Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве - Ахиезер Н.И., Глазман И.М.

Автор: Ахиезер Н.И. Глазман И.М.
Теги: анализ физика математический анализ функциональный анализ теория операторов
Год: 1966
Похожие
Теория возмущений линейных операторов
Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве
Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве: Учебное пособие
Лекции по теории аппроксимации
Текст
                    ТЕОРИЯ
ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Н. И. АХИЕЗЕР и И. М. ГЛАЗМАН
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966

517.2 АННОТАЦИЯ
А 95
УДК 517 5 Книга представляет собой система-
систематическое изложение теории линейных
операторов в гильбертовом пространст-
пространстве. Первое издание вышло в 1960 г.
Настоящее второе издание полно-
полностью переработано и дополнено неко-
некоторыми новыми исследованиями послед-
последних пятнадцати лет, а также отдель-
отдельными классическими результатами, не
вошедшими в первое издание.
Книга предназначена для специа-
специалистов-математиков и физиков-теорети-
физиков-теоретиков. Она доступна студентам старших
курсов и аспирантам математических
и физических специальностей универ-
университетов.
2-2 Ч
69-, и

ОГЛАВЛЕ НИЕ
Предисловие ко второму изданию 8
Глава I
ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
1. Линейные системы 9
2. Линейные многообразия 10
3. Скалярное произведение 12
4. Некоторые топологические понятия 15
5. Пространство Гильберта 16
6. Расстояние точки от выпуклого множества 20
7. Проекция вектора на подпространство 22
8. Ортогонализация последовательности векторов .... 26
9. Неравенство Бесселя и уравнение замкнутости ... 29
10. Полные ортогональные системы векторов в Н .... 34
11. Пространство L2 40
12. Полные ортонормированные системы в L2 43
13. Биортогональные системы векторов в Н 47
14. Пространство L% 50
15. Пространство почти-периодических функций 53
16. Понятие о базисе пространства 54
Глава II
ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ И ОГРАНИЧЕННЫЙ
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР
17. Функции точки 60
18. Линейный функционал 62
19. Теорема Ф. Рисса 65
20. Критерий замкнутости в Н заданной системы векторов 67
21. Одна лемма относительно выпуклых функционалов 68
22. Ограниченный линейный оператор 71
23. Билинейный функционал 73
24. Общий вид билинейного функционала 76
25. Сопряженный оператор 77
26. Слабая сходимость в Н 81
27. Компактность 83
28. Один критерий ограниченности оператора 87
29. Линейный оператор в сепарабельном пространстве . . 88
30. Понятие о вполне непрерывном операторе 94
31. Абсолютная норма 96
32. Операторы Гильберта—Шмидта 101

ОГЛАВЛЕНИЕ
33. Сходящиеся последовательности ограниченных линей-
линейных операторов ЮЗ
34. Множества ограниченных линейных операторов в сепа-
рабельном пространстве Гильберта 105
Глава III
ПРОЕКТИРУЮЩИЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
35. Определение проектирующего оператора ПО
36. Свойства проектирующих операторов 111
37. Действия над проектирующими операторами .... 112
38. Последовательности проектирующих операторов ... 115
39. Раствор двух линейных многообразий 116
40. Унитарный оператор 119
41. Изометрический оператор 121
42. Оператор Фурье—Планшереля "... 122
Глава IV
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
43. Понятие о замкнутом операторе 127
44. Общее определение сопряженного оператора .... 128
45. Собственные векторы, инвариантные подпространства
и приводимость линейных операторов 130
46. Симметрические операторы 135
47. Снова об изометрических и унитарных операторах . . 138
48. Понятие о спектре 139
49. Резольвента 143
50. Оператор сопряжения 145
51. Метод графика 147
52. Обобщение понятия о проектирующем операторе . . 151
53. Матричное представление неограниченных симметри-
симметрических операторов 153
54. Оператор умножения на независимую переменную . . 158
55. Оператор дифференцирования 162
Глава V
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫХ
ОПЕРАТОРОВ
56. Два вспомогательных предложения 171
57. О собственных значениях вполне непрывиых операто-
операторов в R 173
58. Дальнейшие свойства вполне непрерывных операторов 176
59. Метод Ф. Рисса в теории линейных функциональных
уравнений 178
60. Теорема о существовании собственного вектора у само-
самосопряженного вполне непрерывного оператора . . . 185
61. Спектр вполне непрерывных самосопряженных опера-
операторов в R 188
62. Вполне непрерывные нормальные операторы .... 191
63. Приложение к теории почти-периодических функций 194
64. Разложение произвольного вполне непрерывного опера-
оператора в ряд одномерных операторов 202

ОГЛАВЛЕНИЕ
65. Теорема о существовании инвариантного подпростран-
подпространства у любого вполне непрерывного оператора в Н . . 204
66. Ядерные операторы 208
Глава VI
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ УНИТАРНЫХ
И САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
67. Разложение единицы 213
68. Тригонометрическая проблема моментов 216
69. Аналитические функции со значениями, лежащими
в полуплоскости 219
70. Теорема Бохнера— Хинчина 226
71. Спектральное разложение унитарного оператора 230
72. Операторные интегралы Стилтьеса 236
73. Интегральное представление группы унитарных опе-
операторов 242
74. Интегральное представление резольвенты самосопряжен-
самосопряженного оператора 245
75. Спектральное разложение самосопряженных операто-
операторов .... 250
76. О множествах нулевой операторной меры в сепара-
бельном пространстве 256
77. Функции от унитарного оператора 260
78. Прямой вывод спектрального разложения унитарного
оператора 265
79. Преобразование Кэли 267
80. О перестановочных операторах 272
81. Спектральное разложение ограниченных нормальных
операторов 273
82. Спектр самосопряженного и унитарного операторов 275
83. Простой спектр 279
84. О спектральных типах 286
85. Кратный спектр 289
86. Каноническая форма самосопряженного оператора
с конечнократным спектром 290
87. Понятие об унитарных инвариантах самосопряжен-
самосопряженных операторов 294
88. Общее определение функции от самосопряженного
оператора 296
89. Примеры 298
90. Кольца ограниченных самосопряженных операторов 306
91. Характеристическое свойство функций от самосопряжен-
самосопряженного оператора 311
92. Теорема о порождающем операторе 314
Глава VII
СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ
ОПЕРАТОРОВ
93. Непрерывный спектр самосопряженного оператора 316
94. Теоремы Г. Вейля и Неймана о вполне непрерывных
возмущениях 320

ОГЛАВЛЕНИЕ
95. Абсолютно непрерывная и сингулярная части спектра 327
96. Инвариантность абсолютно непрерывной части спект-
спектра относительно конечномерных возмущений .... 330
97. Определенней формальные свойства волновых операторов 335
98. Существование волновых операторов в случае конечно-
конечномерных возмущений 339
99. Переход к общему случаю ядерных возмущений . . . 343
Глава VIII
ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ
ОПЕРАТОРОВ
100. Индексы дефекта 349
101. Снова о преобразовании Кэли 353
102. Формулы Неймана 356
103. Простые симметрические операторы 360
104. Структура максимальных операторов 362
105. Спектры самосопряженных расширений заданного сим-
симметрического оператора 366
106. Формула М. Г. Крейна для резольвент самосопряжен-
самосопряженных расширений заданного симметрического оператора 369
107. О самосопряженных расширениях полуограниченных
операторов 374
108. Самосопряженные расширения ограниченного симмет-
симметрического оператора с неплотной в Н областью опреде-
определения, сохраняющие его норму 379
109. Самосопряженные расширения полуограниченного
симметрического оператора с сохранением его нижней
грани 385
Глава IX
ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
И ОБОБЩЕННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
ПО. Обобщенное разложение единицы. Теорема М. А. Най-
марка 391
111. Самосопряженные расширения свыходомиз пространства
и спектральные функции симметрических операторов 396
112. Спектральные функции симметрического оператора
и обобщенные резольвенты 404
113. Формула М. Г. Крейна для обобщенных резольвент 410
114. Квазисамосопряженные расширения и характеристи-
характеристическая функция симметрического оператора 417
115. О треугольном разложении некоторых несамосопря-
несамосопряженных операторов 432
Добавление I
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
116. Определения и вспомогательные факты 438
117. Пример 443
118. Спектральные функции интегрального оператора с
ядром Карлемана 448

ОГЛАВЛЕНИЕ
119. Спектральное представление ядра Карлемана .... 457
120. Обобщение формулы Гильберта—Шмидта ...... 461
121. Характеристические свойства интегральных операто-
операторов Карлемана 462
122. Теорема Неймана 467
Добавление II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
123. Самосопряженные дифференциальные операции . . . 472
124. Регулярные дифференциальные операторы 476
125. Самосопряженные расширения регулярного дифференци-
дифференциального оператора 478
126. Сингулярные дифференциальные операторы 482
127. Самосопряженные расширения сингулярного дифферен-
дифференциального оператора 485
128. Резольвенты самосопряженных расширений 489
129. Формулы обращения, связанные с дифференциальными
операторами второго порядка 499
130. Обобщение на дифференциальные операторы любого
порядка 514
131. Исследование характера спектра дифференциальных
операторов методом расщепления 518
132. Примеры 528
Предметный указатель 540

ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В этой книге, как и в первом ее издании, вышедшем
пятнадцать лет назад, авторы ставили перед собой задачу
систематически и доступно изложить основные понятия
и факты теории линейных операторов в гильбертовом про-
пространстве. При подготовке настоящего издания улучшен
первоначальный текст и добавлен ряд разделов, посвя-
посвященных как новым, так и классическим теориям. Наи-
Наиболее существенно расширено изложение теории вполне
непрерывных операторов, спектрального анализа и теории
колец самосопряженных операторов, а также теории
полуограниченных операторов. Добавлена глава о воз-
возмущениях и волновых операторах, а также глава об
интегральных операторах.
Ф. С. Рофе-Бекетов оказал авторам большую помощь
при подготовке рукописи, внес значительное улучшение
в некоторые доказательства и благодаря ему удалось
устранить ряд ошибок. За все это и за весьма тщательное
редактирование книги авторы приносят ему глубокую
благодарность.
Авторы очень признательны также всем коллегам и
ученикам, указавшим после выхода в свет первого изда-
издания на различные содержащиеся в нем погрешности.
Наконец, авторы искренне благодарны А. 3. Рывкину
за внимательное отношение к рукописи в течение всего
времени ее прохождения в редакции.
Харьков,
декабрь 1965 г.

ГЛАВА!
ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
1. Линейные системы. Множество R элементов Д g, h, ... (назы-
(называемых также точками или векторами) образует линейную систе-
систему, если
а) в R определена операция, называемая сложением и обозна-
обозначаемая знаком +> причем
и существует единственный элемент 0 (нулевой элемент) такой, что-
Ь) определено умножение элементов множества R' на комплекс-
комплексные числа а, р, . . ., причем
ь/=/.
Будем гоюрить, что элементы Д, f2 /„ ? R линейно неза-
независимы, если соотношение
возможно только в тривиальном случае а4 = а2 =.... = а„ = 0;
в противном случае элементы Д, /2 h назовем линейно
зависимыми.
Левую часть соотношения A) называют линейной комбинацией
элементов flt /2 /„. Таким образом, линейная независимость
элементов flt f2 fn означает, что любая нетривиальная
линейная комбинация этих элементов отлична от нуля.
Если среди элементов Д, /2 fn есть равный нулю, то эти
элементы, очевидно, линейно зависимы. Действительно, если,
например, Д = 0, то мы получим нетривиальное соотношение A),
беря ctj = 1, <х2 = а3 = . . . = ап = 0.

10 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Линейную систему R называют конечномерной и притом п-мер-
ной, если R содержит п линейно независимых элементов и если
всякие п -\- 1 элементов из R линейно зависимы. Конечномерные
линейные системы изучаются в линейной алгебре. Если линейная
система имеет сколь угодно много линейно независимых элементов,
то ее называют бесконечномерной.
2. Линейные многообразия. Часто приходится рассматривать
некоторые совокупности элементов из R. Всякую такую совокуп-
совокупность L мы называем линейным многообразием, если из соотношений
/ ? L, g g L следует, что а/ + Pg ? L, каковы бы ни были числа а, р.
Одним из наиболее распространенных приемов для получения
линейных многообразий является построение линейной оболочки.
Исходным здесь является некоторое конечное или бесконечное
множество М элементов из R. Затем составляются всевозможные
линейные комбинации
элементов flt f2 fn из М. Совокупность L этих линейных
комбинаций, очевидно, представляет некоторое линейное много-
многообразие в R, содержащее М. Это есть наименьшее линейное много-
многообразие, содержащее М, и оно носит название линейной оболочки
множества М.
Некоторое множество М cz R называют прямой суммой конеч-
конечного числа линейных многообразий Ma cz R (& = 1, 2 п)
и пишут
М =
если каждый элемент g ? М однозначно представим в виде суммы
.-- +gn,
где gk?Mk (k = 1, 2 n).
Очевидно, что М есть также линейное многообразие.
Условимся называть линейные многообразия Мь М2 М„
(п < со) линейно независимыми, если равенство
fe = l, 2, ...,«)
возможно лишь при
Линейная независимость линейных многообразий М^ М2) . . .
. . ., Мп, очевидно, необходима и достаточна, чтобы можно было
образовать их прямую сумму

2. ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ Ц
Пусть, далее, М и М — два линейных многообразия и МсМ.
Векторы Д, /2 fk из М называются линейно независимыми по
модулю М, если из
ai/i + a2/2+ • • • + ал/л 6 М
следует
°1 = <*2 = • • • == Ctft = 0.
Очевидно, векторы из М, линейно независимые по модулю М,
будут и подавно линейно независимыми в обычном смысле.
Размерностью М по модулю М будем называть максимальное
число т векторов из М, линейно независимых по модулю М, и будем
писать
dim М = tn (mod M);
если в М существует сколь угодно много линейно независимых
по модулю М векторов, то будем считать
dim М = со (mod M).
Очевидно, что размерность по модулю не превосходит обычной
размерности.
Вместо / ? М можно писать
/ s 0 (mod M),
и тогда равенство
) A)
будет означать, что / — g ? М.
Многообразие М можно разбить на подмножества элементов,
относя элементы f и g к одному подмножеству, если они удовлетво-
удовлетворяют условию A), и к различным подмножествам в противном
случае. Эти подмножества называются классами многообразия М
по модулю М.
Совокупность классов, рассматриваемых каждый в качестве
отдельного элемента, сама образует некоторое линейное много-
многообразие, называемое фактор-многообразием многообразия М по
многообразию М и обозначаемое
М/М.
При этом линейные операции в М/М определены следующим
образом. Если f ? М/М, g ? М/М — некоторые классы по модулю М,
а /, g ¦— некоторые элементы из М, принадлежащие соответственно

12 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
классам f и g, то
af и f + g
определяются, как классы, которым принадлежат af, соответ-
соответственно f+g.
Легко видегь, что это определение не зависит от выбора кон-
конкретных представителей / из f и g из g, а определенная выше раз-
размерность М по модулю М является обычной размерностью фактор-
многообразия М/М.
3. Скалярное произведение. Линейную систему R называют метри-
метризованной, если каждой паре элементов /, g ? R сопоставляется
определенное комплексное число (/, g), которое удовлетворяет
следующим требованиям *):
a) (g,f) = (f,g),
b) (ai/i + az/a, g) = a1(f1, ёО + М/г, g),
c) (/i /)>0, причем знак равенства имеет место только при
/ = о.
Число (/, g) называется скалярным произведением элементов /иg.
Свойство Ь) скалярного произведения выражает его линей-
линейность по первому аргументу. Что касается второго аргумента,
то аналогичное свойство имеет вид
Действительно,
, f) =
Арифметический корень ]/"(/, /) называют нормой элемента
(вектора) / и обозначают символом || / ||. Эта величина аналогична
длине отрезка. Так, например, подобно длине отрезка норма век-
вектора равна нулю только в том случае, когда равняется нулю век-
вектор. Кроме того,
Действительно, в силу свойств Ь) и Ь) скалярного произведения
(af, a/) = a (/, a/) = aa (/,/) = | a f (/, /),
откуда и вытекает 1°.
*) Черта над величиной означает переход к комплексно сопряженной
величине.

3. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 13
Докажем, что для любых двух векторов /, g
2°. |(А я)|<II/НяII,
причем знак равенства имеет место в том и только в том случае,
когда векторы /, g линейно зависимы. Это неравенство называют
неравенством Крши — Буняковского или неравенством Шварца.
При доказательстве неравенства 2° можно принять, что (/, g) =jf=
Ф 0. Полагая
а_ <Л В)
\V.B)\'
найдем, что при любом вещественном к
0<W+kg, ®f+kg) = k*(g, g) + 2k\(f, g)\ + (f, f).
Справа мы имеем трехчлен относительно к, и этот трехчлен
при всех вещественных к больше или равен нулю. Поэтому должно
иметь место неравенство
К/. яI2<(/> /Ms. g),
что и доказывает соотношение 2°. Знак равенства будет лишь в том
¦случае, когда рассматриваемый трехчлен имеет двойной корень,
иначе говоря, только в том случае, когда при некотором веще-
вещественном "к
*/ + *? = 0,
а это равенство выражает, что векторы /, g линейно зависимы.
Благодаря неравенству 2° скалярное произведение позволяет
определить угол между двумя векторами. Однако это для даль-
дальнейшего не нужно. Мы ограничимся лишь понятием об ортого-
ортогональности: два вектора /, g называются ортогональными, если
Докажем еще одно свойство нормы, а именно, неравенство
верное для любых векторов f,gu переходящее в равенство лишь
при / = 0 или g = Kf, где "к > 0. Неравенство 3° называют нера-
неравенством треугольника, так как оно аналогично неравенству для
сторон треугольника, известному из элементарной геометрии.
Чтобы доказать неравенство треугольника, возьмем соотно-
соотношение

14 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Отсюда, в силу неравенства Коши ¦— Буняковского,
и, значит,
Чтобы имел место знак = , необходимо выполнение условия
Это условие тривиальным образом выполняется при / = 0. Если же
f ^= 0, то, по доказанному выше, должно иметь место равенство
и, следовательно,
а потому
Иногда приходится рассматривать линейные системы, в которых
каждой паре элементов /, g относится число (/, g), удовлетворяю-
удовлетворяющее требованиям а), Ь) и вместо с) требованию
с') {/, />>0
без оговорки, что знак = невозможен при / ф 0. Такие линейные
системы мы назовем квазиметризованными, а величину </, g) назо-
назовем квазискалярным произведением.
Нетрудно видеть, что квазискалярное произведение удовлет-
удовлетворяет условию Ь). Для него справедливо также неравенство 2°
Коши—Буняковского, однако без оговорки относительно случаев,
когда в этом неравенстве имеет место знак =.
В силу неравенства Коши—Буняковского множество 91 всех
элементов f, для которых </, /> = 0, является линейным много-
многообразием. Действительно, если
то в силу неравенства Коши—Буняковского при любом h
</, ft> = 0.
Поэтому из
</, /> = 0, (g, g) = 0,
следует, что
Отметим, что, имея квазиметризованную систему R', можно
построить фактор-многообразие R = R'/Sft, которое оказывается

4. НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 1&
уже метризованной, а не квазиметризованной системой, если опре-
определить в R'/9t скалярное произведение (f, g) формулой
где feR'/зг, g^R'm, /ef, gtg.
Это определение не зависит от выбора тех или иных / ? f, g? g.
4. Некоторые топологические понятия. В настоящем пункте мы
остановимся на некоторых общих понятиях, которые вводятся при
изучении точечных множеств в любом метрическом пространстве.
Напомним, что метрическим пространством называется множе-
множество, для каждых двух элементов f, g которого определено рас-
расстояние D[f, g], удовлетворяющее следующим требованиям:
a) D [f, g]=D [g, f] >0 (при / ф g),
b) D{f, fl = 0,
c) D[f, g]KD[f, h] -\-D\h, g] (неравенство треугольника).
Линейная метризованная система R становится метрическим
пространством, если положить
D[f, g] = \\f-g\\.
То, что так определенное расстояние удовлетворяет всем указан-
указанным выше требованиям, есть следствие приведенных выше свойств
нормы. Мы будем обозначать метрическое пространство через Е
и будем говорить о расстоянии D [/, g], но будем помнить, что
в дальнейшем нам придется иметь дело лишь со случаем, когда
Е = R nD[f,g] = \\f — g\\, т. е. со случаем, когда метрика
порождается скалярным произведением.
Если /о — некоторая фиксированная точка Е, a q — некоторое
положительное число, то совокупность всех точек /, для которых
D[f, fo]<Q,
называют сферой в Е, причем q — ее радиус, а /0 — центр. Такая
сфера представляет окрестность, точнее, Q-окрестность точки /0-
Мы говорим, что последовательность точек fn ? Е (п = 1, 2, . . .)
имеет пределом точку / ? Е и пишем
fn->f или lim fn=-f, A)
если
limD[/n, /] = 0. B)
71-»-оо
Нетрудно видеть, что из A), т. е. из B), следует, что
lim D[fm, fn] = 0, C).
777, Tl->OO
где m, n независимы друг от друга.

16 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Действительно, по неравенству треугольника
D[fm, fn]<D[fm,
Однако обратное верно не всегда, т. е. если для последователь-
последовательности /П?Е (п = 1, 2, . . .) соотношение C) имеет место, то
•существование такого элемента / ? Е, к которому последователь-
последовательность сходится, не обязательно. Будем называть последователь-
последовательность /„ ? Е (п = 1, 2, . . .) фундаментальной, если для нее выпол-
выполняется соотношение C).
Если для всякой фундаментальной последовательности найдется
элемент, к которому эта последовательность сходится, то метриче-
метрическое пространство называют полным.
Если метрическое пространство не полно, то его можно сделать
полным путем введения некоторых новых элементов с помощью
фундаментальных последовательностей. Эта операция аналогична
введению иррациональных чисел по Кантору.
Предельной точкой некоторого множества М из Е называют
всякую точку / ? Е, в любой окрестности которой находится бес-
бесчисленное множество точек из М.
Если множество содержит все свои предельные точки, то оно
называется замкнутым. Присоединение к множеству М его пре-
предельных точек называется замыканием. Так же называют получае-
получаемое при этом и обозначаемое символом М множество.
Если линейная система является полным метрическим простран-
пространством, то наряду с линейной оболочкой некоторого множества
можно рассматривать ее замыкание, которое называют замкнутой
линейной оболочкой.
Если в метрическом пространстве имеется счетное множество,
замыкание которого содержит все пространство, то пространство
называется сепарабельным.
Иначе говоря, в сепарабельном пространстве существует такое
счетное точечное множество N, что для любой точки / ? Е и любого
г >0 можно найти g ? N так, что
Это обстоятельство выражают еще следующим образом: простран-
пространство называется сепарабельным, если оно содержит счетное всюду
плотное множество-
5. Пространство Гильберта. Среди метрических пространств наи-
наиболее замечательны те, которые являются линейными системами
и в которых расстояние между двумя элементами по определению
равно норме разности этих элементов, т. е. расстоянию этой раз-
разности от нулевого элемента. Полные метрические пространства
этого рода называются пространствами Банаха.

5. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА 17
Пространство Гильберта, которому посвящена настоящая книга,
является важным частным случаем пространства Банаха, так как
в нем, кроме расстояния между двумя элементами, имеется также
скалярное произведение.
Определение. Бесконечномерную линейную метризован-
метризованную систему Н, которая в порождаемой скалярным произведением
метрике является полным метрическим пространством, называют
пространством Гильберта.
Каждое замкнутое линейное многообразие G в Н является
линейной системой, метризованной при помощи того же скаляр-
скалярного произведения, что и Н.
Кроме того, G обладает полнотой. Действительно, всякая фун-
фундаментальная последовательность элементов из G имеет предел
в Н, так как Н полно, и этот предел должен принадлежать G, так
как G замкнуто.
Из сказанного следует, что G само является пространством
Гильберта, если оно содержит бесконечное число линейно незави-
независимых элементов, и пространством Евклида в противном случае.
Поэтому G называют подпространством пространства Н.
Данное нами определение пространства Гильберта носит аксио-
аксиоматический характер. Требованиям, которые оно содержит, удов-
удовлетворяют различные конкретные линейные системы. Поэтому
часто Н называют абстрактным пространством Гильберта, а упо-
упомянутые конкретные системы называют реализациями этого абстракт-
абстрактного пространства.
Одной из важнейших реализаций пространства Н является
пространство I2. Именно на этом, впервые введенном Гильбертом
в его теории линейных интегральных уравнений, конкретном про-
пространстве началось построение общей теории, которой посвящена
настоящая книга.
Элементами пространства 1% являются числовые комплексные
последовател ьности
для которых
, |]Ы2<со, ...
Числа хи х2, ... можно рассматривать как компоненты век-
вектора / или координаты точки /. Нулевым вектором является тот,
все компоненты которого равны нулю. Сложение векторов опре-
определяется формулой
2 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

18 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Неравенство
следует из соотношения
Умножение вектора / на число X определяется формулой
Скалярное произведение в пространстве /2 имеет вид
оо
(/. S) = S ЗД»-
Ряд в правой части сходится абсолютно, так как
Неравенство
в рассматриваемом случае имеет вид
и принадлежит Коши.
Пространство I2 сепарабельно. В качестве плотного в /2 счет-
счетного множества можно взять совокупность всех векторов с конечным
(своим для каждого вектора) числом отличных от нуля компонент
при условии, что этими отличными от пуля компонентами являются
числа вида | + Щ, где ? и rj — рациональные числа.
Кроме того, пространство /2 полно. Действительно, если после-
последовательность векторов
фундаментальна, то для любого е >0 можно найти такое jf, чтобы
при r>JT, s>.J!T
Следовательно, при любом т и подавно
— Хп | <^ Е. (I)
л=1

5. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА 19
Поэтому каждая из числовых последовательностей
{4T=i (я =1,2,...)
сходится к некоторому пределу Хп (п = 1, 2, . . .). Увеличивая
в A) s до со, получим
1 / m
1/2 I
r и=1
А так как это верно при любом т, то
n=i
Отсюда следует, что
а в силу произвольности е > 0 также, что
Таким образом, полнота пространства I2 доказана.
Как мы показали, пространство /2 сепарабельно. Первоначально
и в определение абстрактного пространства Гильберта включалось
требование сепарабельности. Однако в дальнейшем оказалось, что
это требование не является необходимым для построения теории,
поэтому в данное нами определение пространства Н оно не вклю-
включено.
Что же касается требования полноты, то оно является суще-
существенным почти для всех последующих рассмотрений. Поэтому
его включают в определение Н, делая соответствующую оговорку
в тех случаях, когда это требование является излишним.
Пространство /2 бесконечномерно, так как все орты
et = {l, 0, 0, ...},
е2={0, 1, 0, ...},
е3=-{0, 0, 1, ...},
как легко видеть, линейно независимы.
Пространство I2 есть бесконечномерный аналог пространства
Е/п, элементами которого являются конечные последовательности
Е,„ есть m-мерное комплексное пространство Евклида.
Значительная часть теории, которую мы изложим, есть пере-
перенесение на Н хорошо известных фактов относительно Ет.
2*

20
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
6. Расстояние точки от выпуклого множества. Множество К точек
линейной системы R называется выпуклым, если вместе с любыми
точками fug этого множества ему принадлежит весь отрезок
V+0—ty g, где 0<;^<1. Любое линейное многообразие
в R является выпуклым множеством. Замыкание К выпуклого
множества К в полном метрическом пространстве Е также является
выпуклым. Примером замкнутого выпуклого множества в Е являет-
является, в частности, множество элементов /, удовлетворяющих неравен-
неравенству D[f, /0]<q.
Пусть в гильбертовом пространстве Н дано некоторое выпуклое
множество К, не совпадающее с Н. Пусть в Н взята какая-нибудь
точка /г ? К, и пусть
6 = inf ||А —/Н.
/ек
Возникает вопрос, существует ли в К точка g, для которой
иначе говоря, точка, наименее удаленная от точки h.
Докажем прежде всего, что интересующих нас точек g не может
быть более одной, какова бы ни была точка h. С этой целью допус-
допустим, что в К существуют две точки g', g", расстояние которых
от точки h равно 6. Так как ~^-{g' \- g") ? К, то
С другой стороны,
h 8+g
?4-g'
2
Следовательно,
и поэтому
ft —
g'+g"
= 6,
Мы имеем здесь случай знака = в неравенстве треугольника. Так
как
то
h-g"=a(h~g'),
A)

6. РАССТОЯНИЕ ТОЧКИ ОТ ВЫПУКЛОГО МНОЖЕСТВА
21
где а>0, и, следовательно,
6 =
откуда а = 1.
Теперь из A) следует
что и требовалось доказать.
Но существует ли вообще точка g ? К, наименее удаленная
от точки ft? Ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема. Если К — замкнутое выпуклое множество в про-
пространстве Н, и если
6 = inf||ft-/||,
то в К существует вектор g (единственность его выше была дока-
доказана), для которого
|А|| 6
Доказательство. По определению нижней грани, в К
существует бесконечная последовательность векторов {gn}?, Для
которой
lim || ft — gn || = б.
П-»оо
Но
gm + gn
2
Поэтому
и поскольку
ТО
т,п->оо
ft
lim
т.п-> оо
h gm^
ll 2
2
>6
2
тп,тг—>oo . ч
С другой стороны, из легко проверяемого соотношения
полагая
находим

22 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Таким образом, мы видим, что
lim \\gn—gm\\ = 0.
m,Ti->oo
Поэтому последовательность векторов {gn}f сходится к некото-
некоторому вектору g ? G. Остается доказать, что
IIА-ЙГ11 = в.
Но
и
Следовательно,
а знак <, очевидно, должен быть отброшен. Таким образом, тео-
теорема доказана.
7. Проекция вектора на подпространство. Пусть G — некоторое
подпространство пространства Н. В силу п° 6 каждому элемен-
элементу h ? Н отвечает вполне определенный элемент g ? G, для
которого
||A-?||=inf \\h-g'\\. A)
Рассматривая hug как точки, мы говорим, что g есть точка под-
подпространства G, которая наименее удалена от точки h. Если же
элементы h и g рассматриваются как векторы, то говорят, что g есть
тот из векторов подпространства G, который наименее уклоняется
от вектора h. Теперь покажем, что в силу A) вектор h — g ортого-
ортогонален подпространству G, т. е. ортогонален каждому вектору
Для доказательства допустим, что вектор h — g ортогонален
не каждому вектору из G. Пусть
Возьмем вектор
Тогда
' e/ ' (go-go)
-lift g|i.
(go, go)

7. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ПОДПРОСТРАНСТВО 23
и, значит,
l|ft-«*li<l|ft-sll.
что противоречит A).
Из доказанного следует, что вектор h представим в виде
где g 6 G, а / ортогонален G (что иногда будем писать в виде / _L G);
при этом, как легко видеть,
112
Вектор g естественно назвать составляющей вектора h по под-
подпространству G или проекцией вектора h на подпространство G.
Обозначим через F совокупность всех векторов /, ортогональ-
ортогональных подпространству G. Легко видеть, что F есть линейное много-
многообразие. Покажем, что F замкнуто и, следовательно, является
подпространством. Действительно, пусть /п 6 F (п = 1, 2, . . .),
иначе говоря (fn>g) — Q ПРИ любом g?G, и пусть /„-*-/. В таком
случае имеет место равенство
правая часть которого по модулю не превосходит
\\f-fn II -\\g\\
и поэтому стремится к нулю при п —>- со. Значит, (/, g) = 0, откуда
и вытекает, что / ? F и, следовательно, многообразие F замкнуто.
Мы получили представление пространства Н в виде прямой
суммы
FU=G®F.
В данном случае слагаемые G и F ортогональны и их прямая
сумма является ортогональной суммой; для подпространства F
(или G) принято название ортогонального дополнения по отноше-
отношению к подпространству G (соответственно, F) в Н со следующим
обозначением:
F = Н0G (соответственно G = H0F).
По индукции определяется ортогональная сумма любого конеч-
конечного числа попарно ортогональных подпространств.
Далее, ортогональной суммой бесконечного (счетного или несчет-
несчетного) множества {Ga} попарно ортогональных подпространств
пространства Н называется замыкание многообразия всех конеч-
конечных сумм вида
гДе ga- € G«-, ga- e Ga- и т. д.

24 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Очевидно, ортогональная сумма конечного числа слагаемых
является частным случаем прямой суммы.
Можно рассматривать также ортогональные суммы произволь-
произвольных гильбертовых пространств, не являющихся подпространствами
некоторого заранее заданного гильбертова пространства. Напри-
Например, ортогональная сумма пространств Hi и Н2 есть гильбертово
пространство Н = Hi @ Н2, элементами которого являются все-
всевозможные пары {/, g}, где / 6 Н1; g ? Н2, причем
а {/, g} = {а/, ag}, {/„ gl) + {f2, g2) = {/, + /2, gi + ?2}
(так что нулевым элементом является {0, 0}), а скалярное произ-
¦ ведение определено равенством
«Л. gib {/2. ?2}) ~ (Л. /2) + (gi, g-г) ¦
Из приведенных выше рассмотрений вытекает простое дока-
доказательство следующего предложения: любое подпространство G
сепарабельного пространства Гильберта Н сепарабельно *).
Действительно, пусть счетное множество векторов {пь}? всюду
илотно в Н, a {gh}f есть последовательность проекций этих век-
векторов на подпространство G. Имеем
но g/t — hh _L G, так что (gh — hh, g — gh) = 0 при любом g?G
и, следовательно,
откуда
\\g-gk\\<\\g-hh';r
Из этого неравенства следует, что последовательность {gk}T
образует счетное множество, всюду плотное в подпространстве G.
Часто приходится находить проекцию вектора на конечномерное
подпространство. Остановимся на этом вопросе подробнее.
Пусть G есть «-мерное подпространство и пусть
gi, ?2, ¦ • •, gn B)
какие-нибудь п линейно независимых элементов из G. Так как
между любыми п -f- 1 элементами подпространства G имеется
линейная зависимость, то всякий вектор g ? G представим в виде
g = htgi + Яг^г + • • • + Kgn,
иначе говоря, G является линейной оболочкой совокупности век-
векторов B).
*) Это предложение справедливо для любого подпространства сепара-
сепарабельного метрического пространства Е.

7. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ПОДПРОСТРАНСТВО 25
Возьмем произвольный вектор h ? Н и обозначим через g его
проекцию на G. Вектор g имеет вид
По свойству проекции разность h — g = f должна быть ортого-
ортогональна подпространству G, т. е. каждому из векторов gu g2, ¦ ¦ ;gn-
(f, gh) = (h, gh) — Ki(gu gh)—X2(g2, gh) — ...—K(gn, gh) = 6
(fc-1,2, ...,n). ()
Мы имеем здесь систему п линейных уравнений относительно
К К, ¦ ¦ ¦, К- Матрица (а^)"А = 1 этой системы, ajk = (gh, gj),
называется матрицей Грама, а ее определитель
(gl. gl) (g2- gl) ¦¦¦ (gn, gl)
(gl' g2> (§2. g2) •¦ ¦ ign> g2)
(gl> gn) (g2- gn) ¦¦¦ (gn, gn)
— определителем Грама векторов gt, g2, ¦ ¦ ., gn- На основании
ранее доказанных фактов система уравнений C) имеет един-
единственное решение, каков бы ни был вектор h- Поэтому определитель
Грама векторов gu g2, . . ., gn отличен от нуля.
Легко видеть, что если векторы gu g2, . . ., gn линейно зави-
зависимы, то их определитель Грама равен нулю. Поэтому для линейной
независимости векторов необходимо и достаточно, чтобы их опре-
определитель Грама был отличен от нуля.
Займемся теперь отысканием величины
6= min|| h — g'\\.
Мы увидим, что эта величина просто выражается через определи-
определители Грама.
Величина б равна || / \\ = \\ h — g \\ при условии, что входя-
входящие в g коэффициенты Яг определяются уравнениями C).
Следовательно,
62=(/, /) = (/. Л),
откуда
б2 = (Л, h) -Kt (gl, h) - К2 {g2, h) -'...-К (gni h). D)
Мы видим, что отыскание б2 сводится к исключению величин Kt из
уравнений C), D).

26 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Это исключение дает
(h, h)-б2 (gl,h) (g2lh) ... fen, A)
Ф, go tei. ft) tez, ft) • • • ten. ft
=o.
i
tei, g-n) te2, g») • • • ten, gn) i
Отсюда
g2 = r(ft, gt,g2,
Г (gi, g2. ¦ • ¦. gn) ' V' '
Это и есть формула, которую мы хотели получить.
Так как Г (gt) = tei, ft) > 0 (при gt ф 0), то из формулы E)
по индукции следует, что определитель Грама линейно незави-
независимых векторов всегда положителен. Этот факт можно рассматри-
рассматривать как обобщение неравенства Коши — Буняковского, которое
утверждает, что для линейно независимых векторов gu g2 имеет
место неравенство Ftei. ёг) >0.
8. Ортогонализация последовательности векторов. Два множе-
множества М и N векторов из R называют эквивалентными, если совпа-
совпадают их линейные оболочки. Поэтому эквивалентность множеств М
и N имеет место в том и только в том случае, когда каждый элемент
одного из этих множеств является линейной комбинацией конеч-
конечного числа векторов, принадлежащих другому множеству.
Последовательность векторов
е,, е2, е3, ... A)
пространства Н называется ортогональной, если любые два век-
вектора этой последовательности с различными номерами ортогональны;
если, кроме того, норма каждого элемента последовательности A)
равна единице, то последовательность называется ортонормиро-
ванной.
Всякую последовательность векторов
ft, gz, gs, •••. B)
между которыми нет линейных зависимостей, можно с помощью
известного из линейной алгебры процесса Шмидта — Сонина орто-
гонализовать, т. е. построить ортонормированную последователь-
последовательность A) так, чтобы при каждом натуральном п подпоследователь-
подпоследовательности {gh}™ и {б/,}™ были эквивалентны.
Для построения последовательности A) примем в качестве et
вектор
р -= gl
'" lUiil '

8. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ 27
норма которого, очевидно, равна единице. Векторы et и gt поро-
порождают одно и то же подпространство Е4 одного измерения. Век-
Вектор е2 мы построим в два приема. Сначала из вектора g2 вычтем
его проекцию на Е4; получим вектор
который ортогонален подпространству Еь т. е. вектору еи и кото-
который не равен нулю, так как в противном случае вектор g2 при-
принадлежал бы Ej, что противоречит линейной независимости векторов
gi> g2- Отыскав h2, положим
Векторы еь е2 порождают то же подпространство двух измере-
измерений Е2, что и векторы g[t gz-
Переходим к построению вектора е3. Сначала из вектора g3
вычитаем его проекцию на Е2; получаем вектор
К -= gs — to, ei) ei — to, e2) e2,
отличный от нуля и ортогональный подпространству Е2, т. е.
ортогональный векторам еь е2. Затем полагаем
h3
е 3
Подобным образом поступаем и далее. Если уже построены век-
векторы
eit е2, ..., е„,
то полагаем
п
hn+i = g»+i— S to+ь eh) eh
и затем
"+1" II hn+l || •
В конкретных случаях часто не стремятся к тому, чтобы попарно
ортогональные элементы последовательности A), каждая часть
которой {еА}™ (п = 1, 2, . . .) эквивалентна соответствующей части
{gh}™ последовательности B), были нормированы. Переход к такой
последовательности A) также называют ортогонализацией (см.
ниже п° 12).

28 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Из рассмотрений п°7 следует, что матрица Грама (а,-А) " ь = 1
системы линейно независимых векторов gl7 g2, . . ., gn обладает
следующими свойствами:
1°. Она эрмитова, т. е. ajh = ahj.
2°. Ее главные угловые миноры положительны.
Покажем, что любая матрица (ajh)lh = i, обладающая этими
свойствами, является матрицей Грама некоторой системы векто-
векторов gi, g2, ¦ ¦ -, gn-
Для доказательства воспользуемся следующей известной тео-
теоремой линейной алгебры: если все главные угловые миноры эрми-
эрмитовой матрицы (ojft)"fc=i положительны, то с помощью неособен-
неособенного преобразования
п
%=Даг («=1,2, ..., п) C)
эрмитову форму
и
можно привести к виду
и _
Возьмем теперь произвольную ортонормированную систему
векторов {es}» и покажем, что матрица Грама системы векторов
п
?г= 2 xr*es (г=],2,...., п)
совпадает с данной матрицей (ajh)" h = t.
Действительно,
r=l s=l s=l
С другой стороны, из C) и D) следует
И_ ИИ "_"
S ctjftijiA = 2 I 2 Trs|r j2 = 2 hih 2
3hl sl rl jhl 1
2
8=1
откуда
aJh = 2 ^bsTis = (gh, gj) (/, fe = 1, 2, . . . , tl),
s=l
что и требовалось доказать.

9. НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ И УРАВНЕНИЕ ЗАМКНУТОСТИ 29
9. Неравенство Бесселя и уравнение замкнутости. Пусть в Н дана
ортонормированная последовательность векторов
ei, е2, е3, ..., е,„ ... A)
Всякий вектор h 6 Н можно при любом натуральном п представить
в виде
где вектор /„ ортогонален векторам е1? е2, . . ., е„. При этом вектор
п
sn=ll(h,eh)eh B)
среди всех векторов вида
C)
наименее уклоняется от вектора h, и величина наименьшего укло-
уклонения равна
6n = min \\h — X& — hg2— ...— Я„еп[|=-
/
»п =¦ I/ iiA;iis-Si(A.e*)i2; D)
бп есть расстояние точки h от линейной оболочки Gn первых п
векторов последовательности A).
Если бы вместо линейной комбинации n-го порядка B) мы
пожелали найти наименее уклоняющуюся от h линейную комби-
комбинацию (п 4- 1)-го порядка
№ + И2б2+ • • • + \hten + Mn+ien+1, C')
то мы должны были бы взять вектор
п+1
т. е., не меняя коэффициентов линейной комбинации B), прибавить
еще один член
(Л, en+i) en+l.
Эти рассмотрения показывают, что, имея в Н бесконечную орто-
нормированную последовательность A), целесообразно относить
каждому вектору h ? Н бесконечный ряд
со
2 (Л- <Ъ) еЛ, E)
ft=i

30 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
коэффициенты которого (h, eh) можно назвать коэффициентами
Фурье вектора h относительно ортонормированнои последователь-
последовательности A). При этом из D) следует неравенство
<i|ft||s- F)
Это неравенство назовем неравенством Бесселя, так как оно ана-
аналогично известному под этим именем неравенству из теории три-
тригонометрических рядов Фурье.
Если мы обозначим через G подпространство, определяемое
векторами A), т. е. замкнутую линейную оболочку этих векторов,
то величина
представит расстояние точки h от G и для принадлежности век-
вектора h многообразию G необходимо и достаточно, чтобы в фор-
формуле F) имел место знак равенства.
Условимся называть систему векторов замкнутой в Н, если
ее линейная оболочка плотна в Н.
Из наших рассмотрений вытекает следующий результат: для
замкнутости в Н ортонормированнои системы A) необходимо и
достаточно, чтобы для любого вектора h ? Н имело место равенство
W=Sl(u,eA)l2. G)
7l
Это равенство часто называют равенством Парсеваля, так как под
этим именем известно аналогичное равенство в теории тригономет-
тригонометрических рядов Фурье. Мы будем называть равенство G) урав-
уравнением замкнутости, следуя здесь В. А. Стеклову, который поль-
пользовался этим термином для конкретных систем.
Докажем, что если уравнение замкнутости имеет место для
любого вектора h ? Н, то для любой пары векторов g, h ? Н имеет
место обобщенное уравнение замкнутости
со
(g,h)=%(g,eh)(ek,h). (8)
Действительно, мы имеем уравнение замкнутости для вектора
g -\-Ш при любом К:
= Д|(?-гМ», eh)\\

9. НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ И УРАВНЕНИЕ ЗАМКНУТОСТИ 31
Отсюда
Л, А) =
= 2 {! (?, е*) I2 + Ь (А, е*) (в*, g) + b fa eh) (eh, h) +1 X |21 (A,
A— 1
и, следовательно,
CO CO
Я (A, g) +7. (g, h) = Я 2 (Л, ел) (eA, 5) + Я 2 (g, eh) (eh, A).
fe=l • h=l
В силу произвольности Я отсюда получается равенство (8).
Обобщим теперь, следуя С. С. Левину *), неравенство Бес-
Бесселя, а также уравнение замкнутости на тот случай, когда вместо
ортонормированной последовательности A), в Н взята произволь-
произвольная последовательность векторов
gu g2, gs, ¦••> gn, • ••! (9)
между которыми нет линейных зависимостей. С этой целью введем
при п — 1, 2, 3, . . . матрицы Грама
Y" = (aJh)?, Ь=1. «jft = (gh, gj),
а также обратные матрицы
существование которых следует из того, что все определители
Грама T(gu g2l . . ., gn) не равны нулю (см. пс 7). Из определе-
определения чисел Р/й* вытекает, что
п
2 0$ to. ёь) = 6W (p, q = l, 2, ..., n). A0)
При принятых обозначениях обобщение неравенства Бесселя
гласит: для любого вектора h ? Н и любого натурального п
п
Ы<!№ (П)
Доказательство. Обозначим через g проекцию век-
вектора h на линейную оболочку векторов gu g2, ¦ . ., gn и пусть
g ~ ^i^i + Я2^2+ • • - + Kign-
Из уравнений C) п° 7 и соотношений A0) следует, что
п
г ЛГ1 о(тг) //, „\ {i ~ 1 9 «i\
Aj — ?J P}k уП: gk) \J -~ ' i ^1 • • • j ",/»
*) S. Lew in. Uber einige mit der Konvergenz im Mittel verbundenen
Eigenschaften von Funktionenfolgen, Math. Z. 32, 4, 1930.

