Приложения функционального анализа и теории операторов - Хатсон В., Пим Дж.

Автор: Хатсон В. Пим Дж.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ переводная литература издательство мир
Год: 1983
Похожие
Функциональный анализ. Теория и приложения
Функциональный анализ
Лекции по функциональному анализу
Задачи по функциональному анализу
Текст
                    Mathematics in Science and Engineering
A Series of Monographs and Textbooks
Volume 146
Applications
of
Functional
Analysis
and
Operator
Theory
V. C. L. HUTSON
and
John Sydney PYM
University of Sheffield
1980 Academic Press
A Subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich Publishers
LONDON NEW YORK TORONTO
SYDNEY SAN FRANCISCO

B.XATCOH
дж. пим
приложения
функционального
анализа
и
теории
операторов
Перевод с английского
Н. И. ПЛУЖНИКОВОЙ и В. И. АВЕРБУХА
под редакцией
А. А. КИРИЛЛОВА
МОСКВА МИР
1983

ББК 22.162
Х25
УДК 517.43, 519.55
Хатсон В., Пим Дж. С.
Х25 Приложения функционального анализа и теории операто-
операторов. Пер. с англ. —М.: Мир, 1983, 432 с, ил.
Написанное английскими математиками введение в функциональный анализ
(линейный и нелинейный) и его приложения. Книга отличается ясностью и точностью
изложения, большим количеством и удачным подбором примеров.
Для математиков, физиков, инженеров, экономистов, аспирантов и студентов
университетов.
1702050000—378
041@1)—83
32—83, ч. 1
ББК 22.162
517.2
Редакция литературы по математическим наукам
© 1980 by Academic Press Inc. (London) Ltd.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Функциональный анализ возник на рубеже 19-го и 20-го веков
в трудах Гильберта, Фреше, Фредгольма, Лебега и др. После вы-
выхода в свет знаменитого трактата С. Банаха он стал самостоятель-
самостоятельной дисциплиной. Появились специалисты по функциональному
анализу, а затем и по отдельным его областям. Монографии и
учебники по функциональному анализу постепенно становились всё
более специализированными и более абстрактными. И сейчас чи-
читатель, заинтересованный в решении конкретной прикладной за-
задачи, часто не в силах извлечь из имеющейся литературы нужную
ему информацию.
С другой стороны, многие математики, успешно работающие
в области функционального анализа, уже привыкли воспринимать
такие понятия, как банахово пространство, линейный оператор,
слабая сходимость и т. п., как априори заданные, не связанные
ни с какой конкретной задачей.
Мне кажется, что монография В. Хатсона и Дж. С. Пима помо-
поможет уменьшить разрыв, образовавшийся между „прикладным" и
„чистым" функциональным анализом. Большое количество хорошо
подобранных задач в значительной степени способствует этому.
Авторы не ставят своей целью охватить все или хотя бы основ-
основные разделы функционального анализа. Наоборот, они справед-
справедливо считают, что уже довольно небольшой запас общих понятий
и методов достаточен для многих практических применений. В то
же время они не жалеют места и усилий для демонстрации того,
как один и тот же общий принцип может применяться в различ-
различных конкретных ситуациях. Именно этого не хватает многим „по-
„потребителям" функционального анализа.
Отметим также, что книга содержит и такие разделы, которые
обычно не включаются в университетский курс: топологические ме-
методы нелинейного анализа, теорию бифуркаций, теорию монотон-
монотонных операторов.
В целом книга будет интересна не только „прикладникам", на
которых в первую очередь рассчитывают авторы, но и широкому
кругу математиков, желающих познакомиться с многочисленными
конкретными проявлениями общих идей функционального анализа.
При переводе были исправлены некоторые опечатки и неточ-
неточности. На часть из них указали авторы, за что мы хотели бы вы-
выразить им признательность. В библиографию добавлено несколько
руководств по функциональному анализу, имеющихся на русском
языке.
Главы 1—7 перевела Н. И. Плужникова, всё остальное-—
В. И. Авербух.
А. А. Кириллов

ПРЕДИСЛОВИЕ
Уже давно общепризнано, что функциональный анализ — мощное
средство для решения математических задач, возникающих в ре-
реальных ситуациях. Тем не менее, если кто-нибудь попытается при-
применить методы функционального анализа к интересующей его об-
области, не имея специальной математической подготовки, он быстро
окажется перед отпугивающе высоким барьером — особенно в тех
областях, где эти методы наиболее эффективны. Дело в том, что
такое применение — скажем, к решению дифференциальных урав-
уравнений или нелинейных уравнений — связано с многочисленными
техническими моментами, на первый взгляд чрезвычайно слож-
сложными. По нашему убеждению, однако, в большинстве случаев „чи-
„чистого" функционального анализа нужно совсем не так уж много
(например, обычно можно обойтись стандартной теорией банахо-
банаховых пространств, без явного привлечения топологии), и неспециа-
неспециалисту вполне посильно овладеть набором методов, достаточным
для весьма широкого диапазона приложений.
Первая цель этой книги — представить читателю те абстракт-
абстрактные методы, которые мы считаем самыми существенными для при-
приложений. Это предопределило тщательный отбор теоретического
материала. В то же время, желая сделать отобранный материал
как можно более доступным, мы не скупимся на пояснения — их
гораздо больше, чем это принято в стандартных руководствах,—
и часто иллюстрируем абстрактную теорию на примерах конкрет-
конкретных объектов (множеств функций и т. п.), которые ближе чита-
читателю. Чтобы не затемнять суть рассуждений лишними деталями,
мы иногда ведем рассмотрение не в максимальной возможной
общности, а время от времени читателю предлагается даже при-
принять тот или иной результат без доказательства, если используе-
используемые в нем рассуждения несущественны для основной линии изло-
изложения.
Вторая наша цель — показать, как работает абстрактная теория
на практике. Поначалу исследуемые задачи по необходимости
просты, но постепенно очередь доходит до серьезных и довольно
глубоких задач, занимающих центральное место в приложениях. За
очевидной невозможностью охватить все области приложений мы
решили сосредоточить внимание на одной основной области, ко-
которую, грубо говоря, можно назвать „решение уравнений". Так? мы

Предисловие
рассматриваем приложения спектральной теории самосопряженных
операторов к обыкновенным дифференциальным уравнениям, ввод-
вводную часть теории линейных эллиптических дифференциальных
уравнений с частными производными, ряд стержневых вопросов
численного анализа и некоторые из основных разделов теории не-
нелинейных уравнений. Пожалуй, именно вклад в теорию нелинейных
уравнений — самый весомый из вкладов функционального анализа
в приложения. Ввиду особой важности этой темы (которой и сей-
сейчас посвящено много исследований) мы сделали на ней наиболь-
наибольший акцент — нелинейная теория развивается в книге всякий раз,
как только появляется соответствующий теоретический материал.
Например, уже в одной из первых глав излагаются сравнительно
элементарный метод сжимающих отображений (теорема Банаха о
неподвижной точке) и метод Ньютона — Канторовича, а в послед-
последних главах обсуждаются глубокая теория степени Лерэ-—Шаудера
и ее приложения к теории бифуркаций.
По нашему замыслу книга может служить основой курса для
математиков-прикладников, физиков или инженеров с теоретиче-
теоретическими интересами, а также пособием для всех научных работников,
желающих самостоятельно ознакомиться с некоторыми из мощных
методов функционального анализа. От читателей требуется опре-
определенное знакомство с теорией функций вещественной переменной
и, в небольшом объеме, с линейной алгеброй. Значительная часть
материала глав 1—5 должна быть известна всякому, кто слушал
вводный курс функционального анализа, и всё же мы включили
этот материал в книгу, потому что надеемся заинтересовать и чита-
читателей, не имеющих такой подготовки. Для неспециалистов камнем
преткновения обычно является теория интеграла Лебега — очень
нужные для приложений пространства &р нельзя построить без
этой теории, а подступиться к ней нелегко. В гл. 2 мы даем крат-
краткое изложение теории интегрирования по Лебегу, однако сразу
хотим заверить читателей, не расположенных вдаваться в техни-
технические подробности: лишь немногие факты этой теории (главный
из них — „полнота" пространств 3?р) существенны для дальней-
дальнейшего, и гл. 2 понадобится только для ссылок.
Несколько слов о принятой в книге системе нумерации. Все тео-
теоремы, леммы, определения и примеры нумеруются подряд трехраз-
трехразрядными номерами (первый слева разряд — номер главы, второй —

Предисловие
номер параграфа); так, за определением 3.5.7 идет пример 3.5.8.
При ссылках всегда используются полные номера. Формулы
нумеруются отдельно, также трехразрядными номерами, но в скоб-
скобках. Задача 3.15 — это пятнадцатая задача в конце гл. 3. Задачи
повышенного уровня сложности помечены звездочкой.
В конце книги дан список обозначений. Быть может, не лишне
будет заранее подчеркнуть один момент: рукописные буквы при-
применяются для обозначения векторных пространств, причем буквы
$ и ff всегда обозначают банаховы пространства, а Ж — гильбер-
гильбертово пространство.
В. Хатсон
Дж. С. Пим
Ноябрь 1979
Благодарности
Авторы признательны д-рам Д. Бёрли, Ч. Аусвэйту и П. Харли
за ценные советы и обсуждения. Особая наша благодарность —
д-ру Дж. У. Бэйкеру, проф. Л. Э. Фрэнкелу и проф. И. С. Снед-
дону, потратившим много времени на помощь нам.

Глава 1
БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА
1.1. Введение
Одно из первых успешных применений „абстрактного" подхода
к практическим задачам было связано с изучением линейного урав-
уравнения Lf = g с п X ft-матрицей L и дг-мерными векторами /, g.
Возможность рассматривать L как линейное отображение дг-мер-
ного векторного пространства позволяет обойтись без выбора ка-
какой-либо конкретной системы координат, а это приводит к упро-
упрощению рассуждений и идейной ясности теории. Однако в приложе-
приложениях чаще всего приходится рассматривать дифференциальные или
интегральные уравнения, которые обычно не сводятся к указан-
указанному конечномерному виду. Одна из главных задач функциональ-
функционального анализа состоит в том, чтобы выявить аналогичную простую
алгебраическую структуру в этих более сложных ситуациях.
В конечномерном случае значительную часть теории можно раз-
развить без обращения к понятию сходимости последовательностей
векторов. Напротив, в бесконечномерном случае это — основопо-
основополагающее понятие. Чтобы его ввести, нужно наделить простран-
пространство какой-то мерой расстояния между точками. Для большинства
приложений достаточно естественным образом обобщить понятие
евклидова расстояния. Эта идея находит точное воплощение в оп-
определении нормы на векторном пространстве. Принимая абстракт-
абстрактный подход, мы обнаруживаем, что на заданном бесконечномер-
бесконечномерном пространстве функций часто имеется много разных норм. Это
говорит о большой маневренности теории. Однако, прежде чем
удается в полной мере воспользоваться ее широкими возможно-
возможностями, приходится преодолеть определенные трудности. Если в ко-
конечномерном случае аналитические свойства пространства (напри-
(например, то, что ограниченная последовательность всегда содержит схо-
сходящуюся подпоследовательность) автоматически следуют из
свойств вещественных чисел, то в бесконечномерном случае это уже
не так. Некоторые наиболее важные методы решения уравнений
включают в себя итерации, и тогда возникает вопрос, какие по-
последовательности заведомо сходятся. В конечномерных простран-
пространствах основной критерий сходимости — это критерий Коши, кото-
который, грубо говоря, утверждает, что если члены последовательности
сближаются, то она сходится. Это условие, называемое полнотой?

10 Гл. 1. Банаховы пространства
не всегда выполнено в нормированных бесконечномерных простран-
пространствах. Пространства, в которых оно выполнено, наиболее важны
как в теории, так и на практике. Это банаховы пространства— ос-
основной объект изучения в данной главе.
Чтобы достичь наибольшей общности и идейной простоты,
в функциональном анализе принят аксиоматический подход. В ка-
качестве источника аксиом выбираются те свойства конечномерных
пространств, которые делают эти пространства удобными для изу-
изучения. Так, аксиомы векторного пространства навеяны алгебраи-
алгебраическими правилами действий над „обычными" векторами, опреде-
определение нормы — свойствами евклидова расстояния, а понятие пол-
полноты— одним важным свойством вещественных чисел. С другой
стороны, понятие базиса, столь полезное в конечномерном случае,
в более общих приложениях уже не так плодотворно и не будет
играть никакой роли в нашем изложении (кроме специального слу-
случая гильбертовых пространств).
Сделаем еще одно, последнее, замечание, касающееся системы
понятий, в рамках которой рассматриваются бесконечномерные
пространства. Можно провести полезное, хотя и не вполне четкое
различие между геометрическими и аналитическими свойствами их
элементов. К геометрическим относятся свойства, имеющие анало-
аналогии в трехмерном пространстве, например свойства прямых или
сфер. Аналитическими обычно считаются свойства, в которых глав-
главную роль играют сходимость последовательностей, полнота и т. п.
Разумеется, между анализом и геометрией нет ясно очерченной
границы, и, более того, они тесно переплетаются между собой.
Тем не менее, рассматривая функцию как точку некоторого век-
векторного пространства, можно получить геометрическую картину,
которая часто оказывается очень полезной, хотя и не всеобъем-
всеобъемлющей.
Цель этой главы — изложить основы теории банаховых про-
пространств. В § 1.2 мы напоминаем элементы теории векторных про-
пространств. Мы не претендуем на исчерпывающее изложение и за-
затрагиваем только те вопросы, которые имеют прямое отношение
к последующему. Далее вводятся понятия расстояния и нормы и
дается несколько связанных с ними определений (уже знакомых
читателю в случае вещественной прямой). В § 1.4 мы подходим
к сердцевине теории банаховых пространств — понятию полноты —
и приводим несколько примеров конкретных банаховых про-
пространств. В ходе дальнейшего изложения этот список будет рас-
расширяться, однако важные пространства &р появятся лишь после
того, как в следующей главе будет кратко рассмотрена необходи-
необходимая для их определения теория интегрирования. В последнем па-
параграфе этой главы вводятся гильбертовы пространства. Это ба-
банаховы пространства с дополнительной структурой скалярного про-
произведения (построенного по образцу скалярного произведения

1.2. Векторные пространства 11
обычных векторов). Их геометрия во многих важных аспектах об-
обнаруживает еще большее сходство с геометрией евклидовых про-
пространств.
В качестве общих руководств по теории векторных пространств
и линейных операторов мы рекомендуем следующие книги: Фрид-
Фридман [1970], Тэйлор [1958], Люстерник и Соболев [1965]; две ты-
тысячи или около того страниц Данфорда и Шварца [1958, 1963] со-
содержат почти всё, что известно в этой области. Следует упомянуть
также прекрасный вводный курс Симмонса [1963], хотя с сугубо
практической точки зрения он, пожалуй, не так полезен.
1.2. Векторные пространства
Аксиомы векторного пространства подсказаны алгебраическими
свойствами сложения и умножения на скаляр обычных трехмерных
векторов.
1.2.1. Определение. Пусть Т — непустое множество, и пусть любой
паре /, g его элементов при помощи операции, называемой сложе-
сложением, можно сопоставить элемент / + g^T. Пусть для любых
(И) f + (g + h) = (f + g) + h;
(Hi) существует единственный элемент 0 (называемый нулем)
в У, такой что / + 0 = / для всех / е Т\
(iv) для каждого f e T существует единственный элемент
(—/) <= Г, такой что / + (—/) = 0.
В качестве скаляров далее будут рассматриваться либо веществен-
вещественные числа (поле вещественных чисел обозначается через R), либо
комплексные (поле комплексных чисел обозначается через С). До-
Допустим, что из каждого вектора f^T я каждого скаляра а можно
образовать элемент а/еУ, причем так, что для любых скаляров
а, Р
(v) a(f + g)=af + ag;
(vi) (a + P)/=a/ + Pf;
(vii) (aP)/ = a(Pf);
(viii) b/ = /.
Тогда Т называется комплексным векторым пространством (или
просто векторным пространством), если поле скаляров совпадает
с С, и вещественным векторным пространством, если полем скаля-
скаляров служит R. Элементы f, g, h,... пространства ^"называюттак-
^"называюттакже точками или векторами в зависимости от контекста.

12 Гл. 1. Банаховы пространства
Дополнительная общность, которая достигается взятием в ка-
качестве скаляров комплексных чисел, полезна при изучении про-
пространств функций и редко приводит к каким-либо трудностям. Под-
Подчеркнем еще раз, что под векторным пространством мы всегда по-
понимаем комплексное векторное пространство; если речь идет о ве-
вещественном векторном пространстве, это явно оговорено.
Для обычных векторов известны еще две операции — скалярное
и векторное умножение. Первая из них имеет полезное обобщение,
которое мы рассмотрим в § 1.5; векторное умножение не будет
здесь обсуждаться.
В теории конечномерных пространств важную роль играют та-
такие понятия, как „линейная независимость", ,,базис", „размер-
„размерность". Однако они не всегда хорошо обобщаются на бесконечно-
бесконечномерный случай. Почти всё, что нужно знать об этих понятиях для
целей данной книги, подытожено в следующем определении:
1.2.2. Определение. Пусть Т—векторное пространство. Конеч-
Конечное множество S = {/y}" j векторов из У называется линейно-зави-
линейно-зависимым, если существуют скаляры о&ь ..., an, не все равные нулю,
для которых 2 aiff — Q- В противном случае 5 называется линейно-
независимым. Произвольное множество S векторов из Т линейно-
независимо, если каждое его непустое конечное подмножество ли-
линейно-независимо. В противном случае оно линейно-зависимо.
Если существует положительное целое п, такое что Т содержит
п линейно-независимых векторов, но не содержит п-\- 1, то Т на-
называется конечномерным пространством размерности п. Если Т не
является конечномерным, оно называется бесконечномерным. Ко-
Конечное множество 5 элементов Т называется базисом У, если S
линейно-независимо и каждый элемент Т можно записать в виде
1
для некоторых ai, ..., an?C и fi, ..., fn^S (разумеет-
(разумеется, n — размерность Т).
Отметим, что понятие базиса было нами сейчас определено
только для конечномерных пространств. Соответствующее понятие
для бесконечномерных пространств намного менее полезно (см. за-
замечание после примера 1.4.20); исключением является лишь случай
гильбертовых пространств1) (§ 1.5).
Приведем несколько примеров векторных пространств.
1.2.3. Пример. Пусть Т — множество упорядоченных я-наборов
(т. е. конечных последовательностей) скаляров (/ь ..., /я),и пусть
f = (fu •••> fn), g = (gu •••> gn) — произвольные элементы Т.
Если в качестве операций взять покомпонентное сложение и поком-
Но и в этом случае определение базиса приходится изменить.—Прим. ред.

1.2. Векторные пространства 13
понентное умножение на скаляр:
f + g = (f\+g\, ..., fn + gn)>
af = Ы\> • •, а/л) (« — скаляр),
то в зависимости от рассматриваемого поля скаляров получится
вещественное векторное пространство R" или (комплексное) век-
векторное пространство О. Скаляры /, называются компонентами /.
В R3 мы узнаём пространство обычных трехмерных векторов.
1.2.4. Пример. Если немного обобщить предыдущий пример и взять
в качестве элементов бесконечные последовательности f — (fn), a
правила действий сохранить, то получится бесконечномерное про-
пространство. Оно обозначается буквой I и называется пространством
последовательностей.
1.2.5. Пример. Наиболее важными для приложений, безусловно,
являются пространства, элементами которых служат функции.
Чтобы проиллюстрировать естественные правила действий над
функциями, рассмотрим множество Т комплекснозначных функций,
определенных на отрезке [а, Ь]. Для /, gGf иаеС определим
новые функции f + g и а/, полагая для всех х е [а, Ь]
(af)(x) = af(x).
Разумеется, (f + g) (х) и (af) (х) суть значения функций / + g и
а/ в точке х. Эти операции называются соответственно поточеч-
поточечным сложением и умножением на скаляр. Легко проверить, что
аксиомы векторного пространства выполнены и У — (комплексное)
векторное пространство. Вещественнозначные функции подобным
же образом составляют вещественное векторное пространство.
Ясно, что пространство Т бесконечномерно.
В общем случае векторные пространства произвольных функций
не поддаются изучению, и на класс допустимых функций всегда
налагаются какие-нибудь ограничения. Например, рассматривают
пространство ограниченных функций. Другой, особенно важный,
пример — пространство <?7( [a, b]) ограниченных непрерывных
функций, заданных на [a, b]. Вскоре мы приведем еще несколько
примеров.
Следует подчеркнуть, что в предыдущем примере точками про-
пространства У были функции. Здесь легко проследить геометриче-
геометрический подход, о котором говорилось во введении; его цель —
попытаться описать свойства множеств функций на языке знако-
знакомых геометрических понятий, представляя себе функции как точки
„реального" пространства. Придерживаясь этой аналогии, обобщим

14 Гл. 1. Банаховы пространства
понятие прямых и плоскостей, проходящих через начало координат
в R3.
1-2.6. Определение. Линейным подпространством Ж векторного про-
пространства Т называется непустое подмножество в У, которое само
является векторным пространством с теми же правилами действий,
что и в Т. Оно может состоять из одного нуля, и в этом случае мы
будем писать М = 0.
Слово „линейный" включено в название для того, чтобы под-
подчеркнуть чисто алгебраический характер Ж и избежать путаницы
с „замкнутым подпространством" (определение 1.4.12), на которое
налагается некое дополнительное аналитическое условие. Всякое
линейное подпространство обязательно содержит 0. Обобщением
произвольной прямой или плоскости (не проходящей через нуль)
служит аффинное многообразие (любое множество вида {/ + g'>
g^Ж}, где / е ^фиксировано, а Ж — линейное подпространство),
но это понятие используется реже.
1.2.7. Определение. Пусть S — непустое подмножество векторного
пространства Т. Множество всех конечных (т. е. состоящих из ко-
конечного числа членов) линейных комбинаций элементов S назы-
называется линейной оболочкой S и обозначается [S].
Ясно, что [S] — линейное подпространство в Т. Отсюда видно,
что во всяком векторном пространстве содержится великое множе-
множество различных линейных подпространств, и поэтому стоит иметь
в виду возможность разложения Т на линейные подпространства.
1.2.8. Определение. Пусть Ж и JT — линейные подпространства
векторного пространства Y, и пусть Ж, JT ф 0. Предположим, что
каждый элемент f^T можно представить в виде f = g-\-h, где
g ^Ж, h gJ. Тогда мы будем писать Т = Ж -\- Jf и называть Т
векторной суммой подпространств 1и/. Если, кроме того, век-
векторы g и h однозначно определены для каждого feF, то Т назы-
называется прямой суммой Ж, JT и мы пишем У = Ж © JP.
1.2.9. Лемма. Допустим, чтоТ = Ж + Л?. Тогда Т = Ж © Jf в том
и только том случае, если Ж П J? = 0.
1.2.10. Пример. Пусть Т есть векторное пространство 9?([—1, 1])
непрерывных комплекснозначных функций, определенных на
[—1, 1]. Возьмем две различные точки хьх2^[—1, 1] и для i = 1,2
положим Ж{ = {}: f^T, f(Xi) = O}. Очевидно, что каждое Mi —
линейное подпространство в Т. Кроме того, Т = Ж\ + Ж% но
у ФЛХ@ л^ так как j[x пл2ф0.
Четные и нечетные функции образуют линейные подпростран-
подпространства Мнет И Жнеч Пространства Т\ ЯСНО, ЧТО F = Жчет® Мнеч.

1.3. Нормированные векторные пространства 15
Если S\ и 52 — два произвольных множества, то множество упо-
упорядоченных пар [/,§¦], где feSi, g e S2, обозначается SiXS2.
Это обозначение дает удобный способ описания некоторых подмно-
подмножеств. Например, квадрат 0 ^ х, у ^ 1 принимает в такой записи
вид [О, 1]Х[0, 1]. Если Т и Ж— векторные пространства, то
ТУ^Ж можно превратить в векторное пространство следующим
образом:
1.2.11. Определение. Пусть Т и Ж— векторные пространства. Для
/ь /2 G Т И gu g2 S Ж ПОЛОЖИМ
[fu Si] + [f2t ft] = [/i + f2. ft + S2I
Векторное пространство ТУ^ЖУ состоящее из всевозможных эле-
элементов [f, g] называют прямым произведением Т и Ж 1). (Про-
(Простейшим примером служит R2 = R X R-)
Полезное обобщение допускает геометрическое понятие выпук-
выпуклого тела.
1.2.12. Определение. Подмножество 5 векторного пространства Т
называется выпуклым, если для каждых /, g e S элемент
a/ + (l — a)g лежит в 5 при всяком а, О^а^ 1. Равносильное
требование состоит в том, что (а/ + Ъg)/'{а + Ь) лежит в S для
всех f,ge=Stt всех неотрицательных и не равных одновременно
нулю а, Ъ. Наименьшее выпуклое подмножество в У*, содержащее
S, называется выпуклой оболочкой 5 и обозначается со 5.
1.3. Нормированные векторные пространства
Векторное пространство — это чисто алгебраический объект, и если
мы хотим заниматься в нем анализом, нужно ввести какой-то спо-
способ измерения расстояния. Это делают, вводя так называемую
норму. В данном параграфе мы покажем, что многие обычные поня-
понятия (самое важное из которых — сходимость) анализа в простран-
пространстве R3 с обычным расстоянием | • | допускают разумное обобще-
обобщение на нормированные векторные пространства. Кроме того, мы
обсудим некоторые наиболее часто встречающиеся примеры таких
пространств. Как правило, на одном и том же векторном простран-
пространстве можно ввести целый ряд разных норм. Соображения, кото-
которыми руководствуются при конкретном выборе нормы, мы обсудим
в следующем параграфе. Следует отметить, что в общем нормиро-
нормированном пространстве не существует никаких аналогов понятия угла
или перпендикулярности, вследствие чего геометрия на нем, как
1) Отметим, что пространство Т У^Ж является прямой суммой своих линей-
линейных подпространств Т X 0 и 0Х^> которые можно отождествить с Т и Ж
соответственно.—Прим. ред.

16 Гл. 1. Банаховы пространства
мы увидим на одном примере, может оказаться довольно необыч-
необычной. Однако для некоторых норм удается ввести разумное опре-
определение перпендикулярности (см. § 1.5), и тогда геометрия го-
гораздо больше напоминает геометрию евклидова пространства.
Интуитивно мы представляем себе расстояние между двумя
точками как неотрицательное число, симметричное относительно
них и удовлетворяющее неравенству треугольника. Эти соображе-
соображения подсказывают следующее определение:
1.3.1. Определение. Пусть X — произвольное множество, и пусть
каждой паре его элементов /, g e X сопоставлено неотрицательное
число d{f, g) так, что для всех /, g9 h e X
(i) d(f9g) = O<=>f = g-9
(и) d(f,g)=d(g,fh
(iii) d{f, g)^ d(f, h) + d(h, g) (неравенство треугольника).
Функция d называется метрикой на X, а само X, снабженное мет-
метрикой, называется метрическим пространством.
Это определение не предполагает никакой алгебраической струк-
структуры на X. Для большинства представляющих интерес векторных
пространств можно ввести более сильное понятие нормы (служа-
(служащей мерой расстояния от начала). Принятое для нормы обозначе-
обозначение ||-|1 подчеркивает, что это есть обобщение обычного расстоя-
расстояния в R3.
13.2. Определение. Пусть Т — векторное пространство, и пусть
каждому его элементу / сопоставлено неотрицательное число ||/||
так, что для всех /, g^T выполнены следующие условия:
(i) ||/||= 0^/ = 0;
(и) ||ос/|| = |ос| Ц/11 для любого скаляра ос;
(Щ \\f + g\\^\\f\\ + \\g\\ (неравенство треугольника).
Величина ||/|| называется нормой вектора /, а Т называют в этом
случае нормированным (векторным) пространством. Начиная от-
отсюда, мы будем всегда обозначать символами У°, Ж нормирован-
нормированные векторные пространства.
При помощи нормы легко получить метрику, положив d(f,g) =
||/— g\\, поэтому всякое нормированное пространство является мет-
метрическим пространством 1К Нормированные пространства будут иг-
играть в этой книге гораздо более важную роль, чем метрические;
1) Обратно, метрическое векторное пространство будет нормированным, если
расстояние в этом пространстве согласовано естественным образом с алгебраи-
алгебраическими операциями: d(x-\-zy y + z)=d(x,y) (инвариантность относительно
сдвигов) и d(ax, ay) — \a\d(x, у) (однородность относительно растяжений).—
Прим. ред.

1.3. Нормированные векторные пространства 17
последние будут встречаться нам лишь в виде подмножеств нор-
нормированного векторного пространства, не являющихся линейными
подпространствами. Отметим, что на одном и том же векторном
пространстве часто можно ввести более чем одну норму, и соответ-
соответствующие нормированные пространства рассматриваются как раз-
различные.
Аналог шара в R3 обычно называют шаром и в функциональ-
функциональном анализе. Вводимые ниже термины „открытый" и „замкнутый"
навеяны понятиями открытого и замкнутого интервалов веществен-
вещественной прямой; ниже они будут рассмотрены в более общем контексте.
1.3.3. Определение. Пусть заданы вектор f gF и число г,
О < г < оо. Множества S(f,r) = {g: \\f — g\\<r] и S(f,r) = {g:
II/— gll^f} называются соответственно открытым и замкнутым
шарами с центром / и радиусом г. Открытый или замкнутый шар
с центром в начале и радиусом 1 называется соответственно от-
открытым или замкнутым единичным шаром.
1.3.4. Определение. Подмножество S в Т называется ограничен-
ограниченным, если оно содержится в некотором шаре (конечного радиуса).
Если 5 ограничено, его диаметром называется верхняя грань рас-
расстояний между принадлежащими ему двумя точками. Расстоянием
dist(/, S) точки / от множества 5 называется число inf ||/ — g-Ц1).
1.3.5. Пример. Пусть Т = Rn. Определим евклидову норму вектора
/ = (/ь ..., fn), полагая
1/2
( п \\
При п = 3 эта норма совпадает с обычным расстоянием в R3.
Замкнутый единичный шар S @, 1) в R3 — это просто обычный
шар с центром в начале и радиусом 1. Шар S@, 1) не является
векторным пространством, но, если положить d(f9 g)=\\f — gik он
станет метрическим пространством.
1.3.6. Пример. На этом примере мы увидим, что геометрия в нор-
нормированном пространстве может проявлять необычные черты.
Пусть Т = R2; определим норму элемента f = (fuf2), полагая
Ц/lli == l/il + l/sl. Очевидно, что тогда У — нормированное вектор-
векторное пространство. Единичным шаром в нем служит квадрат, изо-
изображенный на рис. 1.1! Этот факт приводит к неприятным послед-
последствиям. В обычном двумерном пространстве (R2 с евклидовой
нормой), если заданы проходящая через начало прямая / и не лежа-
лежащая на ней точка Р, найдется единственная точка Рг на /, такая
1) Символами inf и sup (сокращения от infimum и supremum) обозначаются
соответственно нижняя и верхняя грани,

18
Гл. 1. Банаховы пространства
что расстояние PPf минимально. На языке векторных пространств
это означает, что для данного линейного подпространства Ж и точ-
точки \<ф.Ж найдется единственная точка g<^Jl, такая что ||/ — g\
минимально. Однако для нормы ||-|li эта единственность утрачена.
Чтобы в этом убедиться, достаточ-
достаточно взять в качестве Ж прямую под
углом я/4 к оси и / = A,0). Тогда
любой вектор g &Ж имеет компо-
компоненты (а, а) и \\f — g\\l = \l—a\ +
|а|. Минимум II/ — g||i равен 1 и
достигается для любого а, такого
что O^a^l. Ав некоторых нор-
нормированных векторных простран-
пространствах, когда Ж бесконечномерно,
минимум может не достигаться ни
г@г1) Для какого g^Ж.
Анализ в нормированном вектор-
Рис. 1.1. ном пространстве изучает главным
образом свойства бесконечных мно-
множеств точек. Наиболее важным понятием является понятие сходи-
сходимости последовательности. При помощи этого понятия мы сможем
описать два типа подмножеств Т, которые обычно находятся в
центре внимания.
1.3.7. Определение. Пусть (fn)— последовательность элементов Т.
Она называется сходящейся, если существует такой вектор /еУ9,
что \im\\fn — /11=0. Вектор / называется пределом последователь-
последовательности (fn), и мы пишем //!->•/ или Пт/„ = /.
Сходящаяся последовательность имеет единственный предел:
если /„->/ и fn->-g, то по неравенству треугольника
а правая часть стремится к нулю при п-^оо, откуда f = g.
1.3.8. Определение. Пусть S— подмножество в У0. Определим новое
подмножество SczT, называемое замыканием 5, потребовав вы-
выполнения следующего условия: f^S тогда и только тогда, когда
существует последовательность (необязательно различных) точек
из 5,_сходящаяся к /. Подмножество 5 называется замкнутым, если
Пусть Si, S2 — два подмножества в У3 и S1C1S2; Si называется
замкнутым в S2, если S\ есть пересечение с S2 некоторого замкну-
замкнутого множества. Замыкание S\ в S2 есть S\ (IS2.

1.3. Нормированные векторные пространства 19
1.3.9. Определение. Подмножество SczT называется открытым,
если выполнено одно из следующих равносильных условий:
(i) его дополнение T\S замкнуто;
(и) для всякого /gS найдется открытый шар с центром в f,
содержащийся в S.
Если 5ic:52c:F, то S\ называется открытым в S2, когда S\ есть
пересечение с S2 некоторого открытого множества.
Окрестностью точки называется всякое множество, которое со-
содержит открытое подмножество, содержащее эту точку.
В определении 1.3.8 допускается последовательность из повто-
повторяющихся точек, поэтому множество, состоящее из одной точки,
замкнуто. Отметим, что точка f принадлежит замыканию S\ в 5г
тогда и только тогда, когда она лежит в 5г и является пределом
последовательности точек S\. Произвольное множество не обязано
быть ни замкнутым, ни открытым. Вообще говоря, оно может ока-
оказаться и открытым, и замкнутым одновременно, хотя в нормиро-
нормированном векторном пространстве этим свойством обладают только
всё пространство и пустое множество. Легко видеть, что открытый
шар есть открытое множество, а замкнутый — замкнутое. Дальней-
Дальнейшие свойства открытых и замкнутых множеств перечислены в за-
задачах 1.3—1.7.
1.3.10. Определение. Точка f называется внутренней точкой множе-
множества 5cf, если существует ее окрестность, содержащаяся в S.
Множество S0 внутренних точек 5 называется внутренностью S
(это — открытое множество).
Точка f называется граничной точкой множества 5, если всякая
ее окрестность содержит как точки 5, так и точки его дополнения
T\S. Множество dS граничных точек S называется границей S.
1.3.11. Пример. Проиллюстрируем введенные понятия на одном
простом примере. Более трудные примеры еще появятся. Пусть
а, Ъ — концы конечного интервала. Тогда (а, Ь) = {х: а < х <С Ь) —
открытое множество, а [а, Ь] = {х: а ^ х ^ Ь)— замкнутое. Мно-
Множество [а, Ь) = {х: а ^ х <С Ь) не является ни открытым, ни зам-
замкнутым: первое потому, что всякий шар с центром в а содержит
точки, не лежащие в [а, 6), а второе потому, что Ъ есть предел то-
точек из [а, Ь), но Ъ ф. [а, Ь).
Далее, предположим, что S — множество рациональных точек
отрезка [а, Ь]. Оно тоже не является ни открытым, ни замкну-
замкнутым, ибо для всякого c^S шар с центром в с содержит иррацио-
иррациональные точки и предел последовательности рациональных точек
может оказаться иррациональным. Более того, S не содержит ни
одного открытого подмножества, поэтому его внутренность пуста.
С другой стороны, его границей является весь отрезок [а, Ь]—>

20 Гл. 1. Банаховы пространства
намного большее множество, чем само 5. Здесь нас подводит ин-
интуитивное представление о границе как о ,,тонком" множестве
До сих пор мы имели дело только с конечномерными нормиро-
нормированными векторными пространствами. В качестве первого беско-
бесконечномерного примера рассмотрим пространство последовательно-
последовательностей / (пример 1.2.4) и определим (возможно, бесконечные) вели-
величины
1/ оо), A.3.1)
A.3.2)
где [е| есть последовательность (fn). Мы покажем сейчас, что
||-||р — норма на подмножестве в /, состоящем из тех /, для кото-
которых величина !lf||p конечна. Единственная трудность здесь — про-
проверка неравенства треугольника. Она проводится при помощи до-
доказываемого ниже неравенства Минковского. Приведенное вместе
с ним неравенство Гёльдера окажется полезным позднее.
Два числа р, q, такие что 1 ^ р, q ^ оо, называются сопряжен-
сопряженными индексами, если р~х + q~l = 1; если р = 1, то q = оо.
1.3.12. Теорема. Пусть 1 ^ р ^ оо, и пусть q — сопряженный ин-
индекс. Тогда для любых f, g e / имеют место следующие неравен-
неравенства (допускаются бесконечные значения):
(i) llfgili ^H/IUIgiU (неравенство Гёльдера);
(ii) ll/ + gllp<ll/llp+llgllp (неравенство Минковского).
Доказательство, (i) Можно считать, что 0<||/|р, WgWq < оо, так
как иначе неравенство очевидно. Для р = 1
и аналогичную цепочку можно написать для q= 1. В случае р,
q>\ имеет место элементарное неравенство аЪ ^ p~lap + q~lbq
(а, 6>0), из которого, полагая а = \fn\/\\f\\P9 b =\gn\/\\g\\qt по-
получаем
I fnSn l/ll f Up II e К < p~1 I fn ПЩ + я~ l\sn 14U t
Суммирование по п дает
\\ffp +q яги? P +q ~
(ii) Замечая, что (р— 1)^ = p, и пользуясь неравенством Гёль-
Гёльдера, получаем

1.3. Нормированные векторные пространства 21
откуда следует требуемый результат, если ||/ + g\\p Ф О, оо. В слу-
случае Н/ + ?]1р = О утверждение очевидно. Если ||f + gllp = оо, то из
неравенства
путем суммирования выводим, что либо ||/||р, либо \\g\\P бесконечна,
откуда и следует доказываемое неравенство [].
1.3.13. Определение. Выберем некоторое р ^ 1. Нормированное век-
векторное пространство, состоящее из всех таких / = (/ь/2, ...)^1,
что ||/||р < оо, обозначается 1Р.
1.3.14. Пример. С понятием сходимости в бесконечномерном про-
пространстве связаны новые (по сравнению с конечномерным слу-
случаем) трудности, которые можно проиллюстрировать следующим
образом.
Ясно, что R" и С" являются нормированными векторными про-
пространствами с нормой 11-Цр. Нетрудно показать, что независимо от
выбранного р ^ 1 последовательность (Р>), где/(*° = (/ife), ..., fn]),
сходится тогда и только тогда, когда сходится каждая последо-
последовательность компонент, т. е. сходится (/W) при всяком /.
В 1Р это условие уже не является достаточным. В самом деле,
рассмотрим в /оо последовательность (р>), где р>— вектор, пер-
первые k компонент которого — нули, а остальные — единицы. Ясно,
что lim f\k) = 0 при любом /, откуда следует, что если (Р>) имеет
предел, то он должен равняться нулю. Но HPML = 1 при всех /г,
поэтому последовательность не сходится. Более того, нетрудно по-
построить последовательность, сходящуюся в /«>, но не сходящуюся
в /ь откуда видно, что сходимость в 1р зависит от индекса р.
Чрезвычайно важную роль в приложениях играют нормирован-
нормированные векторные пространства непрерывных и дифференцируемых
функций, поэтому мы исследуем подробнее возникающие здесь воз-
возможности.
1.3.15. Определение. Пусть Q — подмножество Rn, а / — определен-
определенная на нем комплекснозначная функция. Функция f называется
непрерывной в точке #о ^ й, если выполнено одно из следующих
равносильных условий:
(i) для каждого 8 > 0 существует такое б > 0, что \f(x) —
— f(*o) | < е при всех xgQ, для которых \х — хо\ < б;
(И) для всякой последовательности (xn) элементов Я, сходя-
сходящейся к пределу xq, Umf(xn) = f(x0).
Функция f называется непрерывной, если она непрерывна в каж-
каждой точке Q.

22 Гл. 1. Банаховы пространства
1.3.16. Определение. Функция f называется равномерно непрерыв-
непрерывной на Я, если для всякого 8 > 0 найдется такое б > О, что
\f(x)— f(xo) I < 8 Для всех х> хо^ Й> Для которых \х — хо\ < б.
Если в качестве Q рассматривается конечный отрезок [а, 6], то
непрерывность в точках а и Ь означает соответственно непрерыв-
непрерывность справа и слева. Если / непрерывна на [а, 6], она ограничена,
однако если она непрерывна только на (а, 6), то может оказаться
и неограниченной. Для функций нескольких переменных непрерыв-
непрерывность в смысле нашего определения иногда называют „непрерыв-
„непрерывностью по совокупности переменных", в отличие от „непрерывности
по отдельным переменным", которая означает, что функция не-
непрерывна по каждой переменной при фиксированных значениях
остальных. Например, если f — функция двух переменных, то по-
последнее свойство означает лишь, что непрерывны функции одной
переменной f(x, •) 1) и f(-,y) при фиксированном хну соответ-
соответственно. Свойство равномерной непрерывности сильнее свойства
непрерывности, поскольку одно и то же б должно годиться для всех
Хо е Я, однако если множество Q cz Rn замкнуто и ограничено, то
эти свойства равносильны (теорема 5.3.2).
1.3.17. Определение. Пусть Q — подмножество R". Векторное про-
пространство ограниченных непрерывных комплекснозначных функ-
функций, определенных на Й, обозначается ^(Q)
Пространство ^(Q) можно нормировать разными способами.
Положим сначала
||/||= sup
Тогда |f(*) + g(*)|<|/(*)| + |g(*)l для всех х, откуда
ll/11 lll- Следовательно, ||-||—норма на (Q)
1.3.18. Определение. Норму A.3.3) мы будем называть sup-нормой.
Иногда ее называют „равномерной нормой", но мы не будем поль-
пользоваться здесь этим названием, чтобы избежать путаницы с дру-
другими употреблениями термина „равномерный" в функциональном
анализе.
Итак, ^(Q) с sup-нормой является нормированным векторным
пространством. Это пространство очень важно и будет часто ис-
использоваться в дальнейшем. Другая возможная норма опреде-
определяется формулой
$ A-3.4)
!) При использовании обозначения f(x, •) подразумевается, что х фикси-
фиксировано и f рассматривается как функция лишь второго аргумента. Мы часто
будем применять такую запись.

1.3. Нормированные векторные пространства 23
По причинам, которые станут понятными в следующем параграфе,
это неподходящая норма для ^(Я); в большинстве задач, связан-
связанных с непрерывными функциями, лучше выбирать sup-норму. Ряд
полезных способов обобщения пространства <& (п) подсказывается
исследованием дифференциальных уравнений.
1.3.19. Пример. Один из методов решения задачи Коши для диффе-
дифференциального уравнения
/dx*=$[x,f(x)] A.3.5)
на отрезке [а, Ь] основан на превращении этого уравнения в ин-
интегральное (см. теорему 4.3.11). Если удается найти решение
последнего в ^([а, &]), то при некоторых слабых ограничениях на
¦ф легко показать, что это решение дифференцируемо и удовлетво-
удовлетворяет уравнению A.3.5). Аналогично в случае эллиптического диф-
дифференциального уравнения в частных производных на QczR^
можно при помощи функции Грина получить интегральное урав-
уравнение, которое поддается решению в W(Q)
1.3.20. Пример. Часто небольшое обобщение пространства ^([а, Ь])
позволяет аналогичным образом решать задачу Коши для системы
уравнений
-^5Г"=*/(^ М*), •••> Мх))> /=1, ..., т. A.3.6)
1.3.21. Определение. Пусть / = (/ь ..., fm) — функция со значе-
значениями в Ст, причем каждая компонента // есть ограниченная не-
непрерывная комплекснозначная функция на некотором множестве
Q cz R". Множество таких функций с правилами действий
(/ + 8Г) (*) = (/l (X) + Sl (X), ..., fm(x)+gm (X)),
(af) (x) = (af{ (x), ..., afm (x)), a e= C,
является векторным пространством и обозначается ^(Q, Cm); соот-
соответствующее вещественное пространство Кт-значных функций обо-
обозначается ^(Q, Rm). Здесь sup-норма определяется формулой
11/11= max sup |//(л:)|.
В случае Q cz R можно записать систему A.3.6) в компактном
виде
df{x)/dx=ib(x9f(x))
и решать соответствующее интегральное уравнение в ^(Q, Cm)
(см. теорему 4.3.11).
1.3.22. Пример. Другой (и в некоторых отношениях более привле-
привлекательный) метод обращения с дифференциальным уравнением

24 Гл. 1. Банаховы пространства
состоит в том, что пытаются решать само это уравнение непосред-
непосредственно, минуя промежуточную ступень построения интегрального
уравнения. При таком подходе, естественно, понадобятся простран-
пространства дифференцируемых функций. Поскольку производные опреде-
определяются при помощи перехода к пределам, в случае произвольного
множества Q могут возникнуть трудности. Этим объясняются огра-
ограничения на Я, налагаемые в следующем определении.
1.3.23. Определение. Пусть Я— открытое множество в КЛ, и пусть
& —некоторое натуральное число. Векторное пространство (с обыч-
обычными правилами действий), состоящее из всех Ст-значных функ-
функций, определенных на й и таких, что все частные производные
порядка ^.k всех их компонент ограничены и непрерывны, обо-
обозначается ®^(Q, С"). Векторное пространство ^(Я, Cm) состоит
из функций, лежащих в 97/e(Q,Cm) при каждом k ^ 0, т. е. ^(Я,
Ст) = П «* (О, Ст).
&=1 _
Пространство <S?k(QiCm) состоит из непрерывных функций, оп-
определенных на Я, которые на Я имеют ограниченные и равномерно
непрерывные частные производные всех порядков ^k. (При п > 1
это позволяет избежать трудностей, связанных с определением про-
производных на границе Я, которая, вообще говоря, не обязана быть
гладким множеством.) Как и выше, ^°°(Я, Ст)= П ^(Я, Ст).
Наконец, иногда удобно исключить из рассмотрения границу.
Пространство Wo(Q\ Cm), где ВсЙ'сЙ, содержит те и только
те функции из <ffk(Q9 Cm), которые имеют ограниченный носитель 1\
лежащий внутри Q' (причем у разных функций могут быть разные
носители).
Символами <&k(Q), ... и ^(Q, Rm), ... обозначаются, есте-
естественно, соответствующие подмножества пространств ^(Я) и
(, Rm).
Итак, функция, определенная на конечном отрезке [а, 6], при-
принадлежит Ф1([а, Ь]) тогда и только тогда, когда она имеет непре-
непрерывную производную на (а, 6), а в точках й и а имеет соответ-
соответственно левую и правую производные, которые являются преде-
пределами значений производной во внутренних точках.
Одной из норм на пространстве ce>k(Q) является, разумеется,
sup-норма. Но есть и другие возможности. Возьмем Я ="(а, Ь) и
положим
= Е sup \fn(x)\, A.3.7)
/ = 0XE[fl, Ь]
l) Носитель функции / (обозначаемый supp /) — это замыкание множества,
на котором / отлична от нуля.

1.3. Нормированные векторные пространства
25
где /(/) обозначает у-ю производную /. Эта норма гораздо больше
подходит для построения анализа в fek(Q). Соответствующие нор-
нормы в случае, когда Q — подмножество Rn, n> 1, можно опреде-
определить, рассматривая частные производные.
В заключение этого параграфа проиллюстрируем самые важ-
важные из введенных выше понятий на примере пространства ^([0, 1]).
1.3.24. Пример. Допустим сначала, что ^([0, 1])_ снабжено sup-
нормой. Если g(x) = 2 — л:2, то замкнутый шар S(g,1/2) с цент-
центром g и радиусом 1/2 состоит из непрерывных функций /, графики
которых лежат в заштрихованной области на рис. 1.2. Для откры-
открытого шара S(g, 1/2) соответ-
соответствующие графики не долж-
должны задевать штриховых ли-
линий; его граница dS(g, 1/2) (о,2)
есть подмножество в 5(g,
1/2), состоящее из функций,
графики которых задевают
эти линии. ^<^/////Л(
Если вместо sup-нормы ^<///Л\^Л)
рассмотреть норму ||-|li (см.
A.3.4)), то никакого про-
простого графического описа-
описания соответствующих шаров О
не получится, ибо они содер-
содержат также и функции, близ-
Рис. 1.2. Шар S(g,l/2) в пространстве
^ ([0, 1]) с sup-нормой, состоящей из всех
непрерывных функций, графики которых
лежат в заштрихованной области.
фу
кие к g для большинства
значений х, но имеющие вы-
высокие острые пики.
Сравним понятие „близости" двух функций /, g относительно
sup-нормы и нормы ||-||i: sup-норма ограничивает разность \f(x) —
g(x) | при каждом х, в то время как ||«||i ограничивает лишь сред-
среднее значение этой разности. Сходимость относительно sup-нормы —
очень сильное условие; оно влечет за собой сходимость относи-
относительно нормы ||-Hi. Обратное, разумеется, неверно (чтобы убедить-
убедиться в этом, достаточно рассмотреть последовательность (хп)).
1.3.25. Пример. Пусть S = {/: /<= ^([0, 1]), 0 </(*)< 1}. В слу-
случае нормы || • Hi для всякой функции f e S и всякого s > 0 сущест-
существует такая функция ?^^([0, 1]), что ||/ — g\\\ < e и g принимает
отрицательные значения для некоторых х. Следовательно, множе-
множество 5 не является открытым. Оно и не замкнуто (нулевая функ-
функция есть предел последовательности функций из S). Легко видеть,
что S имеет пустую внутренность и что его граница dS целиком
содержит само 5. В противоположность этому относительно sup-
нормы множество S открыто.

26 Гл. 1. Банаховы пространства
1.4. Банаховы пространства
Как показывает изложенное в предыдущем параграфе, многие ос-
основные понятия конечномерного анализа допускают важные обоб-
обобщения на случай бесконечномерных нормированных векторных про-
пространств. Тем не менее, к сожалению, не каждое такое простран-
пространство годится для построения в нем анализа. Непреодолимые
проблемы могут возникнуть при изучении вопроса о сходимости
последовательностей, который является в анализе вопросом перво-
первостепенной важности. Грубо говоря, происходит вот что: последова-
последовательность, которая ,,обязана" быть сходящейся, не всегда оказы-
оказывается таковой. Чтобы добиться существенного продвижения в ана-
анализе, необходимо еще больше сузить класс рассматриваемых
пространств. Один из ряда возможных путей оказался особенно
успешным. Он состоит в том, что на норму налагается условие ,,пол-
,,полноты" и изучаются полные нормированные векторные простран-
пространства (их называют банаховыми пространствами). Этим путем мы
и последуем здесь. Мы увидим, что предположение о полноте вно-
вносит заметные упрощения в абстрактный анализ и в то же время
ему удовлетворяет широкий класс нормированных векторных про-
пространств. Полнота—-это действительно одно из самых важных по-
понятий функционального анализа, и содержание данного параграфа,
где мы занимаемся изучением этого свойства и родственных поня-
понятий, а также их иллюстрацией на примере конкретных пространств,
имеет основополагающее значение для дальнейшего.
1.4.1. Определение. Пусть Т — нормированное векторное простран-
пространство. Последовательность (fn) элементов Т называется последова-
последовательностью Коши 1\ если
Ит II Л.-/«11 = 0,
т, п->оо
т. е. если для всякого 8 >0 найдется такое яо, что ||/я — /т||<е
при всех т, п > п0.
Если последовательность сходится, то она является последова-
последовательностью Коши: это следует из неравенства
WL-LW-WL-f + f-UKWh-fW + WL-fl
В пространстве R, а также в R" и Сп всякая последовательность
Коши сходится: первое известно из элементарного анализа, а вто-
второе легко следует из первого. Это обстоятельство наводит на мысль,
не лежит ли в основе достижений конечномерного анализа именно
это совпадение классов последовательностей Коши и сходящихся
!> Часто используется также термин „фундаментальная последовательность".—
Прим. ред.

1-4- Банаховы пространства 27
последовательностей и нельзя ли перенести это свойство на беско-
бесконечномерный случай.
1.4.2. Пример. Допустим, что какая-то итерационная процедура
решения дифференциального уравнения (точный характер которой
нас здесь не интересует) привела к последовательности (fn) эле-
элементов нормированного пространства Т и удалось доказать суще-
существование такого q < 1, что
II/»+i-/„IK? II/»-/„-ill (п>1). A-4.1)
Это условие гарантирует, что итерации fn становятся всё ближе и
ближе одна к другой с ростом я, и хотелось бы думать, что они
сходятся к пределу и что предел этот будет решением уравнения.
Главный вопрос: сходится или нет последовательность (/rt)?
1.4.3. Лемма. Если q < 1 и выполнено A.4.1), то при всяком п ^ 1
и (fn) есть последовательность Коши.
Доказательство. Из A.4.1) по индукции получаем, что
Следовательно, при k ^
Z
/ 1
Так как q < 1, правая часть стремится к 0 при /г->оо и, значит,
(fn) — последовательность Коши. []
Рассмотрим теперь два примера пространства Т. Сначала пред-
предположим, что Т= Rn с евклидовой нормой. Тогда, поскольку по-
последовательности Коши в Rn сходятся, (fn) заведомо сходится.
Теперь возьмем в качестве Т пространство 4?([—1, 1]) с нор-
нормой ||/Id = \\f(x)\dx и рассмотрим последовательность (/„), со-
состоящую из функций, изображенных на рис. 1.3. Как показывает
простое вычисление, A.4.1) выполнено и, значит, (/„)—последова-
(/„)—последовательность Коши. Однако она не сходится ни к какой непрерывной
функции. В самом деле, в некотором грубом смысле (fn) сходится
к функции, равной 1 при —1 ^х^Ои нулю при О <С х ^ 1, а эта
функция разрывна. Итак, последовательность (/„) не является схо-
сходящейся в пространстве Ф([—1, 1]) с нормой || • \\х.

28
Гл. 1. Банаховы пространства
Из этого примера можно сделать два вывода. Во-первых, по-
последовательность Коши в нормированном пространстве не обяза-
обязательно сходится. Во-вторых, если всякая последовательность Коши
сходится, то условие A.4.1) заведомо влечет за собой сходимость,
а если даже такое сильное условие, как A.4.1), не гарантирует
сходимости, то анализ в соответ-
соответствующем пространстве почти на-
наверняка сопряжен с серьезными
(-1,1) | |^ трудностями. Поэтому далее мы
будем, как правило, заниматься
только теми пространствами, в
которых все последовательности
Коши сходятся.
1.4.4. Определение. Множество S
в нормированном векторном про-
пространстве Т называется полным,
если всякая последовательность
Коши элементов S сходится к ке-
(-1,0)
Рис. 1.3.
@,0) (^,0) A,0)
Жирная линия изобра-
изображает fn.
которому элементу 5. Если само Т полно, оно называется полным
нормированным векторым пространством или банаховым про-
пространством. В дальнейшем буквами $ и ^ всегда обозначаются
банаховы пространства.
Простейшими примерами банаховых пространств служат Rn и
С" — с любой нормой. Прежде чем перейти к другим примерам,
попытаемся получше осветить роль полноты.
Из элементарного анализа известно, что всякий абсолютно схо-
сходящийся ряд вещественных чисел сходится. Как показывает сле-
следующая лемма, это вытекает из полноты R.
1.4.5. Определение. Пусть (/я) — последовательность элементов Т.
Ряд Yufn называется абсолютно сходящимся, если 2 II/я II < °°>
и сходящимся, если последовательность X fn сходится при Л/->оо
к некоторому элементу
°, называемому суммой этого ряда.
1.4.6. Лемма. Нормированное векторное пространство полно тогда
и только тогда, когда в нем всякий абсолютно сходящийся ряд
сходится. В банаховом пространстве перестановка членов абсо-
абсолютно сходящегося ряда не влияет на его сумму.
Доказательство. Единственная трудность — доказательство доста-
достаточности, т. е. утверждения: если всякий абсолютно сходящийся
ряд сходится, то сходится и всякая последовательность Коши.
В качестве первого шага покажем, что при указанном условии вся-
всякая последовательность Коши (/я) содержит сходящуюся подпо-

l.J^. Банаховы пространства 29
следовательность. Пусть ап = sup || fn — fm ||; тогда по определению
т>п
последовательности Коши lim an = 0. Значит, у последовательности
(ап) существует подпоследовательность, скажем {anjy\ такая что
anj^j~2 при всех /. Тогда ||/л/ — /л/+11 </~2*, откуда вытекает, что
ряд 2 g> где gj = fnj — fnj+i абсолютно сходится, а потому, со-
согласно предположению, сходится. Так как
i i
fni = Д( (/я/ — /лу+i) = Д^ S7>
подпоследовательность (/ЛЛ сходится.
В качестве второго и последнего шага докажем, что сходится
сама последовательность (fn). Если lim fni—f, то
i
Так как (/«)— последовательность Коши, первое слагаемое в пра-
правой части при достаточно больших п и / сколь угодно мало, а вто-
второе стремится к 0 при i-*~oo. Следовательно, Нт/„ = / и (fn) схо-
сходится.
Для доказательства законности перестановки членов восполь-
воспользуйтесь рассуждением, которое применяется для этой цели в случае
рядов из комплексных чисел. Q
Последовательности Коши (fn) элементов множества 5 можно
рассматривать как „потенциально сходящиеся", поскольку их
члены сближаются при я-^оо, а это есть свойство сходящихся
последовательностей. Реализует последовательность эту заложен-
заложенную в ней возможность или нет, зависит от того, является ли 5
„достаточно обширным", или же полным, в нашей новой термино-
терминологии. Рассмотрим, например, множество 5 = @,1) в R. После-
Последовательность (я-1), очевидно, есть последовательность Коши, но
ее предел в R равен 0 и, значит, не лежит в S. Стало быть, 5 не-
неполно. С другой стороны, 5 = [0,1] полно. В свете того факта,
что замыкание 5 оказалось полным, можно предположить, что
1) В этом доказательстве, как и во многих других, приходится рассматри
вать подпоследовательность данной последовательности (fn)y поэтому сделаем
несколько замечаний по поводу обозначений. Иногда никаких подробностей о
подпоследовательности не требуется (например, достаточно просто знать, что
существует некоторая подпоследовательность с нужным свойством); в таком
случае принято сохранять для нее обозначение (fn), предупредив об этом чита-
читателя фразой типа: „эта подпоследовательность по-прежнему обозначается (Ы".
В других случаях подпоследовательность обозначают обычно (fnj)\ ее членами
являются /дь fn2, ... • Бывает, что требуется целая цепь подпоследовательно-
подпоследовательностей, каждая из которых выбирается из предыдущей. В этом случае k-я под-
подпоследовательность обозначается (fn,k); ее членами являются fhk, Ь,&, ....

30 Гл. 1. Банаховы пространства
между замкнутыми и полными множествами имеется связь. Эта
догадка подтверждается следующим результатом.
1.4.7. Лемма. Подмножество S банахова пространства $ полно
тогда и только тогда, когда оно замкнуто (в к).
Доказательство. Если S замкнуто, то всякая последовательность
Коши его элементов сходится (в силу полноты 38) к некоторой
точке f ^ 38, откуда, по определению замкнутого множества, / е 5.
Обратно, пусть 5 полно. Для любого /eS существует последова-
последовательность точек из S, скажем (/л), такая что \im fn = f. Но (/л)—
последовательность Коши, и так как S полно, то f = lim fn лежит
в S. Значит, S с S, т. е. S замкнуто. []
Следует отметить, что в общем случае этот результат верен
лишь тогда, когда множество, в котором берется замыкание, само
полно. В этом можно убедиться, положив S2 = @, 1] и взяв в ка-
качестве 5i множество точек п~\ п = 1, 2, ... . Тогда Si замкнуто
в S2, но не полно. Тот факт, что в банаховом пространстве
,,замкнутый" = „полный", очень полезен.
Далее в этой книге мы будем заниматься анализом в банаховых
пространствах. Поэтому важно убедиться, что существует доста-
достаточный запас таких пространств. Сначала обратимся к введенным
в предыдущем параграфе пространствам непрерывных и диффе-
дифференцируемых функций.
1.4.8. Теорема. Пусть Q — произвольное множество в Rn. Простран-
Пространство ^(Q) ограниченных непрерывных комплекснозначных функ-
функций с sup-нормой банахово.
Доказательство. Чтобы показать, что ^(й) полно, будем рассмат-
рассматривать его как подмножество пространства Т ограниченных функ-
функций на Q. Последнее, очевидно, есть нормированное пространство
с sup-нормой, поэтому, в силу леммы 1.4.7, достаточно доказать,
что, во-первых, *&(Я) замкнуто (в Т) и, во-вторых, Т полно.
Для того чтобы установить замкнутость ^(Я), нам надо убе-
убедиться, что ff (Q) а & (Q). Пусть f e &(&). Тогда, по определению
замыкания, для всякого заданного 8 > 0 найдется такой элемент
g^W{Q), что ||/ — g||< s. Значит, функция f ограничена и \f(xo) —
g(;to)|<e для всех лго^Я. Далее, для всякого ^gQb силу не-
непрерывности g найдется такое б > 0, что \g(x)—g(*o)J<e при
\х — лго| < б. Следовательно,
- f (*0) I = I [/ (х) - g (х)] + [g (х) - g (*о)] + [ff (*0) - f (х0)] |
)g) g{)g()\ g{o)f{Q)\
Ввиду произвольности s отсюда видно, что f непрерывна. Будучи
ограниченной и непрерывной, f лежит в ^(Q). Тем самым дока-
зано, что ^(Q) замкнуто.

1.4- Банаховы пространства 31
Покажем теперь, что Т полно. Пусть (fn) — последовательность
Коши его элементов. При любом фиксированном x^Q имеем
I fn М — fm (х) KWfn—fmW и lim || fn — fm || = 0. Следовательно,
т, п->оо
(fn{x)) при каждом фиксированном х есть последовательность
Коши вещественных чисел, которая, в силу полноты R, имеет неко-
некоторый конечный предел, скажем f(x). Так определенная функция /
представляет собой поточечный предел последовательности (fn),
т. е. \imfn(x) = f(x) при каждом х, и является очевидным претен-
претендентом на роль предела (fn) также и по норме. Так оно и есть.
В самом деле, так как (/„)—последовательность Коши, для вся-
всякого е > 0 найдется такое яо, что ||/л — /т||<е при любых т,
п ^ п0, откуда
II/ — /«11= supI /(х) — /я(х) | < sup sup|/m(*)-M*)|
= sup sup I fm (x) — fa (x) I = sup || fm — fn
^ й ^
Наконец, поскольку последовательность Коши (fn) заведомо огра-
ограничена (задача 1.13) и /«->-/, мы видим, что / — ограниченная
функция и, значит, / еГ []
1.4.9. Следствие. Пусть Q — произвольное множество в ^.Про-
^.Пространство ^(Q, Cm) ограниченных непрерывных отображений Q в
Ст, наделенное sup-нормой (определение 1.3.21), банахово.
Следующий стоящий перед нами зопрос: относительно каких
норм полны пространства <e>k(Q) дифференцируемых функций (оп-
(определение 1.3.23)? Очевидно, что sup-норма здесь не подходит (чи-
(читатель легко построит последовательность в ^Р1 ([0,1]), сходя-
сходящуюся по sup-норме к функции, производная которой разрывна), и
напрашивается такой способ действий: рассмотреть более сильную
норму типа A.3.7), захватывающую также и производные. Образ-
Образцом подобного рода результатов, достаточным пока для наших це-
целей, является приводимая ниже лемма, которая легко выводится
из предыдущей теоремы.
1.4.10. Лемма. Пусть Q — открытое множество в Rn. Рассмотрим
пространство Vl(Q, Cm) функций /= (/ь .,., /m). Оно является
банаховым относительно нормы
dxf
Применение sup-нормы налагает слишком сильные ограничения
на сходимость последовательностей функций. В приложениях часто
бывает удобно использовать то или иное понятие сходимости

32 Гл. 1. Банаховы пространства
„в среднем", вроде сходимости по норме \\f\\{ = \ | f(x) \dx. Мы уже
говорили, что W(Q) не полно по этой норме, но, оказывается, не-
некоторый более широкий класс „интегрируемых" функций уже яв-
является банаховым пространством 3?\ по норме ||-||ь Это один из
примеров пространств 2?Рл составляющих второй важный для при-
приложений класс банаховых пространств. Мы откладываем их об-
обсуждение до следующей главы из-за технических трудностей, кото-
которые объясняются непригодностью в этом контексте римановых
интегралов. Закончим наше первое перечисление банаховых про-
пространств, заметив, что к ним относятся еще пространства 1Р (опре-
(определение 1.3.13). Доказательство мы опускаем, поскольку оно яв-
является вариантом доказательства теоремы 2.5.5 ниже.
1.4.11. Теорема. Пространство 1Р с нормой \\-\\р является банахо-
банаховым при всех 1 ^ р ^ оо.
В остальной части этого параграфа обсуждаются некоторые по-
понятия, полезные в теории банаховых пространств. Ввиду важности
свойства полноты естественно ожидать, что большую роль будут
играть линейные подпространства, обладающие этим свойством
(или, что то же самое, замкнутые; см. лемму 1.4.7). Такое под-
подпространство, взятое само по себе, конечно, является банаховым
пространством.
1.4.12. Определение. Линейное подпространство JL<zz$, замкнутое
в 9?, называется замкнутым подпространством в ^.
1.4.13. Определение. Пусть S — некоторое множество в 3&. Замкну-
Замкнутое подпространство [S] называется замкнутой линейной оболоч-
оболочкой множества S.
1.4.14. Пример. Рассмотрим ^([а, Ь]) с sup-нормой. Фиксируем
некоторое хо^[а, 6], и пусть Ж— линейное подпространство, со-
составленное теми функциями из ^([а, ft]), которые равны нулю
в хо. Пусть (fn)—сходящаяся последовательность в Ж с преде-
пределом f. Тогда \fn(xo) — f(xo) | ^llf/i — /l|->0 при я->-оо, и так как
fn(xo) = O при всех п, то f(xo)=O. Значит, 1&Ж, и, таким обра-
образом, Ж — замкнутое подпространство.
Заметим, что Ж не содержит ни одного открытого множества
из ^([а, ft]), ибо такое множество содержало бы шар ненулевого
радиуса, а в нем нашлась бы функция / с \(хъ)Ф§. Следовательно,
Ж имеет пустую внутренность и все его точки граничные. Разу-
Разумеется, если Ж рассматривается как банахово пространство само
по себе, то в нем нет недостатка в открытых множествах, т. е. мно-
множествах, открытых в Ж. На самом деле всякое собственное под-
подпространство банахова пространства имеет пустую внутренность.

1.4- Банаховы пространства 33
Теперь введем формальное понятие, отвечающее интуитивному
представлению о приближении некоторого множества, и в част-
частности всего банахова пространства $, некоторым меньшим мно-
множеством.
1.4.15. Определение. Пусть SidS2c:^. Множество Si называется
плотным в S2, если замыкание Si в S2 совпадает с S2.
Плотные множества играют важную роль как в теории^ так и
в приложениях. В теории часто применяют такой способ Доказа-
Доказательства: сначала убеждаются, что некоторое свойство имеет место
на плотном в $ множестве S, а затем совершают переход (обычно
,,по непрерывности") ко всему $. В приложениях понятие плот-
плотности лежит в основе большинства численных методов и теории
приближений. Например, для нахождения непрерывного решения,
скажем, интегрального уравнения можно искать приближенные ре-
решения среди элементов множества S непрерывных кусочно-линей-
кусочно-линейных функций, ибо S плотно в W{Q) и потому существование в S
подходящего приближения к точному решению гарантировано. Для
этой цели применяют также множества многочленов, кусочно-квад-
кусочно-квадратичных функций, сплайнов. В следующих результатах речь идет
о двух наиболее употребительных плотных множествах в ff(Q) от-
относительно sup-нормы. Доказательство второго результата не-
несложно, доказательство первого см. у Симмонса [1963] (или в лю-
любом другом учебнике анализа. — Перев.).
1.4.16. Теорема Вейерштрасса. Пусть Q — замкнутое ограниченное
множество в Rn. Множество многочленов от п переменных плотно
в *& (Q) относительно sup-нормы.
1.4.17. Лемма. Пусть [а, Ь] — конечный отрезок. Множество не-
непрерывных кусочно-линейных функций плотно в ??([#,&]) относи-
относительно sup-нормы. Более того, можно ограничиться функциями, ку-
кусочно-линейными относительно равномерных разбиений отрезка
[а,Ь].
Как мы уже знаем, ff(Q) полно по sup-норме, но неполно по
норме ||-Ць Наш следующий вопрос — какие модификации нормы
не приводят к нарушению полноты?
1.4.18. Определение. Две нормы ||-flfl и \\-\\ь на векторном про-
пространстве У° называются эквивалентными, если существуют строго
положительные вещественные числа С\,С2,такие что Cil|/||a ^II/IU ^
А]\ при всех /еГ
1.4.19. Лемма. Если последовательность в нормированном вектор-
векторном пространстве сходится, то она сходится и по любой эквива-
эквивалентной норме. Если $ — банахово пространство, то оно останется
таким и с любой эквивалентной нормой.

34 Гл. 1. Банаховы пространства
Доказательство несложно, и мы предоставляем его читателю
в качестве упражнения. В коненомерном пространстве все нормы
эквивалентны, и всякое конечномерное нормированное векторное
пространство является банаховым. Однако выбор той или иной
нормы может оказывать заметное влияние на скорость сходимости
последовательности (см. задачу 1.11).
L4.20. Пример. Выберем некоторое а > 0 и для /е^([0, 1]) поло-
положим
||/||* = sup \e~**f(x)\.
Х€=[0,1]
Тогда
е~а sup |fW|< sup [ *-**/(*) К sup |/(x)|,
xe[0, 1] *e[0, 1] *€=[0, 1]
откуда видно, что норма ||«||# и sup-норма эквивалентны на
У([0, 1]). Переход к эквивалентной норме иногда существенно
расширяет применимость абстрактных результатов (см., например,
задачу 4.14).
Наши последние замечания касаются базисов в банаховых про-
пространствах. Определение 1.2.2 предназначено для конечномерных
пространств и, очевидно, нуждается в модификации, если мы хо-
хотим распространить его на общий случай. Однако при попытках
такой модификации возникают трудности. Самым естественным
кажется назвать последовательность (fn) базисом пространства 9?,
если для всякого /е?? найдется единственная последовательность
скаляров (ап), такая что /==Ха/г//г (заметим, что это условие не
сводится к условию: замкнутая линейная оболочка множества
{fn} совпадает с $?; последнее условие слабее — см. задачу 1.15).
Коротко говоря, дело обстоит так, что у многих банаховых про-
пространств есть базис в этом смысле, однако от него мало проку, по-
полезных же базисов нет. Особенно ярко это демонстрирует пример
из теории рядов Фурье: последовательность (е(пх)^2™ не является
базисом в ^ ([0, 2я]) с sup-нормой. Мы не будем пользоваться
в этом книге понятием базиса, за исключением случая гильберто-
гильбертовых пространств, в которых обычно сразу удается выбрать удоб-
удобный базис. Однако в теории банаховых пространств существует
одно полезное понятие, имеющее некоторое отношение к понятию
базиса.
1.4.21. Определение. Банахово пространство называется сепара-
бельным, если содержит счетное плотное множество, т. е. если
в нем существует такое множество •S = {//J^jx\ что для каждого
е > 0 и каждого / е & найдется /„ е S с ||/ — /л|| < е.

1.5. Гильбертово пространство 35
1.4.22. Лемма, (i) Если Q — ограниченное замкнутое множество
в Rn, то пространство ff(Q) с sup-нормой сепарабельно.
(и) 1Р сепарабельно при 1 ^ р < оо.
(iii) loo не сепарабельно.
Доказательство. Мы докажем только утверждение (i), оставляя
другие два в качестве упражнений. Многочлены с рациональными
коэффициентами образуют счетное множество, плотное в множе-
множестве всех многочленов; последнее же плотно в ff(Q) по теореме
Вейерштрасса. []
Многие результаты, справедливые для сепарабельных прост-
пространств, имеют место и в общем случае, однако их доказательства
могут стать более трудными, поэтому мы иногда вводим в форму-
формулировки предположение о сепарабельности. С точки зрения при-
приложений это небольшая потеря, ибо самые важные банаховы про-
пространства сепарабельны.
1.5. Гильбертово пространство
Гильбертовы пространства — это простейший тип бесконечномер-
бесконечномерных нормированных пространств, играющих заметную роль в функ-
функциональном анализе. Их сравнительная простота объясняется тем,
что в них вводится дополнительная структура — скалярное произ-
произведение. Это — обобщение обычного скалярного произведения из
векторной алгебры. Последнее определяется обычно через компо-
компоненты векторов, в абстрактном же контексте, как это принято в
функциональном анализе, его алгебраические свойства берутся в
качестве аксиом.
Наличие дополнительной алгебраической структуры сильно обо-
обогащает геометрические свойства пространства. Что наиболее важ-
важно, оно позволяет ввести понятие перпендикулярности двух векто-
векторов и тем самым существенно приблизиться к евклидовой геомет-
геометрии. Влияние скалярного произведения на аналитические свойства
(в противопоставление метрическим) не так заметно. Основные
трудности, как и в случае банаховых пространств, связаны с беско-
бесконечномерностью. Однако в некоторых отношениях возможны зна-
значительные упрощения. Мы убедимся в этом ниже, когда будем рас-
рассматривать базисы в гильбертовых пространствах. С точки зрения
приложений, пожалуй, самое важное то, что в гильбертовом про-
пространстве можно дать разумное определение самосопряженного
оператора, и на основе этого понятия развита мощная теория.
1.5.1. Определение. Пусть У — векторное пространство. Скалярным
произведением в нем называется комплекснозначная функция

36 Гл. 1. Банаховы пространства
(•, •) на FXF, такая что для всех [, g, ftEf и аЕС выпол-
выполнены следующие условия:
(i) (/,/)> 0, причем (/,/) = 0<=>f = 0;
(iii) (f,g) = (g,f), где черта обозначает комплексное сопряже-
сопряжение;
(iv) (af,g) = a(f,g).
Пространство Т, наделенное скалярным произведением, называет-
называется предгильбертовым (в литературе встречается также термин про-
пространство со скалярным произведением). Если Т — вещественное
векторное пространство и скалярное произведение вещественно-
значно, то мы получаем вещественное предгильбертово простран-
пространство.
1.5.2. Пример. Для вещественных векторов в R3 скалярное произ-
произведение (обычно обозначаемое в этом случае а-Ь) определяется
формулой
(a, b) = axb{ +a2b2 + a3b3,
где а = (аь аг, аз), b = (Ь\, Ь2, Ьг). Легко проверить, что для него
выполнены аксиомы (i) — (iv), и, следовательно, трехмерное евкли-
евклидово пространство является предгильбертовым. Для комплексного
векторного пространства С" подходящим скалярным произведе-
произведением является
п
(ft S)=Tj fjgj, f = (fl,---,fn)> g=(gl, •••> gn)-
1.5.3. Пример. Легко построить скалярное произведение в
(f, g) =
Величина (f, fI/2 обозначается ||/||. Как подсказывает обозна-
обозначение, ||'|| есть норма; для доказательства этого факта нам потре-
потребуется следующее неравенство, играющее основополагающую роль
в теории гильбертовых пространств.
1.5.4. Неравенство Шварца1). Для любых элементов ft g предгиль-
предгильбертова пространства
Hf, g)\<\\f\\\\gl A-51.)
Доказательство. При g = 0 результат очевиден. Поэтому доста-
достаточно доказать, что | (/, g/llgll) | <||/|| при g Ф 0, или, эквива-
Называемое также неравенством Коши —Буняковского.—Прим. ред.

1.5. Гильбертово пространство
лентно, что | (/, h) |^||/|| для всех единичных векторов h. Это сле-
следует из соотношений (см. рис. 1.4)
= (f-(f, h)h, /-(/, h)h)
= (/, f)-(f, h)(h, f)-(Th)(f, h)+(f, h)JTh)
= II/II2-K/, h)\2. Q
1.5.5. Теорема. Всякое предгильбертово пространство Ж является
нормированным векторным пространством с нормой ||/||= (/, /I/2.
Доказательство. Единственная аксиома нормы, которая нуждается
в проверке, — это неравенство треугольника. Согласно неравенству
Шварца,
Отсюда неравенство треугольника выводится следующим образом:
D
Как показывает этот результат, норма в предгильбертовом про-
пространстве является естественным обобщением длины в R3; обобще-
обобщения некоторых других зна-
знакомых свойств длины в R3
указываются в задаче 1.17.
Дальнейшая аналогия ка-
касается понятия угла между
двумя векторами и свойства
перпендикулярности двух
векторов (в данном контек-
контексте его называют ортого-
ортогональностью). Угол 0 между
\Mf,h)h
Рис. 1.4. Отрезки ОЛ и ОС представляют
соответственна h и f, a отрезок OB пред-
представляет (f,h)h. Равенство ||f — (f, h)hi2 —
\\f I2 l(f^)l2
(
— \\f II2 —
установленное в ходе
Ш 15
\f II l(f)l у
доказательства неравенства Шварца 1.5.4,
есть не что иное, как теорема Пифагора.
h A
двумя векторами /, g в ве-
вещественном предгильберто-
предгильбертовом пространстве можно оп-
определить соотношением (/,
ff) =11/11 HgllcosO. Это опреде-
определение согласовано со свой-
свойствами скалярного произве-
произведения: в силу неравенства Шварца, |cos0]^L В комплексном
случае это определение непригодно. На самом деле величина угла
не играет большой роли в теории гильбертовых пространств, за
исключением частного случая (/, ?•) — О, отвечающего ортогональ-
ортогональным векторам, зато последнее понятие является фундаментальным.
1.5.6. Определение. Пусть Ж — предгильбертово пространство. Два
вектора /, g^Ж называются ортогональными, если (/,g) = 0;

38 Гл. 1. Банаховы пространства
в таком случае мы пишем / ± g. Для данного множества Scz2@
множество векторов в Ж, ортогональных каждому вектору из S,
называется ортогональным дополнением к S и обозначается S1.
В пространстве R3, если Ж— плоскость, проходящая через на-
начало, то JtL — перпендикулярная к ней прямая, проходящая через
начало. Вот два типичных свойства R3, каждое из которых до-
допускает обобщение на любое конечномерное предгильбертово
пространство. Во-первых, в Ж существует единственный вектор, на-
находящийся на минимальном расстоянии от данного вектора, — в про-
противоположность случаю банахова пространства, когда не гаранти-
гарантированы ни существование, ни единственность такого вектора. Во-
вторых, всякий вектор / может быть однозначно записан в виде
f = g-\-h, где g^M, h^ML\ иными словами, R3 можно разло-
разложить в прямую сумму ортогональных подпространств. Хотя эти
свойства можно считать геометрическими, их обобщению на слу-
случай бесконечномерных предгильбертовых пространств препятст-
препятствуют трудности чисто аналитического характера. Как и в случае
нормированных пространств, ключ к успеху — предположение о
полноте.
1.5.7. Определение. Предгильбертово пространство, полное по норме
11/11= (/> /I/2> называется гильбертовым пространством. Начиная
отсюда, символом Ж всегда обозначается гильбертово простран-
пространство.
/.5.8. Пример. Пространства Rn и О с обычным скалярным произ-
произведением (пример 1.5.2), разумеется, гильбертовы. Простейший
пример бесконечномерного гильбертова пространства — это /2 (оп-
(определение 1.3.13) со скалярным произведением
где f = (fuh, ...), g = (gugb -О. При этом ||/|| = {? | fn \2}Ш>
что совпадает с исходным определением нормы в U. Следовательно,
по теореме 1.4.11, h полно, а значит, гильбертово относительно вве-
введенного скалярного произведения.
1.5.9. Пример. Мы уже знаем, что ff(Q) со скалярным произведе-
произведением (f,g)= [ f(x)g(x)dx предгильбертово. Однако оно не полно
по соответствующей норме — достаточно взять последовательность
из примера 1.4.2, чтобы в этом убедиться. К сожалению, такая си-
ситуация типична. Часто векторное пространство удается с одной
нормой превратить в банахово, а с другой — в предгильбертово,
йо совпадение этих норм — явление редкое.
В применениях главный интерес представляют, конечно, гиль-
гильбертовы пространства, состоящие из функций. Однако из-за тех-

1.5. Гильбертово пространство 39
нических трудностей, относящихся к теории интегрирования, мы
отложим обсуждение таких пространств до следующей главы. Сей-
Сейчас отметим только, что в наиболее употребительном гильбертовом
пространстве 3?ъ скалярное произведение вводится по указанному
выше образцу, однако для обеспечения полноты в него приходится
включать другие функции, нежели в ^(Q)
Займемся теперь обобщением описанных выше геометрических
свойств на случай полных пространств.
1.5.10. Теорема. Пусть Ж— замкнутое подпространство гильбер-
гильбертова пространства Ж, и пусть f e Ж. Тогда в Ж существует един-
единственный элемент, ближайший к f.
Доказательство. Положим d = dist(f, Ж) и выберем последова-
последовательность (gn) в Ж так, чтобы lim||f — gn\\= d. Тогда, согласно
тождеству параллелограмма (задача 1.17),
Поскольку {gn -\- Цт)/2^.Ж, последний член не меньше Ad2. Oi>
сюда
Нт \\gn-gm\\<W + 2(P-Ad? = 0.
т, гс-»оо
Стало быть, (gn) — последовательность Коши, и, так как Ж замк-
замкнуто, она сходится к некоторому элементу Ж, скажем g. Очевидно,
что ||/ — gll=d, откуда вытекает, что минимум расстояния дости-
достигается.
Если g' <^Ж — другой элемент с тем же свойством ||/ — g'\\=dt
то, как легко следует из тождества параллелограмма,
Поскольку (g + g')/2& Ж, левая часть этого равенства не меньше
d2. Следовательно, g = g'y и доказана единственность. []
1.5.11. Теорема о проекции. Пусть Ж — замкнутое подпространство
гильбертова пространства Ж. Тогда Ж1 — тоже замкнутое подпро-
подпространство и Ж = Ж Ф Ж1. Далее, в разложении f = g-\-h, где
g ^Ж, h e Ж1, g есть ближайший к f элемент Ж.
Доказательство. Согласно задаче 1.19, Ж1 замкнуто и Ж (] Ж1 = 0.
Следовательно, в силу леммы 1.2.9, достаточно показать, что
Ж = Ж -\- Ж1, откуда уже будет следовать, что Ж = Ж ф Ж1.
Если 1^Ж, утверждение очевидно, поэтому возьмем \^Ж, и
пусть g —ближайший к / элемент Ж, существование которого

40 Гл. 1. Банаховы пространства
гарантируется предыдущей теоремой. Покажем, что f — g^ML и,
следовательно, искомым разложением элемента / будет / = g +
(f-g),g^-*,f-ge=J['-.
Для любых h е Ж, а > 0 имеем g -\- ah ^ Ж, поэтому
Отсюда следует, что 2 Rea(/i, / — g) ^ a2||/i||2. Разделив на а и
устремив а к 0, заключаем, что Re (h,f — g) ^ 0. Повторение тех
же рассуждений для а<0 показывает, что Re (A, f — g) ^ 0. Зна-
Значит, Re (А, / — g) — 0, и аналогично lm(h,f — g) = 0. Таким обра-
образом, (А,/ — g) = 0 для всех /igI, т. е. f — g^Jt1, как и утвер-
утверждалось. []
Указанное разложение 5{? в сумму ортогональных подпрост-
подпространств играет важную роль в теории самосопряженных операторов
и других разделах функционального анализа.
В предыдущем параграфе мы говорили о том, что с точки зре-
зрения приложений изучение базиса банаховых пространств беспо-
бесполезно. В противоположность этому для гильбертовых пространств
существует очень полезная теория базисов, которую мы сейчас
вкратце опишем. Во избежание технических трудностей ограничим-
ограничимся случаем сепарабельного гильбертова пространства Ж. Так как
самые употребительные гильбертовы пространства сепарабельны,
это небольшая потеря; по поводу общего случая можно посмотреть
книгу Фридмана [1970, § 6.4]. Наводящим соображением нам бу-
будет служить тот факт, что в R3 множество Ж попарно ортогональ-
ортогональных единичных векторов тогда и только тогда является базисом,
когда Ж1 = 0.
1.5.12. Определение. Множество Ж векторов из Ж называется пол-
полным !), если Ж1 = 0, т. е. если равенство (/, ф) = 0 для всех фб!
влечет за собой / = 0. Счетное множество Ж = {фп}„1Г называется
ортонормированным, если (фл, фт) = 8пт для всех //г, п ^ 1. Числа
(/, фя) называются коэффициентами Фурье элемента / (относи-
(относительно Ж), а формальный ряд ?(f, фАг)фАг— рядом Фурье для /.
1.5.13. Лемма. Для всякого ортонор жированного множества
Ж = {срп} в Ж выполняются следующие свойства:
(i) Неравенство Бесселя: при любом /s5K
, ФЯI2<НП12- A.5.2)
!> Никакой прямой связи этого понятия с понятием полноты в смысле опре-
определения 1.4.4 нет. Следует предупредить, что в литературе по этой области тео-
теории гильбертовых пространств имеется большой разнобой в терминологии.

1.5. Гильбертово пространство 41
(ii) Свойство наилучшего приближения: для любой последова-
последовательности скаляров (ая), любого натурального m и любого f^3IS
_ A.5.3)
Доказательство. В силу ортонормированности Ж>
Im 112 m
f ~ Z (/» Ф/г)ф« =ll/l|2 — Z I (/» Ф/г)|2> A.5.4)
откуда при т-^оо получается A.5.2). Снова используя ортонорми-
рованность Ж, находим, что
т ||2 т т
?. \ "* II ? ||О \ ^ I / Р \ |О I \ * I / ? \ |О
/- /.««Фп =11/II2- LKf. Ф„)|2+1,1(/. Ф/Л-а/
и A.5.3) следует из A.5.4). Q
1.5.14. Лемма. Пусть Ж={ц)п} — ортонормированное множество и
(ап) — последовательность скаляров. Ряд 2адФ« сходится тогда
и только тогда, когда сходится ряд J] \ап\2- Если ряд ?алФя схо-
сходится, то его сумма не зависит от порядка членов и
а„Р}1/2. A.5.5)
Доказательство. В силу ортонормированности {фп},
Ie<mpJ=ZkI2. A-5.6)
\\n~t || п**1
откуда следует, что если Y,\an\2 сходится, то ( Y, а«Ф« ) яв-
ляется последовательностью Коши и, значит, сходится, ввиду пол-
полноты Ж. Необходимость следует из тех же рассуждений в обрат-
обратном порядке. Полагая i=l и j-^oo в A.5.6), получим A.5.5).
Пусть f =Yuamn^mn— РЯД> полученный перестановкой членов
ряда g= Yjan4n- Легко видеть, что если Y, \ап\2 сходится, то
ll/ll2 = ll^ll2=Sl«J2, A.5.7)
H/-?ll2 = imi2-2Re(/, g) + \\g\\2. A.5.8)
Но
/ / / \
(/, g) = Hm I Z атлф/пя» E anVn j = Z \an?.
Следовательно, II/—-#11=0, согласно A.5.7) и A.5.8). []

42 Гл. 1. Банаховы пространства
1.5.15. Лемма. Пусть Ж={уп}—ортонормированное множество.
Тогда ряд ? (f, фл)ф« сходится независимо от порядка его членов
и сумма этого ряда Pf удовлетворяет условиям: Pf = 0 для
[X]\Pf fdf[X]
Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из
неравенства Бесселя A.5.2) и леммы 1.5.14. Далее, заметим, что
у {^Ж1 все коэффициенты Фурье равны нулю, и потому Pf = О
для {^[Ж]1 = Ж±. С другой стороны, если /^[Х], то по опре-
определению замыкания для всякого е > 0 существуют такие аь ...
fm II
/— Z ап4п <8- Значит, по
лемме 1.5.13, (и),
1
\ !](/, Фл)Фп|
Тот же результат показывает, что левая часть этого неравенства
не возрастает с ростом т, поэтому при т->оо получаем
||/ — Р/||<е. Поскольку е произвольно, отсюда следует, что
f = Pf. D
Завершив на этом технические приготовления, мы теперь в со-
состоянии довольно легко доказать главный результат о базисе.
1.5.16. Определение. Ортонормированное множество Ж = {(рп} на-
называется ортонормированным базисом пространства Ж, если
/ = Z (/> фя)фя Для всякого /g*.
Входящий в определение ряд есть, разумеется, ряд Фурье для
/ (определение 1.5.12). Отметим, что по лемме 1.5.14 допустима
любая перестановка его членов.
1.5.17. Теорема. Пусть Ж — сепарабельное гильбертово простран-
пространство и Ж = {ф/г}—ортонормированное множество в нем. Тогда сле-
следующие условия равносильны:
(i) Ж полно у т, е. Ж± = 0;
(и) \Ж\ = 2Ю\
(iii) Ж — ортонормированный базис;
(iv) для всякого f e Ж
II/II2= Zl(/. ФлIа (равенство Парсеваля). A.5.9)
Доказательство, (i)^(jj) Если [Ж]фЖ, то найдется точка }<^Ж,
це лежащая в [Ж]. Следовательно, по теореме о проекции 1.5.11,

1.5. Гильбертово пространство 43
f—g + h для некоторого g^\ffi\ и некоторого ненулевого
h GE [Ж]1. Отсюда Ж1 = [Ж]1 ф 0, что противоречит (i).
(ii)=7>(iii) Это непосредственно следует из леммы 1.5.15.
(iii)=7>(iv) Достаточно в A.5.4) устремить т к оо.
(iv)^^) Если }&Ж±, то каждый член ряда A.5.9) равен
нулю, откуда / = 0. []
1.5.18. Теорема. Всякое сепарабельное гильбертово пространство
имеет ортоноржированный базис.
Доказательство. Пусть {fn}—счетное плотное множество. Приме-
Применим к нему процесс Грама — Шмидта (задача 1.21), отбрасывая
на каждом шаге очередное /«, если оно не образует с предыдущими
ортонормированными элементами линейно-независимую систему.
Новое множество, скажем Ж, ортонормировано, и [Ж] = Ж, так
как {fn} плотно в Ж\ но тогда по предыдущей теореме Ж — орто-
нормированный базис. []
1.5.19. Пример. Рассмотрим гильбертово пространство k (пример
1.5.8). Пусть еп — элемент, пг-я компонента которого равна бт«,
т. е. е„ —единичный вектор „вдоль n-й оси". Ясно, что {еп}—орто-
нормированное множество. Для любого вектора /==(fi,/г, • • •) из
/2 имеем (/, еп) = fn. Следовательно, / = 0, если (/, еп) = 0 при
всех п. Значит, {еп} полно, а тогда, по теореме 1.5.17, {еп} яв-
является базисом.
Последние две теоремы служат прекрасным завершением на-
нашего изучения базисов в гильбертовом пространстве. В частности,
отраден тот факт, что если множество Ж полно, то оно образует
базис; это есть прямое обобщение соответствующего факта для
конечномерного случая; для произвольных банаховых пространств
нет никакого простого аналога этого условия. С точки зрения
приложений особенно важны базисы пространства 3?2 (при-
(пример 1.5.9). В большинстве случаев такие базисы удобнее всего
строить, используя самосопряженность некоторых (обсуждаемых
ниже) дифференциальных операторов и теорему Гильберта —
Шмидта 7.5.1. В определенных случаях возможно и прямое по-
построение на основе теоремы 1.5.17; этот метод подробно разби-
разбирается в книге Хиггинса [1977].
Наконец, в дополнение к работам общего характера, указан-
указанным во введении к главе, обратим внимание читателя на очарова-
очаровательную и необычную книгу Халмоша [1967], в которой теория
гильбертовых пространств изложена при помощи тщательного под-
подбора примеров и контрпримеров.

44 Гл. 1. Банаховы пространства
Задачи
1.1. Выведите из определения нормы, что llf —gll ^ |||/||
1.2. Покажите, что открытый и замкнутый шары в нормированном векторном
пространстве выпуклы.
1.3. Выведите из определения 1.3.8, что точка / лежит в замыкании Sx в S2 тогда
и только тогда, когда feS2 и / является пределом последовательности элемен-
элементов из S\.
1.4. Докажите равносильность двух условий, фигурирующих в определении 1.3.9
открытого множества.
1.5. Пусть Т — нормированное векторное пространство. Покажите, что в нем от-
открытый шар есть открытое множество, а замкнутый — замкнутое Далее, дока-
докажите, что само У (а следовательно, и пустое множество 0) одновременно и от-
открыто, и замкнуто.
1.6. Покажите, что в нормированном векторном пространстве объединение лю-
любого класса открытых множеств открыто и пересечение конечного числа открытых
множеств открыто. Путем построения контрпримера в R покажите, что пересе-
пересечение бесконечного числа открытых множеств необязательно открыто Кроме
того, докажите, что пересечение любого класса замкнутых множеств замкнуто
и объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
1.7. Множество в нормированом векторном пространстве открыто тогда и только
тогда, когда оно является объединением открытых шаров.
1.8. Очень интересным множеством в R является канторово множество Возьмем
отрезок [0, 1] и выбросим из него среднюю треть A/3, 2/3). Из оставшихся двух
отрезков снова выбросим их средние трети, и так до бесконечности. То, что оста-
останется, и есть канторово множество. Покажите, что оно замкнуто в R и имеет
пустую внутренность.
1.9. Наделим ^([0,1]) нормой || - |1ь гАе II f Hi = \ I fW | dx. Положим
о
fn(x) = х1/2A—х)п для п ^ 1. Покажите, что ряд ^fn абсолютно сходится в
смысле определения 1.4.5, но не сходится Выведите из леммы 1.4.6, что ^([0, 1])
с этой нормой не полно.
1.10. Рассмотрим следующее семейство {fa\ функций из ^([0, 1]):
+а2х2) @<лг<1, 1<а<оо).
Покажите, что ||fa|| = 1, ll/a Hi = |ot|"log(l + a2), где || • || обозначает sup нор-
норму, а II-Hi — норму, определенную выше. Выведите отсюда, что эти нормы не-
неэквивалентны.
1.11. Пусть (fk)—последовательность в R", п > 1, и fk = A, 2k~\ 3k~\...
..., nk~l). Положим / = A, 0, ..., 0). Покажите, что
Wfk-f lloo = nk-\ || fk - I Hi = k~x [A/2) n (n + 1) - 1],
где || • ||p — норма, определенная формулами A.3.1) и A.3.2). Обратите внимание
на то, что, хотя lim fk = f при любом р ^ 1 (ибо все нормы в R" эквивалент-
эквивалентны), выбор той или иной нормы заметно влияет на быстроту сходимости
1.12. Пусть ^/ — банахово пространство и S\ a S2 cz S3 cz $. Докажите, что Sx
плотно в 5г тогда и только тогда, когда для каждого [eS2 и каждого е > 0
найдется такое g е 5Ь что \\f — g|| < e. Выведите отсюда, что если Si плотно
в 5г, а 5г плотно в S3, то S\ плотно в 5з.

Задачи 45
1.13. Покажите, что всякая последовательность Коши в нормированном вектор-
векторном пространстве ограничена.
1.14. Пусть ^ ([0, 1]) наделено sup нормой.
(i) Постройте последовательность в замкнутом единичном шаре, сходящую-
сходящуюся поточечно (т. е. для каждого х) к разрывному пределу.
(И) Покажите, что ограниченная последовательность (/п), где fn(x) =
= пх/(\ + п2х2), сходится к (непрерывной) нулевой функции поточечно, но
не сходится к ней по норме.
(iii) Покажите, что из сходимости по норме следует поточечная сходимость.
1.15. Наделим ^([0, 1]), как и в предыдущей задаче, sup нормой и рассмотрим
множество S = {х11}1^™. По теореме Вейерштрасса замкнутая линейная оболоч-
оболочка S совпадает со всем ^([0, 1]). Верно ли, что каждый элемент /еЕ^([0, 1])
представим в виде суммы (сходящегося по sup норме) ряда J] апхп? [Указание:
рассмотрите функцию ехр(~I/*2).]
1.16. Рассмотрим последовательность (fn) в <$?1([—1, 1]), где fn(x) = (х2 +
+ п~2I/2. Пусть 11-11 обозначает sup-норму. Положим
SUP IfWI + sup \Г(х)\.
[ll] [ll]
Покажите, что (fn) сходится по норме || • || к \х\, но не является сходящейся по
норме || • Hg-i.
1.17. Докажите, что для любых элементов /, g, h предгильбертова пространства
и любых скаляров a, PgC имеют место следующие соотношения:
@ (/, <*?) = а (/, g)
(и) (ctf + Pg, Л) = а(/, А) + 0 (g9 h)
(iii) 2||Л|2 + 2||?||2 = ||/-?112 + И/ + ?112 (тождество параллелограмма);
(IV) 4 (/, g) = ||/ + ?||2 - || f - ?ll2 + /||/ + igf - /||/ - igf.
1.18. Пользуясь равенством (iv) из задачи 1.17, покажите, что нормированное
векторное пространство Т с нормой ||-||, удовлетворяющей условию (iii) из той
же задачи, можно превратить в предгильбертово пространство со скалярным про-
произведением (•, •)> таким что (/, /I/2= |1/|| для всех (gF, Таким образом, тож-
тождество параллелограмма характеризует норму в предгильбертовом простран-
пространстве. Покажите, что /<*> нельзя превратить в предгильбертово пространство.
1.19. Пусть S — множество в гильбертовом пространстве Ж Покажите, что S^ —
замкнутое подпространство в $6 и что S-L = [5]Л-. Далее, покажите, что если
/ е= 5 П S-L, то / = 0.
1.20. Банахово пространство называется равномерно выпуклым, если для всякого
е > 0 найдется такое б > 0, что из ||/|| = ||g|| == 1 и \\(f + g)/2\\ > 1 — б сле-
следует ||/ — g\\ <C е. Покажите, что гильбертовы пространства равномерно выпук-
выпуклы, и приведите два примера банаховых пространств, не обладающих этим свой-
свойством.
Докажите, что равномерная выпуклость гарантирует единственность точки
линейного подпространства, находящейся на минимальном расстоянии от некото-
некоторой заданной точки пространства ^. (Существование такой точки не утверж-
утверждается.)
1.21. Пусть {i|5rt}J"J° — линейно-независимое множество векторов в предгильбер-
предгильбертовом пространстве. Процесс ортогонализации Грама — Шмидта — это метод
индуктивного построения из этого множества некоторого нового множества, со-

46 Гл. 1. Банаховы пространства
стоящего из ортонормированных векторов: он заключается в том, что полагают
h\ = фь ф1 = Л1/ЦЛ1Н и
п-\
hn = tyn—Yi (Vn, Фа) ФА, Фл = Ал/И А„ ||.
Покажите, что {фл} — ортонормированное множество и что {фп} и {фл} имеют
одну и ту же линейную оболочку.
Проведите процесс Грама — Шмидта для нескольких первых членов после-
последовательности 1, х, х2, ... в пространстве ^([—1, 1]) со скалярным произведе-
г
нием \ f(x) g(x) dx и покажите, что в результате получаются полиномы Ле-
жандра
1.22. Пусть {фл} и {фл}— ортонормированные множества в гильбертовом простран-
пространстве, причем {ф„} полно. Докажите, что {$п} полно, если ]Г II ф„ — "Фп II2 < 1-

Глава 2
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЛЕБЕГУ И ПРОСТРАНСТВА
2.1. Введение
В предыдущей главе мы пытались убедить читателя, что полные
нормированные пространства — подходящие пространства для по-
построения анализа, однако привели лишь несколько примеров пол-
полных пространств функций (W(Q) с sup-нормой и родственные ему
пространства) и не дали ни одного примера гильбертова простран-
пространства функций. Хотя ^(Q) и очень полезное пространство, ограни-
ограничить анализ его рамками значило бы слишком сузить круг проб-
проблем, доступных решению, и в частности исключило бы применение
мощных результатов абстрактной теории операторов в гильберто-
гильбертовых пространствах. В этой главе мы расширим наш перечень про-
пространств, присоединив к нему банаховы пространства 3?р и гиль-
гильбертово пространство «2V Вместе с ^(Q) это дает уже достаточно
широкий диапазон пространств для большинства приложений.
Чтобы построить новые банаховы пространства функций, есте-
естественнее всего попытаться ввести в ^(й) другие нормы. Например,
в ^([0, 1]) можно испробовать
ясно, что ||-Hi и в самом деле является нормой, и притом ||/||i есть
физически важная величина —среднее значение |/|. К сожалению,
Ф([0, 1]) не полно но этой норме (пример A.4,2), Один путь
обойти эту трудность заключается в том, чтобы рассмотреть ,,по-
,,пополнение" ^([0, 1J) по норме ||-Hi. Этот путь действительно при-
приводит к банахову пространству, однако интуитивно не ясно, ка-
какими свойствами должна обладать функция, чтобы содержаться
в нем, и, более того, совсем не очевидно, будут ли вообще эле-
элементы абстрактного пополнения функциями. Другой путь —расши-
—расширить множество рассматриваемых функций, присоединив к нему
все функции, интегрируемые по Риману. Однако этот путь не при-
приводит к полному пространству — интегрируемых по Риману функ-
функций не хватает. Иначе говоря, предел последовательности непре-
непрерывных функций, являющейся последовательностью Коши по нор-
норме ||-Hi, может оказаться неинтегрируемым по Риману. Это

48 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства J?p
обстоятельство подсказывает тактику, которой мы здесь и после-
последуем: построить другое понятие интегрируемости, позволяющее
охватить более широкий класс функций.
Теория, которая далее будет изложена, зародилась в работах
Лебега, относящихся к началу века, и составляет ныне стандарт-
стандартную часть классической теории функций вещественной переменной.
И действительно, во всех случаях, кроме самых простых, интеграл
Лебега имеет заметное превосходство над интегралом Римана.Так,
например, задачи, в которых интегрирование соединяется с пре-
предельным переходом, часто вызывают затруднения, если рассматри-
рассматривается интеграл Римана, и становятся почти тривиальными, если
используется интеграл Лебега. И хотя нашим главным стимулом
для изложения этой теории остается определение на ее основе про-
пространств 2?р, сам интеграл Лебега также пригодится нам во мно-
многих других местах.
К сожалению, предварительный анализ, необходимый для по-
построения интеграла Лебега, неспециалисту может показаться до-
довольно трудным, ибо он занимает много места и требует привлече-
привлечения малоизвестных методов, которые к тому же не используются
почти ни в какой другой из областей, представляющих интерес.
С другой стороны, сами результаты теории изящны по форме и
просты для применения. Мы приняли ту точку зрения, что следует
привести обзор основных моментов теории, чтобы читатель смог
,,почувствовать" предмет, а доказательства стоит опустить, во вся-
всяком случае если используемые в них рассуждения не потребуются
в дальнейшем. Для удобства ссылок главные результаты собраны
вместе в виде теорем. Ими можно пользоваться, не вдаваясь в ле-
лежащий в их основе анализ, который прагматически настроенный
читатель может, следовательно, опустить.
Чтобы наш подход к построению интеграла Лебега был бо-
более понятен, напомним сначала один из методов построения интег-
интеграла вещественнозначной функции / по конечному промежутку
[а, Ь], основанный на приближении функции f ступенчатыми функ-
функциями.
2.1.1. Определение. Пусть S — подмножество некоторого множе-
множества X. Функция %s> определенная условиями %s(x)= 1 при xgS
и %s(x) = 0 при x^S, называется характеристической (или инди-
индикаторной) функцией множества S. Линейная комбинация конеч-
конечного числа характеристических функций интервалов называется
ступенчатой функцией.
Пусть X = [а, Ь]. Рассмотрим подынтервалы S\ = [лг0, Х\],
S2 = (хи х2], ..., Sn = {Хп-и хп], где х0 = а, хп = Ь, и определим
п
интеграл ступенчатой функции g = S^/Xs^ KaK „площадь под ее

2.2. Мера мноэюества 49
графиком":
Ь
g (X) dx =
а
Этот интеграл называется нижней суммой (соотв. верхней суммой)
для f, если g(x)^f(x) (соотв. g(x)"^f(x)) для лее [а, Ь]. Если
верхняя грань всех нижних сумм обладает определенным свой-
свойством (а именно равна нижней грани всех верхних сумм), она на-
называется интегралом /. Это налагает на f некоторые ограничения;
зато для таких интегрируемых по Риману функций интеграл со-
сохраняет свои обычные приятные свойства, такие как аддитивность:
Чтобы мотивировать следующий шаг, введем несколько иной
способ записи: длину Si обозначим через |i(S/). Тогда нижняя сум-
ма примет вид Х^М-(»$/). Основная идея при переходе к более
общему интегралу состоит в том, чтобы ввести аналог понятия
длины интервала (или площади прямоугольника в случае R2
и т. д.) для более общих множеств; его называют мерой множе-
множества. Теория меры составляет основу теории интегрирования; ею
мы и займемся прежде всего.
План этой главы таков. В § 2.2 определяется некий достаточно
обширный набор множеств и вводится понятие меры таких мно-
множеств. Затем рассматриваются измеримые функции (грубо го-
говоря, это функции, для которых можно определить интеграл).
В § 2.4 вводится интеграл и перечисляются его основные свойства.
В § 2.5 рассматриваются пространства 3?р. И наконец, в § 2.6 при-
приводятся некоторые важные результаты, допускающие естественную
формулировку в 3?р.
Мы настоятельно рекомендуем обратиться к книгам Де Барра
[1974] и Бартла [1966]; в них можно найти доказательства. Не-
Несколько другой подход применен в книге Бёркилла [1951], с кото-
которой также полезно ознакомиться.
2.2. Мера множества
В основе теории меры лежит понятие меры множества — обобще-
обобщение понятия длины интервала в R (площади в R2 и т. д.). Чем
больше в пространстве „измеримых" подмножеств, тем больше ин-
интегрируемых функций. Попытка ввести „хорошо себя ведущую'*
меру, определенную на всех множествах, оказывается чересчур са-
самонадеянной; тем не менее, как мы увидим, существует мера с
приемлемыми свойствами, определенная на очень широком классе
подмножеств. Хотя свойства меры и навеяны свойствами длины,

50 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства J?p
в теории меры выгоден абстрактный подход. Во-первых, он помо-
помогает прояснить ход рассуждений, освободив их от необязательных
деталей, и, во-вторых, позволяет без дополнительных усилий полу-
получить сразу несколько разных мер. Одна из них приводит к интег-
интегралу Лебега — Стильтьеса — обобщению интеграла Римана —
Стильтьеса. Однако нашей главной целью будет мера Лебега и
интеграл Лебега в R" — непосредственное обобщение интеграла
Римана.
Всюду далее через X обозначается некоторое множество (мож-
(можно считать его подмножеством в R"), а через ^-—некоторый класс
его подмножеств. Сначала выясним, для какого класса подмно-
подмножеств можно разумно определить меру. Интуитивно ясно, что если
два каких-то подмножества имеют меру, то этим свойством долж-
должны обладать их объединение, пересечение и разность, а если по-
последовательность множеств состоит из непересекающихся мно-
множеств, каждое из которых имеет меру, то и их объединение должно
иметь меру, и притом равную сумме мер множеств-слагаемых. Эти
соображения подсказывают такое определение:
2.2.1. Определение. Класс 9 подмножеств множества X называется
а-алгеброй, если
•У.
Множество, принадлежащее данной а-алгебре, называется сг-изме-
римым множеством.
Коротко говоря, требуется, чтобы 0, X е 9> и 9* было замкну-
замкнутым относительно взятия дополнений и счетных объединений. Дру-
Другие возможные комбинации множеств из 9 указаны в задаче 2.1.
Очевидно, что а-алгебры существуют для любого множества X:
класс всех подмножеств X является а-алгеброй, хотя от нее и мало
проку. Более успешным оказывается другой подход: взять произ-
произвольный класс 9 подмножеств X и заметить, что пересечение всех
содержащих его сг-алгебр является а-алгеброй.
2.2.2. Определение. Пусть 9— некоторый класс подмножеств X.
Наименьшая содержащая его оалгебра называется а-алгеброй, по-
порожденной 9, и обозначается 9)Q.
2.2.3. Определение, а-алгебра, порожденная открытыми подмноже-
подмножествами R", называется а-алгеброй борелевских множеств, а со-
составляющие ее множества называются борелевскими множествами.
Если X — подмножество Rn, то S называется борелевским множе-
0)
00
iii)
0,
Ss
s,,
X
9
&
ъ ...
X
^ =>
и
/l-l

2.2. Мера мноэюества 51
ством в X, когда 5 = X (] 5Ь где S\ — борелевское множество
в R".
Это особенно важная а-алгебра, поэтому хорошо было бы иметь
какое-нибудь простое описание борелевских множеств. Прежде
всего мы замечаем, что эта а-алгебра очень велика — ведь она со-
содержит произвольные счетные объединения и пересечения откры-
открытых множеств. Далее, оказывается, что явное описание борелев-
борелевских множеств при помощи даже счетного множества операций,
исходя из открытых множеств, невозможно. На первый взгляд это
сильно портит дело, однако заметим, что и открытые множества
допускают простое описание (каждое открытое множество есть
объединение последовательности непересекающихся открытых ин-
интервалов) только в R, а в R" при п ^ 2 такого описания уже нет.
Тем не менее открытые множества очень полезны. Решающим фак-
фактом является то, что во многих случаях борелевские множества
легко распознаются (поскольку разности, объединения и пересече-
пересечения последовательностей борелевских множеств — снова борелев-
борелевские множества).
2.2.4. Пример. Рациональные и иррациональные числа в R обра-
образуют борелевские множества. В самом деле, отдельные точки из-
измеримы (берем дополнение к (—сю, а)[}(а, сю)), а так как множе-
множество рациональных чисел есть счетное объединение отдельных то-
точек, то оно измеримо по определению а-алгебры. Дополнением к
нему является множество иррациональных чисел, которое, следо-
следовательно, тоже измеримо.
2.2.5. Лемма, о-алгебра борелевских множеств порождается каж-
каждой из следующих совокупностей подмножеств: (i) замкнутыми
множествами, (ii) ограниченными открытыми множествами, (Hi)
ограниченными замкнутыми множествами, (iv) открытыми ша-
шарами, (v) замкнутыми шарами.
Доказательство, (i) Дополнение открытого множества замкнуто,
(ii) Всякое открытое множество 5 есть объединение последователь-
последовательности открытых множеств @, n)(]S при целых п. (iii) Аналогично,
(iv) Здесь недостаточно заметить, что всякое открытое множество
есть объединение открытых шаров, — нужно, чтобы объединение
было счетным. Для этого берутся шары с центрами в точках с ра-
рациональными координатами и рациональными радиусами, (v) Ана-
Аналогично. []
Теперь мы подошли к определению самой меры. Полезные меры
всегда определены на а-алгебрах. По аналогии с понятием длины
естественно потребовать, чтобы мера представляла собой функцию

52 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства Jzfp
со значениями в расширенной вещественной прямой 1\ в некото-
некотором смысле аддитивную.
2.2.6. Определение. Мерой \х на а-алгебре 9 называется отображе-
отображение этой а-алгебры в R+, обладающее следующими свойствами:
(i) мера пустого множества равна нулю, т. е. ц@)= 0;
(и) \х счетно аддитивно, т. е. для всякой последовательности
(Sn) попарно непересекающихся множеств из 9 имеем
Тройка (X, 9*, |я) называется пространством с мерой. (Некоторые
основные свойства меры перечислены в задаче 2.2.)
2.2.7. Пример (мера Дирака, б функция). Пусть 9—некоторая
а-алгебра подмножеств X и а—-некоторая точка из X. Положим
( 1
(S)=\0
при
0 при
Очевидно, что 6а — мера на 9. В случае X = Rn эта мера назы-
называется б-функцией (сосредоточенной в точке а).
Этот пример убеждает нас в существовании мер, но, конечно,
мера Дирака мало напоминает обычную длину в R. Перейдем те-
теперь к случаю мер, похожих на длину.
Можно показать, что на а-алгебре всех подмножеств R ника-
никакой такой (похожей на длину) меры не существует. Чтобы найти
меру, аналогичную длине, на а-алгебре 9 борелевских подмно-
подмножеств R, естественно начать с интервалов и положить меру интер-
интервала с концами а и Ь равной Ь — а. Далее, рассматривая комби-
комбинации этих основных множеств — счетные объединения и т. п.,—
можно было бы надеяться получить в конце концов меру на 9>.
К сожалению, потребуется несчетное множество таких операций
(вспомним, что для построения борелевских множеств не хватает
счетного числа операций над открытыми множествами). Поэтому
мы будем действовать по-другому.
!> Ясно, что такие множества, как (—оо, оо), должны иметь бесконечную
меру. Поэтому удобно ввести в рассмотрение множество R = R U {—оо, оо}
называемое расширенной вещественной прямой, а также положить R + = {*:
О ^ х <С оо}, R + = |R + (J {оо}. В R допускаются обычные алгебраические опе-
операции, за исключением запрещенных комбинаций (±оо) + (-F«>) и частных
вроде оо/оо. Напротив, комбинация оо + оо разрешена и равна оо, а произведе-
произведения О-оо, 0- (—оо) полагаются равными 0.

2.2. Мера мноэюества 53
2.2.8. Определение. Класс 9 подмножеств X называется алгеброй,
если
(О 0, Х^9>;
(iii) объединение любой конечной совокупности множеств из 91
лежит в 9*.
Заметим, что алгебра отличается от а-алгебры только свойством
(iii): она замкнута относительно взятия конечных объединений. Те-
Теперь обобщим на алгебры определение 2.2.6.
2.2.9. Определение. Мерой \х на алгебре 9 называется отображение
этой алгебры в R+, обладающее следующими свойствами:
(i) (i@) = O;
(ii) для всякой последовательности Si, S2, ... попарно непересе-
оо
кающихся множеств из 9, такой что U Sn e 9, имеем
именно положим
2.2.10. Пример. Теперь можно провести предложенную выше про-
процедуру и определить меру на алгебре, состоящей из конечных объ-
объединений интервалов, открытых, полуоткрытых или замкнутых
(включая пустой интервал и интервалы, состоящие из одной точ-
точки). Положим меру конечного интервала с концами а, Ъ равной
Ъ— а, а меру всякого бесконечного интервала равной сю. Меру
произвольного множества S e SP определим очевидным образом, а
\i ( U Sn I = 2 М-(^л) Для попарно непересекаю-
непересекающихся Si, ..., S/. Мы утверждаем, что jui — мера на $Р.
Чтобы это доказать, достаточно проверить условие (ii) опре-
определения 2.2.9, а для этого нужно только убедиться, что если
оо ~
S=!|Srt, где S и каждое Sn — интервалы, то [a(S)=X u(SA
1 1
Проведем доказательство для типичного случая, когда S — конеч-
конечный интервал с концами а, Ъ. Пусть Sn — интервал с концами
ап, Ьп- При всяком /
00
откуда 2 M-ErtX \i(S). Чтобы доказать противоположное неравен-
1
ство, выберем произвольное е > 0 и замкнутый интервал TczS,

54 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства Jzfp
такой что |лE) —(я(Г)< е. Далее, выберем такие е„ > 0, чтобы
гп < е, и положим Тп = (ап — ел, Ь/г + е«) при каждом п, так
что ц{Тп) = [I{Sn) + 2гп. Очевидно, Т cz 5 = U Sn = \J Tn. Так как
7 замкнуто, то по теореме Гейне — Бореля ТаТПх U • •• U ?nk для
некоторого конечного k. Следовательно, ввиду произвольности е,
наше утверждение вытекает из неравенств
2.2.11. Пример. Проведение подобной процедуры в R2 приводит к
мере, основанной на площадях прямоугольников. Нетрудно по-
построить и многомерные аналоги.
Итак, мы построили меру на 9>. Но 9* не является а-алгеброй,
и наш следующий шаг — определить меру ]х на какой-нибудь а-ал-
гебре, содержащей &, которая на 9* совпадала бы с jli. Такую меру
можно определить на 9>а (это так называемая мера Бореля), но
она неудобна тем, что подмножества множеств меры нуль могут
оказаться неизмеримыми. Переход к несколько большей а-алгебре
позволяет избавиться от этого недостатка.
2.2.12. Теорема. Пусть \л — мера на алгебре 9). Тогда на всякой
ъ-алгебре 9>, содержащей 9>i существует такая мера pi, что
(i) \х и \х совпадают на 9>\
(и) если 5г е 9> и iT(S2) = 0, то S\ е 9> и piEi) = 0, каково бы
ни было S\ cz S2.
Кроме того, если существует такая последовательность (Sn), что
оо
Sn е 9, \i (Sn) < 00 и X = U Sni то ]х однозначно определена на
наименьшей о-алгебре, содержащей 9> и удовлетворяющей усло-
условию (И).
Мы не приводим доказательство этой теоремы (см. Бартл
[1966, гл. 9]), однако, чтобы читатель мог лучше ее „прочувство-
„прочувствовать", опишем кратко метод построения меры Jx. Для всякого
У с X положим
Ixe(K) = inf| ^ix(S,): Ycz\JSh S,e
Таким образом, \i* определяется посредством „охвата" Y извне.
Функция ц* обладает свойством \i*{Y\\J У2Х \i*(Yi) + \x*{Y2) для

2.2. Мера мноэюества 55
всех Уь У2 e X, но равенство, вообще говоря, не имеет места даже
для непересекающихся Уь Уг- Поэтому jli* не является мерой (хоть
ее и называют „внешней мерой"!). Стратегия состоит в том, чтобы
выбрать класс множеств, на котором jli* аддитивна, а значит, яв-
является мерой. Это не так просто. Оказывается, искомый класс со-
состоит из всех множеств У, удовлетворяющих условию [х*EПУ) +
|1*E\У)= \x*(S) при всяком Sg^. Эти множества и составляют
а-алгебру, о которой говорится в теореме.
Теперь мы достигли цели. В случае Rn мы просто возьмем меру,
описанную в примерах 2.2.10 и 2.2.11, и расширим ее в соответ-
соответствии с предыдущей теоремой.
2.2.13. Определение, а-алгебра, которая получается по предыду-
предыдущей теореме, если исходить из длин интервалов, площадей прямо-
прямоугольников, ... в R, R2, ..., называется а-алгеброй лебеговских
множеств, а соответствующая мера р, — мерой Лебега.
С практической точки зрения разница между лебеговскими и
борелевскими множествами невелика, ибо всякое множество, из-
измеримое по Лебегу, является объединением борелевского множе-
множества (той же меры) и множества нулевой меры Лебега. Борелев-
ские множества, разумеется, измеримы по Лебегу. На самом деле
построить множество, неизмеримое по Лебегу, очень трудно (для
этого приходится воспользоваться одним мудрёным принципом из
теории множеств), и чтобы встретиться с подобным объектом, нуж-
нужно какое-то особое невезение.
2.2.14. Пример. Вычислим меру Лебега множества 5 рациональных
чисел, содержащихся в данном интервале X прямой R. Мера мно-
множества, состоящего из одной точки, равна нулю, a S есть счетное
объединение своих точек. Следовательно, по определению 2.2.6,
(и), [хE) = 0. Перейдя к дополнениям, мы убедимся, что мера со-
соответствующего множества иррациональных чисел равна длине
интервала X.
2.2.15. Пример. При помощи теоремы 2.2.12 можно построить еще
одну полезную меру. Пусть у~ произвольная неубывающая функ-
функция на R, непрерывная справа. Для а, Ь е R положим
V ((а. Ь]) = у{Ь)-у {а), у {{a, b)) = lim у (х) - у {а)
и аналогичные определения введем для других типов интервалов.
Тогда у — мера на конечных объединениях интервалов и потому
расширяется до меры, известной под названием меры Лебега —
Стильтьеса.
Следует обратить внимание на одно важное обстоятельство:
в теории меры принято (не без основания) считать множества

56 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства Jzfp
меры нуль малыми, и даже настолько малыми, что ими почти
можно пренебречь. Поэтому естественно ввести следующее опреде-
определение.
2.2.16. Определение. Говорят, что утверждение имеет место почти
всюду, если множество, на котором оно не выполнено, имеет меру
нуль. Вместо слов „почти всюду" мы будем часто пользоваться
сокращением ,,п. в.".
2.2.17. Пример. Пусть ц,—-мера Лебега на R. Допустим, что
К = S U S', где 5 и S' не пересекаются, и f(x)= 1 при х е 5,
f(x) = О при х се S'. Тогда f = 1 п. в. в том и только в том случае,
если |яE/) = 0. Чтобы выполнялось последнее условие, разумеется,
достаточно, чтобы S' было конечным множеством, но оно может
быть и счетным, вроде множества рациональных чисел, и даже
некоторые несчетные множества имеют меру нуль (например, кан-
торово множество из задачи 1.8).
В заключение сделаем одно общее замечание. Оно касается
одной особенности проведенных выше рассуждений, на которую мы
уже намекали. В теории интегрирования определения многих
объектов (скажем, меры Лебега) неконструктивны. На первый
взгляд это кажется серьезным недостатком. Однако мы увидим,
что о таких объектах всегда можно узнать ровно столько, сколько
нужно для практических целей, так что неконструктивность опре-
определений нам не помеха.
2.3. Измеримые функции
Одно из преимуществ теории интегрирования, построенной на ос-
основе теории меры, состоит в том, что в ней, как правило, легко
распознать интегрируемые функции. Ключом к этому служит пред-
предварительное описание несколько более широкого класса измери-
измеримых функций.
Как и в случае мер, большое дополнительное удобство создает-
создается тем, что в качестве области значений функций берется расши-
расширенная вещественная прямая. Это позволяет, например, рассматри-
рассматривать функции типа г~1/2 на всём отрезке X = [0, 1], не проявляя
никакой специальной заботы о точке х = 0. Цена, которую прихо-
приходится платить__за это удобство, невелика. Учитывая предыдущие
замечания об R, нужно не допускать выражений типа f + g, если
в некоторой точке такое выражение может оказаться равным
оо +(—оо). Произведения 0-оо и 0-(—сю) допустимы и по опре-
определению равны нулю. Комплекснозначным функциям не разре-
разрешается принимать бесконечных значений ввиду трудностей с ин-
интерпретацией выражений вида оо -{- /оо. Приняв эту меру предосто-
предосторожности, мы можем представить всякую комплекснозначную функ-

2.3. Измеримые функции 57
цию в виде f = g-\-ih с однозначно определенными вещественно-
значными g и Л, а следовательно, все результаты без ограничения
общности можно формулировать для вещественного случая.
2.3.1. Определение. Пусть 9— некоторая а-алгебра. Функция
/: X-+R называется измеримой, если при любом вещественном а
множество
f-4(atoo]) = {x:xs=X, f(x)>a}
принадлежит 9. Комплекснозначная функция g + ih называется
измеримой, если измеримы обе функции g и h. Эквивалентное оп-
определение получится, если вместо (а, сю] взять [а, сю], [—со, а)
или [— сю, а].
2.3.2. Пример. Рассмотрим постоянную функцию f(x) = a. Тогда
f~l ((а, сю]) = 0 при а ^ а и f~l( (а, сю]) = X при а < а. Так как
по определению всякая а-алгебра содержит 0 и X, то f измерима.
2.3.3. Пример. Пусть 5 — любое множество из 9 и % — его харак-
характеристическая функция. Тогда %~1 ((а, сю]) = 0, 5 или X соответ-
соответственно тому, а ^ 1, 0 ^ а < 1 или а<0. Следовательно, % изме-
измерима. Отсюда видно, что относительно а-алгебры Лебега на R
измерима даже такая не слишком приятная функция, как функ-
функция /, определяемая равенствами f(x)= 1 при иррациональных х,
f(x)= 0 при рациональных х.
2.3.4. Пример. Пусть 9* есть а-алгебра Лебега на R" и f: Rn-+ R —
непрерывная функция. Так как f принимает только конечные зна-
значения, то /~Ч(а» °°]) = /~Ч(а> °°))- Поэтому из одного резуль-
результата, который будет доказан в следующей главе (леммы 3.2.9),
вытекает, что f~l((a, сю)) — открытое множество. Но 9) содержит
все открытые множества, и мы заключаем, что всякая непрерыв-
непрерывная функция измерима.
2.3.5. Пример. Пусть X = [0, сю), и пусть 9) есть а-алгебра Лебега.
Для функции f(x) = x-a (а > 0) из X в R множество f~l((a, ею])
при а ^ 0 совпадает с Х} а при а > 0 представляет собой полуин-
полуинтервал [0, а~1/а). Оба эти множества принадлежат 9, поэтому х~а
измерима.
Какие еще функции измеримы? Их список очень сильно увели-
увеличится, если заметить, что измеримы некоторые комбинации изме-
измеримых функций и пределы последовательностей измеримых функ-
функций. Пусть, например, (fn) — последовательность измеримых функ-
функций. Определим функцию sup/л, полагая (sup fn) (x)= sup fn(x)
при каждом х. (Заметим, что эта функция всегда существует,

58 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства Jzfp
поскольку допускаются R-значные функции.) Тогда
{я: sup fn (х) > а} = {х: fn (x) > а при хотя бы одном п}
п
= U {x:fn(x)>a},
и так как 9* замкнуто относительно счетных объединений, то sup/л
измерима. Положение дел подытожено в следующих двух теоремах.
2.3.6. Теорема. Пусть 9* есть о-алгебра подмножеств пространст-
пространства X и f, g:X-^'R—измеримые функции. Тогда измеримы также
следующие функции:
(i) flffasR);
(И) If I;
(iii) f-{• g (с оговоркой, что не должны встречаться выражения
вида ± оо + (+ °°));
(iv) fg;
(v) max{f, g-}, min{/, g} {где max {/, g}(x) = max{f {x)9 g{x)}
при x e X);
(vi) f+ = max {/, 0}, /" = max {- /, 0}.
2.3.7. Теорема. Пусть 9* есть о-алгебра подмножеств пространства
X и (fn) — последовательность измеримых функций X-+R. Тогда
измеримы также следующие функции:
(i) sup fn, inf fn\
(ii) limsup/rt(— lim sup/r), lim inf fn\
(iii) поточечный предел limfn, если он существует.
Рассмотрим, наконец, класс „простых функций'*, на использова-
использовании которых будет основано определение интеграла. Это — обобще-
обобщение ступенчатых функций (определение 2.1.1), применяемых для
определения интеграла Римана.
2.3.8. Определение. Пусть 9* есть а-алгебра подмножеств простран-
пространства X. Функция /: X-+R называется простой, если существуют ко-
конечное число множеств 5i, ..., 5ле5^ и вещественные числа
п
си ..., сПу такие что /= ? cils^ где %s. — характеристическая
функция множества 5/.
Очевидно, что простые функции измеримы (вспомним пример
2.3.3). Суммы, произведения и модули простых функций снова
являются простыми функциями. Пределы последовательностей про-
простых функций необязательно обладают этим свойством, однако по

2.4- Интегрирование 59
теореме 2.3.7 они заведомо измеримы. Важная роль простых функ-
функций объясняется тем, что ими можно аппроксимировать любую из-
измеримую функцию.
2.3.9. Лемма. Пусть 9* есть о-алгебра подмножеств пространства
X и f: Х-*- R — измеримая функция. Тогда:
(i) если / ^ О, то существует монотонно возрастающая после-
довательность неотрицательных простых функций, поточечно схо-
сходящаяся к f;
(ii) если f ограничена, то существует последовательность про-
простых функций, сходящаяся к f по sup-норме.
В заключение заметим, что класс измеримых функций чрезвы-
чрезвычайно велик и наверняка включает в себя всякую функцию, кото-
которая может возникнуть в приложениях. Например, измеримы по-
поточечные пределы последовательностей непрерывных функций
(пример 2.3.4 и теорема 2.3.7). И вообще, найти неизмеримую
функцию ничуть не легче, чем построить неизмеримое множество.
2.4. Интегрирование
Трудной частью теории интегрирования, основанной на теории
меры, является построение меры, а теперь, когда это уже сделано,
определить интеграл не составляет никакого труда. Процесс раз-
разбивается на несколько шагов. Сначала дается естественное опре-
определение интеграла простой функции. Затем, вспомнив, что всякая
неотрицательная измеримая функция f: X-+R является пределом
простых функций, мы полагаем интеграл f равным верхней грани
интегралов всех простых функций, не превосходящих /; та же
процедура используется и при определении интеграла Римана, но
там допускаются только ступенчатые функции. Наконец, интеграл
вещественной, но необязательно положительной функции / полу-
получается при помощи расщепления ее на положительную и отрица-
отрицательную части, а комплексной — на вещественную и мнимую
части. Интеграл по X относительно меры \i будет обозначаться
\fd\i, ^fd\i или jj f(x)d\i(x).
2.4.1. Определение. Пусть (X, 9, \\) — пространство с мерой и / —
измеримая функция.
п
(i) Для простой функции /, скажем f=Yt см8-, положим
1 *

60 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства Jzfp
с учетом соглашения 0-оо = 0.
(ii) Для f:X->R, /^0 положим
С fd\i = sup |\ gd\i:g простая и 0<g(лг)</(л:) при х^
(ш) Пусть /: Jf->R. Обозначим через /+, f~ соответственно по-
положительную и отрицательную части / и положим
при условии что хотя бы один из интегралов в правой части коне-
конечен (чтобы избежать неопределенности оо — сю).
(iv) Пусть / комплекснозначна. Если интегралы Re/ и Im/ мо-
могут быть определены согласно (iii) и конечны, то положим
(v) Для произвольного измеримого множества 5 пусть %s —
его характеристическая функция. Если интеграл f%s можно опре-
определить одним из указанных выше способов, то положим
Если интеграл можно определить таким способом, то мы будем
говорить, что интеграл существует. Принятое в нашем определе-
определении соглашение 0-оо=;0 приводит к тому, что интеграл по S
существует и равен нулю, если f(x) = O при xeS (даже когда
|яE)=оо) и если [x(S) = 0 (даже когда f(x)=oo при xeS).
Кроме того, если f измерима, то интеграл существует (хотя и мо-
может обращаться в бесконечность) во всех случаях, когда либо f
неотрицательна, либо конечен интеграл ее положительной или
отрицательной части. На самом деле мы обычно будем иметь
дело с более узким классом функций, для которых конечны все
интегралы, упомянутые в определении (что имеет место только
тогда, когда / почти всюду конечна). Для этих функций интеграл
обладает всеми свойствами, которых мы от него ждем.
2.4.2. Определение. Пусть / есть R-значная или комплекснознач-
ная функция. Она называется интегрируемой (по X относительно
|я), если она измерима и \|/|d^<oo. В случае когда X — под-
подмножество Rn, функция / называется локально-интегрируемой,
если она интегрируема на каждом замкнутом в Rn ограниченном
множестве S с X.

