9.6(c), 9.14 и определению 9.1 оператор принад-
лежит Ср тогда и только тогда, когда его вещественная и мни-
мая части принадлежат Ср; поэтому для доказательства нашей
леммы достаточно доказать существование такой постоянной Гр,
что | qH |р < Гр | Н |р для всякого эрмитова оператора Н из
Ср П С2.
Пусть Я —эрмитов оператор из С2. Тогда, согласно следст-
вию 6, оператор qH антиэрмитов, а х\Н эрмитов. Кроме того,
по теореме 7 оператор (Q + т]) Н квазинильпотентен1). Так как
произведение коммутирующих квазинильпотентных операторов
является квазинильпотентным оператором, то tr (((q Ц т|)//)2?) = О
для каждого целого &>1. Поскольку вещественная часть следа
оператора равна следу его эрмитовой части, имеем
k I2k\
(1) 2 о tr((Q^(^-2J) = 0.
5=0 \Ч /
Так как по лемме 9.44 и следствию 9.8
I tr ((еЯ)2> \<\QH |Н I пн
а по определению 9.1
tr((Q//)^) = |QH|22t
то из равенства (1) получаем
k-i
(2) (г-) .
5=0
Отсюда сразу следует, что
I Q# |2fe
I W \2k
*) Пусть Hij — семейство ядер, представляющих оператор Н в пространстве
тогда оператор (q + тр Н представляется семейством ядер Нц (s, /) =
= (Q(s, О + М5» 0- Из определения функций Q (s, t) и г] (s, /)
следует, что /) = 0, если s>t или если s и t принадлежат одному
и тому же смежному интервалу множества С. Применяя обратное утвержде-
ние теоремы 7, заключаем, что семейство & = {Е^ | X £ С} является максималь-
ным семейством субдиагонализирующих проекторов для оператора (q + t])/7
(см. примечание 1 на стр. 303 и второе примечание к формулировке теоремы 7).
Поэтому к оператору (2 + л)Я можно применить последнее утверждение
теоремы 7.—Прим, перев,
20 Заказ № 134
306
Гл. XI. Различные приложения
где а —наибольший корень уравнения
к-1
J=o
Отсюда вытекает справедливость настоящей леммы при p = 2k,
где k — натуральное число, ибо мы уже видели, что отображение
Я—>1)// ограничено в Ср. А тогда по теореме 10 данная лемма
верна для любого р>2, р<со.
Теперь докажем тождество
(3) tr((eA)B) = tr(A(QB))
для операторов Л и В из класса С2. Это тождество сразу следо-
вало бы из определения отображения р, если бы мы знали, что
для любых А и В из С2
оо 11
(4) tr (АВ) — 2 $ Atj(s, s)dsdt,
i, j-1 о 0
где {А;;} и {Bij} — семейства ядер, представляющие в смысле
леммы 5 операторы А и В соответственно. Равенство (4) можно
записать в несколько более удобной эквивалентной форме
1 1
(5) tr (АВ*)-2 t)dsdt = O.
г, j 0 0
Для того чтобы проверить соотношение (5), заметим, что его
левая часть определяет в С2 такую эрмитову билинейную форму
[Л, В], что (по лемме 5) [Л, Л] = 0 для каждого Л из С2. Поэтому
2Ке[Л, В] = [А + В, А + В] — [А, А] —[В, В] = 0
для всех Л, В из С2, и аналогично Im [Л, В] = 0, так что
[Л, В] = 0; это доказывает тождества (5), (4) и (3).
Теперь справедливость настоящей леммы при 1<р<12 сразу
следует из ее справедливости при и из леммы 9.14.
Дальше мы будем пользоваться символами р и т] для обозна-
чения непрерывных продолжений отображений Q и т] леммы 12
на класс операторов Ср. Введем также обозначение x=i(p-\-v\).
Отметим следующее следствие.
13. Следствие, (а) Отображение т является ограниченным
отображением класса Ср в себя, 1<р<°о.
(Ь) Если оператор Н эрмитов, то антиэрмитова часть
оператора нН равна ч\Н.
(с) Область значений каждого из проекторов Е\ теоремы 4
инвариантна относительно оператора хН. ,
10, Субдиагонализация вполне непрерывных операторов 307
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) были доказаны раньше.
Для доказательства (с) достаточно заметить, что обе части
равенства Ек (т/7) = (тЯ) зависят от оператора Н непрерывно.
Таким образом, по лемме 9.11 достаточно проверить утвержде-
ние (с) для операторов Н с конечномерной областью значений.
Так как по теореме 7 оно справедливо для всякого оператора Н
типа Гильберта —Шмидта, то наше следствие доказано.
14. Следствие. Если А £СР —оператор в пространстве $0
теоремы 4 и (Лер, ср) = 0 для характеристической функции1)
ср любого смежного интервала множества С, то А = к]А,
Доказательство. Пусть {/Д — последовательность всех смеж-
ных интервалов множества С, и пусть ср7 — векторы, введенные
в третьем абзаце доказательства леммы 12. Тогда
(Л-т]Л)х=3 Иф» Ф;)фД*, ФЛ
ерли А£С2. Согласно следствию 11 и лемме 12, обе части этого
равенства непрерывны по AQCp; поэтому из. леммы 9.11 следует,
что оно справедливо для всех А£СР. Отсюда немедленно выте-
кает справедливость данного следствия.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 9.
Доказательство теоремы 9. Используя теорему 4, можно,
не ограничивая общности, считать, что область значений каждого
из проекторов Е& инвариантна относительно Т, Пусть (а, Ь) —
смежный интервал множества С, а % —его характеристическая
функция. Тогда если / — вектор
/=[Х, О, О,
то Tf можно представить в виде
Tf=[c% + gt, gz, ..
где [gi, •••] принадлежит области значений проектора Еа,
Отсюда по индукции
т7=[^х+?1п), ...1,
где [£1П\ g^\ •••] принадлежит области значений проектора Еа.
Поэтому
(Т7, /)=сп(б_а).
х) Точнее, ср—вектор в §0, первая компонента которого равна характе-
ристической функции некоторого смежного интервала, а остальные компо-
ненты равны 0.— Прим, перев.
20*
308 Гл. XI. Различные приложения
Поскольку оператор Т квазинильпотентен, для всякого поло-
жительного в имеем | Тп | = о (8П) при п —> оо. Следовательно,
с = 0. Поэтому (Тер,, <Рг) = О, где ср, —ортонормальные векторы,
введенные в третьем абзаце доказательства леммы 12. Пусть Н—
мнимая часть оператора Т. Тогда (//<рь фг) = 0 для всех /, так
что по следствию 14 Н = х\Н. Согласно следствию 13, опера-
тор х\Н равен мнимой части оператора хН\ поэтому Т и хН имеют
одинаковые мнимые части, так что оператор S = T — xH эрмитов.
По тому же следствию 13 области значений проекторов Е% инва-
риантны относительно оператора 5. Из определения преобразова-
ния т и его непрерывности следует, что ((T/7)q)j, ф^) = 0 для
всех G так что (*Scpi, ср^) — 0 для всех I. Но оператор 5 имеет
специальный вид, указанный в лемме 8. Поэтому 5 = 0. Следо-
вательно, Т — хН, и теорема 9 следует из леммы 12.
Теперь совсем просто получить полезное усиление теорем
полноты из § 6 и 9. Из первых трех абзацев доказательства
теоремы 6.29 легко усмотреть, что справедливость теоремы
о полноте (6.29) для любого вполне непрерывного оператора Т
следует из аналитичности функции Т*|Х) в начале коор-
динат; здесь X™ такое инвариантное относительно Т* подпрост-
ранство гильбертова пространства, что сужение оператора Т*
на X является квазинильпотентным оператором. Если предпо-
ложить, что мнимая часть оператора Т принадлежит классу Ср,
то ясно, что мнимая часть Hi оператора Т* также принадлежит
классу Ср. Пусть Е— оператор ортогонального проектирования
на X. Тогда легко видеть, что мнимая часть оператора Т* | X
совпадает с сужением на X оператора EHiE\ поэтому мнимая
часть оператора Т* | X принадлежит Ср. По теореме 9 сам опера-
тор Т* | X должен принадлежать Ср. Как только установлен этот
основной факт, можно продолжить рассуждение так же, как при
доказательстве теоремы 6.29. Таким образом, учитывая обобщение,
отмеченное в теореме 9.29, мы получаем следующий результат.
15. Теорема. Пусть 1 <Zp<Zco, и пусть мнимая часть вполне
непрерывного оператора Т в гильбертовом пространстве
принадлежит классу С?. Пусть ..., ys —непересекающиеся
дифференцируемые дуги на комплексной плоскости, выходящие
из начала координат. Допустим, что каждая из s областей,
на которые эти дуги делят плоскость, содержится в секторе
с вершиной в начале и углом раствора, меньшим nip. Пусть
N >0 — целое число, и пусть резольвента оператора Т допускает
оценку
|/?(Л; Т) | = О(| ХГ2"),
11, Примечания и дополнения 309
когда Z—>0 вдоль какой-нибудь из дуг уг-. Тогда подпростран-
ство sp(T) содержит подпространство Tn!q.
Рассуждая, как при доказательстве следствий 6.30 и 6.31,
мы получаем следующие утверждения, обобщающие следствия
9.30 и 9.31.
16. Следствие. Пусть дуги ..., ys выбраны так же, как
в предыдущей теореме, и предположим, что, когда X стремит-
ся к нулю вдоль какой-нибудь из этих дуг, резольвента вполне
непрерывного оператора Т (Im Т Q Ср, 1<р<оо) допускает
оценку |/?(А; Т) | = О (| А |-1). Тогда подпространство sp(T) совпа-
дает со всем гильбертовым пространством Jg.
—> 17. Следствие. Пусть 1<р<оо, и пусть Т — неограничен-
ный оператор в гильбертовом пространстве имеющий всюду
плотную область определения. Допустим, что для некоторого Ао
из резольвентного множества оператора Т оператор R (Ло; Т)
вполне непрерывен, а его мнимая часть принадлежит классу Ср.
Пусть Yi, ..., у8 — непересекающиеся дифференцируемые дуги,
каждая из которых имеет предельное направление на бесконеч-
ности, а угол, образованный в бесконечности любой парой сосед-
них дуг, меньше п/р. Допустим, что, когда X—>оэ вдоль
какой-нибудь из этих дуг,- резольвента R(k', Т) допускает оценку
|/? (А,; Т) | = О (| A |N). Тогда подпространство sp(T) совпадает
со всем гильбертовым пространством <$.
11. Примечания и дополнения
Бикомпактные группы. Теорема 1.1 является частным случаем
сформулированной ниже теоремы 3. Простое доказательство
существования меры Хаара на бикомпактной группе со счетной
базой было дано фон Нейманом [12] и повторено у Понтрягина
[1; § 29]. Фундаментальная теорема Петера —Вейля [1] сначала
была доказана для бикомпактных групп Ли; см. также Люмис
[1; § 38], Понтрягин [1; § 33] и А. Вейль [1; § 21].
Теорема Петера —Вейля 1.4 является основной в теории пред-
ставлений бикомпактных групп. Мы приведем наиболее важные
определения и теоремы этой теории.
Определение. Пусть G —топологическая группа, а Ж —бана-
хово пространство. Тогда представлением R группы G в ЭЕ назы-
вается сильно непрерывный гомоморфизм g —>R(g) группы G
в группу ограниченных обратимых линейных операторов, дей-
ствующих в Ж. Если ЭЕ —конечномерное комплексное евклидово
пространство, то представление R называется конечномерным.
310 Гл. XL Различные приложения
Если X — гильбертово пространство и R(g) для каждого g£G
является унитарным оператором, то представление R называется
унитарным.
Определение. Пусть G —топологическая группа, a Rt и R2 —
два ее представления, действующие в пространстве Ж. Тогда Rt
и R2 называются эквивалентными, если существует такое огра-
ниченное и обладающее ограниченным обратным линейное пре-
образование Т пространства X, что R\(g) = T~1R2(g)T для вся-
кого g^G.
Используя существование на бикомпактной группе инвариант-
ной меры, легко доказать следующую теорему.
Теорема. Всякое конечномерное представление бикомпактной
группы G эквивалентно конечномерному унитарному представ-
лению.
Определение. Пусть G — топологическая группа, aR —ее пред-
ставление в В-нространстве X. Тогда R называется неприводимым,
если X не содержит собственного замкнутого подпространства,
инвариантного относительно всех операторов R(g-), g£G.
Определение. Пусть G — топологическая группа, a R —ее
представление в В-пространстве X. Пусть X разлагается в пря-
мую сумму X ^Xi@...©Xn замкнутых подпространств, инва-
риантных относительно всех операторов R(g’). Положим Rt(g} —
^R(g)\%h i = ..., п, так что Ri — представления группы G.
Тогда пишут R = Ri@.. .@ Rn и говорят, что R является прямой
суммой представлений Rb ..., Rn.
Следующую теорему легко доказать по индукции в случае,
когда представление R унитарно, а в силу сформулированной
выше теоремы она будет справедлива и в общем случае.
Теорема. Всякое конечномерное представление бикомпактной
группы G разлагается в прямую сумму неприводимых представ-
лений.
Эта теорема показывает, что при изучении конечномерных
представлений бикомпактной группы G можно, не теряя общности,
ограничиться рассмотрением неприводимых конечномерных уни-
тарных представлений. Если такое представление действует
в конечномерном пространстве Еп, то, вводя в Еп базис, можно
описать это представление семейством унитарных матриц {Utj(g)}-
Функции Uij(g) называются матричными элементами представ-
п
ления; они непрерывно зависят от g. Сумма 3 Ои (g) = tr (R (g))
г=1
называется следом представления.
11. Примечания и дополнения
311
Теорема. Пусть R и R — два неприводимых конечномерных
унитарных представления бикомпактной группы G. а [i — мера
Хаара на G. Пусть {Ua(g)} и {Uki (g)} — матричные элементы
этих представлений. Тогда если R и R не эквивалентны, то
для всех i. j. k. I.
G
Кроме того,
$ Ум (g) Uij (g) H (dg) = 0,
G
если i или 1#= /.
Символом L2(G) мы обозначаем гильбертово пространство всех
квадратично интегрируемых по мере Хаара функций на G. Из
предыдущей теоремы и теоремы Петера —Вейля 1.4 вытекает
следующая теорема.
Теорема. Пусть G — бикомпактная топологическая группа,
и пусть {7?(а)} — максимальное множество её попарно не эквива-
лентных унитарных представлений. Пусть {U^ (g)} — соответ-
ствующее семейство матричных элементов. Тогда —
полная ортогональная система функций в L2(G).
Определение. Множество {7?(а)} конечномерных неприводи-
мых унитарных представлений бикомпактной группы G называет-
ся полной системой представлений группы G. если
(а) никакие два из представлений 7?(<х) не являются эквива-
лентными;
(Ь) всякое неприводимое представление группы G эквивалентно
одному из представлений
Следствие. Если G — бесконечная бикомпактная топологическая
группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетности, то всякая
полная система представлений группы G счетна. Полная система
представлений конечной группы конечна.
Определение. Пусть G —бикомпактная группа; функция/gL2(G)
называется инвариантной относительно внутренних автоморфиз-
мов1). или, для краткости, просто инвариантной, если f (й)=f (ghgT1)
для любого g £ G и для почти всех h из G. Классом сопряженных
элементов элемента h из G называется множество {ghg~1\g^G}.
Инвариантные функции образуют замкнутое подпространство
в L2(G). След любого конечномерного представления группы G
является инвариантной функцией.
х) В оригинале «class function» — функция класса.— Прим, перев.
312
Гл. XI. Различные приложения
Теорема» Два неприводимых представления бикомпактной
группы G эквивалентны тогда и только тогда, когда их следы
совпадают, и не эквивалентны тогда и только тогда, когда
их следы ортогональны. Следы полной системы представлений
группы G образуют полный ортогональный базис в подпростран-
стве пространства L2 (G), состоящем из всех инвариантных
функций.
Следствие. Если группа G конечна, то число представлений^
входящих в полную систему ее представлений, равно числу раз-
личных классов в G.
Главная цель теории представлений бикомпактных групп состоит
в точном описании полной системы представлений для заданной
группы.
Это было сделано для многих конечных групп. По поводу
вычисления представлений группы л (л) всех перестановок из п
объектов см. Литлвуд 11 ]. Вычисление представлений знакоперемен-
ной подгруппы а(//) группы л (л) можно найти у Фробениуса [4].
Представления бесконечных бикомпактных групп наиболее
исчерпывающим образом изучены для связных бикомпактных
групп Ли. Это такие связные бикомпактные группы со счетной
базой, которые обладают окрестностью единицы, гомеоморфной
области конечномерного евклидова пространства. Этот гомеомор-
физм может быть выбран таким образом, что в «координатах»,
вводимых с его помощью в окрестности единицы, основные группо-
вые операции й—и [g, h]—> gh описываются функциями, кото-
рые не только непрерывны, но и бесконечно дифференцируемы.
Структура связных бикомпактных групп Ли хорошо изучена. Пусть
G — такая группа. Тогда существуют такая связная топологическая
группа Н и такой гомоморфизм h группы Н на G, что мно-
жество hr1 (е) не имеет в Н предельных точек. При этом Н является
прямой суммой конечного числа групп Hi, каждая из которых
изоморфна либо
(1) аддитивной группе вещественных чисел, либо
(2) группе SU (//) всех комплексных унитарных матриц порядка п
с определителем 1, либо
(3) группе SpU (2л) всех комплексных унитарных матриц V
порядка 2п, для которых [Vx, Vy] = [%, у], где [х, у]i — невырожден-
ная билинейная форма, определяемая равенством [%, у] ^х{у2 —
— У\%2 + ХъУь + • • • + ^2п-\У2п — У2п-^2пч Либо
(4) группе VR (п), допускающей гомоморфизм типа два-один1)
на группу UR(ri) всех вещественных унитарных матриц порядка л
с определителем 1, либо
х) То есть такой гомоморфизм, ядро которого (прообраз единичной мат-
рицы) изоморфно циклической группе второго порядка.— Прим, перев.
11. Примечания и дополнения 313
(5) одной из пяти других бикомпактных групп, известных под
названием особых простых бикомпактных групп (см. Э. Картан [1]).
Сформулированная выше теорема о структуре связных биком-
пактных групп Ли показывает, что можно найти неприводимые
представления таких групп, если известны все неприводимые
унитарные представления перечисленных типов (1) —(5) основных
групп Ли. Поскольку аддитивная группа вещественных чисел
коммутативна, все ее неприводимые унитарные представления
одномерны и имеют вид х —»ехр(шх), где —оо<а<оо. Полная
система представлений {R(a)} для каждой из групп SU (я) и SpU (2п)
описана в известной книге Г. Вейля [10]. Пространства, в кото-
рых действуют операторы являются неприводимыми про-
странствами тензоров; для каждого тензора % и каждого элемента g
группы SU (п) или SpU (2п) тензор 7?(a)(g)z определяется есте-
ственным для тензорного анализа способом. Вейль описал также
полную систему представлений для группы вращений RU (я);
эти представления тоже реализуются в неприводимых простран-
ствах тензоров. Группа RU (п) имеет еще и другие представления,*
которые, если бы мы попытались описать их через представления
группы вращений, оказались бы двузначными. Это так называемые.
спинорные представления группы RU (я) (или, допуская вольность
речи, группы вращений RU (п)). По поводу описания этих пред-
ставлений см. работу Брауэра и Г. Вейля [1], а также обзорную
статью П. К. Рашевского [1]. Полная классификация неприводи-
мых конечномерных унитарных представлений пяти особых простых
бикомпактных групп содержится в статье Г. Вейля [11].
Теория представлений групп, которые не являются ни биком-
пактными, ни коммутативными, несравненно сложнее и до сих пор
полностью не разработана. Однако для некоторых важных небиком-
пактных некоммутативных групп полностью классицифированы
неприводимые унитарные представления в гильбертовом простран-
стве и получены некоммутативные обобщения различных важных
теорем гармонического анализа (например, обобщение теоремы
Планшереля). Для ознакомления с теорией представлений таких
групп рекомендуем работу И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка [3].
Важный частный случай представлений группы Лоренца изложен
в статье Наймарка [14].
Почти периодические функции. Основная теорема теории почти
периодических функций принадлежит Г. Бору (см. Бор [2; § 84],
где изложено другое доказательство). Другие доказательства этой
теоремы и дополнительные результаты можно найти у Люмиса
[1; § 41] и А. Вейля [1; § 33—35], а также в литературе, указан-
ной в разделе § IV. 16, относящемся к пространству АР.
314
Гл. XI. Различные приложения
Алгебры со сверткой. В рассуждениях § 3 мы свободно поль-
зовались свойствами меры Лебега на вещественной прямой. Здесь
будут доказаны соответствующие свойства меры Хаара, необхо-
димые в различных доказательствах. Таким образом, читатель
получит замкнутое изложение этой темы (за исключением доказа-
тельства существования меры Хаара на локально бикомпактной
а-бикомпактной абелевой группе). Как было отмечено в тексте,
развитая в этом параграфе теория справедлива для произвольной
недискретной локально бикомпактной о-бикомпактной абелевой
группы. Однако мы хотели бы сделать несколько замечаний отно-
сительно общего некоммутативного случая. Прежде всего в тео-
реме 2 мы докажем, что локально бикомпактная группа автома-
тически является нормальным топологическим пространством; этот
факт иногда использовался в тексте. Далее мы сформулируем
фундаментальную теорему относительно существования меры
Хаара и докажем некоторые из наиболее важных элементарных
свойств этой меры, которые достаточно убедительно показывают,
что эта мера весьма похожа на меру Лебега на вещественной
прямой.
Следует отметить, что группы, при изучении которых мы поль-
зуемся мерой Хаара, не только локально бикомпактны, но и о-биком-
пактны, т. е. они являются счетным объединением бикомпактных
множеств. Мы кратко рассмотрим частный случай бикомпактной
группы R, а также случай, когда группа R дискретна, исключен-
ный в § 3. Наконец, мы докажем знаменитую теорему двойст-
венности Понтрягина.
В дальнейшем мы будем записывать групповую операцию
в виде сложения, поскольку в § 3 и 4 рассматривались абелевы
группы.
1. Лемма. Если R —локально бикомпактное пространство,
a F —замкнутое подмножество в R, не содержащее точку р,
то найдется такая вещественная непрерывная на R функция f,
что f('p) = O, f (F) = 1 и 0</(х)<1 при x£R.
Замечание. Эта лемма утверждает, что локально бикомпактное
пространство является вполне регулярным (IV.6.21) топологическим
пространством.
Доказательство. Присоединим к пространству R точку оо
и будем считать ее окрестностями в 7?U{°°} дополнения биком-
пактных подмножеств R. Тогда 7?U{°°} станет бикомпактным
хаусдорфовым пространством и потому (1.5.9) нормальным. Мно-
жество Fi = F U {оо} замкнуто в 7?U{°°}- Пусть Д— такая веще-
ственная непрерывная на 7? U {оо} функция, что Д(р)=0, /1(F1) = 1
и 0<Д(х)< 1 при x£R[){co}. Тогда сужение функции Д на R
является, искомой функцией, ч. т. д.
11. Примечания и дополнения
315
2. Теорема. Локально бикомпактное в-бикомпактное топо-
логическое пространство R нормально.
Доказательство. Пусть — такая возрастающая последова-
тельность бикомпактных множеств, что R = U Заметим, что
п=1
если А и В — непересекающиеся замкнутые подмножества в R
и п — натуральное число, то найдется такое открытое множество
U ^R, что A(]Kn^U и U П В = 0. Действительно, для любого
р£А[]Кп найдется такое открытое множество U (р), что pg[7 (р)
и U (р) Г|В= 0; в силу бикомпактности А (]Кп в качестве U можно
взять объединение конечного числа множеств U(p). Для доказа-
тельства нормальности пространства R воспользуемся этим заме-
чанием и принципом индукции.
Пусть Fi и F2— непересекающиеся замкнутые множества в R.
Выберем в R такое открытое множество Gi, что
Fi p| Ki Gi, Gi[]F2= 0,
и такое открытое множество Hi, что
FzttKi^Hi, Hi(](Fi[)Gi)=0.
Применяя индукцию, построим такие открытые множества Gn
и Нп, что
Fi(]Kn^Gn, Gn П (E2U/Л U ... \}Hn-i) = 0,
/^2 Г! Кп — Нп, Нп П (Z7! U U • • • U @п) — 0•
Это построение гарантирует, что Gn(]Hm= 0 для всех натураль-
оо оо
ных п и т. Положим G— J Gn и Н = J Нп, так что G и Н —
п=1 п=1
непересекающиеся открытые множества. Так как \}Kn = R, то
Fi G, F2^H и теорема доказана.
Теперь перейдем к теории меры на локально бикомпактной
группе.
3. Теорема (Хаар). Если локально бикомпактная топологи-
ческая группа R является объединением счетного числа биком-
пактных множеств, то существует такая неотрицательная
счетно аддитивная мера X, определенная на в-алгебре 2 боре-
левских подмножеств R, что Х([7)>0 для всякого открытого
множества U, Х(К)< оо для всякого бикомпактного множества К
и Х(х-|-Е) = Х(Е) для всех x£R и Eg 2. Мера К обладает свой-
ством регулярности
sup X (Е) = X (Е) = inf К (G), Е g 2,
316 Гл. XI. Различные приложения
где F — замкнутое, a G — открытое множества. Кроме того,,
мера X единственная в том смысле, что всякая другая мера,
удовлетворяющая перечисленным условиям, отличается от К поло-
жительным множителем.
Отметим, что мы пользовались этой теоремой только для случая
абелевой или бикомпактной группы, причем для бикомпактных
групп она была доказана в теореме 1.1. Мы не будем доказывать эту
теорему, а отошлем читателя к книге Халмоша [5; стр. 244—248].
Существование инвариантной меры на группе, удовлетворяющей
второй аксиоме счетности, впервые было доказано Хааром [1],
а вопрос единственности впервые рассматривался фон Нейма-
ном [17]. Другие доказательства существования или единствен-
ности были предложены А. Картаном [1], Какутани [17], Какутани
и Кодаира [1], Люмисом [1, 3], фон Нейманом [12], Райковым [1,2}
и А. Вейлем [1, 2]. Другие результаты о мерах, инвариантных
относительно преобразований, можно найти у Окстоби и Улама [1].
Теперь мы изложим некоторые полезные свойства меры Хаара,
хотя и простые, но не являющиеся совсем уж очевидными след-
ствиями свойства инвариантности.
4. Лемма. Пусть R— локально бикомпактная (5-бикомпакт-
ная1) абелева топологическая группа, 2 есть (5-алгебра ее боре-
левских подмножеств, а К —мера Хаара на R. Тогда К (Е+х)=К (£)
и Х( — Е) — К (Е) для любых Е из 2 и х из R.
Доказательство. Инвариантность меры Хаара относительно
правых сдвигов немедленно следует из коммутативности группы R.
Тот факт, что %( — Е) = 'к(Е), является простым следствием един-
ственности меры Хаара.
5. Следствие. Пусть R, % и X — такие же2), как в лемме 4.
Тогда Х(7?)<оо в том и только том случае, когда группа R
бикомпактна. Точки из R тогда и только тогда имеют положи-
тельную меру, когда группа R дискретна.
Доказательство. Если группа R бикомпактна, то из теоремы 3
следует, что оо. Обратно, допустим, что R небикомпактнаг
и пусть V — окрестность нуля с бикомпактным замыканием.
Поскольку никакой конечный набор сдвигов окрестности V
не покрывает R, можно выбрать такую последовательность {хп},
п
что xn+i U (Xj + V). Пусть U = —U есть такая непустая окрест-
1=1
i) Условие о-бикомпактности можно отбросить.— Прим, перев.
2) В этом следствии предположения о коммутативности и о-бикомпакт-
ности группы R излишни.— Прим, перев.
11. Примечания и дополнения
317
ность нуля, что U Ц-[7 <=Е. Тогда открытые множества {xn^-U}
попарно не пересекаются, так что
00 оо
ОЭ= 2 X(xn + t/) = X( и (ХП +С/))<%(/?)
71=1 П=1
И
Х(/?)=оо.
Если группа 7? дискретна, то множество, состоящее из един-
ственной точки, открыто и потому имеет положительную меру.
Обратно, если точки имеют положительную меру а, то каждую
точку р можно заключить в открытое множество Up с мерой,
меньшей За/2, откуда следует, что Up не может содержать точек,
отличных от р. Поэтому одноточечные множества одновременно
открыты и замкнуты, ч. т. д.
Поскольку (R, 2, X) — пространство с cr-конечной мерой, тео-
рия интегрирования, развитая в гл. III, может служить основой
для построений § 3 и 4. Отметим, в частности, что произведение
групп RxR является локально бикомпактной о-бикомпактной
(абелевой) группой, если такой является группа R. Поэтому это
произведение групп обладает мерой Хаара Х(2), определенной
на о-алгебре 2(2) его борелевских множеств. Естественно ожидать,
что произведение мер X х X совпадает, с точностью до постоян-
ного множителя, с Х(2). Этот факт устанавливается в теореме 7.
6. Лемма. Пусть локально бикомпактная абелева1) группа R
является счетным объединением бикомпактных множеств. Пусть
К —мера Хаара на R, a S естьа-алгебра борелевских подмножеств
R. Тогда если функция f является ^-измеримой, то функция g,
определенная равенством g (%, y) = f(x — у), будет (К х ^-изме-
римой.
Доказательство2). Для произвольного локально бикомпактного
о-бикомпактного пространства X обозначим через Ко(Х) класс
х) Условие коммутативности в этой лемме можно опустить.— Прим, перев.
2) Доказательства леммы 6 и теоремы 7, приведенные в оригинале, содержат
ошибку: авторы утверждают, что всякое открытое подмножество произведе-
ния RxR принадлежит о-алгебре S X 2; это утверждение (равносильное
тому, что 2(2) = 2х2) неверно, как показывает пример, приведенный по дру-
гому поводу у Халмоша [5; § 59, упр. 2]. Но если R удовлетворяет второй
аксиоме счетности, то равенство S(2) = 2 X 2 все же справедливо, ибо в этом
случае всякое открытое множество U^R X R можно представить в виде объе-
динения счетного числа множеств вида V X W, где V, W — открытые подмно-
жества в R. Из этого равенства и теоремы Фубини сразу следует, что если
множество Е является Х*-измеримым, то множество р(Е) — {[х, у] | х—у £ Е}
будет (X X Х)*-измеримым, после чего доказательство леммы 6 заканчивается
так же, как в тексте.— Прим, перев.
318 Гл. XI. Различные приложения
всех бикомпактных подмножеств в X типа G&, и пусть S0(X) —
минимальная о-алгебра, содержащая класс Ко (X). Множества, при-
надлежащие So (X), будем называть бэровскими. Ясно, что всякое
бэровское множество является борелевским, т. е. So (X) S 2 (X).
Если X и Y — локально бикомпактные ст-бикомпактные простран-
ства, то So (X х Y) = 20 (X) X So (У) (Халмош [5; § 51, теорема 5];
определение произведения о-алгебр см. в III. 11.3).
Пусть S —отображение группы R х R на R, определяемое
формулой S ([х, у]) =х— у, для всякого множества Е s R положим
р(Е) -- S-1(£) = {[х, у] | х — у £Е}. Докажем, что если £gS0(7?),
то р (£) G So (R) X So (R). Так как р ( U Et) = U £(£«)> р(£') =
1=1 1=1
= (/? (£))' и р (0) = 0, то достаточно доказать, что если К£Ко (-R),
то р (X) 6 So (R X R)- Итак, пусть K £K0(R). Так как К—биком-
пактное множество типа Ga, a R нормально (теорема 2), то, при-
меняя теорему Урысона (1.5.3), нетрудно построить такую непре-
рывную на R вещественную функцию #, что {х£7? |g(x) = 0}=/G
Положим А((х,//])^g(S([x,//I)). Так как отображение S непре-
рывно, то h - вещественная непрерывная функция на R х R, при-
чем {[х, //| | h (|х, у|) - 0) ‘ S~x (К) - = р (X). Так как R х R локально
бикомпактно и <т-бикомпактно, то функция h измерима относи-
тельно а-алгебры S0(X X R) (Халмош [5; § 51, теорема 2]), и потому
P(K)GSO(X X R). Таким образом, из того, что £ £S0(X), следует,
что р (£) £ So (R) х So (R) = S х S.
Пусть теперь £ £ So (X) и X (£) = 0. По теореме Фубини (III. 11.9) •
$ %P(E)(s, t) (Xx%)(d[s, /]) = J XE(s-/)(^x%)(d[s,/]) =
RXR RXR
= J xE(s-OA(ds)}X(dO = $ O-A(dO = O.
Таким образом, если и X(E) = 0, то (Xx X)(p(E)) = (k
Отсюда и из доказанного выше следует, что если Е принадлежит
Х-пополнению а-алгебры 20(/?) (т. е. если существуют такие
Еъ Е (/?), что Е S El, Ei-E с Е2 и X (В2) = 0), то р (Е) при-
надлежит (X х Х)-пополнению о-алгебры 20(/?)х20(/?), а потому
и (X х Х)-пополнению более широкой а-алгебры 2 х 2. Но из регу-
лярности меры X (точнее, из ее регулярной пополнимости;
см. Халмош [5; стр. 224—225 и § 64, теорема 9]) следует, что
Х-пополнение а-алгебры 20(/?) совпадает с Х-пополнением
а-алгебры 2. Таким образом, если Е принадлежит Х-пополнению 2,
то р(Е) принадлежит (X X Х)-пополнению 2x2.
Пусть, наконец, / есть Х-измеримая функция, U—открытое множе-
ство комплексных чисел, Е = {х |/(х) ^U} и D={[s, у] |/(s—y)£U}.
11. Примечания и дополнения
319
Тогда D — p(E), и измеримость функции f(x — y) немедленно
следует из теоремы III.6.10.
Первостепенное значение при работе с мерой Хаара имеет
следующий результат.
7. Теорема1). Пусть X есть а-алгебра борелевских множеств
локально бикомпактной а-бикомпактной группы R, и пусть % —
мера Хаара на R. Тогда мера Кх'к (определенная первоначально
на в-алгебре Хх.2) допускает единственное продолжение l.xh на
а-алгебру Х'2) всех борелевских подмножеств Rx R, причем это
продолжение является мерой Хаара на R x R.
Доказательство. Пусть V2’ — мера Хаара на R х R. Докажем
сначала существование такой постоянной с>0, что
(I) V2>(E) = c(Xx%)(E),
Для этого в силу следствия III. 11.6 достаточно показать, что
(II) Х<2>(ЛхВ)=сЦА)1(В), А, вех.
Для каждого множества Е£2<2) положим ц (В) = Х<2> (ЛЕ), где
h — гомеоморфный гомоморфизм группы R х R на себя, определяе-
мый формулой
h([x, у]) —(у, х], [х, y]£RxR.
Легко проверить, что р, является мерой Хаара на R х R, и потому
существует такая постоянная с, что р (Е) = сХ<2> (Е) для всех Е £ Х<2>.
Отсюда следует, что V2’ (А х В) = сХ'2) (В х Л) для любой пары
множеств Л, В из X. На самом деле с=1. Это можно заметить,
выбирая в качестве Л и В открытые множества с бикомпактными
замыканиями, так что 0<Х<2)(Л х В)< оо. Поэтому
(Ш) х(2> (л х в) = х<2) (в х Л), л, вех.
Пусть теперь В — такое фиксированное множество из X, что
0<А,(В)<оо; рассмотрим меру на X, которая на множестве Л
принимает значение %<2>(ЛхВ). Легко видеть, что эта мера
является мерой Хаара на R, и потому для некоторой постоянной
с (В), йе зависящей от Л,
(IV) %<2>(ЛхВ) = с(В)%(Л), ле 2.
Если и множество Л удовлетворяет условию, наложенному на В,
т. е. 0<Х(Л)<оо, то, меняя ролями Л и В и используя
равенства (III) и (IV), получаем с (В) К (Л) = с (Л) % (В). Таким
образом, для множеств Л и В из X, имеющих конечную положи-
г) Формулировка теоремы 7 в оригинале содержит неточность. В переводе
формулировка и доказательство теоремы изменены.— Прим, перев.
320
Гл. XI. Различные приложения
тельную меру X, отношение
с(Д) _ с (В)
X (Д) X (В)
равно некоторой постоянной с, не зависящей ни от А, ни от В,
т. е. с (В) с'к(В), а это ввиду (IV) означает, что равенство (II)
справедливо, если О <Х (В) < со. Используя счетную аддитив-
ность мер Х(2) и X, а также о-бикомпактность группы R, немед-
ленно получаем, что (II) имеет место для всех В из 2. Поэтому
(I) справедливо для всех EQIZx'Z. Так как мера Хаара Х<2> опре-
делена на cr-алгебре 2<2>, то в силу (I) равенство
(V) (Г7л)(£) = -^Х(2) (Е), Е£2(2),
определяет продолжение X х X меры ХхХс2х2на 2<2>. Для
завершения доказательства теоремы достаточно показать, что
любое другое продолжение v меры X х X на а-алгебру 2<2> сов-
падает с X : X.
Покажем сначала, что v — борелевская мера, т. е. чтоу(К) < оо
для всякого бикомпактною множества KclRx R. Пусть v0 и Х<2> —
сужения мер v и Х<2> на о-алгебру бэровских множеств 20(/? X R).
Так как 20 (Я х /?) - 20 (R) X 20 (/?) с 2 х 2, то v (Е) = (X х X) (Е) -
=: ГХХ<2) (£) для любого бэровского множества Е, откуда следу-
ет, что v0 — с_1Х<2). Для всякого бикомпактного множества К
найдется такое бикомпактное множество Ко типа 0б, что К^Ко
(Халмош [5; § 50, теорема 4]). Но тогда v (К)< v (Ко) =
оо.
Заметим теперь, что мера v регулярна. Действительно, мера
€“1Х<2> как мера Хаара регулярно пополнима г) (Халмош [5; § 64,
теорема 9]). Отсюда в силу доказанного равенства v0 = c-1X<2>
вытекает, что мера v регулярно пополнима, а потому регулярна.
Итак, меры v и с-1Х(2> регулярны и совпадают на всех бэров-
ских множествах; но тогда (Халмош [5; § 52, теорема 8]) они
совпадают и на всех борелевских множествах. Так как по опре-
делению X х Х-=с_1Х<2), то v^-XxX, ч. т. д.
Это единственное продолжение X х X меры X х X на сг-алгебру
2<2> мы будем обозначать тем же символом X х X.
г) Борелевская мера р, называется регулярно пополнимой, если всякое
борелевское множество ^-измеримо, где р0“сУжение меры р на о-алгебру
бэровских множеств, a p,J—внешняя мера, порожденная мерой р,0. Регулярно
пополнимая мера регулярна (Халмош [5; стр. 224 — 225]). — Прим, перев.
11. Примечания и дополнения 321
Если рассматривается группа R с мерой Хаара X, то доказан-
ная теорема позволяет закрепить название «мера Хаара на R х 7?»
за однозначно определенной мерой X X
Выясним, какую форму принимают результаты § 3 и 4, когда
R — бикомпактная абелева группа; этот случай рассматри-
вался в § 1.
8. Теорема. Если R — бикомпактная абелева группа, то ее
группа характеров R дискретна.
Доказательство. Рассмотрим в R окрестность нуля N (О, R, 1) =
= {/ngR||[x, mJ —[х, 0] |< 1, x£R}. Если m£N (0, R, 1) и если
х — такой элемент в R, что [х, т]=^=1, то легко видеть, что
Re[rzx, m] = Re([x, т]п) < 0 для некоторого натурального п.
Это показывает, что N (0, R, 1) содержит лишь нуль группы R;
следовательно, группа R дискретна, ч. т. д.
В этом случае всякое-подмножество группы R измеримо отно-
сительно меры pt, построенной в лемме 3.6, и его мера, с точ-
ностью до постоянного множителя, равна числу его точек, если
оно конечно, и оо в противном случае. Теорема Планшереля
утверждает, что множество всех характеров образует полную
ортонормальную систему в L2(Ry, это утверждение было также
доказано в теореме 1.6. Предоставляем читателю доказать, что
если R — бикомпактная абелева группа вещественных чисел, при-
веденных по модулю 2л, то группа R алгебраически и тополо-
гически изоморфна аддитивной группе целых чисел и можно писать
[х, m] = eimx. В этом случае точка р™ — это точка оо(=—оо),
бикомпактифицирующая группу целых чисел, и утверждение,
что (т/)(роо) = 0 для всех Ц (0,2л), есть хорошо известная
лемма Римана —Лебега. Значение функции xf на характере (целом
числе) т равно /тг-му коэффициенту Фурье функции /, т. е.
2л
(tf) (т) = ст = ~^ e-imxf (х) dx,
о
а утверждение об изометрии в теореме Планшереля сводится
к классическому равенству Парсеваля
2л ОО
i $ i/w2 ы2-
0 —оо
справедливому при /£L2(0, 2л). Поскольку группа R дискретна
и потому не содержит совершенных множеств, теорема 4.21
утверждает, что если / и g принадлежат Ц (0, 2л) и если для
21 Заказ № 134
322
Гл. XL Различные приложения
всех равных нулю коэффициентов Фурье функции g равны нулю
и соответствующие коэффициенты функции f, то / содержится
в замкнутом линейном пространстве, порожденном сдвигами
функции g.
Рассмотрим теперь случай, когда R — дискретная абелева
группа. При этом любое подмножество группы 7? измеримо, и,
с точностью до постоянного множителя, мера Хаара любого мно-
жества равна числу содержащихся в нем точек, если оно конечно,
и равна оо в противном случае. Для такой группы операция
свертки с функцией / (0) = 1, / (х) = 0, х =/= 0, является тождест-
венным оператором в пространстве L2(R), и потому последнее
утверждение леммы 3.3 неверно. В этом случае ситуация сущест-
венно проще, поскольку нет больше нужды присоединять к ал-
гебре Йо единицу, и в качестве алгебры й можно взять просто
алгебру Йо вместо й0+{а/}. Поэтому нет необходимости выбра-
сывать точку Ра», так что можно считать, что совпадает с <М.
Таким образом, мы получили следующий результат, двойственный
к теореме 8.
9. Творпмл. Пели R —дискретная абелева группа, пго ее группа
характеров R бикомпактна.
Результаты § 3 и 4 переносятся на случай дискретных групп,
причем многие из них, например теорема 3.16, до некоторой
степени упрощаются. Особый интерес представляет аддитивная
группа целых чисел. Мы предоставляем читателю доказать, что
группа характеров этой группы топологически и алгебраически
изоморфна аддитивной группе вещественных чисел, приведенных
по модулю 2л, или, что то же, мультипликативной группе комп-
лексных чисел, по модулю равных 1. Используя вторую реали-
зацию группы R, имеем [п. Х] = ХП, где nQR (так что п — поло-
жительное или отрицательное целое число) и KQR. Сформули-
руем результат, который соответствует теореме 4.24 в случае,
когда R — группа целых чисел; этот результат может быть полу-
чен подходящей модификацией доказательства теоремы 4.24.
Детали мы оставляем читателю.
10. Теорема. Предположим, что ср = {ап}, — со < n<z + оо,—
ограниченная последовательность комплексных чисел. Пусть f —
функция комплексного переменного г, определенная формулой
2 п,
п=1
оо
п=0
И>1,
и<1.
11. Примечания и дополнения
323
Комплексное число t с j 11 = 1 тогда и только тогда не принад-
лежит о (<р), когда существует такая аналитическая в окрест-.
ности точки t функция g. что в этой окрестности g(z) = f(z)
при |z|=# 1.
Используя эту теорему и аналог теоремы 4.22 для группы
целых чисел, получаем следующий интересный результат отно-
сительно аналитических функций.
И. Теорема. Пусть функция f определена и аналитична
во всех точках комплексной плоскости, за исключением конечного
числа точек ..., £г, лежащих на единичной окружности.
Предположим, что коэффициенты ряда Тейлора функции f
в области | z | < 1 и коэффициенты ее ряда Лорана в области
| z | > 1 ограничены. Тогда существуют такие комплексные числа Ck,
что
f(z)=3 сНг-^)-1.
k=l
Эта теорема имеет* много приложений в теории операторов;
некоторые из них приведены в § 5 в качестве упражнений.
Мы уже отмечали, что аддитивная группа целых чисел и муль-
типликативная группа комплексных чисел, по модулю равных 1
(или, что то же, аддитивная группа вещественных чисел, при-
веденных по модулю 2л), обладают тем свойством, что каждая
из них алгебраически и топологически изоморфна группе харак-
теров другой. Это частный случай хорошо известной теоремы
двойственности Понтрягина, утверждающей, что если R — локально
бикомпактная абелева группа и если R обозначает группу харак-
теров группы R, то между R и ^существует естественный алгеб-
раический и топологический изоморфизм. Мы дадим сейчас дока-
зательство этой теоремы, но сначала нам будет удобно доказать
предварительную лемму, показывающую, каким образом группа R
может быть гомоморфно вложена в R.
12. Лемма. Отображение к группы R в группу R. определен-
ное формулой [т. хх] = [х, т]. m£R, является непрерывным
гомоморфизмом.
Доказательство. Ясно, что х(0) —О, а так как
[т. х (%! + х2)] = [*i + *2, /и] = [Х1, т][х2. т] =
= [т. %Xi][m. нх2] = [т, xxL-\-xx2],
то отображение х является гомоморфизмом. По лемме II. 1.6
достаточно доказать, что х непрерывно в точке 0. Рассмотрим
21*
324 Гл. XI. Различные приложения
окрестность $ (О, К, е) точки О Q R, определенную равенством
&(0, е) = {Х б£| | [/и, Х]-[/и, 0]|<8, тЩ,
где д — бикомпактное подмножество в fi и е > 0. Пусть U —
окрестность точки Об/?, имеющая бикомпактное замыкание; для
каждого mt из ft рассмотрим окрестность
U, = {ти бR11 [х, т] — [х, /И1]|<-|-, .
Поскольку К бикомпактно, в нем найдется такое конечное
множество точек пц, ...,ть, что окрестности N((Щ, U, е/З), ...
..., N (ши, U, 8/3) покрывают /С. Каждый из характеров mt непре-
рывен; поэтому можно найти такую окрестность VcU точки
Об/?, что если хбV и i-- 1, ..., k, то
|[х, mJ—[0, /п(]|<у.
Следовательно, если х б V и т б /t. то при подходящем выборе
| [т, хх] — [т, 0]| = |[х, т] — [0, т] |<
<|[х, т] — [х, mi] | + | [х, mJ — [0, mJ| + |[0, mJ —{0, m] |<
.8.8,8
<т+-з+т = е-
Этим доказано, что если x£V, то ххQN(Q, К, s), так что гомо-
морфизм х непрерывен, ч. т. д.
13. Теорема (Понтрягин). Отображение х является алгеб-
раическим и топологическим изоморфизмом группы R на груп-
пу fi.
Доказательство. Покажем сначала, что х является алгебраи-
ческим изоморфизмом. Если хх0 = 0, то для всех m£R должно
быть [х0, т] = Г; таким образом, чтобы показать, что х—- алгеб-
раический изоморфизм, достаточно показать, что для всякого
х0 #= 0 найдется по крайней мере один такой характер т0 g R, что
[х0, m0]=# 1. Допустим, что для некоторого х0 это не так, и пусть
У —такая окрестность точки 0 g/?, что ее замыкание бикомпактно
и (x0 + V) Л У = 0. Пусть/ — такая непрерывная функция, равная
нулю вне Xq + V, что / (х0)+=0. Тогда f^L^R) f) LZ(R), и потому
функция т/ непрерывна и принадлежит L2(R). По предположе-
11. Примечания и дополнения 325
нию, что [х0, т] = 1 для всех mg/?, и по теореме Планшереля
имеем
ко,* т] т/ (m) xf (m) р, (dm) = | xf (т) |2 ц (dm) 0.
н й
С другой стороны, согласно следствию 3.17 и теореме Планше-
реля,
[х0, т] т/ (/п) т/ (т) р. (dm) = т/Жо (т) xf (т) р (dm) =
R R
= f(x-x0)f(x)dx.
R
Но последний интеграл равен нулю, поскольку /=0 вне х0 + У
И (Хо + ЮПУ = 0. Следовательно, гоморфизм х взаимно одно-
значен и потому является алгебраическим изоморфизмом
R в Л.
Покажем, что множество х (R) всюду плотно в пространстве R.
Если это не так, то, применяя к R лемму 4.2, получаем, что суще-
ствует такая функция Н g Ц (R) [) L2(R), что |//|2=/=0, а хН = 0
на h(R). Если h^x^H, то h£L2(R), и из теоремы 3.16 следует,
что h = 0 почти всюду на R; поэтому | h |2 = 0, что противоречит
теореме Планшереля.
Присоединим к каждому из пространств R, R по бесконечно
удаленной точке и положим х(оо) = оо, т. е. рассмотрим х как
отображение пространства /?U{°°} в пространство
Каждое из пространств* R J {со}, 7?U{°°} бикомпактно и хаусдор-
фово, а х —взаимно однозначное отображение 7?U{°°} на всюду
плотное подмножество пространства /?U{°°}- Если мы сможем
показать, что х непрерывно на то его образ в простран-
стве Ли{°°} окажется бикомпактным и потому будет совпадать
со всем пространством /?U{°°}- Тогда из леммы 1.5.8 будет сле-
довать, что отображение х"1 непрерывно. В предыдущей лемме
было доказано, что х непрерывно в каждой точке пространства R.
Поэтому остается лишь показать, что х непрерывно в точке со.
Пусть {ха} —обобщенная последовательность в R, сходящаяся
к точке со. По лемме 4.3 для любой окрестности U точки cog/?
существует такая функция Fq£Li(R), что (xFo)(x) — l при x$U.
Если мы покажем, что (xFQ) (хха) —> 0, то отсюда будет следовать,
что, начиная с некоторого а0, все точки хха принадлежат U,
326
Гл. XL Различные приложения
и тем самым будет доказана непрерывность и в бесконечности.
Таким образом, достаточно доказать, что для каждой функции
F£Li($) мы имеем тГ(хха)—>0, где
xF (хха) = [ха, т] F (m) р (dm).
R
Для каждого а отображение F -^>xF (хха) является линейным
функционалом на Li(R) с нормой, не превосходящей 1; поэтому
в силу теоремы IL3.6 достаточно показать, что rF(xxa)—>0 для
функций F, принадлежащих некоторому всюду плотному в Lt(R)
множеству. Поскольку мера Хаара на R регулярна, множе-
ство Ж* функций из Ц (R) A L2 (R), равных нулю вне бикомпактных
подмножеств R, всюду плотно в L2(R). По теореме Планшереля
множество всюду плотно в L2(R), и, следовательно,
множество {xf>xg | Д g£M'} всюду плотно в Li(R). Пусть теперь
Д g принадлежат Ж и равны 0 вне такого бикомпактного мно-
жества С, что С — С. Тогда если F^xf-xg, то по следствию 3.17
и теореме Планшереля
xF (хха) -
|ха, m\xf (m)xg(m)ii(dm)= \ f (х — ха) g (х) dx;
но последний интеграл обращается в нуль, если xa$C-j-C. Дока- '
зательство закончено.
Эта теорема впервые была доказана (в сепарабельном случае}
Понтрягиным и обобщена ван Кампеном [1]. Другие доказатель-
ства этой теоремы можно найти у Картана Д. и Годмана [1; стр. 95],
Люмиса [1; стр. 191], Понтрягина [1; гл. VI], Райкова [1] и А. Вейля
[1; § 28].
Как мы видели, результаты § 3 представляют собой обобщение
теории рядов Фурье и теории интегралов Фурье. С классическими
результатами этих тесно связанных теорий читатель может озна-
комиться по книге Зигмунда [1] (ряды Фурье) и Бохнера [6],
Титчмарша [3] и Винера [4] (интегралы Фурье). Изложение
абстрактной теории дано также в трактатах Люмиса [1 ] и А. Вейля [1 ]
и в работах Картана А. и Годмана [1], Райкова [1] и Сигала [2].
Имеется также много другого материала, относящегося, например,
к положительно определенным функциям, почти периодическим
функциям и некоммутативным группам. Значительную помощь
читателю может оказать обзорная статья Макки [5] и гл. IX
книги Люмиса [1]. В дополнение к указанным выше работам, мы
сошлемся еще на следующие: Амброз [1], Берлинг [1, 2], Гельфанд
11. Примечания и дополнения
327
и Райков [1, 2], Годман [2, 3, 4], Крейн [6], Наймарк [13]
и Сигал [3, 4]х).
Тауберовы теоремы и теоремы замкнутости. Основные резуль-
таты этого параграфа имеют корни в работах Винера [4, 5], кото-
рый рассматривал случай вещественной прямой, хотя многие его
доказательства справедливы и в более общей ситуации. Распро-
странение на случай локально бикомпактной абелевой группы
было получено независимо Сигалом [2] и Годманом [1]. Изложен-
ное в 4.14 — 4.20 представляет собой незначительное видоизменение
метода, примененного Хельсоном [1] для доказательства теоремы
4.20. Доказательства этих результатов для случая вещественной
прямой были даны Диткиным [1], Сигалом [2] и Мандельбройтом
и Агмоном [1, 2], а для широкого класса групп —Капланским [5];
другое доказательство было предложено Риссом [1]; доказатель-
ство, изложенное в тексте, принадлежит Хельсону [1]. То, что
для некоторых функций из L™ спектральный синтез невозможен,
было показано Л. Шварцем [2] для трехмерного евклидова про-
странства. Малявен [1] показал, что спектральный синтез невоз-
можен для некоторых функций на вещественной оси. По поводу
родственных результатов см. Коосис [1], Малявен [2] и Кахан [1].
Поллард [2] показал, что спектральный синтез возможен для всех
функций из Lb удовлетворяющих условию Гёльдера порядка
не менее х/2. Близкие результаты имеются в работах Хельсона
и Кахана [1], Кахана [2], Кацнельсона [1]. О спектральном синтезе
в топологии более слабой, чем Li-топология в Loo, см. Берлинг [3].
В § 4 внимание было направлено на изучение подпространств
в LA (7?) (или в Loo (7?)), инвариантных относительно сдвигов функции.
В лемме 4.6 было отмечено, что это по существу то же, что
изучать идеалы в L± (/?). Аспект, связанный с рассмотрением
идеалов, часто оказывается удобным и многообещающим; так посту-
пают, например, Люмис [1], Макки [4], Шилов [4] и Меркил [1].
Мы не останавливались на этих вопросах, поскольку нашли удоб-
ным присоединить к алгебре Lt (7?) единицу и применить резуль-
таты гл. IX, а при таком присоединении изменяется структура
идеалов. Однако будет уместно сделать по этому поводу несколько
замечаний. В коммутативной алгебре 95 над полем комплексных
чисел, не обладающей единицей, особый интерес представляют
регулярные идеалы, т. е. такие идеалы 7, что факторалгебра 95/7
имеет единицу. Ясно, что I является регулярным максимальным
идеалом тогда и только тогда, когда факторалгебра 95/7 изоморфна
полю комплексных чисел. Оказывается, что регулярные макси-
мальные идеалы алгебры Li (R) находятся во взаимно однозначном
т) См. также книгу Гельфанда, Райкова и Шилова [1*].— Прим, перев.
328 Гл. XI. Различные приложения
соответствии с точками пространства о<0> т. е. со всеми макси-
мальными идеалами алгебры, полученной присоединением единицы
к L{(R), за исключением идеала, соответствующего бесконечно
удаленной точке пространства ©<. В алгебре с единицей всякий
идеал содержится в некотором максимальном идеале, но если
единица отсутствует, то это неверно, и задача состоит в том,
чтобы выяснить, при каких условиях замкнутый идеал содержится
в регулярном максимальном идеале. Теорема 4.8 решает этот вопрос
для алгебры Lt(R).
По аналогии с разложением целого числа на простые множи-
тели в алгебре изучают представление идеалов в виде пересе-
чения примарных идеалов. Для наших целей удобно следующее
определение примарного идеала: замкнутый идеал называется при-
мирным, если он содержится в одном и только в одном регуляр-
ном максимальном идеале. Теорему 4.16 можно интерпретировать
как утверждение, что всякий примарный идеал в L{(R) является
регулярным максимальным идеалом. Следовательно, в алгебре Ц (R)
задача сводится к выяснению того, когда замкнутый идеал является
пересечением регулярных максимальных идеалов, его содержащих.
Эту задачу иногда называют проблемой спектрального синтеза для
идеалов. Хотя пример Л. Шварца, на который мы ссылались выше,
показывает, что в Ц (R) это не всегда возможно, но теорема 4.20
дает условно утвердительный результат. Уэрмер [8] дал абстрактное
описание класса В-алгебр, для которых каждый примарный идеал
является регулярным максимальным идеалом и в которых всякий
замкнутый идел является пересечением содержащих его регуляр-
ных максимальных идеалов. Л. Шварц [3] и Уитни [1] также при-
вели примеры В-алгебр, в которых каждый замкнутый идеал
является пересечением примарных идеалов. В 1938 г. Берлинг [1J
ввел некоторые классы подалгебр алгебры — оо, со), в которых
каждый замкнутый идеал содержится в регулярном максимальном
' идеале. Аналогичные результаты для более общих классов функ-
циональных алгебр были получены Уэрмером [7], который описал
в некоторых из этих алгебр примарные идеалы. Другие результаты
того же типа получил Берлинг [2, 3].
Теория Фредгольма. Локализация собственных значений. Пред-
ставленная в § 6 теория операторов Гильберта —Шмидта принад-
. лежит Карлеману [2], Хилле и Тамаркину [1] и Смитису [1]. Хилле
и Тамаркин получили, кроме того, ряд теорем относительно асимпто-
тического распределения собственных значений интегрального
оператора при различных аналитических условиях, наложенных
на его ядро. Они доказали также теорему Лалеско о том, что
оо
2 |А; |< оо, если {А/} —последовательность собственных значений
г=1
11. Примечания и дополнения
329
произведения двух операторов Гильберта —Шмидта. Чан [1,2}
дает родственные результаты, относящиеся к произведению любого
конечного числа операторов Гильберта—‘Шмидта. Никович [1}
приводит теоремы для класса интегральных операторов, опреде-
ленного требованием конечности некоторого интегрального выра-
жения более общего вида, чем требование Гильберта — Шмидта
§ \К(х, y)\2dxdy< оо. В упражнениях 25 — 36 перечислены
наиболее известные неравенства для собственных значений конеч-
ных матриц. В этой связи можно упомянуть о следующих работах.
Фарнель [1] показал, что каждое собственное значение X матри-
цы А удовлетворяет неравенству
1Лб{цл*б4|,
г=1
где 6А, ..., —ортонормальный базис в n-мерном гильбертовом
пространстве. Баранкин [1, 2] показал, что
|Х|2<тах (3 | aih |) (2 I aki |),
k г=1 i=i
где аы — элементы матрицы Л, и дал ряд обобщений этого нера-
венства.
Пространства Ср из § 9 были введены фон Нейманом
и Шаттеном [1; III]. Теоремы полноты в § 9 и 10 обобщают ран-
ние работы Карлемана и Келдыша и связаны с теоремами, полу-
ченными в работах советских математиков по теории вполне
непрерывных операторов; см. Крейн [20, 21], Гохберг и Крейн [1].
Теория, представленная в § 10, тесно связана с теорией, развитой
в цитированных выше работах Гохберга и Крейна. В этих работах
особое внимание уделяется диссипативным операторам, т. е. опера-
торам, мнимая часть которых неотрицательна. Такие операторы
являются в некоторых отношениях особенно простыми. В цити-
рованных работах можно найти анализ особых свойств диссипатив-
ных операторов, а также библиографию других работ советских мате-
матиков по несамосопряженным вполне непрерывным операторам.
Теория субдиагонализации, изложенная в § 10, была весьма
интересно развита М. С. Лившицем. Он предложил теорию суб-
диагонализации для произвольного ограниченного оператора, мни-
мая часть которого принадлежит классу операторов, обладаю-
щих следом; см. его работу [6], а также обзорную статью Бродского
и Лившица [1]. Метод Лившица основан на рассмотрении харак-
теристической операторной функции оператора Т = НА-1Н', опре-
деляемой равенством (Т; Г, G) = I + 2iF (А/ — Т)~Ю, где Н’ =
= GF — разложение мнимой части Н' оператора Т в произведение
330
Гл, XI. Различные приложения
двух операторов Гильберта —Шмидта. Как приложение этой теории,
Бродский и Лившиц получили очень интересный результат, состоя-
х
щий в том, что оператор /(%)—» f(y)dy в пространстве L2 [О, 1]
о
не имеет инвариантных подпространств, отличных от очевидных
инвариантных подпространств £2[я, П, 0<а<1. Таким образом,
этот оператор является одноклеточным в том смысле, что струк-
тура (lattice) его инвариантных подпространств линейно упорядо-
чена. По поводу всего сказанного см. цитированные выше работы
Лившица и Бродского; в этих статьях приводится также обширная
библиография работ по несамосопряженным операторам.
Сингулярные интегралы и неравенства. Общие неравенства § 7
принадлежат Кальдерону и Зигмунду [1, 5]; частный случай
(преобразование Гильберта) —М. Риссу. Кальдерон и Зигмунд [1]
показывают, что если функция Й удовлетворяет соответствующим
(довольно слабым) условиям непрерывности, то сингулярный
интеграл
<Г(*)=1 fl.y'ld!)
i ।'“’I
(I) существует для почти всех х, если f принадлежит Ц(Еп)
.или Lp(En), оо>р>1 (ср. упражнение 8.23);
(II) удовлетворяет неравенству | ф (х) |1“edx < оо, если
А
/GLi(En), 8 > 0 и Л— ограниченное множество;
(III) удовлетворяет неравенству |<р(х) |dx< оо, если А огра-
А
аичено и
$ |/W[{l+log+|/(x)|}dx<co;
Еп
(IV) удовлетворяет неравенству |cp(x)|dx<oo, если
Еп
$ l/Wl log+{l+l/(x) | + И”l/WI }dx< <*>
Еп
В случаях (И) — (IV) сингулярный интеграл lim Q f (у—x)dx
е-+0 J |*1”
Х^Е 1
«сходится в топологии пространств Li-e(y4), ЕХ(А) и Li(En)
11. Примечания и дополнения
331
соответственно. Эти результаты позволяют ослабить условие
{ J | й (s) |1+8|1 (ds)J1/(1+8) < СО
теоремы 7.11, заменив его неравенством
J |Q(s)|log+|Q(s)|n(ds)<oo.
S
Кальдерон и Зигмунд дают также приложения своих результатов
к некоторым «потенциальным» ядрам, возникающим в теории диф-
ференциальных уравнений с частными производными. Впоследствии
их неравенство нашло многочисленные важные приложения в этой
теории.
В работе [5] Кальдерон и Зигмунд приводят аналогичные
результаты для родственного, но несколько более общего класса
интегральных операторов в Lp, 1<р<оо, а в [6] рассматривают
теорию алгебр, состоящих из сингулярных операторов свертки,
изученных в § 7, в частности максимальные идеалы и вопрос
о существовании обратных элементов.
Хорошо известно, что, применяя стандартные неравенства
к функциям со значениями в соответствующем банаховом про-
странстве, часто можно получить полезное расширение области
применения этих неравенств. По этой причине заслуживает вни-
мания следующее обстоятельство. Первоначальное доказательство
хорошо известного неравенства для преобразования Гильберта,
предложенное М. Риссом, использует методы комплексного пере-
менного и потому не может быть распространено на векторно-
значные функции; однако доказательство, данное Кальдероном
и Зигмундом [1], носит вещественный характер и допускает такое
распространение. Мы покажем здесь, как можно систематически
использовать этот факт. Мы увидим, что таким образом полу-
чаются достаточно общие неравенства типа Кальдерона —Зигмун-
да—Рисса, так что неравенства Пэли, Литлвуда и Зигмунда
можно получить в качестве следствий. Наше изложение следует
недавней элегантной работе Хермандера [1], где он приводит
также обширную библиографию предшествующих работ.
Одним из наших инструментов будет следующая важная интер-
поляционная теорема Марцинкевича, обобщенная на векторно-
значные функции. Формулировка и доказательство этой теоремы
не изменяются при переходе от скалярных функций к векторным.
14. Теорема. Пусть (S, S, р) и (Si, Pi) — пространства
с положительными мерами, X и Xi —банаховы пространства,
332
Гл. XI. Различные приложения
и пусть \ ^p<zq <zr, причем p^pi, r<r1T
\lq~alp | (1~ а)/г и 1/^ = a/pi-j-(1 — ct)/^ для некоторого a,
0<a<l. Пусть T — линейное преобразование пространства L&
всех ограниченных измеримых функций, определенных на S, рав-
ных нулю вне множеств конечной меры и принимающих значе-
ния в X, в пространство всех измеримых функций на Si со зна-
чениями в Х{. Предположим, что существует такая конечная
постоянная К, что
(1) [И1 ({S1| I (Tf) (S1) I > a})]‘^ < 2L { J I / (s) |РИ (ds)}1/p,
f 6 Lo, a 0,.
а также что
(2) [И1 ({S1| | (Tf) (S1) | > a}) ]1/ri < A {J | f (s) |> (ds)}1/r,
v s
f^L0, a>(k
Тогда существует такая конечная постоянная К', что
(3) { $ I Tf (s,) |"'|<, (ds.)} 1/"’ < К' { \' | / (S) I" н (ds)},А'.
SI я
Доказательство. Для каждой измеримой функции g на про-
странстве с мерой (S, 2, р) и каждого я>0 положим
(4) (g)a =Ф ({«Н £ (S) I >«})'
Соответствующим образом зададим величину (g)a для функции gT
определенной на (Si, 2Ъ рц). Если (gif —норма функции g в
то, возводя ее в степень t, получаем
(5) I g I* = 4 g (s) I' И (ds) —— \ a1 d (g)a = t Г at~1(g)ada.
o b
Для каждой такой функции g положим
g(,,)(s) g(s), если |g(s)|<a,
(6) g(a) (s) - а , если | g (s) | > a,
g(a) (s) = g(s)— g(a) (s).
Тогда ясно, что при b>0
(£(а))ь = (g)b, be a,
(7) (g(a))b = 0, b>a4
(g^ ))b — (g)b+a-
11. Примечания и дополнения
333
Кроме того, так как / = /<«>-)-/<«>, то 7'/=(7'/<а))4-(7’/<а>); следо-
вательно, если Ь>0, то по предположению
(8) (Tf)b<(Tf^)b/2 + mb/2^K' (b~ri I /<“> I? + b-pi |7<“) £1);
здесь и далее К' обозначает конечную постоянную, зависящую
лишь от р, q, г, qi, i\ и К. Положим теперь а = а(Ь), где
а (Ъ) — некоторая монотонно возрастающая функция, а Ъ = b (cl) —
обратная к ней функция (точный вид функции Ь(а) будет указан
ниже). Применяя (5), (7) и (8), получаем
1 riir
de J db +
|*i < {Z?*i“ri”11 /(“(ь» £i + 1 /(°<ь)) |pi} db
о
oo a(b)
CK' { J b^-ri~l [ J
о 0
[ (/)c+a(b)Cp-1 dcJP1/Pdbj =
0
0
= K' { И Г (/)« 1 de ] Г‘/Г db +
1 о о
+ $ [ J i,<W<’i-pi-1>(;)c(c_a(b))p-1dc]₽1/Pdb} .
0 ' a(b)
Непрерывная форма неравенства Минковского может быть запи-
сана в виде
(Ю) jj dp U <р(а, p)da}fe<[ J {jj | <р (а, р) |Мр} 1/feda]ft;
это неравенство справедливо при &>1. Используя его и нера-
венство (9), получаем
оо оо
(11) |77|*1<К'{[ J 5 b’i-'-i-1d4rridc]rir
О b(c)
ОО Ь(с)
+ [ J (/)с [ J (с-а(Ь))^^р-^Ь^-р^ db~] ‘dc]₽1 Р
о о
= К'Ш (f)cCr-lb(cfi-ri)r/ridc]ri/r +
о
°° с
+ [ (/)с [ (с—a)(₽i/₽><₽-1)b (a)9i_₽i-1 -b' (a) da j 4dc^ 1 |.
о b
334
Гл. XI. Различные приложения
Теперь мы полагаем Ь(а) = а%, так что (11) сводится к неравен-
ствам
(12)
оо /
I Tf { [ J (/)« cr_1+?(9i-ri)r/ri de р Г+
О
°° с
+ [ S (/)с [ S da] ldc]P1\ <
0 0
<K' { [ J (/)c г-1+5(91-Г1)г/Мс]Г1/Г +
0
+ [ J (/)c CP-l+«9i-Pl>P/P' dc]Vi/P
0
Из соотношений
V 7 q P T’ r ’ <71 Pi H
следует, что если мы определим £ из уравнения
(14)
то будут выполняться также равенства
(!5) г(Л_1)_£_1
И
(16) r + g(9i-n)-7- = p + ^(<7i-Pi)v=^
' 1 Hi
Таким образом, теорема Марцинкевича доказана1).
Следует заметить,, что если Т — ограниченное отображение
пространства LP(X) в Ap^XJ, то оно удовлетворяет условию (1).
Далее, следуя Хермандеру, выделим некоторый класс ядер,
удовлетворяющих условию (1) при р=1. Эти ядра описываются
в следующей теореме.
15. Теорема. Пусть X и Xi — банаховы пространства. Пусть
К (х)— функция, определенная на Еп и принимающая значения
!) Из неравенства (12) и соотношений (16) и (5) вытекает, что для неко-
торых положительных постоянных К', у, д выполняется неравенство |
л 91
(If lg + l/ф- Так как преобразование Т линейно, то отсюда следует, что
для некоторой постоянной К' имеет место неравенство | Tf ] < X'| / !g- —
Прим, перев.
11. Примечания и дополнения
335
в В-пространстве ограниченных линейных отображений простран-
ства X в Хг. Предположим, что функция К (*) интегрируема
по любой ограниченной области. Пусть заданы числа 1 и Л>0;
допустим, что существует такая постоянная С<со, что для
каждого t вида1) 2;
(17) { J \K(t(x — y))—K(tx)\qdx\l/9^.Ct~n/q,
Положим
(18) (Ж/)(х) = J К(х — y)f(y) dy, f£L0(X).
Еп
Допустим также, что для некоторых риг, таких, что
со^>р>1, оо>г>1 и l/p—1/r =1 — 1/q, выполняется нера-
венство
(19) {$ \ ^f)(x)\r dx}l,T <С [ \ |/(х) |Мх}1/₽.
Еп Еп
Тогда для некоторой постоянной С'
(20) И{хе£п|| W)(x)|>a}1/9<-^ J \f(x)\dx, f£L0.
Еп
Доказательство теоремы 15 основано на следующей лемме.
16. Лемма. Пусть задано число з>0, и пусть и — интегри-
руемая функция на Еп со значениями в В-пространстве X.
Тогда её можно представить в виде
(21)
где
(22 а)
(22b)
u = v+ 2 Wh,
Й=1
М+ 3 | Wh |<31 и
/1=1
|y(x)|<2ns, x^En,
(22c) каждая функция Wk равна нулю вне некоторого куба Ik
с ребром длины 2~пь, где пь— некоторая последовательность
!) В этой теореме удобно считать, что | х |—это Loo-норма вектора х£Еп,
т. е. если х = (хь хп), то | х |—max {| xt |, | хп |}. Ясно, что выбор
той или иной нормы в Еп не меняет существа дела.— Прим, перев.
336
Гл. XI. Различные приложения
положительных или отрицательных целых чисел, причем кубы Ik
оо
попарно не пересекаются, 2 т (^) s l I и I и \Wk W =
fe=i ih
Мы пользуемся обозначением т(е) для меры Лебега множе-
ства е и обозначением | и | для Агнормы интегрируемой функции и.
Лемма 16 доказана Хермандером [1] для скалярных функций.
Доказательство для векторнозначных функций мало чем отли-
чается; поэтому мьг опустим его и перейдем непосредственно
к доказательству теоремы 15.
Доказательство теоремы 15. Заметим сначала, что число А
можно увеличить, не нарушая ни одного из предположений
леммы. Таким образом, можно считать, что А имеет вид А = 2М.
Допустим, что w — функция с равным нулю интегралом, обращаю-
щаяся в нуль вне куба I с центром в начале и- ребром длины Л"1.
Тогда
(23) (Xw) (х) (K(x — y) — K(x))w (у) dy,
I
так что, применяя (10) и (17), получаем
(24) { J |(^ш)(У)|^}1/9<С|и>|11
У$А*1
где | w |i обозначает Lj-норму. Поскольку условие (17) инвариантно
относительно сдвигов и деления в отношении 1 :2\ отсюда
следует, что если te/ —функция с равным нулю интегралом,
обращающаяся в нуль вне куба Г с ребром длины 2\ то куб /'
можно заключить в такой куб I" с ребром длины 2k+2M, что
(25) { J \(M)(y)\lldyy/q<C\w'\i.
у$1”
Пусть функции и, v и Wk—-такие же, как в предыдущей лемме,
оо
и пусть w" = 2 wk- Из (25) и (22с) сразу следует, что существует
такое множество е, что его мера не превосходит 22nMs~r | и |4 и
(26) { jj |(W)(i/)|Mi/}1/9<C|w"!1<3C|u|1.
Так как (W)t <t~q | W |’ для любой функции W (см. (4)), то при
/>0
(27) (^w")t^.C’(t-q\u\q + s^\u\1y,
11. Примечания и дополнения
337
здесь и далее С' — любая конечная постоянная, а |№|д есть
Lg-норма функции W. Поскольку u = v-\-w", имеем
(28) +
Так как |o|oo<:C's и | v |t < С' | и |н то из неравенства Гёльдера
следует, что | v|pCC's1-1/p |«|}/г> для каждого р>1. Так как мы
предположили, что \a%f\r^.C |/|р для каждой функции f из Z.Q, то
(29) Ho|r<C's‘-VP|M|Vp.
Поэтому
(30) (a^y)t < I и \^t~T = C'sr/«_11 и |i/₽rr.
Таким образом, учитывая (27), (30) и (28), находим, что
(31) (Wu)t <С' (t-« | и |1 + s-11 и |i + s^-11 и \ЧРГТ).
Выбирая s>0 так, чтобы минимизировать выражение, стоящее
в правой части неравенства (31), получаем
(32) (<^«)t<C7-e|M|?,
и теорема 15 доказана.
17. Следствие. В предположениях теоремы 15
(33) \^f\r'<C'\f\p>
для любых г>г'>1, р>р'>1 при условии, что Ир' —\/г' =
= 1 - 1/<?.
Доказательство. Это сразу следует из интерполяционной
теоремы Марцинкевича и теоремы 15.
18. Следствие. Если ядро К теоремы 15 для каждого t, рав-
ного положительной или отрицательной целой степени числа 2,
удовлетворяет условиям
(34) (5 |^K(x)|’dx)1/’<Cr\ Z=l, ...,n,
|х|^А/
то оно обязательно удовлетворяет условию (17).
Доказательство. Неравенство (34) можно записать в виде
(35) { J |^K(/x)|Q
|xj^A
Интегрирование этого неравенства по подходящим образом выбран-
ному пути приводит к неравенству (17).
22 Заказ №134
338
Гл. XI. Различные приложения
19. Следствие. Пусть ядро К теоремы 15 удовлетворяет
соотношению
(36) ОЛ(2х)О2 = 2-п/4К(х), х^Еп,
где 01 и 02— такие операторы в Xi и X соответственно, что
все их целые степени, положительные и отрицательные, ограни-
чены. Тогда неравенство (17) теоремы 15 вытекает из предпо-
ложения
(37) $ 1^7- K(x)|’dx< оэ, 1 = 1, п.
Доказательство. Если / = 2’, где / — положительное или отри-
цательное целое число, то из (36) и (37) следует, что
(38) J J
2^|x|^f 2f^lx|^
=crI $
2l^lx|^
= Cr’ J I-ЯГ «W I* dr.
2^|x|^l
Поэтому
co
(39) 5 $ |1^-K(x)|9dx =
oo^|x|^l n=0 2^|x|^l
2C I ~д*Г К I dX"
2^|x|^l
откуда легко вытекает справедливость данного следствия.
Если п=1, q=l, то условие (34) сводится к условию
var (/<(*)) = О (Г1).
lx\^t
Неравенство Пэли и Литлвуда нетрудно вывести из следст-
вия 19. Но сначала мы докажем следующее обобщение теоремы
Кальдерона —Зигмунда на векторнозначные функции.
20. Теорема. Пусть (S, S, ^ — пространство с положительной
мерой. Пусть &(х) —комплекснозначное ядро, определенное на Еп,
положительно однородное порядка 0 и гладкое всюду, кроме
точки х = 0, и пусть поверхностный интеграл от Q по единич-
ной сфере равен нулю. Пусть Lp(Lq) обозначает Ьр-простран-
ство функций на Еп со значениями в Lq(S). Тогда для любых
11. Примечания и дополнения
339
1<р<оо и 1<<7<оо операция свертки
(40) f ^^f(y)dy
t) I л У I
определяет ограниченное преобразование пространства Lp (Lq)
в себя.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай p = q.
Пространство LP(LP) может быть очевидным образом отождеств-
лено с Lp-пространством на прэизведении Еп X S, и неравенство,
которое должно быть доказано, сводится к неравенству
(41) И I5" S
S Еп Еп
^.С' J J |/(х, s)\pdxds.
S Еп
Это не что иное, как обычное неравенство Кальдерона — Зигмунда,
примененное к функции g (%) = /(%, s) и проинтегрированное по s.
Из справедливости этой теоремы для p = q и из следствий 17
и 19 следует, что данная теорема должна быть справедлива,
если 1<р<^<оо. Поэтому ясно, что справедливость нашей
теоремы при 1 < q < р < оо вытекает из следующей леммы и из
того очевидного факта, что оператор, сопряженный к оператору
вида (38), имеет такую же форму.
21. Лемма. Пусть X —банахово пространство, а X* —сопря-
женное к нему пространство. Пусть \<Zp, g<oo, р~1 Д- q~x = 1.
Пусть (S, 2, р,) — пространство с положительной мерой. Тогда1)
(42) sup I \ ST(s)/(s)И(ds)| = [/|р, /еЛр(Х).
£GLg(X*)> |^1 1 J I
Доказательство. To, что левая часть в (42) не превосходит
правой, сразу следует из неравенства Гёльдера, тривиальным
образом обобщенного на векторнозначные функции. Обратное
неравенство достаточно доказать для всюду плотного подмноже-
ства в Lp (X), так что можно, не ограничивая общности, считать,
что / — простая функция, т. е. что f(s) = xt на каждом из непере-
секающихся множеств i= 1, ..., п, и что / = 0 вне объедине-
ния этих множеств. В X* существуют такие элементы х*, что
х*UO = IЪ I ПРИ * = • ••, п и |x*j = 1. Пусть й —скалярная
функция на S; положим g(s) = h (s)х* при и g(s) = 0, если
х) Здесь g (s) f (s) при каждом s £ S есть значение функционала g (s) £ X*
в точке f (s) С X, т. е. g (s) f (s) — скалярная функция. — Прим, перев.
22*
340
Гл, XI. Различные приложения
s не принадлежит ни одному из множеств et. Тогда
(43) J g (s) f ($) и (ds) = J h (s) | f (s) | |i (ds);
следовательно, равенство (42) вытекает из хорошо известного
аналогичного соотношения для скалярных функций. Этим завер-
шается доказательство леммы 21, а вместе с ней и теоремы 20.
22. Следствие. Пусть (S, S, ^ — пространство с положи-
тельной мерой, и пусть 1<^<оо, 1<р<оо. Пусть С —
конечная постоянная, и пусть f(x, s) —такая измеримая функ-
ция, определенная на произведении пространств Er х S, что
(44) J {J \f(x, s)|Xds)}’/Pdx<C.
—оо S
Пусть ffe, s) — преобразование Фурье функции f(x, s) по пере-
менному х, и пусть g(x, s) —функция, преобразование Фурье
которой определено равенствами g(1~, s) = [(£,, s) при £>0;
g(l, s) = 0 при |<0. Тогда существует такая постоянная С,
зависящая лишь от р и q, что
(45) J {J |g(x, s)|>(ds)}9/Pdx^C'C.
-ОО k S
Доказательство. Это просто частный случай X = LP(S), п=1
и Q(x) = sgnx теоремы 20.
Следующее утверждение является обобщением предыдущего.
23. Следствие. Пусть (S, S, ^ — пространство с положи-
тельной мерой, и пусть 1<р<оо, 1<9<оо. Пусть Т (£) для
всякого вещественного £ есть ограниченный оператор в прост-
ранстве LP(S). Предположим, что операторнозначная функция
Т (£) равномерно ограничена и имеет ограниченную вариацию.
Пусть f(x) —функция вещественного переменного х со значениями
в пространстве LP(S), и пусть Ц%) — ее преобразование Фурье
по переменному х. Пусть Ж { —отображение, определенное фор-
мулой
(46) (адв)=пЛ
Тогда —ограниченное отображение пространства Lq(Lp(S))
в себя.
И. Примечания и дополнения
341
Доказательство. Определим для каждого вещественного
отображение пространства Lg(Lp(S)) в себя по формуле
(47)
если g>g0,
если g<go-
(<^ьЛ (Ю =
о,
Из следствия 22 вытекает, что существует такая конечная
постоянная С, что
(48) 1ЖКС'.
В левой части стоит, разумеется, норма оператора как пре-
образования пространства Lg(£p(S)) в себя.
С другой стороны, из (46) и (47) следует, что
оо
(49) dT (g0) + У (— оо),
— оо
где У' (— оо) обозначает отображение f (х) —> Т (— со) f (х). Из
(48) и (49) сразу следует справедливость данного предложения.
Если оператор Т (£) из следствия 23 является оператором
умножения, то установленный результат может быть значительно
улучшен; при этом получается обобщение теоремы Зигмунда,
которая потребуется нам в дальнейшем изложении. Для простоты
обозначений ограничимся рассмотрением частного случая, когда
S счетно, так что пространство Lp предыдущего следствия сво-
дится к пространству последовательностей 1Р.
24. Лемма. Пусть 1<р<оо, Пусть kn(^) — после-
довательность ограниченных функций. Предположим, что эти
функции и их полные вариации равномерно ограничены. Пусть
Ж — преобразование в Lq(lp), переводящее векторную функцию,
п-я компонента которой имеет преобразованием Фурье функцию
в векторную функцию, п-я компонента которой имеет пре-
образованием Фурье функцию Тогда Ж — ограниченное
отображение пространства Lq [lp) в себя.
Вместо того чтобы дать прямое доказательство леммы 24,
рассмотрим ее как предельный случай сформулированной ниже
леммы 24'. Вывод леммы 24 из леммы 24' тривиален, и потому
мы его опустим.
24'. Лемма. Пусть р, q и kn — такие же, как в предыдущей
лемме; рассмотрим для каждого N преобразование Ж^в Lp(lq),
переводящее вектор, п-я компонента которого имеет преобразо-
ванием Фурье функцию /п(£), в вектор, п-я компонента кото-
рого имеет преобразованием Фурье функцию £п(£)/п(£), если
342
Гл. XL Различные приложения
n^N, и функцию fn(l), если n>N. Тогда существует такая
не зависящая от N конечная постоянная С, что норма оператора
как преобразования пространства Lq (1Р) в себя не превос-
ходит С.
Доказательство леммы 24'. Вычитая из каждой функции kn
подходящую постоянную Сп, можно, не ограничивая общности,
считать, что kn( — оэ) = 0 для каждого п; здесь мы воспользо-
вались равномерной ограниченностью функций kn и их полных
вариаций, позволяющей утверждать, что постоянные сп ограни-
чены в совокупности. Аналогичным образом, умножая каждую
из функций kn на подходящую положительную постоянную с'п,
можно, не ограничивая общности, считать, что полная вариация
каждой из этих функций равна 1; здесь мы также пользуемся
равномерной ограниченностью вариаций var (kn) для того, чтобы
сделать заключение об ограниченности снизу постоянных с'п.
Пусть $$ (£t, ..., £jv) — оператор в Lq(lp), переводящий век-
торную функцию /, /ья компонента которой имеет преобразова-
нием Фурье функцию fn (5), и векторную функцию g, п-я компо-
нента которой имеет преобразованием Фурье функцию gn (|),
определенную формулой
(50)
gn (£) =
/п(£),
n>/V,
S<|r,
I О,
Тогда ясно, что
(51)<^(Si, ...,Sn)=0<(Ii, ...,In)<^(0, ...,0)a<(-g1, ...,-SN),
где M (|i, ..., — изометрия в Lg(/P), а именно
(52) <М (Si, ..., Sn) : {fn (х)} -> {?^7n (х)};
в (52) мы для простоты обозначений считаем, что |п = 0 при
n>N. Поэтому из следствия 23 вытекает, что преобразование
(Si, . .., Sn) ограничено по норме постоянной С, не зависящей
от А и от S1, ..., Sn-
Из формулы (50) и определения преобразования легко
следует, что
оо оо
(53) n — ’ ’ ’ \ (Si> ’ ‘ (Si) * ’ ’ dkn (Sn)«
—оо —оо
Поскольку var(fen) = l, преобразование ограничено той же
постоянной С'. Это доказывает лемму 24', из которой, как было
отмечено, сразу следует лемма 24.
11. Примечания и дополнения 343
Теперь мы можем приступить к доказательству неравенства
Пэли и Литлвуда.
25. Теорема. Пусть 1<р<2, и пусть f (х) — произвольная
функция из Lp( — со, оо), a fn(x) —функция, преобразование
Фурье которой в области 2n < 1?1 < 2"+1 совпадает с преобра-
зованием Фурье функции f, а вне этой области равно нулю.
Тогда существуют такие конечные постоянные С и С, что
оо оо 00
(54) С j ( 3 \fnWy,2dx< J \f(x)\*dx<
— ОО n=—оо —оо
оо оо
<С'$ ^\fn{x^y12dx.
— оо п=—оо
Доказательство. Пусть <р(£) — четная функция из С°°, тожде-
ственно равная 1 при 1 <| | |<2 и тождественно равная 0 при
| 1/2 или 111 >3, выбранная таким образом, что ее интеграл
и несколько первых моментов равны нулю. Пусть /<(£) —вектор,
п-я компонента которого равна <p(2w£); тогда /^ — векторная
функция со значениями в гильбертовом пространстве /2 двусто-
ронних последовательностей. Пусть
оо
(55) К(х) = -^- J e^(?)d?.
—оо
Так как UnK (?) = К(2~п%), где U — оператор единичного сдвига
в /2, то К (2nx) = Un2~nK{x). Если ip — преобразование Фурье
функции ср, то ф(х) и несколько первых ее производных равны
нулю при х = 0, тогда как |ф (х) | = 0 (|x|-2V) при |х| —> со для
любого конечного положительного АГ. Далее, п-я компонента
вектора К (х) равна 2-nip(2-nx); поэтому
оо
(56) |K'WI2= 2 I 2V (2ПХ) I2.
П~—оо
Поскольку
(57) |ф'(х)|<Л Л>0,
ряд (56) мажорируется рядом
—j—оо О
1 —оо
844
Г л. XI. Различные приложения
и потому его сумма ограничена на каждом ограниченном интер-
вале значений х. Определим преобразование равенством
(59) wxMg)/®
или, что равносильно,
оо
(60) [к (x-y)f(y) dy.
— оо
Тогда переводит скалярные функции в функции со значе-
ниями в пространстве /2. Из теоремы Планшереля следует, что
является ограниченным отображением пространства L2 скалярных
функций в пространство L2(/2) квадратично интегрируемых век-
торных функций со значениями в Z2. Далее, из следствий 19 и 17
вытекает, что является ограниченным отображением прост-
ранства скалярных функций Lp в пространство Lp(/2) векторных
функций (при 1<^р<г2).
Пусть а# — преобразование в LP(Z2), переводящее векторную
функцию, л-я компонента которой имеет преобразованием Фурье
функцию &„(£), н векторную функцию, преобразование Фурье
n-й компоненты которой hn(%) определяется формулой
£л(£), если 2n<|g|<2n+1,
0 в противном случае.
Согласно следствию 24, линейное преобразование ограничено.
С другой стороны, из определения К (I) и соотношений (59) и (61)
следует, что переводит функцию / в векторную функцию,
n-я компонента которой равна функции fn из (54). Поэтому левое
неравенство в (54) доказано.
Правое неравенство доказывается аналогично. Пусть G —
функция со значениями в гильбертовом пространстве последова-
тельностей /2, преобразование Фурье n-й компоненты которой
равно gn(£). Положим
оо
(62) (XG)(x) — J K(x-y)G(y)dy,
— оо
это равносильно тому, что
оо
(63) £6(Ю= 3/<»(£) i»(g).
— оо
По теореме Планшереля X является ограниченным отображением
пространства £2 G2) в пространство скалярных функций £2. Таким
(61) Л,.(g)
//. Примечания и дополнения
345
(65) /„(£) =
образом, согласно следствиям 19 и 17, X является ограниченным
отображением пространства Lp(/2) в Вр. Из (63) и (61) следует,
что Хо/И переводит функцию G в скалярную функцию /, преоб-
разование Фурье которой удовлетворяет соотношениям
(64) /(£)=£»(?), 2-<|g|<2-+4
Отсюда следует справедливость правого неравенства в (54).
26. Следствие. Теорема 25 остается справедливой во всей
области 1 < р < оо.
Доказательство. В ходе доказательства теоремы 25 мы видели,
что при 1<р<2 отображение переводящее скалярную
функцию с преобразованием Фурье /(g) в векторную функцию,
n-я компонента которой имеет преобразованием Фурье функцию
/n(g), определяемую формулой
/(g), если 2nC| g | <2П+1,
О в противном случае,
является ограниченным отображением пространства Lp в Вр(/2).
Сопряженным к этому отображению будет, очевидно, отображе-
ние ХоМ из теоремы 25, рассматриваемое как отображение про-
странства Lq(l£ в Lq, где 1/р + 1/<7=1. Поэтому отображение
ХеМ ограничено и при 2<(/<оо. Используя аналогичные «двой-
ственные» соображения, можно показать, что отображение.
ограничено в расширенной области, ч. т. д.
27. Следствие. Теорема 25 остается справедливой во всей
области 1 < р < со для функций f со значениями в произвольном
гильбертовом пространстве.
Доказательство. Заметим, что доказательство теоремы 20
с тривиальными изменениями проходит для функций со зна-
чениями в произвольном гильбертовом пространстве (и даже в про-
извольном /^-пространстве); в частности, лемма 21 почти без
изменений в доказательстве обобщается на любую пару В-про-
странств X, Y*, для которых
sup | у* (х) I = IX |; х£Х;
V*£Y*, |У*| = 1
поэтому следствие 22 справедливо для функций /(х, s) со зна-
чениями в гильбертовом пространстве, а следствие 23 почти без
изменений в доказательстве переносится на пространство функ-
ций / со значениями в любом пространстве типа Lp($&), где^ —
произвольное гильбертово пространство. Далее, можно заметить,
что лемма 24 без изменения доказательства обобщается на про-
346
Гл. XI. Различные приложения
странство функций, значения которых принадлежат
пространству последовательностей ZQ($), состоящему из всевоз-
можных последовательностей векторов из для которых схо-
дится ряд из q-x степеней норм. Эти замечания позволяют легко
получить обобщение теоремы 25 на функции f со значениями
в гильбертовом пространстве Обобщенную теорему 25 можно
распространить с области 1<р<2 на всю область 1<р<оо
при помощи сформулированного выше обобщения леммы 21, ч. т. д.
Теперь мы готовы к доказательству теоремы Марцинкевича
и даже некоторого ее обобщения.
28. Теорема. Пусть 1<р<оо. Пусть Lp(fa) обозначает
[^-пространство функций со значениями в гильбертовом про-
странстве Пусть Т (I) для всякого вещественного I является
ограниченным оператором в предположим, что функция Т (£)
ограничена и что вариации
(67) var (7(g))
2n- 5*'2n * I
U
(68) var (7(g))
2n • - 2n । 1
ограничены в совокупности, когда п пробегает все положитель-
ные и отрицательные целые числа. Пусть функция f принад-
лежит Lp($), и пусть — ее преобразование Фурье по пере-
менному х. Пусть отображение определено формулой
(69) W)a) = TQ)/Q), /€LP(^).
Тогда ^—ограниченное отображение пространства Lp(Sq)
в себя.
Доказательство. Пусть обозначает гильбертово прост-
ранство всех (двусторонних) квадратично суммируемых последо-
вательностей векторов из Пусть Т+(£) — отображение, которое
переводит вектор {хп} из в вектор, п-я компонента которого
равна Т(%)хп, если 2n< | g | < 2П+1, и равна 0 в противном
случае. Как было отмечено в ходе доказательства следствия 27,
следствие 24 обобщается на функции со значениями в прост-
ранстве/2(®)=$+- Таким образом, мы можем заключить, что
отображение в пространстве Lp($+), определенное формулой
(70) (ЗД (g) = (g) F Q), F С Lp (§+),
ограничено. Пусть и ^ — отображения пространства Lp($)
в ^р(М€)) и пространства Lp(/2(®)) в Lp(£) соответственно,
11. Примечания и дополнения
347
определенные формулами
<71) (#7)(n>(g) =
/п(£), если 2П<|£| <2П+1,
О в противном случае
(72) (^)(g) = Fn(g), 2n<|g|<2rt+‘.
Тогда по следствию 27 преобразования <#+ и $1 ограничены.
С другой стороны, из (69), (70), (71) и (72) следует, что
3S<Й7Л+ = Жр Поэтому преобразование ограничено, ч. т. д.
29. Следствие. В теореме 28 предположение об ограничен-
ности в совокупности вариаций (67) и (68) можно заменить
условием
(73)
Это следствие дает обобщение на векторные функции одной
полезной теоремы Михлина.
Террема 25 была доказана в несколько более общей форме
Пэли и Литлвудом [1]. Они доказали дискретный аналог теоремы,
которую в непрерывном случае можно сформулировать следую-
щим образом.
30. Теорема. Пусть 0>а>О—положительные постоянные.
Пусть {кт} —такая возрастающая последовательность неотри-
цательных вещественных чисел, что Хо =0 и
(1 4* а) Xn+i-^ (1 Р) Хп.
Пусть !% есть о-алгебра подмножеств вещественной оси, порож-
денная множествами вида [ ± Xm, i Хп]. Для каждой функции
— оо), и каждого е£$ положим Е (e)f = F"1 (хТ" (/)),
где хе — характеристическая функция множества е, a F : L2—» L2—
преобразование Фурье. Тогда если 1<р<оо, то существует
такая постоянная К = К(р, а, ₽), что
\E(e)f\p^K(p, а, р)|/|р, е$Я, f^L2[\Lp.
Марцинкевич [1] улучшил этот результат в различных направ-
лениях, прийдя к некоторому обобщенному дискретному аналогу
теоремы 30. В непрерывном случае его результат можно сформу-
лировать следующим образом.
31. Теорема. Пусть а, р и {Хп} — такие же, как в пре-
дыдущей теореме, и пусть Л4<оо. Пусть ц> —такая функция,
определенная на вещественной оси и непрерывно дифференци-
348
Гл. XI. Различные приложения
руемая при х/- ± что
11 -*г
(I) | <р' (х) | dx + | ф'(х) | dx<Af, i>0,
_\+i
(II) |ф(х)|<Л4, —оо <Х<со.
Пусть Hvf = F~1((pF(f)) для f£L2. Тогда существует такая
постоянная К (М, р, а, 0), что
|адр<К(М, Р, а, ₽)|/|р,
Марцинкевич приводит также m-мерный вариант своей теоремы.
В двумерном случае условия (I) и (II) заменяются условиями
-X.J
I- jj J } | Ф(хь x2)|dx1dx2<Al, 0<i, /;
-bjH~Vu
Xi+1 ~Ki
(1Г) И + 5 }{|<tiH*-M+l^'p(lj'x)l+
Ki “Xi+1
+ |^ф(х- —\/)| + |^ф( —*)|} ^x<M, 0<i, /;
(ПГ) | ф (Xi, х2)|<Л1, — со<хь x2<.co.
Отсюда ясно, как формулируется /n-мерный вариант теоремы
Марцинкевича, хотя ввиду сложности записи т+1 условия,
заменяющего в этом случае условия (Г), (1Г) и (ПГ), мы воз-
держиваемся от приведения его в явном виде.
Из теоремы Марцинкевича легко следует, что если у вещест-
венно и если ф (/) = 11 pY при t g Em, то существует такая конеч-
ная постоянная КР,т, зависящая лишь от р и т, что
\F-^F(f)\p<KP,m\f\P, feL2(\Lp.
Торин [1] при помощи этого факта получил следующее /п-мерное
обобщение результата, принадлежащего в одномерном случае
Харди и Литл вуду [1].
11. Примечания и дополнения
349
32. Теорема. Пусть f£Lp(Em) и р<г. Тогда интеграл
Uf) (х) dy
существует для почти всех х из Ет и определяет ограниченное
отображение пространства Lp(Em) в пространство Lr(Em).
Торин доказал эту теорему при помощи соображений выпук-
лости, аналогичных примененным нм для доказательства теоремы
Рисса о выпуклости. Таким образом ему удалось упростить (даже
в случае /п—1) первоначальное доказательство Харди и Литл-
вуда, которое было основано па их методе «перестановки в убы-
вающем порядке». Этот общий метод изложен у Харди, Литлвуда
и Пойа [I; гл. 10|.
Следует заметить, что ввиду положительности ядра, фигури-
рующего в предыдущей теореме Харди —Литлвуда —Торина, эта
теорема может быть немедленно перенесена на сингулярные
интегралы вида
С y)f(y) <
А |Х—+
Ет '
где К —произвольная измеримая ограниченная функция.
Марцинкевич [ 1 ] показывает также, как можно ослабить усло-
вие (1 +а)Хп<;Хп+1<:(1 +Р)ХП в фундаментальной теореме Литл-
вуда и Пэли.
Хиршман [1] рассматривает ряд интересных неравенств, свя-
занных с неравенством Марцинкевича и с родственными нера-
венствами Литлвуда — Пэли и Бабенко. В его работе можно
ознакомиться с подробным описанием этих неравенств и с библи-
ографией.
Говорят, что функция /, определенная на подмножестве А
пространства Ет, удовлетворяет условию Гёльдера с показате-
лем е и постоянной К, если
\f(x)—f(y)\<K\x—y\&, х, у£А.
Множество ограниченных функций, удовлетворяющих такому .
условию для фиксированного е и какого-нибудь /<, образует
В-пространство относительно нормы
|/|= sup IZp~Z/e)! + sup|/(x)|.
х, I X— У 18 х$А
Это пространство широко изучалось в связи с теорией сингуляр-
ных интегралов. Можно показать, что при соответствующих
350 Гл. XI. Различные приложения
предположениях сингулярные интегралы типа Гильберта — Каль-
дерона-Зигмунда переводят функции, удовлетворяющие усло-
вию Гёльдера с показателем 0<е< 1, в функции того же класса.
Можно показать также, что при соответствующих предположе-
ниях сингулярные интегралы типа Харди — Литлвуда — Пэли пере-
водят функции, удовлетворяющие условию Гёльдера с некоторым
показателем 0 <' е < 1, в функции, удовлетворяющие условии?
Гёльдера с большим показателем. Такие теоремы полезны, в част-
ности, в теории дифференциальных уравнений с частными произ-
водными. По поводу различных теорем такого типа см. Зиг-
мунд [1], Фридрихе [1] и [11; стр. 101 —121, особенно теорема
9.7 на стр. 116], Харди и Литлвуд [1].
Многие из доказанных нами неравенств имеют «дискретные»
аналоги в виде неравенств для некоторых сумм, сингулярных
интегралов для периодических функций и т. д. Их можно найти
в некоторых из цитированных работ. В частности, см. Зигмунд.
[1, гл. 7 и 9].
ГЛАВА XII
Неограниченные операторы
в гильбертовом пространстве
I. Внедение
В предыдущей глпне мы видели, кик можно применить спект-
ральную теорию, развитую в гл. 9 и 10, к различным задачам
матемнтического анализа. Однако до сих пор мы еще не приме-
няли эту теорию к важному классу задач, известных как гра-
ничные задачи. Это объясняется тем, что операторы, возникающие
в граничных задачах, являются дифференциальными и < потому
они определены не на всем гильбертовом пространстве. В настоя-
щей главе закладываются основы расширения спектральной тео-
рии, изложенной в гл. 10, расширения, достаточно общего, чтобы
охватить многообразные применения этой теории к самосопря-
женным граничным задачам. Сами граничные задачи будут рас-
смотрены в следующих главах, а сейчас будут даны только
основы абстрактной техники.
Новые трудности возникают не только потому, что диффе-
ренциальные операторы определены не всюду, но и потому, что
они не являются непрерывными на своей области определения,
т. е. эти операторы неограниченные. Так как многие из поня-
тий, используемых в гл. 10, a priori не имеют смысла для неог-
раниченных операторов, то мы дадим более общие определения.
Термин оператор будет использоваться для линейного отобра-
жения линейных пространств. Символы © (Т) и (Т) исполь-
зуются для обозначения области определения и области значений
оператора Т соответственно. Два оператора Т и U называются
равными (обозначается Т = 17) тогда и только тогда, когда © (Т) =
®(i7) и Tx = Ux для всех х из ® (Г); Т называется расшире-
нием U (обозначается тогда и только тогда, когда ®(Т)5
}©([7) и Tx = Ux для всех х из ®((7). Иногда вместо T^U
используется обозначение Если не оговорено противное,
io будет предполагаться, что область определения и область зна-
чений каждого из рассматриваемых операторов — это подмно-
жества некоторого гильбертова пространства, которое будет
обозначаться буквой Как обычно, оператор называется огра-
352 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
ничейным, если верхняя грань sup|Tx|, взятая по всем х
из ®(Т) с нормой |х| = 1, конечна; в противном случае Т назы-
вается неограниченным. Таким образом, оператор неограничен
тогда и только тогда, когда он разрывен в одной точке (и, сле-
довательно, в каждой точке) своей области определения. График
Г (Т) оператора Т есть подмножество состоящее из всех
точек вида [х, Тх], где х£®(Т). Оператор Т называется замк-
нутым, если его график замкнут в Sq@S$. Прямая сумма гиль-
бертовых пространств всегда понимается в смысле § IV.4, стр. 278,
так что § © ® есть гильбертово пространство со скалярным
произведением
([Х1, х2], [у\, г/2]) = (*1, г/1) + (-«2, г/г)-
Это скалярное произведение можно использовать для определе-
ния нового скалярного произведения на ф (Т) с помощью фор-
мулы
(х, //)i (|х, Тх], \у, 7’//]).-(х, у) | (Тх, Ту), х, у£Ъ(Т).
Пространство ф (7’) со скалярным произведением (х, у), не обяза-
тельно гильбертово, так как оно может оказаться не полным
относительно нормы (х, х)'/», но если Т — замкнутый оператор,
то линейное пространство Ф (7’) со скалярным произведением
(х, y)t полно и, следовательно, является гильбертовым простран-
ством. Более того, замкнутый оператор Т, рассматриваемый
как оператор, действующий из гильбертова пространства ®(Т)
со скалярным произведением (х, у)х в пространство Sq со скаляр-
ным произведением (х, у), непрерывен.
Используя элементарные алгебраические операции сложения
и умножения для операторов, определенных не всюду, нужно
быть осторожным; так мы приходим к следующему формальному
определению.
1. Определение. Пусть Т и U — линейные операторы и а —
комплексное число. Тогда операторы T-\-U, TU, аТ и Т-1 опре-
деляются следующим образом:
(а) ®(Т+£7) = Ф(Т) f| Ф((/), (Т+ U) x — Tx-\-Ux;
(b) Ф(ТО) = {х)хбФ((7), ^хСФ(Т)}, (W)x = T(l/x);
(с) если а = 0, то аТ = 0; в противном случае ф (аТ) = ф (Т)
и (а7')х = а(7’х);
(d) если оператор Т взаимно однозначен, то Ф (Г-1) = 31 (Т)
и Т~*у = х, где у = Тх.
Обычные законы ассоциативности (A -f- В) -|- С = А + (В 4- С)
.и (АВ) С —А (ВС) выполнены, так что суммы и произведения
/. Введение
353
нескольких операторов могут записываться без использования
скобок. Что касается законов дистрибутивности, то один из них
имеет обычную форму (А + В)С = АС + ВС; однако, поскольку
может случиться, что вектор (В-\-С)х принадлежит области
определения оператора А, в то время как Вх или Сх ей не при-
надлежат, во втором случае вместо равенства мы имеем лишь
включение А (В + С)^ АВ-\- АС.
Точно так же, как в случае ограниченного оператора,
резольвентное множество q (Т) оператора Т определяется как
множество всех комплексных чисел X, таких, что (М — Т)~г
существует как всюду определенный ограниченный оператор.
Если X(Eq(T), то символ Т) будет использоваться для обо-
значения резольвенты (И —Т)”1. Спектр о (Т) оператора Т — это
дополнение резольвентного множества q(T). Точечный спектр
(JP(T), непрерывный спектр ос(Т) и остаточный спектр ог(Т)
определяются точно так же, как это было сделано в определении
Х.3.1 для ограниченных операторов. Одно из свойств, которым
неограниченные операторы отличаются от ограниченных, состоит
в том, что спектром неограниченного оператора может быть вся
плоскость.
2. Лемма. Оператор, обратный к замкнутому, замкнут.
Ограниченный оператор замкнут тогда и только тогда, когда
замкнута его область определения.
Доказательство. Если — изометрический автоморфизм в
переводящий [х, у] в [у, х], то Г (71’1) = ДГ (Т); это показывает,
что Т замкнут тогда и только тогда, когда замкнут Т"1. Если
В — ограниченный замкнутый оператор и {хп} — последователь-
ность Коши в ®(В), то {[хп, Вл:п]} —последовательность Коши
в замкнутом множестве Г (В) и, следовательно, она имеет предел
[х, Вх] в Г (В). Таким образом, последовательность {хп} сходится
к точке х в ®(В), что доказывает замкнутость ® (В). Обратно,
если область определения ограниченного оператора В замкнута
и если {[хп, Вхп]} —последовательность Коши в Г (В), то предел
х = lim хп существует в 2) (В), и, так как В непрерывен, [хп, Вхп] —>
—>[х, Вх], что доказывает замкнутость множества Г (В), ч. т. д.
3. Лемма. Пусть Т—замкнутый оператор. Тогда множества
§(Т), вР(Т), вс(Т) и ог(Т) не пересекаются, и их объединение
есть вся плоскость. Резольвентное множество q (Т) открыто,
а резольвента R (X; Т) есть аналитическая функция от К, удо-
влетворяющая резольвентному уравнению
Я(Х; = X, нбе(Г).
Доказательство. Из определений ясно, что q(T), ор(Т), ос(Т)
и аг (Т) — непересекающиеся множества и что если точка X
23 Заказ № 134
354 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
не лежит ни в одном из этих множеств, то обратный (X/ —Т)-1
должен существовать как всюду определенный и неограниченный
оператор. Таким образом, для доказательства первого заключения
достаточно показать, что если (X/-—Т)"1 существует и имеет
областью определения все $, то % лежит в q (Т). Из леммы 2
вытекает, что (X/ —Т)"1 замкнут, но тогда из теоремы о замкну-
том графике (11.2.4) следует, что оператор (X/ —Т)"х ограничен,
поскольку он определен всюду. Анализируя доказательство лем-
мы VII.3.2, в которой утверждается, что множество q(T) открыто,
а функция R (X; Т) аналитическая в случае ограниченных опе-
раторов, мы замечаем, что те же утверждения верны и для неогра-
ниченных операторов. Наконец, резольвентное уравнение полу-
чается вычитанием первого из двух следующих уравнений из второго:
(Х/-Т)/?(Х; = Т),
(р/ - Т) R (X; Т) R (р; Т) = 7? (X; Т).
Сопряженный 7'* к ограниченному оператору Т в гильберто-
вом пространстве был определен тождеством (Тх, у) ^(х, Т*у).
В дальнейшем нам потребуется понятие сопряженного (в смысле
гильбертова пространства) к оператору, который не обязательно
ограничен; это понятие определяется следующим образом.
4. Определение. Если область определения ф (Т) оператора Т
плотна в $, то область определения Ф (Т*) состоит из всех век-
торов //£$, для которых (Тх, у) как функция от х непрерывна
в Ф(Т). Так как ф (Т) плотно в $, то существует (IV.4.5)
однозначно определенная точка у* в $, такая, что (Тх, у) = (х, у*)
для всех х£Ф(Т). Сопряженный в смысле гильбертова простран-
ства или просто сопряженный Т* определяется на Ф (Т*) равен-
ством Т*у = у*. Другими словами,
(Тх, у) - (х, Т*у), х С Ф (Т), у С Ф (Т*).
В этом определении требуется, чтобы область определения
Ф (Т) была плотна в $, тогда точка //*, соответствующая точке
у из Ф (Т*), будет однозначно определена. Поэтому, говоря о со-
пряженном к оператору Т, мы всегда предполагаем, что множе-
ство Ф (Т) всюду плотно. Точно так же если речь идет об обрат-
ном Т"1, то молчаливо предполагается, что оператор Т взаимно
однозначен.
Напомним, что ортогональное дополнение множества 91 в $
определяется как множество {х\х£$$, (х, 91) = 0}. Это ортогональ-
ное дополнение обозначается через $©91 или через ЭД-Ч,Оче-
видно, множество ЭД1 является замкнутым линейным многообра-
1. Введение
355
зием, а если 31 само является замкнутым линейным многообра-
зием, то 31 и ЭД1- —взаимно дополнительные многообразия, т. е.
g = ©3х (IV.4.4).
5. Лемма. Пусть изометрические автоморфизмы Л4 и Л2
в определены равенствами
Ai\x, у] = [у, х}, А2\х, у]~[у, —х].
Тогда
Г (Г1) = ЛД (Т), Г (Т*) = (Л2Г (Т))1,
Л1Л2=-Л2Л1, Л? = /, А*=-1.
Доказательство. Заметим, что [у, у*] £Г (Т*) тогда и только
тогда, когда
0 = (Тх, у) — (х, у*) = ([Тх, —х], [у, у*]), х£Ф(Т).
Следовательно, Г (Т*) = (Л2Г (Т))1-. Доказательство остальных
утверждений представляется читателю.
6. Лемма. Пусть Т — оператор в гильбертовом пространстве.
Тогда
(а) если ® (Т) всюду плотно, то Т* —замкнутый линейный
оператора
(Ь) если существует Т"1 с всюду плотной областью определе-
ния, то существует (Т*)"1 и (Т*)-1 — ^1)*;
(с) если В —всюду определенный ограниченный оператор, то
(Т + В)* = Т* 4- В*, (ВТ)* = Т*В*;
(d) 3t(n-L = {i/| (Т*), Т*у = 0}.
Доказательство. Так как ортогональное дополнение замкнуто,
то утверждение (а) вытекает из леммы 5.
Для доказательства (Ь) заметим сначала, что из Т*у = 0
вытекает равенство (Тх, у) = 0 для всех xg® (Т). Так как много-
образие 91 (Т) = ф (Т-1) всюду плотно, то это означает, что у = 0,
и, следовательно, оператор (71*)"1 существует. Тогда по лемме 5
Г((7’*)-1) = Л1Г(7’*) = Л1(Л2Г(7’))± =
= (Лр42Г (Т))1 = (- Л2ДГ (Т))1 =
= (Л2ЛД (Т))1 = (Л2Г (Т-1))1- = Г ((Г-1) *),
и потому (71*)-1 — (71-1) *.
Докажем теперь (с). Так как В всюду определен, мы имеем
2) (ТЦ-В) = ® (Т). Поскольку В непрерывен и ((7 +В) х, у) =
23*
356 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
= (Тх, у)-\ (Вх, t/), ясно, что Ф(Т*) = ©((? +В)*). Таким об-
разом, для xG'S(T) = ®(T+B) и z/e®(T*) = S)((T + B)*) мы
имеем
(х, (Т-I- В)*у) = ((Г + В)х, у) = (Тх, у) + (Вх, у) =
= (*, Т*у) + (х, В*у) = (х, (Т* + В*)у\,
тем самым равенство (Г + В)* = Т*4-В* доказано.
Чтобы доказать соотношение (ВТ)* = Т*В*, предположим, что
х£®(Т) и у ((ВТ)*). Тогда (х, (ВТ)*у) = (ВТх, у) = (Тх, В*у);
это показывает, что В*у£<&(Т*) и, следовательно, у^^(Т*В*).
Из этого равенства также следует, что для yQ^((BT)*) имеет
место равенство Т*В*у = (ВТ)*у, откуда Т*В*^_(ВТ)*. Ана-
логично если %(=®(Т) и у £® (Т*В*), то (х, Т*В*у) = (Тх, В*у) =
= (ВТх,у); это показывает, что у£&((ВТ)*) и (ВТ)* у = Т*В* у.
Тем самым доказано соотношение (ВТ)*^Т*В*, и доказательство
пункта (с) закончено.
Наконец, заметим, что утверждение (<1) вытекает непосред-
ственно из тождества
(Тх, у) (х,Т*у), л(®(7’), /у С® (Т*),
и это завершает доказательство леммы.
Большинство рассмотрений этой и следующих глав будет
посвящено операторам, которые являются либо симметрическими,
либо самосопряженными в соответствии со следующим определе-
нием.
7. Определение. Оператор Т называется симметрическим, если
(Тх, у) = (х, Ту) для всех пар х, у точек из ®(Т), и самосопря-
женным, если Т = Т*.
Оператор Т может быть симметрическим, даже если его область
определения не является всюду плотной, но если область определе-
ния ® (Т) всюду плотна, так что Т* определен, то понятие сим-
метричности эквивалентно включению Т*^эТ. Конечно, если
Т — ограниченный всюду определенный оператор, то утверждения
Т*^Т и Т* Т эквивалентны. Таким образом, ограниченный
оператор симметричен тогда и только тогда, когда он самосопря-
жен. Если Т —всюду определенный симметрический оператор,
то Т*^Т и, следовательно, Т* = Т. По лемме 6(a) Т замкнут
и по теореме о замкнутом графике (II.2.4) ограничен. Таким
образом, всюду определенный симметрический оператор ограни-
чен и самосопряжен.
Хотя понятия симметричности и самосопряженности для огра-
ниченных операторов совпадают, неограниченный симметрический
оператор не обязан быть самосопряженным. В качестве примера
2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов 357
рассмотрим оператор id/dt с областью определения ® (id/dt)
в L2(0, 1), состоящей из всех функций /, имеющих непрерывную
производную, и таких, что /(0) = /(1) = 0. Так как
1
(«7'. g)=\ if' =
О
1
= $ f (0 W) dt+if (1) iu) - if (0)F(0) =
0
Лге®(>'4).
то ясно, что id/dt на плотной области определения 2) (id/dt) сим-
метричен. Однако этот оператор не является самосопряженным,
так как из приведенных выше равенств видно, что любая функ-
ция g с непрерывной первой производной обладает тем свой-
ством, что
и тем самым любая такая функция g, даже если она не обра-
щается в нуль в одной из граничных точек отрезка [0,1], лежит
в области определения оператора, сопряженного к id/dt.
Задача нахождения самосопряженных расширений данного
симметрического оператора, намеченная в предыдущем примере,
будет систематически изучена в § 4.
2. Спектральная теорема для неограниченных самосопряженных
операторов
В этом параграфе спектральная теория, развитая в § Х.2 для
ограниченных самосопряженных операторов, будет распространена
на случай неограниченных самосопряженных операторов. В част-
ности, будет показано, что каждый самосопряженный оператор
имеет единственное самосопряженное регулярное счетно адди-
тивное разложение единицы, в терминах которого может быть
построено операционное исчисление. Для этого мы прежде всего
докажем, что резольвента R(a; T) = (al — Т)~1 самосопряженного
оператора Т определена для всех невещественных а и сама
является нормальным оператором, к которому может быть при-
менена теория § Х.2.
1. Лемма. Пусть Т—симметрический оператор и а —неве-
щественное число. Тогда оператор (а/ —71)"1 существует и
358 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Доказательство. Если Im а и Rea —мнимая и вещественная
части числа а и х £ ® (Г) = ® (а/ — Т), то
| (а/ - Т) х |2 -- ((а/ - Т) х,(а1 — Т)х) =
(Im а • х, Im а • х) + ((Re а • I—Т) х, (Re а • I — Т) х) >
> (Im а • х, Im а • х) = | Im а |21 х |2,
откуда непосредственно вытекает нужное нам заключение.
2. Лемма. Спектр самосопряженного оператора Т веществен,
а его резольвента —нормальный оператор, причем 7? (a; Т)* =
~R(a;T)u
| R (а; Т) | < | Im а |”\ Im а 0.
Доказательство. Пусть а —невещественное число. Предыду-
щая лемма показывает, что (a/—-Т)"1 существует как ограни-
ченный оператор. Для доказательства того, что а лежит в q(T),
достаточно, следовательно, доказать, что его область определения
замкнута, а ортогональное к ней дополнение состоит из нуля.
Так как 7’ 7’*, то из леммы 1.6(a) вытекает, что Т замкнут
и тем самым оператор а/ -7' замкнут. Из леммы 1.2 следует,
что оператор (al -Г) 1 замкнут и, так как он ограничен, его
область определения должна быть замкнутой (лемма 1.2). По
лемме 1.6(d)
(© ((а/ - Г)'1))1=(91 (а/-Т))1 = {у | (а/ - Т)* У = 0}.
Далее, (al — Т)* = а/ — Т, и так как Ima^O, то мы видим
(лемма 1), что оператор al — Т взаимно однозначен. Таким обра-
зом, {y\(al — Т)* у = 0} = {0}. Таким образом, доказано, что
u^q(T), а следовательно, и то, что спектр веществен. Так как
(al — T)* = al — Т, то из леммы 1.6(b) вытекает, что R(a; Т) =
— R(a\ Т)*. Тем самым показано, что оператор R (а; Т) нормаль-
ный. Заключительное неравенство является следствием преды-
дущей леммы.
3. Теорема. Пусть Т — самосопряженный оператор. Тогда его
спектр веществен и существует однозначно определенная регу-
лярная счетно аддитивная самосопряженная спектральная
мера Е, определенная на борелевских множествах плоскости,
обращающаяся в нуль на дополнении спектра и связанная с опе-
ратором Т соотношениями
(а) х££, J Л2 (£ (dX) х, х) < оо |
а(Т)
2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов
359
и
п
(b) Тх — lim \kE(dK)x, хС$(Т).
П~>оо V
—п
Доказательство. Вещественность спектра была установлена
в лемме 2. Рассмотрим гомеоморфизм ii = h(k) компактной комп-
лексной сферы, задаваемый уравнением |x = (Z —Л)”1. Покажем
сначала, что h отображает a(T)U{°°} на о(/?(/; Т)). Пусть
—точка из q(T) и A — (i — Л,)2/? (Л; + — Из резоль-
вентного уравнения (лемма 1.3) вытекает, что (pJ—Z?(z; Т))А = 1,
и, таким образом, р лежит в Q(R(i;T)). Если Л = /, то р = оо,
и, следовательно, в этом случае ц не принадлежит спектру
ограниченного оператора R (i; Т). Обратно, пусть Т));
положим Л = (р/ — R(i; Г))-1 и 5 = p7?(z; Т)А. Тогда В взаимно
однозначен, и его область значений есть ® (Т). Поэтому равен-
ства
(Z/-T)B = [(X-f)/ + G7-T)]B =
= T)+liI]A = I
показывают, что X лежит в q(T). С другой стороны, не может
быть, чтобы р = О G Q (R (i; Г)), так как отсюда вытекало бы, что
/?(/; Т)~1 = П—Т есть ограниченный всюду определенный оператор;
этот случай мы из рассмотрения исключаем, так как теорема
для ограниченных операторов уже установлена в гл. X. Итак,
показано, что гомеоморфизм h отображает q (Т) на q (R (z; Т)) U {°0}
и тем самым отображает a(T)U{°°} на o(Z?(z; Т)).
Для всякого борелевского множества б комплексной пло-
скости положим Е (б) = (h (б)), где Е{ — разложение единицы
для нормального оператора R(i; Т). Заметим, что Е1({0}) = 0,
так как если 0=£x = Ei({0})x, то R(i; Т)х= KE^dV) х = 0, что
<0}
противоречит существованию обратного у оператора R(i; Т). Это
показывает, что если б —конечная комплексная плоскость, то
Е(8) = 1 и, таким образом, Е —спектральная мера. Спектральная
мера Е самосопряжена, счетно аддитивна и регулярна, так как
этими свойствами обладает ЕА (следствие Х.2.4). Более того,
ясно, что Е(о(ТУ) = 1 и, таким образом, Е(б) = 0 для 6^q(T).
Так как спектр Т веществен, то интеграл по вещественной оси
относительно меры Е совпадает с интегралом, взятым по
спектру о(Т).
Положим теперь
®°={х| X2(E(dX)x, x)<ooj .
а(Г)
360 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Ясно, что Е (б) .<5 s Для ограниченных борелевских множеств 6.
Для ограниченного множества б мы имеем также | j кЕ (dk) х | —
6
-- к2 (Е (dk) х, х) и, таким образом,
л
п
(I) ®o=-!x|lim \ kE(dk)x существует}.
С n->CO V I
—П
Далее будет показано, что Если х принадлежит ©(Т),
то, так как ©(Т) = 7?(/; Т)$£, х имеет вид x = 7?(i; Т)у и
J X£(dA)x = J kE(dk)R(v, Т)у.
—п —п
Заменяя меру, приходим к соотношению
(ID R (Е Пу - jj |i/?t (rfp)у - J ,
где оба интеграла берутся но всей плоскости; тем самым
п п <х>
\kE(dk)x jj -Д E(dk)y—> J -r^-E(dk)y.
— n —n — oo
Это показывает, что x лежит в и, следовательно, ® (Т)
В силу соотношения (II) и теоремы Х.1.1 мы имеем
jR(t; Т) J (i — k)E(dk) = E([ — n, п]).
—п
Отсюда следует, что £([ — п, n]) Ф (Г). Далее,
ТЕ([-п, n]) = [H-(iI — T)]R(i; Т) j (i — k)E(dk) =
—п
- jj kli (dk),
— п
и из (I) вытекает, что для последовательность
{ТЕ([ — п, п])х} сходится. Так как Т замкнут и Д([ — п, п])х—>х,
п
то х принадлежит ®(Т) и 7\r = lim \ kE(dk)x. Этим доказано
П —п
что ©0s®(7') и, таким образом, '2)0 = ®(7').
2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов
361
Для проверки единственности меры Е предположим, что
F— другая спектральная мера с теми же свойствами, что и Е.
Из (а) вытекает, что F([ — m,m])x лежит в ®(Т), и в силу (Ь)
71
(11 — T)F([ — т, т])х — lim (i — K)F(dK)F([—m,tn])x =
71~>ОО J
—п
п
= lim \ (i — K) F (dk(][—m, т])х =
п->оо V
— 71
= (i-K)F(dk)x.
—т
Так как по теореме Х.1.1 мы имеем
тп тп
F([-т, т]) = [ J (i-Z)F(dX)] [ J
—тп —тп
ТО
тп тп
F({-m,m]) = (il-T)F([-m,m}) ( F^L = (il-T) \
—тп —тп
так что
тп
T)F((-m,m})~ ( .
J I Л
—тп
Полагая ttz —>оо, мы видим, что
оо
R(r, Т) =
J I — к
—оо
Таким образом, заменяя меру, получаем
/?(f; Т)= J
Следствие Х.2.7 [показывает, что F (hr1 (S)) = Er (S) для любого
борелевского множества S. Таким образом, F (S) = (h (S)) = Е (6),
и мера Е единственна, ч. т. д.
4. Определение. Единственная спектральная мера, связанная
с самосопряженным оператором Т так, как описано в предыдущей
теореме, называется разложением единицы для оператора Т.
362 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Очевидно, что для ограниченных самосопряженных операторов
это понятие совпадает с тем, которое было дано в определе-
нии Х.2.5.
Для всякой ограниченной борелевской функции /, опреде-
ленной на вещественной оси или на спектре самосопряженного
оператора Т, мы можем определить ограниченный нормальный
оператор /(Т) равенством
а(Т)
где Е — разложение единицы для оператора Т. По теореме Х.1.1
отображение f —> f (Т) есть *-гомоморфизм алгебры ограниченных
борелевских функций в алгебру нормальных операторов в гиль-
бертовом пространстве, и, таким образом, приведенная выше
формула определяет операционное исчисление. Теорема 3 наводит
на мысль, как это операционное исчисление можно распростра-
нить до исчисления неограниченных операторов f(T), соответ-
ствующих неограниченным функциям / на сг(Т). Формальное
определение состоит в следующем.
5. ()|||’1,д1Л1:нн1:. 11уеть /:’ разложение единицы для самосо-
пряженного оператора 7', / -комплексная борелевская функция,
определенная почти всюду но мере Е на вещественной оси.
Тогда оператор f (Т) определяется соотношениями
® (/ (^)) = {х I fn (Т) х существует},
п
где
/п(%) = /(Х), /„(Х) = 0, |/е)|>п,
и
/ (Т) х= lim/п(Т)х, х£®(/(Т)).
В силу теоремы 3 ясно, что если /(X) ~ X, то f(T)----T, но совсем
не очевидно, что если /—многочлен а0 | . .. + anhn, то f (Т)
есть многочлен a0I I | апТп в определении 1.1 или
в определении VII.9.6. Именно это будет показано ниже в след-
ствии 8, так что смысл символа f(T) для многочлена f опреде-
лен совершенно однозначно.
6. Теорема. Пусть Е — разложение единицы для самосопряжен-
ного оператора Т и f — комплексная борелевская функция, опре-
деленная почти всюду по мере Е на вещественной оси. Тогда
f (Т) — замкнутый оператор со всюду плотной областью опреде-
2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов
363
ления. Более того,
оо
(а) ©(/(Т)) = {х| J |/(X)|2(£(dX)x, х)<со|;
—оо
оо
(Ь) tf(T)x,y) = J /(X)(£(dX)x, у), (/(?))-
—оо
оо
(с) |/(Т)х|2= J \fW(E(dk)x, х), X6WC0);
— оо
(d) /(?)* = /(?);
ОО
(е) /?(а; Т)= $ «€е(Л-
— ОО
Доказательство. Удобно воспользоваться обозначением fn(T),
введенным в определении 5, и положить еп = {%| |/(%)|<п}.
Тогда для хЕ®(/(7’)) в силу следствия Х.2.9 (IV) имеем
|/(?’) х |2 = lim |/п (7') х |2 = lim t | /(X) |2 (Е(dK)х, х) =
п п J
еп
= [ \f(K)\*(E(dK)x, х).
— ОО
Этим доказано (с), а также то, что область определения ®(/(Т))
содержится в многообразии | | f (%) |2 (£ (d%) х, х) < оо} .
С другой стороны, если х лежит в этом многообразии
и m>n, то
|/^(Т)х —/^(T)x|2= J |/(X)|2(£(d%)x, х)->0,
em—еп
и (а) тем самым установлено.
Ясно, что для каждого п=1, 2, ... мы имеем £(en)lgs
= ® (/ (Т)), и так как Е(еп)х—>х для всех х из <£, то область
определения © (/ (Т)) плотна в 1g. Для проверки замкнутости
/(Т) положим {хп} = Ф (f(T)), хп—>х0 и / (Т) хп у0. Тогда для
всякого натурального числа m
fm (Т) х0 = lim fm (Т) хп = lim Е (em) f (Т) хп = Е (ет) у0.
364 Гл. ХИ. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Таким образом,
у0 = lim Е (ет) уд = lim fm (Т) хд = / (Т) хд.
т т
Отсюда вытекает, что (/ (Т)) и что f(T) замкнут.
Докажем теперь (Ь). Пусть x£®(/(T)), z/g^g, pi (е) —полная
вариация функции множества (Е(-)х, у) на множестве е. В силу
комплексной формы теоремы Радона —Никодима (III. 10.7) суще-
ствует такая борелевская измеримая функция <р, что pi (е) =
= <р (%) (Е (d%) х, у) для всех борелевских множеств е. Из тео-
ремы III.2.20 вытекает, что |<р(%) | — I для почти всех по pi-мере %,
и мы, таким образом, можем и будем далее считать, что |ф(%)| = 1
для всех X. Положим Д (%) = | / (А,) | <р (%), так что в силу (а) мы
имеем 2)(Д(Т)) = <£) Из следствий III.10.6. и III.6.17 выте-
кает, что для любых х £ ® (Д (Т)) и у g выполнены соотношения
оо
(/i(T)x, z/) = lim | fn (X) | <p (X) (Е (d'K) х, у) =
П->оо v
— оо
оо оо
= lim ( | fn (К) | и (dk) = \
П—>оо е)
— ОО —ОО
Этим доказано существование интеграла в (Ь), откуда вытекает,
что
ОО
(f(T)x, z/) = lim ( fn (X) (Е (dk) х, у) =
п J
— оо
оо
= lim f (%) (Е (dk) х, у)= \ f(k)(E(dk)x, у),
П V V
еп —оо
чем завершается доказательство (Ь).
Для доказательства (d) возьмем векторы х,у С ® (/ (Г)) =
= ®(/(Т)). Тогда
оо оо
(f(T)x, у) = J J(k)(E(dk)x, у)= J f(k)(E(dk)y, x) = (x,f(T)y).
— оо —оо
Таким образом, f (Т) f (Т)*, и чтобы доказать (d), достаточно
показать, что ® (/(Т)*) ® (/(Т)). Если z/C® (f (Т)*), то для
любых и натурального m
(х, ~fm(T)y) = (fm(T)x, y)^(f(T)E(em)x, у) =
= (*, E(em)f(T)*y),
2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов
365
и потому fm (Т)у = Е (ет) f (Т)*y—>f (Т)*у; тем самым установлено
соотношение y^D(f(T)) и доказано (d).
Наконец, для доказательства (е) заметим, что в силу след-
ствия Х.2.7 спектральная мера Еп, определенная равенством
Еп (е) = Е (епе), является разложением единицы для сужения операто-
ра Т на гильбертово пространство Е (еп) Sq. Так как
R(a; Т) (al — Т) Е (еп)=Е (еп), то также ясно, что сужение резоль-
венты на- есть резольвента сужения Т на Таким образом,
в силу следствия Х.2.8
R (а; Т) х — lim R (а; Т)Е(ет)х —
т
,. (“ Е (dX) х f Е (dA.) х - /ггх
ет —оо
что завершает доказательство теоремы.
7. Следствие. Пусть Т — самосопряженный оператор и f, g —
комплексные борелевские функции, определенные почти всюду по
мере Е на вещественной оси. Тогда для любого числа а и любого
борелевского множества е вещественных чисел операторы f(T)
и понимаемые в смысле определения 5, обладают следую-
щими свойствами:
(а) (а/) (Т) = а/(Т);
(Ь) а + ^)(Пз/(7) + ^(Т);
(С) © (/ (Т) g(T)) = ® ((fg) (Т)) П © (g (Т)), (fe) (Т) =>f(T}g (Т);
(d) f(T)E(e)=>E(e)f(T).
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) вытекают непосред-
ственно из определения 5 и теоремы 6(b). Для доказательства (с)
положим x^(g(T)) и g(T)x£®(f (Т)). Так как
оо
J \f('k)gW(E(d'k)x, х) =
—оо
оо
= lim lim | fn (X) gm (X) |2 (Е (dk) х, х) =
n->oo m->oo v
— оо
= lim lim | /п (Т) gm (Т) х |2 «= lim | /п (Т) g (Т) х |2 =
п->оо т->оо п->оо
= \f(T)g(T)x\*<^,
366 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
то ясно, что © (f{T)g{T))'=%(<(fg'){T))[\%(g(T)). С другой сто-
оо
роны, если %G©(g(T)) и I f (М g (М I2 (£(^Х) х, х)<оо, то из
приведенных соображений следует, что
lim |/п(Л^(Пх[2<~.
П->оо
По теореме 6(c)
оо
\fn(T)g(T)x\z = J \fnW(E(dK)g(T)x, g(T)x),
—оо
оо
так что | f (X) |2 (£ (dX) g (Т) х, g(T)x)<Zco. Из теоремы 6(a)
вытекает, что g(T)x£'£)(f(Ty). Таким образом,
® (/ (Т) g (Т)) = © ш (Т)) П W (Л).
По теореме 6(b) интеграл
оо
Ш(Т)Х, у) = 5 /(X)g(X)(E(dX)x, у)
— оо ,
существует для всех у£$&. Следовательно, по теореме Лебега
(Ш.6.16)
оо
(/СОяСО*. У) = Ит lim fn (X) gm (X) (£ (dX) х, у) =
n->oo т->оо v
— оо
= ((/£) СО у),
Наконец, для доказательства утверждения (d) заметим, что если
%£©(/(?)), то £(e)/(T)x-lim£(e)/n(T)x-lim/n(T)£(^)x; это
показывает, что Е (е) х С © (/ (Т)) и f(T) Е(е)х = Е (е) f (Т) х, ч. т. д.
8. Следствие. Если Т — самосопряженный оператор и f —мно-
гочлен / (X) = а0 + ... 4- ат^”\ то оператор f (Т) определения 5
совпадает с оператором f(T) определения VII.9.6. Оператор f(T)
совпадает также с оператором а0/ + • • • + ^тТт, описанным
в определении 1.1.
Доказательство. Ясно, что сумма а0/ + • • • + атТт, понимаемая
в смысле определения 1.1, есть не что иное, как оператор /(Т),
описанный в определении VII.9.6. Обозначим через fi(T) этот
оператор, а через /2(Т') —оператор, соответствующий f согласно
определению 5. Следствие 7 показывает, что
[*] /2(Т)^/1(П.
2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов 367
Пусть е — ограниченное борелевское множество вещественных
чисел, так что по теореме 3 Е (е) $ = © (Т) и ТЕ(е)= j KE(dE).
Таким образом, ТЕ(e)^sE(е)sФТ, и потому Е(е)Jgs©(Т2).
Аналогично можно показать, что Е (е) $ = © (Тп) для всех нату-
ральных п, откуда мы заключаем, что Е(е) Q s © (/i (£)). Таким
образом, если еп={Х||/(Х)Кп}, тоиз[*] вытекает, что /2(f)Е(еп) э
Но так как Е(еп) £с=®(Д(Т)), то Д(Т)£(еп) =
— fi(T)E(en). Пусть теперь хС®(Д(Т)), так что E(en)x—>x и
Д (Т) Е (en)x = f2 (Т) Е (еп) х—> /2 (Г) х.
Но по теореме VIL9.7 оператор fi(T) замкнут, и потому
*€®(Д(Т)). Тем самым доказано, что ® (Д (/)) ® (Д (Т)),
а в силу [*] — и соотношение Д(Т)=Д(Т), ч. т. д.
9. Теорема. Пусть Е — разложение единицы для самосопря-
женного оператора Т и f — комплексная борелевская функция,
определенная почти всюду по мере Е на вещественной оси. Тогда
(a) )/(T)| = vrai sup | / (X) |;
Е ^еа(Т)
(Ь) спектр есть пересечение множеств вида
где 6 пробегает такие борелевские подмножества спектра or (Г),
что Е (6) = /;
(с) если функция f вещественна, то f (Т) —самосопряженный
оператор и его разложение единицы задается при помощи раз-
ложения единицы для оператора Т формулой
Е(Ь; НТ)) = Е(ГЧЬ)),
где 6 — произвольное борелевское множество.
Доказательство. Пусть еп — {% 11 f (Z) | п}, так что
vrai sup | f (X) | —> vrai sup | f (X) |.
E xeen E Xea(T)
Таким образом, в силу следствия Х.2.9 ясно, что
| / (Т) | > | / (Т) £ (ел) | = vrai sup | / (X) |—> vrai sup |/(X)|,
E hfce-n, E А,£а(Т)
и, следовательно, | f (T) | > vrai sup |/(A)|.
E XGa(T)
Обратно, для xgS)(/(T')) мы имеем
|/(T)x| = lim|/(T)£(ert)x|<
<lim (vrai sup |/(X) j) | x | < (vrai sup | f(X) |) | x |,
n E E X£G(T)
и потому | f (T) | < vrai sup | / (X) |. Этим установлено равенство (a).
e Xga(T)
368 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Пусть £•(%) = (« — / (%)) \ где а таково, что множество f~l (а) =
= {X | f (%) = а} имеет £-меру нуль. В силу (а)
|g(T)| = vrai sup |а —/(Л,))"1,
Е Хеа(Т)
и, таким образом, g(T) ограничен тогда и только тогда, когда
функция (а—/(X))"1 существенно ограничена по мере Е. Поскольку
оператор g(T) замкнут и имеет плотную область определения,
он ограничен тогда и только тогда, когда определен всюду
(лемма 1.2). Таким образом, если g существенно ограничена по
мере £, то (Т)). Обратно, если «Ср(/(Т)), то
(а/-/(?))£ (Л1 (а)) = $ (a-f(X))E(db) = 0;
^-1(а)
этим показано, что £(/-1(а)) = 0 и, следовательно, функция g
определена почти всюду по мере Е. Поскольку а принадлежит
Q(/(^))» то IS (Т) | < °°> и из приведенного выше равенства сле-
дует, что g существенно ограничена по мере Е. Итак,
тогда и только тогда, когда g существенно ограничена по мере Е.
Утверждение (Ь) может быть теперь доказано точно так же, как
был доказан в следствии Х.2.9 соответствующий факт для огра-
ниченных операторов.
Для доказательства (с) заметим, что самосопряженность f(T)
вытекает из теоремы 6(d). Положим теперь £1(6) = £(/"1(6)).
Заменяя меру интегрирования и используя обозначение fn опре-
деления 5, мы получаем
П оо
(I) |x£i (dp.) = J вд-п, п] (н) £i №) =
—П —оо
оо
= $ /(4x[-n,»](/(4)£(dX)=/n(n.
Аналогично
П оо
J p2E1(dp) = f(WK-n,n](f&))E(dV,
—П —OO
так что для всякого вектора х
оо оо
(II) J р2 (Ei. (dp) х, х) = J f (X)2 (Е (dk) X, х).
—оо —оо
Из (II) и теоремы 6(a) вытекает, что
оо
х| р2 (Ej (dp) х, х) < со | .
2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов
369
В силу (I) и определения 5 для х£®(/(Т)) мы имеем
f (Т) х = lim f (dp) x.
n->OO V
—n
Таким образом, из теоремы 3 видно, что £'1 = £'(-; /(Т)), ч. т. д.
Точно так же, как в случае ограниченного самосопряжен-
ного оператора, разложение единицы может быть явно вычислено
через резольвенту оператора Т.
10. Теорема. Если Е — разложение единицы для самосопряжен-
ного оператора Т и (а, Ь) — открытый интервал a<Z^<Zb, то
в сильной операторной топологии
ь-б
Е((а, ЬУ)= lim lim ^7 [/?(|х —ez; Т) — Rfa + ei; T)]d[i.
е->0+
Доказательство очень близко к доказательству соответствую-
щей теоремы (Х.6.1) для ограниченных операторов. Вместо след-
ствия X.2.8(111) надо воспользоваться следствием X.2.9(V),
а вместо ссылки на IX.3.15 — тем фактом, что g(T) = R(a; Т),
если g (X) = (а — X)"1 рассматривается в том же смысле, что
и в теореме 6.
11. Теорема. Если Е — разложение единицы для самосопря-
женного оператора Т и F—непрерывная числовая функция, опре-
деленная на вещественной прямой, то в сильной операторной топо-
логии
Ъ-в
F(T)E((a, &))=lim lim ^7 F(p)[£(p—ei; Т)—7?(p+ei; T)]dp
6-o+8->o+ 2j\Je
для любого конечного открытого интервала (а, Ь).
Доказательство. Метод доказательства, использованный в пре-
дыдущей теореме, можно применить и при доказательстве этой
теоремы, если показать, что функция
Ь-б Ь-6
в-|-б
равномерно ограничена по X при малых положительных S и е
и что
[*] * lim lim G(S, 8, %) = F(%)x(a?b)(%), — oo<%<oo,
d->0+ 8->0 +
24 Заказ № 134
370 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
где %(а, ь) —характеристическая функция интервала (а, Ь). Если
М — верхняя грань для |F(р)| на интервале то
| G (6, к Д)|<М-Г Г arc tg —-—arc tg а+|---1 <М,
л L ° о J
и потому G равномерно ограничена при малых положительных 6
и к. Пусть 0< 6< (6 —я)/2. Предположим сначала, что % не ле-
жит в интервале (а, Ь). Тогда подинтегральная функция стре-
мится к нулю равномерно, когда 8—>0, и тем самым соотноше-
ние I*] выполнено на дополнении к (а, Ь). Пусть теперь X —
точка интервала (а, Ь)* выберем S и 8 так, чтобы выполнялось
неравенство a-f-Sc %—]/е<А + рге<& — 6. Тогда
Х-/е Н-/е Ь-6
G(6, = S + J + J ]
° I Л К- /ё X.-J- /ё
F (и,) е dp
(р-%)2+е2 ’
Элементарные вычисления показывают, что
X Г г Ь Л
1’1 Г л V 1 Z wI
|л L .1 .) J (р-к)2+е2
“ I л K+V в
^.МГ . b — 6 — K , а+6—% о ill
< л Larctg---I----arctg —-------2arctSy-J ’
и, следовательно, сумма двух этих интегралов стремится к нулю
вместе с 8. Пусть теперь М (б) есть верхняя грань функции
| F(p) —f(X) | на интервале X — ]Ле<[л<1 + ]/’е. Так как F
непрерывна, то М (б) стремится к нулю вместе с 8 и мы имеем
14-/е
1 С F (р) 8 dp __
л J (р —Х)2-|'Е2
1- /ё
1 | /ё 1-L /ё
__ F (X) С е dp . 1 С (F (p)—F (X)) еdp,
л J (р — Х)24- 82 ‘ л J (р — Х)24-82
К- /ё Х-Уё
и
14- /в
l-L $ .(3^t5-FW4arcte^|<eM(t)4arelgA.
X- Уе
2. Спектральная теорема для самосопряженных операторов 371
Тем самым показано, что
Пт — f FM^ = р (X).
е->0 я ' (|Л—Х)а+е2
х-Тё
Доказательство соотношения [*] закончено.
В заключение этого параграфа мы приведем одну интересную
теорему, которая без труда выводится из результатов § XI.6.
12. Теорема. Пусть Т —неограниченный самосопряженный опе-
ратор в гильбертовом пространстве Sq. Предположим, что его
спектр о (Т) есть счетное множество точек без предельных точек
в конечной плоскости, {Хп} — перечисление точек спектра в (Т), где
каждая точка встречается столько раз, какова размерность про-
странства Е (Т, Хп) и пусть выполнено условие
2 2 < ОО .
п=1
Тогда для любого ограниченного оператора В множество всех
векторов х, удовлетворяющих уравнению (Г 4-В—p/)vx = 0 при
некотором натуральном v и некотором комплексном числе р,
есть фундаментальное множество в гильбертовом пространстве.
Доказательство. По теореме 6 и следствию 7 в гильбертовом
пространстве существует такой ортонормированный базис {<рп},
что 7фп = ^пфп- (Чтобы получить множество {q>n}, надо лишь
собрать вместе семейство ортонормированных базисов в каждом
из отдельных пространств Е(Т, Xm)lg.) Из определения XI.6.1
вытекает, что (Г —X/)-1 —оператор класса Гильберта — Шмидта
при всех Хбр(Т). В силу леммы 2.2 существует такая конеч-
ная постоянная К, что | (X; Т) |< 1/2, | В/?(Х; Т) |< 1/2
и | R (X; Т) В | < 1/2 для | Im X | > К- Тогда если | Im X | >К, то из.
леммы VII.6.1 вытекает, что оператор I — BR(k;T) имеет огра-
ниченный всюду определенный обратный Л (%), норма которого
не больше 2. Мы имеем
(Х/-Т-В)Я(Х; Т)Л(Х) = 7.
Таким образом,
(X/ —Г —В)7?(Х; Т)Д(Х)(Х/-Т-В)х = (Х/-Т-В)х
для всех х^©(Т) = ® (Т-|-В). Если положить
г/ = /?(Х; Т)Д(Х)(Х/-Т-В)х-х,
то (X/ — Т — В)у = 0, так что, умножая слева на 7?(Х;Т), полу-
чаем (/ —7?(Х; T)B)z/ = 0. Поскольку |7?(Х; Т)В|<1/2 при
24*
372 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
| Im X | >/(, то у = 0, если | Im % | > К- Таким образом, для | Im X | > /С
мы имеем
T)A(h)x = x,
Т)А(К)(М — Т—В)х — х, х^(Т + В).
Отсюда следует, что если | Im X | > К, то X (J а (Т4~В) и R (%; Т4-В) =
— R (1; Т) А (X). Следовательно,
|№ Т + В)|<4-2 при |1тХ|>К,
и теорема вытекает непосредственно из следствия XI.6.31.
3. Спектральное представление неограниченных самосопряженных
преобразований
Цель настоящего параграфа —распространить понятия спек-
трального представления и упорядоченного представления § Х.5
на случай неограниченного самосопряженного оператора. Вполне
удовлетворительное расширение теории будет дано ниже, в тео-
реме 5. Затем будет проведено более детальное исследование
того важного случая, когда гильбертово пространство $ имеет
вид L2(S, S, v), где v есть о-конечная положительная мера.
Мы покажем, что при некоторых условиях линейная изометрия 17,
определяющая спектральное представление, может быть задана
в простой форме. Более точно, существуют такие измеримые
ядра Wa, что в смысле нормы в 12(Иа)
(Uf)a (X) = lim f(s)№a(s, X)v(ds), /6^(5, 2, v),
n^°°sn
где {Sn} — возрастающая последовательность множеств конечной
v-меры, покрывающая все S. Эта частная форма теоремы о спек-
тральном представлении будет иметь важные приложения в после-
дующих главах, где мерой v будет лебеговская мера на открытых
подмножествах евклидова пространства, а Т будет дифференциаль-
ным оператором. В этом последнем случае функции №а(-,Х)
интерпретируются как собственные функции дифференциального
оператора Т, и, таким образом, могут быть получены важные
теоремы о разложении.
Чтобы коротко и ясно описать представление неограниченного
самосопряженного оператора, мы собрали здесь некоторые обозна-
чения и термины, которые будут использоваться в этом параграфе.
Символ Е будет обозначать разложение единицы для само-
сопряженного оператора Т в гильбертовом пространстве Для
вектора а из Sq символ $£а будет использоваться для обозначения
3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 373
подпространства в состоящего из всех векторов вида F(T)a,
где F пробегает все борелевские измеримые функции, для которых
af^ (F (Т)). Символ р,а будет обозначать регулярную меру, опре-
деленную на семействе 38 борелевских множеств плоскости
равенством
На(6) = (Е(6) a, a),
Обозначение 2 будет использоваться, как обычно, для прямой
а
суммы гильбертовых пространств Jga (ср. с IV.4.18 и IV.4.19).
1. Лемма. Пространство есть гильбертово пространство,
эквивалентное при отображении F(T)a*-+F пространству Lz(pa)-
Доказательство. В силу теоремы 2.6 (а),(с) ясно, что
ф(Г (Т))={а| $ |Е(Л)рИв(^)<со}
и 159
|Е(Т)а|2 = J |F(X)|>a(dX), а£Ъ(Е(Т)),
после чегр лемма становится очевидной.
2. Лемма. Существует такое множество А в S& что = 2&-
а£А
Доказательство. По лемме Цорна существует максимальное
множество А в для которого подпространства $ga, а£А,
взаимно ортогональны. Таким образом, для доказательства леммы
достаточно заметить, что не существует вектора х#=0, ортого-
нального ко всем пространствам £)а. Действительно, если х^=0
ортогонален к пространству !@а, то для ограниченной борелевской
функции F и точки в силу теоремы 2.6(d) мы имеем
(F(T)x, у) = (х, F(T)y) = 0, так что F(T)x ортогонален к 1да-
Отсюда вытекает, что если х ортогонален к каждому из прост-
ранств $а, то и ортогонально к каждому из пространств <ga,
а это противоречит максимальности семейства А. Тем самым
доказано, что $ = 2
Если х£$, то через ха обозначается компонента х в подпро-
странстве $а- Таким образом, х = 2 ха-
а£А
3. Лемма. Для всякой борелевской функции F Ф(Е(Т)) =
= {x|xa€®(F(T)), а£А-, 2|Е(Т)ха|*< оо] и (F(Т)х)а = F(Т)ха
для любых х £ © (F (Т)) и а£А.
Доказательство. Проверим сначала, что
(1) (®(Е(Т)))а = $аП2)(Е(Т)).
374 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Ясно, ЧТО £)а П ® (Р (Л) S № (Р ( Л))а S £>а, И ПОТОМУ ДОСТЭТОЧНО
показать, что (® (Р ® (F (Т)). Заметим, что так как
| Е(6)х|2 = 3 | Е(Ъ)ха |2, то (Е(6)ха, ха)<(Е (б)х, х) и потому
а
J | F (X) |2 (£ (dA) ха, ха) < J | F (А) |2 (£ (dA) х, х).
Тогда из теоремы 2.6 (а) вытекает, что (ф (F(T)))ac^(F(Т)),
и равенство (1) проверено.
Пусть теперь Fn — срезанная функция определения 2.5, так
что оператор Fn (Т) ограничен и тем самым
1Л(Лх|2=2|£п(Т)ха|2, хе&
а
Если xg® (F (Г)), то в силу (1) ха лежит также в ®(£(Т)),
и мы имеем
lim Fn (T)x = F (Т) х, lim Fn (Т) xa = F (Т) ха.
п—уоо п—юо
Таким образом, для любого конечного множества леДи вектора
х g ® (Г) выполнено неравенство 3 IР (Л ха I2 < | Р (Л х I2, откуда
следует, что 21^(Л %а|2< °°- Далее будет показано, что
•к g ® (F (Т)) при условии, что все ха g ® (F (Т)) и 2 IР (Т) ха |2 < 00 •
а
Пусть {ак} е А — такое подмножество, что ха = 0 для a g {а*}
(ср. с IV.4.10). Так как xag<§a, то существует такая борелевская
функция g, что ag®(gr(T')) и ха = g(T) а. Следовательно,
F (Т) xa = F(T) g(T) а, и потому F (Т) ха£$а-, это означает, что
члены последовательности {F(T)xaft} взаимно ортогональны.
Так как
| 2 /?(Лхай|2<2|/?(Л^12<~.
k=l Л а
оо
то ряд 2 Р(Т)хаъ сходится. По теореме 2.6 оператор F (Т)
ь=1 Л
замкнут, и потому х g © (F (Т)) и
оо
£(Т)х= 2 F(T)xah = ^F(T)xa.
k=l Л а
Так как F(T)xa^^a, то отсюда следует, что (F (Т) x)a = F (Т)ха,
ч. т. д.
4. Определение. Пусть Т — самосопряженный оператор в гиль-
бертовом пространстве $ и {ра} — семейство конечных положи-
3, Спектральное представление самосопряженных преобразований 375
тельных мер, определенных на борелевских множествах плоскости
и обращающихся в нуль на дополнении спектра Т. Пусть (7 —
изоморфизм пространства Sq на все пространство сохра-
а
няющий скалярные произведения, а V —самосопряженный опе-
ратор UTU~r в 3^2(Иа)« Преобразование U называется спектраль-
а
ным представлением $ на (ра) относительно оператора Т,
а
если выполнены следующие условия:
(а) для всякой борелевской функции F, определенной на спектре
оператора Т,
®(F(V)) = {g|^3L2(na), 2 $ ;
a a a (T)
(b) (F(V)la) (X) = F(X)ga(X), для почти всех X по
ра-мере.
Замечание. Ясно, что если оператор Т самосопряжен, то таким
же будет и V = UTU~\ Действительно, для % = Ux, i] = Uy, где
х, У£®(Т), мы имеем
(Vg, n) - (VUx, Uy) = (UTx, Uy) =
= (Тх, у) = (х, Ту) = (Ux, UTy) = (Ux, VUy) = Q, Vn);
тем самым показано, что V — симметрический и что ® (V*) = ® (V).
5. Теорема. Каждое гильбертово пространство допускает
спектральное представление относительно любого определенного
на нем самосопряженного оператора.
Доказательство. Множество А и меры могут быть опреде-
лены так же, как в леммах 1 и 2. Отображение U определяется
естественным образом, т. е. компонента (Ux)a вектора Ux есть
функция в L2(pa), соответствующая вектору ха при изоморфизме
Uа леммы 1.
Так как U и [7"1 имеют ограниченные всюду определенные
обратные, то оператор X/ — V = U (X/ — Т) U'1 имеет ограниченный
всюду определенный обратный тогда и только тогда, когда его
имеет оператор X/ — Т, и
R (К- V) = UR (X; Т) и~\ X е q (Г) = q (V).
Если С, Е — разложения единицы для V и Т соответственно,
то из теоремы 2.10 вытекает, что для открытого интервала б
имеет место равенство С (б) = UE (б) U'1. Таким образом, это
равенство выполнено для всех борелевских множеств б, и, сле-
довательно, для любой борелевской функции F и любого вектора
376 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
£ = С/х мы имеем
J | F (Л) I2 (С (dA) в, |) = $ IF (A) I2 (Е (dA) X, х).
Из теоремы 2.6(a) вытекает, что ® (F (V)) = I/® (F (Т)), и нужная
нам форма для ®(F(V)) получается из леммы 3.
Для вектора В = Ох £ ® (F (V)) мы имеем
(F (V) ВЛ) = \f (А) (С (dA) В, I) = $ F (X) (Е (dA) х, х) = (F (Т) х, х),
откуда следует, что F (V) = UF (Т) th1. Это равенство вместе
с соотношениями Uxa = (Ux)a и (F (Т) х)а = F (Т) ха, доказанными
в лемме 3, показывает, что
(F (V) l)a = (UF (Т) U-^)a = UF (Т) ха =
= UF (Т)^а{Т) a = F
Следующий результат показывает, что любое спектральное
представление пространства $ может быть реализовано описанным
выше способом; при этом используются обозначения и
определенные в абзаце, предшествующем лемме 1.
6. Лемма. Пусть U — спектральное представление простран-
ства fa на 3 L2 (va) относительно самосопряженного оператора Т.
a
Тогда каждому а соответствует некоторый вектор а в fa, такой,
что va = pa, fa есть прямая сумма подпространств faa и U
отображает faa на L2(va).
Доказательство. Для каждого a
3 L2 (va), определяемый уравнениями
a
[О,
примем за элемент из
P=H=a,
p = a.
Пусть a = t/-1B“. Для всякого борелевского множества 6 мы имеем
Va (6) = J Хб (A) va (dk) = (Х6В% la) = (и (Е (б) a), Оа) = (Е (б) а, а).
а(Т)
Остальные утверждения сразу же вытекают из лемм 1 и 2.
Теперь мы сосредоточим наше внимание на задаче нахождения
аналитического представления отображения U. Эта задача будет
рассмотрена в предположении, что Т — самосопряженный оператор
в лебеговом пространстве L2(S, S, v), подчиненном некоторым
условиям; эти условия предполагаются выполненными в остав-
шейся части этого параграфа и для удобства они формулируются
в виде отдельного предположения.
3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 377
7. Предположение. Пусть Т — самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве L2(S, S, v), где (S, S, v) —про-
странство с положительной мерой, а Е — разложение единицы для
оператора Т. Мы предполагаем, что существует возрастающая
последовательность {Зп} подмножеств, покрывающая все 3, каждый
элемент которой имеет конечную меру, и что для ограниченных
множеств е область значений Е (е) состоит только из функций,
которые существеннно ограничены по v-мере на каждом йз мно-
жеств Sn.
8. Лемма. Пусть Т — самосопряженный оператор в гильбер-
товом пространстве L2(S, S, v), где (S, S, ^ — пространство
с положительной мерой. Пусть всякий элемент из П ® (Тп)
п=1
v-существенно ограничен на каждом множестве из возрастающей
последовательности множеств конечной меры, покрывающей все S.
Тогда предположение 7 выполнено.
Доказательство. Если е — ограниченное борелевское множество,
то из теоремы 2.6(a) вытекает, что
оо
E(e)L2(S, S, v)= П ®(П-
n—1
В следующей главе будет рассмотрен случай, когда Т — само-
сопряженное расширение обыкновенного дифференциального опе-
ратора. В этом случае 3 —область в евклидовом пространстве,
а V —мера Лебега. Мы увидим, что всякая функция из ®(Т>
непрерывна и, таким образом, ограничена на всяком компактном
подмножестве области 3, так что из леммы 8 будет следовать,
что предположение 7 выполнено для таких дифференциальных
операторов.
9. Лемма. При выполнении предположения 1 для каждой
функции g из L2(S, 2, v) существует функция W, определенная
на прямом произведении S и числовой прямой R, измеримая
относительно произведения мер v и р, = (Е (.)g, g), и такая,
что для всякого ограниченного борелевского множества е вещест-
венных чисел и любой функции F из Е2(и)
(I) vrai sup ? | W (s, X) |2p(dX)< oo,
v s£Sn
e
(II) (£ (e) F (T) g)-(s) = J IF (s, X) F (X) ц (dX).
e
Доказательство. Если F лежит в Z-2(P), to по теореме 2.6(a)
g(F(T)). Положим en = l — n, n], и пусть F обращается в нуль
378 Гл. XII. Неограниченные операторы в сильбер товом пространстве
вне еп. Тогда сужение F (Т) g = Е (е„) F (Т) g на Sn лежит в Loo (Sn, v)
по предположению 7. Так как ’ F обращается в нуль вне еп,
то из теоремы 2.6(c) вытекает, что отображение Ап: F —» F (Т) g
ограничено как отображение L2(en, р) в L2(S, S, v). Таким обра-
зом, оно замкнуто как отображение L2(en, р) в Loo(Sn, v). Сле-
довательно, по теореме о замкнутом графике (II.2.4) Ап — непре-
рывное отображение L2 (еп, р) в Leo (Sn, v). Сопряженный А„ к Ап
в банаховом смысле оператор отображает LJ>(Sn, v) = L**(Sn, v)
в L2(en, р). Так как £i(Sn, v) изометрически вложено в L**(Sn, v),
мы можем рассматривать сужение Вп оператора на Lt (Sn, v)
как линейное непрерывное отображение £4(5„, v) в L2(en, р).
Поскольку L2 (еп, р) сепарабельно и рефлексивно, из тео-
ремы VI.8.10 и замечания, непосредственно ей предшествующего,
вытекает, что существует v-существенно единственная v-изме-
римая ограниченная функция Vn, определенная на Sn, со значе-
ниями в L2(en, р), такая, что
Bnf=\f(s)Vn(s)v(ds), f^L^Sn, v).
Sn
По теореме III. 11.17 отсюда вытекает, что существует (v х р)-
существенно единственная (v х р)-измеримая комплекснозначная
функция Ц7П, определенная на Sn х еп, такая, что
(Bn/) (1) = J f (s) Wn (s, к) v (ds), f G Li (Sn, v), X G en,
Sn
и такая, что
vrai sup \ | Wn (s, 1) |2 p (dX) = vrai sup | Vn ($) |2 < co.
V sgSn - v sgSn
en
Предположим теперь, что /GLi(Sn+1, v), f(s)=O для s(fSn,
а также, что F£L2(en+l, p) и F(k) = Q для Тогда
J (Bn+1/)(X)F(X)p(dX)= J /(s)(X„+1F)(s)v(ds) =
en+i Sn+i
= $/(«) (F (T) g) (s) v (ds) =^f(s) (AnF) (s) v (ds) =
Sn Sn
= J (Bn/)(X)F(X)p(dl).
en
Таким образом, (Bn+1/)(X) = (Bnf) (%) почти всюду по р-мере на еп.
Следовательно,
(Bnf) (X) = J f (s) №n+1 (s, 1) v (ds), f G Li (Sn, v), % G en-
Sn
3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 379
Этот факт вместе с единственностью ядра Wn показывает, что
Wn (s, %) = Wn+1 (s, X) для (v x р)-почти всех [s, 1] в Sn х еп.
Таким образом, если положить W (s, К) = Wn (s, %) для [з, %] С Sn х еп,
то мы получим корректно определенное (v х р)-измеримое ядро,
заданное на S х R = U Sn х еп, со свойством (I). Если F лежит
в £2(р) и G = Fxe, где хе — характеристическая функция борелев-
ского подмножества в еп, то для всякой функции f из Li(Sn, v)
в силу теоремы Фубини и свойства (I) мы имеем
J (Е (е) F (Т) g) (s) f (s) v (ds) = J (G (T) g) (s) f (s) v (ds) =
Sn Sn
= J (AnG) (s) f (s) v (ds) = J G (X) (Bnf) (X) p (dk) =
Sn en
= J G(X) { J f(s)Wn(s, X)v(ds)}p(dX) =
en Sn
= J /(s) { J ^(s> i)FW)i(^)}v(ds).
Sn e
Таким образом, почти всюду по мере v на Sn
(Е (е) F (Т) g) (S)=\W (s, X) F (X) р (dX),
е
а так как USn = S, то это равенство должно выполняться почти
всюду по мере v на S, ч. т. д.
10. Определение. Пусть W7 — измеримая функция на произве-
дении S х А двух пространств (S, S, v) и (А, В, р) с мерами;
и h является v-измеримой функцией на S. Будем говорить, что
интеграл h(s)W (s, 1) v (ds) существует в L2 (А, В, p) в смысле
s
среднего квадратического, если найдется возрастающая последова-
тельность {Sn} множеств конечной v-меры, покрывающая все S,
и такая, что h (•) W (•, X) для каждого п есть v-измеримая функ-
ция на Sn для почти всех по р-мере X из А, а функции Fn,
определяемые равенством
Fn (X) = h (s) W (s, X) v (ds),
Sn
лежат в £2(A, В, p) и сходятся в L2(A, В, р) при п—»со. Если
Fn—>F в £2(А, В, р), то мы пишем
F(X)= J h(s)W(s, K)v(ds).
s
380 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Замечание. В тех приложениях к обыкновенным дифферен-
циальным уравнениям и к уравнениям в частных производных,
которые будут рассмотрены в гл. 13 и 14, S будет областью
евклидова n-мерного пространства, S —полем борелевских подмно-
жеств области S, V —лебеговой мерой, a W для почти всех
X —функцией с интегрируемым квадратом на любом компактном
подмножестве в S. В этом случае предел F предыдущего опре-
деления не зависит от последовательности {Sn} при условии, что
все множества Sn компактны.
И. Теорема. Пусть (S, S, v) — пространство с положитель-
ной мерой и {Sn} — возрастающая последовательность множеств
конечной меры, покрывающая S. Пусть U — спектральное пред-
ставление пространства L2(S, S, v) на 2^г(На) относительно
а£А
самосопряженного оператора Т в L2(S, S, v) и Е — разложение
единицы для оператора Т. Предположим, что для всякого огра-
ниченного борелевского множества е вещественной прямой область
значений проектора Е (е) состоит лишь из функций, которые
существенно ограничены по мере v на каждом из множеств Sn.
Тогда для каждого элемента а из А существует функция Wa,
определенная на прямом произведении S и вещественной прямой
и обладающая следующими свойствами:
(a) W(l измерима относительно прямого произведения мер v х |ла;
(Ь) для всякого ограниченного борелевского множества е на веще-
ственной прямой
vrai sup £ | Wa (s, X) |2 pa (dX) < оо, n > 1;
v sGSn j
(c) (Uf)a (1) = $ f (s) ra(s, 1) V (ds), f € L2 (S, 2, V),
s
где интеграл существует в L2(\ia) в смысле среднего квадрати-
ческого.
Замечание. Приводимое доказательство показывает, что для f
из L2(S, S, v) функция (J7/)a является пределом в L2(Ha) после-
довательности {\f(s)Wa(s,.)v(ds)}, а потому этот предел
Sn
не зависит от выбора последовательности {Sn}.
Доказательство. По лемме 6 пространство Sq = L2(S, 2, v)
есть прямая сумма гДе Л — подмножество из <§ и
а£А
U^a = L2(na), ца(е) = (Е (е) а, а), а£А, ,
для всякого борелевского множества е вещественных чисел.
3, Спектральное представление самосопряженных преобразований 381
За ядра Wa возьмем те функции, которые в лемме 9 связы-
ваются с элементами а из А, так что утверждения (а) и (Ь)
выполнены. Из (Ь) вытекает, что
| Wa (s, X) |2 ра (dX) v (ds) <Z co, n > 1,
Sn ь
для всякого ограниченного борелевского множества е веще-
ственной прямой. Таким образом, если функция / из обращается
в нуль вне Sn, то функция
(Va/)(X)= J /(8)Га(8, X) V (ds)
Sn
в силу теоремы Фубини и неравенства Шварца удовлетворяет
неравенству
J |(Va/)(X)|2p„(dX)<|/|2 J |Га(8, X) I2 V (ds) | Ца (dX) < ОО.
е е Sn
Отсюда вытекает, что,интеграл, определяющий Vo/, существует
почти всюду по мере ра и Vaf лежит в L2(e, ра) для всякого
ограниченного борелевского множества е вещественной прямой.
Пусть теперь ^ — определенный в лемме 1 изоморфизм, отобра-
жающий на Л2(цо). Таким образом, а-е компоненты fa и (Uf)a
векторов / и Uf в их. разложениях, определяемых прямыми сум-
мами 3 & и 3 ^2 (На) соответственно, удовлетворяют уравнению
(Uf)a = Uafa. Далее, если функция F из L2(po) обращается ц нуль
вне ограниченного борелевского множества е, то в силу теоремы
Фубини и леммы 9
(Vaf, F) = J (Vaf) (X) F&) (dX) =
е
= р (8) { J Wa (8, X) F (X) (dX)} V (ds) =
Sn e
= p (s) (E(e)F(T)a) (s) v (ds) = (/, F (T) a) =
Sn
= (f, UaF) = (fa, UaF) = (Uafa, F) = ((Uf)a, F).
Это показывает, что (Vaf) (X) = (Uf)a (X) для почти всех по ра-мере X
в каждом ограниченном борелевском множестве е, так что (Vaf) (К) =
= (^7)а(Х) для почти всех по Ца-мере X. Если / — произвольная
функция из L2(S, 2, v) и — то и потому в силу
382 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
непрерывности
J f (s) Wa(S, •) V (ds) = (Ufn)a -> (Uf)a.
Sn
Таким образом, интеграл f (s) Wa (s, Z) v (ds) существует в смысле
s
среднего квадратического и равен (Uf)a(k); тем самым доказано (с)
и завершено доказательство теоремы.
Используя обозначения предыдущего доказательства, положим
F = (Uf)a, так что по лемме 9
п
J (Uf)a (X) Wa (•, Л.) Иа(db)=E([ - п, n])F (Т) а—> F (Т) а = U^F = fa.
—п
Таким образом, интеграл (Uf)a (Z) Wa (s, X) (dZ) существует
в смысле среднего квадратического и равен fa(s). Следовательно,
разложение /= 2 определяемое разложением в прямую сумму
а£А
= принимает вид, описанный следствием 12.
12. Следствие. При предположениях и обозначениях предыду-
щей теоремы
оо
f (s)=2 $ (17/)а (Х) Wa (s’Х) (dX)> f Q L2 (S) 2> v)i
a£A —oo
причем интегралы существуют в L2 (S, S, v) в смысле среднего
квадратического и ряд сходится по норме L2 (S, S, v).
13. Следствие. Предыдущие теорема и следствие остаются
справедливыми, если предположение об области значений Е(е)
заменить предположением о том, что всякая функция f из
П 2) (Тп) существенно ограничена по мере v на каждом из мно-
п=1
жесте Sn.
Доказательство. Это вытекает из леммы 8.
14. Следствие. Пусть в дополнение к предположениям теоре-
мы 11 пространство L2(S, S, v) сепарабельно и прип^-1 множества
®(п) = {/1 / € ® (Т), f (s)=0=(Tf) (s) почти всюду по мере v на Sn}
3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 383
плотно в L2(Sn, 2, v). Пусть Т(п^ — сужение оператора Т на ©<п) и
F(an)(s,A) = ( ^a(S,X)’ S€^’
( 0, s £
Тогда для почти всех по ца-мере X вектор W^(-,ty лежит
в ® ((Т(п))*) и
(Т(П))*Г(аП) ( •, X) = ЖП> ( •, А).
Доказательство. Из леммы 9 (I) и теоремы Фубини вытекает,
что для почти всех Л функция Л) лежит в L2(S, S, v) при
каждом п>1. Так как L2(5, 2, v) сепарабельно, то существует
счетное множество {[/;, Tfj]}, плотное в графике оператора Т(п\
Таким образом, по теореме 11
(ТЛ, w™ (•, X)) = J (ТЛ) (s) V (ds) =
s
= (^Tf;))aW = W;)aW =
= X J f, (s) Wa(s, X) V (ds) = X (/„ W™ (.,%))
s
для всех X, не принадлежащих некоторому множеству Nj нулевой
ра-меры. Следовательно, для всех X, не принадлежащих множе-
ству нулевой ра-меры N= J Nj, мы имеем (Т/;, W«n)(-, Х)) =
j=i
^1П)(-, А,))- Так как векторы [/;, Tfj] плотны в графике Г(Л>
оператора Т(п\ то выполнено соотношение
(Т(п)/, Х)) = Л(/, ^п)(-, X)), /£®(Т(П)), K$N.
И мы получаем нужный результат, поскольку © плотно
в L2(Sn, S, v).
Теперь мы опишем теорию спектральных типов для неограни-
ченных самосопряженных операторов. Так же, как в случае
ограниченного нормального оператора (см. теорему Х.5.10), будет
показано, что сепарабельное гильбертово пространство имеет упо-
рядоченное представление относительно заданного в нем неогра-
ниченного самосопряженного оператора и что это представление
определяется однозначно с точностью до эквивалентности. Так же,
как в случае ограниченного нормального оператора (см. теорему
Х.5.12), упорядоченное представление определяет класс унитарной
эквивалентности этого оператора. По существу теория спектральных
384 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
типов для неограниченных самосопряженных операторов может
быть без труда выведена из соответствующей теории для огра-
ниченных операторов.
15. Определение. Пусть р — положительная мера, определенная
на семействе 3S борелевских множеств комплексной плоскости,
и пусть {еп} — возрастающая последовательность борелевских мно-
жеств, первый элемент которой есть вся плоскость. Положим
pn(e) = p(eQen), n=l, 2, ....
Спектральное представление гильбертова пространства $ на
оо
2 ^-2 (Цп) относительно самосопряженного оператора Т в Sq назы-
П=1
вается упорядоченным представлением пространства $ относитель-
но Т. Мера р называется мерой упорядоченного представления.
Множества еп будут называться множествами кратности упоря-
доченного представления. Если р (ek) > 0 и р (ед+i) = 0, то говорят,
что упорядоченное представление имеет кратность k. Если
р (ед) > 0 для всех k. то говорят, что представление имеет беско-
нечную кратность. Два упорядоченных представления U и U про-
странства $ относительно операторов Т и Т соответственно с мера-
ми р и р и Множествами кратности {еп} и {еп} будем называть
эквивалентными, если р^ р и р (елДел) = 0 = р (епДеп) для всех
п=1, 2, ... .
16. Теорема. Сепарабельное гильбертово пространство обла-
дает упорядоченным представлением U относительно данного
самосопряженного оператора Т в и всякое упорядоченное пред-
ставление пространства !д относительно Т эквивалентно U. Более
того, два самосопряженных оператора в 1g унитарно эквивалентны
тогда и только тогда, когда эквивалентны соответствующие
упорядоченные представления пространства $$ относительно этих
операторов.
Доказательство. Пусть Е и Ei — разложения единицы для Т
и его резольвенты R (z; Т) соответственно. Напомним (см. дока-
зательство теоремы 2.3), что
£(б) = £1(й(б)),
где —семейство борелевских множеств плоскости и й(Л) =
= (/ —Л)-1. Отсюда вытекает, что
sp {f(R (i; Т)) XI f 6 с (о (Яр; Т)))} = sp {Е, (б) х 1 6 G =
= sp{£(6)x|6C.«>}-sp{F(T)x|FeZ.2((E(.)x, х))}.
3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 385
Эти равенства показывают, что представление пространства Q
относительно R(i; Т) индуцирует представление относительно Т
и обратно. Из леммы 6 следует, что пространство отображается
представлениями относительно Т и R(i;T) на пространства вида
2 ^2 ((£ ( ’ ) ап)) и ап, апУ) соответственно. Так как
тождества
(Е(е)ап, ап) = (Е (е flЛ"1 (еп))ап, ап), е£^\
(Ei (е) ап, ап) = (Е{ (е fl еп) ап, ап), е^%,
эквивалентны, то представление $ относительно Т упорядочено
тогда и только тогда, когда упорядочено соответствующее пред-
ставление относительно R{i\T}, Кроме того, соответствующие
множества кратности суть й-1(еп) и еп. Заметим, наконец, что
два неограниченных самосопряженных оператора 7\ и Т2 унитарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда R(i;Ti) и R(i;T2)
унитарно эквивалентны. Таким образом, настоящая теорема выте-
кает из теорем Х.5.10 и Х.5.12.
Этот параграф мы заканчиваем рассмотрением того, как теория
спектральных типов неограниченного самосопряженного оператора
связана с представлением, данным в теореме И. Следующая лемма
в случае числовых функций совпадает с хорошо известной теоре-
мой Лузина.
17. Лемма. Пусть р— конечная положительная регулярная
мера на борелевских множествах топологического пространства R.
Тогда для всякой ^-измеримой функции f на R со значениями
в В-пространстве и для всякого 8 > О существует такое боре-
левское множество о в R с мерой р (о) <; 8, что сужение функ-
ции f на дополнение к о непрерывно.
Доказательство. Если сужения f\o и g 16 непрерывны, то
таким же будет и сужение (а/ 4- |3g) | o' fl 6, а потому класс изме-
римых функций, обладающих нужным нам свойством, есть линей-
ное многообразие. Кроме того, характеристическая функция Хе
борелевского множества е лежит в этом многообразии. Это вытекает
из регулярности меры р; действительно, существуют открытое
множество о, содержащее е, и замкнутое множество 6, содержа-
щееся в е, такие, что р(о —6)<8. Ясно, что сужение Хе на допол-
нение к 0 — 6 непрерывно. Таким образом, всякая ц-простая функ-
ция обладает желаемым свойством. Так как р(7?)<оо, то всякая
р-измеримая функция / есть предел по р-мере последовательности
{/п} р-простых функций. В силу следствия III.6.3 можно пред-
полагать, что последовательность fn (Е) сходится р-равномерно
к /(Z). Это означает, что fn(E) сходится к /(Z) равномерно на
дополнении множества 6i с мерой p(6i)<8/2. Далее, для п >2
25 Заказ № 13'4
386 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
оо
существуют множества Sn, такие, что 3 И (^п) < е/2, а сужение
п=2
fn на 6; непрерывно. Таким образом, в силу следствия 1.7.7 суже-
ние / на множестве 6' = Q д'п является непрерывной функцией,
П=1
а дополнение этого множества 6= J 8п имеет меру р(6)<8,
п=1
ч. т. д.
18. Лемма. Пусть .... fm— линейно независимые функции,
определенные на объединении S возрастающей последовательности
{Sn} множеств. Тогда для всех достаточно больших п совокуп-
ность fi | Sn. .... fm\Sn сужений этих функций линейно независима.
Доказательство. Предположим, напротив, что для некоторой
последовательности щ —> оо существуют такие постоянные аи, ...
..., а/гп, что
га
(1) ai,nfm)=*f>, = !•
Выбирая новую подпоследовательность, которую ради простоты
мы будем по-прежнему обозначать через щ. мы можем считать,
что существуют пределы
а, —lima/;, 1
г->оо
Тогда в силу (I)
тп
а1/1 + • • • + amfm = 0» 3 I I = 1;
мы получили противоречие, и лемма доказана.
19. Теорема. Пусть в дополнение к предположениям теоремы 11
гильбертово пространство L2(S. 2, v) сепарабельно’. U— упорядо-
ченное представление L2(S. S, v) относительно самосопряженного
оператора Т. р, — его мера; еп, I^n^k,—его множества крат-
ности. a Wn. п •= 1, 2, ..., — ядра, описанные в теореме 11. Тогда
для всякого натурального п. не превосходящего кратности упоря-
доченного представления, множество {I?Z1(-,Z), ..., lFa(-,Z)}
в пространстве v-измеримых функций линейно независимо почти
всюду по мере р на еп.
Доказательство. Пусть рп(е) = р(еГ|еп) = (£’(еПеп)бгп, ап). Так
как Wn измерима относительно произведения мер v и рп, то из лем-
мы 9 (I) и теоремы Фубини вытекает, что для почти всех по рп-мере X
функция Гп(-, v-измерима. Таким образом, для почти всех
3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 387
по р-мере X из еп функция Wn (•, X) v-измерима. Удобно ввести
пространство G(S, 2, v) всех v-измеримых функций / на S, инте-
грируемых с квадратом на каждом из множеств Sn. Множество
G(S, 2, v) есть линейное метрическое пространство относительно
нормы
Ifl-V 1 I (/I Sn) I2
1/1 ^2" 1 + 1 (f I Sn) |2 ’
n=l
где
K/|Sn)|2=(J|/(S)|2v(ds))1/2.
Sn
Ясно, что G(S, 2, v) является линейным многообразием в про-
странстве М (S, S, v) всех v-измеримых функций на S и что мно-
жество функций из G(S, 2, v) линейно независимо в M(S, S, v)
тогда и только тогда, когда оно линейно независимо в G (S, S, v).
Линейная независимость функций W\(-, Л), ..., №n(-, X) будет
доказана индукцией по п. В случае это просто означает,
что U?\(-,X)#=O почти всюду по мере |л. Если это неверно, то
существует такое ограниченное борелевское множество е, что
р (е) = | Е (е) tZi |2 #= 0 и Wt (•, X) = 0 для всех X из е. Тогда по тео-
реме 11(c) (G/)ai(X) —О для всех и всех f£L2(S, S, v). Так
как U — спектральное представление относительно оператора Т,
то из определения 4 вытекает, что (Е (е) f)ai = 0 для всех / из
L2 (S, 2, v). В частности, если положить f = ai9 ясно, что Е (е) сц =
= (Е (е) а^а1 = 0, а это противоречит тому факту, что р (е) =# 0;
теорема в случае п=1 доказана.
Предположим теперь, что теорема доказана для п<р, где
р —натуральное число, не превосходящее кратности упорядочен-
ного представления. По предположению индукции функции
Wi (•, X), ..., Wp-i (•, X) линейно независимы для почти всех
по р-мере X из ep-i и, следовательно, для почти всех по р-мере X
из ер. Для доказательства теоремы нам необходим следующий
факт:
(I) подмножество о0 в ер, состоящее из всех для которых
функции Wi (•, Л), ..., Wp (•, X) линейно зависимы, р-измеримо
(см. III.2.10).
Для доказательства утверждения (I) обозначим через crm мно-
жество всех к£ер, таких, что сужения Wi (•, 2i), ..., Wp(-, X)
функций Wi (•, X) на Sm линейно зависимы. Если X лежит в ер — о0,
то по лемме 18 XQep-—(Jm при некотором т. С другой стороны.
при всех т. Таким образом, or0= orm, и поэтому доста-
точно доказать, что каждое из множеств р-измеримо.
25*
388 Гл. XIГ Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Обозначим через Z счетное всюду плотное подмножество
линейного многообразия в L2(Sm, S, v), порожденного функция-
ми Wi (•, 20, ..., Wp(-, 2i), \£ер. Существует самое большее
счетное множество линейно независимых р-наборов [zb ..., zp\
в Z, и для каждого такого р-набора можно выбрать непрерывные
линейные функционалы у*, ..., ур на L2(Sm,^,v) так, чтобы
det (y*Zj) = 1. Отсюда вытекает, что существует последователь-
ность {%*} непрерывных линейных функционалов на L2(Sm, 2, v),
такая, что если 'К^ер и функции 1Г1(-, Z), ..., Wp(-, К) линейно
независимы, то det (x*.Wj (•, 2i)) =^= О для некоторого р-набора
[Хпр ..., Хпр]^{*?}- С Другой стороны, если к£ер и функ-
ции Wzl (•, Л), ..., №р(-, 20 линейно зависимы, то существуют
такие не равные нулю числа 0; (Л), что
р
з рг(Л) Wt (, Х) = 0,
г=1
и поэтому ясно, что каждый определитель det (x*.Wj (•, 20) должен
обратиться в нуль. Другими словами, сг7П есть в точности мно-
жество тех 2i£ep, для которых det (х*.Wj (•, 20) = 0 для каждого
р-набора [х*!, ..., х*р]^{х*}. Таким образом, вт есть пересече-
ние последовательности измеримых множеств и потому оно р-изме-
римо, что завершает доказательство утверждения (I).
Чтобы закончить доказательство теоремы, предположим, что
функции 20, ..., Wp (•, 20 не являются линейно независи-
мыми для p-почти всех X из ер. Из утверждения (I) вытекает, что
существует такое р-измеримое подмножество о0 в е, что р (о0) #= О,
и для всех 2i£(j0 множество 20, ..., (-, 2t)} линейно
независимо, но множество {W\(-, 20, ..., Wp(-, 20} линейно за-
висимо. Пренебрегая множеством меры нуль, мы можем предпо-
ложить, что о0 — борелевское множество. Таким образом, суще-
ствуют комплекснозначные функции а7 на сг0, такие, что
(II) Wp(-, х) = зЧрогд-, м.
1=1
и эти функции единственны. Покажем, что функции-коэффициен-
ты р-измеримы, и этот факт приведет нас к противоречию.
Пусть 8 > 0 и 8Ь 82, ... — последовательность положительных
оо
чисел, такая, что 28;<8- Используя лемму 17, мы можем для
каждого / найти такое борелевское множество cj сг0, что
р (Oq — Cj) < 8j и сужения функций ^(-,21), ..., Wp(-,k) на S,
3. Спектральное представление самосопряженных преобразований 389
непрерывны как функции на Cj со значениями в L2(Sj, S, v).
оо
Положим с= П CJ- Тогда ц(о0— с) <е, и из определения нормы
7=1
в G(S, 2, v) ясно, что Wp(-, X) непрерывны как
функции на с со значениями в G(S, 2, v). Пусть Хо —фиксиро-
ванная точка из с. Тогда по лемме 18 существует такое нату-
ральное т, что сужения ^(-.Xq), Хо) функций
Wi (•, Хо), ..Wp-1(-, Хо) на Sm являются линейно независимыми
функциями в L2(Sm, S, v). Так как каждое конечномерное под-
пространство В-пространства в силу следствия IV.3.2 замкнуто,
то из следствия 1.3.13 теоремы Хана — Банаха вытекает существо-
вание таких непрерывных линейных функционалов у*, ..., y*-t
в L2(Sm, 2, v), что у* (Wj (•, Хо)) = « = 1, .... р — 1- Опреде-
лим непрерывный линейный функционал F} на G (S, 2, v), полагая
Sm) Для f£G(S, 2, v), i = 1, ..., р- 1. Тогда
Ft (Wj (•, Хо)) = i, j = 1, ..., p— 1. В силу непрерывности Ft
существует такая окрестность N (Хо) точки Хо, что определитель
det Ft(Wj (•, X)) не обращается в нуль в точках X £ N (Хо) П с. Таким
образом, функции aj как решения уравнений
р-1
2 аДХ)Вг(ГД.,Л)) = Л(Гр(., А))
7=1
непрерывны по X при X £ N (Хо) П с* Так как Q N (Хо) = с, то функ-
hoEc
ции а7- непрерывны на с. Поскольку р, (сг0 — ие произвольно
мало, функции а7- ц-измеримы на сг0.
Теперь нетрудно прийти к противоречию. Пусть о^ — ограни-
ченное борелевское подмножество в сг0, такое, что ц (oj =/= О
и функции щ ограничены на Ор Так как ер, то из уравне-
ний (II), формулы (II) леммы 9 и того факта, что ц, (е) = (е)
для е <=: ер и i = 1, ..., р, вытекает, что
£ (Oj) ар = Wp (•, Л) jip (d2i) =
ai
р-1
= J 2 ai(X)^(.,X)>p(dX) =
ai i=l
P-1
= 2 $ аг(Х)И7г(.,Х)Иг(а) =
i=i aj
P-1
= 2 ^AT)E(Gl)at.
2=1
390 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Так как многообразия ортогональны, Е(сг1)ар = 0. Однако
di ер, и мы приходим к противоречию:
О = (Е (аО ар, ар) = (Е (оД а1? = р (07) Ф 0.
Теорема доказана.
4. Расширения симметрических преобразований1)
Чтобы применять спектральную теорему, мы должны во мно-
гих случаях найти сначала какое-либо самосопряженное расшире-
ние данного симметрического оператора. Задача нахождения
такого расширения является не тривиальной и даже не всегда
разрешимой. В теории ограниченных операторов мы должны лишь
проверить симметричность (Т* Т), так как если оператор всюду
определен и симметричен, то Т* = Т. Но если Т неограничен,
то картина совершенно иная. Рассмотрим, например, оператор,
который будет подробно изучен в следующей главе: дифферен-
циальный оператор iD = i (dldt) в пространстве L2(fl, 1). Как мы
должны выбрать его область определения? Первое естественное
предположение —выбрать за область определения семейство
всех функций с непрерывной первой производной. Если f и g —
две любые такие функции, то
1
(iDf, g) = J if (tfgft) dt =
0
1
- $/ (0 »7V) dt + i (/(1) g(T)-f (0) 5(0)) =
o
=(/, iDg)+i (/(1)570—/(0)7(0)).
Два дополнительных «граничных» члена справа нарушают симмет-
ричность. Чтобы устранить их, естественно выбрать теперь
в качестве области определения оператора iD семейство S)2 всех
функций f с непрерывной первой производной и таких, что
/(0) = /(1) = 0. Этот выбор области определения делает опера-
тор iD симметрическим, но все же не делает его самосопряжен-
ным. Легко, например, видеть, что множество будет содер-
жаться в области определения сопряженного (iD)* и в том случае,
если принять за область определения оператора iD. Все эти
трудности обнаруживаются, даже если сбросить со счета все
широкое многообразие возможных «локальных патологий» (недиф-
ференцируемость и т. д.) функций из L2.
х) См. также прекрасное изложение теории расширений в гл. IV книги
М. А. Наймарка [5]. —Прим. ред.
4. Расширения симметрических преобразований 391
Столкнувшись с такими трудностями, разумно привлечь
на помощь абстрактную теорию, которая может дать какой-то
единый подход в тех конкретных случаях, которые нам пред-
стоит рассмотреть. Наша общая абстрактная задача— найти все
симметрические и, таким образом, все самосопряженные расшире-
ния данного симметрического оператора. В этом параграфе мы
рассмотрим эту задачу, используя метод Калкина, приспособленный
к нашим будущим приложениям к дифференциальным уравнениям.
Основная идея теории состоит в том, чтобы, отправляясь от
симметрического оператора Т, найти самосопряженный оператор
расширением области определения. Поле наших исследований
сужается благодаря следующей лемме.
1. Лемма. Пусть Т\ — оператор с плотной областью опреде-
ления.
(а) Если оператор Т2 является расширением оператора
то Т* — расширение оператора Т*.
(Ь) Если оператор Тх симметричен, то всякое его симметри-
ческое расширение Т2, в частности всякое его самосопряженное
расширение, удовлетворяет соотношениям Т{ Т2 Т* Т*.
Доказательство. Если Т{^Т2 и У^^)(Т1), то (х, Т*у) =
= (Т2х, у) = (Трс, у) для любого х£® (7\). Следовательно, z/G® (Т*)
и (х, Т*у) = (х, Т*у). Отсюда вытекает, что Т*^Т*. Этим дока-
зано (а), а (Ь) есть его непосредственное следствие.
Из леммы 1(b) следует, что для получения наиболее общего
симметрического расширения симметрического оператора Т с плот-
ной областью определения мы должны лишь сузить оператор Т*
на некоторую надлежащим образом выбранную подобласть ®(Т*).
Помня, что следует придерживаться этого основного принципа,
мы переходим к систематическому изучению линейных подпро-
странств пространства S)(T*).
На протяжении всего этого параграфа под Т понимается
неограниченный симметрический оператор с плотной областью
определения. На линейном пространстве S)(T*) введем две вспо-
могательные билинейные формы.
2. Определение. Если х, yQ.%(T*), то положим
(а) (х, уУ = (х, у) + (Т*х, T*z/),
(b) {х, у} = — i {(Т*х, у) — (х, Т*у)}.
Форма (х,//)* —это просто то скалярное произведение, кото-
рое переносится на Ф (Т*) из $ @ если отождествить при
помощи отображения х<------>[х, Т*х] область ® (7*) с графиком
Г (Т*). Значение формы {х, у} выявляется следующей леммой
и с наибольшей ясностью раскроется в следующей главе.
392 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
3. Лемма. Подпространство Фе® (71*), содержащее Ф (Т), есть
область определения симметрического расширения Т\ опера-
тора Т тогда и только тогда, когда {х, у} = 0 для всех х, у£®.
В этом случае Т\ однозначно определяется по формуле 7\х=^Т*х,
х£®.
Доказательство. Если 7\— симметрическое расширение опера-
тора Т с областью определения ®, то по лемме 1 Ti^T*, и, сле-
довательно, {х, у}= — i{(T*x, у) — (х, Т*у)}= —i {(7\х, у) —
— (х, 7\у)} = 0 для х,у£® = ® (7^). Очевидно, 7\х = Т*х для
х£ф. Обратно, если {х, у} = 0 для х£® и 7\ определен равен-
ством Т1Х = Т*х для х£®, то (7\х, у) — (х, Т\у) = 1 {х, у} ^=0, так
что оператор 7\ симметричен, ч. т. д.
4. Определение. Подпространство ® в ® (Т*) называется
симметрическим, если {х, у} = 0 для всех х, yg®.
А теперь лемму 3 можно переформулировать следующим
образом.
3'. Лемма. Общий вид симметрического расширения 7\ опера-
тора Т — это сужение оператора Т* на симметрическое под-
пространство Ф в ®(Т*), содержащее ®(Т).
Для более глубокого понимания нашей задачи мы должны
рассмотреть топологию, определяемую на ® (Т*) билинейной
формой (х, у)*.
5. Лемма, (а) С формой (х, у)* в качестве скалярного произ-
ведения ® (Т*) становится полным гильбертовым пространством.
(Ь) Билинейная форма {х, у} непрерывна в топологии про-
странства ® (71*), порожденной скалярным произведением (х, у)*.
(с) Сужение Т\ оператора Т* замкнуто тогда и только тогда,
когда его область определения © (7\) есть замкнутое подпро-
странство пространства Ф (71*) в топологии, порожденной ска-
лярным произведением (х, у)*.
Доказательство. Мы уже отмечали, что (х, у)* есть то скалярное
произведение, которое переносится на ®(Т*) из если ото-
ждествить Ф (Т*) при помощи отображения х< >[х, Т*х] с гра-
фиком Г(Т*). Так как Г (Г*) замкнут в то (а) вытекает
из леммы 1.6; точно так же получается утверждение (с).
Для доказательства (Ь) мы должны лишь заметить, что
|{х, у} Z/)l + l(x, 7’*//) I < I Т*х I• I у 1 +1 х I • I Т*у I =
= К(Т*х, Т*х) I у 1 +1 х I ]/ (Т*у, Т*у) <
< | УIV (х, х) + (Т*х, Т*х) + I х I У (у, у) + (Т*у, Т*у) <
<2 {(у, у)*(х, х)*}1/а.
4. Расширения симметрических преобразований
393
В оставшейся части этого параграфа будет предполагаться,
что пространство Ф (Т*) наделено топологией, порожденной
нормой | х |* = {(х, х)*}1/2, если только явно не оговорено против-
ное. Если же мы хотим подчеркнуть это обстоятельство, то будем
употреблять выражения типа «гильбертово пространство ф (Г*)».
6. Лемма, (а) Замыкание симметрического подпространства
гильбертова пространства ф (Т*) есть симметрическое подпро-
странство.
(Ь) Всякое симметрическое расширение 7\ оператора Т имеет
единственное минимальное замкнутое расширение, область опре-
деления которого есть просто замыкание пространства Ф(7\)
в гильбертовом пространстве Ф (Т*).
Доказательство. Часть (а) вытекает непосредственно из лем-
мы 5(b), а утверждение (Ь) —из (а) и леммы 5(c).
Из леммы 6(b) вытекает, что всякий симметрический опера-
тор с плотной областью определения имеет единственное мини-
мальное замкнутое симметрическое расширение. Этот факт при-
водит нас к следующему определению.
7. Определение. Минимальное замкнутое симметрическое
расширение симметрического оператора Т с плотной областью
определения называется его замыканием и обозначается через Т.
8. Лемма, (а) Замыкание Т оператора Т есть сужение опе-
ратора Т* на замыкание Ф (Т) в гильбертовом пространстве
Ъ(Т*).
(Ь) Оператор Т и его замыкание имеют одни и те же зам-
кнутые расширения.
(с) Оператор Т и его замыкание имеют один и тот же
сопряженный. _
(d) Оператор замкнут тогда и только тогда, когда Т = Т.
(е) Самосопряженный оператор замкнут.
Доказательство. Часть (d) очевидна ввиду определения 1.
Часть (е) вытекает непосредственно из леммы 1.6.
Для доказательства утверждения (с) заметим, что так как
Т^Т, то Т*<=Т* по лемме 1. С другой стороны, если х£ф(Т*),
то (Т*х, у) = (х, Ту) для всех [у,Ту]£Г(Т) и, следовательно,
для всех [у, Ту] £Г(Т). Так как Г(Т) = Г(Т), то по лемме 6(b)
и в силу замечания, следующего за определением 2(b), х£®(7*).
Часть (а) вытекает непосредственно из леммы 6(b) и леммы 3.
Из этого же и леммы 5(c) вытекает (Ь).,
394 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Значение леммы 8 объясняется следующим: так как мы ищем
самосопряженные расширения оператора Т, то достаточно в силу
8 (е) искать их среди замкнутых симметрических расширений
оператора Т. По лемме 8(b) их нужно искать среди замкнутых
симметрических расширений оператора Т. Таким образом, исполь-
зуя лемму 8 для замены любого незамкнутого оператора Тх его
замыканием мы можем, не теряя в общности, ограничиться
рассмотрением замкнутых операторов.
А теперь мы перейдем к дальнейшему анализу пространства
2) (Т*).
9. Определение. Положим
2)+ = {х £ 2) (Т*) | Т*х = ix}; 2)_ - {х £ 2) (Т*) | Т*х = - ix}.
Пространства 2)+ и 2)_ называются пространствами положитель-
ного и отрицательного дефекта оператора Т соответственно.
Их размерности (конечные или бесконечные порядковые числа),
обозначаемые через и+ и п_, называются соответственно положи-
тельным и отрицательным индексами дефекта оператора Т.
10. Лемма, (а) 2)(Т), 2)+ и %- — замкнутые взаимно ортого-
нальные подпространства гильбертова пространства %(Т*).
(Ь) 2) (Т*) = 2) (Т) © 2)+ © 2)_.
Доказательство. По лемме 8 (а) 2) (Т) замкнуто. Пусть {хп} —
последовательность элементов из 2)+, сходящаяся к х£&(Т*)\
тогда {[xn, Т*хп]} = {[хп, Lrn]} ст Г(Т*) сходится к [х, = Т*х],
так как Т* замкнут. Следовательно, T*x=ix, т. е. х£2)+, тем
самым 2)+ замкнуто. Аналогично проверяется замкнутость 2)_.
Так как 2)+ и 2)_ являются, очевидно, линейными подпростран-
ствами в 2) (71*), то остается показать, что пространства 2) (Т),
2)+ и 2)_ взаимно ортогональны и что их сумма есть 2)(Т*).
Пусть d£ 2) (Г), d+£2)+ и d_g2)_. Покажем, что (d, d+)* =
= (d, dJ)*==(d_, d+)*==0. Прежде всего заметим, что так как
то
(d, d+)* = (d, d+) + (T*d, T*d+) = (d, d+) + (Td, T*d+) =
= (d, d+) © (Td, id+) = (d, d+) + (d, fT*d+) =
==(d, d+) + (d, ZT*d+) = (d, d+) + (d, i2d+) = 0.
Аналогично устанавливается, что (d, d_)*=0. Далее,
(d_, d+)* = (d-, d+) + (T*d_, T*d+) = (d_, d+) + (- id_, id+) = 0.
4. Расширения симметрических преобразований
395
Следовательно, пространства ®(Т), ®+ и ©_ взаимно ортогональны
и их прямая сумма © (Т) © ®+ © ©_ содержится в ©(Т*).
Для проверки соотношения © (Т*) = © (Т) © ©+ © ©_ мы пока-
жем, что нуль является единственным вектором, ортогональным
ко всем этим трем пространствам. Допустим, что вектор v орто-
гонален к ®(Т), ©+ и ©_. Тогда 0 = (d, y)* = (d, y) + (T*d, T*v)
для всех d£©(T). Следовательно, (d, v)= —(T*d, T*v). Так как
{•, v) — непрерывный линейный функционал на плотном в под-
множестве © (Т), то ясно, что T*v лежит в ф (Т*) и Т* (T*v) = —v.
Следовательно, (I -\-T*T*)v = — iT*)v = 0. Поэтому
T*[(l— IT*) v] = i (I — iT*)v, t. e. (/—iT*) v g©+. Точно так же,
если d+ £ ©+, то
0 = (у, d+)* = (у, d+) + (Т% T*d+) = (v, d+) + (T*v, id+) =
= (u, d+) — i (T*y, d+) = ((/-ZT*)y, d+).
Так как (/ — fT*) £,£©+, то мы получаем (/ — iT*)v — 0. Следова-
тельно, T*v = — iv, т. e. yg©_. Ho (©_, y)* = 0, поэтому v = 0.
Итак, ©(T*) = ©(T)@©+@©_, ч. т. д.
11. Лемма. Между замкнутыми симметрическими подпрост-
ранствами © гильбертова пространства ©(Т*), содержащими
®(Т), и замкнутыми симметрическими подпространствами S1
в ©+©'©_ существует взаимно однозначное соответствие, зада-
ваемое формулой © = ©(?)© ©Ч
Доказательство. Если х£©(Т) и //6©(71*), то {х, у} =
= —1{(Тх, у) — (х, Т*у)} = 0; следовательно, если х£©(Т) =
= ©(Т) и z/C©(T)*, то {х, у} = 0. Таким образом, если S1 сим-
метрично, то таким же будет и © = ©(Т)©©1. Для проверки
замкнутости © в случае замкнутости S1 положим xn = dn-|-sng©,
dn^^(T) и Sn^S1. Если хп —> х то, так как ©+@©_ ортого-
нально к ©(Т), мы имеем (|xn-—xw|*)2 = (|dn — dzn|*)2-|-
+ (| sn — sm |*)2 —> 0, так что обе последовательности {dn} и {sn}
являются сходящимися. Если dn —> d и sn —> s, то по лемме 8 (а)
dg©(T), а так как S1 замкнуто, то s^S1. Таким образом,
х С© (Т) © (S1 = ©, и © замкнуто.
Обратно, если ©-—замкнутое симметрическое подпространство
в ©(Т*), содержащее ©(Г), то положим S1 = S Q (©+ + ©-). Ясно,
что S1 замкнуто и симметрично, и ©^©(Т)©©1. Если х£©,
то по лемме 10 х можно единственным способом представить
396 Г л. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
в виде х = d + у, где d £ 2) (Т) и у£ 2)+ © Так как 2) (Г) S,
то dgS; следовательно, //£©, откуда вытекает, что
у £ S (1 (2)+ © 2)_) = S1, и потому S 2) (Т) © S1, ч. т. д.
Лемма 11 показывает, что 2)(Т) играет нейтральную роль
при нахождении самосопряженных расширений оператора Т и что
нужно рассматривать лишь пространство 2)+©2)_. В следующей
теореме делается решающий шаг в этом направлении. Стоит
отметить, что для элементов d+, e+g2)+ имеет место равенство
(d+, e+)* = 2(d+, е+), и потому | d+ |* = ]/2 | d+ |. Точно так же
| d-1* = ]/"2 | d-1 для d_g2>_. Эти замечания показывают, что пре-
образование утверждения (а) следующей теоремы изометрично
в каждой из норм.
12. Теорема. Пусть &1 —замкнутое подпространство в
2)+©2)_ и ©^(Г)©©1.
(а) Пространство © симметрично тогда и только тогда,
когда S1 является графиком изометрического преобразования,
отображающего подпространство из 2)+ на подпространство
из ®_.
(Ь) Сужение Т* на © есть самосопряженный оператор тогда
и только тогда, когда &-—график изометрического преобразо-
вания, отображающего 2)+ на все 2)-.
Доказательство. По лемме 11 S симметрично тогда и только
тогда, когда симметрично ©Ч Пусть два произвольных элемента
s, t из S1 представлены в виде s = d+-^d_, t = e+-}-e_, где
e+,d+£2)+, а е_, d_ При этом©1 симметрично тогда и только
тогда, когда
{s, t}=-i{(T*(d+ + d-), (e+ + e_))-((d+ + d_), Т* (е+е_))} =
= --i{((id+ — id_), (e+ + e-)) — ((d+ + d-), (ie+ — ie„))} =
= — z {2z(rf+, e+)-2i(d_, e_)} = 2{(d+, e+)-(d_, e_)} = 0,
т. e. тогда и только тогда, когда (d+, e+) = (d-, в-). Отсюда,
очевидно, вытекает, что |d+|2 = |d_|2 для всех s = d+ + d_g©1,
т. е. ©г~ график изометрического отображения подпространства
из 2)+ на подпространство из 2)—
С другой стороны, если |d+|2 = |d_|2 для s = d+-]-d-£&-, то
мы имеем |d+4-e+|2^ |d-4-e_|2 и | d+ — е± |2 = | d_ — е-12, так что
Rew.,
4
.4 Расширения симметрических преобразований 397
Применяя те же рассуждения к вектору it = ie+-\-ie_, мы полу-
чаем Im(d+, e+) = Im(d_, е_), так что (d+, e+) = (d_, eJ). Из пре-
дыдущего абзаца вытекает, что & симметрично. Тем самым
утверждение (а) доказано.
Чтобы доказать (Ь), предположим сначала, что S1 —график
изометрического преобразования А подпространства из ®+ на под-
пространство в ®_, и обозначим через 1\ сужение Т* на S.
Если область определения ®(Л) есть собственное подмножество
в ®+, то существует такой ненулевой вектор #6®+, что
(®(Л), у)* = 0. Если хС®(7\), то + гдех^®^),
d+g®+ и d_g®_. Следовательно, (х, г/)* = 0, т. е.
0 = (х, у) + (Т*х, Т*у} = (х, у) — i(l\x, у), хЕ®(Л)«
Этим доказано, что (7\х, у)= — i(x, у) для всех х£® (7\), и тем
самым z/g®(T*). Так как у^(7\), ясно, что если ®(Л)сз®+, то
Т\ не является самосопряженным. Аналогично если область зна-
чений Ж (A) cz ®_, то существует такой ненулевой вектор z в ®_,
что (Ж (Л), z)* = 0; как и раньше, отсюда следует, что (х, z)* = 0
для всех х£®(7\), а потому zg®(T*), и оператор 1\ не является
самосопряжен ным.
Для завершения доказательства утверждения (Ь) предположим,
что Л— изометрическое преобразование ®+ на все ®_, а 7\ —
сужение оператора Т* на подпространство @ = ®(Т)@Г(Л).
В силу (a) S симметрично, и, следовательно, Остается
показать, что ®(Т*)^®(7\). Предполагая, что это не так
и применяя лемму 10(b) к замкнутому симметрическому опера-
тору 7\, мы видим, что существует такой ненулевой вектор
jz£®(Ti), что либо T*z=uz, либо T*z= — iz. По лемме 10(a)
(®(7\), z)* = 0. Так как Т* Г*, то отсюда вытекает, что или
jz£®+, или zg®_. Если zg®+, то z-\- Az £® (7\) и
0 = (z4-Az, z)* = (z, z)* + (Az, z)*.
Так как Azg®_, то это показывает, что 0^=(z, г)* = 2 (г, г),
откуда z = 0. Аналогично если г£®_, то Л-1 (г)+ г £ ® (7\),
и, следовательно, 0 = (Л-1 (?) + ?, г) = (Л-1 (г), z)* + (z, г)*. По-
скольку Л-1(г)£®+, мы снова приходим к выводу, что г = 0.
Таким образом, оба случая приводят нас к противоречию.
13. Следствие, (а) Симметрический оператор Т имеет само-
сопряженные расширения тогда и только тогда, когда его
индексы дефекта п+ и п_ равны.
(Ь) Если п+ = п_ = 0, то единственным самосопряженным
расширением оператора Т является его замыкание Т = Т*.
Доказательство. Эти предложения вытекают из теоремы
IV.4.16 и лемм 8 и 10.
398 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Доказав теорему 12 и следствие 13, мы достигли нашей
основной цели, и оставшаяся часть этого параграфа посвящена
переформулировкам и дальнейшим расширениям полученных
до сих пор результатов.
14. Определение. Сопряженным подпространством S* к под-
пространству S гильбертова пространства ® (Т*) называется мно-
жество всех таких х£®(Т*), что {х, S} = 0. Подпространство
® в ® (Т*) называется самосопряженным, если @ — S*.
15. Лемма. Если Т <=Л\<=:Т*, mo Т* есть сужение Т* на про-
странство т. е. ® (Т*)==® (Л)*.
Доказательство. Предположим, что z/C® (7\)*, тогда {х, //} = (>
для всех xg®(7\), т. е. — i {(Т*х, у) — (х, Т*у)} = 0. Так как
®(7\) плотно в и Т*х = Т\х, то z/C®(T*). С другой стороны,
если #£®(Т*), то (Трс, у) = (х, Т*у) для всех х С®(7\) • По лемме
1 (а) Т*. Следовательно, (Т*х, у) = (х, Т*у), так что {х, у} =
= 0. Таким образом, ч. т. д.
16. Лемма, (а) Подпространство S в ф (Т*) симметрична
тогда и только тогда, когда S S*.
(Ь) Сужение оператора Т* на подпространство @2$ (Т)
в ® (Т*) есть самосопряженное расширение оператора Т тогда
и только тогда, когда самосопряжено
(с) Если S^®(7*) имеет вид ©==®(Т)ф51, где
^®+ф®-, то
Доказательство. Утверждение (а) вытекает непосредственно
из определений 14 и 4. Утверждение (Ь) вытекает из определе-
ния 14 и леммы 15. По лемме 8(c) {х, z/}=0 для х£&(Т*}
и УЕ®(Г). Поэтому {х, ©(7)®^} = О тогда и только тогда,
когда {х, S1} = 0, чем доказано (с).
В следующей теореме описан довольно часто встречающийся
случай, когда симметрический оператор Т имеет равные индексы
дефекта и тем самым допускает самосопряженные расширения.
17. Определение. Отображение U гильбертова пространства ф
в себя, удовлетворяющее соотношениям U (х + у) = Ux + Uy,
[J (ах) = а(7х, (Ux, Uy) —(у, х), х,у£$$ и U2 — l, называется
инволюцией.
18. Теорема. Пусть Т — симметрический оператор с плотной
областью определения, коммутирующий с инволюцией U, тогда
Т имеет равные индексы дефекта.
4. Расширения симметрических преобразований
399
Доказательство. Так как UT = TU, то Uh (Т) s 5) (Т). Посколь-
ку U2 = I, имеем ф (Т) £ Uh(Т) и тем самым® (Т) = Uh (Т).
По лемме 1.6(d) ®+ = {(T+i/)®(T)}-L и ®_ = {(T-z7)©(T)}-L.
Если х£2)+, то
0 = ((Т-Н’/)2)(Т), x) = (Ux, U(T + U)®(T)) =
= (Ux, (T-il}U^(T)) = (Ux,
Таким образом, L7xg2)_ и U®+^®_. Аналогично 172)- ®+.
Используя соотношение L72 = 7, получаем, что 2)+172)- и
172)+. Таким образом, 172)- = 2)+, 17®+ = ®— Из свойств инво-
люции U вытекает, что U отображает всякий ортонормированный
базис в ®+ на ортонормированный базис в ®— Следовательно,
®+ и 2)_ имеют одну и ту же размерность, ч. т. д.
В качестве примера применения теоремы 18 рассмотрим гиль-
бертово пространство Л2(0, со) и оператор Т в нем, задаваемый
следующим образом:
(а) область определения ®(Т) есть множество всех функций,
имеющих по крайней мере две непрерывные производные и обра-
щающихся в нуль вне компактного подинтервала в (0, со);
(Ь) для /£®(7') полагаем Tf = f" -}-qf, где (/ — фиксированная
вещественная непрерывная функция, определенная на (0, со).
Ясно, что Т —неограниченный симметрический линейный опе-
ратор в Л2(0, со). Если для всех /£А2(0, со) мы положим
([//)(/)-_ f(t), гд$ / (Г) —комплексно сопряженная функция, то
получим, что 17 —инволюция и UT = TU. Таким образом, Т имеет
равные индексы дефекта и, следовательно, обладает самосопря-
женными расширениями.
Следующий результат показывает, что число
п+ = dim {х | Т*х = ix}
на самом деле связано не с комплексным числом i, а с верхней
полуплоскостью, и в то же время приводит нас к утверждению,
которое будет существенно использоваться в теории дифферен-
циальных уравнений, развиваемой в следующей главе.
19. Теорема. Пусть Т — симметрический оператора определим
для каждого комплексного числа X подпространство ЭЛ %
= {х | Т*х = Хх}. Если 1т(Х)>0, то размерность ЗЛх равна
положительному индексу дефекта п+ оператора Т. Более того,
если п+ конечно, то существует семейство {<р/ (X)}, i = 1, ..., п+.
векторнозначных функций, определенных и аналитических np'i
Im X > 0, таких, что для каждого X векторы <рг (X), i = 1 ..., пЛ,
400 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
образуют базис в ЭЛл- Точно такие же результаты имеют
место и для X в нижней полуплоскости.
Доказательство. Пусть 7\ —сужение оператора Т* на много-
образие ® (7\) = ® (Т). Если X = р + iv, где v>0, и
х С® (Ti), то
|(Л-М)х|2Н(Л-р/)х|а + *2И2-
— ((Ti — ц/)х, ivх) — (ivx, (7\ — р,1)х)^
> v21 х |2 + iv [(TiX, х) — (х, 7\x)] = v2|x|2 — v{x, х}.
Записав х в виде x = d + d_, где d-C®_, непосредст-
венными вычислениями приходим к соотношениям {х, х} =
{d_, d_} = — 21 d-12. Таким образом, | (7\ — AJ) х |2 > v2 |х|2, и потому
оператор (7\— X/)-1 ограничен и его норма не превосходит v_1 =
= |ImA.|-1. По лемме 5(c) 7\ замкнут. Если хп —> х
и (7\ — X/) хп —» у, то 7\хп —> .у + Хх, так что и Лх =
= у + Хх, (Tj — )J)x = y. Тем самым оператор (Tj —М) замкнут,
и, следовательно, по лемме 1.2 замкнут и (7\ — А./)-1. Из ограни-
ченности (7\ — X/)-1 и леммы 1.2 вытекает замкнутость области
определения Ф((7\ —М)-1)-
Мы хотим показать, что ©((Л — Л/)”1) есть все гильбертово
пространство. Предположим, что это верно для некоторого Ло.
Тогда (7\ — М)-1 =И (М—всюду определенный ограниченный
оператор с нормой, не превосходящей | Im Хо |-1. Следовательно,
ряд
Г] 2(X-VW+1
п=0
сходится, если | X —[ < | ImX01. Так как Ti замкнут, то для всех
у мы имеем
оо
(Т1-И)3(Х-Хо)п/?(Ло)п+1у =
п=0
оо
= {Л - м - (X - К) 1} 3 (* - М" R (Мп+ у = у-
п=0
Таким образом, (7\ — V) S) (7\) = для | X —Хо | < | ImX0|. Оче-
видно, отсюда следует, что если ® (СЛ — X/)"1) = для одного
значения Хо, то это верно и для всех X в верхней полуплоскости.
Мы покажем, что ((7\ — f/)"1) = доказав тем самым, что
® = @ Для всех X в верхней полуплоскости.
Так как пространство S)((7\ —Z/)"1) замкнуто, то достаточно
проверить, что его ортогональное дополнение состоит лишь
из нулевого вектора, или в силу леммы 1.6(d) проверить, что из
4. Расширения симметрических преобразований
401
соотношения (T*4-i7)x = 0 вытекает х = 0. Но Tt^T, так что
по лемме 1(a) Т* = Т*. Таким образом, если Т*х=—ix, то
х £ ф_ s ® (Т1). Следовательно,
О = (х, (Г* + И) х) = ((Т! - И) х, х) = ((Т* - И) х, х) = - 2i | х |2;
этим показано, что х = 0.
Для удобства обозначим через Л(Х) всюду определенный огра-
ниченный оператор (7\— V)-1, 1ш>0. Тогда (Т\— Х7)Л(Х) =
= (Т*-Х7) А (X) = 7. Полагая К (а, 0) = (Л - а/) А (0),
Im а, Im 0 > 0, имеем К. (а, а) = 7 и К (а, 0) К (0, у) =К(а, у). Таким
образом, К(а,Р) —всюду определенный ограниченный оператор
в с ограниченным обратным. Кроме того, К (а, Р) = (Л — 07)Л (0)-f-
+ (0 — а) Л(Р) = / + (Р + а) Л(0). Отсюда вытекает, что
(Т* — Х7) К (I, X) и = (Т*—Ц)и + ^— i) (Т*—X/) Л (X) и = (Т* — П)и
для всех и £ © (Т*), и, таким образом, из соотношения (Т* — И) и = О
вытекает, что (Т* — Х7)Д(г, Х)и = 0. Следовательно, К (i; X) опре-
деляет взаимно однозначное отображение в ЭЛх- По анало-
гичным соображениям обратный К. (X, i) к К (i, X) определяет
взаимно однозначное отображение ЗЛх в Ж- Таким образом,
Д’ (г, X) определяет непрерывное взаимно однозначное отображе-
ние ЗЛг- на ЗЛх с ограниченным обратным, и потому ясно, что
ЗПг- и W имеют одну и ту же размерность.
Из [*] видно, что Д(г, X) = 7+ (X—i) Л(X) —аналитическая
функция по X. Если ЯКг конечномерно и {<рД, / = 1, ..., п+, —
какой-либо базис в то <р7- (X) = К (г, X) ср7-, / = 1, ...,«+,
определяют базис в ЗЛъ ч. т. д.
Обратимся, наконец, к подробному анализу наиболее часто
встречающегося случая, когда оба индекса дефекта п+ и п- опе-
ратора Т конечны.
Мы придадим нашим рассуждениям вид, удобный для прило-
жений к теории дифференциальных операторов. Так будут введены
абстрактные понятия граничных значений, граничных условий
и т. д. В следующей главе, когда мы перейдем к изучению диф-
ференциальных операторов, эти абстрактные понятия получат
конкретную реализацию.
20. Определение. Граничное эначение для оператора Т есть
непрерывный линейный функционал на гильбертовом пространстве
ф (Т*), обращающийся в нуль на ф (Т).