32 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Поэтому
= 11 h ||2- 2 №(gj,h)(h,gh) A2)
3,h=l
и утверждение доказано.
Величина
представляет расстояние точки h от линейной оболочки векто-
векторов gu g2, . . ., gn- Поэтому эта величина не возрастает при воз-
возрастании п и, значит, левая часть A1) при возрастании п не убывает.
А так как левая часть A1) ограничена, то она имеет предел. Следо-
Следовательно, для любого вектора h существует
Ит 2 №(gj,h)(h,gh).
Из неравенства A2) мы заключаем также, что для замкнутости
в Н последовательности векторов (9) необходимо и достаточно,
чтобы для любого вектора h ? Н имело место равенство
Hm S P&)to
Это равенство является обобщением уравнения замкнутости G)
и переходит в него, если последовательность (9) ортонормирована.
В связи с неравенством Бесселя F) возникает следующий воп-
вопрос: пусть в Н даны ортонормированная последовательность век-
векторов A) и последовательность чисел {1ь}?°, причем
существует ли такой вектор h ? Н, что
Ф,ер) = 1р (р-1,2, 3, ...)?
Ответ на этот вопрос положителен. Действительно, рассмотрим
последовательность векторов
s»= 2 t^k (n=l,2,3, ...)•
Ь1

9. НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ И УРАВНЕНИЕ ЗАМКНУТОСТИ 33
Так как при п >т
1К-*»||2 = || 2
то в силу A3) последовательность {sn}f фундаментальна. На
основании полноты пространства Н она имеет предел *) h 6 Н.
Но в таком случае при любых натуральных р и q >p
(h, ер) = (h~sq, ер) + (sq, ep) = (h — sq, ep) + lv.
А так как
\(h—sq, ep)|<l|A — SgH,
то
lim (h—sq, ep) = 0
q-*oo
и, следовательно,
(h,ep) = lp (p = 1,2,3,...).
Рассмотрим тот же вопрос, но применительно к обобщенному
неравенству Бесселя A1), связанному с последовательностью век-
векторов (9).
Пусть дана последовательность чисел {ib}f, для которой
S №\М<<М (п=1,2,3, ...), A4)
3,ft=l
где J < оэ от п не зависит. Докажем, что в таком случае суще-
существует вектор h 6 Н такой, что
(h, gp) = lp (p=l,2, 3, ...). A5)
Если бы требовалось удовлетворить только конечному числу q
равенств A5):
(h,gp) = lP (p=l, 2,3, ..., q),
*) Сходимость в Н последовательности {sn}f позволяет говорить о схо-
сходимости в Н ряда
Не мешает заметить, что сходимость в Н любого ряда
где
(/!./*) = 0 (/^=ft),
эквивалентна сходимости числового ряда
Il/lll2+l|
3 н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

34 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
то искомый вектор можно было бы построить непосредственно,
а именно, по формуле
/«=2B pjfb)ft.
j= 1 h = 1
Действительно, при р<<7 мы имели бы с учетом A0):
Заметим также, что при р<!<7
(/p,/g)=( i
Поэтому
г',ь=1 г, ь=1
Отсюда мы видим, что левая часть неравенства A4) при возраста-
возрастании п не убывает, а потому стремится к пределу. Но в таком слу-
случае из A6) следует, что последовательность {fn}f фундаментальна
и, значит, имеет предел h ? Н. Для этого предела, как и выше,
найдем, что
(h, gp)= lim (fn, ?p) = ?p (p= 1, 2, 3, .. .)•
10. Полные ортогональные системы векторов в Н. Между векто-
векторами ортонормированной системы не может быть линейных зави-
зависимостей. Поэтому в евклидовом пространстве п измерений всякая
ортонормированная система векторов содержит не более п век-
векторов.
Будем называть ортонормированную систему М полной в Н,
если система М не является истинной частью некоторой ортонор-
ортонормированной системы в Н. Вообще систему векторов N (не обяза-
обязательно ортонормированную) назовем полной, если в Н нет отлич-
отличного от нуля вектора, ортогонального каждому вектору системы N.
В евклидовом пространстве п измерений любая ортонормиро-
ортонормированная система из п векторов является полной.
В гильбертовом же пространстве полные ортонормированные
системы содержат бесконечное число элементов и возникает вопрос
о мощности этих систем.
Этот вопрос решается просто для сепарабельных пространств.
С них мы и начнем.

10. ПОЛНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ В Н 35
Теорема 1. Если пространство Н сепарабельно, то всякая
ортонормированная система векторов в нем является конечным
или счетным множеством.
Доказательство. Пусть
fu /2. /з. ••• A)
— счетное множество векторов, плотное в Н, и пусть М — задан-
заданное множество попарно ортогональных и нормированных векто-
векторов. Докажем, что М можно перенумеровать. Пусть е ? М. Най-
Найдем в A) какой-нибудь вектор ft,, для которого
|| е-/* II < у 1^2- B)
Пусть аналогичным вектором для e'gM будет fh-- Докажем, что
кфк', если ефе'. Действительно,
и, значит,
так что
и, следовательно, fk- Ф fh, т. е. k' ф k.
Таким образом, с помощью соотношения B) мы можем каждому
вектору из М отнести натуральное число, и различным векторам
из М относятся различные натуральные числа. Тем самым счет-
ность множества доказана.
Наличие в некотором пространстве Гильберта несчетного мно-
множества векторов, попарно ортогональных и нормированных, являет-
является признаком того, что пространство не сепарабельно. Один важ-
важный пример этого рода ниже будет нами рассмотрен (см. п° 15).
Теорема 2. Полнота в Н бесконечной последовательности
векторов имеет место в том и только в том случае, когда эта после-
последовательность векторов замкнута в Н.
Доказательство. Не будет нарушением общности, если
мы примем, что данная последовательность векторов ортонорми-
рована. Обозначим ее
0ц е2, ез, •. • . C)
А. Пусть система C) замкнута в Н. Это значит, что для всякого
вектора из Н имеет место уравнение замкнутости. Допуская, что
система C) не полна, обозначим через h какой-нибудь отличный
от нуля вектор, ортогональный всем векторам C). Таким образом,
(h, еь) = 0 (k = 1, 2, 3, . . .), и уравнение замкнутости для h
3*

36 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
приводит к противоречию
О ф || h |Р = 0.
В. Предположим теперь, что система C) полна. Возьмем про-
произвольный вектор h ? Н и рассмотрим последовательность век-
векторов
и
sn= 2 (h,eh)ek (n=l, 2, 3, ...)•
1
Она (см. п°9) фундаментальна, а значит, сходится к некоторому
вектору. Пусть g— ее предел. Тогда
(g, eh) = lim (sn, ek) = (h, eh) (k = 1, 2, 3, .. .)• D)
n-»oo
Кроме того, g принадлежит замыканию линейной оболочки после-
последовательности C) и, следовательно, для g имеет место уравнение
замкнутости
1Ы12= 2 lte.ek)|»=S l(A,ek)P. E)
Вектор ^ — h на основании D) ортогонален всем векторам после-
последовательности C). В силу предположенной полноты этой после-
последовательности вектор g — h поэтому равен нулю, т. е. g = h и E)
принимает вид
со
\(h,eh)\\
Мы доказали, что для произвольного вектора h ? Н имеет место
уравнение замкнутости. Тем самым доказано, что C) есть замкну-
замкнутая в Н последовательность.
Теорема 3. Пространство Н имеет полную ортонорми-
рованную последовательность в том и только том случае, когда
оно сепарабельно.
Доказательство. А. Пусть пространство Н сепара-
сепарабельно. Обозначим через N счетное множество векторов, плотное
в Н. Выбрасывая из последовательности N каждый вектор, кото-
который является линейной комбинацией предыдущих, и подвергая
полученную последовательность ортогонализации, мы получим
ортонормированную последовательность М. Эта последователь-
последовательность полна. В самом деле, пусть вектор h 6 Н ортогонален каждому
элементу последовательности М. Тогда h ортогонален каждому
вектору из N. При любом е >0 можно найти вектор / ? N, для
которого

10. ПОЛНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ В Н 37
Следовательно,
||А|Р = (А, А) = (А-/, А)<||А-/||-||А
и, значит,
В силу произвольности е > 0 это означает, что h = 0, чем и дока-
доказана полнота в Н ортонормированной последовательности М.
С. Допустим теперь, что в Н есть полная ортонормированная
последовательность C). Обозначим через N совокупность всех
линейных комбинаций
Yi">ei + \in>e2 +...+ у™еп (п = 1, 2, 3, ...),
где каждый коэффициент у™ имеет вид у^ = a^n) + ф(?\ причем
а/Г\ Р^и) — рациональные числа. Множество N счетно. Вместе
с тем для любого h ? Н и любого е > 0 можно сначала найти такое
п, чтобы
п
1 h- ^ (A, ek)eJ|<|
а затем можно числа (Л, ek) (k = 1, 2, . . ., п) заменить столь
близкими к ним числами y*k\ чтобы
Таким образом, в N будет найден вектор
/= S Л,
для которого
чем и доказана сепарабельность пространства Н.
Вопрос о мощности полных ортонормированных систем в сепа-
рабельном пространстве нами решен полностью: всякая полная
ортонормированная система в сепарабельном пространстве есть
обязательно бесконечная последовательность.
Теперь переходим к произвольным гильбертовым пространствам.
Прежде всего заметим, что, какова бы ни была мощность орто-
ортонормированной системы М, всякий вектор f имеет не более счетного
множества отличных от нуля проекций на элементы системы М.

38 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Действительно, это следует из того, что для любого набора
е', е", ет, . . . элементов из М имеет место неравенство
которое показывает, что множество всех отличных от нуля чисел
(/, е), е 6 М, можно перенумеровать.
Далее имеет место
Теорема 4. Всякие две полные ортонормированные системы
в пространстве Гильберта имеют одну и ту же мощность.
Доказательство нужно провести только для того
случая, когда пространство Н несепарабельно.
Пусть две ортонормированные системы М и N соответственно
мощности тип полны в Н.
Для каждого элемента f ? N найдется элемент е 6 М такой,
что (е, /) Ф О, так как в противном случае систему М можно было
бы пополнить элементом f. Найдя для элемента f указанный эле-
элемент е, отберем из N все элементы, не ортогональные е. Их будет
не более счетного множества. Обозначим их
(S) /l /2, .... /„ A<п<со).
Так как множество N несчетно, то в нем найдется элемент/', отлич-
отличный от элементов совокупности S и, следовательно, ортогональ-
ортогональный е. Возьмем в М элемент е', для которого (е', /')=т^0, и затем
отберем*из N все элементы, не ортогональные е' и не входящие
в S. Перенумеруем их
Неограниченное (трансфинитное) продолжение этого процесса при-
приведет нас к множеству совокупностей Sa с N, обладающих сле-
следующими свойствами:
1) каждый элемент из N входит в одну и только одну из сово-
совокупностей Sa;
2) каждой совокупности Sa отвечает некоторый элемент еа ? М,
причем различным совокупностям Sa, Sp отвечают различные
элементы еа, е§\
3) каждая совокупность Sa содержит не менее одного элемента
и не более счетного множества элементов.
Пусть р— мощность множества совокупностей Sa. Если каждая
совокупность Sa бесконечна, то по известной теореме теории мно-
множеств
Так как равенство

10. ПОЛНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ В Н 39
выполнено очевидным образом и в другом крайнем случае, когда
каждая совокупность Sa содержит всего один элемент, то и в общем
случае
С другой стороны, ясно, что
Поэтому
n<m.
Меняя ролями системы М и N, получим, что
Следовательно,
и теорема доказана.
Опираясь на эту теорему, примем следующее
Определение. Размерностью пространства Гильберта
называют мощность полной ортонормированной системы в нем.
Размерность подпространства G с Н можно уже не опреде-
определять. Что же касается произвольного линейного многообразия
L с Н, то под его размерностью понимают размерность подпро-
подпространства L.
Если два пространства Гильберта, Н и Н', имеют одну и туже
размерность, то они изоморфны в том смысле, что между их элемен-
элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, удов-
удовлетворяющее следующему условию: если элементам f, g ? Н соот-
соответствуют элементы f',g' ?Н', то 1) элементу af -\-fig соответ-
соответствует элемент af -f pg' и 2) скалярные произведения (/, g)n
и (/', g')n- равны между собой.
Действительно, поскольку пространства Н и Н' имеют одну
и ту же размерность, то они обладают полными ортонормирован-
ными системами одинаковой мощности. Установим как-нибудь
взаимно однозначное соответствие между элементами этих двух
ортонормированных систем и распространим это соответствие на
линейные оболочки рассматриваемых ортогональных систем так,
чтобы выполнялось условие 1). При этом условие 2) выполнится
автоматически, что позволит путем предельного перехода полу-
получить требуемое соответствие для всех элементов пространств Н, Н'.
Из доказанного, в частности, следует, что всякое сепарабельное
пространство изоморфно пространству /2.
То, что два гильбертовых пространства неодинаковой размер-
размерности не изоморфны, очевидно.

40 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Поэтому два абстрактных гильбертовых пространства (подобно
двум абстрактным евклидовым пространствам) отличаются друг от
друга только своей размерностью.
11. Пространство L2. Мы получим весьма важную реализацию
сепарабельного пространства Гильберта, рассматривая функции,
областью определения которых является любое измеримое множе-
множество положительной меры (конечной или бесконечной) на число-
числовой оси, плоскости или в евклидовом пространстве любого числа
измерений. Так как все дальнейшие рассмотрения не зависят от
того, какая из перечисленных областей определения функций
положена в основу, то примем, что этой областью является конеч-
конечный или бесконечный интервал (а, Ь) числовой оси. Обозначим
через L2 (а, Ь) (или просто через L2) совокупность всех измеримых
в (а, Ь) функций, квадрат модуля которых интегрируем в смысле
Лебега; при этом мы не считаем различными функции, которые
отличаются лишь на множестве меры нуль.
Так как
то из f (t), g (t) 6 L2 вытекает, что f (t) -f g (t) ? L2. Далее, каково
бы ни было число Я, из f (t) ? L2 вытекает, что Kf (t) ? IA Таким
образом, L2 есть линейная система, нулевым элементом которой
является функция, равная нулю почти всюду в (а, Ь). Эта линей-
линейная система становится метризованной, если скалярное произве-
произведение определить формулой
g)=\f(t)g(t)dt.
Существование интеграла, стоящего в правой части, является
следствием неравенства
|сф|<у|а|2 + ||Р|2.
Неравенство
К/.
в настоящем случае имеет вид
\
это неравенство было получено Буняковским (для интегралов
в смысле Римана).

II. ПРОСТРАНСТВО L2 41
Теперь мы докажем полноту L2, откуда будет вытекать, что
L2 является пространством Гильберта.
Пусть последовательность функций fn {f) ? L2 (n= 1, 2, 3, . . .)
фундаментальна, т. е. пусть
ь
lim
В силу этого условия существует бесконечная последовательность
натуральных чисел
&i</22< ... </гг< ...,
для которых
ь
J |/*т@-/*г@|яЛ<-|т (г=1, 2, 3, ...)¦
а
Из этого неравенства следует, что множество тех точек интервала
(а, 6), в которых
имеет меру, меньшую, чем ^. Значит, неравенства
выполняются одновременно на точечном множестве Is, дополнение
которого до интервала I = (а, Ь) имеет меру
Так как In cz In+1 с . . ., то существует предел lim In = I*
n-»oo
и mes (I\I*) = 0. Последовательность {fk @}^=i сходится равно-
равномерно в Is при любом s. Действительно, в 1Я
TV—1 TV—i

42 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Следовательно, {fur @ }r°= i сходится в I* (т. е. почти всюду в I).
Положим
ilimfkr(t) (tO%
\
\
lO (/61 —I*)-
Теперь примем во внимание неравенства
! /т @ - Ыг (О Г Л < II fm - /fcr If
Is(o)
где m, kT>JT (e), a I6 (а) есть Is, если интервал (a, b) конечен,
и есть пересечение Is П (—a. a) B противном случае. В Is (a) схо-
сходимость последовательности {fu {t)}T=i равномерна. Поэтому в
написанном интеграле законен предельный переход, и мы получаем:
\ \fm(t)-f(t)\*dt<e
Увеличивая а, получим
Is
где s — произвольно. Отсюда
Это значит, что fm -*--f ? L8, откуда следует, что f ? L2, и, в силу
произвольности е >0, доказано также, что
ь
lim \\fm(t)-f(t)\*dt = O.
a
Подчеркнем, что в процессе доказательства нами получен
следующий факт: если последовательность fn (I) 6 L2 (n = 1,2,
3,. . .) сходится к f(t) в метрике L2, т. е. \\ fn — / || -> 0 (п -> со),
/тго эта последовательность содерокит подпоследовательность
{fk @}"=i, которая сходится к f(f) почти всюду, и если из интер-
интервала (а, 6) удалить надлежащее множество сколь угодно малой
положительной меры, то в оставшемся множестве подпоследова-
подпоследовательность {fh @K^=i сходится к f(t) равномерно.
Заканчивая настоящий пункт, заметим, что пространство
L2(a, b) можно рассматривать как подпространство по отношению

12. ПОЛНЫЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ В L* 43
к L2 {alt bi), если а^а <С 6<6ь и, в частности, как подпро-
подпространство по отношению к L2(—со, со). Для этого нужно каждую
функцию из L2 (а, Ь) продолжить за пределы интервала (а, Ь),
полагая ее равной нулю вне (а, Ь).
Отметим также, что сходимость в метрике пространства L2
называют сходимостью в среднем и пишут
если
A. i. m. означает limes in medio, т. е. предел в среднем).
12. Полные ортонормированные системы в IA В настоящем пункте
мы покажем, что в пространстве L2 относительно конечного или
бесконечного интервала имеются полные ортонормированные после-
последовательности. Отсюда в силу теоремы 3 п° 10 будет вытекать,
что пространство L2 сепарабельно. Это последнее обстоятельство
можно было бы доказать и непосредственно. Действительно, опи-
опираясь на определение интеграла Лебега, нетрудно доказать, что
линейная оболочка функций, равных нулю вне конечного интер-
интервала (своего для каждой функции) и равных единице в этом интер-
интервале, плотна в L2. Отсюда сепарабельность L2 получается немед-
немедленно.
А. Начнем с пространства L2 @, 2л). В этом пространстве
функции
¦y=re*M (±k = 0, 1, 2, ...)
образуют ортонормированную систему. Это — тригонометрическая
система. Желая доказать ее полноту, допустим, что существует
функция / (t) 6 L2 @, 2л), для которой
2л
-iktdt = 0 (±& = 0, 1, 2, ...)• A)
Из соотношений A) при помощи интегрирования по частям сле-
следует, что функция
F{t)=\f{f)dt

44 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
удовлетворяет равенствам
2л
0 (±? = 1,2,3,...), B)
какова бы ни была константа С. Эту константу подберем так,
чтобы равенство B) имело место и при k = 0. Мы получили непре-
непрерывную функцию
и, следовательно, по известной теореме Вейерштрасса, при любом
е > 0 можно найти такую тригонометрическую сумму
о@= 2
ЧТО
Поэтому, используя соотношения B), будем иметь:
2л 2л
VTn/lb
откуда
2л
В силу произвольности числа е > 0 это значит, что Ф {t) = 0,
т. е. F (t) = С, и, следовательно f {t) = 0 почти всюду. Таким
образом, полнота тригонометрической системы доказана.
В. Возьмем пространство L2(a, Ь), где (а, Ь) — произволь-
произвольный конечный интервал. Последовательность функций
1, t, t\ ... C)
образует полную систему в этом пространстве.
Действительно, пусть функция f(t)?L2(a, Ь) удовлетворяет
соотношениям
ь
\ f(t)thdt = O (k = 0, I, 2,

12. ПОЛНЫЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ В L2 45
Из этих соотношений интегрированием по частям получаются
равенства
ъ
dt = O (k = 0, I, 2, ...),
где
F(t)=\f(t)dt.
Применяя к непрерывной функции F (t) теорему Вейерштрасса,
мы, как и выше, найдем, что F (t) = 0, а значит, и f {t) = 0.
Из доказанной полноты последовательности функций C) сле-
следует полнота в L2 (а, Ь) любой последовательности {Ph {f)}™, где
Pk @ — многочлен точно k-и степени. В частности, будет полной
последовательность многочленов, которые получаются из C)
с помощью ортогонализации. Эти ортогональные многочлены носят
название многочленов Лежандра и могут быть представлены в виде
h df< ( ' ' ¦¦")>
где Cft — некоторые положительные постоянные. Обычно эти много-
многочлены рассматривают при а = — 1, 6=1.
С. Рассмотрим пространство L2 (—со, со). Путем ортогонали-
ортогонализации системы
B <2 B
е~ 2, te~\ ре'1, ...
мы получим последовательность функций Чебышева — Эрмшпа
фЛ(9 = (-1)*е1*^=як(*)<П* (k = o, 1, 2, ...),
где Hk (f) — многочлен степени k, так называемый многочлен
Чебышева — Эрмита. Функции Чебышева — Эрмита удовлетво-
удовлетворяют соотношениям
и, следовательно, ортогональны, но не нормированы.
Докажем, что последовательность функций Чебышева — Эрмита
полна.

46 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Пусть для некоторой функции f (t) ? L2 (— со, со)
f(f)<pk(t)dt = O (k = 0, 1, 2, ...)
или, что то же самое,
~ 0 (& = 0, I, 2, ...)• D)
Введем функцию
ос _B
= \ f{t)e 2eitzdt,
которая, очевидно, имеет смысл при любом конечном комплекс-
комплексном г. Эта функция F (г) всюду в комплексной плоскости имеет
конечную производную
оо _tJ
F'(z)= J itf(t)e 2eitzdt.
Следовательно, F (z) есть функция голоморфная всюду на конечном
расстоянии.
А так как в силу D)
Clt — U ytZ — Uj X т j?j «..^j
то F (z) есть тождественный нуль. Поэтому
оо ^2
\ f(t)e Zeitxdt — O (— со<;х<со).
—оо
Умножая это равенство на e~ixy, где у вещественно, и интегрируя
по х от —со до со, получим равенство
t
справедливое для любых вещественных у и со. Отсюда, как дока-
доказывается в курсах анализа, следует, что f (f) = 0 почти всюду.

13. БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ В Н
47
D. В пространстве L2 @, со) мы имеем ортонормированную
систему функций Чебышева — Лагерра
1>й(9 = -?ге~*Ы9 (k = 0, 1, 2, ...),
где Lh (f) — многочлен Чебышева — Лагерра, который определяется
формулой
Ы0 = е'|й(**г') (k = 0> Ь 2' ¦¦•)•
Полнота этой системы может быть доказана на основании пол-
полноты системы Чебышева — Эрмита. Предоставляем это читателю.
13. Биортогональные системы векторов в Н. Пара последователь-
последовательностей {/й}?°, {gft}f из Н образует биортогональную систему, если
(Л. gh) = 8jh (/, k= 1,2,3, ...)¦
Условимся для краткости называть каждую из последовательно-
последовательностей {/й}^°, {gh}? биортогонально сопряженной с другой из них.
Не следует думать, что для произвольно взятой последователь-
последовательности векторов, между которыми нет линейных зависимостей,обя-
зависимостей,обязательно найдется биортогонально сопряженная последователь-
последовательность. Например, в пространстве L2 @, 1) последовательность
функций {/ь}?° не имеет биортогонально сопряженной последова-
последовательности. В самом деле, если'бы такая последовательность {gk {t)}f
существовала, то мы имели бы равенства
1
^gm(t)tmdt=l, A)
B)
Но из [B), в частности, следовало бы, что
1
\{gm(f)tm+1}tSdt=0 (/ = 0, 1, 2, ...)>
о
а эти равенства на основании полноты в X2 @, 1) последователь-
последовательности {#}?° возможны лишь при
что несовместимо с A).
Теорема. Последовательность векторов {fh}? имеет биор-
биортогонально сопряженную последовательность в том и только том

48 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
случае, когда ни при каком натуральном j вектор fj не принадлежит
замкнутой линейной оболочке остальных векторов
Л» Д. ¦ ¦ • » fj-ly fj+U ¦ • ¦ C)
Доказательство. Обозначим замкнутую линейную обо-
оболочку векторов C) через М^-, а замкнутую линейную оболочку всех
векторов fk (k = 1, 2, 3, . . .) через М.
Если при любом натуральном /
то, беря из ортогонального дополнения М 0 Му вектор gj, норми-
нормированный условием
мы, очевидно, найдем, что
и тем самым получим последовательность {gft}?°, биортогонально
сопряженную с {fh}™-
Обратно, если последовательность {gh}™, биортогонально сопря-
сопряженная с {fh}?, существует, то при любом / вектор fj не может
принадлежать замкнутой линейной оболочке №j векторов C),
так как в этом случае он был бы ортогонален вектору gj, который
ортогонален всем векторам C).
Теорема доказана.
Не мешает заметить, что для выполнения условия доказанной
теоремы, а именно неравенств
М^М (/=1, 2, 3, ...),
необходимо и достаточно, чтобы при каждом натуральном j была
отлична от нуля величина
6^ — lim Г V'' ^+1> '¦¦'?")
п-^со -I (/J+l> /J+2' •¦¦> In)
Доказательство. Согласно формуле E) п° 7 величина
Г (fit fj+l' ¦ • •' In) К2 /„\
T(fuvfu» —.М ~ j( '
представляет квадрат расстояния точки 'fj от линейной оболочки
элементов ^-+1, fJ+z, . . ., fn. Отсюда следует, что при каждом j
величина 8^ (п) монотонно убывает при возрастании п, а потому
предел D) существует.

13. БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ В Н 49
Если fj ? №j, то тем более fj не принадлежит замкнутой линей-
линейной оболочке векторов
/.7+1' /j+2. • • • »
и поэтому 6^ Ф 0.
Пусть, обратно, bj ф 0 для любого /. При / = 1 это неравен-
неравенство означает, что fx ? М4. При / = 2 оно означает, что f2 не при-
принадлежит замкнутой линейной оболочке векторов
а так как вектор fz не связан линейно с вектором fb то из б2 ф 0
следует, что /2 € М2. Продолжая это рассуждение, найдем, что
fj ?№j при любом натуральном /.
Таким образом, утверждение доказано.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий доказанную теорему.
Каким условиям должна удовлетворять бесконечная последо-
последовательность натуральных чисел
Г\ < Г 2 <. ¦ ¦ . <. Гп < • • •.
чтобы последовательность функций
t>\ P\ ..., fn, ... E)
обладала в L2 @, 1) биортогонально сопряженной последователь-
последовательностью?
В данном случае вычисление величины б| (л) затруднений не
представляет и дает *)
чоо-*^ П
J
Для выполнения условий
^ (/=1, 2, 3,
необходимо и достаточно, чтобы
оо
Так как согласно известной теореме Мюнца **) условие F) необхо-
необходимо и достаточно, чтобы последовательность E) была неполной
*) См., например, Н. И. А х и е з е р, Лекции по теории аппроксима-
аппроксимации, «Наука», 1965, стр. 28—30.
**) Там же, стр. 53.
4 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

50 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
в L2 @, 1), то, таким образом, последовательность E) имеет биор-
тогонально сопряженную последовательность в L2 @, 1) в том
и только том случае, когда эта последовательность неполна в L2 @, 1).
14. Пространство L%. Пусть дана неубывающая функция ограни-
ограниченного изменения о (t) (—со < t <C со). Примем, что она норми-
нормирована при помощи соотношения
Такие функции о (t) часто называют функциями распределения.
С помощью этой функции можно построить меру, аналогичную
мере Лебега и отличающуюся от нее тем, что в качестве длины
интервала [а, Ь] (а< Ь) *) принимается не число Ь — а, & число
о F + 0) — а (а). Таким образом, теперь некоторые точки могут
иметь отличную от нуля длину (точки скачков о (t)) и некоторые
интервалы — длину, равную нулю (интервалы постоянства о (t)).
Введенную длину называют о-длиной; с ее помощью строят а-меру,
о-измеримые функции и интеграл Лебега — Стилтьеса. После
этого определяется линейная система всех о-измеримых функций
f (t), для которых существует интеграл Лебега — Стилтьеса
В метрике, порождаемой скалярным произведением
(А ?)=
эта линейная система обладает полнотой и, следовательно, является
гильбертовым пространством, которое называют L^. Эта полнота
доказывается дословно так же, как и полнота L2, доказанная
в п° 11.
Особое значение имеют характеристические функции, т. е.
функции, равные единице в некотором интервале конечной и отлич-
отличной от нуля 0-длины и равные нулю вне такого интервала. При
этом несобственные интервалы мы не исключаем. С помощью обыч-
обычных в теории интеграла Лебега рассмотрений доказывается, что
линейная оболочка совокупности всех характеристических функций
плотна в L%. При этом можно ограничиться характеристическими
функциями счетной системы интервалов, все левые концы кото-
которых, а также правые, образуют плотное множество на числовой
*) При b = а мы получаем несобственный интервал — точку.

14. ПРОСТРАНСТВО L§ 51
оси. Опираясь на это, легко доказать сепарабельность простран-
пространства Lo.
Другой факт, тесно связанный с рассмотрением характеристиче-
характеристических функций, состоит в следующем: если функция F (t) о-изме-
рима и если при любом х из плотного на всей оси множества
F @ do @ = 0, A)
то F (t) равняется нулю всюду, кроме, быть может, множества
о-меры нуль.
При F (t) ? Lo это утверждение следует из того, что левая
часть A) есть скалярное произведение функции F (t) и характе-
характеристической функции интервала @, х) (или (х, 0), если х<0).
Поэтому F @ ортогональна ко всем характеристическим функциям,,
линейная оболочка которых плотна в L^, и следовательно, F (t}
должна равняться 0 всюду, кроме, быть может, множества о-меры 0.
Большой интерес представляет случай, когда функция распре-
распределения о (t) такова, что существуют все интегралы
оо
Sft= J thdo{t) (k = 0, 1, 2, ...).
— оо
Эти интегралы в силу механических соображений называют момен-
моментами *) функции распределения о (t). Если о (t) имеет лишь конеч-
конечное число точек роста, то интегралы Стилтьеса переходят в конеч-
конечные суммы. Мы предположим, что этот случай, не представляющий
для нас интереса, исключен.
Ортогонализуя в L^ последовательность
получим последовательность многочленов {Ph (t)}™ (где Ph (t) —
многочлен точно степени k), которые удовлетворяют соотношениям
Эти многочлены носят название ортогональных и нормированных
многочленов относительно функции распределения о (t). Если
функция о (t) абсолютно непрерывна и
*) Отметим, что задача об отыскании функции a (t) no ее моментам
(k — 0, 1,2,...) носит название степенной проблемы моментов.

52 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
то написанные соотношения принимают вид
Pb(t)Pm(t)w{t)dt = 8km.
В этом случае говорят, что многочлены Ph (t) ортогональны и нор-
нормированы относительно веса w (t).
Например, многочлены Чебышева — Эрмита ортогональны (но
не нормированы) относительно веса e~f2 (—оо < t <C со).
Если интервал ортогональности конечен (т. е. о (t) — постоян-
постоянная при Каи при t > b), то последовательность
1, t, t\ ... B)
полна в L'o, а значит, ортогональные многочлены
Ро(О. Pi(t), P*(t), ... C)
образуют полную систему. Действительно, пусть существует функ-
функция ф (t) ? L%, для которой
Интегрируя по частям, найдем, что
ь
jj Ц(х)хЫх = 0 (/ = 0,1,2,...), D)
а
где
Здесь г|) (х) есть ограниченная функция, и потому принадлежащая
L2 (а, Ь). На основании полноты в L2 (а, Ь) последовательности
функций B), из D) следует, что
¦ф (х) = 0
почти всюду в (а, Ь). Отсюда и вытекает, что ф (/) = 0 в метрике L%.
Если интервал ортогональности бесконечен, то полнота систе-
системы многочленов C) может не иметь места.

15. ПРОСТРАНСТВО ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 53
Ограничимся рассмотрением одного примера, который принадлежит
Гамбургеру *). Возьмем интервал @, оо) и докажем, что ортогональные мно-
многочлены относительно веса
я VT
w(t)=e 1п2'+я2
представляют неполную систему. С этой целью рассмотрим функцию
lnf
V
которая, очевидно, удовлетворяет соотношению
lg{t)pw(t)dt<ao.
и
I
о
докажем, что
оо
\ thg(t)w(
0
Действ ител ьно,
°° lnt-я
t'<g(t)w(t)dt=\ t"e ln2t+
00 1-+-г VT
0
Яг-j-oo 1-4-1^/2
Vt
oo
— сю
(ft=0, 1,
(A=0,
r In r-j-it
12^+Jt2
oo ^
— oo
2,...).
1, 2,
dt—
(ft+l);
—l)h+i dx=0
15. Пространство почти-периодических функций. Рассмотрим мно-
множество всех функций вида ет (— оо <; t < оо), где параметр X
пробегает все вещественные значения. Буквой L обозначим линей-
линейную оболочку этого множества, т. е. совокупность всех «полино-
«полиномов» вида
Пополним L пределами всех равномерно сходящихся на оси
— оо<;^<;оо последовательностей таких полиномов. Мы получим
тогда некоторое множество В непрерывных на всей вещественной
*) См. Н. Hamburger, Beitrage zur Konvergenztheorie der Stiltjes-
schen Kettenbruche. Math. Z., 4 A919), 186—222.

54 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
оси функций. Как впервые показал Г. Бор, непрерывная на
всей оси — оо <С t < оо функция f (t) принадлежит В в том
и только том случае, когда она почти-периодична. Это означает, что
при любом е > 0 найдется такое 1 = 1 (е), что в каждом интер-
интервале длины / лежит по крайней мере одно число т, для которого
Линейную систему L можно метризовать, определяя скаляр-
скалярное произведение двух полиномов
т п.
/@=2 W, g«)= 2^iiv
r=l s=l
формулой
= lim 2i ArBs -of
Г, S=l — 1
где
Пополняя L в метрике, порождаемой этим скалярным произ-
произведением, мы придем к некоторому гильбертову пространству В2,
которое, как легко заметить, содержит В в качестве линейного
многообразия.
Пространство В2 не сепарабельно. Это следует из того, что
в В2 имеется континуум попарно ортогональных и нормированных
векторов еш (—оо < % <оо), а в пр 10 было показано, что в сепа-
рабельном пространстве всякая ортонормированная система содер-
содержит не более счетного множества векторов.
16. Понятие о базисе пространства. Если в пространстве Банаха Е
имеется такая последовательность векторов {ffc}?°, что любой век-
вектор f ? Е однозначно представим в виде *)
/= 2 <Wft = lim 2 ckfh,
h=l n-»oo h=j
то последовательность векторов {fh}™ называется базисом про-
пространства Е.
*) Сходимость, конечно, в метрике пространства Е.

16. ПОНЯТИЕ О БАЗИСЕ ПРОСТРАНСТВА 55
Из приведенного определения следует, что необходимым усло-
условием для существования базиса является сепарабельность про-
пространства Е.
Отметим, что если последовательность {fk}J° cz E не содержит
линейно зависимых элементов и полна в Е, то отсюда еще не сле-
следует, что эта последовательность является базисом.
Возьмем, например, пространство С непрерывных функций
f (t), 0<^<1, с нормой iff ||= max If @ I- Последовательность
OStSl
степеней {th}™ по теореме Вейерштрасса полна в этом простран-
пространстве, но базисом она не является, так как из представления
о
в метрике С следует аналитичность функции] / (t) при | t | < 1 •
Последовательность {th}™ не является базисом также в 1^@, 1).
В самом деле, пусть для функции f (t) 6 L2 @, 1) имеется разло-
разложение
жение
Умножим скалярно обе части этого равенства на функцию
Мы получим тогда при каждом s, 0<!s<;l, следующее равенство:
S оо
0 k=0
откуда вытекает аналитичность функции
при | s | < 1, а значит, и функции / (t) при | t \ < 1.
Вопрос о существовании базиса в любом сепарабельном про-
пространстве Банаха пока остается открытым *).
В сепарабельном пространстве Гильберта всякая полная орто-
нормированная последовательность векторов, очевидно, образует
*) Этот вопрос составляет так называемую проблему базиса. Понятие
базиса введено Ю. Шаудером, указавшим также первый пример базиса в про-
пространстве С. Базис Шаудера в С состоит из кусочно-линейных функций (см.
J. Schauder, Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen,
Math Z , 26, 1927).

56 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
базис. Это — так называемый ортонормированный базис. Справед-
Справедлива также следующая
Теорема. Пусть {fh)T — полная система векторов в гиль-
гильбертовом пространстве Н и пусть к™ и к™ — наименьшее и наи-
наибольшее собственные значения матрицы Грима
(<rf.k=i, aJh={fhtfj). A)
Если
lim к[% = Х>0
iim Аь? = з#< со,
n~>oo
то:
a) последовательность {fh}T является базисом в Н
и
b) существует и также является базисом в Н последователь-
последовательность {gk}?, биортогонально сопряженная с последовательно-
последовательностью {fh}?.
Доказательство. Заметим прежде всего, что благодаря
экстремальным свойствам собственных значений квадратичных
форм последовательность к^ (п = 1, 2, 3, . . .) не возрастает,
а последовательность к™ (п = 1, 2, 3, . . .) не убывает: Поэтому
всегда существуют
HmMn>0 и
и значит, в формулировке теоремы вместо нижнего и верхнего
пределов можно было взять просто пределы.
Обозначим теперь последовательные собственные значения
матрицы
fj, к=г
через
На основании упомянутых выше экстремальных свойств собствен-
собственных значений
Так как
А (/Г) /г+1> • • •> /П^ — Лгп Лгп . . . Лгп ,

16. ПОНЯТИЕ О БАЗИСЕ ПРОСТРАНСТВА 57
то из неравенств B), C) при выполнении условий теоремы сле-
следует, что
^-Г (/>, />+i, ..., fn) ~- у(
1 (/r+1. • • •> /rJ
Отсюда, на основании рассмотрений п° 13, заключаем, что после-
последовательность {fk}™ имеет биортогонально сопряженную после-
последовательность {gh}™-
Докажем неравенство
г г г
i 2 Iь\2< S fe*« ^) 1/Ек<^г 2 iEftр D>
h=l i, ft=l h=l
для любого натурального г и любых комплексных ?ft (?= 1, 2 ,. . ..
• • ., г).
Задавшись числами Еь Е2, • • •, 1г> введем вектор
/i=i
и применим к нему обобщенное уравнение замкнутости
lim 2 Р^1)(/;,Л)(А, /k) = ||A|p,
что возможно, так как последовательность {fh}™ полна. Здесь
(P^)j h=i — матрица, обратная матрице A). Благодаря нашему
выбору вектора h это уравнение принимает вид
2 pS?l&=-.2 te*gj№b>
где
gft = 0 (fe = r+l, r + 2, ..., n).
Так как все собственные значения матрицы A) лежат в интер-
интервале \Х, М \, то все собственные значения обратной матрицы (р^)", h=i
г 1 1 1
лежат в интервале -«, -s и, следовательно,
Переходя к пределу по п, мы получим, что
ii ibi'<«jn S P^I^<i
h=J n~>oc i, ft=J /
а это и есть неравенство D).

58 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Докажем теперь, что последовательность {gh}™ является бази-
базисом пространства Н.
Если некоторый элемент h 6 Н представим в виде
Л=2Ь#Л, E)
то, умножая обе части этого равенства на fj, получим
lj = (h, fj), E')
откуда следует единственность представления E). Остается дока-
доказать возможность представления любого элемента h ? Н в виде E).
Взяв элемент h 6 Н, определим числа ?_,- (/ = 1, 2, 3, . . .
формулами E') и построим ряд
21/^. • F)
Из неравенства D) и обобщенного неравенства Бесселя для эле-
элемента h следует сходимость числового ряда
оо
Sit 12
I &Л >
i=i
а отсюда и из неравенства
p+S p+S
p+S
вытекает сходимость построенного ряда F).
Обозначим сумму ряда F) буквой g. Тогда
(g—h, /ft) = 0 (k = \, 2, 3, ...),
¦откуда в силу замкнутости системы {fft}f следует, что g = h,
и представление E) доказано.
Таким образом, последовательность {gh}? является базисом
пространства Н. Отсюда, в частности, следует полнота последова-
последовательности {gh}™ в Н.
Для завершения доказательства теоремы остается показать,
что данная последовательность {fk}%° также является базисом.
Так как все собственные значения матрицы A) лежат в интер-
интервале [X, <М\, то при любом натуральном п и любых числах щ
<&=1, 2, . . ., п) будет
х 2 И* |2< 2 (Д. h) ЧзЧи<л 2 I ч* !2- G)
Взяв элемент /г 6 Н, определим числа r]ft формулами

16. ПОНЯТИЕ О БАЗИСЕ ПРОСТРАНСТВА 59
и построим ряд
2 Wft-
h=l
Пользуясь неравенствами G), докажем, как и выше, сходи-
сходимость этого ряда, а пользуясь доказанной полнотой последователь-
последовательности {gh}f> установим равенство
оо
Л= 2 4hfh-
fc=l
Единственность этого представления очевидна.
Таким образом, данная последовательность {fh)T является
базисом пространства Н, и теорема доказана полностью.
Сделаем еще несколько заключительных замечаний.
Тот факт, что некоторая последовательность {fh}f a H является
базисом в Н, приводит к выводу, что каждому вектору h ? Н с помо-
помощью представления
оо
Л = ь2 Ыи (8)
можно однозначно отнести некоторую числовую последователь-
последовательность {ch}f, т. е. точку некоторого бесконечномерного простран-
пространства. Если базис {fh)T удовлетворяет условиям нашей теоремы, т. е.
при любом п и любых Ch (k = 1, 2, . . ., п) имеют место неравенства
П П Т1
ft=J j, h=i /i=J
то необходимым и достаточным условием для сходимости ряда (8)
является сходимость числового ряда
Ды2-
Таким образом, в рассматриваемом нами случае каждому эле-
элементу/г 6 Н относится точка {ck)T € ^2, и обратно. Взаимно одно-
однозначное отображение Н на /2, осуществляемое при помощи базиса,
будет, вообще говоря, не изометрическим. Последнее имеет место,
если базис ортонормированный. Вместо равенства Парсеваля,
которое получается в случае изометрического отображения, мы
получаем здесь двойное неравенство
оо оо
cft|2 @<^, g^<oo).
Заметим, что базисы, в которых имеет место это неравенство, назы-
называются базисами Рисса.

ГЛАВА II
ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ И ОГРАНИЧЕННЫЙ
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР
17. Функции точки. В элементах математики рассматриваются
два рода функций точки (трех- или n-мерного пространства): функ-
функции скалярные, значениями которых являются числа, и вектор-
функции, которые точкам пространства относят снова точки того
же или иного пространства.
В настоящей книге мы будем изучать функции точки в про-
пространстве Гильберта. В соответствии с указанным разделением
функций элементарного анализа на скалярные функции и вектор-
функции мы введем в Н так называемые функционалы и операторы.
Приведем относящиеся сюда определения.
Пусть в пространстве Н дано некоторое точечное множество D.
Всякую функцию Ф, которая каждой точке f ? D относит опре-
определенное число Ф (t), называют функционалом в пространстве Н
с областью определения D.
Всякую функцию Т, которая каждому элементу f ? D относит
некоторый элемент Tf = g ? A s H, называют оператором *)
в пространстве Н с областью определения D и областью значений Д,
состоящей из всех g = Tf, где f пробегает все D.
Область определения функционала Ф и, соответственно, область
определения и область значений оператора Т обозначают Do и, соот-
соответственно, DT, Дт.
Тождественный оператор, т. е. оператор, переводящий каждый
вектор в себя, будем обозначать /. Оператор, переводящий каждый
вектор в нуль, обозначим 0.
Если оператор Т двум различным элементам из D относит
различные элементы, то Т имеет обратный оператор, который
элементам из Д относит элементы из D. Обратный оператор обо-
обозначают символом Т'1, таким образом,
Два функционала (или оператора) будем считать равными,
если совпадают их области определения и если на каждом эле-
*) Иногда приходится рассматривать также и такие функции, которые
элементам пространства Н относят элементы некоторого другого простран-
пространства Гильберта. Эти функции также называют операторами. У нас они будут
встречаться не часто.