2.4- Интегрирование 61
2.4.3. Лемма, (i) Если f интегрируема, то | $ fd\i\ <
(ii) Пусть f, g— измеримые функции со значениями в R
и f ^ g. Тогда $ fd\i ^ $ gd\i.
(Hi) Пусть f, g — измеримые функции и а — некоторый скаляр.
Если fyg^Oua^O или если f, g интегрируемы, то
В теории интегрирования множествами меры нуль, как пра-
правило, можно пренебречь. Допустим, например, что интегрируемые
функции /, g равны почти всюду. Если S={x: f{x)=^g(x)}
и S' = X\S, то
$ \ \
х s' s
ибо первый интеграл равен нулю в силу равенства / = g на S7,
а второй —потому что ji(S) = O. Итак, две функции, равные почти
всюду, имеют равные интегралы, или, иначе говоря, изменение
функции на множестве меры нуль не изменяет ее интеграла. Одно
из следствий этого факта состоит в том, что обычное понятие
ограниченности для теории интегрирования оказывается чересчур
сильным. В этом случае больше подходит понятие ограниченности
почти всюду.
2.4.4. Определение. Величина
ess sup /= inf {k: f(x)^. k п. в.}
называется существенной верхней гранью функции /.
Безусловно, наиболее полезными в приложениях являются ин-
интегралы, взятые относительно меры Лебега.
2.4.5. Определение. Пусть X =Rn. Интеграл относительно меры
Лебега \х называется интегралом Лебега и записывается обычно
в виде \ / (х) dx или \ /{х) dx. Если \х — мера Лебега — Стилтье-
J $
са, то и интеграл называется интегралом Лебега — Стилтьеса.
Чтобы пояснить, как происходит интегрирование по Лебегу,
рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию на отрезке
[О, 1]. Для ступенчатой функции интегралы Римана и Лебега сов-
совпадают. Далее, интеграл Римана определяется точно так же, как
интеграл Лебега, за исключением того, что верхняя грань в опре-
определении 2.4.1, (ii), берется по ступенчатым функциям. Но послед-
последние являются простыми функциями, значит, интеграл Римана не
превосходит интеграла Лебега. Противоположное неравенство по-
получается применением того же рассуждения к функции а—/, где

62 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства J?p
a>sup/. Итак, в рассматриваемом случае значения интегралов
Римана и Лебега совпадают. Обобщение этого рассуждения при-
приводит к следующему обнадеживающему результату:
2.4.6. Теорема. Пусть X — конечный интервал в R и f — ограничен-
ограниченная функция. Если f интегрируема по Риману, то она интегри-
интегрируема и по Лебегу, причем значения интегралов совпадают.
Грубо говоря, если функция имеет собственный интеграл Ри-
Римана (а во многих случаях, даже если она имеет несобственный
интеграл Римана; см. задачу 2.6), то она интегрируема по Лебегу
и интегралы совпадают. С другой стороны, класс функций, инте-
интегрируемых по Лебегу, намного шире класса функций, интегрируе-
интегрируемых по Риману. Для сравнения отметим, что необходимым и до-
достаточным условием интегрируемости по Риману ограниченной
функции на конечном интервале является ее непрерывность почти
всюду, в то время как для интегрируемости по Лебегу достаточно
измеримости по Лебегу и ограниченности почти всюду. Приведем
пример функции, интегрируемой по Лебегу, но не интегрируемой
по Риману.
2.4 7. Пример. Положим f(x) = O при рациональных х, f(x)=l
при иррациональных х. Ясно, что / не интегрируема по Риману.
С другой стороны, множество рациональных чисел имеет меру О
(пример 2.2.4), значит, / = 1 п. в., и так как множества меры О
1
не дают вклада в интеграл, то \ f(x)dx=l. К тому же выводу
о
можно было прийти, заметив, что / — простая функция.
Остальная часть этого параграфа посвящена тому, чтобы про-
продемонстрировать большое удобство обращения с введенным выше
интегралом, и в частности с интегралом Лебега. Особенно заметны
преимущества интеграла Лебега над интегралом Римана, когда
мы имеем дело с предельным переходом. В случае интеграла Ри-
Римана перемена порядка операций интегрирования и перехода
к пределу часто требует для своего обоснования сложной, кро-
кропотливой работы, обычно связанной с установлением факта равно-
равномерной сходимости. В случае интеграла Лебега подобных труд-
трудностей нет. Это вытекает из трех следующих результатов, играю-
играющих центральную роль в теории интегрирования.
2.4.8. Теорема о монотонной сходимости. Пусть (X, ??, \х) — про-
пространство с мерой и (fn) — монотонно возрастающая последова-
последовательность неотрицательных R-значных измеримых функций. Тогда
каждый из написанных ниже интегралов определен (хотя и не-
необязательно конечен) и
lim Jj fnd\i = ^ lim fnd\i.

2.4- Интегрирование 63
Теорема верна и в случае, когда последовательность монотонно
возрастает лишь почти всюду. Чтобы в этом убедиться, достаточно
взять характеристическую функцию %s множества S, на котором
последовательность монотонно возрастает, и применить теорему
к (fnls)- Это — общее свойство теорем теории интегрирования:
оставаться справедливыми при замене слова «всюду» словами
«почти всюду», — и мы не будем каждый раз об этом говорить.
2.4.9. Пример. В качестве применения теоремы вычислим инте-
1
грал Лебега \ х~т dx. Функция x~[/2f как нам уже известно,
о
измерима (пример 2.3.5). Кроме того, легко найти интеграл
1
\ х~112 dx при s > 0, так как по теореме 2.4.6 он равен соответ-
е
ствующему интегралу Римана. Далее воспользуемся теоре-
теоремой 2.4.8. Положим
при /г-1<д:<1,
при 0<д:</г-1.
Тогда ifn)—монотонно возрастающая последовательность неотри-
неотрицательных измеримых функций, предел которой почти всюду ра-
равен х~112 (на самом деле всюду, за исключением одноточечного
множества {0}, имеющего меру нуль), и
1 1 1
/„(*)</* = lim2A-я-1*) = 2.
Один более общий результат, связывающий несобственный инте-
интеграл Римана и интеграл Лебега, сформулирован в задаче 2.6.
2.4.10 Лемма Фату. Пусть (X, 9>, \х)—пространство с мерой
и (fn) — последовательность неотрицательных R-значных измери-
измеримых функций. Тогда
\ lim inf fn d\i < lim inf \ fn d\i.
2.4.11. Теорема Лебега о мажорированной сходимости. Пусть
(X, &, \х) — пространство с мерой и (fn) — последовательность
R-значных измеримых функций, причем l\mfn=:f. Если суще-
существует интегрируемая функция g, такая что \fn\^g {n^zl), то
f интегрируема и
lim \ fnd\i=\ f d\i.

64 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства Jzfp
оо
2.4.12. Пример. Рассмотрим интегралы 1п = \ e~nxx-l/2 dx. Мы
о
хотим показать, что lim/n = 0. Положим fn (х) = е~пхх~Х12. Ясно,
что Пгл/п(л') = 0 при х Ф 0, но сходимость неравномерна (так
п
как lim fn(x) = oo)> поэтому для установления желаемого резуль-
х->0
тата в случае интеграла Римана пришлось бы опираться на тон-
тонкие соображения, связанные с разбиением области интегрирова-
интегрирования. Если же воспользоваться теоремой о мажорированной схо-
сходимости, доказательство становится тривиальным упражнением.
Мы попросту замечаем, что ^(л;) | ^ е~хх~1/2 при л;>0 и всех п,
и, игнорируя точку х = О, поскольку она имеет меру нуль, выво-
выводим непосредственно из теоремы, что \imln = 0.
Рассмотрим теперь свойства функций, задаваемых при помощи
интегралов. Простейшая из функций такого рода — неопределен-
неопределенный интеграл. По известной теореме анализа вещественнозначная
функция / на R имеет непрерывную производную тогда и только
тогда, когда она является неопределенным интегралом некоторой
непрерывной функции g, и в этом случае /' = g. Допустим теперь,
что g локально-интегрируема по Лебегу. Что можно сказать о ее
неопределенном интеграле /?
2.4.13. Определение. Пусть S — конечный интервал. Вещественная
функция f называется абсолютно непрерывной на S, если для
всякого 8 > 0 найдется такое б > 0, что X I /(&/) — f(aj) I < е для
любого конечного множества {[а/, 6/]} попарно непересекающихся
интервалов суммарной длины меньше б. Если / абсолютно непре-
непрерывна на каждом конечном подынтервале в IR, она называется
абсолютно непрерывной на R.
2.4.14. Теорема. Вещественнозначная функция /, определенная на
некотором интервале в R, является неопределенным интегралом
локально-интегрируемой по Лебегу функции, скажем g, тогда
и только тогда, когда она абсолютно непрерывна, и в этом слу-
случае f почти всюду дифференцируема и f = g (п. в.).
В двух следующих теоремах X и У — интервалы, а / есть
R-значная функция на прямоугольнике XX У-
2.4.15. Теорема. Предположим, что функция f(x, •) при каждом
х^Х измерима, a f{-,y) при каждом y^Y непрерывна. Допус-
Допустим, что существует интегрируемая функция g: X-+-R, такая что
!/(*>{/) I ^ g(y) при всех jceI, jeK Тогда следующая функция

2.4- Интегрирование 65
непрерывна:
F(x)=\f(x,y)dn(y). B.4.1)
Y
Доказательство. По теореме о мажорированной сходимости
F{xn)-+F(x) прихп-+х. ?
2.4.16. Теорема. Предположим, что f(-,y) при каждом y^Y диф*
ференцируема, a f(x, •) при каждом xgI интегрируема. Допус*
тим, что существует интегрируемая функция g: У->К, такая что
|df/dx(x, у) | ^ g(y) при всех л;б1, у еУ. Тогда функция Ft
определенная формулой B.4.1), дифференцируема и
\
Y
Доказательство. Если lim хп = х и хп ф х при всех пу то функций
gny задаваемые формулой
8п (У) = U(xn> У) — /(^> У)]/{*п — х),
измеримы. Так как Vimgn(y) = df/dx(x, у) при каждом у, то по
п
теореме 2.3.7 функция df/dx(x, •) при каждом х измерима. Кроме
того, по теореме о среднем значении gn(y) = df/dx(zni у) для не-
некоторого Zn, заключенного между хп и х\ следовательно, |grc|<Jg
при всех п. Отсюда по теореме о мажорированной сходимости
2.4.11 получаем наше утверждение. []
В случае интеграла Лебега намного проще становятся также
перемена порядка интегрирования и переход от двойного инте-
интеграла к кратному. Для обозначаемого ниже через \\ f(x, y)dxdy
интеграла по некоторому фиксированному измеримому множеству
в R2 имеет место следующее утверждение:
2.4.17. Теорема. Предположим, что функция /(•, •) измерима
и удовлетворяет одному из следующих условий:
(i) (Тонелли) / ^ 0;
(и) (Фубини) один из интегралов
\\\f(x,y)\dxdy, \dx\\f(x,y)\dy> \dy\\f(x,y)\dx
конечен.
Тогда функции /(•,у), f(x, •), [f(-,y)dy, [f(x,-)dx измеримы и
J dx \ f(x9 y)dy = \dy\ f{x9 y)dx=\\f{x, y)dxdy.

66 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства Jzfp
2.5. Пространства 9?v
Теперь мы можем приступить к осуществлению главной дели, по-
поставленной в этой главе, — построению семейства банаховых про-
пространств, называемых пространствами 3?р. Тот факт, что они об-
обладают весьма важным для нас свойством полноты, есть прямое
следствие хорошего поведения интеграла при предельных пере-
переходах.
Всюду далее используется мера ц,, определенная на а-алгебре
подмножеств множества X в Rn. В большинстве приложений \х
будет просто мерой Лебега. Рассматриваемые функции R-значны
или комплекснозначны.
2.5.1. Определение. Пусть функция / измерима, а р^ 1. Положим
(к/><«>),
= esssup|f|.
Пространством 3?р (или 3?Р{Х), если нужно упомянуть X) назы-
называется множество измеримых функций /, для которых ||/||Р<оо.
Часто X будет интервалом с концами а, 6, a \i— мерой Лебега.
В этом случае мы будем писать 3?р(а, Ь). Две функции /, g из 5?р
считаются равными тогда и только тогда, когда f = g п. в.
Следует обратить внимание на три обстоятельства. Во-первых,
приходится отождествлять функции, равные почти всюду, потому
что иначе ||-||р не было бы нормой (ибо \\f — g\\p = O тогда
и только тогда, когда f = gn. в.; см. задачу 2.13). Во-вторых, не-
неотрицательная функция / интегрируема только тогда, когда она
почти всюду конечна, поэтому все функции из 3?р почти всюду
конечны. Значит, их можно сделать конечными всюду, изменив их
значения на множестве меры нуль. Наконец, если р = оо, ji —
мера Лебега, а / — непрерывная функция, то || / ||<» = sup|/(x) |.
Следовательно, непрерывные ограниченные функции с sup-нор-
sup-нормой образуют замкнутое подпространство в j?oo. Если функция
f^S'oo разрывна, то множество, на котором |/(я)|!> II/IU, имеет
меру нуль. Иногда будет употребляться также следующее про-
пространство:
2.5.2. Определение. 5?xpz — это множество функций, лежащих
в S?P(S) для каждого множества 5 сг X, замкнутого и ограничен-
ограниченного в Rn.
Пространство S?p можно считать аналогом пространства по-
последовательностей 1Р с интегрированием вместо суммирования.
Играющие фундаментальную роль неравенства Гёльдера и Мин-
ковского для 3?р устанавливаются просто путем замены сумм
интегралами в доказательстве теоремы 1.3.12.

2.5. Пространства Jzfp 67
2.5.3. Теорема. Пусть р^\ и q — сопряженный индекс. В обозна-
обозначениях определения 2.5.1 для любых измеримых функций f, g
(допускаются бесконечные значения) имеют место следующие
неравенства:
(О II fgHi < II /UpIIg \\q (неравенство Гёльдера);
(ii) \\f + g lip < II / lip + II g Up (неравенство Минковского).
2.5.4. Следствие (неравенство Юнга). Пусть k: XX>X-+C — изме-
измеримая функция и
sup [\k (х, у) | d\i (у), sup \ | k (x, y)\d\i(x)^m
XGjfJ y&X J
<oo.
Если f^3?p при некотором р ^ 1, то функция Fy задаваемая
формулой
F(x)=\k(xiy)f(y)dli(y),
тоже принадлежит 3?р и\\ F \\p ^ m \\ f ||p.
Доказательство. Если 1 < р < оо и q — сопряженный индекс, то
\ I k (х, у) 11 / (у) | dyi (у) - \ I * (*, у) |"* | * (х, у) |1/р | / (jr)l <1р(у)
<{\\k(x,y)\dv(y)}llq{\\k(x, y)\ \f(y)\pdii(y)}llP,
согласно неравенству Гёльдера. Возводя обе части в р-ю степень,
интегрируя и меняя порядок интегрирования (что законно в силу
теоремы Фубини 2.4.17, (ii)), получаем
\{\\k(x, y)\ Ifmdviy)}" dv(x)^mp">\\f\\p sup \\k(x, y)\dlx(x)
J \ J ) r ys=X J
<mpltI+'\\f\fp,
откуда вытекает наше утверждение. Разобрать случай р = 1, оо
предоставляется читателю в качестве (легкого) упражнения. []
Неравенство Минковского есть не что иное, как неравенство
треугольника в 2?р. Используя этот факт, нетрудно убедиться, что
3?р—нормированное векторное пространство, а вот доказатель-
доказательство его полноты требует тонких рассуждений; соответствующий
результат известен под названием теоремы Рисса — Фишера. Не-
Неравенство Гёльдера понадобится нам позднее. Сейчас отметим
лишь, что при р = 2 оно совпадает с неравенством Шварца A.5.1)
в гильбертовом пространстве &% о котором говорится в следую-
следующей теореме:
2.5.5. Теорема. Если р ^1, то 3?р с нормой \\-\\р — банахово про-
пространство. При 1 ^ р < оо оно сепарабельно. Пространство 5?ч

68 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства Jzfp
есть гильбертово пространство со скалярным произведением
Доказательство. Докажем полноту в случае 1 ^ р <С оо, остав-
оставляя случай р=оо в качестве упражнения. Последовательность
Коши (fn) содержит подпоследовательность (/л^)» такую что
Г оо
ёг = Z | fnk+l - fnk\, g = Z I fnk+l - fnk\
и заметим, что (gr) монотонно возрастает и поточечно сходится
к g. Согласно неравенству Минковского, llgr||P<l, откуда, по
теореме о монотонной сходимости 2.4.8, \ gp d\i = lim \ gP d\i^.l.
Следовательно, g{x)<oo п. в. (если бы g = оо на множестве
положительной меры, ее интеграл был бы бесконечным), а потому
ряд
абсолютно сходится при почти всех х> т. е. последовательность
(fnkix)) сходится почти всюду к некоторой функции, скажем f,
определенной, правда, только почти всюду, но в свете определе-
определения 3?р это не имеет значения.
Докажем теперь, что \^9?р и /«->/ в 9?р (ибо сходимость
fn-**f п. в. не следует автоматически из сходимости подпоследо-
подпоследовательности). Пусть задано произвольное г > 0. Так как (fn) —
последовательность Коши, найдется такое /г0, что при m, n > По
\\fn-L\\Pp=\\fn-UPdii<e.
Возьмем m = пи и применим лемму Фату 2.4.10. Получим, что
при п > по
Следовательно, \п — \^5?р, а потому \^3?р и Нт||/Л— / ||р = 0.
D
Большую роль играют множества функций, плотные в 2?р,
поэтому полезно знать некоторые из них.

2.6. Некоторые прилоэюения 69
2.5.6. Теорема. Пусть Q — открытое множество в Rn и \х — мера
Лебега. При 1 ^ р < оо в S?P(Q) плотны следующие множества:
(i) множество интегрируемых простых функций',
(И) множество ^о°(й) функций из (iFoo(Q) с компактным носи-
носителем, содержащимся внутри п.
Тот факт, что некоторые элементы пространства 3?р являются
совершенно дикими функциями (например, функция из примера
2.4.7), может заставить усомниться в пригодности этих пространств
для приложений, где обычно требуется непрерывное решение.
Иногда действительно приходится довольствоваться решением из
3?р, однако чаще, после того как такое решение найдено, удается
независимо доказать его непрерывность. В дальнейшем мы встре-
встретимся с несколькими примерами подобных рассуждений. Суть
в том, что стратегия использования 5?р и последующего доказа-
доказательства непрерывности имеет важные технические преимущества
по сравнению с методами, в которых все рассуждения проводятся
с непрерывными функциями.
2.6. Некоторые приложения
Сейчас мы приведем разного рода результаты, которые допускают
наиболее естественную формулировку в 3?р. Все рассматриваемые
здесь функции определены в Rn и комплекснозначны.
Многие результаты, касающиеся разложения функций по ка-
каким-то стандартным функциям, наиболее четко формулируются
в 2*2- Например, многие известные ряды по ортонормированным
функциям сходятся по норме к функции из S?2(a,b)> в то время
как для ^([а,6]) подобный результат имеет место только при
дополнительных предположениях. Подробнее мы будем говорить
об этом в гл. 10, где весьма общие разложения будут получены
при помощи спектральной теоремы для самосопряженных опера-
операторов. Здесь в качестве примера дадим формулировку в 3?2 изве-
известной теоремы о преобразовании Фурье.
2.6.1. Теорема. Пусть f e S?2{Rn) и Q — ограниченный куб в Rn
с центром в начале координат. Положим
B.6.1)
где 1-х — скалярное произведение в Rn. /Тогда /а при Q->Rn
стремится в 2?2{Rn) к некоторой функции /, называемой преобра-
преобразованием Фурье функции /; кроме того, ||/||2 =||/||2 {формула
Парсеваля) и (/,§¦) = (/, g) (формула Планшереля).

70 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства J?p
Имеет место формула обращения (где предел понимается
в том же смысле)
/(*)= Hm Bn)-nl2\e-*'*f(t)dt.
Конечно, если f^3?\(Rn) вместо 2f2(Rn), то для определе-
определения / предельный переход не нужен и интеграл в B.6.1) берется
сразу по всему Rn. Однако для справедливости формулы обраще-
обращения понадобятся дополнительные условия на /.
С преобразованием Фурье тесно связано понятие свертки двух
функций. Эту связь устанавливает теорема 2.6.5, но сначала при-
приведем определение и некоторые свойства свёртки.
2.6.2. Определение. Свёртка / * g функций /, g формально опре-
определяется равенством
f*g(x)= \ f(x-y)g(y)dy.
2.6.3. Теорема. Если fe^,(R") и gs=3?p{Rn) (где р>1), то
Доказательство. Применим следствие 2.5.4 (неравенство Юнга)
2.6.4. Теорема. Пусть k — неотрицательное целое число или оо
и / е= ^о (R*) (см. определение 1.3.23). Если g6^0C(Rfl) при
некотором р^1, то f^g^cS>k(Rn) и в определяющем свёртку
равенстве допустимы k дифференцирований под знаком интеграла.
Доказательство. Непосредственное применение теоремы 2.4.16
дает требуемый результат. []
2.6.5. Теорема. Предположим, что [6^i(Rn), geS^R"). Тогда
f7}=Bn)nl2f-g п. в. Если вдобавок AE^fR"), то (f*g9h) =
Часто функции из &р желательно аппроксимировать гладкими
функциями. Аппроксимации строят обычно при помощи свёртки.
2.6.6. Определение. Пусть 5@, г) — замкнутый шар в R" с центром
в 0 и радиусом 8. Пусть /е — произвольная неотрицательная непре-
непрерывная функция с носителем в 5@, е), для которой \ je(x)dx = 1.
Семейство {/е}е>о называется аппроксимативной единицей. Если
к тому же /ee<g?0o(Rrt), то функцию /е называют сглаживателем.

Задачи 71
2.6.7. Пример. Существование сглаживателей не вполне оче-
очевидно, поэтому рассмотрим следующий пример. Положим
-1/(ва-|*р)] при |*|<в,
при |*|>в.
Функций ke постоянна на каждой сфере |л:|= г, и, как легко про*
верить, dnke/drn экспоненциально стремится к 0 при г-+&—. Зна*
чит, ke^<Sf(SO(Rn), и можно взять /8 *=± ke/\\kB\\\.
2.6.8. Теорема. Предположим, что g&2?p{Rn) при некотором р,
1 ^ р < оо. Если {/8}—аппроксимативная единица, то je*g-*g
в 3?p(Rn) при 8->0. Если вдобавок /е — сглаживатель, то je
R)
Задачи
2.1. Пусть Р7 — некоторая ff-алгебра. Докажите, Что
(i) если Si, S2 e 9 и S2 a Su то S{ \S2e= 9>\
(ii) счетные пересечения множеств из ^ лежат в 9.
2.2. Пусть (X, 9*, |х) — пространство с мерой. Докажите, что
(i) если Si, S2^^, SzCiSi и \i(S2) < оо, то p,(Si \ S2) — |i(Si) — |iE2);
(ii) если S/z^S (т. е. 5/с:5/И при всех t и 5 = US»), 5/, Sg^, to
jj,(Si) /^piE). [Указание: рассмотрите Г/ *= 5/ \ 5/_ь]
(Hi) Если 5/\5 (т. е. S/=)S/+i и 5= f)S/)f S/, 5е^и p,(Si) < оо, то
\i(Si) \ \i(S). На примере 5/ = [/, оо) cz R покажите, что условие \i(Si) < оо
не является излишним.
2.3. Покажите, что подмножество Rn измеримо по Борелю тогда и только тогда,
когда этим свойством обладает его пересечение с каждым замкнутым множе*
ством.
2.4. Покажите, что всякая монотонная функция на R измерима по Борелю.
2.5. Пусть f: X-+U. Положим S± «= {х: f(x)=±oo} и f{(x) = f(x) при х ф.
0 5+ U S_, fi(x) = 0 при xg5+ U S_. Тогда f измерима в том и только в том
случае, если S± ^ 9 и f\ —измеримая функция.
2.6. Пусть X = [О, Ь), где не исключен случай Ь — оо. Предположим, что / не-
неотрицательна и интегрируема по Риману на [0, а] при всех а «< Ь. Пусть
О
Докажите, что если существует предел / = lim /а, то f интегрируема по Ле-
бегу на X и интеграл равен /.
2.7. Пусть (fn)— монотонно возрастающая последовательность R значных
функций и \ fi d\x > — оо. Используя теорему о монотонной сходимости 2.4.8,
докажите, что lim \ fп d\i = \ lim frt г?|х. Покажите путем построения контрпри-
контрпримера, что условие \fld\i> — oo опустить нельзя.

72 Гл. 2. Интегрирование по Лебегу и пространства Jzfp
2.8. Выведите из теоремы о монотонной сходимости лемму Фату 2.4.10. Докажите
аналогичный результат для верхних пределов, откуда будет следовать теорема
о мажорированной сходимости.
2.9. (i) Рассмотрите на отрезке [0, 1] функции (а) пх/(\ + п2х2) и (Ь) п^2х/(\ +
1
п2х2). Покажите, что в обоих случаях lim \ fnW dx = 0.
п J
о
(И) Докажите следующее соотношение (которое понадобится при рассмо-
рассмотрении гамма-функции):
П оо
lim [ A — x/n)nxa~l dx= [ e~xxa~l dx (а > 0).
п j J
о о
2.10. Пусть (fn)—последовательность вещественных функций, интегрируемых по
Лебегу. Покажите, что если J) \ | М*) I ^* < °°> то ряд ? fn{x) сходится
при почти всех х к интегрируемой по Лебегу функции и допустима перемена по-
порядка суммирования и интегрирования, т. е.
2.11. Положим v(x) = 0 при x < 0 и v(*) = 1 при x ^ 0. Пусть v — соответ-
соответствующая мера Лебега — Стильтьеса (пример 2.2.15). Покажите, что если функ-
функция f: R -> R непрерывна, то \ fdv = f(O).
2.12. Дифференцированием соотношения
оо
докажите, что \ хпе~х dx = nl
о
о
2.13. Покажите, что если функция f: [0, 1] -> R измерима по Лебегу и
1
\ | f (х) | dx = 0, то f = 0 п. в. [Указание; рассмотрите множества
о
Sn = {x: \f(x)\^n~1}, S = {x:\f(x)\=?0] (ясно, что 5 = U Sn) и интегралы
от f по ним.]
2.14. Рассмотрите интегралы функций (х2 — У2I{х2 + у2) и A—ху)"а по квад-
квадрату 0 ^ х, у ^ 1 и выясните, законна или нет перемена порядка интегриро-
интегрирования.
2.15. Допустим, что f измерима. Докажите, что f e 3?v тогда и только тогда,
когда |/| е SB р. Кроме того, покажите, что если g^3?v и |/| ^ |^| п. в., то
2.16. Проведите доказательство теоремы 2.5.6, (ii), опираясь на теорему 2.6.8.

Глава 3
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
3.1. Введение
Теперь, когда в нашем распоряжении имеется подходящий набор
конкретных банаховых пространств, можно приступить к изложе-
изложению абстрактной теории операторов на этих пространствах, ко-
которая поможет решать уравнения, встречающиеся в приложениях.
Большое число таких уравнений допускает запись в виде Af = g,
где Л—отображение одного банахова пространства в другое,
и если это Л в некотором смысле хорошо себя ведет, то, исполь-
используя структуру этих пространств и, в частности, их полноту, можно
многое узнать о решении.
Лучше всего теория операторов отвечает на вопросы качествен-
качественного характера и вопросы, касающиеся общих приближенных ме-
методов решения уравнений. Вот некоторые из самых важных во-
вопросов:
(i) Имеет ли решение данное уравнение, и если да, то един-
единственно ли оно?
(и) Устойчиво ли данное уравнение в том смысле, что малое
изменение „входа" g влечет за собой малое изменение „вы-
„выхода" /?
(iii) Если уравнение линейно, нельзя ли перенести на него
методы теории линейных операторов для конечномерного случая?
В частности, нельзя ли разумным образом определить обратный
линейный оператор Л и хорошо ли он себя ведет?
(iv) Если существует оператор Ло, в каком-то смысле аппрок-
аппроксимирующий Л, будет ли решение /0 уравнения Aofo = g хорошим
приближением к решению уравнения Af = g?
(v) В случае дифференциального или интегрального уравнения
будет ли численное решение, полученное каким-то конкретным
методом, близко к точному решению и как оценить погрешность?
(vi) Существуют ли эффективные итерационные методы, поз-
позволяющие последовательно улучшать выбранное тем или иным
способом начальное приближение?
(vii) В конечномерном случае диагонализация эрмитовых мат-
матриц приводит к простому и прозрачному описанию полезного
класса операторов. Существует ли аналог этого класса для слу-
случая, скажем, линейных дифференциальных уравнений?

74 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
(viii) Дифференциальное уравнение /// + А,/ = 0 с граничными
условиями /@) =/(я) = О имеет набор решений {sinnx}, отве-
отвечающих % — п2у л=1, 2, ... . Широкий класс функций допускает
представление в виде линейной комбинации этих решений, и такое
представление в виде рядов Фурье часто оказывается очень по-
полезным. Существуют ли соответствующие обобщения на другие
дифференциальные уравнения и уравнения иных типов?
Желание ответить на эти вопросы во многом повлияло на вы-
выбор тем для последующего изложения. В этой главе мы заклады-
закладываем фундамент теории линейных операторов, на котором в даль-
дальнейшем будет строиться изучение как линейных, так и нелиней-
нелинейных уравнений.
Содержание этой главы таково. В § 3.2 вводится основная тер-
терминология. В § 3.3 начинается обсуждение линейных операторов.
Мы выясняем возможности обобщения ключевых результатов ко-
конечномерной теории и приходим к выводу, что для успешного
обобщения нельзя пренебрегать аналитической стороной дела.
Значит, на пространства и операторы следует наложить дальней-
дальнейшие ограничения. Самое простое и, вероятно, самое полезное из
них — это условие, чтобы оператор был непрерывным отображе-
отображением банаховых пространств. Непрерывные линейные операторы
вводятся в § 3.4, а в § 3.5 устанавливаются их основные свойства.
В § 3.6 нам удается наконец подступиться к проблеме действи-
действительного построения решений и, в частности, нахождения обрат-
обратного оператора. Исследование основано на методе последователь-
последовательных приближений, или, что то же самое, на рассмотрении ряда
Неймана. Полученные результаты применяются к некоторым
стандартным задачам. Изучение свойств обратных операторов
естественным путем приводит к элементарной спектральной тео-
теории, которая обсуждается в § 3.7. В заключительном параграфе
вводится более слабое понятие замкнутого оператора, позволяю-
позволяющее работать с дифференциальными операторами, ибо дифферен-
дифференциальные операторы не обладают свойством непрерывности на
рассмотренных до сих пор банаховых пространствах.
3.2. Основная терминология теории операторов
Пусть Т и Ж — векторные пространства. Пусть А — отображение,
определенное на некотором подмножестве D(A)czT и сопостав-
сопоставляющее каждому элементу f^D(A) единственный элемент
Д/gF (на первых порах D(A) будет обычно совпадать со
всем Т).
3.2.1. Определение. Указанное выше множество D(A) (которое
иногда обозначается просто D, если рассматривается всего одно
отображение) называется областью определения отображения Л.

3.2. Основная терминология теории операторов
Для всякого элемента /ей(Л) элемент Л/ называется образом /.
Аналогично образ множества SczD(A) — это множество образов
всех его элементов. В частности, образ множества D(A) назы-
называется множеством значений отображения А и обозначается R(A).
Прообразом множества S\CiW называется множество Л-1^):»
{ff(AAf}
3.2.2. Определение. Описанное выше отображение Л называется
оператором (или функцией) из Т в Ж. Запись Л: S^-Ж означает,
что Л — оператор с областью определения 5 и множеством значе-
значений, содержащимся bF. В таком случае мы будем говорить, что Л
отображает S в Ж.
В связи с этими определениями обратим внимание на следую-
следующие моменты. Во-первых, оператор всегда однозначен, в том смыс-
смысле что каждому элементу области определения он сопоставляет
точно один элемент множества значений. Во-вторых, когда гово-
говорится, что Л — оператор из F в F, допускается возможность, что
D(A) — собственное подмножество Т. В противоположность этому
запись Л: Y->Ж всегда означает, что D(A) = T. Наконец, хотя
и нет строгого различия между ,,оператором" и „функцией",
обычно о функциях говорят тогда, когда Т и Ж конечномерны, а
в остальных случаях употребляют термин „оператор". Один важ-
важный тип операторов имеет специальное название.
3.2.3. Определение. Пусть Т — комплексное (соотв. вещественное)
векторное пространство hF = C (соотв. УР = R). В таком случае
операторы из Т в Ж называются функционалами.
3.2.4. Пример. Проиллюстрируем введенные понятия на примере
пространства ^([0, 1]). Рассмотрим операцию обычного дифферен-
дифференцирования. Поскольку не все непрерывные функции дифференци-
дифференцируемы, мы ограничимся сначала только очень гладкими функциями,
скажем из W°°( [0, 1]). Для /е^°°( [0, 1]) положим Af(x) = /'(*).
Ясно, что правая часть непрерывна для всех таких /, и если счи-
считать, что Af(x) обозначает значение в точке х функции Л/, то напи-
написанное выше соотношение, которое по предположению имеет место
для всех /^^([О, 1]), определяет оператор из ^([0, 1]) в себя
с областью определения ^°°([0, 1]). Таким образом, мы можем
написать Л: «*»([0, 1])-*«Ч[0, 1]).
Конечно, дифференцирование имеет смысл в большем простран-
пространстве ®71 ([0, 1 ]), и можно определить другой оператор, скажем А,
положив Af(x) = f(x) для f «^^([О, 1]). Хотя Af = Af при
[еВ(Д), мы считаем Л и А разными операторами, ибо й{А)Ф
D(A). Отождествляются только такие операторы, у которых совпа-
совпадают и значения, и области определения. Оператор А рассматри-
рассматривается как продолжение, или „расширение", оператора Л.

76 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
3.2.5. Определение. Пусть А и А— операторы из Т в Ж. Они на-
называются равными, если D(A) = D(A) и Af = Af при всех f ^ D(A).
Оператор А называется расширением (или продолжением) А
(запись: Леи Л), а оператор А — сужением Л, если D(A)zdD(A)
и Af = Af для всех f^D(A). Расширение называется собствен-
собственным, если Б(А)Ф D(А).
Первая грубая классификация операторов, полезная при рас-
рассмотрении операторных уравнений вида Af = g, такова.
3.2.6. Определение. Оператор А из Т в Ж называется: инъектив-
ным, если для каждого g^R(A) имеется точно одно [еО(Л),
такое что Af = g; сюръективным, если R(А) = Ж (в таком случае
мы говорим, что А отображает D(A) на Ж)\ биективным, если он
одновременно инъективен и сюръективен.
3.2.7. Примеры. Рассмотрим следующие функции (операторы)
ф: R-^R:
(i) ф(л:)= sin а:. Здесь 7?(ф) = [—1, 1] — собственное подмноже-
подмножество в R. Следовательно, ф не сюръективна. Она и не инъективна,
так как 0 = ф@)= ф(я) = ....
(и) ц(х) = х(х2—1). Здесь R(ф) = R, поэтому ф сюръективна,
однако она не инъективна, так как точки —1, 0, 1 все перехо-
переходят в 0.
(iii) cp(x) = thx. Здесь R(cp) = (—1,1), и ф не сюръективна.
Однако она инъективна, так как уравнение thx = a (aG(-l, 1))
имеет единственное вещественное решение.
(iv) ф(х) = хъ. Очевидно, что ф биективна.
Самым употребительным классом операторов как в линейной,
так и в нелинейной теориях являются непрерывные операторы.
Следующее определение есть прямое обобщение определения 1.3.5
непрерывности комплекснозначной функции.
3.2.8. Определение. Пусть Т и Ж — нормированные векторные про-
пространства и А—оператор из У в Ж. Он называется непрерывным
в точке fo&D(A), если выполнено одно из следующих двух рав-
равносильных условий:
(i) для всякого е > 0 найдется такое б > 0, что \\Af — Л/о||< е,
если f^D(A) и||/ —/оИ<в;
(ii) для всякой последовательности (fn) в D(A), имеющей пре-
предел fo, выполнено равенство lim Afn = Л/о-
Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в
каждой точке D(A).
3.2.9. Лемма. Оператор Л, о котором говорится в предыдущем оп-
определении, непрерывен тогда и только тогда, когда прообраз каж«
дого открытого множества из Ж открыт в D(A).

3.3. Некоторые алгебраические свойства линейных операторов 77
Доказательство. Предположим сначала, что Л непрерывен, и пока-
покажем, что если Sczjf открыто, то A~l(S) открыто в D(A). Если
Л E) пусто, оно открыто, поэтому будем считать, что Л-1 E)
непусто, и пусть f0 — какая-нибудь его точка. Тогда Л/Ое5 и, так
как 5 открыто, найдется открытый шар 5(Л/0, e)aS. По опреде-
определению непрерывности существует такое б > 0, что для открытого
в D(A) множества U = {/: f e D(A), \\f — foil < 6} справедливо
включение Л (U)<zz 5(Л/0, е). Следовательно, A(U)czS и U d
A~l(S). Так как fo — произвольная точка Л-1 E), отсюда вытекает,
что A~l(S) открыто в D(A).
Теперь докажем обратное утверждение. Пусть для всякого от-
открытого SaW9 его прообраз Л E) открыт в D(A). Тогда для
каждого /о е D (Л) и любого е > О прообраз Л (S (Л/о, е)) откры-
открытого шара 5 (Л/о, е) открыт в D(A). Значит, для некоторого 6>0
множество U = {f: f<=D(A), \\f — /oll<6} содержится в этом про-
прообразе, откуда Л (U)cz 5(Л/0, г). Тем самым выполнено условие
(i) определения 3.2.8, и непрерывность в f0 установлена. []
3.3. Некоторые алгебраические свойства линейных операторов
Линейный оператор —это многомерный аналог функции одной пе-
переменной, графиком которой служит прямая, проходящая через
начало координат, т. е. функции ф: R -> R, удовлетворяющей усло-
условию ц)(х)= %х для некоторого X е R. В конечномерном случае, для
которого теория линейных уравнений разработана очень хорошо,
интересы исследователей в настоящее время почти полностью со-
сосредоточены на нелинейных уравнениях. Иначе обстоит дело в бес-
бесконечномерном случае. Хотя и здесь линейные уравнения гораздо
лучше поддаются изучению, чем нелинейные, дополнительные про-
проблемы, возникающие в связи с бесконечномерностыо, могут ока-
оказаться весьма трудными. До конца этой главы мы будем занимать-
заниматься только линейными операторами. Сначала обсудим их алгебраи-
алгебраические свойства и проведем предварительное исследование опера-
операторного уравнения Ц = g. Затем пересмотрим некоторую часть
стандартной конечномерной теории, с тем чтобы установить, какие
пути исследований могут оказаться плодотворными в бесконечно-
бесконечномерном случае.
3.3.1. Определение. Пусть Т и W — векторные пространства и
D(L) — линейное подпространство в Т. Оператор L из Т в Ж с об-
областью определения D(L) называется линейным, если для всех
а,реС (или R в случае вещественных Т и W)| и всех /, g &D(L)
(Условие, что D(L)—линейное подпространство, очевидно, необхо-
необходимо, иначе определение не имеет смысла; заметим, что R(L) —
тоже линейное подпространство.)

78 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
Многие и весьма разнообразные уравнения представимы в виде
Ц = g, где L — линейный оператор. Приведем несколько приме-
примеров.
3.3.2. Пример. Пусть задана система уравнений
п
E<*//// = g/» '" = 1> •••> т> C.3.1)
положим
п
Тогда L: C"-^Cm— линейный оператор, и система C.3.1) прини-
принимает вид Ц = g. Обратно, любой линейный оператор О-^Ст
можно представить в указанном выше виде, выбрав базисы в Сп
и Ст. Систему C.3.1) можно записать и в матричной форме, од-
однако заметим, что следует различать матрицу, зависящую от вы-
выбранного базиса, и оператор L, который от выбора базиса не за-
зависит.
3.3.3. Пример. Напрашивается обобщение предыдущего примера на
бесконечную систему. Рассуждая пока формально, рассмотрим со-
соотношение
(Lf)i=t<*nfi, /=1,2, ..., C.3.2)
где ац — элементы заданного набора комплексных чисел, который
можно представлять себе как бесконечную матрицу. Можно попы-
попытаться рассмотреть L как оператор из пространства последователь-
последовательностей / в себя, однако в противоположность предыдущему при-
примеру сумма в правой части имеет смысл только для некоторого
подмножества пространства /, зависящего от поведения ац при
j-^oo. Если взять в качестве области определения L это подмно-
подмножество, соотношение C.3.2) действительно определяет линейный
оператор из / в себя.
3.3.4. Пример. Теперь рассмотрим операторы на пространствах
функций. Один из простейших примеров — это умножение на за-
заданную функцию т, т. е. оператор L определен требованием, чтобы
для всех / из некоторого пространства У имело место равенство
Lf(x) = %(x)f(x). Если т непрерывна, то в качестве Т естественно
взять ^([0, 1]) или «2^@, 1). Тогда L — линейный оператор, ото-
отображающий каждое из этих пространств в себя.
3.3.5. Пример. В приложениях особенно важную роль играют диф-
дифференциальные и интегральные уравнения. Сейчас мы покажем,

3.3. Некоторые алгебраические свойства линейных операторов 79
как приводятся к операторной форме такие уравнения. Рассмотрим
сначала интегральное уравнение Фредгольма
1
f(x)-\k(x,y)f(y)dy=g(x), 0<х<1, C.3.3)
О
где k и g— заданные функции, а / — неизвестная функция. Для
простоты предположим, что k и g— непрерывные комплекснознач-
ные функции. Определим интегральный оператор К соотношением
1
Kf(x)=\k(x,y)f(y)dy
о
для всех /е?Р([0, 1]). Так как Щ — непрерывная функция (по
теореме 2.4.15), то К — линейный оператор из ^([0,1]) в себя,
и исходное интегральное уравнение C.3.3) можно записать в виде
f-Kf = g.
3.3.6. Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение
где по, аи fl2^C и g — данная непрерывная функция. Для того
чтобы левая часть имела смысл, / должна быть достаточно глад*-
кой. Поскольку g непрерывна, естественно взять в качестве об-
области определения искомого оператора ^2([0, 1]) и задать L в этой
области соотношением
Конечно, функция Lf не обязательно дифференцируема, поэтому
L — линейный оператор ^2([0, l])->-<g7([0, 1]). Дифференциальное
уравнение принимает вид Lf = g.
Первый шаг при попытке решить операторное уравнение Lf = g
подсказан тактикой, применяемой в теории матриц: пробуют опре-
определить обратный оператор Z/-1. Ясно, что решение / существует для
всякого g^R(L). Если оно единственно, что имеет место тогда и
только тогда, когда L инъективен, то соотношение / = L~lg опре-
определяет оператор Lrx с D(L~l) = R(L). Легко показать, что L~l —
линейный оператор из W в Т. Однако R{L), вообще говоря, не
совпадает со всем Ж — это отражает тот факт, что Lf = g имеет
решение не при всех g e Ж. Ситуация была бы гораздо лучше,
если бы R(L) = 7fy ибо это означало бы, что Lf = g имеет един-
единственное решение при всех g ^Ж. Перечислим возможности, ко-
которые могут представиться.
(i) L не инъективен. Никакая разумная интерпретация L~l как
оператора в смысле определения 3.2.2 невозможна. Уравнение
Lf = g при любом g^R(L) имеет более чем одно решение.

80 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
(ii) L инъективен, но не сюръективен. L~l есть линейный опера-
оператор с областью определения R(L). Уравнение Lf = g имеет точно
одно решение при g^R(L) и не имеет решений при g^R(L).
(Ill) L биективен. Lrx есть линейный оператор с областью оп-
определения Ж, и уравнение Lf = g имеет точно одно решение при
каждом g (=Ж.
Одна из главных целей теории — установить удобные критерии,
позволяющие определить, когда реализуется последний, самый
удачный случай. Есть надежда, что их источником может послу-
послужить конечномерная теория. Поэтому введем теперь некоторые из
основных понятий, помогающих выявить аналогию.
3.3.7. Определение. Пусть L— линейный оператор из Y в Ж. Бу-
Будем говорить, что L имеет обратный или что существует обратный
к L, если L инъективен. При этом под обратным понимается опе-
оператор с областью определения R(L) и множеством значений D(L),
заданный соотношением / = L~lg, где Lf = g.
3.3.8. Определение. Тождественный оператор, обозначаемый всегда
через /, есть оператор из Т в себя, такой что // = / при всех [gF.
3.3.9. Определение. Пусть L — линейный оператор из Т в Ж. Мно-
Множество N(L)czD(L) решений уравнения Lf = 0 называется нуль-
пространством (или ядром) оператора L. (Очевидно, что N(L) —
линейное подпространство, причем N(L) = 0 тогда и только тогда,
когда L инъективен.)
Теперь мы временно сосредоточим внимание на самом важном
случае У0 — УР. Имеет место следующий простой результат об об-
обратном операторе.
3.3.10. Лемма. Пусть L: Т-^Т — линейный оператор. Тогда:
A) если L~l существует и его область определения есть У, то
L-lL = LL-X = /;
(ii) если существуют линейные операторы Л, В: Т-*У, такие
что AL = LB = /, то L биективен и А = В = L~l.
Эта лемма малоприменима, поскольку трудно установить су-
существование таких Л и Б. В конечномерном случае стандартный
метод исследования уравнения Lf = g начинается с изучения нуль-
пространства. Доказательство следующего результата по существу
сводится к проверке того, что инъективный оператор сохраняет
размерность (см. Халмош [1948]).
3.3.11. Теорема. Пусть Т конечномерно и L: Т-^Т— линейный
оператор. Тогда следующие условия равносильны:
(i) L биективен]

3-4- Непрерывность и ограниченность 81
(и) N(L) = 0, или, что то же самое, L инъективен\
(iii) L сюръективен.
Итак, если N(L)= О, то L-1 определен на всём Т, т. е. реали-
реализуется наилучшая возможность, и уравнение Ц = g имеет един-
единственное решение при каждом gef. Для того чтобы выполнялось
равенство N(L) = 0, достаточно, чтобы был отличен от нуля опре-
определитель матрицы, представляющей L. К сожалению, как показы-
показывает следующий пример, в бесконечномерном случае условие
N(L) = 0 не является достаточным.
3.3.12. Пример. Пусть L: ^([0, 1])->^([0, 1]) —оператор, опреде-
определенный формулой
Л,
Lf(x)=\f(t)dt,
Ясно, что L/@)=0 для всех /е^([0, 1]). Следовательно, R(L)
есть собственное подмножество в ^([0, 1]) и L не сюръективен.
Однако iV(L) = 0, ибо, как показывает дифференцирование, един-
единственным непрерывным решением уравнения Ц = 0 является / = 0.
Значит, из условия (ii) теоремы 3.3.11 не следует ни (ш), ни (i).
Неудача с теоремой 3.3.11 служит предостережением о том, что
стандартные результаты об обратных для конечномерного случая
не переносятся непосредственно на бесконечномерный. В свете той
важной роли, которую в бесконечномерном случае играют анали-
аналитические соображения, естественно ожидать, что дальнейшего про-
прогресса в теории линейных операторов нельзя добиться, оставаясь
в рамках чисто алгебраического подхода. И действительно, обоб-
обобщение конечномерных результатов достигается только при помощи
сложной и интересной теории, в которой ведущая роль принадле-
принадлежит анализу. Изложение некоторых, наиболее важных частей этой
теории и будет теперь нашим главным занятием.
3.4. Непрерывность и ограниченность
Теория линейных операторов в бесконечномерных пространствах
сталкивается в основном с трудностями двух видов. Первые свя-
связаны с непрерывностью: если в конечномерных нормированных
пространствах линейные операторы всегда непрерывны, то в беско-
бесконечномерных пространствах это уже не так. Вторые проистекают
из сложности аналитических свойств самих рассматриваемых про-
пространств.
Простейшие операторы, для которых достигнут значительный
прогресс, — это операторы, имеющие областью определения бана-
банахово пространство и к тому же непрерывные. Поскольку такие

82 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
операторы, кроме того, часто встречаются в приложениях, есте-
естественно начать с подробного изучения их свойств.
Прежде всего заметим, что наличие линейности существенно
упрощает рассмотрение свойств непрерывности. Нелинейная функ-
функция даже одной вещественной переменной может быть непрерыв-
непрерывной на одних участках своей области определения и разрывной на
других. Вдобавок ее градиент может обращаться в бесконечность,
даже если сама функция непрерывна. Линейность исключает обе
эти возможности даже и в бесконечномерном случае. Далее $ и *??,
как обычно, обозначают банаховы пространства.
3.4.1. Лемма. Пусть L — линейный оператор из $ в <&. Если L не-
непрерывен в некоторой точке f^D(L), то он непрерывен.
Доказательство. Для всякой последовательности (/„) в D(L) с пре-
пределом / имеем Lfn-^Lf. Пусть (gn)— некоторая последовательность
в D(L) с пределом g. Тогда gn — g + f-^f и, значит, L(gn — g +
+ /)->¦ L/, откуда Lgn — Lg + Lf-+ Lf, т. е. Lgn-+ Lg. Q
ЗА 2. Определение. Линейный оператор L из $ в *$? называется
ограниченным на D(L), если существует такое (конечное) число
т, что
IIL/1| < т||/||, f<=D(L). C.4.1)
(Из контекста ясно, что здесь стоят нормы соответственно в <&
и ^, и указывать это в обозначениях нет необходимости.) Если
вдобавок D(L) = &, то L называется просто ограниченным. Если
L не ограничен на D(L), он называется неограниченным.
Нижняя грань всех чисел т, для которых выполнено C.4.1),
обозначается ||L|| и называется операторной нормой !) L. Равно-
Равносильное определение ||L|| таково:
||L||= sup (|| Lf ||/||/||)= sup \\Lf\\.
fe=D(L)t !ФО fD(L) ||f|Il
Заметим, что ||L/||^||L||||/||, и для сравнения вспомним, что если
ф: R-^R — линейная функция, ц>(х) = Кх, то | ф (jc) | = | Xjc | =
|А,||*|. Здесь \Х\ есть мера „крутизны" ф, и по аналогии можно
представлять себе норму оператора L как меру его максимальной
крутизны.
3.4.3. Теорема. Линейный оператор L из $ в <& ограничен на D(L)
тогда и только тогда, когда он непрерывен.
Доказательство. Пусть L ограничен. Тогда, согласно C.4.1), если
/я->0, то L/rt->-0, и, следовательно, L непрерывен в нуле. Значит,
он непрерывен (по лемме 3.4.1). С другой стороны, если L неогра-
!> В следующем параграфе будет показано, что слово „норма" употреблено
в смысле, согласованном с определением 1.3.2.

3-4- Непрерывность и ограниченность 83
ничен, то найдется такая последовательность gn, что ап =
\\Lgn\\/\\gn\\-+оо. Положим fn = gn/{an\\gn\\)\ тогда \\fn\\ = anl->0
и \\Lfn\\ = 1. Так как L0 = 0, то L не непрерывен в нуле и, сле-
следовательно, не непрерывен. []
Пока что мы будем в основном заниматься непрерывными опе-
операторами, определенными на всём банаховом пространстве $. Од-
Однако иногда бывает удобно задать оператор сначала на каком-то
подмножестве ^f, и тогда возникает вопрос: допускает ли оператор,
непрерывный на D(L), продолжение, непрерывное на всём J?? Как
показывает следующий результат, это действительно так, когда
исходная область определения плотна в $. (Рассуждение, исполь-
используемое в приводимом ниже доказательстве, интересно и само по
себе как пример часто применяемого метода, называемого ,,продол-
,,продолжением (или расширением) по непрерывности".)
3.4.4. Теорема. Пусть $ и Ч?— банаховы пространства и L — линей-
линейный оператор из $ в Ч? с областью определения, плотной в 3&. Если
L непрерывен на D(L), то он имеет единственное непрерывное
продолжение — обозначим его L — на всё пространство $ и норма
L равна норме L.
Доказательство. Так как D(L) = $, то для каждого / из 3& най-
найдется такая последовательность (fn) в D(L), что lim fn = f. По-
Поскольку (fn) сходится, она является последовательностью Коши.
Значит, для любого заданного г > 0 найдется такое по, что
II/я —/mil < e/IILH при т, п ^ п0. Тогда при т, п ^ п0
\\Lfn - Lfm\\ = \\L(fn -fm)|K\\L\\Н/я-/«
Отсюда вытекает, что (Lfn) — последовательность Коши в 9, а так
как Ф полно, то существует элемент g^ff, такой что limL/я = g.
Легко проверить, что g не зависит от выбора последовательности
fn и, значит, продолжение ?: $-+4? можно определить формулой
Ц = g. Очевидно, что ? — линейный оператор. Кроме того, он ог-
ограничен, так как
Это соотношение показывает также, что ||L||^||L||, где ||?|| обо-
обозначает, конечно, норму L как оператора ^-><g7. С другой стороны,
Lf=Lf при f^D(L), поэтому заведомо ||?||^||L||. Стало быть,
\\Ц\\Ы\
Если L\, L2 — два продолжения, то для любой сходящейся по-
последовательности (fn) в D(L) с пределом /
Lxf = lim LJn = lim Lfn = lim L2fn = Z2/,
откуда вытекает единственность. Q

84
Гл. 3. Основы теории линейных операторов
Те приятные последствия, которые влечет за собой предположе-
предположение о непрерывности, мы обсудим позднее. В следующих далее
примерах мы возвращаемся к конкретным операторам, рассмотрен-
рассмотренным в предыдущем параграфе, с тем чтобы, во-первых, установить
их непрерывность и, во-вторых, получить оценки операторной нор-
нормы— величины, очень важной для приложений. Следует заметить,
что если в конечномерном случае при выборе нормы можно руко-
руководствоваться одними только соображениями удобства вычислений,
поскольку все линейные операторы непрерывны, то в бесконечно-
бесконечномерном случае и само определение оператора, и уж, конечно, его
непрерывность всецело зависят от выбора пространства. Поэтому
при применении абстрактной теории к конкретным задачам этот
выбор имеет решающее значение. Разумеется, нужно стремиться
к тому, чтобы получился оператор, который хорошо себя ведет.
Кроме того, функции из рассматриваемого пространства должны
удовлетворять всем ограничениям (таким как, скажем, непрерыв-
непрерывность), диктуемым задачей. На практике достичь разумного равно-
равновесия между этими требованиями не всегда легко.
3.4.5. Пример. Системы алгебраических уравнений, и конечные, и
бесконечные (примеры 3.3.2 и 3.3.3), удобнее всего решать в про-
пространствах с /р-нормами. Рассмотрим оператор L: С^-^С", опреде-
определенный формулой
п
S
и предположим для начала, что Сп наделено нормой
ной формулой A.3.2). Тогда
о, задан-
задан= sup
Z
<*<///
< sup X
«//11 //1
} = m
т. На
где m = sup Xi I aij I- Из определения 3.4.2 следует, что
самом деле ||L|| = т. Чтобы в этом убедиться, достаточно найти /,
для которого ||L/||oo ^ m||/||oo. С этой целью выберем такое целое k,
п
что т= Y \akj\ (существование такого k вытекает из определения
т), и пусть / — единичный вектор с /-й координатой сёл//1 оьЛ/1.
Тогда
п п п
S
Yj
откуда и следует сделанное утверждение.

3.4- Непрерывность и ограниченность
85
При 1 < р < оо вычисление проводится так. Пусть q— сопря-
сопряженный индекс. Согласно неравенству Гёльдера 1.3.12,
Отсюда
\lq Г п
{Z
Uq
\/р
plq
и, следовательно,
SIS"»1*}
Это дает оценку для ||L||. Однако найти ||L|| в явном виде, как
в случае р = оо, обычно нелегко.
3.4.6. Пример. Приведем теперь бесконечномерный пример. Вер-
Вернемся к „бесконечной матрице" и положим формально
а/), =
C.4.2)
При отсутствии ограничений на рост ац при /-^оо трудно придать
какой-либо разумный смысл L как оператору на банаховом про-
пространстве. Чтобы показать, в чем тут трудность, разберемся, когда
L есть оператор /оо-^/оо. Для того чтобы правая часть C.4.2) была
конечной при всех / е /оо, необходимо, чтобы ? | alf | < оо. Однако
одно только это условие не гарантирует, что L/e/<x>, нужно еще
потребовать, чтобы т = sup X | ai} \ < оо. Тогда наверняка L:
/оо-Woo. На самом деле, поскольку ||L/||oo ^ /я||/Иоо, условие т < оо
позволяет вдобавок утверждать, что L ограничен. Следующая тео-
теорема дает достаточное условие ограниченности L при произволь-
произвольном р.
3.4.7. Теорема. Пусть р и q— сопряженные индексы. Положим
III«lib
sup E
Kp<oo,
| a HU =
sup

86 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
Если при некотором ру 1 ^ р ^ оо, величина |||а!||р конечна, то ли-
линейный оператор L: 1р-*-1р, заданный формулой C.4.2), ограничен
и Ш1^|||а|||р. В частном случае р = оо имеет место равенство:
Ш| ||||
Доказательство. Достаточно в примере 3.4.5 заменить п на оо. []
К этому можно добавить, что ||L|| = |||a|||i при р = 1 (см. при-
пример 6.5.4). При р Ф 1, оо найти точное значение операторной нормы
(что позволило бы получить необходимые условия ограниченности),
вообще говоря, нелегко. Некоторые другие критерии ограничен-
ограниченности приведены в задаче 3.4.
3.4.8. Пример. Рассмотрим теперь интегральный оператор К, опре-
определенный формально равенством
ъ
Kf{x)=\k{x,y)f{y)dy. C.4.3)
а
Если интервал [a, b] конечен, то уже при довольно слабых ограни-
ограничениях на k оператор К определен и непрерывен на W([ayb]) или
на пространствах 3?р. Если же интервал бесконечен, то, как и в
предыдущем примере, для того чтобы гарантировать конечность
интеграла, понадобится наложить ограничения на поведение
k(x,y) при больших у. Приведем для образца два результата, от-
отвечающих первому и второму случаю.
3.4.9. Теорема. Пусть а и Ъ конечны и ^([#,6]) наделено sup-нор-
sup-нормой. Предположим, что функция k: [а,Ь]Х[а,Ь]-+С непрерывна.
Тогда оператор /С: Ф([а, 6])-><?7([a, b]) ограничен и
ь
||/СII< sup \\k(x,y)\dy^(b-a) sup \k{x, y)\.
Доказательство. Раз / непрерывна, то и Щ непрерывна (теорема
2.4.15). Оценка для нормы получается из соотношений
k{x, y)\dy. ?
3.4.10. Теорема. Пусть k измерима и р, q — сопряженные индексы.
Положим
ь
III» = sup \\k{x,y)\dx,
yz=[a,b] J

3-4- Непрерывность и ограниченность 87
ъ
Если для некоторого р, 1 ^ р ^ оо, величина ||| & |||р конечна, то
оператор К: 2?Р{а,Ь)-*-2?р{а,Ь) ограничен и ||/(||<||| & |||р.
Доказательство. Повторяем доказательство из примера 3.4.5, при-
применяя неравенство Гёльдера не для сумм, а для интегралов (тео-
(теорема 2.5.3). ?
Как и в случае пространств /р, если р = 1 или р = оо, то
||/С||= ||| fe f||p - При всех остальных значениях р сформулированные
выше условия не являются необходимыми для ограниченности.
Другой признак ограниченности приводится в задаче 3.5; дальней-
дальнейшие результаты можно найти у Забрейко и др. [1968].
В обоих предыдущих примерах дело обстояло так, что если
множество значений оператора лежит в рассматриваемом банахо-
банаховом пространстве, то он оказывается ограниченным. Можно поду-
подумать, что так будет и в общем случае, однако можно построить
(хотя и не без труда) контрпример к этой гипотезе: линейный опе-
оператор $-*$ не обязательно ограничен. Неограниченность опера-
операторов, возникающих из дифференциальных уравнений, ставит не-
несколько иную проблему, более важную с точки зрения приложений.
3.4.11. Пример. Для иллюстрации этой проблемы достаточно рас-
рассмотреть простой оператор, определяемый формально равенством
Lf(x) = f (x), и выяснить, существует ли „разумное" пространство
3&, на котором L: $-+93 ограничен. Испытаем сначала ^([0, 1])
с sup-нормой и возьмем D (L) = W00 ([0, 1 ]). Для последовательности
(Mi где fn{x)= sinnnx, получим Lfn(x) = nncos nnx и ||?/л||/||/я|| =
пп. Значит, L не ограничен на этой области. Аналогичное рассуж-
рассуждение показывает, что L не ограничен на той же области и по нор-
нормам 3?р.
Ввиду особой важности дифференциальных уравнений для при-
приложений, отсутствие ограниченности приводит к серьезным пробле-
проблемам, решению которых было отдано много усилий. Укажем кратко
два способа обойти трудности. Первый состоит в том, чтобы вос-
воспользоваться пространством ^([0,1]) с нормой A.3.7). Действи-
Действительно, линейный оператор дифференцирования k-то порядка непре-
непрерывен как оператор из Ф*([0, 1]) в Ф([0, 1]). Правда, непосред-
непосредственно в таком виде, как он сформулирован выше, этот подход
довольно неудобен, однако его модификация с использованием

Гл. 3. Основы теории линейных операторов
определенных гильбертовых пространств составит основу нашего
изучения дифференциальных уравнений с частными производными
в гл. 11. Второй способ заключается в том, чтобы развить теорию
операторов, удовлетворяющих некоему условию, более слабому,
чем ограниченность. Эти так называемые замкнутые операторы бу-
будут введены в § 3.8.
В заключение этого параграфа определим некоторые классы
ограниченных операторов, которые понадобятся нам позднее. Пусть
$ и <$?— банаховы пространства, причем $ есть подмножество ^;
термин „подмножество" употреблен в теоретико-множественном
смысле, и нормы в $ и ?? могут быть разными. Итак, каждый эле-
элемент $ является в то же время элементом ^, и можно определить
линейный оператор L: &-+W соотношением Ц = f для всех /e^f,
где / справа и слева рассматривается соответственно как элемент
из $ и из ^.
3.4.12. Определение. Введенный выше оператор L: ffl-^ff назы-
называется вложением $ в <&.
Простой пример можно получить, взяв ^ = ^([0,1]) с sup-
нормой и в7 = ?Р 1 @, 1).
3.4.13. Определение. Пусть оператор A: &-+W (не обязательно ли-
линейный) удовлетворяет условию ||Л/|| = |1Л1 ПРН всех f^33- Тогда А
называется изометрией.
3.4.14. Определение. Пусть Т и Ж— векторные пространства. Опе-
Оператор L: Y -+Ж называется изоморфизмом, если он линеен и биек-
биективен.
3.4.15. Определение. Пусть Т и Ж— нормированные векторные про-
пространства. Оператор L: Т-+Ж, который одновременно является
изометрией и изоморфизмом, называется изометрическим изомор-
изоморфизмом. Если между пространствами Т ъЖ существует изометри-
изометрический изоморфизм, они называются изометрически изоморфными.
Два изометрически изоморфных банаховых пространства — это
в некотором смысле одно и то же пространство как с алгебраиче-
алгебраической, так и с аналитической точки зрения.
3.5. Некоторые фундаментальные свойства ограниченных операторов
Для того чтобы эффективно пользоваться условием ограниченности
линейных операторов, нужно познакомиться с некоторыми фунда-
фундаментальными теоретическими результатами. Их значение в полном
объеме, может быть, и не будет сразу понятно, но мотивировать
общее направление, на котором будут сосредоточены наши усилия,

3.5. Некоторые фундаментальные свойства огранич. операторов 89
можно уже сейчас, обратившись к уравнению Ц = g с ограничен-
ограниченным оператором L: ffl-^ff.
Если L биективен, то на ^ определен обратный L~l и уравнение
имеет решение L~]g при всех g&ff. Прежде всего возникает воп-
вопрос: устойчиво ли это решение относительно малых изменений пра-
правой части g? Если L~l ограничен, то решение устойчиво, ибо
ll/i — frlKII^-Mlllg'i — Ы при Lfi=gu Lf2 = g2- Однако, как от-
отмечено выше, ограниченность оператора не следует из одного
только факта, что он определен на всём банаховом пространстве.
То что L ограничен, вытекает из следующей теоремы, являющей*
ся одним из краеугольных камней теории операторов (мы приво-
приводим ее без доказательства (см., например, Фридман [1970,
с. 141 ] г>), которое сложно и основано на методах, несущественных
для нашего изложения):
3.5.1. Теорема об открытом отображении. Пусть $ и <& — банаховы
пространства и L: ffl-^ff— сюръективный ограниченный линейный
оператор. Тогда L переводит открытые множества из 38 в откры-
открытые множества в ??.
Теперь при помощи этой теоремы докажем ограниченность, или,
что равносильно, непрерывность, оператора L~l. Так как L биекти-
биективен, то по лемме 3.2.9 достаточно показать, что прообраз, скажем
?/, относительно Lrx произвольного открытого множества 5cj?
открыт. Но L биективен; поэтому U = (L~])~lS = LS. Отсюда,
ввиду непрерывности L, заключаем на основании теоремы об от-
открытом отображении, что U открыто, а значит, L~l непрерывен.
3.5.2. Определение. Говорят, что линейный оператор L из Л в ?
имеет ограниченный обратный, если L биективен, a L~l ограничен.
3.5.3. Теорема. Пусть $ и W — банаховы пространства и L: $-+<& —
ограниченный линейный оператор. Если L биективен, то он имеет
ограниченный обратный.
Хорошо известный формальный способ решения уравнения
Ц = g заключается в том, что решают уравнения Lnfn = g, где
Ln — операторы, в каком-то смысле аппроксимирующие L, а затем
показывают, что fn приближают искомое решение / и иногда еще
что Ln~l аппроксимируют Lrx. Возникает вопрос: как понимать
утверждение, что Ln есть аппроксимация L? Иными словами, тре-
требуется какая-то конструкция, позволяющая придать смысл поня-
понятию сходимости операторов. Имеется много возможных подходов
к этой проблеме. Один из них основан на превращении множества
ограниченных линейных операторов в банахово пространство и ис-
использовании аналитических свойств этого пространства.
Или Данфорд и Шварц [1958, с. 68].— Прим. перев.

90 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
Первым шагом в этом направлении будет введение на множе-
множестве линейных операторов структуры векторного пространства.
Пусть Ту Ж— векторные пространства, Lu L2: Т-+Ж— линейные
операторы иабС. Введем новые операторы L\ + L2, aL\, полагая
Нулевой оператор будем обозначать символом 0. Строго Говори,
нулевой оператор и нулевой вектор следовало бы обозначать раз-
разными символами, однако для упрощения записи этого обычно из-
избегают, поскольку из контекста всегда ясно, о чем идет речь. Оче-
бидно, что L\ + L2 н aL\ — линейные операторы У-+Ж, и множе-
множество линейных операторов Т-+Ж с указанными правилами дей-
действий становится векторным пространством.
Обозначим это пространство 3?(У, Ж). Пока это чисто алгеб-
алгебраический объект, однако нетрудно проверить, что если f и F —
нормированные пространства, то операторная норма (определение
3.4.2) действительно является нормой на 9?{Т, Ж).
3.5.4. Определение. Пусть 38 и Ч?— банаховы пространства. Нор-
Нормированное векторное пространство ограниченных линейных опе-
операторов из $ в Ф с операторной нормой обозначается gB&, Щ
(или S C3), когда ? = <&).
Утверждение, что L имеет ограниченный обратный (определе-
(определение 3.5.2), мы будем часто записывать сокращенно в виде
Ll&(WB)
3.5.5. Теорема. Если $ и ^ — банаховы пространства, то и
3? ($, *&*) — банахово пространство.
Доказательство. Убедиться, что 3? (&,%?) — нормированное про-
пространство, легко, и мы предоставляем это читателю. Чтобы дока-
доказать полноту, возьмем последовательность Коши операторов Ln из
3?($> Ф) и докажем, что она имеет предел, который является
ограниченным линейным оператором и, следовательно, лежит
в &(Я,Ф).
Предельный оператор L строится следующим образом. По-
Поскольку \\Lnf — LmfW^WLn — LmWWfW при всех f&3&, то (Lnf) есть
последовательность Коши в (ё>. Так как ^ полно, (Lnf) имеет там
предел, скажем g. Положим Lf = g = lim Lnf. Непосредственно
проверяем, что L — линейный оператор. Покажем, что он ограни-
ограничен. Так как | \\Ln\\ — \\Lm\\ \ < II^я — Lm\\, то (||Ln||) — последова-
последовательность Коши вещественных чисел. Она имеет предел, ска-
скажем 6, и, следовательно:
||Lf |! = lim ||LJ||<lim ||Ln\\\\ f \\«= b\\ f ||.

3.5. Некоторые фундаментальные свойства огранич. операторов 91
Теперь нам надо показать, что limHL*— L|| = 0. Так как (Ln)—
последовательность Коши, то для всякого е > 0 найдется такое п0,
что \\Lm — ^«ll^e при т, п^по. Значит, для любого |g!h лю-
любых га, п^ п0 имеем \\Lnf — Lmf\\^ e||/||, откуда
|| Lnf-Lf ||= lim
||n/
т->оо
Следовательно, \\Ln — L|| <! е при п^п0} и, поскольку е произ-
произвольно, lim||L/i — L||=0. []
Следующий результат позволяет находить ограниченные мно-
множества в &(&>%?). Это еще один из центральных результатов тео-
теории линейных операторов. Доказательство имеется у Фридмана
[1970, с. 139] 1>.
3.5.6. Принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха —
Штейнгауза). Пусть $ и *& — банаховы пространства. Пусть {La},
где а пробегает некоторое множество 5, есть семейство операторов
из 9?C&, W) и для любого заданного /е# множество векторов
{Laf} ограничено. Тогда семейство {La} ограничено в ^(^><ё>),
г. е. найдется такое m <C оо, что \\La\\^ га при всех aGS.
Банахово пространство &(&,*&) удобно для рассмотрения схо-
сходимости операторов.
3.5.7. Определение. Пусть (Ln) — последовательность ограниченных
линейных операторов, отображающих $ в ??. Если она сходится
относительно операторной нормы, т. е. в 9? (91, <ef)t то мы пишем
Ln-^L или HmL/i = L. В таком случае говорят, что эта последо-
последовательность равномерно сходится.
Легко видеть, что равномерная сходимость равносильна сле-
следующему свойству: найдется сходящаяся к нулю последователь-
последовательность (гп) вещественных чисел, такая что \\(Ln — L)/||^ гпЩ при
всех fe9&. Заметим, что (гп) не зависит от /.
3.5.8. Пример. Рассмотрим интегральные операторы К и Кп> зада-
задаваемые формулами
1
Kf(x)=\k(x,y)f(y)dy,
Пусть Q — квадрат [0, 1]Х[0, 1] и A, kn: Q-* С — непрерывные
функции. Из теоремы 3.4.9 известно, что /С, /(^^(^([О, 1])), где
!) Или, скажем, у Данфорда и Шварца [1958, с. 64].— Прим. перев.

92 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
([]) наделено sup-нормой. Если, кроме того, kn-+k в
с sup-нормой, то по той же теореме
C.5.1)
откуда следует, что Кп-+К.
В теории интегральных уравнений широко применяется техника
вывода свойств уравнения с ядром k из свойств уравнений с ап-
аппроксимирующими ядрами kn\ см., например, Трикоми [1957].
Один из способов основан на рассмотрении вырожденных ядер,т.е.
ядер вида
П
kn(*> У)= Z Ф/(*)*/(#)» П <оо.
/1
Он приводит к успеху, если известно, что существует последова-
последовательность вырожденных ядер, для которой /Сл-^/С. В качестве об-
образца приведем такой результат:
3.5.9. Лемма. Пусть k: [0, 1]Х[0, 1]~>С — непрерывная функция.
Тогда существует последовательность (kn) непрерывных вырожден-
вырожденных ядер, такая что Кп-+К в 9?{%?([0, 1 ])).
Доказательство. По теореме Вейерштрасса 1.4.6 найдется последо-
последовательность (рп) многочленов от двух переменных, сходящаяся к k
в ff(Q). Но каждый многочлен рп есть вырожденное ядро, и ут-
утверждение леммы следует из C.5.1). []
Аналогичные результаты имеют место в пространствах 3?р.
Можно пользоваться и другими типами аппроксимирующих ядер,
например двойными тригонометрическими рядами, которые на
практике иногда оказываются более удобными; см. Аткинсон
[1976],
3.5.10. Пример. Рассмотрим задачу Коши для системы п линейных
дифференциальных уравнений
и019 i= 1, ..., п.
Если трактовать и как функцию R-^О, то эту систему можно
записать в виде
u'(t)=Lu{t)9 />0, и@)=и0, C.5.3)
где ио^Сп и L: О->С" — линейный оператор. Система C.5.2) —
это лишь один пример важного класса задач, которые допускают
представление в виде C.5.3). Рассматривая вместо С" другие ба-
банаховы пространства и выбирая подходящую интерпретацию L

3.5. Некоторые фундаментальные свойства огранич. операторов 93
как линейного оператора, можно выразить в такой форме широкий
круг задач Коши, начиная от одного обыкновенного дифференци-
дифференциального уравнения и кончая уравнениями в частных производных.
Иногда C.5.3) называют абстрактным автономным дифференци-
дифференциальным уравнением; „автономность" означает, что L не зависит от
/. Сейчас мы будем заниматься решением уравнения C.5.3) в слу-
случае, когда L — ограниченный оператор. Пример, когда C.5.3) от-
отвечает дифференциальному уравнению в частных производных, бу-
будет дан в § 9.7. Метод решения, в котором главную роль играет
равномерная сходимость операторов, служит естественным обоб-
обобщением метода, применяемого в одномерном случае: будет пока-
показано, что решение можно представить в виде etLu^ где оператор
etL определяется соответствующим степенным рядом.
Пусть ^ — банахово пространство и Q = [0, оо). Векторнознач-
ная функция и: Q-+& называется дифференцируемой в точке
t^Qy если в 38 существует такой вектор «'(/), называемый произ-
производной и в t, что !>
lim
Функция и дифференцируема на Й, если она дифференцируема в
каждой точке t^Q.
оо
Предположим, что Le^(J), и рассмотрим ряд 2 (^УЛ Для
/ = 0
t ^ 0. Так как
Z\\()\\/^t
/=0 /=0
этот ряд абсолютно сходится в 2?{$), а поскольку 3?{$) полно,
его сумма (которая существует по лемме 1.4.6) есть оператор из
2($). Обозначим этот оператор etL, т. е. положим
e
tL
= S
о
Рассуждения, напоминающие те, которые используются в элемен-
элементарном случае когда L — комплексное число, позволяют легко уста-
установить, что функция etL дифференцируема и обладает свойствами
(i) (d/dt)(etL) =
Из (i) сразу следует, что eiLu0 есть решение задачи Коши C.5.3).
1) Нил^е и в некоторых других местах авторы не делают очевидных огово-
оговорок вроде h ф 0. — Прим. перев.

94 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
Такая форма решения ценна на практике. Как мы увидим в
§ 9.7, при определенных обстоятельствах можно придать смысл
свойству положительности оператора L (в терминах его собствен-
собственных значений) и тем самым получить некоторый критерий устой-
устойчивости. Полугрупповое свойство (ii) характерно для автономных
уравнений. По существу оно означает, что решение в момент t\ + t2
можно получить таким способом: найти решение в момент tu а за-
затем, взяв его в качестве нового начального условия, перейти к мо-
моменту h.
Равномерная сходимость — это самый сильный тип сходимости
операторов. Равномерно сходящиеся последовательности (Ln)
удобны в работе, и для них, как мы увидим позднее, можно удов-
удовлетворительно решать вопросы, касающиеся сходимости последо-
последовательности (Ln ) обратных операторов. Однако иногда равномер-
равномерная сходимость оказывается слишком ограничительным условием,
и наш следующий шаг направлен на то, чтобы ввести менее жест-
жесткие, но все же полезные условия. Для этого понадобится следую-
следующий предварительный результат:
3.5.11. Лемма. Пусть $ и <& — банаховы пространства и (Ln)—
ограниченная последовательность в 3?($,Ф). Предположим, что
(Lnf) сходится для всех f из плотного в $ подмножества S. Тогда
существует единственный элемент LgS7^,^), такой что lim Lnf =
Lf для всех \<=$.
Доказательство. Так как линейная оболочка [S] множества 5 со-
состоит из конечных линейных комбинаций его элементов, то после-
последовательность (Lnf) сходится для всех /e[S]. Определим опера-
оператор L на [S], полагая Lf = lim Lnf для /е[5], и заметим, что этот
(очевидно, линейный) оператор ограничен на [5], поскольку
IIL/1| < lim || LJ || < sup || 1Я ||||/||, /e=[S].
Следовательно (по теореме 3.4.4), он имеет непрерывное продолже-
продолжение на $, которое мы обозначаем по-прежнему L. Осталось только
доказать, что lim Lnf = Lf при /e#\[S]. Но 5 плотно в ,$, по-
поэтому для каждого /gI найдется последовательность (//) эле-
элементов [S], такая что lim// = / и
Итак, для всякого заданного е > 0 можно сначала выбрать подхо-
подходящее /, а затем достаточно большое п, при котором ||Lrt/ —
- Lf\\ < г. П
3.5.12. Следствие. Пусть (Ln) — такая последовательность в
3? ($,*&), что (Lnf) сходится при всех f^9S. Тогда существует
единственный элемент L^S?C8, <&)i такой что lim Lnf = Lf при
всех f<=$.

3.5. Некоторые фундаментальные свойства огранич. операторов 95
Доказательство. Так как последовательность (Lnf) сходится, она
ограничена. Следовательно (по принципу равномерной ограничен-
ограниченности 3.5.6), (Ln) есть ограниченная последовательность в 3?(ЗВ, &)>
и доказываемое утверждение вытекает из леммы. []
3.5.13. Определение. Последовательность (Ln) операторов из
3?($, W) называется сильно сходящейся, если последовательность
(Lnf) сходится при каждом f^$. Оператор L, такой что lim Lnf =
Lf (/еЛ) (его существование гарантировано следствием), назы-
называется сильным пределом последовательности (Ln)> и мы пишем
Ln—*L.
п S
Итак, если Ln—> L, то для каждого / найдется последователь-
последовательность (гп) вещественных чисел, сходящаяся к нулю и такая, что
|| (Ln—L)fll^6rt||/||. Отличие от равномерной сходимости в том, что
теперь последовательность (гп) может зависеть от /. Таким обра-
образом, очевидно, что сильная сходимость следует из равномерной.
В конечномерном случае верно и обратное. В бесконечномерном
случае, как показывает следующий пример, это уже не так.
3.5.14. Пример. Рассмотрим последовательность (Ln) операторов
/2~>/2, задаваемых формулой
Ясно, что Lnf~>-0 при каждом /, т. е. Ln —> 0. С другой стороны,
вычислив HL/i/ziH для вектора fn> у которого все компоненты нули,
кроме (м+ 1)-й, равной 1, мы убедимся, что \\Ln\\ ^ 1 при п^ I.
Значит, L«-/>0. Следовательно, (Ln) не сходится равномерно (по-
(поскольку сильный и равномерный пределы должны совпадать в
случае, когда оба они существуют).
3.5.15. Пример. Разница между сильной и равномерной сходимостью
заметно сказывается на практике при работе с квадратурными
формулами. Стандартный приближенный метод вычисления интег-
1
рала Q(f) = [f(x)dx состоит в том, что отрезок [0,1] делят на
о
п—\ частей, скажем \_ху\ Я)^], / = 1, ..., п — 1, и пользуются
квадратурной формулой
Qn (/) == Z wW (*<*>), C.5.4)
где а/.л) — соответствующие веса. Вопрос о сходимости этих при-
приближений весьма важен для приложений.

96 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
Чтобы провести его теоретическое исследование, будем рассмат-
рассматривать Q, Qn как линейные функционалы (т. е. линейные опера-
операторы со значениями в С). Выясним, как сходится к Q последова-
последовательность (Qn)- Сразу понятно, что сходимость не равномерна: на
рис. 3.1 изображен случай, когда
Qn(fn) =0 при всех п9 a Q(fn)= 1-
i 2(л—1» ^ем не менее справедлив следую-
•—п' ' щий полезный результат:
3.5.16. Лемма. Допустим, что суще-
существует а < оо, для которого
_iay^|<a, я>1. C.5.5)
х\п) х[п) dp х Наделим #([0,1]) sup-нормой и
Рис. 3.1. предположим, что существует плот-
плотное в ^([0, 1]) множество S таких
функций, что Qn(f)->Q(f) при всех /eS. Тогда Qn(f)-+Q(f) при
/»([01])
Доказательство. Последовательность (||Qn||) ограничена, так как,
в силу C.5.5),
Поскольку Qn(f)-*Q(f) на плотном множестве, доказываемое
утверждение следует из леммы 3.5.11. []
Лемма 3.5.16 гарантирует сходимость многих известных квад-
квадратурных формул, в частности формулы трапеций, формулы Симп-
сона и формул гауссова типа. При применении формулы трапеций
отрезок [0, 1] делят на равные интервалы длины h и полагают
Очевидно, что выполнено C.5.5) с а = 1, Пусть S состоит из всех
непрерывных кусочно-линейных функций, отвечающих равномер-
равномерным разбиениям отрезка [0, 1]. Это множество плотно в ^([0, 1])
по лемме 1.4.17, и, как нетрудно проверить, Qn{f)~>-Q(f) при fsS,
т. е. выполнены условия предыдущей леммы. Точно так же об*
стоит дело с формулой Симпсона. Формулы гауссова типа для лю-
любого заданного многочлена точны при достаточно большом пу а
многочлены плотны в ^([0, 1]) по теореме Вейерштрасса. Кроме
того, все веса положительны, и, вычислив Qrt(l), можно убедиться,
что C.5.5) имеет место, т. е. снова выполнены условия леммы.

3.6. Первые результаты о решении уравнения Lf = g 97
На практике сказанное выше означает, что интеграл заданной
непрерывной функции / можно приблизить сколь угодно точно, ска-
скажем по формуле трапеций, выбрав достаточно большое п, однако
без какой-либо дополнительной информации об f нельзя сказать,
какое понадобится п. Поэтому во многих стандартных оценках по-
погрешности делаются дополнительные предположения о гладкости /
и погрешность выражается через ее производные. Однако при та-
таком подходе возникают определенные трудности, если, например, /
есть неизвестное решение интегрального уравнения. Подробнее мы
поговорим об этом в § 7.6, где рассматривается численное решение
интегральных уравнений.
3.6. Первые результаты о решении уравнения Lf = g
Теперь приготовления закончены, и настало время вывести неко-
некоторые полезные результаты о решении уравнения Lf = g. Общее
направление исследования определяется вопросами (i) — (vi), по-
поставленными во введении к этой главе. В соответствии с ними мы
сосредоточим внимание на нахождении условий, обеспечивающих
существование и непрерывность обратного оператора L~\ и по-
построении приближенных методов решения, основанных, например,
на рассмотрении близкого оператора Lo, который в каком-то смыс*
ле служит хорошим приближением к L и для которого обратный
оператор известен.
Все результаты этого параграфа базируются на методе после-
последовательных приближений для нахождения решения уравнения
g9 C.6.1)
где M^S?{2%). Идея метода очень простая, но плодотворная. Она
подсказана следующим эвристическим рассуждением. Перепишем
C.6.1) в виде
f + f C.6.2)
Если М «мало», то весьма правдоподобно, что с точностью до
первого порядка членом Mf можно пренебречь. Это дает первое
приближение /0 = g. Его можно улучшить, подставляя /0 вместо /
в правую часть C.6.2). Получим второе приближение fi = g-\-
Mf0. Продолжая действовать так же, придем к последовательности
приближений
fo = 8> fn = g + Mfn_l9 n>\. C.6.3)
Правдоподобно, что Нт/Я = / есть решение уравнения C.6.1).
Еще заметим, что формально
f^ZMng=(I-Mylg, C.6.4)
0

Гл. 3. Основы теории линейных операторов
и, значит, предположительно (/ — М) 1 = ? Мп. Метод последо-
гс=0
вательных приближений широко применяется для решения систем
алгебраических уравнений и интегральных уравнений Фредгольма;
в последнем случае ряд C.6.4) называют рядом Неймана. В связи
со следующей теоремой напомним, что утверждение (/ — М)-1 е
& {$) означает, что оператор / — М биективен и имеет ограничен-
ограниченный обратный.
3.6.1. Теорема. Пусть М^2?($) (где $ — банахово пространство)
и || М |! < 1. Тогда (I — M)-lez2>(91). Кроме того,
оо
A~МУ1= Z М\ A6.5)
причём ряд сходится по операторной норме (т. е. в 9? ($)) и || (/ —
-Al)-ilK(l-IIAlll)-1.
Доказательство. Так как || Мп || < || М \\п и || М \\ < 1, то ряд C.6.5)
абсолютно сходится (определение 1.4.5). Но по теореме 3.5.5 про-
пространство 3?($) полно, поэтому, согласно лемме 1.4.6, этот ряд схо-
сходится и его сумма лежит в &($)> Простое вычисление показы-
показывает, что
E
n-eQ
и C.6.5) следует иа леммы 3.3.10. Последняя оценка выводится из
неравенств
E II||<E №\\п = {1 - \\М\\Г1. U
\\п**0 II п=*0 /г=0
3.6.2. Следствие (ряд Неймана). Допустим, что выполнены пред-
предположения теоремы. Тогда уравнение (I — M)f = g имеет точно
одно решение f в 9S. Если /0 = g, fn = g + Mfn-\ (n^l), то
f = lim/n, или, что равносильно,
и Ц/II<A-11 М\\Г|1 g||.
Выясним теперь, что можно сказать об Lwl, если известен об-
обратный Lo для некоторого приближения Lo к L. Положим А —
Lq — L и заметим, что

3.6. Первые результаты о решении уравнения Lf = g 99
Допустим, что || А|| < [Lo!. Тогда ||LolA|| < 1 и (по теореме 3.6.1)
(/ — LolЛ) е= %{3S). Следовательно, Ь~1^2"(Щ и
Вычитая Lo и переходя к нормам, заключаем, что
и 1 in и ,-l||Y» || г -1||яп мп
\\L — Lo || ^ || Lo || 2u II Lo || II А\\
1
Тем самым доказана следующая теорема:
3.6.3. Теорема. Пусть Ш — банахово пространство и L, Lo, Lo"
. Если Л= ||L - Lo|| lLo~i < 1, то L е=2?(ЗВ) и
Отсюда видно, что если Lo имеет ограниченный обратный
и норма ||Lo — L\\ разности Lo и L достаточно мала, то L тоже
имеет ограниченный обратный. Более того, получены разложение
L в ряд и оценка нормы разности обратных операторов. Эта
теорема является примером (хотя и совсем элементарным) того
типа результатов, которые получаются в теории возмущений. По
этому предмету мы отсылаем читателя к книге Като [1966],
Следующие примеры иллюстрируют применение приведенных
выше теорем.
3.6А. Пример. Здесь мы хотим показать, как ограничение ||Л1||<1
связано с одним условием, которое часто используется при чис-
численном решении систем линейных уравнений. Если уравнения
имеют вид
п
ft-Zatifi^gt, /=1,...,я, C.6.6)
то они равносильны операторному уравнению (/ — M)f = g, где
М\ СЛ~^Сл — оператор, представленный матрицей [а*/}. Как мы
знаем из примера 3.4.5, если Crt наделено /оо-нормой, то
= sup Z |а„|. C.6.7)
/ 1

100 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
Значит, согласно следствию 3.6.2, при ||Af|| < 1 система C.6.6)
имеет единственное решение, задаваемое стандартной итерацион-
итерационной формулой C.6.3).
На самом деле это известный результат численного анализа;
правая часть C.6.7) есть максимальная сумма по строкам данной
матрицы, а условие, что она должна быть меньше единицы, есть
так называемый принцип строгого диагонального преобладания.
Хорошо известно, что строгое диагональное преобладание гаран-
гарантирует единственность решения системы C.6.6) и что это решение
может быть найдено методом последовательных приближений. За-
Заметим, что если указанное условие не выполнено, то это еще не
значит, что нельзя установить тот же результат, используя другую
норму на О, скажем || • ||р.
3.6.5. Пример. Анализ, проведенный в предыдущем примере, можно
распространить на случай бесконечной системы уравнений, если
всюду заменить п на оо. Такие системы встречаются в разных
контекстах, например при решении дифференциальных уравнений
в частных производных методом разделения переменных. Как
правило, применяют численный метод, основанный на решении
усеченной системы, поэтому важно уметь устанавливать сходи-
сходимость и точность такого приближения.
Чтобы проиллюстрировать возможный ход рассуждений, рас-
рассмотрим систему
/i-IJ <*//// = ft, / = 1,2,..., C.6.8)
в h (аналогичный способ применим, конечно, и в 1Р). Допустим,
что g е /2 и
1/2
? IlK/l} <i. C.6.9)
Тогда в очевидных обозначениях можно переписать C.6.8) в виде
(I — M)f = g. По теореме 3.4.7, ||М|| < 1, и, согласно следствию
3.6.2, система имеет единственное решение в /г. Соответствующая
усеченная система такова:
C.6.10)
Здесь возникает небольшая трудность, связанная с тем, что тео-
теоретическое рассмотрение этой системы естественно вести в конеч-
конечномерном пространстве, а не в /2. Ее можно обойти при помощи

3.6. Первые результаты о решении уравнения Lf = g 101
следующего простого приема: мы замечаем, что решением системы
ir-t*i,ir=gi, i = \ п,
/-1 C.6.11)
служит ОТ, ..., f{nn\ gn+u ...)¦ где (f[n\ ..., f{nn)) - решение
C.6.10), и рассматриваем вместо C.6.10) систему C.6.11) в /2.
Нас интересует, имеет ли система C.6.11) единственное решение,
и если да, то насколько хорошо оно приближает решение исход-
исходной системы C.6.8)? Для получения ответа на эти вопросы восполь-
воспользуемся теоремой 3.6.3.
Чтобы перевести C.6.11) в операторную форму, определим
последовательность операторов {Мп), полагая
Тогда C.6.11) примет вид (/-— Mn)f(n) = g. Чтобы применить тео-
теорему, нужно оценить \\М — Мп\\. Очевидно, что бесконечная мат-
матрица [|3/;], отвечающая М — Мп, совпадает с матрицей, которая
отвечает М, за исключением того, что р/у = 0, когда (ifj)t?s(n),
где s(n) — множество всех пар (i, j) целых чисел, таких что i,j>n.
Тогда по теореме 3.4.7
l|Af-AU<{
где ея->0 при п-+оо. Значит, limAf,i = M, и, полагая Lo = /—М,
L = I — Мп, мы выводим из теоремы 3.6.3 следующий результат:
3.6.6. Теорема. Допустим, что g^k и ||]а|||2<1. Тогда е«->0
и найдется такое По, что еп < 1 — |||oc||j2 при п ^ по. При /г ^ /го
аппроксимирующая система C.6.11), или, что равносильно,
C.6.10), имеет точно одно решение ]{п\ и если f — решение си*
стемы C.6.8), то
По поводу бесконечных систем уравнений см. Рисе 11913].
3.6.7. Пример. Следствие 3.6.2 в сочетании с какой-нибудь оцен-
оценкой нормы наподобие тех, которые даются в теоремах 3.4.9
и 3.4.10, позволяют получить известный ряд Неймана для инте-
интегрального уравнения
ъ
Пх) - J k(x, y)g(y) dy = g(x). C.6.12)

102 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
Если, например, к измерима, \\Щ\\р < 1 и g<=2?p(a,b), то C.6.12)
имеет точно одно решение в 3?р, которое является суммой
в 9?р(а, Ь) ряда Неймана ? gn, где g0 = g и
ъ
gn(x)= \jk(x,y)gn_l{y)dy, n>l.
а
Этот пример позволяет проиллюстрировать в простой ситуации
тип рассуждений, которые применимы для широкого круга проб-
проблем и, в частности, будут использованы в гл. 11 при рассмотрении
дифференциальных уравнений с частными производными. Допус-
Допустим, что требуется найти непрерывное решение уравнения C.6.12).
Если к и g непрерывны, но ЩАЩоо > 1, то следствие 3.6.2 не
гарантирует сходимости ряда Неймана в ^([а,&]). Однако если
|||&|||р< 1 при некотором р, то дело можно спасти, работая сна-
сначала в 9?р{а,Ъ), а затем воспользовавшись для установления су-
существования непрерывного решения следующим независимым рас-
рассуждением. Пусть f — решение в &р\ тогда f = g -\- Kf п. в., где
К — наш интегральный оператор. Но, по теореме 2.4.15,
К: 3?p{a,b)-+<g>([ayb]); отсюда следует, что g + Щ = f — непре-
непрерывная функция. Поскольку f = f п. в. (и потому в Sp), то
и Kf = Щу откуда / = g + Kf = g + Kf. Таким образом, / — иско-
искомое непрерывное решение.
3.6.8. Пример. Другой приближенный метод решения уравнения
C.6.12) основан на том, что ищется близкое к k ядро ко, для
которого разрешимо уравнение
/о (х) — J h (*> у) U (у) dy = g(*)•
а
Если, скажем, g<=gp{a, b), |||feo|||p<l и
A = p-MlpOHI!MUrI<i>
то по теореме 3.6.3 уравнение C.6.12) имеет в Я?Р решение / и
Одна из возможностей — взять в качестве к0 вырожденное ядро;
см. пример 3.5.8. Этот способ рассуждений приводит к интересным
результатам в теории интегральных уравнений, а полученная
оценка погрешности полезна при численном решении интеграль-
интегральных уравнений; см. Бэйкер [1977, гл. 4] и Аткинсон [1976, § 2.1]

3.1. Введение в спектральную теорию 103
3.7. Введение в спектральную теорию
Анализ, проведенный в предыдущем параграфе, показал, что урав-
уравнение (/ — L)f=g особенно хорошо поддается решению тогда*
когда мала норма ||L||. К сожалению, для большинства задач»
относящихся к линейным уравнениям, это условие слишком огра-
ограничительно. Поэтому мы разовьем теорию, в которой допускаются
большие значения ||L||. Основная идея, как и в конечномерном слу-
случае, состоит в том, что исследуются свойства семейства уравнений
(KI-L)f = g, C.7.1)
где X— комплексный параметр. Теория выглядит намного проще
для комплексного пространства, поэтому всюду в этом параграфе
мы предполагаем, что $ — комплексное банахово пространство.
3.7.1. Определение. Пусть L — линейный (возможно, неограничен-
неограниченный) оператор из SB в $3. Множество p(L) комплексных чисел,
для которых (XI— L)~x ^. SB%), называется резольвентным мно-
множеством оператора L. Его дополнение o(L) в С называется
спектром L. Оператор R(X\L) = (XI— L)~l, где Xep(L), назы-
называют резольвентой оператора L.
Очевидно, что / — L имеет ограниченный обратный тогда
и только тогда, когда 1 Gp(L). Поэтому главный вопрос при ре-
решении уравнения (/ — L)f = g: каков спектр L? Если L ограни-
ограничен, то, по теореме 3.6.1, o(L) содержится в круге с центром
в начале и радиусом ||L||. Однако g(L) часто гораздо меньше
этого круга, и одной из наших «долговременных» целей будет бо-
более точное описание спектра, которое, как мы покажем, возможно
по крайней мере для некоторых употребительных классов опе-
операторов.
Если <Ш конечномерно, L: $-*<% и уравнение (XI— L)f = О
имеет единственное решение / = 0, то, по теореме 3.3.11, ),g
p(L). С другой стороны, если в каком-нибудь банаховом про-
пространстве это уравнение имеет ненулевое решение, то XI— L не
инъективен и (hi — L)~l вообще не определен. Аккуратно сфор-
сформулировать этот результат нам поможет следующее определение:
3.7.2. Определение. Предположим, что L — линейный оператор из
91 в $. Комплексное число X называется его собственным значе-
значением, если уравнение Xf = Ц имеет ненулевое решение. Все такие
решения называются собственными векторами 1\ отвечающими X,
а определяемое ими линейное подпространство — собственным
подпространством, отвечающим X. Множество op(L) всех соб-
собственных значений оператора L называется его точечным спектром.
1) Или собственными функциями, в случае когда Ш — пространство функ-
функций. — Прим. перев.

104 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
В конечномерном случае спектр оператора совпадает с множе-
множеством его собственных значений. Радикальное отличие бесконеч-
бесконечномерного случая в том, что спектр может содержать и, как пра-
правило, содержит точки, не являющиеся собственными значениями;
см., скажем, пример 3.3.12. Для ограниченных операторов это
можно сформулировать несколько иначе. Если оператор XI— L
одновременно инъективен и сюръективен, то, по теореме 3.5.3,
^ep(L). В бесконечномерном случае второе условие уже не сле-
следует, как в конечномерном, из первого, и главную трудность на
практике обычно составляет именно проверка сюръективности.
Следующее определение завершает описание спектра и позволяет
кратко подытожить предыдущие замечания.
5.7.5. Определение. Пусть L — линейный оператор из I в I.
Множество тех X^o(L), для которых XI— L инъективен,
a R{XI— L) плотно (соотв. неплотно) в ^, называется непрерыв-
непрерывным (соотв. остаточным) спектром L.
3.7.4. Лемма. Пусть $ — комплексное банахово пространство
и L: $-+$ — ограниченный линейный оператор. Тогда JiGp(L)
в том и только в том случае, если XI— L биективен. Точечный,
непрерывный и остаточный спектры попарно не пересекаются,
и o(L) является их объединением. Если $ конечномерно, то
o{L)=op{L).
В остальной части этого параграфа рассматриваются только
ограниченные операторы. Рассуждения строятся по аналогии с од-
одномерным случаем. Если L, f и g — комплексные числа, то C.7.1)
имеет решение всегда, кроме случая X = L, а эта точка является
спектром оператора С->С, отвечающего умножению на L. Тогда
резольвента отвечает умножению на (X— L)~l, а это выражение
есть аналитическая функция от X на резольвентном множестве,
т. е. при всех Хф L. Зная о больших возможностях теории ана-
аналитических функций, попробуем обобщить этот результат на опе-
операторы L в банаховом пространстве (заметим, что аналогичного
рода рассуждения применяются в теории интегральных уравнений
Фредгольма; см. задачу 3.2.5). Разумеется, теорию аналитических
функций нужно будет применять к операторнозначной функции
(XI— L)-1 от X, но необходимое обобщение не представляет серь-
серьезных трудностей.
3.7.5. Определение. Пусть L 1=2C$). Функция /?(•; L): С{)
называется аналитической в точке Хо, если существует предел по
операторной норме
lim [(R (Я; L)-

3.1. Введение в спектральную теорию 105
(откуда автоматически следует, что этот предел не зависит от
способа стремления X к Ко).
3.7.6. Теорема. Пусть $ — комплексное банахово пространство
и Ь^&фЗ). Тогда p(L) есть открытое множество и при X, Яое
e=p(L)
R(XQ; L)-R(X; L) = (X - Xo) R (Яо; L)R(X; L). C.7.2)
Кроме того, R(X\ L) — аналитическая функция от X в p(L).
Доказательство. Возьмем произвольное X0^p(L) и заметим, что
по теореме 3.6.3 (примененной к Х01— L и XI — L)y если \Х—Яо|<
IILIMII (V — L)-l\\-\ то X^p(L). Значит, Хо содержится в откры-
открытом шаре, лежащем в р(?), и p(L) —открытое множество. Равен-
Равенство C.7.2) — это просто тождество
(Яо/ - L)-1 - (XI - L)-1 = (Яо/ - L)-1 [(XI - I) - (Яо/ - I)] (Я/ - L)-1
Чтобы доказать аналитичность, заметим, что, согласно последнему
утверждению теоремы 3.6.3, lim R (X; L) = R(X0; L). Следова-
тельно, в силу C.7.2),
lim ^^L)-R(X0;L)==:_ Hm R{ L) (
= -[R(h; L)f. D
Спектр оператора L можно теперь интерпретировать как мно-
множество особенностей аналитической функции R(X\L). Столь же
легко обобщается на операторнозначный случай большинство
стандартных результатов теории аналитических функций. По-
Поскольку все изменения в доказательствах сводятся в основном
к замене модулей нормами, мы не будем на этом останавливаться;
подробности можно найти в книге Тэйлора [1958, гл. 5]. Для
дальнейших ссылок отметим, что имеют место обычные резуль-
результаты о рядах Тэйлора и Лорана, а также теорема Лиувилля.
Используя теорию аналитических функций, можно получить
дальнейшую информацию о спектре. По теореме 3.6.1 ряд
R (X; L) = X-xYu^-nLn C.7.3)
сходится, если |h|>||L||. Но это есть ряд Лорана для резоль-
резольвенты, поэтому он абсолютно сходится во внешности наименьшего
круга с центром в начале, содержащего o(L). Таким образом,
сходимость зависит не от ||L||, а от радиуса этого круга, который
обычно меньше ||L||f что позволяет получить более точное условие
сходимости,

106 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
3.7.7. Определение. Для всякого оператора Le5?(^) число
r0 (L) = sup | Я | называется его спектральным радиусом.
ks=o(L)
3.7.8. Теорема. Пусть $ — комплексное банахово пространство
и Le=3?(9t). Тогда ряд C.7.3) сходится в Z(9t) к R(k\L), если
\Х\> ro{L), и расходится в противном случае; ряд Неймана для
C.7.1) сходится при \K\>ra(L).
3.7.9. Теорема. Если комплексное банахово пространство $ со-
содержит хотя бы один ненулевой элемент и L^lS? ($), то множе-
множество o(L) непусто.
Доказательство. По теореме 3.6.1, ||/?(Х; L)\\ < (\Ц— \\L\\) при
|Я|>Ш1, откуда \\R(K\L)\\-+Q при |Я|->оо. Если бы o(L) было
пустым, то RCk] L) была бы ограниченной аналитической функцией
на всей комплексной плоскости, т. е., по теореме Лиувилля, кон-
константой, причем ввиду поведения резольвенты на бесконечности
эта константа должна быть нулевым оператором. Но это невоз-
невозможно, так как R(k\L) сюръективна, а $ по предположению со-
содержит ненулевой элемент. []
Чтобы получить формулу для ra{L), понадобится один подго-
п
товительный результат. Для заданного многочлена p=2]a/*/
п
определим p(L) естественным образом, полагая р(^)= ? <ХуХЛ
Доказательство следующей теоремы проводится непосредственно
и предоставляется читателю в качестве упражнения.
3.7.10. Теорема о спектральном отображении для многочленов.
Пусть $ — комплексное банахово пространство и L ??$)
Спектром оператора p{L) является множество {\х: |я=
o(L)}. Иначе говоря, o(p(L)) = p(o(L)).
3.7.11. Теорема. Пусть $ — комплексное банахово пространство
и L <==<?{$). Тогда
Доказательство. Применив теорему 3.7.8 и вспомнив стандартное
выражение для радиуса сходимости степенного ряда, получим
LrtH1/r C.7.4)
Нужно доказать, что limsup совпадает с lim. Но по теореме
о спектральном отображении o(Ln) состоит из п-х степеней точек
o(L). Значит, ra{Ln)=[ra{L)]n. Так как ro(Ln)^ \\Ln\\, то
Гаа) = [га(Г)Г<||Щ1/Л. C.7.5)

3.8. Замкнутые операторы и дифференциальные уравнения 107
Следовательно, rQ{L) ^ liminf ||Ln||1/n, что вместе с C.7.4) приво-
приводит к требуемому результату, []
X
3.7.12. Пример. Положим L/(x)= \f{t)dt и будем рассматри-
о
вать L как оператор <&( [0, 1] )->^( [0, 1]), где ^([0,1]) наде-
наделено sup-нормой. Ясно, что ||L||^ 1. Однако
X
0
откуда следует, что ||L"|| ^ \/{п— 1)!, и, значит, по теореме 3.7.11,
ra(L) = 0. Итак, спектр L состоит из одной точки 0, и по тео-
теореме 3.7.8 ряд Неймана для решения уравнения (XI — L)/ = g
сходится при любом ненулевом К. Аналогичный результат имеет
место для общего интегрального оператора Вольтерры; см. за-
задачу 3.24.
Посмотрим, к какого типа спектру принадлежит точка 0. Как
легко проверить дифференцированием, оператор L инъективен;
значит, 0 лежит не в точечном спектре. Так как R{L) содержится
в собственном замкнутом подпространстве М, состоящем из всех
непрерывных функций / с /@) = 0, то 0 относится к остаточному
спектру (определение 3.7.3).
Продолжая и дальше привлекать соображения аналитичности,
можно построить теорию, которая позволит иметь дело с общими
функциями от операторов; см. Тэйлор [1958, § 5.6] или Данфорд
и Шварц [1958, § 7.3]. О преимуществах этого подхода свидетель-
свидетельствует эффективность «операторного» метода в элементарной тео-
теории дифференциальных уравнений. Мы не будем здесь следовать
по этому пути, за исключением частного случая самосопряженных
операторов, который под несколько иным углом зрения рассмат-
рассматривается в гл. 9.
Чтобы продвинуться дальше в спектральной теории, нужны до-
дополнительные теоретические средства. Среди них одно из самых
полезных — понятие сопряженного оператора, которое будет об-
обсуждаться в гл. 6. На практике многие операторы обладают по-
помимо ограниченности другими свойствами, которые упрощают их
рассмотрение, и использование сопряженных операторов позволит
намного точнее описать спектр по крайней мере в двух важных
случаях — когда оператор компактен и когда он самосопряжен.
3.8. Замкнутые операторы и дифференциальные уравнения
Почти все результаты, выведенные в предыдущих параграфах,
применимы только к непрерывным операторам. Однако, как уже
отмечалось в примере 3.4.11, дифференциальные операторы не

108 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
непрерывны на стандартных банаховых пространствах, и для ре-
решения задач, связанных с такими операторами, была развита
теория замкнутых операторов, которые мы сейчас введем. Техни-
Технически эта теория намного труднее тех, что мы рассматривали до
сих пор, однако ввиду важности дифференциальных уравнений
для приложений потрудиться стоит. В то же время уместно с са-
самого начала отметить, что в некоторых основных аспектах каче-
качественные свойства замкнутых операторов подобны свойствам не-
непрерывных операторов. Пожалуй, самым удивительным из таких
свойств является устойчивость решений уравнения Ц = g, где
L — замкнутый биективный оператор: как и в случае непрерыв-
непрерывного оператора (теорема 3.5.3), решение непрерывно зависит от
правой части.
Мы будем применять эту теорию в дальнейшем только к диф-
дифференциальным уравнениям в гильбертовом пространстве &ь
и, хотя общее построение теории в рамках банаховых пространств
можно выполнить тем же путем, проще всё же ограничиться гиль-
гильбертовыми пространствами. Итак, 36 будет далее гильбертовым
пространством, a L — линейным оператором из 36 в 36, причем
всегда предполагается, что его область определения есть линейное
подпространство в 36. Напомним, что оператор L называется не-
неограниченным, если он не ограничен на D{L)\ неограниченный
оператор разрывен в каждой точке своей области определения
(по лемме 3.4.1 и теореме 3.4.3). Начнем с того, что введем пра-
правила действий с неограниченными операторами.
3.8.1. Определение. Пусть L, М — неограниченные линейные опе-
операторы из 36 в 36. Для а, |3 е С положим
{aL + PM) / = aLf + Wf для f s D {aL +
Произведение определим следующим образом:
D{ML) = {f: fED(L), Lf<=D(M)}9
(ML)f = M(Lf) для fe=D{ML).
Заметим, что, вообще говоря, D(ML)=?= D(LM) и, значит,
ML ф LM. Поэтому рассмотрение обратных операторов требует
особых забот. Например, часто бывает так, что неограниченный
оператор L имеет ограниченный обратный, и тогда D(LL~l) = 36,
но D{L~XL) = D(L). Следовательно, L~]L ф LL~X\ точнее, LL~]=I,
а для произведения в обратном порядке имеет место лишь вклю-
включение L-lLaI. При изучении неограниченных операторов часто
удобнее работать с векторами, а не с ,,голыми" операторами
и, скажем, вместо L~lL а I писать L~lLf = / для f <= D(L).
Следующим примером мы хотим продемонстрировать корен-
коренное различие между употреблением термина ,,оператор" в функ-

3.8. Замкнутые операторы и дифференциальные уравнения 109
циональном анализе и классической теории дифференциальных
уравнений.
3.8.2. Пример. Допустим, что рассматриваются операторы в
i?2@, 1), отвечающие дифференцированию. Можно взять D(L) =
9!?l([0,l]) и положить Lf = f для f^D(L). Но есть и другие
возможности. Например, если решается задача Коши, то можно
взять
= {f: /€=«"([<>, 1]), f@) = 0}
и положить L\f = f для feD(Li). И L, и L\— неограниченные
линейные операторы, но L\ есть собственное сужение L и, конечно,
L\ ф L. Это не просто формальное различие; оно затрагивает гра-
граничное условие и, значит, тесно связано с физикой той задачи,
которой отвечают указанные операторы. Поэтому важные свой-
свойства таких операторов могут оказаться разными; например, могут
не совпадать их спектры (см. задачу 3.32).
С другой стороны, в классической теории под дифференциаль-
дифференциальным оператором I обычно понимают просто формальное выраже-
выражение, которое лишь задает коэффициенты при всех производных
и, в частности, никак не связано с граничными условиями. Чтобы
подчеркнуть это различие, введем следующее определение:
3,8.3. Определение. Для заданных функций рг> г = О, 1, ..., /г, на
R положим
/ называется формальным обыкновенным дифференциальным опе-
оператором порядка г. Если f — достаточно гладкая функция, то
можно говорить о применении / к f и писать
м?рд)р()
Удобно и любой оператор L в гильбертовом пространстве, кото-
который получается из /, если положить Lf = If для / из некоторой
заданной области, тоже называть дифференциальным оператором.
Остальная часть этого параграфа посвящена замкнутым опе-
операторам.
3.8.4. Определение. Пусть Ж — гильбертово пространство и L —
линейный оператор из Ш в Ж. Рассмотрим следующие условия на
последовательность (fn):
(i) fn^D(L) при всех п\

110 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
(ii) (/я) сходится к пределу /;
(iii) (Lfn) сходится.
Если для всякой последовательности, удовлетворяющей этим усло-
условиям, f^D(L) и Lf = \imLfn, то оператор L называется
замкнутым.1)
Смысл этого понятия, пожалуй, легче всего пояснить путем
сравнения его с непрерывностью. Если L непрерывен на D(L), то
(iii) вытекает из (i) и (ii); если же L только замкнут, то (iii)
уже не является следствием двух других условий и вводится как
дополнительное условие. Заметим, что для замкнутого оператора
L предел / последовательности (fn) лежит в D(L). Таким обра-
образом, непрерывный оператор замкнут только тогда, когда замкнута
его область определения; очевидно, что это условие является
также и достаточным.
3.8.5. Лемма. Пусть L непрерывен на D(L). Он замкнут тогда
и только тогда, когда замкнута D(L).
3.8.6. Пример. Чтобы объяснить общепринятую тактику решения
обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотрим уравне-
уравнение f = g с заданной правой частью gG^fO, 1); требуется
найти его решение на [0,1], удовлетворяющее начальному усло-
условию f@)=0. Пусть D(L) состоит из всех функций fei?2@, 1),
удовлетворяющих следующим условиям:
(i) f абсолютно непрерывна (определение 2.4.13). По теореме
2.4.14, / дифференцируема тогда почти всюду, a /' локально-ин-
локально-интегрируема по Лебегу.
(ii) fe^fO, 1). Это условие естественно, поскольку реше-
решение уравнения f = g ищется для всех gG^fO, 1). Оно гаран-
гарантирует, что R (L) cz S2 @, 1).
(iii) f@) = 0. Таким образом, каждое f^D(L) удовлетворяет
заданному начальному условию.
Наконец, для всех f^D(L) положим Lf = f. Приведенные усло-
условия на D(L) специально подобраны так, чтобы, с одной стороны,
производная f имела смысл и лежала в ^@, 1), а с другой —
ограничения на область определения оператора были минималь-
минимальными и тем самым уравнению Lf = g были бы созданы наилуч-
наилучшие шансы для существования решения. В действительности D(L)
плотна в i?2@, 1), что будет важно в дальнейшем. Чтобы помес-
!) Совпадение пространства определения и пространства значений опера-
оператора L здесь несущественно, определение работает и в случае операторов, дейст-
действующих между различными пространствами. — Прим. перев.

3.8. Замкнутые операторы и дифференциальные уравнения 111
тить оператор L в рамки нашей теории, нужно доказать, что он
замкнут.
Возьмем произвольную последовательность (fn) в D(L), такую
что fn-> f и Lfn = fn сходится к некоторому пределу, скажем h.
Требуется установить, что f^D(L) и f = h. По условию (iii)
х
fn(x)=\f'n(t)dt. C.8.1)
О
Но, согласно неравенству Шварца,
X X
\f'n{t)dt-\h{t)dt
о о
Правая часть стремится к нулю при /z->oo. Пользуясь формулой
X
C.8.1), заключаем, что fn (х)-> \ h{t)dt по sup-норме, а так как
о
по предположению /rt->/ в ^(О, 1), отсюда следует, что
C.8.2)
Поскольку h e i?2@, 1), то /i^i?i@, 1), т. e. h локально-интегри-
локально-интегрируема. Следовательно, / абсолютно непрерывна. Кроме того,
f = h, откуда /7е i?2@, 1). Наконец, C.8.2) показывает, что
f@) = 0. Значит, f<=D(L) n Lf = g.
Хотя определение 3.8.4 ясно показывает разницу между замк-
замкнутыми и непрерывными операторами, оно непрактично из-за
сложного описания фигурирующей в нем последовательности fn.
Намного удобнее другое определение, которое мы сейчас введем*
Оно основано на той идее, что замкнутые операторы характери-
характеризует одновременная сходимость последовательностей (fn) и {Lfn)9
а потому стоит ввести в рассмотрение вместо двух1) одно-един-
одно-единственное гильбертово пространство. А именно, превратим вектор-
векторное пространство ЖУ^Ж (определение 1.2.11) в гильбертово. Для
этого наделим его скалярным произведением и нормой следующим
образом:
([/i> gib [/2» ?2]) = (/it /г) + (?1» &)• C.8.3)
II [/1, eri]ll = (ll/ill2 + llftll2I'2. C.8.4)
l) Пространства определения и пространства значений; ср. с подстрочным
примечанием к определению 3.8.4. — Прим. перев.