21. Лемма. Пусть Т — симметрический оператор с конечными
индексами дефекта п+ и п_. Пространство граничных значений
для Т есть гильбертово пространство размерности р = п+-1ГП-.
Множество Ль ..., Л* граничных значений линейно независимо
26 Заказ № 134
402 Гл, XII, Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
тогда и только тогда, когда в ф (Т*) существуют элементы
фл, такие, что det(Лг (<р>))=#= 0, или тогда и только тогда,
когда для любого множества комплексных чисел щ, ..., ak
в Ф+ ф Ф- существует такой вектор х, что At (х) = аг, i = 1, ..., k,
или тогда и только тогда, когда матрица (Л; (фД) имеет ранг k,
где ф(, •••, —любой базис в Ф+@Ф_.
Доказательство. Все эти утверждения вытекают из леммы- 10,
леммы 8(a) и элементарных фактов о конечномерных векторных
пространствах.
22. Определение. Пусть Т — симметрический оператор с конеч-
ными индексами дефекта и+ и п_. Множество п+-\-п_ линейно
независимых граничных значений для Т называется полным мно-
жеством граничных значений оператора Т.
23. Лемма. Пусть Т — симметрический оператор с конечными
индексами дефекта п+ и п~ и Alt ..., Ар —любое полное множе-
ство граничных значений для Т. Тогда билинейная форма {х, у}
может быть единственным образом представлена в виде
Г1 {х,у}~ Ё aijAiWAjXy), х,
причем коэффициенты удовлетворяют соотношениям йц = йц.
Доказательство. Используя лемму 21, выберем в
элементы трь % так, что Аг (%) = где 6^=1, если f='/,
и Sjj = O, если i^=j. Отсюда вытекает, что линейно незави-
симы и, следовательно, образуют базис в Положим
а^=={% %); так как {х, у} = {у, х}, то aZJ = ajZ. Ясно, что
равенство [*] выполнено, если за х и у взять какие-то из эле-
ментов ipi, ..., ipp. Таким образом, I*] выполнено для всех х и у
из в силу билинейности обеих сторон равенства [*].
Но по определению 20 и по определению 2(b) обе стороны этого
равенства обращаются в нуль, если или х или у лежит в %(Т),
Нужное представление вытекает теперь из лемм 10 и 8(а),
а его единственность очевидна.
24. Следствие. Если Alf ..., Ар —полное множество гранич-
ных значений для Т и <р±, ..., срр— множество элементов из ® (Т*),
такое, что det (Д (cpj))=#O, то коэффициенты предыдущей
леммы однозначно определяются системой уравнений
v _____
{фА, фг} = 3 a/jA(фл)Л(Фг)>
»> >=1
Доказательство. Пусть (bi}) — матрица, обратная к(Л;(фД).
Тогда элементарные вычисления, использующие формулу [*] и опре-
4. Расширения симметрических преобразований 403
деление обратной матрицы, показывают, что
р _
[**] аг;= 2 <рг) bktbij.
k, г=1
25. Определение. Если В — граничное значение оператора Т,
то уравнение В (х) = 0 называется граничным условием. Множе-
ство граничных условий Вг (х) = 0, i = 1, ..., k, называется линейно
независимым, если граничные значения Blt ..., В* линейно неза-
висимы. Говорят, что множество граничных условий Су(х) = 0,
; = 1, ..., т, сильнее, чем множество ВДх) = 0, i = l, ..., k,
если все граничные значения Вг являются линейными комбина-
циями значений Су. Если каждое из двух множеств граничных
условий сильнее, чем другое, то говорят, что эти множества
эквивалентны. Множество граничных условий Вг (х) = 0, i =
= 1, ..., k, называется симметричным, если из соотношений
Bi (х) = Bi (у) = 0, z = 1, ..., k, вытекает равенство {х, у} — 0.
26. Лемма. Пусть Т — оператор с конечными индексами
дефекта. Всякое замкнутое симметрическое расширение опера-
тора Т есть сужение оператора Т* на подпространство в © (Т*),
определяемое симметрическим семейством граничных условий
Bi(x) = 0, i = l, ...,k. Обратно, каждое такое сужение Т{ опе-
ратора Т* есть замкнутое симметрическое расширение опера-
тора Т.
Доказательство. Сначала докажем второе утверждение. Так
как Bi — непрерывный линейный функционал на ©(Г*), обращаю-
щийся в нуль на ©(Т), то в силу леммы 5(c) ясно, что —
замкнутое расширение оператора Т. Так как множество гранич-
ных условий симметрично, то из определения 2(b) вытекает, что
(Трс, у) = (х, Т\у) для всех х и у из ©(Tj), и, следовательно,
Л симметрично.
Для проверки первого утверждения предположим, что Tj —
замкнутое симметрическое расширение оператора Т и 95 — орто-
гональное дополнение ©(Л) в гильбертовом пространстве ©(Т*).
Тогда ©(Л)—замкнутое подпространство в ©(Т*) и SB конечно-
мерно (ср. леммы 5(c) и 10). Если vit ..., vk — базис в SB, то для
ХС©(Т*) определим функции Вг(х) = (х, иг)*- Так как Вг(х) = 0
для х из ©(Т1)э©(Т), то ясно, что условие Вг(х) = 0 является
граничным. Более того, так как © (7\) — ортогональное дополне-
ние своего ортогонального дополнения, то семейство Вг (х) = 0,
i = 1, .... k, граничных условий определяет подпространство
©(7\) в ©(Г*). Из леммы 3' вытекает, что ©(Tj) — симметриче-
ское подпространство в © (Т*), и, следовательно, множество гра-
ничных условий Bi (х) = 0 симметрично, ч.т. д.
26*
404 Гл, XIL Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
27. Определение. Пусть Т — симметрический оператор с конеч-
ными индексами дефекта, Ар — полное множество гранич-
р _____
ных значений для Т и {х, у} = 3 aijAi(x) Aj(y), как в лемме 23.
т-r if
Пусть
р
[*] Bj=2₽iA s,
г—1
— произвольное множество граничных значений для Т и
tn = 1, ..., /, — базис множества решений линейной системы
р
3 / = 1» •••» s. Тогда множество граничных условий
i=l
р _______
3 агД<тЧ(1/) = 0, /п=1, t,
<. 7=1
называется сопряженным множеством граничных условий к усло-
виям [*].
Замечание. Следует отметить, что сопряженных множеств
граничных условий существует так же много, как и базисов реше-
V
ний уравнений У воЕи 0, / - 1, ..., s. Однако любая пара таких
i=l
различных сопряженных множеств граничных условий, очевидно,
эквивалентна.
28. Теорема. Пусть Т — симметрический оператор с конеч-
ными индексами дефекта и Ti~ сужение оператора Т* на под-
пространство в Ф(Т*), определяемое конечным множеством гра-
ничных условий Bj(x)=0, / = 1, ..., s. Тогда Т* есть сужение
оператора Т* на подпространство в ® (Т*), определяемое сопря-
женным множеством граничных условий.
р
Доказательство. Пусть Bj= 2 PtjAi, J — 1, ..., s, и T2 — суже-
ние оператора Т* на подпространство в S)(T*), определяемое
сопряженным множеством граничных условий Bj (х)=0, /= 1, ..., s.
Если x£S)(Ti), то х удовлетворяет уравнениям Bj(x) =
р
= 2 = / = 1, s, и, таким образом, At (х) является
г=1
линейной комбинацией элементов ..., /=1, . ..,р. Сле-
довательно, если х£® (7\) и р£2)(Т2), то из леммы 23 мы заклю-
р ____
чаем, что {у, х} = 2 atjAt (у) Aj (х) = 0. Поэтому
г, j=l
(Тгг/, х) — (у, Т1х) = 1 {у, х} = 0,
4. Расширения симметрических преобразований 405
так что (Ttx, у) = (х, Т2у) для всех хС®(Т1) и yd'&iTJ; тем
самым показано, что Т2 s Т*.
Предположим, что существует элемент z/g® (Г*) s® (Т*),
но z/5®(T2). Тогда по определению 27 существует такое реше-
р
ние [gj, ...Др] системы уравнений 2 PijBi = O> /=1, •••» s> что
г=1
Р
2 аД,-Лг (t/)#= 0. По лемме 21 существуют в ® (Г*) такие эле-
’> j=i
р
менты У], что Ai(yj) = btj, i, j=\, ..., р. Полагая х0=^Ъ,ьуь,
мы имеем х0^(Т*) и Лг(х0) = Вь t = 1, ..., Р- Следовательно,
Bj(xo) = O, j=\, .... з, и тем самым Однако
р
— Z [(Т*у, Хо) — (у, ТiX0)l = {у, Х0} = 2 aijAi (у) ^ =/= °>
», 7=1
что невозможно.
29. Лемма. Пусть Т—симметрический оператор с конечными
индексами дефекта, сумма которых равна р, Ль ..., Ар— пол-
р _
ное множество граничных значений для Т, а 2 ctijAtAj — били-
г, .7=1
нейная форма леммы 23. Множество граничных условий
р
2 РгуЛ/ (х) = 0, /’= 1, ..., s, симметрично тогда и только тогда,
г==1
Р Р
когда из соотношений 2Pijli = 0 и 2РгЛг — 0> / = П •••• s>
г=1 г=1
Р __
вытекает, что У au^T)j==0-
i, J=1
Доказательство. При сделанных предположениях ясно, что
р
если для векторов х и у справедливы уравнения 3 РгjAi (х) — 0
г=1
р
И 2Мг (г/) = 0, / = 1..... s, и из них следует соотношение
г—1
{х, у) = 0, то множество граничных условий симметрично.
Обратно, предположим, что существует пара векторов [|lf ... Др]
р р
и [П1, • • •, такая, что 2 Mi = 2 Pi Яг = 0, / = 1, ..., s, в то
г=1 г=1
р _
время как 2 Pv&Hi 0- По лемме 21 в ®(Т*) существуют
1. 7=1
406 Гл. XII, Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
такие элементы и и v, что Лг(и) = ^, Ai(v) = t]i, i = l, ..., р.
Таким образом, оба вектора и и v удовлетворяют граничным
V
условиям 3 Р;jAj (х) = 0, j = 1, ..., s, в то время как {и, v} 0.
Следовательно, множество граничных условий не симметрично.
30. Теорема. Пусть Т — симметрический оператор с равными
конечными индексами дефекта п = п+ = п_. Тогда сужение Т*
на подпространство в ® (Г*), определяемое любым симметриче-
ским семейством п линейно независимых граничных условий,
является самосопряженным расширением оператора Т. Более
того, всякое самосопряженное расширение оператора Т имеет
такой вид.
Доказательство. Пусть Вг(х) = 0, i=l, ..., п,—симметри-
ческое семейство линейно независимых граничных условий и 7\ —
сужение оператора Т* на подпространство в ®(Т*), ими опре-
деляемое. Тогда по лемме 10® (Л) = © (Т) © 95, где 95 = ® + © ф_.
Так как граничные значения Bi обращаются в нуль на © (Т),
то 95 n-мерно. По лемме 26 оператор Ti симметричен, и потому
по лемме 3' пространство ^(Ti) симметрично. Следовательно,
в силу теоремы 12 (а) 95 есть график изометрического отображе-
ния U подпространства 501 в ®+ на подпространство 5R в ©_.
Так как п = dim(95)<dim(501)<п, то 501 n-мерно и, следова-
тельно, 501 = ®+. Так как U взаимно однозначно, то 5R также
n-мерно и, следовательно, 5R = ©— Таким образом, по теореме 12 (Ь)
оператор Т{ самосопряжен.
Обратно, пусть TY— самосопряженное расширение оператора Т.
Тогда по лемме 26 Tt есть сужение оператора Т* на подпро-
странство ЗВ в ®(Т*), определяемое симметрическим семейством
линейно независимых граничных условий В;(х)=0, i = l, ..., k,
и мы должны лишь показать, что k = п. По лемме 11 SB = ® (Т) © 95,
так что по теореме 12 (Ь) пространство 95 n-мерно. Так как ®+© ®_
2п-мерно и 95 есть множество элементов из ®+ © ®_, удовле-
творяющих k линейно независимым условиям, то 95 является
(2п —/г)-мерным. Таким образом, 2/г — k = n и k = п, ч. т. д.
Наконец, мы даем явное описание общих самосопряженных
расширений оператора Т.
31. Теорема. Пусть Т — симметрический оператор с равными
конечными индексами дефекта п- = п+ = п, <рц ..., ср« — орто-
нормированный базис в ®+ и фъ ..., фп—ортонормированный
базис в ®_. Пусть Bi (х) = (х, q>j)* и Ct (х) = (х, ф,)* для х£% (Т*)
и 1 Тогда всякое самосопряженное расширение Т есть
5. Полу ограниченные симметрические операторы 407
сужение Т* на подпространство ® (Г*), определяемое гранич-
ными условиями
2 егА(х) = о,
j=i
где (fyj)—произвольная матрица, удовлетворяющая равенствам
п
2 9^-9^ = 6^. Более того, всякое такое сужение оператора Т*
j=i
есть самосопряженное расширение Т,
Доказательство. Ясно, что Bi и С$— граничные значения.
Заметим теперь, что теорема может быть эквивалентно сформу-
лирована следующим образом. Оператор является самосопряжен-
ным расширением Т тогда и только тогда, когда он является
сужением Т* на подпространство ®, состоящее из всех таких
х£®(Т*), что (х, z)* = (х, Uz)*, zg®+, где U — изометрическое
отображение на ®_. Для доказательства рассмотрим сужение
Т* на такое подпространство ®. Записав х в виде x = d + d+ + d_,
d^(T), d+^^)+, видим, что xg® тогда и только тогда,
когда (d+, z)* = (d_, Uz)* для всех zg®+, т. е. тогда и только
тогда, когда d_ = Ud+. Таким, 'образом, ® есть прямая сумма
Ф(Т) и графика изометрического отображения ®+ на ®_, и, сле-
довательно, сужение оператора Т* на ® есть самосопряженное
расширение оператора Т. Обратно, если ®—область определения
самосопряженного расширения Т, то по теореме 12 (b) ® = ® (Т) ©
©Г (17), где U—изометрическое отображение на Элемен-
тарные вычисления показывают, что ® состоит из множества тех
xgS)(T*), для которых (х, z)* = (х, Uz)* при всех zg®+, ч. т. д.
5. Полуограниченные симметрические операторы
В этом параграфе мы изучаем самосопряженные расширения
тех операторов в классе симметрических операторов, которые
часто встречаются в граничных задачах математической физики.
1. Определение. Симметрический оператор Т называется огра-
ниченным сверху (ограниченным снизу), если существует такое
вещественное число с, что (Тх, х)<с(х, х) ((Тх, х)>с(х, х)) для
всех xgS)(T). Если Т ограничен сверху или снизу, то говорят,
что Т полуограничен. Число с называется гранью для Т, а наи-
меньшее (наибольшее) из таких с называется верхней (нижней)
гранью оператора Т. Если (Тх, х)>0 для всех xg®(T), то Т
называется неотрицательным.
408 Гл, XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Этот параграф посвящен доказательству следующей теоремы
фон Неймана и Фридрихса.
2. Теорема. Всякий полу ограниченный симметрический опера-
тор с плотной областью определения имеет полуограниченное
самосопряженное расширение с той же гранью.
Доказательство. Если Т полуограничен, то для некоторой
постоянной а или Т а/ или — Т-}- а/ ограничен снизу единицей.
В силу леммы 1.6 ясно, что без ограничения общности можно
считать выполненным (Тх, х)>(х, х) для всех
Для х,уС$(Т) положим (х, у)+ = (Тх, у). Тогда (х, х)+>
>(%,%)> О, и ® (Т) — линейное пространство с эрмитовым били-
нейным скалярным произведением (х, у)+, удовлетворяющим усло-
виям (I) —(V) определения IV.2.26 скалярного произведения
в абстрактном гильбертовом пространстве. Так как доказательство
неравенства Шварца (теорема IV.4.1) не требует аксиомы полноты
IV.2.26 (VI), то ясно, что | (х, //)+|<|х|+ |у\+ для х,у^%(Т).
Таким образом, ® (Т) с нормой | х |+ = ((х, х)+)1/2 становится нор-
мированным линейным пространством, вообще говоря, не полным.
Определим теперь как подпространство элементов х в
обладающих следующим свойством: существует последовательность
{хп} ® (Т), такая, что хп—>х в§ и lim \xm — хп|+ = 0. Мы
m, n->oo
покажем, что эрмитова билинейная форма (х, у)+ может быть рас-
пространена с ® (Т) на ®0, ПРИ этом ®0 станет гильбертовым
пространством (т. е. полным) со скалярным произведением (х, у)+.
Затем будет показано, что сужение оператора Т* на ФоО®^*)
есть самосопряженное расширение Т с той же гранью. Если
lim |хто —хп|+ = 0 и limxn = x0, то существует lim |xm|+, так
ТП, П->ОО П->ОО 7П->ОО
как ||хт|+ — |хп1+|С|хто — хп|+. Если {i/m}s2)(T), Итг/т = Хо
т->оо
и lim \ym — z/n|+ = 0, то, полагая zn = xn —уп, мы имеем lim zn = 0
ГП, П->ОО П->ОО
и lim |zm — zn |+ = 0. Следовательно, существует такое число М,
т, п-+оо
что | zm |+С М, т = 1, 2, ... . Более того, для заданного е>0
найдется такое N, что \zm—zn|+<e длят, nz>N. Таким образом,
(| zn |+)2 С | (zn, zm)+1 +1 (zn, zn — zmy | < | (zn, zmy | + Ms.
Так как | (Zn> £тУ |= | (^n> Tz^) | | zn 11 Tzm |, то lim (Zn, 2тУ = О,
п->оо
/п=1, 2, ... . Следовательно, lim (|гп|+)2<А4е и lim|zn|+ = 0.
Так как ||xn|+ — |z/n|+|<|xn — yn\+ = \zn\+, то ясно, что lim|z/n|+ =
= lim | хп |+. Отсюда вытекает, что существует корректно опре-
деленное распространение нормы | у |+ с ©(Т) на ®0, получаемое
5, Полу ограниченные симметрические операторы
409
из соотношения | х |+ = lim | хп |+ для любой последовательности
{хп}, если limxn = x и lim |xm — xn|+ = 0.
п-+со т, n->oo
Далее будет показано, что из условий хп —> х, хп £ © (Т)
и lim|xn —хт|+ = 0 вытекает lim |хп —х|+ = 0. Заметим сначала,
т, п п->оо
что из предыдущего абзаца следует, что lim |xm —xn|+ = |x —xn|+
m->oo
и lim |xm4-xn|+ = |x + xn|+ для всех n. Вместе с тем тождество
7П->ОО
(I Хт - ХП |+)2 + (I хт + хп |+)2 = 2 [(I хт |+)2 + (I Хп |+)2]
показывает, что lim | хт + хп |+ = 2 | х |+. Следовательно,
т, п->оо
lim |x + xn|+= lim lim |xm4-xn |+ = 2 |х|+.
П—>ОО п->оо т->оо
Однако, полагая в предыдущем тождестве т—>оо, мы видим, что
(I X - Хп |+)2 + (I X + Хп |+)2 = 2 [(| X |+)2 + (| Хп Г)2].
Отсюда следует, что lim |х — хп |+ = 0. Из этого факта обычными
рассуждениями, использующими предельный переход, получаются
соотношения |х|<|х|+, |x + «/|+<|x|+ + | у\+ и |ах |+ = | а | |х |+
для всех х, z/g©0 и любого числа а. Таким образом, ©0— норми-
рованное линейное пространство с нормой |х|+, и ©(Т) плотно
в ©о-
Более того, так как |(х, у)+1С | х |+1 у |+ на плотном подмноже-
стве © (Г) х © (Т) в ©о х ®о> то форма (х, у)+ может быть про-
должена по непрерывности (ср. 1.6.17) до билинейной эрмитовой
формы, определенной на ©0.
Можно показать, что ©0 полно, т. е. ©0 — гильбертово про-
странство со скалярным произведением (х, у)+. Действительно,
если {хп}— фундаментальная последовательность в ©0, то можно
найти последовательность {уп} в плотном подмножестве © (Т) s ©0,
такую, что | хп—уп |+< 1/«. Тогда lim \ут — г/ге|+ = 0 и, следова-
т, п->оо
тельно, lim \ут — Уп\ = ®- Если х —такой элемент в что
ТП, п->оо
[уп — х| —*0, то по определению х есть элемент из ©0. Однако
было показано, что при этих условиях lim | уп—х|+ = 0. Следо-
П->оо
вательно, lim | х„ — х |+ — 0 и ©0 полно.
Определим теперь расширение Tt оператора Т, полагая ©(7\) =
= ©ofl©(T*), Т1х = Т*х для xC©(Ti). Ясно, что
и 7\ —линейный оператор с плотной областью определения. Так
как
(X, у)+ = (х, Ту), х,уС&(Т),
410 Гл. XII, Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
то из непрерывности вытекает, что такое же равенство выполнено
для хС®(7'1) и г/С'ЩТ). Однако, так как (х, у)+=.(Т*х, у) для
х£%{Т^ и уЕФ(Т), то из непрерывности следует, что
(х, у)+ = (Т*х, у) = (TjX, у), х, y€<£(Tt).
Из равенства (х, z/)+^=(z/, х)+, х, видно, что ^ — симметри-
ческий оператор. Соотношение (7\х, х) — (х, х)+>(х, х) показывает,
что Ti имеет ту же нижнюю грань, что и Т, Для проверки само-
сопряженности Т{ необходимо убедиться в том, что есть
все гильбертово пространство g. Если х — произвольный элемент
из то функция (-,х) непрерывна на гильбертовом простран-
стве ®0; действительно, если |//Л|+—>0, то |уп|—>0 и, таким
образом, lim (уп, х) = 0. Из теоремы IV.4.5 вытекает существование
такого вектора что (у, х) = (у, г)+ для Так как
(у, z)+ = (Ty, z) для z/gS)(T), то и = Следова-
тельно, П®(Т'*) = ®(7'1) и TiZ = x. Таким образом, 7\S)(7\) =
= $. Из леммы 1.6(d) следует, что Т* взаимно однозначен.
С другой стороны, так как 7\ симметричен, то Таким
образом, и 7\ и Т* имеют областью значений а так как Т*
взаимно однозначен, то ® (7\) = ® (Т*). Этим показано, что
= т. е. Л —самосопряженное расширение Т, ч. т. д.
3. Следствие. Пусть Т — полуограниченный симметрический
оператор и ®0 — множество векторов для которых суще-
ствует такая последовательность {хп} —что хп~^х и
(Т(хт — хп), (хт—хп))~^0. Тогда сужение Т* на ®0А®(Т*) есть
самосопряженное расширение оператора Т с той же гранью,
6. Унитарные полугруппы
В первом параграфе гл. VIII была построена теория сильно
непрерывных полугрупп ограниченных операторов (см. определе-
ние VIII.1.1). Цель настоящего параграфа —найти вид инфините-
зимального оператора (определение VIII. 1.6) в том случае, когда
элементами полугруппы являются унитарные операторы в гиль-
бертовом пространстве.
1. Теорема (Стоун), Если {U (t), t> 0} — сильно непрерывная
полугруппа унитарных операторов в гильбертовом пространстве,
то существует единственный (быть может неограниченный) само-
сопряженный оператор В, такой, что
U (t) = eitB, />0.
Доказательство. Пусть Л— инфинитезимальный оператор полу-
группы {U (/)}. В силу VIII.1.8 и VIII.1.11 Л— замкнутый оператор
с плотной областью определения, причем его резольвентное мно-
6. Унитарные полугруппы
411
жество содержит всю правую полуплоскость Re Л > 0. Более того,
мы имеем
I*] R(A; Л)х = J e-MU(t)xdt, ReA>0.
о
Положим S(t) = U (t)* = {U (О}-1 Для t > °- Ясно, что S (^) S (/2) =
= S (/i + /2)- Для Л>/2 получаем | S (^) х — S (t2) х | =
= | х—U (tj) S (t2) х | = | х—U (ti — /2) х |, и, следовательно,
\S (ti)x — S (t2)x\ = |x—— /2|)х| для всех M2>0. Таким
образом, {£(/)} является также сильно непрерывной полугруппой.
Ясно, что S (/)* = {S (О}-1 = U (t) для / > 0. Если х С ® (Л), то
lim 5(0,х~х = lim S (t) (X-~U-^X > = - Ах.
t->o ‘ t->o \ ‘ У
Таким образом, если Ai — инфинитезимальный оператор полугруппы
{£(/)}, то Л1 = — А. Точно так же получаем, что —
Следовательно, Л(= — Л, и
оо
[**] R(k, —A)x—^e~MU (t)*xdt, ReA>0.
о
Положим теперь В = — 1А. Используя равенства R (А; аВ) =
= (А/— аВ)-1 = a-1R (Аа-1; В) и формулу [*], мы видим, что
оо
R (— ik; B)x = i e~KtU (/) х dt. Re X > 0,
о
и если —zZ = fi, то
оо
R (р,; В)х = t: е~^и (t)хdt. Imр <0.
о
Точно так же из [**] получаем
оо
R (р; В) х = i J e^U (ty х dt. Im |i > 0.
о
Таким образом, если 1тр,>»0, то
оо
(R (р; В) х, у)= —I (U (/)* х, у) dt =
о
оо оо
= — i (х, U (t) y)dt= — j § (x’ e-^U (t) у) dt =
о о
оо
= Qc, i e-^U (/) ydt^ = (х, R (р; В) у).
о
412 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Следовательно, R(p; B)* = R(|i; В). Используя лемму 1.6(b)
и 1.6(c), находим р/ —B* = |i/— В, и тем самым В* = В, т. е. В
самосопряжен.
Если Е —разложение единицы для оператора В и V(t) — eitB,
то по теореме 2.6
4-00
(V(t)x,y) = J e^(E(dX)x,y).
— оо
Следовательно, для Re р > 0 в силу теоремы Фубини и теоремы 2.6 (е)
мы имеем
е~^ (V(t)x, у) dt = (E(dtyx, y)dt =
О 0 —ОО
4" сю
= $ (<&)%, y) = (R (и; IB) X, у).
—оо
Так как R (р; iB)~ R(pi; Л), то из [*] вытекает, что
(V (t) х, у) dt = е~^ (U (/) х, у) dt, Re pi > 0.
о о
По лемме VIII. 1.15 e~et (V (/) х, у) = e~st (U (Q х, у) для / > 0 и про-
извольного 8 > 0. Следовательно, U (t) = V (t) для t > 0, и теорема
доказана.
7. Каноническая факторизация
В этом параграфе будет доказано, что всякий замкнутый опе-
ратор Т с плотной областью определения в гильбертовом простран-
стве имеет единственное разложение Т = РА, где А — положитель-
ное (т. е. (Ах, х)>0, х^©(Л)) самосопряженное преобразование,
а Р — частичная изометрия (см. определение 4 ниже). Этот результат
можно рассматривать как обобщение того факта, что всякое ком-
плексное число а имеет единственное представление a = reie, где
r>0, a |ei0| = l. По аналогии с тем фактом, что r = (aa)1/2, мы
прежде всего попытаемся получить самосопряженный оператор А
из оператора Т*Т.
1. Лемма. Пусть Т — замкнутый линейный оператор с плотной
областью определения. Тогда
(а) ©(Т*) плотно и Т** = Т;
(b) (IН-Т*?1)-1 существует и является ограниченным самосо-
пряженным преобразованием;
7. Каноническая факторизация
413
(с) Т*Т самосопряжен и положителен*,
(d) если Т' — сужение оператора Т на ® (Т*Т), то Г (Т') = Г(Т).
Доказательство. По лемме 1.5 Г (Т*) = [Л2Г (Т)]-Ц где Л2 —
изометрический изоморфизм [х,у]-->[у, — х] пространства
на себя. Таким образом, если х^[®(Т*)]А то
[х, 0] G [Г (Т*)]± = [Л2Г (Т)]± 1 = ЛДТТ) = Л2Г (Т).
Здесь мы воспользовались тем фактом, что Т замкнут. Следова-
тельно, [0, — х]£Г(Т), и, таким образом, х = 0. Этим показано,
что плотно в <§. Для доказательства равенства Т** = Т
покажем, что Г(Т**) = Г*(Т). По лемме 1.5
Г (Т**) = [Л2Г (Т*)]± - [А2 [Л2Г (Т)]±]1 =
- [Л22Г (Т)]1 ± = [ - Г (Т)]11 = Г (Т).
Этим закончено доказательство утверждения (а).
Так как Т замкнут, то многообразие ® (Т) со скалярным про-
изведением (х, f/)i = (x, у) + (Тх, Ту) есть гильбертово простран-
ство, которое мы будем обозначать через Кроме того, в
функция (х, у) является эрмитовой билинейной формой. Неравен-
ства | (х, у) К | х| | у | <| x|i | у |i показывают, что она непрерывна.
Из леммы Х.2.2 вытекает существование такого ограниченного
самосопряженного оператора А в что (х, у) = (Ах, y)i,
Мы можем также рассматривать А как отображение из всюду
плотного подпространства ®(Т) в $ в пространство В этом
случае А все еще остается непрерывным, так как
| Ах |2 = (Ах, Ax)i = (А2х, x)i = (Ах, х), х £ 5) (Т),
и в силу приведенных выше неравенств
(Ах, х)< | Ах 11 х |< | Ах|i | х |,
и тем самым | Ах |i<| х|. По теореме 1.6.17 А может быть един-
ственным образом продолжен до непрерывного отображения В
из $ в $1. Из соображений непрерывности следует, что (Вх, y)i =
= (х, у) для хGS& у£<£)(Т) и что | Вх|<С| Bx|i<C|x| для x£Sq.
Таким образом, рассматривая В как отображение из $ в плотное
его подмножество, мы видим, что В является оператором в
с нормой, не превосходящей единицы. Так как для х,у, принадлежа-
щих плотному множеству ®(Т), мы имеем
(Вх, у) = (Ах, у) = (А2х, y)i = (Ах, Ау\ = (х, Ay) = (х, By),
то оператор В самосопряженный. Далее, для x£!q, yQ^)(T)
(х, у) = (Вх, у\ = (Вх, у) + (ТВх, Ту) =
= (Вх, у) + (Т*ТВх, у) = ((/ + Т*Т) Вх, у).
Так как 2)(Т) всюду плотно, то (I + Т*Т) Вх = х для xQSq.
414 Гл» XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
С другой стороны, если xQ^)(T*T) и у£$, то ByQ^>(T) и
(В (I + Т*Т) х, у) = ((/ + Т*Т) х, By) =
= {х, By) + (Тх, ТВу) = (х, Ву\ = (Вх, у\ = (х, у).
Таким образом, В (/ + Т*Т) х = х для х £ S) (РТ) = ® (/ + Т*Т). Этим
закончено доказательство утверждения (Ь).
По лемме 1.6 (/ + Т*Т)* = (В"1)* = (В*)"1 = В"1 = / + Т*Т, так что
оператор 14- Т*Т самосопряженный. Но так как (Т*Т)* =
= (I-\-Т*Ту — I = Т*Т, то и Т*Т самосопряжен. Соотношение
(Т*7х, х) = (Тх, Тх)>0, х G ® (Т*Т),
показывает, что Т*Т положителен, и тем самым (с) доказано.
Пусть теперь Т' — сужение оператора Т на ®(Т*Т) и $ —орто-
гональное дополнение к Г (Tf) в замкнутом многообразии Г (Т)
в $ © При этом [х, Тх] G $ тогда и только тогда, когда (х, y)i =
= ([х, Тх], [у, Ту]) = 0 для всех yQ%(T')==%(T*T). Для проверки
утверждения (d) докажем, чтб если [х, Тх]£ ®, то х = 0. Так как
В^=ф(/4-Т*Т) = ф (Т*Т), то из соотношения (х, y)i=0, у
вытекает, что (х, Bz)i = (Bx, для всех Так как (Вх, z)i =
= (х, z), то х = 0, ч. т. д.
Далее нам потребуются некоторые сведения о положительных
самосопряженных преобразованиях и квадратных корнях из них.
2. Лемма. Самосопряженное преобразование Т положительно
тогда и только тогда, когда его спектр о(Т) является подмно-
жеством интервала [0, оо).
Доказательство. Пусть В —разложение единицы для Т, так что
по теореме 2.3 мы имеем
Тп = ТЕ([-п, п])== KE(dk) = E([ — n, п])ТЕ([ — п, п]).
—п
Тогда, также по теореме 2.3, Тпх~^-х для всех xg£)(T). По тео-
реме 2.9(b)
[*] o(T)U{0}=> U о(Тп) = <т(Т).
71=1
Таким образом, если а(Т) s [0, со), то из теоремы Х.4.2 вытекает,
что Тп>0. Следовательно, (Тх, х) = lim(Tnx, х)>0, и преобразо-
вание Т положительно. Обратно, если Т>0, то (Тпх, х) —
= (ТЕ ([ — п, п])х, Е ([—п, п])х)>0, т. е. Тп>0. Таким образом,
по теореме Х.4.2 о (Тп) = [0, оо). Следовательно, [*] показывает,
что о (Т) s [0, оо), ч. т. д.
7. Каноническая факторизация
415
В следующей лемме утверждается, что положительное само-
сопряженное преобразование имеет единственный положительный
«квадратный корень».
3. Лемма. Если Т — положительное самосопряженное преобра-
зование, то существует единственное самосопряженное преобра-
зование А, такое, что А2 = Т.
Доказательство. По лемме 2 о (Т) [0, оо), и по теореме 2.6 (d)
положительная функция /(%) = Х1/2на о (Г) определяет самосо-
пряженный оператор A = f(T). В силу следствия 2.7(c) А2 Т
и ® (Л2) = S) (Т) П ® (Л). Но из теоремы 2.6 (а) вытекает, что
®(Т)^®(Л), и потому ® (Л2) = Ф(Т). Таким образом, А2 = Т.
Положительность А следует из теоремы 2.9(b) и леммы 2. Для
проверки единственности Л предположим, что В2 — Т, где В также
самосопряжен и положителен. Пусть 6 — борелевское множество
в [0, оо), Si = {X]XG[O, оо), х1/2£д}, И пусть £(-;Л), £(•;#)
и £(•; Т) — разложения единицы для операторов Л, В и Т соот-
ветственно. Тогда по теореме 2.9 (с) Е (6; Л) — Е (St; Т) = Е (64; В2) =
= Е(8;В). Таким образом, £(•; X) ==£(•; В) и потому по тео-
реме 2.3 А —В, ч. т. д.
Теперь мы введем в рассмотрение класс операторов, которые
в нашем анализе будут соответствовать множителям eiQ в числовом
случае. На первый взгляд может показаться, что подходящим
для этого классом являются унитарные операторы. Однако простой
пример показывает, что такое предложение не является приемле-
мым. Рассмотрим, например, двумерное гильбертово пространство
и оператор, матрицей которого служит
/а 0\
\0 О/ ’
Ясно, что соответствующее разложение должно иметь вид
/а 0\ leiQ 0\ 1г 0\
\0 О/ = \0 ‘О/ \0 О/ ’
где а = reiQ — разложение числа а. Однако первая матрица в пра-
вой части есть не изометрия, а лишь частичная изометрия; точный
смысл этого понятия объясняется в следующем определении.
4. Определение. Ограниченный линейный оператор Р в гиль-
бертовом пространстве $ называется частичной изометрией, если
существует такое замкнутое подпространство ЗЛ, что | Рх | = | х |
для х £ ЭЛ и Р (ЭЛ1) = {0}. Подпространство ЭЛ называется началь-
ной областью оператора Р, а Р9Л ( = Р$$) — его конечной областью.
416 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
5. Лемма. Ограниченный линейный оператор Р в гильбертовом
пространстве является частичной изометрией тогда и только
тогда, когда Р*Р — проектор. В этом случае РР* также является
проектором, и области значений операторов Р*Р и РР* служат
соответственно начальной и конечной областями оператора Р.
Доказательство. Если Р*Р — проектор, положим 9ft = P*P^g.
Тогда для x£9ft и у £ 9ft1 мы имеем
I X |2 = (х, х) = (Р*Рх, х) = (Рх, Рх) = | Рх |2,
0 = (Р*Ру, у) = (Ру, Ру) = \Ру\2,
и, таким образом, Р — частичная изометрия с начальной обла-
стью 9ft. Для проверки того, что РР* — проектор, областью значе-
ний которого служит конечная область 9t = P9ft, примем за Q
оператор, который равен Р"1 на 91 и нулю на 911. Если x£9t,
то Qx£9ft и, таким образом, Qx = P*PQx = Р*хн х = РР*х. Вместе
с тем если у _]_91 = P9ft = Р$$, то Р*у = 0 и РР*у = 0. Таким образом,
РР* — проектор, областью значений которого является 9t = P9ft,
конечная область оператора Р.
Чтобы завершить доказательство, достаточно проверить, что Р*Р
является проектором, если Р — частичная изометрия. Пусть
х, v £9ft — начальной области оператора Р. Тогда тождество | x+v |2=
= | Рх+ Pv |2 показывает, что (х, v) + (v, х) = (Рх, Pv) + (Pv, Рх).
Следовательно, Re(x, v) = Re(Px, Pv). Так как Im(x, y) = Re(x, iv),
то (x, v) = (Px, Pv), если x, y£9ft. Если x£9ft и оу £ 9ft1, to Pw=0,
и тем самым 0 = (х, w) = (Рх, Pw). Таким образом, для любого
вектора у в гильбертовом пространстве мы имеем (х, у) = (Рх, Ру),
если x£9ft. Это означает, что (х, у) = (Р*Рх, у) для всех у
и, следовательно, Р*Рх = х для x£9ft. Так как Р обращается
в нуль на 9ft1, то таким же будет и Р*Р. Тем самым Р*Р — орто-
гональный проектор на 9ft, ч. т. д.
6. Следствие. Р является частичной изометрией тогда
и только тогда, когда Р* —частичная изометрия.
7. Теорема. Если Т —замкнутое преобразование с плотной
областью определения, то оно может быть представлено и притом
единственным способом в виде произведения Т = РА, где Р —
частичная изометрия с начальной областью 91 (Т*), а А —такое
самосопряженное преобразование, что 91 (Д) = 91 (Т*).
Доказательство. Пусть Л — положительный квадратный корень
оператора Т*Т; его существование вытекает из леммы 3 и леммы 1 (с).
Тогда (Ах, Ах) = (А2х, х) = (Т*Тх, х) = (Тх, Тх) для х^^(Т*Т).
Если положить Р0Ах = Тх для х £ S) (Т*Т), то Ро —корректно опре-
8. Теоремы о моментах
417
деленная изометрия с областью определения 31 (Д'), где Д' —суже-
ние оператора Д на ® (Т*Т).
Так как Т*Т = А*А, то лемма 1 (d) показывает, что Г (Д') плотно
в Г(Д). Таким образом, если [х, у]£Г(Д), то существует после-
довательность {[xn, уп]} с Г (Д'), такая, что [хп, уп] —> [х, у]. Следо-
вательно, уп—* У и (Д') плотно в 31 (Д). Пусть Р{ — изометри-
ческое расширение оператора Ро на 31 (Д) и Е — перпендикулярная
проекция § на 3i (Д). Если положить Р — Р^Е, то Р —частичная
изометрия с начальной областью 31 (Д). Более того, РАх = Тх
для xg®(T*T).
Пусть {уп} —последовательность элементов из ® (Д), такая,
что уп—>У и PAyn—>z. Так как Р — изометрическое отображе-
ние 31 (Д), то Ауп сходится к некоторому элементу и. Поскольку А
замкнут, уС®(Д) и Ау — и. Таким образом, г/£Ф(РД) и PAy=z.
Следовательно, РА замкнут.
Проверим теперь формулу Т = РА. Пусть Т' —сужение Т
на ®(Т*Т). Тогда по лемме 1(d) Г (Т') плотно в Г(Т). Если
х£®(Т), то существует последовательность {[xn, 7xn]} cz Г (Т'),
сходящаяся к [х, Тх]. Так как РАхп — Тхп и РА замкнут, то
РАх = lim РАхп = lim Тхп = Тх. Таким образом, Т^РА. С другой
стороны, Г (Д') плотно в Г(Д). Таким образом, если хС®(Д),
то существует последовательность {[хп, Ахп]} элементов из Г (Д'),
сходящаяся к [х, Ах]. Так как РАхп — Тхп и Т замкнут, то РАх =
= lim РАхп = lim Тхп = Тх. Таким образом, РА е Т и, следова-
тельно, РА = Т.
Соотношение 31(Д) = 3?(Т*) является следствием лемм 1.6(d)
и 1(a), ибо Д*х=Дх = 0 тогда и только тогда, когда Т**х — Тх —
— РАх = 0.
Покажем, наконец, что разложение Т — РА единственно.
По лемме 1.6(c) ДР* = Т*. Следовательно, Т*Т = АР*РА. Так как
по лемме 5 Р*Р есть проектор на 31 (Д), то Т*Т = А2. Единствен-
ность А вытекает теперь из леммы 3. Так как преобразование А
единственно, то Р однозначно определяется на 31 (Д) уравнением
Р (Дх) — Тх. Кроме того, продолжение Р по непрерывности с 31 (Д)
на 31 (Д) единственно. Так как Р равен нулю на 31 (Д)1, то отсюда
вытекает, что Р однозначно определяется по оператору Т, ч. т. д.
8. Теоремы о моментах
Термин момент, использованный в заголовке этого параграфа,
был введен в математическую терминологию Стильтьесом, который
в знаменитом мемуаре [1 ], 1894 г., сформулировал и решил то, что он
назвал проблемой моментов. Терминология, заимствованная из тео-
27 Заказ № 134
418 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
ретической механики, связана со следующей ситуацией: если
pi (б) —масса, распределенная на множестве 6 прямой, то инте-
гралы /pi(d/)> § (^0 дают статический момент и момент инер-
ции относительно начала отсчета. Вообще интеграл tnp> (dt) назы-
вается n-м моментом относительно начала отсчета на прямой,
и задача, поставленная и‘решенная Стильтьесом, состоите нахож-
дении распределения массы pi на полупрямой [0, оо) по предписан-
ным ее моментам. Проблема моментов Гамбургера похожа на задачу
Стильтьеса, но отличается от нее использованием всей веществен-
ной оси ( — оо, оо) вместо полупрямой [0, оо). Проблема моментов
Хаусдорфа также похожа на задачу Стильтьеса, но связана с конеч-
ным интервалом вещественной оси.
В этом параграфе мы покажем, как применить спектральную
теорему для самосопряженных операторов при доказательстве
многих результатов теории моментов. Мы начнем с решения про-
блемы моментов Гамбургера.
1. Теорема. Пусть тп,п — 0, 1; 2, ..., — последовательность
вещественных чисел. Для существования неотрицательной меры pt,
определенной на борелевских множествах вещественной прямой,
оо
такой, что | t\n pi (dt) < оо и
— оо
тп= tn^,(dt), n = 0, 1, 2,
— оо
необходимо и достаточно, чтобы
3 /пг+7ага;>0
г, j=0
для любого конечного множества а0, •.., ад комплексных чисел.
Доказательство. Заметим сначала, что это условие необходимо.
Действительно, если {тп} имеет такое представление и а0, ..., ап- ♦
любое конечное множество комплексных чисел, то
п оо п
У mi+jaidj^ 5(2 tl+1 alaj^(dt) =
i, У=0 —оо г, j—0
oo n rt oo n
= 5(2 /i(x0(2 512 /5(z>| н (<#)><*•
-oo i = Q j=o -00 j=0
8. Теоремы о моментах
419
Для доказательства достаточности обозначим через 21 линей-
ное пространство всех последовательностей an, п = 0, 1, 2,
комплексных чисел, все элементы которых при достаточно боль-
ших п являются нулями. Если £ = [ап] и т] = [(3Л] лежат в 21,
то определим
п
(М) = 3
г, ;=0
Тогда (£, т]) — эрмитова билинейная форма на 91, и по предположе-
нию (£,£)> О, £g91. Если положить |£|=]Л(В» £), т0 отсюда
вытекает (см. доказательство теоремы IV.4.1), что выполнено
неравенство Шварца | (|, г]) | < | £ 11 т] | и | £ + т] | < | £ | -|-1 т] | для всех
g, ПС®.
Пусть теперь ЭД0—-подпространство в 91, состоящее из всех
таких последовательностей g, что 1= 0. Если т] = | +£0, где
£о£ЭДо, то по неравенству Шварца (£, 910) = 0 и, таким образом,
| т] | = | £ |. Поэтому если через 05 обозначено факторпространство 91/9Г0
элементов х = ^4-910, £€91, то мы можем положить | х | = | £ |.
Ясно, что при этом 35 становится нормированным пространством.
Пусть $ —замыкание в 35** подпространства х(35), где х —естест-
венное изометрическое вложение 05 в 05** (см. П.3.19). Ввиду
леммы 1.6.7 ясно, что полно. Покажем, что —гильбертово
пространство. Так как (|, 91о) = О, ££91, то (£, il) = (£i,'Hi), если
£ — и т| — т)! лежат в Йо. Таким образом, мы можем определить
на 05 билинейную форму, полагая (х, у) = (^, т]), если х = £ + 91о,
t/ = r]-|-9lo. Если (х, у) продолжить по непрерывности с 05 х 35
на $ X £> (см. 1.6.17), то ясно, что $ —гильбертово пространство.
Далее, для ^ = [аг]Е91 положим Т£ = [0г], где ро = О, ₽;+1 = аг,
i>l. Если т] = [уг]€91, то
оо оо
СП;, т])= 2 fni+^iyj= 3 =
г, j=0 i=l,j=0
оо
= 2 mi+;+1aiY/ = (|, Тт]).-
г, ;=0
Таким образом, J Tg |а = (Т2^, £) = 0, если £ € т. е. Т91о s 910-
Полагая Sx=T£,, если х = £-}-91о, мы получаем линейное отобра-
жение 35 в себя, удовлетворяющее соотношению (Зх, у) = (х, Sy),
х, у € 35. Так как 35 плотно в то 3 — симметрический оператор в
Если V — отображение 91 в себя, определяемое равенствами
У[аг] = [аг],_то, очевидно, V(£ + t]) = + Е(а£) = аУ£,
(Vg, Ут]) = (£, т]) и V2 = I. Следовательно, V9t0 s 910 и отображение
U: 35 —> 35, определяемое формулой Ux — V£, если х == £ -}- 910, можно
27*
420 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
продолжить по непрерывности до отображения (которое мы также
будем обозначать через U) всего пространства в себя; это ото-
бражение является инволюцией (см. определение 4.17). Так как
SUx = USx для xg93, то из теоремы 4.18 вытекает, что S имеет
равные индексы дефекта. Таким образом, в силу следствия 4.13
S имеет самосопряженное расширение Sp
Пусть v — последовательность [1,0, 0, ...] из ?! и u = v +
4-2IoG®- Так как S3 —®(S) и 533^93, то uQ^(Sn) для всех п.
Следовательно, по теореме 2.6
t*n(E(dt)u, u)<Zco, п>0,
—оо
где Е(-) обозначает разложение единицы для Более того,
(5пм, и) = J tn (Е (dt) и, и), п > 0.
— ОО
Но (Snu, u) = (Tnv, v) = mn, п = 0, 1,2, .... Таким образом,
оо
tnn= tn[i(dt).
—оо
где р(е) = (Е (е)и, и), ч. т. д.
Несложные рассуждения позволяют применить метод предыду-
щего доказательства к решению проблемы моментов Стильтьеса.
2. Теорема. Пусть тп, п = 0, 1,2, ..., — последовательность
вещественных чисел. Для существования неотрицательной меры р,
определенной на борелевских множествах полупрямой [0, оо),
такой, что
тп^=\> tn\i (dt), п = 0, 1,2 ...,
о
необходимо и достаточно, чтобы
[*] 3 т/+>ага7->0
i, j=0
U
[**] 2 тг+;+1аг^>0
г, j=0
для любого конечного множества а0, ..., ап комплексных чисел.
8. Теоремы о моментах
421
Доказательство. Из теоремы 1 вытекает, что условие [*] необ-
ходимо. Для доказательства необходимости условия [**] заметим,
оо
что если тп = \>tnn(dt), то
о
п ОО п
2 = J ( 2 f+3+1ataQp.(dO =
i, j=0 0 i, j=0
oo n
= 2 (2<x‘ |\(^)>0-
0 1=0
Для доказательства достаточности отметим, что в предполо-
жении [**] оператор Т из доказательства теоремы 1 удовлетворяет
неравенству
оо
(Tg, £) = 2 /пг+Я1агау > 0
г, ;=0
для всех g = Таким образом, (Sx, х)>0 длях£Я5 HS-
неотрицательный симметрический оператор в <q. По теореме 5.2
он имеет неотрицательное самосопряженное расширение Sp Если
£'(•) — разложение единицы для то из доказательства тео-
ремы 1 вытекает, что
оо
тп= п>0,
— оо
где ц (е) = (Е (е) и, и). Но по теореме 2.9 и лемме 7.2 Е(( — со, 0))=0.
Таким образом, р(( — оо, 0)) = 0 и
оо
тп = п>0,
о
ч. т. д.
Несколько изменяя тот же метод, можно доказать следующую
теорему Бохнера о моментах. 3 * * * * * * * *
3. Теорема. Пусть т — комплекснозначная функция вещест-
венной переменной /. Для существования конечной неотрицатель-
ной меры ц, определенной на борелевских множествах веществен-
ной прямой, такой, что
оо
m(t)= eils[i(ds),
— оо
необходимо и достаточно, чтобы
(а) т была непрерывна]
422 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
(Ь) для всякого множества аь ..., ап комплексных чисел
и всякого множества tn вещественных чисел
2 т (tt — tj) > 0.
г, j=i
Доказательство. Если т допускает представление т(/) =
оо
= eitsii(ds), то непрерывность функции т вытекает из тео-
— оо
ремы Лебега (III.6.16). Более того,
П ОО -J-оо п П
2 ajah (ds) = ( У a7eti-'s^) ( У р, (ds) =
j, /1=1 —оо —оо j= 1 /t= 1
4-00 П
= 5 |s <Wztjs]\ P(ds)>0.
—оо j= 1
Таким образом, необходимость условий (а) и (Ь) установлена.
Для доказательства достаточности примем за 21 множество
всех комплекснозначных функций f вещественного переменного I,
для которых f(t) = O всюду, кроме конечного числа значений t.
Если /, g£2l, положим (Д g) = 2 m —s)f(0 £ (s)‘> эта сУмма 0ПРе'
s, t
делена, так как она имеет лишь конечное число отличных от нуля
слагаемых. Тогда (/, g) — эрмитова билинейная форма на й и по
предположению (/, /)>0. Пусть | f | = (/, f)1/2 для f и
2Хо = {Ш€2Х, |/|=0}.
Отсюда вытекает, так же как и при доказательстве теоремы 1,
что й0 —линейное подпространство в 21 и (210, /) = (/, Йо) = 0 для
/£й. Полагая (x, g) для элементов х = / + 210и y = g + 2l0
из 93 = й/210, мы получаем эрмитову билинейную форму на 95.
Как и в случае теоремы 1, 93 —плотное подпространство гиль-
бертова пространства $ и скалярное произведение в Iq есть
непрерывное продолжение функции (х, у) в 95.
Для каждого t примем за V (/) отображение 21 в себя, опре-
деляемое по формуле (V (/) /) (s) = f (s—t). Тогда V (s) V (/) = V (s +1)
для всех s и /, и
(V(OA V(t)g)= 2 m(si-s2)f(si-t)g(s2 — t) =
Si, S2
= 2 tn(si-(-t — s2-t)f(s1)g(s^) = (f, g);
Si, s2
8, Теоремы о моментах
423
отсюда в силу неравенства Шварца вытекает, что V (/) 210 = По-
следовательно, мы можем определить отображение U (t): SB—> 95,
полагая U(t)x = V (t) / + П0, если x = f + 2loc95. Тогда ясно, что
{*1 U(s+f) = U (s)U(t), (U (t) х, U (t) у) = (х, у)
для —оо</<ео, х,у£%5. Так как, в частности, |U (t)х| = |х|,
то отображение U (t) можно продолжить по непрерывности с 95
на пространство и тогда равенство [*] выполняется для всех t
и х,у£& (Это продолжение мы также обозначаем символом (7 (/).)
Таким образом; семейство {U (/)}, —оо </<со, представляет
собой группу унитарных операторов на
Далее мы покажем, что группа {U (•)} сильно непрерывна.
Пусть х = / + 21оС25, где /СИ. Тогда
| U (t^ x — U (t2) х |а = | U (| ti-t21) x-x|2 =
= |t/(|/1-/2|)x|2 + |x|2-2Re(t/(|/1-/2|)x, x) =
= 2Re{|x|2 — (U(\ti-/2|)x, x)} =
= 2Re{ 3/и (si—s2) f ($i) f (s2)— S m(Si~s2) f (si—\ti—t2\) f (s2)} =
Si, S2 Si, S2
= 2Re{ 3 [m(si — s2)—m(si — s2 + \tl — t2\)]f(sl)r(s2)}.
Si, S2
Так как по предположению функция m(t) непрерывна, то
при \tY — /2|—>0 для всех По теореме II. 1.18 это выпол-
нено не только для но и для х£<$. Таким образом, U(t) —
сильно непрерывная группа унитарных операторов.
Из теоремы 6.1 теперь вытекает существование неограничен-
ного (быть может, ограниченного) самосопряженного оператора Т,
такого, что U(t)^=eiiT. Пусть Е — спектральное разложение опе-
ратора Т и V — функция, определяемая соотношениями v(t) = O
для /=/=0, у(0) = 1. Если и — элемент v + 2I0G то по теореме 2.3
m (t) = (V (t) v, v) = (U (t) u,u)=\j eitK (E (dK) u, u).
— oo
Таким образом, полагая p (e) = (E (e) и, и), мы имеем m(t) =
oo
= (dZ), и достаточность условий (а) и (b) установлена.
— oo
424 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Читателю теперь будет нетрудно применить метод предыдущей
теоремы для доказательства следующего результата того же типа
для полуинтервала [0, 2л).
4. Теорема. Пусть тп, n = 0, ± 1, ±2, ..., — последователь-
ность комплексных чисел. Для существования конечной неотри-
цательной меры, определенной на борелевских множествах [0, 2л),
такой, что
2Л
тп= einspi (ds), n = 0,± 1, ±2, ..
о
необходимо и достаточно, чтобы
п
2 tni-jataj > О
г, j=—n
для всех конечных последовательностей —n^i^n, ком-
плексных чисел.
9. Упражнения
1. Симметрическое преобразование, область значений кото-
рого— все гильбертово пространство, является самосопряженным.
2. Если операторы Т и Т* всюду определены, то Т ограничен.
3. Пусть оператор Т самосопряжен, а В ограничен. При этом
ВТ ^ТВ тогда и только тогда, когда В коммутирует с разложе-
нием единицы для Т. Если ВТ <=^ТВ, то для всякой борелев-
ской измеримой функции f оператор Bf (Т) имеет замыкание
и BpT)=f(T)B.
4. Точечный спектр симметрического оператора в сепарабель-
ном пространстве является счетным подмножеством веществен-
ной оси.
5. Если Т — симметрическое преобразование, определенное на
всюду плотном множестве, то
['] V = (T-iI)(T + iiyi
— изометрическое преобразование, не обязательно всюду опреде-
ленное. Показать, что оператор Т замкнут тогда и только тогда,
когда замкнут V. Оператор I — V взаимно однозначен, имеет
плотную область значений и
["] T=i(i+V)(i-~vr\
Обратно, если V —изометрический оператор, имеющий плот-
ную область значений, и такой, что I — V взаимно однозначен,
то уравнение ["] определяет симметрический оператор Т, для
которого выполнено соотношение [']. Всякое изометрическое рас-
9. Упражнения
425
ширение Vt оператора V обладает тем свойством, что I —V
взаимно однозначно; Т максимально среди симметрических пре-
образований тогда и только тогда, когда V [максимально среди
изометрических преобразований.
Оператор Т является самосопряженным тогда и только тогда,
когда V унитарен. Показать, наконец, как эта конструкция,
принадлежащая фон Нейману, может быть использована для
доказательства следствия 4.13.
6. Пусть дан максимальный симметрический оператор Т в гиль-
бертовом пространстве Показать, что 1д может быть разложено
в прямую сумму
а
ортогональных подпространств, инвариантных относительно Т
и Г, со следующими свойствами.
(а) Сужение TQ оператора Т на $0, определяемое уравнениями
® (То) == ® (Г) П TqX^Tx, %С®(То), самосопряжено.
(Ь) Для каждого а существует изометрия Ua пространства
на Л2(0, °°), такая, что если Та—-сужение оператора Т на
(т. е. ® (Та) = ф (Т)П^а, ТаХ = Тх ДЛЯ Х€®(Та)), ТО VaTaUa
совпадает с оператором ± г’Д, где Д определяется соотношениями
®(А) =
= {/СТ2(0, оо)|/ абсолютно непрерывна, /'£Л2(0, со), /(0) = 0},
Д/=/\ /£®(Д).
При этом мы имеем 4- гД для всех а, если положительный индекс
дефекта оператора Т равен нулю, и —/Д для всех а, если отри-
цательный индекс дефекта Т равен нулю. (Указание: см. тео-
рему XIII.2.10 и следствие XIII.2.12; использовать конструкцию
упражнения 5 и разложить максимальный изометрический опе-
ратор V.)
7. Если {T(t)}t^o—-сильно непрерывная полугруппа операторов
в гильбертовом пространстве с инфинитезимальным оператором Л,
то {Т* — сильно непрерывная полугруппа с инфинитезималь-
ным оператором Л*.
8. (Купер.) Инфинитезимальный оператор сильно непрерывной
полугруппы {V (/)} частично изометрических операторов с началь-
ной областью $ имеет вид iT, где Т—максимальный симметри-
ческий оператор с положительным индексом дефекта нуль. Обратно,
всякий такой максимальный симметрический оператор является
инфинитезимальным оператором сильно непрерывной полугруппы
частично изометрических операторов с начальной областью
Гильбертово пространство $ может быть разложено в орто-
гональную прямую сумму $ = © 3 ТЭК, ЧТО
426 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
а) сужение оператора V (/) на унитарно, / > 0;
Ь) для каждого а существует изометрия Ua пространства
на /^(0, оо), такая, что
Г 0, 0<x<J,
(Ua (V (0 I £а) t/a1) / (X) = I f {x_ x>t.
Установить соответствующий результат для сильно непрерыв-
ной полугруппы частично изометрических операторов с конечной
областью
9. Неограниченное преобразование Т в называется нормаль-
ным, если Т замкнуто, всюду определено и ТТ* — Т*Т. Показать,
что
а) если Т нормально, то нормально и Т*;
Ь) преобразование Т нормально тогда и только тогда, когда
Ф (Г) = © (/*) и | Тх | = | Т* х | для всех х £ © (Т);
с) нормальное преобразование не имеет собственных нормаль-
ных расширений (см. Секефальви-Надь [3; стр. 33, 34]).
10. Если? = UH HU, где Я —самосопряженное, a U — уни-
тарное преобразования, то Т нормально и UH = HU. Обратно,
если Т нормально, то Т = UH =HU, где U унитарно, а Я —само-
сопряжено и положительно.
11. Замкнутый, определенный на плотном множестве опера-
тор Т нормален тогда и только тогда, когда © (Т) = ® (Г*),
а операторы Т+ Т* и i (Т — Т*) являются самосопряженными
и имеют коммутирующие разложения единицы. Оператор Т нор-
мален тогда и только тогда, когда Т = A Jr iB, где А и В —
самосопряженные операторы, имеющие коммутирующие разложе-
ния единицы.
12. Т нормален тогда и только тогда, когда существует раз-
ложение единицы Е в комплексной плоскости Р, такое, что
© (Т) = {х| lim f kE(dk)x
п^°° 1Жп
и
существует
Тх= lim f kE(dk)x,
П->оо
x£®(T).
13. Нормальное преобразование не имеет остаточного спектра.
14. Сильно непрерывная полугруппа {Nt} ограниченных нор-
мальных операторов может быть представлена в виде
[*] Nt= J eztE(dz),
р
9. Упражнения
427
где £(•) —спектральная мера, определенная на борелевских мно-
жествах комплексной плоскости Р. Если {Nt} состоит из само-
сопряженных операторов, то Е(-) можно выбрать так, чтобы
интеграл в [*] нужно было брать лишь по вещественной оси,
и тогда полугруппа {Nt} непрерывна в равномерной топологии
при />0.
15. Пусть оператор Т замкнут. Операторы Т*Т и ТТ* унитарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда
dim {х | Тх = 0} = dim {х | Т*х = 0}.
Более общо, пусть
^1 = {х\Тх = 0)1, £2 = {х | Т*х = 0}.
Тогда существует изометрическое отображение U подпространства
на такое, что = x£<g2-
16. Показать, что равенство упражнения 15
dim {х | Тх = 0} = dim {х | Т*х = 0}
выполнено не всегда.
17. (Шмидт.) Оператор Т*Т имеет те же ненулевые собствен-
ные значения, что и оператор ТТ*, даже с учетом кратностей
(положительные квадратные корни этих собственных значений
иногда называются характеристическими числами оператора Т).
18. Пусть Т — ограниченный оператор; Т вполне непрерывен
тогда и только тогда, когда этим свойством обладает Т*Т, а это
имеет место тогда и только тогда, когда вполне непрерывен ТТ*.
Если оператор Т вполне непрерывен и {Л,ь Z2, ..^ — последова-
тельность ненулевых характеристических чисел оператора Т,
расположенных в убывающем порядке, причем каждое из них
повторяется столько раз, какова кратность его квадрата как соб-
ственного числа оператора ТТ*, то
а • I Ггр |
лп = mm max .
Ф1,. Фп-1 OI’, Фг)=о, 1 Y I
i=i,.. п—1
19. Положительное вещественное число Л является характе-
ристическим числом оператора Т тогда и только тогда, когда
существуют такие ненулевые векторы ф и гр, что
Тф = Ллр, Г*гр = Л,ф.
20. Пусть оператор Т вполне непрерывен и {ZJ —последова-
тельность ненулевых характеристических чисел оператора Т, распо-
ложенных в убывающем порядке, причем каждое из них повторяется
428 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
столько раз, какова кратность его квадрата как собственного
числа оператора ТТ*. Пусть {фг} — соответствующая последователь-
ность ортонормированных собственных векторов оператора ТТ*.
Тогда существует соответствующая последовательность {^} орто-
нормированных собственных векторов оператора Т*Т, такая, что
для всякого f ряды
оо
г*/=2 МЛ <рг)
г=1
Tf = 2 ^i(f, ^)<рг
i=l
СХОДЯТСЯ В СИЛЬНОЙ ТОПОЛОГИИ.
21. (Наймарк.) Существует замкнутый определенный на плот-
ном множестве симметрический оператор Т, такой, что © (Т2) = 0.
22. Пусть Т = РА — каноническое разложение оператора Т.
Оператор Т взаимно однозначен тогда и только тогда, когда А
положительно определен; в этом случае Р — изометрия. Оператор
Т* взаимно однозначен тогда и только тогда, когда Р унитарен.
23. Если оператор Т имеет какое-либо замкнутое линейное
расширение, то существует единственное замкнутое линейное
расширение Т, такое, что для любого другого замкнутого линей-
ного расширения Тг оператора Т выполняется соотношение
Т ^Т^ Т называется замыканием Т.
(а) Существует определенный на плотном множестве оператор
без замкнутого линейного расширения.
(Ь) Оператор Т с плотной областью определения имеет замк-
нутое линейное расширение тогда и только тогда, когда его
сопряженный определен на плотном множестве; в этом случае
(Т)* = Т*.
24. Дать примеры замкнутых симметрических операторов,
имеющих заданную пару (т, п) порядковых чисел в качестве
индексов дефекта.
25. (Наймарк.) Пусть Т — замкнутый симметрический оператор
в гильбертовом пространстве 1д. Существуют такие гильбертово
пространство =! $ и самосопряженный оператор Т± в что
® (Т) = ® (Л) П £, Т.х = Тх. х£® (Г).
(Указание: принять за прямую сумму $ и его «комплексно
сопряженного»!)
26. (Наймарк.) Пусть оператор Т такой же, как в упражне-
нии 25. Тогда существует функция множества F (•), определен-
ная на борелевских подмножествах вещественной оси и имеющая
9. Упражнения
429
своими значениями положительные ограниченные эрмитовы опера-
торы, такая, что
(а) /?(-)х счетно аддитивна при каждом
(b) ® (Т) = (х| J IVI (F (d%) х, х) < оо};
— оо
(с) Тх= J KF(dK)x, XG®(T),
— 00
причем интеграл по бесконечному интервалу сходится в сильной
топологии в смысле главного значения.
27. (Наймарк.) Пусть F(-)—функция множества, определен-
ная на о-поле 2 подмножеств множества S, значениями которой
являются положительные ограниченные эрмитовы операторы
с нормой, не превосходящей единицы, в гильбертовом простран-
стве причем F(-)x счетно аддитивна при всяком x£<q.
Показать, что существует гильбертово пространство содержа-
щее и счетно аддитивная функция множества £(•), опреде-
ленная на S, значениями которой являются ортогональные проек-
ции в такая, что
F (е) х = РЕ (е) х, е£ 2, х£&
где через Р обозначен ортогональный проектор на $. (Указа-
ние: рассмотреть сначала случай, когда $ одномерно, а затем
обобщить найденное в этом случае решение.)
28. Пусть в гильбертовом пространстве @ задан самосопря-
женный оператор Л, причем Тогда существуют гиль-
бертово пространство $ и ортогональный проектор Q в
такой, что
Ax = PQx, х£$,
где Р — ортогональный проектор на $.
29. Пусть {Тп} — последовательность ограниченных операторов
в гильбертовом пространстве Существуют гильбертово прост-
ранство Sg и последовательность {Nn} коммутирующих нор-
мальных операторов в такая, что
Tnx = PNnx, х£$,
где Р — ортогональный проектор на (Указание: рассмотреть
отдельно вещественные и мнимые части и использовать упраж-
нение 27.)
430 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
30. Пусть {Лп} —последовательность ограниченных самосопря-
женных преобразований в гильбертовом пространстве <q. Предпо-
ложим, что для некоторой постоянной М, 0<Л4<оо,
ciqI 4~ Д1Ц-... Ц- апАп 0
для любого вещественного многочлена
я04-яА4- • • • 4-ЛтЛп,
неотрицательного на отрезке [ — М, М]. Тогда существуют такие
гильбертово пространство и эрмитов оператор В в $1? что
Апх = РВпх,
где Р — ортогональный проектор на !д. (Указание: представить
м
Ап в виде KnF (dh) и воспользоваться упражнением 27.)
-и
31. (Секефальви-Надь.) Пусть {Дп}, — оо <лг<;4-оо, —рав-
номерно ограниченная последовательность операторов в гильбер-
товом пространстве такая, что .
ri”leineAn>0, 0<0<2л, 0<г<1.
П=— ОО
Тогда существуют гильбертово пространство = jg и унитарный
оператор U в такие, что
Апх = cPUnx, х£$, — со < п < 4- 001
где Р — ортогональный проектор на а с — положительная
постоянная.
32. (Секефальви-Надь.) Пусть Т — оператор в гильбертовом
пространстве jg и | Т | С 1. Тогда существуют гильбертово про-
странство = jg и унитарный оператор U в такие, что
Tnx = PUnx, х£!д, 0<n<co,
где Р — ортогональный проектор на .£).
33. (фон Нейман.) Пусть u(z) — аналитическая функция, опре-
деленная в круге |z|<r, г>1, и такая, что | и (z) | < 1 при
| z | < 1. Пусть Т — оператор в гильбертовом пространстве и | Т |< 1.
Тогда | и (Т) 1. Точно так же, если Re«(z)>0 при |z|<l, то
и(Т)(Указание: воспользоваться упражнением 32.)
34. Существуют такие самосопряженные операторы А и В,
что Ф(4) П ® (В) = {0}. Таким образом, для самосопряженных
9. Упражнения
431
операторов А и В ни А + В, ни АВ + В А не обязаны быть само-
сопряженными. Может даже случиться так, что АВ определен
только для {0}.
35. Множество {(Тх, х)| |х| = 1, х£©(Т)} выпукло.
36. (Секефальви-Надь.) Пусть Г —график замкнутого опера-
тора Т, а Ер — ортогональный проектор на Г. Тогда
£гк, 0] = [(/ + Т*7’)-1х, ТЦ + Т^Т^х].
37. (Секефальви-Надь.) Если операторы Ап самосопряжены
для всех п>1, Апх—>Амх для всех х£®(Доо) и замыкание А
оператора А<х> самосопряжено, то
(/ + Ап)'1 -> (/ + Д2)"1 сильно,
Ап (I + Ап)-1 —> Д (14- А2)'1 сильно.
Если же
1- | Апх— АооХ [2 ~
lim SUP Ы8 М4 х 2~°>
П->ОО хе^СА^) I Х I -Г|ЛооХ^
то
(7 + Лп)"1 —> (7 + Л2)"1 равномерно,
Ап (I + Лп)"1 —> Л (7 + Л2)’1 равномерно.
38. (Реллих.) Пусть операторы Ап самосопряжены при всех
п>1 и Апх —> АооХ для всех %С2)(Лоо). Предположим, что замы-
кание Л оператора Лоо самосопряжено и имеет разложение еди-
ницы В(-). Тогда /(Лп)~>/(Л) сильно для всякой ограниченной
функции f вещественной переменной, которая непрерывна всюду,
кроме, быть может, замкнутого множества С, такого, что Е (С) = 0.
Если
lim sun _ Q
^дХ)|х|2+>л°°*12 ’
то ё’(Лп)—>йг(Л) равномерно для всякой ограниченной непрерыв-
ной функции g вещественной переменной.
39. Не существует двух ограниченных эрмитовых операторов
Л и В, таких, что АВ — ВА = И. Но существуют неограниченные
эрмитовы операторы, такие, что АВх — ВАх = ix для всех х из
некоторого всюду плотного подмножества гильбертова пространства.
40. (Принцип неопределенности, Гейзенберг.) Пусть А и В —
самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, такие,
что ®0 = ® (ЛВ) f] ® (ВЛ) всюду плотно. Пусть х £ ®0; положим
Е(С) = (Сх, х), о2(С) = |(С-В(С)7)х|2
432 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
для всякого оператора С, для которого определено Сх. Тогда
о2 (Д)о2(В)>4|(£(ДВ-ВД)) |2.
41. (Бодью.) В предположениях и обозначениях предыдущего
упражнения
о2 (Д) о2 (В) > 11 (£ (АВ - В А)) I2 +11Е (D) |2,
где
D - (А - Е (А) I) (В - Е (В) /) + (В - Е (В) /) (Л - Е (Л) /).
Обобщения теоремы Пэли —Винера
42. Пусть {xj и {yt} — последовательности элементов В-про-
странства. Если для некоторого 0, О<0<1, для всех конечных
числовых последовательностей оц, . ..,ап выполнено неравенство
12 «; (х,—yi)\ <91 2аЛ I
1=1 i=i
и {xj фундаментальна, то и {yt} фундаментальна. Если {xj —
базис, то и {yi} — базис.
43. Пусть {xj и {yt} — последовательности элементов В-про-
странства. Если для некоторой постоянной 0, О<;0<1/3, для
всех конечных числовых последовательностей а1? ..., ап выпол-
нено неравенство
|2 ai(Xi—yt)\ <9{| 2 4 I 3 “if/;lb
1=1 1=1 1=1
то {*;} фундаментальна тогда и только тогда, когда фундамен-
тальна {z/J, и {хг} является базисом тогда и только тогда, когда
{yt} — базис.
44. (Поллард—Секефальви-Надь.) Пусть {хг} и {yi} — после-
довательности элементов в гильбертовом пространстве. Если
существуют такие постоянные 0(, 92, 93, что 0<Oj< 1, 0<03< 1,
0<92<;(1—Oj)(l—03), и для всех конечных числовых последо-
вательностей а1? ..., ап выполнены соотношения
| 3 (*г Уд I
1 = 1
01 ) 3 I 4“ 202 I &iXi | I | ~Г I 3 ’
i=l 1=1 1=1 1=1
9. Упражнения
433
то {%,} фундаментальна тогда и только тогда, когда фундамен-
тальна {у-,}, и {X;} является базисом тогда и только тогда, когда
{yi} — базис.
45. (Поллард.) Пусть {х,} и {yt} — ортонормированные после-
довательности элементов гильбертова пространства. Предполо-
жим, что при некотором р>0 для всех конечных числовых
последовательностей а15 ..., а„ выполнено неравенство
п п
3 агаДхг, 3 1а;12-
г=1
Последовательность {xj фундаментальна тогда и только тогда,
когда фундаментальна {///}. (Указание: воспользоваться упраж-
нением 44.)
46. (Даффин —Ичес.) Пусть {хп} и {z/n} — последовательности
элементов гильбертова пространства и {хп} полна и ортонорми-
рована. Предположим, что для всех числовых последователь-
оо
ностей {ап}, таких, что 2 1ап|2<°°> выполнено соотношение
п=1
оо оо
| 3 (^п Уп) |2 2 I |2>
71=1 П=1
тогда {уп} фундаментальна.
47. (Даффин— Ичес.) Пусть {хп} —полное ортонормированное
множество в гильбертовом пространстве, {Тп} — последователь-
ность ограниченных операторов, а ап& — двойная числовая последо-
оо
вательность, такая, что п,£>1. Пусть ch\Tk\<A-
Тогда соотношения
оо
Уп ~ %П 4“ 2 ^nkTk%n
k=i
определяют фундаментальную последовательность {уп}.
48. Пусть {yi} — последовательность элементов гильбертова
пространства и О<0< 1. Предположим, что для любой конеч-
ной числовой последовательности аь ..., ап выполнены нера-
венства
(1-0)2 2 |аг|2< I 3 а^|*<(1 + 0)2 2 I аг I2.
г=1 г=1 г=1
Тогда существует ортонормированное множество {х,} векторов,
такое, что
7» / П \ 1/2
| 3 аг(г/г-Хг)|<е 3 | аг |2
г=1 \г=1 /
28 Заказ № 134
434 Гл. XII, Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
для любой конечной числовой последовательности аь ..., ап.
(Указание: для соответствующего отображения воспользоваться
теоремой о каноническом разложении.)
49. Пусть {Хп} — последовательность комплексных чисел, такая,
что | Хп — п |< л-1 log 2, — оо < п < + °°- Тогда {eiKriX} фунда-
ментальна в А2(0,2л). (Указание: записать eiKnX в виде
einx (ei(bn-n)x) и разложить второй множитель в ряд Тейлора.)
(Авторам не известно, является ли л-1 log 2 наилучшей возможной
постоянной. Левинсон [1; стр. 48, теорема 29] показал, что
постоянная не может быть больше или равняться 1/4.)г)
50. (Уолш —Боас.) Пусть gn (г) аналитичны в круге | z | < 1 и
оо
3 |§п(г)-г«|2<0<1
п=0
для всех г, | z | < I. Тогда всякая функция /, аналитическая при
|z| < 1 и непрерывная при |z |< 1, имеет единственное разложе-
ние
оо
/(*)= 3 angn (Z),
n=0
причем ряд сходится равномерно в каждом внутреннем круге.
51. Пусть (S, 2, ц) — пространство с мерой и Т — самосопря-
женный оператор в L2(S, 2, ц). Пусть eg2 —множество конеч-
ной меры, такое, что всякая функция f из области значений опе-
ратора Т существенно ограничена на е. Показать, что для
каждого борелевского подмножества о вещественной оси, нахо-
дящегося на положительном расстоянии от точки Х^=0, сущест-
вует (ц х ц)-измеримая функция Е (cr; $, /) переменной [s, /],
определенная на е х S, удовлетворяющая следующему условию:
\Е(о; s, t) |2ц (dt) < оо, sge,
и такая, что для почти всех sQe
$£(<т; s, = Т)/)($)•
(Указание: воспользоваться методами теоремы XII.3.11.)
Отображение/—>/(Т), где/ — аналитическая функция на спект-
ре оператора Т, в некоторых случаях может тать продолже-
но так, что f(T) будет определено для вещественной гармо-
нической функции. Такое продолжение было осуществлено
i) Кадец [1*] показал, что константа 1/4 является точной.— Прим. ред.
9» Упражнения
435
Фойашем [1]. В двух следующих упражнениях рассматривается
частный случай продолжения Фойаша.
52. (Фойаш.) Пусть Т — оператор в гильбертовом пространстве
|Т|<1, —вещественная алгебра вещественных функций и.
определенных и гармонических в области D (и), содержащей замк-
нутый единичный круг {Х||Х]<. 1}, и — вещественная алгебра
всех вещественных функций, непрерывных в этом круге и гармо-
нических внутри него. Пусть обе алгебры и SB упорядо-
чены: означает, что и (%)> v (%) для Пусть —
вещественная упорядоченная алгебра всех ограниченных самосо-
пряженных операторов в !q. Для оператора S в положим J? (S) =
= (S + S*)/2. Показать, что для функции /, аналитической
в области, содержащей единичный круг, оператор (/ (Г)) зави-
сит только от функции ^/(Х). Таким образом, для uQSBq мы
можем определить = (/(Л).
(а) Показать, что отображение и —> и (Т) является сохраняю-
щим порядок линейным отображением вещественной алгебры SBo
в причем
| и (Т) |< max I и (%) I.
(Указание: воспользоваться упражнением 32.)
(Ь) Распространить гомоморфизм части (а) до сохраняющего
порядок линейного отображения вещественной алгебры SB в <#($),
обладающего свойством
| и (Т) К max I и (А) |,
(Указание: воспользоваться тем фактом, что всякая функция
u С является равномерным пределом^последовательности из
в единичном круге. См. Брело [1].)
53. (Фойаш.) Показать для гомоморфизма (J§) упраж-
нения 52, что
(a) inf и (А) < inf (ы (Т) х, х) С sup (ы (Т) х, х) < sup и (А).
1М«1 |x|=i im^i
(Ь) Пусть А — комплексное число и {хп} — последовательность
в Sq, такая, что | хп | = 1 и (А/ — Т) хп —» 0. Тогда
(u (Т) хп, хп) > и (А).
(с) Если А£ор(Т), хд, —вектор с нормой ] | = I и Тхд,=
= Ахд, то
(и(Т)хх, хх) = ы(А).
28*
436 Гл. XJJ. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
10. Примечания и дополнения
Спектральная теорема. Спектральная теория ограниченных
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве была
по существу создана Гильбертом [I; IV], хотя, как мы уже отме-
чали в § Х.9, он излагал свои результаты в терминах квадра-
тичных форм. По духу и терминологии к нашему изложению
немного ближе книга Ф. Рисса [6]. Первый значительный шаг
в анализе неограниченных симметрических операторов был сделан
в 1923 г. Карлеманом в его исследованиях по сингулярным
интегральным уравнениям. Однако лишь несколькими годами
позже, в 1927 г., очевидно под влиянием развития квантовой
механики, фон Нейман [8] обратил внимание на разложение
неограниченных самосопряженных операторов. В своей поистине
классической работе [7] фон Нейман систематически и полно
развивает теорию неограниченных операторов. Вскоре к этой
работе присоединился Стоун [3,10]. В 1930 г. Ф. Рисе [14] дал
изящное элементарное доказательство спектральной теоремы для
неограниченных самосопряженных операторов. В то же время
было дано много различных доказательств спектральной теоремы.
Соответствующие ссылки читатель найдет в § Х.9.
Работа Карлемана показала, что одна симметричность не явля-
ется достаточным условием для получения обобщения спектраль-
ной теоремы для неограниченных операторов.. По фон Нейману
[7; стр. 72], понятие неограниченного самосопряженного опера-
тора принадлежит Эрхарду Шмидту, заметившему (фон Нейман
[7; стр. 62]), что для получения спектрального разложения необ-
ходимо сосредоточить внимание на таких операторах. Следует
иметь в виду, что вместо терминов «симметрический» и «само-
сопряженный» фон Нейман и некоторые другие авторы используют
термины «эрмитов» и «гипермаксимальный эрмитов».
График оператора впервые рассмотрел фон Нейман [16], хотя
еще до этого он получил результаты, изложенные в § I. Поня-
тие графика оператора из одного гильбертова пространства в дру-
гое систематически использовалось Мерреем [4]. Тот результат,
что всюду определенный симметрический оператор ограничен
и самосопряжен, по существу принадлежит Хеллингеру и Теп-
лицу [1]; см. также Стоун [3; стр. 59], Стоун и Тамаркин [I]
и фон Нейман [7; стр. 107].
Леммы 2.1 и 2.2 в явной форме были даны Стоуном [3; стр. 142,
145— 146]. Относительно теоремы 2.3 см. фон Нейман [7; стр. 92],
Ф. Рисе [14; стр. 51] и Стоун [3; стр. 180] и ссылки, приведен-
ные ранее. Операционное исчисление, описанное в теоремах 2.6
и 2.7, принадлежит Стоуну [3; гл. VI, § 2] и фон Нейману [16].
Теорема 2.10 восходит к работе Стильтьеса и была получена
10. Примечания и дополнения 437
для ограниченных операторов Хеллингером [1] и для неограни-
ченных—Стоуном [3; стр. 163, 183].
Спектральное представление. Задача установления унитарной
эквивалентности двух самосопряженных операторов тесно связана
с теориями спектрального представления и спектральных типов.
Первая часть § 3 тесно связана с результатами Стоуна [3; гл. VII],
распространившего на неограниченные операторы теорию Холлин-
гера [1] и Хана [5] об ограниченных формах. См. также Ахиезер
и Глазман [1; § 69 — 73], Халмош [6], Накано [10, 11], Плеснер
и Рохлин [I]1), Сигал [5] и Веккен [2].
Аналитическое представление, описанное в § 3, получено
Бейдом и Шварцем [1]. Они несколько улучшили результат Маут-
нера [1] о разложениях по абстрактным собственным функциям.
Результат Маутнера был также уточнен и использован Гор-
дингом [1] и Ф. Браудером [I]2). Эти теории рассматриваются
в следующих главах о дифференциальных уравнениях.
Расширение симметрических операторов. Задача о том, имеет
ли данный симметрический оператор самосопряженное расшире-
ние, имеет первостепенное значение при решении вопроса о воз-
можности применения спектральной теоремы. Если решение задачи
положительно, то важно знать, какой вид имеют самосопряжен-
ные расширения и как они связаны с исходным оператором. Все
эти сложные задачи рассмотрены в § 4. Основные теоремы пер-
вой половины этого параграфа принадлежат фон Нейману [7]
и были также исследованы Стоуном [3; гл. IX]. Метод, исполь-
зованный нами, однако, ближе к методу Калкина [I]. Он имеет
то преимущество, что дает абстрактный подход к выбору само-
сопряженных расширений путем наложения соответствующих огра-
ничений («граничных условий») на область определения само-
сопряженного оператора. Читатель увидит, однако, что развитие
этого подхода, данное нами, в деталях существенно отличается
от метода Калкина [1].
В § 4 мы рассмотрели симметрический оператор Т с плотной
областью определения в $ и нашли расширения Т, являющиеся
самосопряженными операторами в Sg. Существует по крайней
мере два пути обобщения этой задачи. Первый из них —отка-
заться от требования плотности области определения Т и пред-
полагать, что оператор Т симметричен в том смысле, что
(Тх, у)=^(х, Ту) для всех x,yQ^(T). Эта задача была рассмот-
х) См. также Плеснер [3*].— Прим. ред.
2) Точнее, Гордингом и Браудером было показано, что условиям Маут-
нера удовлетворяют эллиптические операторы. — Прим. ред.
438 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
рена для ограниченных операторов М. Крейном [9] и для неог-
раниченных—Красносельским [1, 2, 4]. Другой возможный путь
обобщения —искать самосопряженные расширения, но разрешить
расширенному оператору действовать в гильбертовом пространстве,
содержащем исходное. В § Х.9 мы обсуждали некоторые связан-
ные с этим задачи, рассмотренные Наймарком [3], Секефальви-
Надем [11] и другими авторами. Можно показать, что любой
симметрический оператор с произвольными индексами дефекта
имеет самосопряженное расширение в некотором большем гиль-
бертовом пространстве (см. Наймарк [7, 8] или Секефальви-Надь
[11; § 2])1). Отсюда вытекает, что симметрический оператор может
быть представлен в виде, напоминающем спектральную теорему,
но • полной аналогии здесь, конечно, нет. За более подробным
обсуждением этих вопросов читатель может обратиться к статьям,
указанным в приложении I книги Ахиезера и Глазмана [1].
Расширение с помощью преобразования Кэли. Ввиду важности
и частой применимости этого способа дадим краткую схему того,
как можно использовать преобразование Кэли для установления
существования самосопряженного расширения симметрического
оператора. Пусть Т — симметрический оператор с областью опре-
деления ®(Т), плотной в Если то мы имеем
\(Т ± П)х\2 = (Тх, Tx)^i(x, Tx)±i(Tx, х) + (х, х) =
= | Тх |2 + |х|2> |х|2.
Поэтому если (Т ± И) х = 0, то х = 0, и, таким образом, опера-
торы Т ± И имеют обратные. Пусть V — оператор с областью
определения © (V) = (Т + II) ® (Т) и
Уу = (Т-1Г)(Т + 1Г)-'у,
Оператор V называется преобразованием Кэли оператора Т. Если
т0 пусть х — такой элемент в '£) (Т), что у—(Т-уП)х-,
следовательно, х = (Т + Н)~гу. Так как | (Т 4- И) х |2 = | (Т — Н) х |2
для всех х С '$(?), то
| у |2 = | (Т + И) х |2 = | (Т - И} х | Vy |2
для всех z/CS)(V). Тем самым показано, что преобразование Кэли
симметрического оператора изометрично, но, вообще говоря,
не является всюду определенным или обратимым. Обратно, если
W — любой изометрический оператор, для которого (/ —
всюду плотно, и если S определен по формуле
Sx = i (I + W) (I - Wy'x, xQ(I-W)® (№),
x) Этот результат полностью принадлежит М. А. Наймарку [7, 8].
— Прим. ред.
10. Примечания и дополнения
439
то S — симметрический оператор с областью определения
(/ — U/)® (W). Более того, если эту операцию применить к преоб-
разованию Кэли V оператора Т, то S = Т. Следовательно, суще-
ствует взаимно однозначное соответствие между симметрическими
операторами Т с плотной областью определения и изометрическими
операторами V, для которых (/ —V) 5) (V) плотно в Оператор Т
замкнут тогда и только тогда, когда замкнут!/; аналогично если
7\ Т2, то их преобразования Кэли связаны соотношением с= У2,
и обратно. Наконец, Т самосопряжен тогда и только тогда,
когда V унитарен.
Поэтому ясно, что задачу нахождения самосопряженных рас-
ширений симметрического оператора Т можно рассматривать как
задачу нахождения унитарных расширений преобразования Кэли
для Т. Предположим для простоты, что Т замкнут, тогда ® (V)
и 91 (V) — замкнутые подпространства. Положим ®+ = (V)
и 3} (V) и обозначим размерности этих подпространств
через d+ и d_ соответственно. Можно доказать, что и
совпадают с многообразиями, введенными в определении 4.9,
и что изометрический оператор V унитарен тогда и только тогда,
когда 2) (V) — $ = 31 (V), т. е. если d+ = O = d_. Ясно также, что
замкнутый изометрический оператор имеет унитарное расширение
тогда и только тогда, когда существует изометрическое отображение
на ®_, а это может быть тогда и только тогда, когда d+ = d_.
Этот изящный процесс расширения оператора был предложен
фон Нейманом [7] и использовался также Стоуном [3; гл. IX},
Риссом и Секефальви-Надем [1; § 123] и Ахиезером и Глазманом
(1; § 78 — 80].
Максимальные симметрические операторы. Если Т — симмет-
рический оператор с плотной областью определения, то он имеет
собственные симметрические расширения лишь при условии, что
оба его индекса дефекта отличны от нуля. Максимальным сим-
метрическим оператором называется оператор, не имеющий
собственных симметрических расширений; следовательно, замкну-
тый симметрический оператор максимален, если по крайней мере
один из его индексов дефекта равен нулю. Если оба индекса
равны нулю, то оператор самосопряжен. Если же d+=^=0, d_ = 0
или d+ = 0, d_ 0, то оператор не самосопряжен и не имеет
самосопряженных расширений (в том же гильбертовом прост-
ранстве). Следует отметить один интересный принадлежащий
фон Нейману результат о приведении симметрических операторов
к стандартному виду [7; стр. 98] (см. также Стоун [3; стр. 351]
и Ахиезер и Глазман [1; § 82]).
Пусть @ —сепарабельное гильбертово пространство,
{*!, х2, ...} —полная ортонормированная система в a Vi — опера-
440 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
(оо
2 CkXk) =
fe=l
оо
= 3 Wk+i- Нетрудно видеть, что изометричен, а ®(/ — 1Л)
k=i
плотно в так что является преобразованием Кэли некото-
рого симметрического оператора 7\ с индексами дефекта d+ = 0
и d_=l. Оператор 7\ называется элементарным симметрическим
оператором. Можно доказать, что если Т — максимальный сим-
метрический оператор с индексами d+ = 0, d_ = n (где п — любое
порядковое число), то @ можно разложить в прямую сумму
попарно ортогональных подпространств таких,
что оператор Т самосопряжен в и является элементарным
симметрическим оператором в пространствах ..., <Qn. Случай
d+ = n, d_ = 0 можно исследовать, рассмотрев оператор — Т с
индексами 0, п или оператор сдвига в противоположном направ-
лении.
Индексы дефекта. Из теоремы 4.19 следует, что понятие
индексов дефекта не зависит от чисел ± г, используемых в их
определении. Г. Вейль [5] показал это в случае дифференциальных
операторов. Если Т — линейный оператор с плотной областью опре-
деления, то через у(Т) обозначим множество всех комплексных
чисел %, таких, что обратный оператор (Т — X/)-1 существует
и ограничен на своей области определения. Множество у (Т) назы-
вается областью регулярности оператора (или множеством точек
регулярного типа) и содержит резольвентное множество р (Т)
и, быть может, часть остаточного спектра. Можно показать, что
это —открытое множество; рассуждения, опирающиеся на идею
непрерывного продолжения, приводят к выводу (см. Ахиезер
и Глазман [1; § 78]), что размерность дефектных пространств
$©(Г —Х/)2) постоянна в каждой связной компоненте у(Т).
(Этот результат принадлежит Крейну и Красносельскому [2].
Он показывает, что если Т — симметрический оператор и по крайней
мере одно вещественное число лежит в у(Т), то индексы дефекта
равны. Последний результат был установлен Калкиным [3].)
Полу ограниченные операторы. Фон Нейман [7; стр. 103] дока-
зал, что полуограниченный симметрический оператор может быть
расширен до самосопряженного оператора со сколь угодно малым
изменением границы. Он высказал предположение, что на самом
деле нет необходимости в увеличении границы, и это предполо-
жение было доказано Стоуном [3; стр. 388] и Фридрихсом [3; I].
Упрощение доказательства Фридрихса, данное Фрейденталем [3],
приведено в тексте. Другие доказательства теоремы см. Калкин [3]
10. Примечания и дополнения 441
и Эберлейн [2; стр. 699], а приложения к уравнениям в частных
производных см. Фридрихе [3].
Расширение Фридрихса определяет специальное расширение
симметрического полуограниченного оператора. Крейн [9] провел
систематическое изучение всех расширений полуограниченного опе-
ратора, а также рассмотрел приложения к дифференциальным
уравнениям. Подход Крейна близок к методу расширения с помощью
преобразования Кэли и кратко рассмотрен Риссом и Секефальви-
Надем [1; § 125].
Унитарные полугруппы (см. также замечания в § VIII. 10).
Теорема 6.1 была сформулирована в 1930 г. Стоуном [10; III] для
случая группы унитарных операторов. Были даны многочисленные
доказательства этой знаменитой и важной теоремы; см., например,
Стоун [16f, фон Нейман [10], Бохнер [7], Ф. Рисе [22], Секе-
фальви-Надь [14], Накано [17] и Купер [3]. См. также Рисе
и Секефальви-Надь [1; § 137—140], где дано два доказательства,
в том числе доказательство Бохнера (основанное на его хорошо
известной теореме о моментах), и Ахиезер и Глазман [1; § 62].
Дополнительные ссылки см. у Хилле [1; гл. IX]. Применения
теоремы Стоуна к эргодической теории и квантовой механике
см. фон Нейман [20] и Маеда [1]. Плеснер [1] получил аналог
теоремы Стоуна для полугруппы операторов, удовлетворяющих
условию U*U = /, но необязательно удовлетворяющих равенству
UU* = I.
Теоремы, дающие представление групп и полугрупп самосо-
пряженных, нормальных и изометрических операторов, можно
найти у Хилле [1; гл. XIX], Рисса и Секефальви-Надя [1; § 141J
и Секефальви-Надя [3; стр. 73—76], [14].
Теорема Стоуна была распространена на унитарные представ-
ления локально компактных абелевых групп Наймарком [1],
Амброзом [4], Годманом [5], Арну [1] и Филлипсом [5]. (См. также
Люмис [1; стр. 147].)
Каноническое разложение. Результаты и методы § 7 принадле-
жат фон Нейману [16]. Читатель может также обратиться к рабо-
там Рисса и Секефальви-Надя [1; § ПО] по поводу ограничен-
ных операторов и Стоуна [3; стр. 329—333] и Секефальви-Надя
[3; стр. 52—53] по поводу неограниченных операторов. Отметим,
что лемма 7.1 показывает, что если Т — замкнутый оператор
с плотной областью определения, то Т*Т имеет плотную область
определения. Это утверждение контрастирует с примером Най-
марка [6] замкнутого симметрического оператора Т с плотной
областью определения, но такого, что областью определения Т*
является лишь {0}.
442 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Теоремы о моментах. Детальное изучение различных теорем
«о моментах, исторические замечания и многочисленные ссылки
читатель может найти в превосходной книге Шохата и Тамаркина [1].
Более сжатое изложение дано Уиддером [1; гл. III]. О связях
.между теоремой Рисса о представлении функционалов в С [0, 1]
и теоремой о моментах см. Гильдебрандт [8] и Гильдебранд и Шён-
берг [1].
Теорема 8.3 принадлежит Бохнеру [6; § 20] и играет важную
роль в гармоническом анализе. Она также доказана у Э. Хопфа
[I; § 4] и Ахиезера и Глазмана [1; § 60]. Накано [18] доказал
этот результат, используя теорему Стоуна. Тесно связанная с ним
теорема 8.4 принадлежит Герглотцу [I]; Рисе и Секефальви-Надь
41; § 53] дали изящное доказательство этого результата, используя
лемму Фейера и Ф. Рисса. Обобщения теоремы Бохнера на локально
компактные группы были даны А. Вейлем [I; §30], Райковым [3],
Картаном и Годманом [I, 2] и Люмисом [1; стр. 142]х).
Матрицы Якоби и проблема моментов. Исследование проблемы
моментов, проведенное в § 8, может быть значительно углублено
путем применения теории неограниченных симметрических опера-
торов в гильбертовом пространстве к матрицам Якоби. Бесконеч-
ная матрица {ajk}, j,k>0, называется матрицей Якоби, если
(I) apq =- aqp для всех р, q',
<П) ам = 0, |р — 9|>1.
Всякая такая матрица определяет неограниченный оператор А
в гильбертовом пространстве последовательностей /2, если положить
{а) ®(4)={х = [хгК/2| 2 |ap,p-i^p-i+ap,pXp+ap,p+iXp+i|2<co},
Р=1
‘(b) Ах = Ор,рХР ар,р+рХр+1].
В (а) и (Ь) мы принимаем а0, -i = 0. При этом можно показать,
что оператор А замкнут, его сопряженный А* симметричен, индексы
дефекта А* равны (1, 1) или (0, 0). Последовательность многочле-
нов Рп, определяемая по формулам
Р-1 (0 = 0, Po(t) = l,
Ok, h+lPk+l (0 = —Ok, k-lPk-1 (0 + (t — Ok, k) Pk (0»
*) Существенные обобщения проблемы моментов принадлежат М. С. Лив-
шицу [6*], М. Г. Крейну [7, 11]; см. также работы Ю. М. Березанского
J4*, 5*], А. Г. Костюченко и Б. С. Митягина [1*, 2*], Р. С. Исмагилова [1*],
Г. И. Эскина [1*].— Прим, ред.
10. Примечания и дополнения
443
называется последовательностью многочленов, ассоциирован-
ной с матрицей {ajk}- Можно показать, что индексы дефекта Л*
равны (1, 1) тогда и только тогда, когда
оо
2 I Рп (z) р < оо
п=0
при всяком невещественном г, и равны (0, 0) тогда и только тогда,
когда
оо
2 |Pn(z)|2=co
п=0
при всяком невещественном г.
Предположим теперь, что дана последовательность постоян-
ных Cj, j>0, и что эта последовательность может быть представ-
лена в виде
оо
[*] />0,
— ОО
где р — положительная борелевская мера на вещественной оси,
такая, что все интегралы
оо
J />0,
— оо
сходятся. Единственна ли мера р? Дать решение этой фунда-
ментальной задачи теории моментов можно следующим образом.
Пусть {Рп (/)} — последовательность многочленов, определяемых
ортогонализацией последовательности элементарных многочленов
1, t, t2, ... относительно меры р. То есть, пусть Рп — последова-
тельность многочленов, определяемая условиями
(I) Рп — многочлен порядка п с положительным старшим коэф-
фициентом;
<П)
pn(t)pm(t)n(dt) = \ 0
— оо v
п = т,
п=£т.
При этом ясно, что матрица {ajk}, определяемая по формуле
оо
ал= tPj (/) Ph (t) р (dt), j, £>0,
— oo
является матрицей Якоби, и легко видеть, что {РД — последова-
тельность многочленов, ассоциированная с этой матрицей Якоби.
444 Гл. XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Можно показать, что уравнения [*] определяют положительную
меру (i однозначно тогда и только тогда, когда оператор Л* имеет
индексы (0, 0). Если Л* имеет индексы (1, 1), то семейство всех
положительных мер р, удовлетворяющих [*], может быть построено
при помощи множества всех самосопряженных расширений Л*.
Очень сжатое и ясное изложение набросанной здесь теории
см. в работе Ахиезера [1]. Более подробное и полное изложение
можно найти у Стоуна [3; стр. 530—614]. Дополнительные резуль-
таты, обобщения, связи с теорией непрерывных дробей и т. п.
можно найти в монографии Шохата и Тамаркина [I]1).
Разные замечания. Можно получить несколько специальных
результатов для эрмитовых операторов, определяемых ядром
К (х, у), удовлетворяющим неравенству
| К (X, у) I2 и (dy) < ОО
S
для почти всех по pi-мере х. Изложение этой теории, принадлежащей
Карлеману, см. в работах Карлемана [1], Стоуна [3; стр. 397—424];
см. также упражнение 9.51.
Оператор К в гильбертовом пространстве называется симметри-
зуемым относительно эрмитова оператора Н, если оператор НК
является самосопряженным. Некоторые свойства симметрических
преобразований можно распространить на симметризуемые преоб-
разования. См., в частности, Заанен [5; особенно стр. 370—391].
х) Много результатов по проблеме моментов, в том числе и многомернойу
содержится в книге Ю. М. Березанского [4*].— Прим. ред.
ГЛАВА XIII
Обыкновенные дифференциальные
операторы
!• Введение. Элементарные свойства формальных
дифференциальных операторов
Дифференциальные операторы образуют наиболее важный для
приложений класс операторов. Исследование этих операторов
затрудняется тем обстоятельством, что они всегда неограничены.
Поэтому задача выбора области определения для дифференциаль-
ных операторов далеко не тривиальна; исследование симметрических
неограниченных операторов в § XII.4 показывает, что выбор области
определения для неограниченных операторов может быть решающим
моментом в этой теории. Точнее, дело обстоит так: пусть нам задан
«формальный дифференциальный оператор», т. е. выражение вида
т = ап (t) + an-i (0 (ju') + • • • + (О-
Понятно, в каком смысле можно «применять» это выражение к /,
если /, скажем, принадлежит С7'; этим мы определим оператор
о областью определения Сп (с областью значений, принадлежа-
щей С); «применив» этот формальный дифференциальный оператор
к более широким или более узким классам функций, мы можем
получить операторы с более широкой или более узкой областью
определения. Теперь нужно выбрать из этих определений самое
выгодное.
При этом можно руководствоваться несколькими принципами.
Прежде всего, для того чтобы применить абстрактную теорию
гильбертова пространства из гл. XII, необходимо отнести все
операторы к гильбертову пространству функций, интегрируемых
в квадрате. И тогда, как следует из гл. XII, вопросом первосте-
пенной важности будет вопрос о сопряженном операторе.
Это значит, что, выбрав предварительно некую область функ-
ций, к которым можно применить формальный дифференциальный
оператор т, мы должны попытаться найти оператор, сопряженный
полученному нами неограниченному оператору в гильбертовом
пространстве. Далее показано, что все эти задачи допускают
удовлетворительное решение.
446 Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
Еще несколько слов об особенностях изложения в этой главе.
В некоторых случаях основные трудности доказательства связаны
с формальной стороной дела. Поэтому иногда мы будем давать
лишь формальные детали доказательства, предоставляя читателю
проведение подробного анализа.
Везде в этой главе буква I будет обозначать интервал действи-
тельной оси. Интервал I может быть открытым, полуоткрытым
или замкнутым. Интервал [а, оо) считается полуоткрытым; интер-
вал ( —оо, оо) —открытым. Таким образом, замкнутый интервал
является компактным множеством. Конец t интервала I, не при-
надлежащий I, называется свободным концом интервала I. В этом
определении мы допускаем, что t может равняться ± оо. Значит,
действительная ось имеет два свободных конца, интервал [0, 1) —
один свободный конец. Концевая точка интервала /, которая при-
надлежит /, называется фиксированным концом.
Пространства Сп (/), где J — компактный интервал, были опре-
делены в гл. IV. Если то мы условимся писать норму
функции f в виде |/|(п), всякий раз когда желательно выделить
число п. Пространство
оо
C°°(J)= n Cn(j)
п=0
всех бесконечно дифференцируемых функций будет играть большую
роль в дальнейших рассуждениях. Если положить
I f |(°°) V I f 1(П)
1/1 1 + |Л(п)’
то С°° (/) становится /^-пространством. Если / является некомпакт-
ным интервалом, то мы определим пространство Сп(7), где п
может быть равно оо, как набор всех функций /, определен-
ных на /, для которых сужение f\J на любой компактный под-
интервал /из I принадлежит Сп(/). Если {Д} —неубывающая
последовательность компактных подинтервалов из /, объединение
которых совпадает с /, то мы положим
I f,(«) = V 2~h l(n)
1 + 1 (f IA)|(n) ’
По этому определению Сп (/) становится ^-пространством вообще
и В-пространством в случае, когда n<z со и / — компакт.
Введенная так норма определяет топологию в Сп (/); в даль-
нейшем, говоря о топологии в Сп(1), мы будем иметь в виду
1. Свойства формальных дифференциальных операторов 447
именно ее. Почти очевидно, что топология для Сп (Г) не зависит
от выбора последовательности {Л} компактных подинтервалов из /,
примененных в определении топологии.
1. Определение. Выражение
п
+an-i(t) + • • • +ао(О = 2 Oi
i=0
называется формальным дифференциальным оператором порядка п
на интервале /, если комплекснозначные функции a-L принадле-
жат С°° (/) и функция ап отлична от нуля в любой точке из
Функции at называются коэффициентами т, а функция ап —
старшим коэффициентом.
Если коэффициенты оператора т принадлежат С°° (/), но старший
коэффициент обращается в нуль в некоторой точке из /, то т
называется иррегулярным формальным дифференциальным опера-
тором. Чтобы подчеркнуть различие между случаем, когда коэф-
фициенту ап разрешается обратиться в нуль, и противоположным
случаем, иногда формальный дифференциальный оператор назы-
вается регулярным формальным дифференциальным оператором.
Почему в определении регулярного дифференциального опе-
ратора требуется, чтобы tzn(/)=^=O, станет понятным дальше, при
доказательстве теоремы 3.
2. Определение. Через Лп(/) обозначим пространство всех
функций /, которые имеют (n— 1) непрерывных производных в /
и для которых абсолютно непрерывна в любом компактном
подинтервале из I. Таким образом, /(п) существует почти всюду
и интегрируема на каждом компактном подинтервале из I. Если
с — фиксированная концевая точка интервала /, то утверждение,
что f имеет непрерывную производную в I или (в случае когда
/ — компакт) принадлежит &(!), означает, что /' непрерывна слева
(справа) в точке с.
Следует отметить, что если т — формальный дифференциальный
оператор порядка п на интервале I и ?£Ап(Г), -то выражение if
определяется совершенно естественно: мы полагаем
(т/) (0 = ап (О f (0 + ... + а0 (0 f (/).
Функция if определена почти всюду и интегрируема на каждом
замкнутом подинтервале из I.
х) Часто называют формальный дифференциальный оператор дифферен-
циальным выражением.— Прим. ред.
448
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Когда оператор т записан в классических обозначениях, таких,
как dn/dtn, мы, следуя традиции, пишем (dnldtn) f (t) или
{dldt)n f(t) вместо (dnfIdtn) (t). Часто вместо выражения (dn/dtn) f (t)
употребляется /(n) (/)•
Следующая теорема дает основную информацию о существова-
нии и единственности решений дифференциальных уравнений.
3. Теорема. Пусть т — формальный дифференциальный опера-
тор порядка п на интервале I. Предположим, что g — измеримая
комплекснозначная функция, интегрируемая на каждом ком-
пактном подинтервале из I. Пусть а с0, с1? ..., cn-i —
произвольная система п комплексных чисел. Тогда существует
единственная функция fQAn(I), такая, что
(а)
(b)
nf = g>
= f = 0, П-1.
Доказательство. Мы дадим формальную часть доказательства,
оставляя различные аналитические пробелы, которые должны быть
заполнены читателем. Прежде всего рассмотрим случай, когда I
замкнут. Введем пространство функций F (/) = [f0 (/), Д (/), ...
...,/n-i(0] со значениями в n-мерном комплексном евклидовом
пространстве Е'\ Затем уравнение (а) заменим системой уравнений
(а')
4/о (0-л (0 = 0.
4а(0-/2(0 = 0,
4 /п-1 (0+4(0 {an~l fn-> (0+• •. + «о (0 /о (/)} = 4(0 • S (0.
Простое исследование показывает, что существует взаимно
однозначное соответствие между решениями уравнения (а) п-го
порядка и решениями системы уравнений (а'). Система (а') может
быть записана в более компактной форме так:
^F(t) + А (t)F(t) = G(t),
где F (t) = [/оЮ.-.-./п-аО]. G(t) = [О,
1. Свойства формальных дифференциальных операторов
449
и A(t)— линейное преобразование в Еп, определенное матрицей
Л (О,
Д7(/) = 6г+1)7-, 1, 0</<n—1,
Л-i, j (О = lan (0Г1а7 (0. 0< j <п — 1.
Аналогично граничное .условие (Ь) эквивалентно условию
(b') F(M = C,
где С есть вектор С = [с0, ct, Cn-J. Далее, (а') и (Ь') вместе
эквивалентны интегральному соотношению
t <
(е) F(f)+^ A(s)F(s)ds = C+^G(s)ds.
to to
t
Если мы положим С-г G (s) ds = Н (t) и введем оператор Ф
to
в пространстве {Lt (/)}п всех вектор-функций Y (/) = [yQ (/), ...
..., Уп-1(01 с компонентами (f), интегрируемыми на /, пола-
гая (ФУ) (/) = A (s) Y (s) ds, то (е) может быть записано в виде
to
(е') (1 + Ф)Р = Н.
По индукции имеем
t
I (ФТ) (/) I = a (S) (Ф'*-1/) (s) ds | <
to
to
где через |и| обозначена норма вектора v, а через | А | — норма
оператора А в n-мерном евклидовом пространстве и где К =
= гпах|Л(/)|. Таким образом, если мы введем норму
t^.i
\Y\=^\Y(t)\dt
i
в В-пространстве {Ц(1)}п, то получим | Фк где Ki =
= /<шах| t — /0|/&так что уравнение (е') имеет единственное реше-
ние (см. лемму VII.3.4)
f=(/+ф)-хя=2 (-1 ?ф’н.
j=0
29 Заказ № 134
450
Гл, XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Так как все члены в уравнении (е), кроме первого, являются
абсолютно непрерывными, то отсюда следует, что F — абсолютно
непрерывная функция. Таким образом, в частном случае, когда
/ — замкнутый интервал, теорема 1 доказана.
Теперь предположим, что неизвестно, замкнут ли I. Тем
не менее из данного выше доказательства следует, что если J —
любой замкнутый подинтервал интервала /, содержащий точку /0>
то существует единственная функция fjQAn(J), такая, что
(а) тЛ(0 = £(0 почти всюду в J,
(Ь) (£)Ч(М = Сь г = 0, .... п-1.
Из единственности fj следует, что /rj1(0 = fj2(0 Для
так что, полагая
Ш = /Я0-
для произвольного замкнутого подинтервала J из /, мы определяем
единственным образом функцию f^An(I), удовлетворяющую (а)
и (Ь). Единственность f следует непосредственно из соответст-
вующего результата для замкнутых подинтервалов J интервала I.
4. Следствие. Если g имеет k непрерывных производных в I,
то f имеет n-^-k непрерывных производных в I.
Доказательство. Очевидно, не уменьшая общности, мы можем
предполагать, что / — ограниченный и замкнутый интервал. Тогда
п— 1
(4)пнп=[о™(or12 (4)^ ю+z(О-
1=0
Поскольку fQAn(I), все члены в правой части принадлежат
С (7) и, следовательно, f QCn (/). Поэтому все члены в правой
части принадлежат С1 (/), так что /gCnhl(7). Очевидно, что мы
можем продолжить это рассуждение по индукции и получить
окончательный вывод: /£Сп+к(7), ч. т. д.
5. Следствие. Пусть функции щ (коэффициенты формаль-
ного дифференциального оператора т), функция g и начальные
величины Ci все непрерывно (или аналитически) зависят от одного
дополнительного параметра'.
ai^=ai(t. X), g = g(t, М, Ct = Ci (К).
Тогда решение f = f(t, X) уравнения if = g и его первые п—\
производных непрерывно (или аналитически) зависят от' пара-
метра К равномерно по t в каждом компактном подинтервале
интервала I.
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 451
Доказательство. Мы рассмотрим только случай, когда / —
замкнутый интервал. Доказательство остальных случаев предо-
ставляется читателю.
Применим обозначения теоремы 3. Из наших предположений
легко следует, что элемент Н = Н (X) пространства {ЛД/)}*
и оператор Ф —Ф(Х) непрерывно (аналитически) зависят от па-
раметра X. Поэтому вектор F(X)g{A1(/)}n, который определяется
уравнением
оо
F (X) = (/ + Ф (Х))-1/У (X) = 3 (- 1 ? (Ф (Х))’7/ (X),
j=0
также непрерывно (аналитически) зависит от X. Так как
t
F(t, Х)= - J Д($, X)F(s, X)ds + //(/, X),
to
то F(t, X) непрерывно (аналитически) зависит от X равномерно
по t £ /. Пусть F (t, X) = [/о (Л ^), ...» fn-i (Л Ml- Так как fi (t, X) =
==(dl/dtl)f (/, X), i = 0, ..., n — 1, то f(t, X) и ее первые n — 1
производных являются непрерывными (аналитическими) функ-
циями X равномерно по t£I, ч. т. д.
Если мы исследуем однородное уравнение т/ = 0, то ясно, что
существует линейное взаимно однозначное соответствие между
наборами п комплексных чисел [с0, и решениями
уравнения т/ = 0, для которых /Ф(/0) = сь 4 = 0, ..., я—1.
Таким образом, мы получаем: множество решений линейного
однородного дифференциального уравнения п-го порядка образует
п-мерное линейное векторное пространство.
2. Сопряженные операторы и граничные значения
дифференциальных операторов
Везде в этом разделе т будет формальным дифференциальным
оператором порядка п на интервале /. Если специально не ого-
ворено противное, то в дальнейшем мы предполагаем, что т
является регулярным. Наша цель будет состоять в том, чтобы
определить линейные операторы в пространстве Л2(/), которые
соответствуют т, и изучить их сопряженные и расширения.
Однако, прежде чем это сделать, необходимо определить
понятие сопряженного оператора т* для формального дифферен-
циального оператора т, регулярного или иррегулярного, и дока-
зать фундаментальную формулу, известную под названием фор-
мулы Грина, которая связывает тит*.
Для простоты сначала предположим, что /—конечный замк-
нутый интервал [а, 6]. Пусть / и g — функции из Сл(/). Рас-
29*
452
Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
смотрим интеграл
a k=Q а
Интегрируя fe-й член в правой части k раз по частям, мы
получаем, что
J [ (4)*^] ak(t)gtfjdt =
а
Ъ
=- к(4Г1 z(°н ш{ak(/)1dt+
+ ak (/) g(i) /(/)£=...
• ••=(- оф (о (^)* dt +
а
k
+2 < -1 >*- [ Ш"‘ <“•<'> М UF Н •
1=1
Таким образом,
1*1 $ (r/)(/)F(0^=$ f(t)^1(-ir^')h{ak(t)g(i)}dt +
а а к=0
+ МЛ g),
где
п k
Ft(f.go=2 •
fe=l i=l
Применяя правило Лейбница
(iy{«Mlm}=2(i) [(FTM •
1=0 4
мы видим, что интеграл в правой части [*] может быть записан
ь
в виде где т* —оператор вида
а
Ммо (4)'
j=0
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 453
И
k=j
Заметим, что если т —регулярный формальный дифференциаль-
ный оператор, то bn (t) = (— 1)”ап(0 ¥=0, поэтому т* —также
(регулярный) формальный дифференциальный оператор.
Применяя теперь правило Лейбница к граничному члену, мы
получаем формулу
Л(/.г)= s (“П'-’С;1) х
0< j^i<n
O^l^n-i
n—i n—j— 1 n — I— 1 . .
j=0 Z=0 i=j
Если {FJ'(t)}—квадратная матрица порядка n (0<^l, j^n— 1),
элементы которой определяются уравнениями
F'iW= S ( — !)*( i) al+i+l(t), j + l<n_l,
i=j
F''(t) = 0, j + l>n-l,
то граничный член записывается в виде
/Ш g) = ”2
j, z=o
После этих предварительных замечаний мы можем дать некоторые
основные определения.
1. Определение. Пусть т — (регулярный или иррегулярный)
формальный дифференциальный оператор на интервале I (не обяза-
тельно замкнутом). Матрица {FH(t)} называется граничной матри-
цей для т в точке t£l. Билинейное выражение
Л (Л £)=nf ^(T)F>(/)iW)
J, /=о
454 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
называется граничной формой для т в точке t. Формальный диф-
ференциальный оператор (регулярный или иррегулярный)
5=0
где
мо=i (-о* (•)
k=j
называется формально сопряженным оператором для т. Если
т = т*, то говорят, что т формально самосопряжен или формально
симметричен. Если все коэффициенты aj оператора т действи-
тельны, то говорят, что т действительный.
2. Лемма. Если т — {регулярный) формальный дифференциаль-
ный оператор, то граничная матрица для т неособенная.
Доказательство. Лемма следует из того, что
F|/(t) = 0, j +
Fp(T) = (-l)M(0> / + Z = n-1,
а, значит, определитель матрицы {Ft7 (т)} равен (± 1){ап(0}п
и, следовательно, нигде в нуль не обращается.
3. Определение. Пусть т— регулярный или иррегулярный
формальный дифференциальный оператор порядка п на интерва-
ле /; Нх (/) обозначает множество всех функций f из Ап (/), таких,
что /их/ принадлежат L2 (Л> и пусть Нп (/) обозначает множество
всех функций / из Ап(1), таких, что / и принадлежат L2(I).
Если / — замкнутый интервал и а£С°°(1), fQL2(I), то af£L2.
Следовательно, если f£Hn (/), то х/ = 2 aif(i} € М т. е. Нп (/) =
г=0
S//?(/). Если т регулярный и fQHx(I), то /<п> = ай1(т/ —
п—1
— 2 M(i)) € М и поэтому Нх (/) и Нп (/) совпадают.
£=0
4. Теорема (формула Грина). Пусть т — регулярный или
иррегулярный формальный дифференциальный оператор порядка п
на конечном замкнутом интервале 1 — [а, Ь]. Если f, gQHx(I), то
ь ь
(т/) (О Я(0 dt=<^f (0 (х*&) (0 dt + Fb У’s) — F<> g)
а а
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 455
Доказательство. Из приведенных выше рассуждений следует,
что эта формула справедлива в случае, когда /, g£Cn(I). Однако
эти рассуждения верны, если /, g£Hx(I).
Для дальнейшего удобно перечислить другие случаи, в кото-
рых формула Грина справедлива без предположения замкнутости /.
5. Следствие. Если I — произвольный интервал, то формула
Грина справедлива для любой пары функций /, g£Hx(I) (или
даже f£Hn(I), g£.An(l)) при условии, что либо f. либо g обра-
щается в нуль вне компактного подинтервала из I.
Доказательство. Как и теорема 4, следствие 5 доказывается
методом интегрирования по частям.
Дальше мы отмечаем одно важное свойство оператора т*,
формально сопряженного дифференциальному оператору т, регу-
лярному или иррегулярному.
6. Лемма. Пусть т — (регулярный или иррегулярный) фор-
мальный дифференциальный оператор на интервале I. Тогда
т = (т*)*.
Доказательство. Если т —оператор порядка п. то коэффициент
(dldt)1 в (т*)* равен
с.- 2 < - о' (‘) XX' ( 2 < - D' (') ю) -
k=i
= 2 0X0 =
j, fc
j=l k—i
Полагая X={1—(1—x)}J и применяя два раз» формулу бинома,
мы видим, что
Таким образом, сг (/)=аг(0> откуда (т*)* = т, ч. т. Д-
Стоит упомянуть о других утверждениях алгебры формальных
дифференциальных операторов, хотя в дальнейшем мы ими поль-
зоваться не будем, и поэтому они не будут выделены в виде
456 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
теорем и лемм. Эти факты справедливы как для регулярных,
так и для иррегулярных операторов.
п п
Если Ti = 2 «г (0 (d/dty и т2 = У г (О (d/dty — два форма ль-
г=0 1=0
них дифференциальных оператора, то мы можем определить их
сумму как формальный дифференциальный оператор т1-рт2 =
п
= 2 (ai (t) + bi(t))(d/dt)z. Определим произведение операторов
1=0
и т2 так: Tt (т2/) = (т^) f. Теперь, применяя правило Лейбница,
имеем
п п г
1=0 /г=0
Нетрудно проверить, что это умножение ассоциативно и дист-
рибутивно, но не коммутативно. Имеются еще два правила,
которые нетрудно проверить:
(Ti + T^Tt + rr, (TfC^ThT.
Таким образом, поскольку (dldt)*= — (d/dty мы имеем
^d/dtyy = (— 1)* (d/dty. Так как сопряженный оператор формаль-
ного дифференциального оператора то = ао(О нулевого порядка
является оператором т* =а(0 нулевого порядка, то получаем
следующее:
1=0 1=0
Формула для тТ, данная в определении 1, очевидно, является
разложением формы в правой части этого уравнения по правилу
Лейбница.
Используя понятия произведения и суммы формальных
дифференциальных операторов, мы можем записывать эти
операторы различными способами: (d/dt) р (/) (d/dt) + q (/),
п
3(-1Г (d/dt)1 pt (t) (dldt){ и т. д. Заметим, что, поскольку
i=0
т*Т2 = (т2т()*, оператор
1=0
формально самосопряжен, если только коэффициенты действи-
тельны. Также и формальный дифференциальный оператор
(i/2) (d/dty1 {р (t) (d/dt) + (d/dt) p (7)} (d/dt)n
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 457
самосопряжен, если только р (/) — вещественная функция. Дей-
ствуя далее по индукции, мы можем указать вид наиболее
общего формально симметрического дифференциального оператора
порядка п. Действительно, пусть т является таким оператором,
и пусть его старший коэффициент равен ап. Тогда старший коэф-
фициент для т* есть (—l)nan(t), так что, если п — четное число,
то ап — действительная функция, а если п — нечетное число, то
ап — чисто мнимая функция. Если п — четное число, то я =
= (dldt)n/2 ап (t) (dldt)nf2 — формально самосопряженный дифферен-
циальный оператор с таким же старшим коэффициентом, как у г.
Если я — нечетное число, то т2 = (z/2) (dldt){n~i}f2 ((dldt) an(t)
-\-ап (/) (dldt)) (d/dt)(n~i)/2 — формально самосопряженный диффе-
ренциальный оператор с таким же старшим коэффициентом, как
у т. Таким образом, или т —или т — т2— формально самосо-
пряженный дифференциальный оператор порядка п — 1. Продол-
жая по индукции этот процесс уменьшения порядка, мы приходим
к следующему результату:
любой формально самосопряженный оператор т порядка п
может быть представлен в виде
[п/2]
5=0
[(п-1)/2]
+z 2 (4Д(4>ио+ы<4)К4)'.
Г=0
где коэффициенты aj и bj действительны.
Можно показать, что это представление единственно. Обратно,
любой такой формальный оператор формально самосопряжен.
Нетрудно показать, что если формальный дифференциальный
оператор т действителен, то второй комплексный член в преды-
дущем выражении исчезает, так что действительный самосопря-
женный формальный дифференциальный оператор имеет четный
порядок п = 2т и следующий общий вид
5=0
где коэффициенты cij действительны. Если п = 2, то мы получаем
так называемый оператор Штурма—Лиувилля
где коэффициенты р и q действительны.
458 Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
Наша ближайшая цель — определить линейные операторы
в L2(/), соответствующие формальному дифференциальному опе-
ратору т, и исследовать их расширения и сопряженные опера-
торы. Последующие разделы посвящены спектральным свойствам
этих операторов.
7. Определение. Пусть Н™ (/) обозначает множество всех
функций из Нп(1), которые обращаются в нуль вне некоторого
внутреннего компактного подмножества интервала I. (Компакт-
ное подмножество может зависеть от функции.)
8. Определение. Если т —(регулярный или иррегулярный)
дифференциальный оператор порядка п, то мы определим опера-
торы То(т) и 7\(т) в L2(I) формулами
(а) ® (То (т)) - Нпо (/), То (т) / = т/, f £® (То (т)),
(Ь) Ф (Т, (т)) = T^f^f, ZGWiW)-
Заметим, что оба оператора Т0(т) и Т4(т) являются неограни-
ченными с областями определения, плотными в L2(I), и Т0(т)
s7\(t). Наша ближайшая задача —доказать, что если т регу-
лярный, то Ti (т) = Т0(т*)*. В случае когда т —формально само-
сопряженный оператор, отсюда следует, что Т0(т)^Т1(т) =
= Т0(т)*. Это показывает, что То (т)— симметрический оператор
(см. лемму XII.4.3') и любое самосопряженное расширение опе-
ратора Т0(т) есть сужение оператора ТДт).
9. Лемма. Пусть квадрат функции f интегрируем на любом
компактном подинтервале из I. Предположим, что
$ /(O?W)^=o
I
для всех g из Тогда (после изменения на множестве
меры нуль) f<zC°°(J) и т/ = 0.
Доказательство. В терминах операторов То и Т1? определенных
в предыдущем пункте, в этой лемме устанавливается, что любая
-функция, которая ортогональна области значений оператора Т0(т*),
лежит в С°° и принадлежит нуль-пространству оператора ?1(т).
Доказательство делится на следующие пять шагов:
(А) Лемму достаточно доказать при предположении, что / —
замкнутый интервал.
В самом деле, если сужение функции f на любой компактный
подинтервал интервала I есть решение уравнения тсг = О, при-
надлежащее С°°, то / — такое же решение в полном интервале I.
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 459
Впредь мы будем считать, что I — компактный интервал [а, Ь],
а функция f ортогональна области значений оператора Т0(т*).
(В) Пусть 2 обозначает n-мерное пространство решений урав-
нения тст = 0. Согласно следствию 1.4, 2 s С00. Следовательно,
достаточно доказать, что /£2. Заметим, что по 1V.3.2 конечно-
мерное пространство 2 есть замкнутое подпространство простран-
ства Л2 (/); этот Факт будет использован ниже, в (Е). Для того
чтобы доказать, что / £ 2, достаточно доказать, что любой функ-
ционал, обращающийся в нуль на 2sL2(/)i обязательно об-
ращается в нуль на /. Для этой цели нам нужны дополнительные
сведения, содержащиеся в пунктах (С) и (D).
(С) Пусть функция w из (/) ортогональна 2, рассматри-
ваемому как подпространство пространства L2(/), т. е.
(*] J ст(/)ау(Г)^ = О, ст£2.
I
Тогда существует функция g в такая, что i*g = w.
Действительно, по следствию 1.3 существует единственная
функция g в Сп(/), удовлетворяющая уравнению i*g = w и гра-
ничным условиям
I**] g(a)=g'(a)=... = g(n-1)(a) = 0.
Из формулы Грина и из [*] мы имеем
ъ
0= g(t) (Ta)(0d/ =
а
Ъ
= $ (T*g) (0 (0 di + Fb(g, ст) — Fa(g, ст) = Fb(g, Ст)
а
для всех cr^S. Так как решения существуют для любых наперед
заданных о (&), о' (&), ..., a(n-1) (&), то из невырожденности формы
Ft (g> сг) (см. лемму 2) следует, что
[***] g («>)=£'(&) = . . . =£(”-1)(Ь) = 0.
Таким образом, g обращается в нуль в обеих концевых точках
интервала /, тогда как w обращается в нуль на интервалах
1а, аЦ-с] и [6 — 8, Ь]. Тогда на каждом из этих двух интервалов
£•—-единственное решение уравнения т*/ = ^ = 0 с граничными
условиями [**] и [***] соответственно. Следовательно, функция g
обязана равняться нулю на интервалах [a, 8] и [Ь — 8, Ь],
т. е. (определение 8) g£Hv(I).
460
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(D) Отсюда следует, что любая функция w из которая
ортогональна 2, также ортогональна /, т. е.
I
Так как по (С) существует функция g из Н™ (/), такая, чтол
n*g = w, то это утверждение сводится к соотношению
ъ
а
которое входит в условия леммы.
(Е) Теперь предположим, что некоторый линейный функционала
<р на L2(I) порождается функцией /г(-) из L2(I) (см. теорему
IV.8.1) и обращается в нуль на 2, т. е.
(y(t)h (/)d/ = 0, о £2.
i
Мы покажем, что ср обращается в нуль также на /. Этим)
завершится доказательство леммы, потому что если / не принад-
лежит 2, то по теореме Хана —Банаха мы можем найти линей-
ный функционал ср на L2(J), обращающийся в нуль на 2, НО’
не равный нулю на /.
Итак, нужно показать, что / (/) h(t) dt = 0. Пусть ..., сгп
I
образуют ортонормальный базис в 2 и каждая функция прибли-
жена в топологии £2(/) функцией так хорошо, что>
матрица (которая аппроксимирует
обратима. Пусть {hm} — последовательность равномерно ограни-
ченных в L2(I) функций из НоУ), которая сходится почти всюду
к h. Если {bij} есть матрица, обратная {а^-}, то последовательность
1*1 gm = hm - У bt^i 5 hm (t) dt
i, I
удовлетворяет соотношениям
n
gm (0 O'* (0 dt = hm (t) <yk (0 dt — 2 bl}a}h hm (t) 0t (/) dt =
I I i,j=l I
= hm (/) CTft (/) dt — hm (/) (/) dt = 0, k = 1, ..., n.
I I
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 461
Таким образом, gm (/) о (/) dt = O для о £ 2. Поскольку gm £ Иц (7),
7
из (D) следует, что gm(t) f (t)dt = 0. Когда tn —» оо, инте-
I
грал hm (/) Ok (0 dt —> h (/) ok (/) dt = 0. Таким образом, из [*]
I * 7
следует, что {g™} — равномерно ограниченная последовательность
функций, сходящаяся почти всюду к h при т—» оо. Поэтому
^7i(/)f(7)d/ = lim \gnW(V)dt = G.
п-+оо у
10. Теорема. Пусть т — формальный дифференциальный опе-
ратор порядка п, определенный на интервале I. Тогда =
= Т0 (т*)*.
Замечание. Из теоремы XII. 1.5 непосредственно следует, что
Ti (т) — замкнутый оператор. Поэтому То (т) 7\ (т) имеет по
крайней мере одно замкнутое расширение и, следовательно, мини-
мальное замкнутое расширение Т0(т).
Доказательство теоремы. Если f£Hx и g£H™, то по формуле
Грина (следствие 5)
$ / (0 W) dt = J т/ (/)F(F) dt.
I I
Это равенство показывает, что /g ® (TQ (т*)*) и TY (т) f = То (т*)*Д
т. е.
(т)с=Т0 (т*)*.
Для ‘завершения доказательства теоремы достаточно дока-
зать, что
2)(Т0(т*)*)е®(Л (т)).
Предположим, что f принадлежит 2)(70 (т*)*). Это означает, что
существует функция g в 7.2(7), такая, что для каждой функции
h из Но (7)
J / (0 (т*Л) (0 dt=^g (0 ¥(7) dt.
I I
Нам нужно доказать, что / принадлежит множеству Tj (т).
По теореме 1.3 существует функция f0£An(l), такая, что rfo = g.
462 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Из формулы Грина (см. следствие 5) видно, что
J /о (0 (т*Л) (0 dt = J g (О ЦТ) dt, hM (/),
i i
и, следовательно,
$ (/(O-/o(/))CFW))^ = o.
i
Из леммы 9 следует, что / —/0СС°°(/), и поэтому / =
= (/ —/о) + /о принадлежит Лп, так что т/ определена почти
всюду. По лемме 9 т(/ — /о) = О, откуда т/ = т/0Е^2(Л? и тем
самым доказано, что / принадлежит //£(/) = ® (7\ (т)).
11. Лемма. Если {регулярный или иррегулярный) формальный
дифференциальный оператор т формально самосопряжен, т&
оператор 70(т) симметрический.
Доказательство. Очевидно, Г0(т)^7\(т). Следствие 5 пока-
зывает, что Т\ (т) TQ (т)*, ч. т. д.
Напомним (см. определение XII.4.9), что если т формально
самосопряжен, то положительным и отрицательным дефектными
пространствами оператора 70(т) являются множества
ф+={/ е ф (Л (т)) | (Л (т) - ii)f~ 0}
и
®- = {/ € ® (Л (т)) | (Л (т) +17) f = 0},
соответственно.
12. Следствие. Если т формально самосопряжен, то положи-
тельное и отрицательное дефектные подпространства и 2L
оператора Г0(т) состоят из тех и только тех решений диффе-
ренциальных уравнений (т —i)/ = 0, (т-Н’)/ = 0 соответственно,
которые принадлежат Д(/).
13. Следствие. Если т —формально самосопряженный диффе-
ренциальный оператор порядка п, то оба индекса дефекта опе-
ратора Tq{t) меньше или равны п.
В следствии XII.4.13 мы видели, что Т0(т) имеет самосопря-
женное расширение тогда и только тогда, когда и имеют
одинаковую размерность. Числа n+ = dim®+ и п_ = dim©_ назы-
ваются положительным и отрицательным индексами дефекта
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 463
оператора 70(т). Информация о п+ и зависит в общем
от того, будет ли интервал / замкнутым, полуоткрытым или
открытым. Однако одно важное заключение можно сделать неза-
висимо от природы интервала.
14. Следствие. Если в формально самосопряженном диффе-
ренциальном операторе
т=2 Qdt)
j=0
коэффициенты aj действительны, то соответствующий опера-
тору т симметрический оператор 70(т) в L2(I) имеет равные
индексы дефекта, а любое максимальное симметрическое расши-
рение оператора Т0(т) самосопряжено.
Доказательство. При этих предположениях решения уравне-
ния (т —f)a=X) будут комплексно сопряженными к решениям
уравнения (т + Осг^О, ч. т. д.
Если / — конечный замкнутый интервал, то любое решение
уравнения (т±/)а = 0 будет лежать в С°°(/) и потому в L2(l).
Поэтому из следствия 12 мы имеем
15. Следствие. Если I — конечный замкнутый интервал^
а т — формально самосопряженный дифференциальный оператор
порядка пу то п+ = п_ = п.
16. Лемма. Пусть т — формальный дифференциальныирператор
порядка п, определенный на интервале I, и пусть J —компакт-
ный подинтервал интервала I.
(а) Пространство Нп (J) полно по норме
| f | = 2 шах | /{> (01 + { ? | f(n) (0 |2 dd1/2.
;=о /eJ Ч J
(b) Если {fn} —последовательность в ©(ТДт)), такая, что
{fn} и {xfn} сходятся (слабо сходятся) в LZ(I), то последова-
тельность {fn} сходится (слабо сходится) в топологии Нп (J),
определенной с помощью указанной выше нормы.
Доказательство, (а) Если {fm} — фундаментальная последова-
тельность в Hn(J), то существуют функции /0 и gQ, такие, что
равномерно на J
lim(/) = /</) (/), i = 0, ...,п— 1,
464 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
и > go в A2(J). Таким образом, для cQJ
t t
(0—/(оп-1) (с) = lim /£> (S) ds --= g0 (s) ds.
m->oo «J «J
c c
Это показывает, что Дп) = §-0 и /0 принадлежит Hn(J). Следо-
вательно, Hn(J) полно.
(b) Рассмотрим две нормы
1/11= [ $ 1/(013^]1/2+ [ $ Iт/(012 ^]1/г = |/| + |Л(т)/|
I I
и
n—1
1/12 = 1/11 + 2 max|/<0(0| + ( \ |/(«)(/)|MiY/s,
заданные на ®(7\(т)). Из определения 8(b) вытекает, что обе
нормы определены и конечны на ®(7\(т)). Первая норма есть
норма для пары [/, 7\/] как элемента графика оператора 7\(т).
Теперь Ti (т) — сопряженный оператор (теорема 10). Поэтому
(см. XII. 1.6) ®(Л(т)) полно по норме |/|i. Так как два допол-
нительных члена в |/|2 определяют норму для / как элемента
Hn(J), то очевидно, что ®(7\(т)) полно также по норме |/|2.
Так как то из теоремы II.2.5 следует, что эти две
нормы эквивалентны. Лемма следует непосредственно из этих
рассуждений.
Теперь обратимся к исследованию особой формы, которую при-
нимает в данном случае абстрактное «граничное значение», вве-
денное в предыдущей главе. Мы увидим, что это исследование
приводит к целому ряду результатов об индексах дефекта.
В данном случае обсуждение будет более широким, чем в раз-
деле XII.4, поскольку можно в основном иметь дело с диффе-
ренциальными операторами, не являющимися формально само-
сопряженными. Можно также сосредоточивать граничные значения
в одной или в другой концевых точках интервала и представлять
граничные значения в конкретной аналитической форме. Основ-
ные определения следующие.
17. Определение. Пусть т —формальный дифференциальный
оператор на интервале I с концевыми точками а, Ь. Так как Ti
замкнут, то ® (т)) становится гильбертовым пространством,
если следующим образом вводится скалярное произведение:
(/,£)* = (/, £) + (Л(т)/, Л(т)^).
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 465
Граничное значение для т есть непрерывный линейный функцио-
нал А на ®(7\(т)), который обращается в нуль на 2)(Т0(т)).
Если Д(/) = 0 для каждой функции из области определения
которая обращается в нуль в окрестности точки а, то А назы-
вается граничным значением в точке а; также определяется и гра-
ничное значение в точке Ь. По аналогии с определением XII.4.25
уравнение B(J) = 0, где В —граничное значение для т, называется
граничным условием для т. Говорят, что множество граничных
условий Bi (/) = 0, i = l, ...,£, сильнее, чем множество Cj (/) = 0,
/ = 1, .т, если каждое Cj есть линейная комбинация Bt. Два
множества граничных условий называются эквивалентными, если
каждое из них сильнее, чем другое. Полное множество гранич-
ных значений есть максимальное линейно независимое множество
граничных значений. Полное множество граничных значений
в точке а есть максимальное линейно независимое множество
граничных значений в а.
18. Лвмма. Если т формально самосопряжен, то определение
17 граничного значения для т совпадает с определением XII.4.20
граничного значения для Т0(т).
Доказательство. Из теоремы 10 вытекает, что 7\(т) сопряжен
к Т0(т), ч. т. д.
Следующая теорема описывает основное свойство граничных
значений дифференциальных операторов. Ради простоты иногда
вместо ТДт) и Т0(т) мы будем писать и То соответственно.
19. Теорема. Пространство граничных значений для т совпа-
дает с прямой суммой пространств граничных значений в точ-
ках а и b для т.
Доказательство. Прежде всего из предыдущего определения
очевидно, что множество (множество 5ШЬ) граничных значений
в точке а (в точке Ь) есть подпространство пространства 5Ш всех
граничных значений. Пусть Д и /2—-Две функции из С°° (/), такие,
что fi (/) + f2 (/) = 1 при t (= I, и такие, что Д обращается в нуль
в окрестности точки Ь, а /2 —в окрестности точки а. Ясно, что
если g принадлежит 2) (ТО, то f±g и f2g также принадлежат 2) (7\).
Поэтому отображение g—*fig пространства 2) (Л) в себя,
очевидно, замкнуто и, по теореме о замкнутом графике (II.2.4),
непрерывно. Пусть В —граничное значение для т и
&)=В (Ш в2 (g)=в (f2g), g е 2) (ТО-
Если g принадлежит 2)(Т0), то f{g и f2g принадлежат 2)(Т0),
так что Bi (g) = В2 (g) = 0. Более того, в силу непрерывно-
сти отображения g~->fig, В{ — непрерывный линейный функцио-
30 Заказ № 134
466 Гл, XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
нал на 2)(7\). Подобное рассуждение имеет силу и для В2- Таким
образом, Bi и В2 будут граничными значениями для т. Если
g(t) = O в окрестности точки а, то, по определению 8, fig^^(TQ),
и поэтому В (fig) Bi (g) = 0, откуда ясно, что Bt — граничное
значение в точке а и что В=--Вг + В2. Таким образом, ЯЛ = ЗЛа + ЗЛь,
и для доказательства теоремы достаточно показать, что ЯЛа А
— {0}. Если В —граничное значение в обеих точках а и b и если
g принадлежит ®(7\), то fig обращается в нуль в окрестности
точки й, поэтому B(fig)^Q, и аналогично В(^) = 6. Таким
образом, В (g) = В (fig) 4- В (f2g) = 0 для каждой функции g g ® (7\),
ч. т. д.
п
Если т= 2 at (О (tW/)1 —формальный дифференциальный опе-
г=0
ратор порядка /г, определенный на интервале /, а <7—подинтер-
вал из /, то мы можем рассматривать сужение т' оператора т
на J. Это просто формальный дифференциальный оператор
п
3 bi (/) (d/dt)1, где bi — сужение функции аг из I на J.
г—О
С этим понятием связаны несколько следующих результатов.
20. Теорема. Пусть т — формальный дифференциальный опе-
ратор на интервале I с концевыми точками а, Ь. Пусть a<zc<zb,
а т' — сужение оператора т на Г = 1(][а, с]. Тогда существует
взаимно однозначное линейное отображение пространства гранич-
ных значений для т' в точке а на пространство граничных зна-
чений для т в точке а.
Доказательство. Выберем функцию h из С°° (/), которая тож-
дественно равна единице в окрестности точки а и обращается
в нуль в окрестности отрезка [с, Ь}. Пусть Sj —линейный опе-
ратор, определенный равенством
(Sif) (0 = h (i)f(t).
В формуле
п п
(т т (о = 2 [ 2 ( •) °* (о h(h-l) (о ] (о
г=0 k—i
член ап (/) h (t) /<"> (t) принадлежит Л2(/'), а остальные члены
непрерывны, так что Si отображает ^(Т’Дт)) в ® (7\ (т')). Поэ-
тому очевидно, что Si —замкнутый оператор, определенный на всем
гильбертовом пространстве ©(ТДт)) (см. определение 17), и,
следовательно (см. П.2.4), Si непрерывен. Пусть ЗЛ и ЗЛ' обозна-
чают пространства граничных значений в точке а соответственно
для т и т' и Ф1(Д') = Д'51 для Д' из ЗЛ'. Тогда d»! — линей-
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 467
ное отображение из ЗЛ' в ЗЛ. Покажем, что Ф4 взаимно одно-
значно и что Ф1(ЗЛ')^ЗЛ.
Пусть S2 — отображение
(ад (0 - h (t)g(t),
определенное на ®(7\(т')) и, следовательно, принимающее зна-
чения из $(7\(т)). Рассуждением, подобным примененному выше,
можно показать, что S2—-линейный ограниченный*оператор. Пусть
Ф2(Л) = Д32 для А из ЗЛ, так что Ф2 —линейное отображение
пространства ЗЛ в ЗЛ'.
Если f принадлежит ®(7\(т)), то f и (S2Si)/ совпадают
в окрестности точки а. Следовательно, для любого А из ЗЛ
и любой f из ®(7\(т))
(Ф1Ф2Д)/ = Д((Х251)/) = ДЛ
Поэтому Ф1Ф2 — тождественное отображение, откуда следует, что
Ф1 (ЗЛ') = ЗЛ. Этим же способом можно показать, что Ф2Ф4
тождественно отображает ЭЛ' в себя. Это показывает, что Ф4 —
взаимно однозначное отображение, ч. т. д.
21. Следствие. При условиях предыдущей теоремы т и т'
имеют одинаковое число линейно независимых граничных условий
в точке а.
22. Следствие. Пусть т — формальный дифференциальный опе-
ратор порядка п, определенный на интервале 1 с концами а, Ь.
Тогда т имеет не больше п линейно независимых граничных зна-
чений в точке а.
Доказательство. Пусть это утверждение неверно. Тогда, при-
меняя обозначения и результаты предыдущей теоремы и след-
ствия, можно получить, что т' имеет самое меньшее n + 1 линейно*
независимых граничных значений в точке а. Таким образом, не
уменьшая общности, мы можем предполагать, что Ь — фикси-
рованная концевая точка для I.
Пусть 2) (Т2) —множество всех f из 2) (7\), которые обращаются
в нуль в окрестности точки а. и пусть Т2 —сужение оператора
Л на ® (Т2). По предположению существует самое меньшее п+ 1
линейно независимых непрерывных линейных функционалов
на ®(Л), которые обращаются в нуль на ®(Т2), т. е. ортого-
нальное дополнение S3 к ®(Т2) в 2) (Л) имеет размерность
не меньше п +1. Если v £23 и &у£2)(72), то
I*] 0 = (р, w)* = (v. w) + (Лр, T2w).
Следовательно, (T2w, — v). Это означает, что T{v
принадлежит области определения оператора Т*. Из Т$^Т2 сле-
30*
468
Гл, XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
дует, что Т* 7* = Т1(т;*) (см. теорему 10). Следовательно, [*]
эквивалентно уравнению
т*ту -|-о = 0.
Таким образом, о —решение дифференциального уравнения
порядка 2п, и по следствию 1.4 v£C°°(J).
Из [*] мы имеем (ш, Т*Т1у) = •—(ш, v), и по формуле Грина
ъ
Fb (ш, ту) •— Fa (ш, ту) = (тш) (/) ту (/) dt —
а
Ъ
— w(t) т* (то) (0 (dt) — (Т2w, ТiV) + (w, v) = 0.
а
Так как w обращается в нуль в окрестности точки а, то
Fa(w, ту) = 0. Таким образом, Гь(ш, ту) —0. Так как ®(Т2) содер-
жит каждую функцию из С°° (/), обращающуюся в нуль в окре-
стности точки а, то из обратимости матрицы {Fbh} (см. лемму 2)
следует, что ту и ее первые п — 1 производных обращаются
в нуль в точке Ь. Так как пространство S3 имеет размерность
не меньше п + 1, то существует ненулевая функция у0Е2?, кото-
рая удовлетворяет п линейным уравнениям у0 (&) = v'Q (ft) = ...
... = y(on“f) (b) = 0. Так как, более того, (ту0) (Ь) = 0, то (ту0) (&) =
= 3 6tk(b)v^ (ft) = 0, ап(й)+=0и, следовательно, у<п)(&)=^0. По-
fe=0
скольку (ту0)' (&) = 0, аналогично доказывается, что у(оп+1) (&) = 0.
Продолжая по индукции, мы видим, что y(fe)(fe) = 0, 0<£<2n—1.
Так как у0 удовлетворяет уравнению порядка 2п, то функция у0
должна быть тождественным нулем. Это противоречие завершает
доказательство.
23. Следствие. Пусть т — формальный дифференциальный опе-
ратор порядка п на интервале I с концевыми точками а, Ь\
предположим, что концевая точка а фиксирована. Тогда функ-
ционалы At (/) = (a), i = 0, ..., п — 1, образуют полную систему
граничных значений для т в точке а.
Доказательство. Из леммы 16 следует, что эти функционалы
являются граничными значениями для т в точке а. Очевидно,
они линейно независимы. Если бы утверждение следствия было
неверным, то т имел бы граничное значение в точке а, линейно
независимое от системы Ло, ..., Ап-±. Тогда оператор т имел бы
не меньше п+1 независимых граничных значений в точке а.
Но .по следствию 22 это невозможно.
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 469
24. Следствие {Вейль —Ко дайр а). Пусть т — формально само-
сопряженный дифференциальный оператор порядка п, определен-
ный на интервале I. Предположим, что по крайней мере один
конец этого интервала фиксирован. Тогда сумма положитель-
ного и отрицательного индексов дефекта оператора т не меньше
чем п.
Доказательство. По лемме XII.4.21 эта сумма равна числу
линейно независимых граничных условий, и потому этот резуль-
тат вытекает непосредственно из предыдущего следствия.
25. Следствие. Пусть % —формально самосопряженный фор-
мальный дифференциальный оператор порядка п, определенный
на интервале I с концевыми точками а и Ь. Пусть a<Zc<Zb,
а и т" являются сужениями оператора т на интервалы
Г =1 fl [а, с] и I" = I fl [с, Ь] соответственно. Если d, d' и d"
являются суммами положительных и отрицательных индексов
дефекта операторов т, т' и х" соответственно, то d = d' + d" — 2n.
Доказательство. По теореме 19 число d равняется сумме
числа независимых граничных значений в точке а и числа неза-
висимых граничных значений в точке Ь. Так как с —фиксирован-
ная концевая точка, то из следствия 23 и из теорем 19 и 20
следует, что d' и d" больше на п, чем число независимых гра-
ничных значений в точках а и Ь соответственно. Утверждение
данного следствия очевидно.
26. Следствие {Кодаира). Пусть при предположениях преды-
дущего следствия d+, d'+ и d"+ являются положительными, a d_,
d- и d~ — отрицательными индексами дефекта операторов т, т'
и т" соответственно. Тогда
d+ = d'+ + d'+ — п; d- = dL-\- d'L — n.
Доказательство. Пусть — пространство решений уравнения
xf = if, которые принадлежат Ь2{1), а и пространства
решений уравнений x'f = if и которые принадлежат Ь2{Г)
и Л2(Г) соответственно. Таким образом,
d+ = dim®+, Л-= сПт®+,4 d+ = dim®+ и ®+ = ®ifl®+.
Если С — произвольное конечномерное пространство, а А и В
являются подпространствами пространства С и А-\-В = С, то
известно и легко доказать, что
dim С + dim (Д fl В) = dim А + dim В.
В данном случае, применяя это правило, мы находим, что
d+ dim (®+ -j- ®+) = d+ -|- d+.
470 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Таким образом, d+ + п > d'+ 4- d'+. Точно так же d- + > d_ + d_.
Так как по следствию 25
d+ + d- 4- 2п - d'+ + d'_ + d± + d"_,
то мы должны иметь равенство в обоих неравенствах выше, ч. т. д.
Теперь мы приведем один результат, который описывает кон-
кретную форму абстрактного граничного значения для наиболее
общего формального дифференциального оператора.
27. Теорема. Пусть т — формальный дифференциальный опе-
ратор, определенный на интервале I с концевыми точками а и Ь.
Пусть Wi, f~0, 1, ..., п— 1, — система функций, такая, что
предел
B(/) = lim 3 (/)/<*> (О
t-+a г=0
ci/цествует для всех функций f из ®(7\(т)). Тогда В —гранич-
ное значение для т в точке а. Обратно, каждое граничное значе-
ние для т в точке а имеет такой вид.
Доказательство. Из леммы 16 очевидно, что для любой точки
п— 1
t внутри I = 3 г®, (/)/б)(/)_непрерывный линейный функ-
г=0
ционал на гильбертовом пространстве ®(7\(т)). Если limB^(/) =
= B(f) существует для каждой функции f из ® (7\ (т)), то по
теореме II. 1.17 В — непрерывный линейный функционал на
2)(7\(т)). Ясно, что В (/) = О для тех /, которые обращаются
в нуль в окрестности точки а. Поэтому В—граничное значение
для т в точке а.
Чтобы доказать обратное утверждение, допустим, что В—’Гра-
ничное значение в точке а. Выберем функцию h из С°° (/), кото-
рая тождественно равна единице в окрестности точки а и нулю
в окрестности точки Ь. Очевидно, что fh лежит в ^(Т'Дт)) для
каждой f из ®(7\(т)). Кроме того, значения fh и f совпадают
в окрестности точки а и, следовательно, В (fh) = В (/) для любой
функции f из ®(7\(т)). Поэтому В —линейный функционал
в гильбертовом пространстве ®(Т1(т)) (см. определение 17). Сле-
довательно (см. теорему IV.4.5), существует элемент g в ортого-
нальном дополнении пространства ®(Т0(т)), такой, что для всех/
из ®(Л(т))
в (/) = (/, g)*.
В частности, для / из ®(То(т)) мы имеем
1*1 0 = (Л g)* = (/, g) + (То(т) А 7\ (т) g).
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 471
{ - $ {[т(М)1 (0 v (t)-(fh) (0 (Л) (0} dt} =
Отсюда, как в следствии 22, вытекает, что g— решение уравне-
ния T*rg- + g = 0 и поэтому g— бесконечно дифференцируемая
функция. Пусть V— —xg. Тогда
В (/) = (Л т*о) — (т/, v) = (fh, t*v) — (т (fh), v) = B (fh).
Применяя формулу Грина и используя обращение функции h
в нуль в окрестности точки Ь, получаем, что
В (/) = lim
t-+a
= lim Ft (fh, v) = lim Ft (f, v).
Z->a
28. Следствие. Если В —граничное значение для т в точке а,
то существует бесконечное число раз дифференцируемая функ-
ция g в ортогональном дополнении пространства ® (Т0(т)) в гиль-
бертовом пространстве ©(^(т)), такая, что v = — Tg принад-
лежит ортогональному дополнению пространства %(Tq(t*))
я гильбертовом пространстве ^(Т^т*)) и
B(f) = \\mFt(f,v), ^®(Л(т)).
t—
Доказательство. Все, о чем говорится в этом следствии, было
доказано по ходу доказательства теоремы 27, за исключением
утверждения, что
{'] (^,/) + (Л(т*)т§,Т1(т*)/) = 0
для всех f из ®(То(т*)). Так как g принадлежит С°° (/), то
из формулы Грина следует, что ['] эквивалентно уравнению
(rg4-TT*rg, /) = О,
и поскольку T*Tg + g = 0? то ['] очевидно.
Теоремой 27 заканчивается наше исследование граничных
значений дифференциальных операторов. В теореме 19 мы пока-
зали, что каждое граничное значение есть сумма граничного зна-
чения в точке а и граничного значения в точке Ь. Мы также
дали конкретное представление для граничных значений и полу-
чили основные сведения об индексах дефекта. Особый интерес
представляет случай, когда т формально самосопряжен и,
следовательно, оператор То (т) — То (т*) симметричен. Тогда
лемма XII.4.26 и теоремы XII.4.28, 30 и 31 предыдущей главы
дают в явном виде все симметрические расширения операто-
ра Т0(т), сопряженные им операторы и все самосопряженные рас-
ширения оператора Т0(т).
472 Гл, XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Замечание. Для дальнейшего удобно расширить область опре-
деления граничного значения А на более широкий класс функций,
чем ©(ТДт)). Из теоремы 27 видно, что если Д — граничное зна-
чение в точке а, то число A(g) однозначно определяется значе-
нием g в произвольно малой окрестности точки а. Таким обра-
зом, если / принадлежит Ь2(1) и существует функция g в ® (Т\ (т)),
такая, что f(t) = g(t) в окрестности точки а, то мы можем поло-
жить А (/) = Д (g). Ясно, что это определение корректно. Когда А —
граничное значение в точке Ь, можно сделать аналогичное заме-
чание. Если А — смешанное граничное значение, f принадлежит
Л2(Л и существует функция g из ®(7\(т)), которая совпадает
с / в окрестностях точек а и &, мы положим также Д(/) = Д(^).
Сужением оператора Т{(т) на область, определенную системой
граничных условий, где т —произвольный формальный дифферен-
циальный оператор, будет называться оператор, полученный из
оператора т наложением данной системы граничных условий.
29. Определение. Граничное условие вида = 0 для т
называется граничным условием в точке а (в точке Ь), если
В —граничное значение в точке а (в точке Ь) для т. Если
В (/) = 0 не есть граничное условие в одной из двух точек а
или b (так что по теореме 19 уравнение В(/) = 0 представимо
в виде Bt (/) =^В2(/), где Bt и В2 —ненулевые граничные значения
в точках а и b соответственно), то В(/) = 0 называется смешан-
ным граничным условием. Система граничных условий называется
распадающейся, если она (или в общем виде системы, эквива-
лентные ей) содержит только несмешанные граничные условия.
В любом другом случае система называется смешанной системой
граничных условий. Если т —действительный формальный диффе-
ренциальный оператор, то множество ©(^(т)) замкнуто по
комплексному сопряжению. Граничное значение А для действи-
тельного оператора т называется действительным, если A(f) =
= A(f) для каждой функции f из ©(^(т)).
Мы заканчиваем раздел несколькими простыми примерами
дифференциальных операторов. Простейший пример формально
самосопряженного дифференциального оператора — оператор
т = i (d/dt)- Мы рассмотрим этот оператор в трех интерва-
лах 1.
Случай I: / = [0, 1]. Здесь, очевидно, d+ = d_ = \, и пол-
ная система граничных значений состоит из /(0) и f (1),
а наиболее общая полная симметрическая система граничных
условий (состоящая в этом случае из единственного условия)
имеет вид /(0) = eiQf(l), где 0<9<2л.
Случай II: 1 = [0, оо). Тогда решение уравнения т/ = if (урав-
нения т/— — if) есть е*(е~*). Так как квадрат е* не интегрируем
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 473
в [0, оо), то d_=l, и из т могут быть получены только не-
самосопряженные операторы.
Случай III: / = ( —оэ, оо). Тогда из следствия 27, сравнивая
со случаем II, получаем, что т не имеет граничных значений
в точке +оо. Таким образом, без наложения граничных условий
т дает единственный самосопряженный оператор 7\(т).
Теперь пусть нам задан формально самосопряженный опера-
тор т вида (d/dt) [р (/) (dldt)} -\-q (Г) на интервале / с концевыми
точками а, Ь, где функции р и q действительны. Пусть
Тогда по следствию 14 положительный и отрицательный индексы
дефекта d'+ и d'_ сужения т' оператора т на IП [с, Ь] равны
и по следствию 24 их сумма не меньше чем 2, так что d'+ =
= бГ>1. Мы знаем (см. лемму XII.4.21), что d'+ + d'_ совпадает
с числом линейно независимых граничных значений для т'.
Так как d'+ + d'_^A, то или d'+=l, или d'+ = 2. Если d'+=lr
то т', и поэтому т не имеет граничных значений в точке Ьг
поскольку т' имеет два граничных значения в точке с. Если
d'+ = 2, то т', и поэтому т имеет два граничных значения в точке Ь.
Концевая точка а может быть исследована аналогично. Следую-
щая таблица дает число линейно независимых решений уравнения
(т — Л) сг = 0, которые имеют интегрируемые квадраты в окрест-
ностях точек а или b при 1тЛ=#0. Как показывает проведенное
выше исследование, возможны четыре случая.
Число линейно независимых решений,
интегрируемых в квадрате:
В точке а В точке b
(I) 2 2
(П) 1 2
(III) 2 1
(IV) 1 1
Следующая таблица дает число граничных значений для т
в любом из указанных выше случаев (I) —(IV).
Число линейно независимых граничных значений для Т:
В точке а В точке b
(I) 2 2
(И) 0 2
(III) 2 0
(IV) 0 0
Следуя терминологии Г. Вейля, мы говорим, что конец
а — точка типа предельной точки относительно действительного»
474 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
оператора т второго порядка, если т не имеет граничных значе-
ний в точке а, и точка типа предельного круга, если т имеет
два граничных значения в точке а.
В следующей теореме устанавливается важная нормальная
форма граничных значений действительного формального само-
сопряженного дифференциального оператора второго порядка.
30. Теорема. Пусть формальный дифференциальный оператор т
второго порядка определен на интервале I с концевыми точ-
ками а, Ь и имеет вид xf = (pf'Y + qf, где р и q — действитель-
ные функции. Тогда в указанном выше случае (IV) мы имеем
g) = (f, Tg) для f, (Л(т)). В случаях (III) и (II) сущест-
вует полная система граничных значений для т, содержащая
два линейно независимых действительных граничных значения At
и А2, таких, что
(Т/, g) - (f, Tg) = At (/) X(i) - A2 (/) Mg), f,gCS) (Л (T)).
В случае (I) существует полная линейно независимая система
граничных значений для г, содержащая четыре линейно незави-
симых действительных граничных значения С{, С2, Dt, D2, где
Ci, С2 — граничные значения в точке a, a Dt, D2 — граничные
значения в точке Ь, такие, что
(V, g)-(f, Tg)=с, (/)сда-с2(/) СГ(Н+
+ D1(/)DHi)-D2(/)DT(i)I (Л (т))-
Доказательство. Пусть Л —любое граничное значение для т.
Так как т действительный, то множество ©(ТДт)) замкнуто
относительно операции комплексного сопряжения, поэтому функ-
ционал Доопределенный формулой Л(/) = A(f), есть также гра-
ничное значение для т. Конечно, мы можем считать его ком-
плексным сопряженным граничному значению А. Теперь граничное
значение А может быть представлено в виде линейной комбинации
действительных граничных значений следующим образом:
Таким образом, т имеет полную систему At, ..., Ар незави-
симых действительных граничных значений. По лемме XII.4.23
билинейная форма (xf, g) — (/, Tg) однозначно представима в виде
I*] (Г/, g) - (/, Tg) = 2 CiJAi (/) Л g € ® (Л (т)),
I,
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 475
где Си=—Сл. Поскольку граничные значения А-г действительны
и постоянные Ctj единственны, отсюда следует, что сц действи-
тельны. Таким образом, сц= — сл, так что Сц = 0.
В случае (IV), рассмотренном ранее, граничные значения
для т отсутствуют. Поэтому из [*] очевидно, что (т/, g) = (f, Tg)
при /, gCSUTJr)).
В случае (II) имеются два граничных значения в точке Ь,
и, следовательно (после соответствующего преобразования и норми-
рования действительных граничных значений Аь А2), мы можем
написать
(V, g) - (f, Tg) = At - А2 (/) A^g).
Аналогично в случае (I) можно выбрать полную систему
{Аь А2, Аз, А^ = {С1, С2, D2} действительных независимых
граничных значений, где Cj и С2 — граничные значения в точке а,
а А и D2 — граничные значения в точке Ь. Если мы перепишем
формулу [*] в терминах С/ и Dt, то в правой части будут
члены вида {G (/) Dj (g)—Ci (g) Dj (/)}. Покажем, что коэф-
фициенты dij таких членов обязательно равны нулю. Напри-
мер, пусть dn^O. Мы можем найти функцию /С©(Л (т)),
такую, что Ct (/)=!, С2 (/) = 0 и f обращается в нуль в окрест-
ности точки Ь. Аналогично этому существует функция g
в®(7\(т)), такая, что Z?i(g)=l, D2(g) = 0 и g обращается
в нуль в окрестности точки а. Тогда по формуле Грина мы имеем
<т/, £) —(Л ^£) = 0- С другой стороны, по формуле [*] (т/, g) —
— (f, TS’) О- Это противоречие доказывает наше утвержде-
ниё. Очевидно, что подобные рассуждения проходят для любых
значений индексов f, / (1<J, /С2).
Отсюда следует, что (после подходящих преобразований
С2, Di и D2) имеет место равенство
(V. g) - if, Tg) = Ci (/) C2 (i) - C2 (/) (g)+
+ Г»! (nD^-D^D^g).
31. Следствие. Пусть выполняются условия предыдущей*тео-
ремы, а Т является самосопряженным расширением опера-
тора Т0(т).
В случаях (II) и (III) система граничных условий, которые
налагаются на т для получения Т, может быть записана в виде
аА(/) + ₽А2(/) = 0, а2 + Р2У=0,
где Ai и А2~ действительные граничные значения в точке b
в случае (II) и в точке а в случае (III).
476
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
В случае (I) если система граничных условий распадающаяся,
то она может быть записана в виде
аЛ (/) -j- a2C2 (/) = 0, a2 + аз о,
₽iA(/) + ₽2D2(/) = 0,
где Ct и Dt, i=l, 2, — действительные граничные значения
в точках а и b соответственно.
Доказательство. В случаях (II) и (III) из теоремы XII.4.30
следует, что оператор Т определяется одним граничным условием,
и из теоремы 30 и определения XII.4.25 очевидно, что это усло-
вие имеет вид
(/) + РА (/) — 0, а, ₽ действительные, а2 + р2#=0.
В случае (II) и Л2— граничные значения в точке 6, тогда
как в случае (III) это граничные значения в точке а. В том
и в другом случае очевидно, что единственное граничное усло-
вие, определяющее Т, действительное.
Точно так же в случае (I) оператор Г, если он определяется
распадающейся системой граничных условий, задается двумя
граничными условиями, из которых одно для точки Ь, а другое
для точки а. Применяя предыдущую теорему и определение
XII.4.25, нетрудно показать, что эти граничные условия должны
иметь вид
«Л (/) + «2^2 (/) = 0,
РА (/) + №(/) = о
с действительными щ и Рь причем а*-)-сс^О, ₽i + ₽|=^0. Эти
формулы показывают, что в случае (I) симметрическая распадаю-
щаяся система граничных условий также обязательно является
действительной.
Если а — фиксированная концевая точка интервала I и х
не имеет граничных значений в точке Ь, то полная система
граничных значений для т совпадает с (/) = /(«), В2 (/) = /'(а).
Тогда для /, £С®(Л(т)) мы имеем (см. определение XII.4.2
и формулу Грина)
ъ
{/, = - i $ «Р/Т (0V) (pg')’ (OIdt =
= i(Fa(f, g) — limF,(A g)).
s^-b
Так как т не имеет граничных значений в точке Ь, то из
теоремы 27 следует, что lim Fs (f, g) = 0. Таким образом,
s->b
{/, g}=— ip (a) I/' (a)F(a)—/ (a) g' (a)l-
2. Сопряженные операторы и граничные значения операторов 477
По теореме XII.4.30 наиболее общее самосопряженное расши-
рение оператора Т0(х) есть сужение оператора Тх(х) на подмно-
жество области ©(^(т)), определенное одним симметрическим
граничным условием, которое обязательно является граничным
условием в точке а. Из предыдущего уравнения и определе-
ния XII.4.25 очевидно, что наиболее общее симметрическое
граничное условие есть а/' (а) + Р/ (а) = 0 с действительными а
и ₽. Таким образом, в случае одной свободной концевой точки
и отсутствия граничных значений в другой концевой точке мы
получаем простой явный вид для наиболее общего самосопря-
женного расширения оператора Т0(х).
Следующая теорема определяет важное свойство оператора
второго порядка, которое будет применяться в § 3.
32. Теорема. Пусть т имеет вид tf = (pf'Y + qf, где р и q —
действительные функции, а Т — самосопряженный оператор,
полученный из т наложением распадающейся симметрической
системы граничных условий. Пусть 1тХ=А0. Тогда эти гранич-
ные условия действительны и существует одно и только одно
решение ф(/, X) уравнения (т — X) ср = 0, интегрируемое в квадрате
в точке а и удовлетворяющее граничным условиям в точке а,
а также существует одно и только одно решение ф(/, X) урав-
нения (т —X) тр = О, интегрируемое в квадрате в точке b и удо-
влетворяющее граничным условиям в точке Ь.
Доказательство. Мы покажем, что теорема верна в каждом
из четырех рассмотренных выше случаев. Так как в случае (IV)
нет граничных значений, то обязательно нет и граничных усло-
вий. Поэтому в этом случае теорема верна. В случае (III) обяза-
тельно есть одно граничное условие, поскольку по теореме XII.4.30
и лемме XII.4.21 число граничных условий в симметрической
системе, которая определяет наш самосопряженный оператор Т,
равно половине числа всех граничных значений. Так как нет
граничных значений в точке Ь, то это условие задается в точке а.
Поэтому из вышеприведенной таблицы видно, что существует
точно одно решение ф уравнения (т—Х)ф = О, которое имеет
интегрируемый квадрат в окрестности b и удовлетворяет всем
граничным условиям в точке Ь, и существует по крайней мере
одно решение ср уравнения (т — Х)ф = 0, интегрируемое в квадрате
в окрестности а и удовлетворяющее всем граничным условиям
в точке а. Если бы существовало второе решение, линейно неза-
висимое с функцией ср, имеющее интегрируемый квадрат в окрест-
ности а и удовлетворяющее всем граничным условиям в точке а,
то, так как пространство всех решений уравнения (т —Х)ф = 0
двумерно, все решения этого уравнения были бы интегрируемы
в квадрате в окрестности а и удовлетворяли бы всем граничным
478
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
условиям в точке а. Значит, ф было бы интегрируемо в квадрате
на всем интервале I и удовлетворяло бы всем граничным усло-
виям, определяющим Т. Тогда 1 было бы собственным числом
оператора Т. Однако, поскольку Т— самосопряженный оператор,
a Im X =# 0, это невозможно. Из симметрии очевидно, что слу-
чай (II) эквивалентен случаю (III).
Теорема XII.4.30 показывает, что в случае (I) симметрическая
распадающаяся система граничных условий, определяющая опе-
ратор Т, содержит два элемента. Очевидно, что доказательство,
данное для случая (III), проходит также в случае (I). Нужно
только заметить, что оба условия нашей системы граничных
условий не могут быть условиями в одной и той же концевой
точке. Это, очевидно, вытекает из следствия 31.
3. Резольвенты дифференциальных операторов
В этом разделе символ т будет обозначать формальный диф-
ференциальный оператор порядка п, который определен на интер-
вале / с концевыми точками а, Ь. Оператор Т — Т (т) будет опе-
ратором, полученным из т наложением системы (которая может
быть пустой) k линейно независимых граничных условий Д (/) = 0,
i = ..., k, т. е. Т —сужение оператора 7\(т) (см. опреде-
ление 2.8) на подмногообразие многообразия 2)(Т\(т)), опре-
деленное условиями f=l, ..., k. В этом разделе наша
главная цель —получить конкретное представление резольвенты
R (X; Т) для X из q (Т) в виде интегрального оператора
R (Л; Т) f (/)- J /<(/, s; Z)/(s)ds.
i
Нам нужны не только сведения теоретического характера,
но и алгебраические алгоритмы для применения в некоторых част-
ных случаях.
Для дальнейшего удобно предполагать, что число Л = 0 при-
надлежит q(T), т. е. что Т имеет ограниченный везде определен-
ный обратный оператор. Это допущение эквивалентно тому, что
оператор т заменяется на т — Л.
Наш первый результат относится к числу k линейно независимых
граничных условий, которые определяют Г. Заметим, что k может
быть, вообще говоря, нулем.
1. Лемма. Пусть Т имеет ограниченный обратный. Тогда число
линейно независимых граничных условий, определяющих Т, равно
числу линейно независимых решений уравнения т/ = 0, которые
принадлежат L2(l).
3. Резольвенты дифференциальных операторов 479
Доказательство. Пусть v —число линейно независимых решений
уравнения т/ = 0, принадлежащих Л2(/). Если v>&>0, то Tf = O
для некоторой ненулевой функции f, и поэтому Т не имеет обрат-
ного. Таким образом, fe>v. Пусть k>v. Тогда существуют
по крайней мере v-f-1 линейно независимых линейных функцио-
налов на ®(7\(т)), которые обращаются в нуль на Ф(Т), и суще-
ствуют по крайней мере v +1 линейно независимых линейных
функционалов на факторпространстве ® (7\ (т))/® (Т). Следова-
тельно, это факторпространство по крайней мере (v+1)-мерное.
Таким образом, имеется не меньше v +1 линейно независимых
функционалов /0, Д, ..., fv в (7\ (т)), никакая ненулевая линей-
ная комбинация которых не лежит в ф (Т). Поскольку Т имеет
ограниченный всюду определенный обратный, Т отображает ® (Т)
на L2(I). Следовательно, существуют функции g0, g{, ..., g*v
в ®(Т), такие, что
Tgi = Tl('i)fi, z = 0, 1, ..., v.
Тогда т(^ — f^^Tgi — Т1(т)Д=0, и функции gi — fi, / = 0,
1, ..., v, являются v+ 1 линейно независимыми решениями урав-
нения то“ = 0. Это противоречие заканчивает доказательство.
Следующий результат обобщает следствие 2.26.
2. Лемма. Пусть Т имеет ограниченный обратный, и пусть т'
и т" — сужения оператора т на интервалы Г = 1{][а,с] и Г —
= 1 П [с, 6], где а<с<Ь. Если v (v', v") обозначает число линейно
независимых решений уравнения т/ = 0, которые принадлежат
L2(/)(A2(/'), L2 (/")), то vf + v" = v + n.
Доказательство. Пусть 23 (23', 23")— линейное пространство всех
решений уравнения т/ = 0, которые принадлежат Л2(/) (£2(/')>
L2 (/")). Так как 23 = 23' П23", то в силу элементарных свойств
конечномерных пространств
dim 23 4- dim (23' -}- 23") = dim 23' + dim 23".
По теореме 1.3 dim(23' + 23"XM, откуда следует, что
v + v' + v".
Пусть 233 — подпространство пространства Т2(/), образованное
всеми функциями, сужения которых на интервалы /' и /" при-
надлежат 23' и 23" соответственно. Очевидно, что dim 23? = v' + v".
Мы докажем, что v' + 'v">v + n, показав, что dim 25? > v-\-n. Так
как 23—подпространство пространства 233, то это можно сделать,
построив в 233 п линейно независимых функций, никакие линейные
комбинации которых не лежат в 23. По теореме 2.10 и лемме 2.6
Г* —сужение оператора 7\(т*) (см. определение 2.8). Поэтому
линейные функционалы
Г1 ' At^=r\c), i = 0, 1, ..., м-1,
480
Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
непрерывны на ® (Т*). Так как существуют функции f в ® (То (т*)),
для которых величины f(1) (с) определяются произвольно, то функ-
ционалы в [*] линейно независимы на ®(Т0(т*)). По теореме 2.10
Т* (т)* = То (т*)** То (т*), и поэтому 2) (То (т*)) — подпро-
странство пространства ®(Т*). Таким образом, функционалы А/
линейно независимы на ®(Т*).
В ® (Т*) мы введем скалярное произведение
(Л = g) + (T*f, T*g).
По теореме XII. 1.6 (а) Т* замкнут, и по теореме XII. 1.6 (Ь) он имеет
ограниченный всюду определенный обратный (Т*)"1.
Очевидно, что (Т*)"1 —ограниченный линейный оператор
из Л2(/) в ®(Т*). Поэтому функционалы Лг((Т*)“1/) непрерывны
на Л2(/), и по теореме о представлении элемента пространства,
сопряженного гильбертову пространству (см. теорему IV.4.5), суще-
ствует гг функций h0, ..., hn_i в Л2(/), таких, что
Л ((7'*)“1 g) = (g> 1, g€L2(/).
Линейная независимость функционалов Ао, ..., An-i означает,
что функции h0, ..hn-i линейно независимы. Для всех / из
'®(Т0(т')) или из ©(^(т")) мы имеем
0 = Atf = (Т*Л Ы) = J т*/ (0 МО dt.
Г или Г'
По лемме 2.9 мы заключаем, что hi лежит в С°° (/') или
в С°° (/") и что (т/гг)(0 = 0, t=£c. Таким образом, п линейно неза-
висимых функций h0, ..., hn-t принадлежат ЗВ. Для завершения
доказательства достаточно проверить, что никакая ненулевая ли-
п— 1
нейная комбинация h = 2 функций hi не принадлежит S3.
i=o
Пусть h принадлежит §8. Тогда по формуле Грина мы имеем
0 = (/, т/z) = (Т*Л /г) = S' (/) = 2* (с)
j=0 j=0
для каждой f из ®(Т0(т*)). Тогда, очевидно, а; = 0 при
/ = 0, ..., п — 1, так что h = 0. Это противоречие завершает дока-
зательство настоящей леммы.
3. Лемма. Сопряженный оператор Т* оператора Т есть суже-
ние оператора Т^т*), определенного системой граничных условий
= /=1, ..., £*, наложенных на т*.
Доказательство. Из доказательства предыдущей леммы видно,
что То(г*)^Т* 7\(т*). Тогда ® (7\ (т*)) —гильбертово простран-
3. Резольвенты дифференциальных операторов 481
ство со скалярным произведением (/, g)* = (f, g) + x*g),
и элементарные вычисления показывают, что ортогональное допол-
нение 33 пространства ^(Tq(t*)) в ®(7\(т*)) есть множество
функций /, удовлетворяющих уравнению / + Т0(т*)*Т1(т*)/ =
= / + Л(т)Л(т*)/ = 0 (см. теорему 2.10). Таким образом, каждая/
из 53 удовлетворяет дифференциальному уравнению / + тт*/ = 0.
Это показывает, что размерность пространства 53 не больше
чем 2п. Так как *2) (Т*) — замкнутое подпространство пространства
®(7\(т*)), содержащее ^(Т0(т*)), ортогональное дополнение
пространства ® (Т*) в ® (7\ (т*)) имеет конечный базис ..., hp.
Положим B*(f) = (f, hi)*. Очевидно, что В* —граничное значение
для т*, и, следовательно, уравнения В*(/) = 0, 1=1, ..., р,
определяют подпространство ® (Г*) пространства ® (7\ (т*)), ч. т. д.
Замечание. Если Т — самосопряженный оператор, определенный
формально симметрическим оператором, или, в более общем виде,
оператор вида Т\ — %/, где 7\ —самосопряженный оператор, описан-
ный выше, то граничные условия В*(/) = 0, /==1, ..., k*, экви-
валентны граничным условиям ВД/) = 0, / == 1, ..., k.
4. Лемма. Если R обозначает ограниченный обратный опера-
тора Т, то существует функция К, определенная на 1x1
и такая, что R(t, •) принадлежит В2(/) для каждого t£l, причем
{Rf){t)^^K(t,s)f{s)ds, f£L2(I).
i
Более того,
(а) Для каждой точки св! функция К (с, •) принадлежит
С°°(/П[а, с]) и С°°(/П[с, 6]), и %* (R {с, s)) = 0 для s^c.
(b) Если положить К+(с, s) = R (с, s) для s>c и К-(с, s) =
= К (с, s) для s<Zc, то
lim К^(с, s) = lim ^г)(с, s), z = 0, ...,n —2,
s->c-|-0 s—>c—0
lim K+n'i}(c, s)- lim K?~iy(c, =
s—>c-TO s—>c—0
(с) Равенства (b) эквивалентны соотношению
f (c) = Fc (/, K-) - Fc (/, K+), cQl, / G ®(7\ (т)).
Доказательство. Очевидно, что R — непрерывное взаимно одно-
значное отображение пространства L2(I) на гильбертово про-
странство ®(Т), у которого скалярное произведение совпадает
с (Л = g) + (?7, Tg). Так как Т— сужение оператора 7\(т),
то из леммы 2.16 следует, что функционал (/?/)(/) непрерывен
на L2(J) для каждой точки t из /. Поэтому теорема IV.4.5 пока-
31 Заказ № 134
482 Га. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
зывает, что для каждой t из 1 существует функция /<(/,-) в Л2(/),
такая, что
(Rf)(t)==\K(t,s)f(s)ds, f£Lz(l).
i
Пусть a<c<b. Предположим, что g лежит в ®(Т’0(^)), где
Тс — сужение оператора т на IП [а, с]. Тогда
О *= g (с) = К (с, s) (xg) (s) ds.
i
Из лемм 2.6 и 2.9 следует, что К (с, •) принадлежит С°°(/П[а, с])
и т*/С(с, s) = 0, a<s<c. Подобными рассуждениями мы находим,
что К (с, •) принадлежит C“(/Q Iе, ^1) и что Т*‘К (с, s) = 0, c<s<6.
Теперь пусть R (t, s) — К- (t, s) для s<Zt и К (t, s) =К+ (t, s)
для s^>t. Если a<c<6, то по формуле Грина (2.4) мы имеем
/(с)= J К (с, s)(xf)(s)ds~
I
с Ъ
= К- (с, s) (т/) (s) ds+^K+ (с, s) (т/) (s) ds =
а с
= Fe (f, К-) - Fc (f, K+) = Fc (f, К--K+)
для каждой функции f из ^(Т0(х)). Здесь производные в точке с
от функций /<+ и /<_, входящие в Fc (f, К+) и Fc (f, R_), берутся
слева и справа соответственно.
Так как по лемме 2.2 Гс(/, g) есть невырожденная форма на
векторах [/(с), ...,(с)] и (g(c), ..., £<п-1) (с)], уравнение
f(C) = fc(/, п),
если предполагать его справедливость для всех f из 3)(Т0(т)),
однозначно определяет функцию т) и ее первые п— 1 производных.
Это уравнение эквивалентно системе уравнений
[**] r = 0, ...,n—1,
2=0
где б}=1, если i = j, и б) = 0, если Из формы, данной
для матрицы Fc, во второй формуле, предшествовавшей определе-
нию 2.1, мы видим, что
Fl(n~l) (т) = 0, если i Ф 0.
3. Резольвенты дифференциальных операторов
483
Таким образом, система [**] имеет решение
t] (с) = ... = т]("-2) (с) = 0, (с) = ( — 1)п-‘ [ап (с)]"1.
Поэтому скачок функции /((с, s) в точке s = с описывается
п уравнениями
К£°(с, с-)-К$.°(с’с + )=0> / = 0> •••>«-2,
С"0 (с, с + )-/<£Г1)(С, c-) = (-l)nKW-1.
Дальнейшие сведения о ядре /С даются в следующей лемме.
5. Лемма. Функция К (с, •), полученная из ядра, определенного
в предыдущей лемме при фиксированном с из /, удовлетворяет
граничным условиям В* — 1=1, ..., k*, определяющим Т*.
Доказательство. Здесь будет применяться система обозначений
из доказательства предыдущей леммы. Пусть а<с<6, a g—
функция из С°°(/), которая совпадает с /<(с, •) в окрестностях
точек а и b и такая, что g принадлежит ©(ТДт*)) (мы напоми-
наем, что по лемме 4 К (с, s) — бесконечное число раз дифферен-
цируемая функция, за исключением точки s = c). Применение
формулы Грина дает
с
J (ТЛ (s) (s (s)—К (C, s)) ds = J (т/) (s) (g (s)—K- (C, s)) ds +
I a
b
+ (V) (s) (g (s) — K+ (c, $)) ds =
c
= $ / (S) (^j (s) ds - Fc (f, K-) + Fc (f, K+), (T, (T)).
I
Вспоминая, что для f из ® (T)
f (с) = Fc (/, K_) - Fc (f, K+) = J (V) (s) К (c, s) ds,
i
мы получаем уравнение
$ (V) (S) g (S) ds = J f (s) (^i) (S) ds, / G ® (T)-
i i
Таким образом, g лежит в ®(T*), так что g удовлетворяет гра-
ничным условиям Bf(f) = 0, 4 = 1, k*, из леммы 3. Теперь g
совпадает с 7<(с, •) в окрестностях точек а и Ь, и, рассмотрев
замечание к следствию 2.28, мы видим, что К (с, •) удовлетворяет
этим же граничным условиям, ч. т. д.
31 ♦
484
Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
6. Лемма, (а) Если s=^=t, то ядро К (s, t) —бесконечно диф-
ференцируемая функция по обеим переменным.
(Ь) Функции К+(-, •) и •), встречавшиеся в формули-
ровке леммы 4, непрерывны на своих областях определения.
Доказательство, (а) Пусть ср*, ..., фр* и ф*, ..., ф£* инте-
грируемы в квадрате в окрестностях а и b соответственно и обра-
зуют базис для решений уравнения т*а = 0. Из леммы 4 следует,
что для с из I ядро К может быть представлено в виде
s>c.
Теперь вычислим р* + ^* постоянных величин щ(с) и 0/(с). Рас-
смотрим п линейных уравнений
K(i\c, c + 0)-/Cw(c, с —0) = 0, 0<1<п-2,
Формула ['] показывает, что уравнения (1) могут быть переписаны
в виде
3 аДс)^*<0(7)-3 = / = 0, ..., п-2,
(Г) Z_1
\ / Р* Q*
3 ау (с) <р*<«-О(с) - 3 ₽г (с) (С) = ( - 1 )n IM^T1.
j=l 1=1
По лемме 5 функция /<(с, •) удовлетворяет уравнениям
(2) В?(К)=0, i = l,
По теореме 2.19 мы можем написать В* = С* + О*, где
С* и D* являются граничными значениями в точках а и b соот-
ветственно, и с применением ['] уравнения (2) могут быть пере-
писаны в виде
(2') З^С?(фП+3 ₽^)ПГ(г|>?) = 0,
j=i i=i
По леммам' 1 и 2, р* + q* = k* + п. Поэтому система, состав-
ленная из уравнений (Г) и (2'), имеет единственное решение аг (с),
рг (с), если соответствующая однородная система уравнений имеет
только нулевое решение.
Пусть однородная система, полученная из уравнений (Г) и (2'),
имеет ненулевое решение а? (с), 0°(с), и пусть Ко (•) —функция
3. Резольвенты дифференциальных операторов
485
(переменной s), полученная из ['] заменой сц и fy на а? и fy.
Функция Ко п раз дифференцируема для s^=c. Уравнения (Г)
удовлетворяются функциями а? и fy. Это означает, что Ко является
функцией, п—\ раз дифференцируемой в точке с. Таким образом,
Ко С® (Л (т))« Тогда уравнения (2') показывают, что Ко лежит
в области определения оператора Т*, а уравнения ['] показывают,
что Т*Ко = О. Так как Т имеет ограниченный обратный, то Т* также
имеет ограниченный обратный. Следовательно, Ко обязательно
тождественно равняется нулю. Поэтому уравнения (Г) и (2')
имеют единственные решения оц (с) и fy (с) соответственно.
Заметим, что все коэффициенты в (Г) и (2') — бесконечно диф-
ференцируемые функции от с. Однородная система /?* + (?* урав-
нений для неизвестных, полученная из (Г) и (2'), не имеет
ненулевых решений. Следовательно, определитель системы (Г) —
— (2') отличен от нуля, и решения этой системы можно выразить
(по правилу Крамера) через некоторые определители из ее коэффи-
циентов. Следовательно, аг- и fy- — бесконечное число раз диффе-
ренцируемые функции с. Теперь остальные утверждения леммы,
очевидно, следуют из формулы ['].
Замечание. Уравнения (Г) часто будут упоминаться как «урав-
нения скачков».
Чтобы получить более точную формулу для К, мы изучим
далее вид оператора, сопряженного к R.
7. Лемма. Пусть К —ядро, связанное с R, как в лемме 4.
Тогда
(а) для фиксированной точки с из I функция К с) лежит
в Сопряженный к R оператор R* может быть представлен
в виде
i
(Ь) для фиксированной точки с из I и для t=£c имеет место
равенство тК (t, с) = 0;
(с) К (•, с) удовлетворяет граничным условиям, определяющим Т.
Доказательство. Пусть J — компактный подинтервал из I. Пусть
Ki —ядро, связанное с R*, как в лемме 4. По лемме 6 ядра К
и Ki ограничены на J. Если /, (Го (т)) = Ф (То (т*)) и если
/ и g обращаются в нуль вне J, то из теоремы Фубини следует, что
J $ K(s, t) f (t) g^s) dtds == (Rf, g) =
i i
= (R*g, /) = \ 5 Ki (t, s) g (s) / (t) ds dt.
I I
486
Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
Система функций вида f(t)g(s), где /, g — функции из ® (То (т)),
обращающиеся в нуль вне J, фундаментальна в L2(J X J). Поэтому
К (s, t) — Ki (t, s) для почти всех (s, t)QJ X J. Так как по лемме 6
оба эти ядра непрерывны для t #= s, то К (s, t) — Ki (Л s) для всех
точек (s, t) из J х J, если только s =/= t. Теперь из этого факта
и из лемм 4 и 5 следует наша лемма.
8. Теорема. Пусть т—формальный дифференциальный опера-
тор на интервале I, а Т—оператор, полученный из т наложением k
линейно независимых граничных условий =
Пусть Z=l, ..., р ({<р*}, i — 1, ..., р*), является бази-
сом для тех решений уравнения то = 0 (т*о = 0), которые инте-
грируемы в квадрате в окрестности точки а, и пусть {ф,},
i — 1, \ .., q ({ф*}, Z = 1, ..., q*), является базисом для решений
уравнения то = 0 (т*а = 0), имеющих интегрируемые квадраты
в окрестности точки Ь. Тогда существуют единственные скаляр-
ные матрицы Г = (у^), Z = l, ..., q, j = l, ..., р*, и Г' — (у'ц),
i=l, ..., р, j — l, ..., q*, такие, что функция Грина К, опре-
деленная в лемме 4, представляется в виде
I*]
K(t, s) =
s<t,
s>t.
Доказательство. В доказательстве леммы 6 ядро К было пред-
ставлено в виде
I 3 (0ф* (s), s<t,
и K(t, S)=| 71_____________
3 (О Ф* (s), 8>t,
I
где функции a.j (t), (t) бесконечно дифференцируемы. Используя
лемму 7 и применяя т к обеим частям этих равенств, мы получаем
р*
3 W(0q>*(s) = o, s<t,
j=i
q*
ЗШ(офП^) = о, s>t.
j=i
Из линейной независимости функций <р* и ф* следует, что
Taj = Т0; = 0.
Остается доказать, что функции а} и интегрируемы в квад-
рате в окрестностях точек b и а соответственно. Если Ф* — любой
3, Резольвенты дифференциальных операторов
487
другой базис для множества решений уравнения т*о = 0, инте-
грируемых в квадрате в окрестности точки а, то коэффициен-
ты а7- определенные соотношением
q* q*
3 а/Юда» s<t,
3=1 3=1
будут связаны с коэффициентами аг невырожденным линейным пре-
образованием, так что каждая функция щ будет линейной ком-
бинацией функций щ с постоянными коэффициентами, и обратно.
Таким образом, щ будут интегрируемы в квадрате в окрестности
точки Ь тогда и только тогда, когда это верно для аг. Итак,
если J = [с, d] — компактный интервал внутри /, то мы можем пред-
полагать, не уменьшая общности, что ср* ортонормальны на J.
Тогда из ['] следует, что
d
щ (/) = К (/, s) ф* (s) ds, t > s.
с
Теперь для каждой точки s из / линейный функционал (/?*/) (s)
непрерывен на Л2, и для каждой f функция (R*f) (s) непрерывна
по s. Поэтому sup | (7?*/) (s) I < 00 Для каждой функции f£L2 (/),
«ej
и из теоремы о равномерной ограниченности следует, что для s G J
функционалы /—>(/?*/) (s) равномерно ограничены по норме. Так
как
(Я*/) (S) = J f (О dt, (I),
i
то из теоремы IV.8.1 следует, что sup \ | К (t, s) |2 dt <_ со. Поэтому
s£J у
J J|K(/, s)|2d/ds<oo,
j i
и по неравенству Шварца и теореме Фубини
ъ
с J J |К(/, s)\2dsdt =
I j
- J J \K(t, s)\*dtds<oz.
j i
488 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Таким образом, функции а/ интегрируемы в квадрате в окрестности
точки Ь. Так же можно показать, что функции интегрируемы
в квадрате в окрестности точки а, ч. т. д.
Следующее утверждение дает нам возможность использовать
теорему 8 как вычислительный алгоритм при рассмотрении част-
ных примеров.
9. Следствие. Матрицы Г = (уг7) и Г' = (у^) в предыдущей
теореме однозначно определяются уравнениями скачков и гранич-
ными условиями, определяющими Т.
Доказательство. При выводе теоремы 8 мы видели, что функ-
ции (/) и (t) однозначнО-Определяются уравнениями скачков
и граничными условиями В* (/0 = О, Z== 1, k*, которым удов-
летворяет К (с, •). Далее, в лемме 7 показано, что K(s, t) — ядро
для R*. По симметрии К также однозначно определяется урав-
нениями скачков и граничными условиями, определяющими Т.
Поэтому, поскольку функции фг образуют линейно независимую
систему и такими же являются функции фь ф*, ср*, матрицы Г
и Г' однозначно определяются уравнениями скачков и граничными
условиями, определяющими Т, ч. т. д.
Вычисление К при помощи следствия 9 может быть упрощено,
если система граничных условий для Т или Т* распадается или
содержит определенное число граничных условий в точке а или Ь.
При описании этого упрощения стоит сделать некоторые замеча-
ния, которые будут использованы в следующих нескольких теоре-
мах. Как и выше, пусть ф1? ..., фр —базис пространства 23а
тех решений уравнения то = 0, которые имеют интегрируемые
квадраты в окрестности точки а; аналогично пусть фи ..., фд —
базис пространства 2% решений, интегрируемых в квадрате
в окрестности точки Ь. Пусть система граничных условий для Т (или
некоторая эквивалентная система) записана в виде [Вь ..., =
= [Ci, ..., Cu] J [D^ ..DJU [Ei, ..., BJ, где Ct, Di и Et — гра-
ничные условия в точках а, b и смешанные граничные условия
соответственно. Пусть ф^ и ф^ выбраны так, что система ф1? ..., фи,
и^.р, образует базис подпространства 2Ва^23а, содержащего
те элементы пространства 23а, которые удовлетворяют условиям
(/) = 0, 4=1, ..., р, а фь ..., фр, v^q, есть базис подпро-
странства 2%, содержащего те элементы пространства 23ь,
которые удовлетворяют условиям Dt (/) = 0, i = 1, ..., v. Символы
С*, 23*, ф*, р*, и* и т. д. будут обозначать соответственно
целые числа, пространства решений и т. д., связанные с уравне-
нием т*о = 0 и с граничными значениями В*, ..., В** для Т*.
3, Резольвенты дифференциальных операторов
489
10. Теорема. Пусть Т имеет ограниченный обратный R. Тогда
в обозначениях предыдущего абзаца
и=-р — р, v = q — v, u* = p*—-р*, v* = q* —-v*.
Более того, ядро К для R имеет представление
V и* ______
3 3 УмФ« (0 Ф* (s)> s<t>
i—i j=i
и v*
S S ТоФ/(0Ф*(s), t<s,
~ i=i j=i
где постоянные ytj и у'ц однозначно определяются уравнениями
скачков и оставшейся системой смешанных граничных уравнений
= 1=1, ..., со, co = k — (р + v).
Доказательство. Так как 28а —подпространство р-мерного
линейного многообразия 23а, определенное р линейными условия-
ми, то очевидно, что и = dimЗВа>р—-И- Аналогично v = dim
^q — v.C другой стороны, если dim ЗВа + dim > р + q — (р + v) =
= п+&—-(р +v) (см. результат применения леммы 2 к операто-
ру т*), то поскольку dim (2Ва +38ь) равенство
dim (SBa + 3Bb) + dim (3Ba fi 2Bb) = dim 3Ba + dim
показывает, что dim (3Ba fi 2Bb) > k — (p + v) = бо. Следовательно,
®afi®& содержит ненулевой вектор f, удовлетворяющий остав-
шимся смешанным граничным условиям £^(/)^0, i = 1, ..., бо.
Поэтому и Tf = O вопреки тому факту, что Т имеет
обратный. Поэтому и = р — р и v=--q — v. Соотношения u* = р* — р*
и v* = q* — v* доказываются аналогично.
Так как ядро /<(/,•) удовлетворяет граничным условиям
C*(f) = O и D*(/) = 0, то оно имеет представление
К (Л з) =
и* ______________
3 аг (/) фГ (s),
г—1
•и*
г=1
s<Zt,
s>t.
подобное представлению ['], данному при доказательстве леммы 6.
Чтобы определить и*+v* — (р* + q*) — (н* + v*) = (n + k*) — (р*+v*)
неизвестных функций аг (t) и рг (/), мы имеем п уравнений скачков
и оставшиеся граничные условия
£*(/() = 0, ®* = /г* —(p* + v*).
Путем рассуждений, аналогичных примененным при доказатель-
стве леммы 6, устанавливается, что эти две системы условий
490
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
определяют функции аг (/) и (/) однозначно; тогда, как при
доказательстве леммы 7, мы видим, что р^ЗВа. Таким
образом, (yi;) и (уЬ) однозначно определяются условиями скачков
и граничными условиями £*(/<) = 0, i = 1, ..., со*. По симметрии
(Yi;) и (уЬ) также однозначно определяются условиями скачков
и граничными условиями Et (Д') = 0, i = 1, ..., со (см. следствие 9),
ч.т. д.
Особенно важен случай, когда и Г, и Т* определяются рас-
падающимися системами граничных условий. Тогда + v =
p*4-v* = &* и коэффициенты Yu и Yb однозначно определяются
уравнениями скачков. По леммам 1 и 2 р* + ?*== Поэтому
и* v* = р* + q* — (|ы* + v*) = п. Аналогично и + и == п. Если функ-
ция б является одновременно линейной комбинацией ерь ..., сри
и гр!, ..., то о лежит в и мы имеем то = 0 и Вг(о) = 0,
1 — 1, ..., k. Таким образом, о будет лежать в области определе-
ния оператора Т и Тв = 0. Отсюда следует, что о = 0. Поэтому
системы {(р1? ..., сри} и {ф1? ..., гр^} должны быть линейно неза-
висимыми. Так как u + v = n, то они образуют базис для всех
решений уравнения та = 0 на /. Аналогично {ср!, ..., <рХ*} U
и{фь ..., ф**} — базис для всех решений уравнения т*а = 0.
Если
u*
2«i (0<Р?(Д
г=1
s<Zt,
K(t, s) =
V*
2 ₽г(ОВД,
i=l
то из леммы 4(c) видно, что уравнения скачков эквивалентны
соотношению
и* V*
/(0=2 аг (0 Ft tf, (pt) - 2 Pj (0 Ft tf, Ф*), f GC”-1 (/).
i—i j—i
Положим а; = аг, i=l, ..., и*; аг = р,_и*, i = u*+l, /г;
T)* = q>i» « = 1, •••> u*', T)i = — i = «*+l, n. Тогда это
соотношение принимает более простой вид
(3) /(0=2«Л0МЛпГ), /GCn-‘(Z).
г—1
Поскольку Ft —форма, содержащая только функцию / и ее пер-
вые п—1 производных, уравнение (3) выполняется для всех /
из Сп-1 (/), если оно выполняется для функций любого подпро-
странства, содержащего функцию с любыми заданными значениями
первых п — 1 производных в любой точке, в частности для подпро-
странства решений уравнения та = 0. Мы видели (см. теорему 10),
3. Резольвенты дифференциальных операторов 491
что TOi = 0, i = l, ..., п. Таким образом, выбирая базис {£г},
/=1, /г, для решений уравнения то = 0 и определяя матрицу
{Г^} уравнениями
Г^-, 4 = 1, ..., п,
j=i
мы видим, что уравнения скачков эквивалентны следующей
системе уравнений:
(4) 2 VijFt Tit) ^(0 = ^(0, Z = 1, ..., n.
i, ;=1
Теперь по формуле Грина
<2
Ft^i, T]t) - Fh t]T) = J {(TgJ (/) W) - ti (Z) (т*т)Г)(О} dt = 0.
t\
Поэтому Ft (£ь T]t) не зависит от t и система (4) эквивалентна
системе уравнений
2ВД(^,П?) = «л, !</,/< л.
i=l
Другими словами, матрица {Г,,} является обратной для матрицы
{Ft (£г, т]*)}. В терминах матрицы {Г^} мы имеем
U* п _____
2 3 гг^-(0<рГ(8), s<t,
i=l j=l
2 2 ггдд/) (s), s>t.
i=u*+i >=i
Кроме того, если мы возьмем = <р>, / = 1, ..., и, и ^ = %-и,
/ = ы+1, ..., п, то, поскольку постоянные Гг_, в выражении
ядра К определены однозначно, из представления для К, данного
в теореме 10, следует, что Г^ = 0, если одновременно i<«* и j <u
или t>«* и j>u.
Далее все эти замечания формулируются в виде теоремы,
в которой применяются введенные выше обозначения.
11. Теорема. Предположим, что Т и Т* определяются систе-
мами распадающихся граничных условий. Пусть = фь i = 1, ...
...,и; & = фг-ц, » = « + !,..., л; т]* = <Р*. 1=1, ..., и*; Л* =
— — ф*_и*, i — и* +1, • • •, л. Тогда
(а) системы {^} и {я?} образуют базис для пространств
решений уравнений то = 0 и т*о = 0 соответственно',
(Ь) матрица {Ft (^,, л/)} не зависит от t и невырожденна-,
K(t, s) =
492
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(с) если {Г/7} обозначает обратную матрицы {Ft (£ь Л;)}»
то Г^ = 0, когда одновременно i^u* и j^u или i>u* и j>u\
(d) ядро К обратного оператора R к оператору Т опреде-
ляется формулой
и* п
2 2 Гг>ф1 (s) Фу-u (0» s < /,
г=1 ;=u4-l
K(Z-S)= п и ____________________
2 2 Гijtyi-u* (s) фу (t), S > t.
2=U*-|-1 j=l
Когда теоремы 10 и 11 формулируются для резольвенты диф-
ференциальных операторов, они принимают несколько другой
вид. Для дальнейших ссылок мы выпишем соответствующие фор-
мулировки.
12. Следствие. Пусть т — формальный дифференциальный опе-
ратор, а Т—оператор с плотной областью определения, полу-
ченный из т наложением системы {Bt} граничных условий. Пусть
системы граничных условий, определяющие Т и Т*, делятся
на три подсистемы, как это описано в пункте, предшествовав-
шем теореме 10. Пусть для каждого числа AGq(T’) системы
Ф,(-,А.), 1<1<и (ф*(-,Л), ICt'Cu*), и фг(-,А,), 1<1<о
l<t<v*), образуют базис для всех решений уравне-
ния (т—X) ст = 0 ((т* — Х)о = 0), интегрируемых в квадрате
в окрестностях точек а и Ь и удовлетворяющих граничным усло-
виям в точках а и Ь соответственно. Тогда резольвента R (X; Т) =
= (Х/ —Т)-1 определяется выражением
(R (X; Т) f) (0 = $ / (s) К (t, s; X) ds, f £ L2 (/),
i
где ядро К имеет представление
K(t, s; Х) =
V и* _______
2 2
г=1 j=l
и v* _______
2 2
г=1 j=i
S <t,
S>t.
Функции уи (•) и yij (•) однозначно определяются смешанными
граничными условиями, определяющими Т, и следующей систе-
мой уравнений скачков:
K(i\c, c + 0)-K(i)(c, с —0) = 0, 0<i<n-2,
K(n~i}(c, с + 0)-К(п-1Цс, с-0) = (-1)п[^Дс)Г1.
13. Следствие. Пусть т — формальный дифференциальный опе-
ратор, а Т — оператор в гильбертовом пространстве, получен-
3. Резольвенты дифференциальных операторов
493
K(t, s; Л) =
ный из т наложением распадающейся системы граничных усло-
вий. Пусть Т* также определяется распадающейся системой
граничных условий. В обозначениях предыдущего следствия пусть
& = Фь & = П* = ф*,
и и* + 1<з<л, для XgQ(T). Тогда при условиях
предыдущего следствия мы имеем
(а) для каждого X из q(T) системы {gj и {г]*} образуют
базис для пространств решений уравнений то = Лег и т*о = Ло
соответственно;
(Ь) матрица {Ft (&, Л;)} не зависит от t и невырожденна для
каждого Л из q(T);
(с) если {Го (Л)} — матрица, обратная для {Ftfa,
то Г^=0, когда одновременно i^u* и j‘<u или i>u*
и
(d) ядро К резольвенты R (Л; Т) определяется формулой
и* п ______
-2 2 мщд/жм. set,
г=1 j=u4-l
- 3 3 Гм (X) Ъ (t, Л) #_tt. (s; X), s > t.
i—u*4-l j—i
Пусть т — действительный формально симметрический диф-
ференциальный оператор. Граничное значение А для т называется
действительным, если A (f) = А (/) для каждой функции f
из ® (7\(т)). Граничное условие Л(/) = 0 называется действитель-
ным, если граничное значение А действительное; система гранич-
ных условий называется действительной, если каждый ее элемент
действительный. Если Т—самосопряженный оператор, получен-
ный из т наложением действительной симметрической системы
граничных условий, то нетрудно показать, что решения уравне-
ния (т* — Л)о = 0 являются комплексно сопряженными к решениям
уравнения (т —Л) о = 0. Поэтому для каждого Л из р (Г) мы можем
брать фг (•, Л-) = ф* (•, %) и фг (•, Л) = ф* (•, Л). Тогда, поскольку Т
самосопряжен (XII.2.2), для каждого X, не являющегося действи-
тельным, оператор T—XI имеет ограниченный обратный.
14. Следствие. В обозначениях следствия 12 предположим,
что т-— действительный формально самосопряженный дифферен-
циальный оператор, а Т — самосопряженный оператор, получен-
ный из т наложением действительной симметрической системы
граничных условий. Тогда резольвента 7? (Л; Т) оператора Т опре-
деляется формулой
(7? (X; Т) /) (0 = J / (s) К (t, s; X) ds, f G L2 (I),
i
494 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
где ядро К имеет представление
-22 у и W фг (*; <р> (s; Л), s < л
к (л *;*)=
— 3 3 У'a (Л) ф! (/; Л) ф, (s; Л.), S > t.
i=zi J=1
Здесь функции уц и у'ц однозначно определяются смешанными
граничными условиями для Т и следующей системой уравнений
скачков:
Kw(c, c + O)-K(i)(c, с-0) = 0, 0<г<п-2,
К(п~1\с, c + O)-K(n~i}(c, с-0) = (-1)п[М7)Г1 = [ап(с)Г1.
15. Следствие. В предположениях и обозначениях следствия 14
и при дополнительном требовании, что граничные условия, на-
ложенные на т, распадающиеся, ядро К имеет вид
-2 2 Гг; (%) фг (/; Л) ф; (s; Л.), s<t,
i=l 3=u+l
/С (/, s, Л) n u
- 2 3 Го-(Л)фг(/;Л)фД5;Х), s>t
i=u4-l j=l
Здесь матрица {Г(К)} —обратная к матрице {Ftj}, a Fi^
= для i^u, рц= —Ft(li,lj) для i>u и & = фЬ
i = l, ..., щ = i—u-}-l, ..., /г.
Интересный и важный частный случай следствия 13 полу-
чается, когда n = 2, Т и Т* определяются распадающимися гра-
ничными условиями, а оператор т имеет вид т/ = (pf')' + qf- Далее,
пусть существует только одно решение ф (ф*) уравнения то = 0
(т*а = 0), которое интегрируемо в квадрате в окрестности а
и удовлетворяет граничным условиям в точке а для Т (Т*),
а также существуют единственные решения ip и -ф*, соответствую-
щие концу 6. Для оператора т
Ft (f, g) = P(t) If' (0FTOI = PV) Wt (f, g),
где Wt(f, g) =f(t) g — g’(f) — вронскиан функций f и g.
В этом случае {I\} — матрица второго порядка с нулевыми диа-
тональными элементами, и поэтому очевидно, что ее обратная
{Ft^t, т]*)} (£1 = ф, ^2 = /Ф, пГ = Ф*, Пг = — 'Ф*) тоже имеет нулевые
диагональные элементы. Элементарные вычисления показывают, что
Р __________1____ Р _____________1_____
12 ““ р (0 wt СФ, ^) ’ 21 “ р (0 wt (<р, -фЪ •
3. Резольвенты дифференциальных операторов
495
Таким образом,
К (t, s; X) =
ф (t, X) <р* (s, X)
р (0 Wt (ф* (%), Ф (X)) ’
<р (/, X) ф* (s, X)
- Р (0 Wt (<р (X), Ф* (X)) ’
s<Zt,
s>t.
[*] /<(/,$; Х) =
Если мы дополнительно предположим, что т —формально симме-
трический (и поэтому действительный) и что система граничных
условий является симметрической и действительной, то эти фор-
мулы переходят, как в следствии 15, в формулы
f Ф(Л X)<p(s, X)
Р(О^г(ф(Х), Ф(Х)) ’
Ф (Z, X) ф (s, X)
I р(О«МФ(*), Ф(X)) ’
Следующая теорема показывает, что по формуле [*] резоль-
вента определяется для большого и важного класса дифферен-
циальных операторов второго порядка.
16. Теорема. Пусть Т — самосопряженный оператор, получен-
ный из действительного формального дифференциального опера-
тора т = (d/dt) [р (t) (d/dt)] + q (t) наложением распадающейся сим-
метрической системы граничных условий. Пусть ImX=^0. Тогда
граничные условия действительны, и существует в точности одно
решение <р(/, X) уравнения (т — X) о = 0, интегрируемое в квадрате
в окрестности а и удовлетворяющее граничным условиям в точке а.
и в точности одно решение ф(/, Л) уравнения (т — Л) сг = 0, инте-
грируемое в квадрате в окрестности Ь и удовлетворяющее гранич-
ным условиям в точке Ь. Резольвента Т)—~интегральный
оператор с ядром K(t. s; X), заданным формулой [*].
Доказательство. Этот результат непосредственно следует из
теоремы 2.32 и предыдущих рассуждений.
В заключение необходимо заметить, что следствие 14 не охва-
тывает всех самосопряженных случаев. Например, если в формально
симметрическом т встречаются комплексные коэффициенты, что
возможно, то при вычислении резольвенты мы должны обратиться
к следствию 12 или 13. Рассмотрим, например, формальный опе-
ратор x = i(dldt) в интервале ( —оо, оо), введенный в § 2. Здесь,
как показано в § 2, не существует граничных значений. Поэтому
для вычисления оператора, обратного к М — Т. может быть при-
менено следствие 12. Если 1тХ>>0, то хо = 1ко имеет единствен-
ное решение се~ш. интегрируемое в квадрате в окрестности
точки —со, и не имеет решений, интегрируемых в квадрате в окре-
496
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Л (/, s; X)
стности точки + оо. Уравнение (т* — Х)о = 0 имеет решение сге~ш,
интегрируемое в квадрате в окрестности точки + оо, и не имеет
решений, интегрируемых в квадрате в окрестности точки — оо.
Поэтому искомое ядро будет иметь вид
| сф(/)ф*(s) = се~^~8\ s>t,
I О, S</,
где с определяется при помощи условий скачка из следствия 12,
т. е. с — —i, а значит, для ImX>0 мы имеем формулу
((Л./ - Г)’1/) (/) = - i J e-iMi-s)/ (s) ds.
t
Нетрудно показать, что для ImX<0 эта формула должна быть
заменена формулой
t
((Х/-ТУ7)(0 = * J e-W-^slds.
—оо
4. Спектральная теория: вполне непрерывные резольвенты
В § 2 мы видели, что с каждым формально самосопряженным
дифференциальным оператором т может быть связан симметри-
ческий оператор Т0(т) в гильбертовом пространстве Л2(/), и пока-
зали, как получить самосопряженные расширения Т оператора
Т0(х) наложением граничных условий на ®(Т*). Настоящий раз-
дел будет посвящен спектральной теории таких расширений в одном
важном случае, в котором резольвента 7?(Х; Т) является вполне
непрерывным оператором для невещественных X. Мы проведем
детальное исследование специальной аналитической формы, кото-
рую принимает спектральная теорема в случае такого самосопря-
женного расширения Т.
Сначала мы установим, что в двух важных случаях резоль-
вента оператора Т — вполне непрерывный оператор, а затем полу-
чим аналоги результатов предыдущего параграфа.
1. Теорема. Пусть х —формально симметрический дифферен-
циальный оператор, определенный на интервале I. Пусть Т —
самосопряженное расширение симметрического оператора Т0(т).
Резольвента R (X; Т) является вполне непрерывным оператором
для любого невещественного X, если
(1) интервал I является компактным
или
(2) индексы дефекта оператора Т0(х) равны порядку диффе-
ренциального оператора т.
4. Спектральная теория: вполне непрерывные резольвенты
497
Доказательство. Так как в случае (1) любое решение уравнения
та = Хо принадлежит С (/) и так как в этом случае С(/)сА2(/),
то случай (1) содержится в случае (2).
Из следствия 3.12 вытекает, что для 1тХ=^=0 резольвента
R (X; Т) может быть выражена в виде
(/?(Х; Т)/)(/)=$ /(*)/< (Л s;l)ds.
I
Так как в случае (2) мы предполагаем, что для 1шХ=^0 любое
решение уравнения то = Хо принадлежит Л2(/), то из выражения
для ядра К (/, $; X), определенного в следствии 3.12, видно, что
| Д’ (/, s; X) |2 ds dt < оо.
i i
Чтобы завершить доказательство, достаточно показать, что
каждый интегральный оператор в Ь2(Г), определенный ядром К,
для которого
||К||2 = J J \K(t, s)\2dsdtс со,
I I
является вполне непрерывным. Хотя это утверждение — частный
случай упражнения VI.9.52, мы дадим здесь его доказательство.
Сначала заметим, что по неравенству Шварца
Щ K(t, s)f(s)ds\2dt^^} J S) I2dsdt] -{ J |/(s)|2ds}
I I II I
Следовательно, норма оператора в L2(I), определенного ядром К,
меньше или равна ||К||. Так как множество вполне непрерывных
операторов замкнуто (см. VI.5.3), то для доказательства утвер-
ждения, что 7? (X; Т)— вполне непрерывный оператор, достаточно
отметить, что простые интегрируемые функции в L2 (I X 7) опре-
деляют вполне непрерывные операторы (поскольку такие опера-
торы имеют конечномерные области значений) и что такие функции
плотны в L2 (I х /).
Следующая теорема описывает спектральные свойства неограни-
ченного самосопряженного оператора с вполне непрерывной ре-
зольвентой.
2. Теорема (спектральная теорема). Пусть т — формально
симметрический дифференциальный оператор порядка п и Т —
самосопряженное расширение оператора Т0(т), такое, что резоль-
вента Д(Х; Т) вполне непрерывна для невещественных X. Тогда
(а) спектр оператора Т представляет собой последователь-
ность точек действительной оси с единственной предельной точ-
кой в бесконечности;
32 Заказ № 134
498
Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
(Ь) каждая точка А спектра оператора Т принадлежит
точечному спектру Т. Более того, dimE ({X}) L2(I)^n;
(с) существует полная ортонормальная система {фт}, т = 0,
1, ..., собственных функций оператора Т. Если ср — собственная
функция, соответствующая собственному числу X, то ф £ С°° (/)
и у —решение уравнения Тф —Аф = О.
Доказательство. Если резольвента Е (X; Т) вполне непрерывна,
то (см. VII.4.5) ее спектр состоит из последовательности точек,
сходящейся к нулю. По теореме о спектральном отображении
(XII.2.9.(b)) о(Т)^/(о(7?(А; Т))), где = для р=Н=О.
Так как оператор Т самосопряжен, то множество о(Т) состоит из
действительных чисел. Из этих замечаний следует утверждение (а).
Если К принадлежит о(Т), то, поскольку А, —изолированная
точка множества о (Т), из XII.2.9(b) и X.3.3(1) следует, что
Е (А) 0.
Если (Т), то (Т— А/) Е (А) / = 0; поэтому спектр операто-
ра Т точечный. Поскольку по теореме 2.10 Т = Т* То (т)* =
= 7\(т), из теоремы 1.3 следует, что каждая функция из облает
значений оператора Е (А) является С°°-решением уравнения то = Ао.
Поэтому, согласно замечанию после следствия 1.5, область значений
оператора Е (А) имеет размерность не больше и. Этим доказано (Ь).
Чтобы доказать (с), нам нужно только показать, что система
собственных функций оператора Т полна. Это следует из того,
что для каждого элемента f нашего гильбертова пространства
XGcj(T)
и из того, что Е (A) f является собственной функцией оператора Т,
как было замечено выше.
Прежде чем перейти к следующему параграфу, в котором рас-
сматривается теория спектрального представления оператора Т
в тех случаях, когда Т не имеет вполне непрерывной резольвен-
ты, стоит привести элементарный, но полезный результат о пото-
чечной сходимости разложений по собственным функциям.
3. Теорема. Пусть % —формально симметрический дифферен-
циальный оператор, определенный на интервале L Пусть Т —
самосопряженное расширение оператора Т0(т). Предположим, что
Т имеет полную ортонормальную систему собственных функций
{ф71}. Тогда для f из ® (Г) разложение по собственным функциям
оо
/= 3 (А фп)<Гп
п=0
5. Спектральная теория', общий случай
499
сходится равномерно и абсолютно на каждом конечном замкну-
том подинтервале интервала I. Этот ряд может быть продиффе-
ренцирован почленно п — 1 раз, причем после каждого дифферен-
цирования ряд сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство. Пусть и XCq(T’). Тогда
/-3(Л <pO<P« = № T)gn,
г=0
где g’n = (V—/)/— 2 ((V—l)f, фг)фг- Так как gn —»0и TRp; Т)—
г=0
ограниченный оператор, то Т) gn и TR (X; T)gn стремятся
оо
к нулю в Ь2(Г), Поэтому по лемме 2.16 ряд 2 (Л фО Фг сходится
г=0
к / в топологии пространства Сп“! (J) на каждом компактном
интервале J из I, Так как этот ряд безусловно сходится в L2(I), то
он сходится безусловно также в Cn-1 (J). Следовательно, каждый
продифференцированный ряд абсолютно сходится, ч. т. д.
5. Спектральная теория: общий случай
В предыдущем параграфе обсуждалась спектральная теория
самосопряженных операторов Т, полученных из формальных диф-
ференциальных операторов, в случае, когда резольвента операто-
ра Т вполне непрерывна. В этом параграфе мы обратимся к изуче-
нию общего случая, когда оператор Т может иметь непрерывный
спектр. В основном здесь будут использованы развитые в § XII.3
методы теории спектрального представления и спектральных типов.
Большая часть фактов, необходимых для доказательства основной
теоремы разложения по собственным функциям, сформулирован-
ной ниже в качестве теоремы 1, уже установлена в теоремах
ХП.3.11 и XII.3.19.