17. ФУНКЦИЯ ТОЧКИ 61
менте из их области определения значения этих функционалов
{операторов) совпадают.
Если область определения DT оператора Т шире области опре-
определения Ds оператора S, т. е. Ds cz DT, и если
Tf = Sf
для любого элемента f ? Ds, то оператор Т называют расширением
оператора S и пишут
SczT.
Аналогично вводится понятие о расширении функционала.
Отправляясь от элементарного понятия о непрерывности функ-
функции, мы приходим к следующему определению непрерывности
оператора: оператор Т называется непрерывным в точке f0 (fo 6 Dt).
если
Hm77 = 770 (/GDT);
последнее означает, что при любом е > 0 существует такое б =
= б (е) > 0, что из
Н/-/оН<в. /GDt
следует
||77-7уо||<е.
Аналогично определяется непрерывность функционала.
Если элемент f0 не принадлежит DT, но существует lim Tf = g0
при f -v f о и f ? DT, то оператор Т можно определить на элемен-
элементе fo, полагая Tf0 = g0. Поступая точно так же со всеми элемен-
элементами того же типа, что и fo, мы приходим к так называемому рас-
расширению по непрерывности оператора Т. Это расширение однозначно
определяется оператором Т.
Аналогично определяется расширение по непрерывности функ-
функционала.
Оператор Т называется ограниченным, если в каждой сфере
'I f II < R выполнено неравенство
||771|<:Св<со (/GDT).
Аналогично определяется ограниченный функционал.
Дальнейшие понятия, относящиеся к функционалам и опера-
операторам, мы будем вводить ниже в связи с так называемыми линей-
линейными функционалами и линейными операторами, которые явятся
основным предметом нашего изучения.
Здесь же мы остановимся лишь на операторном аналоге функ-
функции от функции. Пусть даны два оператора: S и Т. Пусть об-
область значений второго оператора имеет общие точки с областью

62 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
определения первого (т. е. пусть множество Ат f) Ds непусто).
В таком случае можно говорить об операторе ST, который элемент
f переводит в элемент
= S(Tf).
Этот оператор ST носит название произведения операторов S и Т
и его областью определения является совокупность всех тех f ? DTr
для которых Tf ? Ds. Аналогично вводится произведение TS,
которое имеет смысл, если непусто множество As П DT. Разу-
Разумеется, операторы ST и TS, вообще говоря, различны, так как,
вообще говоря, различны их области определения, и если даже
существует элемент g, принадлежащий обеим областям опреде-
определения, то может не иметь места равенство
Дать разумное общее определение перестановочности двух
операторов затруднительно, и мы ограничимся здесь тем случаем,
когда из двух операторов S, Т по крайней мере один (пусть это
будет S) определен всюду в Н. В этом случае операторы S и Т
считают перестановочными, если
ST с= TS, .
т. е. если из включения f ? DT следует как включение Sf ? DT>
так и равенство
STf = TSf.
В частности, если оба оператора определены всюду в Н, то пере-
перестановочность эквивалентна равенству ST = TS.
18. Линейный функционал. Функционал Ф называется однородным
и аддитивным, если его область определения D есть линейное
многообразие и если
каковы бы ни были комплексные числа а, р и элементы f, g ? D.
Однородный и аддитивный функционал называется линейным,
если он ограничен. Легко видеть, что свойство ограниченности
для однородного и аддитивного функционала можно выразить
неравенством
sup |ф(/)|<со.
/ее ii/iKi
Стоящая в левой части этого неравенства величина носит назва-
название нормы функционала Ф и обозначается символом || Ф |Ь, а если
D = Н, то просто || Ф ||.

18. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ 63
Если f 6 D, то, по определению нормы функционала,
1фШИфн-
откуда
Соотношение A) показывает, что линейный функционал непре-
непрерывен. Действительно, в силу A)
для любых f, fo 6 D.
Из A) следует также, что в соотношении
где f 6 D и || f II < 1, знак равенства не может иметь места при
|| f || < 1. Поэтому норма || Ф |Ь может быть определена равен-
равенством
sup !Ф(/)| = ||ф||с B)
или, что то же самое, равенством
Если Ф, *F — два линейных функционала с областями опре-
определения Do, Dip, то аФ 4- Р4^, где а, р —¦ константы, является
также линейным функционалом, с пересечением D<d П Dip обла-
областей Do, Dip в качестве области определения (конечно, представ-
представляет интерес лишь тот случай, когда D<d f) Dip содержит точки,
отличные от f = 0).
Если функционал Ф однороден и аддитивен, и если он непреры-
непрерывен хотя бы в одной точке f0 6 D, то он ограничен, и поэтому
является линейным функционалом.
Действительно, в силу непрерывности функционала в точке f0
!Ф(А)-Ф(/о)|<6
при || ft — f0 II < е и h ? D. А так как для произвольного f ? D,
f Ф0,
_ II/II ф{ е/ ^_ II/I
а вектор -Дпу + f0 = h удовлетворяет соотношению \\h — f0 \\ =
= е, то

€4 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
иными словами,
I ф ШI ^ а
11/11 ^е '
что и доказывает наше утверждение.
Если линейное многообразие D, на котором задан линейный
функционал Ф, не замкнуто, то Ф можно расширить на замыкание
многообразия D. Это расширение, как легко видеть, приводит
к линейному функционалу с той же нормой, что и у исходного
функционала.
Легко привести примеры однородных и аддитивных, но не
ограниченных функционалов. В L2 (— оо, оо) таким примером
может служить функционал
оо
<b(f)=\ f{t)dt, C)
— оо
определенный на линейном многообразии D всех тех элементов
f ? L2 (— оо, оо), для которых правая часть C) имеет смысл.
Родственный пример в абстрактном сепарабэльном гильбертовом
пространстве Н представляет функционал
Ф(/)-=Пт(/, e
где {ek}™ — какой-нибудь ортонормированный базис в Н.
В обоих примерах область определения функционала плотна
в пространстве, но не совпадает со всем пространством. Однако
не следует думать, что неограниченность функционала (однород-
(однородного и аддитивного) не может иметь места, если он определен во
всем пространстве.
Доказательство этого утверждения мы проведем с помощью следующей
конструкции.
Возьмем единичную сферу *) S С Н и, пользуясь трансфинитной индук-
индукцией, перенумеруем все элементы этой сферы. Затем построим множество
McS, отнеся к нему первый элемент S, а затем последовательно каждый
элемент S, который не является конечной линейной комбинацией предше-
предшествующих ему элементов из М. Так как каждому элементу h ф О из Н отве-
отвечает элементу-т—т- h сферы S, то каждый элемент h ф О однозначно представим
в виде конечной линейной комбинации элементов из М. Теперь произвольно
выделим из М бесконечную последовательность элементов {gv,}?° и положим
Ф (ёп) = п, а на остальных элементах g ? М определим ф произвольным
образом. Кроме того, положим Ф @) = 0. В силу однозначной представи-
представимости любого элемента h ? Н в виде
m
Л=2 Cft^ (^ €М, m<oo),
*) В отличие от принятого в п° 4 определения, здесь под единичной сфе-
сферой понимается множество элементов /, для которых || / || = 1.

19. ТЕОРЕМА Ф. РИССА 65
функционал Ф по формуле
продолжается на все пространство. При этом он будет однородным и адди-
аддитивным, но не ограниченным.
19. Теорема Ф. Рисса устанавливает общий вид линейного функ-
функционала в Н и гласит: всякий линейный функционал в гильбертовом
пространстве Н имеет вид
где f —¦ некоторый элемент из Н, однозначно определяемый функ-
функционалом Ф; при этом
Доказательство. Обозначим через G множество всех
тех элементов g ? Н, для которых
В силу линейности функционала Ф это множество есть линейное
многообразие. Оно замкнуто и, значит, является подпростран-
подпространством. Действительно, если gn -»- g, то в силу непрерывности функ-
функционала
= lim O(gn);
поэтому из Ф (gn) = 0, т. е. из gn ? G вытекает, что Ф (g) = О,
т. е. gee
Если G = Н, то функционал Ф всюду равняется нулю, и для
доказательства теоремы Рисса надлежит принять f = 0. Пред-
Предположим поэтому, что G ф Н. В таком случае существует отлич-
отличный от нуля элемент f 0 ? Н © G. Рассмотрим элементы вида
Ф(А)/о-Ф(/о)А,
где h пробегает Н. Эти элементы принадлежат G, так как
Ф [Ф (А) /о - Ф (/о) А] = Ф (h) Ф (/0) - Ф (/0) Ф (h) = 0.
Следовательно,
(Ф(А)/о-Ф(/о)Л,/о) = О,
откуда
Если положим
f= Ф(/о)
5 Н. и. Ахиезер и И. М. Глазман

66 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
то из полученного равенства будет вытекать, что
Ф(А) = (А,/).
Это и есть требуемое представление функционала.
Докажем, что оно единственно. Допуская противное, придем
к равенству
(h,n = {h,n
верному для любого h ? Н, где f, f — два различных вектора.
Но это невозможно, так как стоит лишь взять h = f —• f", и мы
получим
Н/'-Л12 = о.
Остается доказать, что
Так как
то
и, значит,
ЦФКИЛ1-
С другой стороны, беря h = f, получим
откуда следует, что
Таким образом, теорема Ф. Рисса доказана.
Положим теперь, что в Н задан линейный функционал W с зам-
замкнутой областью определения D^. Так как D«p является подпро-
подпространством пространства Н, то по доказанной теореме Ф. Рисса
однозначно определяется такой элемент g ? D^, что
A)
Равенством A) линейный функционал W расширяется на все про-
пространство Н и притом без увеличения нормы *). Всякое другое
расширение линейного функционала W на все пространство Н уже
*) Так как всякий линейный функционал может быть расширен на все
пространство без увеличения нормы, то обычно, говоря о линейном функцио-
функционале в Н, принимают, что областью определения этого линейного функцио-
функционала является все пространство.

20. КРИТЕРИЙ ЗАМКНУТОСТИ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 67
увеличит норму функционала. Действительно, если Ф есть рас-
расширение W на все пространство, то
ф(А) = (А, /)
и
При h ? Dip должно иметь место равенство
(h,g) = (h,f)>
откуда видно, что f — g ± D^. А так как g ? D^, то
imi2=iigii2+n/-gii2
и, значит,
И ф II > II ^ Iliv.
причем знак равенства не имеет места, если f ф g.
20. Критерий замкнутости в Н заданной системы векторов. Систему
векторов М из Н называют, как было указано в п° 9, замкнутой
в Н, если любой вектор h ? Н можно с любой степенью точности
аппроксимировать линейной комбинацией векторов, принадлежа-
принадлежащих М.
Теорема. Для того чтобы система М была замкнутой в Н,
необходимо и достаточно, чтобы всякий линейный функционал Ф
в Н, обращающийся в нуль на любом векторе g ? М, равнялся нулю
тождественно.
Доказательство. Первая часть теоремы есть непосред-
непосредственное следствие непрерывности линейного функционала.
Чтобы доказать вторую часть теоремы, допустим, что система
не замкнута, т. е. существует такой вектор h0 6 Н. для которого
inf \\ho — a1g1—a2g2—...—angn\] = b>O (gt^M).
Обозначим через G замкнутую линейную оболочку системы М.
На основании п° 6 в G существует такой вектор g, что
||Ао-?|| = в.
Положим
так что f I G. Теперь возьмем функционал
норма которого равна || f \\ = 6 > 0. Этот отличный от нуля функ-
функционал обращается в нуль на любом векторе из G и, в частности,
на любом векторе из М.
Тем самым вторая часть теоремы также доказана.
5*

68 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
21. Одна лемма относительно выпуклых функционалов *).
Определение. Заданный в Н вещественный функционал
р (h) называется выпуклым, если
2) р(а/) = |
каковы бы ни были f, g ? Н и каково бы ни было комплексное
число а.
Из этого определения вытекает, что выпуклый функционал
не принимает отрицательных значений. Действительно,
Простым примером выпуклого функционала является р (h) =
= 11 h ||.
Лемма. Если выпуклый функционал р (h) полунепрерывен
снизу, т. е. для любого h0 6 Н и любого е > 0 существует такое
6 > 0, что
p(h)—p(ho)>—e
при || h — h0 || < 6, то найдется такая константа сМ<со, что
для любого h 6 Н
p(h)<C<M\\h\\.
Доказательство. Прежде всего заметим, что если
функционал р (h) не ограничен в единичной сфере (|| h \\ < 1),
то он не будет ограничен ни в какой сфере S (q, g) (g — центр,
q — радиус). Действительно, допуская, что р (К) < С при \\h —
— ё II < 6> найдем, что при \\ h — g \\ < q имеет место неравенство
-g)=-p(h)+p(g)<2C.
Следовательно, полагая
f —'
найдем, что
при f ?SA, 0), т. е. найдем, что функционал р (К) ограничен
в единичной сфере.
В силу свойства 2) нам достаточно доказать, что функционал
р (h) ограничен в сфере S(l, 0). Допуская противное, найдем
*) В настоящем пункте мы следуем И. М. Гельфанду. См. его статью
«Об одной лемме теории линейных пространств» (сообщ. Харьк. матем. о-ва,
сер. 4, т. XIII A936), стр. 35—40).

21. ЛЕММА О ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ 69
точку fi 6 S A, 0) так, чтобы р (fj) > 1. На основании полунепре-
полунепрерывности снизу функционала р (ft) найдется сфера S (дь fi) cz
с S A, 0) с радиусом Qi < -к-, во всех точках которой выпол-
выполняется неравенство р (ft)> 1. В силу неограниченности функцио-
функционала р (ft) в этой сфере существует точка f2 6 S (Qi, fi), а затем
и целая сфера S (q2, fi) cz S (Qb fi) с радиусом q2 <-g'Qi, в кото-
которых p (ft) > 2. Продолжая этот процесс, получим бесконечную
последовательность сфер
SA,0)z3S(q1,/1)z3S(q2,/2)z3...,
для которых Qn <-y6n-i (и = 1, 2, 3, . . .; q0 — 1), причем
р (ft) > п, если h ? S (gn, fn)- Но последовательность центров
{fn}f фундаментальна и, значит, сходится к некоторому элемен-
элементу f. При этом р {f)> п, каково бы ни было п, что невозможно.
Таким образом, лемма доказана.
Не мешает заметить, что эта лемма может быть сформулирована
еще так: если выпуклый функционал полунепрерывен снизу, то он
просто непрерывен. Действительно, при \\ h — h0 \\ < 6:
Следствие. Пусть pk (h) (k = 1, 2, 3, . . .) есть после-
последовательность выпуклых и непрерывных функционалов в Н. Если
эта последовательность ограничена в каждой точке h ? Н, то
р (h) = sup pn (h)
п
есть также выпуклый и непрерывный функционал.
Доказательство. То, что р (h) есть выпуклый функ-
функционал, очевидно. С другой стороны, при фиксированном h0 6 Н
и любом е > 0 можно найти ./V так, чтобы
р (ho) — pN (h0) < -у .
Затем можно найти такое 6 > 0, что
при ||ft — ft0 || < 6. Но в таком случае при || ft — fto
P(h) — p(fto)>suppn(ft)—pN(h0) — -|> PN(h) — p

70 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
и, значит, функционал р (ft) полунепрерывен снизу. Теперь остается
применить лемму.
Дадим два простых применения доказанных предложений.
На основании теоремы Ф. Рисса мы знаем, что всякий линейный
функционал в L2 (а, Ь) имеет вид
ь
Ф(А)=$ h{t)y{t)dt, A)
а
где ф (t) есть функция из L2 (а, 6), порождающая функционал
Ф .(А).
Теперь мы можем доказать, что если некоторый функционал
Ф (ft) определен всюду в L2 (а, Ь) при помощи формулы A), где
Ф (t) — какая-то фиксированная функция, о которой известно
лишь, что она измерима, то ф (t) ? L2 (а, Ь) и, значит A) есть
линейный функционал в L2 (а, Ь).
Этот факт является частным случаем более общей теоремы
Ф. Рисса *).
Для доказательства обозначим через Е„ множество точек
t ? [а, Ь], в которых
и которые принадлежат интервалу [—п, п], если интервал [а, Ь]
бесконечен. Далее, положим
Это есть непрерывный и выпуклый функционал в L2 {а, Ь). Так
как величина
ь
p(h)-=swpn(h) = \impn(h)^\ \h{t)V(t)\dt
а
конечна при любом h (t) 6 L2 {а, Ь), то в силу следствия леммы
функционал р (К) непрерывен, т. е. р (h) < аМ \\ h \\. Но | Ф (ft) | <
<!р (ft) и поскольку однородность и аддитивность функционала
Ф (ft) очевидны, то Ф (ft) есть функционал линейный.
Аналогичное предложение справедливо относительно простран-
пространства Р. Ограничимся его формулировкой.
*) Относящийся к пространству Lp при любом р > 1 (пространство
Lp (a, b) определяется как пространство функций, измеримых в (а, Ь), для
которых существует
\\f{*)\pdx).

22. ОГРАНИЧЕННЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР 71
Пусть некоторый функционал Ф (/) определен всюду в Р и притом
с помощью формулы
где {оа}~ есть какая-то фиксированная последовательность. В таком
случае
оо
<~ B)
и, значит, Ф (f) есть линейный функционал.
Иначе говоря, если ряд
2
А=1
сходится, какова бы ни была последовательность {л:А}~, удовле-
удовлетворяющая неравенству
то обязательно имеет место неравенство B).
Этот факт является частным случаем более общей теоремы
Э. Ландау *).
22. Ограниченный линейный оператор. Оператор Т называется
линейным, если его область определения D есть линейное много-
многообразие и
для любых f, g 6 D и любых комплексных а, р.
Подчеркнем, что, в отличие от определения линейного функ-
функционала, это определение не содержит требования об ограничен-
ограниченности оператора. Это связано с тем, что многие важные операции
анализа, например, операция дифференцирования, порождают
операторы неограниченные, но однородные и аддитивные, т. е.
линейные в смысле данного здесь определения.
*) Относящейся к пространству 1Р прн любом р > 1 (пространство lv
есть пространство числовых последовательностей {xi}f°, для которых схо-
оо
дится РЯД^ I xi \Р )•
1

72 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
В соответствии с общим определением ограниченности опера-
оператора (см. пр 17) линейный оператор Т назовем ограниченным, если
sup || Tf1|< со.
/ED, |l/|l$l
Стоящую в левой части этого неравенства величину называют
нормой оператора Т в D и обозначают символом || Т \\D или || Т \\.
Легко видеть, что на ограниченные линейные операторы пере-
переносятся положения п° 18, относящиеся к линейным функционалам:
1. Норма ограниченного линейного оператора Т может быть
определена равенствами
II' = SUP
/eo, 11/11=1 ¦ ¦ ¦ /eb i! / и
2. Ограниченный линейный оператор непрерывен.
3. Если линейный оператор непрерывен в одной точке, то он
ограничен.
4. Расширение по непрерывности ограниченного линейного
оператора Т приводит к линейному оператору с той же нормой,
что и у исходного оператора.
5. Если S и Т —- линейные операторы, то aS + $Т, где а, р —-
комплексные числа, является линейным оператором с пересече-
пересечением Ds П Dr областей Ds, Dr в качестве области определения.
Линейным оператором является также каждое из произведений
ST, TS (см. п° 17).
Если S, Т — ограниченные линейные операторы, определен-
определенные всюду в Н, то операторы ST, TS также являются ограничен-
ограниченными линейными операторами, определенными всюду в Н. При
этом
Линейный оператор Т в Н будем называть конечномерным,
если он ограничен и его область значений Ат есть конечномерное
подпространство Н.
Конечномерные операторы характеризуются следующим пред-
представлением:
?У= 2 (f,gk)hh, A)
ь=1
где п — размерность Ат, {Ль}" —¦ какой-нибудь базис в Ат,
a {gfc}" —- некоторая конечная система векторов, которые от f
не зависят.
Докажем нетривиальную часть этого утверждения, а именно,
что всякий конечномерный оператор Т допускает представле-
представление A). С этой целью выберем в Аг ортонормированный базис

23. БИЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ 73
{hh}™. При любом f 6 Н будем иметь равенство
г/= 2
ь1
где а^ —¦ числа, которые, очевидно, можно найти из соотношений
<zft = GY, Aft).
Таким образом, а& являются линейными функционалами от f и, сле-
следовательно, по теореме Ф. Рисса найдутся элементы gh (k =
= 1, 2, . . ., п), через которые ah представимы в виде
«ft = (/, gh).
Одномерные операторы, входящие в правую часть A), запи-
записываются также в виде (•, gh) hh, что приводит к следующему виду
представления A):
Т= 2 (-,gk)hh.
В заключение настоящего пункта введем понятие ортогональ-
ортогональной суммы операторов. Пусть гильбертово пространство Н пред-
представлено в виде ортогональной суммы своих подпространств:
и пусть в подпространстве Н4 задан оператор Ти а в подпростран-
подпространстве Н2 — оператор Г2, так что DTft ^ Hft и ATft s Hft (k = 1, 2).
Ортогональной суммой операторов 7\ и Тг называется оператор-
Т ф /*Г\ ГГ"
1 == 1 1 <ТУ ' 2>
определенный в Н на элементах вида h — f + g, где f ? DTl ^ Нь.
g 6 Dt2 s H2, формулой
ГА = Г,/+ Tag.
23. Билинейный функционал. Будем говорить, что в Н определен
билинейный функционал fi, если каждой паре элементов /, g ? Н
отвечает определенное (вообще говоря, комплексное) число Q (f, g),,
причем
а) . Q (а,Д + а2/2, g) = OlQ (/„ g) + a2Q (/2) g),
b) Q (/, Pig. + P2&) = PiQ (/, gi) + P2Q (/,
c) sup |Q(/,g)|<oo.
11/151 llllSl
Примером билинейного функционала является скалярное про-
произведение (f, g).

74 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Величина
sup |Q(/, g)\
носит название нормы билинейного функционала и обозначается
символом || Q ||.
Нетрудно убедиться, что
Поэтому для любых f, g 6 Н
Билинейный функционал есть непрерывная функция от своих
аргументов. Действительно,
Часто бывает полезно следующее простое предложение.
Теорема. Если комплексная скалярная функция ю (f, g)
удовлетворяет условиям
a) ю (aji + «2/2, g) = сцю (/ь g) + а2ю (/2, g),
b) и (/, Pigi + p2g2) = Pico (/, g.) + р2ш (/, g2),
c) |«(/,/)|<С[|/|р,
d) I со (/, g) I = I ш (g, Л I,
где С —константа, f, fi, f2, g, gi, g2 — произвольные элементы Н,
а аь а2, Рь Р2 — произвольные числа, то ю есть билинейный функ-
функционал с нормой ||ю|| <:С.
Доказательство. Непосредственно проверяется, что
в силу а) и Ь) *)
со(/, А)+ 10(А, /) = 4-{»(/+Л, f + A)-co(/-A, /-ft)}.
*
) Из этого равенства и аналогичного равенства
со(/, К)—со(й, /)=4-{со(/ + 'й. f + ih)—(x>(f — ih, f—ih)}
,в силу одного лишь условия с) следует, что со есть билинейный функционал
и притом с нормой ^2С. Благодаря же условию d) устанавливается, что
«орма со не превосходит С.

23. БИЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ 75
Значит,
A)
Пусть || /|| < 1, || ft || < 1 и h = Kg, где Я, — пока неопределен-
неопределенный параметр и |Я,| = 1; тогда A) дает
B)
Предположим, что ю (f, g) =^= 0, и пусть в согласии с d)
Тогда в силу B)
Полагая
найдем, что
le^ + le^^e 2 +е 2 =2е 2 ,
и, значит,
h(/, g)\<c (i|f||<i, ||g||<i),
что и доказывает теорему, так как при ю (f, g) = 0 это соотноше-
соотношение тоже верно.
Следствие. Если билинейный функционал fi удовлетворяет
условию
|fi(f. g)l = |fi(g. /)l
при любых f, g ?Н, то
Доказательство. В силу только что доказанной тео-
теоремы
p
а, с другой стороны,
i)i sup

76 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
24. Общий вид билинейного функционала.
Теорема. Всякий билинейный функционал Q (f, g) в Н
имеет вид
fi(/. g) = (Af, g), A)
где А есть ограниченный линейный оператор в Н, который одно-
однозначно определяется билинейным функционалом и для которого
1ИII = 11 а II-
Доказательство. То, что подлежащее доказательству
представление может быть только единственным, доказывается
совсем просто. Действительно, если бы для любых f, g ? Н
й(/. g) = (A'f, g), Й(/. g) = (A'f, g),
то при любых f, g g H мы имели бы соотношение
(A'f-A'f, g) = 0,
откуда
A'f-A'f = O,
т. е. А' = A".
Для доказательства представления A) зафиксируем f. Тогда
величина Q (f, g) будет линейным функционалом от g, определен-
определенным всюду в Н. Следовательно, по теореме Ф. Рисса (п° 19) суще-
существует элемент h, однозначно определяемый элементом f, для кото-
которого
или
при любом g ? Н. Каждому f g H соответствует свой элемент ft.
Значит, h = Af a
Так как
QfoiA-Wz, g) = a1Q(/1I g) + a2Q(/2, g),
то при любом g ? Н
(Л {aj/t + аг/2} - аИА - М/г, g) = 0.
Отсюда в силу произвольности элемента g ? Н
Л (aj/j + a2/2) = аИ/i + а2Л/2,
и линейность оператора Л доказана.

25. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР 77
Область определения оператора А есть все пространство. Далее,
так как
то
II q г - cm |R(f'g)l - suD-^'-^i- < sup №
»"I--SUP || /Ii-||?T II ""SUP II/INI ?ll ^ P И/II '
а, с другой стороны,
I W' g) I
Эти соотношения показывают, что оператор Л ограничен и что
25. Сопряженный оператор. Пусть А — ограниченный линейный
оператор, определенный всюду в Н.
Выражение
(/, Ag)
есть, очевидно, билинейный функционал от f, g с нормой \\А \\.
По доказанной в предьщущем пункте теореме однозначно найдется
ограниченный линейный оператор А*, определенный всюду в Н,
для которого
{f,Ag) = {A*f, g), A)
каковы бы ни были f, g 6 Н и || А* \\ = || А ||.
Итак, каждому ограниченному линейному оператору А, опре-
определенному всюду в Н, отвечает аналогичный оператор А*, с той же
нормой и такой, что для любых f, g 6 Н имеет место A). Этот опера-
оператор А* носит название оператора, сопряженного с А. Легко видеть,
что (А*)* = А** есть исходный оператор А.
Если А* = А, то оператор А называется самосопряженным
оператором и скалярное произведение (Af, f) при любом f 6 Н
вещественно.
Ограниченный линейный оператор А, определенный всюду в Н,
называется нормальным, если он перестановочен со своим сопря-
сопряженным, т. е. если
А* А = АА*.
Пусть А, В — два ограниченных линейных оператора, опре-
определенных всюду в Н. В таком случае
(ABf, g) = (Bf, A*g) = (f, B*A*g),
откуда следует, что

78 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Поэтому произведение двух ограниченных самосопряженных опе-
операторов есть самосопряженный оператор в том и только том слу-
случае, когда эти операторы перестановочны.
Теорема. Если А — ограниченный самосопряженный опе-
оператор, то
sup \(Af,g)\ =
n/llii|li i
Иными словами, для ограниченного самосопряженного опера-
оператора А
||Л|| = тах{|Л|, |Я.|},
где
Л= sup (Af, /),. %= inf (Af, f).
11/11=1 ||/|!=l
Доказательство. Билинейный функционал
V(f, g) = (Af, g)
удовлетворяет соотношению
Поэтому применимо следствие п° 23 и теорема доказана.
Если К > О, т. е. при любом f 6 Н имеет место неравенство
(Af, /)>0, то ограниченный самосопряженный оператор А на-
называется положительным; обычно это записывается в виде нера-
неравенства
Л>0.
Это понятие позволяет вводить неравенства между ограниченными
самосопряженными операторами и, в частности, рассматривать
монотонные последовательности таких операторов.
Отметим, что если А — положительный оператор, то для
любых f, g 6 Н
\(Af,g)\*<(Af,f)(Ag,g).
Действительно, форма (Af, g) порождает в этом случае квази-
квазискалярное произведение в Н (см. п° 3):
<Л g> = {Af, g).
и написанное неравенство есть просто неравенство Коши — Буня-
ковского.
Следующее простое предложение (лемма 1), основанное на рас-
рассмотрениях настоящего пункта, устанавливает общий вид ограни-
ограниченного линейного оператора, определенного всюду в L2.
Лемма 1. Каждому линейному ограниченному оператору Т
в L2 (—оо, оо) отвечает функция G (s, t), принадлежащая для каждого

25. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР 79
s?(—оо, оо) пространству L2( — оо, со) по переменной t и обла-
обладающая следующими свойствами:
1° для почти всех t
G@, 0 = 0;
2° для любого s ? (—оо, оо)
\ \G(s, t)\*dt<M*\s\,
•—оо
где М —• норма оператора Т;
3° для любой функции f (t) 6 L2 почти всюду на оси s
(s, t)f(t)dt.
Доказательство. Обозначим через es (t) функцию, рав-
равную sign s, если t лежит между 0 и s, и равную 0, если t не при-
принадлежит этому интервалу. В таком случае для любой функции
f @ 6 L2
eB) = (f,T*eB),
и поэтому T*es = Gs (t) = G (s, t), где G (s, t) есть та функция,,
существование которой утверждается леммой 1.
Функция G (s, t), как это вытекает из формулировки леммы 1,
может быть изменена при любом s на множестве меры нуль оси t.
Оказывается, что с помощью такого изменения можно получить
функцию, измеримую на плоскости. Это утверждение получается
как частный случай из следующего предложения.
Лемма 2. Пусть G (s, t) = Gs (t) как функция от t принад-
принадлежит L2 при любом s6 (—-°°, оо), и пусть для любой функции
f (t) 6 L2 интеграл
оо
[(s, t)f(t)dt B)
представляет измеримую функцию от s. В таком случае, изменяя
G (s, t) при каждом s на множестве меры нуль оси t, можно полу-
получить функцию, измеримую на плоскости s, t.
Полное доказательство этой леммы в настоящей книге не может быть
изложено. Мы приведем лишь схему доказательства, отсылая читателя
за обоснованием отдельных пунктов доказательства к книге Хнлле и Фнл-
липса «Функциональный анализ и полугруппы» (ИЛ, М., 1962). Прежде
всего заметим, что Gs (t) является вектор-функцией скалярного аргумента

80 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
s ? (—со, со). Условие об измеримости функции B), какова бы ни была
функция / (t) ? L2, означает так называемую слабую измеримость *) вектор-
функции Gs (t). Так как область значений вектор-функции содержится
в пространстве L2, а потому сепарабельна, то из слабой измеримости вектор-
функции Cs (t) следует ее сильная измеримость **). Последнее означает ***),
что существует последовательность счетно-значных ****) вектор-функций
fes"' @}Г н такое множество е меры нуль, что
Hm||G.—«in)ll=0 C)
71->ОО
равномерно при s ? (—со, co)\e. Заметим теперь, что каждая из функций
g(") (t) = g**1' (s, f) измерима по (s, ?), и возьмем произвольное множество
Е cz (—°°> оо)\с, имеющее конечную меру. Тогда из равномерности по s
соотношения C) будет следовать, что
lim \ \ \g{n'(s. t)—g<m>(s, t) pdsdt=O.
E — oo
Поэтому существует такая измеримая по (s, t) функция g (s, t), что при
любом множестве Е конечной меры
оо
л л
lim \ ds \ \g(s, t)—g^ (s, t)\2dt=Q.
n->oo tJ tJ
E —oo
С другой стороны, из соотношения
O(s, t)—g (s, t)\2dt*C
oo oo
— оо —оо
где каждый интеграл представляет измеримую *****) функцию от s, следует,
что
S, t) g(S,
oo
< 2 sup || Cs—g("> ||2 mes E+ 2 [ ds [ \g (s, t)—gin) (s, t) |2 Л.
sfE J J
*) См. Э. Хнлле и Р. Филлнпс, определение 3.5.4 A).
**) Там же, теорема 3.5.3, следствие 2.
***) Там же, теорема 3.5.3, следствие 1.
****) Вектор-функция gs (t) ^ L| называется счетно-значной, если она
принимает в L| не более счетного множества (векторных) значений и притом
каждое значение—на измеримом множестве оси s. См. цнт. книгу, опреде-
определение 3.5.2 C).
*****) В силу измеримости нормы измеримой вектор-функции с сепа-
рабельной областью значений. См. цнт. книгу, теорема 3.5.2.

26. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ В Н 81
Поэтому
оо
| ds \' |G(s, t)-g(s, 0[2Л=0.
Е -оо
Так как множество Е произвольно, то для почти всех s
оо
\ | G (s, t) — g (s, t) i2 dt=O,
—oo
и значит, для почти всех t при каждом из почти всех s функция G (s, f) совпа-
совпадает с измеримой по (s, t) функцией g (s, t). Отсюда и вытекает утверждение
леммы.
26. Слабая сходимость в Н. Будем говорить, что последователь-
последовательность векторов fh 6 Н (k = 1, 2, 3, . . .) слабо сходится к вектору /
и будем писать fh -*¦ f, если для любого /г ? Н
(/ ) (Д )
fc->oo
Аналогично вводятся понятия о последовательностях, фундамен-
фундаментальных в смысле слабой сходимости, и о слабой полноте.
Если последовательность -f/д}J° сходится к / в обычном смысле
(или, как мы теперь будем говорить, сходится сильно), т. е. если
(что мы будем по-прежнему записывать в виде fh ->¦ f), то она схо-
сходится и слабо к /, но обратного заключения сделать нельзя. В самом
деле, пусть {eh}%° — какая-нибудь бесконечная ортонормированная
последовательность векторов из Н. Так как для любого /г g H
со
21 {К ek)\*<{h,h)
(см. пс 8), то при любом h ? Н
Hm(eh, h) = 0.
fc->oo
Последовательность {е^}^, таким образом, сходится слабо к век-
вектору 0, но сильно эта последовательность не сходится, так как
и, значит, || ek — е, || не стремится к нулю при i, k ->- оо.
6 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазмаи

82 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ. ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Однако справедлива
Теорема 1. Если последовательность векторов {fk)T слабо
сходится к вектору f и если
fe-»oo
то
ft—>oo
т. е. последовательность {fk)T сходится и сильно к вектору f.
Д"о казательство вытекает из равенства
и f f 112 И f ||2 ' (f f\ (f f \ I II f 112
II/ft — /ll — ll/ft||—(/й. /) — (/. /й) + ||/|| ¦
Действительно, в силу условия теоремы
lim{|[/ft||2-(/ft, /)-(/, /й) + Н/!|2} = 0.
ft->oo
Важным свойством всякой слабо сходящейся последовательно-
последовательности векторов является ее ограниченность. Доказательство этого
свойства не представит никакого труда, если предварительно дока-
доказать следующее общее предложение.
Теорема 2. Если линейные функционалы Фи Ф2, Фз . ¦ ¦ ¦
в пространстве Н таковы, что при любом А (Е Н числовая последо-
последовательность {Фй (A)}f ограничена, то и последовательность норм
{II Ф/г 11}Г рассматриваемых функционалов ограничена.
Доказательство немедленно вытекает из леммы о вы-
выпуклых функционалах (пс 21). Действительно, положим
рп(А) = |Ф„(А)| (п=1, 2, 3, ...).
Это — выпуклые и непрерывные функционалы в Н. На основании
следствия упомянутой леммы выпуклый функционал
р (А) = sup pn (А)
п
также является непрерывным функционалом, т. е.
<М = sup р (А) < оо.
Следовательно,
||Фп||<^ (п = 1, 2, 3, ...),
и теорема доказана.
Следствие 1. Всякая фундаментальная в смысле слабой
сходимости последовательность {/>Jj° ограничена.
Действительно, каждый вектор fk порождает функционал
Ф/г (А) = (A, fk). Числовая последовательность {Фк (А)}™ при любом
А (Е Н в силу условия сходится, а потому ограничена. Теперь

27. КОМПАКТНОСТЬ 83
остается применить теорему 2 и принять во внимание, что || Фй || ==
= II h II-
Следствие 2. Пространство Гильберта обладает слабой
полнотой.
Доказательство. Если последовательность {fh)T Фун-
Фундаментальна в смысле слабой сходимости, то в силу следствия 1
найдется такое Л < оо, что
(k=l, 2, 3, ...)•
Поэтому существующий при любом h (Е Н
lim (h, fh)
h->oo
есть линейный функционал Ф Aг) с нормой *СсМ. По теореме Рисса
Ф (h) = (h, f), где f — некоторый элемент пространства Н. Этот
элемент и является слабым пределом последовательности {fk}™-
27. Компактность. Точечное множество называется компактным,
если из всякой принадлежащей ему последовательности можно
выделить сходящуюся подпоследовательность. В соответствии
с двумя типами сходимости (сильной и слабой) можно говорить
о компактности сильной (или просто компактности) и о компакт-
компактности слабой.
Весьма важная теорема анализа — теорема Больцано — Вейер-
штрасса — устанавливает, что в конечномерном пространстве
является компактным всякое бесконечное ограниченное множество
точек. Эта теорема оказывается несправедливой для пространства
Гильберта, если имеется в виду сильная сходимость. Чтобы в этом
убедиться, достаточно взять бесконечную ортонормированную
последовательность векторов {eh}f. Это множество ограничено, но
никакая его последовательность не является сильно сходящейся.
В связи со сказанным весьма замечательно, что имеет место
следующая
Теорема 1. Всякое ограниченное точечное множество в Н
слабо компактно.
Доказательство. Выберем какую-нибудь последова-
последовательность {gh)T точек, принадлежащих заданному ограниченному
точечному множеству, так что
||^|[<С<оо (k=l, 2, 3, ...)¦
Обозначим через L линейную оболочку множества {gji}f и положим
F = H0L.
Возьмем числовую последовательность
tei. gh) (k=l, 2, 3, ...). A)
6*

84 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Она ограничена, так как
Itei. gh)\<\\gi 11-11 gn\\<С2 (? = 1,2,3, ...).
Поэтому последовательность A) содержит сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность, иначе говоря, последовательность {g/Jf содержит
подпоследовательность {gik}h=i, для которой существует
lim (gi, gih).
ft->oo
Подобным образом, отправляясь от ограниченной числовой после-
последовательности
(g2, Ы- B)
заключаем, что последовательность {gih}T=± содержит подпоследо-
подпоследовательность {g2h}hLi, для которой существует
lim (g2,
fc->oo
Повторяя эти рассуждения, получим бесконечный ряд последова-
последовательностей:
^11» ^121 gl3i • • •)
^21) ^22) ^23) • • • )
^31» ^321 ^331 - - - )
каждая из которых является подпоследовательностью для предыду-
предыдущей. Диагональная последовательность
gib ?22) g33, • • • .
очевидно, обладает тем свойством, что при любом г существует
Hm {gT,
fc->oo
Отсюда уже вытекает, что
Hm (g,
существует сначала при любом g из L, а затем при любом g из L.
Если / е F, то
(f, ghk) = 0 (?=1,2,3,...)
и, следовательно,
lim (/,
ft-*-oo

27. КОМПАКТНОСТЬ 85
существует и в том случае, когда f ? F. Поэтому при любом h ? Н
lim (h, gkk)
fe->oo
существует.
Последовательность {ghkjkLu таким образом, фундаментальна
в смысле слабой сходимости. В силу слабой полноты пространства
эта последовательность слабо сходится к некоторому элементу
пространства Н, что и доказывает нашу теорему.
Теорема 2. Для слабой сходимости последовательности век-
векторов {gk}f необходимо и достаточно, чтобы
1) числовая последовательность
(gk, /) (k=l, 2, 3, ...)
сходилась при любом f из некоторого плотного в Н множества М,
2) последовательность {gh}? была ограничена, т. е. имело место
неравенство
\\gh\\<C<oo (k=l, 2, 3, ...).
Доказательство. Необходимость условия 1) очевидна.
Необходимость условия 2) указана в следствии 1 теоремы 2, пс 26.
Обратимся к доказательству достаточности приведенных усло-
условий. В силу теоремы 1 настоящего пункта из последовательности
{gh}f можно выделить некоторую слабо .сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность {gh.}iLi. Пусть g— слабый предел этой подпоследова-
подпоследовательности. По определению, при любом h ? Н
lim (Л, gh) = {h, g).
i_>oo
С другой стороны, при любом / 6 М существует
lim (/, gk).
ft-J-OO
Поэтому при любом f ? М
lim (/, gh) = (f, g)
ft->oo
и остается доказать (мы предоставляем это читателю), что написан-
написанное равенство имеет место при замене / любым элементом h ? Н.
В заключение пункта приведем один простой признак сильной
компактности.
Теорема 3. Пусть Н — сепарабельное пространство и
{е/{}™ — некоторый ортонормированный базис в нем. Пусть, далее,
М — некоторое ограниченное множество элементов f из Н и пусть,
наконец, при любом е > 0 существует такой номер п = п (в), что

86 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
для каждого / ? М
2
В таком случае множество М компактно.
Доказательство. Условившись для краткости обоз-
обозначать
/n). eh)eh,
возьмем какую-нибудь бесконечную последовательность элементов
{fj}f a M, а также монотонно стремящуюся к нулю последователь-
последовательность чисел е^ и последовательность соответствующих номеров
л/= n(Ej).
Рассмотрим последовательность элементов
x("l) x("l) f("l)
/1 t /2 i • • •) /m ) • • •)
являющихся векторами конечномерного, а именно nj-мерного про-
пространства. Так как эта последовательность представляет ограни-
ограниченное множество, то по теореме Больцано — Вейерштрасса она
содержит сходящуюся бесконечную часть, которую обозначим
г(П1) г(П1) r(ni)
/11 . /12 . - • ч /lm . • • •
Соответствующая часть последовательности {/j}f есть
/ll> /l2> • • • ) /lm> • • • C)
При этом
||;/lm — /lm IK-El (ГП —I, 4, О, . . .).
Теперь возьмем е2 и поступим с последовательностью C) так, как
ранее поступили с последовательностью {fj}^°. Мы получим после-
последовательность
/21> /22i • • • ) /2m> • • •)
являющуюся частью последовательности C), и сходящуюся после-
последовательность
ЛП%) г(П2) х(«2)
/21 . /22 . • ••. /2т, • ••
При этом будут иметь место неравенства
?#^ (m = l, 2, 3, ...)•

28. КРИТЕРИЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ ОПЕРАТОРА 87
Продолжая этот процесс до бесконечности, получим бесконечный
ряд последовательностей
/lli /j2» ¦ ¦ • > /lmi • • ¦ .
ft f
/21» /22» • * • » /2m» • • • j
Mli /fc2> • • ¦ 1 /hm
каждая из которых есть часть предыдущей. При этом для любых k
и i^ik, во-первых, сходится последовательность {f^}m=i и, во-вто-
во-вторых, имеют место неравенства
Д^ (т=1,2, ...). D)
Теперь докажем, что диагональная последовательность {/йй}Г
сходится. Отсюда и будет вытекать справедливость теоремы. С этой
целью заметим, что при любом i диагональная последовательность
{/^}}fc=i является сходящейся, а также, что из неравенств D) при
любом k > i вытекает неравенство
Поэтому при любых p>i,
II f f 11-^llf f(mj) II _L II f flni> II _L II fin0 flni>
l!/pp —/otII^II/PP—/pp II-1 Wlqq — fqq 11 + 11 / pp! — / gq
II /pp /g? l|-
Каково бы ни было число е > 0, мы можем сначала выбрать I
так, чтобы 2е; <; -т- е, а затем найти так JT (е) > i, чтобы при любых
р~>Ж{ъ), Ч~> JP {*) имело место неравенство
II /рр Iqq ll^=> 2
Из получаемой таким путем оценки следует, что последователь-
последовательность {fjih}? СХОДИТСЯ.
28. Один критерий ограниченности оператора.
Теорема. Пусть линейный оператор А определен во всем
пространстве и пусть существует второй линейный оператор
(обозначим его А*), также определенный во всем пространстве, для
которого
при любых f,g?H. В таком случае оператор А ограничен и, сле-
следовательно, А* есть с ним сопряженный оператор.

88 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Доказательство. Допустим противное и предположим,
что существует такая последовательность векторов {//г}™, что
||fk|| = l, \\Afh\\>k (? = 1,2,3,...).
Величины
(g> Afk) = <?>h(g) (? = 1,2,3,...)
являются линейными функционалами в Н. Так как
Ф* (S) = (A*g, /л) (? = 1,2,3,...),
то при любом g ? Н числовая последовательность {Фь (g)}j° огра-
ограничена. На основании теоремы 2 пс 26 последовательность норм
II Фй II (k = 1, 2, 3, . . .), т. е. последовательность чисел || Afh \\,
также ограничена, что противоречит предположению.
Таким образом, теорема доказана.
29. Линейный оператор в сепарабельном пространстве. В этом
пункте мы будем рассматривать линейные операторы в сепарабель-
сепарабельном гильбертовом пространстве Н и будем предполагать, что обла-
областью определения оператора является все пространство. Мы пока-
покажем, что ограниченные операторы этого рода допускают матричное
представление, которое вполне аналогично известному из элемен-
элементов линейной алгебры матричному представлению операторов
в конечномерных пространствах.
Выберем в Н какой-нибудь ортонормированный базис {eA}g
и положим
Лр, о-. /и 19 4 1
у-ш/г — gft \к — 1, ^, о, . . .)
И
(Aeh, ej) = aJk (/, k = I, 2, 3, ...). A)
Таким образом,
2 |ajVi|2<oo (?=1, 2, 3, ...).
Заметим, что если оператор А определен не всюду в Н, а на плотном в
Н множестве D, то и тогда существует в Н ортонормированный базис
элементы которого принадлежат D.

29. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР В СЕПАРАБЕЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Введем бесконечную матрицу
1 О<2 Oi3 . . -
«21 «22 «23 •
«31 «32 «33 • • •
элементами &-го столбца которой являются компоненты вектора,
в который оператор А переводит k-й координатный вектор.
Если оператор А ограничен, то написанная бесконечная матрица
вполне его определяет. Для доказательства нужно показать,,
как по матрице (а^) и ортонормированному базису {eh}f восста-
восстановить оператор. Прежде всего мы должны положить
со
Аек=^о^ (? = 1,2,3,...)-
3 = 1
Так как оператор А линеен, то по значениям на элементах базиса
мы можем его восстановить на линейной оболочке базиса, т. е.
на всех векторах, которые в рассматриваемом базисе имеют лишь
конечное число (свое для каждого вектора) отличных от нуля ком-
компонент. Значение оператора А на произвольном векторе / 6 Н
найдется в силу непрерывности оператора путем предельного
перехода.
Нетрудно написать окончательные формулы для компонент
вектора Af через компоненты вектора /; а именно, если
со
/ = kli
ТО
со
л/=2
й=Г
где
3=1
Действительно, пусть
й=1
тогда

90 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
где
п
h 3=1 iJ
и в силу ограниченности оператора
yk = (Af, ек)= lim (Afn, ek)= lim y<f> = lim 2 akjXj = 2 а*Л-
Определение. Если оператор А определен всюду в Н
и если его значение на любом векторе B) дается формулами C) и
D), то говорят, что оператор А допускает матричное представление
в ортонормированием базисе {e/Jj0.
Таким образом, мы установили, что всякий ограниченный линей-
линейный оператор, определенный во всем пространстве, допускает ма-
матричное представление в любом орпюнормированном базисе, и в этом
состоит упомянутая в самом начале настоящего пункта аналогия
<;епарабельного пространства Гильберта с конечномерным про-
пространством по отношению к ограниченным линейным операторам.
Теорема 1. Если определенный всюду в сепарабельном про-
пространстве Н оператор А допускает матричное представление
в каком-нибудь ортонормированном базисе, то он ограничен.
Доказательство. Ряды
оо
(Л/, ek) = 2 akjxj (k = 1, 2, 3, ...)
сходятся, по условию, для любого вектора
оо
/ — Zj xieh
3=1
если {е,-}^0 есть упомянутый в теореме ортонормированный базис,
в котором оператор А допускает матричное представление. По-
Поэтому в силу теоремы Ландау (см. пс 21) имеют место соотношения
§|ай,-|2<оо (?=1,2,3,...). E)
3=1
В силу этих неравенств выражения
со
Ф*Ш=2яйЛ- (?=1,2,3,...)
3=1
являются линейными функционалами от

29. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР В СЕПАРАБЕЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 91
Поэтому
=Л/ 2 |
есть выпуклый и непрерывный функционал от /. А так как
то при любом / 6 Н последовательность {р„ (/)}^° ограничена.
На основании следствия леммы о выпуклых функционалах функ-
функционал
р (/) = sup рп (f) = lim pn (/) = l/ 2 [ Ф* (/) I2 =
непрерывен, т. е. существует такая константа <М << оо, что
Но это и означает, что оператор А ограничен.
Доказанная теорема может быть сформулирована также сле-
следующим образом: если для любых хь. (k = 1, 2, 3, . . .), удовлетво-
удовлетворяющих неравенству
имеет место неравенство
оо оо
V I VI 2 ^
2j | .2j aNxi < °°.
mo существует такая константа <#, что
со оо оо
NH I ^ гу v Р ^^* /5^2 ^ I v 12
^ ] [ ?j llJijXj [ -^ Q/FV ?j | ЛД | ,
Зто — обобщение на матричный случай теоремы Ландау для р = 2
(см. п° 21); последняя получается, если akj = 0 при k> 1.
Условимся писать
Л — (а,-*),
если ограниченному линейному оператору А, определенному всюду
в Н, отвечает согласно A) матрица (ajh). При этом ортонормиро-
ванный базис {eh}f считается неизменным.
Если
A~(aJh) B~(bjk),

92 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
то, как легко проверить,
AB~(cjh),
где
Cjh=%ajTbTh (/,?=1,2,3,...),
r=l
и, определяя при помощи этого равенства умножение матриц,
можем написать, что
AB~(ajT)(brh).
Далее, если
А~Ы
А*~(а%),
то
a% = ahJ (/, й=1,2, 3, ...)¦
Поэтому условие самосопряженности ограниченного оператора
имеет вид
ajh = ahJ. F)
Матрицы, для которых имеет место F), называют эрмитовыми.
Билинейный функционал, порождаемый оператором А, имеет вид
оо оо
f,g) = 2 B akjxj)yk,
где
оо оо
/= 2 -«Aeft. g= 2
ftl ftl
В написанной двойной сумме можно изменить порядок суммиро-
суммирования, ибо равенство
со со
означает, что
2B^)^=2B
Из неравенства
IH/.^K^Hfll-llffll G)
следует
оо оо
оо f оо /~ оо
2 aw^k^l/ 2l^l2l/ 2
=l Г j=l Г А=1

29. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР В СЕПАРАБЕЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 93
Если векторы / и g имеют лишь конечное число отличных от нуля
компонент, то последнее неравенство обращается в
2 2 OKjXjyn | <<# l/ 2 | xj [2 Л/ S
j = l fc=l V 3=1 К h=l
(8)
Теорема 2. Для того чтобы матрица (ojh) представляла
ограниченный линейный оператор, определенный всюду в Н, необхо-
необходимо и достаточно выполнение при любых конечных р, q и любых
Хи х2, . . :, хр; у и у 2, . . ., уч неравенства (8), где Ж — фикси-
фиксированное число.
Доказательство. Если оператор А ограничен и
a,h = (Aek,ej) (/,?=1,2,3, ...),
то из G) следует (8).
Пусть теперь дана матрица (ajh), удовлетворяющая условию (8).
Покажем, что матрица (a/ft) определяет ограниченный оператор А.
Прежде всего, из (8) при
Ху = Х2 ~- . . . = Xp-i = 0, Хр =^= О,
У1 = У2=---- ¦ =#«-! = О
получаем
откуда следует сходимость ряда
оо
2 "Jhyj
i=i
при любой последовательности {yj}f из I2. Заключая отсюда
по теореме Ландау (см. пс 21) о сходимости рядов
со
2Ка12 (?=1,2,3,...),
Ь>1
определим оператор Ао на элементах базиса формулами
оо
= 2 Ojft^- (?=1, 2, 3, ...).
ii
а затем по линейности — на всех векторах с конечным числом ком-
компонент, отличных от нуля.

94 ГЛ. II ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Докажем, что оператор Л о ограничен.
Имеем в силу (8) при любых /, g с конечным числом компонент,,
отличных от нуля,
\(Aof,g)\<cM\\f\\.\\g\\. (9>
Из последнего неравенства следует ограниченность Ло-
Действительно, в силу непрерывности скалярного произведе-
произведения, неравенство (9) выполняется для всех g ? Н. Полагая в (9)
g=Aof,
получим
и значит,
Расширяя Л о по непрерывности на все пространство Н, мы полу-
получаем ограниченный оператор Л и
А ~ (ад).
Теорема доказана.
Заметим, что если матрица (ajh) эрмитова, т. е.
то условие (8) можно заменить (см. пс 25)^'на
. S ajhXhXj | < с/1 2 | xj |2.
30. Понятие о вполне непрерывном операторе. Гильберт первый
обратил внимание на один важный класс операторов, а именно,
на операторы вполне непрерывные. Определенный всюду в Н
линейный оператор Л называется вполне непрерывным, если он
переводит всякое ограниченное множество точек во множество
компактное в смысле сильной сходимости.
Вполне непрерывный оператор ограничен. Действительно,
в противном случае существовала бы последовательность точек
/h (k = 1, 2, 3, . . .), для которой
||/h|j = l, \\Afk\\>k (k=-.l, 2, 3, ...),
но множество точек {Afk}f должно быть компактным, что явно
невозможно.
Вполне непрерывные операторы допускают другое определе-
определение: заданный всюду в Н линейный оператор А называется вполне
непрерывным, если он переводит всякую слабо сходящуюся после-
последовательность в последовательность сильно сходящуюся.

30. ПОНЯТИЕ О ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНОМ ОПЕРАТОРЕ " д5
Доказательство эквивалентности этих определений предостав-
предоставляем читателю.
Равным образом предоставляем читателю доказательство сле-
следующих простых фактов:
1. Если оператор Л вполне непрерывен, а оператор В определен
всюду в Н и ограничен, то операторы А В и ВА вполне непрерывны.
2. Если Ль An — вполне непрерывные операторы, то aiAi +
-f a2A2 также вполне непрерывный оператор.
Теорема 1. Если А есть ограниченный линейный оператор,
определенный всюду в Н, и если оператор А*А вполне непрерывен,
то и оператор А вполне непрерывен.
Доказательство. Пусть М — какое-нибудь бесконеч-
бесконечное ограниченное (|| / || < С) множество точек /. Пусть {fk}f —
некоторая последовательность элементов этого множества, которая
оператором А*А переводится в сходящуюся (сильно) последова-
последовательность.
Поскольку
I Afn - Afm ||2 = (А (/„ - fm), A (/„ -fm)) =
= (A*A(fn-fm), fn-fm)<\\A*Afn-A*AfnMlfn-fmII,
и
lim ||Л*Л/„-Л*Л/т|| = 0,
то
lim \\ Afn —Afm || = О,
in, 7l->oo
т.е. последовательность {Afn}f сходится, чем теорема и доказана.
Следствие. Если оператор А вполне непрерывен, то тем же
свойством обладает и оператор А*.
Действительно, если оператор Л вполне непрерывен, то вполне
непрерывен и оператор А А* = (А*)* А*; остается применить только
что доказанную теорему.
Для установления вполне непрерывности оператора часто ока-
оказывается полезной следующая
Теорема 2. Если для любого е > 0 существует вполне непре-
непрерывный оператор Ае, который удовлетворяет неравенству
||Л-Ле||<Е,
то и оператор А вполне непрерывен.
Доказательство. Возьмем последовательность положи-
положительных чисел Ej > е2 > ... (lim еп = 0) и рассмотрим отве-
п->со
чающую ей в силу условия теоремы последовательность вполне

•96 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
непрерывных операторов АЁ1, ЛЕ2, . . . Пусть М — произвольное
ограниченное множество точек / (|| / ||<1С) нашего пространства Н.
Возьмем произвольную бесконечную последовательность {fh}^1 точек,
принадлежащих М. По условию, из этой последовательности
можно выделить подпоследовательность
/ll» /l2> /l3> • ¦ -i A)
которая оператором ABl^ переводится в сходящуюся последователь-
последовательность. Из последовательности A) выделим подпоследовательность
/21i /221 /23» • • • ) B)
которая переводится в сходящуюся последовательность оператором
Ае2. Продолжая этот процесс, получим бесконечный ряд последо-
последовательностей
/11> /12» /l3) • • • >
/21) /22» /23> • • • >
/з1> /з2> /зз> ¦ • •»
из которых каждая следующая является частью предыдущей.
Диагональная последовательность {fkk}? переводится в сходящуюся
каждым из операторов Ав.. Докажем, что диагональная последова-
последовательность {/fcfc}j°переводится в сходящуюся также и оператором А.
Для этого достаточно доказать, что
lim \\Afnn-Afmm\\:=O. C)
m, n->oo
Мы имеем неравенство
\\Afnn-Afmm\\<\\(A-Aeh)fnn\\
—I— 11 Aefjnn jj
Беря достаточно большое k, мы можем сделать сколь угодно малым
первый член правой части. После этого мы можем взять столь
большое JT, чтобы второй член правой части сделался сколь угодно
малым при т > JT, п > JT, и соотношение C) доказано.
31. Абсолютная норма. Снова предположим, что пространство Н
сепарабельно, и возьмем ограниченный линейный оператор А,
определенный всюду в этом пространстве. Пусть {fk}? и {ei}f —
два произвольных ортонормированных базиса в Н. Нас будет инте-
интересовать тот случай, когда
S \(Afh, e,)ls<°o-
г, ft=l

31. АБСОЛЮТНАЯ НОРМА щ 97
Так как (Afh, et) (/ = 1, 2, 3, . . .) представляют коэффициенты
Фурье вектора Afk в базисе {ej™, то
2 |(Л/*, eOI2=S 1ИДЦ2. A)
i, h=t ft=l
С другой стороны, рассматривая скалярные произведения
(Л*еь fk) = (et, Afh) как коэффициенты Фурье вектора A*et в бази-
базисе {fh}?, заключаем, что
2 \{Afk, e*)|2=Sll^,j|«. (Г)
г, h=l г=1
Из сравнения формул A) и (Г) находим, что величина (конечная
или бесконечная)
2 |(Л/Л, et)\* = N(A) B)
г, /1=1
не зависит от выбора базисов {fft}j° и {ег}™, а зависит лишь от опе-
оператора Л. Эту величину называют абсолютной нормой оператора
Л. Из наших рассмотрений следует, что
Так как в качестве /i можно взять произвольный единичный вектор,
а в силу A)
\\Ah\\<?N(A),
то
|| Л || < IV (Л),
т. е. обычная норма оператора не превосходит его абсолютной
нормы.
Легко видеть также, что если С — произвольный ограниченный
оператор, то
IV (СЛ)< || С ||-IV (Л),
а потому в силу C) и
N(AC)<\\C\\.N(A).
Абсолютная норма обладает основными свойствами нормы и, в част-
частности, для нее выполняется неравенство треугольника
Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

98 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Действительно,
N(A \-В)=у 2 \\Afj
/со Г со А со
S{iH/,-ll + l|fi/ill}2<V 2HW+1/ 2
j=l r 3=1 r 3=1
Если {Ak}f есть бесконечная последовательность операторов,
имеющих конечную абсолютную норму, и если
со
2 N (Ah) < оо,
1
то сходится операторный ряд
Доказательство этого факта предоставляем читателю.
Так как N (А) не зависит от выбора ортонормированных бази-
базисов {fh}f и iej}T> то мы могли бы их взять одинаковыми и тогда
в определении абсолютной нормы фигурировали бы числа
(Aeh, ej) = aJk (/, k=l, 2, 3, . ..)»
которые являются элементами матрицы, представляющей опера-
оператор А (см. п°29) в базисе {et}f.
Мы видим, таким образом, что операторы с конечной абсолют-
абсолютной нормой образуют довольно узкий класс — это операторы,
допускающие матричное представление, для которого
со
2 I aJh i2 < со-
Теорема. Если N (А) < оо, то оператор А вполне непре-
непрерывен.
Доказательство. Пусть {gft}™ — какой-нибудь орто-
нормированный базис в Н . Так как
= y 2

31. АБСОЛЮТНАЯ НОРМА
99
то при любом е > 0 можно найти пе, для которого
со
2 |[л*Ы|2<е2.
fe=ne+l
Теперь введем оператор Ае с помощью формулы
Л/=2 И/.
fel
Этот оператор определен всюду в Н. Он переводит любое ограни-
ограниченное множество векторов / ? Н в ограниченное множество векто-
векторов конечномерного пространства (размерности пе). Это последнее
множество компактно в силу классической теоремы Больцано —
Вейерштрасса. Поэтому оператор Ае вполне непрерывен. А так
как при любом / ? Н
К/, A*gh)\*<
оо
цл/-ле/!|2= 2 \Ш<еь)\'
fe+l
то применима теорема 2 пс 30. Следовательно, оператор А вполне
непрерывен.
Подчеркнем, что конечность абсолютной нормы или, что то же
самое, сходимость ряда
является только достаточным, но не необходимым условием для
вполне непрерывности матричного оператора. В частном случае,
когда числа alk удовлетворяют соотношениям
aJh = 0 при \j — k\>r (/, k=\, 2, 3, ...),
где г фиксировано, можно указать необходимое и достаточное
условие вполне непрерывности. Оно состоит в том, что
lim cijk = O.
j, h-+co
Для простоты проведем доказательство в предположении, что
г = 1. В этом случае определяющая оператор матрица имеет вид
Pt 0 0 0 ...
0 0 ...
а2
0 Y2 «з Рз 0 ...
V.
0 0
«4
D)

100 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
и носит название матрицы Якоби или якобиевой матрицы. При
г> 1 матрицу называют обобщенной якобиевой матрицей.
Пусть оператор А, порождаемый матрицей D), вполне непре-
непрерывен. Последовательность векторов
AeJ = Pj-i^-i + ajej + Y^+i
(Po=O, /=1, 2, 3, ...)
должна, таким образом, сильно сходиться. Допуская, что подле-
подлежащее доказательству утверждение неверно, выделим последова-
последовательность /t, /2, /3, . . . так, чтобы
Простое вычисление показывает, что
\\Ае, —Ае5 ||а=|Р/ _1|2 + |а,- |2 + |Yj |2 +
II Зп Зт II I ГЗп 1 I I I 3n I II УЗп I I
+ |a3- |2 + |Yi |2>2e,
'I Jm 1 ' 1 IJm '
m
что противоречит сильной сходимости последовательности {Аеь}™.
Докажем вторую часть утверждения (достаточность). Пусть
и пусть последовательность {/(fe)}j° слабо сходится к /. Так как
_ „ _ =0),
то
||Л/(п)-Л/(т)||2 =
со
Первый член правой части стремится к нулю при фиксированном q,
если т, п->оо. Поэтому достаточно показать, что второй член
правой части можно сделать сколь угодно малым при всех т, п,
беря достаточно большое q. Но если q достаточно велико и k > q, то
I «ft I < Е, | Yft-1 I < E.

32. ОПЕРАТОРЫ ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА Ю1
и поэтому
Таким образом, наше утверждение доказано.
32. Операторы Гильберта — Шмидта. Возьмем интегральный опе-
оператор в L2 (—оо, оо), который определяется формулой
со
g = Kf= \ K(s, t)f(t)dt.
— со
Если
со
"¦" \K(s, t)\2dsdt<o3, A)
то ядро К (s, t) называют ядром Гильберта — Шмидта, а порож-
порождаемый им оператор К — интегральным оператором Гильберта —
Шмидта.
Примем, что условие A) выполнено и покажем, прежде всего,
что оператор К является в этом случае определенным всюду
в L2 (—оо, оо) ограниченным оператором. Действительно, в силу
теоремы Фубини и неравенства Коши — Буняковского, для почти
всех s:
\K(s, t)\*dt.
Отсюда находим с помощью интегрирования, что
со
11#112<!1Л12$$ \K{s, t)\*dsdt
—оо
и, значит,
]/ \
\\К\\<]/ \\\K(s, t)\*dsdt. B)
— со
Покажем теперь, что оператор К имеет конечную абсолют-
абсолютную норму, которая при этом совпадает с правой частью нера-
неравенства B).
Для этого возьмем в L2 (—оо, оо) какую-нибудь полную орто-
нормированную систему {(ph (t)}™ в качестве базиса и вычислим

102 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
элементы a.jk матрицы оператора К- Они равны
aJk = (Кщ, Ф,) = I I К (s, t) &jk(s, t) ds dt, C)
—oo
где
Ojh(s, 0=фЛ*)фЛ0- D)
Функции <Djk (s, t) образуют полную ортонормированную
систему в гильбертовом пространстве L2 X L2 функций двух пере-
переменных с суммируемым квадратом модуля в плоскости s, t. Поэтому
в силу уравнения замкнутости
$$s. t)\'dsdt,
j, h=i
что и требовалось доказать.
Оказывается, что интегральными операторами Гильберта —
Шмидта исчерпывается весь класс операторов в L2 (—со, со), имею-
имеющих конечную абсолютную норму.
Действительно, пусть А — произвольный линейный оператор
с конечной абсолютной нормой в пространстве L2 (—со, со). Возь-
Возьмем ортонормированный базис D) в L2 X L2 и положим
со
K(s, o~2 (Ар*. vj)^>Ms, t).
з, k=i
Ряд справа сходится в пространстве L2 X L2 и
3, ft=l
Таким образом,
\K(s, 0
так что К (s, t) является ядром Гильберта — Шмидта. Остается
показать, что Af совпадает при любом / 6 L2 (—со, со) с
со
Kf=- \ K(s, t)f(t)dt.
—со
Но это следует из того, что при любых kt j (=1, 2, 3, . . .)
со со
, ф>)= \ vAs)ds I K(s,

33. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАТОРОВ ЮЗ
Рассмотрения настоящего пункта дают основание называть
оператором Гильберта — Шмидта всякий линейный оператор
в сепарабельном пространстве, имеющий конечную абсолютную
норму.
33. Сходящиеся последовательности ограниченных линейных опе-
операторов. Различают три вида сходимости последовательности
{An}f ограниченных линейных операторов, определенных всюду
в Н: сходимость слабую, сходимость сильную (или просто сходи-
сходимость) и сходимость равномерную.
Последовательность {Ап}$° называется
слабо сходящейся к one- если для любого f ? Н
ратору А
ел. ел.
сильно сходящейся к one- если для любого f ? Н
ратору А
равномерно сходящейся если
к оператору А
Если последовательность операторов сходится равномерно, то
она и тем более сходится сильно; если она сходится сильно, то
и подавно сходится слабо.
Из слабой сходимости Ап к А и Вп к В следует слабая сходи-
сходимость Ап dz Вп к A zt В, но н е следует слабая сходимость
произведения АпВп.
Теорема 1. Если последовательность {An}f ограниченных
линейных операторов, определенных всюду в Н, слабо сходится, то
последовательность {|| Ап ||}^° норм этих операторов ограничена.
Действительно, рп (h) = || Anh \\ есть выпуклый непрерывный
функционал. В каждой точке h 6 Н последовательность {рп (h)}™
ограничена на основании следствия 1 п° 26, так как последователь-
последовательность элементов {Anh}f слабо сходится. Поэтому в силу след-
следствия леммы п° 21
sup \\Anh\\ = p(h)
п-юо
есть выпуклый непрерывный функционал, откуда вытекает, что
P(h)<cS\\h\\,
а значит, при любом п
\\Anh\\<^.tS\\h\\,

104 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
и поэтому
Теорема 2. Если последовательность билинейных функцио-
функционалов {Qn (f, g)}™ такова, что при любых f, g существует конечный
предел
lim Qn (/, g) = a> (/, g),
n-»oo
то этот предел есть билинейный функционал.
Как легко видеть, достаточно доказать, что при любых f, g (Е Н
lmtf, 8)\
Каждый билинейный функционал Qn (f,g) порождается некото-
некоторым ограниченным линейным оператором:
Последовательность операторов {Ап}™, таким образом, слабо схо-
сходится. Следовательно,
\Ш, *)|<С||ЛН1*||,
т. е.
для всех f, g 6 Н. Отсюда и вытекает, что
В заключение докажем еще одно простое предложение, которое
в дальнейшем найдет важное применение.
Теорема 3. Всякая монотонно убывающая последователь-
последовательность ограниченных положительных операторов сильно сходится.
Доказательство. Пусть даны ограниченные самосо-
самосопряженные операторы Ah (k = 1, 2, . . .). удовлетворяющие соот-
соотношениям
Ak>0,
Так как
Ат — Ап>0 )
то при любых f, g:
\((Am-An)f, g) | <!/"((Am-K) f, f) V((Am- An) g, g) <
<КРЛ-|1 ё \\-V((Am~An)f, f) .
Беря

34. МНОЖЕСТВА ОГРАНИЧЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ю5
получим отсюда, что
\\(An~Am)f\\<VjAj\V(Amf, П-Ш, f).
Так как числовая последовательность
Ш,П (я=1,2, ...)
монотонно убывает и ограничена снизу (числом 0), то
«га УШ.П-Ш.П = 0,
171-ЮО
откуда следует, что при любом f 6 Н
lim\\(An-Am)f\\ = 0.
п>т,
т-юо
Это равенство показывает, что при любом f ? H существует в силь-
сильном смысле
lim Anf = Af.
Легко видеть, что предельный оператор А линеен и ограничен.-
Теорема доказана.
Замечание. Вместо положительности операторов достаточ-
достаточно потребовать равномерную ограниченность их снизу. Теорема-
очевидным образом формулируется для монотонно возрастающих
последовательностей.
34. Множества ограниченных линейных операторов в сепарабель-
ном пространстве Гильберта.
Теорема 1. Любое множество линейных операторов в сепа-
рабельном пространстве Н, нормы которых не превосходят фикси-
фиксированного числа, слабо компактно (т. е. содержит слабо сходящуюся
последовател ьность).
Пусть {An}f — последовательность операторов с нормами
II An II < С, a {fi}f — последовательность элементов, плотная
в пространстве Н. Пользуясь теоремой 1 п° 27, выберем из после-
последовательности {An}f часть {./4ift}fcLi, слабо сходящуюся на эле-
элементе*) fit затем из нее часть {A2h}T=i> слабо сходящуюся на эле-
элементе f2, и т. д. Далее построим диагональную последовательность.
{Ahh}f и докажем, что эта последовательность слабо сходится;
*) Это значит, что слабо сходится последовательность векторов

106 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ. ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
на любом элементе Н. С этой целью для произвольно взятого эле-
элемента f и произвольно выбранного числа е > 0 возьмем такое N,
чтобы
Тогда при любом g (Е Н
(Annf — Ammf, g) = (AnnfK — AmmfN, g) + 6,
где
\b\ = \(Ann(f-fN), g) + (Amm(fK-f), g)\<.2Cs\\g\\.
С другой стороны,
{Ann/N — AmmfK, g)
•стремится к нулю при п-> оо, m-> со. Отсюда, благодаря слабой
полноте пространства Н, вытекает, что последовательность
слабо сходится к некоторому элементу h. Полагая h — Af, полу-
получаем требуемое соотношение:
Так как при любом п
то
откуда следует, что
\\А\\<С.
Теорема доказана.
Прежде чем идти дальше, обозначим через {ep}j° полную орто-
нормированную систему векторов в Н. Каждый ограниченный
оператор А, заданный всюду в Н, вполне определяется матрицей
(apq)pq=i' гДе аря = (Aeq, ep). Будем обозначать буквой R всякий
такой оператор, для которого грд = (Req, ep) есть комплексное
число с рациональными компонентами и притом равное нулю, когда
по крайней мере один из индексов р, q превосходит некоторое
число, свое для каждого оператора. Множество всех таких опера-
операторов счетно. Перенумеруем их как-нибудь: Ru R2, R3t ¦ ¦ -,
и положим
\RkPqi ?р) = 'Vg •

34. МНОЖЕСТВА ОГРАНИЧЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ю7
Лемма. Каков бы ни был ограниченный линейный оператор А,
определенный во всем пространстве, найдется подпоследователь-
подпоследовательность {Rjk}%Li такая, что
lim \\Rj em — Aem\\ = \\m \\Rtem — Л*ет|| = 0
(т= 1,2,3, ...).
Доказательство. Выберем jh так, чтобы
\r№-apq\<j (p, 9=1.2, 3, ...,k)
и
} = ® ПРИ max ^'
Тогда
II %ет - Ает |р = || 2 & - S атпе„ ||2 =
Л оо со
= 2 к^-ат„|2+ 2 |а™|2<4+ 2 |атп|2, A)
71=1 П=/Н-1 K=ft+1
если m<Ck. Так как ряд
/ i | От
п=--1
сходится при любом т, то правая часть A) стремится к нулю при
&->оо. Следовательно,
\im\\Rj ет-Ает\\ = 0 (тп=1, 2, ...),
ft-юо
и аналогично доказывается второе утверждение леммы.
Теорема 2. Каждое бесконечное множество 5Щ определенных
всюду в Н ограниченных операторов содержит последовательность
{Ah}™, плотную в Ш в том смысле, что для любого оператора
А (Е 5Щ, если он сам не принадлежит {Ah}^°, существует подпоследо-
подпоследовательность {Ah }^Lb удовлетворяющая при любом f 6 Н соот-
соотношениям
lim \\AkJ-Af\\= lim || Atf- Л*/Ц = О.
Доказательство. Множество 5Щ можно представить в
виде суммы множеств Шп таких, что норма каждого из операторов,

108 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
принадлежащих 5Щ„, не превосходит числа п. Так как теорему
достаточно доказать для каждого 5Щ„, то мы можем принять, что
исходное множество 5Щ есть некоторое 5Щ„, т. е., что при некото-
некотором фиксированном 'ё неравенство ||Л||<^ выполнено для
любого А 6 5Щ-
Возьмем теперь произвольную пару натуральных чисел р, д
и исследуем, существуют ли в 5Щ операторы В, для которых
||Яр?-?#К|, \\Rte-B*g\\<± (ё = ег,е2 eq).
Если требуемые операторы В существуют, выберем один из них
и обозначим его ВРгЧ, а пару р, q в этом случае назовем допустимой.
Из леммы вытекает, что при любом q найдется бесчисленное множе-
множество значений р, при которых пара р, q допустима. Поэтому мно-
множество операторов BPtQ не пусто. Это множество, очевидно, счет-
счетное. Покажем, что его можно принять в качестве последователь-
последовательности {Ah}f. _
С этой целью возьмем какой-нибудь оператор А ? Ш, А ? {Ah}f.
На основании леммы существует такая последовательность
{Rn }™=и что
(g = elt e2, ..., eq).
Поэтому при любом q пара nq, q является допустимой, а значит,
существует оператор Вп ,q = Ah , для которого
(g = ei, e2, ..., eQ).
Следовательно, при q = 1, 2, ...
Возьмем теперь произвольный элемент из Н:
/=21 Ьа..
1

34. МНОЖЕСТВА ОГРАНИЧЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ю9
При любом е > 0 найдем такое JT, что
ЛГ
/=2 Ъеп + Г. ||/'|1<е.
n=t
Так как нормы рассматриваемых операторов •<?>, то при q> JT
и аналогично,
Для завершения доказательства остается сначала взять доста-
достаточно малое е, а затем достаточно большое д.

ГЛАВА III
ПРОЕКТИРУЮЩИЕ
И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
35. Определение проектирующего оператора. Пусть G есть неко-
некоторое подпространство пространства Н и пусть
так что
H=-G©F.
Это означает, что каждый вектор h 6 Н однозначно представим
в виде
где g E.G и f ? F. Bn°7 вектор g был назван проекцией вектора h
на G. Определенный во всем пространстве Н оператор, который
каждому вектору h 6 Н относит его проекцию на подпространство
G, называют проектирующим оператором, оператором проектиро-
проектирования (на G) или проектором *) и обозначают символом Р или Pq,
так что
Проектирующий оператор, очевидно, линеен. Кроме того, он огра-
ограничен и его норма равна единице. Действительно, так как
то
т. е.
A)
Но если h 6 G, то g — h, так что в A) знак равенства достигается,
и поэтому
*) В дальнейшем мы введем также «косое» проектирование, и тогда
для оператора, который здесь назван проектором, мы будем иногда, во избе-
избежание недоразумений, применять название ортопроектор.

36. СВОЙСТВА ПРОЕКТИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ
36. Свойства проектирующих операторов. Из определения проекти-
проектирующего оператора легко заключить, что
2) Р* = Р.
Действительно, при любом h 6 Н вектор g = Ph уже принад-
принадлежит G и поэтому Pg = g, т. е. P2h = Ph; но это и означает, что
Р'2 = Р. Чтобы доказать, что Р есть оператор самосопряженный,
возьмем два произвольных вектора hi, h2 6 Н. Пусть
В таком случае
(gi, h2) = (gu g2) = (hi, g2),
т. е.
(Phuh2) = (hi,Ph2)
для любых hit h2 6 H. Но это и означает, что Р* = Р.
Из доказанных свойств вытекает, что проектирующий опера-
оператор Р положителен, т. е. (см. п° 25)
(Ph,h)>0.
Действительно,
(Ph, h) = (/»Л, h) = (Ph, P*h) = (Ph, Ph) > 0.
Теперь мы докажем, что свойства 1), 2) характерны для проек-
проектирующего оператора.
Теорема. Если Р есть определенный всюду в Н оператор,
для которого при любых hit h2 6 Н
2)
то cyui/вствует подпространство G ^ Н, оператором проектиро-
проектирования на которое является Р.
Доказательство. Оператор Р ограничен. Это выте-
вытекает из теоремы п° 28, так как
h2) = (hi,Ph2),
но проще всего убедиться в этом следующим образом:
|| Ph ||2 - (Ph, Ph) = (P*h, h) = (Ph, h),
поэтому

112 ГЛ. III. ПРОЕКТИРУЮЩИЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
«, следовательно,
II ^л ц< || л ||,
т. е. оператор Р ограничен и его норма не больше 1.
Обозначим через G множество всех векторов g ? Н, для которых
Pg = g-
Ясно, что G есть линейное многообразие. Докажем, что G замкнуто,
т. е. является подпространством. Пусть gn ? G (п = 1, 2, 3, . . .)
и пусть gn -v g. В таком случае
и, значит,
Pg-gn = Pg~ Pgn = P(g ~gn),
•откуда
\\Pg~gn\\<\\g-gn\\.
Полагая здесь п -v со, будем иметь
т. е.
и значит, g 6 G, чем и доказано, что G замкнуто.
Обозначим через Pq оператор проектирования на G. Мы долж-
должны доказать, что PG = Р. При любом h 6 Н вектор Ph = g при-
принадлежит G, так как Р (Ph) = Р/г. Подпространству G принадле-
принадлежит также Pah. Поэтому нам достаточно доказать, что
или
(ph,g')=(pGh,g')
при любом g' 6 G. Но это следует из того, что
(Ph, g') = (h
Заканчивая настоящий пункт, заметим, что если Р есть проек-
проектирующий оператор и G — подпространство, на которое он проекти-
проектирует, то / — Р, где / — тождественный оператор, есть также
проектирующий оператор, причем / — Р проектирует на HQG.
37. Действия над проектирующими операторами. В настоящем
пункте мы докажем несколько простых предложений относительно
умножения, сложения и вычитания проектирующих операторов.

37. ДЕЙСТВИЯ НАД ПРОЕКТИРУЮЩИМИ ОПЕРАТОРАМИ ЦЗ
Теорема 1. Произведение двух проектирующих операторов
PGl, Pg2 является проектирующим оператором в том и только
том случае, когда они перестановочны:
PGlPo2 =
и если это условие выполнено1 то
где G = Gj П G2 *).
Доказательство. Если произведение PGlPG2 есть
проектирующий оператор, то
PGlPG2 = (PGlPG2)* = PG2PGl = Pg2Pgv
Вектор
в силу первого представления принадлежит G1( а в силу второго —
он принадлежит G2, т. е. он принадлежит пересечению G4 f] G2
этих пространств, откуда следует, что PGlPG2 ^ Pgi n g2- Так
как обратное включение очевидно, то в одну сторону теорема
доказана.
Допустим теперь, что
Отсюда следует, что
Р* = (PGlPG2f = PGlPG2PGlPG2 = PGlPGlPG2PG2 = PGlPG2 = P
P* = (PGlPG2r = Pg2Pg, = Pg2PGi = PGlPG2 = P.
Эти равенства показывают, что PGlPG2 удовлетворяет условиям
теоремы п° 36 и поэтому является проектирующим оператором.
Следствие. Два подпространства Gb G2 ортогональны
в том и только том случае, когда
Теорема 2. Сумма проектирующих операторов
PGl + PG2+.--+PGn = Q (п<оо)
есть проектирующий оператор в том и только том случае, когда
*) Геометрический смысл перестановочности операторов PGl и PGi
состоит в том, что подпространства G^ © (Gj f| G2) и G2 © (Gt [~| G2) ортого-
ортогональны.
8 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

114 ГЛ. III. ПРОЕКТИРУЮЩИЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
т. е. тогда и только тогда, когда подпространства G, (?=1,2, ...
. . ., п) попарно ортогональны, и в этом случае
Q = PG,
где
G=G1©G2©...©Gn.
Доказательство. Если подпространства Gj попарно
ортогональны, то Q2 = Q, и значит, достаточность условия оче-
очевидна. Последняя часть утверждения теоремы также очевидна.
Поэтому докажем необходимость условия. Пусть Q есть проекти-
проектирующий оператор. Значит,
II / !12 > (Qf, f) - Д (Ре/, f) > (Pojf, f) + (PgJ, f),
каковы бы ни были два различных индекса /, k. Из полученного
неравенства вытекает, что
Положим здесь
f=-PGhh.
Это дает
l!poA^li2+llpofift|j2<i|PGfift||2,
и, значит,
||PG.PGfift|j = O
при любом /г 6 Н, что и доказывает равенство
PGjP4=-0,
т. е. ортогональность подпространств Gj, G^.
Теорема 3. Разность двух проектирующих операторов
PGl-Po2 A)
есть проектирующий оператор тогда и только тогда, когда G2 ^
^ d, ив этом случае PGl — PG2 есть оператор проектирования
на G!©G2.
Доказательство. Пусть
PGi-PG2 = Pg
есть проектирующий оператор. Тогда сумма
также является проектирующим оператором и, значит, по теореме 2
Gj_G2 и

38. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРОЕКТИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ Ц5
откуда следует, что
G2 c= Gj и G = Gj © G2.
Обратно, пусть
G2 ^ G4 и G = Gj Q G2.
Тогда
G _L G2 и Gj = G @ G2,
а потому
т. е.
Теорема доказана.
Замечание. Соотношение G2 ^ Gt эквивалентно неравен-
неравенству
^PoJ\\<\\PoJ\\ B)
(для любого f 6 Н), а также неравенству
/>g,</V C)
Прежде всего, эквивалентность неравенств B) и C) между
собой следует из их одновременной эквивалентности неравенству
Пусть теперь G2 ^ G4. Отсюда вытекает, что
PG
Поэтому при любом f 6 Н
следовательно, неравенство B) доказано.
Обратно, пусть дано, что неравенство B) имеет место для любого
f 6 Н. Значит, если PGj = 0, то и PGJ = 0; другими словами, если
F1 = H©G1 и F2 = H©G2,
то из включения f 6 F"i следует включение f 6 F2. Но это означает,
что Fj s F2, а потому
G2 = H©F2c=H©F1 = G1,
что и требовалось доказать.
38. Последовательности проектирующих операторов.
Теорема 1. Если {Ph}^ — бесконечная монотонная после-
последовательность проектирующих операторов, то Ри при k -> оо
сильно сходится к некоторому проектирующему оператору Р.

116 ГЛ. III. ПРОЕКТИРУЮЩИЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Доказательство. Пусть, например, последовательность
{Ph}?— неубывающая: Ph < Ph+1 (k = 1, 2, 3, . . .). Так как она
ограничена, ибо Pk < / при любом k, то по теореме 3 п° 33 и по за-
замечанию к этой теореме существует в смысле сильной сходимости *)
h—юо
С другой стороны, при любом k и любых f, g 6 Н
Поэтому в пределе
Значит,
чем и доказано, что Р есть проектирующий оператор.
Следующая теорема относится к последовательностям проекто-
проекторов без предположения об их монотонности.
Теорема 2. Если последовательность проектирующих опера-
операторов {Ph}f слабо сходится к некоторому проектирующему опера-
оператору Р, то она сходится к нему и сильно.
Доказательство. По условию, при любом h 6 Н
Значит,
|| ЯйЛ || —> || ЯЛ ||.
А так как при этом последовательность {Phh}™ слабо сходится
к Ph, то в силу теоремы 1 п° 26 она сходится и сильно, что и тре-
требовалось доказать.
39. Раствор двух линейных многообразий **).
Определение. Раствором двух линейных многообразий
в Н называется норма разности операторов, проектирующих Н
на замыкания этих линейных многообразий.
Раствор линейных многообразий М^ М2 обозначают символом
6 (Мь М2). Поэтому
6(М1, М2) = ||Р1-Р2|| = ||Р2-Р1||,
*) В этом можно также убедиться, не прибегая к упомянутым пред-
предложениям п° 33, с помощью соотношения
\\Pnf-Pmf\\2 = ([Pn—Рт\ Л Л = 11 Pnf II2- II Praf ll2.
которое следует из того, что при т < и разность Рп — Рт является проекти-
проектирующим оператором.
**) В. Sz.--N a g у (Comment. Math. Helv. 19, 1947, стр. 347—366).
М. Г. Крейн и М. А. Красносельский (УМН, т. III, вып. 3
A947), стр. 60—107).

39. РАСТВОР ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ МНОГООБРАЗИЙ Ц7
где Ри Р2 — операторы проектирования на замкнутые многообра-
многообразия (подпространства) Mi, М2 соответственно.
Из данного определения раствора вытекает, что
е(М1,м2)=е(м1>м2)=е(Н0М1,н0М2).
Возьмем тождество
Р2-Р1 = РгA-Р1)-A-Р2)Р1-
В применении к элементу h (Е Н оно дает
(P2-P1)h = P2(I-P1)h-(I-P2)P1h,
откуда в силу ортогональности векторов Р2 (I — Pi) h, (I — Р2) P\h
следует, что
A)
Это неравенство показывает, что раствор двух линейных многооб-
многообразий не превосходит 1:
0(М1, М2)<1.
Мало того, мы видим, что раствор обязательно равняется 1, если
одно из многообразий содержит отличный от нуля вектор, ортого-
ортогональный к другому многообразию. Это замечание позволяет уста-
установить следующий критерий равенства размерностей двух многооб-
многообразий.
Теорема. Если раствор линейных многообразий Мь М2
меньше 1, то размерности этих линейных многообразий одинаковы:
dim Mi = dimM2,
Доказательство. Достаточно доказать, что из нера-
неравенства
dimM2>dim Mj
вытекает существование в многообразии М2 отличного от нуля
вектора, ортогонального к многообразию М4. С этой целью спроек-
спроектируем Mi на М2. Мы получим подпространство
G = P2M1,
размерность которого, очевидно не превосходит размерности подпро-
подпространства Mi и, следовательно, меньше, чем размерность подпро-
подпространства М2. Поэтому в M2©G существуют отличные от нуля
векторы, т. е. в М2 найдется вектор, отличный от нулевого и орто-
ортогональный к G. Этот вектор будет ортогонален всему подпростран-
подпространству Mi, так как подпространство MiQG ортогонально М2.

118 ГЛ. III. ПРОЕКТИРУЮЩИЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Раствор двух линейных многообразий допускает второе опре-
определение:
6(M11M2)=max{ _sup || (/_/>,)/Jl> _sup \\(I-P2)g\\}. B)
/ем2, n/i|=i ggMi, iigii=i
Величина
IIО -Л) /||=я [/.Mij
представляет расстояние точки f от многообразия Mi. Поэтому
формула B) может быть переписана в виде *)
0(Mlt Mg) = tnax{ _sup DI/.MiJ, sup D[?,M2]}.
/ем2, ii/n=i
Займемся доказательством формулы B). Согласно первоначаль-
первоначальному определению раствора и формуле A)
е(м1,м2)= supyUup ^
лн II «II лен II"
Заставим вектор h пробегать не все пространство Н, а лишь под-
подпространство Mi. Тогда стоящая в правой части верхняя грань
либо не изменится, либо станет меньше, т. е.
в (Ml, м^>варШПЕЕШШЕЕШЕЁ= SUp
ВДУТ! Ч U
Точно так же доказывается, что
е(М1; M2)iL(
Таким образом, уже доказано, что
е(М!, M2)>max{Qb Q2},
и остается доказать, что
6(МЬ MaXmaxlQi, q2}.
С этой целью заметим, что по определению величины q2
II (/-/>*)/>!* IIя <:q! II/V» IIя. D)
*) Значение этой формулы состоит в том, что она позволяет определить
раствор двух линейных многообразий не только в пространстве Гильберта,
но и в любом пространстве Банаха. По этому поводу см. М. Г. К р е й н,
М. А. Красносельский, Д. П. Мильман, О дефектных числах
линейных операторов в банаховом пространстве и о некоторых геометри-
геометрических вопросах, Сб. трудов Ин-та математики АН УССР, № 11 A948).

40. УНИТАРНЫЙ ОПЕРАТОР Н9
с другой стороны,
\\P2(I-Pl)h\\^ = (P2{I
= (P2{I-Pl}h, {I-
^{i-PdPiV-PdhW-U
и, следовательно, по определению величины Qi,
\\P2(I-Pl)h\\^Ql\\P2(I-Pl)h\\.\\(I-P1)h\\,
т. е.
Сравнение D) и E) показывает, что
<тах {qI, qI}[ ИPJi ||2 + 11 (I-Pi)h ||2 ] = ||h ||«max{<?, <?}
и формула (З) дает
e(Mlf M2)<max{Qj, q2}.
40. Унитарный оператор. В трехмерном евклидовом пространстве
простейшей после проектирования операцией является вращение
пространства — операция, которая не изменяет длин векторов
и углов между ними. Мы рассмотрим аналогичную операцию в про-
пространстве Гильберта.
Определение. Оператор U, заданный во всем простран-
пространстве (Dv = Н) и отображающий его на все пространство (А^ = Н),
называется унитарным, если для любых f, g 6 Н имеет место
равенство
(f,g). A)
Заметим, что в данное определение не входит требование линей-
линейности оператора.
Докажем прежде всего, что унитарный оператор имеет обратный
оператор, который также унитарен. Так как для существования
оператора, обратного оператору Т, необходимо и достаточно, чтобы
из Tf == Tg следовало f = g (см. n° 17), то предположим, что
Uf = Ug; тогда
0--=(Uf-Ug, Uf-Ug) = (Uf, Uf)-(Uf, Ug)-(Ug,Uf)+(Ug,Ug) =
=(Л /)-tf. g)-te. /) + te. e) = (f-e, f-g),
т. e. f = g.
Таким образом, обратный оператор U'1 существует. Так как
D[/-i = Аи, А<у-1 = Du, то оператор И~г подобно U определен
во всем рространстве и отображает его на все пространство. Если

120 ГЛ. III. ПРОЕКТИРУЮЩИЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ПОЛОЖИТЬ
Uf=f', ug=g',
то равенство A) можно переписать в виде
и доказательство унитарности оператора U'1 закончено, так как
f",g" могут быть любыми элементами пространства Н.
Из доказанного следует, что при любых f, g 6 Н
(Uf,g) = (f,V-1g). B)
Действительно, пусть U~lg = g", так что g = Ug". В таком
случае
' (f'
что тождественно с B).
Покажем теперь, что унитарный оператор обязательно линеен.
Действительно, пусть
В таком случае на основании B) получаем:
(Щ, S) = (f' U-*g) = a, (fu U-ig) + a2 (f2, U~*g) =
= «i Vh, g) + «2 (Uf2, g) = (aVh + a2Uf2, g).
В силу произвольности g это значит, что
Итак, унитарный оператор есть оператор линейный. Равенство B)
выражает, что для унитарного оператора сопряженный оператор
совпадает с обратным:
U* = V-\
т. е.
U*U = UU* = I.
Часто полезно следующее простое предложение: если оператор Т
линеен, удовлетворяет условию
(Tf,Tf) = (f,f) C)
и DT = Аг = Н, то оператор Т унитарен.
Доказательство. В силу условия C)
(Т {f + ag}, T{f + ag}) = (f + ag,f + ag).
Отсюда, на основании линейности оператора,
(Tf, Tf) + a (Tg, Tf) + a (Г/, Tg) +1 a |« (Tg, Tg) -
W\4g,g).

41. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР J21
Поэтому, снова в силу C),
a (Tg, Tf) + a(Tf, Tg) = a (g, f) + а (/, g).
А так как а произвольно, то
и унитарность оператора Т доказана.
41. Изометрический оператор. Пусть даны два гильбертовых про-
пространства: Ил и Н2. Условимся отмечать скалярное произведение
в первом пространстве индексом 1, а во втором пространстве
индексом 2. .
Определение. Оператор V, заданный на всем простран-
пространстве Hjl (Dv = Hj) и отображающий его на все пространство
Н2 (Av = Н2), называется изометрическим, если для любых f,
(Vf,VgJ = (f, g),. A>
В частности, Hj и H2 могут быть подпространствами одного
пространства Н. В этом случае индексы у скалярных произведений
излишни. Часто термин изометрический оператор применяют
именно в этом специальном случае, а в общем случае говорят
об изометрическом отображении.
Унитарный оператор в Н является частным случаем изометри-
изометрического оператора; мы получим его, если оба пространства, Нь
Н2, совпадают с Н.
Многие свойства унитарного оператора переносятся на произ-
произвольные изометрические операторы. Некоторые из этих свойств мы
приведем, опуская те из доказательств, которые ничем не отли-
отличаются от доказательств соответствующих свойств унитарных
операторов.
1°. Изометрический оператор имеет обратный оператор, кото-
который также изометричен.
2°. Если оператор V линеен и отображает все пространство-
Hj на все пространство Н2 и если для любого f G Hj
то V — изометрический оператор.
3°. Всякий изометрический оператор линеен.
Действительно, пусть f", f" G Hj и f = a'f + a"f". В таком
случае при любом g G Hi
(Vf, VgJ = (f, g), = a' (/', g), + a" (f, g), =
f, VgJ + a" {Vf", VgJ = (a'Vf + a"Vf, VgJ,
= a

122 ГЛ. III. ПРОЕКТИРУЮЩИЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
А так как AV = H2) то из полученного равенства следует, что
Vf = a'Vf+a"Vf,
т. е. линейность оператора V.
В неявном виде изометрический оператор уже встречался у нас
в п° 10, когда мы ввели понятие об изоморфизме двух гильбертовых
пространств.
Иногда приходится рассматривать так называемый частично
изометрический оператор. Так называют линейный оператор U,
действующий в гильбертовом пространстве Н, который на неко-
некотором подпространстве Dv cz H совпадает с изометрическим опера-
оператором V, а на ортогональном дополнении H0Dv обращается
в нуль. Подпространство Dy называется начальной, а подпро-
подпространство Ay ss Ау — конечной областью частично изометриче-
изометрического оператора U.
Легко проверить, что вместе с 11 является частично изометриче-
изометрическим также оператор 11*. При этом для 11* начальной областью
является Av, а конечной Dv, и осуществляемые операторами U,
U* отображения этих областей взаимно обратны. Это значит, что
U*U = P, UU* = Q, B)
где Р и Q — операторы проектирования на Dv и Av соответ-
соответственно. В том частном случае, когда одно из подпространств Dy, Av
совпадает с Н, частично изометричный оператор U называется
полуунитарным.
Заканчивая настоящий пункт, введем одно важное понятие,
которое будет нами неоднократно использовано в дальнейшем.
Определение. Пусть Т% и Т2 — линейные операторы,
действующие в пространствах Hj и Н2, так что Drx S Нь Afx s
S Нь Dra s H2, АГа ? Н2 (в частности, пространства Нь Н2
могут совпадать).
Операторы Тх и Т2 называются унитарно эквивалентными, если
существует изометрический оператор V, отображающий Hj в Н2
и переводящий Dtx в Dr2 таким образом, что если элемент f ? Dr
переводится оператором V в элемент g, то элемент Ttf переводится
оператором V в Т2 g, иначе говоря, унитарная эквивалентность
означает, что
42. Оператор Фурье — Планшереля. Предметом настоящего пункта
является доказательство теоремы Планшереля: какова бы ни была
функция g (t) ? L2 (—оо, оо) для почти всех t(—оо <ct < оо),

42. ОПЕРАТОР ФУРЬЕ-ПЛАНШЕРЕЛЯ 123
существует и также принадлежит L2 (—оо, оо) функция
оо
1 d (* e~its 1
— oo
определяемый этой формулой оператор S» который функцию g (t)
переводит в h (t), унитарен; обратный оператор имеет вид
Ш_1
Оператор % носит название оператора Фурье — Планшереля.
Если предположить, что функция g (t) абсолютно интегрируема
на всей числовой оси, то формула A) может быть переписана в виде
т. е. в этом случае h (t) является интегралом Фурье в элементар-
элементарном смысле. Абсолютно интегрируемые на всей оси и принадлежа-
принадлежащие L2 (—оо, оо) функции представляют некоторое плотное
в L2 (—оо, оо) линейное многообразие L, и значение теоремы План-
Планшереля состоит в том, что с ее помощью расширяется на все про-
пространство L2 (—оо, оо) элементарный оператор Фурье, который
на L задается формулой B).
Этот подход к оператору Фурье — Планшереля позволяет дать
ему другое определение. Пусть g (t) — произвольная функция
из L2 (—оо, оо) и пусть
0 (\t\>N).
Заметим, что функции, равные нулю вне некоторого конечного
интервала, своего для каждой функции, носят название финитных
функций.
Таким образом, gN (t) есть фидитная функция. Так как она
абсолютно интегрируема, то
оо . N
В силу унитарности, оператор S ограничен и поэтому
lim|
iV-+oo

124 ГЛ. III. ПРОЕКТИРУЮЩИЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
h @ = Ш) @ = l.i.m. ~±=r \ e-"g (s) ds. C)
ИЛИ
-N
Это и есть вытекающее из A) второе определение оператора Фурье —
Планшереля.
Легко видеть, что, в свою очередь, определение A) вытекает
из определения C). Действительно, при любом элементе f (t) ?
? L2 (—оо, оо)
D)
Беря
A, если t лежит между 0 и т,
О в противном случае,
перепишем D) в виде
х N х
lim \dt~^T \e~Mg{s)ds=\
откуда
OO X
_ue e~ist~i g{c)d
0
Но это соотношение показывает, что почти всюду
Имеются различные доказательства теоремы Планшереля, одна-
однако существенным элементом большинства из них является доказа-
доказательство того, что определяемый равенством B) на множестве L cz
d L2 (—оо, оо) оператор g'o не меняет норм векторов, а также,
что он переводит множество L в множество, плотное в L2 (—оо, оо).
После этого, расширяя оператор g-0 по непрерывности на все про-
пространство L2 (—оо, оо), мы получим оператор %, определенный
формулой C). Областью определения этого оператора будет все
пространство L2 (—оо, оо). А так как оператор g не меняет норм
векторов и его область значений плотна в L2 (—оо, оо), то его
областью значений, очевидно *), также будет все пространство.
*) Действительно, допуская противное, и расширив по непрерывности
обратный оператор g-1 на все пространство L2 (—оо, оо), мы получили бы
изометрический оператор, принимающий одинаковые значения по крайней
мере в двух различных точках, что невозможно.

42. ОПЕРАТОР ФУРЬЕ-ПЛАНШЕРЕЛЯ 125
Для завершения доказательства останется проверить, что обратный
оператор %"г получается заменой i на —i.
Упомянутое доказательство достаточно провести для какого-
нибудь множества Lo a L, лишь бы оно было плотно в L2 (—оо,оо);
например, оно проходит, если в качестве Lo взять совокупность
всех кусочно-постоянных финитных функций.
С точки зрения геометрии пространства Гильберта особенно
поучительно принять в качестве Lo плотное в L2(—оо, оо) мно-
множество всех функций
где Р (t) пробегает совокупность всех многочленов. Всякая функ-
функция E) может быть представлена в виде
/ @ = схофо @ + сад @ + . • • + а„ф„ @, F)
где ф& (t) (k = О, 1, 2, . . .) — функции Чебышева — Эрмита.
В силу ортогональности этих функций (п° 12)
— оо k=0
Теперь применим к функции f (t) оператор g0. С этой целью восполь-
воспользуемся соотношением (которое будет доказано ниже):
-JL- \ e-ist(-l)he2 \ ds = ihe2 -=А— G)
Т/2я О V dsh dtk V ;
' ~oo
(k = 0, 1,2, ...)•
Соотношение G) показывает, что
gc^fc = ( — i)hф/г (? = 0, 1,2, ...).
На основании этого соотношения
h(t) = d8of) @ = аофо @ + (- О1 сад @ +...+(- ifarSfn @ (8)
и, значит,
" |Л@|*Л= \ \f(t)?dt.
—оо
Таким образом, оператор g0 не меняет нормы элементов множе-
множества Lo. Кроме того, из наших рассмотрений явствует, что область
значений оператора g0 содержит Ьои, значит, плотна в L2 (—оо, оо).
Сравнение F) и (8) показывает также, что для перехода от g0 к g^1
надлежит лишь изменить i на —i.

126 ГЛ. III. ПРОЕКТИРУЮЩИЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Таким образом, все сводится к доказательству тождества G).
Вот это доказательство *):
оо к о
is
1 ii р
*л 2 \ o-sa "
л 2 \ o-sa " . 2 Яч —
С- I С- , С Цо
V'2S i ds*
Л
2 1 .1. ,j U *) f
е 2 —
d
В виде упражнения рекомендуем читателю проверить, что
в пространстве L2 @, оо) унитарен каждый из операторов gc, gs,
определяемых формулами
@= VlfW I ^S(s)ds= VilJ?L- I S (s) cos stds,
I
0 ^^
Эти операторы удовлетворяют соотношениям
ry* cj-,-1 гу су* су-1 су
/
и, следовательно, являются также самосопряженными операторами.
*) В самом конце доказательства используется равенство
i \ е 2 "-is' л- " 2
представляющее частный случай (k = 0) тождества G) и известное из эле-
элементарного курса анализа или теории функций.

ГЛАВА IV
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
И ПРЕДЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
43. Понятие о замкнутом операторе. В главе II было дано общее
определение линейного оператора, но в последующем изложении
мы рассматривали лишь ограниченные, т. е. непрерывные опера-
операторы, определенные всюду в Н.
В настоящей главе мы приступаем к изучению линейных опера-
операторов, не предполагая их непрерывными. Вместо непрерывности
во многих случаях оказывается вполне достаточным наличие род-
родственного, но менее ограничительного свойства, так называемой
замкнутости.
Определение. Оператор Т (не обязательно линейный)
называется замкнутым, если из одновременного выполнения соот-
соотношений
h 6 Dr, Hm /„ = /, lim Tfn = g
71—)- oo П-> oo
следует, что
/6Dr, g = Tf.
Таким образом, отличие замкнутости от непрерывности состоит
в следующем: если оператор Т непрерывен, то из существования
lim fn (fn 6 Dr) обязательно следует существование lim Tf,,; если
П->ОО П->00
же оператор Т только замкнут, то из сходимости последова-
последовательности
/ь /2, /з, ••• (/n€DT) A)
сходимость последовательности
Tfu Tf2, Tf3, ... B)'
вытекать не обязана, не дозволяется лишь двум последовательно-
последовательностям типа B) сходиться к различным пределам, если соответствую-
соответствующие последовательности A) сходятся к одному и тому же пределу.
Это последнее условие не означает еще, что оператор Т замкнут,
однако оно гарантирует существование замкнутых расширений опе-
оператора Т, если сам оператор Т окажется не замкнутым. Среди этих
расширений выделяется так называемое минимальное замкнутее

128 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
расширение, которое содержится во всяком замкнутом расширении
оператора Т. Минимальное замкнутое расширение однозначно
определяется оператором Т; его обозначают Т и называют замы-
замыканием Т. Чтобы получить Т, достаточно присоединить к Dr все
те элементы f ? DT, для которых найдется хотя бы одна из последо-
последовательностей вида A), порождающая сходящуюся последователь-
последовательность B), и положить
77=
Нетрудно доказать (мы предоставляем это читателю) справед-
справедливость следующего утверждения: если оператор Т замкнут, то
замкнут оператор Т — KI, а также обратный оператор Т~г, если
он существует.
В заключение приведем простой пример оператора в L2 @, 1), который
замыкания не допускает. Этот оператор определен формулой
Tf = xf{l)
на всех непрерывных в [0, 1] функциях f (х). Таким образом, область Dy
ллотна в L2 @, 1). Легко убедиться в том, что оператор Т не замкнут и не до-
допускает замыкания. Действительно, можно построить две последовательно-
последовательности непрерывных функций {fn (х)}^° и {Ип (*)}Г> сходящиеся в L2 @, 1)
к общему пределу, однако таких, что fn A) -s- I, hn A) ->- 0. Тогда Tfn -> х,
Thn -*¦ 0, т. е. пределы последовательностей {Tfn}^°, {ТА„}?° существуют
и различны.
44. Общее определение сопряженного оператора. В п° 25, вводя
сопряженный оператор для данного ограниченного оператора А,
определенного всюду в Н, мы исходили из того, что всякому эле-
элементу g однозначно относится элемент g*, для которого при любом f
имеет место равенство
Беря произвольный оператор Т, мы снова будем рассматривать
скалярное произведение
(?7, В), A)
где f пробегает DT. Теперь уже нельзя утверждать, что при любом
элементе g выражение A), как функция от пробегающего Dr век-
вектора f, представимо в виде
(Л Г);
однако вообще найдутся пары g, g*, для которых
(Tf,g) = (f,8*) B)
при любом f G Dr. Действительно, это равенство имеет место хотя
бы при g = g* = 0.

44. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА j2g
Наличие пар g, g*, для которых равенство B) справедливо при
любом f ? DT, еще не позволяет ввести оператор Т*, сопряженный
с Т. Необходимо еще, чтобы элемент g* однозначно определялся
элементом g. Это последнее требование будет выполнено в том
и только том случае, если DT плотно в Н. Действительно, если DT
не плотно в Н и, скажем, элемент h ортогонален к Dr, то наряду
с равенством B) при любом f G DT будет иметь место равенство
(Tf,g) = (f, g* + h).
Наоборот, если DT плотно в Н и если при любом f G Dr
то при любом f G Dr
(f,gt-gt) = o,
что невозможно, если g* ф g\.
Таким образом, если Dr плотно в Н, то оператор Т имеет сопря-
сопряженный оператор Т*; его областью определения DT* является
совокупность всех тех g, для которых существуют g*, удовлетворяю-
удовлетворяющие B) при любом f ? Dr, и
[Приведем теперь ряд простых предложений относительно сопря-
сопряженного оператора, доказательство которых непосредственно сле-
следует из определения.
1Р. Оператор Т* линеен.
2°. Если S с Т, то S* э Т*.
3°. Оператор Т* замкнут, хотя оператор Т может быть незам-
незамкнутым.
4°. Если оператор Т имеет замыкание Т, то
(Т)* = Т*.
5°. Если оператор Т** существует, то
Последнее предложение показывает, что необходимым условием
для существования оператора Т** является возможность замкнуть
оператор Т. Вопрос о том, является ли это условие достаточным
для существования Г**, мы оставляем открытым до пр 51. Там же
будет рассмотрен вопрос о возможности обобщения на случай
произвольных операторов равенства Т** = Т, доказанного в пр 25
для ограниченных операторов, определенных всюду в Н.
Пусть теперь Т — произвольный линейный оператор с плот-
плотной в Н областью определения Dr, a G — множество всех g ? DT,
9 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

130 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
для которых Tg = 0. Очевидно, множество G линейно (а в случае
замкнутости Т оно также и замкнуто); его называют нулевым мно-
многообразием оператора Г, а в случае замкнутости — нулевым под-
подпространством. Предоставляем читателю доказать следующее про-
простое, но важное предложение.
Теорема 1. Нулевое многообразие G* оператора Т*, сопря-
сопряженного с Т, и область значений Ат оператора Т ортогональны
друг другу. При этом
(независимо от того, замкнуто ли АТ или нет).
Заканчивая настоящий пункт, докажем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть линейный оператор Т имеет обратный
оператор Т'1 и пусть DT и Dr-i плотны в Н, так что существуют
операторы Т* и (Т'1) *.
Тогда имеет место равенство
(Г*)-1^^)*- C)
Доказательство. Примем вначале, что f пробегает DT,
a g пробегает D(r-i)*. В таком случае
(f, g) = (T*Tf, g) = (Tf,
Но это равенство показывает, что
g = g. D')
С другой стороны, если f пробегает Dr-i, a h пробегает Dy*, то
(/, h) = GТ-1/, К) = (Г/, T*h),
откуда следует, что
Л. D")
Соотношения D'), D") и показывают, что
45. Собственные векторы, инвариантные подпространства и при-
приводимость линейных операторов. Число К называют собственным
значением линейного оператора Т, если существует такой вектор
f ф 0, что
Tf = kf. A)

45. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ, ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 131
При этом вектор f называют собственным вектором оператора Т
(точнее, собственным вектором, принадлежащим собственному зна-
значению К).
Если оператор Т замкнут, то пополненное нулевым вектором
множество всех его собственных векторов, принадлежащих дан-
данному собственному значению К, является подпространством (конеч-
(конечно- или бесконечномерным). Это подпространство называется
собственным подпространством оператора Т, а его размерность —
кратностью собственного значения К.
Более общим, чем понятие о собственном додпространстве,
является понятие об инвариантном подпространстве.
Подпространство Н, еН называется инвариантным подпро-
подпространством оператора Т, если всякий принадлежащий Hj элемент
из DT переводится оператором Т в элемент, также принадлежа-
принадлежащий Нь т. е. если включение
влечет включение
Можно сказать, что оператор Т порождает в инвариантном
подпространстве Hj некоторый оператор Tlt для которого
Этот оператор Тх называется частью оператора Т, лежащей в Н*.
Отметим, что каждое конечномерное инвариантное подпростран-
подпространство содержит по крайней мере один собственный вектор, как
это известно из линейной алгебры.
Если Hj есть инвариантное подпространство оператора Т,
то ортогональное дополнение Н © Hj может и не быть инвариантным
подпространством рассматриваемого оператора. Но допустим, что
оба подпространства
Hi, Н2 = Н © Hj
являются инвариантными подпространствами оператора Т, и пусть
Ти Т2 — части оператора Т, лежащие соответственно, ^в Нь Н2.
Сводится ли в таком случае изучение оператора Т к изучению-
двух операторов Ти Т2?
Ответ, очевидно, положителен, если оператор Т определен
всюду в Н.
Действительно, беря любой элемент h ? Н, мы можем положить
где &! ? Нь h2 € Н2, после чего получаем
9*

132 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Если оператор Т определен не всюду в Н, то заключение остает-
остается в силе лишь при дополнительном условии, что проектирование
на Hj не выводит элементов из DT, т. е. имеет место
Теорема 1. Если подпространство Hj и его ортогональное
дополнение Н2 являются инвариантными подпространствами опе-
оператора Т, и если проектирование на Hj не выводит элементов
из DT, то для любого f ? Dr
где Ти Т2 — части Т, лежащие в Hj, Н2, а fx и f2 — проекции f
на Hj и Н2.
Определение. Если подпространство Н4 удовлетворяет
условиям теоремы 1, то говорят, что оно приводит оператор Т.
Легко видеть, что если подпространство Hj приводит оператор Т,
то ортогональное дополнение Н2 также приводит Т.
Тривиальными подпространствами, приводящими Т, являются
нулевое подпространство и само Н. Если оператор Т не имеет
других приводящих подпространств, то его называют неприво-
неприводимым.
Теорема 2. Пусть Р есть оператор проектирования на под-
подпространство G. В таком случае для приводимости оператора Т
подпространством G необходимо и достаточно, чтобы из f ? DT
следовало
1) Pf?DT и 2) PTf = TPf,
иначе говоря, чтобы оператор Т был перестановочен с операто-
оператором Р.
Доказательство. Покажем необходимость условия тео-
теоремы. Если подпространство G приводит Т, то из f ? DT следует,
что Pf ? DT, и, значит, условие 1) доказано. Чтобы доказать усло-
условие 2), положим
где
Так как G приводит Т, то
Tf
где Tg ? G, Th ? Н © G. Поэтому
т. е.
PTf = TPf.
Так же просто доказывается и достаточность условия.

45. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ, ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 133
Говорят, что проектирующий оператор Р приводит Т, если при-
приводит Т подпространство G, на которое Р проектирует.
Сведение изучения структуры оператора Т к исследованию при-
приводящих его подпространств и лежащих в них частей оператора Т
основано на следующем предложении.
Теорема 3. Пусть подпространства Hft (k = 1, 2, . . ., п;
п <! оо) попарно ортогональны и
Пусть Т — линейный оператор, который приводится каждым
из подпространств Н& и который мы будем предполагать замкну-
замкнутым, если п = оо. Пусть, наконец, Ри — оператор проектирования
на Hfe, a Th — часть Т, лежащая в Н&.
В таком случае для принадлежности элемента f к DT необ-
необходимо и достаточно, чтобы
Phf?DT и 2||7yV||»<co; B)
при этом
Tf= 2 ?W. C)
^1
Доказательство. Пусть f ? Dr. Так как Н& приво-
приводит Т, то Phf ? Dr и, значит,
Кроме того, PkTf = TPrf. Поэтому
77= 2 PhTf= 2 ^fe/= 2
ft=i fe=i fe=i
Отсюда в случае п = оо следует сходимость ряда
Примем теперь, что условия B) выполнены. Если п < оо, то
принадлежность f к Dr и равенство C) следуют из линейности Dr.
Если же п — оо, то из линейности Dr следует вначале принад-
принадлежность к DT сумм
Ъ/hf (г=1,2, 3, ...)•

134 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Далее, из сходимости ряда
следует сходимость ряда
откуда в силу замкнутости оператора Т
Замечание. Теорема остается в силе и для того случая,
когда пространство Н расщеплено на несчетное число подпространств
Н„. Это следует из того, что каждый из векторов f, Tf имеет не более
счетного множества отличных от нуля проекций на подпростран-
подпространства Н« (см. п° 10).
Заканчивая настоящий пункт, рассмотрим один характерный
пример.
Пусть пространство Н сепарабельно и {eft}"=_«, — ортонорми-
рованный базис в нем. Рассмотрим линейный оператор Uo, кото-
который на ортах задается равенствами
UQeh = eh+i ( — со <;?¦< со),
а затем расширяется по непрерывности. Uo есть унитарный опера-
оператор. Замкнутая линейная оболочка G совокупности векторов
{ей}(Г=д ПРИ каком-нибудь q > — оо является инвариантным под-
подпространством оператора Uo, однако G не приводит Uo. Действи-
Действительно, если Р — оператор проектирования на G, то
UoPeq-i = 0, Риоеч-г -— Ред = ея,
т. е.
Оператор Uo является примером оператора, не имеющего соб-
собственных векторов.
- Действительно, предположение
оо
означает, что

46. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 135
откуда
ak = toh+i (— со < k < со).
Так как
(Л П = iiu of, и of) = (V. V) = I * I2 (/, П
и f Ф 0, то | Я | =1. Поэтому
(±fe = l, 2,3, ...),
что противоречит предположению
о< S К12<со-
/г==—оо
Так как Uo не имеет собственных векторов, то, очевидно, не суще-
существует конечномерных подпространств, приводящих Uo. В даль-
дальнейшем (см. п° 54) мы установим существование бесконечномерных
подпространств, приводящих Uo.
46. Симметрические операторы. Линейный оператор А называется
симметрическим *), если
a) область определения DA плотна в Н и
b) для любых двух элементов f, g из DA имеет место равенство
Из определения следует, что скалярное произведение (Af, f)
при любом f ? DA вещественно. Может случиться, что при неко-
некотором вещественном у
для любого f (; DA- В этом случае симметрический оператор А
называют полуограниченным снизу, а наибольшее из всех значений
у, при которых выполняется это неравенство, называют нижней
гранью **) оператора А (аналогично определяется оператор, полу-
полуограниченный сверху, и его верхняя грань). Если, в частности,
(Л/,Я>0 (/6DA),
то оператор А называют положительным.
Если симметрический оператор ограничен, то его расширение
по непрерывности определено всюду в Н и является, очевидно,
ограниченным самосопряженным оператором (см. п° 25).
Если же симметрический оператор не ограничен, то в силу
теоремы п° 28 его область определения не может совпадать со всем
пространством.
*) Наряду с термином симметрический применяется термин эрмитов.
**) Для ограниченных самосопряженных операторов это понятие было
введено в nQ 25.

136 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Для удобства при дальнейших ссылках сформулируем этот
результат в виде следующего предложения.
Теорема 1. Если симметрический оператор А определен
всюду в Н, то А есть самосопряженный ограниченный оператор.
Если А — симметрический оператор, то, очевидно,
А* =2 А,
а так как сопряженный оператор замкнут, то это соотношение пока-
показывает, что симметрический оператор всегда допускает замыкание.
Если В — симметрическое расширение оператора А, то В s A*,
т. е. всякое симметрическое расширение оператора А содержится
в сопряженном операторе А*.
Действительно, из В э А следует, что В* ^ А*, и остается
принять во внимание, что В ^ В*.
Оператор, совпадающий со своим сопряженным (А = А*), назы-
называется самосопряженным; он не имеет симметрических расширений.
Симметрический оператор, не имеющий симметрических расши-
расширений, но не совпадающий со своим сопряженным (А с= А*), назы-
называется максимальным симметрическим оператором.
Теорема 2. Симметрический оператор А, область значений
которого АА совпадает со всем пространством, есть оператор
самосопряженный.
Доказательство. Надлежит проверить, что любой эле-
элемент g из Da* принадлежит DA. Итак, пусть g ? DA* и A*g = g*.
Так как, по условию теоремы, Дд = Н, то существует такой элемент
h ? DA, что Ah = g*. Следовательно, при любом f ? DA,
А так как ДА = Н, то g = h, т. е. g ? ВЛ, и теорема доказана.
Теорема 3. Если самосопряженный оператор имеет обрат-
обратный оператор, то этот обратный оператор является оператором
самосопряженным (ограниченным или неограниченным).
Доказательство. Проверим, что область определения
обратного оператора или, что то же, область значений оператора
А плотна в Н. Последнее, действительно, имеет место, так как
в противном случае существовал бы вектор h ф 0, ортогональный
к Дл, а тогда из равенства (Af, И) = 0, справедливого для всех
f ? DA, следовало бы, что h ? DA и что Ah = 0, а это противоречит
существованию обратного оператора.
Теперь остается воспользоваться теоремой 2 п° 44.
Теорема 4. Собственные значения симметрического опера-
оператора вещественны.
Собственные векторы flt f2, принадлежащие двум различным
собственным значениям %и %2 симметрического оператора, орто-
ортогональны.

46. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 137
Действительно, если
то
(Л/,/) = Х (/,/),
и так как для симметрического оператора (Af, f) вещественно,
а (А /) >0, то число % вещественно.
Итак, первое утверждение доказано.
Для доказательства второго утверждения положим
Ah = Vi. Ah = Ыг, ^ ^= **¦
В таком случае
^i (fi. /2) =
откуда
и, следовательно,
Теорема 5. /?сли G есть инвариантное подпространство
симметрического оператора А и если проектирование на G не выво-
выводит элементов из DA, то подпространство G приводит опера-
оператор А.
Доказательство. На основании теоремы 1 п° 45 все
сводится к доказательству того, что подпространство Н © G являет-
является инвариантным подпространством оператора А.
Беря произвольный элемент f из DA, принадлежащий HQG,
и заставляя g пробегать DA, будем, в силу условий теоремы, иметь
равенство
где Р — оператор проектирования на G. Итак, при любом g из DA
(Af,Pg) = 0
или
(PAf,g)=*0.
В силу плотности Da в Н, это значит, что
PAf = O,
т. е.
и теорема доказана.
В заключение отметим следующую лемму, которой нам при-
придется воспользоваться позднее.

J38 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Лемма. Для того чтобы линейное многообразие D (DA с=
CDc DA*) являлось областью определения самосопряженного
расширения симметрического оператора А, необходимо и доста-
достаточно, чтобы совокупность всех элементов f из DA*, удовлетворяю-
удовлетворяющих при любом g ? D условию
¦совпадала с D.
Доказательство этой леммы непосредственно следует из рас-
рассмотрений настоящего параграфа.
47. Снова об изометрических и унитарных операторах. Мы будем
рассматривать в настоящем пункте изометрические операторы
в узком смысле, т. е. областью определения Dv и областью значе-
значений Ду оператора V будут некоторые подпространства одного
и того же пространства Н. Изометрический оператор называют
максимальным, если он не имеет изометрических расширений.
Теорема 1*). Собственные значения изометрического опе-
оператора по модулю равны 1.
Доказательство. Действительно, пусть
Vf = Kf.
Тогда
(f- f) = (V7, v?) = w, х/) Ч W,/),
•откуда \Х\ = 1, так как (J, f)=?0.
Теорема 2. Собственные векторы fit f2. принадлежащие
двум различным собственным значениям Klt %г изометрического
¦оператора, ортогональны.
Доказательство. Пусть
В таком случае
(Л. й) = № vh) = (Vi, Ш=A (A, /2),
¦откуда
и, значит,
(Л,/2)=0,
так как 1 — %&z ?= 0.
Теорема 3. Для того чтобы подпространство G приводило
унитарный оператор U, необходимо и достаточно, чтобы под-
*) В сущности, этот факт нами был установлен уже в п° 45.

48. ПОНЯТИЕ О СПЕКТРЕ 139
пространство G было инвариантным подпространством для каж-
каждого из операторов U, U~l.
Доказательство. Пусть G приводит U. Тогда Н © G
есть инвариантное подпространство оператора U, т. е. при любом
/ ? Н © G и любом g е G
откуда
а это и означает, что U^g G G, т. е. что G является инвариантным
подпространством для U'1.
Обратно, пусть G инвариантно относительно оператора U~K
Тогда при любом / ? Н © G и любом g ? G
откуда вытекает, что подпространство Н © G инвариантно относи-
относительно оператора U. Кроме того, G инвариантно относительно U
по условию. Следовательно, G приводит оператор U.
48. Понятие о спектре. В линейной алгебре под спектром матрицы
понимают совокупность ее собственных значений. В элементарной
теории интегральных уравнений спектр вводится как совокупность
характеристических чисел этого уравнения. При этом оказывается,
что некоторое неоднородное уравнение (векторное или функцио-
функциональное), содержащее параметр К, разрешимо, и притом одно-
однозначно, при любой правой части, если К не принадлежит спектру,
и, вообще говоря, неразрешимо, если К принадлежит спектру.
Перейдем теперь к общим рассмотрениям и примем, что нам
дан некоторый замкнутый линейный оператор Т, определенный
на плотном в Н многообразии Dr. Обозначим через К параметр,
который может принимать любые комплексные значения, и рас-
рассмотрим операторное уравнение
Исследование этого уравнения сводится к исследованию линейного
многообразия Дг (Ц, пробегаемого вектором (Т — Kl) f, когда f
пробегает Dr. Коротко Дг (К) можно записать в виде Дг (К) =
= (Т — %I) DT. Оператор Т — %1 — Т% осуществляет соответ-
соответствие (не обязательно взаимно однозначное) между Dr и Дг (К).
Если это соответствие взаимно однозначно, то оператор Т — XI
имеет обратный оператор (Т — KI)'1 с областью определения Дг (К)
и областью значений Dr-
Определение 1. Значения параметра К, для которых
обратный оператор (Т — КГ)'1 существует, определен всюду

140 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
в Н (Аг (ty = Н) и ограничен, называются регулярными значе-
значениями (или регулярными точками) оператора Т. Все остальные
точки комплексной плоскости образуют спектр оператора Т.
В упомянутых выше случаях, которые относятся к линейной
алгебре и теории интегральных уравнений, спектр оператора
состоит из всех его собственных значений. Вообще же совокупность
собственных значений не исчерпывает спектр. Действительно, при-
приводимая далее теорема 1 характеризует собственные значения опе-
оператора, как такие значения параметра К, для которых оператор
Т — KI не имеет обратного, а между тем может представиться еще
и тот случай, когда при рассматриваемом значении параметра К
обратный оператор {Т — КГ)'1 существует, но определен не всюду
в Н или неограничен.
Теорема 1. Осуществляемое оператором Т — KI соответ-
соответствие между Dr и АТ(к) взаимно однозначно в том и только том
случае, если X не есть собственное значение оператора Т.
Доказательство. Если оператор Т — X/ не осуществляет
взаимно однозначного соответствия между Dr и Дг (К), то суще-
существуют такие fu f2 ? DT (ft ф fj, что
Tfi-Vi = ff. Tf2-%h = g.
Следовательно,
Tf = kf,
где f — fi — f2 Ф 0, т. е. К есть собственное значение оператора Т.
Доказательство обратного утверждения так же просто и может
быть предоставлено читателю.
Не останавливаясь в общем случае на детальном априорном
разборе всех возможных предположений относительно оператора
(Т — KI)'1 и области Дг (К), ограничимся тем особенно важным
случаем, когда исходный оператор есть оператор самосопряженный
(мы будем его обозначать не Т, а А).
Теорема 2. Число К является собственным значением само-
самосопряженного оператора А в том и только том случае, если
Доказательство. Пусть % есть собственное значение
оператора А, так что
Af = kf AФ0).
В таком случае при любом h ? DA
(f,(A
и, значит,
что возможно только при АА (К) =Ф Н.

48. ПОНЯТИЕ О СПЕКТРЕ
Допустим теперь, что ДА (К) Ф Н. В таком случае существует
отличный от нуля вектор f, ортогональный многообразию ДА (к).
Поэтому при любом h ? DA
откуда следует, что f ? Da* и
A*f = Kf.
Но Л* = А, поэтому
Af=1f,
т. е. К есть собственное значение оператора А (и, значит, веще-
вещественно).
Отметим, что в ходе доказательства теоремы 2 нами доказана
Теорема 2*. Собственное подпространство оператора А,
принадлежащее собственному значению к, является ортогональным
дополнением в Н линейного многообразия АА (Я) = (А — KI) DA.
Теорема 3. Невещественные точки комплексной плоскости
X являются регулярными точками самосопряженного оператора А.
Доказательство. Число К = | +  (ц?=0) не может
быть собственным значением оператора А. Поэтому на основании
теоремы 1 существует оператор (А — КГ)'1. Пусть
Тогда
|| g ||2 = ((Л - II) f - irf, (А -Ц) f- ir]f) =
= II (А - У) f ||2+tii ((Л -U)f,f)- щ (f, (Л - Ы) /)+rf
откуда
II/II <-[{
<-[{у II ? II.
т. е.
ll^-wrviKj^-ll^ll-
Так как это соотношение справедливо при любом g 6 Да (Ц, то
оператор (Л — kl)'1 ограничен.
Поскольку к не является собственным значением оператора, то
в силу теоремы 2
Остается доказать, что многообразие ДА (к) замкнуто. Допу-
Допуская, что ДА (к) Ф АА (к), мы должны заключить, что оператор

142 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
(А — к1)~г, как оператор ограниченный, можно расширить
на АА (к). Это расширение совпадет с замыканием оператора
(А — kl)'1, который поэтому не замкнут. Но это невозможно, так
как замкнутость оператора А влечет замкнутость оператора
(А-Щ-\
Следствие 1. Спектр самосопряженного оператора лежит
на вещественной оси.
Следствие 2. Регулярная точка самосопряженного опера-
оператора А может быть определена как такое значение параметра к,
для которого ДА (к) = Н.
Доказательство. Если к — невещественная точка,
то ее регулярность установлена теоремой 3. Если к вещественно
и ДА (к) = Н, то, в силу теоремы 2, Я не есть собственное значение
оператора А. Поэтому, в силу теоремы 1, существует определенный
всюду в Н обратный оператор (А — hi). Этот оператоо является
самосопряженным оператором и, следовательно (см. начало п° 46),
он ограничен, так что применимость определения 1 доказана.
Мы можем теперь, не вступая в противоречие с определением 1,
принять следующее
Определение 2. Если А — самосопряженный оператор,
то точка к называется регулярной его точкой при АА (^») = Н
и точкой спектра при ДА (к) Ф Н.
Классификацию точек спектра самосопряженного оператора
дает следующее
Определение 3. Значение к принадлежит точечному
спектру самосопряженного оператора А, если ДА (к) Ф Н, и при-
принадлежит непрерывному спектру, если ДА (к) Ф ДА (к) или если к
есть собственное значение бесконечной кратности.
Заметим, что этим определением не исключается принадлеж-
принадлежность точки к одновременно обеим частям спектра даже в том слу-
случае, когда к не есть собственное значение бесконечной кратности.
На основании теоремы 2 точечный спектр оператора совпадает с
совокупностью его собственных значений. Множество всех изо-
изолированных точек спектра, за исключением собственных значе-
значений бесконечной кратности, называют иногда дискретным спек-
спектром*).
Заканчивая настоящий пункт, докажем следующее предло-
предложение.
Теорема 4. Спектр самосопряженного оператора замкнут.
Доказательство. Достаточно доказать, что множество
регулярных точек самосопряженного оператора А открыто.
*) Из дальнейшего (см. п° 93) вытекает, что дискретный спектр является
частью точечного спектра.

49. РЕЗОЛЬВЕНТА 143
Пусть Яо — регулярная точка. В таком случае существует
такое число k > О, что при любом / ? DA
\\Af-%of\\>k\\f\\.
Если 0 < б< yk, то при | Я — Яо ]<б и любом / ? DA
откуда видно, во-первых, что Я не есть собственное значение опера-
оператора Л, так что ДА (Я) = Н, и, во-вторых, что обратный оператор
(Л — Я/) ограничен. Равенство ДА (Я) = АА (Я) является след-
следствием замкнутости оператора Л. Таким образом, все точки Я.
из окрестности |Я— Яо|<;6 регулярны, и теорема доказана.
49. Резольвента. Как и в предыдущем пункте, начнем с произволь-
произвольного замкнутого линейного оператора Т, область определения которо-
которого плотна в Н, а затем обратимся к самосопряженному оператору Л.
Резольвентой оператора Т называют зависящий от параметра Я.
оператор
Ях=(Т-М)-1,
рассматриваемый на множестве всех тех значений Я, для которых
он существует и для которых его область определения, т. е. Дт (Я),
плотна в Я.
В каждой регулярной точке оператора Т резольвента R), есть-
определенный во всем пространстве ограниченный оператор.
Оператор R}, осуществляет взаимно однозначное соответствие
между Дт (Я) и DT. Отсюда, в частности, вытекает, что если для
какой-нибудь регулярной точки Я оператора Т имеет место равен-
равенство RJi = 0, то h — 0.
Теорема 1. Для любых двух регулярных значений Я, ц опе-
оператора Т имеет место равенство (так называемое соотноше-
соотношение Гильберта)
Доказательство. Так как Я, ц — регулярные точки1
оператора Т, то для любого h ? Н
ЯФ = RVL(T- ill) Rhh, R^h = Rv(T- XI) Rhh.
Вычитая первое равенство из второго, мы и получим требуемое
соотношение.
Из соотношения Гильберта следует перестановочность резоль-
резольвент при всех регулярных значениях Я, ц:
Это есть частный случай следующего общего предложения.

144 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Теорема 2. Для перестановочности оператора Т с ограни-
ограниченным оператором S, определенным всюду в Н, необходимо, чтобы
оператор S был перестановочен с резольвентой Rt. = (Т — к])'1
для любого регулярного значения к, и достаточно, чтобы S и Rj,
были перестановочны хотя бы для одного регулярного значения К.
Доказательство. Допустим, что операторы Т a S
перестановочны, т. е. что равенство
TSf = STf
имеет место для любого f ? DT.
Если К — регулярная точка оператора Т и
то f пробегает DT, когда h пробегает Н. А так как из перестано-
перестановочности операторов Т a S следует, что при любом f ? DT
(T — M)Sf=S(T —
и, значит,
то в случае перестановочности операторов Т и S
Доказательство второй части утверждения нисколько не сложнее.
Обратимся теперь к самосопряженному оператору А с тем,
чтобы определить его резольвенту R), также и для собственных
значений, после чего резольвента самосопряженного оператора
будет определена для всех точек плоскости К.
С этой целью примем, что К' есть собственное значение опера-
оператора А и обозначим через Gv собственное подпространство опера-
оператора А, принадлежащее К'. Как мы знаем, G%' приводит оператор А.
Пусть А' — часть оператора А, лежащая в HQGv = Н'. Легко
видеть, что А' есть самосопряженный оператор в Н', для кото-
которого К' не есть собственное значение. Мы определим R%', полагая
Областью определения оператора R^ является плотное в Н' мно-
многообразие АА' (К'). Его описывает точка
когда точка f пробегает DA'. Но легко видеть, что то же много-
многообразие описывает точка
(Л-А7)/,

50. ОПЕРАТОР СОПРЯЖЕНИЯ 145
когда точка / пробегает DA. Таким образом,
Что касается области значений оператора R%>, то она полу-
получится, если DA спроектировать на ортогональное дополнение
к собственному подпространству, принадлежащему собственному
значению К'.
Заканчивая настоящий пункт, покажем, что
W = Rv A)
если только К не принадлежит точечному спектру оператора
(в последнем случае оператор R), вообще не имеет сопряженного).
Действительно, в силу теоремы 2 п° 44 имеем
что и доказывает формулу A).
50. Оператор сопряжения *). Так называют определенный всюду
в Н оператор J, для которого
2) • ./*/ = /
для любых /, g 6 Н.
Из 2) следует, что областью значений оператора / также являет-
является все пространство. Действительно, любой вектор h 6 Н можно
представить в виде h = Jg, стоит лишь взять g = Jh.
Оператор / вместо обычной линейности обладает следующим
свойством:
Действительно, полагая в 1)
g = Jh,
где h будет пробегать Н, получим
откуда
(J Ы
= а (//, К) +~р (Jg, h) = (aJf + pjg, h),
и утверждение доказано.
*) Результаты настоящего пункта будут использованы лишь в добав-
добавлении II.
10 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

146 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Примером оператора сопряжения в L2 является операция
перехода к комплексно сопряженной функции
Для всякого оператора сопряжения в сепарабельном простран-
пространстве можно так выбрать ортонормированный базис {е^}™, что из
ft=l
будет следовать
оо
k=l
Доказательство этого простого факта предоставляем читателю.
Определение. Симметрический оператор А называют
вещественным по отношению к данному оператору сопряжения J,
если операторы А к J перестановочны, т. е. если из / ? DA сле-
следует, что // 6 DA и
JAf = AJf.
Теорема. Если А — самосопряженный оператор, веществен-
вещественный относительно данного оператора сопряжения J, то резольвента
оператора А при всех невещественных К удовлетворяет соотношению
A)
Доказательство. Применим оператор сопряжения к обе-
обеим частям равенства
(А
Получим
Отсюда, в силу вещественности оператора А по отношению к опера-
оператору J, находим
Теперь применим к обеим частям оператор JR^. Это даст
что и требовалось доказать, так как R^ = R%.
Если Т — линейный оператор с плотной в Н областью определе-
определения, & J — заданный оператор сопряжения, то, по аналогии с
терминологией теории матриц, оператор JT*J можно назвать
транспонированным с Г и обозначить 7". Доказанное только что

51. МЕТОД ГРАФИКА 147
соотношение A) можно, следовательно, записать в виде
51. Метод графика. Рассмотрим множество пар {f,g}, где абсцисса f
и ордината g пробегают гильбертово пространство Н. Будем
считать эти пары элементами ортогональной суммы пространств
^©Нг, где Ht = Н2 = Н (см. п° 7).
Образованное этими парами гильбертово пространство Н©Н
мы будем обозначать Н.
Пусть Т — какой-нибудь оператор в Н. В таком случае сово-
совокупность М (Т) всех точек вида {f, Tf} называют графиком опе-
оператора Т.
Все точки множества М (Т) однозначно определяются своими
абсциссами. Обратно, если все точки некоторого множества М
из Н однозначно определяются своими абсциссами, то в Н суще-
существует оператор Т, графиком которого является множество М.
Весьма просто отражается на графике, замкнут или не замкнут
оператор Т, а именно, для замкнутости оператора Т необходимо
и достаточно, чтобы было замкнуто в Н точечное множество М (Т).
Так как любое множество в Н можно замкнуть, то на основании
сказанного может показаться, что любой оператор Т в Н допускает
замыкание. Но дело в том, что замыкание графика М (Т) опера-
оператора Т может привести к множеству М (Т), точки которого
не определяются однозначно своими абсциссами, и в этом случае
множество М (Т) не будет графиком, т. е. не порождается никаким
оператором. Если же множество М (Т) не содержит двух различных
точек с равными абсциссами, то оператор Т допускает замыкание Т
и М (Т) - ЩГ).
Легко видеть, что если оператор Т линеен, то множество М (Т)
будет линейным многообразием в Н.
Определим теперь всюду в Н оператор U, полагая
U есть унитарный оператор. Действительно, его областью значе-
значений является все пространство Н, а с другой стороны,
= tei, gz) + (Л, h) = Ши gt], {/2. Ы)-
Заметим также, что U2 = —I.
Применим метод графика для решения поставленных в п° 44
вопросов относительно существования Т** и равенства Т** = Т.
10*

148 гл- Iv- ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
С этой целью возьмем равенство
E7. ?)-(/, g*) = W, -/}, {g, g*» = (U{/, Tf), {g, g*}),
верное для любого /: ? DT и любой пары элементов g, g* из Н.
Из написанного равенства вытекает ряд следствий:
1°. Для того чтобы элементы g, g* ? Н удовлетворяли соот-
соотношению
при любом / ? Dr, необходимо и достаточно, чтобы элемент {g, g*}
пространства Н был ортогонален множеству LIM (Т), в которое
оператор U переводит график оператора Т.
2°. Если оператор Т* существует, то его графиком является
М (Т*) = Н © LIM (T).
3°. Для существования оператора Т* необходимо и достаточно,
чтобы точки множества
Н©иЩГ)
однозначно определялись своими абсциссами.
Следствие 3° есть другой критерий существования сопряженного
оператора (первый критерий — плотность многообразия DT в Н —
был установлен в п°44).
Теорема 1. Если линейный оператор Т с плотной в Н обла-
областью определения допускает замыкание, то оператор Т** суще-
существует и является замыканием *) оператора Т:
(В частности, если оператор Т замкнут и DT = Н, то Т = Г**.)
Доказательство. Допустим вначале, что оператор Т
замкнут. В таком случае замкнуто множество М (Г), а значит,
и множество LM (Т). Поэтому устанавливаемое следствием 2 соот-
соотношение можно переписать в виде
Отсюда, применяя оператор U и учитывая, что М (Т) = —М (Г),
получим
Н = М(Г)©иМ(Г*). A)
Иначе говоря,
М(Г). B)
А так как точки множества М (Г), как графика, однозначно опре-
определяются своими абсциссами, то, в силу следствия 3, оператор Т**
*) Таким образом, теорема 1 дает прием для нахождения замыкания
оператора. Этот прием иногда применяется в приложениях (см. п° 54).