112 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
Здесь /i, gu /2, ?2 — элементы Ж, a [/i,gi], l/2, gi\ — элементы
Ж У Ж. Легко проверить, что ЖУЖ действительно становится
при этом гильбертовым пространством. Вспомнив, что в случае
вещественнозначной функции ф вещественной переменной х мно-
множество пар [х, ф(х)] называется ее графиком, введем такую тер-
терминологию:
5.8.7. Определение. Графиком G(L) оператора L называется ли-
линейное подпространство в Ж У Ж, состоящее из всех элементов
вида [/, Lf], где f^D(L). Аналогично обратный график G1(L)
есть множество всех [Lf, f], где f ^ D(L).
3.8.8. Лемма. Пусть L — линейный оператор из гильбертова про-
пространства Ж в Ж. Оператор L замкнут тогда и только тогда, когда
G(L) замкнут {вЖХЖ).
Доказательство. Если ([fn, Lfn] )-*[/, g] B <5^X<5^, то из C.8.4)
следует, что fn->f и Lfn->g (в Ж). Поэтому если L замкнут, то
f<=D(L) и Lf = g. Значит, [/, L/] e G{L) и G(L) замкнут. Об-
Обратно, если G(L) замкнут, то для любой сходящейся в Ж У Ж
последовательности ([fni Lfn]) имеем fn-+f^D (L) и Lfn ->¦ Lf.
Следовательно, L замкнут. []
3.8.9. Определение. Линейный оператор L из Ж в Ж называется
замкнутым, если замкнут его график.
Ввиду леммы 3.8.8 это определение равносильно данному
раньше определению 3.8.4. Отметим, что из замкнутости G(L) не
следует замкнутость ни D(L), ни R{L) в Ж.
С помощью понятия графика легко распространить несколько
свойств ограниченных операторов на замкнутые неограниченные
операторы. Рассмотрим, например, расширение оператора по не-
непрерывности (теорема 3.4.4). Чтобы построить его аналог, нужно
сначала обобщить понятие непрерывности оператора на его об-
области определения.
3.8.10. Определение. Оператор L называется замыкаемым, если
он имеет замкнутое расширение.
На первый взгляд может показаться, что всякий оператор за-
замыкаем, поскольку его график непременно имеет замыкание. Од-
Однако это замыкание необязательно служит графиком оператора
(см. задачу 3.30). Следующий результат помогает определять, за-
замыкаем или нет какой-нибудь заданный оператор.
3.8.11. Лемма. Для того чтобы линейное подпространство Ж cz
Ж X 3@ было графиком линейного оператора, необходимо и доста-
точно} чтобы оно не содержало элементов вида [0; g] с g ф 0.

3.8. Замкнутые операторы и дифференциальные уравнения 113
Доказательство. Пусть Л— график некоюрого оператора, ска-
скажем L. Если [0, g\^Jt, то для некоторого I^D(L) имеем 0 = /
и g = Lf. Но для линейного L это невозможно.
С другой стороны, допустим, что [0, g] e M =^ g = 0. Тогда
если |sS = {/: 3g, такое что [/, g] e *#}, то существует ровно
одно g, для которого [f,g\^M. Действительно, если g\t g2— два
таких элемента, то [/, g[] — [f, Ы = [0, g\ — g2]^J( (поскольку
Jl — линейное подпространство), откуда по предположению
gx = g2. Легко проверить, что S — линейное подпространство
в Ж, и, следовательно, можно определить линейный оператор L
с D(L)=S и G(L) = Jf, положив Lf = g.[]
Как показывает лемма, каждое линейное подпространство гра-
графика само- является графиком. Значит, если L замыкаем, то G(L)
есть график некоторого замкнутого расширения L (так как G(L)
является замкнутым подпространством графика любого замкну-
замкнутого расширения L). Следовательно, L имеет замкнутое расшире-
расширение, скажем L, с G{L)= G(L). Очевидно, что L есть минимальное
замкнутое расширение L, т. е. всякое замкнутое расширение L яв-
является также и расширением L.
3.8.12. Определение. Минимальное замкнутое расширение L за-
замыкаемого оператора L называется его замыканием.
В теории дифференциальных уравнений важное значение имеет
явное вычисление замыкания некоторых операторов, поэтому
в § 10.2 будут изложены соответствующие методы. Как показы-
показывает следующий результат, для непрерывных операторов ничего
нового здесь не получается.
3.8.13. Лемма. Всякий линейный оператор L из Ж в Ж, ограничен-
ограниченный на D(L), замыкаем. Его замыкание совпадает с его расши-
расширением по непрерывности на замыкание D(L).
Обсудим теперь обратные замкнутых операторов. При этом
мы будем опираться на следующую фундаментальную теорему.
Отметим, что обратное к ней утверждение почти очевидно (лем-
(лемма 3.8.5), в то время как для доказательства самой теоремы
нужна теорема об открытом отображении.
3.8.14. Теорема о замкнутом графике. Пусть Ж — гильбертово про-
пространство и L: Ж-+Ж — замкнутый линейный оператор. Тогда L
ограничен.
Доказательство. Определим линейные операторы Ри Р2:
полагая
Л U, U] = !, Р* [f, Lf] = Lf для / s Ж

114 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
Тогда
\\Px\U ^Л11==
Следовательно, Pi ограничен, и по аналогичным соображениям
ограничен также и Р%. Далее, ясно, что Pi биективен. Значит, по
теореме 3.5.3 (которая является следствием теоремы об открытом
отображении) Pi*1 ограничен, а потому ограничен и РгРг1. Так как
Р^Рг1}=Р2 [/, Ц\ =Ц9 то P2Prl=L\ следовательно, L ограничен. []
3.8.15. Лемма. Если L — инъективный линейный оператор из Ж
в Ж, то L замкнут тогда и только тогда, когда L замкнут.
Доказательство. Достаточно заметить, что G{L)=G'(L~l) (опре-
(определение 3.8.7). []
3.8.16. Теорема. Пусть Ж — гильбертово пространство и L — замк-
замкнутый инъективный линейный оператор из Ж на Ж. Тогда 1тх <з
2450).
Доказательство. По предыдущей лемме Lrx замкнут. Так как
D(L~l) = Ж, то утверждение теоремы следует из теоремы о замк-
замкнутом графике, примененной к L~l. []
Это обобщение теоремы 3.5.3 и есть обещанный выше ключе-
ключевой результат об устойчивости для замкнутых операторов. Если
известно, что уравнение Ц = g имеет точно одно решение при
каждом ц^Ж (т. е. L биективен), то в случае замкнутого опера-
оператора L этот результат гарантирует непрерывную зависимость ре-
решения от g. На спектральном языке этот результат означает, что
если XI — L биективен, a L замкнут, то X лежит в резольвентном
множестве. Это в точности то же утверждение, что и в случае не-
непрерывного оператора L (лемма 3.7.4).
3.8.17. Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение
(p{x)f'(x))'+q(x)f{x) = g(x), 0<х<1, C.8.5)
вместе с граничными условиями /@) = /A) = 0. Как мы увидим
позже, если р, q — гладкие функции и р(х)фО при xg[0, 1], то
это уравнение можно переписать в виде Lf = g, где L — замкну-
замкнутый оператор из i?2@, 1) в i?2@, 1). Тогда из теоремы 3.8.16 по-
получается следующий результат: если C.8.5) имеет точно одно
решение при каждом ^?^2@,1), то это решение непрерывно
зависит от правой части g. Когда C.8.5) описывает какую-то кон-
конкретную задачу, именно такой результат естествен из физических
соображений. В рассматриваемом случае, если соответствующее
однородное уравнение имеет только нулевое решение, то суще-
существование и единственность доказать легко. Однако в общем слу-

3.8. Замкнутые операторы и дифференциальные уравнения 115
чае убедиться в сюръективности не так легко. Дальнейшее об-
обсуждение этих вопросов мы отложим до гл. 10.
В двух следующих леммах приводятся полезные критерии
существования ограниченного обратного.
3.8.18. Лемма. Пусть L — линейный оператор из гильбертова про-
пространства Ж в Ж. Тогда справедливы следующие утверждения:
(i) Если существует такое m > 0, что |Щ||^т||/|| при всех
/^D(L), го L замкнут тогда и только тогда, когда замкнуто
R(L).
(ii) Если L замкнут, то Ь-1^3?(Ж) тогда и только тогда,
когда R{L) плотно в Ж и существует такое m > 0, что \\Lf\\ ^
т||/|| при всех f ^D(L).
Доказательство, (i) Из условия ||L/|| ^ т||/|| следует, во-первых,
что L инъективен и, значит, имеет обратный L с D(L~{) = R(L),
а во-вторых, что IIZ.-1^!! <: m-Mlgll при g^D(L~l). Стало быть,
оператор Lrx ограничен на R(L), и по лемме 3.8.5 он замкнут
тогда и только тогда, когда R(L) замкнуто. Остальное вытекает
из леммы 3.8.15.
(ii) Если 1~Х^%(Ж), to III-^IK \\L-l\\\\f\\, откуда для g =
L~lf получаем ||Lg|| ^ ll/HIHIIgJI при g^D(L). Чтобы доказать
обратное, заметим, что, в силу (i), R{L) замкнуто, а поскольку по
предположению оно плотно в Ж, то R(L) — Ж. Так как L инъек-
инъективен, то, по теореме 3.8.16, L~l e SB (Ж). []
3.8.19. Лемма. Пусть L — замкнутый инъективный линейный опе-
оператор из гильбертова пространства Ж в Ж. Предположим, что су-
существует такой линейный оператор М из Ж в Ж с плотной в Ж
областью определения, что R(M)czD(L) и LMf = / для всех
fD(M). Если М ограничен на своей области определения, то
l
Доказательство. Так как LMf = f при всех f^D(M), то R(L)
плотно в Ж. Кроме того, Mf — L~lf на D(M), и потому L~{ огра-
ограничен на D(M). Но L замкнут (лемма 3.8.15). Следовательно,
по лемме 3.8.5, примененной к L~l, область D(L~1) — R(L) замк-
замкнута. Значит, R(L) = Ж, и нужный результат вытекает из тео-
теоремы 3.8.16. ?
Приведенные выше результаты подчеркивают аналогию в свой-
свойствах замкнутых и непрерывных операторов. Среди них отсут-
отсутствуют, конечно, аналоги тех результатов о непрерывных опера-
операторах, которые опираются на явное использование операторной
нормы. Например, основная теорема теории возмущений (теорема
3.6.3) неприменима к неограниченным операторам. В действитель-
действительности вопрос о возмущениях одного замкнутого неограниченного

116 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
оператора посредством другого имеет первостепенное значение
для квантовой механики, и для его исследования были разрабо-
разработаны другие эффективные методы (см. Като [1966]). Некоторое
представление о них дает задача 3.33; идея состоит в том, что
нужно рассматривать возмущения, малые относительно заданного
оператора.
Задачи
3.1. Если линейный оператор не инъективен, то обратный к нему не определен.
Покажите путем построения примера, что в R2 уравнение Ц = g с неинъектив-
ным L все же может при некоторых g иметь решение, и выведите критерий, поз-
позволяющий узнавать, при каких g это так.
3.2. Определим операторы правого и левого сдвига SR, SL'. h-^-h следующим
образом:
SR (av a2, ...) = @, alf a2, ...), SL (av а2, ...) = (а2, а3, ...).
Покажите, что SR инъективен, но не сюръективен, а SL сюръективен, но не инъ-
инъективен. Это еще один пример нарушения теоремы 3.3.11 в бесконечномерном
случае.
3.3. Покажите, что если L: ^-><^, М: Ж-^Ф, где J?, cf, iZ) — нормированные
векторные пространства, то ||LM|| < ||L||||M||.
3.4. Допустим, что т = max Jsup J] | a^ |, sup ^ | ai}- \\ < оо. Установите ана-
лог неравенства Юнга 2.5.4 и выведите из него, что оператор L: 1Р-^1Р (р ^ 1),
задаваемый формулой (Z,/)/ = ^ а//// (/> 1), ограничен и ||L|| ^ т.
1
3.5. Пусть Q — конечный или бесконечный интервал вещественной прямой,
k: fiXfi-vC — измеримая функция и
Докажите при помощи неравенства Юнга, что если
т
= max < sup \ | k(х, y)\dy, sup \ | k(х, у) \ dx > < оо,
то при любом р >1 оператор К: 2?Р(&) -+3?р(п) ограничен и
3.6. Рассмотрим интегральный оператор К вида
где k — непрерывная функция, а а — положительное число. Покажите, что если
^([0, 1]) наделено sup-нормой, то /( е i?(9*([0, 1])) при а < 1. Сформулируй-
Сформулируйте условие на а, гарантирующее ограниченность оператора /С: i?p@, l)->
&@, 1).

Задачи 117
3.7. Пусть ^((—оо, оо)) наделено sup-нормой, функция к непрерывна и
оо
sup \ \k(x, y)\dy < оо.
х J
— оо
В обозначениях задачи 3.5 покажите, что К е= i?(^((—оо, оо))).
3.8. Покажите, что всякое сепарабельное гильбертово пространство изометриче-
изометрически изоморфно h.
3.9. Докажите, что ^($, <&) в определении 3.5.4 есть нормированное векторное
пространство.
3.10. Пусть $ и ^ — банаховы пространства и Lg^^, (ё>). Покажите, что
если R(L) замкнуто, то найдется такое ш, что для каждого g^R(L) существует
/ е^ с Ц = g и 11/11 < m||g||. [Воспользуйтесь теоремой 3.5.1.]
3.11. Пусть (Ln) —- последовательность операторов в ^(J?, *&). Покал<ите, что
Ln-^-L тогда и только тогда, когда существует стремящаяся к нулю последова-
последовательность (ел) вещественных чисел, такая что || (Ln — L)f\\ ^ ел||/|| при всех
3.12. Пусть (\in)—сходящаяся последовательность в ^([0, 1]), наделенном sup-
нормой, скажем \in-*\i. Положим Mnf(x) = \in{x)f(x)t Mf(x) = \i(x)f(x). По-
Пока жите, что Мп-*-М. Всегда ли это верно, если iin-+\i лишь поточечно?
3.13. Пусть .$ —банахово пространство. Предположим, что Ln, L~l
при каждом п ^5 1 и lim Ln = L е ^(^). Покажите путем построения контрпри-
контрпримера, что L~l необязательно существует. Докажите, что L~1e^>(^?) тогда и
только тогда, когда последовательность (Ц^]) ограничена, и что если это ус-
условие выполнено, то L~ -> L~ .
3.14. Пусть LG^(il, (&)у где ^, ^ — банаховы пространства. Покажите, что
I существует и ограничен на R(L) тогда и только тогда, когда найдется такое
т >> 0, что ||L/|| ^ rn\\f\\t f ge $. Докал<ите, что если это неравенство выполнено,
то R(L) замкнуто, и выясните, обязательно ли R(L)= Я8.
3.15. Пусть Ш — гильбертово пространство и L^ $(Ж). Предполол<им, что най-
найдется т > 0, при котором | (L/, /) | ^ m||f||2, / е= Ж. Покажите, что L~l е= 3?{2в).
3.16. Пусть k<=.3?\{—оо, оо). Определим операторы /С, Ка' 3?2(—°°i оо)->
j?2(—оо, оо) следующим образом:
Kf(x)= J k(x-y)t(y)dy,
0, \х\>а.
Покажите, что Ка не сходится равномерно к К при а-^оо.
3.17. Пусть выполнены предполол<ения предыдущей задачи. Если \\k\\\ < 1, то
уравнение
а
-a<x<a, (*)

118
Гл. 3. Основы теории линейных операторов
при а = оо легко решаетя для g & 3?2(—°°, °°) при помощи преобразования
Фурье. Правдоподобно, что при больших а решение /«> служит приближением
к решению уравнения (*), однако отсутствие равномерной сходимости, казалось
бы, исключает любые рассуждения, опирающиеся на теорему 3.6.3. Докажите тем
не менее, что
( г
< \
М*1
где ||-Иг, а— норма в &2(—а, а),
3.18. Пусть С2 наделено нормой
представление
Докажите, что ro(L) =Um\\Ln\\Wn.
3.19. Пусть С3 наделено нормой
представление
о, и пусть L: С2-
/2
имеет матричное
пусть L: С3-
имеет матричное
Г 0 3 2"]
0 0 1
L-1 о oJ
Покажите, что ra(L) = 31/2, в то время как ||L|| =5. Сравните этот результат
с оценками, которые получаются по теореме 3.7.11: ||L2||1/2 = 51/2, ||L3||1/3 = 131/3,
l/41/4
3.20. Пусть Sl: h~^h — оператор левого сдвига (задача 3.2). Покажите, что
точечным спектром L является внутренность единичного круга, непрерывным
спектром — граница этого круга, а остаточный спектр пуст.
3.21. Докажите теорему о спектральном отображении для многочленов (тео-
(теорему 3.7.10).
3.22. Пусть LG^jJf), где $— банахово пространство. Покажите, что \\R(%;
L)\\ ^ lld(K), где d(X) —расстояние от К до a(L)
3.23. Если известно хорошее первое приближение, то может оказаться полезным
следующее небольшое обобщение метода последовательных приближений.
Пусть М ^ ??($), где $ — банахово пространство, и го(М) <С 1. Покажите, что
последовательность (/п), где fn = g + Щп-\ (п ^ 1), сходится к решению урав-
уравнения f — Mf = g при любом начальном приближении /0.
3.24. Пусть ^([0, а]) наделено sup-нормой. Для непрерывной комплекснознач-
ной функции k определим интегральный оператор Вольтерры К: & ([0, а]) ->
^([О, а]), полагая
*/(*)=$ k(x,y)f(y)dy.
Пусть m(x)= sup \k(x,y)\. Покажите, что
0<г/<л;
I Knf (х) | < [хпг(х)]п || f «/л!, 0 < х
Выведите отсюда, чтог0(К) = 0. Следовательно, о (К) состоит из одной точки 0,
и по теореме 3.7.11 ряд Неймана для интегрального уравнения Вольтерры (XI-*
~~ K)f = S сходится при всех X ф 0.

Задачи 119
3.25. Пусть *&([¦—lt 1]) наделено sup-нормой. Рассмотрим интегральное уравне-
уравнение
Я/М- \ xyf (у) dy = g (х), -КК1,
где ge^([—1, 1]), и обозначим соответствующий интегральный оператор че-
через К. Покажите, что при К ф О, 2/3
= Я \g (х) + -gj^y S *^ ^ ^ '
R (Я; /С) gj^y S
Очевидно, что функция R(-\K) аналитична всюду, кроме точек X — О, 2/3, ко*
торые и составляют спектр К. По существу, это теоретико-операторный вариант
классической теоремы Фредгольма; выражение ЗхуЦЗХ — 2) есть так называемое
резольвентное ядро.
3.26. Пусть MeS'll), где $ — банахово пространство, и пусть К лежит вне
некоторого выпуклого множества, содержащего о(М). Положим XI — М = \il-~
— N, где \х = Я — а, N = M — olL Покажите, что можно выбрать такое asC,
что сходится модифицированный ряд Неймана Yj{\^~xN)n> В терминах теории
функций комплексной переменной новый ряд есть аналитическое продолжение
в область |л| < го(М), определяемое разложением по степеням (М — а1)/(К —
-а).
Этот метод (относящийся к методам верхней релаксации) иногда оказы-
оказывается , полезным для увеличения скорости сходимости ряда Неймана (по по-
поводу его приложений см. задачу 7.15 и статью Хатсона, Кендалла и Мейлина
[1972]). Кроме того, он показывает, что иногда модифицированным рядом Ней-
Неймана можно пользоваться и при \Х\ <Сго(М). Например, если спектр веществен
(что имеет место для самосопряженных операторов — см. гл. 6), то годится лю-
любое Я с Im X ф 0.
Во всех остальных задачах Ж есть гильбертово пространство, a L, М — линей-
линейные операторы из 26 в Ж.
3.27. Пусть L замкнут. Докажите, что
(i) L + А замкнут, если Л е 2?{Ж)\
(и) нуль-пространство N (L) оператора L замкнуто.
3.28. (i) LdM тогда и только тогда, когда G(L) a G(M). (ii) Всякое линейное
подпространство графика само является графиком.
3.29. Покажите, что L замыкаем тогда и только тогда, когда g = 0 для всякой
последовательности (/„), такой что fns/)(L), fn-+Q и Lfn-*g.
3.30 (Рид и Саймон [1972]). Дадим пример незамыкаемого оператора. Пусть
{фл} — ортонормированный базис сепарабельного гильбертова пространства Ж.
Пусть е — какой-нибудь вектор из Ж, не принадлежащий выпуклой оболочке век-
векторов ф« (обозначим ее Ж). Определим D(L) как прямую сумму Ж и одномер-
одномерного подпространства {ае: йеС)и для произвольного натурального N и любых
a, Qi, ..., un ^C положим
/ N \
( пе + Yj пп^п I
V д-1 /
: ае.
Покажите, что @, e)GG(L), и выведите отсюда, что L не замыкаем.
3.31. Если L: Ж-+Ж и (L/, g) = (/, Lg) при всех /, g евЖ} то L ограничен.

120 Гл. 3. Основы теории линейных операторов
3.32. Дифференциальные операторы, отвечающие одному и тому же формальному
оператору, могут обладать совершенно разными свойствами. Пусть Ж = 3?2@, 1)
и / = idfdx. Пусть s4< — множество абсолютно непрерывных функций с пер-
первыми производными в ??2@, 1). Положим
D(L1) = {/:/^^}, Lit = ll /sD(L,)f
D (L2) = {f: f e j*. / @) = 0}, L2/ = If, feD (L2).
Тогда Lif = L2/ при feDfL^U D(L2), а последнее множество плотно в 2*2@, 1).
Покажите, что, несмотря на это, a(Lj)— вся комплексная плоскость, а o(L2)
пуст (вычислите /?(Я ^))
3.33*. Возмущения замкнутыми операторами (ср. с теоремой 3.6.3). Оператор М
назовем L-ограниченным, если D(M)^D(L) и существуют неотрицательные по-
постоянные a, bt такие что
f&D(L).
Допустим, что L замкнут, а М является L-ограниченным с постоянной b <; 1.
Докажите, что
(i) L + М замкнут;
(ii) если L имеет ограниченный обратный и a\\L-l\\-\-b <. \} то (L +
I2?(|?) и
|| (L + МГЧ1 < IU~4I О - а || L~4I - 6Г\
Результаты такого типа играют основную роль в теории возмущений для диф-
дифференциальных операторов (см. Като [1966, § 4.1]).

Глава 4
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
4.1. Введение
До сравнительно недавнего времени теория нелинейных уравне-
уравнений представляла собой по сути дела набор разрозненных резуль-
результатов, касающихся отдельных задач. Однако за последние годы
были достигнуты большие успехи, и сейчас в нашем распоряже-
распоряжении имеются довольно общие результаты о нескольких широких
классах уравнений. Важную роль в этом процессе сыграл функ-
функциональный анализ. Пожалуй, именно здесь вклад функциональ-
функционально-аналитических методов в приложения оказался наиболее цен-
ценным. В этой и последующих главах мы кратко опишем самые
полезные для приложений разделы теории нелинейных операторов.
При изучении линейных операторов в банаховых простран-
пространствах большую помощь при отыскании плодотворных путей иссле-
исследования оказывают весьма содержательные общие принципы, из-
известные для конечномерного случая. Почти все трудности связаны
здесь исключительно с переходом от конечного числа измерений
к бесконечному и потому носят, по существу, аналитический ха-
характер. В случае нелинейных операторов тоже естественно обра-
обратиться сначала к конечномерным аналогиям. Однако конечномер-
конечномерные нелинейные задачи часто и сами очень сложны. Изучением
таких задач активно занимаются и в настоящее время, причем
многие из основных результатов в этой области получены лишь
недавно; стандартное руководство по конечномерным нелинейным
задачам — книга Ортеги и Рейнболдта [1970]. Теорию нелиней-
нелинейных операторов в конечномерном случае можно классифицировать
как геометрическую теорию, ибо в ней исследуют „форму" функ-
функций. Поэтому можно сказать, что теория нелинейных операторов
в банаховых пространствах состоит из геометрической и аналити-
аналитической частей и что геометрическая часть играет более заметную
роль, чем в линейной теории.
При отыскании методов решения нелинейных операторных
уравнений обычно действуют следующим образом. Вначале на
основе геометрической интуиции предлагается какой-нибудь под-
подходящий метод для пространств малой размерности. При этом
нужно убедиться, что соответствующая процедура имеет смысл
и в банаховых пространствах. Отметим, что идейные трудности

122 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
даже при работе с функциями из R2 в R2 столь велики, что часто
лучше обратиться сначала к одномерному случаю. Затем делается
попытка проверить, пригоден ли найденный метод для произволь-
произвольного конечномерного пространства. И наконец нужно сделать
аналитический шаг от конечной размерности к бесконечной, на
этом этапе иногда помогает линейная теория.
Исходя из нужд приложений, естественно прежде всего искать
общие конструктивные методы решения, включающие в себя чис-
численные методы, основанные на итерациях. Наверное, можно ска-
сказать, что для почти всех типов линейных уравнений конструктив-
конструктивные методы известны, однако для нелинейных уравнений положе-
положение гораздо хуже. Для определенных классов уравнений действи-
действительно имеются очень эффективные конструктивные методы. Од-
Однако для многих возникающих на практике уравнений таких мето-
методов нет, и часто приходится опираться лишь на качественные
соображения, связанные с вопросами существования, единствен-
единственности, устойчивости и т. п., которые позволяют тем не менее по-
получить достаточно полное представление о поведении системы. Ис-
Исследование подобных соображений составляет заметную часть
нелинейной теории.
Изложение теории нелинейных операторов начинается в сле-
следующем параграфе с описания некоторых типичных задач для
дифференциальных и интегральных уравнений; затем приводится
их унифицированная формулировка в терминах „неподвижных
точек" оператора. В остальной части главы изучаются простейшие
результаты теории. Здесь не привлекается никаких более глубо-
глубоких аналитических понятий, чем полнота банахова пространства,
и по уровню трудности эта глава сравнима с предыдущей. Обсуж-
Обсуждаются два родственных метода, обобщающие известные алго-
алгоритмы решения уравнений в одномерном случае. Первый основан
на идее последовательных приближений исходя из правдоподоб-
правдоподобного первого приближения. Эта процедура с успехом применялась
в гл. 3 для линейных операторов. Она приводит к знаменитому
принципу сжимающих отображений (или теореме Банаха о непо-
неподвижной точке). Второй метод представляет собой бесконечномер-
бесконечномерный вариант алгоритма Ньютона. Для его описания нужно разра-
разработать подходящее определение „производной" оператора. Этим
объясняется введение в § 4.4 производной Фреше.
Обоими указанными методами можно пользоваться для уста-
установления существования и единственности решений, и оба они
конструктивны. Поэтому в случаях, когда они применимы, можно
получить сколь угодно полные ответы на все интересующие нас
вопросы. При этом выводы, к которым мы придем, очень напо-
напоминают полученные в § 3.6 для уравнения (/ — L)f = g, где
II L || <С 1. Таким образом, теория этой главы в некотором смысле
параллельна изложенной выше линейной теории. Как и там, на

4-2. Предварительные сведения 123
оператор налагаются сильные ограничения; обсуждение более
тонких методов нам придется отложить до того, как будут вве-
введены дальнейшие понятия теории банаховых пространств.
Что касается ссылок, то здесь положение хуже, чем для ли-
линейных операторов, ибо ни одного исчерпывающего руководства
по нелинейной теории не существует. Пожалуй, ближе всего под-
подходят к полному изложению взятые вместе три книги Красносель-
Красносельского [1956, 1962, 1969] !), дополненные книгой Бергера [1977],
где описаны некоторые недавние достижения в этой области. По-
Полезны также Смарт [1974], где дается краткий обзор теорем о не-
неподвижной точке, Крейн [1972] и Красносельский [1954], содер-
содержащие очерк многих важных направлений теории без особых тех-
технических подробностей, и Саати [1967], где главное место отве-
отведено приложениям. По поводу содержания этой главы см. Ролл
[1969] и Красносельский и др. [1969].
4.2. Предварительные сведения
В этом параграфе приводятся некоторые вводные замечания, ка-
касающиеся формулировки нелинейных задач, наиболее удобной с
точки зрения абстрактной теории операторов. Прежде чем пере-
переходить к общим рассмотрениям, полезно знать некоторые наводя-
наводящие конкретные примеры, поэтому мы начнем с описания несколь-
нескольких типичных задач, включающих дифференциальные и интеграль-
интегральные уравнения.
4.2.1. Пример. Важную роль в приложениях играет задача Коши
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эту
задачу можно записать в виде
ПО = *['./(')], '>of ,.gn
f@) = a, D*2Л)
где / принимает значения в Сп и г|): [0, оо)Х СЯ->СЯ; ищется ре-
решение с непрерывной первой производной. Путем интегрирова-
интегрирования D.2.1) приводится к нелинейному интегральному уравнению
Вольтерры
f(t) = a+ J* [5> f(s)]ds. D.2.2)
о
Если ф непрерывна и f e <?7( [0, to], Cn)—решение D.2.2), то пра-
правая часть D.2.2) имеет непрерывную первую производную. Сле-
Следовательно, f <= <??1 ([0, to], Сп) и дифференцированием можно
1) Последняя написана М. А. Красносельским вместе с рядом соавторов, см,
список литературы. — Прим. перев.

124 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
вернуться к D.2.1). Итак, D.2.1) и D.2.2) эквивалентны, но
с D.2.2) иногда легче работать.
4.2.2. Пример. Не менее важную роль играет и граничная задача
для обыкновенного дифференциального уравнения или уравнения
в частных производных. Она тоже часто сводится к интегральному
уравнению (при помощи функции Грина), с которым иногда опять
проще иметь дело. Сравнительно простой пример дает задача
/@) = /(!) = О, [4'2-6>
где г|): [0, 1]ХС->С непрерывна, а от решения требуется при-
принадлежность к <ё>2{ [О, 1]). Если со > —я2, то эту задачу можно пе-
переписать в виде интегрального уравнения
D.2.4)
Здесь & —функция Грина, которую можно найти в явном виде.
Например, в простейшем случае со = 0
k(x, у) = < ,, ч с\^- ^ ^ л D.2.5)
v Uf I x(l — у) при 0<л;<#<1. v ;
В общем случае функция k, отвечающая любому со > —я2, не-
непрерывна на [0,1]Х[0, 1] и неотрицательна.
4.2.3. Пример. Уравнение
f(x)=\k(x, у, f(y))dy + g(x) D.2.6)
с заданными k и g, где Q — замкнутое подмножество в Rn, из-
известно как интегральное уравнение Урысона. Его частным слу-
случаем, изучением которого много занимались, является интеграль-
интегральное уравнение Гаммерштейна
f(x)=\k(x,y)y[y,f(y)]dy. D.2.7)
Важность этих уравнений в немалой степени объясняется тем, что
они охватывают как частные случаи и те интегральные уравнения,
которые получились в двух предыдущих примерах.
4.2.4. Пример. Еще один тип задач заслуживает специального
упоминания. Рассмотрим следующее интегральное уравнение с па-
параметром ц:

4-2. Предварительные сведения 125
Очевидно, что нуль является решением при всех |л, но практиче-
практический интерес представляют те значения ja, при которых существует
ненулевое решение. По аналогии с линейным случаем эту задачу
можно назвать задачей на собственные функции; при этом \х
называют характеристическим значением (оно обратно собствен-
собственному значению). Такие уравнения весьма важны для приложений,
однако их рассмотрение представляет особые математические
трудности, связанные с наличием тривиального нулевого решения.
Кроме того, между линейной и нелинейной задачами на собствен-
собственные функции имеются существенные качественные различия. Не-
Некоторые методы, разработанные для таких задач, описаны в гл. 14.
Теперь покажем, как можно сформулировать приведенные
выше примеры в виде задач теории операторов. Рассмотрим D.2.6)
и определим сначала формально
Af(x)=\k(x,y, f(y))dy+g(x), x<=Q.
Тогда D.2.6) примет вид
f = Af. D.2.8)
4.2.5. Определение. Точка f называется неподвижной точкой опе-
оператора Л, если f = Af.
Итак, утверждение, что Л имеет неподвижную точку, — это
просто сформулированное другим способом утверждение, что
f = Af имеет решение. Преимущество новой формулировки в том,
что она наглядно выражает геометрическую суть дела: всякая
неподвижная точка остается на месте при действии оператора Л.
Эта точка зрения ярко подчеркнута в интересной статье Шинбро-
та [1969]. В текущей литературе по теории нелинейных операто-
операторов такая формулировка широко принята, и многие результаты
появляются в виде теорем о неподвижных точках.
Следующий простой пример позволит осветить некоторые ха-
характерные черты нелинейных задач, влияющие на построение тео-
теории нелинейных операторов.
4.2.6. Пример. Уравнение Гаммерштейна
1
f{x) = \*[f(y)]dy + a D.2.9)
О
(с вещественным а и непрерывной г|э) можно записать в виде
/ = Л/, где Л определен формально соотношением
1

126 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
Чтобы уточнить определение Л, нужно прежде всего выбрать под-
подходящее банахово пространство. Если в случае линейных уравне-
уравнений обычно имеется много разных возможностей, то здесь сле-
следует проявить большую осторожность. Так, если г|)(г) = г2, то Л
нельзя определить на i?p@, 1) при 1 ^ р < 2, поскольку функция
[/(•)]2 не будет интегрируемой для всех / из такого пространства;
если же г|)[г] = ехр (г), то не подходит вообще никакое конечное
значение р. Таким образом, пространство 3?р в данном случае —
далеко не идеальный выбор, но если все же приходится идти на
него, то нужно принимать специальные меры предосторожности,
с учетом скорости роста г|х Эта трудность исчезает при переходе
к ^([0, 1]), и, когда это допустимо, с этим пространством рабо-
работать легче.
Второе замечание касается алгебраической структуры опера-
оператора Л. В противоположность линейному случаю теперь не имеет
смысла определять А так, чтобы он обращался в нуль в начале,
и исследовать уравнение f = Af-\-g. Поэтому в нелинейной теории,
вообще говоря, АО Ф 0.
Чтобы проиллюстрировать третью особенность нелинейных за-
задач, допустим, что г|)[г] = | г |2/2. При малых а можно еще ожи-
ожидать, что метод последовательных приближений приведет к успе-
успеху, поскольку вклад от соответствующего интеграла будет меньше,
чем в линейном случае i|) [z] = г/2. Однако при больших а из-за
нелинейности итерации быстро растут и сходимости ожидать не
приходится — и, действительно, уравнение может не иметь реше-
решения (см. задачу 4.2). При исследовании такого уравнения есте-
естественно учитывать, какая область банахова пространства пред-
представляет интерес для рассматриваемой задачи, и, как правило,
следует ограничиться поисками решения в каком-то ограниченном
подмножестве (часто — некотором замкнутом шаре) выбранного
пространства, даже если оператор допускает удобное определение
во всем пространстве.
Итак, абстрактная постановка для изучения нелинейных задач
такова. Рассматриваются банаховы пространства J?, ^ и опера-
оператор A: D-+-&, где D — некоторое заданное подмножество J?.
В случае задачи о неподвижной точке, конечно, $ = <&. Ясно, что
даже в одномерном случае трудно продвинуться дальше без пред:
положения о непрерывности оператора Л, и всюду в дальнейшем
на Л налагается это требование. Можно ввести и понятие огра-
ограниченности, например потребовав, чтобы
но в противоположность линейному случаю теперь ограниченность
и непрерывность не эквивалентны (даже в размерности 1). Из

4-2. Предварительные сведения 127
двух этих понятий непрерывность гораздо важнее. Условия непре-
непрерывности интегральных операторов можно найти у Красносель-
Красносельского [1956] или Забрейко и др. [1968]. Для дальнейших ссылок
приведем следующие леммы:
4.2.7. Лемма. Пусть г < оо и dr — круг {г: 2gC, \z\ ^r).
Предположим, что [а, Ь]—конечный отрезок. Если функция к:
[а, &]Х[я,Ь]ХА-->С непрерывна, то оператор Урысона А:
i [a, b]), определенный формулой
и
Af(x)=\ k{x,y,f(y))dy,
непрерывен] здесь D — замкнутый шар S@, r) в
snp-нормой.
4.2.8. Лемма. Пусть [а,Ь]—конечный отрезок и k: [a,6]X
[а,6]->С, i|): [а,6]ХС->С — непрерывные функции. Предполо-
Предположим, что существуют вещественные числа р ^ 1 и а, C, такие что
|р, хе=[а, 6], геС.
оператор Гаммерштейна А, определенный формулой
ь
Af(x)=\ k(x,y)$[y,f(y)]dy,
а
непрерывно отображает 3?р(а, Ь) в себя.
Иногда находит применение и понятие обратного оператора,
хотя оно и не так полезно, как в линейном случае.
4.2.9. Определение. Пусть $ и в7 — банаховы пространства и D —
подмножество в ^. Пусть A: D-+& инъективен. Оператор Л-1:
/?(Л)->?) называется обратным к Л, если он переводит каждый
элемент g^R(A) в его (единственный) прообраз, т. е. в един-
единственное решение уравнения Af = g.
Говорят, что Л осуществляет гомеоморфизм между DocD и
RoCiR(A), если Л: Do-+Ro биективен и Л: ?>о->/?о, A-1: Ro-+Do
непрерывны.
Очевидно, что каждый из приведенных выше примеров можно
сформулировать (при разумных условиях на заданные функции)
как задачу поиска неподвижных точек непрерывного оператора Л:
D-+HH, где D — соответствующее подмножество банахова про-
пространства J?, в качестве которого часто оказывается удобным вы-
выбирать ^(Q). В следующем параграфе мы приведем простейшие
теоремы о неподвижных точках.

128
Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
4.3. Принцип сжимающих отображений
Самым простым методом приближенного вычисления корней мно-
многочленов является, пожалуй, метод последовательных приближе-
приближений; во всяком случае, он почти наверняка самый старый —его
история насчитывает более двух тысячелетий. В существенно бес-
бесконечномерном случае первым его применил Лиувилль, который
решал с его помощью задачу Коши для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. Первый абстрактный результат в этой обла-
области принадлежит Банаху A922 г.) и известен под названием
,,принцип сжимающих отображений" или „теорема Банаха о не-
неподвижной точке". Поскольку этот результат конструктивен, он
У\
УЬ у=
У=х/
У =
! !^)
1
1 у
у=у
л.
(а)
Х\ хх2 х0 (b)
Рис. 4.1.
Х\
X Х0
оказался очень полезным для приложений, и мы начнем изложе-
изложение нелинейной теории сравнительно подробным исследованием
соответствующей процедуры, ее обобщений и приложений.
Рассмотрим прежде всего одномерный пример: пусть D = [0, 1]
и ф: D->-R непрерывна. Посмотрев на график ф, можно сразу
понять, что если ф отображает D в себя, то А заведомо имеет
в D неподвижную точку; если же это условие нарушено, то непо-
неподвижных точек может и не быть. Гарантирует ли это условие
существование неподвижной точки в случае большего числа изме-
измерений, совсем не ясно. К этому вопросу мы вернемся в гл. 8, а
здесь пойдем по другому пути. Предположим, что q(D)czDy и по-
посмотрим, как найти неподвижную точку последовательными при-
приближениями. Определим последовательность (хп), взяв xo^D
и положив Хп+\ = Ц>(хп) для п ^ 0. Если график ф таков, как
на рис. 4.1,(а), то последовательность сходится к неподвижной
точке при любом начальном приближении, а если таков, как
на рис. 4.1, (Ь), то последовательность расходится (если только
сама начальная точка х0 не является неподвижной). Мы заме-
замечаем, что в первом случае |я|/(х)| < 1 на D, и дальнейшие

4-3. Принцип сэюимающих отобраэюений 129
„эксперименты" с графиками убеждают, что это условие доста-
достаточно для обеспечения сходимости. На самом деле, как нетрудно
понять, необязательно, чтобы ер была дифференцируемой, доста-
достаточно наложить некоторое условие на ее рост. Несколько более
слабое условие, чем дифференцируемость, таково: существует чи-
число q < 1, для которого
1фМ-ф(#)К<7и-П *> У^О. D.3.1)
По очевидным причинам такую функцию называют сжимающей.
Разумеется, если ер дифференцируема, то в качестве q можно
взять
= sup|q/(*)|. D.3.2)
p
Итак, мы приходим к следующей формулировке принципа сжима-
сжимающих отображений, которая имеет смысл и в общем банаховом
пространстве: если D замкнуто и qp: D-+D — сжимающее отобра-
отображение, то ф имеет единственную неподвижную точку х в D, причем
х — limxn.
Попытаемся оценить перспективу справедливости этого прин-
принципа в произвольном банаховом пространстве. Как показывает
исследование аналогичной линейной задачи, аналитические труд-
трудности не будут непреодолимыми. В самом деле, возьмем D=$
и предположим, что Af = Lf + h для f Gjf, где Ле^и Le
Тогда
и если || L || < 1, то выполнен аналог D.3.1). С другой стороны,
известно (следствие 3.6.2), что если ||L||<1, то уравнение
/ = Ц -f- h (= Af) имеет единственное решение, которое получа-
получается последовательными приближениями. Это и есть приведенное
выше утверждение.
Итак, принцип сжимающих отображений подкрепляется эври-
эвристическими соображениями. Строгий анализ, который мы далее
проведем, окончательно установит его справедливость. Начнем
с нескольких определений, последнее из которых обобщает D.3.1).
Всюду в дальнейшем D — подмножество банахова пространства
^иЛ отображает DbI
4.3.1. Определение. Говорят, что А удовлетворяет условию Лип-
Липшица на Z)c константой (Липшица) q, если существует такое
q < оо, что
В одномерном случае функция, удовлетворяющая условию
Липшица, абсолютно непрерывна и, следовательно, почти всюду

130 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
дифференцируема. В случае неограниченной области D удобно
пользоваться следующей терминологией.
4.3.2. Определение. Будем говорить, что А удовлетворяет локаль-
локальному условию Липшица, если для каждого ограниченного ScZ)
оператор А удовлетворяет условию Липшица на 5 с константой qs
(которая может зависеть от S).
4.3.3. Определение. Оператор Л, удовлетворяющий условию Лип-
Липшица с константой <7<1, называется сжимающим (или сжа-
сжатием).
4.3.4. Принцип сжимающих отображений. Предположим, что А
отображает замкнутое подмножество D банахова пространства $
в D и является сжимающим. Тогда А имеет в D единственную
неподвижную точку, скажем f. Далее, при любом начальном зна-
значении /обВ последовательные приближения fn+i=Afn (п^О)
сходятся к f, и справедлива следующая оценка скорости сходи-
сходимости:
f1-/oll. D.3.3)
Доказательство. Поскольку А — сжимающий оператор, то
llfn-fn+iMAL-i-Afnll
и из леммы 1.4.3 следует, что при п> m
Этим доказано, что (fn)— последовательность Коши. Так как D
замкнуто и (fn) d D, последовательность_ (/я) сходится в D к не-
некоторому f. В силу непрерывности Л, Af == limAfn = lim/n+1 = f,
т. e. f — неподвижная точка. Чтобы доказать единственность, до-
допустим, что g —другая неподвижная точка А. Тогда
\\f ~ g\\ = \\Af - AgW^qff - g\\.
Поскольку q < 1, это означает, что f = g.
4.3.5. Следствие. Пусть /о — некоторая точка 3&. Предположиму
что А — сжимающее отображение с константой Липшица q на
S(fo,r),ede
-?)-11|Л/о-foil.
Тогда А имеет в S(fo,r) единственную неподвижную точку f, и J
есть предел последовательности (/„), указанной в теореме. Кроме
того, справедлива оценка D.3.3).
Доказательство. Для f e 5(fo, г)

4-3. Принцип сэюимающих отобраэюений 131
Так как II/ —foil <^, отсюда видно, что A(S{f0, r))czS{fOy г), и
утверждаемый результат вытекает из принципа сжимающих ото-
отображений. []
Этот частный случай принципа сжимающих отображений ши-
широко применяется, потому что в качестве D обычно удобнее всего
выбирать некоторый замкнутый шар. Следующий результат, ко-
который полезно сравнить с теоремой 3.6.3 для линейного случая,
показывает, что неподвижные точки устойчивы относительно не-
непрерывных возмущений оператора.
4.3.6. Теорема. Пусть $ и <& —банаховы пространства. Возьмем
замкнутое D а$ и произвольное Еaff и допустим, что отобра-
отображение A: Dy^E-*D непрерывно. Предположим, что существует
такое q <С 1, что при каждом g&E оператор A(-,g) сжимающий
с константой Липшица q. Для всякого g^E пусть f(g) — един-
единственная неподвижная точка A(',g). Тогда функция f(-) непре-
непрерывна, т. е. lim f (g) = f {go) при любом g0 e E.
Доказательство. Существование и единственность / следуют, ко-
конечно, из принципа сжимающих отображений. Чтобы доказать не-
непрерывность, выберем произвольную точку g e E. Имеем
II f (g) -1ЫII = \\А (f (g), g)-A (f (g0), go) II
< IIA (J (g), g) - A (f (g0), g) \\ + \\A (f (g0), g)-A (f (gQ), g0) II
< g II f (g) ~ f (ЫII + II4 (f (go), g)-A (f (go), g0) II,
откуда
II f (g) - f (go)II<A - q)~XIIA(f (g0), g)-A(f (go), go)II.
В силу непрерывности А правая часть стремится к нулю при
g-+go, и, следовательно, f(g)->f(go). D
При применении принципа сжимающих отображений иногда
оператор естественно задать на всём пространстве $у а затем
искать подходящее подмножество Da$. Важность правильного
выбора D показывает следующий простой пример:
4.3.7. Пример. Рассмотрим функцию ср: R-> R, график которой
изображен на рис. 4.2. Ясно, что ср отображает отрезок D = [0, 1]
в себя и является на нем сжатием. Можно заключить, что А имеет
в D единственную неподвижную точку. Однако в R есть и другие
неподвижные точки — единственность гарантируется только в D.
С другой стороны, если в качестве D выбрать, скажем, [0,2],
то неподвижных точек окажется две, и, значит, условия теоре-
теоремы 4.3.4 заведомо нарушены.
Заметим, наконец, что метод последовательных приближений
может приводить к успеху и тогда, когда условия принципа

132
Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
сжимающих отображений не выполнены. Например, при D = [0, 3]
итерации будут сходиться к наименьшей и наибольшей неподвиж-
неподвижным точкам, если взять соответственно х0 = О, х0 = 3.
При попытках практического применения принципа сжима-
сжимающих отображений быстро выясняется, что условие сжатия слиш-
слишком ограничительно. Поэтому важно отметить, что известно много
У\
12 3 X
Рис. 4.2.
способов расширить область применимости этого принципа. По су-
существу, имеются три главных направления. Первое сводится к пе-
перестройке уравнения; оно иллюстрируется задачами 4.8—4.11.
Второе основано на использовании эквивалентной нормы; см. за-
задачу 4.14. Наконец, может случиться, что оператор А не сжима-
сжимающий, а Ап сжимающий. Это важное замечание мотивирует тео-
теорему 4.3.10 ниже.
В качестве типичного применения принципа сжимающих ото-
отображений рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
ПО = *[',/«],
D.3.4)
ищется решение /: Р->СЯ с непрерывной первой производной. Эту
систему можно переписать в виде / = Л/, где
D.3.5)

4-3. Принцип сэюимающих отобраэюений 133
Прежде чем говорить о выборе подходящих условий на г|), рас-
рассмотрим следующие примеры.
4.3.8. Пример. В одномерном случае уравнение
П0 = 2[/@]1/2, О о,
с начальным условием /@) = 0 имеет решение /(/) = 0, 0 ^ t ^ а,
f(t) = (t— аJ, f>a, при каждом а ^ 0. Таким образом, на
любом отрезке [0, /0] решений бесконечно много.
4.3.9. Пример. Снова в одномерном случае рассмотрим уравнение
с тем же начальным условием /@) = 0. На интервале [0, я/2) оно
имеет единственное решение f(O=tg/. Но при t = n/2 тангенс
становится бесконечным, поэтому не существует гладких решений
на [0, t0] при to ^ я/2.
Ясно, что применение принципа сжимающих отображений в
примерах такого типа встретит определенные трудности. В пер-
первом, ввиду нарушения единственности, вообще не приходится ожи-
ожидать, что принцип применим в ^([0, to]) хоть при каком-нибудь t0.
Во втором нарушено условие глобального существования решения
(т. е. при любом to > 0) ив лучшем случае можно надеяться
лишь на какой-нибудь локальный результат при некоторых
^о < я/2. Таким образом, одной лишь непрерывности я|) недоста-
недостаточно ни для глобального существования, ни для единственности.
Ограничение на рост г|), которое мы далее вводим, исключает обе
эти неприятные возможности.
Предположим, что г|э: [0, оо] ХСя->-Ся непрерывна и удовлет-
удовлетворяет следующему условию Липшица: существуют /0 > 0 и /п,
такие что
|о|)(/, zx)-$(t, z2)\^m\zx-z2\ при 0<f</0, zu z2^Cn.
Будем рассматривать пространство <S>([Oyto]y Cn) с sup-нормой.
По интегральной теореме о среднем имеем \\Af — Ag \\ ^
wfoll/ — g\\. Если mto<h то выполнено условие сжатия, из ко-
которого сразу следует существование. Если mt0^ 1, то рассужде-
рассуждения можно видоизменить так, чтобы они имели силу на
®Ч [0> t\],Cn) для некоторого (меньшего) t\. Однако получится
лишь локальный результат. На самом деле можно получить го-
гораздо более сильное заключение.
Указанием, как нужно поступать, служит наблюдение, что если
функция о|)[/, г] линейна по z, то А—линейный оператор Воль-
терры, и его итерации Ап ведут себя лучше, чем он сам (за-
(задача 3.24). С тем чтобы использовать преимущества подобного

134 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
поведения в нелинейном случае, выведем следующее обобщение
принципа сжимающих отображений:
4.3.10. Теорема (Каччополи). Пусть f0 — заданная точка банахова
пространства 9И и D = 5(/о, г). Пусть А: $->$. Положим qo= l и
\\Anf — Ang\\ ^ «
Wfsll ' n>L
оо
Предположим, что ряд ]>] qn сходится, и пусть р — его сумма,
о
Тогда если г ^ р1И/0 — /oil, то А имеет в D единственную непо-
неподвижную точку f и / = lim/rt, где fn = Afn-i при п^\. Кроме
того,
Доказательство. Имеем
II /„+1 -!п\\ = II Ап!х- Anf0II<<7„II fi- /оII = ЯпII Af0- foII-
Прямое вычисление показывает, что при п> m
llf»-/mlKllfl-follZ?*. D.3.6)
m
со
Так как ряд X 9& сходится, то (fn) — последовательность Коши.
о
Значит, она сходится к некоторому пределу f. Полагая /л = 0
в D.3.6), получаем
Следовательно, (fn) лежит в 5(/о, ^), а поскольку это — замкнутое
множество, fES(/o,r). Но А непрерывен, значит, f — неподвижная
точка. Указанная оценка сходимости получается из D.3.6) при
я-э-оо. Что касается единственности, то пусть f, g — неподвижные
точки Л; тогда
\\f-g\\ = \\Anf-Ang\\^qnff-g\\,
и так как qn-^0 при п~>оо, то f = g. []
4.3.11. Теорема (Пикар). Пусть функция г|г. [0, t0] XC'^C'2 не-
непрерывна и удовлетворяет следующему условию Липшица:
| яр (/, г0 - ф (/, 2?2) | < m 12?! - 2?21, D.3.7)

4-3. Принцип сэюимающих отобраэюений 135
Тогда система D.3.4) имеет единственное решение f в ^l( [0,t0], Сп).
При этом f есть предел по sup-норме последовательности (fn),
еде /о = а и
Кроме того,
sup
\ i|) [s, a] ds
Доказательство. Рассмотрим пространство ^([0, /0], С"), наде-
наделенное sup-нормой, и определим оператор Л, отображающий это
пространство в себя, формулой D.3.5). Если мы сумеем доказать,
что А имеет единственную неподвижную точку в Ф( [0, *о],Ся), то
доказываемое утверждение получится отсюда дифференцирова-
дифференцированием. Применим предыдущую теорему. Оценку для qn получим
из неравенства
^f г0, D.3.8)
которое устанавливается следующим образом. При п = 1 оно оче-
очевидно. Если оно справедливо при некотором п^1, то
t
| An+lf (t) - An+1g (t) | < \ | * [s, Anf (s)] - ф [s, Ang (s)} | ds
0
t
< m J | Anf (s) — Ang (s) | ds (no D.3.7))
о
SitnsY*'
nl ds (по предположению)
0
¦llf-gll.
=
(/i+l)!
Отсюда по индукции следует D.3.8). Таким образом, qn ^ (mto)n/n\
и
Указанная оценка решения получается, если выбрать г = р|| Л/о —
fo II. D
Ясно, что для справедливости глобального результата о суще-
существовании и единственности типа доказанного выше функция г|?

136 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
должна удовлетворять какому-то очень сильному условию. Есте-
Естественно, большой интерес вызывает исследование уравнения при
более слабых ограничениях на г|). Не делая никаких попыток при-
привести обзор обширной литературы на эту тему (см. Флетт [1979]),
мы только отметим два имеющихся здесь стандартных типа ре-
результатов. В первых (задача 4.15) выполнено локальное условие
Липшица, как в примере 4.3.9, и при помощи принципа сжима-
сжимающих отображений удается доказать локальное существование
решения. Во вторых предполагается только непрерывность -ф, как
в примере 4.3.8. В этом случае принцип сжимающих отображений
неприменим, однако, как будет показано ниже (пример 8.2.6),
локальное существование решения следует из другой теоремы о не-
неподвижной точке.
В общем принцип сжимающих отображений — самый легкий
из имеющих практическое значение результатов теории нелиней-
нелинейных операторов, и его можно рассматривать как аналог теоремы
о ряде Неймана для ограниченных линейных операторов (след-
(следствие 3.6.2). Его достоинство в том, что он прост в применении,
гарантирует единственность и конструктивен, позволяет оценить
максимальную погрешность каждой итерации. Однако за эти
приятные свойства приходится расплачиваться тем, что сходи-
сходимость часто оказывается медленной, а условия на оператор —
слишком ограничительными,— и тут не помогают никакие уловки,
придуманные для того, чтобы расширить область применимости
принципа. В § 8.3 будут выведены другие условия, гарантирующие
сходимость метода последовательных приближений.
Принципу сжимающих отображений посвящена обширная ли-
литература. С точки зрения приложений можно рекомендовать книги
Ролла [1969] и Красносельского и др. [1969]. Хольцман [1970]
применил принцип сжимающих отображений к задачам, возника-
возникающим в теории нелинейных колебаний, и провел интересное ис-
исследование возможностей и недостатков этого метода.
4.4. Производная Фреше
Интуитивной предпосылкой метода последовательных приближе-
приближений послужила простая геометрическая конструкция для получе-
получения неподвижной точки функции ср одной переменной. Преимуще-
Преимущество этого метода в том, что на ср не налагается никаких условий
дифференцируемости. Однако если ср дифференцируема, то с по-
помощью могучих средств дифференциального исчисления можно
установить разнообразные более тонкие результаты. Поэтому ес-
естественно задаться вопросом: не применим ли аналогичный подход
к нелинейным операторам в банаховых пространствах? Ясно, что
первая забота — ввести подходящее понятие производной. Имеется
целый ряд возможностей, но самым простым и полезным оказа-

4-4- Производная Фреше 137
лось понятие производной Фреше. Это понятие позволяет есте-
естественным образом обобщить многие результаты элементарного
анализа, поэтому производная Фреше играет важную роль в тео-
теории операторов. В этом параграфе дается ее определение и дока-
доказываются некоторые результаты соответствующего бесконечномер-
бесконечномерного дифференциального исчисления. В § 4.5 обсуждается метод
Ньютона, в котором производная Фреше находит непосредственное
применение.
Определение производной Фреше основано на следующем на-
наблюдении: если ф: R -> R — гладкая функция, то при малых \h\
Ф (У + h) - Ф (у) - ah = о (| А |), D.4.1)
где вещественное число а равно производной ф в точке у. Геомет-
Геометрически это просто означает, что касательная к графику ф в точ-
точке у хорошо аппроксимирует ф в окрестности этой точки. Если
определить линейный оператор L, полагая Lx=ax для jcgR, to
можно непосредственно получить формальное обобщение соотно-
соотношения D.4.1) на высшие размерности:
Под производной Фреше как раз и понимается этот линейный опе-
оператор L. В одномерном случае под производной Фреше можно
понимать либо вещественное число а, либо оператор, отвечающий
умножению на а. Имея в виду эту последнюю интерпретацию,
естественно и в многомерном случае обозначать L через q/(#).
Итак, для операторов А в банаховых пространствах примем сле-
следующее определение:
4.4.1. Определение. Пусть $ и *&— банаховы пространства. Пусть
D — открытое подмножество в ЗИ и А— оператор, отображающий
D в <ё?. Оператор А называется дифференцируемым по Фреше
в точке g^Dy если существует такой оператор Lg^(^,^), что
lim \\A(g+h)-Ag-Lh\\/\\h\\ = O,
ЦАЦ->0
где требуется, чтобы предел существовал при любом способе
стремления h к нулю 1\ Оператор L, который обычно обозначают
A'(g), называется производной Фреше оператора А в g.
Аналогично определяются высшие производные (см. Ролл
[1969, с. 108], Бергер [1977, с. 72]J>, но нам они не понадобятся.
1) То есть для любого заданного е > 0 должно существовать такое б > 0,
что при \\h\\ < б
1
2) Или Дьёдонне [I960, с. 207]. — Прим. перев.

138 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
4.4.2. Пример. Производная Фреше любого ограниченного линей-
линейного оператора L: &-+W в любой точке равна самому L. Это
следует из тождества || L (g + А) — Lg — Lh \\ = 0.
4.4.3. Пример. Пусть D — открытое подмножество в Rn и функ-
функция ф: D-+Rn принадлежит #*(А R"). Представим точки Rn как
векторы-столбцы и для у = (у и ..., уп)Т^ D положим ср(у) =
(<Pi(#)> •••> фп(#))г. Если h мало, то по теореме Тэйлора
где h, r —вектор-столбцы, q/{у)— матрица Якоби (с компонен-
компонентами dyi/dyj(y)) и ||г|| =о(||А||). Таким образом, в рассматри-
рассматриваемом случае производная Фреше — это просто матрица Якобй.
4.4.4. Пример. Допустим, что оператор qp: R2->R задан формулой
Ф (У) =У\ + УХУ2 + У% гДе У = (Уи Уъ)т. Тогда для h = (Аь А2)т
<Р(У + h) = y{y) + Bух + y2)hx + (ух + 2y2)h2 + г,
где || г || = о (|| А ||). Таким образом, производная Фреше ф в точке
{уи У2)т задается 1 X 2-матрицей
Мы хотим здесь подчеркнуть, что производная Фреше является
оператором, область определения и множество значений которого
лежат соответственно в тех же пространствах, что и для опера-
оператора А.
4.4.5. Пример. В качестве бесконечномерного примера рассмотрим
оператор Урысона Л, задаваемый формулой
1
! = $ k(x,yyf{y))dy.
о
Обозначим частную производную k по последнему аргументу че-
через dk/ди и предположим, что k, dk/du: [0, 1] X [0, 1] X С-^С
непрерывны. Пусть ^([0, 1]) снабжено sup-нормой. Тогда произ-
производная Фреше оператора А в ?^^([0, 1]) есть ограниченный ли-
линейный оператор L: %?([0, 1]) ->#( [0, 1]), определенный фор-
формулой
1
Lh(x)=\ jt(x> y>g(y))h(y)dy, As #([0,1]).

4-4- Производная Фреше 139
Для доказательства заметим, что
\k(x, у, g(y) + h(y)) — k(x, у, g(y))-^-(x, у, g(y))h(y)
= $Ш(*' ^ 8{у) +th {у))" ж(*> ^
dt.
Интеграл стремится к нулю равномерно по х и у при II/г II-> О,
так как дк/ди равномерно непрерывна на компактных подмноже-
подмножествах [0,1] X [0, 1] ХС. Следовательно,
1
\ {k(xt y} g(y) — h(y))
-Ag-Lh\\= sup
— к (х, yf g(y)) — -~j- (x, yy g{y)) h(y)} dy
= o(\\h\\)
при А->0, и наше утверждение вытекает из определения 4.4.1.
4.4.6. Пример. Дифференциальный оператор A: <S>1{[§, Ш-^У^О, 1]),
определенный формулой
очевидно, имеет в каждой точке g производную Фреше A'(g):
^1{[°у 1])—^^ЧЕ0»!])» задаваемую формулой
(A'(g)h)(x) = h'(x) + 2g(x)h(x).
Побудительным мотивом к введению производной Фреше по-
послужило то, что на основе этого понятия можно развить бесконеч-
бесконечномерный анализ. Приведем два типичных результата. Первый,
доказательство которого пока придется отложить (см. задачу 6.12),
является обобщением теоремы о среднем значении, где вместо
обычной производной употребляется производная Фреше A'(g).
Поскольку A'(g) — оператор, нужно использовать операторную
норму, т. е. норму в 2?(<%у &). Непрерывность А'{-) также пони-
понимается по отношению к операторной норме.
4.4.7. Лемма. Пусть 33 и ?? — банаховы пространства. Пусть D —
выпуклое подмножество в $ и оператор A: D-^ff дифференци-
дифференцируем по Фреше в каждой точке D. Тогда
p
he=D

140 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
Иными словами (см. D.3.2)), А удовлетворяет условию Лип-
Липшица с константой
Это неравенство дает хороший метод оценки константы Липшица
в применениях принципа сжимающих отображений. Ясно, что чем
меньше максимум нормы ||Л'(А)|| на D, тем быстрее сходятся
итерации к неподвижной точке f. В следующей лемме утвержда-
утверждается немного больше: асимптотическая скорость сходимости (т. е.
скорость сходимости вблизи f) определяется производной Фреше
4.4.8. Лемма. Пусть D — открытое подмножество банахова про-
пространства $ и оператор A: D-+&& имеет в D неподвижную точку f.
Предположим, что А дифференцируем по Фреше в f и \\ A'(f) || < 1.
Тогда для любого заданного е, 0 < е < 1 — || A'(J) ||, найдется от-
открытый шар S(f, б), такой что при /0 е S(J, б) итерации fn = Afn-\
(п ^ 1) тоже лежат в S (J, б), lim fn — f и
Доказательство. Пусть задано произвольное е из указанного ин-
интервала. По определению производной Фреше найдется такое
б > 0, что для любого f^S(f, б)
\\Af-Af-A'(f)(f-f)\\^B\\f-f\\.
Следовательно,
f\\ = \\Af-Af\\
<\\Af-Af-A'(f)(f-l)\\ + \\A'{f)(f-f)\\
<(\\А'
т. е. Af^_S(fy б). По индукции получаем, что если fosS(f,5), то
и /rteS(f, б) при п^ 1. Написанное выше неравенство с fn вме-
вместо / показывает, что
Повторное применение этого неравенства дает окончательный ре-
результат, из которого следует сходимость. [J
Рассмотрим теперь операторные уравнения вида Л(/, g-) = 0
в случае, когда для некоторого g = go известно решение fo- Прав-
Правдоподобно, что для „хорошего" А при gy близком к gOf существует
решение /, близкое к /0. Иными словами, решение есть непрерыв-
непрерывная функция параметра g. В конечномерном случае для этой си-
ситуации имеются хорошо известные теоремы о неявной функции.

4-4- Производная Фреше 141
Сейчас мы докажем бесконечномерный вариант этой теоремы, в
котором А есть отображение ^Х^ в Ю. Для данного ge?
обозначим производную Фреше А в / по первому аргументу через
A\(f>g)'> ПРИ заданных /,g это линейный оператор, отображающий
9$ в 3>.
4.4.9. Теорема о неявной функции. Пусть $, Wy 3) — банаховы про*
аранства и /о^#, go^ff— заданные точки. Для фиксирован-
ных а, Ь > 0 пусть D cz $ X *& — множество
{[/, ff]: Hf-folKa. llff-eroB<ft}.
Предположим, что оператор A:D->-?D удовлетворяет следующим
условиям:
(i) А непрерывен;
(и) производная Ах(>9 •) существует и непрерывна в D (по
операторной норме);
(ш) оператор A\(f0, go) имеет обратный в 3?C), $);
(iv) Л(/0,Ы = 0.
Тогда существуют такие окрестности U точки go и V точки /0,
что уравнение A(f,g) = Q имеет единственное решение f^V при
всяком g" e U uf непрерывно зависит от g.
Доказательство. Положим в D
B(f, g) = f~-[AAL go)]~lA(f9 g).
Ясно, что решения уравнений Л(/, g) = 0 и / = В (f,g) совпадают.
Мы докажем теорему, применив к В принцип сжимающих ото-
отображений. Прежде всего заметим, что так как
то Bi(-,-) непрерывна по операторной норме (в силу (п)). Да-
Далее, Bi(/o, go) = 0, поэтому для некоторого б>0 существует та-
такое q <. 1, что
\\Bx(f, g)\\<q при ||f -/о II < б, ||fir-ffoll<6- D.4.2)
Из леммы 4.4.7 следует, что B(-,g) — сжатие. В силу (i), 5(/0, •)
непрерывен. Значит, поскольку В(/о, go)=fo, найдется такое е,
О < е ^ б, что
II В (/о, в) -/о II < A-9)* при llfir-ffolKe. D.4.3)
Существование единственной неподвижной точки в S(fo, б) выте-
вытекает теперь из следствия 4.3.6, а непрерывность — из теоремы
4.3.6. ?
При несколько более сильных предположениях можно полу-
получить более точную информацию о размерах окрестностей U и V.

142 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
4.4.10. Следствие. Предположим, что выполнены условия теоремы.
Выберем такое б, что при f e S (/о, б)
||/ - [А{ (fo, go)]'1 Ах (/, gQ)\\ < 1/4. D.4.4)
Предположим, что А\ при fsS(/o, б) удовлетворяет условию Лип-
Липшица
IIА (/, g) - А, (/, g0) || < р || g - g01|. D.4.5)
Положим || Hi(fo, go)]~l \\ = trio и возьмем такое t0, что
/omop < 1/4, D.4.6)
mo\\A(fo, g)\\<6/4 при g^S(go,to). D.4.7)
Тогда для любого g^S (go, t0) уравнение A (f, g) = 0 имеет в
S(fo,b) единственное решение J и J непрерывно зависит от g.
Доказательство. Существование таких 8 и t0 следует соответствен-
соответственно из (и) и (i). Поэтому достаточно проверить D.4.2) и D.4.3).
Для f<=5(fо, б)
l|Si(/, g) 11 = 1/-И,(/о, goT'lAdf, g)~Al(f, go) + A1(f, go)]
<\\1-[АЛ!о, goT1 ^A^0I +
+ II Hi (fo, §о)Г' [A, (f, go) - Л (/,
< 1/4 + mopto (в силу D.4.4) и D.4.5)
< 1/2 (в силу D.4.6)).
Тем самым установлено D.4.2). Согласно D.4.7),
IIЯ (/о, ff)-/oil = 1 И, (/о, Яо)ГМ(/о, g)l<6/4,
откуда вытекает D.4.3). []
4.5. Метод Ньютона для нелинейных операторов
В одномерном случае хорошо известным и весьма эффективным
методом решения уравнений является метод Ньютона. Хотя он
имеет почти такую же длинную историю, как и метод последова-
последовательных приближений, его многомерный аналог лишь недавно во-
вошел в употребление; первое последовательное изложение много-
многомерного метода Ньютона принадлежит, по-видимому, Канторовичу
и относится к 1948 г. Вполне возможно, что такое запоздалое раз-
развитие объясняется чисто понятийными трудностями, связанными
с самой формулировкой подходящего обобщения. Во всяком слу-
случае, несомненно, что обозначения теории операторов подсказы-
подсказывают естественную форму последовательности Ньютона в общем
случае, а понятие производной Фреше выявляет геометрическую

4-5. Метод Ньютона для нелинейных операторов 143
аналогию между одномерным и бесконечномерным вариантами.
При помощи этой теории был заложен прочный фундамент для
метода Ньютона, и в настоящее время он является надежным
средством решения нелинейных дифференциальных и интеграль-
интегральных уравнений. В последующем обсуждении мы сосредоточим вни-
внимание на двух практически важных вопросах: скорости сходимо-
сходимости и зависимости от начального приближения.
Рассмотрим прежде всего одномерный метод Ньютона. Как из-
известно, это способ решения уравнения ^(х) = 0 путем последова-
последовательных линеаризации функции г|). Простые геометрические сооб-
соображения приводят к последовательности Ньютона \хп), где
*я+1 = *«-[ф'(*«)ГЧ(*,,); D.6.1)
производная предполагается отличной от нуля в надлежащей об-
области. Для обобщения метода удобно рассмотреть эту последова-
последовательность с несколько иной точки зрения. Положим
и заметим, что уравнения ^{х) = 0 и х = у(х) имеют одни и те же
решения. Далее, последовательность, которая получается при при-
применении к ф метода последовательных приближений, совпадает
с исходной последовательностью Ньютона. Иными словами, нахож-
нахождение нулей г|) методом Ньютона равносильно нахождению непо-
неподвижных точек ф методом последовательных приближений. Пре-
Преимущество последней формулировки в том, что она позволяет вос-
воспользоваться полученными выше результатами.
Обобщение метода Ньютона на высшие размерности подска-
подсказывается формулой D.5.1). Достаточно считать ^(хп) производ-
производной Фреше, а [^(яя)] обратным оператором. Отсюда точно
так же получается формулировка в терминах неподвижных то-
точек ф. Итак, пусть D — открытое подмножество банахова про-
пространства $ и оператор В: D-+-& дифференцируем по Фреше,
Для данного fo^D последовательность (fn), определяемая фор-
формулой
fn+i = fn-[B'{fn)rlBfn, n>\, D.5.2)
называется последовательностью Ньютона, Аналогом введенной
выше функции ср служит оператор Л, задаваемый формулой
Af = f-[B'{f)YlBf. D.5.3)
Ясно, что последовательность Ньютона для В и последователь-
последовательность, получаемая по методу последовательных приближений, при-
примененному к оператору Л, совпадают.
В одномерном случае легко убедиться дифференцированием,
что если х — нуль if), то ф/(#) = 0| и из леммы 4.4.8 видно, что

144 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
сходимость очень быстрая. Это рассуждение допускает непосред-
непосредственное обобщение, и теорема 4.5.2 ниже подтверждает, что боль-
большое достоинство метода Ньютона — быстрая сходимость — сохра-
сохраняется и в бесконечномерном случае: асимптотическая скорость
сходимости выше, чем у любой степени. Дальнейшее обсуждение
вопроса о скорости сходимости можно найти у Флетта [1979].
4.5.1. Лемма. Пусть D — открытое подмножество банахова про-
пространства $. Предположим, что для заданного оператора В:
D^>~<%l существует такое f^D, что Bf=O. Пусть В дифференци-
дифференцируем по Фреше в D и В'{-) непрерывна {по операторной норме).
Предположим еще, что [^(f)]-1^ S?C&). Тогда [B'(f)]~l <=д?{$)
в некоторой окрестности f и отображение [В'О)] непрерывно
в f. Далее, оператор_А, определенный формулой D.5.3), дифферен-
дифференцируем по Фреше efuA'(f)=O.
Доказательство. Существование и непрерывность обратных сле-
следуют из теоремы 3.6.3. Значит, в некоторой окрестности f имеет
место тождество
Af - Af=[B'(f)]-1 {B'(f)(f- f)-Bf + Bf} +
+ [Br(f))-i{Bf(f)-Bf{f)}(f-f),
откуда
„ mr „ ^
Стало быть, || Л/ — Af\\/\\f—f\\->Onpnf->f9 и поэтому A'(f) = O. D
4.5.2. Теорема. Пусть В — такой же оператор, как в предыдущей
лемме. Для всякого е, 0<е<1, существует такой шар S(f,8)>
что
(i) если fo^ S(f,8), то последовательность Ньютона, опреде-
определенная формулой D.5.2), лежит в S(f,8) и lim fn = f;
(И) 11/я"?!!<вя||/о-?Ц.
Доказательство. По предыдущей лемме Л'(/) = 0. Далее приме-
применяем лемму 4.4.8. Q
Эта теорема показывает, что в противоположность методу по-
последовательных приближений для сходимости метода Ньютона не
нужны никакие ограничения на скорость изменения оператора,
если только можно найти достаточно хорошее начальное прибли-
приближение fo. К сожалению, метод Ньютона чрезвычайно чувствите-
чувствителен к выбору fo, и, поскольку теорема не дает критериев оценки
сделанного выбора, это несколько сужает ее применимость. Сле-

4-5. Метод Ньютона для нелинейных операторов
145
дующий результат, принадлежащий Канторовичу, содержит такой
критерий и вдобавок устанавливает существование решения, а по-
потому имеет гораздо большее практическое значение.
4.5.3. Теорема. Пусть $ — банахово пространство и заданы г > О
и fo&&. Предположим, что оператор В: S(fo,r)-+-$ дифференци-
дифференцируем по Фреше и [^(/о)] е 3?{$). Предположим, кроме того,
что В удовлетворяет следующему условию Липшица в S(/о, г):
Допустим, что
и положим h0 = Ьорцо- Если
Л0<1/2, [1-A-
то последовательность Ньютона с начальным приближением f0
сходится к решению f уравнения Bf = 0 в S (/0, г).
Чтобы пояснить формулировку теоремы, возьмем в качестве
оператора В функцию я|э: К -> R и предположим для простоты, что
Уо
Q-
Рис. 4.3.
-ф имеет непрерывную вторую производную и ^(xo)> 0. Тогда вы-
выполнено условие Липшица с р = sup |^"(x)| в 5(х0, г). Рассмот-
Рассмотрим квадратичные функции
Q±W = dh ~2 Р\х ^о) "г "Ф (*о)(* — ^о) Н~ "ФС^о)*
Ясно, что Q-(x) ^ ^(л:)^ Q+{x) (см. рис. 4.3). Поэтому уравнение
= 0 заведомо будет иметь решение, если Q+ имеет веществен-

146 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
ные корни; необходимым и достаточным условием этого является
неравенство
а это и есть условие h0 ^ 1/2 теоремы. Далее, ближайший к xq
из двух корней Q+, скажем *+, удовлетворяет равенству
JC+ — лго = [1 — A — 2ЛоI/2] Л^1 т|0.
Обозначим величину в правой части через г0. Очевидно, что х+
лежит в S(xOi г), если г^г0. Но это как раз и есть последнее
условие теоремы. Наконец, понятно, что последовательность Нью-
Ньютона (хп) лежит в S(x0, r).
Доказательство этой теоремы в бесконечномерном случае (см.
Красносельский и др. [1969, с. 140—142]) проводится непосред-
непосредственно, однако содержит много утомительных и малопоучитель-
малопоучительных подробностей, поэтому мы его опустим. Следующие два при-
примера иллюстрируют применение метода Ньютона и использование
предыдущей теоремы при доказательстве сходимости.
4.5,4. Пример. Применим метод Ньютона с начальным приближе-
приближением Х\ = Х2 = 0 к следующей системе из двух уравнений:
\ 2 ^ + 1=0.
Представляя точки из R2 векторами-столбцами, можно записать
ее в виде уравнения -ф (х) = 0, где х = (х\, х%)Т и
Будем пользоваться /оо-нормой ||-||, т. е. || х\\ =max (| xx |, | х2 |).
В рассматриваемом простом случае возможно явное вычисление
всех интересующих нас величин. А именно,
[хх #2 + 151
1
J '
X% 1 ——« Xo ~"~~"
Щх;(х2 -1) + 8Г(^2 + 15)Г L 8 xx
и можно явно выписать последовательность Ньютона (я(Л)); на-
например, яA) = (—2, 31)г/30. Применим теорему 4.5.3. Согласно
выражению для операторной нормы, данному в примере 3.4.5,
15 16 тах[A + 15), 8] = -Yg- = &0.

4-5. Метод Ньютона для нелинейных операторов 147
Кроме того,
откуда II г|/ (#)— г|/ (у) || ^ 4 || #— у\\. Следовательно, можно взять
р = 4. Наконец, т|0 = ||#A> —#<°> || = 31/30. Значит, Л0 = 62/225<
1/2, как и требовалось. Далее,
Из теоремы следует, что система имеет решение в шаре с центром
в 0 и радиусом 1.25, к которому сходится последовательность
Ньютона. Этим решением, очевидно, является #1 = 0, #2=1.
Аналогичное вычисление с начальным приближением @, — 1)г
показывает, что условие ft0 ^ 1/2 теоремы не выполнено. Однако
для данного простого примера можно независимым способом убе-
убедиться в том, что последовательность Ньютона и в этом случае
сходится. Отсюда видно, что условия теоремы заведомо не явля-
являются необходимыми для сходимости метода Ньютона.
4.5.5. Пример. Метод Ньютона является, пожалуй, самым быстро-
сходящимся из всех методов вычисления решений задач с гранич-
граничными условиями. В качестве примера рассмотрим задачу
где g — заданная непрерывная функция, а решение ищется в
^2([0, 1]). Эта задача эквивалентна уравнению В/=0 в простран-
пространстве ^([0, 1]) с sup-нормой, где
1
Bf (х) = /(*) + $* (х, у) {[f (у)]2 + g (у)} dy,
о
a k — функция Грина D.2.5). Применим метод Ньютона к опера-
оператору В.
Сначала воспользуемся теоремой 4.5.3 для доказательства схо-
сходимости. Выберем ради простоты начальное приближение /о = О.
Согласно примеру 4.4.5,
1
Так как Bf(fo) = Iy то производная Фреше легко обращается, и
можно взять 60=1. Для линейного интегрального оператора /С,

148 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
задаваемого формулой
1
Kh(x) = \k(x,y)h(y)dy,
О
имеем || К II = 1/8; в этом нетрудно убедиться, воспользовавшись
соотношением || К 11 = 111 k | IU из примера 3.4.8. Поэтому возьмем
Цо = II g II/8. Кроме того,
и можно взять г = 1/4. Следовательно, Ло = bopr\o = ||g"||/32. Итак,
если || g || < 16, то по теореме наше уравнение имеет решение,
к которому сходится последовательность Ньютона, и это решение
лежит в шаре с центром в 0 и радиусом 4[1—A — ||g"||/16I/2].
Чтобы вычислить решение, применяя метод Ньютона непосред-
непосредственно к S, нужно было бы на каждом шаге для нахождения
[B'(fn)]-lBfn решать линейное интегральное уравнение, что явля-
является на практике весьма кропотливым делом. Однако, как показы-
показывает дифференцирование, это равносильно решению последова-
последовательности линейных краевых задач
Обычно на практике эта процедура предпочтительнее, поскольку
для таких задач разработаны эффективные численные методы.
Метод Ньютона в таком виде часто называют квазилинеаризацией
(см. Беллман и Калаба [1965]).
При общей оценке метода Ньютона как вычислительного сред-
средства необходимо учитывать два его недостатка. Самым большим
недостатком является чувствительность к выбору начального при-
приближения. Она проявляется даже в конечномерном случае при
решении больших систем нелинейных уравнений, ибо получаемая
последовательность часто оказывается расходящейся, если /0 не-
недостаточно близко к решению, и для нахождения подходящего /о
приходится привлекать другие методы. Поэтому на практике осо-
особый интерес представляют такие результаты, как теорема 4.5.3,
дающие глобальные критерии сходимости. К сожалению, как мы
убедились в примере 4.5.4, эта теорема может оказаться неоправ-
неоправданно пессимистичной в своих предсказаниях, и в связи с этим
стоит отметить, что, как и для метода последовательных прибли-
приближений (см. § 8.3), иногда можно получить более лояльные крите-
критерии, пользуясь соображениями монотонности. Обсуждение этого
подхода в бесконечномерном случае имеется у Вандерграфта
[1967] и Муни и Роуча [1976].

Задачи 149
Второй недостаток проявляется при вычислении самой после-
последовательности Ньютона. При каждой итерации нужно вычислять
производную Фреше, а затем решать линейное уравнение для ее
обращения. На практике такие вычисления иногда поглощают
очень много времени, и для того, чтобы обойти эту трудность, было
придумано несколько модификаций метода Ньютона. В одной из
самых простых модификаций используется последовательность,
определяемая формулой
и требуется только одно вычисление производной Фреше. К сожа-
сожалению, сходимость при этом становится медленнее. Обсуждение
этой группы методов см. у Денниса [1971].
Несмотря на указанные недостатки, быстрота сходимости ме-
метода Ньютона служит веским аргументом в его пользу, и он ши-
широко используется как вычислительное средство. При этом как
в конечномерном, так и в бесконечномерном случае остается ак-
актуальной задача, как сгладить недостатки метода, не нарушая
его эффективности.
Задачи
4.1. Возьмите со >>—я2 и вычислите функцию Грина для оператора —d2/dx2 +
+ со на [0, 1] с однородными условиями Дирихле f@)= f(l) = 0.
4.2. Исследуйте роль вещественного параметра а в решении интегрального урав-
уравнения Гаммерштейна
4.3. Пусть D — открытый единичный шар в банаховом пространстве {% и А:
D->-$ — непрерывный оператор. Покажите, что для всякой точки /eD опера-
оператор А ограничен в смысле D.2.10) в некоторой окрестности f»
4.4. Пусть оператор A:l2-+k определен формулой
Покажите, что А непрерывен, но является неограниченным на любом шаре 5@,
г) при г > 1.
4.5. Пусть $ — банахово пространство, заданы g e $ и LeS'(l) и рассматри-
рассматривается оператор Л, определяемый формулой Л/ = Lf + g для f e $. Предпо-
Предположим, что А отображает некоторый замкнутый шар в себя.
(i) Докажите, что ||L|| ^ 1.
(и) Пусть $ = со — пространство сходящихся к нулю числовых последова-
последовательностей с sup-нормой. Покажите, что если g= A, 0, 0, ...), a L — оператор
правого сдвига (задача 3.2), то А отображает 5@, 1) в себя, но не имеет непо-
неподвижных точек в этом шаре.
(Ш) Докажите, что если $ — гильбертово пространство, то А имеет непо-
неподвижную точку в указанном шаре.

150 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
4.6 (Какутани). Пусть D — замкнутый единичный шар в вещественном простран-
пространстве последовательностей /2. Определим на D оператор Л, полагая
A(fu Ы ...) = ([! -II /И2]1/2, /ь /2, ...)•
Докажите, что Л отображает D в себя и непрерывен, но не имеет неподвижных
точек. Таким образом, даже в гильбертовом пространстве непрерывное отобра-
отображение замкнутого единичного шара в себя необязательно имеет неподвижную
точку, если пространство бесконечномерно.
4.7. Покажите путем построения контрпримера, что в принципе сжимающих ото-
отображений нельзя ослабить условие Липшица до условия \\Af — Ag\\ < ||/ — g\\.
Обсуждение этого вопроса см. у Смарта [1974, гл. 5].
4 8. Покажем, как влияет перестройка уравнения на сходимость метода последо-
последовательных приближений, на примере вычисления положительного корня уравне-
уравнения х2 = 3.
(i) Сначала перепишем уравнение в виде х = З*-1. Последовательность, по-
получаемая по методу последовательных приближений, не сходится ни при каких
х0} кроме х0 = Уз\
(И) Теперь представим уравнение в виде х ~ 3~1C — х2) + х. Найдите
несколько первых членов последовательности для д;0 = 1. Рассмотрите примене-
применение принципа сжимающих отображений для доказательства сходимости при раз-
различных х0.
4.9. Пусть требуется найти положительное решение уравнения ех — х — 2 = 0.
Перепишем его в виде х = х — а [ех — 2 — х]. Рассмотрите влияние выбора а
на константу Липшица, на быстроту сходимости метода последовательных при-
приближений и на шар, в котором отображение является сжимающим.
4.10. Положим ф(#) = х + (х—IJ, ;ceR. Покажите, что функция ф не яв-
является сжимающей ни в каком интервале, содержащем 1. Докажите, что несмо-
несмотря на это последовательность (хп), где хо = 1/2, xn+i = <$(хп) (п^ 1), схо-
сходится к неподвижной точке х = 1 функции ф.
4.11. Допустим, что требуется методом последовательных приближений вычис-
вычислить ненулевое решение интегрального уравнения
х
Найдите подходящую перестройку уравнения.
4.12. Пусть D — подмножество банахова пространства $ и задан оператор А:
D-*D. Предположим, что_Лл при некотором заданном п > 1 имеет единствен-
единственную неподвижную точку f в D. Докажите, что f — единственная неподвижная
точка А в D.
4.13. Рассмотрим интегральное уравнение Гаммерштейна
1
/(*)-$ Ь(х, y)
где функции kt g, h вещественнозначны и непрерывны. Наделим ^([0, 1]) sup-
нормой. Используя очевидные обозначения, это уравнение можно переписать в
виде f — K^f = g, где К, Y: #([0, 1]) -*#([(), 1J), причем К линеен.
(i) Допустим, что г|) удовлетворяет условию Липшица на R с константой т.
Покажите, что если т\\К\\ < 1, то из принципа сжимающих отображений сле-
следуют существование и единственность решения; найдите оценку решения.

Задачи 151
(ii) Для i|)(z) = z2 способ (i) не работает. Рассмотрите этот случай, введя
подходящие ограничения на \\g\\.
4.14. Для вещественного а положим
||/IL= sup \e~atf(t)\.
О < t < t о
Покажите, что норма ||-Ц* и sup-норма эквивалентны на <^([0, /0])- Пользуясь
нормой 11-11*, выведите теорему 4.3.11 непосредственно из принципа сжимающих
отображений.
4.15. Теорема 4.3.11 неприменима к уравнению
t>0,
с начальным условием f @) = 0. Получите локальный результат для интервала
[0, /о]» выбрав to настолько большим, насколько это возможно.
4.16. При помощи принципа сжимающих отображений докажите, что задача
где г|) удовлетворяет локальному условию Липшица, a g непрерывна, имеет ре-
решение в ^2([0, 1]) при достаточно малых \\х\.
4.17, Пусть Q — треугольник на плоскости, образованный двумя прямыми, па-
параллельными координатным осям, и прямой х + у = 0. Пусть на стороне этого
треугольника, лежащей на прямой х + у = 0, заданы однородные условия Коши
для гиперболического уравнения
d2u/dxdy = f(x, у, и, ди/дх, ди/ду),
где функция / вещественна, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица
I f (х, У, и, р, q) — f(x, у, ии ри qx) \ < L (| и — их \ + | р — р{ \ + | q — qx \)
для всех (ху «/)sQ и всех вещественных и, щ, р, р\, q, q\. Перепишите уравне-
уравнение в виде интегрального и воспользуйтесь принципом сжимающих отображений
для доказательства локального существования и единственности решения, т. е.
существования и единственности решения в некоторой окрестности в Q началь-
начальной прямой.
4.18. Уравнение Пуассона — Больцмана, используемое в теории электролитиче-
электролитических растворов, записывается (в несколько модифицированном виде) так:
где /@) =сс и /(*)->¦ 0 при #->-оо. После надлежащей перестройки запишите
его в виде интегрального уравнения, воспользовавшись функцией Грина. Дока-
Докажите существование решения при подходящих условиях на а, применив прин-
принцип сжимающих отображений в ^([0, с»)) с подходящей нормой.
4.19. Рассмотрите применение метода Ньютона к задаче
И*)-[/(*)]8 = ?(*),
с начальным приближением нуль, задав на основе теоремы 4.5.3 условия на
функцию g (которая предполагается непрерывной), обеспечивающие сходимость
метода,

152 Гл. 4- Введение в теорию нелинейных операторов
4.20. Пусть функция k: [0, 1] X [0, 1] -* С непрерывна и на ^([0, 1]), наделен-
наделенном sup нормой, задан оператор К формулой
1
*/(*) = J k(x,y)f(y)dy.
о
Выведите из теоремы о неявной функции 4.4.9, что для всякого ^ep(i() най-
найдется б > 0, такое что интегральное уравнение
1
Щх) =\k(x, у) [f (у) + [f (у)]*} dy +g(x)
о
имеет решение в ^([0,1]) при любой функции ?^^([0,1]), удовлетворяющей
условию ||g|| ^ 6.

Глава 5
КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА В БАНАХОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
5.1. Введение
Как показывают две предыдущие главы, большинство основных
результатов об операторных уравнениях легко переносится с ко-
конечномерного случая на бесконечномерный, если ,,градиент" фи-
фигурирующего в уравнении оператора А на банаховом пространстве
не слишком велик. К сожалению, многие операторы, возникающие
в приложениях, не удовлетворяют этому ограничению на градиент.
С другой стороны, такие операторы часто обладают другими свой-
свойствами, компенсирующими этот недостаток. Чтобы эффективно
использовать эти свойства, нужно сначала глубже изучить струк-
структуру самих банаховых пространств. В этой главе мы сосредоточим
внимание на классе так называемых компактных подмножеств,
определение которых подсказано одним полезным свойством веще-
вещественных чисел.
Доказательства многих стандартных результатов теории функ-
функций вещественной переменной опираются на теорему Гейне — Бо-
реля. Она утверждает следующее: для всякого замкнутого огра-
ограниченного подмножества 5 cz R из любого семейства открытых
множеств, объединение которых содержит 5, можно выбрать ко-
конечное подсемейство (т. е. подсемейство, содержащее конечное
число множеств), объединение которого по-прежнему содержит 5.
К сожалению, для бесконечномерных банаховых пространств эта
теорема неверна. Как принято в подобных случаях, мы возьмем
утверждение этой теоремы в качестве определяющего свойства
компактных множеств. Хотя компактных множеств не так много,
как замкнутых ограниченных, и их гораздо труднее распознать,
все-таки в самых полезных банаховых пространствах функций их
запас вполне достаточен. Поэтому имеется довольно большой
класс операторов, множество значений которых (хотя и не об-
область определения) обладает определенными свойствами компакт-
компактности. Так как по построению компактные множества ведут себя
подобно замкнутым ограниченным подмножествам конечномерных
пространств, то для таких операторов можно создать теорию, во
многих отношениях сходную с конечномерной теорией.
Поскольку принятое нами определение компактности не дает
ни простого наглядного представления о компактных множествах,
ни удобного способа распознавать такие множества, для проясне-

154 Гл. 5. Компактные мноэюества в банаховых пространствах
ния ситуации мы поступим следующим образом. Сначала приве-
приведем несколько разных описаний компактных множеств. Затем
изучим роль компактности при распространении некоторых важ-
важных, но простых результатов с конечномерного случая на беско-
бесконечномерный. И наконец, выведем ряд несложных критериев, по-
позволяющих распознавать компактные множества в главных про-
пространствах функций, что весьма существенно для применения по-
понятия компактности в теории операторов.
5.2. Определения
Наше первое определение компактности, как отмечалось во вве-
введении к главе, подсказано теоремой Гейне — Бореля.
5.2.1. Определение. Семейство множеств в банаховом пространстве
называется покрытием данного множества S, если каждая точка
S лежит хотя бы в одном из этих множеств. Если диаметр каж-
каждого множества из семейства, покрывающего S, не превосходит е,
то это семейство называется 8-покрытием S.
5.2.2. Определение. Подмножество 5 банахова пространства назы-
называется компактным, если всякое семейство открытых множеств,
покрывающее 5, содержит конечное подсемейство, которое также
покрывает S. Множество 5 называется относительно компактным.
если компактно его замыкание 51\
Таким образом, теорема Гейне — Бореля утверждает, что вся-
всякое замкнутое ограниченное множество в R компактно. Легко до-
доказать, что всякое компактное множество замкнуто и ограничено;
следовательно, в R „замкнутость + ограниченность = компакт-
компактность" и компактные множества полностью охарактеризованы.
В произвольных банаховых пространствах замкнутость и ограни-
ограниченность остаются необходимым условием компактности, однако,
если размерность пространства бесконечна, это условие уже не
является достаточным.
Посмотрим теперь на всё это с другой точки зрения. Вспомним,
что замкнутые ограниченные множества в R обладают следу-
следующим характеристическим свойством: каждая последовательность
элементов такого множества содержит подпоследовательность, схо-
сходящуюся к его точке.
5.2.3. Определение. Подмножество 5 банахова пространства на-
называется секвенциально компактным, если всякая последователь-
1) К сожалению, в литературе нет единства в употреблении терминов „ком-
„компактный" и „относительно компактный". В частности, под компактными множе-
множествами иногда понимают те, которые мы называем относительно компактными,
а относительно компактные множества иногда называют предкомпактными.

5.2. Определения 155
ность в нем содержит сходящуюся подпоследовательность с пре-
пределом, принадлежащим 5. Множество S лазывается относительно
секвенциально компактным, если секвенциально компактно его
замыкание S.
Очень удачно, что в банаховых пространствах компактность
и секвенциальная компактность эквивалентны (см., например,
Фридман [1970, с. 108])—в некоторых более общих пространствах
это не так 1\ Остальные утверждения следующей теоремы, подыто-
подытоживающей ситуацию, несложны, и доказать их предоставляется
читателю в качестве упражнения.
6.2.4. Теорема. Пусть S — подмножество банахова пространства
$. Тогда:
(\) S компактно (соотв. относительно компактно) в том и
только том случае, если оно секвенциально компактно (соотв.
относительно секвенциально компактно);
(ii) если S компактно, то оно замкнуто и ограничено;
(iii) если S замкнуто и ограничено, а $ конечномерно, то S
компактно,
5.2.5. Лемма. Замкнутый единичный шар в нормированном век-
векторном пространстве Т компактен тогда и только тогда, когда Т
конечномерно.
Эта лемма показывает, что в бесконечномерных пространствах
компактные множества найти труднее и, в частности, замкнутые
шары не являются адекватной заменой замкнутых интервалов
в К.Мы не будем доказывать лемму (см. Фридман [1970, с. 133]2)),
а приведем пример, из которого будет видно, как потеря компакт-
компактности связана с бесконечномерностью.
5.2.6. Пример. Рассмотрим бесконечномерное пространство после-
последовательностей loo (определение 1.3.13), состоящее из ограничен-
ограниченных последовательностей / = (f\, /2, ...), с нормой
|| /L = sup |/,|.
Пусть р> — вектор, все компоненты которого равны нулю, кроме
/г-й, которая равна 1; i-ю компоненту вектора Цп) будем обозна-
обозначать ftf\ Ясно, что множество {f(/z)} содержится в замкнутом еди-
единичном шаре пространства U. Однако при пфт
1) Заметим, что во всех метрических пространствах это всё-таки так (см., на-
например, Канторович и Акилов [1977, с. 43]). — Прим. перев.
2) Или Канторович и Акилов [1977, с. 130]. — Прим. перев.

156 Гл. 5. Компактные мноэюества в банаховых пространствах
Следовательно, векторы /(/г) лежат на единичном расстоянии один
от другого, и никакая последовательность таких векторов не мо-
может быть сходящейся. Векторы /(Аг) можно рассматривать как еди-
единичные векторы вдоль осей координат, и тогда ясно, что отсутствие
компактности есть прямое следствие бесконечности числа осей.
Дальнейшее прояснение ситуации достигается ценой еще од-
одного определения.
5.2.7. Определение. Подмножество S банахова пространства на-
называется вполне ограниченным, если для всякого 8 > 0 найдется
конечное множество открытых шаров, образующих 8-покрытие S.
Легко видеть, что всякое вполне ограниченное множество огра-
ограничено. Однако, как показывает следующая теорема, вполне огра-
ограниченность— гораздо более сильное условие, чем ограниченность.
5.2.8. Теорема. Подмножество S банахова пространства $ отно-
относительно компактно тогда и только тогда, когда оно вполне огра-
ограничено.
Доказательство. Сначала предположим, что 5 относительно ком-
компактно. Для произвольного 8 > 0 возьмем семейство ^открытых
шаров S(f, s) радиуса 8 с центрами в / для всех /gS. Это се-
семейство покрывает S. Поскольку S компактно, найдется конечное
подсемейство, покрывающее 5, а тем более 5. Следовательно, 5
вполне ограничено.
Теперь покажем, что если 5 вполне ограничено, то оно отно-
относительно секвенциально компактно, а потому относительно ком-
компактно (теорема 5.2.4, (i)). В доказательстве используется полез-
полезный прием, называемый диагональным процессом. Пусть (fn) —
любая бесконечная последовательность в S. Поскольку 5 вполне
ограничено, существует его конечное 1-покрытие, скажем
E(^1,1/2), ..., 5(^,1/2)}. По крайней мере один из этих шаров
содержит бесконечную подпоследовательность последовательности
(/„), скажем (/«, i). Возьмем теперь конечное 1/2-покрытие 5 и,
как и раньше, выделим из (fn, i) бесконечную подпоследователь-
подпоследовательность (fn, 2), содержащуюся в одном из шаров этого покрытия.
Будем продолжать этот процесс и для каждого m найдем беско-
бесконечную подпоследовательность последовательности (fn,m-i), ска-
скажем (fn, m), содержащуюся в шаре диаметра m~l. Теперь рассмот-
рассмотрим диагональную последовательность (/я,л). Тогда (//,/)JLft есть
подпоследовательность последовательности (//, n)JLn и, значит, ле-
лежит в шаре диаметра /Н. Следовательно,
(rt, m).

5.3. Некоторые следствия компактности 157
Стало быть, {fn,n) — последовательность Коши, и так как 33 полно,
го она сходится. Таким образом, (fn) содержит сходящуюся под-
подпоследовательность, и потому 5 секвенциально компактно. []
Очевидный вывод из этой теоремы таков: замкнутое множе-
множество вполне ограничено тогда и только тогда, когда оно ком-
компактно. Таким образом, вместо конечномерного „замкнутость +
ограниченность = компактность" мы получаем „замкнутость +
вполне ограниченность = компактность". Грубо можно представ-
представлять себе относительно компактное множество 5 как „прибли-
„приближенно конечномерное" в том смысле, что для всякого 8 > О
имеется конечное множество точек /i, ..., fn, такое что каждая
точка S лежит не дальше чем на 8 от одной из точек //.
5.3. Некоторые следствия компактности
Один из способов пояснить понятие компактности заключается
в том, чтобы проследить, как обобщаются известные результаты
для вещественнозначных функций на замкнутых ограниченных
интервалах в R, когда область определения функции становится
бесконечномерной. Этот способ последовательно проведен в по-
поучительной обзорной статье Хьюитта [1960]. Здесь мы приведем
три примера, в которых компактность области определения играет
решающую роль в существовании обобщения.
Первый результат показывает, что на компактные множества
распространяется хорошо известное утверждение об эквивалент-
эквивалентности непрерывности и равномерной непрерывности на замкнутом
ограниченном интервале.
5.3.1. Определение. Пусть F— функционал1) с областью опреде-
определения Scz$, т. е. отображение 5->С. Он называется равномерно
непрерывным на S, если для всякого 8 > 0 найдется такое б > 0,
что \F(f) — F(g)\<z для всех/, ?<=S с \\f-g\\ < б.
5.3.2. Теорема. Пусть F — непрерывный функционал на компакт-
компактном подмножестве S банахова пространства 3§. Тогда F равно-
равномерно непрерывен на S.
Доказательство. Если утверждение теоремы неверно, то найдутся
такое е > 0 и такие последовательности (fn) и (gn) в 5, что
\F(fn)-F(gn)\>* E.3.1)
при всех /г, хотя \\fn — gn\\ <n~l. Так как 5 секвенциально ком-
компактно (теорема 5.2.4, (i)), то (fn) содержит сходящуюся подпо-
подпоследовательность с пределом в S. По той же причине у (gn)
имеется сходящаяся подпоследовательность с пределом в 5,
1) Нелинейный!— Прим. ред.

158 Гл. 5. Компактные мноэюества в банаховых пространствах
Сохраним для них прежние обозначения. Таким образом, E.3.1)
имеет место для сходящихся последовательностей (fn) и (gn),
причем эти последовательности имеют один и тот же предел, ска-
скажем f, в 5, так как ||/я — ?Л||-*0. Но
\F(fn)-F(gn)\<\F{fa)-F{f)\ + \F(f)-F(gn)\9
а поскольку F непрерывен, правая часть стремится к нулю при
п~>оо, что противоречит E.3.1). []
Простой, но полезный результат классического анализа утвер-
утверждает, что всякая непрерывная вещественнозначная функция на
замкнутом ограниченном интервале достигает своего максимума
и минимума. Этот результат тоже допускает обобщение на ком-
компактные множества.
б.З.З. Теорема. Пусть F— непрерывный вещественный функционал
на компактном подмножестве S банахова пространства 9&. Тогда
F ограничен и достигает как верхней, так и нижней своей грани.
Доказательство. Положим m = sup F (/); пока что m может быть
f
конечным или бесконечным, но в любом случае в 5 найдется
последовательность (fn) с tn = limF(fn). Так как 5 компактно,
она содержит сходящуюся подпоследовательность, которую мы
по-прежнему обозначаем (/л), с пределом f^S.HoF непрерывен,
значит, UmF(fn)= F(f), а это, разумеется, конечное число. Сле-
Следовательно, m конечно и равно F(f). Доказательство для нижней
грани аналогично. []
Обе предыдущие теоремы неверны, если вместо компактности
потребовать только замкнутости и ограниченности. В обоих слу-
случаях легко построить контрпримеры. Мы приведем контрпример
для второй теоремы, а для первой предоставим сделать это
читателю.
5.3.4. Пример. Пусть в7 ([0, 1]) наделено sup-нормой и М — замк-
замкнутое подпространство в ^([0, 1]), образованное теми функциями,
которые равны нулю в точке х= 1. Возьмем в качестве 5 замк-
замкнутый единичный шар в Ж. Функционал F} определенный фор-
формулой
о
непрерывен на 5, и F(f)^.l для fsS. Полагая fn(x)=l—хп
при /г^1, получаем, что limF(fn)= 1, откуда sup F(f)=l. Од-
нако F(f)= 1 для непрерывных / с ||/|| ^ 1 тогда и только тогда,
когда / есть постоянная функция, равная либо 1, либо —1, По-

5.4- Некоторые ваэюные компактные множества функций 159
скольку ни одна из этих функций не принадлежит шару 5, функ-
функционал F не достигает на нем своей верхней грани.
Такого рода трудности часто встречаются в теории оптимиза-
оптимизации. Отсюда видно, что проблема нахождения экстремумов в бес-
бесконечномерном случае значительно тоньше, чем в конечномерном.
Наш последний пример касается существования неподвижной
точки оператора А: $-+$. Стандартное эвристическое соображе-
соображение состоит в том, что если удается найти последовательность
приближений (fn), такую что разность Afn— fn стремится к нулю,
то у нее найдется сходящаяся подпоследовательность, предел ко-
которой и будет неподвижной точкой оператора А. В общем это
вполне разумное соображение, и оно, несомненно, весьма полезно
на практике. Однако если размерность бесконечна, то нет ника-
никаких оснований ожидать, что (fn) содержит сходящуюся подпосле-
подпоследовательность, и это, вообще говоря, не так. Дело будет спасено,
если (fn) лежит в компактном множестве, что, как мы далее уви-
увидим, действительно имеет место для широкого класса операторов,
важных в приложениях.
5.3.5. Теорема. Пусть S — компактное подмножество банахова про-
пространства 3$ и A: S-+& — непрерывный оператор. Предположим,
что lim\\Afn — fn\\ = 0 для некоторой последовательности (fn)
в S. Тогда (fn) содержит сходящуюся подпоследовательность
с пределом f^S и f является неподвижной точкой оператора А.
Доказательство. Существование сходящейся подпоследовательно-
подпоследовательности, которую мы по-прежнему обозначаем (fn), гарантируется
компактностью S. В силу непрерывности Л, Afn->Af при fn-+j.
То что / — неподвижная точка А, следует из неравенства
\\Af-f\\^\\Af-Afn
поскольку по условию lim || Afn — fn \\ = 0. []
5.4. Некоторые важные компактные множества функций
Если мы хотим использовать компактные множества при изуче-
изучении операторов на конкретных функциональных пространствах, то
нужны легко применимые критерии, позволяющие узнавать такие
множества. К счастью, такие критерии существуют для ^(Q)
и «^-пространств, наиболее употребительных в приложениях.
Проще дело обстоит в ^(й), где относительно компактные мно-
множества полностью описываются при помощи довольно простого
понятия „равностепенной непрерывности". Благодаря тому что
в конкретных случаях разобраться в структуре равностепенно
непрерывных, а значит, и относительно компактных множеств

160 Гл. 5. Компактные мноэюества в банаховых пространствах
сравнительно легко, получается дополнительный выигрыш — более
прозрачным становится само понятие компактности.
Далее Q обозначает подмножество в R", а ^(й)—-банахово
пространство непрерывных комплекснозначных функций на Q,
наделенное sup-нормой.
5.4.1. Определение. Множество 5ci<g?(Q) называется равносте-
равностепенно непрерывным (или, в некоторых руководствах, равномерно
равностепенно непрерывным), если для всякого е>0 существует
такое б >» О, что | / (х) — / (у) | < е для всех х, у ^ й с \х — f/1 < б
и всех / е 5.
Заметим, что при заданном е одно и то же б годится для всех
f e 5. Грубо говоря, равностепенная непрерывность означает, что
„степень непрерывности" не зависит ни от точки множества Й, ни
от функции из множества 5. Для ясности рассмотрим два простых
примера.
5.4.2. Пример. Множество {fn} функций, определенных соотноше-
соотношением
1, п = 1, 2, ...,
содержится в замкнутом единичном шаре в ^([0,1]). Если бы
оно было равностепенно непрерывным, то можно было бы, взяв
у = 0, для каждого е > 0 найти такое б > 0, что \fn(x) | < 8 при
х < б и п ^ 1. Но fn имеет максимум в точке х = п~\ и fn(n-l) =
1/2. Следовательно, б должно быть обязательно меньше п~\
а значит, его нельзя выбрать независимо от п. Таким образом,
множество {fn} не является равностепенно непрерывным.
5.4.3. Пример. В предыдущем примере производная fn при х = 0
равна п, что противоречит ,,равномерной гладкости" функций fn,
которая требуется для равностепенной непрерывности. Простой
способ построить множество функций {fn} с равномерно по п огра-
ограниченными производными заключается в том, чтобы воспользо-
воспользоваться сглаживающим оператором интегрирования. Покажем, что
это приводит к нужному результату.
Пусть 5 — замкнутый единичный шар в ^([0,1]). Для каж-
каждого / ^ 5 положим
х
g(x)=\f(t)dt
о
и обозначим множество всех таких g через Si. Для каждого
\g(x)-g(y)\<
\f(t)dt

5.4- Некоторые важные компактные множества функций 161
Правая часть не зависит от g. Значит, для заданного е > 0 можно
выбрать 6 = 8, и тогда \g(x) —g(y)\< г при \х — у\<8. Следо-
Следовательно, S\ равностепенно непрерывно.
Это рассуждение легко распространить на множество всех g
вида
1
g(x)= jj k(x, y)f(y)dy,
где feS, a k— непрерывная функция. Таким образом, задавае-
задаваемый этой формулой интегральный оператор переводит ограничен-
ограниченные множества из ^([0,1]) в ограниченные равностепенно не-
непрерывные множества. На этом свойстве в сочетании со следую-
следующей теоремой основано применение методов теории операторов
к интегральным уравнениям, рассматриваемое в гл. 7.
5.4.4. Теорема Арцела — Асколи. Пусть Q — ограниченное множе-
множество в Rn, a S — подмножество в ^(Q). Множество S относи-
относительно компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено
и равностепенно непрерывно.
Доказательство. Необходимость легко доказывается и менее
важна, поэтому мы предоставляем читателю провести рассужде-
рассуждения самостоятельно. Для установления достаточности покажем,
что всякая последовательность (fn) в S содержит сходящуюся
подпоследовательность, и тем самым докажем, что S относи-
относительно секвенциально компактно.
Пусть (хт)— какая-нибудь плотная последовательность век-
векторов в ?2; годятся, например, векторы с рациональными коорди-
координатами. В качестве первого шага покажем с помощью диагональ-
диагонального процесса, что (fn) содержит подпоследовательность (/Л|Л),
которая поточечно сходится на множестве {хт}, т. е. при каждом
т существует предел lim fn n{xm). Для этого заметим, что в силу
ограниченности S ограничена последовательность комплексных
чисел (fn(x\)), а значит, найдется такая подпоследовательность
(fn,\), что (fn,\(x\)) сходится. Повторяя это рассуждение, можно
убедиться в существовании таких подпоследовательностей (fn, т)
В (/я.т-l), ЧТО (fn,m(xm)) СХОДИТСЯ При КЗЖДОМ 171. РаССМОТрИМ
теперь диагональную последовательность (fn,n). Для каждого т
последовательность (fn,n(xm)), начиная с m-го члена, является
подпоследовательностью в {fn,m(xm))t а значит, сходится, как
и требовалось.
Для упрощения записи положим gn = fn,n. Последний шаг со-
состоит в том, чтобы перейти от поточечной сходимости на {хт}
к равномерной сходимости на ?2, доказав, что (gn) — последова-
последовательность Коши в ^(Я). Прежде всего заметим, что в силу

162 Гл. 5. Компактные мноэюества в банаховых пространствах
равностепенной непрерывности {gn} для данного е>>0 найдется та-
такое б > 0, что | gn (х) — gn {у) | < е/3 при всех | х — у | < б и всех п.
Далее, Q можно покрыть конечным числом, скажем, k замкну-
замкнутыми шарами радиуса 6/2. Поскольку {хт} плотно вй, в каждом
из этих шаров содержится какой-нибудь из векторов хт и, зна-
значит, каждый элемент хей находится в пределах расстояния б
от одного из хт. Изменим нумерацию и обозначим выбранные
таким образом точки через х\, ..., Xk. Из доказанного в предыду-
предыдущем абзаце следует, что {gn{xj)) сходится при каждом /, 1^
/ ^ k, причем на конечном множестве х\, ..., xk сходимость, оче-
очевидно, равномерна. Иными словами, существует такое До, что
при п, т > До
E.4.1)
Чтобы распространить это неравенство на всё Q, воспользуемся
тем, что каждая точка xgQ удалена не более чем на б от одного
из X}, откуда в силу равностепенной непрерывности следует, что
значение gn{x) близко к gn{xj). Итак, если \х — ху|<б, то
gn(x)-gm(x)\^\gn(x)-gn(x,)\+\gn (Xf)-gm(xf)\ +
Как было отмечено выше, первый и последний члены правой части
меньше е/3; то же, в силу E.4.1), относится и к среднему члену.
Следовательно, \gn(x) — gm{x)\<:& при я, т>п0 и гей. Тем
самым доказано, что (gn) — последовательность Коши, и утверж-
утверждение теоремы вытекает из полноты пространства W(Q). []
Эта теорема дает требуемое описание относительно компакт-
компактных подмножеств в ^(й). Заметим, что условие ограниченности
Q, вообще говоря, нельзя отбросить. Полезно также знать, что
результат верен и тогда, когда Q — относительно компактное под-
подмножество банахова пространства (см. задачу 5.11).
Для пространств 9?р известен целый ряд признаков компакт-
компактности. Условие, приведенное в следующей теореме (см. задачу
5.10), можно трактовать как „равностепенную непрерывность
в среднем".
5.4.5. Теорема. Допустим, что р ^ 1 и S — ограниченное подмно-
подмножество в Sv{§, 1). Расширим область определения функций из S
до R, полагая их равными нулю вне отрезка [0, 1], Тогда S отно-
относительно компактно, если для каждого г > 0 существует такое
б > 0, что при всех f gS и \h\ < б

Задачи 163
Задачи
5.1. Докажите, что компактное подмножество банахова пространства замкнуто,
ограничено и сепарабельно.
5.2. Пусть S — подмножество банахова пространства. Докажите, что:
(i) если S вполне ограничено, то оно ограничено;
(и) 5 вполне ограничено тогда и только тогда, когда ? вполне ограничено.
5.3. Пусть S — компактное подмножество банахова пространства Покажите, что
множество S\ a S компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто.
5.4. Предположим, что последовательность (fn) содержится в относительно ком-
компактном подмножестве банахова пространства и всякая ее сходящаяся подпосле-
подпоследовательность имеет один и тот же предел /. Докажите, что (/„) сама сходится.
5.5. Рассмотрим пространство последовательностей 1Р A ^ р < оо), состоящее
из векторов f = (fi, f2, .. .)• Докажите, что ограниченное множество S d 1Р отно-
относительно компактно, если для всякого 8 ~> 0 найдется такое по, что
5 6. Докажите утверждение о необходимости в теореме Арцела — Асколи.
5.7. Пусть {/„}, {?„} — множества функций fn(x) = sin пхл gn(x) = 1 — хп, п ^ 1.
Исследуйте их относительную компактность в ^([0, 1]) с sup-нормой и сравните
результат с положением дел в ^Р@, 1), 1 ^ р <С оо.
5 8. Пусть ^([0, 1]) наделено sup-нормой и k — непрерывная функция на
[0, 1]Х[0, 1]. Определим оператор К: ^([0, 1])->^([0, 1]), полагая
1
Kf(x) = \ k(xt у) f(y) dy.
о
Пусть S — замкнутый единичный шар в ^([0, 11). Покажите, что K(S) огра-
ограничено и равностепенно непрерывно, а значит, относительно компактно.
5.9. Для неотрицательных целых k введем норму на (ё?к([0} 1]) формулой
к
%к ;<Го х г [0, 1]
Докажите, что при k > h единичный шар в #А([0, 1]) есть относительно ком-
компактное подмножество в ^Л([0, 1]).
5.10. Докажите теорему 5.4.5. Сначала при фиксированном h установите с по-
помощью теоремы Арцела — Асколи относительную компактность в ^([0, 1]), а
тем самым и в ^Р@, 1) множества {fn: /e5}, где
x+h
f(t)dt.
x-h
Затем покажите, что норма ||/ — fh\\P мала при малых /г, а в заключение вос-
воспользуйтесь соображениями вполне ограниченности.

164 Гл. 5. Компактные мноэюества в банаховых пространствах
5.11. Пусть Q — подмножество банахова пространства $ с нормой \\-\\. Пока-
Покажите, что множество ff (Q) комплекснозначных ограниченных непрерывных функ-
функций на Q становится банаховым пространством при наделении его sup-нормой
|| • ||^ (Q), определяемой формулой
*3 SUP 1<Р(*I-
Множество S в ff (Q) называется равностепенно непрерывным, если для всякого
8 > 0 найдется такое б > 0, что |ф(я) —Ц)(у)\ < г для всех х, ^gQ с
II* — у\\ < S и всех ф ^ 5. Покажите, что если Q относительно компактно, то
в % (&) имеет место теорема Арцела — Асколи.

Глава б
СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
6.1. Введение
В теории линейных уравнений в конечномерных пространствах,
в теориях линейных дифференциальных и линейных интегральных
уравнений важную роль играют сопряженные уравнения. В аб-
абстрактной теории им отвечает столь же важное понятие сопряжен-
сопряженного линейного оператора. Чтобы пояснить определение сопряжен-
сопряженного оператора, рассмотрим интегральное уравнение
1
где функция k вещественнозначна и непрерывна, и сопряженное
уравнение
g(x) —\k(ytx)g (у) dy = h (x)
о
в вещественном гильбертовом пространстве Ж = «2*2 (О, 1). В оче-
очевидных обозначениях эти уравнения можно переписать соответ-
соответственно в виде (/ — L)f = h и (/ — L*)g = h с линейными опера-
операторами L и L*. Оператор L*, полученный из сопряженного урав-
уравнения, естественно тогда рассматривать как сопряженный к L.
Чтобы облечь определение L* в абстрактную форму, заметим, что
11 11
g (х) dx \k (х, у) f (у) dy = J / (х) dx J k {у, x) g (у) dy,
0 0 0 0
откуда следует, что L* должен удовлетворять уравнению
(Lf,g) = (f, L*g)y f,g*=3№. F.1.1)
С другой стороны, для данного L эта формула, как легко видеть,
однозначно определяет L*. Это наводит на мысль взять формулу
F.1.1) в качестве определения сопряженного оператора, и такой
способ действительно годится для гильбертовых пространств.
При попытке перенести это определение на банаховы простран-
пространства перед нами сразу встает проблема — отсутствие скалярного
произведения. Чтобы разрешить ее, необходимо дальше углу-
углубиться в теорию банаховых пространств и ввести новое понятие —
понятие пространства ^*, сопряженного, или двойственного, ис-
исходному пространству 3S. Тогда на ^Х^* можно определите

166 Гл. 6. Сопряжённый оператор
„внешнее" произведение <•, •>, сохраняющее некоторые свойства
„внутреннего" 1} произведения (•, •) (определенного на Ж У, Ж),
а затем, формально обобщая F.1.1), положить
<L/, g> = </, L*g>, /El, g^®\
Таким способом определяется линейный оператор L*, отображаю-
отображающий пространство J?* в себя; он и называется сопряженным к L.
С этим объектом не так удобно иметь дело, как с сопряженным
оператором в гильбертовом пространстве, поскольку он определен
не на $, а на 3§*. Тем не менее введение этого нового понятия
открывает путь для заметного дальнейшего продвижения в теории
линейных операторов.
В §§ 6.2—6.4 дается обзор основных свойств сопряженного про-
пространства, который служит подготовкой к обсуждению сопряжен-
сопряженных операторов. Затем вводится понятие сопряженного к непре-
непрерывному оператору, которое используется потом при доказатель-
доказательстве важных для дальнейшего результатов, касающихся решения
операторного уравнения Lf=g. Далее показывается, как упро-
упрощаются эти результаты в случае самосопряженного оператора
в гильбертовом пространстве. Наконец, рассматривается сопря-
сопряженный неограниченного оператора; появление этого понятия
мотивируется приложениями к дифференциальным уравнениям.
6.2. Сопряженное к банахову пространству
Этот параграф начинается с определения сопряженного простран-
пространства. В частном случае, когда 38— гильбертово пространство, со-
сопряженным к $ оказывается само $. В общем случае дело об-
обстоит уже не так просто, однако для некоторых из самых употре-
употребительных банаховых пространств сопряженные имеют простой
явный вид. В остальной части параграфа изучается сопряженное
$* к абстрактному банахову пространству $. Наиболее важный
результат здесь — это теорема Хана — Банаха. Для оператора
L^S?($) областью определения его сопряженного L* является
^*. Поэтому для того, чтобы L* давал полезную информацию об
L, существенно, чтобы J?* было „столь же обширным", как само 38.
То, что это действительно так, следует из теоремы Хана — Банаха.
Чтобы пояснить определение сопряженного пространства, рас-
рассмотрим гильбертово пространство Ж (для удобства будем пока
считать его вещественным) со скалярным произведением (•, •).
Фиксируем элемент к^Ж и рассмотрим отображение /* (это
обозначение не подразумевает никакой связи между / и /*), зада-
задаваемое формулой /*(/)=(/, h) для всех \^Ж. Очевидно, что f*
!) Заметим, что по-английски скалярное произведение так и называется
внутренним (inner product).— Прим. перев.

6.2. Сопряэюённое к банахову пространству 167
есть линейный оператор из Ж в R, и притом непрерывный, в силу
неравенства Шварца, т. е. feg'^R), Дальнейший анализ по-
показывает, что пространства Ж и 2?{Ж,Щ на самом деле изомет-
изометрически изоморфны, а значит, могут быть отождествлены. Поэтому
естественно писать h = f* и рассматривать /* и как элемент Ж,
и как элемент 2?[Ж, R). В случае банахова пространства посту-
поступаем в обратном порядке: в качестве исходного объекта берем
&{&* R) (или 2?($,С) — для комплексного $) и называем его
сопряженным 3&* к 3&. В противоположность гильбертову случаю
^* нельзя отождествить с 3$, но оно тоже является банаховым
пространством, а на ^Х^* имеется „внешнее произведение", об-
обладающее некоторыми свойствами скалярного произведения на
ХЖ
Пусть $ — комплексное банахово пространство. В случае ве-
вещественного 3& нужно всюду в дальнейшем просто заменить
С на R.
6.2.1. Определение. Элементы пространства «2?(^, С) непрерывных
линейных операторов из $ в С называются непрерывными линей-
линейными функционалами на $.
6.2.2. Определение. Пространство i?(.$, С) непрерывных линейных
функционалов на $ называется сопряженным (или двойственным)
к ЗВ и обозначается ЗВ*. Далее через f, g, ... и /*, g*9 ... обозна-
обозначаются соответственно элементы $ и ^* (между / и /* никакой
связи не предполагается). Для f^3§, f*^$* через /*(/) обозна-
обозначается, как обычно, значение отображения /* на элементе / (яв-
(являющееся комплексным числом).
6.2.3. Теорема. Если $ — банахово пространство, то 9$* — тоже ба-
банахово пространство и
1ГШК11П
Здесь нормы берутся соответственно в ^* и ^. Вводить раз-
разные обозначения для этих норм редко бывает нужно, поскольку
обычно из контекста ясно, что имеется в виду. Эта теорема есть
частный случай теоремы 3.5.5 с W = С.
Для большинства употребительных банаховых пространств со-
сопряженные можно отождествить (при помощи изометрического
изоморфизма) с каким-нибудь известным пространством. Для
наших целей достаточно следующих примеров (дальнейшую ин-
информацию можно почерпнуть в Данфорде и Шварце [1958, гл.4]).
6.2.4. Пример. Возьмем в качестве $ пространство R3 с /^-нормой
II -11р. Для заданного h = (hu h2> h3) соотношение
Г if) = /1А1 + /2Л2 + /з^з, f = (fu h> h) e 38,

168 Гл. 6. Сопряэюённый оператор
определяет линейный функционал /* на J?. По аналогии со ска-
скалярным произведением напишем /*(/) = </,/*>. Если р и q — сопря-
сопряженные индексы, то, согласно неравенству Гёльдера (теорема
1.3.12), |/*(f) | ^ IIAIUIfllpi откуда следует, что /* непрерывен. Об-
Обратно, легко показать, что каждому непрерывному линейному
функционалу f* на R3 с нормой ||-||р соответствует некоторый эле-
элемент h в пространстве R3 с нормой || • IU- Так как это соответствие
является на самом деле изометрическим изоморфизмом, удобно
положить h = f* и рассматривать /* и как линейный функционал,
и как элемент R3. Сопряженным к R3 с нормой \\»\\р является
в таком случае само R3 с нормой \\*\\q. В действительности все
нормы на R3 эквивалентны между собой. Далее, R3 как множе-
множество совпадает со своим сопряженным. Отсюда видно, что в ко-
конечномерном случае понятие двойственного пространства не пред-
представляет большого интереса.
6.2.5. Пример. В бесконечномерном случае дело обстоит как раз
наоборот, и мы продемонстрируем это на примере пространств
&р. Пусть Q — интервал в R. Возьмем любое р, 1 ^ р < сю,
и пусть q — сопряженный индекс. Для данного h^9?q{Q) по-
положим
f*(f) = \f(x)h(x)dx, fe&p(Q). F.2.1)
Тогда в силу неравенства Гёльдера (теорема 2.5.3)
х) dx
II Л!» IIАII,
Отсюда следует, что /*: &P(Q)-+C — непрерывный линейный опе-
оператор и, значит, Р ^&C?p(Q), С). Можно доказать (см. Фрид-
Фридман [1970, § 4.14] !>), что ||/*|| = ||А||^ и что, кроме того, всякий
непрерывный линейный оператор LP(Q)->C допускает запись
в виде F.2.1) с некоторым Ae^(Q). Отображение S?(&P(Q),C)
на ^(Q), переводящее h в /*, снова есть изометрический изомор-
изоморфизм, и мы заключаем, что сопряженным к S?P(Q) является
3?q(Q). Опять удобно положить h = f* и рассматривать f* и как
элемент S?P(Q)*, и как элемент &q(Q). Казалось бы, мы пришли
к тому же выводу, что и в предыдущем примере, однако между
ними имеется коренное различие, ибо 3?p(Q) и 9?q(Q) — суще-
существенно разные пространства.
6.2.6. Теорема. Допустим, что 1 ^ р < сю и q — сопряженный ин-
индекс. Пусть Q — конечный или бесконечный интервал. Тогда
2fp(Q)* = 2?q{Q) и для каждого непрерывного линейного функ-
Или Канторович и Акилов [1977, с. 185].— Прим. перев.