1. Теорема. Пусть т — формально самосопряженный дифферен-
циальный оператор на интервале /, а Т — самосопряженное рас-
ширение оператора TQ(x), Пусть U — упорядоченное представле-
ние пространства L2(I) относительно Т с мерой ц, множествами
кратности et и кратностью т. Тогда т не превосходит порядка п
оператора т. Существуют ядра f^l, ..., m, измери-
мые относительно произведения лебеговых мер v и р, которые
обращаются в нуль при X, лежащих в дополнении к et, принад-
лежат С°° (I) при каждом фиксированном значении X и удовле-
творяют дифференциальному уравнению (x-tk)Wi(-,,k) = Gnpu
каждом фиксированном значении К, Более того, ядра Wt обла-
32*
500
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
дают следующими свойствами:
vrai sup \ | Wi (t, X) |2 p (dX) < oo
v t£J
e
для каждого компактного подинтервала J интервала I и огра-
ниченного борелевского множества е;
(I) (Uf)i (X) = $ f (0 Wi (t, X) dt, f G L2 (/),
I
где интеграл существует в смысле среднего квадратического
в L2(h, ^);
(II) для каждой борелевской 'функции F
т оо
U®(F(T))= {[/и | 2 $
i=i —oo
U
(UF (T) g)i (X) - F (X) (Ug)i (X), g G © (F (T)), - cx> < X < oo.
Доказательство. Из следствий XII.3.13 и XII.3.14 получаем,
что существуют нулевое по мере р множество N и ядра
Wi, i = l, т, удовлетворяющие формулам (I) и (II) и такие,
что (Т'о(т) — k)*Wi (•, Х) = 0 для kQei — N. Таким образом, по тео-
реме 2.10, если мы положим (•, X) = 0 для k$N и изменим
Wi (t, X) на подходящем нулевом по мере Лебега множестве М (к)
для каждого kQN, то получим функцию Wi, такую, что
xWi(t, к) =kWi(t, к), t£I,
для всех к. Если функция Wi измерима относительно произведе-
ния меры р и меры Лебега, то из теоремы Фубини следует, что
мы можем брать Wi = Wi. Чтобы показать, что функция Wi изме-
рима, заметим, что по фундаментальной теореме интегрального
исчисления
Wi (t, X) = lim -Т- Wi (s, X) ds -
П~*°° H [f-l/n, f+l/n]
= lim-T- ? Wi(s, %) ds
П~*°° [t-l/n^t+l/n]
для каждого t внутри интервала I и k$N. Это доказывает всю
теорему, за исключением утверждения, что т^п. Однако так как
по XIL3.19 функции Wx (•, X), ..., Wm(*, к) линейно независимы
для почти всех X £ ет в смысле меры р и уравнение то = Хо имеет
не больше п линейно независимых решений для любого к, то это
утверждение также очевидно.
5. Спектральная теория', общий случай
501
2. Следствие {формула обращения). Пусть I, и т. д. опре-
делены так же, как в предыдущей теореме. Тогда для каждой
функции fQL2{I) мы имеем
f (0 = lim \ У (*’ V и №
А~*°° -к,±1
причем предел существует в смысле среднего квадратического
в Ь2{1).
Доказательство. Следствие вытекает из предыдущей теоремы
и из следствия XII.3.12.
3. Следствие. Пусть оператор Т и ядра W19 Wm опре-
делены так же, как в теореме 1, и пусть F — ограниченная боре-
левская измеримая функция, обращающаяся в нуль вне ограни-
ченного борелевского множества е на действительной оси. Тогда
ограниченный оператор F {Т) можно представить в виде
(F(T)f)(t)=^f(s)K(F;t,s)ds, /G£2(/),
i
где
К (F; t, s) = 2 $ F (M V* k) Wt (*> *) H №),
2=1 e
U
sup \K{F; t, S)|2ds<oo,
tEJ у
где J —любой компактный подинтервал интервала I.
Доказательство. Из ограниченности оператора F (Т) и леммы
2.16 следует, что отображение f —> F (Т)— непрерывное отобра-
жение пространства L2{I) в C{J). Таким образом, существует
постоянное число М {J), такое, что
supfQL2(I).
tEJ
Из теоремы 1(11) и следствия 2 вытекает, что
(F (Т) Г) (/) = J 2 F (Z’ Х) $ f (s)W(MO ds j* (dk),
е i=l I
где интеграл f (s) Wi (s, X) ds существует в смысле среднего квад-
е
ратического в ^(ц)- Пусть обозначает плотное множество
функций f в L2 (/),' обращающихся в нуль вне компактного под-
502 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
интервала интервала /. Если f то мы можем переставить поря-
док интегрирования в предыдущей формуле и получить уравнение
[*] (F(T)f)(t)=^f(s)K(F;t,s)ds,
I
и неравенство
sup I £ f(s)K(F; t, s)ds\^M(J) |f|, /£$0,
t£J 1 j 1
где
К (F; t, s) = 2 (M Wi V, M Wi (s, X) p, (dX).
2=1 e
Из теоремы IV.8.1 следует, что
[ J |K(F; t, s)|2d5]1/2<M(J),
z
и равенство [*] имеет место для всех f из А2(/), ч. т. д.
В теореме 1, как и в определении XII.3.15, целое число т
называется спектральной кратностью оператора Т. В некоторых
случаях следующая теорема помогает найти спектральную крат-
ность.
4. Теорема. Пусть оператор Т, ядра Wt, ..., Wm и мера р
определены так же, как в теореме 1. Пусть а — фиксированный
конец интервала I, а В (/) = 0 — граничное условие в точке а, кото-
рому удовлетворяют все функции f из ® (Т). Тогда В (Wt (•, X)) = О
почти всюду в смысле меры р для каждого ядра Wt.
Доказательство. Как доказано в следствии 2.28, существует
функция f в ®(Ti(T)), такая, что В (g) =. lim Ft{g, f) = Fa (g, f)
t->a
для всех g£® (7\(т)). Очевидно, мы можем предполагать, не умень-
шая этим общности, что f обращается в нуль в окрестности точки Ь.
По формуле Грина (следствие 2.5) мы имеем
[*] B(g) = (xf, g)-(J, rg)
для gС® (Т\(т)). Поэтому (rf, g) = (f, Tg) для всех g из ®(T).
Так как Т — самосопряженный оператор, то отсюда следует, что
/£'$)(?). По теореме 1
ь
$ {(т/)(/)-л/(О}Ж(ГХ)Л = о
а
для почти всех по р-мере X, причем этот интеграл существует
в смысле среднего квадратического в А2(р, et). Более того,
5. Спектральная теория', общий случай
503
поскольку f обращается в нуль в точке b и Wi (t, X) интегрируемы
в квадрате в точке а, этот интеграл существует в обычном смысле.
Следовательно, поскольку (т — k)Wi (•, Х) = 0, из формулы [*]
получаем
ъ
в (Wt (•, %)) = J {(V) (/) - V (/)} Wi (t, X) dt=o
a
для почти всех по р-мере X, ч. т. д.
5. Следствие. Пусть т — действительный оператор второго
порядка, определенный на интервале I, и пусть а — фиксирован-
ный конец интервала I. Если Т — самосопряженный оператор,
полученный при наложении на т системы граничных условий,
включающей хотя бы одно граничное условие в точке а, то спек-
тральная кратность оператора Т равна единице.
Доказательство. Очевидно, что спектральная кратность т
не меньше единицы. С другой стороны, если В(/) = 0 есть
любое ненулевое граничное условие в точке а, то очевидно, что
множество общих решений уравнений (т — Х)о = 0 и В(о) = 0
одномерно. Так как на основании предыдущей теоремы функ-
ции Wi из теоремы 1 удовлетворяют этим двум уравнениям, то из их
линейной независимости (см. теорему XII.3.19) следует, что /п<1,
ч. т. д.
Доказывая теорему 1 и следствие 2, мы видели, что произволь-
ный вектор f в А2(/) имеет разложение типа «интеграла Фурье»
по собственным функциям Wi (t, X) дифференциального оператора т.
К сожалению, теорема 1 имеет скорее теоретическое значение,
чем практическое, поскольку построить функции Wi (t, X) в явном
виде трудно. На практике удобнее выбрать некоторый подходящий
базис Of (/, X), /= 1, ...., п, для множества решений уравнения
(т —Х)о = 0 и разлагать f по $i (/, X). В то время как поведение Wi
в зависимости от Л может быть довольно сложным, новый базис
может быть выбран так, чтобы функции Oj (/, X) были непрерывными
по совокупности (/, X) и даже аналитическими по X (см. след-
ствие 1.5). Однако, когда теорема о разложении формулируется
в терминах произвольного базиса аь ..., оп для системы решений
уравнения (т —Х)о = 0, детальное исследование сходимости полу-
ченных рядов или интегральных разложений становится более
сложным; при этом гильбертово пространство 2А2(нО заменяется
подходящим пространством £2, соответствующим положительно
полуопределенной матрице функций множества. Перейдем теперь
к изучению этих вопросов теории меры.
6. Определение. Пусть {ио}* 1 — семейство комплекс-
нозначных функций множества, определенных на ограниченных
504 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
борелевских подмножествах действительной оси. Семейство {р^}
называется положительной (п х п)-матричной мерой, если
(I) матрица {рг-7- (е)} эрмитова и положительно полуопределена
для каждого ограниченного борелевского множества е;
(II) для каждой последовательности непересекающихся борелев-
ских множеств с ограниченным объединением
оо 00
Hij ( U ^пг) = 2 Ни (^пг)«
т=1 т=1
7. Лемма. Пусть {у^}—положительная матричная мера,
элементы pZJ- которой непрерывны относительно положительной
с-конечной меры р. Если матрица плотностей {т^} определяется
уравнениями
р,; (г) = тц (X) р (dl),
е
где е —любое ограниченное борелевское множество, то матрица
{m,ij (X)} положительно полуопределена для почти всех по ц-мере К.
Доказательство. Сначала заметим, что множество е0 всех X,
для которых матрица {тг-7- (X)} положительно полуопределена,
измеримо, потому что оно является множеством тех X, для которых
п
2 Mij (М О
г, j=l
для каждого вектора [£ь ..., £п] из Еп, элементы которого рацио-
нальны. Если лемма неверна, то легко доказать, что существуют
вектор ..., с рациональными элементами и множество e^e'Q
положительной меры р, такие, что
s wwu-<o
г, j=l
для Л из е. Однако тогда выполняется неравенство
п п
i,j=i е i,j=i
вопреки предположению, что матрица {р/7- (е)} положительно
полуопределена.
8. Определение. Пусть {рг-Д — положительная (п х п)-матричная
мера на действительной оси, и пусть р есть о-конечная положи-
тельная регулярная мера, относительно которой все функции мно-
жества р/j абсолютно непрерывны. Если {т^} обозначает матрицу
плотностей для {р^} относительно р, то семейство наборов из п
5. Спектральная теория: общий случай 505
измеримых по Борелю функций F = [Д, ..., /п], определенных
на действительной оси, для которых
оо п
\F'? = J { 2 ти(^)А(^)Ш}н(^)<оо,
—оо i,j=i
будет обозначаться через £^({Цм))-
Элемент .Pg({р,^}) будет называться {у,^-нулевой функцией,
если IF| = 0. Множество всех классов эквивалентности элементов
пространства L°2 ({рг>}) по модулю {ргД-ну левых функций будет
обозначаться через £2({р,г>}).
Заметим, что по лемме 7 подинтегральное выражение в предыду-
щем интеграле неотрицательно для почти всех в смысле р-меры X.
Далее, если F, G принадлежат L* ({цгД), то мы можем рассматри-
вать их значения [Д (%), ..., fn (А.)] и [gi (А), ..., gn (X)] для каж-
дого фиксированного А как элементы «-мерного унитарного про-
странства Еп. Применяя неравенство Шварца для положительно
п
полуопределенного скалярного произведения 2 mu 0) в
г, j=l
(см. замечание после теоремы IV.4.1), получаем неравенство
I 2
г, 5=1
г п _____-» 1/2 г п _____л 1/2
< {. 21 т» (*) а № fi R {. 21 тч w gi w gj (*)}
для почти всех в смысле р-меры X. Из всего сказанного следует
существование интеграла
оо п
[*] (F,G) = $ {2
— 00 г, j=l
и неравенство
|(F, G)|<|F||G|.
Так как | F + G |2 = | F |2 + 2 (G, F) +1G |2, то из этого неравенства
следует, что сумма двух {р^-}-нулевых элементов есть {р^}-нулевой
элемент. Поскольку произведение скаляра на {РгЯ-нулевой эле-
мент, очевидно, также есть {Рг7-}-нулевой элемент, то A/({Pzj})—-
семейство {р^}-нулевых элементов —образует линейное подпро-
странство пространства ^({Ни})- В дальнейшем мы будем, как
это делается обычно, применять один и тот же символ [Д, ..., fn]
для обозначения элементов пространств Ц({Ро’}) и ^({Но*})-
Если F^lfi, и G = [^, ...,£„] принадлежат L2({p/;})
и е —ограниченное борелевское множество, то мы часто будем
506
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
писать
п
е i,j=l
вместо
п
$ { 2 WiTw}и(^).
е г, J=1
Мы можем доказать, что интеграл [*] не зависит от меры р,
следующим образом. Пусть р —другая о-конечная положительная
регулярная мера, относительно которой функции р^ непрерывны.
Пусть {т^} —соответствующая матрица плотностей, и пусть
{/г,;}-—матрица плотностей матрицы {рг;} относительно (р4-р).
Если т —плотность р относительно р + р, то
р,; (е) = niij (X) р (dA,) = тц (А) т (А) (р р) (dA)
е е
для любого ограниченного борелевского множества е. Поэтому
mijirr^nij для почти всех по (р + р)-мере X. Пусть даны измери-
мые функции ft и gi, Z= 1, ..., п. Тогда из следствия IIL10.6
вытекает, что
Щц (%) ft (X) gj (%) } и (<&) =
оо п
= $ { 2 nl3 (%) Л (%) £ДХ)} (н + И)
—оо i,j=l
Рассуждая точно так же, мы получаем аналогичную формулу,
в которой в левой части р и заменены на р и Таким
образом,
оо п
rnuW н(^) =
9. Лемма. Пространство L2 ({[it^ — нормированное линейное
пространство с положительно определенным эрмитовым скаляр-
5. Спектральная теория: общий случай
507
ным произведением, заданным формулой
оо П
(F,G)=^
— оо i, j=i
для каждой пары F=[f^ ...,fn\ и G^[gi, ..., gj из £2({Hzj})-
Доказательство. Выше было показано, что L2({Hzj})“ линейное
пространство и
\{F,G)\^\F\\G\, ^G€L2({^}).
Отсюда l^ + GI^IFI + IG] (см. замечание после теоремы IV.4.1).
Для того чтобы показать, что £2 ({ргД) — гильбертово простран-
ство, остается доказать, что оно полно.
10. Теорема. Если {[^ — положительная (п х пУматричная
мера, определенная на действительной оси, то L2({\^ij}) —гиль-
бертово пространство.
Доказательство этой теоремы будет основано на следующей
лемме.
11. Лемма. Пусть {[it j} —положительная матричная мера,
элементы которой непрерывны относительно положительной
(^-конечной меры р. Если {т^} —матрица плотностей {р^} отно-
сительно р, то существуют неотрицательные измеримые по мере р
функции <рь 1=1. ..., п, интегрируемые по мере р на каждом
ограниченном интервале, и измеримые по мере р функции а^,
1 <£ j <п, такие, что для почти всех в смысле [i-меры X
п
(а) 2 а^ (X) ajt (X) = 8 ц
и
(b) 2 (А)ая(А) = тн (%).
J=i
Прежде чем дать доказательство леммы И, докажем с ее
помощью теорему 10.
Доказательство теоремы 10. Пусть функции и а^ обладают
свойствами, указанными в лемме И, и пусть Vj для каждого i
— положительная мера, определенная формулой
V; (е) = <рг (А) р (dA).
е
Если ^ — прямая сумма гильбертовых пространств L2(v,),
/=1, .п, то $— гильбертово пространство всех наборов
508 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
F=[/1, ••ifn] ^-измеримых функций, для которых
П оо
If 1 = 2 {S IAWI2TfWH(^)}1/8<oo.
i=l —оо
Пусть теперь Л— отображение, которое каждому вектору
G = [gi, ..., из L2({Ho‘}) ставит в соответствие набор функций
i = l,
3=1
Так как
оо п
$ { 2 тч =
— оо i, j=i
оо П
= J { 2 W Si (^)l [ahj (%) gj (А)] <рА (%)} р (dk) =
—оо г, j, h=i
оо п
= $ 21А(М12тн^)ит
— оо k=i
то очевидно, что А определяет изометрический изоморфизм £2 ({Ни})
в <д. С другой стороны, пусть В —отображение, которое ставит
в соответствие каждому вектору [Д, . ..,Д] из элемент
[gi, • • •? gJ, определенный формулой
gi W = 3 aij (^) fj-
j=i
Так как по лемме 11(a) матрица {а^ (X)} — обратная к матрице
{ац(Х)} для почти всех в смысле р-меры X, то В^Л"1. Следова-
тельно, Л — изометрическое отображение пространства £2({ргД)
на все $, что и доказывает полноту £2({рг7}).
Остается доказать лемму 11.
Доказательство леммы И. Сделаем сначала одно замечание,
которое будет неоднократно применяться в доказательстве. Пред-
положим, что для каждого множества еп мы можем найти измери-
мую по р-мере матрицу и функции {q^n)}, такие, что
k
%а$ЦЬ)а<р(к,) = 8ц
И
k
5. Спектральная теория', общий случай 509
для почти всех в смысле ц-меры А. Тогда если мы положим
(*)
И
Ч>« W = <Р({П) W
п— 1
для Agen — U то очевидно, что функции аи и <рг удовлетво-
ри
ряют требованиям (а) и (Ь) леммы 11 для всех А из множества U еп.
n=i
Так как мера р является о-конечной, то действительная ось
является объединением последовательности множеств с конечной
мерой р. По лемме Лузина (XII.3.17) каждое множество конечной
меры отличается от объединения последовательности измеримых
множеств, на каждом из которых функции непрерывны, мно-
жеством меры нуль. Таким образом, достаточно доказать, что можно
построить функции a/j и фг на каждом измеримом множестве
Оо конечной меры, на котором функции непрерывны.
Мы можем еще более упростить задачу следующим образом.
Пусть функции niij непрерывны на о0, р(о'о)<со, пусть М (X)
для X £ о0 —эрмитов оператор в n-мерном унитарном пространстве
с матрицей {гИг7(Х)} и Хо —точка из о0, ^ — собственное значение
матрицы М (Хо), а (7 —окрестность точки £0> замыкание которой
не содержит других собственных значений матрицы М (Хо). По след-
ствию Х.7.3
lim £(М(%); (7) = £(М(л0); £о),
h Е o'о
где Е (М (X); •) — спектральное разложение матрицы /И(Х). Так
как Е (М(Х); U) не обращается в нуль для А, близких к Хо, то Xgo0?
и, следовательно, для X, достаточно близких к Хо, множество
о (М (X)) П U не пусто. Таким образом, если п (%) обозначает число
различных точек спектра матрицы М. (X), то множество
{X g о01 я (^) > s} относительно открыто в сг0, и поэтому множества
bs = {% £ Оо | п (%) = s} борелевские. Поэтому, чтобы доказать лемму,
достаточно показать, что мы можем построить функции и ф/
на каждом множестве bs. С другой стороны, в силу регулярности
меры р такое множество отличается от объединения последфва-
тельности компактных множеств множеством меры нуль. Таким
образом, достаточно показать, что если е0 — любое компактное
подмножество множества bs и Хо —любая точка из е0, то точка
имеет в е0 окрестность, в которой существуют функции и ф;,
обладающие свойствами, указанными в лемме.
Пусть число 8 так мало, что разность любых двух различных
собственных значений матрицы М (Хо) по модулю больше 8. Выше мы
заметили, что для достаточно близких к Хо, (е/2)-окрестность
510
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
каждой точки из о (Л4 (Хо)) содержит по крайней мере одну точку
из о(Л4(Х)). Так как о(7И(Х0)) и or (М (X)) имеют одинаковое число
точек (поскольку X, Х0С е0), то отсюда следует, что если ф^ (Хо), .. ►
..., фА (Хо)~ различные собственные значения матрицы М (Хо),
то для каждой точки X £ е0, достаточно близкой к Хо, существует
единственная точка ф^ (X) £ о (М (X)), такая, что
|фг (М — Фг (^о) | <-|-, i=l,
Более того, {ф/ (X), ..., ф& (X)} = о (Л4 (X)). Таким образом, функции
фг (Х) = фг (X) определены в окрестности Nx точки Хо в е0. Нетрудно
доказать, рассуждая подобным образом, что ф^ (X) непрерывно
зависит от X. Тогда, используя следствие Х.7.3, легко показать,
что Ei (X) — Е (М (X); фг- (X)) непрерывно зависит от X, i — 1, ..., k.
Пусть t’i, . ..,уп образуют ортонормальный базис для Еп
и Ei (Хо) Vj==Vj, ni-! 0 = n()<ni<n2< ... <nk = n.
Положим Vj (X) = Ei (X) Vj, пг-! < Тогда Vj (X) непрерывно
зависит от X при X £ Ni и M (X) Vj (X) = cpf (X) Vj (К) для < j^n-L.
Используя то, что определитель det (X), Vj) не обращается в нуль
для X, близких к Хо, легко показать, что vj (X) образуют базис
для Еп при каждом X в окрестности N2 Ni точки Хо в е0. Так как
Ei (X) = для то Vj (X) и v] (X) ортогональны,
если существует i^k, такое, что j^ni<Zj'. Пусть v{ (X), ...
..., (X) —ортонормальный базис в Еп, полученный применением
метода Грама —Шмидта к (X), ..., vn (X), т. е. v> определяются
по индукции формулами
Vi (Х)=т^’
I Щ (X) |
Vt+i (X)— 3 (^+1 W- V1 W) vi
иг+1 (X) =--------.
| ^+i(X)— 2 (Уж (X), Vj (X)) vj (X) |
Отсюда по индукции просто показать, что Ei (h) Vj (X) = Vj (X)
для nt-! < j^n-, так что M (X) Vj (X) = срг (X) Vj (X) для n^ < j^nt.
Таким образом, мы построили непрерывно изменяющийся орто-
нормальный базис для Еп, определенный для XgyV2, и систе-
му ф1? .. .,фп непрерывных функций, определенных для
таких, что
М (X) Vi (X) = фг (X) Vi (X), i = 1, ..п.
5. Спектральная теория', общий случай
511
Если {uj —базис в Еп, у которого элемент tit совпадает с набо-
ром [6/;], j = 1, ...» /г, то функции aij определяются по формулам
Uj — 2 Cij (X) Vt (А).
г=1
Эти функции, очевидно, непрерывны на N (Ао). Так как
(vi (A), (А)) = 6^, то мы имеем
2 ац (X) alh (X) = («у, ыА) = X € N (Хо).
г = 1
Аналогично
Mjh (X) = (Af (X) Uj, uk) =
= 2 aij (X)^T(X) (Al (X) vt (X), vt (X)) =
i= 1
= 2 <Pi (V an (X)^T(X), X 6 N (Xo),
1=1
4. T. Д.
Теорема 10 устанавливает эквивалентность теории пространств
L2({Hu}) и теории гильбертовых пространств вида L2(h)- В даль-
нейшем мы будем часто пользоваться свойствами /^({Ни}) как
гильбертова пространства, указанными в лемме 9 и теореме 10,
а также рядом других свойств элементарной теории меры, общих
для этих пространств и Л2(р,). Однако здесь необходимо быть осто-
рожными. Так, если [Д, ..., fn] принадлежит Л2 ({р,^-}), то отсюда
еще не следует, что какой-нибудь из наборов [Д, 0, ..., 0], ...
..., [0, ..., 0, fn] принадлежит Например, пусть р,—
конечная положительная регулярная мера, п=2 и {р^- (е)} — матрица
ц(е) — ц(е)
. —|л(е) р(е) '
Тогда плотность матрицы {ц;у} относительно ц равна
+ 1 -1'
.-1 +1Г
так что
оо 2 оо
$ { 2 Л(А)77(Х)^м(М} И (^А)= j IA(X)-/2(X)|2p(dX).
— сю г, j=l — оо
Таким образом, если [Д,/2] — любая пара функций, разность кото-
рых принадлежит Т2(р), то [Д, /2] € ({Иг;}), даже несмотря на то,
512 Гл. XIIК Обыкновенные дифференциальные операторы
что [/1,0] и [0,/2] могут не принадлежать Л2({р,/;}). Это рас-
суждение ясно показывает, что если функции / неограничены,
то из существования символического интеграла
k
$ { 2 A(MOOfMA)}
е i,j=l
еще не следует существование интеграла от каждого слагаемого.
Поэтому этот интеграл не может быть, вообще говоря, представлен
в виде суммы простых интегралов. Конечно, если каждый член
§ ft W fi (К) Но- (^) существует, то
в
п п
$ { 2 М*)£Жт} = 2 $
е г, j=i г, j= 1 е
Построив необходимые нам основы теории положительных
матричных мер, мы вернемся к теории разложения дифференциаль-
ных операторов по собственным функциям.
Мы хотим теперь найти более удобный для вычислений вид
формулы разложения, выведенной в теореме 1. При этом неиз-
бежно возникает ряд технических трудностей. Чтобы разобраться
в природе этих трудностей, мы предварительно сделаем эвристи-
ческий обзор основных сведений, содержащихся в остальной части
настоящего параграфа.
Ядра Wt (t, X) из теоремы 1 являются решениями уравнения
(т —Л)^(-, А) = 0, принадлежащими С°° для каждого фиксирован-
ного X, но как функции от X они являются только измеримыми,
так что они могут быть очень «плохими». Мы можем изба-
виться от некоторых из их «недостатков» следующим образом.
Вместо того чтобы рассматривать вектор-функции Wt (•, X) от X,
возьмем базис сгп (•, для пространства решений
уравнения то = Х<т, выбрав этот базис непрерывным по txX
или даже, может быть, из класса С°° по I и аналитическим по X.
Например, такой базис может быть определен специальными
начальными условиями, такими, как 0^1 (с, %) = 6*, /<п — 1
(см. следствие 1.5). Тогда W^(-, X) могут быть однозначно пред-
ставлены в виде
(•» 3 aij (^) Gj (’ > ^)-
Здесь зависимость функции от X проще, чем раньше, поскольку
теперь она выражается в терминах изменения конечной системы
коэффициентов а^, зависящих от X.
5. Спектральная теория: общий случай
513
Однако это упрощение приводит к новым трудностям. Напри-
мер, формула из следствия 3, записанная в терминах функций
(Tj (•, X), имеет вид
т п
K(F;t,s)=^ $ 2 f (М *3X) aA (s, X) ц (dX);
2=1 G j, k~i
иначе ее можно записать в виде
п
К (F-1, S) = J { 2 F W (t, М ел (dX)} ,
е j, fe=l
где матричная мера Qjk определена формулой
т
Qjk (<?) = 2 йг> aik И
г=1 е
Таким образом, в нашу теорию разложения неизбежно вводятся
матричные меры.
Трудности появляются уже в самом процессе выбора базиса
Oi (•, X), ..., Од (•, X) для пространства решений уравнения то = Хо,
хотя, конечно, мы можем всегда следовать указанному выше
методу, т. е. выбрать точку с в интервале 7, на котором определен
оператор т, и определить базис (•, X), ..., <тп (•, X) требованием,
чтобы o(4-i (с, X) = М, —1.
Этот метод имеет то очевидное преимущество, что получаю-
щиеся (Ji (•, X) — целые аналитические функции комплексного
переменного X; но он имеет и недостатки, не столь очевидные,
но имеющие решающее значение. Например, предположим, что
мы изучаем самосопряженный оператор Т, полученный из формаль-
ного дифференциального оператора —(d/dt)2 на интервале [0, оо)
наложением граничного условия f (0) 4- fr (0) — 0. Спрашивается,
как лучше всего выбрать точку с из [0, оо)? Здесь с = 0, так как
любой другой выбор точки с будет вводить излишнюю асимметрию
во всех вычислениях. В этом случае элементарные вычисления
показывают, что cos Х1/2/ и X 1/2 sin Х1/2/ есть решения и <т2 урав-
нения то = Х<т, определенные граничными условиями o^i (0) = б{,
I, / = 0, 1, соответственно. Эти функции являются целыми функ-
циями X. В области X > 0 они образуют вполне подходящий базис для
решений уравнения то = Хо. Однако в области X < 0 с аналитически-
ми выражениями типа cos Х1/2/ трудно работать из-за двусмыслен-
ности в определении Х1/2. Анализ спектра оператора Т показывает,
чтоХ~—1 является единственным собственным значением опе-
33 Заказ № 134
514 Гл, XI1L Обыкновенные дифференциальные операторы
ратора Т и что функция ср (выраженная через функции и о2)
<p(/) = /2(z sin it cos it)
является соответствующей ортонормированной собственной функ-
цией оператора Т. Так как
gil_g—H . I g—if
sin t =---> cos t = ’
то функция cp(/) просто равна Это делает очевидным то,
о чем можно было догадываться и раньше: на отрицательной
части действительной оси лучше в качестве базиса для решений
уравнения то = ко выбрать функции
Oi (/Д) e~l к, о2 (/, А) = е1
Конечно, поскольку мы имеем дело с формальным оператором
т0 = — (d/dt)2, где решениями уравнения т0о = ко являются извест-
ные тригонометрические (или показательные) функции, трудно-
сти, возникающие от того, каким образом выбран базис, являются
не очень значительными. Но если, например, рассматривается
формальный дифференциальный оператор т4 = — (dldx)2 + (а/х2)
на интервале (0, оо), так что решениями уравнения т^^Хо будут
функции Бесселя (Ганкеля, Неймана, цилиндрические), то эти
трудности могут стать значительными. Прежде всего, если
мы намерены следовать указанному выше методу выбора базиса
Oi, о2 для решений уравнения то=До, то мы должны сначала
выбрать некоторую произвольную точку с в (0, оо) и тем самым
ввести ненужную асимметрию во все последующие вычисления.
То, что наш выбор точки с приводит именно к этому результату,
можно заключить из того, что соответствующий выбор для
формального дифференциального оператора т0= —(djdx)2 дал бы
базис
Oi (t) = к~1/2 {sin k1/2t cos k1/2c — cos k1/21 sin X1/2c},
<y2 (t) = cos X1/2Z cos X1/2c + sin k1/2t sin X1/2c.
Кроме того, аналогом соотношения
cosrY + i sin it = e~l
для функций Бесселя является соотношение, которое выражает
функцию Ганкеля через функции Бесселя и Неймана. Эти замеча-
ния иллюстрируют следующие принципы.
(а) Для того чтобы избежать несущественных и запутывающих
трудностей в вычислениях резольвент, спектральных разложений
5. Спектральная теория: общий случай 515
и т. д. дифференциальных операторов, нужно подходить осторожно
к выбору подходящего базиса для решений уравнения то = Хо.
(Ь) Аналитическое продолжение базиса, удобного для изучения
в некоторой области изменения параметра X, не обязательно
является удобным для изучения базисом в другой области изме-
нения X.
В силу вышесказанного мы оставляем за собой право иссле-
довать отдельно различные области изменения X. Ниже даются
определения, результаты и т. д., к которым нас приводит такое
исследование. Заметим только, что необходимо сделать несколько
незначительных обобщений теории положительных матричных мер,
данной выше. Так, определение 6 должно быть обобщено следующим
образом.
12. Определение. Пусть Л —открытый интервал действитель-
ной оси, и пусть !</,является семейством ком-
плекснозначных функций множества, определенных на семействе
борелевских подмножеств из Л, замыкания которых компактны
и содержатся в Л. Семейство {pzj} будет называться положи-
тельной (п х п)-матричной мерой на Л, если
(I) матрица {р^- (е)} является эрмитовой и положительно полу-
определенной для каждого борелевского подмножества е мно-
жества А, замыкание которого компактно и содержится в Л;
(II) для каждой последовательности непересекающихся боре-
левских подмножеств из Л, объединение которых имеет компактное,
замыкание в Л,
’ оо 00
( U &т)= 2 М'О’ (^т)*
т=1 т=1
Лемма 7, определение 8, лемма 9, теорема 10, лемма II также
имеют соответствующие обобщения. Например, определение 8
нужно обобщить следующим образом: пусть Л —подинтервал дей-
ствительной оси, пусть — положительная (п х /г)-матричная
мера на Л, а р— положительная о-конечная регулярная борелевская
мера на Л, по которой все функции {рг7} непрерывны; пусть
{mij} — матрица плотностей матрицы {р^} относительно р.
Семейство наборов F = [fi, ..., /п] измеримых по Борелю функций,
определенных на Л, для которых
п
Ю2=$ { s WO)}H(dX)<oo,
Л г, 1
будет обозначаться через Л® (Л, {рг;}). Элемент F из Л® (Л, {ц,,})
будет называться {цг;}-яулевой функцией, если | F | = 0. Множество
всех классов эквивалентности элементов пространства L“ (Л,
по модулю {цг;}-нулевых функций будет обозначаться через
U (Л, М).
33*
516 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Рассуждая так же, как в лемме 9 и теореме 10, можно доказать,
что Л2(Л, {р^}) — полное гильбертово пространство.
Следует отметить, что если является положительной
(п х м)-матричной мерой на действительной оси и {р,^} является
положительной (п х /г)-матричной мерой на Л, определенной соот-
ношением (е) = Qij (е) для е е Л, то Л2 (А, {р,^}) можно рас-
сматривать как изометрически вложенное в Л2 ({Qu}), т. е. как мно-
жество наборов [Д (•), ..., fn (•)] пространства A2({q/;}), элементы
которых обращаются в нуль вне Л. (Ср. с § Ш.8, в частности
с пунктами, расположенными между леммами III.8.2 и III.8.3.)
В дальнейшем подобные простые соображения из теории меры
будут часто применяться, иногда неявным образом. В част-
ности, последовательность элементов из Л2(Л, {k4j}), сходящаяся
в метрике пространства Л2 (Л, {р,^}), будет иногда называться
сходящейся в смысле среднего квадратического в Л2(Л, {р^}).
Пусть I — интервал действительной оси, v — борелевская мера
на /, di, ..., ап — система измеримых по Борелю функций, опре-
деленных на I х A, a h — измеримая по мере v функция, опре-
деленная на /. Предположим, что для каждого компактного под-
интервала J интервала / интегралы
= J k)h(t)v(dt), t = l, ...,n,
J
существуют для всех Zf Л и определяют элемент HJ из Л2 (Л, {pij})
и что если Jp — любая неубывающая последовательность ком-
пактных подинтервалов интервала /, объединение которых есть /,
то lim HJp существует в топологии пространства Л2(Л, {р^}). Тогда
р->ОО
мы иногда будем говорить, что семейство интегралов
о, (Z, X) h (t) v (dt)
i
существует в смысле среднего квадратического в А2(Л, {рг,}).
13. Теорема (Вейль — Кодаира). Пусть г — формально самосо-
пряженный дифференциальный оператор порядка «, определенный,
на интервале I с концами а, Ь. Пусть Т — самосопряженное рас-
ширение оператора Т0(т). Пусть \ — открытый интервал дей-
ствительной оси, и предположим, что задана такая система
функций <Т1, ..., оп, определенных и непрерывных на I х Л, что
для каждой фиксированной точки К из Л система X), ...
..., оп (•, образует базис для пространства решений урав-
нения то = Х<т. Тогда существует такая положительная (п х п)~
матричная мера {q;;}, определенная на Л, что
5. Спектральная теория: общий случай
517
(I) предел
d
[(Vf)i (Л)]=НтЦ f(0a7№ 1
с->а L d -J
d-*b c
существует в топологии пространства L2(A, {Qfj}) для каждой
функции f£L2(I) и определяет изометрический изоморфизм V
пространства Е (Л)Л2 (/) на Е2(Л, {q/j});
(II) для каждой борелевской функции G, определенной на дей-
ствительной оси и обращающейся в нуль вне Л,
V® (G (Г)) = {[ft] £ L2 (Л, {QfJ})| [Gft] £ L2 (A, {eiJ})}
и
(VG(7)/)f(Z)^G(Z)(m(Z), f = l, n, Z(=A, /G®(G(T)).
Доказательство. Пусть Wif ..., Wm, ц и e^ f = 1, ..., m,
определены, как в теореме 1. Тогда мы можем найти функции а^,
такие, что
[*] Wi(t, Z)= 3 ai} (Х)сгД^ Л), /£/, Z£A, i =
J=1
Сначала покажем, что функции а^ являются измеримыми по мере р.
Пусть «/ — ограниченный замкнутый подинтервал интервала I. Если
бы сужения функций оД-, Л), ..., оп(-, Л) на J были линейно
зависимыми при любом X, т. е. существовала бы ненулевая система
р
постоянных Ci, ..., ср, таких, что 2 А,) = 0 для tQj, то
г=1
из утверждения теоремы 1.3 о единственности следовало бы, что
р
2 City (t, Л) = О для всех t £ /. Поэтому система cq (•, А,), ...
г—1
..., <ур(«, Z) была бы линейно зависима, что противоречит усло-
виям. Это противоречие показывает, что сужения (Z) функций
<У/(«, Z) на интервал J линейно независимы, и поэтому уравне-
ние [*] определяет коэффициенты а^ (Z) однозначно, даже если
мы требуем только, чтобы [*] имело силу для всех t из J. Так
как функции atj(K) непрерывны и поэтому ограничены, то суже-
ния Wi (Z) и (Ji (X) функций Wi(-,k) и (Ji(-,k) на интервал J
принадлежат L2(J). Полагая, что Zo —фиксированная точка в Л,
и применяя теорему Хана —Банаха (II.3.13), отбираем векторы
hjQL2(J), такие, что
(<тг(Л0), hj) = 8ij, i, j=l, ..n.
Тогда для любого фиксированного целого k, 1<£</и, мы имеем
(1Fa(A), hj) = 2 ahi (X) (Oi (Z), hi), /--=1, n.
i=l
518 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
При К — Ло матрица {bjj (Л)} = {(сГг (Z), hj)} единичная. Очевидно,
что матрица {btj (Z)} непрерывна по X. Поэтому существует окрест-
ность N точки Ло, такая, что определитель det{b^ (Z)} отличен
от нуля в ЛрАЛ Следовательно, для XCAQA матрица {6ij(X)}
имеет обратную {cf;(Z)}, непрерывную по Л при KQN. Таким
образом,
П аи(К) = 2 (ИЗД, hj)cjt(X),
7 = 1
k = l, ..., т; i=l, ..., п; ZCAQA.
Это равенство показывает, что сужение функции a^j на AQA
измеримо по мере р. По теореме 1 {hj, Wh (Z)) = (Uhj)k (Л) при-
надлежит Л2(н) при k= 1, ..., tn, j = 1,..., n; вместе с равен-
ством ['] это доказывает, что
I ctki (Л)|2 р (dZ) < со, 1 = 1, п, k = l, ..., т,
ApiMRN
при условии, что М — компактное подмножество множества Л.
Так как Л может быть покрыто последовательностью множеств
вида AQAZ, то a,ki — измеримые по мере р функции на Л, а так
как каждое борелевское множество е, замыкание которого ком-
пактно и содержится в Л, может быть покрыто конечной после-
довательностью множеств вида Л П N, то
W|2p(dZ)< оо, fe=l, ..., m, f=l, ..., и,
е
для каждого борелевского множества е с компактным замыка-
нием, содержащимся в Л.
Пусть Qjk — комплекснозначные функции множества, заданные
на каждом борелевском множестве е, замыкание которого замкну-
то и содержится в Л, формулами
т
Qjk (^) = 2 (^)’ /, & = 1, • • •» п.
г= 1 в
Пусть [^1? . .., £п] — набор комплексных чисел. Тогда
п т п
— Р I — 12
7, k—i i=i е 7=1
Таким образом, {qja (•)} удовлетворяет условию (I) определения 12.
Ясно также, что {q./a(-)} удовлетворяет и условию (II) определе-
ния 12, если только замыкание объединения (J ei компактно и
г=1
содержится в Л. Таким образом, {q^} есть положительная
5. Спектральная теория', общий случай 519
(п х /?)-матричная мера, определенная на интервале Л. Очевидно,
что все функции множества Qjk непрерывны по мере р, и плот-
ностью Qjk относительно р является функция
т
ITLij = 2 ClhjClhi'
h—1
Пусть для каждого набора F = , Ad измеримых по Борелю
функций, заданных на Л, AF есть набор [gi, . ..,^1 функций,
определенных равенствами
п
g«W= 3 i = l,...,m, UA.
k=i
Тогда, поскольку Utk (Z) равно нулю при Xfpj и
п т
Л г, з=1 Л k=l
отображение А — изометрический изоморфизм Л2(Л, в под-
rn т
пространство 2 ^(р, Л^) пространства 2 ^г(р, Ъ)- Отсюда же
i— 1 г= 1
вытекает и следующее замечание.
["] Если F является набором п измеримых по Борелю функций,
т
то AF£^ L2(A.et. р) тогда и только тогда, когда F£L2(A.. {qu}).
г= 1
Пусть [/ — изометрический изоморфизм пространства L2(I) на
т
2 ^г(Рг)’ полученный в теореме 1, и пусть {Jq} — возрастающая
г=1
последовательность компактных интервалов, объединение которых
равно I. Из теоремы 1 следует, что для каждого целого q и каж-
дой функции f из L2(I) функции f (t)Wh(t.-) dt принадлежат
Jq
L2 (И, eh)i k=l, ..., m. и предел
(U/MX)- lim f(t)Wk (Z, K)dt. k=l. .... m.
существует в топологии пространства L2([i. ek). Более того, ото-
бражение
•)<#] , /65(Л)Л2(/),
I
является изометрическим изоморфизмом пространства Е (Л) L2 (/)
т
на все 2 U (И, М)-
1=1
520 Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
Для каждой функции / из А2(/) определим
(Vqf)i (*)=$/ (0 Ъ Ь) dt, Х£Л, <?>1, i=l,...,n.
Равенства
п
$ { 2 ^(^)(Мг(Х)(Одм}н(^)==
Л г, Ml
п т
= $ { 2 S W “15Г) (Vqf)t (X) (vqf)j (*)} и =
Л г, j=i k=l
т п
р I _____ 12
= J 2 2 mww p(jx)=
л k= 1 г= 1
т
= 2 J IWM*)IW);
k=i Л
(AVqf)k (X) - 2 ^Ж) $ Мй) f (0 dt =
г= i Jq
= J Wh(t, tyf(t)dt, XGA;
J<7
(AVqf)h(X) = O, MA,
(ЛVqf)k (X) = хл W $ W) / (/) dt
Jq
показывают, что набор [(Vg/)d принадлежит L2 (A, {Qzj}), что набор
интегралов
[(V/)d= [ jj f{t)ai(t, -)d/] , z = 1, П,
I
существует в смысле среднего квадратического в гильбертовом
пространстве L2(A, {Qo'}) и (после применения теоремы 1(H)) что
UE(i\.)f = AVf, /а2(/).
Из этого уравнения (поскольку UE (A) = AV — отображение про-
т
странства Е (Л) L2 (/) на все подпространство 2 (р, Лег) из
г=1
т
2 L2 (р, ег-)) непосредственно следует, что V — изометрический
г=1
5. Спектральная теория: общий случай
521
изоморфизм пространства £’(Л)Л2(/) на Л2(Л, {Qzj}) и что А —
изометрический изоморфизм пространства L2 (Л, {q/j}) на подпро-
т т
странство 2 ^(Щ ИЗ 2 ^2 (р, Ci).
г= 1 г= 1
Для доказательства утверждения (II) заметим, что поскольку
G обращается в нуль вне Л, из XII.2.6(a) следует, что/С® (G(T))
тогда и только тогда, когда Е (Л) f gS)(G (Т)). Это в свою очередь
по теореме 1(11) имеет место тогда и только тогда, когда
т
[G(•)(t/E (Л)/)г(•)] принадлежит 3 Е2(ег, Ц-). Из самого опреде-
1=1 ~
ления А следует, что [G(-) (AF)t (•)] = [(ЛЕ); (•)] для каждого на-
бора Е = [Д(-), /„(•)] измеримых по Борелю функций, опре-
деленных на А, где F~ [G (•) Л (•),..., G (•)/„(•)]. Так как
UE(A)f=AVf, то [G(-)(GE(Л)/);(•)] = [(Л//)г(•)), где Н есть п-
набор [G(-) (Vf)j (•)]. Таким образом, по замечанию ["], / £ ® (G (Т))
тогда и только тогда, когда [G (•) (Vf)j (•)] принадлежит Ё2 (А, {q;,}).
Тем самым первая часть пункта (II) доказана.
Если /£ф(О(Т)), то по XII.2.7(d) Е (Л) G (T) f = G (Т)/= =
= G(T)E (Л)/=. Так как AV = UE (Л) и по теореме 1 (II) UG (Т) f =
= [G(-) (UE(A)/); (•)], то из предыдущих замечаний следует, что
UG(T)f является набором АН, где Н есть n-набор [G(-) (Vf)j(-)].
Так как UG(T) f=UE(A)G(T)f=AVG(T)f, то AVG (T)f = АН.
Поскольку А — изометрическое отображение пространства
Е2(Л, {q;>}), имеем VG(T)f=H, ч.т.д.
14. Теорема (Вейль —Кодаира). Пусть Т, Л, и т. д.
определены, как. в теореме 13. Пусть Ло и — концы интервала Л.
Тогда
(I) отображение, обратное к изометрическому изоморфизму V
пространства E(A)L2(I) на Е2(Л, {Q;;}), задается формулой
И1 п
(V~lF)(t)= lim { 2 Fi(K)oJ(t,'k)Qij(dX)} ,
где F = . .., Fn] Q L2 (Л, {Qzy}), причем предел существует в то-
пологии пространства Л2(/);
(II) если G — ограниченная борелевская функция, обращающаяся
в нуль вне борелевского множества е, замыкание которого ком-
пактно и содержится в Л, то G(T) имеет представление
(G (Т)/)(/)= ^/($) К (G; /, s)ds,
522
Гл. Kill. Обыкновенные дифференциальные операторы
где
K(G; J G (Л) Gt (s, X) Gj (t, X) Qtj (d%).
i, j=l e
Более того, на любом компактном интервале J I
sup I K(G; t, s)\2ds<Z оо.
t£J у
Доказательство. Пусть / — функция из £2 (/), такая, что (Uf)i (•)
ограничены для 7=1,2, ...,п, и пусть g из Ь2(1) обращается
в нуль вне компактного подинтервала J интервала I. Пусть
А0 = (|х0, pi) —открытый подинтервал интервала Л с компактным
замыканием. Тогда по теореме 13(1) и (II)
(£ (Ло) Л g) = (Е (Ло) /, Е (Ло) g) = (VE (Ао) /, VE (Ло) g) =
п
= $ { 2 raw m(A)eMd%} =
Ло Л j~l
п
= $ { 2 Qvtdb)} .
Ло г, j=l J
Так как все меры q^-, i, /= 1, ..., п, имеют конечные суже-
ния на Ло, функции непрерывны и потому ограничены на ком-
пактном множестве Ло х J, то мы можем изменить порядок инте-
грирования и суммирования в последней формуле и найти
п
[*] (£(Ао)Л£)=§ {j 2 {№(Z)Q7(Z,X)eiJ(dX)}r(F)j^.
J Ло i, i=i
Пусть /££2(/). Используя то, что семейство ограниченных п-набо-
ров плотно в £2(Л, {q/j}), предположим, что Д — последователь-
ность функций из £2(/), такая, что Д—> / в топологии пространства
Л2(/), и Vfk — ограниченный n-набор для &>1. Тогда из ограни-
ченности О; (/, X) в J х Ао следует, что
п
$ { 2 (Ш(%)<т>а,л)ег7(а)}^
Ло г, j=l
п
-> ${ 2 ^)ео(^)}’
Ло г, j=l
при k—>со, причем предельное соотношение справедливо для
каждого t из J и предел ограничен для t£j. Применяя [*] к каж-
5, Спектральная теориях общий случай
523
дой функции fh и полагая &—>оо, получаем
[**] (5(Ло)Л g) = $ ($л<У/)(07(0^.
I
Здесь для каждого набора Т7 = [Т7! (•),..., (•)] из Л2(Л, {qz>})
мы полагаем
п
(SMF) (0 = J { 2 Pi W М ей- (dk)}, 1.
Ао г, ;=1
Из теоремы IV.8.1 следует, что £ | (SAoV/) (t) |2Л < со и [**]
V
I
справедливо для всех g из L2(I). Таким образом,
(E(Ao)/)(O = (SaoV/) (0.
Теперь, если мы устремим концы |л0 и щ интервала Ло к концам
Хо и Xt интервала Л, то получим
Ц1 п
(E(A)f)(0= lim J (И;/)(Х)<Ш X)ei>(dX)} ,
но i, j=i
что и доказывает утверждение (I) нашей теоремы.
Чтобы доказать (II), мы рассуждаем следующим образом
(ср. с доказательством следствия 3). Из ограниченности G (71)
и леммы 2.16 следует, что f—>G(T)f — непрерывное отображе-
ние L2(I) в C(J). Таким образом, существует постоянное число
М (J), такое, что
|(G(T)/)(0|<M(J)|/|, /СА2(/).
Из теоремы 13(11) и части (I) настоящей теоремы следует, что
п
(G (Т) /)(/)= ^ S ° { $ f (s) ds] (t, %) QiJ (dk),
e г, j=l I
где интегралы /(s)o/(s, X)ds существуют в смысле среднего
i
квадратического в L2 (Л, {q^}). Пусть обозначает плотное
множество функций /g£2(/), каждая из которых обращается
в нуль вне компактного подинтервала интервала I. Если
то все интегралы в приведенной выше формуле существуют,
и мы можем изменить в ней порядок интегрирования и суммиро-
вания, чтобы получить равенство
1'1 (G(T)/)(0= J/(s)K(G;^,s)ds, /GJgo,
i
524 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
и неравенство
I
где
K(G;/, $) = J
г, j=l е
Из теоремы IV.8.1 следует, что
[ J\K(G-,t, s)|Ms]1/2<M(J), tQJ,
I
и что уравнение ['] справедливо при всех f из £2(^)-
15. Следствие. Пусть Т, А и {q^} определены, как в тео-
реме 14. Тогда дополнение множества а(Т) в А есть наиболь-
шее открытое подмножество е0 множества А, такое, что
{Qu (е)} = О для каждого открытого подмножества множества е0,
у которого замыкание компактно и содержится в А.
Доказательство. Сначала заметим, что если е — борелевское
множество, замыкание которого компактно и содержится в А,
и {q/; (е)} = 0, то {qZj (^i)} = 0 для каждого борелевского подмно-
жества ei е. Чтобы доказать это, допустим, что • • •, In —
любой набор из п комплексных чисел и F = lfi, где
А = ^Хе, » = 1. . п. Тогда VE(e1) V’1/?=[Xe1/i, • • •, Xet/nl- Так
как {Qi7(e)} = 0, то
г, 3=1
= 2 QiAei)blj>0.
г, j=i
п
Следовательно, 2 Qu (ei) ВгВ/ = 0 для каждого вектора
[Bi, • • •, £п] из Еп. Если [£ь ..?n]g£”, то неравенство Шварца
п __
для скалярного произведения 3 в Еп показывает, что
г, j=l
| 2 ем(Ш|ч( 3 еиШШ
i, j~l i, j=l г, j=l
для произвольных векторов [|J, из Еп (см. замечание после
п
теоремы IV.4.1). Отсюда следует, что 2 7 = Ь п,
г=1
[Ы££я- Поэтому Qij(ei) = 0, 1 </,/<«•
5, Спектральная теория*, общий случай
525
Теперь пусть е0 — объединение всех открытых подмножеств е,
замыкание которых компактно и содержится в Л и для которых
{Qij (е)} = 0. Так как е0 —объединение последовательности таких
множеств, то из теоремы 14(11) и предыдущего абзаца следует,
что £(е) = 0, е^е0. Таким образом, Е(ео) = О. Поэтому по тео-
реме X 11.2.9(b) ст (Т) А е0 = 0 • С другой стороны, если е0 П ст (Т) = 0,
так что по теореме ХП.2.9(Ь) £(ео) = О, то по теореме 13(1) и (II)
ОО П
$ { 2 Л Qu (<**)}= °- (ЛЬ [^]СТ2(Л, {ец}),
— оо i, j=l
если только Д и gj обращаются в нуль вне е0. Если е — борелев-
ское множество, замыкание которого компактно и содержится
в е0, то, полагая F = , Lxel и G = [^xe, • .-ЛпХеЬ мы
видим, что {р^ (е)} = 0, и поэтому {q^- (е0)} = 0, ч. т. д.
Следующая теорема дает полезную информацию о сходимости
интегралов обращения, полученных в теореме 14. Это ана-
лог теоремы 4.3 для случая непрерывного спектра.
16. Теорема. Пусть оператор Т, изоморфизм V и матричная
мера {q^-} определены, как в теоремах 13 и 14. Пусть р —
положительная о-конечная мера, относительно которой все
функции непрерывны, и пусть т^ —производная функции
в смысле Радона — Никодима относительно р. Если f принадле-
жит ® (Т) L2 (/), то интеграл
п
J { 2 ^(Х)стг(^,%)№(%)}И(^)
Л г, j=l
сходится абсолютно и равномерно на каждом конечном замкну-
том подинтервале из I и может быть продифференцирован под
знаком интеграла (п — \) раз, причем каждый продифференци-
рованный интеграл обладает свойством абсолютной и равномер-
ной сходимости.
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству
теоремы 4.3. Если {Л^} —возрастающая последовательность ком-
пактных подинтервалов множества Л, объединение которых рав-
но Л, и Хо принадлежит q(T), то
п
$ { 2 (М *) У Di (*) } И = R (%0; Т) gk,
A-Ak i,j=l
где
gk = E(X-Ah) (hl-T)f.
526 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Так кал gk стремятся к нулю и ТЦ(Х0; /^—ограниченный опера-
тор, то очевидно, что 7?(Х0; T)gh и TR(k0; Т) gh стремятся к нулю
в L2O). Таким образом, по лемме 2.16 интегралы
п
[*] J { 2 X)O;(X)}p(dZ)
Лд г, 7=1
сходятся к Е (Л.) g в топологии пространства Сп 1 (J) на каждом
компактном интервале Jcl. Так как эти интегралы сходятся
безусловно в L2(I), то они сходятся безусловно и в С"-1 (J).
Функции dj непрерывны на I X Л и принадлежат С00 (/) при любом
К из Л. Легко видеть, что при любом &>0 предел
Um + Л)
Д1-.0+ д/ v ’
существует равномерно по t в любом компактном подинтервале
из I и по % в любом компактном подинтервале из Л. Таких
образом, если
ч.((Д() = -чи-цц-чч _((1
то очевидно, что
lim
Д/->0
$ { 2 до №>} =
ЛА г, 7=1
= lim 2 Я» ДО Л; (0 М ДО Qtj (dty = О,
Д1-»0 • • , "i
1,7=1 Лй
Поэтому в силу неравенства Шварца
п
lim
$ { 2 до (V/) (X)} р (d%)=о,
ЛЛ 1, 7=1
^>1,
т. е. для всех /г>1 интеграл в [*] можно дифференцировать
сколько угодно раз под знаком интеграла. Следовательно, каждый
продифференцированный интеграл сходится абсолютно, ч. т. д.
Заметим, что точка %0 из Л является собственным числом
оператора Т тогда и только тогда, когда матрица {qzj ({А.о})}
отлична от нуля. По теореме 14(11) Е ({^о}) — интегральный one-
5. Спектральная теория', общий случай
527
ратор, у которого ядро равно
е ({%о}, Л«) = 2 (t> Ч Gj (s, Ч ел (М-
г, j— 1
Так как функции Хо), ..., огп(•, %0) линейно независимы, то
£({Хо}) = О тогда и только тогда, когда {Qzj ({^о})} = 0. Однако,
как и в доказательстве леммы X.3.3(11), очевидно, что Е ({Хо}) =# О
тогда и только тогда, когда Хо является собственным значением
оператора Т.
Теперь мы покажем, что когда матрица S (Хо) == {q^- ({Хо})}
не равна нулю, можно построить методом диагонализации
этой положительно полуопределенной эрмитовой матрицы полную
систему ортогональных собственных функций, соответствующих Хо.
Это замечание пригодится в дальнейшем. Из спектральной тео-
ремы следует, что существуют матрицы U и А, такие, что S (Хо) =
— UAH"1., где U = {uij} — унитарная матрица и Л —матрица
{atj} = {ХД7}, где ..., Лп —собственные числа матрицы S(X0),
взятые столько раз, какова их кратность. Таким образом, суще-
ствуют величины Uij, l<i,jтакие, что
п п
2 = Qij ({^о}) = S
k=i fe=l
Поскольку собственные числа матрицы S (Хо) неотрицательны,
можно считать, что > Х2 > .. . > > 0. Предположим, что
%р>0, а %р+1 = 0. Определим
фл(0 = 2 Uik^i(i, Ч, k=l,...,p.
i=l
Тогда функции являются линейно независимыми решениями
уравнения (т —Х0)ог = 0 и
р _____
[*] £«Ч, М= 2 ФНОШз)-
fe=l
Если J—любой компактный подинтервал интервала /, то ipi, ...
...,фр линейно независимы в L2(J). Таким образом, мы можем
найти функции ..., gp из L2 (/), обращающиеся в нуль вне J
и такие, что
gi(s)^ils}ds== J gt (s) (s) ds = 6ij, 1
i j
По теореме 14(11) и формуле [*]
(£({М)^)(0= $ gi(s)E({h}, t,s)ds=:x[>i(i), UI,
i
528
Г л. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Это показывает, что принадлежат Ь2(1) и, поскольку
£ ({Ло}) gi = фг-, они принадлежат Ф (Г). Следовательно, Ttyi = ,
Z = 1, ..., /?, и поэтому Е ({Ло}) фг = ф/, 4 = 1, ..., р. Итак, фор-
мула [*] показывает, что
Ф; (0 = 3 % (0 \ 4'i (s) % (s) ds.
j=i I
Отсюда, учитывая линейную независимость {фг-}, получаем, что
(фь фу) = 8ij, l^i,j^p. Поэтому векторы ф1? ..., фр образуют
ортонормированную систему собственных векторов оператора Т,
соответствующую собственному значению Ло. Если ф —любой
другой такой собственный вектор, то мы имеем £({Л0})ф = ф,
так что в силу равенства [*]
Ф = 2 (Ф, Ф/) Фу-
3=1
Таким образом, ф линейно зависит от векторов ф;. Тем самым
доказано, что {ф1? . .., фр} — полная ортонормальная система соб-
ственных функций оператора Т, соответствующая собственному
значению Ло.
В теореме 13 мы доказали существование положительной
матричной меры {Qzj}, связанной с. любым самосопряженным рас-
ширением оператора Т'о(т) и базисом о1? ..., ап решений уравне-
ния (т — %) ст = 0, непрерывных на I х Л. Теперь мы рассмотрим
задачу вычисления этой матрицы в явном виде при условии, что
функции ог-(-,Л) образуют базис, зависящий аналитически от Л
для всех Л в окрестности U комплексной плоскости, содер-
жащей Л. В § 3 было показано, что резольвента R (Л; Т) опера-
тора Т является интегральным оператором, ядро которого К (t, $; Л)
выражается в терминах произведения решений уравнений
(т — Л) о — 0 и (т — Л) о = 0. Поэтому в силу следствия 3.12 суще-
ствуют функции 0^-, такие, что для Л из U П Q (Т)
К (t, 5; Л) =
п ________
3 0jy (X) <тг (/, %) (Ту (s, X),
г, з=1
п _______
3 0Ф(Х)<тг(/, X)<jy(s, %),
г, 3=1
t <8,
t>S.
Мы покажем, что функции 0±- аналитические, и докажем, что
М) = Ит Нт ?
в_,0е->0+
[0j} (X — i'e) — 9 О j(X -J- ie)] dX,
5. Спектральная теория', общий случай 529
где (Хь Х2) —любой ограниченный интервал, содержащийся в Л.
В теореме ХП.2.10 заложена основа этой формулы. Теорема
утверждает, что оператор проектирования в разложении единицы
для Г, соответствующий интервалу (Хь Х2), может быть найден
по резольвенте с помощью формулы
^))/=lim lim f [7?(Х —re; Т) —7?(X + Ze; T)]/dX.
Задача, которая стоит перед нами, заключается в том, чтобы
перейти от последней формулы, включающей резольвенту, к дру-
гой формуле, включающей функции 0i}(X) и 01} (X), как в фор-
муле [**]. Многие технические трудности в следующем доказа-
тельстве вызваны тем, что функции оД-,Х) не обязательно
интегрируемы в квадрате на /. Следующая лемма будет очень
важным средством для доказательства формулы [**].
17. Лемма. Пусть ЭЕ — комплексное В-пространство и G —
открытое множество в комплексной плоскости. Пусть V
w Qi, ..., Qn — аналитические функции, определенные в G, при-
нимающие значения в В (Ж), a gi, ..., gN — скалярные функции,
N
определенные в G, такие, что V (%) = 2 gi^QiW для X из G.
г=1
Предположим, что Qj(X), ..., Q.v(X) линейно независимы для
каждого X из G. Если S? обозначает линейное пространство
непрерывных линейных функционалов (р на В (ЭЕ) вида (р (Т) =
k
= 2 XiTxi, х* £Х*, XiQX, то для любой данной точки в G
i=l
существуют линейно независимые функционалы (рг- в $, окрест-
ность G (Хо) G точки Хо и аналитические функции Рц, опреде-
ленные в G(X0), такие, что
N
U
N
^(%)=3iPftj(%)<pJ-V(X), %CG(Xo).
Функции gi являются аналитическими по XgG.
Доказательство. Сначала заметим, что если A £ В (ЭЕ)
иср(Л) = 0 для всех (р из 5?, то очевидно, что Л = 0. Теперь
будет доказано, что существует система <pi, ..., (piVg$, такая,
что cpiQj (Хо) = Конечно, существует элемент (р1? такой, что
(piQi (Хо) =1. Теперь предположим, что l<p<zN и построены
34 Заказ № 134
530
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
функционалы фь . .., фр, такие, что ф/Q; (Хо) = S/j, 1 i,j < р.
Тогда обязательно существует элемент такой, что
р
ф (Qp+1(M) — 3 Ф (Qi (М <jpi (Qp (М)) #= 0; в противном случае из
г=1
предыдущего замечания следовало бы, что Qp+1 (Хо) =
р
= У! Qj (Хо) ф/ (QP(X0)), вопреки линейной независимости операто-
г=1
ров Qt(%o), QP+i(A0). Выбрав такую функцию ф, определим
р
ф4 = ф — 2 Ф (Q; (М) Ф* и фр+4 = Ф1/Ф1 (Qp+1 (М)- Затем положим
i=i
<Рз = 4>i — 4>j (Qp+1 (M) Фр+i, К i < P-
Очевидно, что система фь ..., <pp+i удовлетворяет условию
TiQj(Хо) = 1<М<р+1- Далее по индукции мы можем
построить требуемые функционалы фь ..., фЛ- в
Теперь мы выбираем такую окрестность G (Хо) точки Хо, что
аналитическая матрица ^iQ; (X)} имеет ненулевой определитель
для X£G(X0). Можно легко'доказать, что {фгСДХ)} имеет обрат-
ную матрицу {ЛДХ)}, аналитическую при X£G(X0). Таким обра-
зом,
2V
2Л;(Х)фДМ = «Ц,
И
N N N
2 Ри (X) <p;V (%) = 2 S Ki (У gk w <t>jQk (x0) =
j=l j=i k=i
N
= g/tW6ik = gl(A), X€G(M-
k=i
Из последней формулы очевидно, что gi— аналитическая функ-
ция в G.
18. Теорема (Титчмарш — Код аира). Пусть К— открытый
интервал действительной оси и U —открытое множество в ком-
плексной плоскости, содержащее Л. Пусть 04, ..., ап —система
функций, которые образуют базис для решений уравнения
(т — X) сг = 0 для Х£(7, непрерывны на 1 х V и аналитически
зависят от X при X, лежащих в U. Предположим, что ядро
K(t, s; X) резольвенты 7?(Х; Т) имеет представление
K(t, s; Х) =
2 (А.) (Ji (t, %) о J (5, Л),
г, j=l
2 0ГДХ)аг(Л X)<T;(s, X),
i, 3=1
t <.S,
t >S,
5. Спектральная теория-, общий случай
531
для всех К из q (Т) f) U и что {Qi j} — положительная матричная
мера на Л, связанная с Т так же, как в теореме 13. Тогда
функции Of} (X) аналитичны в U П Q (Т) и для любого заданного
ограниченного открытого интервала (Тц, Х2) Л при 1 j^n
мы имеем
Qu((^i, A2)) = lim lim -^-7 \ [0ГДА —ie) —0^(X + ze)ldX =
6->° e~>0+ 1
X2-d
= lim lim -nU- ? l0tj(X — ze) — 0|; (X 4 is)]dk.
d->0 e->0+ . J
Доказательство. Для X из U определим
,К(/, s ).)».| 7 4’,(s>
0,
f <s,
t > s;
/<s,
t>s.
(/, s; X) =
Пусть J —любой фиксированный компактный подинтервал из I.
Так как сужения {сгД-, X) | J} линейно независимы в L2(J)
для каждого XQU, то очевидно, что сужения {фФ. (•, •, k)\JxJ},
образуют линейно независимое семейство функций
в L2(J X */). Следовательно, непрерывные операторы Qi}(X) и Qi} (А)
на L2(J), заданные уравнениями
(Q* W /) (0 = Jj (t, s; W(s)ds,
J
/CL2(J), tQJ, KQU,
линейно независимы для каждой точки А из U. Так как функции
{oi (•, Л) | J} аналитичны в L2(J) для А £[7, то очевидно, что
операторы Q£ — аналитические функции от Л, KQU.
Предположим для удобства, что Aj — отображение простран-
ства А2(7) в ЬД<7), которое ставит в соответствие каждой
функции f из А2(Л ее сужение f\ J, и пусть Bj обозначает ото-
бражение пространства L2(J) в Л2(/), которое ставит в соответствие
каждой g из L2(J) функцию gtyj в L2(/). Тогда из представления
ядра резольвенты мы получим формулу
Л7?(Л; 2 2 0^WQz^(Z)/,
?, j=i i, j=l
A€Q(T)nt/.
34*
532
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Пусть в лемме 17 G = e(T)fl[7, V (Л) = AjR (Л; T)Bj. Кроме того,
пусть Qb QN —обозначения функций Q±., 1</,/</г,
и gt, • • •, ^ — соответствующие обозначения функций 0±. В таком
случае очевидно, что 9£ —аналитические функции в U fl q (Т).
Далее мы установим некоторые свойства оператора AjR (X; Т) Bj.
Сначала заметим, что
(а) |(1тХ)Л^(Х; Т)В/[<1, А£е(Т).
Это следует из неравенства | /?(Л; Т) |< 1/1 Im Л | (см. лемму
XII.2.1) и из того, что | Л7| = | Bj| 1.
Далее, мы имеем
(b) lim zAjR (X ±ze; T)Bjf = 0, f£L2(U),
e->0
для почти всех Л из [Х1? Л2].
Чтобы доказать (Ь), заметим, что по теореме XII.2.9(V)
e^(A±ie;T)/= J £(ф)/-> + /Е({Л})/
о(Т)
для каждой f из Л2(/). Так как 2 I Е (W) f l2^ I f I2’ гДе сумми-
рование ведется по всем Л, для которых Е ({Л}) /=4= 0, то отсюда
следует, что lims/?(A±ze; T)f = O, за исключением, возможно,
е->0
счетного множества значений Л. Утверждение (Ь) следует непо-
средственно из этого замечания.
(с) Если F — любая непрерывная функция на [Л1? Л2], то
Х,2—$
lim lim ? F (л) Aj {R (X - is; T)-R(% + iv, T)}BJfd'K =
6^o e-»o+
= 2 $ FWlQb-W + QtjWl/QiHdX), /CZ.2(J).
I, J=1 (Xi, Z,2)
По теореме XII.2. И мы имеем
lim lim Т)-Т?(Л+18; T)}fdK =
в_0 е->0+ хJ.e
= J F(X)E(dZ)/, /€Л2(7).
(Xi, М)
По теореме 14(11)
J F (Л) Е (dZ) f (t) = J R (F- t, s) f (s) ds,
(X1, X2) I
5. Спектральная теория', общий случай
533
где
K(F;t, s)= 2 5 F (Л) (л
i, j=i (Xi, X2)
Вспоминая определение Qf., мы видим, что для / из L2(J)
Aj J F(Z)£(dZ)Bj/ = 2 $ F(X)[Qo(A) + Qti(X)VeiHdA).
(Xi, X2) i, J=1 (X1, M)
Этим утверждение (с) установлено.
Доказав (а), (Ь) и (с), мы должны доказать еще лемму 19.
Чтобы применить эту лемму к нашему случаю, нужно считать, что
Эе = Л2(У), W = U, V(K) = AjR(k, Т) В J, Qtj = ^ = Qij И что
Q1, ..., Qn, и Ць ..., Pw — соответствующие обозначе-
ния матриц {Q^}, {9^-} и {q£} из доказательства теоремы 18.
19. Лемма. Пусть Ж—комплексное В-пространство и W —
окрестность ограниченного интервала [Ль Л2] действительной
оси в комплексной плоскости. Пусть gx, ..., gN и Q1? ..., QN —
аналитические функции, определенные на W, причем gi —ска-
лярная величина, a Qi принимают значения из В (Ж). Пусть
V — операторнозначная функция, определенная формулой
V(K) =
i=l
Предположим, что
(а) существует постоянное число М, такое, что
| Im£-V(£)|<М,
(b) lim eV (Z ± ie) х — 0, х£ЗЕ,
Е~>0
для почти всех К из [Хь Л2] и
(с) для каждого 1 = 1, 2, ..., N существует ограниченная
борелевская мера р^, такая, что
lim lim
d->0 е->04-
Z»2 —6
М- J {V(X-te)x-V(X + ie)x}F(X)dZ =
N
= 2 5
(Xi, X2)
X £ Ж,
534 Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
для каждой непрерывной функции F, определенной на [Л1? Х2].
Тогда
Х2-6
lim lim Л-~ ( (Л — /е)—gt (Л-J = М),
б_0 е->0+
i= 1, N.
Доказательство. Пусть Ло—-точка открытого интервала (Л1? Л2)
и Я обозначает линейное пространство всех функционалов
на В ($) вида
h
ф(Т)= %х*Тху,
j=i
где х*£Х*, Пусть с помощью леммы 17 функции ф17 ...
.. ., cpjv выбраны из Й' таким образом, что существует окрестность
U (Ло) точки Ло, на которой скалярная матрица {(fiQj(X)} имеет
аналитическую обратную матрицу {Рг-7- (Л)}. Тогда из предположе-
ния (с) следует, что
Х2 —6
lim lim \ ср7(У(Л— Ze) — V (Л-1 - re)) Z7 (Л) б/Л =
6->о е->о-г - А А
N
= 2 $ Р(Л)ф^ДЛ)М^)
i=l (Xi, Х2)
для каждого / —1, ..., N и всех непрерывных функций F, опре-
деленных на [Ль Л2]. Если в этой формуле мы заменим функцию
F (Л) на Р(Л)Р^-(Л) и просуммируем по всем то получим
формулу
N Х2-б
lim lim У ~ С F (Л) ф,-(V (Z-ie)-V (Л4-/е)) Рй; (Л) =
6-*0 е->о+ J .
2=1 Xi+o
N N
== 2 2 $ W F W Иг =
j=i i=i см, х2)
N N
= 2 $ 2
i=l (Xi, Х2) 5=1 (^1> ^2)
при условии, что F обращается в нуль вне U (Ло), поскольку
2 ?kJ W W ~ $ki только Для ЛС[7(Ло). Тем не менее мы
i=i
5. Спектральная теория', общий случай
535
можем написать
N Л2-6
2 J Г(Л)фД^(Л-18)-К(Л + /8))РлДЛ)^ =
3=1 М+&
N Х2-6
= 2 jj F(k)[Pkj^-is) (pjV(k—is)-Pkj(X-'ris)^jV(X^-ts)]dk-
j=i М+б
N М-б
-2 $ F(A)[Pft>(A-ze)-Pft;(A)]<p>V(A-i8)dA +
7=1 М+6
N Х2-б
+ 2 J F^tPkj^ + i^-Pkj^^y^ + ^dK.
j—i М+б
Из аналитичности функции РЛ; следует, что функция
е”1 [Р/^ (X ± z+) — Р^-(X)] остается ограниченной, когда s стре-
мится к нулю. По утверждению (b) ecpjlZ (л ± is) —> 0 для почти
всех X. Таким образом, по утверждению (а) и по теореме Лебега
о мажорированной сходимости последние два члена в правой
части предыдущей формулы стремятся к нулю, когда s —> 0.
Следовательно,
N М-б
lim У F (X) ф7- (И (X - is) - V (Л + is)) Pkj (X)dX -
8->0+ • л л А л
J=1 М+6
л* М-б
= lim 2 F (X)[Pkj (h-ie) (f>jV (X — is) —
e~>0+3=l bi+e
— Pkj (A + ze) tpyV (A + ze)] dk =
M—6
= lim F (Л) [g-ft (Л —re) — (Л-j-«e)] dX,
e-*°+ X1+6
N
так как gk (A,) = 2 ?kj (^) Ф/У (Л) для Л, из U (Ao). Поэтому
j=l
X2—6
lim lim-J-т- £ F (A) [gft (A — is) — gk (Л + re)] dl =
^0e->0T 2”' ?Д6-
= J F (А) щ (dA).
М» M)
536
Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы,
Теперь, используя компактность мы можем найти конеч-
ное число непрерывных функций , Fr действительного пере-
менного %, каждая из которых равна нулю вне компактного
г
множества внутри W, таких, что для Х2] и
г=1
Х-2 —б
lim lim Ft (X) (К — ie) — gk (X + Ze)] dk =
6->0 e->0-h . J A
Xi+o
= Ft (X) (dX), t = 1, ..., r.
(Xi, X2)
Тогда
r X2 — 6
щ((М» Х2)) = ПтУ Ft (X) pfe (dX) =
6->0 i=l XH-6
r X2 —6
= lim lim 2 i (X) [^ft(X —/8)—^ft(X + ie)]dX =
6->0 e-»0+ . , znl . J, .
г=1 ^1+6
A,2_ 6
= lim lim (X — ie) — gk (X + ie)]dX.
6-»0 e->0+ znl . J .
X1+6
В случае когда T — действительный оператор, теорема 18
может быть сформулирована до некоторой степени более удобным
способом.
20. Следствие. В дополнение к предположениям теоремы 18
допустим, что т — формальный оператор с действительными
коэффициентами, все функции о7- действительны для действи-
тельных t иА и, наконец, оператор Т определен системой дей-
ствительных граничных условий. Тогда мы можем написать
А-2—б
Qij ((Xt, X2)) = lim lim л-1 \ Im (X — ie) dk =
e.,0 E_o+ % J+6
X,2 —6
= lim lim л-1 \ Im0&(X — ie)dk.
6^0e->0+
Л1+0
Доказательство. Утверждение следует из теоремы 18, если
только мы установим, что [*]
[*] 0у(Х) = 01ДЧ и 0tj(X) = 0j(X)’.
5. Спектральная теория: общий случай 537
Так как Gt (Z, X) действительны для действительных \ и аналити-
чески зависят от X, то мы имеем о, (Z, = X). Поэтому [*]
будет иметь место, если только доказано, что fl (t, s; Х) =
= fl(Z, s; К). Пусть Г —отображение пространства L2(J) в себя,
переводящее каждую функцию в комплексно сопряженную с ней
функцию. Тогда Г аддитивно и изометрично, а Г(ах) = аГ(%).
Так как Т определяется действительным формальным оператором
т и системой действительных граничных условий, то мы имеем
ГТ = 7Т. Поэтому ГА(Х; Т) Г"1 — fl (К; Т) для каждой точки X
в резольвентном множестве оператора Т. Следовательно, если
ядро fl (t, s; X) такое, что
J fl(Z, s; \)f(s)ds=(R(k,
i
то
J fl (Л s; X) f (s) ds = (ГА (X; T) Г"1/) (Z) = (fl (X; T)) f (/).
i
Так как ядро для fl(X; Т) единственно, то это равенство пока-
зывает, что R (Z, s; s; К), и наше следствие доказано.
21. Следствие. Пусть Т, Л, и т. д, определены, как
в теореме 13. Тогда положительная матричная мера {Qzj} на Л
единственна.
Доказательство. Если бы функции оД-, К), ..., an(-, X) были
аналитическими по X в окрестности V интервала Л в комплексной
плоскости, то этот результат, очевидно, следовал бы из тео-
ремы 18. Однако, поскольку это не предполагается, мы вынуж-
дены выбрать более окольный путь.
Пусть с — любая произвольно выбранная точка из /, и пусть
для каждого комплексного X функции оц (•, X), ..., ап (•, X)
образуют базис в пространстве решений уравнения то = Хсг, причем
(с, X) = 8ik, i, k = 0, . .., п — 1.
Тогда по следствию 1.5 Gi(t, X) аналитически зависит от X рав-
номерно по t на любом компактном подинтервале J интервала /.
Пусть для XgA коэффициенты а^ и Ьц определяются уравне-
ниями
;=1
538
Г л. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
Тогда очевидно, что
2 aip (X) bpj (Х) = V blp(K) apj (X) = 6г/
Р=1
Кроме того, дифференцированием второго из написанных выше
уравнений получаем, что btj (Х) = <7(/-1)(С, X), I, /=1, .... п.
Таким образом, по лемме 2.16 непрерывно зависит от Л для
kg Л. Так как {я^(к)} имеет обратную матрицу {Ьц(к)}, то
отсюда следует (см. VII.6.1), что также непрерывно зависит
от к для kg Л.
Предположим, что настоящая теорема не верна. Тогда суще-
ствуют две различные положительные матричные меры {р^}
и определенные на Л и обладающие свойствами, установ-
ленными в теореме 13. Для каждого борелевского множества е
с компактным замыканием из Ло положим
= 3 I bki(^bij(K)Qhi(dX),
k, !=1 е
К/(б) = у, ^Ьм (X) bl} (X) (dX).
k, 1=1 е
Если ..., £п] — набор из п комплексных чисел, то имеем
п п
2 ^(6)0;=$ { 2 MMMW<(dX)}>0,
i, i=l е k, 1=1
п
где /А (X) = 2 £ibki (X), Таким образом, {р^} — положительная
г=1
матричная мера, определенная на Л. Так же мы можем показать,
что {|1о}— положительная матричная мера, определенная на Л.
По следствию III. 10.6
i &ih (k) Cljl (М Qij (dk) —
i, j=i e
= । ^ik (k) bpi (X) Uji (k) bqj (X) Qpq (dk) =
i, j, P, e
= $ Qki(dX) = Qki(e).
5. Спектральная теория', общий случай
539
Аналогично можно показать, что
п
У, aik (A) aji (А) цг> (dA) = цАг (е).
г, j=l е
Таким образом, из различия матриц {q^-} и следует разли-
чие матриц {$ij} и
Пусть Q — положительная о-конечная борелевская мера на Л,
относительно которой все меры Qki непрерывны, a {vki} — соответ-
ствующая матрица плотностей. Тогда очевидно, что все меры
Qu будут Q-непрерывны, и соответствующая матрица плотностей
равна
{Yu (*)} = { S bhi (А) ЫА) vhl (А)} .
1 k, 1=1 >
п
Следовательно, если мы положим (B/)j (X) = У bik (X) fk (X) для
каждого набора F = [Д, ..., fn] борелевских функций, то В будет изо-
метрическим изоморфизмом пространства L2 (Л, {Qzj}) в Л2(Л, {рг7}).
Так же устанавливается, что В — изометрический изоморфизм про-
странства Л2(Л, {р0}) в Л2(Л, {цо}).
п
Точно так же, если мы положим [AF]j (20 = У (^) fk (М для
k=i
каждого набора £ = [Д, . .., fn] борелевских функций, то А будет
изометрическим изоморфизмом пространства L2(A, {qzj-}) в
B2(A,{Qfj}) и пространства Л2(Л, {р^}) в Л2(Л, {р</})- Так как
{вц W} и {bij (X)} —обратные друг другу матрицы, то очевидно, что
АВ = ВА = I. Таким образом, Ли В являются изометрическими изо-
морфизмами на пространства Л2(Л, {q^}) и Л2(Л, {рг;}) соответ-
ственно. Так как
d d
С с
то из теоремы 13(1) следует, что предел
d ___________
[(Ш (A)] = lim Г С (0 °i dtl
с->а L. J J
d->b с
существует в топологии пространства £2(Л, {qo*}) для каждой f
из А2(/) и определяет изометрический изоморфизм V пространства
£(Л)Л2(/) на Л2(Л, {qzj}). Аналогично доказывается, что этот же
540 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
предел существует в топологии пространства Л2(Л, {^j}) для
каждой /£А2(/) и определяет изометрический изоморфизм V про-
странства £(Л)Л2(/) на 12(Л, {но*})- Очевидно, что если V такое
же, как в теореме 13(1), то V = AV.
Из самого определения А вытекает, что для каждого набора
F = [/i, ..., fn] борелевских функций, определенных на Л,
AFgL2(A, {Qi;}) тогда и только тогда, когда F£L2(A, {Qij})- Более
того, если G — борелевская функция из торемы 13(11) и Н является
набором [С(-)Л(-)Ь то из определения А понятно, что
[G (•) (AF)j (•)] = АН. Таким образом, из теоремы 13(11) следует,
что для каждой борелевской функции G, определенной на дейст-
вительной оси и равной нулю вне Л,
И) (G (Т)) = {[ft] € L2 (Л, {QV}) I [G (•) ft (•)] 6 L2 (A, {q0})}
И
(РС(Т)/)ДХ) = О(Х)(У/),(Ч f = l, ...,n, 2c£A, /6®(G(T)).
Таким же способом устанавливается, что все эти утверждения
справедливы, если Л2(Л, {р^-}) заменить на Л2(Л, {[>4;}).
Так как базис (•, 20, ..., on (•, К) удовлетворяет условиям
теоремы 15, то, следовательно, {р^} = {НгД что противоречит
первоначальному утверждению.
На основании этого следствия мы можем сделать несколько
важных упрощений в теоремах 13 и 14.
Сложность вычислений с положительной (п х /г)-матричной мерой
быстро растет с ростом п. По этой причине мы всегда стремимся
сделать п как можно меньше. В доказательстве теоремы 13, т. е.
в установлении теоремы 1 в терминах системы (•, %), .. ., (• Л)
линейно независимых решений уравнения то = ко, не обязательно,
чтобы число k равнялось порядку п оператора т, т. е. чтобы
система о1? ..., ok была полным базисом для множества всех
решений уравнения Просмотрев доказательство теоремы 13,
читатель без труда увидит, что при этом необходимо только,
чтобы каждая из функций Ф\(«, 20, . . ., Wm(-, X) из теоремы 1
входила в линейную оболочку функций оД-, 20, .. ., о* (•, 20.
Поэтому в некоторых случаях (см. теорему 4, следствие 5) k может
быть значительно меньше, чем п.
По этой причине мы введем следующее определение.
22. Определение. Пусть т — формально самосопряженный
дифференциальный оператор, определенный на интервале /, а Т —
самосопряженное расширение оператора T0(t). Пусть Л —откры-
тый подинтервал действительной оси, и для каждого X из Л пусть
О1(-, 20, ..., Ой(-, 20 — линейно независимая система решений
5. Спектральная теория: общий случай
541
уравнения то^Ао. Предположим, что непрерывны на / х Л
для i = 1, При этом р — мера и Wi4 ..., Wm — ядра из тео-
ремы 1. Если для почти всех по р,-мере А из Л функции
А), ..., Wm(-, А) принадлежат линейной оболочке функций
<ji (•, А), .. ., о& (•, А), то система аь ..., Gh будет называться
определяющей системой для Т на интервале Л.
По поводу этого определения стоит сделать несколько заме-
чаний. Заметим, что на бесконечном интервале ( —оо, + оо)
определяющая система для Т всегда существует. Например, если
л —порядок оператора т, то мы можем выбрать с в I и потребо-
вать, чтобы Gi+i (с, А) = б{, i = 0, ...,п — 1. Заметим также, что
теорема 4 описывает один важный случай, когда определяющая
система для Т может состоять меньше чем из п функций. Ко-
нечно, теорема 4 не является последним достижением в этом
направлении.
Наконец, мы утверждаем, что понятие определяющей системы
зависит только от оператора Т и не зависит от способа выбора
меры ц и ядер Wi из теоремы 1.
Для доказательства допустим, что ц и Wt, Z=l, . ..,m,
являются второй мерой и второй системой ядер, обладающих
свойствами, описанными в теореме 1. Предположим, что ой, ...
..., Gk — такие же, как в определении 22, и функции ^(-,А)
лежат в линейной оболочке функций <т1(-, A), . ..,а^(-,А) для
почти всех по ц-мере А. Мы покажем, что каждая точка Ао из Л
имеет окрестность А, такую, что функции Wt (•, А) лежат в линей-
ной оболочке функций сй(-, А), ..., сйД-, А) для почти всех
по ц-мере А £ N. Так как Л может быть покрыто счетным семей-
ством таких окрестностей А, то мы придем к требуемому заклю-
чению.
Пусть А0£Л и выбрана некоторая точка с из /. Положим
= К),о<»(с, X), ..<4”-1)(с, X)], i = l,
и найдем векторы Vi = [v[0\ 4n-1)], i = k+l, в п-мер-
ном евклидовом пространстве, линейно независимые от векторов
Vt (Ао), z=l,...,fe. Пусть Gk 4-1 (•, А),.оп(«, А) — единственное
решение уравнения то = Ао, определенное начальными условиями
g^ (с, А) = j = 0, ..., п — 1, i = k 1, ..., п. В силу следствия
15 функции цДА) непрерывно зависят от A, i=\,...,n. Так
как векторы v± (А), ..., (A), vk+i, • • •> vn линейно независимы
при А — Ао (так что (п х /г)-определитель, составленный из их компо-
нент, не обращается в нуль), то существует достаточно малый
подинтервал N из А, содержащий Ао, такой, что (А), ..., vfe(A),
Vk+t, линейно независимы для AgA. Следовательно,
ой (•, А), ..., оп (•, А) линейно независимы при А из А, и поэтому для
542 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
они образуют базис пространства всех решений уравне-
ния то^Хо. Следовательно, мы можем написать
^ (• Д) = 3 аи 0-)(•, ^)- г = 1, • • •, т,
Wi(-, X) = 2 X), 1 = 1, т
Л-1
По предположению, если />£, то яг-;(Х) = 0 для почти всех
по р-мере KQN. Мы хотим доказать, что ТГг-(-, X) лежат в линей-
ной оболочке функций 04, . ..,ал для почти всех по р-мере X
из N, т. е. мы хотим доказать, что яг;(Х)--^0 для почти всех
по р-мере X из N, если />/?. Если это не верно, то существуют
/'о и /0>fe, такие, что aiojo(X) не удовлетворяет требуемому
условию. При доказательстве теоремы 13 было показано, что мат-
ричная мера {р^} из теоремы 13 (которая единственна согласно
следствию 20) задается формулой
ТП
Qtj 2 apj W аР1 W И 0^)
р—-1 е
для каждого борелевского множества е с компактным замыканием,
содержащимся в N. Из тех же соображений
т ______
Qij (^) “ 1 apj W &pi W И (^Х).
р=1 е
Первое из этих равенств показывает, что
т
Qjoio (?) = J 2 I а^о I2 = °
е р=1
для любого борелевского множества е с компактным замыканием,
т
содержащимся в N. С другой стороны, так как 2laPio(^)l2
л р=1
обращается в нуль не для почти всех по р-мере Х£А/, то суще-
ствует борелевское множество е с компактным замыканием, содер-
жащимся в /V, такое, что
т
Qjoio (е) ~ 2 । ^0 |2 0*
е р=1
Это противоречие доказывает наше утверждение.
Используя понятие определяющей системы для Т, теоремы
13 и 14 можно сформулировать следующим образом.
5. Спектральная теория', общий случай
543
23. Теорема. Пусть т — формально самосопряженный диффе-
ренциальный оператор порядка п. определенный на интервале I
с концами а, Ь. Пусть Т — самосопряженное расширение опера-
тора То(т), а Л — открытый интервал действительной оси.
Предположим5 что 04, ....вь— определяющая система для Т
на Л. Тогда существует положительная (k х Ь)-матричная мера
{q^}, определенная на Л, такая, что
(I) предел
d
[(^(1)] = Нт Г £
с->а L- J J
d->b с
существует в топологии пространства L2(A, {е^}) для каждой
f£L2(I) а определяет изометрический изоморфизм V простран-
ства Е(Л)Л2(/) на все Л2(Л, {(^Д);
(II) для каждой борелевской функции G. определенной на дей-
ствительной оси и обращающейся в нуль вне Л,
V® (G (Т)) = {[fi] Q L2 (Л, {^}) I [Gfi] Q L2 (A,
и
(yG(T)f)i(K) = G{K)(yf)i{X). i=l. ...,k. ХСЛ, /C®(G(T)).
Доказательство почти совпадает с доказательством теоремы 13,
и если читатель просмотрит доказательство теоремы 13, то он
без труда сможет произвести несколько нужных изменений.
Таким же образом, делая некоторые очевидные изменения в дока-
зательстве теоремы 14, мы получаем следующий результат.
24. Теорема. Пусть Т. А, и т. д. определены, как в тео-
реме 23. Пусть и Хо — концы интервала Л. Тогда
(I) оператор, обратный изометрическому изоморфизму V
пространства £(Л)Л2(/) на L2 (Л, {рг-;}), задается формулой
Mi /i
(V-iF)(0= lim X)^-(dX)},
где F = [F1? ..., Fh] G L2 (Л, {Qz7}), причем предел существует
в топологии пространства Ь2(Г);
(II) если ' ограниченная борелевская функция G обращается
в нуль вне борелевского множества е. замыкание которого ком-
пактно и содержится в А. то G (Т) имеет представление
544
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
где
k
к (G; t, з) = 2 $ G (М °; V Qij(dk).
г, j=l е
Более того, для любого компактного интервала J I
sup \ |K(G; /, s) |2ds< оо.
tEJ J
Остальную часть настоящего параграфа мы посвящаем формули-
ровке и доказательству ряда положений, которые облегчают
применение основных результатов, доказанных до сих пор.
25. Теорема. Пусть т, Т, а1? .. ., определены, как в тео-
реме 13. Подсистема о^, ..., <тл системы .., вп является
определяющей системой для Т тогда и только тогда, когда
qjj (е) = 0 при j>k для каждого борелевского множества е с ком-
пактным замыканием из Л. Если подсистема с»!, — опре-
деляющая система для Т и {ргД, / = 1, ...,п,—матричная
мера, из теоремы 13, то матричная мера i, j=l, ..., k,
из теоремы 23 определяется однозначно и tyj = i, j = 1, ..., k;
Qtj 0, если i > k или j > k.
Доказательство. Предположим, что <гь ..., он — определяющая
система для Т. Тогда из теоремы 23 очевидно, что если мы опре-
делим {р/Д, i, j — 1, п, формулами
р, Qij(e) = Qu(e), i, j==l,
1 J Qij (e) = 0, для i > k или j > k,
то получим матричную меру {pzj}, которая по следствию 21 обя-
зана быть такой же, как матричная мера из теоремы 13.
В частности, значение р^ единственно. Таким образом, нам остается
доказать, что если р7-7-(е) = 0 для j>k, то Oi, ...,вь является
определяющей системой для Т. Предположим, что это не так, и
пусть pt и Wi, i=l, ...,m, определены, как в теореме 1. Тогда
ГД-А)= 3 агДХ)аД-, %), ХСЛ,
3=1
где аи — некоторые коэффициенты. Так как мы предполо-
жили, что система Oi, ...,Од не является определяющей, то
какой-то коэффициент aiQjQ для j0>k не будет обращаться в нуль
почти всюду по мере ц. Так как из доказательства теоремы 13
(и из единственности матрицы {Pzj}) следует, что
m
Qioio (е) = I2} И (^)>
е г=1
5. Спектральная теория: общий случай
545
т0 е?о?о отлично от нуля на каждом борелевском множестве
с компактным замыканием из А, что противоречит предпо-
ложению.
26. Следствие. Пусть т, Т и т. д. такие же, как в опре-
делении 22. Тогда матричная мера {Qzj} из теоремы 23 единст-
венна.
Доказательство. Если бы определяющая система 04, ..., Ok
из теоремы 23 была частью базиса 04, ..., оп со свой-
ствами из теоремы 13, то единственность матрицы {р^} следо-
вала бы из предыдущей теоремы. Кроме того, в рассужде-
ниях, предшествовавших формулировке теоремы 23, было дока-
зано, что если Хо — любая точка из А, то существует малый
открытый подинтервал N сг А, содержащий Zo и такой, что система
сужений 04, .. ., Ok системы , оь на I х N является под-
системой как раз такого базиса. Таким образом, из предыдущей
теоремы следует, что если {р^} — матричная мера из теоремы 23,
то величины (е) однозначно определяются для каждого е N.
Так как А —объединение последовательности окрестностей такого
же типа, как N, то отсюда непосредственно следует единствен-
ность матрицы {Qzj}-
27. Теорема. Пусть т, Т, А, 04, ...,оп определены так же,
как в теореме 18. Тогда если для j>k функции (Z) (или
функции 6j3(Z)) из теоремы 18 могут быть продолжены анали-
тически на всю окрестность U интервала А, то 04, ...,од
является определяющей системой для Т.
Доказательство. Если 0|3 (•) являются аналитическими для j > k,
то из теоремы 18 следует, что Qjj(e) = O для />/? и для каж-
дого борелевского множества е с компактным замыканием из А.
Таким образом, по теореме 25 04, ..., oh является определяющей
системой для Т.
28. Следствие. Пусть Т, А, о^ и т. д. определены так же,
как в теореме 18. Предположим, что в окрестности интервала
А для каждого Z, для которого ImZ^O, линейная оболочка
04, ..., оk содержит пространство всех решений уравнения
то —ко, интегрируемых в квадрате вблизи конца а интервала I
и удовлетворяющих всем граничным условиям в точке а из семей-
ства граничных условий, определяющих Т. Тогда о{, ..., оА —
определяющая система для Т.
Доказательство. Для определенности предположим, что а —
левый конец интервала /. По следствию 3.12 ядро K(t, s; Z) ре-
35 Заказ № 134
546 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
зольвенты из теоремы 18 имеет вид
K(t, s; Х)= 2 3 6г;(А)стг(/, X)oj(s,X), s</,
i=l j=l
где би—некоторые коэффициенты. Но это значит, что для j>k
все коэффициенты 0;) из теоремы 18 обращаются в нуль. Теперь
наше утверждение непосредственно следует из предыдущей
теоремы.
29. Следствие. Пусть т, 7\ А, 04, ..., оп определены, как
в теореме 18. Точка X из А принадлежит резольвентному мно-
жеству оператора Т тогда и только тогда, когда функции 0$
(или функции 0Jj) из теоремы 18 могут быть аналитически про-
должены в окрестность этой точки.
Доказательство. Из теоремы 18 очевидно, что если 0|j могут
быть продолжены аналитически в окрестность N точки X, то qjj (е)
обращается в нуль для каждого j=^l, ..., п и каждого борелев-
ского подмножества е cz N. Тогда из теоремы 25 следует, что
(е) = 0 для всех i, j = ...,п, и по следствию 15 X принад-
лежит резольвентному множеству оператора Т.
Обратно, пусть X принадлежит резольвентному множеству
оператора Т. Тогда по теореме 18 Qij — аналитическая функция
в окрестности точки X.
Доказательство для 0j) проводится совершенно аналогично.
30. Следствие. Пусть т, Т, А, сгг-, 0-) и m. д. определены,
как в теореме 18. Тогда изолированная точка Xo^Aa(T) являет-
ся изолированной особой точкой функции 0$) (или функции Qij).
Более того, ({Хо}) равна вычету функции 01) (или 01)) в точ-
ке Хо.
Доказательство. Первое утверждение получается непосредствен-
но из предыдущего следствия. Из следствия 15 и теоремы 18 выте-
кает, что если а и Ь — две точки, такие, что (а, Ь) Г) (Т) = {Хо}, то
Ъ—8
[*] Qij({M)=-lim lim (Qtj(k — i8) — dtj(k + i8y)dK.
8—>0 d->0 »
а+е
Если Сб,е обозначает прямоугольник с вершинами a + &-\-i$,
— — z — b — & + 18, то, поскольку 01) непрерывна
в окрестности точек b — в и а-+-&, очевидно, что
Ь—е
lim £ (0^(X-z6)-6,j(X + z6))dX = lim
6-»o J г •'
а+е е
5. Спектральная теориях общий случай
547
С другой стороны, если С обозначает любую достаточно малую
окружность вокруг Хо, то из теоремы Коши очевидно, что
$0M)d£ = J 0<ШЖ
С С6,8
Таким образом, из [*] сразу получается, что
С
Совершенно аналогично доказывается, что
с
Спектральная теория, развитая в первых четырех и в настоя-
щем параграфе, дает нам возможность устанавливать конкретный
вид спектрального разложения большого числа дифференциальных
операторов. Прежде всего рассмотрим самый простой случай —
оператор первого порядка 1^ = (l/i)(d/dt) на интервале [0, 1].
В силу замечаний к определению 2.29 два линейных функциона-
ла /—>/(0) и /(1) образуют полную систему граничных зна-
чений оператора m и самое общее самосопряженное расшире-
ние Tq оператора То (т) определяется граничным условием
/(0) = е/е/(1). Так как [0, 1] замкнут, то из теорем 4.1 и 4.2
следует, что спектр оператора Tq состоит исключительно из
изолированных точек, каждая такая точка является собствен-
ным значением оператора Tq и он имеет полную систему орто-
нормальных собственных функций. Очевидно, что уравнение Tta = Хо
имеет единственное решение eiU, удовлетворяющее граничному
условию f (0) = eiQ f (1) тогда и только тогда, когда X сравнимо
с —0 по модулю 2л. Таким образом, собственные значения опе-
ратора Tq совпадают с числами 2лп —0, где /г —произвольное
положительное или отрицательное целое число. Функции
являются соответствующими собственными функциями и к тому же
нормированными. Из теоремы 4.2(c) известно, что эта система
функций полна.
По замечаниям к определению 2.29 формальный дифферен-
циальный оператор (l/i)(d/dt), если он рассматривается на
интервале [0, оо), не может приводить к самосопряженному
оператору в гильбертовом пространстве. Поэтому следующий
пример, к которому мы обратимся, — это формальный дифферен-
циальный оператор т2 = (1/Q (d/d/), определенный на интервале
(—оо, -ф оо). В силу случая III после определения 2.29
т2 не имеет граничных значений, так что Т0(т2) имеет единствен-
ное самосопряженное расширение 7\(т2). Базисом пространства
35*
548 Г л. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
решений уравнения т2сг = Хсг является единственная функция eiKt,
В замечаниях после 3.16 мы выразили разложение резольвенты
оператора Ti(t) в терминах этого «базиса» и нашли, что постоян-
ные 0ij из теоремы Титчмарша —Кодаиры (18) равны
е+А) = еи А) = ImZ<0,
0+(X) = 0Ji(X)=--O, ImZ>0.
Таким образом, по теореме Титчмарша —Кодаиры
Х-2
Q А1Л2) = Qu Al, М = ~ 2л
Xi
так что q есть умноженная на 1/2л лебегова мера наноси. Сле-
довательно, непосредственно из теорем 13 и 14 мы можем полу-
чить следующую теорему.
31. Теорема. Для каждой функции f из L2( — 00, +00) предел
А
(F/)(X) = lim-^ V f(t)e~^dt
А->оо у
существует в топологии пространства — + оо) и опре-
деляет изометрический изоморфизм пространства £2 (-~ °°, + оо)
на себя, обращение которого дается формулой
А
(f-7)(0=lim-L
А->оо у 2л Лд
где предел существует в топологии пространства (£2—оо,оо).
Более того,
J |Х|2Ю(Х)|мх< оо
—оо
тогда и только тогда, когда f абсолютно непрерывна и f' при-
надлежит £2(—оо, + оо), и в этом случае
(Ff') А) - iK (Ff) А), - оо < X < + оо.
Первая часть этой теоремы совпадает с теоремой Планшере-
ля (XI.3.21); вторая часть дает полезную связь между преобра-
зованием Фурье и дифференциальным оператором. Конечно, фор-
мулировка второй части предыдущей теоремы отнюдь не исчер-
пывает содержания теоремы 13 (II), в которой указана связь
между интегралом Фурье и более высокими производными.
5. Спектральная теория^ общий случай
549
После формальных дифференциальных операторов первого
порядка мы будем рассматривать формальные дифференциальные
операторы второго порядка. Начнем наше знакомство с этим
важным классом операторов изучением формального диффе-
ренциального оператора т3=—(d/dZ)2, определенного на отрезке
[О, 1]. Существует много разнообразных возможных систем само-
сопряженных граничных условий, которые могут быть наложены
на т3, но мы обратим наше внимание на четыре системы:
система А: /(0)-^-0, /(1) = О,
система В: /'(0) = 0, /'(1) = 0,
система С: f (0) 0, /' (1) = 0,
система D: /(0)-/(1), /' (0) = /'(1).
Все они, за исключением D, —распадающиеся системы. (Здесь
стоит мимоходом заметить, что наиболее общая самосопряженная
система распадающихся граничных условий для т3 охарактеризо-
вана следствием 2.31.) Ситуация снова такая же, как в § 4:
интервал конечный, спектр дискретный и система собственных
функций полна. При граничных условиях А и С единственное
решение уравнения т3о' = А,о, удовлетворяющее граничному усло-
вию о (0) = 0, равно sin У kt. Следовательно, при граничных
условиях А собственные значения определяются из уравнения
sin]/X = 0. Поэтому в случае А собственные значения А, —числа
вида (пл)2, п>1, а в случае С —числа вида {(п+1/2)л}2,
п>0. В случае А нормированные собственные функции равны
{2~1/2sin nnt}, а в случае С равны {2”1/2sin (и + 1/2) л/}. Таким
образом, применяя теорему 4.2(c), мы в состоянии установить
полноту различных наборов синус-функций.
В случае В единственное решение уравнения т3о = Аа, удов-
летворяющее условию о' (0) = 0, равно cos У кх. Следовательно, соб-
ственные значения определяются из уравнения (cos ]/Ax)'|x==i = 0,
т. е. из уравнения sin]/A = 0. Поэтому в случае В собственные
значения —числа вида (пл)2, а нормированные собственные функ-
ции равны
1, -СО5ЛХ, СО5 2ЛХ, -Д=со5 3лх, ....
1/2 1/2 Д/2
Наконец, обратимся к случаю D. Функции sin]/Xx и cos]/kr
вместе образуют базис системы решений уравнения т3сг = Ха.
Для того чтобы существовала ненулевая линейная комбинация
/ (х) = п sin ]/Ххft cos Укх этих функций, удовлетворяющая
условиям /(0) = /(1), /' (0) = /' (1), т. е. для того чтобы суще-
550 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
ствовали два неравных нулю числа а, Ь, таких, что
b — a sin |/Х — b cos У\ = О,
а — a cos У К + b sin У^ О,
необходимо и достаточно, чтобы определитель
— sin У A, 1—cos У А
1—cos]/A sin У\
= 2 cos У К — 2
обращался в нуль. Следовательно, собственными значениями в слу-
чае D являются числа вида (2лп)2, n>0. С нулевым собст-
венным значением связана единственная нормированная собствен-
ная функция <р0 (/) = 1. Когда А = (2лп)2, п>1, оба решения
со5 2шг/ и sin2tttt/ уравнения т3ог = А,а удовлетворяют условиям
/(0) = /(1), /' (0) = f' (1). Таким образом, в случае D с каждым
собственным значением (2 л/г)2, /г>1, связано двумерное
пространство собственных функций. Ортонормированный базис
для этих пространств образуют функции
1 • О 1 о
—sin 2л/гх, - cos 2л пх.
Т/2 Т/2
Таким образом, в случае D мы приходим к разложениям по
полной ортонормальной системе функций Фурье
1, 5ш2лх, ^соз2лх, зш4лх, -4=соз4лх, ....
1/2 У 2 У 2 У 2
Теперь рассмотрим несколько отдельных примеров. Предпо-
ложим, что мы изучаем формальный дифференциальный оператор
т4 =-— {dldty на интервале [0, оо). Базис для пространства
решений уравнения т4о = Ао образуют функции
Если —1, то первое из этих решений интегрируемо в квад-
рате, а второе нет. Следовательно (поскольку оператор т4 дей-
ствительный, его индексы дефекта совпадают), индексы дефекта
оператора т4 равны (1, 1). Согласно замечаниям к определению 2.21,
т4 не имеет граничных значений в бесконечности. Более того,
самое общее самосопряженное расширение Tk оператора TQ (т4)
определяется единственным граничным условием
f (0) + kff (0) = 0, — со < k < со.
Разделим дальнейшее изучение на четыре случая:
случай (I): & = 0, граничное условие / (0) = 0,
случай (II): k = оо,граничное условие /'(0) = 0,
случай (III): — оо<&<0,
случай (IV): 0<&<оо.
5. Спектральная теория', общий случай
551
Сначала найдем точечный спектр оператора Tk- Так как при
Z>0 никакая линейная комбинация решений eiyr^x и e-t Уь*
не интегрируема в квадрате, то точки положительной части дей-
ствительной оси не могут принадлежать точечному спектру опе-
ратора Tk- Так как базис для пространства решений уравнения
т4ог = 0 задается функциями 1 и х, то Х = 0 также не может при-
надлежать точечному спектру оператора Tk- Если X отрицатель-
но, то мы можем написать два решения е* и е~1 ^х в виде
и Первое из них не принадлежит Л2(0, оо),
а второе принадлежит. Функция е~ удовлетворяет гра-
ничному условию f (0) + kf' (0) = 0 тогда и только тогда, когда
1 — k ]/ — X = 0, т. е. тогда и только тогда, когда k положительно и
%= — (1//г2). Таким образом, только в случае (IV) оператор Th
имеет непустой точечный спектр, который состоит из одной точки
X =—(1/й2) с соответствующей нормированной собственной функ-
цией 21/2fe“1/2e~x/k.
Далее перейдем к анализу непрерывного спектра. Сначала
рассмотрим интервал — оо <Х<0. Для X из левой полуплоскости
удобно использовать базис е~^~и для множества реше-
ний уравнения т4о, = Хо'.
В случае (I) функция — е-У-и удовлетворяет гранич-
ному условию /(0)^0. Функция e~y~Ki интегрируема в квадрате
в окрестности точки / = оо. Следовательно, по теореме 3.16, если
Im X =7^= 0, то резольвента R (X; То) — интегральный оператор с ядром
/-xS)e-r-u
2|Л/.
(е V-U)e-V-Ks
2
, t < s.
Поэтому матрица Qij (X) из теоремы 18 равна
Так как все ее элементы аналитичны при — oo<2i<;0, то из
следствия 29 вытекает, что весь интервал — со < X < 0 принад-
лежит резольвентному множеству оператора То.
Читатель без труда может провести совершенно аналогичные
вычисления и получить совершенно аналогичный результат
в случае (II). В случаях (III) и (IV) функция
552
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
удовлетворяет условию f(O) + kff (0) = 0. Следовательно, по тео-
реме 3.16 резольвента R (X; TQ) — интегральный оператор с ядром
{(feV=X-1) е + 1) е~ е~ g ,
{k (V^X-1) е + (1/^+ О ^‘} е~
2йХ + 21/^Л ’ S’
Поэтому матрица 0^- (X) равна
_£kHL+L_
2(П+У^Х)
0
__feV^x—1
2(Н + У=Х)
о
В случае (III) k отрицательно, поэтому все элементы этой
матрицы являются аналитическими функциями для отрицатель-
ных X. Таким образом, в случае (III) вся отрицательная часть
действительной оси принадлежит резольвентному множеству
оператора Т&. В случае (IV) первый элемент предыдущей матрицы
имеет полюс в точке Х =—1//г* 2. (Заметим, что функция
О ]Л=Х- 1]/[2 (feX + ]Л=Х)] является аналитической также и в
этой точке.) Вычет функции [k |Л — X + 1] / [2 (&Х + У — X)]
в этой точке равен 2/г1. Таким образом, согласно следствию 30
и замечаниям к теореме 16, ортонормальная собственная функ-
ция, соответствующая собственному значению Х =—1/&2, есть
21/2^-i/2e-fex Этот факт уже был отмечен, однако приведенный
здесь вывод особенно интересен, так как он показывает, что норми-
рующие множители для ортогональных собственных функций диф-
ференциального оператора могут быть получены прямо из теоре-
мы Титчмарша — Кодаиры. В рассмотренном случае функцию e~hx
нетрудно нормировать непосредственно, но в тех случаях,
которые изучаются дальше, когда собственными функциями
являются, например, полиномы Лагерра, мы увидим, какую
существенную пользу дает общий метод нормирования, основан-
ный на теореме Титчмарша —Кодаиры.
Так как мы видели, что Х = 0 не принадлежит точечному
спектру нашего оператора, то нам остается только исследовать
ту часть спектра, которая лежит в области 0<Х<оо.
Сначала рассмотрим случай (I). Если X принадлежит правой
полуплоскости, то удобный базис для множества решений урав-
нения тог^Хог дается парой функций sin]/X t и cosjA X/. Первая
функция удовлетворяет граничному условию / (0) = 0. Если
ImX>0, то линейная комбинация
eiV\t _ cos у х sin У X t
5. Спектральная теория: общий случай
553
принадлежит Л2(0, со); если 1шХ<0, то линейная комбинация
е-г Vu _ cos Y\ t — i sin Ук t
принадлежит L2(0, co). Следовательно, согласно теореме 3.16»
резольвента Т) —интегральный or
sinV^ s (cos ^ + ^sinV^ 0
vT ’
sin УХ t (cos У^ s + i sin Ук s)
T/Т ’
sin Д/Г s (cos УХ t — i sin УХ t)
У Г ’
sin Ук t (cos Ук s—i sin-]/^ s)
yr ’
Поэтому матрица 0£(Х) из теоремы 18
ератор с ядром
s<Zt, ImX>0,
t<s, 1тХ>0,
s < t, Im X < О,
t <; s, Im X < 0.
равна
IrtiX>0,
1тХ<Г 0.
Таким образом, только мера qu из теоремы 18 отлична от нуля,
и, применяя теорему 18, мы видим, что эта мера определяется фор-
мулой
ь
1 е dk
Следовательно, из теорем 13 и 14 мы получаем, что оператор
А
lim —\=- \ (sin У k t) f (X) dt
А-»оо |/ Л
определяет изометрический изоморфизм пространства £2(0, оо)
на пространство всех функций g, таких, что
оо
554 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
и обратный к нему оператор определяется формулой
А
lim —(sin /X /) g (X) .
А—>°° у Л v у Л
Если мы сделаем замену переменной X = то этот резуль-
тат примет следующую более симметричную форму.
32. Теорема {синус-теорема Фурье). Пусть /СЛ2(0, оо).
Тогда предел
W)(H) = lim ]/4 (sin НО / (О dt
А-.ОО Я J
существует в смысле нормы пространства L2(0, оо) и опреде-
ляет изометрический изоморфизм L2(Q, оо) на себя, причем
&2 = 1,
Далее,
оо
|МИ<оо
о
тогда и только тогда, когда f имеет абсолютно непрерывную
первую производную.
оо
J \f" (0М<оо
о
и f (0) = 0; в этом случае
([x)„W") (и).
Читатель без труда может проверить, что соответствующие
вычисления в случае (II) приводят к следующему результату.
33. Теорема {косинус-теорема Фурье). Пусть f£L2{0,co).
Тогда предел
____ А
(ftf) (|л) = lim yf 2 (cos }U) f {t) dt
A—>oo r JI d
0
существует в смысле нормы пространства L2(0, со) и опреде-
ляет изометрический изоморфизм пространства L2(Q, со) на
себя, причем
«2 = /,
= ST1.
5. Спектральная теория: общий случай
555
Далее,
оо
J Н41 (^Л (и) I2 du < со
О
тогда и только тогда, когда f имеет абсолютно непрерывную
первую производную,
о
и f (0) — 0; в этом случае
У(«Л(н)=-т(н).
Теперь рассмотрим случаи (III) и (IV). Функция sin]/A, t—
-kVk cos]/%/ удовлетворяет граничному условию /(0)+
+ kf (0) = 0. Эта функция и функция cos]/X/ вместе образуют
базис для множества решений уравнения то = Асг. Если Im А > 0,
то функция
ei Vxt _ cos t + i sin УA t —
= i (sin У A t—k ]/A cos УА t] + (1 + ik Уа)созУА t
принадлежит £2(0> co); если ImA<0, то функция
е~ г VTt _ cos у а / _ i sin Уа t —
= —i (siny A( —&УА cos]/A () + (l — ik УА)соэУА t
принадлежит L2(0, oo). Следовательно, по теореме 3.16 резоль-
вента R (А; 7\) — интегральный оператор с ядром
к (х; s, 0=
(sin /X s—fe/Xcos /X s) {t (sin f-fe cos VTO+O+iA CA) cos /Й}
/X (i+zfe /X)
_ s < t, Im X > 0,
(sin fas-k /X cos /Xs){ —t (sin l X/-#cos /X/)4-(l—/X) cos /X/}
/I (1 - ik /X)
s < t, Im Z,<0.
Поэтому матрица 0?j(X) из теоремы 18 равна
(i 1 \
"j/x (1 -\-ik ) f/X j, ImX>0,
0 0 7
/____—i_____ 1 \
(1/A (1-zfeVA) yT , ImA<0.
\ 0 0 /
556 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Отсюда следует, что только мера qu из мер теоремы 18
отлична от нуля; она определяется формулой
ь
Qu (a, b) = —\ - - , b > а > 0.
n J VX(14-feU)
Таким образом, полагая р2 = А, получаем следующие две теоре-
мы, которые соответствуют случаям (III) и (IV).
34. Теорема. Пусть 0</г<оо и
Ф (t, р) = -^- (1 + k2p.2)~i/2 (sin р/ 4- fep cos р/).
Тогда если f£L2{0, оо), то предел
А
(Ukf) (р) = lim f (f) ф (t, р) dt
А-^со J
существует в топологии пространства А2(0, оо) и определяет
изометрический изоморфизм пространства L2(0, оо) на себя;
его обратный дается формулой
А
(U'kg) (0 = lim g (р) ф (/, р) dp.
А~>со V
Палее,
оо
$ p4|(t/h/)(p)|2dp<oo
о
тогда и только тогда, когда f имеет абсолютно непрерывную
первую производную.
j |Г(/)|2Л<оо
о
и /(0) = &/'(0); в этом случае
р2(1/л/)(р)= — (L7ftf)(p).
35. Теорема. Пусть 0<^<оо и
ф(/, р)= |/<-^-(1 + k2p2)~1/2(sinр/ — fepcosp/).
Пусть Е1 обозначает одномерное унитарное пространство. Если
fQE2(0, оо), то предел
А
(П°7)(Р) = Hm v,)dt
А-»оо u
5. Спектральная теория', общий случай
557
существует, в топологии пространства L2(0, оо). Если мы
положим
____ оо
|/-| J f (t) e~t/h dt,
о
то формула
Vkf=[V<k0'f, Н71
определяет изометрический изоморфизм пространства Ь2(0, оо)
на прямую сумму Л2(0, <х>)@Е\ Оператор, обратный этому
изометрическому изоморфизму, задается формулой
a])(t) = a P)dp,
r K A->oo J
причем предел в правой части существует в топологии про-
странства Л2(0, со). Далее,
оо
J И4|(УГ/)(Ц)|2^<ОО
О
тогда и только тогда, когда f имеет абсолютно непрерывную
первую производную,
оо
$ |Г(0 |2d/<oo
о
и / (0) + kf' (0) == 0; в этом случае
(ИТ)(и)--н2(П°7)(и),
(П17'')=^(П17).
Очевидно, что, рассматривая другие формальные дифферен-
циальные операторы с постоянными коэффициентами, можно
построить другие разложения в ряд и интегральные разложения,
использующие тригонометрические и показательные , функции.
Однако более интересно изучить разложения по собственным
функциям, получающимся, если исходить из формальных диффе-
ренциальных операторов с переменными коэффициентами. В этом
случае задача выбора базиса для решений уравнения то == Хо
далеко не тривиальна. Если, например, мы возьмем оператор
т = — (d/d/)2 + /2, то решениями уравнения то = Хо будут некото-
рые вырожденные гипергеометрические функции. Из-за трудности
обращения с различными функциями, которые могут возникать
при решении уравнения то = Хо, мы отложим дальнейшие иссле-
558 Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
дования разложений по специальным собственным функциям до
§ 8. В § 8 мы сначала изложим необходимые сведения о неко-
торых специальных функциях, а затем на основе этих сведений
исследуем несколько известных полных ортонормальных систем,
унитарных интегральных преобразований и т. д.
6. Качественная теория индекса дефекта
Методы, разработанные в § 5, особенно теорема 5.18 Титчмар-
ша—Кодаиры, дают возможность вычислять спектральное раз-
ложение самосопряженного оператора Т, который порождается
формальным дифференциальным оператором т при наложении
определенной системы граничных условий. Из спектрального
разложения оператора Т можно непосредственно определить его
спектр о (Г). Тем не менее иногда не очень легко выполнить
вычисления, предусматриваемые методами § 5. Например, для
оператора = — (d/dt)2 +t2 решения уравнения (ti — Х)а = О
выражаются в терминах вырожденных гипергеометрических функ-
ций, поэтому спектральный анализ оператора предполагает
знание свойств вырожденных гипергеометрических функций.
Если бы мы попытались изучить оператор т2= — (d/d/)2 + *6, Для
которого решения уравнения (т2 — Л)о = 0 выражаются в терминах
еще менее привычных трансцендентных функций, то вычисления
с помощью теоремы 5.18 стали бы довольно сложными. Тем
не менее из изложенного в данном и следующем параграфах
будет видно, что в этих и в некоторых других случаях существен-
ные сведения относительно спектра а (Г), индексов дефекта опе-
ратора Т и т. д. могут быть получены при непосредственном
рассмотрении коэффициентов этого оператора. Например, мы
выведем результаты, которые позволят установить, что ни один
самосопряженный оператор, полученный из или т2, не имеет
непрерывного спектра и что на самом деле спектр каждого такого
оператора состоит из бесконечной последовательности точекг
стремящейся к + со.
Сначала мы определим еще один вид «спектра» для фор-
мального дифференциального оператора т.
1. Определение. Пусть Т — замкнутый оператор в гильберто-
вом пространстве. Тогда множество комплексных чисел X, таких,
что область значений оператора М — Т не замкнута, называется
существенным спектром оператора Т и обозначается через ве(Т).
Ясно, что о'е(Т) о (Г). Если т —формальный дифференциаль-
ный оператор, определенный на интервале /, то существенный
спектр замкнутого оператора в L2(J) называется сущест-
венным спектром аДт) оператора т.
6. Качественная теория индекса дефекта
559
2. Лемма. Пусть Зс —банахово пространство; предположим,
что Ж = $ + 91, где 91 — конечномерное пространство, а %) —замк-
нутое подпространство. Пусть Т — ограниченный линейный
оператор из Ж во второе банахово пространство Жр Множество
Tty замкнуто в Ж1 тогда и только тогда, когда множество Т&
замкнуто.
Доказательство. Для того чтобы доказать, что ТЖ замкнуто,
если замкнуто Tty, мы докажем более общее утверждение, что
сумма замкнутого подпространства 3 некоторого В-пространства
и конечномерного пространства замкнута. Ясно, что, рассуждая
по индукции, мы без ограничения общности можем предполагать,
что пространство 91 одномерное. Таким образом, 91 совпадает
с множеством {ах} всех комплексных кратных некоторого нену-
левого вектора х. Если х£3, то нам нечего доказывать, поэтому
предположим, что х$3- Тогда каждый вектор #СЗ + 9^ может
быть единственным образом представлен в виде y = z-[-ax, где
гСЗ- Пусть гмСЗ + 9* и Уп~*У*>- Тогда yn = zn + anx. Если
последовательность {ап} ограничена, то мы можем предположить,
перейдя к подпоследовательности, что с^—»а. В этом случае
Zn—>#оо —ах, так что у™ — ах^З и, таким образом, i/ooC3 + ^«
С другой стороны, последовательность {ап} обязательно ограни-
чена. В самом деле, если бы она была неограниченной, мы
могли бы допустить, перейдя к подпоследовательности, что|ап| —>оо.
Тогда, положив zn = a£zn, мы получили бы zn—> — х, откуда
х£3> что противоречит предположению. Отсюда следует, что
сумма 3 + 9t замкнута, и тем самым первая часть леммы дока-
зана.
Для того чтобы доказать вторую часть, предположим, что
множество Т($ + 91) замкнуто. Пусть п — размерность простран-
ства 91, а 9ti, ..., 91п = 91 — такая возрастающая последователь-
ность подпространств из 91, что dim9tj = Z. При помощи индук-
ции по т докажем, что множество T(9) + 9ln_m) замкнуто.
Поскольку, как показано выше, сумма 9) + 9in-zn замкнута, для
этой цели достаточно установить утверждение леммы при допол-
нительном предположении, что пространство 91 одномерно, т. е.
91^-{ах}. Если Tx^Tty, то T($ + 9i) ~Т ($), поэтому множество
Tty замкнуто. Следовательно, мы можем предположить, что
Тх^Т9). Пусть множество Т$ не замкнуто, и пусть г^Т9),
т. е. существует последовательность элементов yn£ty,
таких, что Tyn—*z. Поскольку множество Т (ty + 91) замкнуто,
существует элемент у + ах, yCty, такой, что z = T(y-]-ax). При
этом а =4= 0, так как Далее, Т ((у — уп) + ах) —>0. Мно-
жество Т(9) + 91) замкнуто, поэтому из леммы VI.6.1 следует,
560
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
что существует последовательность 0/п + апх}, такая, что
(Уп + апх) ->0, в то время как
т ((у — Уп) + ах) = Т (уп -1- а„х),
т. е.
(а — ап) Тх = Т (уп + уп — у).
Так как Тх не принадлежит T9), то а = ап, поэтому уп—> — ах,
а это противоречит предположению, что 9) замкнуто.
3. Следствие. Пусть т — формально симметрический диффе-
ренциальный оператор, а Т —любое замкнутое симметрическое
расширение оператора Т0(т). Тогда существенный спектр опе-
ратора т совпадает с существенным спектром оператора Т.
Доказательство. Согласно XII.4.8(c) и 2.10, Т* Т То.
Определим в множестве Ф (Т{ (т)) = ф (То (т)*) скалярное произве-
дение (/, £)* = (/,£) + (Л/, Tig). Тогда, согласно XII.4.10, гиль-
бертово пространство Ф (Л) = ф (Т*) является прямой суммой вида
®(Т0)©Ф+©Ф-, где Ф+ и ф_ конечномерны (см. 1.3). Таким
образом, поскольку Ф (Т*) ^Ф (Т) (То), отсюда следует, что
Ф (Ti) = Ф (Т) + 91, где 91 — подпространство пространства ®+ © Ф_
и, следовательно, конечномерно. Так как оператор Т замкнут,
то Ф (Т) — замкнутое подпространство из ®(Л) (см. XII.4.5).
Если рассматривать Тг как оператор, отображающий гильбертово
пространство ®(Tt) в то он, очевидно, ограничен. Поэтому
наш результат следует непосредственно из предыдущей леммы
и из определения существенного спектра.
4. Следствие. Пусть Т — самосопряженное расширение опе-
ратора Т0(т). Тогда ое (Т) = ое (т).
Доказательство. Это вытекает непосредственно из леммы
XII.4.8(e) и предыдущего следствия.
5. Теорема. Существенный спектр самосопряженного опера-
тора Т есть множество неизолированных точек множества в (Т)
Доказательство. Предположим, что X —изолированная точка
в спектре оператора Т. Для простоты мы обозначим замкнутый
оператор X/ — Т через U. Заметим, что Ф ([/) = Ф(Т'). Пусть Е —
разложение единицы для Т (см. XII.2). Тогда, согласно ХП.2.7(с),
мы имеем
£({Л})[7х-0, х£ф(Г).
Пусть = а (Т) — {X}. Тогда
(Я (оО U)x = (J — E ({X}) (V — Т)) х = (X/ - Т) х.
6, Качественная теория индекса дефекта
561
Это показывает, что область значений оператора проектирования
Е(в1) содержит область значений оператора Т.
Выберем окрестность V точки %, которая не пересекается с
и положим /(р) = (Х — р)-1, если р $ V, и /(р) = 0, если pgV.
Предположим, что у принадлежит области значений оператора
£(Oi). Тогда по теореме XII.2.6 f(T)y принадлежит ® (Т)
и [Uf(T)\y = E(Vi)y^y. Из этого замечания и предыдущего
абзаца следует, что область значений оператора Е (о\) (которая,
очевидно, замкнута) совпадает с областью значений оператора U.
Таким образом, X не принадлежит существенному спектру опе-
ратора Т.
Чтобы закончить доказательство, достаточно показать, что
любая точка X из спектра оператора Т, для которой область
значений оператора X/ — Т замкнута, является изолированной
точкой этого спектра.
Пусть X —такая точка, а 91 — нуль-пространство оператора^,
т. е. множество всех х£ ©(£/), таких, что (7х = 0. Тогда сужение
Ui оператора U на f] 91 -1- имеет ту же область значений,
что и U. Более того; график оператора Ui является, очевидно,
ортогональным дополнением мн жества {[х, 0], х£91} в графике
оператора U, и поэтому замкнут. Таким образом, [Д —замкнутое
взаимно однозначное отображение с замкнутой областью значе-
ний. По теореме о замкнутом графике и по теореме II.2.2 Ui
имеет ограниченный обратный оператор, т. е. существует посто-
янное число k, такое, что если | Uix\^ 1, то |xj<fe/2. Далее,
согласно XII.2.6(c), 91 —область значений оператора проекти-
рования Е ({X}). Поэтому 91J—область значений оператора Е (Oj).
Следовательно, если х принадлежит ® (Т) = S) ((7), Е (аА) х — х
и |(Х7-Т)х|<1, то |x|<fe/2.
Пусть А = {р | р =/= X, | р — X | < 1 /k}. Достаточно доказать, что
Е(Л) = 0, ибо, согласно XII.2.9, это означает, что множество А
не пересекается с а(Т), т. е. X —изолированная точка. Предпо-
ложим, что существует вектор х в такой, что Е(А)х = х.
Мы можем предполагать, что | х | = k. Тогда, поскольку Леоь
мы имеем Е (с^) х = Е (о4) Е (А) х = Е (Л) х — х. По теореме ХП.2.6(с)
| (X/ — Т) х|2 = J | р-X |2 (Е (dp) х, х)<
А
$ (£(ф)х, х) = -Г.|х|2= 1,
А
т. е. | (X/ — Т)х|<1, тогда как |х| = k. Полученное противоречие
завершает доказательство.
36 Заказ № 134
562 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
6. Теорема. Пусть т — формально самосопряженный диффе-
ренциальный оператор, определенный на интервале /. Пусть
существует точка X на действительной оси, не принадлежащая
существенному спектру оператора т. Тогда два индекса дефекта
оператора т совпадают. Более того, все самосопряженные рас-
ширения оператора TQ(x) имеют одно и то же множество
неизолированных точек, и это множество совпадает с <те(т).
Доказательство. Второе утверждение следует непосредственно
из теоремы 5 и следствия 4. При доказательстве первого утверж-
дения мы можем, не ограничивая общности (см. XIL2.2 и XII.4.19),
допустить, что Z = 0. Пусть 91 = {/| Л (т) / = 0}. Построим само-
сопряженное расширение Т замыкания То оператора Т0(т).
Согласно следствию XII.4.13 и лемме XII.4.8 (Ь), отсюда будет
вытекать, что индексы дефекта оператора т равны. Очевидно
(поскольку в силу леммы XII.4.6 оператор То симметрический),
что сужение Т2 оператора ТДт) на ®CG)) + 9t является симметри-
ческим. Действительно, если g© (T0) + 9t, Z = 1, 2, то мы можем
написать Xt = yi-]-Zi, i=l, 2, где yi^(TQ), Zi£%l, i=l,2.
Тогда по теореме 2.10
(Л(т)Хь х2) = (Т0у1, х2)=-(у{, Т1(х)х2) = (у}, TQy2).
По симметрии (7\(т)х2, *i) = (z/2, 7"oZ/i)- Таким образом, поскольку
оператор То симметрический, отсюда следует, что (Т\ (т) х2) =
= (*!, Л(т)х2). Более того, мы утверждаем, что Т2 — самосопря-
женный оператор. Действительно, предположение, что Мае(7"о)
(^ае(т) согласно следствию 3), означает, что область значений
9t(T0) оператора То замкнута. Так как по теореме 2.10 и XII. 1.6(d)
91 = [3i(То)]1-, то мы имеем L2(I) = 31 (То)©91. Пусть х принад-
лежит ®(Т2). Тогда для всех у С 91
(Т*2х, у) = (х, 7^/) = 0.
Это показывает, что ТгхСЭЦТо). Поэтому в ®(Т2) существует
элемент х19 такой, что Т^хг — Т^х{ = T*x. Следовательно, х —XiC9t
и х = (х — Xi)-|-Xi принадлежит 2) (Т2). Таким образом, оператор Т2
самосопряжен, ч. т. д.
Из теоремы 5 и следствия 4 вытекает, что множество неизо-
лированных точек спектра самосопряженного расширения Т
оператора Т0(х) не зависит от частного выбора расширения,
т. е. не зависит от частной системы граничных условий, опреде-
ляющих это расширение. Теперь мы покажем, что изолированные
точки множества о(Т) очень сильно зависят от системы гранич-
6, Качественная теория индекса дефекта 563
ных условий, определяющих Т, по крайней мере в том случае,
когда оператор т определен на интервале, хотя бы один конец
которого фиксирован.
7. Лемма. Пусть Т — симметрический оператор в гильбер-
товом пространстве причем наименьший из его индексов
дефекта равен k. Если X не принадлежит существенному спектру
оператора Т, то уравнение Т*х=Лх имеет по крайней мере k
линейно независимых решений.
Доказательство. В случае ImX^O это утверждение доказано
в теореме XII.4.19. Если X вещественное, то мы можем заме-
нить Т оператором Т—Л1, который все еще симметричен и имеет
те же индексы дефекта, что и Т (см. XIL4.19). Следовательно,
мы можем допустить, что Х = 0. Тогда утверждение состоит
в том, что нуль-пространство 91 оператора Т* имеет размерность
не меньше k.
Метод доказательства следующий: будет показано, что если
теорема неверна, то можно построить собственное симметри-
ческое расширение Т2 оператора Т, область определения которого
строго содержит ®(Т) и нуль-пространство оператора Т*. Это
сразу приводит к противоречию следующим образом: предполо-
жение 0^ае(Г) означает, что область значений 31 (Т) оператора Т
замкнута. Пусть 7\ —расширение, полученное сужением Т* на
®(Т) + 94 (легко видеть, что 7\ — симметрическое расширение).
Тогда область значений 91 (Л) оператора 7\ совпадает с областью
значений оператора Т и, следовательно, замкнута. Более того,
ортогональным дополнением пространства 91 (Т) является 94.
Поэтому (см. XII. 1.6)
1*1 £ = 94(Т)@ 94^94(Л)©94.
Теперь предположим, что Т2 — собственное симметрическое расши-
рение оператора 7\. Согласно XII.4.1, Т2^Т*. Если область
значений оператора Т2 строго содержит область значений 7\, то,
поскольку 91 (Г2)~ линейное пространство, 94 (Т2) содержит эле-
мент, ортогональный к 94 (Л). Таким образом, ®(Г2) содержит
элемент у, такой, что Но это невозможно, ибо если
7^/С 91, то из Т2=>Т\ и 7\91 = 0 вытекает, что (Т2у,Е2у)=^
= (Т2Т2у, у) = 0 и, следовательно, Т^у-^О. Тогда 94 (Г2)-= 94 (7\);
но это снова невозможно, так как отсюда следовало бы существо-
вание элемента у из ®(Т2), не принадлежащего 2)(7\), и эле-
мента х из 2) (Л), таких, что Т2у = Т\х = Т2х. Тогда разность
У — х принадлежала бы 91^®(7\), т. е. элемент у входил бы
в ®(Л), и мы получили противоречие.
Остается доказать, что если заключение настоящей леммы
неверно, то оператор 7\ имеет собственное симметрическое расши-
36*
564
Г л. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
рение. По лемме ХИЛ. 11 и теореме ХИЛ. 12 достаточно про-
верить, что ни одно из дефектных пространств ф™ и опера-
тора Т± не пусто. Пусть ®+= {(7 4-z7) ® (Т)}1- —положительное
дефектное пространство оператора Т. Тогда (см. XII. 1.6(d))
= {(Л+и) © (Л)}±={(Ti+и) © (?)+=>
Так как мы предполагаем, что dim^cZs и dim®+>&, то отсюда
следует, что dim®^,1)>l. Аналогично dim®S1)>l. Поэтому 7\
имеет собственное симметрическое расширение Т2, и доказатель-
ство полностью завершено.
8. Следствие. Пусть т — формально самосопряженный диф-
ференциальный оператор, определенный на некотором интер-
вале I. Если минимум индексов дефекта оператора Т0(т) равен k,
то для Х^ое(т) уравнение то = Ха имеет по крайней мере k
линейно независимых решений из L2(/).
Доказательство. Согласно теореме 2.10 и XII.4.7(c), сопря-
женным к T0(t) является оператор Т±(х). Поэтому требуемый
результат непосредственно следует из предыдущей леммы, тео-
ремы 5 и следствия 4.
Замечание. В следствии 8 предположение, что X не принад-
лежит существенному спектру оператора т, необходимо. Напри-
мер, если т— — (d/dt)2 на интервале [0, оо), то, очевидно,
оба индекса дефекта оператора т равны 1. С другой стороны,,
если Х>0, то наиболее общее решение уравнения то = Хсг, оче-
видно, имеет видасов t ]/Х + b sin t ]ЛХ, и эта функция принадлежит
L2(0, оо) только в том случае, когда а = Ь = 0.
9. Лемма. Пусть х —формально симметрический дифферен-
циальный оператор на интервале I, причем I имеет по крайней
мере один фиксированный конец. Пусть минимум индексов
дефекта оператора Т0(х) равен v. Тогда для каждого действи-
тельного X уравнение то = Хсг имеет не более v линейно незави-
симых решений из L2(I)-
Доказательство. Так как по теореме ХП.4.19 т и т —X имеют
одинаковые индексы дефекта, мы можем положить Х = 0. Теперь
мы хотим показать, что уравнение то = 0 имеет не более v линейно
независимых решений из Л2(/). Пусть То — замыкание оператора
Т0(х). Тогда по лемме ХИЛ.7(c) и теореме 2.10 Т± (т) = (Го) *•
Из § ХИЛ мы знаем, что линейное пространство ®(7\(т)) станет
гильбертовым пространством, если ввести скалярное произведение
6. Качественная теория индекса дефекта
565
(х, у)* в соответствии с определением XII.4.2(a). В дальнейшем,
если явно не оговорено противное, мы везде будем иметь дело
с этим скалярным произведением. По лемме XII.4.10 ®(7\(т)) =
= ® СГ0)©®+@®-, причем все пространства в правой части
замкнуты. Предположим, что заключение настоящей леммы
неверно. Тогда размерность пространства 91 = {х | Ti (т) х== 0}
больше, чем v. Для определенности предположим, 4Todim®+<
так что dim®+ = v. Тогда проектирование у—>у+ про-
странства ®(7\(т)) на не может отображать 91 взаимно одно-
значно. Поэтому в 91 существует элемент у, такой, что у+=-0,
т. е. у = Уо + У-, где (То), Отсюда сразу видно, что
сужение Т2 оператора Т1(т) = Т0(т)* на ф(Т0) + 91 симметрично.
Более того, //-€®(Т2). Однако это означает, что
i (У-, У-) = (TYy^ у_) = (Т2у_, у_) =
= (У_, Т2у_) = (у_, Тгу_) =
= (У-л 1у~) = —i(y_,yS
Таким образом, г/_ = 0, и поэтому г/£®(Г0). Так как каждое гра-
ничное значение для т обращается в нуль на ® (Г0(т)), то из след-
ствия 2.23 мы заключаем, что первые п—1 производных функ-
ции у обращаются в нуль в фиксированной концевой точке интер-
вала I. Тогда, поскольку 7\(т) z/ = 0, из теоремы 1.3 следует,
что у тождественно обращается в нуль. Полученное противоречие
завершает доказательство.
Замечание. В лемме 9 условие, что интервал 1 имеет фикси-
рованную концевую точку, необходимо. Рассмотрим, например,
формальный дифференциальный оператор т= — (d/dt)2 + t2 на интер-
вале (—со, + оо). Если Д (/) = е*2/2, /2(0 —то мы имеем
тД= — fi, tf2 = f2. Согласно следствию 2.14, индексы дефекта
оператора т равны. Они не могут равняться (2, 2), поскольку,
согласно теореме 4.1, теореме 5 и следствию 4, это означало бы,
что существенный спектр оператора т пуст и в силу следствия 8
все решения уравнения то + о — 0 лежат в L2( —оо, +оо), но это
не так. Отсюда по теореме 2.19 видно, что т не имеет граничных
значений либо в оо, либо в — оо. Так как замена переменной
>— t переводит т в себя, то, если выполняется одна из этих
возможностей, выполняется и другая. Таким образом, т не имеет
граничных значений, и по лемме XII.4.21 индексы дефекта опера-
тора т равны (0, 0). Тем не менее уравнение = о имеет ненуле-
вое решение /2, интегрируемое в квадрате.
Объединяя леммы 7, 9 и следствие 8, мы получаем следующую
теорему, которая показывает, в какой степени стектр самосопря-
566
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
женного оператора, порожденного формальным дифференциальным
оператором, зависит от соответствующих граничных условий.
10. Теорема. Пусть х —формально самосопряженный диф-
ференциальный оператор, определенный на интервале I по край-
ней мере с одним фиксированным концом. Пусть X— произволь-
ная точка вещественной оси, не принадлежащая существенному
спектру оператора т. Тогда оба индекса дефекта оператора т
равны некоторому целому k и
(а) для каждого самосопряженного расширения Т оператора
Т0(х) размерность нуль-пространства{!\Tf-Kf} не превосходит k\
(b) существуют самосопряженные расширения Т оператора
TQ(x), такие, что Х^о^Т);
(с) существуют самосопряженные расширения Т оператора
Tq(x), такие, что пространство {f\Tf = Kf} имеет любую задан-
ную размерность между 1 и k.
Доказательство. Равенство индексов дефекта получается из тео-
ремы 6. Согласно следствию 8 и лемме 9, уравнение
имеет точно k линейно независимых решений для каждого Х^Оект).
Если Т — самосопряженное расширение оператора T0(t), то по тео-
реме 2.10 Т = Т* То (т)* = 7\ (т), откуда следует (а).
Для того чтобы доказать (Ь) и (с), мы можем, не уменьшая
общности (см. XII. 1.6(c) и XII.4.19), предполагать, что Х = 0.
Пусть 91 = {/| Ti (т) / — 0}. Пусть То —замыкание оператора Т0(т).
В ходе доказательства теоремы 6 было доказано, что сужение Т2
оператора 7\(т) на ®(T0) + 9i является самосопряженным. Таким
образом, по теореме XII.4.12(b) пространство S)(T0) + 9t может
быть представлено в виде ®(Т0)©Г, где Г —график изометри-
ческого отображения U положительного дефектного простран-
ства в отрицательное дефектное пространство ®_ оператора То,
и поэтому размерность Г равна k.
Если Т — самосопряженное расширение оператора То(т),
то по условию 0 не принадлежит существенному спектру опера-
тора т, поэтому в силу следствия 4 и теоремы 5 число 0 либо
не принадлежит спектру оператора Т, либо является изолирован-
ной точкой множества о (Г). В этом последнем случае из тео-
ремы XII.2.9(b) следует, что пространство 91 (Т) = {х | Тх = 0}
не пусто.
Мы завершим доказательство теоремы построением самосопря-
женных расширений Т оператора Т0(т), таких, для которых раз-
мерность / пространства 91 (Г) принимает любое значение между
нулем и k. Для j между нулем и k выберем /-мерное подпро-
странство Sj из ®+; пусть D;—его ортогональное дополнение
в ®+. Определим изометрическое отображение Uj пространства
> 6. Качественная теория индекса дефекта 567
----------.
©+ на ©- следующим образом:
UjX = Ux, x£&j,
Ujx— —Ux, xgO;.
Пусть Г7- — график отображения Uj. Тогда по теореме XII.4.12(b)
<$> (То) © Г; есть область определения самосопряженного расшире-
ния Tj оператора T0(t). Докажем, что размерность пространства
равна точно /\_ __ _
Так как © (То) + 91 = © (То) © Г с ® (То) @ ®+ @ ®_, то каждый
элемент х из Ф (Т2) может быть единственным образом представлен
либо в виде %o + *i, либо в^виде х0 + х+ + х_, гдех0С® (То), СГ,
х+ С ©+, х- € ®~ Если х С © (То), то Xi = 0; следовательно, отображе-
ние х—>Xi пространства 91 в Г отображает 91 на все Г. По предыдущим
двум леммам Л является точно &-мерным; так как пространство Г
также fe-мерно, то отображение х —взаимно однозначно.
Кроме того, Г—график изометрии между ©+и ©_. Следовательно,
для х из 9i отображение х—>х+ является взаимно однозначным
отображением на все ©+.
Мы имеем хС©(7Д тогда и только тогда, когда х—-х0 +
4-х+-|-х_, где х_ = UjX+, nxQ^Jl, только если хС©(Т2), т. е. если
х_ = 1/х+. Следовательно, х Q ® (Tj) fl тогда и только тогда,
когда х£91 и UjX+ = Ux+, т. е. тогда и только тогда, когда х£91
и x+CSj. Так как отображение х~~>х+ взаимно однозначно,
то множество всех х£91, таких, что x^S;, является точно /-мер-
ным пространством. Другими словами, ®(T/)Q9£ является точно
/-мерным пространством, ч. т. д.
И. Теорема. Пусть т — формально самосопряженный диф~,
ференциальный оператор порядка п, определенный на интер-
вале I. Тогда следующие три условия эквивалентны:
(а) для некоторого действительного Ло все решения уравне-
ния = лежат в L2(/);
(b) индексы дефекта оператора т равны (п, п);
(с) для каждого действительного К все решения уравнения
xo—'kcs лежат в L2(I).
Доказательство. Пусть а и b — концы интервала I. Выберем с
внутри / и положим /' = («, с] QZ и Г=[с, b)(\ I. Все решения
уравнения = лежат в L2(/) тогда и только тогда, когда
все решения уравнения т'о = Х(У лежат в L2(/') и все решения
уравнения х"су — К(у лежат в 12(/"). Так как, согласно след-
ствию 2.26, индексы дефекта оператора т равны (п, п) тогда
и только тогда, когда индексы дефекта обоих операторов т' и т"
568
Гл. XHL Обыкновенные дифференциальные операторы
равны (п, п), то, не уменьшая общности, мы можем ограничиться
случаем, когда I имеет фиксированный конец. В этом случае
по лемме 9 из (а) следует (Ь); если справедливо (Ь), то по тео-
реме 4.1 резольвента 7?(А;Т) каждого самосопряженного расши-
рения оператора T0(t) вполне непрерывна. Тогда по теореме 4.2
спектр оператора Т состоит из последовательности изолирован-
ных точек на действительной оси, т. е. существенный спектр
оператора Т, а поэтому (см. следствие 4 и теорему 5) и опера-
тора т, пуст. Тогда из леммы 7 следует, что (Ь) влечет за собой
(с). Очевидно, что из (с) следует (а). Таким образом, доказатель-
ство закончено.
Следующее утверждение содержится в предыдущем доказа-
тельстве.
12. Следствие. Если индексы дефекта операторах равны (п, п),
то существенный спектр оператора т пуст.
Следующая теорема дает полезное расширение теоремы 5.4.
13. Теорема. Пусть т—формально самосопряженный диф-
ференциальный оператор на интервале I с концами a, b; Т —
самосопряженное расширение оператора Т0(т). Пусть U—упо-
рядоченное представление пространства Ь2(Т) относительно Т,
a рг-, et, т, Wi и т. д. определены так же, как в теореме 5.1. Пусть
a<Zc<Zb, a Xi и т2 — сужения оператора т соответственно
на / П [б?, с] и 1(][с,Ь]. Предположим, что А — интервал дей-
ствительной оси, такой, что Авe(Xi) = 0. Тогда для почти всех
по у^-мере А из Л
Wi (•, А) £ Л2 [а, с], i = 1, ..., т.
Более того, если В([) = 0 — граничное условие в точке а, кото-
рому удовлетворяют все функции f из ® (Т), то для почти всех
по \^-мере К из Л имеем B(Wi (•, А)) = 0, Z= 1, т. Если
Лое(т2) — 0, то подобные замечания могут быть сделаны о пове-
дении ядер Wi з окрестности точки Ь.
Замечание. Если оба множества ЛогДт!) и Лое(т2) пусты,
то Лое(т) пусто, и из теоремы 6.13 следует, что^(«, А)С£2(я, Ь)
почти всюду по ргмере в Л. Тогда очевидные небольшие измене-
ния в доказательстве теоремы 5.4 позволят доказать, что если
B(f) = O — граничное условие, которому удовлетворяют все функ-
ции то B(Wi (•, А)) = 0 почти всюду по р-мере в Л.
Следовательно, в этом случае мы имеем Wi(-, A) С® (Г) для
почти всех по р^-мере А. Конечно, в случае когда множество
Лое(т) пусто, из теоремы 5 и следствия 4 вытекает, что Лв(Т)—
множество изолированных точек, так что мы имеем дело с изо-
лированным подмножеством точечного спектра оператора Т.
6. Качественная теория индекса дефекта
569
Доказательство., Ес ли уже установлено, что h)£L2(a, с)
для почти всех по ргмере Х£А, то можно дословно повторить
доказательство теоремы 5.4 и доказать тем самым второе утвер-
ждение нашей теоремы. Так как, согласно теореме 5 и следст-
вию 4, множество ae(^i) замкнуто, мы можем без ограничения
общности считать Л открытым множеством. Тогда достаточно
показать, что каждая точка XgA имеет окрестность Ло, такую,
что k)£L2(a, с) для почти всех по р^-мере Х£Л0, ибо в этом
случае Л можно представить в виде объединения счетного числа
таких окрестностей. Далее мы покажем, что для каждой точки
Х£Л существуют ее окрестность Ло, целое число k и базис
(т, X), ..., ап(т, X) множества решений уравнения то = Хо, для
которых
(а) в комплексной Х-плоскости существует окрестность U
множества Ло, такая, что функции оч(-, X), ..., оп(«, X) являются
аналитическими для Xf[7;
(b) для каждого X £ U все щ (•, X), ..., (•, X) лежат в L2 (а, с);
(с) для Xg(7 никакая нетривиальная линейная комбинация
функций Qk+i (•, X), ..., оп(«, X) не принадлежит Ь2(а, с).
Используя эти сведения, нашу теорему можно вывести из след-
ствия 5.28. Поэтому достаточно проверить существование базиса
оъ • • •, tfn, удовлетворяющего условиям (а), (Ь) и (с). Это можно
сделать следующим образом. По теореме 9 индексы дефекта
оператора равны целому k, и для всех Х0£Л уравнение
т1(у = Хоа имеет в точности k линейно независимых решений
с интегрируемым квадратом. Для каждого X0£A теорема 10
гарантирует существование самосопряженного расширения t
оператора Т0(т), такого, что Х0$о(Т). Тогда, поскольку резоль-
вентное множество q (Т) открыто, некоторая окрестность
точки Хо содержится в р(Т). Предположим, кроме того, что пере-
сечение множества с действительной осью содержится в Л.
Для pgC/j пусть А (р) обозначает всюду определенный ограни-
ченный оператор (Т—р/)-1. Полагая Д (а, 0) = (Т — al) А (0), мы
имеем Д (а, а) = 1 и К (а, 0) К (0, у) (а, у). Более того,
Д(а, 0) = (Т —0Z) Л (0)-г(0-а) Д (0) = / + (0-а) Д (0). Таким
образом, функция Д (а, 0) ограничена и аналитически зависит
от а и 0 для а, 0Et/i. Пусть 91а = {/1 То (tJ* f = а/} для aQU^
Тогда если /С91а, то мы имеем
(Л (Ti)-0/) Д (а, 0) f = (Л (Т1) - 0/) / + (0 - а) (Л (т,) - 0/)А (0) / =
= (Л (ТО - 0/) / + (0 - а) / - (Л (Т1) -al) f = 0.
Таким образом, Д (а, 0) определяет взаимно однозначное отобра-
жение множества 91а в 91р. Аналогично обратное к Д (а, 0) отобра-
570 Гл, XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
жение К (Р, а) взаимно однозначно отображает множество на 91а.
Таким образом, /< (а, Р) определяет взаимно однозначное отобра-
жение множества на 91а. Пусть (•, Хо), ..., Gn (•, Хо) — базис
пространства 2 решений уравнения то = Хоа и этот базис выбран
так, что 01, Gk — базис fe-мерного подпространства =
= L2 (а, с) П 2 пространства 2. Положим
Gi (•, X) = А (X, Хо) Oj (•, Хо), Л £ р i k,
и для Х£(А и i>k определим Gi (•, X) уравнениями
Т1^ = ХОг, G{P (с, X) — G^ (с, Хо), Г>&, Xgt/p /=0, . ..,П.
Тогда, согласно следствию 1.5, функция Gt(t, X) и ее первые п— 1
производных непрерывно зависят от t и аналитически от X для
t£(a, с] и Xgf/p При i^.k о функциях аД-,Х) нам только
известно, что т^- (•, X) = Xoj (•, X) и Gt (•, X) являются аналити-
ческими вектор-функциями от X со значениями в L2(a, с). Однако
по лемме 2.16 отсюда немедленно следует, что функции Gi(-, X),
i^k, и их первые п— 1 производных непрерывно зависят от t
и аналитически от X для Х£(/р Следовательно, определитель
Вронского
/ О1 (с, X) сг; (с, X) ... <7?“ ° (с, X) \
<r2(c, X) сг' (с, X) ... <У2П-1) (с, А.)
W (X) = det
\ (Тп (с, X) о’п (с, X) ... <£ ° (с, X) /
есть аналитическая функция для Х£[/р Так как по теореме 1.3
п векторов [Of (с, X), ..., с4п-1) (с, X)], i = 1, ..., п, линейно
независимы для X = Хо, то W (Хо) #= 0, и поэтому существует
окрестность U^Ut точки Хо, такая, что Ц7(Х)#=0 для XgU. Но
тогда п векторов [о^ (с, X), ..., (с, X)], i = 1, ..., п, линейно
независимы для X С U и, следовательно, (•, X), ..., Gn (•, X)
линейно независимы для Так как для каждого
функции О1(-, X), ..., Gk(-, X) образуют базис множества реше-
ний уравнения то = Х<т, лежащих в L2(a, с), то отсюда сле-
дует, что если положить Ло — AQt7, то тем самым будет
построен базис оч (-» X), ..., Gn (•, X), удовлетворяющий условиям
(а), (Ь) и (с), ч. т. д.
Из теорем, приведенных выше, следуют некоторые интересные
результаты об индексах дефекта действительных операторов
второго порядка.
6. Качественная теория индекса дефекта
571
14. Теорема (Г. Вейль). Пусть х = —(d/dt) р (t) (d/dt)+ q (t) —
действительный формально самосопряженный дифференциальный
оператор второго порядка, определенный на интервале I = [а, оо).
Пусть p(t)>® для t£l, а функция q(t) ограничена снизу.
Тогда т не имеет граничных значений в бесконечности, т. е.
индексы дефекта оператора х равны (1, 1).
Доказательство. Эквивалентность двух формулировок, данных
для этой теоремы, следует из изложенного в § 2; в частности,
из следствий 2.14 и 2.23 вытекает, что индексы дефекта опера-
тора т равны или (1, 1), или (2, 2); мы хотим исключить послед-
ний случай. Пусть действительное число К выбрано настолько
большим, что q (Z)-j-i>l. По теореме 11 мы должны только
показать, что не все решения уравнения (т + А,)о' = 0 интегри-
руемы в квадрате. Пусть / — нетривиальное решение этого
уравнения, такое, что /(а) = 0. Интегрируя по частям, находим
8 8
5 [ W i <Р (0) ] (0 pW (0 Га - J р (0 [/' (OF dt =
а а
8
а
и поэтому
8
а
8
= $ {р (01/' (0F + (<? (0 + V If (ОН dt —1Р (s) А I/ ($)]*.
а
Если / интегрируема в квадрате, то /2 не может монотонно
возрастать, поэтому производная функции (/ (s))2 обязательно
принимает неположительные значения для больших s, т. е. суще-
ствует последовательность sn—>со, для которой
sn
О>^р (Sn) I/2 (Sn)]' = $ {р (0 (/' (О)2 + (<7 (0 + К)Р (0)dt.
а
Таким образом,
сю
J {р (0 (/' (0 J2 + (<7 (0 + V Р (0} dt < 0.
а
Но оба слагаемых под интегралом неотрицательны, поэтому
оо сю
о
о
572 Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
и, следовательно, / тождественно обращается в нуль. Получен-
ное противоречие завершает доказательство.
15. Следствие. Пусть т = — (dldt) р (Z) (d/dt) + q (/) — произ-
вольный действительный формально самосопряженный дифферен-
циальный оператор второго порядка, определенный на интер-
вале (—со, +°°). Пусть p(t)>Q для t£l, а функция q(t)
ограничена снизу. Тогда т не имеет граничных значений ни в
+ оо, ни в — со, т. е. индексы дефекта оператора т равны (0, 0).
Доказательство. Это следует из теоремы 14 и следствия 2.21.
Некоторое усовершенствование рассуждений, использованных
в доказательстве теоремы 14, приводит к расширению этого
результата.
16. Теорема. Пусть т = — (dldt) р (t) (dldt) + q(t) — действи-
тельный формально самосопряженный дифференциальный опера-
тор, определенный на интервале 1 — {а, оо). Пусть p(t)>0
для t£l. Предположим, что существует положительная непре-
рывно дифференцируемая функция М, определенная на I, такая, что
(а) функция (р М'(t) (М (t))~3^ ограничена сверху,
оо
(b) j (p(t)M оо;
а
(с) функция q (t)[M ограничена снизу.
Тогда т не имеет граничных значений в бесконечности, т. е.
индексы дефекта оператора т равны (1, 1).
Доказательство. Как и в теореме 14, достаточно показать, что
не всякое действительное решение уравнения тсг = О принадлежит
L2(I). Мы будем вести рассуждения от противного.
Пусть fi — действительное решение уравнения то = 0, удовле-
творяющее граничному условию Д (а) = 0, Д (а) = 1, a f2 — дей-
ствительное решение уравнения то = 0, удовлетворяющее гранич-
ному условию f2(a) = Ир (a), f'2(a) = 0.
Тогда, интегрируя по частям, мы получаем
8
0 = W1 (/) wrdt = р (s) (s))_1 (/*(s))'+
а
s s
+ $ Р (П (fl (t))2 (М (О)-1 dt+^q (0 (М (О)-1 (fi (t))2 dt -
а а
8
6. Качественная теория индекса дефекта
573
Пусть — ki (kt > 0) есть нижняя граница для q (t) (М (О)-1,
a k2>0 — верхняя граница для (p(t))1/sM'(t)(M(t))~3^. Тогда
мы имеем
8
0 > —1 р (s) (М ($))-1 (Л (s))' - kt J (ft (О)2 dt -
а
8 8
-k2 J (р (t))1^ (М (t))-^ I /; (t) ft (t) \dt-+^p(t) (M (/))-! (/;(0)®dt.
a a
Далее, так как Д принадлежит Л2(/), производная (/i(s))z
не может быть положительной для всех достаточно больших s,
поэтому существует последовательность {sn}, стремящаяся к оо,
такая, что <0 для всех п. Таким образом, применяя
неравенство Шварца к третьему члену предыдущей формулы,
мы находим, что
ОО Sn оо
kt\ (ft(t))2dt + k2{^p(t)(M(t)^(f;(t)rdty/2 (ЛЮ)2^}1/г>
а а а
sn
>\p(t)(M(t))-i(f’(t№dt.
а
Отсюда при п —> оо получаем
оо
J p(t) (M^-^f^t^dt^co.
а
Таким же способом можно показать, что
оо
Jp(0(M(0)-i(/;(0)mz<to.
а
Мы имеем
р(о (/;(о/2(о—л(ол(О)=1,
поскольку это очевидно для t = а, и ясно, что производная левой
части этого равенства равна нулю. Таким образом,
{(Р (0)V2 (М (t))-^f’ (t)} f2 (t)-{(p (0)V2 (M (t))-^f' (t)} ft (t) =
= {p(t)M(t)}-4*.
Поскольку в левой части выражения в фигурных скобках,
а также функции ft, f2 принадлежат L2(/), отсюда следует,
что (p(t) М (/))_1/sCLt(I). Но это противоречит предположе-
нию (Ь).
574
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
17. Следствие. Пусть т — — (dldt)2 4- q (/) — действительный
формально самосопряженный дифференциальный оператор, опре-
деленный на интервале 1~[а, оо). Пусть функция t~2q(t) огра-
ничена снизу в окрестности точки оо. Тогда т не имеет гра-
ничных значений в бесконечности.
Доказательство. Чтобы доказать следствие, достаточно в тео-
реме 16 положить 7И(/) = /2.
Замечание. Множитель t~2 в предыдущей теореме можно
заменить множителем (/log/)"2 или (/log/log log/)"2 и т. д.
Теорема 16 и следствие 17 имеют «двусторонние» следствия,
аналогичные следствию 15; мы оставляем формулировку этих
следствий читателю.
Теоремы, доказанные выше, охватывают случаи, когда q(t)
ограничена снизу в бесконечности, а также некоторые случаи,
когда q(t) стремится к — оо при /—>оо, но не «слишком быстро».
Теперь мы приведем теорему, которая показывает, что происхо-
дит, когда q(t) стремится к — оо быстро.
18. Лемма. Пусть q — интегрируемая функция в интервале
вида (а, Ь) (— со < /?< оо). Тогда уравнение
Г(О+/(О + 9(О/(О-о
имеет два решения, которые в окрестности точки b предста-
вляются в виде
е^ + о(1) и e~iz + o(l).
Доказательство. Пусть число х выбрано таким большим, что
ь
4 q (J) | dt < 1.
X
Рассмотрим В-пространство СВ [х, Ь) всех ограниченных непре-
рывных функций, определенных на [х, Ь), с нормой |/|= sup |/(/)|.
x<it <b
В этом пространстве рассмотрим следующее линейное преобра-
зование:
ъ
(Mf) (/) = sin (s — /) q (s) f (s) ds.
t
b
Так как I (TH/) (/) |<|/| \ q(s)\ds, то мы имеем Более
t
того, (Л4/) (/) —o(l) при / —>b для каждой функции f^CB{x,b).
По лемме VII.3.4 отображение имеет обратное, так что,
6. Качественная теория индекса дефекта
575
в частности, уравнение
ь
= f(t) + (Mf) (t) sin (s — t) q (s) f (s) ds
t
имеет единственное решение f из CB[x, b). Так как (Mf) (^) = о(1),
то очевидно, что f(t) = еи + о(1) при t~~>оо. Дифференцируя
предыдущее уравнение, мы находим, что
ъ
± iе±и = f' (t) — cos (s — t) q (s) f (s) ds,
t
ъ
~ e±it - f" (t) + q(t)f(t)-^ sin (s -1) q (s) f (s) ds,
t
откуда
/"(0+9(0/(0 + /(0 = 0,
ч. T. Д.
19. Следствие. Предположим, что функция b(-) такова, что
ъ
J \2b'(t) + (b(t))2\dt<:o3 ( —оо<а<6<оо).
а
Тогда уравнение
имеет в окрестности точки b два решения соответственно вида
t
/(/) = егг [ехр(--^-(s) ds)] (1+о(1)),
а
i
= [ехр(--|- jj b(s) ds)](l+o(l)).
a
Доказательство. Пусть / — решение данного уравнения. Напи-
шем / в виде
t
= J 6(s)ds) .
576
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Тогда
t
Г (0= [ехр(—J ^(s)ds)] (V (t)—,
а
t
f" (0 = [ exp ( —J b (s) ds) ] (g" (t) — b(t) g' (/) -
a
-ib'(t)g(t)+^b^t)g(t)y
Таким образом, g удовлетворяет дифференциальному урав-
нению
g” (/) - (1 ь’ (t) +1 &2 (o) g (t)+g(t) = o,
и наше заключение непосредственно следует из предыдущей
леммы.
20. Теорема. Пусть т = — (dldt)p(t){dldt) — q{t) —формальный
дифференциальный оператор второго порядка, определенный
на интервале [а,Ь) (a<zb^co). Допустим, что
(a)p(t)>0 и q(t)>0 для t, достаточно близких к Ь;
ъ
fb) иг Т| 1 {[?(0р(0П2Ъ/<оэ
• j IL (<; (0)3/2 (р (о)1/а -I 4 (р (о)3/2 (? (0)5/21
Тогда
ь
(а) если | р (/) г/(/) | ~1/з rf/ = оо для всех х, то т не имеет
X
граничных значений в точке &;
(Ь) если для достаточно больших х
ь
|р(0?(0 |_1/2d/<oo,
X
то х имеет два граничных значения в точке Ь.
Доказательство. Применяя следствие 2.21, мы можем перейти
без существенных изменений от интервала [а, Ь) к любому интер-
валу [х, Ь), где х>а. Таким образом, мы можем допустить,
не уменьшая общности, что р(/)>0и ^(/)>0 для t£[a, оо).
В этом случае положим
t
6. Качественная теория индекса дефекта 577
так что s'(/) = (<? (0)1/2 (Р (0)-1/2- Напишем решение f уравнения
т/ = 0 в виде f (/) = g Тогда
(P (t) f (t))' = g" (s (/)) q (/) + ((<7 (0 P (t))1'*)' g' (s (/)).
Таким образом, g удовлетворяет уравнению
[*] g" (s) + в (s) g' (s) + g (s) = 0,
где
В (s (/)) = b(f) = (q (/))-! [(p (/) q (0)V2]' =
= 4 (P (0)-1/2(<7 (0)_3/2 (p (0 <7 (0)'-
Отображение переводит интервал [a, b) в интервал [0, с),
где
С= J (<7W)1/2(P(0)_1/2^.
а
В силу равенства
В' (S) _ (S- (/))-{.- (/) _ 1 [(, (/))->/= (р (/))/) [ -^^г. ]'
отсюда следует, что
J |2В' (s)4-(B(s))2|ds =
о
J |2(s'(0)-1&'(/)+ =^{p{t))-^q^{{p(t}q{t)YY\S'(t)dt =
а
= $ 12&'(0 + 4-1(9 (О)1'2 (Р (0)-1/21 [(р (0Г(<7 (0)-31{(р(0<7(0)'}2 \dt =
а
= J 12b'(t) + 4 [(р (/))-3'Ч<7 (0)-5/21 {(Р (0 q (О)'}21 dt < ОЭ.
а
Таким образом, по предположению уравнение [*] удовлетворяет
условиям предыдущего следствия. Отсюда следует, что уравне-
37 Заказ № 134
578 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
ние тсг^О имеет два решения вида
s(O
л (t) =-- (р (a) q (а))-1/^^ ехР ( ~ 4Д в (s) ds) (1 + о (1)) =
о
_1 ZIP - —- \
= (р (а) <7 (a)) M'Wexp^—6 (0 (<7 (О)2 (Р (0) 2dt )(1 + о (1)) =
а
t
= (Р (а) q (а))-1/4 eis(i) exp — -L J (р (t) q (0)~1/з X
а
Х((Р (i)<7(0)1/2)'^)(l+o(l)) =
= (Р («) Я (a))-1/4eHOexp( — 1 log (р (х) q (х))1''® | ^а ) <1 + 0 (1)) =
= eis(() (р(09(0)-1/4(1+о(П)
и
/2(/) = e--(O(p(/)<7(/))-V4(l+o(l))
в окрестности точки t^~b. Если
ъ
$ (р (0 q (0)~1/2 dt = со,
а
то ни одно из этих решений не принадлежит L2[a, b). Тогда,
согласно следствию 2.14, индексы дефекта оператора т равны
между собой, а в силу следствия 2.23 и теоремы 11 они не могут
равняться (0, 0) или (2, 2). Поэтому они равны (1, 1). Так как
имеются два граничных значения в точке а, то, как показывает
лемма XII.4.21, в точке b граничных значений нет.
ь
Если (р(Об7(О)~1/2< °°, т0 °ба решения Д и Д принадле-
а
жат Ь2[а, Ь). Кроме того, они линейно независимы. В самом
деле, если Д== cf2, то функция e2is('\ а поэтому'и s(-), постоянна
в окрестности точки b и, следовательно,
S' (0 = (<?(0)1/2(р(0)-1/2 = 0>
что противоречит предположению. Согласно теоремам 11 и 2.19
и лемме XII.4.22, отсюда следует, что рассматриваемый оператор
имеет два граничных значения в точке 6, ч. т. д.
21. Следствие. В предположениях доказанной теоремы имеем:
ъ
(а) если \ {р (/) q (0}“1/2 dt < со для некоторого достаточно
6, Качественная теория индекса дефекта
579
большого значения х, то спектр каждого самосопряженного рас-
ширения Т оператора т состоит исключительно из изолирован-
ных точек;
ь
(Ь) если {/?(/) q (0}"1/2& = °0 для каждого значения х>а
X
и q монотонно возрастает, то спектр каждого самосопряжен-
ного расширения Т оператора TQ(x) всюду непрерывен и запол-
няет всю действительную ось.
Доказательство, (а) Мы будем использовать обозначения пре-
дыдущей теоремы и ее доказательства. Снова, не уменьшая
общности, мы можем допустить, что р и q положительны; в слу-
чае (а) по теореме 11 индексы дефекта равны (2, 2). Поэтому
утверждение вытекает из следствия 12.
(Ь) В ходе доказательства предыдущей теоремы было показано,
что в некоторой окрестности точки b уравнение т/ = 0 имеет
решения вида
И
/2(0 = e-^){p(09(0}-1/j(l+o(l)),
где
t
5(0= $
а
Таким образом, уравнение имеет решения вида
4г <9= <sin s W (0 (0}-1/4 0 + 0 0))
и
{cos S (/)} {р (О q (0}'1/4 (1 + о (1)).
Следовательно, любое ненулевое действительное решение урав-
нения т/ = 0 имеет вид
(*] ^sin(s(0 + ^){p(0<7(0}-1/4(l +о(1)), ^+=0.
Теперь предположим, что
ъ
5 (р(0<7(0)~1/г^= оо.
а
Мы докажем, что ни одна функция вида [*] не может принад-
лежать L2[a, b). Пусть это не так. Тогда для некоторого постоян-
37*
580
Гл., XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
ного k
ъ
sin2 (s (t) -j- k) (p(t)q (0)~1/2 dt <z co.
a
Выполняя ту же замену переменных, что и в доказательстве
предыдущей теоремы, мы получаем
с
j sin2 (s (0 + k) [р (t (s)) q (t (S))]-V2 [q (S))]-V2 [p (/ (s))]i/2 ds =
0
c
= sin2 (s + k) (q (s))"1 ds < co,
о
где функция t (s) определяется соотношением t(s = Поскольку
/(•) и q(-) монотонно возрастают, мы имеем
cos2 (s + k) [q(t (s))]-1ds — sin2 (s + k — [q(t (s))]”1 ds<
n/2 Jt/2
sin2(s4-£—0 [<?(/ (s—
jr/2
C sin2 (s + k) [7 (t (s))]"1 ds < 00.
0
Поэтому
b %
5 lp (О Я (01“1/2 dt ==-- $ 1я V (s))Г1 ds =
a 0
jr/2 c
= [q (t (s))]'1 ds + [sin2(s + &) + cos2(s4-fe)J[<7(/(s))r1ds< 00,
0 я/2
что противоречит предположению.
Отсюда следует, что уравнение т/ = 0 не имеет ни одного
решения из L2[^, b). Таким образом, 0 не принадлежит точечному
спектру симметрического расширения Т оператора Т0(т). Далее,
согласно следствию 8, О£сте(т). Поэтому в силу следствия 3
и теоремы 5 0 g о (Т). Из теоремы XII.2.6 и следствия XII.2.7
легко получаем, что Е ({0}; Т) = 0, и поэтому множество Т£) (Т)
всюду плотно. Таким образом, X принадлежит непрерывному
спектру оператора Т. Так как для каждого действительного X
функция </(/)4-Х удовлетворяет тем же условиям, что и q(t),
6. Качественная теория индекса дефекта
581
то каждое действительное число X принадлежит непрерывному
спектру оператора Т, ч. т. д.
Частный случай р=1 теоремы 20 приводит-к следующему
утверждению.
22. Следствие. Пусть дифференциальный оператор второго
порядка
т=-(4У~9(о
задан на интервале вида [а, Ь), где a<cb^co. Допустим, что
(а) функция q(f) положительна для t, достаточно близ-
ких к Ь;
(Ь) для х, достаточно близких к Ь,
ь
c|rjmL~]-+ п»«»т|д<„.
J I I й И)j « (,(/))•'
Тогда
(а) если для всех х
ь
X
то т не имеет граничных значений в точке Ь;
(Ь) если для х, достаточно длизких к Ь,
ь
J | q (0 j-1^ dt < 00,
X
то т имеет два граничных значения в точке Ь.
В доказанных до сих пор теоремах рассматривался вопрос
о существовании граничных значений дифференциального опера-
тора т в интервале вида [а, Ь), где b конечно или бесконечно.
В следующей системе теорем рассматриваются случаи, когда
интервал имеет вид (а, Ь], где а конечно. Не уменьшая общности,
можно предполагать, чтоя^О.
23. Теорема. Пусть
t=-G5-)+?w
— действительный самосопряженный формальный дифферен-
циальный оператор второго порядка, определенный на интервале
1 = (0, Ь]. Тогда
(а) если lim t2q (/) > 3/4, то т не имеет граничных значений
ТЙГ
582
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
в нуле-,
(Ь) если lim | t2q (Г) | < 3/4, то г имеет два граничных значе-
ния в нуле.
Доказательство, (а) Применяя следствие 2.21, мы можем без
каких-либо существенных изменений перейти к рассмотрению
любого интервала (О, 0 < < Ь. Поэтому мы можем, не умень-
шая общности, предполагать, что <?(/)> (3/4) Г2 для t£l. Пусть
f — единственное решение уравнения то = 0, удовлетворяющее
граничным условиям /(&) = 0, /'(&)=—2, а Д —единственное
решение уравнения
[*] сг"~-(3/4) Г2сг = О,
удовлетворяющее граничным условиям Д (Ь) = 0, Д (Ь) = — 1.
Общее решение уравнения [*] имеет вид
ст (Д = at-^ + btV*.
Поэтому
/1 (о=4“ (/>з/2/_1/2 - 6-i/2^3/s)
и, следовательно, Д не интегрируема в квадрате в (0, 6]. Далее
мы докажем, что функция Д положительна и /(Д>Д(Д для
всех t из интервала (0, &), так что f не интегрируема в квадра-
те в (0, Ь). Тогда утверждение (а) будет следовать из тео-
ремы 11 и того факта, что, поскольку, согласно следствию 2.14,
индексы дефекта оператора т равны между собой, то в силу
леммы XII.4.21 в нуле имеется четное число граничных значений.
Функция Д положительна в интервале (0, Ь). В самом деле,
допустим, что она имеет второй нуль в точке с. Тогда, интегри-
руя по частям, мы находим, что
ъ
°=$ [-Л'(О + 4Г2А(О]Л(О^ =
с
b
= - [/; (о a (de +${[/; (0i2+4r2 tf* w!2}dt > °-
с
и тем самым приходим к противоречию.
Граничные условия, наложенные на f и Д, показывают, что
1'1 А(0>/'(0, /(0>А(0,
в интервале вида (с0, 6), где 0<с0<6. Доказательство будет
завершено, если мы покажем, что с0 = 0. Пусть с0 — наибольшее
число, для которого неравенства ['] неверны в интервале [с0, Ь).
6. Качественная теория индекса дефекта
583
Если со=И=О, то либ° Л(со) = / (Со), либо (с0) = /' (с0). Далее
b ь
/; (Со) = - 1 - J к (s) ds = - 1 - J 4 s-71 (8) dS >
СО Со
b b
> — 1 — 4 s-2/ (s) ds > — 1 — q(s) f (s) ds —
Co co
= - 1 - J f" (s) ds = 1 + Г (Co) > f (Co),
Co
т. e. Д (c0) >f (c0). Поэтому обязательно f (c0) = fi(c0). Но это
невозможно, потому что
b b
f (Co) = - J f (0 di > - /; (/) dt=л (Co).
Co Co
Отсюда мы заключаем, что со = О и /(0>/i(0 на всем интер-
вале (О, Ь). Тдк как Д положительна и не интегрируема в квад-
рате, то и f не может быть квадратично интегрируемой.
(Ь) В силу теоремы 11 достаточно показать, что каждое
решение уравнения тсг = О интегрируемо в квадрате. Пусть / — дей-
ствительное решение этого уравнения. Пусть /2 — решение уравнения
[**] о" —/гГ2сг = 0 (0<А!<4).
Пусть /2 подчиняется граничным условиям
/2(Ь) = |/(Ь)|+1;
Каждое решение уравнения [**] имеет вид где
1 /1 . , VA 1
61 - 2 С 4^k) > 2
И
с2 = -у + /2>0-
Поэтому /2 интегрируема в квадрате. Очевидно, что /2 —поло-
жительная выпуклая вверх функция.
Снова, не уменьшая общности, мы можем предполагать, что
для некоторого постоянного числа k, 0<fe<3/4,
Из граничных условий следует, что /2 (/)*>[/ (/) | и /' (/) <
< —|/' (/) I для t в окрестности точки Ь. Пусть с —наименьшее
действительное число из интервала (0, 6), такое, что эти два
584
Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
неравенства справедливы на всем интервале (с, &]. Тогда
ь ь
-if 0)1-1-$ rAt)dt= -if 0)i-i -\knf2(t)dt<
с с
<-|/' 0)1-1-$\q (t) f (t)\dt —
С
Ъ
= -I f (b)I-1 - У"(0dt = -If 0) 1-1 -IГ (b)-r 0) I<
<-lf0)l-
Поэтому /20) = | f 0)|- Но это невозможно, потому что
ь ь
/20) = |/0)l+l-$f(Od/>|/0)| + l+ J If (t)\dt>
с с
>1/(&)1+1 + |$Г(0^| =
= 1/0)|+1+|/(^)-/0)1>|/0)|-
Предыдущая теорема охватывает большинство случаев, когда
функция q положительна, а также некоторые случаи, когда
<?(/)—»—оо при /—>0, но не «слишком быстро». Следующий
результат охватывает большинство случаев, когда <?(/)—» —оо
довольно быстро.
24. Теорема. Пусть — (d/dt)2-\-q(t) — действительный само-
сопряженный формальный дифференциальный оператор второго
порядка, определенный на интервале I =Д0. Ь]. Тогда, если q(t)
монотонно возрастает, то т имеет два граничных значения
в нуле.
Доказательству предшествуют три леммы.
25. Лемма. Пусть в замкнутом интервале [а. Ь] функции Д
и /2 удовлетворяют уравнениям j\ = —q±f± и — q2f2- Допу-
стим. что
(а) Д(/)>0 для a^t^b.
(b) (0 > q2 (Д > 0 для a^t^b.
(с) Д (а) = Д(а),
(Ф Ш = Г^а).
Тогда Д(Д<Д(Д для a^t^b.
6. Качественная теория индекса дефекта
585
Доказательство. Сначала предположим, что qx(t)> q2(t')^Q
для a^t^b.
(а) Мы имеем /Д/ХДЮ для /, достаточно близких к точке
а (но не совпадающих с ней). Действительно,
Гг («) = -<71 («) А («) < -<72 (а) /2 (а) = А («),
т. е. для А достаточно близких к точке а,
А(П~А(д) </г(0-/2(а)
t — а t—а
и поэтому /1(0^/2 (0- Так как /4 (я) = /2 (я), то отсюда, очевидно,
следует, что Л(0</2(0-
(Ь) Пусть с —самая далекая от а точка, такая, что для
мы имеем /ДО^МО- Таким образом, для t>c и /,
достаточно близких к с, /1(0>/г(0» т- е- график функции Д
пересекает график функции /2 в точке с. Поэтому /' (с) >/' (с).
Интегрируя по частям, находим, что
с
0=5 О)+<72(0А(Ш(0^=
а
с
= $ [/2(/)А(0+<72(/)А(/)А(0]^ + [А(0А(0-Л(0/2(0]: =
а
с
= $ А (0 А (0 [<72 (0 -<71 (/)] dt + А (С) [А (с) - а (с)] < 0,
а
ибо Д (/) /2 (/) > 0 и q2 (t) — <7i (/) < 0 в первом слагаемом
и — К (с) СО и /1 (с) > 0 во втором слагаемом. Это противо-
речие устанавливает лемму в частном случае, когда qi (/) >
>?г(0>0 для Общий случай, когда ?1(/)>?г(0>0
для a^t^b, выводится из рассмотренного при помощи очевид-
ного предельного перехода; мы предоставляем читателю провести
рассуждение во всех деталях.
26. Следствие. Пусть q — непрерывная отрицательная моно-
тонно убывающая функция в конечном интервале [а, Ь). Тогда
каждое действительное решение f уравнения f" = qf равномерно
ограничено.
Доказательство. Следует рассмотреть только те решения,
которые не обращаются тождественно в нуль. Возникают два
случая: либо / имеет конечное число нулей в интервале [а, Ь),
586
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
либо f имеет в нем бесконечное число нулей. В первом случае
мы можем без ограничения общности считать, что f не имеет
нулей в [а, Ь), поэтому можно предполагать, снова не уменьшая
общности, что f положительна в [а, Ь). Так как q отрицательна,
то f выпукла вниз в [а, Ь). Таким образом, если ^ — линейная
функция, определенная соотношением g (t) = f (а) + f' (a) (t — a),
то g>f, откуда ограниченность f очевидна.
Теперь предположим, что f имеет бесконечное число нулей
в [а, Ь). Если с —точка накопления множества нулей и
то f (с) = f (с) = 0, откуда следует, что = O для всех t.
Таким образом, следует рассматривать только случай, когда /
имеет бесконечно возрастающую последовательность sb s2, • • •
нулей в [а, Ь). Если /(/)>0 между и то f выпукла
вверх между Si и si+1, поэтому f имеет единственный максимум
в некоторой точке t=-mi между и «ж- Более того, поскольку
f не равняется тождественно нулю, /'($ж)=^=0. Так как /(/)>0
для то значение /'($г+2) отрицательно. Таким обра-
зом, функция f отрицательна между $ж и s^+2, положительна
между $г+2 и $i+3 и т. д. Очевидно, f имеет единственный мини-
мум между si+1 и $г-+2, единственный максимум f (mi+2)
между Si+2 и и т. д. Мы покажем, что |/(m,) I > I/(тж) | >
> I f (mi+2) | > . •.. Тем самым будет установлен требуемый
результат.
На интервале [$ж, mi+i] рассмотрим две функции — f(t)
и = + f(2sM — /). Мы имеем ( — f)" = q( — f), f[ = qif, где
Qi (t) = Я (2$ш — t)^q (/), поскольку q монотонно убывает. По пре-
дыдущей лемме — f (/) < fi (/) в [лж, тм]. В частности,
— f [ f I < fi (^ж). Так как 0 < — f (/) С Д (/) =
= f(2si+i — t) для t £ [$ж, #^+11, то ни одна из точек 2$ж~ t
не может лежать в интервале [sH, sd (где функция f (/) отрица-
тельна). Поэтому 2si+i — mi+i Е [Sf, $жЬ так что /1(^+1) =
= f(2sf+1 —/ПжХ/(^), ч. т. д.
27. Следствие. Пусть q —непрерывная отрицательная моно-
тонно возрастающая функция на конечном интервале (а, Ь].
Тогда каждое действительное решение f уравнения f" =-~ qf рав-
номерно ограничено.
Доказательство. Чтобы доказать это следствие, достаточно
сделать замену переменной t —> —t в предыдущем следствии.
Доказательство теоремы 24. Если функция q из теоремы 24
неотрицательна для значений /, достаточно близких к нулю, то
она ограничена, и требуемый результат следует из теоремы 23.
Если q отрицательна для /, достаточно близких к нулю, то пре-
дыдущее следствие приводит к требуемому результату.
6. Качественная теория индекса дефекта
587
Теперь мы хотим доказать один результат об индексах дефекта
некоторого дифференциального оператора порядка п, подобный
теоремам, приведенным выше, но не столь глубокий.
28. Теорема. Пусть заданы два формально самосопряженных
дифференциальных оператора т и т', причем порядок последнего
не больше, чем порядок первого. Допустим, что
(a)
(Ь) если А—любое ограниченное подмножество из £)(7\(т)),
рассматриваемое как подмножество пространства Sq, то суже-
ние оператора ТДх') на А является непрерывным отображением
множества А в <&.
Тогда, в предположении, что т + т' имеет ненулевой старший
коэффициент.
(А) гильбертовы пространства £> (Л (т + т')) и £) (Т\ (т))
состоят из одних и тех же элементов и имеют эквивалентные
топологии',
(В) дифференциальные операторы т и т' имеют равные индексы
дефекта.
Доказательство. Сначала докажем утверждение (А). Пусть f
принадлежит области определения оператора Л(т). Тогда,
согласно предположению (a), f принадлежит области определе-
ния оператора ТДт'), т. е. обе функции xf и x'f интегрируемы
в квадрате. Поэтому (? + ?')/ тоже интегрируема в квадрате
и, таким образом, £>(Ti (т)) Э(7\ (тЦ-т')).
Остальная часть доказательства разбивается на следующие шаги.
(а') Топология гильбертова пространства ©(ТДт)) эквива-
лентна индуцированной топологии этого пространства, рассмат-
риваемого как подпространство гильбертова пространства
©(?! (Т + Т')).
Действительно, пусть {fn} — последовательность из ©(ТДт)).
Предположим, что {fn} сходится к нулю в топологии простран-
ства ©(ГДт)). Тогда по предположению (b) {fn} сходится к нулю
в топологии пространства © (7\ (т 4-т')). Обратно, пусть {fn}
сходится к нулю в топологии пространства ©(Т^ (т~гт')), т. е.
[*] |/п! + |Л(т+т')М-»о.
Если последовательность {/п} не ограничена в ©(7\(т)), то
существует подпоследовательность {fn.}, такая, что ЛПг =
= f«./| Т1 (т) fn. | сходится к нулю в £ и ограничена в ©(ТДт)).
По условию (Ь) отсюда следует, что Tj(T:')hn сходится к нулю
в JQ. Однако соотношение [*] показывает, что | 7\ (т + т')/гп. >0;
588
Гл, XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
следовательно,
1 = | Л (т)Ц|<|Л(т + т')Лп.| + |Л (т')Щ->0,
и мы пришли к противоречию. Итак, последовательность {fn}
ограничена в ©(Т) и, согласно [*], сходится к нулю в
Из условия (Ь) следует, что 7\ (т') fn 0. Следовательно,
в силу [*],
I Л (т) fn | < I Л (т + т') fn I-+1 Л (т') fn\ -+ 0,
что и требовалось доказать
(Ь') ©(То(т)) = ©(То(т + т')).
Пусть г££>(Т0(т)) и (ср. с леммой XII.4.5(c)) гп^©(Т0(т)),
причем zn —> z в топологии пространства ©(7\(т)). По определе-
нию 2.8 £>('Го(т)) = £)(То(т4-т')). Таким образом, согласно (а'),
zn —» z в топологии пространства © (7\ (т + т')) э © (Л (т)), так
что z^©(T0(t + 't')). Обратно, пусть z£©(T0(t-}-t')) и
2п€®(^о('т + ^/)), причем zn —> z в топологии пространства
© (Л (т + т')). Тогда lim (zm — zn) = 0 в топологии пространства
т, п->оо
© (7\ (т + т')), так что, согласно (a), {zn} —фундаментальная
последовательность в (полном) гильбертовом пространстве
©(7\(т)). Поэтому она сходится к некоторому элементу Zoo
из ©(Т1(т)), и ясно, что Zoo С© (Го (т)). С другой стороны, из (а)
следует, что z^^z; Таким образом, утверждение (Ь') доказано.
(с') Пусть ©+, ©--—дефектные пространства оператора
Т0(т), а ©*, ©1 —дефектные пространства оператора То (? + ?')•
Тогда
dim ©+ > dim ©^; dim ©_ > dim ©1,
где dim X обозначает размерность (конечномерного) подпростран-
ства X гильбертова пространства.
Ради определенности предположим, что первое из этих нера-
венств неверно. Чтобы упростить обозначения, положим ©0 =
= ©(Т0(т)) = ©(Т0(т + т')). Тогда по теореме XII.4.19 и нашему
предположению
dim {(Л (т + т') - U) (©о + ©+)}1 > dim {(Л (т + т') - Л/) ©о}3- -
— dim {(Т! (т + т') — XI) ©+} > dim ©+ — dim ©+ > 0
для любого %, такого, что 1тХ<0. Следовательно, для всех
таких % множество (Ti (т + т') — %/)(©0 + ©+) не является всюду
плотным в Л2. Мы получим противоречие, если покажем, что
множество (7\ (т4-т')4-ш7) (©о 4-©+) всюду плотно в Л2 для
6. Качественная теория индекса дефекта
589
достаточно больших п. Во-первых, заметим, что
| (Tj (т) + ц1/) (do + d+) I2 > И21 ^о 4 d+12 +
+ (T (t) (d0 4- d+), pd (do+ d+)) + (нг (do 4~d+), Т\ (г) (d0 + d+)) =
= И21 do + d+12 4- (id+, pi (d04-d+))4-((Ald+, 7\ (г) (do 4~ d+)) =
= p21d04-d+124-Ц(d+, d04-d+) — p.(d+, d0) 4-HI d+12 >
Ц21 do 4- d+12, doC®o, d+£jD+,
для положительных p.. Таким образом,
['] I (Л (г) 4- p,iZ) x | > p | x I, xgS04-®+, P>0.
Пусть S —сужение оператора Л (г) на ©04-®+- По лемме XII.4.11
5 — замкнутый оператор. Поэтому из ['] следует, что
["] |(S4-pi/)x|>p|x|, х£®(5), р>0.
Кроме того, для каждого р > 0 область значений оператора
S-f-pjf замкнута. Действительно, если z = lim (S4~pi/)xn, то
lim | (S 4~P*/) (xm — xn) | = 0; поэтому, согласно ["], {xn} —фун-
ТП, n->oo
даментальная последовательность. Если х — ее предел, то, посколь-
ку оператор S замкнут, очевидно, что х^Ф(5) и (S + |ы/7)x = z.
Пусть yC((S4-i/)S)(S))±. Тогда у €((Т0(т)4- i/jSo)1', следо-
вательно, по определению XIL4.9 у £ Однако, поскольку
(S + //) Ф (S) (S + И) Ф+ = ф+, мы имеем у Q фф. Следовательно,
# = 0. Это показывает, что множество (5 + //)ф(5) всюду плотно;
будучи замкнутым, оно должно совпадать со всем гильбертовым
пространством. Таким образом, из ["] следует, что — i принад-
лежит резольвентному множеству оператора S. Пусть р0 — наи-
большее действительное число, такое, что весь интервал
[ —— |М) отрицательной части мнимой оси принадлежит резоль-
вентному множеству оператора S. Так как по лемме XII.1.3 это
резольвентное множество открыто, то р0 ему не принадлежит.
Пусть Цо<°°, и пусть {рп}— последовательность действительных
чисел, сходящаяся к ц0 снизу. Согласно ["], |7?( —pnr, S^Cpn1.
Из леммы XII. 1.3 следует, что {7?( — S)} —фундаментальная
последовательность в равномерной операторной топологии. Пусть
R — предел этой последовательности. Тогда, поскольку
lim (S + ik0iI)R ( — iini; S)x = lim (%+ (Цо — Нп)R(~№ S)x)=x
fl->oo n—>oo
и оператор S замкнут, мы имеем RxQ^(S) и (S + jx0ZZ) Rx = x.
Это показывает, что множество (S + Но*/) ® (S) совпадает co
всем гильбертовым пространством, так что Цо/ принадлежит
резольвентному множеству оператора S вопреки предположению.
590 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Отсюда мы заключаем, что для каждого п 1 оператор
(S + nil) имеет обратный Rn, норма которого, согласно ["], не
превосходит п1. Так как — m’CQ(S), то по предположению (а)
Rn отображает Л2 на ®о + ®+ — ® Ti (т)) — ® (Л (т'))-
Теперь мы докажем, что всюду опеделенный оператор Т\ (т')
ограничен и что для достаточно больших п мы имеем | Т\ (т') Rn | <
< 1. Действительно, если это не так, то существует 8 > 0 и после-
довательность таких элементов /п, что |/п| = 1 и ] 7*1 (т') Rn | > 8.
Положим gn = Rnfn. Тогда |£п|—>0, поскольку \nRn\^l. Более
того, Т! (т) gn = fn — nRnfni и так как | nRn |< 1, то норма | 7\ (т)gn |
ограничена. Из условия (Ь) следует, что | ТА (т') gn | —> 0. Это
противоречие доказывает наше утверждение.
Следовательно, существует такое n > 1, что | ТА (т') Rn | < 1.
Пусть х — произвольный элемент гильбертова пространства. Тогда
(WW-M’D 2 (-1)'4Рп(Л(т')Рп)йх =
k=0
= (/ + (-1)™(Л b')Rn)m+1)x.
Итак, поскольку Rn отображает L2 на Фо + Ф)+, множество
(S 4- Тх (т') + nil) © (S) всюду плотно в гильбертовом простран-
стве. Это доказывает (с').
Теперь мы закончим доказательство следующим образом. По
лемме XII.4.10 гильбертовы пространства ©(7\(т)) и ©(7\(т4-т'))
разлагаются в следующие ортогональные прямые суммы:
г] ф(г1(т))=©0©ф+@©-; © (л (т+т'))=£>о ©£>;©©:.
Пусть Р —ортогональный проектор пространства © (7\ (т + т')) на
©+@©\ Так как, согласно (с'),
dim ©+ © ©_> dim ©^ © Ф1,
то либо Р (©+ © ©_) = ©+ © ©1, либо должен существовать нену-
левой элемент у из ф+©ф_, такой, что Ру = 0. Но тогда мы
имели бы у С Фо, что невозможно, согласно первому равенству
из Таким образом, Р (ф)+© ф_) э Ф+© Ф1- Отсюда следует,
что Фо © Ф+ © Ф- з Ф+ © Ф1, и поэтому ©0 © ©+ © ©_ э ©0 ©
©©;©©:, Т. е. ©(7\ (т)) э © (7^ (т-|-т')).
Таким образом, утверждение (А) доказано.
Последнее рассуждение также показывает, что неравенство
dim ©+©©_> dim ©^ © ©1
невозможно. Следовательно,
dim ©+ + dim ©_ = dim ©^-|- dim ©\
6. Качественная теория индекса дефекта
591
Так как в силу (с') dim£±>dim£±, отсюда вытекает, что
dim — dim и это доказывает утверждение (В).
29. Следствие. В условиях и в обозначениях предыдущей тео-
ремы каждое граничное значение для т является граничным
значением для т + и обратно.
Утверждение вытекает непосредственно из предыдущей тео-
ремы и определения 2.17 граничного значения.
30. Следствие. Пусть т — формальный дифференциальный опе-
ратор, a q —ограниченная функция. Тогда
(а) ©(Л(т)) = ©(Т1(т + ?));
(Ь) т и тЦ-9 имеют одинаковые индексы дефекта',
(с) каждое граничите значение для т является граничным
значением для x-\-q.
31. Лемма. Пусть f(t) —функция класса С°°, определенная на
конечном или бесконечном интервале [а, Ь). Пусть {tn} — возра-
стающая последовательность точек из [а, Ь), сходящаяся к Ь.
Пусть \ki(n)= max | /(г) (s)!. Тогда если lim (р0 (^)/Ц1 (я)) = 0, то
a^s^tn п->оо
lim (|х,- (n)) — 0 для всех j.
n—>oo
Доказательство. Если рассматриваемая функция тождественно
равна нулю, то утверждение тривиально. Если f не есть тожде-
ственный нуль, то ясно, что Pi (и)—>оо. Для данного 8>0
выберем п таким большим, что
1*1 ц0(п)<^щ(п).
Пусть s0 —точка из [а, такая, что щ (п) = | f' (s0) |. Мы дока-
жем, что существует точка Si из [s0— (е/4), s0], такая, что
[**]
Мы можем предположить, не уменьшая общности, что значение
/'($о) положительно. Если неравенство [**] не выполняется, то мы
имеем
Re/'(s) > у f (s0), $о —y<s<$0,
и после интегрирования
| Re f (so) - Re f (s0 -| > | f' (s0).
Следовательно, либо |Ref(s0)|, либо | Re f (s0 — s/4) | не меньше,
чем (&/16) f' (s0), что противоречит неравенству [*]. Из неравен-
592 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
ства [**] мы заключаем, что либо
I Im f (s0) - Im f' (st) | > 11 f (so)
либо
| Re f (so) - Re f (st) | > 1 | f' (s0) |,
где | — s01 <8/4. Тогда по теореме о среднем значении суще-
ствует точка s2 из [sb s0], такая, что
||№)|>|so-51|1Г(52)|>4-|Г(5о)|,
т. е.
\Г («о)|<е|Г(«2)|,
И поэтому Pi (и) < 8|12(п), ч. т. д.
п
32. Лемма. Пусть т= 2 ak(t)(dldt)k — формальный диффе-
ренциальный оператор порядка п, определенный на интервале
I = [а, со). Предположим, что ап(Г)=1 и все коэффициенты at
ограничены на I. Тогда если xf = O и f£L2(a, оо), то все функ-
ции f, ff, ..., /(п) равномерно ограничены на I.
Доказательство. Мы докажем, что функция f ограничена. Из
предыдущей леммы следует, что существует постоянная k, такая,
что для всех t из [а, оо)
[*] k max | f (s) | >max | f' (s) |.
a^s^m a^s^tm
Действительно, если бы это было не так, то мы каждому целому
числу т сопоставили бы точку tm из [а, оо), такую, что
т max |f(s)|< max |Г (s)l-
Последовательность {tm} удовлетворяла бы условиям предыдущей
леммы. Поэтому, используя обозначения предыдущей леммы, мы
получили бы, что
lim [|Ху(m)/pij+i(дп)] = 0, 0</<п,
7П->оо
откуда следует также, что для j <Zn
lim |Xj' = lim m-FlV”) Hn-l (m) _ 0
mJooHn(m) mJi |x;+i (m) gj+2 (m) • ‘ • Hn (m)
Пусть {sro} —такая последовательность, что
['] |/(n)(sm)| = max |f(n)(s)|, 0<sm</m.
6. Качественная теория индекса дефекта
593
Тогда для j <.п мы тем более имеем
Пусть М — общая граница коэффициентов aj, 1 </ < п. Выберем т
таким большим, что для
lf0)(sm)|<^|/(n)(sm)|.
Тогда
71—1
о = rf > I f(n) (sm) I -1 S ah (sm) (sm) I >
> | f™ (sm) I — e I /<"> (Sm) I = (1 - 8) I f(n> (sn) |.
Так как 8 произвольно, отсюда следует, что fn (sm) = 0 для боль-
ших т. Из формул ['] и ["] видно, что это невозможно, за исклю-
чением случая, когда f тождественно обращается в нуль. Мы
заключаем, что неравенство [*] справедливо. Таким же образом
можно показать, что существует постоянная k, такая, что
{**] k max \f3 (s) |> max |/0+1)(s)|, t>a, l</<n.
Теперь предположим, что функция f неограничена. Тогда для
каждого заданного целого N мы можем найти точку t из [а, оо),
такую, что \f (t)\> N. Умножая f на подходящую’постоянную,
равную по модулю 1, мы можем предполагать, что
Согласно [*], мы имеем
max | Re f' (s) | < max | f' (s) | < kf (t).
a<^s^t a^s<^i
По теореме о среднем значении
|/-5|-1|Re/(5)-Re/(/)l<|Ref'(5o)l<^(/),
где s<So<7. В частности, для Z — (l/2k)^s<Zt
и поэтому | Ref (s) | >/ (t)/2 > N/2. Следовательно,
оо t
a f—(l/2k)
Так как N — произвольно большое число, это противоречит пред-
положению, что f интегрируема в квадрате. Таким образом,
функция f ограничена, поэтому, согласно [*] и [**], все
также ограничены, ч. т. д.
38 Заказ № 134
594
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
33. Лемма. Пусть f — функция из Ап, определенная на дей-
ствительной оси и обращающаяся в нуль вне компактного подмно-
жества действительной оси. Тогда если O^k^n, то
оо оо оо
— оо —оо —оо
Доказательство. Предположим, что f(n) интегрируема Биквад-
рате, поскольку если это не так, то неравенство очевидно. Рас-
смотрим преобразование Фурье
оо
v —оо
Мы имеем
оо
= fw(s)eistds,
~у 2л
—оо
В силу неравенства Гёльдера
J |/ftF(/)M = J |F(0|2<1_ft/n)|Z2nF2(0ift/nd/<
— оо —оо
оо оо
J \F(t)\*dty~h/n { j \inF(t)\*dty/n.
— оо — оо
Теперь лемма следует непосредственно из теоремы Планшереля
(см. XI.3.21).
п
34. Лемма. Пусть х— 2 аь (О (dldt)h — формальный диффе-
ренциальный оператор порядка п, определенный на интервале
1=^[а, оо). Предположим, что an(t)==A и все коэффициенты а^
ограничены в I. Тогда если т/=--0 и f£L2(/), то все п—1 функ-
ций f', f", ..., /(п) принадлежат Ь2(Г).
Доказательство. Для простоты предположим, что а=^0.
Построим бесконечно дифференцируемую функцию h на (— оо, оо),
тождественно равную единице при / > 1 и нулю при t < 0. Пусть
fm (0 =^h(m — t)h(t)f (/). Тогда функция fm бесконечно дифферен-
цируема и обращается в нуль вместе со всеми своими производ-
ными при /<0 и t>m. Кроме того, fm совпадает с f при
1, и поэтому функция x(fm — f) равна нулю тожде-
ственно по t, за исключением интервалов т—l^t^m и
0</<1. Применяя правило Лейбница, мы видим, что xfm есть
6. Качественная теория индекса дефекта
595
линейная комбинация производных функций h(tn — t), h(t), f
и коэффициентов оператора т, причем в силу леммы 32 и наших
предположений все они ограничены. Пусть М — общая верхняя
граница для всех этих функций и для функций fm.
Тогда
1 т
1'1 |тАЛ=1*(Лп-М=($ + $)№)(/) |М/<2М2
О тп—1
равномерно, по п. Предположение о том, что некоторая производ-
ная порядка не выше п не интегрируема в квадрате, приводит
к противоречию с этим соотношением.
Так как f£L2, мы, очевидно, имеем
С = sup ? sup ( \f(t)\*dt + 2M2<
0^m<oo 0^m<oo «J
< | f oo.
По предыдущей лемме
[*] =
И
-П I |2/| fm |2<C1/2-ft/2n I
Теперь предположим, что для некоторого функция
не интегрируема в квадрате. Тогда, очевидно, lim | fm0> |2 -= со
ТП—>ОО
и, согласно [*], lim |fm)|2 = co. Следовательно, в силу [♦♦] |fm)j2=
ТП—>ОО
= о(|/т>|) для 0<&<n. Кроме того,
71—1 П — 1
I vfm - f W |2 = 12 akf™ |2 < М 2 I № 12,
k=0 fe=0
и поэтому
1 | "tfm ,2 1 fm* |г | tfm — |2 = О ( | fm'1 |2).
Таким образом, lim | xfm |2= со, что противоречит соотношению ['].
ТП—>оо
35. Теорема. Пусть
т= 2 Qdt')
k=Q
— формально самосопряженный дифференциальный оператор
порядка п, определенный на интервале 1 = \а, оо). Предположим,
что
38*
596 Гл„ XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы.
(а) величина | ап (t) | ограничена снизу положительным числом;
(Ь) величина |^(/)| ограничена для
Тогда т не имеет граничных значений в бесконечности.
Доказательство. Не уменьшая общности, предположим, что
а — 0. Пусть т'~ формально самосопряженный дифференциальный
оператор in(d/dt)\ Установив эквивалентность гильбертовых про-
странств ®(7\(т')) и ®(7\(т)), мы докажем, что т' не имеет
граничных значений в бесконечности. Так как по определению
совпадает с ®(Т0(т')), отсюда будет следовать, что
граничные значения операторов тит' совпадают, и после этого
нетрудно будет доказать теорему.
Разобьем доказательство на несколько шагов.
(а) т' не имеет граничных значений в бесконечности. Действи-
тельно, пусть ©!, ..., соп — корни я-й степени из числа (— Z)n-1.
Тогда функции ехр (со^) образуют базис для решений уравнения
= Среди них те решения интегрируемы в квадрате, для
которых действительная часть числа со, отрицательна. Аналогично
пусть со', ..., (On —корни n-й степени из числа — ( —f)n-1. Тогда
квадратично интегрируемыми решениями уравнения т'а =—ш
являются функции ехр(со^), для которых (0^ имеет отрицательную
действительную часть. Если п нечетно, то корни n-й степени
из — t равны взятым со знаком минус корням n-й степени из t.
Таким образом, в этом случае сумма индексов дефекта опера-
тора т' равна числу корней n-й степени из ( —не являю-
щихся чисто мнимыми. Это число равно п, поскольку если п
нечетно, то и ( —i)n“1==± 1* Если п четно, то анало-
гичные элементарные вычисления приводят к выводу, что сумма
индексов дефекта оператора т' равна п. Теперь наше утвержде-
ние вытекает непосредственно из следствия 2.23 и леммы XII.4.21.
(Ь) ®(Л(т))^©(Л(т')).
Предположим, что f (7\ (т')). По определению это означает,
что обе функции f и f(n) квадратично интегрируемы. Образуем
функции как выше в доказательстве леммы 34.
Тогда норма Ifm^ ограничена по т, так как f(n) квадратично
интегрируема и, согласно лемме 32, f(fe)(/) ограничены на интер-
вале [а, оо) для 1. Следовательно, в силу леммы 33,
| | ограничены по k и т, и поэтому нормы | f(k) |2 конечны для
Пусть М — верхняя граница для функций | ah (•) |. Тогда
3 I |2< «о
fe=0
и, следовательно, /С®(7\(т)). Поэтому
6. Качественная теория индекса дефекта
597
(с) Тождественное отображение гильбертова пространства
®(Т1(т')) в пространство ® (7\ (т')), рассматриваемое как под-
пространство пространства ®(7\(т)), замкнуто и поэтому непре-
рывно.
Пусть {fn} — последовательность из ©(/^(т')), сходящаяся к f
в топологии пространства ®(7\(т')) и к g в топологии простран-
ства ©(/^(т)). Пусть J — любой компактный подинтервал из I.
Тогда, согласно следствию 2.16(b), сужение последовательности
{fn} на J сходится в Нп (J) и к f, и к g. Следовательно,
поскольку f и g — непрерывные функции, они совпадают на J.
Так как / — произвольный подинтервал, они совпадают всюду
на /.
(d) Пусть {g’n} — последовательность из ® (Т0(т;'У), сходящаяся
к нулю по норме пространства ©(/^(т)). Тогда {gm} сходится
к нулю по норме пространства ®(Т’1(т')). Действительно,
мы имеем |g7n|2“*0, >0 и
п—1 П—1
1*1 I I 3 |2 - | ang^ |2 < S ahg$ 4- OngW 2 = | Tgm |2 -> 0.
1 k=Q 1 ’ 1 k=Q 1
Норма | ang%? |г ограничена, ибо в противном случае (после пере-
хода к подпоследовательности, для которой \ang^\2—> со)
из леммы 33 следовало бы, что
1^)|2 = О(|^’|2/п) = о(|^)|2)>
Но тогда ввиду ограниченности коэффициентов ah
I 2 ahg^> |2 = о (I g<"> |2) = о (I angW> |2).
&=0
Отсюда ясно, что
п—1
|Tgm|2>|ang^|2-| 2 akg™|2 = |ang^|2(l-о(1))->оэ,
Л=0
вопреки соотношению [*]. Пусть М = sup ||2. Из леммы 33
мы получаем, что
|gm|i-^Mft/">|gW|2.
Так как |gm|2—отсюда следует, что (g^^—*0 для 0<&< л,
поэтому
l"Sa<k>|2-*0.
я=0
598 Г л, XI IL Обыкновенные дифференциальные операторы
В силу [*] это означает, что | ang^ |2 —> 0 и, поскольку, согласно
предположению, величина | ап (•) |-1 ограничена, | g№ |2—> 0. Таким
образом, последовательность {g-m} сходится к нулю по норме про-
странства 2)(7\(т')).
(е) Замыкание множества 2)(Т0(т')) по норме пространства
2) (7\ (%')) совпадает с замыканием пространства 2) (TQ (т')) по норме
пространства 2) (Тt (т)).
Пусть 2>! и 2)2 —замыкания множества 2) (То (т')) соответствен-
но по нормам пространств 2)(7\(т')) и 2)(Т1(т)). Согласно (с),
мы имеем $22®i. Пусть g'g2)2, а {^^ — фундаментальная после-
довательность из 2)(Т0(т')), сходящаяся к g по норме про-,
странства 2)(Т1(т)). Чтобы показать, что g’C®!, достаточно
в силу (с) показать, что {g^}— фундаментальная последователь-
ность по норме пространства 2)(Т1(т')). Предположим, что это
не так. Тогда обобщенная последовательность {g^} = {gm — gn}
не сходится к нулю в 2) (7\ (т')), следовательно, некоторая ее под-
последовательность, которую мы обозначим {/J, не сходится к нулю
в 2>(7\(т')), но сходится к нулю 2)(7\(т)). Это противоречит
утверждению пункта (d).
(f) ©(ТЛт'ПэФСТЛт)).
Ясно, что 2) (Т0(т))=^2) (Т0(т')), поэтому, согласно (е),
2)(ТГ(Т)) = 2)(77СЙ)- Пусть 2)1-2)(Тй¥))-2)(ТГ(7)). Тогда
(см. XII.4.10) 2) (Тг (т))=-2)1ф2)+©2)-, где 2)+ и 2)_ — дефектные
пространства оператора т. Теперь достаточно доказать, что
2)+©2)_ 2) (7\ (т')). Пусть / — элемент из 2)+. Тогда для / из I
[яп (0Г1((т~ 0 /) (0 = 0- Оператор . ай1 (т — i) удовлетворяет усло-
виям предыдущей леммы. Поэтому /(п) интегрируема в квад-
рате, так что f £2) (Ti (т')). Таким образом, 2>+2) (Л (т')).
Аналогично 2)_ 2) (7\ (т')). Из (с) и II.2.2 следует, что две
рассматриваемые топологии на 2) (TY (т)) = 2) (Тг (т')) эквивалентны,
ч. т. д.
В заключение анализа методов, пригодных для вычисления
индексов дефекта формальных дифференциальных операторов, мы
отметим один случай, который, хотя и является более частным,
чем многие изученные выше, имеет большое практическое значе-
ние. Это случай, когда коэффициенты формального дифферен-
циального оператора аналитичны в / и имеют полюсы в свобод-
ных концах интервала I. В этом случае можно получить точные
сведения об асимптотическом поведении решений уравнения
Сначала предположим, что рассматриваемая концевая точка
конечна; тогда без ограничения общности мы можем предполагать,
что она находится в нуле. Разделив, если это необходимо, на
старший коэффициент ап оператора т, мы можем представить
6. Качественная теория индекса дефекта
599
уравнение (т — Л) f = 0 в виде
(*] s я&^>(г)==0’
где ап=1, — аналитические функции в окрестности нуля для
и число v минимально, т. е. дифференциальное урав-
п
нение [*] нельзя записать в виде 2 (О Cg(n”fe)/(ft)(z), где все
к=0
— аналитические функции в окрестности нуля для
и |i< v. В этом случае v называется порядком особенности урав-
нения [*] в нуле. Если v = 0, то особенности нет, и нуль назы-
вается регулярной точкой этого дифференциального уравнения.
Если v = 1, то особенность уравнения [*] в нуле называется регу-
лярной-, если v>l, то эта особенность называется иррегулярной.
Если уравнение [*] имеет регулярную особенность в точке z = 0,
то уравнение
1) ... (р, — n + l) + an-i (O)fi(p. —1)... (p — n + 2) +
+ an_2(0)p(|i— 1) . .. (p —n + 3) + .. . + a1(O)p + ao(O) = O
называется определяющим уравнением уравнения [*] в нуле. Если
определяющее уравнение имеет различные корни , еп, причем
никакие два из них не отличаются на целое число, то система
решений уравнения [*] имеет базис вида 07 (z) ==гвЛру (z), где
<Р; — аналитические функции, отличные от нуля в окрестности
точки 2 = 0. В этом случае число решений уравнения xf — Xf
с интегрируемым квадратом в окрестности точки z = 0 равно
в точности числу корней определяющего уравнения, действитель-
ные части которых больше— 1/2. Соответствующий результат можно
сформулировать и в том случае, когда определяющее уравнение
имеет два корня, которые отличаются на целое число, или имеет
кратные корни, однако при этом базис для решений уравнения [*]
может иметь более сложный вид, включающий логарифмические
члены. Мы не будем подробно приводить здесь эти результаты,
а отошлем читателя к работам Пула [1] и Коддингтона и Левин-
сона [1], где можно найти превосходное изложение этих вопросов.
Тем не менее следует подчеркнуть, что во всех этих случаях
задача определения числа решений уравнения [*] с интегрируемым
квадратом в окрестности нуля может быть сведена к конечной
алгебраической задаче.
В случае v> 1, когда уравнение [*] имеет иррегулярную особен-
ность в нуле, уравнение
(0)( —vp,)n~1+... +ao(O) = O
600 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
называется характеристическим уравнением уравнения [*] в нуле.
Если характеристическое уравнение имеет различные корни
Pi, ..., то система решений уравнения [*] имеет базис вида
CTy(z)={exp(p,j21-v+^2)22~v+ ... +^v-1)z-1)}ze-'(l+cP)(z)-b ...);
бесконечный ряд, образующий последний сомножитель этого выра-
жения, не сходится, но является расходящимся асимптотическим
разложением. Коэффициенты fej2), ..., ej, С;2), ...
можно определить при помощи формальной подстановки асимпто-
тического выражения для в уравнение [*] и сравнения коэф-
фициентов. Соответствующий результат можно сформулировать
и в том случае, когда характеристическое уравнение имеет крат-
ные корни; при этом асимптотические выражения для решений
уравнения [*] могут иметь более сложный вид, включающий ряд
по дробным степеням z и логарифмические члены. Мы не будем
подробно приводить этот результат, а отошлем читателя к соот-
ветствующей главе книги Коддингтона и Левинсона [1]. Для наших
целей решающее значение имеет то обстоятельство, что существо-
вание асимптотического ряда для решений уравнения [*] сводит
задачу нахождения числа решений уравнения [*] с интегрируемым
квадратом в окрестности нуля к конечной алгебраической задаче.
При помощи замены переменных z—»1/г аналогичные резуль-
таты можно получить для особенностей в бесконечности. Пред-
положим, что мы имеем дело с уравнением вида
[**] з a*(2)^v(n"ft7(ft)(z)-0,
где an (г) = 1 и коэффициенты а& аналитичны в окрестности точки
г=оо для а число v минимально в том смысле, что
уравнение [**] нельзя записать в подобном виде с меньшим индек-
сом v. Тогда если v = — 1, то говорят, что [**] имеет регулярную
особенность в бесконечности] если v>—1, то говорят, что [**}
имеет иррегулярную особенность, порядка v4~2 в бесконечности.
Если [**] имеет регулярную особенность в бесконечности, то
уравнение
р(р + О ••• (р + м — 1) — an_! (оо) р, (р, + 1) ... (р + п —2)+...
... +(—l)n-1ai (оо) р—1)”а0 (оо) = О
называется определяющим уравнением уравнения [**] в бесконеч-
ности. Если корни ..., еп определяющего уравнения различны
и никакие два из них не отличаются на целое число, то система
решений уравнения [**] имеет базис вида (г) = г~еЛр; (г), где
Фу —аналитические функции, отличные от нуля в окрестности
точки z— оо.
7. Качественная теория, спектра
601
Если [**] имеет иррегулярную особенность порядка v + 2
в бесконечности, то уравнение
((v + 1) |1)п + ап-i (аэ) ((v + 1) ц)”-1 + .. . + а0 (со) = О
называется характеристическим уравнением уравнения [**] в бес-
конечности. Если корни р,|, характеристического уравне-
ния различны, то [**] имеет систему решений вида
Gj (z) = {exp (|i7zv+1 + Ppzv + ... + k^z)} x
X z~ei (1 + }z~1 + 42)z~2 +...);
бесконечный ряд, образующий последний сомножитель этого выра-
жения, не сходится, но представляет собой расходящееся асимпто-
тическое разложение. Коэффициенты 4^, 42)» • • •
можно определить при помощи формальной подстановки асимпто-
тического выражения для в уравнение [**] и сравнения коэф-
фициентов при z~n.
Таким образом, во всех случаях, когда мы’ имеем дело с фор-
мальным дифференциальным оператором на интервале /, имеющим
аналитические в I коэффициенты с полюсами в свободных концах
интервала /, теория регулярных и иррегулярных особенностей
позволяет свести задачу определения индексов дефекта операто-
ра т к конечной алгебраической задаче.
Мы будем возвращаться к теории регулярных и иррегулярных
особых точек ниже в связи с изучением в § 8 некоторых специаль-
ных примеров формально симметрических дифференциальных опе-
раторов. В том же параграфе мы получим возможность изучить
некоторые стороны этой теории несколько более подробно.
7. Качественная теория спектра
В этом параграфе мы увидим, как разнообразные качествен-
ные результаты относительно спектра формально самосопряжен-
ного дифференциального оператора т могут быть легко получены
из аналитических свойств коэффициентов, определяющих этот
оператор. Например, если эти коэффициенты периодические, та
спектр совпадает с непрерывным спектром и состоит из множества
непересекающихся интервалов (ср. с теоремой 64). Кроме того,
будет показано, как классические теоремы Штурма об отделимости
связаны со спектральной теорией. Применяемые методы, как пра-
вило, элементарны и аналогичны методам, использованным при ис-
следовании индексов дефекта оператора т в предыдущем параграфе.
1. Теорема. Пусть Т —замкнутый оператор в В-простран-
стве ЭЕ; предположим, что для каждой точки К из точечного
€02
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
спектра оператора Т нуль-многообразие {х | (Т — X /) х = 0}
конечномерно. Тогда Х0£ае(Т) в том и только том случае, когда
существует ограниченная последовательность {fn} элементов
из ® (Т), такая, что lim (Т — KQI) fn существует, но {fn} не имеет
сильно сходящихся подпоследовательностей.