51. МЕТОД ГРАФИКА 149
существует, а на основании B) и следствия 2° он совпадает с Т.
Итак, если оператор Т замкнут, теорема доказана.
Примем теперь, что оператор Т не замкнут, но допускает замы-
замыкание. В таком случае, по доказанному,
(f)** = Т.
Но
пл** __
и, следовательно,
что и требовалось доказать.
Докажем методом графика еще одно замечательное предложение.
Теорема 2. Если Т — замкнутый линейный оператор
с плотной в Н областью определения, то произведение Т*Т есть
самосопряженный (и притом положительный) оператор.
Доказательство. Прежде всего отметим, что при любых
f > g € DT*T имеет место соотношение
= (f,T*Tg)
и, в частности,
(Г*7У,/) = GУ, 77)>0,
так что положительность оператора Т*Т уже доказана.
Пусть h — произвольный элемент Н. В силу справедливого,
благодаря замкнутости оператора Т, соотношения A) элемент
{h, 0} ? Н однозначно представим в виде
или
{h, O} = {/o, Tfo} + {T*go, -g0}.
Следовательно,
и, значит,
Таким образом, при любом h 6 Н уравнение
h C)
разрешимо (однозначно). Отсюда вытекает, что DT*T плотно в Н.
В самом деле, допустим, что существует вектор h ф 0, ортогональ-
ортогональный DT*T. Но вектор h можно представить в виде C). Следова-
Следовательно, при любом g 6 DT*T
о=(ft, *) = ((/+т*т) f, g) = (/, (/+т*т) g)

150 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
и, беря g = f, получим
0= (/, /) + (/, T*Tf) = (/, /) + (Tf, Tf),
откуда f = 0 и, значит, h = 0, что невозможно.
Итак, DT*T плотно в Н. Значит, Т*Т и, следовательно,
/ + Т*Т — симметрический оператор. Но область значений опе-
оператора / + Т*Т, по доказанному, совпадает со всем простран-
пространством Н. Поэтому (см. пр 46) / + Т*Т есть самосопряженный
оператор и таковым является также
Доказательство закончено.
Совершенно аналогично доказывается, что при условиях тео-
теоремы является положительным самосопряженным оператором про-
произведение ТТ*.
Результат, полученный в настоящем пункте, позволяет обоб-
обобщить теорему 1 п° 46 на случай произвольного замкнутого опера-
оператора, а именно, справедлива
Теорема 3. Если замкнутый линейный оператор Т опре-
определен всюду в Н, то он ограничен.
Доказательство. Установим вначале ограниченность
сопряженного оператора Т*. С этой целью допустим противное.
В таком случае существует последовательность {gk}? ^ Dt*
(II gh II = 1), Для которой
lim \\T*gk\\ = оэ. D)
Й->оо
Рассмотрим последовательность функционалов
Ф* (/) = (/. T*gh) = (Tf, gk) (Л = 1, 2, 3, ...)-
Так как при каждом / 6 Н числовая последовательность (Фй (/
ограничена, то по теореме 2 пр 26 найдется такое а/И < со, что
\\Фк\\<сМ (k=l, 2, 3, ...),
а это противоречит D), ибо || Фй || = || T*gh ||.
Итак, оператор Т* ограничен; а так как он замкнут, то его
область определения DT* есть подпространство. С другой стороны,
из замкнутости исходного оператора Т, в силу теоремы 1 настоя-
настоящего пункта, вытекает, что DT* плотно в Н. Поэтому DT* = Н.
А так как Т = (Г*)*, то и Г — ограниченный оператор, что
и требовалось доказать.
Заметим, что теорема 3 является частным случаем одной общей
теоремы Банаха *).
*) Банах С, Курс функшонального анал1зу, КиТв, 1948.

52. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПРОЕКТИРУЮЩЕМ ОПЕРАТОРЕ 151
52. Обобщение понятия о проектирующем операторе, о котором
здесь будет идти речь, соответствует переходу от ортогонального
проектирования к проектированию косому.
Пусть пространство Н разложено в прямую (но, вообще говоря,
не ортогональную) сумму подпространств G и F:
так что каждый элемент h 6 Н однозначно представим в виде
где g 6 G и f ? F.
Определенный всюду в Н оператор Р, который каждому век-
вектору h относит его компоненту g 6 G, называется оператором проек-
проектирования (на G параллельно F) или, короче, проектором.
В частности, если подпространства G и F ортогональны, опе-
оператор Р совпадает с проектирующим оператором, который был
введен нами в п° 35 и который теперь удобнее называть орто-
проектором.
Равенство || Р \\ = 1, имеющее место для ортопроекторов, не
сохраняется при переходе к произвольным проекторам, так как
уже в конечномерном пространстве норма проектора может быть
сколь угодно большой. В связи с этим возникает вопрос о том,
является ли произвольный проектор в Н ограниченным оператором.
Положительный ответ на этот вопрос вытекает из теоремы 3 пре-
предыдущего пункта. Чтобы убедиться в этом, нужно лишь доказать,
что всякий проектор Р является замкнутым оператором.
Допуская противное, мы приходим к выводу, что существует
последовательность {hn\f, для которой
hn->h, Phn->g'=?Ph. A)
Так как
где f'n 6 F, то в силу A) f'n->- Г € F, и, значит, справедливо сле-
следующее разложение h на две компоненты:
Но, с другой стороны, имеет место второе представление
h^Ph + f (/(EF).
Это противоречит определению прямой суммы.
Теперь нетрудно (мы предоставляем это читателю) перенести
на проекторы основные свойства ортопроекторов, изложенные
в п° 36 и 37. В частности,
1°. Оператор Р, определенный всюду в Н, является проекто-
проектором в том и только том случае, когда он ограничен и удовлетворяет
соотношению Р2 = Р.

152 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
2°. Если Р есть проектор на G параллельно F, то / —¦ Р есть
проектор на F параллельно G.
3°. Если проекторы Pi и Р2 перестановочны, то их произведе-
произведение Р = Р±Р2 также является проектором.
Заметим, однако, что, в отличие от ортопроекторов, косой
проектор не является самосопряженным оператором.
В заключение рассмотрим случай, когда прямая (не ортого-
ортогональная) сумма двух подпространств G и F плотна в Н, но не сов-
совпадает со всем Н. В этом .случае можно определить оператор Р
на плотном в Н многообразии DP = G @ F формулой
Ph = g, ' B)
если
C)
Подобно рассмотренным выше проекторам, оператор Р удо-
удовлетворяет условию
Р* = Р, D)
однако, в отличие от проекторов, определенных во всем Н, опера-
оператор Р неограничен.
Мы сохраним название проектор лишь за операторами, опре-
определенными во всем Н. Операторы, обладающие свойством D),
в том числе все проекторы, называются идемпотентными опера-
операторами.
Приведем пример неограниченного идемпотентного оператора Р. Пусть
совокупности {ej}J° и {ft}f вместе образуют ортонормированный базис в Н.
Построим последовательность gn = fn-\ еп и обозначим через F подпро-
подпространство, натянутое на орты {ft}™, а через G — подпространство, натянутое
на совокупность {й}^°. Очевидно, Н есть замкнутая линейная оболочка под-
подпространств F и G, однако Н не совпадает с их прямой суммой. Действи-
Действительно, возьмем вектор
оо
71=1
Тогда
оо
ho= 2 (gn-fn),
71=1
но h0 нельзя представить в виде C), так как тогда следовало бы положить
оо оо
1
однако ни одна из этих сумм не существует. Легко видеть, что идемпотентный
оператор Р, определенный формулами B), C) на многообразии DP = GQJF,
не ограничен.

53. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 153
53. Матричное представление неограниченных симметрических опе-
операторов. Настоящий пункт примыкает по своему содержанию
к п° 29. Мы снова предположим пространство Н сепарабельным
и снова займемся вопросом о матричном представлении оператора А,
на сей раз уже неограниченного, но зато симметрического и зам-
замкнутого.
Как и в п° 29, возьмем в Н ортонормированный базис {ek}f,
который теперь не может быть произвольным, но должен принад-
принадлежать (плотному в Н) множеству DA. Затем положим
Aek = gh (k=\, 2, 3, ...) A)
и
(Aeh, et) = alh (t, k = 1, 2, 3, ...) B)
и сделаем попытку восстановить оператор А по его значениям
на ортах е^ или, что то же, по матрице (tZjft). С этой целью введем
линейную оболочку L = L (е1( е2, . . .) совокупности всех ортов
eft (k = 1, 2, . . . ) и построим линейный оператор В с областью
определения DB = L, который удовлетворяет соотношениям
Beh = gh (k=l, 2, 3, ...). C)
Оператор В этими условиями определяется однозначно и В сг А.
Так как В — симметрический оператор (поскольку atk = ам),
то он допускает замыкание В, которое однозначно определяется
оператором В, т. е. условиями C), и
В с Л.
В есть минимальный замкнутый линейный оператор, удовлетво-
удовлетворяющий условиям A), и если матрицу (aik) мы хотим рассматри-
рассматривать как представление в базисе {eft}j° некоторого линейного зам-
замкнутого оператора, то этим оператором, очевидно, следует считать
именно оператор В, а не какое-нибудь его расширение, которое,
конечно, также удовлетворяет соотношениям A), B). Может ока-
оказаться, что В = А. В этом случае можно сказать, что оператор А
представим матрицей {а^) в базисе {ей}~. При изменении базиса
{eh}f меняется матрица (aih), а также оператор В. Поэтому воз-
возникает вопрос: нельзя ли для данного замкнутого симметриче-
симметрического оператора А найти такой ортонормированный базис {ей}~,
чтобы в этом базисе В = А, т. е. чтобы в этом базисе оператор А
допускал матричное представление? Ниже (теорема 3) мы дадим
на этот вопрос положительный ответ.
Определение. Ортонормированный базис {ей}~ назы-
называется базисом матричного представления для замкнутого симме-
симметрического оператора А, если

154 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
1) элементы этого базиса принадлежат DA и
2) А есть минимальный замкнутый линейный оператор, при-
принимающий на ортах еъ значения Ае^.
В отличие от п° 29, мы пока не касались вопроса о нахождении
компонент вектора Af по компонентам вектора f. Следующие две
теоремы посвящены этому вопросу.
Теорема 1. Пусть А — замкнутый симметрический опера-
оператор, пусть {ей}~ — произвольный ортонормированный базис, эле-
элементы которого принадлежат DA, и пусть, наконец,
(Aek, ei) = aih (i,k=l, 2, 3, ...).
В таком случае значение оператора А на каждом элементе f 6 DA
находится по формулам
Af= S УМ, D')
yi = S amXk (t = l, 2, 3, ...), D")
если
/= S xheh. E)
ft=i
Доказательство. В самом деле,
3/i = (Af, et) = (f, Лег)= S (/. eh) (eh, Aet) =
ft=i
= S (/. ek) (Aeh, et)= § affcxft (t= 1, 2, 3, ...).
fe=i fe=i
Теорема 2. Пусть А — замкнутый симметрический опера-
оператор, пусть {eftjf — его базис матричного представления и
aik~(Aeh, et) (i, k=l, 2, 3, ...).
Пусть, наконец, оператор Т определен соотношениями
на совокупности DT всех векторов
оо
/= 2

S3. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 155
для которых
оо оо
2 I 2 aihxhf<ico.
В таком случае Т = А*, т. е. Т есть оператор, сопряженный с А.
Доказательство. Докажем вначале, что
Л*<=7\ F')
Пусть g ? DA* и A*g = g*. Полагая
оо оо
g= 2 xhth, g*= 2 *&>
будем иметь
оо
zi = (g*, et) = (g, Ae{)= S (<?. eft)(eft) Лег) =
fe=i
oo
fe=i
Так как
то вектор g принадлежит Dr и Tg = g*.
Соотношение F'), следовательно, доказано, причем даже не
использовано, что {ей}™ есть базис матричного представления.
Теперь докажем, что
Т е= Л*, F")
после чего теорема будет доказана полностью.
Пусть g ? Dr и
оо
<?= 2 xheh-
В таком случае
оо оо
(Аеи g)= 2 xk(Aeu ek)= 2
fe=i ft=i
А так как
oo oo
(Tg, ei)= S aJfcxfc= S
TO
еь g)=(Tg, е,)=(е,,

156 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Мы видим, что равенство
G)
справедливо при f = et (i = 1,2, . . . ). Следовательно, это равен-
равенство справедливо также при любом f из линейной оболочки ортов
et (i = 1, 2, . . . ). А так как {eh}f есть базис матричного пред-
представления оператора А, то равенство G) справедливо при любом
f 6 DA. Отсюда вытекает, что g 6 DA* и A*g = Tg. Таким обра-
образом, соотношение F") доказано.
Заметим, что в силу теоремы 2 имеет место равенство
оо оо оо оо
2 ( 2 aikxk)yt= 2 xh( 2ahtyi), (8)
ii fei fti ii
каков бы ни был вектор 2 xk^h из DA, и вектор 2 yiei из Da*-
ft=i i=i
Равенство (8) можно представить в виде
оо оо оо оо
2(Ij aikxk)yi= 2 ( 2 a-lhyi)xh.
i=l ft=l ft=l i=l
Если эта перестановка порядка суммирования допустима для
любых векторов из DA*, то оператор А* является симметрическим.
В этом и только этом случае А есть оператор самосопряженный.
Доказанные теоремы поясняют, почему для неограниченных
симметрических операторов нельзя определять матричную пред-
представимость наличием формул вида D'), D"), E), как это делалось
в пс 29 для ограниченных операторов.
Теорема 3. Для любого замкнутого симметрического опе-
оператора А существует базис матричного представления.
Доказател ьство. Мы докажем, что существует после-
последовательность {fu)T ^ Da. обладающая тем свойством, что при
любом/1 6 DA найдется подпоследовательность {fujili, для которой
lim/ft =/, НтЛД =Л/.
После этого для доказательства теоремы останется ортогонализо-
вать последовательность {fh}f-
Итак, займемся построением последовательности {fk}f ¦ С этой
целью возьмем произвольную плотную в Н последовательность
{ftfcjf. Если для некоторой тройки натуральных чисел т, п, р
существуют элементы f ? DA, удовлетворяющие неравенствам
||ftm-/||<:j, \\hn-Af\\<~,
то отнесем этой тройке один из таких элементов f и назовем его

S3. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 157
fm,n,р- Таким образом, мы получим последовательность {fm,n,p}-
То обстоятельство, что не каждой тройке т, п, р относится требуе-
требуемый элемент, а также, что различным тройкам может быть отнесен
один и тот же элемент, никакой роли в дальнейшем играть не будет.
Перенумеровав последовательность {fm,n,p} с помощью одного
индекса, мы и получим требуемую последовательность (ffc}j°. Для
доказательства возьмем произвольный элемент f 6 DA и произволь-
произвольное положительное число е, затем возьмем натуральное число
р'>— и, поскольку последовательность {hh}™ плотна в Н, найдем
натуральные числа т', п' так, чтобы
\\hm—f\\<y, \\hn—Af\\<~. (9')
Эти неравенства свидетельствуют о том, что при построении после-
последовательности {/т,„, р} тройке т', п', р' был отнесен некоторый
элемент fm',n',p', причем
II h , f , , . II <? * II h , Af . 11^ IQ"\
|| 'чл' — /m , n', p \\'^-~^i~ ' II •'*» -rl/m', n', p' ||<5-~r ¦ \i> )
Из (9') и (9") вытекает, что
IIAn-.n-.p—/||<e, \\Afm-, п>,р—Af \\<Св.
Так как е > 0 произвольно, то существование требуемой подпосле-
подпоследовательности {ffc.jiLi доказано. Тем самым доказана теорема.
Мы доказали, что всякому замкнутому симметрическому опе-
оператору отвечает матрица (эрмитова), представляющая оператор
в определенном базисе. Однако не всякая эрмитова матрица пред-
представляет симметрический оператор.
Теорема 4. Если эрмитова матрица (аг-й) удовлетворяет
соотношениям
2|afft|2<co (k=\, 2, 3, ...), A0)
i=l
то при заданном ортонормированием базисе она представляет
замкнутый симметрический оператор.
Доказательство. Достаточно положить
оо
Aeh= 2 aihei (k=l, 2, 3, ...),
i=l
а затем построить оператор В указанным в начале настоящего
пункта приемом.

158 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Эрмитовы матрицы, удовлетворяющие условиям A0), но не
удовлетворяющие требованиям ограниченности, называют неогра-
неограниченными эрмитовыми матрицами.
Неограниченная эрмитова матрица (а^) не допускает, вообще
говоря, преобразований с помощью унитарной матрицы по схеме
Если соответствующие бесконечные ряды сходятся и, следователь-
следовательно, такое преобразование формально допустимо, то может слу-
случиться, что преобразованная эрмитова матрица
уже не будет удовлетворять условиям A0) и, следовательно, вовсе
не определяет оператора в Н. Более того, если даже преобразован-
преобразованная матрица удовлетворяет условию A0), то определяемый ею
оператор А может не совпадать с А. (Любопытно отметить, что
пересечение DA f) D. может оказаться пустым.)
Изложенные обстоятельства составляют основу так называемых
патологических свойств неограниченных эрмитовых матриц *).
Эти свойства являются причиной нецелесообразности изучения
неограниченных симметрических операторов с помощью матриц.
54. Оператор умножения на независимую переменную. Если
(а, Ь) — конечный интервал, то оператор C, умножения на неза-
независимую переменную определяется на всех функциях ф = ф (t) 6
6 L2 (а, Ь) равенством
@L есть ограниченный самосопряженный оператор, норма которого
равна большему из чисел | а |, | b |. В случае бесконечного интер-
интервала (а, Ь) мы считаем оператор умножения & определенным
формулой A) на многообразии D^ функций ф (t) 6 L2 (а, Ь), для
которых также ftp (t) 6 L2 (a, b).
В случае бесконечного интервала оператор умножения й опре-
определен на всюду плотном многообразии (так как он определен,
например, на множестве D с D^ всех финитных функций, при-
принадлежащих L2 (а, Ь)) и является, очевидно, неограниченным сим-
симметрическим оператором. Покажем, что и в этом случае оператор ($L
самосопряженный.
Пусть ij) 6 Dg* и -ф* = g*ij3. При всех ф 6 Dg
*) I. von Neumann, Zur Theorie der unbeschrankten Matrizen. J.
reine und angew. Math. 16 A929).

54. ОПЕРАТОР УМНОЖЕНИЯ НА НЕЗАВИСИМУЮ ПЕРЕМЕННУЮ 159
т. е.
или
Последнее равенство справедливо, в частности, для любой финит-
финитной функции ф (А, принадлежащей L2 (а, Ь), т. е.
при любых а и Р из интервала (а, Ь), откуда следует почти всюду
в {а, Ь) равенство
и, значит, включение
так что
Приведенные рассуждения показывают, что й* ^ @, а так
как й е й* в силу симметричности оператора Q, то fi = fi*.
Из равенства (Ц = @* следует, в частности, замкнутость Q.
Если бы мы ограничили область определения оператора умно-
умножения лишь финитными функциями из L2, положив
то, повторяя приведенные выше рассуждения, получили бы
ах=а,
откуда (см. п° 51, теорема 1)
т. е. ранее определенный оператор & является замыканием опе-
оператора йи
Оператор умножения на независимую переменную не имеет
собственных функций, так как предположение

160 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
означает, что
а
откуда ф (t) = 0 всюду, за исключением множества меры нуль,
т. е. ф = 0.
Все точки интервала (а, Ь) принадлежат непрерывному спектру
оператора (si, ибо многообразие
состоит из функций i]> (t), остающихся в L2 (а, Ь) после деления
на t — Я, т. е.
яМ0€Ь2(а, Ь)
Очевидно, Д^(Я) плотно в L2 (а, 6), но не совпадает с L2 (а, 6),
так как, например, не содержит функции, равной единице в окрест-
окрестности точки t = Я.
Подпространство М — Ме функций из L2 (а, Ь), которые равны
нулю вне некоторого точечного множества е cr (a, b), очевидно,
приводит оператор &.
С другой стороны, если р —а^е, то оператор g в L2 (а, Р)
удовлетворяет соотношению
при произвольно выбранном фиксированном Яо из интервала [а, Р],
т. е. оператор & в этом пространстве отличается не более чем на е
от преобразования подобия К0Е.
Таким образом, разбивая интервал (а, Ъ) на части достаточно
малой длины, мы получаем разложение пространства L2 (а, Ь)
на счетную сумму приводящих $ подпространств, в каждом из
которых индуцированный оператор достаточно мало отличается
от оператора подобия *).
Можно было бы рассмотреть оператор умножения не на независимую
переменную, а на функцию от нее. Мы ограничимся здесь одним частным
случаем.
Пусть оператор U определен на всех функциях ф (t) из L2 @, 2я) ра-
равенством
?/фг=е1(ф (t).
*) В дальнейшем (см. главу VI) мы увидим, что аналогичное приближен-
приближенное разложение на преобразования подобия допускает всякий самосопря-
самосопряженный оператор. Это обстоятельство играет фундаментальную роль во всей
теории.

54. ОПЕРАТОР УМНОЖЕНИЯ НА НЕЗАВИСИМУЮ ПЕРЕМЕННУЮ 161
Каждый элемент ортонормнрованного базиса < e{M/feL_oo преобразуется
оператором U в следующий элемент, так как
уеШ—еЦк+1I ( —CO</j<CO).
Из этого обстоятельства следует, что оператор U унитарно эквивалентен
рассмотренному нами в пс 45 оператору Од в сепарабельном Н. Действи-
Действительно, если определить изометрический оператор V, преобразующий Н
в L2 @, 2я), равенствами
Veh=-]=eiM (-со</г<со), B)
то
u=vuov-i.
Реализация U оператора 1/$ позволяет обнаружить приводящие Uq
(бесконечномерные) подпространства *). При этом мы будем опираться
на следующее общее предложение (доказательство которого предоставляем
читателю): если подпространство G пространства Н приводит линейный
оператор Т, а оператор Tj, действующий в пространстве Hj, унитарно
эквивалентен оператору Т (Tj = VTV'1), mo подпространство Gj = VG
пространства Hj приводит оператор Т^.
В соответствии с этим предложением оператор ?/0 обладает приводящими
подпространствами Ge, состоящими из элементов f вида
где <р (f) = 0 вне любого фиксированного измеримого множества е ? @, 2л),
а оператор V определен формулами B).
В заключение отметим, что вместо оператора умножения d
в пространстве L2 (а, Ь) можно было бы рассмотреть оператор
умножения da на независимую переменную в пространстве
Ц (а, Ь).
Нетрудно проверить, что @а — самосопряженный оператор.
Мы предлагаем читателю в качестве полезного упражнения
доказать следующие предложения:
a) вещественные точки регулярности оператора @а совпадают
с точками постоянства функции a (t);
b) собственные значения оператора do совпадают с точками
разрыва функции a (t);
c) непрерывный спектр оператора &а совпадает с множеством
неизолированных точек роста функции a (t).
Операторы do играют особую роль в теории самосопряженных
операторов: в главе VI мы увидим,, что изучение любого самосопря-
самосопряженного оператора может быть сведено к изучению операторов da-
*) См. конец пс 45.
11 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

162 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
55. Оператор дифференцирования. Оператор Э1 в L2 (а, Ь) с оп-
определяемой ниже областью Djs, который функции <р (t) относит
функцию
называется оператором дифференцирования.
Необходимым для принадлежности функции ф (t) к области D^d
является следующее условие:
(A) Функция ф (t) должна быть абсолютно непрерывной в каждой
конечной части интервала (а, Ь) и должна принадлежать L2 (а, Ь)
вместе с ф' (t).
Мы отдельно рассмотрим случай конечного интервала (а, Ь),
полуоси и всей оси. В первых двух случаях область определения
оператора будет состоять из функций, которые, кроме условия (А),
удовлетворяют еще некоторому краевому условию (В).
1°. Конечный интервал. В случае конечного интер-
интервала, в качестве которого мы примем @, 2л;), краевое условие
имеет вид
(B) «р@) = фBя) = 0.
Совокупность Dja функций, удовлетворяющих условиям (А),
(В), очевидно, плотна в L2 @, 2л). При этом сГ1 есть симметриче-
симметрический (неограниченный) оператор, так как для любых ф, г]з € D^o
2я
2л
= i{фBяЙГЙб
и, значит,
поскольку внеинтегральное выражение равняется нулю. Это вне-
интегральное выражение равняется нулю также и в том случае,
когда только ф принадлежит D^-j, а г]з удовлетворяет одному лишь
условию (А). Следовательно, всякая функция г]з (t), удовлетворяю-
удовлетворяющая условию (А), принадлежит D^>*, и при этом

55. ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 163
Наоборот, пусть г]з ? D $,* и cP*i|) = г]з*. Тогда при любом ф ? D .р
2я
¦ф) = (ф, г]з*) = V ф (^) г])* (?) А = -
о
2л t
О О
где С — произвольная константа. Интегрируя по частям, получим
2я I
ф) = \ /ф' @ { - J ггр* (s) ds + С} Л, A)
0 0
ибо ф (t) обращается в нуль на концах интервала. Из A) следует, что
2я i "
I ф' @ {* @ + \ «** (s) ds- С} А = 0 B)
о о
при любой функции ф @ € Djp. Определив С равенством
2л t
{
о о
возьмем в качестве ф (t) функцию
t t
| {
оо
которая, очевидно, принадлежит D^. Тогда B) примет вид.
2я t
о
Следовательно,
Ф@+ J i^*(s)ds — С = 0,
о
и, значит, почти всюду
«Ф'(О = Ф*(О-
Мы доказали, что областью определения оператора ё?5* является
совокупность всех функций я]з (f), удовлетворяющих условию (А),
и что
11*

164 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Из доказанного факта следует, что симметрический оператор сР
не является самосопряженным оператором; действительно, функ-
функции из D^a удовлетворяют двум условиям (А) и (В), а функции
из Djo* — одному лишь условию (А).
Докажем теперь, что оператор сР замкнут. Вместо того, чтобы
непосредственно проверять этот факт, покажем, что (см. п° 51)
&** = &>.
Из соотношения
следует, что
Поэтому функции % (t) из D ж** удовлетворяют условию (А) и
а следовательно, при любом г]з ? D ^*
2ft . 2л
О О
2л
= »[фBя)хBя)-ф@)х@)]+ \ ^{t)i%'{t)dt,
о
Это соотношение показывает, что
В силу произвольности значений г]з @), г]зBл;), это равенство воз-
возможно лишь при
т. е. при % (t) € Djo. Мы доказали, таким образом, что
А так как всегда ;.'
то
и замкнутость оператора сР доказана.
Если бы мы заменили условия (А) и (В) более жесткими, потре-
потребовав, например, от функций из области определения оператора

55. ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 165
многократной (или даже бесконечнократной) дифференцируемое™
и обращения в нуль при t = 0 и t = 2л производных всех поряд-
порядков, то после замыкания такого оператора мы снова получили бы
оператор сР. Чтобы убедиться в этом, следует проверить, что новый
оператор с двумя звездочками совпадает с &¦
Можно, конечно, так усилить условия (А) и (В), что полученный
оператор после замыкания уже не совпадет с оператором сР.
Если, например, оставить условие (А) без изменения, а усло-
условие (В) заменить на
то полученный оператор сРо окажется замкнутым, но сРо Ф & (разу-
(разумеется, сР0 СГ сР).
Кстати, заметим, что подпространство равных нулю при л <
< t-^.2n функций из L2 @, 2л), мы можем это подпространство
отождествить с L2 @, п), приводит оператор сР0, но не приводит
оператора сР.
Перейдем к отысканию симметрических расширений операто-
оператора сР. Пусть сР — одно из них. Так как сР сг сР*, то функции из
D ~ удовлетворяют условию (А).
Следовательно, для любых двух функций q>, i|ND~ будем
иметь:
2я
2Я
= / [ф Bя) ф Bя) - Ф @) ф @)] + (ф,
Так как оператор сР, по условию, симметричен, то должно выпол-
выполняться соотношение
фBя)фBя)-ф@)ф@) = 0. C)
Если
то в Сосуществует функция г]з0 (t), не удовлетворяющая уело-
вию (В); пусть, для определенности, г]з0 Bп) Ф 0. Полагая
в C) г]з @ = tyo @. мы найдем для любой функции ф (t) 6 D~ соот-
соотношение
(В) фBя)

166 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
где постоянная ¦& равна
Так как условие (В) должно выполняться и при q> (t) = г]з0 @.
то | ¦& | = 1.
Наш результат гласит: все функции q> (t) из D ~ должны удо-
влетворять условию (А) и условию (В) при фиксированном для
данного расширения сР значении постоянной Ь, равной по модулю
единице.
Докажем, что справедливо и обратное, т. е. что всякая функ-
функция г]з (t), удовлетворяющая условиям (А), (В), принадлежит D^.
С этой целью выберем постоянную а. так, чтобы
и положим
Легко видеть, что ф (t) удовлетворяет условиям (А), (В) и, следо-
следовательно, принадлежит D . А так как D^o cr D~, то ф (t) ? Dy0,
и, следовательно, принадлежит D -g также и функция
Итак, любое симметрическое расширение сР оператора <3* харак-
характеризуется условиями (А) и (В). Расширение оператора сР свелось
к ослаблению условия (В).
Поскольку каждое расширение определяется числом ¦& (|#| = 1),
фигурирующим в (В), то мы будем вместо сР писать &®.
Нетрудно проверить, что D йВ* содержит те и только те функции
¦ф (t) из D jo*, для которых при любой функции ф (t) € D^ имеет
место равенство
Ф Bя) t|) Bя) — ф @) -ф @) = 0.
Отсюда вытекает, что D ^ и D _* совпадают и, следовательно, каж-
каждое расширение сР^. оператора сР является оператором самосопря-
самосопряженным.
Для простоты найдем спектр оператора eJ\} при ¦0=1. Равен-
Равенство

55. ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 167
означает, что
«p'(O =
ФBя) =
Отсюда
l = Kh = k,
<P(t) = <?h(t) = e-iht (±k = 0. 1, 2,
Нетрудно проверить, что при К ф >-ь уравнение
или
if'(t)-Kf(t) =
разрешимо при любой функции g (t) ? L2 @, 2л;). Следовательно,
непрерывный спектр у iJ\ отсутствует.
2°. Полуось @, сю). Если функция ц> (t) удовлетворяет
условию (А) для случая полуоси, то на всей полуоси абсолютно
интегрируемо произведение q> (t) ц>' (t).
Формула
показывает поэтому, что | ф (t) \ имеет предел при t-*¦ сю. А так
как ф @ € L2 @, сю), то
Как видим, краевое условие на правом, бесконечно удаленном
конце полуоси выполняется автоматически.
В качестве второго условия для определения области T)j0 мы
примем поэтому
(В) Ф@) = 0.
При любых ф, г]з ? D^ будем иметь:
со со
(ЗЧр, ф) = i\ Ф' (О W) dt = \ ф @ hpTO Л = (Ф. ^Ф).
о о
Следовательно, сР есть оператор симметрический.
Как и в случае конечного интервала, нетрудно доказать, что
D уЭ* есть совокупность всех функций, удовлетворяющих одному

168 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
условию (А), и что
Таким образом, #> ф сР*. т. е. оператор оГ> не самосопряженный.
При этом, в отличие от случая конечного интервала, опера-
оператор дифференцирования на полуоси не имеет симметрических рас-
расширений.
Действительно, область определения такого расширения ^
должна была бы содержать функцию ф0 (t), отличную от нуля при
t = 0. Но тогда мы имели бы
= i I %> @) I2 + I % (s) tyo
о
что невозможно.
Таким образом, оператор дифференцирования на полуоси есть
максимальный симметрический оператор. Позже (см. п° 104) мы
покажем, что он неприводим.
3°. П о л н а я ось. Для всякой функции q> (t), удовлетво-
удовлетворяющей условию (А), краевые условия
lim ф (t) = lim <p (t) = 0
выполняются автоматически. Поэтому область D^ определяется
одним лишь требованием (А) и без труда доказывается, что сР есть
самосопряженный оператор.
Оператор & не имеет собственных значений, так как уравнение
не имеет нетривиальных решений в L2 (— сю, сю).
Мы установим связь между оператором $ (умножения на незави-
независимую переменную) и оператором сГ1. Из этой связи, между прочим,
будет следовать, что любая точка вещественной оси принадлежит
непрерывному спектру оператора 3\
На мысль о наличии упомянутой связи, точнее, об унитарной
эквивалентности *) операторов дифференцирования и умноже-
умножения на независимую переменную (в случае полной оси), наводят
*) См. п° 41.

55. ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 169
формальные соотношения ¦
=уЬ 5 S(?(s)e~istds>
которые' показывают, что умножение на s функции q> (s) соответ-
соответствует дифференцированию функции г]з (t).
Теорема. Имеет место равенство
где % — оператор Фурье — Планшереля.
Доказательство распадается на две части. Во-первых*
надлежит доказать, что из h ? D« следует
и, во-вторых, надлежит доказать, что из g ? D#> следует
trlg e Dg, irw
Пусть h 6 Dfi>. В таком случае
Так как h 6 D«, то
оо
Поэтому
оо
%h=—)= [ e~isth (s) ds,
r —oo
и соотношение D) можно представить в виде

170 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
•откуда и следует как включение gft 6 D^,, так и равенство
Примем теперь, что g 6 D ф. В таком случае
E $
ОС
= t_d 1_ f
dt 1/2л J
eist—\
- I
1/2?
Так как левая часть принадлежит L2 (— сю, сю), то правая тоже
принадлежит L2 (— сю, сю), следовательно, включение %~xg € D/g
доказано. Равным образом доказано и соотношение
Пользуясь унитарной эквивалентностью операторов & и сР,
.легко указать подпространства, приводящие сР. Таковы подпро-
подпространства функций г]з (t), допускающих представление
где ф (t) равняется нулю вне произвольного измеримого фиксиро-
фиксированного множества числовой оси.

ГЛАВА V
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ
56. Два вспомогательных предложения. Настоящая глава посвя-
посвящена спектральной теории некоторых классов вполне непрерыв-
непрерывных операторов. Являясь прямым и легко обозримым обобщением
соответствующих разделов линейной алгебры и элементарной тео-
теории интегральных уравнений, спектральная теория вполне непре-
непрерывных операторов представляет наиболее естественное введение в
общую спектральную теорию операторов в пространстве Гильберта.
При построении спектральной теории вполне непрерывных
операторов полнота пространства, как мы ниже увидим, исполь-
используется не всюду. С другой стороны, при отказе от требования пол-
полноты область приложений теории расширяется. Поэтому в настоя-
настоящей главе наряду с предложениями, относящимися к операторам
в пространстве Гильберта Н, будет установлен ряд предложений
относительно операторов в произвольной линейной метризованной
системе R. К числу этих предложений относятся также две леммы,
которым посвящен настоящий пункт.
Лемма 1. Если {gh)T есть бесконечная ортонормироеанноя
последовательность векторов в R и если
Agk = Pftogb + Pftift + ¦ ¦ • + Vhhgh (?=1,2,3,...),
где А—вполне непрерывный оператор в R, то
lim Рйй = 0.
ft—УОО
Доказательство. Пусть п > т. Тогда
\\Agn-Agm\\* =
— Pmm) gm + — +(PnO— Pmo)gb||2 =
Если рйй не стремится к нулю при &->- оо, то существует бесконеч-
бесконечная последовательность индексов
Mi < п2 < п3 <. ..,

172 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
для которой
|Р«л.|>б>0 -,(/=!> 2,3, ...). ,. :
Поэтому
и, значит, бесконечная последовательность векторов {Agn-}jLt
не содержит ни одной сходящейся подпоследовательности, что
противоречит компактности множества векторов {Agk}™, выте-
вытекающей из вполне непрерывности оператора А.
Лемма 2. Если X Ф О, А — вполне непрерывный оператор
в R и {fk}™ — бесконечная последовательность векторов в R, удов-
удовлетворяющая соотношениям
Afn-4n = fn-i (n = l,2, 3, ...),
то f0 = 0 (а значит, и fn = О при п = 1, 2, . . .).
Доказательство. Докажем вначале, что если f0 ф О,
то среди векторов fk (k = 0, 1, 2, . . .) нет линейно зависимых.
Действительно, если мы примем, что в ряду векторов
/о. /ь /г, • • •» А»
найдутся элементы, являющиеся линейными комбинациями пре-
предыдущих, и первый среди них есть вектор fn, так что
/n = ao/o + a1/i+.-.-f an-ifn-u A)
то, применяя к обеим частям этого соотношения оператор А, полу-
получим равенство
Чп + /n-i = а<А/о + «1 (Vi + /о) + ¦ ¦ ¦ + сс„-1 (Vn-i + fn-г),
откуда в силу A) будет следовать противоречащее нашему пред-
предположению соотношение
/n-i = сц/о + а2Д + • • • + «„-i/n-2.
Допуская, что лемма неверна, мы должны, следовательно,
считать векторы f0, fi, /г, ¦ • ¦ линейно независимыми и поэтому
можем эту последовательность ортогонализовать. Пусть
gh = «feo/o + «fel/l + • • • +

57. О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 173
есть полученная таким образом ортонормированная последователь-
последовательность. Заметим теперь, что
Agk = ай(Л/о + а/м (Vi + /о) + ¦ • • + ctfefe (Xfk -\- fh-i) =
fe-! + Kgk =
(&=1,2, 3, ...)¦
Однако эти соотношения противоречат лемме 1, что и доказывает
невозможность неравенства f0 ф 0.
57. О собственных значениях вполне непрерывных операторов в R.
В настоящем пункте, как показывает его заголовок, операторы
рассматриваются в произвольной линейной метризованной сис-
системе R. В следующих двух пунктах мы уже предположим, что
система R полна, т. е. является пространством Н.
Теорема 1. Всякий вполне непрерывный оператор А в
R может иметь при любом q > 0 только конечное число линейно
независимых собственных векторов, принадлежащих собственным
значениям, которые по модулю превосходят Q.
Доказательство. Допуская противное, предположим,
что существует бесчисленное множество линейно независимых
векторов fn (п = 1, 2, 3, . . . ), для которых
Afn = Xnfn, \K\>Q>0 (n=l,2, 3 ).
Ортогонализуя последовательность {fn}f> получим ортонорми-
рованную последовательность векторов
¦ . . ... . .,
gh = «fti/i + ah2f2 + ... + ahkfh,
При этом
Agk = aklAfi + ak2Af2 +•••-{- o.kkAfh =
и, следовательно,
Agk — hkgk = Cfel (^1 — ^h) fl+ • ¦ • + «ft, ft-l i}^k-l — hk) fh-i =
= Pfclgl + Pft2g2 + ¦ ¦ • +$k,k-igk-l'
Таким образом,
Agh = fiklgl + Pft2#2 + ¦ • • + Pfe, k-igk-1
В силу леммы 1 предыдущего пункта это противоречит предполо-
предположению | Kk | > е > 0 (k = 1, 2, 3, . . . ).