6.2. Сопряэюённое к банахову пространству 169
ционала f* на 9?р(п) найдется такая функция f* в 9?q{?k)t ню
Отметим, что для р = оо этот результат неверен, т. е.
i?oo(Q)*=H=i?i(Q). В случае р = 2 гильбертово пространство
2?г(й) сопряжено к самому себе.
6.2.7. Пример. Для пространства последовательностей 1Р имеет
место аналогичный результат, т. е. lP = lq, если 1 ^ р < оо
и р, ^ — сопряженные индексы. При р = сю это опять неверно.
Представление линейного функционала /* в очевидных обозначе-
обозначениях выглядит так:
f*tf)=Zfifb
Продолжим рассмотрение основных свойств сопряженного про-
пространства. Оно будет основано на теореме Хана — Банаха. На-
Напомним, что непрерывный линейный функционал, определенный
на плотном в $ линейном подпространстве Л, допускает продол-
продолжение на всё 9S, имеющее ту же норму (теорема 3.4.4). Теорема
Хана — Банаха утверждает, что это так даже и в том случае,
когда Ж не плотно (правда, тогда продолжение может оказаться
неединственным). Это гораздо более глубокий результат, чем тео-
теорема 3.4.4, и в его доказательстве используются более тонкие со-
соображения, чем простое рассуждение по непрерывности.
6.2.8. Теорема Хана — Банаха. Пусть М — линейное подпростран-
подпространство банахова пространства $ и f* — непрерывный линейный
функционал, определенный на М. Тогда /* можно продолжить до
непрерывного линейного функционала на $, норма которого сов-
совпадает с нормой /*.
Мы докажем эту теорему для сепарабельного пространства &
{общий случай см. у Фридмана [1970, с. 150]!)). Это избавит нас
от необходимости использовать трансфинитную индукцию (лемму
Цорна), а основной структуры доказательства не нарушит. Во
избежание утомительных выкладок с комплексными числами бу-
будем считать 9S вещественным. Комплексный случай можно свести
к вещественному, записав f*(f) = Ref*(f)—iRef*(if). Наконец,
для функционала f* с областью определения D символом ||-|| мы
обозначаем его норму как оператора, т. е.
||П= sup |/*(f)|.
fel), || f 11 = 1
l) Или у Канторовича и Акилова [1977, с. 83—84], Данфорда и Шварца
[1958, с. 75]. — Прим. перев.

170 Гл. 6. Сопряэюённый оператор
Доказательство. В качестве первого шага покажем, что если
Л ф $, то /* можно без изменения нормы продолжить на не-
несколько большее (на одну размерность) подпространство М\.
Возьмем произвольное \§ф.Ж и рассмотрим его линейную обо-
оболочку [/о]. Положим Ж\ = Ж ®[fQ] и заметим, что каждый эле-
элемент /i ^lM{ имеет единственное представление в виде /i = / + а/о,
где [gj? и aeR (лемма 1.2.9). При любом вещественном а
функционал f*t определенный на Ж\ форхмулой
/!(/,) = Г Ш + аа,
линеен и равен /* на Ж. Следовательно, /* есть продолжение /*.
Мы покажем, что существует а, при котором \\ ограничен и нормы
Г и Т\ (рассматриваемых как операторы соответственно на Ж
и Ж\) совпадают. Для этого достаточно убедиться, что найдется
а, при котором |/!(/!)!< II ГНИ/ill» U^Mu ибо, поскольку /[ = /•
на Ж и ясно, что II/* II ^ || П )]• Запишем доказываемое неравенство
в развернутом виде:
Разделив его на а (при а = 0 неравенство очевидно) и положив
g = а™1/ е <#, получим
что заведомо выполнено, если для всех gh g2^Ж
- Г (ffi) - IIГIIII fifi + /о II < а < - Г Ы + IIГIIII ?2 + /о И- F.2.2)
Но
Г (й) - Г (ft) = Г (ft - ft) < IIГIIII ?2 - ft II
откуда
Таким образом, верхняя граница (по всем g\^Ж) левой части
последнего неравенства не превосходит нижней границы (по всем
g2^Ж) его правой части. Следовательно, F.2.2) выполнено для
любого а, заключенного между этими границами. Отсюда видно,
что, как и утверждалось, существует /*, продолжающий / с Ж на
Ж\ без изменения нормы.
Доказательство завершается многократным продолжением /*.
Так как $ сепарабельно, в нем найдется плотная последователь-
последовательность (f}). Положим Жо = Ж и Jti+\ = Ж} ©[//] при /^0. Со-
Согласно доказанному выше, существуют линейные функционалы
Г» ?v /•*> • • • с одинаковыми нормами на линейных подпростран-
подпространствах i-locliCi^c, соответственно. Пусть Жоо — тео-

6.2. Сопряэюённое к банахову пространству 171
ретико-множественное объединение этих подпространств. Ясно, что
Мое — линейное подпространство, и, поскольку (/;) плотна в J?,
е#оо = J?. Определим на М™ линейный функционал /^, полагая
/^ = /*. на «#;. Тогда J/L | = IIГ11- Далее, вспомним, что по
теореме 3.4.4 можно непрерывно продолжить /^ без изменения
нормы на е#оо= $. Это и будет искомое продолжение. []
Приведем четыре полезных следствия теоремы Хана — Банаха.
Первое из них читателю предоставляется доказать в качестве
упражнения (задача 6.1), а остальные легко из него выводятся.
6.2.9. Следствие. Пусть М — линейное подпространство в 2% и g —
произвольный элемент $, не лежащий в Л. Тогда на $ суще-
существует непрерывный линейный функционал /*, такой что
О) П/) = 0 для fs=M\
(И) /*(?)=!;
(iii)||f||=l/dist(?, Ж).
6.2.10. Следствие. Для всякого ненулевого f^3S найдется f*^<3B*
с\\П\ = \ uf4f)=\\f\\.
6.2.11. Следствие. Если f*(f) = O при всех f*?E$\ то / = 0.
6.2.12. Следствие. Для любого f e $
||/||= sup If (Ж-
II f 11-1
Выше мы утверждали, что можно построить „внешнее" произ-
произведение <•, •>, обладающее некоторыми свойствами скалярного
произведения (•, •) в гильбертовом пространстве. Это произведе-
произведение <•, ->1} задается формулой </,/*>=/*(/) и представляет собой
отображение из ^Х^* в С со следующими свойствами: для
) n )
(И) \(f> ПI<IIf mini;
(iii) если <f, f) = 0 при всех /* e 38*9 то f = 0 (следствие 6.2.11).
Отметим формальное сходство соотношений (i) с аналогич-
аналогичными соотношениями для скалярного произведения (отсутствие
„черточек" в случае комплексного пространства мы прокомменти-
прокомментируем в § 6.4) и неравенства (и) с неравенством Шварца. Аналог
свойства (iii) для гильбертова случая выражает просто тот факт,
!) Называемое каноническим спариванием $ и ,$*. — Прим. перев.

172 Гл. 6. Сопряжённый оператор
что Зё1 = 0, а здесь (Hi) можно интерпретировать как свидетель-
свидетельство того, что сопряженное пространство ,достаточно велико".
Заметим, что это важное свойство опирается на теорему Хана —
Банаха.
Иногда бывает полезно рассмотреть сопряженное пространство
к самому 38*.
6.2.13. Определение. Сопряженное J?** к пространству 3S* назы-
называется вторым сопряженным (вторым двойственным) к $.
На первый взгляд J?** — какой-то непонятный объект. Однако
на самом деле второе сопряженное тесно связано с исходным $.
Возьмем любое f^3S и рассмотрим элемент J (очевидно, един-
единственный) в J?**, определенный соотношением f(f*) = f*(f)9 f*<=$S*.
Поскольку каждое f задает единственное /, соотношение f = Щ
определяет оператор /С: ^->^**, который часто называют есте-
естественным вложением <М в J?**. Пространство <%) = R(K) является,
очевидно, линейным подпространством в J?**, и из следствия 6.2.12
мы сразу выводим такое утверждение:
6.2.14. Лемма. Оператор К есть изометрический изоморфизм
между $ и $, и §Ь—замкнутое подпространство в $**.
В свете этого результата принято отождествлять &$ и $ и счи-
считать 3& замкнутым подпространством J?**. Фактически & и J?**
часто совпадают.
6.2.15. Определение. Если J? = J?**, то 3S называется рефлек-
рефлексивным.
6.2.16. Пример. Ясно, что все конечномерные нормированные про-
пространства рефлексивны. Что более интересно, при 1 <С р <С °о
рефлексивны пространства 2?р (по теореме 6.2.6) и простран-
пространства 1Р.
Приведем пример результата, где пространство J?** позволяет
установить свойство пространств 9$ и <%*, которое трудно вывести
непосредственно.
6.2.17. Лемма. Пусть {fa}—некоторое множество элементов ба-
банахова пространства 3$. Предположим, что для каждого /* е ^*
существует такое т, что sup | f*{fa)\^tn. Тогда supllfjl < оо.
а а
Доказательство. Вместо {/а} рассмотрим {/а}, т. е. будем считать
каждый элемент fa оператором на 3$*. Имеем
sup I МЛ | - sup |/*(/аI< т.

6.2. Сопряэюённое к банахову пространству 173
Поэтому, в силу принципа равномерной ограниченности 3.5.6,
sup ||/а|| < оо. Так как /a = Kfa и К — изометрия, то ||/а|| = ||/а||,
а
и лемма доказана. []
Подробное изучение рефлексивности не входит в наши цели,
и мы здесь лишь сформулируем те результаты (см. Фридман
[1970, гл. 4]п), которые нам пригодятся в дальнейшем.
6.2.18. Лемма, (i) Замкнутое подпространство рефлексивного ба-
банахова пространства рефлексивно.
(и) Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда,
когда рефлексивно его сопряженное.
(ill) Если $ рефлексивно, то $* сепарабельно тогда и только
тогда, когда Ш сепарабельно.
В § 1.5 мы убедились в том, сколь полезно понятие ортогональ-
ортогонального дополнения. Для банаховых пространств напрашивается
следующий формальный аналог, использующий каноническое спа-
спаривание $ и 2%*\
6.2.19. Определение. Пусть заданы множества Sc^f и S*cz?%*.
Множества
S± = {r^&: </,/*> = 0, /eS}f
называются ортогональными дополнениями соответственно к S
и S*. (Иногда используют также термин аннулятор.)
Аналогия с гильбертовым случаем здесь не такая близкая, как
хотелось бы, поскольку S1 — подмножество J?*, а не А В этом
снова проявляется особая геометрическая сложность банахова
пространства. Основные свойства, ради которых вводится понятие
ортогонального дополнения, — это 11 = 0 и J?*1 = 0; первое оче-
очевидно, а второе вытекает из теоремы Хана — Банаха (следствие
6.2.12). При обращении с этим новым понятием необходима осто-
осторожность. Так, например, $* может содержать собственное замк-
замкнутое подпространство J#*, для которого Ж*1 = 0. Легкое дока-
доказательство следующего утверждения мы предоставляем читателю
в качестве упражнения.
6.2.20. Лемма. Пусть $ — банахово пространство, a S и S* — под-
подмножества соответственно в $ и $*. Ортогональными дополне-
дополнениями замкнутых линейных оболочек S и S* являются соответ-
соответственно S1 и 5*1.
1) Или Данфорд и Шварц [1958, гл. 2], Канторович и Акилов [1977, гл.5].—
Прим. перев.

174 Гл. 6. Сопряснсённый оператор
6.3. Слабая сходимость
Иногда удобно использовать понятие сходимости последователь-
последовательностей, менее сильное, чем сходимость по норме. То что понятие
„слабой" сходимости оказалось весьма полезным, объясняется
„приличным поведением" сопряженного пространства, которое
в свою очередь гарантируется теоремой Хана — Банаха. В неко-
некоторых областях, например в теории оптимизации, понятие слабой
сходимости находит непосредственные приложения, а здесь оно
будет употребляться в основном как техническое средство.
6.3.1. Определение. Пусть 9$ — банахово пространство. Последо-
Последовательность (fn)cz3S называется слабо сходящейся, если в $ су-
ществует элемент / (называемый ее слабым пределом), такой что
1 jm f (fn) = f (/) для всех /* е= Я*.
В этом случае мы пишем fn-^f-
6.3.2. Лемма, (i) Слабо сходящаяся последовательность не может
иметь двух слабых пределов.
(ii) Сходящаяся последовательность слабо сходится к тому же
пределу.
Доказательство, (i) Если последовательность имеет два слабых
предела / и g, то f*(f) = f*(g) для всех /*eJ?*, т. е. f*(f — g)=O.
Тогда, согласно следствию 6.2.11 теоремы Хана — Банаха, f = g.
(ii) Пусть fn-^f и f g ,1*. Тогда, в силу непрерывности /* как
оператора на jf,
Hm| Г (/я)-Г(/I = Ит|Г(/я-/I<11П1Нт ||^-/|| = 0. Q
6.3.3. Пример. В конечномерных пространствах слабая и сильная
сходимости эквивалентны. Некоторые бесконечномерные простран-
пространства (например, 1\) тоже обладают этим свойством, но, как пра-
правило, это не так. Рассмотрим в i?2@, 1) последовательность (fn),
где fn(x) = 2l/2sinnnx. Поскольку {fn}—ортонормированное мно-
множество, из неравенства Бесселя (лемма 1.5.13, (i)) следует, что
Нт(/Я, /) = 0 при любом [?^@,1). Поскольку сопряженное
к i?2@, 1) совпадает с самим i?2@, 1) (теорема 6.2.6), отсюда
следует, что /л-^0. Но, как показывает простое вычисление,
II/л — /mlh = 21/2 при пфт. Значит, (fn) не является сильно схо-
сходящейся последовательностью.
Возникает естественный вопрос: нельзя ли перенормировать
банахово пространство таким образом, чтобы исходная слабая
сходимость стала сходимостью по новой норме? К сожалению, это
невозможно. Поэтому изучение свойств слабой сходимости во
всей их глубине — довольно трудная задача, которой лучше зани-
заниматься в рамках теории топологических векторных пространств

6.3. Слабая сходимость 175
(см., например, Данфорд и Шварц [1958, гл. 2]). Однако для
установления тех простых результатов, которые нам здесь пона-
понадобятся, нет нужды вводить это новое понятие.
Приведем еще один признак слабой сходимости.
6.3.4. Лемма. Последовательность (fn) в банаховом пространстве
$ слабо сходится, если выполнены следующие два условия:
(i) (fn) ограничена;
(ii) существует такое /ejf, что lim f*(fn) = /*(/) для всех f*
из некоторого плотного в k* множества S*.
Доказательство. Согласно (i), существует такое т, что ||/rt|| ^ m
при п ^ 1. Далее, для любого /* ^$* найдется такое g*eS*, что
II/*— g*ll < е. Значит, в силу (ii),
/*(/„) - f (/) | = lim | (f-g*)(fn) + g*(fn) - f*(f) |
Поскольку е произвольно, отсюда следует утверждение леммы. []
В следующей лемме приводятся некоторые элементарные свой-
свойства слабой сходимости. Первые два совпадают с аналогичными
свойствами сильной сходимости, а третье в какой-то степени за-
заменяет свойство непрерывности нормы относительно сходимости
последовательностей.
6.3.5. Лемма. Пусть fn-^f в банаховом пространстве 33. Тогда:
(i) последовательность (fn) ограничена;
(ii) / принадлежит замыканию линейной оболочки множе-
множества {/„};
(iii) \\f\\< lim inf||/J.
Доказательство, (i) Это сразу следует из леммы 6.2.17. (ii) Пред-
Предположим противное. Согласно следствию 6.2.9, найдется такое
f*€E^*, что /*(/«) = 0 при я^1 и /*(/) = 1. Так как /„--/, то
f*(f) = lim f*(fn) = 0. Получено противоречие, (iii) Для любого
и требуемое неравенство вытекает из следствия 6.2.12. []
Со слабой сходимостью естественно связано понятие слабой
секвенциальной компактности 1К Главным результатом о слабой
секвенциальной компактности является теорема Банаха — Ала-
оглу, несколько ослабленный вариант которой приводится ниже
!> Родственное понятие слабой компактности нам здесь не понадобится, тем
не менее стоит предупредить читателя, что слабая компактность и слабая секвен-
секвенциальная компактность не эквивалентны (ср. с теоремой 5.2.4, (i)).

176 Гл. 6. Сопряжённый оператор
(общий случай см. у Фридмана [1970, § 4.12] х>). Напомним, что
соответствующее утверждение для сходимости по норме неверно,
если пространство бесконечномерно.
6.3.6. Определение. Подмножество S банахова пространства назы-
называется относительно слабо секвенциально компактным, если вся-
всякая последовательность в S содержит слабо сходящуюся подпо-
подпоследовательность. Если вдобавок слабые пределы всех таких
подпоследовательностей лежат в S, то оно называется слабо
секвенциально компактным.
6.3.7. Теорема (Банах — Алаоглу). Замкнутый единичный шар
в сепарабельном рефлексивном банаховом пространстве слабо сек-
секвенциально компактен.
Доказательство. Возьмем произвольную последовательность (fn)
в 5@, 1). Сначала при помощи диагонального процесса устано-
установим существование такой подпоследовательности (/л,я), что
(f*(fn,n)) сходится для всех /* из некоторого плотного в J?* мно-
множества 5*.
По предположению $ сепарабельно, значит, сепарабельно и ^*
(лемма 6.2.18). Поэтому найдется последовательность, скажем
(Q, плотная в #*. Далее, | f*(fn) | <\f*\\\fn\\, откуда вытекает, что
последовательность комплексных чисел (/*(/„)) ограничена и,
стало быть, содержит сходящуюся подпоследовательность
f{*\(fn i))' Повторяя это рассуждение, убедимся, что для всякого
m существует подпоследовательность (fn, m) последовательности
(fn, m-i), такая что (/? (/л m)) сходится. Рассмотрим диагональную
последовательность (fn,n). При каждом m последовательность
(fm(fn п))> начиная с tfz-ro члена, является подпоследователь-
подпоследовательностью последовательности (/^ (Jn m)) и, значит, сходится.
Теперь покажем, что указанная сходимость имеет место для
всех /*е,$*. Для этого отождествим fn, n с элементом /я,я^^**,
полагая fЛ| „(/*) =/*(/П|П) для всех /*е^*. По предположению
<%** = (%jy следовательно, $ есть множество непрерывных линейных
функционалов на S8*. Поэтому, согласно лемме 3.5.11, (fя,я(/*)),
а значит, и (/*(/я,я)) сходится для всех /*е^*. Иными словами,
(fn n) слабо сходится. По лемме 6.3.5, (Hi), ее слабый предел ле-
лежит в 5@, 1). D
6.4. Случай гильбертова пространства
Теперь мы быстро просмотрим заново результаты двух предыду-
предыдущих параграфов применительно к гильбертовым пространствам.
Прежде всего обоснуем утверждение, что сопряженное к гильбер-
Или у Данфорда и Шварца [1958, с. 459]. — Прим. перев.

6.4- Случай гильбертова пространства 177
тову пространству совпадает с ним самим, т. е. что гильбертово
пространство самодвойственно. Для каждого g из комплексного
гильбертова пространства Ж определим оператор g*\ Ж-^С усло-
условием, чтобы при всех [g^ выполнялось равенство g*(/) = (/, g).
В силу неравенства Шварца, II g* ll^ll g II (для норм соответствен-
соответственно в 2? (Ж, С) и Ж). Следовательно, g* есть непрерывный линей-
линейный функционал на Ж, т. е. элемент пространства 9?{Ж, С)— Ж*.
Осталось выяснить важный вопрос: всякий ли элемент Ж* зада-
задается таким образом при помощи некоторого элемента Ж*> Утвер-
Утвердительный ответ на него дает следующая теорема:
6.4.1. Теорема Рисса о представлении линейного функционала.
Всякому элементу g* пространства Ж*у сопряженного к гильбер-
гильбертову пространству Ж, соответствует единственный элемент ^
такой что g*(f) = (f, g) для всех \^Ж. При этом ||g*|| =
Доказательство. Сначала установим существование такого g.
Пусть N— нуль-пространство функционала g*. Если N — Ж, то
результат очевиден (берем просто g = 0), поэтому будем считать,
что ЫФЖ. Так как N замкнуто, то по теореме о проекции 1.5.11
существует ненулевой элемент go e N1. Поскольку go ф. N, то
<*=g*(go)?*O. Далее,
Отсюда f~a-lg*(f)g0(=N и (/ — a-lg*(f)g0, go) = 0. Последнее
равенство можно переписать в виде g*(f) II go II2—(/, ctg"o) • Требуе-
Требуемое соотношение g* (f) = (f, g) получится, если взять g =
a»go/\\ go II2.
Докажем единственность. Допустим, что g--другой элемент,
для которого g*(f) = (f, g') при всех /еЖ Тогда (/, g — g') = 0,
и, выбрав f — g', получим \\g — g"'||2 == 0. Отсюда g = g'.
Наконец, докажем равенство || g* \\ = \\ g ||. Прежде всего за-
заметим, что
откуда || g || < II g* ||. С другой стороны,
|| ?'||= SUp \g*(f)\= SUp |(/, g) |< || fir ||. D
II f 11=1 II f 11=1
Итак, между Ж и Ж* имеется биекция — обозначим ее /,— ко-
которая сохраняет норму и, значит, является изометрией. Алгебраи-
Алгебраические свойства биекции / описываются соотношением
/(af+Pfif) = a// + p/fiT, f, g^Sfg, a,(lGC. F.4.1)
Так как в правой части стоят комплексно-сопряженные числа, то
/, строго говоря, не линейна, а антилинейна\ в таком случае обыч-
обычно говорят об антиизоморфизме (если Ж вещественно, то, конечно,

178 Гл. 6. Сопряэюённый оператор
J — изоморфизм). Причину появления комплексно-сопряженных
чисел нужно искать в определении скалярного произведения, из
которого получено F.4.1). По техническим причинам, связанным
с определением сопряженного оператора, такое определение ска-
скалярного произведения удобнее, а небольшое усложнение, вызы-
вызываемое использованием антиизоморфизма вместо изоморфизма,
в дальнейшем не будет обременительным. Ввиду наличия описан-
описанного изометрического антиизоморфизма / принято отождествлять
Ж к Ж.
При построении теории сопряженного банахова пространства
важную роль сыграла теорема Хана — Банаха. Интересно отме-
отметить, что в случае гильбертова пространства эта теорема пред-
представляет собой уже не столь глубокий результат, и ее доказатель-
доказательство сразу получается из теоремы Рисса о представлении и тео-
теоремы о проекции 1.5.11.
Наконец, заметим, что определение слабой сходимости в гиль-
гильбертовом пространстве можно сформулировать в терминах ска-
скалярного произведения, и потому идейно оно немного проще. При-
Приведем аналоги определения 6.3.1 и теоремы 6.3.7.
6.4.2. Определение. Последовательность (fn) в гильбертовом про-
пространстве Ш называется слабо сходящейся, если существует та-
такой элемент f e <5^, что
Hm(/n, g) = (f, g) Для всех jg«.
6.4.3. Теорема. Замкнутый единичный шар в гильбертовом про-
пространстве слабо секвенциально компактен.
Доказательство. Нужно только освободиться от предположения
о сепарабельности в_теореме 6.3.7. Пусть (fn) — произвольная по-
последовательность в 5@,1) и JL — замкнутая линейная оболочка
множества {/„}• Тогда Л — сепарабельное гильбертово простран-
пространство, а значит, по теореме 6.3.7, существуют подпоследователь-
подпоследовательность, по-прежнему обозначаемая (/„), и элемент /ejf, такие
что Пт(/„, g) = (ft g) для всех g^Jt. Для завершения доказатель-
доказательства достаточно заметить, что, поскольку Ж = Ж Ф Л1, последнее
равенство имеет место для всех §еЖ[]
6.5. Сопряженный к ограниченному линейному оператору
Теперь, располагая понятием сопряженного пространства, мы мо-
можем обратиться к главной цели этой главы — изучению сопряжен-
сопряженного к линейному оператору на банаховом пространстве. Вначале
рассмотрим более простой случай ограниченных операторов.
Пусть W и ^ — банаховы пространства и Lg^(,I,?). Для
данного g* e W* рассмотрим отображение /г*: &S-+C, которое со-
сопоставляет каждому элементу /е$ комплексное число g*(Lf).

6.5. Сопряснсённый к ограниченному линейному оператору 179
Так как оператор L линеен и непрерывен, функционал Л* тоже
линеен и непрерывен, а значит, лежит в 38*. Итак, каждому
g* е ^* отвечает единственный элемент Л* е 35*, такой что
g*(Lf) = h*(f) при всех f^38. Если записать Л* = L*g*, то это
равенство принимает вид g*(Lf) = L*g*(f)l\ Заметим, что L* ото-
отображает <??* в 38*. Чтобы подчеркнуть аналогию с гильбертовым
случаем, заметим еще, что предыдущее равенство можно записать
в виде <L/, g*> = </, L*g*>, где <, > обозначает каноническое спа-
спаривание пространств <g7, <&* и 38, $* соответственно.
6.5.1. Определение. Пусть L: $-*<& — ограниченный линейный
оператор. Соотношение
g*(Lf) = L*g*(f) для всех f <= ЗВ и g'sf
определяет оператор L* из ^* в $*, называемый сопряженным
к L.
6.5.2. Теорема. Пусть 38 и *& — банаховы пространства и L е
^ (Л?)Гй L ^ (^ Л*) w || L* || = || L II.
Доказательство. Линейность очевидна. Для доказательства осталь-
остальных утверждений заметим, что при любых |gJ, g*^^?*
откуда
||LV||= sup \Lmt
ii f 11=1
Это показывает, что L* ограничен и || L* IK \\L\\. С другой сто-
стороны, согласно следствию 6.2.12,
\\Lf\\ = sup \gm(Lf)\ = sup \LY(f)\
I! g* 11 = 1 II g* 11 = 1
< sup i ii lv ii ii/у=n щи/ii,
откуда || L IK II L* ||. Следовательно, || L* || = || 11|. Q
&.5.3. Пример. Рассмотрим привычный конечномерный случай, ко-
когда оператор представляется матрицей. Пусть оператор L: СЛ->СЛ
задается формулой
п
i= la «////, «= 1, . . ., Л.
/-1
^ Употребление звездочки в двух разных смыслах не должно вызвать недо-
недоразумений, ибо элементы сопряженного пространства у нас всегда обозначаются
маленькими буквами, а сопряженные операторы — большими.

180 Гл. 6. Сопряжённый оператор
Обозначим пространство С", снабженное /^-нормой, через №.
Пространством, сопряженным к 1\п\ является 1{?К Пусть g* = (g"p
.. ., g*\ — произвольный элемент из \1\п)\. Имеем
Z
если
Таким образом, сопряженный L*: 1{?]->1{? к оператору L: 1[п)-+1[п\
представленному матрицей [а//], задается транспонированной
матрицей [а//]7. Однако следует отметить, что даже в конечно-
конечномерном случае сопряженный оператор зависит от выбора нормы
в рассматриваемом пространстве, и потому переход к сопряжен-
сопряженному оператору подразумевает нечто большее, чем просто транс-
транспонирование. Например, соотношение II L || = || L* || имеет место
только тогда, когда правильно выбрано сопряженное пространство.
6.5.4. Пример. Чтобы построить бесконечномерный аналог опера-
оператора из предыдущего примера, положим формально
(Lf)t = ?,at,f,, /=1, 2, .... F.5.1)
оо
Если величина sup X) | aif | конечна, то L — ограниченный опера-
оператор из 1\ в 1\ и
X)
/ i = l
Вычисление, подобное проведенному в примере 6.5.3 (легко ви-
видеть, что перемена порядка суммирования законна), показывает,
что формула
оо
(^ § )/= Zi aijgi> 1= *» 2, ...,
определяет сопряженный оператор L*: /«>->/<». Таким образом,
формально сопряженный оператор получается так же, как и выше,
переходом к транспонированной бесконечной матрице.
Заметим, что при помощи сопряженного оператора можно убе-
убедиться, что на самом деле || L\\=m. Это вытекает из соотношения

6.5. Сопряжённый к ограниченному линейному оператору 181
|| 11| = || L* || (теорема 6.5.2), если воспользоваться уже известным
нам значением || L* || (теорема 3.4.7).
6.5.5. Пример. Рассмотрим, наконец, интегральный оператор К,
задаваемый формулой
1
Kf(x) = \k(x,y)f(y)dy, F.5.2)
О
и предположим для простоты, что функция k: [О, 1]Х[0, 1]-^С
непрерывна. Тогда, очевидно, К: i?i@, lJ-^iZ^O, 1) ограничен.
Для fe^i@, 1) и g*s&oo@, 1) по теореме Фубини 2.4.17
11 11
\g*(x)dx\k(x, y)f(y)dy=\f(y)dy\k(x, y)g*(x)dx.
0 0 0 0
Следовательно, сопряженным к К является оператор К*:
5foo@, l)-^i?oo@, 1), задаваемый формулой
1
W(y) = \k{x, y)g*{x)dx.
Особенно важное значение имеет класс ограниченных опера-
операторов, отображающих гильбертово пространство Ж в себя. В этом
случае, вместо того чтобы пользоваться определением 6.5.1, кото-
которое привело бы к сопряженному, отображающему Ж* в Ж, удоб-
удобнее, приняв во внимание возможность отождествить Ж* с Ж, опре-
определить сопряженный оператор как оператор на самом Ж.
6.5.6. Определение. Пусть Ж — гильбертово пространство и Lg
3?(Ж). Соотношение
(Lf, §•) = (/, L*g) для всех f, g <= Ж
определяет ограниченный линейный оператор Ге^^), назы-
называемый (гильбертово-) сопряженным к L.
Следует отметить еще одно небольшое различие в определе-
определениях: в гильбертовом случае (а!)* = otL* (аеС), а в банаховом
(aL)* = а/Л Это объясняется тем, что для скалярного произве-
произведения (/, ag)= a(fy g)y а для канонического спаривания (fyag) =
a<f, ?>• Поскольку из контекста всегда ясно, о каком сопряженном
идет речь, мы в обоих случаях будем говорить просто о сопряжен-
сопряженном L* к L.
Поскольку сопряженный к оператору Ь^З?(Ж) сам лежит
в &{Ж), с ним удобнее работать, чем в случае банахова простран-
пространства. В частности, можно дать естественное определение самосо-
самосопряженности, в то время как в банаховом случае такому понятию

182 Гл. 6. Сопряжённый оператор
трудно придать какой-либо смысл. Как мы увидим, самосопря-
самосопряженные операторы обладают рядом свойств, значительно упроща-
упрощающих их рассмотрение. Поэтому задачи, допускающие постановку
в рамках гильбертова пространства, легче поддаются решению.
6.5.7. Определение. Пусть LgS'^), где Ж — гильбертово про-
пространство. Оператор L называется самосопряженным, если L = L*.
6.5.8. Пример. Если Z Z |о&//|2 < °°, то оператор L: 1%-+1ъ, опре-
определенный формулой F.5.1), ограничен. Скалярное произведение
в /2 задается равенством (/, g) = Z/'i?*> поэтому
(Lf, g) = Z (Lf)tgt = Z Z *t,figt
oo oo
= Z ft Z aTjgi = (/, LTg\
/-1 <-i
где
Таким образом, сопряженный оператор L: k-^h представляется
бесконечной матрицей, получаемой комплексным сопряжением и
транспонированием матрицы, задающей исходный оператор. Опе-
Оператор L самосопряжен тогда и только тогда, когда a*/ = a/*, i* j =
1,2, ..., т. е. когда задающая его матрица эрмитова.
6.5.9. Пример. Интегральный оператор К: 572@, ^-^^(О, 1),
определенный формулой F.5.2), ограничен, и сопряженный к нему
задается соотношением
1
K*g{y)= $ k{x,y)g{x)dx.
о
Таким образом, К самосопряжен тогда и только тогда, когда его
ядро эрмитово: k (х, у) = k (#, х), или, в вещественном случае, сим-
симметрично: k (x, y) = k (у, х).
В качестве первого применения понятия сопряженного опера-
оператора рассмотрим проблему вывода критериев разрешимости опе-
операторного уравнения Lf = g. Предположим для простоты, что
gGl и LgS'(^). Тогда результаты, полученные в гл. 3, можно
суммировать следующим образом. Если L биективен, то уравне-
уравнение имеет единственное решение f = L~lg при любом g, и так как
L~x непрерывен (теорема 3.5.3), то никаких дополнительных ана-
аналитических затруднений не возникает. Если L сюръективен, то
решение всегда существует, но не всегда единственно, если же L
инъективен, то (единственное) решение существует тогда и только

6.5. Сопряэюённый к ограниченному линейному оператору 183
тогда, когда g^R(L). В конечномерном случае инъективность
оператора L влечет за собой его биективность, и существует еще
ряд сильных результатов подобного типа (см. задачу 6.16). В бес-
бесконечномерном случае ситуация сложнее. Например, может быть
так, что оператор L инъективен, но не сюръективен или сюръек-
тивен, но не инъективен (см. задачу 3.2). Но всё-таки некоторые
конечномерные результаты допускают частичное обобщение на
бесконечномерный случай, как в следующей теореме (другие ре-
результаты такого рода см. в задаче 6.17):
6.5.10. Теорема. Пусть $ и <& — банаховы пространства и L^
). Тогда
(ii) если R(L) замкнуто, то и R(L*) замкнуто и R(L*) = N(L)L.
Доказательство. Убедиться в справедливости (i) сравнительно не-
нетрудно, и мы предоставляем это читателю в качестве упражнения,
(ii) Так как N(L)L замкнуто (лемма 6.2.20), достаточно показать,
что R(L*) = N(LI. Легко получить включение R(L*)cz N(LI.
Действительно, если g e R(L*), то существует такое /*, что
откуда g* <= N(LI.
Докажем обратное включение. Возьмем произвольное f* e
N(LI и заметим, что при каждом g^R(L) комплексное число
!*{!), где / — любой вектор, такой что Lf = g, определено одно-
однозначно (в самом деле, если Lf\ = Lf2 = g, то fx — f2GJV(L) и
f* (fi — M = 0). Значит, соотношение h*{Lf) = f*(f) (f<=$) опре-
определяет функционал h* на R(L). Очевидно, что А* линеен. Докажем,
что он непрерывен. Вспомним (задача 3.10), что существует /п,
такое что для любого g^R(L) найдется / с Lf = g и II / II ^
m Hgll; поэтому
I А*(«Г) 1 = I Hf) I<И ИII f II<m|| HIН«ГII.
По теореме Хана —Банаха 6.2.8, А* имеет продолжение-—обозна-
продолжение-—обозначим его Я* — на всё ^ и
ГА*(/) = A*(Lf) = A*(L/) = /*(/), / е Л.
Отсюда следует, что L*h* = f*, т. е. f*^R(L*). []
Этот результат представляет собой теорему существования.
Он менее удовлетворителен, чем соответствующее конечномерное
соотношение R(L) = ^(L*I, поскольку дает информацию только
о замыкании множества R(L), а не о нём самом. Поэтому для
успешного применения этой теоремы обычно нужны дополнитель-
дополнительные ограничения на оператор. С подобным примером мы ветре-

184 Гл. 6. Сопряжённый оператор
тимся в следующей главе. Там множество значений оператора
замкнуто, и из теоремы 6.5.10 выводится весьма мощный принцип
существования.
Наш последний результат в этом параграфе посвящен связи
между операторами, обратными к L и L*. Его доказательство опу-
опущено, так как оно очень похоже на доказательство теоремы 6.7.7,
которое будет дано в свое время.
6.5.11. Теорема. Пусть $ и ?? — банаховы пространства. Опера-
Оператор Lg.?^,1?7) имеет ограниченный обратный тогда и только
тогда, когда этим свойством обладает L*, и в таком случае
(Ll) L1
6.6. Ограниченные самосопряженные операторы:
спектральная теория
Самосопряженные операторы образуют один из простейших и в то
же время один из самых полезных классов линейных операторов.
В этом параграфе мы сосредоточим внимание на уравнении
(XI— L)f==g с ограниченным и самосопряженным оператором L.
Теорема 6.5.10 представляет собой попытку описать множество
значений ограниченного линейного оператора при помощи нуль-
пространства сопряженного к нему оператора, и эта теорема по-
полезна при рассмотрении вопроса о том, имеет ли L обратный и
ограничен ли он. Если вместо L взять XI— L, то она даст инфор-
информацию о спектре o(L). Когда L самосопряжен, все подобные ре-
результаты становятся намного проще и сильнее. Для общего опе-
оператора L <= 2} {$) спектр o(L) содержится в круге | X | ^ || L || —
и это почти всё, что можно о нём сказать. Если же L самосопря-
самосопряжен, то o(L) веществен (ср. с соответствующим результатом для
эрмитовых матриц), и можно получить оценки его размеров через
величины, которые сравнительно легко вычисляются.
В этом параграфе Ж—комплексное гильбертово пространство
(некоторые из приведенных ниже результатов для вещественного
Ж неверны), L: Ж-^Ж— ограниченный самосопряженный опера-
оператор и X = [i-\-iv—комплексное число. Начнем с одной техниче-
технической леммы.
6.6.1. Лемма. Для всех \<=Ж имеем \\(XI — L)f\\ > |ImA,|||/||.
Доказательство. Прямым вычислением получаем
\\(L - KI)fl? = \\(L - iil)f ||2 + v2|| /|p + lv((L - iil)f9 f) -
-tv(f9(L-\iI)f).
Так как L самосопряжен, то L —\xl тоже обладает этим свойством,
поэтому два последних члена взаимно уничтожаются. Отсюда

6.6. Огранич. самосопряэюённые операторы: спектральная теория 185
сразу вытекает доказываемое неравенство, поскольку первый член
правой части неотрицателен. []
Из этой леммы видно, что собственные значения L веществен-
вещественны. Мы хотим доказать более сильное утверждение о том, что весь
спектр, который может содержать и не только собственные зна-
значения, веществен.
6.6.2. Лемма. Замкнутые подпространства N(KI — L) и R(XI— L)
являются ортогональными дополнениями друг друга, и Ж =
N(M — L)®R(M — L).
Доказательство. Это вытекает из теоремы 6.5.10. В самом деле,
если % вещественно, то (XI — L) = (fKl — L)* и R(kl — L) =
NCkl L)L. С другой стороны, при v Ф 0 по предыдущей лемме
L) = 0, и так как (M — L)*=(hl — L), то
6.6.3. Теорема. Пусть Ж—комплексное гильбертово пространство
и L: Ж-+Ш — ограниченный самосопряженный оператор. Тогда
спектр o(L) веществен и
|| {II - L)1| < | Im Я Г1 (Im
Доказательство. Как было замечено выше, R(XI — Ь) = Ж при
уфО. Далее, по, лемме 6.6.1, || {%I — L)f \\ ^ | v 11| / II. Из лем-
леммы 3.8.18 следует, что (М— L)~x ЕЕ:2?(Ж), т. е. ^Gp(L), Послед-
Последнее утверждение теоремы получается из предыдущего неравен-
неравенства, если положить в нём g = (hl — L)f. []
В случае когда Ж конечномерно, o(L) состоит из одних соб-
собственных значений. Следующую теорему можно рассматривать
как частичную замену этого результата.
6.6.4. Теорема. Пусть Ж — комплексное гильбертово пространство
и L: Ж-+Ж — ограниченный самосопряженный оператор. Тогда:
(i) ^Gp(L) в том и только том случае, если существует такое
m > 0, что
||(Я/~1)/||>т||/||, /G»; F.6.1)
(ii) X^g(L) в том и только том случае, если существует та-
такая последовательность (fn),
Доказательство. Если iGp(L), то

186 Гл. 6. Сопряжённый оператор
и, полагая т~х = II (XI — L)~l ||, получаем F.6.1). Достаточность
условия F.6.1) устанавливается рассуждением, использованным
при доказательстве предыдущей теоремы, надо лишь заменить т
на |v|. Утверждение (и) очевидным образом следует из (i). []
Второе утверждение этой теоремы вскрывает различие между
спектрами в конечномерном и бесконечномерном случаях. Когда
Ж конечномерно, множество {fn} относительно секвенциально ком-
компактно и существует подпоследовательность — обозначим ее по-
прежнему (fn),— сходящаяся к некоторому пределу f. Отсюда
следует, что Lfn->Lf и что / — собственная функция, а % — соб-
собственное значение. Так мы вновь приходим к выводу, что каждая
точка спектра есть собственное значение. Для бесконечномерного
Ж это рассуждение непригодно, потому что (fn) может не содер-
содержать сходящейся подпоследовательности. С другой стороны, в ка-
каком-то смысле X есть приближенное собственное значение, ибо
даже если никакого ненулевого / с (XI— L)f = O не существует,
всегда найдется последовательность (fn), для которой это равен-
равенство приближенно выполнено, т. е. \\(XI— L)fn\\->0.
Выведем теперь одну полезную оценку протяженности спектра.
Заметим, что, поскольку L самосопряжен, число (Lf, /) при всех
f^dSS вещественно.
6.6.5. Определение. Для всякого самосопряженного оператора L
положим
т_ = inf (Lf, f), m+ = sup (Lf, f).
и f H=i ii f 11=1
6.6.6. Теорема. Пусть Ж — комплексное гильбертово пространство
и L: Ж-+М — ограниченный самосопряженный оператор. Тогда
o(L) содержится в интервале [m-,m+], причем гп- и т+ оба
принадлежат o(L).
Доказательство. При % > т+
Следовательно, \\(%1 — L)f\\^(X —m+)\\f\\ и, по теореме 6.6.4,
(i), ).Gp(L). Аналогично % е р (L) при i < m-.
Докажем второе утверждение. Положим X = т_. По определе-
определению т~ найдется последовательность (fn) с \\fn\\ = l и lim((AV —
L)fn,fn) = 0- Далее, согласно задаче 6.23 с f = fn, L = (XI — L)
Hg=(XI-L)fn,
\\(XI-L)fn\\*^\((XI-L)fn, fn)\\\M-L\nfn\?. F.6.2)
Значит, lim || (XI — L)fn II = 0 и, по теореме 6.6.4, (ii), X^o(L).
Аналогичное рассуждение проходит и для m+. []

6.6. Огранич. самосопряжённые операторы: спектральная теория 187
6.6.7. Теорема. Пусть Ж — комплексное гильбертово пространство
и L — ограниченный самосопряженный оператор в нём. Тогда
||L||=ro(L) = max(|m-|, |m+|).
Доказательство. Второе равенство следует из предыдущей теоре-
теоремы. Докажем первое. Заметим, что по теореме 3.7.11
rG(L) = \im\\Lnfn.
Значит, достаточно показать, что || Lk || = || L \\k при k = 2n и
п = 1, 2 Имеем
|| Lf ||2 = (Lf9 Lf) = (L2/,
поэтому || L ||2 < || L21|. С другой стороны, || L2f || < || L \\ \\ Lf || < || L ||21| /1|
откуда ||L2||^||L||2. Следовательно, ||L2|| = ||Li|2. Так как опера-
операторы L2, L4, ... тоже самосопряжены, аналогичное рассуждение
показывает, что ||L^il = ||LP при k = 2п. []
Для произвольного ограниченного оператора L спектральный
радиус ro(L) может быть строго меньше \\ L \\ и, более того, спектр
может состоять из одной точки 0 (как для оператора Вольтерры
из задачи 3.24). Если же L самосопряжен, то обе эти возможности
исключены предыдущей теоремой.
6.6.8. Пример. Многие вопросы, поднятые в этом параграфе, хо*
рошо иллюстрируются интегральным уравнением (Я/ — K)f==gi
где
оо
\k{x-y)f{y)dy, x<=R.
Если k — четная вещественнозначная функция из S?i(—оо, оо), то
К — ограниченный самосопряженный оператор в 3?2{~оо, оо).
Удобно изучать К при помощи преобразования Фурье. В силу
теоремы 2.6.1 1},
откуда пг- ^ k-= inf? (t), m+ ^ k+ =sup& (t), где inf и sup бе-
берутся по всем ?^R. На основании теоремы 6.6.6 заключаем, что
о (К) а [&_, k+]. В действительности о {К) = [&-, k+]. Чтобы в
этом убедиться, возьмем произвольную точку X в [&_, k+] и заме-
заметим, что
((Ы - КJ /, /) = ((X - kJf, /). F.6.4)
1>> И теоремы 2 6.4.— Прим. перев.

188 Гл. 6. Сопряжённый оператор
Поскольку ? —непрерывная функция {\ найдется такое t0, что
k(to) — X. Положим
f (t)=
lnK) X О при
Короткое вычисление показывает, что \\т((Х — k)fn, fn) = О, а по-
потому, согласно F.6.4), lim((XI — KJfn, fn) — 0. Значит, в силу
F.6.2), НтШ —/С)М1=0. Так как ||/я|| = ||/я|| = 1, то А,е=а(/С)
по теореме 6.6.4.
Какому спектру принадлежит X— точечному или непрерывному
(остаточный спектр пуст; см. задачу 6.31), зависит от меры множе-
множества Л = {t: k(t) — X}. В самом деле, если / — решение уравнения
(A,/ — K)f— 0, то (X — k(t))f(t)—O п.в. Если Л имеет меру нуль,
то / = 0 п. в. и X не содержится в точечном спектре, а стало быть,
содержится в непрерывном. Если же мера Л положительна, то
можно построить собственную функцию, положив / = 1 на каком-
нибудь компактном подмножестве Л положительной меры и 0 в
остальных точках. Следовательно, X принадлежит точечному
спектру.
6.7. Сопряженный к неограниченному линейному оператору
в гильбертовом пространстве
Теперь мы расширим определение сопряженного оператора на не-
неограниченные операторы. При этом будут рассмотрены только
операторы, отображающие гильбертово пространство в себя. Это
достаточно широкий класс, включающий операторы, которые свя-
связаны с обыкновенными дифференциальными уравнениями, а это
и есть то главное приложение, которое нас интересует. Неограни-
Неограниченный случай требует особых хлопот потому, что области опре-
определения неограниченных операторов являются собственными под-
подмножествами гильбертова пространства. Удовлетворительную тео-
теорию удается построить лишь тогда, когда эти области плотны
в Ж, однако в большинстве важных случаев, и в частности для
большинства дифференциальных операторов, это условие выпол-
выполнено, и потому оно не представляет собой серьезного ограничения.
Если область определения плотна, то почти все основные свой-
свойства сопряженных операторов сохраняются практически без из-
изменений.
Всюду далее Ж будет комплексным гильбертовым простран-
пространством, a L — линейным оператором из Ж в Ж с областью опреде-
Как преобразование Фурье функции из $Р{. — Прим. перев.

6.7. Сопряэюённый к неограниченному линейному оператору 189
ления D(L), плотной в Ж 1\ Допустим, что М — линейный опера-
оператор, такой что при всех / е D (L) и^еО (М)
(Lf, g) = (f, Mg). F.7.1)
Если бы L был ограничен и это соотношение выполнялось для
всех \,g^M, то М был бы однозначно определенным сопряжен-
сопряженным оператором к L. Однако в неограниченном случае само по
себе соотношение F.7.1) еще не определяет М однозначно, по-
поскольку не указывает D(M), и ему удовлетворяет любое сужение
оператора М. Правдоподобно, хотя и не очевидно, что из всех
операторов, удовлетворяющих F.7.1), найдется один с максималь-
максимальной (в смысле теоретико-множественного включения) областью
определения. Этот оператор L* и есть искомое обобщение сопря-
сопряженного оператора. Выбор D(L*) поясняется следующими сооб-
соображениями.
Пусть D(L*)—множество таких g^-Ж, для которых суще-
существует Ле«Ж с (f,h) — m,g) ПРИ всех f^D(L). Для данного g
элемент h определен однозначно. В самом деле, если k — другой
элемент, такой что (/,&) = (?/,?), то (/, h — k) — Q и, поскольку
D(L) плотна, h — k. (Отметим, что в случае неплотной D(L) при-
приведенное определение не имеет смысла.) Положим h = L*g. Легко
проверить, что L* линеен, и ясно, что (Lf,g) = (f, L*g) при всех
f^D(L) и g^D(L*). Значит, F.7.1) выполнено для M — L*, и
любой оператор М, удовлетворяющий F.7.1), является сужением
L*. Следовательно, как и утверждалось выше, область D(L*) мак-
максимальна. В большинстве интересующих нас случаев D(L*) тоже
плотна в Ж.
6.7.1. Определение. Пусть L — линейный оператор из Ж в Ж с
плотной областью определения. Определим D(L*) как множество
таких элементов g, для которых существует h с (Lf, g) — {f, h)
при всех f^D(L). Пусть L* — оператор с областью определения
D(L*)t такой что L*g= h на D(L*), или, что эквивалентно,
(Ц> g) = (/, L*g) при всех f €= D (L), gefl (Г). F.7.2)
Оператор L* называется сопряженным к L.
В классической теории дифференциальных уравнений термин
„сопряженный" употребляется для некоего формального оператора
(который мы называем здесь формально сопряженным в соответ-
соответствии с определением 3.8.3) и подразумевает лишь описание ко-
коэффициентов дифференциального оператора. Из следующего при-
примера видно, что теоретико-операторное понятие сопряженного
!) Важно иметь в виду, что указание области определения есть существен-
существенная часть задания неограниченного оператора.

190 Гл. 6. Сопряэюённый оператор
намного глубже, в нем существенно учитываются и граничные
условия.
6.7.2. Пример. Рассмотрим формальный дифференциальный опера-
хор l = id/dx на отрезке [0, 1]. Пусть s& — линейное подпростран-
подпространство в ^ = «272@, 1), состоящее из абсолютно непрерывных функ-
функций с производными из i?2@, 1). Возьмем D(L) = s& и на D(L)
положим Lf = if. Интегрированием по частям получаем, что для
f<=D(L)
1
f(x)(igW)dx==i[f(l)g(l)-/@)?@)] + (/, Mg),
где Mg = ig' и D(M)—произвольное множество гладких функций.
Равенство F.7.1) будет выполнено, если член в квадратных скоб-
скобках равен нулю, т. е. если g@) = g(l) = 0. Однако одного этого
условия недостаточно для точного задания D(M). Заметив, что
область D(L) должна быть максимальной, можно предположить,
что хорошим кандидатом на роль D(L*) является множество s&'=
{g\ gG«^,g@) = g(l) = 0}. Чтобы доказать, что, действительно,
D(L*) = s&'1 поступим следующим образом.
Очевидно, что s?' a D(L*); таким образом, достаточно дока-
доказать обратное включение. Возьмем любое g^D(L*) и положим
l*g = h. Тогда для всех fD(L)
/ (х) h (x) dx = (f,h) = (/, Lmg) = (Lf, g) = J if' (x) g (x) dx. F.7.3)
x
Теперь положим k{x)=\h{t)dt и заметим, что k' = h, &@) =
о
о
и k^s?. Производя в левой части F.7.3) интегрирование по час-
частям, получаем
1
F.7.4)
о
1
Если ugI и f{x) = ^v(t)dt, то /eD(t), /' = v и /A) = О.Следо-
х
вательно, в силу F.7.4), (v, — ig + k) = 0 при всех v^2$. Это
показывает, что k — ig, откуда g^s& и g@)=0. Докажем, что
(l) = 0. Для этого заметим, что F.7.4) — эТо просто равенство
&(!) = 0 (f^D(L)). Так как D(L) содержит и такие функ-

6.7. Сопряэюённый к неограниченному линейному оператору 191
ции, которые не обращаются в нуль при х= 1, то 0 = k A) = igA).
Тем самым доказано, что g e s&' и, значит, D(L*)czs?''.
Можно рассмотреть тот же пример с граничными условиями,
скажем положить D(L)={f: fGj^,/@) = /(l) = 0}. Аналогичные
рассуждения показывают, что в этом случае D(L*) = s?.
Заметим, что ни в том, ни в другом случае L не совпадает с L*,
хотя в смысле классической теории дифференциальных уравнений
оператор / ,,самосопряжен".
При изучении сопряженных к неограниченным операторам важ-
важную роль играют графики (определение 3.8.7). Напомним, что
график G(L) и обратный график G'(L)— это подмножества
Ж УС Ж, состоящие соответственно из пар [/, Lf] и [Lf, /], f^D(L).
Эффективность использования графиков основана на следующем
результате:
6.7.3. Лемма. G'(— L*)= G(LI (ортогональное дополнение бе-
берется в Ж ХЖ).
Доказательство. Согласно определению C.8.3) скалярного произ-
произведения в ЖХЖ,
([/, Lf], [- L*g, g] ) = (/,- L*g) + (Lf, g), fe=D (L), g e D (Г).
По определению L* правая часть равна нулю. Следовательно,
G'(—L*)cz G(LI-. Для доказательства обратного включения возь-
возьмем произвольный элемент [A, g] e G(L)*-. Имеем
По определению L* отсюда следует, что g^D(L*) и А = —L*g,
т. е. G(L)-l с: G'(—?•). D
Как и в предыдущем обсуждении неограниченных операторов
(§ 3.8), существенную роль играет понятие замкнутости. Ниже че-
через L** обозначается второй сопряженный оператор (L*)*9 а че-
через L, как обычно, замыкание L.
6.7.4. Теорема. Сопряженный оператор замкнут.
Доказательство. Ортогональное дополнение G(L)*- есть замкнутое
множество, поэтому G''(— L*) замкнуто по предыдущей лемме,
т. е. L* замкнут. []
6.7.5. Теорема. Область определения L* плотна тогда и только то-
тогда, когда L замыкаем, и в этом случае L** = L. В частности,
L** = L, если L замкнут.
Доказательство. Сначала предположим, что D(L*) плотна. Если
[0,g]e=G'(-L*)\ то (?,/) = ( [0, g], [-!*/,/])= О при всех
f^D(L*). Следовательно, g = 0, откуда вытекает, что G'(—L*)

192 Гл. 6. Сопряжённый оператор
есть график (лемма 3.8.11). Далее, по лемме 6.7.3,
G(L)_LG'(—L*). Значит, G(L)a G'(—L*I, а поскольку всякое
линейное подпространство графика само является графиком (за-
(задача 3.28), то G(L) — график.
Теперь предположим, что L замыкаем. Тогда G(L) замкнуто.
Но (L)* = L* (задача 6.26), откуда следует, что G(L)= G'(—L*)±.
Если бы D(L*) была неплотна, то существовало бы ненулевое g,
такое что gJ_D(L*). ^Короткое вычисление показывает, что
[О, g]^G(—L*I = G(L), а это противоречит тому факту, что
G(L) — график. Таким образом, D(L*) плотна.
Наконец, L**=L, так как G (L**)= G (— L»)i = G (L). Q
Результаты, касающиеся связи множеств значений и нуль-про-
нуль-пространств операторов L и L*, почти совпадают с соответствующими
результатами для ограниченных операторов. Следующие две тео-
теоремы являются аналогами теорем 6.5.10 и 6.5.11.
6.7.6. Теорема.
Доказательство. Упражнение для читателя. []
6.7.7. Теорема. Если L замкнут, то 1гх<=!3?{Ж) тогда и только
тогда, когда L*~X^5?{M), и в этом случае (L~1)* = L*~K
Доказательство. Если 2,-1 е i? (<?#), то, по теореме 6.5.2, (L-1)*^
S(Ж). Для любых g<^D{L*) иАе*
((L-'TCg, A) = (LV, L'lh) = (g> LL-lh) = (g, A).
Следовательно, (L~l)*L*g = g. Далее, ((L~l)*f, Lg) = (f, L~lLg) =
(f,g) для f^Ж и g^D(L). Из определения сопряженного опе-
оператора следует, что (L)*/ e D(L*) и L*(L~1)*/ = /. Эти два со-
соотношения дают в точности всё, что нужно для установления су-
существования L* и равенства L*-1 —(L-1)*.
Обратно, если L^'G^f*), то в силу только что доказанного
L**-1 е 3? {Ж). Так как L**=L (теорема 6.7.5), мы заключаем,
что Ь-Х<=?{Ж). D
Чрезвычайно важную роль в приложениях играют самосопря-
самосопряженные неограниченные операторы, во многом благодаря появле-
появлению таких операторов в теории дифференциальных уравнений.
6.7.8. Определение. Плотно определенный линейный оператор L
в гильбертовом пространстве называется самосопряженным, если
L = L*. (Заметьте, что при этом обязательно должно быть D(L) =
D(L*).)
6.7.9. Пример. Посмотрим, как построить самосопряженный опе-
оператор из формального оператора / = td/dx на [0, 1]. Главной про-
проблемой является выбор граничных условий, при которых D(L) —

6.7. Сопряснсённый к неограниченному линейному оператору 193
D{L*). Чтобы понять, как надо действовать, проведем следующее
формальное рассуждение.
Пусть <5^ = «272@, 1) и rf— подмножество в Ж, состоящее из
абсолютно непрерывных функций с производными из Ж Рассмот-
Рассмотрим временно операторы L и М, области определения которых обе
лежат в rf, причем Ц = // на D(L) и Mf = If на D(M). Интегри-
Интегрируя по частям, получаем
(L/, g)-(f
Если область D(L) фиксирована, то М будет сопряженным к L
тогда, когда он имеет максимальную область определения, удов-
удовлетворяющую требованию, чтобы член в квадратных скобках рав-
равнялся нулю при всех f^D(L). Ясно, что чем больше D(L), тем
меньше D(L*). Для самосопряженного оператора L указанная
максимальная область должна совпадать с D(L). Согласно при-
примеру 6.7.2, если D(L) = rf, то D(L#) = rf'={/: /e=rf,/@) =
f( 1) = 0}. Очевидно, что это D(L) слишком велико. С другой сто-
стороны, если D(L)-=rf', то D(L*) = s?, и D(L) слишком мало.
Правдоподобно, что правильная область должна лежать где-то
между s& и rf', поэтому испробуем D(L) = (f: f&sf>, f(l) = af(O)}
для некоторого аеС. Тогда
и для обращения в нуль этого выражения при всех f^D(L) необ-
необходимо, чтобы ag(l) = g@). Это условие должно совпадать с ис-
исходным условием f(l)==a/@), что имеет место при асГ= 1. При-
Приведенные соображения подсказывают, что подходящей областью
определения будет
D(L) = {f: /erf, /(l) = ^/@)} (8gR),
а теперь это предположение можно проверить приблизительно так
же, как в примере 6.7.2. Таким образом, на основе формального
оператора id/dx на отрезке [0, 1] можно построить бесконечно
много самосопряженных операторов.
В этом простом примере подходящее граничное условие уга-
угадать нетрудно. Однако для операторов / второго порядка в слу-
случае бесконечного интервала или в случае, когда у оператора есть
особенности, выбор подходящих граничных условий представляет
уже весьма трудную проблему. Систематические методы, разра-
разработанные для решения этой проблемы, будут изложены в гл. 10.
Ограниченные и неограниченные самосопряженные операторы
имеют много общего; потеря непрерывности в достаточной мере
компенсируется тем свойством, что неограниченные самосопря-
самосопряженные операторы замкнуты (теорема 6.7.4). В частности, глав-
главный результат о спектре сохраняет силу.

194 Гл. 6. Сопряэюённый оператор
6.7.10. Теорема. Пусть Ж— комплексное гильбертово простран-
пространство и L— (неограниченный) самосопряженный оператор. Тогда
спектр o(L) веществен и
||(XI — L)1 < | Im Л Г1 (Im X Ф 0).
Доказательство почти то же самое, что и в случае теоремы 6.6.3.
Повторение доказательства леммы 6.6.1 применительно к сужению
/ на D(L) приводит к неравенству 11 (XI— ?)/||^|1тЛ,|||/|| Соот-
Соотношение Ж = N(XI — L) @ R(XI — L) следует из теоремы 6.7.6,
Значит, R(XI — Ь) = Ж при 1шХФ0. Так как L замкнут, приме-
применима лемма 3.8.18, и мы заключаем, что (XI — L)~l e 3?(Ж). []
Задачи
6.1. Докажите следствие 6.2.9. [Указание. Всякое f е Ж\ = Ж + [g] можно од-
однозначно представить в виде f^h + Xg (Н^Ж, ЯеС). Примените теорему
Хана — Банаха к функционалу /* на М\, задаваемому формулой f*(h + kg) =
X.] Выведите из него следствия 6.2.10—6.2.12.
6.2. Предположим, что g eJ?p@, 1) при некотором р > 1 и
1
\f(*)8 (x) dx = 0 для всех / е Ф? ([0, 1]).
о
При помощи следствия 6.2.12 и теоремы 2.5.6 докажите, что g = 0 п. в.
6.3. (геометрический вариант теоремы Хана — Банаха). Пусть 3& — вещественное
банахово пространство и /* — ненулевой элемент &*. По аналогии с трехмерным
случаем множество {/: /*(/) ^^} при всяком вещественном а называется гипер-
гиперплоскостью; гиперплоскость делит & на «полупространства» f*(f) ^ а и /*(/) ^ а.
Пусть 5 — замкнутый единичный шар в М и fo^dS. Элемент /* называют
касательным к S в f0, если f*(f)^ /*(/o) при всех f e S, а гиперплоскость /*(/) =
/* (/о) — касательной гиперплоскостью к 5 в /о- Докажите при помощи след-
следствия 6.2.10, что касательная гиперплоскость существует в каждой точке fo = dS.
6.4. Пусть Ж — неплотное линейное подпространсто в банаховом пространстве ^.
Докажите, что существует ненулевое /* е ЗИ*, такое что /* (/) = 0 для всех
feJt.
6.5. Докажите лемму 6.2.20.
6.6. Покажите, что если Ж — замкнутое подпространство, то {Ж^-} J- = Ж.
6.7. Пусть S ==_{ф«} — счетное подмножество банахова пространства $. Пока-
Покажите, что /^[5] (замкнутой линейной оболочке S) тогда и только тогда, когда
/*(/) = 0 для всех f* s Я*9 таких что /*(фч) = 0, п = 1, 2, ... .
6.8. Постройте в /2 слабо сходящуюся последовательность, которая не сходится
сильно.
6.9. Пусть (/*) — последовательность в &*. Предположим, что (/* (f)) сходится
при всех f е &. Покажите, что найдется /* е ^*, для которого lim fn (/) = /* (f)
при всех / е ^. [Воспользуйтесь следствием 3.5.12.]

Задачи 195
6.10. Пусть S*— плотное подмножество в $*. Предположим, что последователь-
последовательность (fn) в $ ограничена и lim f*(tn) существует для каждого f*e5*. Дока-
Докажите, что этот предел существует для всех f * е= &*.
6.11. Пусть (fn)—последовательность в гильбертовом пространстве. Докажите,
что если fn-^f и \\fn\\ ->• IIf II» то fn->- f.
6.12 (лемма 4.4.7). Пусть & и *& — банаховы пространства, D — выпуклое под-
подмножество & и оператор A: D-+& дифференцируем по Фреше на D. Докажите,
что
М/-Л?||<||/-?|| sup || Л'(Л) ||.
Лей
[Сначала проведите доказательство для вещественных пространств, применив тео-
теорему о среднем значении к функции f*(A[f-\-Q(f— g)]), рассматриваемой как
функция от 8.]
6.13. Пусть 3S, Ф, .0 —банаховы пространства и 1е^(Д ^), М (=&(<&, 2D).
Покажите, что (ML)* = L*M*.
6.14. Имея в виду естественное вложение & и Ч? соответственно в ^** и *<?**,
можно рассматривать оператор L ^2?C&, ff) как оператор с областью определе-
определения в i?** и множеством значений в Ф**. Покажите, что L** является продол-
продолжением L.
6.15. Найдите норму оператора К: i?i@, l)-^^i@, I) из примера 6.5.5.
6.16. Пусть Т — конечномерное нормированное векторное пространство и L:
У-+Т — линейный оператор. Докажите, что R (L) ± = N (L*) и R(L) =N(L*)-L.
Выведите отсюда соотношения R(L*) = N(L)-L, R(L*)±- — N(L).
6.17. Пусть & — банахово пространство и LgS'(I). Покажите, что R(L) L =
N(L*), 1U
6.18. Пусть Ж — комплексное гильбертово пространство. Комплекснозначная
функция В на ЖУ^Ж называется билинейной формой, если при всяком фикси-
фиксированном g функция В(-, g) линейна, а при всяком фиксированном / функция
B(f, •) антилинейна (т. е. функция В (f, •) линейна). Форма В эрмитова, если
вдобавок В (/, g) = В (g, f), и ограничена, если существует такое с, что \B(f,
g) I ^ ^llfllll^ll при всех f, g e Ж. Покажите, что:
(i) если оператор Le^(^) самосопряжен, то (Lf, g)—ограниченная эр-
эрмитова форма;
(ii) если В — ограниченная эрмитова форма, то найдется самосопряженный
оператор L <=&(Ж), такой что (Lf, g) = B(f, g);
(iii) если В ^эрмитова, то ее можно выразить через квадратичную форму
B(f) = B(f, f) следующим образом:
4В (f, g) = B(f + g)-B(f-g) + iB (f + ig) - iB (f - ig).
6.19. Пусть L^3?ffi), где Ж — комплексное гильбертово пространство. Дока-
Докажите, что если L самосопряжен, то (Lf, f) вещественно при всех f ^Ж. Обратно,
покажите, что L самосопряжен, если (Lf, f) вещественно при всех f ^Ж (в слу-
случае вещественного Ж это необязательно так).
6.20. Пусть L — ограниченный самосопряженный оператор. Докажите, что:
@ если L сюръективен, то он инъективен (для несамосопряженного L это невер-
неверно; см. задачу 3.2); (ii) если L инъективен, то R(L) плотно в Ж.
6.21. Приведите пример оператора Le^(^), такого что \\Lf\\ = \\f\\ при всех
}^Ж, но 0<=a(L). Это показывает, что для произвольных ограниченных опе-
операторов теорема 6.6.4 неверна,

196 Гл. 6. Сопряжённый оператор
6.22. Докажите, что собственные функции самосопряженного оператора, отвечаю-
отвечающие разным собственным значениям, ортогональны.
6.23. Пусть оператор LgS7)^) самосопряжен и «положителен» в том смысле,
что (Lf, /) ^ 0 при всех f e Ж Покажите, что
| (Lf, g) |2 < (Lf, f) (Lg9 g) при всех f, * e Ж
[Положите [f, g] = (Lf, g) и далее следуйте доказательству неравенства Швар-
Шварца 1.5.4.]
6.24. Дисковый конденсатор описывается интегральным уравнением
1
Hy)dy=g{x),
где Ь > 0. Покажите, что спектр соответствующего интегрального оператора в
«2^2 (—1, 1) содержится в отрезке [0, 1] (модифицируйте рассуждение из при-
примера 6.6.8). Этого, правда, недостаточно для доказательства сходимости ряда
Неймана; см., однако, задачу 7.15.
6.25. При вычислении ёмкости диска радиусом 1 с круглой дыркой радиусом
k < 1 используется интегральное уравнение (Лав [1974])
к
К*)<** *(*)
о
Оценив т+ (определение 6,6.5), покажите, что соответствующий ряд Неймана
сходится в ^2@, k)t если
2 In [A + k)l(\ ~ k)] - arctg& < я.
6.26. Пусть L — плотно определенный линейный оператор в гильбертовом про-
пространстве.
(i) Покажите, что N(L*) =i?(L)-L. Выведите отсюда, что если L замкнут,
то N(L) = R(L*)±..
(ii) Докажите, что если L замыкаем, то (L)* = L*.
(Hi) Покажите, что если L с: L\y то L* :э L*.
6.27. Докажите, что теорема 6.6.4 сохраняет силу для неограниченных самосо-
самосопряженных операторов.
6.28. Для произвольного самосопряженного оператора L положим
m_= inf (L/,f)/||f|l2, m+= sup (Lf, f)/\\f||2;
допускаются и значения ±оо. Покажите, что если X^o(L)t то т-^.К^.т+.
Выведите отсюда, что в случае, когда т_ и т+ конечны, оператор L ограничен.
6.29. Если L самосопряжен и L~x & 3? C08), то L тоже самосопряжен.
6.30. Рассмотрим оператор I = id/dx на отрезке [0, 1]. Пусть Ж = &2@, 1) и
бФ —• подмножество в Ж, состоящее из всех абсолютно непрерывных функций с
производной из ^@, 1). Положим D(L) = {f: /erf, f@) = /A) = 0} и
Lf = If на D(L). Докажите, что D(L*) = s4>.
6.31. Покажите, что остаточный спектр (определение 3.7.3) всякого самосопря-
самосопряженного оператора пуст.

Глава 7
ЛИНЕЙНЫЕ КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
7.1. Введение
В конце прошлого века шведский математик Ивар Фредгольм
установил группу результатов о линейных интегральных уравне-
уравнениях, которым суждено было оказать глубокое влияние на разви-
развитие математического анализа. Здесь не место подробно излагать
историю вопроса (интересующиеся могут обратиться к работам:
Бернкопф [1966], Бурбаки [1969], Стин [1973], Монна [1973]).
Достаточно сказать, что результаты Фредгольма послужили клю-
ключом к открытию той обширной области математики, которая ныне
называется функциональным анализом. В данной главе мы кратко
изложим теорию линейных компактных операторов, представля-
представляющую собой прямое обобщение результатов Фредгольма. Эта тео-
теория чрезвычайно важна для приложений, равно как и родствен-
родственная ей теория нелинейных компактных операторов, о которой пой-
пойдет речь несколько ниже.
Чтобы мотивировать направление исследований, напомним сна-
сначала некоторые главные результаты об интегральных уравнениях
Фредгольма. Рассмотрим уравнения
ь
Xf(x)-\k(x, y)f(y)dy = g(x)t G.1.1)
а
Ъ
%f{x)-\k{x, y)f{y)dy = Q, G.1.2)
а
где IgC и g, k — заданные непрерывные функции. Они называ-
называются соответственно неоднородным и однородным интегральными
уравнениями Фредгольма второго рода. Значения А,, при которых
G.1.2) имеет ненулевое непрерывное решение, называются соб-
собственными значениями, а сами решения — собственными функ-
функциями. Знаменитая альтернатива Фредгольма утверждает следу-
следующее: если 1^0 и однородное уравнение имеет только нулевое
решение, то неоднородное уравнение имеет в точности одно реше-
решение; если же кфО является собственным значением, то неоднород-
неоднородное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда функ-
функция g ортогональна ко всем соответствующим собственным функ-
функциям сопряженного уравнения, т. е. уравнения с ядром k(y,x).

198 Гл. 7. Линейные компактные операторы
Этот результат является мощным средством для установления су-
существования и единственности решения уравнения G.1.1). Огра-
Ограничение к?=0 необходимо (см. пример 7.4.4), зато в этом случае
имеет место полная аналогия со случаем операторов в конечно-
конечномерном пространстве (см. теорему 7.3.7).
Теория Фредгольма дает, кроме того, подробную информацию
о собственных функциях и собственных значениях, которые, оче-
очевидно, оказывают решающее влияние на поведение уравне-
уравнения G.1.1). Она устанавливает, что собственные значения обра-
образуют счетное множество {А,л}, что единственной предельной точкой
этого множества является нуль и что каждому ненулевому соб-
собственному значению отвечает конечное число линейно-независимых
собственных функций. В случае когда ядро эрмитово, имеются
дальнейшие мощные теоремы об обобщенном разложении Фурье
произвольной функции по собственным функциям, а при опреде-
определенных обстоятельствах удается даже получить аналог результата
о том, что всякий ^-мерный вектор можно представить в виде
линейной комбинации собственных векторов эрмитовой мХ ^-мат-
^-матрицы.
Мы хотим показать, что все эти результаты верны и для ком-
компактных линейных операторов на банаховых пространствах. Эта
теория имеет многочисленные приложения, и самое очевидное сре-
среди них —простой вывод основных результатов Фредгольма об ин-
интегральных уравнениях. Однако эта тема очень широко освещена
в литературе (см., например, Рисе и Сёкефальви-Надь [1955]),
поэтому здесь мы избрали для иллюстрации другие приложения.
Отметим особо три из них. Во-первых, при помощи теории ком-
компактных самосопряженных операторов, развиваемой в § 7.5, для
широкого класса дифференциальных уравнений можно построить
теорию разложений по ортогональным собственным функциям та-
таких уравнений. Во-вторых, теория, кратко излагаемая в § 7.6, по-
позволяет охватить вопросы численного решения интегральных урав-
уравнений. Наконец, в гл. 11 будет показано, как применение теории
компактных операторов в пространствах Соболева приводит к эле-
элегантному прямому подходу к линейным эллиптическим дифферен-
дифференциальным уравнениям с частными производными. Этот подход
особенно важен потому, что он вскрывает несколько существенных
моментов теории нелинейных дифференциальных уравнений с
частными производными.
7.2. Примеры компактных операторов
7.2.1. Определение. Пусть $ и ^ — банаховы пространства и Т:
ffl-^ff — линейный оператор. Оператор Т называется компактным,
если образ T(S) всякого ограниченного множества S из $ отно-
относительно компактен (в %?). Наряду с термином „компактный оде-

7.2. Примеры компактных операторов 199
ратор" в литературе используется также термин „вполне непре-
непрерывный оператор".
Очевидно, что для компактности линейного оператора доста-
достаточно, чтобы образ замкнутого единичного шара был относительно
компактен. Заметим, что поскольку относительная компактность
эквивалентна относительной секвенциальной компактности (тео-
(теорема 5.2.4), то Т компактен тогда и только тогда, когда для каж-
каждой ограниченной последовательности (fn) последовательность
{Tfn) содержит сходящуюся подпоследовательность.
Легко видеть, что всякий компактный оператор ограничен.
В конечных размерностях верно и обратное, т. е. всякий ограни-
ограниченный оператор компактен, однако в бесконечных размерностях
это не так (достаточно рассмотреть тождественный оператор). По-
Понятие компактного оператора впервые было введено в контексте
гильбертовых пространств. В первоначальном определении требо-
требовалось, чтобы оператор Г: Ж-^Ж переводил всякую слабо сходя-
сходящуюся последовательность в сходящуюся. Для гильбертовых про-
пространств (и даже для любых рефлексивных банаховых) эти два
определения эквивалентны, но в общем случае это не так (см. за-
задачу 7.4).
Следующие результаты будут нам полезны при установлении
компактности конкретных операторов.
7.2.2. Теорема. Пусть $ и <& — банаховы пространства. Если
(Тп) — последовательность компактных операторов в З?^,^),
равномерно сходящаяся к оператору Г, то Т компактен, г. е. мно-
множество компактных операторов в 3? ($,<&) замкнуто.
Доказательство. В общих чертах ход рассуждений будет такой.
В силу эквивалентности вполне ограниченности и относительной
компактности (теорема 5.2.8), если S — замкнутый единичный
шар, то множество Tn(S) вполне ограничено при каждом п. Но
норма ||Г„— ГЦ мала при больших п. Отсюда будет выведено, что
T(S) тоже вполне ограничено, а значит, оператор Г компактен.
Теперь займемся подробностями.
Так как Тп-+Т, то для любого заданного е > 0 найдется та-
такое п, что ||Tnf—Г/|| <е при всех feS. Так как Tn(S) вполне
ограничено, найдется конечное множество точек /i, ..., /&, для
которых
inffirj-rj/IKe при всех feS. G.2.1)
Значит, при любом [gS
II Tf - Tf, || < II77 - TJ || + IITJ - Tjj II +1| TJ, - 77, ||

200 Гл. 7. Линейные компактные операторы
С учетом G.2.1) заключаем, что \\Tf — Г//||<Зе при некотором /,
т. е. T(S) вполне ограничено. []
7.2.3. Лемма. Пусть $ и <$? — банаховы пространства uT-.tfl-^W—
линейный оператор.
(i) Если множество R{T) конечномерно, то Т компактен.
(И) Если Т компактен, а множество R(T) замкнуто, то оно
конечномерно.
Доказательство, (i) Достаточно заметить, что всякое ограничен-
ограниченное множество в конечномерном банаховом пространстве относи-
относительно компактно (лемма 5.2.2).
(И) Так как R(T) замкнуто, оно является банаховым простран-
пространством. По теореме об открытом отображении 3.5.1 образ T(S)
открытого единичного шара S открыт в R(T). Значит, в Т(S)
содержится замкнутый шар положительного радиуса, а так как Т
компактен, то этот шар компактен. Но по лемме 5.2.5 это может
случиться только тогда, когда R(T) конечномерно. []
Рассмотрим теперь некоторые операторы, часто встречающиеся
в приложениях, и выясним, компактны они или нет. В этих при-
примерах будут проиллюстрированы два стандартных метода дока-
доказательства компактности. Первый основан на теореме 7.2.2: ищет-
ищется последовательность простых компактных операторов, аппрок-
аппроксимирующих Т по норме. Во втором используется теорема Арце-
ла — Асколи 5.4.4.
7.2.4. Пример. Сначала рассмотрим оператор, отвечающий беско-
бесконечной матрице. Если 22 \aij\2<°°, то по теореме 3.4.7 опера-
оператор L: /2-^/2, определенный формулой
=?«*///, 1 = 1, 2, ...,
ограничен. Возьмем последовательность операторов (Рп), где
Pnifu /2, ...)=(/i. ..-, fn> 0, 0, ...).
Оператор PnL имеет конечномерное множество значений и по-
потому, согласно лемме 7.2.3, компактен. Далее, PnL-+L, так как
lim || PnL-L || <lim ? ? |ai;f = 0.
Следовательно, L компактен по теореме 7.2.2.
7.2.5. Пример. Пусть К — интегральный оператор, задаваемый
формулой
Kf(x)=\k(x,y)f(y)dy. G.2.2)

7.2. Примеры компактных операторов 201
Какие условия на ядро k и на Q обеспечивают компактность /С?
Для многих целей достаточно приводимых ниже двух теорем;
дальнейшую информацию можно найти у Данфорда и Шварца
[1958, гл. 6] или Забрейко и др. [1968]. В первой теореме допус-
допускается возможность, что k — функция Грина.
7.2.6. Теорема. Пусть Q — замкнутое ограниченное подмноже-
подмножество Rn, и пусть ^(Q) наделено sup-нормой. Предположим, что
k{x,y)— непрерывная функция от х, у при х, y^Q и хф у и что
существуют такое m и такое а < п> что \k(x7 у) | ^ т\х — у|~а.
Тогда оператор К: <ff(Q)-^<ff(Q) компактен.
Доказательство. Сначала установим результат для случая, когда
k непрерывна на всём Q X Я. Применяемый метод проиллюстри-
проиллюстрирует использование теоремы Арцела — Асколи.
Пусть S — замкнутый единичный шар в ^(Q). Покажем, что
множество K(S) функций g вида
g(x)=\k(x,y)f(y)dy,
ограничено и равностепенно непрерывно. Ограниченность следует
из неравенства \\KfW ^ \\K\\ 11/11, так как \Kj(x) \ < ||tf/|| при всех
хей. Для доказательства равностепенной непрерывности заме-
заметим, что в силу равномерной непрерывности k для любого задан-
заданного 8 > 0 найдется такое б > 0, что \k(x\,y) — k(x2y у)\<Сг при
всех |xi — х2\ <б hj/gQ. Следовательно,
- g (x2) \<\\k(xuy) — k (x29 у) | f(y) dy
Q
< V (Q)|| /1| sup \k(xu y)-k (x2, y) |
при \xx-x2\<69
где V(Q) — объём Q. Так как б не зависит от /, то равностепенная
непрерывность доказана. Значит, по теореме Арцела — Асколи
5.4.4, K(S) относительно компактно и потому К — компактный
оператор.
Для завершения доказательства осталось снять условие непре-
непрерывности k в точках с х = у. Определим последовательность (kn)
непрерывных ядер, полагая
( k(x9 у) при \х — у\>1/п,
*п(х, у) — ^ nfi\x-y\fik(x,y) при \х-у\^1/п,

202 Гл. 7. Линейные компактные операторы
где а < р < п. Пусть Кп— интегральный оператор с ядром kn.
Тогда
lim
Л-»оо
sup \ \k(x, y) — kn(x, y)\dy = O,
поэтому /(^^(^(Q)) и lim/Crt = /C. Согласно первой части до-
доказательства, (Кп)—последовательность компактных операторов,
и доказываемое утверждение следует из теоремы 7.2.2.
Если Q неограничено, то это доказательство не проходит, так
как неприменима теорема Арцела — Асколи. И действительно, в
этом случае для компактности оператора К требуются намного
более сильные условия на ядро. Рассмотрим следующий вырази-
выразительный пример. Пусть Q=(—оо, оо) и k(x,y) = k(x— у), где
k — произвольная непрерывная функция из 9?\(—оо, оо) 1\ Тогда
lltf/IKMillfll (где Mli есть ^i-норма), и оператор К:
<g7((—оо, oo))-><g7((—оо, оо)) ограничен. До сих пор имеется хоро-
хорошая аналогия со случаем компактного Q; дополнительное условие
принадлежности k пространству 3?\(—оо, оо), очевидно, необхо-
необходимо для того, чтобы обеспечить сходимость интеграла. Однако
оператор К не компактен.
Докажем это. Пусть h — функция из ^((—оо,оо))!) с носите-
носителем [0,1] и (fn) — ограниченная последовательность сдвигов этой
функции: fn(x)=h(x — n) (x^R). Как показывает простое вы-
вычисление, Kfn(x)= g(x—n), где
1
g(x)= jj k(x — y)h(y)dy.
о
Функция g не равна тождественно нулю и стремится к нулю на
бесконечности, а так как (Kfn) — последовательность ее сдвигов,
то (Kfn) не содержит сходящихся подпоследовательностей. Следо-
Следовательно, К не компактен.
Рассмотрим теперь К как оператор в 2^2 (й). Если функция k
измерима и
= \\\k(xfy)\2dxdy<oo9
то оператор К: 5?2(Й)->5?2(Й) ограничен и || К IK III k |||2 (теоре-
(теорема 3.4.10). Докажем, что К компактен. Сначала предположим, что
Q компактно, a k непрерывна. Тогда по теореме Вейерштрасса
1.4.16 функцию k можно приблизить по sup-норме, а значит и по
норме ||| • HI 2, последовательностью непрерывных вырожденных
ядер; этим ядрам отвечают компактные операторы Кп, поскольку
Не равная тождественно нулю. — Прим. перев.

7.3. Альтернатива Фредгольма 203
их множества значений конечномерны. Далее, Кп~+К7 ибо
|| К — Кп II ^ III k —- kn |||2. Следовательно, К компактен по теоре-
теореме 7.2.2. Чтобы освободиться от условий непрерывности k и ком-
компактности Q, достаточно заметить, что по теореме 2.5.6 непрерыв-
непрерывные функции с компактным носителем плотны в ^(ЙХ^), а за-
затем вновь сослаться на теорему 7.2.2.
Подобный ход рассуждений применим и в случае пространств
S?p при р ф 2, однако здесь больше технических подробностей, и
мы лишь, сформулируем следующую теорему (см. Данфорд и
Шварц [1958, гл. 6]).
7.2.7. Теорема. Пусть Q — измеримое подмножество в Rn, k —
измеримая функция и 1 < р < оо. Если число \\\ k |||р {определен-
{определенное, как в теореме 3.4.10) конечно, то оператор К: 2?Р(&)-> 9?р(п)
компактен.
В этой теореме Q может быть и неограниченным, но многие
употребительные ядра, например k(x, у) = ехр(—\х — у\), удов-
удовлетворяют условию \\\k\\\p <С оо только в случае ограниченных Q.
Каждый из компактных операторов, рассмотренных в преды-
предыдущих примерах, допускал равномерную аппроксимацию операто-
операторами конечного ранга, т. е. имеющими конечномерное множество
значений. Напрашивается гипотеза, что это верно для любых
компактных операторов в банаховых пространствах, т. е. что вся-
всякий компактный оператор равен сумме оператора конечного ранга
и оператора сколь угодно малой нормы. Хотя в общем случае этот
результат не имеет места (как было недавно установлено), он
справедлив во всех употребительных банаховых пространствах и
дает там хорошее описание компактных операторов, которое еще
больше подчеркивает аналогию между компактными операторами
и операторами в конечномерных пространствах.
7.3. Альтернатива Фредгольма
Рассмотрим уравнение
(M-T)f = g, gez<%, G.3.1)
где Т: $->$ — линейный оператор. Если $ конечномерно, а 'к не
является собственным значением, то оператор (Я/ — Г)-1 суще-
существует и ограничен и уравнение G.3.1) при всяком g имеет един-
единственное решение. Фредгольм доказал аналогичный результат для
линейных интегральных уравнений при дополнительном предполо-
предположении, что Я ф 0. В этом параграфе мы обобщим результат Фред-
Фредгольма на произвольные компактные линейные операторы в ба-
банаховых пространствах.
Всюду ниже 9И — банахово пространство и Т: $-+$ — линей-
линейный оператор. Центральную роль в доказательствах будет играть

204 Гл. 7. Линейные компактные операторы
теорема 6.5.10, и в качестве подготовки к ее применению докажем,
что если Т компактен, то и Г* компактен, а множество R(hl—Т)
замкнуто.
7.3.1. Теорема. Сопряженный к компактному оператору Т ком-
компактен.
Доказательство. Пусть S и S* — замкнутые единичные шары соот-
соответственно в $ и Jf*. Покажем, что T*(S*) относительно ком-
компактно. Первым шагом будет применение обобщенного варианта
теоремы Арцела — Асколи (задача 5.11) к линейным функциона-
функционалам из S*, рассматриваемым как непрерывные комплекснозначные
функции на T(S), или, иными словами, как элементы простран-
пространства V (Т (S)).
Так как Т компактен, то Т(S) относительно компактно. Далее,
поскольку Т(S) — ограниченное множество, множество функцио-
функционалов из S* равномерно ограничено на T(S). Наконец,
для g\t g2 ^ T(S), f* e S*, откуда вытекает равностепенная непре-
непрерывность функционалов из S* на T(S). Значит, по упомянутой
теореме всякая заданная последовательность в S* содержит под-
подпоследовательность, обозначим ее (/*), сходящуюся в ^(T^S))
Она является там последовательностью Коши, так что
lim sup |f; G7)-/; (Tf) 1 = 0.
m,n->co fe=S
Ho
sup | /; (тп - rm (Tf) i=sup | (r /; - rrm) (f) I
= !| rrn-rrn»
1 m
поэтому (Т*ГЛ — последовательность Коши в ^*; следовательно,
она сходится, так как $* полно. Таким образом, T*(S*) относи-
относительно секвенциально компактно. []
3.7.2. Лемма. Пусть Т компактен. Если ХФО, то N(kl — Т) и
N(KI — Т*) конечномерны.
Доказательство. Так как Т* тоже компактен, достаточно доказать
утверждение для N(KI—Т). В силу компактности Т всякая огра-
ограниченная последовательность в NCKI—Т) содержит подпоследо-
подпоследовательность (fn), для которой сходится G7л). Но Tfn = hfn, по-
поэтому сходится и сама (/«). Тем самым доказано, что всякое огра-
ограниченное множество в N(M—Т) относительно секвенциально ком-
компактно, и наше утверждение следует из леммы 5.2.5. []
Доказанная лемма представляет собой обобщение известного
результата фредгольмовой теории интегральных уравнений, кото-

1.3. Альтернатива Фредгольма 205
рый утверждает, что всякому собственному значению отвечает ко-
конечное число линейно-независимых собственных функций.
7.3.3. Лемма. Пусть Т компактен и к=?0. Тогда R(XI—T) и
R(XI — Г*) — замкнутые подпространства.
Доказательство. То что R(hl—Т) и R(KI—Г*)— линейные под-
подпространства, очевидно. Если удастся установить, что первое из
них замкнуто, то из компактности Т* будет следовать, что и вто-
второе замкнуто. Итак, нужно доказать, что если (fn)—произвольная
сходящаяся последовательность в R(KI—Г), то ее предел / тоже
лежит в R (Я/ — Т).
Сначала покажем, что найдется ограниченная последователь-
последовательность (gn), для которой fn = (XI—T)gn. Так как /Пе/?(Я/— Г),
то какая-то, не обязательно ограниченная, последовательность
(hn), для которой fn = (XI—T)hn, всегда существует. Но если
Aп)— произвольная последовательность в N(M—Т) и gn =
hn — In, то fn = (hl—T)gn. Таким образом, если удастся доказать,
что при некотором выборе 1п последовательность (hn— ln) ока-
окажется ограниченной, то ближайшая цель будет достигнута.
Очевидно, что достаточно установить ограниченность d(hn) =
dist(/in, N(Kl— Т)) как функции от п. Предположим, что (й(кп)),
напротив, неограничена. Тогда найдется подпоследовательность,
обозначим ее по-прежнему (hn), такая что d(hn)-> оо при п->оо.
Положим Нп = hn/d(hn). Как показывает короткое вычисление,
d(hn)=\ и, значит, в N (hi—Т) существует последовательность
(kn)> такая что \\hn — kn\\ ^2 при всех п. Поэтому последователь-
последовательность (wn), где wn = fi,n — kn, ограничена. Так как Т компактен,
то, заменяя, если надо, исходные последовательности подпоследо-
подпоследовательностями, можно считать, что (Twn) сходится. Кроме того,
(XI -T)wn = (Я/ -T)Wn = (XI - Т)hjd(hn) = fjd(hn)->О.
Поэтому (wn) сходится к некоторому пределу, скажем w. Отсюда
следует, что
Kw — Tw= lim (Xwn — Twn) = 0,
т. e. w^NCKI—T). Значит,
Полученное противоречие показывает, что последовательность
(d(hn)) ограничена; тем самым установлено существование огра-
ограниченной последовательности (gn)> для которой /п = (Я/ — T)gn.
Теперь уже легко завершить доказательство. В силу компакт-
компактности Г, (gn) содержит подпоследовательность — сохраним для
нее обозначение (gn),— такую что сходится (Tgn). Но /rt =

206 Гл. 7. Линейные компактные операторы
hgn — Tgn и (fn) сходится. Значит, и (gn) сходится. Если ее пре-
предел равен g, то
/ = lim fn = lim (Xgn - Tgn) = Xg- Tg,
Тем самым доказано, что /е/?(Я/—Г). []
Теперь мы можем пустить в ход теорему 6.5.10, связывающую
множество значений оператора с нуль-пространством его сопря-
сопряженного, и получить следующий результат.
7.3.4. Теорема. Если Т компактен и X Ф 0, то
(i) Y
(и)
Эта теорема доставляет метод доказательства существования
решений уравнения Я/—Tf = g. Например, из (i) вытекает, что
это уравнение имеет решение при каждом g, если уравнение Я/* =
T*f* имеет лишь нулевое решение. Однако этот результат не вполне
удовлетворителен, поскольку из него не следует, что оператор
XI—Т инъективен и (%1—Г)-1 существует. На самом деле тео-
теорему можно значительно усилить.
7.3.5. Лемма. Для компактного Т и ненулевого X найдется такое
целое k^ I, k k
Доказательство. Положим Nn = N((KI — Т)п) при п^1. Разло-
Разложение по степеням Т показывает, что (Я/ — Т)п имеет вид \xl — Гь
где |яеС и Ti компактен. Значит, Nn конечномерно (лемма 7.3.2).
Теперь будем рассуждать от противного. Допустим, что Nn^Nn+i
при всех п ^ 1. Тогда Nn при каждом п есть собственное линейное
подпространство в Nn+i- Следовательно, согласно задаче 7.7, най-
найдется такая последовательность (/„), что fn^Nn+\, |1/л||= 1 и
II/л — /II > 1/2 для всех f^Nn. Далее, при п> m
(Я/ - ТУ [{XI -T)fn + Tfm] = (XI - T)n+Xfn + T(XI- T)nfm = 0,
т. е. (XI -T)fn + Tfm €= Nn. Поэтому
| Я Г11| Tfn - Tfm || = || fn - Я [(XI -T)fn + Tfm] || > 1/2,
откуда вытекает, что (Tfn) не содержит сходящихся подпоследова-
подпоследовательностей. Но это противоречит компактности Т. Q
7.3.6. Лемма. Если Т компактен и ХфО, то R(XI — Т) = $ тогда
и только тогда, когда N(XI — Т) = 0.
Доказательство. Предположим сначала, что R(XI — Т) = М. Если
М(Я/ — Т) Ф 0, то найдется ненулевой элемент f\^N(XI — T).

7.3. Альтернатива Фредгольма 207
Так как R(XI— Т) = $, то существует такая последовательность
(fn), что (XI — Т) fn+i = fn при п ^ 1 и
Следовательно, N((XI — Т)п+1)Ф N((XI — Т)п) при всех л > 1. Но
это противоречит предыдущей лемме. Тем самым доказано, что
Л^(Я/ Г) 0
)
Обратно, если N(XI — T) = Ot то, по теореме 7.3.4, (ii), R(XI —
T*) = ffl. Но оператор Т* сам компактен, поэтому из первой части
доказательства следует, что N(XI— Р) = 0. Отсюда на основании
теоремы 7.3.4, (i) заключаем, что R(XI — T) = $. (J
Эта лемма показывает, что при ХфО оператор XI—Т инъек-
тивен тогда и только тогда, когда он сюръективен, и в этом слу-
случае (XI—Г)-1 ограничен (теорема 3.5.3). Таким образом, получен
очень хороший бесконечномерный аналог стандартного конечно-
конечномерного результата (теоремы 3.3.11). Грубо говоря, отсутствие
конечномерности пространства компенсируется компактностью
оператора Т которая гарантирует, что Т имеет „приближенно ко-
конечномерное" множество значений. Лемма имеет большое теоре-
теоретическое и практическое значение. Сформулировав ее как утверж-
утверждение о решениях однородного и неоднородного уравнений Xf —
77 = 0 и Xf—Tf = g, мы получим точное обобщение классической
альтернативы Фредгольма.
7.3.7. Теорема (альтернатива Фредгольма). Пусть $ — банахово
пространство, Т: $->$ — линейный компактный оператор и ХфО.
Тогда имеет место одна из следующих двух возможностей:
([) Однородное уравнение имеет только нулевое решение.
В этом случае ^ер(Г), оператор (XI — Г)-1 ограничен и неодно-
неоднородное уравнение имеет точно одно решение f = (XI — T)~lg при
каждом g e $.
(ii) Однородное уравнение имеет хотя бы одно ненулевое ре-
решение. В этом случае неоднородное уравнение имеет решение (за-
(заведомо неединственное) тогда и только тогда, когда (gy f*> = 0
для любого решения /* сопряженного уравнения Xf* = T*f*.
Соответствующий результат для интегральных уравнений по-
послужил мощным средством доказательства существования реше-
решений краевых задач для эллиптических дифференциальных уравне-
уравнений с частными производными. Коротко говоря, рассуждения, став-
ставшие ныне классическими, строятся следующим образом. Сначала
при помощи функции Грина дифференциальное уравнение преоб-
преобразуется в линейное интегральное. Ядро этого интегрального урав-
уравнения, как правило, недостаточно мало для применения методов,

208 Гл. 7. Линейные компактные операторы
связанных с использованием ряда Неймана. Однако можно дока-
доказать независимым путем, обычно при помощи какого-нибудь прин-
принципа максимума, что однородное уравнение не имеет ненулевых
решений, и тогда существование решения вытекает из теоре-
теоремы 7.3.7. Этот подход изложен прекрасно во многих руководствах
(см., например, Гарабедян [1964]), поэтому мы обсудим в гл. 11
другой способ действий, который был разработан недавно и кото-
который более привлекателен с точки зрения приложений. Он позво-
позволяет избежать трудного шага — построения интегрального уравне-
уравнения; альтернатива Фредгольма применяется сразу к некоторому
компактному оператору, полученному непосредственно из рассмат-
рассматриваемого дифференциального уравнения с частными производ-
производными.
7.4. Спектр компактного оператора
Одно из главных следствий предположения о компактности опера-
оператора— это возможность особенно простого описания его спектра.
В самом деле, из теоремы 7.3.7 мы уже знаем, что если опера-
оператор Т компактен, то всякая ненулевая точка а (Г) является соб-
собственным значением, а ниже мы докажем, что во внешности лю-
любой окрестности начала лежит лишь конечное число точек о(Т).
Таким образом, за исключением области, близкой к началу, спектр
качественно не отличается от спектра оператора в конечномерном
случае. В окрестности начала ситуация несколько сложнее; здесь
могут представиться разные возможности. Некоторые из них мы
проиллюстрируем примерами.
7.4.1. Теорема. Пусть $ — бесконечномерное банахово простран-
пространство и Т: $-><% — компактный линейный оператор. Тогда спектр Т
состоит из нуля и ненулевых собственных значений, причем соб-
собственное подпространство, отвечающее каждому ненулевому соб-
собственному значению, конечномерно.
Доказательство. Если бы О^а(Г), то R(T) = $, и, по лемме 7.2.3,
$ было бы конечномерно, в противоречие с предположением.
Остальные два утверждения вытекают соответственно из теоре-
теоремы 7.3.7 и леммы 7.3.2. []
7.4.2. Теорема. Множество собственных значений компактного ли-
линейного оператора на банаховом пространстве либо конечно, либо
счетно и не имеет предельных точек, кроме, быть может, нуля.
Доказательство. Будем рассуждать от противного. Предположим,
что для некоторого & > 0 существует бесконечная последователь-
последовательность (Кп) различных собственных значений с \Кп\^г при каж-
каждом п. Пусть (fn) — соответствующая последовательность собствен-
собственных функций и Жп — линейная оболочка fi, ,,,, fn. Легко прове-

7.4- Спектр компактного оператора 209
рить, что fn линейно-независимы и, следовательно, Мп— собствен-
собственное подмножество в Мп+\. Поэтому, согласно задаче 7.7, найдется
такая последовательность (gn), что при каждом п> 1 имеем
gn^JKn, \\gn\\= 1 И
/2 для всех fs=Mn_x. G.4.1)
п
Далее, gn=y?i а$} с некоторыми ау- е С, откуда Tgn e о#л. Кроме
того,
и, значит, (Яп/—Г)§„е1и. Для всякого целого т, 1 ^ т < я,
положим f — (XnI — Л?л + ^т. Тогда, в силу только что доказан-
доказанного, f (а потому и hnlf) принадлежит Мп-\- Так как
Tgn - ^m = Кёп - (Kgn - ^/г + Tgm) = К (gn - Я ),
то из G.4.1) следует, что \\Tgn — Tgm\\^ \K\/2 > в/2. Значит,
(Г^п) не содержит сходящихся подпоследовательностей. Посколь-
Поскольку (gn) ограничена, это противоречит компактности Т. []
Итак, спектр линейного компактного оператора состоит из соб-
собственных значений, которые образуют либо конечное множество,
либо последовательность с пределом нуль, и самой точки нуль.
Последняя заслуживает специального упоминания, во-первых, по-
потому, что она всегда лежит в а(Г), и, во-вторых, потому, что она
может входить как в точечный, так и в остаточный или в непре-
непрерывный спектр. Некоторые из возможностей иллюстрируются ниже
на примере гильбертова пространства <9i? =i?2@,l) и интеграль-
интегрального оператора К: Ж-*Зё, задаваемого формулой
1
Kf(x) = \k(x, y)f(y)dy,
где k — непрерывная функция.
7.4.3. Пример. Пусть {ф/}^ — конечное множество линейно-неза-
линейно-независимых непрерывных функций и
Тогда
: = Z(f. Ф/)Ф/ (/e=#s@, 1)),

210 Гл. 7. Линейные компактные операторы
откуда следует, что R(K) есть /г-мерное линейное подпростран-
подпространство Мп, натянутое на фу. Если f^J(^y то Kf = 09 поэтому соб-
собственному значению 0 отвечает бесконечно много линейно-неза-
линейно-независимых собственных функций.
7.4.4. Пример. Если ядро k эрмитово, то К самосопряжен. Инте-
Интересный класс образуют операторы К, для которых вдобавок
(Kf, f) > 0 при всех / ф 0; G.4.2)
в этом случае оператор К называется положительным; примером
может служить оператор из задачи 7.15. Из G 4.2) видно, что 0
не является собственным значением /С. Однако 0еа(/С) так как
К компактен, поэтому Я(К)ФЖ. Это подтверждает, что при
Х = 0 альтернатива Фредгольма не имеет места Самое большее,
на что здесь можно надеяться,— это что R(K) плотно в Ж, и, как
вытекает из задачи 6.20, это действительно так.
7.4.5. Пример. Рассмотрим интегральный оператор Вольтерры К,
задаваемый формулой
= ]k{x,y)f{y)dy.
Спектральный радиус К равен нулю (задача 3.2.4), т. е. о (К)
состоит из одной точки 0. Отсюда можно сделать тот приятный
вывод, что при Я ф 0 уравнение Ц — Щ = g всегда имеет един-
единственное решение, которое можно получить непосредственным раз-
разложением в ряд Неймана. Как и в предыдущем примере, 0 не яв-
является собственным значением, но R(K) Ф 36.
Неприятности, возникающие при рассмотрении интегрального
уравнения Фредгольма первого рода
1
\k(x, y)f(y)dy = g{x),
о
связаны именно с тем, что нуль принадлежит спектру соответству-
соответствующего интегрального оператора. Независимо от того, является нуль
собственным значением или нет, раз 0^о(К), то это уравнение
не может иметь решение при всех ^еЖ Описать R(K) обычно
нелегко, и, даже если известно, что g^R(K), бывает трудно най^и
решение. В частности, стандартный приближенный метод, основан-
основанный на решении модифицированного уравнения Kf — g с g и R,
близкими к g и К, может оказаться непригодным, ибо нет ника-
никакой гарантии, что это уравнение имеет решение, но даже если оно
его имеет, то, поскольку /С либо не существует, либо в лучшем
случае существует и неограничен, будет нелегко решить, близко ли

7.5. Компактные самосопряэюённые операторы 211
/ к /. Уравнения Фредгольма первого рода приобретают все боль-
большее значение в приложениях, поэтому в последнее время был
разработан целый ряд методов для их решения; см. Греч [1977],
Хилгерс [1976], Нашед [1974].
7.5. Компактные самосопряженные операторы
Результаты предыдущего параграфа показывают, что со спек-
спектральными свойствами компактного линейного оператора Т все
сравнительно ясно. Теперь посмотрим, какие дальнейшие упроще-
упрощения вносит в общую картину предположение о самосопряженно-
самосопряженности Т. Соответствующая теория находит очевидное приложение к
интегральным уравнениям Фредгольма с эрмитовым ядром. Хотя
это и не столь очевидно, она применима и к дифференциальным
уравнениям. Несмотря на то что дифференциальные операторы в
3?2 сами не компактны, они иногда имеют компактные обратные,
и в этом случае с помощью теории компактных самосопряженных
операторов можно получить много интересного.
Центральным результатом теории является теорема Гильбер-
Гильберта— Шмидта, которая утверждает, что из собственных функций
компактного самосопряженного оператора Т можно составить ба-
базис гильбертова пространства. Эта мощная теорема хорошо выяв-
выявляет структуру компактных самосопряженных операторов и имеет
много полезных следствий. Мы уделим особое внимание двум из
них. Во-первых, мы покажем, что для решения уравнения (XI —
T)f = g можно написать его разложение по собственным векторам
оператора Т\ это прояснит зависимость решения от параметра Я
для Я, лежащих вблизи о(Т). Во-вторых, исследуем вопрос, как
с помощью теоремы Гильберта — Шмидта строить ортонормиро-
ванные базисы пространств &ъ
Пусть Ж— сепарабельное гильбертово пространство и Т:
Ж-+Ж— компактный самосопряженный оператор. Примем сле-
следующее соглашение о собственных значениях и собственных векто-
векторах оператора Т: всюду ниже {ф„} обозначает ортонормированное
множество всех собственных векторов Т !> (ортонормированно-
сти всегда можно добиться, поскольку собственные векторы, от-
отвечающие разным собственным значениям, ортогональны, а те, ко-
которые отвечают одному и тому же собственному значению, можно
ортогонализовать методом Грама — Шмидта); далее, это множество
!) Точнее, ортонормированное множество собственных векторов, отвечаю-
отвечающих всем собственным значениям 71, причем векторы из этого множества, отве-
отвечающие данному собственному значению, образуют базис соответствующего соб-
собственного подпространства (по теореме 7.4.1 все собственные подпространства
конечномерны, кроме, быть может, подпространства, отвечающего собственному
значению нуль, а это подпространство во всяком случае сепарабельно вместе
с 26). — Прим. перев.

212 Гл. 7. Линейные компактные операторы
занумеровано так, что <рп отвечает собственному значению
%п которое повторено столько раз, какова его кратность, и
7.5.1. Теорема Гильберта — Шмидта. Пусть Т — компактный са-
самосопряженный оператор в Ж. Тогда из его собственных функций
можно составить ортонормированный базис пространства Ж.
Доказательство. Пусть Ж— замыкание линейной оболочки множе-
множества {ф„}. По теореме о проекции 1.5.11, Ж = Ж © Ж1, и легко
проверить, что ТЖаЖ, ТЖ1 аЖ1. Обозначим через То сужение
Т на Ж1 и заметим, что оператор То отображает Ж1 в себя, ком-
компактен и самосопряжен. Если То имеет ненулевое собственное
значение, то оно будет таковым и для Г, и соответствующий соб-
собственный вектор должен лежать в Ж. Но это невозможно, по-
поскольку Ж и Ж1 ортогональны. Так как ненулевыми точками а(Г0)
могут быть только собственные значения, то го(Т0) = 0 и Г0 = 0
(теорема 6.6.7). Отсюда следует, что ТЖХ = 0, а это означает, что
каждый элемент из Ж1 есть собственный вектор Т. Значит,
Ж1 а Ж, откуда Ж1==0 и Ж = Ж. Далее применяем теоре-
теорему 1.5.17. О
Следующая ниже теорема утверждает, что самосопряженный
компактный оператор можно диагонализовать, а именно что его
„матрица" относительно базиса {фл} диагональна с элементами Хп
на диагонали. Это — обобщение хорошо известного результата для
эрмитовых матриц. В свою очередь эта теорема допускает широ-
широкое обобщение на неограниченные самосопряженные операторы,
которое будет рассмотрено в гл. 9. Оба приводимых ниже резуль-
результата представляют собой простые следствия теоремы Гильбер-
Гильберта — Шмидта, и их доказательство предоставляется читателю в
качестве упражнения.
7.5.2. Теорема (каноническая форма компактного самосопряжен-
самосопряженного оператора). Для всякого компактного самосопряженного опе-
оператора Т
7.5.3. Теорема. Пусть Т — компактный самосопряженный оператор
в Ж. Если ^ер(Г), то для всякого g^Ж (единственное) реше-
решение уравнения (XI — T)f = g имеет вид
/-/?(Я; T)g=It(K-KVl(g> Ф*)Фп. G.5.1)
Этот результат проясняет структуру резольвенты R(X;T). Он
показывает, что R(X;T) есть (операторнозначная) аналитическая
функция от Я с простыми полюсами в собственных значениях, при-
причем вычеты в этих полюсах дают собственные векторы. С практи-

7.5. Компактные самосопряснсённые операторы 213
ческой точки зрения он доставляет метод изучения решения
при X, близких к данному ненулевому собственному значению; от-
отметим аналогию с поведением физической системы вблизи дан-
данной моды свободных колебаний.
Применение теоремы Гильберта — Шмидта к конкретным опе-
операторам дает простой способ построения базисов в простран-
пространствах 3?2- В этих пространствах большинство хороших базисов по-
получается при помощи дифференциальных операторов, которые,
хотя сами и не компактны, имеют компактные обратные. Как по-
показывает следующая теорема, работать с такими операторами ни-
ничуть не труднее. Следует отметить, что прямое изучение самих
операторов позволяет получить обобщение этих результатов на
случай, когда обратный оператор не является компактным;
см. гл. 9 и 10.
7.5.4. Теорема. Пусть L — неограниченный самосопряженный опе-
оператор в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом простран-
пространстве Ж Предположим, что L имеет компактный обратный опера-
оператор, и пусть {\1п} и {фп}—множества собственных значений и соб-
собственных векторов оператора L~l. Тогда справедливы следующие
утверждения. Все собственные значения L~l отличны от нуля, и
{фл}—ортоноржированный базис Ж. Последовательность {Хп),
где К=11гГ\ содержит бесконечно много различных членов, и
|Яп|->°° при л->оо. Спектр g(L) совпадает с множеством {Хп},
и векторы фп являются собственными векторами L, отвечающими
собственным значениям Хп. Наконец, для всех ^
(XI - Lylg = ? (X - Xn)~l (g, Фя) Фл. G.5.2)
Доказательство. Прежде всего заметим, что L~l самосопряжен
и R(L) = D(L-{), D{L) = R(L~l). Поэтому если L"!9 = W, то,
поскольку ф е R(L~1) = D(L), применение оператора L к этому
равенству законно и приводит к равенству ф = (ы?ф. Аналогично
если Ьц) = Яф, то ф = AZ~~V Отсюда следует, во-первых, что 0
не является собственным значением L~x и, во-вторых, что ф есть
собственный вектор Lrx (отвечающий собственному значению ц)
тогда и только тогда, когда он есть собственный вектор опера-
оператора L (отвечающий собственному значению Я = |ы~1). Тот факт,
что {ф„}—ортонормированный базис Ж, вытекает из теоремы
Гильберта — Шмидта.
Теперь покажем, что a(L)={Xn}. Включение а(/,)=э{Я„} пред-
представляет собой очевидное следствие сделанных выше замечаний.
Для доказательства обратного включения достаточно убедиться,
что Аер (L), когда Х~1 е р (L-1). Допустим, что Я е р (L~l).
Тогда оператор XI — L инъективен, ибо если бы это было не так,
то мы имели бы Яф = ?ф для некоторого ненулевого ф и Я

214 Гл. 7. Линейные компактные операторы
было бы собственным значением L, вопреки предположению. Да-
Далее, поскольку R(L) = D(L), то для всех g^M
(Я/ - L) Я/, (ZT1 - Я/) ? =
- Я/) г = г. G.5.3)
Тем самым доказано, что Я/ — L сюръективен. Значит, он биекти-
биективен (и замкнут), и (по теореме 3.8.16) X^p(L). Таким образом,
e(L) = {K}.
Наконец, пространство Ж бесконечномерно, поэтому, в силу
теоремы 7.4.2, lim |А,я|=оо. Согласно G.5.3), (Я/ —L)~1==
%~lL~l(L~l — Я/), и G.5.2) получается применением теоре-
теоремы 7.5.3 к L-K D
7.5.5. Пример. Выведем известный результат о разложении в ряд
Фурье по синусам, применяя доказанную теорему к самосопряжен-
самосопряженному оператору, полученному из формального оператора / =
— d2/dx2 с нулевыми граничными условиями.
Возьмем Ж = «2*2@, я), и пусть s& — множество функций из Ж
с абсолютно непрерывной первой производной и второй производ-
производной из Ж Положим
и Ц = If для f^D(L). Мы утверждаем, что оператор L самосо-
самосопряжен. В этом можно убедиться так же, как в примере 6.7.9,
однако этот способ довольно утомителен, а так как наше утверж-
утверждение есть следствие общего результата, который будет установ-
установлен позднее (теорема 10.5.3), то здесь мы опустим его доказа-
доказательство.
Чтобы теорема была применима, обратный к L оператор дол-
должен быть компактным. Определим функцию Грина k следующим
образом:
{(л — у)х/п при
(п — х)
при
и пусть К — интегральный оператор с ядром k:
л
Kf(x)=\k(x,y)f(y)dy.
Докажем, что L~l = К. Пусть Ко —сужение К на ^2([0, я]). По-
Поскольку &2([0f я]) плотно в «??2@, я), оператор К есть замыка-
замыкание Ко- Дифференцированием убеждаемся, что (Kof)"(x) = f(x)
при /eD(Ko), и ясно, что Ко/(О) = Ко/(я) = О. Значит, R{Ko)cz
D(L) и LKo/=/ при /eD(Ko). Так как L инъективен, из лем-
леммы 3.8.19 следует, что L~l = К. Но К компактен по теореме 7.2.7.

7.6. Численное решение линейных интегральных уравнений 215
Итак, выполнены условия теоремы 7.5.4, и мы заключаем, что соб-
собственные функции оператора L образуют базис в ^(О, я).
7.5.6. Теорема. Пусть /ei?2@, я). Тогда (почти всюду)
оо Я
/ (х) = 2л-1 ^Г sin пх \ f(y) sin ny dy,
i о
г<9е ряд сходится по норме 3?% (О, я).
При помощи теоремы 7 5.4 можно также показать, что боль-
большинство стандартных систем ортогональных функций являются
базисами. Главная трудность состоит в том, что подходящие фор-
формальные дифференциальные операторы часто оказываются сингу-
сингулярными (ниже мы уточним, что это означает), а в таком случае
построение соответствующего самосопряженного оператора стано-
становится проблемой. Дальнейшее обсуждение этой темы нам придет-
придется отложить до гл. 10.
7.6. Численное решение линейных интегральных уравнений
Численное решение интегральных уравнений — чрезвычайно важ-
важная для приложений тема, ибо этими уравнениями моделируется
широкий диапазон практических задач. Тем не менее в обширной
литературе по теории интегральных уравнений численные аспекты
этой теории представлены довольно скудно. Некоторые фундамен-
фундаментальные проблемы из этой области имеют прямое отношение к
функциональному анализу. Обладают ли решениями приближен-
приближенные уравнения? Если да, то сходятся ли приближенные решения
к решению исходного уравнения и какова погрешность аппрок-
аппроксимации? Для разрешения этих проблем была создана теория
коллективно-компактных операторов, принадлежащая Анселоне
[1971]. Сейчас мы дадим краткое изложение этой теории и в ка-
качестве иллюстрации обсудим ее применение к линейным неодно-
неоднородным интегральным уравнениям.
Рассмотрим интегральное уравнение
1
f(x)-\k(x,y)f (у) dy = g (x), G.6.1)
о
где k и g — заданные непрерывные функции. Для его решения
чаще всего пользуются численным методом, основанным на за-
замене уравнения G.6.1) последовательностью приближенных урав-
уравнений
U^)-twTk{x, уТ)Шп)) = д(х), G.6.2)

216 Гл. 7. Линейные компактные операторы
где wf] — веса в квадратурной формуле, а#<л) — узлы. Полагая
x = yf\ /=1, ..., пу получаем
^^Ч^Ч^^)"^^ /=1, ...,*. G.6.3)
При каждом п это конечная система линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных fn{yf)), и если ее решение
вычислено, то функции fn можно найти подстановкой этого реше-
решения в G.6.2). Таким образом, уравнения G.6.2) и G.6.3) можно
рассматривать как эквивалентные, поэтому мы сосредоточим вни-
внимание на связи между решением fn уравнения G.6.2) и решением /
уравнения G.6.1). Чтобы сформулировать задачу в абстрактной
форме, возьмем ^ = ^([0, 1]) с sup-нормой и положим
1
Kf(x)=\k(x, y)f(y)dy,
Z
Тогда К я Кп (п^1) — ограниченные линейные операторы, ото-
отображающие #([0,1]) в себя, и G.6.1), G.6.2) принимают соот-
соответственно вид
Первое, что приходит в голову при исследовании связи между
этими уравнениями,— это воспользоваться теорией возмущений на
основе теоремы 3.6.8. Например, если /(я-> К (напомним, что это
означает равномерную сходимость; см. определение 3.5.7) и по-
последовательность (||(/— Кп)~1\\) ограничена, то по указанной тео-
теореме G — Кп)~1 -*{1 -^- ТС). К сожалению, такой путь сразу натал-
наталкивается на крупное препятствие: как показано в примере 3.5.15,
квадратурные формулы не являются равномерно сходящимися,
и потому Кп заведомо не сходится к К равномерно. Можно рассчи-
рассчитывать только на сильную сходимость (определение 3.5.13) Кп к
/С, но ее недостаточно, чтобы получить требуемый вывод. К успеху
ведет такой подход: использовать эту сильную сходимость в соче-
сочетании со свойствами компактности К и (Кп) для доказательства
того, что G — КпУ ~^A — КУ. Эта сильная сходимость обрат-
обратных операторов не так хороша, как равномерная сходимость, но
все же позволяет доказать, что /«->/; кроме того, мы выведем еще
оценку погрешности ||/я — f||.
Все рассуждения проводятся в абстрактном банаховом про-
пространстве J?? и все операторы отображают Ш в себя.

7.6. Численное решение линейных интегральных уравнений 217
7.6.1. Определение. Пусть S — замкнутый единичный шар в $. По-
Последовательность операторов Ж = {Кп) называется коллективно-
компактной, если множество
относительно компактно.
7.6.2. Лемма. Пусть последовательность Ж = (Кп) коллективно-
компактна. Тогда каждый оператор Кп компактен, последователь-
последовательность Ж ограничена, и если К е 3? («$), Кп -у* К> то К компактен.
Доказательство. Первые два утверждения очевидны. Для доказа-
доказательства последнего заметим, что так как Kf = lim Knf при всех
f^S, то К(S) a {KJ- n^L f^S}. Это множество компактно
в силу коллективной компактности Ж. Следовательно, оператор К
компактен. []
Рассмотрим последовательность (Кп) ограниченных операто-
операторов, сильно сходящуюся к К. В конечномерном случае такая по-
последовательность автоматически сходится к К равномерно. В бес-
бесконечномерном случае это, разумеется, неверно, однако если
рассмотреть сужения операторов на какое-нибудь относительно
компактное подмножество S (его можно считать ,,почти конечно-
конечномерным"), то из сильной сходимости (на S) действительно будет
следовать равномерная сходимость (на S). Можно выразить это
иначе, заметив, что равномерная сходимость — это сходимость, ко-
которая равномерна на ограниченных подмножествах, а сильная схо-
сходимость—это сходимость, равномерная на вполне ограниченных
подмножествах, которые суть не что иное, как относительно ком-
компактные подмножества. Это наблюдение имеет решающее значение
для наших рассуждений. В самом деле, если К компактен, а по-
последовательность (Кп) коллективно-компактна, то для замкнутого
единичного шара S множества К(S) и Ж(Б) относительно ком-
компактны, а потому последовательности ((Кп — К)К) и ((Кп — К)Кп)
равномерно стремятся к нулю.
7.6.3. Лемма. Пусть (Ln) — последовательность в 9?($, Щ и Ln^>
LeS'^,^). Тогда (Ln) равномерно сходится к L на любом
вполне ограниченном множестве S, т. е.
lim sup || (Ln-L)f Ц = 0.
Доказательство. По определению 5.2.7 вполне ограниченного мно-
множества для всякого заданного 8 > 0 найдется конечное множество
точек в S, скажем gu ..., gjy такое что для каждого [eS щж
некотором /, 1 ^ Г^ /, выполнено неравенство ||/ — #/11=^ е.