Доказательство. При переходе от рассмотрения оператора Т
к рассмотрению оператора Т — Хо/ не произойдет никаких суще-
ственных изменений, поэтому мы можем без ограничения общности
предполагать, что Хо = О. Пусть 0$ое(Т). Так как многообразие
91 = {х | Тх = 0} конечномерно, мы можем найти его базис (рА ..., .
Согласно следствию IV.3.2, каждое конечномерное подпростран-
ство В-пространства замкнуто. Следовательно, по теореме II.3.13
Хана —Банаха, существует совокупность х*, ..., х* непрерывных
линейных функционалов на рассматриваемом В-пространстве,
таких, что х*(ср7) = 0 для j^k, х* (cpz) = 1 • Пусть
5) {х £ ® (Т) | х* (х) = 0, г = 1, ..., k}. Тогда по лемме 6.2 суже-
ние оператора Т на ®, которое, очевидно, замкнуто, имеет
замкнутую область значений 9?.
Обратный к Ti оператор Т^1, очевидно, замкнут и даёт взаимно
однозначное отображение пространства 91 на Ж. Таким образом,
по теореме о замкнутом графике (11,2.4) Т"1 ограничен. Отсюда
вытекает, что если {fn} — последовательность элементов из
таких, что последовательность {Tfn} сходится, то {fn} сходится.
Пусть {gn} — ограниченная последовательность элементов из ®(Т),
таких, что {Tgn} сходится. Найдем подпоследовательность {gn.} =
= {hi}, такую, что х* (Jit) сходится для каждого /,
k
Тогда hi= hi-— 2 ^*(^)ф/ принадлежит © и Tht = Thi. Поэтому
последовательность {hi} сходится и последовательность {ht} =
k
= {hi + 2 х? (hi) фД тоже сходится. Таким образом, {gn} имеет
;=1
сходящуюся подпоследовательность, что доказывает первую часть
нашей теоремы.
Обратно, предположим, что если {fn} ограничена и {Tfn} схо-
дится, то {fn} имеет сходящуюся подпоследовательность. Мы хотим
показать, что множество Т© (Т) замкнуто; пусть g£T£(T),
gn = Thn и gn—^g- Пусть —расстояние от hn до замкнутого
многообразия 91. Пусть уп — последовательность элементов из 91,
таких, что \hn—Уп\ — dn—>0. Пусть, наконец, hn — yn = kn. Тогда
если последовательность dn ограничена, то ограничена и после-
довательность kn, причем Tkn — Thn сходится. Поэтому kn имеет
подпоследовательность £п., сходящуюся к некоторому элементу k.
7. Качественная теория спектра
603
Так как Tkn.—>g и оператор Т замкнут, то &С©(Т) и Tk = g.
Следовательно, для доказательства замкнутости множества Т® (Т)
достаточно доказать, что последовательность dn ограничена.
Если это не так, то, переходя к подпоследовательности, мы
можем предполагать, что dn —>оо, так что |£п|—>оо. Пола-
гая kn — kn/\kn\, мы получаем |&п|=1, в то время как расстоя-
ние dn от kn до % равно dj\ kn |—> 1. Но, так как Tkn—>0, после-
довательность kn имеет сходящуюся подпоследовательность kn.,
причем ясно, что kn. сходится к элементу пространства вопреки
тому, что > 1. Это доказывает обратную часть нашей теоремы.
2. Следствие. Пусть т — формальный дифференциальный опера-
тор] ХоСоДт) тогда и только тогда, когда существует огра-
ниченная последовательность {fn} функций из ©(ТоСО), такая,
что {(т —Х0)/п} сходится, но {fn} не имеет сильно сходящихся
подпоследовательностей.
Доказательство. Предположим, что существует ограниченная
последовательность {fn} элементов из ©(Т0(т)), такая, что
{(т —Х0)/п} сходится, но последовательность {fn} не имеет схо-
дящихся подпоследовательностей. Тогда, поскольку Т0(т)£Т1(т),
из предыдущей леммы непосредственно следует, что Хо С ве (Л (т)),
так что по определению 6.1 Х0Сое(т).
Обратно, пусть Х0Сое(т). Пусть — замыкание множества
©(Т0(т)) в гильбертовом пространстве ©(7\(т)), а Т0(т) — суже-
ние оператора 7\(т) на ©Р Пусть ©—ортогональное дополнение
множества ©х в ©(7\(т)). Тогда © (Т^ (т)) = © (То (т)) © ©. Кроме
того, если f G ©, то (/, g) + (7\ (т) f, TQ (т) g) = 0 для g из © (То (т)).
Следовательно, f~\~TQ (т)*7\ (т) f = 0, так что по теореме 2.10
и следствию 1.4 f является решением из класса С°° дифферен-
циального уравнения f + т*т/ = 0. Это уравнение конечного поряд-
ка, поэтому пространство © конечномерно. Таким образом, из лем-
мы 6.2 следует, что Хо принадлежит существенному спектру
замкнутого оператора TQ (т). Следовательно, по предыдущей теореме
существует ограниченная последовательность {fn} элементов из
©(Т0(т)), такая, что {(То (т) — X/) fn} сходится, но {fn} не имеет
сходящихся подпоследовательностей. Из определения множества
©(Т0(т)) вытекает, что существуют элементы fn из ©(Т0(т)),
такие, что
и |To(T)^-W)7n|~*O.
Тогда {fn} ограничена и не содержит сходящихся подпоследова-
604 Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
тельностей, в то время как {(Т0(т) — V) fn} = {(x — k)fn} сходится.
Это доказывает обратную часть нашей теоремы.
3. Следствие. Пусть г— формальный дифференциальный опе-
ратор, a Bi, /=1, ..., k, —система граничных значений для т.
Пусть Т — оператор, полученный из х наложением системы
Bi(f) = O, 4=1, ..., k, граничных условий. Тогда ое(Т) = ое(х),
Доказательство? В ходе предыдущего доказательства мы пока-
зали, что ® (7\ (т)) == ® (То С*)) © где ® конечномерно. Поэтому
= и 2)(Л(т))--=®(Т)©®2, где и
конечномерны. Следовательно, по лемме 6.2 ое(Т) = ое(Т1(т)) =
= ое(т), ч. т. д.
Следующий результат является аналогом для спектра след-
ствия 2.26 об индексах дефекта.
4. Теорема. Пусть х —формальный дифференциальный опе-
ратор, определенный на интервале I с концами а, Ь, и пусть
I — объединение двух подинтервалов и 12, Обозначим сужение
оператора х на Ц (на /2) через (через т2). Тогда
ое (х) = ое (Ti)Uae (т2).
Доказательство. Пусть Aogae(Ti). Тогда, согласно следствию 2,
существует ограниченная последовательность {fn} элементов
из ^)(TQ(xl)), такая, что {(т — Хо)/п} сходится, но {fn} не имеет
сходящихся подпоследовательностей. Так как ©(То (т1))^©(Т0(т))г
то из следствия 2 непосредственно вытекает, что Х0С<те(т).
Таким образом, ое (т^ ое(т). Аналогично ое(т2) ое (т). Итак,,
мы имеем
(Т1)и<?е (Т2)^Ое(т).
Обратно, пусть Х0Сое(т); предположим, что Хо Сч) =
= ое(Л(т1)) и K^^e(x2) = (5e(Ti(x2)Y Пусть {fn} — ограниченная
последовательность из £>(TQ (x)), такая, что {(т — Х0)/п} сходится,
но {fn} не содержит сходящихся подпоследовательностей. Тогда,
поскольку сужение Qifn функции fn на Ц принадлежит ©(Л(т)),
последовательность {pi/n} имеет сходящуюся подпоследователь-
ность {pi/n.}. Точно так же последовательность сужений функций
{/п.} на 12 имеет сходящуюся подпоследовательность. Поэтому
последовательность {fn} имеет подпоследовательность, сходящуюся
в топологии пространства L2(I), что противоречит предположению.
5. Теорема. Пусть х —формальный дифференциальный опера-
тор, определенный на интервале I, а С —наименьшее замкнутое
выпуклое множество, содержащее все значения (xf, f), где
К®СГо(т)) и Тогда ое(х)<=С.
7. Качественная теория спектра
605
Доказательство. Мы должны только показать, что если Н —
замкнутая полуплоскость комплексной плоскости, содержащая С,
то (см. V.2.12). Переходя от рассмотрения оператора т
к рассмотрению оператора ат Д-р, где а=^=0 (при этом не возни-
кает никаких существенных изменений), мы можем без ограни-
чения общности считать, что // — правая полуплоскость и X —
действительная точка. Таким образом, мы имеем Re(r/, /)>0
для f из £(Т0(т)) и хотим показать, что ни одна точка Х<0
не принадлежит <те(т). Предположим, что это не так, т. е.
существует ограниченная последовательность {fn} элементов из
S)(T0(t)), такая, что {(т — k)fn} сходится, но {fn} не имеет схо-
дящихся подпоследовательностей. Тогда
lim (т — К) (ft — fj) = O,
i, J—>оо
так что
lim Re((T-X)(A-f7), (/г-/,)) =
i, j->oo
= lim Re (т (Д -f,-), (ft-f,)) - X | ft - fj |2 = 0.
Поскольку Re (т (/; — /,), — и — k\fi — отсюда
следует, что
Пт(-Х|/г-Л-|2) = 0.
г, j->oo
Таким образом, {fn} — фундаментальная последовательность,
поэтому она сходится. Это противоречие доказывает нашу тео-
рему.
6. Определение. Говорят, что формальный дифференциальный
«оператор т является формально положительным, если (т/, f)>0
для каждой функции f С©(Т0(т)).
Примером такого оператора служит
k=0
где все коэффициенты рь неотрицательны, поскольку в этом
случае мы имеем
п
ы, f)=$ rf(t) Ж) dt = 2 $ рь (о I (0 i2 dt-
I fc=0 d
7. Следствие. Если формальный дифференциальный оператор
формально положителен, то его существенный спектр является
подмножеством положительной части действительной оси.
606
Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
Доказательство. Это следует непосредственно из предыдущего
определения и теоремы 5.
8. Теорема. Предположим, что все значения коэффициентов р&
формального дифференциального оператора
fe=0 ‘
лежат в правой полуплоскости и Reр0 (0 —>00 при t—>K
Тогда существенный спектр оператора т пуст.
Доказательство. Мы имеем Re pk (/) > 0,0 < k < п, и Re р0 (0 —*00 г
когда t—*b. Если т' — сужение оператора т на интервал [с, &),
то по теореме 4 ое (т) = сге (т'). Если задано любое действительное
число Хо, то мы можем выбрать с таким, что Re р0 (0 > Хо Для
t £ [с, Ь). Тогда
Refr'f, f) = 2 [RepHWftWd/>Xo|fi2, . /€©(Т0(т')).
k=Q с
Из теоремы 5 вытекает, что ве (т') и, следовательно, сте (т^
лежат полностью в полуплоскости Rez>X0. Так как Хо произ-
вольно, множество ое (т) пусто, ч. т. д.
9. Теорема. Предположим, что х —формальный дифферен-
циальный оператор порядка 2п, определенный на интервале
I = [а, &); пусть т имеет вид
2п-1
’=<-')”G02”+2
7 = 1
где коэффициенты рг, . . ., p2n-i равномерно ограничены и
Repo(O~"'> 00> когда t—*b. Тогда множество <тв(т) пусто.
Доказательство. Пусть с — действительное число. Рассмотрим
дифференциальный оператор
2n—1
7=1
Сначала покажем, что Re (xcf, f)>0 для fC©(T0(r)) при доста-
точно больших с. Если это не верно, то существует последова-
тельность {gm} элементов из ©(Т0(т)), такая, что
Re(T0g-m, gmX—rn\gm\l.
Поэтому существует последовательность {fm} элементов на
© (То (т)), такая, что | fm |2 = 1, но Re (rofт, fm) оо. Если норма
7. Качественная теория спектра
607
| /тП) |г ограничена, то из леммы 6.33 следует, что | fm |2 ограничена
для всех и поэтому величина (т0/ш, fm) ограничена
вопреки предположению. Итак, не уменьшая общности, мы можем
предполагать, что | |2 стремится к со. Тогда снова по лемме 6.33-
I 0<fe<2n,
откуда
(Wm, М = ( - 1)” (Л?П), W (1 +0 (1)) = | f%> (1 +0(1))
вопреки тому, что Re (rofm, fm)—»— оо.
Таким образом, Re(rJ, f)>0 для f 6© (Т0(т)), если с доста-
точно велико. Пусть Хо — действительное положительное число.
Принимая во внимание теорему 4 и переходя к достаточно малому
подинтервалу [а0, Ь) интервала [а, Ь), мы можем предполагать,,
не уменьшая общности, что Re (р0 (/) — с) > Хо. Тогда
Re(xf, f)>(rcf, f)+W, Г)
для /+© (То (т)). Из теоремы 5 следует, что пе(т) лежит
полностью в правой полуплоскости Rez>X0. Так как Хо произ-
вольно, то сге (т) пусто, ч. т. д.
10. Теорема. Предположим, что х —формальный дифферен-
циальный оператор порядка 2п, определенный на интервале'
1 = [а, Ь); пусть х имеет вид
k=l
Предположим, что все Rep* ограничены снизу при 1
и RepQ(t)—>co, когда t—>b. Тогда множество <те(т) пусто.
Доказательство. Полагая
мы покажем, что Re (xcf, f)>Q для f из £ (TQ (т)) при достаточно
больших с. Это позволит нам завершить доказательство настоящей
теоремы точно так же, как это было сделано в последнем абзаце
предыдущего доказательства. Если наше утверждение неверно,,
то существует последовательность {gm} элементов из £(Г0(^))>
такая, что Re (xQgm, gm) < — т | gm ||. Поэтому существует
последовательность {fm} элементов из £(То(т)), такая, что
Re(T0/\n, fm)—* — оо И |/™|2=1. Если I f(m} |2 неограничены, то
отсюда по лемме 6.33 следует, что | fm |2 = О (| fm* |2) для 0 < k < и;
608
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
таким образом, если В —нижняя граница для Replf Re р2, .
Rep^, то справедливо неравенство
п— 1
Re (xofm, fm)=\\ (0 |2 dt + 2 $ Re pj (0 | № (0 |2 dt >
I j=l I
n — 1
> If™ ll-в 2 Ill>l№II(1+0(1)),
j=i
противоречающее тому, что Re (xQfm, fm) —> — co. Если
ограничены, то из леммы 6.33 следует, что | |2 ограничены для
всех k, 0<;k<n, и из первой части предыдущего неравенства
вытекает, что Re (xQfm, fm) ограничены, а это снова про-
тиворечит тому, что Re (т0/ш, fm) —> — оо.
Таким образом, если с достаточно велико, то Re(Tof, f)>0
для всех f из £(То(т)), и, как замечено выше, это доказывает
теорему.
11. Теорема. Пусть х — формальный дифференциальный опе-
ратор порядка п, определенный на интервале I = [a,b), a k-
целое число, не превосходящее п. Предположим, что существует
конечная постоянная М, такая, что
Пусть Xi —(регулярный или иррегулярный) формальный диффе-
ренциальный оператор вида
k
Ti=2 ai (о ’
j = 0
где lim aj (t) = 0, / = 0, k. Тогда если t + ti имеет не обра-
t->b
щающийся в нуль старший коэффициент, то
<re(T) = ae(T + Ti).
Доказательство. Пусть Xo€tfe(t); допустим, что Хо^оДт-Ьт!).
Тогда, согласно следствию 2, существует ограниченная последо-
вательность функций fm из £)(Tq(x)), такая, что {(т —Х0)Лп}
сходится и {fm} не содержит сильно сходящихся подпоследова-
тельностей. Поскольку всякая ограниченная последовательность
функций в гильбертовом пространстве содержит слабо сходящу-
юся подпоследовательность, мы можем без ограничения общности
предполагать, что {fm} слабо сходится. Тогда по лемме 2.16 {fm}
слабо сходится в топологии пространства (J) для каждого
компактного подинтервала J — [a, 60] из I. Из леммы 2.16(a)
7. Качественная теория спектра 609
следует, что сходится для каждого t и 0<р<п— 1;
согласно принципу равномерной ограниченности, последователь-
ность {fm’ (t)} равномерно ограничена для О^р^п— 1 и для t
из любого компактного подинтервала J интервала I, Таким обра-
зом, по теореме Лебега
['] lim \ = 0<р<п-1.
тп, mj-yoo «j.
Пусть
j=0
Тогда, поскольку bn(t)=^=O и {(Т — Хо) fn} сильно сходится, из [']
следует, что
lim =
т, mx~»oo х
J
Таким образом,
тп, тгц-уоо
По лемме 6.33 норма | /(П|2 ограничена некоторым постоянным
числом N при / = 0, ..., k. Если подинтервал J выбран таким
большим, что | Uj (/) | С (kN)"1 е для xQl — J, то мы имеем
ПйГ \ |т1(/АП(0-/п(0)|2^<е2.
т, п-уоо
Это доказывает, что
Нт |Т1(/ГО—fn)|2<e2,
т, п->оо
и, поскольку е произвольно,
lim | т^ (fm — fn) |2 = 0.
т, п->оо
Следовательно, {^ifm} сходится. Таким образом, lim (т + п —
т->оо
— kQ)fm существует. Так как Хо^сгДт + т!), то {fm} имеет сильно
сходящуюся подпоследовательность. Но выше мы видели, что это
невозможно. Следовательно, мы доказали, что ое (/) сге (t + ti).
Из соображений симметрии ясно, что для доказательства ос-
тальной части теоремы достаточно доказать существование такой
постоянной Mlf что
| fw IX Ml {| (т + П) f II + If I2}, f € © (То (Т + ТО) = а (То (Т)).
39 Заказ №134
610
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Чтобы доказать это, очевидно достаточно показать, что суще-
ствует постоянная 7И2, такая, что
|тЛ1+1Л1<м2{|(т+тж+1т, /€©(т0(т)).
Если это не так, то существует последовательность {fm} элемен-
тов из £)(Т0(т)), такая, что | >0 и |fm|2 —>0, тогда
как | xfm |2 не сходится к нулю, так что |т!/го|2 не сходится
к нулю. По условию и лемме 6.33 норма | |2 равномерно огра-
ничена по т для / = 0, ..., k. Таким образом, поскольку коэф-
фициенты оператора стремятся к нулю, когда t b, мы имеем
ь
lim V | (t) \2dt = 0
c->b V
c
равномерно по m. С другой стороны, согласно следствию 2.15,
lim \ | (012 dt = 0
m->oo v
a
для каждой точки a<Zc<Zb. Итак >0. Полученное про-
тиворечие доказывает теорему.
12. Следствие. Пусть т— формальный дифференциальный
оператор вида
у=о
определенный на интервале 1 = [а, Ь). Предположим, что все
коэффициенты pQ, ..., pn-i равномерно ограничены на I, а функ-
ция pn(t) ограничена снизу положительным числом на I. Пусть
Ti — [регулярный или иррегулярный) формальный дифференциаль-
ный оператор вида
7=0
где lim я, (/) = 0, / = 0, ..., п. Тогда если т-Ья имеет не обра-
х->Ъ
щающийся в нуль старший коэффициент, то
ое (т) = <ге (т-4-Ti).
Доказательство. Это будет следовать из предыдущей теоре-
мы, как только мы установим существование постоянной М,
такой, что
7, Качественная теория спектра 611
-----------—------------------------!-----------------------
Если таких М не существует, то ясно, что мы можем найти
последовательность {fm} элементов из S)(T0(x)), такую, что
|/Сп)|2=1, | xfm |2-> 0, |/го|2—>0. Так как коэффициенты р0, ...
..., Pn-i ограничены, из леммы 6.33 следует, что
Так как функция рп ограничена снизу положительным числом
и | fW | = 1, то норма | рп (•) (•) 12 ограничена снизу положи-
тельным числом. Таким образом, | xfm |2 не стремится к нулю,
и мы получили противоречие.
13. Следствие. Пусть т — формальный дифференциальный
оператор вида
x = (dt') ’
j=0
определенный на интервале 1 = [а, оо). Предположим, что
lim pj(t) = qj существует для j = 0, ..., п и Тогда
t->oo
ае(т) = {^|Х= 3 qj(ity, — оо</<4-оо].
Доказательство. Пусть Ti —формальный дифференциальный
оператор
j=0
определенный на интервале ( — со, -|-оо), а т2 —его сужение
на [а, оо). В силу предыдущей теоремы мы должны только
показать, что
ае(т2) = {Л|Л= 3 — oo<^<+oo)=V.
j=0
Для этого мы сначала покажем, что cre(T2) = oe(Ti), а затем —что
tfe(4) = V. Так как £(Т0(т2)) £(То(ч)), из следствия 2 выте-
кает, что ое(т2) ое (tJ. С другой стороны, пусть Л £0^(4).
Тогда, согласно следствию 2, существует ограниченная последо-
вательность функций fn из ©(Т0(т)), такая, что {(ч —А)/п}
сходится, но {fn} не имеет сильно сходящихся подпоследователь-
ностей. Так как {fn} не является фундаментальной последова-
тельностью, существуют 8>0 и подпоследовательность {fn.},
такие, что | fni+i — fn. |>е, />1. Положим gt = fn.+i^ fn,. Тогда
{(Ч —X)g-n} сходится к нулю, но {gn} не сходится к нулю.
39*
612 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Определим оператор сдвига Тр формулой (Tpf) (t) = f (t—p).
Ясно, что если f, gQ^>(T0(Xi)), то Tpf и g ортогональны для
достаточно больших р, так что
1Л./-£|==(1Л2+И2)1/а
для достаточно больших р. Для п > 1 пусть рп выбрано' таким
большим, что hn — TPngn обращается в нуль вне [а, оо), а функ-
ция hn ортогональна к ..., hn-i. Тогда hn££>(TQ(x2)),
| (т2 — Л.) hn | = |(Ti — X) gn | -> 0,
в то время как
|/in—M = (|£nl2 + l£zn|2)1/2>8, «. m>l.
Таким образом, {(т2 — tyhm} сходится к нулю, тогда как {hm}
не содержит сходящихся подпоследовательностей, так что, сог-
ласно следствию 2, ^Еае(т2). Итак, (т2) = ое (tJ.
Пусть Q —формально симметрический дифференциальный опе-
ратор
определенный на интервале ( — оо, +оо), а 71 —единственное
его самосопряженное расширение (см. замечания, следующие
за определением 2.20, случай 3). Тогда, как установлено в § 5
(см. замечания после следствия 5.30), спектр оператора Т являет-
ся непрерывным и покрывает всю действительную ось. Пусть
п
Ti — полином 2 от Очевидно, что оператор Tt являет-
3=0
ся расширением оператора То^). Согласно следствию XII.2.8
и теореме XII.2.6, оператор Ti замкнут. В силу XII.2.6 (d)
3=0
Таким образом, Т* откуда по теореме 2.10
Т1 = Т1« = Г0«)* = Г1(т1).
Согласно следствию 3, сге(т1) = сте(7'1). По теореме XII.2.9(b)
п
ст содержится в области значений V полинома Таким
i=o
образом, ое (7\) с V. С другой стороны, пусть
i=0 2
7. Качественная теория спектра 613
а {1п} — последовательность непересекающихся открытых интерва-
лов действительной оси, такая, что In s {/111 —101 < 1/п}. По-
скольку о (Т) — действительная ось, по теореме XII.2.9(b)
оператор Е (1п) отличен от нуля для каждого п. Следовательно,
существует последовательность {/п} в ©(Т), такая, что E(In)fn=
= fn, п> 1, и |fn| — 1- В силу XII.2.6(с) Ttfn — kfn стремится
К нулю, когда и—>со. С другой стороны, поскольку fn и fm
ортогональны при п^т, мы имеем
|fn-fn.|2=|fn|2 + |fm|2 = 2,
т. е. {fn} не содержит сходящихся подпоследовательностей. Таким
образом, ^£сге(711) = сге(т), ч. т. д.
14. Следствие. Пусть т — формально самосопряженный диф-
ференциальный оператор вида
3=0
определенныйнаинтервале [а, оо). Предположим, что lim pj —
t-+oo
существует для каждого j = 0, ..., п и что qn=^0. Тогда
(а) если п нечетно, то ае(т) — вся действительная осы,
(Ь) если п четно и (—\)n/2qn>Q, то (Уе(х) —положительная
полуось, ограниченная снизу числом
п
Хо= min 2
— OO<t<-|~OO j=0
Доказательство. Так как т — формально ^самосопряженный
оператор, то (т/, /) = (Д т/) для f из £>(Т0(т)), поэтому (т/, /) —
действительное число. Следовательно, по теореме 5 множество
ае (т) расположено на действительной оси. По предыдущей
п
теореме полином Р(/) = S ЯА^ действителен. Если п нечетно,
то это полином нечетной степени. Поэтому он стремится к Ц-оо
при t —>-|-оо и к —оо при t —> — оо и, следовательно, принимает
все действительные значения. Теперь утверждение (а) следует
непосредственно из предыдущей теоремы.
Если п четно и inqn = { — \)n/2qn> 0, то Р (t) стремится к +°°
при >± оо. Таким образом, P(t) принимает все значения от
4-оо до своего минимума. Это доказывает утверждение (Ь).
614 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
15. Следствие. Пусть т—формальный дифференциальный
оператор вида
(±у Р,«) (£)'.
3=0
определенный на интервале I = [а, Ь). Предположим, что Re pj
ограничены снизу, •} = О, ...,/г, причем функция Re рп ограни-
чена снизу положительной постоянной. Пусть х^ —регулярный
или иррегулярный формальный дифференциальный оператор вида
т1=2 ai•(*) (~dt ~) ’
3=0
где Нта7(/) = 0, / = О, ...,п. Тогда т и имеют один
t-tb
и тот же существенный спектр.
Доказательство. Это будет следовать непосредственно из
теоремы 11, как только мы установим, что существует положи-
тельная постоянная М, такая, что
\f^\l<M{\xf\l + \f\l},' /6©(П(т)).
Если это не так, то мы можем найти последовательность {fm}
элементов из ©(То(т)), такую, что |т/т|2—^0, >0, в то
время как |/<”>]2 = 1. По лемме 6.33 Для 0</г<п.
Тогда, поскольку Reр0, ..., Repn_i ограничены снизу,
71—1
Ит Re J {2 РЛ01/^(012}^>0.
т->оо у
Поэтому, если М — положительная нижняя граница для Repn>
то мы имеем
п— 1
0 = lim Re(xfm, fm) = lim Re U 2 Pi (01 (0 I2 }
m->oo m->oo j j_q
m->oo
Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Приведенные выше теоремы представляют собой лишь неболь-
шую часть результатов, полученных в этом направлении. Допол-
нительные результаты даются в упражнениях в конце этой главы.
Теоремы, доказанные выше, дают довольно полное описание
спектра действительных самосопряженных операторов второго
7. Качественная теория спектра
615
порядка; для удобства ссылок мы объединим полученные резуль-
таты в следующие две теоремы.
16. Теорема. Пусть % —действительный оператор второго
порядка вида
определенный на интервале 1 — [а, оо).
(а) Если q(t)—>oo при то сте(т) пусто.
(Ь) Если q(t)—>c при t—>oo, то сте(т) = {Л|Л>с}.
(с) Если g (/)—>•— оо и если
оо
Nf_O) у 1 JO)n^<00
л I k 3/24i<7(ois/2I
ао
U
оо
J |<7(0Г1/2^<о°
а0
для достаточно больших aQ, то сге(т) пусто.
(d) Если q(t)—> —со, q —монотонно убывающая функция для
достаточно больших t, и если
оо
J I 4-7(01 /2> 4 l9(0|s/2 I
ао
для достаточно больших aQ и
оо
I <7 (0 |~1/2 dt = оо
а0
для всех а0, то ве(х) — вся действительная ось.
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) следуют непосред-
ственно из теоремы 9 и следствия 14; (с) вытекает из следствий
6.22 и 6.11; (d) выводится из следствия 6.21 (Ь).
Следует заметить, что, применяя теорему 4, предыдущую
теорему можно обобщить на случай, когда I представляет собой
интервал ( — оо, +°°)- Детальную формулировку соответствую-
щих результатов мы предоставляем читателю.
Результат, подобный предыдущей теореме, может быть уста-
новлен и в случае, когда 1 — интервал (a, ft] с конечным а. Ради
простоты мы, не уменьшая общности, предположим, что а = Ь.
616
Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
17. Теорема. Пусть т — действительный оператор второго
порядка вида
определенный на интервале 1 = (0, 6].
(а) Если q(t)—> со при /—>0, то сге(т) пусто.
(b) Если lim | t^q (t) I <3/4, то сгв(т) пусто.
/—>0
(с) Если q(t)—>—оо при /—>0 и если
Ь0
J I V I ч (013/2 / 4 I ч (i) |5/2 I
и
Ьо
J |<7(0Г1/2 dt<z СО
о
для достаточно малых Ьо, то ое(х) пусто.
(d) Если q(t)—>—co при /—>0, q(t) — монотонно убывающая
функция для достаточно малых t и если
Ьо
г If -?'<»> у_>
JI4* 1»(')13/2 j 4 IчИ: I
для достаточно малых bQ и
Ьо
jj \ q (t) \~i/2 dt = со
о
для всех &о>О, то ае(х) — вся действительная ось.
Доказательство. Утверждение (а) следует непосредственно
из теоремы 9; (Ь) —из следствия 6.12 и теоремы 6.23(b). Утвер-
ждение (с) вытекает из теоремы 6.23(c) и следствия 6.12; часть (d)
выводится из следствия 6.21(b).
Несколько дополнительных критериев такого рода для опера-
тора второго порядка
следуют из соответствующих теорем § 6. Некоторые из них при-
водятся в виде упражнений в конце главы.
Теорема 8, очевидно, может быть обобщена следующим обра-
зом.
7. Качественная теория спектра
617
18. Теорема. Предположим, что все значения коэффициентов
Pk, формального дифференциального оператора
п
k=0
лежат в правой полуплоскости, a lim Repo(O>^o- Тогда суще-
Т+ъ
ственный спектр ое(т) лежит в правой полуплоскости Rez>X0>
Доказательство. Если т' —сужение оператора т на интервал
[с, Ь), то по теореме 4 ое(т) = ае(т'). Если задано любое дей-
ствительное число Х<Х0, то мы можем выбрать точку с так,
что Repo(O^>^ Для Ь). Тогда мы получим
n b
Re(T'f,f) = % $ (Repft(0)irW^>*|fl2. fWoM).
k=0 с
Из теоремы 5 следует, что ое (т) целиком лежит в полупло-
скости Rez>X. Поскольку X —любое число, меньшее Хо, мно-
жество ое(т) целиком лежит в полуплоскости Rez>X0, ч.т.д.
19. Следствие. Пусть т — действительный самосопряженный
формальный дифференциальный оператор второго порядка вида
определенный в интервале [а, Ь). Предположим, что p{t)>0
для t£[a,b). Тогда если limg(/) = X0, то каждое Х^ое(т) удо-
Т^ъ
влетворяет неравенству %>Х0.
Несколько более сильные результаты могут быть установлены
для формально симметрических формальных дифференциальных
операторов, ограниченных снизу в смысле определения XII.5.1,
которое мы воспроизводим ниже для удобства читателя.
Определение XII.5.1. Симметрический оператор Т называется
ограниченным сверху {ограниченным снизу), если существует такое
вещественное число с, что {Тх, х)<с(х, х) {{Тх, х)>с{х, х))
всех х£<£){Т). Если Т ограничен сверху или снизу, то говорят,
что Т полу ограничен. Число с называется гранью для Т, а наи-
меньшее (наибольшее) из таких с называется верхней {нижней}
гранью оператора Т. Если {Тх, х)>0 для всех то Т
называется неотрицательным.
20. Определение. Пусть т —формально симметрический диф-
ференциальный оператор. Говорят, что т ограничен снизу, тогда
и только тогда, когда То(т) ограничен снизу.
618 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
21. Лемма. Самосопряженный оператор Т ограничен снизу
в смысле определения XII.5.1 тогда и только тогда, когда мно-
жество а(Т) ограничено снизу как подмножество действитель-
ной оси, т. е. тогда и только тогда, когда существует конеч-
ное число р, такое, что для каждого Х£а(Т).
Доказательство. Предположим, что такое р существует. Тогда
по теореме XII.2.6
(Тх, х) = J %|£(dx)x|a>n|x|2,
таким образом, если величина |х] ограничена, то форма (Тх, х)
ограничена снизу.
Обратно, предположим, что для каждого п множество
еп = ( — со, — п)[}а(Т) не пусто. По теореме XII.2.9(b) Е(еп)=£0
для любого п. Используя это, выберем элемент хп так, что
Е(еп)хп = хп, xnC®(T), [хп| = 1. Тогда по теореме XII.2.6
—п
(Тхп, хп)= % | Е (dX) хп |2 < — п | хп |2, п—>со.
— оо
Таким образом, Т не ограничен снизу, ч. т. д.
22. Леммз. Пусть Ti и Т2 — два симметрических оператора
в гильбертовом пространстве. Предположим, что ТХ^Т2
и ©(712) = ©(711)-|-91, где 91 конечномерно. Оператор Ti ограни-
чен снизу тогда и только тогда, когда Т2 ограничен снизу.
Доказательство. Из определения XII.5.1 видно, что если Т2
ограничен снизу, то Тх также должен быть ограниченным снизу.
Обратно, пусть Ti ограничен снизу. Предположим, что лемма
неверна, т. е. Т2 не ограничен снизу.
По индукции мы покажем, что для каждого /С>0 и для
каждого целого п существует n-мерное подпространство (/<)
пространства ©(Т2), такое, что
(Т2х,х)^-К\х\*, х£&п(К).
Для п = 1 это следует из определения XII.5.1 и предположе-
ния, что Т2 не ограничен снизу. Предположим, что ®п(К) суще-
ствует для данного п и для любого /С, но что имеется такая
положительная постоянная Ко, для которой @>л+1 (Ко) не суще-
ствует. Пусть Е—ортогональная проекция гильбертова про-
странства на @п(2/<о)- Пусть 71 —отображение пространства
^п(^Ко) в Sq, определенное равенством Тх = Т2х, х£<&п(2Ко),
7, Качественная теория спектра
619
и пусть |Т | — его норма. Положим
/п = тах (|Т |, |Т|/К0, Ко).
Покажем, что неравенство
(Т2у,у)>-т\у\2, у^(Т2)(](®п(2К0))\
не имеет места. Действительно, если бы оно выполнялось, то мы
имели бы
(Т2х, х) = (Т2 (Ех 4- (/ - Е) х), Ех + (/ - Е) х) =
= (Т2Ех, Ex) + (Т2 (I - Е) х, (/ - Е) х) +
+ (Т2Ех, (I—Е) х) + ((/ - Е) х, Т2Ех) >
> -\T\\Ex'f-2\T\\Ex\\(I-E)x\-m\(I-E)x\2>
> - 2m (| Ex |2 + | (J-E) x |2) = — 2m | x |2,
вопреки предположению, что T2 не ограничен снизу. Следова-
тельно, существует единичный вектор у, у £ © (Т2) Q (©n (2K0))"L?
такой, что (T2y,y)<Z—m. Пусть © — пространство, натянутое
на ©п (2/<0) и у. Тогда каждый элемент х из © может быть
однозначно представлен в виде х = и + ш/, где и£©п(2К0). Для
каждого х£© мы имеем
(Т2х, x) = (T2(u + az/), (u4-az/)) =
= (Т2и, и) + (Т2и, ay) + (az/, Т2и) + (Т2ау, ау) <
<-2Ko|«|2 + 2|T||a||a|-m|a|2<
< - Ко(| u|2 + |a|2)-Ко|« |а + 2\Т\\и | |а (|Т|/Ко) 1«|3 =
= - Ко | XI2-Ко (| « | - (I Т ]/Ко) | а |)2<Ко | XI2.
Следовательно, мы можем положить ©7ж(Ко) = ®. Таким обра-
зом, существует ©п+1(Ко)? и поэтому существует &п(К) для
всех n > 1, К > 0.
Из определения XII.5.1 видно, что существует постоянная К,
такая, что
(7\х, х) > —К (х, х), х С © (Л).
Отсюда вытекает (см. XII.4.6), что
(7\х, х)> — К(х, х), х££)(Т1).
График Г4 оператора Ti является подпространством графика Г2
оператора Т2, который в свою очередь является подпространством
прямой суммы Sq@Sq двух экземпляров гильбертова простран-
ства Поскольку оператор Ti замкнут, Г4 — замкнутое подпро-
странство из Г2. По предположению Г^Г^ЗК, где ЗЛ конечно-
620
Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
мерно. Пусть Р —ортогональный проектор пространства Г2 на ГР
Тогда Г2 = Г1© (/ — Р) Г2. С другой стороны, пространство
ЗЛ1 = (/ — Р) Г2 = (/ — Р) 3JI конечномерно. Следовательно, Г2 =
= Г*! @ SJli, где 3Jti конечномерно; пусть размерность простран-
ства ЯЛ1 равна Пусть Pi —ортогональный проектор простран-
ства Г2 на Snip Для х из ©(Т2) положим P2x — Pi[xt Т2х]. Тогда
Р2 — (разрывное) линейное отображение пространства £>(Т2) в.
n-мерное пространство ЗЛр Следовательно, существует элемент
х^= 0 из построенного выше (п + 1)-мерного пространства Sn+1 (2К)Г
такой, что Р2х = 0. Но если Р2х=0, то очевидно, что х^©(711).
Таким образом, с одной стороны, мы имеем хС©(711), так что
(7\х, х)>К(х, х), а с другой стороны, х^@п+1(2К), так что
(7\х, х) =- (Т2х, х)< — 2К (х, х). Полученное противоречие дока-
зывает лемму.
23. Лемма. Если Т — замкнутый симметрический оператор
в гильбертовом пространстве, ограниченный снизу, то
(а) существенный спектр оператора Т есть подмножество .
действительной оси, ограниченное снизу;
(Ь) индексы дефекта оператора 'Т равны.
Доказательство. Чтобы доказать (а), заметим, что если Т
ограничен снизу, то существует постоянная К, такая, что
(Тх, х) > —К (х, х), х С © (Т).
Из доказательства теоремы 5 видно, что ое (Т) — подмножество
полуоси оо >/>-/<. Поскольку Т ограничен снизу, из тео-
ремы XIL5.2 и следствия XII.4.13(a) вытекает, что индексы
дефекта оператора Т равны. Это доказывает утверждение (Ь).
24. Следствие. Если т — формально симметрический диффе-
ренциальный оператор, ограниченный снизу, то
(а) существенный спектр оператора т есть подмножество
действительной оси, ограниченное снизу,
(Ь) индексы дефекта оператора Т0(т) равны*,
(с) все симметрические расширения оператора Т0(т) ограни-
чены снизу.
Доказательство. В силу определений 20 и 6 утверждения
(а) и (Ь) следуют из предыдущей леммы. В силу конечности
индексов дефекта оператора (см. 2.13) утверждение (с) сле-
дует из лемм 22 и ХП.4.11.
25. Определение, (а) Если Т — ограниченный снизу замкну-
тый симметрический оператор в гильбертовом пространстве, и его
7. Качественная теория спектра
621
существенный спектр ае(Т) не пересекает интервал ( —оо, X) дей-
ствительной оси, то мы говорим, что Т существенно ограничен
снизу числом %.
(Ь) Если т — формально симметрический дифференциальный
оператор, ограниченный снизу, и его существенный спектр сгв(т)
не пересекает интервал (—со, X) действительной оси, то мы гово-
рим, что т существенно ограничен снизу числом X.
26. Следствие. Пусть % —формально симметрический диф-
ференциальный оператор, а Т — любое замкнутое симметриче-
ское расширение (в частности, самосопряженное расширение)
оператора Т0(х). Оператор т существенно ограничен снизу чис-
лом X тогда и только тогда, когда Т существенно ограничен
снизу числом %.
Доказательство. Это следует из леммы 22 и следствия 6.3.
27. Следствие. Самосопряженный оператор Т существенно
ограничен снизу числом X тогда и только тогда, когда для
каждого е>0 множество ( — со, X — e)f]o(T) конечно.
Доказательство. Допустим, что множество (— оо, X —е)р|о(Т)
конечно. Тогда очевидно, что о(Т) есть ограниченное снизу
подмножество действительной оси, так что по лемме 21 опера-
тор Т ограничен снизу. По теореме 6.5 ве (Т) Q ( — со, X — е)
пусто. Поэтому Т существенно ограничен снизу числом X.
Обратно, предположим, что Т существенно ограничен снизу
числом X. Тогда по теореме 6.5 и лемме 21 множество
( — оо, X—-e)Qcr(T) конечно для каждого е>0, ч.т. д.
Следующая теорема тесно связана с теоремой 4*
28. Теорема. Пусть % —формальный дифференциальный опе-
ратор, определенный на интервале I с концами а, Ь, и пусть
I — объединение двух (не обязательно непересекающихся) подин-
тервалов Ii и 12, Обозначим сужение оператора т на (на 12)
через т4 (через т2). Оператор т ограничен снизу тогда и только
тогда, когда и т2 ограничены снизу.
Доказательство. Сначала предположим, что т ограничен снизу.
Пусть {fn} — последовательность элементов из ©(Тб(т4)), ограни-
ченных по норме пространства L2. Тогда fn принадлежат £)(Т0(т)),
и поскольку Т0(т) ограничен снизу, последовательность
(То (т4) fn) = (То (т) fn, fn) ограничена снизу. Таким образом,
величина (То (т^ f, f) ограничена снизу, когда f меняется на любом
множестве из ©(T0(ti)), для которого величина (f, f) ограничена.
Отсюда видно, что оператор То Си), а поэтому и ть ограничен
снизу. Аналогично оператор т2 ограничен снизу.
622
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Обратно, предположим, что т имеет порядок и, а операторы
т4 и т2 оба ограничены снизу. Для определенности предположим,
что Ii содержит некоторую окрестность левого конца а интервала 1Т
так что, за исключением случая It = 1 (в этом случае т = т4 и оче-
видно, что т ограничен снизу), 12 содержит окрестность правого
конца b интервала /.
За исключением случая /2 = /, когда опять-таки доказывать
нечего, правый конец (\ интервала Д и левый конец с2 интервала
являются внутренними точками интервала I. Пусть /±= /±U^ir
/2 = /2 (j с2, а и т2 — сужения оператора т соответственно на Ц и /2.
Тогда, очевидно, ®(Т0(т1)) = ©(Т0(^1))» /=1, 2. Следовательно,
не уменьшая общности, мы можем предполагать, что ct £ Ц, c2£l2r
т. е. что It содержит свой правый конец, а 12 содержит свой
левый конец. Пусть £ —внутренняя точка интервала /, общая
для Ли /2. Тогда (а, с]е/1И [с, Ь)^12. Пусть ga, gi, g2, .. .,gn-i —
система n функций из ©(Т0(т)), таких, что
g® (0 =
1,
0<i = /<п — 1,
О, I,
а есть n-мерное подпространство пространства ©(Т0(т)), натя-
нутое на эти функции. Пусть © — подпространство простран-
ства ©(То (т)), определенное условием
© = {/еЭ(То(т))|/(й(с) = О,
Тогда ©(Т0(т)) = © + 51. Поэтому, обозначая через Т сужение
оператора Т0(т) на ©, мы выводим из леммы 22, что для доказа-
тельства ограниченности TQ (т) снизу достаточно показать, что Т
ограничен снизу.
Поскольку и х2 ограничены снизу, существует постоянная Д,
такая, что
(То(т2) f, /6©(Т0(т2)).
Отсюда следует (см. определение XI 1.4.7), что
(т^7) ft® (Ш.
f), f۩(W2)).
Пусть hС©. Положим
= Л1(0 = 0, t>c;
h2(t) = h(t), t>c\ h2(t) = 0, t^c.
7. Качественная теория спектра 623
Тогда очевидно, что Л1С®(Л(Т1)), Л2б®(Л(т)). Так как /ц обра-
щается в нуль в окрестности левого конца интервала Ц и обра-
щается в нуль вместе со своими п — 1 производными в правом
конце этого интервала, из теоремы 2.19 и следствия 2.23 вытекает,
что если В —любое граничное значение для T0(ti), то B(/i!) = 0.
Тогда из определения XII.4.7 и леммы XII.4.26 следует, что
/it С ©(То Сч))- Поэтому
(ЛСт,)/»!, М/12).
Аналогично
(Тj (Т2) /12? ^2) — К (^2? ^2).
Складывая эти неравенства, получаем
(Th, h) = (Л (т) ft, h) > - К (h, h), h£& (T).
Таким образом, Т ограничен снизу, ч. т. д.
29. Лемма. Пусть х —формально симметрический дифферен-
циальный оператор на конечном замкнутом интервале I. Тогда
если т нечетного порядка, то он не ограничен снизу. Если х чет-
ного порядка 2п и его старший коэффициент ^(t) (который
обязательно действителен и не обращается в нуль) удовлетворяет
условию (— l)n а2п (t) > 0, то х существенно ограничен снизу любым
конечным X, но — х не является существенно ограниченным снизу.
Доказательство. Пусть х = ат (t) (dldt)m + ..., причем т
нечетно. Тогда т = — ат (t)(dldt)m + ..., поэтому функция ат
чисто мнимая. (Аналогично, если т четное, то ат действительная.)
Пусть ф —функция из равная нулю в окрестностях концов
интервала I. Тогда х (ф (t) eikt) имеет асимптотику (ik)m ат (t) eihtq (t),
когда k стремится к ± со. Следовательно, устремляя ft к + оо
(или — оо), мы заставим форму (ixp(-)eib, ф(-)еи) стремиться
к ± оо (или 00). Так как система функций {ф(-)е*к’} ограни-
чена, это показывает, что оператор х не ограничен ни сверху,
ни снизу. Таким же способом мы можем показать, что в случае,
когда т = 2п четно и ( — \)п а2п (t) > 0, оператор — т не является
существенно ограниченным снизу.
Согласно теоремам 4.1 и 4.2, ое(т)~ 0, поэтому для того,
чтобы завершить наше доказательство, достаточно показать, что
в случае, когда т = 2п четно и (— 1)па2п (t) > 0, оператор х огра-
ничен снизу. Принимая во внимание теорему 28, для этого доста-
точно доказать существование такого малого 8>0, что если
<7 — подинтервал из I длины, не превосходящей 8, то сужение т
оператора х на J ограничено снизу.
624
Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
Пусть Ь — нижняя граница для ( — 1)па2п(0, а В —верхняя
граница для | (t) |, ОС/, k^2n. Тогда если /€©(Т0(т)), то
2n—1
(То (т) f, f) = (-1 )n J a2n (01 (0 I2 dt + 2 $ «7 (О /(Л (0 Ш dt >
J ]=1 J
, 2n-l
>b J \f™(f)\2dt+ 2 $ aj(t)fU)(t)ftt)dt.
J J=i J
Повторно интегрируя по частям сумму в правой части этого
неравенства, мы получаем сумму конечного числа N интегралов
с подинтегральными выражениями вида ± ajk) (t) (t),
0<£<2n, 0</<n, 0<p<n, где N зависит только от n. Таким
образом, мы имеем
1*1 (То (т) Л f) > b\ I f<п) (012 dt - NB шах Ь fm (0 11 f(p) (0 I dt.
J Q^P<n J
Если g обращается в нуль в окрестности левого конца а интер-
вала J и длина J не превосходит 8, то для t из интервала J
Is(01 = I $ ё'(0dt\с8 j Ig'(t)Idtc{ J \g'(0\*dt}1/2,
a J J
так что
1^(0|м/свЛ |£'(012л.
J J
Отсюда по индукции следует, что если 8 < 1, то
J \g^(t)\2dt^&* J \g(n)(t)\2dt, 0^p<n.
j j
Таким образом, в силу неравенства Шварца и [*]
(То (Т) А 0 > I f(n) (012-NB^ JI /(п) (012dt.
J J
Если 8 настолько мало, что b — NBs2>0, то отсюда следует, что
оператор т ограничен снизу, ч. т. д.
30. Следствие. Формально положительный формально сим-
метрический дифференциальный оператор т существенно ограни-
чен снизу нулем.
7, Качественная теория спектра
625
Доказательство. Определение 20 показывает, что оператор т
ограничен снизу. Поэтому наше утверждение вытекает из след-
ствия 7 и определения 25(b).
31. Следствие. В условиях теоремы 8 предположим, что коэф-
фициенты ph действительны. Тогда т существенно ограничен
снизу любым конечным X.
Доказательство. Мы используем обозначения из доказатель-
ства теоремы 8. Для того чтобы доказать, что х существенно
ограничен снизу числом Хо, достаточно по лемме 29 и теореме 28
показать, что т' существенно ограничен снизу числом Хо. Но, как
показано в доказательстве теоремы 8, точка с может быть выбрана
так, что оператор т' — Хо будет формально положительным. Согласно
предыдущему следствию, т' —Хо существенно ограничен снизу
нулем, откуда по определению 25 мы получаем, что т' суще-
ственно ограничен снизу числом Хо, ч. т. д.
32. Следствие. В условиях теоремы 9 предположим, что т
формально симметричен. Тогда х существенно ограничен снизу
любым конечным X.
Доказательство. Мы используем обозначения из доказательства
теоремы 9. Из этого доказательства видно, что т = тс + Ро ограни-
чен снизу (поскольку хс формально положителен для достаточно
больших с, а функция р0 ограничена снизу). Так как по теореме 9
ое(т) = 0, то наше утверждение вытекает из определения 25.
33. Следствие. В условиях теоремы 10 предположим, что
коэффициенты рь действительны. Тогда х существенно ограничен
снизу любым конечным X.
Доказательство. Это утверждение может быть доказано так же,
как следствие 32.
Можно установить ряд дополнительных результатов, связан-
ных с результатами, выраженными теоремой 11, ..., следствием 19,
почти так же, как следствия 31, 32 и 33 связаны с теоремами
8, 9 и 10. Некоторые результаты такого рода можно найти в упраж-
нениях в конце этой главы.
Следующая «теорема сравнения» часто оказывается полезной
при определении существенного спектра формального дифферен-
циального оператора.
34. Теорема. Пусть х —формально самосопряженный диффе-
ренциальный оператор порядка п на интервале I. Предположим,
что х ограничен снизу. Пусть т1 — регулярный или иррегулярный
дифференциальный оператор порядка, не превосходящего п, опре-
деленный на том же интервале I, формально самосопряженный
40 Заказ № 134
626 Гл, XIН> Обыкновенные дифференциальные операторы
и формально положительный. Тогда если т существенно ограничен
снизу числом X, а старший коэффициент оператора т4-т4 нигде не
обраицаепгся в нуль, то т + Ti существенно ограничен снизу числом X.
Доказательство. Не уменьшая общности, мы можем предпо-
лагать, что Х = 0. В силу следствий 24(b), XII.4.13 и 26 Т0(т)
имеет самосопряженное расширение Т, которое также существенно
ограничено снизу нулем. Пусть 8>0. Тогда, согласно следст-
вию 27, множество (— оо, — е) Q о (Т) конечно. Пусть ..., Хр —
его точки, £(•)— спектральное разложение оператора 7 и =
= E(ki). По теореме XII.2.6 каждая функция f из Ei (L2) удовле-
творяет уравнению Tf~kif. Так как по теореме 2.10 и лем-
ме XII.4.1(b) из равенства Tf = Xtf следует равенство (т) f = %if,
то отсюда следует, что Ei(L2(I)) конечномерно для каждого
4 = 1, ..., р. Следовательно, мы можем найти конечный ортонор-
мальный базис (fi, ...,фп Для Ei(L2(l)) + ... +EP(L2(I)). Если
f£L2 (/) удовлетворяет условиям (f, (ft)n = 0, i = 1, 2, ..., и, то
п
(I— 2 Ei) f — f и поэтому £([—е, оо)) f = f- Следовательно, если
г=1
/Е©(0 удовлетворяет условиям (f, <рг) = 0, 1=1, ...,и, то из
теоремы XII.2.6 вытекает, что
оо
[*] (Tf, f)= 5 K\E(d%)f\*>-s\f\*.
— 8
Для каждого целого k^n мы можем представить простран-
ство ©(То(т)) в виде суммы пространств ©а={/ g©(То(т)) |(/, <рг)=0,
i=l, и конечномерного подпространства 91а, таких, что
существует ограниченный оператор проектирования Ph, проекти-
рующий ©(Т0(т)) на yih, для которого (/ —Рй)©(Т0(т)) = ©а.
Это легко доказать при помощи индукции по k. Применяя индук-
цию, мы должны только показать, что ©а можно представить
в виде суммы пространства ©a+i и конечномерного пространства
для которого существует ограниченный оператор Ph, проекти-
рующий ©а на такой, что (/ — Ph) ©а = ©д+1. В самом деле,
в этом случае мы можем положить 91a+i = 91а + 91а и опре-
делить Pa+i формулой Ра+1 = Ра + Ра(/ —Ра). Если (/, фА+)) = 0
для всех /6 ©а, то ©a = ©a+i, 91а = 0. С другой стороны, если
существует функцияg6©й, такая, что(£, <pft+1) = l, то/—(f, <Pa+i)£€
g©а+1 для каждой функции так что ©а является суммой ©ft+1
и одномерного пространства 91а, натянутого на g. При этом
мы полагаем Pkf = (f, <Pa+i) g- Итак, мы можем заключить, что
©(Ео(т)) = {/€©(Ео(т)) | (/, фг) = О, /= 1, ..., n} + 9t = ©n + 9ln,
7. Качественная теория спектра
627
где sjt —конечномерное подпространство, пространства £(Т0(т)),
причем существует ограниченный оператор Р = Рп, проектирующий
© (То (т)) = © (То (т + тО) на такой, что (I — Р) © (TQ (т + т^))
Пусть р,>0; применяя следствие 2, мы покажем, что —-(р+е)^
(faefv + Ti). Если это неверно, то, согласно следствию 2, суще-
ствует ограниченная последовательность {fm} из © (То (т-}-^)),
такая, что {(т + ^ + ц + е)/™} сходится, но {fm} не имеет сходя-
щихся подпоследовательностей. Пусть gm = Pfm. Тогда {gm} — огра-
ниченная последовательность в конечномерном пространстве
поэтому мы можем считать без ограничения общности (переходя,
если необходимо, к подпоследовательности), что {gm} сходится.
Отображение ^(r + Ti) определено и линейно на конечномерном
пространстве 91п, поэтому оно непрерывно на этом пространстве.
Следовательно, {(т + ^ + ц+ 8) g™} сходится. Поэтому, полагая
fm = fm—gm, мы получаем ограниченную последовательность {fm}
элементов из £)п, такую, что {(т + ^ + р + е)/т} сходится, но {fm}
не содержит сходящихся подпоследовательностей. С другой сто-
роны, в силу [*] мы имеем
Йт \fm — /д|2СИ-1 Нт ((т + т1 + н + 8) (^ ——?9) = 0>
т, q->oo т, q-»oo
поскольку норма \Jm — Jq\ ограничена и последовательность
{(^ + ^i + h + 8) fm} сходится. Таким образом, {fm} — фундаменталь-
ная последовательность, поэтому она сходится. Это противоречие
доказывает теорему.
В случае действительного формально самосопряженного диф-
ференциального оператора
имеется тесная связь между спектральной теорией различных
самосопряженных расширений оператора Т0(т) и более класси-
ческой «осцилляционной теорией» Штурма. Теперь мы намерены
установить эту связь.
В нашем дальнейшем изложении мы будем использовать основ-
ные факты теории Штурма о нулях решений дифференциальных
уравнений второго порядка; мы сформулируем их в виде следую-
щих лемм.
35. Лемма. Пусть
40*
628
Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
— два действительных формально самосопряженных дифферен-
циальных оператора, определенных на замкнутом интервале /.
Предположим, что Pi(t)> p2(t)>® и qi(t)>q2(t) для t£l.
Пусть ft — ненулевое действительное решение уравнения —0.
a f2 — ненулевое действительное решение уравнения x2f2 = 0.
Пусть fi(c) = O. /\(d) = 0. Тогда, за исключением случая, когда
pi(t) = p2(t). qi(t) = q2(t). a f2 отличается от постоянным
множителем в [с, d], всегда существует точка b в открытом
интервале (с. d), такая, что f2(b) — Q.
Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы
неверно. Тогда функция fi(t)/f2(t) непрерывна в [с, d]. Действи-
тельно, если f2 обращается в нуль в одной из точек с. d. скажем
в точке с. то обязательно /' (с) Ф 0 (поскольку /2 (О = /2 (О = О
означает, что f2^=0 вопреки предположению), и
Птш=а(£)
* Дс /2(0 fi(c)
Следовательно, функция g. определенная формулой
g (t) = fi (t) ft1 (t) (Pi (t) fi (ft f2 (ft - P2 (ft fi (ft (01,
непрерывна в [c, dj. Более того, она обращается в нуль в концах
интервала [с, d], даже если f2(c) = 0 или f2(d) = 0. Далее,
g = Pif'ift — (p2ft) ftft1,
так что
S' = <71Л - <7^ + Pi (f’r)2 ~ 2p2ftftftf? + Pzftftftft2 =
= (<71 -<72) ft+Pi (Л)2+р2/,2 [(Ш1-2Ш2Л+(Л)2Л1-р2 (Л)2=
= (St — Я2) ft. + (Pi — Р2) (ft)2 + P2f? (ftf2—ftfi)2-
Таким образом,
® = g(d) — g(c)= J №1 —<7г) ft+(Pt — P2) (ftY + Pzft1 (ftf2—ftfi)2)-
c
Так как все члены под интегралом в правой части неотрица-
тельны, мы имеем /'/2 — f2fi = ^ в Iе, d]. Таким образом,
(ftft1)' = ft2(fif2-ftfi)
есть тождественный нуль в [с, d], поэтому — постоянная
величина. Кроме того, поскольку и f{ имеют только конечное
число нулей в [с, d], обязательно pt(t) = р2(0, <71(0 “42(0 Для
t g [с, d]. ч. т. д.
7. Качественная теория спектра
629
36. Следствие. Пусть
’=-(a)"w(a)+’w
— действительный формально самосопряженный формальный диф-
ференциальный оператор, определенный на открытом, полуоткры-
том или замкнутом интервале I. Тогда
(а) между любыми двумя последовательными нулями любого
отличного от тождественного нуля решения ft уравнения xf = O
имеется один нуль любого линейно независимого решения f2\
(b) если некоторое отличное от тождественного нуля решение
уравнения xf — O имеет бесконечное число нулей в I, то каждое
отличное от тождественного нуля решение этого уравнения
имеет бесконечное число нулей в I.
Доказательство. Утверждение (а) есть частный случай Ti==T2
предыдущей теоремы. Утверждение (Ь) очевидным образом сле-
дует из утверждения (а).
Примером, иллюстрирующим утверждение леммы, служит пара
функций sink/ и sinp/ для р>Х; утверждению следствия отве-
чает пара функций sin/ и cosf.
Другой пример, показывающий, насколько сильной является
теорема сравнения Штурма, доставляет следующая теорема Кне-
зера, которая, как мы увидим ниже, дает интересные сведения
о спектре самосопряженных расширений оператора Tq(x) в слу-
чае, когда она применима.
37. Следствие. Пусть
T=-G)2+9(0
— действительный формально самосопряженный формальный
дифференциальный оператор, определенный на интервале [а, со).
Тогда ______
(а) если lim t2q (/)<—!/4, то каждое решение уравнения xf = O
t->OO
имеет бесконечное число нулей на интервале [а, со);
(Ь) если lim t2q (/) > —1/4, то всякое отличное от тождест-
t->oo
венного нуля решение уравнения xf — O имеет не более конечного
числа нулей на [а, со).
Доказательство. В соответствии с предыдущей теоремой доста-
точно показать, что при а<—1/4 каждое решение уравнения
— /" at~2f = 0 имеет бесконечное число нулей и что при
а > — 1/4 каждое отличное от тождественного нуля решение
уравнения — + at~2f = 0 имеет только конечное число нулей.
630 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Здесь двумя решениями уравнения —/" 4- at~2f = 0 являются tei
и te2, где е19 е2= 1/2 ± (1/4). Если а > — 1/4, то и е2
действительны и очевидно, что tei, te2 не имеют нулей. Если
а <—1/4, так что = (1/4) — чисто мнимое число, то
tei 4- tei = t1/2 + rig) = 2t1/2 cos (|i log 0
имеет бесконечно много нулей, ч. т. д.
38. Следствие. Пусть
— действительный формально самосопряженный формальный диф-
ференциальный оператор, определенный на интервале (0, а]. Тогда
(а) если lim/2<7(/)< — 1/4, то каждое решение уравнениях$ = 0
t—>о
имеет бесконечное число нулей на интервале (0, а];
(Ь) если lim t2q (t)>— 1 /4, то всякое отличное от тождественного
нуля решение уравнения xf — О имеет не более конечного числа
нулей на (0, а}.
Доказательство. Читатель, изучивший доказательство преды-
дущего следствия, сможет без труда изменить его так, чтобы
получить доказательство следствия 38.
Теперь мы приведем первый результат, связывающий осцилля-
ционную теорию со спектральной теорией.
39. Лемма. Пусть
— действительный формально самосопряженный формальный
дифференциальный оператор, определенный на интервале I — (а, Ь).
Пусть р(х)>0 для х£1, а Хо — действительное число. Тогда
(а) если х существенно ограничен снизу числом Хо, то для
каждого 8>0 никакое действительное решение уравнения тст =
= (Х0 — е) о не имеет бесконечно много нулей в I;
(Ь) если для всех 8 > 0 каждое действительное решение уравне-
ния то = (Х0 — 8) ст имеет только конечное число нулей el, то х
существенно ограничен снизу числом Ао.
Доказательство. Пусть функция ст действительна, удовлетво-
ряет уравнению то = (Хо — е) в и имеет бесконечно много нулей в I.
Тогда о имеет либо возрастающую, либо убывающую бесконеч-
ную последовательность различных нулей. Для определенности
предположим, что ст имеет возрастающую бесконечную последо-
7. Качественная теория спектра
631
вательность нулей zb z2, z3, ... . Пусть gn (t) = kna (t) для
zn</<zn+i, где постоянная kn выбирается так, что
2п+1
J gn(t)dt = l
?п
и gn (0 = 0 в других точках.
Дальше нам понадобится следующий общий вспомогательный
принцип. Пусть g —непрерывно дифференцируемая функция
в конечном замкнутом интервале J, равная нулю в концах этого
интервала. Пусть е>0. Тогда существует функция /iCC°°(J),
такая, что
maxIЛ (/)—£(/) |<е,
t£J
Ih'—1г = { $ \h’ (t)-g' (/) |2 < e,
причем h обращается в нуль в окрестностях концов интервала J.
Это можно доказать следующим образом. Прежде всего для
определенности мы, очевидно, можем без ограничения общности
предполагать, что J = [ — 1, +1]. Продолжим функцию g, пола-
гая g(t) = O при р|>1. Тогда ясно, что при б—>0
max|g(0—£((1+6) 01 -> 0,
tej
$ |£' (0-jz£((l+6)0 р-*0.
Поэтому, выбирая б достаточно малым и полагая g(t) = g ((1 + б) /),
мы найдем непрерывную функцию g с непрерывной всюду, за
исключением двух точек ^(l+e)"1, производной, такую, что
max|£(0 — £(0|<4,
I г Л t I ®
|£ -£ 1г<у,
причем g обращается в нуль вне интервала [ — 1+1], 1— 1]]»
где т] — некоторое положительное число. Далее, пусть <р — беско-
нечно дифференцируемая действительнозначная неотрицательная
функция, равная нулю вне интервала J = (— 1, +1) и такая, что
<р (t) dt = 1.
j
632
Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
Тогда при а —> оо мы, очевидно, имеем следующее:
4-00
аср (as) g (Z — s) ds —>g(t) равномерно;
—оо
оо
a<p (as) g (t — s) ds обращается в нуль вне отрезка
1 — Н-n—а-1> 1—п+а-11;
оо
аср (as) g' (t — s) ds—>g' (t) в каждой точке непрерывности
— оо
функции g';
оо
\ а<р (as)g' (t — s)ds <max\g’ (t) I.
I J I
—oo
Из последних трех утверждений и теоремы Лебега мы заключаем,
что при a —> оо
оо
| a<p(as)g' (t — s)ds — g’ (t) |2 dt—>0.
J —oo
Поскольку g(t — s) обращается в нуль в точках разрыва своей
производной, мы находим интегрированием по частям, что
оо оо
§ a<p (as) g’(t— s)ds= |^a<p (as) j g (t — s) ds =
— oo —oo
oo
{i— s))} — $ ^a<p(a(/— s))g(s)ds=
$ a<P(a(z — s))S(s)ds = -^ J acp(as)g(/ — s)ds.
—oo —oo
Здесь используется также тот факт, что q)gC°°(J). Таким обра-
зом, выбирая а достаточно большим и полагая
оо
h (t) = a<p(as)gr (t — s) ds,
— oo
мы получаем
max |/i(0-g{t) l<y + -|- = 8, |/i' —g/|2<y + y = e,
7. Качественная теория спектра
633
причем h обращается в нуль вне интервала [ — 1 ф- т)/2, 1 + t]/2],
где т]>0.
оо
Более того, поскольку h(t) = аср (а (t — s)) g (s) ds, очевидно,
— oo
что h£C°° (/); общий вспомогательный принцип доказан.
Теперь, используя этот принцип, выберем последовательность
{hnm} бесконечно дифференцируемых функций, таких, что hnm(t}
обращается в нуль всюду, кроме интервала zn<zt <zn+1,
lim I hnm—gn|2 = 0
m->oo
и hnm (0 —> gn (0 равномерно, когда m—>oo. Тогда
zn+l
(тйдпг, hnm) = {p(0l hnm (0 I2+ 9(0 I hnm (0 |2И-^>
zn
zn+i
-> $ {р(01^(012 + 9(01<?п(012}Л =
zn
= 5 (тЯп) (0^(0^ = (^>—e)|gn|i = (Xo-e).
zn
Следовательно, выбирая достаточно большое т = тп и полагая
fn = hnmn/\ hnmn |2, мы можем построить последовательность функ-
ций /пС®(Т0(т)), такую, что
(/n, fm) = 0, 1 П Ш,
[*] |/п|=1,
(yfni fn)^^0 — ~2 •
Теперь предположим, что т существенно ограничен снизу
числом Хо. Согласно следствиям 24(b), XII.4.13 и 26, Т'о(т) имеет
самосопряженное расширение Т, которое также существенно огра-
ничено снизу числом Хо. Тогда в силу следствия 27 множество
( — со, Хо — е/4) Q о (т) конечно. Пусть ..., — его точки,
£(•)— спектральное разложение для Т и Ei = E(tki). По тео-
реме XII.2.6 каждая функция f из Ei(L2) удовлетворяет уравне-
нию = Так как по теореме 2.10 и лемме XII.4.1 из равен-
ства Tf = Ktf следует равенство (т) / = Uf, из предыдущего
вытекает, что Ei(L2) конечномерно для каждого /=1, ..., р.
Следовательно, мы можем найти конечный ортонормальный базис
634 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
фь •••, фп для £1 (£2) ©• • •© (L2). Если fQL2 удовлетворяет
условию (/, ф;) = 0, i= 1, ..т, то (/— 3 £;) f—f и поэтому
г=1
Е ([А,о —е/4, со)) f = f. Следовательно, если /£©(£) удовлетворяет
условию (/, <рг) = 0, i = 1, ..., tn, то из теоремы XII.2.6 вытекает, что
оо
I**] J X|£(dZ)/|2>(x0-|)|/|2.
Хо-е/4 У
С другой стороны, так как выше построено бесконечно много
функций /п, мы можем, очевидно, найти такую нетривиальную
п
линейную комбинацию f= 3 а,/г этих функций, что (/, фг) = 0,
г=1
1=1, ...,т. Тогда справедливо неравенство [**]; однако, согла-
сно [*],
п п
{Tf, f) = 2 I аг I2 {Tft, Д) < (Чо—0 2 । “г I2 = Cx° — 4) 1 f |2-
г=1 i=l
Это противоречие доказывает, что т не является существенно
ограниченным снизу числом %0, откуда следует утверждение (а).
Чтобы доказать (Ь), рассуждаем следующим образом. Пред-
положим, что для всех е>0 каждое действительное решение
уравнения то — (Хо —е)о имеет только конечное число нулей в I.
Мы хотим показать, что т существенно ограничен снизу числом Хо.
По теореме 28 и теореме 4 достаточно показать, что сужения
оператора т на (а, с] и [с, Ь), где существенно огра-
ничены снизу числом Хо.
Таким образом, не уменьшая общности, мы можем пред-
полагать, что / — полуоткрытый, скажем справа, интервал, так что
/ = [а, Ь). Решение уравнения то = (Хо — 8/2) о, удовлетворяющее
условию f (а) = 0, единственное с точностью до постоянного мно-
жителя, имеет только конечное число нулей. Пусть с —его наи-
больший нуль, так что решение уравнения то = (Хо — е/2) о, удо-
влетворяющее условию f(c) = O, не имеет нулей внутри [с, Ь).
По теореме 28 и лемме 29 сужение оператора т на [с, Ь) суще-
ственно ограничено снизу числом Хо —е для каждого е>0
тогда и только тогда, когда сужение оператора т на [а, Ь) суще-
ственно ограничено снизу числом Zo — е для каждого 8 > 0.
Таким образом, не уменьшая общности, мы можем предполагать,
что решение уравнения то = (Хо —е/2) о, удовлетворяющее усло-
вию f(a) = O, не имеет нулей внутри /. По принципу сравнения
(лемма 35) если —е/2, то решение уравнения то = Хо, удо-
влетворяющее условию f (а) = 0, не имеет нулей внутри /. Поэтому
7. Качественная теория спектра
635
если с — любая точка, такая, что a<Zc<z.b, то самосопряженный
оператор Тс, полученный из сужения оператора т на [а, с] нало-
жением граничных условий f (а) = f (с) = 0, не имеет собственных
значений, меньших, чем X — е/2. Тогда из теорем 4.1, 4.2 и XII.7.2
следует, что (т/, f) = (Tcf, f) > (Хо — е/2) | f |2 для f из £(ТС).
Так как Q © (Тс) з © (То (т)), то ((т —(Хо — е/2)) /, f) >0 для f
a<c<b
из ©(То(/)); поэтому оператор т —(Хо —е/2) является формально
положительным и, согласно следствию 30, т существенно огра-
ничен снизу числом Хо —е/2 для любого е>0, ч. т. д.
40. Теорема. Пусть
— действительный формально самосопряженный дифференциаль-
ный оператор, определенный на интервале 1=^(а,Ь). Пусть
p(t)>0 для t из I. Тогда
(а) если т не ограничен снизу, то все решения каждого ура-
внения то = Хо имеют бесконечно много нулей в I, и обратно;
; (Ь) если т ограничен снизу и ^ — наименьшее число из ое(т)
(в данном случае Хо> — со), то для р>Х0 каждое решение
уравнения то = ро имеет бесконечно много нулей, тогда как
для р < Хо всякое решение этого уравнения имеет не более
конечного числа нулей.
Доказательство. Оператор т ограничен снизу тогда и только
тогда, когда он существенно ограничен снизу некоторым конеч-
ным X. Поэтому утверждение (а) следует непосредственно из пре-
дыдущей леммы.
Чтобы доказать утверждение (Ь), заметим, что т существенно
ограничен снизу числом Хо, но не всяким Х>Х0. Утверждение (Ь)
следует из предыдущей леммы.
Теперь мы обратимся к более детальному анализу случая (Ь)
предыдущей теоремы. Пусть т — формальный дифференциальный
оператор, рассматриваемый в этой теореме, а Хо —наименьшее
число из ое(т). Пусть т имеет па ( = 0 или 2 по теореме 2.30)
граничных значений в точке а и граничных значений в точке Ь.
Пусть Т — самосопряженное сужение оператора ТДт), определен-
ное распадающейся системой граничных условий. Согласно след-
ствию 2.32, эти граничные условия действительны и состоят
из (1/2) па ( —0 или 1) граничных условий в точке а и из (1/2) пъ
\-0 или 1) граничных условий в точке Ь.
Проведем подробное исследование решений уравнения то = Хо
для Xt\—оо,Х0). Для упрощения дальнейших формулировок
условимся, если одно из па или пъ равно нулю, предполагать,
636 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
что = Это не уменьшает общности, так как всегда можно
сделать замену переменной — Таким образом, за исключе-
нием случаев, когда т вообще не имеет граничных значений, он
имеет два граничных значения в точке а, и, согласно след-
ствию 2.31, система граничных условий, определяющая Т, содер-
жит в точности одно действительное граничное условие В в точке а.
Пусть / — любая точка из (а, Ь). Пусть и т2 —сужения
оператора т соответственно на (a, t] и [/, Ь). По теореме 2.20
любое граничное значение для (для т2) в точке а (в точке Ь}
можно рассматривать как граничное значение для т в точке а
(в точке Ь). Если т имеет некоторые граничные значения в точке аг
то по теореме 2.30 мы можем найти два действительных гранич-
ных значения Gt, G2 для в точке а и два действительных гра-
ничных значения Еь Е2 для Ti в точке /, таких, что
(W. g) - (Л tig) = Gi (f) G2(g)—(f) сГй) +
+ Ei(f)EXg)~E2(f)'Edg), f,
Согласно следствию 2.23, мы можем написать
(/) = anf (0 + а12?' (0> ^2 (/) — #21/ (0 + #22Г (0» f С ® (т1))>
где, поскольку Et и Е2 действительны, коэффициенты дей-
ствительны. Отсюда мы находим
(tif, g)~(f, tlg) = Gi (f) GHi) - G2 (f) Gai) +
+ («11022 —021012) (/(OFTO — fWiXO)- f> g^(Ti(ti))
Если мы выберем f и g так, чтобы они обращались в нуль
в окрестности точки а, и применим формулу Грина (теорема 2.4),
то получим
(Tif, g) - (/, rlg) = Ft (f, g) 4- Gi (f) G7W) - G2 (f) Gdi),
f,g№ (Tt)),
где Ft(f,g) — граничная форма для т в точке t, определяемая
выражением
Ft (/, g) = р (О (f (0 iT) -Г (О F(0), о < t < ь.
Если Tj не имеет граничных значений в точке а, то мы таким же
способом находим
(Т1Л g)-{f, tig) = Ft(f, g), f, g^(Tl^i)).
Аналогично мы имеем
(t2f,g)-(f,t2g)=-Ft(f,g), f, gG©(Л(т2)),
7. Качественная теория спектра
637
•если т не имеет граничных значений в точке 6; если же т имеет
граничные значения в точке Ь, то мы можем найти два действи-
тельных граничных значения £\, D2 для т2 в точке Ь, таких, что
Ы, g) - (f, T2g) = D, - D2 (f) D^g) - Ft (f, g),
f, £$№)).
По теореме 2.30 и следствию 2.31 система граничных условий,
определяющая самосопряженное сужение Т оператора ТДт),
имеет вид
В’(/)= ai^i (/) + a2G2 (/) = 0, а* + «1 #= 0, аь а2—действительные,
В (/) = РА (/) + р2О2 (/) = 0, Р1 + Р1 У= 0, pi, р2 — действительные,
•если т имеет граничные значения в обеих точках а и Ь, и
В (/) = аА (/) + а2С2 (/) = 0, а* + а* #= 0, аь а2 — действительные,
если т имеет граничные значения в точке а, но не имеет их
в точке Ь. Следовательно,
(а) если удовлетворяют граничному условию
В (/) = 0 или если т не имеет граничных значений в точке а
И Л ^6®(Л(Т1)), ТО
(Tif, g) — (f, T:ig) = Ft(f, g);
(b) если S —сужение оператора T'i(ti), определенное гранич-
ным условием f (t) + cf' (/) = 0 и граничным условием В(/)=0
(когда т имеет граничные значения в точке а), то S* — сужение
оператора Ti (ti), определенное граничным условием f (0 = 0
и граничным условием В(/)=0 (когда т имеет граничные значения
в точке а).
Это следует из предыдущей формулы, теоремы 2.10 и тео-
ремы XII.4.28. Аналогично мы имеем
(с) если S — сужение оператора Т'1(т1), определенное гранич-
ными условиями /(0 = f'(0 = 0 и В (0 = 0 (когда т имеет гранич-
ные значения в точке а), то S* —сужение оператора Л^),
определенное граничным условием В (0 = 0 (когда т имеет гра-
ничные значения в точке а).
Если т не имеет граничных значений в точке а, то, поскольку
( - оо, Хо) П (т) = 0, из лемм 6.7 и 6.9следует, что дляХ£( — оо, Хо)
существует ровно одно (с точностью до постоянного множителя)
решение о(х, X) уравнения то^Хо с интегрируемым квадратом
в окрестности точки а.
Если т имеет два граничных значения в точке а, то суще-
ствует ровно одно (с точностью до постоянного множителя)
решение о(х, X) уравнения то = Хо с интегрируемым квадратом
638
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
в окрестности точки а, удовлетворяющее граничному условию В.
Действительно, так как по теореме 6.7 все решения уравнения
то = Хо . интегрируемы в квадрате в окрестности точки а, то
очевидно, что по крайней мере одно такое решение обязательно
существует. С другой стороны, если два линейно независимых
решения уравнения то = Хо удовлетворяют граничному условию В,
то все его решения удовлетворяют этому условию. Тогда, согласно
замечанию (а), сделанному выше, отсюда следует, что для любых
двух решений /, g уравнения то = Хо при a<Zc<Zb мы имеем
с
о = J {((Т- X) f) (0 i(t) - f (t) ((r-X)g) (/)} dt =
a
c
= $ {(tf) (07(0 - f (0 fig) (0) (c) (g(c) f (c) — f (0 g' (0).
a
Однако это невозможно, так как существуют решения f и g
уравнения то = Хо, удовлетворяющие условиям / (с) = 0, f' (с) = 1,
£(0 = 1, £'(0 = 0.
Для удобства дальнейших ссылок сформулируем эти замеча-
ния в виде следующей леммы.
41. Лемма. Пусть оператор т и граничное условие В (если т
имеет граничные значения в точке а) определены, как выше.
Тогда при — со < X < Хо уравнение то = Хо имеет ровно одно
(с точностью до постоянного множителя) решение о (t, X) с инте-
грируемым квадратом в окрестности точки а, удовлетворяющее
граничному условию В.
42. Лемма. Решение o(t, X), определенное выше, может быть
выбрано так, чтобы оно было действительным и бесконечно
дифференцируемым по t и X для Zg/^Xg(—со, Хо).
Доказательство. Согласно предыдущим замечаниям, граничное
условие В в точке а, определяющее оператор Т, действительно.
Поэтому если решение f уравнения то = Хо интегрируемо в ква-
драте в точке а и удовлетворяет граничному условию В,
то таким будет и f. Так как по предыдущей лемме существует
только одно такое решение (с точностью до постоянного мно-
жителя), то мы должны иметь f = af, где |а| = 1, поскольку
[/1 = 1/1. Полагая р = а1/2, мы имеем р = р-1, так что р/ = р/.
Таким образом, / отличается ненулевым множителем от действи-
тельного решения уравнения то = Хо, поэтому если a<z.c<zb,
то отношение f'(c)/f(c) действительно. Итак, если мы предполо-
жим, что Ti —сужение оператора т на интервал 1 = (а,с],.
7. Качественная теория спектра 639
а Т — сужение оператора определенное граничными усло-
виями В (когда т имеет граничные значения в точке а) и f(c) =
= if'(c), то уравнение Tf — hf не имеет решений ни при каком
действительном X. По теореме 2.10, лемме XII.1.6(а) и опре-
делению XI 1.4.20 оператор Т замкнут. Согласно замечанию (Ь),
предшествующему лемме 41, сопряженный к Т оператор Т*
является сужением оператора 7\(т), определенным граничными
условиями В (когда т имеет граничные значения в точке а)
и f (с)= — if' (с). Следовательно, уравнение T*f = Kf не имеет
решений для действительных X. Это означает по лемме XII.3.6(d),
что множество (Т — Х)®(Т) плотно в Ь2 (/) при каждом действи-
тельном X.
Далее, пусть — оо < Х< Хо. Согласно определению 6.1,
(Т — X/)© (T) = L2(I). Поэтому kl —Т есть замкнутое взаимно
однозначное отображение пространства ©(Т) на L2(J), откуда
(X/ — Ту1 есть замкнутое всюду определенное отображение. Таким
образом, по теореме II.2.4 о замкнутом графике и лемме VII.9.2
резольвента 7?(Х; Т) есть аналитическая функция, определенная
в некоторой окрестности V интервала ( — оо, Хо) в комплексной
плоскости. По теореме 2.16 выражение
ФЛ (/) = (Z? (X; Т)/)(с)
определяет ограниченный линейный функционал на L2(J) для каж-
дого X из V. Следовательно, существует элемент g^ из Ь2(1),
такой, что фх (/) — (/, gf) Для каждого X из V. Очевидно, что g%
аналитически зависит от X для X из V.
Пусть Т2 s Т —сужение оператора 7\(ti), определенное гра-
ничными условиями В (когда т имеет граничные значения в точке а)
И f(c) = f(c) = O.
Согласно следствию 2.23 и XII.4.28, Т* —сужение оператора
Ti (т), определенное одним граничным условием В. Если (Т2),
то мы имеем
((М - Т2) f, gj = ((X/ - Т) f, = R (X; Т) ((XI - Т) f) (с) = f(c) = 0.
Таким образом, (X/ —T*)g^ = 0 для X из V. Следовательно, для
X из ( —оо, Хо) функция gx — решение уравнения TjO = X(j, лежа-
щее в L2 (/) и удовлетворяющее граничному условию В (g^) = 0
(если т имеет граничные значения в точке а). Когда X меняется,
gx и T1grx = ^grx меняются аналитически в норме пространства
Ь2(Г). Поэтому в силу леммы 2.16 gx(c) и gi(c) меняются ана-
литически по X, когда X пробегает интервал ( —оо, Хо). Если мы
предположим, что о (/, X) — единственное решение уравнения
то = Ха, определенное начальными условиями о (с, h) = gk(c),.
640
Гл. XI11. Обыкновенные дифференциальные операторы
о'(с, X)=gb(c), то из следствия 1.5 ясно, что о(/, %) является
функцией класса С°° по t и X для / из I и X из ( —оо, Хо).
Более того, очевидно, что о(•, X) интегрируема в квадрате
в окрестности точки а и удовлетворяет граничному условию В
(если т имеет граничные'значения в точке а), ч. т. д.
Теперь мы допустим, что Jn — подмножество Х-оси, для кото-
рого о(/, X) имеет*в точности п нулей внутри /. По теореме 40
каждое множество Jn лежит в области Х<:Х0, тогда как откры-
тый интервал X < Хо содержится в объединении J Jn. Точка Хо
71=0
может лежать или не лежать в одном из интервалов Jn. Ниже
мы увидим, какое значение имеет эта альтернатива для спектра
оператора Т.
43. Лемма. Если K^Jn и то Х<ХР
Доказательство. Пусть это не верно. Тогда Xt<;X. Так как
по лемме 35 о(/, X) имеет нуль между каждыми двумя нулями
функции о(/, Х±), то мы должны только показать, что интервал
(a, z] между а и наименьшим нулем z функции о (/, Х^ содер-
жит нуль функции о(/, X); тем самым будет установлено, что
о(/, X) имеет по крайней мере п 4-1 нулей, вопреки тому, что
X £ Jn.
Для этого заметим, что в противном случае мы можем, умно-
жая на подходящие постоянные, считать о (/, XJ и о (/, X) неот-
рицательными в (a, z). Так как z есть нуль функции о(/, Xt),
но не функции о (/, X), то отсюда сразу следует, что о' (?, Х^ < 0,
о (z, X) > 0. Согласно замечанию (а), предшествующему
лемме 41,
0<(Х —Ы J o(t, ki)dt =
а
= J {(то) (л X) a (f, 1,)-а (Л М) (та) (Л X)} dt =
а
= р (z) о (z, X) о' (z, Xi) < 0.
Это противоречие устанавливает наше утверждение.
44. Следствие. Множества Jn являются интервалами дейст-
вительной оси, причем Jn лежит левее Jn+i.
Доказательство. Из предыдущей леммы следует, что если
Х1? Х2ЕЛ и Хх < X < Х2, то XgJn. Поэтому Jn — интервал. Второе
утверждение также следует непосредственно из предыдущей
леммы.
7. Качественная теория спектра
641
45. Лемма. В каждом интервале Jn лежит не более одного
собственного значения оператора Т.
Доказательство. Предположим, что это не так. Пусть Xi
и Х2 —две точки из Jn, являющиеся собственными значениями
оператора Т. Тогда и а (/, Х2) —собственные функции
оператора Т. Пусть Xi < Х2. По теореме сравнения Штурма
(лемма 35) о(-, Х2) имеет один нуль в открытом интервале между
каждыми двумя нулями функции o(-,Xi). Пусть z^ и z2 —наи-
меньший и наибольший нули функции о(-, ?ч). Если мы сможем
показать, что о(-, Х2) имеет один нуль в (a, zj и один нуль
в [z2, /?), то тем самым мы установим, что о(-, Х2) имеет по край-
ней мере п-\-1 нулей в (а, Ь). Это противоречит тому, чтоХ2С</л.
При этом достаточно доказать, что о (•, Х2) имеет один нуль
в (a, zj; отсюда по симметрии будет следовать, что о(-, Х2)
имеет один нуль в [z2, b).
Заметим, что в противном случае мы без ограничения общности
можем считать о(^, Х^ и о(/, Х2) неотрицательными в (a, zj,
ибо мы можем умножить их на подходящие постоянные. Так
как Zt —нуль функции о (/, Х±), но не функции о (/, Х2), отсюда
непосредственно следует, что о' (z19 Xi) < 0, о (z1? Х2) > 0. Согласно
замечанию (а), предшествующему лемме 41,
0<(^2 — М) J сг(/, Х2)о(/, Ki)dt =
а
zi
= J {(та) (/, K2)o(t, Х2)(та)(Л =
а
X2)o'(Zi, Xj)<0.
Это противоречие устанавливает наше утверждение.
46. Следствие. Каждый k-й нуль функции X) {нули счи-
таются в порядке возрастания) является монотонно убывающей
функцией от
Доказательство. Пусть Xi < Х2. По теореме сравнения (лемма 35)
о(-, Х2) имеет один нуль в открытом интервале между каждыми
двумя нулями функции о(-, Xi). Пусть Zi —наименьший нуль
функции о(-, М). Если мы сможем показать, что а(•, Х2) имеет
один нуль в интервале (a, zj, то отсюда будет немедленно сле-
довать наше утверждение. А это доказывается в точности так же,
как в последнем абзаце доказательства предыдущей леммы.
47. Лемма. Все ненулевые интервалы Jn, открыты
слева.
41 Заказ № 134
642
Гл. XllI. Обыкновенные дифференциальные операторы
Доказательство. Пусть наше утверждение неверно, т. е. суще-
ствует точка Хо, такая, что а(/, Хо) имеет п нулей, а а(/, Хо —8)
имеет меньше нулей при каждом 8>0. Функция о(/, Хо) меняет
знак в каждом своем нуле zb .. .,zn. Поэтому мы можем найти
достаточно малое 6, такое, что 6, Хо) и а(гг —6, Хо) имеют
противоположные знаки. Тогда (по лемме 42) a(zz4-6, Хо —8)
и а (г, —6, Хо —8) при достаточно малых 8 имеют противополож-
ные знаки. Но это означает, что а(/, Хо —8) имеет один нуль
в 6-окрестности каждого zb z2, ...,zn, т. е. а(/, Хо —8) имеет
по крайней мере п нулей. Это противоречие доказывает лемму.
48. Лемма. Проекторы Е(Х), соответствующие собственным
значениям Х<Х0, имеют одномерные области значений.
Доказательство. По теореме XII.2.6 имеем (Т — X) Е (X) f = Q.
Таким образом, каждый элемент из области значений оператора Е (X)
есть решение уравнения та = Ха с интегрируемым квадратом,
удовлетворяющее граничным условиям в точках а и Ь, опреде-
ляющим Т. Но выше в лемме 41 мы видели, что любое такое
решение отличается от а(/, X) постоянным множителем, ч. т. д.
49. Лемма. Если a(t, X) имеет п нулей внутри /, то о (Т)
содержит по крайней мере п точек, лежащих в интервале
{(Х|Н<М-
Доказательство. Предположим, что это утверждение неверно.
Пусть z1? z2, ..., zn — нули функции a(f, X), занумерованные
в порядке возрастания. Положим
Г а(/, X), a<Zt^.z^
[ 0 \ в других точках,
| <J(t, X), z^t^z2,
( 0 в других точках,
а(/, X),
О
%П-1
в других точках.
Так как а(Т) содержит не более р точек ХА, ..., Хр, p<Zn, лежа-
щих в интервале {р|р<;Х}, то из леммы 48 следует, что мы
можем найти ортонормальный базис ф1? ..., <рр для пространства
Е ((- оо, X]) L2 = Е (ХО Ь2 @ ... © Е (Хр) L2,
содержащий самое большее п—1 векторов. Таким образом, мы
можем найти ненулевую систему постоянных а1? ...,ап, таких,
7. Качественная теория спектра
643
п
что функция aifi ортогональна к области значений опе-
г=1
ратора £((—оо, %]), т. е. £((—оо, X])g- = 0. Поскольку Х<Х0,
мы имеем Х^ое(Т). Поэтому X должна быть либо изолирован-
ной точкой множества о(Т),. либо точкой, в которой опре-
делена резольвента оператора Т. Таким образом, по теореме
XII.2.3 существует е>0, такое, что £(( —со, X + e))(gr = O. Для
2<7<п пусть {hjm} — последовательность функций из С“ (/),
таких, что hjm обращается в нуль всюду, за исключением области
|h'jm — f'j|2 —>0 и hjm-—’hj равномерно при т—»оэ.
Такие функции hjm существуют, согласно общему вспомогатель-
ному принципу, сформулированному и доказанному во втором
абзаце доказательства леммы 39, и j hjm — fj |2—> 0. Пусть
a<.c<z1. Пусть Л разлагается в сумму двух бесконечно диффе-
ренцируемых в (a, функций: ft = f + f, где fi (t) = f(t) в окрест-
ности точки Zi и /(/) = 0 в (а, с]. Применим снова вспомогатель-
ный общий принцип; пусть hm — последовательность функций из
С00, равных нулю вне (с, z^ и таких, что \ h’m—f'\z~» 0. Тогда
hm—>f равномерно, так что \hm — f|2—>0. Таким образом, пола-
гая him = hmJ-f, мы имеем him{t) = fi (t) для t из некоторой окрест-
ности точки a, \h'im — Л|2-»0 и | /г1т — |2—> 0. Пусть gm =
п
= S Uihim- Тогда gme£>(T), g m-^gu. Более того,
i=i
gm(t) = g(t) для и gm(t) = Q для t>zn. Таким образом,
((T-X)£m, £m) = J +
с
zn
= P (c) gm (c) gm (c) + J {p (0 I gm (/) |2 + (<? (/) — X) | gm (/) |2} dt =
c
zn
= P (C) g' (c) F(C) + {p(t)\gm(t)\2+(q(t)-ty\gm(t)\2}dt
c
____ zn
P (c) g' (c) g (C) + J {p (0 I g' (/) I2 + (q (/) - X) I g (/) I2} dt =
c
n
- J((t-X)^)(oF(O^ = o.
41*
644 Гл. XI11. Обыкновенные дифференциальные операторы
Кроме того, Е(( —оо, ^ + e))gm—» Е ((— оо, Z-|-e))g = 0. Таким
образом, по теореме XII.2.6
оо
I ((Т gm, gm) (н А») (Е (dp,) Sm, Sm) | > 0.
K-f-8
Следовательно,
cb
(р X) (£ (rfp) gm, Sm) > 0.
Так как
ОО оо
§ (и — ^) (К (ф) gm, gm)>e, (Е (dp) gm, gm) =
Х+е
= е[ jE([XЧ-е, оо)) gm\2,
то мы имеем E([AJr8, oo))gm—>0. Таким образом,
g-m = E((—оо, K^rs))gm + E ([Х + е, co))gm—*0.
Поскольку gm—*g, отсюда следует, что g* = 0. Но выше мы
видели, что g #=0. Это противоречие доказывает наше утверждение.
Теперь на основе предыдущей леммы мы можем сформулировать
три теоремы, описывающие связь между спектральной теорией
и осцилляционной теорией действительного формального диффе-
ренциального оператора т второго порядка в случае, когда т огра-
ничен снизу. Теорема 40(a) описывает эту связь в случае, когда т
не ограничен снизу.
50. Теорема. Пусть т — действительный формально самосопря-
женный формальный дифференциальный оператор второго порядка,
определенный на интервале I. Пусть Т — самосопряженное расши-
рение оператора То (т), определенное распадающейся системой
граничных условий. Предположим, что х ограничен снизу, а мно-
жество ое(т) пусто. Пусть элементы спектра о (т) занумерованы
в порядке возрастания Xi<X2< ... . Тогда Хп—>оо. Сущест-
вует единственная (с точностью до постоянного множителя)
собственная функция срп оператора Т, соответствующая Хп,
и имеет в точности п—\ нулей внутри I.
Доказательство. Так как ае(т) пусто, то по теореме 6.5
каждая точка из о(Т) является изолированной. Поэтому, согласно
следствиям 26 и 27, Хп—>оо. Единственность <рп следует непо-
средственно из леммы 41. Так как по лемме 45 собственные
функции, соответствующие разным собственным значениям, имеют
разное число нулей и поскольку, согласно следствию 44, число
7. Качественная теория спектра
645
нулей возрастает с ростом п, то фп имеет по крайней мере n—1
нулей. С другой стороны, предположим, что фп имеет р^п
нулей. По лемме 47 для некоторого достаточно малого 8>0
функция ф(^, Хм — е) имеет нулей, так что по лемме 49
существует по крайней мере п собственных значений в интервале
(— оо, Хп —8]. Полученное противоречие доказывает утверждение
теоремы.
51. Лемма. Если каждое решение уравнения = имеет
бесконечное число нулей, то бесконечное число точек из о(Т)
лежит левее К.
Доказательство. Если Х>Хо, то интервал ( — со, X) содержит
точки из Ое(Т’) = ое(т), и наше утверждение следует из теоремы 40.
Поэтому мы можем предполагать, что ХСХ0. Пусть a<Zc<Z.b,
а /(/, р) —решение уравнения то = ро с начальными условиями
/(с, р) = 0, /'(с, р)=1. Так как /(/, р) непрерывно зависит от р
для каждого t из /,/(•, X) имеет бесконечно много нулей и,
наконец, /(-, Л) имеет производную, отличную от нуля (и поэтому
меняет знак) в своих нулях, то при р—число нулей функции
/(•, р) стремится к бесконечности. Поэтому в силу следствия 36
число нулей функции о (•, р) стремится к бесконечности, когда
р—Теперь наше утверждение следует непосредственно
из леммы 49.
52. Лемма. Если т не имеет граничных значений в точке Ь,
то никакая точка интервала Jn, кроме его правого конца, не может
быть собственным значением оператора Т.
Доказательство. Пусть Л —точка интервала Jn, отличная от его
правого конца. Используя лемму 47, допустим, что 8>0 выбрано
таким малым, что Z —8 и Л + е принадлежат Jn. Пусть М~ наи-
больший нуль функции о (•, X + 8), ат — наибольший нуль функции
о(-, X —8). Согласно следствию 46, наибольший нуль функции
о(-, р) лежит между М и т для |р — Х|Се. Пусть N>M,
В — граничное условие (если оно имеется) в точке а, определяющее
Т, a BN — граничное условие /(W) = 0. Согласно замечанию (Ь),
предшествующему лемме 41, оператор TN, полученный из суже-
ния xN оператора т на интервал (a, N] наложением граничных усло-
вий В, BN, является самосопряженным. По лемме 41 квадратично
интегрируемыми решениями уравнения xng = ро, удовлетворяющими
условию В в точке а, являются только кратные функции о (•, р).
Выше мы показали, что если |Х — р|<8, то эти решения не имеют
нулей в [Л4, оо), поэтому ни одно из них не удовлетворяет гра-
ничному условию BN. Таким образом, TN не имеет собственных
значений р, таких, что |Л—р| 8. Так как спектр оператора TN
646 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
исчерпывается его точечным спектром, то множество |Х —р.|<8
не пересекает o(TN). Тогда по теореме XII.2.6 | (т — Л) f | > е | f |
для каждой функции f из ©(7\-). Это означает, что |(т —Х)/|>
>е|/| для каждой функции из ©(ТДт)), которая удовлетворяет
граничному условию В и обращается в нуль в окрестности точки Ь.
Мы утверждаем, что множество Г таких функций плотно
в ©(Т), если превратить ©(Т) в полное гильбертово пространство
с нормой
\п*={\п1+т}1/г-
Как следует из теоремы Хана —Банаха (см. II.3.13), для доказа-
тельства достаточно показать, что каждый непрерывный линейный
функционал ф на ©(ТДт)), который обращается в нуль на Г,
обращается в нуль также на ©(Т). Так как Г^©(Т0(т)), то ф —
граничное значение для т. Так как по предположению т не имеет
граничных значений в точке Ь, то из теоремы 2.19 следует, что
ф —граничное значение в точке а. Пусть /С© (Г), a g совпадает
с f в окрестности точки а и обращается в нуль в окрестности
точки Ь. Тогда ggT, и, поскольку ф(/) = ф(§-), мы имеем ф(/) = 0.
Таким образом, Г плотно в ©(Т).
Итак, неравенство | (Т — Л) f | > е | f |, которое выполняется для f
из Г, должно выполняться и для f из ©(Т). Отсюда следует,
что Л не может быть собственным значением оператора Т, ч. т. д.
53. Теорема. Пусть т — действительный формально самосо-
пряженный оператор второго порядка, определенный на интер-
вале I. Пусть Т — самосопряженное расширение оператора Т0(х),
определенное распадающейся системой граничных условий. Пред-
положим, что т ограничен снизу, а множество ае(^) не пусто.
Пусть Ло—наименьшее число из ае(т). Тогда если каждое реше-
ние уравнения та = Лоа имеет бесконечное число нулей в 1,
то а (Г) содержит бесконечное число изолированных точек, лежа-
щих левее Ло. Если эти точки занумеровать в порядке возрастания
Н1<Н2< • • •, то рп—>Л0. Более того, существует единственная
(с точностью до постоянного множителя) собственная функция фп
оператора Т, соответствующая рп, и фп имеет в точности
п—1 нулей.
Доказательство. Так как множество ае(т)р|( — оо, Хо) пусто,
то, согласно следствию 6.3 и теореме 6.5, каждая точка из а (Т) П
( — оо, Хо) изолированная. По лемме 51 в а (Т) имеется беско-
нечное число точек левее Ао. Таким образом, из следствия 24(c)
и леммы 21 вытекает, что Единственность функции фп
и утверждение о ее нулях доказываются точно так же, как
в предыдущей теореме.
7. Качественная теория спектра 647
54. Следствие. В условиях и обозначениях предыдущей теоремы
пусть Т определяется не более чем одним граничным условием,
которое задается в концевой точке а интервала I. Пусть Л<Х0,
а а(/, X) — интегрируемое в квадрате в окрестности точки а
решение уравнения та^Ла, удовлетворяющее заданному гранич-
ному условию (если оно имеется) в точке а. Тогда число точек
из а(Т), лежащих в области z<A, в точности равно числу
нулей функции а(/, Z) внутри I.
Доказательство. Так как множество ае(т) не пусто, то из
теорем 4.1 и 4.2 следует, что индексы дефекта оператора т
не могут равняться (2, 2). Таким образом, согласно замечаниям
об операторах т второго порядка, сделанным в конце § 2 перед
формулировкой теоремы 2.30, по крайней мере в одной концевой
точке b интервала / не должно быть граничных значений. Кроме
того, т имеет не более двух граничных значений, причем оба эти
значения задаются в другой концевой точке а интервала /,
и каждое самосопряженное расширение Т оператора Т0(х) опре-
деляется не более чем одним граничным условием, которое
является граничным условием в точке а. По предыдущей теореме
и лемме 52 число точек множества а (Т) П (— со, Л) равно числу
интервалов JQ, J{, ..., Jn, полностью содержащихся в интервале
( — оо, Л). Если ЛСД, так что а(•, Л) имеет k нулей, то это
число, очевидно, равно k, ч. т. д.
55. Теорема. Пусть х — действительный формально самосопря-
женный дифференциальный оператор второго порядка, опреде-
ленный на интервале I. Пусть Т — самосопряженное расширение
оператора Т0(х). Предположим, что т ограничен снизу, а мно-
жество ве(х) не пусто. Пусть Ло — самая левая точка из ае(т).
Тогда если некоторое решение уравнения та = Аоа имеет конеч-
ное число k нулей в I, то часть множества о(Т), лежащая
левее Хо, состоит не менее чем из k— 1 и не более чем из k 4-2
точек. Если эти точки занумерованы в порядке возрастания
Pi, • • •, P-zn, то существует единственная (с точностью до посто-
янного множителя) собственная функция <рп оператора Т, соот-
ветствующая рп, и фп имеет в точности п—-\ нулей.
Доказательство. Так же как в доказательстве теоремы 53,
мы установим, что если собственные значения оператора Т,
лежащие в (—со, Ло), занумерованы в порядке возрастания,
то собственная функция <рл, соответствующая значению из
( — оо, Ло), единственна и имеет в точности п—1 нулей. Пусть
т — число точек рл в интервале ( — со, Ло). Если бы т было
бесконечным, то из леммы 35 следовало бы, что каждое решение
уравнения та = Лоа имеет сколь угодно много нулей в I вопреки
648
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
предположению. Поэтому т конечно. Так как имеет т — 1 нулей,
то по лемме 35 число k нулей решения о уравнения то = Л0о
не меньше т — 2. Таким образом, m^k + 2.
С другой стороны, если в имеет k нулей и то для
достаточно малых 8 решение f уравнения xf — (Ло —е) /, удовле-
творяющее условиям f (с) = о (с), (с) =- о' (с), также имеет k
нулей (см. доказательство леммы 47). Следовательно, по лемме 35
о(/, Ло — 8) имеет не менее k— 1 нулей. Согласно лемме 49,
по крайней мере k — 1 собственных значений оператора Т лежат
левее Ло — 8. Поэтому 1, ч. т. д.
56. Следствие. В условиях и обозначениях предыдущей теоремы
пусть оператор Т определен не более чем одним граничным
условием, которое задается в концевой точке а интервала I.
Пусть Л<Л0, a a(t, Л) — решение уравнения то = Ло, которое
квадратично интегрируемо в точке а и удовлетворяет задан-
ному граничному условию (если оно имеется) в точке а. Тогда
число точек из о(Т), лежащих в области z<zK равно числу
нулей функции о(/, Л) внутри 1.
Доказательство. Это выводится из предыдущей теоремы в точ-
ности так же, как следствие 54 из теоремы 53.
57. Следствие. Пусть х —действительный самосопряженный
формальный дифференциальный оператор второго порядка вида
t=-(4)2+^z)’
определенный на интервале [а, оо). Предположим, что lim q (t) = Ло.
Пусть Т — самосопряженное расширение оператора Т0(х). Тогда т
существенно ограничен снизу числом Ло и ^ — наименьшее число
из ве(х). Если
lim t2 {q (t) — %o)<—-
t->oo
то множество o(T’)Q(—co, Ло) состоит из бесконечной после-
довательности изолированных точек, сходящейся к Ло, тогда
как если
lirn^(<7(O-Xo)>-l,
t->oo
то это множество состоит из конечного числа точек.
Доказательство. Если с= sup |g(/)|, то очевидно, что опера-
тор т с положителен и, следовательно, т ограничен снизу, поэтому
7. Качественная теория спектра 649
сформулированное утверждение вытекает из следствия 37, теорем
16 и 6.5, следствия 26 и теорем 55 и 53.
Следующая теорема показывает, как, применяя разработанные
выше методы, получить полезный результат об асимптотическом
распределении собственных значений дифференциального оператора
второго порядка. Менее элементарные методы позволяют получить
аналогичные, но более тонкие результаты.
58. Теорема. Пусть х —формальный дифференциальный опе-
ратор
т= —Г-^У + 7(^), 0<^<со,
где q возрастает, a q' возрастает и положительна. Для каждого
достаточно большого к пусть t (Л) — единственное решение урав-
нения g (/(Z)) = Z. Пусть Т — самосопряженный оператор, опре-
деленный оператором т и граничным условием
/ (0) (0) = О, — со < k оо.
Пусть N (Л) — число собственных значений оператора Т в области
Тогда при Л—>оо мы имеем асимптотическую формулу
о
Доказательство. Положим срх (/) = (X — q (/))1/2, (X).
Функция Л — q (/) вогнута вниз. Так как (f (t))1/2 вогнута вниз
всюду, где f положительна и вогнута вниз, то ф% — убывающая
функция, вогнутая вниз. Пусть — решение уравнения
так что
(0 + Ф% (0 МО = 0, 0< t
предположим, что 0^(0 удовлетворяет также граничному условию,
определяющему Т. Тогда, согласно следствию 54, N (Л) равно
числу Z(X) нулей функции
Далее определим конечную последовательность точек следую-
щим образом. Положим = 0 и ti+i = tt + л [фх (О)]"1 до тех пор,
пока функция фх(/г-) определена, т. е. пока </(£). Тем самым
определена конечная последовательность tQ, ..., tn точек (зави-
сящих от X). Так как фх убывает, отсюда вытекает, что последо-
вательность /1 — tQ, t2 — ti, ..., tn—-tn-i возрастает. Применяя
лемму 35, мы можем сравнить уравнение
М0+ф1(0М0==0
с уравнением
<(О + ф2%(^)^о(О = О
и заключить, что имеет не более одного нуля в полуоткрытом
650 Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
интервале [^_1? ti). Таким образом, имеет не более п нулей
в интервале (0, tn). Так как по лемме сравнения 35 (Ух имеет
самое большее один нуль в интервале \tn, t(X)) и не имеет
ни одного нуля в интервале [/(Л), оо), то Z (Х)^п-{-\.
Далее, ti+1 —ti = л [<рЛ (^)Г1, поэтому <рх (/г) (ti+l — =
Следовательно,
П—1
г=0
Пусть 8 > 0 фиксировано, а /—наименьшее целое, такое, что
фх(С’+1)^(1““8)фх(^’) (если такое / существует). Если такого /
нет, то пусть j = п. Тогда
фх (0)—Фл (G-+1) > ефх (tj).
Так как срх вогнута вниз, а (^+1 — /г) —возрастающая функция от I,
то мы имеем
Фх (к)— фХ(^+1)>£фх(h)
для всех гг — 1 > Z > / . Следовательно,
фх (tj) - Фх (*n-i) >(п - 1 — /) £фх (tj\
Так как фх(6г-1)>0, то 8(n—1—/)С1, откуда (п — /’)<1/е+1.
Следовательно, поскольку фх убывает и все члены в сумме [*]
равны единице, мы имеем
п—1
N(X)-2<п- 1СФ*-<*)-!<
г=0
J-1
<-^2 Фх^о^ж-^+^с
г=0
;-1
<т (1 - е)-1 2 Фх Ы (ti+i+
г=0
J Фх(О^ + “<
О
t(M
О
Таким образом, поскольку N(X)—»оо,
л->оо 1 у'
J (Л-?(0)1/2^
о
7. Качественная теория спектра
651
Это доказывает одну часть нашего утверждения. Чтобы доказать
вторую часть, мы поступим (почти так же, как раньше) следую-
щим образом. Если X достаточно велико, то мы можем определить
конечную последовательность точек, полагая s0 равным един-
ственному корню уравнения ф%(50).= л, а затем полагая sf+J =
= Si — п [ср (s,)]-1, когда Si — л [ср (s^)]-1 > 0, и = 0, когда
Si — я [ф (Зг)]”1 < 0. Тем самым определена убывающая последова-
тельность точек So, ..., sw = 0, и так же, как выше, мы видим, что
т
<Si ~ S*-1) ’
г=0
где 0 — неотрицательная величина, не превосходящая 1. Так как ср%
убывает, то мы можем, применяя лемму 35, сравнить уравнение
с уравнением
и так же, как выше, заключить, что о\ имеет не менее т— 1
нулей в интервале [0, оо). Таким образом, Z(Z)>m—1.
Далее допустим, что / — наибольшее целое, меньшее, чем т,
такое, что T%(sj)<(1 — e)cp%(sj+i); если такого /<т не суще-
ствует, то положим / = т. Рассуждая точно так же, как выше,
мы заключаем, что /<1/8—1. Так как Sj — sj+i убывает с ростом j
и s0 — Sj = л [фхС$о)Г1== 1, то s0 —sj+i</ +1 < 8"1. Так как q'(t)
положительна и возрастает, мы можем найти постоянную К,
такую, что Тогда решение s0 уравнения g(s0) = X—л2 * *
связано с решением t (X) уравнения q (t (К)) = X неравенствами
t (^)>s0 >/(%) — /С л2. Поэтому мы имеем^ (^) —К —е-1.
Пусть 7<л2 —8-1 = К8. Так как К8 конечно, то для достаточно
больших Л, таких, что /(А,)>/(е, мы имеем Sj^O и поэтому
Тогда
m
N(A) + 1 >т = Т- У, <рх(sz-i) («;_! — sj) + 6>
1=0
т
1 V1
о
1(М ЦК)
>-Цг- { $ jj qK(t)dt} .
v b t<K)-Ke
652
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Так как срх убывает, то
б
ЦХ)-К£
Отсюда следует, что
/(%)
N (4+1 >^-’(1-77)) $
О
Это показывает, что
llm —tw— ---------------------------> 1 ’
I J (%-<7(0),/2^
0
и завершает доказательство теоремы.
Уравнения с периодическими коэффициентами1), которые
играют фундаментальную роль в квантовой теории твердого
тела, обладают интересными и важными свойствами. В сле-
дующих пунктах т обозначает формально самосопряженный диф-
ференциальный оператор порядка п, определенный на интервале
= { — оо < t <+ оо}. Пусть т имеет вид
т = S aJ Qdi) ’
j=o
предположим, что все коэффициенты ^ — периодические функции
с одним и тем же периодом. Не уменьшая общности, мы можем
допустить, что этот период равен 1, т. е.
+ = / = 0, п.
Отсюда непосредственно следует, что все коэффициенты опера-
тора т ограничены, поэтому, согласно теореме 6.35, т не имеет
граничных значений в + оо и — со. По теореме 2.19 т-не имеет
граничных значений. Таким образом, согласно определению 2.17,
каждый линейный функционал на гильбертовом пространстве
©(?! (т)), который обращается в нуль на ©(То СО), тождественно
равен нулю. Поэтому ©(7\(т)) является замыканием простран-
ства ©(Т0(т)), так что Л СО— замыкание оператора Т0(т). Так
как Ti (т*) = То (т)*, то по лемме XII. 1.5 мы имеем TY (х*) = Т\ (т)*.
В частности, если т формально самосопряжен, то Т — Т^х) само-
сопряжен.
х) Другое изложение теории операторов с периодическими коэффициен-
тами, пригодное и для случая частных производных, см. в работе И. М. Гель-
фанда [7*]— Прим. ред.
7. Качественная теория спектра
653
Заметим далее, что Т не имеет точечного спектра. Действи-
тельно, пусть ХСо'р(Т). Пусть 31 — пространство квадратично инте-
грируемых решений уравнения (т/) = Tf = hf. Тогда 31, очевидно,
конечномерно. Пусть S обозначает оператор сдвига на единицу:
(Sf) (/) = f (/ — 1). Тогда, поскольку коэффициенты оператора т
периодичны, ясно, что St = tS. Ясно также, что оператор S
унитарный. Если S —его сужение на конечномерное гильбертово
пространство 31, то S — унитарное отображение в 3L Следова-
тельно, поскольку 31 =^={0}, оператор S должен иметь некоторое
собственное значение а. По теореме Х.4.2 | а | = 1. Таким образом,
существует ненулевая функция /Ей? такая, что Sf~af, т. е.
/ (/ — 1) = af (/). Следовательно, | f *( •) | — периодическая функция,
и поэтому /$Л2(—°°, °°). Это противоречие доказывает сделан-
ное выше утверждение.
Пусть Еп обозначает n-мерное унитарное пространство. Каж-
дому комплексному числу X мы следующим образом сопоставим
линейное преобразование В (К) в Еп. Если [с0, •••? 6n-i]^En,
то пусть а обозначает единственное решение уравнения то = ^о,
удовлетворяющее условиям (0) = а, / =0, .. ., п— 1. Положим
(В (Z) c)t = ( — 1), i = 0, ..., п— 1. Согласно следствию 1.5,
В (К) аналитически зависит от Л.
59. Лемма. Спектр, существенный спектр и непрерывный
спектр оператора Т = Т\(х) совпадают.
Доказательство. Как мы только что показали, множество
<ур(Т) пусто. Поскольку T*=Ti(i;*) и т* —также формальный
дифференциальный оператор с коэффициентами периода 1, множе-
ство ар(т*) также пусто. По лемме XII. 1.6 Z —остаточный спектр
оператора Т только тогда, когда ^ЕаДТ’Дт*)). Поэтому остаточ-
ный спектр оператора Т пуст и а (Т) ос(Т). Мы имеем вс(Т)^
?= ае (Г) а (Т) ас (Т), ч. т. д.
60. Лемма. Если Z — комплексное число, такое, что В (X)
имеет собственное значение, по модулю равное 1, то К£и(Т).
Доказательство. Предположим, что Z^o(T). Отсюда в силу
леммы 3.2 (см. в особенности первый абзац доказательства этой
леммы), поскольку ZfJap(T), следует, что пространство 2 всех
решений уравнения то = ^о является прямой суммой простран-
ства 2+ всех решений этого уравнения, принадлежащих £2(0, оо),
и пространства S_ всех его решений, принадлежащих Е2( — оэ, 0).
Ясно, что оба пространства 2+ и инвариантны относительно
оператора сдвига S.
654 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Пусть Е — оператор проектирования на 2, определенный соот-
ношениями £2_ = 0, Ef = f, Пусть 8+ и 8_ —сужения опе-
ратора сдвига 8 соответственно на 2+ и 2_, a 8 — сужение
оператора 8 на 2. Если Х^о(8_), т. е. X — собственное значе-
ние оператора 8_, то существует ненулевая функция такая,
что S-f = Xf. Следовательно, Sf = Xf. Поэтому X — собственное
значение оператора 3 и Х^о(8). Это показывает, что о(8_)^
^о(8); аналогично о (8+) о (8), так что о (S_) (J о (8+) о (8).
С другой стороны, пусть Х£о(8), так что существует ненулевая
функция f из 2, такая, что Sf = kf. Так как 82+ 2+, 82_ 2_,
отсюда непосредственно следует, что SE = ES. Таким образом,
SEf = kEf, S (I — E) f = k (I — Е) f. Так как = Ef + (J-E)f,
то либо Ef^O и тогда Х£о(8+), либо (/ — E)f=^=Q и тогда
ХЕ<у(8_). Это показывает, что су (S) = су (S+) (J Х^_).
Теперь мы покажем, что ни о(8+), ни о(8_) не содержат
точек, лежащих на единичной окружности. Сначала рассмо-
трим 8_. Превратим в конечномерное гильбертово простран-
ство с нормой
о
1Л = ( $ \f(t)\2dty/2, •
—оо
Тогда мы имеем
о
|з_Л=( $ |/(/-1)М)1/2=
— оо
-1
= ($ lf(0l2^)1/2<lf|, fe2_, f#=o.
—оо
Таким образом, все собственные значения оператора 8_ по модулю
меньше единицы. Аналогично если пространство 2+ превратить
в конечномерное гильбертово пространство с нормой
оо
1Л = {$ 1Н0М}1/2.
L о
то мы найдем, что | S+f | > | f |, | f | #= 0. Следовательно,
все собственные значения оператора S+ по модулю больше еди-
ницы.
Отсюда вытекает, что ни одна точка из а (8) не может иметь
модуль 1. Последний шаг доказательства —показать, что о(8) =
= су (В (X)), откуда мы сможем заключить, что о (В (X)) не содержит
точек с модулем 1 вопреки предположению. Для этого мы рас-
7. Качественная теория спектра
655
суждаем следующим образом. Пусть с = [с0, • • •, Cn-d € Еп, и пусть
а = М(с) — единственное решение уравнения та = Аа, такое, чтЪ
o(i)(0) = Cj, t = 0, п — 1. Тогда из определения отображения
В (%) ясно, что В (А) = M~XSM. Поэтому В (А) и В —эквивалентные
отображения, откуда а (В (А)) = а (В), ч.т.д.
Замечание. Последние две леммы остаются справедливыми
и доказательства их почти не меняются, если не предполагать,
что оператор т формально самосопряжен.
61. Лемма. Пусть оператор т формально самосопряжен.
Предположим, что В (Aj) не имеет собственных значений моду-
ля 1. Тогда Aj не может принадлежать а(Т).
Доказательство. Пусть (обозначения см. в определении VII.3.17
и далее) £+ (А) = Е (U+c (В (А)); В (А)) и £_ (А) = Е (В (А)); В (А)),
где U+ — {zj|z|> 1} и (7_ = {z| |z|< 1}. Тогда по лем-
ме VII.6.6 Е+ (А) и Е- (А) — аналитические функции от А для А
из некоторой окрестности замыкания открытого круга N с цент-
ром Ар Очевидно, что Е+ (А)4-£_(А) = /. Пусть 14, ..., п* —базис
для Е+ОТ)Еп, a vh+1, ..., vn — базис для Е-(^)Еп. Положим
Vt (А) = £+ (A) Vi для i = 1, ..., /г; vt (А) = £_ (A) vi для i =
= /г+ 1, ..., п. По теореме Хана —Банаха существуют функционалы
и*, ..., и^, £ (Еп)*, такие, что и* (Vj (Aj)) = 6^, i = 1, ..., п. Поэтому
существует круговая окрестность Nr точки At с центром Ар такая,
что det {и* (Vj (А))} Ф 0, AgNp Очевидно, что 14(A), ..., сп(А) —
независимая система векторов для A£Vp Таким образом, 14 (А), ...
..., (А) —базис для Еп, если A£Vp Отсюда следует, что если
AgVp то 14(A), ..., % (А) —базис для £+(А)£п, а щ+1 (А), ...
..., vn (А) — базис для £j (А) Еп.
Для с = [Со, • • •, Cn-il € Вп пусть Mi (с) — единственное реше-
ние о уравнения то = Ао, такое, что а<’> (0) = с;, 1 = 0,1, ...,п— 1.
Положим о, (-, А)=Мл(г4 (А)), 1 = 1, ..., п, AgVp По лемме VII.3.4
мы имеем |В(А)пщ (А) | = О((1 — е)п) для некоторого 8 = е(А)>0,
1С i < k, AgAA Таким образом, функция ог-(/, А) и все ее про-
изводные экспоненциально убывают при п—>оо равномерно по AgN
для l<i<£ В частности, о,(-, A)g£2(0, оо), 1 i^.k. Таким же
способом мы получаем, что аг (•, А) ££2( —оо, 0), fed’Cn.
п
Пусть квадратично интегрируема в — оо. Тогда
i=l
п
так как аг(-,А)££2(— оо, 0) для то и 3
i=k+i
££2( —со, 0). С другой стороны, аг (•, А) ££2(0, оо) для i>k.
656
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
п
Следовательно, 2 А)^Л2(0, oo)(JB2( —со, 0) =
--=L2(—oo, +оо). Как мы показали, ни одно решение уравнения то =
^Ао не принадлежит Л2( — оо, оо), поэтому о/ = 0 для i>k.
Таким образом, система {04 (•, А), ..., Од (•, А,)} образует базис
множества решений уравнения то-^Ао с интегрируемым квадра-
том в — оо. Аналогично {од+1(«, А), . .., оп(«, А)} —базис множе-
ства решений этого уравнения с интегрируемым квадратом в + оо.
Пусть Fij (А) определяются в терминах граничной формы Ft
формального дифференциального оператора т (см. определение 2.1)
равенством
^•(А)=Л(ог(А), о^)).
По формуле Грина 2.4 эта матрица не зависит от t. Так как для
функции 04, ..., <зп образуют базис пространства решений
уравнения то = Ао, то из леммы 2.2 следует, что матрица Л; (А)
невырождена для A£jVp Пусть 6ц (А) — обратная к ней матрица.
В силу следствия 3.13 для Ag2V15 ImA=#=0 резольвента R (A; t)
оператора Т выражается интегральным ядром /<(/,$; А) вида
O,s;X)= — 2 2 Ci,- (X) <р; (t, X) <рг (/, X), s<t, ImX=#0.
i=l j=h+i
Так как G^(A) аналитична всюду в и, в частности, в точках
множества лежащих на действительной оси, то требуемый
результат следует из формулы Титчмарша —Кодаиры (5.18)
и следствия 5.29.
62. Определение. Пусть Ai — действительное число, такое, что
B(Ai) имеет собственное значение модуля 1. Пусть р15 . ..,рр —
семейство всех таких собственных значений. По теореме VI 1.6.9
существуют окрестность V точки А15 окрестности 1Л точек р^,
/=1,...,р, и целые числа fej>l, г = 1, ...,такие, что
если i = 1, ..., р и A£V, то 1Л<у(В(А)) состоит из kt точек,
определяемых различными значениями дробно-степенного ряда
°° •/».
1=1, i=\,...,p,
3=0
по (А —А±)1/а^. Тогда Ai называется точкой разветвления опера-
тора т, если одно из целых чисел kt больше 1.
Если первые два предложения этого определения изменить
так: «Пусть At —некоторое число, а р15 ..., рр— собственные
значения оператора то получится определение точки
разветвления оператора т в расширенном смысле.
7. Качественная теория спектра ,657
Замечание. Дробно-степенной ряд 2 Pizi/L> который не может
г=0
оо
быть записан в виде 2 где М делит L, очевидно, прини-
t=0
мает по крайней мере L различных значений для произвольно
малых z. Кроме того, ряд 2 очевидно, может быть запи-
г=0
сан в виде 2 4iZi/M для любого М, кратного L. Если не яв-
г=0
ляется точкой разветвления, то корни pi(X), ..., рр(Х) меняются
аналитически по X для X из достаточно малой окрестности точки
ХР Если Xi —точка разветвления, то, очевидно, существует неко-
торая окрестность [/ единичного круга, такая, что для Х=#Х15
достаточно близкого к Х15 число точек в Uo (В (X)) постоянно
и больше, чем число точек в (Ay(B(Xi)). Таким образом, точки
разветвления оператора т образуют дискретное множество.
Это замечание относится и к точкам разветвления в расширенном
смысле.
63. Лемма. Если оператор т формально самосопряжен, а дей-
ствительное число 'Xj принадлежит границе множества а(Т),
то Xi является точкой разветвления оператора т.
Доказательство. Предположим, что Xi принадлежит границе
множества а(Т), но не является точкой разветвления оператора т.
Пусть pi, ..., — собственные значения модуля 1 оператора
В (Х^. Тогда по определению 62 и следующему за ним замечанию
если е > 0 достаточно мало, то существуют круговая окрестность
N точки Xi и р аналитических функций (pi, ..., срр, такие, что
для k£N
{иIР€сг(В(Х)>, |] р. ] — 1 |<е} = {<р!(Х), ..., <рр(Л)}.
Функция фр будучи аналитической, отображает открытые
множества в открытые. Поэтому существует (обязательно беско-
нечное) множество А точек X из N, такое, что cpi (Л) покрывает
лежащую в единичном круге окрестность точки cti = (pi(Xi).
По лемме 60 множество А должно лежать на действительной
оси. Поэтому действительная аналитическая функция |cpi(X)|2 — 1
обращается в нуль бесконечное число раз в открытом интервале
/, который вырезает из действительной оси окрестность Отсюда
|cpi(X)| = l для X из /, а это, согласно лемме 61, доказывает,
что весь интервал / принадлежит а(Т). Следовательно, Хх g 1
не является граничной точкой множества о (Г), ч. т. д.
42 Заказ № 134
658 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
64. Теорема. Пусть т — формально самосопряженный дифферен-
циальный оператор порядка п, определенный на интервале
(— оо, 4~оо). Предположим,, что все коэффициенты оператора т
периодичны с одним и тем же периодом. Тогда т не имеет
граничных значений, и поэтому Т0(т) имеет единственное само-
сопряженное расширение Т. Спектр а (Т) оператора Т пред-
ставляет собой последовательность непересекающихся интерва-
лов, концы которых стремятся к — оо или 4- оо. Весь спектр
а(Т) является непрерывным. Точка Л принадлежит а(Т) тогда
и только тогда, когда матрица В(Х), введенная выше, имеет
собственное значение модуля 1, т. е. тогда и только тогда,
когда уравнение имеет ограниченное решение. Каждая
граничная точка каждого из интервалов, составляющих а (Т),
является точкой разветвления оператора т.
Доказательство. Все это следует непосредственно из преды-
дущей леммы и лемм 59, 60 и 61.
Далее мы рассмотрим отдельные интервалы, которые состав-
ляют спектр оператора Т. Мы исследуем, какой частный вид
принимает на таком интервале спектральное разложение опера-
тора Т, определенное в общем виде теоремой Вейля —Кодаи-
ры 5.14. Согласно замечанию, следующему за определением 62,
точки разветвления в расширенном смысле оператора т являются
изолированными, и поскольку спектр оператора Т чисто непре-
рывный, счетное множество b всех точек разветвления оператора
т имеет спектральную меру Е(Ь\ Т) = 0. Поэтому в наших рассуж-
дениях мы можем пренебречь этим множеством, так же как
любым другим счетным подмножеством спектра.
Рассмотрим открытый интервал I из а (Г), не содержащий
точек разветвления. Тогда по определению 62 и следующему
за ним замечанию существует' связная окрестность U интервала
/, такая, что для каждой точки X из U (за возможным исклю-
чением множества е0 изолированных точек) матрица В (X) имеет
фиксированное число k собственных значений, которые опреде-
ляются аналитическими в U функциями срДЛ), . ..,фй(Л)/ (Мно-
жество е0 есть множество тех изолированных точек из U, в кото-
рых две или более из этих различных аналитических функций
принимают одно и то же значение.) Для К из U — е0 собственные
значения ср/ (Z), i = 1, ..., k, являются различными спектральными
множествами конечномерного оператора В (к), так что по теоре-
ме VII.3.14 спектральные проекторы Et (к) = Е (срг (X); В (X)),
/ = 1, ..., k, являются аналитическими для к g U — е0.
Пусть Хо--любая фиксированная точка из U — е0, vit ..., v^ —
базис области значений оператора Ei(Z0); — базис
7. Качественная теория спектра
659
области значений оператора Е2 (Хо); ...; • • •, vn (vn = Vjk)—
базис области значений оператора Ek (Хо). Положим Vj (X) = Et (X) vj
для ХЕ U — e0 и jt-i </< j\. Тогда векторы Vi (X), ..., vn(E) анали-
тически меняются в я-мёрном евклидовом пространстве и являются
линейно независимыми в точке Л = Хо, поэтому составленный
из них определитель не обращается там в нуль. Следовательно,
эти векторы имеют ненулевой определитель и линейно незави-
симы в каждой точке X из (7, за исключением точек, принадле-
жащих некоторому дискретному множеству содержащему е0.
Теперь предположим, что о(/, X)— единственное решение
уравнения то = Хо, удовлетворяющее начальным условиям
of) (О, Х) = (^(Х))ь i = 0, ...,л-1
(см. абзац, предшествовавший лемме 59).
Тогда для X из L7 — система 04 (/, X), ..., оп(/, X) образует
базис множества решений уравнения T(j - X(j. Более того, согласно
сказанному перед леммой 59,
о - (/ —1, X) = cpz (Х)оД/, X), /Н</<М i = 1, . •k.
Рассмотрим теперь те точки Хо из U, в которых одна из ана-
литических функций ср7-(X), скажем для определенности <р± (X),
принимает значение, модуль которого равен 1. Тогда по лемме 60
Хо —действительная точка. Пусть разложение функции q?i (X)
в окрестности точки Хо имеет вид
ф1(Х) = Ф1(Хо) + ^т(Х — X0)m + ^m+i(X — X0)m+! + ..., ат^0.
Если т #= 1, то в силу подготовительной теоремы Вейерштрасса
прообраз единичной окружности при отображении ф! содержит
систему т аналитических дуг, пересекающихся под равными
углами л/т в точке Хо. Если т>1, то не все эти дуги лежат
на действительной оси. Поэтому мы обязательно имеем т=1,
так что отображение ф! взаимно однозначно в окрестности точки
Х = Х0, и прообразом при этом отображении малой дуги единич-
ной окружности, содержащей ф1(Х0), является малый интервал
действительной оси, содержащий Хо. Тогда для X из действитель-
ной окрестности точки Хо мы имеем ф1 (X) ф! (X) = 1, и, следова-
тельно, это равенство выполняется тождественно в U. Итак,
если одна из аналитических функций ф/ (X) принимает зна-
чение, равное по модулю 1, то | фг- (X) j = 1 для всех действитель-
ных и только действительных X из U. В этом случае ф^ опре-
деляет гомеоморфное отображение интервала I на некоторую
дугу единичной окружности.
Так как при отображениях, определяемых аналитическими
функциями, ориентация сохраняется, отсюда следует, что если
42*
66СГ-.Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
ф! отображает I в единичный круг С так, что возрастающему
аргументу 0 соответствует возрастающее /, то точки области U,
принадлежащие верхней полуплоскости, переходят при отобра-
жении фгво внутренность единичного круга, а точки, принадле-
жащие нижней полуплоскости, — во внешность единичного
круга; обратную картину мы имеем, если ф! отображает I в С
таким образом, что4 убывающему аргументу 0 соответствует воз-
растающее t.
Следовательно, мы можем разбить функции ф^ на четыре
естественных класса.
(а) Те фь которые отображают действительную ось в единич-
ную окружность так, что возрастающему 0 соответствует возра-
стающее t.
(b) Те ф/, которые отображают действительную ось в единич-
ную окружность так, что убывающему 0 соответствует возра-
стающее t.
(с) Те ф/, которые отображают U во внутренность единичного
круга.
(d) Те ф/, которые отображают U во внешность единичного
круга.
Предположим теперь для удобства обозначений, что каждая
функция ф/ повторяется столько раз, какова размерность области
значений оператора Et (А,) (которая по лемме VII.6.4 не зависит
от А,), что функции ф7- заново перенумерованы, так что имеет
место соотношение
Gj(t — 1, Х) = ф,(Х)07(/, X),
выраженное в терминах базиса <р4, ..<рп для решений уравнения
то = Х<т, введенного выше, и, наконец, что и <jj занумерованы
по классам (a) —(d), введенным выше, так что фь ..., ф^ при-
надлежит классу (a), <pV1+1, . •ф^ — классу (b), q>Vg+1, ..., фУз —
классу (с), а ф^, ..., ф^ = фп — классу (d).
Тогда очевидно, что о из класса (с) [класса (d)] принадлежит
£2(_оэ, 0) [L2 (0, со)] для всех X из U — еь а о из класса (а)
[класса (Ь)] принадлежит L2( —оо, 0) для X из (7 —61 и 1тХ>0
[ImX<0] и Z2 (0, оо) для % из U — el и ImK-cO [1тХ>-0].
Пусть функция Fij (X) определена в терминах граничной
формы Ft формального дифференциального оператора т (см. опре-
деление 2.1) равенством
ЛДХ) = Гг(ог(%), ГЦГ)).
По формуле Грина 2.4 эта матрица не зависит от t. Так как
для К из U — е0 функции оДХ), .... ап(Х) образуют базис прост-
ранства решений уравнения то = Хет, то из леммы 2.2 следует,
7. Качественная теория спектра
661
K(t, s; А) =
что матрица Л/(А) невырождена для А из U — е0; пусть Giy(A) —
обратная к ней матрица. Согласно следствию 3.13, для AgG — е0
и ImA#=0 резольвента /?(А; Т) оператора Т представляется
интегральным ядром К (t, s; А), которое имеет вид
- § X) o(-(s, A), t>s, ImA>0,
i=i j=i
— 2 dj (t, Oi(s, X), t>s, ImA<0.
1=1 ;=1
В силу следствия 3.13 величины &tj и ei) равны либо нулю, либо 1.
Точнее, из следствия 3.13 вытекает, что
(a') etj = zij
для пары г, /, если ни ог, ни о7-, будучи квадратично интегри-
руемыми в Л2(0, оо), не становятся квадратично интегрируемыми
в Л2(— оо, 0) при переходе 1mA, от положительных значений
к отрицательным;
(b') &tj = 1, если 1 <i, j <v15
в то время как е£> = 0 для всех других пар I, / из отрезка
l<i, /<v2;
(с') eij= 1, если Vj<i, /<v2,
в то время как ер/ = 0 для всех других i, j из отрезка
/<v2.
Из теоремы 5.18 Титчмарша — Кодаиры и из теоремы 5.27
следует, что фь ...»<pV2 — определяющая система для т и что
матричная мера из теоремы 5.18 равна
Qu (V2) =,
12
уИ Gji^dK
11
12
£1
О
Итак, справедлива следующая теорема.
l<t, J^Vi,
vj + КЛ /<V2,
в других случаях.
65. Теорема. Пусть т и Т определены, как в теореме 64,
и пусть 1 — интервал оси А, не содержащий ни одной точки
разветвления оператора т. Тогда существуют система <р15 ...
•.., Фп решений уравнения ха = А<т, аналитических по А в комплекс-
ной окрестности интервала I, и целые числа v2, такие, что при
662
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
1 < i <
ф/(-, X)g£2( — oo, 0)
фД-, X)££2(0, oo)
при vA < i < v2
фг (•, ^)E^2(0, oo)
Ф/ (•, X)E£2( —oo, 0)
для ImX>0,
для ImX<0;
для ImX>0,
для Im X < 0
и при v2<Zi^.n
либо фг (•, X) E£2 ( — oo, 0) для Im X<0 и Im X> 0,
либо фг (•, X) E£2(0, oo) для Im X О и Im X > 0.
Функции фг можно выбрать так, чтобы они образовывали базис
множества решений уравнения то = Хо всюду в I, за исключением
дискретного множества точек. Пусть Ц —подинтервал из /,
не содержащий ни одной из этих точек. Положим
£/7(Х) = Л(фДХ), фДХ)),
(так что по формуле Грина 2.4 Ftj не зависит от t). Тогда
матрица Ftj невырождена. Пусть Gij(k) —обратная к ней матри-
ца. Тогда если Qu— положительно определенная матричная
мера, связанная с базисом фь ..., фп решений уравнения то = Хо
на интервале I, то по теореме 5.18 мы имеем
е!=Л,
Qu (е) =
е
-4
е
О
Vi <£ /<v2,
в других случаях.
в = Zi,
Дополнительные рассуждения показали бы, что спектральная
кратность сужения оператора Т на подпространство Е (е) <q гиль-
бертова пространства равна фиксированной конечной постоянной
т(1) для каждого подмножествам положительной меры Лебега
интервала /, которое не содержит точек разветвления оператора т.
Однако здесь мы не будем приводить эти рассуждения.
В случае когда т —действительный формально самосопряжен-
ный оператор второго порядка
(4)+’(') р«>0'
7. Качественная теория спектра
663
мы можем продвинуться несколько дальше. Пусть ф (/, X) —
решение уравнения то^Хо, удовлетворяющее условиям ср (О, Х) =
= (р(0))-1, ф'(О, ^) = 0, и пусть гр (Г, X) —решение этого уравне-
ния, удовлетворяющее условиям гр (О, X) = 0, гр' (О, X) = 1. Тогда
<р, гр образуют базис системы решений уравнения то = Хо. Матри-
ца преобразования S по отношению к этому базису имеет вид
/ф(— 1, X) гр(— 1, X) \
X) гр' (_ 1, X)/ ‘
Следовательно, квадратное уравнение, которому удовлетворяют
характеристические корни матрицы В(Х), имеет вид
а2-(ф(-1> + гр'(— 1, X))а-4- 1 = 0;
здесь мы использовали тот факт, что Fxt (ф, (ф(/, X) гр' (/, X) —
— гр(/, Х)ф'(/, X)) не зависит от /, и поэтому, так как р(—1) =
= Р(О),
<р(-1, Х)г|/(-1, Х)-г|)(-1, X)ф' (— 1, Х) =
= ф(0, X) гр' (0, X) — гр(0, X)ф' (— 1, X) = 1.
Пусть р (X) = ф (— 1, Х) + г|/( — 1, X) = trB(X). Тогда это урав-
нение можно записать в виде
а2 —0 (X) а + 1 = 0.
Так как функция 0 (X) — действительная, то корни этого уравне-
ния являются комплексно сопряженными, если они комплексны.
Поскольку их произведение равно единице, оба они имеют
модуль 1. Итак, оба корня уравнения а2 —0(Х)а + 1 либо действи-
тельны, либо являются комплексно сопряженными и имеют
модуль 1. Применяя теорему 64, мы находим, что в первом случае,
т. е. при р2 (А,) — 4 ;> 0, X не принадлежит о(Т), а во втором
случае, т. е. при 02(Х) —4<0, X принадлежит о (Г). В точке
разветвления оператора т по крайней мере два собственных зна-
чения оператора В (X) совпадают. Следовательно, каждая точка
разветвления X оператора т удовлетворяет равенству 02 (X) = 4, т. е.
0(Х)=±2. Таким образом, оба корня уравнения а2—-0 (X) а+1 ^=0
равны либо -f-1, либо —1. В первом случае матрица В (X) обя-
зательно имеет собственный вектор, соответствующий собствен-
ному значению + 1, во втором случае —собственному значению
— 1. Таким образом, в первом случае уравнение то —Хо обяза-
тельно имеет периодическое решение, а во втором случае —анти-
периодическое решение, т. е. решение, удовлетворяющее условию
<i(/+ 1, Х) = — о(/, X). Теперь рассмотрим следующие две системы
граничных условий для оператора т на конечном замкнутом
интервале [0, 1].
664 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Первая система: f (0) = / (1), f' (0) = f' (1)
(периодические условия).
Вторая система: / (0) = —/(1), /' (0) = — /' (1)
(антипериодические условия).
Тогда по теоремам XII.4.28, 4.1 и 4.2 эти системы граничных
условий определяют самосопряженные операторы 1\ и Г2, спектры
которых состоят полностью из собственных значений, приближаю-
щихся к плюс бесконечности, согласно лемме 29 и следствию 24.
Таким образом, в силу теоремы 64 дискретными собственными
значениями в этих двух задачах могут быть только концы интер-
валов или «полос», составляющих о (Г).
«Полосы», которые появляются в о (Г) для оператора т второго
порядка, известные как «полосы устойчивости» для «уравнения
Хилла»
-(р(ОГ(ОГ+?(О/(О-^(О=о,
подробно исследованы. Изложение соответствующих результатов
увело бы нас слишком далеко в сторону. Поэтому мы упоминаем
только те результаты этой теории, которые наиболее уместны
в настоящем контексте.
Пусть р0, рь ... — собственные значения периодической гранич-
ной задачи, сформулированной выше, занумерованные в порядке
возрастания, причем каждое собственное значение повторяется
столько раз, какова его кратность. Пусть а0, alt а2, ... —зану-
мерованные подобным образом собственные значения антипериоди-
ческой граничной задачи. Тогда из теоремы Биркгофа [4] следует,
что
Ро<^о<^1<Р1<Р2 < а2<Яз<Рз< . . . <«2n+l<p2n+l<
•С Р2П+1 < #2n+2 .
Спектр о (Т) состоит из последовательных интервалов [а^ pj,
[р2, а2], [я3, р3], ....Собственная функция ф0, соответствующая
собственному значению р0 самосопряженного оператора, опреде-
ленного первой системой граничных условий, не имеет нулей
в [0, 1]; собственные функции <p2n+i и ф2п+2, соответствующие
собственным значениям p2n+i и р2п+2 этого оператора, имеют
в точности 2п + 2 нулей в [0, 1]. Собственные функции ф2п
и ф2п+1, соответствующие собственным значениям а2п и а2п+4
самосопряженного оператора, определенного второй системой
граничных условий, имеют 2п+1 нулей в [0, 1].
Кроме того, можно показать, что если ввести условие норми-
1
ровки \ q (/) dt = 0, то будет существовать последовательность еп
о
7. Качественная теория спектра
665
чисел, стремящаяся к нулю, такая, что для всех достаточно
больших п каждая точка интервала ((п — 1/2) л)2<Х<((/г + 1/2)л)2,
не принадлежащая о(Т), лежит в интервале (/гл)2 —
С(/гл)24-Еп. Таким образом, пробелы в спектре оператора Т
становятся произвольно малыми и спектр при X—>оо становится
более подобным спектру простого оператора — {d/dty. Доказа-
тельства этих утверждений читатель найдет в книге Коддингтона
и Левинсона [1].
В заключение этого параграфа заметим, что подходящая замена
переменных часто улучшает область справедливости теорем
о дифференциальных уравнениях. Мы проиллюстрируем это,
улучшив некоторые теоремы, установленные выше. Однако сна-
чала мы рассмотрим, как действует замена переменных на фор-
мальные дифференциальные операторы вообще и каким способом
такие замены переменных можно использовать для упрощения
коэффициентов оператора т. Предположим, что т —формально
симметрический дифференциальный оператор порядка п. Пусть
ап (/) — старший коэффициент оператора т, так что его старший
член имеет вид ап (t) {d/dt)n. Тогда старший член оператора х*
равен (— 1)пап (/) (d/dt)n, поэтому (/)==(—1)пап (/). Таким об-
разом, при четном п функция ап (/) действительная, тогда как
при нечетном п она чисто мнимая. Выполним замену переменной
t = h (s) и соответствующее унитарное преобразование функций
которое определяется формулой
(Uf) (S) = f(h(S))(h'(s)f2,
где функция h (s) будет выбрана позже. Конечно, мы выберем ее
таким образом, чтобы h имела всюду положительную производ-
ную. В соответствии с этим преобразованием интервал I пере-
ходит в /г-1(/). «Формальное преобразование» формального опера-
тора d/dt может быть вычислено следующим образом:
(^(4)0(5)=Г(/г(8))(/г,(5))1/2=:
= tf))’1 {4 tf tf)) tf))1/2] - у/ (Л («)) (h' (s)rl/2h" ($)} =
= (А' (я))’14 (^) tf) "4 h" tf) tf))’2 (^) tf)-
Таким образом, формально мы имеем
(t/ 4^tf) tf)={(*' tf))-i4-4 <h' tf))-2/i" tf)} f tf)-
666 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Следовательно, замена переменной переводит формальный диффе-
п
ренциальный оператор х = 2 ak(t)(d/dt)k в формальный диффе-
Ь=0
ренциальный оператор
п
k=Q
= ап (h (s)) (h' (s))~n 4-Tn-i,
причем является иррегулярным формальным дифференциаль-
ным оператором порядка не больше п— 1. Если, в частности,
х — формально симметрический оператор и h (s) — решение уравне-
ния \h' (s) = | ап (h (s)) |1/n, то старший коэффициент оператора
UxU'1 равен ± 1 (если n четно) или ± i (если п нечетно). Здесь
следует заметить, что (t7rt/_1)* = Uxix2U~1 = UXiU~1Ux2lJ~1,
U (it 4- т2) U'1 = t/Tit/-1 -j- Ux2U~\ причем все эти равенства спра-
ведливы как формальные равенства. Поэтому наше унитарное
преобразование переводит формально симметрические дифферен-
циальные операторы в формально симметрические дифференциаль-
ные операторы и т. д. Кроме того, следует заметить, что решение
уравнения й' (s) = | ап (h (s)) |1/п является обратной функцией к реше-
нию уравнения gr (/) = | ап (/) т. е. /г —обратная функция для
неопределенного интеграла
t
Таким образом, следствие 19, например, даст несколько инте-
ресных результатов, если мы сделаем замену переменных ука-
занного выше типа в операторе
г=-4р<')4+’<о.
рассматриваемом в этом следствии. Пусть ф— произвольная поло-
жительная бесконечно дифференцируемая функция от /; положим
<р (/) = (ф (/))-1 (р (/) ф'(/))'. Тогда, в соответствии со сделанными
выше замечаниями, при замене переменной t = h (s), где h (s) — функ-
ция, обратная к функции
t
s (/) = ф2 (т) dx,
о
7. Качественная теория спектра
667
оператор т преобразуется в оператор
где
Р(з) = р(/фМ4(/ф))
и
Q(s) = q(h (s))-<p(ft (s)).
Случай i|9(О = (Р(0)-1/4> который дает P(s)sl, есть случай,
указанный выше. В этом случае мы имеем
Q (О = q (Л ($)) + | {р" (Л (s)) [р (h (s))]-1 [р' (h (s))]2}.
Поэтому из теорем 16 и 17 мы получаем следующие теоремы.
66. Теорема. Пусть т — действительный формально симмет-
рический дифференциальный оператор второго порядка вида
определенный на интервале [а, Ь). Предположим, что
ь
(р (/))-1/2 dt = оо.
а
Пусть
Q (О = Я (О +1 {Р" (О -1 IP (О Г1 IP' (OF } •
Тогда
(а) если Q(/)—»oo при t—>b, то множество oe(x) пусто*,
(b) если Q(t)—>c при t—>b, то ое (т) = {X | X>c}.
67. Теорема. Пусть x —действительный формально симмет-
рический дифференциальный оператор второго порядка вида
определенный в интервале [а, Ь). Предположим, что
ъ
(Р(0)~1/2^< 00 •
а
Пусть
QV) = q (0 +4 (/ (0 -4 IP (OF1 [р' (О!2)-
668 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Тогда
(а) если со при t—>b, то множество оге(т) пусто*,
ъ
(Ь) если lim | (р (/))_1/s dt J-2 Q (/) | <3/4, то множество
ае(т) пусто.
Как показал Фридрихе, различные случаи ф (/)==/(а (/)), где
a(t) — (p(s))-1ds, а/ — подходящим образом выбранная функция,
также приводят к интересным результатам. Здесь мы имеем
ф(0 = (р(0Г7"(«(0) [/(а(О)Г1-
Удобно выбрать функцию /(/) равной /1/2, что дает ф(/) =
= — (1/4) (р (/))-1 (а (О)-2- Делая эту замену в следствии 19, мы
приходим к следующему результату Фридрихса.
68. Следствие. Пусть
*--(.&) PlO (£)+«?>
—действительный формально самосопряженный дифференциальный
оператор, определенный на интервале 1 = [а, Ь). Пусть p(f)>0
для t из I; положим
t
Z(t) = q (t) + [ 4р (/) ( J (р (г))"1 dr)2 ] .
а
Если limZ (t) = К, то ое (т) полностью принадлежит лучу
t-+b
действительной оси.
Таким же способом из теоремы 6,14 мы получаем такое след-
ствие.
69. Следствие. В условиях и обозначениях предыдущего след-
ь
ствия предположим, что (p(/))-1d/= оо. Тогда если функция Z
а
ограничена снизу, то т не имеет граничных значений в Ь.
Различные другие результаты можно получить, выполнив под-
ходящую замену переменной в теоремах 7 — 19 настоящего пара-
графа и в теоремах 12 —15, 18 — 22 и 33 предыдущего. Несколько
результатов такого типа приводятся в качестве упражнений
в конце главы.
7. Качественная теория спектра
669
Другая полезная замена переменной есть унитарная «замена
зависимой переменной», определяемая уравнением
(V/) (0 = exp f(t),
где b — некоторая подходящая действительная функция. Нетрудно
видеть, что
Поэтому если
т==2 '
k=0
то мы имеем
Т1=У-1ТУ=2 «но (G)+ib4oY.
k=0
В частности, т и имеют один и тот же старший коэффициент.
Коэффициент при (d/d/)n-1 в выражении для ть очевидно, равен
an-i (t)-\-inan(t)b’ (/).
Мы можем обратить его в нуль, полагая
b'(t) = ian_i (0 (пап (0)-1,
т. е. выбрав
t
b (/) = ian-i (s) (пап (s))"1 ds.
(Из формальной симметричности оператора т следует, что функ-
ция b (/) действительна.)
Очевидно, что, комбинируя два вида преобразований перемен-
ных, рассмотренных выше, мы можем, если это удобно, привести
каждый формально самосопряженный дифференциальный оператор
к нормальному виду
п—2
3=0
Это приводит к нормальному виду id/dt для оператора порядка 1,
так что каждый формально самосопряженный дифференциальный
оператор порядка 1 может быть приведен к известному виду
элементарными унитарными заменами переменных. Таким же спо-
собом мы находим нормальный вид
670
Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
где g (^ — действительная функция, для формально самосопряжен-
ного оператора второго порядка. Этим объясняется то, что
в некоторых теоремах настоящего и предыдущих параграфов боль-
шое внимание уделялось операторам такого вида.
8. Примеры1)
Проиллюстрируем* теперь применение предыдущей теории
к специальным дифференциальным уравнениям. Из изложенного
в последних нескольких параграфах ясно, что при применении
общих методов к специальным уравнениям необходимо определить
удобные выражения для решений этих уравнений, которые позво-
лят исследовать интегрируемость, вронскиан, предельные значения
и другие свойства рассматриваемых решений. Получить такие
выражения для решений данного дифференциального уравнения
во многих случаях очень трудно. Поэтому мы ограничимся рас-
смотрением лишь нескольких простых примеров самосопряженных
операторов, возникающих из линейных дифференциальных уравне-
ний второго порядка с рациональными коэффициентами. Для этих
уравнений общая теория дифференциальных уравнений в комплекс-
ной области дает удивительно много информации. Мы сформули-
руем теоремы, которые нам понадобятся, отсылая читателя
за доказательством этих теорем к книгам Коддингтона и Левин-
сона [1] и Пула [1].
Пусть
— формальный дифференциальный оператор второго порядка
с рациональными коэффициентами г2. Точка zQ в комплексной
плоскости, в которой fi и г2 являются аналитическими, называется
регулярной тонкой этого оператора. В окрестности этой точки су-
ществует единственное аналитическое решение f (z) уравнения Lf = O;
с заданными начальными значениями f(z0), ff (г0). Точка z0, кото-
рая не является регулярной, называется особой точкой этого
уравнения. Если /*! имеет в точке г0 полюс порядка не выше kr
а г2 — полюс порядка не выше 2&, то говорят, что рассматривае-
мый формальный дифференциальный оператор имеет особенность
порядка k в г0. Особенность первого порядка часто называют
регулярной "особенностью, а особенность порядка выше 1— ирре-
гулярной особенностью.
Если Zq является регулярной особой точкой формального диф-
ференциального оператора L = (dldz)2 4-t\ (z) (d/dz) + r2 (z), to
!) Многочисленные примеры приведены также в книге Э. Ч. Титч-
марша [16].— Прим. ред.
8. Примеры
671
в окрестности точки z0 функции и г2 могут быть представлены
в виде
г! (z) - (z — Zo)’1 (а + (г — г0) 4-...),
г 2 (?) = (z — z0)"2 (b + b'(z — z0)+
Уравнение р (р —1)4-яр + & = О называется определяющим урав-
нением оператора L в z0; его корни и е2 называются показа-
телями оператора L в z0. Если разность е{ — е2 не равна целому
числу, то уравнение Lf = O имеет два линейно независимых реше-
ния вида
(Т1 (z) = (z — zo)ci(l 4-a(z—z0)+ ...),
<^2 (Z) = (Z — Zo)®2 (1 + P (Z — Zo) + . . .),
где степенные ряды сходятся вплоть до следующей ближайшей
особенности оператора L. Если ех и е2 отличаются на целое
число и Ree2CReei, то решение указанного вида существует,
однако линейно независимое по отношению к o'! решение а2 ука-
занного вида не обязательно существует. Тем не менее всегда
существует линейно независимое решение вида
<т2 (Z) = (z—z0)®2 (1 4- р (Z — z0) + . . . ) + w (z) log (z — z0)
(постоянная у может равняться нулю).
Регулярную точку дифференциального уравнения можно рас-
сматривать как частный случай регулярной особой точки, когда
показатели равны нулю и единице.
Если Lf = 0 — дифференциальное уравнение с рациональными
коэффициентами, имеющее регулярную особенность z0, с показа-
телями ei и е2, то уравнение второго порядка L'f' = 0, которому
удовлетворяет функция f' (z) = (z — z0)a f (z), также имеет рацио-
нальные коэффициенты. Оператор L' имеет регулярную особен-
ность в z0 с показателями ^4-a, е24~а. Если q (z)— рациональ-
ная функция, отображающая точку £0 в точку z0, и если q(z)— zg
имеет нуль порядка I в точке £0, то уравнение второго порядка
L"f" = 0, которому удовлетворяет функция f" = f [q (z)], также
имеет рациональные коэффициенты. Оператор L" имеет регуляр-
ную особенность в £0 с показателями 1е2.
Переходя от уравнения Lf=O к уравнению L'"f'" = O, которому
удовлетворяет функция (z) = f (1/z), мы можем распространить
понятия регулярной точки, особой точки, особой точки порядка k,
регулярной особой точки, определяющего уравнения и показателей
также на бесконечно удаленную точку. В результате мы получим
следующее: формальный дифференциальный оператор L имеет регу-
лярную точку в бесконечности, если ri,(z) — 2z~1 и r2(z) имеют
672
Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы.
нули второго порядка в бесконечности; L имеет особенность
порядка k в бесконечности, если имеет там нуль порядка
не ниже (2 —£), а г2 — нуль Порядка не ниже 2(2 — k), (Функция
с полюсом порядка k рассматривается здесь как функция, имею-
щая нуль порядка — k,) Если L имеет в худшем случае регуляр-
ную особенность, т. е. особенность порядка 1 в бесконечности, то
мы имеем разложения Лорана
fi (г) = аг”1 4- аг”2 + ...,
г2 (?) = bz~2 4- Ьг”3 + ... .
Определяющее уравнение оператора L в оо имеет вид р(р-{-1) —
— ар 4-6 = 0; его корни и е2 называются показателями опера-
тора L в бесконечности. Если eY и е2 — показатели оператора L
в бесконечности и ех — е2 не есть целое число, то существуют
два линейно независимых решения и а2 уравнения Lf = O, кото-
рые имеют разложения
о*! (z) = 2~ei (1 + аг-1 + аг-2 4-...),
о2 (г) = г~е2 (1 + рг”1 + рг-2 + ...).
Если ei — e2 есть целое число и Ree2<Reei, то существует реше-
ние Oi указанного вида, но линейно независимое по отношению
к 0^ решение а2 указанного вида не обязательно существует.
Тем не менее существует линейно независимое решение вида
<Т3 (Z) = Z~e2 (1 4- pz"1 + pz-2 +...) + YOi (z) log z.
Постоянная у может равняться нулю.
Теперь перейдем к рассмотрению частных случаев. Для про-
стоты мы будем рассматривать формально симметрические опера-
торы L второго порядка с рациональными коэффициентами на
интервалах (а, 6), где оба конца а и b являются особыми точками
оператора L, Более того, сначала мы ограничимся такими опера-
торами L, что для каждого X оператор L — % имеет только регу-
лярные особенности; позже будут рассмотрены примеры опера-
торов с иррегулярными особенностями.
Следует заметить, что интервал (а, Ь) находится в нашем
распоряжении. Действительно, если (dldt) р (t) (d/dt) 4- q (t) — про-
извольный формально симметрический линейный дифференциаль-
ный оператор (с рациональными коэффициентами) и если мы
делаем «формально унитарное» преобразование f (t) —» (Uf) (/) =
= |s' (/) |1/2/(s(/)), где s представляет собой монотонную непре-
рывно дифференцируемую функцию от /, то мы находим, что
8, Примеры
673
(U^LUf) (s) = (d/ds) Р (s) (d/ds) f (s) +Q(s)f(s), где
P(s) = p(/)WU).
П Q (s) = (s'(0)"1/a (4) (s'(0)1/a + <7(0|{=t(s)>
причем t = t (s) — функция, обратная к s = s(t). Если s(a) = A,
s(b) = B, то U преобразует функции f, определенные на интер-
вале (Л, В), в функции Uf, определенные на интервале (а, Ь).
Если s —дробно-линейная функция от t, то оператор U^LU также
имеет рациональные коэффициенты. Более того, если L имеет
только регулярные особенности, то и U^LU имеет только регу-
лярные особенности. Так как существует действительное дробно-
линейное преобразование, переводящее а, b в любые две заданные
точки Л, В, то утверждение, что интервал (а, Ь) находится
в нашем распоряжении, справедливо в очевидном смысле.
Теперь рассмотрим случай, когда при всех X оператор L — X
имеет в точности две регулярные особенности а, Ь. Используя
изложенное выше, поместим эти особенности в нуль и бесконеч-
ность. Так как оператор
имеет регулярные особенности только в нуле и бесконечности,
то отсюда следует, что р' (t) р~г (t) — рациональная функция,
имеющая единственный полюс, а именно полюс первого порядка
в нуле, и что она обращается в нуль в оо. Таким образом,
р' (t) р~г (/) = a/t и аналогично q (t)/p (t) = b/t2. Поскольку пред-
полагается, что оператор L — X имеет только две регулярные
особенности при каждом X, таким же способом получается,
что (<7(/) — k)/p(t) (k)/t2 для всех X. Поэтому р (t) = const -Г2.
Таким образом, после умножения на постоянную и прибавления
постоянной оператор L принимает вид — (d/dt) t2 (d/dt). Если вы-
полнить унитарное преобразование f —> Uf = (log /), то по
формуле [*] оператор L преобразуется в — (d/ds)2 + 1/4, или после
вычитания постоянной 1/4 в — (d/ds)2. Мы рассматриваем этот опе-
ратор на интервале ( — со, со). Читатель без труда может
выяснить, что этот формальный дифференциальный оператор
имеет нулевые индексы дефекта, так что он приводит к един-
ственному самосопряженному оператору Т = (id/ds)2, где id/ds —
самосопряженный оператор, рассмотренный в конце § 5. Опера-
ционное исчисление, развитое в § 5, показывает, что спектраль-
ное разложение оператора Т может быть выражено в терминах
разложения оператора id/ds и, следовательно, в конечном счете
в терминах преобразования Фурье. Итак, случай, когда L —%
имеет только две регулярные особенности, не дает ничего нового.
43 Заказ № 134
674 Гл, XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Поэтому мы обратимся к более сложному случаю: к таким
формальным дифференциальным операторам L, что L — X имеет
не более трех регулярных особенностей для любого X. Если опера-
тор L имеет точно три особенности, то он полностью характери-
зуется этими особенностями £0, t,2 и соответствующими
им показателями е0, е2, е'2. Действительно, если бы это
было не так, то к|ы имели бы два дифференциальных оператора
Li, L2 с этими особенностями и показателями. Выполнив дробно-
линейное преобразование независимой переменной, отображающее
Со, Ci, £2 в 0, 1, оо, мы получили бы два дифференциальных
оператора с теми же показателями в точках 0, 1 и оо. Умножив
затем зависимую переменную на z~e° (z — l)-ei, мы получили бы
два оператора L, L' с регулярными особенностями в точках 0, 1,
оо и с показателями вида 0, а; 0, b; с, d в этих особенностях.
Пусть L = D2 + ri(z)D + r2(z). Тогда ri — рациональная функция
с простыми полюсами в точках 0, 1, обращающаяся в нуль в оо.
Поэтому fi(z) должна иметь вид az-14-P (z — I)**1. Аналогично
r2(z) должна иметь вид (yz-j-у') z-24- (6 (z— 1)4- б') (1 — г)"2.
Используя теперь то, что корнями определяющего уравнения
в точках 0, 1, оо служат числа 0, а; 0, b; с, d, мы найдем, что
а=1—а, р И— Ь, у' = б' = О; y = 8 = cd. Следовательно, L
однозначно определяется числами a, b, с, d; это доказывает, что
Li = L2, и тем самым устанавливает единственность формального
дифференциального оператора с тремя заданными регулярными
особенностями и тремя заданными парами показателей. Из опре-
деляющих уравнений мы также находим, что c4-d = a4-|3—1,'
т. е. a + b-}- c + d=l. Таким образом, сумма показателей уравне-
ния с тремя особенностями равна 1, и никаких других условий
на них не налагается.
Для того чтобы выяснить, как меняется рассматриваемое диф-
ференциальное уравнение при различных заменах переменной,
о которых шла речь выше, удобно использовать следующие сим-
волические обозначения, впервые введенные Риманом. Мы только
что показали, что существует одно и только одно линейное
дифференциальное уравнение второго порядка с регулярными особен-
ностями а, Ь, с и соответствующими парами a2; Pi, р2; уь у2
показателей в этих особенностях. Предположим, что символ
(а Ъ с \
«1 Pi Yi; 21
а2 02 Y2 /
обозначает какую-нибудь ветвь функции (вообще говоря, много-
значной), удовлетворяющей рассматриваемому дифференциальному
уравнению. В некоторых случаях желательно выделить некого-
8. Примеры
675
рую частную ветвь этой (многозначной) функции; обычно это
будет та (однозначно определенная) ветвь, которая имеет заданное
асимптотическое поведение в окрестности одной из особенностей.
Мы поступим следующим образом. Ветвь многозначной функции
[*], которая имеет асимптотический вид (z —a)ai(l(2 —а) + • • •)
в окрестности регулярной особой точки z — a нашего уравнения,
мы будем обозначать через
(а b с
ai р! Y1; z
a2 Рг Y2
Аналогично через
(а b с
ai Pi Yb 2
a2 Рг Y2
обозначается единственная ветвь функции [*], которая имеет
асимптотический вид (z— 6)₽2(1 (z — b) + • • •) в окрестности
точки z = b. Если с=со, то символом
(а b оо \
ai Pi Yb 2 I
a2 Рг Y2 /
обозначается единственная ветвь функции [*], которая имеет
асимптотический вид z~vi(1-^^z-14-...) в окрестности точки
z = oo. Из определения введенных символов и изложенного ранее
принципа замены переменной почти очевидно, что
(а b с \ /а b с \
«1 Pi yi; 2i=(jEf)aipo 0 ₽i+ai Yi; 2|-
«2 Рг Y2 J \a2 «1 Рг + Oi Y2 У
/ 0 1 co \
P° I 0 0 Y1; _г_. I _
ro | 1 z_____1 I
\1— a a —Yi —Y2 Y2 /
/ 0 1 oo \
= (l-Z)Yip» 0 0 Y1; z|
\1 — a Y2 —Yi a —Y2 /
и т. д. Такие замены переменной будут часто применяться
в дальнейших рассуждениях. Мы не будем подробно выполнять
такие замены переменной, предоставляя читателю провести их
43*
676 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
самостоятельно. Во всяком случае они легко осуществляются, если
только вычисления проводить в символических обозначениях, как
мы только что объяснили.
Как мы видели выше, дифференциальное уравнение Lf = O,
где L имеет три регулярные особенности в точках 0, 1, оо
с показателями а, 0 в оо; 0, 1—у в нуле и 0, у-а-f в 1,
имеет (после умножения на z(l — z)) вид
(1) z(l_z)(^yf_(Y_(a + p+l)2)^)/_ap/ = O.
Это уравнение представляет собой известное гипергеометрическое
уравнение Эйлера —Гаусса. Если у не равняется целому неотри-
цательному числу, то, как показано выше, это уравнение имеет
единственное.решение вида о (z) = 1 + ... . Сравнение коэф-
фициентов дает гипергеометрический ряд Эйлера
(2) F (a, р; у; z) = 1 z*+ • • • •
\ \ ' у 2! у (у+1) 1
Используя интегральное представление 0-функции Эйлера
1
(3) Rex>0, Ret/>0,
А “Г У) V
О
где Г есть Г-функция, мы находим, что
F(a, Р; у; z) =
_r,,rw .,2 Р(Р+1>..(?+'—>2„ Л.
Г (а) Г (у—а) п\ J
п=0 О
таким образом, мы получаем интеграл Эйлера
1
(4) F(a, р; у; г) = ^Гг(?у-а) ?“"*(1 (1 -tz^dt,
о
имеющий смысл при |z|’< 1, Rea>0, Re (у — a)>0.
В этом случае можно провести полный анализ подобно тому,
как это было сделано выше для случая двух регулярных особен-
ностей. Однако проведение такого анализа во всех подроб-
ностях потребовало бы слишком много места. Мы ограничимся
рассмотрением нескольких примеров, выбранных так, чтобы пока-
зать, какие здесь могут встретиться типы спектров и какие
методы применяются для их исследования.
Сначала рассмотрим формальный дифференциальный оператор
8. Примеры
677
на интервале ( — 1, 1), где аир предполагаются действитель-
ными положительными. Для любого X оператор L — k имеет регу-
лярные особенности в точках — 1, +1 и оо. Из определяющих
уравнений видно, что показатели в точках —1, +1 и оо равны
соответственно а, —а; р, — р и 1/2 + у, 1/2 —у, где Х = у2 — 1/4.
Таким образом, могут представиться три случая.
Случай 1: а>1/2, р> 1/2. Тогда уравнение Lf = ± if имеет
одно решение (с асимптотикой (х + 1)а), принадлежащее L2 ( — 1,0),
тогда как никакое линейно независимое по отношению к нему
решение не принадлежит 7L2(— 1, 0). Аналогичное утверждение
справедливо в точке 1, так что, согласно следствию 2.25, индексы
дефекта оператора L равны нулю. Поэтому L порождает един-
ственный самосопряженный оператор в гильбертовом простран-
стве, который мы по-прежнему будем обозначать буквой L.
Случай 2: а>1/2 и 0<р<1/2 или 0<а< 1 /2 и р>1/2.
Эти случаи эквивалентны, поскольку они сводятся один к другому
при помощи замены переменной х—> —х. Здесь, как и в слу-
чае 1, мы видим, что уравнение Lf = ± if имеет одно решение
из Ь2 в одной из концевых точек, тогда как в другой концевой
точке все решения этого уравнения принадлежат Л2. Таким
образом, согласно следствию 2.25, индексы дефекта оператора L
равны (1, 1). Поэтому чтобы получить самосопряженный опера-
тор, мы должны задать одно граничное условие. Вид этого гра-
ничного условия будет изучен более подробно ниже.
Случай 3: 0<а<1/2, 0ср<1/2. Здесь все решения уравне-
ния Lf=± //интегрируемы в квадрате в обеих концевых точках.
Поэтому d+ = d_ = 2, и мы должны задать два граничных усло-
вия, чтобы получить самосопряженный оператор в гильбертовом
пространстве.
По теоремам 4.1 и 4.2 не имеет существенного спектра,
если 0<а< 1/2, 0<р< 1/2. Поскольку оператор возрастает
с ростом а и р и формально положителен, из теоремы 7.34
следует, что он не имеет существенного спектра ни при каких
положительных а, р. Таким образом, во всех случаях La,p имеет
только дискретные собственные значения.
Вернемся теперь к более подробному анализу случая 1, где
не возникает вопроса о граничных условиях. Прежде всего ясно,
что в этом случае каждое собственное значение оператора L
является простым, ибо пространству Л2 (— 1, 1) может принад-
лежать самое большее одно решение уравнения (L — Х)/=0.
(Это замечание справедливо также для самосопряженных опера-
678 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
торов, получаемых из L в случае 2.) Для того чтобы число К
было собственным значением оператора Ц очевидно, необходимо
и достаточно, чтобы решение 0 = 0-! уравнения (L — Х)/ = 0,
имеющее вид (/ + 1)а (1 + ...), было интегрируемо в квадрате
в точке +1, т. е. отличалось постоянным множителем от реше-
ния о+1 этого уравнения, имеющего вид (/—1)0(1 + ...). Если
это так, то функция (/ + 1)-а(/ — 1)~0а является аналитической
функцией в точках +1 и — 1. Поскольку дифференциальное
уравнение (L — А,)/ = 0 не имеет других конечных особых точек,
кроме ±1, функция (/ + 1)-а (/ — 1)-₽о является аналитической
и во всех других точках комплексной плоскости. Так как L — К
имеет регулярную особенность в бесконечности, то (/ +1 )~а (/— 1 )”₽а
имеет вид О (| z |+2V) в оо для некоторого достаточно большого N.
Отсюда в силу известных элементарных теорем теории функций
комплексного переменного следует, что (/ +1)~а(/—1)“₽о—поли-
ном. Таким образом, для того чтобы число X было собственным
значением оператора L, необходимо и достаточно, чтобы уравне-
ние (L — X) о = 0 имело решение вида (1 + /)а (1 — /)₽ Р (/), где
Р —полином.
Отсюда после замены зависимой и независимой переменных,
указанной выше, получаем, что о отличается постоянным множи-
телем от
(/ + 1)“(1_/)₽+а + р_Н + + а + р + |_у; 1+2а; £+1)
(где, как и раньше, Х=^у2 —1/4). Поэтому К является собст-
венным значением тогда и только тогда, когда F — полином,
т. е. тогда и только тогда, когда гипергеометрический ряд пре-
вращается в конечную сумму. Из формулы (2) видно, что это
происходит тогда и только тогда, когда а +\Р + п + 1 /2 = ± у,
где и —неотрицательное целое число. Следовательно, числа
%n = (n + « + (J+1) (п+ « + (}) являются собственными значениями
оператора L, а функции
Фп(х) = Сп(1+Оа(1-О₽+-«, +п + 2а + 2р + 1; 14~2а; ф)
являются соответствующими ортонормированными собственными
функциями, где сп — нормирующий множитель, который мы должны
еще определить. Полином в правой части обозначается обычно
после умножения на через и называется
полиномом Якоби. Частные случаи: а = р — ультрасферические
полиномы; а = р = ± 1/4 — полиномы Чебышева первого и второго
рода; а = р = О — полиномы Лежандра.
8. Примеры
679
Теперь нормируем функцию срп. Это можно сделать следующим
образом. Поскольку Е ({Хп}) —ортогональный проектор простран-
ства Е2(—1, 1) на одномерное линейное пространство, порождае-
мое собственной функцией фп, и поскольку {срп} —полная орто-
нормальная система, оператор Е ({Хп}) должен определяться
формулой
£ ({^n}) f — (f, фп) фп?
т. е. формулой
(£({М)/)(0=Фп(0 J <Pn(s)/(s)ds.
-1
Далее, согласно теореме 3.16, следствию 5.30 и замечанию, сле-
дующему за теоремой 5.16, Е ({ХЛ}) задается формулой
(Е ({Хп}) /) (/) = йп<р (/, Хп) ф (s, Х„) / (s) ds,
-1
где
<р (I, Х) = (/+1)“(1-/)₽х
xF^a + p+y+j, a + p + y — у; 1+2a; ,
Ф(/, %) = (/+1)“(1-0₽х
Xf^a + P + y+y, а + р + у—у; 1 + 2р; ,
причем у = +1/4, kn — вычет в точке Х = Хп функции
{(1—t2) W (<р (t, Х),ф (t, X))}-1, a W(f,g) обозначает, как обычно,
определитель Вронского f'g — g'f двух функций f и g. Заметим
далее, что если гипергеометрические функции в правой части
предыдущих формул обозначить соответственно через Fa((l + 0/2)
и F3(( 1-0/2), то
(1-Н^(ф, Ф) =
= (1 +02o+1 (I -023+1№ (Чг) - МЧгЧ) =
==22a+2P+ls2a+l Q _s)2₽+lfl7 (/7* (s)> (J _5))(
где s = (l Ц-/)/2. Теперь из рассуждений о замене переменных,
проведенных в начале этого параграфа, следует, что Еа и Ер
являются решениями уравнения с регулярными особенностями
в точках 0, 1, оо и соответствующими показателями 0, —2a;
0, — 2Р; 1/2 + у + а + р, 1/2 —у + а + р. Частное решение Fa (s)
680
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
этого уравнения характеризуется тем, что оно регулярно и при-
нимает значение 1 в нуле, а fp(l—<$) регулярно и принимает
значение 1 в единице.
Пусть Fa — единственное решение уравнения с теми же самыми
регулярными особенностями и показателями, которое имеет вид
z~2a(1в окрестности точки z = 0. Тогда, поскольку Fa
и Fa вместе образуют базис для решений нашего уравнения, мы
имеем соотношение fp = Xifa4-x2fa. Следовательно, W (Fa, F$) =
= х2№ (fa, Fa)- Далее, как следует из формулы Грина,
s2a+1 (1 - s)2₽+1 W (F, F') — постоянная величина для любой пары
решений нашего уравнения. Поэтому мы имеем W (Fa, Fa) =
= const. S-2a-l и так каК W (f a, F+) =F'aFt-F a (f 5)' =
= (4-2a) s-201”1 (1 + ...) для s, близких к нулю, то W (Fa, fa) =
= 2as-2a-1(l-s)-2P-1 и W (Fa, fp) — 2ax2s-2a-1 (1 — s)”2^”1.
Чтобы вычислить коэффициент x2, можно рассуждать следую-
щим образом. Функция z2afa является единственным решением
уравнения с особенностями в точках 0, 1, оо и соответствующими
показателями 2a, 0; 0, — 20; 1/2 4- у — a 4- 0, 1/2 —у —a 4-0,
которое регулярно и принимает значение 1 в нуле; функция
f2afp —единственное решение этого уравнения, которое регу-
лярно и принимает значение 1 в точке 1. Поэтому мы имеем
22aF+(z) = F(l + Y-a + p, l-y-a + p; 1—2a; z) ,
z2“Fp(z) = F(l + Y-a + p, 4-Y-« + P: 1 + 2p; 1-z).
Полагая z = 0 в уравнении z2ttFp (z) = XjZ2"^ (z) + n2z2aFt (z), мы
находим (поскольку a>0), что
+ y —a + p, у — Y — a + p; 1 4-2p; lj) = x2.
<1
Тогда по формуле (4)
i
X2 =---j-------£(lj-2g)-------- t /Y-a+P-1/а (1 _/)2a—1 dt =
r(j + Y-a + ₽))r (y+P-Y + <4 0
____________Г (1 +2P)___________ Г (^Y~a+P + ~2~^) r(2a) _
r (| + Y~« + P)r (| + ₽-Y+«)____r(a+Y + P + y)
____________Г(1+2Р)Г(2а)________
Г (|+₽-Y + «) Г Q+a + p + y) ’
8. Примеры
681
Таким образом,
S2“+1 (1 _ S)2₽+1U7 (Fa, F₽) = ——-?“r_<L±2P) Г ------- =
r(i+a+₽-Yjr(y+a + ₽ + Y)
=__________Г (1+2P) Г (1 +2a)_____
Г (l+a+₽“Y) Г (4 + “ + ₽ + y) ’
Вычет функции {(1 — t2) № (<p (t, X), ф (t, X))}'1 в точке X = X„, где
1/24-a + p — yn= — n, равен
_ 2—2a—2P-1 Г(1+2а+2р + п) (-1)* ууущ _
x2-2 Г (l + 2a) Г (14-20) n! ^A+l/4-
= 2_2a-2₽-i Г (l + 2a + 2p + n) (2n+2a + 2P+1) (-1)»
Г (1 4-2a) Г (1 + 2P) n!
Здесь мы использовали известный факт, что вычет функции Г (г)
в простом полюсе ?=— п равен (—1)п/и!
Поскольку при Х = функции <р(/, Х) иф(/, X) становятся
линейно зависимыми, мы имеем ф (/, Хп) = 8пф (/, Хп), откуда,
полагая /=1, находим
en = F^a + p + yn + y, a + p —уп + у; 14-2a; 1^ =
— F (1 2a -p20 -pи, —д; 1 -p2a; 1).
Снова применяя формулу (4), находим
_ Г (1 4-2a) Г (—20) . , ппГ(1+2а)Г(1 + 2р + п)
п Г( —20 —п)Г(1 + 2а + п) k ' Г(1+2а + п) Г (14-20)’
Здесь мы использовали формулу Г (?) Г (1 — ?) = л cosec лг. Таким
образом,
(Е ({Хп}) /) (0 = е-‘М (/, Хп) J <р (з, Хп) f (s) ds =
-1
1
= фп (0 фп (s) f (s) ds,
-1
где<p (t, Хп) = (/ + l)a (1 - t^F (-n, n + 2a + 20 +1; 1 + 2a; (t + l)/2>
и фп (/) = cny (t, Xn). Следовательно,
, |2, , 2-2a-2p-lr(1+2a + 2p + w)r(1+2a + n)(2n + 2ct + 2p+1)
I n| nl n {Г (1 +2a)}2 Г (1 +2p + n) n!
Итак, мы нормировали функции фп.
Обратимся теперь к анализу случая 2, предполагая, что
a>1/2 и О<0<1/2, так что по теореме 2.30 £а> ₽ имеет два
682 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
линейно независимых граничных значения, оба в точке +1.
(Для простоты случаи р = 0 или а =1/2 не рассматриваются
и предоставляются читателю в качестве упражнения.) Пусть
•ф+(<р_) — любая функция класса С°°, определенная на интервале
(— 1, +1), равная нулю при t <0 и (/—1)Р ((/—1)-₽) для/,
близких к 1. Тогда простое вычисление дает
Ь“’ (0 = (1 - 0 ± Р ((- 2р2 + 202) (1 -1Г + const +...),
так что L<p±gZ.2(—1, 1) и <р± g£>(7\ (L)). Таким образом, по опре-
делению XII.4.20 A±(f) = (Lf, <р±) — (/, Л<р±) — граничные значения
оператора L. Мы имеем
1—8
Д±(/) = Ит
8->0
= lim (1 - /2) (<р'± (/) f (/) -<р± (/) f (t) |L7 =
8—>0
= lim 2е (± ре±₽"(1 - е) - е±₽/' (е)) =
8—>0
= lim{-2[e±₽+1/'(l-e)T ре±₽/(1-е)]}.
8—>0
Таким образом, пределы
Л+ (/) = lim {e₽+‘f (1 - е) - ре₽/ (1 - е)},
8—>0
Л_ (f) = lim {e-P+V' (1 - е) + ре-Р/ (1-е)}
8—>0
существуют для всех f из ©(^(Л)) и определяют граничные
значения для L. После несложных вычислений мы получаем
Л+(ф+) = 0, Л_(ф+)=2р,
Л+(ф_)=—20, Л_(ф_) = 0. 4
Отсюда следует, что Л+ и Л_ являются независимыми граничными
значениями. Более того, равенство
{/, g}=~iШ, g)-(f, Lg)} = №)-'{Л+ (/) АЫ^)-Л_ (/) ЛГ^)}
справедливо, если f и g выбраны из числа функций ф+ и ф_;
следовательно, по теореме XIL4.24 оно справедливо для всех f
и g из £)(7\(L)). Согласно следствию 2.31, наиболее общим
самосопряженным сужением оператора 7\(А) является его суже-
ние на область, определенную одним граничным условием Л+ (/) =
=kA_(f), где k — некоторое действительное число, — оо -j- с°.
Если k = 0, то единственным решением уравнения Lf = hf
с интегрируемым квадратом в точке +1, удовлетворяющим
8. Примеры
683
заданному граничному условию Л+ (/) = 0, является, как легко
видеть, решение с асимптотикой (1 —/)₽ в окрестности точки t = 1.
Таким образом, все наши вычисления проводятся точно так же,
как в случае 1, и мы снова приходим к собственным значениям
Кп = (п + « + р + 1) (и + а 4- Р) и ортонормированным собственным
функциям
<Рп(0 = Сп(1+0а(1-0₽/7(-«,п + 2а + 2р+1; 1+2а;
К|2 =
2-2а-2р-1 Г(1+2а + 2р + п) Г(1+2а + п)
{Г (1 + 2а)}2 г (1 +20 + п) п\
(2и + 2а + 2р+ 1).
Если k= оо, так что наше граничное условие имеет вид Л_(/) = 0,
то единственное решение уравнения Lf = Kf, интегрируемое
в квадрате при t = +1 и удовлетворяющее заданному гранич-
ному условию, есть решение с асимптотикой (1—/)“₽ в окрест-
ности точки t = 1. Замена 0' = — р возвращает нас к предыду-
щему случаю, так что мы имеем собственные значения
= (п + а — р 4- 1) (и + а — р) и ортонормированные собственные
функции
<P»(0 = Ml+0a(l-0_fX-«. /г + 2а-2р+1; 1+2а; -Ц1) ’
12 _ (1 + 2а —2р + п) Г (1 4-2а + п)
Сп| “ {Г (14-2а)}2 Г (1 -2Р4-/1) п!
(2и + 2а-2р + 1).
Если 0< | ^ | < оо, то мы не можем ожидать столь полной
аналогии со случаем 1. В этом случае нетрудно показать, что
решением уравнения Ао = Ло, удовлетворяющим граничному усло-
вию Л+ (/) = kA- (f) при /=1, является — &т), где (соот-
ветственно т) есть единственное решение этого уравнения вида
(1 -Н)а(1 —0₽(1 + •••) (соответственновида(1 + /)а(1 ~0~₽(1 + ---))
в окрестности точки / = 1. Следовательно, собственные функции
больше не являются полиномами. Если, как в случае 1, мы положим
<р (/,%) = (/ +1)а(1-0₽х
X F (а + р + Y + ’ ““ЬР + у — Y> 1+2а; 4”^’
так что <р (/, X) — единственное решение уравнения Lf = Kf с инте-
грируемым квадратом в окрестности точки t=l, то, как в слу-
чае 1, получим
(1-/2)№(<р(/, X), Ш’Х)) =
22<Н-20+1 г (1 4-2₽) Г(1 + 2а)
1 . . - Л „ Z 1 . . Л
684
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Решения гр и т переходят друг в друга при замене (3 —» — (3.
Поэтому
Г (. 2' + a“₽-YJ г (д+a—P + yJ
Следовательно, если уп — корни уравнения
______________22рГ(1 + 2Р)__________
Г ^у+а+Р—Yn^ Г ^-g-H-a + P + Yn^
= k. 2-₽___________Г (1- 2Р)__________,
г С4+а“ P-Yn) Г (4 + а- P+Yn ) т
то собственные значения Хп определяются из уравнения уп —
= (Xn + 1/4)1/2. Соответствующими ортонормированными собствен-
ными функциями являются <рп (/) = cn<p (t, Хп), где сп — нормирующие
множители, которые мы должны определить. Рассуждая, как
в случае 1, мы видим, что |cn|2 = fen/en, где kn — вычет функции
{(1 — /2)Ц7(<р, р)}-1 в точке Х = ХП, а еп —коэффициент в уравнении
<р(^, А71) = е„е(/, Хп). Если
(l-/2)«7(q>(/, X), Q(t, Х)) = Г(%),
то kn = (W' (Хп))-1; так как
W (X) = 22a+1 Г (2a + 1) I—7-j-?Р. Г_1И|Р)-----------
[ Г Q + a+P-yJ) Г ^±+a+P+YJ
_________________________________fe-2~Pr(l—2Р)_______|
г Q+a-P-Y)r (4 + а_Р + у) Г
то мы имеем
UZ'(M = 22ar(2a+l)y;1x
х Г___________2Р Г(1 +2Р)________х
Г (±+a+P-Yn)r (y+«+P + Yn)
х + P—Чп) — £+ <*+ Р+ Уп^} —
_ ь. 2-₽___________г0~2Р)_____________х
r(|+a_₽-Yn)rQ+a-P+Yn)X
X {^(y + a- p-yn^) -g(y4-a- р + Yn)} ,
8. Примеры
685
где I (z) = Г' (?)/Г (z) — логарифмическая производная Г-функции.
Таким образом, постоянная kn — {W' (Ч,)}-1 определена. Чтобы опре-
делить 8П, заметим, что в обозначениях, использованных в случае 1,
•мы имеем
ф (/, Х„) = 8„ф (t, %п) — Snkt (t, %n),
ф адп)=(1 +0“ (1 -о₽ (-^),
т(/, xn) = (i+0“(i-0₽^(-1f£-).
Поэтому еп можно определить, зная коэффициент е в уравнении
Fa (0 = e-F₽ (1 — 0 + e'Fp (1 — 0• Чтобы определить этот коэффи-
циент, предположим временно, что 0 < 0; тогда Fp (0) = 0 и, следо-
вательно, в силу (4)
z = Fa (1) = г(а + р + у+у, а + 0—у-|--Т; 1 л-2а; Q =
____________________Г(14-2а)Г(—20)________.
г (4+а~₽_у)г (т+а-₽+7) ’
по принципу аналитического продолжения это справедливо и для
р>0. Поэтому
8л=___________г (1 +2а) Г(—2Р)_______.
Г (у + а—Р—Уп Г ^"2~+а—Р+Уп^
Таким образом, мы выразили ортонормированные собственные
функции <рЛ в замкнутой форме в терминах гипергеометрических
функций, корней уп уравнения, определяющего собственные значе-
ния, гамма-функции и ее производных.
Наконец, проведем краткий анализ случая 3. Здесь мы имеем
четыре граничных значения, два в точке +1 и два в точке — 1.
Нетрудно видеть, что если в случае 0<а<1/2 мы возьмем
граничные значения
В+ (f) = lim {8а+7' (е — 1) — аеа/ (8— 1)},
8—>0
В- (/) = lim {8~а+1/' (е— 1) + а8_(Х/ (8 — 1)}
8—>0
в дополнение к граничным значениям А+ и Л_, введенным в слу-
чае 2, то мы получим полную систему граничных значений.
Рассуждения, аналогичные использованным в случае 2, т. е. при-
менение теоремы XII.4.24, показывают, что
{А = (Ф)-1 {Л (/) Ate) - A- (f) Ate)} -
-(ш)-чв+(/)вЛИ-в- (/)вл^)}.
686 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
В этом случае семейство всех самосопряженных сужений опе-
ратора Т1(£) зависит от произвольной унитарной (2 х 2)-матрицы
и, следовательно, от четырех действительных параметров. Поэтому
мы лишь исследуем несколько простых частных случаев.
Прежде всего, если мы наложим условие В+ (/) = 0 и второе
условие в точке /=+1, то единственным решением уравне-
ния Lf = Kf, удовлетворяющим заданному граничному условию*
в точке —1, так же* как и в случае 2, является
Ф (/, X) =
= (/+l)a(l-/)₽F(l + a + P + Y, 4 + a + p-Y; 1 + 2а;-Ц±) .
где у = (Х+ 1/4)1/2. Поэтому вычисления для граничного условия
В+(/) = 0 почти совпадают с вычислениями в случае 2. В част-
ности, граничные условия В+(/) = 0, Л+(/) = 0 дают собственные
значения = (и + a + 0 + 1) (и + a + 0) и нормированные собствен-
ные функции cnq(t, Хп), где |сп|2 определяется той же формулой,,
что и в случае 2.
Все предыдущие системы граничных условий являются рас-
падающимися. Представляет интерес самосопряженная система
смешанных граничных условий Л+ (/) = В_ (/), Л_ (/) = — В+ (/)г
которую мы изучим для случая а = 0. Обозначим соответствующее
сужение оператора ТДВ) через Т. Если — то мы имеем
Л+ (/) = — В- (g) и Л_(/) = — B+(g). Поэтому если /Е®(Т),
то функция g(t) f( — t) также принадлежит £>(Т). Так как Lf—Lg,
то четная и нечетная части собственной функции оператора Г
являются его собственными функциями. Кроме граничных условий
Л+ (/) =В_ (/), Л_ (/) = — В+ (/), четная собственная функция опера-
тора Т удовлетворяет условиям Л+ (/) = — В- (/) и Л_ (/) = — В+ (/);
поэтому Л+(/) = 0 = В_ (/). Обратно, если Л+(/) = 0 = В_ (/) и / —
четная функция, то оба граничных условия, определяющих Э(Т)Г
удовлетворяются. Таким образом, четными собствёнными функциями
оператора Т являются четные функции, удовлетворяющие
самосопряженной системе Л+ (/) = 0 = В- (/) граничных условий
и уравнению Lf — Kf для некоторого X.
Из предыдущих рассуждений ясно, что такой класс функций
в точности составляют четные функции из системы
<Pn (0 = Cn (1 +0a(l -0a^(-п, n + 4a+ 1; 1 4-2а; ,
2~4а—1 Г(1 + 4а+п)(2п+4а+1)
= {Г (1 +2а)}2 п! •
Далее, если, А+ (f) = 0=В- (/) и g (/)=f (—t), то А+ (g)=О=В_ (g);
таким образом, если / — собственная функция самосопряженного
I Сп I
8. Примеры
687
сужения S оператора определенного этой последней парой
граничных условий, то g — также собственная функция оператора S.
Как мы видели, каждое собственное значение оператора S простое,,
поэтому каждая собственная функция этого оператора, т. е. каждая
функция фп, определенная предыдущей формулой, либо четна,
либо нечетна. Так как n, n + 4a+1, 1+2а, (1 +0/2) есть
полином степени п, он обязательно четный при четном п и нечет-
ный при нечетном п. Таким образом, фп является собственной
функцией оператора Т для четных и, но для нечетных п это не так.
Подобные рассуждения для нечетных собственных функций f
оператора Т показывают, что они удовлетворяют соотношению
А- (/) = 0 = В+ (/) и, следовательно, в точности совпадают с функ-
циями
Фп(0 = М1+0_а(1-0~“ + -п, n-4a+l; 1 —2а; -ф-),
|2_ 4а+п) (2п-4а+1)
1 п| {Г(1— 2а)}2 п!
для нечетных п>1. Таким образом, собственные значения опе-
ратора Т разбиваются на две подпоследовательности
Xn = (n + 4a4-1) (п-Ь4а), если п четно, п>0,
(п — 4а4-1) (п — 4а), если п нечетно, п>0,
которым соответствуют ортонормированные функции <рп (если п
четно) и <рп (если п нечетно).
Теперь мы перейдем к рассмотрению оператора
на интервале (1, оо). Здесь мы предполагаем, что 0 — положи-
тельное число, а а —действительное или чисто мнимое. Как и выше,
мы видим, что показатели оператора LY — X в точках —1, +1, оо
равны соответственно ± а, ± р, 1/2 ± у, где 1/4 —у2. Полагая
Уо— 1/2+г, так что Х0=1+г, мы видим, что уравнение —Хо) /=0
имеет одно решение порядка /-1~г при t—> оо и другое, которое
ведет себя, как Л, при t—» оо. Для Хо=1 — i решения будут
точно такими же. Таким образом, согласно теореме XII.4.19,
уравнение (Li —X) /=0 имеет в точности одно решение из Ь2 (2, оо)
для каждого невещественного X. Могут представиться два случая.
Случай 1: 1/2. Индексы дефекта оператора равны нулю,
поэтому не надо налагать никаких граничных условий; при-
водит к единственному самосопряженному оператору в 12(1, °°)>
который мы будем по-прежнему обозначать символом
688 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Случай 2: 0<р< 1/2. Индексы дефекта оператора Lx равны 1,
и, чтобы получить самосопряженный оператор в гильбертовом
пространстве, мы должны наложить на Lx одно граничное условие
в точке + 1 •
Рассмотрим случай 1. Если у чисто мнимое, у = Zq, т. е. если
1/4, то уравнение — Х)/ = 0 имеет два линейно независимых
решения, которые веДут себя в оо как /-1/2±гр; таким образом,
ни одно решение этого уравнения не принадлежит L2(l, °°)-
Следовательно, точечный спектр оператора полностью лежит
в области 1/4. В этой области уравнение (Li —Х)/ = 0 имеет
одно решение порядка /-1/2~Y и одно решение порядка /-1/2+у;
таким образом, имеется одномерное подпространство решений
с интегрируемым квадратом в бесконечности. Рассуждения, при-
мененные выше к оператору L на интервале (—1, 1), показывают,
что X является собственным значением тогда и только тогда, когда
уравнение (L{ — X) f = 0 имеет решение о вида
.. (/- 1)₽ (1 р ((1 + /)/2),
где у —положительный квадратный корень из 1/4 —X, а Р — неко-
торый полином. Из описания преобразования независимой и зави-
симой переменных, изложенного в начале этого параграфа, следует
что о отличается постоянным множителем от функции
(/-l)₽(l+0"1/2-Y’₽F(p-a+Y+4, p+a+y+1; 2у+1;-Ц^) .
Поэтому X является собственным значением тогда и только тогда,
когда р — а + у + 1/2= —и, где п — неотрицательное целое число,
а у —положительное действительное число. (Заметим, чтор + « +
4- у + 1/2 не может быть неположительным целым числом, поскольку
а, р, у > 0.) Если а не является действительным, то это невозможно;
если а действительное, то мы имеем ортонормированные собствен-
ные функции
сп(/-1)₽ (1+/)п-“г(-п, —п + 2а; 2а-20-2п; ,
где 0<п<а —р—1/2, а сп — нормирующие множители, которые
мы должны определить. Таким образом, мы имеем только конеч-
ное число собственных значений (a —р—n) (n+1+Р —а), 0<и<
<а —р —1/2. Нормирующие множители сп можно определить
непосредственно общим методом, использованным при изучении
оператора L на интервале ( — 1, +1); однако в этом случае
их можно найти также из результатов, полученных при изучении
8. Примеры
689
оператора L, при помощи следующей элементарной замены.
Число | сп |2 равно обратной величине интеграла
(/-1)23(1+/)2п-2а
1
п, — п + 2а; 2а — 20 — 2п\ -j-jp )}2 dt.
После замены
2 ___ 1 + s , j 2(1—s) —4 ds
l + 2 ’ 1 1+s ’ (1 +s)2” —
получаем
i
[ __ 22P+4n~4a+2
-i
(1-S)2₽(1 + S)
2a— 2(3 —2n—2
X {f(^— n, — n + 2a; 2a — 20 — 2n; +* j-2 ds.
Выше мы установили соотношение
i
J (1 +s)2n(l — s)26 X
-1
X — n, n + 2a-j-2b4-1; 14~2a; ~+T^j-2ds =
22a+2b+l {Г(14-2д)}2Г(1+2&-|_п)п|
Г (1 + 2a + 26 + ri) Г (1 + 2a + ti) (2/1 + 2a + 26 + 1)
Полагая 2a — 2p — 2n = 2a + 1 и 2n + 2a + 2b + 1 = 2a, мы получаем
22^+2n-2a+l {Г(2а-2Р —2п)}2Г(1 + 2р + п)п! . , ,2 _ r-i
~~ аГ (2a — n) Г (2a — 2p — n) ’ IM—7 •
Таким образом, дискретный спектр оператора L изучен полностью,
и мы переходим к анализу его непрерывного спектра.
Сначала определим местоположение непрерывного спектра.
Согласно следствию 7.4, мы можем рассматривать концевые точки
t = l и t = со отдельно. Так как наш оператор имеет два гранич-
ных значения в точке /=1 при 0ср<1/2, полуограничен снизу
на любом интервале (1, с], с<оо, и возрастает с ростом 0, из
теоремы сравнения 7.34 и из теорем 4.1 и 4.2 следует, что конце-
вая точка i =--- 1 дает нулевой вклад в существенный спектр
44 Заказ № 134
690
Гл. XIIL Обыкновенные дифференциальные операторы
при любом значении 0. Так как в рассматриваемом случае
lp(t)Vi/2 dt~ оо и
2
lim <7(0 + 4 (р" (0 - ~ [р (0Г11Р' (О]2) =
+тН2+(,’-1Г,<2+)=4'
то из теоремы 7.66 следует, что существенным спектром опера-
тора Ц является часть 1/4 действительной оси. Таким образом,
спектр оператора Lt состоит из собственных значений, перечислен-
ных выше, которые лежат в области Х<1/4, и из непрерывного
спектра, покрывающего луч 1/4. Теперь мы хотим найти явные
формулы для той части спектрального разложения оператора Lif
которая соответствует непрерывному спектру.
Условимся при ReX> 1/4 выбирать то значение величины
у = у (X) = (1/4 — Х)1/2, для которого 1ту>0. Таким образом,
у (Л) —аналитическая функция от X в правой полуплоскости
ReX> 1/4. Мы имеем Rey>0, если 1тХ>0, и Rey<0, если
ImX<0. Пусть S±—единственное решение дифференциального
уравнения Л1сг = Ха, имеющее вид t-^2^ (1 -\~c/t + ...) в окрест-
ности точки t = co, и пусть Sp— единственное решение того же
дифференциального уравнения, имеющее в окрестности точки
/=1 вид 2а (/ — 1)₽ (1 -j-c' (/ — 1) + . ..). После замены зависи-
мой и независимой переменных, описанной в начале этого пара-
графа, мы получаем
3₽ = (/+ l)₽F(a + p4-Y + l, a+p-Y+|; 1-1-20;
S+ = (/ —1/(1 4+)-1/2-v-fl x
xf/p—a+y+4> P+a + y + y’ 2y + i; r|+y ’
S_ = (i — 1/(1 4-/)-1/2+y-P x
x^(p-a-Y+y, P + a-Y + j: 1 ’ 2Y! •
Следовательно, все решения Sp, S+, S_ аналитически зависят от X,
для которых ReX> 1/4. Поскольку любое из этих трех решений
линейно зависит от двух других, мы имеем соотношение
S_ = &+(Х) S+ + kp (М Sp, где коэффициенты k+ и &р — аналити-
ческие функции от X для ReX> 1/4. Используем решения Sp и S+
в качестве стандартного базиса для решений уравнения Z-tcr = Асу.
8. Примеры
691
Решение S+ интегрируемо в квадрате в окрестности точки
t = оо при Im А, > О, a S_ интегрируемо в квадрате в окрест-
ности точки при ImA,>0. Поэтому, согласно теореме 3.16,
ядро Грина Кх определяется формулой
ХИЛ «) =
Sp (t, X) S+ (s, X)
(/2-1) IT(Sp, S+)
Sp (t, X) S_ (s, X)
7^Z7l)r(Sp,S_)
t < s, Im A > 0, Re % > 1 /4,
t<Zs, ImA<0, Re A >1/4.
В терминах базиса Sp, S+ мы имеем
k+ (X) Sp (/, X) S+ (s, X) Sp (/, X) 5ЙГТ)
X ’S (/2-1) fe+(X) F(Sp, S+) (/2—l)№(Sp,S_)
(<s, ImA<0, Re A >1/4.
Таким образом, в обозначениях теоремы Титчмарша — Кодаиры 5.18
у Г , (А) —------!---=— , у Г „ (А) = 0 Im А > 0,
₽>+ (/2—i)F(Sp, S+) '
+(А)-0, у; э(Х) = 0, Re А >1/4;
уГ д_ (А) =------?---— , у8- в (А) =----, Im А < 0,
₽+ (/2-i)UZ(Sp, s+) (/2— l)F(Sp, S_)
yZ, + (A) = O, у" p(A) = O, Re A >1/4.
Поэтому в силу теоремы 5.27 и того, что все наши величины
являются аналитическими функциями даже на действительной оси,
мы имеем q++ = 0, Q+>p=-0 (так что и Qpi + = Q+, р = 0) и
.. _ 1 f W) .. _
бр,₽(е) 2ш \ (/2—1)Г (Sp, S-)
—=a5L-dA.
л‘ ’’ (/2-1)Х+(Х)Г(5+, S_)
Теперь мы знаем, что (72— 1) W (S+, S-) — постоянная величина,
и так как в окрестности точки t— со мы имеем (t2— 1) W (S+, S_)~
~ — 2у, то ((2 — 1) W (S+, S_) =—2у. Чтобы вычислить постоян-
ную /?р, мы рассуждаем следующим образом. Выполняя преобра-
зования переменных, указанные в начале параграфа, мы видим,
44*
692
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
что функция
(t— 1)₽ {t + l)-₽-V-V2 х
xF(4 + y + p + a, 1 + у + р_а; 1 + 20; = S(Z)
является решением уравнения Более того, она регулярна
и имеет вид 2~37Y-1/2 (/-—1)р (1+с (/—1) + .. .) в окрестности
точки t=A. Поэтому 2a+p+v+1/2S = Sp. Мы имеем S Z+S++ Z-S-,
где в случае Rey<0 можно положить /=со и получить
Z+-F(l/2 + y + P + a, l/2 + y + P-a; 1 + 20; 1);
согласно принципу аналитического продолжения, это верно
и в случае Rey>0. При инволюции у—> —у функции S+ и S_
переходят друг в друга, a Sp отображается в себя. Так как
2a+₽+Y+i/2S = Sp, то при этом S умножается на 22y. Поэтому
должно быть
/_ = 2-2yF 0-у + р + а, l-y + 0-a; 1+20; 1).
Поскольку &pSp + &+S+= S_, мы имеем kp = (2“+₽+y+1/2Z_)~1,
&+= — Z+Z_; таким образом, — &p/£+ = (22a+2₽+2Y+1Z_Z+)-1. Так как
для действительных Л > 1 /4 число у чисто мнимое и 1ту>0,
то
= 22“+2₽+i|f 0 + Y.|_0 + a, | + Y + 0_a; 1+20; 1)|2,
^2 (Х~4~ 2 Р -1-1
е₽, ₽ (е) = {2лГ(1 + 20)}2 х
е
rG+₽-Y + a)rC4 + P-Y-a)| sh2nl/X—1/4
___ _
dk
где у = I УX— 1/4, для подмножеств непрерывного спектра X > 1/4.
Это завершает анализ оператора Ц в случае 1. Интересно
объединить полученные результаты и дать их общую формули-
ровку.
Для простоты мы рассмотрим только частные случаи случая 1,
когда Ц имеет чисто непрерывный спектр и не имеет точечного
спектра. Читатель сможет без труда сформулировать общий
результат, относящийся к случаю 1.
Теорема. Пусть Ц — формальный дифференциальный оператор
I d (f*. П d 2a2 2рг
dt k ' dt 14-/ 1 — t
8. Примеры
693
на интервале (1, оо). Предположим, что р>1/2 и а —либо
чисто мнимое число, либо а < (3 + 3/2. Тогда Ц не имеет гранич-
ных значений и поэтому определяет единственный самосопря-
женный оператор, который мы по-прежнему обозначаем симво-
лом Ц. Если ф (t, %) обозначает функцию
1(,(Л Х) = 2а+₽-1/2л-1 [Г (1 +20)]-1 X
I т-1 < 1 ,о , \ r < 1 , Q \ I2 <sh2n(X —1/4)1/2\1/2 z
x|r+ + P-Y + «Jr+ + ₽-Y-“J j (------------+1Z4 J X
Х(/+1)а(/-1)^(а + р + у+1 а + р_у + 1 ; 1-4-20;
то предел в среднем
k
(Vf) (X)-l.i.m. ? ip(Z, k)f(t)dt
fe->oo J
существует для каждой функции f£L2(0, оо) и определяет
унитарное отображение пространства L2(l, оо) ял L2(l/4, оо).
Обратный к V оператор определяется формулой
(l/-if)(/)^ l.i.m. ф(/, Z)f(X)dZ.
и— +4
Если F (Lt) — любая борелевская функция самосопряженного опера-
тора Lt, то VF (Lt) V"1 — операция умножения на F (•) в про-
странстве L2(\I4, оо).
Вместо того чтобы продолжать изучение формального диф-
ференциального оператора L в случае 2, перейдем к изучению
другого уравнения. В интеграле Эйлера (4) положим z = £/p
и (3—>со; в пределе получится целая функция
1
(5) Ф(а, у; z) = r . +Y)—- ( (1 dt,
\ \ > г, / Г (а) Г (у —a) v 6 7
о
Rea>0, Re(y— а)>0,
так называемая вырожденная гипергеометрическая функция.
Этот же процесс в применении к ряду (2) дает
(6) Ф(а, у; z) = 1 + — г + - ^ z2 + . ..;
\ 7 v ' 1 у 1 2!у (у+1)
694 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
таким образом, Ф(а, у; z)-—аналитическая функция от всех трех
своих аргументов, если только у не является отрицательным
целым числом. Тот же процесс, примененный к гипергеометри-
ческому уравнению (1), показывает, что Ф(а, у; z) удовлетворяет
вырожденному гипергеометрическому уравнению
<7> г(^)ф + (т-г)Аф_(,ф=о.
Это уравнение имеет особенности в нуле и бесконечности. Осо-
бенность в нуле — регулярная с показателями 0 и 1—у. Особен-
ность в бесконечности — иррегулярная порядка 2. Поэтому для
изучения вырожденного гипергеометрического уравнения нам
понадобятся некоторые сведения из теории’уравнений с иррегуляр-
ными особыми точками.
Удобнее всего взять уравнение Lf = (d/dz)2 f -{- р (z) (d/dz) f +
+ ^(z)7 —0, имеющее иррегулярную особенность порядка
в бесконечности; полученные результаты можно затем с помощью
замены z = z0 + 1/w перенести на случай иррегулярных особенностей
в конечной точке z0. Пусть р (z) = zk~2P (z), q (z) = z2(k~2}Q (z), так
что функции P(z), Q(z) регулярны в бесконечности. Тогда урав-
нение [(£ — 1) а]2 4 Р (оо) (£—1) « + Q (оо) = 0 называется харак-
теристическим уравнением уравнения D2f + р (z) Df + q (z) f = 0
в бесконечности; корни и £(2П характеристического уравнения
называются первыми характеристиками. В дальнейшем мы всюду
предполагаем, что . Линии проходящие через начало
координат, вдоль которых величина (^(11) — £2n) z^"1 остается чисто
мнимой, называются линиями Стокса дифференциального уравне-
ния. В любом замкнутом угле, содержащем не более чем одну
из линий Стокса, дифференциальное уравнение имеет решение,
поведение которого в бесконечности выражается асимптотическим
рядом
{ехр + ... + z-«i {1 + у + | +•••}’
и второе решение, поведение которого в бесконечности выра-
жается асимптотическим рядом
{ехр + dV’2 + ... + 2~С2 +
Эти асимптотические соотношения справедливы, когда |zj —> оо
равномерно в любом замкнутом угле, содержащем не более чем
одну из линий Стокса. Следовательно, их можно дифференциро-
вать произвольное число раз. Величины £<2>,
называются соответственно второй, третьей и т. д. характери-
стиками, относящимися к первой характеристике g*1*, и показа-
8. Примеры
695
телем, относящимся к первой характеристике ^<1>. Аналогично
определяются величины £^2>, £(2Ч . .., £(2fe~4 е2-
Упорядоченные системы ЩЧ . ..,£<fe_4 ej, 4=1, 2, назы-
ваются характеристическими системами для иррегулярной осо-
бенности в бесконечности рассматриваемого дифференциального
уравнения. Характеристические системы и коэффициенты соответ-
ствующих асимптотических рядов однозначно определяются диф-
ференциальным уравнением; они могут быть найдены при помощи
простой подстановки асимптотических рядов в уравнение и реше-
ния полученной последовательности алгебраических уравнений
для коэффициентов. Первое из этих уравнений—-характеристи-
ческое уравнение дифференциального уравнения —квадратное, все
следующие уравнения линейные. Если мы найдем дифференциаль-
ное уравнение L'f' — Q, которому удовлетворяет функция
/' = {ехр (£(1>Z'‘-i + ... + z~ef,
где / — решение первоначального уравнения = то мы уви-
дим, что L'/' = 0 имеет рациональные коэффициенты и иррегуляр-
ную особенность в бесконечности с характеристическими систе-
мами [Ц^ + ^Ч . .., + Ct + e], 4 = 1, 2. Если z(w) —
рациональная функция от w вида
в окрестности бесконечности, то дифференциальное уравнение
L"/" = 0, которому удовлетворяет функция /" (ш) = /(z (ш)), также
имеет рациональные коэффициенты и иррегулярную особенность
порядка ks в бесконечности; характеристики, соответствующие
этой особенности, легко определить при помощи замены z = z(w)
в асимптотическом ряду для /. В частности, если z = aw, то
ks = k, и характеристиками для L" являются
[ak~^\ ...,^-D, et], 4 = 1, 2.
Следует заметить, что в. любом замкнутом угле, не содержа-
щем ни одной линии Стокса нашего дифференциального уравне-
ния, величины Re^1^-1) и Re (^Хг^1) удовлетворяют некоторому
фиксированному неравенству, скажем Re < Re
Тогда в этом угле любое решение уравнения L/ = 0, асимптоти-
ческое разложение которого начинается с множителя exp (^<1)zk“1),
экспоненциально мало (при | z | —> оо в этом угле) относительно
любого решения, асимптотическое разложение которого начинается
696 Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
с множителя ехр (^^ х). Таким образом, решение, имеющее
асимптотическое разложение первого типа («малое решение»),
однозначно определяется своим асимптотическим разложением,
тогда как решение, имеющее асимптотическое разложение второго
типа («большое решение»), не определяется однозначно, поскольку
мы можем прибавлять к нему любое малое решение, и при этом
его асимптотическое разложение не изменится.
Вырожденному гипергеометрическому уравнению соответствует
характеристическое уравнение а2 —а = 0, так что ^n = 0,
Поэтому линиями Стокса для э^ого уравнения являются положи-
тельная И отрицательная части мнимой оси. Разыскивая решения
вырожденного гипергеометрического уравнения в виде z~ei(14
+ dz + .. .) и ezz~e2 (1 4-c'/af + ...), получаем, что = а, е2 = у — а.
Пусть задано произвольное дифференциальное уравнение Lf = O
с одной регулярной и одной иррегулярной особенностями; пусть
характеристические корни этого уравнения в его иррегулярной
особенности различны. Мы покажем, что задание регулярной осо-
бенности и ее показателей и иррегулярной особенности и ее
характеристик и показателей однозначно определяют уравнение.
Прежде всего заметим, что, выполнив подходящее дробно-
линейное преобразование независимой переменной, мы можем
предполагать, не уменьшая общности, что регулярная особенность
находится в нуле, а иррегулярная —в бесконечности. Тогда,
умножая зависимую переменную на множитель eazz\ мы можем
предполагать, что один из показателей в регулярной особенности
и одна из первых характеристик в иррегулярной особенности
равны нулю. Если наше уравнение имеет вид
o2/+(p+f)^/ + (6-f+4-)/=о,
то должно быть 6 = 8 = 0. Сделав замену z+=kw независимой
переменной, мы можем предполагать, что первые характеристики
в бесконечности равны 0 и 1; таким образом, [3=—1 и наше
уравнение есть вырожденное гипергеометрическое уравнение
xD2f + (y — x)Df—af = 0, характеристики которого равны (0, а),
(1, у —ос). Это доказывает наше утверждение. Более того, отсюда
следует, что сумма четырех показателей уравнения, имеющего
одну регулярную и одну иррегулярную особенности и различные
первые характеристики в иррегулярной особенности, равна 1.
В остальном эти показатели и характеристики произвольны.
Тот факт, что имеется в точности одно линейное дифферен-
циальное уравнение второго порядка с регулярной особенностью
в а, имеющей показатели cq, а2, и иррегулярной особенностью в b
порядка 2, имеющей характеристические системы [g1? [£2, е2],
8, Примеры
697
дает нам право ввести символическое обозначение
(а
ai
«2
b
[£i, «J; z
[?2, et] ,
для некоторой ветви (вообще говоря, многозначной) функции,
удовлетворяющей рассматриваемому дифференциальному уравне-
нию. Если мы хотим выделить определенную ветвь этого урав-
нения, мы можем написать
(а
ai
«2
Ь
[£1» ^11, Z
[^2, е2] ,
для обозначения (однозначно определенной) ветви, которая имеет
асимптотический вид (z — a)ai (1 + (z — а) + ...) в окрестности
регулярной особой точки z = a нашего уравнения, и
Фе,
ь
[?2, е2]
z
для обозначения той ветви, которая имеет асимптотический вид
exp{Ci (г — 6)"1} (z—6)ei(l 4-ci(z —6) + ...)
в некотором заранее заданном угловом секторе окрестности точки
z=^b, содержащем не более одной линии Стокса. Если этот
угловой сектор содержит одну линию Стокса, то указанная ветвь
определяется однозначно. Если он не содержит ни одной линии
Стокса, то действительные части функций £i(z —6)”1 и £2(z — b)~l
удовлетворяют фиксированному неравенству в этом секторе; при
этом однозначно определяется только та ветвь, асимптотическое
разложение которой содержит одно из этих двух выражений
с меньшей действительной частью.
Из определения введенных символов и изложенного выше
принципа замены переменной почти очевидно, что
/О со
Ф1 О [0, у];
\1 — a[l,a —у]
оо
[-1, у]; *
[О, а —у] ,
/ О
= О
\1 —а
со
[О, a —Y);
[1, Y1
698
Г л. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
и т. д. Такие замены переменных будут часто использоваться (хотя
и неявно) в дальнейшем; во всех случаях их без труда можно
осуществить, применяя введенные символические обозначения.
Если Re ос > О, Re (у — а)>0, так что справедлива интеграль-
ная формула (5), то мы можем непосредственно получить асимп-
тотическую оценку функции Ф(а, у; г) следующим образом. Если
j z | —> оо так, что ( —z) остается в замкнутом угле |arg( —z)|<
•<л:/2 —8, содержащемся в открытой правой полуплоскости, то
интеграл (5) отличается экспоненциально малым членом, а именно
1
интегралом /а-1 (1 —который не превосходит
1/2
1
^1/2 Re z | /в”1 (J । dt = О ^exp ^-i- | Z j sin 8^ ,
1/2
от интеграла
Х/2
р-7 Г(\> , (
Г (у—а) Г (a) J v 7
о
1/2
Г(^ V +
Г (у —а) Г (a) J 1 п
о
где
Ai = О Q sin 8 dt^ = О ({I z I sin 6}-“-*) =-• О (I z Га~‘).
4 0
Аналогично интеграл в правой части последней формулы
отличается экспоненциально малым членом от интеграла
_ r(v) fdt- Г(у) ( zVa
Г (a) Г (у —a) Р е ab~ Г (у —а) 1 '
о
Таким образом,
(8) Ф (a, Y; z) —(-z)-“,
когда 1 z | > оо (| arg (— z) j С л/2 — 8) в любом замкнутом угле
открытой левой полуплоскости при условии, что Rea>0
и Re (у — а)>0. Мы хотим снять эти ограничения. Для этого
заметим, что из формулы (5) непосредственно следует равенство
(9) Аф(а, у; 2)==^ф(а+1? y+1; Z).
8. Примеры
699
Поэтому если бы функция Ф (а, у; z) была экспоненциально малой
в левой полуплоскости для любых значений а, у, то и функция
Ф(а + м, у + п; z) была бы экспоненциально малой в левой полу-
плоскости, но при у — а>0 из нашей асимптотической фор-
мулы (8) следует, что это невозможно. Поэтому мы должны иметь
Ф(а, у; z)~ г^а) k(a, у) ( — ?)-“
в левой полуплоскости для Re (у — а)>0; здесь fe(a, у)=--1 для
Re ос > 0, однако для а<0 мы должны еще определить эту функ-
цию. Используя (9), мы получаем
|Ф(а + 1, y+1; z)~aT^a) fe(a, Y)(-z)-“-‘.
Поэтому fe(a+l, y+l) = fe(a, у), так что fe(a, у) = 1, и асимп-
тотическая формула (8) справедлива для Re (а — у)>0. Функция
е~Ф(у-—а, у; —z) регулярна в начале координат и является
решением уравнения с показателями 0, 1-ув нуле и характе-
ристическими системами (1, у — а), (0, а) в бесконечности, т. е.
вырожденного гипергеометрического уравнения. Таким образом,
(10) Ф (а, у; ?) = егФ(у— а, у; —z).
Применяя (10) и (8), мы находим, что
(11) Ф (а, у; z) ~ |argz|<^—8,
при условии, что Rea>0. Тогда, используя (9), точно так же,
как выше, мы находим, что условие Rea>0 лишнее и фор-
мула (11), а поэтому и (8) справедливы для всех а, у, за исклю-
чением только целых отрицательных значений у.
Рассмотрим теперь формально симметрический дифференциаль-
ный оператор
и подвергнем его спектральному анализу.