174 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Следствие 1. Единственной предельной точкой собствен-
собственных значений вполне непрерывного оператора в R может быть
точка 0.
Следствие 2. Каждому отличному от нуля собственному
значению вполне непрерывного оператора в R принадлежит конеч-
конечное число линейно независимых собственных векторов. Иначе говоря,
кратность каждого отличного от нуля собственного значения вполне
непрерывного оператора в R конечна.
Следствие 3. Всякий вполне непрерывный оператор в R
имеет не более счетного множества линейно независимых собствен-
собственных векторов, принадлежащих отличным от нуля собственным
значениям.
Теорема 2. Если А есть вполне непрерывный оператор в R
и если уравнение
Af-Xf^h A)
при некотором X Ф 0 разрешимо для любого h 6 R, то уравнение
Af-Xf = O B)
имеет единственное решение f = 0, т. е. X не есть собственное
значение оператора А.
Доказательство. Если уравнению B) удовлетворяет
вектор f0 ф 0, то, решая уравнение A) при h = f0, мы найдем
вектор fi, для которого
Затем найдем вектор /2, для которого
Af2-Kh = h,
и, продолжая этот процесс, получим бесконечную последователь-
последовательность векторов {fh}™ таких, что
Afk-%h = fh-i (fe-1,2,3,...),
но эти соотношения противоречат лемме 2 предыдущего пункта.
Таким образом, теорема доказана.
Следствие 4. Если при некотором X ф 0 уравнение A)
разрешимо при любом h € R, то это уравнение при любом h € R
разрешимо однозначно, и следовательно, оператор А — XI имеет
обратный оператор {А — XI)'1 (во всем R).
Теорема 3. Существует такая константа X, зависящая
только от оператора А (вполне непрерывного в Я) и от числа X ф 0,
что всякий раз, когда уравнение
Af-Xf = h A)

57. О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ]7&
разрешимо по крайней мере для одного его решения f, выполняется
неравенство
<X\\h\\.
Доказательство. Пусть
fu /2» ¦ ¦ ¦. fh
все линейно независимые собственные векторы оператора Л, при-
принадлежащие X. Мы не исключаем и того случая, когда X не является
собственным значением оператора А; в этом случае k = 0. Пусть
f* — некоторое решение уравнения A); тогда общее решение этого
уравнения имеет вид
где аи а2, . . ., ak — произвольные числа. Эти числа подберем
так, чтобы норма вектора || f \\ была минимальной. Полученное
о
решение назовем f; оно совпадает с f*, если k = 0. Пусть h про-
пробегает совокупность М всех тех векторов, для которых уравне-
уравнение A) разрешимо. Каждому вектору h € М отвечает некоторый
о
вектор f, и нам надлежит доказать, что
Допустим противное. Это значит, что существует такая последо-
последовательность векторов {hk}f, для которой
со.
Разделим обе части равенства
At If и Ih — 10 4 \
rij h — ™l k — ilk \ К — I, Z, О, . . . J
на || fk \\. Мы получим равенство
о о
дк if' и: (Ъ—\ 94 \
где
^ = 4^-, II Г* 11 = 1 (?--=1,2,3,...).
II h II
При этом единица есть минимум нормы решения уравнения A),
если правая часть равна h'%. Так-как оператор А вполне непре-
непрерывен, то найдется такая подпоследовательность

176 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
для которой существует
limAf'n..
г—>оо
Поскольку, кроме того,
то существует также
lim°f'n. =
и, следовательно,
Ag-lg = 0,
причем || g || = 1, т. е. g есть собственный вектор оператора А.
Вектор f'nt — g подобно вектору f'nr представляет решение
уравнения A) при правой части AJ,. А так как минимум нормы
решения этого уравнения есть единица, то
\\ht-g\\>i,
что невозможно. Таким образом, теорема доказана.
58. Дальнейшие свойства вполне непрерывных операторов.
Теорема 1. Если К ф О есть собственное значение вполне
непрерывного оператора А в пространстве Н, то X есть собствен-
собственное значение оператора А*.
Доказательство. Пусть вектор h пробегает Н. Тогда
вектор
будет пробегать не все пространство, а только некоторое линейное
многообразие G cr H, так как уравнение
разрешимо не для любой правой части g. Нетрудно видеть, что
многообразие G замкнуто и, следовательно, представляет под-
подпространство. Действительно, если gn 6 G (п = 1, 2, 3, . . .), то
по теореме 3 предыдущего пункта существуют векторы /г„, для
которых
Ahn-Uin = gn (n=l,2, 3, ...)
и
\\K\\<X\\gn\\ (n=l, 2,3, ...)•'

58. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА 177
О
Если gn -> g, то последовательность векторов {hn}™ ограничена,
и поэтому найдется подпоследовательность {/ц}^, Для которой
существует
о
lim АНпг-
i—>oo
Следовательно, существует
о
ft = lim hn.
г-юо l
и, значит, имеет место равенство
Ah — Kh = g,
чем и доказано, что g 6 G, т. е. многообразие G замкнуто.
Поскольку подпространство G не совпадает с Н, то существует
отличный от нуля вектор f, ортогональный G, т. е. при любом /г ? Н
(Ah-Xh,f) = 0,
откуда
или
Это соотношение показывает, что
Теорема доказана.
Теперь мы можем несколько углубить теорему 2 .предыдущего
пункта. Эта теорема устанавливала, что если К ф О есть собствен-
собственное значение вполне непрерывного оператора А в R, то уравнение
Af-4 = S A)
разрешимо не для всякого g? R. Теперь, предполагая, что опера-
оператор А действует в Н, мы укажем для каких векторов g уравнение A)
разрешимо.
Теорема 2. Пусть А — вполне непрерывный оператор в Н.
В таком случае для разрешимости уравнения A) при К Ф 0 необхо-
необходимо и достаточно, чтобы вектор g был ортогонален собственному
подпространству F оператора А*, принадлежащему числу X. При
этом в случае, когда X не есть собственное значение оператора А*,
под F надлежит понимать нулевое подпространство, т. е. в этом
случае уравнение A) разрешимо при любой правой части.
12 Н, И. Ахиезер и И. М. Глазман

178 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Доказательство. Пусть G — совокупность всех век-
векторов g, допускающих представление
g = Ah — Xh.
Мы видели выше, при доказательстве теоремы 1, что G образует
подпространство. Поэтому нам достаточно доказать, что Н © G
совпадает с собственным подпространством F оператора Л*, при-
принадлежащим числу X.
Пусть вектор f ортогонален G. В таком случае, повторяя соответ-
соответствующее место доказательства теоремы 1, найдем, что
Таким образом, f ? F и, значит,
Отсюда, в частности, следует, что если X не есть собственное зна-
значение оператора А*, то Н © G = 0, т. е. G = Н и, значит, в этом
случае уравнение A) разрешимо при любой правой части.
Нам остается доказать, что в том случае, когда X есть собствен-
собственное значение оператора А*, имеет место соотношение*
Fc=H0G. B)
Итак, пусть F непусто, и пусть вектор f ф О принадлежит F. Возь-
Возьмем любой вектор вида
g = Ah — lh.
Имеем:
(Л g) = (f,Ah-M) = (A*f - Xf, h) = О.
Это значит, что f _L G. Поэтому соотношение B) доказано. Вместе
с тем доказана и теорема.
Читатель, знакомый с теорией интегральных уравнений, конечно,
заметит, что доказанные нами предложения являются обобщением
двух теорем Фредгольма.
Справедливо также обобщение третьей теоремы Фредгольма.
Оно формулируется следующим образом: размерности собственных
подпространств вполне непрерывных операторов А и А* в Н, при-
принадлежащих собственным значениям X и X, одинаковы. Эта теорема
будет доказана в следующем пункте.
59. Метод Ф. Рисса в теории линейных функциональных уравне-
уравнений. Пусть А — вполне непрерывный оператор в Н. Возьмем
какое-нибудь число X Ф О и обозначим через Кк совокупность
всех векторов g, для которых уравнение

59. МЕТОД Ф. РИССА J79
разрешимо при любом из значений п= 1, 2, 3, ... Далее, обо-
обозначим через Nj, совокупность всех векторов f, которые при
каком-нибудь натуральном т удовлетворяют уравнению
(A-Xl)mf = O. A)
Если X не является собственным значением оператора А, то
Кя = Н, a N^ состоит из одного лишь нулевого вектора. Поэтому
введенные совокупности представляют интерес только в том слу-
случае, когда К — собственное значение оператора А. Нам понадо-
понадобятся также многообразия К1, N^, которые получаются при замене
оператора А и числа К соответственно сопряженным оператором А*
и сопряженным числом К.
Перечислим теперь свойства введенных многообразий:
1°. Каждое из многообразий Кя, N^ является подпростран-
подпространством в Н.
2°. Всякий вектор h ? Н однозначно представим в виде
где g ? К;„ и f 6 N;., т. е. Н разлагается в прямую сумму подпро-
подпространств Кк и N/,.
3°. N?, имеет конечное число измерений.
4°. N* = Н 0 К*.
5°. Размерности подпространств N^ и N% одинаковы.
Число измерений подпространства N^ условимся называть
рангом собственного значения X. Напомним, что число измерений
собственного подпространства, принадлежащего X (т. е. максималь-
максимальное число линейно независимых собственных векторов), мы назы-
называем кратностью этого собственного значения. Ясно, что ранг
больше или равен кратности. Подпространства N^ называются
корневыми подпространствами оператора А в Н, а каждый отлич-
отличный от нуля вектор f ? N^ называется корневым вектором *) опе-
оператора А.
Допустим на минуту, что перечисленные свойства многообра-
многообразий Кь N?, уже установлены, и докажем с их помощью аналог
третьей теоремы Фредгольма, сформулированный в конце п° 58.
С этой целью заметим, что каждый собственный вектор е опера-
оператора А, принадлежащий собственному значению X, можно пред-
представить в виде
*) Иногда рассматриваются корневые векторы, принадлежащие собст-
собственному значению К = 0. Соответствующее корневое многообразие является
нулевым многообразием оператора. Во всех наших рассмотрениях, одна-
однако, X ф 0.
12*

180 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
где fij Ь> • • •, fn — какой-нибудь базис в N^. Для определения
коэффициентов |ь |2, • • •, \п имеем уравнение
(Л - XI) е = I, [ ЛД - Xf±] + Ъ [Ah -m+...+Ъп [Afn - Xfn] = 0.
Так как вектор, представляющий левую часть этого уравнения,
назовем его h, принадлежит N/,, то по свойству 4° он ортогона-
ортогонален Kf. Но по свойству 2°
где g € Kf и f € N^. Следовательно,
Поэтому для равенства h = 0 достаточно, чтобы h _L N|. Но это
условие очевидно и необходимо. Итак, для определения коэффи-
коэффициентов |й (k = 1, 2, . . ., п) мы должны потребовать, чтобы
вектор h был ортогонален каждому из линейно независимых век-
векторов ft, порождающих Nf. Так как по свойству 5° число этих
векторов есть п, то мы получим систему
(f = l, 2, ...,«). B)
Подобным образом, для нахождения собственных векторов
оператора А*, принадлежащих X, мы получим систему
% (А*П - V?, /О + 42 (A*ft - Я#, /,) + ... + т]„ (Л*/? - Ц*, /•) = 0
которую можно переписать в виде
4i (Aft - %fu ft) + Ча (Aft - Я,/». /?)+•••+ Чп (Aft - Я,/», /«) = 0
(i = l,2, ...,n). C)
Системы B) и (З) являются транспонированными одна относительно
другой. Поэтому у них одинаковое число линейно независимых
решений. Таким образом, кратность собственного значения X опе-
оператора А равна кратности собственного значения X оператора А*.
В этом и состоит третья теорема Фредгольма, приведенная в кон-
конце п° 58.
Теперь обратимся к доказательству сформулированных свойств
многообразий Кя, N^. Начнем с изучения многообразия Кя- Совер-
Совершенно очевидно, что это многообразие линейно. Очевидно также,
что при любом натуральном п

59. МЕТОД Ф. РИССА 181
где GM есть линейное многообразие, пробегаемое вектором
gn==(A-kI)nh,
когда h пробегает Н. При доказательстве теоремы 1 п° 58 было пока-
показано, что многообразие GC1), пробегаемое вектором
gi = (A-U)h,
замкнуто и поэтому представляет подпространство в Н. Но в таком
случае замкнуто и, значит, является подпространством в Н любое
из многообразий G(n). Действительно, вектор gn, пробегающий
G<n\ можно представить в виде
gn = (B+(-l)nhnI)h,
где оператор
В=Ап—
вполне непрерывен, так как вполне непрерывен оператор А.
Нетрудно видеть, что GC+1) ?= G<") (л = 1, 2, 3, . . .). Однако
можно утверждать больше, а именно, что при некотором нату-
натуральном k
и, следовательно,
а значит,
следовательно, К?, является подпространством. То, что процесс
образования подпространств G("), таким образом, обрывается,
является наиболее характерным и существенным для излагаемого
нами метода Ф. Рисса.
Доказательство существования указанного значения k про-
проведем от противного и поэтому предположим, что &п+1'> ф G(")
для любого натурального п. Из этого предположения следует суще-
существование бесконечной последовательности векторов {g*}™ такой,
что
a) ?
b) ||ЯТ|| = 1 (i = 0, 1,2,
c) gt±G^\
Если j>i, то G^s©^1', а поэтому, в силу с), gf j. G^>. Значит,
(*?.«?) = О {1Ф1), D)

182 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
С другой стороны, так как (А — kl) G(i> = G<-i+1\ то
Поэтому
и в силу D)
Из этих соотношений следует, что при любых / > ?'
II Agj-Agt ||2 = || ^rf + (Agt - Kgt) - Ag*} ||2 =
= I *Iя+IIW-%f)-^||i2>\к\\
Это неравенство противоречит компактности множества векторов
Agl Ag*2, ..., Agt, ...
Таким образом, доказано, что при некотором натуральном k
Теперь покажем, что натуральный ряд значений т в опреде-
определении A) многообразия N^ также можно оборвать, а именно: если
f € Nb то равенство A) выполняется уже при т = k (но может
не выполняться при т<С.Щ. Отсюда легко следует, что N^ является
пространством. Итак, пусть
(Л —М)'7 = 0 E)
при т > k. В таком случае т — 1 > k и, следовательно,
а в силу E)
Ag-hg = 0.
Так как g ? К* = G(ft), то g 6 G(ft+1) и, значит,
«г = И-Л/)г1,
где gi G G(ft) = Кя- Поэтому ^i G G^^1) и, значит,
где g2 € GW = Кй.- Продолжая этот процесс, приходим к урав-
уравнениям
Agn—bgn = gn-i (л=1, 2, 3, ...; Яо = ^),

59. МЕТОД Ф. РИССА 183
из которых благодаря лемме 2 п° 56 следует, что *) g = 0. Таким
образом, мы доказали, что из E) следует равенство
если т > k. Повторяя это рассуждение, мы и придем к равенству
(A-KI)hf = O.
Теперь докажем, что здесь, вообще говоря, нельзя заменить
показатель k меньшим. С этой целью выберем вектор h таким обра-
образом, чтобы
(Л —Л/^ЛёС".
Это можно сделать, так как G^-1* ф G<h\ а (Л — KI)"'1 f пробе-
пробегает GC'-1), когда f пробегает Н. Вектор
уже входит в Къ а поэтому может быть представлен в виде
Гц = (Л - Ufk h0 = (Л - Uf g,
где g = (Л — X/)''A0 ? GW = К*,. Мы видим, что вектор f = h — g
удовлетворяет соотношению
(A-M)kf = 0,
т. е. принадлежит N^. Вместе с тем
(Л - U)"-1 / = (Л - М)"-1 А - (Л - Х/)'' g;
а правая часть этого равенства отлична от нуля, так как первый
ее член не принадлежит, в то время как второй принадлежит под-
подпространству G(fe>.
Первое свойство многообразий Кя, N^ нами доказано. Пере-
Переходим ко второму свойству. Пусть в Н взят произвольный век-
вектор h. Положим
hi = (A — U)kh.
Так как А4 ? GW = G(h+1\ то, как уже только что было сделано,
hi можно представить в виде
где g ? G-hi = К*,. Полагая
f = h-g,
*) Не мешает заметить, что нами попутно доказано следующее пред-
предложение: если
Ag=\g
то g = 0. Мы воспользуемся ниже этим фактом.

184 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
найдем, что (Л — Uff = (Л — U)hh — (Л — M)kg = О, т. е.
f ? NK. Итак, представление любого элемента h ? Н в виде
где
доказано.
Если бы написанное разложение было не единственным, то
нашелся бы вектор f ф О, принадлежащий обоим подпростран-
подпространствам Nb Kv Из включения f ? N^ следовало бы, что при неко-
некотором натуральном &
тогда как
Значит,
Но мы уже видели выше (см. подстрочное примечание на стр. 183),
что это абсурдно.
Таким образом, свойство 2° также доказано.
Всякий вектор f ? N^ удовлетворяет уравнению
где
Если f ф 0, то f есть собственный вектор вполне непрерывного
оператора В, принадлежащий собственному значению (—ly1},'1 ф 0.
Благодаря следствию 2 п° 57 число линейно независимых векторов,
обладающих этим свойством, конечно.
Следовательно, свойство 3° доказано.
Докажем свойство 4°. С этой целью возьмем вектор f* j_ Кя-
Таким образом, при любом h ? Н
(/*, (Л-М)"А)=0,
что можно записать в виде
В силу произвольности вектора h отсюда следует, что
(Л*— KI)hf* = O,

60. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА 185
иначе говоря, f* ? N^, т. е. мы доказали, что
Положим теперь, что f* ? N^. Это значит, что
(A*—M)nf* = 0,
где, очевидно, можно считать, что т > к. При произвольном
h ? Н будем иметь равенство
((A*-M)mf*,h) = 0,
которое можно записать в виде
(f*,(A-kiy»h) = O.
Когда h пробегает Н, вектор (Л — KI)mh пробегает Кя- Поэтому
f* Л- Кя. и, следовательно, мы доказали, что
Сопоставляя с ранее полученным включением, приходим к выводу,
что
а в этом и состоит свойство 4°.
Для доказательства последнего свойства возьмем какой-нибудь
базис Д, /2> • • •» fn B подпространстве N*,. Обозначим через gt
ортогональную проекцию ft на К.я и положим
fi=fi-gt (t = l, 2, 3, ...,п).
Поскольку ft ± Къ то, в силу свойства 4°, ft ? Kb Векторы ft
линейно независимы, так как в противном случае мы имели бы
равенство
ai/i + 02^2 + • •
где не все а,- равны 0. Но левая часть принадлежит N*,, а правая —
К}.- Следовательно, это равенство противоречит свойству 2°. Итак,
все ft линейно независимы и, значит, размерность Nf не меньше,
чем размерность N*,. Но (Л*)* = Л и, следовательно, размер-
размерность Na, не меньше, чем размерность Nx-
Таким образом, последнее свойство также доказано.
60. Теорема о существовании собственного вектора у самосопря-
самосопряженного вполне непрерывного оператора. Основная теорема о само-
самосопряженных вполне непрерывных операторах гласит:
Всякий вполне непрерывный самосопряженный оператор А ф О
в произвольной линейной метризованной системе R имеет по крайней

186 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
мере один собственный вектор е, принадлежащий отличному от
нуля собственному значению К.
Мы дадим два доказательства этой теоремы.
Первое доказательство. Пусть
М = sup | (Ag, g) | = sup |! Ag ||.
i|g||=i i|g|l=i
По определению верхней грани найдется последовательность нор-
нормированных векторов {gn}^, для которой существует
lim (Agn, gn),
П-*оо
равный -\-М или —М. Этот отличный от нуля предел назовем ^.
Из ограниченной последовательности {gn}? выделим подпосле-
подпоследовательность {gn.}'^=1, для которой существует
lim Agn. = /z, A)
i-»co l
что возможно по определению вполне непрерывного оператора.
Поскольку
II Agn.-kgn. |р = || Agn. |p-21 (Agni, gn.)
TO
lim || Agn -Kgnt ||2= || А ||Я-2Л* + ЛЯ = ||h |р-Г-. B)
i-*oo
Ho
№j<M||?nj = /w = in
следовательно,
\\Ч<-\Ц-
А так как левая часть равенства B) неотрицательна, то || h \\ =
= \ К | и, значит,
\im\\Agn.-Kgn.\\=O, C)
откуда следует, что lim gn. существует и равняется ¦«-. Вводя век-
тор е = у, норма которого равна 1, перепишем C) в виде
Ае — ta? = 0.
Тем самым доказательство закончено.
Второе доказательство. Возьмем какой-нибудь
вектор fQ, для которого Af0 ф 0. Нетрудно видеть, что в таком
случае Anf0 Ф 0 при любом натуральном п. В самом деле, если

60. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА 187
бы при некотором k > 1
А
то мы имели бы
что абсурдно. Из сказанного следует, что мы можем ввести две
последовательности векторов
определяемые при помощи равенств
=o, 1,2, ...)•
Из этих определений вытекает, что
||/*KII/*+i|| (Л=1, 2, ...) D)
-II/* II =
/* II = (/*-!, /*+i) = (/a+i, /*-i) (Л=1, 2, 3, ...)• E)
II/*
Действительно,
II /* II = (/*,/**)=ид_ 1, /у = (Д_ 1, ля) =
что доказывает неравенство D). Попутно доказано, что
(А-ь /ft+i) = |l/ftl|»
откуда вытекает соотношение E):
Поскольку норма оператора А обозначена через М, то
\\АГь-1\\<М.
Следовательно,
\\М\<м.
Таким образом, неубывающая последовательность норм {|| fh Ц}^°
ограничена. Значит, она имеет конечный предел
/fc|| = b. F)
Далее, на основании вполне непрерывности оператора Л, суще-
существует такая подпоследовательность {/пДЦр для которой после-
последовательность
/И?+1 = Л/;. (г=1, 2, 3, ...)

188 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
имеет предел. Назовем этот предел g:
Луи-»*-
Замечая, что
нетрудно заключить, что сходится последовательность {fn.+2}^Lv
и аналогично устанавливается сходимость последовательности
{fni+s}r=1- Положим
/пг+2 —^ h, /пг+з —» А'
и вычислим И /г" — g Ц2:
При этом использованы соотношения E), F). Итак, Ы = g. С дру-
другой стороны,
4 t
Таким образом,
Ag = kh, Ah = kg,
откуда
Л(Л + ?) = ЦЛ+?), Л(Л-?)=-ЧЛ-?).
Вектор ^ не равен нулю, так как Ц g Ц = ^. Поэтому из векторов
h -*г g, h — g по крайней мере один отличен от нуля. Этот отлич-
отличный от нуля вектор и является собственным вектором оператора А,
принадлежащим собственному значению К или —Я,.
Заметим, что доказанная теорема для произвольных (несамо-
(несамосопряженных) вполне непрерывных операторов неверна. Например,
интегральный оператор Вольтерра в L2 @, 1)
X
Tf=\K(x,t)f(f)dt
с непрерывным ядром К (х, t) не имеет ни одного собственного
вектора.
61. Спектр вполне непрерывных самосопряженных операторов в R.
В предыдущем пункте мы доказали, что у отличного от нуля
вполне непрерывного самосопряженного оператора А в R суще-
существует по крайней мере одно собственное значение К Ф 0. В этом

61. СПЕКТР ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ jgg
пункте мы построим полную систему отличных от нуля собственных
значений оператора Л, а именно, докажем, что имеет место
Теорема. Оператор А имеет конечную или бесконечную
последовательность попарно ортогональных и нормированных соб-
собственных векторов
еи е2, е3, ... ,
отвечающих отличным от нуля собственным числам
Aj, А2, Л3, . . .
которая в области значений АА оператора А полна, т. е. для вся-
всякого вектора f вида f = Ah имеет место уравнение замкнутости
Доказательство. На основании теоремы предыдущего
пункта существует такой вектор е4 (Ц е4 Ц = 1), что
где
li=± sup \(Ag,g)\.
IUII=i
Для удобства обозначим нашу линейную систему R через Ri, а опе-
оператор А — через Л4. Положим
Ясно, что R2 также является линейной метризованной системой.
При этом, если f ? R2, то AJ ? R2. Действительно, из (f, е4) = О
следует, что
(Л/, е1) = (
Далее, часть Л2 оператора Alt лежащая в R2, является также
оператором вполне непрерывным и самосопряженным. Если опе-
оператор Л2 не равен нулю тождественно, то к нему можно применить
теорему предыдущего пункта. На основании этой теоремы суще-
существует вектор е2, для которого
Так как е2 ? R2, то (е2, et) = 0. При этом
|л2|= sup |(Л/, /)|< sup

190 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Теперь продолжаем процесс далее. Строим линейную систему
R3--R2GW
и определяем собственный вектор е3 и собственное значение л3
и т. д. Этот процесс оборвется только в том случае, если при неко-
некотором п часть Ап оператора Ait лежащая в Rn, окажется тожде-
тождественно равной нулю. В этом случае мы получим конечное число
попарно ортогональных и нормированных векторов
еь е2, ..., en-i,
принадлежащих не равным нулю собственным значениям
Я,4, К2, ..., Ki-u
причем
| К I > | ^2 | > • • • > I K-1 |
и V
|^|= sup \(AJ,f)\.
II / lli /e R
Если процесс не оборвется, мы получим бесконечнукГортонор-
мированную последовательность {eft}?°, причем lim kh = О в силу
Л~»оо
теоремы 1 п° 57.
Возьмем теперь какой-нибудь вектор f = Ah и положим
т
?=А — J {h, eh)eh,
где т равно числу элементов последовательности {eh}, если это
число конечно, и т равняется произвольному натуральному числу
в противном случае.
Так как
(g> eh) = 0 (/г = 1, 2, 3, ..., т),
то g ? Rm+i. Поэтому
И Art l|2 <r~ W Л ||2 И „ 112
пт+1
ИЛИ
т
\\Ah-%(h,eh)Aeh\\*<\\)Am+1\\*R \\g\\\ A)
Замечая, что
(A, eh) Aeh = (A, efe) Keh = (А, Лел) eft = (Ah, eh) eh,
а также, что

62. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ jgj
и учитывая, что f — Ah, перепишем A) в виде
№ B)
В случае, когда последовательность
еи е2, е3, ... C)
конечна, отсюда вытекает равенство
т
/=2 (f,ek)ek.
h=l
Если же последовательность C) бесконечна, то из B) следует, что
т
II/-S (/,e*)efc|
ИЛИ
||/||S |(/
ft—1
Полагая m—>• оо, мы получим, что
и теорема доказана.
62. Вполне непрерывные нормальные операторы. Пусть в линейной
метризованной системе R дан вполне непрерывный оператор S,
обладающий определенным всюду в R сопряженным оператором S*;
пусть, кроме того, S*S = SS*. Коротко скажем, что S есть вполне
непрерывный нормальный оператор в R. Рассмотрим оператор
А = S*S. Это — вполне непрерывный самосопряженный оператор,
для которого AS = SA, AS* — S*A и (Af, f)>0 при любом
f ? R. Последнее вытекает из того, что
Отметим, что в силу этого свойства все собственные значения опе-
оператора А неотрицательны. Обозначим их
Ql>Ql>Q23>...
На основании предыдущего пункта оператор А имеет полную в Ал
ортонормированную систему собственных векторов gh:
(k=l, 2, 3, ...).

192 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Возьмем какое-нибудь собственное значение оператора А (пусть
это будет q2) и положим, что его кратность есть г. Далее, обозна-
обозначим через
ортонормированные собственные векторы оператора А, принадле-
принадлежащие собственному значению Q2, а натянутое на них подпростран-
подпространство обозначим через G. Покажем, что G является инвариантным
подпространством как для S, так и для S*.
Пусть g ? G. Тогда
и, значит, вектор Sg либо равен нулю, что будет только при g = О,
либо является собственным вектором оператора А, принадлежа-
принадлежащим собственному значению q2; поэтому Sg ? G. Аналогично уста-
устанавливается, что S*g G G.
Заметим теперь, что если g ? G и h ? G, то
(Sg, Sh) = (S*Sg, h) = (Ag, h) = e2 (g, h).
Поэтому на подпространстве G имеем S = qU, где U — унитар-
унитарный G оператор. Кроме того, справедливы равенства S* = qU* =
= qU'1.
Так как t/gW ? G, то можно положить
Ug& = ajsgW + nag») + • • • + arigW (t=l, 2, ..., г).
Будем искать собственные векторы оператора U. Если f есть соб-
собственный вектор и
то из равенства
Uf =
будет следовать, что
*1 + ai2*2 + ...
"Т" • • •
аг2х2 + ... + arrxr = Qxr.
Таким образом, для 0 получается уравнение
—6 а12 ... а1г
«21 а22 — 6 ... d2r
аг, аг2 ... агг —6
_ q

62. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ J93
Каждому корню этого уравнения отвечает собственный вектор
оператора U; поэтому все корни нашего уравнения по модулю
равны 1. Пусть б^1) — один из этих корней, a f^1) — соответствую-
соответствующий ему собственный вектор. Возьмем совокупность всех векторов
пространства G = Gb которые ортогональны fd). Эта совокуп-
совокупность векторов есть некоторое пространство G2 и U является уни-
унитарным оператором в G2. Поэтому, повторяя проведенные рассу-
рассуждения, мы найдем, что оператор U имеет собственный вектор
в G2, назовем этот вектор fB>, а соответствующее собственное зна-
значение 0B>.
Применяя этот процесс отщепления, построим систему из г
ортогональных векторов, которые можно считать и нормирован-
нормированными:
для которых
VfU) = QU)fU) (/=1, 2, 3, ...,г).
Но
(/=1,2,3,...,/-).
Поэтому fW есть собственный вектор оператора S, принадлежа-
принадлежащий собственному значению qQW. Аналогично доказывается, что
ftf) есть собственный вектор оператора S*, принадлежащий собствен-
собственному значению ф^\ Заменяя в системе собственных векторов
gi, g2, gs,
оператора А векторы
векторами
и поступая так с каждым собственным значением оператора А,
кратность которого больше 1, мы получаем доказательство первой
части следующей теоремы.
Теорема. Всякому вполне непрерывному нормальному опера-
оператору S Ф 0 в R отвечает ортонормированная система векторов
{eh} и система не равных нулю {комплексных) чисел {kh}, для которых
Seh = kheh, S*eh = kheh (k= 1, 2, 3, ...).
Эта система векторов является полной в том смысле, что любой
элемент f, имеющий вид Sh или S*h, представим рядом
f=?j(f,eh)eh. A)
h
13 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

194 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Чтобы доказать вторую часть утверждения, положим f = Sh
и рассмотрим вектор
f' = S*f = S*Sh = Ah.
На основании теоремы о самосопряженном вполне непрерывном
операторе и того, что векторы *) eh образуют полную в смысле
указанной теоремы ортонормированную систему векторов опера-
оператора А, имеет место уравнение замкнутости
со
IIЛ Iя =2 К/', е*)\*.
Иначе говоря, /' есть сильный предел последовательности
2 (f',ek)ek (n=l, 2, 3, ...).
Поэтому
(/', К) = lim 2 (/', eh) (eh, А) = 2 (/', eh) (eh, h).'
П-*со k^=l k=l
А так как
(Г, h)--=(S*f, h) = (f, Sh) = (f, f),
(/', eh) = (S*/, eh) - (f, SeA) = I* (f, efc),
(eA> h) = ±(S*eh,h) = Y-4eh, Sh)=~(eh, /),
Aft Aft Aft
то полученное нами соотношение можно представить в виде
Таким образом, равенство A) доказано, если f = Sh, и аналогично
доказывается, если f = S*h.
63. Приложение к теории почти-периодических функций. Как
уже было указано в nD 15, непрерывная, вообще говоря, комплекс-
комплексная функция f (t) (—оо<^<оо) называется почти-периодиче-
почти-периодической, если каждому е > 0 можно сопоставить такое I = I (е) > О,
что в любом интервале длины I содержится по крайней мере одно
число т (число смещения), для которого
\f(t + T)-f(t)\<B
при всех t.
*) Мы примем для определенности, что их бесконечное множество.

63. ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 195
Отправляясь от этого определения, нетрудно установить ряд
простых свойств почти-периодических функций. Мы приведем эти
свойства без доказательства *).
I. Всякая почти-периодическая функция ограничена и равно-
равномерно непрерывна на всей оси.
II. Для всякой почти-периодической функции f (t) существует
и притом равномерно по а так называемое среднее значение
т г+а
Nl{f(t)} = lim±\f(t)dt = lim± \ f(t)dt.
III. Произведение и сумма двух почти-периодических функций
являются функциями почти-периодическими.
IV. Если f (t) есть почти-периодическая функция и если
то / @ == 0.
Совокупность всех почти-периодических функций становится
линейной метризованной системой R, если скалярное произведение
определить формулой
V,g) = M{fV)glJ)}- A)
То, что из (/,/) = 0 следует f = 0, составляет содержание свой-
свойства IV.
В п° 15 скалярное произведение A) было введено для всех
многочленов вида
Будучи суммой чисто периодических, а значит; и почти-периодиче-
почти-периодических функций, всякий такой многочлен принадлежит нашей линей-
линейной системе R. В частности, линейной системе принадлежит кон-
континуум функций
еш (—оо<Х<оо),
образующий ортонормированную систему. Поэтому, подобно упо-
упомянутому в п° 15 пространству В2, линейная система R несепара-
бельна. Заметим также, что R не обладает полнотой.
Центральное место в теории почти-периодических функций
занимает своеобразный гармонический анализ.
Вместо обычных констант Фурье чисто-периодической функции,
при гармоническом анализе почти-периодической функции / (t)
*) Читатель найдет подробное изложение в монографии Б. М. Левитана
«Почти-периодические функции», Гостехиздат, 1953.
13*

196 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
вводится величина
г
a(X) = lim-L \
существование которо'[ при любом вещественном К вытекает из
свойств II и III. На основании замечания на стр. 37 (см. п° 10)
для каждой функции f (t) ? R существует не более счетного мно-
множества значений (вещественного) параметра К, для которых а (к) Ф
Ф 0.'Обозначим эти значения
и назовем их показателями Фурье функции / (t). Отвечающие им
числа
Ch = a(K) (k=l, 2, 3, ...)
назовем константами Фурье функции / (t) ? R.
Таким образом, каждой функции / (t) G R принадлежит ряд
Фурье
и из общих положений п° 8 следует, что
. C)
Такой вид принимает здесь неравенство Бесселя.
Основной теоремой теории Бора является теорема о том, что
в неравенстве C) всегда имеет место знак равенства. Мы приведем
принадлежащее Г. Вейлю доказательство этой теоремы, основанное
на теории вполне непрерывных операторов.
С этой целью положим
г
\ f(s-
Эта формула относит каждой функции и (t) ? R некоторую функ-
функцию v ({), которая, очевидно, также принадлежит R. Таким обра-
образом, мы имеем некоторый линейный оператор, который порождается
функцией / (t) и переводит и (f) в v (t). Этот оператор мы обозна-
обозначим через Л.

63. ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 197
Докажем в первую очередь, что А есть оператор нормальный.
С этой целью введем второй оператор, полагая w =¦ Ви, если
w(s) = M{f(t-s)u(t)},
и докажем, что:
a) для любых иу (t), u2 @ 6 R
(Atii, «2) = («i, Bu2),
b) AB = ВА.
Свойство а) доказывается с помощью следующих простых пре-
преобразований, справедливость которых вытекает из равномерности
существования средних:
(Ащ, и2) = М {М [/ (s -1) и, (t)] иг (s)} =
s t
M{Ui(t)M[f(s-t)u2(s)]} =
t s
= M {Ul (t) M [/ (s -1) «2r(s)]} = (и,, Bu2).
t s
Докажем свойство b). Прежде всего заметим, что
АВи = M{/(s-0M [f(x-t) и (т)]} = М{и (т) M [f(S-t)f(x-t)]}.
t X X t
Затем рассмотрим подробнее функцию
г
t T _
С помощью замены переменной
х — t = a — s
получаем
T+s+T
\ f(a — r)f(a—s)da =
Следовательно,
г —т)/(а —s)]} =
= М{/(а —s)M [/(а —т) «>)]} =
а т
и свойство Ь) доказано.

198 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Теперь докажем, что А есть оператор вполне непрерывный.
Пусть дано некоторое множество функций и (t) ? R, для которых
Мы должны доказать, что это множество содержит последова-
последовательность {ип @)Г> которая оператором А переводится в после-
последовательность {vn (?)}f, сходящуюся в метрике R к некоторой
функции v (f) ? R. Функция и (t) оператором А переводится
в функцию
т
=Нт^Д f{s-t)u(t)dt. D)
Из этой формулы следует, что
У 4г\ lf(s-
S \u(t)fdt
-т -т
или
т. е. преобразованные функции v (s) равномерно ограничены.
Далее из формулы D) следует, что
т
v(s')-v(s")=-lim -~ \ {f(s'-t)~f(s"-t)}u(t)dt,
откуда
\v(s')-v(s")\<VM{\f(s'-t)-f(s"-t)'f}.
Это неравенство показывает, что функции v (s) равностепенно
непрерывны. В самом деле, / (t) равномерно непрерывна. Поэтому
при \ s' — s" | ^ 6 = 6 (е) имеет место неравенство
\f{s'-t)-f{s"-t)\<E (-o
и, следовательно, при \s' — s"\ ¦< 6
| о (sf) — о (s") | < ^Щё5} = e.
С помощью известной теоремы Арцеля и диагонального про-
процесса из множества функций v (t) можно выделить последователь-
последовательность {vn (t)}f, равномерно сходящуюся в каждом конечном интер-
интервале числовой оси. Пусть предельная функция есть V (t). Она
также удовлетворяет неравенству
\V(s')-V(s")\^VM{\f(s'-t)-f(s"-t)\*}.

63. ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 199
Поэтому, во-первых, V (t) равномерно непрерывна на всей число-
числовой оси и, во-вторых, если т есть число смещения функции / (t),
принадлежащее е и s' — s" = т, то
\V(s')-V(s")\<e.
Покажем, что в силу этих двух фактов последовательность {vn (t)}™
сходится к V (t) равномерно на всей оси. Действительно, зада-
зададимся числом 6>0и прежде всего найдем для функции / (t) число
I = if ~\ которое входит в определение почти-периодической
функции. Это число I принадлежит в понятном смысле каждой
функции vn (t), а также функции V @- Затем определим номер
Ж = ж(^) так, чтобы при п > J\T имело место неравенство
что возможно, так как в каждом конечном интервале сходимость
последовательности {vn @)Г равномерна. Теперь возьмем любую
точку х числовой оси, заключим ее в интервал длины I и найдем
в этом интервале точку т, представляющую число смещения, при-
принадлежащее -|~. Тогда х = х -\-1, где —/•<?•</, и поэтому
I vn (x)-V (х) | < j vn (т + 0 - vn (t) \ + \vn (t)-V @ i +
Итак, наше утверждение доказано. А так как
VMflMO—w2(t) |2}< sup | wl @ — ^2@ i.
то последовательность {vn @)Г сходится не только равномерно
на оси, но и подавно в метрике R. Таким образом, вполне непре-
непрерывность оператора А доказана.
Пусть (х — какое-нибудь отличное от нуля собственное зна-
значение оператора А и пусть
ЫО, ft СО. ¦•¦> gn{t) E)
есть какая-нибудь полная ортонормированная система собственных
элементов оператора А, принадлежащих собственному значению (х.
Если g (t) — один из этих собственных элементов, то
т
Отсюда видно, что при любом (вещественном) а функция g (t -\
также будет собственным элементом, принадлежащим числу

200 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В силу этого обстоятельства должны иметь место соотношения
п
gr{t + o)=% crh{a)gh(t) (r=l, 2, 3, .... л). F)
Таким образом, попарно ортогональные и нормированные почти-
периодические функции E) удовлетворяют функциональным урав-
уравнениям F). Отсюда различными способами *) можно установить,
что каждая из функций gr(t) имеет вид
S
А=1
где с^ — константы. Вводя, если это нужно, вместо первоначаль-
первоначальных собственных элементов gr(t) их надлежащие линейные комби-
комбинации, можно в качестве собственных элементов принять функции
По определению величины а
т
4г[ f(s-t)e^dt =
т
— eUrS lim -д^г \ f{s — t) e*M*-s)dt = ei%rSa(Kr).
Таким образом, мы нашли общий вид собственных векторов
оператора А и установили, что собственному вектору el\f в каче-
качестве собственного значения отвечает константа Фурье
*) Для этого нужно сначала показать, что функции сгд (а) непрерывно
дифференцируемы, после чего из системы уравнений F) выводится диффе-
дифференциальная система
?@=S c'rhWghV) (' = 1. 2, 3, .... п).
Решениями этой дифференциальной системы являются линейные комбинации
функций вида
Затем остается принять во внимание, что функции g^ (t) должны быть огра-
ограничены на всей оси. В силу этого обстоятельства р должно быть чисто мни-
мнимым, а многочлен — множитель при е^* — должен сводиться к первому чле-
члену. Другой, идейно более содержательный, путь основан на одновременном
приведении к диагональному виду абелевой группы унитарных матриц

63. ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 201
Пусть
есть последовательность всех собственных векторов оператора Л,
которым отвечают отличные от нуля собственные значения
С3 = а(к3), ...
Возьмем ряд
2 С*(Ф, в1*1*') в**"*'. G>
й=1
где Ф ? R. Так как
2 |
|] ||
ft=m
то ряд G) сходится равномерно по t. Теперь рассмотрим функцию^
имеющую вид Ag, где g (f) ? R. По теореме п° 62 эта функция
в метрике R представима рядом
Так как по сказанному выше *) этот ряд сходится равномерно*
то имеет место равенство
-s)/(-s)}=2
откуда при t = 0
oo
или
и основная теорема Бора доказана.
*) Роль функции Ф (t) играет f (—t).

202 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
64. Разложение произвольного вполне непрерывного оператора
в ряд одномерных операторов. В п° 22 было показано, что конечно-
конечномерный оператор Т характеризуется представлением в виде суммы
одномерных операторов следующего вида:
Th = (h, h)gl + (h, f2)g2+...+ (h, fn)gn. A)
Обобщением этого элементарного факта является следующая
Теорема 1. Пусть Т — произвольный вполне непрерывный
оператор в Н, а Но — его нулевое подпространство. В таком случае
существуют две ортонормированные системы векторов {eft}f,
teft}f u монотонно убывающая последовательность положительных
чисел {|^ft}f, \ih -»- 0, обладающие следующим свойством: для любого
вектора h ? Н имеют место разложения
h = ho + (h, ei) el + (h, e2) e2 + ... (ft0 ? Ho) j
понимаемые в смысле сильной сходимости.
Доказательство. Начнем с того, что в случае, когда
оператор Т самосопряженный, наша теорема является следствием
теоремы п° 61. Действительно, полагая в этом случае Т = А (чтобы
не отклоняться от обозначений п° 61) и беря собственные векто-
векторы еь е2, е3, ... оператора Л, принадлежащие отличным от нуля
собственным значениям Klt К2, К3, . . . (Kk -»- 0), мы получим сог-
согласно п° 61 для любого вектора вида f = Ah представление
оо
ft=i
где
(/, ek) = (Ah, ek) = (h, Aek) = Kk(h, ek).
Таким образом, для любого h 6 Н
оо
Ah-= 2 bh(h, eh)eh.
Если положить
ho=-h— 2 (/г. eh)eh,
так что
оо
/г = /го+ ^ (h, eh)eh,
то
оо
Aho^Ah- 2 С2

¦64. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ОДНОМЕРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 203
Итак, в случае, когда Т = А есть самосопряженный оператор,
наша теорема верна, причем можно принять \xh = Kh и gh = eh.
Обратимся теперь к случаю произвольного вполне непрерыв-
непрерывного оператора Т. Прежде всего, построим вполне непрерывный
самосопряженный оператор А = Т*Т и введем последователь-
последовательность отличных от нуля собственных значений {kk}f (Kk -»- 0) этого
оператора и ортонормированную последовательность {е^}^° соот-
соответствующих собственных векторов:
(ek, ej) = 6kj-
Заметим при этом, что
Кк = (Аек, ек) = (Т*Тек, eh) = (Tek, Teh)>0.
Следовательно, можно положить Кк = \х%, где |л& > 0, ixt ~> |я2 >•. . .
По доказанному, любой элемент h 6 Н можно представить в виде
А = А0+ 2 (A, eh)eh, C)
где h0 принадлежит нулевому подпространству оператора А. Так
как при любых flt f2 6 Н
то нулевые подпространства операторов Т и А совпадают. Из C)
следует поэтому, что
77г= § (h, ek)Teh. D)
fe=i
Полагая
получаем соотношение
VkVj(gh, gj) =
из которых следует, что
(gh, gj) = Shj-
Так как представление D) можно записать в виде
оо
Th= ^ ЫА, ek)gk,
то наша теорема полностью доказана.
Из доказанной теоремы и теоремы.2 п° 30 вытекает следующий
важный результат.
Теорема 2. Для вполне непрерывности определенного всюду
в Н линейного оператора Т необходимо и достаточно, чтобы при

204 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
любом е > 0 существовал конечномерный линейный оператор Тг,
удовлетворяющий неравенству
Hr-r.lKe. E)
Доказательство необходимости. Пусть опера-
оператор Т вполне непрерывен. В таком случае он допускает представ-
представление B) и, значит, при любом е>0 конечномерный оператор,
определяемый формулой
h, e2)g2+... +\*n(h, en)gn,
удовлетворяет неравенству
II Th -TJi ||2<ц«+1 { | (h, en+l) |2 + | (h, en+2) i2 + . .. }<Ип+i || h !
откуда и вытекает E), если |яп+1 < е.
Достаточность прямо следует из теоремы 2 п° 30, так как
конечномерный оператор всегда вполне непрерывен.
65. Теорема о существовании инвариантного подпространства
у любого вполне непрерывного оператора в Н. Наличие у опера-
оператора собственного вектора означает, что оператор обладает инва-
инвариантным подпространством (одномерным). Как было отмечено
в конце п° 60, вполне непрерывный оператор может не иметь ни
одного собственного вектора. Поэтому он может не иметь ни одного
одномерного инвариантного подпространства. Но отсюда вовсе
не следует, что у этого оператора вообще нет инвариантных под-
подпространств. Приведенный в п° 60 интегральный оператор
X
Tf=^K(x,t)f(t)<u, /(оеыо, 1).
о
у которого нет ни одного собственного вектора, обладает целым
множеством непрерывных инвариантных подпространств. В самом
деле, при любом а, 0 <;# <; 1, совокупность всех функций f (f) ?
6 L2 @, 1), которые равны нулю в интервале 0<^<;а, пред-
представляет такое инвариантное подпространство.
Поэтому возникает вопрос, не имеет ли каждый вполне непре-
непрерывный оператор нетривиального инвариантного подпространства.
Положительный ответ на этот вопрос был дан в 1935 г. Ней-
Нейманом. В настоящем пункте мы изложим его замечательную тео-
теорему.
Теорема 1. Любой вполне непрерывный оператор А в про-
пространстве Н обладает нетривиальным инвариантным подпростран-
подпространством.
Доказательство. Если пространство Н несепарабель-
но, то утверждение теоремы почти очевидно. Действительно, взяв

C5. СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОГО ПОДПРОСТРАНСТВА 205
какой-нибудь элемент h0 Ф 0, образуем элементы
ho, Aho = hi, Ahi = h2, ...
Их замкнутая линейная оболочка представляет" сепарабельное,
а потому отличное от Н подпространство, размерность которого
> 1 и которое, очевидно, инвариантно относительно А.
Таким образом, мы можем предполагать, что пространство Н
сепарабельно. Для доказательства теоремы мы построим с помо-
помощью некоторых предельных переходов операторы S Ф I и Т Ф 0,
определенные всюду в Н и удовлетворяющие следующим условиям:
HSIK1, ||Т||<, ТБФ!, ,
SAS = AS, TAT = AT.
Затем введем подпространство G всех элементов g ? Н, для которых
Sg = g,
и подпространство F всех элементов f 6 Н, для которых
Tf = f.
Каждое из этих подпространств инвариантно относительно опера-
оператора А. Например, если g ? G, то
Ag = ASg,
а в силу A) ASh ? G при любом h ? Н; поэтому Ag 6 G. Отсюда
уже виден путь для доказательства теоремы, и нужно лишь убе-
убедиться в том, что на этом пути получается нетривиальное инвариант-
инвариантное подпространство. С этой целью заметим, что в силу свойств
операторов S, Т всегда имеет место по крайней мере один из сле-
следующих двух случаев:
I. БфО, БФ1,
II. ТфО, ТФ1.
Так как они совершенно аналогичны, то ограничимся рассмотре-
рассмотрением первого из них.
Из S ф I следует, что G Ф Н. Если окажется, что сверх того
G Ф {0}, то подпространство G будет нетривиальным, и теорема
.верна.
Допустим теперь, что G = {0}. Тогда, беря любой вектор h ? Н,
для которого Sh Ф 0 (а такой вектор существует, так как S Ф 0),
и используя сделанное выше замечание, что ASh 6 G, заключаем,
что ASh = 0 и, следовательно, Sh есть собственный вектор опе-
оператора А для собственного значения 0. Одномерное подпростран-
подпространство, порождаемое этим собственным вектором, и является в этом
случае инвариантным подпространством, существование которого
утверждает теорема.