218 Гл. 7. Линейные компактные операторы
Следовательно,
II(Ln - L) f ||<mm[||(Ln -L)(f- gi)|| +1|(Ln - L)gi\\]
n || + HZ.II) + min|| (Ln -
i
Последовательность (||?л||) ограничена по принципу равномерной
ограниченности 3.5.6, откуда и вытекает утверждение леммы, так
как е произвольно, a Ln -j* L. []
7.6.4. Следствие. Пусть последовательность (Кп) коллективно-ком-
коллективно-компактна и Кп-^К. Тогда ((Кп — К)К) и ((Кп — К)Кп) равно-
равномерно стремятся к нулю.
Для того чтобы на основе этого результата можно было сде-
сделать выводы о сходимости обратных операторов (/ — Кп)~х к
A — К)~\ нужна еще подготовительная лемма. Ее стоит сравнить
с теоремой 3.6.3; предположение о компактности частично компен-
компенсирует ослабление условий этой теоремы.
7.6.5. Лемма. Пусть Т компактен и L, (I — L)-1 G^fl). Предпо-
Предположим, что
x
Тогда (/ — Г)-1
||(/ — Г)-11| < A — А)-1 [1 +1| (/ — Z.)1| || Г ||], G.6.4)
LrVI]. G.6.5)
Доказательство. Идея доказательства такая. Условие А <С 1
должно гарантировать, что Т — разумное приближение к L. Тогда,
поскольку (/ — L) ~х ==/ + (/ — L) -1L, неплохим приближением к
(/ — Г)-1 должно быть B = I + (I — L)~lT.
Короткая выкладка показывает, что ВA — Т) = 1 — Л, где
A =(I — L)~l(T — L)T. Так как ||Л||=Д<1, то I — A инъекти-
вен, а потому и / — Т инъективен. Но Т компактен, значит, по тео-
теореме 7.3.7 об альтернативе Фредгольма (/ — Г)-1е57(^). Нера-
Неравенство G.6.4) сразу следует из соотношения ВA — Т) = 1 — Л,
если вспомнить (теорема 3.6.1), что || (/ — Л)~1||^A — ЦЛЦ)-1. На-
Наконец,
(/ - Г) - (/- L) = (/- А)'1 В - (I - L)
откуда немедленно получаем G.6.5). []

7.6. Численное решение линейных интегральных уравнений 219
7.6.6. Теорема. Пусть $ — банахово пространство, К —компакт-
—компактный оператор и (I — К) ~1 ^ 3? ($). Предположим, что последова-
последовательность (Кп) коллективно-компактна и Кп -j+ К. Положим
Ап=\\A-К)~{(Кп-К)Кп1
Тогда Лл->0 при п->оо. Если Ал < 1, то (/ — Kn)~l ^ 9?(9В) и для
G-6.6)
Доказательство. В силу следствия 7.6.4, Нт||(/(л — /()/(л||=0, от-
откуда НтАл = 0. Полагая L = K и Т = Кп в лемме 7.6.5, получаем
искомый результат. Q
Эта теорема — центральный результат теории. Она утверждает
и существование, и сильную сходимость обратных, а также дает
оценки погрешности приближенного решения. На практике иногда
бывает удобнее основываться на оценках для (I — Кп)~1У посколь-
поскольку их можно явно вычислить; в этой связи обращаем внимание
читателя на задачу 7.23.
Для иллюстрации применения этой теоремы к нахождению чис-
численного решения уравнения G.6.1) изберем сравнительно простую
квадратурную формулу. А именно, возьмем
Q(f)=
и предположим, что при каждом п узлы х^.п) расположены на рав-
равных расстояниях друг от друга, веса ш(ул) строго положительны и
п
Wf =1. G.6.7)
/-i
Этим предположениям удовлетворяют правило трапеций, правило
Симпсона и ряд других квадратурных формул, для которых выпол-
выполнено основное свойство Qn~j*Q (пример 3.5.15). Применим эту
квадратурную формулу к интегральному уравнению G.6.1). При
этом удобно ввести в рассмотрение функции &*(•)> &{')> опреде-
определяемые соотношением kx {у) = ky (х)) = k (x, у), поскольку тогда
Kf{*)=Q(kxf) *Knf(x)=Qn(kxf).

220 Гл. 7. Линейные компактные операторы
7.6.7. Лемма. Если функция k непрерывна, a Qn таковы, как ука-
указано выше, то оператор К компактен, последовательность (Кп)
коллективно-компактна и Kn~j*K.
Доказательство. Компактность К следует из теоремы 7.2.6. В силу
G.6.7)
Таким образом, если f^S, где S — замкнутый единичный шар
в $, то
\Knf(x)-Knf{x')\<\\kx-kA\\fl х, *'€=[0, 1],
и из равномерной непрерывности k вытекают ограниченность и
равностепенная непрерывность Ж(Б). По теореме Арцела — Ас-
коли 5.4.4 множество X{S) относительно компактно, и, значит,
последовательность (Кп) коллективно-компактна.
Докажем теперь, что Kn~~t*%* Имеем
\\Kn-K)f\\=* sup \KJ(x)-Kf(x)\
xsIO, 1]
= sup \Qn(kxf)-Q(kxf)\. G.6.8)
X6[0, 1]
Множество функций {kxf: xg[0,1]} ограничено и равностепенно
непрерывно (так как k, f равномерно непрерывны), а потому, со-
согласно теореме Арцела — Асколи, относительно компактно. Зна-
Значит, по лемме 7.6.3, Qn(kxf) сходится к Q(kxf) равномерно по х.
Следовательно, правая часть G.6.8) стремится к нулю, и наше
утверждение доказано. []
7.6.8. Теорема. Возьмем <% = <&([0, 1]) с sup-нормой. Предполо-
Предположим, что рассматривается та же квадратурная формула, что и
выше, и функция k непрерывна. Если (I — K)~l ^ 9?{9И), то
(I — Кп)~х ^ 2?{$) при достаточно больших п и (I — Кп)~1 -7* (/ —
-ю-1.
Доказательство. Как показывает лемма, выполнены все условия
теоремы 7.6.6. []
Итак, наша первая цель достигнута — мы доказали, что при
достаточно больших п матричные уравнения G.6.3) имеют реше-
решение и что численные решения fn = (I — Kn)~lg уравнений G.6.2)
сходятся по sup-норме к точному решению интегрального урав-
уравнения G.6.1),

7.6. Численное решение линейных интегральных уравнений 221
Последняя задача — найти в явном виде оценку погрешности.
Мы получим ее из неравенства G.6.6); при этом для оценки по-
погрешности квадратурной формулы придется наложить дополни-
дополнительные ограничения на k и g. Из огромного числа различных воз-
возможностей мы выбрали для иллюстрации один простой случай;
подробное обсуждение вопроса см. у Анселоне [1971, гл. 2]. Сна-
Сначала приведем без доказательства стандартную оценку погрешно-
погрешности квадратурной формулы.
7.6.9. Лемма. Пусть Qn соответствует правилу трапеций. Если g
удовлетворяет условию Липшица
\g{x)-g{x')\^M\x-x'\9 *,*'е= [0, 1],
то
\Qn(g)-Q(g)\<M/4n.
7.6.10. Теорема. Пусть ^([0, 1]) снабжено sup-нормой. Предполо-
Предположим, что g и k удовлетворяют условию Липшица:
l?M-?(*')l<MI*-*4 х, х'<=[0, 1],
\k{x,y)-k(x'ty')\<lN{\x-x'\ + \y-y'\)9 х,х'9у9у'&[09 1].
Если используется правило трапеций, то отклонение численного
решения fn уравнения G.6.2) от решения f уравнения G.6.1) удов-
удовлетворяет неравенству G.6.6), где
II (Кя -K)g\\<(M\\k\\ + N\\g ||)/4л, || (Кп -K)Kn\\<M\\k \]/2n.
Доказательство. В силу предположенной липшицевости функций g
I kx(y) g (у) - Ш) g {У') I = \kx {у) [g (у) - g {у')] +
+ [kx(У) - К{у')\g{у')\<{M\\k\\ + N\\g\\)\y-y'\.
Следовательно, по лемме 7.6.9,
IIКп§ —KgW^: SUP IQn(kxg) — Q(kxg)I^WIIA
jce [0, 1]
Для доказательства второго неравенства положим
1
k2 (х, у) = \ k {x, t) k (/, у) dt =
о
п
W (х, у) - Z «ff»k (х, /<«)) k (/<»>, у) = Qn(kxk«)

222 Гл. 7. Линейные компактные операторы
Тогда
KKJ (х) = t wfk2 (д, tf) f (/}»>),
П )
< sup \(Qn-Q)(kxk")\.
x €= [0, 1]
Используя условие Липшица на &, выводим требуемое неравен-
неравенство точно так же, как в начале доказательства. []
Большим достоинством изложенного здесь подхода является то,
что он допускает обобщения во многих направлениях. Три воз-
возможных обобщения, представляющих практический интерес: на
случай разрывных ядер, на задачу о собственных функциях и на
нелинейные интегральные уравнения — рассмотрены у Анселоне
[1971]. Хорошие общие руководства по численному решению инте-
интегральных уравнений — книги Аткинсона [1976] и Бэйкера [1977].
Задачи
Всюду ниже $ — банахово пространство, $ё — сепарабельное гильбертово про*
странство, а Т — линейный оператор М -> $ или Ж -> Ж в зависимости от ситуа-
ситуации.
7.1. Покажите, что если Т компактен, то он ограничен.
7.2. Докажите, что если S g^(I) и Т компактен, то ST и TS тоже компактны.
7.3. Покажите, что оператор Т в гильбертовом пространстве компактен тогда и
только тогда, когда он переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно
сходящиеся.
7.4*. Покажите, что всякая слабо сходящаяся последовательность в 1\ сходится
сильно. Выведите отсюда, что утверждение предыдущей задачи для банаховых
пространств, вообще говоря, неверно.
7.5. Выведите из задачи 5.9, что при &>/ вложение ^*([0, 1]) в ^'([О, 1])
есть компактный оператор. (Аналогичный результат лежит в основе рассмотре-
рассмотрения эллиптических уравнений в гл. 11.)
7.6. Пусть У3 — векторное пространство и L: Y ->¦ У — линейный оператор. Пред-
Предположим, что К\, ..., Кп — собственные значения L, причем все они различны, и
fь • • •, fn — соответствующие собственные векторы. Докажите, что они линейно-
независимы.
7.7. Пусть Ж — собственное замкнутое подпространство в М. Докажите, что для
любого заданного е > 0 найдется такое felc II/II = 1, что dist(/, JC) > 1 — е.
7.8. Покажите путем построения примеров, что 0 может лежать как в точечном,
так и в остаточном или в непрерывном спектре компактного оператора.

Задачи 223
7.9. Если оператор Тп при некотором п компактен, то о(Т) есть либо конечное,
либо счетное множество точек.
7.10. Если Т: Ж-><№ компактен, то он является равномерным пределом опера-
операторов конечного ранга.
7.11. Пусть k(x, у) = k(x— у), где k — четная вещественнозначная непрерывная
функция из 2?\(—оо, оо), и пусть К: *&((—оо, оо))-^^(—оо, оо))—интеграль-
оо))—интегральный оператор, определенный формулой G.2.2.). Покажите, что всякое К из некото-
некоторого конечного интервала есть собственное значение К (примените оператор к
функции еШх). Тем самым получится другое доказательство некомпактности К
(см. пример 7.2.5).
7.12. Возьмем интервал с концами а, Ь (возможно, бесконечный) и предполо-
предположим, что k^3?2((a, b) X (a, b)) —эрмитово ядро (k(x, у) = k(y,x)). Опреде-
Определим интегральный оператор К на 3?2 (а, Ь) с этим ядром формулой G.2.2).
Пусть {фп} — ортонормированное множество собственных функций К. Покажите,
что
k (x, y)=Y
(сходимость в 3?ч((а, Ь) X (я, Ь))). Другие результаты подобного типа см. в
книге Рисса и Сёкефальви-Надя [1955, с. 260 и ел.].
7.13. Пусть Т: Зё-+3в — компактный самосопряженный оператор. Выведите из
теоремы Гильберта — Шмидта следующие утверждения:
(i) для всякого многочлена р
p(T)f=YjP №n) (f ¦ Ф«) Ф«;
(ii) для %
Используя это разложение, найдите явный вид R(X\ T) для интегрального опе-
оператора К на [—1, 1] с ядром k(x, у) = 1 + ху, определенного формулой G.2.2).
7.14. Пусть Т: Ж->-Ж компактен и самосопряжен.
(i) Покажите, что если Т ф 0, то у него имеется по крайней мере одно не-
ненулевое собственное значение.
(ii) Докажите, что \\R(\\ Г)|| = \/d(X), где d(X) = dist(K, o(T)).
7.15. Рассмотрим интегральное уравнение
1
\ + {y)
из задачи 6.24 в ^2(—1, П- Используя компактность интегрального оператора К,
докажите в дополнение к утверждениям этой задачи, что 1 е р(К). Если |Я| = 1,
то при малых b ряд Неймана сходится медленно. Для X = —1 докажите, что
IIЛ1 ^ II^IL и покажите, как можно увеличить скорость сходимости, привлекая
модифицированный ряд Неймана из задачи 3.26.
7.16. В примере 7.5.5 возьмем / = -d2/dx* и D(L) = {f: f e= si, f'@) = f'(jt) = 0}.
Считая известным, что L самосопряжен, получите теорему о разложении в ряд
Фурье по косинусам в ^@, я). [Указание: L не инъективен, поэтому рассмо-
рассмотрите L + al с а > 0.]
7.17. Пусть {фп} — ортонормированный базис пространства Ж
(i) Покажите, что если Т компактен, то lim Гф„ = 0.
(ii) Пусть (Хп) —числовая последовательность, стремящаяся к нулю. Поло-
Положим 77 = ^ Яд (/, фл) фл. Докажите, что оператор Т компактен.

224 Гл. 7. Линейные компактные операторы
7.18. Пусть Т компактен и самосопряжен. Уравнение Tf = g является обобще-
обобщением интегрального уравнения Фредгольма первого рода, и с ним связаны те же
затруднения. Покажите, что R(T) есть множество всех тех элементов / из замк-
замкнутой линейной оболочки собственных векторов фп, отвечающих ненулевым соб-
собственным значениям Кп, для которых сходится ряд ^ Л~ (Д ФЛ) ФЛ.
7.19. Пусть Т компактен и самосопряжен. Если Яер(Г), но|Я| <.ro (Т), то ряд
Неймана может оказаться расходящимся, но иногда удается построить полезный
модифицированный ряд. Предположим для простоты, что все собственные зна-
значения неотрицательны, К\ > h и значению ^ отвечает ровно один собственный
вектор. Положим g\ = g —(g, фОфь Покажите, что при %\ < X < %2
(XI - Г)-1 ff = (Я - Кг) (g, ф,) Ф1 + X ^'г"~1 ^i-
7.20 (теорема о спектральном отображении). Пусть Т компактен и самосопря-
самосопряжен и g — непрерывная функция. Определим оператор g(T), полагая
Докажите, что a(g(T)) = g(a(T)).
Следующие две задачи касаются вычисления собственных значений и соб-
собственных векторов компактного самосопряженного оператора Т. По поводу даль-
дальнейших результатов, относящихся к этой теме, см. Рисе и Сёкефальви-Надь [1955,
с. 255 и ел.], Стакголд [1968], Вайнстайн и Стенджер [1972], Вайнбергер [1974].
7.21 (итерации компактного самосопряженного оператора). Возьмем любое g,
такое что Tg Ф 0. Покажите, что Tng ф 0 и при всех п > 1.
(i) Допустим сначала, что Т не имеет отрицательных собственных значе-
значений. Для п^\ положим q>n = Tngl\\Tng\\, г„ = || Tng ||/|| Tn~lg\\. Докажите,
что (гп) и (фп) сходятся соответственно к собственному значению и отвечающему
ему собственному вектору оператора Т.
(п) Для произвольного компактного самосопряженного оператора Т можно
применить (i) к Г2 и получить собственное значение № и собственный вектор ф
оператора Г2. Докажите, что один из векторов ф ± к~1Т<р будет тогда собст-
собственным вектором оператора Т.
7.22. Сгруппируем собственные значения в положительную и отрицательную по-
последовательности (м-jj") и (м^) первая из которых не возрастает, а вторая не
убывает. Покажите, что
где верхняя грань берется по всем f с ||f|| = 1, для которых (f, ф/") = 0 при
/ = 1 л— 1.
7.23. Докажите следующий результат, родственный теореме 7.6.6. Пусть последо-
последовательность (Кп) коллективно-компактна и Кп-*-К ^.3?(М). В случае когда
(/ — Кп)-1 eS^Jf), положим
Гя HI (/-*ЯГЧ1 II (*«-*)* II-
Докажите, что если (/ — Кп)~1 е 3?(Ж) и Гп < 1 при некотором п, то
(I—К)-1 €*&(&) и
II (/ - Кп) ~1 II < A - Г^) [1 +1| (/ - Кп) II II КII],
<0 - ГпГ1 [II (/- КпГ1 IIIIKng -Kg\\+ тпII(/- КпГ1 gII]-
Далее, покажите, что (/ — Kn)~l e^ffl при всех достаточно больших п и
lim Гл == 0.

Глава 8
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
И МОНОТОННОСТЬ
8.1. Введение
Преимущество описанных в гл. 4 методов исследования нелиней-
нелинейных уравнений состоит в том, что они дают весьма много инфор-
информации о решениях. К сожалению, класс уравнений, к которым
они применимы, очень ограничен. Поэтому значительные усилия
были потрачены на разработку других методов. Основная часть
этих усилий была направлена на изучение компактных операто-
операторов. К тому имеются две главные причины. Во-первых, эти опера-
операторы часто встречаются в приложениях. Например, в терминах
таких операторов часто можно формулировать краевые задачи
для дифференциальных уравнений в ограниченных областях —
либо при помощи функции Грина, либо привлекая некоторые спе-
специальные банаховы пространства, такие как пространства Собо-
Соболева. Вторая причина заключается в том, что, как и в линейном
случае, компактные нелинейные операторы имеют много общего
с операторами в конечномерных пространствах и потому сравни-
сравнительно легко поддаются изучению. О компактных нелинейных опе-
операторах сейчас известно много, и в этой и последующих главах
будут намечены наиболее важные части теории таких операторов.
В случае вещественной прямой R очевидно, что всякий непре-
непрерывный оператор, отображающий отрезок D = [—1, 1] в себя,
имеет в D неподвижную точку. Если попытаться обобщить этот
факт на многомерный случай, то естественно заменить отрезок,
скажем, замкнутым шаром. Ситуацию в R2 можно проиллюстри-
проиллюстрировать на чашке чая. Представим себе, что поверхность чая не-
непрерывно преобразуется в результате плавного помешивания.
Спрашивается, осталась ли в данный момент хоть одна точка этой
поверхности на прежнем месте. Если чай „крепкий", вязкий, то
очевидно, что каждая точка у стенки чашки останется на месте, но
если чай „жидкий" и не прилипает к стенке, то совсем не легко
решить, существует ли неподвижная точка. Таким образом, даже
обобщение на случай двух измерений не является непосредствен-
непосредственным. Тот факт, что указанный одномерный результат в действи-
действительности обобщается на случай любого конечного числа измере-
измерений, составляет содержание глубокой и важной теоремы, дока-
доказанной Брауэром в 1910 г. Мы опустим прямое доказательство
этой теоремы, поскольку используемые в нем рассуждения не

226 Гл. 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность
понадобятся нам в дальнейшем; простое доказательство, основанное
на теории степени, будет представлено в гл. 13 (пример 13.2.15).
С практической точки зрения интересно, что недавно были най-
найдены конструктивные алгоритмы для нахождения неподвижных
точек; см. Тодд [1976].
8.1.1. Теорема Брауэра о неподвижной точке. Пусть D — ограни-
ограниченное замкнутое выпуклое подмножество конечномерного нор-
нормированного векторного пространства. Если А — непрерывное ото-
отображение D в себя, то А имеет неподвижную точку в D.
Следующий естественный вопрос, это нельзя ли отказаться от
ограничения конечности размерности. К сожалению, нельзя, как
показывает контрпример (задача 4.6). Простейший способ обойти
это затруднение состоит в том, чтобы наложить какое-нибудь
условие на скорость изменения оператора, как в принципе сжи-
сжимающих отображений. Первым нашим результатом, не привлекаю-
привлекающим условий такого типа, будет теорема Шаудера о неподвижной
точке, в которой в качестве мостика между конечномерным и бес-
бесконечномерным используется компактность. Этот классический ре-
результат, служащий предметом следующего параграфа, нашел мно-
множество приложений в нелинейном анализе.
При всей силе теоремы Шаудера о неподвижной точке ее
практическое применение наталкивается на ряд трудностей. На-
Например, первым шагом любого такого применения должно быть
нахождение подмножества D области определения оператора Л,
удовлетворяющего условию /4(D)czD, а это может оказаться не
простым делом. Выбор множества D доставляет особенные хло-
хлопоты, когда А обладает тривиальной неподвижной точкой (ска-
(скажем, когда АО = 0); действительно, поскольку утверждается лишь
существование одной неподвижной точки, то в случае, если OeD,
теорема Шаудера не даст никакой новой информации. Далее,
в ситуациях, когда теорема применяется к операторам, которые
могут иметь любое число неподвижных точек (как в примере
с чашкой чая), она не дает никаких указаний о единственности
неподвижной точки. Наконец, неконструктивный характер резуль-
результата также доставляет неудобства в приложениях. В последнем
параграфе главы будет изучена одна группа методов, предназна-
предназначенных для преодоления указанных трудностей. В общих чертах
эти методы основаны на следующих соображениях.
Хорошо известно, что как в теоретических, так и в численных
исследованиях особенно удобно работать с положительными мо-
монотонными вещественнозначными функциями вещественной пере-
переменной. Например, пусть ср — монотонно возрастающая непрерыв-
непрерывная функция на отрезке [и, v] и у(и)^и, y(v)^.v (рис. 8.1).
Тогда не только гарантировано существование неподвижной точки,
но и можно методом последовательных приближений получить

8.1. Введение
227
последовательность {хп}, которая является возрастающей и схо-
сходится к некоторой неподвижной точке х. При обобщении этого
факта на многомерный случай возникает одно затруднение: в то
время как для вещественных чисел имеется естественное упоря-
упорядочение, для векторов в пространстве размерности выше 1 ника-
никакого естественного упорядочения нет. В случае jc, j/e R2, x =
{хих2), f/ = (r/i, r/2), одно из возможных упорядочений такое:
х ^ у, если как х\ ^ у и так и х2 ^ у2- Существует естественное
Ук
X0=U Х\ X Х2 ту X
Рис. 8.1. Метод последовательных приближений для монотонной функции.
обобщение этого упорядочения на вещественнозначные функции:
f^g, если f{t)^g(t) для всех / из области определения наших
функций. Указанные упорядочения являются лишь частичными
(например, не все векторы из R2 сравнимы между собой в указан-
указанном смысле), но оказывается, что это не служит серьезным пре-
препятствием, и мы благополучно можем ввести монотонные опера-
операторы (Af ^ Ag при / ^ g) и положительные операторы (Af ^ О
при /^0). В случае когда оператор А вдобавок компактен, мно-
многие конечномерные результаты распространяются на банаховы
пространства.
Часто успех этого метода в приложениях связан с сочетае-
сочетаемостью упорядочения в рассматриваемом пространстве и некото-
некоторого упорядочения, неявно заключенного в самом интересующем
нас уравнении. Так обстоит дело для следующей краевой задачи,
которой мы уделим особое внимание:
(8.1.1)

228 Гл. 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность
здесь if) — вещественнозначная непрерывная функция на [О, 1]Х
(—оо, оо), а решение ищется в ^([О, 1]). Прежде всего эту си-
систему можно переписать в виде интегрального уравнения / = Л/,
где
1
,f(y)]dy
и k — функция Грина D.2.5). Дальнейшее рассуждение основано
на том, что функция k неотрицательна. Действительно, в таком
случае А будет положительным оператором, если функция \f> не-
неотрицательна, а если if [л:, •] — неубывающая функция при каждом
х, то А будет монотонным. На первый взгляд указанное условие
монотонности, наложенное на if), может показаться чересчур суро-
суровым. Однако наше дифференциальное уравнение можно перепи-
переписать в виде
{/" (х) - со/ (*)} + {со/ (х) + *[x,f Ml} = О,
и поскольку функция Грина для оператора —d2/dx2 -\- со неотри-
неотрицательна для любого со ^ 0, то соответствующий модифициро-
модифицированный интегральный оператор будет монотонным, если я|)[*, z] +
coz будет при некотором со неубывающей функцией от z для каж-
каждого х. Это уже гораздо менее ограничительное условие, которое
заведомо выполняется, если производная dty/dz ограничена снизу.
Эти рассуждения могут быть проведены в гораздо более общей
постановке. Решающее условие неотрицательности функции k бу-
будет выполнено, если для рассматриваемого дифференциального
оператора справедлив принцип максимума; последнее имеет место
для широкого класса эллиптических дифференциальных операто-
операторов с частными производными. В сочетании с изобретенным Пер-
Перроном методом взятия решения в „вилку" при помощи дифферен-
дифференциальных неравенств метод монотонности особенно полезен в слу-
случае сильно нелинейных i|). Для простоты мы ограничимся здесь
рассмотрением обыкновенных дифференциальных уравнений.
Классическим руководством по операторам в частично упоря-
упорядоченных пространствах является монография Красносельского
[1956]. Превосходный обзор современного состояния теории дан
в статье Аманна [1976]. В книгах Анселоне [1964], Ролла [1971]
и Саати [1967] описано большое число интересных приложений.
8.2. Теорема Шаудера о неподвижной точке
Эта теорема занимает центральное место в нелинейной теории
операторов. Помимо того что она сама по себе является чрезвы-
чрезвычайно мощным и полезным результатом, она имеет уникальное
историческое значение, будучи отправной точкой всей теории не-

8.2. Теорема Шаудера о неподвиэюной точке 229
линейных компактных операторов — быть может, наиболее эффек-
эффективного инструмента во всем нелинейном анализе. В частности,
теория степени Лерэ — Шаудера, излагаемая в гл. 13, ведет на-
начало непосредственно от результата Шаудера.
8.2.1. Определение. Пусть D — подмножество банахова простран-
пространства 93. Оператор A: D->$ называется компактным, если он не-
непрерывен и переводит каждое ограниченное подмножество мно-
множества D в относительное компактное множество.
Заметим, что в отличие от линейного случая непрерывность не
является автоматическим следствием фигурирующего в определе-
определении условия. Далее, отметим, что в литературе, к сожалению, нет
единства в терминологии; компактные операторы, как они опре-
определены выше, иногда называют „непрерывными компактными опе-
операторами", а иногда „вполне непрерывными операторами".
8.2.2. Лемма. Операторы из лемм 4.2.7 и 4.2.8 компактны.
Таким образом, как и в линейном случае, при весьма слабых
ограничениях интегральные операторы компактны, если область
интегрирования ограничена.
8.2.3. Теорема Шаудера о неподвижной точке. Пусть D — непустое
замкнутое ограниченное выпуклое подмножество банахова про-
пространства $ и оператор A: D->$ компактен и отображает D
в себя. Тогда А имеет неподвижную точку в D.
Идея доказательства состоит в том, чтобы, используя опреде-
определенные аппроксимирующие операторы Ап, свести дело к задаче,
которая по существу является конечномерной и потому подпадает
под действие теоремы Брауэра о неподвижной точке (теоремы
8.1.1). В общем этот метод типичен для теории компактных опе-
операторов; он появится у нас еще раз в гл. 13 в более сложной
форме в рассуждениях, относящихся к теории степени, которые
сами дают другое, очень простое доказательство теоремы Шау-
Шаудера. Ключевой момент доказательства — построение операторов
Ап (лемма 8.2.5).
8.2.4. Лемма, (i) Пусть S — подмножество произвольного вектор-
векторного пространства. Если f\, ..., fk^S и аь ..., а* — неотрица-
неотрицательные числа, не все равные нулю, то 2 aifJH at принадлежит
выпуклой оболочке со S множества S.
(и) Пусть S — подмножество банахова пространства. Если S
относительно компактно, то и со S таково же.
Доказательство. Утверждение (i) немедленно следует из опреде-
определения 1.2.12. Относительно (и) см. Данфорд и Шварц [1958,
с. 451]. ?

230 Гл. 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность
8.2.5. Лемма. Пусть S — ограниченное подмножество банахова про-
пространства к и Л: S->$ — компактный оператор. Пусть, далее,
F/х) — произвольная последовательность положительных чисел,
сходящаяся к нулю. Тогда существует последовательность (Ап)
непрерывных операторов An". S->$ со следующими свойствами:
(i) (Ап) сходится к А в том смысле, что \\Anf — Л/||<е при
всех f e S;
(И) для каждого п образ An(S) оператора А конечномерен
и содержится в выпуклой оболочке множества Л E).
Доказательство. Поскольку множество Л E) относительно ком-
компактно, оно вполне ограничено (теорема 5.2.8). Следовательно,
для любого заданного е > 0 найдется конечное покрытие этого
множества шарами радиуса е, скажем шарами S(gue), ...
..., S(gk, e). Определим шаудеров проекционный оператор
Р: A(S)->3g формулой
k ik
Pg=Zi<*t(g)gt/Ziai{g)9 gGil(S), (8.2.1)
где
' e — II g — g< || при || g — gt || < e,
0 ПрИ || g — gjl ^8.
Поскольку всякое g^A(S) лежит в е-окрестности некоторого git
знаменатель в (8.2.1) строго положителен. Таким образом, данное
определение оператора Р имеет смысл. Далее, каждое at пред-
представляет собой непрерывную функцию ЛE)->К, поэтому опера-
оператор Р непрерывен. Ввиду леммы 8.2.4, (i), из (8.2.1), очевидно,
вытекает, что образ оператора Р содержится в со E). Теперь, для
любого данного geA(S) лишь те члены в сумме (8.2.1) отличны
от нуля, для которых gi^S(g,z). Следовательно, снова в силу
леммы 8.2.4, (i), Pg е= со S(g, е) = S(g, е), т. е. \\Pg — g\\<e.
Отсюда следует, что оператор В: S — ^, задаваемый формулой
Bf = PAf для feS, непрерывен, имеет конечномерный образ, со-
содержащийся в со Л E), и близок к Л в том смысле, что
Ввиду произвольности е, мы получим искомые операторы, полагая
последовательно е = гп и Ап = В. []
Доказательство теоремы 8.2.3. Для 5 = D выберем (е„) и (Ап),
как в только что доказанной лемме. Так как D выпукло и
A(D)czD, то, в силу свойства (ii), An(D)czD. Далее, An(D) со-
содержится в некотором конечномерном подпространстве, скажем
Мп, пространства ^, и D[\Mn, очевидно, выпукло, ограничено
и замкнуто (в Jfn). Таким образом, по теореме Брауэра о не-
неподвижной точке (теорема 8.1,1), примененной к сужению опера-

8.2. Теорема Шаудера о неподвиэюной точке 231
тора Ап на D П Лп, Ап имеет неподвижную точку, скажем /„,
в D П ЛГЯ. Следовательно,
№ - /Л = М/я ~ A JJ| < е„,
в силу свойства (i) из предыдущей леммы. Поскольку оператор Л
непрерывен, a A(D) компактно, наш результат следует теперь из
теоремы 5.3.5. []
В теореме Шаудера о неподвижной точке не требуется ника-
никакого условия сжатия. Поэтому в тех приложениях, где рас-
рассматриваемый оператор оказывается компактным, эта теорема
представляет собой гораздо более мощное орудие доказательства
существования, чем принцип сжимающих отображений 4.3.4. С дру-
другой стороны, в самой этой общности применимости теоремы
кроется причина того, что с ее помощью нельзя ни гарантировать
единственность, ни доказать сходимость метода последователь-
последовательных приближений. Тип ситуаций, в которых полезна теорема Шау-
Шаудера, иллюстрируют следующие два приложения.
8.2.6. Пример. В задаче Коши
f(O) = a,
где / — С^-значная функция, ищется решение с непрерывной пер-
первой производной. Теорема 4.3.11, основанная на принципе сжи-
сжимающих отображений, утверждает, что если функция ф непре-
непрерывна и удовлетворяет условию Липшица, то такое решение су-
существует при всех t. Ввиду наличия весьма ограничительного
условия Липшица этот результат применим к довольно узкому
классу уравнений. А что будет, если ф только лишь непрерывна?
Из примеров 4.3.8 и 4.3.9 ясно, что в этом случае нельзя ожидать
ни единственности, ни глобального существования решения.
В следующем результате (восходящем к Пеано) с помощью тео-
теоремы Шаудера о неподвижной точке устанавливается локальное
существование решения.
п
8.2.7. Теорема. Пусть задано I > 0, и пусть ф: [0, ?]ХСя-> С
непрерывная функция. Тогда существует такое to > 0, что ука-
указанная выше задача Коши имеет решение в (&х{ [0,/о], Сл).
Доказательство. Без потери общности можно считать а = 0. Оче-
Очевидно, достаточно показать, что для некоторого t0 > 0 оператор
А: #([0, *0],Ся)->«Ч[0, *о], СЛ), определенный формулой
t
Af(t)=\q[s,f(s)]ds,

232 Гл. 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность
имеет неподвижную точку. Поскольку г|) непрерывна, найдутся
строго положительные числа to ^ 1 и т, такие что |it>[^,2]|^m
при 0 ^ t ^ U и |z|^m^0. Пусть D — шар S@, m) в простран-
пространстве Ф( [0, to]yCn), снабженном sup-нормой. Так как D — ограни-
ограниченное замкнутое выпуклое множество, то существование непо-
неподвижной точки будет следовать из теоремы Шаудера 8.2.3, если
нам удастся доказать, что A(D)czD и что оператор А компактен.
Но по интегральной теореме о среднем
sup |*[s, /(s)]|<m/0, f^D-
О < s < f о
Следовательно, ||Л/|| ^ щ, а значит, A(D)czD. Компактность А
гарантируется леммой 8.2.2. []
8.2.8. Пример. Рассмотрим теперь краевую задачу
Если взять i|)[a:, z] = sin z, то эта система описывает вынужденные
колебания маятника. В этом случае простейший подход состоит
в том, чтобы линеаризировать задачу — заменить sin г на г. Однако
ответы, получаемые на таком пути, иногда не отражают физиче-
физического существа дела. Например, при периодическом вынуждаю-
вынуждающем члене g(x) = sincojuc мы приходим к неверному заключению,
что в случае Я = (оояJ никакое движение маятника невозможно.
Это затруднение не возникает, если использовать полное нелиней-
нелинейное уравнение.
Для г|?, удовлетворяющих условию Липшица, метод сжимаю-
сжимающих отображений гарантирует при малых X существование реше-
решения, которое может быть получено методом последовательных
приближений (задача 4.1.6). Однако при больших X рассматри-
рассматриваемое отображение не является сжимающим и такое рассужде-
рассуждение не проходит. С помощью теоремы Шаудера о неподвижной
точке легко доказать, что для ограниченных -ф наше уравнение
имеет решение при любом X, хотя сама теорема не дает никаких
указаний относительно того, как это решение можно построить.
8.2.9. Теорема. Предположим, что функция if>: [О, 1]ХС->С не-
непрерывна и ограничена, a g ограничена. Тогда приведенная выше
краевая задача имеет решение /^^2([0, 1]) при любом ЯеС.
Доказательство. Будем считать, что ^([0,1]) наделено sup-нор-
sup-нормой. Как было отмечено в примере 4.2.2, достаточно показать, что
имеет неподвижную точку оператор А в пространстве ([]

8.3. Полоэюительные и монотонные операторы 233
задаваемый формулой
1
Af (х) = Я J k (х, у) я|> [у, f(y)] dy + h (x),
о
где k — функция Грина, a h — некоторая (известная) непрерывная
функция. Но оператор А компактен (лемма 8.2.2), следовательно,
мы сможем применить теорему Шаудера, если найдем подходящее
множество D. Поскольку 1|) ограничена, найдется т, такое что
[ ]\^.т при O^x^l и г^С. Поэтому ||Л/ — h\\ <
|, где К — линейный интегральный оператор с ядром k.
Отсюда вытекает, что А отображает замкнутый шар D с центром h
и радиусом |Я|||/С||т в себя. Q
8.3. Положительные и монотонные операторы в частично
упорядоченных банаховых пространствах
Наша очередная цель — выяснить, как можно усилить результаты
теории компактных операторов в случае, когда на рассматривае-
рассматриваемые операторы налагаются условия положительности и монотон-
монотонности. Ясно, что эти условия имеют смысл лишь в пространствах,
для которых имеется удовлетворительное понятие упорядочения,
и наша первая задача будет состоять в том, чтобы показать, как
обычное упорядочение вещественных чисел можно обобщить на
случай банаховых пространств. Поскольку модельным здесь яв-
является некое свойство вещественных чисел, естественно предпо-
предполагать всюду далее, что $ — вещественное пространство.
Для a, b^R соотношение а ^ Ь эквивалентно соотношению
a-6eR+, где R+ —множество неотрицательных чисел. Следо-
Следовательно, если нам удастся найти в банаховом пространстве под-
подходящую замену для R+, то мы сможем естественным образом
ввести в нем упорядочение. В двумерном случае разумно считать
вектор положительным, если у него положительные координаты;
геометрически такие векторы образуют конус. Поскольку конусы
легко можно описать с помощью понятий, имеющих смысл для
абстрактных банаховых пространств, возможная замена для R+
у нас уже и готова.
8.3.1. Определение. Пусть $ — вещественное банахово простран-
пространство. Подмножество Е а<% называется конусом, если оно удовле-
удовлетворяет следующим условиям:
(i) замкнуто и выпукло;
(ii) если f g ?, то /f g ? для каждого t ^ 0;
(iii) если как /, так и —/ принадлежат Е, то / = 0.
8.3.2. Определение. Пусть Еа$ — конус. Говорят, что /больше
или равно g, и пишут f^g либо g^f, если / — g^E\

234 Гл. 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность
аналогично определяется соотношение меньше или равно. Наделен-
Наделенное таким упорядочением ^ банахово пространство $ называется
частично упорядоченным.
Использование того же самого символа ^ в указанном новом
смысле не должно приводить к путанице, поскольку из контекста
всякий раз будет ясно, что имеется в виду — векторы или веще-
вещественные числа. Отметим, что Е = {/: /^0}. Таким образом, по-
положительные элементы пространства <k можно представлять себе
как элементы из Е.
8.3.3. Пример. На рис. 8.2 изображен конус в пространстве $=R2.
Заметим, что он вовсе не обязан совпадать с первым квадрантом,
так что наше определение — несколько
более общее, чем определение при помо-
помощи векторов с неотрицательными коор-
координатами, из которого мы исходили. Тем
не менее ввиду условия (Hi) нашего оп-
определения угол Э должен быть меньше
я. В случае когда Е — первый квадрант
и х = {х\,х2), У = (уиУ2), неравенство
х ^ у выполняется, если и только если
Х\ > У\ И Х2 ^ #2- ЕСЛИ Xi> у{И Х2< У2,
то не имеет места ни неравенство х ^ у,
ни неравенство х ^ у. Таким образом,
не всякие два вектора сравнимы между
Рис* 8*2' собой, т. е. наше упорядочение лишь
частичное.
8.3.4. Пример, (а) Пусть $ = <&( [0, 1]) — пространство веществен-
нозначных непрерывных функций с sup-нормой и Е — множество
неотрицательных функций из $. Как легко проверить, Е замкнуто,
а остальные требования выполняются очевидным образом. Значит,
Е — конус. (Ь) Возьмем теперь в качестве $ вещественное про-
пространство «2^@, 1) с р^ 1. Снова множество Е неотрицательных
функций из 3$ образует конус.
Указанные два выбора конуса Е — бесспорно важнейшие для
приложений; одна другая возможность описана в задаче 8.10.
Иногда оказываются полезными и более изощренно выбираемые
конусы; см. Красносельский [1962].
Хотя упорядочение, порождаемое конусом ?, является лишь
частичным, большинство стандартных свойств, справедливых для
упорядочения вещественных чисел, сохраняет силу. Например,
для f,gth^3B
(i) f>g, g>h =>
(ii) f>g> g>f =>

8.3. Полоэюительные и монотонные операторы 235
Некоторые другие важные свойства конусов приведены в за-
задаче 8.7.
В теории функций вещественной переменной часто важную
роль играют интервалы в R, рассматриваемые как упорядоченные
множества. Обобщение этого понятия на случай частично упоря-
упорядоченных пространств напрашивается само собой.
8.3.5. Определение. Пусть и, ие! и и ^ v. Множество элемен-
элементов /, удовлетворяющих условию и ^ / ^ v, называется порядко-
порядковым интервалом и обозначается [и, v].
Всякий порядковый интервал замкнут и выпукл. Однако он
не обязан быть ограниченным по норме, если только порождаю-
порождающий упорядочение конус не является „нормальным** в следующем
смысле:
8.3.6. Определение. Конус Е называется нормальным, если суще-
существует такое m^R, что ||/|| ^ m||g|| для любых /, gGl, удовле-
удовлетворяющих условию 0 ^ / ^ g.
Конусы неотрицательных функций в ^([0,1]) и «2^@,1) оба
нормальны (с т= 1). Конус неотрицательных функций в бана-
банаховом пространстве (g71 ([0, 1]) с нормой A.3.7) не является нор-
нормальным. Действительно, если g(x)=ly fn(x)=sin2nx, то 0^
fn^g, но Нт||/я||Г1 = оо.
Договорившись о подходящем упорядочении в наших про-
пространствах, вернемся к изучению компактных операторов. Сле-
Следующие наводящие замечания выявляют общую перспективу по-
построения теории. В одномерном случае для того, чтобы оператор Л
имел неподвижную точку, достаточно по теореме о промежуточном
значении, чтобы существовал интервал [и, v]9 такой что Аи^и
и Av ^ v. Если А положителен, то АО ^ 0, и в качестве и можно,
очевидно, взять точку 0. Далее, если при больших значениях
аргумента производная меньше единицы (это отнюдь не исклю-
исключает больших отрицательных значений производной), то в каче-
качестве второй концевой точки можно будет взять некоторое доста-
достаточно большое и; в случае же больших производных неподвижной
точки вообще может не существовать. Надлежащее обобщение
этого рассуждения на многомерный случай связано с привлече-
привлечением понятия порядкового интервала. Однако для существования
неподвижной точки у компактного оператора А требуется допол-
дополнительное геометрическое условие: нужно, чтобы он отображал
интервал [и, v] в себя. Естественно ожидать, что, как и в одно-
одномерном случае, при установлении этого факта может оказаться
полезной монотонность оператора А.
Следующие определения — естественное обобщение одномер-
одномерных определений. Ниже D обозначает подмножество в ^, а А —
оператор D^~?ft.

236 Гл. 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность
8.3.7. Определение. Оператор А называется положительным [),
если fGDn/;
8.3.8. Определение. Оператор А называется монотонным {\ если
f,g = D*f^g=$Af^Ag.
Для линейных операторов положительность и монотонность
эквивалентны, но в общем случае это не так. Как отмечалось во
введении к главе, часто оказывается возможным сделать так,
чтобы оператор А в интегральном уравнении / = Af, отвечающем
данной краевой задаче для дифференциального уравнения, был
положительным и монотонным; такие операторы возникают и во
многих других приложениях.
Следующий результат немедленно вытекает из теоремы Шау-
дера о неподвижной точке 8.2.3, если учесть, что в случае, когда
задающий упорядочение конус нормален, всякий порядковый ин-
интервал является ограниченным замкнутым выпуклым множеством.
8.3.9. Теорема. Пусть Е — конус в вещественном банаховом про-
пространстве $. Предположим, что он нормален, и пусть А — ком-
компактный оператор, отображающий порядковый интервал [и, v]
в себя. Тогда А имеет неподвижную точку в [и, v].
8.3.10. Пример. Полезность этой теоремы демонстрирует следую-
следующее ее применение к одной задаче из нелинейной теории упруго-
упругости. Приводимое ниже рассуждение принадлежит Стьюарту [1975].
Рассмотрим тонкую упругую закрепленную по краям мембрану
под нормальным давлением. При больших деформациях стано-
становятся существенными нелинейные эффекты; учитывающая их
приближенная теория приводит к так называемым уравнениям
Фёппля — Хенки. Для круговой мембраны радиальное напряжение
удовлетворяет дифференциальному уравнению
f"(x) + 3x-lr(x) + 2[f(x)]-2=*0, 0<*<1, (8.3.1)
с граничными условиями //@) = 0, Д1) = а. Это классическая
краевая задача. Используя теорему 8.3.9, можно дать следующее
чрезвычайно простое доказательство существования решения для
всех а > 0.
Прежде всего с помощью функции Грина задача формально
переписывается в виде интегрального уравнения Гаммерштейна.
!> К сожалению, оба термина «положительный» и «монотонный» исполь-
используются в функциональном анализе в нескольких различных смыслах. С другим
значением термина «положительный» мы встретимся в § 9.2. Предметом активных
исследований последнего времени служит класс «монотонных» операторов, опре-
определенных совсем иначе, чем здесь (см., например, Вайнберг [1972]. — Перев.).

8.3. Полоэюительные и монотонные операторы 237
Если положить g(x) = f{x — а), то это будет уравнение g = Ag,
где
1
k{x, y)[a + g{y)]-2dy,
о
1K при 0<*/<*<1,
при 0<*<у<1.
Подходящее для анализа этого уравнения пространство — веще-
вещественное ^([0,1]) с sup-нормой и с частичным упорядочением,
задаваемым конусом Е неотрицательных функций. Для г ^ 0 по-
положим г|)B) = (a + z)~2 и определим оператор 4я: E-^<Sf( [0, 1])
формулой y?g(x) = ty{g{x)); ясно, что он непрерывен и положите-
положителен. Положим
1
=\k(x, y)g{y)dyy 0<*<1.
о
Непосредственно проверяется, что L: ^([0, l])^-<g7( [0, 1]) — не-
непрерывный положительный линейный оператор. Далее,
X
(LgY(x)=-2\(y/xfg(y)dy,
(Lg)'{0) = 0,
откуда следует, что II (Lg)'|| ^ 2||g||. Следовательно, оператор L
компактен (задача 5.9). Поэтому оператор А = LW положителен
и компактен, и мы сможем применить теорему 8.3.9, если нам
удастся найти порядковый интервал [и, v]9 отображаемый этим
оператором в себя. Поскольку А положителен, можно взять и = 0.
Далее, так как 1|) — монотонно убывающая функция, то очевидно,
что Ag ^ АО для любого g^E. Следовательно, А [0, v] cz [0, v],
если взять v = АО. Итак, теорема 8.3.9 гарантирует существова-
существование неподвижной точки, и стандартное рассуждение показывает,
что f(x)= g(x)-\-а удовлетворяет нашему дифференциальному
уравнению и граничным условиям. Мы доказали результат:
8.3.11. Теорема. Для каждого а>0 уравнение Фёппля — Хенки
(8.3.1) с граничными условиями f'@)= 0, f(l) — a имеет решение
/^«"([0, 1])П^2(@, 1)), такое что
Это решает вопрос о существовании решения, но можно по-
поставить два дальнейших вопроса: единственно ли решение и как
его можно построить? Единственность доказать легко (задача

238 Гл. 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность
8.12), но на второй вопрос ответить не так-то просто, и мы отсы-
отсылаем читателя к указанной работе Стьюарта.
В приведенном примере выбрать искомый порядковый интер-
интервал оказалось легко потому, что оператор А был положительным
и „монотонно убывающим" (т. е. / ^ g=^Af ^ Ag). Замечания
перед определением 8.3.7 наводят на мысль, что аналогичное рас-
рассуждение пройдет и в том случае, если оператор А возрастает,
но не слишком быстро, и это действительно так (задача 8.11).
В практическом отношении теорема 8.3.9 страдает двумя глав-
главными недостатками. Во-первых, часто бывает трудно выбрать под-
подходящий порядковый интервал. Во-вторых, как и всякий резуль-
результат, основанный на теореме Шаудера о неподвижной точке, тео-
теорема 8.3.9 не дает никаких указаний относительно того, как
построить решение. Исходя из рассмотрения одномерной ситуации
(рис. 8.1), можно надеяться, что с этими проблемами удастся
справиться в случае монотонных операторов. Основой для после-
последующего анализа служат свойства монотонных последовательно-
последовательностей в частично упорядоченных пространствах.
8.3А2. Определение. Последовательность (/„) в $ называется
монотонно возрастающей, если /„-l ^ fn Для всех п, и порядково-
ограниченной сверху, если существует такой элемент v, называе-
называемый порядковой границей, что fn ^ v для всех п. Аналогично опре-
определяются монотонно убывающие и порядково-ограниченные снизу
последовательности. Заметим, что термин „ограниченный" у нас
по-прежнему означает „ограниченный по норме**.
8.3.13. Лемма. Пусть Е — конус в вещественном банаховом про-
пространстве ?&. Пусть, далее, D — подмножество в <%! и A: D-+38 —
монотонный оператор. Предположим, что существует такой поряд-
порядковый интервал [и, v] a D, что Аи ^ и, Av ^ v. Тогда
(i) оператор А отображает [и, v] в себя;
(и) последовательности (fn), (gn), задаваемые формулами
fo = и, go = v и fn = Afnr-u gn = Agn-i для п ^ 1, являются соот-
соответственно монотонно возрастающей и монотонно убывающей.
Доказательство, (i) Если f ^ и, то Af ^ Аи^ и. Аналогично,
если / ^ v, то Af ^ v.
(п) Поскольку оператор А монотонен, то /„ = Afn-\ ^ Afn =
fn-i, если /„-I ^ fn. Так как f\ =A и ^ и, то по индукции последо-
последовательность (fn) — монотонно возрастающая. Рассуждение для
(gn) аналогично. []
Таким образом, в случае монотонного оператора А для нахож-
нахождения порядкового интервала [и, v], отображаемого оператором А
в себя, достаточно найти и, v, удовлетворяющие условиям Аи ^ и,
Av ^ v. Тем самым для таких А проверка предположения теоремы

8.3. Полоснсительные и монотонные операторы 239
8.3.9 осуществляется сравнительно непосредственно и соответ-
соответственно легче установить существование решения. К тому же,
если монотонные последовательности (/л) и (gn) сходятся, их пре-
пределы будут неподвижными точками А. Следует, однако, заметить,
что при этом не гарантировано ни то, что неподвижная точка
единственна, ни то, что всякая неподвижная точка в [и, v] может
быть получена таким образом. Выясним теперь, является ли —
как это имеет место в R—условие порядковой ограниченности
достаточным для обеспечения сходимости монотонных последо-
последовательностей.
8.3.14. Определение. Конус называется регулярным, если каждая
монотонно возрастающая последовательность, порядково-ограни-
ченная сверху, сходится.
8.13.15. Пример. Регулярен ли конус Е неотрицательных функций
в вещественном пространстве ^([0,1]), наделенном sup-нормой?
Последовательность (fn) с fn{x)=l—хп монотонно возрастает
и порядково-ограничена сверху, но не сходится по норме ни к ка-
какому пределу. Следовательно, конус Е не регулярен.
8.3.16. Пример. Рассмотрим теперь конус Е неотрицательных
функций в вещественном пространстве 3?P(Q), где 1 ^ р < оо
и Й — произвольное открытое множество в IR. Пусть (fn)— моно-
монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху
некоторой функцией geS'p(Q); можно считать, что fn^0 (в про-
противном случае возьмем fn — /i). Тогда поточечный предел f после-
последовательности (fn) существует почти везде и f ^ g. Следова-
Следовательно, 0^{f — fn)p^gp и
по теореме 2.4.11 о мажорированной сходимости. Тем самым до-
доказано, что fn-^f в 3?P(Q), и, значит, конус Е регулярен.
В пространствах, упорядоченных при помощи регулярных ко-
конусов, последовательности из леммы 8.3.13 будут сходиться каждая
к некоторой неподвижной точке оператора Д, если этот оператор
непрерывен. Поскольку компактность А не является здесь необхо-
необходимой, этот результат можно использовать для того, чтобы под-
подступиться к задачам в неограниченных областях (см. пример
8.3.21 ниже). К сожалению, из-за того, что конус неотрицатель-
неотрицательных функций в ^([0, 1]) нерегулярен, самый удобный выбор ба-
банахова пространства исключается. Правда, в ^([0,1]) вообще-то
имеются регулярные конусы (см. задачу 8.10), но при их исполь-
использовании приходится налагать нежелательные ограничения на опе-
операторы. С другой стороны, нелинейные операторы не являются

240 Гл. 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность
непрерывными в ^-пространствах, разве что если нелинейность
очень слабая. В дальнейшем мы будем обычно опираться на вто-
второе из двух условий (а) и (Ь) приводимой ниже теоремы, в ко-
котором компактность оператора призвана компенсировать недо-
недостачу регулярности у конуса.
8.3.17. Теорема. Пусть 38 — вещественное банахово пространство
с конусом Е и A: D-+& — непрерывный монотонный оператор.
Предположим, что существует порядковый интервал [и, v] cz D,
такой что Au^z и, Av^v. Тогда А отображает [u,v] в себя.
Кроме того, А имеет неподвижную точку в [u,v], если дополни-
дополнительно выполняется какое-нибудь из условий: (а) конус Е регу-
регулярен, (Ь) конус Е нормален, а оператор А компактен.
Определим последовательности (fn), (gn) формулами fo=u,
go = v и fn = Afn-u gn = Agn-\ для n^l. Эти последовательно-
последовательности (fn) и (gn) являются соответственно монотонно возрастаю-
возрастающей и монотонно убывающей, и если выполнено одно из условий
(а) или (Ь), то каждая из них сходится к некоторой неподвижной
точке оператора А в [и, v].
Доказательство. Если последовательность (fn) сходится к неко-
некоторому пределу f, то непрерывность А гарантирует, что f будет
неподвижной точкой для А. Далее, f^[u,v], в силу замкнутости
[и, v]. Согласно лемме 8.3.13, последовательность (fn) монотонно
возрастает, поэтому утверждение теоремы будет установлено, если
мы сможем доказать сходимость (fn). В случае выполнения усло-
условия (а) эта сходимость есть очевидное следствие определения
8.3.14. В случае выполнения условия (Ь) множество [и, v] ограни-
ограничено, ввиду нормальности конуса Е, так что множество Л([^, v])
относительно компактно. Таким образом, нам достаточно пока-
показать, что всякая монотонная последовательность (fn) в относи-
относительно компактном множестве сходится.
По соображениям компактности (fn) обладает некоторой схо-
сходящейся подпоследовательностью (fnj с пределом, скажем, /.
Так как последовательность (fnk) монотонна, то f „r — f n/fe <= ?
при г ^ k, и на основании замкнутости Е мы заключаем, переходя
к пределу, что f — f4^E. Таким образом, f4 ^ f для всех kl).
Далее, при всех n^nk мы имеем 0^/ — fn^f—fnk> откуда
следует в силу нормальности Е, что
Полагая &-^оо, получаем, что /л-^/. П
Главное достоинство этого результата состоит в его конструк-
конструктивности. При его практическом применении основная проблема —
1) А значит, /п ^ f для всех п. — Прим. перев.

8.3. Полоэюительные и монотонные операторы 241
это найти подходящие и и v — концевые точки порядкового интер-
интервала; этой проблемой мы сейчас и займемся. При поисках усло-
условия, которое гарантировало бы существование подходящего v,
естественно, как и в одномерном случае, рассмотреть ограничения
на скорость изменения оператора, о котором идет речь, измеряе-
измеряемую, скажем, при помощи производной Фреше. Более общим об-
образом, достаточно потребовать, чтобы наш оператор „мажориро-
„мажорировался" некоторым другим оператором с подходящей производной
Фреше. Во многих задачах в качестве такой мажоранты можно
взять линейный оператор, и в этом случае мерой скорости изме-
изменения является спектральный радиус; именно с этой ситуацией
мы и будем иметь дело.
8.3.18. Определение. Оператор V (соотв. U) называется мажоран-
мажорантой (соотв. минорантой) оператора Л: D-+-&, если Af ^ Vf
(соотв. Uf ^ Af) для всех f e D.
8.3.19. Лемма. Пусть Е — конус в вещественном банаховом про-
пространстве $ и А: Е-^-2%— непрерывный положительный монотон-
монотонный оператор. Предположим, что Vf = Lf + h для f ^3§, где
/igЕ и L — положительный ограниченный линейный оператор
с ro(L)<\. Если V является мажорантой для Л, то интервал
[О, v], где v — единственное решение уравнения Vv = v, отобра-
отображается оператором А в себя.
Доказательство. Поскольку ra(L)<l, то по теореме 3.7.8 урав-
уравнение f = Lf -\-h имеет единственное решение у, которым служит
предел последовательности (vn), задаваемой формулой
Так как оператор L положителен, то Lkh^E для k^\. Следова-
Следовательно, vn есть сумма векторов из Е, а значит, vn e E. Поэтому
v е Е, в силу замкнутости Е.
Наш результат вытекает теперь из леммы 8.3.13. Действитель-
Действительно, поскольку оператор А положителен, то АО ^ 0, а ввиду того
что V — мажоранта для А, Av ^ Vv = v. []
8.3.20. Пример. Рассмотрим интегральное уравнение Гаммерштей-
на / = Л/, где
a k, i|) — вещественнозначные неотрицательные непрерывные функ-
функции на [О, 1]Х[0, 1] и [О, 1]Х[0, оо) соответственно. При наделе-
наделении пространства ^([0,1]) вещественнозначных непрерывных

242 Гл. 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность
функций sup-нормой и упорядочением, задавае*мым конусом Е
неотрицательных функций, оператор А : ?-^<g?( [0, 1]) компактен
и положителен. Предположим, что
(i) г|)[л:,г] — неубывающая функция от z при каждом
xes[0,l];
(и) существуют неотрицательные числа т, /, такие что
г|)[х, z] sg: mz + / для хе [0, 1 ] иг^О.
Тогда имеется очевидная возможность для выбора L и h в преды-
предыдущей лемме. А именно, полагаем
1
i = mj k{x, y)f(y)dy,
о
j
о
Для всякого / е ? имеем 0 ^ Af ^ Lf + hy так что V — мажоранта
для А. Чтобы применить лемму, требуется еще следующее условие:
(ш) ro(L)< 1.
Если v — решение уравнения v = Lv + Л, то Л отображает [0, v]
в себя. Следовательно, по теореме 8.3.17, в [0, v] существует не-
неподвижная точка оператора Л. Далее, полагая /о = 0, go = ?> и
fn = Afn-u gn = Agn-\ для я^1, мы получаем монотонные итера-
итерационные схемы для решения нашего интегрального уравнения.
8.3.21. Пример. В случае бесконечного интервала интегрирования
рассуждение из предыдущего примера, вообще говоря, не прохо-
проходит, потому что оператор Л обычно оказывается некомпактным.
Эту трудность можно иногда преодолеть, привлекая условие регу-
регулярности (а) из теоремы 8.3.17. Однако, поскольку в ^([0, оо])
конус неотрицательных функций нерегулярен, приходится выби-
выбирать другое банахово пространство. Если используется простран-
пространство i?p@, 1), то к интегральному уравнению
применим тот же подход, что и в предыдущем примере, при усло-
условии что рассматриваемый оператор непрерывен.
Методы монотонности особенно удобны при работе с краевыми
задачами для дифференциальных уравнений. Одна из возможно-
возможностей здесь состоит в том, чтобы воспользоваться рассуждением
из примера 8.3.20 (см. задачу 8.14), но при этом надо налагать

8.3. Полоэюительные и монотонные операторы 243
довольно ограничительные условия на нелинейный член; здесь
мы рассмотрим другой метод, который часто оказывается более
эффективным. Центральная идея, принадлежащая Перрону, явля-
является классической, но с помощью техники частично упорядочен-
упорядоченных пространств этот классический метод удалось значительно
обобщить (см. недавнюю обзорную статью Аманна [1976]). Ме-
Метод основан на использовании в качестве концевых точек порядко-
порядкового интервала [и, v] так называемых „верхнего и нижнего реше-
решений" и, v, в сочетании с некоторой ,,перекройкой" дифференциаль-
дифференциального уравнения с целью получить монотонный оператор.
Для иллюстрации рассмотрим систему
/"<*)+¦[*./<*)]=<>.
Предположим, что вещественнозначная функция г|э непрерывна и
локально-липшицева в том смысле, что для любого конечного от-
отрезка [а, р] существует число т (возможно, зависящее от a, f$),
такое что
m\zl-z2\ (8.3.3)
8.3.22. Определение. Функция ме?2([0,1]) называется нижним
решением системы (8.3.2), если
и@), и
Верхнее решение определяется при помощи обратных неравенств.
Возьмем вещественное банахово пространство ^([0,1]) с
sup-нормой и частичным упорядочением, задаваемым конусом Е
неотрицательных функций. Допустим, что существуют нижнее и
верхнее решения и и vy удовлетворяющие условию и ^ v, и по-
положим
а= sup и(х), р= sup v(x).
*€=[0,1] [01]
Тогда [a, f$] — конечный отрезок в R и в силу локальной липшице-
вости г|) найдется вещественное число со, такое что, каково бы ни
было хе[0, 1], г|)[#, г] + со2г есть неубывающая функция от г для
2Е[а,р]. Поскольку наше дифференциальное уравнение можно
переписать в виде
- Г (х) + со2/ (х) = * [х, f (х)] + со2/ (*),

244 Гл. 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность
система (8.3.2) эквивалентна интегральному уравнению / = Л/,
где
1
Af(x)=\k(х, у){$[y,f(у)] + tff (у)}dy
О
и k — функция Грина для оператора —cP/dx2 -f- со2 с указанными
выше граничными условиями. По лемме 8.2.2 оператор А компак*
тен, а в силу неотрицательности k он также и монотонен. Таким
образом, мы сможем применить теорему 8.3.17, если докажем, что
и ^ Аи и v ^ Av. Это делается так.
Поскольку и — нижнее решение, то
— и"(х) + Л(*)<г|)[х, и(х)] + ®2и(х).
Умножая на k и интегрируя, получаем
1
+ \k(x, у) {ПУ, и (у)] +
о
Так как и@), и{\) ^ 0, то выражение в первых фигурных скобках
может принимать лишь отрицательные значения, откуда следует,
что и^Аи. Аналогичным рассуждением устанавливается, что
v^Av. Поэтому теорема 8.3.17 гарантирует существование реше-
решения нашего интегрального уравнения в [и, v]. Далее, если fo = u
и fn — решение линейного дифференциального уравнения
удовлетворяющее граничным условиям fn(O) = fn(i)== 0, то (fn)
есть монотонно возрастающая последовательность, сходящаяся к
некоторому решению системы (8.3.2). Определяя аналогичным об-
образом (gn) с go = v, мы, очевидно, получим убывающую после-
последовательность, сходящуюся к некоторому решению той же си-
системы. Тем самым доказан следующий результат.
8.3.23. Теорема. Пусть г|э: [О, 1]Х(—оо, oo)-^R — непрерывная
функция, удовлетворяющая локальному условию Липшица (8.3.3).
Предположим, что существуют нижнее и верхнее решения и, vf
такие что и ^ v. Тогда краевая задача (8.3.2) имеет по крайней
мере одно решение в [и, v]. Далее, определенные выше последова-
последовательности (fn) и (gn) монотонно сходятся к решениям этой задачи.
По поводу обобщений этого результата на случай, когда г|э
зависит еще и от /', см. Чандра и Дейвис [1974].

8.3. Полоэюительные и монотонные операторы 245
Верхнее и нижнее решения часто можно построить при по-
помощи одного простого геометрического соображения (задача 8.15).
Например, для уравнения
f"(x) = iish[f(x)]+g(x)
с #^^([0, 1]) и |я>0 в качестве и и v можно взять соответ-
соответственно большую отрицательную константу и большую положи-
положительную константу. Особенно полезна теорема при рассмотрении
уравнений с сильной нелинейностью вроде приведенного выше.
Другая область приложения теоремы —это нелинейные задачи на
собственные функции, где наличие тривиального решения вызы-
вызывает серьезные затруднения при применении большинства мето-
методов. В приводимом ниже обсуждении задачи для нелинейного ос-
осциллятора решающий шаг состоит в выборе неотрицательного
нижнего решения, не равного тождественно нулю.
8.3.24. Пример. Для краевой задачи
Н*) + И sin [/(*)] = 0,
соответствующее линеаризованное уравнение имеет собственные
значения [in = n2n2 (n==l, 2, ...). В нелинейном случае тоже при
[х < я2 нетривиальных решений нет, но при |я > я2 ситуация со-
совсем иная.
В самом деле, предположим, что |я > я2. Попробуем в качестве
нижнего решения взять и (х) = е sin nx. При некотором (малом)
и" (х) + И- sin [и (х)] = \i sin [e sin nx] — я2е sin nx ^ 0.
Поскольку и@) = иA) = 0, и действительно будет нижним реше-
решением при таком е. Далее, легко видеть, что v(x) = n является верх-
верхним решением. Так как u^v, то теорема 8.3.23 применима, и мы
заключаем, что наша краевая задача имеет нетривиальное реше-
решение при каждом |я > я2. Теорема дает также конструктивный ме-
метод для нахождения решений.
Интересно заметить, что уравнение
с теми же граничными условиями имеет решение при каждой не-
непрерывной функции g и каждом jieR (теорема 8.2.9). Таким
образом, хотя соответствующий интегральный оператор и компак-
компактен, его собственные значения образуют целый континуум и, кроме
того, альтернатива Фредгольма не имеет места. Как мы увидим
в гл. 14, это типичные черты нелинейных задач на собственные
значения.

246 Гл. 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность
Задачи
8.1. (Роте) Пусть D — открытый единичный шар в банаховом пространстве $
и A: D-+¦ $ — компактный оператор. Используя теорему Шаудера о неподвиж-
неподвижной точке, покажите, что А имеет неподвижную точку в D, если A (dD) с В.
[Рассмотрите оператор RA, где Rf = f при f <= D, Rf = f/ll/Ц при / ф П.]
8.2. Пусть $ — банахово пространство в В: D-> 33 — сжимающее отображение.
Положим (/ — B)(D)=S. Докажите, что I — В: D-+S есть гомеоморфизм
(определение 4.2.9). Покажите также, что если 5 относительно компактно, то и D
таково же.
8.3 (Красносельский). Пусть D — замкнутое ограниченное выпуклое подмноже-
подмножество банахова пространства $. Предположим, что операторы Л, В: D-+$ удо-
удовлетворяют следующим условиям:
(i) Af + Bg <= D при всех /, g <= Z);
(ii) А компактен;
(iii) В является сжимающим.
Используя задачу 8.2 и теорему Шаудера о неподвижной точке, докажите, что
оператор Т = А + В имеет неподвижную точку в D.
Выведите отсюда, что написанное ниже интегральное уравнение имеет реше-
решение в #([0, 1]):
ЪНх) = х + Жх)]*+\\х-Ку)\Х1**у.
8.4. Пусть D — замкнутое подмножество банахова пространства $. Предполо-
Предположим, что A (D) a D, A (D) относительно компактно и А является «почти сжимаю-
сжимающим» в том смысле, что
Привлекая функционал ||/ — Af\\, покажите, что оператор А имеет единственную
неподвижную точку в D. (Заметьте, что А не обязан быть сжимающим.)
8.5. Пусть ^([0, 1]) наделено sup-нормой. Докажите, что если функция k:
[0, 1] X [0, 1] Х^-^С непрерывна, то оператор А: ^([0, 1])->^([0, 1]), за-
задаваемый формулой
Af(x) = \ k(xyyyf(y))dyt
о
компактен.
8.6. Пусть k и А те же, что и в предыдущей задаче. Предположим, что суще-
существуют вещественные числа kh k2, а ^ 0 и г > 0, такие что kx + k2ra ^ г и
| k (х, у, z) K&i + k2 \z\a (jc, у e [0, 1], \z] <r).
Докажите, что уравнение Урысона f = Af имеет решение в ^([0, 1]).
8 7. Пусть Е — конус в вещественном банаховом пространстве $&. Докажите сле-
следующие утверждения и дайте их геометрическую интерпретацию для случая
конуса на рис. 8.2:
(i) f, g е Е и а, Ь е R+ =>• af + b
(ii) -f&E=> inf ||f + g||>0;
(iii) если f e E9 g e $ и g^tf при некотором /sR, то ?<s/ при всех
s>t;

Задачи 247
(iv) если gGl, /gR и g ^ // для некоторого ненулевого / е= Е, то суще-
существует наименьшее s e= R, для которого g ^ s/.
8.8*. Докажите, что конус Е нормален тогда и только тогда, когда существует
такое 6 > 0, что ||/ + g\\ ^ 6 для любых /, g е= Е с ||/|| = Ы = 1.
8.9. Покажите, что всякий регулярный конус нормален.
8.10. Пусть вещественное пространство ^([0, 1]) наделено sup-нормой. Возьмем
некоторое т<=@, 1) и рассмотрим множество Е всех неотрицательных функций
из ^([0, 1]), таких что
т sup / (х) < inf / (х).
0<<1 0<<1
Докажите, что Е — регулярный конус.
8.11. Пусть k\ [О, 1] X [0, 1]-> R—непрерывная неотрицательная функция, и
пусть
(i) функция г|>: [0, 1] X [0, °°] -** R непрерывна и неотрицательна;
(ii) z~lty[y, z] ->¦ 0 при г->оо равномерно по у.
Докажите, что для любой неотрицательной функции gs<?f([0, 1]) интеграль-
интегральное уравнение
1
имеет неотрицательное решение в <^([0, 1]).
Покажите, что в случае, когда условие (i) выполнено лишь на [0, 1] X @,
оо), указанное выше заключение сохраняет силу, если потребовать дополнитель-
дополнительно, чтобы g(x) > 0 при 0 ^ х ^ 1. (Главное здесь то, что результат оказы-
оказывается применимым к функциям if> с сильной особенностью в нуле, например
к г|?[д:, г] = z~n.)
8.12. В примере 8.3.11 нами было установлено существование положительного
решения уравнения Фёппля — Хенки. Докажите, что
1 1
*8*(*. y)fMf(y)dxdy>0 (/etf([0,l])),
о о
и выведите отсюда, что в ^([0, 1]) существует только одно строго положитель-
положительное решение.
8.13. Пусть Я —конус в вещественном банаховом пространстве ^, и пусть Л:
D-»- $ — монотонно убывающий оператор (/ ^ g => Af ^ Ag). Для [и0, vo]czD
положим ип+1 = Avn> vn+i == Aun (n ^ 0). Покажите, что если ^ ^ ^
< v0, to
U < u < u2 < ... < v2
Далее, покажите, что если конус Е нормален, а оператор А компактен, то по-
последовательности (ип), (vn) монотонно сходятся к неподвижным точкам А.
Применяя этот результат, постройте неотрицательное непрерывное решение
интегрального уравнения Урысона
1

248 Гл. 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность
(Коллатц). Поучительно заметить, что если попытаться здесь воспользоваться
принципом сжимающих отображений, то при больших \х возникнут трудности.
8.14. Пусть if>: [0, 1] X [О, °°]-»-R —непрерывная функция. Предположим, что
существуют неотрицательные со, т, /, такие что для х е[0, 1] иг^О
(i) 0 < г|? [х, г] + «г < тг + /;
(и) г|> [х, г] + сог — неубывающая функция от г;
(iii) m/(jt2 + co) < 1.
Используя лемму 8.3.19, покажите, что уравнение
Г(*) + *[*. f(*)] = o @<*<i)
имеет неотрицательное решение с /@) = /A) =0.
8.15. Пусть г|>: [0, 1] X R ->- R —непрерывная функция, и пусть существуют по-
положительные числа а<я2 и г0, такие что гг|)[л:, г] ^ аг2 при \z\ ^ го и
* е [0, 1]. Докажите, что у системы
существуют верхнее и нижнее решения и, v, удовлетворяющие условию и ^ v.
[Указание: в качестве v можно взять решение системы z/' + av + т = 0, у@) =
= уA) =0 с некоторым m e R.]
8 16 Пусть g — вещественнозначная непрерывная функция на [0, 1]. Покажите,
что при со > 0 система
Г (х) = |i sh [/ (л:)] + gW @ < х < 1),
/@) = /=A) = 0
имеет решение, и дайте монотонные итерационные схемы для вычисления ее ре-
решений.
8.17. Понятие миноранты бывает иногда полезным в задачах на собственные
значения Пусть Е — нормальный конус в вещественном банаховом пространстве
& и Л: Е-*$ — непрерывный компактный монотонный оператор. Предполо-
Предположим, что существуют L,Me 3?($)у h е Е и 6 > 0, такие что
(i) оператор L служит минорантой для А на S@, б) П Е и обладает соб-
собственным вектором и е Е с собственным значением К ^ 1;
(и) оператор М положителен, r0 (M) < 1 и оператор В, задаваемый равен-
равенством Bf = Mf + К служит мажорантой для Л.
Докажите, что оператор А имеет нетривиальную неподвижную точку в ?, и ука-
укажите монотонные последовательности, сходящиеся к его неподвижным точкам.
8.18. Используя задачу 8.17, докажите, что каждое \х > 0 является собственным
значением уравнения
1/2
с граничными условиями /@) = /A) =0.
8.19. Покажите, что каждое \х > я2 является собственным значением уравнения
Дуффинга
с граничными условиями /@) «= f A) =0.
8.20. Пусть ц > 0. Покажите, что при любом и > (я2/!*I/2 уравнение
Г (*) +|i sin [/(*)]= 0
имеет нечетное периодическое решение в ^2((—оо, оо)) с периодом 2со.

Глава 9
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
9.1. Введение
Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформу-
сформулирована с помощью линейных операторов, объектом основного
физического интереса служит спектр рассматриваемого оператора.
Вполне достаточным подтверждением этого высказывания служит
повсеместное использование термина „спектр" как в физическом,
так и в математическом смысле. Например, в квантовой механике
физический спектр энергетических состояний атома и спектр со-
соответствующего дифференциального уравнения тесно связаны меж-
между собой. Для произвольного линейного оператора часто бывает
трудно получить информацию даже просто качественного харак-
характера, но для самосопряженных операторов в гильбертовом про-
пространстве это задача намного меньшей трудности. В действитель-
действительности, как показывают дальнейшие исследования в области спек-
спектральной теории, в последнем случае часто может быть получено
весьма полное описание решений уравнений, содержащих самосо-
самосопряженные операторы. Сердцевиной любого обсуждения таких
уравнений является один результат — спектральная теорема. Эта
теорема, принадлежащая Гильберту и фон Нейману, позволяет
объединить великое множество внешне различных результатов и
представляет собой одно из главных достижений теории линейных
операторов.
Общеизвестна важность результата, утверждающего, что вся-
всякую эрмитову матрицу (а тем самым и всякую эрмитову квадра-
квадратичную форму) можно диагонализовать при помощи подходящего
выбора базиса; превосходное изложение этого конечномерного
результата дано в книге Халмоша [1948]. Спектральная теорема
представляет собой, в сущности, далеко идущее обобщение этого
результата на случай самосопряженных операторов в бесконечно-
бесконечномерном гильбертовом пространстве Ж. На пути к этому обобще-
обобщению первым шагом, где важную роль играет бесконечномерность,
служит теорема Гильберта — Шмидта 7.5.1 о компактных само-
самосопряженных операторах. Эта теорема утверждает, что для вся-
всякого такого оператора Т ортонормированное множество {tyn} его
собственных векторов образует базис пространства Ж Таким об-
образом, произвольное g ^ Ж можно представить в виде
¦»)¦». (9.1.1)

250 Гл. 9. Спектральная теорема
откуда немедленно следует, что
Tg=T,Kte, Ъп)Ъп, (9Л.2)
где ^ — собственное значение, отвечающее г|)л. Формула (9.1.2) осу-
осуществляет в очевидном смысле диагонализацию оператора Т. Даль-
Дальнейшее наблюдение состоит в том, что если р — многочлен, то
p(T)g=T,p(K)(g, ¦»)¦«• (9.1.3)
Определение полиномиальной функции от Г, разумеется, не пред-
представляет никаких трудностей, но оказывается, что (9.1.3) достав-
доставляет удовлетворительное определение произвольной непрерывной
функции от Т. Такие функции интересны по целому ряду причин;
с точки зрения приложений особенно важны экспоненциальные
функции, ибо они входят в решение задачи Коши для абстракт-
абстрактного дифференциального уравнения u'(t) = Lu(t) (см. при-
пример 3.5.10).
Какой вид должны принять соотношения (9.1.1) и (9.1.2) в
случае, когда оператор самосопряжен, но не компактен? Ключ
к решению вопроса дают две хорошо известные формулы разло-
разложения для дифференциальных уравнений. Пусть L —самосопря-
—самосопряженный оператор, получаемый из оператора l = id/dx при нало-
наложении граничного условия f@) = fBn) (пример 6.7.9), и пусть
А.л, фя (п = \, 2, ...) — собственные значения и соответствующие
собственные функции оператора L, т. е. Хп=п, tyn = Bn)~112 e~inx
(я=1, 2, ...). Общеизвестная формула разложения в ряд
Фурье записывается так:
2я
о
В <3^ = 2?2(@> 2я)) она принимает вид
Областью определения оператора L служит не всё Ж, но по край-
крайней мере для гладких g мы имеем
Последние два соотношения и являются искомыми аналогами со-
соотношений (9.1.1) и (9.1.2).
В только что рассмотренном примере оператор L, хотя сам и
не компактен, но обладает компактным обратным, и указанные
выше результаты могут быть выведены из теоремы 7.5.4. В каче-
качестве примера, когда это уже не так, возьмем снова оператор
l = id/dx, но предположим теперь, что рассматриваемым интер-

9.2. Предварительные сведения 251
валом служит (—оо, оо). В этом случае имеет место следующая
формула обращения для преобразования Фурье:
8{х)= \ Ъ(х)йЬ \ g{y)%JF)dy;
— оо —оо
здесь ^(x) = Bn)-l/2eilx. Если Ж = 272(—°°, оо) и g имеет ком-
компактный носитель, то эту формулу можно переписать в виде
g(x)= \ (g, Фл)Ы*)</Л. (9-1.4)
— оо
Замечая, что уравнение // = Я/ имеет решение -фл, при каждом ве-
вещественном Я, можно попробовать принять такую гипотезу: под
спектром нужно понимать всю вещественную ось, а под собствен-
собственными функциями оператора / — функции i|^. Тогда (9.1.4) можно
интерпретировать как обобщение соотношения (9.1.1), получаемое
заменой суммирования интегрированием по спектру. Чтобы сде-
сделать эту интерпретацию строгой, надо, конечно, преодолеть много
трудностей. Во-первых, не очевидно, как следует определить само-
самосопряженный оператор L, отвечающий дифференциальному опе-
оператору /. Во-вторых, 1|?я, не принадлежат 3>2(—оо, оо) и потому
заведомо не являются собственными векторами самого операто-
оператора L. Однако трудно отказаться от мысли, что (9.1.4) представ-
представляет собой в некотором смысле разложение по „обобщенным соб-
собственным функциям", аналогичное разложению, доставляемому
теоремой Гильберта — Шмидта.
Наша непосредственная цель — получить абстрактный вариант
разложения по обобщенным собственным функциям для произ-
произвольного (не обязательно ограниченного) самосопряженного опе-
оператора и воспользоваться этим разложением для определения
функций от операторов. В следующей главе мы займемся вопро-
вопросом о построении самосопряженных операторов, отвечающих фор-
формальным обыкновенным дифференциальным операторам. Тогда
станет ясно, что обширный список различных разложений в ряды
по ортогональным функциям и различных „преобразований" пред-
представляет собой не что иное, как перечень частных случаев разло-
разложений по обобщенным собственным функциям, получаемых приме-
применением спектральной теоремы.
9.2. Предварительные сведения
Прежде чем приступить к самой спектральной теореме, нам надо
разобраться с некоторыми техническими моментами. Сначала мы
обсудим понятие функции от оператора. Следует подчеркнуть, что
приводимое ниже определение не дает удобного метода для прак-

252 Гл. 9. Спектральная теорема
тического вычисления функций от операторов; такой метод даст
в конечном счете сама спектральная теорема. Всюду далее Ж
обозначает комплексное гильбертово пространство, a L: Ж-+Ж—
ограниченный самосопряженный оператор.
Если р — многочлен, то оператор p(L) имеет очевидный смысл.
По теореме Вейерштрасса всякая непрерывная функция веще-
вещественной переменной X может быть аппроксимирована на компакт-
компактных интервалах в sup-норме последовательностью многочленов, и
это наводит на мысль, что непрерывные функции от L можно опре-
определить как пределы в операторной норме (т. е. в 2(Ж)) полино-
полиномиальных функций от L. Легко проверить, что это — и в самом
деле разумное определение, но ограничение непрерывности слиш-
слишком сурово для наших настоящих целей. Однако можно получить
гораздо более общий класс функций, беря монотонные поточечные
пределы непрерывных функций. Если мы хотим распространить
эту конструкцию на случай функций от операторов, то нам нужна
надлежащая интерпретация монотонности для последовательно-
последовательностей операторов. Основой для такого определения монотонности
служит следующее частичное упорядочение в множестве самосо-
самосопряженных операторов:
9.2.1. Определение. Пусть L, М: Ж-+Ж — ограниченные самосо-
самосопряженные операторы. Мы пишем L ^ М (или M^L), если
(Lf, f) ^ (Mf, f) для всех \^Ж. Оператор L называется положи-
положительным^, если L ^ 0, и строго положительным, если L^cl при
некотором с > 0. Последовательность (Ln) самосопряженных опе-
операторов из 3? (Ж) называется монотонной (или, точнее, монотонно
возрастающей), если Ln-\^:Ln (n=l, 2, ...), и порядково-огра-
ниченной сверху, если существует такой ограниченный самосопря-
самосопряженный оператор L, что Ьп^Ь (лг = 1, 2, ...).
Важную роль в нашем анализе будут играть числа т± (опре-
(определение 6.6.5). Напомним (см. теорему 6.6.6), что спектр опера-
оператора L содержится в [т-,т+), и заметим, что га_/ ^L^m+I.
Главные свойства введенного упорядочения перечислены в приво-
приводимой ниже лемме.
9.2.2. Лемма. Пусть LyMyN6^{Ж) — самосопряженные опера-
операторы и а,Ь eR. Справедливы следующие утверждения-.
(i) L>M, M^L => L=M;
(ii)I>Af
(Hi)
!> Положительные в смысле этого определения самосопряженные операторы
в 36 образуют конус в 3?(Ж), и частичное упорядочение ^ есть упорядочение,
задаваемое этим конусом. Операторы, положительные в смысле определения
8.37, — это, конечно, совсем другой объект.

9.2. Предварительные сведения 253
(iv) L, М>0, a, b>0 => aL + ЬМ^ max (a, b)-{L + M);
(vi) L>MX>N, L^M2^N => \\Mi — Af21| < ЦI — AMI-
Доказательство. Утверждения (i) — (iv) — очевидные следствия
определения. Утверждение (v) вытекает из неравенства
| (М/, /) |<max [ sup \(Lf, f)\, sup \(Nf, f)\]
ll f ll=i II f ll=i
и теоремы 6.6.7. Что касается (vi), то достаточно заметить, что
N — L ^ М\ — М2^ L — N, и применить (v). []
9.2.3. Лемма. Пусть {Ln} — последовательность ограниченных са-
самосопряженных операторов. Предположим, что эта последователь-
последовательность монотонно возрастает и порядково-ограничена сверху. Тогда
она сильно сходится к некоторому ограниченному самосопряжен-
самосопряженному оператору, скажем L. Если каждый оператор Ьп коммути-
коммутирует с В &.3?{Ж), то и L коммутирует с В.
Доказательство. Очевидно, достаточно установить наш результат
для случая 0 ^ L\ ^ L2 ^ ... ^ /. Пусть п^ т. Тогда 0 ^ Ln —
Lm^I, а значит, \\Ln — Lm||^ 1 (лемма 9.2.2, (v)). Отсюда сле-
следует, в силу задачи 6.23 и неравенства Шварца, что для всех
I 6= G0
II [Ln - Lm] f ||4 < ([Ln - Lm) /, f) ([Ln - Lmf /, [Ln - Lm] f) <
<{(Lnf,f)-(Lmf,f)}\\f\\2. (9.2.1)
Поскольку последовательность ((Lnf,f)) вещественных чисел по
предположению не убывает и ограничена, она сходится. Следова-
Следовательно, правая часть (9.2.1) стремится к нулю при т, я->~оо; зна-
значит, {Lnf) является последовательностью Коши, а потому сходит-
сходится. Согласно следствию 3.5.12, существует оператор LeS1^),
служащий сильным пределом последовательности (/,„), и очевид-
очевидно, что L самосопряжен. Утверждение о перестановочности сле-
следует из равенств
limLnBf = limBLj = BLf. ?
9.2.4. Лемма. Пусть L — ограниченный самосопряженный опера-
оператор. Если многочлены р, q с вещественными коэффициентами та-
таковы, что p(X)^q(K) при т_^Я^т+, то p{L)^q(L).
Доказательство. Очевидно, операторы p(L) и q(L) самосопря-
самосопряжены. Предположим сперва, что q = 0. Поскольку многочлен р не
меняет знака на интервале [m-,m+], его можно представить в
виде
р (Л) = а П (^ - ау) П (bj - Я) П ((Л - cjf + <*/).

254 Гл. 9. Спектральная теорема
где а > 0; первые два произведения отвечают вещественным кор-
корням, причем а} ^ m_, b} ^ m+, последнее же отвечает комплекс-
комплексным корням. Далее, p{L) получается подстановкой в это выраже-
выражение L вместо i, и так как m-l ^ L ^ т+/, то каждый сомножи-
сомножитель будет положительным оператором. Поскольку все сомножи-
сомножители перестановочны, то, в силу задачи 9.5, p(L)^0. В заключе-
заключение следует применить полученный результат к р — q.[]
Эта лемма показывает, что отображение p*—>p(L) сохраняет
положительность. При этом фактически существенны лишь значе-
значения, принимаемые многочленом р(Х) на интервале [т-ут+], по-
покрывающем спектр рассматриваемого оператора.
Теперь мы вполне подготовлены к тому, чтобы определить бо-
более общие функции от L. Допустим сначала, что / — вещественно-
значная функция, непрерывная на [т-,т+]. По теореме Вейер-
штрасса существует последовательность (рп) многочленов с веще-
вещественными коэффициентами, сходящаяся к / на [т_, т+] в
sup-норме. Следовательно, для любого заданного е > 0 найдется
такое По, что
— е</А — рп —
откуда
— 2е < рп (I) — рт (Л) < 2е (m, n > nQ, m_
В силу леммы 9.2.4
а значит, по лемме 9.2.2,(v), \\pn(L) — pm(L) ||^ 2e. Таким обра-
образом, последовательность (pn(L)) в 9? (Зё) является последователь-
последовательностью Коши, а потому сходится к некоторому пределу; обозначим
его через f(L). Легко проверить, что f(L) не зависит от выбора
указанной последовательности многочленов, и, следовательно,
описанная выше процедура доставляет удовлетворительное опреде-
определение оператора f(L). Следующая лемма утверждает, что этот
оператор наследует хорошие свойства вещественнозначной функ-
функции /.
9.2.5. Лемма. Для каждой вещественнозначной функции /, непре-
непрерывной на [m~, m+], описанная выше процедура определяет един-
единственный ограниченный самосопряженный оператор f(L), и этот
оператор коммутирует со всяким ограниченным оператором, с ко-
которым коммутирует L. Кроме того:
(i) оператор f(L) положителен^ если функция f неотрицательна
на [m ]

9.2. Предварительные сведения 255
(ii) отображение f\—>f(L) не увеличивает норму в том смысле,
что
||/(L)||< sup |/(Л) |;
A,<=[m_, m+]
(Hi) если g— другая функция того же типа, то
Доказательство. Покажем, что
/ inf / (Я) < / (L) < / sup / (Я); (9.2.2)
здесь и всюду далее в этом доказательстве нижняя и верхняя гра-
грани берутся по [га_, т+] Положим гп = sup \f(X)— pn{k) |; оче-
очевидно, Нт8Аг = 0. Имеем рпЩ^? ml f(k)— &n, а значит, по лем-
лемме 9.2.4,
Следовательно, для всех g<=:3e
(pn(L)g, g)>[mff(b)-sn]\\g\\\
откуда
(f (Q g, g) = (Pn (L) g,g) + ( [f (L) - pn (L)] g, g)
-+\\g\\2inlf(X) при м->оо,
поскольку как ел, так и второй член в правой части неравенства
стремятся к нулю. Отсюда вытекает первое неравенство в (9.2.2).
Второе устанавливается аналогично.
Утверждение (i) немедленно следует из (9.2.2), a (ii) получа-
получается применением леммы 9.2.2, (v). Остальные утверждения непо-
непосредственно вытекают из определения оператора f(L). []
Отображение f*-+f(L) можно продолжить на непрерывные
комплекснозначные функции, рассматривая по отдельности веще-
вещественную и мнимую части, но, конечно, при этом оператор f{L)
уже не обязательно будет самосопряженным. Наш заключитель-
заключительный шаг — обобщение определения на случай функций, „полуне-
„полунепрерывных сверху".
9.2.6. Определение. Вещественнозначная функция / на [а, Ь] назы-
называется полунепрерывной сверху, если она является поточечным
пределом монотонно убывающей последовательности вещественно-
значных непрерывных функций.
Для наших настоящих целей достаточно заметить, что индика-
индикаторные функции замкнутых интервалов или объединений конеч-

256 Гл. 9. Спектральная теорема
ного числа таких интервалов полунепрерывны сверху. Применение
леммы 9.2.3 дает следующий результат (по поводу единственности
см. задачу 9.6):
9.2.7. Теорема. Пусть L — неотрицательная полунепрерывная свер-
сверху функция на [га_, пг+] и {fn}—монотонно убывающая последо-
последовательность непрерывных функций, поточечно сходящаяся к /.
Тогда fn{L) сильно сходится к некоторому пределу f(L) и f(L)
обладает всеми свойствами, перечисленными в лемме 9.2.5.
Следует отметить три момента. Во-первых, если полунепрерыв-
полунепрерывная сверху функция f определена на каком-либо интервале, со-
содержащем [га_, га+], то при определении f(L) мы рассматриваем
ограничение / на [ш-, пг+]\ снова существенны лишь значения f
на [m-,m+]. Во-вторых, отображение /»—>/(/,) сохраняет как ал-
алгебраическую структуру, так и структуру порядка. В-третьих, схо-
сходимость fn(L) к f(L) сильная, а не равномерная.
Теперь на очереди исследование класса операторов, называе-
называемых проекторами. Понятие проектора обобщает понятие отобра-
отображения ортогонального проектирования в R3; из теоремы о проек-
проекции 1.5.11 вытекает, что такое обобщение имеет смысл в бесконеч-
бесконечномерном гильбертовом пространстве.
9.2.8. Определение. Пусть Ж— замкнутое подпространство гиль-
гильбертова пространства Зё. Для всякого f^3e пусть g,h— един-
единственные векторы из М, Ж1- соответственно, такие что f = g + h.
Положим Pf=g. Оператор Р называется проектором на «Ж, a g —
проекцией f на Ж. Говорят, что два проектора Pi и P% ортогональ-
ортогональны, если Р\Р<2. = 0.
Проекторы, как они определены выше, иногда называют „ор-
„ортогональными проекторами", чтобы выделить их из более общего
класса проекторов, рассматриваемых в теории банаховых про-
пространств. Поскольку это более общее понятие проектора нам здесь
не понадобится, мы опускаем добавочное слово „ортогональный".
При этом достигается та выгода, что исключается всякая возмож-
возможность путаницы с понятием ортогональности пары проекторов.
Свойства проекторов суммированы в следующих леммах. Дока-
Доказательство первой из них совсем легкое, и провести его предостав-
предоставляется читателю в качестве упражнения.
9.2.9. Лемма. Если Р — проектор на замкнутое подпростран-
подпространство Ж, то
(i) P — линейный ограниченный самосопряженный оператор,
удовлетворяющий условию Р2 = Р;
(ii) либо Р=0,либо ||Р|| = 1;
(iii) / — Р есть проектор на Ж1;
(iv) 0<P

9.2. Предварительные сведения 257
9.2.10. Лемма. Пусть оператор Р^3?Bв) самосопряжен. Если
Р2 = Р, то Р — проектор.
Доказательство. Заметим прежде всего, что линейное подпростран-
подпространство R(P) замкнуто, ибо если gn = Pfn-+g, то Pgn = P2fn = Pfn=
gn и g = \\mgn = \\mPgn = Pg^R(P). Далее, любое /g^ мож-
можно записать в виде / = Р/ + (/ — P)f. Поскольку Р самосопряжен,
(d-P)f, Pf) = ((P~P2)f>g) = 0.
Следовательно, (/ — P)f^(R(P)I и, значит, Р есть проектор на
R(P). U
9.2.11. Лемма. Пусть Р\ и Р2 — проекторы на замкнутые подпро-
подпространства Л\ и Л2 соответственно. Тогда
(i) Pi + P2 — проектор <=> РХР2 = 0<=>Л{±Л2;
(ii) P\P2 = Р2<=> Р\ ^ Р2<=>Л\ =эЛ2\ если выполнено любой
из этих эквивалентных соотношений, то Р\ коммутирует с Р2.
Доказательство. Мы докажем (ii), а доказать (i) предоставим
читателю в качестве упражнения. Если PiP2 = P2, то PP
{Р\Р2)* = Pl = P2. Следовательно, Pi и Р2 перестановочны и
Поскольку оператор Pi — Р2 самосопряжен, из леммы 9.2.10 еле*
дует, что это проектор. Значит, по лемме 9.2.9,(iv), P\^P2. Об-
Обратно, если Pi ^ Р2, то / — Р\^1 — Р2 и
II (/ - Pi) PJII2 = ((/ - Pi) P2f, (I - Pi) PJ) = ((/ - Pi) /У.
Поэтому (/ — Pi)P2 = 0, откуда PiP2=P2- Тем самым доказано,
что PiP2 = Р2 тогда и только тогда, когда Pi ^ Р2.
Далее, предположим, что PiP2 = P2. Для любого /е^2 имеем
f = P2f = PxP2f = Pif(==R (Pi) = Л i. Следовательно, М2 cz Л\.
Обратно, допустим, что Л2аЛ\. Любое /е^ можно записать
в виде f = g + h, где ge,#2, Ag^1. Ясно, что P{g= P2g = g
и P2h = 0. Значит, PiP2g = Pig" = g = P2g, а потому
P{P2f = PxP2g + PxP2h = P2g = P2g + P2h = P2f. ?
Эта лемма играет фундаментальную роль. Отметим особенно,
что естественному упорядочению подпространств Л\ и Л2 по вклю-
включению отвечает упорядочение соответствующих проекторов, зада*
ваемое отношением ^.
Наконец, для того чтобы дать аккуратную формулировку
спектральной теоремы, нам надо ввести интеграл, который

258 Гл. 9. Спектральная теорема
„справлялся" бы с функциями, принимающими значения в банахо-
банаховых пространствах. С абстрактным лебеговым интегралом связан
ряд довольно неприятных технических моментов, и мы отдадим
здесь предпочтение следующему более простому понятию, доста-
достаточному для наших нынешних целей:
9.2.12. Определение. Пусть ^ — банахово пространство, Q==
[а, Ь]—конечный интервал в R и /, у— соответственно С-знач-
ная и .^-значная функции, определенные на Q. Говорят, что функ-
функция / интегрируема на Q по Риману — Стилтьесу относительно у,
если существует такое g e ^?, что
iift-i ||
lim 2 / (cj) [У (a/+i] - У («/)] - g = 0;
6>o||/i II
при образовании сумм (называемых суммами Римана — Стилтье-
са) рассматриваются всевозможные конечные наборы точек а/, с/,
удовлетворяющие условиям а{ = а, ап — Ь и а/ ^ с} ^ a/+i
(/=1, 2, ..., п), а б обозначает максимум длин подынтервалов
[а}, a/+i]. Элемент g называют интегралом Римана-—Стилтьеса
от / и пишут
ь
В случае когда Q — бесконечный интервал и f интегрируема на
каждом конечном подынтервале в Q, мы полагаем,
Ь
= lim lim \f(l)dy(K),
a>oo b>oo
— оо а
b b
= Hm
a->—oo
— оо а
если эти пределы существуют.
Заметим, что если функция у постоянна на некотором подын-
подынтервале Qo в Q, то члены в суммах Римана — Стилтьеса, отвеча-
отвечающие этому подынтервалу, обращаются в нуль, и, следовательно,
значения / на Qo не влияют на значение интеграла.
9.3. Подоплёка спектральной теоремы
Спектральную теорему можно рассматривать как обобщение тео-
теоремы Гильберта — Шмидта на случай операторов, являющихся
самосопряженными, но не обязательно компактными. Однако при
осуществлении этого обобщения возникают определенные трудно-

9.3. Подоплёка спектральной теоремы 259
сти, и в результате формулировка спектральной теоремы связана
с рядом концептуальных проблем. Поэтому, прежде чем присту-
приступать к деталям анализа, мы попытаемся объяснить, в чем заклю-
заключаются главные трудности, и наметить, как эти трудности можно
преодолеть. Следует, подчеркнуть, что рассуждения этого пара-
параграфа носят чисто формальный характер.
Предположим сначала, что оператор Т компактен и самосо-
самосопряжен. Сила теоремы Гильберта — Шмидта в значительной мере
основана на том обстоятельстве, что, поскольку всякий вектор
g^26 можно представить как сумму собственных векторов Mpk
(с собственными значениями Л,*), а Гф* нам известны в явном
виде, мы легко можем записывать функции от Т. В частности,
если Mk — собственное подпространство, отвечающее А,*, то
?=ЕФ* {$k^Mk\ (9.3.1)
rg=EMV (9.3.2)
На первый взгляд перспективы обобщения этих соотношений на
случай оператора L, самосопряженного, но не компактного, пред-
представляются не слишком хорошими, потому что собственные век-
векторы L не обязаны порождать Ж — на самом деле L может вообще
не иметь никаких собственных векторов! Однако есть один обна-
обнадеживающий момент. По теореме 6.6.4 для любого A,ea(L) су-
существует последовательность (ф/) векторов единичной нормы, та-
такая что ||Lqp; — А,ф;|| = 0. Поэтому возникает соблазн трактовать X
как „приближенное собственное значение", a ф/ при больших /
как „приближенный собственный вектор" и предполагать, что А,
и ф; окажутся подходящей заменой для собственных значений и
собственных векторов.
Чтобы посмотреть, насколько правдоподобно, что этот подход
может оказаться плодотворным, возьмем Ж = S?2@, 1) и рассмот-
рассмотрим оператор М: Ж-^Ж умножения на х, задаваемый формулой
Mg{x) = xg(x) (g^%$). Это ограниченный самосопряженный опе-
оператор, спектр которого [0, 1] весь непрерывный (задача 9.8); сле-
следовательно, М не имеет собственных функций. Пусть дано А,е
[0,1]. Возьмем какой-нибудь подынтервал [jx, v] в [0,1], содер-
содержащий А,. Тогда для любой функции ф?^ с ||<р||= 1, носитель
которой лежит в [jx, v], мы имеем \\Мц> — Адр||^|г— \х\. Таким
образом, ф можно трактовать как приближенную собственную
функцию, причем |v — jlx | служит мерой погрешности. Теперь разо-
разобьем интервал [0, 1] на я равных подынтервалов [\ik, fx&+i] „ма-
„малой" длины б, и пусть Мн обозначает множество функций с носи-
носителем в k-м подынтервале. Множества Mk играют роль прибли-
приближенных собственных подпространств, отвечающих приближенным
собственным значениям А,*, где \xk ^ A* ^ \ik+u и простое вычис-
вычисление показывает, что если ф* — проекция g на Ж к (т. е. ограни-

260 Гл. 9. Спектральная теорема
чение g на [ц*, Ца+i] )> то
g=Z<Pft (Ф*е^), (9.3.3)
(9.3.4)
Эти соотношения можно рассматривать как аналоги соотноше-
соотношений (9.3.1) и (9.3.2), а тем самым как обобщение теоремы Гиль-
Гильберта— Шмидта.
Это рассуждение наводит на мысль, что переход от точечного
спектра к непрерывному можно осуществить, рассматривая при-
приближенные собственные пространства и используя соответству-
соответствующую предельную процедуру. Однако, поскольку концептуально
проще иметь дело со сходимостью операторов, а не подпространств,
мы перепишем наш результат в несколько ином виде. Вспоминая,
что ер*» — это проекция g на Мь* обозначим через Р(\х, v) проектор
на замкнутое подпространство в Эё, состоящее из функций с но-
носителем в [[л, v]f][O, 1]; при этом условимся, что Р(\х, v)=0, если
это пересечение пусто. Положим PV = P(—oo,v). Тогда P(jx, v) =
Ру> — Рц и Pjx = 0 при |х < 0, Pjx = / при |х > 1. Подпространства
Jlk суть образы проекторов Р(\х^ \ik+\), и (9.3.3) принимает вид
g=H [Ла?+1~~" ^\]?* ^Т0 веРН0 Для всех б, поэтому мы можем
переписать последнее равенство так:
g = timT,[PH+l-P»k]g; (9-3.5)
соотношение же (9.3.4) дает
Mg = Jim E h [PH+l - Рн\ g. (9.3.6)
Но в правых частях этих равенств мы видим не что иное, как
суммы, фигурирующие в определении интеграла Римана — Стил-
тьеса для банаховых пространств (определение 9.2.12). Следова-
Следовательно,
оо
(9.3.7)
оо
Mg= J XdPig. (9.3.8)
—-оо
Эти интегралы доставляют разложение операторов / и М на „хо-
„хорошие" операторы Ра, и тем самым, опосредствованно, разложение
пространства Ж в сумму подпространств R(P(\xt v)), как в тео-
теореме Гильберта — Шмидта. Аналогами соотношений (9.3.1) и
(9.3.2) служат, таким образом, (9.3.7) и (9.3.8) соответственно,
и элегантность и лаконичная выразительность этих последних

9.3. Подоплёка спектральной теоремы 261
убеждают, что именно они должны быть нашей целью при иско-
искомом обобщении. Это обобщение дает спектральная теорема.
Свойства операторов Р^, фигурирующих в спектральной теоре-
теореме, могут быть выражены в сжатой математической форме, но
хотя эти свойства, очевидно, должны быть связаны со свойствами
собственных подпространств или приближенных собственных под-
подпространств, а значит, и со свойствами самого рассматриваемого
оператора, природа этой связи на первый взгляд довольно темна.
Прояснить ее можно, вернувшись к исходному компактному опе-
оператору Т. Занумеруем различные собственные значения опера-
оператора Т в возрастающую последовательность (Я„), и пусть Жп—
соответствующие собственные подпространства. Обозначим через
ЕКп проектор на Мп и положим
^EXng (9.3.9)
(если сумма не содержит ни одного слагаемого, то она полага-
полагается равной нулю). Семейство {Р%} и есть требуемое семейство
проекторов. Заметим прежде всего, что подпространства Мп —
а значит и проекторы Е%п— взаимно ортогональны. Следовательно,
Р% — проекторы (лемма 9.2.1 l,(i)). Теперь рассмотрим Р% как опе-
раторнозначную функцию от К. Из определения сразу видно, что
если А, > (I, то R (Рк) =) R (Ри), откуда следует, что Р%^ Рц и все
операторы Р% коммутируют (лемма 9.2.11,(и)). Фактически по по-
поводу коммутативности можно утверждать больше. А именно, мож-
можно доказать, что если оператор А ^2? (Ж) коммутирует с Г, то он
коммутирует с каждым Р%. Важность этого обстоятельства не так
легко сразу объяснить, но некоторый свет может пролить на дело
рассмотрение математической модели квантовой механики. „На-
„Наблюдаемым" квантовой механики соответствуют в этой модели са-
самосопряженные операторы, и две величины наблюдаемы одновре-
одновременно тогда и только тогда, когда соответствующие им операторы
коммутируют (задача 9.2). Таким образом, если Л и Г наблюдаемы
одновременно, то одновременно наблюдаемы А и Ря при каж-
каждом Я. Поскольку спектральную теорему можно трактовать как
результат о разложении оператора Т на более простые операто-
операторы Р%, это свойство является необходимым, если мы хотим, чтобы
наше разложение имело практическое значение.
Все эти свойства справедливы также для произвольного само-
самосопряженного оператора. Принципиальное различие между ком-
компактным и общим случаями заключается в поведении Р% как функ-
функции от К. Для оператора М умножения на х очевидно, что функ-
функция Рк сильно непрерывна в том смысле, что lim P^g= PkQg.
Из (9.3.9) следует, что в компактном случае функция Р% сильно
непрерывна справа, но не непрерывна слева, ибо она имеет

262 Гл. 9. Спектральная теорема
скачок в каждой точке, являющейся собственным значением, и по-
постоянна между ними. Представляется правдоподобным — и это
будет доказано ниже,— что разрывность связана с точечным спек-
спектром, а гладкое изменение — с непрерывным. Именно для того
и необходимо введение интеграла Римана — Стилтьеса (как в
(9.3.7) и (9.3.8)), чтобы допустить возможность как изолирован-
изолированных точек, так и сегментов непрерывности в спектре.
Наше заключительное замечание касается метода доказатель-
доказательства, который будет применен. В общем случае вместо того, чтобы
для получения Р% использовать конструкцию типа той, которую
мы описали для оператора умножения М, проще строго обосно-
обосновать несколько иной подход. Для оператора М соответствующее
рассуждение выглядит так. Семейство {Р^} таково, что для
Яе[0, 1]
/n w ч f 8(*) при
<Р**)М=Ь при
а для X <C0 и X ;> 1 мы имеем Рх = О и Р% = 1 соответственно.
Для каждого X определим вещественнозначную ступенчатую функ*
цию Ра, следующим образом:
1 при л:<Я,
О при х > X.
Проведенный в предыдущем параграфе анализ показывает, что
существует оператор pi(M), отвечающий р%. Для случая когда / —
многочлен, f{M)g(x) = f(x)g(x) при O^x^l, и, значит, это со-
соотношение сохраняет силу для любой полунепрерывной сверху
функции /, в частности для р%. Следовательно, р%{М) обладает
в точности теми самыми свойствами, которые были указаны выше
для Pi. Это подсказывает нам положить в общем случае Р% =
pi(M). С теоретической точки зрения этот подход обладает тем
достоинством, что он применим к любому ограниченному самосо-
самосопряженному оператору М. Правда, он не дает удобного метода
для явного построения Р%,у за исключением простейших случаев,
но для этого имеется другой метод, который мы опишем попозже.
9.4. Спектральная теорема для ограниченных
самосопряженных операторов
В этом параграфе выводы, полученные в предыдущем параграфе
из эвристических соображений, будут строго обоснованы для слу-
случая произвольного ограниченного самосопряженного оператора L.
Всюду ниже Зё — комплексное гильбертово пространство,

9.4- Спектр, теорема для огранич. самосопряэюённых операторов 263
Первый шаг состоит в определении семейства проекторов {Рк}.
Для каждого )igR положим
1 при /<Я,
= l
при t>X.
Очевидно, что рх — ступенчатая функция, полунепрерывная сверху.
Следовательно, по теореме 9.2.7, существует соответствующий са-
самосопряженный оператор p%(L). Для каждого t имеем [ря@12 =
px(t)y и из той же теоремы следует, что [p%{L)\2 = p%{L). Значит,
p~k{L)—проектор (лемма 9.2.10). Искомое семейство проекторов
{Ря} мы определяем, полагая Р% = p%,{L). Приводимые ниже лем-
леммы показывают, что поведение Р%, именно такое, как утверждалось
в предыдущем параграфе.
9.4.1. Лемма. Определенное выше семейство самосопряженных
проекторов {Рх} обладает следующими свойствами:
(i) Рк — сильно непрерывная справа функция от X, т. е.
Р»~1*рк пРи ^~^ + ;
(ii) проекторы Рх коммутируют друг с другом и с любым огра-
ограниченным оператором, который коммутирует с L;
(ш) Рк = о при X < т_, Р%= I при X ^ т+;
(iv) если %^ \х, то /\ ^ Рц, или, эквивалентно, Р^Рц = Р^.
Доказательство, (i) Пусть (гп) — последовательность положитель-
положительных чисел, сходящаяся к нулю. Зафиксируем X и выберем какую-
нибудь последовательность непрерывных функций (р«), которая,
монотонно убывая, сходится к рк на некотором интервале, содер-
содержащем [m-,m+], и такова, что рп(^)^Рк+гп@ Для всех t^R.
Тогда по теореме 9.2.7
pn(L)>pK+en(L)>pK(L).
Но pn(L)~>pK(L), значит, Рь+еп{Ц~1*PxiL) пРи п-+оо. Посколь-
Поскольку Pix(L)—монотонно убывающая функция от \х, отсюда вытекает,
что рк+е (L) т> Рк (L) при 8 ->- 0 +.
(ii) Это утверждение следует из теоремы 9.2.7.
Утверждения (ш) и (iv) вытекают из соответствующих свойств
вещественнозначной функции р% в силу той же теоремы. []
В дальнейшем часто будут полезны следующие неравенства:
viPv-Pv) при yx<v. (9.4.1)
Чтобы установить (9.4.1), заметим, что pv — Рц — индикаторная
функция интервала {\x,v), а значит,
Р [Ру @ - Р^ @1 < t [ру (/) - Pli (/)] < v [pv (t) - Pli @], (9.4.2)

264 Гл. 9. Спектральная теорема
поскольку все три члена обращаются в нуль при t^(\x,v]. Заме-
Заменяя здесь t на L и вспоминая, что Р^ = ркЩу получаем (9.4.1)
(на основании теоремы 9.2.7).
9.4.2. Лемма. Если Xo^p(L), то у Хо существует окрестность, на
которой функция Р% постоянна.
Доказательство. По теореме 6.6.4 найдется m > О, такое что
|| (L — Яо/)/||^ mll/ll при всех [еЖ Возьмем любое положитель-
положительное е < m и предположим, что функция Р% не постоянна на
[Хо — е, Хо + г]. Тогда Р = Рко+е — Рко-е Ф 0 и, значит, существует
h с ||А||=1, для которого Ph=h. Из (9.4.1) очевидным образом
следует, что — гР < (L — Л0/)Р < еР, а потому ||(L — V)PII<e
(лемма 9.2.2, (v)). Поскольку Ph = hf отсюда вытекает, что II (L —
W)AII^ б||А||. Но это противоречит начальному утверждению до-
доказательства. []
9.4.3. Лемма. Пусть м-о, -.., М-« и Хь ..., %п таковы, что [i0 < /п_,
AЛ == т+ и м-о ^ ^i ^ M-i ^ ^2 ^ М-2 ^ .. • ^М"ъ ^ пусть б — макси-
максимум длин интервалов [jia, fi^+i], k = 0, ..., /г — 1. Тогда
предел понимается в смысле равномерной операторной сходи-
сходимости (т. е. сходимости в S {Ж)).
Доказательство. Полагая в (9.4.1) последовательно v = [ik, \i =
= \ifi-i и складывая эти неравенства, получаем
I ц*-» [Рн - рн_х\ <lZ [рн - рн_{] < Z »к [рн - р^,].
(9.4.3)
Далее, очевидно, что
Z ^.i [Рц, - рн_,] < Е я, [р^ - p^j <Z^ [РдА - p^_,].
(9.4.4)
Но
S ~ ^ol = ^. (9-4.5)
ибо Рцо=О, Рцп = / (лемма 9.4.1, (iii)). По той же причине
разность между крайними частями в каждом из неравенств
(9.4.3) и (9.4.4) допускает оценку
Z Ы - ц»_,) [рн - /v,] < б S [р„4 - p,a_j=б/.
Следовательно, норма этой разности не превосходит б. Значит,
средние члены в (9.4.3) и (9.4.4) отличаются друг от друга по

9.4- Спектр, теорема для огранич. самосопряжённых операторов 265
норме самое большее на б (лемма 9.2.2, (vi)). Наш результат вы-
вытекает теперь из (9.4.5). []
9.4.4. Следствие. Для любой комплекснозначной непрерывной
функции f naR
f (L) = lim E f (h) [PH - /VJ. (9.4.6)
Доказательство. Поскольку / можно разложить на вещественную
и мнимую части, достаточно доказать результат для вещественно-
значной функции /. В силу леммы 9.4.1, (iv),
/-^/_1] = 0 при \ФК
и непосредственные алгебраические выкладки показывают, что
Полагая /г->оо и используя рассуждение из доказательства пре-
предыдущей леммы, получаем наш результат для случая f(L) = Lr.
Распространение его на случай, когда / — многочлен, производится
очевидным образом.
Предположим теперь, что / — произвольная непрерывная функ-
функция. Тогда для любого заданного г> 0 найдется такой много-
многочлен р, что \f(k) — р(Л)|^е при ^е[/п_, пг+]. Следовательно, по
теореме 9.2.5,(И), Wf(L) — p(L) ||< 8. Если
то, как легко видеть, II*S(/) — *S(p)||=^8. Поскольку для доста-
достаточно мелких разбиений Wp(L) — S(p)||^8, доказываемый резуль-
результат вытекает из оценки
llf(LHS(nil<ll/abp(L)||+||p(L)-S(p)|| + ||S(p)-S(f)||<3e. D
9.4.5. Спектральная теорема. Пусть Ж—комплексное гильбертово
пространство и L: Ж-+Ж — ограниченный самосопряженный опе-
оператор. Существует единственное семейство {Р^} самосопряженных
проектов со следующими свойствами:
(i) P% — сильно непрерывная справа функция от %\
(ii) проекторы Р\ коммутируют друг с другом и с любым огра-
ограниченным оператором, который коммутирует с L;
(ш) рх = 0 при h < m_, Px = / при к ^ пг+\
(iv) Р\ ^ Рц при к ^ ух;
(v) для всякой функции /: R-^C, непрерывной на некотором
открытом множестве, содержащем спектр оператора Lx справед-

266 Гл. 9. Спектральная теорема
ливы формулы
оо
f(L)= J f{X)dPx, (9.4.7)
f(L)g= \ WdPrf fee*), (9.4.8)
(f(L)g, h)= \ №d(P>gth) (g,h = W, (9-4.9)
— оо
где интеграл понимается в смысле Римана — Стилтьеса (опреде-
(определение 9.2.12).
Доказательство. Утверждение о существовании семейства {Рх} со
свойствами (i) — (iv) — это в точности утверждение леммы 9.4.1.
Чтобы доказать (9.4.7), заметим, что функция Р% постоянна на
p(L) (лемма 9.4.2). Следовательно, по определению интеграла
Римана — Стилтьеса, значения, отвечающие k^p(L), не вносят
никакого вклада в интеграл. Равенство (9.4.7) следует поэтому
из (9.4.6), а равенства (9.4.8) и (9.4.9) устанавливаются анало-
аналогичным образом. Относительно доказательства единственности
см. Рисе и Сёкефальви-Надь [1955] 1}. []
Пределы интегрирования +оо в теореме взяты просто для
того, чтобы упростить запись. Фактически функция Р% постоянна
при %ф[т-, пг+) и непрерывна справа. Поэтому вполне можно
было бы взять в качестве верхнего предела интегрирования т+,
а в качестве нижнего т_ —8 при некотором 8 > 0 (с тем чтобы
учесть возможную разрывность Р% в т_) или вообще интегриро-
интегрировать по любому открытому множеству Q, содержащему спектр;
очевидно, что значения / вне Q на значение интеграла не влияют.
Интегралы в (9.4.7) и (9.4.8) можно также трактовать как инте-
интегралы по мерам, принимающим значения в банаховом пространстве,
но при таком подходе появляются дополнительные технические
тонкости.
9.4.6. Определение. Семейство проекторов с указанными в спект-
спектральной теореме свойствами известно как спектральное семейство
оператора L (или разложение единицы для L), а каждый из вхо-
входящих в него проекторов Р% называют спектральным проектором.
Спектральная теорема представляет собой искомое обобщение
теоремы Гильберта — Шмидта на произвольные ограниченные са-
самосопряженные операторы. Чтобы применять спектральную тео-
1) Или любой другой учебник функционального анализа.—Прим. ред.

9.5. Спектр и резольвента 267
рему на практике, нужно иметь в распоряжении удобный метод
построения спектрального семейства. Такой метод будет описан
в следующем параграфе.
Во введении к настоящей главе мы уже указывали на важ-
важность функций от операторов. Спектральная теорема доставляет
реальный метод для вычисления таких функций. В следующей тео-
теореме упор делается на обращение с этими функциями; грубо го-
говоря, теорема утверждает, что операции над ними можно выпол-
выполнять, просто выполняя соответствующие операции над комплексно-
значными функциями вещественной переменной. Эта теорема по
существу представляет собой переформулировку установленных
выше результатов, и ее доказательство опускается.
9.4.7. Спектральное исчисление. Пусть L и Ж те же, что и в преды-
предыдущей теореме, и f, g— комплекснозначные функции, непрерывные
на некотором открытом множестве, содержащем o(L). Тогда спра-
справедливы следующие утверждения:
(i) алгебраические соотношения сохраняются при переходе от
функций вещественной переменной к функциям от операторов, а
именно
(f + g)(L) = f(L) + g(L), (af)(L) = af(L), (f . g)(L) = f(L) • g(L);
(ii) оператор f(L) самосопряжен, если функция f вещественно-
значна, и положителен, если f неотрицательна;
(Hi) (a) ||/(I)||= sup |f(A)|,
tea (L)
oo
(b) ||/(L)/i||2= \ \f(b)\2d(Pxh,h) (As 5»);
— oo
(iv) (теорема об отображении спектра) f(o(L))=G(f(L)).
9.5. Спектр и резольвента
Для того чтобы спектральную теорему можно было применять в
полную силу, нужно поближе рассмотреть спектральное семейство.
Первый вопрос, который здесь надо изучить, это связь между
поведением Р% как функции от Я и спектром. В подтверждение
сделанного в § 9.3 предположения мы докажем, что функция Р%
постоянна на p(L), непрерывна, но не постоянна в некоторой
окрестности точки X, если эта точка принадлежит непрерывному
спектру, и разрывна в X, если X является собственным значением.
Отправной точкой нашего анализа будет формула, выража-
выражающая резольвенту R(X\L) через Р%. Пусть Хо — произвольное ком-
комплексное число, не принадлежащее o(L). Тогда функция f{X) =
{Хо — Х)~1 непрерывна на некотором открытом множестве.