Уравнение (В —X)f = O имеет регулярную особенность в точке
/=^0 с показателями 1/2 ±k и иррегулярную особенность в оо
с характеристиками [ + i У % , 0]. Следовательно, это уравнение
имеет два граничных значения в нуле, если Re£< 1, и ни одного,
если Re k > 1. Для простоты мы ограничимся лишь последним
случаем. Мы будем также предполагать, что 2k не является
целым числом, так что уравнение (В — Х)/ = 0 имеет решения S±
вида (1 + . ..) при / — 0. Замена зависимой и независимой
700
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
переменных дает
S+(t, к) = ^2+ке-^‘ф(-^- + 1г, l+2k; 2щ^ ,
Д)-= Д'2-Д~^'Ф 0—k, 1 — 2Аг; 2щ^,
где р = %1/2. Пусть 1т%>0; тогда по асимптотической формуле (8)
S+ (/, X)-r,(1. b2fe) e-i^(-2tn)-1/2~\
г(у + *)
S (/, X) ~ -z(l~2fe\ (-2i>) -1/2+'г,
г(у-^
где величина — 2ip лежит в правой полуплоскости и мы берем
главное значение ее логарифма. Таким образом, не все решения
уравнения (В — Х)/ = 0 интегрируемы в квадрате в бесконеч-
ности, и по лемме XII.4.21, следствию 2.23 и теореме XII.4.18
В не имеет граничных значений в бесконечности. Поэтому опе-
ратор То (В) имеет единственное самосопряженное расширение
7\ (В), которое является одновременно его замыканием и его сопря-
женным. Для простоты мы будем писать В вместо Т\(В) там,
где это не вызовет недоразумений. Для f из £(Т0(В)) мы имеем
оо
W, /> = ${]/' (О I*+I / (/) р } dt > о.
о
Поскольку Т{ (В) —замыкание оператора То (В), мы имеем (В/, /) > 0
для всех f из £>(7\(В)). Поэтому оператор Л (В) положитель-
ный, так что по лемме XII.7.2 о (В) (= о (7\ (В))) полностью лежит
на неотрицательной части действительной оси. Если X —0, то реше-
ниями уравнения (В —А)/=0 являются функции^ ti/2±h, так что
ни одно его решение не принадлежит L2(0, °°), а Х = 0 не при-
надлежит точечному спектру. Поэтому спектральная мера Е ({0})
одной точки 0 равна нулю. Таким образом, чтобы дать полный
спектральный анализ оператора В, мы должны рассмотреть только
ту часть спектра, которая лежит в области Х>0. Из асимпто-
тических разложений для S+ и S_, данных выше, видно, что
решение
2 (Л х> = ттгй^-(-2г»1/2+,!5И^А)-
- г а-7^ (~ 2ф)1/2-й5_(л х) =
= с+ (X) S+ (/, X) + с_ (X) S. (/, X)
8. Примеры
701
•уравнения (В —Х)2 = 0 есть О при t —>оо. Поскольку
характеристики уравнения (В — X) f = 0 в бесконечности равны
[4- fpi, 0], так что любое решение этого уравнения асимптоти-
чески ведет себя как умноженное на постоянную либо е~^
.(если pi не является действительным), мы должны иметь 2 (/, X) =
= О(е^*) при /—>оо; таким образом, 2 (/, X) интегрируемо в квад-
рате в бесконечности. Поэтому, согласно теореме 3.16, для
ImX>0 и t<.s ядро Грина К\(/, s) определяется формулой
S+(t, X)S (s,X) __ S+(/, X)S(s, X)
’ W (S+, S) r(S+, 2) ’
Теперь №(S+(/, X), S_(Z, X)) —постоянная, и, поскольку
W (S+ (t, X), S. (t, X)) = 0- + /fe-i/2/i/2-ft_
_ (^1 _ Z>^fe+l/2/-fc-l/2_
в точке t = 0, мы имеем W (S+, S_) = 2fe. Отсюда по теореме 5.27
Q+- = e-+ = 6—= 0-
e++ (A) = lim — j Im | ... /e) w (s++(j’ Д +/e)) } 4X~
_ sin kn Г (1/24-fe) Г (1— 2k) ? /о-.чг'»
~ 2nk Г (1/2—ft) Г <1-}-2fc) J ЫЛ’
д
Применяя формулы Г (х) Г (1 — х) = л/sinnx и
Г (2г) = 22-‘/2Г (г) Г (г +1 /2),
мы получаем
е++(А) = —---------------\ ХМХ.
у++\ / [2ft+1/2r(fe4-l)P 3
Интересно сформулировать этот результат в каком-нибудь другом
виде. Если положить (pi/) ==-- (/, pi) = (р1/г+1/2/2/гГ (k + 1)) S+(/, X),
то из теорем 5.23 и 5.24 будет следовать, что выражение
(#J) (ц) -= l.i.m. \ (t, р) f (0 dt
о
определяет изометрический изоморфизм пространства Л2(0, оо)
на себя, причем обратное отображение совпадает с Ни- Если мы
702
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
положим (/) = Л (/), чтобы привести наши результаты
в соответствие с результатами теоремы XI.3.34, то мы получим
следующее утверждение.
Теорема. Пусть f£L2(0, со) относительно меры Лебега.
Тогда предел
R
£(s) = l.i.m. (rs)^2Jk(rs)f(r)dr
существует по норме пространства Ь2 (0, со) и преобразование
(Ганке ля) Нь- f—*g является унитарным отображением про-
странства Ь2 (0, оо) в себя, причем обратное к нему есть также Hh.
Из теорем 5.23 и 5.24 мы знаем, что НиВГГь — операция умно-
жения на pi в L2(0, °°); отсюда ясно, что В не имеет точечного
спектра, но имеет непрерывный спектр, покрывающий интервал
[О, оо).
Функция Jk (после замены зависимой переменной) является
единственным решением уравнения Бесселя
в^=‘г(УУJ+0 (4)+<'-«)7 - °-
имеющим вид {Г (k+ I)}-1 (1 + ...) в окрестности регуляр-
ной особенности в нуле. Применяя дифференциальный оператор B/t
2л
к функции (1 /2л) sin 9)^0 из теоремы XI.3.23, мы получаем
о
2л
2ЯГ ei(<nQ-z sin 0) (z2 соз2 9 — iz sin 9 — /г2) d9 —
о
2 л
= яМ -^{i(n + z cos 0) 0)} dO = 0.
0
2л
Разлагая (1 /2л) ^(n0~2 sin 0> dB в степенной ряд, мы находим,
о
что его низший ненулевой член равен
2л ._ .о
ИАА"
о
8. Примеры
703
так что
2л
’ gi(ne-2 sin 9) J0 = Jn (2),
ZTt j
о
и предыдущая теорема является прямым обобщением теоремы
XI.3.23 для нецелых значений параметра k.
В качестве последнего примера мы рассмотрим формальный
дифференциальный оператор Н = — (dldt)2 ±t2 на интервале
(— оо, оо). Так как оператор Н — X инвариантен относительно
замены z—* — z, то мы попробуем написать его решение f(z)
в виде g(z2). Мы найдем, что
- ^g" (г2) - 2^' (г2) + (г2 - X) g (г2) = 0;
таким образом, g(w) удовлетворяет вырожденному гипергеомет-
рическому уравнению
— ^Wg" — 2gf + (w — X) g = 0
с показателями 0, 1/2 в нуле и характеристиками ±1/2, 1/4(1 ± X).
Следовательно, уравнение (Н— Х)/ = 0 имеет решение, которое
асимптотически ведет себя как et2/2t~^^K+^ при »оо, поэтому
не все решения этого уравнения квадратично интегрируемы
в окрестности точки /=оо и в бесконечности нет граничных зна-
чений. В силу симметрии при замене t—> — t в точке — оо также
нет граничных значений. Таким образом, единственным самосо-
пряженным расширением оператора TQ(H) является его замыкание,
которое мы обозначим через Н. Поскольку
оо
(нл/)= J {ir(oi2+/2iHOi2}d/>o, /е®(т0(ж
— со
отсюда следует (как выше), что оператор Н неотрицательный,
поэтому о(Н) полностью лежит на положительной части дейст-
вительной оси; по теореме 7.16(a) о (Я) представляет собой после-
довательность дискретных собственных значений, стремящуюся
к бесконечности. Выполнив преобразование зависимой переменной,
мы видим, что уравнение (// —Х)/ = 0 имеет решения
Se(t, Х) = е-'2/2ф(1-А, 1;
= /2).
Первое из них четно, второе нечетно. Так как по асимптотичес-
кой формуле (И)
Se ~ Г (1/i-l/4) X 1 + 4/г,
704
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
когда t —> ± со, и
So ~ Г -(3^4-2%74) ^2/2/-(1/2)(з+М, X #= - 1 + 4п,
когда t —>± оо, то единственно возможными собственными зна-
чениями являются числа X = 4/г + 1, /г>0, и X = 4/2 — 1, п>1.
Поскольку при целых k функция Ф( — k, а; г) —полином, эти
числа действительно*являются собственными значениями; им соот-
ветствуют ортонормальные собственные функции
спе-<2/2Ф ( — п, у, /2J, Л = 4«+1, /г>0,
с'пе~^2Ф^1-п, /2) , Х = 4п-1, /г>1.
Чтобы определить нормирующие множители сп и с'п, заметим,
что при t—> оо
е _ Г (1/4—X/4) Se _ Г (—1/4 —X/4) So п
+ Г(1/2) Г(3/2) ' >'
_ Г (1/4 —X/4) Se Г (-1/4-X/4) So _ п , (2/2,
Г (1/2) “* Г (3/2) У >'
Так как W (So, Se) = 1, то отсюда следует, что для t < s ядро
Грина К-,. определяется формулой
/V // = S_ (/) S+ (s) _ Г (1/4-Х/4) „ , , ч _
S) №(S_,S+) Г( —1/4— X/4)
- So (0 So (з) -Se (t) So (S) +1 So (/) Se (S).
Используя замечания, следующие за теоремой 5.16, мы получаем
для нормирующих множителей сп и сп формулы
|Г |2 — 4(-If _ 4Г (п + 3?2)
1 п ! и! Г ( — п— 1/2) ли!
1гЧ2_ (~1)П _Г(и+1/2)
1 п| п! Г (1/2—п) ли!
9. Упражнения
В настоящем параграфе мы приводим несколько групп свя-
занных между собой упражнений, относящихся к различным
аспектам спектральной теории обыкновенных дифференциальных
операторов. Параграф делится на десять разделов; для удобства
читателя мы перечислим здесь темы, к которым относятся упраж-
нения каждого из этих разделов.
9. Упражнения
705
(А) Общие вопросы; (В) Несамосопряженные операторы;
(С) Полуограниченные операторы; (D) Принципы минимакса;
(Е) Дифференциальные операторы в пространствах LP(I); (F) Опе-
ратор Штурма —Лиувилля, I; (G) Оператор Штурма — Лиувил-
ля, II; (Н) Оператор Штурма —Лиувилля с интегрируемым коэф-
фициентом; (I) Спектральный ‘ анализ некоторых дифференциаль-
ных операторов; (J) Разные упражнения.
А. Общие вопросы
А1. Пусть т —регулярный формальный дифференциальный опе-
ратор на некотором интервале /. Доказать, что (т)—замкну-
тый оператор.
А2. Доказать, что каждое расширение оператора Т0(т), полу-
ченное наложением граничных условий, является замкнутым опе-
ратором.
АЗ. Пусть т — регулярный формальный дифференциальный опе-
ратор на некотором интервале I. Доказать, что точка 0 комплекс-
ной плоскости не принадлежит существенному спектру оператора
т тогда и только тогда, когда каждое замкнутое расширение
оператора Т0(т) отображает ограниченные замкнутые множества
на замкнутые множества.
А4. Пусть т —регулярный дифференциальный оператор на
интервале [0, оо). Доказать, что комплексное число X принадле-
жит существенному спектру оператора т тогда и только тогда,
когда существует последовательность {fn} функций из ©(Т0(т)),
таких, что 1/^1= 1, fn обращается в нуль в интервале [О, п] и
| (X — т) fn | —> 0 при п —> оо.
А5. Пусть т — регулярный формальный дифференциальный опе-
ратор на некотором интервале I. Предположим, что для каждой
конечной системы Д, f2, fn функций из ®(Т0(т)) и для каж-
дого 8 > 0 мы можем найти функцию g из ©(ТДт)), ортогональ-
ную к функциям Д, такую, что
|(Х — т)^|<е|^|.
Тогда точка К принадлежит существенному спектру оператора т.
А6. Пусть т —регулярный формально симметрический диф-
ференциальный оператор на [0, оо) с одинаковыми индексами
дефекта, а X — некоторое действительное число. Доказать, что
расстояние от X до существенного спектра оператора т меньше
или равно К тогда и только тогда, когда существует последо-
вательность функций fn из £>(Т0(т)), такая, что |/n|=l, fn обра-
щается в нуль в интервале [0, п] и
45 Заказ №134
706
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
М. Пусть т —формально симметрический дифференциальный
оператор на [0, оо) с одинаковыми индексами дефекта. Доказать,
что существенный спектр оператора т пуст тогда и только тогда,
когда для каждой последовательности {/„} функций из ©(Т0(т)),
такой, что |/п|=1 и fn обращается в нуль в интервале [0, /г],
мы имеем
\>xfn I —> 00 При п —> ОО .
А8. Пусть Ti и т2 —формальные дифференциальные операторы
на некотором интервале /, причем их коэффициенты совпадают
всюду, за исключением некоторого компактного подинтервала
интервала I. Доказать, что существенные спектры операторов
и т2 совпадают.
А9. Пусть т —формальный дифференциальный оператор на
интервале [0, оо), а Сп —наименьшее замкнутое выпуклое мно-
жество, содержащее все значения
{(тД f)|R©(T0(T)), /(0 = 0,
Доказать, что существенный спектр оператора т содержится
в множестве Q Сп.
П=1
А10. Пусть т —регулярный формальный дифференциальный
оператор на некотором интервале /, а В —вполне непрерывный
оператор в Л2(/). Доказать, что существенный спектр оператора т
совпадает с существенным спектром оператора Т1(т) + В.
АН. Пусть т —регулярный формальный дифференциальный
оператор на некотором интервале /, а В —линейный оператор
в Л2(/), определенный в ©(7\(т)), который является вполне непре-
рывным оператором из ©(ТДт)) в L2(/). Доказать, что суще-
ственный спектр оператора т совпадает с существенным спектром
оператора (т) 4- В.
В. Несамосопряженные операторы
В1. Пусть задан формальный дифференциальный оператор
t=-(i>wG0+')W
на интервале [0, со), где Rep(/)>0 и Re<?(/) ограничена снизу.
Показать, что т не имеет граничных значений в бесконечности.
В2. Пусть т — формальный дифференциальный оператор на /,
существенный спектр которого лежит в полосе a q —
ограниченная измеримая функция на /. Показать, что каждое
граничное значение для т является граничным значением для
x + q и обратно.
9. Упражнения
707
ВЗ. Пусть т —формальный дифференциальный оператор вида
т=2 ah (О (jdt)
fe=0
на интервале [я, оо), существенный спектр которого лежит
в полосе | ImX |</С Допустим, что функция |аЛ(-)| ограничена
снизу положительным числом, а все функции |ад(-)| ограничены.
Показать, что оператор т не имеет граничных значений в беско-
нечности.
В4. Пусть т — формальный дифференциальный оператор на
интервале /; предположим, что для всех функций f из ©(Т0(т))
Re (тД /) > 0.
Показать, что существенный спектр оператора т лежит в полу-
плоскости {X | Re Л, > 0}.
В5. Пусть задан оператор Штурма —Лиувилля
на интервале [0, оо) (р —положительная, a q—действительная
функции). Предположим, что
ПггГ I (/))'| <?2 (/) < 1.
>оо
(а) Показать, что если f принадлежит ©(ТДт)), то функция
qf интегрируема в квадрате.
(Ь) Пусть функция г такова, что г (/) = о (q (/)) при » оо.
Показать, что существенный спектр оператора т совпадает с суще-
ственным спектром оператора т + г.
В6. Пусть задан дифференциальный оператор
^-(УУУ+ч^
на интервале [0, оо), причем функция q не обязательно действи-
тельная. Пусть
где c(f) = o(\q(t) |), а (?) = о (1), &(/) = о(1) при t —>оо. Показать,
что существенный спектр оператора т совпадает с существенным
спектром оператора т + тР
В7. Пусть т — формально симметрический дифференциальный
оператор на интервале /, а В —ограниченный оператор в Л2(/),
норма которого не превосходит К. Предположим, что точка X
45*
708
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
комплексной плоскости находится на расстоянии, большем чем К,
от существенного спектра оператора т. Показать, что X не при-
надлежит существенному спектру оператора
В8. Пусть т —дифференциальный оператор вида
на интервале [а, &),*где функция р положительна и
ь
(Р — 00 •
а
Пусть функция Q определена, как в теореме 7.66. Предполо-
жим, что ReQ(/) —> со при t—>b. Показать, что существенный
спектр оператора т пуст.
В9. В условиях и обозначениях предыдущего упражнения пред-
положим, что ReQ(/) ограничена снизу. Показать, что оператор т
не имеет граничных значений в концевой точке Ь.
С. Полу ограниченные операторы
С1. Пусть т — формально самосопряженный дифференциаль-
ный оператор вида
Q~dT)
j=0
на интервале [а, со). Предположим, что limpj(f)=qj существует
Z—>оо
для / = 0, 1, . ..,/г, и (— l)n/2qn > 0- Показать, что оператор т
ограничен снизу.
С2. Предположим, что оператор т ограничен снизу на интер-
вале [а, Ь) и существует постоянная 7И, такая, *что
/е©(г0(т)).
Пусть Ti —(регулярный или иррегулярный) формальный диффе-
ренциальный оператор вида
k
^1 = 2 ’
J=0
где lim «;(/) = 0, Тогда оператор т + п ограничен снизу,
если он имеет ненулевой старший коэффициент.
СЗ. Пусть формальный дифференциальный оператор т ограни-
чен снизу на интервале [а, Ь) и удовлетворяет условиям преды-
9. Упражнения
709
дущей задачи, а т4 — (регулярный или иррегулярный) формальный
дифференциальный оператор вида
k
’.=2(4Ь<4)'-
2=0
где lim (/) = 0, Тогда оператор т + т4 ограничен снизу,
если он имеет ненулевой старший коэффициент.
С4. Пусть Tj и Т2 — замкнутые операторы в гильбертовом
пространстве, такие, что © (Т2) = © (7\) + 91, где 91 —конечномер-
ное подпространство, и
Re (TjX, x)<Re (Т2х, х), х£&) (Т4).
Показать, что форма Re(7\x, х) ограничена снизу для всех х
из ©(Tj) тогда и только тогда, когда Re(T2x, х) ограничена снизу
для всех х из ©(Т2).
С5. Пусть т —формальный дифференциальный оператор четного
порядка в конечном замкнутом интервале [0, 1], и пусть его старший
коэффициент а2п удовлетворяет неравенству (— l)n Re a2n(t) > 0.
Показать, что существует постоянная К, такая, что
Re(TA/)>K(/,f)
для каждой функции f из £>(7\(т)), для которой /(0)=...
... = /*«-*> (0) = f (1) = ... = (1) = 0.
С6. Пусть т —формально симметрический дифференциальный
оператор вида
на интервале [а, Ь). Предположим, что
ь
J(p(0)-1/2d/=c«,
а
а функция Q (/) определена, как в теореме 7.66, и ограничена
снизу. Показать, что оператор т ограничен снизу.
С7. Пусть оператор т и функция Q определены, как в пре-
дыдущем упражнении, и пусть [а, &) = [0, со). Предположим, что
Q интегрируема. Показать, что оператор т ограничен снизу.
D. Принципы минимакса
D1. Пусть Г —неограниченный снизу симметрический опера-
тор и Д —действительное число. Тогда существует бесконечно-
710
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
мерное подпространство пространства ©(Г), такое, что
(Тх, х)^А(х, х), x£$gQ.
(Указание: переделать доказательство леммы 7.22.)
D2. (Берковиц.) Пусть Г —(неограниченный) самосопряженный
оператор в гильбертовом пространстве & Пусть <^(п) обозначает
семейство всех /г-мерных подпространств пространства Sq. Если
$о—-подпространство пространства то пусть Р$о — ортогональ-
ный оператор проектирования с областью значений $0- Опреде-
лим последовательность действительных чисел {Хпг)} (1<Д<4)
следующим образом:
(1) Xn1)= inf sup (и, Ти)/(и, и),
u=#0, иЕФ<т)
(2) Xn2)= sup inf (и, Та)/(и, и),
п—1
(3) sup inf [(«, ти)+ 2 K«Jv) |2]/(«, и),
fl...fn-1^ “*° V=1
иеФ(Т)
(4) Xn4)=-- sup inf ((T — aPfr ) u, u)/(u, u).
0 «>o
(а) Доказать, что = Х^2) = №} = h(n для всех n.
(b) Обозначая через общее значение, показать, что после-
довательность Кп является неубывающей.
(с) Если Кп=^= — оо для некоторого п, то ХЛ=И=—-оо для всех п,
и это имеет место тогда и только тогда, когда оператор Т огра-
ничен снизу.
(d) Пусть Хоо= lim Кп. Показать, что оператор Т существенно
П—>оо
ограничен снизу числом Лоо, но ни одно число, большее, чем Хоо,
не удовлетворяет этому условию.
(е) Если Хп<Хоо, то Х2, ..., Кп— это п наименьших соб-
ственных значений оператора Г, причем каждое число повторяется
столько раз, какова его кратность.
(Указание: воспользоваться упражнением D1, леммой 7.22
и спектральной теоремой.)
D3. Пусть S —симметрический оператор в гильбертовом про-
странстве определенный на всюду плотной области. Допустим,
что S ограничен снизу, Г —самосопряженное расширение опера-
тора S, a Tt — его расширение Фридрихса (см. XII.10). Пусть Кп (Т)
и (Ti) — числа, определенные в упражнении D2, соответственно
9. Упражнения
711
для операторов Т и Тр Показать, что в обозначениях упражне-
ния D2
(Т) < = sup inf (и, Su)/(u, и).
Р° (и, §о)=0,
D4. В условиях и обозначениях предыдущего упражнения
показать, что для подходящего оператора S все kn(Ti) могут быть
неотрицательными, тогда как Хп (Т)= — оо для некоторого другого
самосопряженного расширения Т.
Для подходящего оператора S существенный спектр опера-
тора Ti может быть пуст, тогда как непрерывный спектр опе-
ратора Т может покрывать всю действительную ось.
D5. Пусть т —формально самосопряженный дифференциальный
оператор, ограниченный снизу. Тогда расширение Фридрихса Т
оператора Т0(т) определяется оператором т и распадающейся
системой граничных условий.
D6. Пусть т —ограниченный снизу формально самосопряженный
дифференциальный оператор на полуоткрытом интервале [а, Ь).
Тогда это оператор четного порядка. Если f принадлежит области
определения расширения Фридрихса Т оператора Т0(т), то f(a) =
= f' (а) = ... =f(n~^ (а) = 0 есть система всех граничных условий
в точке а в распадающейся системе граничных условий, опреде-
ляющих Т. (Указание: см. предыдущее упражнение.)
D7. (Фридрихе.) Пусть т —действительный формально само-
сопряженный дифференциальный оператор второго порядка вида
т=-(4)/’(о(4)+<7ю.
определенный на интервале 1 = (а, 6), где р(/)>0 для
а функция q(t) ограничена снизу постоянной q. Условимся гово-
рить, что конец b (или конец а) является концом типа А относи-
тельно т или что оператор т является оператором типа А в точке b
(в точке а), если интеграл
ь
5 [р(01Г(012 + <7(01Н012]^
а
сходится для каждой функции /^©(ТДт)), которая обращается
в нуль в окрестности точки b (или точки а), и концом типа В
относительно т в противном случае. Доказать следующие утверж-
дения.
(а) Если т не имеет граничных условий в точке Ь, то это опе-
ратор типа А в точке Ь.
712
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(Ь) Если т есть оператор типа А в точке Ь, то либо т не имеет
граничных значений в точке Ь, либо &<оо,
ъ
(Р (О)”1 dt< со,
и пределы
f (6) = lim f(t), p(b)f (&) = limp (/)/'(/)
t->b
существуют и определяют линейно независимые граничные значе-
ния для т, в терминах которых мы имеем
ь
$ [р (О Г (О g' (О+<7(0/ (0 g (01 dt - [р (b) f (&)] g (b) = (Tf, g)
a
для каждой пары функций f и g из ©(7\(т)), обращающихся
в нуль в окрестности точки а.
(с) Расширение Фридрихса Т оператора То (т) является сужением
оператора Т\ (т) на множество функций, определенных следующими
условиями:
ь
(I) интеграл [р (/) (/' (О)2+ 9 (0 (f (О)2] dt сходится;
а
(II) f (&) = 0, если Ь — конец типа Лит имеет граничные зна-
чения в точке Ь;
(III) f(a) = O, если а — конец типа Лит имеет граничные
значения в точке а.
D8. Предположим, что выполняются условия предыдущего*
упражнения. Пусть ©0 — подпространство пространства ©(^(т)),
состоящее из всех функций, для которых интеграл
ъ
L(f)=^\[p(t)\f (012 + <7(О (Of+ft
а
сходится. Пусть для каждой из концевых точек а, Ь, которая
является точкой типа Лив которой т имеет граничные значения,
выбрано некоторое действительное число w.
Пусть Т(w) — сужение оператора Ti(r), определенное условиями
ь
(I) интеграл [р (/) | f' (/) j2 + q (/) | f (/) |2] dt = L(f) сходится;
(II) p(a)f'(a) + wf(a) = 0.
Пусть T (оо) — сужение оператора ^(т), определенное усло-
вием (I) и условием
(III) f(a) = O.
9. Упражнения
713
(а) Показать, что Т (w) — самосопряженный оператор для каж-
дого w из интервала — оо<^Соо.
Пусть Xn(T (i^)) —числа, определенные для каждого самосопря-
женного оператора Т (w), как в упражнении D2. Пусть ©0 —
множество функций в $(1)(я, &), определенных условием (I).
(Ь) Показать, что для каждой функции f из ©0 предел
f (а) = lim f(t)
t-+a
существует.
(с) Показать, что для — со <; w < оо
Хп(Т(йу))= sup inf [w | и (a) |2 + L (и)]/(и, и).
it",
(u, §o)=O
(d) ^Показать, что
Xn(T(oo))= sup inf L(u)/(u, u).
«^0. «(«)=»
0 (u, §(0=0
(e) Показать, что для любых w и wlt не равных —оо,
lim Хп (Т (то)) = lim Хп (Т (ш,)).
П->оо П~>оо
(f) Показать, что когда w монотонно меняется на действительной
оси, (Т (w)) монотонно меняется между (Т (оо)) и (Т (оо))г
и что Хп(Т (^)) =/= (Г (о/)), если w^=wf, и kn-i(T (оо)).
(g) Показать, что (Т (оо)) =^=Лп (Т (оо)) всегда, за исключе-
нием случая, когда (Т (оо)) = (Т (оо)) для всех т>п.
(Указание: применить осцилляционную теорию § 7, упражне-
ния D7, D3, D2 и метод доказательства теоремы 6.10.)
D9. Пусть т и т — дифференциальные операторы второго порядка
вида
определенные на интервале / = (0,6). Предположим, что p(t)>
> р (/) > 0 и <?(/)><? (0 Для / € / и что ни один из операторов т
и т не имеет граничных значений в точке Ь. Пусть v и w — дей-
ствительные числа, а Г и Т — сужения операторов 7\(т) и ТДт),
определенные нетривиальным граничным условием vf (0) 4-
+ wf(Q) = Q.
714 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы ,
Пусть ЛП(Т) и ЛП(Т) —числа, определенные для самосопряжен-
ных операторов Т и Т, как в упражнении D2. Доказать, что
ЛП(Т)>ЛП(Т),
D10. Пусть S и S — два симметрических оператора в гильбер-
товом пространстве, определенных на всюду плотной области.
Предположим, что ©(S)^S(S), S ограничен снизу и оператор
S — S является положительным. Пусть Т и Т — расширение Фрид-
рихса соответственно операторов S и S, а кп(Т) и ЛП(Т) —числа,
определенные для самосопряженных операторов Т и Т, как
в задаче D2. Показать, что ЛП(Т)>ЛП(Т), и>1.
D11. Пусть Ti — самосопряженный оператор в гильбертовом
пространстве а Т2— самосопряженный оператор в гильберто-
вом пространстве @2. Определим оператор Т в @ = полагая
©(Т)-©(Л)@©(Т2) и
Тх = Т @ х2) = ТiXi @ Т2х2, х £ © (Т*).
Показать, что оператор Т самосопряжен. Показать, что оператор Т
ограничен снизу тогда и только тогда, когда Тх и Т2 ограничены
снизу.
Пусть Лп(7\), ЛП(Т2) и ЛП(Т) —числа, определенные, как
в упражнении D2, соответственно для операторов Tif Т2 и Т.
Предположим, что Л^ (Л) = lim Лп lim Лп (Т2). Показать,
что последовательность {Лп (Г)} получается при помощи переста-
новки в порядке возрастания всех чисел ЛЛ(Т1), взятых вместе
со всеми числами ЛП(Т2), меньшими, чем Лоо (Л).
D12. Пусть т —формально симметрический дифференциальный
оператор, определенный на интервале /; предположим, что опера-
тор т ограничен снизу и, следовательно (лемма 7.29), имеет четный
порядок 2и. Пусть г —внутренняя точка интервала /, а т+(т~)~
сужение оператора т на I Q [с, со) (на /Г|( —оо'с]). Пусть Т —
самосопряженное расширение оператора Т0(т), определенное
распадающейся системой В граничных условий.
(а) Пусть Ti и Т2 — расширения операторов Т0(т+) и Т0(т~), опре-
деленные граничными условиями f (с) = ff (с) = ... = (с) = О
и граничными условиями системы В соответственно в правой
и левой концевых точках интервала I. Показать, что операторы Тх
и Т2 являются самосопряженными. Пусть ЛП(Т), и ^п(Т2) —
числа, определенные, как в упражнении D2, соответственно для
операторов Т, Тх и Т2. Предположим, что Лоо (7\) = lim Хп (Л) С
<ПтЛп(Т2). Пусть {gm} — последовательность, полученная при
П->оо
помощи перестановки в порядке возрастания всех чисел kn(Ti),
9. Упражнения
715
взятых вместе со всеми числами %Л(Т2)> для которых кп(Т2)<.
<Хоо(Г1)- Показать, что т>1.
(Ь) Пусть Т\ и Т2 — расширения соответственно операторов
Т0(т+) и Т0(т~), определенные граничными условиями f(n)(c) = ...
... == = о и граничными условиями системы В соответ-
ственно в правой и левой концевых точках интервала I. Показать,
что Т\ и Т2 являются самосопряженными. Пусть A,n(7\) и —
числа, определенные, как в упражнении D2, соответственно для
операторов Т\ и Т2. Предположим, что Хоо (7\) = lim Ln (Л)<
П->оо
< lim Хп (Т2). Пусть {рш} — последовательность, полученная пр.i
помощи перестановки в порядке возрастания всех чисел Хп(7\),
взятых вместе со всеми числами ХП(Т2), для которых ХП(Т2)<;
<^00(7*!)- Показать, что т>1.
Е. Дифференциальные операторы
в банаховых пространствах Lp (Z)
Следующая группа упражнений относится к обобщениям поня-
тий, введенных в § 1, 2, 3 и 6, на пространства LP(I), 1 <р<_оо.
В задачах, приведенных ниже, мы ограничиваемся лишь наиболее
прозрачными результатами, однако интересующийся читатель,
несомненно, заметит, что различные результаты более сложного
характера также допускают подходящие, но менее тривиальные
обобщения. Например, несколько утверждений, приведенных ниже,
справедливы в пространствах Lx (/), Loo (Z) и C(Z), хотя доказатель-
ства часто являются более сложными.
Во всех следующих упражнениях предполагается, что индексы р
и q—действительные числа, большие единицы.
Е1. Заданный на интервале I регулярный формальный диф-
ференциальный оператор т порядка п определяет оператор ТДт, р)
в банаховом пространстве Lp (7) следующим образом: ©(Tj (т, р)) —
множество всех функций f из Лп(/), таких, что f и xf принад-
лежат LP(J). Для f из ©(ТДт, р)) положим
(Л(т,р)/)(о = (т/)ю. zez.
Доказать аналог леммы 2.9.
Е2. Пусть оператор То (т, р)— сужение оператора ТДт, р)
на множество функций из его области определения, обращающихся
в нуль вне (переменного) компактного подмножества интервала Z.
Доказать, что Т0(т, р)* = Т1(т*, q), где р-1g”1 = 1.
ЕЗ. Доказать, что Tj (т, р)— замкнутый оператор.
Е4. Обобщить лемму 2.16 на оператор ^(т, р).
716 Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
Е5. Обобщить определения граничных значений, граничных
условий и расширений на дифференциальные операторы в LP(I).
Доказать утверждения, аналогичные теоремам 19, 20 и 27 и след-
ствиям 21, 23, 28 из § 2.
Е6. Получить представление резольвенты расширения опера-
тора Т0(т, р) аналогично тому, как это было сделано в § 3 для
гильбертова пространства.
Е7. Предположим, что для некоторого (действительного или
комплексного) X каждое решение уравнения (А — т)/ = 0 принад-
лежит классу ЬР(Г), а каждое решение уравнения (X — т*)/ = 0 —
классу Lq (/) (р-1 + 7-1=т 1)- Доказать, что существенный спектр
оператора т в LP(J) есть пустое множество.
Е8. (Веллман.) Предположим, что каждое решение уравнения
rf=O принадлежит классу LP(J), а каждое решение уравнения
т*/— 0 — классу Lq (/) (р-1^-?"1 — 1). Доказать, что для каждого
(действительного или комплексного) X каждое решение уравнения
(А —т)/ = 0 принадлежит LP(I).
Е9. Пусть Т — любое замкнутое расширение оператора Т0(т, р).
Доказать, что существенный спектр оператора Т совпадает с суще-
ственным спектром оператора Т\(т, р).
ЕЮ. Доказать, что существенный спектр оператора ТДт, р}
совпадает с существенным спектром оператора 7\(т*, q).
ЕН. Пусть оператор
/ 1 d \п
Т “ G dt )
определен на интервале [0, оо). Доказать, что существенным
спектром оператора ^(т, р) является положительная полуось,
если и четно, и вся действительная ось, если и нечетно.
Е12. Пусть /( — любая постоянная, которая не записывается
в виде — (fA)n ни для какого действительного X. Доказать, что
существует положительная постоянная с, зависящая только от р
и Кч такая, что
оо оо
IWW(n)(0M)/G
— оо — оо
для всех функций из Лп( —оо, оо), для которых числитель и зна-
менатель предыдущего выражения определены и конечны.
Е13. Предположим, что функция q принадлежит Lp[0, оо) и
Т= + 0</<со.
Доказать, что существенным спектром оператора 7\(т, р) является
положительная полуось.
9. Упражнения
717
F. Оператор Штурма — Лиувилля
В следующих упражнениях буква т будет обозначать опера-
тор Штурма —Лиувилля
где функция р считается положительной во всем интервале опре-
деления, а функция q— действительной и непрерывной.
F1. Предположим, что <?(/)>1 на действительной оси. Дока-
зать, что существенный спектр оператора т на действительной
оси пуст тогда и только тогда, когда множество непрерывно
дифференцируемых функций с компактным носителем, для которых
оо
$ {р(01Г(012+<7(01Н012}^<1,
— оо
компактно в — оо).
F2. Действительное число X принадлежит существенному
спектру оператора т тогда и только тогда, когда существует
непрерывная функция g с интегрируемым квадратом на интервале
определения /, такая, что уравнение
(X —T)f = g
не имеет интегрируемых в квадрате решений.
F3. (Хартман.) Пусть оператор т определен на интервале [0, оо),
a N (X, /) —число нулей решения уравнения (X — x)f = O в интер-
вале [0, /). Доказать, что точка Хо на действительной оси при-
надлежит существенному спектру оператора т тогда и только
тогда, когда для всех Х<Х0<|1
lim[W(|i, — t)]=oz.
t—>oo
F4. Пусть оператор т и функция Q определены, как в теоре-
ме 7.66. Допустим, что
ь
J (р (0)’М/=оо.
а
Тогда
(а) если Q(t)—» — со,
ь
Ш^кТ+4-
2 I I I 9 «) I1'2 I1 H(<)|s/2
718
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
ДЛЯ больших А И
оо
J (Q(/))-1/2d/<oo,
А
то существенный спектр оператора т пуст;
(Ь) если —оо, функция Q монотонно убывает при.
достаточно больших */,
ъ
i I U(0l3/2 J +4 U(0l6/21 <0°
для больших А и
оо
J (Q (/))-1/2^=оо,
А
то существенным спектром оператора т является вся действитель-
ная ось.
F5. Используя аппарат, развитый в теореме 7.55, вывести:
из каждого критерия, данного в разделе G, соответствующий
критерий для определения существенного спектра или числа гра-
ничных значений оператора Штурма —Лиувилля.
G. Оператор Штурма—Лиувилля—
Следующая группа упражнений связана с оператором'
—(d/d/)2-{-д(/), где предполагается, что функция q действи-
тельна и непрерывна. Интервалом определения служит [0, оо)_
Символ К будет обозначать действительное число.
G1. Предположим, что для достаточно больших t
^>2.
Доказать, что уравнение xf = O имеет решение из Л2(0, °0).
G2. (Уинтнер.) Предположим, что оператор т обладает тем:
свойством, что всякий раз, когда функция является
решением уравнения (Л —x)f = O, функция /' также принадлежит
Л2(0, оо).
(а) Доказать, что т не имеет граничных значений в беско-
нечности.
(Ь) Доказать, что т обладает этим свойством, если функция q
ограничена снизу.
(с) Если, кроме того, предполагать, что функция q ограни-
чена, то любое решение, линейно независимое от решения с инте-
грируемым квадратом, неограничено.
9. Упражнения
719
G3. Пусть оператор т обладает тем свойством, что для неко-
торого X производная каждого квадратично интегрируемого реше-
ния уравнения (X — x)f = O ограничена. Доказать, что т не имеет
граничных значений в бесконечности.
G4. (Уинтнер.) Предположим, что функция q удовлетворяет
условию Липшица
I <7(0 — <7(з)|</ф — $|
для больших s и t из [0, оо). Доказать, что оператор т удовле-
творяет условиям упражнения G3.
G5. (Хартман и Уинтнер.) Предположим, что функция q огра-
ничена снизу на интервале [0, оо], a f — ограниченное решение
уравнения (X — т)/ = 0. Доказать, что
(а) либо f интегрируемо в квадрате, либо точка X принад-
лежит существенному спектру оператора т;
(Ь) если все решения уравнения (X — x)f = O ограничены, то к
принадлежит существенному спектру оператора т.
G6. Допустим, что т не имеет граничных значений в беско-
нечности и что
. (I) если /—ограниченное решение уравнения (X — т)/ = 0, то?
/' ограничена;
(II) если / — решение из Л2(0, оо) того же уравнения, то суще-
ствует такая последовательность 7П, стремящаяся к бесконеч-
ности, что
(Ш)2+(г о2->о
при п —> оо.
Доказать, что если / — ограниченное решение уравнения
(X —т)/ = 0, то либо / квадратично интегрируемо, либо X при-
надлежит существенному спектру оператора т.
G7. Предположим, что в уравнении
(А) (Р (О F' (0)' - Q (0 F (0 = 0, 0 < t < оо,
Р — положительная, a Q —неотрицательная функции. Доказать,,
что это уравнение имеет ограниченное решение.
G8. Предположим, что qi(t)^q2(t) (0<7<оо) и уравнение
Г (0-<71 (t)f (0 = 0
имеет решение с конечным числом нулей и решение с интегри-
руемым квадратом. Доказать, что уравнение
£"(О~<72(О£(О = о
имеет решение из Л2(0, оо).
(Указание. Написать g = (0 и методом вариации про-
извольных постоянных получить уравнение типа (А) для h, как
в G7. Заключить, что g (t) = О (f (/)).)
720 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
G9. Пусть N (t) — число нулей некоторого решения уравнения
xf = O в интервале [0, /). Доказать следующие утверждения.
(а) Если N (/) > 1, то
t
J | q (s) | ds > 4Г1.
0
(b) Предположим, что q неположительна, a tn есть n-й нуль
некоторого решения уравнения xf — O. Тогда
йг
J q(t)dt>4(n-l)2tn1.
О
t
(с) N(t) = o([t J max (0, -q ($)) ds]1/2) + О (1).
О
(d) Если
t
^max(0, — q ($)) ds = О (/3),
о
то оператор т не имеет граничных значений в бесконечности.
• * *
(Указания, (а) | f" (s) (f (s))"11 ds > (max f (s))-1 I f" (s) I ds
4 о 5
> (max | f (s) |) 1 max | f' (s)—f' (u) |; применить теорему Ролля.
0<s</ 0<s, u^t
(с) Привести к случаю, когда q не положительна, и применить (Ь).
(d) Применить упражнение G14, используя (с).^)
G10. Предположим, что q — отрицательная невозрастающая
функция, a f — решение уравнения xf — 0. Пусть {sn} — возраста-
ющая последовательность нулей функции f.
(а) Доказать, что sn — sn-i> sn+l—sn.
(b) Пусть тп — точка между sn_{ и sn, в которой f' (s) обра-
щается в нуль. Предположим, что функция f интегрируема в квад-
рате. Доказать, что
оо
3 f2 (fnn) (тп+1 — тп)<_со.
п=1
(с) В предположении, что функция q дифференцируема, дока-
зать, что
9. Упражнения
721
(d) Вывести, что если функция f интегрируема в квадрате, то
оо
О
(е) (Хартман и Уинтнер.) При дополнительном предположении
J |<7(/)|-1/М/=оо
О
доказать, что оператор т не имеет граничных значений в беско-
нечности.
G11. (Хартман и Уинтнер.) Предположим, что функция q отри-
цательна и не возрастает и
19 (О I 1 = оо.
о
Доказать, что нуль принадлежит непрерывному спектру каждого
самосопряженного расширения оператора т. (Указание: применить
неравенство
[(Г (з))2 + (<?«]'> О,
справедливое для решения уравнения т/ = 0.)
G12. Предположим, что функция q неположительна, а урав-
нение т/ = 0 имеет решение с интегрируемым квадратом. Дока-
зать, что f имеет бесконечное число нулей.
G13. Пусть f и g —решения уравнения ‘т/ —0, такие, что
fg' — f'g = 1. Показать, что они могут быть представлены в виде
f (/) = Г (t)
g(t) = r(t) sin 9 (О,
где г(/)>0, 0</<со. Показать, что оператор т имеет два гра-
ничных значения в бесконечности тогда и только тогда, когда
оо
J (9'(/))“1Л<ОЭ.
О
Какое соотношение имеется между 9 (/) и числом нулей решения
рассматриваемого уравнения?
G14. Применяя результат предыдущего упражнения, показать,
что если оператор т имеет два граничных значения в бесконеч-
ности, то
г N(t)
lim —= оо,
46 Заказ №134
722
Гл, XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
где N (t)— число нулей решения уравнения
т/ — 0.
G15. Пусть функции f и g выбраны, как в упражнении G13.
Предположим, что функция l(/(0)2 + (Sr(0)2J~1 интегрируема
на [0, оо). Доказать, что каждое решение уравнения т/ = 0 имеет
конечное число нулей,
оо
(Указание: из условий следует, что 9'(/)d/<oo. Выразить
о
это в терминах функции N (t) и проинтегрировать.)
G16. (Хартман.) Предположим, что уравнение т/ = 0 имеет неко-
торое решение с конечным числом нулей. Доказать, что существует
решение g того же уравнения, такое, что функция (g (/))-1 интегри-
руема в квадрате на полуоси, достаточно удаленной от начала.
(Указание. Пусть / — некоторое решение, скажем положитель-
t
ное. Тогда g (/) = / (/) (/ (s))~2ds также является положительным
о
решением. Поэтому для некоторой постоянной К мы имеем
t
7(0 (ёгЮ)"1 = ^““ (g(sY~2^s^ откуда следует наше утверждение.)
о
G17. (Хартман и Уинтнер.) Пусть / и g —решения уравне-
ния т/=--0, такие, что fg'— /'g^l. Тогда обе функции /' и g'
не могут одновременно быть квадратично интегрируемыми.
(Указание. В противном случае функция (p + g^Y1 интегри-
руема, поэтому для некоторого решения h функция А-1 интегри-
руема в квадрате (см. G15, G16). Но h' интегрируема в квад-
рате, поэтому h'h~x интегрируема, однако, как легко показать,
это невозможно.)
G18. (Хартман и Уинтнер.) Если уравнение т/ = 0 имеет реше-
ние, производная которого интегрируема в квадрате, то опера-
тор т не имеет граничных значений в бесконечности.
(Указание. Пусть / и g определены, как в G17, причем /' и g
интегрируемы в квадрате. Тогда функция (gf\ — 1 интегрируема
и fg — t стремится к некоторому пределу. Поэтому /-1 интегри-
руема в квадрате на [Л, со) при больших Л, a f~rg стремится
к пределу, который, как легко показать, равен нулю. Таким
образом, f~rg= — J (/(s))-2ds, что приводит к противоречию.)
о
G19. (Хартман и Уинтнер.) Предположим, что уравнение
(X —т)/ = 0 имеет решение, не интегрируемое в квадрате,
9, Упражнения
723
но имеющее интегрируемую в квадрате производную. Доказать,
что точка X принадлежит существенному спектру оператора т.
G20. (Уинтнер.) Предположим, что q ограничена снизу и X
не принадлежит существенному спектру оператора т. Пусть
/ — решение уравнения (X —т)/^0 с интегрируемым квадратом,
и пусть g— второе решение этого уравнения, такое, что/g' — f'g—I.
(а) Пусть Л —любая функция с интегрируемым квадратом,
и пусть г —квадратично интегрируемое решение уравнения
(X —т) r = h. Доказать, что функция г' квадратично интегрируема.
(Ь) Доказать, что
оо
t
(с) Доказать, что
оо
/(/(/))2d/<OO.
О
(d) Вывести, что
оо
jj /(/' (/))М/<ОО.
о
(е) Доказать по индукции, что
оо оо
jj (f (t))2 dt < оз и jj t4 (f (t))2 dt < oo.
b b
(Указания, (а) Применить тождество //" = (//')' —(/')2; если
/' не интегрируема в квадрате, то (//')' стремится к бесконеч-
ности, поэтому (Z2)' и тем более /2 стремятся к бесконечности,
и мы получаем противоречие, (d) Получить промежуточные оценки
t t
J s/(s)/" (s) ds + jj smin(—q(s), 0) (/ (s))2 ds = о (1),
b b
t t
tf(t) f (0~Д s/'(s)ds + £ smin( — q(s\ 0) (/(s))2ds-0(1),
b b
из которых легко выводится требуемый результат, (е) Начать
с доказательства того, что функция t*1 (f(t) г' (t) — г (/) /' (/)) инте-
грируема.)
G21. Пусть q (t) = — ekt, где £ —положительная постоянная.
Доказать, что оператор т имеет два граничных значения в беско-
нечности.
46*
724
Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
G22. Пусть q(t)= —/2log4/. Доказать, что оператор т имеет
два граничных значения в бесконечности.
G23. (Хартман.) Пусть Q(/) —положительная непрерывная
неубывающая функция, а 0(/) определена, как в задаче G13.
(а) Доказать, что для и < t
t t t
J (0' (s))'4s> 2 J (Q (s))"1 ds — J (Q (s))-2 0' (s) ds.
и и и
(b) Используя соотношение между 0 и числом нулей N (/)
решения в интервале [0, /), установленное в упражнении G13,
показать, что правая часть последнего неравенства больше,
чем л, умноженное на величину
t
N (u) (Q (и))"2 - N (О (Q (О)'2 + (s) d ((Q (s))’2) -
и
t
-(Q(0)'2-(Q(u))-2+$ d((Q(s))"2).
и
(с) Вывести неравенство
t t t
J (0' (s))"1 ds > J (Q (s))"1 ds - л J (Q (s))"2 dN (s) -
и и и
t
- л (Q (О)-2-л (Q («))-* +л J d((Q(s))"2).
и
(d) Доказать, что если и =и (/) можно выбрать так, что
t t
Пт Г 2 £ (Q(s))-1ds —л ( (Q (s))"2 dN (s) _
t->OO L J »J
и и
t
-x(Q (i))-2 - nQ (w) + л J d ((Q (s))'2) ] > 0,
u
то оператор т не имеет граничных значений в бесконечности.
G24. Предположим, что
lim[(A/(0-2V(4))r2]<oo.
Доказать, что оператор т не имеет граничных значений в беско-
нечности. (Указание: в предыдущем упражнении положить и = Ц2
и Q(t) = t/s.)
9. Упражнения
725
G25. Предположим, что
lim|W — — 1)]<оо.
t->OO
Доказать, что оператор т не имеет граничных значений в беско-
нечности. (Указание: в упражнении G23 положить u = t — 1
и Q(/) = l//.)
G26. Предположим, что существует бесконечная последова-
тельность непересекающихся интервалов длины не меньше еди-
ницы, и на объединении всех этих интервалов функция q равно-
мерно ограничена снизу. Доказать, что оператор т не имеет гра-
ничных значений в бесконечности.
(Указание: применить предыдущее упражнение.)
G27. (Хартман.) Пусть Q —положительная непрерывная функ-
ция, которая не убывает и имеет ограниченную вариацию на каж-
дом конечном интервале, причем
оо
(Q (s))-1ds = ОО.
о
Как обычно, пусть Л/(/)—-число нулей решения уравнения т/=0
в интервале [0, /); предположим, что
t
J Q(s)ds+/<(Q(8))2-8,
О
где 0<е<2.
(а) Показать, что
t t t
J (Q (s))-2 dtt (s) < J (Q (s))-i ds + К J Q-1-E dQ (s).
и и 1
(b) Применяя результат упражнения G23, показать, что опе-
ратор т не имеет граничных значений в бесконечности.
G28. Предположим, что Q —невозрастающая положительная
непрерывная функция, имеющая ограниченную вариацию на каж-
дом конечном интервале, причем
оо
J (Q(s)rds=oo.
о
Далее, пусть N (/) удовлетворяет условию предыдущего упраж-
нения. Доказать, что оператор т не имеет граничных значений
в бесконечности.
(Указание: это следует непосредственно из G27.)
726
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
G29. Предположим, что Q — монотонная положительная непре-
рывная функция, причем
оо
J (Q (s))“1dsсо,
о
и
t t
Доказать, что оператор т не имеет граничных значений
в бесконечности.
(Указание: применить упражнение G19.)
G30. Предположим, что
A/(/)-O(/3log/).
Доказать, что оператор т не имеет граничных значений в беско-
нечности.
G3I. Доказать следующее уточнение результата упражнения
GI9(d): если
t
max( — q(s), 0) ds = О (Z3 log2 /),
о
то оператор т не имеет граничных значений в бесконечности..
G32. (Хартман и Уинтнер.) Предположим, что q — отрица-
тельная дифференцируемая функция. Пусть N (t) — число нулей
решения f уравнения т/=0 в интервале [0, /), такого, что f (0) = 0,
и пусть
9(/) = агс1ё([-<7(/)]1/2/(0(/' (ОГ).
(а) Доказать, что
| 9 (/) — nN (/) | < л.
(Ь) Доказать, что
9'(0 = (-<7(0)1/2-
- КЛ (О)2 - <7 (0 (/ (О)21Г(—<7 (0)1/2 f (0 Г (01 •
(с) Доказать, что
t t
= (-<7(s))1/2ds+ J (s) (log (-<7 (s)))'ds+r (7),
o b
9. Упражнения
727
где k и г —измеримые функции, такие, что
— 1/2 <£(/)< 1/2 и — л <+(/)< л.
G33. Предположим, что функция Q дифференцируема,
Q(0>K>0, 0</<со,
|Q'(0I(Q(/))-2cm
для некоторых постоянных М и К и
| q (s) ds |<Q (/).
b
Пусть / — интегрируемое в квадрате решение уравнения
(X — т)/ = 0. Доказать по порядку следующие утверждения:
[/' (з) (Q (a))’1]2 ds = ( [f (s) f « (Q (s))-2 ds 4-
b о
(a)
+ X J [f(s)(Q(s))-1]2ds— J q(s) (f « (Q (s))’2 ds = Л+У2+Л>;
0 0
(b) + = O(|/(/)f'(/)|)+o((J [ns)(Qm2ds)1/2) + O(l):
J2 = O(1),
Js = О((fm + O^f'(s)((2 (s))-1 ds)1/2) + 0(1);
0
(c) j [/' (s) (Q (s))-42 ds = 0 [| f (/) f (/) I + (f (/))2] +
0
+ 0((Jf'(S)(Q(s))-MS)1/2);
4 0
(d) функция f' (t) (Q(/))-1 интегрируема в квадрате (Хартман).
G34. (Борг.) Предположим, что
t
lim (log/)-1 \ q(s) |ds = A < oo.
о
Доказать, что непрерывный спектр каждого самосопряженного
расширения оператора т содержит полуось [А2, оо).
728 Г л. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(Указание. В предыдущем упражнении положить Q(f) = log/;
пусть (А —т)/ = 0, где А>Я2. Если f интегрируема в квадрате,
то неравенство
t
(f (/))2 + V1 (/' (/))2 > к ех ( J I q (s) I ds')
приводит к противоречию.)
G35. (Хартман.) Используя упражнения F3 и G33, доказать,
что если q — невозрастающая отрицательная функция и —
= О(/2), то существенным спектром оператора т является вся
действительная ось.
G36. (Хартман.) Предположим, что q — монотонная отрица-
тельная функция, стремящаяся к —оо, и для некоторого
\q(s)\~h/2 ds~ оо.
о
Доказать следующие утверждения.
(а) Для заданного />0 пусть s (/) — наиболыпее действи-
тельное число, такое, что q (s) = 2q (f). Тогда
___s(O
lim ? \q(s)\k/2 ds = co.
£->OO у
(b) Существенным спектром оператора т является вся действи-
тельная ось.
(Указание: использовать F3, G3.)
G37. Пусть / — решение уравнения (А, —т)/ = 0, такое, что
/ (0) = О, и пусть
9(Л А) = arctg/А/(/)(/' (О)-1, 0(0, А) =Д А>0.
Это определяет единственную непрерывную функцию на поло-
жительной полуоси для каждого Х>0.
(а) Доказать, что
|0'(Л А)- |ЛА|<А-1/2|<7(/)|.
(Ь) Вывести оценку
t
| лЛ/(/, А) —А1/2£ |<О (1) +А~1/2 j \q(s)\ds,
о
где N (t, А) —число нулей функции f в интервале [0, /).
9. Упражнения
729
G38. (Хартман.) Предположим, что
t
lim/'1 ? |<7(s) |ds — 0.
i->oo q
Доказать, что существенный спектр оператора т содержит поло-
жительную полуось. (Указание: использовать предыдущее упраж-
нение и F3.)
G39. (Хартман.) Предположим, что
t
lim Г1 | q (s) | ds = Л.
f—>ОО Q
Доказать, что каждый интервал [X, Х+4Л + 4Л2^"1] (Х>0)
пересекается с существенным спектром оператора т. (Указание:
использовать метод предыдущего упражнения.)
G40. (Шноль.) Предположим, что существует последователь-
ность {(ап, Ьп)} интервалов положительной действительной полуоси,
таких, что Ьп — ап—> со и
(bn-any^ (q(t))2dt-+0.
ап
(а) Для достаточно больших п пусть /^ — бесконечно диффе-
ренцируемая функция, которая обращается в нуль вне (ап, Ьп)
и тождественно равна единице на интервале (ап+1, Ьп— 1),
и пусть
fn(t) = hn(t)s\ntVK Х>0.
Доказать, что
(Ь) Доказать, что существенный спектр оператора т содержит
положительную полуось.
(Указание: применить теорему 7.1.)
G41. Предположим, что функция q ограничена снизу и нуль
принадлежит существенному спектру оператора т.
(а) Пусть {/„} —последовательность из ©(^(т)), такая, что
|/п| = 1, |т/п|—>0 и fn обращается в нуль в интервале [0, п).
Положим
gn (0 = fn (t) sin t У К, X > 0.
Доказать, что | gn | > 1/3.
(b) Показать, что | (X — т) gn | = 0 (^Х) •
730 Гл, XI11. Обыкновенные дифференциальные операторы
(с) (Шноль). Доказать, что для больших К каждый интервал
вида [X — ]/'Х, Х + ]/'Х] пересекается с существенным спектром
оператора т.
(Указание: упражнение А6).
G42. Предположим, что функция q ограничена снизу. Дока-
зать, что существенный спектр оператора т либо пуст, либо
не ограничен сверху. 4
G43. (Молчанов.) Предположим, что функция q ограничена
снизу. Доказать, что существенный спектр оператора т пуст
тогда и только тогда, когда для каждого и>0
t-\-u
lim \ q (s) ds= oo.
t-+oo •'
(Указание: использовать F2.)
G44. (Путнам.) Предположим, что функция q интегрируема
в квадрате. Доказать, что положительная действительная полу-
ось принадлежит существенному спектру оператора т.
(Указание. Допустим, что существует интегрируемая в ква-
драте функция /, такая, что (X —т)/ = 0, где Х>0, и пусть
^(0 и Ё2 (0 — линейно независимые решения уравнения g" (t)-—
— Ag-(0 = O. Если X не принадлежит существенному спектру, то
существуют интегрируемые в квадрате функции fi и f2, такие,
что fi + (^ — q (t)) fig = gig. Получить противоречие.)
G45. Предположим, что функция q интегрируема в квадрате,
а / — решение уравнения (X —т)/=^0 с интегрируемым квадратом.
Доказать, что /' и /" интегрируемы в квадрате и равны о(1).
Доказать, что если X 0, то предел
t
lim \ f (s) ds
t->oo J
существует и конечен.
H. Оператор —(d/dt)2 + q(t) с суммируемой функцией q
Следующая группа упражнений связана с оператором
т= — (dldt)2 + q(t). В дальнейшем, если специально не оговорено
противное, везде предполагается, что этот оператор определен
на интервале [0, оо), что q — действительная непрерывная сумми-
руемая функция в этом интервале, а X —действительное число.
Н1. Доказать, что оператор т не имеет граничных значений
в бесконечности и его существенным спектром является поло-
жительная полуось.
9. Упражнения
731
Н2. (Вспомогательная лемма.) Пусть / — непрерывная функция,
a g — суммируемая функция на интервале [О, Я]. Предположим,
что
f(0<O(l)+ ^f(s)g(s)ds, 0</<А
О
Доказать, что
t
f(t)^.kexp ( jj g(s)ds") .
О
НЗ. Пусть f (/, X) и §•(/, X) — решения уравнения (X — т)/ = 0,
удовлетворяющие граничным условиям
f (О, X) = sin 0, f' (О, X) = — cos 0,
g (О, X) = cos 0, g' (О, X) = sin 0.
Доказать, что функция f удовлетворяет интегральному урав-
нению
f (/, X) = sin 0 cos t ]/%— (K^)"1 cos0 sin/]/X +
t
4-(]/Л)"1 sin((/~ s) V^q (s) f (s, X) ds, X>0.
о
H4. Из упражнений НЗ и Н2 вывести, что для %>0
t
f(t,k) = o[y + (/%)’1) exp ((/X)"1 j I q (s) I ds))
0
и аналогичная оценка справедлива для решения g.
Н5; Получить следующую оценку для решения /:
f (/, = со5/]ЛХ + л(%) sin / )ЛХ + о(1) =
= Vm2 (X) + n2 (%) sin (/X (/-a (X))) 4-o (1)
при /—>oo, где
m (X) = sin 0 — (j/^) 1 sin (5 ? (5) f (s, ds,
b
n (X) = — cos 0 4- (VjQ1 cos (s ]Лх) q (s) f (s, X) ds.
b
Показать,‘что подобная асимптотическая оценка справедлива
для g. Показать, что эту оценку можно дифференцировать.
732
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Н6. Пусть Т — самосопряженное расширение оператора Т0(т)г
полученное наложением граничного условия
Bf = /(O) cos0 + f' (0) sin 0 = 0.
Взяв в качестве определяющей системы (см. теорему 5.23}
решение /(/, X) уравнения (т —Х)/ = 0, удовлетворяющее началь-
ным условиям f (0, X) — sin 0 и f' (0, X) = — cos0, доказать, что
мера связанная с ‘этой определяющей системой (см. теоре-
му 5.23), задается выражением
и(/) = 1 J (j/%)’1 [m2(Л)-J-/г2(I)]"1 dK 1^(0, оо).
I
Показать, что этот результат может быть сформулирован
следующим образом. Для каждого ц>0 пусть а(/, ц)—единст-
венное решение с асимптотикой sin (ц/—а (ц)) (1 +о(1)) при
t —> оо уравнения та=ц2а, удовлетворяющее заданному граничному
условию при / = 0. Тогда формула1)
__ А
О(Ю=1/41Л-п?- и>0,
Г А-оо J
определяет ограниченный оператор, отображающий Ь2 [0, оо)
в себя, и для каждой ограниченной борелевской функции F
_ А
(£((0, со); £)£(£)/)(/)= 1/ (Uf) (И) F (И2) о (/, И)^
Г Л А->0О J
И
оо
|£((0, оо); T)f |2= J |(£7/)(И)|Мц.
о
Н7. Пусть Т — любое самосопряженное расширение оператора т.
Доказать, что любая мера, полученная по теореме 5.23, абсо-
лютно непрерывна относительно меры Лебега.
Н8. Рассмотрим оператор т = — (d/dty + q (t) на интервале
(я, оо), где — со<а < оо. Предположим, что а < b <Z оо
оо
и q (/) dt < оо. Пусть Tj —сужение оператора т на интервал
ъ
(а, Ь), а Л — подинтервал интервала (0, оо), не пересекающийся
с ое (ti). Пусть Т — самосопряженное расширение оператора То (т).
*) Это утверждение верно, когда Т не имеет отрицательных дискретных
собственных значений.— Прим, перев.
9. Упражнения
733
(а) Показать, что либо Т= 7\ (т), либо Т определяется простым
граничным условием В (/) = 0 в точке а, причем последний случай
имеет место тогда и только тогда, когда каждое решение урав-
нения т/ = Х/ квадратично интегрируемо в окрестности точки а,
(Ь) Обобщая последнее заключение упражнения Н6, получить
следующее утверждение: для каждого числа ц>0, такого, что
|12^Л, пусть о (t, ц)-— единственное решение уравнения то = р2о
с асимптотикой sin (р/—а (ц)) (1 + о (1)), квадратично интегрируе-
мое в окрестности точки t — a и удовлетворяющее граничному
условию В (/) = 0 в точке а, определяющему Т, если только
Т=^=7\(т). Тогда формула
__ А
(Uf) (ц) = 1/А l.i.m. \f(t)a (t, и) dt, н > 0, и-2 G Л,
определяет ограниченный оператор, отображающий Л2(0, со)
в /,2(Л0), где Ао — {И>0|р2еЛ}. Для каждой ограниченной
борелевской функции F
(Е (Ло, Т) F (Т) /) (0 = /4 $ Vf) W F ° V И)
Ло
причем интеграл в правой части существует в смысле среднего
квадратического и
| Е (Ло, Т) F (Т) f |2 = J | Uf (И) |21F (И2) |2 dfi.
АО
Н9. Используя упражнение Н8, установить свойства
(a) sin- и cos-преобразований Фурье;
(Ь) преобразования Ганкеля.
НЮ. Пусть q суммируема на ( —оо, со) и
Для каждого числа Х=ц2, где ц>0, пусть сг+ (/, X) и сг_(/, X) —
решения уравнения то = Хо, имеющие асимптотику соответственно
€г/ц и е-н& ПрИ /_>_оо (СМе лемму 6.18), а 2+(/, X) и £_(/, X) —
решения того же уравнения, которые имеют соответственно ту же
асимптотику при t—>оэ.
(а) Показать, что а+, а_, S+ и S_ однозначно определяются
своими асимптотиками, непрерывно зависят от X, причем сг+
линейно не зависит от о_, а 2+ линейно не зависит от 2_.
(Ь) Однозначно определенные коэффициенты р(Х) и т(Х)
уравнения
т (X) 2+ (/, X) = о+ (/, X) + q (X) а_ (/, X)
734 Гл, XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
физики называют коэффициентом отражения и коэффициентом
пропускания для потенциала q. Показать, что | т (X) 12 + 1е(М12-
и если мы возьмем о_ (/, X) и о+ (/, %) в качестве определяющей
системы для т на интервале (0, оо), то соответствующая положи-
тельная матричная мера (см. теорему 5.23) задается формулой
I ни (О Н12(/)\ j_ V / i
\ И21 (0 р2г(/)/ Л I \е(М 1
(с) Вывести отсюда теорему Планшереля, рассматривая част-
ный случай q — 0.
(d) Применяя задачу Н8, провести соответствующие вычисле-
ния для оператора
-СН+-
на интервале (—оо, оо).
НН. Предположим, что функция q удовлетворяет условию
о
для некоторого положительного целого k, а Т и р определены,
как в задаче Н6. Показать, что мера р имеет вид
h(/)=$£(W» /s(0,00),
I
где функция g дифференцируема k раз.
Н12. (Йост и Пейс.) Предположим, что
[ (1 +0\q(t) I dt< 00.
О
Доказать, что самосопряженное расширение оператора т может
иметь отрицательное собственное значение только тогда, когда
J t\q(t)\dt>\.
о
Н13. Предположим, что
о
Доказать, что нуль принадлежит непрерывному спектру каждого
самосопряженного расширения оператора Т0(т).
9. Упражнения
735
(Указание: существуют два линейно независимых решения f
и g уравнения т/ = 0, таких, что f (f) ~ 1 и g(t) ~t при /—>оо.)
Н14. Оператор 7\(х, 1) определяется в ЛИО, оо) следующим
образом: © (Т\ (т, 1)) —множество всех функций f из Л2[0, оо)>
таких, что f и xf суммируемы, и для f из ©(7\(т, 1))
(Т(т, 1)/) (0 = —
Пусть T0(t, 1) —сужение оператора 7\(т, 1) на класс функций
из его области определения, обращающихся в нуль вне перемен-
ного компактного подмножества положительной полуоси.
Доказать, что оператор Т\(т, 1) замкнут в Li (0, оо).
Н15. Доказать, что существенным спектром оператора Т\(т, 1}
в Ц [0, со) является положительная полуось. (Указание: исполь-
зовать метод упражнения G44.)
Н16. Сформулировать определение граничного значения
для оператора ТДт, 1) в ЛИО, оо), аналогичное определению 2.17.
Доказать результат, аналогичной теореме 2.19, и показать, что
оператор 7\ в ЛИО, оо) не имеет граничных значений в беско-
нечности.
Н17. Предположим, что 1тХ=#=0, а / — интегрируемое в ква-
драте решение уравнения (% — т)/ = 0. Доказать, что функция/
суммируема. (Указание: это следует непосредственно из преды-
дущего упражнения.)
I. Специальные функции
Следующая группа задач связана с вычислением специальных:
формул, которые возникают при спектральном анализе некоторых
конкретных формальных дифференциальных операторов. Вычисле-
ния в каждом случае следует выполнять методами § 8.
II. Задан формально симметрический дифференциальный,
оператор
на интервале (0, со). Доказать следующие утверждения.
(а) Оператор 70(t) не имеет граничных значений и 7\(т}
— самосопряженный оператор.
(Ь) Оператор Т\(т) не имеет точечного спектра, а его непре-
рывный спектр покрывает всю действительную ось.
(с) Пусть [7 —изометрия пространства Л2(0, оо) в себя, опре-
деляемая формулой
736
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
a H2k обозначает преобразование Ганкеля
N
= (Xs)1^/^ (Xs) f (s) ds,
N->oo J
где J2k (/) —решение уравнения Бесселя
(XXOXihwm,
1+44; 2“)-
Показать, что изоморфизм U^H^U дает спектральное разложе-
ние оператора Т^т).
12. Задан формально самосопряженный дифференциальный
оператор
\ аг у \ аг у ‘ 1 г 4
на интервале (0, оо). Доказать следующие утверждения.
(а) Этот оператор не имеет граничных значений, а 7\(т) —
самосопряженное расширение оператора Т0(т).
(Ь) Л (т) имеет чисто точечный спектр с собственными зна-
чениями в точках 1 4--2п + 2Ь (п=1, 2, ...).
(с) Система функций
« -йХч (яГ('+"+2>>) У-W(_п, 1 + 26; 2/), п = 1, 2..
является полной ортонормальной системой в Л2(0, со).
(d) Если функция f (Т1(т)) выражается формулой
/(0 = 2 Фп (О J Фп («) f (s) dsK
n=l 0
TO
(Л (T) /) (0 = 2 WO (1 + 2n + 2b) J Wo f (S) ds.
n=i 0
13. (Радиальная часть уравнения для атома водорода.) Проанали-
зировать формально самосопряженный дифференциальный оператор
г ( d \2 1 Ь2 _ 1/4 , . _ ,
\dt ) t + /2 ’ ’
и доказать следующие утверждения.
(а) Оператор Т0(т) не имеет граничных значений.
9. Упражнения 73)
(Ь) Самосопряженный оператор 7\(т) имеет точечный спектр
на отрицательной действительной полуоси с собственными зна-
чениями, расположенными в точках
1
—(1+2^ + 2п)2’
с соответствующими нормированными собственными функциями
гк /А_ 2h+1 /T(2 + 2fe+n)у/2 1/a+ft
Vn (Ч — (i+2^ + 2n)ft+2r(l+2ft) < n! ) 1 X
xexp( 14-2^ + n ) Ф(—n’ l+2fe; 1+2k + 2n) ’
и непрерывный спектр, покрывающий положительную действи-
тельную полуось.
(с) Показать, что функция о (/, X) из теоремы 5.23 опреде-
ляется формулой
а (/ и) = ^2- j-С?----2*2.1 £ЛЦ/2 Л _L V/2+ft 1//2JLL у
2Д/л Г(1 + 2^) е е х
хф(4+*+1Р’ «
где ц = 2-1Х~1/2.
14. Задан формально симметрический дифференциальный
оператор
--(4М4)-'+4. М.
на интервале (0, со). Доказать следующие утверждения.
(а) Оператор т не имеет граничных значений, и поэтому
7\ (т) — самосопряженный оператор.
(Ь) Непрерывный спектр оператора Т{(т) покрывает всю дей-
ствительную ось.
(с) Пусть
ш Х) = (]Л2л)-1/2ЬГ (1 + 2b)e-(i/4)b|r (1-И + уа) | tb.x
хе~иф(± + Ь—±1К, 1+26; 2i7) ,
и пусть
N
([//)(%)= l.i.m. (/, X) f (t) dt, /СЬ2(0, со).
N->OO J
47 Заказ № 134
738
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Тогда U—изометрический изоморфизм пространства L2(0, оо)
на L2(—со, °°)» и обратное отображение определяется формулой
N
\ ф(/, h)g(h)dh.
N-°° Л
(d) Показать, цто изоморфизм U дает спектральное разложе-
ние оператора ^(т).
15. Задан формально симметрический дифференциальный опе-
ратор
на интервале (0, оо). Доказать следующие утверждения.
(а) Оператор т не имеет граничных значений в нуле и имеет
два граничных значения в бесконечности.
(Ь) Два линейно независимых граничных значения в беско-
нечности определяются соотношениями
В, (/) - lime2l'(W)
B2(/) = lim elty.
t-too
(с) Расширение TQ оператора То(хУ полученное наложением
граничного условия
Bq (/) = е(1/2)(лг)(1/2-0)В1 (f) _ е-(1/2)(Лг)( 1/2-0) В2 (/) = О, 0 < 0 <2,
является самосопряженным оператором.
(d) Оператор TQ имеет непрерывный спектр, покрывающий
положительную полуось, и собственные значения в точках — (2/г-|-0)2
с соответствующими нормированными собственными функциями
(4n + 20)1/2r1/2J2n+e(/),
где 7ц (/) —функция Бесселя порядка р:
(е) Пусть
Ф (/, р) = Г1/2 (2л)’11 Г (1 + ip) | { sh [ f (р + /0) ] 7гц (/) +
+ sh[-J(p-i0)] Лги(/)} ,
9. Упражнения
739
a Е — разложение единицы для оператора Тв. Тогда оператор
N
(U/)(Z)= l.i.m. Г ф(Д
N-+00 •»
осуществляет изометрический изоморфизм пространства
£([0, со))Л2(0, со) на со), и обратный к нему оператор
определяется формулой
N
IV—>оо
(f) Показать, что оператор U дает спектральное разложение
гильбертова пространства £ ([0, оо))Л2(0, со) относительно суже-
ния оператора 7© на это пространство.
16. Задан формально симметрический дифференциальный
оператор
(4)+/!+ы. ">»•
на интервале (0, со).
(а) Показать, что оператор т не имеет граничных значений,
и поэтому замыкание оператора Т0(х) определяет единственный
самосопряженный оператор 7\(т).
(Ь) Показать, что спектр оператора 7\(т) состоит из непре-
рывного спектра на полуоси [1/4, со).
(с) Полагая у = ]/г4Х—1 и взяв в качестве определяющей
системы функции
Д (/) = /(-i+iv)/2e-«o , 1 + iv; 2/) ,
/2(Z) = /(-l-iv)/2e-^^_l + lz±L , l_tv; 2^,
показать, что спектральная плотность матрицы из теоремы 5.23
определяется формулой
1 Г1 с1 • Г (—--2~<У)Г<1 + ^
Г <---2---->r(1~ZV)
17. Задан формально симметрический дифференциальный
оператор
на интервале (0, оо). Доказать следующие утверждения.
47*
740
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(а) Без граничных значений т дает самосопряженный опе-
ратор Т\(х).
(Ь) Спектр оператора 7\(т) состоит из непрерывного спектра,
покрывающего положительную полуось.
(с) Кратность непрерывного спектра оператора 7\(т) равна
единице при 0<Х<1/4 и двум при 1/4<Х<;оо.
(d) Пусть Е — разложение единицы для оператора Л(т),
и пусть
M-l/* r(‘/2+fe)
V (i, R) — у „ r(1+2fe)
22k +
где
‘=/p-
Показать, что оператор
N
(Uf) (X) = l.i.m. ф(/, k) f(t)dt
N->oo J
осуществляет изометрический изоморфизм пространства
£(0, 1/4) L2(0, оо) на £2(0, 1/2), и обратное отображение опре-
деляется формулой
N
(U^g) (0 = 1.i.m. £ lp (t, k) g (k) dk.
N->i/2 J
(e) Взяв в'качестве определяющей системы функции
Д (/) = (t2 + 1)1/2Г 1/2+<ге-г Ф 1 —2ir; 2Мц) ,
f2 (/) = (/«+ l)1/2/-1/2-irei /м ф 0—ir, 1 -^2ir; —2i7p),
где
X-4-,
показать, что спектральная плотность матрицы из теоремы 5.23
определяется формулой
Г(1+/г)
е-лг
G/A'l 2ir r(i+/r)
2/ Г(1— ir)
е~пг
dr.
1
1
9. Упражнения
741
18. Задан формально симметрический дифференциальный
оператор
т=- (1+и-1/2 (4)(4) -4 о+/2)-1
на интервале (0, оо).
(а) Показать, что т не имеет граничных значений.
(Ь) Показать, что спектр самосопряженного оператора 7\(т)
состоит из непрерывного спектра, занимающего положительную
полуось.
(с) Полагая р = Х1/2 и взяв в качестве определяющей системы
функции
А (/) = (14 /2)1'2 r1/2+iu (у + ф, • 1 +2ф; 2»7р) ,
A (t) = (1 + /2)1/2 Г 1/2“ (1- ф, 1 - 2гц; - 2i7p) ,
показать, что плотность матрицы из теоремы 5.23 определяется
формулой
(2p,)2ig Г (4+ -2Ф)
е г(1+2/и)Г^у-ф^
(2p.)-2i,x гС4,0г^+2,и^
e™ Г(1-2ф)г(1-н>)
d[i.
1
19. Задан формально симметрический дифференциальный
оператор
на интервале (0, оо).
(а) Показать, что оператор т не имеет граничных значений.
(Ь) Показать, что спектр оператора 7\(т) состоит из непре-
рывного спектра, покрывающего полуось оо^).
(с) Полагая c = bi/2, s = ti/2, р. = ]/4Л —1 и взяв в качестве
определяющей системы функции
/1(/) = е-2св«-И-Шф^ + /и> i+2ip; 4сз),
(y-ip, 1—2гц; 4сз),
вычислить плотность матрицы, как в теореме 5.23.
742
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
ПО. Задан формально симметрический дифференциальный
оператор
х=аУ+еМ' k>0-
(а) Определить выражения для граничных значений оператора т
в бесконечности.
(Ь) Показать, что т не имеет граничных значений в — оо.
(с) Провести полный спектральный анализ оператора т
в интервале [0, оо).
(d) Провести полный спектральный анализ этого оператора
в интервале (— оо, 0].
(е) Провести полный спектральный анализ оператора т
в интервале ( — со, оо).
(Указание: решения уравнения = могут быть выражены
в терминах гипергеометрических функций.)
J. Разные упражнения
Л. Рассмотрим формальный дифференциальный оператор
т - t'o I ?'л-2 (0 -Ь^Зл-З (0 ) +---+М0
на компактном интервале I = [а, &]• Доказать следующие утвер-
ждения.
(а) Уравнение то-|-р2по=:0 имеет систему о2, •••, о2п
решений, удовлетворяющих асимптотическим соотношениям
oj (/, р) = (1 +0 (р х)) при р —>оо
для /= 1, 2, ..., 2п равномерно по t из /,
корни уравнения со2п =—1.
(Ь) Если
то(/, р) + р2по(/, р) = 0, /£/,
где соj — различи ые
р>0,
и норма |or(’, X) |2 остается ограниченной при р—>оо, то
|а(/, р) | —>0 при р—>оо равномерно по t в любом замкнутом
подинтервале J внутри интервала /.
(с) Дчя интегрируемой в квадрате функции h уравнения
Т(Ло + р2пйо = h,
xh + p2r7z = h
9. Упражнения
743
имеют соответственно решения Ло(/, ц.) и h(t, р), удовлетворяю-
щие соотношению
Ит|/г0(Л р)—h(t, р) | — О
, |Л—>оо
равномерно по t из /, тогда как
|Ао(-, Ц)|2 + |Л(-, р)|2 = О(р-2п)
при р—> со.
(Указание. Пусть йв со2, •••, занумерованы так, что
Rei©j<;0 для и Re«o,>0 для j>n. Тогда неоднородное
дифференциальное уравнение
(T + p2")/=g-
имеет решение
n t
= $ i^^g(S)dS-
j—1 a
2n b
j=n4-l t
где и —любое решение однородного уравнения
(т + р,2п) а = 0.
Используя это, построить функции ay, h и й0 как решения
подходящих интегральных уравнений.)
J2. (Общий принцип суммируемости.) В дополнение к условиям
теоремы 5.23 предположим, что т ограничен снизу, й^о(Т),
а функция f интегрируема в квадрате. Доказать следующие
утверждения.
(а) Для достаточно больших Хо предел
ОО fe
J [(wx)-1 2 =
—оо г, j—i
a k
= 1шЛ Г(х0+%)-1 2 K)hij(dX)']
а->оо «J L ... -*
—а г, ]=1
существует равномерно по t в любом компактном подинтервале
интервала I.
744 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(Ь) Мы имеем
оо k
lim t ГХо(ХоЧ-Х)-1 2 =
Х<г>0° Д L {> ,=1
= Hm(-Xo/?(-%o; =
Xq->0O
во всех внутренних точках t интервала /, для которых
*+е
lirni |f(s)-f(t)\ds = O.
е-° 6 t-e
(с) Если т—любой оператор, определенный на некотором
подинтервале I интервала / и ограниченный снизу, а Т—само-
сопряженное расширение оператора Т0(ъ), то
lim [(-м? (-Ч + T)f)(t)] = O
Xq—>оо
равномерно по t в любом компактном подинтервале внутри
интервала I.
(Указание: использовать предыдущее упражнение для вывода (с),
а затем из (с) вывести (Ь).)
J3. Пусть т —формальный самосопряженный дифференциаль-
ный оператор на интервале /, а Т—самосопряженное расширение
оператора То(т). Пусть {fn} — ортонормальное семейство собствен-
ных функций оператора Т, т. е. Tfn — hnfn; .предположим, что
множество ограничено. Тогда для каждой интегрируемой
в квадрате функции f ряд
оо
3 (Л мш
n—i
сходится абсолютно и равномерно на каждом ограниченном замкну-
том подинтервале интервала /, и его можно дифференцировать
произвольное число раз под знаком суммы, причем продифферен-
цированный ряд также сходится абсолютно и равномерно.
J4. Предположим, что дифференциальный оператор т на интер-
вале [а, Ь) удовлетворяет условиям, данным в теореме 7.16(d).
Пусть /г —любая мера, полученная при помощи обращения
формул из теоремы 5.23. Показать, что Л абсолютно непрерывна
относительно меры Лебега.
J5. Рассмотрим дифференциальный оператор
9. Упражнения
745
на интервале [1, оо). Показать, что существенным спектром
оператора т является полоса 0<ReX<l. (Указание: использовать
теорему 7.5 и равенство ас(т*)==ае(т).)
J6. Показать, что формально симметрический дифференциаль-
ный оператор
определенный на интервале [0, со), имеет два граничных значе-
ния в бесконечности.
J7. В различных задачах прикладной математики приходится
рассматривать обобщенные «задачи о собственных значениях» вида
т/ = Аг/
на интервале I, где т —формально симметрический дифферен-
циальный оператор порядка п, определенный на I, а г —положи-
тельная функция, бесконечно дифференцируемая на I.
(а) Пусть L2(I, г)—множество измеримых функций, опреде-
ленных на I, для которых
lfl2=$r(0lf(0l2^<OT.
I
Для f, g из L2(I, г) положим
(A
I
Пусть 7\(г-1т, г) обозначает оператор, определенный соотноше-
ниями
®(Л(r-Ч, г)) = {f€L2(I, r)\feл(п)(/), r-W€L2(I, r)},
(Л(гЧ, = r1(/)(Tf)(f).
Показать, что оператор
Tofr^y.LzfJ, r)-^L2(I, r)
является симметрическим, и его сопряженный есть ТДг-1?, г).
(Ь) Пусть Т — самосопряженное сужение оператора Т (г-1т, г).
Показать, что если I обозначает отображение (If) (/) = г1/2 (/) f (/)
пространства L2(I) в L2(I, г), то /Т/-1 —самосопряженное суже-
ние оператора Ti (г-1/2тг-"1/2). Показать, что справедливо также
обратное утверждение.
(с) В условиях утверждения (Ь) пусть £(•; Т) и £'(•; ПТ1) —
спектральные разложения соответственно Т и ПТ\ Тогда
IE С; ПТ1).
746
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(d) Оператор То (г-1/2тг-1/2) ограничен снизу как оператор
в L2(l, г) тогда и только тогда, когда (г-1/2тг-1/2) ограничен
снизу как оператор в L2(I). Предположим, что Т^г^х) ограни-
чен снизу, а Т — его расширение Фридрихса (в смысле теоре-
мы XII.5.2 и следствия XII.5.3). Пусть kn(T)— числа, определен-
ные, как в упражнении D2, для оператора Т. Тогда
МЛ = < sup
§oEJ(n-i)
inf
(/. §о)=О,
Очь/еф(то(Г))
(То (т) f, f)
(е) Пусть т —дифференциальный оператор второго порядка вида
t=-(4)pw(4)+«W'
где р—положительная функция. Оператор TqIt^x) ограничен
снизу (как оператор в Ь2(1, г)) тогда и только тогда, когда
существует достаточно большое число X, такое, что решения
уравнения (V — т)/ = 0 имеют только конечное число k нулей в I.
Предположим, что такое X существует; пусть Т—самосопряжен-
ное расширение оператора Тогда Т имеет не меньше
k — \ собственных значений (считаемых в соответствии с их крат-
ностями) в интервале (—оо, — X).
(f) (Берковиц). Пусть т —оператор, описанный в (е); предпо-
ложим, что функция (г (/))-1 <? (/) ограничена снизу, а интервал I
имеет вид [а, Ь). Тогда оператор TQ(r~i/2xr~i/2) (рассматривае-
мый как оператор в А2(/)) ограничен снизу, и его существенным
спектром является подмножество интервала [с, оо), где
с = Игл ((г (О)-1
t-+b
J8. Пусть оператор — (d/df)2 + q(f) определен на интер-
вале [0, оо) и 7(/)—»оо при t —>оо. Пусть Т —сужение опера-
тора Л(т), определенное граничным условием ^(0) = 0.
(а) Показать, что Т — самосопряженный оператор, спектр
которого представляет собой бесконечную последовательность
простых собственных значений (9), стремящуюся к бесконечности.
(Ь) Пусть N (р, q) — число собственных значений (9) на интер-
вале (—оо, р]. Показать, что
p'1/2 = o(N(p, q)) при р —>оо.
(с) Предположим, что
ti/s — o(q(ty) при /—>оо.
Показать, что
N(p, g) = О (р 1/24-8) ПрИ >00
10, Примечания и дополнения 747
J9. Пусть т—формально самосопряженный дифференциаль-
ный оператор порядка и, определенный на интервале /. Предполо-
жим, что т ограничен снизу и множество ое (т) пусто. Пусть Т —
самосопряженное расширение оператора То (т), a N (р, Т) —
число собственных значений оператора Т в интервале (—оо, р).
Показать, что р1/п = О (N (р, Т)) при р оо. Показать, что если
интервал I бесконечен, а старший коэффициент оператора т огра-
ничен сверху или если старший коэффициент оператора т стре-
мится к нулю в одном из свободных концов интервала /, то спра-
ведливо более сильное утверждение
f?/n = 0 (W(H. Л)-
10, Примечания и дополнения
А. Исторические замечания. Среди применений спектральной
теории самосопряженных операторов, развитой в гл. X и XII,
наиболее значительное место занимают применения к изучению
линейных дифференциальных операторов. Общий подход к таким
вопросам, как разложение по собственным функциям дифферен-
циальных операторов второго порядка, граничные значения сингу-
лярных дифференциальных операторов или разложения в обобщен-
ный «интеграл Фурье», оказался возможным благодаря вполне
прояснившимся связям всех этих вопросов с геометрией гильбер-
това пространства. Вместе с тем, как бы это ни казалось теперь
парадоксальным, теория собственных значений операторов Штур-
ма — Лиувилля еще до расцвета теории матриц стимулировала
развитие общей спектральной теории.
Идея разложения функции в линейную комбинацию функций
более простого вида возникла еще в восемнадцатом веке. Даниилу
Бернулли мы обязаны первыми смутными намеками на возмож-
ность разложения по собственным функциям непрерывной функции,
заданной на конечном интервале. В самом деле, его подход к задаче
о колебании струны позволил ему впервые сформулировать принцип,
названный в дальнейшем принципом суперпозиции (1753), который
вызвал уже в девятнадцатом веке многочисленные работы по диффе-
ренциальным уравнениям второго порядка и гармоническому ана-
лизу. Даниилу Бернулли мы обязаны пробуждением интереса
к задаче о колебании струны, которая с 1713 г., когда этой задачей
впервые занялся Б. Тейлор, оставалась без внимания.
Лагранж под влиянием этой работы Бернулли и близких иссле-
дований Эйлера и Даламбера в 1779 г. впервые применил к урав-
нению струны идею аппроксимации решения линейного дифферен-
циального уравнения решениями конечной системы линейных
уравнений. Впоследствии эта идея превратилась в один из основных
748 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
принципов функционального анализа. Непрерывное распределение
массы в струне Лагранж заменял конечным числом равномерно
размещенных точечных масс.
Разложения в ряды по ортогональным (в современной термино-
логии) системам функций, таким, как сферические функции или
полиномы Лежандра, также были известны еще в восемнадцатом
веке. Однако систематический подход к проблеме разложения
по собственным функциям произвольного самосопряженного Опе-
ратора второго порядка оказался возможным лишь к 1830 г. Именно
в этом году Штурм [1, 2] и Лиувилль [1, 2] почти одновременно
в серии из четырех мемуаров, опубликованных в журнале Лиувилля,
развили элегантную теорию дифференциального оператора
где q — вещественная, а р — положительная дважды дифферен-
цируемая функция на конечном замкнутом интервале. С современ-
ной точки зрения может показаться, что эти работы страдают извест-
ными недостатками— они были ограничены существовавшей в то
время теорией интегрирования и использовали некоторые аргумен-
ты скорее эвристического, чем строго логического характера (кото-
рые не были сделаны строгими вплоть до 1905 г.). Однако в этих
работах содержалось практически все существенное для будущей
теории разложения по собственным функциям дифференциального
оператора на замкнутом интервале, включая существование бес-
конечной последовательности собственных значений, не имеющей
конечных предельных точек, свойство ортогональности собствен-
ных функций и равенство Парсеваля.
Штурму мы обязаны также теорией осцилляции решений диффе-
ренциальных уравнений второго порядка. Его знаменитые теоремы
«осцилляции» и «сравнения» оказали влияние на многие, казалось бы,
совсем далекие от них проблемы анализа, среди которых не послед-
нее место занимает задача о локализации спектра сингулярного
оператора, о которой мы уже говорили в конце § 7 и несколько
слов скажем ниже.
Исследования Штурма и Лиувилля вызвали многочисленные
работы по теории специальных функций, на которых мы также
кратко остановимся ниже. Однако период бурного развития откры-
той ими «спектральной» теории наступил лишь в первом десятилетии
нашего века. Дини [1] начал в 1880 г. и продолжал до 1910 г.
изучение разложений в ряды Фурье, в ряды по бесселевым и сфе-
рическим функциям; его подход к вопросам сходимости рядов
находится на вполне современном уровне. Дини предложил первый
критерий равномерной сходимости рядов Фурье и рядов Штурма —
Лиувилля. В 1905 г. Диксон [1] дал первое строгое доказательство
10. Примечания и дополнения 749
существования бесконечного дискретного множества собственных
значений. Работа Диксона появилась почти одновременно с рабо-
тами Кнезера [1, 2, 3, 4], который ослабил требования гладкости
коэффициентов. Вскоре после этого, ,с появлением интеграла Лебе-
га, Гобсон (1908, [2]) и Стеклов [1], используя операторы Штурма —
Лиувилля, начали изучать проблемы сходимости разложений про-
извольных интегрируемых функций. Гобсон доказал «принцип лока-
лизации», аналогичный соответствующему принципу для триго-
нометрических рядов. Эти исследования продолжил Хаар (1910—
1911, [3]), открывший общий принцип сравнения рядов Штурма —
Лиувилля и тригонометрических рядов. В том же году Пиконе [1]
опубликовал чрезвычайно элементарное доказательство теоремы
сравнения Штурма.
В этот период начинает привлекать внимание задача о распро-
странении теории Штурма на дифференциальные операторы высшего
порядка или на операторы более общего типа. Уже в диссертации
Вестфаля (1905, [1]) мы находим распространение теории разло-
жения на вещественные самосопряженные дифференциальные опе-
раторы четного порядка на замкнутом интервале. Однако наиболее
полная теория таких операторов принадлежит Биркгофу [1—7],
который в исчерпывающей серии работ, начатых в 1908 г., построил
теорию разложений по биортогональным системам, возникающим
из (не обязательно самосопряженных) дифференциальных опера-
торов произвольного порядка на замкнутом интервале. Частным
случаям проблем, изученных Биркгофом, посвящены также некото-
рые работы Гильба [2, 3], Бохера [3, 4, 5] и Тамаркина [2, 3]
этого периода. Современный вариант теории Биркгофа будет изло-
жен в гл. XIX.
После законченных исследований этих авторов интерес к диффе-
ренциальным операторам на конечном замкнутом интервале посте-
пенно спадал. Параллельные исследования Хеллингера [1], Шмид-
та [1, 2] и Гильберта [1] по интегральным уравнениям естественно
привели к мысли об аналогичном подходе к дифференциальным
операторам, коэффициенты которых имеют особенности в одном
или обоих концах интервала определения.
Этому была посвящена работа Гильба [2], 1909 г. В этой
работе рассматривается дифференциальный оператор вида
(т/) (0 = (4 )Z (4) f & + te (0+М (/)] гу (О
на интервале (0, 1], причем функции g и h предполагаются аналити-
ческими. Это уравнение при помощи функции Грина сводится
к интегральному, а затем применяется теория интегральных урав-
нений. Кроме того, Гильб впервые заметил, что задача на собствен-
ные значения для дифференциальных операторов второго порядка
750
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
с вещественными коэффициентами может оказаться как определен-
ной, так и неопределенной (в современной терминологии — случай
ненулевых индексов дефекта).
Однако лишь Герман Вейль сумел соединить эти разрозненные
нити и создать единую и далеко идущую теорию самых общих
сингулярных формально самосопряженных дифференциальных
операторов. В двух статьях Вейля [-7, 8] из Gottingen Nachrichten
и особенно в его мемуаре [5] из 68-го тома Mathematische Annalen
содержалась исчерпывающая систематическая теория, которая
покрывала все предыдущие исследования и на многие годы осталась
одним из краеугольных камней линейного анализа.
Мемуар Вейля примечателен с нескольких точек зрения.
Представление функций с интегрируемым квадратом при помощи
«интеграла Фурье» по «собственным функциям» сингулярного диф-
ференциального оператора позволило по-новому взглянуть на спек-
тральную теорему Гильберта. Кроме того, эта теорема впервые
применяется здесь к неограниченному оператору. По существу,
в этом мемуаре впервые обсуждаются многие структурные свойства
замкнутого самосопряженного неограниченного оператора, такие,
как существование «индексов дефекта» и их инвариантность (теоре-
ма XI 1.4.19 в нашей книге) и соответствующие вопросы теории расши-
рений. При этом Вейль применяет свой остроумный геометрический
метод стягивающихся кругов. В этой работе Вейля впервые найдены
признаки, позволяющие по особенностям коэффициентов опреде-
лять наличие непрерывного спектра и находить число граничных
значений (в смысле определения 2.17) для дифференциального
оператора. Исследования Вейля тридцать лет спустя послужили
исходным пунктом для работ Хартмана, Уинтнера и их школы
по этим вопросам.
Примечательно, что открытия Вейля не привели немедленно
к более широким исследованиям. Хотя в двадцатые годы абстракт-
ный линейный анализ вошел в моду, трудности, связанные с обоб-
щением метода предельной точки и предельного круга, препятство-
вали любым попыткам построить спектральную теорию для диффе-
ренциальных операторов высшего порядка. Работа Виндау [1] —
вот, по-видимому, все, что было сделано в течение этого десяти-
летия .
В годы, последовавшие за открытиями Вейля, вплоть до конца
сороковых годов, три разные школы вели работу в этом направле-
нии. В 1920 г. появилась волновая механика Шредингера, в которой
центральное место занимает некоторое сингулярное уравнение,
а именно уравнение Шредингера. В следующие два десятилетия
развитие квантовой механики показало, что спектральная теория
дифференциальных операторов второго порядка играет существен-
ную роль в физических задачах. Естественно, что в этот период
10. Примечания и дополнения
751
физики заинтересовались теорией Вейля. Однако, хотя связи с новы-
ми физическими теориями стимулировали к дальнейшим математи-
ческим исследованиям, необычность аналитического аппарата окру-
жала эти новые концепции ореолом таинственности и благоговей-
ного страха. Квадратичная интегрируемость, спектральные меры,
непрерывный спектр вызывали недоверие, которое исчезло только
в тридцатых годах после работ таких математиков, как фон Ней-
ман и Фридрихе. Типичный пример имевшегося заблуждения мы
находим в ошибочном расширении непрерывного спектра — эври-
стический «principle of infection» привел к убеждению, что непре-
рывный спектр обязательно должен содержать полуось (см. книгу
Дирака [1]).
Среди математических исследований наметились два направле-
ния, которые в последние восемь лет привели к окончательной
систематизации. Еще в 19*15 г. Гильб [4] предложил доказательство
основной формулы обращения Вейля, в котором вместо сингу-
лярных интегральных уравнений широко применяются методы
теории функций/ Формула обращения была получена при помощи
вычетов функции Грина. Ту же идею использовал Титчмарш [51
в 1938 г. В большой серии работ [5—16], почти не затрагивающих
функциональный анализ, Титчмарш, применяя исключительно
методы теории вычетов, решил задачу вычисления спектральной
меры для сингулярных дифференциальных операторов. Вершиной
его труда является вывод основной формулы 5.18-для дифферен-
циальных операторов второго порядка.
В первые тридцать лет после опубликования мемуаров Вейля
развитие спектральной теории дифференциальных операторов
в духе функционального анализа продвигалось довольно медленно.
В работе 117] в 1926 г. М. Стоун изучает оператор
с суммируемой функцией q и находит, в частности, формулы для
преобразования Ганкеля. Несколько других его работ этого периода
[18, 19, 20] посвящены более тонким вопросам сходимости разло-
жений в теории Биркгофа. В более поздней книге [3] того же
автора кратко описано приложение к дифференциальным опера-
торам спектральной теоремы в гильбертовом пространстве. Несколь-
ко лет спустя, в 1937 г., Гальперин [5] опубликовал первое иссле-
дование свойств замыкания и сопряженных операторов для неогра-
ниченных операторов в гильбертовом пространстве, возникающих
из обыкновенных дифференциальных операторов. Почти одновре-
менно Калкин [1, 3] ввел понятие абстрактного граничного зна-
чения, плодотворность которого мы старались продемонстрировать
752
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
на протяжении этой главы. В тот же период Фридрихе [3, 5, 7]
продвинул программу Вейля.
В последние годы многие математики занимались различными
вопросами спектральной теории самосопряженных дифференциаль-
ных операторов. Следуя идеям Вейля, Кодаира в 1949 г. предпри-
нял попытку методами функционального анализа объединить резуль-
таты Вейля и Титчмарша. Его работы [1, 4, 5], завершающие тео-
рию операторов черного порядка, имеют несколько точек сопри-
косновения с материалом § 5 настоящей главы. Основное различие
состоит в использовании метода стягивающихся гиперповерхно-
стей, обобщающего метод стягивающихся кругов Вейля. Даль-
нейшую ясность в формулы Титчмарша — Кодаиры внес Иосида
[10] в 1950 г. Упрощенное доказательство теоремы о разложении
предложил Левинсон [5, 6]. Коддингтон (1954, [2]) нашел другое
доказательство этой теоремы и установил единственность спектраль-
ной матрицы. Недавно вышедшая книга [1] этих авторов посвящена
дальнейшему развитию теории в данном направлении.
Начиная с 1947 г. и по сей день многочисленные результаты
по различным спектральным задачам, связанным с операторами
второго порядка, были получены П. Хартманом [1—16], Уинтнером
[1—20], Хартманом и Уинтнером [1—21] и их школой (Путнам
[1—18], Хартман и Путнам [1, 2], Уоллах [1, 2], Вульфсон [1, 2]).
Задача определения существенного спектра и числа граничных зна-
чений для операторов второго порядка была изучена в большой
серии заметок, опубликованных в American Journal of Mathematics.
Некоторые из этих результатов обобщены в § 6 и 7, другие упоми-
наются ниже в разделах С и D.
В России интерес к этой теории возник в 1948 г., начиная с рабо-
ты М. Г. Крейна [12], в которой его «методом направляющих функ-
ционалов» были получены прозрачные доказательства основных
теорем. Это, по-видимому, был первый метод, не использующий
аппроксимации с конечного интервала и достаточно сильный для
применения к операторам произвольного порядка х).
Другое доказательство теоремы о разложении, не включающее,
правда, случая неединственности матричной меры, принадлежит
Левитану [4]. В диссертации Глазмана 1949 г. проведена оконча-
тельная классификация задач, связанных с граничными значениями
для сингулярного дифференциального оператора. Способ Глазмана
прост и не нуждается в геометрическом методе стягивающихся
гиперповерхностей.
В последние годы русская школа преуспевает. Достаточно ука-
зать на работы Березанского [1, 2], Дородницына [1], Фаге [1, 2],
х) Заметим, что фактически М. Г. Крейн первым в 1946 г. установил
теорему о разложимости по собственным функциям для сингулярного диффе-
ренциального оператора [11, 12].— Прим. ред.
10. Примечания и дополнения
753
Гельфанда и Костюченко [1], Гельфанда и Левитана [1, 21, Кара-
севой [11, Крейна [10—18], Крейна, Красносельского и Мильмана
[11, Левитана [1—71, Лидского [1], Лившица [5], Марченко [1, 2],
Молчанова [11, Наймарка [4, 9, 10, 11, 12], Немыцкого [2], Повзне-
ра [5, 6, 7, 8], Рапопорта [1, 2], Шноля [1] и Сташевской [1],
а также на книги Ахиезера и Глазмана [1], Левитана [2] и Най-
марка [5] х).
В. Комментарии к тексту. § 1. Литература, посвященная реше-
нию линейных дифференциальных уравнений методом последо-
вательных приближений, весьма обширна и выходит за рамки этих
замечаний. Мы отсылаем читателя к любому стандартному руковод-
ству по дифференциальным уравнениям за дальнейшими ссылками.
Идея, использованная в теореме 5, принадлежит Пеано ([1],
1888). Для реализации этой идеи Пеано развил матричное исчисле-
ние. См. также статью Бейкера [1]. Метод назван именами обоих
этих авторов.
§ 2. Формально сопряженный оператор к данному линейному
дифференциальному оператору впервые в 1765 г. написал Лагранж
[2] в Miscellanea Tauriniensia. Термин «сопряженный» впервые
использовал Л. Фукс [1] в 1873 г.
Трудно установить, когда впервые начали свободно оперировать
формулами, связанными с сопряженными операторами и функцией
Грина. Интересующийся читатель может найти более детальное
обсуждение этих вопросов в статье Бореля [1], книге Бохера [5]
или в третьем томе Theorie des Surfaces Дарбу. То же самое можно
сказать и об аналитической технике, связанной с нахождением
сопряженного оператора к данному дифференциальному оператору
в гильбертовом пространстве. Основы теории операторов Штурма —
Лиувилля изложены в работе фон Неймана [7], 1929 г. Более пол-
ное изложение содержится в книге Стоуна [3], 1932 г. Наиболее
тщательное изложение теории этих операторов можно найти в статье
Гальперина [1], 1937 г. Аналитический вывод леммы 3.16 следует
искать в недавней работе Дж. Шварца [2].
После появления мемуара Г. Вейля и вплоть до публикации дис-
сертации Глазмана все попытки обобщения алгебры граничных
значений (которое было необходимо для того, чтобы применять
теорию фон Неймана к формально самосопряженным операторам)
были связаны с расширением геометрического метода Вейля на
поверхности более высокого порядка. В этом направлении мы отме-
тим работу Виндау [1] и серию работ Шина [1, 2, 3]. Настойчивые
попытки выполнить эту программу заставили предположить, что
г) Этот список, несомненно, можно было бы значительно расширить.—
Прим. ред.
48 Заказ № 134
754
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
дифференциальный оператор порядка 2н обязан иметь либо ни одно-
го, либо п граничных значений на каждом сингулярном конце.
Однако это утверждение было опровергнуто Глазманом в 1949 г.
Принятое здесь определение граничного значения (определение
17) впервые было предложено в диссертации Калкина [1]. Многие
результаты, касающиеся индексов дефекта, и, в частности, следст-
вие 22 и теорема 27 принадлежат Глазману [1, 2], доказательства
которого, однако, обличаются от наших. Два следствия, принадле-
жащих Кодаире, были им получены более сложным методом стяги-
вающихся гиперповерхностей в работах [1, 2, 4]. Терминология,
принятая в определении 29, имеет, по-видимому, физическое про-
исхождение. В 1910 г. Вейль [5] впервые разработал достаточно
полную теорию граничных значений для сингулярных операторов
Штурма — Лиувилля. Читатель может обратиться к работам Фаге
[1, 2] и Феллера [4—7], а также к учебникам Ахиезера и Глаз-
мана [1] и Наймарка [5], в которых можно найти обсуждение раз-
личных задач, связанных с определением граничных зна-
чений.
В работе У. Уайберна [1] дано исчерпывающее изложение теории
граничных значений для линейных и нелинейных операторов.
Алгебра граничных задач для операторов на конечном замкнутом
интервале изложена в хорошо известной работе Биркгофа [3],
см. также Джексон [1] и Латшоу [1].
§ 3. В рамках этого краткого обзора мы не в состоянии под-
робно остановиться на развитии теории функции Грина для диффе-
ренциальных операторов на конечном интервале. Достаточно ска-
зать, что первое опубликованное сообщение о функции Грина для
обыкновенного дифференциального оператора появилось в статье
Буркхардта [11 в 1894 г. В этой статье рассматривается дифферен-
циальный оператор (dldf)2, на конечном интервале. Обобщениё
на случай дифференциальных операторов произвольного порядка
принадлежит Бохеру [2], 1901 г. Спустя три года Гильберт [1] свел
общую дифференциальную задачу к интегральной, получив интег-
ральное представление резольвенты. В дальнейшем метод Гильберта
был развит Гильбом [2] и Вейлем [5]. Для получения интеграль-
ного представления резольвенты сингулярного оператора эти
авторы аппроксимировали функцию Грина последовательностью
функций Грина, отвечающих сужениям данного оператора на конеч-
ные интервалы. Метод, использованный в данной главе, по-види-
мому, нов. Из других методов мы упомянем метод Глазмана, кото-
рый подробно изложен в книге Ахиезера и Глазмана [1], а также
основанный на аппроксимации метод Коддингтона и Левинсона [1].
Детальное описание задач, связанных с нахождением функции
Грина для дифференциального оператора на конечном интервале,
можно найти в недавней работе Мора [1].
10. Примечания и дополнения
755
§ 4. Уже в работе Гильберта [1], 1904 г., имеется указание на то,
что функция Грина для оператора второго порядка на компактном
интервале является ядром оператора Гильберта — Шмидта. Вскоре
после того как стали известны результаты Гильберта и Шмидта,
возникла идея получить теорию разложения для дифференциаль-
ных операторов на замкнутом интервале при помощи обратных
операторов. См. в связи с этим работы Кнезера [3, 4]. Позже Вейль
установил более общий факт, что функция Грина для формально
самосопряженного дифференциального оператора второго порядка
с четырьмя граничными значениями является ядром Гильберта —
Шмидта.
§ 5. Мы уже говорили в первой части этих замечаний об исто-
рии основных результатов параграфа. Напомним, что другие
доказательства были найдены Вейлем [5] (для операторов второго
порядка на полуоси), Гильбом [4] (формула обращения для опе-
раторов Вейля), Стоуном [17] (оператор — (d/dt)2 + q (/) с инте-
грируемым q и общая теория операторов Штурма — Лиувилля
в [3]), Титчмаршем [5] (теорема 5.18 для оператора — (d/d/)2+
+ q (/)), Кодаирой [1, 4, 5] (для операторов четного порядка),
Левинсоном [5, 6], Коддингтоном [2], Крейном [12], Левитаном [4].
Классический способ перехода от абсолютно интегрируемых функ-
ций к квадратично интегрируемым в теореме Планшереля Сирс [61
распространил на операторы второго порядка.
По-видимому, Кодаира [4, 5] систематизировал терминологию,
связанную с матричными мерами. Вероятно, первое доказательство
теоремы 5.10 принадлежит И. Кацу [1]. Первые общие доказатель-
ства единственности (следствие 21) нашли Коддингтон [3] и Мар-
ченко [1, 2].
§ 6. Большинство результатов, изложенных в этом параграфе,
постепенно, начиная с работ Г. Вейля, развивалось (особенно в по-
следние пятнадцать лет) в работах Титчмарша [5—16], Наймарка
[4, 9, 10, 12], Хартмана и Уинтнера, Левинсона [2], Фридрихса
[3, 5, 6, 7, 10, 13] и Сирса [1, 2, 5, 7]. См. также интересные работы
Глазмана [1—4], Крейна [13—16], Лидского [1], Молчанова [1],
Шноля [1], а также книгу Наймарка [5].
Термин «существенный спектр» был введен Хартманом и Уинтне-
ром в их работе из American Journal of Mathematics, 1948 г. Исполь-
зованное ими характеристическое свойство совпадает с указанным
в теореме 4. Дальнейшие построения этого и следующих параграфов,
в которых широко используется определение 1, применялись также
Шнолем [1] и Наймарком [5]. Лемма 7 принадлежит Глазману [1,2].
Результат, аналогичный лемме 8, был получен в совместной работе
Крейна, Красносельского и Мильмана [1]. Теорема 11 для опера-
торов второго порядка была найдена Г. Вейлем, обобщение принад-
лежит Глазману [1]. Прием, примененный в теореме 14, использо-
48*
756 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
вался в работах Уинтнера. Теорема 15 принадлежит Левинсо-
ну [2].
Асимптотика, приведенная в теореме 18, хорошо известна, см.
Стоун [17], 1928 г. Теорему 20 можно найти в работе Коддингтона
и Левинсона [1]. Теорема 23 сформулирована в работе Фридрихса
[1]. Сирс [1] и Берковиц [1] улучшили этот результат. Теорема 28
является новой.
Первый результат, напоминающий лемму 32, принадлежит
Эсклангону [1] и Ландау [2]. Они предполагали, что функция /,
фигурирующая в утверждении леммы, ограничена. Лемма 33 хорошо
известна, см. книгу Харди, Литлвуда и Пойа [1]. Лемма 34 при-
надлежит фон Нейману; первое опубликованное доказательство
этой леммы содержится в работе Гальперина [5]. Теорема 35 для
операторов второго порядка хорошо известна. В общем случае
она была доказана Наймарком [5].
§ 7. Большинство результатов этого параграфа можно найти
в литературе только для операторов второго порядка. Некоторые
из теорем были доказаны Наймарком [5] г). Во всех случаях мы
даем новые доказательства.
Характеристика существенного спектра (теорема 1) принадлежит
Вейлю [5] (для случая самосопряженных операторов). Теоремы 8,
9, 10 и 18 раньше были известны для операторов второго порядка
(см. книгу Титчмарша [16]). Условия на коэффициент q в след-
ствии 14 неоднократно ослаблялись; окончательный вариант при-
надлежит Хартману. Относительно условия (с) в теореме 16 см.
книгу Коддингтона и Левинсона [1]. По поводу теоремы 17 см.
работу Фридрихса [10].
Другое доказательство леммы 22 имеется в работе Реллиха [6].
Полуограниченные дифференциальные операторы изучались Фрид-
рихсом [3] и Реллихом [6]. Лемма 23 есть частный случай того
факта, что наличие лакун в существенном спектре влечет за собой
совпадение индексов дефекта.
Лемма 35 известна как «теорема сравнения Штурма». Приведен-
ное здесь доказательство аналогично доказательству Пиконе [1].
Следствие 37 было получено еще Кнезером [1]. Изучением связей
между свойствами существенного спектра и осцилляцией решений
занимались Хартман [8] и Путнам (Хартман и Путнам [1, 2])
(теоремы 50—55). В статье Реллиха [6] рассматривается частный
случай операторов, ограниченных снизу * 2).
г) В книге Наймарка [5] содержатся и более общие, а также и более
тонкие результаты для операторов произвольного порядка. — Прим. ред.
2) См. по этому поводу книгу Глазмана [6*], где изучается связь между
спектральными и осцилляционными свойствами операторов произвольного по-
рядка.— Прим. ред.
10. Примечания и дополнения
757
Имеется обширная литература по асимптотическому распреде-
лению собственных значений оператора Штурма — Лиувилля на
компактном интервале. Упомянем здесь только работы Биркгофа
[2], Бриллюэна [1], Данема [1], Крамерса [1], Кембла [1], Лан-
гера [1, 2, 3], Милна [3] и Титчмарша [16].
Изучение «периодических потенциалов» для операторов второго
порядка начато физиками (см., например, Крамере [2]). Более
строгий подход осуществили Титчмарш [10] и Уоллах [2]. Чита-
тель, интересующийся физическими аспектами теории и ее связями
с теорией твердого тела, может с успехом воспользоваться книгой
Зейца [1].
Следствие 68 принадлежит Фридрихсу [10]. Другие теоремы
такого типа имеются в диссертации Берковица [1].
Ниже упоминается ряд результатов, связанных с результатами
§ 6 и 7.
§ 8. Большинство использованных в этом параграфе классиче-
ских формул, связанных со специальными функциями, имеется
в курсе Уиттекера и Ватсона [1]. Выкладки, связанные с изучением
гипергеометрической функции, восходят к Риману. Распространение
на вырожденную гипергеометрическую функцию является новым.
Другие упомянутые в этом параграфе результаты спектральной
теории разбросаны по физической литературе. Некоторые подоб-
ные примеры рассмотрены в книге Титчмарша [16] ив книге Ахие-
зера и Глазмана [1].
С. Существенный спектр дифференциального оператора вто-
рого порядка. Здесь мы приведем сравнительно полную сводку
известных результатов о связи между асимптотическим поведе-
нием коэффициентов оператора
и его существенным спектром. Интервалом определения будет
[a, ft) или (а, ft], причем а> — оо или а=-— оо и ft<oo или
ft = oo; в каждом случае этот интервал будет специально ука-
зан. Если интервал определения оператора т не указан, то под-
разумевается, что сформулированное утверждение верно для
любого конечного или бесконечного интервала. Предполагается,
что р и q — действительные непрерывные функции и, кроме того,
р — положительная.
Следующие условия обеспечивают пустоту существенного
спектра оператора т:
(1) Для некоторого (действительного или комплексного) X урав-
нение (Л —т)/=0 имеет два линейно независимых решения,
интегрируемых в квадрате (6.6).
758
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(2) Для каждого действительного Л решения уравнения
(Л —т)/=0 имеют только конечное число нулей (7.39).
(3) Функция р ограничена снизу положительным числом,
функция q ограничена снизу, а множество всех интегрируемых
в квадрате функций /, для которых
ь
а
относительно компактно. Если р ограничена снизу положитель-
ным числом и q ограничена снизу, то это условие является также
необходимым (Реллих [6], Наймарк [5], упражнение 9.F1).
(4) Вообще, условие, данное в (3), является необходимым
и достаточным, если оператор т ограничен снизу (Реллих [6]).
(5) В интервале [а, Ь)
(а) функции р и q положительны в окрестности точки ft,
ь
(Ь) ЯГ (<) р - Т+- -{[? <Ц-Р-(0П!_ I dz <00
W J I L (q (p j + 4 (p (0)3/2 (? (0)5/2 I < >
(c) (6.21) для x из окрестности точки ft
ь
X
(6) В интервале [a, ft) (ft<Coo)
(а) функция g неотрицательна и кусочно непрерывна в интер-
вале [0, оо),
(Ь) решения дифференциального уравнения
^-+^(07(0=0 (0</<оо)
имеют только конечное число нулей,
(с) функция й, определенная в [a, ft), положительна,
(d) |ft'(Z)|=l/p(Z),
(е) либо h(t) —>0, либо h(t)—>оо, когда t стремится к ft,
(f) функция Z определяется формулой
2 (0 = 9(0+^^
или
Z(/) = (?(/)+^ [4(/l (/))г + (й(7))2^ (log/T(7j)] ’
если соответственно h (Z) —> оо или h (/) —> 0, когда t стремится
к Ь, и мы имеем limZ(Z)=co (Берковиц [1]).
t—>ь
10. Примечания и дополнения 759
(7) (7.66) В интервале [а, Ь)
Q (О = ? (О + 4 [ р" (О -1 (р (О)"1 (р' (О)2 ]
•и
limQ (/) = оо.
t-+b
(8) (7.67) В интервале [a, b) Q определяется, как в (7), и
ь
(р(7))-1/2^<оэ,
•J
а
b
Йт| J (P(s))"1/2 ds] |Q(/)|<-|-
Имеют место также следующие критерии для определения
существенного спектра:
(9) В предположениях (а) и (Ь) из (5) при дополнительном
условии, что для всех х
ь
X
существенным спектром оператора т является вся действитель-
ная ось (6.21).
(10) Пусть выполнены условия (а) — (е) из (6) и функция Z
определена, как в (f); тогда если
lim Z(/)>O—-со,
Т^ь
то существенный спектр оператора т содержится в полуоси
[с, со) (Берковиц [1]).
(11) В интервале [а, Ь) пусть функция Q определена, как в (7).
Предположим, что
ь
(р(0)-1/2 оо, limQ(/) = c.
V t-*b
а
Тогда существенным спектром оператора т является полуось
[с, оо) (7.66).
(12) В интервале [а, Ь) пусть
t
Z(t) = q (0 + [ 4Р (0 ( $ (Р (s))-1 ds~y ]
а
760
Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
И
limZ(O=K.
t-*b
Тогда существенный спектр оператора т содержится в полуоси
[К, оо) (7.68).
(13) Предположим, что в интервале [а, Ь)
lim q (/) = К.
t-+b
Тогда существенный спектр оператора т содержится в полуоси
[К, оо) (7.19).
(14) В интервале [а, Ь) пустьv N (t, X) —число нулей некото-
рого решения уравнения (X —т)/ = 0 в интервале [a, t)
Точка Хо действительной оси принадлежит существенному спектру
оператора т тогда и только тогда, когда для каждой пары Л
и р,, такой, что Х<Л0<р, имеем
lim [N (t, — Х)] = оо
t-+b
(Хартман [8], упражнение 9.F3).
(15) Предположим, что оператор т ограничен снизу и функ-
ция г неотрицательна в интервале определения оператора т.
Тогда самая левая точка в существенном спектре оператора т
находится левее, чем самая левая точка в существенном спектре
оператора т + г. Это утверждение неверно, если не предполагать,
что оператор т ограничен снизу (см. упражнения в разделе 9.D).
Ниже даются дополнительные критерии для более специаль-
ного оператора
где функция q предполагается действительной и непрерывной.
Следующие условия позволяют полностью определить существен-
ный спектр оператора т:
(16) Если в интервале [0, оо) функция q ограничена снизу
и для каждого положительного действительного числа а
t+a
lim \ q(s) ds= оо,
t-+oo V
то существенный спектр оператора т в [0, оо) пуст. Если функ-
ция q ограничена снизу, это условие является также необходи-
мым (Молчанов [1], Наймарк [5], упражнение 9.G43).
10. Примечания и дополнения
761
(17) В интервале [а, оо) предположим, что
lim 7 (Z) = — оо,
/->оо
оо
VII-.. О)_т+! [?W...U<0O
ill (9(0)3/2 J +4 (9(Z))5/2 \at<
а
Тогда
(а) если при больших х интеграл
оо
$ |?(0 Г1/2Л
X
сходится, то существенный спектр оператора т пуст;
(Ь) если этот интеграл расходится для всех х из [а, со), то
существенным спектром оператора т является вся действитель-
ная ось (7.16).
(18) В интервале [0, оо) предположим, что.
(a) lim q (/) = — оо,
£->оо
(Ь) Е™тжк<0°’
(с) dt< со
I 1<7(О15/2
для больших М. Тогда существенный спектр оператора т пуст
(Уинтнер [8]).
(19) В интервале [а, оо) предположим, что
lim (f) — с.
t-+oo
Тогда существенным спектром оператора т является полуось
[с, оо) (7.16).
(20) В интервале [0, оо) предположим, что функция q(t) — с
принадлежит классу Lp [0, оо) для некоторого р, 1<р<оо.
Тогда существенным спектром оператора т в интервале [0, оо)
является полуось [с, оо) (Наймарк [5]).
(21) Предположим, что q монотонно стремится к — оо в интер-
вале [0, оо) и
я (0 = о (?)
Тогда существенным спектром оператора т является вся действи-
тельная ось (Хартман [16]).
762
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(22) В интервале (0, а] предположим, что д —отрицательная
неубывающая функция и
lim q (/) = — 00.
/->о
Тогда существенный спектр оператора т пуст (6.27, Сирс [1]).
(23) В интервале [0, оо) предположим, что q монотонно стре-
мится к — оо и для некоторого k > 1
о
Тогда существенным спектром оператора т является вся дей-
ствительная ось (Хартман [16], упражнение 9.G36).
(24) В интервале [0, оо) предположим, что q монотонно стре-
мится к — оо при t —00 и для некоторого целого п
оо
JI q (0 Г1/21 log I q (i) I iog21 q (01 • • • (iogn I q (/) |)dt = co
0
(где log2/= log log/, logn+1/ = log logn/). Тогда существенным
спектром оператора т является вся действительная ось (Харт-
ман [16]).
(25) В интервале (0, Ь] предположим, что
lim t2q — 1/4.
Тогда существенный спектр оператора т пуст и т ограничен
снизу. (Использовать теорему 7.34.)
(26) В интервале (0, Ь] предположим, что
lim q (/) = оо.
t->0
Тогда существенный спектр оператора т пуст (7.17).
(27) В интервале (0, Ь] предположим, что
lim | t2q (/) | < 3/4.
f->0
Тогда существенный спектр оператора т пуст (7.17).
(28) В интервале (0, Ь] предположим, что
(a) lim q (/) =•- — оо
t~+o
и для всех х из некоторой окрестности нуля
(Ь) с1гл^ЕТ+1<пда й<„,
10. Примечания и дополнения
763
х
(С) J |<7(ОГ1ЛЧ/<0°.
о
Тогда существенный спектр оператора т пуст (7.17).
(29) В интервале (О, Ь] предположим, что выполняются усло-
вия (а) и (Ь) из (28) и, кроме того,
(с) функция q монотонно убывает в некоторой окрестности
нуля,
(d) для всех х>0
I 9 (О |~1/2d^= 00 •
о
Тогда существенным спектром оператора т является вся действи-
тельная ось (7.17).
(30) В интервале (0, Ь] допустим, что при >0
9(0+472+ 4/2 log2/ “>о°-
Тогда существенный спектр оператора т пуст (Берковиц [1]).
Следующие условия позволяют приближенно вычислить суще-
ственный спектр.
(31) Пусть
К = lim <?(/) — lim<?(/)
^°° t^o
в интервале [0, оо). Тогда на положительной действительной
полуоси каждый интервал длины К содержит точку из сущест-
венного спектра оператора т (Глазман [4], упражнение 9.А 6).
(32) На интервале [0, оо) если q (/) монотонно стремится
к — оо и
— ?(/)< С/2
для больших /, то существует постоянная К (зависящая только
от С), такая, что каждый интервал длины К содержит точку
из существенного спектра оператора т (Хартман [16], упражне-
ние 9.G35).
(33) Предположим, что функция q ограничена на интервале
[0, оо). Пусть
v(t, е, q) =lim |<7(s)—q(f)\ для — /|<8,
t
9) —lim — \ v(s, s, q)ds.
764 Гл. XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
Тогда существует постоянная К = К(^), такая, что для больших X
каждый интервал [X, ХЦ-К (v (л/Х1^, д)Ц- 1/Л,)] пересекает суще-
ственный спектр оператора т (Хартман и Путнам [2]).
(34) В дополнение к условиям (33) предположим, что Ь ~ оо
и функция q имеет ограниченную производную qf. Тогда суще-
ствует постоянная М=-М(с]), такая, что для больших А каждый
интервал [А, Х + М (I/XV2) (у (л/Х1^, g') + l/^)] пересекает суще-
ственный спектр оператора т (Хартман и Путнам [2]).
(35) В дополнение к условиям (34) предположим, что произ-
водные q' и q" ограничены. Тогда существует постоянная N = N (q),
такая, что каждый интервал [A, X-p2V(l/X) (v (л/Х1^, q") 4- l/X1/2)j
для больших А пересекает существенный спектр оператора т (Харт-
ман и Путнам [2]).
(36) Предположим, что функция q дважды дифференцируема,
а (X, р)—открытый интервал, не пересекающий существенный
спектр оператора т, концы которого принадлежат существенному
спектру этого оператора. Если
t
$ \q" (s)\ds = O(t),
О
то
] Л,—р, | = О (1/р.)
(Хартман и Путнам [2]).
(37) Аналогично если 9 —трижды дифференцируемая функция и
t
^\q’"(s)\ds^O(t),
о
то
I х-р| = 0 (1/р3/2)
(Хартман и Путнам [2]).
(38) Предположим, что q ограничена снизу в интервале [0, оо)
и существенный спектр оператора т не пуст. Для действитель-
ного положительного X пусть d (X)—расстояние от точки X до
существенного спектра оператора т. Тогда
£/(Х) = О(|/’Х)
(Путнам [12], Шноль [1]). Отсюда, в частности, следует, что
существенный спектр оператора т либо пуст, либо неограничен
(упражнения 9.G41 и 9.G42).
(39) Пусть функция q ограничена на интервале [0, оо), а суще-
ственный спектр оператора т не пуст. Тогда (ср. (38))
</(Х) = о(1/]/Т)
(Шноль [1]).
10. Примечания и дополнения
765
(40) В интервале [0, оо) пусть
t
lim-у \q (s)\ds = 0.
t—>OO Q
Тогда существенный спектр оператора т содержит положительную
полуось, причем включение может быть собственным (Хартман
[14], упражнение 9.G38).
(41) В интервале [0, оо) предположим, что существует после-
довательность интервалов [ап, Ьп], длины которых монотонно
стремятся к бесконечности и для которых
Ит ; 1 | q (t) |2 dt = 0.
п °п “по
ап
Тогда существенный спектр оператора т содержит положительную
полуось (Шноль [1], упражнение 9.G40).
Следующие критерии позволяют ответить на вопрос о том,
принадлежит ли данная точка X существенному спектру опера.-
тора т.
(42) В интервале [0, оо) если q ограничена снизу и уравне-
ние (X —т)/ = 0 имеет два линейно независимых ограниченных
решения, то X принадлежит существенному спектру оператора т
(Хартман и Уинтнер [8], упражнение 9.G5).
(43) В интервале [0, оо), если q ограничена снизу и уравне-
ние (X —т)/ = 0 имеет ограниченное решение с не интегрируемым
квадратом, то X принадлежит существенному спектру опера-
тора т (Хартман и Уинтнер [8], упражнение 9.G5).
(44) В интервале [0, оо), если q монотонна и отрицательна и
оо
J |?(0ГХ^=ОО,
о
то нуль принадлежит существенному спектру оператора т (Харт-
ман и Уинтнер [4]).
(45) В интервале [0, оо), если q отрицательна и монотонна
и существует последовательность {/п} действительных чисел,
стремящаяся к бесконечности, для которой
Нт —<; оо,
n—>ОО In
то нуль принадлежит существенному спектру оператора т (Харт-
ман и Уинтнер [4]).
(46) В интервале [0, оо) предположим, что существует реше-
ние уравнения (^ —т)/ = 0, не интегрируемое в квадрате и удо-
766
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
влетворяющее условию
t
$ |/'(S)|ds = O(^).
О
Тогда точка X принадлежит существенному спектру оператора т
(Хартман и Уинтнер [14]).
(47) В интервале [0, оо) предположим, что уравнение
(X — т)/ = 0 имеет два линейно независимых решения f и g, таких,
что
t t
[/'(s) \2ds=O(t2) и \g' (s) | ds = O (/2).
о 0
Тогда точка X принадлежит существенному спектру оператора т
(Хартман и Уинтнер [14]).
(48) Предположим, что функция q ограничена снизу, a f —
действительное решение уравнения (X — т)/ = 0 на [0, оо),
не интегрируемое в квадрате, но удовлетворяющее условию
i
J \f(s)\ids = O(th')
О
для некоторого £>0. Тогда точка X принадлежит существенно-
му спектру оператора т (Уинтнер [17]).
(49) Предположим, что функция q ограничена снизу и при
некотором постоянном fe>0 каждое решение уравнения (Х — т)/ = О
удовлетворяет условию
t
$ \f(s)\*ds = O(ik).
о
Тогда точка X принадлежит существенному спектру оператора т
(Уинтнер [17]).
(50) Предположим, что функция q ограничена и что некото-
рое действительное решение f уравнения (X —т)/ = 0 на [0, оо)
не интегрируемо в квадрате, но удовлетворяет условию
t
J \f(s) \2 ds О
о
для любого k>0. Тогда точка X принадлежит существенному
спектру оператора т (Хартман [10]).
(51) В интервале [0, оо) предположим, что функция q огра-
ничена и каждое решение уравнения (X —т)/ = 0 удовлетворяет
10. Примечания и дополнения
767
условию
t
\\f(s) \2ds = O(eht)
о
для любого k > 0. Тогда точка к принадлежит существенному
спектру оператора т (Хартман [10]).
(52) В интервале [0, оо) предположим, что функция Q>0
не убывает, Q(t) и
J (Q (О)"1 dt =оо.
О
Если каждое решение уравнения т/—-О ограничено, то нуль
принадлежит существенному спектру оператора т (Хартман [15]).
(53) В интервале [0, оо), если
t
шах (0, — q (s)) ds = О (t2)
Q
и уравнение т/=0 имеет два линейно независимых ограниченных
решения, то нуль принадлежит существенному спектру опера-
тора т (Хартман [15]).
(54) В интервале [0, оо), если функция q ограничена снизу
и существует интегрируемое в квадрате решение уравнения
(X — т)/ = 0, такое, что для некоторого положительного N
f (t) — О (t~N) при t —> оо,
то точка X принадлежит существенному спектру оператора т
(Уинтнер [17], упражнение 9.G20).
(55) В интервале [0, оо) предположим, что функция q огра-
ничена снизу и существует интегрируемое в квадрате решение
уравнения (X —т)/ = 0, такое, что для всех /г>0
t->oo
Тогда точка X принадлежит существенному спектру оператора т
(Хартман [10]).
(56) Предположим, что в интервале [0, оо) функция q удов-
летворяет неравенству
I Я (О I <^2р2 + 2 log t 10g2 t. . .10g| / W
2=1
768
Гл, XIII, Обыкновенные дифференциальные операторы
(log21 — log log t, logn+i t — log logn t) для некоторого p > 1
и некоторого n>0, где функция g удовлетворяет условиям]
J 11£(О I dt < 00, tiq~1\g(t)\qdt<co + 1).
о о
Тогда уравнение т/*=0 не имеет решений из Lp [0, оо). В] част-
ности, если р = 2, то нуль принадлежит существенному спектру
оператора т в интервале [0, оо).
Если р=1, то написанное выше неравенство заменяется
неравенством
I q (t) |<2Г2 + ЗГ2 У 1—-j—-j---7+g(t),
1 V V ' 1 1 log t log2 t . . . logi t 6 v '
i=i
где функция g удовлетворяет условиям
/|g(/) |d/< °°, §•(/) = 0(t~*) при /—>oo.
о
Ни одну из постоянных в этих неравенствах нельзя улучшить
(Сирс [5]).
Замечание. Во многих случаях, когда существенный спектр
оператора Штурма — Лиувилля ограничен снизу, можно устано-
вить, что и сам оператор ограничен снизу: ср. 7.31, 7.32, 7.33,
упражнения 9.С1—7, Берковиц [1], Реллих [6], Фридрихе
[3, 10, 13]. Мы не будем обсуждать здесь этот вопрос и огра-
ничимся указанными ссылками.
D. Число граничных значений сингулярного дифференциального
оператора второго порядка. Приведем сравнительно полную
сводку опубликованных результатов о связи между поведением
коэффициентов оператора Штурма—Лиувилля
т=_(4)р(0(4)+^^
и числом граничных значений в сингулярной концевой точке
(точках) оператора т. Функции р и q будут подчиняться условиям,
указанным в § 2. Однако, вообще говоря, от функции q тре-
буется только непрерывность. Интервалом определения оператора
будет [а, Ь) или (а, 6]; случаи а =—оо, а^> — оо, 6=оо, Ь<оо
каждый раз указываются.
10. Примечания и дополнения
769
Каждый из предыдущих критериев, который устанавливает,
что существенный спектр не пуст, устанавливает также, что
не существует граничных значений в свободной концевой точке.
Мы не будем повторять эти критерии и ограничимся следую-
щим перечнем условий, характеризующих существование или
отсутствие граничных значений.
Аналогично каждый из следующих критериев, который уста-
навливает, что оператор т имеет два граничных значения в син-
гулярной концевой точке, устанавливает также, что существен-
ный спектр оператора в этой концевой точке пуст.
(1) Если функция q ограничена снизу в интервале [0, оо), то
т не имеет граничных значений в бесконечности.
(2) В интервале [0, оо) предположим, что существует поло-
жительная непрерывно дифференцируемая функция Л4, такая, что
(а) функция (р (/))1/2 М' (/) (М (0)“3/2 ограничена сверху,
(b) J р(0(Л1(0)_1/2^=«’»
О
(с) функция q (/) (М (Z))"1 ограничена снизу.
Тогда т не имеет граничных значений в оо (6.14).
(3) В интервале [О, Ь) предположим, что
(a) q положительна в некоторой окрестности точки Ь,
(Ь) пг.....____________Т+± (Ь7(0р(0Ю1/2_ и
( J J I L (<7(0)3/2(Р(0),/2 J 4 (РЮ)3/2(<7(0)5/2 I ’
X
(с) | р (t) q (/) |-1/2 dt<Z оо для х из некоторой окрестности
о
точки Ь. Тогда т имеет два граничных значения в точке b (6.20).
(4) В интервале [0, оо), если уравнение т/==0 имеет решение,
такое, что
t t
J |/'(s)l2ds = 0(J (рф)’1,^),
0 4 0
и интеграл в правой части неограничен, то т не имеет гранич-
ных значений в бесконечности (Хартман и Уинтнер (12]).
(5) В интервале [а, Ь) пусть
t
Z(t) = q (/) + [ 4р (/) ( J (Р (*))-1 ds)2 J -1.
49 Заказ № 134
770
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Если
(a) Z ограничена снизу,
ь
(b) J = со,
а
то т не имеет граничных значений в точке b (7.69).
Следующие критерии применяются к оператору
’=-(4)2+’«-
(6) Если в интервале [0, оо) функция (1 + Z2)"1 q (/) ограничена
снизу, то т не имеет граничных значений в бесконечности (6.17).
(7) В интервале (О, Ь]
(а) если lim t2q (/) > 3/4, то т не имеет граничных значений
в нуле;
(Ь) если lim | t2q (/) I <3/4 то т имеет два граничных значения
t-+Q
в нуле (6.23).
(8) Если # —монотонно возрастающая функция в интервале
(О, &], то т имеет два граничных значения в нуле (6.24).
(9) Если [а, Ь) = [0, оо) и для некоторого действительного X
уравнение (X —т)/ —0 имеет решение с интегрируемыми в квад-
рате производными, то т не имеет граничных значений в сингу-
лярной концевой точке (Хартман и Уинтнер [12]).
Каждое из следующих условий на функцию q позволяет
заключить, что оператор т, определенный на интервале [0, оо),
не имеет граничных значений в бесконечности.
t
(10) max(0, — q (s)) ds = О (t3) при t —> оо (Хартман и Уинт-
нер [12]).
(И) ?(/)> — Q(0, гАе Q — положительная неубывающая функ-
ция, причем
J (Q(/))-M/-:OO
о
и уравнение т/ = 0 имеет ограниченное решение (Хартман [15]).
(12) Существует постоянная К, такая, что для больших s и t
?(/) — q(s)>K(s — t)
(Уинтнер [4]).
10, Примечания и дополнения
771
(13) Функция q монотонна и
J | 7 (0 l“t/2 d/=oo
о
(Хартман и Уинтнер [4]).
(14) Функция q дифференцируема и
(a) ^\q(t)\-ll2dt = <x>,
О
(b) lim I q I < ОО
v 7 ^оо | (<? (0)3/2 I
(Хартман и Уинтнер [7]).
(15) ?(/)>—Q(/), где Q —непрерывная монотонная функция,
причем Q(^)>/^>0 и
I Q (0 j-‘/2 dt = оо
о
(Сирс [2]).
(16) <?(/)>—Q(Z), где Q —дифференцируемая функция, при-
чем Q (/) > К > 0 и
К” Q' (О
lim \,9
е-»оо (Q(0)3/2
< оо
(Сирс [2]).
(17) Пусть Q — положительная непрерывная функция, имеющая
ограниченную вариацию на каждом конечном интервале. Пусть
N (t, %) —число нулей в интервале [0, t) некоторого решения
уравнения (т —Л)/ = 0. Для некоторого действительного %
t t
Tim Г 2 (Q(s))-Ms-(Q(s))"2 dN (s, A) —
^°° L о о
-(Q(0)’2-^q2(s)] = oo
b
(Хартман [9]).
Замечание. Этот критерий, по-видимому, наиболее общий
среди всех полученных до сих пор. Читатель может проверить,
что из него следуют несколько предыдущих критериев.
49*
172
Гл. XI11. Обыкновенные дифференциальные операторы
Е. Существенный спектр и индексы дефекта дифференциаль-
ных операторов произвольного порядка. Ниже мы приводим
немногочисленные разбросанные в разных местах результаты,
связывающие* асимптотическое поведение коэффициентов регуляр-
ного формального дифференциального оператора порядка выше,
чем 2, с существенным спектром и индексами дефекта этого
оператора. Многие Йз этих результатов принадлежат Наймарку [5].
Если не оговорено противное, то буква т будет обозначать
регулярный формальный дифференциальный оператор вида
h=0
на интервале, который будет указан в каждом случае. Коэффи-
циенты а^ подчиняются условиям, сформулированным в подраз-
делах I и II.
I. Существенный спектр. Существенный спектр оператора т
пуст, если
(1) оператор т самосопряжен и его индексы дефекта равны
(п, п) (6.12);
(2) оператор т имеет вид
2п~ 1
т=<-1>п(4)2п+
k=i
на интервале [а, Ь), где plt р2, ..., p2n-i —ограниченные функции
и RepoCO-^-00 ПРИ !—>Ь (7.9);
(3) на интервале [а, Ь) оператор т имеет вид
2п —1
т = (-1)п +мо,
Й = 1
где функция Re рь (/) ограничена снизу при 1 < k < п — I
и Repo(O~* 00 ПРИ t-^b (7.10);
(4) на интервале [0, со) оператор т имеет вид
г»,
k=0
где все значения коэффициентов pk лежат в правой полуплоско-
сти и Repo(f)—> °° при t —> со (7.8);
(5) на интервале [0, оо) оператор т имеет вид [**], где коэф-
фициенты рь действительны и
10. П римечания и дополнения
773
(а) ро (t) —> со при t —» оо,
(Ь) Ро и Ро ПРИ больших t имеют постоянные знаки,
(с) Ро (0 = О (Ро (0) ПРИ Для некоторого k, 0<&<
< 1+п/2,
(d) функции
Рп-1Р-1/2", Рп-2РЙ3/2П> • • •> Рп-1/Л“(2П-3)/2"
суммируемы в интервале [0, со),
(е) lim рл (0 = 1
t->oo
(Наймарк [5]);
(6) в интервале [0, оо) оператор т имеет вид [**], причем его
коэффициенты pj действительны и выполняются следующие
условия:
(а) ро (0 —> 00 при t —» оо,
(b), (с), (d) и (е) из (5) и
оо
(f) J |ро(ОГ1+1/2П^<оо
— оо
(Наймарк [5]).
Следующие условия позволяют определить существенный
спектр.
(7) Если существует постоянная Л4, такая, что
и
k
T1 = S bi (УУУ '
3=0
где
Tim 6,-(0 = 0 (OC/Cfe),
t^b
и если оператор т + ь на интервале [а, Ь) имеет не обращающийся
в нуль старший коэффициент, то существенный спектр оператора г
совпадает с существенным спектром оператора т + тй (7.11).
(8) Если коэффициенты | (/) |, |^2(/)|, ..., | an-i (/) | опера-
тора т ограничены, а коэффициент | ап (/) | ограничен снизу поло-
жительным числом в интервале [а, Ь), и если удовлетворяет
условиям утверждения (7) при k—n, то существенный спектр
оператора т совпадает с существенным спектром оператора т4-т2
(7-12).
774
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(9) В интервале [0, оо), если
lim (/) = (fa,
£->оо
то существенным спектром оператора т является множество
{х| К= 3 Qj > — оо <Zt <с оо}
(7.13).
(10) Если т имеет вид [**] на интервале [0, со), где функция
Repj ограничена снизу для Repn ограничена снизу
положительным числом, a определяется формулой, данной в (7),
где fe —п, то существенный спектр оператора т совпадает с суще-
ственным спектром оператора х-|-т± (7.15).
(И) В интервале [0, оо), если т имеет вид [**], где все коэф-
фициенты действительны и (l//?n)', Pn-i, .Ро суммируемы
в [0, оо), то существенным спектром оператора т является поло-
жительная полуось (Наймарк [5]).
(12) Пусть [а, Ь) = [0, со). Если выполняются предположения (а),
(b), (с), (d), (е) утверждения (6) и интеграл в (f) расходится,
то существенным спектром оператора т является вся действитель-
ная ось (Наймарк [5]).
Следующие условия позволяют приближенно вычислить суще-
ственный спектр.
(13) Предположим, что т имеет вид [**] и все его коэффициенты
действительны и при больших аргументах не отрицательны. Тогда
существенный спектр содержится в положительной действительной
полуоси (7.7).
(14) В интервале [0, оо), если в условиях утверждения (13)
lim рп (Р) = Р,
£->ОО
то существенный спектр оператора т содержится в [Р, оо)
(Наймарк [5]).
(15) Предположим, что [а, &) = [0, со), индексы дефекта опе-
ратора т равны и существует последовательность {fn} интегрируе-
мых в квадрате функций, таких, что fn равняется нулю в интер-
вале [0, п], |/я|= 1 и
|(Х-т)М^К.
Тогда интервал [X — К, Х-ЬК] содержит точку из существенного
спектра оператора т (Шноль [1], упражнение 9.А6).
(16) в интервале [0, &) пусть
К = lim <?(/).
10. П римечания и дополнения
775
Тогда расстояние от любой точки существенного спектра оператора
вида [*] до существенного спектра оператора
Т1 = т + (/
меньше, чем К (Путнам [9]).
II. Индексы дефекта и граничные значения. Поскольку каж-
дая оценка индексов дефекта немедленно дает оценку числа
граничных значений, но не наоборот, мы будем всегда, когда это
возможно, формулировать результаты в терминах индексов дефекта,
предоставляя читателю выразить их в терминах граничных значе-
ний в сингулярной концевой точке (или точках). Всюду в даль-
нейшем, если не оговорено противное, через т обозначается фор-
мально симметрический формальный дифференциальный оператор
вида [*] на интервале, который будет в каждом случае указан.
Если интервал не указан, это означает, что сформулированный
результат справедлив для произвольного интервала определения.
(1) Если существенный спектр оператора т не совпадает со всей
действительной осью, то индексы дефекта оператора т равны
между собой (6.6).
(2) В частности, индексы дефекта равны, если т ограничен
снизу.
(3) Если для некоторого действительного или комплексного X
все решения уравнения (X —т)/ = 0 интегрируемы в квадрате,
то индексы дефекта оператора т равняются (и, и) (6.11).
(4) Если q — ограниченная функция, то т и т + <7 имеют одни
и те же индексы дефекта (6.30).
(5) В интервале [а, Ь) = [а, оо), если функция an(t) ограничена
снизу положительным числом и функции аь (t) ограничены,
то сумма индексов дефекта оператора т равна п (6.35).
Далее предполагается, что оператор т имеет вид [**] на интер-
вале [0, оо) и все его коэффициенты вещественны. Все следующие
теоремы принадлежат Наймарку [5].
(6) При условиях (a), (b), (с), (d) утверждения I (6) и
lim рп (t) > 0
2—>оо
мы имеем
(а) если р0(/)—>оо при t—>оо, то индексы дефекта оператора т
равны (и, и);
(Ь) если — со при t —» оо и интеграл
оо
$ 1ро(ОГ1+1/2пл
о
сходится, то индексы дефекта оператора т равны (/г Hh л+1);
776
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(с) если Pb(t)—> — co при >оо и интеграл в (Ь) расходится,
то индексы дефекта оператора т равны (и, и).
(7) Если для некоторых постоянных с0, , сп функции
Сп (1/Рп) » Gi-l Рп-Лч • • •> G) Ро
суммируемы в интервале [0, оо), то индексы дефекта оператора т
равны (и, п).
(8) Если функции (1/рп)', Рп-i, ..., ро суммируемы,
lim рп (/) > 0
t—>оо
и q — функция ограниченной вариации, то индексы дефекта опера-
тора т + 7 равны (и, и).
(9) Если пределы
limp*(/),
/->оо
существуют, то индексы дефекта оператора т равны (и, п).
F. Дифференциальные операторы, не являющиеся формально
самосопряженными. Последующие главы этой книги посвящены
в основном изучению линейных операторов, не являющихся
самосопряженными, к которым, следовательно, не применима
спектральная теорема из гл. X и XII. В гл. XV, XVI, XVII
и XVIII будет развита более общая теория спектральных операторов,
которую затем в гл. XIX и XX мы применим к дифференциальным
операторам. Таким способом нам удастся показать, что большой
класс несамосопряженных операторов обладает спектральным раз-
ложением в соответствующем обобщенном смысле. Однако резуль-
таты, которые будут изложены в этих главах, получаются при
помощи методов теории возмущений, применяемых к самосопря-
женным операторам, и, таким образом, в конечном счете опираются
на результаты этой главы.
Без использования теории возмущений при изучении формально
несамосопряженных операторов мало что можно сделать. Обобще-
ние теории граничных значений и расширений можно найти
в диссертации Рота [1], результаты которого формулируются
далее.
Замкнутый оператор 7\(т, Ж) в банаховом пространстве Ж,
например в одном из пространств LP(I) (1<р<оо) или С(/),
может быть определен в терминах формального дифференциального
оператора т методом, аналогичным изложенному в § 2. В то время
как доказательство замкнутости и вычисление сопряженного one-
10. Примечания и дополнения 177
ратора в пространствах ЬР(Г) (1 < р < оо) не представляют особого
труда, установление аналогичных результатов в пространствах
Ц(/) и С (/) требует применения нескольких глубоких понятий
теории банаховых пространств, таких, как понятие ограниченной
ЗЕ-топологии пространства 36*, данное в гл. V.
Пространство граничных значений можно определить почти
так же, как в § 2; можно доказать, что его размерность конечна.
Существенный спектр следует определять так же, как в § 6; он
представляет собой замкнутое множество комплексной плоскости,
которое совпадает с существенным спектром формального сопря-
женного оператора в сопряженном пространстве. Существенный
спектр формального дифференциального оператора обладает сле-
дующим свойством «спектрального отображения»: если р — полином
с постоянными коэффициентами и если р (т) — соответствующий
«полином» от т, то существенным спектром формального диф-
ференциального оператора р (т) является множество
{р (X) । х е<те (т)}.
Дополнение существенного спектра оператора т в 36 можно
разложить на счетное или конечное число связных компонент.
Замечательно, что когда % пробегает любую такую компоненту,
размерность пространства решений уравнения (% —т)/=-0, принад-
лежащих пространству 36, остается постоянной. Кроме того,
если X принадлежит дополнению существенного спектра опера-
тора т в 36, то сумма размерностей пространства решений урав-
нения (к— принадлежащих 36, и пространства решений
уравнения (% — т*) £ = (), принадлежащих сопряженному простран-
ству 36*, постоянна и равна размерности пространства граничных
значений оператора т в 36. Этот результат позволяет приписать
каждой связной компоненте дополнения существенного спектра
оператора т два «индекса дефекта», на основе которых может
быть построена теория расширения.
Сужение оператора 7\(т, 36) получается сужением области
определения на множество всех функций, удовлетворяющих задан-
ной системе граничных условий, так же как в гильбертовых
пространствах. В то время как существенный спектр оператора т
в 36 инвариантен относительно сужения оператора 7\(т, 36),
остальная часть спектра зависит от выбранного сужения и может
лежать в остаточном спектре и (или) в точечном спектре или
в резольвентном множестве суженного оператора. Главная задача
состоит в выделении тех сужений, спектры которых минимальны.
Общее решение этой задачи дает следующее утверждение: если
все индексы дефекта оператора т в 36 равны, то можно найти
такое сужение оператора 7\(т, 36), спектр которого состоит
778 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
из существенного спектра оператора т в ЗЕ, взятого вместе с ко-
нечной или бесконечной последовательностью собственных значе-
ний, все предельные точки которой лежат в существенном спектре
оператора т.
G. Спектральные асимптотики, (а) Титчмарш в работе [16]
уточнил результат теоремы 7.58 методом ВКБ (Вентцель —
Крамер —Бриллюэн), который используют физики. Титчмарш при-
менил этот метод только в случае, когда q есть полином t\ но
этот результат можно обобщить. Это позволяет получить для
собственных значений последовательность асимптотических выра-
жений возрастающей точности. Приближение второго порядка дает
ДМ
W(X) = 4- J (^-sf‘)1/2ds-| + O(V1/2“1/fe).
О
Дальнейшее приближение дает
ДМ дм
ЛДХ) = — ? (X_s*)1/2ds_ ’ ’ t (<7'(5))2 ? dS4-0(X-1~2/ft)
U ” j ' ’ 2 8я J (X-?(S))5/2 ' ’
и т. д., где t (X) = X1/h. Подробности читатель найдет в книге
Титчмарша.
(Ь) Хартман [11] показал, что формула, данная в теореме 7.58,
остается в силе при меньших ограничениях на коэффициент q.
Он предполагает только, что q — возрастающая функция и
V
lim inf [q(v) — q(u)] I ( s-3ds^ = oo.
t —>OO \ eJ /
U
Дальнейшие исследования подобного рода вопросов выполнены
Хартманом и Н. С. Розенфельдом. В следующих четырех пунктах
дается литература, касающаяся результатов в духе теоремы 7.58,
связанных с асимптотическим распределением собственных значе-
ний оператора — (dldt)2 + q (t), 0</<оо, с подходящими гранич-
ными условиями. Мы обозначаем соответствующий оператор
в А2(0, оо) через Т.
(a) lim(7(/) = oo и функция q(t) выпукла. Этому случаю посвя-
щены работы: Милн [2], Титчмарш [16], Хартман и Уинтнер [22]
и Хартман [17]. Лучший результат, принадлежащий Хартману,
формулируется в обозначениях теоремы 7.58 следующим об-
разом.
10. Примечания и дополнения
779
Теорема. Пусть q (t) — непрерывная возрастающая выпуклая
функция] тогда
[*] лЛф)= $ pi-<7(/)]1/2d/ + O(l).
о
(a') lim q (t) = оо и q(f) не обязательно выпукла. Этому случаю
/-►оо
посвящены работы: Аткинсон [5], Хартман [II]1).
(b) lim <7 (7) = 0. Этому случаю посвящена работа: Розенфельд
[1] . Розенфельд доказал следующую теорему.
Теорема. Пусть q (t) < 0 — дважды непрерывно дифференцируе-
мая функция, lim q(t)=O, q' (7)>0, <?" (f)<0u lim q"(t) [q’ (Z)]~4/3=0.
Тогда T имеет бесконечную последовательность отрицательных
собственных значений, сходящуюся к нулю. Пусть N (%), %<0,
обозначает число собственных значений, не превосходящих X.
Тогда при %—>0
лА(Х)~ J [k-q(f)]l/2dt.
о
Если, кроме того, q" (/) имеет ограниченную вариацию на ком-
пактных интервалах w [q" (/)]2[<?' (01~7/3 суммируема, то спра-
ведлива формула [*].
(с) Распределение собственных значений оператора
T__CAy+,w.
определенного на интервале [0, оо), в некоторых случаях, когда т
имеет два граничных значения в бесконечности, было недавно
исследовано в диссертации Хейвуда [1]. Предполагается, что
(I) <7(0) = 0,
(II) q' (7)<0 для 7>0,
(III) J (<? (7))~1/2 d/< со,
о
(IV) q" (/) при больших t имеет постоянный знак,
(V) q" (/) = О ((q' (0)^) для некоторого k, 1<6<4/3,
i) При более общих условиях формула [*] была получена Б. М. Левита-
ном [9*]. См. также работу А. Г. Костюченко [1*], где устанавливаются по-
добные формулы для обыкновенных операторов произвольного порядка,
а также для частных производных.— Прим. ред.
780 Г л. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(VI) для некоторого г <; 3/2 функция
(-? (0)г
при больших t монотонно убывает.
Для любого самосопряженного расширения оператора т пусть
А\(Х) — число неотрицательных собственных значений, не пре-
восходящих X, a V2 (X) — число отрицательных собственных значе-
ний, не превосходящих X по абсолютной величине. Пусть t(K)
определяется, как в теореме 7.58. Тогда
оо
t(X-<7(0)1/2-(<7 (0)1/2] dt-
О
оо
$ \q(t)\il2 dt + ^ J [|7(/)|1/2-(-<7(0-М1/2]^.
О ЦХ,)
(d) Качественный результат о распределении собственных зна-
чений оператора Штурма — Лиувилля получен Хартманом и Уинт-
нером [11]. Предположим, что интервал [а, Ь) действительной оси
не пересекает существенный спектр. Пусть %2, ... — распо-
ложенные в порядке возрастания собственные значения самосо-
пряженного расширения оператора Штурма —Лиувилля. Тогда
любое другое самосопряженное расширение имеет одно и только
одно собственное значение, заключенное между и Хй+1.
(е) Об асимптотических свойствах мер и матричных мер, полу-
ченных из спектральных разложений дифференциальных операто-
ров с непустым существенным спектром, известно мало. В этой
связи стоит заметить, что результаты Гельфанда и Левитана
по поводу обратной задачи, данные ниже в пункте I, можно
интерпретировать как асимптотические результаты для непрерыв-
ного спектра.
Н. Сходимость и суммируемость. Некоторые вопросы сходи-
мости и суммируемости, аналогичные тем, которые составляют
часть классической теории рядов Фурье и интегралов Фурье, были
изучены, главным образом британской школой, для разложения по
собственным функциям оператора, возникающего из самосо-
пряженного расширения оператора Штурма — Лиувиллях). Для
конечного замкнутого интервала определения эти задачи были
х) Полное решение задачи о равносходимости для оператора Штурма —
Лиувилля было дано Б. М. Левитаном [7] и В. А. Марченко [3*]. Для обыкно-
венных операторов произвольного порядка решение этой задачи было дано
А. Г. Костюченко [2*].— Прим. ред.
10. Примечания и дополнения
781
исследованы в первом десятилетии XX века Хааром и позднее
Уолшем (Хаар [3], Уолш [1]). Соответствующее исследование
свойств суммируемости обобщенного интегрального представления
Фурье, возникающего при спектральном анализе оператора
i*i
на действительной оси, где функция q предполагается суммируе-
мой, можно найти в статье Стоуна [17], напечатанной в 1928 г.
Работа Титчмарша [16] относится к сингулярным операторам
на интервале [0, оо), не имеющим существенного спектра. Сирс [4]
расширил результаты Титчмарша и Стоуна. В недавней статье
Рутовица [1] делаются первые шаги в изучении сходимости в Lp.
Основные результаты этих статей следующие:
(1) Хаар [3] доказал, что для собственных функций оператора
Штурма —Лиувилля, полученных наложением распадающихся гра-
ничных условий,
(а) существуют непрерывные функции, для которых ряд
Штурма —Лиувилля расходится в некоторой данной точке;
(Ь) сходимость или расходимость ряда Штурма —Лиувилля
оо
2 anfn (О определяется сходимостью или расходимостью косинус-
п=1
оо оо
ряда 2 ап cos nt или синус-ряда У, an sin nt;
n=l n=l
(с) ряд Штурма — Лиувилля непрерывной функции равномерно
суммируем по Чезаро к этой функции.
(2) Уолш [2] доказал следующую теорему.
Пусть {fn}— ортонормальные собственные функции оператора
Штурма —Лиувилля, полученного наложением распадающихся
граничных условий, a {gn} — ортонормальные собственные функции
оператора, полученного из оператора — (d/dt)2 наложением тех же
граничных условий на интервале [а, Ь]. Пусть f — интегрируемая
в квадрате функция и
оо оо
3 ahfk (t) и 3 bhgk (t)
k=l k=i
— два соответствующих разложения функции f. Тогда ряд
оо
3 [ahfk (f)-bhgh(t)]
k=i
абсолютно и равномерно сходится к нулю.
782 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Резюме последних работ о свойствах сходимости разложений
по собственным функциям на конечном замкнутом интервале
дается в разделе примечаний и дополнений в гл. XIX.
(3) Если q — непрерывная функция, монотонно стремящаяся
к бесконечности на положительной действительной полуоси,
то формула обращения для спектрального представления некото-
рого самосопряженного расширения Т оператора т вида [*] при-
нимает обычную форму разложения в ряд (для функции /, инте-
грируемой в квадрате)
оо оо
f (О ~ 2 (0. = $ / (0 ОУ dt,
п=1 0
где fn есть п-я нормированная собственная функция. Титчмарш [16]
нашел, что, как и в случае ряда Фурье, этот ряд сходится в любой
точке /, в окрестности которой функция / имеет ограниченную
вариацию.
(4) Некоторые результаты о суммируемости разложения по соб-
ственным функциям при тех же условиях, что и в (3), были
получены Титчмаршем [16]. При этом применяется естественный
метод суммирования
оо
lim [-%(£(-%; Т) /)(/)]= lim 2 таг (0.
Х~>ОО X—>ОО A'lA'Tl
п=1
где есть п-е собственное значение. Этот предел существует
для каждой интегрируемой в квадрате функции / во всех точках /,
в которых
8
$ |/(/ + s)—/(/) I ds = O (е),
о
и, в частности, равен /(/) во всех точках непрерывности функции /.
(См. пункт (8) ниже, где дается общий вид этого принципа.)
(5) (Титчмарш [15]). Если, кроме того, предполагать, что
функция q ведет себя, как полином, т. е.
?(/)~Л/\ /(/)~/V1,
q"(t) = O(t^), qm(t) = O(tt~s),
то предыдущий результат обобщается на более широкий класс
функций, чем класс квадратично интегрируемых функций. Метод
суммируемости (/?, р) определяется так:
lim 2 М
10. Примечания и дополнения ' 783
Можно показать, что если функция f интегрируема на любом
конечном интервале и для некоторого достаточно большого поло-
жительного числа а, зависящего от р,
N
J\f(t)\dt = O(Na),
О
то соответствующее разложение функции / в ряд существует
и этот ряд (/?, р)-суммируем во всех точках /, в которых
8
о
(6) Предположим, что функция q не только непрерывна, но
еще и суммируема в интервале [0, оо). Тогда спектр самосопряжен-
ного расширения оператора т на интервале [0, оо), полученного
наложением граничного условия в нуле, состоит из непрерывного
спектра, покрывающего положительную действительную полуось,
и последовательности собственных значений с простыми норми-
рованными собственными функциями {fn}. Пусть /(/, X) —решение
уравнения (X —т)/=- О, которое удовлетворяет граничному условию
в нуле, и пусть р — мера, полученная из спектрального разло-
жения (теорема 5.13). Тогда можно показать (см., например,
Стоун [17]), что, когда X меняется на компактном множестве,
функция /(/, X) равномерно ограничена по t и X. Таким образом,
интеграл
оо
J g(t)f(tA)dt
О
определен для каждой интегрируемой функции g. Наиболее общий
результат, полученный Сирсом [4], состоит в следующем: ряд
оо оо
2 (о> сп = £ (о (о
п= 1 * О
сходится при 0</<оо, и для каждого 7?>0 мы имеем
R оо оо
ил *)[
О п=1
If , ч sin ((/ — s)”]/7?) , . /_
= J 8 (s) — s_/ ds+w (R> 0>
о
lim \
8—>0 J
784
Г л. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
где при R —> оэ функция w (R, t) стремится к нулю равномерно
на каждом конечном замкнутом интервале, не содержащем начала.
Этот результат показывает, что обобщенный интеграл Фурье
сходится таким же образом, как и обычный интеграл Фурье.
Например, если g имеет ограниченную вариацию в окрестности
точки />0, то
R оо оо
lim lim £ f (t, X) Г ? g (/) f (t, X) dt 1 p, (dX) + 2 c4n (0 =
= 4^(/ + 0)-g(/-0)].
(7) Сирс [4] исследовал также суммируемость по Чезаро
обобщенного интеграла Фурье для интегрируемых и квадратично
интегрируемых функций. Для любой квадратично интегрируемой
функции f интеграл
оо
J f(t, X)/(X)p(dX),
о
где
N
/(X)-l.i.m. ( / (/, X) f (/) dt,
TV—>оо е)
суммируем по Чезаро при любом р > 0 в любой точке, в которой
8
J \f(t + s) — f(t — s)\ds = O(n)
о
ПрИ е_>0, и, в частности, почти всюду и во всех точках непре-
рывности функции f. Этот же результат справедлив для инте-
грируемых функций.
(8) (См. упражнение 9.J2.) В условиях и обозначениях тео-
ремы 5.23 мы' можем сформулировать общий принцип суммируе-
мости следующим образом: предположим, что дифференциальный
оператор т ограничен снизу и что/ — квадратично интегрируемая
функция на интервале определения оператора т. Тогда
(а) для достаточно больших Хо предел
оо k
5 (Яо + b)'1 2 (т(Х)оД/, X)Q;7(dX) =
— оо г, ] = 1
lim
а->оо
a k
$ (Хо + Х)-1 2 (WW*.
— оо 1, j=l
Qij (^)
10, Примечания и дополнения
785
для
каждого t
£—>0;
существует равномерно по t в любом компактном подынтервале из /;
(b) lim ( (Ло + Л)"1 2 (V/)i (X) (Tj (t, %) Qij (dX) -=
^°->°° J i
= lim (—xoj? (—%0; T)f) (0 = f (0
X()—>oo
внутри I, для которого
<+8
J \f(s)-f(t)\ds = O(e)
t—г
(с) если г —любой оператор, определенный на подинтервале/
из I, т ограничен снизу, Т — самосопряженное расширение опе-
ратора Т0(т), то
lim [(-ХоЖ-Хо; T)(f Ю)(О + М(-Ло; Т) f(t)] = 0
Xq—>оо
равномерно по t в любом компактном подинтервале внутри
интервала /.
(9) (См. упражнения 9.J1—J3.) Пусть т —формально само-
сопряженный формальный дифференциальный оператор на интер-
вале /, а Т — некоторое самосопряженное расширение опера-
тора Т0(т). Пусть {fn} — ортонормальное семейство собственных
функций оператора Т, (А,Л — T)fn = O, и пусть множество {АЛ}
ограничено. Тогда для каждой функции f из L2 (/) ряд
п==1
сходится абсолютно и равномерно в каждом ограниченном замкну-
том подинтервале интервала / и его можно дифференцировать
произвольное число раз под знаком суммы, причем продифферен-
цированный ряд также сходится абсолютно и равномерно.
(10) Проблема справедливости формул обращения обобщенных
интегралов Фурье, возникающих из сингулярных операторов вида
на интервале [0, оо), для функций из Lp [0, оо) (1 <р<2) была
недавно рассмотрена Рутовицем [1]. Предполагается, что
оо
(а) 5 l(l+/)?(/)|d/<a.,
о
50 заказ № 134
786 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(Ь) функция (1 4-/) (<?(/)) имеет ограниченную вариацию.
Пусть самосопряженное расширение Т оператора т опреде-
ляется граничным условием в нуле, и пусть / — функция класса
Др [0, оо)(1<р<2). Пусть/(/, А,) —решение уравнения (А—т)£=0,
удовлетворяющее данному граничному условию в нуле. Пусть
р — соответствующая мера (см. теорему 5.13), полученная из спек-
трального представления оператора Т. Тогда предел
N
N->oo J
существует в смыле сходимости в Lp. Более того, существует
постоянная K(p,q), такая, что
д
-А
и мы имеем
А
lim I f / (А) / (/, A)p(dA)-/1 -0.
A->oo I J Ip
—A
I. Обратная задача. Широкое применение спектральной теории
дифференциальных операторов к различным задачам современной
физики не только показало физический смысл многих математи-
ческих понятий, но и способствовало возникновению некоторых
задач, которые еще не имеют полного математического решения.
Среди этих задач выделяется так называемая «обратная задача»,
а именно задача нахождения необходимых и достаточных усло-
вий, которым должна удовлетворять данная матричная мера для
того, чтобы она была мерой, полученной из спектрального пред-
ставления самосопряженного расширения некоторого дифферен-
циального оператора, и задача выражения этого дифференциаль-
ного оператора в явном виде, если он существует.
Первый поход к этой задаче следует искать в статье Борга
[2], 1945 г., где она изучается в случае, когда оператор второго
порядка задан на компактном интервале. Борг показал, что если
задано распределение собственных значений для двух, самосопря-
женных расширений оператора
т=+
то функция q однозначно определяется. Левинсон [4] упростил
рассуждения Борга и доказал, что уже распределение собствен-
ных значений одного самосопряженного расширения однозначно
определяет функцию q в том случае, когда q (л — /) = q(t).
10. Примечания и дополнения
787
Сингулярная задача для оператора второго порядка, опреде-
ленного на положительной полуоси, была впервые изучена
.Крейном [13, 14], который использовал принадлежащую ему
теорию продолжения положительно определенных функций1).
Гельфанд и Левитан в исчерпывающей статье [1] представили
полное изложение всех результатов, которые были до сих пор
известны по поводу этой задачи. Недавно Кей и Мозес в рабо-
тах [1, 2] разъяснили идеи, лежащие в ее основе. Здесь мы
даем краткое изложение результатов этих работ.
Основной результат заключается в следующем.
Пусть р — мера, которая получается из спектрального пред-
ставления самосопряженного расширения оператора
на интервале [0, со) (см. конец § 5), полученного наложением
граничного условия В = (0) = 0, а именно
ь
а
Пусть Q — положительная борелевская мера на положительной
действительной полуоси и — р. Предположим, что q удовле-
творяет следующим условиям:
° г—
/1\ Г (AW А
(1) \е ^(ал)Соо, />0;
—оо
(2) функция
00 /-
а(0=Д C0S^TX
3 A
1
четырежды дифференцируема.
При этих условиях мы можем найти дифференциальный опе-
ратор
т=-(5)2-Ь9(0.
такой, что q служит мерой, связанной со спектральным пред-
ставлением самосопряженного расширения Т оператора т (см. тео-
рему 5.13 и следствие 21), полученного наложением граничного
условия В (f) = f' (0) = 0.
г) Вопросы единственности обратной задачи в сингулярном случае впер-
вые рассмотрел В. А. Марченко [3*].— Прим. ред.
50*
788 Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Обратно, если предполагать, что функция q имеет непрерыв-
ную производную, то мера, полученная из спектрального пред-
ставления (см. теорему 5.13) любого самосопряженного расши-
рения Т оператора т, удовлетворяет условиям (1) и (2).
Идея Гельфанда и Левитана интуитивно проста. Предполо-
жим, что оператор т задан, а /(/, X) —решение дифференциаль-
ного уравнения (X —т)/ = 0, удовлетворяющее граничному усло-
вию В(/) = 0. Пусть q —мера, описанная в теореме 5.13, для
самосопряженного оператора Т. Тогда функции f (/, X) обладают
свойством ортогональности
J f(s, %)Q(dZ) = O. 0<s#=/<oo.
—oo
Функции cos полученные из оператора т0, также обладают
свойством ортогональности
оо
cos s У Ji cos t УX [i (d/i) = 0, s#=/.
—oo
Используя эти соотношения, Гельфанд и Левитан пытаются вос-
становить функции f(t, X) методом «ортогонализации» функций
cos/]/"X относительно меры q. Первый шаг состоит в выражении
функции /(/, X) в виде «линейной комбинации» функций cos/УХ
в терминах интегрального оператора с ядром типа Вольтерра
t
|*| f(t, Ji) = cost J Ki (Z, s) coss к X ds.
о
Покажем кратко, как получается ядро Ki, если функции f (t, %)
известны. Формальное дифференцирование формулы [*] дает сле-
дующее дифференциальное уравнение с частными производными
для Кр
с граничными условиями
Ki (Л 0) = 0,
t
Ki(t, 0 = 4 $ Q(t)dt.
О
Из общей теории гиперболических уравнений известно, что реше-
ние этого уравнения существует и единственно. Таким образом,
10. Примечания и дополнения
789
если ядро Ki известно, то мы можем найти функции /(/, %),
а функция q определяется единственным образом из соотношения
= i)-
Аналогично функции соз/]ЛХ можно выразить в виде «линей-
ных комбинаций» функций /(/, X):
t
cos t ]/Т - f (t , X) + J K2 (/, s) f (s, X) ds,
о
где ядро /<2 определяется аналогично Ki-
Следующий шаг состоит в том, чтобы найти интегральное
уравнение для ядра /С, когда функции f(t, X) заранее не изве-
стны. Для этого нужно сначала показать, что если f (t, X) является
«линейной комбинацией» функций соз/]ЛХ, то имеет место тож-
дество
f (t, X) cos s УХ dk = O, s < t.
— oo
При помощи формальной подстановки в это тождество выра-
жения f через ядро Ki мы получим
оо
COS t У к COS S (dX) +
—оо
оо t
+ COS S У к [ (/, s) cos s )А] Q(dX) = O, s</.
—oo 0
Ясно, что интегралы в этом уравнении, вообще говоря, рас-
ходятся. Однако, используя определенную ранее функцию мно-
жества о, можно так преобразовать эти интегралы, что ограни-
чения, налагаемые на q, будут обеспечивать их сходимость,
и мы получим
t
F(t,s)+^ F (t, и) Ki (t, и) du +Ki (Л s) = 0,
b
где
oo
F (t, s)= cos/j/~Xcoss ]/Xcr(dX).
790 Г л. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Затем доказывается, что однородное уравнение, соответствую-
щее этому уравнению Фредгольма для Ki (при фиксированном /,
$</), не имеет ненулевых решений. Поэтому решение неодно-
родного уравнения определяет ядро Ki и, следовательно, функ-
цию q.
Преимущества этого метода очевидны, поскольку он требует
только решения интегрального уравнения, допускающего после-
довательное интегрирование. Более того, теорема Гельфанда
и Левитана показывает, что меры из теоремы 5.13 могут прояв-
лять несколько патологических свойств: например, они могут
быть сингулярными относительно меры Лебега и в то же время
обращаться в нуль на целых отрезках.
Если оператор т определен на компактном интервале [0, я],
теорема Гельфанда и Левитана допускает особенно простую фор-
мулировку. Пусть заданы две бесконечные системы действитель-
ных чисел {Zn} и {сп}, удовлетворяющие асимптотическим соот-
ношениям х)
У^^п + О(п-^,
сп^^ + О(п~1У);
тогда существуют непрерывная функция q и числа А, /7, такие,
что спектр самосопряженного расширения оператора, полученного
из оператора — (d!dty-\-q наложением граничных условий
Bi (/) = f' (0) — hf (0) 0 = f' (а) + Hf(d) ~ В2 (/), совпадает с по-
следовательностью {Zn}.
Если fn — собственная функция, соответствующая собствен-
ному значению Кп и нормированная условием fn(0) = l, то
а
Сп= $ (/п(7))2^.
о
Более того, функция q может быть явно вычислена указанным
выше методом.
Патологические свойства спектра исследованы Хартманом
в работе [13] совершенно другим путем. Он использовал характе-
ризацию спектра оператора второго порядка, полученную в теории
осцилляции (см. упражнение 9.F3). Хартман доказал, что если
задано любое замкнутое подмножество действительной оси, то
г) Точнее, все Сп>0 и V Кп = п4-а0/п-\-О (1/п2), сп = а/2-уО (1/п2).—
Прим, перев.
10. Примечания и дополнения
791
существует функция q, такая, что существенным спектром опе-
ратора
-G)* 2+^)
на интерале [0, со) является заданное множество. Функция q
может быть выбрана бесконечно дифференцируемой.
Среди других недавних работ по поводу обратной задачи
отметим следующие: Березанский [1], Кей [1], Крейн [14, 17, 18],
Ньютон и Йост [1], Сташевская [I]1).
Родственные теории. Недавно привлекли внимание некоторые
новые применения линейного анализа к изучению дифференциаль-
ных операторов, помимо спектральной теории, изложенной в на-
стоящей главе. Две из этих теорий представляются особенно
интересными.
Русская школа развила теорию операторов обобщенного сдвига,
построенную Б. М. Левитаном и А. Я. Повзнером на основе идеи,
высказанной Дельсартом (1938). Исходя из формального диффе-
ренциального оператора
t=-(s)2 + 9(0
на интервале /, который может совпадать с положительной полу-
осью или со всей действительной осью, где функция q предпо-
лагается ограниченной2), они определяют оператор в LP(J)
(1<р<оо) таким же образом, как это делается для гильбер-
това пространства в § 2. Обозначим этот оператор через S
и не будем уточнять, в каком именно пространстве он рас-
сматривается; предположим только, что область определения ® (S)
состоит из достаточное число раз дифференцируемых функций.
Допустим на время, что функция q тождественно обращается
в нуль, так что оператор S сводится к обычному дифференциро-
ванию. Полагая
Ш (0=f(t+s), sei,
мы находим, что семейство операторов Т (s) обладает следующими
свойствами:
х) Следует отметить фундаментальную работу Марченко [4*], в которой
полностью решена обратная задача по сдвигу фаз; см. также работы Леви-
тана и Гасымова [1*], Шноля [2*], Фаддеева [1*].— Прим. ред.
2) Случай неограниченной функции q был изучен Фан Ван Чыонгом
на основе работы Костюченко и Митягина [2*] по ядерным пространствам.—
Прим. ред.
792
Гл. XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
(а) при фиксированном s оператор Т (s) отображает ® (S)
в себя;
(Ь) при фиксированном t для /С®(5) функция
^(•) = (П-)/)(0
принадлежит ® (S);
(с) для / из © (S)
(S(T(s)f)) (0 = (S(T(0/))(s);
(d) (ассоциативность)
(Т(и)Л)(5) = (Т(«) (T(s)/)) (0;
(е) (коммутативность)
T(0(T(s)/) = T(s) (Т (/)/);
(f) Т(0)/ = /.
Если мы теперь отбросим условие q (/) = 0 и примем свойства
(a)— (f) за основные аксиомы, то придем к следующему опре-
делению: семейство ограниченных операторов T(s), s£I, назы-
вается семейством операторов обобщенного сдвига, связанным
с оператором S, если оно удовлетворяет условиям (a) —(f).
С помощью операторов Т (s) можно обобщить понятие свертки
двух функций, определяя обобщенную свертку формулой
(/*£)(«)=$
Г
Продолжая подобным образом, можно получить интересные обоб-
щения различных понятий гармонического анализа: положительно
определенных функций, алгебр со сверткой, почти периодических
функций и т. д. Более того, с помощью операторов обобщенного
сдвига можно дать еще одно доказательство спектральной тео-
ремы для самосопряженных дифференциальных операторов вто-
рого порядка.
Для того чтобы построить операторы Т (s), нужно построить
два решения и и v уравнения с частными производными
d2w . ч д2ш
удовлетворяющих соответственно начальным условиям
“<* »)“№) g|f=Q=.O,
10. Примечания и дополнения
793
и ПОЛОЖИТЬ
(Т (s) = и (/, s) + av(t, s)
для любого действительного числа а. Оператор Т (/) будет тогда
удовлетворять условиям (а) —(/). Подробное изложение этой
теории можно найти в работе Левитана [1].
Подход к изучению дифференциальных операторов в банахо-
вых пространствах более сложного характера, чем гильбертовы
пространства, был указан Феллером в работах [1—7], где он
исследовал структуру полугрупп в пространстве С(/). В част-
ности, Феллер построил теорию граничных значений, которая
имеет несколько точек соприкосновения с теорией, развитой
в этой книге для гильбертова пространства. Работы Феллера
близки к исследованиям Хилле [5] и Иосида [8, 9] по полу-
группам, порожденным дифференциальными операторами. Под-
робное изложение этих теорий увело бы нас слишком далеко
в сторону теории полугрупп. Поэтому мы отсылаем читателя
к оригинальным работам.
ГЛАВА XIV
Линейные дифференциальные
уравнения и операторы
с частными производными
1. Введение. Задача Коши. Локальная зависимость
В этой главе будет рассмотрен ряд теорем о линейных
дифференциальных операторах с частными производными. Так как
теория линейных дифференциальных операторов с частными произ-
водными является обширной и весьма разветвленной, мы коснемся
лишь некоторых ее аспектов, стремясь скорее к тому, чтобы
продемонстрировать все разнообразие применений функциональ-
ного анализа, чем к тому, чтобы изложить какую-либо часть этой
теории ради нее самой.
Чтобы проиллюстрировать, как функциональный анализ может
быть применен к получению результатов о дифференциальных
уравнениях, мы начнем с элементарного примера. Под формаль-
ным (линейным) дифференциальным оператором L с частными
производными порядка т, определенным в области D евклидова
п-мерного пространства, мы понимаем формальное выражение
т
(1) L= 2 2 (^1’ • • ’ *п) »
j=0 ^2,..., ij=i 21
где коэффициенты ^...^.(6, • •предполагаются определенными
для t = .. .,tn]£D, симметричными по индексам ii9 i2, ..., ij и,
если явно не оговорено противное, бесконечно дифференцируемыми
в D. Слагаемое в этом формальном дифференциальном операторе,
соответствующее индексу / == 0, является по определению опера-
тором умножения на функцию, заданную в D.
Пусть S — гладкая поверхность в D. Тогда задача Коши для L
на поверхности S есть задача нахождения такого решения f диф-
ференциального уравнения с частными производными Lf = O, что
оно и его первые т— 1 нормальных производных имеют произ-
вольно заданные значения в каждой точке поверхности S. Для
определенности мы будем предполагать, что D есть все евкли-
дово /г-мерное пространство, a S — гиперплоскость в D размер-
ности я — 1. Поскольку допустимо соответствующее вращение
1. Введение. Задача Коши. Локальная зависимость
795
евклидова /г-мерного пространства, мы можем для простоты и без
ограничения общности считать, что S = {[Л, .. ., tn] | tn 0}. Тем
самым мы можем сказать, что задача Коши для L состоит в следу-
ющем: показать, что для каждого набора g0, gi4 беско-
нечно дифференцируемых функций на S существует единственная
функция f £ С°° (D), удовлетворяющая уравнению Lf = 0, и такая, что
tes-,
Uin dtn
здесь и далее мы пишем ради краткости t вместо [/1? ..., tn].
Функции g0, ..., gm-i называются данными задачи Коши, а функ-
ция / — решением задачи Коши. Простым функционально-анали-
тическим рассуждением будет показано, что предположение
об однозначной разрешимости задачи Коши для L на поверхно-
сти S приводит к такому удивительному следствию.
Если А —компактное подмножество в D, в частности если
А = {р} состоит из одной точки, то существует такое компакт-
ное подмножество К в S, чпго для данных g0, ..., gm_i задачи
Коши, обращающихся в нуль на К, решение f обращается в нуль
на А.
Это очень общее описание явления, состоящего в том, что
имеется конечная область зависимости. Доказательство состоит
в простом применении теоремы о замкнутом графике. Пусть 8 есть
F-пространство всех решений уравнения Lf = O, принадлежащих
С°° (D) с нормой
2j 2j 21 41,-I 1+и (», /)
h=0 j~0 ii, ij=l J
где
Hit... i, (k, f) — max I ...............tn)
<i+-+«n=Sfc2 I dtii dtij
При ЭТОМ СИМВОЛ ... гу для j = 0 есть функция
Н(&, /) = max tn) |.
1 Р)
Пусть Д есть F-пространство всех наборов [g0, началь-
ных данных с нормой
т—1 оо оо п—1
I i£o, • • • > gm-ii 1— 2 2 2 2
J>=0 fe=0 3=0 11.Im_t
796 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
где
Нн..л; (.k, р) = (k, р; [go, .... =
= max max I d>g<i (*!’•••’ I .
o^m-i j2+...+i2_1 1 dth ... dtl. I
Пусть T : A —> 8 —- отображение, переводящее каждый набор
[go, • • начальных данных в соответствующее единствен-
ное решение f уравнения Lf = Q. Очевидно, что Т линейно,
и столь же очевидно, что Т замкнуто. Следовательно, по теореме
о замкнутом графике (II.2.4) Т непрерывно. Тем самым для любых
заданных е>0 и натурального k существуют 6>0 и натураль-
ное /, такие, что р (£, T[go, ..., gm-d) < е, если выполнены нера-
венства
| Hh-• (I, р; [go, • • •, gm-d) I <
Л, ..— 1, р = 0, ..., m — 1.
Так как Т линейно, то отсюда немедленно вытекает, что если
р; Igo, • • .,g-zn_d) = o,
Л, • • •, 1, р = 0, ..., m — 1,
то р(/г, T[gQ, ... jg'm.d) = 0- Таким образом, для каждого нату-
рального k существует такое натуральное число /, что если
начальные данные задачи Коши обращаются в нуль в шаре .. .
то решение задачи Коши обращается в нуль
в шаре /2 + ... +tn^k2. Отсюда легко получается сформули-
рованное ранее утверждение.
В качестве поучительного примера рассмотрим тот частный
случай, когда лт = 2, m = 2, a L —оператор Лапласа
Имеет ли задача Коши
V2/(Xi, х2) = 0, +оо>хг. > — со, /(%!, O) = go(*i),
^/(^,0)=^ (Xi),
единственное решение для каждой пары gQ, gi начальных дан-
ных из С°° ( — со, + оо)? Следующие рассуждения приводят
к отрицательному ответу. Как известно, вещественная и мнимая
части решения уравнения V2/ = 0 в области = {[%i, х2] | х2>0}
являются вещественными частями пары аналитических функций
комплексного переменного z~ х^ 1х2, определенных в этой
области. Следовательно, решение уравнения V2/=0 в R есть
1. Введение. Задача Коши. Локальная зависимость
797
аналитическая функция переменных х2, и потому, если /
обращается в нуль в подобласти из R, она должна быть тож-
дественным нудем. С другой стороны, если бы задача Коши
имела единственное решение для каждой пары gQ, gt выбранных
начальных данных, то в силу доказанного выше имело бы место
явление локальной зависимости, и мы могли бы построить реше-
ния уравнения V2/= О, обращающиеся в нуль в подобласти 7?,
но не являющиеся тождественными нулями. Это рассуждение,
очевидно, имеет общий характер и показывает, что два следую-
щих свойства формального дифференциального оператора L явля-
ются взаимно исключающими.
Свойство А. Некоторая соответствующим образом поставлен-
ная задача Коши для L имеет единственное решение для каждого
набора предписанных гладких начальных данных.
Свойство В. Решения уравнения Lf = O являются настолько
гладкими, что к ним может быть применен теоретико-функцио-
нальный принцип единственности продолжения.
Формальные дифференциальные операторы с частными произ-
водными, обладающие свойствами, подобными свойству А, обычно
называются гиперболическими операторами} операторы, обладаю-
щие свойствами, подобными свойству В, обычно называются
эллиптическими. уже отметили, что оператор Лапласа
у* = д2!дх* 4- д2/дх* является характерным примером второго типа.
Вскоре мы увидим, что оператор
6?___62_
дх1 дх%
является гиперболическим. Эллиптико-гиперболическая дихотомия
хорошо иллюстрируется этой парой операторов. Мы уже указы-
вали, что решения уравнения
= 0
являются аналитическими функциями. С другой стороны, любая
дважды дифференцируемая функция f вида
f (Xi, x2) = g(xl — x2)
удовлетворяет уравнению
< dxf dxl }^Xl'х^~^'
Ясно, что решения этого последнего уравнения не обязаны быть
аналитическими или даже иметь какие-либо производные, кроме
тех, которые требуются начальными условиями.
798 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Третья категория формальных дифференциальных операторов
с частными производными—параболические; их типичный пред-
ставитель — оператор
д____д*_
дхг дх%
Операторы этого типа тесно связаны с теорией полугрупп, в кото-
рой, как мы уже видели, важную роль играют общие уравнения
вида
где Л —неограниченный и в некотором смысле (см. следствие
VIII. 1.14) отрицательный оператор. Рассматривая дифференциаль-
ный оператор А с частными производными, отрицательный в этом
смысле, мы оказываемся у общих истоков теории полугрупп
и теории параболических дифференциальных уравнений с част-
ными производными.
Не следует думать, что эти три категории операторов — эллип-
тические, параболические и гиперболические —исчерпывают всю
совокупность формальных линейных дифференциальных операторов
с частными производными. Так, например, оператор
JL.i J2____________
*• J дх^ дх% дх% дх1 1
иногда классифицируемый как ультрагиперболический, не при-
надлежит ни одной из этих категорий. Оператор типа
I J дх{ +1 dxl dxf 1 дх1
вообще трудно классифицировать. Кроме того, многие авторы
в различных смыслах используют термины эллиптический,
параболический, гиперболический, так что между этими кате-
гориями нельзя провести строгой границы. Понятия эллиптичес-
кого, параболического и гиперболического формальных диффе-
ренциальных операторов с частными производными следует рас-
сматривать скорее как ориентиры в широком поле операторов,
чем как надежные знаки, по которым можно различать отдель-
ные уравнения. В дальнейшем мы увидим, что многие важные
свойства формальных дифференциальных операторов с частными
производными, близкие к тем, на которые указывают эти ориен-
тиры, можно установить на весьма общей основе. С другой сто-
роны, как ультрагиперболический оператор [*], так и зага-
дочный оператор [**] лежат еще в terra incognita.
В то время как основное элементарное выражение (1) довольно»
громоздко, сокращенное обозначение для дифференциальных one-
1. Введение. Задача Коши. Локальная зависимость
799
раторов и уравнений явно недостаточно. В связи с этим мы
посвятили следующий параграф введению ряда обозначений, кото-
рые окажутся полезными в дальнейшем. Центральным моментом
нашего исследования и данного выше элементарного доказа-
тельства локальной зависимости, как будет видно, является
то решающей важности обстоятельство, что исследование можно
проводить в полных пространствах дифференцируемых функций,
если надлежащим образом определить обобщенные производные.
Для этой цели подходят определения, принятые в теории Лорана
Шварца, которой и посвящен § 3. После определения обобщен-
ных производных в смысле теории распределений важно полу-
чить информацию о непрерывности и дифференцируемости (в обыч-
ном смысле) функций, обладающих обобщенными производными
в том или ином обобщенном смысле. Такого рода информация
извлекается из общих теорем Соболева, которым посвящен § 4.
В небольшом § 5 рассмотрены некоторые элементарные вопросы
геометрической теории дифференциальных уравнений с частными
производными.
В § 6 содержится теория эллиптических дифференциальных
уравнений с частными производными и связанных с ними гра-
ничных задач. Он начинается сравнительно элементарным дока-
зательством принципа дифференцируемости слабых решений.
На его основе дается краткое доказательство обобщения Маут-
нера — Гординга — Браудера на произвольные сингулярные само-
сопряженные эллиптические дифференциальные операторы с част-
ными производными теоремы Вейля —Кодаиры о спектральном
представлении для сингулярных самосопряженных обыкновенных
дифференциальных операторов1). Далее мы рассматриваем спект-
ральную теорию эллиптических операторов в ограниченных облас-
тях, излагая теорию общей задачи Дирихле (которая основыва-
ется на фундаментальном неравенстве Гординга) и принципа
дифференцируемости вплоть до границы. В конце параграфа
оказывается возможным дать очень короткое доказательство
интересной теоремы Браудера о полноте в несамосопряженном
случае 2).
В § 7 некоторые из методов, развитых в предыдущих параг-
рафах этой главы, применяются к изучению задачи Коши для
г) Следует заметить, что основная заслуга в нахождении спектрального
разложения эллиптических сингулярных операторов принадлежит А. Я. Повз-
неру [9*], рассмотревшему оператор Шредингера — А + <7 (х1’ *2» хз)- Общий
случай был разобран на пути, проложенном в работе А. Я. Повзнера.
— Прим. ред.
2) Эта теорема является частным случаем общей теоремы М. В. Кел-
дыша [1] о полноте корневых векторов одного класса абстрактных самосоп-
ряженных операторов.— Прим. ред.
•800 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
гиперболических уравнений, при этом дается доказательство общей
теоремы Фридрихса и Лакса о существовании и единственности
решения задачи Коши для симметрических гиперболических систем
дифференциальных уравнений первого порядка с частными произ-
водными.
В § 8 теория эллиптических граничных задач, развитая в § 6,
применяется для пдлучения решения задачи с начальными гра-
ничными условиями для «не зависящего от времени» параболи-
ческого уравнения. Эта теория использует некоторые идеи абст-
рактной теории полугрупп.
2. Обозначения и предварительные сведения
Символ J в этой главе будет обозначать индекс, т. е. &-набор
J = [/±, . ..,/\] целых чисел. Мы пишем | J | = k, minJ= min
max J — max ji и, если множество J пусто, |/| = 0. Через En
обозначается вещественное евклидово /г-мерное пространство, а че-
рез Un — комплексное унитарное n-мерное пространство. Индекс J
будем называть индексом для £п, если minJ>l и тах/^/г.
Если £(ДП, т. е. £ = [В1, ... и J — индекс для Еп, т. е.
J = [/i, ...,/*], & = |J|, то через будет обозначаться выраже-
ние £Д;2 ... Если J [А, ..., jk] и J = [А, ..., Д] — два
индекса, то J (J J обозначает индекс []\, ..., Д, ..., /\]. Если
Л = [/1, /п] —такой индекс, что \L\ = n, a £ = [£i, ... Дп]С£А
то ЬД Д-L будет обозначать величину lili +...+1п1п> Если
B = -.-Дп] и £ = [£1, .. .Дп] — два вектора в Un, то через ££
мы записываем вектор [£Д1, .. .Дп£пЬ
Операции и ~ частного дифференцирования будут иног-
да записываться как dXj или dj и ds соответственно. Если J —
индекс для Еп и | J\ — k, то смешанная частная производная
______________________________&_______
дх- дх- ... дх-
Ч ’’k
будет называться частной производной порядка k=--\J\ и запи-
сываться как dJ. Если | J [ = 0, то оператор dJ определяется как
тождественный оператор
В оставшейся части этой главы, кроме случаев, когда оговорено
противное, п будет фиксированным положительным целым чис-
лом, и мы будем исследовать дифференциальные операторы, урав-
нения с частными производными и т. п., относящиеся к различ-
ным классам функций и «обобщенных функций», определенных
на том или ином подмножестве Еп. Однако иногда мы
2. Обозначения и предварительные сведения
801
будем выделять ту или иную координатную перемен-
ную в Еп, если она играет особую роль в нашем ана-
лизе. Чтобы сделать это с наименьшим числом неудобств в обоз-
начениях, мы будем часто в таких случаях переходить от рас-
смотрения подмножеств в Еп к рассмотрению подмножеств в En+i
и считать Еп+* отождествленным с прямой суммой Еп+1 = Еп@ Е1
^-мерного и одномерного пространств. В соответствии с этим
каждый вектор у£Еп+* будет записываться в виде [х, $], где
r/ = [z/i, s = z/n+1. Если же Еп и Еп+{ рассматриваются
одновременно, то у будет обозначать переменную точку в En+J,
х —переменную точку в Еп, равную [у^ ..., уп], a s = yn+l —
вещественное переменное, равное «выделенной» последней коор-
динате вектора у. Как указано в этих двух последних предло-
жениях, координаты вектора х в Еп будут записываться как х7-
или, если желательно подчеркнуть, что х7- есть /-я координата
вектора х, а не /-й вектор последовательности, иногда исполь-
зуется обозначение (x)j. Тем самым если {хт} — последователь-
ность векторов в Еп, то {(x^);} —соответствующая последова-
тельность /-Х координат. В общем случае, если явно не огово-
рено противное, J, J, J и т. д. будут обозначать индексы для
Еп, т. е. индексы, область изменения которых ограничена усло-
виями maxJ<n. Аналогично через А, Л, Ji будут
записываться индексы для £П+Ч Таким образом, например, если
то 2 есть сокращенное обозначение для
\J\=m
п / n \ m / \ т
Л=1...1 2 т v=l / \1Л=1 /
и аналогично
(n+1 \ т
;=1 /
При рассмотрении функций или обобщенных функций, определен-
ных на Еп или на его подмножествах, символы L, L1? Лит. д.
будут обычно использоваться для индексов, подчиненных усло-
вию \L\ = n, а в остальном произвольных. Так, например, ряд
Фурье функции /, определенной на Еп и периодической с перио-
дом 2л по каждой из переменных, будет записываться либо как
f(x)= 3
|L|=n
либо просто как
f(x)=^aLeiL-x.
L
51 Заказ № 134
802 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Если т —- положительное целое число, то выражение
т = з aj(x)dJ,
где коэффициенты aj — бесконечно дифференцируемые функции
в открытом множестве I Еп, будет называться формальным
дифференциальным оператором с частными производными, опре-
деленным в I, а т'—порядком т. В этом выражении допускается
слагаемое, для которого | J | = 0. Формальный оператор aj (х) dJ,
соответствующий такому индексу J, есть по определению опе-
ратор умножения на бесконечно дифференцируемую функцию,
заданную на I. Если
т •= 2 яj (х) д?
|j|<m
— другой формальный дифференциальный оператор с частными
производными, определенный в /, а / — функция, бесконечно
дифференцируемая в /, то, используя правило Лейбница, мы
можем выражение
Т (Tf) (х) = ~3 ~ 3 (х) df((.aj (х)) dJf) (х)
* \j |J\^m
переписать в виде
~3 Mx)W)(x)-
|j
Применяя правило Лейбница, было бы нетрудно выразить алгеб-
раически коэффициенты бу через коэффициенты а^, aj и их част-
ные производные. Мы пишем
тт = т = 2 6y(x)dJ
\j
и называем т произведением операторов тит. Аналогично, сумма
тит определяется по формуле
3 л (aj(x)+aj(x))ds,
| J f<max(m, m)
где мы полагаем «/=0 при \J\>m и а7===0 при \J\>th.
Пусть / — открытое множество в Еп и / — его замыкание. Мно-
жество С°° (/) состоит из тех определенных на / числовых функ-
ций f, которые имеют непрерывные частные производные всех
порядков. Аналогично, множество С1 (/) состоит из тех определен-
ных на / числовых функций, которые имеют все непрерывные
2, Обозначения и предварительные сведения
803
частные производные порядка не выше k. Множествам CqT (/)
и Со (/) принадлежат те функции из С°° (/) и Ck (/) соответственно,
которые обращаются в нуль вне компактного множества. Ck (Т)
содержит все функции, определенные на /, имеющие все частные
производные порядка не выше k в каждой точке I и такие, что
каждая частная производная имеет непрерывное продолжение на 7.
В этом случае dJf (х) определяется для х £ I и | J | < k как непре-
рывное продолжение функции dJf(x) с / на /. Далее мы полагаем
с°°(Г)= П сй(Г), С“(7) = С“(/), ch/) = d(/).
Часто мы будем рассматривать тот случай, когда / — прямоуголь-
ный параллелепипед в Еп вида
I =.{x^En\aj^.Xj^bj, /= 1, - п},
где ..., ап и ..., Ьп — две последовательности веществен-
ных постоянных. В этом случае через Сл (/) будет обозначаться
подмножество в Ск (/), выделяемое условиями «периодичности»
х2, xn) = dJf(bi, х2, ..., xn), |J|<£,
j — 2, п
9 f (Л'Ь • • • » Л-П-1» #7l) - & f (*^11 • • • 1 Xn~iy 7?п), | J | k,
aj^Xj^bj, j=l, n—1.
Мы полагаем Сл(7) = О С£(/). Тогда, очевидно, С£(/) можно
k^O
рассматривать как подмножество кратнопериодических функций
из С11 (Еп) с периодом bj — aj по переменной х,-, /=1, ..., п.
Векторные пространства С'‘ (/) и т. д. можно следующим обра-
зом превратить в ^-пространства. Пусть Кт— возрастающая после-
довательность компактных подмножеств из I или I. Предположим,
что эти множества таковы, что всякое компактное подмножество
из 7 принадлежит одному из множеств Кт. Тогда для функции /,
лежащей в одном из пространств Ck (7), Ch (I) или Сп(7), мы
полагаем
р. (f; J, т) — sup | dJf (х) |
х£Кт
51*
804 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
и определяем норму f равенством
I f I = V V V 1 и (/; А т)
1/1 ZJ Zj Zl 2m2n•] 1+н(Л А т) ’
т=0 ;=1 | J\=j
Эта норма превращает каждое из перечисленных выше пространств
в полное F-пространство. Если fc<oo и / — компакт, и только
в этом случае, пространства Ck (7) и Сд (7) являются В-простран-
ствами с нормой, эквивалентной выписанной выше, хотя с ней
и не совпадающей. Именно имея в виду эти нормы, мы говорим
о топологии пространств Ck(T), Ch (/) и т. д.
Если т —формальный дифференциальный оператор с частными
производными вида
т = S aJ (*) dJ,
| J\^m
то формальный дифференциальный оператор с частными произ-
водными
т*= 3 (-1/УМ?)
1 JKm
называется сопряженным, или формально сопряженным, к опера-
тору т. Если т = т*, то говорят, что х —формально симметри-
ческий, или формально самосопряженный. Формальный дифферен-
циальный оператор с частными производными
т+= з (-l)VaHx)
\J\^m
называется вещественно сопряженным к т. Формальный диффе-
ренциальный оператор с частными производными
т = 3 aJ W
| J |^т
комплексно присоединенным к т. Непосредственные
показывают, что
(т + т)* = т* + т*,
(тт)* = т*т*,
как
(ат)* = ат*,
если а —комплексное число.
Очень важным является тот
могут вести себя более или менее произвольно, т. е. они не имеют
глобальных «структурных» свойств, которые вытекали бы непо-
называется
вычисления
в то время
(т + т)+ = т+
(тт)+ = т+т+,
(ат)+ = ат+,
факт, что функции f£C°° (Еп)
2, Обозначения и предварительные сведения
805
средственно из определения класса С°°(ЕП). Следующая лемма
выражает один из аспектов этого общего принципа, который най-
дет важные применения в последующих параграфах этой главы.
1. Лемма. Пусть К —компактное подмножество в Еп и По-
открытое множество, содержащее К- Тогда существует такая
функция ф£С°° (Еп), что 0<ф(х)<1 для всех х£Еп, <р (х) = 1
для х£К и ср(х) = О для x$U.
Доказательство. Мы дадим явное построение искомой функции
в несколько этапов. Функция Д, определяемая уравнениями
[°> S<°>
1S ехр( — s"2), s>0,
принадлежит С°° (Е1), обращается в нуль при$<0, положительна
при s>0 и монотонно возрастает. Функция определяемая
соотношением f2 (s) = fa (s) (1 — s), принадлежит С°° (Е1), обра-
щается в нуль при s<0 и s>l и положительна при 0<s< 1.
Функция f3 из С°° (Е1), определяемая интегралом
s
f3(s) = $ f2(t)dt,
— оо
обращается в нуль при s<0, монотонно возрастает, тождественно
равна единице при s>l, и 0<f3(s)Cl при всех s. Функция ge
из С°° (Еп), определяемая равенством
/ 1 \ ( 1 \
/ Х1 о" | I хп л" I
Г-. f2[—,
\ С5 J \ С у
обращается в нуль, если | х | > е/2, положительна при | х |< е/2
и принимает лишь неотрицательные значения. Предположим, что
каждой точке р£К сопоставлено такое положительное число ер,
что {q£En\ \q — p|Cep}^U. По теореме Гейне —Боре ля конеч-
ный набор {1/рА, ..., UPk} множеств Up {q £ Еп | | q — р | < ер/2}
при р^К покрывает множество /С. Если положить
k
g(x) = ^gSp.(x-pj),
то ясно, что g£C°°(Enfa g(x)^>0 для xgK, g(x) = 0 для x$U
и что g принимает лишь неотрицательные значения. Пусть S —
наименьшее значение, принимаемое функцией g на множестве К-
806 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Тогда функция <р, определяемая равенством
лежит в С°°(ЕП), ф(х)—1 для х£К, <р(х) = 0 для x$U и прини-
мает значения в отрезке [0, 1], ч. т. д.
Другое полезное ^свойство функций из С°° состоит в их плот-
ности; это свойство выражено в двух следующих леммах.
2. Лемма. Пусть I —область в Еп и 1 <р«<оз. Тогда под-
множество С™ (/) пространства LP(I) плотно в LP(I).
Доказательство. Пусть R — большой фиксированный куб в Еп,
Л —замкнутое подпространство в LP(R), порожденное множеством
Со° (/?), и В —множество ограниченных функций из Л. В силу
леммы 1 очевидно, что В содержит характеристическую функцию
всякого куба, содержащегося в R. Если f (R) и gn —>g
по норме LP(R), то ясно, что fgn—>fg в LP(JR). Таким образом,
если f£C™(R) и g£A, то fg£A. Повторяя это рассуждение,
находим, что если обе функции fug лежат в В, то и их про-
изведение fg лежит в В, Так как Л содержит разность любых
двух своих элементов, то этим же свойством обладает и В. Таким
образом, если 2 — семейство всех подмножеств из R, характери-
стические функции которых принадлежат В, то 2 содержит допол-
нение всякого своего элемента* а также пересечение и объедине-
ние любых двух своих элементов, т. е. 2 есть поле множеств.
Если {fn} — возрастающая последовательность характеристиче-
ских функций, принадлежащих В, то ясно, что /==Пт/п при-
П->оо
надлежит А и, следовательно, принадлежит В. Таким образом,
S есть о-поле. Поэтому S содержит всякое измеримое по Лебегу
подмножество из R (см. III. 11.3), и, следовательно, А содержит
все LP(R) (см. III.3.8).
Пусть G —замкнутое подпространство в Lp(En), порожденное
С” (Еп). Если х? обозначает характеристическую функцию куба
{* Е Еп | \xt |</, i = I, ..., ti},
то очевидно, что %jf —* f ПРИ / —> со для каждой функции f£Lp (Еп).
Следовательно, в силу первого абзаца настоящего доказательства
Lp(En) = G.
Пусть, наконец, D — замкнутое подпространство в LP(I), поро-
жденное Со (/). Если f£Lp(J), то, как было доказано выше, Суще-
ствует последовательность {fn} элементов из Cq° (Еп), сходящаяся
к f в Lp(l). Пусть % — характеристическая функция I. Тогда
2. Обозначения и предварительные сведения
807
yjm = f при т ~~* 00 • Следовательно, если бы было показано,
что %fm(zD, то отсюда вытекало бы, что f£D, и лемма была бы
доказана. Пусть /0 — то ограниченное открытое подмножество в /,
где fm(x)=£O. Так как /0 — открытое подмножество в Еп, то суще-
ствует возрастающая последовательность {КР} компактных под-
множеств из 10, такая, что J КР^1о- Используя лемму 1,
p=i
построим последовательность {<рд} функций из Со° (/0), таких, что
0<<рд(х)<1 для всех х и фд(х)=1 для x£Kq. Тогда в силу
теоремы Лебега ясно, что при q —> оо, и тем самым
Ч. Т. Д.
3. Лемма. Пусть I — открытое множество в Еп и р —неот-
рицательное целое число. Тогда подмножество Со° (/) в Со (/)
плотно в Со (/).
Доказательство. Полагая все функции из Со (/) равными нулю
вне их областей определения, мы можем считать их принадле-
жащими Со(Еп). Из принципа равномерной непрерывности ясно,
что f (х + у) —> f (х) равномерно по х при |у|—>0 для любой
функции f£Cp (Еп).
Поэтому очевидно, что если f £ Со (Еп) , то f (• + у) —> f (•)
в топологии Ср (Еп) при |у|—>0. Для заданной функции /£Со(/)
пусть К —компактное подмножество в /, вне которого функция f
обращается в нуль. Пусть задано 6>0, выберем е = е(б)>0
так, что
(I) никакая из точек Еп — 1 не лежит на расстоянии, меньшем
или равном 2е от К;
(II) \dJf(x + ya)-dJf(x)\<8, х£Еп, |z/o|<e, \J\^p.
Используя лемму 1, построим неотрицательную функцию
<р С С~ (£п), такую, что
(III) <р(х) = 0, х>е;
(IV) J <p(x)dx=l.
Еп
Пусть
(f * Ч>) w = Р (х~у) <?(y)dy =^<f(x-y)f (у) dy.
Еп Еп
Из второго представления функции /*ф и соотношений (I) и (III)
непосредственно вытекает, что /*фССо°(7). Из первого пред-
808 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
ставления для f*<p и соотношений (II), (III) и (IV) мы имеем
|д7(^»ф)(х)-д^(х)|<6 J <p(x)dx = 6, \J\<p, х£Еп.
Еп
Таким образом, f сколь угодно близко приближается по норме
СР(ЕП) функцией <p*f из Со° (/); лемма тем самым доказана.
В следующей лемме формулируется «принцип разложения еди-
ницы», который будет очень полезен в дальнейшем.
4. Лемма. Пусть К —- компактное подмножество в Еп и {Под-
покрытие К открытыми множествами. Тогда существует конеч-
ный набор ..., fq неотрицательных элементов из С~ (Еп) со сле-
дующими свойствами:
я
(D
2=1
Q
(И) 2л-(х) = 1, Х6К;
3=1
(III) каждая функция fj обращается в нуль вне некоторого
из множеств Ua.
Доказательство. По лемме 1 для каждой точки у£К суще-
ствует неотрицательная функция fy^C™ (Еп) со следующими свой-
ствами: fy(y)>0 и ^(х) = 0, если х лежит вне некоторого мно-
жества Ua. Пусть Ny — {x£En | fy[(x) >0}. Так как К —компакт,
то конечный набор множеств Ny покрывает К. Если {Д, ..., fq}~
Q
соответствующий набор функций, то мы имеем 2 h (х) > 0 Для
2=1
любого х£К. Пусть
N — {xQEn\ 3 6(х)>0).
2=1
Тогда в силу леммы 1 можно найти функцию G£Cq (Еп), такую,
что 0<G(x)<l для всех х, G(x)=l для xQK и G(x) = 0 для
x$N. Если положить
/дх)={1-ад+з/;(х)Г7лх),
3=1
то, очевидно, множество {/\, ...» fq} функций из Со°(£п) обладает
желаемыми свойствами, ч. т. д.
Следующая лемма будет использована в § 7.
2. Обозначения и предварительные сведения
809
5. Лемма. Пусть f£Co(En), тогда f (•) при t—> 1
в топологии пространства Ср (Еп).
Доказательство. По принципу равномерной непрерывности
g(tx}i—»g(x) равномерно по x при /—>1 для каждой функции
g£Co(En). Аналогично, если/—> 1, то/1 J|d|Jig(/x) —>dJg(x) равно-
мерно по х для каждой функции g^Cfi (Еп) при условии, что | J | < р.
Если / — интегрируемая по Лебегу функция, определенная на
подмножестве е в £п, то через
f (х) dx
е
будем обозначать интеграл f по множеству е. Пусть / — открытое
подмножество в Еп, т —формальный дифференциальный оператор
порядка tn и / — функция из Сш(/). Тогда если g£C™(J) и обра-
щается в нуль вне некоторого маленького шара, содержащегося
в /, то, последовательно интегрируя по частям относительно всех
переменных х19 .хп, мы немедленно получаем, что
(1)
(2)
(TD (х) g(x)dx — р (х) (r*g) (х) dx,
I I
5 (т/) (X) g (x) dx= J f (x) (r+g) (x) dx.
I I
Покажем теперь, что эти два соотношения остаются справед-
ливыми для любой функции g из С™ (/). Пусть К —компактное
подмножество в 7, вне которого g обращается в нуль. Пусть
К е U ... U Sp —конечное покрытие К замкнутыми шарами,
целиком содержащимися в /, a S? з Si — семейство открытых
шаров, целиком лежащих в I. Используя лемму 4, мы можем
найти такой конечный набор {fj}, j = 1, ..., q, функций из С~ (/),
каждая из которых обращается^ нуль вне какого-нибудь шара 5?,
q
причем 2 fj W = 1 Для Если положить gj = fjg, то, очевид-
j=i
q
но, 2 gj = g- Так как
j=i
J Ы) (х) gj (х) dx = J f (x) (x+gj) (x) dx, j=l, ..., q,
I I
810 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
то, складывая все эти равенства, мы видим, что из уже доказан-
ного вытекает справедливость соотношения (2) для всех gQC™ (/).
Справедливость соотношения (1) в общем случае устанавливается
точно так же.
3. Теория распределений1)
В последующих параграфах весьма существенно, чтобы диф-
ференциальные операторы с частными производными действовали
в полных пространствах функций. Предположим, например, что
мы рассматриваем оператор, определенный на каждой функции
f из (£2) соотношением
(Aof)(x, z/) = ^-(x, у).
Этот оператор определен на всюду плотном множестве в L2(E2),
но не замкнут. Если принять за Л его замыкание, то окажется,
что D (Л) содержит недифференцируемые функции. Какие именно
недифференцируемые функции? Можно было бы ожидать такого
ответа: «те (недифференцируемые) функции f, у которых dxdyf
принадлежит А2(£2)». Чтобы этот ответ имел смысл, желательно
уметь определять дхду для всякой функции, дифференцируемой
или нет, независимо от того, принадлежит ли dxdyf к Л2 (£2) или
нет. Такая «производная» может уже не быть элементом какого-
либо пространства функций, но должна лишь быть «функцией»
в некотором обобщенном смысле. Все это приводит нас к попыт-
ке определить некоторый вид «обобщенной функции». Весьма
полное и интересное развитие такой теории обобщенных функций
было дано Лораном Шварцем2); обобщенные функции были наз-
ваны им «распределениями». Целью настоящего параграфа являет-
ся изложение тех разделов теории распределений, которые будут
нам необходимы для дальнейшего изучения теории дифферен-
циальных операторов с частными производными.
1. Определение. (I) Пусть / — открытое множество в Еп, {срп} —
последовательность функций из Со° (/) и ср£Со° (/). Если сущест-
вует такое компактное подмножество К <= /, что все функции <рп
обращаются в нуль вне К, и если, кроме того, <рп—хр в топо-
Ч В советской математической литературе распределения часто называют
«обобщенными функциями».— Прим. ред.
2) Дальнейшее развитие этой теории дано И. М. Гельфандом и Г. Е. Ши-
ловым [2*], а также и другими авторами. — Прим. ред.
3, Теория распределений
811
л огни Со° (7), то мы будем писать
Фп 3 Ф в /.
(II) Линейный функционал F, определенный на Со° (/), и такой,
что ^(фп)—»Г(ф), если фп ф в /, называется распределени-
ем в /.
(III) Семейство всех распределений на I мы будем обозначать
через £>(/).
Следующее определение показывает, в каком смысле функции
можно рассматривать как частный случай распределений, раскры-
вая тем самым содержание утверждения: пространство распреде-
лений является пространством обобщенных функций.
2. Определение. Пусть I — открытое множество в En, a f —
функция, определенная на I и интегрируемая (по Лебегу)
на каждом компактном подмножестве из /. Тогда распределение
F, определяемое соотношением
F (<р) = § ср (х) f (к) dx, ср е Со” (/),
1
называется распределением, соответствующим функции f.
Ясно, что если F соответствует функции /, a G —функции g
в смысле данного выше определения, то aF + PG соответствует
функции а/ + р^. Таким образом, линейное пространство функций,
интегрируемых на каждом компактном подмножестве в /, можно
считать вложенным как подпространство в пространство всех
распределений на /. Следующая лемма показывает, что это вло-
жение существенно взаимно однозначно.
3. Лемма. Если в смысле предыдущего определения распре-
деление соответствует двум функциям f и g, то f(x)=g(x)
для почти всех х.
Доказательство. Рассматривая разность f—g, мы можем, оче-
видно, без ограничения общности считать, что g = 0. Таким
образом, мы должны показать, что если для всех ф £ Со° (/)
f (х) ф (х) dx = О,
I
то /(х) = 0 для почти всех х£1. Если X —характеристическая
функция борелевского подмножества е cz /, замыкание е которого
компактно и содержится в /, то из лемм 2.2, III.3.6 и III.6.2
вытекает существование такой последовательности {фп} элементов
из Со* (/), что фп—>ф почти всюду. Если, используя лемму 2.1,
812 Гл. XIV, Линейные уравнения и операторы с частными производными
выбрать такой элемент ф^Со>(/), что ф (х) = 1 для xge, и заме-
нить <рп на фпф, то мы получим, что без ограничения общности
можно считать все функции срп обращающимися в нуль вне неко-
торого компактного подмножества К из /. Если, снова используя
лемму 2.1, выбрать £ QCq (Еп) так, что £(/) = / при
£ (f) = 0 для 111>2, и заменить <рп (•) на £(<рп(-)), то ясно, что без
ограничения общности можно также считать {срп} равномерно огра-
ниченной последовательностью функций. Тогда по теореме Лебега
Sf{x)dx=\ f(x) % (х) dx = lim Г f (x)<pn(x) dx = 0
V П->оо V
el I
для всякого борелевского подмножества е из I, замыкание е кото-
рого содержится в I. Отсюда вытекает (см. Ш.2.15), что /(х) = 0
для почти всех х£1, ч. т. д.
Лемма 3 позволяет дать следующее определение.
4. Определение. Мы будем говорить, что распределение F,
соответствующее в смысле определения 2 некоторой функции,
является функцией. Если f непрерывна, дифференцируема, при-
надлежит LP(J), Сп (/), Cq (/) и т. д., то F будет называться
непрерывной, дифференцируемой, принадлежащей LP(I), Сп(1),
Со° (Z) и т. д. Вообще, мы будем просто отождествлять распре-
деление, являющееся функцией, с функцией, которой оно соот-
ветствует.
В связи с определением 4 следует отметить, что две непре-
рывные функции, определенные в I и различающиеся самое
большее на множестве нулевой лебеговой меры, на самом деле
совпадают всюду. Таким образом, в силу леммы 3 распределе-
ние F соответствует единственной непрерывной функции, если
оно вообще соответствует какой-либо непрерывной функции.
Следующее определение показывает, как можно дифференци-
ровать распределение в I, а также, как можно умножать его на
элемент из С°°(/).
5. Определение. Пусть т —формальный дифференциальный
оператор с частными производными, определенный в открытом
подмножестве I с Еп с коэффициентами из С°° (I), a F — распре-
деление в 1. Тогда xF будет обозначать распределение, опреде-
ляемое соотношением
(тЕ)(ф) = Е(т+ф), <р€Со°(/).
Тот очевидный факт, что из соотношения срп => ср вытекает
=> т+ср, показывает, что xF удовлетворяет условию (II) опре-
3. Теория распределений
813
деления 1, оправдывая тем самым определение 5. Дополнительные
доводы в пользу корректности определения 5 содержатся в сле-
дующей лемме.
6. Лемма. Пусть I — открытое подмножество в Еп. |
(I) Если распределение F в I соответствует функции f из Сп (/),
а т — формальный дифференциальный оператор с частными про-
изводными порядка не выше т, определенный в I, то xF соответ-
ствует функции т/;
(II) T(aF + pG) = aTF + pTG, F,
(III) (ат, + рт2) F = а (t,F) + р (t2F), F Q D (/);
(IV) (т,т2) F = t,(t2F), FQD(I).
Доказательство. Часть (I) вытекает из определения 5 и резуль-
тата об интегрировании по частям, доказанного в последнем
абзаце § 2.
Части (II), (III) и (IV) получаются из определения 5 и оче-
видных равенств
(aTi + 0т2)+ф = а «ф) + 0 «ф),
(т1т2)+ср = < «ф),
справедливых для ср^Со°(/), ч. т. д.
Если оператором т определения 5 является dJ, где J — какой-
либо индекс для Еп, то определение 5 придает смысл распреде-
лению dJF для каждого F£D(I). Если, с другой стороны, опе-
ратор т нулевого порядка, т. е. является оператором умножения
на функцию а из С°° (/), то определение 5 придает смысл про-
изведению aF для всякого F£D(J). Можно рассмотреть несколь-
ко примеров. Предположим, что F — распределение на вещест-
венной оси Е1, которое соответствует недифференцируемой функ-
ции Z (функции Хевисайда), определяемой уравнениями
[ 0, 8<0,
!<Ч1. »>о.
Тогда
оо
T(s)ds, фecs0GE1),
о
и
оо
(dsF) (<р) = — ср' (s) ds = ср (0) — ср (оо) = ф (0),
о
814 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
так что
dsF=S,
где 6 — распределение Дирака, определяемое соотношением
6(<р) = ф(0).
Производные этого распределения, очевидно, определяются
по формулам
б(„) (<р) = (( А)" (Ф) = (— i)Vn> (О)-
Мы имеем
v 'w' ml(-l)Vn-m)(0),
Тем самым
[ т\ ( —
эти равенства впервые были установлены Дираком.
Очевидным образом можно также определить комплексно
сопряженное распределение.
7. Определение. Пусть / — открытое множество в Еп и F —
распределение в I. Тогда распределение F в I, определяемое
равенством
?(ф) = Лф), ф€С?(/),
называется комплексно сопряженным к F.
8. Лемма. Пусть 1 и F —те же, что и в предыдущем опре-
делении, а т — формальный дифференциальный оператор с част-
ными производными, определенный в I. Тогда
(I) P=F,
(II) aF=-aF,
(И1) Л + ^2 = л + г2,
(IV) xF = vF.
(V) Если F соответствует функции f, то F соответствует
комплексно сопряженной к f функции.
Доказательство этой леммы предоставляем читателю в каче-
стве упражнения.
3. Теория распределений
815
Другой важной операцией над распределениями является опе-
рация сужения,
9. Определение. Пусть / — открытое множество в Еп, IQ —
открытое подмножество в I, a F — распределение на /. Тогда
распределение F | /о на Аь определяемое равенством
|/о) (Ф) = /?(Ф), ФССо°°(/о),
называется сужением F на IQ.
10. Лемма. Пусть I и 10 —те же, что и в предыдущем
определении, a F и G — распределения на I. Тогда
(I) соответствие F —>Е|/0 есть линейное отображение D(I)
в D(Iq\,
(II) если F соответствует функции f, то F\ 10 соответствует
функции f | /0;
(III) если т — дифференциальный оператор с частными про-
изводными, определенный в I, а т | /0 обозначает его сужение
на Iq, то
(фо) (F|/o) = (tF|Zo);
(iv) (Ж)=т
(V) пусть 1 —открытое множество в Еп, {Iа} —семейство
открытых подмножеств в I и FQD(J). Если F обращается
в нуль на каждом множестве 1а, то оно обращается в нуль
на U /а. '
а
Доказательство. Первые четыре части этой леммы предостав-
ляем читателю в качестве упражнения.
Для доказательства (V) мы должны показать, исходя из наших
предположений, что F(<p) = O, если фЕСоДОЛ»)- Пусть Д’—ком-
а
пактное подмножество множества J /а, вне которого ф Обращает-
ся
ся в нуль. Используя лемму 2.4, построим такое конечное мно-
р
жество {ф1? ..., фр} функций из Со°(Еп), что ф= Зфуф и каждая
функция фу обращается в нуль вне некоторого множества /а.
Тогда
р
^(ф)= 3 (фуф) = О, ч. т. д.
j=i
Лемма 10 позволяет дать следующее определение.
816 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
11. Определение. Пусть F — распределение в открытом под-
множестве I cz Еп. Замкнутое множество CF в Z, являющееся
дополнением в I к наибольшему открытому в I множеству, на
котором F обращается в нуль, т. е. являющееся дополнением
в 1 к объединению всех открытых подмножеств из /, на кото-
рых F обращается в нуль, называется носителем распределе-
ния F.
12. Лемма. Пусть I —открытое подмножество в Еп, F —
распределение в I, a Ср — его носитель. Пусть 1о —открытое
подмножество в Еп, замыкание которого не пересекается с CF.
Тогда существует единственное распределение G QD (I J /0), такое,
что G\I = F и Cg = Cf.
Доказательство. Пусть К — произвольное компактное под-
множество в / J /0. Тогда КТо и KCF — непересекающиеся компакт-
ные множества. Следовательно, по лемме 2.1 существует такая
функция фкССо° (/ J Iq), что фк(х)=1 для х из окрестности
множества KCF и (%) = 0 для х из окрестности множества К/о-
Положим . G (ср) = F (фкф) для всякой функции ср g Со° (/ U /0),
обращающейся в нуль вне К. Чтобы это определение было
законным, мы должны показать, что если Ко — другое компакт-
ное подмножество из IJ10, вне которого ср обращается в нуль,
то —Но так как в этом случае фкф — Фкоф
обращается в нуль вне компактного подмножества в I — CF, то
утверждение очевидно.
Из определения 1(1) непосредственно вытекает, что С(фп) —»
—»G(cp), если (рп ср в Cq° (ZlJZ0). Так как любые две функции
из Со° (/ U /0) обе обращаются в нуль вне некоторого общего
компактного подмножества в IIJ /0, то ясно, что G —линейный
функционал. Таким образом, G лежит в Z)(/|jZo)- Если ф£Со°(/)
и ср обращается в нуль вце К, то фкф —ф обращается в нуль
вне компактного подмножества в I — CF, так что G (ф) = F (фкф) =
= F(q). Тем самым G\I = F. Если KCF — 0 и функция ср из
Gq° (Z U /0) обращается в нуль вне К, то ясно, что ффк обращает-
ся в нуль вне некоторого компактного подмножества в I — CF;
таким образом, G (ф) = F (фкф) = 0. Это показывает, что CG^CF;
ясно и обратное: CF = CG \ I CG. Этим завершено доказательство
существования распределения G.
Нам осталось доказать лишь единственность G. Допустим,
что G{ — второй элемент из D (I J /0)? такой, что CGa = Cf и G{\I = F.
Тогда в силу леммы 10 и определения И очевидно, что С^-о)
<=CF, в то время как по лемме 10 (Gj — G) |I = F — F = 0, Gt —
— G = 0 в I. Таким образом, из леммы 10 вытекает, что Gj — G = 0,
ч.т. д.
3. Теория распределений
817
Замечание. Если распределение F является сужением распре-
деления G, определенного в открытом множестве I, то говорят
что G есть расширение F на /.
13. Лемма. Пусть Н — линейная комбинация распределений
F и G, определенных в I, т — формальный дифференциальный опе-
ратор с частными производными, определенный в I, и а£С°°(1).
Тогда
(I) Ср U С^;
(II) CXF <== CF*,
(III) Cp = CF,
(IV) если а обращается в нуль вне замкнутого множества К,
то CaF KCF.
Доказательства этих утверждений предоставляем читателю.
Теперь мы хотим заняться изучением важных подпространств
в D(I), являющихся в то же время пространствами функций.
Полезный результат в этом направлении дает нам следующая
элементарная лемма.
14. Лемма. Пусть / — открытое множество в Еп и FQD(I).
Пусть оо>р>1, 1/р + 1/р' =1. Распределение F является
функцией из Lp (/) тогда и только тогда, когда существует
такая конечная постоянная К, что
[*] 1ЛфН<К|Ч>1р', ф€СЗ°(/).
Доказательство. Если FQLp(J), то неравенство [*] есть просто
неравенство Гельдера (см. III.3.2). С другой стороны, если нера-
венство [*1 выполнено, то по теореме Хана —Банаха (II.3.11)
F может быть продолжено до непрерывного линейного функцио-
нала, определенного на всем LP' (/), и тогда лемма вытекает
непосредственно из теоремы IV.8.1.
15. Определение. Пусть / — открытое подмножество в Еп
и k — неотрицательное целое число. Тогда
(I) множество всех FQD(I), таких, что dJF£L?(l) для любого
| J |<fe, мы будем обозначать через Для каждой пары
F, GQ (/) положим
(F, G)w = 2 $ W W dx
\J\^k г
и
1
|F|W = {(F, F)(ft)}5;
52 Заказ № 134
818 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
(II) символ (/) будет обозначать замыкание по норме (/)
подпространства С" (/);
(III) символ Л(й) (/) будет обозначать множество всех таких
FQD(I), что F| /о €Н(К> (/о) для любого открытого подмножества
/о cz I, замыкание которого компактно и содержится в I.
16. Лемма. Пусть I — открытое множество в Еп. Простран-
ство //(й)(/) предыдущего определения является полным гиль-
бертовым пространством, а пространство (J) — его замкну-
тым подпространством.
Доказательство. Пусть {Fn} —фундаментальная последова-
тельность в Так как | F |(ft) > | F |2 для любого FQHW(1),
то ясно, что {Fn} сходится к некоторому F в Т2(Л- Аналогично,
так как | F |(ft) > | dJF |2 для любого F £ (/) и любого индекса J,
такого, что | J |</г, то ясно, что при |J|C& последовательность
{dJFn} сходится к некоторому Fj в L2(/). Пусть <pgCo°(/). Тогда
( Fj (х) ср (х) dx = lim dJFn (<р) = lim (— 1 )wFn (дЛр) = (- 1)|J|F (Уср);
у n->oo n-yoo
этим доказано, что dJF = FjQL2(I) при и тем самым что
Fg//(fe)(/). Так как | dJFn — dJF |2 —> 0 при п—> оо для любого
индекса J, то ясно, что | Fn — F |(&)—> 0 при п—>оо. Это
доказывает полноту пространства (/). То, что это простран-
ствогильбертово, вытекает из определения 15(1). То, что —
замкнутое подпространство Z/(fe) (/), вытекает из определения 15 (II),
ч.т. д.
17. Определение. Пусть / — открытое подмножество в Еп
и k — положительное целое число. Тогда
(I) множество всех FQD(I), таких, что
|F|(-fe)= sup
Ч>£Со>(Г)
If (ф)|
I ф 1(A)
< ОО,
будет обозначаться через й) (/);
(II) множество всех F£D(J), сужения F|/o которых лежат
в Д(~й) (/0) для любого открытого подмножества /0 cz I, такого,
что его компактное замыкание содержится в /, будет обозна-
чаться через Л<-/!)(/).
3, Теория распределений
819
18. Лемма. Пусть I —открытое подмножество в Еп. Тогда
(I) Am(J)s 4(fe+1)(/),
(II) Hw (/) = 7/<fe+1)(7),
(III) Mh) (/) ^ M?+t) (/),
+ oo > k > — OO;
+ oo > k > — oo;
-j- oo k 0;
Более того, тождественное отображение 77<fe+1) (/) в Н(К> (7)
не увеличивает норму и потому непрерывно.
Доказательство. Утверждение (I) вытекает из (II) в силу
определений 15(111) и 17(11). Утверждение (III) вытекает из (II)
и того факта, что | F | E|(h) для всех fe>0 и F£Hih+r>(l)
(см. определение 15(1)). Для доказательства (II) и последнего
утверждения леммы заметим сначала, что в силу определе-
ния 15(1) они очевидны при &>0. Если fe<0 и F^H^^ (Г), то
I F (ф) I I F (ф) I <-[ р I tncC°°(I\
ибо | <р |(_fe_i)< | <р |(-ь) по определению 15(1). Таким образом,
F £ 77(ft) (/). Этим также доказано и последнее утверждение леммы
для k<z6.
19. Лемма. Пусть I —открытое множество в En, a k —целое
число, положительное или отрицательное. Пространство 7/(ft)(7)
является полным В-пространством.
Доказательство. При /г>0 это утверждение совпадает с лем-
мой 16. Если 0, то Нт (7) определено просто как банахово
пространство, сопряженное к /7(-й) (7), так что лемма вытекает
из следствия II.3.2.
20. Определение. Пусть 7 —открытое множество в £п и ft-
целое число, положительное или отрицательное. Пусть {1т},
т^>\, —последовательность открытых подмножеств в I, замыка-
ния которых компактны и содержатся в 7, причем J 1т = 1-
т=1
Тогда для каждого F£AW(I) мы полагаем
II Р II,.. — V J- , I 1 6п) |(А>
II г Над 2™ 1 + I (F I Im) |(ft) •
m=l
21. Лемма. Пусть I и k—те же, что и в предыдущей лемме.
Т огда
(I) Ат (7) с нормой определения 20 является полным F-npo-
странспгвом',
52*
820 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
(II) если {1т}, т>1, —другая последовательность открытых
подмножеств из I, замыкания которых компактны и содержатся
в /, такая, что U 1т = 1, то норма |] Z7 ||(Л), введенная в Л(й) (/)
m=i
по определению 20, но со слагаемыми, соответствующими после-
довательности {1т}, задает в Л(/г)(/) топологию, эквивалентную
той, которая определялась по последовательности {1т}.
Доказательство. Часть (I) является простым следствием лем-
мы 19; детали доказательства мы оставляем читателю. Так как
обе топологии в пункте (II) являются метрическими, то для дока-
зательства (II) достаточно, очевидно, заметить, что Fn —> О
в любой из этих двух топологий тогда и только тогда, когда
I (Рп | /о) \(ю о для всякого открытого подмножества /0 cz I, замы-
кание которого компактно и содержится в /.
Замечание. В дальнейшем под словами «топология простран-
ства Л(й) (/)» будет пониматься топология, определяемая метри-
кой определения 20 и леммы 21.
22. Лемма. Пусть I — открытое множество в Еп, т — формаль-
ный дифференциальный оператор с частными производными
порядка k, коэффициенты которого принадлежат С°° (/). Тогда
(I) F —> xF есть непрерывное линейное отображение Л(;) (/)
в --- оо < / < оо;
(II) если I имеет компактное замыкание Т, а коэффициенты т
бесконечно дифференцируемы в некоторой окрестности I,
то F —>xF является непрерывным линейным отображением
в Ни~ку(Г), — оо</<оо;
(III) если I имеет компактное замыкание I, а коэффициенты т
бесконечно дифференцируемы в некоторой окрестности I, то F
—>xF является непрерывным линейным отображением (/)
в Н(ГкУ (I), 6</<оо.
Доказательство. Допустим, что (II) доказано. Тогда, поскольку
xF £Со° (/) для F £Cq° (/), утверждение (III) вытекает из опреде-
ления 15(11). Так как в силу леммы 9 (III), х (F | /0) = (xF) | /0,
то из определения 20 вытекает (I). Следовательно, мы должны
доказать лишь (II). Для этого предположим сначала, что />£.
Пусть
dJ1x = 2 aj (х; dJ
3, Теория распределений
821
И
А= max max max | aj (%; Л) [.
x£l
Тогда по определению 15(1) мы имеем
= 13 13 <.я-я,)Л2|21‘,2<
<Л|^|(Л{ 3 l}1/2 = A^)/2|fU
UilS/-k
что доказывает (II) в частном случае j>k.
Пусть теперь / = — р неположительно. Тогда по определе-
нию 17
I (tf) (ч>) I _
IФ !<р+й>
1 Г (т+ф) | I *+Ф 1<р) <
|Т+ф|Р ' 1 <Р 1(₽+А>
<P6Cq (1)
<рес0 (I)
sup
sup
4>ec^u)
I *+ф |(р)
I ф |(р+&)
Из уже рассмотренного частного случая вытекает, что послед-
ний множитель конечен; это доказывает (II) в том случае, когда /
неположительно.
Наконец, мы должны рассмотреть случай Мы имеем
tF= 2 aj{-)dJF,
\J[^k
так что из леммы 6 и уже доказанного вытекает, что достаточно
проверить непрерывность отображения F—>dJF из //(i)(/) в
для | J | = tn^.k. Пусть J = [Z19 ..., /т1, так что dJF = dim ... dtlF.
Тогда, поскольку (II) доказано для положительного / — /г, полу-
чаем, что F —» dim ... dirF есть непрерывное отображение 7У0) (/)
в L2(/), а используя уже установленное утверждение (II) для
неположительных /, убеждаемся, что соответствие F-^dim ... d^F
является непрерывным отображением Я0) (/) —> н^-тУ> (/). так
как по лемме 18(11) тождественное отображение Я(;-т)(/)
в Н^~к) (/) непрерывно, то лемма доказана.
822 Гл, XIV, Линейные уравнения и операторы с частными производными
Несложное доказательство следующего дополнения к лемме 22
мы предоставляем читателю.
23. Лемма. Пусть / — открытое множество в Еп, 10 — откры-
тое подмножество в I, и k —целое число. Тогда
(I) соответствие F—>F является непрерывным отображением
Л(/г) (/) в себя и (/) в себя;
(II) соответствие F—*F\1q является непрерывным отображе-
нием AW(I) в AW(JO) и в Hw (10).
24. Лемма. Пусть I —открытое подмножество в Еп, k — целое
число, и F — распределение в I,
(I) Если каждая точка pQl имеет окрестность Up, содер-
жащуюся в I, и такую, что F\UpQA^(Up), то F£AW (/).
(II) Если I —компакт и каждая точка pQl имеет такую
окрестность Up, что F \ UPI (UPI), то F£HW(J),
(III) Если I — компакт, k^O, и каждая точка pQl имеет
такую окрестность Up, что F \UPI (UpT), то FQH^(UPI).
Доказательство. Часть (I), очевидно, вытекает из (II) и лем-
мы 23. Для доказательства (II) будем рассуждать следующим
образом. Пусть F \UPI = Fp, Используя лемму 2.4, построим {срт},
т=1, М, —такое множество функций из С°°(Еп), что ср™,
м
обращается в нуль вне некоторой окрестности Um и 3 фт(*) = 1
т=1
_ М
тождественно для х из окрестности /. Тогда F = 3 ^тфт»
т=1
и мы должны лишь показать, что Fmqm Q (/) для всех
т=1, ..., М. Другими словами (см. лемму 13(IV)), мы можем
и будем далее без ограничения общности предполагать, что замы-
кание носителя F содержится в одной окрестности Up,
Пусть £>0. Тогда, с одной стороны, dJF равна в Up квадра-
тично интегрируемой функции fj, С другой стороны, если
положить fj(x) = 0 для xQUp, то F = fj и в дополнении замкну-
того подмножества в UPI, Следовательно, по лемме 10, F = fj
из А2(/), и потому доказано, что F лежит в Hk (I),
Пусть теперь k^Q, Используя лемму 2.1, построим функцию
ФСС^([7Р), тождественно равную единице в окрестности замыка-
ния носителя F, Тогда
F (Ф) = F (Фф) - (FI Vpl) (Фф), Ф С С? (/),
3, Теория распределений
823
так что по определению 17
. „, I (Р I иР1) (W) I
S“P mi.-», -
<P6CO(I)
= sup /)k sup
фесР(/) rn-» ц 1 ^|()фес~р(Г)
I М>ф |<-А>
I ф 1<—А)
Так как последний множитель по лемме 22(11) конечен, то утвер-
ждение (II) доказано.
Точно так же для доказательства (III) достаточно показать,
что (/). По предположению существует последователь-
ность {фг} элементов из (£п), каждый из которых обращается
в нуль вне !Um, и такая, что
lim 2 \^JF4>m(x) — dJ^i(x)\2dx = 0.
l~*°° \J\^k Uml
Так как dJFqm (%) = 0 для x£l — UmI, то отсюда вытекает, что
lim 2 I 3J%(x)-dJtyi W |2dx = 0.
/_>о° i
Таким образом, Fq^QH^ (I).
Аналогично, используя лемму 2.4, можно доказать следующую
лемму (доказательство предоставляем провести читателю).
25. Лемма. Пусть F — распределение в открытом подмноже-
стве 1с.Еп, 1<.р<оо, и k — неотрицательное целое число.
Тогда
(I) если каждая точка qQI имеет окрестность Uq, содержа-
щуюся в I, и такую, что F\Uq является: функцией, то и F
является функцией',
(II) если каждая точка qQl имеет окрестность Uq, содержа-
щуюся в I, и такую, что F\Uq является функцией из Ck(Uq),
то и F принадлежит Ck(J);
(III) если I —компакт и каждая точка qQl имеет окрест-
ность Uq, такую, что F\UqI QLp(UqI), то FQLP(I);
(IV) если I —компакт и каждая точка qQl имеет окрест-
ность Uq, такую, что F\UqI QCn (UqI), то FQCn(T).
В пространство D(I) полезно ввести топологию. Рассматри-
вая О(/) как множество линейных функционалов на Со°(/), наде-
лим его слабой топологией.
26. Определение. Пусть I — открытое подмножество в Еп. Базис-
ными окрестностями распределения F в топологии пространства
824 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
D (/) являются множества
N (фь ...» =
= {G С D (/) 11 F (фО — G (фО I < 8, i = 1, ..., т},
где 8 — положительное число, т — положительное целое число,
а Ф1, ..., фиг — элементы пространства Со° (/).
27. Лемма. Пусть I — открытое множество в Еп, IQ — откры-
тое подмножество в I. Тогда
(I) если т — формальный дифференциальный оператор с част-
ными производными с коэффициентами из С°°(/), то F—^xF
есть непрерывное отображение D(I) в себя;
(II) F —> F — непрерывное отображение D(I) в себя;
(III) F —» F|/o—- непрерывное отображение D(I) в D(Io)-
Доказательство. Пусть £2 и £3 обозначают отображения в (II)
и (III) соответственно, а А: Со° (/0)—> Со° (/) определяется равен-
ствами
(Аф)(х) = 0, xQI — Iq; Аф(х) = ф(х), xQIq.
Тогда (I), (II) и (III) являются соответственно следствиями сле-
дующих трех очевидных формул:
<{GCD(/)| |F(TM-G(^)l<e, Z=l, ...,/п}^
е{#бЩ7)||(тЛ(фг)-77(фг)|<8, i=l, ...,/п};
Ъ {G 6 D (7) | | F (фО - G (фО | < 8, 7=1, ...,т}<=
s{77GO(/)l |(^)(фг)-77(фг)|<8, 1 = 1, ...,т};
C3{GGO(/)| |Г(Лфг)-С(Лф{)|<е, 1 = 1, ..., т}<=
£{77^(/о)|1С3ЛЫ-^(<Рг)|<е, » = •••,/»}•
28. Лемма. Пусть I—открытое подмножество в Еп, k —целое
число, и {ат} — последовательность функций из С°° (7), такая,
что ат—> 0 в топологии С°° (Г). Тогда
(I) для любого F £ D (7) последовательность amF —> 0 в топо-
логии D (/);
(II) для любого FQAh(l) последовательность amF —» 0 в топо-
логии Ak (7);
(III) если ат и их частные производные всех порядков стре-
мятся к нулю равномерно на I при т—> оо, то последователь-
ность отображений F —> amF пространства 77(/!) (I) в 77(ft) (/)
стремится к нулю в равномерной операторной топологии.
3, Теория распределений
825
Доказательство. Ясно, amq 0 для любой функции <рССо°(/)
при т —» оо. Поэтому (I) вытекает непосредственно из опреде-
ления 26. В силу определения 20 и леммы 10(111) утверждение (II)
вытекает непосредственно из (III). Для доказательства (III) пред-
положим сначала, что k>Q. Тогда в силу леммы 6 (IV), позво-
ляющей разложить dJamF по правилу Лейбница, мы имеем
I ат F |(ft) = У П dJamF |2 A {max sup | д’ат (х) |) | F
где Л— постоянная, зависящая лишь от k. Тем самым (III) дока-
зано для &>0. Если k=^ —р, где р>0, то
I amF |(fe) = sup
<P6Cg°(J)
I P (^тпф) I
I Ф kp>
Фбфп
I атф l(p)
IФ kp)
<|F|(ft) sup
так что утверждение (III) для &<:0, очевидно, вытекает из его
справедливости для р>0.
Кроме функций и распределений, введенных в определении 1
и различных определениях и леммах вплоть до леммы 27, нам
необходимо рассмотреть некоторые классы кратнопериодических
функций и соответствующие классы распределений. Если явно
не оговорено противное, мы будем в нескольких следующих
определениях и леммах иметь дело с кубом
C = {xQEn\ |^|<л}
в евклидовом л-мерном пространстве Еп. Противоположные грани
куба будут «отождествляться», т. е., если явно не оговорено про-
тивное, мы будем предполагать все функции от х кратноперио-
дическими с периодом 2л по переменным х = [х1, ..., хп].
Это означает, что любые две точки х и х на границе куба С,
такие, что \Xj — Х/| = 0 или 2л для всех /, мы считаем отожде-
ствленными и определяем окрестность точки (после отождествле-
ния с х и всевозможными другими точками) как пересечение С
с открытым множеством в Еп, содержащим х и все точки, с кото-
рыми х отождествлена. Ясно, что после таких отождествлений
С становится топологически эквивалентным прямому произведе-
нию п экземпляров единичной окружности на плоскости. В даль-
нейшем мы всегда будем предполагать, что эти отождествле-
ния выполнены, и понимать такие топологические термины как
«открытое множество», «замкнутое множество» и т. д. в этом
несколько измененном смысле. Так как мы имеем дело лишь
с кратнопериодическими функциями, то все функции будут вполне
определены на множестве С даже после выполнения указанных
826 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
выше отождествлений. Напротив, это основная причина того,
почему мы рассматриваем лишь кратнопериодические функции.
Конечно, если говорить лишь о подмножествах внутренности
куба С в Еп, то никаких отождествлений не производится и тер-
мины «открытое множество», «замкнутое множество» и т. п. имеют
обычный смысл. Мы будем рассматривать пространства Fn(C)
всех функций, определенных на С, кратнопериодических с перио-
дом 2л по переменном х = [хь ..., хп], и пространства
С~(С) = {^С°° (С)|/егя (С)}
и
с^(с)={/еср(с)|/с£я(с)}.
Если / — открытое (в смысле предыдущего абзаца) подмножество
куба С, то через Ся, о (/) будет обозначаться подпространство
в Ся (С), состоящее из всех функций Ся (С), которые обращаются
в нуль вне компактного подмножества из I. Пусть / — открытое
подмножество в С. Мы будем писать fn^$- f в /, если /п, f при-
надлежат Ся, о(/), все функции fn обращаются в нуль вне фикси-
рованного компактного подмножества из I и fn —» f в топологии
С°° (/) при п —» оо. Мы можем дать теперь определение, соот-
ветствующее определению 1 (II).
29. Определение. Пусть / — открытое подмножество куба С.
Пространство £>я (/) состоит из всех таких линейных функциона-
лов F на Ся, о(/), что F (срп) —> F (ср), если cpnz>cp в /. Элементы
пространства Оя (/) будут называться распределениями, кратно-
периодическими на множестве I.
Следует специально отметить, что если I — открытое под-
множество внутренности С, то, очевидно, Dn (/) и D (/) являются
двумя обозначениями одного и того же пространства.
Предыдущие рассуждения могут быть теперь проведены
и в этой новой ситуации. Так как различие состоит в нескольких
незначительных моментах (часто лишь в замене Со° (/) на Ся> о(/)),
то мы лишь наметим их ход, а детальное проведение предо-
ставим самому читателю.
30. Определение. Пусть / — открытое подмножество куба С.
Говорят, что элемент FQDn(I) соответствует функции f, если
функция f интегрируема (по Лебегу) на каждом компактнолМ
подмножестве в / и
F (ф) = $ f (*) Ф (*) dx, ф€Сл, о (7).
3, Теория распределений
827
Если F и f соответствуют друг другу в этом смысле, то они
могут быть отождествлены в тех случаях, когда такое отожде-
ствление не приводит к путанице.
Аналоги леммы 3 и определения 4 очевидны, и вместо их
формулировки, если это будет необходимо, мы просто будем
ссылаться на лемму 3 или определение 4, обобщенные на Оя(/).
31. Определение. Предположим, что / — открытое подмноже-
ство в С и 77gDJt(/).
(I) Пусть т —формальный дифференциальный оператор с част-
ными производными с коэффициентами из Сд (С). Через nF будем
обозначать элемент из Оя(/), определяемый равенством
(тЛ)(ф) = ^(т+Ф), ф€С£0(/).
(II) Символ F будет обозначать элемент из Оя(/), определяе-
мый равенством
^(Ф) = ^(Ф), ф£С~о(/).
(III) Если /0 —открытое подмножество в /, то сужение F | /0
будет обозначать элемент из Оя(/), определяемый равенством
(F | /о) (Ф) = ^ (Ф), ФбС~о(/о).
Аналоги лемм 6 —9 и леммы 14 очевидны, и вместо их под-
робных формулировок, приспособленных к новому случаю, мы
будем, если это необходимо, просто ссылаться на лемму бит. д.,
обобщенную на Оя (/).
Лемма 10 также очевидным образом применима в новой ситуа-
ции, но следует, однако, помнить, что термин «открытое мно-
жество» надо понимать в смысле, разъясненном в абзаце, пред-
шествующем определению 29. Имея это в виду, мы можем сле-
дующим образом обобщить определение 11.
32. Определение. Пусть / — открытое подмножество куба С
и FQDn(I). Замкнутое множество CFcz/, являющееся дополне-
нием к наибольшему открытому в / множеству, на котором F
обращается в нуль, т. е. являющееся дополнением в / к объеди-
нению всех открытых в / подмножеств, на которых F обращается
в нуль, называется носителем F.
Лемму 12 можно теперь распространить, по существу с тем
же доказательством, и на новый случай. Однако очевидное след-
ствие леммы 12, обобщенной на Оя(/), будет иметь большое
значение в дальнейших рассмотрениях, и мы сформулируем его
в виде следующей леммы.
33. Лемма. Пусть I — открытое подмножество внутренности
куба С и F£D(J). Предположим, что носитель CF распределе-
828 Гл, XIV, Линейные уравнения и операторы с частными производными
ния F является компактным подмножеством в I. Тогда сущест-
вует единственное распределение G£Dn(C), такое, что F = G\I
и CG — Ср,
В последних параграфах распределение G будет трактоваться
как естественное расширение F на С или просто как распреде-
ление F, рассматриваемое как элемент из Dn(C),
Следующие определения очевидным образом обобщают опреде-
ления 15, 17 и 21 на новый случай.
34. Определение. Пусть / — открытое подмножество куба С,
и k — неотрицательное целое число.
(а) Множество всех для которых dJF^L2(I) при
J\^k, будет обозначаться через Для каждой пары F,
мы полагаем
(F, G)(ft)= W (dJG) (х) dx
I
и
|F|(ft) = {(F, F)(fe)}1/2.
(b) Через (/) мы будем обозначать замыкание по норме
Нл} (Г) подпространства Ся, о (/) в (I).
(с) Символ (/) будет обозначать множество всех таких
что F | /о С //л > (/о) Для любого открытого подмножества
IQ cz I, замыкание которого компактно и содержится в I,
35. Определение. Пусть / — открытое подмножество куба С,
и k — положительное целое число.
(I) Множество всех F^Dn(l), для которых
1/7 1 - СИП । F((P)I
Ф£С“ 0(D Ф
будет обозначаться через (/)•
(II) Множество всех F£Dn(I), таких, что F110 £ flVh) (/о) для
любого открытого подмножества /0 cz /, замыкание которого ком-
пактно и содержится в /, будет обозначаться через Л(Я“Ь)(/).
36. Определение. Пусть / — открытое подмножество куба С, k —
целое число, положительное или отрицательное, и {1т}, т>1,—
последовательность открытых подмножеств из /, замыкания
которых компактны и содержатся в /, причем J 1т = 1. Тогда
3, Теория распределений
829
для каждого F^A„\l) положим
II 17 II _ V 1____! I Лп) l(fe)
llr HW- 2т 1 + I (F I 1т) |(А) •
т=1
После того как даны эти определения, легко приспособить
все леммы от леммы 13 до леммы 23 к новой ситуации. Предо-
ставляем сделать это читателю. Вместо точных формулировок
утверждений, если это будет необходимо, мы будем просто
ссылаться на лемму 13 и т. д., обобщенную на Оя(/). В случае
леммы 27 топология пространства должна быть описана
в соответствии с обобщением определения 26. Это сделано в сле-
дующем определении.
37. Определение. Пусть / — открытое подмножество куба С.
Базисными окрестностями распределения F в топологии прост-
ранства Dn (/) являются множества
W(<P1, . .фт, 6, F) =
= {G С Dn(I) | | F (фг) — G (фО | < 8, i = 1, ..., т},
где 8 —положительное число, т — положительное целое число,
а фь ..., фш —элементы из С^, о(/)«
Важное значение имеет вопрос о возможности разложения
элементов F пространства Оя (С) в ряды Фурье. Следующие опре-
деление и лемма показывают, как это должно быть сделано.
38. Определение. Пусть /7^ОЯ(С) и L — индекс, причем
\L\ = n. Выражение
называется L-м коэффициентом Фурье распределения F. Фор-
мальный ряд
(2n)~n^FLeiL‘x
L
называется рядом Фурье распределения F.
39. Лемма. Ряд Фурье элемента FQDn(C) сходится в Dn(C)
безусловно к F.
Доказательство. Из определения 37 топологии в Dn (С) выте-
кает, что достаточно доказать безусловную сходимость к ^(ф)
ряда
(2л) ~п У] Fl eiL‘x(f (х) dx
l с
830 Гл, XIV, Линейные уравнения и операторы с частным и пр оизводным и
для любой функции <р£Сл (С). Для всякого множества А индек-
сов L мы имеем
(2л)-п2 Pl eiL'x(p(x) dx = F ((2л)-п У, (pLe~iL'x^ ,
LEA С LEA Z
где
['I <Pl= <f(x)eiL-xdx, <pGC“(C).
c
Таким образом, достаточно показать, что для любой функции
<pGC„(C) ряд
[*] (2л)-п2Фь^’ж
L
сходится безусловно в топологии Сд (С) к ср. По теореме План-
шереля (XI.3.9; см. также XI.3.22 и далее) для любой ф^Сд (С)
этот ряд сходится безусловно к ср в топологии L2(C), Следова-
тельно, достаточно показать, что ряд [*] сходится безусловно
в топологии Сл(С), т. е. сходится абсолютно после любого
почленного дифференцирования. Мы покажем на самом деле, что
выполнено соотношение
[** ] ы=о((1+/н...+т
при любом сколь угодно большом положительном р, откуда,
очевидно, будет вытекать нужная нам абсолютная сходимость.
Для получения этого соотношения проинтегрируем выражение ['}
по частям 2р раз по тем из переменных Xj, для которых lj
не равно нулю; без ограничения общности можно считать, что
ими являются переменные Это приводит к равенству
Фь-(0?пр(Л 1тУ2Р J (д, ... дт)2Р ср(х) eiL,xdx,
с
и так как (/<... 4г)“2р<я G! + • • • +^п)“р, если 1т^ = ... = /п = 0г
т^О, то мы имеем
• • • +Рп)~р max |dJ<p(x)|,
IJ |^2тпр
откуда, очевидно, вытекает оценка [**], ч. т. д.
40. Лемма. Пусть Р£ОЯ(С), тогда
(I) =
(П) {d]F)L={iL)3FL.
3. Теория распределений
831
Доказательство. Оба эти утверждения вытекают непосред-
ственно из определения 38.
41. Лемма. Пусть F QDn(C) и k —целое число.
(I) Распределение F принадлежит (С) тогда и только
тогда, когда
IIF ||(й) = {2 (1 +/!+ •.. +№ I Fl Н1/2 < со.
Li
(II) Норма || F ||(h) в пространстве (0) эквивалентна норме
этого пространства, введенной в определениях 34 и 35.
(III) Если Р^НяЦС), то его ряд Фурье сходится безусловно
к F в топологии НяЦС).
Доказательство. Предположим сначала, что k — b. Из лем-
мы 39 вытекает, что
L
где
<Ръ= eiL'x(f (х) dx.
с
Так как по теореме Планшереля (XI.3.9)
1ф122 = (2л)-пЗ|<рь|2,
Lt
то из леммы 14 вытекает, что FQL2(C), если ||F||0<oo. В этом
случае по теореме Планшереля мы имеем также
|F|22 = (2n)nSl^|2.
Предположим теперь, что &>0. Пусть || F ||(h)’< со. Тогда
в силу леммы 40 (II) и уже доказанного, F Q Н^Р (С) и | F |(ь> <
<Л || F ||(h), где А — конечная постоянная, зависящая только от k.
Обратно, если | F |(ft) < со, то по лемме 40(11) и теореме План-
шереля мы имеем
3 S|£Jmi2=mw.
\J\^k L
Очевидно; существует такая конечная постоянная А, зависящая
лишь от k, что
(1+/*+...+/*)'‘<Л 3 |LJ|2;
|J|<h
отсюда вытекает неравенство || /7||(Ь)< А | Т7!^) < оо.
832 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Тем самым утверждения (I) и (II) доказаны для k>0. Пред-
положим далее, что k=—р, где р>0. Пусть | F <; со, так
что в силу определения 35 и доказанного выше существует такая
постоянная М <_ А | F |(ft), где А зависит лишь от k, что
I F (<р) | С М || <р ||(р), фСС“(С).
В силу леммы 39 эт*о неравенство можно переписать в виде
(1) | Жфь1< М {3 (1+%+... + /у|фь|2}1/2, ФСС^(С),
L L
множество
eiL'xy (х) dx
с
— то же, что и в формуле ['] из доказательства леммы 39.
Из неравенства (1) и теоремы Хана —Банаха (И.3.11) вытекает,
что линейный функционал
{фь}-*3^ьфь
может быть продолжен до непрерывного линейного функционала
с нормой, не превосходящей М, определенного на гильбертовом
пространстве fa всех кратных последовательностей {cpL}, таких,
что
II {фь} II = {3 (1 +П + . . . + НУ I Фь |2}1/2 < оо.
Так как
3 Л,фь == 3 [Fb (1 + Н + ... + /^)-П Фь (1 +. т ну,
L L
то из теоремы IV.8.1 вытекает, что
3 I Fl(1 +/х2+ • • • +1пГр |2 (1 + 4 + • • • +12пУ<М,
L
и потому существует такая постоянная А, зависящая лишь от /?,
что ||77||(к)<Л \F\(k) для всех Обратно, если FQD^^C)
и = оо, то из неравенства Шварца непосредственно
вытекает, что
13 I < || F ||(ft) {2 (1 +. + Рпу I Фь |Ф/2.
Используя доказанное выше, мы можем это неравенство пере-
писать в виде
IF(ф) |<Л ||F ||(&) |ф |(р), фбСл (С),
3. Теория распределений
833
где Л —постоянная, зависящая лишь от k. Таким образом, в силу
определения 35, и
\F\(k)<A ||F|!(fe),
где Л —постоянная, зависящая лишь от k. Тем самым (I) и (II)
доказаны во всех случаях.
Теперь совсем нетрудно доказать (III). В силу (I) и (II) мы
должны показать, что если {Лщ} —произвольная возрастающая
последовательность конечных подмножеств множества {L\ | L | = п},
такая, что
U Ат — {L11 L | = и},
т=1
и если
то
IIF- 3 FLe^\\m = { 2 I(1Fl|2}1/2-*о
L^Am
при т~>оо. Это утверждение вытекает непосредственно из тео-
ремы Лебега. Лемма доказана.
Теория кратнопериодических распределений может быть
развита точно таким же образом и для функций, определенных
на произвольном прямоугольном параллелепипеде С:
('] C = {x£En\aj<Xj^bj, / = 1, .
Нужно только заменить пространство Fn (С) функций, кратно-
периодических с периодом 2л на кубе С, пространством Fn (С)
функций, кратнопериодических в параллелепипеде С и имеющих
период bi — ai по переменной ..., Ьп — ап по переменной хп.
Мы предоставляем читателю провести подробно эти рассмотрения.
В последующих параграфах в случае необходимости мы будем
просто ссылаться на определение 1, лемму 3 и т. д., обоб-
щенные на £>л(С), //л}(С) и т. д. Следует, однако, дать аналог
некоторых частей определения 38 и лемм 39 и 41.
42. Определение. Пусть С —прямоугольный параллелепипед
['], обозначает вектор (2л) [(fti — tfi)"1, ..(bn — Яд)-1], a v (С) —
произведение (b1 — a1)(b2'-a2) ... (Ьп — ап). Пусть L —индекс,
53 Заказ № 134
834 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
такой, что | L | = п, a FQDn(C). Тогда выражение
FL = F(e~iL'^x)
называется L-м коэффициентом Фурье распределения F. Формаль-
ный ряд
L
называется рядом Фурье распределения F.
43. Лемма. Пусть выполнены условия предыдущего опреде-
ления.
(I) Ряд Фурье элемента F (С) сходится в Dn (С) безус-
ловно к F.
(И) Если F (С), то ряд Фурье элемента F сходится
безусловно к F в топологии пространства (С).
(III) Пусть k — целое число. Выражение
11Пм = { 2
|L|=u
конечно тогда и только тогда, когда элемент F из Dn (С) при-
надлежит (С); оно определяет в (С) норму, эквивалент-
ную норме этого пространства, описанную в определениях 32
и 33 (очевидным образом обобщенных).
Следующий вопрос, который мы хотим затронуть, —это пове-
дение распределений при замене переменных.
44. Определение. Пусть Ц — область в ЕП1, а 12 — область
в ЕП2; М : Л—»/2 —такое отображение Ц в /2, что
(а) М~гС — компактное подмножество в Ц, если только С — ком-
пактное подмножество в 12,
(b) (М(.)Ъес~(Л), /=1, ...,П2.
Тогда
(I) для всякой функции <р G С°° (/2) через ф ° М. мы будем
обозначать функцию ф из определяемую для х^Ц равен-
ством ф (х) = ф (М (х));
(II) для любого F QD (Ц) символом F о М'1 мы" будем обозначать
распределение G£D(12), определяемое для фбС^(/2) равенством
G (ф) = F (ф ° Л1).
Замечание. Следует отметить, что из пункта (Ь) данного
выше определения вытекает, что ф ° М £С°° (Д), если ф^С°°(/2),
и что ф—>фоД4 является непрерывным отображением С°° (/2)
3. Теория распределений
835
в С00 (Л). (Определение топологий в этих пространствах см. в § 2.)
В силу (а), ф—>фо/И отображает С™ (/2) в (Л). Опять же
в силу (а), все функции последовательности {фт°Л4} обращаются
в нуль вне некоторого фиксированного компактного подмно-
жества в /п если все функции последовательности {фт} обра-
щаются в нуль вне некоторого фиксированного компактного
подмножества в /2. Тем самым из (а) и (Ь) вытекает, что
Фт°Л4з>ф°Л1, если фтг£ф, и поэтому (II) предыдущего опре-
деления дает корректное определение элемента G из D (12).
45. Лемма. Пусть Ц — область в ЕП1, 'а /2 — область в Еп\
Пусть М : Л—> 12 — отображение Л в /2, удовлетворяющее усло-
виям (а) и (Ь) определения 44. Тогда
(а) отображение FF ° Mr1 является непрерывным линей-
ным отображением D(I^) в D(I2);
(b) FoM'^FoM-1, F^DUi);
(с) если /2 — открытое подмножество в 12 и li = M~1T2, то
(FoM-1)\I2^(F\ii)oM~1.
Доказательство этой леммы получается непосредственно из
самих определений входящих в нее понятий. Предоставляем чита-
телю провести доказательство этой леммы. Доказательство сле-
дующей леммы также элементарно, и мы его не приводим.
46. Лемма. Пусть Ij —область в Е\ j = 1 ,2, 3, : Л—>/2,
Л42:12 —* h — такие отображения, что
(а) М~ХС является компактным подмножеством в для
любого компактного подмножества С cz /2; М.~гС является ком-
пактным подмножеством в 12 для любого компактного подмно-
жества С cz /3;
(Ь) (М, (•));£(> (Л), 1</</г2,
(М2(.))^С~(/2), 1</<п3.
Тогда для любого F£D(Ji)
Fo(M1M2)~1 = (FM;1)oM;1.
Если в лемме 45 М является взаимно однозначным отобра-
жением на все /2, то мы можем дать дополнительную инфор-
мацию.
47. Лемма. Пусть Д и 12 — области в Еп и М —
взаимно однозначное отображение Ц на все 12. Предположим,
53*
836 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
(а) (Л4(•));€С00(Л), /=1, п;
(Ь) (М'Ч-)ЪеСте(/2), п.
Тогда
(I) (aF) ° M~r = а^'1^)) (F <> М'1), FQD^);
(II) (djF) о М-1 = 3 {dkbkj (F о ЛГ1)}, j = 1, ..., п, FQD (Л),
k=i
где
bhJ(x) = ((djM)(M-1(x)))k, l<fe, j<n, хе/2;
(II I) если F соответствует функции f, то F о М соответст-
вует функции
Л-ШМ-Ч-)),
где J — абсолютное значение якобиана отображения х-^> М'1 (х).
Доказательство. Пусть ф£Со° (/2). По определению 44 мы имеем
{(aF) о М-1} (<р) = (aF) (ф ° М)=F ((<р о М) a)=F ((<р ° Л4) (а о М'1 о М)) =
= F ({ф (а о ЛГ1)} о М) = (F ° ЛГ1) (ф (а о Л4'1)) = {(а о ЛН) (F о Л4)} (ф),
что доказывает (I). Аналогично мы имеем
{(djF) о Л4-1) (ф) = (djF) (ф о Л4) = - F (dj (ф о М)) =
= (<f>k°M)ak.\
k J
где ak.(x) — (djM(x))k, используя (I), получаем соотношение (II).
Если F соответствует функции то
(FoM-1)(<p) = F(<poM)= J f (х)ф(М (х)) dx =
= f (ЛГ1 (х)) ср (х) J (х) dx,
где J обозначает абсолютное значение якобиана отображения
х—^М'1^); это вытекает из стандартной теоремы о замене пере-
менных в кратном интеграле. Но тогда соотношение (III) очевидно.
Лемма 47 позволяет описать поведение пространств Нр, Ар
и т. д. при замене переменных.
48. Лемма. Пусть Ц и 12 —области в Еп и М: Ii—> 12 —
взаимно однозначное отображение Ц на все 12, Предположим, что
(а) (М(•));€С00(Л), } = п-
(b) ^-ЧОЪбС00^), /=1, п.
Пусть k — целое число. Тогда
3. Теория распределений
837
(I) F—>77оЛ1"1 является взаимно однозначным непрерывным
отображением D(JF) на все 1)(/2); обратным к нему является
отображение F—>F°M\
(II) В —^FoM'1 является взаимно однозначным непрерывным
отображением X(ft) (/t) на все Ат (/2);
(III) если все частные производные функций (Л4 (•)); и (7И-1 (•));,
/==1, ..., п, равномерно ограничены в Л и /2 соответственно,
то F—>F о М'1 является взаимно однозначным непрерывным ото-
бражением на все B(ft)(/2); в этом случае F—^FoMr1
также является взаимно однозначным непрерывным отображением
. на все (12).
Доказательство. Используя леммы 46 и 45, получаем сразу же
утверждение (I). Наш следующий шаг —доказать первую часть
утверждения (III). В силу (I), очевидно, достаточно доказать,
что F—^FoM-1 является непрерывным отображением (Л)
в //(ft)(/2). По обычной формуле замены переменных в кратном
интеграле и в силу утверждения (III) предыдущей леммы мы имеем
1F о М-11(20) = J | f (Л4-1 (х)) |2 J (х)2 dx =
12
= J \f(x)\4(M(x))dx^A\F |(20),
h
где A — sup J (M (x)) — конечная величина в силу (III). Этим дока-
зана первая часть пункта (III) для /? = 0. Так как по определе-
нию 15
i4>= з 1<т2о>.
то из только что доказанного и утверждения (II) предыдущей
леммы вытекает первая часть (III) для всех /г>0.
Из утверждения (I) настоящей леммы вытекает, что F—>F
и F—>F°M являются непрерывными отображениями (12)
в и в //(fe)(/2) соответственно при k>0. Поэтому
найдутся такие постоянные А и В, зависящие лишь от k, что
[*] B\F\w<\FoM^\{k)^A\F\w.
Пусть теперь /?=—р, где р>0. Тогда если FQHw(Ii), то из
838 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
определения 17 вытекает, что
|FoA4-i|(ft)= sup
<pecj°(i2) ф |<р
sup
4>ес2°(12)
F(<poM) 1(<Р°М)1(р>
|<роМ|(р> | ф |(р)
Х1Г1 । <Р ° М 1<Р> ^Л|гч
<|F|(h) sup —Г-—<Л|Г(Л)
r.rn°°fT \ I Ф !<Р>
<Р£С0 (12)
в силу формулы [*]. Таким образом, F—>F о Л4"1 — непрерывное
отображение (Л) в /7(к) (/2) и при отрицательных /?, чем первая
часть утверждения (III) доказана для всех k.
Так как в силу (III) предыдущей леммы F—отобра-
жает подпространство Со° (Л) cz D (Л) в подпространство Со° (/2)cz
czD(/2), то вторая часть утверждения (III) вытекает непосред-
ственно из его первой части и определения 15(111).
Пусть — открытое подмножество в /ь замыкание которого
является компактным подмножеством в /ь и 12 = М11. Тогда /2
оказывается открытым подмножеством в /2, замыкание которого
является компактным подмножеством в /2. Поэтому сужения М | Л
и Л4'11I2 = (М | Л)-1 удовлетворяют предположениям утвержде-
ния (III). Тем самым (II) вытекает из (III) и определений 15(111)
и 20 пространства Л(к) (/) и его топологии, ч. т. д.
Определение 44 может быть легко обобщено с пространств
D(/t) и D(I2) на соответствующие пространства кратнопериоди-
ческих распределений
49. Определение. Пусть и С2 —прямоугольные параллеле-
пипеды вида
C1 = {x^Eni\aj^.xj<bj, nJ,
C2 = {x£En2\aj^.Xj^.bj, / = 1, ...,nj.
Пусть Ц и /2 —открытые подмножества в Ci и С2 соответственно
и М : li —» /2 — такое отображение Ц в /2, что ср (М (•)) £Сл, о (Л)
для любой функции срССл, о (/г)- Тогда
(I) для всякой функции ср £ Сл, о (/2) символ ср ° М будет обо-
значать функцию фЕСл, о(Л), определяемую равенством ф(х) =
= <р (М (х));
(II) для всякого распределения FQD„ (Ц) символ F о М 1 будет
обозначать распределение G^Dn(I2), определяемое равенством
G (<р) = F (ф о Л1), где ф С С£ о J2)-
Леммы 45 — 48 можно легко перенести с пространств
D(I2) и т. д. на пространства (Л), (/2) и т. д. Мы предо-
3. Теория распределений
839
ставляем сделать это читателю и в дальнейшем будем просто
•ссылаться на лемму 45 и т. д., обобщенную на пространство
Dn (Л) и т. д. Есть, однако, одно особенно важное специальное
отображение пространства Dn (С) в себя; его свойства подробно
рассматриваются в следующей лемме.
50. Лемма. Пусть дан параллелепипед
C = {x^En\aj^Xj^bj, 1
Для всякого Д>0, такого, что A<zbl — a1, обозначим через Мь
отображение С в себя, определяемое соотношениями
Г [Xj + Д, х2, ..., xn], +
л I- » п] |ДХ14~Д — -f- (Zj, Х2, ..., хп], Х1~|-Д^>Ь1.
Пусть k —целое число и F (С). При этом
(I) d^F g Н„} (С) тогда и только тогда, когда | Д"1 (F о Мд1 — F)
равномерно ограничено при —
(II) если diFEH^tC), то
diF^lim Д'1 (FoMZl-F)
Д->0
по норме пространства (С).
Доказательство. Ясно, что А"1 (ср о Мд— ср) стремится к dicp
равномерно для xQC при А—>0 для любой функции cpgC^ (С).
Если воспользоваться этим фактом для каждой частной произ-
водной функции ср, то мы получим, что А-1 (ср о Мд— ср) стремится
к dicp при А —»0 в топологии пространства (С) для всякой
функции срССл (С). Таким образом, если G£Dx(C), то из опре-
делений 49 и 37 вытекает, что
lim A-1 (G о Мд1 — G) (ср) = lim G (А"1 (ср о Мд — ср)) = G (<Э±ф),
Д->0 Д->0
и потому A-1 (G о Мд1 — G) сходится к dfi в топологии Dn(C).
Предположим теперь, что и что | A-1(foMZ1— F)|(ft)
равномерно ограничено при 0<А<&1 —Пусть сначала &>0.
Так как гильбертово пространство Н(^ (С) рефлексивно (см. лем-
му 16 и следствие IV.4.6), то каждая сходящаяся к нулю после-
довательность {Аш} положительных вещественных чисел обладает
такой подпоследовательностью {Ат}, что А™1 (ЕоМ^ —/?) слабо
сходится при т —» оо к некоторому элементу F £ (С). Очевидно,
что для всякой функции <p€Gjt(G) отображение G—>G(cp)
840 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
является непрерывным линейным функционалом на (С). Таким
образом, существует элемент (С)» такой, что
G(<p) = (G, Hv)w, GQH^(C).
Значит,
1 im Д"1 (F о Mfm-F) (ф) = lim (Д^1 Н^к) =
m—>oo * m->oo
= (F, Hv)w = F(<f), <pGC^(C),
t. e.
m->oo
в топологии пространства распределений. Из доказанного в пре-
дыдущем абзаце вытекает, что F = diF, и потому diF £ } (С).
Пусть теперь F Q k-.= —p, гдер>0, и | А“1(/?оМд! — F) |(fe>
равномерно ограничено постоянной А при ОсАс^— сц. Тогда
в силу определения 35 и теоремы Хана —Банаха (II.3.11)
A"1 (F о А4д — F) = можно продолжить до непрерывного линей-
ного функционала на гильбертовом пространстве (С) с нормой,
не превосходящей А для всех А, ОсАс^ — а{. Из теоремы
IV.4.6 и следствия IV.4.7 вытекает существование сходящейся
к нулю последовательности &т положительных вещественных
чисел и элемента F£H^(C), таких, что
lim {Д-1 (F о-F)} (<р) = F (ф), ф G С“ (С).
т->оо
В силу доказанного выше F —^F, так что dxF QFffl (С). Этим
завершается доказательство достаточности в утверждении (I).
Для доказательства необходимости предположим, что F
и (С). Условимся считать каждую функцию <р£Сл (Q
продолженной по периодичности до кратнопериодической функции,
определенной на всем Еп, с периодом Ьх — по переменной xt,
b2 — a2 по переменной х2 и т. д.; продолженную функцию будем
также обозначать через ср. Тогда для каждого -А 5> 0 отображе-
ние , определяемое соотношением
д
xi+Д
(1) (^ф)(*1> .х„) = Д-1 jj ф(г/, х2, .xn)dy,
Д А’1
является непрерывным отображением (С) в себя. Совершенно
очевидно, что dJ \ = \ dJ для всякого индекса J и А > 0. Из
д д
3. Теория распределений
84Г
этого сразу же получаем, что j является непрерывным отобра-
А
жением (С) в себя для всякого А>0. Более того, ясно, что
di ф = А-1(фоЛ4д — <р) для 0<А<&! —tit и фССд(С). Таким
А
образом, если мы определим F для FQDn(C) по формуле
А
Qf)(<p)=-fQ , фССл(С),
А А
ТО
J dlF = dl J F = A-1(FoMI1-F).
А А
Следовательно, если мы покажем, что является отображением
А
(С) в себя с нормой, не превосходящей 1 для всякого А>>0г
то будет установлена необходимость в утверждении (I) доказы-
ваемой леммы.
Предположим сначала, что k = — р, где р>0. Тогда по опре-
делению 35 для доказательства неравенства | ( F = | F |(&), где
I J l(fc)
А
F С Fffi (С), достаточно показать, что | ф | < | ф |(Р) для ф £ С£ (С).
А
В силу соотношения (1), неравенства Шварца и теоремы Фубини
ясно, что
Х14-А
5 i С i <0 (Х1’ ’ Хп^ I Л”1 |ф (S, Х2» • • •» хп) |2ds dx^
С Д С XI
8
ед-1 J | ф (s, х2, ..., хп) |2 ds dx2 ... dxn^ — | ф (х) I2 dx.
s-А С С
Таким образом, | Ф |(0) Ф 1(0) Для всякой функции фССд(С).
А
Так как dJ dJ для любого индекса J, то мы имеем также
А А
неравенство | д7ф | дАр |(0) для всех фСС^ (С). Поэтому из^
А
определения 34 вытекает, что \ ф <|ф|(р), и необходимость
I •) 1(р)
А
в (I) доказана для £<0.
<842 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Перейдем теперь к доказательству утверждения (II). Пусть G
.лежит в СЯ(С)^ОЛ(С); условимся считать, что всякая функция
FgCn(C) продолжена по периодичности до кратнопериодической
функции, определенной на всем Еп с периодом bi — по пере-
менной b2 — a2 по переменной х2 и т. д.; продолженную функ-
цию будем по-прежнему обозначать через F. Тогда по теореме
Фубини
F^) (<р)= — Д-1 F(x) | <р (s, х2, ..., хп) ds} dx =
А С Xi
s
— — А-1 | F (хп ..., хп) <р (s, х2, ..хп) dxr) dsdx2 ... dxn —
C s-Д
xj
= | — A-1 F (t, x2, ..., xn) | <p (x) dx.
C Xi—A
Таким образом, ясно, что для G Q Ся (С) Dn (С) мы имеем
G}) (х) —> G (х) равномерно для xgC при Л—>0. Следова-
А
тельно, | G — G | —» 0 при Д —> 0 для всякой функции G £ Ся (С)
А
^Ол(С). Так как СЯ(С) плотно в L2 (С) Dn (С) в силу лем-
мы 2.2, то из теоремы II.3.6 вытекает, что | G —G|—>0 при
А—»0 для каждой G g (С) = L2 (С). Поскольку \dJ = dJ\,
») «)
А А
то из определения 34 сразу же получаем, что для /г > 0
| G — G > 0 при Д —» 0 для всякой функции G £ (С). В част-
А
ности, | diF — dtF стремится к нулю при Д —» 0, если F Q (С)
А
и drF С (С). Так как мы видели, что dtF = Д-1 (F о Д4д1 — F),
А
то (II) доказано в случае &>0.
Если k = 0, то | F |<F для всех F QL2 (/) Dn (/). Поскольку
А
== dJ для всех индексов J, то мы имеем также | dJF | <
А А А
< | dJF | для Z>0, FQFFafj) и любого индекса J, такого, что
3. Теория распределений
843
Тем самым из определения 34 вытекает, что | F | * <
д
1F |(/) для всех />0; это доказывает необходимость в утвер-
ждении (I) при &>0.
Для завершения доказательства леммы мы должны лишь
установить утверждение (II) для £<0. Сделать это можно сле-
дующим образом. Пусть k=—p, где /?>0, FQH^tC), dtF Q
£Н^(С), a G — произвольный элемент из (С). Тогда по опре-
делению 35 и по теореме Хана — Банаха (II.3.11) отображение
ф —»б(ф) можно продолжить до непрерывного линейного функ-
ционала (его по-прежнему мы будем обозначать через G) на
гильбертовом пространстве r/„p)(C). Таким образом (см. IV.4.5),
существует элемент GC/7„₽) (С), такой, что
(2) G(<p) = (<p,G)(h), Ф€С£(С).
Используя определения 34 и 31 (I) и полагая
£= 3 (-l)'V^,
мы имеем (ф, = (ф, £G). Поэтому из (II) вытекает, что G = £G,
где G — комплексно сопряженное к G распределение, так что
Итак, ^G=£^G. Из доказанного в предыдущем
А А
абзаце вытекает, что^ G—»G по норме (С) при А—>0. Тогда
А
по лемме 22 (обобщенной на (С)) G—»G по норме (0 =
А
= Нл}(С) при А—>0. Применяя это к dtF и замечая, что 31/? =
А
= A-1 (F о Л4К1 — F), получаем
lim | A"1 (FoM?-F) \w = 0,
А->Э
и утверждение (II) доказано также в случае fe<0.
Очень важно, что некоторые распределения можно применять —
придав этому соответствующий смысл—к некоторым бесконечно
дифференцируемым функциям, не принадлежащим С™. Как это
сделать, объясняется в следующих определении и лемме.
51. Определение. Пусть I — открытое подмножество в Еп,
F£D (Г), а функция ф g С°°(/) обращается в нуль вне некоторого замк-
нутого подмножества К cz/. Предположим, что Ki = C (F) П К—
844 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными:
компактное подмножество в /. Тогда мы полагаем
Г(ф) = Г(Фф),
где ф— любая функция из (/), тождественно равная единице
в некоторой окрестности Ki.
52. Лемма. ПуспТь /, F и у —те же, что в определении 51.
Тогда F (ф) не зависит от выбора функции ф, входящей в ега
определение. Если ф — вторая функция из С°° (/), обращающаяся
в нуль вне некоторого замкнутого подмножества К cz I, такая,
что Ki = C(F) Q К — компакт, а а и а — комплексные числа, та
F (аф + аф) = aF (ф) + aF (ф).
Доказательство. Пусть ф —вторая функция из С™ (/), такая, что
ф (х) = 1 для х из окрестности /Q. Тогда фф —фф обращается в нуль
в окрестности Kf\C(F) и в окрестности C(F) — K, поскольку ф
равна нулю на дополнении К. Поэтому фф —фф обращается в нуль
в окрестности C(F), так что F (фф) = F (фф) по определению 11.
По лемме 2.1 существует функция ф£С^°(/), равная единице
в окрестности /(\UKi- Тогда в силу определения 51 и предыду-
щего абзаца мы имеем
F (аф + аф) = F (ф (аф 4- аф)) — а/7 (фф) + aF (фф) = aF (ф) + aF (ф).
В дальнейшем нам будет полезна следующая лемма.
53. Лемма. Пусть / — открытое подмножество в Еп, F£D (Г)Т
ф ЕСГ (/), f (/). Пусть К— такое замкнутое подмножества
в I, что для х$К имеем ф (% — у) f (у) = 0 для всех yQl. Пред-
положим также, что Ki = C (F)[}K — компакт. Тогда
I*] J <р(- — y)f(y)dy^ = J F(tp(- —y))f(y)dy.
i 'i
Замечание. Если f (у) #= 0, то по предположению ф(х —у) = 0
для х К. Следовательно, если f (у) ф 0, то F (ф (• + у)) f (у) опре-
делена корректно предыдущими определением и леммой. Если
/({/)== 0, то условимся полагать F (ф (• + у)) f (у) = 0; это придает
смысл подинтегральной функции в правой части формулы [*J
во всех ^случаях. В ходе доказательства мы покажем, что интеграл
в правой части [*] существует.
3. Теория распределений
845
Доказательство. По лемме 2.1 существует такая функция
ф^С~(/), что ф(х)=1 для х из некоторой окрестности /Ср
По определению 51 мы имеем
(1) fQ <р(- — y)f(y) dy) = F(42 (-)J ф(.— у) f (у) dy') —
I I
= ^(4(-) J ф(-)ф(-dy\
« I
<2) F —y))f (y) = F —y)) f (y).
Если yn—>У и yn и у остаются внутри I, ТО ЯСНО, ЧТО ф( Уп)—>
—>ф(-—У) в топологии Ст(1) при каждом т. Таким образом,
ф(-)ф(- — уп)=>ф(-)ф(- — у)- Это показывает, что/’(ф(-)ф(-—у))
непрерывно зависит от у при у£1 (см. определение 1). Следова-
тельно, подинтегральная функция в правой части формулы [*]
интегрируема и
<3) J Г(ф(- —y))f (у) dy= J Г(ф(-)ф(-)ф(- -y))f(y)dy.
I I
В силу (1) и (3) ясно, что для доказательства леммы нужно лишь
показать, что
(4) ф (-)ф (• - у) f (у) dy) = J С(ф(-)ф(. — y))f(y)dy,
I I
где G — tyF. Пусть /С2 — компактное подмножество в I, внутрен-
ность которого содержит второе компактное множество, вне ко-
торого функция ф обращается в нуль. Очевидно, можно пред-
полагать— далее мы так и делаем,—что /Сг есть замыкание своей
внутренности /С2. Тогда для достаточно большого т можно продол-
жить G с С^°(К2) до непрерывного линейного функционала на С п(/С2).
Действительно, в противном случае ,в силу теоремы II.3.11
для каждого т>1 существовала бы функция fm £ С™ (/<2), норма
которой в пространстве Ст(/С2) не превосходила бы 1/т, и такая,
что G (fm) = 1. Но тогда ф/т => 0, в то время как F (^fm)=G (fm) = 1,
что противоречит определению 1.
Ясно, что ф(-)/(— У) непрерывно зависит от у в тополо-
гии С,п(/С2), когда у пробегает /. Тем самым (4) вытекает
из теоремы III.2.18.
В последующих параграфах этой главы, если т обозначает
формальный дифференциальный оператор с частными производ-
ными, определенный в области /, то через Т0(т) и 7\ (т) будут
846 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
обозначаться операторы в Л2(/), определяемые соотношениями
©(Т0(т)) = СГ(/); Т0(т)/ = т/, /е©(Т0(т));
® (Л W) = {f 6 D (7) I f е L2 (/), xf 6 L2 (/)};
Л(т)/=тд /е®(Л(т)).
Следует отметить, цто в силу определения 5 7\ (т) = (То (т*))*г
и потому (см. XII. 1.6) оператор Ti (т) всегда замкнут. По лемме 6(1}
Т0(х) По лемме 6(IV) (т^ (т2) (трт2). Эти эле-
ментарные факты будут использоваться в последующем без всяких
оговорок.
Прежде чем закончить этот параграф, следует вернуться
к вопросу об обозначениях. Если F£D(I) и F соответствует
функции f, интегрируемой на каждом компактном подмножестве в /»
то, как отмечалось выше, мы можем записать F (ср) в виде
{*] F (ф) = f (х) ф (х) dx, ф С С™ (/).
/
Часто оказывается предпочтительным записывать F (ср) в этом
виде даже в общем случае, т. е. вводить для каждого F£D(J)
некоторую идеальную «функцию» /, определяемую формулой [*].
Конечно, выигрыш состоит лишь в удобстве обозначений и ни в чем
больше; в общем случае «функция» / не имеет определенных значе-
ний, да и существует она лишь постольку, поскольку формально
входит в правую часть формулы [*]. Именно в этом смысле Дирак
писал
4-00
(р (0) = 6 (х) f (х) dx,
— оо
используя свою ^-«функцию» и аналогичные равенства для (p<fe) (0)у
содержащие «функции», получающиеся при дифференцировании
^-«функции».
4, Теорема Соболева
В этом параграфе будет доказана очень важная теорема Собо-
лева о связи между аналитическими свойствами производных раз-
личных порядков данной функции f и соответствующими свойст-
вами самой этой функции.
1. Лемма. Пусть п>\ и Е™ обозначает полупространство
евклидова п-мерного пространства Еп, определяемое соотношением
Еп^{х^Еп\х,>Щ.
4. Теорема Соболева
847
Пусть р' р > 1 и
J_____L
р' Р п ’
a F — определенное в Е™ распределение, имеющее ограниченный но-
ситель, производные которого (d/dxi) F лежат в Lp (Е™), i= 1, ..., п.
Тогда F принадлежит Lp> (Е™).
Доказательство. Условимся записывать через у переменную-
точку в Еп, а через г = г(у) = \у\ и (d = (d(z/) = z//| у ( — соответст-
вующие «радиальную» и «угловую» переменные. (См. пункт § XI.7,
где рассматриваются сферические полярные координаты в евкли-
довом n-мерном пространстве; в ходе настоящего доказательства
мы будем пользоваться принятыми в § XI.7 обозначениями
площади гиперповерхности борелевских подмножеств единичной
сферы, преобразованиями интегралов в Еп к сферическим поляр-
ным координатам и т. д.)
Пусть К настолько велико, что носитель f содержится в полу-
шаре {х £ Е” 11 х | ^К/2}, и а —неотрицательная бесконечно диф-
ференцируемая функция, определенная в Еп, обращающаяся в нуль
вне множества {х С Еп\ |х—[1, 0, ..., 0] |< 1/10} и удовлетворяю-
щая равенству
а (со) pi (dco) = 1.
s
Пусть b — такая бесконечно дифференцируемая неотрицательная
функция положительной вещественной переменной г, что b (г) = 1
для г<2К и Ь(г) = О для г>37<. Тогда если g —бесконечно
дифференцируемая функция с носителем в множестве
B = {xQE^\\x\^3K/4},
то мы, очевидно, имеем
о
(I) £(*)=§ { J ^rg(x-ra) b(r) dr| a(<o)ji(d®) =
S OO
П oo
= 3 5 J-^r(x —r®)®>6(r)a(<o)n(d®)dr =
j=l s 0
n
= 2 $ -^(x-y)hj(y)dy, x£En+,
<848 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
где hj (у) — функция, определяемая равенством
*>(/)= “'"’“-Г1
Пусть через Qn обозначается площадь гиперповерхности единич-
ного шара в n-мерном пространстве. Тогда функции hj, / = 1, ..., п,
удовлетворяют неравенству
I hj(y)\s dy^.£ln sup | a (co) |s
(DES
3K
J r(n-1)(,-s)dr<oo
0
при условии, что (n— 1) (1 — s) > — 1, т. e. hj лежат BLs(En),
если 1 <s<n/(n-~ 1). Из соотношения (I) и лемм 3.52 и 3.53
вытекает, что если Fj — функция из LP(E™), соответствующая рас-
пределению djF, то
п
(II) F(g)=-% Ц Fj(x)g(x-y)hj(y)dydx, g£C~(En+).
j=l £П ЕП
Тогда, полагая х—у = и и используя теорему Фубини, получаем
п
E(g)= — S j Ej(x)hj(x-u)g(u)dxdu, gQC"(En+),
En En
так что распределение F соответствует функции
(III) — 2 Ej(x) hj(x — u) dx.
Мы должны лишь показать, что эта функция принадлежит LP' (Е™).
Рассмотрим теперь свертку
(IV) c(u)=\ а(х) b(x — u) du.
Если b^Li(En), то из леммы XI.3.1 следует, что соотношение (IV)
определяет непрерывное отображение а—>с из Li(En) в Lt(En),
равно как и из £«>(£") в L<x,(En). Из теоремы Рисса о выпукло-
сти (VI.10.11) вытекает, что это отображение действует также
непрерывно из Lp (Еп) в Lp (Еп). Более того, если а лежит в Lp (Еп),
а b в Lq(En), где р-1 + <7-1=1, то из неравенства Гёльдера
(III.3.2) следует, что с принадлежит (Еп). Зафиксируем теперь а
в Lp(En), и пусть с = ТЬ — линейное отображение, определяемое
4. Теорема Соболева
849
равенством (IV), a |Т|р,д —его норма как отображения из Lp(En)
в Lq(En). Мы видели, что при р_1 + 9-1=1 обе нормы |Т|Ьр
и | Т \q, оо конечны. Рассмотрим точки u = (q~1,Q) и v = (l, р-1)
в единичном квадрате 0<w, Из теоремы Рисса о выпукло-
сти вытекает, что норма | Т |5, р, конечна, если
(т’У')=аи+(1-а)и
при некотором а из отрезка 0<;а<;1. Это уравнение определяет s
и а через р и р', а решениями служат
1 р • , . 1 1
а = 1--s= 1 Ч-—7-----------.
Р 1 Р Р
Так как р'>р>1, то а лежит в отрезке 0<а<1, а так как
(р')-1 >р-1 — гг1 и р'>р, то 1 <s<n/(n—1). Таким образом,
как показано выше, hj лежат в Ls(En), и так как |Т|5, р, конечно,
то Thj принадлежит LP'(En). Если положить a = Fj на Е* и а = 0
в остальной части Еп, то мы тем самым получаем, что функция,
определяемая равенством (III), лежит в Лр/ (£п), ч. т. д.
2. Следствие. Пусть и Еп+—полупространство евкли-
дова п-мерного пространства Е™, определяемое соотношением
E“ = {xeEn|xi>0}.
Пусть оо > р' > р>1 и k^X—целое число, причем
р' > Р " *
Предположим также, что F — распределение, определенное в Е”
и имеющее ограниченный носитель. Тогда если каждая производ-
ная F порядка k принадлежит LP(E+), то F лежит в L^(E^).
Доказательство. Пусть s = (p')-i_ p^ + kn'1, а числа p = pQ,
Ра Р2, • pk^p' определяются равенствами
----=---------Нт» / = 0, 1.
Pj+l Pj п k J
Тогда по лемме 1 все производные F порядка k — 1 принадлежат
LP{ (Е™), все производные F порядка k — 2 принадлежат ЕРг (Е"), ...,
и, наконец, F принадлежит LPJJE^)==LP> (Е±), ч. т. д.
Замечание. По тем же соображениям легко видеть, что лемма 1
и следствие 2 остаются справедливыми, если область Е™ заменить
любой неограниченной областью Ео, обладающей следующим
свойством:
54 Заказ Ха 134
850 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
На единичной сфере в Еп существует открытое множество 17,
такое, что всякая прямая /, параллельная прямой, проходящей
через начало координат и некоторую точку множества 17, пере-
секает границу области Бо не более чем в одной точке.
Кроме того, если воспользоваться неравенствами Торина, рас-
смотренными в § XI.11, то можно показать, что если в лемме 1
и следствии 2 оо р' > р > 1, то эти результаты могут быть
усилены, а именно F £ Lp> (£"), если
р' “ Р п
в случае леммы 1 и если
________А
р' ~~ Р п
в случае следствия 2.
Теперь мы дадим более сильный результат Соболева, примени-
мый к тому случаю (в условиях следствия 2), когда р"1 —п"1
отрицательно.
3. Лемма. Пусть п~>\ и Е™ обозначает полупространство
евклидова п-мерного пространства Еп, определяемое соотношением
Еп+ = {х^Еп\)с{>^.
Пусть оо>р>1, а fe>l и т^ 0 —целые числа, причем
1 п
m<zk-----.
р
Пусть F — распределение на Е™, имеющее ограниченный носитель.
Тогда если все частные производные F порядка k принадлежат
LP(E+), то все частные производные F порядка не выше т непре-
рывны в замыкании Е™.
Доказательство. В силу следствия 2 и неравенства Гёльдера
каждая (fe —т)-я производная любой /-й производной F принад-
лежит Лр(£+) (и имеет компактный носитель) при 1^т. Поэтому
достаточно доказать лемму в частном случае т = 0. В силу след-
ствия 2 каждая производная g порядка 1 распределения F при-
надлежит Lp> (£+) (и имеет компактный носитель) для всякого р',
удовлетворяющего неравенству
(D
v 7 р р п
Если р' выбрано так, что 1 <р'<оо, и выполняются (I) и соот-
ношение
0< 1—
р
4. Теорема Соболева
851
то отсюда вытекает, что настоящую лемму достаточно доказать
в частном случае k=l, т = 0. Поэтому в оставшейся части дока-
зательства мы будем считать, что k=l, т^О.
Наше предположение тогда состоит в том, что каждая произ-
водная F порядка 1 принадлежит Лр(£”), где
0< 1 — —,
р
и должно быть доказано, что F непрерывна в замыкании Е™.
По лемме 1 F является функцией из Лоо (Е™).
Пусть функции hj и Fj определены так же, как и в доказа-
тельстве леммы 1; вспомним, что hj£Ls(En), если l<s<n/(n—1).
Так как то число q, определяемое равенством р"1 4~ q"1 = 1,
лежит в интервале 1 1), и потому hj£Lq(En). По-
скольку FjCLp(£+), то из неравенства Гёльдера вытекает, что
принадлежит ЛДЛ”). Элементарная замена переменной
дает
п п
2 J Fj(x — y)hj(y)dy = ^ J Fj(y)hj(x-^y)dy.
J=1 gn 3=1 ЦП
Таким образом, для функции g£C™(E™) мы имеем
п
J {2 $ Fj(x — y)hj(y)dy} g(x)dx =
Еп j=l Еп
= 2 $ { $ FAd) hj (x — y) g (x) dxj dy =
j=l En En
n
= -2 S hj(x-y)g(x)dx") =
>=i
n
= -2 $ hj(x)g(y+x)dx^ =
i=i ЕП
n
= $ -^7hi(x)g(y + x)dx^ =
j=‘ E”
n
--=-^(2 $ hj(x)^-(y + x)dx^)= —F(g);
3=1 ЕП
54*
852 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
в этой цепочке равенств мы использовали тот факт, что hj лежит
в Lg(En), неравенство Гёльдера, лемму Х.3.1(а) и теорему Фубини,
чтобы оправдать изменение порядка интегрирования в первом
равенстве. Определения 3.4 и 3.5(a) использовались для получения
второго равенства; элементарная замена переменнойдля получе-
ния третьего равенства; те факты, что h^Li{En) и g<:C~(En),-
для получения четвертого равенства и соотношение (I) леммы —для
получения последнего равенства. Таким образом, по определе-
нию 3.4 распределение F соответствует функции
п
(II) = 2 $ Fi(x+y)hj(y)dy.
ЕП
Заметим, что n-мерный аналог леммы XL3.1(f) и неравенство
Гёльдера показывают, что эта функция всюду определена в Е™,
непрерывна по х и имеет единственное непрерывное продолжение
на замыкание Е+, ч. т. д.
4. Определение. Пусть р — точка подмножества А евклидова
n-мерного пространства £п. Множество А называется гладким
вблизи р, если существуют окрестность U точки р и отображе-
ние ф окрестности 17 на шаровую окрестность V начала координат,
такие, что
(I) ф взаимно однозначно, бесконечно дифференцируемо, и ф-1
бесконечно дифференцируемо,
(II) ф(Л(7)=УП{^6£п|^ = О}.
Если множество А гладко вблизи каждой своей точки, то оно
называется гладким, или гладкой поверхностью.
В терминах этого определения мы можем сформулировать тео-
рему Соболева в общем случае.
—» 5. Теорема. Пусть п> 1, a D — ограниченное открытое мно-
жество в евклидовом пространстве Еп. Предположим, что гра-
ница D является гладкой поверхностью и что никакая точка
границы D не лежит внутри замыкания D. Пусть 1, т>0 —
целые числа, оо>р>1, оо>р'>1 и 1>8>0. Пусть F — рас-
пределение в D и каждая производная F порядка не выше k
принадлежит LP(D). Тогда если
то F принадлежит Lp,(D); если же
(II) m<k-^,
4. Теорема Соболева
853
то каждая производная F порядка не выше т непрерывна в замы-
кании D.
Доказательство. Покроем замыкание множества D конечным
набором ограниченных открытых множеств'^, каждое из которых
либо не пересекается с границей D, либо диффеоморфно шаровой
окрестности V начала координат в Еп, такой, как в определении 4.
Пусть {hj}, j= 1, ..., N,— такое семейство неотрицательных
N
функций в С~ (Еп), что 2 hj (х) = 1 для х из некоторой окрестности
замыкания множества D и каждая функция hj обращается в нуль
вне компактного подмножества некоторого множества этого покры-
тия (см. лемму 2.3). Пусть hj — функция из этого разбиения
единицы с носителем в 17. Мы покажем, что если выполнено (I),
то hjF лежит в LP(D), в то время как при выполнении (II) каждая
производная hjF порядка не выше т непрерывна в замыкании D.
Отсюда, очевидно, будет следовать справедливость настоящей
теоремы.
Сначала предположим, что 17 не пересекается с границей D.
Тогда hjF — распределение, носитель которого является компакт-
ным множеством, содержащимся в U (см. лемму 3.13(IV)).
Из леммы 3.6 следует, что каждая производная hjF порядка
не выше k принадлежит Lp(En). Сдвигая Еп достаточно далеко
вправо вдоль хгоси (см. леммы 3.47 и 3.48), мы можем считать
без ограничения общности, что U содержится в множестве Еп+
следствия 2 и леммы 3. Тогда по лемме 3.12 hjF можно рас-
сматривать как распределение в Е2, и наше утверждение вытекает
из следствия 2 и леммы 3.
Рассмотрим теперь тот случай, когда U пересекается с грани-
цей Z), так что существует взаимно однозначное отображение ср
окрестности 17 на шаровую окрестность V начала координат в Еп,
причем можно считать, что ср обладает следующими свойствами:
(I) ср и ср-1 — бесконечно дифференцируемые отображения;
(II) ср(Л17) = 1/ П {х £ Еп| %! = ()}, где А обозначает границу D.
Так как по предположению ни одна точка из V, кроме точек
из ср(Ж7), не принадлежит границе ф(17£>) и ни одна точка
границы D не является внутренней в замыкании D, то отсюда
вытекает, что q(UD) должно совпадать с одним из полушаров
У+ = (х С V | Xi > 0} или V_ — {x£ VJjqcO}. Для определенности
мы будем рассматривать случай ф (UD) = {х £ V | < 0}; другой
случай эквивалентен этому ввиду возможности замены переменных.
По леммам 3.13(IV) и 3.45(c) и определению 3.11 распределение
(hjF)cqr1 является распределением в У+, замыкание носителя
которого в Еп не пересекается со сферической частью границы У+
854 Гл, XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
и все производные которого порядка не выше k принадлежат
ЬР(У+) в силу лемм 3.47 и 3.48. Следовательно, по лемме 3.12
(hjF) о ф-1 можно рассматривать как распределение в , все про-
изводные которого порядка не выше k принадлежат LP(E™).
По лемме 3 распределение (hjF) оф"1 и все его производные порядка
не выше т непрерывны в замыкании V+. Отсюда в силу леммы 3.47
ясно, что hjF = (hjF) ° ф"1 ° ф и все его производные порядка
не выше т непрерывны в замыкании D.
N
Так как f = 2 hjf, то теорема теперь вытекает из того очевид-
j=i
ного факта, что и (О), и множество всех функций, производ-
ные которых порядка не выше т непрерывны в замыкании D,
являются линейными пространствами. Теорема доказана.
Замечание. Легко показать (используя первую часть замечания,
сделанного после следствия 2, и тот факт, что аналогичные
соображения имеют место и в связи с леммой 3), что теорема 5
справедлива даже если граница D содержит «углы», «ребра»
и т. д. Эти конфигурации могут быть описаны (как и в определе-
нии 4) как конфигурации, диффеоморфные локальной конфигурации
в точке пересечения конечного числа гиперплоскостей в Еп.
6. Следствие. Пусть I — ограниченное открытое подмножество
в Еп, граница S которого является гладкой поверхностью. Пред-
положим, что никакая точка S не принадлежит внутренности I.
Пусть 1<р, <7<оо и k —такое положительное целое число, что
1 1___k_
р п '
Пусть f, fm, m=l,2, ...,— такие определенные на I функ-
ции, что
lim \dJfm(x) — dJf (х)\р dx = 0, \J\<k.
т~>оо v
Тогда
lim ? \ fm(x) — f(x)\qdx = 0.
m->oo %
Более того, существует постоянная К, зависящая от I, q, р,
k, п, но не зависящая от f, такая, что
{l\f(x)\qdxV/q<K 2 {^\dJf(x)\pdx}l/P.
kI \J\^h I
4. Теорема Соболева
855
Если же
1 1
р п ’
то мы имеем
lim vrai sup | fm (х) — f (х) | = О,
т->оо х£1
и существует постоянная К, зависящая от I, q, р, k, п, но
не зависящая от f, такая, что
vraisup|f (х) |<К 2 (x)|pdx|1/₽ •
| J |^fe ''г
Доказательство. Пусть через Lp (/) обозначено подпростран-
ство LP(I), состоящее из всех функций f, таких, что ^f^Lp^I),
если | J | < k, причем производные понимаются в смысле теории
распределений. Положим
(I) 1/!(₽,» = 2 {$ |^(x)|₽dx}1/₽.
I Jl^fe I
Тогда Lp (/) становится В-пространством. Действительно, если
{Ап} — фундаментальная последовательность в Lp(I), то в силу (I)
ясно, что {3Jfm} — фундаментальная последовательность в LP(I)
при а потому существуют функции g, gJ в Lp(l), такие,
что lim |/ni—g|p = 0 и lim | dJfm — gJ |p = 0. Тогда из определе-
w->oo m->oo
ния 3.26 следует, что Нт/т = ^ и limdJfm = gJ при
т-»оо т->оо
в смысле теории распределений, так что gJ =~-dJg по лемме 3.27.
Таким образом, g^Lp(I) и lim \fm — S’l(₽,fe) = 0 в силу (I).
т->оо
По теореме 5 мы имеем Lp(/) s Lq(J), если — kn~x,
и LP(/) = Lоо (/), если Тождественное отображение
f—*f, как легко видеть, является замкнутым отображением
пространства Lp (/) в Lq (/) в первом случае и пространства Lp (/)
в Loo(/) —во втором. Таким образом, настоящая лемма вытекает
непосредственно из теоремы о замкнутом графике (II.2.4).
7. Лемма. Пусть р>1, a F принадлежит Lpfji”) и обра-
щается в нуль вне компактного множества К. Предположим,
что для некоторого положительного целого числа k функции dJF
лежат в Lp (Еп) при | J | k (частные производные понимаются
856 Гл, XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
в смысле теории распределений) и
2 J |dJF(x)|pdx<l.
IjЕп
Пусть 1 и q~l > /Г1 — kn~l. Тогда для любого е>0 суще-
ствует такое 6 > 0, зависящее лишь от К, е, q и р, но не зави-
сящее от F, что 'для у£Еп и у | < 6 выполнено неравенство
\F(-)-F(.+y)\q<s.
Доказательство. Делая в случае необходимости сдвиг коор-
динат, мы можем без ограничения общности считать, что К
является подмножеством множества Е& = {х С Еп | > 6}. Если
это так, то, как показано в первых трех абзацах доказательства
леммы 1, существуют функции hj, определенные в Еп, обращаю-
щиеся в нуль вне £" = {х g Еп | xt > 0}, и такие, что
(I) УЕ(х) = 2 $ djdJF(u)hj(u—x)du,
j==l Еп
(II) dJf’(x+p) = 2 dj&'F (u + y)hj(u — x)du
3=1 ЕП
для | J|<&—1, и |у | <6. Сами функции А/, как показано
в доказательстве леммы 1, принадлежат пространству L3 (Еп) для
каждого s из интервала 1 — 1).
Из (I) и (II) непосредственно вытекает, что
(III) dJ(F(x)-E(x + z/)) =
— 2 § djdJF (и) {hj (и— х) — hj (и—х — у)}du
3=1 Еп
при 1, х£Е" и |у | < 6.
Далее, если a£Lp(En), a b£Lj{En), то при р — оо или р=\
функция
(IV) с (и) = а (х) b (х — и) dx
Еп
принадлежит Lp(En) и | с |р< | а |р | b |t в силу n-мерного варианта
леммы XI.3.1. Следовательно, по теореме Рисса о выпуклости
(VI.10.il) это утверждение верно для всех р, таких, что
4. Теорема Соболева
857
Если a£Lp(En), a b^L^(En), 1где р-1 + р1=1, то
функция с равенства (IV) принадлежит Lx(En) и | с |<х> < | а |р | b |-
по неравенству Гёльдера (III.3.2). Таким образом, по теореме
Рисса о выпуклости (VI.10.11), если'^а GLp (Еп~) и b£Ls(En) при
любом s, l<s<n/(n—1), мы имеем cgLp-(En) и |с|Р'<| а|р|Ь |«>
где р' = р' ($) определяется равенством
Таким образом, из соотношения (III) и нашего предположения
вытекает, что
n'j
(V) {Е(. ) — /’(• +//)}|Р<2;{$ |й7(ц)-/1)(а-//)|МЫ}1/\
J=r‘ Еп
1, при |у|<6 и 1 <s<n/(n—1). В силу следствия 6
отсюда вытекает, что если q^> (р'У1 — (ft — 1) и-1, то существует
постоянная К (р0, р'), зависящая лишь от qQ и р', такая, что
(VI) \F(.)-F(-+y)\q^
п
<К(9о»р')2 \hj(u)-hj(u-y)\sduy/s,
3=i Еп
где Пусть теперь q удовлетворяет предположениям
настоящей леммы. Тогда ясно, что можно выбрать некоторое опре-
деленное s = s0 так, что q~r>{p' (s0)}-1 — (k— и тогда заклю-
чение леммы вытекает непосредственно из формулы (VI) и лем-
мы IV.8.21.
8. Лемма. Пусть I — ограниченное открытое подмножества
в Еп, граница 2 которого является гладкой поверхностью. Пред-
положим, что ни одна точка 2 не принадлежит внутренности I.
Пусть \^p<Z<x>, 1<9<оо, k —положительное целое число и
q Р п '
Тогда если {fm} —такая последовательность функций, определен-
ных на I, что
\dJfm(x)\vdx
I
ограничен по т при | то {fm} обладает подпоследователь-
ностью, сходящейся по норме Lq (l).
<858 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Доказательство. Пусть {Кт} — возрастающая последователь-
ность компактных подмножеств из /, объединение которых есть
все /. Используя лемму 2.1, выберем последовательность {срт}
функций в Со° (/), такую, что (pm(х) = 1 для х£К и 0<cpm(х)С 1
для всех х. Тогда в силу леммы 3.22 ясно, что
I
ограничен по т при каждом фиксированном /. Из лемм 3.12
и 3.13 вытекает, что, положив ср7- (х) fm (х) = 0 для х$/, мы можем
рассматривать q>jfm как распределение, определенное на всем £п;
к нему будет применена предыдущая лемма. В силу этой леммы
и теоремы IV.8.21 мы получаем, что для каждого /<оо после-
довательность {fm\Kj} обладает подпоследовательностью, сходя-
щейся по норме Lp(Kj). Применяя канторовский диагональный
процесс, мы можем найти такую подпоследовательность {fm.}, что
{fm. | Kj} сходится по норме Lp (Kj) при каждом / > 0. Для про-
стоты обозначений мы будем в дальнейшем предполагать, что
последовательность {fm} сама обладает этим свойством.
Так как q"1 > р-1 — krr1, то можно выбрать qi>q так, чтобы
>/-1 — krr1. Тогда в силу следствия 6 нормы |fm|gi ограни-
чены некоторой постоянной А. Следовательно, по неравенству
Гёльдера (III.3.2) мы имеем
<I) J \fm(x)\gdx^Ag{it(I-KJ)}l-q/qi,
i-K}
тдр ц(е) обозначает меру Лебега борелевского множества е.
Из (I) вытекает, что
lim \fm(x)\g dx = 0
^°°
равномерно по т. Так как мы уже видели, что
lim | fm (х) — fmi (х) |« dx = 0
m, mi~>oo
Kj
при каждом /, то отсюда вытекает, что
lim \fm(x) — fmi(x)|?dx = 0,
m, mi->oo v
4. T. Д.
4. Теорема Соболева
859
9. Следствие. Заключения следствия 6 и леммы 8 останутся
верными, если открытое множество I в них заменить кубом
С = {х С Еп 11 Xj | < л, /=1, ..., п}.
Доказательство. В замечании, следующем за теоремой 5,
отмечалось, что теорема 5 остается справедливой, даже если гра-
ница области D в этой теореме содержит углы, ребра и т. п.
Используя это замечание, можно распространить доказательства
следствия 6 и леммы 8 и на настоящий случай. Предоставляем
читателю довести до конца доказательство этого следствия.
10. Следствие. Пусть С —либо ограниченная область в Еп,
граница 2 которой является гладкой поверхностью и не содер-
жит внутренних точек замыкания С, либо —куб
С = {х С Еп 11 Xi | < л, i = 1, ..., п}
в Еп, а р —положительное целое чило. Тогда естественное тож-
дественное отображение (С) в Я(р“1) (С) является компакт-
ным линейным отображением.
Доказательство. Пусть {fn} — ограниченная последовательность
в НР(С). Мъ\ должны показать, что существует подпоследова-
тельность {fm-} последовательности {fm}, такая, что {dJfm.} схо-
дится в L2(J) при каждом J, 1. Так как {djdJfm} огра-
ничена в Ь2(С) при каждом J, | J\^p— 1, и каждом /, 1С/<п,
то ясно, что лемма является следствием частного случая р = 1.
Однако случай р= 1 является частным случаем k= 1, р = 2, либо
леммы 8, либо предыдущего следствия.
И. Следствие. Пусть I — ограниченная область в Еп, ар —
натуральное число. Тогда естественное тождественное отобра-
жение пространства (/) в (I) является компактным ли-
нейным отображением.
Доказательство. Пусть {fn} — ограниченная последователь-
ность в #оР) (/). Мы должны показать, что существует подпо-
следовательность {fn}, сходящаяся в топологии (/). Так
как Со° (/) плотно в /7(оР) (/) по определению #оР) (/), то можно
найти последовательность {gn} элементов из Со° (/), такую, что
|gn~/п|(р)< Vn, а отсюда вытекает, что | gn — fn |(p-d < Vn
(см. определение 3.15). Таким образом, достаточно показать, что
{gn} обладает подпоследовательностью, сходящейся в топологии
(I), т. е. мы можем (и будем) без ограничения общности
предполагать, что fnQC™ (/) для всех п. В этом случае мы можем
860 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
положить /п(х) = 0 для х$1, так что fn£C™(En). Мы хотим
показать что для каждого J, | J | р — 1, последовательность dJfn
обладает подпоследовательностью, сходящейся в L2(I). Так как
{djdJfn} ограничена в L2(I) при каждом J, 1, и jr
по предположению, то ясно, что лемма будет доказана,
если установить следующее предложение.
Пусть {hm} — последовательность функций из Со° (£п), обра-
щающихся в нуль вне I. Предположим, что ]йт|(1)<^1, т>1.
Тогда {hm} содержит подпоследовательность, сходящуюся в L2(J).
Для доказательства этого предложения выберем куб
С = {х£Еп\\х,\<а, /=1, ..., и},
где а настолько велико, что С I. Производя деление коорди-
нат (см. лемму 3.48), мы будем без ограничения общности пред-
полагать, что а = а тогда настоящая лемма сразу же вытекает
из предыдущего следствия.
12. Лемма. Пусть I — ограниченная область в Еп, р —нату-
ральное число и 8>0. Тогда существует конечная положитель-
ная постоянная К (е), такая, что
I f l(P) I f |(Р-1) С 8 I f |(Р) + К (8) | Л2, f Е (/).
Доказательство. Предположим, что лемма неверна. Тогда
существует последовательность {fm} в Со° (/), такая, что
(I) \fm |(р) | fm |(р—1) е | fm |(р) + /И I fm |2-
Умножая {fm} на соответствующую последовательность постоян-
ных, мы можем, очевидно, без ограничения общности предпола-
гать, ЧТО | fm|(p)= 1, ш>1. Тогда ясно, ЧТО |/т|—>0 при т —»оо.
В силу предыдущего следствия мы можем без ограничения общ-
ности считать, что {fm} сходится в топологии к эле-
менту g. Тогда | fm—g\(0)—>0 при щ-»оо, и так как |/т|(0) ->0
при т —»оо, то g = 0. Таким образом, |при т —»оо.
Поскольку в силу (I) | fm|(p-i)>8>0 для всех т, то мы пришли
к противоречию.
Теоремы Соболева позволяют нам завершить изложение теории
распределений освещением некоторых важных ее сторон. Две
следующие леммы дают полезную информацию о структуре мно-
жества D(/) распределений.
13. Лемма. Пусть I —открытое подмножество в Еп и F —
распределение в I, носитель которого является компактным под-
множеством I. Тогда F принадлежит Н(К> (/) при некотором
достаточно большом отрицательном k.
4. Теорема Соболева
861
Доказательство. Пусть С —компактный носитель распределе-
ния F, а ф — существующая в силу леммы 2.2 функция из Со? (/),
тождественно равная единице в окрестности С. Если наше
утверждение ложно, то из определения 3.17 вытекает, что для
каждого п > О существует функция фп£Со?(/), такая, что
|Ф7г|(п)<п"1, но |F(ipn)|>l. Далее, фп = ффп в окрестности носи-
теля F, так что (см. определение 3.11) F (фп) = /? (флф). G дру-
гой стороны, в силу леммы 3.22 ясно, что | фпф |(&)—> 0 при
л—>оо для каждого k. Мы можем поэтому воспользоваться вто-
рой частью следствия 6 для доказательства того, что д7фпф—>0
равномерно в I для всех J. Так как функции ф^, очевидно,
обращаются в нуль вне фиксированного компактного подмно-
жества в /, то тем самым фпф => 0 при п—> оо в смысле опре-
деления 3.1. Таким образом, по определению 3.1, /?(фпф)—>0;
это противоречие и доказывает лемму.
Точно таким же способом можно доказать следующее утверж-
дение.
14. Лемма. Пусть 1— прямоугольный параллелепипед в Еп,
a F — распределение в Dn(I). Тогда FQH^fJ) при некотором
достаточно большом отрицательном k.
Предоставляем читателю в качестве упражнения произвести
необходимые изменения в доказательстве леммы 13 и получить
лемму 14.
Леммы 13 и 15 вместе взятые позволяют глубоко проникнуть
в природу распределений вообще.
15. Лемма. Пусть F — распределение в открытом подмноже-
стве IczEn, {1т} —последовательность открытых подмножеств
из I, такая, что их объединение есть все I, —компакты,
содержащиеся el, и 1т(]1р = 0, кроме случая \т — р\ = 0, 1.
оо
Тогда F может быть представлено в виде суммы F = 2 Fm
m=l
сходящегося бесконечного ряда распределений, причем носитель
каждого Fm является подмножеством соответствующего 1т.
Доказательство. Легко видеть, что можно найти последова-
тельность {CJ компактных множеств С} j = 1, ..., п, такую,
п
что и Cj = I. По лемме 2.1 выберем функции ipy£Co°(/J так,
j=i
чтобы 0<%(х)<1 для всех х и ф;(х)=1 для х£С}. Тогда
862 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
очевидно, что ряд
(х) = 2 % (*)
3=1
сходится к функции фСС°°(/), которая всюду положительна.
Таким образом, если положить г]7- (х) = ф (х)-1 (х), то т]7- £ Со° (/7) и
оо
2 гъ и)=1-
j=l
Так как лишь конечное число членов этого ряда не обращается
тождественно в нуль на любом компактном подмножестве в /г
то ясно, что
ср = lim 2w <р£С“(/).
-m->oo j=l
Тем самым по определениям 3.5 и 3.26
MV. F£D(I).
3=1
Поскольку в силу леммы 3.13 носителем v\jF является подмно-
жество из доказательство леммы закончено.
16. Следствие. Пусть I —ограниченное открытое подмноже-
ство в Еп. Тогда подпространство (/) изО(Г) плотно в D(I).
Доказательство. Пусть F лежит в D(I). Мы хотим построить
последовательность {фт} элементов подпространства Со (I) в D(I),
такую, что cpm—>F при т—> оо. По лемме 14 существует после-
довательность {Fm} элементов из D (/) (каждый из которых имеет
носителем компактное подмножество Cm cz/), такая, что Fm—>F
при т —> оо. Поэтому мы можем, очевидно, без ограничения
общности считать, что С, носитель F, является компактным под-
множеством /. Если / содержится в кубе D, то, как вытекает
из лемм 13, 3.43 и 3.12, существуют единственное расширение F
до распределения G на ОЛ(Ь), носителем которого является С,
и последовательность элементов фт в (О), такая, что cpm—>G
при т—> оо. Пусть фССо> (/) и ф(х) = 1 для всех х из некоторой
окрестности С. Тогда фт = ффт принадлежите^ (/). Ясно (см. 3.22),
что фт —> ф G = G при т —> оо. Если фт = фт | /, то по лемме 3.23
фтп—>F = G\I при т —>оо, ч. т. д.
17. Следствие. Пусть I — ограниченное открытое подмноже-
ство в Еп, F лежит в где k — неотрицательное целое
4, Теорема Соболева
863
число, а носитель С распределения F является компактным
подмножеством в I. Тогда F принадлежит (/).
Доказательство. Пусть D — шар, содержащий /, a G —сущест-
вующее в силу лемм 3.12 и 3.24 расширение F до распределения
в H(k\D), имеющего тот же носитель С. Пусть фт — построен-
ная в предыдущей лемме последовательность из С°° (D), такая, что
в топологии (Z)) при т—>оо. Используя лемму 2.1,
построим функцию ф£С^(/), такую, что ф(х)=1 для всех х
из некоторой окрестности С. Тогда по лемме 3.10 и определе-
нию 3.11 ipG = G. Из леммы 3.22 вытекает, что сртф—>G в топо-
логии Нт (D) при т —> оо. Следовательно, по лемме 3.23
<ртф Ц—>/7 = G| I при т —» со, так что F принадлежит (/}
по определению 3.15, ч. т. д.
В дальнейшем нам будет очень полезна лемма, которой мы
заканчиваем этот параграф.
18. Лемма. Пусть I—ограниченное открытое множество в Е\
граница S которого является гладкой поверхностью. Предполо-
жим, что ни одна точка из S не принадлежит внутренности 7.
Пусть р —неотрицательное целое число. Тогда подпространство
С°° (I) в Н(р) (/) плотно в Н{р) (/).
Доказательство. Пусть fg//(p)(/). Мы хотим показать, что f
можно приблизить сколь угодно близко по норме Я<р)(/) элемен-
том из С°°(7). Пусть {Uj}, /=1, ..., т, — произвольное покрытие
7 конечным набором окрестностей точек из /. Используя лем-
му 2.4, выберем в С°°(£п) функции {fj}, j= 1, ..., k, так, чтобы
каждая функция fj обращалась в нуль вне компактного подмно-
k
жества какой-нибудь из окрестностей {Ut}, и 2 7’W=1 для х
из некоторой окрестности /. Предположим, что семейство окрестно-
стей выбрано так, что для каждого / существует отображение ф/
окрестности Uj в единичный шар V с центром в начале коорди-
нат Еп, обладающее следующими свойствами:
(I) ф; взаимно однозначно, бесконечно дифференцируемо, и ф;1
тоже бесконечно дифференцируемо;
(II) если l77f]S=#0, то Ф;(^;П2) = {л:СУ|л:1 = 0}.
k
По лемме 3.6 мы имеем f = 2 fjf, причем в силу леммы 3.22
j=i
каждое отдельное слагаемое принадлежит Я(р) (/). Следовательно,
864 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
достаточно показать, что каждый элемент fjf можно приблизить
сколь угодно близко по норме /7(р)(/) элементом из С00 (7). Для
определенности положим / = 1. Переходя от рассмотрения / к рас-
смотрению fif, мы можем, не теряя при этом общности, предпола-
гать, что f обращается в нуль вне компактного подмножества
из Ui. Мы покажем, что f\UJ является пределом по норме
H^tUil) последовательности {§Д функций из Cq (Ui), откуда,
сразу будет вытекать наша лемма, если продолжить gj до функ-
ции в Со°(£п), полагая gj(x) = Q при x^Ut. Положим =
Нам нужно рассмотреть два случая.
(a) l/1f]2 = 0.
В этом случае ясно, что =/, и тем самым <Pi((7iZ) = V.
(b) ^(Ui = V|xt = 0}.
В этом случае, так как ни одна точка из Ф1ДЛПО> кроме
точек q>t (U± f)S), не принадлежит границе Ф1(1ЛП О и так как
из предположений леммы вытекает, что ни одна точка Ф1(1АГ|2)
не является внутренней в замыкании cpj (Ui QI), мы приходим
к выводу, что ф! (/ f|(A) должно совпадать с одним из полуша-
ров V+ = {xgV|%!>()} или V_ = {xgVpqCO}. Для определен-
ности предположим, что Ф1(/1Л) = У+; второй случай эквивалентен
этому ввиду возможности замены переменных.
Рассмотрим сначала случай (а). Используя лемму 3.33, рас-
пространим до элемента £ £/Др) (С), носитель К которого
совпадает с носителем здесь и далее С обозначает куб
С = {хСЕп 11 х} |<п, / = 1, ..., п}.
По лемме 3.41 F является пределом по норме Я„р) (С) последо-
вательности элементов из Сд (С). Таким образом, по лемме 3.23
является пределом по норме Д(р)(У) последовательности
{hm} элементов из С00 (V). Используя лемму 2.1, построим функцию
С” (V), такую, что ф(х)= 1 для х£К. Тогда в силу лемм 3.22
и 3.10 f оф"1 = ф(/'оф-1) = lim ф/ini по норме /7(р)(V), так что
т->оо
в случае (а) мы показали, что является пределом по норме
Я(р)(У) последовательности функций из Cq° (V). Таким образом,
в случае (а) настоящая лемма вытекает непосредственно из лем-
мы 3.48.
Рассмотрим теперь случай (Ь). Используя лемму 3.12,
распространим до элемента F £ (С+), носитель К кото-
рого совпадает с носителем /оф"1; здесь и далее С+ обозначает
цилиндр
С+=--{xg£,n|0<xi< оо, | Xj | < л, / = 2,
4. Теорема Соболева
865
Для каждого е, 0 < е < л, обозначим через те отображение Еп
в себя, определяемое по формуле
Те [xf...хп] = [х4 —е, х2, х3, ..., х„].
В силу лемм 3.47 и 3.9 и по теореме IV.8.20
lim | д’ {(F о Tg1) | C+}- dJF | = 0, | J |<p.
8->0
Таким образом, по определению 3.15
(I) lim | {(FoTg1) |C+}—F|(p) = 0.
8—>0
По лемме 3.48, является элементом из #(р) (Се), где
СЁ = {х£Еп\— 8<х1<оо, | Xj | < л, / = 2, ...,п}.
По лемме 3.46 носителем К8 распределения ^отё1 является мно-
жество /<е = {а;— [е, 0, ..., 0] | х£ Д}. Используя лемму 2.1, выбе-
рем функцию <ре в Со> (Се) так, что <ре (х) = 1 для х из некоторой
окрестности Д, и положим 7?е = (ре(/7отё1). Тогда по лемме 3.13
Fe имеет компактный носитель, являющийся подмножеством Д8.
Пусть L — множество вида
L = {xQEn\ а<^хг<^Ь, |х7-|<;л, / = 2, ...,п},
содержащее множества Д8 при всех 8, 0<8<< 1, причем в даль-
нейшем мы предполагаем, что это условие на 8 выполнено.
По лемме 3.33 распространим Fe до элемента Fe Q (£) с тем
же носителем, что и у Fe. По лемме 3.43 FE является пределом
по норме //лР) (L) последовательности функций в (L). Следо-
вательно, по лемме 3.22 <p8F8 является пределом по норме /7(р) (L)
последовательности {gj} функций из С^° (L). Полагая g7(x) = 0
для х£СЁ — L, получаем из определения 3.15, что qEFE является
пределом по норме /7(р) (Се) последовательности {gj} элементов
из С^(Се). Поэтому в силу леммы 3.23 (<p8F8) | С+ = <р| (F ° тё1) | С+
есть предел по норме /7(р) (С+) последовательности функций {gj | С+}.
Тогда из (I) вытекает, что F является также пределом по норме
С°° (С+) последовательности {hj} функций из (£п). Пусть ф —
функция из С™ (Еп), обращающаяся в нуль вне V и равная тож-
дественно единице в некоторой окрестности носителя Д распре-
деления F. Тогда по лемме 3.22 f о <р~х является пределом по нор-
ме /7(р) (V+) последовательности функций gj = tyhj\V+. Применяя
лемму 3.48, завершаем доказательство леммы в случае (Ь).
55 Заказ № 134
866 Гл. XIV, Линейные уравнения и операторы с частными производными
5. Некоторые геометрические рассмотрения
Пусть / — область в Еп, граница В которой содержит часть 2,
являющуюся гладкой поверхностью. Предположим, что ни одна
точка 2 не является внутренней точкой замыкания /. Условие
обращения функции f QC (/) в нуль на 2 является типичным среди
граничных условий,»накладываемых на функции в теории гра-
ничных задач. Мы хотим в этом небольшом параграфе показать,
как вводятся соответствующие понятия для производных высших
порядков, и рассмотреть некоторые их элементарные свойства.
1. ОпРЕДЕлениЕ. Пусть I — область в Еп, граница В которой
содержит часть 2, являющуюся гладкой поверхностью. Предпо-
ложим, что ни одна точка 2 не является внутренней точкой
замыкания /, и пусть k — натуральное число. Тогда если (/)
и dJf(x) обращаются в нуль для всех xf2 и всех <7, 1,
то мы будем говорить, что f удовлетворяет условию Дирихле
порядка k на 2 или что f и ее первые k — 1 нормальных произ-
водных обращаются в нуль на 2, и будем писать
(dv (2))7 (х) = О, х (= 2, 0< j < k - 1.
ЗдмЕчаниЕ. Индекс v в предыдущей формуле указывает на
«нормальность». Ниже будет объяснен смысл, в котором условие
определения 1 можно рассматривать как условие на производ-
ные /, взятые в направлении нормали к 2.
2. Лемма. Пусть I — область в Еп, граница В которой содер-
жит часть 2, являющуюся гладкой поверхностью. Предположим,
что ни одна точка 2 не является внутренней точкой замыка-
ния I. Пусть k — натуральное число и Тогда
(I) если Iq — подобласть /, граница которой содержит 2,
то условия
(dv (2))7 (х) = 0, х б 2, 0 < j < k - 1,
и
(dv (2))J (/1/0) (х) = О, хС2, 1,
эквивалентны,
(II) если Iq —подобласть I, граница которой содержит глад-
кую поверхность 20, являющуюся частью 2, то из условий
(dv(2))7(x) = 0, х£2,
вытекают соотношения
(av(2o))y(/|/o)(x)-O, хС20,
5, Некоторые геометрические рассмотрения
867
(III) если 1а является подобластью 1 для каждого а из мно-
жества А индексов а и граница 1а содержит гладкую поверх-
ность 2а, причем |J2a = 2, то условие
а
(dv (2)) 7 (х) = О, х е 2, О < / < k - 1,
эквивалентно системе условий
(dv (2а))’ (/1 /а) (х) = О, х g 2а, О С j < k - 1, а g Л.
Эта лемма вытекает непосредственно из определения 1; подроб-
ное доказательство предоставляем провести читателю.
3. Лемма. Пусть I—-область в Еп. граница В которой содер-
жит часть 2, являющуюся гладкой поверхностью. Предположим,
что ни одна точка 2 не является внутренней точкой замыкания I.
Пусть k и k{ — натуральные числа, f (/) ufiQCk+kl'~i (/).
Тогда если
(dv (2))7 (х) = О, х g 2, 0 < j < k - 1.
и
(5v(2))71(x) = 0, xg2,
то
(^(2))у(/Л)(х) = 0, xg2, +
Доказательство. В силу правила Лейбница ясно, что мы можем
написать
(D 3
Uol+Uil^|J|
для каждого J. | J | < k + — 1. и любого х g I. где cjQi jb j — неко-
торые постояннные коэффициенты. Так как в обеих частях
этого равенства стоят непрерывные в / функции, то (I) должна
выполняться и для всех xg/. Поскольку по предположению
dJ7(x)dJ1A(x) = 0, xes, \J0\ + \Jl\<k + kl-\,
то отсюда следует заключение леммы.
4. Лемма. Пусть I. Ii — две области в Еп. границы В. BY
которых содержат части 2, 2Ь являющиеся гладкими поверх-
ностями. Предположим, что ни одна точка в 2 (в 2J не является
внутренней в замыкании /(Д). Пусть k —натуральное число,
f gС/<-1 (7), а М\ I —> Д'— взаимно однозначное отображение,
такое, что
(I) (M(.));GCft-1(/),
(II) ^-‘(.ПДС'-ЧЛ), /=1,...,П.
55*
868 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Тогда условия
(1) (5v(2))7W = 0, х£2,
и
(2) ^(21))7(М"1(х)) = 0, х£2, 0</<£-l,
эквивалентны.
Доказательство. Используя правило дифференцирования слож-
ной функции и правило Лейбница, получаем
для каждого/, 1, и всех х£1, где aj1} j (х) — вполне
определенные коэффициенты, которые могут быть представлены
как многочлены от координат вектора М-1(х) и первых k— 1
производных этих координат. Так как обе стороны этого равен-
ства непрерывны в /, то (1) должно выполняться для всех х^1.
Так как по предположению dJ1f(x) = O для xgS и 1,
то dJf(x) = O для всех xg2 и 1. Таким образом, из (1)
вытекает (2). Из соображений симметрии из (2) вытекает (1), ч. т. д.
В лемме 4 устанавливается инвариантность условия Дирихле
порядка k относительно соответствующих дифференцируемых
отображений. В следующей лемме указывается, какой вид при-
нимает условие Дирихле в окрестности плоской границы области /,
и объясняется, почему оказывается приемлемым символическое
обозначение «нормальных производных», принятое в определении 1.
5. Лемма. Пусть I — область в Еп, граница В которой содер-
жит открытую часть 2 гиперплоскости Е71'1 = {х | х £ Еп, xt = 0}.
Предположим, что ни одна точка 2 не является внутренней
в замыкании I. Пусть k —натуральное число, a Тогда
условия
(I) (5v(2))7(x) = 0, х£2,
и
(II) 57(х) = 0, х£2, 0</Сk- 1,
эквивалентны.
Доказательство. Соотношение (II) вытекает из (I). Это сле-
дует непосредственно из определения 1. Обратно предположим,
что выполнено (II). Пусть 1 и J = где тах/^
и 2<lmin J2<max/2<Сп. Тогда если =
|/2| = /2, то dJf (х) = dJzб?/(х) Для всех Так как обе части
6. Эллиптические граничные задачи
869
этого равенства являются непрерывными функциями в /, то оно
должно также выполняться для всех xg/. Множество S обра-
зует открытое подмножество плоскости Е71-1. По предположению
g(x) = d{lf(x) обращается в нуль при xgS. Таким образом, мы
должны доказать, что функция dj2g(x), определяемая для xgS
(см. §2, стр. 803) как продолжение по непрерывности dj2g(x)
cl на Г, совпадает для всех xg2 с производной dj2(g\Ii)(x)
сужения g на 2, причем производная берется в открытом мно-
жестве ScsjE’72'1. Так как + то (7)
С72-1 (/). Пусть xog2, a // —настолько маленькая окрестность
точки х0 в что // — компакт и содержится в 2. Поскольку 2
не является подмножеством замыкания I, то все точки I из
малой окрестности х должны лежать в одном из полупространств
£+ = {x|xg£n, Xi>0}
или Е_ = {х\х£Еп, Xi<0}. Для определенности предположим,
что имеет место первый случай. Тогда, если 8 достаточно мало,
множество
Uz-={x\xQEn, 0<х1<8, [х2, ..., хп\ QU}
содержится в I. Так как g лежит в (У2”1 (7), то
limdJsg- (6, х2, ..., хп)
6-» о
существует равномерно для [х2, ..xn]gl/i и для всех J3, таких,
что 2 < min J3 < max J3 < n, | J31 < j2 — 1. Следовательно, по хорошо
известной элементарной теореме о перестановке пределов и опе-
рации дифференцирования мы имеем
dJ*g (0, х2, ..., хп) = dJ* lim g (6, х2, ..., хп) =
6->0
= limdj3g(6, х2, ..., хп),
д->0
что доказывает настоящую лемму.
6. Эллиптические граничные задачи
Можно ли обобщить теорию граничных задач и спектральную
теорию, развитые в гл. XIII, на дифференциальные операторы
с частными производными? В настоящем параграфе показано,
что это возможно, по крайней мере для широкого класса эллип-
тических операторов с частными производными, точно описывае-
870 Гл. XIV, Линейные уравнения и операторы с частными производными
мого ниже. Решающим моментом теории, изложенной в гл. 13,
была теорема XIII.2.10, доказательство которой опиралось
на лемму XIII.2.9, а потому наиболее важно получить обобщение
этих теоремы и леммы для операторов с частными производными.
Если теорему XIII.2.10 и лемму XIII.2.9 рассматривать с точки
зрения новой терминологии теории распределений, то станет
ясным, что проблема состоит в отыскании класса формальных
дифференциальных операторов с частными производными т, для
которых из уравнения теории распределений xf = g вытекает,
что f является в некотором смысле более гладким, чем g. Во вве-
дении к настоящей главе мы видели, что никакой такой принцип,
по-видимому, не может иметь места для тех формальных диф-
ференциальных операторов с частными производными, для кото-
рых разрешима задача Коши, например для гиперболического
оператора, такого как
(В § 7 будет показано, что задача Коши для этого конкретного
оператора разрешима.) Однако для эллиптических операторов,
понимаемых в смысле данного ниже определения 1, будет полу-
чено обобщение теоремы XIII.2.10. Это позволит нам развить
в общей форме некоторые более элементарные стороны теории,
изложенной в гл. XIII. Таким образом, полученные в этой главе
обобщения теорем XIII. 1.3 и XIII.2.10 не являются уже столь
тесно связанными, как сами эти теоремы. А теперь мы перехо-
дим к фундаментальному определению этой главы.
1. Определение. Пусть
т = 2 dj (х) dJ
— формальный дифференциальный оператор с частными производ-
ными порядка р, определенный в области I евклидова п-мерного
пространства Еп. Оператор т называется эллиптическим, если для
любого ненулевого вектора £ в Еп выполнено соотношение
2 =/=(), x^I.
iji=p
Таким образом, требование эллиптичности для дифференциаль-
ных операторов с частными производными аналогично условию
необращения в нуль старшего коэффициента, которое нала-
галось на формальные обыкновенные дифференциальные опе-
раторы в гл. XIII. Из доказательства теоремы 2 ясно, насколько
необходимо требование эллиптичности.
6. Эллиптические граничные задачи
871
->2. Теорема. Пусть т — эллиптический формальный дифферен-
циальный оператор с частными производными порядка р в обла-
сти I п-мерного пространства. Пусть f и g — распределения в I,
и предположим, что g£A{m)(T), a xf = g. Тогда f принадлежит
Л(гп+Р)(/).
Теорема 2 будет выведена из следующей леммы.
3. Лемма. Предположим, что выполнены условия предыдущей
теоремы, j = mA-p—l и До) (/). Тогда f принадлежит Д°’+1) (/).
Доказательство (леммы 3). Идея доказательства состоит в том,
чтобы рассмотреть т как сумму двух операторов: оператора т0 =
= 3 aJ (0) dJ и оператора, который сравнительно мал, по край-
iji=p
ней мере в малой окрестности точки 0. Затем мы исследуем
малую окрестность точки 0 путем значительного «сокращения»
(числа) координат. Технически воплощение этих двух простых
идей выглядит следующим образом.
В силу леммы 3.24 достаточно показать, что каждая точка q
в / имеет окрестность U, такую, что сужение f | U функции f
на U принадлежит До+1)((7). Сдвигая координаты в Еп (см. лем-
мы 3.47 и 3.48), мы можем без ограничения общности считать,
что q = 0. Для каждого 8>0 обозначим через S8 отображение Еп
в себя, определяемое уравнением Sex = sx. Из леммы 3.47 выте-
кает, что /oSg1 является решением дифференциального уравнения
с частными производными
(1) T£(/oSe1)= 3 aJ(ex)eP-i^J(foS;1) = ep(^oSe1)
UKp
в области е-1/. Пусть е настолько мало, что область е-1/ содержит
внутренность единичного шара Si в Еп; мы пишем =
= {х£Еп || х | < а}.
Пусть ф —функция из С°° (Еп), обращающаяся в нуль вне S1/2
и тождественно равная единице в S1/4. Из правила Лейбница
вытекает, что теф — фТе •-)-т (е) ф, где т (е)— дифференциальный
оператор с частными производными порядка не выше р — 1.
Если положить /e = (f°Se1), то из формулы (1) и лемм 3.22,
3.18 и 3.6 (IV) вытекает, что распределение /еф удовлетворяет
дифференциальному уравнению
(2) 3 aJ (?х) dJ (feq>)=gs,
\J\=P
где ge£A(m)(I); здесь в силу леммы 3.6 (IV) можно воспользо-
ваться формулой Лейбница и показать, что dJ (/еф) = фд^Д,-|-
872 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частным и производными
+ g(J, е) для | J | <р, где по лемме 3.22 и лемме 3.18 g(J, е) С
£Л(т)(/). Предположим, что т0 —дифференциальный оператор
(3) т0= 3 аД0)У.
|Т|=Р
(Оператор т0 можно рассматривать как «главную часть опера-
тора т в точке x = Q».) Если положить
aj(x) = aj (x) — aj (0),
то при 8, стремящемся к нулю, функции aj(&x) сходятся к нулю
в топологии пространства С00^). В силу (2) Длр удовлетворяет
дифференциальному уравнению с частными производными вида
(4) (т0+ 2 aj (ex) dJ) (feq>) =ge,
\J\^P
где все коэффициенты aj (ех) сходятся к нулю в топологии
С°° (SA) при 8, стремящемся к нулю. Так как по предположению
/ел<т+р-1)(/)>
то из (4) вытекает, что Дер удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению с частными производными
(5) ((то 4 X) + 2 aj (ex) dJ) (M>)=ge,
IJI^P
где выбор комплексной постоянной X находится в нашем распоря-
жении и будет сделан ниже, а ^ — распределение из X(m)(2i). По
лемме 3.13(11) носитель g8 целиком содержится в S1/2. Пусть С
обозначает куб
С = {х С Еп 11 Xt | < л, i = 1, ..., п}.
Тогда в силу лемм 3.12, 3.33 и 3.24, обобщенных на Dn(C), мы
имеем /8ф 6 1} (С), ge £ (С). Пусть ф £ С°° (Еп) — такая
функция, что ф(х) —1, если x£2i/2, и ф(х) = 0, если х£2з/4.
Тогда, полагая аДех) = аДех) ф (х), мы получаем функции aj (ех),
определенные в С, принадлежащие С™ (С) и сходящиеся к нулю
в топологии Сп (С) при е —> 0.
Положим
а8 = 2 аj (е*) dJ
\j\=p
и
Ti= то +
Тогда, так как aj (ex) = aj (ех) для xgSi/2 и так как по лем-
ме 3.13 носитель /8ср содержится в 21/2, то из (5) и лемм 3.10
6. Эллиптические граничные задачи
873
и 3.9 вытекает, что
(6) (Т1 + ^е)(/:Ё<р)=^е.
Пусть
(7) Я- 2
\L\=n
— разложение в ряд Фурье распределения H£Dn(C) (см. лем-
му 3.39). В силу леммы 3.40 и соотношения (3)
(8) (т0 + %)Я~ 3 HL{ 3 аД0)17 + Х)е^-х.
\L\—n IJ|=p
Комплексную постоянную X мы оставили выше неопределенной.
Выберем ее теперь так, чтобы { 2 aj (0) LJ} + X =/= 0 для всех
|Л==Р
индексов L при | L\ =п. Так как X можно выбирать из несчет-
ного множества, то сделать это нетрудно. Функции
\J\=P
— однородные порядка р, не обращающиеся в нуль на единичной
сфере 21 в Еп (здесь эллиптичность т используется в первый
и последний раз, но это решающий момент). Поэтому существуют
две положительные постоянные Ki и К2, такие, что
Таким образом,
lim ,ла.)+1
1/2(5) + % I
lim
А (£)+!
|/2©ш
Поскольку X было выбрано так, что /2 (А) + Ф 0 для всех индек-
сов L, |L|— п, то отсюда вытекает, что отношение |£|р+1
к /2(£) + ^ равномерно заключено между двумя положительными
постоянными, когда g пробегает множество всех векторов в
с целочисленными координатами. Поэтому в силу леммы 3.41
т0 + ^ является непрерывным отображением с непрерывным обрат-
ным пространства Нл+р) (С) на (Q для всех k между — оо
и +°°- Пусть vk и Vk — нормы отображения
<Го + %: Я^+р)(С)->Я^(С)
и его обратного.
Пусть Ti = T0 + X. Используя установленный выше факт, что
функции аДех) сходятся к нулю в топологии С™ (С) при 8—>0,
а также лемму 3.28(111), обобщенную на Dn(C), выберем 8
настолько малым, чтобы формальный дифференциальный оператор
874 Гл» XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
с частными производными
de = S а3 (ех)
1Л=Р
рассматриваемый как отображение из (С) в Н(а} (С), а также
из 7/„m+p-1) (С) в (С*), имел нормы меньшие, чем min (vm,
Тогда по лемме VII.3.4 отображение
(У + Оет;1)
как отображение пространства Я„т) (С) или пространства (С)
в себя имеет ограниченное всюду определенное обратное отобра-
жение. Поэтому мы имеем
(Tj + (Те) Ь1 U + = U + ПеЬ1) (J + ^еТ/1)-1 = I
Я
ТГ1 (J + Ое^Г1)-1 (Т1 + (Те) = (/ + ОеТ’1)’1 (/ + (ТеТ’1) Tj = t/Tj = /
независимо от того, рассматриваем ли мы rt и ое как отображе-
ния Н^+р) (С) в Ял”0 (С) или как отображения Няг+р~1у (С)
в Яя”1-1>(С). Таким образом, в обоих этих случаях тр4-сге является
взаимно однозначным отображением. Так как ge принадлежит
то существует такое распределение F в Н(™+р\ что (т, + ое) F =
= gs. Но поскольку /еф € Я^+р-1) И, В силу (5), (Tj + (Те) /еф = g’e, ТО
/еф = F принадлежит Ялп+р) (С) и тем более принадлежит Лят+р) (С).
Так как ф(х)=1 для х£21/4, то из лемм 3.9 и 3.23 вытекает,
что сужение /е IS1/4 принадлежит Л(т'гР) (S1/4). Таким образом
(см. 3.48), /1 Se/4 принадлежит Л(т+г>) (Se/4), и доказательство
леммы 3 закончено.
Доказательство (теоремы 2). Пусть J — область, замыкание
которой содержится в /. Тогда в силу лемм 4.13 и 3.13 и опре-
деления 3.15 распределение f\J лежит в А(п) (J) при некотором п.
Так как по леммам 3.18 и 3.23 g\J лежит в Л(в>(J) при всех
.$<лг и так как по леммам 3.10 и 3.9 т (/| J) = (g | J), то из лем-
мы 3 вытекает, что если п = $ + р—1 и $</и, то f\J принад-
лежит Л(п+1>(/). Но если n<m + p, мы всегда можем найти
такое целое число s, что s<m и n<;s + р^г 1. Таким образом,
•если /| J лежит в Л(п) (J) и n<m-|-p, то /| J лежит в Л(п+1)(/).
По индукции получаем, что /| J £ А(т+р) (J). Так как / — произ-
вольное открытое подмножество, замыкание которого содержится
в I, то по определениям 3.15 и 3.17 распределение / лежит
в Д(т+р) (/), ч. т. д.
6, Эллиптические граничные задачи 875
4. Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 2, и пусть
т + р — [п/2] — 1 >0. Тогда f является функцией, принадлежа-
щей пространству Cw+p~tn/2bi (/). Отображение (f,
—>f(xQ) является непрерывным линейным функционалом, опреде-
ленным на графике оператора Ti (т) при каждом xQ£l. В частно-
сти, если g = 0, так что f является решением уравнения т/ = 0,
то функция f бесконечно дифференцируема, т. е. f£C°°(T).
Доказательство. Это утверждение вытекает непосредственно
из теоремы 2, теоремы Соболева (4.5) и теоремы о замкнутом
графике (II.2.4).
5. Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 2, и р^>
>[и/2] —1. Тогда каждая функция f из ©(^(т)) принадлежит
СР-[п/2]-1
Доказательство. Это утверждение вытекает непосредственно
из предыдущего следствия и замечания, следующего за доказа-
тельством леммы 3.53.
В качестве первого применения фундаментальной теоремы 2
и следствия 5 мы докажем следующую теорему Маутнера, Гор-
динга и Браудера, обобщающую теорему XIII.5.1 на случай диф-
ференциальных операторов с частными производными.
6. Теорема. Пусть т — эллиптический формально самосопря-
женный дифференциальный оператор с частными производными
в области I евклидова п-мерного пространства, Т — самосопря-
женное расширение оператора Т0(т), a U — упорядоченное пред-
ставление пространства А2(/) относительно Т с мерой р, мно-
жествами кратности et и кратностью т^оо. Тогда существуют
ядра Wi(t, X), измеримые относительно произведения
меры Лебега и меры р, которые обращаются в нуль на допол-
нении ei, принадлежат С°° (/) и удовлетворяют дифференциаль-
ному уравнению (x — K)Wi(-, К) = 0 при каждом фиксированном X.
Более того, ядра Wi обладают следующими свойствами:
vrai sup | Wi (t, X) |2 p (dX) < oo
V tEJ J
для каждого компактного подмножества J внутренности I
и каждого ограниченного борелевского множества е, и
(I) №(X)=\’/С£2(/),
причем интегралы существуют в смысле среднего квадратичного
в L2fa, ei);
876 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
(II) для каждой борелевской функции F
т -J-oo
t/®(F(T))={[/dl2 $ |F(X)HA(^)i2H(^)<oo}
i=l —оо
U
lt/F(T)gh(%) = F(%)m(X), g££>(F(V)), -оо<%< + оо.
*
Доказательство. Так как Т = Т* То (т), то по лемме XII.4.1 (а)
мы имеем Т = Т* <=: TQ (т*)* = TQ (т*)*, где т = т* — формально само-
сопряженный оператор по предположению. Как было отмечено
в абзаце, следующем непосредственно после доказательства лем-
мы 3.53, Т0(т*)* = Т1(т); поэтому Т ^Л(т). Если
оо оо оо
(1) /СП л Э((Л(т)Пе Л ©(Л(тп))
m=l m=l п=1
(последнее включение вытекает из замечания, на которое мы
ссылались выше), то, в силу следствия 5, f лежит в С°° (/). Поэтому,
согласно следствиям XIL3.13 и XII.3.14, существует р-нулевое
множество N и ядра i=l, ..., m<oo, удовлетворяющие
соотношениям (I) и (II), такие, что для k^et — N выполнено
соотношение (7\ (т) — X) Wt (•, X) = 0. Из следствия 4 вытекает,
что если положить W\(-, Х) = 0 для и изменить X)
на соответствующем множестве лебеговой меры нуль при каж-
дом то мы получим функцию Wi, такую, что №$(-, X)
принадлежит С°° (/) при всех X, и такую, что
= X), t£l, при всех X.
Если Wi измерима относительно произведения меры р и лебего-
вой меры, то, поскольку в силу следствий XII.3.13 и XIL3.14
функции W определены лишь с точностью до множества меры
нуль, из теоремы Фубини будет вытекать, что мы можем поло-
жить Wt~ Wt. Для проверки измеримости функции Wi в этом
смысле достаточно заметить, что если Ст — куб
{хб£п||хг |<-Т, i = l, п)
в евклидовом n-мерном пространстве, то
Wt (t, 1) = lim (2m)-n Wt (s, X) ds = lim (2m)“n ? Wi (s, X) ds
t+cm t+cm
для всех точек t, внутренних в I, и ч. т. д.
6, Эллиптические граничные задачи
877
7. Следствие {формула обращения). Пусть /, Wt и т. д. те же,
что и в предыдущей теореме. Тогда для каждого f£L2(I) мы
имеем
т -|-А
но=2 lim (V wt (t, х) н (dk),
i=l А-*~ -А
причем предел существует в смысле среднего квадратического
в Ь2(Г), а ряд сходится по норме L2(l).
Доказательство. Это утверждение вытекает непосредственно
из предыдущей теоремы и следствия XIL3.12.
8. Следствие. Пусть оператор Т, ядра Wi и т. д. те же,
что и в теореме 6, a F — ограниченная измеримая по Борелю
функция, обращающаяся в нуль вне ограниченного борелевского
множества е вещественной оси. Тогда ограниченный оператор
F (Т) имеет представление
(F(T)f)(t)=\f(s)K[F-,t,S)ds,
i
где
K(F;t,s) = ^ \ F (k) Wi (t, k) Wt (s, k) p (dk),
i=l e
причем ряд сходится в L2(I) почти для всех фиксированных t
в I. Кроме того,
г»
vrai sup \ \K(F; t, s) I2 ds < oo,
v у
где J — произвольное компактное подмножество в 1.
Доказательство. Из теоремы XII.2.6 и формулы (1) доказа-
тельства теоремы 6 ясно, что если fQL2(I), то F(T)f принад-
лежит (] £)(Tn)s A Таким образом, из следствия 5
72—1 П=1
вытекает, что F(T)f лежит в С°° (/). Отображение f—>F(T)f
пространства 7^(7) в F-пространство С°° (/), очевидно, замкнуто.
Следовательно, по теореме о замкнутом графике (II.2.4) оно непре-
рывно. Поэтому существует постоянная М (J), такая, что
['] sup|(F(T)f)(/)|<M(J)|/|, f€L2(/).
878 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Из теоремы 6 (II) и предыдущего следствия вытекает, что
т
n (F (Т) П (0 = 2 $ F w Wi *) $ Wi (s’ v f (s)ds^ (dk),
i=i e I
где интеграл f (s) Wi (s, X) ds существует в смысле среднего квад-
е *
ратического в Л2(р), а ряд сходится по норме Ь2(1). Пусть Не-
плотное множество всех тех f в Л2(/), которые обращаются в нуль
вне компактного подмножества из I. Предположим сначала, что
т<оо. Тогда доказательство можно закончить следующим обра-
зом. Если f£H0, то можно воспользоваться теоремой Фубини
(справедливой в силу свойств ядер Wi, установленных в теореме 6)
для перестановки порядка интегрирования в [*] и получить соот-
ношение
[**] f(s)K(F-,t,s)ds, КН0,
I
а из него, используя ['], неравенство
sup I f (s)K(F; t, s)ds\^M(J)\f\, f$HQ.
tEJ I f 1
Из теоремы IV.8.1 тогда вытекают неравенство
[ J\K(F; t, s)|2ds]1/2<M(J)
I
и соотношение [**] для всех f£L2(l), так что доказательство
в случае т<оо закончено.
Если т=оо, то мы можем закончить доказательство точно
так же, как и выше, показав лишь, что ряд, определяющий функ-
цию K(F; t, s), сходится по норме L2(l) почти для всех фикси-
рованных t£l и что выполнено соотношение [**]. Это можно
доказать, привлекая на помощь следующее вспомогательное сооб-
оо
ражение. Пусть 3 Л2 (р, ez) — прямая сумма пространств,
на которую отображается L2 (/) упорядоченным представлением U
теоремы XII.3.11. Для каждого /?<оо определим ортогональный
проектор Pk в полагая
Pklfl, • • • , fk> fk+ii •••] = [/!» • • • > fk, 0, 0, ... ].
Ясно, что Pku—>u при k—» oo и каждом Так как отобра-
жение является непрерывным отображением L2(I)
6. Эллиптические граничные задачи
879
в С°°(/), то для каждого t£I формула
фН/) = (^(П/)(0
определяет непрерывный линейный функционал в Ь2(Г). Следова-
тельно, существует вектор gt£L2(I), такой, что
['] (F(T)f)(t) = (f,gt)9 f£L2(I).
В силу теоремы 6(11) и предыдущего следствия для всякой
функции f £L2 (/) мы имеем
(F (Т) U-'PhUf) (/) = (U-4>kUF (Т) f) (0 =
= 2 (М Wi (t, X) J Wi (s, X) f (s) ds pi(dX).
2=1 e I
Теперь из соображений, использованных в предыдущем абзаце
для случая т<оо, вытекает, что если
Kk (F; t,s) = % J F (X) Wi (t, X) Wi (s, X) ц (dK),
i=l e
TO
J \Kk(F; t, s)|2ds<oo, /£/,
i
и
["] : (F (T) U-*PkUf) (/) = J Kk (F; t, s) f (s) ds, f E L2 (I),
i
По определению ['] функции gt и в силу того факта, что отобра-
жение U сохраняет скалярные произведения, мы имеем
(F (Т) U~H>kUf) (t) =- (U~4>kUf, gt) = (Л U-4>hUgt).
Таким образом, из соотношения ["] вытекает, что
Kk(F;t, -^U-UWgt.
Из определения последовательности проекторов Pk вытекает, что
последовательность Kh{F\ t, •) функций сходится по норме Л2(/)
при k—> оо и что ее пределом является gt. Это показывает, что
ряд, определяющий ядро К(/; /, s), сходится по норме L2(I) при
каждом фиксированном t и что
5 к (F; t, s) f (s) ds = (f, gt) = (F (T) f) (t).
I
Итак, доказательство закончено.
880 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
1Аъ\ хотим теперь изложить некоторые вопросы теории гра-
ничных задач для эллиптических дифференциальных операторов
с частными производными и осветить ряд результатов, получен-
ных в этом направлении. Следует, однако, заметить, что совре-
менная теория граничных задач и граничных условий для эллип-
тических дифференциальных операторов порою слишком фрагмен-
тарна и не может сравниться с вполне законченной теорией, разви-
той для обыкновенных дифференциальных операторов (см. § XIII.2).
Нами, в частности, будет проведено подробное исследование одного
специального, но важного класса граничных условий —так назы-
ваемых граничных условий Дирихле. Для этой цели фундамен-
тальной теоремы 2, относящейся лишь к внутренности области /,
безусловно недостаточно, и она должна быть дополнена иссле-
дованием свойств дифференцируемости в окрестности границы /
распределений, удовлетворяющих эллиптическому дифференциаль-
ному уравнению с частными производными
и соответствующему множеству граничных условий. Мы начнем,
однако, с изучения тех сторон граничной задачи Дирихле, которые
могут быть изучены без подробной информации о дифференци-
руемости на границе.
9. Лемма. Пусть т — эллиптический формальный дифферен-
циальный оператор четного порядка 2р, определенный в области
Io gz Еп, и пусть
т= 3 aj(x)dJ.
Пусть Iq является объединением двух открытых множеств Ц и 12,
и предположим, что существуют постоянные Д\, kx (ki > О,
такие, что
Re (tf, f) (f, f)>kx\f |(%, f e Co (li) и c? (12).
Тогда если I — ограниченное подмножество из Iq, такое, что
I Iq, то существует такая пара постоянных Д, & (& > О, Д < со),
что
^(tf,f) + K(f,f)>k\f\lP), КСХ(Г).
Замечание. Норма |/|(Р) введена в определении 3.15.
Доказательство. Компактные множества / —и / —/2=С2
не пересекаются. Пусть СА и С2 —непересекающиеся открытые
множества, содержащие соответственно СА и С2. Тогда D1 = I--Cl
и D2^=I — С2 — пара компактных подмножеств, объединение кото-
6, Эллиптические граничные задачи
881
рых есть /; более того, и D2^I2. По лемме 2.1 суще-
ствуют неотрицательные функции (Л) и ф2£С~ (/2), такие,
что ф!(х)=1 для x^Di и ф2(х)=1 Для x£D2. Снова используя
лемму 2.1, найдем неотрицательную функцию т)ССо>(£п), которая
равна единице для х, удовлетворяющих неравенству Ф1(х) +
+ ф2 (*) >3/4, и равна нулю, если ф4 (х) + ф2 (х)С1/4; положим
з
фз (х) = 1 — т] (х). ^Положим также ф (хх -= 2 (Фг (х))2 и <pz (х) =
i=i
= (Ф (х))’1^ (х), 1 = 1, 2, 3. Тогда ф^С” (Л), ф2€С“(/2)
и (ф1 (х))2 + (ф2 (х))2 = 1 для всех х из I- Пусть /' при-
надлежит Со3 (7). Тогда
(1) Re(x/, Л + КДД /) = Re((ф24-ф2)т/, /) + ^((ф? + ф1)А /) =
= Re (ф^Д tf +Ki (<ptf, Ф1/) + Re (ф2т/, ф2/) + Ki (ф2Д фг/)-
По правилу Лейбница мы имеем
ф1Т/=Тф1/ + т1/, ф2т/=тф2/ + т2/,
где Tj и т2 —формальные дифференциальные операторы порядка
не выше 2р — 1. Таким образом, полагая Д = /фь /2 = /ф2 и т3 =
^хН-тг, мы получаем из (1) и наших предположений, что
(2) Re (т/, f) +Ki (f, f)>ki\ + ki | f2+ Re (т3/, f).
Точно так же из (1) и неравенства Шварца мы получаем, что
существует конечная постоянная А (т), зависящая лишь от т,
такая, что
(3) Re (т/, f) < А (т) {| fi +1 f2 О + Re (т3/, f).
Определим формальный дифференциальный оператор с частными
производными pi порядка 2р равенством
(4) 3 (-l)W.
I
Ввиду возможности интегрирования по частям ясно (см. послед-
ний абзац § 2), что
Следовательно, применяя неравенство (3) к оператору pi, нахо-
дим, что
(5) | f < А (И) {| fi +1 f2 |fo} + Re Ы, f),
где pi3—-некоторый дифференциальный оператор порядка не выше
2р— 1. Из неравенств (2) и (5) вытекает существование такой
56 Заказ № 134
882 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
конечной положительной постоянной k2, что
(6) /e2|/^) + (W,D<Re(Tf, /GC~(Z),
где т4 —некоторый дифференциальный оператор с частными про-
изводными, заданный в /0, порядка не выше 2р— 1.
Индукцией по | 1 мы можем показать, что равенство вида
dJ1G (х) tf^G (х) д31д3г + 2 Сj (х) д3
IJ KI Jil+l Jal
выполнено (при подходящих коэффициентах Cj) для всех функ-
ций G из С°° (1о). Поэтому очевидно, что формальный дифферен-
циальный оператор т4 может быть представлен в виде
т4= 2 j2(x)dJi
|Jil<P, !J2|^р
через соответствующие коэффициенты Cj1}j2 из C°°(/o). Интегри-
рование по частям (см. последний абзац § 2) дает
(WJ)= 2 (-i)J1\cJ1,j2(x)dj2f(x)dJlf(x)dx
|J1 \<Р, I J2 l^p Io
для всякой функции f из Со° (/). Из неравенства Гёльдера выте-
кает существование такой конечной постоянной Л4, что
l(W, nicMi/u/ip, /ес“(/).
В силу следствия 4.12 мы приходим к выводу о существовании
для любого 8 > 0 такой конечной постоянной К(е), что
(7) |(т4А /)|<е|/|р-гК(е)|/|2,
Выбирая 8<&2, видим, что наша лемма является следствием
неравенств (6) и (7).
10. Лемма (неравенство Гординга). Пусть т — эллиптический
оператор четного порядка 2р, определенный в области IqczzE”,
а I — ограниченное открытое множество, замыкание которого
содержится в /0- Пусть
т= 2 aj(x)dJ,
Ul^P
и предположим, что
(—l)pRe 2 х£/0,
Ы1^2р
для всех векторов £ 0 из Еп. Тогда существуют постоянные
К< оо и k>0, такие, что
Re(T/, f)>k\f\2p,
6. Эллиптические граничные задачи
883
Доказательство. Мы будем сводить наше утверждение к его
все более и более простым частным случаям и, наконец, дока-
жем простейший. Пусть т^(тЦ-т*)/2. Тогда из формул §2,
приведенных непосредственно после определений операторов т*,
т+ и т, и правила Лейбница, примененного к т*, мы имеем т
=--т* и
т = у (? + ?*)= у, Reaj(x)dJ+ У bj(x)dJ,
И=2р |Л<2р
где bj — некоторые коэффициенты. Более того, мы имеем в силу
формулы Грина (1) последнего абзаца §2
Re (тД f) = ± {(тД /) -г (Д т/)} ± ((т + т*) Д /) = (тД /)
для любой функции Таким образом, мы должны дока-
зать неравенство
(ТД D+K(f,
Следовательно, без ограничения общности мы можем считать,
что т = т, т. е. что оператор т = т* является формально самосопря-
женным, и что 2 aj(x)^J>0 для всех х£10 и £=^=0 из Ev.
|Т|=2р
Индукцией по ЦП мы можем проверить выполнение для
любой функции С из Со° (/о) формального равенства
(1) dJ1C(x)dj2 = C(x)5J15j2+ 3 Cj,jiaj(x)dJ,
где Cj, — соответствующие коэффициенты. Используя тождества
типа (1), мы можем, очевидно, доказать индукцией по порядку
оператора т, что т представим в виде
(2) т= S dJ1dJltJ2(x)dJ^ 3 dJ1dJltJi(x)dj2,
где коэффициенты dj^j2 принадлежат С°°(/о). Из формального
тождества (1) непосредственно вытекает, что
у dj1,j2(x)dJ1dJi= У aj(x)dJ.
|«/2| = Р [Л = 2р
Из этого соотношения между формальными дифференциальными
операторами вытекает равенство
\Ji\=P: кг2|=Р и=2р
56*
884 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
так что
(-1)р 2 XG/о, W*.
IJ1I=U2|=P
Так как
т = т* = -^-(т + т*)= dJ1<Aa, Ji =
1Л|=|/2|=Р
= s qJ1 . ^2 (*) + dj2, Jx (x)) У2 + T2,
(J1I=IJ2I=P
где т4 и т2 —формальные операторы порядка не выше 2р— 1, то
мы можем без ограничения общности считать, что djlt j2 (х) =
— dj2, (х) для х G /о и | Ji | = | J21 = р. Поэтому если положить
т0= S d31dji,j2{x)d\
то т0 —формально симметрический оператор, т0 = т*. Мы покажем
ниже, что существуют постоянные Ki < оо и > 0, такие, что
(3) (W, /) (A f) > ki (f, f G CZ (/).
Из неравенства (2) и формулы Грина вытекает, что
(V, Z) = (W, /)+ 2 $ (-i)J1dji,j2(x)^f(x)dJ1f(X)dx
|J1I<P, |121«р I
для любой функции f из Со (Г). Так как коэффициенты dJltj2
равномерно ограничены в /, то в силу неравенства Шварца
(см. III.3.2) существует такая постоянная К2<°°, что
I (V, f) - ы, п | <Кг | f |(Р) I f I(P-I). f G Со5 (/).
Из леммы 4.12 вытекает, что для любого 8>0 существует
конечная постоянная К (в), такая, что
| f |(Р) | f |(р_1) < 8 | f |(2р) +К (в) | f |(20), f G С^.(/).
Поэтому
(4) KV, /)-(ТоД /)1<8К2|/|2р)+К2К(8)|/|20).
Предположим, что неравенство (3) доказано. Тогда если посто-
янная 8 в (4) выбрана настолько малой, что | &К21 < где
ki — то же, что и в (3), то из неравенства (3) будет вытекать,
что
(Tf, A +Ki (f, f) +1K2K (8) I (f, f)>~ki (f, f)w,
6. Эллиптические граничные задачи
885
и если положить K = Ki + \K2K(s) |, k =k±, то лемма будет
доказана.
Для завершения доказательства леммы нужно установить
неравенство (3). В силу предыдущей леммы и теоремы Гейне —
Бореля достаточно показать, что каждая точка xQ в /0 имеет
окрестность /1? настолько малую, что для некоторых постоянных
Ki<z ОО И /^>0
(5) (W, + f)(p), (Л).
Пусть
«то = 2
Ui|=|jr2|=p
Ст1= 2 {aJ1dJ1,j2(x)aj2-aJidJ1,j2(x0)5j2}.
IJiWJbKP
Тогда т0 = сго4-о'1. Мы покажем ниже, что существует окрест-
ность li точки х0, настолько малая, что для некоторых ^2<oo
и &2>0 мы имеем
(6) (<тоа f)+K2(f, f)^>k2(f, f)(p), КС^(Ц).
Так как то = (Го + а1, то интегрирование по частям и неравенство
Шварца дают
KW, /)-(ао/, /)|<
(7) < 2 $ I /2 W-dJlt J2 (хо) | | dJ1f (x) | | dJ*f (x) | dx<
IJiI=!j2I=p
< sup |dJbJ2(x)-dJliJ2(xo)| 2
И11 = |^2|=Р |^11 = 1'</2|=Р
для любой функции f из Со° (/), если It выбрана настолько
малой, что
(8) sup | j2 (х) — dJlt j2 (x0) | < 6.
xEh
1«71|=П2|=Р
Таким образом, если выбрать б настолько малым, что п2Р-б<
<&2/2, а Л настолько малой, что выполнено (8), то из неравен-
ства (6) будет вытекать
(W, D+K2(f, f)>^k2(f, f)(P), fQC-(i),
откуда непосредственно следует неравенство (5). Тем самым
достаточно установить лишь неравенство (6).
886 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Сдвигая координаты, мы можем, очевидно, без ограничения
общности предполагать, что хо = О, и можем тогда выбрать Ц
настолько малой, чтобы она содержалась в кубе
С = {х g Еп | | Xi | < л, i = 1, ..., п}.
Пусть
2 fLeiLx, xQC
Щ=п
— разложение в ряд Фурье функции f в кубе С (см. лемму 3.39).
Тогда по лемме 3.40
(<W)W = 2 Р (L)CL(f) eiL x, xQC,
\L\=n
где
^a) = (-i)p 2 dJ1>J2(0)№
\Jz\=p
— ряд Фурье функции aQf в кубе С. Таким образом (см. IV.4.13),
мы имеем
(9) ы, Z)+(/</,/)= 2 (Р(А)+Ю|са/)12, /ссж
|L|=n
Точно так же
(10) (А /)(р)= 2 Q(L)\cL(f)\\ KCZ(D,
|L|=n
где
q (£)=- 2 aV-
Так как Q (£)— многочлен по | порядка 2р, то существует конеч-
ная положительная постоянная Л, такая, что
(И) | Q (£) |<Л(| £Г + 1), Шп-
Так как Р (£) является по предположению неотрицательным
однородным многочленом по g порядка 2р, то существует конеч-
ная положительная постоянная В, такая, что
lim (1+|£H-W)>B.
Таким образом, для достаточно больших К2
(12) B0+\m^P(^+K2,
и в силу неравенств (9), (10), (11) и (12) мы имеем
вл-ч/, А(р)<(ооЛ /)+к2(Д f),
6. Эллиптические граничные задачи
887
так что, полагая 7<2 = ВЛ х, мы доказываем неравенство (6),
а вместе с ним и нашу лемму.
11. Следствие. Пусть т — эллиптический формальный диф-
ференциальный оператор с частными производными четного
порядка 2р, удовлетворяющий условиям леммы 10 и определен-
ный в ограниченной области Ен, такой же, как в лемме 10.
Пусть Т = Т (т) — оператор в гильбертовом пространстве L2(I),
определенный соотношениями
ЩТ (т)) = £ (Т) = £> (Л (т))П
КЩТ).
Тогда спектр g (Т) является счетным дискретным множеством
точек, не имеющим конечных предельных точек, и для k^G^T)
резольвента R (%; Т) является вполне непрерывным оператором.
Доказательство. Точно так же, как и в доказательстве
предыдущей леммы, получаем, что (7\(т)/, g) можно предста-
вить в виде
(I) (Л(т)А^)= 2 (-1)W$
Л geczu),
где коэффициенты djb j2 принадлежат Co° (/0) и, в частности,
равномерно ограничены на /. Таким образом, в силу равенства
(1), неравенства Шварца и предыдущей леммы, мы можем найти
вещественное число К, настолько большое, что существуют постоян-
ные Ki и ki, такие, что
(2) |(Л(т+А,)Л Л geczm
и
(3) Re(Tt(T + X)A f)>wu Л geCZ(l).
В силу (2) выражение (7\(т 4-Л) f, g) можно продолжить до не-
прерывной билинейной формы [f, g], определенной на замыкании
H<Z'1 (/) подпространства Со° (/) в (/) (см. 1.6.17). Так как
ЯоР) (/) — гильбертово пространство (см. 3.16), то [f, g] =
= (ЛД g)(p) (см. IV.4.5) при некотором векторе для
любых и gg/7(oP)(/). Поскольку форма [/, g] ограничена
и билинейна, то А является ограниченным линейным отображением
//оР)(/) в себя. В силу (3) и неравенства Шварца
(4) | Af |(р) | f |(р) > | (4/, /)(р) | > | f |(2Р), f € CZ (/),
888 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
так что в силу непрерывности эти неравенства выполнены для
всех Это показывает, что | Af |(р) >kx\f |(р), и потому
оператор Л"1 определен на Л77(ор) (/), однозначен и ограничен.
Если Л//оР) (/) не плотно в то (см. IV.4.4) существует
такой элемент f в //(ор) (/), что / #= О и (Л//(ор)(/), /)(р) = 0. Но
тогда (Af, = что противоречит соотношению (4). Это
показывает, что Л//оР) (/) плотно в (I). Пусть / — произволь-
ный элемент из (/) и /п —такая последовательность в Н^(1),
что | Afn — f |(р) —> 0. Так как Л"1 ограничен, то {/п} —фундамен-
тальная последовательность и, следовательно, сходится к пределу
g в 77(оР) (/). Мы имеем Ag = f. Это означает, что АН^ (/) =
= /7оР)(7), и тем самым Л-1 —ограниченный всюду определенный
оператор в Н^(1).
Пусть [—произвольный элемент из (/) и g-gC” (7). Пусть
/т€С“(7) И Ifm —/|<р>-*0 при /П—>ОО. Тогда fm—>f В ТОПОЛО-
ГИИ Л2(7), так что по определению 3.26 и лемме 3.27 fm—*f
в топологии D(I) и (т + X) fm —»(т + X) f в топологии D(I). Сле-
довательно,
(5) (x + ^)f(x)g(x) dx = lim ? (т + Л.) fn (х) g (х) dx =
I П-»оо J
= lim (Afn, g\P) = (Af, g)(p)
П-¥ОО
для любых /С/7оР)(7) и gGCo°(7), и тем самым
(6) ((^+W, £) = W,g)(P)
для любых fQH^(l') и g^Co(I). Из соображений непрерывности
ясно, что (6) выполнено для всех f£ £>(Т) и g£ 77ор)(7).
Ввиду соотношений (4), (6) и неравенства Шварца
\(T + M)f\\f\>\((T + M)f, f)\>ki\f\^\f\M>ki\f\(p}\f\
для [££>(!"), и потому
(7) l(T + V)H>^|/U КЩТ).
Таким образом, оператор (Т + Х7) взаимно однозначен, а (Т + V)"1
определен на (Т-|-Х7) © (Т) и ограничен.
Если g—произвольно выбранный элемент в L2(l), то <р(/) =
= С?, f), очевидно, является анти линейным функционалом, непре-
6. Эллиптические граничные задачи
889
рывным на //(ор) (/). Таким образом, существует элемент (Г),
такой, что
[ g(x)Hx)dx==(g, f) — (h, f)(p) = (AA~1h, f)(p)=.
i
= (т + К) (Л"1 A) (x) f (x) dx
i
для всех последнее равенство вытекает из (6). Это
показывает, что (т + Х)Л"1 h = g, и потому Л-1АС©(Т); тем
самым установлено, что оператор (T-J-X/)-1 ограничен и всюду
определен.
В силу неравенства (7)
это неравенство показывает в силу следствия 4.11, что оператор
R([x0; TQ) вполне непрерывен при любом отрицательном р0,
достаточно большом по абсолютной величине. Тогда по лемме
VII.9.2 и теореме VII.4.5 спектр о,(Т) является счетным дискрет-
ным множеством точек без конечных предельных точек. Если
то
Т) = Я(Но; П) + (Но-Ь) Я (Но; W; Т)
(см. определение VII.9.3 и теорему VII.9.5), так что R (X; Т)
вполне непрерывен по теореме VI.5.4, ч. т. д.
12. Следствие. Пусть выполнены условия следствия 11. Тогда
существуют постоянные 7< < оо и А > О, такие, что
Re(Tf, + fQQ(T).
Доказательство. Это утверждение вытекает непосредственно
из формулы (6) предыдущего следствия, если только доказать
существование такой постоянной А>0, что
Re (Л/, f)(P)>k(f, f)(p),
В силу (3) это неравенство выполнено для всех /€Со°(/). Но
Со’ (/) плотно в (/); таким образом, по непрерывности это
неравенство выполнено для всех
13. Лемма. Пусть At и А2 —линейные операторы в гильбер-
товом пространстве, определенные на плотном множестве.
Предположим, что существует Ма(Л1), такое, что Х^о(Л2),
Л^Л2* и Л2<=Л*. Тогда Л4-Л*, Л2 = Л*.
890 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Доказательство. Пусть Br = (М —А^ \ B2 = (Z/ —Л2) Ч Тогда
если х и // — векторы гильбертова пространства, то
(BiX, у)=-(Вхх, (М— А2) В2у)==((М— Аг) BtX, В2у) = (х, В2у).
Следовательно, Bi^B* и В2 = В*. Из леммы XII. 1.6 вытекает,
что (V — = (X/ — Л2)*, (X/ — А2) = (X/ — Л^*; тогда, снова в силу
леммы XII. 1.6, А^А*, А2 = А*, ч. т. д.
14. Следствие. Пусть т — эллиптический оператор четного
порядка 2р, определенный в ограниченной области I. Предполо-
жим, что выполнены условия леммы 10. Пусть Т и S —опера-
торы в гильбертовом пространстве Ь2(1), определяемые соотно-
шениями
© (Т) = © (1\ (т)) П МР> (/); ©(£) = © (1\ (т*)) Q (/),
Т/ = Л(т)А /€©(Т); 5/ = Л(т*)Д /€©(S).
Тогда T = S* и S = T*.
Доказательство. По предыдущей лемме и следствию 11
достаточно показать, что (Tf, g) = (f, Sg) для f£ ©(T) и g££)(S).
По формуле Грина, доказанной в последнем- абзаце § 2, это
равенство выполнено, если f и g принадлежат Со° (/). Как и в
доказательстве формулы (6) следствия 11, получаем, что суще-
ствуют ограниченные операторы А и В, отображающие (/)
в себя, такие, что
(Tf, g) = (Af, g)(p), (f, Sg)^(Bf, g)(p), f££)(T), £CS(S).
Мы видели, что (Af, g) = (Bf, g) для всех f и g из Co° (/),
a Co° (/) плотно в (/) по определению (/); поэтому из
соображений непрерывности отсюда вытекает, что (Af, g) = (Bf, g)
для всех f и g из Н^Ц). Таким образом, (Tf, g) = (f, Sg) для
всех /С©(Т) и ££©(£), ч. т. д.
Теперь мы рассмотрим вопрос о «дифференцируемости вплоть
до границы». Мы докажем аналог теоремы 2, справедливый вплоть
до границы области с гладкой границей. Метод доказательства
близок к методу доказательства теоремы 2, однако он услож-
няется наличием границы. Идея преодоления этой трудности
состоит в следующем. Если граница предполагается гладкой, то
ее можно с таким же успехом считать и плоской. При этом
условии доказательство теоремы 2 может быть модифицировано
следующим образом. Так же, как и раньше, осуществляется
процесс сведения доказательства к тому частному случаю, когда
рассматриваемый дифференциальный оператор с частными произ-
6. Эллиптические граничные задачи
891
водными имеет постоянные коэффициенты. Для исследования
этого частного случая вместо разложения в ряд Фурье, которое
теперь невозможно из-за наличия плоской границы, мы исполь-
зуем процесс сдвига, параллельного границе, неравенство Гор-
динга и важную лемму Ж- Лионса, что позволяет нам разобрать
случай постоянных коэффициентов, прибегая к простому индук-
тивному доказательству.
Следующая лемма носит предварительный характер.
15. Лемма. Пусть I — куб в Еп, р —натуральное число и
у£Ср(Еп). Предположим, что все частные производные функ-
ции ср порядка не выше р обращаются в нуль на границе /.
Тогда существует последовательность {фп} функций в Со° (/),
такая, что —по норме Ср (7) при п—*оо.
Доказательство. Мы можем, очевидно, без ограничения
общности считать, что
/ = {х££п||х£|<1, i=\, ...,/г}.
Если ПОЛОЖИТЬ ф (х) = ф (х), I, Иф(х) = 0, х$1, то функция ф,
очевидно, удовлетворяет тем же условиям, что и ф. Поэтому мы
можем считать, что ф(х) = 0 для х$1. Так как функции фе,
определяемые соотношением фе(х) = ф((1 — 8) х), в силу леммы 2.5
сходятся к ф по норме Ср (/) при 8 —» О, то ясно, что мы можем
без ограничения общности считать, что ф£Со(/). Это мы и будем
предполагать в дальнейшем.
Пусть К —компактное подмножество внутренности /, вне
которого функция ф обращается в нуль. Пусть 8t > О настолько
мало, что всякая точка, отстоящая от К на расстоянии, меньшем
281? является внутренней в I. Для каждого 8, 0<8<81? по
лемме 2.1 можно найти функцию т] = т]2, такую, что т)(х) = 0
при |х|>8 и
(1) т] (х) dx= 1.
Еп
Положим
(2) dy = J <p(x- y)i\(y)dy.
En En
Так как т]ССо’(^п), то первый из этих интегралов можно диф-
ференцировать сколько угодно раз под знаком интеграла, так что
фСС°°(Еп). Если ф(х)#=0, то должна найтись точка у, такая,
что т] (х — у) Ф 0 и ф (у) Ф 0. Поэтому | х — у | < 81 и у^К, так что х
892 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
является внутренней в / и отстоит на расстоянии не меньше
от границы I. Тем самым ф (I). Так как ср £С(ОР) (Еп), то второй
интеграл в (2) можно дифференцировать р раз под знаком инте-
грала; поэтому
(х) = J (dJ(p) (х — у) Т) («/) dy, IJ К р.
Еп
*
Используя (1), получаем
(3) |Ут|) (х) — </ф(х)| = | J {(dAjp) (х — у) — dJ<p (х)} n'(f/)df/|
Еп
< max | (д’<р) (х — у) — dJq> (х) |.
|У|<8
Так как ф £С<Р) (Еп), то ясно, что если 6 > 0, то, выбирая & — s (6)
достаточно малым, можно добиться выполнения неравенства
тах|(дЛр) (х — у) — dJcp (х) | < 6, | J|<p.
11/1^8
Отсюда непосредственно вытекает лемма.
Первый существенный шаг в нашем исследовании —доказа-
тельство следующей леммы, принадлежащей Ж- Лионсу.
16. Лемма. Пусть I обозначает куб {xg£n|0<Xj<h
/ = 1, ...,zz}, F£D(J), а р>0 и q —такие целые числа, что
p + q>0. Тогда если FQL2(l) и j=\, п,
то F принадлежит Н<-р+9^ (I).
Доказательство основано на очень простом «принципе отраже-
ния», который мы установим в удобной для нас форме. Пусть
k~натуральное число (его выбор будет уточнен ниже). Пусть
a_fc, ..., a^ —множество различных положительных чисел, боль-
ших, чем единица. Пусть c_k, . .., ch — решение системы линейных
уравнений
k
(1) 2 (-l/ajcj-1 =0, l=-k,..., + k.
j=-k
Так как определитель Вандермонда этой системы линейных урав-
нений не равен нулю, то вещественные числа Cj существуют
и единственны. Для всякой функции (р С С~ (Еп) положим
(2) ($г)ф) (*1> . • •, х„) = <р (хь ..., xi-t, — apci, хг+1, ..., х„),
так что определяет отображение Со (Еп) в себя для каждой
пары целых чисел, удовлетворяющих неравенствам
6. Эллиптические граничные задачи
893
и — +&. Все операторы очевидно, коммутируют друг
с другом. Положим
k
(3) Sy!)(p = (p — 3 ( — «;)’— со</<-4-оо,
г——k
так что все операторы коммутируют друг с другом, и
(4) dmS(f = 8{/}дт, l^m, 1</, /га<«, — оо<’/< + оо,
diS^ =S$+idj, !</<«, — оо</< + оо.
Положим
(5) SL = S(tP ... S(t”>
для каждого индекса L, такого, что | L | = п. Из соотношений (4)
тогда вытекает, что
(6) dmSL = Sb'dm,
ГДе L — [/j, . • •, lm-1, » ^тп+1> • • • ч ln]i В U1, • * • >
В силу (1) и определений (2), (3) и (5) оператора SL мы имеем
(7) (5ьф)(х) = 0, (pgC(£n), min (L)<max (L)<£,
ясли один из хь хп равен нулю. Пусть /0 обозначает куб
1о — {х £Еп\ | xt |< 1, /=1, ..., п}. Тогда при — fe<min(L)<:
<max(L)<fe SL является отображением С^°(/о) в себя, перево-
дящим все Со° (/о) в множество функций, обращающихся в нуль
на границе куба I. Заметим далее, что в силу (6) dmSLq) == Зь'дтЦ)
и в силу (7) 5ьф обращается в нуль вместе со всеми своими пер-
выми производными, если один из х1? ..., хп равен нулю
и — fe<min(L)<max(L)<:fe—1. Точно так же, используя соот-
ношения (6) и (7), мы убеждаемся, что 5ьф обращается в нуль
вместе со всеми производными порядка не выше /, если один
из Xi, . ..,хп равен нулю и — fe<min(L)<max(L)<fe —/.
Поэтому если TLq> определяется соотношением TLq) = SLq>\I,
то TL отображает Со° (/0) в С°° (/) и все первые j производных Тьф
обращаются в нуль на границе I при — fe<min(L)<max (£)</?—/.
Следовательно, по предыдущей лемме ТL отображает С™ (/0)
в Я(б°(/) при min(LXmax(L)Cfe — /. Из определения 3.15
ясно, что это отображение непрерывно.
Предположим теперь, что 9<0. Заметим, что так как FgL2(/),
то формула ^(ф)=^ F (х) ф (х) dx определяет продолжение линей-
ного функционала F до непрерывного линейного функционала
894 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными, производными
в L2(I). Пусть распределение G£D(I0) определяется соотноше-
нием G (<р) = F (Т0<р), где 0 означает векторный индекс, все состав-
ляющие которого равны нулю, и где (в дальнейшем это пред-
полагается) k выбрано так, что£>2тах( — q, р). Тогда в силу (6)
и определения TL
(8) <?Ш = гМф)=гда рф), фбОГ (/0),
* ч
где L; есть zz-набор, у которого на /-м месте стоит —р, а на всех
остальных —нули. По предположению и в силу определения 3.17
существует конечная постоянная А, такая, что
\F(d^\^A\^\^ 1</<п.
Из непрерывности функционала F (ф) (ф берется с нормой | ф |0)
и непрерывности отображения ф—»д/ф из (I) в//(0)(/) вытекает,
что это же неравенство выполнено при ф£ (/) и г=гпах (—?, р).
Так как fe>2max( — q, р), так что r<fe — р и Т
Ч
то из соотношения (8) вытекает, что
(9) \^G)^)\<A\TРФ|(_9), 1</<п.
Ч
Из определения отображения TL и определения 3.15 следует
существование такой конечной постоянной В, что [Тьф|(_9)<
<В|ф|( _Q) для cpgC~(/o). Таким образом, в силу (9) dpG лежит
в (/о) при 1 < j<п. Поэтому если применить теорему 2 к эллип-
тическому оператору
__ д2р । < ^2Р
Т — 01 оп ,
то мы получим, что G ^Д(р+ч) (/0). Если ф£Со° (/), то ясно, что
Тоф = ф. Следовательно, так как G (ф) = F (Гоф), то G | / = F. Вместе
с определениями 3.15 и 3.17 это показывает, что F |/1^/7(р+9)(/1)
для любого открытого подмножества из I, замыкание которого
не пересекается ни с одной из граней куба, не примыкающих
к вершине, находящейся в начале координат. Так как любой
из углов куба можно рассмотреть точно таким же способом,
то в случае q^.0 наша лемма вытекает из леммы 3.21.
Предположим теперь, что q>0. Тогда dpdJF^ L2(I) при 1
и | J\ = q. Следовательно, по только что доказанному dJF £Н(Р) (I),
и тем самым FQ H(p+q) (/) по определению 3.15, ч. т. д.
В нескольких последующих доказательствах мы будем рас-
сматривать куб
С = {хС Еп\0<Х!<2л, / = 2, .. , п}
6. Эллиптические граничные задачи
895
евклидова ^-мерного пространства Еп. Мы будем предполагать Еп
представленным как прямое произведение Е1 и £п-1, так что
£П = Е1@£П-1, и соответственно расписывать каждый вектор х
из Еп в виде х = [х1? у], где у = [х2, хп] £ Еп~{. Тогда С можно
представить в виде прямого произведения С = [0, 2л] х куба
Ci^{yQEn~liO^yi^2jt1 г-1, п-1}
и интервала [0, 2л]. Мы хотим теперь сосредоточить наше внимание
на двух гранях —{[0, у] |у^С^} и F+ = {[2л, у] |у£(\} куба С1?
игнорируя остальные его грани. Для этого мы будем предпо-
лагать, если только не оговорено противное, что все рассматри-
ваемые функции от х являются кратнопериодическими с периодом 2л
по переменным у=[у^ ...,Уп-а\- Соответственно мы будем иметь
дело с пространством ЕПу(С) всех функций от х, кратноперио-
дических с периодом 2л по переменным г/ — [у^ ..., yn-i\ и с про-
странствами
Су(С) = {/€Со° (С)|/€^У(С)},
cSy(C) = {/ec^(C)|/GF«y(C)},
Сл, о (С) — {f £СЛу (С) I f (%1, у) — 0 при близком к 0 или 2л}.
Из этой последней формулы ясно, что, как и в соответствующем
случае пространства СЛ(С), мы можем всякую точку х — [х1? у],
для которой 0<х1<2л, рассматривать в некотором смысле
как внутреннюю точку С. Для этого мы должны лишь воспользо-
ваться кратной периодичностью по переменным y=[yi, ...,yn-i]
всех рассматриваемых функций и ввести координаты, сдвинутые
таким образом, что точка р становится внутренней в С —[0, 2л]хС\
(см. аналогичные соображения перед определением 3.29).
Мы пишем fn^f для fn,f€Cx, о (С), если fn—в тополо-
гии СЛу(С) и если все функции fn обращаются в нуль вне фиксиро-
ванного множества вида [8, 2л — 8]хС1? е*>0, и обозначаем
через ОЛу(С) множество всех линейных функционалов G на 0 (С),
непрерывных в том смысле, что из соотношения fn^f вытекает
Все остальные понятия теории распределений, как,
например, сумма двух элементов изРЛу(С), произведение элемента
из ОЛу(С) на элемент из СЛу(С), частные производные элемента
из РЛу(С), могут быть введены так же, как и в §3 (см. подоб-
ные рассуждения после определения 3.28). Обозначая через J
896 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
произвольный индекс в £п, мы можем теперь ввести гильбертово
пространство
^(С) = {/ЕГ>Яу(С)|/ЕА2(С), ?М(С), \J\<p}
со скалярным произведением
(bg\py= 2 $ dJf(y)dJg(y)dy.
UI^P с
Обозначим через о (С) замыкание пространства С™у, о (С)
в топологии Н$у(С). Следует отметить, что поскольку функции
в Ь2(С), L2(Ct) и т. д. определены лишь почти всюду, то их можно
всегда выбирать кратнопериодическими с периодом 2л по всем
их переменным. Поэтому нет смысла вводить пространство H^y (С),
ибо как линейное пространство оно совпадало бы с Ь2(С).
Для удобства формулировки следующей леммы мы введем
в рассмотрение прямоугольный параллелепипед /?—-[ —л, Зл] х
и пространство С™у (R) всех кратнопериодических функций из С°° (7?)
с периодом 2л по переменным у=[уп ...,уп^].
Для дифференциальных операторов с частными производными
в R с коэффициентами из С™у (R) мы можем сформулировать
следующий аналог неравенства Гординга (леммы 10). Для доказа-
тельства мы должны лишь заметить, что, как было подчеркнуто
выше, следует считать граничными точками куба С только точки
{0} х Ci и {2л} х Ср После этого замечания доказательство
проводится так же, как и в лемме 10; детали мы оставляем
читателю.
17. Лемма. Пусть г — эллиптический формальный дифферен-
циальный оператор четного порядка 2р, определенный в R.
Предположим, что г имеет вид
Т=
|J|«2p
где все коэффициенты а? принадлежат С™у (R), и что
Re(—1)р 3 аДг/)^>0, £=#0, y£R.
Н(=2р
Тогда существуют постоянные К<^со и k > 0, такие, что
Re((r + K)/, /6C~,o(C).
Кроме того, существует постоянная Я<оо, такая, что
f, gec^y,0(C).
6. Эллиптические граничные задачи
897
Мы докажем теперь важную лемму об эллиптических диффе-
ренциальных операторах с частными производными с постоянными
коэффициентами.
18. Лемма. Пусть о— формальный дифференциальный опера-
тор с частными производными четного порядка 2р с постоян-
ными коэффициентами, имеющий вид
е = 3 ajdJ,
\J\=2p
где
[*] Re(— 1Г 3 ^>0, ^0.
Uj=2p
Тогда существует такая постоянная К, что для всех k>p, о + А
является взаимно однозначным отображением пространства
о (С) А Н™ (С) на Нл~2р\С) с ограниченным обратным.
Доказательство. Используя лемму 17, выберем А, А и а>0
так, что
(1) Re((o* + A)A/)>tz|fU
и
(2) К(а* + ЮЛ^)|<Л|/|(Р)^1(Р); (С).
Из неравенства (2) вытекает, что эрмитова билинейная форма
((о*+/()/, £•) может быть единственным образом продолжена
с о (С) до непрерывной эрмитовой билинейной формы, опреде-
ленной на (С), и, следовательно, по лемме Х.2.2 сущест-
вует ограниченное отображение А пространства Н™у,о (С) в себя,
такое, что
(3) (А/, g)(P) = ((a* + A)Ag), AgEC~,o(C).
В силу непрерывности это соотношение выполнено также для
(С) ug€H™y,o (С)- в силу соотношения (1) Re (А/, /)(р)>
>я|/|(р) для ?£Слу,о (Q- Это неравенство должно в силу непре-
рывности выполняться и для всех Таким образом,
|Л/|(р)1/1(р)>^1/1(р)» так чт0 1л/1(р)>^|/1(р)’ и А взаимно одно-
значно. Как и в первом абзаце доказательства следствия 11, мы
можем теперь показать, что А-1 определен всюду на о (С).
Пусть gC- Н(л~р) (С). Тогда по определению 3.17 отображение
<р—»(ср, §•), определенное в о (С), имеет единственное продол-
жение до непрерывного линейного функционала на пространстве
57 Заказ Ns 134
898 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
(С), в котором С« ,о плотно по определению. Поэтому
в силу леммы IV.4.5 мы можем записать
(4) (ф, g) = (ф, /г)(Р), фСС^.о (С),
где /г —некоторый подходящим образом выбранный элемент
из 7/лР)о(С)- Пустй f = Тогда в силу соотношений (4)
и (3) У
(Ф, g) = (Аф, = ((о* + К) ф, f), ф g Слй,о (Q-
Таким образом, (а + А) f — g, и мы доказали, что о-рК отобра-
жает Я^,о(С) на Н(„~Р\С). Если (о + К)/ = 0 и Н%>, 0(С),
то мы имеем в силу соотношения (3)
((о*+Ю ф, f) = (Аф, /)(р) = (ф, А7)(Р) = 0, ф £ С^,о (С),
Тогда в силу непрерывности (g, А*/)(р) —0 для всех g£ Нл\о (С)„
так что = 0 и, следовательно, / = 0. Этим доказано, что
о + К является взаимно однозначным отображением пространства
Нл\ o(Q на #л“р)(С). Вместе с теоремой о замкнутом графике
(II.2.4) это доказывает нашу лемму в частном случае k = p.
Отображение (о + /Q : Нл} (С) —> Н(л~2р) (С) непрерывно по лем-
ме 3.22. Более того, по лемме 3.22 (о + К)(/Др),о (С) П#л^(С))^
^H^2p\C), а по доказанному выше (о +К) о (С) з Нл~2р) (С).
Следовательно, для установления нашей леммы нужно лишь
показать, что {(о + КГ1^~2р) (С)} f] (С) (С), по-
скольку из этого вытекает непрерывность и взаимная однознач-
ность отображения о-\-К замкнутого подпространства Нл> (С) П
П7/^,0 (С) пространства Нлу (Q на Нл~2р)(С). Непрерывность
обратного к нему отображения следует непосредственно из тео-
ремы о замкнутом графике (II.2.4).
Итак, достаточно показать, что из соотношений £ > р, / g (С)
и (о + /<) /(= Нл ~2р\С) вытекает, что ?£Нлу (С). Это будет показано
индукцией по k. Предположим, что это верно для всех k^kQr
где k0>p. Пусть /Е//^о(С) и £ = (а+К)/Сtf^+1-2p)(С). Мы
покажем, что dJdjf £ Ня “-2р) (С) для всех 1 и | J | = 2р.
При этом нужный результат будет вытекать непосредственно
Из леммы 16, обобщенной с D(C) на ОЛу(С) (см. абзацы, пред-
шествующие 3.38 и следующие за 3.27). Так как условие [*],
6. Эллиптические граничные задачи
899
в частности, означает, что коэффициент при д1р в о-}-К отличен
от нуля, то, очевидно, достаточно в силу леммы 3.22 и того
факта, что (<J + K)f = g£Hxо+1-2р) (С), показать, что djdJf£
£/7ло+1“2р)(С) для всех / и J, таких, что 2</ и |J| = 2p — 1.
Для определенности в обозначениях мы будем предполагать,
что / = 2. Таким образом, мы должны показать, что d2dJf£
g/y(feo+i-2p) (Q для всех J, таких, что ] </| = 2р—1. Итак, по
лемме 3.22 наша лемма будет полностью доказана, если мы смо-
жем показать, что d2/g #£° (С).
Для каждого А > О обозначим через Зд непрерывное отобра-
жение С в себя, определяемое соотношениями
о rv _ [[хь х2 + А, х3, .. .,xn], х£С, х24-А<л,
д 1*^1, Х2, • • * ? —
[%i, х2 А — 2тс, %з, ..., Хд], х £ С, х2 А jt.
Тогда по лемме 3.50 (обобщенной с Dn (С) на (С)) для про-
верки соотношения d2f£H^(C) мы должны лишь показать, что
j А"1 (/о Зд1 — /) |(ь0) равномерно ограничено по А. По лемме 3.47
А^Ч/оЗд1 — /) принадлежит#^, о (С), а в силу лемм 3.47 и 3.50
| (а + К) А"1 (/ о Sд1 - /) |(/го_2р) = | A’1 (g о SZ1 - g) |(*о-2р)
равномерно ограничено по А.
Так как по предположению индукции (0*4-К)"1 является равно-
мерно ограниченным отображением пространства Нл°~2р) (С) на
#луо) (С) (] #£р), о (С), то | А"1 (/ о Зд1 — f) |(ft0) равномерно ограничено
по А, а, как было показано выше, отсюда вытекает наша лемма.
Лемма 18 позволяет нам воспользоваться методом доказа-
тельства теоремы 2 в окрестности границы области с гладкой
границей. Это осуществляется в следующих двух леммах.
19. Лемма. Пусть о* — эллиптический формальный дифферен-
циальный оператор четного порядка 2р, определенный в области
/0 евклидова п-мерного пространства Еп и имеющий вид
а= 2 aj(x)dJ,
где
Re(—1)р 3 аДх)^>0, х£10,
|J|=2p
Пусть I — подобласть IQ, границей которой является р. Предпо-
ложим, что р содержит гладкую поверхность 2, лежащую в /0
и такую, что ни одна точка 2 не лежит в замыкании р~Е
57*
900 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
или внутри /|jp. Пусть Хо — компактное подмножество в X
и т > — р есть целое число. Тогда если f С (/) uof£ (/), то
существует окрестность V множества Хо, такая, что сужение f
на VI принадлежит пространству Н^2р+тДУ1).
Эта лемма будет вытекать из следующей леммы.
20. Лемма. Пусгрь выполнены условия леммы 19 и k — целое
число, p<^fe<p + 2m. Тогда если существует окрестность Vt
множества So, такая, что f\VJ принадлежит (УД),
то существует также окрестность V2 множества 20, такая,
что f\V2I принадлежит H^k+^(V2I).
Доказательство того, что из леммы 20 вытекает лемма 19.
По предположению леммы 19 fQHp(I). Тогда в силу леммы 20
существует окрестность множества So, такая, что ?\УД при-
надлежит //(Н-1) (УД), и по индукции существует окрестность Vj
множества So, такая, что f | VД £ (VД) при каждом jСр + т.
Полагая j^-рД-т, получаем лемму 19, ч. т. д.
Доказательство (леммы 20). В силу леммы 3.24 достаточно
показать, что каждая точка имеет такую окрестность U,
что f\UI принадлежит ({//). Пусть 1Д 10 — ограниченная
окрестность точки q, выбранная настолько малой, что 2,
и так, что существует такое отображение ср окрестности Ut
на единичную шаровую окрестность V начала координат, что
(I) ср взаимно однозначно, бесконечно дифференцируемо, и ф"1
бесконечно дифференцируемо;
(II) ф (2 Qt/J = VQ {xG^n| ^1 = 0};
(III) ф (<?) = ().
По предположению ни одна точка из V, кроме точек ф (So П [Д),
не принадлежит границе <р (1П1Д) и ни одна точка в 20 не явля-
ется внутренней в замыкании /. Отсюда вытекает, что <$> (HJ i)
должно совпадать с одним из двух полушаров К+ = {х £ V | xt > 0}
или У_ = {хСУ|Х1-<0}. Для определенности мы будем предпо-
лагать, что q> (1U1) = И+; второй случай эквивалентен этому,
поскольку можно произвести замену переменных.
Пусть [/ — окрестность точки q, замыкание которой содер-
жится в [Д. По лемме 2.1 выберем функцию (/Д), тождест-
венно равную единице в V. Для проверки того, что f\UI £
£//(М-i) ([//),— а именно это мы и должны сделать, — достаточно
показать, что UJ £ //(ft+1) (1Д1). В силу лемм 3.22 и 3.23
отображение g—>£^|[Д/ является непрерывным отображением
//</>(/) в /Д’>([Д/) при каждом /. Так как оно переводит (Д°(/)
в С“([Д/), то оно является непрерывным отображением //р(/)
6. Эллиптические граничные задачи
901
в при каждом />0 в силу определения 3.15. Таким
образом, tf | UJ € (^10- По предположению и по лемме 3.10
существует окрестность 1/3 U множества SQt/i, такая, что
С/|Й3ЯЛ лежит в Ш. По правилу Лейбница мы можем
записать где — дифференциальный оператор
с частными производными порядка не выше 2р —1. Так как
/г<2р + т, то по лемме 3.22 о£/ принадлежит (/).
Следовательно, по лемме 3.23 о (£/ \UiI) лежит в Н^~2р^ (UJ)-
Мы должны, таким образом, проверить, что элементы
UiI, UJ Q и = k — 2p+l удовлетворяют всем условиям, нало-
женным на элементы /, /, /0 и m в лемме 20. Так как мы должны
лишь показать, что для некоторой окрестности
U точки р, то, очевидно, мы можем без ограничения общ-
ности считать, что U, = = /0. Это и будет предполагаться
в дальнейшем. В силу свойств (I) и (II) отображения ср и лемм
3.47 и 3.48 мы можем также без ограничения общности считать,
что 1/, I = V+ и q=0. В дальнейших рассуждениях все эти
условия будут предполагаться выполненными.
Пусть о0 —Дифференциальный оператор с частными производ-
ными
(То = 3 <h (0) dJ,
\J\=2p
а С —куб
С = {хС£’п|0<Х1<2л, | Xj | < л, / = 2, ...,п}
в Еп, По лемме 18 существует постоянная К, такая, что о0 + ^
является непрерывным взаимно однозначным отображением
(С) П (С) на Н£'^(С) и непрерывным взаимно одно-
значным отображением (С) fl +1) (С) на +1-2/7) (С), имею-
щим в обоих случаях непрерывные обратные.
Пусть of = g. Для каждого 8>0 обозначим через Se отобра-
жение Еп в себя, определяемое соотношением S£x = &x. По лем-
ме 3.47 функция / о Sg1 является решением дифференциального
уравнения с частными производными
(1) Oe(foS^)= 3 «j(ex)ep-,J'y(/oSe1) = 8p(gr°Se1)
в области е-1/. Кроме того, по лемме 3.48 f ° Se1 С (егЧ)
и в то время как goSgxE H(h~2p+i> (е~Ч).
Пусть 8 выбрано настолько малым, что область е,~Ч содержит
куб С, и пусть функция £ССо° (Еп) тождественно равна единице
в некоторой окрестности точки р = 0 и тождественно равна нулю
вне единичного шара в Еп. Пусть функция (Еп) тождест-
902 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
венно равна единице в некоторой окрестности замкнутого еди-
ничного шара в Еп и тождественно равна нулю вне шара радиуса
два в Еп.
Мы хотим показать, что f\ U£H{k+i) (UI) некоторой окре-
стности U начала координат. В силу лемм 3.48 и 3.23 доста-
точно показать, что {£ (/ о S"1) | С} £ (С) при некотором
малом 8. Пусть те‘ обозначает формальный дифференциальный
оператор с частными производными
Т£= 2 |(х)(аД8х)-аД0))ЗЛ
|J|=2p
Используя правило Лейбница, получаем, что для всех 8>0
и h£D(C) мы можем написать
ae£/i = £ae/i + ae>Jz,
где agj£ —дифференциальный оператор с частными производными
порядка не выше 2р—1. Функция foS^C принадлежит (С)
по предположению. Используя лемму 3.23, соотношение (1)
и лемму 3.22, убеждаемся, что функция f& = %(f о 8^)\С удовле-
творяет дифференциальному уравнению с частными производными
вида
(2) 2 =
W=2p
где geQH^h~2p+i\C). Из леммы 3.47 и наших предположений
вытекает, что функция /°8;г принадлежит Отображе-
ние g—^^g\C является непрерывным отображением Я(₽)(в-1/)
в (С) в силу лемм 3.22 и 3.23 и, очевидно, отображает
Со° (/) в Со (С). Из определения 3.15 вытекает, что оно отобра-
жает Но? (е-1/) в Но? (С). Таким образом, функция = g (/oSe1) IС
принадлежит Н^ (С). По лемме 3.13 /е обращается в нуль вне
единичного шара в Еп. В силу лемм 3.10 и 3.9 уравнение (2)
можно переписать в виде
(3) (Oo+We+W^e-
Поскольку все коэффициенты операторов сга -4-/С и те являются
периодическими с периодом 2л по переменным z/=[x2,
а носители распределений fe и (по лемме 3.13) ge содержатся
в единичном шаре Еп, то из лемм 3.33 и 3.24 (обобщенных
на ПЯу(С)) вытекает, что и ge можно продолжить соответст-
венно до элементов /е и ge в Нл^ (С) и Hx~2p+V> (С), имеющих
6. Эллиптические граничные задачи
903
носители, равные соответственно носителям /8 и ge, и что
(4) (о0 + К) h + We = ge •
Более того, по лемме 3.24 (обобщенной на РЯу(С)) #л₽),о (Q-
Ясно, что все коэффициенты оператора те сходятся к нулю рав-
номерно в топологии С°° (£") при е —> 0. Для каждого j~>p
обозначим через у? и V/ соответственно нормы отображения
(Оо + К): {Н™ (С) П Н™, о (С)} -> Я^2р) (С)
и его обратного. Далее, используя лемму 3.28 (обобщенную на
РЯу(С)), выберем 8 настолько малым, чтобы норма те как отобра-
жения #<^(С) в Я^"2р)(С), так и (С) в H$~2p+l) (С)
была меньше, чем min(v&, vfe+1). Тогда по лемме VII.3.4 отобра-
жение
/ + те(бо + ЮЛ
рассматриваемое и как отображение Н^(С), и как отображение
#^+1)(С) в себя, имеет ограниченное всюду определенное обрат-
ное. Тогда мы имеем
((По + К) + те) (Оо + К)’1 (/ + Те (о0 + К)"1)’1 =
= (/ + Те (ПО + КУЩ1 + Те (о0 + К)’1)’1 = I
И
(о0 + К)’1 (/ + Те (о0 4- К)’1)’1 (о0 + К + Те) =
- (По +К)'1 (I + Те (Оо +Л')’1)’1 (/ + Те (Оо +КГ1) (Оо + К) =
^(oo+Kr^o + tfW,
независимо от того, рассматриваем ли мы во У К и т8 как ото-
бражения Н™ 0 (С) П № (С) в ^"2р) (С) или как отображения
Н(ф> (С) п (С) в ^ft-2p+1) (С). Таким образом, о0 + К + те
является взаимно однозначным отображением как //лр),о(С) П (С)
на Я^"2р)(С), так и Н^,о (С) Q (С) на //<^2р+1) (С). ^Так
как gsQH(n~2p+l) (С), то существует элемент /е C/4t₽),o (С) f]
такой, что
(5) ((СТО + К) +W7e=ie-
904 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Поскольку по лемме 3.18 (С) р|//^(С) и поскольку
(сго + К)Ч-те является взаимно однозначным отображением этого
пространства, то из (4) и (5) вытекает, что = и тем самым
/е(Е#л+1) (С). Следовательно, по лемме 3.23 /е С (С), и наша
лемма доказана.
В следующей ле^ме устанавливается одно полезное и инте-
ресное свойство пространства //(ор)(/).
21. Лемма. Пусть I — область в Еп, граница р которой
содержит гладкую поверхность 2. Предположим, что никакая
точка 2 не лежит в замыкании р — 2 и не является внутренней
в / U Р- Пусть Тогда {(dv(2))^/} (х) = 0 для всех
х£2 и всех k, таких, что O^k^p— 1.
Доказательство. По определению 5.1 мы должны лишь пока-
зать, что всякая точка р в 2 имеет окрестность U, такую, что
{(dv(2))kf\UI}(x)=^0 для xQZU и — 1. Пусть (У —неко-
торая окрестность точки р, выбранная настолько малой, что
р(7 s 2, и так, что существует ее отображение т] на единичную
шаровую окрестность V начала координат, обладающее следую-
щими свойствами:
(I) т] взаимно однозначно, бесконечно дифференцируемо, и тр1
бесконечно дифференцируемо;
(II) = П {л:С Xi = 0}.
Так как по условию никакие точки из V, кроме точек т] (2(7)?
не принадлежат границе т] (/С7) и никакие точки из tj (2(7)
не являются внутренними в замыкании т) (/(7), то т) (IU) должно
совпадать с одним из полушаров У+ = {х С | > 0} или У_ —
= {х g V | Xi < 0}. Для определенности предположим, что т] (2(7) =
= V+. Тогда в силу лемм 3.22, 3.23 и 5.4 мы можем (и будем)
без ограничения общности считать, что
/ = V+, S = р0 = {* С V | *1 = 0}.
Пусть ср —произвольная функция п— 1 переменных у=[уц ...-
. ..,r/n-i], принадлежащая Со° (Еп-1) и обращающаяся в нуль
вне единичного шара 1/0 в Е71”1, и пусть £ф — любая функция
от переменной х19 такая, что £ф£Со° (Е1), а функция фф, опреде-
ляемая соотношением фф (х) = £ф (хА) ф (х2, ..., хп), принадлежит
о° (V), и £ф (%]) ~ х?“4 для всех достаточно малых хР Ясно, что
% | V+ принадлежит^ (V+).
6. Эллиптические граничные задачи
905
Интегрируя по частям р раз по переменной xit получаем
[*] h (х) dig (х) dx = (— 1 )р д?/г (х) g (х) dx
v+ _ v;
для всех grCCo°(Vr+) и /г^Ср(1/+), и так как Со° (V+), по опреде-
лению пространства Нр (V+), плотно в Но (V+), то в силу непре-
рывности это тождество должно выполняться и для всех
g£H^(V+) и h£Cp(V+)- Таким образом, полагая в равенстве [*1
f = g и /1 = %, мы получаем
$ f (х) (х) dx = (- 1 )р J dpif (х) 1|>ф (х) dx, <р G Со (Vo).
C другой стороны, интегрируя p раз 'по частям по переменной
х^ получаем
/(x)dp%(x)dx=(—1)р dpf(x)tyv(x)dx +
Л v+
+ (_ 1)р(р—1)! J/(0, y)<f(y)dy
Vo
для любой функции <pCCo°(I/o)- Таким образом,
<Р(*/)Ж y)dy = O, «pcc^w
Vo
так что по лемме 2.2 /(0, у) = 0 для y£V0.
Пусть теперь функция £ф из Со° (Е1) такова, что функция фф,
определяемая соотношением фф (х) = £ф (х{) ср (х2, . ..,хп), принад-г
лежит Со° (V) и iq (xi) = Xi~2 для достаточно малых хР Тогда,
интегрируя по частям р раз левую часть следующего равенства
по переменной Xf и используя уже установленное равенство
/(О, у) = 0, мы получаем
f (х) (х) dx = (— 1 )р dpif (х) % (х) +
+ (-1)р-1(р-2)! ( (дЛ)(О, y)q(y)dy
Vo
для всех <pGCo°(I/o)- С другой стороны, если в равенстве [*1
положить f = g и /i = %, то мы получим
/ (х) др(х) dx = (— 1 )р dpf (х) 4>ф (х) dx,
v+ ’ v+
906 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
так что
5 W)(0, У)ф(У)^=О, фCCS0 (Vo).
Vo
Следовательно, по лемме 2.2 (di/)(0, у) = 0 для r/С^о- Продолжая
ПО ИНДУКЦИИ, МЫ ПОЛУЧИМ ((31/) (0, у) = 0 для 0 < k < р — 1, ч. т. д.
22. Следствие, Пусть выполнены условия леммы 19, />0 —
целое число, f (1)1}Н^т) (I) и 2р+ —И/2] >/+ 1. Тогда
существует окрестность V множества So, такая, что сужение
f на VI имеет непрерывное продолжение f на замыкание VI
множества VI, причем (VI) и
{(dv(S0))^/}(*)== 0, xCS0, 0<£<min(/, р).
Доказательство. Первое утверждение вытекает из леммы 19
и теоремы Соболева (4.5), а второе утверждение является след-
ствием первого и предыдущей леммы.
При формулировке и доказательстве следующей теоремы мы
будем обозначать через Т (т) оператор в L2(I), определяемый
соотношениями
© (Т (т)) = Я(ор) (/) f] Я(2р) (/),
где т —формальный дифференциальный оператор с частными
производными, определенный в области IczEn.
Лемма 21 теперь позволяет нам дать короткое доказательство
следующей теоремы о решениях классической задачи Дирихле
в очень общей постановке.
23. Теорема. Пусть т — эллиптический формальный дифферен-
циальный оператор с частными производными четного порядка 2р,
определенный в области IQ cz Еп. Предположим, что т имеет вид
т = 2 aJ (х) dJ
|7|^2р
и что
(-IfRe 2 а,(х)¥>0. x£l0, l£En,
|7|=2p
Пусть I — ограниченная подобласть, замыкание которой содер-
жится в Iq. Предположим, что граница I является гладкой
поверхностью S и что ни одна точка S не является внутренней
точкой замыкания подобласти Е Пусть Т и Т —операторы
6. Эллиптические граничные задачи
907
в гильбертовом пространстве L2(I), определяемые соотношениями
(*] © (Т) = © (Т) = {F С С°° (Г) | f (х) = dv (S) f(x)=...
...(S)f (x) = <\ x£S},
Tf = rf, Tf = x*f, f££)(T) = £)(f).
Обозначим через V и V операторы, графики которых являются
замыканиями графиков операторов Т и Т соответственно. Тогда
(I) V* = V, V* = V;
(II) cf(V) является счетным дискретным множеством точек
без конечных предельных точек;
(III) если X^a(V), то R(X; V)- вполне непрерывный оператор;
(IV) если X $ а (V), то R (X; V) — непрерывное отображение
Н(т) (/) в (/) для всех т>0;
(V) если где т>[п/2]-2р, то и f
удовлетворяет граничным условиям, входящим в формуле [*]
в определение £)(Т).
Доказательство. Мы покажем, что V = Т (т) и 1/ = Т(т*).
Тогда утверждения (I), (II) и (III) будут вытекать из следствий
14 и 11, а утверждение (V) —из следствия 22.
Предположим на время, что V = T(x). Тогда для доказатель-
ства утверждения (IV) мы можем рассуждать следующим образом.
Пусть т>0 и Х$о (У) = о (Т (х)). В силу леммы 19, теоремы 2
и леммы 3.24 R(X; V) отображает H(w)(/) в /7(тп+2р) (/). Пусть
п>\, и gn = R(K-V)fn. Пусть |/n-/|(m)-»0
и |£п~£|и+2р)-»0 при п-»оо. Так как |gn — g|(р)-»0 при
п—»оо, а (I) является замкнутым подпространством в Д(р)(/)
(см. определение 3.15(1) и (II)), то По лемме 3.22
(A. — -t)f = g. Таким образом, / £ © (Т (т)) = © (У) и (A — T(x))f = g.
Поэтому /?(А; V)g = f; тем самым доказано, что (А; ^ — замк-
нутое отображение пространства Я(т)(/) в f/(m+2p) (/). Утвержде-
ние (IV) вытекает теперь непосредственно из теоремы о замкну-
том графике (II.2.4).
Итак для завершения доказательства теоремы нужно показать,
что V = Т (т) и I/ = Т (т*).
Доказательства соотношений V = Т (т) и V = Т (т*) совершенно
одинаковы, так что мы рассмотрим лишь доказательство первого
из них. Мы покажем ниже, что © (Т) s © (Г (т)), и потому
Т s Т (т). Так как в силу следствия 14 и леммы XII.1.6 (а) опе-
ратор Т (т) замкнут, то отсюда вытекает соотношение V s Т (т).
(В частности, это означает, что график V, т. е. замыкание
908 Гл, XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
графика Т, является на самом деле графиком вполне определен-
ного, т. е. однозначного оператора.) Далее, используя след-
ствие 11, выберем (т)). Пусть (т)) и (AJ —- Т (т)) f=g.
По лемме 2.2 найдем такую последовательность {gn} функций
из С°° (/), что gn —>g в топологии L2(I) при п —>оо. Тогда если
fn = (Л,/ — Т (r))~lgn, то fn—>f в топологии L2(I) при п—>ОО.
В силу следствия 22,*леммы 19 и теоремы Соболева (4.5) /П(Е©(Т)..
Поэтому f££>(V), и Чем самым доказано, что Т(т)^У.
Таким образом, для завершения доказательства теоремы доста-
точно показать, что © (Т) © (Т (т)). Согласно определению опера-
тора Т (т), это сводится к доказательству соотношения ©(Т)е
s я(ор) (/).
Для каждой точки pQS выберем окрестность Up настолько
малой, чтобы существовало ее отображение <рр на открытый единич-
ный шар S о Еп, обладающее следующими двумя свойствами:
(а) фр взаимно однозначно, бесконечно дифференцируемо,
и фр 1 бесконечно дифференцируемо;
(Ь) фр/р) = 0 и cpP(S(]Up) = V^{xQEn\xl^O}.
Используя компактность S, выберем конечную систему {UP.}r
s
i‘=l,...,s, окрестностей Up так, чтобы U Up. S. Используя
г=1 1
лемму 2.3, найдем конечную систему функций {^}, i = 1,... ,s,
принадлежащих С°° (Еп), такую, что каждая функция обра-
щается в нуль вне некоторого компактного подмножества L/,
s
какой-то из окрестностей Up. = Ui, и такую, что 2Ч(Х)=1 для
1 г=1
всех х в некоторой окрестности S. Пусть /£©(7"). Так как
S
f — 2 (О, и если проверить, что ^7 С//(оР) (/) для всех
г=1
i = l, ..., s, то отсюда будет следовать, что Итак,
мы должны построить последовательность {gn} элементов из Со° (/),
такую, что \gn — ^>if\(p)—>0 при п—>оо. Отображение ф^ = фр.
переводит множество UJ в множество ф/ (UJ), граница которого
в 2 не содержит точек, отличных от S Q {х£ Еп | хг = 0}. Так как
граница I не содержит внутренних точек замыкания /, то ф/ (1Ы)
должно совпадать с одним из полушаров S+ = {х£ 2 | > 0}
или S_ = {х С 2 | Xi < 0}. Для определенности положим ф^ (L^/) — 2+.
Тогда в силу лемм 3.22 (II), 3.47 и 3.48 ясно, что для заверше-
ния доказательства теоремы мы должны лишь построить после-
довательность функций gn^Cv (2+), обращающихся в нуль вне
некоторого фиксированного компактного подмножества в S,
6. Эллиптические граничные задачи
909
такую, что |gn(-) — С; (фр/(-)ШфР/(•))!(₽)-> О при п-»оо.
По лемме 15 и лемме 5.4 существует такая последовательность
функций gn£Co ({х£ЕП | ^>0}), ЧТО |£п( • )—&(фГ/( • )) Лфр/( • ))|(р)-> 0
при п —>оо. Пусть гр/ —функция из С°° (Еп), равная 1 для
х Сфг (Ui) и равная нулю для х вне некоторого компактного под-
множества Sj в S+, и положим gn = gn\pi, В силу леммы 3.22(11)
последовательность gn обладает нужными нам свойствами. Тео-
рема доказана.
Замечание. В оставшихся теоремах этого параграфа мы обо-
значаем через Т (т) оператор, определяемый соотношениями
© (Т (т)) = © (Л (т)) П № (/); Т (т) f = xf, ft® (Т (т)),
где х — формальный дифференциальный оператор с частными
производными порядка 2/?, заданный в области I. Если оператор т,
область /, поверхность S и т. д. удовлетворяют предположениям
теоремы 23, то, как показано в проведенном доказательстве,
Т (т) совпадает с оператором 1/, определенным как замыкание
оператора 1/0, заданного соотношениями
©(Vo) = {/CC°°(7)|/(x) = 5v(S)/(x)= ...=ar‘(S)/(x) = 0, XCS),
Vof—xf, fG©(Vo).
Равенство T(t) = V будет часто использоваться в дальнейшем.
24. Следствие. Пусть выполнены условия предыдущей тео-
ремы, k — натуральное число и 2pk > [n/2] + 1. Тогда если
то оператор Rh = {R(K; V)}k является оператором
Гильберта —Шмидта. Если 2pk [п/2] + $+ 1, то Rk является
непрерывным отображением L2I в CS(I).
Доказательство. По предыдущей теореме и по теореме Собо-
лева (4.5) /^ — непрерывное отображение L2(I) в Cs(7); этим
доказано второе утверждение. Для доказательства первого
мы можем показать, что всякое непрерывное отображение Ь2 (/)
в С (7) принадлежит классу Гильберта —Шмидта. По теореме IV.4.5
мы можем записать (Rkf) (х) = (/, фх) Для всякого х С 7, где
фх С Е2 (/), причем по теореме о равномерной ограниченности (II .3.20)
существует конечная постоянная /И, такая, что | | <1 Л4 для
всех х^Е Таким образом, если {<рл} —полная ортонормированная
910 Гл. XIV, Линейные уравнения и операторы с частными производными.
система в А2(0, то п0 теореме IV.4.13 мы имеем
оо оо оо
У |^фп!2=2 $ КФ’»’ *wi2d*= $ {2 1 i2}=
п=1 n=J. I J n=l
= | грл-12 dx^, Mdx<Z oo,
J i
Ч. т. Д.
Читатель, наверное, заметил, что довольно сложный анализ,
приводящий к теореме 23, позволил нам рассмотреть лишь очень
специальные граничные условия для формального эллиптического
оператора т. Можно было бы распространить использованные
методы для рассмотрения более общих множеств граничных усло-
вий. Однако обсуждение этого вопроса выходит за рамки этой
книги.
Следует, однако, сформулировать теорему 23 в том частном
случае, когда формальный дифференциальный оператор само-
сопряжен.
25., Теорема. Пусть х — эллиптический формальный дифферен-
циальный оператор с частными производными четного порядка 2р>
заданный в области IoczEn. Предположим, что х формально
самосопряжен, т. е. т=--т*. Пусть х имеет вид
т = 2 aj (х) dJ,
JJ|=S2p
где
(-1)” 2 aj(x)¥>0, x£Ie, lQEn,
|J|=2p
Пусть I— ограниченная подобласть, замыкание которой содер-
жится в /0. Предположим, что граница области I является
гладкой поверхностью S и что в S нет внутренних точек замы-
кания I. Пусть Т — оператор в гильбертовом пространстве L2(I)>
определенный соотношениями
[*] © (Г)={/ с С~(/) I f (х) = dv (S) f (x)=... =0?-1 (5) f (x) = 0, x G S},
Tf = rf,
Обозначим через V замыкание оператора Т. Тогда
(I) оператор V самосопряжен*,
(II) спектр о (V) есть последовательность точек {А,п}, стре-
мящаяся к оо, а для К из резольвентного множества R(k; 1Z)
является вполне непрерывным оператором*,
(III) оператор V имеет полное счетное множество {срп} соб-
ственных функций. Каждая собственная функция удовлетворяет
6. Эллиптические граничные задачи 911
дифференциальному уравнению с частными производными =
= в /, непрерывно бесконечно дифференцируема в замыкании,
области I и удовлетворяет граничным условиям, определяющим
©(Т) в формуле [*].
Доказательство. Утверждения (I) и (III) вытекают непосред-
ственно из теоремы 23, а (II) —также из теоремы 23, если только
показать, что спектр о(1/) (о котором мы уже знаем, что он
является последовательностью вещественных чисел без конечных
предельных точек) ограничен снизу. Это же вытекает непосред-
ственно из следствия 12 (см. ХП.7.2).
26. Следствие. Пусть выполнены предположения предыдущей
теоремы, а — любой угловой сектор в комплексной плоскости,
содержащий положительную полуось и счетное множество веще-
ственных чисел из а (У). Тогда
(I) существует такое число К, что
\R(b V)f\(2p^K\f\, KL2(J), Ма;
(II) если f£L2(T), то |R(X; V)/ 1(2р> —*0 пРи |Х|—»оо и Х$а;
(III) если при X а рассматривать R (X; V) как отображение
L2(I) в Н(2р~^ (/), то его норма стремится к нулю при |Х|—» со.
Доказательство. Пусть Х0^о(Е). Тогда
(Хо/ - V) R (X; V) = (Хо- X) R (X; V) - /,
так что по теореме XII.2.9(a) |(Х0/— V)R(X;V)f| имеет верхнюю
границу вида /С|/| при Х(£а. Тогда по теореме 25 | R (X; Е)/|(2Р)<
СK'|f| при некотором /('<;оо и всех Х$а. В силу тео-
ремы XII.2.6(c) и теоремы Лебега | (Хо/ — V) R (X; V) f | —> 0 при
Х|—»оо и Х$а, так что по теореме 25 |R(X; V) f |(2р) —>0 при
I X | —> оо и Х(£а, чем доказано (II). Если (III) неверно, то сущест-
вуют последовательность Хп в дополнении к а и последова-
тельность {fn} элементов из L2 (/), такие, что | fn | — 1,
а |R(Xn; V)fn|(2p-i) не сходится к нулю. Так как |R(Х„; V) fn\(2p>
равномерно ограничено в силу (I), то в силу следствия 4.11 мы
можем без ограничения общности предположить, что найдется
элемент g£ /У(2р-1) (I), такой, что lgn — g|(2P-i) —>0» где gn =
= R(Xn; V)fn. По теореме XII.2.9(a) |gn|—>0- Поэтому g = 0,
и мы получили противоречие, так как |gn|(2p-i) не сходится
к нулю.
27. Следствие. Пусть х — эллиптический формальный диффе-
ренциальный оператор с частными производными четного
912 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
порядка 2р, определенный в области IQcz.En. Предположим, что
х = 3 aJ (х) dJ,
Ul^2p
aj (х) вещественны, если | J | = 2р, и
(-1)р 3 а,(х)£>0, х£10, 1£Еп, |=#0.
|J|=2p
Пусть I — ограниченное открытое множество, замыкание кото-
рого содержится в /0. Пусть, кроме того, I и V —те же, что
и в теореме 25. Тогда
(I) если а —любой открытый угол в комплексной плоскости,
содержащий положительную полуось, то все точки спектра о (V),
кроме, быть может, конечного числа, принадлежат а;
(II) если а — такое же, как в (I), и, кроме того, содержит
весь спектр o(V), то | XR (X; V) | ограничено для всех
и | >0 при | X | —-> со и
Доказательство. По определению т* и по формуле Лейбница
мы имеем
т*= 3 a*(x)d'f,
U)^2p
где aj = aj при | J | = 2р. Таким образом, если о = (г-(-т*)/2
и £ —(т —т*)/2г, то т = о-Н£, где о формально самосопряжен
и удовлетворяет предположениям предыдущего следствия,
а £ —формальный дифференциальный оператор с частными про-
изводными порядка не выше 2р — 1. Пусть Т (о) определяется
соотношениями
©(Т(а)) = Э(Л(^))Л^Р)(/); Т(сг)/ = аА /€©(Т(а)),
а Т (т) — соотношениями
S(T(t)) = ©(7’1(t))Q//(op)(/); Т(т)/ = т/, /€©(Т(т)).
Используя предыдущее следствие и замечание, следующее непо-
средственно после доказательства теоремы 23, выберем А>0
настолько большим, чтобы | tR (1; Т (о)) | < 1 /2 для 1 £ а и 111 > А.
Тогда по лемме VII.3.4 оператор = — it>R(h; Т (а)))-1 сущест-
вует и является отображением в L2(/), причем | Вк | < 2 для
и | X | > А. Для всех f£L2(I) мы имеем
(Х_(а + ^))7?(Х; T(a)W = (/-/£№ Т(о)))Вх/ = /
и 7?(Х; Т(о))Вх/С£(Т(о)) 77оР)(О- Поэтому (см. определение
Т (т), данное выше, и определение ГДт), данное в конце § 3)
R(k Т(о))ВА/еЭ(Т(т)) для всех /g Л2 (/) и
(V-T(t))7?(X;T(o))B^ = /, /е£2(/), Ца, |X| > А.
6. Эллиптические граничные задачи
913
Если /СЭ(Т(т)), то по теореме 23 Н(2р) (/). Следовательно,
так как f также принадлежит Н(ор) (/) по определению Т (т), то
/еа(Т(п)) и
R (X; Т (о)) В, (XI - Т (т)) f = R (X; Т (о)) В, (V - о- iQ f-=
= R (X; Т (о)) Вк(К — <у — ^) (XI - Т (о))'1 (X/ - Т (о)) f =
= R {к, Т (о)) Вк (/ - i£R (X; Т (о))) (XI - Т (о)) f =
= R{k, T(a))(M--T{o))f==f, Х£а, I I > А.
Это показывает, что при Х^а, 1X1 >Л, мы имеем Х^о(Т(т))
и R (X; Т (т)) = R (X; Т (о)) Вк. Теперь наше следствие вытекает
непосредственно из теоремы 23, сделанного после ее доказа-
тельства замечания, теоремы XII.2.9(a) и теоремы 25.
Следующая очень интересная теорема дает общий принцип
полноты собственных функций несамосопряженных эллиптических
краевых задач.
28. Теорема {теорема Браудера о полноте). Пусть х —эллип-
тический формальный дифференциальный оператор с частными
производными четного порядка 2р, заданный в области 10 с Еп.
Предположим, что
т — 2 ch(x)dJ,
\J\^2p
aj{x) веществен, если | J | = 2р, и
(-1)” S аДх)Д>0, хДо, 5G£n, g=#0.
I J|=2p
Пусть I — ограниченное открытое множество, замыкание кото-
рого! содержится в IQ. Предположим, что I ограничено гладкой
поверхностью X. Пусть Vo — расширение Т0(х), определяемое
соотношениями
©(Vo) = {/GC2₽ (Z)|/(x) = dv(S)/(x)=...=^-1(2)fW = 0>^€^}-
У</ = Л(т)А fG©(V0).
Пусть V —замыкание Vo- Тогда о (V) — дискретное множество
без конечных предельных точек, /?(Х; V) —вполне непрерывный
оператор при X из резольвентного множества оператора V,
а множество функций удовлетворяющих уравнению
при некотором целом k>l, фундаментально в L2(I). Каждая
такая функция принадлежит пересечению С00 (7) и £>(У0)-
58 Заказ № 134
914 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Доказательство. Не теряя в общности, мы можем перейти
от т к т + Х и считать, что О^о(У). Пусть У1 = Ут, где т
выбрано настолько большим, что 2рт> [/г/2] + 1. Тогда в силу
следствия 24 V”1 является оператором Гильберта —Шмидта.
Пусть (о1? ..., (от —корни степени т из единицы. Тогда, если
i = 1, ..., m, то кт 3 о (Vi), и по определению VII.9.6
и теореме VII.9.8 »
R (^т; Vi) = R («А, V) ... R V).
Из следствия 27 вытекает, что если кп —» оо по лучу {ц = г > 0},
где 0 =7^=0, то Хп, начиная с некоторого момента, лежит в о (Vi),
a 7?An;Vi) становится и остается ограниченным. Тогда, при-
меняя к оператору У} следствие XI.6.31, мы получаем, что мно-
жество, функций /, удовлетворяющих уравнению вида
(1) ... = O
при каких-то комплексном ц и целом k > 1, фундаментально
в L2(J). Если f удовлетворяет уравнению (1), то очевидно (по
индукции, см. VII.9.6), что П £)(VZ). Так как многочлены
/>1
pj(z)= Д (z — /= 1, ..., /и, не имеют общих множителей,
i j
то существуют такие многочлены qj, j = 1, ..., m, что
3 Pi (2) <7; (2) = 1 • Тогда
т
f-^qAV)PAV)f-
i=i
Положим fj = qj (V) Pj (V) f. Тогда f= 2 fj и (V — f = 0 для
3 = 1
/= 1, ..., m. Поэтому множество функций g, удовлетворяющих
уравнению (I/ — [il)kg = 0 при некотором комплексном ц, фунда-
ментально в Lz(I).
Любая такая функция, очевидно (по индукции, см. VII.9.6),
принадлежит пересечению Q £)(У1}. Тогда по теореме 23 всякая
z>i
такая функция принадлежит С°°(/), ч. т. д.
7. Линейные гиперболические уравнения и задача Коши
Этот параграф посвящен доказательству (упрощенному П. Люк-
сом) интересной и важной теоремы К. Фридрихса о симметри-
ческих гиперболических системах. В качестве примера применения
7. Линейные гиперболические уравнения и задача Коши 915
этой теоремы рассмотрим задачу Коши
(О (ikf-dxf) f(X1’ *2) = о>
f (Xi, 0) = g (Xj), f (xlt 0) = h (Xj)
для (гиперболического) формального дифференциального опера-
тора с частными производными
(2) Ц=~-4г-
' 7 1 дх\ дх%
Если ввести вспомогательную функцию
Ж, Х2) = [ (-А-) + ] f (*!, Х2),
то задачу Коши (1) можно переписать в следующем виде:
^-f(X^X2)=--^f(X^X2)+f(Xl,Xz),
^rfU1,x2) = ^f(x1,x2)
f(xi, 0) = g(*i), f(xi, 0)=g' (Х1) + Й(х1).
Вводя векторы v = [f, [] и t>0 = [§•, g' + h], вещественную эрми-
тову матрицу
/-1 0\
А = \ 0 0)
и матрицу
/0 0\
в=\1 о/’
мы можем Переписать систему (3) следующим образом:
(5) x2) = A~^v(xl, X2) + Bv(X!, х2),
V (х, 0) = У!(х).
Таким образом, исходная задача (1) оказывается представленной
в виде системы (5), к которой и применяется теорема Фридрихса.
Большое число возникающих в физике дифференциальных урав-
нений с частными производными и систем таких уравнений либо
можно представить в виде (5), либо имеет такой вид с самого
58*
916 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
начала. Замечательна среди них максвелловская система урав-
нений электродинамики
(6)
^- = А™+А2-^ + А*Х
дх0 1 дх{ 1 L дх2 1 6 дх3
V( 0, х1? х2, х3) = Уо (*ь *2, *з),
где У=.-[УЬ У2, 1/3]— комплексный трехмерный вектор, равный
сумме «электрического» вектора и умноженного на мнимую еди-
ницу i «магнитного» вектора, и где Л1? Л2, Л3 —матрицы, задан-
ные формулами
/0 0 0\ / 00i\ /0 — i 0\
л1 = (о'о —Z], Л2 = 0 0 01, Л3-р 0 01.
\0 i 0/ \-Z 0 0/ \0 0 0/
Оба приведенных выше примера являются частными случаями
задачи Коши для системы первого порядка общего типа, описанной
в следующей теореме.