268 Гл. 9. Спектральная теорема
содержащем a(L), и, согласно спектральной теореме 9.4.5, (v),
f(L)=
Далее, по теореме 9.4.7, (i)
= \ dPx = I, (9.5.1)
— оо —оо
откуда R(X0; L) = f(L) и
о
J 1 (9.5.2)
Предположим теперь, что Яо — вещественное число, такое что
функция Р% постоянна в некоторой его окрестности ?/=[Я0 —
е, Я0 + е]. Пусть f0 — произвольная функция, непрерывная на R
и совпадающая с (А,о —Я)-1 при X^U. Поскольку Р\ постоянна
на интервале U, этот интервал не вносит никакого вклада в инте-
интеграл, и поэтому мы вправе заменить f на /о в (9.5.1). Отсюда вы-
вытекает, что оператор %$I — L имеет обратный, т. е. Я0^р(?). Так
как из леммы 9.4.2 уже известно, что функция Ря постоянна в не-
некоторой окрестности любой точки Xo^p(L), нами установлен сле-
следующий результат:
9.5.1. Теорема. Пусть Ж — комплексное гильбертово пространство
и L: Ж-+Ж — ограниченный самосопряженный оператор. Веще-
Вещественное число %о принадлежит p(L) тогда и только тогда, когда
у %о существует окрестность, в которой функция Р% постоянна.
Определим Ра,0- как сильный предел Р% при %->%$—; суще-
существование предела гарантируется леммой 9.2.3.
9.5.2. Теорема. Пусть L и Ж те же, что и в предыдущей теореме.
Вещественное число Хо принадлежит точечному спектру операто-
оператора L тогда и только тогда, когда /\, ф Ри-- Собственное подпро-
подпространство N(%ol — L), отвечающее Хо, совпадает с образом опера-
оператора Ряо — Ряо-. Непрерывный спектр оператора L состоит из тех
точек, в которых функция Pi непрерывна, но ни в какой окрест-
окрестности которых Р% не постоянна.
Доказательство. Для е, г] ^ 0 положим Ре, ^ = Ри+г\ — Рти-е.
В силу (9.4.1)
(h - 8) Р& „ < LPe, г, < (*<> + Л) ^ Ч, (9.5.3)
откуда
||(L -Ао/)Ре. л Н < max (e, ц). (9.5.4)

9.5. Спектр и резольвента 269
Предположим, что /\0 ф /\0_. Тогда функция /\ не постоянна
на [Яо — е, Яо] ни при каком е > 0. Выберем произвольное
hs=R (Рх0 — Рх0-) с IJ Л || = 1; очевидно, PeOh = h при любом е > 0.
Из (9.5.4) вытекает, что ||(L — XQI) Л || = || (L — А0/)Р8,0 /г|| ===== 0. Сле-
Следовательно, 7? (РХо — /\0_)с: W (V — L).
Обратно, предположим, что Ag N(XoI — L). Можно считать,
что || А ||=1. Возьмем любое v > пг+ и любое г] > 0, такое что
h + v. В силу (9.5.3)
(Яо + Л) (Pv - /W < L (Pv
Поскольку каждый проектор Рк коммутирует с L, отсюда следует,
что
Но Pv — Р^о+л^О, значит, ((Pv — Р^+л) Л, А) = 0. Вспоминая, что
Pv = /, мы заключаем, что Рхо+ф = к. Аналогичным рассужде-
рассуждением устанавливается, что /\0_еЛ = 0, и, полагая 8, ц-+0 и ис-
используя непрерывность Рх справа, мы получаем равенство
(PXo—Plo_)h = h. Таким образом, iV(A0/ — ?)<= ^(Р*о — Рло-). В со-
сочетании с утверждением, полученным в предыдущем абзаце, это
доказывает первые два утверждения теоремы. Наконец, последнее
утверждение следует из теоремы 9.5.1. []
Выведем теперь формулу, дающую удобный метод для вычис-
вычисления спектрального семейства {Ря}. Для Х\ < К2 положим
Р(ЯЬ Я2) = Рх2-—Рл, (Я(Я1э Я2) представляет собой проектор, от-
отвечающий индикаторной функции открытого интервала (k\,k2))-
Поскольку Ря = 0 при X < т_, семейство {Ря} молено будет найти,
если знать P(^i,^) при всех Jli, %2- Значения P(^i,^2) получаются
решением „интегрального уравнения" (9.5.2).
9.5.3. Теорема. Пусть Ж — комплексное гильбертово пространство
и L: Ж-+Ж — ограниченный самосопряженный оператор. Для лю-
любых g.h^M
lim lim -rij- \ ([R(X-ie; L)-R(l + ie; L)]g, h)dX. (9.5.5)
60+ 8-^0+ zm J
Доказательство. Заметим прежде всего, что
, g)
— сю
(чтобы убедиться в справедливости этой формулы, надо просто
явно выписать суммы Римана — Стилтьеса, фигурирующие

270 Гл. 9. Спектральная теорема
в определении интеграла). Следовательно, в силу непрерывности
справа,
Я2)г, g) = Hm \ d(PKg,g). (9.5.6)
Достаточно доказать наш результат для g = h; формула
(9.5.5) для общего случая будет следовать отсюда ввиду пред-
представимости билинейной формы через соответствующую квадра-
квадратичную (задача 6.18). Преимущество указанного частного случая
в том, что {Pig, g) — неубывающая вещественнозначная функция
от Я, а значит, она порождает некоторую меру Лебега — Стилтьеса
(пример 2.2.15), и применима теория гл. 2.
Для е > 0 положим q(%, \i, s) = (X — \х—is)~l—(X— yx+Ze),
Несложное вычисление показывает, что при б > 0
р(\х, 6, 8)=-^
Следовательно, \p(\i, б, е)|< 1, и lirn p(\xt б, е) равен 1 внутри
интервала [Xi + б, А,2 — б], 1/2 в концевых точках этого интервала
и 0 вне его. Теорема о мажорированной сходимости 2.4.11 дает
оо оо
lirn \ p(\i, б, s)d(Pllg, g)= \ lim p(\iy б, e)d(Pligi g).
— oo —oo
При 0 < 6' < б < б" имеем
lim p(\x, б,
Е
Отсюда, в силу (9.5.6),
оо
lim lim \ p(\i, б, e)d(P^g, g)=i
Поскольку q/2i^Q и функция G измерима, мы можем (по тео-
теореме 2.4.17, (i)) поменять порядок интегрирования и получить
ОО А.2 — б ОО
(ц, б, B)d(Pllg,g) =4п \ $ ?(*, И, s)d(Pllg,g)dK
+ — оо
откуда и следует требуемое утверждение. []

9.6. Неограниченные самосопряэюённые операторы 271
9.6. Неограниченные самосопряженные операторы
Требование, чтобы рассматриваемый оператор был ограниченным,
оказывается чересчур суровым ограничением в большинстве при-
приложений; в частности, ему не удовлетворяют дифференциальные
операторы. Однако результаты данной главы можно распростра-
распространить и на неограниченные самосопряженные операторы, если про-
произвести некоторые довольно естественные видоизменения.
Наиболее важные переделки связаны с тем фактом, что спектр
не является более ограниченным. Поэтому функция Рк будет теперь
изменяться на бесконечном интервале, и соотношения Рх = 0 при
Я < га_, Рх = I при X ^ т+ примут вид
Р^О ПРИ Я->—оо, Pi~y* I при Я->оо.
Носители функций, входящих в подынтегральные выражения
в различных интегралах, фигурирующих в спектральной теореме,
не будут больше компактными, и требуется дополнительное вни-
внимание к вопросам сходимости интегралов. При условии, что g e
D(L), интегралы для Lg и {Lg,h) (см. (9.4.8) и (9.4.9) соответ-
соответственно) можно интерпретировать как (несобственные) интегралы
Римана — Стилтьеса по (—оо, оо). Однако придать смысл инте-
интегралу J ЫР% уже не так легко, и мы воздержимся от обсуждения
таких интегралов.
Для полноты упомянем еще об одном изменении, хотя на по-
последующем анализе оно непосредственно не скажется. В случае
когда L, В ^2?(Ж), перестановочность этих операторов означает
по определению, что просто выполняется равенство BL = LB.
В случае когда оператор L неограничен, это определение уже не
годится. В самом деле, если Ь~Х^2?(Ж), то оператор LLrx опре-
определен на всём Ж, оператор же L~lL имеет смысл только на D(L),
и при указанном определении оператор L не коммутировал бы со
своим обратным. Чтобы избежать этого затруднения, будем гово-
говорить, что L коммутирует с В е & C$), если BL a LB.
Доказательство спектральной теоремы для неограниченных
операторов можно получить, рассматривая предел соответствую-
соответствующей последовательности ограниченных операторов, но техническая
сторона дела здесь довольно неприятна, и мы отошлем читателя
за подробностями к книге Рисса и Сёкефальви-Надя [1955, гл. 8].
9.6.1. Спектральная теорема для неограниченных операторов.
Пусть L — самосопряженный (неограниченный) оператор в ком-
комплексном гильбертовом пространстве Ж. Существует единственное
спектральное семейство {Рх} самосопряженных проекторов со
следующими свойствами:
(i) P% — сильно непрерывная справа функция от Я;
(ii) проекторы Р% коммутируют друг с другом и с любым огра-
ограниченным оператором, который коммутирует с L;

272 Гл. 9. Спектральная теорема
(Ш) /\Т*° пРи ^-^-°°э ^Т*7 при Х
(iv) Рк>Р» при Л>ц;
(v) справедливы формулы
, (Lg, h)=
oo
где D(L) — это множество всех g> таких что \ X2d{P^gy g) < сх>,
— оо
а сходимость векторнозначных интегралов понимается как сходи-
сходимость в Ж.
В случае когда оператор L самосопряжен и ограничен, имеется
целый ряд методов определения операторнозначной функции f(L).
Одна из возможностей — использовать разложение в степенной
ряд; распространение этого метода на случай неограниченных L
представляет очевидные трудности. Другой метод — конструкция,
описанная в § 9.2. Еще один метод состоит в том, чтобы положить
При переходе к неограниченным L именно этот последний метод
создает наименьшее число проблем и в то же время удобен для
вычислений.» Мотивировкой для определения D(f(L)) служит тео-
теорема 9.4.7, (Hi), (b).
9.6.2. Определение. Пусть L — самосопряженный оператор, а / —
функция, непрерывная на некотором открытом множестве, содер-
содержащем а(?).Мы берем в качестве D(fL)) множество всех g6<^,
для которых
, g)<oo,
и определяем оператор f(L) формулой
). Q

9.7. Решение эволюционного уравнения 273
9.6.3. Теорема. Пусть L — неограниченный самосопряженный опе-
оператор в комплексном гильбертовом пространстве Ж и /, g — ком-
плекснозначные функции, непрерывные на некотором открытом
множестве, содержащем o(L). Тогда
(i)(f + g)(L)=f{L) + g{L), (af)(L) = af(L), и если функция
ограничена на o(L), то D(f(L) -g(L)) = D((f-g) (L)) и
)(L) f(L)(L)
g)() f()g()
(ii) оператор f(L) самосопряжен, если f вещественчозначна,
и положителен, если f неотрицательна;
(in) (a) ||/(L)||== sup I/(Я)|, если f ограничена на o(L);
А (L)
(b) \\f(L)hf=
(iv) (теорема об отображении спектра) f(o(L))=o(f(L)).
9.6.4. Теорема. Теоремы 9.5.1—9.5.3 сохраняют силу для неограни-
неограниченных самосопряженных L. В частности, при всех g, h^.3f6
Нт -^ [ ([/?(Л—/в; L)-R(X+i&; L)]g, h)dk.
9.7. Решение эволюционного уравнения
Мы уже рассматривали выше (пример 3.5.10) абстрактную за-
задачу Коши
'( @
где L — ограниченный линейный оператор в банаховом простран-
пространстве. Наша цель теперь — обобщить эти рассмотрения в двух на-
направлениях: во-первых, изучить случай неограниченных L, а во-
вторых, используя спектральную теорему, дать качественное опи-
описание решения в терминах спектра L.
Мотивировкой для изучения задач с неограниченными опера-
операторами L служит то обстоятельство, что дифференциальные урав-
уравнения с частными производными можно тогда трактовать как
частный случай задачи (9.7.1). Например, стандартная смешанная
задача для уравнения диффузии состоит в том, чтобы решить
уравнение
ди д2и /. ^ л
при заданном и(х, 0) и при граничных условиях, скажем, и@у t) =
u(a,t)=0. Эту систему можно представить э виде (9.7.1), положи^

274 Гл. 9. Спектральная теорема
Ш = i?2@, а) и взяв в качестве L самосопряженный опера-
оператор, задаваемый дифференциальным оператором / = d2/dx2 с гра-
граничными условиями и@) = и(а) = 0 (в следующей главе появятся
и более общие /). При этом и рассматривается как i?2@, а)-знач-
ная функция от t.
9.7.1. Теорема. Пусть L — самосопряженный (возможно, неогра-
неограниченный) оператор в комплексном гильбертовом пространстве Ж.
Предположим, что g(L)cz(—оо,—пг] для некоторого m > 0. За-
Зафиксируем ио^Ж и положим
u(t) = etLu0=
Функция и непрерывна на [0, оо], а при / > 0 дифференцируема,
ее значения u(t) при t > 0 лежат в D(L), и она служит реше-
решением задачи Коши (9.7.1). Кроме того:
(i) \\u{t)\\<e-mt\\Ub\\npu t<0;
(ii) выполняется полу групповое свойство: eitx+t2)LuQ = etlLet2LuQ
при tu /2>0-
Доказательство. Поскольку
то, в силу определения 9.6.2 и теоремы 9.6.3, (i), etLuo^D(L) при
t > 0. Далее, по теореме 9.6.3, (iii), (a)
-etL-hLetL\= sup /Г1 \e{t+h)K-e* - hXetK\,
k6(L)
и стандартное вычисление, основанное на теореме о среднем, по-
показывает, что для любого t > 0 правая часть стремится к нулю
при А->0. Тем самым доказано, что функция etLUo дифференци-
дифференцируема и удовлетворяет нашему дифференциальному уравнению.
Непрерывность и устанавливается аналогичным рассуждением.
Наконец, утверждения (i) и (ii) легко получаются применением
соответственно утверждений (iii) (а) и (i) теоремы о спектраль-
спектральном исчислении 9.6.3. []
Доказанная теорема выявляет сильную аналогию между свой-
свойствами решения абстрактной задачи Коши и соответствующего
одномерного уравнения, в котором L — вещественное число. В од-
одномерном случае, если L — отрицательное число, то решение
etLuo асимптотически устойчиво в том смысле, что etLuo~+-O при
t-^oo. В общем случае условие, что спектр оператора L отрица-
отрицателен, означает, что L разумно рассматривать как отрицательный

Задачи 275
оператор, ибо решение снова оказывается асимптотически устой-
устойчивым (в силу утверждения (i) теоремы). Общеизвестны трудно-
трудности, связанные с „обратным" уравнением диффузии; очевидно, что
устойчивость решающим образом зависит от спектра.
Полугрупповое свойство (и) является, как отмечалось в при-
примере 3.5.10, типичным для автономных уравнений. Это характе-
характеристическое свойство интенсивно эксплуатировалось при изучении
более общих вариантов рассматриваемого выше дифференциаль-
дифференциального уравнения и привело к созданию весьма изощренной теории
полугрупп операторов. Хорошим введением в обширную теорию
эволюционных уравнений может служить книга Ладаса и Лакш-
микантхама [1972] 1К
Задачи
Всюду ниже Ж — комплексное гильбертово пространство.
9.1. Физический смысл самосопряженности проясняется следующими двумя при-
примерами. В обоих предполагается, что оператор L самосопряжен,
(i) Рассмотрим «абстрактное волновое уравнение»
и" (t) + Lu (t) = 0
относительно Ж значной функции и от t. По аналогии с динамическими систе-
системами —Lu можно трактовать как силу, а V = (и, Lu)/2, К = (и\ и'I2 и Е =
V + К — как потенциальную, кинетическую и полную энергии соответственно.
Покажите, формально, что
Е' = i (n'f u" + Lu)+~ (и" + Lu, и%
и выведите отсюда принцип сохранения энергии: Е = const,
(ii) Для «абстрактного уравнения Шрёдингера»
где L — «гамильтониан», покажите формально, что норма ||н(?)|| постоянна.
Квантовомеханический смысл этого утверждения состоит в том, что состояние и
все время должно иметь норму единица.
9.2. Принцип неопределенности Гейзенберга. Пусть L, М — неограниченные само-
самосопряженные операторы в 26% для которых D =D(LM) (]D(ML) плотно в Ж.
Зафиксируем [eDh положим
m (L) = (Lf, f), X (I) = || (L - m (L) I) f ||.
Покажите, что
Я (L) X (M) > i-1 m (LM - ML) |.
В квантовой механике число ^(L) характеризует меру неопределенности при из-
измерении наблюдаемой, отвечающей оператору L. Таким образом, в случае если
коммутатор ML — LM отличен от нуля, существует предел точности одновре-
одновременных наблюдений. Самый известный пример получается, когда L—это опера-
оператор импульса, задаваемый дифференциальным оператором — ihd/dx, a M — опера-
оператор положения, задаваемый как оператор умножения на х.
На русском языке см., например, Хилле и Филлипс [1957]. — Прим. перев.

276 Гл. 9. Спектральная теорема
9.3. Постройте пример самосопряженных операторов L, М в R2, для которых не
выполняется ни соотношение L ^ М, ни соотношение L ^ М.
9.4. Докажите, что каждый положительный ограниченный самосопряженный опе-
оператор L обладает единственным положительным квадратным корнем L1/2. Пока-
Покажите, что оператор L1/2 может быть представлен как сильный предел многочле
нов от I и потому коммутирует с каждым оператором, который коммутирует
с L. [Указание: сведите дело к случаю, когда 0 ^ L ^ /, положите Lo = О,
Lrt+1 = Ln + 2 (L — L2n) при /i>h примените лемму 9.2.3.]
9.5. Пусть L, М, N е= «S7(Ж) —самосопряженные операторы. Используя за-
задачу 9.4, докажите, что
(i) оператор LM положителен и самосопряжен, если L, М положительны
и перестановочны;
(И) L ^ М =>• LN ^ MN, если N положителен и коммутирует с L, М.
9.6. Покажите, что в теореме 9.2.7 значение f(L) не зависит от выбора последо-
последовательности (fn). [Воспользуйтесь теоремой Дини: если последовательность не-
непрерывных функций на компакте монотонно сходится к непрерывной функции, то
эта сходимость равномерна.]
9.7. Пусть Рь Р2 — проекторы на замкнутые подпространства М\, Ж2 соответ-
соответственно Докажите следующие утверждения:
(i) Р\ и Р2 коммутируют -<=>• РХР2 — проектор =з- R(PXP2) = Ж\ ПЖ2\
(И) Р\ + Р2 — проектор <=>• РХР2 = 0<=^J?i JL Ж2\
(iii) Р\ — Р2 — проектор -^=^Ж\ => Ж2\
(iv) ||Pi — P2II < 1 => Ж\ => Ж2 изометрически изоморфны.
9.8. Рассмотрим оператор Ж: 3?2(О, I)-+2?2@, 1), задаваемый формулой
Mg(x) = xg(x) при х е [0, 1]. Покажите, что о(М) = [0, 1] и что каждая
точка сг(М) принадлежит непрерывному спектру.
9.9. Пусть jLeS7^). Докажите, что L^eS7^) тогда и только тогда, когда
оператор L*L имеет строго положительную нижнюю границу т_.
9.10. Пусть Е — проектор на некоторое собственное подпространство компактного
самосопряженного оператора Т. Покажите, что если оператор ^е^Д ком-
коммутирует с Tf то он коммутирует и с Е.
9.11. Пусть L — ограниченный самосопряженный оператор, a f — комплексно-
значная непрерывная функция. Докажите, что
\\f(L)\\= sup \f(X)\.
k(L)
9.12. Пусть fx — измеримая ограниченная вещественнозначная функция. Опреде-
Определим оператор М: «^(О, 1) -+¦ &2@, 1), полагая Mg(x) = \i(x)g(x) для всех
g ее 3?2@, 1). Используя теорему 9.5.3, найдите проекторы P(k\, ^2)-
9.13*. Пусть k — четная вещественнозначная непрерывная функция из 3?\(—оо,
оо). Определим оператор К: 3?2{—оо, оо) -^5?2(—°°, °°) формулой
Kg(x)= \ k(x-y)g(y)dy.
— oo
Используя преобразование Фурье, найдите резольвенту и выведите формулу для
Р(К ta) (Тэйлор [1958, с. 356]).

Глава 10
РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ОБОБЩЕННЫМ
СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ
10.1. Введение
В качестве одной из причин нашего интереса к спектральной тео-
теореме был указан тот факт, что широкий класс внешне различных
формул разложения, содержащих ряды или интегралы, может
быть получен применением этой теоремы к самосопряженным
операторам, ассоциированным с определенными формальными
обыкновенными дифференциальными операторами /. Докажем
теперь справедливость этого утверждения. Чтобы подчеркнуть
близкое сродство всех этих формул, мы будем называть их „раз-
„разложениями по обобщенным собственным функциям". Оправданием
для такого названия служит то, что все эти разложения пред-
представляют собой суммы или интегралы (либо, возможно, комбина-
комбинации сумм и интегралов) решений уравнений If = Xf; слово же
„обобщенные" призвано напоминать, что эти решения не обязаны
быть собственными функциями самого нашего самосопряженного
оператора 1).
Очевидно, что, прежде чем применять спектральную теорему,
надо сперва найти подходящий самосопряженный оператор L,
ассоциированный с /. Иногда, как, скажем, в примере 6.7.9, L
можно построить просто по догадке, но это не всегда удается.
10.1.1. Пример. Как и в примере 6.7.9, возьмем l = id/dx, но на
этот раз пусть рассматриваемым интервалом будет [0, оо]. Для
иллюстрации возникающих здесь трудностей достаточно провести
некоторые чисто формальные рассуждения, поэтому предположим,
что области определения всех фигурирующих ниже операторов
содержат лишь гладкие функции из «2*2@, оо). Пусть L, М — лю-
любые операторы, такие что Ц = If и Mf = If на D(L) и D(M)
соответственно. Интегрирование по частям дает
(Lf, g)-(f, Mg) = i[limf(x)g(x)-f@)g@)] = -if@)g@),
если принять предположение (вполне разумное, поскольку f, g^
5?2@, оо)), что фигурирующий в этом соотношении предел равен
!> Выражению „обобщенная собственная функция" можно придать и точный
смысл (см. Гельфанд и Виленкин [1961]).— Прим. перев.

278 Гл. 10. Разложения по обобщённым собственным функциям
нулю. При заданной области определения D(L) оператор М будет
сопряжен к L, если D(M) есть максимальная область, для которой
/ @)^@) обращается в нуль при всех f^D(L). Отсюда следует,
что если на D(L) не налагается никаких условий (помимо упо-
упомянутого выше требования гладкости), то для того, чтобы функ-
функция g принадлежала области определения L*, необходимо, чтобы
g-@)=0; в таком случае L* будет собственным сужением L, и L
не будет самосопряженным. С другой стороны, если мы предпо-
предположим, что /@) = 0 для всех f^D(L), то единственным ограни-
ограничением, которое надо наложить на элемент g из D(L*), является
требование, чтобы он был достаточно гладким; в этом случае L*
будет собственным расширением L, и снова L не будет самосопря-
самосопряженным. Никаких других простых способов получить самосопря-
самосопряженный оператор L не видно, и можно высказать гипотезу (ко-
(которая будет подтверждена ниже в примере 10.5.5), что такого опе-
оператора вообще не существует.
Таким образом, даже для простых I при построении ассоции-
ассоциированного оператора возникают трудности, и есть даже сомнения
относительно самого существования такого оператора. Для опе-
операторов / высших порядков, да еще если они действуют на бес-
бесконечном интервале или имеют старший коэффициент, обращаю-
обращающийся в нуль в какой-нибудь концевой точке, эти трудности
весьма велики, и основная часть технического материала данной
главы связана именно с их преодолением. Очевидно, что нашей
первой целью должна быть разработка систематической про-
процедуры для решения вопроса о том, существует ли в данном кон-
конкретном случае самосопряженный оператор и как его построить.
Разумный первый шаг в этом направлении состоит в том,
чтобы отправиться от оператора Lo с областью определения, огра-
ограниченной настолько жестко, чтобы она содержалась в областях
определения всех вероятных кандидатов в самосопряженные опе-
операторы, и попытаться построить эти операторы, расширяя перво-
первоначальную область, другими словами, рассматривая самосопря-
самосопряженные расширения оператора Lo. Например, для случая интер-
интервала (а, Ь) разумным выбором D(Lo) могло бы быть ^^((а, Ь)).
Такой оператор Lo не является самосопряженным, однако удов-
удовлетворяет более слабому условию симметричности. Поэтому сна-
сначала мы займемся подробным изучением расширений самосопря-
самосопряженных операторов, имея в виду поставленную выше цель. Затем
мы применим эту теорию для решения вопроса о том, обладает
ли Lo самосопряженными расширениями, и для построения тако-
таковых расширений, если они существуют. Заключительный шаг по-
получения разложений по обобщенным собственным функциям, со-
состоящий в применении спектральной теоремы, сам по себе осу-
осуществляется уже довольно непосредственно.

10.2. Расширения симметрических операторов 279
Стандартными руководствами по тематике этой главы служат
обширная глава 13 из второго тома трехтомника Данфорда
и Шварца [1963] и монография Наймарка [1969]. Другой подход,
основанный на классическом анализе, проведен у Титчмарша
[1962], где дано множество примеров. Широкий спектр приложе-
приложений описан у Снеддона [1972]. Для многих приложений представ-
представляет интерес качественное описание спектра; эта тема широко
освещена в первых трех указанных работах и обсуждается с точки
зрения квантовой механики в книгах Рида и Саймона [1972,
1975]. Точка зрения теории возмущений представлена в моногра-
монографии Като [1966]. Обзор спектральной теории для дифференциаль-
дифференциальных уравнений с частными производными дан в работе Александ-
ряна, Березанского, Ильина и Костюченко [1975].
10.2. Расширения симметрических операторов
Цель этого параграфа — во-первых, развить систематический ме-
метод для решения вопроса о том, обладает ли данный симметриче-
симметрический оператор самосопряженными расширениями, а во-вторых,
дать характеризацию таковых расширений (если они существуют),
пригодную для случая обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений.
Далее Ж обозначает комплексное гильбертово пространство,
и все рассматриваемые операторы отображают Ж в себя. Опера-
Операторы обычно неограничены.
10.2.1. Определение. Линейный оператор Lo называется симмет-
симметрическим, если его область определения плотна в Ж и выполнено
одно из следующих (очевидно, эквивалентных) условий:
0) {Lof, g) = (f, Log) Для всех f, ge=D (Lo);
(ii) Lo с Lo.
Очевидно, что для ограниченных операторов симметричность
и самосопряженность равносильны, но для неограниченных опе-
операторов это уже не так. Всякий самосопряженный оператор, ко-
конечно, симметричен, но вот для симметрического оператора Lo
может случиться, что D(Lo) Ф L)(L5), и в этом случае Lo не будет
самосопряженным (см. пример 6.7.2). В действительности сим-
симметрические операторы не обязаны быть даже замкнутыми. Од-
Однако они замыкаемы, что почти так же хорошо, и этого достаточно
для наших настоящих целей.
10.2.2. Лемма. Всякий симметрический оператор Lo замыкаем, при-
причем его замыкание Го снова есть симметрический оператор,
Lo = Lo* и Lo = Lo. Если L\ — симметрическое расширение Lo, то
LoCiLi ciLi с: Lo.

280 Гл. 10. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям
Доказательство. Поскольку L*o zd Lo, оператор L*o плотно опреде-
определен. Следовательно, по теореме 6.7.5, Lo замыкаем и Lo = L*o*. Но
оператор L*o замкнут (теорема 6.7.4) и LoCzL*o, поэтому Lo с:
Ц. Согласно определению замыкания, G(L0) cz G(Lo), где G
обозначает график (определение 3.8.7). Следовательно, по лемме
6.7.3, L*o = L*o. Этим доказано, 4toLoCzLq и, значит, оператор Lo
симметричен. Последнее утверждение леммы вытекает из лем-
леммы 6.7.3. Q
В последующем изложении положим _для простоты записи
Lo = L. Согласно доказанной лемме, L*o= L*o — L\
10.2.3. Лемма. Пусть L — замкнутый симметрический оператор,
и пусть ImX ф 0. Тогда N(L — XI)=0u
#g = R(L - XI) 0 N(L* - XI) = R(L - XI) ®N(L* - XI).
Подпространства R(L — XI) и N(L*—XI) замкнуты и взаимно
ортогональны.
Доказательство. Повторение доказательства леммы 6.6.1 при до-
дополнительном ограничении f^D(L) дает неравенство ||(L —
XI)f\\ ^ v||/i|, где v = | Im Я|. Из леммы 3.8.18, (i) следует, что
R(L — XI) замкнуто. Наш результат вытекает теперь из тео-
теоремы 6.7.6. []
Лемма 10.2.2 сужает район поиска интересующих нас самосо-
самосопряженных расширений. Поскольку всякий самосопряженный
оператор замкнут, a Lo по определению есть минимальное замкну-
замкнутое расширение Lo, мы видим, что если Lo обладает самосопря-
самосопряженным расширением М, то оператор М симметричен и является
расширением Го и сужением Ц. Для формальных обыкновенных
дифференциальных операторов найти подходящий симметрический
оператор Lo несложно, но, хотя Lo и замыкаем, вычисление его
замыкания — в общем случае совсем не легкая задача. Однако не
составляет труда найти Lo, и, следовательно, естественно вести
наши поиски, сужая Lo, а не расширяя Lo; между_прочим, этот
подход приводит даже к некоторой характеризации Lo. Поскольку
D(M) — линейное пространство, возникающую проблему можно
сформулировать следующим образом: существуют ли линейные
подпространства Л, удовлетворяющие условию/) (Lo) а Ж cz D(Lo),
такие что сужение L5 на Ж является самосопряженным? Если
да, то как их охарактеризовать?
Лемма 10.2.3 указывает, в каком направлении продолжать.
Если оператор Lo самосопряжен, то его спектр веществен и, сле-
следовательно, R(L0 — XI) = Ж для Ха\п\ХфЪ. Поэтому для сим-

10.2. Расширения симметрических операторов 281
метрического Lo размерности подпространств Лг (L5 — Я/) и N (Ц—
XI) служат мерой того, насколько Lo не дотягивает до само-
самосопряженного оператора. Внимательное изучение этих подпро-
подпространств приведет нас к ответам на поставленные выше вопросы.
Фактически размерность каждого из этих подпространств остается
постоянной, когда X изменяется в верхней полуплоскости ImX > О
(Данфорд и Шварц [1963, с. 399]), так что достаточно рассмот-
рассмотреть лишь X = L
10.2.4. Определение. Замкнутые подпространства
называются дефектными подпространствами оператора Lo, а их
размерности п±—индексами дефекта этого оператора. Для крат-
краткости мы будем иногда использовать обороты вроде: „Lo имеет
индексы дефекта (п+, п-)".
10.2.5. Лемма. Если оператор Lo симметричен и L =Lof то D(L*) =
D(L)®N+®N-.
Доказательство. Возьмем произвольное f&D(L*). По лемме 10.2.3
для некоторых g^D(L) и Л_еМ_. Поскольку g&D(L)aD(L*),
это равенство можно переписать так:
_-±.h_ (ибо ГА. = -ih_)
Таким образом, f — g — ih-/2 e N+y и, значит, если положить ср_ =
ih-/2, q>+ = f — g — ih-/2, то
/ = ?+Ф++Ф- (g = D(L),<p±=N±). A0.2.1)
Так как D(L) и Л^± содержатся в линейном подпространстве
D(L*)y наш результат будет следовать отсюда, если мы покажем,
что представление A0.2.1) единственно, или, эквивалентно, что
f = 0=>g" = ф+ = ф_ = 0. Но применение к равенству A0.2.1)
с f = 0 оператора L* — И дает
а поскольку ф_ s N-, члены в левой части взаимно ортогональны
(лемма 10.2.3). Следовательно, каждый из них равен нулю. Итак,
Ф- = 0. Аналогично гр+ = 0, а отсюда вытекает, что и g = 0. Q

282 Гл. 10. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям
10.2.6. Следствие. Пусть оператор L замкнут, а Ц — произволь-
произвольный линейный оператор, удовлетворяющий условию LczLidL*.
Тогда существует единственное линейное подпространство N в
N+&N-, такое что D{Li) = D(L)® N.
Доказательство. Пусть /V — множество, состоящее из всех п е
N+® N-, для которых существуют f\ ^D(Li), /gD(L), такие что
fi = f + n- Из того что D(L) и D{L\) — линейные подпространства,
легко следует, что и N — линейное подпространство. Но N (]
D(L)=0, поэтому D(Li) = D(L)®N (лемма 1.2.9). Единствен-
Единственность N очевидна. []
Таким образом, область определения любого симметрического
расширения (а тем самым и любого самосопряженного расшире-
расширения) оператора Lo получается „добавлением" к D(Lo) некоторого
линейного подпространства N прямой суммы N+QN-. В после-
последующем анализе свойства N+ и Л/_ будут играть важную роль.
10.2.7. Определение. Для всякого симметрического оператора Lo
положим
</, ё> = (Щ, g) - (/, Llg) (f,g*=D («)).
Очевидно, что <•, •> —билинейная форма на D(Lo)y^D(Lo) и
^7
10.2.8. Пример. Рассмотрим интервал [0,1] и l = id/dx. Напо-
Напомним (см. пример 6.7.2), что если М- обозначает множество всех
абсолютно непрерывных функций / с f ?^@, 1) и Ц = If на
D(L), где
D(L) = {f: fEEst, f@) = /(l) = 0},
то D (L*) = s4-. Для g^s&
</,«> = (?7, g)-it. L*g) = i[f(l)g(l)-f(O)g(O)]. A0.2.2)
Анализ примера 6.7.9 показывает, что билинейная форма <•, •>
играет центральную роль в вопросах самосопряженности. Область
определения самосопряженного расширения оператора L полу-
получается сужением D(L*) при помощи некоторого граничного усло-
условия вида Р/A) — а/@)=0. Из A0.2.2) видно, что это условие
можно переписать в виде </, g) = 0, если ?A) = Р, ?@) = а. Та-
Таким образом, в развиваемой далее абстрактной теории такого
рода условия можно рассматривать как обобщенные граничные
условия, и наша цель будет состоять в том, чтобы найти такие
условия указанного рода на ?>(L*), которые дают область опреде-
определения самосопряженного расширения оператора L.
10.2.9. Лемма. Пусть оператор Lo симметричен. Вектор f из D(Lo)
принадлежит D(Lq) тогда и только тогдаг когда выполняется одно

10.2. Расширения симметрических операторов 283
из следующих эквивалентных между собой условий:
(О (f, 8) = О при всех g(=D(L*o)\ A0.2.3)
(ii) </, Ф> = 0 при всех y<=N+®N_. A0.2.4)
Если N+&N-—конечномерное подпространство с базисом <рь ...
..., фл, то эти условия эквивалентны условию
(ш) (/, Ф;> = 0 для i=U ..., п. A0.2.5)
Доказательство. Пусть L0 = L. Согласно лемме 10.2.2, L*o = L* и
D (L**) = D (L) a D (L*). Следовательно, по определению сопряжен-
сопряженного оператора, вектор f из D(L*) принадлежит D{L**) = D(L)
тогда и только тогда, когда <f, g} = 0 при всех g^D(L*). Этим
доказаны необходимость и достаточность условия (i), а отсюда
очевидным образом вытекает необходимость условия (ii). Чтобы
доказать его достаточность, заметим, что по лемме 10.2.5 каждое
g^D(L*) можно записать в виде ? = ?о + ф, где go
ИфеЛ/+0 AL.. Поэтому
В силу (i), </, go> = 0, a <f, ф> = 0 по предположению. Значит,
<f, g"> = 0 при всех g ^ D (L*), и достаточность (ii) следует из
достаточности (i). Утверждение относительно условия (ш) оче-
очевидно по соображениям линейности. []
Эта лемма дает описание области определения замыкания сим-
симметрического оператора. Для наших нынешних целей самый глав-
главный момент — это то, что <-,?> обращается в нуль на D(L0).
Вводимая ниже терминология будет нам полезна в ходе дальней-
дальнейшего анализа, но в окончательном результате не появится.
10.2.10. Определение. Пусть N — линейное подпространство в
Af+ © N_. Сопряженным к нему подпространством N* назовем ли-
линейное подпространство, состоящее из всех векторов / е Af+© N->
таких что </,§"> = 0 при всех g^N. Будем называть N симмет-
симметрическим, если NczN* (или, эквивалентно, если (ffg) = O при
всех /, g e Af), и самосопряженным, если Af = Af*.
10.2.11. Лемма. Пусть Lo — симметрический оператор, a L\—про-
L\—произвольный линейный оператор, такой что Lqcz Li cz Lq. Тогда
D(L\) = D(Lq) ©Af, где N — некоторое линейное подпространство
в N+&N-, и D (L\) = D (Lo) © N*. Оператор L\ симметричен в том
и только том случае, если подпространство N симметрично, и са-
самосопряжен в том и только том случае, если таково же N.

284 Гл. 10. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям
Доказательство. Положим L = Lo. Для любых /eD(L\), ge
</, g) = {Lmf, g)-(f, L*g) = (Lj, g)-(f, L'g).
Поскольку D(L)czD(L\)czD{L*)y то в силу определения Li, для
того чтобы вектор g^D(L*) принадлежал Ь(?Г), необходимо
и достаточно, чтобы </, g} = О при всех f e D (Li).
Согласно следствию 10.2.6, D(L\) = D(L)@ N, D(L\) = D{L)@ P,
где Af, Р — некоторые линейные подпространства в N+QN-. Да-
Далее, лемма 10.2.5 показывает, что любые векторы f^D(Li), ge
D(L*) представимы в виде / = /о + Ф, g = go + 'i> где /0, gos
D(L), а ф, i^eAf+SAL., и из леммы 10.2.9 легко вытекает, что
<Д g} = 0 тогда и только тогда, когда <ф, i|)> = 0. Следовательно,
ввиду доказанного в предыдущем абзаце, g e D{L\) тогда и только
тогда, когда <ф, гр> ===== 0 при всех ф е iV, а по определению Af* это
имеет место тогда и только тогда, когда if» e N*. Значит, Р = Л^*.
Последнее утверждение леммы следует из определений симмет-
симметричности и самосопряженности. []
Вопрос о симметричности и самосопряженности расширений
оператора Lo равносилен, таким образом, вопросу о симметрич-
симметричности и самосопряженности линейных подпространств в N+QN-.
Это резко упрощает дело, в случае если Lo имеет конечные
индексы дефекта, ибо вопрос может быть тогда решен элемен-
элементарными конечномерными методами. Как мы увидим, для симмет-
симметрических операторов, отвечающих формальным обыкновенным
дифференциальным операторам, подпространства Af± состоят соот-
соответственно из ^2-решений уравнений // = ±if и, следовательно,
заведомо конечномерны. Поэтому будем развивать теорию дальше,
приняв это предположение. Выведем теперь один простой крите-
критерий, позволяющий выяснять, обладает ли данный симметрический
оператор самосопряженными расширениями.
10.2.12. Лемма. Пусть ф, -ф е N+ © AL. и ф = ф+ + ф_, if» = \f>+ + *t>->
где ф+, г|)± е ЛЛ± соответственно. Тогда
<Ф, ф) = 2/ [(Ф+, г|)+) - (Ф_, г|)_)], A0.2.6)
|2-||ф_|2]. A0.2.7)
Доказательство. По определению, ?*ф± = ±ир±, L*i|)± =
Следовательно,
., ¦_)]• а

10.2. Расширения симметрических операторов 285
10.2.13. Следствие. Пусть подпространство Ncz N+@ N- симмет-
симметрично, и пусть фбЛ/. Запишем ср = ср+ + Ф-, где ср± е N± соответ-
соответственно. Тогда ||ф+|| = ||ф-||.
Доказательство. В силу определения 10.2.10, <ср, ф> = 0. Наш ре-
результат следует поэтому из A0.2.7). []
10.2.14. Лемма. Предположим, что оператор Lo имеет конечные
индексы дефекта п±. Если N — линейное подпространство в
N+ © N~ размерности п, то N* имеет размерность п+-\- п~ — п.
Доказательство. Пусть ф е N+ © N- таково, что </, Ф> = 0 для
всех f^N+®N-. Запишем ф = ф+ + ф-, где ф±еЛ^± соответ-
соответственно. Полагая последовательно / = ф+; ф_ и используя A0.2.6),
получаем ф+ = ф_ = 0. Значит, ф = 0.
Пусть теперь фь ..., уп — какой-нибудь базис в N. Определим
линейные функционалы ф*, ...,ф^ на N+ © N- формулой ф*(/) =
(/, ф,). Тогда
(Е а,фО (/) - </. Z аЛ> (/ е N+ 0 N_, a. €= С).
В силу результата, установленного в первом абзаце доказатель-
доказательства, отсюда следует, что ф^ линейно-независимы. Но Л/* пред-
представляет собой ортогональное дополнение к {ф^}, и наше утверж-
утверждение вытекает из известной теоремы о конечномерных векторных
пространствах (см., например, Халмош [1948, с. 46]).
10.2.15. Теорема. Симметрический оператор с конечными индек-
индексами дефекта обладает самосопряженным расширением тогда
и только тогда, когда его индексы дефекта равны между собой.
Доказательство. Ввиду леммы 10.2.11 достаточно показать, что
самосопряженное линейное подпространство в N+® N- существует
тогда и только тогда, когда /г+ = п~. Доказательство основано на
изучении связи между А/+, AL и симметрическим подпростран-
подпространством N в N+QN-. Ключевую роль играет следствие 10.2.13, по-
показывающее, что ненулевой элемент из N может быть суммой двух
элементов из N+ и N-. соответственно, только если оба они от-
отличны от нуля. Это подсказывает нам, в какой форме надо взять
элементы, образующие базис N.
Предположим сперва, что п+ = п- = п. Выберем в подпро-
подпространствах N± ортонормированные базисы (ср. ±\п и положим ф* =
ф/+ + ф/— Пусть N — линейная оболочка векторов фь ..., срп (оче-
(очевидно, линейно-независимых). Для любых Д g^N имеем
/= X а,фь g= X Р/Ф/ при некоторых а/, р«еС, и из A0.2.6)

286 Гл. 10. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям
вытекает, что
</t ?> = (Z at [<Р/+ + Ф/-]. Z Р/ [ф/+ + Ф/-])
ЦЕ (Ф/_, Ф/_)] = О
(в силу ортонормированности базисов). Следовательно, <f, g} = 0,
Af симметрично и NczN*. Согласно лемме 10.2.14, dimAf* = п+ +
п_ — п = п = dim ЛЛ Таким образом, N — N*, и N самосопряжено.
Обратно, предположим, что N самосопряжено. Выберем какой-
нибудь базис фь ..., срЛ в N и запишем cpt = ф,+ + ф,_, где фг+еЛ^±.
Множество {фн-} линейно-независимо. Действительно, если бы это
было не так, то нашлись бы скаляры оц, ..., а^, не все равные
нулю, такие что Ха*Ф*+ = 0> a значит, Z а/Ф/= Z а/Ф/-« По-
Поскольку левая часть принадлежит симметрическому линейному
подпространству N, то X а/Ф^- = 0 по следствию 10.2.13. Следо-
Следовательно, мы имели бы Ха*Ф* = 0> и Ф« были бы линейно-зави-
линейно-зависимы, вопреки предположению. Аналогично и множество {фг-} ли-
линейно-независимо. Отсюда следует, что k ^ гшп(я+, я_). Однако,
в силу самосопряженности Af, 2й = п+ + я_ (лемма 10.2.14), а это
равенство согласуется с предыдущим неравенством лишь в случае
п+ = п-. D
Доказанная теорема прекрасно решает вопрос о существова-
существовании самосопряженных расширений. Следующий шаг —выяснить,
как эти расширения построить. Для приложений к обыкновенным
дифференциальным уравнениям наиболее пригодна конструкция,
избегающая, насколько это возможно, использования детальных
свойств функций, принадлежащих подпространствам N+ и Af_;
описать ее удобнее всего с помощью следующего понятия:
10.2.16. Определение. Множество элементов f{, ..., fk из D(Lq
называется линейно-независимым относительно /)(L0), если ли-
линейно-независимы элементы ф/, фигурирующие в представлениях
fJ = hj + фу, где А; е= D (?0), ф/ «= N+ 0 N-.
10.2.17. Лемма. Элементы fh ..., fk из D{Ll) линейно-независимы
относительно D(L0) в том и только том случае, когда существуют
такие элементы gi, ..., gk из D(Lo), что det (<//, g/>) ф 0у а в этом
случае k ^ п+ + я_.
Доказательство. Используя обозначения из приведенного выше
определения, зададим линейные функционалы ф* на D{JL*^ фор-
формулой фу (/) = (/, фу); как было замечено в доказательстве леммы
10.2.14, элементы ф* линейно-независимы тогда и только тогда,
когда линейно-независимы элементы ф/. Необходимость указан-

10.2. Расширения симметрических операторов 287
ного в формулировке леммы условия становится очевидной, если
выбрать какой-нибудь дуальный базис (Халмош [1948, с. 37])
для линейной оболочки элементов qp* и вспомнить что <-,?> об-
обращается в нуль на D(Lo). Доказать достаточность предостав-
предоставляется читателю в качестве упражнения. []
10.2.18. Теорема. Пусть Lo— симметрический оператор с конеч-
конечными индексами дефекта п+ = ai_ = п. В случае если п = 0, за-
замыкание оператора Lo является его единственным самосопряжен-
самосопряженным расширением. В случае если п ф 0, предположим, что эле-
элементы fi, ..., fn^D{Lo) линейно-независимы относительно D(L0)
и удовлетворяют условию
(ft, f/> = 0 (/,/=1, ..., п). A0.2.8)
Пусть Ж— линейное подпространство в Ж, состоящее из всех
f^D{L*Q), таких что
</, ft) = O (*=1, ..., п). A0.2.9)
Тогда Ж служит областью определения самосопряженного рас-
расширения М оператора Lo, которое задается формулой Mf = LJ/
при f ^Ж.
Обратно, пусть М — некоторое самосопряженное расширение
оператора Lo. Предположим, что векторы h\, ..., h2n e D (Ц) ли-
линейно-независимы относительно D(L0). Тогда в их линейной обо-
оболочке существуют векторы /i, ..., fn, которые удовлетворяют усло-
условию A0.2.8) и для которых линейное подпространство Ж, опре-
определяемое условием A0.2.9), служит областью определения опе-
оператора М.
Доказательство. Запишем /* = gi + ср*, где gi gD(L0), p+
Условие A0.2.8) гарантирует, что линейная оболочка N векторов
ф/ симметрична, так что NczN*. По лемме 10.2.14 размерности N
и N* равны. Отсюда следует, что N = N*9 т. е. N самосопряжено.
Поскольку Ж = D (Го) ® N, сужение М оператора Ц на Ж яв-
является самосопряженным (лемма 10.2.11). Обратно, если М — са-
самосопряженное расширение оператора Lo, то D(M) = D(L0)®N,
где N самосопряжено, и наш результат легко получается, если
выбрать какой-нибудь базис в N. []
Теоремы 10.2.15 и 10.2.18 вместе с простым критерием линейной
независимости относительно D(L0), даваемым леммой 10.2.17, об-
образуют подходящую теоретическую базу для разрешения вопро-
вопросов, касающихся существования и построения самосопряженных
расширений. Но прежде чем применять эти результаты к диффе-
дифференциальным операторам, надо еще вычислить некоторое конкрет-
конкретное представление операторов Lo, Lo и билинейную форму <•, •>.

288 Гл. 10. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям
10.3. Формальные обыкновенные дифференциальные
операторы: предварительные сведения
Для простоты ограничимся изучением самого распространенного
случая — операторов второго порядка. Рассмотрим формальный
обыкновенный дифференциальный оператор / вида
действующий на функции, определенные на некотором интервале
Q с концевыми точками а, & (а < &), которые обе вместе или по
отдельности могут быть как конечными, так и бесконечными; во-
вопрос о том, принадлежат ли сами точки а, Ь интервалу Q, мы об-
обсудим чуть позже. Далее мы будем предполагать, что р, q e
^°°((а, Ь)) и р(х)фО при л;б(а, Ь). Для последующего анализа
весьма важно, конечны точки а, Ь или бесконечны и обращается р
в нуль в этих точках или нет.
10.3.1. Определение. Концевая точка а называется регулярной,
если она конечна, р(а)Ф0 и р, (уе?([а,6]); аналогично опре-
определяется регулярность &. Нерегулярные концевые точки будем
называть сингулярными. Формальный оператор / называется ре-
регулярным, если регулярны обе точки а и &, сингулярным в про-
противном случае. Точка а включается в интервал Q тогда и только
тогда, когда она регулярна, и то же соглашение относится к &.
Таким образом, й может иметь вид [а, й], [а, й), (а, Ь] или
(а,&). Например, й=[а,&), если точка а регулярна, а Ь син-
сингулярна.
Для того чтобы получить из I операторы в <5^2(?2), являющиеся
симметрическими, на коэффициенты I надо наложить дополнитель-
дополнительное условие.
10.3.2. Определение. Формальный оператор /*, задаваемый фор-
формулой
называется формальным сопряженным к /. Будем говорить, что I
формально самосопряжен, если / = /*.
Очевидно, что / будет формально самосопряженным тогда
и только тогда, когда р и q вещественнозначны. Снова имеет
место неудачное столкновение терминологий: согласно классиче-
классической терминологии говорят не „формальная самосопряженность",
а просто „самосопряженность". Как мы вскоре увидим, симмет-
симметричность наших операторов в сущности вытекает из следующей
леммы, устанавливаемой с помощью элементарных выкладок.

10.4- Симметрические операторы, ассоциированные с формальными 289
10.3.3. Лемма. Если I формально самосопряжен, то для всех /, g,
для которых фигурирующие ниже выражения имеют смысл,
где
Для любого конечного подынтервала [а, E] в Q справедлива фор-
формула Грина
\x = [ftg]l, A0.3.3)
а
где
[f,g]l = [f>g№-[f.8№- (Ю.3.4)
Условия на формальные операторы /, с которыми мы будем
иметь дело, собраны вместе в виде следующего определения (до-
(допускаемая общность / достаточна для почти всех приложений):
10.3.4. Определение. Всюду далее в этой главе й таково, как ука-
указано в определении 10.3.1, р и q — вещественнозначные функции 1)
из ^(й), причем р(х)Ф0 при хей, и / — формальный диффе-
дифференциальный оператор, задаваемый формулой
if=(pf'Y + qf. (ю.3.5)
Доказательство приводимой ниже основной теоремы существо-
существования можно найти у Данфорда и Шварца [1963, с. 448].
10.3.5. Теорема. Для любой функции g ^ i?ioc (Q), любой точки
xo^Q и любых комплексных чисел сОу а, X существует единствен-
единственная функция f на Q с абсолютно непрерывной производной /',
удовлетворяющая условиям
= g(x) (п. в.),
f(xo)=co,
Если g = V! (Q), то f<=&+2 (Q).
10.4. Симметрические операторы, ассоциированные с формальными
обыкновенными дифференциальными операторами
Прежде чем применять теорию § 10.2, нам нужно вычислить три
величины. Именно, надо найти симметрический оператор Lo, от-
отвечающий формальному оператору /, сопряженный к Lo оператор
Так что / — формально самосопряженный оператор. — Прим. перев.

290 Гл. 10. Разложения по обобщённым собственным функциям
и достаточно простое выражение для билинейной формы <•, •>.
Для большей ясности разберем сначала тот более простой случай,
когда I регулярен. Дело здесь обстоит проще, потому что не воз-
возникает трудностей, связанных с концевыми точками интервала Q.
Весь анализ будет проводиться в комплексном гильбертовом
пространстве 3?2{?1)- Приводимые ниже определения подсказаны
модельным случаем операторов первого порядка, рассмотренным
в примере 6.7.2. Прежде всего мы определяем s4> как наибольшее
множество, на котором If имеет смысл и принадлежит i?2(?2);
для регулярных / условие Z/ei?2(Q) эквивалентно просто усло-
условию f'G^fQ), но Для сингулярных / множество s& зависит от
коэффициентов /. Затем определяются операторы L и U и дока-
доказывается, что L симметричен, a U сопряжен к L.
10АЛ. Определение. Пусть / — формальный оператор второго по-
порядка из определения 10.3.4. Обозначим через st> множество всех
функций f из i?2(й) с абсолютно непрерывной производной /'
10.4.2. Определение. Для регулярных / положим
D(L) = {f: f<=a
и определим операторы L и U на D(L) и D{L') соответственно
формулами Lf = //, L'f = If. Иногда нам будет нужно рассматри-
рассматривать подынтервалы А в й; соответствующие операторы для Л бу-
будут обозначаться через La, La.
10.4.3. Лемма. Если формальный оператор I регулярен, то D(L)
плотно в «2^2 (?2) > La U и
(L'f,g)-(f, L'g) = [f,gfa (f,gt=D(L')), A0.4.1)
(Lf, g) = (f, L'g) (f&D(L),gf=D(L% A0.4.2)
Доказательство. Поскольку D (L) =э ^0° (й), первое утверждение
следует из теоремы 2.5.6. Равенство A0.4.1) — это не что иное, как
формула Грина A0.3.3). В случае когда fGD(L), / и f обра-
обращаются в нуль в точках а и й, а значит, [/, g]ba = Q. Отсюда вы-
вытекает A0.4.2). []
Соотношения A0.4.1) и A0.4.2), представляющие собой непо-
непосредственное следствие формальной самосопряженности /, служат
важнейшим связующим звеном между формальным оператором /
и операторами L, U в i?2(Q). Из A0.4.2) следует симметричность
L, а A0.4.1) дает удобное выражение для билинейной формы
<•,•>. В качестве подготовки к главной теореме этого параграфа
докажем два технических результата.

10.4- Симметрические операторы, ассоциированные с формальными 291
10.4.4. Лемма. Если формальный оператор I регулярен, то
N{L'I R(L) g(u) R{L)@N{U)
Доказательство. В силу теоремы существования 10.3.5, для вся-
всякого g^3?2(Q) существует единственное решение / уравнения
lf = g, обладающее абсолютно непрерывной производной f и удов-
удовлетворяющее условиям f(a) = f'(a) = 0; это решение / принадле-
принадлежит J&, поскольку If = g^2?2(Q). Тем самым доказано, что урав-
уравнение Lff = g имеет решение, удовлетворяющее указанным гра-
граничным условиям. Теорема 10.3.5 показывает также, что N(L')
обладает базисом {kuk2}, таким что &iF)=l, k[(b) = Ot k2(b)
= 0, k2{b)= 1.Учитывая граничные условия на f и используя
A0.4.1), заключаем, что для /= 1, 2
(g, k,) = (L'f, k,) = [f, ks]ba = (-\)i+xp(P)f-!){b).
Так как / регулярен, то р(Ь)ф0. Следовательно, (g,kj) = O для
/ ===== 1,2 тогда и только тогда, когда f(b) = f'(b) = 0. Ввиду опре-
определения D(L) это означает, что f^D(L) тогда и только тогда,
когда g^N(L'I. Таким образом, N{L'I = R(L). Второе дока-
доказываемое равенство вытекает отсюда, поскольку N(L') зам-
замкнуто. []
10.4.5. Лемма. Для любых а, р, у, 6еС существует функция
/€Е^([а,&]) с /(а) = а, Г(а) = р, f(b) = y, f'(b) = 8.
Доказательство. Очевидным образом строится многочлен с та-
такими свойствами. []
10.4.6. Теорема. Предположим, что формальный оператор I регу-
регулярен. Тогда L представляет собой замкнутый симметрический
оператор с сопряженным L* = Z/ и L'* = L.
Доказательство. Поскольку L с Z/, симметричность L следует из
соотношения A0.4.2), которое показывает также, что L* => Z/. Ут-
Утверждаемое равенство U = L* будет поэтому установлено, если
мы докажем противоположное включение. Выберем произвольное
g^D(L*) и положим L*g = h. По теореме 10.3.5 уравнение
L'f = h имеет решение /, и для любого k^D(L), в силу A0.4.2),
(A, h) = (k, L'f) = (Lk, f). Ho (A, ft) = (A, L*g) = (LA, g) (по опреде-
определению сопряженного оператора), и вычитание дает (Lk, f — g)= 0.
Следовательно, f — g^RiLI, а значит, f-g^N(L') (лем-
(лемма 10.4.4). Поскольку feDJL7), то и g^D(L'), и, так как g —
произвольный элемент из D(L*)t этим доказано, что D(L*)cz D(L')
и Lrg = L'f = h = L*g. Таким образом, L* cz V и, следовательно,
Lr = L*.
Замкнутость L будет следовать из теоремы 6.7.4, если мы по-
покажем, что L'* = L. Но L = L** по лемме 10.2.2, и поскольку

292 Гл. 10. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям
L* = Z/, то L = U* и Z/* => L. Поэтому достаточно показать, что
V* a L Так как L a Z/, то L' = L*zd L'* и
(L'g, f) = («, 1'7) = (g, L'f) (ft=D(Z/*), gGfl(Z/)).
Значит, в силу A0.4.1), [g, /]* = 0. Но по лемме 10.4.5 существует
g<=D(U) с g'(a)=l и §-(а) = ^(й)==^/(й) = 0. Подставляя это
g в последнее равенство, получаем /(а) = 0. Аналогично и /'(а) =
f(b) = f'(b) = O. Таким образом, /g=?>(L). 0
Итак, мы нашли замкнутый симметрический оператор L и его
сопряженный L* = L', а из леммы 10.4.3 нам известно, что били-
билинейная форма <•, •> из определения 10.2.7 равна [•, -]ьа. Тем са-
самым приготовления к применению теории самосопряженных рас-
расширений для случая регулярных I завершены.
Для сингулярных I непосредственное обобщение приведенных
выше рассуждений оказывается затруднительным. Главная при-
причина этого состоит в том, что область определения замкнутого
симметрического оператора, отвечающего I, теперь зависит как
от коэффициентов I, так и от й, и ее не удается задать так легко,
как в определении 10.4.2. Все трудности связаны с концевыми
точками интервала й, и наша тактика будет заключаться в том,
чтобы начать с симметрического оператора Lo, в область опреде-
определения которого входят лишь функции, обращающиеся в нуль в
некоторой окрестности каждой концевой точки. Такой оператор Lo
не будет замкнут, но теория § 10.2 как раз для этого случая и
приспособлена, и замыкание ?0 и его симметрические расширения
получаются сужением D{Ll) при помощи условий, аналогичных
граничным условиям.
10.4.7. Определение. Для произвольного формального оператора I
(регулярного или сингулярного) обозначим через s&q множество
всех фуйкций f на Q, обладающих следующими двумя свойствами:
(i) Производная /' абсолютно непрерывна и /"е.ЗРгОЭД;
(И)/ имеет компактный носитель, содержащийся во внутрен-
внутренности Q.
Очевидно, что rfoc^. Простое, но полезное наблюдение со-
состоит в том: что для всякой функции / е s&o существуют такие
а 6, a > a < Р < й, что носитель / содержится в [а, E] и, стало
быть, Да) = /'(а) /(Р) Г(Р) 0
10.4.8. Определение. Для любого формального оператора I (регу-
(регулярного или сингулярного) положим D(Lo) = s?Oi D(L') = st и
Lof = If, L'f = If на D (Lo) и D (U) соответственно.
Заметим, что в отличие от регулярного случая D(L') зависит
от /, если / сингулярен. Нужен какой-то аналог леммы 10.4.3, свя-

10.4- Симметрические операторы, ассоциированные с формальными 293
зывающий I с Lo и Z/. Здесь возникают некоторые дополнительные
хлопоты с интерпретацией [f, g]ba, и мы начнем с той части резуль-
результата, в которой эта величина не фигурирует.
10.4.9. «Лемма. Для любого I (регулярного или сингулярного)
(W. g) = (f> L'g) (f^D(L0), g<=D(L')). A0.4.3)
Оператор Lo симметричен.
Доказательство. Область D(L0) содержит ^o°(Q) и потому плотна
(теорема 2.5.6). Пусть fGfl(L0), и пусть [а, р] — компактный
интервал, содержащий носитель / и содержащийся во внутренно-
внутренности Q. Тогда / и f обращаются в нуль в точках а и р, и член
[f>g"]a B формуле Грина A0.3.3) равен нулю. Отсюда следует ра-
равенство A0.4.3), а из него — симметричность Lo. Q
10.4.10. Определение^ Для любого I (регулярного или сингуляр-
сингулярного) положим L = Со.
То что это определение согласуется с определением 10.4.2, вы-
вытекает из приводимой ниже теоремы (поскольку в обоих случаях
L— замкнутый оператор с сопряженным U).
10.4.11. Теорема. Пусть I--(регулярный или сингулярный) фор-
формально самосопряженный оператор, удовлетворяющий условиям
определения 10.3.4. Тогда оператор Lo симметричен, L является
замкнутым симметрическим оператором с сопряженнымL* = Ll=L'
и L = L = Lq.
Доказательство. Поскольку L, по определению,— замыкание Lo,
единственное, что нуждается в доказательстве,— это равенство
Ll = L'. В силу A0.4.3) и определения сопряженного оператора,
V с= LS, поэтому достаточно показать, что Z/ =э Ц. Идея доказа-
доказательства состоит в том, чтобы применить результаты для регуляр-
регулярного случая, воспользовавшись тем наблюдением, что I регулярен
на любом компактном интервале А, содержащемся во внутренно-
внутренности Q. Пусть LA, La —- соответствующие операторы в гильбертовом
пространстве 3?2(А) со скалярным произведением (•, •) (см. опре-
определение 10.4.2). Для всякой функции f на Й через fA будем обо-
обозначать ее сужение на А.
Возьмем произвольное f^D(Lo). По определению сопряжен-
сопряженного оператора существует такое g e 2?2(^), что
(Loh,f) = (h,g) (h^D(Lo)). (ЮЛА)
Зафиксируем какое-нибудь А, и пусть носители функций h лежат
в А. Тогда huh' обращаются в нуль в концевых точках А,

294 Гл. 10. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям
а значит, AgD(La),h A0.4.4) принимает вид
По определению сопряженного оператора /Д^О(ГД) и LJ/A =
gA. Но L*A = LA (теорема 10.4.6). Следовательно, fA^D(Z/A),
и ввиду произвольности А производная /' абсолютно непрерывна
на Q. Далее, L'AfA = gA в 2?2(Д), а потому почти всюду. Значит,
(lf)A=gA п- в- и, в силу произвольности L, If = g п. в. Таким
образом, ^^E^fQ) и, следовательно, f^s? = D(U). []
Последнее, что нам еще требуется в сингулярном случае, —
это явное выражение для билинейной формы <•, •> из определе-
определения 10.2.7; оно получается обобщением соотношения A0.4.1).
То что приводимое ниже определение разумно, вытекает из при-
приводимой вслед за ним леммы.
10.4.12. Определение. Пусть /—произвольный формальный опера-
оператор (регулярный или сингулярный). Для Д g^D(L') положим
b = lim [/, g](x), [f, g]a = lim [f,
b x->a+
10.4.13. Лемма. Для произвольного I (регулярного или сингуляр-
сингулярного) выписанные выше пределы существуют и конечны, если
f,geD(Z/), и в этом случае
</, g) = (L'f,g)-{f, L'g) = [f, gt
Доказательство. Пусть а < а < х < Ъ. Тогда по формуле Гри-
Грина A0.4.3)
X
(glf ~ fig) dy = [/, g) (x) - [f, g] (a).
a
В силу определения D{U) каждая из функций Д g, If, lg принад-
принадлежит 2?2(^)- Поэтому предел интеграла в левой части при
х-+Ъ— существует и конечен. []
10.4.14. Определение. Пусть I—регулярный или сингулярный
формальный оператор, и пусть задана функция g^D(L'). Усло-
Условие [f, g]ba = 0 будет называться граничным условием на функ-
функцию f^D(L'). Эта терминология естественна, поскольку в слу-
случае регулярных I мы, очевидно, получаем граничные условия
обычного вида.
10.4.15. Лемма. Пусть I—формально самосопряженный оператор
из определения 10.3.4. Если он регулярен, то Lq имеет индексы
дефекта B,2), а если сингулярен, то (т,т), где т = 0, 1 или 2,

10.5. Построение самосопряэюённых расширений 295
Пусть фь ..., Фгт — произвольный базис в N+® N-. Функция f
из D{U) принадлежит D(L) тогда и только тогда, когда она удов-
удовлетворяет граничным условиям
[/.Ф/Й = О (/=1, ..., 2т).
Доказательство. Поскольку коэффициенты I вещественны, то /ф =
/ф^=^/ф= — /ф. Следовательно, az+ = ai_. Так как / — оператор
второго порядка, то у уравнения /ф = i'<p имеется самое большее
два линейно-независимых решения. Если I регулярен, то оба эти
решения лежат в i?2(?2)- Утверждение об области D(L) вытекает
из лемм 10.4.13 и 10.2.9. ?
Ниже будут построены примеры сингулярных U Для которых
/п = 0, 1 и 2. Таким образом, и само число граничных условий,
нужных для того, чтобы определить D(L), зависит от поведения
коэффициентов и от Q, и природа этих условий более сложна.
Разумеется, в случае когда I регулярен, лемма дает четыре гра-
граничных условия из определения 10.4.2.
10.5. Построение самосопряженных расширений
Теперь мы полностью завершили приготовления к тому, чтобы
применить развитую выше теорию и получить самосопряженные
расширения для формально самосопряженных операторов I вто-
второго порядка. Заключительный результат предыдущего параграфа
утверждает, что такие расширения всегда существуют, и согласно
теореме 10.2.18 их области определения получаются сужением
области D(L') при помощи ровно m условий, где (т, пг) — ин-
индексы дефекта оператора Lo; в силу леммы 10.4.13 эти условия
суть граничные условия из определения 10.4.14. Если I регулярен,
то эти условия выражаются через линейные комбинации значений
функции и ее производной в концевых точках и имеют знакомый
нам вид. Если I сингулярен, но одна из концевых точек, скажем а,
регулярна, то в некоторых случаях бывает достаточно наложить
граничные условия лишь в точке а, и они оказываются не более
сложными, чем для регулярных /. Однако в общем случае прихо-
приходится рассматривать условия в сингулярных концевых точках,
и туда будут входить уже не просто значения функций, а их
пределы.
Техническая сторона дела, связанная с применением теоре-
теоремы 10.2.18, намного упрощается, если произвести удачный выбор
функций fu ..., fny и именно в этом месте полезна лемма 10.2.17.
Иллюстрируем метод на следующем простом примере для опера-
оператора первого порядка.
10.5.1. Пример. Возьмем Я =[0,1] и l = id/dx1 и пусть si* — это
множество всех абсолютно непрерывных функций с производными

296 Гл. 10. Разложения по обобщённым собственным функциям
из #2@,1). Если D(L)={f: f<=^, f@) = f(l) = 0} и Lf = lf на
D(L), то D(L*) = $&. Решениями уравнений lf — ±:if служат
ехр(±*) соответственно; оба решения лежат в D(L*). Следова-
Следовательно, индексы дефекта равны A, 1), и L обладает самосопря-
самосопряженными расширениями. Найти все такие расширения М можно
с помощью конструкции, описанной в теореме 10.2.18.
Поскольку /г=1, D(M) представляет собой множество всех
функций f из D(L*), удовлетворяющих условию <f,/i> = 0, где
fi — некоторая линейно-независимая относительно D(L) функция
с </i, fi> = 0, и, обратно, всякий такой выбор f\ ведет к некоторому
самосопряженному М. В соответствии с данным в примере 10.2.8
выражением для <•, •>, указанные выше условия выглядят так:
f(l)/i(l)-/(O)f,(O) = Of Ml)fi(l)-M0)M0) = 0. (Ю.5.1)
В качестве h\, А2 можно взять просто h\(x) = x, h2{x) = 1 —х. Дей-
Действительно, hi@) = 0 и А2A) = 0; коротенькое вычисление пока-
показывает, что <АЬ hi} = — <й2, h2) = —1 и <Ai, A2> = 0; значит, в силу
леммы 10.2.17, h\ и А2 линейно-независимы относительно D(L).
Следовательно, /i = aAi + (ЗА2 при некоторых а, реС. Поскольку
функция fi обязана удовлетворять условиям A0.5.1), то |сс| = |р|.
Таким образом, a/p = etQ при некотором G e R, и граничное усло-
условие, дающее самосопряженное расширение, должно иметь вид
fA) = eiQf(O) при некотором 9gR. Это подтверждает заключения,
к которым мы пришли в примере 6.7.9 на основе формальных
соображений, и доказывает, кроме того, что всякое самосопря-
самосопряженное расширение получается таким путем.
Ниже приводится основной результат о построении самосопря-
самосопряженных расширений для операторов I второго порядка; для его
доказательства достаточно просто положить (/, g) = [/, g]ba в тео-
теореме 10.2.18.
10.5.2. Теорема. Пусть I— (регулярный или сингулярный) фор-
формально самосопряженный оператор второго порядка из определе-
определения 10.3.4. Тогда Lo имеет равные индексы дефекта (m,m)9 при-
причем m ^ 2, и потому обладает самосопряженными расширениями.
Если m = 0, то Lo =L = U и замыкание оператора Lo явля-
является его единственным самосопряженным расширением. В случае
пгфО пусть /ь ..., fm — функции из D{L')9 линейно-независимые
относительно D (Lo) и удовлетворяющие условиям
[fi,ff]ba = O (/, /=1, ..., ет). A0.5.2)
Пусть, далее, Л — линейное подпространство, состоящее из всех
f^D(U), для которых
[/, fit = O (i=l, ..., m). A0.5.3)

10.5. Построение самосопряэюённых расширений 297
Тогда Ж служит областью определения некоторого самосопряжен-
самосопряженного расширения оператора Lo. Обратно, всякое самосопряженное
расширение оператора Lo получается таким образом, и без потери
общности можно считать, что fi выбраны из числа линейных ком-
комбинаций произвольных 2га функций, принадлежащих D(L') и ли-
линейно-независимых относительно D(L).
Тот факт, что Lo обладает самосопряженными расширениями,
является следствием предположенного вида оператора /; имеются
формальные операторы, для которых самосопряженных расшире-
расширений не существует (см. пример 10.5.5).
Теперь мы легко можем разделаться с регулярным случаем.
10.5.3. Теорема. Пусть оператор I из определения 10.3.4 регулярен.
Предположим, что комплексные числа а., аг', Pf, р?, /=1, 2,
удовлетворяют следующим условиям:
(i) 4-мерные векторы (а., с^, рг $'Л линейно-независимы;
(II) р (Ь) (р;ру -Щ - р (а) (Ца. - aflfi = 0 (/, / = 1, 2). A0.5.4)
Пусть Ж — линейное подпространство всех функций из D{L')9
удовлетворяющих граничным условиям
Р (Ь) (Р,Г (Ь) - У Щ - р (а) (<#' (а) - а,/ (а)) = 0 (/ = 1, 2).
Тогда Ж служит областью определения некоторого самосопряжен-
самосопряженного расширения оператора L. Обратно, каждое самосопряженное
расширение оператора L может быть получено таким образом.
Доказательство. По лемме 10.4^5 существуют функции f\, f2 из
D(I'), для которых ft(a) = tfl9 #(a) = a/f ft(b) = pi9 %(Ь)=Т19
i=lf 2. Наш результат устанавливается поэтому применением
теоремы 10.5.2: условие (i) обеспечивает нужную линейную неза-
независимость, а (ii) —это в точности A0.5.2). []
10.5.4. Пример. Пусть / регулярен. Возможные граничные усло-
условия удобно разделить на два класса. К первому, более простому
относятся разделенные условия, характерные тем, что в каждое
из условий входят значения / и /' лишь в какой-нибудь одной
концевой точке. Прочие условия называются смешанными.
Разделенные условия. Возьмем а{ = а1' = р2 = р^ = 0. Посколь-
Поскольку / регулярен, р(Ь)Ф0. Поэтому условие A0.5.4) при t = /=l
требует, чтобы р^ было вещественным, а согласно условию (i)
теоремы pt и р[ не могут одновременно равняться нулю. Анало-
Аналогичное рассуждение применимо к а2, а'2. При 1ф\ условие A0.5.4)
выполняется тождественно. Из сказанного следует, что самые

298 Гл. 10. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям
общие разделенные граничные условия имеют вид
/ (b) cos 0 — f {b) sin 0 = 0, / (a) cos ср — /' (а) sin qp = 0
при некоторых вещественных 0, ср.
Смешанные условия. Рассмотрим для примера условия вида
f(a) = yf(b), f/(ci) = 8f/(bI получаемые при выборе а} =а'2= 1,
< = а2==р[ = Р2 = 0. Единствен-
Единственное условие теоремы, не выполняющееся автоматически, — это
условие (и) при 1Ф\\ непосредственное вычисление показывает,
что оно выполняется тогда и только тогда, когда уб = р(Ь)/р(а).
Хорошо известный пример— оператор I — —d2/dx2 с периодиче-
периодическими граничными условиями f(a) ==/F), f'(a) = Г(^)-
Обсуждение более интересного сингулярного случая начнем
с рассмотрения двух простых примеров.
10.5.5. Пример. Возьмем / = id/dx (видоизменения, которые надо
внести в нашу теорию в случае операторов / первого порядка,
совершенно очевидны). В примере 10.1.1 остался открытым воп-
вопрос, можно ли устроить из / какой-нибудь самосопряженный опе-
оператор, если Q = [0, оо). Ответ легко может быть теперь получен
проверкой размерностей дефектных подпространств N±. Реше-
Решениями уравнений If = ±if служат ехр(±х) соответственно, и, по-
поскольку ехр(—х) принадлежит i?2@, оо), а ехр(я) нет, индексы
дефекта равны @, 1). Отсюда немедленно вытекает, что Lo не
имеет никаких самосопряженных расширений.
Если Q=(—оо, оо), то D(L') есть множество всех абсолютно
непрерывных /, таких что /, f'^S?2(—оо, оо). Поскольку ни одна
из функций exp(dzx) не принадлежит «2Р2(—о0,00), индексы де-
дефекта равны @,0). Таким образом, Lo = L = U — уже само за-
замыкание Lo оказывается самосопряженным, и в действительности
оно является единственным самосопряженным расширением опе-
оператора Lo. Ниже мы получим классический результат о преобра-
преобразовании Фурье применением спектральной теоремы к L'.
10.5.6, Пример. Простейший формальный оператор второго по-
порядка— это / = — d2/dx2. Поскольку из теоремы 10.5.2 нам из-
известно, что индексы дефекта равны между собой, достаточно рас-
рассмотреть лишь уравнение —/// = //. Оно имеет решения exp(A,ix),
ехр (%2х), где К\ = ехр (— ш/4), %2 = ехр (— 5ш/4).
Предположим сначала, что Q = (—оо, оо). В этом случае ни
одно из указанных решений не принадлежит 3?2(—оо, оо) и ин-
индексы дефекта равны @,0). Таким образом, единственным само-
самосопряженным расширением оператора Lo является его замыкание
и уже сам оператор LJ самосопряжен.

10.5. Построение самосопряснсённых расширений 299
В случае Q= [0, оо] второе решение принадлежит i?2@, оо),
а первое нет. Индексы дефекта равны A, 1), а самосопряженные
расширения получаются наложением одного граничного условия.
Ясно, что самая простая ситуация — это когда индексы де-
дефекта равны @, 0), ибо тогда уже сам Z/ самосопряжен, и ника-
никаких граничных условий рассматривать не надо. В ряде важных
случаев (например, в разобранном выше случае Q = [0, оо)) одна
из концевых точек является регулярной. Проводимое ниже иссле-
исследование показывает, что и здесь ситуация иногда оказывается
простой.
10.5.7. Лемма. Предположим, что а — регулярная концевая точка
формального оператора I из определения 10.3.4. Тогда Lq имеет
индексы дефекта A,1) или B, 2).
Доказательство. Возьмем произвольное с, такое что а < с < bt и
пусть fti, /*2 — вещественнозначные функции из CS>OO(Q) с носите-
носителями в [а, с] и с Ai(a)=l, h\(a) = 0t h2(a) = 0, hi (а)—I. По-
Поскольку а регулярна, hu h2^D(L/). Учитывая тот факт, что hi
и h2 обращаются в нуль на (с, 6), легко проверить, что
det([A,, А/Й = -^@)^=0.
Следовательно, по лемме 10.4.17, h\ и h2 линейно-независимы от-
относительно D (Lo) и п+ + n_ ^ 2. []
Это — альтернатива Вейля. Возможности A, 1) и B, 2) для
индексов дефекта известны соответственно как случай предельной
точки и случай предельного круга; эта терминология связана с
методами, используемыми в классической теории. В случае пре-
предельной точки граничное условие истолковывается очень просто.
10.5.8. Лемма. Пусть а — регулярная концевая точка оператора I
{всё того же). Предположим, что Lo имеет индексы дефекта A, 1).
Пусть М — некоторое самосопряженное расширение оператора Lo.
Тогда найдется вещественное число 0, такое что D(M) есть под-
подмножество в D(L')y состоящее из всех /, для которых
f(a) cos9 - f'(a) sin 9 = 0. A0.5.5)
Обратно, всякое такое сужение области D(L') служит областью
определения некоторого самосопряженного расширения опера-
оператора Lo.
Доказательство. Поскольку Lo имеет индексы дефекта A, 1), об-
область определения любого самосопряженного расширения опре-
определяется одним граничным условием, скажем [/, /i]^ = 0, и в силу
теоремы 10.5.2 можно без потери общности считать, что f\ =

300 Гл. 10. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям
<x\h\-{-a2fi2 (ось а2^С), где hu h2 — функции, определенные
в доказательстве предыдущей леммы. Так как h\ и /г2 обращаются
в нуль на (с, 6), то это условие имеет вид ctif'(a)— сс2/(а) = 0.
Однако /i должно удовлетворять условию A0.5.2), т.е. [f\yfi)ba =0.
Несложное вычисление показывает, что последнее равенство вы-
выполняется тогда и только тогда, когда а\ОС2 вещественно, откуда
и следует A0.5.5). []
10.5.9. Пример. Как мы видели в примере 10.5.6, для / = —d2/dx2
и Q = [0, оо] область определения самосопряженного расширения
задается одним граничным условием, ибо индексы дефекта равны
A, 1). Поскольку 0 — регулярная концевая точка, наша последняя
лемма показывает, что это условие имеет вид
/(O)cos0-//(O)sin0 = O
при некотором вещественном 0. Применение спектральной теоремы
дает cos-преобразование, если 0 = я/2, и sin-преобразование, если
0 = 0, а при других значениях 0 получаются менее известные пре-
преобразования (см. пример 10.6.4).
10.5.10. Пример. Пусть / — оператор Бесселя:
и Q = @, 1]. По поводу используемых ниже обозначений и свойств
бесселевых функций см., например, книгу Уиттекера и Ватсона
[1927]. Решениями уравнения If = if служат xl/2Jv(xXl/2) и
xl/2Yv(xk1/2), где А,1/2 = ехр(—ш/4), a /v и Yv — бесселевы функ-
функции первого и второго рода соответственно. Первое решение огра-
ограничено на @, 1] для всех v ^ 0, второе же вблизи начала пропор-
пропорционально xl/2~v (или xl/2\nx для v = 0). Таким образом, для
v^l лишь одно из решений принадлежит i?2@, 1) и индексы
дефекта равны A, 1), в то время как для 0^v^ 1 оба решения
принадлежат i?2@, 1) и индексы дефекта равны B,2). В первом
случае, как показывает лемма 10.5.8, самосопряженные расшире-
расширения получаются наложением одного-единственного условия
f(l)cos0-//(l)sin0 = O (8eR). A0.5.6)
При 0 = 0 спектральная теорема дает известный ряд Фурье —
Бесселя, а при других 0 мы приходим к так называемому ряду
Фурье — Дини.
В случае индексов дефекта B,2) требуется дополнительное
граничное условие, и по аналогии с положением дел для регуляр-
регулярных / в этом условии должна, по-видимому, фигурировать сингу-
сингулярная концевая точка. Чтобы разобраться с этим случаем,

10.5. Построение самосопряэюённых расширений 301
а также с ситуациями, в которых обе концевые точки сингу-
сингулярны, нам надо теперь обсудить вопрос о граничных условиях
в сингулярных концевых точках. Вообще говоря, анализ здесь но-
носит менее непосредственный характер. Осложнений возникает
поменьше, когда граничные условия разделены; это понятие
является обобщением соответствующего понятия для регулярных
/. Почти во всех приложениях граничные условия оказываются
разделенными.
10.5.11. Определение. Пусть g— заданная функция из D(L'). Го-
Говорят, что граничное условие [f, g]ba — 0 является условием
в (точке) а, если [f, g]b — 0 для всех /^/)(//); аналогичное сло-
словоупотребление используется и для другой концевой точки. За-
Заметим, что если g равна нулю на (с, 6), то мы получаем условие
в а. Граничное условие называется вещественным, если [f, g]ba —
[f> g]ba Для всех f^D(L'). Систему граничных условий назы-
называют распадающейся (а сами граничные условия— разделен-
разделенными), если каждое из входящих в него условий есть либо условие
в а, либо условие в Ь.
10.5.12. Пример. Для иллюстрации процедуры применения гранич-
граничного условия в сингулярной концевой точке рассмотрим оператор
Бесселя из примера 10.5.10 при 0<v<l; случай v = 0 разби-
разбирается в общем так же, хотя имеются некоторые отличия в дета-
деталях, связанные с наличием логарифмической особенности у вто-
второго решения.
Решениями уравнения If = if служат функции xl/2J±v(xkl/2)t
где А,1/2 = ехр(ш/4). Вблизи начала они пропорциональны
Пусть Аь h2 — вещественнозначные функции из ®*°°(@, 1]) с но-
носителями в [0, 1/2], на интервале @, 1/4) равные x±v+l/2 соответ-
соответственно. Несложное вычисление показывает, что lh\ = lh<i = 0 на
@,1/4), откуда следует, что hu h2^D(U). Далее, [huhx]\ =
[Л2, Л2]о = О и
[fti,ft2]J = [fti, A2]0= lim {Ai(*)ft2(*)-Ai(*)M*)} = 2v. A0.5.7)
m-»0+
Что касается другой концевой точки, то возьмем в качестве Лз, На
вещественнозначные функции из ^°°(@, 1]) с носителями в
[1/2,1] исА3A)=1, /йA) = 0, М1) = 0, AJA) = 1. Наиболее
общим выбором функций fi, f2, ведущим к разделенным гранич-
граничным условиям, будет, очевидно, f\ = a\h\ + осг^г, f2 = а3/гз ~Ь ^А>
и, используя A0.5.7) и лемму 10.2.17, легко проверить, что /i и f2
линейно-независимы относительно D(L0)t если хотя бы одно из

302 Гл. 10. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям
чисел ось «2 и хотя бы одно из чисел ct3, 0C4 ненулевые. Условие
A0.5.2) удовлетворяется тогда и только тогда, когда afcc2 и ос3сс4
вещественны, и общие разделенные граничные условия имеют, та-
таким образом, вид [/, /^0 = 0, [/, /2]1 = 0 с a/eR. Условие
в точке 1 —это как раз условие A0.5.6) из примера 10.5.9, Что же
касается точки 0, то, например, выбор oci = 1, ос2 = 0 дает такое
условие в нуле:
lim {xv+li*f'(x)-(v + l/2)x*-li2f(x)} = 0. A0.5.8)
0+
Наконец, предположим, что обе концевые точки сингулярны.
Прямое вычисление индексов дефекта зачастую связано с утоми-
утомительной возней со специальными функциями, поскольку надо
знать поведение решения уравнения // = if в обеих концевых
точках. Следующий результат (см. Данфорд и Шварц [1963,
с. 469]) сводит проблему к случаю операторов с одной регулярной
концевой точкой, что намного упрощает дело.
10.5.13. Лемма. Пусть I — формальный оператор второго порядка
из определения 10.3.4. Пусть а < с < Ъ, и пусть LOa> Lob —сим-
—симметрические операторы, ассоциированные с оператором I на (а, с]
и [с, Ь) соответственно. Пусть, далее, п±, а±а, п±ъ обозначают ин-
индексы дефекта операторов L, LOa, Lo& соответственно. Тогда п± =
П±а + П±ь — 2.
10.5.14. Пример. Снова рассмотрим оператор Бесселя из примера
10.5.10, но на этот раз для Q = @, оо). Теперь обе концевые точки
сингулярны. Вычислим индексы дефекта. Из проведенного выше
анализа ясно, что (в обозначениях последней леммы) п+0 = 1 при
v^l и 2 при 0^v< 1. Из асимптотических формул для бессе-
бесселевых функций следует, что функции xl/2[Jv(xkl/2)zk iYv(xX1/2)]
пропорциональны соответственно exp(±ixXl/2) при х-^оо. Следо-
Следовательно, п+оо = 1. Поэтому из леммы вытекает, что индексы де-
дефекта равны @, 0) при v ^ 1 и A,1) при 0 ^ v < 1.
При v ^ 1 единственным самосопряженным расширением опе-
оператора Lo является его замыкание, и никаких граничных условий
не требуется. При 0 <С v < 1 требуется одно граничное условие,
а именно условие в нуле, как это видно из примера 10.5.12, если
заметить, что функции h\, hi линейно-независимы относительно
D(Lq). Поэтому всякое самосопряженное расширение задается при
помощи некоторой линейной комбинации этих функций, и рас-
расширение самого общего вида получается, таким образом, нало-
наложением одного-единственного условия [/, f\] = 0, где f\ = a\h\ +
a2h2 (осьосг^ R). При ai = 1, ct2 = 0 это условие есть не что
иное, как A0.5.8).
Очевидно, что индексы дефекта играют центральную роль при
построении самосопряженных расширений. Их легко найти, когда

10.6. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям 303
известны явные формулы для решений уравнения // = if, но если
только коэффициенты оператора / не самые простые, вычисления
резко усложняются, поскольку приходится иметь дело со спе-
специальными функциями. По поводу интересной качественной тео-
теории, которая была развита в связи с этой проблемой, см. Дан-
форд и Шварц [1963, § 13.6] или Наймарк [1969, гл. 7].
10.6. Разложения по обобщенным собственным функциям
Наши приготовления окончательно завершены, и мы можем те-
теперь показать, как разложения по обобщенным собственным функ-
функциям, отвечающие формальным обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным операторам, получаются применением спектральной теоремы
к ассоциированным самосопряженным операторам. Анализ осно-
основан на следующих формулах (теоремы 9.6.1 и 9.6.4) для спект-
спектрального семейства Р(ХиХ2) самосопряженного оператора М:
ПтР(-Я, Я)/ = / Ц^Ж), A0.6.1)
А,-»оо
ta-б
(Р(К Я2)/, g) = lim lim -±г \ ([Я(Я-/в; М)
-R(b + te;M)]f,g)dK A0.6.2)
вместе с явным представлением резольвенты R(X;M) при Im > 0
в виде интегрального оператора с ядром — функцией Грина. По-
Поскольку М самосопряжен, то спектр о(М) веществен и R(X\M)
является аналитической функцией от К в верхней и в нижней по-
полуплоскостях и допускает аналитическое продолжение на те части
вещественной оси, которые лежат в р(Л1). Следовательно, проек-
проектор Р(%\,%2) отличен от нуля, только если интервал (Я1Д2) со-
содержит точки из а(М). Другими словами, ненулевой вклад в ин-
интеграл в A0.6.2) вносят лишь точки спектра о(М). Эти точки
разбиваются на два основных класса. Во-первых, R(X\M) может
иметь изолированные полюсы в некоторых точках вещественной
оси; в этом случае интеграл вычисляется по теореме о вычетах.
Во-вторых, R(k\ M) может иметь разрывы вдоль некоторых уча-
участков вещественной оси, и тогда для вычисления интеграла ис-
используется надлежащий предельный переход. Эти два класса
отвечают точечному и непрерывному спектрам соответственно.
Граничные условия, встречающиеся в приложениях, почти
всегда разделены, и ниже мы рассматриваем лишь самосопря-
самосопряженные операторы, определяемые разделенными граничными усло-
условиями. Выгода от такого ограничения та, что можно дать простую
формулу для резольвенты. В следующей теореме, заимствованной
из книги Данфорда и Шварца [1963, с. 495], единственность пони-
понимается как единственность с точностью до мультипликативной

304 Гл. 10. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям
постоянной. Далее, если для определения М не требуется ника-
никакого граничного условия в а, то функция ф в этой теореме —это
просто единственное решение в 3?2(а, с) уравнения /ф = tap,
и аналогично обстоит дело с г|>.
10.6.1. Теорема. Пусть I — формально самосопряженный оператор
второго порядка из определения 10.3.4, и пусть М — самосопря-
самосопряженное расширение оператора Lo> полученное с помощью некото-
некоторой распадающейся системы вещественных граничных условий.
Предположим, что Im X ф 0, и возьмем какое-нибудь с, удовле-
удовлетворяющее условию а < с <С Ь. Тогда существует в точности одно
решение ф уравнения /ф = А,ф, принадлежащее 2>2{а,с) и удов-
удовлетворяющее произвольному граничному условию в а, и в точ-
точности одно решение if» уравнения hf> = А/ф, лежащее в 3?<i(c,b)
и удовлетворяющее произвольному граничному условию в Ъ. Да-
Далее,
ъ
R (Я; M)g = \k(x, у; X)g(у)dy (g es 3?2(Q)),
а
где
Г УФ (х, X) Ф (у, Я) при х<у,
r>V \у<р(у9Ь)Ъ{х9Ь) при х>у,
у = —l/[p(x)W]9 W — вронскиан функций ф и ф. Ядро k сим-
симметрично, и
k(x, у; l) = k(x, у; X). A0.6.3)
Если Lq имеет индексы дефекта B,2), то оператор R{X\M) ком-
компактен.
В случае когда индексы дефекта равны B,2), формула разло-
разложения может быть получена прямо из теории компактных самосо-
самосопряженных операторов, развитой в § 7.5. Действительно, тогда,
согласно сформулированной выше теореме, оператор (XI — М)~х
компактен для всякого X с Im X ф 0, и отсюда нетрудно вывести,
что то же верно и для некоторого вещественного X. Применение
теоремы 7.5.4 показывает теперь, что из собственных функций опе-
оператора XI — М, а значит, и оператора М можно составить базис
в «2Р2(?2). Этот результат решает дело для всех регулярных /
(см. пример 7.5.5); что еще важнее, так это то, что, хотя большин-
большинство стандартных систем ортогональных функций возникает из
сингулярных /, полноту их можно вывести непосредственно из тео-
теоремы 7.5.4. Поскольку применимость ее ограничена случаем индек-
индексов дефекта B,2), мы не следуем здесь этому подходу и разло-
разложения по обобщенным собственным функциям выродим при

10.6. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям 305
помощи спектральной теоремы. Для иллюстрации применяемой
процедуры рассмотрим сперва два примера минимальной слож-
сложности.
10.6.2. Пример (разложение в ряд Фурье по синусам). Возьмем
l = —d2/dx2 и Q = [0, я]. Пусть М — самосопряженное расшире-
расширение оператора Lo, определяемое граничными условиями /@) =
/(я) = 0. По теореме 10.6.1, для Im X > 0
0 ч sin Я1/2 (х - я) sin Х1/2у
при х <С у функция k определяется по симметрии, а для Im Я<0—
по формуле A0.6.3). Очевидно, что k можно аналитически про-
продолжить на всю плоскость X, за исключением нулей функции
sin Х1/2п, где будут полюсы.
Следующий шаг — расписываем A0.6.2). Меняя порядок ин-
интегрирования, что законно ввиду ограниченности Q, получаем
К2+6
X Hm lim -L \ [k(x, y; X-is)-k{x, y; X + ie)]d%. A0.6.4)
^6
Если обозначить через Г прямоугольник с вершинами (Яг— б —
is), (Яг — б -f- is), (Х\ —|— S —|— is), (Х\ -f- б — is), то
lim lim \ [k (х, у; X — /е) — k (х, у; X + is)] dX
= lim lim \k(x, у; X)dX,
поскольку вклады от коротких сторон Г стремятся к нулю при
е->0, и непосредственный подсчет с помощью теоремы о вычетах
дает
lim lim -тг-г\ k(xfy\ X)dX=— V sin nx sin ny.
я
\ sin ^гу /(у) dy (n = 1, 2, ...),
о
Для любой функции /е<272(^) положим

306 Гл. 10. Разлоснсения по обобщённым собственным функциям
и пусть / обозначает последовательность /A), /B), .... Во вве-
введенных обозначениях A0.6.4) принимает вид
g)= S f(n)IJn). (Ю.6.5)
А,1</1»<Л,2
Следовательно, ввиду A0.6.1), /е/2и
= [f, g], (Ю.6.6)
где ||[-]|| и [•, •]—скалярное произведение и норма в /2. Эти
соотношения известны как формула Парсеваля (см. A.5.9)) и
формула Планшереля соответственно.
Теперь легко получить и само разложение в ряд Фурье. Дей-
Действительно, если положить <pn(x) = B/n)l/2 sinnx, то A0.6.5)
можно переписать в виде
=( Е f(n)Vn,
и поскольку это верно для любой функции geiZ^Q), то мы за-
заключаем, что
Следовательно, в силу A0.6.1),
1/2
причем ряд сходится в 3
В этом примере резольвента компактна, ядро резольвенты —
мероморфная функция от К, функции B/я\1/2 sin nx — нормиро-
нормированные собственные функции оператора М и f(n)—коэффициенты
Фурье по синусам. Легко показать, что отображение /ь—>/ про-
пространства «2^2(й) в /2 сюръективно, и, таким образом, формула
Планшереля выражает тот факт, что это отображение представ-
представляет собой изометрический изоморфизм.
10.6.3. Пример (преобразование Фурье). В предыдущем примере
спектр был дискретный. Теперь рассмотрим оператор с непрерыв-
непрерывным спектром. Пусть l — id/dx и Q — (—оо, оо). Тогда единствен-
единственным самосопряженным расширением оператора Lq служит его за-
замыкание М (пример 10.5.5). Резольвента легко вычисляется:
при Im Я >0,
R(X; M)g(x)-.
i \ eiX{y~x)g(y)dy при ImA<0.

10.6. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям 307
Из-за того что область интегрирования бесконечна, появляются
некоторые дополнительные трудности. Наша тактика будет за-
заключаться в том, чтобы действовать первоначально в простран-
пространстве 5?2о(Й), состоящем из тех функций из ^(Й), у которых
носитель компактен, потому что тогда не возникает никаких про-
проблем с переменой порядка интегрирования. Полученные результа-
результаты затем легко распространяются по непрерывности на всё &ъ(~
поскольку i?2o(?2) плотно там. В силу A0.6.2), для /,
Л,2 —б ОО
1 Г Г
(Р(ЯЬ Я2)/, g)= lim lim -^-r \ dX \ g(x)dx
( X oo
X< / \ pi (A, —ie) {y —x)f (ij\ A it _l_ / V ?>i(h+ie) (y-
4 -oo x
1 Г Г Г
X\ — oo — oo
(по теореме о мажорированной сходимости 2.4.11). Значит,
где
Таким образом, в силу A0.6.1),
оо
(f,g)= [ f{X)u{X)dK A0.6.7)
откуда следует (беремл/ = ?), что /е 2^2(—оо, оо). Следователь-
Следовательно, отображение /»—>/ является изометрическим изоморфизмом
5?2о(Й) в 2*2(—оо, оо). Поскольку 5?2о(Й) плотно в 2*2(Q). со-
соображения непрерывности показывают, что полученные резуль-
результаты справедливы и для всего 2*2 (Q)» и» в частности,
lim \ eiKxf(x)dx
существует по норме 2?г(й). Как и в предыдущем примере, с по-
помощью A0.6.1) устанавливается формула обращения. Наконец,

308 Гл. 10. Разложения по обобщённым собственным функциям
из соображений симметрии очевидно, что отображение /»—¦>/
сюръективно и, значит, является изометрическим изоморфизмом
2^2(й) яа S(—оо, оо). Тем самым мы получили доказательство
стандартной теоремы о преобразовании Фурье 2.6.1; соотноше-
соотношение A0.6.7)— это формула Планшереля.
Предыдущие два примера иллюстрируют анализ, лежащий в
основе построения разложений по обобщенным собственным функ-
функциям. В двух последующих примерах мы ограничимся приведе-
приведением формальной схемы такого построения, поскольку детали
рассуждения проводятся аналогично.
10.6.4. Пример. Пусть 1 = —d2/dx2 и Q = [0, оо); выбор соответ-
соответствующих граничных условий приводит к одному не очень извест-
известному преобразованию (по поводу его приложений см. задачу 10.11).
Самосопряженные расширения получаются наложением гранич-
граничного условия в нуле. Рассмотрим условие /@) + а/'@) = 0 при не-
некотором а > 0. Согласно теореме 10.6.1, для того чтобы вычис-
вычислить резольвенту, надо найти решение ср уравнения /ф = Яф, удов-
удовлетворяющее этому граничному условию, и решение •ф, принадле-
принадлежащее 3?2(с,оо). Для Im X > 0 имеем
ф (х, Я) = sin (хХт) - аЯ1/2 cos (хЯ1/2),
Ъ(х, Я) = ехр(/хЯ1/2),
и
k(x, у; Д)=— ^1/2(^^1/2) Ф(У> *Ж*, Л) при х>у\
при х < у значения k получаются по симметрии, а при 1тА,<С 0 —
по формуле k(x, у, К) = k(x9 y\ V). Функцию k можно аналитически
продолжить через отрицательную вещественную полуось, за ис-
исключением точки Х=\/а2. Наличие полюса в этой точке отра-
отражает тот факт, что она принадлежит точечному спектру опера-
оператора М; соответствующая собственная функция равна ехр(—х/а).
Вдоль положительной вещественной полуоси k имеет разрыв, и,
следовательно, эта полуось принадлежит непрерывному спек-
спектру М. Таким образом, спектр М — смешанный, в нем есть точеч-
точечная и непрерывная части. Вычисление определяющего P(Xi,X2)
интеграла, основанное на сочетании методов двух предыдущих
примеров, дает следующий результат:
оо
exp(-y/a)f{y)dy $ exp(-x/a)g(x)dx
о
$
оо
' Я) / (У) йУ \ Ф (х, М g (х) dx, A0.6.8)

10.6. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям 309
причем если —\а2 ф.(%и%2), то первый член опускается, а если
^2 ^ 0, то опускается второй. Полагая
и переходя к пределу в соответствии с A0.6.1), получаем
оо оо
(/, g) = 2a~i J exp(—y/a)f(y)dy J exp (—x/a) g (x) dx
oo
0
0
iX
oo
\ %(y, Я)
0
oo
f(y)dy\
0
x(x,
X)g{x)dx.
Чтобы представить результат в форме, аналогичной той, в какой
обычно записывают формулы преобразования, положим
/i = (-l exp(—y/a)f(y)dy,
/2(Я)= lim \ %{у, X)f{y)dy.
Тогда мы получим формулу Планешереля в виде
а формула обращения будет иметь вид
А
f(x) = fiexp( — х/а) + lim \t(x
(сходимость в 3?2 (^))- Ситуация, когда спектр включает в себя
как точечную, так и непрерывную части, не так уж редка. Соот-
Соответствующий пример с бесселевыми функциями можно найти у
Титчмарша [1962, с. 103].
10.6.5. Пример (преобразование Хаикеля). Пусть / — оператор
Бесселя из примера 10.5.10 и Q=@, oo). Согласно примеру 10.5.14,
индексы дефекта равны A,1) при 0^v< 1 и @,0) при v^ 1.
Чтобы не затемнять суть дела ненужными деталями, предполо-
предположим, что v больше 1 и нецелое. При Im К > 0 функции ф, ф из

310 Гл. 10. Разложения по обобщённым собственным функциям
теоремы 10.6.1 равны
Ф(х, Л) = *1/2/„(хЛ|/2),
Ч> (х, X) = хш [e-vnlJv (хХ112) - /_v (хХ1'%
И
k (ху у\ %) = (я/2 sin vit) ty (х, Я) ф (у, Я) для х > у;
при прочих значениях х, у, % функция k определяется по симмет-
симметрии и по комплексной сопряженности. Когда % сверху или снизу
достигает положительной вещественной полуоси, единственным
невещественным членом является ехр (— vni); отсюда ясно, что k
претерпевает разрыв на этой полуоси. Рассмотрим теперь отрица-
отрицательную вещественную полуось. Вспоминая, что
/v (iz) = ехр (vjw/2) /v (z\
мы видим, что при %->— \i (|i > 0)
Так как члены /±v(#|JiI/2) оба вещественны, то k непрерывна на
отрицательной вещественной полуоси, которая, таким образом,
принадлежит р(Л1). Дальнейший анализ проводится, как и выше,
и мы получаем формулу обращения
где
f (х) = 1 J x[l2jv {хХ112) HJ (X) dX,
о
оо
HJ(X)=\iy1'2Jv(yX1'2)f(y)dy
(оба интеграла понимаются в смысле сходимости в i?2@, оо)).
Приведенные примеры показывают, как с помощью спектраль-
спектральной теоремы получать результаты о разложениях по обобщенным
собственным функциям. Этот метод весьма мощен и применим
к широкому классу операторов второго порядка; он позволяет
охватить большинство стандартных разложений и ряд менее из-
известных. В заключение заметим, что имеется более общий подход,
основанный на теореме Титчмарша — Вейля—Кодаиры (см. Дан-
форд и Шварц [1963, с. 530 и ел.]). Однако технические подроб-
подробности, связанные с этой теоремой, носят довольно-таки устраша-
устрашающий характер.

Задачи 311
Задачи
Всюду здесь Ш — комплексное гильбертово пространство, a L, Lo — плотно опре-
определенные линейные операторы в Зв.
10.1. Докажите, что Lo симметричен тогда и только тогда, когда (Lo/, /) веще-
вещественно при всех / е D(L0).
10.2. Предположим, что L замкнут и симметричен. Покажите, что если Im К Ф 0,
то К принадлежит либо p(L), либо остаточному спектру L.
10.3. Возьмем I = —d2ldx2 и Q = [0, оо]. Пусть М — самосопряженный оператор,
полученный наложением граничного условия /@) = 0. Используя задачу 6.28,
докажите, что спектр о(М) лежит на положительной вещественной полуоси.
Остается ли этот результат верным для граничного условия //@)+а/@) =0
(<X€=R)?
10.4. Пусть р(-)—многочлен степени m с постоянными вещественными коэффи-
коэффициентами. Возьмем I = p(id/dx) и Q = [0, оо]. Покажите, что ассоциированный
оператор Lo с областью определения ^° (Q) симметричен. Докажите, что если р
содержит лишь четные степени, то индексы дефекта п± оператора Lo равны ме-
между собой, а если m нечетно, то п+ ф п~.
10.5. Докажите, что если L симметричен и R(L) = 36, то L самосопряжен.
10.6. Пусть L замкнут, симметричен и имеет конечные, равные между собой ин-
индексы дефекта, и пусть L\ — какое нибудь замкнутое симметричное расширение L.
Обязательно ли L\ обладает самосопряженными расширениями?
10.7. Пусть М — самосопряженный (неограниченный) оператор в Ж Предполо-
Предположим, что оператор (X/ — М)~1 компактен для любого Я с Im Я ф 0. Докажите,
что:
(i) существует вещественное Я, для которого (XI — M)~l e 2?{2в)\
(п) для таких К оператор (XI — М)~1 компактен.
10.8. Рассмотрим оператор Бесселя из примера 10.5.10 на интервале @, 1] для
0 < v < 1. Покажите, что его самосопряженное расширение определяется гра-
граничными условиями /A) = 0 и
lim [xv+ll2f'(x) + (v + 1/2) xv~ll2f(x)] = 0.
0
Используя результат предыдущей задачи и теорему 7.5.4, установите справед-
справедливость разложения в ряд Фурье — Бесселя в ^@, 1)
с» 1
f (х) = J] cnx112 Jv (anx) J yll2Jv (any) f (у) dy,
п=\ 0
где an —нули Jv и сп — некоторые нормировочные постоянные. (Если выводить
этот результат с помощью спектральной теоремы, то постоянные сп получатся в
явном виде.)
10.9. Возьмем Q= (—1, 1) и lf(x) == [A —х2)\'(х)]'. Найдите индексы опера-
оператора Lo. Укажите разделенные граничные условия для самосопряженных расши-
расширений и получите стандартное разложение в ряд Лежандра.
10.10. Выведите формулу преобразования Ханкеля (пример 10.6.5) для v == 0.
10.11. Задача о генераторе волн в линеаризованной теории волн на глубокой воде
ставится следующим образом. Пусть у измеряется вертикально вниз от поверх-
поверхности воды. Требуется найти решение уравнения V2<p = 0, удовлетворяющее гра-

312 Гл. 10. Разлоэюения по обобщённым собственным функциям
ничным условиям: (i) <32ф/<3/2 — gdy/dy = 0 при у = О (условие на поверхности
воды); (ii) ду/дх = u(y)sin Ы при х = 0 (генератор волн); (ш) ф->0 при
у-*оо\ (iv) ф ведет себя при я->-оо как уходящая волна (условие излучения).
Полагая ф(я, у, t) = 1те1а)Гф(л:, г/), мы получаем стандартную краевую задачу,
причем граничное условие при у = 0 принимает вид дср/ду(х, 0) + &ф(л:, 0) = 0,
где k = aJ/g. Разложение по обобщенным собственным функциям из приме-
примера 10.6.4 как раз приспособлено к такой задаче. Покажите, что если и — непре-
непрерывная функция с компактным носителем, то искомое решение задается форму-
формулой
оо
Ф (х, у, 0=2 cos (kx - ©0 e'ky [ e~ksu{s) ds
2 . _..x
sin at \e ** (jx cos цу — k sin jx^/) А (ц) d\i%
где
оо
A (fi) = [fx (/г2 + [.i2)] \ (pi cos \is — k sin jxs) м (s) ds.

Глава 11
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
11.1. Введение
Стандартный классический подход к граничным задачам для эл-
эллиптических дифференциальных уравнений с частными производ-
производными состоит в том, что данное уравнение переформулируют, ис-
используя функцию Грина, в виде интегрального уравнения, а затем
привлекают теорию интегральных уравнений. Хотя этот подход
и привел к значительным успехам, все же представляется не-
несколько искусственным основывать теорию на интегральном урав-
уравнении, а не на самом дифференциальном уравнении, и недавние
исследования показали, что прямая атака на дифференциальное
уравнение часто дает больше информации и в то же время по-
позволяет избежать скучных технических моментов, связанных с
построением интегрального уравнения. Одна из областей, где пре-
преимущество прямого подхода очевидно, — это нахождение числен-
численных решений. Действительно, использование интегрального урав-
уравнения плохо увязывается со стандартными численными процеду-
процедурами, и потому явно неестественно привлекать интегральные урав-
уравнения для численного решения дифференциальных. Цель настоя-
настоящей главы —дать вводное изложение прямого подхода.
Отправной точкой служит замена исходной краевой задачи
некоторым ее слабым аналогом. Для иллюстрации рассмотрим
уравнение Пуассона
V2f~g=0 A1.1.1)
в ограниченной открытой области Й, для которого ищется реше-
решение f ^<e?2(Q){]W(Q)) обращающееся в нуль на границе обла-
области dQ. Умножая это уравнение на произвольную функцию
cp^'gP^Q) и интегрируя, получаем
= 0 Для cp^^Q). A1.1.2)
Так как «*o°(Q) плотно в 2*2@), то A1.1.1) и A1.1.2) эквива-
эквивалентны. Интегрирование по частям дает (поскольку qp вместе со
всеми своими производными обращается в нуль на dQ)
A1.1.3)

314 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
Итак, A1.1.3) и A1.1.1) эквивалентны для гладких /. Однако
A1.1.3) прекрасно имеет смысл для любых / из S^iW» в т0 вршя
как само уравнение A1.1.1) для таких / прямого смысла не имеет
и никаких очевидных интерпретаций не допускает. Это эвристи-
эвристическое рассуждение приводит к следующему слабому варианту
исходной задачи: для заданной функции g найти функцию /, об-
обращающуюся в нуль на дп и удовлетворяющую соотношению
A1.1.3) для всех фЕ%°°(Й).
Сразу же видны две привлекательные черты такой слабой за-
задачи. Во-первых, она имеет смысл для весьма широкого класса
правых частей g — заведомо для любых gei^Q). Во-вторых,
поскольку производные от / в A1.1.3) не фигурируют, гладкость /
не составляет (по крайней мере на первых порах) столь настоя-
настоятельной проблемы, как это было бы, рассматривай мы исходное
уравнение. На самом деле, проведенное в предыдущем абзаце
рассуждение грешит небольшой неточностью, а именно: условие
/ = 0 на 0Q не имеет смысла для произвольных / е «2*2 (Q), и,
чтобы придать этому граничному условию смысл, приходится
все же наложить на f кое-какие требования в отношении гладко-
гладкости, хотя и не такие большие, как в исходной формулировке.
При решении описанной выше слабой краевой задачи (извест-
(известной как обобщенная задача Дирихле) ключ к успеху — в выборе
подходящего пространства. Задача естественным образом „укла-
„укладывается" в определенное соболевское пространство функций,
удовлетворяющих сравнительно слабым требованиям гладкости,
и тот факт, что это пространство гильбертово, существенно упро-
упрощает анализ. Соболевские пространства служат в настоящее время
основным инструментом в теории дифференциальных уравнений
с частными производными. Хотя здесь для простоты мы рассмат-
рассматриваем лишь сравнительно несложный пример — однородную за-
задачу Дирихле для линейного эллиптического уравнения, излагае-
излагаемая ниже теория Соболевских пространств находит применения
при изучении как линейных, так и нелинейных уравнений, эллип-
эллиптических и эволюционных.
Преимущества постановки задачи в Соболевском пространстве
становятся особенно очевидными, когда исследуется проблема су-
существования и единственности для общего эллиптического урав-
уравнения, потому что эту проблему удается тогда сформулировать
в терминах некоего ограниченного линейного оператора, свойства
которого изучить сравнительно просто. В определенных случаях,
например для уравнения Пуассона в ограниченной области, легко
показать, что этот оператор обладает ограниченным обратным,
откуда следует, что обобщенная задача Дирихле имеет ровно одно
решение для всякой разумной правой части g. В общем случае,
однако, однородное уравнение может иметь и нетривиальные ре-
решения, и тогда уже нельзя ожидать существования решения при

11.2. Обозначения 315
произвольной правой части g. Самое большее, на что можно на-
надеяться,— это на существование и единственность при условии,
что соответствующее однородное уравнение обладает лишь нуле-
нулевым решением, иными словами, на результат, аналогичный аль-
альтернативе Фредгольма. При некоторых предположениях, главное
из которых — ограниченность области, некий родственный опера-
оператор имеет компактный обратный, и желаемую теорему об альтер-
альтернативе легко получить. Интересно заметить, что теория компакт-
компактных операторов, первоначально придуманная для того, чтобы
исследовать интегральное уравнение, возникающее при подходе
с функцией Грина, по-прежнему остается основным рабочим ин-
инструментом и в прямом подходе, где, однако, она применяется к
„оператору Грина", точный вид которого вычислять не нужно.
Доказательство этой теоремы об альтернативе будет нашим глав-
главным делом в данной главе; мы будем заниматься им в §§ 11.4 и
11.5 после того как проведем предварительно обсуждение соболев-
ских пространств в § 11.3. Указанный выше метод дает критерии
существования и единственности решений в некотором соболев-
ском пространстве для эллиптического оператора порядка 2т. Од-
Однако эти решения не обязаны принадлежать 4?2m(Q)9 и потому их
нельзя рассматривать как решения в классическом смысле. Для
того чтобы определить, когда эти решения имеют классический
смысл, требуется дополнительное исследование, и некоторые ре-
результаты в этом направлении приводятся в § 11.6.
Стандартные руководства по линейным дифференциальным
уравнениям с частными производными — Агмон [1965] и Фридман
[1969]; из других полезных работ отметим недавние книги Фол-
лэнда [1976], Шехтера [1977], Шоуолтера [1977] и Трева [1975].
Значительная часть известных к настоящему времени результатов
о линейных и нелинейных эллиптических уравнениях второго по-
порядка содержится в монографии Гилбарга и Трудингера [1977].
11.2. Обозначения
При изучении рассматриваемых в этой главе вопросов некоторую
трудность представляют сложные обозначения, и для удобства
ссылок ниже собран ряд основных соглашений на эту тему.
Мы будем иметь дело с дифференциальными уравнениями с
частными производными в подмножествах Q пространства Rn.
Множество Q всегда будет открытым, Q обозначает его замыка-
замыкание, a 0Q = ?1\п — его границу.
Нам понадобится ряд пространств функций. Поскольку по
большей части функции будут определены на фиксированной об-
области Q, то для упрощения довольно громоздкой записи мы всюду
в данной главе будем в обозначениях этих пространств опускать
символ Q, за исключением тех случаев, когда область определе-

316 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
ния функций отлична от Q. Так, 3?2 будет обозначать 3?2(&)- Все
функции предполагаются комплекснозначными, если только явно
не оговорено противное.
Помимо пространств (ё?т и <ffm(Q)y состоящих_из т раз диффе-
дифференцируемых функций, определенных на Q и Q соответственно,
часто будет использоваться пространство И?™ (определение 1.3.23)
функций из С6т с ограниченным носителем, содержащимся в Q.
Поскольку Q открыто, а всякий носитель замкнут, легко показать,
что для любой заданной функции f е И?™ существует такое е > О,
что, каково бы ни было x^dQ, / = 0 в 5(х, е)—открытом шаре
с центром х и радиусом е. Таким образом, / равняется нулю во
всех точках, расстояние от которых до границы меньше е, т. е.
в некоторой полосе около границы. Отметим, что ff™ плотно в 3?2
для 0 ^ т ^ оо (теорема 2.5.6).
Для общего дифференциального уравнения с частными произ-
производными в случае п измерений классические обозначения ужасно
громоздки. Сложность записи значительно понижается при исполь-
использовании мультииндексов.
11.2.1. Определение. Мультииндекс а — это упорядоченный набор
(оьь •••> а«), состоящий из п неотрицательных целых чисел. Мы
полагаем |a| = ai+ ••• + Ып\ правда, это вступает в противоре-
противоречие с традиционным обозначением для евклидова расстояния в
Rn, но из контекста всегда будет ясно, что именно имеется в виду.
Для мультииндексов мы резервируем буквы аир.
Для точки х = (х\9 ..., x")gR" используются обозначения
| х f = Yi */ и ха = х^1 ... хапп. Далее, мы пишем Df = д/дх. и
/)tt==D"i ... D%nm При этих соглашениях запись дифференциального
уравнения с частными производными значительно упрощается, по-
поскольку мы можем написать
S S /v „ л?«... оу= z PaDa.
/-0OJ+ ...+ол-/ Af ' * п \а\<т
Хотя всю теорию можно развить и при более общих условиях,
мы примем здесь упрощающее предположение, что коэффициенты
гладки, и оператор будем обычно записывать в следующем виде:
11.2.2. Определение. Предположим, что pap e ^(Q) при всех
а, р, причем ра$Ф0 при некоторых а, р с |а| = |р| = /л. Таким
образом, paf> — переменные комплекснозначные коэффициенты.
Для ф е <ё>2т положим
/ф= 2 (-\)^Da{pa,D\),
|alJ3l<m A12 1)
/рФ = (-1Г S Da{p^D\).
|a|=lpl=m

11.2. Обозначения 317
Оператор I называется формальным дифференциальным операто-
оператором с частными производными порядка 2m, a fa — его главной
частью 1К
Как и в случае формальных обыкновенных дифференциальных
операторов, нам необходимо понятие формального сопряженного.
Допустим на минуту, что п = 1 и ?2 = (—1, 1). Для ф, ^еУо"
интегрирование по частям дает
1 1
\ ф • D^ dx = — \ Dxcp • *ф dx.
Л -1
Заметим, что внеинтегральный член равен нулю, поскольку ф и
ф обращаются в нуль вблизи дп; последнее вытекает из предпо-
предположения, что ф, фе ^2°, Аналогично и в общем случае повтор-
повторным интегрированием по частям получаем для ф^е?"
где (•,-)o — скалярное произведение в Si (индекс 0 использу-
используется в этой главе по причинам, которые вскоре станут ясными).
11.2.3. Определение. Оператор /*, задаваемый формулой
называется формальным сопряженным к /. Оператор / называют
формально самосопряженным, если / = Г.
Для того чтобы получить корректно поставленную краевую
задачу, надо наложить на / некоторое условие эллиптичности.
Здесь мы будем использовать следующее условие:
11.2.4. Определение. Оператор / называется сильно эллиптическим
(в ?2), если существует такое с > 0, что для всех g^R"
Re(-lf/PF) = Re E tf б
|||p|
1) Индекс Р — от английского principal (главный).— Прим. перев.

318 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
где |?|2 = ??+ ... +6д. В литературе это условие иногда име-
именуют условием равномерной сильной эллиптичности.
Очевидно, что если / сильно эллиптичен, то и /* тоже. Стоит
также заметить, что условие сильной эллиптичности инвариантно
относительно замен координат с ненулевым якобианом (зада-
(задача 11.1).
п п
11.2.5. Пример. Для / = — у2 = - Е Д2 мы имеем - L (?) = ? Й.
Таким образом, лапласиан (взятый со знаком минус) силь-
сильно эллиптичен. Если / = — (X\D\ + Щ) в R2, то / сильно эллипти-
эллиптичен в полуплоскости {х\,Х2): Х\^й) для d > О, но не для d = 0.
Если l = Dx-Dl то {-\)т1р{1)=Ц, а \1\2 = 1\ + Ц и рассмат-
рассматриваемое условие не выполняется. Следовательно, уравнение теп-
теплопроводности не является сильно эллиптическим.
11.3 Слабые производные и соболевские пространства
В классической теории дифференциальных уравнений принято
рассматривать функцию / как решение данного уравнения, только
если у нее существуют и непрерывны все производные, фигуриру-
фигурирующие в этом уравнении. Этим мотивируется приводимое ниже
определение.
11.3.1. Определение. Пусть область Q ограничена и имеет границу
класса <ёооХ), а / — формальный оператор из определения 11.2.2.
При заданном g е Ф функция / называется классическим реше-
решением уравнения // = ?, если f<=W2m и
lf=g в Q. A1.3.1)
Функция / называется классическим решением однородной за-
задачи Дирихле, если вдобавок f ^<&т~1(п) и
dff/dvf = 0 на <3Q (/ = 0, 1, ..., m-1), A1.3.2)
где d/dv обозначает дифференцирование по направлению нормали
к границе.
Аналогично формулируется соответствующая неоднородная за-
задача Дирихле, при некоторых умеренных ограничениях на гранич-
граничные данные (см. Фридман [1969, с. 38]). Следуя намеченной во
!> Для целей настоящей главы достаточно интуитивного представления о гра-
границе класса &°° как об „очень гладкой" границе. Точнее определение можно было
бы дать в таком духе: для каждой точки Р^дп должны существовать открытые
множества S{ cz R"-1, 52 cz дп и биекция ср: S{-*-S2, такие что Р g S2) фЕ
^°°Ei) и ранг матрицы Якоби отображения ср равен п — 1 во всех точках S\.

11.3. Слабые производные и Соболевские пространства 319
введении линии, мы введем сейчас понятие слабого решения.
С учетом определения 11.2.3 формального сопряженного /* обобще-
обобщение рассуждений, ведущих к A1.1.3), приводит к следующему
определению:
1L3.2. Определение. Пусть задана функция g^3?2. Функция
f^2f2 называется слабым решением уравнения lf = g, если
(/> /*<P)o = (g, Ф)о для всех ф?%°°, A1.3.3)
и мы пишем в таком случае
If^g. A1.3.4)
Никаких краевых условий на слабые решения не налагается, так
что они представляют собой аналог классических решений урав-
уравнения lf = g, а не аналог классических решений задачи Дирихле.
Мы еще вернемся к этому вопросу, а пока рассмотрим дальше
соотношение A1.3.4).
Заметим, что мы не имеем права трактовать левую часть
A1.3.4) как сумму обыкновенных производных, поскольку ни для
какого из фигурирующих в этой сумме членов не гарантировано
существование в обычном смысле. Имея конечной целью придать
смысл этим членам, покажем сначала, что иногда возможно дать
разумную интерпретацию производных от функции, которая не
является гладкой в традиционном смысле.
11.3.3. Определение. Говорят, что функция / из 5?2ОС (определе-
(определение 2.5.2) обладает слабой производной порядка а, если суще-
существует такая функция g e i?loc, что
f-{D\)dx для всех <р е= ^0°°.
Эту функцию g называют a-й слабой производной (от) f и пишут
D*f = g.
Последующие замечания призваны пояснить понятие слабой
производной.
(i) Так как у ф и Dacp носители компактные, оба интеграла,
фигурирующие в определении, существуют.
(ii) Слабая производная — это, по существу, „^-понятие", и,
как обычно в таком контексте, функции, равные почти всюду,
отождествляются между собой. С этой оговоркой слабая произ-
производная определена однозначно. Действительно, если каждая из
функций g\9 g2 служит a-й производной /, то

320 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
Далее, для любого компактного множества SczQ разность gi — g2
принадлежит S?2(S)> a ^(S) плотно в 3?2(S). Отсюда следует,
что g\ = g2 п. в. в S, а значит, ввиду произвольности S, и п. в.
в Q.
(iii) Если функция / обладает а-й производной в обычном
смысле, принадлежащей «2^°° то g будет и слабой а-й производ-
производной /. Чтобы убедиться в этом, достаточно просто проинтегриро-
проинтегрировать по частям левую часть равенства, фигурирующего в опреде-
определении 11.3.3.
(iv) Слабую производную можно представлять себе как не-
нечто, получающееся в результате устранения разрывов / путем
усреднения. Стоит, однако, заметить, что / может иметь обычную
производную почти везде и не иметь слабой производной. Напри-
Например, пусть f(x) = 1 при х = 0 и 0 при х < 0. Тогда
1 1
-1 о
и, поскольку не существует функции g e ^2°°, такой что ф@) =
для всех ф е ^о°, f не обладает слабой производной.
(v) В одномерном случае имеется простая характеризация
функций со слабой первой производной. Это в точности те абсо-
абсолютно непрерывные функции, у которых первая производная при-
принадлежит 9?X2Z (задача 11.6).
(vi) Из свойства усреднения, лежащего в основе понятия сла-
слабой производной, вытекает то приятное следствие, что всегда воз-
возможна перемена порядка дифференцирования. В самом деле,
DiDjcp = DjDicp для (реС и если f обладает слабой производ-
производной DiD,f, то
откуда DiDjf = DjDif.
(vii) Из того что / — решение уравнения lf= g, нельзя сразу
же заключить, что каждый отдельный член в If можно трактовать
как слабую производную. Конечно, это следует из определений,
если / состоит ровно из одного члена, но для / общего вида сразу
сказать ничего нельзя. В § 11.6 мы покажем, что для сильно эл-
эллиптических / указанное заключение, вообще говоря, верно, но
доказывается это нетривиально.
Теперь введем гильбертовы пространства, в рамках которых
будет проводиться весь анализ. Фигурирующую ниже норму можно

11.3. Слабые производные и Соболевские пространства 321
рассматривать как измеряющую среднее значение слабых произ-
производных.
11.3.4. Определение. Пусть т — неотрицательное целое число.
Обозначим через Жт (или Жт(п), если надо явно указать об-
область) множество функций f, таких что при 0^|а|^т все сла-
слабые производные Daf существуют и принадлежат 3?2, и наделим
Жт скалярным произведением и нормой по формулам
(/, g)m =
|a|<m Q
|2 /? Г
|a|<m Q
Пространство Жт известно как соболевское пространство (или
пространство Соболева) порядка т.
Жт — собственное подмножество множества всех функций, об-
обладающих m-ми слабыми производными, поскольку от Daf требу-
требуется, чтобы они принадлежали «??2» а не только лишь Я?™''• Оче-
Очевидно, что 2?0=2?2 и (•, •)<), ll'llo совпадают со скалярным про-
произведением и нормой в S2\ индекс 0 здесь и далее в этой главе
мы ставим для согласования с обозначением Соболевских про-
пространств высших порядков. Непосредственно ясно, что
^?т .— ,— /Ч?$ О?
_ did CZ . . . СИ спэ — л, 2.
11.3.5. Теорема. Жт — гильбертово пространство.
Доказательство. Легко проверяется, что Жт — предгильбертово
пространство. Докажем его полноту. Пусть (//) — последователь-
последовательность Коши в Жт. Тогда при |a| ^ m
|a|<m Q
Следовательно, {Daf}) есть последовательность Коши в 2?2 и, зна-
значит, сходится там, скажем к /(а). Для всех фЕ?о°°
(f°, ОафH = Пт(//, D»0 = (-l)|a|lim(D7/, Ф)о = (-1)'а1(/(а), фH-
Таким образом, /@) обладает слабыми производными Da/(°)^^a)
при |a|^ m, а потому принадлежит Жт. Далее,
\\fi-ft= 2 \\D%-DTfdx,
||<

322 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
откуда следует, что //->/@) в ||*||т. Этим доказано, что (//) имеет
предел в Жт, и установлена искомая полнота. []
Как хорошо известно, множество ^°° гладких функций плотно
в 3?2- Другими словами, для т = О замыкание <??о° в Жт совпадает
с Жт. Следующая теорема (см. Фридман [1969, с. 15]) утверж-
утверждает, что то же верно для произвольного т, и тем самым дает
другое описание функций из Жт— как пределов последовательно-
последовательностей гладких функций.
11.3.6. Теорема. Замыкание &00 в \\>\\т совпадает с Жт.
При минимальных ограничениях на / может быть доказано су-
существование слабых решений, локально принадлежащих Ж2т и,
значит, обладающих слабыми производными порядка 2т (см. Аг-
мон [1965, с, 49]). Для такого решения левую часть уравнения
lf = g можно записать как сумму слабых производных. Однако
^2т (п) а Ж2т, если область Q ограничена, и потому ясно, что
даже гладкие функции из Ж2т не обращаются в нуль на границе,
как это требуется в классической однородной задаче Дирихле.
Чтобы получить слабый аналог этой задачи, нужна некоторая мо-
модификация пространств Жт.
11.3.7. Определение. Обозначим через Ж™ замыкание 93™ в Жт.
Пространство Ж™ тоже называется соболевским постранством
порядка т.
Как и выше, имеет место цепочка включений
B?°° ,— ,— <урт+1 — <Ч?>™- ,— ,— /W) q?
jifо с. ... с. с7Фо (— Gwo с_ . . . с_: е/Фо — «гГ2»
Функции из ^о° обращаются в нуль вблизи 5Q, и можно ожидать,
что этот факт соответствующим образом отражается в поведении
на dQ функций из Ж™.
11.3.8. Пример. Как и Ж\ в одномерном случае пространство Ж\
допускает простое описание. Пусть Q = (—1, 1). Согласно заме-
замечанию (v) к определению 11.3.3, каждая функция {^жЦаЖ1)
есть абсолютно непрерывная функция, у которой первая производ-
производная принадлежит 3?2- По определению, существует последова-
последовательность (ф/) в ®о°, такая что lim ||<р/ — f|| = 0. Поскольку носи-
носители ф/ лежат в Q, то
Ф/(*)=
-1

11.3. Слабые производные и Соболевские пространства 323
и, в силу неравенства Шварца,
[ф/@ - Г
Ф/W- J f'(t)dt
J
\
Следовательно, фу(л:)-> \ f'(t)dt в sup-норме, а так как ф/->/
X
в норме ||-Hi и потому в 3?2> то /(*)= \ f {t)dt п. в. Таким обра-
образом, /(—1) = 0, и по сходным соображениям также и /A)=0.
Как легко проверить (задача 11.8), справедливо и обратное ут-
утверждение, и мы заключаем, что/ ^Жо тогда и только тогда, ко-
когда f—абсолютно непрерывная функция с /'^«S^, обращающая-
обращающаяся в нуль в точках ± 1.
П.3.9. Лемма. Предположим, что область п ограничена и имеет
гладкую границу. Если f <= Ж™ [\<Sm~x (п), то dif/dvi = O на дп
при 0^/^т—1. Обратно, если f^Wm(u) и указанные выше
нормальные производные обращаются в нуль на дп, то /^ Ж™.
Доказательство. См. Фридман [1969, с. 39]. []
В случае когда т = 0 или п = Rn, мы имеем Ж™ = Жт, но,
как явствует из леммы, в общем случае эти пространства не со-
совпадают. За исключением одномерного случая, для функций из
Ж™ обычно нельзя дать простой характеризации. Однако, как
показывает лемма, всякая гладкая функция из Ж™ обращается
на дп в нуль вместе со своими первыми т— 1 нормальными про-
производными. Поскольку это — как раз то свойство, которое требу-
требуется от решения классической однородной задачи Дирихле, сла-
слабый аналог этой задачи разумно сформулировать следующим об-
образом: найти решение уравнения If = g в Ж™. Эта задача назы-
называется обобщенной задачей Дирихле, и ее изучение составляет
главный предмет данной главы. Решение этой задачи опирается
на свойства Соболевских пространств, которые устанавливаются
ниже.
Пусть функция / определена на п. Для произвольного откры-
открытого множества п' => п зададим продолжение / на п' (которое
снова обозначим через /), потребовав, чтобы f = 0 на ?2'\?1 Бу-
Будем в таком случае говорить, что / продолжена на п' нулем.
Вообще говоря, функция }^Жт(п), продолженная нулем на
п', не будет принадлежать Жт(пг). Действительно, если рассмот-
рассмотреть такое продолжение, скажем, для индикаторной функции мно-

324 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
жества Q, то, очевидно, всё, что можно сказать, это что оно при-
принадлежит Ж°(п/). Однако ввиду предыдущих замечаний можно
рассчитывать на большее для функций из ЖГ(Й).
11.3.10. Лемма. Пусть ?2, Q' открыты и Q'zdQ.
(i) Если функция /еЖГ(О) продолжена нулем на Q', то
f €= ЖР (Q')« в этом смысле ЖГ (Q) сг Ж (Q').
(И) ?о/ш функция f принадлежит Ж™(Q') и имеет компактный
носитель, лежащий в Й, то (сужение на Q) f e 5^o*(Q).
Доказательство, (i) Пусть (ф/) — последовательность в ^(Q), та-
такая что ф/-^/ в ll-llm. Для каждой функции ф/ ее продолжение
нулем на Q' принадлежит ^(Q')» и (ф/)—последовательность
Коши B^oz(Q/j. Отсюда немедленно следует наше утверждение.
(И) легко доказать, используя какую-нибудь последователь-
последовательность сглаживающих функций, и мы предоставляем проделать это
читателю в качестве упражнения (задача 11.11). []
Хотя рассматриваемые нами функции обычно определены на
некотором собственном подмножестве в Rnt для того чтобы можно
было эксплуатировать свойства преобразования Фурье (см. тео-
теорему 2.6.1), нужно сперва продолжить функции нулем на всё Rn.
Следующая лемма утверждает, что если /^ЖГ(Й), то / быстро
стремится к нулю на бесконечности. Это, конечно, неверно, если
предположить лишь, что f^2?em(Q).
11.3.11. Лемма. Пусть /еЖР(О). Продолжим f нулем на Rn.
Тогда при \ а \ ^ m
&4A)={-®а№> A1.3.5)
Rn |a|<m
Доказательство. Для f^^o°(Q) равенство A1.3.Б) получается
интегрированием по частям. Для произвольной функции / ее про-
продолжение принадлежит Ж™ (Rn) (по лемме 11.3.10), а потому
Daf^9?2(Rn). Следовательно, для всех ф <= %°° (R")
Rn

11.3. Слабые производные и Соболевские пространства 325
Равенство A1.3.5) вытекает отсюда, поскольку ^(R") плотно в
i?2(R")> а значит, тем же свойством обладает и его образ при
изометрическом изоморфизме /»—>/. Формула A1.3.6) немедленно
следует из определения ||-|L и формулы Парсеваля. [J
Следующая ниже теорема — ключ к решению обобщенной за-
задачи Дирихле, ибо она позволяет установить, что основной опера-
оператор в рассматриваемой теории компактен. Фигурирующее в этой
теореме условие ограниченности Q в общем случае опустить нель-
нельзя; заметим, что при определенных условиях на дп результат
верен также и для Жт (см. Агмон [1965, с. 30]).
11.3.12. Теорема вложения Реллиха. Пусть Q открыто и ограни-
ограничено и m, k — неотрицательные целые числа, такие что m > k.
Тогда вложение Ж™ в Ж\ компактно.
Доказательство. Надо проверить, что любая последовательность
(//) в замкнутом единичном шаре пространства Ж™ обладает под-
подпоследовательностью, сходящейся в ||*|U« В силу слабой секвен-
секвенциальной компактности замкнутого единичного шара в гильбер-
гильбертовом пространстве (теорема 6.4.3) существует подпоследователь-
подпоследовательность (будем обозначать ее по-прежнему через (//)), слабо схо-
сходящаяся в Ж™ к некоторому элементу / с ||/||т^ 1. Далее, для
0 ^ k ^ m вложение Ж™ в Ж\ непрерывно, и поэтому каждый
непрерывный линейный функционал на Ж$ можно рассматривать
как непрерывный линейный функционал на Ж™; отсюда следует,
что fj-^f в Жо. Сейчас будет показано, что если k < m, то
ll/ylU-HI/IUi откуда и вытекает требуемый результат (см. зада-
задачу 6.11).
Продолжим //, f на R" нулем. Поскольку fj-^-f в 3@o = 2?2(Q)
то, как легко следует из определения преобразования Фурье,
//->/ поточечно, а потому
Z ||а|21Ш12- Z |!а12ШШ2 (п.3.7)
|а|<т |а|<т
для каждого |. В силу неравенства Шварца, |//(?)|<с, где с
зависит только от Q. Следовательно, для любого т <С оо каждый
член в A1.3.7) мажорируется при |||^т некоторой константой,
и, значит, по теореме 2.4.11 о мажорированной сходимости,
Пт \ ? |6e|2|//(E)fd6= J Z Ua|2!/(DI2^ (П.3.8)
Ввиду A1.3.6) это почти то, что нам нужно. Доказательство бу-
будет завершено, если мы убедимся, что вклад в интеграл от

326 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
||| > т мал. Возьмем произвольное е > 0. Поскольку т > k, най-
найдется т > 0, такое что
I 1П2<е при |Ц>т. A1.3.9)
В силу лемм 11.3.10 и 11.3.11, |а/(?) <= 2fe (R") при |а|<т. По-
Поэтому
|а|<т
A1.3.10)
(первое неравенство справедливо вследствие A1.3.9) и A1.3.6)).
Аналогичное рассуждение^ показывает, что оценка A1.3.10) верна
и при /, замененном на //. Далее, ввиду A1.3.8) существует п0,
такое что для / > щ
Следовательно, для / > п0
Eel2
{l//(E)l2-l/(E)l2}rf6
<3е
(мы разбиваем Rn на внутренность и внешность шара 5@, т) и
используем последнюю оценку и A1.3.10)). Таким образом,
lim llf/IU = ll/IU, что и требовалось установить. []
Следующий результат будет применен при решении вопроса
о том, когда решения обобщенной задачи Дирихле являются глад-
гладкими. Говорят, что ограниченная область Q обладает свойством
конуса, если существуют такие положительные числа 8, h, что для
каждой точки х ^ Q найдется прямой круговой конус с верши-
вершиной х, углом при вершине 0 и высотой h, содержащийся в Q.
11.3.13. Лемма. Пусть Q открыто и ограничено, m > п/2 — неко-
некоторое целое число. Предположим, что либо f ^ ^о°, либо f ^
<й?00 (Q) и п обладает свойством конуса. Тогда существует веще-
вещественное число с (зависящее только от n, m, Q), такое что
supl/WKdl/L. A1.3.11)
Доказательство. Мы докажем результат для случая /е^о0; до-
доказательство для второго случая можно найти у Фридмана [1969,
с. 22]. Пусть р — какое-нибудь число, большее диаметра Q. Возь-

11.4- Обобщённая задача Дирихле 327
мем произвольную точку PgQ в качестве начала координат, и
пусть г обозначает расстояние от точки Р до рассматриваемой
точки. Продолжим / на Rn нулем. Интегрируя по частям га-— 1
раз, получаем
где ft —константа, зависящая только от га. Интегрирование по
угловым переменным дает
= b' \
S(P, р)
где т—-элемент объема У зависит лишь от п, га. В силу неравен-
неравенства Шварца,
dmf
Wm dx.
S(P,p) 5(P, p)
Первый интеграл конечен при т > п/2 и зависит только от т,
п, й, а второй не превосходит II/||^. Наш результат вытекает те-
теперь из произвольности Р. []
11.3.14. Теорема вложения Соболева. Предположим, что Q откры-
открыто и ограничено, и пусть k — целое число, меньшее m — /г/2. Если
f е Ж™ или же f е Жт, но Q обладает_свойством конуса, то f п. в.
равняется некоторой функции из (e>k(Q)i и вложение Ж™ (соотв.
Жт), в Wk(Q) непрерывно, причем его норма зависит только от
п, m, Q.
Доказательство. Оценка A1.3.11), примененная к Daf при |а|г^&,
показывает, что вложение ЖГ в Wk(Q) непрерывно на плотном
подпространстве ^0° в Ж™- Утверждаемый результат получается
продолжением этого вложения по непрерывности (теорема 3.4.4).
Доказательство для второго случая аналогично. []
11.4. Обобщенная задача Дирихле
можем теперь продвинуться вперед в нашем главном деле —
решении слабого аналога классической однородной задачи Ди-
Дирихле. Напомним, что этим аналогом служит обобщенная задача
Дирихле, состоящая в нахождении решений в Ж™ уравнения
// = gt причем граничные условия имитируются следующим огра-
ограничением: допускаются только решения, принадлежащие Ж™.
На самом деле эта формулировка не очень удобна, так как поря-

328 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
док рассматриваемого Соболевского пространства равен всего
лишь т и потому члены порядка выше т в If нельзя интерпрети-
интерпретировать как слабые производные. Более удобная формулировка
вновь подсказывается рассмотрением уравнения Пуассона.
Если / ^ 2ёо — решение обобщенной задачи Дирихле для
/ = -_ V2, то
-V2/ = g; (П.4Л)
согласно определению 11.3.2, это равносильно соотношению
(/> — У2ф)о = (g> Ф)о Для всех ф <= «?*.
Поскольку функция f принадлежит Ж\, она обладает слабыми
частными производными первого порядка, и одно интегрирование
по частям законно. Интерпретируя компоненты V как слабые про-
производные, получаем
\ V/- Wdx= [ gydx. A1.4.2)
Q Q
Положим
В [/, ф] = [ V/ • УФ dx.
Ясно, что В— билинейная форма (см. задачу 6.18) на <^о X %°° и
| (Dtf, Я/Ф)о | < 2 || Dtf Но || D& Но < с
где с зависит лишь от п. Следовательно, форма В ограничена,
и, поскольку Жо представляет собой замыкание ^5° в || - \\1у ее
можно продолжить по непрерывности до ограниченной формы на
^Х*о, причем в силу A1.4.2)
B[f, ф]=(«Г, Ф)о для всех ф^^о. A1.4.3)
Задача нахождения /e5^J, удовлетворяющего этому уравнению,
равносильна, таким образом, задаче A1.4.1). Уравнение A1.4.3)
и есть искомая более удобная форма обобщенной задачи Дирихле.
В контексте пространства Ж\ это весьма естественная формули-
формулировка, ибо каждая производная в выражении В [/, ф] определена
в слабом смысле, в то время как в исходной задаче A1.4.1) чле-
члены V2/ нельзя так интерпретировать.

11.4- Обобщённая задача Дирихле 329
Интересно заметить, что последняя формулировка является,
по существу, вариационной. Чтобы убедиться в этом, предположим
для простоты, что все функции вещественнозначны, и рассмотрим
квадратичный функционал Q, задаваемый формулой
Формальная производная Фреше от Q в ф равна
Jyf -щах
и условие ее обращения в нуль как раз совпадает с A1.4.2). Та-
Таким образом, обобщенную задачу Дирихле можно трактовать как
уравнение Эйлера для Q. Далее, легко проверить, что если J —
решение уравнения A1.4.2), то Q(f + ф)^ Q(f) для любого
фе5Ко; это показывает, что Q достигает минимума на некотором
решении уравнения A1.4.2). Развивая этот подход, можно дока-
доказать существование и единственность функции из Ж\, минимизи-
минимизирующей Q, и тем самым дать доказательство существования ре-
решения для обобщений задачи Дирихле. Это — прямой метод ва-
вариационного исчисления, исторические корни которого лежат в
рассуждениях Римана об интеграле Дирихле (см. задачу 11.17).
Здесь мы пойдем по несколько иному пути.
Вернемся к обобщенной задаче Дирихле для произвольного I
и будем действовать по образцу рассуждений, приведших нас к
A1.4.3).
11.4.1. Определение. Пусть /—формальный дифференциальный
оператор из определения 11.2.2. Для всех /, феЖот положим
Ф]= S
||l3l
В называется билинейной формой, ассоциированной с I.
11.4.2. Лемма. В — ограниченная билинейная форма на ЖГХ^о1»
Если оператор I формально самосопряжен, то форма В эрмитова.
Доказательство. По предположению pa^^W(Q), Следовательно,

330 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
где с, с' — константы, зависящие лишь от ра$ и га, п. Это показы-
показывает, что форма В ограничена. Второе утверждение леммы сле-
следует из определения 11.2.3. Q
11А.З. Определение, Пусть /—формальный оператор порядка 2га
из определения 11.2.2. При заданной функции g^2f2 задача на-
нахождения функции / е 3@™9 такой что
B[f, <p] = te, Ф)о для всех Ф€=Ж\ A1.4.4)
называется обобщенной задачей Дирихле.
Это — наш окончательный вариант слабого аналога классиче-
классической однородной задачи Дирихле.
В качестве первого шага на пути к решению переформулируем
задачу так, чтобы в новой формулировке фигурировало одно-един-
одно-единственное гильбертово пространство, ЖГ. В силу неравенства
Шварца, | (g, ф)о|<Нг11о11фНо; следовательно, поскольку ||ф||0<
||ф||т, мы имеем | (g, фH| ^HgllolMlm. Таким образом, функцио-
функционал g*y определенный формулой g*(y) = (g, ф)о, есть непрерывный
линейный функционал наЖГ,и по теореме Рисса о представлении
линейного функционала 6.4.1 существует единственный элемент
ЛеЛт, такой что (g, ф)о = ё"*(ф) = (^> ф)т. Обобщенная задача
Дирихле состоит, следовательно, в том, чтобы найти для такого
h е Ш™ элемент / е Ж™, удовлетворяющий условию
B[f, Ф] = (А, Ф)Л при всех ф^ЗС. A1.4.5)
Метод, которым решается эта задача, можно прояснить, при-
приняв на время дополнительное предположение, что форма В эрми-
эрмитова. Поскольку В ограничена, то, согласно задаче 6.18, суще-
существует единственный ограниченный самосопряженный оператор,
скажем L, такой что
В [f> ф] = (Lf, ф)от при всех /ф <= 5&01,
и A1.4.5) принимает вид (Lfq)m=(h, ф)от для всех фЕ^о1, или,
эквивалентно, L/ = ft. Если L~x ^3? {Ж™)> то это уравнение, а с
ним и обобщенная задача Дирихле имеет единственное решение
f=xL~xh. Так как это дает полный ответ на вопрос о существова-
существовании и единственности решения, нас интересуют условия на В,
гарантирующие, что В обладает указанным свойством. Простей-
Простейшее такое условие заключается в том, что форма В строго поло-
положительна, т. е. существует такое с > 0, что (L/, f)m=B[f9 f]^
сIIfilm, ибо тогда (по теореме 6.6.6) O^p(L). Если В не эрмитова
(а тем самым и не вещественнозначна), то это условие уже не го-
годится, но легко подыскать подходящее его обобщение. Вот оно.

11.4- Обобщённая задача Дирихле 331
11.4.4. Определение. Форма В называется коэрцитивной, если су-
существует вещественное число с > О, такое что для всех / ^ Ж™
ReB[/, \\>o\\\tm.
11.4.5. Теорема Лакса — Милгрэма. Для всякой ограниченной би-
билинейной формы В на Ж™ X ЖГ существует единственный опе-
оператор L^3? (Ж™), такой что В [/, ф] = (L/, ф) m при всех
f, ФЕ Ж™. Если В коэрцитивна, то L~l <=S(Ж™).
Доказательство. Поскольку В ограничена, то при фиксированном
/ функционал ?* = #[/,•] есть непрерывный антилинейный функ-
функционал на Ж™. Следовательно, по теореме Рисса о представле-
представлении 6.4.1, существует единственный элемент к^Ж™, такой что
B[f9<p] = (k9<p)m при всех ф<=ЖГ, и ||A|U = IIB*||. Формула
k = Lf (f e Ж™) определяет тогда оператор L, который линеен
(это очевидно), ограничен (поскольку ||fi*||^d||/IL для некото-
некоторого deR) и удовлетворяет условию B[f, ф] = (Lf, ф)т.
Если форма В коэрцитивна, то найдется с 5> 0, такое что
\\mjf\\m>\B[f, f]\>RzB[f, f]^c\\f\\2
\m.
Следовательно, \\Lf\\m^c\\f\\m. Кроме того, Я(Ь) = Ж^11 ибо если
h^RiLI, то В [A, h] = (Lh, A)o = O, а значит, А = 0, в силу ко-
эрцитивности В. Утверждаемый результат следует теперь из лем-
леммы 3.8.18. D
11.4.6. Теорема. Пусть I — формальный оператор порядка 2га из
определения 11.2.2 и В — ассоциированная с ним билинейная фор-
форма. Тогда если В коэрцитивна, то у обобщенной задачи Дирихле
при любой заданной правой части g^2?2 существует ровно одно
решение (в Жо1)-
Доказательство. Применяем лемму Лакса —Милгрэма к A1.4.6).
11.4.7. Пример. Возьмем l = — V2 + k + py где &^R и /?ey
Тогда
B[f, Ф]=
где р0 = lnf Rep (л:). Таким образом, если k^l—р0, то наша
х е й
х е й
х е й
форма коэрцитивна и по теореме 11.4.6 обобщенная задача Ди-

332 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
рихле имеет единственное решение. Условие k ^ 1 — ро, вообще
говоря, существенно, но в том важном случае, когда область Q
ограничена, его можно значительно ослабить, используя неравен-
неравенство Пуанкаре (см. задачу 11.15). Приводимая далее лемма по-
показывает, как реализуется эта идея в одном конкретном случае,
и, в частности, устанавливает существование и единственность
решения для уравнения Лапласа.
С другой стороны, если р = 0 и k—большое отрицательное
число, то форма В не коэрцитивна и указанный метод не прохо-
проходит. Это и естественно, ибо, поскольку оператор Лапласа имеет
отрицательные собственные значения (совпадающие со значения-
значениями А, при которых у уравнения // = 0 есть нетривиальные реше-
решения), существование не должно иметь места при некоторых отри-
отрицательных k. Лучшее, на что можно рассчитывать, — это альтер-
альтернатива Фредгольма. Она будет темой следующего параграфа.
11.4.8. Лемма. Пусть Q ограничено. Предположим, что I — одно-
однородный оператор степени 2га с постоянными коэффициентами:
Тогда, если I сильно эллиптичен, то ассоциированная с ним форма
коэрцитивна.
Доказательство. Очевидно, достаточно рассмотреть функции из
^0°, так как это — плотное подпространство ъЖ™. Возьмем про-
произвольную функцию ф е #5° и продолжим ее нулем на Rn.
Тогда
Reflfo,q>]=Re$
Rn |o|-|p|-m
III IФ(I)I d\ (сильная эллиптичность!)
Rn
>c\
\
gn \a\=m
= c' \
\D\fdx, A1.4.6)
Rn \a\=m
где с, с' — строго положительные числа, не зависящие от <р. Да-
Далее, из неравенства Пуанкаре непосредственно следует (зада-
(задача 11.15), что существует а > 0, такое что для всех фЕ%°°
Rn \a\=m g*1 \a\<.m

11.4- Обобщённая задача Дирихле 333
Сопоставляя это с A1.4.6), заключаем, что
ReB[fp,q>]>c'{l+a)-l\\<p\fm.U
В случае когда форма В коэрцитивна, существование и един-
единственность решения для обобщенной задачи Дирихле гарантиру-
гарантируется теоремой 11.4.6. Как будет показано ниже, это решение f
непрерывно зависит от правой части g в том смысле, что f = Gg,
где G: &2-+Ж™— ограниченный линейный оператор.
Поскольку Ж™ cz Ж\ =3?2> всякий элемент ф ^ Ж™ можно
рассматривать и как элемент из 3?2, и если мы так поступаем, то
часто никаких недоразумений не возникает. Однако сейчас нам
необходимо проводить четкое различие между этими двумя воз-
возможностями, и с этой целью мы введем следующее определение:
11.4.9. Определение. Пусть /О Жо1-+3?2 обозначает естественное
вложение Ж^ в 3?2 и /(*: 3?2->Ж™ — сопряженный к нему опе-
оператор.
Очевидно, К и К* — ограниченные линейные операторы с нор-
нормой, не превосходящей единицы. Одно из преимуществ явного
введения оператора К состоит в том, что можно использовать
свойства его сопряженного. В силу определения 6.5.61), если
gG^2H фЕ Ж™, ТО
Далее, согласно лемме Лакса — Милгрэма 11.4.5 и уравне-
уравнению A1.4.5), решением / обобщенной задачи Дирихле служит
L~xhy где h связано с правой частью g соотношением (ft, <p)m =
(?>ф)о Для всех феЖ?1. Следовательно, ввиду A1.4.7), h = K*g
и / = L~lK*g. Это показывает, что / непрерывно зависит от g (ибо
оператор L~lK* ограничен).
11.4.10. Определение. Операторы G=L~lK*: &2-+Ж™ и 0 =
KL~lK*: 3?2~^3?ч будем называть операторами Грина.
Термин ,,оператор Грина" используется потому, что G играет
здесь ту же роль, какую в классической теории играет интеграль-
интегральный оператор с ядром — функцией Грина. Одно из преимуществ
настоящего метода состоит в том, что все свойства. G, требуемые
для доказательства существования и единственности, могут быть
получены без детального анализа соответствующей функции Гри-
Грина. Подытожим результаты данного параграфа в виде следующей
теоремы.
1) Точнее, „гильбертова аналога" определения 6.5.1. — Прим. перев.

334 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
11.4.11. Теорема. Предположим, что форма, ассоциированная с
оператором /, коэрцитивна. Тогда для любой правой части g^3?2
решением обобщенной задачи Дирихле служит f = Gg, где G =
L~lK* — ограниченный линейный оператор из 3?2 в ЖГ-
11.4.12. Следствие. Предположим вдобавок, что оператор I фор-
формально самосопряжен. Тогда G = KL~lK* есть ограниченный само-
самосопряженный оператор 3?2->3?2.
Доказательство. Поскольку форма В эрмитова, оператор L само-
самосопряжен, а следовательно, таков же и оператор G. []
11.5. Альтернатива Фредгольма для обобщенной задачи Дирихле
Теорема 11.4.6 решает вопрос о существовании и единственности
решения обобщенной задачи Дирихле для случая, когда форма В,
ассоциированная с оператором /, коэрцитивна. Рассмотрение про-
простых примеров (скажем, оператора —V2 + k из примера 11.4.7)
показывает, что если форма В не коэрцитивна, то соответству-
соответствующее однородное уравнение (т. е. уравнение с правой частью
g = 0) может обладать нетривиальными решениями. Эти приме-
примеры наводят также на мысль, что единственности и существования
решения для произвольных g можно ожидать в том и только том
случае, когда таких нетривиальных решений не существует. Мы
докажем сейчас, что этот мощный аналог альтернативы Фред-
Фредгольма действительно имеет место для всех сильно эллиптических
операторов в ограниченной области. Доказательство основано на
компактности оператора Грина и напоминает рассуждения, ис-
используемые при классическом подходе с интегральными уравне-
уравнениями.
Используемый метод подсказывается тактикой, применяемой
в случае более простого уравнения
Mf = gt A1.5.1)
где М^9?(Ж)—самосопряженный оператор в гильбертовом про-
пространстве Ж. Если М строго положителен, то О^р(М) и урав-
уравнение A1.5.1) имеет единственное решение f=M~lg. Предполо-
Предположим, однако, что вместо условия строгой положительности выпол-
выполнено лишь более слабое условие (Lf,f)^ — b\\f\\2 (b>0). Тогда
для а > Ь снова оператор Ма =М -\- al строго положителен,
О^р(Ма) и Ма обладает ограниченным обратным. Переписывая
уравнение A1.5.1) в виде Maf = g + а/, получаем
f = aM^f + gt где g = Malg. A1.5.2)
Таким образом, вопрос о существовании и единственности решения
для уравнения A1.5.1) можно решить, рассматривая уравнение

11.5. Альтернатива Фредгольма для обобщённой задачи Дирихле 335
A1.5.2). Если оператор Мп1 компактен, то преимущества исполь-
использования уравнения A1.5.2) очевидны, ибо в случае компактных
операторов применима альтернатива Фредгольма.
При проведении этого рассуждения для обобщенной задачи
Дирихле то обстоятельство, что вместо одного появляются два
гильбертовых пространства Ж™ и 3?1 = Ж\ и вместо строго по-
положительных операторов приходится иметь дело с коэрцитивными
формами, слегка усложняет дело, но в общем метод аналогичен.
Мы показываем, что, добавляя к В подходящий член, можно по-
получить форму, которая коэрцитивна (а потому обладает ограни-
ограниченным оператором Грина). То что это можно сделать, вытекает
из фундаментального неравенства Гординга. Доказательство этого
неравенства довольно сложно; его можно найти, например, у
Фридмана [1969, с. 34].
11.5.1. Теорема (неравенство Гординга). Пусть Q ограничено, а
формальный оператор I из определения 11.2.2 сильно эллиптичен.
Тогда существуют такие числа с > 0 и а, что для всех ф е Ж™
, Ф]>с||фЦ2т-а||ф||20.
11.5.2. Следствие. В предположениях предыдущей теоремы фор-
форма Впу задаваемая равенством
коэрцитивна.
Доказательство. В силу неравенства Гординга, для всех
Refi,[q>, <p] = Re5[q>, ф]+а||Ф||2
Теперь для установления компактности оператора Грина при-
привлекается теорема вложения Реллиха 11.3.12. Как уже отмечалось
ранее, без условия ограниченности Q в общем случае обойтись
нельзя.
Ниже La, Ga, Oa обозначают операторы, которые строятся по
форме Ва точно так же, как операторы L, G, О строятся по фор-
форме В.
11.5.3. Теорема. Если Q ограничено, то оператор Грина Ga'.
3?<i-*3?<i> отвечающий коэрцитивной форме Ва, компактен.
Доказательство. В силу теоремы 11.3.12 вложение К простран-
пространства ЖГ в 2&q = 2?2 компактно. Отсюда следует компактность
оператора Ga = KLZlК*> ибо L^ и К* непрерывны. []

336 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
11.5.4. Определение. Комплексное число X называется собственным
значением обобщенной задачи Дирихле, если существует ненуле-
ненулевая функция / е ЖГ, такая что
в [/> ф] = Л (/, фH при всех ф е ЖГ;
в этом случае f называется собственной функцией, отвечающей
собственному значению Я.
11.5.5. Теорема (альтернатива Фредгольма). Пусть Q открыто и
ограничено, а формальный оператор I из определения 11.2.2 силь-
сильно эллиптичен. Тогда либо обобщенная задача Дирихле имеет в
точности одно решение для любого ge^» либ° нуль является
ее собственным значением.
Доказательство. В силу следствия 11.5.2 и теоремы 11.5.3, для не-
некоторого ogR оператор Грина 0а компактен. Покажем прежде
всего, что обобщенная задача Дирихле равносильна уравнению
f = aGj + §, A1.5.3)
где g = Gag uf = Kf. (Заметим, что функции / и / — это на самом
деле одна и та же функция; в настоящем доказательстве мы ис-
используем для нее два символа, чтобы подчеркнуть тот факт, что
она рассматривается то как элемент пространства ЖГ, то как
элемент пространства &%. Если быть абсолютно точными, то нам
следовало бы записывать обобщенную задачу Дирихле в виде
B[f, ф] = (g, /(ф)о> поскольку в старой записи ф фигурирует в од-
одном случае как элемент из ЖГ> а в другом как элемент из 3?2-
Однако здесь, как и в других местах, мы стараемся избегать из-
излишне педантичной записи.)
Добавляя а(/, фH к каждой части уравнения B[f, ф] = (g, фH,
получаем
Ba[U Ф] = ИЧ?, Ф)о,
откуда, в силу теоремы 11.4.11, f — aGaf + Gag. Обратно, предпо-
предположим, что f^3?2 удовлетворяет уравнению A1.5.3), и положим
f=Ga{aJ + g). Тогда /е=»т и
Таким образом, для всех ф е Ж™
Ва [/, Ф] - (LJ, Ф)т = (LaGa (af + g), Ф)т
= (Г (af + g), ф)т = (af + g9 /СфH = (af + g, Ф)о.
Вычитая (af, фH из каждой части уравнения, убеждаемся, что f
есть решение обобщенной задачи Дирихле,

11.5. Альтернатива Фредгольма для обобщённой задачи Дирихле 337
Для завершения доказательства остается вспомнить, что опе-
оператор Ga компактен, и применить к A1.5.3) теорему 7.3.7 об аль-
альтернативе Фредгольма. []
Используя компактность Gfa, можно, далее, показать, что если
нуль служит собственным значением обобщенной задачи Дирихле,
то она имеет решение тогда и только тогда, когда функция g ор-
ортогональна к каждой из (конечного числа) соответствующих соб-
собственных функций.
Мы завершим параграф двумя результатами, которые подчер-
подчеркивают аналогию между спектральными свойствами обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравне-
уравнений с частными производными.
11.5.6. Теорема. Пусть выполнены предположения предыдущей
теоремы. Тогда либо обобщенная задача Дирихле для оператора
I — К имеет ровно одно решение для любого g e S^ либо X яв-
является собственным значением исходной обобщенной задачи Ди-
Дирихле. Множество собственных значений этой последней не имеет
конечных предельных точек, и каждому собственному значению
отвечает лишь конечное число линейно-независимых собственных
функций.
Доказательство. Применяем теорему 11.5.5 к оператору / — Я и
используем теоремы 7.4.1 и 7.4.2. []
11.5.7. Теорема. Пусть выполнены предположения теоремы 11.5.5.
и, кроме того, оператор I формально самосопряжен. Тогда из соб-
собственных функций обобщенной задачи Дирихле можно составить
базис пространства 3?2-
Доказательство. В силу соображений, использованных при доказа-
доказательстве теоремы 11.5.5, всякому решению f уравнения \inf =
aGaf отвечает собственная функция / обобщенной задачи Ди-
Дирихле с собственным значением А/г = а(|1^1-—l). Поскольку опе-
оператор Ga самосопряжен (следствие 11.4.12), наш результат будет
следовать из теоремы Гильберта — Шмидта 7.5.1, если мы пока-
покажем, что нуль не является^собственным значением оператора Gfa.
Но действительно, пусть Gaf = 0. Тогда
0 = (KL?K% f)o = (L;lK*f, K*l)m = Ba[K*l K*f],
а значит, поскольку форма Ва коэрцитивна, К*] = 0. Следова-
Следовательно, для всех ф е Ж™
O=(K*~f,<v)m = (f, Kcp)o=(f, фH,
откуда вытекает, что / = 0, ибо ЖГ плотно в 5?%. Q

338 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
11.6. Гладкость слабых решений
Проведенный в предыдущем параграфе анализ дает единствен-
единственные критерии существования и единственности решения обобщен-
обобщенной задачи Дирихле. В приложениях иногда важно знать, не яв-
является ли такое решение / достаточно гладким для того, чтобы
служить классическим решением задачи Дирихле. Если мы хотим,
чтобы это было так, то /, во-первых, должно иметь 2т непрерыв-
непрерывных производных вй, а во-вторых, должно быть настолько глад-
гладким, чтобы для него имели смысл граничные условия, т. е. / долж-
должно иметь т—1 непрерывных производных в Q. Эти два свойства
называют регулярностью внутри области и регулярностью вплоть
до границы соответственно, и в общем дело обстоит так, что /
обладает обоими этими свойствами, если правая часть g и гра-
граница дп достаточно гладки. Доказательство этого утверждения
сопряжено с весьма значительными техническими трудностями, и,
поскольку главный интерес представляет для нас обобщенная за-
задача Дирихле, мы просто сформулируем соответствующий резуль-
результат и отошлем читателя за доказательством к одному из указан-
указанных выше руководств. Тем не менее, чтобы дать читателю почув-
почувствовать, какого типа рассуждения здесь используются, мы дадим
набросок доказательства регулярности внутри области для одного
сравнительно простого, но важного случая — когда главная часть/
имеет постоянные коэффициенты. Основная идея состоит в том,
чтобы показать, что порядок Соболевского пространства, которому
принадлежит /, можно шаг за шагом поднять до 2m + k, если
g^3@k. Непрерывность нужных производных следует тогда из
теоремы вложения Соболева 11.3.14.
При рассмотрении вопросов, связанных с регулярностью внут-
внутри области, удобнее брать дифференциальный оператор / не в фор-
форме, указанной в определении 11.2.2, а в следующей форме:
11.6.1. Определение. Пусть pa^W^iQ) для |а|^2т. Формаль-
Формальный оператор / порядка 2т, его сопряженный I* и его главная
часть 1р определяются формулами:
|a|<2m
/7= ? {-\)wDa{pj),
|a|<2m
tPf= ? paoaf.
|a|=2m
Оператор / называется сильно эллиптическим, если существует
такое с >> 0, что для любого вещественного ? и любого х ^ Q

11.6. Гладкость слабых решений 339
Пусть /, /i, ..., lr — формальные операторы. Соотношение
If=h8i+ ... +lrSr на Q
означает, что для всех фе ^о°
Регулярность внутри области — локальное свойство. Функция /
дифференцируема на открытом множестве Q, если она дифферен-
дифференцируема в некоторой окрестности каждой точки этого множества.
Поэтому интуитивно ясно, что граница Q не имеет здесь никакого
отношения к делу. В частности, не должно иметь значения, лежит
f в ЖГ или в Звт, и, действительно, регулярность внутри об-
области будет установлена нами для всех решений уравнения
lf = gt при условии что правая часть g достаточно гладка. Для
того чтобы извлечь выгоду из того обстоятельства, что нас инте-
интересует лишь локальный результат, для произвольной точки Р из
Q рассматривается уравнение относительно i|)f, где функция if>
равна 1 в некоторой окрестности 5 точки Р и принадлежит
$о°(Й). Тогда если f^3@k, то ф/е«3#? и по лемме 11.3.10 функ-
функция -ф/, продолженная нулем на Rrt, принадлежит Жо(ип). Пре-
Преимущества такого подхода в том, что с регулярностью на всем Rn
иметь дело гораздо легче, ибо можно применять преобразование
Фурье. Поведение же / на самой окрестности 5 легко восстанав-
восстанавливается, поскольку г|) = 1 на 5. Начнем поэтому с двух резуль-
результатов для Rrt.
11.6.2. Лемма. Пусть f e^fR"). Тогда f^2ek(Rn) в том и только
том случае, если (l+\l\)kf{l)^&2(Rn).
Доказательство, Вспоминаем, что Ж1 (Rn) = Жк (Rn) и дальше
действуем, как при доказательстве леммы 11.3.11. []
11.6.3. Лемма. Пусть оператор 1Р имеет постоянные коэффициенты
и сильно эллиптичен. Предположим, что на Rn
\a\<2m
где ga<=Mk°-{Rn). Тогда f(=3e'(Rn), где
/= min Bm + ?e-
lal<2m
Доказательство. Нам дано, что для всех
|a|<2fn

340 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
а поскольку ^S°(Rft) плотно в i?2(Rft), отсюда следует в силу
формулы Планшереля, что
[1+Мб)Шб)= Z (-olal6a&«).
|a|<2m
Используя сильную эллиптичность, получаем после несложных
выкладок, что для некоторого с > 0
сA+ш/да< Z (i-i6D/"Bm+*e"lel){a-i6i)*eiff«a)i}.
|a|<2m
Согласно лемме 11.6.2, каждый член в фигурных скобках при-
принадлежит i?2(Rrt), а все множители при этих членах ограничены
при указанном в формулировке теоремы значении /. Следова-
Следовательно, каждый член в правой части, а значит, и левая часть при-
принадлежат i?2(Rrt), и наш результат вытекает из леммы 11.6.2. []
Следуя намеченной выше тактике и имея целью придать урав-
уравнению lf = g форму, к которой применима последняя лемма, за-
запишем новое уравнение относительно -ф/. В принципе для этого не
нужно ничего больше, кроме как свободно пользоваться теоремой
Лейбница для слабых производных (задача 11.12). Мы избавим
читателя от скучных подробностей.
11.6.4. Лемма. Пусть S — открытое подмножество в Q и t|)e?5°(S).
Пусть, далее, g^2@k(Q), а функция \^Ml(S) удовлетворяет
уравнению lf = g на S. Тогда существуют функции ^^^E),
такие что на Rn
(l+h)W) = W+ H ПаШ), A1.6.1)
|a|<2m
и (продолженные нулем) i|)g"^ 2@k(Rn)y if>a/^5^(Rrt).
Наивысший порядок производной в правой части A1.6.1) равен
2т—1. Следовательно, по лемме 11.6.3, г|)/^ <9^(Rrt), где / =
minBm+&, t-\-l). Это показывает, что (если только мы уже
с самого начала не имели t =2m + k) порядок Соболевского про-
пространства, которому принадлежит i|)f, можно повысить с t до
t-\-\. Далее, согласно задаче 11.10, для любого ограниченного
открытого множества Sf с S/czS существует функция ф^ ^o°(S)
такая что г|) = 1 на S'. Следовательно, f^3@t+l(S'). Повторяя
нужное число раз это рассуждение, получаем, что f^2%?2m+k(Q')
для любого ограниченного открытого множества Q', для которого
Q'aQ. Наконец, применение теоремы вложения Соболева 11.3.14
к г|)/с= Жот+к (Q) доказывает непрерывность нужных производных.
Тем самым искомая регулярность внутри области установлена.

Задачи 341
11.6.5. Теорема. Пусть Q — открытое множество в Rn. Предполо-
Предположим, что формальный оператор I порядка 2пг из определения
11.6.1 сильно эллиптичен и его главная часть имеет постоянные
коэффициенты. Предположим, далее, что ^еЖ^(й) и f есть ре-
решение в 2*2 уравнения lf = g. Тогда f <=^2т+*(?У) для любого
ограниченного открытого множества Q', такого что Qf с Q. Далее,
f^Q') для целых s <2m + k — n/2 и f^<Sfoo(Q/)9 если ge
Мы ограничились рассмотрением случая, когда 1Р имеет по-
постоянные коэффициенты, потому что это предположение упрощает
техническую сторону дела. Доказательство для общего случая
см. у Фридмана [1969, § 1.15].
Для того чтобы получить регулярность вплоть до границы,
нужно потребовать некоторой гладкости от dQ. Довольно слож-
сложное доказательство приводимой ниже теоремы и дальнейшие све-
сведения по этому вопросу можно найти у Фридмана [1969, § 1.17].
11.6.6. Теорема. Пусть Q — ограниченная область с ^в00-границей,
и пусть формальный оператор I из определения 11.2.2 сильно эл-
эллиптичен. Предположим, что f есть решение обобщенной задачи
Ж2^(Й) Кроме
Задачи
Ниже Q — открытое подмножество в Rn.
11.1. Пусть оператор / из определения 11.2.2 сильно эллиптичен в ограниченной
области_р. Произведем замену переменных у = г|з(я), где ф: Q->- R" —функция
из ^°°(Q, IR"). Покажите, что если якобиан (определитель матрицы Якоби) ф
нигде в Q не обращается в нуль, то новый оператор также будет сильно эллип-
эллиптическим.
11.2. Докажите, что оператор (—l)k(V2)k сильно эллиптичен.
11.3. Оператор / из определения 11.6.1 называется эллиптическим, если
2 Ра(х) |а Ф О
|а|=2т
для любого вещественного ? ф 0 и любого хеО Если допускаются комплекс-
комплексные коэффициенты, то эллиптичности недостаточно для того, чтобы задача Ди-
Дирихле была корректно поставленной. Действительно, возьмем в качестве Q от-
открытый единичный шар в R2 и рассмотрим оператор If = \хх + 2ifxy — fyy. До-
Докажите, что / эллиптичен, но не сильно эллиптичен. Покажите, что для любой
аналитической функции и функция f(x, у) = A — \z\2)u(z), где z = х + iy,
служит решением уравнения If = 0, но обращается в нуль на dQ.
11.4. Пусть Q' — компактное подмножество в Q. Докажите, что существует та-
такое е > 0, что S(x, е) П Q' = 0 для всякого х е Oil

342 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
11.5. Возьмем Q = (—1, 1), и пусть функция т е Ф™ такова, что \xdx = \.
Q
Покажите, что если ф е ^°, то и функция ф, задаваемая формулой
X 1 X
ф(*) =
-\ -\ -\
также принадлежит ^2°. Выведите отсюда, что если h е 3^^ и \ ^ф' ^л: = О
для всех ф е ^2°, то функция Л (почти всюду) постоянна.
11.6. Пусть п— (—1, 1). Докажите, что функция / е J?20C обладает слабой
первой производной тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна и
11.7. Для U = @, 1) докажите, что замыкание ^(п) в ||-lh совпадает с Ж
(ср. с теоремой 11.3.6). Один из способов доказательства — в формуле
1
(f, ф), = J / (ф - Ф") dx + ф'A) / A) - ф'@) / @)
о
положить ф(л;) = cos nnx (n = 0, 1, ...).
11.8. Завершите доказательство из примера 11.3.8.
11.9. Пусть {je} — некоторое семейство сглаживателей (определение 2.6.6). До-
Докажите, что если /e^m(Q) и по — компактное подмножество в Q, то /е */-»-/
в 2em(Q0) при е->0.
11.10. Пусть п0 — компактное подмножество в Q. Покажите, что существует ве-
щественнозначная функция g e ^J°, такая что ^(л:) = 1 при х<=п0 и 0^
g(x) ^1 при х^п. [Указание: воспользуйтесь сглаживателями.]
11.11. Докажите, что если у функции 1<=Жт(п) носитель лежит в некотором
компактном множестве, содержащемся в Q, то f е М™ (п).
11.12. Пусть фЕ^00, Покажите, что если / обладает слабыми производными
до порядка т включительно, то то же самое верно и для ф/, и докажите /г-мер-
ный вариант формулы Лейбница:
здесь р ^ а означает, что |3* ^ at для 1 ^ i ^ /г, и
(»-(»•••(»¦
11.13. Пусть функция -ф е ^ (Rrt) равна 1 на S@, 1), а носитель ее содержится
в S@, 2). Положим ypj(x) = i|)(jc//). Докажите, что если f ^a@m(Rn), то tyjt-t-f
в ML при /-*«>. Выведите отсюда, что ЯГЦ1 (R") = <^m(R").

Задачи
343
11.14. Покажите, что если f
, то
где Ь = я", и докажите, что это значение Ь неулучшаемо.
Покажите, что билинейная форма В [f, ф] = \ (/'ф' —- &/ф) ^#, ассоцииро-
о
ванная с оператором / = —d2/dx2 — k (k^ R), коэрцитивна тогда и только тог-
тогда, когда k < я2. Дайте интерпретацию этого результата в терминах однород-
однородной задачи Дирихле для оператора —d2/dx2.
11.15. Пусть множество йс R" ограничено и d = supj x — у \ -— его диаметр.
х.уеп
(i) Покажите, что если / е <&™у то
f(xu ...»
df
dt
для любого числа ^, такого что точка (*, Х2, ..., хп) лежит в Q, но вне носи-
носителя f. Выведите отсюда, что
\Daf\2dx.
Используя этот факт, докажите, что для f e н\
Покажите, что билинейная форма \ (Vf • Vtp— kf<p)dxt ассоциированная
с оператором — V2 — k (^gR), коэрцитивна на Ж\, если k<d2/2n. Получите
отсюда оценку снизу для наименьшего собственного значения обобщенной задачи
Дирихле для оператора —V2.
(ii) Неравенство Пуанкаре. Докажите, что существует постоянная а, зави-
зависящая только от п и т, такая что для всех / е Ж™
11.16. Покажите, что для всякого натурального числа k существуют коэрцитив-
коэрцитивные формы, ассоциированные с операторами (—1)*(V2)* + 1 и A — V2)*.
11.17. Пусть оператор / из определения 11.2.2 формально самосопряжен и ассо-
ассоциированная с ним форма В коэрцитивна. Положим (f, ср)? =» В \f, ф] и ||f||2 =»
(f, f)E для всех/, ф еЖ™. Покажите, что ||-||? и ||• ||т — эквивалентные нормы, и
выведите отсюда, что 26™ становится гильбертовым пространством, если наде-
наделить его новым скалярным произведением (•, -)Е, которому отвечает норма
\\-\\Е. Обозначим это гильбертово пространство через ШЕ-

344 Гл. 11. Линейные эллиптические уравнения
Фиксируем какое-нибудь gej?2 и для всякого \&.Же определим „полную
энергию" формулой
Qtf)=ll/ll|-te, По-(f, 8)о-
Пусть Ж — произвольное замкнутое подпространство в Же. Покажите, что суще-
существует ровно одно J e JC, такое что
= inf Q(V),
и выведите отсюда, что обобщенная задача Дирихле имеет единственное реше-
решение.
Историческое замечание. Это — доказательство существования прямым мето-
методом вариационного исчисления. Его история начинается с принципа Дирихле,
при помощи которого Риманом и другими были получены важные результаты
в целом ряде областей. Первоначальное соображение, которым обосновывали
этот принцип, заключалось попросту в том, что, поскольку некоторый опреде-
определенный интеграл, связанный с Q, ограничен снизу, то должна существовать
функция, на которой достигается минимум. Ввиду очевидной ошибочности
этого обоснования и других трудностей, связанных с классом допустимых
функций, метод стал пользоваться дурной славой, и только Гильберт спас его
репутацию. Подробности этой интересной истории см. у Куранта [1950] и
Монны [1975].
11.18. (Непрерывная зависимость решения от правой части.) В обозначениях за-
задачи 11.15, (i), возьмем k < а и положим а = 2nd~2. Покажите, что если
g <= j?2, то решение / рассматриваемой обобщенной задачи Дирихле удовлетво-
удовлетворяет соотношениям
Ш<(а-*)-Ч|?к II / Hi < с IIЯ Но,
где
2 ^ f (а + 1)/(а - k)* цри — 1< *( < а),
0 (j/(a_fc) ПрИ ?<— 1.
11.19. Обобщите теорему 11.5.5 следующим образом. Покажите, что если нуль
является собственным значением обобщенной задачи Дирихле, то она имеет ре-
решение при данном g е 3?г тогда и только тогда, когда (g, if>fH = 0 для каждой
собственной функции г|)* сопряженной обобщенной задачи Дирихле, отвечающей
собственному значению нуль, т. е. для каждой функции гр/, удовлетворяющей
условию: В [ф, г|)/] = 0 при всех ф е 26™*

Глава 12
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
12.1. Введение
Первым методом, использовавшимся для численного решения эл-
эллиптических дифференциальных уравнений с частными производ-
производными, был метод конечных разностей. В дальнейшем изучение
сложных и нерегулярных границ, возникающих в инженерных
задачах, привело к изобретению метода конечных элементов.
В этом методе заданная область заменяется некоторым набором
„элементов" достаточно простой формы, на которых тем или
иным способом аппроксимируется неизвестная функция. Физиче-
Физические соображения равновесия, примененные к каждому элементу,
дают систему линейных уравнений, решение которой можно вы-
вычислить. Главным практическим достоинством такого подхода
является его гибкость; элементы можно подгонять к геометрии
задачи и ожидаемым физическим характеристикам решения. Ме-
Метод конечных элементов вскоре стал пользоваться наибольшим
предпочтением в широком круге задач.
На первых порах численные методы для решения дифферен-
дифференциальных уравнений с частными производными можно было
в достаточной мере обосновать на интуитивном уровне. Однако
самая сложность задач, к которым мог быть применен метод
конечных элементов, и широкий диапазон возможных элементов
и аппроксимаций для неизвестной функции иногда приводили
к трудностям, которые уже не могли быть разрешены на таком
уровне. Поэтому естественно было попытаться подыскать соответ-
соответствующую математическую теорию, в рамках которой можно было
бы исследовать вопросы пригодности и точности рассматривае-
рассматриваемых методов. К сожалению, такой теории, которая подходила бы
для решения этой трудной проблемы, вначале не было. Поворот-
Поворотным пунктом в математическом развитии метода конечных эле-
элементов было, пожалуй, сознание того, что этот метод является
в сущности своей вариационным. Было показано, что упомянутые
выше системы уравнений можно получать, выбирая простые проб-
пробные функции, аппроксимирующие неизвестную функцию, и исполь-
используя соображения минимизации энергии, т. е. применяя метод
Ритца. После этого стало возможным понять, что теоретический
анализ метода конечных элементов естественно укладывается
в рамки вариационного подхода к изучению дифференциальных

346 Гл. 12. Метод конечных элементов
уравнений с частными производными, использующего соболевские
пространства. В результате была развита обширная теория, спо-
способная ответить на многие вопросы большой практической
важности.
Для того чтобы ввести читателя в эту теорию, не обременяя
его техническими подробностями, мы рассмотрим сравнительно
простую ситуацию — однородную задачу Дирихле для формального
оператора I = —V2 + р в двумерном случае. Эта задача может
быть разобрана методом Ритца; для общих эллиптических опера-
операторов надо использовать более сложные методы типа метода Га-
лёркина. Главная цель исследования — получить глобальные
оценки для ошибки.
Хорошее общее руководство по методу конечных элементов —
книга Стренга и Фикса [1973]; полезны также монографии Прен-
тера [1975] и Митчелла и Уэйта [1977]. В двухтомнике Уайтмэна
[1973, 1977] охвачен широкий круг тем, включая нестационарные
и нелинейные задачи, а также помещен интересный исторический
обзор, написанный Зенкевичем. Более глубокое изложение теории
можно найти у Азиза [1972], Обэна [1972], Одена и Редди [1976],
Темама [1970].
12.2. Метод Ритца
Мы будем рассматривать обобщенную задачу Дирихле для опе-
оператора I = —V2 + р на Q при следующих условиях:
(i) множество Q a R2 ограничено и открыто, и его граница
дп гладка;
(ii) p — вещественнозначная неотрицательная функция из
(Iil) g e= &*
Для f, ф о ^o положим
Q
12.2.1. Лемма. Форма В эрмитова и коэрцитивна. Рассматривае-
Рассматриваемая обобщенная задача Дирихле имеет в точности одно решение f
в Ж- Это решение f е= Ж2 П V (Й).
Доказательство. Коэрцитивность В следует из леммы 11.4.8, ибо
ввиду неотрицательности р добавочный член (р/, f) ^ 0. Теорема
11.4.6 дает существование и единственность, а включение /е
5^2П^(й) справедливо по теореме 11.6.6. []
Наш первый шаг состоит в том, чтобы, используя теорию
Ритца, показать, что вогГросы пригодности и точности метода

12.2. Метод Ритца 347
конечных элементов для приведенного выше уравнения могут
быть переформулированы как задачи теории аппроксимации в Ж\,
Основной вопрос принимает тогда такой вид: насколько близко
можно приблизить решение в Зв\ элементами из JLh — некоторого
^-мерного линейного подпространства, состоящего из простых
пробных функций? Этот подход естественно приводит к весьма
убедительным критериям для глобальной ошибки, поскольку рас-
рассматриваемая норма ошибки служит мерой среднего значения
квадратов модулей ошибки и ее первой производной по всей об-
области Q.
Технические подробности анализа существенно упрощаются,
если воспользоваться специальными свойствами билинейной
формы В, ассоциированной с /. А именно, эта форма коэрцитивна
и эрмитова, т. е. она фактически представляет собой новое ска-
скалярное произведение в 2/в\. Так как соответствующая норма экви-
эквивалентна норме ||-||i, то все наши предыдущие результаты отно-
относительно пространства Ж\, в частности утверждение о его полноте,
сохранят силу и для нового скалярного произведения. В то же
время преимущество иметь дело со скалярным произведением,
а не с какой-то там билинейной формой является весьма значи-
значительным. Вдобавок при этом подчеркивается физическое существо
дела, поскольку квадрат новой нормы естественно интерпрети-
интерпретируется как энергия (с точностью до множителя 2, вводимого для
удобства); в методе конечных элементов ее часто называют энер-
энергией деформации, потому что истоки метода лежат в строительной
механике.
12.2.2. Определение. Для всех /, ф <= Ш\ положим
(/, <р)Б = В [f, Ф] = J (у/ • УФ + р/Ф) dx9
Норма \\-\\e называется энергетической нормой. Множество Ш\
наделенное скалярным произведением (•»•)? и нормой IHU, бу-
будем обозначать через Ж
12.2.3. Лемма. Если выполнены условия (i) и (и) выше, то нормы
II *lli и II* IIе эквивалентны и Же — гильбертово пространство.
Доказательство. Поскольку || /\fE = В[/, /], то в силу лемм 12.2.1
и 11.4.2 существуют вещественные числа, с, сг > 0, такие что

348 Гл. 12. Метод конечных элементов
Этим доказана эквивалентность норм, а тем самым и полнота Же-
Далее, (•, -)Е является скалярным произведением, так как это
билинейная эрмитова форма и (/,/Ь = 11/111 =0=>f =0. []
Поскольку B[f, ф] = (/, ф)?, наша обобщенная задача Дирихле
принимает в Же очень простой вид: найти решение в Же урав-
уравнения
(/, ф)я = (§", фH для всех ф<=сЖя. A2.2.1)
12.2.4. Лемма. Пусть выполнены предположения (i) — (Hi) выше,
и пусть Ж — произвольное замкнутое подпространство в Же- Тогда
для любого заданного }&Же существует ровно одно j^JC, та-
такое что
ll/-fll* = inf ||/-ф||я; A2.2.2)
этим f является проекция f на Ж. палее, если f — решение рас-
рассматриваемой обобщенной задачи Дирихле, то f есть решение —
единственное в Ж — уравнения
(f, q>)E = (g, фH для всех ф<=*#. A2.2.3)
Доказательство. Первое утверждение — это просто теорема о про-
проекции 1.6.11, из которой следует также, что f = f + (/ — ?), где
1^Ж, f — ]^Ж±. Подставляя это выражение для f в A2.2.1),
получаем, что для всех ф ^ Ж
а это и есть A2.2.3). Наконец, если J\ — какое-нибудь другое
решение уравнения A2.2.3) в Ж, то (f — fi, ф)^ ^= 0 для всех
ср^Ж. Следовательно, ] — ]{^Ж±. Поскольку Ж — линейное под-
подпространство, так может быть, только если ] = fь чем доказана
и единственность. []
12.2.5. Определение. Всякое й-мерное линейное подпространство
Жи в Же будем называть пространством пробных функций или,
короче, пробным подпространством, а всякий элемент из Жн —
пробной функцией. Для заданного \^Же элемент fk из Жи, бли-
ближайший к f по норме H-IU, называется приближением Ритца (или
ритцевым приближением) в Жи к f.
12.2.6. Теорема (Ритца). Пусть выполнены предположения (i) —
(Hi) выше, и пусть фь ..., ф^ — произвольный базис пространства
- Тогда система уравнений
к
Z ct(ф„ ф,)в = (g, ф/H (j = l, ..., k) A2.2.4)

12.2. Метод Ритца 349
имеет единственное решение и приближение Ритца fk в Jlk к ре-
решению рассматриваемой обобщенной задачи Дирихле задается
формулой
fk=jLci<Pi. A2.2.5)
Ошибка f—fk удовлетворяет оценке
II/ —/л 11^ II/ —ф11я для всех q><=Mk. A2.2.6)
Доказательство. Положим /л=Е^Ф*- в си^у леммы 12.2.4, fk
удовлетворяет уравнению A2.2.3); полагая в этом уравнении по-
последовательно ф = ф/, получаем A2.2.4). Далее, пусть с\, ..., Ck —
какое-нибудь другое решение системы A2.2.4). Умножая уравне-
уравнения этой системы соответственно на ai а*еС и складывая
их, находим, что
Поскольку {ф*} —базис Лк> отсюда следует, что
(Е с№г (Р)е = (&' ф)о для всех Фе*^?,
поэтому, по лемме 12.2.4, /& = E ^«Фг- Тем самым доказана также
и единственность. Наконец, оценка A2.2.6) немедленно следует из
определения приближения Ритца. []
Первоначально теоретическое рассмотрение метода конечных
элементов было основано на соображениях минимизации энергии.
Связь между этим подходом и нашими последними результатами
состоит в том, что fk есть функция из Мь* минимизирующая „пол-
„полную энергию*' (см. задачу 11.17).
Теорема Ритца служит теоретическим фундаментом для нашего
изучения метода конечных элементов. На практике типичная
процедура построения соответствующего численного метода вы-
выглядит следующим образом. Прежде всего область Q разбивается
на некоторое конечное число подобластей простой формы — у нас
это будут треугольники — вместе с тонким слоем около границы,
если нужно. Вершины этих треугольников обычно называют
узлами; мы будем обозначать их через xi. Затем выбирается мно-
множество пробных функций {ф;}; обычно это многочлены низких
степеней в каждом треугольнике, с некоторым условием непре-
непрерывности на сторонах треугольников, причем каждая из функций
фг отлична от нуля лишь в треугольниках, имеющих одной из
своих вершин xi. Далее вычисляются коэффициенты (ф*, ф/)?
и (8> Ф/)о в A2.2.4) — в простых случаях явно, а в общем случае
с помощью численного интегрирования. После этого вычисляется
решение системы A2.2.4) (тот факт, что решение существует
и единственно, гарантируется теоремой Ритца) и по формуле

350 Гл. 12. Метод конечных элементов
A2.2.5) находится приближенное решение fk нашего дифферен-
дифференциального уравнения. Заключительным шагом, который будет
главным объектом нашего интереса, является анализ погрешно-
погрешности; он основан на оценке A2.2.6).
С точки зрения практики, очевидно, важны следующие мо-
моменты:
(i) Нужно, чтобы коэффициенты (ф/, Ф/)я вычислялись доста-
достаточно просто. Это означает, что пробные функции не должны быть
слишком сложными.
(И) Матрица получающейся системы уравнений должна быть
достаточно разреженной. Обычно этого добиваются, требуя, чтобы
носители функций ф; имели не слишком много перекрытий (как,
скажем, в указанном выше случае).
(ill) Система A2.2.4) должна хорошо вести себя с вычисли-
вычислительной точки зрения. Этот момент, разумеется, важен, но по-
поскольку он больше относится к области линейной алгебры, мы не
обсуждаем его здесь, а отсылаем читателя к книгам Стренга
и Фикса [1973] или Митчелла и Уэйта [1977].
(iv) fk должно быть хорошим приближением к f уже при до-
достаточно малом числе уравнений системы.
Имеется очевидное противоречие между первыми двумя требо-
требованиями и последним, и решить, какое пространство пробных
функций послужит удовлетворительным компромиссом, может
быть весьма трудным делом. Здесь встают два основных вопроса,
ответы на которые должна дать и дает теория. Первый: какой
выбор пробного пространства является законным? Ответ прост —
дозволяется любое конечномерное линейное подпространство
%(^1 Второй: какова точность приближенного решения?
12.2.7. Пример. Прежде чем вплотную заняться техническими по-
подробностями, специфическими для дифференциальных уравнений
с частными производными, разберем для уяснения сути дела один
простой одномерный пример. Возьмем оператор If = —/" + /
и гладкую функцию g и рассмотрим обобщенную задачу Дирихле
для / на Q = @,1). Ввиду предположенной гладкости g эта за-
задача равносильна классической задаче нахождения функции /^
^2(Й), такой что —f" + f = g на @,1) и f(O) = f(l) = O. Разде-
Разделим интервал Q на равные подынтервалы (#*, Jft+i), i = 0, 1, ..., k,
длины h = (k+ I)-1 (рис. 12.1).
Поскольку наше уравнение — второго порядка, то нам вроде
бы надо требовать, чтобы пробные функции были дважды диффе-
дифференцируемы. Однако теория говорит нам, что всё, что нужно, это
чтобы они принадлежали Же, а для этого достаточно, чтобы они
были абсолютно непрерывны и обращались в нуль в концевых
точках рассматриваемого интервала (см. пример 11.3.8). Эта

12.2. Метод Ритца
351
чрезвычайная гибкость, дозволяемая вариационным подходом,
крайне полезна на практике, поскольку при этом становится го-
гораздо проще удовлетворять условиям гладкости в узлах. Простей-
Простейшим выбором пробных функций было бы взять кусочно-постоян-
кусочно-постоянные функции, равные 1 на i-ы интервале и 0 вне него, но такие
функции не лежат в Же и потому должны быть исключены. Дру-
Другой простой выбор — это множество „функций-колпаков*', таких
О #м xi xi+i I
Рис. 12.1. Функция-колпак.
как на рис. 12.1; хотя они не обладают даже слабой второй про-
производной, они лежат в Же, и потому такой выбор является закон-
законным— его мы и примем здесь. Каждое пробное подпростран-
подпространство будет тогда состоять из линейных комбинаций выбранных
функций-колпаков, и всякая функция фе^ будет линейной на
каждом подынтервале и непрерывной на Q. Очевидно, что для
всякой функции ф^е#? справедливо равенство
Найдем матрицу системы A2.2.4) для определения коэффи-
коэффициентов приближения Ритца. Элементы этой матрицы задаются
формулой
= \
Ф*Ф/)
и элементарным интегрированием получаем, что
(ф/,
и все остальные элементы равны нулю, поскольку для каждого i
функция ср* равна нулю всюду вне интервала (jfy-ь xt+i)> Таким

352 Гл. 12. Метод конечных элементов
образом, наша матрица имеет простой тридиагональныи вид. Пер-
Первые два из указанных выше требований также, очевидно, удовле-
удовлетворяются. Обратимся к анализу погрешности.
Теорема 12.2.6 утверждает, что ошибка ||f — fk\\E есть расстоя-
расстояние решения / от подпространства JLk\ отсюда следует, что при-
приближение Ритца fk лучше любого другого приближения из JCk-
Это наблюдение позволяет избежать многих затруднений, которые
мы имели бы, работая с самим /у, действительно, приемлемую
верхнюю границу для ошибки можно получить, используя любой
элемент феА, достаточно близкий к /. Напрашивающийся вы-
выбор— взять функцию fki получаемую линейной интерполяцией /,
т. е. функцию, принимающую значения f(xi) в точках xi и линей-
линейную между ними. Решающий шаг, и притом шаг, доставляющий
в случае уравнений с частными производными немало хлопот, со-
состоит в том, чтобы найти оценку для ||/ — /&IU В настоящем при-
примере, не используя ничего большего, чем элементарные выкладки
и неравенство Шварца, можно доказать (задача 12.2), что суще-
существуют вещественные числа с\, с2, такие что для любого f
lo, A2.2.7)
\\f'-f'k\)o<c2h\\f"\\09 A2.2.8)
а значит, при некоторой постоянной с
\\f-fk\\E<ch\\f"\\0. A2.2.9)
Следовательно, ввиду A2.2.6), если / — решение рассматривае-
рассматриваемой обобщенной задачи Дирихле, то
\\f-Jk\\E<ch\\n\Of A2.2.10)
где с— некоторая постоянная, зависящая от / и Л. Этим доказано,
что fk-+f в ||-IU при Л->0 (т. е. при &->-оо), что и дает искомую
оценку скорости сходимости.
Для большинства целей этого достаточно. Однако оценка
A2.2.10) всё-таки не вполне удовлетворительна, поскольку в ней
фигурирует сама неизвестная функция. Этот недостаток можно
исправить, найдя какую-либо априорную оценку для /, выражен-
выраженную лишь через заданную правую часть g. В одномерном случае
это нетрудно сделать. Действительно, поскольку / есть решение
обобщенной задачи Дирихле, то \\f\\2E = (f9 f)E = (g, fH. Следова-
Следовательно,
Шо2<11Л1! = (?. f)o<ll?llollfllo,
откуда вытекает, что || /1|0 < || g ||0. Но f" = — g + f; значит,
IIГ Но < II g По + II f Но, а потому
II /"Но < 2II g Но- A2.2.11)

12.3. Скорость сходимости метода конечных элементов 353
Таким образом, в силу A2.2.10),
\\f-lkh<ch\\g%. A2.2.12)
Это и есть искомая оценка.
В заключение стоит отметить еще один момент. На практике
правые части (g, ср;)о решаемой системы уравнений обычно при-
приходится вычислять при помощи численного интегрирования. Как
это влияет на ошибку? Оказывается, что если g заменяется своей
кусочно-линейной интерполянтой (интерполяционной функцией),
то разность между соответствующим приближением Ритца и %
будет порядка h2 в норме ||-|1е. (Доказательство этого факта
можно получить незначительным видоизменением проведенных
выше рассуждений; см. задачу 12.3.) Такая поправка, очевидно,
никак не скажется на оценке A2.2.10).
12.3. Скорость сходимости метода конечных элементов
Теперь мы обратимся к обобщенной задаче Дирихле для опера-
оператора —V2 + р в двумерном случае и получим оценки ошибки для
ее решения, даваемого методом конечных элементов. Будем по-
прежнему предполагать, что выполнены условия (i) — (Hi) преды-
предыдущего параграфа.
Простейший и наиболее распространенный способ разбиения
области Q таков. Для получения &-го разбиения границу дп об-
области Q аппроксимируют границей некоторого вписанного много-
многоугольника Q/e („заполненного") и Qk разбивают на треугольники,
скажем 7\-, максимального диаметра h. Узлы разбиения (т. е. вер-
вершины треугольников) обозначаются через Х{. Имеется в виду, что
триангуляции последовательно измельчаются таким образом,
чтобы h -»- 0 при k->cx>.
12.3.1. Определение. Будем называть триангуляции допустимыми,
если
(i) ни одна сторона никакого треугольника данной триангуля-
триангуляции не идет частично вдоль стороны другого треугольника той
же триангуляции;
(и) существует такое число 6о > 0, что каждый угол каждого
треугольника в любой триангуляции (т. е. для всех k) не
меньше 6о.
Последнее условие будет существенно использовано ниже при
выводе оценки ошибки; подробное его обсуждение см. у Стренга
и Фикса [1973, с. 165]. Заметим, что это условие можно осла-
ослабить,— правда, ценой дополнительного усложнения технической
стороны дела (см. Бабушка и Азиз [1976]).
Выбор пробного подпространства осуществим простейшим воз-
возможным способом. Для &-го разбиения возьмем в качестве Mk

354
Гл. 12. Метод конечных элементов
пространство функций, каждая из которых обращается в нуль
всюду на дпк и в „пограничном слое" й\?2^, непрерывна на Q
и на любом треугольнике разбиения является многочленом первой
степени. Поверхность, описываемая такой функцией, представляет
собой, таким образом, объединение плоских треугольных „плиток".
В качестве базиса {ф/} используем „пирамидальные функции" —
обобщение функций-колпаков на R. А именно, для каждого внут-
внутреннего узла Х[ соответствующая функция ф/— это функция из
Рис. 12.2. Разбиение области
, принимающая значение 1 в xi и имеющая носителем много-
многоугольник с вершинами, соседними с xt. Так, на рис. 12.2 функция
Фб имеет носителем четырехугольник х\Х2х<&хь и обращается в нуль
на его сторонах. Ясно, что для каждой функции q
Наша цель — получить аналог оценки A2.2.10), справедливой
для одномерного случая. Ход рассуждений в общих чертах тот
же самый. Сперва вычисляется оценка для ||/ — }Ле, где /& — ку-
кусочно-линейная интерполянта для /, а затем применяется A2.2.6).
Однако вывести аналоги неравенства A2.2.7) и A2.2.8) отнюдь
не просто; для этого нам понадобится один предварительный ре-
результат, доказательство которого носит до некоторой степени тех-
технический характер.
Для / е Ж1 положим
В случае когда интегрирование проводится не по й, а по данному
треугольнику Г, мы будем писать |/|/, г, 11/11/, т и т. д.
12.3.2. Лемма Брэмбла —Хилберта. Пусть задано Go > 0. Суще-
Существуют вещественные числа с0, ci, d, такие что для любого h > 0,
для любого замкнутого треугольника Т с диаметром hue углами,

12.3. Скорость сходимости метода конечных элементов 355
ограниченными снизу значением 60, и для любой функции /е
Ж2{Т) найдется многочлен первой степени q, удовлетворяющий
условиям
\f-q\JtT<c,b24\f\2.T (/ = 0,1), A2.3.1)
sup\ f(x)-q(x)\^dh\f\2,T. A2.3.2)
Доказательство. Сначала докажем A2.3.1). Достаточно сделать
это для треугольника с h = 1; множитель h2~j появится затем
в результате сжатия по независимым переменным. Далее, доста-
достаточно рассмотреть какой-то один фиксированный треугольник Т.
Действительно, существует линейное преобразование независимых
переменных, переводящее Т в любой другой треугольник Т\, и от-
отношение констант, фигурирующих в правых частях неравенств
для Т\ и Т соответственно, зависит лишь от минимального угла в
треугольнике Т\, так что это отношение ограничено, если Тх удов-
удовлетворяет наложенному ограничению на минимальный угол. На-
Наконец, поскольку треугольник Т будет фиксирован на протяжении
всего дальнейшего доказательства, мы можем опустить всюду
индекс Т.
Наш первый шаг будет состоять в том, чтобы переформулиро-
переформулировать проблему, по существу удалив q из левой части A2.3.1).
12.3.3. Предложение. Для любой заданной функции \^Ж2(Т) су-
существует единственный многочлен первой степени q, такой что
= Q (|а|<1). A2.3.3)
Доказательство. Условием A2.3.3) налагаются три ограничения,
а у многочлена первой степени от двух переменных как раз три
коэффициента. []
Вернемся к доказательству леммы. Возьмем многочлен q, удов-
удовлетворяющий условию A2.3.3), и положим w = / — q. Нам надо
показать, что
(/ = 0, 1)
для всех и, таких что
J Daudx=0
г
Будем рассуждать от противного. Если наш результат неверен, то
либо для у = 0, либо для у = 1 найдется последовательность (ut)

356 Гл. 12. Метод конечных элементов
в 2в2, обладающая следующими свойствами:
N,112 = 1, A2.3.4)
2, A2.3.5)
laKO- A2.3.6)
Заметим теперь, что теорема вложения Реллиха 11.3.12 верна
также и для Ж2(Т) (см. Агмон [1965, с. 30]). Следовательно, най-
найдутся такая подпоследовательность, которую мы снова обозначим
через (in), и такая функция ибЖ1, что щ-*и в Ц-Ць Поскольку
|и/|/<11ы/112, то, в силу A2.3.4) и A2.3.5), \щ\<г+0. Значит, (щ)
является последовательностью Коши в Ж2, а потому сходится,
причем пределом, очевидно, служит и. Отсюда следует ввиду
A2.3.4), что ||м||2=1. Отсюда вытекает также, что Da«=0 для
la 1=2, т. е. и — многочлен первой степени. Но, в силу A2.3.6),
\Daudx = 0 (|a|^l). Следовательно, согласно предложению
г
12.3.3, а=0. Это противоречит тому факту, что ||и||2=1.
Чтобы доказать A2.3.2), снова достаточно рассмотреть слу-
случай й = 1, а потом произвести замену переменных. Имеем
первое неравенство следует из теоремы вложения Соболева 11.3.14,
а второе — из A2.3.1). Q
Теперь мы, наконец, в состоянии доказать наш основной ре-
результат. В тонком слое й\й^, не покрытом триангуляцией, все
функции из Ли обращаются в нуль. Поэтому вклад в ошибку от
этой зоны равен \\}\\Егпщ и наша задача-—найти оценку ошибки
bQ*.
12.3.4. Теорема. Пусть QczR2 — ограниченное открытое множе-
множество с гладкой границей. Предположим, что функция peV°°(Q)
вещестееннозначна и неотрицательна. Тогда существует веще-
вещественное число с, такое что
ll/-f*llE.Q<cA|/|2iQlk+||/||EiQ\Qfc A2.3.7)
для любой допустимой триангуляции [определение 12.3.1) и лю-
любого решения f обобщенной задачи Дирихле для оператора
— V2 + Р с правой частью g <= ?Р2<
Доказательство, Ниже d\, d2, ... будут обозначать фиксирован-
фиксированные вещественные числа, не зависящие от / и от разбиения. Как
и в случае R, достаточно доказать A2,3.7) с /#, замененным на

12.3. Скорость сходимости метода конечных элементов 357
/fe — „кусочно-линейную" интерполяционную функцию для / (т. е.
функцию, являющуюся многочленом первой степени на каждом
треугольнике и совпадающую с / в узлах), и воспользоваться
A2.2.6). Далее, если результат будет установлен для отдельного
треугольника, то мы получим A2.3.7), произведя суммирование
по треугольникам триангуляции. Поэтому дальше рассматривается
один-единственный треугольник Т и индекс Т в записи опускается.
Линейную интерполянту произвольной непрерывной функции и
будем обозначать через й.
В силу леммы 12.3.2 существует многочлен первой степени q>
такой что ошибка б = / — q удовлетворяет оценке
\t>\i<cih2-i\f\1 @</<2). A2.3.8)
Так как q — первой степени, то q = q, а потому
Следовательно, f — /=б— б и если нам удастся показать, что
оценка A2.3.8) остается справедливой1)^ после замены б на б.
то мы сможем получить оценку для |/ — /|/, из которой уже легко
вывести нужный результат.
В силу определения пирамидальных функций фг-
где суммирование производится по вершинам треугольника Т.
Следовательно, для |а|^ 1
| Da6{x) | = 3 max |б(^I • max| /)афД*)|
= 3A"|a|max |6(x,)l -max \h]a]D\i{x)\. A2.3.9)
Ввиду A2.3.2)
max|6(*,)K<fiA|/|2.
Далее, последний сомножитель в A2.3.9) ограничен единицей при
а = 0 (поскольку, по определению, |ф*(я)|^1 Для х^Т), а при
| оь | == 1 первые производные функции ф* мажорируются некоторой
константой, умноженной на hrx (вследствие ограничения, нало-
наложенного на углы треугольника Т). Мы заключаем, что
Теперь возводим в квадрат, интегрируем, суммируем по а, извле-
извлекаем квадратный корень и получаем
1) Быть может, с другой константой. — Прим. перев.

358 Гл. 12. Метод конечных элементов
Это — искомая оценка для б. Оценка для |/ — /|/ получается от-
отсюда, если вспомнить, что / — / = б — б и воспользоваться оцен-
оценкой A2.3.8). Суммирование по / дает
и оценка A2.3.7) следует теперь из эквивалентности норм 1Mb
и Mli. D
Эта теорема доставляет желаемую оценку для глобальной ско-
скорости сходимости метода конечных элементов в энергетической
норме. В заключение сделаем несколько общих замечаний.
В оценку A2.3.7) для ошибки входит сама неизвестная функ-
функция f. Как мы видели (пример 12.2.7) в одномерном случае, ис-
используя соответствующее априорное неравенство, легко вывести
оценку, выраженную через ^2-норму известной правой части g.
Аналогичные априорные неравенства имеются и для уравнений с
частными производными, но устанавливать их значительно труд-
труднее, мы отсылаем читателя за дальнейшими подробностями к
книге Фридмана [1969, § 1.17].
Описанный метод доказательства является неконструктивным
и не дает численного значения для константы с в оценке A2.3.7),
каковую, таким образом, надо рассматривать как асимптотиче-
асимптотическую. В одномерном случае (пример 12.2.6) оценить значение с
несложно, но в общем случае возникают значительные трудности
(см., например, Барнхилл и Уайтмэн [1973]).
Метод Ритца, использованный в этой главе, применим и к об-
общим дифференциальным уравнениям с частными производными
порядка 2т, в случае если оператор / формально самосопряжен,
а соответствующая билинейная форма коэрцитивна; в противном
случае нужно уже применять методы типа метода Галёркина. Ра-
Разумеется, для уравнений высших порядков может оказаться необ-
необходимым привлекать более сложные пробные функции. Это может
оказаться необходимым и тогда, когда требуется обеспечить по-
повышенную точность, не прибегая к измельчению разбиения. В ка-
качестве пробных функций почти всегда берут функции, являющиеся
на каждом элементе многочленами с соответствующими условиями
непрерывности на стыках элементов. Центральной здесь является
проблема „сходимости" пробных подпространств к основному со-
болевскому пространству Зв™, почему мы и сосредоточили на ней
свое внимание в нашем вводном изложении. По данной тематике
имеется обширная литература. Помимо уже указанных общих ру-
руководств см. Брэмбл и Зламал [1970], где подробно исследуются
кусочно-полиномиальные пробные функции на триангуляциях.
В заключение упомянем об одном любопытном моменте. Хотя
рассматриваемое уравнение было второго порядка, тем не менее,
как мы убедились, достаточно было использовать пробные функ-

Задачи 359
ции, обладающие лишь кусочно-непрерывными первыми производ-
производными и не имеющие даже слабых вторых производных. На самом
деле это и совершенно естественно в подходе с Соболевскими про-
пространствами. Однако на практике* особенно для уравнений высших
порядков, бывает очень утомительно возиться с условиями на
стыках элементов, и иногда используют пробные функции, кото-
которые не принадлежат основному Соболевскому пространству. Такие
„несогласованные" элементы не всегда работают, но зачастую
дают превосходные результаты (см. Стренг и Фикс [1973, с. 205]).
Для определения приемлемости таких пробных функций разрабо-
разработан специальный „метод заплат" (Митчелл и Уэйт [1977, с. 167]),
Задачи
12.1. Предложите пробное подпространство для метода конечных элементов дли
оператора d^jdx* на @, 1) с однородными условиями Дирихле.
12.2. Возьмем Q = @,л 1). Пусть \^Ш2 и f — линейная функция на Й, удовле-
удовлетворяющая условиям f@) = /@), f(l) = /A). Укажите явно Ci, c2, такие что
\f-f\i<cj\f\2 (/=0,1),
и выведите A2.2.7) и A2.2.8).
12.3. В примере 12.2.7 правую часть (?,Ф/)о надо находить численным интегриро-
интегрированием. Для определенного там Жь пусть \\ — приближение Ритца к решению
уравнения с правой частью, равной кусочно-линейной интерполянте g. Покажите,
что существует с, такое что для любой функции ge^2
12.4. Помимо оценок ошибки в энергетической норме представляют интерес и
другие оценки ошибки. Например, средняя поточечная ошибка удовлетворяет
оценке
На первый взгляд это следует из A2.2.7) и A2.2.U). Почему это не так
Следующий метод известен как прием Нитче. Положим б = f — fk и
так?
пусть
и — решение обобщенной задачи Дирихле с правой частью б, а пн — ритцево
приближение к нему. Покажите, что
(и-и,, б)?=1|б||02.
Выведите отсюда приведенную выше оценку, используя неравенства из при-
примера 12.2.7.

Глава 13
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СТЕПЕНИ
13.1. Введение
Для ряда важных нелинейных уравнений, возникающих в прило-
приложениях, неизвестно никаких общих конструктивных методов ре-
решения, и в настоящее время приходится довольствоваться мето-
методами, которые дают лишь качественную информацию о поведении
системы, описываемой уравнением. Мы рассмотрим сейчас один
из самых эффективных таких методов — теорию степени Лерэ —
Шаудера.
Вначале, чтобы пояснить используемые в дальнейшем рассуж-
рассуждения, мы разберем некоторые простые ситуации, причем наше
обсуждение будет пока носить чисто формальный характер. Пусть
D — ограниченный открытый интервал (а, Ь) и ф: D-^R—непре-
D-^R—непрерывная функция. Задавшись целью использовать как можно мень-
меньше информации относительно qp, попробуем выяснить, что можно
сказать о существовании решения уравнения ф(д:) = р, зная одни
только значения ф на границе dD. Одно из возможных соображе-
соображений такое. Если ф есть тождественное отображение /, то наше
уравнение принимает просто вид д: = р, а это уравнение имеет
решение в Д если p^D. В случае произвольной функции ф гео-
геометрически очевидно, что если кривую */ = ф(#) можно непре-
непрерывно деформировать в прямую у = 1х без того, чтобы какая-либо
из концевых ее точек пересекала прямую у=р, то уравнение
ф(х) = р также будет иметь решение при условии, что p^D
(рие. 13.1). Возможности этого утверждения как принципа суще-
существования чрезвычайно велики, ибо, поскольку используется лишь
значения ф на дД нет никаких ограничений ни на коэффициент
наклона функции ф, ни на абсолютную величину ее значений. Да-
Далее, этот принцип во всяком случае допускает разумную перефор-
переформулировку для случая высших размерностей, хотя отнюдь не легко
предложить, даже хотя бы формально, геометрические соображе-
соображения в его обоснование. С другой стороны, надо признать, что в
качестве неизбежного следствия своей общности этот метод имеет
определенные недостатки: он неконструктивен и не пригоден сам
по себе для доказательства единственности решения, а при неко-
некоторых граничных условиях (таких, как на рис. 13.2) он вообще
не действует и никаких заключений о существовании решения
сделать с его помощью нельзя.

13.1. Введение
361
К указанному выше принципу существования мы пришли, ис-
используя соображения типа возмущений, и будет поучительным по-
попытаться для сравнения получить тот же результат при помощи
У
Рис. 13.1.
стандартного метода непрерывности, основанного на теореме о
неявной функции 4.4.9. Пусть {ht) — некоторое семейство гладких
У\
Рис. 13.2.
функций, непрерывно зависящих от параметра t, причем h\ = ф,
Ао = /. Теорема о неявной функции показывает, что если p^D,
то при определенных условиях на dht/dx существование решения

362 Гл. 13. Введение в теорию степени
уравнения ht(x) = p для достаточно малых t следует из того фак-
факта, что уравнение А0(х)=р имеет решение; повторяя эту проце-
процедуру, можно расширить диапазон таких t. Однако теорема о не-
неявной функции — локальный результат, и нет никакой гарантии,
что мы достигнем значения tf = l. Кроме того, эта процедура не
проходит, если dht/dx обращается в нуль. Напротив, соображения,
развитые в предыдущем абзаце, не страдают ни одним из этих
недостатков и могут быть положены в основу теории больших
возмущений, значительно более сильной, чем теория, основанная
на методе непрерывности.
Чтобы развить сделанные выше наблюдения в систематическую
теорию, естественно спросить, не существует ли некоего целого
числа d(cp, р, D),— которое можно было бы рассматривать в не-
некотором смысле как результат счета числа решений уравнения
qp(x) = p и которое мы будем называть степенью 1\— обладающего
следующими свойствами:
(i) Степень d(cp, р, D) определена для любого ограниченного
открытого множества D и любой функции ср, непрерывной на D,
такой что (р(х)Ф р при лее 3D, и зависит лишь от р и значений ф
на dD.
(ii) Степень инвариантна относительно любого непрерывного
возмущения данной функции, при котором решение не переходит
через границу. Это условие можно сформулировать точно следу-
следующим образом. Пусть ht(x) непрерывно зависит от t и х для
jcgDh/g[0,1], причем Ы{х)фр для любых х^дй и /е [О, 1].
Тогда d(ht, p, D) не зависит от t. Такое семейство {ht} называют
гомотопией, а сформулированное выше свойство — свойством го-
мотопической инвариантности степени.
(Hi) d(I, p, D) = О, если рф Д и 1, если p<=D.
(iv) Если d(cp, p, О)ф0, то уравнение ф(х) = р имеет реше-
решение в Ь.
Предположив, что такое целое число существует, нетрудно за-
заново получить предыдущий результат для функции на рис. 13.1.
Действительно, в силу (ii) сЛг=?ф+A — t)I и (iii), ^(ф, р, D)=l,
и существование решения следует из (iv). Заметим, что (iv) не
дает никакой информации о существовании решений, если
й(ф, р, D) = 0; как видно из рис. 13.2, уравнение ф(х) = р может
при этом иметь решения, а может и не иметь.
Посмотрим теперь, как можно было бы дать явное определе-
определение степени. На рис. 13.1 функции ф и / гомотопны, тем не менее
уравнение ф(х) = р имеет три решения, а уравнение /х = р — все-
всего одно. Следовательно, если мы хотим, чтобы выполнялось усло-
!> По-английски degree. Отсюда буква d для обозначения степени. — Прим.
перев.

13.1. Введение 363
вие (ii), то, очевидно, d(cp,p,D) не может непосредственно рав-
равняться числу решений. Более обещающим выглядит подход, при
котором каждому решению приписывается знак, зависящий от
направления, в котором график функции ср пересекает прямую
у = р, и степень определяется как суммарное число решений с
учетом их знаков. Тогда в приведенном выше примере, хотя два
решения — одно со знаком плюс, другое со знаком минус — и теря-
теряются, когда ф превращается в /, но степень остается неизменной.
Итак, положим
P> D)=Zsgn4>'(xi), A3.1.1)
где сумма берется по всем решениям */ уравнения ф(х) = р, лежа-
лежащим в D; если в D решений нет, то полагаем d(q>, р, D) = 0. Это
определение имеет смысл, только если функция ф дифференцируе-
дифференцируема, ф'(л;/)=7^=0 для любого / и существует лишь конечное число
решений, но мы пока игнорируем все эти технические затрудне-
затруднения и просто заметим, что степень, определенная таким образом,
удовлетворяет приведенным выше условиям (i) — (iv), если функ-
функция ф хорошо себя ведет.
В одномерном случае геометрическая картина легко обозрима
и проверить, что формула A3.1.1) дает целое число, обладающее
желаемыми свойствами, нетрудно. В высших размерностях пред-
представить себе геометрию происходящего гораздо труднее и не по-
получается даже обойтись чисто формальным обобщением определе-
определения 13.1.1, поскольку неясно, как интерпретировать правую часть.
К счастью, для двумерного случая есть один результат из теории
функций комплексной переменной, который подсказывает, каким
должно быть искомое обобщение.
Пусть D — ограниченная открытая область в R2, граница ко-
которой представляет собой простой замкнутый контур (в смысле
теории функций комплексной переменной), и ф: D->R2 — отобра-
отображение (?, т])н~>(«, и). Предположим сперва, что и и у —соответ-
—соответственно вещественная и мнимая части некоторой аналитической
функции ф от х = 1 + щ, причем ср(х)Фр на <ЭД и пусть *i,...
... > Xk — решения уравнения ф (х) = р в D. Положим
dD
По теореме Коши
где С/ для каждого /—маленькая окружность с центром */, не
содержащая внутри себя никаких других решений, кроме */. Тео*

364 Гл. 13. Введение в теорию степени
рема о вычетах показывает, что d(cp, р, D) есть неотрицательное
целое число, равное сумме кратностей решений, и, как нетрудно
проверить с помощью стандартных методов теории функций ком-
комплексной переменной, все условия (i) — (iv) действительно выпол-
выполняются. Таким образом, мы движемся в нужном направлении.
Однако, если мы хотим, чтобы сфера действия определения сте-
степени не ограничивалась одними аналитическими функциями, фор-
формулу A3.1.3) надо видоизменить.
Чисто формально это видоизменение проводится так. Перепи-
Перепишем A3.1.3) в виде
/=-1 j
где р = а-\-ф. Теперь, когда аналитичность больше не предпола-
предполагается, интегралы не обязательно будут положительными. Тем не
менее, поскольку каждый интеграл равен, очевидно, числу оборо-
оборотов вектора, идущего от точки р=^(ос, C) в точку ф = (w, v)f ко-
когда (?, г]) совершает один оборот вокруг решения, несложное рас-
рассуждение с использованием линеаризации позволяет вычислить
d(cp, р, Z)), по крайней мере для случая, когда нули функции
ф(х) — р простые. Действительно, по теореме Тэйлора, в соответ-
соответствующей окрестности точки Х\
Ф (*) — р = ф' (xj) (х — xf) + г,
где ф'(х/)—матрица Якоби функции ф в точке */, а г—малый
остаточный член. Если х} — простой нуль, то матрица ф'(*/) не-
вырожденна и, значит, задает линейную биекцию R2 на себя; сле-
следовательно, когда точка х делает один оборот по окружности С/,
ее образ q/(#/)(#— Xj) совершает один оборот по некоторому эл-
эллипсу С/ в направлении, определяемом знаком якобиана /ф(#/).
Итак, значение /-го интеграла в A3.1.4) равно sgnJy(xj). Тем
самым мы получаем следующее определение степени:
к
rf(q>, p, D) = ^Tsgn/cpU/); A3.1.5)
/-i
если решений в D нет, то полагаем с?(ф, р, D) = 0. По сравнению
с одномерным определением A3.1.1) это гораздо более перспек-
перспективная формула, поскольку якобиан имеет четкий смысл для лю-
любого конечного числа измерений.
Наша первая цель в этой главе — показать, что степень с ука-
указанными выше свойствами (i) — (iv) может быть определена для
некоторых определенных классов операторов в банаховых про-
пространствах. Сначала степень будет определена для непрерывных
операторов в конечномерных пространствах; отправной точкой

13.1. Введение 365
здесь служит формула A3.1.5). Именно на этом этапе приходится
преодолевать наибольшие технические трудности. В качестве де-
демонстрации силы теории дается простое доказательство теоремы
Брауэра о неподвижной точке. Следующий шаг—переход к бес-
бесконечномерному случаю. Оказывается, что прямое обобщение на
произвольные непрерывные операторы невозможно. Самый из-
известный и самый полезный класс операторов, для которых можно
определить степень, образуют операторы вида / + Л, где А — ком-
компактный оператор; для распространения конечномерной теории на
бесконечномерный случай используется соответствующая предель-
предельная процедура. Получаемые таким образом результаты можно
трактовать как теорию (больших) компактных возмущений тож-
тождественного оператора. Результат, приносящий наибольшую поль-
пользу,— это знаменитая теорема Лерэ — Шаудера о неподвижной
точке 13.3.6, (ш), бесконечномерный аналог приведенного выше
свойства (iv) с qp, замененным на I -\-А.
Стоит отметить два общих момента. Во-первых, хотя формула
A3.1.5) и является отправной точкой для нашего определения,
саму ее не используют для вычисления степени ни в каких при-
приложениях. В самом деле, в A3.1.5) предполагается, что решения
уже известны, в то время как цель всего исследования — найти
их. Когда теоретическое изучение вопроса завершено, эта фор-
формула уже не играет больше никакой роли, поскольку практиче-
практическое вычисление степени основано на указанном выше свой-
свойстве (и) гомотопической инвариантности степени. Во-вторых, с
точки зрения приложений самих по себе обычно неважно знать
довольно-таки технические подробности анализа, лежащего в ос-
основе теории. В самом деле, результаты теории, суммированные
в теореме 13.3.6, элегантны и просты, а их применение осуще-
осуществляется непосредственно — по крайней мере в принципе.
Теория степени нашла с течением лет множество приложений
и является теперь стандартным методом нелинейного анализа. Она
чрезвычайно полезна при исследовании нелинейных уравнений с
частными производными, таких как уравнения Навье — Стокса,
для которых она и была первоначально изобретена. Однако для
таких уравнений весьма труден этап предварительного анализа,
и мы ограничимся здесь задачами, для которых требующиеся
приготовления не так дорого стоят, — по существу теми, в кото-
которых рассматриваемые дифференциальные уравнения легко сво-
сводятся к интегральным. В § 13.4 дается одно приложение к Я-урав-
нению радиационного переноса Чандрасекхара, которое в простом
контексте позволяет подчеркнуть основные моменты рассуждений.
Развитая теория будет затем играть существенную роль в после-
последующем обсуждении нелинейных задач на собственные функции.
Первоначально теория степени опиралась в своем развитии на
глубокие результаты алгебраической топологии. Хотя этот подход

366 Гл. 13. Введение в теорию степени
и позволяет лучше выявить лежащую в основе геометрическую
структуру, он требует значительной теоретической подготовки, и
здесь мы следуем аналитическому подходу, как он описан, напри-
например, у Бергера и Бергера [1968] или Дж. Шварца [1969]. По по-
поводу приложений к интегральным уравнениям см. книгу Красно-
Красносельского [1956], к дифференциальным уравнениям—- книгу Бер-
Бергера [1977] и недавний обзор Серрина [1976]. Стандартное руко-
руководство по уравнениям Навье—Стокса — монография Ладыжен-
Ладыженской [1970], а сравнительно элементарное введение в теорию этих
уравнений представлено у Сэттингера [1973].
13.2. Степень в конечномерном случае
Разовьем теперь сделанные выше эвристические замечания в стро-
строгую теорию степени в вещественных конечномерных банаховых
пространствах. Поскольку всякое такое пространство можно отож-
отождествить с Rn при помощи подходящего выбора базиса, достаточно
провести анализ для самого Rn.
Будем использовать следующие обозначения. Евклидова норма
в Rn обозначается через ||-||. Всюду далее D cz Rn — ограниченное
открытое множество с замыканием В и границей dD. Рассматри-
Рассматриваемые отображения qp: D-+Rn всегда принадлежат ff(D, R"), а
иногда и сё>{{В, Rn). Эти пространства снабжаются соответственно
sup-нормой (обозначаемой в этом параграфе для большей выра-
выразительности через \\-W) и нормой || • ll^1, превращающими их
в банаховы пространства (следствие 1.4.9 и лемма 1.4.10). Как
обычно, cp(S) обозначает образ множества S при отображении ср.
Пусть задана точка peR". Степень d(q),p,D) будет опреде-
определена лишь для случая, когда уравнение <р(х) = р не имеет реше-
решений на дД другими словами, когда peqp(dD). Для таких ср,
поскольку граница dD компактна, a qp непрерывна, мы имеем,
в силу теоремы 5.3.3, dist (p, qp(dD)) > 0. Непосредственного при-
применения неравенства треугольника достаточно для того, чтобы
доказать остальную часть следующего утверждения:
13.2.1. Лемма. Для заданного ограниченного открытого множе-
множества D пусть ф, ^^^(D, R") и peqp(dD). Тогда г =
dist (p, qp(dD)) > 0, и точки р, р0 лежат в одной и той же компо-
компоненте^ множества R"\qp(dD), если \\р — ро\\<1г/2. Если
h\\&/2(dD)
13.2.2. Определение. Для фе^^ДК") матрицу Якоби (произ-
(производную Фреше) функции qp в точке х будем обозначать через
!> Компонентой открытого множества S a Rn называется всякое максималь-
максимальное подмножество в S, любые две точки которого можно соединить непрерывной
кривой, целиком лежащей в 5 (и, значит, не пересекающей 6S).

13.2. Степень в конечномерном случае 367
ф'(л;), а соответствующий якобиан (определитель этой матрицы) —
через /ф(л:).
Критической точкой функции ф называется всякая точка x^D,
такая что /ф(л:)==0. Множество всех критических точек функ-
функции ф будем обозначать через Z.
Наша цель — определить степень для D, р, ф, удовлетворя-
удовлетворяющих условиям:
(i) D — ограниченное открытое множество в Rn и ф? ^(D, R");
(ii) у уравнения ф(х) = р нет решений, лежащих на dDt т. е.
Однако отправной точкой для определения служит формула
A3.1.5), и сначала нам придется, чтобы эта формула имела смысл,
наложить следующие дополнительные ограничения:
(in)<p<=Vl(D, Rn);
(iv) ни одно решение уравнения у(х) = р не является крити-
критической точкой функции ф, т. е. р ф. q)(Z).
При этих условиях множество решений q>~~l(p) = {x: x^D, ф(х) =
р) конечно. Действительно, если бы это было не так, то ввиду
компактности D нашлась бы последовательность (xj) попарно раз-
различных точек из <р~1{р), сходящаяся к некоторой точке х^В.
Поскольку ф непрерывна, то у(х) = р и, в силу (ii), xgD. Таким
образом, в любой окрестности точки х содержалось бы бесконеч-
бесконечное число решений. Но эта возможность исключается теоремой
о неявной функции 4.4.9, ибо, в силу (iv), 1^(х)фО. Поэтому
имеет смысл приводимое ниже определение, которое, следует за-
заметить, не зависит от выбора базиса. Мы полагаем
p, D)=l A3.2.1)
В общих чертах дальнейший план действий состоит в том,
чтобы последовательно в два этапа снять ограничения (iv) и
(ш). Во-первых, в случае если рЕфB), мы используем тот факт,
что существует точка ро^ф(^), сколь угодно близкая к р, _и по-
полагаем d(tp,?,D) = d((p,po,D). Во-вторых, поскольку Wl(D,Rn)
плотно в ^(D, Rn), найдется функция фое^!(Д R"), сколь угодно
близкая к любой данной функции фе?(ДК"), и мы полагаем
с?(ф, р, ?)) = ^(фо, р, D). Чтобы оправдать эту процедуру, надо по-
показать, что так определенная степень не зависит от выбора р0, Фо»
и именно при установлении этого факта возникает большая часть
неприятных технических моментов в конечномерной теории сте-
степени. Нам понадобятся три леммы. Первая, которую мы заим-
заимствуем без доказательства из книги Дж. Шварца [1969, с. 54],

368 Гл. 13. Введение в теорию степени
позволяет доказать существование подходящего ро. Другие две
показывают соответственно, что при надлежащих условиях сте-
степень d(cp, р, D), определенная формулой A3.2.1), инвариантна
относительно малых по норме Ц-Ц&1 изменений ф и не меняется
при изменении р, если р не пересекает cp(dD).
13.2.3. Лемма Сарда. Если феУ^б, Rn), то мера Лебега множе-
множества cp(Z) равна нулю.
13.2.4. Лемма. Пусть р, ф, D удовлетворяют приведенным выше
условиям (i) — (iv). Тогда существует такое е > 0, что если
фЕ^НД R") и || ф — *ф||у» <е> то p&z$(dD), степень (D
определена и d (ф, ptD) = d(г|), р, D).
Доказательство. Первое утверждение следует из леммы 13.2.1. Да-
Далее, пусть хи ..., Xk — решения уравнения ф(л;)==р. В силу (iv),
Jq>{xi)?=0 для 1 ^ i ^ k9 и поскольку ф &Ф1(Б, Rn), то функция
/ф(-) непрерывна, так что для некоторого б>0 якобиан /ф не
обращается в нуль ни в одном из замкнутых шаров 5(^,6),
l^i^k. Кроме того, якобиан /ф(х) непрерывен и как функция
от ф (т. е. как отображение пространства <e?l(DiRn) в R), откуда
следует, что при достаточно малых е якобиан / (х) также отличен
от нуля и имеет тот же знак, что и /ф(х), в каждом из этих шаров.
Мы сейчас покажем, уменьшая б и е далее, если это окажется
необходимым, что у уравнения ty(x) = p существует ровно по од-
одному решению xi в каждом из наших шаров и нет ни одного ре-
решения вне этих шаров. Этого будет достаточно для установления
желаемого результата, поскольку степень ^(ф, р, D) тогда, оче-
очевидно, будет определена и мы будем иметь
k k
tf (ф, р, D)= ? sgn/ф(*)/=? sgn/cp(x/) = d(i|), p, D).
ji ii
Определим функцию h: DX [0, l]->- Rn, полагая Л(л:,/) =
ф() —р+ *[*(*) —ф(*)Ь Отметим, что h(x, 0)== q>(x) — p,
h(xt l)=i[)(x) — p. Применим следствие 4.4.10 из теоремы о не-
неявной функции к шару 5(^,6), произведя следующую замену обо-
обозначений: Л = Л, /==х, g — t, go — 0. Выбрав надлежащее б, за-
замечаем, что условия D.4.5) — D.4.7) выполняются просто при
to= 1, если е достаточно мало, ибо
, 0) - Л! (/, g) || = || / ft' - ФЛ] h < /e,
\\A(fo, гI1-
Следовательно, уравнение ty(x) = p имеет в точности одно реше-
решение в шаре S(Xi, б). Повторяем это рассуждение для каждого
/=1, ..., k, последовательно уменьшая б и е, если необходимо.
Остается только заметить, что, поскольку существует такое

13.2. Степень в конечномерном случае 369
г| > 0, что ||ф(х)—- pll^s r| на D \ \JS (xif б), то уравнение ${х) — р
не имеет иных решений, кроме уже полученных, если е < т|. []
13.2.5. Лемма. Пусть <р е <g71 (D, R«) u рьр2еКл. Предположим,
что рь рг^ ф(<5^)и ф(^)- Тогда если р\ и р2 принадлежат одной
и той же компоненте множества Rn\y(dD)t то
d(q>, PuD) = d{(pf p2tD). A3.2.2)
Доказательство. Наш первый шаг будет состоять в том, чтобы по-
получить другую формулу для степени. Мы покажем, что если
р ф. ф(<Э?H (p{Z)r то для достаточно малого е (зависящего от ф)
d(<p, p, Я)=$/е(ф(*)-р)/Ф (*)<**, A3.2.3)
D
где /е — сглаживатели из определения 2.6.6, так что носители ле-
лежат в 5@, е). Выписанный выше интеграл зависит лишь от пове-
поведения ф в малых окрестностях решений х\, ..., Xk, что согласу-
согласуется с определением степени, и наш результат получается заменой
переменных у = у{х)— р после разбиения множества D на ма-
маленькие шары, в которых /ф(х)=й=0, и зону, где подынтегральное
выражение равно нулю. Проведем это рассуждение в подробно-
подробностях.
По соображениям компактности найдется такая окрестность U
точки р, что
Далее, функция /ф(-) непрерывна и не обращается в нуль ни
в какой точке-решении, поскольку рф^A). Следовательно, су-
существуют попарно непересекающиеся открытые шары Si = S(xiy б),
/= 1, ...,/г, ни в одном из которых /ф не обращается в нуль, и,
выбрав б достаточно малым, мы можем обеспечить, чтобы
U q>(St)czU. В силу теоремы о неявной функции 4.4.9, б можно
выбрать таким, чтобы ограничения ф на каждый шар Si были
гомеоморфизмами на соответствующие окрестности точки р, со-
содержащиеся в U. Отсюда следует, что__при некотором е > 0 мы
будем иметь \\ц)(х)—р||>е для x^D\\J 5t-^F, и поскольку
носитель /е лежит в 5@, е), то /е(ф(*)—Р) = 0 для xgI/, а на
каждом Si якобиан /ф имеет постоянный знак. Произведя в каж-
каждом St замену переменных у = <р(х)—р, получаем A3.2.3) сле-
следующим образом:
U (ф (х) - р) /ф (х) dx = ? sgn /ф(я'О J h (Ф (х) - р) I /ф (х) | dx
\ U (у) dy = ? sgn J (xt) = d (Ф, р, D).
D t==1 Si

370 Гл. 13. Введение в теорию степени
Вывод равенства A3.2.2) _основан на том простом наблюдении,
что если у функции v е^ф, Rn) носитель лежит в D, то по из-
известной теореме анализа
O. A3.2.4)
D
Теперь мы сошлемся на трудный результат из книги Дж. Шварца
[1969, с. 63—66], утверждающий, что если в дополнение к уже
сделанным предположениям фЕ^2(/), Rn), то функции
[/8 (Ф М - Pi) - L (Ф (х) — р{+ Р2)] /ф(*),
[/8 (Ф (х) - Р2) - /е (Ф (*) - р{ + р2)] /фW
являются дивергенциями некоторых функций из <&хф, Rn) с но-
носителями в D. Следовательно, в силу A3.2.3) и A3.2.4), для до-
достаточно малых е
d (Ф, р» D) = J /в(<р(*) - а) /ф(х) dx
D
=5 /в(ф м - л+р2) 7Ф(^
D
=5
Осталось сделать последний шаг — освободиться от ограниче-
ограничения (pG?2(D,R"). Пространство W2{D, Rn) плотно в <ffl(D,Rn).
По лемме 13.2.4, для некоторой функции Ф е®*2(Д R"), доста-
достаточно близкой к ф по норме || • ||^ь степени d(\|), рь D) и d(\|), p2, ^)
обе определены и равны соответственно ^(ф, puD) и ^(ф, р2, ^).
Формула A3.2.2) следует поэтому из результата, полученного в
предыдущем абзаце. []
Мы в состоянии теперь удалить из определения степени усло-
условие (iv), т. е. условие, что p^cp(Z). В силу леммы Сарда 13.2.3
множество тех точек, которые не являются образами критических
точек функции ф (т. е. не лежат в (p(Z))t плотно в каждой компо-
компоненте множества Rn\q>(dD). Действительно, если бы это было
не так, то q>(Z) содержало бы некоторый открытый шар, имеющий
ненулевую меру, — возможность, исключаемая леммой Сарда.
Возьмем любое р0, не лежащее в фB), но принадлежащее той же
компоненте R/1\cp(dD), что и р, и положим ^(ф, р, D) = ^(ф, р0, D).
По лемме 13.2.5 степень d{cp,p,D) одна и та же для всех таких
Ро, и та же лемма показывает фактически, что d(<p, p, D) не ме-
меняется при изменении р, если р не пересекает (Э

13.2. Степень в конечномерном случае 371
Чтобы избавиться от условия фе^^ДР"), нужно сперва
усилить лемму 13.2.4.
13.2.6. Лемма. Лемма 13.2.4 остается справедливой, даже если
pe=q>(Z).
Доказательство. В силу леммы Сарда найдется такая точка
poeqp(Z), что||р — poll< 2 dist(p, y(dD))t так что р и р0 лежат
в одной и той же компоненте множества Rn\y(dD) (по лемме
13.2.1). Поэтому для достаточно малого е и любой функции
i|) e(g7J-(D, R"), удовлетворяющей условию ||<р —ф||у1 < е, Т04"
ки р и р0 будут находиться в одной и той же компоненте множе-
множества Rn\ty(dD). Уменьшая, если надо, е, можно обеспечить (лем-
(лемма 13.2.4), чтобы d(q>, po, D) = d(ty, po, D). Наш результат следует
теперь из того, что в силу леммы 13.2.5 <i(cp, p, D) = d{q>, po, D)
я d($, pf D) = d{$, po, D).U
13.2.7. Следствие. Пусть {ht}— семейство отображений D->Rn,
определенное для *е[0, 1]. Предположим, что ht^c&l{D, Rn) для
каждого t и что ht непрерывно зависит от t в смысле нормы
^(ДК"). Тогда, если pz?ht{dD) для любого t, то d{ht,ptD)
не зависит от t.
Доказательство. Замечаем просто, что в силу предыдущей леммы
степень d(ht7p,D) постоянна в некоторой окрестности каждого /,
а потому является непрерывной функцией от /. Поскольку она
целозначна, она должна быть постоянной.
13.2.8. Лемма. Пусть заданная функция фЕ^(б, Rw) такова, что
(dD) и пусть tyutyz^ff^D,^). Тогда если ||<р — tpill?,
2-1 dist (р, Ф (а/))), то d($u P> D) = dD>2, P, D).
Доказательство. Положим ht(x) = /i[)i(x) + (l — /)\lJ(x) для
/^[0,1] и хеб. Легко проверить, что рФЫ{х) для любых
х<=дй и *е [0, 1]. Далее,
а значит, ht — непрерывная функция от / в смысле нормы
свх(р, Rn). Наш результат вытекает поэтому из след-
следствия 13.2.7. ?
Мы можем, наконец, снять условие (iii), т. е. условие, что
cpe^fD, Rn). Поскольку W(DyRn) плотно в #(?>, R*), найдется
функция фо^^^О, R"), такая что Цср — фО||^ < 2-1 dist(p, q>(dD)).
Положим б/(ф, р, D)= й(фо, р, D). В силу предыдущей леммы это
определение корректно. Описанные выше этапы определения сте-
степени суммируются в приводимом ниже окончательном определении.

372 Гл. 13. Введение в теорию степени
13.2.9. Определение. Пусть D — ограниченное открытое множество
в Rn. Предположим, что функция qr. D->Rn принадлежит
^(D, Rn) и ни одно решение уравнения ф(х) = р не лежит на dD.
Степень д?(ф,р,О) определяется следующим образом,
(i) Если ф е ^(Д Rn) ир^ y{Z), то полагаем
!0 при
(п) Если ф^ 8м (A R"), а р^фB), берем любую точку р0,
не лежащую в ф(Z), но находящуюся в той же компоненте мно-
множества Rn\<y(dD), что^ и р, и полагаем d((p,p,D) = я?(ф, ро, D).
(ш) Если ф^ <5f{{D, Rn)9 то берем любую функцию Zo^
^D, R"), такую что ||ср — (poll? < 2~1dist (p, <p(dD)), и полагаем
Определение степени дано. Остается только проверить, что, как
было обещано во введении, степень обладает указанными там
свойствами (i) — (iv).
13.2.10. Определение. Пусть D — подмножество банахова простран-
пространства $,ji пусть {ht}, t& [0, 1], —семейство операторов, отобража-
отображающих D в $. Предположим, что функция ht(x) непрерывна по
(совокупности) t и х (т. е. непрерывна как отображение [О, 1]Х
?)->.$). Тогда такое семейство называется гомотопией, а любые
два его члена называют гомотопными между собой.
13.2.11. Теорема. Пусть D — ограниченное открытое множество в
Rn. Предположим, что фЕ^(Д R") и ни одно решение уравне-
уравнения ф(х) = р не лежит на дй. Тогда справедливы следующие ут-
утверждения:
(i) ^(ф, р, D) есть целозначная функция, зависящая лишь от
р и значений ф на dD. Эта функция постоянна по р, если р_не пе-
пересекает ф(E/)), и постоянна по ср, если ф {оставаясь в ^(D, Rn))
изменяется так, что образ границы tp{dD) не проходит через точ-
точку р.
(ii) Гомотопическая инвариантность степени. Пусть {ht} —
гомотопия, такая что ht{x) = p для любых x^D и /€[0,1].
Тогда d(ht> p, D) не зависит от t.
(iii) d(/, p, D) = 1, если pgD,mO, если p^D.
(iv) Если ^(ф, р, Ь)фО, то уравнение ф(х) = р имеет по край-
ней мере одно решение в D.
Доказательство, (ii) Замечаем, что по лемме 13.2.8 степень по-
постоянна в некоторой окрестности каждого t, и дальше рассуждаем,
как при доказательстве следствия 13.2.7. (i) Пусть ф! и ф2 имеют
одинаковые значения на dD. Рассматривая гомотопию ft/ = ftpi +

13.2. Степень в конечномерном случае 373
A — /)ф2 и используя (ш), видим, что d(cpi,/?, D) = d((p2, p, D).
Остальные утверждения следуют из лемм 13.2.8 и 13.2.5 соответ-
соответственно. (Hi) очевидно, (iv) Покажем, что если решений в D нет,
то d(q>, р, D) = 0. Выберем функцию if ^V1 (D, Rn), такую что
\\q> — $W*<2-ldist(pt(p(D)). Тогда ре=я|>@) и d{y,p,D) = O по
определению 13.2.9, (i). В силу леммы 13.2.8, ^(ф, р, D)==
d(, р, D), откуда и следует утверждаемый результат. []
Завершим наше обсуждение теории одним замечанием, каса-
касающимся определения степени. В силу утверждения (i) последней
теоремы, если точка р фиксирована, то степень d(cp,p,D) зави-
зависит только от значений ф на 0D. Поэтому естественно спросить,
нельзя ли определить степень для непрерывной функции ф, задан-
заданной лишь на CD, при условии что р^?ф(сШ). Очевидно, что это
можно сделать, если существует непрерывное продолжение ф на
всё D (какова явная форма такого продолжения, разумеется, не
имеет значения), однако если число измерений больше единицы,
то совсем неясно, существуют ли такие продолжения. Как ут-
утверждает теорема Титце о продолжении, в конечномерном слу-
случае— всегда существуют. Замечательно, что аналогичный резуль-
результат справедлив даже и в бесконечномерном случае; мы сформу-
сформулируем его здесь, потому что он нам понадобится чуть погодя.
Доказательство можно найти у Дж. Шварца [1969, с. 94].
13.2.12. Теорема Дугунджи о продолжении. Пусть X — замкнутое
подмножество банахова пространства $, а множество S а<% вы-
выпукло. Предположим, что отображение A: X->S непрерывно. То-
Тогда, каково бы ни было подмножество Y в $, содержащее X, А до-
допускает непрерывное продолжение А: У~>5.
Несомненно, анализ, лежащий в основе теории степени, доста-
достаточно труден. Однако это не должно затемнять того факта, что
применение теории на практике в принципе чрезвычайно просто,
и большая часть того, что при этом важно знать, содержится в
теореме 13.2.11. В общих чертах дело обстоит следующим образом.
Степень определена для любой непрерывной функции ф, такой что
уравнение ц>(х) = р не имеет решений на дЬ. На практике сте-
степень почти никогда не вычисляют, основываясь на определе-
определении 13.2.9; обычно при вычислении степени опираются на ее го-
гомотопическую инвариантность (теорема 13.2.11, (И)), при помощи
стандартных методов непрерывно преобразуя ф в тождественное
отображение и используя известное значение d(I, р, D). Наконец,
если степень отлична от нуля, то утверждением (iv) теоре-
теоремы 13.2.11 гарантируется существование решения (но, конечно, не
его единственность). Приводимые ниже примеры призваны пояс-
пояснить некоторые из этих моментов.

374 Гл. 13. Введение в теорию степени
13.2.13. Пример. Пусть DczR"— ограниченное открытое множе-
множество, содержащее начало, и пусть L: R^-^R"— линейный опера-
оператор. Будем обозначать через L также и матрицу этого оператора
в каком-нибудь базисе. Очевидно, что степень d(L, О, D) опреде-
определена в том и только том случае, если оператор L инъективен (ина-
(иначе имелось бы решение, лежащее на 3D), но в таком случае
detL^O и, согласно определению 13.2.9, (i), d(L,0,D) =
sgndetL. Но det L равен просто произведению собственных зна-
значений Ki с учетом их алгебраической кратности (напомним, что
алгебраическая кратность собственного значения Ki— это размер-
размерность подпространства U^((^ — L)k)). Поскольку все элементы
k
матрицы L вещественны, ее собственные значения либо веществен-
вещественны, либо встречаются комплексно-сопряженными парами. Следова-
Следовательно,
п
d{Lt О, D) =
где р — сумма алгебраических кратностей отрицательных соб-
собственных значений.
13.2.14. Пример. В R возьмем ?> = (—1, 1) и ц{х)=х2(х— 1/2)/2.
Тогда 6D представляет собой просто пару точек ± 1, и фA)= 1/4,
ф(—1) = — 3/4. Таким образом, степень ^(ф, р, D) определена
для всех рф 1/4, —3/4. Посмотрим сначала, как вычисляется
степень непосредственно на основе определения 13.2.9. Какую
часть этого определения использовать, зависит от того, обраща-
обращается ли /ф в нуль в какой-нибудь из точек-решений x = 0, 1/2,
т. е. равна ли в какой-нибудь из этих точек нулю производная
от ф. Очевидно, последнее имеет место тогда и только тогда, ко-
когда р = 0. Если рфО, то степень легко находится по части (i)
определения 13.2.9: ^(ф, р, D)=l или 0 в соответствии с тем, ле-
лежит р в интервале (—3/4, 1/4) или вне интервала [—3/4, 1/4].
В случае р = 0 возьмем любое малое отличное от нуля р0. Тогда
часть (и) определения дает ^(ф, О, D) = d(q>> po, D)= 1.
Вычисление, основанное на использовании гомотопической ин-
инвариантности степени, проводится так. Положим hi(x) = /ф(х) +
A — t)x, так что h\ =ф и ho==L Тогда ht(± 1)ф р для 0 ^ / ^ 1
и —3/4 < р < 1/4. Поэтому для таких р
^(ф, р, D) = d{hu p, D) = d(hOt p, D) = d{I, p, D)=l.
13.2.15. Пример. Теорема Брауэра о неподвижной точке. Теория
степени доставляет простой метод доказательства этой глубокой
теоремы. Теорема утверждает, что если Q — ограниченное замкну-
замкнутое выпуклое подмножество конечномерного банахова простран-
пространства $ и функция ф: Q~>Q непрерывна, то она имеет неподвиж-
неподвижную точку в Q. Заметим, что пространство $ можно без ограни-

13.3. Степень Лерэ-Шаудера 375
чения общности считать вещественным, ибо Сп изоморфно R2n,
причем выпуклость при этом изоморфизме сохраняется.
Установим результат сначала для Q = S@, r) = 5. Допустим,
что ф не имеет неподвижных точек на dS (в противном случае
доказывать уже нечего), и рассмотрим гомотопию Л/ = / — /ср,
/е [0, 1]. Если t < 1 и xg^S, то *||<р(х)||< г, откуда следует, что
Ы{х)Ф0 для любых х е dS и f e [О, 1]. Следовательно, в силу
гомотопической инвариантности степени (теорема 13.2.11, (ii)),
-<P, 0, S) = d(Alf 0, S) = d(Ao, 0, S) = d(I, О, S)=l.
Таким образом, согласно части (iv) той же теоремы, ср имеет
неподвижную точку в S.
Пусть теперь Q — произвольное ограниченное замкнутое выпук-
выпуклое множество. Тогда оно содержится в некотором шаре 5 с цен-
центром в начале. Поскольку Q выпукло, функция ф допускает не-
непрерывное продолжение на 5 до функции ф: S-^Q (теоре-
(теорема A3.2.12). По доказанному в предыдущем абзаце ф имеет не-
неподвижную точку, скажем xt в 5. Но фE)с:?2, поэтому хей.
Тем самым теорема доказана, ибо ф = ф на Q.
13.3. Степень Лерэ — Шаудера
Для произвольных непрерывных операторов в бесконечномерных
пространствах определить степень с теми же самыми свойствами,
что и в конечномерном случае, заведомо невозможно, потому что
тогда теорема Брауэра о неподвижной точке обобщалась бы без
всяких изменений на бесконечномерный случай, а известно, что
такое обобщение неверно (задача 4.6). Очевидно, надо наложить
какие-то ограничения на рассматриваемые операторы. Поскольку
естественным обобщением теоремы Брауэра служит теорема Шау-
Шаудера о неподвижной точке, можно ожидать, что будет достаточно
какого-либо условия компактности, и, действительно, как было
показано в классической теории Лерэ — Шаудера, можно дать
удовлетворительное определение степени для компактных возму-
возмущений тождественного оператора, т. е. для операторов вида /+Л,
где А — компактный оператор. Эту теорию мы сейчас вкратце и
изложим; по поводу позднейших ее обобщений см. книгу Ллойда
[1978].
Что касается технологии определения степени, то ясно, что
дать определение, основанное на формуле A3.2.1), в бесконечно-
бесконечномерном случае нелегко. Наша тактика будет состоять не в том,
чтобы попытаться обобщить эту формулу, а в том, чтобы исполь-
использовать конечномерные приближения к рассматриваемому опера-
оператору и „нажить капитал" на теории, развитой в предыдущем па-
параграфе.

376 Гл. 13. Введение в теорию степени
Всюду в этом параграфе D — ограниченное открытое подмно-
подмножество вещественного банахова пространства ^?, р — вектор из $
и A: ?>->-$— компактный оператор, такой что }-\-А[фр для
f^dD. По соображениям технического порядка удобно предполо-
предположить на время, что OgD. Положим
A3.3.1)
13.3.1. Лемма. При указанных выше условиях г > 0.
Доказательство. Если сформулированный результат неверен, то
найдется последовательность (/„) в dD, такая что \\rn(fn -f- Afn —
/?) = 0. Поскольку А компактен, найдется последовательность, ко-
которую мы снова обозначим через (/„), такая что последователь-
последовательность {Afn) сходится. Отсюда следует, что последовательность
(fn) тоже сходится, скажем к /, и так как граница дй замкнута,
то /edD. Следовательно, / + Л/ = р, вопреки предположению. []
13.3.2. Лемма. Пусть оператор А удовлетворяет указанным выше
условиям. Тогда для любого заданного е из интервала 0 <С е <С г
существуют такое конечномерное линейное подпространство Л в
$, содержащее р, и такой непрерывный оператор В: D-+M, что
при всех [еД
при всех f<=dD.
Доказательство. В силу леммы 8.2.5 существует удовлетворяющий
условию (i) непрерывный оператор В, определенный на D и при-
принимающий значения в некотором конечномерном линейном под-
подпространстве Мъ пространства $. Возьмем в качестве Ж наимень-
наименьшее линейное подпространство, содержащее одновременно р и
Ло. Ясно, что К(В)<^Ж. Поскольку е < г, условие (и) вытекает
из следующей оценки, справедливой для всех f^dD:
Ниже нам будет нужно рассматривать различные ограничения
оператора В; каждое из них мы будем по-прежнему обозначать
через В, ибо из контекста всегда будет ясно, о каком именно огра-
ограничении идет речь.
Теперь мы готовы приступить к выработке определения степени
оператора 1 + А. Пусть В —любой оператор, удовлетворяющий
условиям (i), (ii) из предыдущей леммы. Рассмотрим его огра-
ограничение на множество D П Л, которое непусто, поскольку OgD.
Ясно, что В отображает ограниченное множество й(]Ж, открытое
в Л, в пространство Л и что f + Bf Ф р для f ^д(й{]Л). По-
Поскольку Л конечномерно, степень d(I + В, р, D (]Л) можно опре-
определить, как в предыдущем параграфе. В конечном счете мы так
И положим d(l-{-Af p} D) равным этому целому числу, надо

13.3. Степень Лерэ-Шаудера 377
только сперва показать, что такое определение не зависит от вы-
выбора В. Для этого нам понадобится один предварительный ре-
результат.
13.3.3. Лемма. Пусть т, п > О— целые числа и S — ограниченное
открытое множество в R"+m. Пусть, далее, (л'Ь ..., хп)^>{х\9 ...
..., хПу 0, ..., 0) — естественное вложение Rn в R"+m и С: S-+Rn —
непрерывный оператор. Положим для f^S
Cf = (Cxf, .... CJ), Cf = (Cxf, ..., Cnf, 0, ..., 0),
так что С есть композиция С с естественным вложением Rn
в Rn+m. Если A + С)[Фрдля{<= dS, то
d(I+C9 p,S0Rn) = d(I+Ct р, S),
где I обозначает тождественный оператор как в Rn, так и в Rn+m.
Доказательство. Предположим сперва, что С е^1 E, R") и ре
C(Z). Пусть Jn+m — матрица Якоби для I-+-C, a Jn — матрица
Якоби для ограничения /+С на Rn. Тогда для каждой точки из
S(]Rn
о
m
где lm обозначает единичную mX m-матрицу, и наш результат
следует из определения степени 13.2.9, (i). В случае С^(S?(StRn)
используем соответствующий предельный переход и утверждение
(i) теоремы 13.2.11. []
13.3.4. Лемма. Пусть В\\ В-+М\ и В2: Ъ-^Мъ — любые два опе-
оператора, удовлетворяющие условиям (i), (ii) из леммы 13.3.2.
Тогда
d(I + Bh p, D(]Ml) = d(I + B2i p, D[\JB).
Доказательство. При надлежащем выборе базиса любое конечно-
конечномерное линейное подпространство в $ можно отождествить с R*
для некоторого k, и выбор базиса никак не влияет на степень.
Поэтому, по предыдущей лемме, для /=1,2
d(I + Bh p, D[\M) = d{I + Bh p, D[\Jtx\ A3.3.2)
где «# — наименьшее линейное подпространство, содержащее Ж\
и «#2- Следовательно, наш результат будет доказан, если мы смо-
сможем показать, что степени в левых частях при / = 1 и 2 равны
между собой.