1. Теорема (Фридрихе). Пусть /г>1, m>l, a Ai(x\s),
i = 1, ..., /г, и В (х; s) — семейство (т х т)-матриц, определенных
в (п+1)-мерном евклидовом пространстве и бесконечно диффе-
ренцируемых в нем (здесь мы используем обозначения xQEn, s^E1,
принятые в §2). Предположим, что Aj(x\s), равно-
мерно ограничены и эрмитовы при [х, s]££n+1. Пусть VQ(x) есть
т-векторнозначная функция, определенная в Еп и бесконечно
дифференцируемая в нем. Тогда существует единственная т-век-
торнозначная функция V (х; s), определенная и бесконечно диф-
ференцируемая в En+l, такая, что
(а)
п
-^V(x;s) = 2 Aj (х; s) dXjV (х; s) + В (х; s)V (х; s),
j=l
[х, sje£n+1,
(b)
V (x; O) — Vo(x), xQEn.
Замечание 1. По соображениям, развитым в первой части § 1,
из теоремы 1 вытекает, что имеет место локальная зависимость
решения от начальных данных в смысле, разъясненном в § 1. Мы
увидим, однако, что этот факт необходим в ходе доказательства
теоремы 1, и когда это будет нужно, докажем его прямым методом.
7. Линейные гиперболические уравнения и задача Коши
917
Замечание 2. Если опустить условие ограниченности, нало-
женное на коэффициенты-матрицы Aj, то, как показывает простая
система
dyf(x, у) = — e~xdxf(x, y) + g(x, у),
dyg(x, y) = dxg(x, у),
теорема не верна. Любая пара функций f, g вида f(x, y) = h(y — ex),
g(x, = ® является решением системы. Предположим, что hN(s) =
= cp(Ns), где ср —функция из С°° (— оо, оо), равная нулю при
| s | > 1 и не обращающаяся в нуль при s = 0. Тогда если fN (х, у)
= hN(y — ех) и gN (х, у) = 0, то fN (0, 1) = 1 для всех N, в то время
как hN (х, 0) = ср (— Nex) = 0 при х > — log АС Таким образом, пред-
положение о справедливости теоремы существования и единствен-
ности решения в этом случае противоречило бы результату
о локальной зависимости, доказанному во введении к настоящей
главе (§ 1).
Доказательство {теоремы 1) будет проведено в несколько
этапов; некоторые из них будут доказательствами вспомогатель-
ных утверждений, а другие —проверкой того, что доказательства
этих вспомогательных утверждений можно свести к доказатель-
ству других вспомогательных утверждений.
Прежде всего, однако, условимся относительно терминологии
и обозначений. Говоря о «функции», мы имеем в виду либо функ-
цию с вещественными или комплексными значениями, либо функ-
цию, значениями которой являются m-векторы, т. е. элементы
комплексного m-мерного унитарного пространства U'n. Смысл слова
«функция» при этом или будет ясен из контекста, или будет
уточняться в каждом конкретном случае. Если мы хотим под-
черкнуть тот факт, что рассматриваемое пространство функций
состоит из векторнозначных функций, то над символом соответ-
ствующего пространства числовых функций будет добавляться
крышка. Так, если CY обозначает куб
Ci = {^C£n+11 \yj\<a, /=1, п + 1}
в En+i, то через С°° (Ct) будет обозначаться пространство всех
бесконечно дифференцируемых /тг-векторнозначных функций, опре-
деленных в СР Аналогично через C~ (CJ и С~ (CJ обозначаются
подпространства С°° (Q), состоящие из всех функций, кратнопе-
риодических с периодом 2л, и всех функций, которые обращаются
в нуль вне компактного подмножества внутренности Сг соответ-
ственно. Если Q —внутренность С, то D и Dn (Q) — множе-
ства всех линейных функционалов на С~ (CJ и (Сг) соответ-
918 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
ственно. Эти функционалы предполагаются непрерывными в том
смысле, что F (fn) —»F (f), если fn, fQ.Co’(Ci) и fn^f в топо-
логии С°° (Cf) (и в случае £>(Ci) все функции fn и f обращаются
в нуль вне одного и того же компактного подмножества в CJ.
Топология в С°° (Ci), о которой упоминается в предыдущем пред-
ложении, определяется метрикой, заданной при помощи нормы
I г I — V V 1 Hj, i (Г)
\I\-Zi Zj 2^| 1+ИЛ7-(/) ’
fe=0
IJ l-H'sSfc
где
Hj, 1 (/) = SUP I $(.У) I и у=-[хъ ..., xn-, s].
УЕС1
Зафиксируем в IF'1 до конца этого доказательства ортонорми-
рованный базис ет. Тогда если то ejfQC™ (CJ.
Таким образом, если FQDn(Ci), то соотношение Fj (f) = F (ejf),
очевидно, определяет некоторый элемент из Dn (CJ. Легко видеть,
что отображение F —»[/\, ..., Fm] является взаимно однозначным
линейным и непрерывным в обе стороны отображением Dn(Ci)
на прямую сумму т экземпляров пространства Dn(Ci). Если раз-
ложить векторную функцию f по ее компонентам fj, j = 1, ..и,
т
так что f = [fr, ..., fm], то легко видеть, что F(f)= 3
3=i
Элементы F0)£Dn(CJ будут называться соответственно компо-
нентами элемента F^Dn(Ci). Если все компоненты F принадле-
жат (CJ, то мы будем писать FQH^(Ci) и для двух таких
т
F, G из ЙТ (Cj) положим (F, G)(h) = 3 и | F |w =
j=l
= ((F, F)k)i/2- Таким образом, (CJ, очевидно, является пол-
ным гильбертовым пространством. Используя это построение ком-
понент элемента из Dn (CJ, можно перенести на «векторнознач-
ный» случай всю теорию распределений, развитую в § 3 и § 4. Мы
будем пользоваться «векторнозначными» аналогами результатов
и определений § 3 и § 4, не давая специальных доказательств
и подробных определений, а лишь просто ссылаясь на соответ-
ствующие «числовые» теоремы, леммы и определения. Ссылки на
определения иногда будут делаться неявно; в этих случаях мы
будем использовать указанный выше прием — добавлять крышки
над символом пространства «числовых» функций, распределений
и т. п. для обозначения соответствующего пространства «векторно-
7. Л и нейные гиперболические уравнения и задача Коши
919
значных» функций, распределений и т. п. Задачу проведения соот-
ветствующих «векторнозначных» модификаций в теоремах, леммах
и определениях теории распределений мы оставляем читателю
в качестве упражнения.
Наконец, условимся обозначать через т формальный дифферен-
циальный оператор, определенный на каждой функции f£D(En)
соотношением
2=1 1
После этого небольшого отступления, связанного с обозначе-
ниями и терминологией, перейдем к доказательству теоремы 1.
(А) Первый шаг доказательства состоит в установлении сле-
дующего утверждения.
(I) Для любого г существует конечная постоянная Ко(г)>г,
настолько большая, что из справедливости уравнений
(т/) (х; s) = О, | [х, s] | < /<о (г)
и
/(х; 0) = 0, \х\<Ко(г)
для функции f£C1(£,n+1) вытекает, что f(y) = 0 при |#|О
Для доказательства (I) будем рассуждать следующим образом.
Пусть функция f удовлетворяет предположениям утверждения (I)
и F(x; s) = /(x; cp(x)s), где ср —неотрицательная функция из С™ (Еп),
которая будет выбрана ниже. Мы предполагаем, однако, что
0<ф(х)<1. Тогда dx.F = dx.f + (<Цф) dsf и dsF = qdsf. Таким
образом, F удовлетворяет уравнению (системе уравнений)
О) (/— 2 At U; Ф (x)s)dxxp (х)) dsF (х; s) =
1=1 1
п
= 2 (ф (x) At (х; ф (х) s)) dx.F (х; s) + ф (х) В (х; ф (х) s) F (х; s)
2=1 1
на множестве точек [х, s], таких, что | [х, ф (х) s] | </С0 (И- Пусть
|i = sup | At (х; s) j
[х, s]£En
и ф —неотрицательная функция в С°°(ЕП), такая, чтоф(х)<1
для всех х, ф (х) = 1 для |х|< 1 и ф(х) = 0 для |х| >3/2. Тогда
если 8 достаточно мало, то | р,8 (дх.ф) (ех) | < 1/2/г для всех х.
Выберем 8 < г-1, для которого это неравенство выполнено, и поло-
920 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
жим <р (х) = (ех) и /<0 (г) = 10/ге х, так что | г | <К0 (г)/10п,
и потому <р (х) = 1 при |х|Сг. Положим
п
Н (х; s) = 2 А (х, <р (х) s) дж.<р (х),
i=i 1
Ai (х1, s) = <р (х) Ai (х; <р (х) s), В (х; s) = <р (х) В (х; ср (х) s).
Тогда ясно, что Н(х; s) эрмитова и | Н (х; s) | < 1/2, в то время
как F удовлетворяет уравнению (системе уравнений)
(2) (l-H(y))dsF(y) = 3 Ai(y)dx.F(y)+B(y)F(y), \y\<K0(r).
Кроме того, ясно, что F (х; s) = f (х; s) = 0, если s = 0 и х | < Ко (г),
а также, что F (х\ s) = f (х; 0) = 0, если (3/2)е-1< х|<К0(О,
т. е. если 3/С0 (П/20и < | х | <К0 (И- Так как Н (х; s) эрмитова
и | Н (х; s) | < 1/2, то из лемм VIL3.4 и VII.3.11, следствия Х.2.8
и теоремы Х.4.2 вытекает, что матрица I — Н(х\ s) имеет поло-
жительный квадратный корень Ffi (х; s), который также эрмитов,
и эрмитовый обратный. Мы хотим показать, что этот квадратный
корень Ffi (х; s) есть бесконечно дифференцируемая функция, за-
висящая от параметров х, s. Для этого заметим сначала, что
по определению VIL3.9
[*] Hi (х; s) = J (А./ - / + Н (х; s))-1X1/2 dA,
Г
где в качестве контура интегрирования Г можно выбрать любой
замкнутый контур, лежащий в правой полуплоскости и обегающий
один раз спектр I — Н (х; s) в положительном направлении (в смыс-
ле теории функций комплексного переменного). Так как по леммам
VII.3.4 и VII.3.8 спектр матрицы I — H(x] s) содержится в круге
{z\|z- 1 К 1/2},
то в качестве контура Г можно взять окружность
{хцх-1| = 4}.
Тогда по лемме VII.3.4
оо
(V-/ +И (.;»))-= 2
Так как |//(х; s) 1/2 и |Х — 1 | = 3/4 для Х£Г, то этот ряд,
как и ряды, полученные из него почленным дифференцированием
любое число раз по х, s или X, сходится равномерно по всем
7. Линейные гиперболические уравнения и задача Коши
921
х, s и А, С Г, а следовательно, определяет функцию, бесконечно
дифференцируемую по параметрам х, s, Z. Из формулы [*] тогда
следует, что Н{ (х; s) бесконечно дифференцируемо по параметрам
х и s.
Пусть G(y) = Hi(y)F(y). Тогда в силу (2)
(3) dsG (у) = dsHi (У) F (У) + Н, (у) dsF (у) =
= (dsHi (у)) F (у) + Н, (у)’1 2 Л (у) дх. (Hi (у)~Ю (у)) +
i=i 1
+ Н1(у)~1В (у) Hi(y)~1G (у) =
= 2 /Л (У)'1 At (у) Hi (y)~ldxG (у) + {(dsHi (у)) Hi (z/)’1 +
i=l 1
+ Hi (y)~' 2 At (y) (dx.Hi (z/)’1) + Hi (y)~'B (y) Hi (z/)-1} G(y),
i=l 1
так что, полагая,
At (у) = Hi (у)'1 At (у) Hi (y)~1-, В (у) = {(dsHi (у)) Hi (y)~l +
+ (z/И 3 At (y) (dx.Hi (z/И) + Hi (y)~lB (y) Hi (,z/)-i},
i=l 1
а о равным формальному дифференциальному оператору с част-
ными производными
0=3 At(y)dx +В(у),
i=l 1
мы имеем
(4) dsG(x; s) = oG(x; s), |x|<yK0(r), I $ I < Ko (r).
Так как матрицы At (у) и Hi (у) эрмитовы, то и матрицы Hi (z/)-1
и At (у) = Hi (z/)-1 At (у) Hi (z/)-1 эрмитовы (см. XII.1.6 (а) и (с)).
Далее, если К — произвольная вещественная постоянная,
то функция Gx(x; s), определяемая соотношением G^(x;s) =
= e~KsG (x; s), удовлетворяет равенству
dsGK (x; s) = (cr — X) G (x; s).
Кроме того, поскольку F(x;s) = O, если s = 0 и \x\<zKQ(r)f
а также если Ко (г) > | х | > (3/20 п) Ко (г), то отсюда следует,
что GK(x; s) = 0, если s = 0, | х | <zKo (г), а также если Ко(г)>
>|х|>(3/2О/г)Ко('')- Пусть через Dr обозначен куб
Ог={х£Еп\\Х)\^Ко(г), /=!,...,«}
922 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
в евклидовом пространстве Еп. Тогда G^(x; s) обращается в нуль
для х из окрестности границы Dr. Поэтому, интегрируя по час-
тям, мы получаем из (4), что
п
(5) 4 $ Is) I2 dx = $ 2 (Х-, s) dXjGK (X- s), Gx (x; s)} +
Dr Dr j=i
+ {(Л/(х; s)G?. (x; s), dXjG-,.(x; s))}dx +
+ $ {(B(y)Gay), Gay)) + (GK(y), B(y)GK(y))}dx-
Dr
-2Ц |Gx(x; s)\2dx =
Dr
n
= § ({£ (*; $) + B* (x; s) + 2 dx.kj (x; s)} GK (x; s), GK (x; s)) dx —
Dr j=l
-2%\ |Gx(x; s)|2dx<(a-2X) ? | G,. (x; s) |2 dx, |s|<-^Ko(^).
J V
Dr Dr
где
(6) a = sup \B (x; s) + B* (x; s) — 2 dx.kj (x;s)|.
x£Dr 1 j=l J 1
I s J^2r
Таким образом, если 2X>a, то функция \GK(x; s)\2dx является
Dr
убывающей функцией от s; так как она обращается в нуль при
s = 0, то она должна обращаться тождественно в нуль при
| s | < Ко (г)/2. Следовательно, GK (у) = GK (х; s) = 0 при xQDr
и | s | < Ко (г)/2, так что GK (у) = F (у) = 0 для xQDr и |s|<
<Ко(г)/2. Таким образом, F(y) = 0 при xQDr и |s|<Ko(r)/2.
Если | у | = | [X, s] | < г, то, поскольку | г | <Ко (г)/10лг, |х|<г
и |s|<Ko(r)/2, так что x£Dr и F(y)=^0. Кроме того, как
отмечено выше, ср (х) = 1 при | х | < г. Поэтому F (х; s) =
= f (х; ф (х) s) = f (х; s) при | [х, s] | < г. Следовательно, если
j у | < г, то f (у) = 0, и утверждение (I) полностью доказано.
(В) Единственность функции V в теореме является очевидным
следствием утверждения (I). Кроме того, утверждение (I) поз-
воляет нам свести доказательство существования функции V
к доказательству следующего утверждения.
(II) Для всех г>0 и р>1 существует функция Vr QCP (Е71),
такая, что tVp (х; s) = 0 для | [х, s] | < г и V? (х; 0) = VQ (х) для
|х|<г.
7. Линейные гиперболические уравнения и задача Коши
923
Действительно, предполагая (II) выполненным и принимая за
Ко (О функцию от г, введенную в (I), определим функцию Vp(x; s)
соотношением
[*] Vp (х; s) = V^o(r) (х; s), | [х, s] | < г, р>1.
Из (I) вытекает, что
Г*] vg-o(r) (х; s) = V^r) (х; s) для р, р' > 1
И | [х, <$] | <min (г, Ti),
поэтому функция Vp (х; s) соотношением [*] определена одно-
значно. В силу [*], очевидно, что Vp £ Ср (£n+1), xVp = О
и Vp (х; 0) = VQ (х). С другой стороны, из [**] вытекает, что
VP = VP+1. Поэтому, полагая 1/ = Р, мы имеем VQ С°° (£n+1). Тем
самым показано, что наша теорема является следствием утверж-
дения (II).
Оставшаяся часть доказательства посвящена проверке того,
что (II) справедливо для всех г. Меняя масштаб переменных,
мы, очевидно, можем и будем далее считать г=1. Пусть С{ —
куб в описанный во втором абзаце настоящего доказатель-
ства, и пусть С = {х С Еп 11 Xj [ < л, j = 1, . .., п}. Пусть b и vQ —
функции из Сп (Q), Сп (Ci) и Сп (С) соответственно, выбранные
так, что aj (у) = Aj (у) и Ь(у) = В(у) при | у | < 1, и v0(x) = V0(x)
при | х|< 1. Мы можем, кроме того, считать, что aj (у) — эрми-
това матрица при каждом yQCi и что функции aj и b являются
не только периодическими с периодом 2л по переменным у, но
и четными периодическими функциями с периодом л по этим
переменным. Действительно, для построения функций aj и b
положим
С2={у£Еп+1\</<«+1} •
По лемме 2.1 выберем такую функцию w (у)^С™ (С2), что w (у) == 1
для у из некоторой окрестности множества {у С £n+1 11 у |< 1},
и положим aj(y) = w(y)Aj(y) для у^(\ и b (у) = w (у) В (у)
для z/£C2. Так как функции aj и b обращаются тождест-
венно в нуль в окрестности границы куба С2, то ясно, что
Я/ССл (С2) и &£Сл(С2). Таким образом, мы можем, очевидно,
продолжить aj и & до функций, кратнопериодических с перио-
дом л, определенных на всем £n+1. Мы можем по-прежнему
обозначать эти продолженные функции теми же буквами aj и 6.
Этим завершается построение функций aj и &, обладающих нуж-
ными свойствами. Таким же способом можно построить функ-
цию и0-
924 Гл. XIV, Линейные уравнения и операторы с частными производными
Построив функции b и и0, заметим, что (II) является,
очевидно, следствием такого утверждения:
(III) Для любого р>1 существует функция (С4), такая
что
п
dsv(х; s) = 2 aJ (х, s)dx.v (x; s) + b (x; s) v (x; s), [x; s] £ Cb
2=1 J
'v(x; 0) = vQ (x), xgC.
(С) Для доказательства утверждения (III) будем рассуждать
следующим образом. Пусть Q —формальный дифференциальный
оператор
ds~ 2 аД*; s)dx.—b(x-, s).
2=1 J
Для каждого fe>0 определим неограниченное линейное отобра-
жение Wk пространства (С) в Н^х(С{) (определение простран-
ства (С^ см. в двух абзацах § 6, следующих за доказатель-
ством леммы 6.16), полагая /£©(11^), если fCC^+1(C) и суще-
ствует такое ^ССл+1(С1), что Qg = 0 и f (х) = g (х; 0) для х£С,
и полагая Wkf = g- (Как вытекает из (I), функция g единственна,
если она вообще существует.) Мы покажем, что
(IV) Wk является однозначным ограниченным отображением
линейного подпространства пространства (С) в Я^(С1) при
всех &>0.
(V) £)(Wk) плотно в (С) при каждом fe>0.
Как только (IV) и (V) установлены, мы можем рассуждать
следующим образом. Пусть fgC^(C), а — существующая
в силу (V) последовательность элементов из ©(IFp+v), v =
= [(/г+ 1/2)], такая, что | fn — f |(p+v) —> 0 при/г—»оо. Тогда в силу
(IV) Wp+vfn сходится по норме (Ci) к некоторому элементу
g^H(^v)(Ci) (см. 3.19). Из теоремы Соболева (4.5) вытекает
(см. в § 3 после доказательства леммы 3.28 замечание относи-
тельно того, как следует применять теорему Соболева к про-
странству /7^(С1)), что g£Cn*(Ci). Из леммы 3.22 ясно, что
Qg — Of а из следствия 4.6 вытекает, что dJfn—>dJf в топологии
С(0)(С) при каждом J, |J|<p, и поэтому fn—>f в топологии
Слр) (С). Аналогично Wp+vfn—>g в топологии (CJ, так что
g(x;0) = f(x) для х£С. Таким образом, если утверждения (IV)
и (V) доказаны, то из них непосредственно вытекает утвержде-
ние (III), а вместе с ним и наша теорема.
7. Линейные гиперболические уравнения и задача Коши
925
(D) Утверждение (IV) доказывается без труда. Пусть f £© (IF&),
g = Wkf и
Ak (s) = Ak (g-, s) = 2 \ \dJg(x; s)\2 dx, —л<з<л.
I J\^k c
Дифференцируя последнее равенство no s и используя урав-
нение Qg^=0, мы получаем
п
^-Дй(«)= 2 5 (2 (х; s) aJg-(х; s)+
IJI^feC 3 = 1
+ b (х; s) dJg (х; s), dJg (х; s) dx +
+ 2 \ (^Jg (*; s), 2 ai s) <*; 8) + b (x; s) dJg (x; s)) dx.
\J\^kC j=i
Далее, используя эрмитовость aj (у) и кратную периодичность
функций g, aj и & по переменным х и интегрируя по частям,
мы получаем
п
(7) i = 2 5 (dJg (*;s)’ - 2(х>s) dJs (x> s)l+
\J\^kC j=l
•+ b* (x; s) dJg (x; s)') dx + 2 \ C(x; s^’ 2 aJ (x'>s) x
I J \sZk C 3=1
X dXjdJg (x; s) + b (x; s) dJg (x; s)^ dx =
n
= 2 5 ~ 2 (*;s)) +
\J\^hC j=l
+ b* (x; s) + b (x; s) j dJg (x; s)^ dx.
Из формулы (7) и неравенства Шварца вытекает, что для каж-
дого й>0 существует такая положительная постоянная Л^<оо,
что
(8) |^Лл(£; s)|<AMft(£; 0), —л<з<л.
В силу неравенства (8) функция Ak (g; s) e~NflS не возрастает
при 0<s<n; таким образом, Ak(g; s)^eN^Ak(g\ 0) при 0<s<n.
Подобными рассуждениями для интервала — n<sC0 получаем,
что
(9) Ak (g; s) < eN^Ak (g; 0), - л < s< л.
926 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Так как g удовлетворяет дифференциальному уравнению с част-
ными производными
dsg (х; s) = 2 (х; s) dxg (х; s) + b (х; s) g (x\ s), [x, s] Q C1;
j=i J
то, ввиду возможности повторного дифференцирования этого урав-
нения, очевидно, что любая производная dJ1g функции g порядка
не выше k может быть представлена как линейная комбинация
«чистых х-производных» dJg функции g порядка не выше fe, т. е.
очевидно, что существует такое семейство коэффициентов-матриц
CjbJ , что
(10) dJ1g(x; s)= 2 Cji,j(x; s)dJg(x; s), [x, s]GC0.
IJ l«=l Ji I
Матрицы Cj1} j, являющиеся бесконечно дифференцируемыми по-
[х, s] функциями при [х, s] могут быть с помощью правила
Лейбница явно вычислены через функции a,j и Ь. Эти явные
выражения в дальнейшем нам не понадобятся, и мы их не выпи-
сываем. Но из формулы (10), неравенства (9) и определения
функции Ak(g; s) вытекает, что для каждого существует
такая конечная положительная постоянная АД, что из соотноше-
ния Wkf = g вытекает неравенство
(П) { $ I dJ1g(x- s)\*dxdsY/2^Nh\f\k, \ Ji\<k.
Cl
Тем самым получено (IV).
Таким же путем из установленного выше неравенства А& (g; s) <
(g; 0) выводится справедливость следующего утверж-
дения:
(VI) Если ^GC^(Ci), Q£(x;s) = 0,[x, SJGG и g(x-, Q)=f(x)
для х£С, то для каждого существует конечная положи-
тельная постоянная Mk, такая, что | g (•, л) |(Ь)<ЛД | f
(Е) Так как (IV) уже установлено, то доказательство теоре-
мы 1 сведено теперь нами к доказательству утверждения (V).
Для доказательства (V) поступаем следующим образом. Для
каждого й>0 определим линейное отображение Sk: Нл}(С)—>
-+Н^(С), полагая ©(Sft) = ©(IFft), (Skf) (х) = (Whf) (х; л) для
xQC. Тогда в силу (VI) оператор Sk ограничен и имеет норму
не больше АД. Мы покажем, что
(VII) для каждого fe>0 и всякого достаточно малого поло-
жительного a<Ca(fe) отображение/ — aS& имеет плотную в Н^\С)
область значений.
Предположим, что (V) неверно, а (VII) уже установлено.
Так как (V) неверно и ©(5л) = ©(ИД), то существуют fe>0,
7. Линейные гиперболические уравнения и задача Коши
927
k^.p, и ненулевой элемент /о С #^(0, такие, что (/0,/)(&) = 0 для
всех Выберем постоянную a<l/2/Wj и, исполь-
зуя (VII), построим последовательность {hn} элементов из ©(£&),
такую, что hn — uSkhn—>fQ по норме (С) при п —»воо. Так
как в силу (6) |aSft/2n|(f’O<(l/2) |/2n|(fe), то мы имеем
| hn — aSkhn |(k) | hn I hn l(fc) ~2 \ hn |(fe)»
и поскольку hn — aSkhn —> fo при и—>oo, то |Лп|(ь> остается огра-
ниченным при п —>оо. Таким образом, существует постоянная Л,
такая, что |/2п|(ь)<Л при п>1. Следовательно,
I (hn —-cLSkhn, /^n)(/t) (/о> hn)(ji) | А | hn ciSkhn /о|(Ь),
так что
(hn ^Skhni hn)(k) = | hn |(fe) a (Skhn, hn)(k) >0
при n—> oo. Так как |aS&/zn|(/0<(l/2) |/zn|(fe), то, следовательно,
\hn |(ft)—>0 при n—>oo. Но поскольку hn — cLSkhn—то =
это противоречие показывает, что из (VII) вытекает (V).
Для доказательства (VII) мы докажем сначала следующее
утверждение:
(VIII) Пусть X>X(fe') —вещественное достаточно большое
число и fe' > [(п+ 1)/2] 4-1 = v+ 1. Тогда для любой функции
h£C% (Ci), все производные которой порядка ^.k' являются
периодическими с периодом л по переменной s функциями, суще-
ствует функция g из C^~v (С{), все производные которой поряд-
ка — v являются периодическими с периодом л по перемен-
ной s функциями, причем ((q + X) g) (у) = h (у) для z/CG.
Утверждение (VII) может быть получено из (VIII) следующим
образом. Положим в (VII) k' равным fe + v-j- 1, где v = [(п-|-1)/2],
a k — такое же, как в (VII). Пусть X и а связаны соотношением
так что если <<а достаточно мало», то это эквивалентно
тому, что «X достаточно велико». Пусть (С), а через р0
обозначен формальный дифференциальный оператор с частными
производными
п
(12) Qo = 3 aj (х; s) дх + b (х; $),
7=1 1
так что Q = ds — Qo- Пусть т]—функция из С°°( — оо,+оо), тожде-
ственно -равная нулю в интервале ( — оо, 1/4) и тождественно
равная —1 в интервале (1/2, оо). Положим tn = fe'-Ll и пусть.
m
(13) g (х; s) = т] (s) (s~n}} ((g°~f} (x) , XEC, 0<s<n.
928 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Доопределим функцию g(x; s) для xQC и — л<х<0, потре-
бовав, чтобы она была периодической с периодом л по s. Тогда
((q + X)g)(x; s) = 0 для xQC и 0<s< 1/4, в то время как
((б+ *)£)(*; s) = ((ds — (Qo — W)g)(x; s) =
= - л)™ ((Qo - k)m+1 /) (X), 4 < s < л.
Эти соотношения показывают, что частные производные функции
(Q+A,)g* порядка не выше k' = m—l являются не только кратно-
периодическими с периодом 2л по переменным х, но также
периодическими с периодом л по переменной s. Поэтому в силу
(VIII) существует функция hQC^~v все производные которой
порядка не выше k' — v периодичны с периодом л по перемен-
ной s, такая, что ((q + X)^) (у) = ((q + X) й) (у) для у^С{. Пусть
gi = g — й; тогда, очевидно, ((q + Л) gC) (у) = 0 для у£ С1? а в силу (13)
ясно, что gi(x; 0) — gi(x; л) = g(x; 0)— gi(x; л) = /(х) для х £ С.
Так как (q + X) gx (у) = (ds — q0 + М gi (у) = 0, то, полагая g2 (х; s) =
= e+Ksgi(x; s), мы имеем (Qg2) (у) = 0- Более того, g2(x; 0) —
— ag2(x; л) =gi(x; 0) — gi(x; л) = /(х). Таким образом, f при-
надлежит области значений оператора / — aS^-v-i = I — aS^.
Тем самым область значений оператора I — aSk содержит все
функции из Сп (С). Так как это пространство плотно в (С)
при каждом k в силу леммы 3.4, то отсюда вытекает (VII). Наша
теорема будет доказана, как только будет установлено (VIII).
Напомним теперь, что в силу замечаний, сделанных в абзаце,
предшествующем утверждению (III), матрицы-коэффициенты aj
и b формального дифференциального оператора q являются крат-
нопериодическими с периодом л по переменным у. Таким обра-
зом, делая замену переменных х—>х, s—>2s — л и используя
теорему Соболева (4.5) (см. замечания в § 3, следующие за дока-
зательством леммы 3.28 по поводу того, как применять теорему
Соболева к пространству Я^(С1)), мы убеждаемся, что (VIII))
является очевидным следствием такого утверждения:
(IX) Пусть Aj(y), /=1, иВ(у) суть (m х /л)-матрицы,
бесконечно дифференцируемые по параметру y£En+i, и пусть
матрицы Aj(y) эрмитовы при /= 1, п и y£EnJri. Предполо-
жим также, что Aj(y) и В (у) кратнопериодичны с периодом 2л
по всем переменным у. Обозначим через т формальный диффе-
ренциальный оператор с частными производными
т = — 2 ДДх; s)dx. — В(х; s).
э=1
7. Линейные гиперболические уравнения и задача Коши 929
Пусть [(л+ 1)/2]+ 1; тогда для всякого достаточно большого
вещественного X и любой функции существует
функция такая, что (т — k)g = h.
Сведя всю нашу задачу к доказательству (IX), мы переходим
теперь к этому доказательству. Рассмотрим два неограниченных
оператора в ) (Ci), определяемые соотношениями
(14) © (710)) = Сп (СО, T^F = xF, F££>(T(k0)),
(15) © (П1 >)={/€ № (СО | xf С H(„k) (СО);
T^}F = xF, F££>(T(kl)).
В силу определений 3.2, 3.5 и 3.15 мы имеем
(16) (Л°7, ^)(ft)= s $0J1(0s~2 Л(х; S)dxj-
Ull, l/il«hcl 3'=1
— B(x; s)) /Q (x; s), d^g(x; s)Jdxds =
= - 2 $ {(dJ1f)(x; s), [
\J 11. 1^11
— 2 Aj(x; s)dXj — B(x; s)^](x; s)|dxds +
3 = 1
+ S $ tSJi; Ji <*; s) (x; s), (d^g) (x; $)] dx ds =
IJil, c<i
= -(/, T(ki}g)m+ 2 $ 3^ s)(dJ1f)(x; s), (dS1g)(x-, s)) dxds
IJ1I, C1
для всех /С®(^10)) и gQ^(Tk}); в этих формулах бесконечно
дифференцируемые матрицы BJi ^(x; s) могут быть по правилу
Лейбница явно вычислены через матрицы Aj(x; s) и В (х; s). Так
как в последующих рассуждениях это явное выражение исполь-
зоваться не будет, то мы его не приводим.
Предположим, что /£Сл(С1), gQ (G), а через Г обозна-
чен эллиптический дифференциальный оператор
г= 2 (—i)J1aJ1aJ1.
59 Заказ № 134
930 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Тогда в силу определений 3.15, 3.2 и 3.5 мы имеем
(Л г^) = (/, g\k).
Заметим для дальнейшего, что если функцию g в (16) рас-
сматривать как распределение и воспользоваться обозначениями
теории распределений для записи результата (16) в виде соотно-
шения
ГЛ g)w = - (г^) (/) + 2 $ л (х> *) х
Uli, С1
X dJ1f (х; s) d^g (х; s) dx ds,
то мы получим формулу, справедливую не только для / С © (Th }) =
= C“(Ci) и ^©(Tfe0), но также и для u g (С,).
Это утверждение вытекает так же, как и соотношение (16),
из определений 3.2, 3.5 и 3.15.
Билинейная форма
Фа (g, Л) = 2 $ BJi, Л <х; 5) ГГ) (х; s) (dJ1k) (х- s) dx ds,
1J1I, Л|«=А C1
очевидно (по неравенству Шварца), ограничена, если ее рассмат-
ривать как билинейную форму в (С\). Таким образом, по
теореме IV.4.5 Ф&(£, h) можно записать в виде
Фа(£, h) = (Bkg, h)w, g,
а отсюда уже вытекает, снова в силу теоремы IV.4.5, что опера-
тор Bk является линейным и ограниченным. Следовательно, фор-
мула (16) может быть переписана в виде
<17) ГЛ g)<k)=~(f, тЛГ + Ш, g)w,
ft® ГЛ gt®rl)).
Предположим далее, что gC© ((710))*), так что (Tk^)*g = g*
является элементом из (С\), удовлетворяющим равенству
(Л0)Л^) = (ЛЛ) всех /€®(Л0))-С~(^). Как было
замечено выше, третий абзац после формулы (16), мы имеем
(Л0)Л g)m=-(^(f)+(Bhf, g)w
для всех /С©(Тк0)) и gtffflfCi)- Таким образом,
(Л - (/, ад(А) - (Г^) (f) = 0, f € Г (СО,
7. Линейные гиперболические уравнения и задача Коши
931
и в силу тех же замечаний
г (g* — Bhg — rg) = 0.
Согласно следствию 6.4, g* — B^g — xg принадлежит Сп (G) (см.
замечания в §3, следующие за доказательством леммы 3.28,
относительно применения следствия 6.4 к пространству ^„(CJ).
Так как g* — Bkg£Hn} (Ci), то xg^H^ (Ci). Таким образом,
в силу (15) Соотношение (17) показывает, что
(А (Тй0))*^)(й) = — (A T^g\h) + (f, Big) для всех f из подпро-
странства Cn(Cj) в Hn^Ci), которое по лемме 3.41 плотно
в (Gj. Следовательно, последнее равенство по непрерывности
выполнено для всех f^H^iCi). Тем самым мы показали, что из
соотношения g £ © ((Т^)*) вытекает, что gQ^iTk^) и что в этом
случае T^*g= — T^g+Blg. Из равенства (17) следует, что это
же уравнение выполнено для g££) (Т^), и мы приходим к выво-
ду, что
(18)
Тогда по лемме XII.1.6 (Т^+В^ + М)* =—Т^+ М для всех
вещественных А.
Поскольку мы предположили, что /г>v-|- 1 = [(«+ 1)/2] + 1 г
то по теореме Соболева (4.5) каждая функция из (С) при-
надлежит C„(Ci) и даже C„~v (Ct). (См. в связи с этим замеча-
ния в § 3, следующие за доказательством леммы 3.28, относи-
тельно применения теоремы Соболева к пространству Нп (Cj).}
Предположим, что (Т10) + Вь + M)*f = (Т^ -J-А/) f = 0. Тогда
fQCn(Ci), и, проводя такие же вычисления, как в равенствах (5)
и (6) части (А) настоящего доказательства, мы получаем, что при
Х>а = sup |В (у) + В (у)* — 3 dXjAj (у) |
i/ecj - з=1
интеграл
| f (%; s) |2 dx
с
является невозрастающей функцией при —на самом
деле она убывает, когда s изменяется от -л до +л, кроме
того случая, когда f(y) = O для у gCp Так как f (у) кратнопе-
риодична с периодом 2л, то рассматриваемый интеграл является
периодическим по s и, следовательно, не может убывать, когда s
59*
932 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
изменяется от — л до л. Таким образом, из соотношений
(Tfe0) + B^ + X/)*f = 0 и Х>а вытекает, что f = 0. Поэтому в силу
леммы XII. 1.6(a), если Х>а, то отображение 710) 4-ВЛ + Х/ имеет
плотную область значений.
Пусть g, = (С4). Вейлу (18) итого, что по опре-
делению \ мы имеем
g) = ((Лъ+№)*) f, g)w = ((Т^ + (Н0))*) A g)w =-•
= (А ((П0)Г + т№) g)w = (Д Btg)w.
Это показывает, что ограниченный оператор В* является са-
мосопряженным; отсюда сразу же вытекает, что Bk само-
сопряжен. Следовательно, если Х>0 и f g© (710)) = Сл (С4),
то снова в силу (18) и того, что Т10) мы имеем
. =((П0)-Твй+^)а + =
+ (f,
> VI f l(%+ь((№ + (if >)* -Bk) f, f)w=v I f
Таким образом,
(19) |(Л0) ^С~(С1)=©(Л0)).
Далее, оператор Т<^) замкнут. Действительно, если {fn} — после-
довательность элементов из © (Т^), такая, что fn—>fn T^fn—^g
в топологии Н(^’ (С,), то по лемме 3.22 и определению 3.15 мы имеем
xf = g, так что в силу соотношения (15) /(©(711*) и T<ki)f = g.
Поэтому график Г(Т/{1)) оператора Т^ является замкнутым под-
пространством гильбертова пространства (Cj) © (CJ. Пусть
Tk *= ЛП — оператор, график которого является замыканием
вГ(Тй1)) графика Г(710)) оператора T(k\ Тогда, очевидно, Tk
замкнут, и так как Тк^Т^\ то при Х>а оператор Tk+Bh + XI
имеет плотную область значений и по очевидным «соображениям
плотности» из (19) вытекает, что
(20) + f€©(Tft), Х>0.
8. Параболические уравнения и полугруппы
933
Пусть Х>а и g (Сх). Тогда мы можем найти последова-
тельность {fn} элементов в £)(7\), такую, что (Tk—2~1Bk+'kI) fn—>g
при п—> оо. В силу неравенства (20) {fn} является фундаменталь-
ной последовательностью и, следовательно, сходится к некоторому
пределу f^H(^(Ci). Таким образом,
{Thfn} = {(Th-2~'Bh + M)fn-(-2~1Bh + U) fn}
— сходящаяся последовательность, и так как Th замкнут,
то (Tk — 2~1Bk + ^I)f = g- Таким образом, оператор Tk — 2~1В^ + Х/
отображает свою область определения на (Сх). В силу (20)
— 2~1В&-4-X/ является взаимно однозначным оператором и имеет
ограниченный обратный. Поэтому если Х>а, то (Т + Вл);
в этом случае из (20) вытекает, что | (— X; Tk + В*) |<VX.
Пусть теперь р& = | Bh | и А>2pft + а. Из только что доказанного
следует, что
\BhR(-^ П-2-^)|<1/2,
так что по лемме VIL3.4 оператор (/— 2"1В&7? (—- X; Th — 2~1Bk))~1
существует, всюду определен и ограничен. Мы имеем
(TH-W)A!(-X; Тк-2-1В^~'f =
= (-/-ЦвйЯ(-Х; Th-2~iBk)) X
X Q-~BkR(-M Tk-2-1Bh)y1f=-f,
и аналогично
R (- X; Th - 2-гВй) (I -1 BhR (- X; Th - 2^Bk)) ”1 (Th + V) f =
= -f,
Таким образом, оператор (Tk+M)~l существует, ограничен и всюду
определен при X>2pfe + a. Так как и по доказанному
оператор + V является взаимно однозначным при Х>2р^ + а,
то это означает, что для каждого g£ (Сх) уравнение (т-|-Х) f=g
имеет единственное решение f^H^(Cx). Таким образом, утвер-
ждение (IX) доказано, а тем самым и теорема 1.
8. Параболические уравнения и полугруппы
В этом небольшом параграфе мы рассмотрим граничную задачу,
связанную с параболическим уравнением
щ — — ти, />0,
где т —формальный эллиптический дифференциальный оператор,
удовлетворяющий условиям неравенства Гординга (лемма 6.10).
934 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Самые существенные результаты этого параграфа сформули-
рованы в следующей теореме.
1. Теорема. Пусть т — эллиптический формальный дифферен-
циальный оператор четного порядка 2р, определенный в области
10 cz Еп. Предположим, что
Т = 3 aJ W dJ>
|J|$2p
ctj(x~) веществен, если | J | = 2р, и
(-1F SxQl0, l^E”,
\J 1—^р
Пусть I — ограниченное открытое множество, замыкание которого
содержится в IQ, а Т — расширение Т0(т), определяемое соотно-
шениями
£>(Т) = ®(7\ (т))ПЯ(оР)(/),
/€©(Т).
Тогда
(I) — Т порождает сильно непрерывную полугруппу S (t), t> О,
в L2 (/). При t > 0, k > 0 и f G L2 (I), S (t) f С © (Тк) функция TkS (t) f
аналитична no t, a (S (t) f) (x) аналитична no t и бесконечно диф-
ференцируема no x при t>6 и xQl.
(II) Пусть f£L2(l). Тогда существует одна и только одна
функция u(t, х), определенная и непрерывно дифференцируемая
по t и х при t>Q и х£1, такая, что
u(t, -)QL2(I), t>Q,
lim | и (t, •) — и (s, •) | = 0, s>0,
t~>8
«(0, •)=/(•),
«(/, .)G©(T), />0,
Нт|Тм(Л-) — Tu(s, -)| = 0, s>0,
i->s f
~u(t, x)= —xu (t, x), t>0, x£I.
Эта функция определяется уравнением u(t, х) = (S (t) f) (x).
Доказательство. Пусть e>0 и e<10-1n. Пусть
Л = {Х| ]argA,[ >e}
— угол в комплексной Х-плоскости. В силу следствия 6.27 суще-
ствует такая конечная постоянная К > 0, что X ф о (Т) и 17? (%; Т) | <
< Д’|Я,|-1, если и |X| >К- Из теоремы Хилле — Иосиды —
8. Параболические уравнения и полугруппы 935
Филлипса (VIII.1.13) вытекает, что оператор — Т порождает полу-
группу. Мы получим представление этой полугруппы, которое
сделает очевидными все остальные части утверждения (I). Положим
(1) S(0=2Sr$e-^(z;T)^,
С
где С —контур, составленный лучом {z|argz = 2e, |z|>2/Q, про-
бегаемым от оо до 2Ke2is, дугой окружности от 2Ke+2i& до 2Ke~2ie,
пробегаемой в положительном направлении, и лучом
{z|argz = — 2е, | z | >2/Q,
пробегаемым от 2Ke~2ie к оо. В силу установленной выше ограни-
ченности |7?(Х;Т)| интеграл (1), очевидно, сходится абсолютно
и равномерно в любом ограниченном замкнутом подмножестве
области q = {/1 | arg 11 < л/2 —• 2е, / =^= 0} и является, следовательно,
аналитическим в q. Так как
TR(z; T) = zR(z-, Т) —I,
то интеграл
T)dz
С
также сходится абсолютно и равномерно и равен
2ST $ ze~tzR & т)dz—^1 $ e'tz dz=
с с
-ii”* T)d2=-^sm.
С
Тогда по теореме III.6.20 S(/)f£©(T) для любой функции
/еш и
<2) Kq.
Пусть t^Q и fQL2(I); тогда в силу равенства (2) функция /дг,
определяемая соотношением = (AZ)-1 (S (/— A/) —S (/)) Д при-
надлежит £>(Т), и Tf^t = (A/)-1 (d/d£) (S (/ + A/) f — S (/) f). Полагая
At—>0 и используя замкнутость оператора Т (в силу следст-
вия 6.11 и леммы XII. 1.6), находим, что S(f)fQ£)(T2) и
(Jrys(t)==(-T)*s(t), t^Q.
Тогда по индукции мы получаем, что S (/)/€© (Tft) для всех 1
и f£L2(I) и что
(^-ys(o = (-nfts(o,
936 Гл. XIV. Линейные уравнения и операторы с частными производными
Таким образом, функция ThS(f)f аналитична при IQqu f£L2(J)-
Из теоремы 6.23 и следствия 6.24 непосредственно вытекает,
что ThS(t)f(x) аналитична по t и бесконечно дифференцируема
по х при q и xQl.
Предположим теперь, что Тогда
/?(*; Т) Тff = zR (z; T)f,
так что .
s«f-077* + i $ 4* =
С с
= 2^jj z^R(z-T)Tf dz + f.
С
Так как |7?(z; Т) | = 0(|г|-1) при |г|—>оо и г^Л, то из теоремы
Лебега (III.6.16) и интегральной теоремы Коши мы получаем
lim | S (/) f-f 1 = 0.
*->0
Таким образом, если /С©(Т), то функция и (t, х) = (S (t) /) (х)
удовлетворяет всем предположениям утверждения (II). Мы пока-
жем, что если Si (/) —полугруппа, порожденная оператором — Т,
то всякая функция и (t, х), удовлетворяющая всем предположениям
утверждения (II), может быть представлена в видеЗ^/)/. Таким
образом, отсюда будет следовать, что S (/) = Si (/) при t > Ог
так что оба утверждения (I) и (II) будут доказаны.
Пусть и —такая же функция, как в (II), f£L2(I) и s>0.
Рассмотрим функцию
Ф (s, /, •) = Sj (s — t) и (•, t).
Если t —> 0, то (р (s, t, •) —> (Si (s) f) (•) по норме L2 (/) в силу сильной
непрерывности Si и наших предположений. Аналогично q?(s, /, •)—>
—>и (•, s) при t—>s. Мы докажем, что (<Э/<Э/) ср (s, /, -) = 0, откуда
будет вытекать утверждение (II).
Очевидно, что
и (t, х) f (х) dx = и (t, х) f (х) dx ==
I I
= — x)f(x)dx, />0,
i
для всех функций f£L2(I), непрерывных и обращающихся в нуль
вне компактного подмножества в /. Таким образом,
t
и(/, x)f(x)dx—u(s, x)f(x)dx=— (Ти)(/, x)f(x)dxdt
/ I *s I
8. Параболические уравнения и полугруппы
937
для 0<s</<oo и любой функции / из £2(0, равной нулю
вне компактного подмножества в I. В силу теоремы Фубини
(III. 11.9), теоремы III. 11.17 и теоремы III.2.20 из плотности
подпространства Cq° (/) в Ь2 (/) вытекает, что
t
u(t, -)-u(s, •)---J (Tu)(t, -)dt, 0<s<z<oo.
s
Так как функция (Tu)(t, •) непрерывна no t, то
4«(Л -H-OW. •). *>0.
Таким образом, в силу леммы VIII. 1.7(b)
•)-S1(s-0Tu(Z, O-SJs-OTu^, -) = 0,
и наше доказательство закончено.
Следствие. Предположим, что выполнены предположения
теоремы 1, а область I ограничена гладкой поверхностью 2,
не содержащей внутренних точек ее замыкания I.
(I) Тогда функция (S(t)f)(x) аналитична по /, бесконечно
дифференцируема по х при / > 0 и xQl и удовлетворяет урав-
нению
S (t) f (X) = (dv (S) S (/) /)(*)=... = (dV (S) s (t) f) (x) = 0,
/>0 xg2.
(II) Для f£L2(I) существует одна и только одна функция
u(t, х), определенная при />0 и х^1, непрерывно дифференци-
руемая по t и 2р раз непрерывно дифференцируемая по х при.
t > 0 и х£1, такая, что
^Lu(t, х)== —TU(t, х), />0, х£1,
и
‘ и (t, х) = dv (2) и (t, х) = ... — ду~{ (2) и (t, х) = 0, t > 0, х С 2,
и такая, что
lim|u(/, .)-/(.)| = 0.
*->о
Доказательство. Утверждение (I) вытекает из предыдущей
теоремы и теоремы 6.23, а (II) —из утверждения (II) предыду-
щей теоремы, так как функция, удовлетворяющая предположе-
ниям утверждения (II) этого следствия, очевидно (см. тео-
рему 6.23), удовлетворяет предположениям утверждения (II)
предыдущей теоремы, ч. т. д.
Приложение
Гильбертово пространство есть линейное векторное прост-
ранство <g над полем Ф комплексных чисел вместе с комплекс-
ной функцией (•, •), определенной на X Jg и обладающей сле-
дующими свойствами:
(I) (х, х) = 0 в томи только в том случае, если х=0;
(II) (х, х)>0, х£^;
(III) (х + р, г) = (х, z) + (y, z), х, у,
(IV) (ах, р) = а(х, у), а£Ф, х,
(V) (х, у) = (у7х);
(VI) если xngjg,/г= 1, 2, ..., несли lim (хп — хт, хп — хт) =
п,т-^оо
— О, то существует такое x£!q, что lim(xn —х, хп — х) = 0.
п
Функция (•, •) называется скалярным или внутренним произ-
ведением в причем (х, у) называется скалярным или внут-
ренним произведением элементов х и у. Норма в пространстве
определяется равенством | х | = (х, х)1/2.
Замечание. Гильбертово пространство было определено неко-
торой системой абстрактных аксиом. Интересно отметить, что
некоторые из определенных выше конкретных пространств удов-
летворяют этим аксиомам и являются, следовательно, частными
случаями абстрактного гильбертова пространства. Так, например,
/г-мерное унитарное пространство Еп будет гильбертовым прост-
ранством, если скалярное произведение двух элементов х =
= [сц, ..., ап] и у = [р1? ..., рп] из Еп определить формулой
(X, у)= 2
i=l
Приложение
939
Точно так же комплексное /2 становится гильбертовым простран-
ством, если скалярное произведение (х, у) векторов х=Дап},
У = {рп} определить формулой
(*, у) = 3 а^-
п=1
Аналогично комплексное пространство L2(S, S, р) со скалярным
произведением
(A g) = $ f (s) F(s) H (ds), f, g£L2 (S, 2, Ц)
8
является гильбертовым пространством.
Среди бесконечномерных В-пространств гильбертово простран-
ство ближе всех стоит, особенно по своим элементарно геомет-
рическим свойствам, к евклидовым и конечномерным унитарным
пространствам. Из определения 2.26 непосредственно не видно,
что гильбертово пространство является В-пространством, но это
устанавливается нижеследующей теоремой. При исследовании
гильбертова пространства условия (I) —(VI) определения 2.26
будут использоваться без ссылок на них и через всегда будет
обозначаться гильбертово пространство.
1. Теорема. Гильбертово пространство есть комплексное
В-пространство, в котором
|(х, у) |<]х|\ у \, X, у^.
Доказательство. Прежде всего будет доказано это последнее
неравенство, известное под названием неравенства Шварца. Из
постулатов для вытекает, что если либо х, либо у равны
нулю, то неравенство Шварца справедливо. Предположим поэ-
тому, что х =7^0=7^= у. Для произвольного комплексного числа а
0<(х + ау, х + ау) = |х|2 + |а|2 |//|2 + а(у,х) + а(х, у) =
= |х|2 + |а|2 |z/|2 + 2Re(a(y, х)),
где Re (X) есть вещественная часть X. Если a = reie и 0 выбрано
соответствующим образом, то из последнего неравенства выте-
кает, что
| х |2 + г21 у |2 > 2г | (х, у) |
для каждого положительного г. Отсюда, полагая г=|х|/|у|,
мы получим неравенство Шварца.
Чтобы завершить доказательство теоремы, достаточно пока-
зать, что |х + у|<|х| + |у|. Заметим прежде всего, что
(х, у) + (у, x) = 2Re(x, z/)<2|х| |z/|
940
Приложение
и, следовательно,
I * + У I2 = Iх I2 +1УI2 + (*> #) + («/> х)<
<|^12 + |у|2 + 2|х| |«/| = (И + Ы)2> ч- Т-Д-
Замечание. Необходимо отметить, что в этом доказательстве
неравенства Шварца и неравенства треугольника |х + у|<|х| +
+1 у | не предполагается, что § полно или что (х, х) = 0 только
при х = 0.
2. Лемма. Пусть х —некоторый элемент из !q, а К — такое
подмножество <д, что (К + К) Предположим, что {ка-
такан последовательность из К, для которой
lim | х — kt I == inf | x — k |.
i k^K
Тогда последовательность {kt} сходится.
Доказательство. Тождество
|* + у|2+|х — у\2 = 2\х\2 + 2\у\2, х, у^,
называемое тождеством параллелограмма, непосредственно выте-
кает из аксиом. Если 6 = inf|x —£|, то из этого тождества СЛе-
ЬбК
дует, что
I ki + kj 2
\ki-kj\2 = 2\x-ki\2 + 2\x-kj\2-4\x------<
<2|x — kt\2 + 2\ x — fej2 — 46 —> 0, ч. т. д.
3. Определение. Два вектора x, у из называются ортого-
нальными, если (х, у) = 0. Два многообразия ЯЛ, Яс: из $ назы-
ваются ортогональными, если (ЭЛ, !Л) = 0. Запись х\_у означает,
что векторы х и у взаимно ортогональны, азапись ЭЛ±Яс:, — что
ортогональны многообразия ЯЛ и Я1. Ортогональным дополнением
множества Л g называется множество {х | (х, А) == 0}. Оно иногда
обозначается через S^QA или, если подразумевается, через Л-1.
—» 4. Лемма. Ортогональное дополнение замкнутого линейного
многообразия ЯЛ в $ есть замкнутое линейное многообразие,
дополнительное к ЯЛ в том смысле, что — ЯЛ©Э1.
Доказательство. Из линейности и непрерывности скалярного
произведения (теорема 1) вытекает, что ортогональное дополне-
ние произвольного множества ЯЛ есть замкнутое линейное мно-
гообразие. Если ЯЛ— замкнутое линейное многообразие и х —
произвольная точка из то по лемме 2, существует такое mg ЯЛ,
Приложение
941
что \х — т\ = 8 = inf | % —mJ. Теперь мы покажем, что элемент
п = х—т принадлежит 91. Для произвольного комплексного
числа а и произвольного т^ЯЛ вектор m J-amiC ЯЛ и, следова-
тельно, | х —- (m + ami) | > б. Таким образом,
О < | х — (m + ami) |2 — | п |2 = | п — ami |2 — [ п |2 =
= — а (т^ п) — а (п, тД +1 а |2 | |2.
Положим а = Х(п, mJ, где X — произвольное вещественное число.
Тогда
ОС — 2Х | (я, mJ |2 + Х21 (n, mJ |2 | mi |2,
что возможно лишь при (n, mJ = 0. Таким образом, п£ 31. Чтобы
завершить доказательство, заметим, что если х С ЯЛ П 31, то | х |2 =
= (х, х) = 0. Следовательно, ЯЛ Q 31 = 0 и $ = ЯЛ@31, ч. т. д.
—> 5. Теорема. Для каждого у* из существует и притом
только один такой у£& что
У*х=Дх, у),
Отображение о: у* —> у является взаимно однозначным изомет-
рическим отображением fa* на все при этом a(y*-\-z*) =
= а (z/*) + о (г*), а (ау*) = аа (у*).
Доказательство. Если г/* = 0, положим у — 0. Если у*^0, то
множество ЯЛ = {х| у*х = 0} является в $ собственным замкнутым
линейным многообразием, и его ортогональное дополнение 31
содержит, по лемме 4, некоторый вектор r/i^O. Пусть у = ау{.
где а —
у*х
(У*У1)
. Для произвольного вектора х из $ вектор х —
I У11
уг принадлежит ЯЛ, так что (х, у) = - * = у*х, т. е.
мы доказали существование вектора у. Для того чтобы убедиться
в единственности такого у, предположим, что у' — такой эле-
мент из что у*х = (х, у) для всех Тогда (х, у — у') = 0
для каждого x£Sg и, в частности, (у — у', у — у') = ®, откуда
у = у'. Таким образом, отображение о вполне определено. Так
как |(х, //)|<И\у\, то |//*К|°'(У*)1, а так как (У> У) = \у\2,
то | у* | > | о (у*) |. Следовательно, а является изометрией. Осталь-
ные доказываемые свойства а непосредственно вытекают из пос-
тулированных нами свойств скалярного произведения, ч. т. д.
6. Следствие. Пространство $$* также является гильберто-
вым пространством, и пространство S& рефлексивно.
Доказательство. Если скалярное произведение в определить
равенством
(**, y*)i = (a (у*), а(х*)),
942
Приложение
то ясно, что будет гильбертовым пространством. Согласно
теореме, если #**£$**, то в найдется такой элемент у*, что
= (х*, f/*)i = (о (у*), о (х*)) = Л/, х* g $*,
где = ч. т. д.
7. Следствие. Гильбертово пространство слабо полно; для
того чтобы подмножество его было слабо секвенциально компакт-
ным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным.
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает
из следствия 6, II.3.28 и II.3.29, ч. т. д.
8. Определение. Множество A CZ $ называется ортонормирован-
ным, если норма каждого вектора из А равна единице и если каждые
два несовпадающих вектора из А взаимно ортогональны. Ортонорми-
рованное множество называется полным, если не существует
ненулевого вектора, ортогонального ко всем векторам этого мно-
жества, т. е. множество А полно, если {0} = ^©Л. Напомним,
что проектором (проекционным оператором, оператором проекти-
рования) называется линейный оператор Е, для которого Е2 = Е.
Проектор Е в пространстве $ называется ортогональным, если
многообразия Е$$ и (/ — Е) & взаимно ортогональны.
Как было показано в лемме 4,
£ = ЗЛ©О0©ЗЛ),
где ЗЛ — произвольное замкнутое линейное многообразие в <$,
Пусть x^=y-\-z, где r/СЗЛ и z £ £ © ЗЛ; рассмотрим преобразова-
ние Е пространства Q, при котором Ех^=у, Ясно, что оператор Е
является проектором, так что Е2 = Е, и притом ортогональным.
Заметим, что ортогональный проектор Е однозначно определяется
условием Е<§ = ЗЛ. В самом деле, если D тоже является орто-
гональным проектором, для которого 7)^ = ЗЛ, то ED — D, а так
как (/ —D) ^©ЗЛ, т0 Е (I — D) = Q. Таким образом,
D = ED+E(l-D) = E.
Этот однозначно определенный ортогональный проектор Е, для
которого ESq = ЗЛ, называется оператором ортогонального проекти-
рования на ЗЛ, или иногда просто проектированием на ЗЛ.
9. Лемма. Если {у^ — ортонормированная последовательность,
a {aj — последовательность скаляров, то ряд ^щу[ сходится
в том и только в том случае, если S | щ |2< оо; при этом
|Sa^| = (S|a, |2)1/з-
В случае сходимости этого ряда его сумма не зависит от порядка
его членов.
Приложение
943
Доказательство. Если то
т т т т т т
| 2 ЩУг | ~ ( 3 ,2 == 2 .2 ага7 (Уг, У]) “ 2 I аг |2»
г=п г=п J=n i=n j=n i=n
и, значит, если один ряд сходится, то сходится и другой. Если
в последних равенствах, положив п=1, устремить т к бесконеч-
ности, то мы получим второе утверждение леммы. Наконец, пусть
оо
z= 2 агпУ1п— РЯД> полученный из х = 2ai!Ji некоторой переста-
П=1
новкой его членов. Тогда
| х — z |2 = (х, х) — (х, г) — (г, х) + (г, г),
и непосредственный подсчет, аналогичный проделанному выше,
показывает, что каждое из этих скалярных произведений равно
2|М2. Таким образом z = x, ч. т. д.
—» 10. Теорема. Пусть А — ортонормированное множество в
а х — произвольный вектор из Sq. Тогда (х, у) = 0 для всех,
за исключением, быть может, счетного множества у из А, Ряд
Ех='% {х, у)у,
у£А
сходится, и его сумма не зависит от порядка, в котором рас-
положены его ненулевые члены. Оператор Е является оператором
ортогонального проектирования на замкнутое линейное много-
образие, порождаемое множеством А.
Доказательство. Пусть ух, ..., уп — несовпадающие элементы
п п
из А и у = 3 (x,yt)yi, так что (по лемме 9) |у|2= 3 I (х> */«)12и
г=1 г—1
0<|%-z/|2 = |%|2-(%, у) —(у, х) + Ш2,
(х, у) = 2 (xTyt) (х, yj = I у I2,
г=1
(г/, х) = 2 (х, yt) (x~yi) = | у |2.
г=1
Таким образом, |у|2<|х|2, т. е.
2|(X, ^)|2<|х|2.
г=1
Отсюда вытекает, что лишь для конечного числа векторов у{, ...
уп g А, | (%, yj) | может превышать наперед заданное положи-
944
Приложение
тельное число и, следовательно, самое большее счетное множе-
ство скалярных произведений (х,//), где у£А, отлично от нуля.
Так как
S |(х, у)\*<\х\\
то в силу предшествующей леммы ряд, определяющий Ех, схо-
дится, причем его* сумма не зависит от порядка его членов.
Теперь ясно, что Е есть линейный оператор, причем Ех = х,
если х£А. Поэтому Ех = х, если х принадлежит замкнутому
линейному многообразию 911, натянутому на А. Кроме того,
Ех = 0, если х ортогонален к А. Следовательно, Е есть оператор
ортогонального проектирования на Sit, ч. т. д.
11. Определение. Множество А называется ортонормирован-
ием базисом линейного многообразия Л из если А есть
содержащееся в 91 ортонормированное множество и если
х= 2 (х, У) У, х£ 91.
У$А
12. Теорема. Каждое замкнутое линейное многообразие в S&
имеет ортонор мированный базис.
Доказательство. Если ортонормированные множества, при-
надлежащие замкнутому линейному многообразию ЗЛ, упорядочить
по включению, то, как видно из леммы Цорна (1.2.7), существует
максимальное ортонормированное множество Л, определяющее замк-
нутое линейное многообразие 911 ЯЛ. Ввиду максимальности А
ЯЛ©911 = 0. Но, по лемме 4, ЯЛ = 911 © (ЯЛ © 9© и, следова-
тельно, ЯЛ = 911. Наше утверждение вытекает теперь из тео-
ремы 10, ч. т. д.
13. Теорема. Для ортонормированнога множества A cz $ сле-
дующие утверждения эквивалентны:
(I) множество А полно;
(II) множество А служит ортонормированным базисом для
(III) и2== S |(х, */)|2, Х^.
У$А
Доказательство. Эквивалентность условий (I) и (II), очевидно,
следует из теоремы 10. То, что из каждого из них вытекает
условие (III), следует из теоремы 10 и леммы 9. Предположим
теперь, что выполнено условие (III), и пусть х — произвольный
вектор из По лемме 4, x-^u-^v, где ugsp(X) и v£ SgQ sp (Л).
Таким образом, |x|2 = |u|2 + | t>|2. Но, по теореме 10 и лемме 9,
1и|2— 3 I (и, У) I2- Следовательно, |х|2 = |и|2 и f = 0. Это озна-
чает, что зр(Л) = $, откуда и вытекает условие (I), ч. т. д.
Приложение
945
Следующий результат дает нам возможность ввести понятие
размерности гильбертова пространства.
14. Теорема. Все ортонормированные базисы данного гиль-
бертова пространства & имеют одну и ту же мощность.
Доказательство. Если $ конечномерно, этот результат хорошо
известен из алгебры. Предположим, что $ бесконечномерно,
и пусть {ио} и {tip} —два ортонормальных базиса для Мы будем
говорить, что векторы иа и иа' базиса {иа} эквивалентны, если
существует конечная цепочка векторов
(*] иа, tlpf На1, ..., Uak, ЦрА+1, иа>,
в которой скалярное произведение любых двух соседних векторов
отлично от нуля и члены которой берутся попеременно то из {иа},
то из {tip}. Эквивалентность двух векторов tip и из {tip} опре-
деляется аналогично. Из теоремы 10 непосредственно вытекает,
что каждый класс эквивалентных между собой векторов будет
либо конечным, либо счетным. Класс U эквивалентных между
собой векторов иа назовем соответствующим классу V эквивалент-
ных между собой векторов tip, если существует пара векторов,
один из U, другой из V, с ненулевым скалярным произведением.
Предположим, что U и V — соответствующие классы эквивалент-
ных между собой векторов и что uaQU. Рассмотрим произволь-
ный элемент tip из базиса {tip}, такой, для которого (ua, tip) =£ 0.
Покажем, что tipgV. Так как U и V — соответствующие классы,
то существуют такие элементы ua'£U и tip'gV, для которых
(иа', tipJ^=O. Но так как ua'QU, то существует такая конечная
цепочка вида [*], в которой скалярное произведение соседних
векторов отлично от нуля. Таким образом, из строения цепочки
tip, иа, ..., Ua/, tip' видно, что tip эквивалентно tip, и что, сле-
довательно, tip g V. Так как {tip} есть базис, то вектор иа имеет
разложение вида ua = 2 (ua, tip) tip, так что иа принадлежит замк-
нутому линейному многообразию, порожденному такими векто-
рами tip, для которых (ua, tip) =£ 0. Но так как такие векторы tip
принадлежат V, то иа gsp [V] и, следовательно, sp [t7] sp [V].
Аналогично sp [V] sp [U]. Отсюда ясно, что "соответствующие
классы эквивалентных между собой векторов U и V порождают
одно и то же замкнутое линейное многообразие ЗЛ- Таким обра-
зом, если один из классов U или V конечен, то ЯЛ конечномерно
и, значит, другой класс тоже конечен и состоит из такого же
числа элементов. Если U и V, бесконечны, то оба они счетны.
Таким образом, {иа} и {tip} распадаются на суммы попарно непере-
секающихся соответствующих пар U, V классов эквивалентности,
причем каждое U имеет точно такую же мощность, что и соот-
60 Заказ № 134
946
Приложение
ветствующее ему V. Поэтому {иа} и {t^} имеют одну и ту же
мощность, ч. т. д.
15. Определение. Мощность произвольного ортонормального
базиса гильбертова пространства называется его размерностью.
16. Теорема. Два гильбертовых пространства изометрически
изоморфны в том и только в том случае, если они имеют одну
и ту же размерность.
Доказательство. Пусть U — изометрический изоморфизм между
и @2- Тогда если х и // — взаимно ортогональные элементы
из то
\U(x + ky) ^ = \x + ky\^\x\^ + ^\y\^ = \Ux + Wy\^
= \Ux\2 + \X\2\Uy\2 + (Ux, Wy) + (Ux, MJy) =
= |x2| + |X|2|//|2 + (^ MJy) + (Ux,Wy).
Отсюда видно, что для произвольного X
О - (Ux, MJ у) + (Ux, MJy);
подставляя в это равенство Х = (Ux, Uy), мы получаем, что
(Ux, Uy) = 0. Таким образом, U отображает ортонормированный
базис пространства на ортонормированный базис простран-
ства ^2, и, значит, и <g2 имеют одну и ту же размерность.
Обратно, предположим, что пространства и <$2 имеют одну
и ту же размерность, и пусть {иа, а£Л} и {va, а £ Л} — ортонор-
мированные базисы соответственно для и $$2. Для каждой
определенной на А скалярной функции С, такой, что С(а)~0
для всех, за исключением счетного множества индексов а, и что
2|С(а)12<°°> положим
1/(2С(а)«а) = 2С(а)Ся.
По теореме 13, U является изометрическим изоморфизмом между
& И S&, ч. т. д.
Прямые суммы гильбертовых пространств
Напомним (см. 1.11), что прямая сумма
зе=эе1@...©зеп
векторных пространств Э^, ..., есть множество Ж1ХЗ?2х ... хЖп,
для элементов которого сложение и умножение на скаляр опре-
Приложение
947
деляются по формулам
[*i, хп] + [У1, ...» yn] = [Xi + yi, ..., xn + yn],
а[х1? ..., xn] = [axi, . ..,axn].
Пространство 36j алгебраически эквивалентно подпространству ЗЛ/
пространства ЭЕ, состоящему из всех таких векторов [х±, ..., хп] £ ЗЕ,
у которых Xj = 0 при j^i. Иногда бывает удобно само прост-
ранство ЗЕ/ рассматривать как подпространство ЗЕ, при этом
имеется в виду, что оно эквивалентно пространству 3Jlf. Ото-
бражение
[Xi, ..., хп]—>[0, ..., xf, ..., 0]
пространства ЗЕ на ЗЗЪ является проектированием и иногда назы-
вается проектированием ЗЕ на 3Jlf, Равносильно этому, отобра-
жение [Xi, ..., xn] —>Xj называется проектированием ЭЕ на ЗЕь
Если каждое из пространств ЗЕ1, ..., ЗЕП является линейным топо-
логическим пространством, то их прямая сумма ЭЕ, соответству-
ющим образом топологизированная (см. 1.8), также будет линей-
ным топологическим пространством, в котором подпространство ЗЛ/
не только алгебраически, но и топологически эквивалентно ЭЕ,-.
Если топология в каждом из слагаемых 3Ef,i—1, ..., п, опреде-
ляется нормой | • |f, т. е. ёсли каждое из пространств ЭЕг- является
линейным нормированным пространством, то и пространство ЭЕ
будет линейным нормированным пространством. Норму в прост-
ранстве ЭЕ можно ввести различными способами; в частности,
каждая из нижеследующих норм буд^г определять в ЭЕ произве-
дение топологий:
(I) | [Xi, ..., хп] | = [ х± |i +1 х2 |г + • • • +1 хп |п;
(II) I [Xi, ..., xn]|= sup I Xf h;
1
(III) I [Xi, . . ., x„] [ = (|Xi IH . . . +|xn|^)2.
В дальнейшем, если прямая сумма линейных нормированных
пространств будет выступать в качестве нормированного про-
странства, всегда будет указываться, какая именно норма имеется
в виду. В том случае, однако, если каждое из пространств ЗЕ1, ..., ЭЕП
является гильбертовым пространством, всегда будет предпола-
гаться, хотя иногда и без напоминания об этом, что ЗЕ есть
однозначно определенное гильбертово пространство со скалярным
произведением
п
(IV) ([Xi, ...» Хп], [J/i, ...» Уп]) = 3 yi)ii
60*
948
Приложение
где (•, -)i есть скалярное произведение в 3£г. Таким образом,
норма в прямой сумме гильбертовых пространств всегда будет
определяться равенством (III). Окончательно все это можно
сформулировать в виде следующего определения.
17. Определение. Пусть для каждого 4=1, ..., п является
гильбертовым пространством со скалярным произведением (•, •)/.
Прямой суммой гильбертовых пространств ..., назы-
вается линейное пространство © ... © @п, в котором
скалярное произведение определяется равенством (IV).
Рассмотрим прямую сумму Q = © ... © $$п гильбертовых
пространств ..., Тогда при j многообразия & и
взаимно ортогональны в $ и проектирование $ на совпадает
с ортогональным проектированием на Таким образом, под-
пространство $2©---©$i, например, служит в $ ортогональ-
ным дополнением к
Следующее определение обобщает определение 17, включая
случай и бесконечного множества прямых слагаемых.
18. Определение. Пусть для каждого v из некоторого множества
индексов A <gv является некоторым гильбертовым пространством.
Прямой суммой S Sqv гильбертовых пространств ,gv называется,
по определению, совокупность *всех определенных на А функций
{xv}, таких, что xvQSgv для каждого v и что 2 I xv |2 < °° •
v£A
Ясно, что S становится векторным пространством, если
сложение и умножение на число определить формулами
a{xv} = {axv}, {xv} + {yv} = {xv + yv}.
Кроме того, можно определить в S <gv и скалярное произведение,
полагая
({xv}, {t/v}) = 3 {xvi Уу)>
V
этот ряд абсолютно сходится, так как
1 1
2 I (Ху, f/v) I xv | | yv I (3 I Xv I2) (3 I 4/v |2)2»
V V V V
Можно легко проверить, что свойства (I) —(V) определения 2.26
при этом выполнены.
19. Лемма. Если {$v}, — семейство гильбертовых про-
странств, то и их прямая сумма S тоже является гильбер-
товым пространством.
Доказательство. Как отмечено выше, нам осталось доказать
лишь полноту Если (v"}, п=Г, 2, ...,— фундаментальная
Приложение
949
последовательность в S $v, то ясно, что для каждого фиксиро-
ванного v, {Ху} будет фундаментальной последовательностью в Jgv,
сходящейся к некоторому элементу х°. Для произвольного
конечного подмножества л с А и произвольного натурального п
2 |^у —Xv|2— lim 2 | х™|2<Ит|{х”} — {*™}|2-
vEJt m->oo v£Jt m->oo
Отсюда вытекает, что
lim 2 I — Xv |2< lim | — {x™} I = 0,
n—>oo V Ш, П—>oo
т. e. что {%v} принадлежит S и что последовательность {x™}
сходится к {%?}, ч. т. д.
В заключение этого параграфа мы перечислим в нижеследу-
ющей лемме несколько полезных свойств ортогонального допол-
нения.
—>20. Лемма. Пусть В —некоторое подмножество Sg, a ЗЛ —
замкнутое линейное многообразие в <g. Тогда
(I) £ =
(II)
(III) ^(B)=<qQ(<qQB).
Доказательство. Равенство (I) —это просто лемма 4. Равен-
ство (II) можно доказать, заменяя ЭЛ в равенстве (I) на ^©ЭЛ.
При этом мы получим, что ^© ©ЭЛ) является не только
замкнутым подпространством ЭЛ, но и дополнительным многооб-
разием для ^©ЭЛ. Таким образом, ЭЛ — £)©(£)© ЭЛ). Для
того чтобы доказать равенство (III), заметим, что для произволь-
ного множества В Q условие, что (S, х) = 0 для некоторого
элемента х из эквивалентно условию, что (sp (23), х) = 0.
Таким образом, <§© В = $©sp (В), и равенство (III) получается
из (II) заменой ЗЛ на sp(B), ч. т. д.
Библиография
В этот список, входит литература, цитированная в обоих томах настоя-
щей книги, [Звездочкоц отмечены работы, добавленные редакторами русского
издания. Для монографий, переведенных на русский язык, указан также год
издания оригинала (на который ссылаются авторы),— Ред.]
Абдельгай (Abdelhay J.)
1. Caracterisation de 1’espace de Banach de toutes les suites de nombres
reels tendant vers zero, C. R. Acad. Sci. Paris, 229(1949),
1111—1112.
2. On a theorem of representation, Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 408-^
417.
Абель (Abel N. H.)
1. Untersuchungen fiber die Reihe:
I+Tx+—Ь2~х +-----------ПГз-----x +•" u-s- w-’
J. Reine Angew. Math., 1 (1826), 311—339.
Абрамов JI. M.
1* . Об энтропии автоморфизма соленоидальной группы, Теория вероят-
ностей и ее применения, 4, вып. 3 (1958), 249—254.
Агмон (Agmon S.), см. Мандельбройт
Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л.
1* . Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы, ИЛ,
М., 1962.
Адамар (Hadamard J.)
1. Sur les operations fonctionnelles, C. R. Acad. Sci. Paris, 136 (1903),
351—354.
Адамс (Adams C. R.)
1. The space of functions of bounded variation and certain general spaces,
Trans. Amer. Math. Soc., 40 (1936), 421—438.
Адамс и Кларксон (Adams C. R., Clarkson J. A.)
1. On definitions of bounded variation for functions of two variables,
Trans. Amer. Math. Soc., 35 (1933), 824—854.
2. Properties of functions f(x, y) of bounded variation, Trans. Amer. Math.
Soc., 36 (1934), 711—730. Исправлено там же, 46 (1939), 468.
3. On convergence in variation, Bull. Amer. Math. Soc., 40 (1934), 413—
417.
4. The type of certain Borel sets in several Banach spaces, Trans. Amer.
Math. Soc., 45 (1939), 322—334.
Адамс и Морс (Adams C. R., Morse A. P.)
1. On the space (BV), Trans. Amer. Math. Soc., 42 (1937), 194—205.
2. Continuous additive functionals on the space (BV) and certain subspaces,
Trans. Amer. Math. Soc., 48 (1940), 82—100.
Акилов Г. П.
1. О распространении линейных операций, ДАН СССР 57 (1947),
643—646.
Библиография
951
2. Необходимые условия распространимости линейных операций, ДАН
СССР, 59 (1948), 417—418.
Алаоглу (Alaoglu L.)
1. Weak topologies of normed linear spaces, Ann. of Math. (2), 41 (1940),
252—267.
2. Weak convergence of linear functionals (abstract), Bull. Amer. Math.
Soc., 44 (1938), 196.
Алаоглу и Биркгоф (Alaoglu L., Birkhoff G.)
1. General ergodic theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 25 (1939), 628—630.
2. General ergodic theorems, Ann. of Math. (2), 41 (1940), 293—309.
Александров А. Д.
1. Additive set functions in abstract spaces, I—III.
I. Машем. сб., 8 (50), (1940), 307—348.
II. Там же, 9 (51), (1941), 563—628.
III. Там же, 13 (55), (1943), 169—238.
Александров П. С.
1*. Введение в общую теорию множеств и функций, М., Гостехиздат» 1948.
Александре вП. С. и Хопф (Alexandroff Р., Hopf Н.)
1. Topologie, I. J. Springer, Berlin, 1935.
Алексевич (Alexiewicz А.)
1. On sequences of operations, I—IV.
I. Studia Math., 11 (1950), 1—30.
II. Там же, 11 (1950), 200—236.
III. Там же, 12 (1951), 84—92.
IV. Там же, 12 (1951), 93—101.
2. Linear operations among bounded measurable functions, I, II*
I. Ann. Soc. Polon. Math., 19 (1946), 140—161.
II. Там же, 19 (1946), 161—164.
3. On differentiation of vector-valued functions, Studia Math., 11 (1950),
185—196.
4. Continuity of vector-valued functions of bounded variation, Studia
Math., 12 (1951), 133—142.
5. On some theorems of S. Saks, Studia Math., 13 (1953), 18—29.
6. A theorem on the structure of linear operations, Studia Math., 14 (1953),
1 — 12 (1954).
Алексевич и Орлич (Alexiewicz A., Orlicz W.)
1. Remarks on Riemann-integration of vector-valued functions, Studia
Math., 12 (1951), 125—132.
2. On analytic vector-valued functions of a real variable, Studia Math..
12 (1951), 108—111.
3. On the differentials in Banach spaces, Ann. Soc. Polon. Math., 25 (1952),
95—99.
4. Analytic operations in real Banach spaces, Studia Math., 14 (1953),
57—78.
Альбрехт (Albrycht J.)
1. Ona theorem of Saks for abstract polynomials, Studia Math., 14 (1953),
79—81.
Альтман M. III. (Al’t m a n M. S.)
1. О базисах в пространстве Гильберта, ДАН СССР, 69 (1949), 483—485.
2. О биортогональных системах, ДАН СССР, 67 (1949), 413—416.
3 On linear functional equations in locally convex spaces, Studia Math.,
13 (1953), 194—207.
4. Mean ergodic theorem in locally convex linear topological spaces,
Studia Math., 13 (1953), 190—193. \
5. The Fredholm theory of linear equations in locally convex topological
spaces, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III., 2 (1954), 267—269.
952
Библиография
Альфорс (A h 1 f о г s L. V.)
1. Complex analysis, McGraw-Hill, New York (1953).
Амброз (Ambrose W.)
1. Structure theorems for a special class of Banach algebras, Trans. Amer.
Math. Soc., 57 (1945), 364—386.
2. Measures on locally compact topological groups, Trans. Amer. Math. Soc.,
61 (1947), 106—121.
3. Direct sum theorem for Haar measures, Trans. Amer. Math. Soc., 61
(1947), 122—127.
4. Spectral resolution of groups of unitary operators, Duke Math. J., 11
(1944), 589—595.
Андзаи и Какутани (A n z a i H., Kakutani S.)
1. Bohr compactifications of a locally compact abelian group, I, II.
I. Proc. Imp. Acad. Tokyo., 19 (1943), 476—480.
II. Там же, 19 (1943), 533—539.
Аренс (Arens R. F.)
1. Duality on linear spaces, Duke Math. J., 14 (1947), 787—794.
2. The space and convex topological rings, Bull. Amer. Math. Soc.,
52 (1946), 931—935.
3. Representation of functionals by integrals, Duke Math. J., 17 (1950),
499—506.
4. Approximation in, and representation of, certain Banach algebras,
Amer. J. Math., 71 (1949), 763—790.
5. A topology for spaces of transformations, Ann. of Math. (2), 47 (1946),
480—495.
6. On a theorem of Gelfand and Neumark, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 32
(1946), 237—239.
7. Representation of Banach *-algebras, Duke Math. J., 14 (1947), 269—282.
8. Linear topological division algebras, Bull. Amer. Math. Soc., 53 (1947),
623—630.
9. A generalization of normed rings, Pacific J. Math., 2 (1952), 455—471.
Аренс и Капланский (Arens R. F., К a p 1 a ns k у I.)
1. Topological representation of algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 63
(1948), 457—481.
Аренс и Келли (Arens R. F., Kelley J.L.)
1. Characterizations of the space of continuous functions over a compact
Hausdorff space, Trans. Amer. Math. Soc., 62 (1947), 499—508.
A p н у (A r n о u s E.)
1. Sur les groupes continus de transformations unitaires de 1’espace de
Hilbert, Comment. Math. Helv., 19 (1946), 50—60.
Ароншайн (Ar о ns z a j n N.)
1. Caracterisation metrique de 1’espace de Hilbert, des espaces vectoriels
et de certains groupes metriques, C. R. Acad. Sci. Paris, 201 (1935),
811—813, 873—875.
2. Le correspondant topologique de 1’unicite dans la theorie des equations
differentielles, Ann. of Math. (2), 43 (1942), 730—738.
3. Approximation methods for eigenvalues of completely continuous sym-
metric operators. Proceedings of the Symposium on Spectral Theory and
Differential Problems (1951), 179—202. Oklahoma Agricultural and
Mechanical College, Stillwater, Oklahoma.
4. The Rayleigh — Ritz and A. Weinstein methods for approximation of
eigenvalues, I, II, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 34 (1948), 474—480,
594—601.
5. Sur quelques problemes concernant les espaces de Minkowski et les espa-
ces vectoriels generaux, Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis.
Mat. Nat. (6), 26 (1937), 374—376.
Библиография
953
Ароншайн и Смит (Aronszajn N., Smith К. Т.)
1. Invariant subspaces of completely continuous operators, Ann. of Math
(2), 60 (1954), 345—350. [Есть русский перевод: сб. Математика,
2 : 1 (1958), 97—102.]
Артеменко А. П.
1. Общий вид линейного функционала в пространстве функций ограни-
ченной вариации, Машем, сб., 6 (48), (1939), 215—220.
2. О позитивных линейных функционалах в пространстве почти перио-
дических функций Н. Bohr’a, Харьков, Зап. матем. о-ва., (4) 16,
(1940), 111—114.
Арцела (А г z е 1 а С.)
1. Intorno alia continuity della somma di infinite funzioni continue,
Rend. dell’Accad. R. delle Sci. dell’Istituto di Bologna (1883—1884),
79—84.
2. Funzioni di linee, Atti della R. Accad. dei Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis.
Mat. Nat. (4), 5j (1889), 342—348.
3. Sulle funzioni di linee, Mem. Accad. Sci. 1st. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat.
(5), 5(1895), 55—74.
4. Sulle serie di funzioni, I, II.
I. Memorie della R. Accad. delle Sci. dell’Istituto di Bologna. Sci. Fis,
e Mat. (5), 8 (1899), 3—58.
II. Там же (5), 8 (1899), 91—134.
5. Un’osservazione intorno alle serie di funzioni, Rend. dell’Accad. R.
delle Sci. dell’Istituto di Bologna (1882—1883), 142—159.
Асколи (Ascoli G.)
1. Sugli spazi lineari metrici e leloro varieta lineari, Ann. Mat. Рига Appl.
(4), 10 (1932), 33—81, 203—232.
2. Le curve limiti di una varieta data di curve, Atti della R. Accad. dei Lin-
cei. Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (3), 18 (1883—1884), 521—586.
Аткинсон (Atkinson F. V.)
1. Symmetric linear operators on a Banach space, Monatsh. Math., 53
(1949), 278—297.
2. Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных
пространствах, Матем. сб., 28 (70), (1951), 3—14.
3. A spectral problem for completely continuous operators, Acta Math.
Acad. Sci. Hungar., 3 (1952), 53—60.
4. On relatively regular operators, Acta Sci. Math. Szeged, 15 (1953).
38—56.
5. On the second-order linear oscillator, Univ. Nac. Tucuman. Revista A.,
8 (1951), 71—87.
Ахиезер H. И.
1. Бесконечные матрицы Якоби и проблема моментов, У МН, 9 (стар,
сер.), (1941), 126—156.
Ахиезер Н. И. и Глазман И. М.
1. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Гос-
техиздат, М.—Л., 1950.
Бабенко К. И.
1. О сопряженных функциях, ДАН СССР, 62 (1948), 157—160.
Банах (Banach S.)
1. Theorie des operations lineaires, Monografje Matematyczne, Warsaw,
1932. (На украинском языке: «Курс функщонального анал!зу»,
КиТв, 1948.)
2. Ober die Baire’sche Kategorie gewisser Funktionenmengen, Studia
Math., 3 (1931), 174—179.
3. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux
equations integrates, Fund. Math., 3 (1922), 133—181.
954
Библиография
4. Sur les fonctionnelles lineaires, I, II.
I. Studia Math., 1 (1929), 211—216.
II. Там же, 1 (1929), 223—239.
5. Uber homogene Polynome in (L2), Studia Math., 7 (1938), 36—44.
6. Teorja operacyj, Warsaw, 1931.
7. Uber metrische Gruppen, Studia Math., 3 (1931), 101—113.
8. Sur la convergence presque partout de fonctionnelles lineaires, Bull,
Sci. Math. (2), 50 (1926), 27—32, 36—43.
Банах и Мазур4 (Banach S., Mazur S.)
1. Zur Theorie der linearen Dimension, Studia Math., 4 (1933), 100—112.
Банах и Сакс (Banach S., Saks S.)
1. Sur la convergence forte dans les champs LP, Studia Math., 2 (1930),
51 —57.
Банах и Штейнгауз (Banach S., Steinhaus H.)
1. Sur le principe de la condensation de singularites, Fund. Math., 9 (1927),
50—61.
Баранкин (Barankin E. W.)
1. Bounds on characteristic values, Bull. Amer. Math.Soc.,54 (1948), 728—735.
2. Bounds for characteristic roots of a matrix, Bull. Amer. Math. Soc,,
51 (1945), 767—770.
Баргман (В argman V.)
1. Remarks on the determination of a central field of force from the elastic
scattering phase shifts, Phys. Rev., 75 (1949), 301—303.
Баренблатт Г. И.
1. Об одном методе решения уравнения теплопроводности,. ДАН СССР,
72 (1950), 667—670.
Бари Н. К.
1. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве,
Учен. Зап. МГУ, 148; Математика, 4 (1951), 69—107.
2. Об устойчивости свойства полноты системы функций, ДАН СССР, 37
(1942), 99—103.
Барри (Barry J. Y.)
1. On the convergence of ordered sets of projections, Proc. Amer. Math, Soc.,
5 (1954), 313—314.
Бартл (Bartie R. G.)
1. Singular points of functional equations, Trans. Amer. Math. Soc., 75
(1953), 366—384.
2. On compactness in functional analysis, Trans. Amer. Math. Soc., 79
(1955), 35—57.
3. A general bilinear vector integral, Studia Math., 15 (1956), 337—352.
4. Implicit functions and solutions of equations in groups, Math. Zeit., 62
(1955), 335—346.
5. Newton’s method in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 6 (1955),
827—831.
Бартл и Грейвс (Bartie R. G., Graves L. M.)
1. Mappings between function spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 72 (1952),
400—413.
Бартл, Данфорд и Шварц (Bartie R. G., Dunford N.,
Schwartz J.)
1. Weak compactness and vector measures, Canadian J. Math., 7 (1955),
289—305.
Бассали (Bassali W. А.), см. Стивенсон
Батлер (Butler J. B.)
1. Perturbation series for eigenvalues of regular non-symmetric operators,
Technical Report No. 8 to the Office of Ordinance Research, Univ, of
California, Berkeley (1955).
Библиография
955
Безикович (Besicovitch A. S.)
1. Almost periodic functions, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1932.
Б e й д (Bade W. G.)
1. An operational calculus for operators with spectrum in a strip, Pacific
J. Math., 3 (1953), 257—290.
2. Unbounded spectral operators, Pacific J. Math., 4 (1954), 373—392.
3. Weak and strong limits of spectral operators, Pacific J. Math., 4 (1954),
393—413.
4. On Boolean algebras of projections and algebras of operators, Trans.
Amer. Math. Soc., 80 (1955), 345—360.
Бей д и Шварц (Bade W. G., Schwartz J.)
1. On abstract eigenfunction expansions, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
42 (1956), 519—525.
Бейкер (Baker H. F.)
1. On the integration of linear differential equations, Proc. London Math.
Soc. (1), 35 (1903), 333—378.
Б e л л (B e 1 1 R. P.)
d2
1. Eigenvalues and eigenfunctions for the operator —| x |, Philos.
Mag., 35 (1944), 385—588.
Беллман (Bellman R.)
1. A survey of the theory of the boundedness, stability and asymptotic
behavior of solutions of linear and non-linear differential and difference
equations, Office of Naval Res., Washington, D. C., 1949.
2. Теория устойчивости * решений дифференциальных уравнений,
М., ИЛ, 1954 (1953).
Беннет (Bennett А. А.)
1. Newton’s method in general analysis, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
2 (1916), 592—598.
Березанский Ю. M.
1. Об однозначности определения уравнения Шредингера по его спект-
ральной функции, ДАН СССР, 93 (1953), 5Э1—594.
2. О гиперкомплексных системах, построенных по уравнению Штурма —
Лиувилля на полуоси, ДАН СССР, 91 (1953), 1245—1248.
3*. Разложение по собственным функциям самосопряженных операто-
ров, Машем, сб., 43 (85), (1957), 75—126.
4*. Разложения по собственным функциям, Киев, 1965.
5*. Представление положительно определенных ядер через собственные
функции дифференциальных уравнений, Матем. сб., 47, 2 (1959),
145—176.
Берковиц (Berkowitz J.)
1. On the discreteness of the spectra of Sturm-Liouville operators, Disser-
tation, New York University, 1951.
Берлинг (Beurling A.)
1. Sur les integrates de Fourier absolument convergentes et leur applica-
tion a une transformation fonctionnelle. Proc. IX Congres de Math.
Scandinaves, Helsingfors (1938), 345—366.
2. Un theoreme sur les fonctions bornees et uniformement continues sur
Гахе reel, Acta Math., 77 (1945), 127—136.
3. On the spectral synthesis of bounded functions, Acta Math., 81 (1949),
225—238.
4. On two problems concerning linear transformations in Hilbert space,
Acta Math., 81 (1949), 239—255.
Бернет (Burnett D.)
1. The distribution of velocities in a slightly non-uniform gas, Proc.
London Math. Soc. (2), 39 (1935), 385—430.
956
Библиограф ия
Берри Р. Я.
1. Исследование конуса положительных элементов в полуупорядоченном
пространстве, Матем. сб., 23 (65), (1948), 419—440.
Бертон (Burton L. Р.)
1. Oscillation theorems for the solutions of linear, don-homogeneous,
second order differential systems, Pacific J. Math., 2 (1952), 281 —
289.
Бете (Bethe H. A.)
1. Theory of effective image in nuclear scattering, Phys. Rev., 76 (1949)r
38—50.
Бибербах (Bieberbach L.)
1. Lehrbuch der Funktionentheorie, vol. I, Fourth Ed., 1934; vol. II,
Second ed., 1931, Teubner, Leipzig.
Биркгоф Г. (Birkhoff G.), см. также Алаоглу
1. Orthogonality in linear metric spaces, Duke Math. J., 1 (1935), 169—
172.
2. Dependent probabilities and the space (L), Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.*
24 (1938), 154—159.
3. Теория структур, M., ИЛ, 1952 (1940).
4. Integration of functions with values in a Banach space, Trans. Amer»
Math. Soc., 38 (1935), 357—378.
5. A note on topological groups, Compositio Math., 3 (1936), 427—430.
6. On product integration, J. Math, and Phys. Mass. Inst. Tech., 16 (1937),.
104—132.
7. The mean ergodic theorem, Duke Math. J., 5 (1939), 19—20.
8. An ergodic theorem for general semi-groups, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.*
25 (1939), 625—627.
Биркгоф Г. и Мак-Лейн (Birkhoff G., MacLane S.)
1. A survey of modern algebra, Macmillan Co., New York, 1941.
Биркгоф Дж. (Birkhoff G. D.)
1. Proof of the ergodic theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 17 (1931),
656—660.
2. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differen-
tial operations containing a parameter, Trans. Amer. Math. Soc.,
(1908), 219—231.
3. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential
equations, Trans. Amer. Math. Soc., 9 (1908), 373—395.
4. Existence and oscillation theorems for a certain boundary value prob-
lem, Trans. Amer. Math. Soc., 10 (1909), 259—270.
5. Quantum mechanics and asymptotic series, Bull. Amer. Math. Soc.*
39 (1933), 681—700.
6. Note on the expansion of the Green’s function, Math. Ann., 72 (1912),
292—294.
7. Note on the expansion problems of ordinary linear differential equations,
Rend. Circ. Mat. Palermo, 36 (1913), 115—126.
8* . Collected Mathematical Papers, Vol. I—III, Princeton, 1950.
Биркгоф Дж. и Келлог (Birkhoff G. D., Kellogg O. D.)
1. Invariant points in function space, Trans. Amer. Math. Soc., 23 (1922),
96—115.
Биркгоф Дж. и Лангер (Birkhoff G. D., Langer R. E.)
1. The boundary problems and developments associated with a system of
ordinary differential equations of the first order, Proc. Amer. Acad.
Arts. Sci. (2), 58 (1923), 51 — 128.
Бирман M. ILL
1. К теории самосопряженных расширений положительно определен-
ных операторов, ДАН СССР, 91 (1953), 189—191.
Библиография
957
Бир н б аум и Орлич (Birnbaum Z. W., О г 1 i с z W.)
1. Ober die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander Konjugierten
Potenzen, Studia Math., 3 (1931), 1—67.
Блисс (Bliss G. A.)
1. A boundary value problem for a system of ordinary linear differential
equations, Trans. Amer. Math. Soc., 28 (1926), 561—589.
Блок (Block H. D.)
1. Linear transformations on or onto a Banach space, Proc. Amer. Math.
Soc., 3 (1952), 126—128.
Блюменталь (Blumenthal L. M.)
1. Generalized Euclidean space in terms of a quasi-inner product, Amer. J.
Math., 72 (1950), 686—698.
Боас M., Б oac P. и Левинсон (Boas M. L., В о a s R. P., Jr.,
Levinson N.)
1. The growth of solutions of a differential equation, Duke Math. J., 9
(1942), 847—853.
Боас P. (В о a s R. P., Jr.), см. также Боас M.
1. Some uniformly convex spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 46 (1940),
304—311.
2. Expansions of analytic functions, Trans. Amer. Math. Soc., 48 (1940),
467—487.
Боненблуст (Bohnenblust H. F.)
1. An axiomatic characterization of Lp-spaces, Duke Math. J., 6 (1940),
627—640.
2. A characterization of complex Hilbert spaces, Portugaliae Math., 3
(1942), 103—109.
3. Subspaces of lp,n spaces, Amer. J. Math., 63 (1941), 64—72.
4. Convex regions and projections in Minkowski spaces, Ann. of Math.
(2), 39 (1938), 301—308.
Боненблуст и Какутани (Bohnenblust H. F., Kaku-
tani S.)
1. Concrete representations of (Af)-spaces, Ann. of Math. (2), 42 (1941),
1025—1028.
Боненблуст и Собчик (Bohnenblust H. F., S о bcz у k A.)
1. Extensions of functionals on complex linear spaces, Bull. Amer. Math.
Soc., 44 (1938), 91—93.
Боннезен и Фенхель (Bonnesen T., Fenchel W.)
1. Theorie der konvexen Korper, Ergebnisse der Math, und ihrer Grenz-
gebiete, III, 1, J. Springer, Berlin, 1934.
Б о н с о л (Bonsall F. F.)
1. A note on subadditive functionals, J. London Math. Soc., 29
(1954), 125—126.
Бор (Bohr H.)
1. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, I—III.
I. Acta Math., 45 (1925), 29—127.
II. Там же, 46 (1925), 101—214.
III. Там же, 47 (1926), 237—281.
2. Почти-периодические функции, М.—Л., 1934 (1932).
3. On almost periodic functions and the theory of groups, Amer. Math.
Monthly, 56 (1949), 595—609.
4. A survey of the different proofs of the main theorems in the theory of
almost periodic functions, Proc. International Cong. Math., Cambridge,
1 (1950), 339—348.
Бор и Фёльнер (Bohr H., F 0 1 n e r E.)
1. On some types of functional spaces. A contribution to the theory of al-
most periodic functions, Acta Math., 76 (1944), 31—155.
958
Библиография
Б о р г (В о г g G.)
1. Uber die Stabilitat gewisser Klassen von linearen Differentialgleichun-
gen, Ark. Mat. Astr. Fys., 31A, No. 1 (1944).
2. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe Bestim-
mung der Differentialgleichung durch die Eigenwerte, Acta Math., 78
(1946), 1—96.
3. Inverse problems in the theory of characteristic values of differential
systems, C. R. Dixieme Congres Math. Scandinaves, Copenhagen,
1946.
4. On the completeness of some sets of functions, Acta Math., 81 (1949),
266—283.
5. On a Liapounoff criterion of stability, Amer. J. Math., 71 (1949),
67—70.
6. Ober die Ableitung der S-Funktion, Math. Ann., 122 (1950—1951),
326—331.
7. On the point spectra of */" + (% — 7(x))r/=0, Amer. J. Math., 73
(1951), 122—126.
Борель (Borel E.)
1. Sur 1’equation adjointe et sur certains systemes d’equations differentiel-
les, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3), 9 (1892), 63—90.
Боте (Botts, Truman)
1. On convex sets in linear normed spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 48
(1942), 150—152.
2. Convex sets, Amer. Math. Monthly, 49 (1942), 527—531.
Бохер (В ocher M.)
1. On regular singular points of linear differential equations of the second
order whose coefficients are not necessarily analytic, Trans. Amer. Math
Soc., 1 (1900), 40—52.
2. Green’s functions in spaces of one dimension, Bull. Amer. Math. Soc.,
7 (1901), 297—299.
3. Boundary problems and Green’s functions for linear differential and
difference equations, Ann. of Math. (2), 13 (1911), 71—88.
4. Applications and generalisations of the concept of adjoint system, Trans.
Amer. Math. Soc., 14 (1913), 403—420.
5. Lemons sur les methodes de Sturm, Gauthier-Villars, Paris, 1917.
Бохнер (Bochner S.)
1. Completely monotone functions in partially ordered space, Duke Math. J.,
9 (1942), 519—526.
2. Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vector-
raumes sind, Fund. Math., 20 (1933), 262—276.
3. Additive set functions on groups, Ann. Math. (2), 40 (1939), 769—799.
4. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Ann.,
96 (1927), 119—147.
5. Absolut-additive abstrakte Mengenfunktionen, Fund. Math., 21 (1933),
211—213.
6. Vorlesungen uber Fouriersche Integrate, Akad. Verlag., Leipzig, 1932.
7. Spektraldarstellung linearer Scharen unitarer Operatoren, S.-B. Preuss.
Akad. Wiss. (1933), 371—376.
8. Inversion formulae and unitary transformations, Ann. of Math. (2), 35
(1934), 111—115.
Бохнер и Дж. фон Нейман (Bochner S., von Neumann J.)
1. Almost periodic functions in groups, II, Trans. Amer. Math. Soc.,
37 (1935), 21—50.
Бохнер и Тейлор (Bochner S., Taylor A. E.)
1. Linear functionals on certain spaces of abstractly-valued functions,
Ann. of Math. (2), 39 (1938), 913—944.
Библиография
959
Бохнер и Фань Ку (Bochner S., Fan К.)
1. Distributive order-preserving operations in partially ordered vector sets,
Ann. of Math. (2), 48 (1947), 168—179.
Бохнер и Филлипс (Bochner S., Phillips R. S.)
1. Additive set functions and vector lattices, Ann. of Math. (2), 42 (1941),
316—324.
2. Absolutely convergent Fourier expansions for non-commutative normed
rings, Ann. of Math. (2), 43 (1942), 409—418.
Браудер (Browder F. E.)
1. The Dirichlet problem for linear elliptic equations of arbitrary even
order with variable coefficients, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,38 (1952),
230—235.
2. The Dirichlet and vibration problems for linear elliptic differential
equations of arbitrary order, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 38 (1952),
741—747.
3. Assumption of boundary values and the Creen’s function in the Dirichlet
problem for the general linear elliptic equation, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 39 (1953), 179—184.
4. Linear parabolic differential equations of arbitrary order; general boun-
dary-value problems for elliptic equations, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
39 (1953), 185—190.
5. Strongly elliptic systems of differential equations. Contributions to the
theory of partial differential equations, 15—51, Ann. of Math. Studies,
No. 33, Princeton, 1954.
6. On the eigenfunctions and eigenvalues of the general linear elliptic dif-
ferential operator, Proc. Nat. Acad. Sci., 39 (1953), 433—439.
7. The eigenfunction expansion theorem for the general self-adjoint sin-
gular elliptic partial differential operator. I. The analytical foundation,
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 40 (1954), 454—459.
8. Eigenfunction expansions for singular elliptic operators. II. The Hil-
bert space argument; parabolic equations on open manifolds, Proc.
Nat. Acad. Sci. U.S.A., 40 (1954), 459—463.
9* . Functional analysis and partial differential equations I, Math. Ann.,
138 (1959), 55—79. [Есть русский перевод: сб. Математика, 4 : 3
(1960), 79—106.]
Браун (Brown А.)
1. On a class of operators, Proc. Amer. Math. Soc., 4 (1953), 723—
728.
2. The unitary equivalence of binormal operators, Amer. J. Math., 76,
(1954) 414—434.
Брауэр (Brauer A.)
1. Limits for the characteristic roots of a matrix, Duke Math. J., 13 (1946),
387—394.
Брауэр и Вейль (Brauer R., W e у 1 H.)
1. Spinors in n dimensions, Amer. J. Math., 57 (1935), 425—449.
Брей (Bray H. E.)
1. Elementary properties of the Stieltjes integral, Ann. of Math. (2), 20
(1918—1919), 177—186.
Брейс (Brace J. W.)
1. Transformations on Banach spaces, Dissertation, Cornell University
(1953).
2. Compactness in the weak topology, Math. Mag., 28 (1955), 125—134.
Брело (В relot M.)
1. Sur 1’approximation et la convergence dans la theorie des fonctions
harmoniques ou holomorphes, Bull. Soc. Math. France, 73 (1945),
71—73.
960
Библиография
Брем (В г a m J.)
1. Subnormal operators, Duke Math. J., 22 (1955), 75—94.
Бриллюэн (Brillouin L.)
1. La mecanique ondulatoire de Schrodinger; une methode generale de
resolution par approximations successives, C. R. Acad. Set. Paris, 183,
(1926), 24—26.
Бродский M. С. и Лившиц M. С.
1. Спектральный анализ несамосопряженных операторов и промежу-
точные системы, У МН, 13, вып. 1 (79), (1958), 1—85.
Бродский М. С. и Мильман Д. П.
1. О центре выпуклого множества, ДАН СССР, 59 (1948), 837—840.
Броун (Browne Е. Т.)
1. Limits to the characteristic roots of a matrix, Amer. Math. Monthly,
46 (1939), 252—265.
Броуэр (Brouwer L. E. J.)
1. Ober eineindeutige, stetige Transformationen von Flachen in sich,
Math. Ann., 69 (1910), 176—180.
Буняковский В. Я.
1. Sur quelques inegalites concernant les integrates ordinaires et les inte-
grates aux differences finies, Mem. Acad. St. Petersburg (7) 1, No.9 (1859).
Бурбаки (Bourbaki N.)
1. Sur les espaces de Banach, C. R. Acad. Sci. Paris, 206 (1938), 1701 —1704.
2. Элементы математики, т. 5. Топологические векторные пространства,
ИЛ, М., 1959 (1953, 1955).
3. Sur certains espaces vectoriels topologiques, Ann.Inst. Fourier Grenoble,
2 (1950), 5—16.
4. Elements de mathematique, Livre VI, Integration. Hermann et Cie,
Act. Sci. et Ind., 1175, Paris, 1952.
5. Elements de mathematique, Livre III, Topologie generate. Hermann et
Cie, Act. Sci. et Ind., 858, 916, 1029, 1045, 1084, Paris, 1940—1949.
(В русском переводе вышли главы I—III и IV—VIII:
Общая топология. Основные структуры, М., Физматгиз, 1958.
Общая топология. Числа и связанные с ними группы и пространства,
М., Физматгиз, 1959.)
Бурга (Burgat Р.)
1. Resolutions de problemes aux limites au moyen de transformations fonc-
tionnelles, Dissertation, Universite de Neuchatel, Lausanne, 1950.
$ Resolution de problemes aux limites au moyen de transformations fonc-
tionnelles, Z. Angew. Math. Physik., 4 (1953), 146—152.
Буржен (Bourgin D. G.)
1. Some properties of Banach spaces, Amer. J. Math., 64 (1942), 597—612.
2. Linear topological spaces, Amer. J. Math., 65 (1943), 637— 649.
Буркхардт (Burkhardt H.)
1. Sur les fonctions de Green relatives a une domaine d’une dimension,
Bull. Soc. Math. France, 22 (1894), 71—75.
Бухгейм (Buchheim A.)
1. An extension of a theorem of Professor Sylvester’s relating to matrices,
Phil. Mag. (5), 22 (1886), 173—174.
Важевский (Wazewsky T.)
1. Sur 1’evaluation du domaine d’existence des fonctions implicites dans
le cas des espaces abstraits, Fund. Math., 37 (1950), 5—24.
Вайнбергер (Weinberger H. F.)
1. An optimum problem in the Weinstein method for eigenvalues, Pacific
J. Math., 2 (1952), 413—418.
2. Error estimation in the Weinstein method for eigenvalues, Proc. Amer.
Math. Soc., 3 (1952), 643—646.
Библиография
961
3. An extension of the classical Sturm-Liouville theory, Duke Math. J,,
22 (1955), 1 — 14.
Вайнштейн (W einstein A.)
1. Quantitative methods in Sturm-Liouville theory. Proc. Symposium on
Spectral Theory and Differential Problems (1951), Oklahoma Agricul-
tural and Mechanical College, Stillwater, Oklahoma.
Ван дер Варден (van der Waerden B. L.)
1. Современная алгебра, Гостехиздат, M.— Л., 1947 (1930, 1931).
Ван Данциг (van Dantzig D.), см. Данциг
Ван Кампен (van Kampen Е. R.), см. К а м п е н
Варшавский (W arschawski S. Е.), см. Г албрайт
Васильков Д. А.
1. Частично упорядоченные линейные системы банахова пространства
и системы функций, ДАН СССР, 35 (1942), 148—151.
2. Классификация упорядочений линейных систем, ДАН СССР, 39
(1943), 175—178.
3. On the theory of partially ordered linear systems and linear spaces,
Ann. of Math., 44 (1943), 580—609.
4. Упорядочения абстрактных множеств и линейных систем, Изв. АН
СССР, сер. машем., 7 (1943), 203—236.
Веблен (Veblen О.)
1. Invariants of quadratic differential forms, Cambridge Univ. Press,
London, 1933.
Веддерберн (W edderburn J. H. M.)
1. Lectures on matrices, Amer. Math. Soc. Colloq. Pub. 17, New York, 1934.
Вейерштрасс (Weierstrass K.)
1. Mathematische Werke, Band 1, Mayer und Miiller, Berlin, 1894.
2. Mathematische Werke, Band 3, Mayer und Miiller, Berlin, 1903.
Вейль A. (W e i 1 A.)
1. Интегрирование в топологических группах и его применения, М.,
ИЛ, 1950 (1940).
2. Sur les fonctions presque periodiques de von Neumann, C. R. Acad. Sci.
Paris, 200 (1935), 38—40.
3. Sur les groupes topologiques et les groupes mesures, C. R. Acad. Sci.
Paris, 202 (1936), 1147—1149.
Вейль Г. (W e у 1 H.), см. также Петер, Брауэр.
1. Inequalities between the two kinds of eigenvalues of a linear transfor-
mation, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 35 (1949), 408—411.
2. Uber beschrankte quadratische Formen, deren Differenz vollstetig ist,
Rend. Circ. Mat. Palermo, 27 (1909), 373—392.
3. Raum, Zeit , Materie. Vierte Aufl., J. Springer, Berlin, 1921.
4. Ramifications, old and new, of the eigenvalue problem, Bull. Amer.
Math. Soc., 56 (1950), 115—139.
5. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die
zugehorigen Entwicklungen willkiirlicher Funktionen, Math. Ann., 68
(1910), 220—269.
6. Almost periodic invariant vector sets in a metric vector space, Amer.
J. Math., 71 (1949), 178—205.
7. Uber gewohnliche lineare Differentialgleichungen mit singularen Stel-
len und ihre Eigenfunktionen, Nachr. Acad. Wiss. Gottingen. Math.-
Phys. KI. (1909), 37—64.
8. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit singularen Stellen und
ihre Eigenfunktionen, Nachr. Acad. Wiss. Gottingen. Math.-Phys. KI-
(1910), 442—467.
9. The method of orthogonal projection in potential theory, Duke Math. J.,
7 (1940), 411—444.
61 Заказ № 134
962
Библиография
10. Классические группы, их инварианты и представления, Гостехиздат,
М., 1947 (1939).
11. Theorie der Darstellungen kontinuierlicher Halb-einfachen Gruppen
durch lineare Transformationen III, Math. Z., 24 (1926), 377—395.
Вейр (W e у r E.)
1. Note sur la theorie des quantites complexes formees avec n unites princi-
pals, Bull. Sci. Math. (2), 11 (1887), 205—215.
В e к к e н (W e c k e n F. J.)
1. Zur Theorie linearer Operatoren, Math. Ann., 110 (1935), 722—725.
2. Unitarinvarianten selbstadjugierter Operatoren, Math. Ann., 116
(1939), 422—455.
Вентцель (W e n t z e 1 G.)
1. Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen fiir die Zwecke der
Wellenmechanik, Zeit. fiir Physik., 38 (1926), 518—529.
Вестфаль (W estfallj.)
1. Zur Theorie der Integralgleichungen, Dissertation, Gottingen, 1905.
Вехаузен (W ehausen J. V.)
1. Transformations in linear topological spaces, Duke Math. J., 4 (1938),
157—169.
2. Transformations in metric spaces and ordinary differential equations,
Bull. Amer. Math. Soc., 51 (1945), 113—119.
В и гм а н (Wiegmann N. A.)
1. A note on infinite normal matrices, Duke Math. J., 16 (1949), 535—538.
Видав (V i d a v I.)
1. Uber eine Vermutung von Kaplansky, Math. Z., 62 (1955), 330.
В и л а н д т (W i e 1 a n d t H.)
1. Eigenwerttheorie. Naturforschung und Medizin in Deutschland
1939—1946, Band 2, 85—98. Dieterich’sche Verlagsbuchhandlung,
Wiesbaden, 1948.
2. Ober die unbeschranktheit der Operatoren der Quantenmechanik, Math.
Ann., 121 (1949), 21.
Виланский (W i 1 a n s k у A.)
1. The basis in Banach space, Duke Math. J., 18 (1951), 795—798.
2. An application of Banach linear functionals to summability, Trans.
Amer. Math. Soc., 67 (1949), 59—68.
Вильямсон (W i 1 1 i a m s о n J. H.)
1. Spectral representation of linear transformations in co, Proc. Cambridge
Philos. Soc., 47 (1951), 461—472.
2. Linear transformations in arbitrary linear spaces, J. bond. Math. Soc.,
28 (1953), 203—210.
3. Compact linear operators in linear topological spaces, J. bond. Math.
Soc., 29 (1954), 149—156. (Есть русский переврд: сб. Математика,
4 : 5 (1960), 85—91.)
4. On topologising the field C(t), Proc. Amer. Math. Soc., 5 (1954),
729—734.
В и н д а у (W i n d a u W.)
1. Ober lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung mit singularitaten
und die dazugehorigen Darstellungen willkiirlicher Funktionen, Math.
Ann., 83 (1921), 256—279.
Винер (Wiener N.), см. также Пэли
. . 1. Limit in terms of continuous transformation, Bull, de la Soc. Math,
de France, 50 (1922), 119—134.
2. Note on a paper of M. Banach, Fund. Math., 4 (1923), 136—143.
3. The ergodic theorem, Duke Math. J., 5 (1939), 1—18.
4. Интеграл Фурье и некоторые его приложения, Физматгиз, М., 1963.
5. Tauberian theorems, Ann. of Math. (2), 33 (1932), I—100.
Библиография
963
6. Generalized harmonic analysis, Acta Math., 55 (1930), 117—285.
7. The average value of a functional, Proc. London Math. Soc. (2), 22 (1924),
454—467.
8. Differential space, J. Math. Phys. Mass. Inst. Tech., 2 (1923), 131—174.
Винер и Уинтнер (Wiener N., W i n t n e r A.)
1. Harmonic analysis and ergodic theory, Amer. J. Math., 63 (1941),
415—426.
Виноградов А. А., см. Крачковский С. H.
Винокуров В. Г.
1. О биортогональных системах, проходящих через заданные подпро-
странства, ДАН СССР, 85 (1952), 685—687.
Виртингер (W i г t i n g e r W.)
1. Beitrage zu Riemann’s Integrationsmethode fur hyperbolische Diffe-
rentialgleichungen, und deren Anwendungen auf Schwingungsprobleme,
Math. Ann., 48 (1897), 365—389.
Виссер (Visser C.)
1. On the iteration of linear operations in a Hilbert space, Neder. Akad.
Wetensch. Proc., 41 (1938), 487—495.
2. Note on linear operators, Neder. Akad. Wetensch. Proc., 40 (1937),
270—272.
Виссер и Заанен (Visser C., Z a a nen A. C.)
1. On the eigenvalues of compact linear transformations, Neder. Akad.
Wetensch. Proc., Ser. A, 55 (1952), 71—78.
Витали (Vitali G.)
1. Suite funzioni integrali, Atti R. Accad. delle Sci. di Torino, 40 (1905),
753—766.
2. Sull’integrazione per serie, Rend. del. Circolo Mat. di Palermo, 23 (1907),
137—155.
В и т т и х (W i t t i c h H.)
1. Uber das Anwachsen der Losungen linearer Differentialgleichungen,
Math. Ann., 124 (1952), 277—288.
В и ш и к М. И.
1. Линейные расширения операторов и краевые условия, ДАН СССР,
65 (1949), 433—436.
2. О линейных краевых задачах для дифференциальных уравнений,
ДАН СССР, 65 (1949), 785—788.
3. Об общем виде разрешимых краевых задач для однородного и неодно-
родного эллиптического уравнения, ДАН СССР, 82 (1952), 181—184.
4. Метод ортогональных и прямых разложений в теории эллиптических
дифференциальных уравнений, Матем. сб., 25 (67), (1949), 189—234.
5. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений,
Матем. сб., 29 (71), (1951), 615—676.
Волмэн (Wallman Н.), см. Гуревич У.
Вольтерра (Volterra V.)
1. Theory of functionals. Blackie and Sons, London and Glasgow,
1930.
Вот (Vaught R. L.), см. Келли
В у л и x Б. 3., см. также Канторович Л. В.
1. Определение произведения в линейном полуупорядоченном про-
странстве, ДАН СССР, 26 (1940), 847—851.
2. Свойства произведения и обратного элемента в линейных полуупоря-
доченных пространствах, ДАН СССР, 26 (1940), 852—856.
3. О линейных пространствах с заданной сходимостью, Учен. зап.
ЛГУ, 10 (1940), 40—63.
4. Интеграл Стильтьеса для функций со значениями в полуупорядочен-
ных пространствах, Учен. зап. ЛГУ, сер. матем., 12 (1941), 3—29.
61*
964
Библиография
5. О линейных функционалах и линейных полуупорядоченных про-
странствах, ДАН СССР, 52 (1946), 95—98.
6. О линейных мультипликативных операциях, ДАН СССР, 52 (1946),
387—390.
7. О некоторых нелинейных операциях в линейных полуупорядочен-
ных пространствах, ДАН СССР, 52 (1946), 479—482.
8. Конкретное представление линейных полуупорядоченных прост-
ранств, ДАН СССР, 58 (1947), 733—736.
9. Произведение в линейных полуупорядоченных пространствах и его
применение к теории операций, ч. 1, Матем. сб., 22 (64), (1948),
27—78.
10. Произведение в линейных полуупорядоченных пространствах и его
применение к теории операций, ч. 2, Матем. сб., 22 (64), (1948),
267—317.
11. О конкретном представлении полуупорядоченных линеалов, ДАН
СССР, 78 (1951), 189—192.
12. Sur les formes generales de certaines operations lineaires, Матем. сб.,
2 (44), (1937), 275—305.
13. Sur les operations lineaires dans 1’espace des fonctions sommables,
Mathematica, Cluj., 13 (1937), 40—54.
14. On a generalized notion of convergence in a Banach space, Ann. of
Math. (2), 38 (1937), 156—174.
15. Некоторые вопросы теории линейных полуупорядоченных множеств,
Изв. АН СССР, сер. матем., 17 (1953), 365—388.
Вульф (W о 1 f F.)
1. Analytic perturbation of operators in Banach spaces, Math. Ann., 124
(1952), 317—333.
2. Simplicity of spectra in general operators (abstract), Bui. Amer. Math.
Soc., 60 (1954), 345.
Вульфсон (Wolfson K.)
1. On the spectrum of a boundary value problem with two singular end-
points, Amer. J. Math., 72 (1950), 713—719.
2. On the separation of spectra, Proc. Amer. Math. Soc., 4 (1953), 408—409.
Гавурин M. K.
1. Об оценках собственных чисел и векторов возмущенного оператора,
ДАН СССР, 76 (1951), 769—770.
2. Об оценках для собственных чисел и векторов возмущенного опера-
тора, ДАН СССР, 96 (1954), 1093—1095.
3. О точности приближенных методов разыскания собственных чисел
интегральных операторов, ДАН СССР, 97 (1954), 13—15.
4. Uber die Stieltjessche Integration abstrakter Funktionen, Fund. Math.,
27 (1936), 255—268.
Г а г a e в Б. M.
1. О сходимости в банаховских пространствах, У МН, 3, вып. 5 (27),
(1948), 171—173.
Г а й н ц (Heinz Е.)
1. Beitrage zur Stdrungstheorie der Spektralzerlegung, Math. Ann., 123
(1951), 415—438.
2. Ein v. Neumannscher Satz fiber beschrankte Operatoren im Hilbertschen
Raum, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. KI., (1952),
5—6.
3. Zur Theorie der Hermiteschen Operatoren des Hilbertschen Raumes,
Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.-Phys. KI., № 2 (1951), 4.
4. On an inequality for linear operators in a Hilbert space. Report on
Operator Theory and Group Representations, Pub. № 387, Nat.
Acad. Sci. USA, (1955), 27—29.
Библиография
965
5. Zur Frage der Differenzierbarkeit der S-Funktion, Math. Ann., 122
(1950), 332—333.
Гал (Gal I. S.)
1. Sur la methode de resonance et sur un theoreme concernant des espaces de
type (B), Anti. Inst. Fourier Grenoble, 3 (1951), 23—30.
2. The principle of condensation of singularities, Duke Math. J., 20 (1953),
27—35.
3. On sequences of operations in complete vector spaces, Amer. Math,
Monthly, 60 (1953), 527—538.
Галбрайт и Варшавский (Galbraith A. S., War-
schawski S. E.)
1. The convergence of expansions resulting from a self-adjoint boundary
problem, Duke Math. J., 6 (1940), 318—340.
Гальперин (Halperin I.), см. также Эллис
1. Function spaces, Canadian J. Math., 5 (1953), 273—288.
2. Convex sets in linear topological spaces, Trans. Roy. Soc. Canada, Sec.
Ill, 47 (1953), 1—6.
3. Uniform convexity in function spaces, Duke Math. J., 21 (1954), 195—
204.
4. Reflexivity in the/Л function spaces, Duke Math. J., 21 (1954), 205—208.
5. Closures and adjoints of linear differential operators, Ann. of Math. (2),
38 (1937), 880—919.
Гамбургер (Hamburger H. L.)
1. Five notes on a generalization of quasi-nilpotent transformations in
Hilbert space, Proc. London Math. Soc. (3), 1 (1951), 494—512.
2. On a new characterization of self-adjoint differential operators in the
Hilbert space L2, Proc. Symposium on Spectral Theory and Differential
Problems, 229—247 (1951). Oklahoma A. and M. College, Stillwater,
Oklahoma.
3. Remarks on self-adjoint differential operators, Proc. London Math. Soc.
(3), 3 (1953), 446—463.
4. Uber die Zerlegung des Hilbertschen Raumes durch vollstetige lineare
Transformationen, Math. Nachr., 4 (1951), 56—69.
5. Contributions to the theory of closed Hermitian transformations of
deficiency index (m, m), Ann. of Math. (2), 45 (1944), 59—99.
6. Contributions to the theory of closed Hermitian transformations of
deficiency index (m, m), Quart. J. Math. Oxford, 13 (1942), 117—128.
7. Hermitian transformations of deficiency index (1, 1), Jacobi matrices
and undetermined moment problems, Amer. J. Math., 66 (1944), 489—522.
8. On a class of Hermitian transformations containing self-adjoint dif-
ferential operators, Ann. of Math. (2), 47 (1946), 667—687.
Гамбургер и Гримшоу (Hamburger H. L., Grimshaw
M. E.)
1. Linear transformations in n-dimensional vector space, Cambridge Univ.
Press, 1951.
Гам е л ь (Hamel G.)
1. Uber lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit periodischen
Koeffizienten, Math. Ann., 73 (1913), 371—412.
Гантмахер В. P.
1. Uber schwache totalstetige Operatoren., Матем. сб., 7 (49), (1940),
301—308.
Гантмахер В. P. и Шмульян В. Л.
1. О линейных пространствах, единичная сфера которых слабо компакт-
на, ДАН СССР, 17 (1937), 91—94.
2. О слабой компактности в пространстве Банаха, Матем. сб., 8 (50),
(1940), 489—492.
966
Библиография
Гантмахер Ф. Р.
1*. Теория матриц, М., Гостехиздат, 1953.
Гантмахер Ф. Р. и Крейн М. Г.
1*. Осцилляционные матрицы и малые колебания механических систем,
М., Гостехиздат, 1950.
Гарабедян (Garabedian Р. R.)
1. The classes Lp and conformal mapping, Trans. Amer. Math. Soc., 69
(1950), 392—415.
Гарабедян иШ и*ф ман (Garabedian Р. R., S h i f f m a n M.)
1. On solution of partial differential equations by the Hahn-Banach theo-
rem, Trans. Amer. Math. Soc., 76, (1954), 288—299.
Га p то г с и Розенталь (Hartogs F., Rosenthal A.)
1. Uber Folgen analytischer Funktionen, Math. Ann., 104 (1931), 606—610.
Гасымов M. Г., см. Левитан Б. M.
Г а у пт (Haupt O.)
1. Uber lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit
periodischen Koeffizienten, Math. Ann., 79 (1918), 278—285.
Гёдель (Godel K.)
1. The consistency of the continuum hypothesis, Ann. of Math. Studies,
№ 3, Princeton Univ. Press, Princeton, 1940.
2. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und ver-
wandter Systeme, I, Monatsh. fur Math. u. Physik, 38 (1931), 173—
198.
Гейл (Gale D.)
1. Compact sets of functions and function rings, Proc. Amer. Math. Soc.t
1 (1950), 303—308.
Гельбаум (Gelbaum B. R.)
1. Expansions in Banach spaces, Duke Math. J., 17 (1950), 187—196.
2. A nonabsolute basis for Hilbert space, Proc. Amer. Math. Soc., 2 (1951),
720—721.
Г ё л ь д е р (Н 6 1 d er Е.)
1. Uber die Vielfachheiten gestorter Eigenwerte, Math. Ann., 113 (1936),
620—628.
2. Uber einen Mittelwertsatz, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys.
Ki., (1889), 38—47.
Гельфанд И. M.
1. Normierte Ringe, Матем. сб., 9 (51), (1941), 3—24.
2. Abstrakte Funktionen und lineare Operatoren, Матем. сб., 4 (46),
(1938), 235—286.
3. Ideale und primare Ideale in normierten Ringen, Матем. сб., 9 (51),
(1941), 41—48.
4. Zur Theorie der Charaktere der Abelschen topologischen Gruppen,
Матем. сб., 9 (51), (1941), 49—50.
5. Uber absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale,
Матем, сб., 9 (51), (1941), 51—66.
6. Замечание к работе Н. К. Бари «Биортогональные системы и базисы
в гильбертовом пространстве», Учен. зап. МГУ, 148; Математика,
4 (1951), 224—225.
7* . Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими
коэффициентами, ДАН СССР, 73 (1950), 1117—1120.
Гельфанд И. М. и Колмогоров А. Н.
1. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах,
ДАН СССР, 22 (1939), 11—15.
Гельфанд И. М. и Костюченко А. Г.
1. Разложение по собственным функциям дифференциальных и других
операторов, ДАН СССР, 103 (1955), 349—352.
Библиография
967
Гельфанд И. М. и Левитан Б. М.
1. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной
функции, Изв. АН СССР, сер. матем., 15 (1951), 309—360.
2. Об одном простом тождестве для собственных значений дифферен-
циального оператора второго порядка, ДАН СССР, 88 (1953), 593—596.
Гельфанд И. М. и Наймарк М. А.
1. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert
space, Матем. сб., 12 (54), (1943), 197—213.
2. Нормированные кольца с инволюцией и их представления, Изв.
АН СССР, сер. матем., 12 (1948), 445—480.
3. Унитарные представления классических групп, Труды МИАН, 36
(1950), 1—288.
Гельфанд И. М. и Райков Д. А.
1. К теории характеров коммутативных топологических групп, ДАН
СССР, 28 (1940), 195—198.
2. Неприводимые унитарные представления локально бикомпактных
групп, Матем. сб., 13 (55), (1943), 301—316.
Гельфанд И. М., Райков Д. А. и Шилов Г. Е.
1*. Коммутативные нормированные кольца, У МН, 1 : 2 (12), (1946), 48—146.
2*. Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, М., 1960.
Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е.
1. Uber verschiedene Methoden der Einfiihrung der Topologie in die Menge
der maximalen Ideale eines normierten Ringes, Матем. сб., 9 (51),
(1941), 25—40.
2*. Обобщенные функции. Вып. 1. Обобщенные функции и действия над
ними. Вып. 2. Пространства основных и обобщенных функций. Вып. 3.
Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М., Физ-
матгиз, 1958.
Гельфанд И. М. и Яглом А. М.
1. Интегрирование в функциональных пространствах и его применения
в квантовой физике, У МН, 11, вып. 1 (67), (1956), 77—114.
Г_е р г л от ц (Н е г g 1 о t z G.)
1. Uber Potenzreihen mit positivem, reellem Teil im Einheitskreis, S.-B.
Sachs. Akad. Wiss., 63 (1911), 501—511.
2. Uber die Integration linearer, partieller Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten, I—IV.
I. S.-B. Sachs. Akad. Wiss., 78 (1926), 93—126.
II. Там же, 78 (1926), 287—318.
III. Там же, 80 (1928), 69—114.
IV. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 6 (1928), 189—197.
Г e p ш г о p и н С. A.
1* . Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix, Изв. АН СССР,
отд. физ.-мат. наук, 1931, 749—754.
Г и л ь б (Н i 1 b Е.)
1. Uber die Auflosung von Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten,
S.-B. Phys. Med. Soz. Erlangen, (1908), 84—89.
2. Uber Integraldarstellung willkiirlicher Funktionen, Math. Ann., 66
(1909), 1—66.
3. Uber Reihenentwickelung nach den Eigenfunktionen linearer Differen-
tialgleichungen 2ter Ordnung, Math. Ann., 71 (1911), 76—87.
4. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die
dazugehorigen Entwickelungen willkiirlicher Funktionen, Math. Ann.,
76 (1915), 333—339.
Г и л ь б и Сас (Hilb Е., Szasz О.)
1. Allgemeine Reihenentwicklungen, Encycklopadie der Math. Wiss.,
II C 11 (1922), 1229—1276.
968
Библиография
Гильберт (Hilbert D.), см. также Курант
1. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen.
I. Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. KI. (1904), 49—91.
II. Там же (1905), 213—259. III. Там же (1905), 307—338. IV. Там же
(1906), 157—227. V. Там же (1906), 439—480. VI. Там же (1910),
355—417.
Гильдебрандт (Hildebrandt Т. Н.)
1. On unconditional convergence in normed vector spaces, Bull. Amer. Math.'
Soc., 46 (1940)> 959—962.
2. On uniform limitedness of sets of functional operations, Bull. Amer.
Math. Soc., 29 (1923), 309—315.
3. On bounded functional operations, Trans. Amer. Math. Soc., 36 (1934),
868—875.
4. Integration in abstract spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 59 (1953), 111 —
139.
5. Lebesgue integration in general analysis (Abstract), Bull. Amer. Math.
Soc., 33 (1927), 646.
6. Ober vollstetige lineare Transformationen, Acta Math., 51 (1928), 311 —
318.
7. Linear operations on functions of bounded variation, Bull. Amer. Math.
Soc., 44 (1938), 75.
8. On the moment problem for a finite interval, Bull. Amer. Math. Soc.,
38 (1932), 269—270.
9. Convergence of sequences of linear operations, Bull. Amer. Math. Soc.,
28 (1922), 53—58.
Гильдебрандт и Грейвс (Hildebrandt T. H., Gra-
ves L. M.)
1. Implicit functions and their differentials in general analysis, Trans.
Amer. Math. Soc., 29 (1927), 127—153.
Гильдебрандт и Шёнберг (Hildebrandt T. H., Scho-
enberg I. J.)
1. On linear functional operations and the moment problem for a finite
interval in one or several dimensions, Ann. of Math. (2), 34 (1933),
317—328.
Гл аз м а н И. М., см. также Ахиезер Н. И.
1. К теории сингулярных дифференциальных операторов, У МН, 5,
вып. 6 (40), (1950), 102—135.
2. Об индексе дефекта дифференциальных операторов, ДАН СССР, 64
(1949), 151—154.
3. О спектре линейных дифференциальных операторов, ДАН СССР,
80 (1951), 153—156.
4. О характере спектра одномерных сингулярных краевых задач, ДАН
СССР, 87 (1952), 5—8.
5* . О характере спектра многомерных сингулярных краевых задач,
ДАН СССР, 87 (1952), 171 — 174.
6* . Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных
дифференциальных операторов, «Наука», М., 1963.
Гливенко В. И.
1. Интеграл Стильтьеса, М.— Л., Гостехиздат, 1936.
Гликсберг (Glicksberg I.)
1. The representation of functionals by integrals, Duke Math. J., 19 (1952),
253—261.
Гобсон (Hobson E. W.)
1. The theory of functions of a real variable. (Two volumes.) Second edi-
tion, Cambridge Univ. Press, 1921, 1926.
2. On a general convergence theorem, and the theory of the representation
Библиография
969
of a function by a series of normal functions, Proc. Lond. Math.
Soc. (2), 6 (1908), 349—395.
Год м а н (Go d em en t R.), см. также Карта н ^A.
1. Theoremes tauberiens et theorie spectrale, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup,
(3), 64 (1947), 119—138.
2. Les fonctions de type positif et la theorie des groupes, Trans. Amer.
Math. Soc., 63 (1948), 1—84.
3. Sur la theorie des representations unitaires, Ann. of Math. (2), 53 (1951),
68—124.
4. Memoire sur la theorie des caracteres dans les groupes localement
compacts unimodulaires, J. Math. Pures Appl., 30 (1951), 1—110.
5. Sur une generalisation d’un theoreme de Stone, C. R. Acad. Set. Paris f
218 (1944), 901—903.
Голдстайн (Goldstine H. H.)
1. Weakly complete Banach spaces, Duke Math. J., 4 (1938), 125—
131.
2. The theorem of Hildebrandt, Studia Math., 7 (1938), 157—158.
Гольдман M. А., см. Крачковский С. H.
Гольдман M. А. и Крачковский С. H.
1. О нуль-элементах линейного оператора в его области Фредгольма,
ДАН СССР, 86 (1952), 15—17.
Гомес (Gomes А. Р.), см. Дьёдонне
Гординг (Garding L.)
1. Linear hyperbolic partial differential equations with constant coeffi-
cients, Acta. Math., 85 (1950), 2—62.
2. Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations,
Math. Scand., 1 (1953), 55—72.
3. Le probleme de Dirichlet pour les equations aux derivees partielles
elliptiques lineaires dans des domaines bornes, C. R. Acad. Sci. Paris,
233 (1951), 1554—1556.
4. Dirichlet’s problem and the vibration problem for linear elliptic par-
tial differential equations with constant coefficients, Proc. Symposium
Spectral Theory and Differential Problems, 291—301. Oklahoma
Agricultural and Mechanical College, Stillwater, Oklahoma, 1951.
5. L’inegalite de Friedrichs et Lewy pour les equations hyperboliques
lineaires d’ordre superieur, C. R. Acad. Sci. Paris, 239 (1954), 849—
850.
6. Applications of the theory of direct integrals of Hilbert spaces to some
integral and differential operators, Inst. Fluid Dynamics, Univ, of
Maryland, College Park, 1954.
7*. Задача Коши для гиперболических уравнений, М., ИЛ, 1961.
Горн (Horn А.)
1. On the singular values of a product of completely continuous operators,
Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 36 (1950), 374—375.
Гохберг И. Ц.
1. О линейных уравнениях в пространстве Гильберта, ДАН СССР,
76 (1951), 9—12.
2. О линейных уравнениях в нормированных пространствах, ДАН СССР*
76 (1951), 477—480.
3. О линейных операторах, аналитически зависящих от параметра,
ДАН СССР, 78 (1951), 629—632.
4. Об индексе неограниченного оператора, Матем. сб., 33 (75), (1953),
193_____198.
Гохберг И. Ц. и Крейн М. Г.
1. О вполне непрерывных операторах со спектром, сосредоточенным
в нуле, ДАН СССР, 128, № 2 (1959), 227—230.
970
Библиография
2*. Несамосопряженные операторы, «Наука», М., 1966.
Графф А. А.
1. К теории линейных дифференциальных систем в области одного
измерения, I, II.
I. Матем. сб., 18 (60), (1946), 305—328.
II. Там же, 21 (63), (1947), 143—159.
Грейвс Л. (Graves L. М.), см. также Барт л, Гильде-
брандт
1. Topics in the functional calculus, Bull. Amer. Math. Soc., 41 (1935),
641—662. Исправл. там же, 42 (1936), 381—382.
2. The theory of functions of real variables, McGraw-Hill Co., New York,
1946.
3. Riemann integration and Taylor’s theorem in general analysis, Trans.
Amer. Math. Soc., 29 (1927), 163—177.
4. Some general approximation theorems, Ann. of, Math. (2), 42 (1941),
281—292.
5. Some mapping theorems, Duke Math. J., 17 (1950), 111—114.
6. A generalization of the Riesz theory of completely continuous transfor-
mations, Trans. Amer. Math. Soc, 79 (1955), 141 —149.
7. Remarks on singular points of functional equations, Trans. Amer.
Math. Soc., 79 (1955), 150—157.
Грейвс P. E. (Graves R. E.), см. Камерон
Грейвс P. Л. (Graves R. L.).
1. The Fredholm theory in Banach spaces. (Abstract.) Dissertation,
Harvard University (1951), Bull. Amer. Math. Soc., 58 (1952), 479.
Греко (Greco D.)
1. Sulla convergenza degli sviluppi in serie di autosoluziani associati ad
un problema ai limite relative ad un’equazione differenziale ordinaria
del secondo ordine, Rend. Acc. Sci. Fis. Mat. Napoli (4), 17 (1950),
171—189.
Гримшоу (Grimshaw M. E.), см. Г амбургер
Гринблюм M. M.
1. Некоторые теоремы о базисе в пространстве типа (В), ДАН СССР,
31 (1941), 428—432.
2. Биортогональные системы в пространстве Банаха, ДАН СССР, 47
(1945), 79—82.
3. К теории биортогональных систем, ДАН СССР, 55 (1947), 291 —
295.
4. Об одном признаке базиса, ДАН СССР, 59 (1948), 9—11.
5. Спектральная мера, DAH СССР, 81 (1951), 345—348.
6. Операторный интеграл в пространстве Банаха, ДАН СССР, 71
(1950), 5—8.
Гросберг Ю. И.
1. Про л1шйш функцюнали на простор! функщй обмеженей вариаци,
Киев, Учен. зап. пед. ин-та, 2 (1939), 17—23.
Гросберг Ю. И. и Крейн М. Г.
1. О разложении линейного функционала на положительные составляю-
щие, ДАН СССР, 25 (1939), 721—724.
Гротендик (Grothendieck А.)
1. Criteres generaux de compacite dans les espaces vectoriels localement
convexes. Pathologie des espaces (LF), C. R. Acad. Sci. Paris, 231
(1950), 940—941.
2. Criteres de compacite dans les espaces fonctionnels generaux, Amer. J.
Math., 74 (1952), 168—186.
3. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires, Memoirs Amer.
Math. Soc., №. 16, 1955.
Библиография
971
4. Sur les applications lineaires faiblement compactes d’espaces du type
С (R), Canadian J. Math., 5 (1953), 129—173.
Sur certains espaces de fonctions holomorphes, I, II.
I. J. Reine Angew. Math., 192 (1953), 35—64.
II. Там же, 192 (1953), 77—95.
'6*. Sur les espaces (?) et (DF), Summa Bras. Math., 3 (1954), 57—123.
(Есть русский перевод: сб. Математика, 2 : 3 (1958), 81 —127.)
7*. La theorie de Fredholm, Bull. Soc. Math. France, 84 (1958), 319—384.
(Есть русский перевод: сб. Математика, 2 : 5 (1958), 51 —103.)
Гудиер (Goodner D. В.)
1. Projections in normed linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 69 (1950),
89—108.
Гурвиц (Hurwitz W. А.), см. Джиллеспи
Гуревич Л. A.
1. О базисе безусловной сходимости, У МН, 8 : 5 (57), (1953), 153—156.
Гуревич У. (Hurewicz W.)
1. Ergodic theorems without invariant measure, Ann. of, Math. (2), 45
(1944), 192—206.
Гуревич и Волмэн (Hurewicz W., W a 1 1 m a n H.)
1. Теория размерности, M., ИЛ, 1948 (1941).
Дайне (Dines L. L.), см. Московии
Далецкий Ю. Л.
1*. Фундаментальные решения операторного уравнения и континуаль-
ные интегралы, Изв. выс. уч. зав., № 3 (1961), 27—48.
Д а н е м (Dunham J. L.)
1. The Wentzel — Brillouin — Kramers method of solving the wave equa-
tion, Phys. Rev., 41 (1932), 713—720.
2. The energy levels of a rotating vibrator, Phys. Rev., 41 (1932), 721—731.
Даниель (Daniell P. J.)
1. A general form of integral, Ann. of Math. (2), 19 (1917—1918), 279—294.
Данфорд (Dunford N.), см. также Бартл и Коэн Л.
1. Uniformity in linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 44 (1938), 305—
356.
2. Direct decompositions of Banach spaces, Bol. Soc. Mat. Mexicana,
3 (1946), 1—12.
3. An individual ergodic theorem for non-commutative transformations,
Acta Sci. Math. Szeged, 14 (1951), 1—4.
4. Integration in general analysis, Trans. Amer. Math. Soc., 37 (1935),
441—453.
5. On continuous mappings, Ann. of Math. (2), 41 (1940), 639—661.
6. Spectral theory, Bull. Amer. Math. Soc., 49 (1943), 637—651.
7. Spectral theory I, Convergence to projections, Trans. Amer. Math.
Soc., 54 (1943), 185—217.
8. Integration and linear operations, Trans. Amer. Math. Soc., 40 (1936),
474—494.
9. A mean ergodic theorem, Duke Math. J., 5 (1939), 635—646.
10. On a theorem of Plessner, Bull. Amer. Math. Soc., 41 (1935), 356—358.
11. An ergodic theorem for n-parameter groups, Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 25 (1939), 195—196.
12. On one parameter groups of linear transformations, Ann. of Math.
(2), 39 (1938), 569—573.
.13 . Resolution of the identity for commutative B*-algebras of operators,
Acta Sci. Math. Szeged, 12 Pars В (1950), 51—56.
44. Spectral theory in abstract spaces and Banach algebras, Proc. Sympo-
sium on Spectral Theory and Differential Problems (1951), 1—65. Okla-
homa Agricultural and Mechanical College, Stillwater, Oklahoma.
972
Библиография
15. Spectral theory, Proc. Symposium on Spectral Theory etc. (1951), 203—
208.
16. The reduction problem in spectral theory, Proc. International Con-
gress Math., Cambridge, Mass., 1950, Vol. 2, 115—122.
17. Spectral theory. II. Resolutions of the identity, Pacific J. Math., 2
(1952), 559—614.
18. Spectral operators, Pacific J. Math., 4 (1954), 321—354.
19* . A survey of the theory of spectral operators, Bull. Amer. Math. Soc.r
64, No. 5 (1958). 217—274. (Есть русский перевод: сб. Математика,
4 : 1 (1960), 53—100.)
Данфорд и Миллер (Dunford N., Miller D. S.)
1. On the ergodic theorem, Trans. Amer. Math. Soc., 60 (1946), 538—549.
Данфорд и Морс (Dunford N., Morse A. P.)
1. Remarks on the preceding paper of James A. Clarkson, Trans. Amer.
Math. Soc., 40 (1936), 415—420.
Данфорд и Петтис (Dunford N., Pettis B. J.)
1. Linear operations on summable functions, Trans. Amer. Math. Soc.r
47 (1940), 323—392.
Данфорд и Сигал (Dunford N., Segal I. E.)
1. Semi-groups of operators and the Weierstrass theorem, Bull. Amer.
Math. Soc., 52 (1946), 911—914.
Данфорд и Стоун (Dunford N., Stone M. H.)
1. On the representation theorem for Boolean algebras, Revista Ci., Lima,.
43 (1941), 447—453.
Данфорд и Тамаркин (Dunford N., Tamarkin J. D.)
1. A principle of Jessen and general Fubini theorems, Duke Math. J., 8
(1941), 743—749.
Данфорд и Шварц (Dunford N., Schwartz J.)
1. Convergence almost everywhere of operator averages, Proc. Nat. Acad.
Sci. U.S.A., 41 (1955), 229—231.
2. Convergence almost everywhere of operator averages, J. Rational
Meeh, and Anal., 5 (1956), 129—178.
Данциг (van Dantzig D.)
1. Zur topologischen Algebra, I. Math. Ann., 107 (1932), 587—626.
2. Einige Satze fiber topologische Gruppen, Jber Deutsch. Math. Verein.,
41 (1932), 42—44.
Дарбу (Darboux G.)
1. Lemons sur la theorie generale des surfaces (2 ed.), Paris, Gauthier-
Villars, 1914.
Даукер (Dowker Y. N.)
1. Finite and о-finite invariant measures, Ann. of Math. (2), 54 (1951),
595—608.
2. A new proof of the general ergodic theorem, Acta Sci. Math. Szeged,
12 Pars В (1950), 162—166.
3. A note on the ergodic theorem, Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949),
379—383.
Дворецкий и Роджерс (Dvoretzky A., Rogers C. A.)
1. Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces, Proc.
Nat. Acad. Sci. U.S.A., 36 (1950), 192—197.
Девина ц, Нусбаум и Дж. Нейман (Devinatz A., Nus-
sbaum А. Е., von Neumann J.)
1. On the permutability of self-adjoint operators, Ann. of Math. (2), 62
(1955), 199—203.
Дейвис Г. (Davis H. T.)
1. The theory of linear operators, Principia Press, Bloomington, Indiana»
1936.
Библиография
973
Дейвис Р. (Davies R.)
1. Expansions in series of non-orthogonal eigenfunctions, Industr. Math.,
4 (1953), 9—16.
Джеймс (James R. C.)
1. Orthogonality in normed linear spaces, Duke Math. J., 12 (1945),
291—302.
2. Orthogonality and linear functionals in normed linear spaces, Trans.
Amer. Math. Soc., 61 (1947), 265—292.
3. Inner products in normed linear spaces, Bull. Amer. Math. Soc.., 53
(1947), 559—566.
4. Bases and reflexivity of Banach spaces, Ann. of Math. (2), 52 (1950),
518—527.
5. A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate space,
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 37 (1951), 174—177.
Джекобсон (Jacobson N.)
1. Lectures in abstract algebra. I. Basic Concepts. II. Linear algebras.
D. van Nostrand, New York, 1951, 1953.
Джексон (Jackson D.)
1. Algebraic properties of self-adjoint systems, Trans. Amer. Math. Soc.,
17 (1916), 418—424.
Джемисон (Jamison S. L.)
1. Perturbation of normal operators, Proc. Amer. Math. Soc., 5 (1954),
103—110.
2. On analytic normal operators, Proc. Amer. Math. Soc., 5 (1954), 288—
290.
Джерисон (Jerison M.)
1. Characterizations of certain spaces of continuous functions, Trans.
Amer. Math. Soc., 70 (1951), 103—113.
2. A property of extreme points of compact convex sets, Proc. Amer.
Math. Soc., 5 (1954), 782—783.
Джиллеспи и Гурвиц (Gillespie D.C., Hurwitz W. A.)
1. On sequences of continuous functions having continuous limits, Trans.
Amer. Math. Soc., 32 (1930), 527—543.
Джон (John F.)
1. The fundamental solution of linear elliptic differential equations with
analytic coefficients, Comm. Pure Appl. Math., 3 (1950), 273—304.
2. General properties of solutions of linear elliptic partial differential equa-
tions, Proc. Symposium Spectral Theory and Differential Problems,
113—175. Oklahoma Agricultural and Mechanical College, Stillwater,
Oklahoma, 1951.
Джорджи (Giorgi G.)
1. Nuove osservazioni sulle funzioni delle matrici, Atti Accad. Naz. Lin-
ed. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (6), 8 (1928), 3—8.
Д и кем ье (Dixmier J.)
1. Les moyennes invariantes dans les semi-groupes et leurs applications,
Acta Sci. Math. Szeged 12 Pars A (1950), 213—227.
2. Les fonctionnelles lineaires sur 1’ensemble des operateurs bornes d’un
espace de Hilbert, Ann. of Math. (2), 51 (1950), 387—408.
3. Sur certains espaces consideres par M. H. Stone, Summa Brasil. Math.,
2 (1951), 151—182.
4. Sur un theoreme de Banach, Duke Math. J., 15 (1948), 1057—1071.
5. Les algebres d’operateurs dans 1’espace hilbertien, Gauthiers-Villars,
Paris 1957
6. Sur une inegalite de E. Heinz, Math. Ann., 126 (1953), 75—78.
7. Sur les bases orthonormales dans les espaces prehilbertiens, Acta Sci.
Math. Szeged, 15 (1953), 29—30.
974
Библиография
Диксон (Dixon А. С.)
1. On a class of expansions in oscillating functions, Proc. London Math.
Soc. (2), 3 (1905), 83—103.
Дини (Dini U.)
1. Fonamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, Pisa
(1878).
Дирак (Dirac P. A. M.)
1. Основы квантовой механики, M., Гостехиздат, 1960 (1935).
Д и т к и н В. А. »
1. Исследование строения идеалов в некоторых нормированных кольцах,
Учен. Зап. МГУ, 30 (1939), 83—130.
Дойль (Doyle Т. С.)
1. Invariant theory of general ordinary, linear, homogenous, second
order differential boundary problems, Duke Math. J., 17 (1950), 249—261.
Доногю иСмит (Donoghue W. F., Smith К. T.)
1. On the symmetry and bounded closure of locally convex spaces, Trans.
Amer. Math. Soc., 73 (1952), 321—344.
Дородницын A. A.
1. Асимптотические законы распределения собственных значений для
некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго'
порядка, УМН, 7, вып. 6 (52), (1952), 3—96.
Дрезден (Dresden А.)
1. Solid analytical geometry and determinants, H. Holt Co., New York,.
1930.
Дуб (D о о b J. L.), см. также Куп мен
1. The law of large numbers for continuous stochastic processes, Duke-
Math. J., 6 (1940), 290—306.
2. Stochastic processes with an integral-valued parameter, Trans. Amer.
Math. Soc., 44 (1938), 87—150.
3. Asymptotic properties of Markoff transition probabilities, Trans. Amer.
Math. Soc., 63 (1948), 393—421.
4. Вероятностные процессы, M., ИЛ, 1956 (1953).
Дубровский В. М.
1. О некоторых свойствах вполне аддитивных функций множества и их
применении к обобщению одной теоремы Лебега, Матем. сб., 20 (62),
(1947), 317—330.
2. О базисе семейства вполне аддитивных функций множества и о свой-
ствах равномерной аддитивности и равностепенной непрерывности,
ДАН СССР, 58 (1947), 737—740.
3. О свойствах абсолютной непрерывности и равностепенной непрерыв-
ности, ДАН СССР, 63 (1948), 483—486.
4. О равностепенно суммируемых функциях и о свойствах равномерной
аддитивности и равностепенной непрерывности семейства вполне
аддитивных функций множества, Изв. АН СССР, сер. матем., 13
(1949), 341—356.
5. О свойстве равностепенной непрерывности семейства вполне аддитив-
ных функций множества относительно собственного и несобственного*
базисов, ДАН СССР, 76 (1951), 333—336.
6. Об одном свойстве формулы Никодима, ДАН СССР, 85 (1952), 693—
696.
7. О некоторых условиях компактности, Изв. АН СССР, сер. матем.,.
12 (1948), 397—410.
Дугунджи (Dugundji J.)
1. An extension of Tietze’s theorem, Pacific J. Math., 1 (1951), 353—367..
Д ь ёд он н е (D i eu d о nne J.)
1. Sur le theoreme de Hahn — Banach, Rev. Sci., 79 (1940, 642—643.
Библиография
975
2. Sur la separation des ensembles convexes dans un espace de Banach
Rev. Sci., 81 (1943), 277—278.
3. La dualite dans les espaces vectoriels topologiques, Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. (3), 59 (1942), 107—139.
4. Sur le theoreme de Lebesgue — Nikodym, Ann. of Math. (2), 42 (1941)
547—555.
5. Sur le theoreme de Lebesgue — Nikodym, II, Bull. Soc. Math. France,
72 (1944), 193—239; неправ, там же, 74 (1946), 66—68.
6. Complex structures on real Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc.,
3 (1952), 162—164.
7. Sur les espaces de Kothe, J. Analyse Math., 1 (1951), 81 — 115.
8. Natural homomorphisms in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc.,
1 (1950), 54—59.
9. Sur le theoreme de Lebesgue — Nikodym, IV, J. Indian Math. Soc.
(N.S.), 15 (1951), 77—86.
10. Sur le theoreme de Lebesgue — Nikodym, V, Canadian J. Math., 3
(1951), 129—139.
11. Sur la convergence des suites de mesures de Radon, Anais Acad. Bra-
sil. Ci., 23 (1951), 21—38, 277—282.
12. Sur un theoreme de Jessen, Fund. Math., 37 (1950), 242—248.
13. Recent developments in the theory of locally convex vector spaces,
Bull. Amer. Math. Soc., 59 (1953), 495—512.
14. Sur le theoreme de Lebesgue — Nikodym, III, Ann. Inst. Fourier Gre-
noble, 23 (1947—1948), 25—53.
15. Sur un theoreme de Smulian, Arch. Math., 3 (1952), 436—440.
16. On biorthogonal systems, Michigan Math. J., 2 (1954), 7—20. [Есть
русский перевод: сб. Математика, 3 : 4 (1959), 133—145.]
17. Sur le produit de composition, Compositio Math., 12 (1954), 17—34.
18. Bounded sets in (fj-spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 6 (1955), 729—731.
19. Sur la bicommutante d’une algebre d’operateurs, Portugaliae Math.,
14 (1955), 35—38.
20. Sur la theorie spectrale, J. Math. Pures Appl. (9) 35, (1956), 175—187.
21. Champs de vecteurs non localement triviaux, Archiv des Math., 7 (1956),
6—10.
Дьёдонне и Гомес (Dieudonne J., Gomes A. P.)
1. Sur certains espaces vectoriels topologiques, C. R. Acad. Sci. Paris,
230 (1950), 1129—1130.
Дьёдонне и Шварц (Dieudonne J., Schwartz L.)
1. La dualite dans les espaces (F) et (LF), Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 1
(1950), 61 —101. [Есть русский перевод: сб. Математика, 2 : 2 (1958),
77—117.]
Д ы н к и н Е. Б.
1 *. Марковские процессы и связанные с ними задачи анализа, У МН, 15 : 2
(1960), 3—24.
Дэй (Day М. М.)
1. The space with 0<p< 1, Bull. Amer. Math. Soc., 46 (1940), 816—823.
2. A property of Banach spaces, Duke Math. J., 8 (1941), 763—770.
3. Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces,
Bull. Amer. Math. Soc., 47 (1941), 313—317.
4. Some more uniformly convex spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 47 (1941),
504—517.
5. Uniform convexity, III, Bull. Amer. Math. Soc., 49 (1943), 745—750.
6. Uniform convexity in factor and conjugate spaces, Ann. of Math.,
45 (1944), 375—385.
7. Some characterizations of inner-product spaces, Trans. Amer. Math.
Soc., 62 (1947), 320—337.
976
Библиография
8. Means for the bounded functions and ergodicity of the bounded repre-
sentations of semi-groups, Trans. Amer. Math. Soc., 69 (1950), 276—
291.
9. Operations in Banach spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 51 (1942),
583—608.
10. Ergodic theorems for abelian semi-groups, Trans. Amer. Math. Soc.,
51 (1942), 399—412.
11. Strict convexity and smoothness of normed spaces, Trans. Amer. Math.
Soc., 78 (19551, 516—528.
12* . Линейные нормированные пространства, M., ИЛ., 1961.
Жордан (Jordan G.)
1. Sur la serie de Fourier, C. R. Acad. Sci. Paris, 92 (1881), 228—230.
Жюлиа (Julia G.)
1. Sur les racines carrees hermitiennes d’un operateur hermitien positif
donne, C. R. Acad. Sci. Paris, 222 (1946), 707—709.
2. Remarques sur les racines carrees hermitiennes d’un operateur hermitien
positif borne, C. R. Acad. Sci. Paris, 222 (1946), 829—832.
3. Sur la representation spectrale des racines hermitiennes d’un operateur
hermitien positif donne, C. R. Acad. Sci. Paris, 222 (1946), 1019—
1022.
4. Sur les racines carrees self-adjoint d’un operateur self-adjoint positif
non borne, C. R. Acad. Sci. Paris, 222 (1946), 1061 —1063.
5. Sur les racines г?ётез hermitiennes d’un operateur hermitien donne,
C. R. Acad. Sci. Paris, 222 (1946), 1465—1468.
6. Determination de toutes les racines carrees d’un operateur hermitien
borne quelconque, I, II.
I. C. R. Acad. Sci. Paris, 227 (1948), 792—794.
II. Там же, 227 (1948), 931—933.
7. Introduction mathematique aux theories quantiques, Paris, 1938.
Заанен (Zaanen А. С.), см. также В(иссер
1. On a certain class of Banach spaces, Ann. of Math. (2), 47 (1946), 654—
666.
2. Integral transformations and their resolvents in Orlicz and Lebesgue
spaces, Compositio Math., 10 (1952), 56—94.
3. Nomalisable transformations in Hilbert space and systems of linear
integral equations, Acta Math., 83 (1950), 197—248.
4. Note on a certain class of Banach spaces, Nederl. Akad. Wetensch. Proc.,
52 (1949), 488—499.
5. Linear analysis, P. Noordhoff, Groningen, and Interscience Pub., New
York, 1953.
6. Characterization of a certain class of linear transformations in an arbi-
trary Banach space, Nederl. Akad. Wetensch. Proc., Ser. A, 54 (1951),
87—93.
7. Ober vollstetige symmetrische und symmetrisierbare Operatoren,
Nieuw Arch. Wiskunde (2), 22 (1943), 57—80.
8. On the theory of linear integral equations, I, Nederl. Akad. Wetensch.
Proc., 49 (1946), 194—204.
9. On linear functional equations, Nieuw Arch. Wiskudne (2), 22 (1948),
269—282.
Зальцвассер (Zalcwasser Z.)
1. Sur une propriete du champ des fonctions continues, Studia Math.,
2 (1930), 63—67.
Зейдель (Seidel Ph. L.)
1. Note uber eine Eigenschaft der Reihen, welche discontinuierliche Fun-
ctionen darstellen, Abhandlungen der Bayerischen Akad. der Wiss.
Munchen, 5 (1847—1848), 379—393.
Библиография
977
Зейферт (Seifert G.)
1. A third order boundary value problem arising in aeroelastic wing theo-
ry, Quart. Appl. Math., 9 (1951), 210—218.
2. A third order irregular boundary value problem and the associated
series, Pacific J. Math., 2 (1952), 395—406.
3 e й ц (Seitz F.)
1. The modern theory of solids, New York, 1940.
Зигмунд (Zygmund А.), см. также Кальдерон, Пэли,
Салем и Тамаркин
1. Тригонометрические ряды, 2 изд., «Мир», М., 1965, (1959).
2. An individual ergodic theorem for non-commutative transformations,
Acta Sci. Math. Szeged, 14 (1951), 103—110.
3. On a theorem of Paley, Proc. Cambridge Phil. Soc., 34 (1938), 125—133.
4. On the convergence and summability of power series on the circle of con-
vergence (I), Fund. Math., 30 (1938), 171—196.
Зильберштейн (Silberstein J. P. O.)
1. On eigenvalues and singular values of compact linear operators in Hil-
bert space, Proc. Cambridge Philos. Soc., 49 (1953), 201—212.
Ивата (Iwata G.)
1. Non-hermitian operator and eigenfunction expansions, Progress Theoret.
Phys., 6 (1951), 216—226.
И д з у м и (I z u m i S.)
1. On the bilinear functionals, Tohoku Math. J., 42 (1936), 195—209.
2. On the compactness of a class of functions, Proc. Imp. Acad. Tokyo,
15 (1939), 111 — 113.
3. Lebesgue integral in the abstract space, Jap. J. Math., 13 (1936), 501—.
513.
4. Notes on Banach space, I. Differentiation of abstract functions, Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 18 (1942), 127—130.
Идзуми и Суноути (Izumi S., Sunouchi G.)
1. Notes on Banach space (VI): Abstract integrals and linear operations,
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 19 (1943), 169—173.
И й e p (Iyer V. G.)
1. On the space of integral functions, I—III.
I. J. Indian Math. Soc. (2), 12 (1948), 13—30.
II. Quart. J. Math. (Oxford) (2), 1 (1950), 86—96.
III. Proc. Amer. Math. Soc., 3 (1952), 874—883.
И н a 6 a (Inaba M.)
1. A theorem on fixed points and its application to the theory of differen-
tial equations, Kumamoto J. Sci., Ser. A, 1, № 1 (1952), 13—16.
Инглтон (Ingleton A. W.)
1. The Hahn — Banach theorem for non-Archimedean valued fields, Proc.
Cambridge Philos. Soc., 48 (1952), 41—45.
Инфельд (Infeld L.)
1. On a new treatment of some eigenvalue problems, Phys. Rev. (2), 59
(1941), 737—747.
Инфельд и Хал (Infeld L., Hull T. E.)
1. The factorization method, Rev. Mod. Phys., 23 (1951), 21—68.
Ионеску (lonescu Tulcea С. T.)
1. Spatii Hilberti, Editura Acad. Rep. Populare Romane, 1956.
И о н e с к у и М а р и н е с к у (lonescu Т u 1 с е а С. Т., М а г i п е s с u G.)
1. Theorie ergodique pour des classes d’operations non completement con-
tinues, Ann. of Math. (2), 52 (1950), 140—147.
Иосида (Yosida K.)
1. On vector lattices with a unit, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 17 (1941), 121 —
124.
62 Заказ № 134
978
Библиография
2. Vector lattices and additive set functions, Proc. Imp. Acad. Tokyo,
17 (1941), 228—232.
3. On the unitary equivalence in general Euclidean space, Proc. Japan
Acad., 22 (1946), 242—245.
4. Mean ergodic theorem in Banach spaces, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 14
(1938), 292—294.
5. Ergodic theorems of Birkhoff—Khintchine’s type, Jap. J. Math., 17
(1940), 31—36.
6. An abstract treatment of the individual ergodic theorem, Proc. Imp.
Acad. Tokyo, 16 (1940), 280—284.
7. On the group embedded in the metrical complete ring, Jap. J. Math.,
13 (1936), 7—26.
8. On the differentiability and the representation of one-parameter semi-
groups of linear operators, J. Math. Soc. Japan, 1 (1948), 15—21.
9. The Markoff process with a stable distribution, Proc. Imp. Acad. Tokyo,
16 (1940), 43—48.
10. On Titchmarsh — Kodaira’s formula concerning Weyl — Stone’s eigen-
function expansion, Nagoya Math. J., 1 (1950), 49—58. Исправ. там
же, 6 (1953), 187—188.
11. On the theory of spectra, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 16 (1940), 378—383.
12. Normed rings and spectral theorems, I—VI.
I. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 19 (1943), 356—359.
II. Там же, 19 (1943), 466—470.
III. Там же, 20 (1944), 71—73.
IV. Там же, 20 (1944), 183—185.
V. Там же, 20 (1944), 269—273. • .
VI. Там же, 20, (1944), 451—453.
Иосида и Какутани (Yosida К-, Kakutani S.)
1. Birkhoff’s ergodic theorem and the maximal ergodic theorem, Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 15 (1939), 165—168.
2. Operator-theoretical treatment of Markoff process and mean ergodic
theorem, Ann. of Math. (2), 42 (1941), 188—228.
Иосида, Ми мура и Какутани (Yosida К., М i m u г a Y.,
Kakutani S.)
1. Integral operator with bounded kernel, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 14
(1938), 359—362.
И.о сида и Накаяма (Yosida K-, Nakayama T.)
1. On the semi-ordered ring and its application to the spectral theorem,
I, II.
I. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 (1942), 555—560.
II. Там же, 19 (1943), 144—147.
Иосида и Фукамия (Yosida К-, F u k a m i у а M.)
1. On regularly convex sets, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 17 (1941), 49—52.
Иосида и Хьюит (Yosida K-, Hewitt E.)
1. Finitely additive measures, Trans. Amer. Math. Soc., 72 (1952), 46—66.
Исмагилов P. C.
1*. Самосопряженные расширения системы коммутирующих операторов,
ДАН СССР, 133, 3 (1960), 511—514.
Йессен (Jessen В.). См. также Спарре Андерсен
1. The theory of integration in a space of an infinite number of dimensions,
Acta Math., 63 (1934), 249—323.
2. Bidrag til Integralteorien for Funktioner af unendlig mange Variable,
Copenhagen, 1930.
Йордан и Дж. Нейман (Jordan Р., von Neumann J.)
1. On inner products in linear, metricspaces, Ann. of Math. (2), 36 (1935),
719—723.
Библиография
979
Йост (Jost R.), см. также Ньютон
1. Bemerkungen zur mathematischen Theorie der Zahler, Helvetica Phus.
Acta, 20 (1947), 173—182.
Йост и Кон (Jost R., Kohn W.)
1. Construction of a potential from a phase shift, Phys. Rev., 87 (1952),
977—992.
Йост и Пейс (Jost R., Pais A.)
1. On the scattering of a particle by a static potential, Phys. Rev., 82 (1951),
840—851.
К а д e ц M. И.
1*. Точное значение постоянной Палея—Винера, ДАН СССР, 155 (6),
(1964), 1253—1254.
Какутани (Kakutani S.), см. также А н д з а и, Боненблуст
и И о с и д а
1. Ein Beweis des Satzes von M. Eidelheit Liber konvexe Mengen, Proc,
Imp. Acad. Tokyo, 13 (1937), 93—94.
2. Weak topology and regularity of Banach spaces, Proc. Imp. Acad. Tokyo,
15 (1939), 169—173.
3. Weak topology, bicompact set and the principle of duality, Proc. Imp.
Acad. Tokyo, 16 (1940), 63—67.
4. Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets, Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 14 (1938), 242—245.
5. Topological properties of the unit sphere of a Hilbert space, Proc. Imp.
Acad. Tokyo, 19 (1943), 269—271.
6. Some characterizations of Euclidean spaces, Jap. J. Math., 16 (1939),
93—97.
7. Mean ergodic theorems in abstract (L)-spaces, Proc. Imp. Acad. Tokyo,
15 (1939), 121 — 123.
8. Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic
theorem, Ann. of Math. (2), 42 (1941), 523—537.
9. Concrete representation of abstract (M)-spaces. (A characterization
of the space of continuous functions), Ann. of Math. (2), 42 (1941), 994—
1024.
10. Ergodic theory, Proc. International Congress Math., Cambridge, Mass^
2 (1950), 128—142.
11. A proof of Schauder’s theorem, J. Math. Soc. Japan, 3 (1951), 228—
231.
12. Ober die Metrisation der topologischen Gruppen, Proc. Imp. Acad..
Tokyo, 12 (1936), 82—84.
13. Iteration of linear operations in complex Banach spaces, Proc. Imp.,
Acad. Tokyo, 14 (1938), 295—300.
14. Notes on infinite product measure spaces, I, II.
I. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 19 (1943), 148—151.
II. Там же, 19 (1943), 184—188.
15. An example concerning uniform boundedness of spectral measures,
Pacific J. Math., 4 (1954), 363—372.
16. Ergodic theorems and the Markoff process with a stable distribution,
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 16 (1940), 49—54.
17. On the uniqueness of Haar’s measure, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 14 (1938),
27—31.
18. A proof of the uniqueness of Haar’s measure, Ann. of Math. (2), 49 (1948)
225—226.
19. On the uniform ergodic theorem concerning real linear operations, Jap.
J. Math., 17 (1940), 5—12.
20. Some results in the operator-theoretical treatment of the Markoff pro-
cess, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 15 (1939), 260—264.
62*
980
Библиография
21. Simultaneous extension of continuous functions considered as a posi-
tive linear operation, Jap. J. Math., 17 (1940), 1—4.
22. Weak convergence in uniformly convex spaces, Tohoku Math. J., 45
(1938), 188—193.
23. Rings of analytic functions. Lectures on functions of a complex variable,
pp. 71—83, Ann Arbor, 1955.
К а к ату н и и К од а и р a (Kakutani S., Kodaira К.)
1. Ober das Haarsche Mass in der lokal bikompakten Gruppe, Proc. Imp.
Acad. Tokyo, 20 (1944), 444—450.
Какутани и Макки (Kakutani S., Mackey G. W.)
1. Two characterizations of real Hilbert space, Ann. of, Math. (2), 45 (1944),
50—58.
Калкин (Calkin J. W.)
1. Abstract symmetric boundary conditions, Trans. Amer. Math. Soc.,
45 (1939), 369—442.
2. Two sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in
Hilbert space, Ann. of Math. (2), 42 (1941), 839—873.
3. Symmetric transformations in Hilbert space, Duke J. Math., 7 (1940),
504—508.
К а л л e p (Ku 1 ler R. G.)
1. Locally convex topological vector lattices and their representations,
Dissertation, Univ, of Michigan, 1955.
Кальдерон (Calderon A. P.)
1. A general ergodic theorem, Ann. of Math. (2), 58 (1953), 182—191.
Кальдерон и Зигмунд (Calderon A. P., Zygmund A.)
1. A note on the interpolation of linear operations, Studia Math., 12 (1951),
194—204.
2. On the theorem of Hausdorff — Young and its applications. Contribu-
tions to Fourier Analysis, 166—188. Ann. of Math. Studies, № 25,
Princeton Univ. Press (1950).
3. A note on the interpolation of sublinear operations, Amer. J. Math.,
78 (1956), 282—288.
4. On the existence of certain singular integrals, Acta Math., 88 (1952),
85—139.
5. On singular integrals, Amer. J. Math., 78 (1956), 289—309.
6. Algebras of certain singular operators, Amer. J. Math., 78 (1956), 310—
320.
Камерон (Cameron R. H.)
1. A «Simpson’s Rule» for the numerical evaluation of Wiener’s integrals
in function space, Duke Math. J., 18 (1951), 111—130.
2. The first variation of an indefinite Wiener integral, Proc. Amer. Math.
Soc., 2 (1951), 914—924.
3. The generalized heat flow equation and a corresponding Poisson formu-
la, Ann. of Math. (2), 59 (1954), 434—462. [Есть русский перевод:
сб. Математика, 2 : 1 (1958), 101—130.]
4. Some examples of Fourier — Wiener transforms of analytic functionals,
Duke Math. J., 12 (1945), 485—488.
5. The translation pathology of Wiener space, Duke Math. J., 21 (1954),
623—627.
Камерон и Грейвс (Cameron R. H., Graves R. E.)
1. Additive functionals on a space of continuous functions. I, Trans.
Amer. Math. Soc., 70 (1951), 160—176.
Камерон, Линдгрен и Мартин (Cameron R. Н., Lind-
gren В. W., Martin W. T.)
1. Linearization of certain non-linear functional equations, Proc. Amer.
Math. Soc., 3 (1952), 138—143.
Библиография
981
Камерон и Мартин (Cameron R. Н., Martin W. Т.)
1. An expression for the solution of a class of non-linear integral equations,
Amer. J. Math., 66 (1944), 281—298.
2. The orthogonal development of non-linear functionals in series of Fou-
rier — Hermite functionals, Ann. of Math. (2), 48 (1947), 385—392.
3. The transformation of Wiener integrals by non-linear transformations,
Trans. Amer. Math. Soc., 66 (1949), 253—283.
4. Non-linear integral equations, Ann. of Math. (2), 51 (1950), 629—642.
5. Transformations of Wiener integrals under a general class of linear
transformations, Trans. Amer. Math. Soc., 58 (1945), 184—219.
6. Evaluation of various Wiener integrals by use of Sturm — Liouville
differential equations, Bull. Amer. Math. Soc., 51 (1945), 73—90.
7. Transformations of Wiener integrals under translations, Ann. of Math.
(2), 45 (1944), 386—396.
* 8. The Wiener measure of Hilbert neighborhoods in the space of real conti-
nuous functions, J. Math. Phys. Mass. Inst. Tech., 23 (1944), 195—209.
9. Fourier-Wiener transforms of analytic functionals, Duke Math. J., 12
(1945), 489—507.
Камерон и Фейган (Cameron R. H., Fagan R. E.)
1. Non-linear transformations of Volterra type in Wiener space, Trans.
Amer. Math. Soc., 75 (1953), 552—575.
Камерон и Хетфилд (Cameron R. H., Hatfield C.)
1. Summability of certain orthogonal developments of non-linear functio-
nals, Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 130—145.
2. Summability of certain series for unbounded non-linear functionals,
Proc. Amer. Math. Soc., 4 (1953), 375—387.
Камерон и Шапиро (Cameron R. H., Shapiro J. M.)
1. Non-linear integral equations, Ann of Math. (2), 62 (1955), 472—497.
Камке (Kamke E.)
1. Mengenlehre, W. de Gruyter, Berlin and Leipzig, 1928.
2. Neue Herleitung der Oszillationssatze fur die linearen selbstadjugierten
Randwertaufgaben zweiter Ordnung, Math. Zeit., 44 (1938), 635—658.
К а м п e н (van К a m p e n E. R.) ’
1. Locally bicompact groups and their character groups, Ann. of Math.
(2), 36 (1935), 448—463.
Канторович Л. В., см. также Фихтенгольц Г. M.
1. Lineare halbgeordnete Raume, Матем. сб., 2 (44), (1937), 121—168.
2. The method of successive approximations for functional equations,
Acta Math., 71 (1939), 63—97.
3. Linear operations in semi-ordered spaces, I, Матем. сб., 7 (49), (1940),
209—284.
4. Общие формы некоторых классов линейных операций, ДАН СССР,
12 (1936), 101—106.
Канторович Л. В. иВулих Б. 3.
1. Sur la representation des operations lineaires, CompositioMath., 5 (1938),
119—165.
2. Sur un theorzeme de M. N. Dunford, Compositio Math., 5 (1938), 430—
432.
Канторович Л. В., By лих Б. 3. иПинскер А. Г.
1. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах, Гос-
техиздат, М.—Л., 1950.
2. Полуупорядоченные группы и линейные полуупорядоченные про-
странства, У МН, 6 : 3 (43), (1951), 31—98.
Капланский (Kaplansky L), см. также Аренс
1. The structure of certain operator algebras, Trans. Amer. Math. Soc.,
70 (1951), 219—255.
982
Библиография
2. Weierstrass theorem in fields with valuations, Proc. Amer. Math.
Soc., 1 (1950), 356—357.
3. Lattices of continuous functions, I, II.
I. Bull. Amer. Math. Soc., 53 (1947), 617—623.
II. Amer. J. Math., 70 (1948), 626—634.
4. Topological rings, Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948), 809—826.
5. Primary ideals in group algebras, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 35 (1949),
133—136.
6. Products of normal operators, Duke Math. J., 20 (1953), 257—260.
7. A theorem on rings of operators, Pacific J. Math., 1 (1951), 227—232.
Карасева T. M.
1. Об обратной задаче Штурма — Лиувилля для неэрмитова оператора,
Матем. сб., 32 (74), (1953), 477—484.
Каратеодори (Caratheodory С.)
1. Vorlesungen fiber reelle Funktionen. 2-е изд., Teubner, Leipzig, 1927.
1-е изд., Teubner, Berlin und Leipzig, 1918.
2. Bemerkungen zur Riesz — Fischerschen Satz und zur Ergodentheorie,
Abh. Math. Sem. Hansischen Univ., 14 (1941), 351—389.
Карлеман (Carleman T.)
1. Sur les equations integrates singulieres a noyau reel et symetrique,
Almquist and Wiksells, Uppsala, 1923.
2. Zur Theorie der linearen Integralgleichungen, Math. Zeit., 9 (1921),
196—217.
3. Ober die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partiellen Differen-
tialgleichungen, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Nat.
KI., 88 (1936), 119—132.
Карлин (Karlin S.)
1. Unconditional convergence in Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc.,
54 (1948), 148—152.
2. Bases in Banach spaces, Duke Math. J., 15 (1948), 971—985.
Кар та н A. (Cartan H.)
1. Sur la mesure de Haar, C.R. Acad. Sci. Paris, 211 (1940), 759—762.
Картан А. и Годман (Cartan H., Godement R.)
1. Theorie de la dualite et analyse harmonique dans les groupes abeliens
localement compacts, Ann. Ёсо1е Norm. Sup., 64 (1947), 79—99.
К a p т а н Э. (C a r t a n Ё.)
1. Les groups reels simples finis et continus, Ann. Ecole Norm. Sup.,
Ser. 3, 31 (1914), 263—355.
К а т о (K a t о T.)
1. On the convergence of the perturbation method, I, II.
I. Progress Theoret. Physics, 4 (1949), 514—523.
II. Там же, 5 (1950), 96—101, 207—212.
2. On the convergence of the perturbation method, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo
Sect. I, 6 (1951), 145—226.
3. Perturbation theory of semi-bounded operators, Math. Ann., 125 (1953),
435—447.
4. On the perturbation theory of closed linear operators, J. Math. Soc.
Japan, 4 (1952), 323—337.
5. Notes on some inequalities for linear operators, Math. Ann., 125 (1952),
208—212.
6. On some approximate methods concerning the operators T*T, Math.
Ann., 126 (1953), 253—262.
7. On the semi-groups generated by Kolmogoroff’s differential equations,
J. Math. Soc. Japan, 6 (1954), 1—15.
8. On the upper and lower bounds of eigenvalues, J. Phys. Soc. Japan,
4 (1949), 334—339.
Библиография
983
9*. Integration of the equation of evolution in a Banach space, J. Math.
Soc. Japan, 5 (1953), 208—234. (Есть русский перевод: сб. Матема-
тика, 2 : 4 (1958), 117—135.)
Кафиеро (Cafiero F.)
1. Criteri di compattezza per le successioni di funzioni generalmente a vari-
azione limitata, I, II.
I. Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Math. Nat. (8), (1950), 305—
311.
II. Там же (8), 8 (1950), 450—457.
2. Sugli insiemi compatti di funzioni misurabili negli spazi astratti, Rend.
Sem. Mat. Univ. Padova, 20 (1951), 48—58.
3. Sulle famiglie di funzioni additive d’insieme, uniformemente continue,
Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8), 12 (1952),
155—162.
4. Sul passaggio al limite sotto il segno d’integrale di Stieltjes — Lebesgue
negli spazi astratti, con masse variabili con gli integrandi, I, II.
I. Atti. Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8), 14 (1953),
488—494.
II. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 22 (1953), 223—245.
5. Sulle famiglie compatte di funzioni additive di insieme astratto, Atti
del Quarto Congresso dell’Unione Mat. Italiana, Taormin, 1951, vol. II,
pp. 30—40, Casa Editrice Perrella, Rome, 1953.
Ka хан (Kahane J. P.), см. также X ел ьсон
1. Sur un theoreme de Paul Malliavin, C.R. Acad. Sci. Paris, 248 (1959),
2943—2944.
2. Sur un theoreme de Wiener — Levy, C. R. Acad. Sci. Paris, 246 (1958),
1949—1951.
Кац И. С.
1. О гильбертовых пространствах, порождаемых монотонными эрмито-
выми матрицами-функциями, Харьков, Зап. мат. об-ва (4), 22 (1950),
95—113.
Кац М. (К а с М.), см. также Эрдёш
1. On distributions of certain Wiener functionals, Trans. Amer. Math.
Soc., 65 (1949), 1—13.
2. On the average of a certain Wiener functional and a related limit theo-
rem in the calculus of probability, Trans. Amer. Math. Soc., 59 (1946),
401—414.
3. On some connections between probability theory and differential and
integral equations, Proc. Second Berkeley Symposium Math. Statistics
and Prob., (1951), 189—215. (Есть русский перевод: сб. Математика,
1 : 2 (1957), 95—124.)
Кацнельсон (Katznelson Y.)
1. Sur les fonctions operant sur 1’algebre des series de Fourier absolument
convergentes, C.R. Acad. Sci. Paris, 247 (1958), 404.
Ka ч м аж и Штейнгауз (Kaczmarz S., Steinhaus H.)
1. Теория ортогональных рядов, M., Физматгиз, 1958 (1935).
Квигли (Quigley F. D.), см. X ел ьсон
Ке й (К а у I.)
1. The inverse scattering problem, Div. Electromag. Res., Inst. Math.
Sci., New York Univ., 1955.
К e й и M о з e с (К а у I., M о s e s H. E.)
1. The determination of the scattering potential from the spectral measure
function, I, Nuovo Cimento (10), 2 (1955), 917—961.
2. The determination of the scattering potential from the spectral measure
function, I—III, Div. of Electromag. Res., Inst. Math. Sci., New York
Univ., 1955.
984
Библиография
Кейд и сон (К a d iso n R. V.)
1. A representation theory for commutative topological algebra, Memoirs
Amer. Math. Soc., № 7, 1951.
2. Isometries of operator algebras, Ann. of Math. (2), 54 (1951), 325—338.
К e л д ы ш M. B.
1. О собственных значениях и собственных функциях некоторых клас-
сов несамосопряженных уравнений, ДАН СССР, 77 (1951), 11 — 14.
Келли (Kelley J. L.), см. также Аренс и Фелл
1. Note on a theorem of Krein and Milman, J. Osaka Inst. Sci. Tech., Part
I, 3 (1951), 1—2.
2. Banach spaces with the extension property, Trans. Amer. Math. Soc.,
72 (1952), 323—326.
3. The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice, Fund.
Math., 37 (1950), 75—76.
4. Convergence in topology, Duke Math. J., 17 (1950), 277—283.
5. General topology, D. van Nostrand, New York, 1955.
6. Commutative operator algebras, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 38
(1952), 598—605.
Келли и Вот (Kelley J. L., V a u g h t R. L.)
1. The positive cone in Banach algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 74
(1953), 44—55.
Келлог (Kellogg O. D.), см. Биркгоф Дж.
Кембл (Kemble E. С.)
1. A contribution to the theory of the B.W.K. method, Phys. Rev., 48
(1935), 549—561.
2. Note on the Sturm — Liouville eigenvalue-eigenfunction problem with
singular endpoints, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 19 (1933), 710—714.
3. The fundamental principles of quantum mechanics, New York, 1937.
Кемп (Camp В. H.)
1. Singular multiple integrals, with applications to series, Trans. Amer.
Math. Soc., 14 (1913), 42—64.
Кернер (Kerner M.)
1. Abstract differential geometry, Compositio Math., 4 (1937), 308—341.
2. Die Differentiale in der allgemeinen Analysis, Ann. of Math. (2), 34
(1933), 564—572.
Кете (К 6 t h e G.)
1. Die Teilraume eines linearen Koordinatenraumes, Math. Ann., 114
(1937), 99—125.
2. Losbarkeitsbedingungen fiir Gleichungen mit unendlich vielen Unbe-
kannten, J. Reine Angew. Math., 178 (1938), 193—213.
3. Erweiterung von Linearfunktionen in linearen Raumen, Math. Ann.,
116 (1939), 719—732.
4. Die Quotientraume eines linearen vollkommenen Raumes, Math. Z.,
51 (1947), 17—55.
5. Die Stufenraume, eine einfache Klasse linearer vollkommenen Raume,
Math. Z., 51 (1948), 317—345.
6. Eine axiomatische Kennzeichnung der linearen Raume von Typus co,
Math. Ann., 120 (1949), 634—649.
7. Ober die Vollstandigkeit einer Klasse lokalkonvexer Raume, Math. Z.,
52 (1950), 627—630.
8. Ober zwei Satze von Banach, Math. Z., 53 (1950), 203—209.
9. Neubegriindung der Theorie der vollkommenen Raume, Math. Nachr.,
4 (1951), 70—80.
10. Funktionalanalysis, Integraltransformationen. Naturforschung und
Medizin in Deutschland, 1939—1946, Band 2, 85—98. Dieterich’sche
Verlagsbuchhandlung, Wiesbaden, 1948.
Библиография
985
Кете и Теплиц (К б t h е G., Т о е р 1 i t z О.)
1. Lineare Raume mit unendlichvielen Koordinaten, J. Reine Angew,
Math., 171 (1934), 193—226.
К и л п и (К i 1 р i Y.)
1. Ober lineare normale Transformationen im Hilbertschen Raum, Ann.
Acad. Sci. Fennicae, Ser. A 1, №. 154 (1953), 38.
Киносита (Kinoshita S.)
1. On essential components of the set of fixed points, Osaka Math. J.*
4 (1952), 19—22.
Кларксон (Clarkson J. А.), см. также Адамс
1. Uniformly convex spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 40 (1936), 396—*
414.
2. A characterization of C-spaces, Ann. oft Math. (2), 48 (1947), 845—»
850.
Кларксон и Эрдёш (Clarkson J. A., Erdos P.)
1. Approximation by polynomials, Duke Math. J., 10 (1943), 5—11.
Клейнекке (К 1 ei песке D. С.)
1. A generalization of complete continuity. Technical Report No. 3 to the
Office of Ordinance Research, University of California, Berkeley (1954).
2. Degenerate perturbations. Technical Report No. 1 to the Office of Ordi-
nance Research, University of California, Berkeley (1953).
3. Finite perturbations and the essential spectrum. Technical Report
No. 4 to the Office of Ordinance Research, University of California,
Berkeley (1954).
К л и (Klee V. L., Jr.)
1. The support property of a convex set in a linear normed space, Duke
Math. J., 15 (1948), 767—772.
2. Dense convex sets, Duke Math. J., 16 (1949), 351—354.
3. Convex sets in linear spaces, Duke Math. J., 18 (1951), 443—466.
4. Convex sets in linear spaces, II, Duke Math. J., 18. (1951), 875—883.
5. Invariant extensions of linear functionals, Pacific J. Math., 4 (1954),
37—46.
6. Invariant metrics in groups (Solution of a problem of Banach), Proc.
Amer. Math. Soc., 3 (1952), 484—487.
7. Some characterizations of reflexivity, Revista Ci., Lima, 52 (1950),.
15—23.
8. Convex bodies and periodic homeomorphisms in Hilbert space, Trans.
Amer. Math. Soc., 74 (1953), 10—43.
Клиффорд (Clifford A. H.), см. M а й к а л
Кнезер (Kneser A.)
1. Untersuchungen fiber die reellen Nullstellen der Integrate linearer Dif-
ferentialgleichungen, Math. Ann., 42 (1893), 409—435.
2. Untersuchungen fiber die Darstellung willkiirlicher Funktionen in der
mathematischen Physik, Math. Ann., 58 (1904), 81—147.
3. Beitrage zur Theorie der Sturm — Liouvilleschen Darstellung will-
kiirlicher Funktionen, Math. Ann., 60 (1905), 402—423.
4. Die Theorie der Integralgleichungen und die Darstellung willkiirlicher
Funktionen in der mathematischen Physik, II, Nachr. Akad. Wiss. Got-
tingen, Math.-Phys. KI. (1906), 213—252.
Кнопп (Knopp K.)
1. Theory of functions, I, II. Dover Publications, New York, 1945, 1947.
Коб ep (Kober H. A.)
1. A theorem on Banach spaces, Compositio Math., 1 (1939), 135—140.
Ковалевский (Kowalewski G.)
1. Einfiihrung in die Determinantentheorie. Second ed., W. de Gruyter,
Berlin and Leipzig, 1925.
986
Библиография
К о д а и р а (К о d a i г а К.), см. также Какутани
1. On ordinary differential equations of any even order and the correspon-
ding eigenfunction expansions, Amer. J. Math., 72 (1950), 502—544.
2. On some fundamental theorems in the theory of operators in Hilbert
space, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 15 (1939), 207—210.
3. Ober die Beziehung zwischen den Massen und den Topologien in einer
Gruppe, Proc. Phys.-Mat. Soc. Japan (3), 23 (1941), 67—119.
4. The eigenvalue problem for ordinary differential equations of the second
order and Heisenberg’s theory of S-matrices, Amer. J. Math., 71 (1949),
921—945.
5. On singular solutions of second order differential operators, I. II.
I. Sugaku, 1 (1948), 177—191.
II. Там же, 2 (1948), 113—139.
К о д д и н г т о н (С о d d i n g t о n E. A.)
1. On the spectral representation of ordinary self-adjoint differential ope-
rators, Proc. Nat. Acad. Sci., 38 (1952), 732—737.
2. The spectral representation of ordinary self-adjoint differential opera-
tors, Ann. of Math. (2), 60 (1954), 192—211.
3. A characterization of ordinary self-adjoint differential systems (abstract),
Bull. Amer. Math. Soc., 58 (1952), 42.
4. The spectral matrix and Green’s function for singular self-adjoint boun-
dary value problems, Canadian J. Math., 6 (1954), 169—185.
Коддингтон и Левинсон (C oddington Е. A., Levinson N.)
1. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, М., ИЛ, 1958
(1955).
2. On the nature of the spectrum of singular second order linear differen-
tial operators, Canadian J. Math., 3 (1951), 335—338.
3. Perturbations of linear systems with constant coefficients possesing
periodic solutions. Contribution to the theory of non-linear oscillations
II, 19—35, Princeton, 1952.
Козлов В. Я.
1. О базисах в пространстве Ь2 (0,1), Матем. сб., 26 (68) (1950), 85—102.
2. О одном обобщении понятия базиса, ДАН СССР, 73 (1950), 643—646.
К о л л а ц (Collatz L.)
1. Eigenwertprobleme und ihre numerische Behandlung, Akademischer
Verlag, Leipzig, 1945.
Коллинз (Collins H. S.)
1. Completeness and compactness in linear topological spaces, Trans. Amer.
Math. Soc., 79 (1955), 256—280.
Колмогоров A. H., см. также Гельфанд
1. Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes,
Studia Math., 5 (1934), 29—33.
2. Ober Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im Mit-
tel, Nachr. Ges. Gottingen, Math.-Phys. KI- (1931), 60—63.
3*. О линейной размерности топологических векторных пространств,
ДАН СССР, 120 (1958), 239—241.
4*. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем
и автоморфизмов пространств Лебега, ДАН СССР, 119 (1958), 861—864.
5*. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте авто-
морфизмов, ДАН СССР, 124 (1959), 754—755.
Колмогоров А. Н. иФомин С. В.
1*. Элементы функционального анализа, изд. МГУ, вып. 1, 1954; вып.
2, 1960.
К о м а туд з а к и (Komatuzaki Н.)
1. Sur les projections dans certains espaces du type (B), Proc. Imp. Acad,
Tokyo, 16 (1940), 274—279.
Библиография
987
2. Une remarque sur les projections dans certains espaces du type (B),
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 17 (1941), 238—240.
Koh (Kohn W.), см. Йост
Коосис (Koosis P.)
1. Sur un theoreme remarquable de M. Malliavin, C. R. Acad. Sci.,
Paris, 249 (1959), 352—354.
Кордес (Cordes H. O.)
1. Separation des Variablen in Hilbertschen Raumen, Math. Ann., 125
(1953), 401—434.
2. Der Entwicklungssatz nach Produkten bei singularen Eigenwertproble-
men partieller Differentialgleichungen,die durch Separation zeriallen,
Nachr. Akad. Cottingen, Math.-Phys. KI. (1954), 51—69.
Костюченко А. Г., см. также Гельфанд И. М.
1 *. Асимптотическое распределение собственных значений эллиптических
операторов, ДАН СССР, 158, 1 (1964), 42—45.
2*. Асимптотика спектральной функции для сингулярного дифференци-
ального оператора 2/п-порядка, ДАН СССР, 168 (1966), 276—279.
Костюченко А. Г. и Митягин Б. С.
1 *. Многомерная проблема моментов, ДАН СССР, 131, 6 (1960), 1249—1259
2*. Положительно определенные функционалы на ядерных простран-
ствах, Труды Моск, матем. об-ва, 9 (I960), 29—88.
Костюченко А. Г. иСкороход А. В.
1. Об одной теореме Н. К- Бари, У МН, 8 : 5 (57), (1953), 165—166.
Котляр (С о t 1 а г М.).
1. On a theorem of Beurling and Kaplansky, Pacific J. Math., 4 (1954),
459—465.
Котляр и Рикабарра (Cotlar M., R i c a b a r r a R. A.)
1. On transformations of sets and Koopman’s operators, Revista Union
Mat. Argentina, 14 (1950), 232—254.
К о ш и (С a u c h у A.)
1. Oeuvres, ser. I, t. 12, Gauthier-Villars, Paris, 1900.
2. Oeuvres, ser. II, t. 3, Gauthier-Villars, Paris, 1900.
Коэн И. (Co h en I. S.)
1. On non-Archimedean normed spaces, Nederl. Akad. Wetensch., Proc.,
51 (1948), 693—698.
Коэн Л. (С о h e n L. W.)
1. Transformations on spaces of infinitely many dimensions, Ann. of
Math. (2), 37 (1936), 326—335.
2. On the mean ergodic theorem, Ann. of Math. (2), 41 (1940), 505—509.
Коэн JI. иДанфорд (Cohen L. W., Dunford N.)
1. Transformations on sequence spaces, Duke Math. J., 3 (1937), 689—701.
К p а м e p В. (K r a m e г V. A.)
1. Investigations in asymptotic perturbation series. Dissertation, Univ,
of California at Berkeley, 1954.
2. Asymptotic inverse series, Proc. Amer. Math. Soc., 7 (1956), 429—437.
Крамер Г. (К r a m e r H. P.)
1. Perturbation of differential operators. Dissertation, Univ, of California
at Berkeley, 1954.
Крамере (Kramers H. A.)
1. Wellenmechanic und halbzahlige Quantisierung, Zeitschrift fiir Phys.,
39 (1926), 828—846.
2. Das Eigenwertproblem in eindimensional periodischen Kraftfelde,
Physica, 2 (1935), 483—490.
Красносельский M. А., см. также К p”e й н M. Г.
1. О некоторых типах расширений эрмитовых операторов, Укр. матем.
ж., 2 (1950), 74—83.
988
Библиография
2. О самосопряженных расширениях эрмитовых операторов, Укр. матем,
ж., 1 (1949), 21—38.
3. О дефектных числах замкнутых операторов, ДАН СССР, 56 (1947),
559—562.
4. О расширении эрмитовых операторов с неплотной областью определе-
ния, ДАН СССР, 59 (1948), 13—16.
5* . Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз, М., 1962.
Красносельский М.А. и Рутицкий Я. Б.
1. К теории пространств Орлича, ДАН СССР, 81 (1951), 497—500.
2. Линейные интегральные операторы в пространствах Орлича, ДАН
СССР, 85 (1952), 33—36.
3. Дифференцируемость нелинейных интегральных операторов в про-
странствах Орлича, ДАН СССР, 89 (1953), 601—604.
Крачковский С. Н., см. также Гольдман М. А.
1. Каноническое 'представление нуль-элементов линейного оператора
в его области Фредгольма, ДАН СССР, 88 (1953), 201—204.
2. О свойствах линейного оператора, связанных с его обобщенной обла-
стью Фредгольма, ДАН СССР, 91 (1953), 1011—1013.
3. О расширенной области сингулярности оператора 1\ — Е — ХА,
ДАН СССР, 96 (1954), 1101 — 1104.
Крачковский С. Н. и Виноградов А. А.
1. Об одном критерии равномерной выпуклости пространства типа (В),
У МН, 7 : 3 (49), (1952), 131 — 134.
Крачковский С. Н. и Гольдман М. А.
1. О главной части вполне непрерывного оператора, ДАН СССР, 70’
(1950), 945—948.
2. Нуль-элементы и нуль-функционалы вполне непрерывного опера-
тора, Изв, Латв, ССР, 6 (1950), 87—100.
3. Некоторые свойства вполне непрерывного оператора в пространстве
Гильберта, Изв. Латв. ССР, 10 (1950), 93—106.
Крейн М. Г., см. также Гантмахер Ф. Р., Гросберг Ю. Ц.,
Гохберг И. Ц.
1. О некоторых вопросах геометрии выпуклых ансамблей, принадле-
жащих линейному нормированному и полному пространству, ДАН
СССР, 14 (1937), 5—8.
2. О линейных операторах, оставляющих инвариантным некоторое
коническое множество, ДАН СССР, 23 (1939), 749—752.
3. Основные свойства нормальных конических множеств в простран-
стве Банаха, ДАН СССР, 28 (1940), 13—17.
4. О минимальном разложении линейного функционала на положитель-
ные составляющие, ДАН СССР, 28 (1940), 18—22.
5. О положительных функционалах на почти периодических функциях,
ДАН СССР, 30 (1941), 9—12.
6. Об одном обобщении теоремы Планшереля на случай интегралов
Фурье на коммутативной топологической группе, ДАН СССР, 30
(1941), 482—486.
7. Бесконечные /-матрицы и матричная проблема моментов, ДАН СССР,
69 (1949), 125—128.
8. О формуле следов в теории возмущений, Матем. сб., 33 (75), (1953),
597—626.
9. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмито-
вых операторов и ее приложения, I, II.
I. Матем. сб., 20 (62), (1947), 431—498.
II. Там же, 21 (63), (1947), 365—404.
10. О несимметрических осцилляционных функциях Грина обыкновен-
ных дифференциальных операторов, ДАН СССР, 25 (1939), 643—646.
Библиография
989
11. Об одном общем методе разложения положительно определенных
ядер на элементарные произведения, ДАН СССР, 53 (1946), 3—6.
12. Про ермитов! оператор! з напрямними функщоналами, Сб. трудов
ин-та матем. АН Укр. ССР, 10 (1948), 83—106.
13. Об одномерной сингулярной краевой задаче четного порядка в интер-
вале (0, оо), ДАН СССР, 74 (1950), 9—12.
14. Решение обратной задачи Штурма — Лиувилля, ДАН СССР, 76
(1951), 21—24.
15. О некоторых задачах на максимум и минимум для характеристических
чисел и о ляпуновских зонах устойчивости, ПММ, 15 (1951), 323—348.
16. О неопределенном случае краевой задачи Штурма — Лиувилля
в интервале (0, оо), Изв. АН СССР, 16 (1952), 293—324.
17. О некоторых случаях эффективного определения плотности неодно-
родной струны по ее спектральной функции, ДАН СССР, 93 (1953),
617—620.
18. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи,
ДАН СССР, 94 (1954), 987—990.
19. Определение плотности неоднородной симметрической струны по
спектру ее частот, ДАН СССР, 76 (1951), 345—348.
20. К теории линейных несамосрпряженных операторов, ДАН СССР,
130, № 2 (1960), 254—256.
21. О признаках полноты системы корневых векторов диссйпативного
оператора, УМН, 14, вып. 3 (87), (1959), 145—152.
Крейн М. Г. и Красносельский М. А.
1. Устойчивость индекса неограниченного оператора, Матем. сб., 30
(72), (1952), 219—224.
2. Основные теоремы о расширении эрмитовых операторов и некоторые
их применения к теории ортогональных полиномов и проблеме момен-
тов, УМН, 2 : 3 (19), (1947), 60—106.
Крейн М. Г., Красносельский М. А. иМильман Д. П.
1. О дефектных числах линейных операторов в банаховом пространстве
и о некоторых геометрических вопросах, Сб. трудов Ин-та матем.
АН Укр. ССР, 11 (1948), 97—112.
Крейн М. Г. иКрейн С. Г.
1. Об одной внутренней характеристике пространства всех непрерыв-
ных функций, определенных на хаусдорфовом бикомпактном про-
странстве, ДАН СССР, 27 (1940), 427—431.
2. Sur 1’espace des fonctions continues definies sur un bicompact de Haus-
dorff et ses sousespaces semiordonnes, Матем. сб., 13 (55), (1943), 1—38.
Крейн M. Г. иМильман Д. П.
1. On extreme points of regularly convex sets, Studia Math., 9 (1940),
133—138.
Крейн M. Г., M и л ь м а н Д. П. и P у т м а н M. A.
1. Об одном свойстве базиса в пространстве Банаха, Харьков, Зап.
матем. об-ва, (4), 16 (1940), 106—ПО.
Крейн М. Г. иРутман М. А.
1. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в простран-
стве Банаха, УМН, 3, вып. 1 (23), (1948), 3—95.
Крейн М. Г. иШмульян В. Л. (Krein М., S m u 1 i a n V.)
1. On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space,
Ann. of Math., 41 (1940), 556—583.
К p e й н С. Г., см. К p e й н M. Г.
Кристиан (Christian R. R.)
1. On integration with respect to a finitely additive measure whose values
lie in a Dedekind complete partially ordered vector space, Dissert.,
Yale Univ. (1954).
990
Библиография
Кронин (Cronin J.)
1. Branch points of solutions of equations in Banach space, Trans. Amer.
Math. Soc., 69 (1950), 105—131.
2. Branch points of solutions of equations in Banach space, II, Trans.
Amer. Math. Soc., 76 (1954), 207—222.
3. A definition of degree for certain mappings in Hilbert space. Amer.
J. Math., 73 (1951), 763—772.
4. Analytic functional mappings, Ann. of Math. (2), 58 (1953), 175—181..
Кук (Cooke R. G.)
1. Linear operators, Macmillan, London, 1953.
Кунисава (К unisaw a K.)
1. Some theorems on abstractly-valued functions in an abstract space,.
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 16 (1940), 68—72.
Купер (Cooper J. L. B.)
1. The spectral analysis of self-adjoint operators, Quart. J. Math. (Oxford),.
16 (1945), 31—48.
2. Symmetric operators in Hilbert space, Proc. London Math. Soc. (2), 50
(1948), 11—55.
3. One-parameter semi-groups of isometric operators in Hilbert space,.
Ann. of Math. (2), 48 (1947), 827—842.
Купмен (Koopman В. O.)
1. Hamiltonian systems and transformations in Hilbert space, Proc. Nat.
Acad. Sci. U.S.A., 17 (1931), 315—318.
Купмен и Д у б (Koopman В. О., Doob J. L.)
1. On analytic functions with positive imaginary parts, Bull. Amer. Math.
Soc., 40 (1934), 601—605.
Курант и Гильберт (Courant R., Hilbert D.)
1. Методы математической физики, M.— Л., Гостехиздат, 1951 (1924r
1937).
2*. Курант Р., Уравнения с частными производными, «Мир», М.г
1964.
Курант и Лакс (Courant R., Lax А.)
1. Remarks on Cauchy’s problem for hyperbolic partial differential equa-
tions with constant coefficients in several independent variables, Comm.
Pure Appl. Math., 8 (1955), 497—502.
Куратовский (Kuratowski C.)
1. Sur la propriete de Baire dans les groupes metriques, Studia Math.,
4 (1933), 38—40.
К у p о ш А. Г.
1*. Курс высшей алгебры, Физматгиз, М., 1962.
2*. Теория групп, М.—Л. Гостехиздат, 1953.
3*. Лекции по общей алгебре, Физматгиз, М., 1962.
Кюршак (Kurschak J.)
1. Ober Limesbildung und allgemeine Korpertheorie, J. Reine Angew.
Math., 142 (1912), 211—253.
Лаасрнен (L a a s о n e n P.)
1. Ober die Naherungslosungen der Sturm — Liouvilleschen Eigenwert-
aufgabe, Proc. XII Scand. Math. Congress Lund, 1953 (1954), 176—182.
Лаврентьев M. A.
1. Sur les fonctions d’une variable complexe representables par des series
de polynomes, Act. Sci. Ind., 441, Paris, 1936.
Л a rep p (Laguerre E. N.)
1. Sur le calcul des systemes lineaires, Oeuvres, t. I (1898), 221—267.
Лагранж (Lagrange J. L.)
1. Oeuvres, t. 3, Gauthier—Villars, Paris, 1869.
2. Oeuvres, t. 1, Gauthier — Villars, Paris, 1867.
Библиография
991
Лакс A. (Lax А.), см. Курант
Лакс П. (L а х Р. D.)
1. On the existence of Green’s function, Proc. Amer. Math. Soc., 3 (1952),
526—531. Исправл. там же, 3 (1952), 993.
2. Symmetrizable linear transformations, Comm. Pure Appl. Math., 7
(1954), 633—647.
3. Reciprocal extremal problems in function theory, Comm. Pure Appl.
Math., 8 (1955), 437—453.
4* . On Cauchy’s problem for hyperbolic equations and the differentia-
bility of solutions of elliptic equations, Comm. Pure Appl. Math.,.
8 (1955), 615—633. [Есть русский перевод: сб. Математика, 1 : 1
(1957), 43—59.]
5* . A Phragmen — Lindelof theorem in harmonic analysis and its applica-
tion to some questions in the theory of elliptic equations, Comm. Pure
Appl. Math., 10 (1957), 361—389. [Есть русский перевод: сб. Матема-
тика, 3 : 4 (1959), 107—132.]
Лакс П. иМильграм (Lax Р. D., Milgram A. N.)
1. Parabolic equations. Contributions to the theory of partial differential
equations, 167—190, Ann. of Math. Studies, № 33, Princeton, 1954.
Ламсон (Lamson K. W.)
1. A general implicit function theorem with an application to problems
of relative minima, Amer. J. Math., 42 (1920), 243—256.
Лангер (Langer R. E.), см. также Б и p к г о ф Дж.
1. On the connection formulas and the solutions of the wave equation,
Phys. Rev., 51 (1937), 669—676.
2. On the wave equation with small quantum numbers, Phys. Rev., 75
(1949), 1573—1578.
3. The expansion problem in the theory of ordinary differential systems
of the second order, Trans. Amer. Math. Soc., 31 (1929), 868—906.
Ландау (Landau E.)
1. Uber einen Konvergensatz, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-
Phys. KI. Ila 1907 (1907), 25—27.
2. Ober einen Satz von Herrn Esclangon, Math. Ann., 102 (1929), 177—178.
Л а с а л ь (LaSalle J. P.)
1. Pseudo-normed linear spaces, Duke Math. J., 8 (1941), 131—135.
2. Application of the pseudo-norm to the study of linear topological spaces,
Revista Ci., Lima, 47 (1945), 545—563.
3. Singular measurable sets and linear functions, Math. Mag., 22 (1948),
67—72.
Латшоу (Latshaw V. V.)
1. The algebra of self-adjoint boundary-value problems, Bull. Amer. Math
Soc., 39 (1933), 969—978.
Лаурикайнен (Laurikainen К. V.)
1. Asymptotic eigensolutions of the radical deuteron equations, Ann.
Acad. Sci. Fennicae, Ser. A I, № 130 (1952), 10.
Лебег (Lebesgue H.)
1. Sur les integrates singuliers, Ann. de Toulouse (3), 1(1909), 25—117.
2. Интегрирование и отыскание примитивных функций, М., 1934(1904).
Леви Б. (Levi В.)
1. Sul principio di Dirichlet, Rend, del Circolo Matem. di Palermo, 22
(1906), 293—360.
Леви П. (Levy P.)
1. Problemes concrets d’analyse fonctionnelle. Avec un complement
sur les fonctionnelles analytiques par F. Pellegrino, Gauthier — Vil-
lars, Paris, Second edition 484, 1951.
2. Lemons d’analyse fonctionnelle, Gauthier — Villars, Paris, 1922.
992
Библиография
Лё в и г (Lowig Н.)
1. Komplexe euklidische Raume von beliebiger endlicher oder unendlicher
Dimensionszahl, Acta Sci. Math. Szeged., 7 (1934), 1—33.
Левинсон (Levinson N.), см. также Боас M. иКоддингтон
1. Gap.and density theorems, Amer. Math. Soc. Colloquium. Pub., vol. 26,
New York, 1940.
2. Criteria for the limit-point case for second order linear differential ope-
rators, Casopis Pest. Mat. Fys., 74 (1949), 17—20.
3. On the uniqueness of potential in a Schrodinger equation for a given
asymptotic phase, Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 25, 9 (1949), 25.
4. The inverse Sturm — Liouville problem, Mat. Tidsskr. B. (1949), 25—30.
5. A simplified proof of the expansion theorem for singular second order
linear differential equations, Duke. Math. J., 18 (1951), 57—71.
6. Addendum to «А simplified proof of the expansion theorem for singular
second order differential equations», Duke Math. J., 18 (1951), 719—722.
7. The L-closure of eigenfunctions associated with self-adjoint boundary
value problems, Duke Math. J., 19 (1952), 23—26.
8. Certain relationships between phase shifts and scattering potential,
Phys. Rev., 89 (1953), 755—757.
9. The expansion theorem for singular self-adjoint linear differential ope-
rators, Ann. of Math. (2), 59 (1954), 300—315.
Левитан Б. M., см. также Гельфанд И. M.
1. Применения операторов обобщенного сдвига к линейным дифферен-
циальным уравнениям второго порядка, УМН, 4:1, 29(1949), 3—112.
2. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений
второго порядка, М.— Л., Гостехиздат, 1950.
3. К теореме разложения по собственным функциям дифференциальных
уравнений второго порядка, ДАН СССР, 71 (1950), 605—608.
4. Доказательство теоремы разложения по собственным функциям само-
сопряженных дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 73 (1950),
651—654.
5. Об одной теореме Г. Вейля, ДАН СССР, 82 (1952), 673—676.
6. О полноте квадратов собственных функций, ДАН СССР, 83 (1952),
349—352.
7. Об асимптотическом поведении спектральной функции и о разложении
по собственным функциям самосопряженного дифференциального
уравнения второго порядка, I, II.
I. Изв. АН СССР, сер. матем., 17 (1953), 331—364.
II. Там же, 19 (1955), 33—58.
8*. Почти периодические функции, Гостехиздат, М., 1953.
9*. Об асимптотическом поведении функции Грина и разложении по соб-
ственным функциям уравнения Шредингера, Матем. сб., 41 (4),
(1957), 439—458.
Левитан Б. М. и Гасымов М. Г.
1*. Определение дифференциального уравнения по двум спектрам, УМН,
19 (2), (1964), 3—63.
Л ё в н ер (L owner К.)
1. Grundziige einer Inhaltslehre im Hilbertschen Raume, Ann. of Math.
(2), 40 (1939), 816—833.
Лежанский (Lezanski T.)
1. The Fredholm theory of linear equations in Banach spaces, Studia Math.,
13хП953), 244—276.
2. Sur les fonctionnelles multiplicatives, Studia Math., 14 (1953), 13—23.
Лейтон (Leighton W.)
1. Bounds for the solutions of a second order linear differential equation,
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 35 (1949), 190—193.
Библиография
993
2. On self-adjoint differential equations of the second order, Proc. Nat.
Acad. Sci. U.S.A., 35 (1949), 656—657.
3. On the detection of the oscillation of a second order linear differential
equation, Duke Math. J., 17 (1950), 57—62.
4. On self-adjoint differential equations of second order, J. London Math.
Soc., 27 (1952), 33—47.
Л e й я (L e j a F.)
1. Sur la notion du groupe abstrait topologique, Fund. Math., 9 (1927), 37—44.
Леньель (Lengyel B. A.)
1. On the spectral theorem of self-adjoint operators, Acta Sci. Math. Sze-
ged, 9 (1939), 174—186.
2. Bounded self-adjoint operators and the problem of moments, Bull.
Amer. Math. Soc., 45 (1939), 303—306.
Леньель и Стоун (Lengyel В. A., Stone M. H.)
1. Elementary proof of the spectral theorem, Ann. of Math. (2), 37 (1936),
853—864.
Лере (Leray J.)
1. La theorie des points fixes et ses applications en analyse, Proc. Interna-
tional Congress Math., Cambridge, Mass., 2 (1950), 202—208.
2. Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme completement
continu d’un espace vectoriel a voisinages convexes, Acta Sci. Math.
Szeged, 12 Pars В (1950), 177—186. [Есть русский перевод: сб. Мате-
матика, 4:5 (1960), 73—83.]
3. Topologie des espaces abstraits de M. Banach, C.R. Acad. Sci. Paris,
200 (1935), 1082—1084.
4. Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients, Inst. Adv.
Studies, Princeton, 1952.
Лефшец (Lefschetz S.)
1. Алгебраическая топология, M., ИЛ, 1949 (1942).
2. Introduction to topology, Princeton University Press, Princeton, 1949.
Ливингстон (Livingston A. E.)
1. The space H&, 0 < p < 1, is not normable, Pacific J. Math., 3 (1953),
613—616.
Лившиц M. С., см. также Бродский M. С.
1. Изометрические операторы с равными дефектными числами, квази-
унитарные операторы, Матем. сб., 26 (68), (1950), 247—264.
2. О приведении линейных неэрмитовых операторов к треугольному
виду, ДАН СССР, 84 (1952), 873—876.
3. О резольвенте линейного несимметрического оператора, ДАН СССР,
84 (1952), 1131—1134.
4. О спектральном разложении линейных несамосопряженных опера-
торов, Матем. сб., 34 (76), (1954), 144—199.
5. К теории самосопряженных систем дифференциальных уравнений.
ДАН СССР, 72 (1950), 1013—1016.
6*.Об одном применении теории эрмитовых операторов к обобщенной
проблеме моментов, ДАН СССР, 44, 1 (1944), 3—7.
Лившиц М. С. иПотапов В. П.
1. Теорема умножения характеристических матриц-функций, ДАН'
СССР, 72 (1950), 625—628.
Л'и дер (Leader S.)
1. The theory of L^-spaces for finitely additive set functions, Ann. Math
(2), 58 (1953), 528—543.
Лидский В. Б.
1. О числе решений с интегрируемым квадратом системы дифференциаль-
ных уравнений у" P(t)y = Xy, ДАН СССР, 95 (1954), 217—220.
2*.Условие полноты системы корневых подпространств у несамосопря-
63 Заказ № 1 34
994
Библиография
женных операторов с дискретным спектром, Труды моек, матем. о-ва.
8 (1958), 83—120.
Линдгрен (Lindgren В. W.), см. Камерон
Л и т л в у д (Littlewood J.), см. также Харди
1. The theory of group characters and matrix representations of groups,
Oxford, Clarendon Press, 1950.
Литл в уд и Пэли (Littlewood J., Paley R.E.A.C.)
1. Theorems on Fourier series and power series, I, II.
I. J. London tylath. Soc., 6 (1931), 230—233.
II. Proc. London Math. Soc. (2), 42 (1937), 52—89.
Лиувилль (Liouville J.)
1. Sur le developpement des fonctions en series dont les divers termes sont
assujeties a satisfaire a une meme equation differentielle du second ordre
contenant un parametre variable, I—III.
I. J. Math. Pares Appl. (1), 1 (1836), 253—265.
II. Там же (1), 2 (1837), 16—37.
III. Там же (1), 2 (1837), 418—436.
2. D’un theoreme dO a M. Sturm et relatif a une classe de fonctions trans-
cendantes, J. Math. Pares Appl. (1), 1 (1836), 269—277.
Лифшиц И. M.
l. -K теории регулярных возмущений, ДАН СССР, 48 (1945), 83—86.
2. О вырожденных регулярных возмущениях, I, II.
I. Журн. экспер. и теоретич. физ., 17 (1947), 1017—1025.
II. Там же, 17 (1947), 1076—1089.
3. Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статисти-
кой, УМН, 7 : 1 (52) (1952), 171 — 180.
4. О регулярных возмущениях оператора с квазинепрерывным спектром
Хрк., Зап. мат. об-ва (4), 20 (1950), 77—82.
Лихтенштейн (Lichtenstein L.)
1. Zur Analysis der unendlichvielen Variablen. I. Entwicklungssatze der
Theorie gewohnlicher linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung,
Rend. Circ. Mat. Palermo, 38 (1914), 113—166.
Ловалья (Lovaglia A. R.)
1. Locally uniformly convex Banach spaces, Trans. Amer. Math. Soc.,
78 (1955), 225—238.
Лоре нц (Lorentz G. G.)
1. On the theory of spaces A, Pacific J. Math., 1 (1951), 411—429.
2. Some new functional spaces, Ann. of Math. (2), 51 (1950), 37—55.
3. Operations in linear metric spaces, Duke Math. J., 15 (1948), 755—761.
4. Funktionale und Operationen in den Raumen der Zahlenfolgen, ДАН
СССР, 1 (1935), 81—85.
Лорх (Lorch E. R.) см. также Рисе Ф.
1. Bicontinuous linear transformations in certain vector spaces, Bull.
Amer. Math. Soc., 45 (1939), 564—569.
2. On a calculus of operators in reflexive vector spaces, Trans. Amer.
Math. Soc., 45 (1939), 217—234.
3. The Cauchy — Schwarz inequality and self-adjoint spaces, Ann. of
Math. (2), 46 (1945), 468—473.
4. On certain implications which characterize Hilbert space, Ann. of
Math. (2), 49 (1948), 523—532.
5. Return to the self-adjoint transformation, Acta Sci. Math. Szeged,
12, Pars В (1950), 137—144.
6. The spectrum of linear transformation, Trans. Amer. Math. Soc.,
52 (1942), 238—248.
7. The integral representation of weakly almost-periodic transformations
in reflexive vector spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 49 (1941.), 18—40.
Библиография
995
8. Means of iterated transformations in reflexive vector spaces, Bull.
Amer. Math. Soc., 45 (1939), 945—957.
9. The structure of normed abelian rings, Bull. Amer. Math. Soc., 50
(1944), 447—463.
10. The theory of analytic functions in normed abelian vector rings, Trans.
Amer. Math. Soc., 54 (1943), 414—425.
11. Functions of self-adjoint transformations in Hilbert space, Acta Sci.
Math. Szeged, 7 (1934), 136—146.
12. Differentiable inequalities and the theory of convex bodies, Trans.
Amer. Math. Soc., 71 (1951), 243—266.
13. Su certe estensioni del concetto di volume, Rend. Acc. Naz. Lincei
(8), 16 (1954), 25—29.
14. On the volume of smooth convex bodies in Hilbert space, Math. Zeit.,
61 (1955), 391—407.
Лукомский T. И.
1. к теории матричных представлений неограниченных самосопряжен-
ных операторов, ДАН СССР, 70 (1950), 377—379.
Люмер (burner G.), см. Халмош
Люмис (Loomis L. Н.)
1. Введение в абстрактный гармонический анализ, М., ИЛ, 1956 (1953).
2. Linear functionals and content, Amer. J. Math., 76 (1954), 168—182.
3. Abstract congruence and the uniqueness of Haar measure, Ann. of
Math. (2), 46 (1945), 348—355.
4. Haar measure in uniform structures, Duke Math. J., 16 (1949), 193—208.
5. On the representation of а-complete Boolean algebras, Bull. Amer.
Math. Soc., 53 (1947), 757—760.
Ma (Ma S. T.)
1. On a general condition of Heisenberg for the S-matrix, Phys. Rev., 71
(1947), 195—200.
Maak (Maak W.)
1. Fastperiodische Funktionen. Springer, Berlin, 1950.
M a e д a (Maeda F.), см. также О г а с а в a p a
1. Unitary equivalence of self-adjoint operators and constants of motion,
J. Sci. Hiroshima Univ., A, 6 (1936), 283—290.
Мазани (Masani P. R.)
1. Multiplicative Riemann integration in normed rings, Trans. Amer.
Math. Soc., 61 (1947), 147—192.
Мазур (Mazur S.), см. также Банах и Эйдельгайт
1. Ober konvexe Mengen in linearen normierte Raumen, Studia Math.,
4 (1933), 70—84.
2. Ober die kleinste konvexe Menge, die eine gegebene kompakte Menge
enthalt, Studia Math., 2 (1930), 7—9.
3. Ober schwache Konvergenz in den Raumen (Lp), Studia Math., 4 (1933),
128—133.
4. Une remarque sur I’homeomorphie des champs fonctionnels, Studia
Math., 1 (1929), 83—85.
5. Sur les anneaux lineaires, C. R. Acad. Sci. Paris, 207 (1938), 1025—
1027.
Мазур и Орлич (Mazur S., Orlicz W.)
1. Ober Folgen linearer Operationen, Studia Math., 4 (1933), 152—157.
2. Grundlegende Eigewschaften der polynomischen Operationen, I, II.
I. Studia Math., 5 (1934), 50—68.
II. Там же, 5 (1934), 179 — 189.
3. Sur les espaces metriques lineaires, I, II.
I. Studia Math., 10 (1948), 184—208.
II. Там же, 13 (1953), 137 — 179.
63*
996
Библиография
Мазур и У л а м (Mazur S., U 1 a m S.)
1. Sur les transformations isometriques d’espace vectoriels normes, C.R.
Acad. Sci. Paris, 194 (1932), 946—948.
Майерс (Myers S. B.)
1. Equicontinuous sets of mappings, Ann. of Math. (2), 47 (1946), 496—502.
2. Banach spaces of continuous functions, Ann. of Math. (2), 49 (1948),
132—148.
3. Spaces of continuous functions, Butt. Amer. Math. Soc., 55 (1949),
402—407.
4. Normed linear spaces of continuous functions, Bull. Amer. Math. Soc.,
56 (1950), 233—241.
Майкал (Michal A. D.)
1. General differential geometries and related topics, Bull. Amer. Math.
Soc., 45 (1939), 529—563.
Майкал и Клиффорд (Michal A. D., Clifford A. H.)
1* Fonctions analytiques implicites dans des espaces vectoriels abstracts,
C.R. Acad. Sci. Paris, 197 (1933), 735—737.
Майкал иМартин (Michal A. D., Martin R. S.).
1. Some expansions in vector space, J. Math. Pares et Appl. (9), 13 (1934),
69—91.
Майкал и Элконин (Michal A. D., Elconin V.)
1. Completely integrable differential equations in abstract spaces, Acta
Math., 68 (1937), 71—107.
Майкл (Michael E.)
1. Transformations from a linear space with weak topology, Proc. Amer.
Math. Soc., 3 (1952), 671—676.
2. Locally multiplicatively-convex topological algebras, Memoirs Amer.
Math. Soc., № 11, 1952.
Макай (M a k a i E.)
1. Asymptotische Abschatzung der Eigenwerte gewisser Differential-
gleichungen zweiter Ordnung, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (2), 10
(1941), 123—126.
Мак-Даффи (M a c D u f f e e С. C.)
1. The theory of matrices, Ergebnisse der Math, und ihrer Grenzgebiete,
vol. 2, Berlin, 1933.
Макинтайр и Рогоз и некий (Macintyre A. J., R о g о-
s i n s k i W. W.)
1. Extremum problems in the theory of analytic functions, Acta Math.,
82 (1950), 275—325.
Макки (Mackey G. W.), см. также Какутани
1. On convex topological linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 60
(1946), 519—537.
2. On infinite dimensional linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 57 (1945),
155—207.
3. Note on a theorem of Murray, Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), 322—325.
4. Commutative Banach algebras. Mimeographed lecture notes, Harvard
University, 1952.
5. Functions on locally compact groups, Bull. Amer. Math. Soc., 56 (1950),
385—412.
Мак-Лейн (MacLane S.), см. Б и p к г о ф Г.
Мак-Фейл (MacPhail М. S.)
1. Absolute and unconditional convergence, Bull. Amer. Math. Soc.,
53 (1947), 121 — 123.
Мак-Шейн (McShane E. J.)
1. Linear functionals on certain Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc.,
1 (1950), 402—408.
Библиография
997
2. Integration. Princeton University Press, Princeton, 1944.
3. Order-preserving maps and integration processes, Ann. of Math. Stu-
dies, № 31, Princeton Univ. Press, 1953.
4. Images of sets satisfying the condition of Baire, Ann. of Math. (2), 51
(1950), 380—386.
Мак-Эвен (McEwen W. H.)
1. Spectral theory and its application to differential eigenvalue problems,
Amer. Math. Monthly, 60 (1953), 223—233.
Малявен (Malliavin P. M.)
1. Sur 1 ’impossibilite de la synthese spectrale sur la droite, C.R. Acad.
Sci. Paris, 248 (1959), 2155—2157.
2. Sur 1’impossibilite de la synthese spectrale dans un algebre de fonctions
presque periodiques, C. R. Acad. Sci. Paris, 248 (1959), 1756 — 1759.
Мандельбройт (Mandelbrojt S.)
1. Un theoreme de fermeture, C.R. Acad. Sci. Paris, 231 (1950), 16—18.
2. Theoremes generaux de fermeture, C. R. Acad. Sci. Paris, 232 (1951),
284—286.
3. Theoremes d’approximation et problemes des moments, C. R. Acad.
Sci. Paris, 232 (1951), 1054 — 1056.
4. General theorems of closure, Rice Inst. Pamphlet, Houston, 1951.
5. Quelques theoremes d’unicite, Proc. International Cong. Math., Cam-
bridge, Mass., 1 (1950), 349—355.
6. Theoremes generaux de fermeture, J. Analyse Math., 1 (1951),
180—208.
7. Quelques nouveaux theoremes de fermeture, Ann. Soc. Polon. Math.,
25 (1952), 241—251 (1953).
Мандельбройт и Агмон (Mandelbrojt S., Agmon S.)
1. Une generalisation du theoreme tauberien de Wiener, C. R. Acad. Sci.
Paris, 228 (1949), 1394—1396.
2. Une generalisation du theoreme tauberien de Wiener, Acta Sci. Math.
Szeged., 12, Pars В (1950), 167 — 176.
Манроу (Munroe M. E.)
1. Absolute and unconditional convergence in Banach spaces, Duke Math.
J., 13 (1946), 351—365.
2. Introduction to measure and integration. Addison Wesley, Cambridge,
Mass., 1953.
3. A note on weak differentiability of Pettis integrals, Bull. Amer. Math.
Soc., 52 (1946), 167—174.
4. A second note on weak differentiability of Pettis integrals, Bull. Amer.
Math. Soc., 52 (1946), 668—670.
Маринеску (Marinescu G.), см. также И о н е с к у
1. Operations relativement completement continues, Acad. Republ. Pop.
Romdne, Stud. Cere. Mat., 2 (1951), 107 —194.
Марков A. A.
1. Некоторые теоремы об абелевых множествах, ДАН СССР, 1 (1936),
299—302.
2. On mean values and exterior densities, Матем. сб., 4 (46), (1938), 165—
191.
Маркушевич А. И.
1. О базисе (в широком смысле слова), ДАН СССР, 41 (1943), 241—243.
2. О наилучшем приближении, ДАН СССР, 44 (1944), 290—292.
3. Обобщение одной теоремы Д. Е. Меньшова, Матем. сб., 15 (57),
(1944), 433—436.
4*.Теория аналитических функций, Гостехиздат, М., 1950.
Мартин Р. (М а г t i n R. S.), см. M а й к а л
Мартин У. (М а г t i n W. T.),_ см. Камерон
998
Библиография
М а р у я м а (М а г и у m a G.)
1. Notes on Wiener integrals, Kodai Math. Sem. Rep. (1950), 41—44.
Марцинкевич (Marcinkiewicz J.)
1. Sur les multiplicateurs des series de Fourier, Studia Math., 8 (1939),
78—91.
Марчевский, см. Хартман С.
Марченко В. А.
1. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго
порядка, ДАН СССР, 72 (1950), 457—460.
2. О формулах обращения, порождаемых линейным дифференциальным
уравнением второго порядка, ДАН СССР, 74 (1950), 657—660.
3*. Теоремы тауберова типа в спектральном анализе дифференциаль-
ных операторов, Изв. АН СССР, сер. мат., 19 (1955), 381—422.
4*. Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн,
ДАН СССР, 104 (5), (1955), 695—698.
Маслов А. С.
1. К вопросу о product-интеграле Birkhoff’a, Ученые Зап. ЛГУ, матем.
сер. 12, 83 (1941), 42—56.
М а с л о в В. П.
1*.Теория возмущений и асимптотические методы, изд-во МГУ, 1965.
Маутнер (Mautner F. I.)
1. On eigenfunction expansions, Proc. Nat. Acad. U.S.A., 39 (1953),
49—53. [Есть русский перевод: УМН, 10: 4 (1955), 127—132.]
Махарам (М a h агат D.)
1. The representation of abstract measure functions, Trans. Amer. Math.
Soc., 65 (1949), 279—330.
2. The representation of abstract integrals, Trans. Amer. Math. Soc., 75
(1053), 154—184.
3. On kernel representation of linear operators, Trans. Amer. Math. Soc.,
79 (1955), 229—255.
Медведев Ю. T.
1. Два признака компактности семейств функций, ДАН СССР, 90 (1953),
337—340.
М е д д а у с (М a d d a u s I., Jr.)
1. On types of «weak» convergence in linear normed spaces, Ann. of Math.
(2), 42 (1941), 229—246.
2. On completely continuous linear transformations, Bull. Amer. Math.
Soc., 44 (1938), 279—282.,
МергелянС. H.
1. О представлении функций рядами полиномов на замкнутых множест-
вах, ДАН СССР, 78 (1951),. 405—408.
2. Равномерное приближение функций комплексного переменного,
УМН, 7:2 (48), (1952), 31—122.
Меркил (Mirkil Н.)
1. The work of Silov on commutative semi-simple Banach algebras. Techni-
cal Report, Contract 218 (00). Office of Naval Research.
Меррей (Murray F. J.)
1. On complementary manifolds and projections in spaces Lp and /„, Trans.
Amer. Math. Soc., 41 (1937), 138—152.
2. Quasi-complements and closed projections in reflexive Banach spaces,
Trans. Amer. Math. Soc., 58 (1945), 77—95.
3. The analysis of linear transformations, Bull. Amer. Math. Soc., 48
(1942), 76—93.
4. Linear transformations between Hilbert spaces and the application
of this theory to linear partial differential equations, Trans. Amer.
Math. Soc., 37 (1935), 301—338.
Библиография
9Э9
5. Linear transformations inLp, p > 1, Trans. Amer. Math. Soc., 39 (1936)
83—100.
6. Bilinear transformations in Hilbert space, Trans. Amer. Math. Soc.,
45 (1939), 474—507.
7. An introduction to linear transformations in Hilbert space, Ann. of
Math. Studies, № 4, Princeton, 1941.
M e p p e й и Дж. Нейман (Murray F. J., von Neumann J.)
1. On rings of operators, I, II, IV.
I. Ann. of Math. (2), 37 (1936), 116—229.
II. Trans. Amer. Math. Soc., 41 (1937), 208—248.
IV. Ann. of Math. (2), 44 (1943), 716—808.
Минусинский (Mikusinski J. G.)
1. Sur certains espaces abstraits, Fund. Math., 36 (1949), 125—130.
Миллер Д. (M i 1 1 e r D. S.), см. Данфорд
M и л л e p К. (M i 1 1 e г К. S.)
1. A Sturm — Lionville problem associated with iterative methods,
Ann. of Math. (2), 53 (1951), 520—530.
2. Construction of the Green’s function of a linear differential system,
Math. Mag., 26 (1952), 1—8.
3. Self-adjoint differential systems, Quart. J. Math., Oxford (2), 3 (1952),
175—178.
Миллер К. и Шиффер (Miller К. S., Schiffer M. M.)
1. On the Green’s function of ordinary differential systems, Proc. Amer.
Math. Soc., 3 (1952), 433—441.
2. Monotonic properties of the Green’s function, Proc. Amer. Math. Soc.,
3 (1952), 948—956.
Милн (Milne W. E.)
1. The behavior of a boundary value problem as the interval becomes
infinite, Trans. Amer. Math. Soc., 30 (1928), 797—802.
2. On the degree of convergence of expansions in an infinite interval,
Trans. Amer. Math. Soc., 31 (1929), 906—918.
3. The numerical determination of characteristic numbers, Phys. Rev.,
35 (1930), 863—867.
Мильграм (Milgram A. N.), см. П. Лакс
Мильман Д. П., см. также Бродский М. С. и К р е ц н М. Г.
1. О некоторых признаках регулярности пространств типа (В), ДАН
СССР, 20 (1938), 243—246.
2. Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множе-
ства, ДАН СССР, 57 (1947), 119—122.
3. Достижимые точки функционального компакта, ДАН СССР, 59
(1948), 1045—1048.
4. Изометрия и экстремальные точки, ДАН СССР, 59 (1948), 1241 —
1244.
5. Многометрические пространства. Анализ инвариантных подмножеств
многонормированного бикомпакта относительно полугруппы нерас-
ширяющих операторов в нем, ДАН СССР, 67 (1949), 27—30.
6. Экстремальные точки и центры выпуклых бикомпактов, У МН, 4 : 5
(33), (1949), 179—181.
7. Граневая структура выпуклого бикомпакта и интегральные разложе-
ния средних, ДАН СССР, 83 (1952), 357—360.
8. Об одной классификации точек спектра линейного оператора, ДАН
СССР, 33 (1941), 279—281.
Мильман Д. П. иРутман М. А.
1. Об одном уточнении теоремы о полноте системы экстремальных то-
чек регулярно-выпуклого множества, ДАН СССР, 60 (1948), 25—
27.
1000
Библиография
Мим у р а (М i m и г a Y.), см. также И о с и д а
1. Ober Funktionen von Funktionaloperatoren in einem Hilbertschen
Raum, Jap. J. Math., 13 (1936), 119—128.
Минковский (Minkowski H.)
1. Gesammelte Abhandlungen, Vol. II. Teubner, Berlin, 1911.
M и н л о с P. A.
I*.Обобщенные случайные процессы и их продолжение до меры. Труды,
моек. мат. о-ва, 8 (1958), 497—518.
Миранда (Miranda С.)
1. Problem! di esistenza in analisi funzionale. Litografia Tacchi, Pisa,
1949.
2. Sul principio di Dirichlet per le funzioni armoniche, Atti Accad. Naz.
Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8), 3 (1947), 55—59.
Митягин Б. С., см. Костюченко А. Г.
Михлин С. Г.
1. О сходимости рядов Фредгольма, ДАН СССР, 42 (1944), 387—390.
2*.Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, Физ-
матгиз, М., 1962.
Мишоу (Mishoe L. I.), см. также Фридман Б.
1. On the expansion of an arbitrary function in terms of the eigenfunctions
of a non-self-adjoint differential system. Dissert., New York University,
1953.
Мишоу и Форд (Mishoe L. I., F о r d G. C.)
1. Studies in the eigenfunction series associated with a non-self-adjoint
differential system, Tech. Report Nat. Sci. Foundation, 1955.
2. On the uniform convergence of a certain eigenfunction series, Pacific
J. Math., 6 (1956), 271—278.
Миядера (Miyadera I.)
1. Generation of a strongly continuous semi-group of operators, Tohoku
Math. J., 4 (2), (1952), 109—114.
Мозер (Moser J.)
1. Storungstheorie des kontinuierlichen Spektrums fiir gewohnliche Dif-
ferentialgleichungen zweiter Ordnung, Math. Ann., 125 (1953), 366—393.
Мозес (Moses H. E.), см. Ke й
Молчанов A. M.
1. Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциаль-
ных уравнений второго порядка, Труды моек. мат. о-ва, 2 (1953),
169—199.
М о н н а (М о n n a A. F.)
1. On a linear P-adic space, Nederl. Akad. Wetensch. Verslagen, Afd.
Natuurkunde, 52 (1943), 74—82.
2. On weak and strong convergence in a P-adic Banach space, Nederl.
Akad. Wetensch. Verslagen, Afd. Natuurkunde, 52 (1943), 207—211.
3. On non-Archimedean linear space, Nederl. Akad. Wetensch. Verslagen,
Afd. Natuurkunde, 52 (1943), 308—321.
4. Linear functional equations in non-Archimedean Banach spaces, Nederl.
Akad. Wetensch. Verslagen, Afd. Natuurkunde, 52 (1943), 654—661.
5. On ordered groups and linear spaces, Nederl. Akad. Wetensch. Verslagen,
Afd. Natuurkunde, 53 (1944), 178—182.
6. On the integral of a function whose values are elements of a non-Archi-
medean valued field, Nederl. Akad. Wetensch. Verslagen, Afd. Natuur-
kunde, 53 (1944), 385—399.
7. Sur les espaces lineaires normes, I—VI.
I. Nederl. Akad. Wetensch., Proc., 49 (1946), 1045—1055.
II. Там же, 49 (1946), 1056—1062.
III. Там же, 49 (1946), 1134—1141.
Библиография
1001
IV. Там же, 49 (1946), 1142—1152.
V. Там же, 51 (1948), 197—210.
VI. Там же, 52 (1949), 151 — 160.
8. Espaces lineaires a une infinite denombrable de coordonnee, Neder I.
Akad. Wetensch., Proc., 53 (1950), 1548—1559.
9. Sur une classe d’espaces lineaires normes, Nederl. Akad. Wetensch.,
Proc., 55 (1952), 513—525.
Монтролль (Montroll E. W.)
1. Markoff chains, Wiener integrals, and quantum theory, Comm. Pure
Appt. Math., 5 (1952), 415—453.
Mop (Mohr E.)
1. Die Konstruktion der Greenschen Funktion im erweiterten Sinne,
J. Reine Angew. Math., 189 (1951), 129—140.
Морс A. (M о r s e A. P.), см. также Адамс, Данфорд, Эгнью
1. A theory of covering and differentiation, Trans. Amer. Math. Soc., 55
(1944), 205—235.
Морс M. (Morse M.)
1. Bilinear functionals over С X C, Acta Sci. Math. Szeged, 12, Pars В
(1950), 41—48.
Морс и Трансю (Morse М., Т г a n s u е W.)
1. Functionals of bounded Frechet variation, Canadian J. Math., 1 (1949),
153—165.
2. Functionals F bilinear over the product A X В of two pseudo-normed
vector spaces, I, II.
I. Ann. of} Math. (2), 50 (1949), 777—815.
II. Там же (2), 51 (1950), 576—614.
3. Integral representations of bilinear functionals, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 35 (1949), 136—143.
4. The generalized Frechet variation and Riesz — Young — Hausdorff
type theorems, Rend. Circ. Mat. Palermo (2), 2 (1953), 5—35.
Московиц и Дайне (Moskovitz D., Dines L. L.)
1. Convexity in a linear space with an inner product, Duke Math. J., 5
(1939), 520—534.
2. On the supporting-plane property of a convex body, Bull. Amer. Math.
Soc., 46 (1940), 482—489.
M у p P. (M о о r e R. L.)
1. Foundations of point set theory. Amer. Math. Soc. Colloquium Publica-
tions, vol. 13, New York, 1932.
M у p Э. (M о о r e E. H.)
1. Introduction to a form of general analysis. The New Haven Math. Col-
loquium of the Amer. Math. Soc., 1906.
2. General analysis, I, II. Mem. Amer. Philos. Soc., Philadelphia, 1935,
1939.
Мюнц ( M ii n t z Ch. H.)
1. Ober den Approximationssatz von Weierstrass. Math. Abhandlungen
H. A. Schwarz gewidmet, Berlin (1914), 303—312.
H агата (Nagata J.)
1. On lattices of functions on topological spaces and of functions on uniform
spaces, Osaka Math. J., 1 (1949), 166—181.
H а г у м о (Nagumo М.)
1. Einige analytische Untersuchungen in linearen metrischen Ringen,
Jap. J. Math., 13 (1936), 61—80.
2. Degree of mapping in convex linear topological spaces, Amer. J. Math.,
73 (1951), 497—511.
3. Characterisierung der allgemeinen euklidischen Raume durch eine
Postulate fiir Schwerpunkte, Jap. J. Math., 12 (1936), 123—128.
1002
Библиография
Наймарк М. А., см. также Гельфанд И. М.
1. Положительно определенные операторные функции на коммутативной
группе, Изв. АН СССР, сер. матем., 7 (1943), 237—244.
2. Кольца операторов в гильбертовом пространстве, У МН, 4 : 4 (32),
(1949), 83—147.
3. Об одном представлении аддитивных операторных функций множеств,
ДАН СССР, 41 (1943), 373—375.
4. Об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов, ДАН
СССР, 82 (1952), 517—520.
5. Линейные дифференциальные операторы, М., Гостехиздат, 1954.
6. О квадрате замкнутого симметрического оператора, ДАН СССР, 26
(1940), 863—867.
7. О самосопряженных расширениях второго рода симметрического
оператора, Изв. АН СССР, сер. матем., 4 (1940), 53—104.
8. Спектральные функции симметрического оператора, Изв. АН СССР,
сер. матем., 4 (1940), 277—318.
9. О спектре сингулярных несамосопряженных дифференциальных
операторов второго порядка, ДАН СССР, 85 (1952), 41—44.
10. Исследование спектра и разложение по собственным функциям неса-
мосопряженных сингулярных дифференциальных операторов второго
порядка, У МН, 8:4 (56), (1953), 174—175.
11. О разложении по собственным функциям несамосопряженных диф-
ференциальных операторов второго порядка, ДАН СССР, 89 (1953),
213—216.
12. Исследование спектра и разложение по собственным функциям неса-
мосопряженного дифференциального оператора второго порядка
на полуоси, Труды моек. мат. об-ва, 3 (1954), 181—270.
13. Нормированные кольца, М., Гостехиздат, 1956.
14. Линейные представления группы Лоренца, У МН, 9, 4 (1954), 19—93.
Накамура (Nakamura М.)
1. Notes on Banach space, X. Vitali-Hahn-Saks’ theorem and K-spaces,
Tohoku Math. J. (2), 1 (1949), 101—108.
2. Notes on Banach space, XI. Banach lattices with positive bases, Tohoku
Math. J. (2), 2 (1950), 135—141.
3. Complete continuities of linear operators, Proc. Japan Acad., 27 (1951),
544—547.
Накамура и Суноути (Nakamura M., S u n о u c h i S.)
1. Note on Banach spaces (IV). On a decomposition of additive set func-
tions, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 (1942), 333—335.
Накамура* и Умегаки (Nakamura M., U m ega ki H.)
1. A remark on theorems of Stone and Bochner, Proc. Japan Acad., 27
(1951), 506—507.
Накано (Nakano H.)
1. Topology and linear topological spaces, Maruzen Co., Tokyo,
1951.
2. Modulared semi-ordered linear spaces, Maruzen Co., Tokyo, 1950.
3. Riesz-Fischerscher Satz im normierten teilweise geordneten Modul,
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 (1942), 350—353.
4. Ober Erweiterungen von allgemein teilweise geordneten Moduln, I,
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 (1942), 626—630.
5. Ober Erweiterungen von allgemein teilweise geordneten Moduln, II,
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 19 (1943), 138—143.
6. Modulared linear spaces, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I, 6 (1950),
85—131.
7. Zur Eigenwerttheorie normaler Operatoren, Proc. Phys.-Math. Soc.
Japan (3), 21 (1939), 315—339.
Библиография
1003
8. Ober Abelsche Ringe von Projektionsoperatoren, Proc. Phus.-Math.
Soc. Japan (3), 21 (1939), 357—375.
9. Unitarinvariante hypermaximale normale Operatoren, Ann. of Math.
(2), 42 (1941), 657—664.
10. Unitarinvarianten in allgemeinen Euklidischen Raum, Math. Ann.,
118 (1941), 112—133.
11. Funktionen mehrerer hypermaximaler normaler Operatoren, Proc.
Phys.-Math. Soc. Japan (3), 21 (1939), 713—728.
12. Modern spectral theory, Maruzen Co., Tokyo, 1950.
13. Spectral theory in the Hilbert space, Japan Soc. for Promotion of Sci.,
Tokyo, 1953.
14. Ober normierte teilweise geordnete Moduln, Proc. Imp. Acad. Tokyo,
17 (1941), 311—317.
15. Stetige lineare Funktionale auf dem teilweise geordnete Modul, J. Fac.
Sci. Imp. Univ. Tokyo, 4 (1942), 201—382.
16. Ober ein lineare Funktional auf dem teilweise geordneten Modul, Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 18 (1942), 548—552.
17. Ober den Beweis des Stoneschen Satzes, Ann. of Math. (2), 42 (1941),
665—667.
18. Reduction of Bochner’s theorem to Stone’s theorem, Ann. of Math.
(2), 49 (1948), 279—280.
Накаяма (Nakayama T.,) см. Иосида
H а’та н (Nathan D. S.)
1. One-parameter groups of transformations in abstract vector spaces,
Duke Math. J., 1 (1935), 518—526.
Натансон И. П.
1*.Теория функций вещественной переменной, М., Гостехиздат, 1950.
Нахбин (Nachbin L.)
1. On the axiom of the nonconvergent sequences in some linear topological
space, Revista Union Mat. Argentina, 12 (1947), 129—150.
2. A characterization of the normed vector ordered spaces of continuous
functions over a compact space, Amer. J. Math., 71 (1949), 701—705.
3. A theorem of the Hahn-Banach type for linear transformations, Trans.
Amer. Math. Soc., 68 (1950), 28—46.
Нейгауз M. Г.
1. Об определении асимптотики функции q(x) по свойствам спектральной
функции оператора — у" + q(x)y, ДАН СССР, 102 (1955), 25—28.
Нейман Дж. (von Neumann J.), см. также Бохнер, Деви-
на ц, Йордан, Меррей и Халмош
1. On complete topological spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 37 (1935),
1—20.
2. Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der Normalen
Operatoren, Math. Ann., 102 (1929—1930), 370—427.
3. Eine Spektraltheorie fiir allgemeine Operatoren eines unitaren Raumes,
Math. Nachr., 4 (1951), 258—281.
4. Functional operators, I. Annals of Math. Studies, № 21, Princeton
University Press, Princeton, 1950.
5. On a certain topology for rings of operators, Ann. of Math. (2), 37 (1936),
111—115.
6. Charakterisierung des Spektrums eines Integraloperators, Act. Sci.
et Ind., 229, Paris, 1935.
7. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren, Math.
Ann., 102 (1929—1930), 49—131.
8. Математические основы квантовой механики, М., 1964 (1927).
9. Almost periodic functions in a group, I, Trans. Amer. Math. Soc.,
36 (1934), 445—492.
1004
Библиография
10. Ober einen Satz von Herrn M. H. Stone, Ann. of Math. (2), 33 (1932),
567—573.
11. Proof of the quasi-ergodic hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
18 (1932), 70—82.
12. Zum Haarschen Mass in topologischen Gruppen, Comp. Math., 1 (1934),
106 — 114.
13. On rings of operators, III. Ann. of Math. (2), 41 (1940), 94—161.
14. On some algebraical properties of operator rings, Ann. of Math. (2),
44 (1943), 709—*715.
15. On rings of operators. Reduction theory, Ann. of Math. (2), 50 (1949),
401—485.
16. Ober adjungierte Funktionaloperatoren, Ann. of Math. (2), 33 (1932),
294—310.
17. The uniqueness of Haar’s measure, Матем. сб., 1 (43) (1936), 721—734.
18. Ober Funktionen von Funktionaloperatoren, Ann. of Math. (2), 32
(1931), 191—226.
19. Einige Satze uber messbare Abbildungen, Ann. of Math. (2), 33 (1932),
574—586.
20. Zur Operatorenmethode in der klassischen Mechanik, Ann. of Math.
(2), 33 (1932), 587—642, 789—791.
21. Algebraische Reprasentanten der Funktionen «bis auf eine Menge vom
Masse Null», J. Reine Angew. Math., 165 (1931), 109—115.
22. On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism,
I, Матем. сб., 1 (43) (1936), 415—482.
23. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, J. Springer, Berlin,
1932.
24. Approximative properties of matrices of high finite order, Port. Math.,
3 (1942), 1—62.
Нейман Дж. и Ш а т т e н (von Neumann J., Schatten R.)
1. The cross-space of linear transformations, I, II, III, Ann. of Math. (2),
47 (1946), 73—84; 47 (1946), 608—630; 49 (1948), 557—582.
Нейман К. (Neumann C.)
1. Untersuchungen uber das logarithmische und Newtonsche Potential,
Teubner, Leipzig, 1877.
Неймарк Ф. A.
1. О расширении эрмитова оператора до перестановочного с данным
эрмитовым оператором, ДАН СССР, 66 (1949), 9—12.
Н е м ы ц к и й В. В.
1. Метод неподвижных точек в анализе, УМН, 1 (1936), 141—175.
2. Проблемы качественной теории дифференциальных уравнений, М.,
Вест. Ун-та, 8 (1952), 19—39.
Никович И. А.
1. О рядах Фредгольма, ДАН СССР, 59 (1948), 423—425.
Никодим (Nikodym О. М.)
1. Remarques sur les integrates de Stieltjes en connexion avec celles de
MM. Radon et Frechet, Ann. Soc. Polon. Math., 18 (1945), 12—24.
2. Sur les fonctionnelles lineaires, C.R. Acad. Sci. Paris, 229 (1949), 16—18,
169—171, 288—289.
3. Remarques sur la pseudo-topologie et sur les fonctionnelles lineaires,
C. R. Acad. Sci. Paris., 229 (1949), 863—865.
4. Un nouvel appareil mathematique pour la theorie des quanta, Ann.
Inst. H. Poincare, 11 (1949), 49—112.
5. Sur les families bornees de fonctions parfaitement additives d’ensemble
abstrait, Monatsh. fur Math. u. Phys., 40 (1933), 418—426.
6. Sur les suites convergentes de fonctions parfaitement additives d’en-
semble abstrait, Monatsh. fur Math. u. Phys., 40 (1933), 427—432.
Библиография
1005
7. Sur les fonctions d’ensembles. Comptes Rendus du I Congres des Math,
des Pays Slaves, Warsaw (1929), 304—313.
8. Sur une generalisation des integrates de M. J. Radon, Fund. Math.,
15 (1930), 131 — 179.
9. Contribution a la theorie des fonctionnelles lineaires en connexion avec
la theorie de la mesure des ensembles abstraits, Mathematica, Cluj,
5 (1931), 130—141.
10. Sur les operateurs normaux maximaux dans 1’espace hilbertien separable
et complet, I, II.
I. C. R. Acad. Sci. Paris, 238 (1954), 1373—1375.
II. Там же, 238 (1954), 1467—1469.
Николеску (NicoJescu M.)
1. On the criterion of compactness of A. Kolmogorov, Acad. Republ.
Pop. Romdne, Bui. Sti. Ser. Mat. Fiz. Chim., 2 (1950), 407—415.
Никольский В. H.
1. Наилучшее приближение и базис в пространстве Фреше, ДАН СССР,
59 (1948), 639—642.
Никольский С. М.
1. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах,
Изв. АН СССР, сер. матем., 7 (1943), 147—166.
Ниман (Nyman В.)
1. On the one-dimensional translation group and semi-group in certain
function spaces. Dissertation. University of Uppsala (1950), A4ath. Rev.,
12 (1951), 108.
Ниренберг (Nirenberg L.), см. также Агмон
1. Remarks on strongly elliptic partial differential equations, Comm. Pure
Appl. Math., 8 (1955), 648—674.
2*.On nonlinear elliptic partial differential equations and Holder conti-
nuty, Comm. Pure Appl. Math., 6 (1953), 103—157. (Есть русский
перевод: сб. Математика, 3 : 3 (1959), 9—55.)
Нусбаум (Nussbaum А. Е.), см. Д е в и н а ц
Ньюбург (Newburgh J. D.)
1. The variation of spectra, Duke Math. J., 18 (1951), 165—176.
2. A topology for closed operators, Ann. of Math. (2), 53 (1951), 250—255.
Ньютон и Йост (Newton R. G., Jost R.)
1. The construction of potentials from the S-matrix for systems of diffe-
rential equations, Nuovo Cimento (10), 1 (1955), 590—622.
Огасавара (Ogasawara T.)
1. Compact metric Boolean algebras and vector lattices, J. Sci. Hiroshima
Univ., Ser. A, 11 (1942), 125—128.
2. On Frechet lattices, I. J. Sci. Hiroshima Univ., Ser. A, 12 (1943), 235—
248.
3. Remarks on a vector lattice with a metric function, J. Sci. Hiroshima
Univ., Ser. A, 13 (1944), 317—325.
4. Commutativity of Archimedean semi-ordered groups, J. Sci. Hiroshima
Univ., Ser. A, 12 (1943), 249—254.
5. Theory of vector lattices, I, II.
I. J. Sci. Hiroshima Univ., Ser. A, 12 (1942), 17—35.
II. Там же, 12 (1943), 217—234.
6. Some general theorems and convergence theorems in vector lattices,
J. Sci. Hiroshima Univ., Ser. A, 14 (1949), 14—25.
7. On the integral representation of unbounded self-adjoint transforma-
tions, J. Sci. Hiroshima Univ., Ser. A, 6 (1936), 279—281.
Огасавара и Маеда (Ogasawara T., Maeda F.)
1. Representation of vector lattices, J. Sci. Hiroshima Univ., Ser. A, 12
(1942), 17—35.
1006
Библиография
2. Remarks on representation of vector lattices, J. Sci. Hiroshima Univ..,
Ser. A, 12 (1934), 217—234.
Одэн (Audin M.)
1. Sur certaines singularites des transformations lineaires bornees, C.R,
Acad. Sci. Paris, 238 (1954), 2221—2222.
Окстоби (Oxtoby J.C.)
1. Ergodic sets, Bull. Amer. Math. Soc., 58 (1952), 116—136. (Есть рус-
ский перевод: УМН, 8, вып. 5 (1953).)
2. On the ergodic .theorem of Hurewicz, Ann. of Math. (2), 49 (1948), 872.
3. Invariant measures in groups which are not locally compact, Trans,
Amer. Math. Soc., 60 (1946), 215—237.
4. The category and Borel class of certain subsets of Bull. Amer. Math,
Soc., 43 (1937), 245—248.
Окстоби и Ул ам (Oxtoby J. С., Ulam S.)
1. On the existence of a measure invariant under a transformation, Ann,
of Math. (2), 40 (1939), 560—566.
O’H и л л (O’N e i 1 1 B.)
1. Essential sets and fixed points, Amer. J. Math., 75 (1953), 497—509.
Oho (Ono T.)
1. A generalization of the Hahn-Banach theorem, Nagoya Math. J., 6
(1953), 171—176.
2. Local theory of rings of operators, I, II, J. Math. Soc. Japan, 10 (1958),
184—216, 438—458.
О p и x a p a (Orihara M.)
1. On the regular vector lattice, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 (1942), 525.
Орлич (Orlicz W.), см. также Алексевич, Бирнбаум
и M а з у p
1. Ober unbedingte Konvergenz in Funktionraumen, I, II.
I. Studia Math., 4 (1933), 33—37.
II. Там же, 4 (1933), 41—47.
2. Ober konjugierte Exponentenfolgen, Studia Math., 3 (1931), 200—211.
3. Ober eine gewisse Klasse von Raumen von Typus B, Bull. Int. Acad.
Polon. Sci.. Ser. A (1932), 207—220.
4. Ein Satz fiber die Erweiterung von linearen Operationen, Studia. Math..,
5 (1934), 127—140.
5. Sur les operations lineaires dans 1’espace des fonctions bornees, Studia
Math., 10 (1948), 60—89.
6. Linear operations in Saks spaces (I), Studia Math., 11 (1950), 237—272.
7. Ober Folgen linearer Operationen, die von einem Parameter abhangen,
Studia Math., 5 (1934), 160—170.
8. Beitrage zur Theorie der Orthogonalentwicklungen, I—VI. *
I. Studia Math., 1 (1929), 1—39.
II. Там же, 1 (1929), 241—255.
III. Bull. Int. Acad. Polon. Sci., Ser. A, 8—9 (1932), 229—238.
IV. Studia Math., 5 (1934), 1 — 14.
V. Там же, 6 (1936), 20—38.
VI. Там же, 8 (1939), 141—147.
О р л о в С. А. .
1. Об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов, ДАН
СССР, 92 (1953), 483—486.
Оухар (Owchar М.)
1. Wiener integrals of multiple variations, Proc. Amer. Math. Soc., 3 (1952),
459—470.
О x и p a (O h i r a K.)
1. On a certain complete, separable and metric space, Mem. Fac. Sci.
Kyusyu Univ., A, 6 (1951), 9—15.
Библиография
1007
2. On some characterizations of abstract Euclidean spaces by properties
of orthogonality, Kumamoto J. Sci., Ser. A, 1, № 1 (1952), 23—26.
Паркер (Parker W. V.)
1. Limits to the characteristic roots of a matrix, Duke Math. J., 10 (1943),
479—482.
Пароди M.
1*. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения,
ИЛ, М., 1960 (1959).
Паули (Pauli W.)
1. Мезонная теория ядерных сил, М., 1947 (1946).
Пеано (Peano G.)
1. Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari, Atti R. Acc.
Sci. Torino, 22 (1887), 293—302. Немецкий перевод: Math. Ann.,
32 (1888), 450—456.
Пейс (Pais А.), см. Й о c t
Пек (Peck J. E. L.)
1. An ergodic theorem for a noncommutative semi-group of linear opera-
tors, Proc. Amer. Math. Soc., 2 (1951), 414—421.
Петер и Вейль (Peter F., Weyl H.)
1. Die Vollstandigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen
kontinuierlichen Gruppe, Math. Ann., 97 (1927), 737—755.
Петтис (Pettis B. J.), см. также Данфорд
1. A note on regular Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 44 (1938),
420—428.
2. A proof that every uniformly convex space is reflexive, Duke Math.
J., 5 (1939), 249—253.
3. Remarks on a theorem of E. J. McShane, Proc. Amer. Math. Soc., 2
(1951), 166—171.
4. On integration in vector spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 44 (1938),
277—304.
5. On continuity and openness of homomorphisms in topological groups,
Ann. of Math. (2), 52 (1950), 293—308.
6. Absolutely continuous functions in vector spaces (abstract), Bull.
Amer. Math. Soc., 45 (1939), 677.
7. Differentiation in Banach spaces, Duke Math. J., 5 (1939), 254—269.
8. Linear functionals and completely additive set functions, Duke Math.
J., 4 (1938), 552—565.
Пиконе (Picone M.)
1. Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione
differenziale del secondo ordine, Ann. R. Scuola Norm. Sup. Pisa (1), 11
(1910), 1 — 141.
Пинкерле (Pincherle S.)
1. Funktionaloperationen und -Gleichungen, Encyklopadie der Math.
Wiss. II, A, 11 (1905), 761—817. Французский перевод: Equations et
operations fonctionnelles, Enc. des sciences math., II, Vol. 5, fasc. 1,
№ 26, 1—86.
П и н с к e p А. Г., см. также Канторович Л. В.
1. Об одном классе операций в /(-пространствах, ДАН СССР, 36 (1942),
243—246 ’
2. О нормированных /("-пространствах, ДАН СССР, 33 (1941), 12—15.
3. Универсальные /С-пространства, ДАН СССР, 49 (1945), 8—11.
4. Разложение /("-пространств на элементарные пространства, ДАН
СССР, 49 (1945), 168—171.
5. О сепарабельных /("-пространствах, ДАН СССР, 49 (1945), 327—328.
6. Вполне линейные функционалы в /(-пространствах, ДАН СССР,
55 (1947), 303—306.
1008
Библиография
7. О конкретных представлениях линейных полуупорядоченных про-
странств, ДАН СССР, 55 (1947), 383—386.
Пирс (Pierce R.)
1. Cones and the decomposition of functionals, Math. Mag., 24 (1951),
117—122.
Питт (Pitt H. R.)
1. Some generalizations of the ergodic theorem, Proc. Cambridge Phil.
Soc., 38 (1942), 325—343.
Планшерель (Plancherel M.)
1. Integraldarstellungen willkiirlicher Funktionen, Math. Ann., 67 (1909),
519—534.
Плеснер А. И.
1. О полуунитарных операторах, ДАН СССР, 25 (1939), 708—710.
2. Спектральная теория линейных операторов, У МН, 9 (1941),
3—125.
3.*Спектральная теория линейных операторов, «Наука», М., 1965.
Плеснер А. И. и Рохлин В. А.
1. Спектральная теория линейных операторов, У МН, 1 : 1 (11), (1946)>
171—191.
Повзнер А. Я.
1. О некоторых приложениях одного класса гильбертовых пространств
функций, ДАН СССР, 74 (1950), 13—16.
2. О спектре ограниченных функций, ДАН СССР, 57 (1947), 755—758.
3. О спектре ограниченных функций и преобразовании Лапласа, ДАН
СССР, 57 (1947), 871—874.
4. Об одной общей формуле обращения типа Планшереля, ДАН СССР,
57 (1947), 123—125.
5. Об уравнениях типа Штурма — Лиувилля и позитивных функциях,
ДАН СССР, 43 (1944), 387—391.
6. О дифференциальных уравнениях типа Штурма — Лиувилля на
полуоси, Матем. сб., 23 (65), (1948), 3—52.
7. О методе направляющих функционалов М. Г. Крейна, Хрк., Зап.
матем. о-ва (4), 20 (1950), 43—52.
8. О дифференцировании спектральной функции уравнения Шредин-
гера, ДАН СССР, 79 (1951), 193—196.
9*. О разложении произвольной функции по собственным функциям
оператора —А и + си, Матем. сб., 32, 1 (1953).
П о й a (Polya G.), см. также Харди
1. Remark on Weyl’s note «Inequalities between the two kinds of eigen-
values of a linear transformation», Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.,
36 (1950), 49—51.
Поллард (Pollard H.)
1. Integral transforms, Duke Math. J., 13 (1946), 307—330.
2. The harmonic analysis of bounded functions, Duke Math. J., 20 (1953),
499—511.
Понтрягин Л. C.
1. Топологические группы, изд. 2-е, М., Гостехиздат, 1954.
Потапов В. П., см. Лившиц М. С.
Поттер (Potter R. L.)
1. On self-adjoint differential equations of the second order, Pacific J.
Math., 3 (1953), 467—491.
Прайс (Price G. B.)
1. The theory of integration, Trans. Amer. Math. Soc., 47 (1940), 1—50.
Прюфер (Priifer H.)
1. Neue Herleitung der Sturm-Liouvilleschen Reihenentwickelung stetiger
Funktionen, Math. Ann., 95 (1926), 499—518.
Библиография
1009
П т а к (Р t a k V.)
1. О полных топологических линейных пространствах, Чехосл. Матем.
журн,., 3 (78), (1953), 301—364.
2. On a theorem of w. F. Eberlein, Studia Math., 14 (1954), 276—
284.
3. Weak compactness in convex topological linear spaces, Cehoslovack.
Mat. I., 4 (79), (1954), 175—186.
4*.Completness and the open mapping theorem, Bull. Soc. Math. France,
86 (1958), 41—74. [Есть русский перевод: сб. Математика, 4 : 6 (1960),
39—67.]
5*.On the closed graph theorem, Чехосл. Матем. ж., 9 (84), (1959), 523—
527. [Есть русский перевод: сб. Математика, 4 : 6 (I960), 69—72.]
Пуанкаре (Poincare Н.)
1. Sur les groupes continus, Cambridge Phil. Trans., 18 (1899), 220—255.
Перепечатано в Oeuvres, 3, 173—212.
2. Sur les equations de la physique mathematique, Pend. Circ. Mat. Paler-
mo, 8 (1894), 57 — 156.
Пул (Poole E. G. C.)
1. Introduction to the theory of linear differential equations, Oxford
Univ. Press, 1936.
Путнам (Putnam C. R.), см. также Хартман П.
1. On normal operators in Hilbert space, Amer. J. Math., 73 (1951), 357—
362.
2. On commutators of bounded matrices, Amer. J. Math., 73 (1951),
127—131.
3. On the spectra of commutators, Proc. Amer. Math. Soc., 5 (1954),
929—931.
4. An application of spectral theory to a singular calculus of variations
problem, Amer. J. Math., 70 (1948), 780—803.
5. The cluster spectra of bounded potentials, Amer. J. Math., 71 (1949),
612—620.
6. An oscillation criterion involving a minimum principle, Duke Math.
J., 16 (1949), 633—636.
7. On the spectra of certain boundary value problems, Amer. J. Math.,
71 (1949), 109—111.
8. On isolated eigenfunctions associated with bounded potentials, Amer.
J. Math., 72 (1950), 135—147.
9. The comparison of spectra belonging to potentials with a bounded
difference, Duke Math. J., 18 (1951), 267—273.
10. On the least eigenvalue of Hill’s equation, Quart. Appl. Math., 9 (1951),
310—314.
11. The spectra of quantum-mechanical operators, Amer. J. Math., 74
(1952), 377—388.
12. On the unboundness of the essential spectrum, Amer. J. Math., 74
(1952), 578—585.
13. A sufficient condition for an infinite discrete spectrum, Quart. Appl.
Math., 11 (1953), 484—486.
14. On the gap in the spectrum of the Hill equation, Quart. Appl. Math.,
11 (1953), 496—498.
15. Integrable potentials and half-line spectra, Proc. Amer. Math. Soc.,
6 (1955), 243—246.
16. On the continuous spectra of singular boundary value problems, Cana-
dian J. Math., 6 (1954), 420—426.
17. Note on a limit-point criterion, J. London Math. Soc., 29 (1954), 125—128.
18. Necessary and sufficient conditions for the existence of negative spectra,
Quart. Appl. Math., 13 (1955), 335—337.
64 Заказ Na 134
1010
Библиография
Пэли (Paley R. Е. А. С.), см. также Литлвуд
1. A proof of a theorem on bilinear forms, J. London Math. Soc., 6 (1931),
226—230.
2. A note on bilinear forms, Bull. Amer. Math. Soc., 39 (1933), 259—260.
3. Some theorems on orthogonal functions, Studia Math., 3 (1931), 226—238.
Пэли и Винер (Paley R. E. A. C., W i e n e r N.)
1. Преобразование Фурье в комплексной области, М., 1964 (1934).
Пэли, Винер и Зигмунд (Paley R. Е. А. С., W i е n е г N.,
Z у g m u n d 4 A.)
1. Notes on random functions, Math. Zeit., 37 (1933), 647—668.
Рабинович Ю. Л.
1. О непрерывной зависимости от параметра спектра симметрического
линейного интегрального оператора, Учен. зап. МГУ, 148; Мате-
матика, 4 (1951), 181—191.
Радон (Radon J.)
1. Ober lineare Funktionaltransformationen und Funktionalgleichungen,
S.-B. Akad. Wiss. Wien, 128 (1919), 1083—1121. [Есть русский перевод:
УМН, 1 (1936), 200-227.]
2 Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen,
S.-B. Akad. Wiss. Wien, 122 (1913), 1295—1438.
Райков Д. А., см. также Гельфанд И. M.
1 . Гармонический анализ на коммутативных группах с мерой Хаара
и теория характеров, Труды Матем. ин-та АН СССР, 14 (1945),
5—86.
2 Новое доказательство единственности меры Хаара, ДАН СССР, 34
(1942), 231—233.
3 . Положительно определенные функции на коммутативных группах
с инвариантной мерой, ДАН СССР, 28 (1940), 296—300.
Райнхарт (Rinehart R. F.)
1 The equivalence of definitions of a metric function, Amer. Math. Month-
ly, 62 (1955), 395—414.
Райт (Wright F. B.)
1 Absolute valued algebras, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 39 (1953),
’ 330—332.
Рамасвами (Ramaswami V.)
1 Normed algebras, isomorphism and the associative postulate, J. Indian
’ Math. Soc., 14 (1950), 47-64.
Рапопорт И. M.
1 . О сингулярной краевой задаче для обыкновенных линейных диф-
ференциальных уравнений, ДАН СССР, 79 (1951), 21—24.
2 Об оценке собственных значений эрмитовых операторов, ДАН СССР,
103 (1955), 199—202.
Растон (Ruston A. F.)
1 A note on convexity in Banach spaces, Proc. Cambridge Philos. Soc.,
’ 45 (1949), 157—159.
2 . On the Fredholm .theory of integral equations for operators belonging
to the trace class of a general Banach space, Proc. London Math. Soc.
(2), 53 (1951), 109—124.
3 Direct products of Banach spaces and linear functional equations,
’ Proc. London Math. Soc. (3), 1 (1951), 327-384.
4 A short proof of a theorem on reflexive spaces, Proc. Cambridge Philos.
' Soc., 45 (1949), 674.
5 . Formulae of Fredholm type for compact linear operations on a general
Banach space, Proc. London Math. Soc. (3), 3 (1953), 368—377.•
6 . Operators with a Fredholm theory, J. London Math. Soc., 29 (1954),
’ 318—326.
Библиография 1011
7*. Conjugate Banach spaces, Proc. Cambridge Philos. Soc., 53 (1957),
576—580. [Русский перевод: сб. Математика, 3:6 (1959), 91—96.]
Рашевский П. К-
1. Теория спиноров, У МН, 10, вып. 2 (64), (1955), 3—НО.
Рейтер (Reiter Н. J.)
1. Investigations in harmonic analysis, Trans. Amer. Math. Soc., 73
(1952), 401—427.
2. On a certain class of ideals in the ZT-algebra of a locally compact
abelian group, Trans. Amer. Math. Soc., 75 (1953), 505—509.
Рей Пастор (R e у Pastor J.)
1. Functional analysis and the general theory of functions, Reale Accade-
mia d’Italia, Fondezione Allesandro Volta. Atti dei Convegni., 9 (1939),
339—372, Rome, 1943.
P e л л и x (R e 1 1 i c h F.)
1. Storungstheorie der Spektralzerlegung, Proc. Internal. Congress of Math.
Cambridge, Mass., 1 (1950), 606—613.
2. Storungstheorie der Spektralzerlegung, I — V.
I. Math. Ann., 113 (1936), 600—619.
II. Там же, 113 (1936), 677—685.
III. Там же, 116 (1939), 555—570.
IV. Там же, 117 (1940—1941), 356—382.
V. Там же, 118 (1941—1943), 462—484.
3. Spektraltheorie in nichtseparabeln Raumen, Math. Ann., 110 (1935),
342—356.
4. Die zulassigen Randbedingungen bei den singularen Eigenwertproble-
men der mathematischen Physik, Math. Zeit., 49 (1944), 702—723.
5. Die Eindeutigkeitssatz fiir die Losungen quantenmechanische Ver-
tauschungsrelationen, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. KI.,
(1946), 107—115.
6. Halbbeschrankte gewohnliche Differentialoperatoren zweiter Ordnung,
Math. Ann., 122 (1951), 243—368.
7. Spectral theory of a second order ordinary differential equation, Inst.
Math. Sci., New York University, 1951.
Рид (Reid W. T.)
1. Symmetrizable completely continuous linear transformations in Hil-
bert space, Duke Math. J., 18 (1951), 41—56.
2. Expansion problems associated with a system of linear integral equa-
tions, Trans. Amer. Math. Soc., 33 (1931), 475—485.
3. A new class of self-adjoint boundary value problems, Trans. Amer.
Math. Soc., 52 (1942), 381—425.
Рикабарра (Ricabarra R. А.), см. Котляр
P и к к a p т (R i c k a j t С. E.)
1. Integration in a convex linear topological space, Trans. Amer. Math.
Soc., 52 (1942), 498—521.
2. An abstract Radon-Nikodym theorem, Trans. Amer. Math. Soc., 56
(1944), 50—66.
3. Decomposition of additive set functions, Duke Math. J., 10 (1943),
653—665.
4. The singular elements of a Banach algebra, Duke Math. J., 14 (1947),
1063—1077.
5. Isomorphic groups of linear transformations, Amer. J. Math., 72 (1950),
451—464.
6. Banach algebras with an adjoint operation, Ann. of Math. (2), 47 (1946),
528—550.
7. The uniqueness of norm problem in Banach algebras, Ann. of Math.
(2), 51 (1950), 615—628.
64*
1012
Библиография
8. Representation of certain Banach algebras on Hilbert space, Duke
Math. J., 18 (1951), 27—39.
9. On spectral permanence for certain Banach algebras, Proc. Amer. Math.
Soc., 4 (1953), 191—196.
10. General theory of Banach algebras. The university series in highes
mathematics, Princeton, 1960.
Рис (R i s s J.)
1. Transformation de Fourier des distributions, C. R. Acad. Sci. Paris,
229 (1949), 12-^14.
Рисе M. (Riesz M.)
1. Sur les maxima des formes bilineaires et sur les fonctionnelles lineaires,
Acta Math., 49 (1926), 465—497.
2. Sur les ensembles compacts de fonctions sommables, Acta Sci. Math.
Szeged, 6 (1933), 136—142.
3. Sur les fonctions conjugees, Math. Zeit., 27 (1927), 218—244.
4. L’integrate de Riemann-Liouville et te probleme de Cauchy, Acta Math.,
81 (1949), 1—223.
Рисе Ф. (R i e s z F.)
1. Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengenlehre, Atti det IV Congresso
Intern, dei Matem., Bologna, 2 (1908), 18—24.
2. Untersuchungen fiber Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann.,
69 (1910), 449—497.
3. Sur certains systemes singuliers d’equations integrates, Ann. Ecole
Norm. Sup. (3), 28 (1911), 33—62.
4. Ober lineare Funktionalgleichungen, Acta Math., 41 (1918), 71—98.
[Есть русский перевод: УМН, 1 (1936), 175—199.]
5. Sur les systemes orthogonaux de fonctions, C. R. Acad. Sci. Paris, 144
(1907), 615—619.
6. Les systemes d’equations lineaires a une infinite d’inconnues, Paris,
1913.
7. Sur les operations fonctionnelles lineaires, C. R. Acad. Sci. Paris,
149 (1909), 974—977.
8. Sur Theorie des Hilbertschen Raumes, Acta Sci. Math. Szeged, 7 (1934),
34—38.
9. Sur une espece de geometric analytiques des systemes de fonctions
sommables, C. R. Acad. Sci. Paris, 144 (1907), 1409—1411.
10. Demonstration nouvelle d’un theoreme concernant les operations
fonctionnelles lineaires, Ann. Ecole Norm. Sup. (3), 31 (1914), 9—14.
11. Sur la representation des operations fonctionnelles lineaires par des
integrates de Stieltjes, Proc. Roy. Physiog. Soc. Lund, 21, № 16 (1952),
145—151.
12. Sur les suites de fonctions mesurables, C. R. Acad. Sci. Paris, 148
(1909), 1303—1305.
13. Sur la convergence en moyenne, I, II.
I. Acta Sci. Math. Szeged, 4 (1928—1929), 58—64.
II. Там же, 4 (1928—1929), 182—185.
14. Ober die linearen Transformationen des komplexen Hilbertschen Rau-
mes, Acta Sci. Math. Szeged, 5 (1930—1932), 23—54.
15. Some mean ergodic theorems, J. London Math. Soc., 13 (1938), 274—278.
16. Another proof of the mean ergodic theorem, Acta Sci. Math. Szeged,
10 (1941—1943), 75—76.
17. Sur la theorie ergodique des espaces abstraits, Acta Sci. Math. Szeged,
10 (1941—1943), 1—20.
18. Sur la theorie ergodique, Comment. Math. Helv., 17 (1945), 221—239.
19. On a recent generalization of G. D. Birkhoff’s ergodic theorem, Acta
Sci. Math. Szeged, 11 (1946—1948), 193—200.
Библиография
1013
20. Uber quadratische Formen von unendlich vielen Veranderlichen,
Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. KI. (1910), 190—195.
21. Sur les fonctions des transformations hermitiennes dans 1’espace de
Hilbert, Acta Sci. Math. Szeged, 7 (1935), 147—159.
22. Uber Satze von Stone und Bochner, Acta Sci. Math. Szeged, 6 (1933),
184—198.
23. Sur quelques notions fondamentales dans la theorie generale des ope-
rations linearies, Ann. of Math. (2), 41 (1940), 174—206. [Есть русский
перевод: УМН, 1 : 2 (2), (1946), 147—178.]
Рисе Ф. и Лорх (Riesz F., Lorch Е. R.)
1. The integral representation of unbounded self-adjoint transformations
in Hilbert space, Trans. Amer. Math. Soc., 39 (1936), 331—340.
Рисе Ф. и Секефальви-Надь (Riesz F., Sz. - Nagy B.)
1. Лекции по функциональному анализу, ИЛ, M., 1954 (1952).
2. Uber Kontraktionen des Hilbertschen Raumes, Acta Sci. Math. Sze-
ged, 10 (1941—1943), 202—205.
Робертс (Roberts B. D.)
1. On the geometry of abstract vector spaces, Tohoku Math. J., 39 (1934),
42—59.
Робертсон А. и Робертсон У. (Robertson A. and W.)
l*.On the closed graph theorem, Proc. Gias. Math. Ass., 3 (1956), Part I,
9—12. [Русский перевод: сб. Математика, 4 : 6 (1960), 73—77.]
Робисон (Robison G. В.)
1. Invariant integrals over a class of Banach spaces, Pacific J. Math.,
4 (1954), 123—150.
Рогозинский (Rogosinski W. W.), см. Макинтайр
Рогоз и н с к и й и Шапиро (Rogosinski W. W., Sha-
piro H. S.)
1. On certain extremum problems for analytic functions, Acta Math.,
90 (1953), 287—318.
Роджерс (Rogers С. А.), см. Дворецкий
Розенблат (Rosenblatt M.)
1. On a class of Markoff processes, Trans. Amer. Math. Soc., 71 (1951),
120—135.
Розенблюм (Rosenbloom P. C.)
1. Elements of mathematical logic. Dover Publications, New York, 1950.
2. Perturbations of linear operators in Banach spaces, Arch. Math., 6
(1955), 89—101.
Розенталь (Rosenthal А.), см. Гартогс и Хан
Розенфельд (Rosenfeld N. S.)
1. The eigenvalues of a class of singular differential operators, Comm.
Pure Appl. Math., 13 (1960), 395—405.
Россер (Rosser J. B.)
1. Logic for mathematicians, McGraw-Hill Co., New York, 1953.
Рота (Rota G. C.)
1. Extension theory of ordinary linear differential operators. Disserta-
tion, Yale University, 1956.
Роте (Rothe. E. H.)
1. Zur Theorie der topologischen Ordnuhg und der Vektorfelder in Banach-
schen Raumen, Compositio Math., 5 (1937—1938), 177—196.
2. Topological proofs of uniqueness theorems in the theory of differential
and integral equations, Bull. Amer. Math. Soc., 45 (1939), 606—
613.
3. Critical points and gradient fields of scalars in Hilbert space, Acta
Math., 85 (1951), 73—98.
4. Gradient mappings, Bull. Amer. Math. Soc., 59 (1953), 5—19.
1014
Библиография
5. Completely continuous scalars and variational methods, Ann. of Math.
(2), 47 (1946), 580—592.
6. Gradient mappings and extrema in Banach spaces, Duke Math. J.,
15 (1948), 421—431.
7. Mapping degree in Banach spaces and spectral theory, Math. Z., 63
(1955), 195—218.
Рохлин В. А., см. также Плеснер А. И.
1. Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп, Изв. АН
СССР, сер. матем., 13 (1949), 329—340.
2. Избранные вопросы метрической теории динамических систем, У МН,
4 : 2 (30), (1949), 57—128.
3. О разложении динамической системы на транзитивные компо-
ненты, Матем. сб., 25 (67), (1949), 235—249.
4*.Об энтропии метрического автоморфизма, ДАН СССР, 124 (1959),
980—983.
5*.Об основных понятиях теории меры, Матем. сб., 25 (67), (1949),
107—150.
6*.Новый прогресс в теории преобразований с инвариантной мерой,
УМН, 15 : 4 (1960), 3—26.
Рубин и Стоун (Rubin Н., Stone М. Н.)
1. Postulates for generalizations of Hilbert space, Proc. Amer. Math.
Soc., 4 (1953), 611—616.
Рудин (Rudin W.)
1. Analyticity and the maximum modulus principle, Duke Math. J.,
20 (1953), 449—457.
P у т и ц к и й Я. Б., см. Красносельский М. А.
Р у т м а н М. А., см. К р е й н М. Г. и М и л ь м а н Д. П.
Рутовиц (Rutovitz D.)
1. On the Lp-convergence of eigenfunction expansions, Quart. J. Math.
Oxford (2), 7 (1956), 24—38.
Рыль-Нарджевский (Ryll - Nardzewski С.), см. также
Хартман С.
1. On the ergodic theorems, I, II.
I. Generalized ergodic theorems, Studia Math., 12 (1951), 65—73.
II. Ergodic theory of continued fractions, там же, 12 (1951), 74—79.
Сакс (Saks S.), см. также Банах
1. Теория интеграла, ИЛ, М., 1949 (1937).
2. On some functionals, I, II.
I. Trans. Amer. Math. Soc., 35 (1933), 549—556.
II. Там же, 41 (1937), 160—170.
3. Addition to the note on some functionals, Trans. Amer. Math. Soc.,
35 (1933), 967—974.
4. Integration in abstract metric spaces, Duke Math. J., 4 (1938), 408—
411.
5. Sur les fonctionnelles de M. Banach et leurs applications aux developpe-
ments de fonctions, Fund. Math., 10 (1928), 189—196.
Сакс и Тамаркин (Saks S., Ta markin J. D.)
1. On a theorem of Hahn-Steinhaus, Ann. of Math. (2), 34 (1933), 595—601.
Салем (Salem R.)
1. Sur une extension du theoreme de convexite de M. Marcel Riesz, Colloq.
Math., 1 (1947), 6—8.
Салем и Зигмунд (Salem R., Z у g m u n d A.)
1. A convexity theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 34 (1948), 443—447.
Сан Хуан (San Juan R.)
1. Generalization of a theorem of Steinhaus on linear functionals, Las
Ciencias. Madrid, 17, № 2 (1952), 205—208.
Библиография
1015
Сарджент (Sargent W. L. С.)
1. On linear functionals in spaces of conditionally integrable functions,
Quart. J. Math., Oxford, Ser. (2), 1 (1950), 288—298.
2. On some theorems of Hahn, Banach and Steinhaus, J. London Math.
Soc., 28 (1953), 438—451.
С a c (S z a s z О.), см. также Г и л ь б
1. Ober die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate
von Potenzen, Math. Ann., 77 (1915—1916), 482—496.
Себаштьян-и- Сильва (Sebastiao e Silva J.)
1. Integration and derivation in Banach spaces, Univ. Lisboa. Revista
Fac. Ci. A. Ci. Mat. (2), 1 (1950), 117—166. Неправ. (1951), 401—402.
2. Analytic functions and functional analysis, Portugaliae Math., 9 (1950),
1—130.
3. Sui fondamenti della teoria dei funzionali analitici, Portugaliae Math.,
12 (1953), 1—47.
4*.Su certe classi di spazi locamente convessi important! per le applica-
zioni, Rendiconti di matematica e della sue applicazioni, Roma (5),
14 (1955), 388—410. Русский перев.: сб. Математика, 1:1 (1957), 60—77.
Секефальви-Надь (S z. - N a g у В. von), см. также Рисе Ф.
1. Sur les lattis lineaires de dimension finie, Comm. Math. Helv., 17
(1945), 209—213.
2. Perturbations des transformations lineaires fermees, Acta Sci. Math.
Szeged, 14 (1951), 125—137.
3. Spektraldarstellung linearer Transformationen des Hilbertschen Rau-
mes. Ergebnisse der Math., V. 5, J. Springer, Berlin, 1942.
4. Perturbations des transformations autoadjointes dans 1’espace de
Hilbert, Comment. Math. Helv., 19 (1946—1947), "347—366.
5. On the set of positive functions in L2> Ann. of Math. (2), 39 (1938), 1 —13.
6. On semi-groups of self-adjoint transformations in Hilbert space, Proc.
Nat. Acad. Sci. U.S.A., 24 (1938), 559—560.
7. On uniformly bounded linear transformations in Hilbert space, Acta
Sci. Math. Szeged, 11 (1947), 152—157.
8. Sur les contractions de 1’espace de Hilbert, Acta Sci. Math. Szeged,
15 (1953), 87—92; ч. II, там же, 18 (1957), 1—14. [Есть русский пере-
вод: сб. Математика, 3 : 6 (1959), 73—77 и 79—89.]
9. A moment problem for self-adjoint operators, Acta Math. Acad. Sci.
Hungar., 3 (1952), 285—293.
10. Transformations de 1’espace de Hilbert, fonctions de type positif
sur un groupe, Acta Sci. Math. Szeged, 15 (1954), 104—114.
11. Prolongements des transformations de 1’espace de Hilbert qui sortent
de cet espace. Akad. Kiado, Budapest, . 1955 (приложение к Рисе
и Секефальви-Надь [1]). [Есть русский перевод: сб.-Математика, 9:6
(1965), 109—144.]
12. On a spectral problem of Atkinson, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 3
(1952), 61—66.
13. On the stability of the index of unbounded linear transformations,
Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 3 (1952), 49—52.
14. Ober messbare Darstellungen Liescher Gruppen, Math. Ann., 112
(1936), 286—296.
15. Expansion theorems of Paley — Wiener type, Duke Math. J., 14
(1947), 975—978.
Сигал (Segal I. E.), см. также Данфорд
1. Postulates for general quantum mechanics, Ann. of Math. (2), 48 (1947),
930—948.
2. The group algebra of a locally compact group, Trans. Amer. Math.
Soc., 61 (1947), 69—105.
1016
Библиография
3. The span of the translations of a function in a Lebesgue space, Proc.
Nat. Acad. Sci. U.S.A., 30 (1944), 165—169.
4. An extension of Plancherel’s formula to separable unimodular groups,
Ann. of Math. (2), 52 (1950), 272—292.
5. Decompositions of operator algebras, I, II. Memoirs Amer.Math Soc., №9
(1951).
6. Invariant measures on locally compact spaces, J. Indian Math. Soc.,
13 (1949), 105—130.
Сикорский (Sikorski R.)
1. On multiplication of determinants jn Banach spaces, Bull. Acad. Polon.
Sci. Cl. Ill, 1 (1953), 219—221.
2. On Lezanski’s determinants of linear equations in Banach spaces,
Studia Math., 14 (1953), 24—48.
Сильва Диас (da Silvas Dias C. L.).
L Topological vector spaces and their application in analytic functional
spaces, Bol. Soc. Mat. Sao Paulo, 5 (1950), 1—58.
Сильверман (Silverman R. J.)
1. Invariant linear functions, Trans. Amer. Math. Soc., 81 (1956), 411 —
424.
Сильвестер (Sylvester J. J.)
1. On the equation to the secular inequalities in the planetary theory,
Phil. Mag., 16 (1883), 267—269.
2. Sur les puissances et les racines de substitutions lineaires, С. P. Acad.
Sci. Paris, 94 (1882), 55—59.
Синай Я. Г.
1*.O понятии энтропии динамической системы, ДАН СССР, 124 (1959),
768—771.
2*.О потоках с конечной энтропией, ДАН СССР, 125 (1959), 1200—
1202.
Сингер и Уэрмер (Singer I. М., Wermer J.)
1. Derivations on commutative normed algebras, Math. Ann., 129 (1955),
260—264.
С и p в и н т Ю. Ф.
1. Об интегральных преобразованиях пространства L, ДАН СССР,
18 (1938), 255—257.
2. Слабая компактность в банаховых пространствах, ДАН СССР, 28
(1940), 199—201.
3. Weak compactness in Banach spaces, Studia Math., 11 (1950), 71—94.
Сирота (Shirota T.)
1. A generalization of a theorem of I. Kaplansky, Osaka Math. J., 4
(1952), 121—132.
Сирс (Sears D. B.)
1. On the solutions of a linear second order differential equation which
are of integrable square, J. London Math. Soc., 24 (1949), 207—215.
2. Note on the uniqueness of Green’s functions associated with certain
differential equations, Canadian J. Math., 2 (1950), 314—325.
3. On the spectrum of a certain differential equation, J. London Math.
Soc., 26 (1951), 205—210.
4. An expansion in eigenfunctions, Proc. London Math. Soc. (2), 53 (1951),
396—421.
5. Some properties of a differential equation, J. London Math. Soc., 27
(1952), 180—188.
6. Integral transforms and eigenfunction theory, Quart. J. Math. Oxford
(2), 5 (1954), 47—58.
7. Some properties of a differential equation/ J. London Math. Soc., 29
(1954), 354—366.
Библиография
1017
Сирс и Титчмарш (Sears D. В., Titchmarsh Е. С.)
1. Some eigenfunction formulae, Quart. J. Math. Oxford (2), 1 (1950)
165—175.
Скороход А. В., см. Костюченко
Слободянский M. Г.
1. Об оценке для собственных значений оператора, ПММ, 19 (1955),
295____314.
Смайли (Smiley М. F.)
1. A remark on S. Kakutani’s characterization of (A)-spaces, Ann. of
Math. (2), 43 (1942), 528—529.
Смит (Smith К. T.), см. также Ароншайн и Доногю
1. Sur le theoreme spectral, C. R. Acad. Sci. Paris, 234 (1952), 1024—1025.
Смитис (Smithies F.)
1. The Fredholm theory of integral equations, Duke Math. J.t 8 (1941),
107—130.
2. A note on completely continuous transformations, Ann. of Math. (2),
38 (1937), 626—630.
Соболев С. Л.
1. Уравнения математической физики, Гостехиздат, М.—Л., 1950.
2. Об одной теореме функционального анализа, Матем. сб., 4 (46),
(1938), 471—498.
3*.Некоторые применения функционального анализа в математической
физике, Л., 1950.
Собчик (Sobczyk А.), см. также Боненблуст
1. Projections in Minkowski and Banach spaces, Duke Math. J., 8 (1941),
78—106.
2. Projection of the space (m) on its subspace (c0), Bull. Amer. Math.
Soc.., 47 (1941), 938—947.
3. On the extension of linear transformations, Trans.. Amer. Math. Soc.,
55 (1944), 153—169.
Соломяк M. 3.
1. О собственных числах и собственных векторах возмущенного опера-
тора, ДАН СССР, 90 (1953), 29—32.
Сонин Н. Я.
1. Recherches sur les fonctions cylindriques et le developpement des fon-
ctions continues en series, Math. Ann., 16 (1880), 1—80.
Спарре Андерсен и Йессен (Sparre Andersen E.,
Jessen B.)
1. Some limit theorems on integrals in an abstract set, Danske Vid. Selsk.
Math.-Fys. Medd., 22, № 14 (1946).
2. On the introduction of measures in infinite product sets, Danske Vid.
Selsk. Math.-Fys. Medd., 25, № 4 (1948).
Спрагенс (Spragens W. H.)
1. On series of Walsh eigenfunctions, Proc. Amer. Math. Soc., 2 (1951),
202—204.
Сташевская В. В.
1. Об обратных задачах спектрального анализа для одного класса диф-
ференциальных уравнений, ДАН СССР, 93 (1953), 409—411.
Стейнберг (Steinberg Н.)
1. Diffusion processes with absorption. Thesis, Yale Univ., 1954.
Стеклов В. A.
1. Sur les expressions asymptotiques de certaines fonctions definies par
des equations differentielles lineaires du deuxieme ordre, et leurs appli-
cations au probleme du developpement d’une fonction arbitraire en
series procedant suivaht les dites fonctions, Харьков, Сообщения
матем. об-ва (2), 10 (2—6), (1907—1909), 97—199.
1018
Библиография
Степанов В. В.
1. Sur une extension du theoreme ergodique, Compositio Math., 3 (1936),
239—253.
Стивенсон и Бассали (Stevenson A. F., Bassali W. A.)
1. On the possible forms of differential equation which can be factorized
by the Schrddinger-Infeld method, Canad. J. Math., 4 (1952), 385—395.
Стильтьес (Stieltjes T. J.)
1. Recherches sur les fractions continues, Ann. Fac. Sci. Toulousel(\), 8,
J. (1894), 1—22. >
Стокс (Stokes G. G.)
1. On the critical values of the sums of periodic series, Trans. Cambridge
Phil. Soc., 8 (1849), 533—583.
Стоун (Stone M. H.), см. также Рубин, Леньел ь, Данфорд
1. Applications of the theory of Boolean rings to general topology, Trans.
Amer. Math. Soc., 41 (1937), 375—481.
2. Convexity. Mimeographed lecture notes, The University of Chicago,
1946.
3. Linear transformations in Hilbert space and their applications to
analysis, Amer. Math. Soc. Colloquium Pub., vol. 15, New York, 1932.
4. The generalized Weierstrass approximation theorem, Math. Mag.,
21 (1947—1948), 167—184, 237—254.
5. On the compactification of topological spaces, Ann. de la Soc. Polon.
de Math., 21 (1948), 153—160.
6. Notes on integration, I—IV.
I. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 34 (1948), 336—342.
II. Там же, 34 (1948), 447—455.
III. Там же, 34 (1948), 483—490.
IV. Там же, 35 (1949), 50—58.
7. A general theory of spectra, I, II.
I. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 26 (1940), 280—283.
II. Там же, 27 (1941), 83—87.
8. Boundedness properties in function-lattices, Canad. J. Math., 1 (1949),
176—186.
9. The theory of representations for Boolean algebras, Trans. Amer. Math.
Soc., 40 (1936), 37—111.
10. Linear transformations in Hilbert space, I—III.
I. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 15 (1929), 198—200.
II. Там же, 15 (1929), 423—425.
III. Там же, 16 (1930), 172—175.
11. On the theorem of Gelfand-Mazur, Ann. Soc, Polon. Math., 25 (1952),
238—240 (1953).
12. On the foundations of harmonic analysis, Proc. Roy. Physiog. Soc.
Lund, 21, № 17 (1952), 152—172.
13. On unbounded operators in Hilbert space, J. Indian Math. Soc., 15
(1951), 155—192 (1952).
14. On a theorem of Polya, J. Indian Math. Soc., 12 (1948), 1—7.
15. The algebraization of harmonic analysis, Math. Student, 17 (1949),
81—92.
16. On one-pararneter unitary groups in Hilbert space, Ann. of Math.
(2), 33 (1932), 643—648.
17. Certain integrals analogous to Fourier integrals, Math. Zeit., 28 (1928),
654—676.
18. An unusual type of expansion problem, Trans. Amer. Math. Soc.4 26
(1924), 335—355.
19. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff, Trans. Amer. Math.
Soc., 28 (1926), 695—761.
Библиография
1019
20. Irregular differential systems of order two and the related expansion
problem, Trans. Amer. Math. Soc., 29 (1927), 23—53.
21. The expansion problems associated with regular differential systems
of the second order, Trans. Amer. Math. Soc., 29 (1927), 826—844.
Стюарт (Stewart F. M.)
1. Integration in noncommutative systems, Trans. Amer. Math. Soc., 68
(1950), 76—104.
Суноути Г. (Sunouchi G.), см. также И д з у м и
1. On the sequence of additive set functions, J. Math. Soc. Japan, 3 (1951),
290—295.
Суноути C. (Sunouchi S.), см. Накамура
Суноути X. (Sunouchi H.)
1. On the integral representations of bilinear functionals, Proc. Japan
Acad., 27 (1951), 159—161.
Сухомлинов Г. A.
1. О продолжении линейных функционалов в комплексном и кватер-
нионном линейном пространстве, Матем. сб., 3 (45), (1938), 353—358.
Тагамлицкий (Tagamlitzki У.)
1. Sur quelques applications de la theorie generale des espaces vectoriels
partiellement ordonnes, Annuaire (Godisnik) Fac. Sci. Phys. Math.,
Univ. Sofia, Livre 1, Partie II, 45 (1949), 263—286.
2. Zur Geometric des Kegels in den Hilbertschen Raumen, Annuaire
(Godisnik) Fac. Sci. Phys. Math., Univ. Sofia, Livre 1, Partie II, 47
(1952), 85—107.
Такахаси (Takahashi T.)
1. On the compactness of the function-set by the convergence in mean of
general type, Studia Math., 5 (1934), 141—150.
T а л д ы к и н A. T..
1. О линейных уравнениях в гильбертовом пространстве, Матем. сб.,
29 (71), (1951), 529—550. Неправ, там же, 30 (72), (1952), 463.
Тамаркин (Tamarkin J. D.), см. также Данфорд, Сакс,
Хилле, Шохат
1. On the compactness of the space Lp, Bull. Amer. Math. Soc., 38 (1932),
79—84.
2. Sur quelques points de la theorie des equations differentielles lineaires
ordinaires et sur la generalisation de la serie de Fourier, Pend. Circ.
Mat. Palermo, 24 (1912), 345—382.
3. Some general problems of the theory of ordinary linear differential
equations and expansions of an arbitrary function in a series of funda-
mental functions, Math. Zeit., 27 (1927), 1—54.
Тамаркин и Зигмунд (Tamarkin J. D., Z у g m u n d A.)
1. Proof of a theorem of Thorin, Bull. Amer. Math. Soc., 50 (1944), 279—282.
T ей л о p (Taylor A. E.), см. также Бохнер.
1. The extension of linear functionals, Duke Math. J., 5 (1939), 538—547.
2. The weak topologies of Banach spaces, Revista Ci., Lima, 42 (1940),
355—366; 43 (1941), 465—474; 44 (1942), 45—63.
3. The weak topologies of Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
25 (1939), 438—440.
4. On certain Banach spaces whose elements are analytic functions,
Aetas Acad. Ci. Lima, 12 (1949), 31—43.
5. Weak convergence in the space H®, Duke Math. J., 17 (1950), 409—418.
6. New proofs of some theorems of Hardy by Banach space methods,
Math. Mag., 23 (1950), 115—124.
7. Banach spaces of functions analytic in the unit circle, I, II.
I. Studia Math., 11 (1950), 145—170.
II. Там же, 12 (1951), 25—50.
1020
Библиография
8. Conjugations of complex linear spaces, Univ. California Publ. Math.„
2 (1944), 85—102.
9. Spectral theory of unbounded closed operators. Proc. Symposium on;
Spectral Theory and Differential Problems (1951), 267—275. Oklahoma
Agricultural and Mechanical College, Stillwater, Oklahoma.
10. Analysis in complex Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 49 (1943)».
652—669.
11. Spectral theory of closed distributive operators, Acta Math., 84 (1951)»
189—224.
12. The resolvent of a closed transformation, Bull. Amer. Math. Soc., 44
(1938), 70—74.
13. Linear operations which depend analytically upon a parameter, Ann.
of Math. (2), 39 (1938), 574—593.
14. A note on unconditional convergence, Studia Math., 8 (1939), 148—153.
Тейлор и Халбери (Taylor A. E., Hal bury C. J. A.)
1*. General theorems about a bounded linear operator and its conjugate»
J. Reine Angew. Math., 198 (1957), 93—111. [Есть русский перевод:
сб. Математика, 3 : 1 (1959), 69—89.]
Тейхмюллер (Teichmiiller О.)
1. Braucht der Algebraiker das Auswahlaxiom? Deutsche Math., 4 (1939)»
567—577.
2. Operatoren im Wachsschen Raum, J. Reine Angew. Math., 174 (1935)»
73—124.
T e м п л ь (Temple G.)
1. The computation of characteristic numbers and characteristic functions»
Proc. London Math. Soc. (2), 29 (1929), 257—280.
Теплиц (Toeplitz О.), см. также Кёте и Хеллингер
1. Die linearen vollkommenen Raume der Funktiontheorie, Comment.
Math. Helv., 23 (1949), 222—242.
2. Ober allgemeine lineare Mittelbildungen, Prace Math.-Fiz., 22 (1911)»
113—119.
Тингли (Tingley A. J.)
1. A generalization of the Poisson formula for the solution of the heat flow
equation. Dissertation, Univ, of Minnesota, 1952.
Титов H. C.
1. Различные виды сходимости элементов и линейных операторов в ба-
наховских пространствах, ДАН СССР, 52 (1946), 573—576.
2. К вопросу о различных видах сходимости элементов и линейных опе-
раторов в банаховских пространствах, УМН, 1, вып. 5—6 (1946)»
15—16.
Титчмарш (Т itchmarsh Е. С.), см. также Сирс
1. Теория функций, М., Гостехиздат, 1951 (1932).
2. Some theorems of perturbation theory, I—IV.
I. Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 200 (1949), 34—46.
II. Там же, 201 (1950), 473—479.
III. Там же, 207 (1951), 321—328.
IV. Там же, 210 (1951), 30—47.
3. Введение в теорию интегралов Фурье, М.— Л., Гостехиздат, 1948
(1937).
4. Weber’s integral theorem, Proc. Lond. Math. Soc. (2), 22 (1923), 15—28-
5. On expansion in eigenvalues, I — VIII.
I. Proc. Lond. Math. Soc., 14 (1939), 274—278.
II. Quart. J. Math. Oxford, 11 (1940), 129—140.
III. Там же, 11 (1940), 141—145.
IV. Там же, 12 (1941), 33—50.
V. Там же, 12 (1941), 89—107.
Библиография
1021
VI. Там же, 12 (1941), 154—166.
VII. Там же, 16 (1945), 103—114.
VIII. Там же, 16 (1945), 115—128.
6. An eigenfunction problem occuring in quantum mechanics, Quart.
J. Math. Oxford, 13 (1942), 1—10.
7. On the eigenvalues of differential equations, J. London Math. Soc., 19
(1944), 66—68.
S. On the discreteness of the spectrum associated with certain differential
equations, Ann. Math. Рига Appl. (4), 28 (1949), 141—147.
9. On the uniqueness of Green’s function associated with a second order
differential operator, Canadian J. Math., 1 (1949), 191—198.
10. Eigenfunction problems with periodic potentials, Proc. Roy. Soc.
London, Ser. A, 203 (1950), 501—514.
11. On the discreteness of spectra of differential equations, Acta Sci. Math.
Szeged, 12, Pars В (1950), 16—18.
12. On the summability of eigenfunction expansions, Quart. J. Math.
Oxford (2), 2 (1951), 250—268.
13. Travaux recents sur la theorie des fonctions characteristiques, Bull.
Soc. Roy. Sci. Liege, 20 (1951), 543—561.
14. On the convergence of eigenfunction expansions, Quart. J. Math. Ox-
ford (2), 3 (1952), 139—144.
15. Some properties of eigenfunction expansions, Quart. J. Math. Oxford
(2), 5 (1954), 59—70.
16. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциаль-
ными уравнениями 2-го порядка, ч. 1, ИЛ, М., 1960; ч. II, ИЛ, М.,
1961 (1946).
Тихонов А. Н.
1. Ein Fixpunktsatz, Math. Ann., Ill (1935), 767—776.
Томас (Thomas J.)
1. Untersuchungen fiber das Eigenwertproblem
b b
+'kZWy=Q’ 5 A{x)y{x)dx=^B(x)y(x)dx = Q,
Math. Nachr., 6 (1951), 229—261.
Томита (Tomita M.)
1. On the regularly convex hull of a set in a conjugate Banach space, Math.
J. Okayama Univ., 3 (1954), 143—145.
Торин (Thorin G. O.)
1. Convexity theorems, Comm. Sem. Math. Univ. Lund, № 9, 1948.
2. An extension of convexity theorem due to M. Riesz, Comm. Sem. Math.
Univ. Lund, № 4, 1939.
3*. Convexity theorems, These University of Lund, 1948. [Есть русский
перевод: сб. Математика, 1 : 3 (1957), 41—78.]
Торнхейм (Tornheim L.)
1. Normed fields over the real and complex fields, Michigan Math. J.,
1 (1952), 61—68.
Трансю (Transue W.), см. M о p с M.
T у л а й к о в (T u 1 a j k о v A.)
1. Zur Kompaktheit im Raum Lp fiir p = 1, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen,
Math.-Phys. Rl. (1933), 167—170.
Тьюки (Tukey J. W.)
1. Some notes on the separation of convex sets, Portugaliae Math., 3 (1942),
95—102.
У а й б e p н Дж. (W h у b u r n G. T.)
1. Analytic topology, Amer. Math. Soc. Colloq. Pub., v. 28, New York, 1942.
1022
Библиография
2. Open mappings on locally compact spaces, Mem. Amer. Math. Soc.,
№ 1, New York, 1950.
У а й б e p н У. (W h у b u r n W. M.)
1. Differential equations with general boundary conditions, Bull. Amer.
Math. Soc., 48 (1942), 692—704.
Уайлдер P. (Wi 1 der R. L.)
1. Introduction to the foundations of mathematics. Wiley, New York,
1952.
Уайлдер C. (Wilder С. E.)
1. Expansion problems of ordinary linear differential equations with
auxiliary conditions at more than two points, Trans. Amer. Math.
Soc., 18 (1917), 415—442.
2. Problems in the theory of ordinary linear differential equations with
auxiliary conditions at more than two points, Trans. Amer. Math.
Soc., 19 (1918), 157—186.
У и д д e p (W i d d e r D. V.), см. также X и p ш м а н
1. The Laplace transform. Princeton Univ. Press, Princeton, 1941.
2. Inversion formulas for convolution transforms, Duke Math. J., 14
(1947), 217—249.
3. The convolution transform, Bull. Amer. Math. Soc., 60 (1954), 444—456.
Уиддер и Хиршман (Widder D. V., Hirschman I. I.)
1. The inversion of a general class of convolution transforms, Trans.
Amer. Math. Soc., 66 (1949), 135—201.
2. A representation theory for a general class of convolution transforms,
Trans. Amer. Math. Soc., 67 (1949), 69—97.
3. Convolution transforms with complex kernels, Pacific J. Math., 1
(1951), 211—225.
Уилкинз (Wilkins J. E.,. Jr.)
1. Definitely self-conjugate adjoint integral equations, Duke Math. J.,
11 (1944), 155—166.
Уинтнер (W i n t n e г А.), см. также Винер и Хартман П.’
1. Spectraltheorie der unendlichen Matrizen. Hirzel, Leipzig, 1929.
2. Zur Theorie der beschrankten Bilinearformen, Math. Z., 30 (1929),
228—289.
3. The unboundedness of quantum-mechanical matrices, Physical Rev.,
71 (1947), 738—739.
4. (L2)’Connections between the kinetic and potential energies of linear
systems, Amer. J. Math., 69 (1947), 5—13.
5. On the Laplace-Fourier transcendents occurring in mathematical phy-
sics, Amer. J. Math., 69 (1947), 87—98.
6. Asymptotic integrations of the adiabatic oscillator, Amer. J. Math.,
69 (1947), 251—272.
7. Stability and high frequency, J. Appl. Physics, 18 (1947), 941—942.
8. Stability and spectrum in the wave mechanics of lattices, Phys. Rev.,
72 (1947), 81—82.
9. On the normalization of charateristic differentials in continuous spect-
ra, Phys. Rev., 72 (1947), 516—517.
10. On the location of continuous spectra, Amer. J. Math., 70 (1948),
22—30.
11. Asymptotic integrations of the adiabatic oscillator in its hyperbolic
range, Duke Math. J., 15 (1948), 55—67.
12. On Dirac’s theory of continuous spectra, Phys. Rev., 73 (1948), 781 —785.
13. A new criterion for non-oscillatory differential equations, Quart. Appl.
Math., 6 (1948), 183—185.
14. A criterion of oscillatory stability, Quart. Appl. Math., 7 (1949),
115—117.
Библиография
1023
15. A priori Laplace transformation of linear differential equations Amer
J. Math., 71 (1949), 587—594.
16. On almost free linear motions, Amer. J. Math., 71 (1949), 595_602.
17. On the smallness of isolated eigenfunctions, Amer. J. Math., 71 (1949)
603—611.
18. A criterion for the non-existence of L2’s°lutions of a non-oscillatory
differential equation, J. London Math. Soc., 25 (1950), 347—351.
19. On the non-existence of conjugate points, Amer. J. Math., 73 (1951),
368—380.
20. On linear instability, Quart. Appl. Math., 13 (1955), 192—195.
Уитни (Whitney H.)
1. On ideals of differentiable functions, Amer. J. Math., 70 (1948), 635—658.
У л а м (U 1 a m S.), см. Мазур и Окстоби
Умегаки (Umegaki), см. Накамура
Уоллах (Wallach S.)
1. On the location of spectra of differential equations, Amer. J. Math., 70
(1948), 833—841.
2. The spectra of periodic potentials, Amer. J. Math., 70 (1948), 842—848.
Уолтерс (W alters S. S.)
1. The space № with 0<p< 1, Proc. Amer. Math. Soc., 1 (1950), 800—805.
2. Remarks on the space Hp, Pacific J. Math., 1 (1951), 455—471.
Уолш (W a 1 s h J. L.)
1. On the convergence of the Sturm-Liouville series, Ann. of Math. (2),
24 (1923), 109—120.
2. Ober die Entwicklung einer analytischen Funktion nach Polynomen,
Math. Ann., 96 (1926), 430—436.
3. Ober die Entwicklung einer Funktion einer komplexen Veranderlichen
nach Polynomen, Math. Ann., 96 (1926), 437—450.
4. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в ком-
плексной области, ИЛ, М., 1961 (1935).
Уорд (Ward L. Е.)
1. A third order irregular boundary value problem and the associated
series, Trans. Amer. Math. Soc., 34 (1932), 417—434.
У э p м e p (W e r m e r J.), см. также Сингер
1. The existence of invariant subspaces, Duke Math. J., 19 (1952), 615—622.
2. Invariant subspaces of bounded operators. Proc. XII Scand. Math.
Congress, Lund (1953).
3. Commuting spectral measures on Hilbert space, Pacific J. Math., 4
(1954), 355—361.
4. On invariant subspaces of normal operators, Proc. Amer. Math. Soc.,
3 (1952), 270—277.
5. On restrictions of operators, Proc. Amer. Math. Soc., 4 (1953), 860—865.
6. On algebras of continuous functions, Proc. Amer. Math. Soc., 4 (1953),
866—869.
7. On a class of normed rings, Arkiv. for Mat., 2 (1953), 537—551.
8. Ideals in a class of commutative Banach algebras, Duke Math. J., 20
(1953), 273—278.
9. Algebras with two generators, Amer. J. Math., 76 (1954), 853—
859.
10. Subalgebras of the algebra of all continuous complex-valued functions
on the circle, Amer. J. Math., 78 (1956), 225—242.
11. Некоторые вопросы теории приближений, ИЛ, М., 1963 (1955).
Фаге М. К-
1. О симметричности и симметризуемости функции влияния, Матем.
сб., 32 (74), (1953), 345—352.
2. Характеристическая функция одноточечной краевой задачи для обык-
1024
Библиография
новенного линейного дифференциального уравнения второго поряд-
ка, ДАН СССР, 96 (1954), 929—932.
Фадеев Л. Д.
1.*Единственность решения обратной задачи рассеяния, Вестник ЛГУ,
7 (2), (1956), 123—130.
Фантапье (Fantappie L.)
1. La teoria dei funzionali analitici, le sue applicazioni e i suoi possibili
indirizzi, Reale Accademia d'Italia, Fondazion Alessandro Volta, Atti
dei Convegni., 9‘(1939), 223—279, Rome, 1943.
2. L’analisi funzionale nel campo complesso e i nuovi metodi d’integra-
zione delle equazioni a derivate parziali, Rivista Mat. Univ. Parma,
1 (1950), 117—120.
3. Le calcul des matrices, C. R. Acad. Sci. Paris, 186 (1928), 619—621.
Фань Ky (Fan K-), см. также Бохнер
1. Le prolongement des fonctionnelles continues sur un espace semi-ordon-
ne, Rev. Sci., 52 (1944), 131—139.
2. Partially ordered additive groups of continuous functions, Ann. of
Math. (2), 51 (1950), 409—427.
3. Maximum properties and inequalities for the eigenvalues of completely
continuous operators, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 37 (1951), 760—766.
4. Les fonctions definies-positives et les fonctions completement mono-
tones. Gauthier-Villars, Paris, 1950.
5. On a theorem of Weyl concerning eigenvalues of linear transformations.
I, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 35 (1949), 652—655; II, там же, 36
(1950), 31—35.
Ф a p н e л ь (F a r n e 1 1 A. B.)
1. Limits for the characteristic roots of a matrix, Bull. Amer. Math. Soc.,
50 (1944), 789—794.
Фейган (Fagan R. E.), см. Камерон
Фейнман (Feynman R. P.)
1. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Rev.
Mod. Phys., 20, № 2 (1948), 367—387. [Есть русский перевод в сбор-
нике «Вопросы причинности в квантовой механике», М., 1955.]
Фелл и Келли (Fell J.M. G., Kelly J. L.)
1. An algebra of unbounded operators, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 38
(1952), 592—598.
Феллер (Feller W.)
1. Semi-groups of transformations in general weak topologies, Ann. of
Math. (2), 57 (1953), 287—308.
2. On the generation of unbounded semi-groups of bounded linear opera-
tors, Ann. of Math. (2), 58 (1953), 166—174.
3. On positivity preserving semi-groups of transformations on C [rlf r2],
Ann. Soc. Polon. Math., 25 (1952), 85—94 (1953).
4. Diffusion processes in one dimension, Trans. Amer. Math. Soc., 77
(1954), 1—31. [Есть русский перевод: сб. Математика, 2 : 2 (1958),
119—146.]
5. The parabolic differential equation and the associated semi-group of
transformations, Ann. of Math. (2), 55 (1952), 468—519. [Есть рус-
ский перевод: сб. Математика, 1 : 4 (1957), 105—153.]
6. On second order differential operators, Ann. of Math. (2), 61 (1955),
90—105.
7. On differential operators and boundary conditions, Comm. Pure Appl.
Math., 8 (1955), 203—216.
8*. On equation of the vibrating string, J. Math, and Meeh., 8, № 3 (1959),
339—348.
Фёльнер (Fol пег E.), см. Бор
Библиография
1025
Фенхель (Fenchel W.), см. Боннезен
Ф е р е с (V е г е s s Р.)
1. Ober kompakte Funktionenmengen und Bairesche Klassen, Fund.
Math., 7 (1925), 244—249.
2. Uber Funktionenmengen, Acta Math. Sci. Szeged, 3 (1927), 177—192.
Фиккен (Ficken F. A.)
1. Note on the existence of scalar products in normed linear spaces, Ann.
of Math. (2), 45 (1944), 362—366.
Филлипс (Phillips R. S.), см. также Бохнер, Хилле.
1. On weakly compact subsets of a Banach space, Amer. J. Math., 65
(1943), 108—136.
2. A characterization of Euclidean spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 46
(1940), 930—933.
3. On linear transformations, Trans. Amer. Math. Soc., 48 (1940), 516—
541.
4. A note on ergodic theory, Proc. Amer. Math. Soc., 2 (1951), 662—
669.
5. Spectral theory for semi-groups of linear operators, Trans. Amer. Math.
Soc., 71 (1951), 393—415.
6. Perturbation theory for semi-groups of linear operators, Trans. Amer.
Math. Soc., 74 (1953), 199—221.
7. Integration in a convex linear topological space, Trans. Amer. Muth.
Soc., 47 (1940), 114—145.
8. On one parameter semi-groups of linear transformations, Proc. Amer.
Math. Soc., 2 (1951), 234—237.
9. Semi-groups of operators, Bull. Amer. Math. Soc., 61 (1955), 16—33.
10. An inversion formula for Laplace transforms and semi-groups of linear
operators, Ann. of Math. (2), 59 (1954), 325—356.
11. The adjoint semi-group, Pacific. J. Math., 5 (1955), 269—283.
12. A decomposition of additive set functions, Bull. Amer. Math. Soc.,
46 (1940), 274—277.
13. Linear ordinary differential operators of the second order, Div. Elec-
tromag. Res., Inst. Math. Sci., New York Univ., 1952.
фТи хтенгольц Г. M.
1. Sur les fonctionnelles lineaires, continues au sens generalise, Матем.
сб., 4 (46), (1938), 193—214.
2. Sur une classe d’operations fonctionnelles lineaires, Матем. сб., 4
(46), (1938), 215—226.
3. Sur les operations lineaires dans 1’espace des fonctions continues, Bull.
Acad. Sci. Roy. Belg. 22 (1936), 26—33.
Фихтенгольц Г. M. и Канторович Л. В.
1. Sur les operations lineaires dans 1’espace des fonctions bornees, Studia
Math., 5 (1934), 69—98.
2. Некоторые теоремы о линейных функционалах, ДАН СССР, 3 (1934),
307—312.
Фишел (Fishel В.)
1. The continuous spectra of certain differential equations, J. London
Math. Soc., 27 (1952), 175—180.
Фишер К- (F i s c h e r C. A.)
1. Necessary and sufficient conditions that a linear transformation be com-
pletely continuous, Bull. Amer. Math. Soc., 27 (1920), 10—17.
2. Linear functionals of А-spreads, Ann. of Math. (2), 19 (1917—1918),
37—43.
Фишер Э. (Fischer E.)
1. Sur la convergence en moyenne, C. R. Acad. Sci. Paris, 144 (1907),
1022—1024.
65 Заказ № 134
1026
Библиография
2. Applications d’un theoreme sur la convergence en moyenne, C. R. Acad.
Sci. Paris., 144 (1907), 1148—1151.
Флейшер (Fleischer I.)
1. Sur les espaces normes non-archimediens, Nederl. Akad. Wetensch. Proc.,
Ser. A., 57 (1954), 165—168.
Ф о й а ш (F о i a s C.)
1. La mesure harmonique-spectrale et la theorie spectrale des operateurs
generaux d’un espace de Hilbert, Bull. Soc. Math. France, 85 (1957),
263—282. *
Фомин С. В., см. Колмогоров A. H.
Форд (Ford G. С.), см. Мишоу
Форт (Fort M. K., Jr.)
1. Essential and nonessential fixed points, Amer. J. Math., 72 (1950),
315—322.
Форте (Fortet R.)
1. Remarques sur les espaces uniformement convexes, C. R. Acad. Sci.,
Paris, 210 (1940), 497—499.
2. Remarques sur les espaces uniformement convexes, Bull. Soc. Math.
France, 69 (1941), 23—46.
3. Les systemes d’equations lineaires dans les espaces uniformement con-
vexes, C. R. Acad. Sci. Paris., 211 (1940), 422—423.
4. Les fonctions aleatoires du type Markoff associees a certaines equations
lineaires aux derivees partielles du type parabolique, J. Math. Pures
Appl., 22 (1943), 177—243.
Фредгольм (Fredholm I.)
1. Sur une classe d’equations fonctionnelles, Acta Math., 27 (1903), 365—
390.
Фрейденталь (Freudenthal H.)
1. Teilweise geordnete Moduln, Nederl. Akad. Wetensch. Proc., 39 (1936),
641—651.
2. Einige Satze fiber topologische Gruppen, Ann. of Math. (2), 37 (1936),
46—56.
3. Ober die Friedrichssche Fortsetzung halbbeschrankter Hermitescher
Operatoren, Nederl. Akad. Wetensch. Proc., 39 (1936), 832—833.
Фреше (F rechet M.)
1. Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rend. Circ. Mat. Palermo,
22 (1906), 1—74.
2. Les espaces abstraits topologiquement affines, Acta Math., 47 (1926),
25—52.
3. Les espaces abstraits. Gauthier-Villars, Paris, 1928.
4. Sur les ensembles de fonctions et les operations lineaires, C. R. Acad.
Sci. Paris., 144 (1907), 1414—1416.
5. Sur les operations lineaires, I—III.
I. Trans. Amer. Math. Soc., 5 (1904), 493—499.
II. Там же, 6 (1905), 134—140.
III. Там же, 8 (1907), 433—446.
6. Sur les ensembles compacts de fonctions mesurables, Fund. Math., 9
(1927), 25—32.
7. Sur les ensembles compacts de fonctions de carres sommables, Acta
Sci. Math. Szeged, 8 (1937), 116—126.
8. Sur divers modes de convergence d’une suite de fonctions d’une variab-
le, Bull. Calcutta Math. Soc., 11 (1919—1920), 187—206.
9. Essai de geometric analytique a une infinite de coordonnees, Nouvelles
Ann. de Math. (4), 8 (1908), 97—116, 289—317.
10. Sur les fonctionnelles bilineaires, Trans. Amer. Math. Soc., 16 (1915),
215—234.
Библиография
1027
Фридман Б. и Мишоу (Friedman В., Mishoe L. I.)
1. Eigenfunction expansions associated vzith a non-self adjoint differen-
tial equation, Pacific J. Math., 6 (1956), 249—270.
Фридман M. (Friedman M. D.)
1. Determination of eigenvalues using a generalized Laplace transform,
J. Appl. Phys., 21 (1950), 1333—1337.
Фри др ихс (Friedrichs К. О.)
1. Ober die Spektralzerlegung eines Integraloperators, Math. Ann., 115
(1938), 249—272.
2. On the perturbation of continuous spectra, Comm. Pure Appl. Math.,
1 (1948), 361—406.
3. Spectraltheorie halbbeschrankter Operatoren, I—III.
I. Math. Ann., 109 (1934), 465—487.
II. Там же, 109 (1934), 685—713.
III. Там же, ПО (1935), 777—779.
4. Beitrage zur Theorie der Spektralschar, Math. Ann., 110 (1935), 54—62.
5. Ober die ausgezeichnete Randbedingung in der Spektraltheorie der
halbbeschrankten gewohnlichen Differentialoperatoren zweiter Ord-
nung, Math. Ann., 112 (1935), 1—23.
6. On differential operators in Hilbert space, Amer. J. Math., 61 (1939),
523—544.
7. Spektraltheorie linearer Differentialoperatoren, Jber. Deutsch. Math.
Verein., 45 (1935), 181—193.
8. Die unitaren Invarianten selbstadjugierter Operatoren im Hilbertschen
Raum, Jber. Deutsch. Math. Verein., 45 (1935), 79—82.
9. The identity of weak and strong extensions of differential operators,
Trans. Amer. Math. Soc., 55 (1944), 132—151.
10. Criteria for discrete spectra, Comm. Pure Appl. Math., 3 (1950), 439—449.
11. Functional analysis and applications. Inst. Math. Sci., New York
Univ., New York, 1956.
12. Criteria for the discrete character of the spectra of ordinary differen-
tial operators. Courant Anniversary Volume, 145—160, Interscience
Pub., 1948.
13. Spectral representation of linear operators. Inst. Math. Sci., New York
Univ., 1953.
14. Symmetric hyperbolic linear differential equations, Comm. Pure AppL
Math., 7 (1954), 345—392.
15. Differentiability of solutions of linear elliptic differential operators,.
Comm. Pure Appl. Math., 6 (1953), 299—326.
16. Mathematical aspects of the quantum theory of fields. Interscience-
Pub., New Vork and London, 1953.
Фринк (Frink O., Jr)
1. Series expansions in linear vector spaces, Amer. J. Math., 63 (1941),
87—100.
Ф p о бе ниус (Frobenius G.)
1. Uber lineare Substitutionen und bilineare Formen, J. Peine Angew.
Math., 84 (1878), 1—63.
2. Uber die schiefe Invariante einer bilinearen oder quadratischen For-
men, J. Reine Angew. Math., 86, (1879), 44—71.
3. Uber die cogredienten Transformationen der bilinearen Formen, Sit-
zungsberichte der K. Preuss. Akad. der Wiss. zu Berlin (1896), 7—16.
4. Uber die Charaktere der alternierenden Gruppe, Sitzungsber. Akad.
Berlin (1901), 303—315.
Фуглид (Fuglede B.)
1. A commutativity theorem for normal operators, Proc. Nat. Acad. Sci
U.S.A., 36 (1950), 35—40.
65*
1028
Библиография
Ф у к а м и я (Fukamiya М.), см. также И о с и д а
1. On dominated ergodic theorem in (p > 1), Tohoku Math. J., 46
(1939), 150—153.
2. On B*-algebras, Proc. Japan Acad., 27 (1951), 321—327.
3. On a theorem of Gelfand and Neumark and the B*-algebra, Kumamoto
J. Set., Ser. A, 1, № 1 (1952), 17—22.
Ф у к c (F u c h s L.)
1. Ober Relationen, welche fur die zwischen je zwei singularen Punkten
erstreckten Integrate der Losungen linearer Differentialgleichungen
stattfinden, J. Reine Angew. Math., 76 (1873), 177—213.
Фукухара (Hukuhara M.)
1. Sur 1’existence des points invariants d’une transformation dans 1’espace
fonctionnel, Jap. J. Math., 20 (1950), 1—4.
Фуллертон (Fullerton R. E.)
1. On a semi-group of subsets of a linear space, Proc. Amer. Math. Soc., 1
(1950), 440—442.
2. Linear operators with range in a space of differentiable functions, Duke
Math. J., 13 (1946), 269—280.
3. The representation of linear operators from to L, Proc. Amer. Math.
Soc., 5 (1954), 6^9—696.
4. An inequality for linear operators between L& spaces, Proc. Amer. Math.
Soc., 6 (1955), 186—190.
5. A characterization of L spaces, Fund. Math., 38 (1951), 127—136.
X a a p (Haar A.)
1. Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen, Ann. of
Math. (2), 34 (1933), 147—169.
2. Uber die Multiplikationstabelle der orthogonalen Funktionensysteme,
Math. Zeit., 41 (1930), 769—798.
3. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, I, II.
I. Math. Ann., 69 (1910), 331—371.
II. Там же, 71 (1911), 38—53.
Хажинский (Charzynski Z.)
1. Sur les transformations isometriques des espaces du type (F), Studia
Math., 13 (1953), 94—121.
Хайерс (Hyers D. H.)
I Pseudo-normed linear spaces and abelian groups, Duke Math. J., 5 (1939),
628—634.
2. Locally bounded linear topological spaces, Revista Ci., Lima, 41 (1939),
555_____574,
3. Linear topological spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 51 (1945), 1—21.
4. A note on linear topological spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 44 (1938),
76—80.
Хал (Hull T. E.), см. Инфельд
Халбери (Halbury C. J. А.), см. T e й л о p
Халмош (H a 1 m о s P. R.)
1 Normal dilations and extensions of operators, Summa. Brazil. Math., 2
’ (1950), 125—134.
2 A nonhomogeneous ergodic theorem, Trans. Amer. Math. Soc., 66 (1949),
’ 284—288.
3. Commutativity and spectral properties of normal operators, Acta Sci.
Math. Szeged, 12, Pars В (1950), 153—156.
4. Measurable transformations, Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 1015—
1034.
5. Теория меры, ИЛ, M., 1953 (1950).
6. Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity.
Chelsea, New York, 1951.
Библиография
1029
7. Конечномерные векторные пространства, Физматгиз, М., 1963 (1942).
8. An ergodic theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 32 (1946), 156—161.
9. Spectra and spectral manifolds, Ann. Soc. Polon. Math., 25 (1952),
43—49.
10. Commutators of operators, I, II.
I. Amer. J. Math., 74 (1952), 237—240.
II. Там же, 76 (1954), 191—198.
11*. Лекции по эргодической теории, ИЛ, М., 1960.
Халмош и Люмер (Halmos Р. R., L u m е г G.)
1. Square roots of operators, II, Proc. Amer. Math. Soc., 5 (1954), 589—
595.
Халмош, Люмер и Шеффер (Halmos Р. R., Lumer G.,
Schaffer J. J.)
1. Square roots of operators, Proc. Amer. Math. Soc., 4 (1953), 142—149.
Халмош и Дж. Нейман (Halmos Р. R., von Neumann J.)
I. Operator methods in classical mechanics, II, Ann. of Math. (2), 43
(1942), 332—350.
Хан (Hahn H.)
1. Uber dieDarstellung gegebener Funktionen durch singulare Integrate, II,
Denkschriften der Д. Akad. Wien. Math.-N aturwiss. KI., 93 (1916),
657—692.
2. Uber Folgen linearer Operationen, Monatsh.fur Math, und Physik, 32
(1922), 3—88.
3. Uber lineare Gleichungssysteme in linearen Raumen, J. Reine Angew.
Math., 157 (1927), 214—229.
4. Reele Funktionen. Akad. Verlag., Leipzig, 1932.
5. Uber die Integrate des Herrn Hellinger und die Orthogonalinvarianten
der quadratischen Formen von unendlich vielen Veranderlichen,
Monatsh. fur Math, und Physik, 23 (1912), 161—224.
Хан и Розенталь (Hahn H., Rosenthal A.)
1. Set functions. Univ, of New Mexico Press, Albuquerque, 1948.
X a p а з о в Д. Ф.
1. Об одном классе линейных уравнений в гильбертовых пространствах,
Сообщ. АН Груз. ССР, 13 (1952), 65—72.
2. Об одном классе линейных уравнений с симметризуемыми оператора-
ми, ДАН СССР, 91 (1953), 1023—1026.
3. К теории симметризуемых операторов, полиномиально зависящих
от параметра, ДАН СССР, 91 (1953), 1285—1287.
Харди и Литлвуд (Hardy G. Н., Littlewood J.)
1. Some properties of fractional integrals, I, II.
I. Math. Zeit., 27 (1928), 565—606.
II. Там же, 34 (1932), 403—439.
Харди, Литлвуд и Полна (Пой я)
1. Неравенства, ИЛ, М., 1948 (1934).
Хартман П. (Hartman Р.)
1. On the ergodic theorems, Amer. J. Math., 69 (1947), 193—199.
2. On the essential spectra of symmetric operators in Hilbert space, Amer.
J. Math., 75 (1953), 229—240.
3. The L2’solu^ons °f linear differential equations of second order, Duke
Math. J., 14 (1947), 323—326.
4. Unrestricted solution fields of almost separable differential equations,
Trans. Amer. Math. Soc., 63 (1948), 560—580.
5. On differential equations with non-oscillatory eigenfunctions, Duke
Math. J., 15 (1948), 697—709.
6. On the linear logarithmico-exponential differential equation of the
second order, Amer. J. Math., 70 (1948), 764—779.
1030
Библиография
7. On the spectra of slightly disturbed linear oscillators, Amer. J. Math.,
71 (1949), 71—79.
8. A characterization of the spectra of the one-dimensional wave equation,
Amer. J. Math., 71 (1949), 915—920.
9. The number of /^"Solutions of x" 4-q (t) x=0, Amer. J. Math., 73
(1951), 635-645.
10. On bounded Green’s kernels for second order linear differential equations,
Amer. J. Math., 73 (1951), 646—656.
11. On the eigenvalues of differential equations, Amer. J. Math., 73 (1951),
657—662.
12. On linear second order differential equations with small coefficients,
Amer. J. Math., 73 (1951), 955—962.
13. Some examples in the theory of singular boundary value problems,
Amer. J. Math., 74 (1952), 107—126.
14. On non-oscillatory linear differential equations of second order, Amer.
J. Math., 74 (1952), 389—400.
15. On the derivatives of solutions of linear second order differential equa-
tions, Amer. J. Math., 75 (1953), 173—177.
16. On the essential spectra of ordinary differential equations, Amer. J.
Math., 76 (1954), 831—838.
17. On the zeros of solutions of second order linear differential equations,
J. London Math. Soc., 27 (1952), 492—496.
Хартман П. и Пу th а м (Hartman P., Putnam C.)
1. The least cluster point of the spectrum of boundary value problems,
Amer. J. Math., 70 (1948), 847—855.
2. The gaps in the essential spectra of wave equations, Amer. J. Math.,
72 (1950), 849—862.
Хартман П. и У интнер (Hartman Р., Wintner А.)
1. The (L2)-space of relative measure, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 33
(1947), 128—132.
2. An oscillation theorem for continuous spectra, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 33 (1947), 376—379.
3. The asymptotic arcus variation of solutions of real linear differential
equations of second order, Amer. J. Math.., 70 (1948), 1—10.
4. Criteria for the non-degeneracy of the wave equation, Amer. J. Math.,
70 (1948), 295—308.
5. On the orientation of unilateral spectra, Amer. J. Math., 70 (1948),
309—316.
6. On non-conservative linear oscillators of low frequency, Amer. J. Math.,
70 (1948), 529—539.
7. A criterion for the non-degeneracy of the wave equation, Amer. J. Math.,
71 (1949), 206—213.
8. On the location of spectra of wave equations, Amer. J. Math., 71 (1949),
214—217.
9. On the Laplace-Fourier transcendents, Amer. J. Math., 71 (1949),
367—372.
10. Oscillatory and non-oscillatory linear differential equations, Amer. J.
Math., 71 (1949), 627—648.
11. A separation theorem for continuous spectra, Amer. J. Math., 71 (1949),
650—662.
12. On the derivatives of the solutions of the one-dimensional wave equa-
tion, Amer. J. Math., 72 (1950), 148—155.
13. On the essential spectra of singular eigenvalue problems, Amer. J. Math.,
72 (1950), 545—552.
14. On an oscillation criterion of Liapounoff, Amer. J. Math., 73 (1951),
885—890.
Библиография
1031
15. On perturbations of the continuous spectrum of the harmonic oscilla-
tors, Amer. J. Math., 74 (1952), 79—85.
16. An inequality for the amplitudes and arcus in vibration diagrams of
time-dependent frequency, Quart. Appl. Math., 10 (1952), 175—176.
17. On non-oscillatory linear differential equations, Amer. J. Math., 75
(1953), 717—730.
18. On curves defined by binary non-conservative differential systems,
Amer. J. Math., 76 (1954), 497—501.
19. On the assignment of asymptotic values for the solution of linear diffe-
rential equations of second order, Amer. J. Math., 77 (1955), 475—483.
20. On linear second order differential equations in the unit circle, Trans.
Amer. Math. Soc., 78 (1955), 492—500.
21. On non-oscillatory linear differential equations with monotone coeffi-
cients, Amer. J. Math., 76 (1954), 207—219.
22. On the asymptotic problems of the zeros in wave mechanics, Amer. J.
Math., 70 (1948), 461—480.
Хартман C. (HartmanS.)
1. Quelques proprietees ergodiques des fractions continues, Studia Math.,
12 (1951), 271—278.
Хартман С., Марчевский и Рыль-Нарджевский
(Hartman S.,Marczewski E., Ryll-Nardzewski C.)
1. Theoremes ergodiques et leurs applications, Colloq. Math., 2 (1951),
109—123.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
1. Grundziige der Mengenlehre. Verlag von Veit, Leipzig, 1914.
2. Теория множеств, M., Гостехиздат, 1937 (1935).
3. Zur Theorie der linearen metrischen Raume, J. Reine Angew. Math.,
167 (1932), 294—311.
Хейвуд (Heywood P.)
1. On the asymptotic distribution of eigenvalues, Proc. London Math. Soc.
(3), 4 (1954), 456—470.
Хелли (Hell у E.)
1. Uber lineare Funktionaloperationen, S.-B. R. Akad. Wiss. Wien Math.-
Naturwiss. Rl. 121, Ila (1912), 265—297.
2. Uber Systeme linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten,
Monatsh. fur Math. u. Phys., 31 (1921), 60—91.
Хеллингер (Hellinger E.)
1. Neue Begriindung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen
Veranderlichen, J. Reine Angew. Math., 136 (1909), 210—271.
Хеллингер и Теплиц (Hellinger E., Toeplitz O.)
1. Grundlagen fiir eine Theorie der unendlichen Matrizen, Math. Ann., 69
(1910), 289—330.
2. Grundlagen fiir eine Theorie der endlichen Matrizen, Nachr. Akad. Wiss.
Gottingen, Math.-Phys. Rl. 1906, 351—355 (1906).
3. Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten.
Encyklopadie der Mathematischen Wissenschaften II, C13 (1928),
1335—1616.
Хельсон (Helson H.)
1. Spectral synthesis of bounded functions, Ark. for Mat., 1 (1951), 497—
502.
Хельсон и Ках а н (Helson H., К a h a n e J. P.)
1. Sur les fonctions operant dans les algebres de transformees de Fourier
de suites ou de fonctions sommables, C. R. Acad. Sci. Paris, 247 (1958),626.
Хельсон и Квигли (Helson H., Quigley F. D.)
1. Maximal algebras of continuous functions, Proc. Amer. Math. Soc., 8
(1957), 111—114.
1032
Библиография
2. Existence of maximal ideals in algebras of continuous functions, Proc,
Amer. Math. Soc., 8 (1957), 115—119.
Хензель (Hensel K.)
1. Ober Potenzreihen von Matrizen, J. Reine Angew. Math.. 155 (1926).
107—110.
Хенсон (Hanson E. H.)
1. A note on compactness, Bull. Amer. Math. Soc., 39 (1933), 397—400.
Хёрмандер (Hormander L.)
1. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига, ИЛ, М.,
1962 (1960).
Хетфилд (Hatfield С.), см. Камерон
Хилле (Hille Е.) (X и л л)
1. Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1951 (1948).
2. Notes on linear transformations, II. Analyticity of semi-groups, Ann. of
Math. (2), 40 (1939), 1—47.
3. On the generation of semi-groups and the theory of conjugate functions,
Proc. Roy. Physiog. Soc. Lund, 21 (1951), 1 — 13.
4. Non-oscillation theorems, Trans. Amer. Math. Soc., 64 (1948), 234—252.
5. The abstract Cauchy problem and Cauchy’s problem for parabolic diffe-
rential equations, J. d'Analyse Math., 3 (1953), 81—196.
Хилле и Тамаркин (Hille E., Tamarkin J. D.)
1. On the characteristic values of linear integral equations, Acta Math., 57
(1931), 1—76.
2. On the theory of linear integral equations, II, Ann. of Math., (2), 35
(1934), 445—455.
Хилле Э. и Ф и л л и п с Р. (Н i 1 1 е Е., Р h i 1 1 i р s R. S.)
1. Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1962 (1957).
Хильдинг (Hilding S.)
1. On completeness theorems of Paley-Wiener type, Ann. of Math. (2), 49
(1948), 953—954.
2. On the closure of disturbed orthonormal sets in Hilbert space, Ark. Mat.
Astr. Fys., 32B, № 7 (1946), 3.
X и н ч и н А. Я.
1. Zu Birkhoffs Losung des Ergodenproblems, Math. Ann., 107 (1933),
485—488.
2. Fourierkoeffizienten langs einer Bahn in Phasenraum, Матем. сб., 41
(1934), 14—16.
Хиршман (Hirschman I. I.)
1. The decomposition of Walsh and Fourier series, Amer. Math. Soc.
Memoirs, 15 (1956).
Хиршман и У ид де p (Hirschman I. I., Widder D. V.),
см. также Уиддер и Хиршман
1. Преобразования типа свертки, ИЛ, М., 1958 (1955).
Хольмгрен (Н о 1 m g г е n Е.)
1. Ober Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen, Ofvers.
Kongl. Vetens.-Akad. Fork., 58 (1901), 91 — 103.
X о п ф Г. (Hopf H.), см. А л e к с а н д p о в П. С.
X on ф Э. (Hopf Е.)
1. Ergodentheorie. Ergebnisse der Math. V. 2, J. Springer, Berlin, 1937.
[Есть русский перевод: Эргодическая теория, У МН, 4, вып. 1 (1949). J
2. The general temporally discrete Markov process, J. Rational Meeh, and
Anal., 3 (1954), 13—45.
3. Ober eine Ungleichung der Ergodentheorie, S.-B. Math.-Nat. KI. Bayer.
Akad. Wiss. (1944), 171—176.
Хотта (Hotta J.)
1. A remark on regularly convex sets, Kodai Math. Sem. Rep. (1951), 37—40.
Библиография
1033
Хьюит (Hewitt Е.), см. также И о с и д а
1. Linear functionals on spaces of continuous functions, Fund. Math., 37
(1950), 161 — 189.
2. Integral representation of certain linear functionals, Ark. for Mat.,2
(1952), 269—282.
3. Integration on locally compact spaces, I, Univ, of Washington Pub.
in Math., 3 (1952), 71—75.
4. Certain generalizations of the Weierstrass approximation theorem,
Duke Math. J., 14 (1947), 419—427. .
5. Rings of real-valued continuous functions, I. Trans. Amer. Math. Soc.,
64 (1948), 45—99.
6. Linear functionals on almost periodic functions, Trans. Amer. Math.
Soc., 74 (1953), 303—322.
7. A problem concerning finitely additive measures, Mat. Tidsskr., B,
(1951), 81—94.
8* . A survey of abstract harmonic analysis. Some aspects of analysis and
probability, New York, 1958, pp. 107—168. [Есть русский перевод:
сб. Математика, 4 : 4 (1960), 75—133.]
Хюльтен (Hulthen L.)
1. On the Sturm-Liouville Problem connected with a continuous spectrum,
Ark. Mat. Astr. Fys., 35A, № 25 (1949), 25.
Цвален (Zwahlen R.)
1. Ein «neues» Eigenwertproblem, Actes Soc. Helv. Sci. Nat., 133 (1954),
60—65.
Цермело (Zermelo E.)
1. Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Ann., 59
(1904), 514—516.
2. Neuer Beweis fiir die Moglichkeit einer Wohlordnung, Math. Ann., 65
(1908), 107—128.
Ц з e н (Tseng Y. Y.)
1. On generalized biorthogonal expansions in metric and unitary spaces,
Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 28 (1942), 170—175.
2. Обобщенные обратные к неограниченным операторам между двумя
унитарными пространствами, ДАН СССР, 67 (1949), 431—434.
3. Свойства и классификация обобщенных обратных к замкнутым опера-
торам, ДАН СССР, 67 (1949), 607—610.
Цзян (Chiang Т. Р.)
1. A theorem on the normalcy of completely continuous operators, Acta
Sci. Math. Szeged., 14 (1952), 188—196.
Циммербер г (Zimmerberg H. J.)
1. On normalizable transformations in Hilbert space, Acta Math., 86 (1951),
85—88.
2. Definite integral systems, Duke Math. J., 15 (1948), 371—388.
Цорн (Zorn M.)
1. A remark on method in transfinite algebra, Bull. Amer. Math. Soc., 41
(1935), 667—670.
Ц у д з и (T s u j i M.)
1. On the integral representation of unitary and self-adjoint operators in
Hilbert space, Jap. J. Math., 19 (1948), 287—297.
2. On the compactness of space (p > 0) and its application to integral
equations, Kodai Math. Sem. Rep. (1951), 33—36.
Чан (Chang S. H.)
1. On the distribution of the characteristic values and singular values
of linear integral equations, Trans. Amer. Math. Soc., 67 (1949), 351—367.
2. Generalization of a theorem of Lalesco, J. London Math. Soc., 22 (1947),
185—189.
1034
Библиография
Чех (Cech Е.)
1. On bicompact spaces, Ann. of Math. (2), 38 (1937), 823—844.
Шапиро Г. (Shapiro H. S.), см. также Рогозинский
1. Extremal problems for polynomials and power series. Dissertation, Mass.
Inst. Tech., 1952.
2. Applications of normed linear spaces to function-theoretic extremal pro-
blems. Lectures of functions of a complex variable, 399—404, Univ,
of Michigan Press, Ann Arbor, 1955.
Шапиро Дж. (Shapiro J. M.), см. Камерон
Шаттен (Schatten R.), см. также Нейман Дж.
1. A theory of cross-spaces, Ann. of Math. Studies, No. 26, Princeton Uni-
versity Press, Princeton, 1950.
Шатуновский С. O.
1*.Введение в анализ, Одесса, 1932.
Шаудер (Schauder J.)
1. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen, Math. Z., 26
(1927), 47—65, 417—431.
2. Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen, Studia Math., 2 (1930), 171 —
180.
3. Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystemes, Math. Z., 28 (1928),
317—320.
4. Invarianz des Gebietes in Funktionalraumen, Studia Math., 1 (1929),
123—139.
5. Ober den Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit und Losbarkeit
partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen
Typus, Math. Ann., 106 (1932}, 661—721.
6. Ober lineare, vollstetige Funktionaloperationen, Studia Math., 2 (1930),
183—196.
7. Ober die Umkehrung linearer, stetiger Funktionaloperationen, Studia
Math., 2 (1930), 1—6.
Шах (Shah S. M.)
1. Note on eigenfunction expansions, J. London Math. Soc., 27 (1952),
58—64.
Шварц Г. A. (Schwarz H. A.)
1. Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Band I, J. Springer, Ber-
lin, 1890.
Шварц Г. M. (Schwartz H. M.)
1. Sequences of Stieltjes integrals, I—III.
I. Bull. Amer. Math. Soc., 47 (1941), 947—955.
II. Duke Math. J., 10 (1943), 13—22.
III. Там же, 10 (1943), 595—610.
Шварц Дж. (Schwartz J.), см. также Бартл, Бейд, Дан-
форд
1. A note on the space L*, Proc. Amer. Math. Soc., 2 (1951), 270—275.
2. Perturbations of spectral operators, and applications, I, Pacific J. Math.,
4 (1954), 415—458.
3. Two perturbation formulae, Comm. Pure Appl. Math., 8 (1955), 371—376.
Шварц Л. (Schwartz L.), см. также Д ь ё д о н не
1. Analyse et synthese harmoniques dans les espaces de distributions,
Canadian J. Math., 3 (1951), 503—512.
2. Sur une propriete de synthese spectrale dans les groupes non compacts,
C.R. Acad. Sci. Paris, 227 (1948), 424—426.
3. Theorie generale des fonctions moyenneperiodiques, Ann. of Math. (2),
48 (1947), 857—929.
4. Homomorphismes et applications completement continues, C.R. Acad
Sci. Paris, 236 (1953), 2472—2473.
Библиография
1035
5. Theorie des distributions, I, II, Act. Sci. Ind., 1091, 1122, Hermann
et Cie., Paris (1951).
6*. Theorie des noyaux, Proc. Int. Cong. Math., v. I (1952), 220—230.
[Есть русский перевод: сб. Математика, 3 : 3 (1959), 69—79.]
Швердтфегер (Schwerdtfeger Н.)
1. Les fonctipns de matrices, Act. Sci. et Ind., 649, Hermann et Cie. Paris
1938.
Шевалле (Chevalley C.)
1. Теории групп Ли, ИЛ, М., т. 1—1948 (1946), т. 2,3—1958 (1951).
Шёнберг (Schoenberg I. J.), см. также Гильдебрандт
1. A remark on М. М. Day’s characterization of innerproduct spaces and
a conjecture of L. M. Blumenthal, Pr&c. Amer. Math. Soc. 3 (1952)
961—964. ’ v
2. On local convexity in Hilbert space, Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942)
432—436. ’
3. On smoothing operations and their generating functions, Bull. Amer
Math. Soc., 59 (1953), 199—230.
Шерф (Schaerf H. M.)
1. Sur I’unicite des mesures invariantes, C.R. Acad. Sci. Paris, 229 (1949),
1053—1055. Испр. 230 (1950), 795.
2. Sur I’unicite de la mesure de Haar, C. R. Acad. Sci. Paris, 229 (1949),
1112—1113.
Шеф к e (S c h a f k e F. W.)
1. Ober einige unendliche lineare Gleichungssysteme, Math. Nachr., 3
(1949), 40—58.
2. Das Kriterium von Paley und Wiener in Banachschen Raum, Math.
Nachr., 3 (1949), 59—61.
3. Ober Eigenwertprobleme mit zwei Parametern, Math. Nachr., 6 (1951),
109—124.
Шеффер (Schaffer J. J.), см. также Халмош
1. On unitary dilations of contractions, Proc. Amer. Math. Soc., 6 (1955),
322.
2. On some problems concerning operators in Hilbert space, Anais Acad.
Brasil. Ci., 25 (1953), 87—90.
Шилов Г. E., см. также Гельфанд И. M.
1. Идеалы и подкольца кольца непрерывных функций, ДАН СССР, 22
(1939), 7—10.
2. К теории идеалов в нормированных кольцах функций, ДАН СССР, 27
(1940), 900—903.
3. О нормированных кольцах с одной образующей, Матем сб., 21 (63),
(1947), 25—37.
4. О регулярных нормированных кольцах, Труды Матем. ин-та АН
СССР, 21 (1947), 118.
5. О расширении максимальных идеалов, ДАН СССР, 29 (1940),
83—85.
6* . Математический анализ (специальный курс), Физматгиз, М.,
1960.
7*.Критерий компактности в однородном пространстве функций, ДАН
СССР, 92 (1953), 11 — 12.
Шин Ден Юн
1. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве,
ДАН СССР, 18 (1938), 523—526.
2. О решениях линейного квазидифференциального уравнения п-го
порядка, Матем. сб., 7 (49), (1940), 479—532.
3. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве,
Матем. сб., 13 (55), (1943), 39—70.
1036
Библиография
EEE
s s s
Широхов M. Ф.
1. Функции от элементов полуупорядоченных пространств, ДАН СССР*
74 (1950), 1057—1060.
фман (Shiftman М.), см. Гарабедян
ффер (Schiffer М. М.), см. Миллер К.
ейдлер (Schmeidler W.)
1. Integralgleichungen mit Anwendungen in Physik und Technik, Akade-
mische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1950.
Ш м и д т (Schmidt E.)
1. Ober die Auflosung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbe-
kannten, Rend, del Circolo Matematico di Palermo, 25 (1908), 53—77.
2. Auflosung der allgememen linearen Integralgleichung, Math. Ann., 64
(1907), 161—174.
Шмульян В. Л., см. также Гантмахер В. Р. и Крейн М. Г.
1. О регулярно замкнутых и слабо компактных множествах в простран-
ствах типа (В), ДАН СССР, 18 (1938), 403—406.
2. Линейные топологические пространства и их связь с пространствами
типа (В), ДАН СССР, 22 (1939), 475—477.
3. О различных топологиях в пространствах Банаха, ДАН СССР, 23
(1939), 331—334.
4. О некоторых геометрических свойствах сферы в пространстве типа
(В), ДАН СССР, 24 (1939), 647—651.
5. О принципе вкладок в пространстве типа (В), Матем. сб., 5 (47),
(1939), 317—328.
6. О некоторых геометрических свойствах единичной сферы простран-
ства типа (В), Матем. сб., 6 (48), (1939), 77—94.
7. О дифференцируемости нормы в пространстве Банаха, ДАН СССР,
27 (1940), 643—648.
8. Ober lineare topologische Raume, Матем. сб., 7 (49), (1940), 425—448.
9. Sur la structure de la sphere unitaire dans 1’espace de Banach, Матем,
сб., 9 (51), (1941), 545—572.
10. О линейных топологических пространствах, Матем.,сб.9 9(51), (1941),
727—730.
11. О некоторых геометрических свойствах сферы в линейных полуупо-
рядоченных пространствах Банаха, ДАН СССР, 30 (1941), 392—396.
12. О некоторых вопросах функционального анализа, ДАН СССР, 38
(1943), 170—173.
13. Sur les ensembles compacts et faiblement compacts dans Г espace du
type (В), Матем. сб., 12 (54), (1943), 91—98.
14. О компактных множествах в пространстве измеримых функций,
Матем. сб., 15 (57), (1944), 343—346.
Шмульян Ю. Л.
1. Изометрические операторы с бесконечными индексами дефекта и их
ортогональные расширения, ДАН СССР, 87 (1952), 11—14.
2. Операторы с вырожденной характеристической функцией, ДАН
СССР, 93 (1953), 985—988.
3. Вполне непрерывные возмущения операторов, ДАН СССР, 101 (1955),
35—38.
Ш н о л ь Э. Э.
1. Поведение собственных функций и спектр операторов Штурма — Лиу-
ъилля, У МН, 9 : 4 (62), (1954), 113—132.
2*.О поведении собственных функций уравнения Шредингера. Диссерта-
ция, МГУ, 1955.
Шохат и Тамаркин (Shohat J. A., Tamarkin J. D.)
1. The problem of moments. Math. Surveys, № 1, Amer. Math. Soc.,
New York, 1943.
Библиография
1037
Шрёдер (Schroder J.)
1. Fehlerabschatzungen zur Stdrungsrechnung bei linearen Eigenwertpro-
blemen mit Operatoren eines Hilbertschen Raumes, Math. Nachr., 10
(1953), 113—128.
Шрёдингер (Schrodinger E.)
1. Quantisierung als Eigenwertproblem, Annalen der Physik (4), 80 (1926),
437—490.
2. Verwasschene Eigenwertspectra, S.-B. Preussischen Akad. Wiss.,
(1929), 668—682.
Шрейбер (Schreiber M.)
1. Generalized spectral resolution for operators in Hilbert space. Disserta-
tion, University of Chicago, 1955.
Шрейдер Ю. A.
1. Строение максимальных идеалов в кольце мер со сверткой, Матем. сб.,
27 (69), (1950), 297—318.
Шрейер О. (Schreier О.)
1. Abstrakte kontinuierliche Gruppen, Abhand. Math. Sem. Hamburgi-
schen Univ., 4 (1926), 15—32.
Шрейер Я. (Schreier J.)
1. Ein Gegenbeispiel zur Theorie der schwachen Konvergenz, Studia Math.,
2 (1930), 58—62.
Штейнгауз (Steinhaus H.), см. также Банах и Ka чм аж
1. Sur les developpements orthogonaux, Bull. Int. Acad. Polon. Sci., Ser. A
(1926), 11—39.
2. Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Z., 5 (1919), 186—
221.
Штраус A. В.
1. К теории обобщенных резольвент симметрического оператора, ДАН
СССР, 78 (1951), 217—220.
2. О характеристических свойствах обобщенных резольвент, ДАН
СССР, 82 (1952), 209—212.
3. К теории эрмитовых операторов, ДАН СССР, 67 (1949), 611—614.
4. Об обобщенных резольвентах симметрического оператора, ДАН
СССР, 71 (1950), 241—244.
5. Обобщенные резольвенты симметрических операторов, Изв. АН СССР,
сер. матем., 18 (1954), 51—86.
Штрут (Strutt М. J. О.)
1. Lamesche, Mathieusche und verwandte Funktionen in Physik und
Technik. Ergebnisse der Math., I 3, J. Springer, Berlin, 1932.
2. Reelle Eigenwerte verallgemeinerter Hillscher Eigenwertaufgaben 2.
Ordnung, Math. Zeit., 49 (1943—1944), 593—643.
Штурм (Sturm C.)
1. Sur les equations differentielles du second ordre, J. Math. Pures Appl.
(1), 1 (1836), 106—136.
2. Sur une classe d’equations a differences partielles, J. Math. Pures Appl.
(1), 1 (1836), 373—444.
Шур A. (Schur A.)
1. Zur Entwickelung willkiirlicher Funktionen nach Losungen von Syste-
men linearer Differentialgleichungen, Math. Ann., 82 (1921), 213—239.
Шур И. (Schur I.)
1. Ober die charakteristischen Wurzeln einer linearen Substitution mit
einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen, Math. Ann.,
66 (1909), 488—510.
Шур Я. (Schur J.)
1. Uber lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen,
J. Reine Angew. Math., 151 (1920), 79—111.
1038
Библиография
Эберлейн (Eberlein W. F.)
1. Weak compactness in Banach spaces, I, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
33 (1947), 51—53.
2. Closure, convexity, and linearity in Banach spaces, Ann. of Math. (2),
47 (1946), 688—703.
3. Abstract ergodic theorems and weak almost periodic functions, Trans.
Amer. Math. Soc., 67 (1949), 217—240.
4. Abstract ergodic theorems, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 34 (1948),
43—47.
5. A note on the spectral theorem, Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946)
328—331.
Эгнью (Agnew R. P.)
1. Linear functionals satisfying prescribed conditions, Duke Math. J., 4
(1938), 55—77.
Эгнью и Морс (Agnew R.P., Morse A. P.)
1. Extensions of linear functionals with applications to limits, integrals,
measures, and densities, Ann. of Math. (2), 39 (1938), 20—30.
Эдвардс (Edwards R. E.)
1. A theory of Radon measures on locally compact spaces, Acta Math., 89
(1953), 133—164.
2. Multiplicative norms on Banach algebras, Proc. Cambridge Philos. Soc.,
47 (1951), 473—474.
Э з po x и И. A.
1. Общие формы линейных операций в пространствах со счетным бази-
сом, ДАН СССР, 59 (1948), 1537—1540.
Эйдельгайт (Eidelheit М.)
1. Zur Theorie der Konvexen Mengen in linearen normierten Raumen, Sta-
dia Math., 6 (1936), 104—111.
Эйдельгайт и Мазур (Eidelheit M., Mazur S).
1. Eine Bemerkung fiber die Raume von Typus (F), Studia Math., 1 (1938),
159—161.
Эйленберг (Eilerrberg S.)
1. Banach space methods in topology, Ann. of Math. (2), 43 (1942), 568—
579.
Эккарт (Eckart C.)
1. The penetration of a potential barrier by electrons, Phys. Rev., 35 (1930),
1303—1309.
Элконин (E Iconin V.), см. M а й к а л
Эллиот (Elliott J.)
1. The boundary value problems and semi-groups associated with certain
integro-differential operators, Trans. Amer. Math. Soc., 76 (1954), 300.
2. Eigenfunction expansions associated with singular differential operators,
Trans. Amer. Math. Soc., 78 (1955), 406—425.
Эллис Г. иГальперин (Ellis H. W., Halperin I.)
1. Function spaces determined by a levelling length function, Canadian
J. Math., 5 (1953), 576—592.
Э л л и с Д. (E 1 1 i s D.)
1. A modification of the parallelogram law characterization of Hilbert
spaces, Math. Zeit., 59 (1953), 94—96.
Эрдёш (Erdos P.), см. Кларксон
Эрдёш и Кац М. (Erdos Р., Кас М.)
1. On certain limit theorems of the theory of probability, Bull. Amer. Math.
Soc., 52 (1946), 292—302.
Эскин Г. И.
1 *. Достаточное условие разрешимости многомерной проблемы момен-
тов, ДАН СССР, 133, 3 (1960), 540—543.
Библиография
1039
Эск л а н гон (Esclangon Е.)
1. Nouvelles recherches sur les fonctions quasi-periodiques, Ann. Obs.
Bordeaux, 16 (1917), 51—226.
Эссер (Esser M.)
1. Analyticity in Hilbert space and self-adjoint transformations, Amer. J.
Math., 69 (1947), 825—835.
Ю д (Y о о d В.)
1. Banach algebras of continuous functions, Amer. J. Math., 73 (1951),
30—42.
2. Properties of linear transformations preserved under addition of a com-
pletely continuous transformation, Duke Math. J., 18 (1951), 599—
612.
3. On fixed points for semi-groups of linear operators, Proc. Amer. Math.
Soc., 2 (1951), 225—233.
4. Transformations between Banach spaces in the uniforn topology, Ann.
of, Math. (2), 50 (1949), 486—503.
5. Additive groups and linear manifolds of transformations between Banach
spaces, Amer. J. Math., 71 (1949), 663—677.
6. Difference algebras of linear transformations on a Banach space, Paci-
fic J. Math., 4 (1954), 615—636.
Юдин А. И.
1. Некоторые геометрические вопросы теории полуупорядоченных про-
странств, Л., Учен. Зап. Ун-та, сер. матем., 10 (1940), 64—83.
Юнг (Young L. С.)
1. On an inequality of Marcel Riesz, Ann. of Math. (2), 40 (1939), 567—574.
Я г л о м A. M., см. Г e л ь ф а н д И. М.
Ямабе (Yamabe Н.)
1. On an extension of Helly’s theorem, Osaka Math. J., 2 (1950), 15—17.
Указатель обозначений
« II, 111 (a, ft], (а, Ь), [а, 6), [а, 6] I, 14 А (а) I, 562 A (а,, ..., ад) I, 562 Л (а) I, 727 Ah I, 659 Ak(J) II, 818 A^(I) II, 828 A(D) I, 263 A(n) I, 703 An (I) II, 447 A (T, n) I, 703 AC (I) I, 263 АР I, 263, 305 A I, 21 со(Л) I, 448 cs I, 261 Cq(I) II, 803 Cn (/) I, 263; II, 802 Cp II, 251 C%(C) II, 826 C°°(/) II, 802 C“ (/) II, 803 C“ (С) II, 826 0(Z) II, 826 C(S) I, 261, 283 ~ I, 200, 232 dp D(/) II, 811
ba(S, 2) I, 261, 338 ba(S, 2, 36) I, 177 bs I, 261 bv I, 260 bvQ I, 260 & II, 48 B(S) I, 261, 279 B(S, 2) I, 238, 261, 279 BV(I) I, 262, 366 B(X) I, 73 B(X, $) I, 73, 512 Dn(l) II, 826 ®+, ®_ II, 394 $ (T) II, 351 ®(7’«) I, 642 Ф (T)°° I, 642 En I, 259 £" II, 849 E( | f\>а) I, 116 £ (A,) I, 598 £(a) = £(a; T) I, 612
с I, 260 cq I, 260 ca(S, S) I, 262 332 ca(S, 2, 36) I, 177 co (A) I, 448 f {A} I, 687 f(T) I, 597, 608, 641; II, 362 f*g I, 675; II, 107 7 II, 107 Ft (f, g) II, 453
Указатель обозначений
1041
Fltj(T) II, 453 ||Г ||(Л) II, 829 Fl II, 834 F | /0 П, 815 F(S), F(S, S, p; Ж) I, 118 I, 597, 608, 639 F (a, P; y; z) II, 676 Fn(C) I, 826 NBV(I) I, 263, 366 91 £ I, 596 о, 0 I, 38, 39 Poo П, 112 pry I, 20 / a b c \
ha I, 47 II, 817 Н^(Г) II, 818 Н(£>(1) II, 828 II, 828 /7П(/) II, 454 #”(/) II, 454 Н$(Г) II, 458 HS II, 169 § I, 264 P 1 at Pi у,; z II, 674 \ a2 t>2 Y2 / & II, 209 3й (Л) I, 671 r(T) I, 607 rba(S) I, 283 rba(S, S, $) I, 177 rca(S) I, 262 rca(S, S, X) I, 177 9t(f) II, 351 R(X; T) I, 606
inf Л I, 13, 14 Im z I, 14 f I, 445 lp I, 260 loo I, 260 Ip I, 259 Г„о I. 260 lim g(a) I, 38 lim I, 14 lim I, 14 Lp (S, S, p) I, 262, 309 Loo(S, S, p) I, 262 Lp(S, S, p, X) I, 136 Lp (S, S, p, X) I, 134 X(A) I, 684 Re z I, 14 s I, 265 ^(Л) I, 684 sp (fi) I, 62 sp(B) I, 63 зирЛ I, 13, 14 5(Л, e) I, 30 S (x, e) I, 30 <(S, T)) II, 172 ®* II, 398 (S, S, p) I, 141 tr Л II, 175 tr (S, T) II, 186 T* I, 515, 517; II, 354 Ilf || П, 169
M II, 18 M(S), AJ(S, S, p, X) I, 120 T II, 393 |T|p П, 251 T(f, s) I, 710
и+, n_ II, 394 ЛЦЭД0; e, Д) II, 20 *72 66 Заказ № 134 Т0(т) II, 458, 845 Т,(т) II, 458, 845
1042
Указатель обозначений
I т loo II, 251 TM(S), ТМ (S, S, ц, Ж) I, 120 TM(S, S, |i) I, 120, 265, 357 Gp(T) I, 620 or(T) I, 620 а (х) II, 11 а(3£) II, 26
v (ц), v (ц, Е) I, 111 Т°(Д) I, 684 vrai sup I, 115 [х, т] II, 127 (х, у) I, 264; II, 938 (х, у)* II, 391 {х, у} II, 391 х {9J?} II, 18 х*, зе* I, 73 х**, £** I, 78 х, $ I, 78 36+ I, 453 зе/яхг 1,5о ое(Т) II, 558 ае(т) II, 558 2(И) I, 173 т I, 483; II, 120 т* II, 804 т+ II, 804 т II, 804 Ф I, 61 /а b \ Ф 1 «1 [£1> ^]; z II, 697
а * Р I, 689 \а2 [?2, ^1 /
х I, 78 (О0 I, 658 Q (х) II, 212
Хе I, 13
ц+, |i- I, 113, 146 ц* I, 114 II Щ'| I, 347 I, 150 С I, 11 0 I, 12 ' I, 12 II, 26 ± I, 85, 270
v (X) I, 596 Л, V п» 40 Д I, 53
II, 800 V2 п, 796 ф I, 270
р (х, t/) I, 29, 30 р(Т) I, 606, 639 р(х) II, 12 Ф I, 49, 103, 277 П I, 19, 44 tf II, 800 (dv (S))> II, 866
с(Т) I, 596, 606, 639 ас(Т) I, 620 5 II, 811, 826 о II, 834
Именной
указатель
Абдельгай (Abdelhay J.) 950
Абель (Abel N. Н.) 950
Абрамов Л. М. 950
Агмон (Agmon S.) 204, 327, 950, 997
Адамар (Hadamard J.) 175, 178—181,
950
Адамс (Adams С. R.) 950
Акилов Г. П. 950
Алаоглу (Alaoglu L.) 951
Александров А. Д. 8, 951
Александров П. С. 951
Алексевич (Alexiewicz А.) 951
Альбрехт (Albrycht J.)v 951
Альтман (Altman М. S.) 951
Альфорс (Ahlfors L. V.) 952
Амброз (Ambrose W.) 173, 326, 441,
952
Андзаи (Anzai Н.) 952
Аренс (Arens R. F.) 27, 35, 38, 952
Арну (Arnous Е.) 441, 952
Ароншайн (Aronszajn N.) 84, 86, 952,
953
Артеменко А. П. 953
Арцела (Arzela С.) 953
Асколи (Ascoli G.) 953
Аткинсон (Atkinson F. V.) 779, 953
Ахиезер Н. И. 82, 83, 85, 437—442,
444, 753, 754, 757, 953
Бабенко К. И. 349, 953
Банах (Banach S.) 199, 200, 221, 285,
389, 460, 517, 602, 647, 817, 832,
840, 843, 952—954
Баранкин (Barankin Е. W.) 329, 954
Баргман (Bargman V.) 954
•Баренблатт Г. И. 954
Бари Н. К. 954
Барри (Barry J. У.) 954
Бартл (Bartie R. G.) 954
Бассали (Bassali W. А.) 954, 1018
Батлер (Butler J. В.) 954
Безикович (Besikovitch A. S.) 955
Бейд (Bade W. G.) 437, 955
Бейкер (Baker Н. F.) 753, 955
Белл (Bell R. Р.) 955
Беллман (Bellman R.) 716, 955
Бендиксон (Bendixon J.) 241
Беннет (Bennet А. А.) 955
Березанский Ю. М. 6, 442, 444, 752,
791, 955
Берковиц (Berkowitz J.) 710, 746,
756—759, 763, 768, 955
Берлинг (Beurling А.) 86, 136, 146,
326—328, 955
Бернет (Burnett D.) 955
Бернулли (Bernoulli D.) 747
Берри Р. Я. 956
Бертон (Burton L. Р.) 956
Бессель (Bessel F. W.) 514, 702, 736*
738
Бете (Bethe Н. А.) 956
Бибербах (Bieberbach L.) 956
Биркгоф (Birkhoff G. D.) 664, 749,
751, 754, 757, 951, 956
Бирман М. Ш. 956
Бирнбаум (Birnbaum Z. W.) 957
Блисс (Bliss G. А.) 957
Блок (Block Н. D.) 957
Блюменталь (Blumenthal L. М.) 957
Боас М. (Boas М. L.) 957
Боас Р. (Boas R. Р., Jr.) 434, 957
Бодью (Bodiou G.) 432
Боненблуст (Bohnenblust Н. F.) 957
Боннезен (Bonnesen Т.) 957
Бонсол (Bonsall F. F.) 957
Бор (Bohr Н.) 93, 101, 105, 313, 957
Борг (Borg G.) 727, 786, 958
Борель (Borel Е.) 43, 70, 293, 505,
519, 521, 753, 805, 877, 885, 958
Боте (Botts Т.) 958
Бохер (Bocher М.) 749, 753, 754, 958
Бохнер (Bochner S.) 35, 326, 421,
442 958 959
Браудер (Browder F. Е.) 437, 799, 875,
913 959
Браун (Brown А.) 91, 92, 959
Брауэр A. (Brauer А.) 239, 959
66*
1044
Именной указатель
Брауэр Р. (Brauer R.) 242, 313, 959
Брей (Bray Н. Е.) 959
Брейс (Brace J. W.) 959
Брело (Brelot М.) 435, 959
Брем (Bram J.) 89, 960
Бриллюэн (Brillouin L.) 757, 778, 960
Бродский М. С. 329, 330, 960
Броун (Browne Е. Т.) 960
Броуэр (Brouwer L. Е. J.) 960
Буняковский В. Я. 960
Бурбаки (Bourbaki N.) 960
Бурга (Burgat Р.) 960
Буржен (Bourgin D. G.) 960
Буркхардт (Burkhardt Н.) 754, 960
Бухгейм (Buchheim А.) 960
Важевский (WaZewsky Т.) 960
Вайнштейн (Weinstein А.) 84, 961
Ван Данциг (van Dantzig D.) см.
Данциг
Ван дер Варден (van der Waerden
В. L.) 961
Ван Кампен (van Kampen Е. R.) см.
Кампен
Варшавский (Warschawski S. F.) 965
Васильков Д. А. 961
Ватсон (Watson G. N.) 757
Beblen (Veblen О.) 961
Веддерберн (Wedderburn J. Н. М.)
961
Вейерштрасс (Weierstrass К.) 27, 51,
69, 79, 961
Вейль A. (Weil А.) 309, 313, 316, 326,
442, 961
Вейль Г. (Weyl Н.) 93, 96, 240,
241, 249, 309, 313, 440, 469, 473,
516, 521
Вейр (Weyr Е.) 962
Веккен (Wecken F. J.) 83—85, 90,
437 962
Вентцель (Wentzel G.) 778, 962
Вестфаль (Westfall J.) 749, 962
Вехаузен (Wehausen J. V.) 962
Вигман (Wiegmann N. А.) 91, 962
Видав (Vidav I.) 91, 962
Виландт (Wielandt Н.) 91, 962
Виланский (Wilansky А.) 962
Вильямсон (Williamson J. Н.) 962
Виндау (Windau W.) 750, 753, 962
Винер (Wiener N.) 32, 93, 136, 137,
144, 155, 162, 326, 327, 432, 962,
963, 1010
Виноградов А. А. 988
Винокуров В. Г. 963
Виртингер (Wirtinger W.) 963
Виссер (Visser С.) 90, 963
Витали (Vitali G.) 963
Виттих (Wittich Н.) 963
Вишик М. И. 963
Волмэн (Wallman Н.) 963
Вольтерра (Volterra V.) 788, 963
Вот (Vaught R. L.) 36, 963, 984
Вулих Б. 3. 963, 981
Вульф (Wolf F.) 964
Вульфсон (Wolfson К.) 752, 964
Гавурин М. К. 964
Гагаев Б. М. 964
Гайнц (Heinz Е.) 90, 92, 964
Гал (Gal I. S.) 965
Галбрайт (Galbraith A. S.) 965
Гальперин (Halperin I.) 751, 753,
756, 965, 1038
Гамбургер (Hamburger Н. L.) 418,
965
Гамель (Hamel G.) 965
Ганкель (Hankel Н.) 134, 136, 514,
733, 736, 751
Гантмахер В. Р. 965
Гантмахер Ф. Р. 966
Гарабедян (Garabedian Р. R.) 966
Гартогс (Hartogs F.) 966
Гасымов М. Г. 791, 966, 992
Гаупт (Haupt О.) 966
Гаусс (Gauss С. F.) 676
Гёдель (Codel К.) 966
Гейзенберг (Heisenberg W.) 431
Гейл (Gale D.) 966
Гейне (Heine) 805, 885
Гёльдер (Holder Е.) 126, 221, 231,
233, 257, 279, 281, 339, 349, 450,
594, 817, 848, 850—852, 857, 858,
882, 966
Гельфанд И. М. 5, 7, 25—27, 34, 35,
39, 48, 88, 313, 326, 327, 652, 753,
780, 786, 788, 790, 810, 966, 967
Герглотц (Herglotz G.) 442, 967
Гершгорин С. А. 239, 967
Гильб (Hilb Е.) 749, 751, 754, 755, 967
Гильберт (Hilbert D.) 5, 7, 82, 83, 93,
169—203, 204—246, 248, 256, 278,
280, 292, 293, 295, 296, 298, 303,
304, 307, 328—332, 349, 371, 436,
749, 750, 754, 755, 908, 914, 968, 990
Гильдебрандт (Hildebrandt Т. Н.)
442, 968
Глазман И. М. 6, 82, 83, 85, 437—
442, 752—757, 763, 953, 968
Гливенко В. И. 968
Гликсберг (Glicksberg I.) 968
Именной указатель
1045
Гобсон (Hobson Е. W.) 749, 968
Годман (Godemant R.) 86, 326, 327,
441, 969, 982
Голдстайн (Goldstine Н. Н.) 969
Гольдман М. А. 969, 988
Гомес (Gomes А. Р.) 969, 975
Гординг (Carding L.) 437, 799, 875,
882, 891, 896, 933, 969
Горн (Horn А.) 240, 969
Гохберг И. Ц. 5, 251, 329, 969
Графф А. А. 970
Грейвс Л. (Graves L. М.) 954, 968, 970
Грейвс Р. Е. (Graves R. Е.) 970
Грейвс Р. Л. (Graves R. L.) 970
Греко (Greco D.) 970
Гримшоу (Grimshaw М. Е.) 965
Грин (Green G.) 451, 454, 455, 459,
461, 462, 471, 475, 476, 480, 482,
483, 485, 491, 502, 636, 656, 660,
662, 680, 691, 701, 704, 749, 751,
753—755, 883, 884, 890
Гринблюм М. М. 970
Гросберг Ю. И. 970
Гротендик (Grothendieck А.) 970
Гуднер (Goodner D. В.) 971
Гурвиц (Hurwitz W. А.) 973
Гуревич Л. А. 971
Гуревич (Hurewicz W.) 971
Дайне (Dines L. L.) 1001
Даламбер (d’Alembert J.) 747
Далецкий Ю. Л. 971
Данем (Dunham J. L.) 757, 971
Даниель (Daniell Р. J.) 971
Данфорд (Dunford N.) 5, 83, 954,
971, 972, 987
Данциг (Dantzig D. van) 972
Дарбу (Darboux G.) 753, 972
Даукер (Dowker Y. N.) 972
Даффин (Duffin R. J.) 433
Дворецкий (Dvoretsky A.) 972
Девинац (Devinatz A.) 972
Дейвис Г. (Davis H. T.) 972
Дейвис P. (Davies R.) 973
Дельсарт (Delsarte J.) 791
Джеймс (James R. C.) 973
Джекобсон (Jacobson N.) 91, 973
Джексон (Jackson D.) 754, 973
Джемисон (Jamison S. L.) 973
Джерисон (Jerison M.) 973
Джиллеспи (Gillespie ’D. C.) 973
Джон (John F.) 973
Джорджи (Giorgi G.) 973
Диксмье (Dixmier J.) 38, 92, 973
Диксон (Dixon A. C.) 748, 749, 974
Дини (Dini U.) 748, 974
Дирак (Dirac P. A. M.) 751, 814, 846,
974
Дирихле (Dirichlet L.) 799, 866,
868, 880, 906
Диткин В. A. 327, 974
Дойль (Doyle T. C.) 974
Доногю (Donoghue W. F.) 974
Дородницын A. A. 752, 974
Дрезден (Dresden A.) 974
Дуб (Doob J. L.) 83, 85, 974, 990
Дубровский В. M. 974
Дуглис (Duglis) 204, 950
Дугунджи (Dugundji J.) 974
Дьёдонне (Dieudonne J. A.) 974, 975
Дынкин E. Б. 975
Дэй (Day M. M.) 975
Жордан (Jordan G.) 976
Жюлиа (Julia G.) 90, 976
Заанен (Zaanen A. C.) 92, 444, 963,
976
Зальцвассер (Zalcwasser Z.) 976
Зейдель (Seidel Ph. L.) 976
Зейферт (Seifert G.) 977
Зейц (Seitz F.) 757, 977
Зигмунд (Zygmund A.) 7, 93, 204—
233, 238, 326, 330, 331, 338, 339,
341, 349, 350, 977, 980, 1010, 1014,
1019
Зильберштейн (Silberstein J. P. O.)
977
Ивата (Iwata G.) 977
Идзуми (Izumi S.) 977
Ийер (Iyer V. G.) 977
Инаба (Inaba M.) 977
Инглтон (Ingleton A. W.) 977
Инфельд (Infeld L.) 977
Ионеску (lonescu Tulcea С. T.) 82,
83, 977
Иосида (Yosida K.) 83, 85, 752, 793,
934, 977
Исмагилов P. C. 442, 978
Ичес (Eachus J. J.) 433
Йессен (Jessen B.) 978, 1017
Йордан (Jordan P.) 978
Йост (Jost R.) 734, 791, 979, 1005
Кадец M. И. 434, 979
Какутани (Kakutani S.) 316, 952,
957, 978, 979, 980
Калкин (Calkin J. W.) 391, 437, 440,
751, 754, 980
1046
Именной указатель
Киллер (Kuller R. G.) 980
Кальдерон (Calderon А. Р.) 7, 93,
204—233, 238, 330, 331, 338, 339,
349, 980
Камерон (Cameron R. Н.) 980, 981
Камке (Kamke Е.) 981
Кампен (Kampen Е. R. van) 326, 981
Канторович Л. В. 981, 1025
Капланский (Kaplansky I.) 34, 36,
38, 91, 327, 972, 981
Карасёва Т. М. 753, 982
Каратеодори (Caratheodory С.) 192,
202, 982
Карлеман (Carleman Т.) 83, 168, 175,
197, 251, 268, 274, 328, 329, 436,
444, 982
Карлин (Karlin S.) 982
Картан A. (Cartan Н.) 316, 326,
442, 982
Картан Э. (Cartan Ё.) 313, 982
Като (Kato Т.) 92, 982
Кафиеро (Cafiero F.) 983
Кахан (Kahane J. Р.) 327, 983, 1031
Кац И. С. 755, 983
Кац М. (Кас М.) 983, 1038
Кацнельсон (Katznelson V.) 327,
983
Качмаж (Kaczmars S.) 983
Квигли (Quigley F. D.) 1031
Кей (Kay I.) 786, 791, 983
Кейдисон (Kadison R. V.) 984
Келдыш М. В. 5, 329, 799, 984
Келли (Kelley J. L.) 36, 83, 952,
984, 1024
Келлог (Kellogg О. D.) 984
Кембл (Kemble Е. С.) 757, 984
Кемп (Camp В. Н.) 984
Кернер (Kerner М.) 984
Кёте (Kothe G.) 984, 985
Килпи (Kilpi Y.) 985
Киносита (Kinoshita S.) 985
Кларксон (Clarkson J. A.) 950, 985
Клейнекке (Kleinecke D. C.) 985
Кли (Klee V. L., Jr.) 985
Клиффорд (Clifford A. H.) 996
Кнезер (Kneser A.) 749, 754, 756, 985
Кнопп (Knopp K.) 985
Кобер (Kober H. A.) 985
Ковалевский (Kowalewski G.) 985
Кодаира (Kodaira K.) 83, 316, 469,
516, 521, 530, 548, 552, 558, 656,
658, 661,691, 752,754, 755,799, 980,
986
Коддингтон (Coddington E. A.) 599,
600, 665, 670, 752, 754—756, 986
Козлов В. Я. 986
Коллац (Collatz L.) 84, 986
Коллинз (Collins H. S.) 986
Колмогоров A. H. 966, 986
Коматудзаки (Komatuzaki Н.) 986
Кон (Kohn W.) 979
Коосис (Koosis Р.) 327, 987
Кордес (Cordes Н. О.) 987
Костюченко А. Г. 442, 753, 779, 780,
791, 966, 987
Котляр (Cotlar М.) 987
Коши (Cauchy А.) 17, 18, 212, 225,
353, 547, 598, 794—797, 799, 800,
870, 914—916, 936, 987
Коэн И. (Cohen I. S.) 987
Коэн Л. (Cohen L. W.) 987
Крамер В. (Kramer V. А.) 987
Крамер Г. (Kramer Н. Р.) 987
Крамере (Kramers Н. А.) 757, 987
Красносельский М. А. 242, 438, 440,
753, 755, 987, 988, 989
Крачковский С. Н. 988
Крейн М. Г. 5, 159, 251, 327, 329, 438,
440, 441, 752, 753, 755, 786, 791,
966, 969, 970, 987—989
Кристиан (Christian R. R.) 83, 989
Кронин (Cronin J.) 990
Кук (Cooke R. G.) 82, 83, 990
Кунисава (Kunisawa К.) 990
Купер (Cooper J. L. В.) 83, 88, 425,
441, 990
Купмен (Koopman В. О.) 83, 85, 990
Курант (Courant R.) 990
Куратовский (Kuratowski С.) 990
Курош А. Г. 990
Кэли (Cayley А.) 438—441
Кюршак (Kurschak J.) 990
Лаасонен (Laasonen Р.) 990
Лаврентьев М. А. 990
Лагерр (Laguerre Е. N.) 552, 990
Лагранж (Lagrange J. L.) 273, 747,
748, 753
Лакс A. (Lax А.) 990
Лакс П. (Lax Р. D.) 779, 914, 991
Лалеско (Lalesko Т.) 242, 328
Ламсон (Lamson К. W.) 991
Лангер (Langer R. Е.) 757, 956, 991
Ландау (Landau Е.) 756, 991
Лаплас (Laplace Р. S.) 796, 797
Ласаль (Lasalle J. Р.) 991
Латшоу (Latschow V. V.) 754, 991
Лаурикайнен (Laurikainen К. V.) 991
Лебег (Lebesgue Н.) 52, 67, 82, 106,
107, 133, 209, 210, 218, 237, 289,
290, 293, 295, 303, 304, 314, 321,
Именной указатель
1047
336, 366, 377, 422, 500, 535, 609,
632, 702, 732, 744, 749, 790, 806,
807, 809, 811, 812, 826, 833, 858,
875, 911, 991
Леви Б. (Levi В.) 991
Леви П. (Levy Р.) 32, 991
Лёвиг (Lowig Н.) 992
Левинсон (Levinson N.) 434, 599,
600, 665 670, 752, 754—756, 786,
792, 957, 986, 992
Левитан Б. М. 752, 753, 755, 779,
780, 786, 788, 790, 791, 793, 966, 992
Лёвнер (Lowner R.) 992
Лежандр (Legendre А. М.) 687, 748
Лежанскип (Le^afiski Т.) 992
Лейбниц (Leibniz) 452, 453, 456,
594, 802, 825, 867, 868, 871, 881,
883, 901, 902, 912, 926, 929
Лейтон (Leighton W.) 992
Лейя (Leja F.) 993
Леньель (Lengyel В. А.) 83—85, 993
Лере (Leray J.) 993
Лефшец (Lefschetz S.) 993
Ли (Lie S.) 309, 312, 313
Ливингстон (Livingston А. Е.) 993
Лившиц М. С. 329, 330, 442, 753, 960,
993
Лидер (Leader S.) 993
Лидский В. Б. 753, 755, 993
Линдгрен (Lindgren В. W.) 980
Линделёф (Lindelof Е.) 198, 201, 203,
276
Лионе (Lions J. L.) 891, 892
Липшиц (Lipschitz R.) 719
Литлвуд (Littlewood J. Е.) 163, 166,
167, 237, 312, 331, 338, 343, 347,
349, 350, 756, 994, 1029
Лиувилль (Liouville J.) 199, 265, 457,
705, 707, 717, 718, 747, 748, 753—
755, 757, 768, 780, 781, 994
Лифшиц И. М. 994
Лихтенштейн (Lichtenstein L.) 994
Ловалья (Lovaglia A. R.) 994
Лоран (Laurent) 199, 200, 265, 323,
672
Лоренц (Lorentz G. G.) 994
Лорх (Lorch Е. R.) 35, 83, 994, 1013
Лузин Н. Н. 385, 509
Лукомский Т. И. 995
Люмер (Lumer G.) 87, 90, 995, 1029
Люмис (Loomis L. Н.) 35, 83, 309,
313, 316, 326, 327, 441, 442, 995
Ma (Ma S. Т.) 995
Маак (Maak W.) 995
Маеда (Maeda F.) 441, 995, 1005;
Мазани (Masani Р. R.) 995
Мазур (Mazur S.) 954, 995, 1038-
Майерс (Myers S. В.) 996
Майкал (Michal A. D.) 34, 996
Майкл (Michael Е. А.) 38, 87, 99$
Макай (Makai Е.) 996
Мак-Даффи (MacDuffee С. С.) 996
Макинтайр (Macintyre A. J.) 996
Макки (Mackey G. W.) 326, 327, 980»,
996
Мак-Лейн (MacLane S.) 956, 996
Мак-Фейл (MacPhail М. S.) 996
Мак-Шейн (McShane Е. J.) 83, 99$
Мак-Эвен (McEwen W. Н.) 997
Малявен (Malliavin Р. М.) 327, 997
Мандельбройт (Mandelbrojt S.) 327,
997
Манроу (Munroe М. Е.) 997
Маринеску (Marinescu G.) 977, 997
Марков А. А. 997
Маркушевич А. И. 997
Мартин Р. (Martin R. S.) 34, 996
Мартин У. (Martin W. Т.) 980, 981
Маруяма (Maruyama G.) 998
Марцинкевич (Marcinkiewicz J.) 250^
331, 334, 337, 346—349, 998
Марчевский (Marczewski Е.) 998
Марченко В. А. 753, 755, 780, 786,,
791 998
Маслов А. С. 998
Маслов В. П. 85, 998
Маутнер (Mautner F. I.) 437, 799„
875, 998
Махарам (Maharam D.) 998
Медведев Ю. Т. 998
Меддаус (Maddaus L, Jr.) 998
Мергелян С. Н. 998
Меркил (Mirkil Н.) 327, 998»
Меррей (Murray F. I.) 36, 38, 4'3’6,. 999
Мерсер (Mercer Т.) 250
Минусинский (Mikusinski J. G.) 999
Миллер Д. (Miller D. S.) 972, 999
Миллер К. (Miller К. S.) 999
Милн (Milne W. Е.) 757, 778, 999
Мильграм (Milgram A. N.) 991
Мильман Д. П. 753, 755, 960, 989, 999
Мимура (Mimura Y.) 84, 978, 999
Минковский (Minkowski Н.) 171,. 233^
256, 1000
Минлос Р. А. 1000
Миранда (Miranda С.) 1000
Митягин Б. М. 442, 891, 1000
Михлин С. Г. 204, 347, 1000
Мишоу (Mishoe L. I.) 1000, 1027
Миядера (Miyadera I.) 1000
1048
Именной указатель
Мозер (Moser J.) 1000
Мозес (Moses Н. Е.) 786, 983, 1000
Молчанов А. М. 730, 753, 755, 760,
1000
Монна (Monna A. F.) 1000
Монтролль (Montroll Е. W.) 1001
Mop (Mohr Е.) 754, 1001
Морс A. (Morse А. Р.) 950, 972, 1001,
1038
Морс М. (Морсе М.) 1001
Московии. (Moskovitz D.) 1001
Мур Р. (Moore R. L.) 1001
Мур Э. (Moore Е. Н.) 1000
Мюнц (Miintz Ch. Н.) 1001
Нагата (Nagata J.) 1001
Нагумо (Nagumo М.) 34, 1001
Наймарк М. А. 5, 6, 26, 27, 35, 38,
39, 48, 88, 313, 327, 390, 428, 438,
441, 753, 754, 756, 758, 760, 761,
772, 773, 774, 775, 967, 1001
Накамура (Nakamura М.) 1002
Накано (Nakano Н.) 83, 84, 85, 437,
441, 442, 1002
Накаяма (Nakayama Т.) 83, 978, 1003
Натан (Nathan D. S.) 1003
Натансон И. П. 1003
Нахбин (Nachbin L.) 1003
Нейгауз М. Г. 1003
Нейман Дж. (von Neumann J.) 36,
38, 82, 83, 84, 89, 90, 309, 316,
329, 408, 425, 430, 436, 437, 439,
440, 441, 514, 751, 753, 756, 958,
972, 978, 999, 1003, 1029
Нейман К. (Neumann С.) 1004
Неймарк Ф. А. 1004
Немыцкин В. В. 1587, 753, 1004
Никович И. А. 329, 1004
Никодим (Nikodym О. М.) 70, 74,
364, 525, 1004
Николеску (Nicolesku М.) 1005
Никольский В. Н. 1005
Никольский С. М. 1005
Ниман (Nyman В.) 1005
Ниренбург (Nirenberg L.) 204, 950,
1005
Нусбаум (Nussbaum А. Е.) 972, 1005
Ньюбург (Newbergh J. D.) 1005
Ньютон (Newton R. G.) 791, 1005
Огасавара (Ogasawara Т.) 83, 1005
Одэн (Audin М.) 1006
Окстоби (Oxtoby J. С.) 316, 1006
О’Нилл (O’Neill В.) 1006
Оно (Ono Т.) 36, 1006
Орихара (Orihara М.) 1006
Орлич (Orlicz W.) 951, 957, 995, 1006
Орлов С. А. 1006
Оухар (Owchar М.) 1006
Охира (Ohira К.) 1006
Паркер (Parker W. V.) 242, 1007
Пароди (Parodi М.) 239, 1007
Парсеваль (Parseval) 748
Паули (Pauli W.) 1007
Пеано (Peano G.) 753, 1007
Пейс (Pais А.) 734, 1007
Пек (Peck J. Е. L.) 1007
Перрон (Perron О.) 240
Петер (Peter F.) 93, 96, 309, 311, 1007
Петтис (Pettis В. J.) 115, 972, 1007
Пик (Pick G.) 241
Пиконе (Picone М.) 749, 756, 1007
Пинкерле (Pincherle S.) 1007
Пинскер А. Г. 981, 1007
Пирс (Pierce R.) 1008
Питт (Pitt Н. R.) 1008
Планшерель (Plancherel М.) 93, 119,
129, 132, 133, 134, 140, 142, 143,
150, 159, 205, 215, 219, 221, 228,
232, 313, 321, 324, 325, 326, 344,
594, 734, 755, 830, 831, 1008
Плеснер А. И. 85, 437, 441, 1008
Повзнер А. Я. 753, 791, 799, 1008
Пойа (Polya G.) 349, 756, 1008, 1029
Поллард (Pollard Н.) 432, 433, 1008
Понтрягин Л. С. 309, 314, 323, 324,
326, 1008
Потапов В. П. 993
Поттер (Potter R. L.) 1008
Прайс (Price G. В.) 1008
Прюфер (Prufer Н.) 1008
Птак (Ptak V.) 1009
Пуанкаре (Poincare Н.) 1009
Пул (Poole Е. G. С.) 599,670, 1009
Путнам (Puthnam С. R.) 91, 730,
752, 756, 764, 775, 1009, 1030
Пэли (Paley R. Е. А. С.) 331, 338,
343, 347, 349, 350, 432, 994, 1009,
1010
Рабинович Ю. Л. 1010
Радон (Radon J.) 70, 74, 364, 525,
1010
Райков Д. А. 5, 25, 35, 316, 326, 327,
442, 967, 1010
Райнхарт (Rinehart R. F.) 1010
Райт (Wright F. В.) 35, 1010
Рамасвами (Ramaswami V.) 35, 1010
Именной указатель
1049
Рапопорт И. М. 753, 1010
Растон (Ruston A. F.) 1010
Рашевский П. К. 313, 1011
Рей Пастор (Rey Pastor J.) 1011
Рейтер (Reiter Н. J.) 1011
Реллих (Rellich F.) 83, 85, 431, 756,
758, 768, 1011
Рид (Reid W. T.) 92, 1011
Рикабарра (Ricabarra R. A.) 987
Риккарт (Rickart С. E.) 35, 38, 1011
Риман (Riemann B.) 321, 674, 757
Рис (Riss J.) 1012
Рисе M. (Riesz M.) 204, 206, 207, 219,
221, 235, 304, 331—332, 1012
Рисе Ф. (Riesz F.) 7, 49, 82, 84, 85,
90, 92, 95, 96, 105, 120, 219, 222,
262, 302, 327, 349, 436, 439, 441,
442,848, 849, 856,857,1012,1013
Ритц (Ritz W.) 84
Робертс (Roberts B. D.) 1013
Робертсон A. (Robertson A.) 1013
Робертсон У. (Robertson W.) 1013
Робисон (Robison G. B.) 1013
Рогозинский (Rogosinski W. W.) 996,
1013
Роджерс (Rogers C. A.) 972
Розенблат (Rosenblatt M.) 1013
Розенблюм (Rosenbloom P. C.) 1013
Розенталь (Rosenthal A.) 966, 1029
Розенфельд (Rosenfeld N« S.) 778,
779, 1013
Ролль (Rolle) 720
Россер (Rosser J. B.) 1013
Рота (Rota G. C.) 776, 1013
Роте (Rothe E. H.) 1013
Рохлин В. A. 85, 437, 1008, 1014
Рубин (Rubin H.) 1014
Рудин (Rudin W.) 1014
Рутицкий Я. Б. 988
Рутмай М. А. 989, 999
Рутовиц (Rutovitz D.) 781, 785, 1014
Рыль-Нарджевский (Ryll-Nardzew-
ski С.) 1014, 1031
Рэлей (Rayleigh, Lord) 61, 84
Сакс (Saks S.) 954, 1014
Салем (Salem R.) 1014
Сан Хуан (San Juan R.) 1014
Сарджент (Sargent W. L. C.) 1015
Cac (Szasz O.) 967, 1015
Себаштьян-и-Сильва (Sebastiao e Sil-
va J.) 1015
Секефальви-Надь (Sz.-Nagy B.) 82,
83, 84, 85, 88, 89, 90, 92, 426, 430,
431, 432, 438, 439, 441» 442» 1013,
1015
67 Заказ № 134
Сигал (Segal I. E.) 84, 85, 326, 327
437, 972, 1015
Сикорский (Sikorski R.) 1016
Сильва Диас (da Silvas Dias C. L.)
1016
Сильверман (Silverman R. J.) 1016
Сильвестр (Sylvester J. J.) 1016
Синай Я- Г. 1016
Сингер (Singer I. M.) 91, 1016
Сирвинт ГО. Ф. 1016
Сирота (Shirota Т.) 1016
Сирс (Sears D. В.) 755, 756, 762, 768,
771, 781, 783, 784, 1016, 1017
Скороход А. В. 987
Слободянский М. Г. 1017
Смайли (Smiley М. F.) 1017
Смит (Smith К. Т.) 83, 86, 953, 974,
1017
Смитис (Smithies F.) 243, 244, 328,
1017
Соболев С. Л. 799, 846, 850, 852, 860,
875, 908, 928, 1017
Собчик (Sobczyk А.) 1017
Соломяк М. 3. 1017
Сонин Н. Я. Ю17
Спарре Андерсен (Sparre Andersen Е.)
1017
Сташевская В. В. 753, 791, 1017
Стейнберг (Steinberg Н.) 1017
Стеклов В. А. 749, 1017
Степанов В. В. 1018
Стивенсон (Stevenson A. F.) 1018
Стильтьес (Stieltjes Т. J.) 85, 417,
418, 420, 436, 1018
Стокс (Stokes G. G.) 694, 695, 696,
697, 1018
Стоун (Stone М. Н.) 7, 23, 35, 82, 83,
84, 85, 410, 436, 437, 439, 440, 441,
442, 444, 751, 753, 755, 756, 781,
783, 972, 993, 1014, 1018
Стюарт «(Stewart F. М.) 1019
Суноути Г. (Sunouchi G.) 977, 1019
Суноути С. (Sunouchi S.) 1019
Суноути X. (Sunouchi Н.) 1019
Сухомлинов Г. А. 1019
Тагамлицкий (Tagamlitzki Y.) 1019
.Такахаси. (Takahashi Т.) 1019
Талдыкин А. Т. 1019
Тамаркин (Tamarkin J. D.) 280, 328,
436, 442, 444, 749, 972, 1014, 1019,
1032, 1036
Таубер (Tauber А.) 163, 167
Тейлор A. (Taylor А. Е.) 958, 1019,
1020, 1028
1050
Именной указатель
Тейлор Б. (Taylor В.) 323, 434, 747
Тейхмюллер (Teich miiller О.) 83, 1020
Темпл (Temple G.) 1020
Теплиц (Toeplitz О.) 82, 84, 92, 436,
985, 1020, 1031
Тингли (Tingley A. J.) 1020
Титов Н. С. 1020
Титчмарш (Titchmarsh F. С.) 326,
530, 548, 552, 55», 656, 661, 691,
751, 752, 755, 756, 757, 778, 781,
1017, 1020
Тихонов А. Н. 20, 1021
Томас (Thomas J.) 1021
Томита (Tomita М.) 1021
Тонелли (Tonelli L.) 108
Торин (Thorin G. О.) 318, 349, 850,
1021
Торнхейм (Tornheim L.) 35, 1021
Трансю (Transue W.) 1001
Тулайков А. Н. 1021
Тьюки (Tukey J. W.) 1021
Уайберн Дж. (Whyburn G. Т.) 754,
1021
Уайберн У. (Whyburn W. М.) 1022
Уайлдер Р. (Wilder R. L.) 1022
Уайлдер С. (Wilder С. Е.) 1022
Уиддер (Widder D. V.) 442, 1022,
1032
Уилкинс (Wilkins J. Е., Jr.) 1022
Уинтнер (Wintner А.) 82, 83, 91,
718, 719, 721, 722, 723, 726, 750,
752, 755, 756, 761, 765, 766, 767,
769, 770, 771, 778, 780, 1022
Уитни (Whitney Н.) 328, 1023
Уиттекер (Whittaker Е. Т.) 757
Улам (Ulam S.) 316, 995, 1006, 1023
Умегаки (Umegaki Н.) 1002, 1023
Уоллах (Wallach S.) 751, 752, 1023
Уолтерс (Walters S. S.) 1023
Уолш (Walsh J. L.) 434, 781, 1023
Уорд (Ward L. Е.) 1023
Урысон П. С. 79, 103, 291, 318
Уэрмер (Wermer I.) 86, 87, 91, 328,
1023
Фаге М. К. 752, 754, 1023
Фадеев Л. Д. 791, 1024
Фан Ван Чыонг 791
Фантапье (Fantappie L.) 1024
Фань Ку (Fan К.) 959, 1024
Фарнель (Farnell А. В.) 329, 1024
Фейган (Fagan. R. Е.) 981
Фейер (Fejer) 442
Фейнман (Feynman R. Р.) 1024
Фелл (Fell I. М. G.) 83, 1024
Феллер (Feller W.) 754, 793, 1024
Фёльнер (Folner Е.) 957
Фенхель (Fenchel W.) 957
Ферес (Veress Р.) 1025
Фиккен (Ficken F. А.) 1024
Филлипс (Phillips R. S.) 35, 441,
935, 959, 1024
Фихтенгольц Г. М. 1025
Фишел (Fishel В.) 1025
Фишер К. (Fischer С. А.) 1025
Фишер Э. (Fischer Е.) 1025
Флейшер (Fleischer I.) 1026
Фойаш (Foias С.) 435, 1026
Фомин С. В. 986
Форд (Ford G. G.) 1000
Форт (Fort М. К., Jr.) 1026
Форте (Fortet R.) 1026
Фрагмен (Phragmen Е.) 198, 201,
203, 276
Фредгольм (Fredholm I.) 93, 169,
247, 328, 790, 1026
Фрейденталь (Freudenthal Н.) 440,
1026
Фреше (Frechet М.) 1026
Фридман Б. (Friedman В.) 1027
Фридман М. (Friedman М. D.) 1027
Фридрихе (Friedrichs К. О.) 83, 350,
408, 440, 441, 668, 710, 711, 746,
751, 755, 756, 757, 768, 799, 914,
915, 916, 1027
Фринк (Frink О., Jr.) 1027
Фробениус (Frobenius G.) 35, 242
312, 1027
Фубини (Fubini G.) 95, 108, 109 z
123, 208, 209, 216, 218, 379, 381,
386, 393, 412, 485, 487, 500, 841,
842, 848, 852, 876, 878, 937
Фуглид (Fuglede В.) 90, 91, 1027
Фукамия (Fukamiya М.) 35, 36, 978,
1028
Фукс (Fuchs L.) 753, 1028
Фукухара (Hukuhara М.) 1028
Фуллертон (Fullerton R. Е.) 1028
Фурье (Fourier J. В. J.) 93, 132—136,
214, 219, 228, 232, 234, 235, 236,
237, 293, 294, 321, 322, 326, 340—
346, 548, 550, 554, 594, 673, 747,
748, 750, 780, 781, 782, 784, 785,
801, 829, 831, 834, 873, 886, 891
Хаар (Haar А.) 83, 93, 96, 100, 106,
131, 136, 162, 309, 311, 314—317,
319—322, 326, 749, 781, 1028
Именной указатель
1051
Хажинский (Charzynski Z.) 1028
Хайерс (Hyers D. Н.) 1028
Хал (Hull Т. Е.) 977
Халбери (Halbery С. J. А.) 1020
Халмош (Halmos Р. S.) 82, 83, 84,
85, 87, 89, 90, 91, 316, 318, 320,
437, 1028, 1029
Хальберг (Halberg С. J. A., Jr.) 249
Хан (Hahn Н.) 84, 199, 200, 221,
389, 437, 460, 517, 602, 647, 655,
817, 832, 840, 843, 1029
Харазов Д . Ф. 1029
Харди (Hardy G. Н.) 163, 166, 167,
237, 348—350, 756, 1029
Хартман П. (Hartman Р.) 717, 719,
721, 722, 724—729, 750, 752, 755,
756, 760—767, 769—771, 778—780,
790, 1029, 1030
Хартман С. (Hartman S.) 1031
Хаусдорф (Hausdorff F.) 285, 418,
1031
Хевисайд (Heaviside О.) 813
Хейвуд (Heywood Р.) 779, 1031
Хелли (Helly Е.) 1031
Хеллингер (Hellinger Е.) 82, 83, 84,
85, 92, 436, 437, 749, 1031
Хельсон (Helson Н.) 327, 1031
Хензель (Hensel К.) 1032
Хансон (Hanson Е. Н.) 1032
Хёрмандер (Hormander L.) 331, 334,
336 1032
Хетфилд (Hatfield С.) 981, 1032
Хилл (Hill G. W.) 664
Хилле (Hille Е.) 35, 280, 328, 441,
793, 934, 1032
Хильдинг (Hilding S.) 1032
Хинчин А. Я. 1032
Хиршман (Hirschman I. I.) 1032
Хольмгрен (Holmgren Е.) 1032
Хопф Г. (Hopf Н.) 953
Хопф Э. (Hopf Е.) 442, 1032
Хотта (Hotta I.) 1032
Хьюит (Hewitt Е.) 978, 1033
Хюльтен (Hulthen L.) 1033
Цвален (Zwahlen R.) 1033
Цермело (Zermelo Е.) 1033
Цзен (Tseng Y. Y.) 1033
Цзян (Chiang Т. Р.) 84, 1033
Циммерберг (Zimmerberg N. J.) 92,
1033
Цорн (Zorn М.) 16, 65, 373, 944, 1033
Цудзи (Tsuji М.) 83, 1033
Чан (Chang S. Н.) 329, 1033
Чебышев П. Л. 678
Чезаро (Cezaro Е.) 781, 784
Чех (Cech Е.) 23, 1034
Шапиро Г. (Shapiro Н. S.) 1013, 1034
Шапиро Дж. (Shapiro J. М.) 981
Шаттен (Schatten R.) 329, 1004, 1034
Шатуновский С. О. 1034
Шаудер (Schauder J.) 1034
Шах (Shach S. М.) 1034
Шварц (Schwarz Н. А.) 185, 194,
294, 381, 408, 419, 423, 487, 497,
505, 524, 526, 573, 624, 832, 841,
881, 884, 885, 887, 888, 925, 930,
939, 940, 1034
Шварц Г. М. (Schwartz Н. М.) 1034
Шварц Дж. (Schwartz J. Т.) 5, 437,
753, 954, 955, 972, 1034
Шварц Л. (Schwartz L.) 327, 328, 799,
810, 975, 1034
Швердтфегер (Schwerdtfeger Н.) 1035
Шевалле (Chevalley С.) 1035
Шёнберг (Schoenberg I. J.) 442, 968,
1035
Шерф (Schaerf Н. М.) 1035
Шефке (Schafke F. W.) 1035
Шеффер (Schaffer J. J.) 87, 88, 90,
91, 1029, 1035
Шилор Г. Е. 5, 25, 35, 327, 810, 967,
1035
Шин Ден Юн (Sin D.) 753, 1035
Широхов М. Ф. 1036
Шифман (Schiffman М.) 966
Шиффер (Schiffer М. М.) 999
Шмейдлер (Schmeidler W.) 1036
Шмидт (Schmidt Е.) 5, 7, 93, 168—203,
242—246, 248, 249, 256, 278, 280,
292, 293, 295, 296, 298, 303, 304,
307, 328—330, 371, 427, 436, 749,
755, 909, 914, 1036
Шмульян В. Л. 159, 965, 989, 1036
Шмульян Ю. Л. 1036
Шноль Э. Э. 729, 730, 753, 755, 764,
765, 774, 791, 1036
Шохат (Shohat J. А.) 442, 444, 1036
Шрёдер (Schroder J.) 1037
Шрёдингер (Schrodinger Е.) 750,
799, 1037
Шрейбер (Schreiber М.) 89, 1037
Шрейдер Ю. А. 1037
Шрейер О. (Schreier О.) 1037
Шрейер Я. (Schreier J.) 1037
Штейнгауз (Steinhaus Н.) 954, 983,
1037
Штраус А. В. 1037
Штрут (Strutt М. J. О.) 1037
67*
1052
Именной указатель
Штурм (Sturm.С.) 457, 601, 627, 629,
641, 705, 707, 717, 718, 747, 748,
749, 753, 754, 755, 756, 757, 768,
780, 781, 1037
Шур A. (Schur А.) 1037
Шур И. (Schur I.) 1037
Шур Я. (Schur J.) 1037
Эберлейн (Eberlein W. F.) 83, 441,
1038
Эгнью (Agnew R. Р.) 1038
Эдвардс (Edwards R. Е.) 35, 1038
Эзрохи И. А. 1038
Эйдельгайт (Eidelheit М.) 1038
Эйленберг (Eilenberg S.) 1038
Эйлер (Euler L.) 676, 693, 747
Эккарт (Eckart С.) 1038
Элконин (Elconin V.) 996
Эллиот (Elliott J.) 1038
Эллис Г. (Ellis Н. W.) 1038
Эллис Д. (Ellis D.) 1038
Эрдёш (Erdos Р.) 985
Эскин Г. 442, 1038
Эсклангон (Esclangon Е.) 756, 1039
Эссер (Esser М.) 83, 1039
Юд (Yood В.) 1039
Юдин А. И. 1039
Юнг Л. (Young L. С.) 1039
Юнг У. (Young W. Н.) 1039
Яглом А. М. 967, 1039
Якоби (Jacobi С. G.) 442, 443, 678
Ямабе (Yamabe Н.) 1039
Предметный указатель
В*-алгебра IX.3.1(25)
Банахова алгебра (В-алгебра)
IX.1.1 (10)
Борелевская функция (43)
Вещественно сопряженный формаль-
ный дифференциальный оператор
с частными производными (804)
Вполне регулярное топологическое
пространство IX.2.1.5 (23)
Гильбертово пространство (938)
Гиперболический оператор (797)
Гладкое множество евклидова про-
странства XIV.4.4 (852)
*-гомоморфизм IX.3.4 (25)
Граничная форма для дифферен-
циального оператора XIII.2.1
(454) ’ •
Граничное значение оператора
XII.4.20 (401)
— — формального дифференциаль-
ного оператора XIII.2.17 (465)
— условие XII.4.25 (403)
— — для формального дифферен-
циального оператора XIII.2.17
(465)
График оператора (352)
Действительное граничное значение
XIII.2.29 (472), (493)
Действительный формальный диф-
ференциальный оператор XIII.2.1
(454)
Дефектные подпространства опера-
тора XII.4.9 (394)
Дубль-норма оператора X 1.6.1 (169)
Задача Коши (794)
Замкнутый оператор (352)
Замыкание оператора XII.4.7 (393)
Идеал банаховой алгебры (16)
S-измеримая функция (43)
♦-изоморфизм IX.3.4 (26)
Инвариантные подпространства (85)
Инволюция IX.1.1(10), XII.4.17 (398)
Индексы дефекта оператора XI 1.4.9
(394)
Интеграл от S-простой функции (44)
Интерполяционная теорема Марцин-
кевича XI. 11.14 (331, 332)
Иррегулярная особенность диффе-
ренциального оператора (600, 670)
-----— уравнения (599)
Иррегулярный формальный диффе-
ренциальный оператор XIII. 1.1
(447)
Квадратный корень оператора (90)
Комплексно присоединенный фор-
мальный дифференциальный опера-
тор с частными производными (804)
— сопряженное распределение
XIV.3.7 (814)
Конечная область оператора
XII.7.4 (415)
Конечномерная функция XI. 1.3 (96)
Косинус-теорема Фурье XII.5.33
(554)
Коэффициент Фурье распределения
XIV.3.38 (829), XIV.3.42 (833, 834)
Кратнопериодическое распределение
XIV.3.29 (826)
Кратность собственного значения (61)
— упорядоченного представления
Х.5.9 (72), XII.3.15 (384)
Лемма Аренса IX.3.5 (27)
— Каратеодори X 1.6.32 (202)
— Лионса XIV.6.16 (892)
— Фрагмена — Линделёфа X 1.6.33
(203), X 1.9.28 (276)
Линейно независимые граничные
условия XII.4.25 (403)
Максимальный вектор гильбертова
пространства Х.5.6 (67)
— симметрический оператор (439)
Матрица Якоби (442)
Матричные элементы представления
топологической группы (310)
1054
Предметный указатель
Мера упорядоченного представления
Х.5.9 (71), XII.3.15 (384)
— Хаара на бикомпактной группе
XI.1.2 (96)
Множества кратности упорядочен-
ного представления Х.5.9 (71, 72),
XII.3.15 (384)
Момент (417)
*
Начальная область оператора
XII.7.4 (415)
Неотрицательный симметрический
оператор XII.5.1 (407)
Непрерывный спектр оператора
Х.3.1 (56), (353)
Неравенство Адамара X 1.6.12 (178)
— Гайнца (92)
— Гординга XIV.6.10 (882)
— Кальдерона — Зигмунда X 1.7.11
(224)
— Карлемана X 1.6.27 (197) -
— Пэли — Литлвуда XI. 11.25 (343)
— Рисса М. XI.7.8 (219)
— Шварца (939)
Норма Гильберта — Шмидта X 1.6.1
(169)
Нормальный оператор в гильбер-
товом пространстве IX.3.14 (30),
(39)
Носитель распределения XIV.3.11
(816), XIV.3.32 (827)
Область регулярности (440)
Обобщенное неравенство Карлемана
X 1.9.24 (274)
Общая спектральная теорема Х.2.1
(48)
Ограниченный сверху (снизу) сим-
метрический оператор XII.5.1
(407)
— — — — формальный дифферен-
циальный оператор XIII.7.20 (617)
Оператор Гильберта — Шмидта
XI.6.1 (169)
Операторное исчисление (43)
Операторы обобщенного сдвига (792)
— Tq (т), Ti (т) XIII.2.8 (458)
Определяющая система решений
XIII.5.22 (540, 541)
Определяющее уравнение дифферен-
циального оператора (уравнения)
(599, 600), (670)
Ортогональное дополнение множе-
ства (940)
Ортонормированное множество (942)
Ортонормированный базис (944)
Остаточный спектр оператора
Х.3.1 (56), (353)
Параболический оператор (789)
Перестановочность операторов (90)
Показатели дифференциального опе-
ратора (671)
Полная система представлений топо-
логической группы (311)
Полное множество (942)
— — граничных значений опера-
тора XII.4.22 (402)
— — — — формального диффе-
ренциального оператора, XIII.2.17
(465)
Положительная (и X п)-матричная
мера XIII.5.6 (503, 504), XIII.5.12
(515)
Положительно определенный опера-
тор в гильбертовом пространстве
Х.4.1 (59)
Положительный оператор в гиль-
бертовом пространстве Х.4.1 (59)
Полуограниченный симметрический
оператор XII.5.1 (407)
Полупростая банахова алгебра
IX.2.5 (19)
Полярное разложение (91)
Порядок особенности уравнения
(599)
Представление топологической груп-
пы (309)
--------неприводимое (310)
Преобразование Кэли (438)
Принцип замены меры (47)
Проблема моментов (417)
Продолжение оператора (87)
Произведение дифференциальных
операторов с частными производ-
ными (802)
S-простая функция (43)
Пространство Ап (/) XIII. 1.2(447)
— Ь§({нм1) XIII.5.8 (504, 505), (515)
- Ц (Ш}) (515)
Прямая сумма гильбертовых про-
странств (948)
— — представлений топологической
группы (310)
Радикал банаховой алгебры IX.2.5
(19)
Разложение единицы для оператора
(41), Х.2.5 (51), XII.2.4 (361)
Размерность гильбертова простран-
ства (945, 946)
Предметный указатель
1055
Распадающаяся система граничных
Аусловий XIII.2.29 (472)
Распределение XIV.3.1 (810, 811)
— соответствующее функции
XIV.3.2 (811)
Расширение оператора (89), (351)
— распределения (817)
Регулярная особенность дифферен-
’ циального оператора (670)
— — — уравнения (599, 600)
— точка дифференциального опера-
тора (670)
—-------уравнения (599), (670)
Регулярный формальный дифферен-
циальный оператор XIII. 1.1 (447)
— элемент банаховой алгебры
IX.1.2 (11)
Резольвента элемента В-алгебры
IX.1.2 (12)
Резольвентное множество IX. 1.2
(12)
Ряд Фурье распределения XIV.3.38
(829), XIV.3.42 (833, 834)
Самосопряженная спектральная мера
в гильбертовом пространстве (45)
Самосопряженное подпространство
XII.4.14 (398)
Самосопряженный оператор XII. 1.7
(356)
— — в гильбертовом пространстве
IX.3.14 (30), Х.4.1 (59)
Свертка ядер типа Кальдерона —
Зигмунда XI.7.6 (213)
Свободный конец (446)
Сдвиг функции XI. 1.3 (96)
Симметризуемый оператор (444)
Симметрический оператор XII. 1.7
(356)
— — в гильбертовом пространстве
Х.4.1 (59)
Симметрическое подпространство
XII.4.4 (392)
Симметричное множество граничных
условий XII.4.25 (403)
Сингулярный элемент банаховой
алгебры IX.1.2 (11)
Синус-теорема Фурье XIII.5.32 (554)
Скалярное (внутреннее) произведе-
ние (938)
След оператора XI.6.8 (175)
— пары операторов Гильберта —
Шмидта XI.6.17 (186)
— представления топологической
группы (310)
Смешанная система граничных усло-
вий XIII.2.29 (472)
Смешанное граничное условие
XIII.2.29 (472) У
Собственное значение оператора
Х.3.1 (56)
Собственный вектор оператора Х.3.1
Соотношение Рэлея (61)
Сопряженное множество граничных
условий XII.4.27 (404)
— подпространство XII.4.14 (398)
Сопряженный оператор XII. 1.4 (354)
Спектр В* - алгебры IX.3.4 (26)
— элемента банаховой алгебры
IX.1.2 (11)
Спектральная кратность оператора
— мера в В - пространстве (40)
— теорема (83, 84), XIII.4.2 (497)
Спектральное множество Неймана
(89)
-----функции XI.4.10 (146)
— представление гильбертова про*
странства Х.5.1 (63), XII.3.4 (374,
375)
Спектральный радиус элемента
В-алгебры IX.1.2 (11, 12)
Структурное пространство коммута*
тивной В-алгебры (пространство
максимальных идеалов) IX.2.7
(20)
Субдиагонализация оператора (281)
Субдиагонализирующий проектор
XI.10.2 (285)
Сужение оператора (86, 87)
-----Т, (т) (472)
— распределения XIV.3.9 (815)
Сумма дифференциального операто-
ра с частными производными (802)
Существенно ограниченная функция-
(53)
— ограниченный снизу дифферен-
циальный оператор XIII.7.25
(620, 621)
Существенный спектр формального
дифференциального оператора
XIII.6.1 (558)
Теорема Ароншайна — Смита
XI.10.1 (282)
Теорема Г. Бора о почти периоди-
ческих функциях XI.2.4 (105)
— Бохнера о моментах XII.8.3 (421)
— Браудера о полноте XIV.6.28
(913)
1056
Предметный указатель
— Вейля Г. XIII.6.14 (571)
— Вейля — Кодаиры XIII.2.24
(469), XIII.5.13 (516, 517),
XIII.5.14 (521, 522)
— Винера о Li-замкнутости
XI.4.7 (144)
— Гельфанда—Наймарка IX.3.7 (27)
— Кальдерона — Зигмунда
X 1.7.16 (233)
— Карлемана XI.6.27 (197)
— Кнезера XIII.7.37 (629)
— Кодаиры XIII.2.26 (469)
— Марцинкевича XI.11.31 (347, 348)
— Маутнера — Гординга — Брау-
дера XIV.6.6 (875, 876)
— Неймана — Фридрихса XII.5.2
(408)
— Петера — Вейля XI. 1.4 (96)
— Планшереля XI.3.9 (119), XI.3.21
(132), XI.3.22 (133)
— Понтрягина XI.11.13 (324)
— разложения по собственным функ-
циям XIII.5.1 (499)
— Секефальви-Надя (88)
— Соболева XIV.4.5 (852, 853)
— Стоуна XII.6.1 (410)
— Стоуна — Чеха о бикомпактном
расширении IX.2.16 (23)
— Титчмарша — Кодаиры XIII.5.18
(530)
— Фридрихса XIV.7.1 (916)
— Хаара (315)
Теория спектральных типов (67)
Тождество параллелограмма (940)
Топологический делитель нуля
IX.1.2 (12)
— нильпотент банаховой алгебры
IX.2.5 (19)
Точечный спектр оператора в гиль-
бертовом пространстве Х.3.1 (56),
(353)
Точка разветвления формального
дифференциального оператора
XIII.7.62 (656)
— — — — — в расширенном
смысле XII 1.7.62 (656)
Ультрагиперболический оператор
(798)
Унитарно эквивалентные операторы
(6°)
Унитарный оператор в гильберто-
вом пространстве Х.4.1 (59)
Упорядоченное представление гиль-
бертова пространства Х.5.9 (71),
XII.3.15 (384)
Уравнения скачков (484, 485)
Условие Дирихле XIV.5.1 (866)
Фиксированный конец (446)
Формально положительный диффе-
ренциальный оператор XIII.7.6
(605)
— самосопряженный дифференциаль-
ный оператор XII 1.2.1 (454)
— — — — с частными производ-
ными (804)
— симметрический дифференциаль-
ный оператор с частными произ-
водными (804)
— сопряженный оператор XIII.2.L
(454)
— — дифференциальный оператор
с частными производными (804)
Формальный дифференциальный
оператор XIII. 1.1 (447)
— — — с частными производными
(794), (802)
Формула Грина XIII.2.4 (454)
— обращения XIII.5.2 (501),
XIV.6.7 (877)
Функция, интегрируемая в смысле
главного значения X 1.7.1 (209)
Характеристические числа операто-
ра (251)
Характеристическое уравнение диф-
ференциального уравнения (600)
Централизатор множества операто-
ров (36)
Частичная изометрия (91), XII.7.4
(415)
Чеховское расширение (23)
Эквивалентные множества граничных
условий XII.4.25 (403)
— — — — для формального диф-
ференциального оператора
XIII.2.17 (465)
— представления топологической
группы (310)
— упорядоченные представления
Х.5.9 (72), XII.3.15 (384)
Элементарный симметрический опе-
ратор (440)
Эллиптический оператор (797),
XIV.6.1 (870)
Эрмитов оператор в гильбертовом
пространстве Х.4.1 (58)
Ядро типа Кальдерона — Зигмунда
XI.7.4 (212)
Исправления к I тому
1. Стр. 14, строка 13 сверху. Перед последней фразой § 1 добавить: «Если
/ — вещественная функция, заданная на открытом интервале, содержащем
нуль, то равенствами
lim /(х) = inf sup/(( — а, а)),
х->0 а>0
lim / (x) = sup inf f (( — a, a)),
x—>0 a>0
lim f(x) = inf sup / ((0, a)),
x->0+ a>0
lim /(x) = sup inf / ((0, a))
x^7o+ a>0
определяются символы, стоящие слева. Аналогично определяются lim f (х)
х->0 —
и lim /(х)».
х->0 —
2. Стр. 46, строка 2 сверху. Исправить слово «ограниченных» на «периоди-
ческих».
3. Стр. 56, строка 12 снизу. После «конечномерное» добавить «линейное».
4. Стр. 82, строка 7 снизу. Заменить хп на хт.
5. Стр. 83, строка 5 снизу. Заменть г*/ (у) на г*/-
6. Стр. 85, строка 12 сверху. Добавить перед (а): «Пусть Ж— нормированное
пространство или Е-пространство».
7. Стр. 85, строка 18 сверху. Заменить «Если Ж является В-пространством
то» словом «Функция».
8. Стр. 85, строка 21 сверху. После «15» добавить «(Банах)».
9. Стр. 85, строка 22 сверху. Вместо второго предложения упражнения 15
следует читать: «Показать, что существует такое число А>0, что для
каждой последовательности уп —> у0 найдется такая последовательность
хп-+-х0, что \ xn\^N\yn \ и Тхп = уп, п=0, 1, ...».
10. Стр. 85, строка 7 снизу. Заменить «в» словами «на все».
11. Стр. 85, строка 2 снизу. Заменить = 3 на 8х±=х8.
12. Стр. 89, строка 12 сверху. Заменить Re (а) > 0 на Re (а) > 0.
13. Стр. 90, строка 12 сверху. Во второй слева сумме суммирование проводится
по т, а в третьей^по п.
14. Стр. 92, строки 10 и 13 сверху. Зачеркнуть «равномерно»
15. Стр. 105, строка 18 снизу. Заменить | Е (х) | = |х| на j F (х) — F(y)\ =
= |х — у\.
16. Стр. ПО, строка 7 сверху. Вместо «если [1(<0') = О и>> следует читать,
«если т содержит пустое множество 0, если р,(^)=0 и если».
17. Стр. 111, строка 11 сверху. После слов «если ограничена» добавить
«и аддитивна».
1058
Исправления к I тому
18. Стр. 112, строка 16 сверху. После слов «функции множества» добавить р,.
19. Стр. 119, строка 15 сверху. Заменить «Г (S) в F (S)» на «F (S) X F (S)
в F (S)».
20. Стр. 121, строка 2 сверху. Вместо «TM(S) в себя» следует читать:
«пространства вполне измеримых скалярных функций в себя».
21. Стр. 121, строка 3 снизу. Добавить после слов «положительное число»
слова «меньшее единицы».
22. Стр. 121, строка 2 снизу. Заменить М на Af-j-l.
23. Стр. 125, строка Q сверху. Перед словом «подмножества» добавить
« непересекающиеся».
24. Стр. 126, строка 13 сверху. Заменить dp на
Е
25. Стр. 126, строка 9 снизу. Заменить - на (Д)1 *
26. Стр. 127, строка 9 снизу. Вместо «и {| /^ (.) — /(.) j} определяет нуль»
следует читать «и для фиксированного т {I fn (•) — fm (•) 1} определяет
I(•)!»-
27. Стр. 128, строка 7 снизу. Заменить g на f.
28. Стр. 129, строка 9 снизу. Заменить слово «теореме» словом «лемме».
29. Стр. 130, строка 7 сверху. Вместо «по лемме 15 и теореме 18» следует
читать: «по леммам 15 и 18».
30. Стр. 131, строка 7 сверху. Заменить > на >.
31. Стр. 132, строка 3 вверху. Заменить слово «теоремы» словом «леммы».
32. Стр. 132, строка 5 снизу. Вместо предложения, начинающегося со слова
«Тогда», должно быть: «Так как 2 | g | > | f |, то на Е мы имеем | g (s) | >
> | х |/2. Рассуждения предыдущей леммы показывают тогда, что
v (jx, Е) < оо».
33. Стр. 134, строка 5 снизу. После слова Доказательство добавить:
«В случае | f |р=0 или | g |q=0 лемма вытекает из лемм 2.12, 2.21
и теоремы 2.20(d), поэтому мы предположим, что ни одна из этих норм
не равна нулю».
34. Стр. 135, строка 1 сверху. Заменить f (s) и g (s) на | f (s) | и | g (s) |.
35. Стр. 135, строка 4 снизу. Вместо второго интеграла должно быть:
J {I fi (s) 1 + 1 Ь (S) |} I fi (s) +/2 (S) Г1 ° (ц. ds).
S
36. Стр. 135, строка 3 снизу. Должно быть:
= J \fi(s)\\fi(s) + fz(s)\P^v^ ds) +
s
37. Стр. 135, строка 2 снизу. Должно быть:
+ J I /2 W | I fl W +f2 GO Г1 V (И, ds) <
S
38. Стр. 137, строка 8 снизу. Заменить ds на Е.
39. Стр. 143, строка 10 сверху. Заменить слово «мерой» словами «функцией
множества».
40. Стр. 144, строка 10 снизу. Заменить 7 на 8.
41. Стр. 146, строка 9 сверху. Убрать слова «однозначно определенные».
Исправления к I тому
1059
42. Стр. 153, строка 3 снизу. Вместо «из определения 11» должно быть:
«из замечания, следующего за определением 11».
43. Стр. 153, строка 3 снизу. Вместо «Пусть значения р принадлежат рас-
ширенной области вещественных чисел» должно быть: «Пусть функция р
ограничена и принимает вещественные значения».
44. Стр. 155, строка 11 сверху. Заменить «согласно теореме 4» на «согласно
теоремам 4, 8».
45. Стр. 155, строка 11 снизу. Заменить 2 на 24.
46. Стр. 158, строка 15 сверху. Заменить [а, 6] на [af
47. Стр. 159, строка 18 сверху. Перед словом «функция» добавить «счетно
аддитивная».
48. Стр. 163, строка 6 снизу. Заменить Е на F.
49. Стр. 164, строка 4 сверху. Заменить р| на (J.
50. Стр. 164, строка 5 снизу. После Е добавить £ 2.
51. Стр. 164, строка 4 снизу. Исправить «принадлежат» на «принадлежит».
оо • оо
52. Стр. 165, строка 5 сверху. Исправить (J на (J .
г=1 п=1
53. Стр. 166, строка 17 снизу. После Ж добавить «(если G=0, то f~i(G) =
=0 £ 2*; если G Ф 0, обозначим через {уп} подмножество множества {хп}>
содержащееся в G)».
54. Стр. 166, строка 16 снизу. Заменить первое хп на уп.
оо оо
55. Стр. 166, строка 14 снизу. Исправить J на J .
т=1 п=1
56. Стр. 166, строка 6 снизу. Исправить fn (s) на fm (s).
57. Стр. 169, строка 5 сверху. Заменить n> N на п = 1, 2, ... .
58. Стр. 169, строка 8 сверху. Заменить «относительно n'^Ny> на «по и».
59. Стр. 169, строка 8 сверху. Заменить слово «разумеется» словами «в силу
произвольной малости 8».
60. Стр. 172, строка 1 сверху. Исправить на д.
61. Стр. 172, строка 9 снизу. Исправить второе на <.
62. Стр. 172, строка 8 снизу. Исправить второе <5; на <.
63. Стр. 177, строка 10 сверху. Исправить < на
64. Стр. 177, строка 11 снизу. После слов «Пусть, далее» добавить «%Л = 0,
если рЛ=0, а в противном случае пусть».
65. Стр. 186, строка 12 снизу. Исправить (—оо, оо] на (а, 6].
66. Стр. 188, строка 3 сверху. Заменить упражнение 20 следующим:
20. (Ленглендс.) Регулярная комплекснозначная аддитивная функция
множества, определенная на алгебре множеств в бикомпактном про-
странстве, счетно аддитивна.
67. Стр. 188, строка 6 сверху. После слова «пространства» добавить «и S*
хаусдорфово».
68. Стр. 188, строка 9 сверху. Вместо слов «множеств из» должно быть
«содержащей открытые подмножества пространства».
69. Стр. 189, строка 12 снизу. После слов «порождающая 2» добавить
«и пусть р о-конечна на 2р.
70. Стр. 189, строка 2 снизу. Убрать все это предложение, заменив его
следующим: «Найти последовательность {/71} положительных функций
из Li (S, 2, р), для которой эти неравенства не все выполняются».
71. Стр. 191, строка 13 снизу. Вместо слов «вместе с 8» должно быть «когда
8 убывает».
72. Стр. 198, строка 3 сверху. Заменить «измеримая» на «интегрируемая».
73. Стр. 201, строка 14 сверху. Исправить S на S2-
74. Стр. 210, строка 11 снизу. Исправить g (г) на f (г).
75. Стр. 235, строка 12 снизу. Убрать эту и следующие за ней три строки,
заменив их на: «С(р, а) — замкнутый куб с центром р и стороной длины а.
1060
Исправления к 1 тому
Положим
цт(р, а) = 2т ц(С(р, Р))<ф,
а+2^
а+—
1 m
Л.щ(р, а)=2т Х(С(р, 0)) dp.
Тогда Хт (р, а)/^ (р, а) для каждого а > 0 есть непрерывная функция
от р, и потому функция
А (С (р. «)) п (р, а)
р(С(р, а)) m->oo Pw (Р’ ^0
76. Стр. 262, строка 14 снизу. После р, добавить «^-измеримых».
77. Стр. 298, строка 8 сверху. Исправить s на S.
78. Стр. 300, строка 17 сверху. После слова «если» добавить «всякое его
одноточечное множество замкнуто и».
79. Стр. 315, строка 16 сверху. После Sa добавить «и р,(К) = 0 для каждого
К £ 5, для которого p(KSa)=0 для всех а».
80. Стр. 376, строка 19 сверху. Убрать «равномерно».
81. Стр. 393, строка 5 снизу. Вместо «непрерывна» должно быть «эквива-
лентна непрерывной».
82. Стр. 602, строка 7 снизу. После / > v (Л) добавить «или /=0».
Оглавление
ЧАСТЬ II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. САМОСОПРЯЖЁННЫЕ
ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Предисловие редактора перевода ............................ . 5
Предисловие авторов ............................................. 7
Глава IX. Банаховы алгебры .................................... 9
1. Предварительные сведения.........................? 9
2. Коммутативные В-алгебры ...........................18
3. Коммутативные В*-алгебры......................... .25
4. Упражнения......................................... ЙО
5. Примечания и дополнения.........................- Ж
Глава X. Ограниченные нормальные операторы в гильбертовом простран-
стве .........................................................
1. Терминология и предварительные сведения...........
2. Спектральная теорема для ограниченных нормальных
операторов............................................ 48!
3. Собственные значения и собственные векторы .... 56
4. Унитарные, самосопряженные и положительные опера-
торы .................................................. 59
5. Спектральное представление.......................... 63
6. Формула для спектрального разложения............... 76
7. Теория возмущений................................... 77
8. Упражнения.......................................... 79
9. Примечания и дополнения............................. 82
Глава XI. Различные приложения................................. 93
1. Бикомпактные группы.................................. 93
2. Почти периодические функции........................ 101
3. Алгебры со сверткой................................ 105
4. Теоремы замкнутости................................ 136
5. Упражнения......................................... 161
6. Операторы Гильберта — Шмидта...................... 168
7. Преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона —
Зигмунда ............................................. 204
8. Упражнения......................................... 234
9. Классы Ср вполне непрерывных операторов. Обобщенные
неравенства Карлемана »............................ \ 251
1062
Оглавление
10. Субдиагонализация вполне непрерывных операторов . . 281
11. Примечания и дополнения............................ 309
Г лава XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве 351
1. Введение........................................... 351
2. Спектральная теорема для неограниченных самосопря-
женных операторов...................................... 357
3. Спектральное представление неограниченных самосопря-
женных преобразований ................................. 372
4. Расширения симметрических преобразований .......... 390
5. Полуограниченные симметрические операторы......... 407
6. Унитарные полугруппы............................... 410
7. Каноническая факторизация.......................... 412
8. Теоремы о моментах................*................ 417
9. Упражнения......................................... 424
10. Примечания и дополнения ........................... 430
Глава XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы .... 445
1. Введение. Элементарные свойства формальных дифферен-
циальных операторов................................... 445
2. Сопряженные операторы и граничные значения дифферен-
циальных операторов................................... 451
3. Резольвенты дифференциальных операторов........... 478
4. Спектральная теория: вполне непрерывные резольвенты 496
5. Спектральная теория: общий случай..... 499
6. Качественная теория индекса дефекта.... 558
7. Качественная теория спектра....................... 601
8. Примеры.......................................... 670
9. Упражнения........................................ 704
10. Примечания и дополнения........................... 747
Глава XIV. Линейные дифференциальные уравнения и операторы с
частными производными............................... 794
1. Введение. Задача Коши. Локальная зависимость .... 794
2. Обозначения и предварительные сведения .............. 800
3. Теория распределений ................................ 810
4. Теорема Соболева.................................. 846
5. Некоторые геометрические рассмотрения ............... 866
6. Эллиптические граничные задачи........................ 869
7. Линейные гиперболические уравнения и задача Коши . 914
8. Параболические уравнения и полугруппы............. 933
Приложение..................................................... 938
Библиография..................................................• 950
Указатель обозначений..........................................1040
Именной указатель .................,............................1043
Оглавление 1063
Предметный указатель ........................................Ю53
Исправления к I тому........................................1057
ЧАСТЬ III. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
XV. Спектральные операторы
XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
XVII. Алгебры спектральных операторов
XVIII. Неограниченные спектральные операторы
XIX. Возмущения спектральных операторов с дискретным спектром
XX. Возмущения спектральных операторов с непрерывным спектром
Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Редакторы Д. Ф, Борисова, Э. Э. Пейсахович,
Н. И. Плужникова, Л. Б. Штейнпресс
Художник В. В. Ашмаоов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Ю. И. Экке
Сдано в производство 22/11 1966 г.
Подписано к печати 30/VIII 1966 г.
Бумага 60x901/16=33,25 бум. л. 66,5 печ. л.,
Уч.-изд. л. 64,09. Изд. № 1/3459
Цена 4 р. 71 к. Зак. 134
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 1 6
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, Трехпрудный пер., 9