378 Гл. 13. Введение в теорию степени
Рассмотрим гомотопию {#*}, O^^^l, где оператор Ht\
D{\M-^JC задается формулой
Для fe=d{D()Jt)
\\Htf\\= \\f + Af - р +t(Bj - Af)-(l -t)(B2f - Af)\\
+ Af-pW-tWBJ-Afw-il-tnBJ-AfW
-/r-(l —t)r = r
(последнее Неравенство справедливо, поскольку по предположе-
предположению В\ и В2 удовлетворяют условиям (i), (ii) из леммы 13.3.2).
Следовательно, в силу гомотопической инвариантности степени
(теорема 13.2.11, (ii)),
d(Hu О, J J
Так как H\f = f + В if— р, H0f = f + B2f— р, то этим доказано,
что
и наш результат вытекает из A3.3.2). []
13.3.5. Определение. Пусть D — ограниченное открытое _подмно-
жество вещественного банахова пространства $ и A: D-*-$ —
компактный оператор, причем (I + A)f Ф р для f^dD.
Предположим сначала, что OgD. Возьмем любые Ви1, су-
существование которых утверждается в лемме 13.3.2, и положим
A) p, D) = d(I + B, p,D [\Ж\
В случае когда 0 ф. D, сдвинем сперва начало в какую-нибудь
точку D, а потом определим d(I + Л, р, D), как выше. Конечное
целое число d(I + A,py D) называется степенью (Лерэ —Шау-
дера) оператора / + Л.
Как нетрудно показать, используя теорему Дугунджи о про-
продолжении 13.2.12, степень можно определить также и для случая
компактных операторов A: dD-*$ (см. задачу 13.6).
Итак, определение степени для компактных возмущений тож-
тождественного оператора дано. В приводимой ниже теореме собраны
те свойства степени, которые наиболее важны для приложений.
13.3.6. Теорема. Пусть D — ограниченное открытое подмножество
вещественного банахова пространства $. Справедливы следующие
утверждения:
(i) Гомотопическая инвариантность степени. Пусть {Ht}> t^
[0,1], — гомотопия, состоящая из операторов Б-*<$у причем для

13.3. Степень Лерэ-Шаудера 379
каждого t оператор Ht — / компактен. Если Htf Ф р для любых
f ^dD и t е [О, 1 ], то d (Ht, р, D) не зависит от t.
(ii) d(I,p,D) = 1, если р <= D, и О, если рфп.
(iii) Теорема Лерэ — Шаудера о неподвижной точке. Пусть
A: D-+9H — компактный оператор, причем f-{• Af Ф р для любого
f e dD. Если d (I + А, р, D) ф О, то уравнение f + Af = p имеет
по крайней мере одно решение в D.
Доказательство. Доказательство всех этих утверждений несложно
и основывается на соответствующем конечномерном утверждении
и некой процедуре предельного перехода; чтобы сделать ясным
ход рассуждений, вполне достаточно будет доказать, скажем,
утверждение (iii).
Выберем какую-нибудь последовательность (гп) строго поло-
положительных чисел, стремящуюся к нулю. По лемме 13.3.2 найдутся
последовательность (Вп) непрерывных операторов и последова-
последовательность (Жп) конечномерных линейных подпространств, содер-
содержащих р, такие что Вп отображает D в Жп и \\Bnf — Af\\ ^ гп для
f^D. Следовательно, согласно определению 13.3.5, для достаточно
больших п
d{I + Bn, p, D{\Mn) = d{I + Ay p9 D).
Поскольку rf(/ + Л,р, О)Ф 0, мы можем привлечь теорему 13.2.11,
(iv) и заключить, что существует последовательность (fn) в D,
такая что /„ + Bnfn = р. Но оператор А компактен, поэтому най-
найдется подпоследовательность, обозначаемая по-прежнему через
(fn)t такая что последовательность (Afn) сходится. Таким образом,
Отсюда следует, что последовательность (fn) сходится, скажем
к /, а поскольку оператор А непрерывен, то / + Af = р. []
Что касается практического применения этой теоремы, то, как
и в конечномерном случае, чаще всего вычисление степени прово-
проводят, используя ее гомотопическую инвариантность, а затем уста-
устанавливают существование решения при помощи теоремы Лерэ —
Шаудера о неподвижной точке.
Последний результат этого параграфа, также иногда называе-
называемый теоремой Лерэ — Шаудера о неподвижной точке, особенно
удобен для приложений, поскольку вообще не содержит никакого
упоминания о степени.
13.3.7. Теорема. Пусть D — ограниченное открытое подмножество
вещественного банахова пространства $ и A: D-*38 — компакт-
компактный оператор. Пусть, далее, точка р е D такова, что f + tAf Ф р
для любых f^dDuO^t^l. Тогда уравнение f + Af = p имеет
по крайней мере одно решение в D9

380 Гл. 13. Введение в теорию степени
Доказательство. Положим Htf=(I + tA)f для /е/5. По тео-
теореме 13.3.6, (i)
p, D) = d(HOy р, D) = d{Hb p, D) = d(I + A, р, D).
Поскольку реД то d(I, р, ?))=1, и наш результат следует из
теоремы 13.3.6, (iii). Q
13.4. Одна задача из теории радиационного переноса
Задача радиационного переноса в звездных оболочках представ-
представляет значительный интерес для астрономии и активно изучалась
в течение последних пятидесяти лет. Одна из формулировок этой
задачи приводит к сингулярному линейному интегральному урав-
уравнению, которое послужило поводом для создания теории Винера —
Хопфа. Другой подход приводит к нелинейному интегральному
уравнению, известному как //-уравнение Чандрасекхара; оно об-
обладает некоторыми преимуществами с вычислительной точки зре-
зрения. Первое строгое рассмотрение этого уравнения было, по-ви-
по-видимому, проведено Крамом в 1947 г. Метод Крама основан на
тонких рассуждениях, связанных с использованием теории функ-
функций комплексной переменной, и хотя он был впоследствии не-
несколько упрощен Басбридж, он все равно остается весьма слож-
сложным для понимания. Недавно ряд авторов предприняли изучение
этого уравнения методами функционального анализа. Так, Лег-
гетт [1976] успешно применил к этому уравнению теорию моно-
монотонных операторов, а Стьюарт [1974] дал элегантное доказатель-
доказательство существования решения, используя теорию степени. В методе
Стьюарта хорошо прослеживаются все основные моменты, типич-
типичные для приложений теории степени, и в то же время он не
отягощен излишними техническими подробностями, поэтому мы
изложим его здесь в качестве иллюстрации,
//-уравнение Чандрасекхара имеет вид
1
Н(х) = 1 + хН(х) \ W(f+{yy)dy @<*<l). A3.4.1)
о
Здесь *F —некоторая заданная функция, неотрицательная и не-
непрерывная, причем предполагается, что
1
|i=$?(irt<ty<-5" A3.4.2)
о
Требуется, чтобы решение Н принадлежало #([0,1]). Отметим
тот полезный факт, непосредственно усматриваемый из уравнения
A3.4.1), что Н(х)^ 1 для х <=[0, 1]. С уравнением A3.4.1) в том
виде, как оно есть, работать трудно, и наш первый шаг будет

13.4- Одна задача из теории радиационного переноса 381
состоять в том, чтобы переписать его в более удобной форме, в ко-
которой неизвестным элементом будет ограниченная непрерывная
функция и = 1/Я. Приводимый ниже стандартный результат сум-
суммирует некоторые полезные сведения об этом новом уравнении.
13.4.1. Лемма. Пусть выполнено условие A3.4.2). Если и^
Ф( [0, 1])— строго положительное решение уравнения
^Ш^ау. A3.4.3)
о
то Н — 1/и есть решение Н-уравнения A3.4.1). Далее, и удовле-
удовлетворяет соотношениям
1
J Ч? {х) [и {x)]~l rf* = 1 _ A _ 2[iP, A3,4.4)
о
1
\>u{x)^{\~2vf*+\ T^jdy @<*<l). A3.4.5)
о
Доказательство, Разделим A3.4.3) на и, помножим на f и про-
проинтегрируем. Это даст
1 1
1 1
+ J \ уЩх) ЧГ (у) [(х + у)и (х) и (г/)]-1 dx dy.
О О
Меняя в последнем интеграле местами х и у и складывая полу-
получившееся уравнение с исходным, придем к уравнению
Решая его как квадратное уравнение относительно члена в фигур-
фигурных скобках, получаем A3.4.4). Подставляя в A3.4.3) выраже-
выражение для A—2[яI/2, даваемое формулой A3.4.4), и произведя за-
замену и=1/Н, приходим к A3.4.1). Наконец, поскольку
( + I * Для я* г/е№ 1], то в силу A3.4.3) и A3.4.4)
? (у) [ и(у)]~1 dy = 1.
Второе неравенство в A3.4.5) очевидным образом вытекает из
первого, если еще раз воспользоваться A3.4.3). Ц

382 Гл. 13. Введение в теорию степени
Наибольший математический интерес задача представляет
в случае jj,= 1/2. Действительно, при |кС 1/2 существование
решения легко устанавливается с помощью теории положительных
операторов (см. задачу 13.16). Поэтому мы рассмотрим здесь
лишь случай ju=l/2. В силу последней леммы существование
решения Я-уравнения будет доказано, если нам удастся устано-
установить, что уравнение
1
уЩу)[и(у)]-Ыу A3.4.6)
имеет строго положительное непрерывное решение. Пусть, как
обычно, ^([0,1]) обозначает банахово пространство ограничен-
ограниченных вещественнозначных непрерывных функций с sup-нормой.
Имея в виду использовать гомотопическую инвариантность сте-
степени, положим
для O^^^l и O^x^l. В этих обозначениях уравнение
A3.4.6) принимает вид и = Аои, и нам надо показать, что опе-
оператор Л о имеет в ^([0, 1]) неподвижную точку, которая представ-
представляет собой строго положительную функцию. Заметим прежде
всего, что Kt\ Ф{[0, 1] )-><?7([0, 1]) для каждого / есть компакт-
компактный линейный оператор (см. задачу 13.14). Главная трудность
заключается в выборе подходящей области D для onepajopoB At.
Ввиду наличия члена \/и в выражении для Atu область D должна
состоять из одних лишь строго положительных и, скажем из тех и,
для которых и(х)^ а > 0; зато операторы At при этом будут
компактными. Далее, в соответствии с обычными ограничениями
в теории степени операторы I — At не должны обращаться на dD
в нуль ни при каком /. Как и во многих других приложениях тео-
теории степени, решающим наблюдением на этой стадии рассуждений
является то, что имеется некая не зависящая от / оценка, спра-
справедливая для всех неподвижных точек оператора At. Как и в при-
приводимой ниже лемме, такая априорная оценка устанавливается
независимым рассуждением. Заметим, что существование непо-
неподвижных точек при этом не предполагается.
13.4.2. Лемма. Существует такое m > 0, что всякое строго поло-
жительное непрерывное решение уравнения и = Atu для любого
J<=[(), 1] удовлетворяет неравенству и(х)^2т @ ^х ^ 1).

13.4- Одна задача из теории радиационного переноса 383
Доказательство. Поскольку \х = 1/2, то в силу A3.4.2)
1 \ 1/2 / 1 ч 1/2
-2$?,(*)rf*[ =jl-2A-/) $?(*)?[
Поэтому, если в A3.4.3) заменить W на Wt, то получится как
раз уравнение и = Atu. Значит, в силу A3.4.5),
Несложное вычисление показывает, что для 0 ^ t ^ 1 правая
часть этого неравенства достигает минимума при / = 0. []
13.4.3. Теорема. В случае \х= 1/2 интегральное уравнение A3.4.6)
имеет строго положительное решение ие?([0,1]), и Н = 1/и
будет непрерывным решением Нгуравнения A3.4.1), таким что
1
о
Доказательство. Для любых заданных а, 6, 0 < а < 6, положим
D = {u: ие^ДО, 1]), а<и(*)<й при л: е= [0, 1]}.
Ясно, что D — непустое ограниченное открытое подмножество
в #([0,1]) и операторы At: i3-><g7( [0, 1]) компактны. Выберем
теперь а, Ь таким образом, чтобы оператор / — At не обращался
в нуль на dD ни при каком /е[0, 1]. А именно, положим
a = min(l/2, m), & = 2 + a-4|ffo||.
Очевидно, достаточно показать, что если и — Atu = 0 для некото-
некоторого mgD, то и ^D. С этой целью заметим прежде всего, что
в силу априорной оценки для и> даваемой леммой 13.4.2,
и(х)^2т>а @ < х < 1).
Далее,
Таким образом, меО, что и требовалось установить.
Приготовления к применению теории степени теперь завер-
завершены. Рассмотрим гомотопию Ht = I — Аи Как было только что
доказано, ни один из этих операторов не обращается в нуль на
dD. Следовательно, в силу гомотопической инвариантности сте-
степени (теорема 13.3.6, (i)),
-Л0, 0, D) = d{I~Au 0,

384 Гл. 13. Введение в теорию степени
Но А\и = 1 (где 1 обозначает функцию, тождественно равную
единице), так что
<Щ-Аи 0, D) = d(I, I, D)=l
по теореме 13.3.6, (и) (поскольку IeD). Значит, d(I — Ло, О,
D) = 1. Наш результат следует теперь из теоремы Лерэ—-Шау-
дера о неподвижной точке 13.3.6, (iii). []
Задачи
13.1. Возьмем D == (—1, 1), 3S = R и — 1 < р < 1 и рассмотрим по очереди
функции \х\3 sin(tt/2.*;) и |Ar|sin(tt/2x), считая, что обе они доопределены нулем
при х — 0. Прикиньте, как вычислить степень, исходя непосредственно из опреде-
определения, и сравните это со способом, основанным на гомотопической инвариантно-
инвариантности степени.
13.2. Пусть L: Rn -+ Rn — линейный оператор и fx~1ep(L). Взяв в качестве D
открытый единичный шар, покажите, что
d(I-\iL, 0, D) = (-l)l\
где р —сумма алгебраических кратностей (определение алгебраической кратно-
кратности см. в примере 13.2.13) тех вещественных собственных значений оператора L,
которые имеют тот же знак, что и [х, а по абсолютной величине превосходят
И1
р

13.3. Пусть D\ и D2 — непересекающиеся ограниченные открытые множества в R2
и ф: D\ U D2-> Rn —непрерывная функция, такая что ф(х) фр для x<=dD{{)
dD2. Докажите, что
d (ф, р, D{ [}D2) = d (ф, р, D{) + d (ф, р, D2).
13.4. Пусть D — ограниченное открытое подмножество в R" и (р: D -> Rn—не-
Rn—непрерывная функция, такая что ф(лт) ф р на 3D. Для всякого изолированного ре-
решения х0 уравнения ф(х)=/? индекс /(ф, Хо) определяется как степень й(ц>, р,
Do), где Do — какая-нибудь открытая окрестность точки х0, не содержащая дру-
других решений, кроме самого х0. Предположим, что уравнение ф(х)= р имеет ко-
конечное число решений хи ,.., xk в D. Докажите,
k
d (ф, р, D) =
13.5 (Пуанкаре — Боль). Пусть D — ограниченное открытое подмножество в Rn
и ф;: D->-Rn, j= I, 2, — непрерывные функции, такие что <р}(х) ф р на dD.
Докажите, что d(q>\, p, D) = ^(ф2, р, D), если ни для какого x^dD векторы
ф1 (л:) — р и ф2(*)—р не являются противоположно направленными.
13.6. Пусть D — ограниченное открытое подмножество вещественного банахова
пространства & и Л: dD-»- <% — компактный оператор. Используя теорему Дугун-
джи 13.2.12 и лемму 8.2.4, покажите, что А допускает компактное продолжение
А на D с RJA)> содержащимся в выпуклой оболочке множества R(A). Исходя
из этого, дайте определение степени d(I + Л, р, D), при условии что (I + A)f Ф р
на dD, и покажите, что это определение не зависит от выбора продолжения.
13.7. Докажите теорему Шаудера о неподвижной точке, используя теорию сте-
степени. [Вспомните о лемме 8.2.4 и рассуждайте, как в примере 13.2.15.]

Задачи 385
13.8. Пусть D — ограниченное открытое подмножество вещественного банахова
пространства $ и Л, В: D -> $ — компактные операторы. Покажите, что если
\\Af-Bf\\ <||f-B/-p|| при всех f e= 6D,
то d(I — Af р, D) = d(I — B, р, D).
13.9. Пусть .$ —вещественное банахово пространство, оператор В: 3$-+31 ли-
линеен и компактен, а оператор Л: 38-*-3& компактен. Предположим, что А асим-
асимптотически линеен в том смысле, что
lim \\Af-Bf\\ /||/|| = 0.
llfll-x»
Используя предыдущую задачу и лемму 14.2.4, докажите, что А имеет непо-
неподвижную точку.
13.10. Из результата последней задачи можно вывести весьма мощную глобаль-
глобальную теорему существования для интегральных уравнений Гаммерштейна. Пусть
k: [0, 1] X [0, 1] -* R —непрерывная функция и оператор К: #([0, 1]) ^([0
1]) задан формулой
k(x, y)f(y)dy.
о
Пусть, далее, функция я|): [0, 1] X R -> R непрерывна и существуют такое ве-
вещественное число а, такое 8 > 0 и такие непрерывные функции gif g2, что
\W(x, z) -azKg{(x)\z\i-t + g2(x) при x e= [0, 1], 2 e R.
Докажите, что если а~! е р(/С), то уравнение
l
о
имеет решение в ^([0, 1]).
13.11. Пусть D_—открытый единичный шар в вещественном банаховом простран-
пространстве $ и Л: D->.$ — компактный оператор. Покажите, что Л имеет неподвиж-
неподвижную точку в В, если выполнено какое-нибудь из следующих условий:
для fe=dD;
(ii) ^ — вещественное гильбертово пространство и (/, Л/) ^ ||/||2 для/ед?).
13.12. Пусть $ — вещественное банахово пространство и Л: $ -> ^ — компакт-
компактный оператор. Предположим, что существует априорная граница m > 0, такая
что для всех 0 ^ / ^ 1 каждое решение уравнения / — tAf = 0 удовлетворяет
оценке 11/11 ^ т. Докажите, что А имеет неподвижную точку в 5@, пг).
13.13. Пусть ^: R -> R — непрерывная неубывающая функция, причем i|)(z)-*
±со соответственно при г->±оо, а ^f — произвольная непрерывная вещественно-
значная функция. Используя задачу 13.12, установите существование в ^2([0,
1]) решения уравнения
при однородных граничных условиях Дирихле.
13.14. Докажите, что операторы Kt из § 13.4 компактны.
13.15. Покажите, как упростить доказательство существования решения Я-урав-
нения в случае \х < 1/2 [можно обойтись без априорной оценки!].
13.16. В случае \х < 1/2 существование решения Я-уравнения можно также вы-
вывести из теоремы 8.3.9.

Глава 14
ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ
14.1. Введение
Среди великого множества физических явлений, моделируемых
нелинейными уравнениями, особенно важны и особенно трудны
для анализа те, которые приводят к задачам на собственные
функции. Следующий классический пример является типическим.
Предположим, что идеальная жидкость течет без завихрений по
каналу с плоским дном. Могут ли существовать периодические
волны неизменяющейся формы? Такое течение можно моделиро-
моделировать уравнением вида Xf=Af, где А— нелинейный оператор
с ЛО = О, а X — некоторый параметр. Одно из возможных тече-
течений—равномерное (отвечающее тривиальному решению f= 0),
но, конечно, физический интерес представляют как раз нетриви-
нетривиальные решения. Наличие тривиального решения существенно
усложняет математическое рассмотрение вопроса, и далеко не
просто придумать метод, достаточно тонкий для того, чтобы он
„различал" тривиальные и нетривиальные решения. Цель этой
главы — дать обзор некоторых из таких методов.
Для случая, когда оператор А линеен, изучение уравнения
Xf = Af уже было проведено ранее как часть спектральной тео-
теории. Хотя нашей задачей и является обобщить эту теорию, в не-
нелинейном случае удобно изменить обозначения и вместо пара-
параметра К использовать параметр [i = %~l. В некоторых приложе-
приложениях сам рассматриваемый оператор зависит от jw, и эта возмож-
возможность предусматривается следующим определением:
14.1.1. Определение. Пусть D — подмножество вещественного ба-
банахова пространства ^?, причем O^D. Для каждого веществен-
вещественного [I пусть AyL — оператор из D в I, удовлетворяющий условию
ЛО = 0. (Вещественные) значения \i, для которых уравнение
f = liA^f имеет ненулевые решения, называет характеристиче-
характеристическими значениями оператора А^, а соответствующие решения / —
собственными векторами (или собственными функциями, если
речь идет о пространстве функций). Как и в линейном случае,
название ,собственное значение" сохраняется за величиной, об-
обратной к характеристическому значению.
14.1.2. Пример. Рассмотрим для иллюстрации следующие три слу-
случая, в каждом из которых ср: R -> R.

14-1. Введение
387
(а)
X i
Случай А. Пусть ср — линейное отображение, задаваемое фор-
формулой Ц)(х) = ах, где а — отличное от нуля вещественное число.
Ясно, что уравнение x = [iy(x) имеет ненулевое решение в том
и только том случае, если \х = сН, и в этом случае каждое веще-
вещественное число будет решением; см. рис. 14.1, (а), где решения,
отложенные напротив соответствую-
соответствующих [л, представлены жирными ли-
линиями.
Случай В. Для (р(х) = х/A +|х|)
уравнение х= \хц(х) имеет ненулевые
решения (х = ±(|л— 1)) тогда и
только тогда, когда [i > 1. Аналогич-
Аналогичная диаграмма для этого случая дана
на рис. 14.1, (Ь).
Случай С. Для у(х)=х3 уравне-
уравнение х= \мр(х) имеет ненулевые реше-
решения (х = ±[i~l/2) тогда и только тог-
тогда, когда [I > 0 (см. рис. 14.1, (с)).
Из сравнения этих трех случаев
вытекают интересные выводы:
(i) В каждом из случаев можно
указать фиксированный шар в R с
центром в начале, не содержащий при
малых \х ни одного собственного век-
вектора.
(И) В линейном случае множество
характеристических значений состоит
из одной-единственной точки. Для не-
нелинейных операторов это множество
представляет собой интервал: \х > 1
в случае В и \х > 0 в случае С. Таким
образом, в разительном контрасте с
линейным случаем „нелинейный
спектр" недискретен, даже если рас-
рассматриваемый оператор компактен.
Рис. 14.1. Бифуркационные диа-
диаграммы для
(a) ф(л:) = cue,
(b) <p(*) = */(l
(c) ср(*) = л;3.
(iii) В случае линейной функции ср уравнение х
имеет решение при каждом вещественном а тогда и только тогда,
когда \х не является характеристическим значением. Соответствую-
Соответствующие нелинейные уравнения обладают решениями для всех ji; аль-
альтернатива Фредгольма для них очевидным образом не имеет
места.
(iv) В случаях А и В при увеличении \х достигается точка,
в которой решения „разветвляются" 1) — от тривиального решения
1) По-английски bifurcate (от латинского furca—двузубые вилы). Отсюда
и сам термин „бифуркация". — Прим. перев.

388
Гл. 14- Теория бифуркаций
„ответвляются" другие решения. Такое поведение является общим
правилом, однако, как показывает рис. 14.1, (с), бывают и исклю-
исключения из этого правила. В любом случае поведение решений как
функций от \х изящно и лаконично представляется бифуркацион-
бифуркационными диаграммами типа приведенных на рис. 14.1. Хотя в много-
многомерном случае решения уже нельзя изобразить с помощью одной-
единственной оси, часто имеется величина, важная по физическим
или каким-нибудь иным причинам, — это может быть, скажем,
норма решения, — которую можно с успехом использовать для
построения аналогичной бифуркационной диаграммы.
Приведенные выше примеры вместе с примерами из задачи 14.1
дают некоторое представление о разнообразии возможностей, име-
^1 ^2 И3 \*л \Х
Рис. 14.2. Бифуркационная диаграмма для линейного компактного оператора;
Ма> Ц2> .•• — характеристические значения.
ющихся даже в одномерном случае, а в многомерном случае воз-
возникают дальнейшие усложнения. Бесконечномерный случай вооб-
вообще поддается рассмотрению, только если принять какие-либо до-
дополнительные предположения, и мы ограничимся здесь изучением
компактных операторов А. В этом случае для линейных А бифур-
бифуркационную диаграмму легко построить на основе спектральной
теории компактных операторов (рис. 14.2).
Если А нелинеен, то зависимость от \х редко бывает столь про-
простой, и, в частности, поведение при малых и больших ||/|| может
быть совершенно разным. В последующем мы будем использовать
термин „локальный" для случая, когда допускаются лишь малые
значения ||/||, и термин ,,глобальный" для случая, когда никаких
ограничений на ||/|| не налагается.
Для исследования локальных задач часто применяется фор-
формальный прием, основанный на линеаризации: исходное нелиней-
нелинейное уравнение заменяется линейным уравнением, решения кото-
которого используются в качестве приближений к малым решениям
исходного уравнения. Применение этого приема к указанному

14-2. Локальная теория бифуркаций 389
выше случаю В показывает, что единственным характеристиче-
характеристическим значением линеаризованного уравнения является единица
и что, в самом деле, это единственная точка ветвления для А.
В следующем параграфе будет изложена локальная теория би-
бифуркаций, основанная на этом методе линеаризации. Мы увидим,
что хотя этот метод и не всегда работает, он применим для доста-
достаточно широкого класса операторов. Среди приложений, которые
мы обсудим, будет и упомянутая выше задача о распространении
волн, для которой с помощью локальной теории бифуркаций мож-
можно получить простое доказательство существования периодиче-
периодического цуга малых нелинейных волн.
Во многих приложениях локальная теория, хоть и оказывается
полезной, не дает полного решения проблемы. Например, в слу-
случае задачи о распространении волн целый ряд эвристических
соображений указывает на то, что могут существовать периодиче-
периодические волны не изменяющейся формы с максимальным углом на-
наклона вплоть до я/6, и, чтобы подтвердить это, нужна, очевидно,
глобальная теория. Построение такой теории представляет го-
гораздо большие технические трудности, тем не менее в § 14.3 мы
получим некоторые результаты в этом направлении, эксплуатируя
глобальный характер теории степени Лерэ —Шаудера. Главной
нашей целью будет вывод мощной теоремы Красносельского о мо-
монотонной миноранте; в качестве одного из ее приложений мы под-
подтвердим приведенное выше предсказание для задачи о распро-
распространении волн.
Нелинейные задачи на собственные функции подробно обсуж-
обсуждаются в книгах Красносельского [1956] и Бергера [1977]. В жур-
журнале Rocky Mountain Journal of Mathematics, 1973, 3, № 2, содер-
содержится целый ряд интересных статей о последних достижениях в
этой области; к ним можно добавить еще работы Стакголда
[1971] и Сэттингера [1973]. В сборнике под редакцией Келлера
и Антмана [1969] дан обзор ряда приложений к физическим за-
задачам, а у Дикки [1976] —к задачам теории упругости. Обсужде-
Обсуждение важного вопроса устойчивости решений эволюционных урав-
уравнений можно найти у Сэттингера [1973], а гидродинамическую
интерпретацию соответствующих результатов — у Бенджамена
[1976]. Наконец, заметим, что для одного специального класса
нелинейных операторов построена теория типа теории Фредголь-
ма; см. Фучик, Нечас, Соучек и Соучек [1973].
14.2. Локальная теория бифуркаций
Всюду ниже D — открытое подмножество вещественного банахова
пространства J?, содержащее нуль, и {Ац} — семейство операторов
из D в ^, такое что AJ непрерывно по \х и / для \х из некоторого
подмножества в R и / из D. Далее, предполагается, что Лд0 = 0

390 Гл. 14- Теория бифуркаций
для каждого \i. Локальная теория изучает собственные векторы
малой нормы операторов Л^.
14.2.1. Определение. Пусть задано jiogR. Предположим, что для
каждого е > 0 существуют характеристическое значение \х и соот-
соответствующий собственный вектор / оператора Лц, такие что
|м-~~ Мю|<е и II/H< е. В таком случае \х0 называется бифурка-
бифуркационным значением или точкой бифуркации (от нуля) для Лц.
Ветвления от ненулевых решений также могут иметь место, но мы
их здесь рассматривать не будем.
Если оператор Л^ линеен и не зависит от ji, то его точки би-
бифуркации суть в точности его характеристические значения. Если
Л^ нелинеен и имеет производную Фреше Л^@) в нуле, то линей-
линейный оператор Л^@) служит приближением к Лц вблизи нуля. По-
Поэтому можно ожидать, что точки бифуркации и малые собствен-
собственные векторы оператора Л^ и линейного оператора Л^@) тесно свя-
связаны друг с другом. Мы сейчас исследуем вопрос о справедливо-
справедливости этого принципа линеаризации в предположении, что AiX =
L + N^ где
(i) L: $->$ — ненулевой компактный линейный оператор, не
зависящий от \х;
(и) для каждого \х оператор N^: D-><% компактен, N^f непре-
непрерывно по [х и / и
л->о
причем сходимость равномерна по \х для \х из любого конечного
интервала.
Если оператор Л^ не зависит от \х и компактен, то эти условия
равносильны дифференцируемости Л^ по Фреше в нуле с произ-
производной Л/М/@)= L причем компактность L обеспечена в этом слу-
случае автоматически (задача 14.5). У нас здесь рассматривается
несколько более общая ситуация, когда оператору дозволяется
зависеть от |i, правда, лишь весьма слабым образом.
14.2.2. Теорема. При указанных выше предположениях \х0 может
быть бифуркационным значением для А^ только в том случае,
если оно является характеристическим значением для L. Множе-
Множество бифуркационных значений А^ не имеет конечных предельных
точек.
Доказательство. Допустим, что \х0 — точка бифуркации для Лц,
но .не характеристическое значение для L. Поскольку L компак-
компактен, некоторая окрестность точки м-о содержится в p(L). Следова-
Следовательно, для [1 из этой окрестности операторы (/ — [xL)-] равно-

lJf..2. Локальная теория бифуркаций 391
мерно ограничены в S'(&) (по теореме 3.6.3). Далее, равенство
f = \хА^ можно переписать в виде
и ввиду условия (п) мы придем к противоречию, если возьмем
норму левой и правой частей последнего равенства и выберем до-
достаточно малое /. []
Раз ветвления могут происходить лишь в точках, являющихся
характеристическими значениями для L, естественно спросить, не
будет ли каждое из таких значений точкой бифуркации. Не нужно
ходить слишком далеко, чтобы убедиться, что ответ отрицателен.
14.2.3. Пример. Для векторов х=(х\,Х2) из R2 определим функ-
функцию <р: R2-> R2 формулой
<р (х) = (х{ - х2 (х2 + х*)9 х2 + х{ (х\ + х22)).
Производная Фреше функции ср в нуле есть тождественный опера-
оператор, который имеет характеристическое значение 1. Если х — соб-
собственный вектор для ф, то
*,= Ч [*,-**(*?+ *!)], *2 = |*[>2+ *,(*?+ *!)]• (Н.2.1)
Умножая эти равенства на х\ и х2 соответственно и складывая,
получим
Это уравнение имеет ненулевое решение, только если \л = 1, но
в этом случае единственным решением уравнения A4.2.1) служит
х = 0. Таким образом, у ср нет ни одного характеристического зна-
значения 1).
Итак, характеристические значения L не обязаны быть точками
бифуркации для Ап. Приводимая ниже теорема утверждает, что
ветвление в точке, являющейся характеристическим значением,
всё же имеет место, если кратность этого характеристического
значения нечетна. Рассуждение, с помощью которого мы докажем
этот факт, использует теорию степени и основано на том, что в
некоторой окрестности начала степени операторов / — [хА^ и
/ — \xL одинаковы. В конечномерном случае последнюю легко вы-
вычислить (задача 13.2), и, оказывается, та же самая формула верна
и в бесконечномерном случае (доказательство см. у Красносель-
Красносельского [1956, с. 138]):
14.2.4. Лемма. Пусть [i~l e R не является собственным значением
компактного линейного оператора L. Тогда для любого открытого
!> А значит, нет и точек бифуркации.— Прим. перев.

392 Гл. 14- Теория бифуркаций
множества D, содержащего О,
-|xL, О, D)=(-l)
где р — сумма алгебраических кратностей вещественных собствен-
собственных значений L, имеющих тот же знак, что и (л, а по абсолютной
величине превосходящих \\i\~1.
Здесь и далее алгебраическая кратность понимается в смысле
определения, данного в примере 13.2.13, и собственное значение
называется простым, если его алгебраическая кратность равна
единице.
14.2.5. Теорема. Пусть А^ удовлетворяет приведенным выше усло-
условиям (i) и (ii). Если |я0 — характеристическое значение нечётной
кратности ]> для L, то оно является точкой бифуркации для Лц.
Доказательство. Будем рассуждать от противного. Выберем е > О
настолько малым, чтобы \х0 было единственным характеристиче-
характеристическим значением L в интервале [jj,0 — е, jio + e]. Если \х0 не явля-
является точкой бифуркации, то, уменьшив, если надо, е, можно до-
добиться, чтобы для всякого [1 из указанного интервала нуль был
единственным решением уравнения / = [хЛ^/, имеющим норму
^е. Пусть 5 — открытый шар в $ с центром в начале и радиу-
радиусом е. Тогда /—Gio + fe) Aio+*e не обращается в нуль на dS ни
при каком /^ [—1, 1], и в силу гомотопической инвариантности
степени
d(I-(ix0-г) Ан-еу О, S)=d(I-(ixQ + e)AlXQ+B, О, S).
A4.2.2)
Теперь покажем, что степени операторов /—\лА^ и /—\xL
равны между собой 2>. Рассмотрим гомотопию Ht = I — \xL — fyiAV,
/е[0, 1]. Поскольку \i не является характеристическим значе-
значением для L, то
при некотором с > 0 для всех / ^ J?. Далее,
№-ВД = /М11ВД|,
и ввиду условия, наложенного на N^ мы можем считать (умень-
(уменьшив, если надо, е), что ||#ц/||/||/||< с/\\х\ при Ц/1К в. Таким об-
образом, _
\\Htf-Hof\\<ce для feS. A4.2.4)
1) То есть р-о 1 — собственное значение нечётной алгебраической кратно-
кратности. — Прим. перев.
2> Для ц из указанного выше или, быть может, несколько меньшего интер-
интервала. — Прим. перев.

14--2. Локальная теория бифуркаций 393
Следовательно, для /g й и 0 ^ /^ 1
в силу A4.2.3) и A4.2.4). Поэтому степень Ht на 5 определена, и,
вспоминая, что Яо = / — jiL, H\ = I — цЛц,, и используя гомотопи-
гомотопическую инвариантность степени, мы заключаем, что
—нА, 0, S) = d(I-~\iL, О, S). A4.2.5)
Наконец, в силу A4.2.2) и A4.2.5)
, 0, S) = d(/-(>xo + e)^o+e, 0, 5)
, 0, S) = d{I-(\io-e)L, О,
Однако равенство степеней в крайних частях этой цепочки проти-
противоречит лемме 14.2.4, поскольку \х0 имеет нечетную степень. []
Интересно заметить, что эту теорему можно значительно уси-
усилить и получить результат, по существу, глобального характера
(см. Рабинович [1973] или Бергер [1977, с. 276]). Приводимая
ниже теорема, доказательство которой предоставляется читателю
в качестве упражнения, утверждает, что вблизи точки бифуркации
собственные векторы А локально ведут себя подобно собственным
векторам L.
14.2.6. Теорема. Предположим, что Ап удовлетворяет приведен-
приведенным выше условиям (i) и (И), и пусть ц0 — точка бифуркации для
Лц. Обозначим через X множество собственных векторов А^, отве-
отвечающих характеристическим значениям из интервала [|i0 — 8,
Mo + s], и через Y — линейную оболочку собственных векторов L,
отвечающих jlxo- Тогда для достаточно малых е
lim
f->0, fe-X
В совокупности эти теоремы дают строгое обоснование эври-
эвристического принципа линеаризации. Некоторым недостатком яв-
является то, что теорема 14.2.5 охватывает лишь ситуации, когда
кратность характеристического значения нечётна. При определен-
определенных условиях, например в случае, когда А есть потенциальный
оператор (Красносельский [1956, с. 299, 332]), это ограничение
может быть снято, но в общем случае, если кратность нечётна,
приходится привлекать к рассмотрению члены высших порядков;
вводное обсуждение этого вопроса имеется у Бергера и Бергера
[1968, с. 123]. Тем не менее и сама теорема 14.2.5 во многих при-
приложениях бывает полезной. Например, в случае когда L — инте-
интегральный оператор, отвечающий граничной задаче для дифферен-
дифференциального уравнения, характеристические значения часто оказы-
оказываются простыми. Ниже мы рассмотрим две хорошо известные

394 Гл. 14- Теория бифуркаций
нелинейные задачи на собственные функции. Первая представляет
собой простой пример из теории упругости и приводится здесь
лишь в качестве беглой иллюстрации.
14.2.7. Пример. Выпучивание сжатого стержня. Рассмотрим тон-
тонкий упругий стержень единичной длины]), шарнирно закреплен-
закрепленный на одном конце и находящийся под воздействием приложен-
приложенной к нему на другом конце сжимающей силы Р (см. рис. 14.3).
Пусть s обозначает расстояние вдоль стержня, и пусть p(s)~- его
плотность, предполагаемая непрерывной и строго положительной.
Рис. 14.3.
Если поперечное смещение стержня в точке s обозначить через
y(s), то поведение стержня описывается дифференциальным урав-
уравнением
с граничными условиями у@) = у(\) = 0; здесь \х — некоторая по-
постоянная, пропорциональная Р. Физическая интуиция подсказы-
подсказывает, что при малых Р стержень будет сжиматься, не прогибаясь,
а при больших Р может произойти выпучивание.
Переписывая это дифференциальное уравнение с помощью
функции Грина k в виде интегрального, получаем для ср = у"
1/2
\iA(f{s).
| 1/2
> =
Это — нелинейная задача на собственные функции. Возьмем в ка-
качестве 3$ вещественное банахово пространство ^([0, 1]) с sup-нор-
sup-нормой и в качеству D — его открытый единичный шар. Очевидно,
что оператор A: D-><g?( [0, 1]) компактен и обладает в нуле про-
производной Фреше L, задаваемой формулой
k{s,t)y(t)dt.
Обозначим характеристические значения и отвечающие им соб-
собственные функции оператора L через ць ji2, ... и <рь <р2, ... соот-
соответственно. Поскольку эти характеристические значения оказы-
!) Неоднородный по длине. — Прим. перев.

!Jf.-2. Локальная теория бифуркаций
395
ваются простыми, из теорем 14.2.2 и 14.2.5 немедленно следует,
что множество точек бифуркации оператора А в точности совпа-
совпадает с {[in}. Далее, согласно теореме 14.2.6, для \х, близких к [хП1
малые собственные функции оператора А хорошо аппроксимиру-
аппроксимируются соответствующими кратными функций cp/z.
Мы убедились, что ветвление имеет место в точках, являющих-
являющихся характеристическими значениями линеаризованного уравнения.
Однако локальная теория оставляет ряд важных вопросов без от-
ответа. В частности, она не дает никаких указаний относительно
того, будет ли характеристическим любое \х, лежащее между дву-
двумя точками бифуркации, равно как и не позволяет она решить
Рис. 14.4. Бифуркационная диаграмма для задачи о выпучивании сжатого
стержня.
вопрос (к которому мы вернемся в примере 14.3.11) о существо-
существовании состояний с большим прогибом. В данном простом примере
можно получить полное решение, если предположить, что стер-
стержень однороден, ибо тогда исходное дифференциальное уравнение
можно явно проинтегрировать, используя эллиптические функции
(см. Келлер и Антман [1969]). Представленная на рис. 14.4
бифуркационная диаграмма, где а — угол поворота в концевой
точке стержня, служащий мерой отклонения от невыпученного со-
состояния, показывает, что при любом \х > я2 имеется по крайней
мере одно выпученное состояние. Вопрос о том, какие именно со-
состояния предпочитаются системой при больших ji, также может
быть решен дальнейшим анализом.
14.2.8. Пример. Одна из наиболее интересных тем в теории волн
на воде — это изучение волн большой амплитуды в канале. Вот
уже более ста лет привлекает внимание математиков следующая
задача из этой области. Предположим, что идеальная жидкость
совершает безвихревое двумерное движение в канале. Существует
ли периодический цуг волн не изменяющейся формы (т. е. неиз-
неизменной по отношению к наблюдателю, движущемуся вместе с вол-
волной с ее скоростью)? Стоке высказал еще в 1880 г. гипотезу, что

396 Гл. 14- Теория бифуркаций
должны существовать волны с максимальной крутизной вплоть
до я/6, но возникающие здесь математические трудности были
столь велики, что лишь сравнительно недавно это предсказание
было строго подтверждено, и до сих пор еще в этой области оста-
остается множество нерешенных проблем. Близкая задача об уединен-
уединенной волне (солитоне) оказалась даже более податливой.
Главное затруднение, возникающее при рассмотрении волн, не
являющихся бесконечно малыми волнами, отвечающими линеари-
линеаризованным граничным условиям, связано с наличием свободной
границы. (Заметим, что в двумерном случае задачу можно ре-
решить, привлекая методы теории функций комплексной пере-
переменной.) Дифференциальное уравнение, описывающее поведение
волн на воде, нелинейно, и существование тривиального реше-
решения— невозмущенного течения — означает, что наша задача отно-
относится к типу нелинейных задач на собственные функции, причем
соответствующий параметр связан с длиной волны. В долгой исто-
истории этой задачи выделяются два основных достижения. Первое —
это локальный результат о существовании малых волн, получен-
полученный независимо Леви-Чивитой и Некрасовым в начале 20-х годов;
впоследствии было показано, что этот результат очень легко по-
получить, используя методы теории бифуркаций, излагаемые в дан-
данном параграфе. Второе, которое мы обсудим в следующем пара-
параграфе,— это вклад Красовского в решение гораздо более трудной
глобальной проблемы существования решения.
Приводимое ниже доказательство локального результата о су-
существовании решения основано на формулировке задачи, данной
Некрасовым, который показал, что в случае канала бесконечной
глубины угол 6 между вектором скорости распространения волны
и свободной границей удовлетворяет уравнению 6 = цЛцб, где
-1
= ^k (х, у) sin 6 {у)
+\i^sinQ(u)du
dy.
Здесь \х — некоторый параметр, зависящий от длины волны, от
скорости частиц в подошве волны и от g!), а ядро k, представ-
представляющее собой функцию Грина задачи Неймана для оператора
Лапласа в круге, задается формулой
оо
k (х, у) = -д^- 2^ n~l
д^ 2^ sin nx sin ny.
Цель состоит в том, чтобы доказать существование ненулевых
непрерывных решений. Рассмотрим пространство ^([—я, я]) (ба-
(банахово пространство вещественнозначных непрерывных функций
Ускорения силы тяжести. — Прим. перев.

14-3. Глобальная теория собственных векторов 397
с sup-нормой). Легко показать, что для некоторого фиксирован-
фиксированного конечного интервала значений \х оператор Лд непрерывен и
компактен на некотором достаточно малом шаре с центром в нуле.
Его производная Фреше в нуле представляет собой интегральный
оператор L, задаваемый формулой
|=\ k(x,y)Q(y)dy.
— П
Оператор L имеет простые характеристические значения Зшт
(п=1, 2, ...), и все другие условия на Лц также легко проверя-
проверяются. На основании теоремы 14.2.5 мы немедленно заключаем,
что каждое из этих значений является точкой бифуркации для Лй.
Тем самым доказано существование периодического цуга волн
малой, но не бесконечно малой амплитуды. Это и есть искомый
локальный результат о существовании решения. (В действитель-
действительности физический смысл имеет лишь первая точка бифуркации
(Хайерс [1964, с. 324 ]).)
14.3. Глобальная теория собственных векторов
Два примера, которыми мы закончили предыдущий параграф,
ярко подчеркивают ограниченность локальной теории бифуркаций,
поскольку в обоих случаях наиболее интересные вопросы каса-
касаются как раз „больших" решений и потому по своей сути явля-
являются глобальными. На практике обычно из физических соображе-
соображений бывает ясно, что должны существовать решения, размер ко-
которых ограничен лишь некоторой естественной границей, вытека-
вытекающей из физики задачи. Как правило, такое физическое предска-
предсказание весьма трудно подтвердить математически, если не нало-
наложить на рассматриваемый оператор какие-либо дополнительные
условия. В одном случае, а именно в случае, когда на простран-
пространстве, где действует оператор, задано частичное упорядочение, дело
существенно упрощается и возможно значительное продвижение
вперед. В этом параграфе мы обсудим группу типичных резуль-
результатов такого рода, которые оказались полезными в приложениях.
Всюду ниже ^ — вещественное банахово пространство, наде-
наделенное частичным упорядочением, задаваемым конусом ?, иО —
ограниченное открытое подмножество в J?, такое что OgD. Пусть
A: D->$ — заданный компактный оператор (отметим, что А пред-
предполагается теперь независящим от [х). Нашей целью будет пока-
показать, что совокупность собственных векторов оператора А обра-
образует „непрерывную ветвь" некоторой определенной длины; приво-
приводимое ниже определение этого понятия подсказано соответству-
соответствующим свойством непрерывной кривой в двумерном пространстве,
проходящей через начало координат.

398 Гл. 14- Теория бифуркаций
14.3.1. Определение. Пусть S — подмножество в Jf, и пусть задано
г > 0. Говорят, что S образует непрерывную ветвь длины г, если
для любого г' <L r граница всякого открытого множества, содер-
содержащего 0 и содержащегося в шаре с центром 0 и радиусом г\
имеет непустое пересечение с S.
14.3.2. Теорема. Пусть D — ограниченное открытое подмножество
вещественного банахова пространства, содержащее начало. Пред-
Предположим, что оператор A: D->E компактен и
dist @, A (dD)) = inf || Af \\ > 0. A4.3.1)
Тогда у А имеется в dD f]E собственный вектор, отвечающий не-
некоторому положительному характеристическому значению.
В случае когда D — шар с центром в начале, этот результат
легко выводится из теоремы Шаудера о неподвижной точке (см.
задачу 14.9). Смысл того, что D дозволяется быть любым откры-
открытым множеством, заключается в том, что в таком случае теорема
позволяет устанавливать существование непрерывных ветвей соб-
собственных векторов. Средоточием доказательства теоремы является
приводимая далее лемма, которая выводится при помощи теории
степени.
14.3.3. Определение. Говорят, что у двух ненулевых векторов /,
g e &$ одно и то же направление (или что они одинаково направ-
направлены), если существует такое с > 0, что / = eg.
14.3.4. Лемма. Пусть Я и D такие же, как в последней теореме,
и В: В-+3$—компактный оператор. Предположим, что I — В не
обращается в нуль на dD и что существует такой ненулевой век-
вектор pEJf, что векторы (I — B)f и р не являются одинаково на-
направленными ни для одного f e dD. Тогда у В имеется в dD соб-
собственный вектор, отвечающий некоторому положительному харак-
характеристическому значению.
Доказательство. Рассмотрим гомотопию {Ht}, O^S/^1, задавае-
задаваемую формулой
Заметим прежде всего, что Htf?=O для любых /е@, 1) и f^dD,
ибо в противном случае векторы (/ — B)f и НA — t)p имели бы
для некоторых таких /, f одно и то же направление, вопреки на-
нашему предположению. Далее, Н\ = 1 — В, а по условию леммы
оператор / — В не обращается в нуль на dD. Таким образом, Ht
не обращается в нуль на dD ни при каком /е@, 1). Но поскольку
рф 0, то при достаточно малых t оператор Ht не обращается

14-3. Глобальная теория собственных векторов 399
в нуль в В и потому имеет степень нуль 1). Следовательно, в силу
гомотопической инвариантности степени, d(I—В, О, D) = 0.
Если утверждение леммы неверно, то найдутся />0и f^3Dt
такие что f = tBf. Отсюда следует, что / — tB не обращается в
нуль на 3D ни при каких O^f ^ 1. Замечая, что ОеОи вновь
используя гомотопическую инвариантность степени, заключаем,
что
1 = d(/, 0, D)=d(I-B, 0, D).
Но это противоречит утверждению, полученному в предыдущем
абзаце. []
Мы докажем нашу теорему, применяя эту лемму к оператору
tA для большого положительного t. Следующий результат пока-
показывает, что для этого оператора выполнено последнее условие
леммы.
14.3.5. Лемма. Существуют р^$ и t0 > 0, такие что ни при ка-
каких t > tQ и f^3D векторы (I—tA)f и р не являются одинаково
направленными.
Доказательство. Возьмем любое р^Е с ||р||=1. Если наш ре-
результат неверен, то найдутся последовательность (tn) веществен-
вещественных чисел, стремящаяся к бесконечности, последовательность (сп)
положительных чисел и последовательность (fn) в 3D, такие что
\n — inA\n = спр. Деля на tn и беря нормы, получаем
0nlfn — Afn)/\\tn4n — Afn\ = p. A4.3.2)
Поскольку оператор А компактен; найдется подпоследователь-
подпоследовательность, снова обозначаемая через (/л), такая что последователь-
последовательность (Afn) сходится; пусть g = \\mAfn. В силу A4.3.1), g^O,
и так как Afn^E, a E замкнуто, то g^E. Полагая п-+оо в
A4.3.2), заключаем, что g/\\g\\ = — р, и поскольку g^E, то
— р^Е. Следовательно (поскольку Е — конус и р^Е), р = 0.
Но это противоречит тому, что ||р||= 1.
Доказательство теоремы 14.3.2. Предположим, что не существует
такого t > 0, для которого оператор /—tA обращается в нуль
на 3D. Тогда при t>t0 (где t0 определено, как в лемме 14.3.5) и
B = tA выполнены условия леммы 14.3.4. Значит, для некоторого
[х > 0 и некоторого f^dD мы имеем / = \iBf = t\\Af, откуда сле-
следует, что при t'=t[i>0 оператор /—t'A обращается в нуль на
3D, вопреки предположению.
Следовательно, f = t'Af для некоторых V > 0 и f^dD. Так
как ADczE (по условию теоремы), то f^E. Таким образом, f
!> Относительно точки 0. — Прим. перев.

400 Гл. 14- Теория бифуркаций
есть собственный вектор из dD(]Et отвечающий положительному
характеристическому значению f. []
Условия этой теоремы крайне стеснительны. В самом деле, тре-
требованию, что оператор Л отображал всё D в ?, не удовлетворяют
даже положительные линейные операторы. От этого упрека сво-
свободна следующая теорема, в которой ограничения налагаются
лишь на поведение Л на dD(]E.
14.3.6. Теорема. Пусть D — ограниченное открытое подмножество
вещественного банахова пространства $, такое что ОеД м пусть
A: dD[\E-+E — компактный оператор, для которого
dist @, A(dD[\E))>0. A4.3.3)
Тогда у А имеется в dD[\E собственный вектор, отвечающий по-
положительному характеристическому значению.
Доказательство. Идея доказательства состоит в том, чтобы пока-
показать, что существует некое расширение, скажем Л, оператора А
на всё /5, удовлетворяющее условиям теоремы 14.3.2. Этого доста-
достаточно для установления нужного нам результата, ибо, очевидно,
всякий собственный вектор оператора Л, принадлежащий dD(]Et
будет также собственным вектором А.
Поскольку конус Е выпукл, выпуклая оболочка со/?(Л) мно-
множества R(A) = A(dDf\E) содержится в Е. По теореме Дугунджи
о продолжении 13.2.12 оператор А обладает продолжением на D,
по-прежнему обозначаемым через Л,_с образом, содержащимся в
zoR(A)aE, и это продолжение Л: D-^coR(A) компактно (лем-
(лемма 8.2.4). Однако оно не совсем ещё годится нам. Дело в том, что,
хотя A(dD[\E) надежно удалено от начала, про A(dD) известно
лишь, что оно лежит в coA(dD(]E), а в бесконечномерном случае
этого не достаточно для того, чтобы утверждать, что
dist(O, Л (CD)) > 0. Поэтому условие A4.3.1) может не выпол-
выполняться. Однако если мы подыщем такой непрерывный оператор Р,
который оставляет каждую точку множества A(dD(]E) на месте,
а часть конуса Е, лежащую вблизи начала, отодвигает подальше
от начала, то оператор Л = РА уже будет обладать всеми требуе-
требуемыми свойствами. Покажем, как можно получить такой опера-
оператор Р с помощью простой геометрической конструкции.
Пусть а = dist@,Л(dDflE)). Выберем любое и, удовлетворя-
удовлетворяющее условиям —и е Е и ||и|| = а (см. рис. 14.5), и обозначим
через S пересечение Е с замкнутым шаром с центром и и радиу-
радиусом а/2. Далее, для каждого fGS пусть / обозначает точку, в ко-
которой прямая, проходящая через и и /, пересекается со сфериче-
сферической частью границы S, т. е.

14-3. Глобальная теория собственных векторов
401
Положим Pf = f для / е ?\S и / для f^S. Оператор Р проеци-
проецирует внутренность множества S на сферическую часть его гра-
границы, а остальные точки конуса Е оставляет каждую на своем
месте. Следовательно, dist@, Р(Е)) > 0. Непрерывность Р легко
проверяется. Таким образом, Р обладает всеми нужными свой-
Рис. 14.5.
ствами, и утверждение нашей теоремы получается применением
теоремы 14.3.2 к А = РА. ?
В случае когда оператор А положителен и условие A4.3.3)
выполняется для каждого открытого D, содержащего начало и
содержащегося в S@, г), собственные векторы А образуют непре-
непрерывную ветвь длины г в Е. „Опробуем" теперь установленную тео-
теорему на интегральном уравнении Гаммерштейна.
14.3.7. Пример. Рассмотрим уравнение / = [хЛ/, где
=$ k(x,y)$[y9f(y)]dy,
a k и г|) — непрерывные вещественнозначные функции. Если функ-
функция k строго положительна, то найдется такое е > 0, что
k(xyy)^e при 0 ^ х, у^\. Если, кроме того, ty[y,z]^z для
О^г/^1 и г^О, то оператор А будет положительным относи-
относительно конуса Е неотрицательных функций в некотором подходя-
подходящем банаховом пространстве $. Главная проблема — выбрать $

402 Гл. Ц- Теория бифуркаций
таким образом, чтобы выполнялось условие A4.3.3). К сожалению,
простейший возможный выбор 3S = W([0, 1]) не проходит, в общем
потому, что интеграл от / может быть мал, даже если ||/||= 1 и
/ ^ 0. В случае 3S = &\ @, 1) имеем для / е Е
11 11
\\А!\\=\\к{х, y)$[y, f
0 0
0 0 0 0
и условие A4.3.3) удовлетворяется. Однако требуется еще какое-
нибудь условие на рост г|), чтобы обеспечить компактность А.
Если такое условие выполнено, то применима теорема 14.3.6 и
можно заключить, что А имеет непрерывную ветвь собственных
функций бесконечной длины в Е.
Если в этом примере ослабить условие строгой положительно-
положительности &, то теорему уже нельзя будет применить, поскольку A4.3.3)
может тогда не выполняться. Это условие строгой положительно-
положительности является слишком жестким для большинства приложений, и,
в частности, оно не выполняется в случае, когда k — функция
Грина для однородной задачи Дирихле. В приводимой ниже тео-
теореме, которая представляет собой вариант теоремы Красносель-
Красносельского о монотонной миноранте (Красносельский [1956, с. 269]),
условие A4.3.3) заменено менее ограничительным условием.
14.3.8. Определение. Оператор В называется однородным, если
В (tf) = tBf для всех fezE, t > 0.
14.3.9. Теорема. Положим Er = E f)S(O, г), и пусть А—положи-
А—положительный компактный оператор, определенный на Ег. Предполо-
Предположим, что А обладает монотонной однородной минорантой В, та-
такой что для некоторого га > 0 и некоторого ненулевого и<=Е вы-
выполнено неравенство Ви ^ та. Тогда А имеет непрерывную ветвь
собственных векторов длины г в Е.
Доказательство. Надо показать, что у А имеется собственный век-
вектор в dDf\E для любого открытого Ь, содержащего 0 и содержа-
содержащегося в шаре 5@, г') с г' <г. Возьмем любое такое D и будем
считать его далее фиксированным на протяжении всего доказа-
доказательства.
Положим Atf = Af-\-tu для t>0 и f^Er. Поскольку А поло-
положителен, то Atf^ 0 и, значит, в силу утверждения (Hi) задачи 8.7,
dist@, At{dD{\E)) > 0. Поэтому теорема 14.3.6 показывает, что
для каждого t существуют [it > 0 и f/E dD f] E, такие что

14-3. Глобальная теория собственных векторов 403
Покажем теперь, что \xt ^ т~х для всех / > 0. Поскольку В —
миноранта для А, то Bft^Aft. Следовательно, в силу A4.3.4),
Bft+tu^iirlft> A4.3.6)
Так как Л/, ^ 0, то из A4.3.4) вытекает, что ft "^ \ittu, и мы за-
заключаем на основании элементарных свойств конуса (задача 8.7,
(iv)), что существует наибольшее вещественное число st, для ко-
которого ft ^ stu. Далее, имеем
\iflft ^Bft^B (stu) > stBu > mstu\
здесь последовательно использованы неравенство A4.3.5), моно-
монотонность и однородность В и тот факт, что Ви ^ ти. Следователь-
Следовательно, ft ^ \itmstuy и из максимальности st вытекает, что [itmst^su
Значит, [it ^ т~\ как и утверждалось.
Наш результат легко получается теперь, если выбрать какую-
нибудь последовательность (/„), стремящуюся к нулю, и взять
соответствующие пределы. А именно, поскольку щ ^ т~\ най-
найдется подпоследовательность, которую мы по-прежнему обозна-
обозначим через (/Л), такая что последовательность (м^) сходится.
Пусть \i = lim[itn- Так как оператор А компактен, то, перейдя,
если надо, еще раз к подпоследовательности, можно считать, что
сходится и последовательность (Aftn)- Следовательно, в силу
A4.3.4), последовательность (/^) сходится к некоторому преде-
пределу /, и /е dD [}Е, ибо последнее множество замкнуто. Таким об-
образом,
f = Hm ftn = Hm ixtn + (Aftn + tnu) = ixAf. Q
14.3,10. Пример. Поучительно заново рассмотреть пример 14.3.7,
используя только что доказанную теорему. Пусть, как и прежде,
Ф [у у A^z Для 0^#^1 и z^=0> но про функцию k предполо-
предположим теперь лишь, что она неотрицательна. Тогда для неотрица-
неотрицательных f
k(x,y)f(y)dy = *
о
Если существуют непрерывная неотрицательная функция и и
т > О, такие что Ви ^ ти, то теорема 14.3.9 применима в
^([0, 1]) с обычным конусом Е неотрицательных функций, откуда
следует, что А имеет непрерывную ветвь собственных функций
бесконечной длины.
Теорема о монотонной миноранте особенно полезна в том важ-
важном случае, когда k—функция Грина. Действительно, в этом слу-
случае k, как правило, неотрицательна, и у оператора В будет иметь-
иметься собственный вектор в Е, отвечающий его наименьшему харак-

404 Гл. 14- Теория бифуркаций
теристическому значению. Этот собственный вектор и годится в
качестве и. Кроме того, поскольку используется пространство
^([0, 1]), не требуется налагать никаких ограничений на рост г|).
В приведенных в предыдущем параграфе примерах из теории
упругости и теории волн на воде при помощи локальной теории
бифуркаций было установлено существование малых решений.
Рассмотрим эти примеры заново, с тем чтобы на этот раз дока-
доказать существование решений реального физического масштаба.
14.3.11. Пример (Саати [1967, с. 298]). Явление выпучивания сжа-
сжатого стержня (пример 14.2.7) описывается уравнением ф = \iAcp,
где
1 , -1 П2ч*/2
~" I \ ~Й7 E> w) Ф (w) dw
L о
Возьмем в качестве $ пространство ^([0,1]) непрерывных ве-
щественнозначных функций с sup-нормой и в качестве Е конус
неотрицательных функций. Ядро k задается явно формулой D.2.5),
и стандартное вычисление показывает, что
-х- E, w) ф (w) dw
о
-12 ч1
\ I
2~||ф|| ДЛЯ
Следовательно, оператор А определен на Er = E(]S@9r) для лю-
любого г <С 2 и, очевидно, положителен и компактен. Нетрудно поды-
подыскать монотонную миноранту для А; ею будет линейный опера-
оператор В, задаваемый формулой
Вф (s) = A —jг2)"' 9(s)\k (s, t) Ф (t) dt.
о
Далее, если положить ф = #" и X = [i(l — г2/4I/2, то уравнению
ф = (лВф соответствует граничная задача
y"(s)+bp(s)y(s) = Q, y@) = y(l) = 09
и поскольку функция р строго положительна, то, согласно класси-
классической теории Штурма — Лиувилля, эта задача имеет неотрица-
неотрицательную собственную функцию, отвечающую некоторому положи-
положительному собственному значению Я. Это означает, что существуют
ненулевой элемент и е Е и \х > 0, такие что и = \лВи. Таким обра-
образом, выполнены все условия теоремы о монотонной миноран-
миноранте 14.3.9 и, значит, А имеет непрерывную ветвь собственных функ-
функций длины 2 в Е. Это согласуется с физической картиной больших
выпучиваний для случая достаточно больших сжимающих сил.

14-3. Глобальная теория собственных векторов 405
14.3.12. Пример. Главный прорыв в задаче о периодическом цуге
волн (пример 14.2.8) был осуществлен Красовским [1961], кото-
который установил существование волн любой крутизны (максималь-
(максимального угла наклона) вплоть до я/6, в потоке конечной или беско-
бесконечной глубины. Ниже мы дадим доказательство результата Кра-
совского для случая бесконечной глубины. Метод доказательства,
принадлежащий Киди [1972], основан на теореме о монотонной
миноранте.
В формулировке Некрасова рассматриваемый оператор зависит
довольно сложным образом от параметра \х. В доказательстве
Красовского задача переформулируется в терминах некоторого
оператора, не зависящего от \х. Как и раньше, неизвестная функ-
функция 6 — это угол наклона вектора скорости распространения вол-
волны по отношению к свободной границе. После соответствующего
выбора масштаба областью изменения независимой переменной
можно считать интервал [ — п,л]. Далее, как оказывается, можно
ограничиться рассмотрением волн, симметричных относительно
гребня. Соответствующая функция 6 будет нечетной, и, таким об-
образом, достаточно в качестве области определения 0 взять интер-
интервал [0, я]. Основное уравнение задачи может быть записано в
виде 6 = \iAQ. Здесь [i = gl/2nc2, где g — ускорение силы тяжести,
а / и с — длина волны и скорость распространения волны соответ-
соответственно. Оператор А задается формально равенством
AQ(x) = J k(x, у) exp [3CQ(y)] sin 9 (у) dy.
Как и раньше, k — функция Грина
оо
k(x,y) = — l^n sin пх sin ny.
Оператор С — это оператор гармонического сопряжения, опреде-
определяемый так: в качестве С6 берется граничное значение веществен-
вещественной части аналитической функции, у которой мнимая часть имеет
граничным значением 0. Более точно, берем нечётную вещественно-
значную непрерывную функцию 6 на [ — я, я], обращающуюся
в нуль в точке я, и продолжаем 6 на всю вещественную ось до
периодической функции с периодом 2я. Пусть в — определенная
на (— оо, оо) X @, оо) гармоническая функция, такая что
&(ху jc )—>¦ 0 при x'->oo и в (л:, х')-+$(х) при л/->0, и пусть
Ф (х, х') + /в (х, х')—аналитическая функция от x-\-ix\ Тогда мы
полагаем C6(x) = lim Ф (х, х'). Тем самым CQ определяется с точ-
ностью до произвольной постоянной; фиксируем эту постоянную

406 Гл. 14- Теория бифуркаций
требованием, чтобы
2я
CQ(x)dx =
С учетом ожидаемых свойств решения естественным выбором
банахова пространства будет пространство ^*[0, я]—наделенное
sup-нормой множество вещественнозначных непрерывных функций
на интервале [0, я], обращающихся в нуль в концевых точках
этого интервала. В качестве Е возьмем конус неотрицательных
функций в ^#[0, я]. В доказательстве нам понадобится также ис-
использовать пространство 2^@, я); норма в этом пространстве бу-
будет обозначаться через ||-||р. Наша цель — показать, что для лю-
любого заданного положительного числа 0т < я/6 задача на соб-
собственные функции 0 = [iAQ имеет решение в Е с ||0||=0т. Боль-
Большая часть трудностей в доказательстве проистекает из скверной
природы оператора гармонического сопряжения С. Вывод свойств
этого оператора представляет собой техническое упражнение из
теории функций комплексной переменной, и мы просто сформу-
сформулируем нужные нам результаты, по поводу доказательства см.
Зигмунд [1959]. Свойства функции Грина k общеизвестны. Основ-
Основные факты, которые нам понадобятся, суммированы в следующих
двух леммах:
14.3.13. Лемма. Выписанная выше функция Грина k(x7y) непре-
непрерывна и неотрицательна при всех хфу, x,j/g [0, я]. Для вся-
всякого р из интервала 1 ^ р < оо существует вещественное число kp,
такое что при всех х ^ [0, я]
\k(x> У)\Р dy^. kp.
14.3.14. Лемма. Оператор гармонического сопряжения С, опреде-
определенный на ^х [0, я], обладает следующими свойствами.
(i) Для любого заданного р из интервала 1 < р < оо суще-
существует вещественное число mPf зависящее лишь от р, такое что
l|Ce||p<mP||6||p.
(ii) Для любого заданного d > 0 существует вещественное чис-
число ltd, такое что если а||8||= я/2 — d, то
л
[ exp [aCQ (x)] dx ^ nd.
о
Теперь мы можем приступить к проверке выполнения условий
теоремы о монотонной миноранте. Детали этой проверки довольно
утомительны, хотя в принципе требуется немногим больше, чем
неравенство Гёльдера (теорема 2.5.3).

14-3. Глобальная теория собственных векторов
407
14.3.15. Лемма. Для любого1** d>Q оператор А положителен и
компактен в замкнутом шаре S@, я/6— d) в ^[О, я].
Доказательство. Положительность очевидна, непрерывность будет
доказана ниже, а доказательство компактности, проводящееся
аналогичным образом, мы опустим.
Фиксируем d> 0. В силу свойства функции Грина &, R(A) cz
^¦[0, я]. Поэтому искомая непрерывность будет установлена, если
мы покажем, что существует такое число с, что
НЛ91 - ле2ц < с || 6i - е2 и. (н.3.6)
С этой целью положим q>/ = C8/, /= 1, 2, и заметим, что справед-
справедливо тождество
Лв, (х) - АШ = j J k (х,
+
[sin 6, (у) - sin62 (у)} dy
Для первого интеграла имеем
k(x, у)
= 2
[sinBi(у) - sind2{y)] dy
sinQ2(y)]dy. A4,3.7)
я
$ * (ж,
cos I [9 , (у) + 62 (у)] sin | [6, (y) - 92 (y)]dy
при любых 1 < р, 9 < оо с /Н + 9 = 1 (в силу неравенства
Гёльдера). Поскольку d > 0, найдется такое ^> 1, что 3^(я/6 —
d)<n/2. Леммы 14.3.13 и 14.3.14 соответственно показывают, что
для этого q первый и второй члены в фигурных скобках ограни-
ограничены. Второй интеграл в A4.3.7) оценивается аналогично, надо
только сперва воспользоваться элементарным неравенством
Отсюда немедленно следует A4.3.6).
1) Здесь и в дальнейшем подразумевается, конечно, что d мало, во всяком
случае меньше я/6. — Прим. перев.

408 Гл. 14- Теория бифуркаций
14.3.16. Лемма. Возьмем произвольное d>Q и положим г =
я/6 — d. Пусть Ег — пересечение конуса Е с шаром S@, r) в
W* [0, я]. Выберем любое р > 1 и для вещественного у определим
оператор В: ?-^#[0, я] формулой
Тогда при некотором у > 0 оператор В является монотонной од-
нородной минорантой для А на Ег и существуют а > 0 и ненуле-
ненулевое и^Е, такие что Ви = аи.
Доказательство. Ясно, что В монотонен и однороден (определе-
(определение 14.3.8) и Ви = аш с а>0 для u(x) = (sinx)p. Остается лишь
доказать, что В служит минорантой для Л. Полагая ф = С8, имеем
п
= \\k{x,y) е*Р (у) sin 6 (у) Р | k (х, у) |«/«
0
где /Н + q~x = 1. Для любых г, s > 1 ср"Ч r~l -f 5~! = 1 в силу
неравенства Гёльдера
\(Г
? s(p
\ \ \k{x, у)Гdy>
Выберем теперь любое s, такое что 1 < s < р. Тогда, согласно
лемме 14.3.14, (и), последний интеграл конечен. Далее, легко про-
проверить, что rq~l > 1, так что и второй интеграл конечен, по лем-
лемме 14.3.13. Следовательно, для некоторого вещественного с
Наш результат получается, если взять у"" = ср. []
Глобальное существование решения следует теперь немедлен-
немедленно из теоремы о монотонной миноранте 14.3.9, которая показы-
показывает также, что решения образуют непрерывную ветвь.
14.3.17. Теорема. Пусть 0т — любое число, удовлетворяющее усло-
условию 0 <С 8т <С я/6. Существует цуг постоянных (не изменяющихся
по форме) симметричных периодических волн на глубокой воде,

Задачи 409
для которых максимальный угол наклона вектора скорости рас-
распространения волны к поверхности воды равен 8т. Эти решения
образуют непрерывную ветвь длины я/6 в Ф#[0, я].
Результат Красовского представляет собой совершенно заме-
замечательное достижение на пути к решению проблемы, которая не
поддавалась усилиям математиков более века. Этот результат
был недавно усилен Киди и Норбери [1978] и Тоулэндом [1977].
Тем не менее проблему никоим образом нельзя считать полностью
решенной, и она по-прежнему остается предметом активных ис-
исследований. Так, столь давно уже высказанная гипотеза, что цуг
постоянных периодических волн с максимальным углом наклона,
большим я/6, существовать не может, все еще не подтверждена
и не опровергнута (см. Тоулэнд [1977]). Также и вопросы, каса-
касающиеся единственности и устойчивости решений, остаются совер-
совершенно открытыми. Помимо уже упомянутых работ, рекомендуем
читателю статьи Хайерса [1964], Киди [1972] и Вехаузена [1963],
в которых дан обзор обширной литературы по задаче о распро-
распространении волн.
Задачи
14.1. Постройте бифуркационные диаграммы для следующих операторов фг
R-*R:
(i) <р (*) = * + **;
(И) ф(*) = х + хъ\
(Hi) ф(л;)=л;A-л; + л;2);
(iv) ф(*) = sin х.
14.2. Постройте бифуркационную диаграмму для оператора Ац в вещественном
пространстве (^[0, 1]), задаваемого формулой
14.3. Покажите, что у системы уравнений
и" + X [и + v (и2 + v2)] = 0, v" + X [v - и (и2 + v2)] = 0
нет вещественнозначных нетривиальных решений, удовлетворяющих граничным
условиям и@) = и(\) = v@) = уA), а в то же время соответствующая линеари-
линеаризованная система имеет собственные значения я2, 4я2, ....
14.4. Пусть D — открытое подмножество вещественного банахова пространства $
и A: D-*- $ — непрерывный оператор. Предположим, что существуют ненулевой
элемент фо s D и окрестность 5 этого элемента, такие что
(i) А дифференцируем по Фреше на S, и его производная А'(-) непрерывна;
(И) ф0 = р,0Лф0;
(Hi) jiiT1 e p (Л'(фо)).

410 Гл. 14- Теория бифуркаций
Докажите, что существует такое е > 0, что всякое \х е [\х0 — е, \Xq + е] является
характеристическим значением для А. [Воспользуйтесь теоремой о неявной функ-
функции 4.4.9.]
14.5. Пусть D — открытое подмножество банахова пространства .$, такое что
OeD. Докажите, что если оператор A: D-*-$ компактен и имеет в 0 производ-
производную Фреше L, то оператор L тоже компактен.
14.6. Пусть D — ограниченное открытое_ подмножество вещественного банахова
пространства .$, и пусть оператор А: D-^Ш компактен, причем Af ф f на dD.
Докажите, что у А имеется собственный вектор, принадлежащий аД если вы-
выполнено любое из следующих условий:
(i) OeDh d(I — Л, 0, й)ф 1;
(И) 0<?D md(I — Л, 0, D) ФЪ.
14.7. Рассмотрим краевую задачу
где ф: [0, 1] X R -*¦ R — непрерывная функция. Предположим, что ф[я, z\ =
z + ty[x, z\y причем г-1^*, z]-*0 равномерно по х при 2->0. Покажите, что
точки бифуркации суть я2, 4я2,
14.8. Дайте доказательство теоремы 14.2.6.
14.9. Покажите, что в случае Z) = S(O, г) теорему 14.3.6 можно доказав про-
простым применением теоремы Шаудера о неподвижной точке к оператору А, зада-
задаваемому формулой
Af = \\f\\A(rf/\\f\\) + (r-\\f\\)qt
где g — некоторый вектор из Е.
14.10. Пусть каждый элемент п X я-матрицы А строго положителен. Покажите,
что у А имеется положительное собственное значение, которому отвечает собст-
собственный вектор с положительными координатами.
14.11. Рассмотрим интегральный оператор Гаммерштейна Л, задаваемый форму-
формулой
1
Af(x)=\ k(x,y)*[y,f{y)]dV.
0
где функция k непрерывна и строго положительна, а функция г|э: [0, 1] X
R -> R непрерывна. Предположим, что существуют вещественные числа а > О,
b и cf такие что для некоторого р из интервала 1 ^ р ^ оо
] < bzp + с при
Используя теорему 14.3.6, докажите, что А имеет непрерывную ветвь неотрица-
неотрицательных собственных функций бесконечной длины в 5^@, 1),

ЛИТЕРАТУРА1)
Агмон (S. Agmon)
[1965] Lectures on elliptic boundary value problems, Van Nostrand, New York.
Азрз (А. К. Aziz)
[1972] (ред.) The mathematical foundations of the finite element method with
applications to partial differential equations, Academic Press, New York
and London.
Александрии Р. А., Березанский Ю. М., Ильин В. А., Костюченко А. Г.
[1975] Некоторые вопросы спектральной теории для дифференциальных урав-
уравнений с частными производными. — В сб.: Дифференциальные уравнения
с частными производными. Труды симпозиума, посвященного 60-летию
академика С. Л. Соболева. — М.: Наука, 1970, с. 3—35.
Аманн (Н. Amann)
[1976] Fixed point theorems and nonlinear eigenvalue problems, SIAM Rev. 18,
620—709.
Анселоне (P. M. Anselone)
[1964] (ред.) Nonlinear integral equations, University of Wisconsin Press, Ma-
Madison.
[1971] Collectively compact operator approximation theory, Prentice Hall, Eng-
lewood Cliffs, New Jersey.
Аткинсон (К. Е. Atkinson)
[1976] A survey of numerical methods for the solution of Fredholm integral
equations of the second kind, SIAM, Philadelphia.
Бабушка, Азиз (J. Babuska, A. K. Aziz)
[1976] On the angle condition in the finite element method, SIAM J. N timer.
Anal. 13, 214—226.
Барнхилл, Уайтмэн (R. Barnhill, J. R. Whiteman)
[1973] Error analysis of finite element methods with triangles for elliptic boun-
boundary value problems, in "The mathematics of finite elements and appli-
applications" (Whiteman, J. R., ed.), Academic Press, London, pp. 83—112.
Бартл (R. G. Bartle)
[1966] The elements of integration, Wiley, New York.
Беллман, Калаба (R. Bellman, R. Kalaba)
[1965] Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. — М.: Мир, 1968.
Бенджамен (Т. В. Benjamin)
[1976] Applications of Leray — Schauder degree theory to problems of hydro-
dynamic stability, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 79, 373—392.
Бергер (М. Berger)
[1977] Nonlineanty and functional analysis, Academic Press, New York.
Бергер, Бергер (M. Berger, M. Berger)
[1968] Perspectives in nonlinearity, Benjamin, New York.
!> Звёздочкой помечены работы, добавленные при переводе. Для переводных
книг в квадратных скобках указан год оригинального издания. Если он больше
года выхода перевода, это означает, что перевод делался с более раннего из-
издания, чем то, которое приводит автор. В тексте при ссылках на работы, имею-
имеющиеся в переводе на русский, страницы указываются по переводу. — Прим.
перев.

412 Литература
Бернкопф (М. Bernkopf)
[1966] The development of function spaces with particular reference to their
origins in integral equation theory, Arch. History Exact Sci. 3, 1—136.
Бёркилл (J. C. Burkill)
[1951] The Lebesgue integral, Cambridge University Press.
Брэмбл, Зламал (J. H. Bramble, M. Zlamal)
[1970] Triangular elements in the finite element method, Math. Comput. 24,
809—820.
Бурбаки (N. Bourbaki)
[1969] Очерки по истории математики. — M.: ИЛ, 1963.
Бэйкер (С. Т. Н. Baker)
[1977] The numerical treatment of integral equations, Clarendon Press, Oxford.
Вайнберг М. M.
*[1972] Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нели-
нелинейных уравнений. — М.: Наука.
Вайнбергер (Н. F. Weinberger)
[1974] Variational methods of eigenvalue approximation, SIAM, Philadelphia.
Вайнстайн, Стенджер (A. Weinstein, W. Stenger)
[1972] Methods of intermediate problems for eigenvalue theory and ramificati-
ramifications, Academic Press, New York.
Вандерграфт (J. S. Vandergraft)
[1967] Newton's method for convex operators in partially ordered spaces, SIAM
J. Numer. Anal. 4, 406—432.
Вехаузен (J. V. Wehausen)
[1963] Recent developments in free-surface flows (Report No. NA-63-5), Insti-
Institute of Engineering Research, University of California, Borkeley.
Гарабедян (Р. R. Garabedian)
[1964] Partial differential equations, Wiley, New York.
Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я.
*[1961] Обобщенные функции. Вып. 4. Некоторые применения гармонического
анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. — М.: Физматгиз.
Гилбарг, Трудингер (D. Gilbarg, N. S. Trudinger)
[1977] Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag,
Berlin.
Греч (С. W. Groetsch)
[1977] Generalized inverses of linear operators, Marcel Dekker, New York.
Данфорд, Шварц (N. Dunford, J. Schwartz)
[1958] Линейные операторы. В 3 томах. — Т. 1. Общая теория. — М.: ИЛ,
1962.
[1963] —Т. 2. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбер-
гильбертовом пространстве. — М.: Мир, 1966.
Де Барра (G. De Barra)
[1974] Introduction to measure theory, Van Nostrand, New York.
Деннис (J. E. Dennis)
[1971] Towards a unified convergence theory for Newton-like methods, in
"Nonlinear functional analysis and applications" (Rail, L. В., ed.), Aca-
Academic Press, New York, pp. 425—472.
Дикки (R. W. Dickey)
[1976] Bifurcation problems in nonlinear elasticity, Pitman, London.
Дьёдонне (J. Dieudonne)
* [1960] Основы современного анализа. — M.: Мир, 1964.
Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раков-
щик Л. С, Стеценко В. Я.
[1968] Интегральные уравнения. (Серия: Справочная математическая библио-
библиотека.) — М.: Наука.
Зигмунд (A. Zygmund)
[1959] Тригонометрические ряды. В 2 томах. — М.: Мир, 1965.

Литература 413
Иосида (К. Yosida)
* [1965] Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.
Канторович Л. В., Акилов Г. П.
* [1977] Функциональный анализ. — М.: Наука.
Като (Т. Kato)
[1966] Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.
Келлер, Антман (J. В. Keller, S. Antman)
[1969] (ред.) Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значе-
значения.—М.: Мир, 1974.
Киди (G. Keady)
[1972] Large-amplitude water waves and Krasovskii's existence proof (Report
No. 37), Fluid Mechanics Research Institute, University of Essex.
Киди, Норбери (G. Keady, J. Norbury)
[1978] On the existence theory for irrational water waves, Math. Proc. Cam-
Cambridge Philos. Soc. 83, 137—157.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В.
*[1968] Элементы теории функций и функционального анализа. — 2-е изд.—
М.: Наука.
Красносельский М. А.
[1954] Некоторые задачи нелинейного анализа. — УМН, 9, № 3, с. 57—114.
[1956] Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравне-
уравнений.—М.: Гостехиздат.
[1962] Положительные решения операторных уравнений. — М.: Физматгиз.
Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Сте-
ценко В. Я.
[1969] Приближенное решение операторных уравнений. — М.: Наука.
Красовский Ю. П.
[1961] К теории установившихся волн конечной амплитуды. — ЖВМиМФ,
1, № 5, с. 836—855.
Крейн С. Г.
[1972] (ред.) Функциональный анализ. (Серия: Справочная математическая
библиотека). — 2-е изд. — М.: Наука.
Курант (R. Courant)
[1950] Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверх-
поверхности.—М.: ИЛ, 1953.
Лав (Е. R. Love)
[1974] Inequalities for the capacity of an electrified conducting annular disc,
Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 74, 257—270.
Ладас, Лакшмикантхам (G. Ladas, V. Lakshmikantham)
[1972] Differential equations in abstract spaces, Academic Press, New York.
Ладыженская О. А.
[1970] Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.—
2-е изд. — М.: Наука.
Леггетт (R. W. Leggett)
[1976] A new approach to the Я-equation of Chandrasekhar, SI AM J. Math.
Anal. 7, 542—550.
Ллойд (N. G. Lloyd)
[1978] Degree theory, Cambridge University Press.
Люстерник Л. А., Соболев В. И.
[1965] Элементы функционального анализа. — 2-е изд. — М.: Наука.
Митчелл, Уэйт (A. R. Mitchell, R. Wait)
[1977] Метод конечных элементов для уравнений с частными производны-
производными.—М.: Мир, 1981.
Монна (А. Моппа)
[1973] Functional analysis in historical perspective, Oosthoek, Scheltema and
Holkema, Utrecht.
[1975] Dirichlet's principle, Oosthoek, Scheltema and Holkema, Utrecht.

414 Литература
Муни, Роуч (J. Mooney, G. Roach)
[1976] Iterative bounds for the stable solutions of convex nonlinear boundary
value problems, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 76, 81—94.
Наймарк М. A.
[1969] Линейные дифференциальные операторы. — 2-е изд. — М.: Наука.
Нашед (Z. Nashed)
[1974] Approximate regularized solutions to improperly posed linear integral
and operator equations, in "Constructive and computational methods for
differential and integral equations" (Lecture Notes in Math. 430), Sprin-
ger-Verlag, Berlin, pp. 289—332.
Обэн (J.-P. Aubin)
[1972] Приближенное решение эллиптических краевых задач.— М.: Мир, 1977.
Оден, Редди (J. T. Oden, J. N. Reddy)
[1976] An introduction to the mathematical theory of finite elements, Wiley,
New York.
Ортега, Рейнболдт (J. Ortega, W. Rheinboldt)
[1970] Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со мно-
многими неизвестными. — М.: Мир, 1975.
Прентер (P. M. Prenter)
[1975] Splines and variational methods, Wiley, New York.
Рабинович (P. H. Rabinowitz)
[1973] Some aspects of nonlinear eigenvalue problems, Rocky Mountain J. Math.
3, 161—202.
Рид, Саймон (M. Reed, В. Simon)
[1972] Методы современной математической физики. В 4 томах. — Т. 1.
Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977.
[1975] —Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. — М.: Мир, 1978.
Рисе (F. Riesz)
[1913] Les systemes d'equations lineaires a une infinite d'inconnues, Gauthier-
Villars, Paris.
Рисе, Сёкефальви-Надь (F. Riesz, B. Sz.-Nagy)
[1955] Функциональный анализ. — 2-е изд. — M.: Мир, 1979.
Ролл (L. В. Rail)
[1969] Computational solution of nonlinear operator equations, Wiley, New York.
[1971] (ред.) Nonlinear functional analysis and applications, Academic Press,
New York.
Саати (Т. L. Saaty)
[1967] Modern nonlinear equations, McGraw-Hill, New York.
Серрин (J. Serrin)
[1976] The solvability of boundary value problems, Proc. Symp. P. M.t Arner.
Math. Soc, Providence, Rhode Island, 18, 507—524.
Симмонс (G. F. Simmons)
[1963] Introduction to topology and modern analysis, McGraw-Hill, New York.
Смарт (D. R. Smart)
[1974] Fixed point theorems, Cambridge University Press.
Снеддон (I. Sneddon)
[1972] The use of integral transforms, McGraw-Hill, New York.
Стакголд (I. Stakgold)
[1968] Boundary value problems of mathematical physics, Macmillan, New York.
[1971] Branching of solutions of nonlinear equations, SIAM Rev. 13, 289—
332.
Стин (L. A. Steen)
[1973] Highlights in the history of spectral theory, Amer. Math. Monthly 80,
359—381.
Стренг, Фикс (G. Strang, G. Fix)
[1973] Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977.

Литература 415
Стьюарт (С. A. Stuart)
[1974] Existence theorems for a class of nonlinear integral equations, Math. Z.
137, 49—66.
[1975] Integral equations with decreasing nonlinearities, /. Differential Equa-
Equations 18, 202—217.
Сэттингер (D. H. Sattinger)
[1973] Topics in stability and bifurcation theory, Lecture Notes in Math. 309,
Springer-Verlag, Berlin.
Темам (R. Temam)
[1970] Analyse numerique: Resolution approchee d'equations aux derivees par-
tielles, Presses Universitaires, Paris.
Титчмарш (E. C. Titchmarsh)
[1962] Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциаль-
дифференциальными уравнениями второго порядка. В 2-х томах. — М.: ИЛ, 1960,
1961.
Тодд (М. J. Todd)
[1976] The computation of fixed points and applications, Springer-Verlag,
Berlin.
Тоулэнд (J. F. Toland)
[1977] On the existence of a wave of greatest height and Stokes' conjecture
(Report No. 87), Fluid Mechanics Research Institute, University of
Essex.
Трев (F. Treyes)
[1975] Basic linear partial differential equations, Academic Press, New York.
Трикоми (F. G. Tricomi)
[1957] Интегральные уравнения. — M.: ИЛ, 1960.
Тэйлор (А. Е. Taylor)
[1958] Introduction to functional analysis, Wiley, New York.
Уайтмэн (J. R. Whiteman)
[1973] (ред.) The mathematics of finite elements and applications, Vol. I,
Academic Press, New York.
[1977] — Vol. II, Academic Press, New York.
Уиттекер, Ватсон (Е. Т. Whittaker, G. N. Watson)
[1927] Курс современного анализа. В 2 томах. — 2-е изд. — М.: Физматгиз,
1963.
Флетт (Т. М. Flett)
[1979] Differential analysis, Cambridge University Press.
Фоллэнд (G. B. Folland)
[1976] Introduction to partial differential equations, Princeton University Press,
Princeton, New Jersey.
Фридман (A. Friedman)
[1969] Partial differential equations, Holt, Rinehart and Winston, New York.
[1970] Foundations of modern analysis, Holt, Rinehart and Winston, New York.
Фучик, Нечас, Соучек, Соучек (S. Fucik, J. Necas, J. Soucek, V. Soucek)
[1973] Spectral analysis of nonlinear operators, Lecture Notes in Math. 343,
Springer-Verlag, Berlin.
Хайерс (D. H. Hyers)
[1964] Some nonlinear equations of hydrodynamics, in "Nonlinear integral
equations" (Anselone, P. M., ed.), University of Wisconsin Press, Madi-
Madison, pp. 319—344.
Халмош (P. R. Halmos)
[1948] Конечномерные векторные пространства. — M.: Физматгиз, 1963.
[1967] Гильбертово пространство в задачах. — М.: Мир, 1970.
Хатсон, Кендалл, Мейлин (V. Hutson, P. С. Kendall, S. Malin)
[1972] Computation of the solution of geomagnetic induction problems: a gene-
general method with applications, Geophys. J. R. astr. Soc. 28, 489—498.

416 Литература
Хиггинс (J. R. Higgins)
[1977] Completeness and basic properties of sets of special functions, Cambridge
University Press.
Хилгерс (J. M. Hilgers)
[1976] On the equivalence of regularization and certain reproducing kernel
Hilbert space approaches for solving first kind problems, SIAM /. N ti-
timer. Anal. 13, 172—184.
Хилле, Филлипс (Е. Hille, R. S. Phillips)
* [1957] Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962.
Хольцман (J. M. Holtzman)
[1970] Nonlinear system theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
Хьюитт (Е. Hewitt)
[1960] The r61e of compactness in analysis, Amer. Math. Monthly 67, 499—516.
Чандра, Дейвис (J. Chandra, P. Davis)
[1974] A monotone method for quasilinear boundary value problems, Arch.
Rational Mech. Anal. 54, 257—266.
Шварц (J. T. Schwartz)
[1969] Nonlinear functional analysis, Gordon and Breach, New York.
Шехтер (М. Schechter)
[1977] Modern methods in partial differential equations, McGraw-Hill, New
York.
Шинброт (М. Shinbrot)
[1969] Fixed point theorems, in "Mathematics in the modern world", Freeman,
San Francisco, pp. 145—150.
Шоуолтер (R. E. Showalter)
[1977] Hilbert space methods for partial differential equations, Pitman, London.
Эдварде (R. E. Edwards)
*[1965] Функциональный анализ. Теория и приложения. — М,: Мир, 1969,

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Пространства
Л% Ф банаховы пространства (всегда) 28
^*, W* сопряженные пространства 167
Сп я-мерное комплексное пространство
, Cn) ограниченные непрерывные функции 23
, Сл) функции с k ограниченными непрерывными
производными 24
«tf(Q), ?o*(Q, Cn) 24
Ж гильбертово пространство (всегда) 38
Ж", Ж пространства Соболева 321, 322
I пространство последовательностей 13
1р пространство последовательностей с нормой
II-Ир 21
i?p(Q) пространство функций с нормой |Н|„ 66
^^(Q) функции, принадлежащие SBP{S) для каж-
каждого компактного S cz Q 66
2?($, Ч?), 2?@?) пространства ограниченных линейных опера-
операторов Я-+&, $-+$№
М линейное подпространство 14
Мк 348
R" я-мерное вещественное пространство
У\ W нормированные векторные пространства 16
Латинский алфавит
А нелинейный оператор
А производная Фреше оператора А 137
A (S) образ S при отображении А 75
A (S) прообраз S при отображении А 75
д: s -> W А отображает S в Ж 75
В нелинейный оператор
В[ •, • ] билинейная форма 195
С система комплексных чисел
со выпуклая оболочка 15
D (А) область определения А 74

418
d(-, •)
d(I + A, p, D)
disttf, 5)
E
ess sup
/. g, h
Г, g', *
f
h
G,G
G(L), G'(L)
hu Ht
I
Im
/.
К
L
L*
I
L
L , Lo
I
I*
h
M
m+, m_
N(L)
N±
n±
Список обозначений
метрика 16
степень 378
расстояние точки / от множества S 17
конус 233
существенная верхняя грань 61
точки в рассматриваемом пространстве
точки в сопряженном пространстве
преобразование Фурье 69
приближение Ритца 348
операторы Грина 333
график оператора L, обратный график 112
гомотопии 372
тождественный оператор 80
мнимая часть
сглаживатель 70
якобиан ф в точке х
интегральный оператор
линейный оператор 77
обратный к L 80
сопряженный к L 165, 179, 181, 189
расширение L 76
замыкание L 113
290, 292
формальный дифференциальный оператор
109, 317, 338
формально сопряженный к / 288, 317
главная часть / 317, 338
линейный оператор
186
нуль-пространство 80
дефектные подпространства 281
индексы дефекта (размерности подпространств
N+) 281

Список обозначений 419
спектральный проектор 266
система вещественных чисел
расширенная вещественная прямая, ее неотри-
неотрицательная часть 52
вещественная часть
множество значений А 75
резольвента (KI — L)~l оператора L 103
спектральный радиус L 106
множество
замыкание 5, внутренность S, граница 5 18—
19
линейная оболочка 5 14
ортогональное дополнение 5 38, 173
открытый, замкнутый шар с центром / и ра-
радиусом г 16
класс множеств
or-алгебра, порожденная классом У 50
R
к, к
Re
R(A)
Я (Я;
5
S, 5°
[S]
S(f,
h
, dS
r), S(f, г)
т
(X, 9% |х)
Z
Греческий алфавит
p(L)
o(L)
op(L)
?
%s
Q
Общие обозначения
3
0
компактный оператор 198
пространство с мерой 52
множество критических точек 367
мера 52, 53
резольвентное множество оператора L 103
спектр L 103
точечный спектр L 103
производная Фреше от ф 137
характеристическая функция множества 5 48
подмножество в Rn
существует
принадлежит
не принадлежит
пустое множество

Список обозначений
для множеств: является подмножеством (не-
(необязательно собственным); для операторов:
является сужением 76
пересечение, объединение
дополнение к U в 5
множество всех х, для которых имеет место
Р(х)
x^Y произведение 15
прямая сумма 14
векторная сумма 14
ортогональность 38, 173
|| норма вектора 16, норма оператора 82
|| норма в 1Р 20, норма в 3?р 66
||w норма в Жт 321
\\Е энергетическая норма 347
\т 354
III, 85~86
.) скалярное произведение 36
. \ скалярное произведение в Жт 321
. \ энергетическое скалярное произведение 347
.1* 289,294
элемент векторного пространства ТУЖ 15,
порядковый интервал 235
внешнее произведение (каноническое спари-
спаривание) 171
оператор Лапласа
сходимость векторов 18, равномерная сходи^
мость операторов 91
слабая сходимость векторов 174, 178
сильная сходимость операторов 95
слабое равенство 319, 339

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Авербух В. И. б
Агмон (S Agmon) 315, 322, 325, 356,
411
Азиз (А. К. Aziz) 346, 353, 411
Акилов Г. П. 155, 168, 169, 173, 412
Александрян Р. А. 279, 411
Аманн (Н. Amann) 228, 243, 411
Анселоне (P. M. Anselone) 215, 221,
222, 228, 411
Антман (S. Antman) 389, 395, 412
Аткинсон (К. Е. Atkinson) 92, 102, 222,
411
Аусвэйт (С. Outhwaite) 8
Ватсон (G. N. Watson) 415
Вехаузен (J. V. Wehausen) 409, 412
Виленкин Н. Я. 277, 412
Гарабедян (P. R. Garabedian) 208, 412
Гельфанд И. М. 277, 412
Гилбарг (D. Gilbarg) 315, 412
Гильберт (D. Hilbert) 5, 249, 344
Грёч (С. W. Groetsch) 211, 412
Бабушка (I. Babuska) 353, 411
Банах (S. Banach) 5, 128
Барнхилл (R. Barnhill) 358, 411
Бартл (R. G. Bartle) 49, 411
Басбридж (I. W. Busbridge) 380
Беллман (R. Bellman) 148, 411
Бенджамен (Т. В. Benjamin) 389, 411
Бергер (М. Berger) 123, 137, 366, 389,
393, 411
Березанский Ю. М. 279, 411
Бернкопф (М. Bernkopf) 197, 412
Бёркилл (J. С. Burkill) 49, 412
Бёрли (D. Burley) 8
Боль (P. Bohl) 384
Брауэр (L. E. J. Brouwer) 225
Брэмбл (J. H. Bramble) 358, 412
Бурбаки (N. Bourbaki) 197, 412
Бэйкер Дж. (J. W. Baker) 8
Бэйкер Ч. (С. Т. Н. Baker) 102, 222,
412
Данфорд (N. Dunford) 11, 89, 91, 107,
167, 169, 173, 175, 176, 201, 203,
229, 279, 281, 289, 302, 303, 310, 412
Де Барра (G. De Barra) 49, 412
Дейвис (P. Davis) 244, 416
Деннис (J. E. Dennis) 149, 412
Дикки (R. W. Dickey) 389, 412
Дьёдонне (J. Dieudonne) 137, 412
Забрейко П. П. 87, 127, 201, 412
Зенкевич (Zienkiewicz) 346
Зигмунд (A. Zygmund) 406, 412, 413
Зламал (М. Zlamal) 358, 412
Ильин В. А. 279, 411
Иосида (К. Yosida) 412
Вайнберг М. М. 236, 412
Вайнбергер (Н. F. Weinberger) 224,
412
Вайникко Г. М. 413
Вайнстайн (A. Weinstein) 224, 412
Вандерграфт (J. S. Vandergraft) 148,
412
Какутани (Kakutani) 150
Калаба (R. Kalaba) 148, 411
Канторович Л. В. 145, 155, 168, 169
173, 412
Като (Т. Rato) 99, 116, 120, 279, 412
Келлер (J. В. Keller) 389, 395, 412
Кендалл (Р. С. Kendall) 119, 415

422
Именной указатель
Киди (G. Keady) 405, 409, 412
Коллатц (L. Collatz) 248
Колмогоров А. Н. 412
Костюченко А. Г. 279, 411
Кошелев А. И. 412
Крам (Crum) 380
Красносельский М. А. 123, 127, 136,
146, 228, 234, 246, 366, 389, 391, 393,
402, 412, 413
Красовский Ю. П. 396, 405, 409, 413
Крейн С. Г. 123, 413
Курант (R. Courant) 344, 413
Рабинович (P. H. Pabinovitz) 393, 414
Раковщик Л. С. 412
Редди (J. N. Reddy) 346, 414
Рейнболдт (W. Rheinboldt) 121, 414
Рисе (F. Riesz) 101, 198, 223, 224, 266,
271, 414
Рид (М. Reed) 119, 279, 414
Риман (В. Riemann) 329, 344
Ролл (L. В. Rail) 123, 136, 137, 228,
414
Роуч (G. Roach) 148, 414
Рутицкий Я. Б. 413
Лав (Е. R. Love) 196, 413
Ладас (G. Ladas) 275, 413
Ладыженская О. А. 366, 413
Лакшмикантхам (V. Lakshmikantham)
275, 413
Лебег (Н. L. Lebesgue) 5, 48
Леви-Чивита (Т. Levi-Civita) 396
Леггетт (R. W. Leggett) 380, 413
Лиувилль (J. Liouville) 128
Ллойд (N. G. Lloyd) 375, 413
Люстерник Л. А. И, 413
Мейлин (S. Malin) 119, 415
Митчелл (A. R. Mitchell) 346, 350, 359,
413
Михлин С. Г. 412
Монна (А. Моппа) 197, 344, 413
Муни (J. Моопеу) 148, 414
Наймарк М. А. 279, 303, 414
Нашед (Z. Nashed) 211, 414
Некрасов А. И. 396, 405
Нечас (J. Necas) 389, 415
Норбери (J. Norbury) 409, 412
Обэн (J.-P. Aubin) 346, 414
Оден (J. Т. Oden) 346, 414
Ортега (J. Ortega) 121, 414
Пеано (G. Реапо) 231
Перрон (Perron) 228, 243
Пим (J. S. Рут) 5, 8
Плужникова Н. И. 5
Прентер (P. M. Prenter) 346, 414
Пуанкаре (Н. Poincare) 384
Саати (Т. L. Saaty) 123, 228, 404, 414
Саймон (В. Simon) 119, 279, 414
Серрин (J. Serrin) 366, 414
Сёкефальви-Надь (В. Sz.-Hagy) 198,
223, 224, 266, 271, 414
Симмонс (G. F. Simmons) И, 33, 414
Смарт (D. Т. Smart) 123, 150, 414
Снеддон (I. S. Sneddon) 8, 279, 414
Соболев В. И. И, 143
Соучек В. (V. Soucek) 389, 415
Соучек И. (J. Soucek) 389, 415
Стакголд (I. Stakgold) 224, 389, 414
Стенджер (W. Stenger) 224, 412
Стеценко В. Я. 412, 413
Стин (L. A. Steen) 197, 414
Стоке (G. G. Stokes) 395
Стренг (G. Strang) 346, 350, 353, 359,
414
Стьюарт (С. A. Stuart) 236, 238, 380,
415
Сэттингер (D. H. Sattinger) 366, 389,
415
Темам (R. Temam) 346, 415
Титчмарш (Е. С. Titchmarsh) 188, 279,
309, 415
Тодд (М. J. Todd) 226, 415
Тоулэнд (J. F. Toland) 409, 415
Трев (F. Treves) 315, 415
Трикоми (F. G. Tricomi) 92, 415
Трудингер (N. S. Trudinger) 315, 412
Тэйлор (А. Е. Taylor) И, 105, 107,
276, 415
Уайтмэн (J. R. Whiteman) 346, 358,
411, 415
Уиттекер (Е. Т. Whittaker) 415
Уэйт (R. Wait) 346, 350, 359, 413

Именной указатель
423
Фикс (G. Fix) 346, 350, 353, 359, 414
Филлипс (R. S Phillips) 275, 416
Флетт (Т. М. Flett) 136, 144, 415
Фоллэнд (G. В. Folland) 315, 415
Фомин С. В. 412
фон Нейман (J. von Neumann) 249
Фредгольм (I. Fredholm) 5, 197
Фреше (М. Frechet) 5
Фридман (A. Friedman) 11, 40, 89, 91,
155, 169, 173, 176, 315, 318, 322, 323,
326, 335, 341, 358, 415
Фрэнкел (L. E. Fraenkel) 8
Фучик (S. Fucik) 389, 415
Хайерс (D. H. Hyers) 397, 409, 415
Халмош (P. R. Halmos) 43, 80, 249,
285, 287, 415
Харли (P. Harley) 8
Хатсон (V. Hutson) 5, 8, 119, 415
Хиггинс (J. R. Higgins) 43, 415
Хилгерс (J. W. Hilgers) 211, 415
Хилле (Е. НШе) 275, 416
Хольцман (J. M. Holtzman) 136, 416
Хьюитт (Е. Hewitt) 157, 416
Чандра (J. Chandra) 244, 416
Шварц (J. Т. Schwartz) И, 89, 91, 107,
167, 169, 173, 175, 176, 201, 203, 229,
279, 281, 289, 302, 303, 310, 366,
367, 370, 373, 412, 416
Шехтер (М. Schechter) 315, 416
Шинброт (М. Schinbrot) 125, 416
Шоуолтер (R. E. Showalter) 315, 416
Эдварде (R. E. Edwards) 416

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
абсолютно непрерывная функция 64
- сходящийся ряд 28
автономное уравнение 93
алгебра 53
алгебраическая кратность собствен-
собственного значения 374
аналитическая операторнозначная
функция 104
антиизоморфизм 177
антилинейность 177, 195
аппроксимативная единица 70
априорная оценка 352, 358, 382
Арцела — Асколи теорема 161, 163
аффинное многообразие 14
базис 12, 34
— в гильбертовом пространстве 42,
211, 212, 304
Банаха — Алаоглу теорема 175—176
— теорема о неподвижной точке см.
принцип сжимающих отображений
— Штейнгауза теорема см. принцип
равномерной ограниченности
банахово пространство 28
Бесселя неравенство 40
— оператор 300—302, 309, 311
биективный оператор 76
билинейная форма 195
ассоциированная с / 329
коэрцитивная 331, 332, 343
бифуркационное значение 390
бифуркация 387
борелевское множество 50—51
Бореля мера 54
Брауэра теорема о неподвижной точке
226, 365, 374, 375
Брэмбла — Хилберта лемма 354
Вейерштрасса теорема 33
Вейля альтернатива 299
векторная сумма 14
векторное пространство 11
верхнее решение 243
вещественное векторное пространство
— граничное условие 301
вложение 88
внешнее произведение 171
внутреннее произведение см. скаляр-
скалярное произведение
внутренность, внутренняя точка 19
Вольтерры интегральный оператор
118, 210
вполне непрерывный оператор см.
компактный оператор
— ограниченное подмножество 156
второе сопряженное к банахову про-
пространству 172
второй сопряженный оператор 191
выпуклая оболочка 15
выпуклое подмножество 15
выпучивание сжатого стержня 395—
397, 404
вырожденные ядра 92
Гаммерштейна интегральное уравнение
124—126, 149, 150, 241, 247, 385,
401—403, 410
— оператор 127
Гейзенберга принцип неопределенности
275
Гейне — Бореля теорема 154
Гёльдера неравенство 20, 67
Гильберта —Шмидта теорема 43, 211,
212, 249, 251, 258—260
гильбертово пространство 38
гиперболическое дифференциальное
уравнение с частными производными
151, 273—275
главная часть дифференциального опе-
оператора 317, 338
гомеоморфизм 127
гомотопическая инвариантность степе-
степени 362, 372, 378—379
гомотопия 362, 372
Гординга неравенство 335
Грама — Шмидта процесс 43, 45—46
граница, граничная точка 19
граничное условие 294
график и обратный график оператора
112, 191
Грина операторы 333
— функция 124, 201
дефектные подпространства 281
диагональный процесс 156
диаметр 17
Дирака мера (б-функция) 52
Дирихле задача классическая 318
обобщенная 314, 323, 325, 327—
334, 346, 350
— принцип 344
дифференциальный оператор 109
дифференцируемая векторнозначная
функция 93
дифференцируемость по Фреше 137
допустимая триангуляция 353

Предметный указатель
425
Дугунджи теорема о продолжении 373,
378
Дуффинга уравнение 248
евклидова норма 17
единичный шар 17
замкнутая линейная оболочка 32
замкнутое подмножество 18
— подпространство 14, 32
замкнутый оператор 112
— шар 17
замыкаемый оператор 113, 279
замыкание множества 18
— оператора 113
измеримая функция 57
измеримое множество 50
изометрический изоморфизм 88
изометрия 88
изоморфизм 88
индекс 384
— дефекта 281
интеграл 59—60
— в банаховом пространстве 258
интегральные операторы 86, 91, 117,
119, 196—198, 210, 215—223
276
— уравнения 78—79, 101, 107, 117,
119, 196—198, 210, 215—223
интегрируемая функция 60
интегрируемость по Риману — Стил-
тьесу 258
интерполянта 353
инъективный оператор 76
каноническая форма компактного само-
самосопряженного оператора 212
каноническое спаривание см. внешнее
произведение
канторово множество 44
касательная гиперплоскость 194
касательный элемент 194
Каччополи теорема 134
квадратичная форма 195
квадратный корень из оператора 276
квадратурные формулы 95
квазилинеаризация 148
классическое решение 318
коллективно-компактная последова-
последовательность операторов 217
компактное подмножество 154
компактный оператор линейный 198
нелинейный 229
комплексное векторное пространство
компонента открытого множества 366
конус в банаховом пространстве 233
конуса свойство 326
Коши последовательность 26, 28—30
коэрцитивная билинейная форма 331
Красносельского теорема о неподвиж-
неподвижной точке 246
критическая точка 367
Лакса — Милгрэма теорема 331
Лапласа уравнение 332
Лебега интеграл 61, 62, 65
— мера 55
— Стилтьеса интеграл 61
мера 55
— теорема о мажорированной сходи-
сходимости 63
Лежандра полиномы 46
— ряд 311
Лейбница формулы 340, 342
Лерэ — Шаудера теорема о неподвиж-
неподвижной точке 365, 379
теория степени 360, 375, 378
линеаризация 388
линейная оболочка 14
линейное подпространство 14
линейно-зависимое и линейно-незави-
линейно-независимое множества 12
линейно-независимое относительно
D(L0) множество 286
линейный оператор 77
Липшица константа, условие 129, 130
локальное условие Липшица 130
локально-интегрируемая функция 60
локально-липшицева функция 243
мажоранта 241
мера 52—53
метод заплат 359
— конечных элементов 345
— последовательных приближений 97,
131
метрика, метрическое пространство 16
Минковского неравенство 20, 67
миноранта 241
множество значений 75
монотонная последовательность само-
самосопряженных операторов 252
монотонно возрастающая (убываю-
(убывающая) последовательность 238
монотонный оператор 236
мультииндекс 316
Неймана ряд 98
неограниченный оператор 82
неподвижная точка 125
непрерывная ветвь 398
— функция 21

426
Предметный указатель
непрерывные линейные функционалы
167
непрерывный оператор 76
— спектр 104
несогласованные элементы 359
нижнее решение 243
Нитче прием 359
норма вектора 16, 17
нормальный конус 235
нормированное векторное пространство
16
носитель функции 24
нуль-пространство 80
Ньютона метод 143—149
— последовательность 143
область определения 74
обобщенные собственные функции 277
образ 75
обратный к линейному оператору 79—
80
нелинейному оператору 127
ограниченная эрмитова форма 195
ограниченное подмножество 17
ограниченный оператор 82
одинаково направленные векторы 398
однородный оператор 402
окрестность 19
оператор 75
— гармонического сопряжения 406
— конечного ранга 203
операторная норма 82, 90
операторнозначная функция 272
ортогональное дополнение 38, 173
ортогональные векторы 37
— проекторы 256
ортонормированное множество 40
ортонормированный базис 42
остаточный спектр 104
открытое подмножество 19
открытый шар 17
относительно компактное подмноже-
подмножество 154
— секвенциально компактное подмно-
подмножество 155
Парсеваля формула 42, 69, 306
Пеано теорема 231
перестановочность неограниченных опе-
операторов 271
периодический цуг волн 395, 405, 409
Пикара теорема 134—135, 151
пирамидальная функция 354
Планшереля формула 69, 306, 308, 309
плотное множество 33
пограничный слой 354
полная энергия 344, 349
полное множество 28
в гильбертовом пространстве 40
положительный оператор 210
— нелинейный оператор 236
самосопряженных операторов 252
полугрупповое свойство 94, 275
полунепрерывная функция 255
порядковая граница 238
порядково-ограниченная последователь-
последовательность 238
самосопряженных операторов 252
порядковый интервал 235
почти всюду (п. в.) 56
— сжимающее отображение 246
правило трапеций 221
предгильбертово пространство 36
предел последовательности векторов
18
предельная точка, предельный круг
299
принцип линеаризации 390
— равномерной ограниченности 91
— сжимающих отображений 130
— сохранения энергии 275
— строгого диагонального преоблада-
преобладания 100
пробная функция 348
пробное подпространство 348
продолжение нулём 323
— оператора см. расширение операто-
оператора
— по непрерывности 83
проектор, проекция 256
производная векторнозначной функции
93
прообраз 75
простая функция 58
простое собственное значение 392
пространство последовательностей 13
— пробных функций см. пробное под-
подпространство
— с мерой 52
— со скалярным произведением см.
предгильбертово пространство
прямая сумма 14
прямое произведение 15
Пуанкаре — Боля теорема 384
— неравенство 332, 343
Пуассона —Больцмана уравнение 151
— уравнение 313, 328
равномерная норма см, sup-норма
— сильная эллиптичность 318
— сходимость 91, 94
равномерно выпуклое банахово про-
пространство 45
— непрерывная функция 22

Предметный указатель
427
— непрерывный функционал 157
равностепенно непрерывное множество
160
радиационный перенос 380
разделенные условия 297, 301
разложение единицы см. спектральное
семейство
распадающаяся система граничных
условий 301
расширение оператора 76
расширенная вещественная прямая 52,
56
регулярная концевая точка 288
регулярность внутри области 338
— вплоть до границы 338
регулярный конус 239
— формальный дифференциальный опе-
оператор 288
резольвента 103, 267
резольвентное множество 103
— ядро 119
Реллиха теорема вложения 325
рефлексивность 172
Римана интеграл 48—49, 62, 63
— Стилтьеса интеграл 258
Рисса теорема о представлении 177
— Фишера теорема 67
Ритца метод 346
— приближение 348, 351—353
— теорема 348—349
Роте теорема о неподвижной точке
246
самосопряженное линейное подпро-
подпространство 283
— расширение 296
самосопряженный оператор 182, 192
Сарда лемма 368
свёртка 70
свойство наилучшего приближения 41
сглаживатель 70
секвенциально компактное подмноже-
подмножество 154
сепарабельное банахово пространство
34
сжимающий оператор 130
сильная сходимость 95
сильно эллиптический дифференциаль-
дифференциальный оператор 317, 338
сильный предел 95
симметрический линейный оператор 279
симметрическое подпространство 283
симметричное ядро 182
сингулярная концевая точка 288
сингулярный формальный дифферен-
дифференциальный оператор 288
скалярное произведение 35
слабая производная 319—320
— секвенциальная компактность 176
относительная 176
— сходимость 174, 178
слабое решение 319
слабый предел 174
смешанные граничные условия 297, 298
Соболева теорема вложения 327
соболевское пространство (простран-
(пространство Соболева) 321, 322
собственное значение 103, 336
— подпространство 103
— расширение 76
собственные векторы (собственные
функции) 103, 386
солитон 396
сопряженное к банахову пространству
167
— подпространство 283
сопряженные индексы 20
сопряженный оператор 165
— к ограниченному оператору в бана-
банаховом пространстве 179
гильбертовом простран-
пространстве 181
неограниченному оператору в
гильбертовом пространстве 189
спектр 103, 267
спектральная теорема для ограничен-
ограниченных самосопряженных операторов
265
неограниченных операторов
271
спектральное исчисление 267
— семейство 266
спектральный проектор 266
— радиус 106
сужение оператора 76
сумма ряда 28
существенная верхняя грань 61
степень 362, 364, 367, 372, 373
строго положительный самосопряжен-
самосопряженный оператор 252
ступенчатая функция 48
сходящаяся последовательность векто-
векторов 18
сходящийся ряд 28
счётная аддитивность 52
сюръективный оператор 76
sup-норма 22
теорема о замкнутом графике 113
монотонной миноранте 402
сходимости 62
неявной функции 141
проекции 39
спектральном отображении 106,
973
273
61 О
— об открытом отображении
89

428
Предметный указатель
теория возмущений для замкнутых
операторов 115—116, 120
нелинейных операторов 131
ограниченных линейных опе-
операторов 99
Титце теорема о продолжении 373
тождественный оператор 80
тождество параллелограмма 45
Тонелли теорема 65
точечный спектр 103
точка бифуркации см. бифуркацион-
бифуркационное значение
триангуляция 353
узел 349
Урысона интегральное уравнение 124,
247
— оператор 127, 138
Фату лемма 63
Фёппля — Хенки уравнения 236, 237
формально самосопряженный оператор
288, 317
формальный дифференциальный опера-
оператор обыкновенный 109, 288
с частными производными
316—317, 338
— сопряженный оператор 189, 288, 317,
338
формула трапеций 96
Фредгольма альтернатива 197
(обобщение) 203, 207
для обобщенной задачи Дирихле
332, 334, 336
— интегральное уравнение 79
однородное и неоднородное
второго рода 197
первого рода 210—211
Фреше производная 137, 329
Фубини теорема 65
фундаментальная последовательность
см. Коши последовательность
функционал 75
функция-колпак 351
Фурье — Бесселя ряд 300, 311
— Дини ряд 300
— коэффициенты 40
— преобразование 69,
— ряд 40
по синусам 305
306
Хана— Банаха теорема 169
Ханкеля преобразование 309
характеристическая функция 48
характеристическое значение 125,
386
Чандрасекхара Я-уравнение 380
частичное упорядочение в банаховом
пространстве 233—234
численное интегрирование 95, 96, 221
— решение интегральных уравнений
102, 215—222, 224
эллиптических уравнений 345—
359
Шаудера теорема о неподвижной точке
226, 229, 231, 232
шаудеров проекционный оператор 230
Шварца неравенство 36
Шрёдингера уравнение 275
эволюционное уравнение 273—275
эквивалентные нормы 33
эллиптические дифференциальные урав-
уравнения с частными производными 207,
313—344
энергетическая норма 347
эрмитова матрица 182
— форма 195
эрмитово ядро 182
Юнга неравенство 67
ядро интегрального уравнения 92
— оператора см. нуль-пространство
Якоби матрица, якобиан 366—367

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие 6
Глава 1. Банаховы пространства 9
1.1. Введение 9
1.2. Векторные пространства И
1.3. Нормированные векторные пространства 15
1.4. Банаховы пространства 26
1.5. Гильбертово пространство 35
Задачи 44
Глава 2. Интегрирование по Лебегу и пространства 2?р 47
2.1. Введение 47
2.2. Мера множества 49
2.3. Измеримые функции 56
2.4. Интегрирование 59
2.5. Пространства 2?р 66
2.6. Некоторые приложения 69
Задачи 71
Глава 3. Основы теории линейных операторов 73
3.1. Введение 73
3.2. Основная терминология теории операторов 74
3.3. Некоторые алгебраические свойства линейных операторов .... 77
3.4. Непрерывность и ограниченность 81
3.5. Некоторые фундаментальные свойства ограниченных операторов . 89
3.6. Первые результаты о решении уравнения Ц = g 97
3.7. Введение в спектральную теорию 103
3.8. Замкнутые операторы и дифференциальные уравнения 107
Задачи 116
Глава 4. Введение в теорию нелинейных операторов 121
4.1. Введение 121
4.2 Предварительные сведения 123
4.3. Принцип сжимающих отображений 128
4.4. Производная Фреше 136
4.5. Метод Ньютона для нелинейных операторов 142
Задачи 149

430 Оглавление
Глава 5. Компактные множества в банаховых пространствах 153
5.1. Введение 153
5.2. Определения 154
5.3. Некоторые следствия компактности 157
5.4. Некоторые важные компактные множества функций 159
Задачи 163
Глава 6. Сопряженный оператор 165
6.1. Введение 165
6.2. Сопряженное к банахову пространству 166
6.3. Слабая сходимость 174
6.4. Случай гильбертова пространства 176
6.5. Сопряженный к ограниченному линейному оператору 178
6.6. Ограниченные самосопряженные операторы: спектральная теория 184
6.7. Сопряженный к неограниченному линейному оператору в гильбер
товом пространстве 188
Задачи 194
Глава 7. Линейные компактные операторы 197
7.1. Введение 197
7.2. Примеры компактных операторов 198
7.3. Альтернатива Фредгольма 203
7.4. Спектр компактного оператора 208
7.5. Компактные самосопряженные операторы . . 211
7.6. Численное решение линейных интегральных уравнений 215
Задачи 222
Глава 8. Нелинейные компактные операторы и монотонность 225
8.1. Введение 225
8.2. Теорема Шаудера о неподвижной точке 228
8.3. Положительные и монотонные операторы в частично упорядочен-
упорядоченных банаховых пространствах 233
Задачи 246
Глава 9. Спектральная теорема 249
9.1. Введение 249
9.2. Предварительные сведения 251
9.3. Подоплёка спектральной теоремы 258
9.4. Спектральная теорема для ограниченных самосопряженных опе-
операторов 263
9.5. Спектр и резольвента 267
9.6. Неограниченные самосопряженные операторы 271
9.7. Решение эволюционного уравнения 273
Задачи 275
Глава 10. Разложения по обобщенным собственным функциям для обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений 277
10.1. Введение 277
10.2. Расширения симметрических операторов 279
10.3. Формальные обыкновенные дифференциальные операторы: пред-
предварительные сведения 288

Оглавление 431
10.4. Симметрические операторы, ассоциированные с формальными
обыкновенными дифференциальными операторами 289
10.5. Построение самосопряженных расширений 295
10.6. Разложения по обобщенным собственным функциям 303
Задачи 311
Глава 11. Линейные эллиптические дифференциальные уравнения с част-
частными производными 313
11.1. Введение 313
11.2. Обозначения 315
11.3. Слабые производные и соболевские пространства 318
11.4. Обобщенная задача Дирихле 327
11.5. Альтернатива Фредгольма для обобщенной задачи Дирихле . . . 334
11.6. Гладкость слабых решений , 338
Задачи 341
Глава 12. Метод конечных элементов 345
12.1. Введение 345
12.2. Метод Ритца 346
12.3. Скорость сходимости метода конечных элементов 353
Задачи 359
Глава 13. Введение в теорию степени 360
13.1. Введение 360
13.2. Степень в конечномерном случае 366
13.3. Степень Лерэ —Шаудера 375
13.4. Одна задача из теории радиационного переноса 380
Задачи , 384
Глава 14. Теория бифуркаций . , 386
14.1. Введение 386
14.2. Локальная теория бифуркаций 389
14.3. Глобальная теория собственных векторов 397
Задачи 409
Литература 411
Список обозначений 417
Именной указатель 421
Предметный указатель 424

В. К. Л. Хатсон, Джон Сидни Пим
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
И ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ
Ст. научный редактор В. И. Авербух
Мл. научный редактор Л. А. Макарова
Художник А. В. Шипов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. И. Манохина
Корректор М. А. Смирнов
ИБ № 3255
Сдано в набор 18.01.83. Подписано к печати 11.08.83. Формат
60X90Vis« Объем б. л. 13,50. Бумага типографская № 1. Гарнитура
литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 27,00. Усл. кр.-отт.
27,00. Уч.-изд. л. 26,27. Изд. № 1/2019. Тираж 8000 экз. Зак. 518.
Цена 3 руб.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, Москва, М-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29.