206 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Теперь наша задача состоит в построении операторов S и Т,
удовлетворяющих перечисленным выше условиям. С этой целью
выберем в Н какой-нибудь ортонормированный базис {hn}f и при
любом натуральном k обозначим через Hft (/г-мерную) линейную
оболочку векторов hu А2, . . ., hh, а через Ph — оператор орто-
ортогонального проектирования на Hfe. В каждом подпространстве Hk
определим оператор Ah = Р^Л. По известной алгебраической
теореме Шура оператор Ah представим в некотором базисе (про-
(пространства Hft) треугольной матрицей. Геометрически это означает,
что в Hft существует строго возрастающая последовательность
подпространств
каждое из которых инвариантно относительно оператора Аи- Обо-
Обозначим через Phj оператор проектирования из Н на HhJ и заметим,
что ht ? Hft при любом k = 1, 2, . . ., где hi — первый орт выб-
выбранного нами базиса пространства Н. Поэтому при любом k спра-
справедливы соотношения
Q=\\hi — PKhhi\\<\\hi — Ph,h-ihi\\<....<.\\hl—P1afii\\ = \.
Из них вытекает, что при фиксированном 6 @ < 6 < 1) для каждо-
каждого натурального k найдется единственный номер г (k) < k такой,
что
На основании теоремы 1 п° 34 о слабой компактности множе-
множества равномерно ограниченных операторов можно найти последова-
последовательность {&;}iLi так, чтобы обе последовательности операторов
{Pfci,r(ftj)KLl> {-Pftj, г(Ьр+1 }|Ll СЛаб° СХОДИЛИСЬ.
Предельные операторы обозначим S и Т. Итак, при любом
А ? Н и i -»- оо
Phi>r(hi)h -Д Sh, Ph.,rihi)+1h Л Th. C)
Согласно п° 34 || S || < 1, || Г || < 1. Покажем теперь, что Т Ф 0,
S Ф I и Г — S Ф I. Действительно, так как 0 есть проектирую-
проектирующий оператор, то в случае Т = 0 сходимость Ph., r(h;)+i A -»- 0, соглас-
согласно теореме 2 п° 38, была бы не только слабой, но и сильной. Поэтому
из B) мы получили бы, что
lim || hi — Pk r № )+i hi || = ||hi \\ <6,
что невозможно, так как \\ hi \\ = 1-

65. СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОГО ПОДПРОСТРАНСТВА 207
Аналогично, при S = I оказалась бы сильной сходимость
Ph., r(ft.) h^>-h и мы получили бы из B):
что абсурдно.
Наконец, при Т — S = I по той же теореме 2 п° 38, оказалось
бы, что сильно сходится к / последовательность одномерных проек-
проекторов {Ph., r{ft.)+i — Phv r(hj)}?Li, что, очевидно, невозможно.
Остается доказать соотношения A). Они аналогичны, и мы
можем ограничиться доказательством первого. С этой целью заме-
заметим вначале, что для любого вполне непрерывного оператора В
при i -»- оо
Действительно, при любом h 6 Н последовательность {Ph., r(kt) h}?Ll
слабо сходится, а потому вполне непрерывный оператор В пере-
переводит ее в сильно сходящуюся:
С другой стороны,
Pht, г (йг) /г = Phv г (ь.) / + Pht, r (iH) (/; — /),
где первое слагаемое правой части при i -*¦ оо сходится слабо
к Sf, а второе сходится сильно к нулю, так как ||/г—/||-*-0.
Поэтому при i —>- оо
Pht, r (ft.) fi —> Sf,
а это и значит, что при i -*¦ со
т. е. D) доказано для любого вполне непрерывного оператора В.
Если же взять В = А, то будем иметь еще равенство
Pbt. r (ft,) Л/\ г (*,) = Pkt APkv r (kf). E)
Но Pft сильно сходится к / при k -*¦ оо, откуда следует, что (в силь-
сильном смысле)
/'kj^kj.r^-^^S. F)
Используя D) при В =Л вместе с соотношениями E) и F), мы
и найдем, что
SAS = AS*

208 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Таким образом, теорема 1 полностью доказана. Из нее выте-
вытекает следующее важное предложение о промежуточном инвариант-
инвариантном подпространстве.
Теорема 2. Если подпространства G' и G" :э G' инва-
инвариантны относительно вполне непрерывного оператора А и
dim(G-0G')>l,
то оператор А обладает инвариантным подпространством G,
удовлетворяющим соотношению
G'cGc G".
Доказательство. Обозначим через А" часть А, лежа-
лежащую в G". Тогда G' является инвариантным подпространством опе-
оператора А", а значит, G" 0 G' есть инвариантное подпространство
оператора (Л")*. Согласно теореме 1 в G" 0 G' должно существо-
существовать инвариантное подпространство F оператора (Л")*, отличное
от нулевого и от G" 0 G'. Но тогда G = G F удовлетворяет
всем требованиям, и теорема доказана.
Изложенные в этом пункте результаты Неймана были впервые
опубликованы в статье Ароншайна и Смита *), посвященной обоб-
обобщению теоремы Неймана на банаховы пространства.
66. Ядерные операторы. Этот пункт, где пространство Н снова
предполагается сепарабельным, посвящен одному классу вполне
непрерывных операторов, еще более специальному, чем класс
операторов Гильберта — Шмидта.
Начнем с того, что при рассмотрении произвольного вполне
непрерывного оператора Т полезно вводить, как это уже было
сделано в п° 64, положительный вполне непрерывный оператор
А = Т*Т. Его отличные от нуля собственные значения положи-
положительны. Пусть
есть полная последовательность этих собственных значений, а
— соответствующая ортонормированная последовательность соб-
собственных векторов. Числа \xk часто называют s-числами (сингуляр-
(сингулярными числами) оператора Т и пишут
[ik = sh(T) (k=l, 2, 3, ...).
*) Aronszain N., Smith К. Т., Invariant subspaces of completely
•continuous operators, Ann. Math. 60 A954), 345—350. Есть русский перевод
в сб. переводов «Математика», 2 : 1 A958), 97 —102.

66. ЯДЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 209
Непосредственно из определения наибольшего собственного
значения следует, что
В терминах спектра оператора А нетрудно представить также
и абсолютную норму оператора Т. Действительно,
N2(T)= fj ||7>ft||2= 2 (Teh, Teh) =
ki fci
fc=i k=i ft=i
Таким образом, оператор Т является оператором Гильберта —
Шмидта в том и только том случае, когда
оо
2и/*<°°- A)
Теперь примем следующее
Определение. Вполне непрерывный оператор Т назы-
называется ядерным, если
2
B)
Так как из B) следует A), то всякий ядерный оператор является
оператором Гильберта — Шмидта.
Теорема 1. Пусть Т — ядерный оператор. В таком случае
при любом выборе в Н ортонормированного базиса {fu}^ ряд
2 (Tfk, /*)
1
сходится абсолютно, его сумма не зависит от выбора базиса и имеет
место неравенство
21(тд,/*)|<2^- C)
1 1
Доказательство. Согласно теореме 1 п° 64 для любого
вектора h ? Н можно написать следующие разложения:
где
Teh = [ihgh (k=l, 2, 3, . . .),
14 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

210 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
a h0 принадлежит нулевому подпространству оператора Т. Из
этих разложений следует, что
оо
(Th, Д)= 2 m (Д. *)(#./*) D)
г=1
и, значит,
оо со оо „ оо 3_ оо
2107*. Д)|< S rIS К/*, в,)ГJ1S К/*, #) 12Г= 2 |х*.
1 i=l h=i ft=l i=i
Поэтому первое и третье утверждения доказаны. Второе утвер-
утверждение следует из соотношений
оо
2 (Д. ft) tei. Д)=tei. в,) (/=1,2,з,...).
Действительно, суммируя D), получаем в силу этих соотношений
равенство
из которого видно, что левая часть не зависит от выбора орто-
нормированного базиса {Д}~.
Вспоминая терминологию линейной алгебры, можем сказать,
что всякий ядерный оператор Т имеет конечный матричный след
SpT^ |] (ТД, Д).
Наша теорема утверждает значительно меньше, чем соответ-
соответствующая теорема алгебры. Однако и в интересующем нас случае
имеются дальнейшие важные предложения и в первую очередь
следующая
Теорема 2. Если Т — ограниченный оператор, определен-
определенный всюду в Н, и если хотя бы для одного ортонормированного
базиса {fh}? ряд
| (ТД, Д)
абсолютно сходится, то Т — ядерный оператор.
Полное доказательство этой теоремы читатель найдет в недавно
вышедшей книге И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна *).
*) И. Ц. Г о х б е р г и М. Г. К р е й н, Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, «Наука», 1965.

66. ЯДЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 211
Ограничимся здесь доказательством теормы 2 для того частного
случая, когда Т есть ограниченный положительный оператор,
определенный всюду в Н. Для него справедливы соотношения
Поэтому неравенство
|G-Д,Д)<оо D')
влечет неравенство
.!
откуда следует, что Т — оператор Гильберта — Шмидта, а зна-
значит, он вполне непрерывен. Пусть {kk} — полная последователь-
последовательность его положительных собственных значений, a {ek} — орто-
нормированная последовательность собственных векторов. Построим
оператор S, определяемый на любом элементе h ? Н с помощью
формулы
Ясно, что 5 — положительный вполне непрерывный оператор
и S2 = Т.
Так как
| (Tfk, Д) = | (S%, Д) = | || Sfk ||2,
то в силу условия D')
а это значит, что S есть также оператор Гильберта — Шмидта
и поэтому при любом ортонормированном базисе {gh}?
2 II Sgh II2 = 2 II Sfh ||2 = 2 II Seh ||2 = fj lh. E)
1 1 1 i
Здесь один шаг нуждается в пояснении. Дело в том, что ортонор-
мированная последовательность {ek} не является базисом в Н,
однако если бы мы ее дополнили до базиса с помощью некоторой
последовательности векторов {el}, то каждый из векторов е[ при-
принадлежал бы нулевому подпространству оператора Т и мы имели
бы равенства
||SeJ||a=(Sei,Sei) = (Tei, e-) = 0.
14*

212 ГЛ. V. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Из равенства E) следует, что
i i
Тем самым утверждение теоремы 2 доказано, если оператор Т пози-
позитивен.
Для доказательства теоремы 2 в общем случае приходится опе-
оператор Т представлять в виде суммы. При этом основой доказатель-
доказательства является неравенство Ки Фана *), которое состоит в том, что
2 sh(Tr+T-)^ fj sh(r)+ 2 МП
для любых вполне непрерывных операторов V и Т".
В упомянутой книге И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна приводится
также доказательство следующей интересной теоремы В. Б. Лид-
ского, обобщающей известное предложение теории матриц.
Теорема 3. Если оператор Т ядерный и {kk} — совокуп-
совокупность всех его собственных значений, то
В частности, Sp Т = 0, если у оператора Т нет собственных
значений, что, например, имеет место для интегральных операторов
Вольтерра.
*) См. К у Fan, Maximum properties and inequalities for the eigen-
eigenvalues of completely continuous operators, Proc. Nat. Acad.Sci. USA, 37 A951),
760—766.

ГЛАВА VI
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ УНИТАРНЫХ
И САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Основная цель настоящей главы — обобщение на любые само-
самосопряженные (и унитарные) операторы в Н понятия разложения
по собственным векторам, рассмотренного нами в предыдущей главе
для вполне непрерывных операторов. Мы будем оставаться в рам-
рамках классической теории, и не затронем вопросов, связанных с раз-
разложениями по обобщенным собственным векторам (или обобщен-
обобщенным собственным функциям — в L2), которые получили широкое
развитие в течение последних 10—15 лет (главным образом, в связи
с теорией дифференциальных операторов в частных производных).
Эти вопросы нашли глубокое развитие и освещение в ряде фунда-
фундаментальных монографий *), где содержатся также подробные биб-
библиографические указания.
67. Разложение единицы. Припомним результат, относящийся
к вполне непрерывным самосопряженным операторам, который был
получен в п° 61, а затем в иной форме представлен в п° 64. Согласно
этому результату задание в гильбертовом пространстве Н вполне
непрерывного самосопряженного оператора А позволяет рассматри-
рассматривать пространство Н как ортогональную сумму
подпространств Hk, из которых все, кроме Но, конечномерны,
а Но может быть даже несепарабельным. Каждому подпространству
Hft отвечает вещественное число hk, причем Ко = 0 и Kk Ф Кг,
если k ф i. Это расщепление пространства Н таково, что в каждом
из подпространств Hh действие оператора А сводится к умножению
элемента на соответствующее число Kh, т. е.
*) И. М. Г е л ь ф а н д и Г. Е. Ш и л о в, Некоторые вопросы теории
дифференциальных уравнений, «Обобщенные функции», вып. 3, Физматгиз,
1958; И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин, Некоторые применения
гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, «Обобщен-
«Обобщенные фуншии», вып. 4, Физматгиз, 1961; Ю. М. Березанский, Разло-
Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, Наукова
думка, Киев, 1965.

214 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
если f ? Hft. Обозначая оператор проектирования на Hh через
Ph, мы можем написать, что
I = P0 + Pi + P2+... A)
и
A = l1Pi+K2P2+... B)
Числа Kk единственной предельной точкой могут иметь только
точку 0. С целью дальнейших обобщений удобно записать пред-
представления A), B) с помощью интеграла Стилтьеса.
Для этого введем при любом вещественном t подпространство
Gt, порождаемое всеми собственными векторами, принадлежащими
собственным значениям, меньшим, чем t. При этом число 0 также
рассматривается как собственное значение, относящееся к собствен-
собственному подпространству Но. Пусть Et есть оператор проектирования
на Gt- Оператор Et имеет предел как при возрастании, так и при
убывании t. Поэтому существуют Et-0 и Et+0. Легко видеть, что
Et есть непрерывная слева операторная функция от t. Если Kk
есть собственное значение, то разность
есть оператор проектирования на собственное подпространство Hft.
Теперь формулы A), B) можно представить в виде
Р
f=If=\dEtf, (Г)
а
Af=\tdEtf, B')
а
где интегралы берутся по интервалу [а, р], содержащему все
собственные значения оператора.
Эти интегралы являются не чем иным, как суммами некоторых
рядов, и если мы их написали, то потому, что именно формулы (Г),
B') допускают, как мы дальше увидим, обобщение на произвольные
(не обязательно вполне непрерывные) самосопряженные операторы
в Н. Имея в виду этот общий случай, примем следующее
Определение. Разложением единицы называется однопа-
раметрическое семейство проектирующих операторов Et, заданное
в конечном или бесконечном интервале *) [а, Р ] и удовлетворяющее
следующим условиям:
a) EUEV = Es (s = min {u, v}),
*) Если интервал [а, р] бесконечен, то, по определению, принимается
?_оо= lim
(в смысле сильной сходимости).
im Et, ?oo=lim Et
>— oo ?->oo

C7. РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ 215
b) в смысле сильной сходимости
с) Еа = 0, Ер = /.
Из определения следует, что при любом f ? Н величина
(?,/,/) = а (О
является непрерывной слева, неубывающей функцией ограничен-
ограниченного изменения, для которой
ст(а) = О, a(P) = (f,/).
Действительно, при s < /
(?./, /) = || EJ ||2 = || ВД/1|2 < || Etf\|2 = (Etf, /)-
Имея интервал А = [f, t"\ с [a, p], мы будем разность Et" —
— Et' обозначать Е (А).
Возьмем два интервала Аь А2; в таком случае из а) следу-
следует, что
где А — пересечение интервалов Аь А2. В частности, если интер-
интервалы Аь А2 не имеют общих внутренних точек, то
т. е. подпространства, на которые Е (Aj) и Е (А2) проектируют,
ортогональны. На основании сказанного свойство а) называют
свойством ортогональности разложения единицы.
Рассмотрения, которые мы предпослали нашему общему опреде-
определению, показывают, что всякий вполне непрерывный самосопря-
самосопряженный оператор порождает некоторое разложение единицы и сам
представим через него. В настоящей главе эти результаты будут
распространены на унитарные операторы U и произвольные само-
самосопряженные операторы А в Н, а именно, будет показано, что
каждый такой оператор обладает вполне определенным разложе-
разложением единицы Et и представим через него в виде интеграла Стилтьеса:
2Я оо
А =
Точный смысл этих представлений будет выяснен ниже, в соответ-
соответствующих пунктах.
Имеются различные пути для получения интересующих нас
общих результатов. Хронологически первый из них связан с так

216 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
называемой проблемой моментов. Ему посвящены п°пр 71—75,
которым предпосылается (см. п°пр 68—70) изложение всех необхо-
необходимых теоретико-функциональных фактов. Далее, в п°п° 77—79
дано непосредственное, чисто операторное построение теории *).
68. Тригонометрическая проблема моментов. В общем виде про-
проблема моментов может быть сформулирована следующим образом:
дано некоторое множество функций иа (t) (a <C t <; b), каждой
из которых сопоставлено некоторое число са; требуется найти неубы-
неубывающую функцию ограниченного изменения a (t) (a <; t <; b),
удовлетворяющую системе уравнений
ь
\ua(t)da{t) = ca. A)
а
Эта проблема распадается на несколько проблем, из которых
первая состоит в определении условий разрешимости написанной
системы уравнений в указанном классе функций a (t).
В настоящем пункте мы рассмотрим тригонометрическую пробле-
проблему моментов. Для нее система A) имеет вид
iktda(t) (±ft = 0, 1, 2, ...; с* = с_*). B)
Теорема 1. Для существования неубывающей функции **)
a (t), удовлетворяющей уравнениям B), необходимо, чтобы из неот-
неотрицательности тригонометрической суммы
2 lheiM (n = 0, 1, 2, ...
k=-n
во всем интервале [0, 2я1 всегда следовало неравенство
и достаточно, чтобы для любого вещественного числа v были неот-
неотрицательны выражения
п
2 (l—ir)*-"""* ("=1. 2, 3, ...),
*) Это изложение не зависит от п°п° 68—75 (кроме п° 72).
**) Ограниченность изменения здесь получается автоматически в силу
того из уравнений B), для которого k = 0.

68. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ 217
отвечающие специальным неотрицательным тригонометрическим
суммам
s (i-^^-^I^H2-
h=—n h=0
Доказательство. Необходимость условия очевидна, так
как в случае разрешимости системы B) будет иметь место равенство
п 2л и
fe=—n О k=—n
Чтобы доказать вторую часть теоремы, рассмотрим последова-
последовательность неотрицательных по условию тригонометрических сумм
п
*»(»)= 2 (l—i7r)c*e~ikl' («=1,2,3,...).
Положим
t
bn(v)dv (« = 1, 2, 3, ...)..
о
Это — неубывающие функции, для которых
стп(О)=О, а71Bя) = с0 (п=1, 2, 3, ...).
Таким образом, мы имеем последовательность неубывающих
в интервале [0, 2я] функций ап (t), удовлетворяющих неравенству
Согласно первой теореме Хелли поэтому существует такая неубы_
вающая функция a (t) и такая подпоследовательность {an.(t)}f=i,
что во всех точках непрерывности функции a (t)
lim an](t) = a (t).
По второй теореме Хелли
2Я 2я 2л
^ еш da (t) = lim f eih( rfan/ (t) = lim-L ^ eiht4|)nj. (/) d/ =
о
и наше предложение полностью доказано.

218 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Обратимся теперь к вопросу о числе решений системы B).
С этой целью допустим, что система B) имеет два различных реше-
решения a (t), a* (t). Их разность
со @ = а @- а* (t)
•есть функция ограниченного изменения, для которой
2я
0 (±fe = 0,l,2, ...)• C)
Теорема 2. Если функция ограниченного изменения со {t)
•{вещественная или даже комплексная) удовлетворяет соотношениям
^3), то она равна постоянной во всех своих точках непрерывности.
Доказательство. Возьмем верное при любом целом
k Ф О равенство
2Я 2я 2Я 2я
—ik [ eikta(t)dt= J dw(t)-ik \ eibtw(t)dt.
0 0 0 0 0
Из него в силу соотношений C) следует, что
2Я
\ eikt(u(t)dt = O (±fe=l, 2, 3, ...)•
о
Беря
2Я
найдем, что
2я
0 (±/г = 0, 1,2, ...)•
По теореме единственности теории рядов Фурье из последних
равенств вытекает, что во всех точках непрерывности функции
-со (t) имеет место равенство
Из доказанного, в частности, следует, что если a (t), а* (t) —
два различных решения системы B), то их разность есть постоян-
постоянная во всех точках, где эта разность непрерывна. Этот факт коротко
выражают словами: решение системы B) в существенном един-
единственно.

69. ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ПОЛУПЛОСКОСТИ 219
Единственность решения будет обеспечена полностью, а не толь-
только в существенном, если искомую функцию а (I) подчинить допол-
дополнительно следующим двум условиям нормировки:
1) Непрерывность слева, т. е. a (t) = а (t — 0) @ < t < 2я),
2) а @) = 0.
Чтобы перейти от некоторого решения а4 (f) системы B) к нор-
нормированному решению a (f), следует положить
1Bя)-а1Bя-0) @<*<2я),
°('И 0 (/ = 0). <4>
Функция а (t), очевидно, удовлетворяет условиям нормировки.
С другой стороны, какова бы ни была непрерывная функция f (t)
с периодом 2я,
2я 2я
\f{t)da{t)=\f{t)dal(t).
о о
Действительно,
2Я 2Я 2я—0 2я-0
\f(t)da{t)-\f{t)dol{f)= \ f(t)da(t)- J f(t)dai(t) +
0 0+0+0
а( + 0)-/@)[а1(-Ь0)-а1@)]-/Bя)[а1Bя)-а1Bя-0)] =
-[а1( + 0)-а1@)]-[а1Bя)-а1Bя-0)]},
а это в силу D) равно 0.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать выполненными
условия нормировки для рассматриваемых решений тригонометри-
тригонометрической проблемы моментов.
69. Аналитические функции со значениями, лежащими в полу-
полуплоскости. В этом пункте мы будем рассматривать аналитические
функции, регулярные внутри круга или полуплоскости и прини-
принимающие значения, которые также принадлежат некоторой полу-
полуплоскости.
Теорема 1. Для того чтобы заданная и конечная в круге
\ Z, | < 1 функция f (?,) допускала представление
2Я .
S5c
где р — вещественная постоянная, a a (t) —- неубывающая функция*),
*) Ограниченность изменения функции a (t) получается автоматически
в силу конечности значения f @).

220 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
необходимо и достаточно, чтобы f (Q в круге | ? | < 1 была регу-
регулярна и имела неотрицательную вещественную часть.
Предварительное замечание. Мы имеем здесь
некоторую проблему моментов, где моментные функции равны
а роль моментов играют числа
причем параметр ? пробегает уже не последовательность, а дву-
двумерный континуум |11 < 1 •
Заметим также, что Р = 3f @).
Доказательство. Необходимость условия теоремы оче-
очевидна, так как правая часть формулы A) в области | ? | •< 1 регу-
регулярна и
2я 2я
где г = \Ц < 1 и ф = arg I.
Займемся доказательством достаточности. Если f (?) регу-
регулярна в круге | ?| < 1, то, как известно из теории функций, при
| ? | <! R < 1 имеет место представление
2Я
где
есть вещественная часть функции f (?). При этом
2я
\
о
Указанное представление можно переписать в виде
2я
/@ = Ф+5|~^М0, B)
где
t

69. ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ПОЛУПЛОСКОСТИ 221
Так как, по условию, и (Reis) > О, то aR (t) — неубывающая
функция от t и для любого t из [0, 2зт]
т. е. множество функций oR (t) (О < R < 1) равномерно огра-
ограничено. По теореме Хелли, следовательно, существует неубываю-
неубывающая функция a (t) и такая последовательность
что во всех точках непрерывности функции a (t)
lima в (t) = o(t).
3->-oo
Применяя к B) вторую теорему Хелли, мы и найдем, что всюду
в круге | ?|< 1
2Я .
Теорема доказана.
Если f (?) разложить в ряд Маклорена
сЛ-с
и положить —^- = со, то в силу C) мы получим для коэффициен-
коэффициентов следующие выражения:
2я 2я
c_ft= Je-iMdo@ (ft=l,2, 3, ...)•
о о
Вводя еще числа си = c-h (k = 1, 2, 3, . . .), мы приходим к тем
уравнениям, которые выражают тригонометрическую проблему
моментов. Поэтому при условиях нормировки пе 68 функция a (t)
в представлении C) однозначно определяется функцией f (?).
В справедливости этого факта можно убедиться также при
помощи следующей, известной из теории рядов Фурье, формулы
обращения
оц-а> + о« + а> = const + Hm 1 Г щ{reis)л.
Теорема 2. Для того чтобы заданная и конечная в полу-
полуплоскости Sz > 0 функция ф (z) допускала представление

222 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
где |л>0 и а > 0 — две постоянные, a a (t) — неубывающая функ-
функция *), необходимо и достаточно, чтобы q> (z) была в полуплоскости
3z > 0 регулярна и имела неотрицательную мнимую часть.
При этом интеграл Стилтьеса с бесконечными пределами пони-
понимается как
f т=7 ^ (О,
l Z
что соответствует предположению
о( — со)= lim а(А),
Л->—оо
с (со)= lim с (В).
Сели к этому добавить условия нормировки
a(t-O) = a(t), a(-co) = 0,
/по функция a (t) определяется однозначно.
Доказательство. Положим
1
Ф (z) = */
Тогда полуплоскость 3Z > 0 переходит в круг |?|< 1, а регу-
регулярная в полуплоскости функция ф (z) с неотрицательной мнимой
частью переходит в регулярную в круге функцию f (?) с неотрица-
неотрицательной вещественной частью, интегральное представление которой
рассмотрено выше. Это представление имеет вид
2я 2Я-0
+0 b
где функцию распределения мы обозначили Q (s). С помощью упо-
упомянутых преобразований мы получаем, что
2Я-0
e^ D)
*) Ограниченность изменения функции a (t) следует из конечности
значения <р (i).

69. ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ПОЛУПЛОСКОСТИ 225
ИЛИ
ZCtgy-1
dQ(s).
+o ctg^-H-г
Если положить
то для ф (z) получится представление
оо
Полученный нами переход от D) к E), очевидно, верен и в обрат-
обратную сторону, что и позволяет считать теорему 2 доказанной, вклю-
включая ее утверждение о единственности функции а @- Впрочем,
единственность а @ может быть установлена и непосредственно
с помощью формулы обращения Стилтьеса — Перрона для инте-
интеграла
оо
где 1|з @ имеет ограниченное изменение в каждом конечном интер-
интервале и
Формула обращения имеет вид *)
¦* =Vlmir \ <?(x,y)dx,
где с, t — произвольные вещественные числа.
Теорема 3. Для того чтобы функция ф (z) допускала в полу-
полуплоскости 3fe > 0 представление
*) Доказательство см., например, в книге: Н. И. А х и е з е р, Класси-
Классическая проблема моментов, Физматгиз, 1961 (стр. 155—156).

224
ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
с неубывающей функцией ограниченного изменения ю (t), необходимо
и достаточно, чтобы ф (z) в полуплоскости ^z > 0 была регулярна
и имела неотрицательную мнимую часть, и чтобы
При этом функция ю (t) однозначно определяется функцией ф (z),
если потребовать, чтобы
ю( — со)= lim ю(Л) = 0, ю(^ —0) = ю@ ( —о
Доказательство. Необходимость условия проверяется
очень просто. Поэтому мы займемся доказательством достаточ-
достаточности. Если функция ф (г) в полуплоскости ^jz > 0 регулярна
я имеет неотрицательную мнимую часть, то она во всяком случае
допускает представление
<бывшее предметом рассмотрения предыдущей теоремы. Из этого
представления следует, что
По условию доказываемой теоремы, существует такая постоянная
М, что
\ Щ±
Следовательно, и подавно
F)
Второе соотношение показывает, что [х = О, а также, что
оо
f У2

69. ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ПОЛУПЛОСКОСТИ
Следовательно, при любом N > О
iV
-N
откуда, полагая у->оо,
N
-N
так что
J (l+P)do(t)<M,
(l+P)do(t)<Z.M. G)
Мы можем поэтому ввести неубывающую функцию
t
ш@=
для которой, очевидно,
lim ю@ = 0,
?->—оо
и которая непрерывна слева вместе с a (t).
Первое из соотношений F) показывает, что
и, следовательно,
ибо в силу G)
Так как, по доказанному, \i = 0, то E) принимает вид
оо оо
Ф(г)= J tda(t)+ J ^f
— оо —оо
15 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

226 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
ИЛИ
. . С dm (t)
что и требовалось доказать.
Единственность этого представления (при наших условиях
нормировки) вытекает из единственности функции a (t) в теореме 2,
как это следует из равенства
t
da(t)
связывающего функции a (t), ю (t). Впрочем, и здесь единствен-
единственность может быть установлена непосредственно с помощью фор-
формулы обращения Стилтьеса
t
— J = const + hm — \ Зф (^ + ty) dx.
70. Теорема Бохнера — Хинчина. В настоящем пункте мы рас-
рассмотрим континуальный аналог тригонометрической проблемы
моментов. Задача состоит в нахождении условий, которым должна
удовлетворять заданная конечная на всей оси —сю < t < со функ-
функция F (t) для того, чтобы имело место представление
оо
F(t)= \
A)
где ю (s)—неубывающая функция *). С. Бохнер и А. Я. Хин-
чин доказали, что указанное представление при надлежащей
нормировке **) единственно и существует в том и только
том случае, когда функция F (t) непрерывна и для любого натураль-
натурального п, любых вещественных tu tz, . . ., tn и любых комплексных
Qi, 62, • • -,Qn
2 F(ta-tfi)Qa^>0. B)
а, р=1
Функции, удовлетворяющие условию B), называются положительно
определенными.
Необходимость этих условий почти очевидна. Действительно,
правая часть формулы A) есть непрерывная функция от t, a
*) Ограниченность ее изменения следует из конечности значения F @),
**) См. теорему 3 п° 69.

70. ТЕОРЕМА ВОХНЕРА—ХИНЧИНА 227
с другой стороны, в силу A) имеет место равенство
п со п
правая часть которого, конечно, больше или равна нулю.
Доказательство достаточности, к которому мы теперь перейдем,
уже не так просто.
Итак, пусть F (t) есть непрерывная функция, удовлетворяющая
условию B). Заметим, что в силу B) мы имеем *) для любого
t (—сю < t < сю) равенство
= F{-t)
и неравенство
|^@|<^@). C)
Положим
со
q>(z)=[eitzF(t)dt.
В силу C) функция Ф (z) регулярна в области 3>z > 0. Кроме
того, для любого у > 0
оо оо
|уФ(iy) |< J уг'«|F@1Л<F @) J ^'«Л = У7@).
о о
Докажем теперь, что 8?Ф(г)>0при у > 0 (z = x + iy). С этой
целью возьмем тождество
оо
J-= С eizve-fzvdv.
о
Имеем далее
i= \ eizuF(u)du+ \ e~izuF( — u)du.
о о
*) Достаточно положить /х =2, ^ = /, ?2 = 0. Мы найдем, что при
любых (>!, qz:
а это значит, что
F@) F(t)
15'

228 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Поэтому
Ф.(г)+Ф(г) =
,iz(u+v)e-ilvp (Uj
О О
ОО ОО
oi.Ki.zp—ifizp1 /q
0 0 0 0
оо оо оо оо
OP 0 a
oo oo
о о
A A
= lim \\ F(a-
A+°° о о
= lira lim ^ У
А->оо п->оо
Г, S=l
и наше утверждение вытекает из того, что сумма в правой части
hA. НЛ.
имеет вид B) f достаточно положить tk — —, Qu ~ е V п ?х п j .
Так как Ф (z) отличается только множителем I от бывшей пред-
предметом рассмотрения в п° 69 функции (теорема 3), то при наших
условиях нормировки однозначно определяется неубывающая функ-
функция co(s), для которой
Ф(г) = 1 ^ "Щ- Cz>0).
—оо
С другой стороны,
Следовательно,
оо
\ eitzF(t)dt =
0
S
оо
\ da
—оо
+ г
О
(s)\
0
ldt= \ eitzdt \ eistda(s).
О -оо
Значит, две кусочно-непрерывные абсолютно интегрируемые функ-
функции от t, равные нулю при t -< 0 и равные
оо
, e~uJ \ eistda(s)

70. ТЕОРЕМА БОХНЕРА—ХИНЧИНА 229
при t > 0, имеют одинаковые преобразования Фурье. В силу извест-
известной теоремы единственности эти функции тождественны, т. е.
F(t) = J eistda(s)
— оо
сначала при t > 0, а затем и на всей числовой оси —оо < t < оо.
Таким образом, представление A) получено, и его единственность
доказана.
Из единственности этого представления вытекает следующее
более общее предложение: если e>i (s), ю2 (s) — две комплексные
функции ограниченного изменения, принятым образом нормиро-
нормированные, и если при —со < t < оо
, D)
—оо —оо
то
C0t(s)=CU2(s).
Действительно, если D) имеет место и
ro(s) = ro1(s) — co2(s),
то
Полагая
где ф (s) и \J> (s) — вещественны, получим, что
\ cos std(p(s)— \ sins^dij)(s),
— оо —оо
оо оо
\ sinsfdq>(s)= — \ coss^dij)(s).
—оо —оо
Отсюда, поскольку в одной части каждого из этих равенств чет-
четная, а в другой — нечетная функция,
\ cos st dq> (s) = \ si
—oo —oo
oo oo
= \ cos st ch]) (s) = \ sins/diJ>(s)

230 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Иначе говоря, для всех вещественных t
оо оо
\ eistd<p(s) = O, [ eis'diJ)(s) = O.
—оо — оо
Так как каждая из функций q> (s), ty (s) есть разность двух неубы-
неубывающих функций, то равенства
q>(s) = O, iJ)(s) = O ( —oo<s<oo)
являются прямым следствием теоремы Бохнера — Хинчина.
71. Спектральное разложение унитарного оператора. Пусть LJ —
унитарный оператор в Н. Взяв произвольный элемент f 6 Н, по-
положим
(Ukf, f) = ck(f) = ck (i? = 0, 1, 2, ...), A)
так что
Докажем, что при любом натуральном п и любом вещественном
п
ФЛ0= 2 (l—^-)сье-ш>0. B)
Действительно, на основании A)
ФЛ0= 2
С другой стороны, если
то
(Tf, Tf)= S e*c-')'([/7, Vf) =
r, s=0
n—1 n
= 2 e'(s-r)'(^r"sf. f)= 2 (и —|?|)е-ш
r, s=0 h=—n
Таким образом,
<un(t) = ±{Tf, Tf),
чем и доказана справедливость неравенства B).
Как видим, последовательность {с&}^ удовлетворяет условию
теоремы 1 п° 68. Поэтому однозначно определяется нормированная

71. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ УНИТАРНОГО ОПЕРАТОРА 231
неубывающая функция a (t), для которой
2я
О
Функция а @ при каждом t является некоторым функциона-
функционалом от f:
Определим с помощью этого функционала другой функционал,
уже от пары. векторов \, g 6 Н, а именно, положим
<*(*; /. ^) = -4-0^; f + g)— 4-0^; /—я) +
+^-о(^; / + »я)—-jo(t; f—tg).
Переменная t здесь, как и выше, изменяется в интервале [0, 2зт].
Учитывая, что
2я
J eiktda(t; h) = (Uhh, h) (±k = 0, 1, 2, ...),
6
и беря последовательно
h = f + g, f—g, f + ig, f — ig,
мы найдем без труда, что
2Я
g) (±k = 0, I, 2, ...). C)
Таким образом, мы получили представление в виде тригонометри-
тригонометрических интегралов Стилтьеса не только величин (Ukf, /), но и вели-
величин (Uhf, g). Это представление единственно (в силу условий нор-
нормировки функции a (t; f, g)) на основании теоремы 2 п° 68.
Опираясь на единственность представления C), докажем, что
° if; f, g) есть билинейный функционал от f, g, норма которого
не превосходит 1.
Пусть
В таком случае
(Uhf, i?) = a1(t/h/1) g)+as(Uhft, g)

232 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
и, следовательно,
2л 2я 2л
; f, g) = a1 J ?«
0
2Я
= J е*»'^{а1а(<; Д, ?) + a2c(^; /г, ?)}•
о
Так как это соотношение имеет место при ±k = О, 1, 2, . . .,
и условия нормировки выполнены, то
°(*; /. Я) = а1О(^; /i, g) + a2O(f; /г. Я)-
Мы видим, что а, как функция от /, g, линейна по первому из этих
аргументов.
Заметим теперь, что, с одной стороны,
2я
(g, U»f) = (U-hg, f)= I e-i»do(t; g, f),
0
а с другой стороны,
2я
б
Поэтому для любого целого k
2Я ,2я
\ e-iMdc(t; f, g)= \ e-ihtdo(t; g, f).
0 0
Следовательно,
Щ~Г7)=о(ь g, f).
Из доказанного соотношения и линейности по аргументу f выте-
вытекает, что
Припомним теперь теорему п° 23. Так как a (t; f, f) — неубываю-
неубывающая функция от t и
о@; /, /) = 0,
2я
a(t; f, /)<сBя, f,f)=\ da[(t; f, f) = (f, f),
о
то из указанной теоремы и следует, что a (t; f, g) есть билинейный
функционал от f, g с нормой, не превосходящей единицы.

71. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ УНИТАРНОГО ОПЕРАТОРА
На основании теоремы об общем виде билинейного функцио-
функционала существует такое зав»тс^тее от параметра /@^2)
семейство операторов Et, что
°(t; f, g) = (Etf, g).
Теперь мы докажем, что Et есть разложение единицы.
Прежде всего из справедливости равенства
o(t; f, g) = a{t; g, f)
заключаем, что
(Я. Etf) = (Etg, f),
иначе говоря, Et есть ограниченный самосопряженный оператор-
Переписав формулу C) в виде
2я
([/"/, g) = J eihtd(Etf, g), C')
о
положим
g = U"h (±r = 0, 1, 2, ...).
Мы получим тогда равенство
2я
(Uhf, и~гН)=^ eihtd(Etf, U-Щ,
о
или
2я
(Uh+Tf, h)= J eihtd(UrEtf, h).
о
А так как
2я
(UTEtf, h) = \ eirs a;, (EsEtf, h),
о
TO
2я 2я
(t/ft+7, A)= J e^'df-H e^dsiE.Etf, h)\. D)
о о
Но, с другой стороны,
2Я 2Я (
([/fe+7, Л)= \ e^+^d^Etf, h)=\ eiM dt i\ eirsd(E8f, h)\ .E)
0 0 0

234 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Из справедливости представлений D), E) при любом целом k
и наличия у функций от t
2я
о о •
принятых свойств нормировки следует, что
2я t
e"°ds(EsEtf, h)= jj e"°d(Esf, h).
о
.Это соотношение выполняется при любом целом г. Поэтому снова
в силу единственности представления справедливо равенство
(EsEtf, h) = (Esf, h)
при любых f, h g'H, если только s-<X
Иными словами, мы доказали, что
EsEt=-Es (s<0- F)
¦Отсюда вытекает, что
Е\ = Et,
т. е. Et есть оператор проектирования, а также, что вместо F)
можно написать более общее соотношение
EUEV = ES (s=min{«, v}).
Нам остается проверить, что
и будет завершено доказательстве того, что Et есть разложение
единицы. Первое и второе соотношения в доказательстве не нуж-
нуждаются. Чтобы доказать третье соотношение, воспользуемся
условиями нормировки, которые показывают, что
Um(Esf, g) = (Etf,g).
s<t
Таким образом, в смысле слабой сходимости равенство
Et-o = Et
доказано. Но оно имеет место и в смысле сильной сходимости,
так как при t> s
Es)f, /) = №/, f)-(Esf, f)

71. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ УНИТАРНОГО ОПЕРАТОРА 235
и, значит,
\\(Et-Es)f\\
стремится к нулю, когда s -> t (s < t).
Мы получили некоторое разложение единицы в интервале
[О, 2я], которое принадлежит оператору U в том смысле, что при
любом целом k и любых f, g ? Н
2л
(Uhf,g)=l*Md(Etf,g). C')
о
Часто эти равенства записывают в виде
2я
Ukf=\)eihtdEtf. C")
о
Полученные формулы C') и C") дают при k = 1 искомое спек-
спектральное разложение унитарного оператора U. При произвольном
целом k они представляют спектральное разложение унитарного
оператора Uh.
Мы покажем теперь, что интеграл в правой части C") сущест-
существует как предел операторных интегральных сумм Римана —
Стилтьеса Тп в смысле равномерной операторной сходимости,
а потому равенство C") можно понимать непосредственно, а не лишь
как символическую запись представления C').
Возьмем, как это делается в элементах интегрального исчисле-
исчисления, некоторое подразделение интервала [0, 2зт]:
<-.-<*n = 2n, max(tj — ^_i) = 6.
Для этого подразделения построим оператор
Тп = eikbE (А,) + еш*Е (А2) + ... + е™»Е (А„),
где Aj = [tj-i, tj]. При любом f 6 Н имеем
((Tn-Uh)f, f) = (Tnf, f)-(U*f, f)=2 I (eiktJ-e^)d(Etf, f).
3=1 tj_i
Отсюда следует, что
\ (tj-t)d(Etf, f)^b\k
а потому (см. подстрочное примечание к теореме пр 23)
II Т f/ft I

236 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
т. е. оператор Тп равномерно стремится к Uh при 6 -> 0 (и -> оо).
Предел оператора Тп и принимается за определение интеграла
2л
J eiktdEt.
о
Не мешает заметить, что в силу наших рассмотрений разложе-
разложение единицы Et@<sCt^.2n) не только вполне определяется опера-
оператором U, но в свою очередь вполне определяет этот оператор.
Заканчивая настоящий п°, покажем еще, что оператор Et при
любом фиксированном t приводит оператор U, а также любую
целую степень оператора U. Наше утверждение сводится к тому,
что при любых f, g ? Н имеет место равенство
(UhEtf, g)=(EtUhf, g) {±k = 0, 1, 2, ...);
иначе говоря, что операторы Uk и Et перестановочны. Доказатель-
Доказательство немедленно следует из формул представления C'); действи-
действительно,
2л t
(UkEtf, g) = \ в"» ds (EsEtf, g) = J e"» d (EJ, g),
о о
а, с другой стороны,
2л
(EtUhf, g) = (Vhf, Etg)=\ e^ds(Esf, Etg) =
о
2л t
d,(EtEaf, g) = \ e*'d(Esf, g).
= \
о
72. Операторные интегралы Стилтьеса. В п°71 мы определили
интеграл
2я
с одной стороны, как некоторый символ, связанный с билинейным
функционалом
2я
а с другой стороны, непосредственно, как предел в смысле равно-
равномерной сходимости оператора
(ДО + еш*Е (А2) + ... + еР**Е (А„),

72. ОПЕРАТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА 237
построенного по образцу интегральной суммы Стилтьеса. Частный
вид подынтегральной функции еш здесь, очевидно, не существен.
В настоящем пункте мы покажем, как наши построения прово-
проводятся в общем виде.
Возьмем какое-нибудь разложение единицы Et в конечном или
бесконечном интервале [ее, р]. С помощью этого разложения еди-
единицы сопоставим любому вектору f ? Н функцию распределения
<т (t) = (Etf, f) (a<^<^P)> а значит, и с-меру, которая позво-
позволяет строить интегралы Лебега — Стилтьеса.
Если какое-нибудь условие выполняется относительно всех
<т-мер, порождаемых различными элементами f ? Н, то будем
говорить, что оно выполняется относительно операторной меры
Et. He мешает заметить, что в случае сепарабельного пространства
здесь появляется сильное упрощение. Например, в этом случае
можно найти один элемент g ? Н так, что почти всюду относительно
меры (Etg, g) означает то же самое, что и почти всюду относительно
операторной меры Et- Эта теорема будет доказана ниже (см. п° 76).
Переходя теперь к функциям ср (f) (a-<lf<P), на которых
мы хотим определить операторные интегралы, условимся раз
навсегда, что эти функции (как вещественные, так и невеществен-
невещественные) должны быть определенными и конечными почти всюду отно-
относительно операторной меры Et и, кроме того, относительно Et
измеримыми. Отсюда, в частности, следует, что функция ф (t)
не может обращаться в оо в точке t0 (cc<:^<;P), если в этой точке
хотя бы при одном элементе f ? Н функция (Etf, f) имеет скачок.
Простейшим случаем, несомненно, является тот, когда функция
<р (t) ограничена. В этом случае при любом f ? Н имеет смысл
интеграл Лебега — Стилтьеса,
Р
V(t)d(Etf,f).
А так как при любых f, h ? Н
/ Г f 1 \ *
+ i (Et (f + ih), f + ih) - i (Et (f - ih), f - ih)},
то, очевидно, при любых f, h ? H имеет смысл интеграл Лебега —
Стилтьеса
Р
\W)d(M7h),
а
и при фиксированном f этот интеграл представляет линейный
¦функционал от h.

238 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
По теореме Ф. Рисса, следовательно, существует такой завися-
зависящий от / элемент Tf, что
или
\<?(t)d(Etf,h) = (Tf,h). A)
а
При этом легко видеть, что Т есть линейный оператор. Кроме
того, он ограничен. Для доказательства последнего утверждения
положим h = Tf и заметим, что
Р
(Etf, Tf) = (Tf, Etf) = J Ф (s) d. (Esf, Etf) = J Ф (s) d (E.f, f).
a a
Благодаря этому равенству формула A) принимает вид
II Tf ||2 = J Ф @ d \ W) d {E.f, /) = J 1 ф (О I1 d (Etf, f), B)
a a a
откуда следует неравенство
sup
tp
выражающее, что оператор Т ограничен.
Формулу A) можно представить в виде
а
а так как левая часть есть
Р
то мы приходим к выводу, что сопряженный оператор Т* опреде-
определяется формулой
Р
\W,f) = (T*h,f). C)

72. ОПЕРАТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА 239
Мы можем теперь определить интегралы
Р Р
в слабом смысле, т. е. как операторы, отвечающие билинейным
функционалам A) и C), где f, h — любые элементы Н. Если пред-
предположить, что функция ф @ не только ограничена, но и непре-
непрерывна, то интегралы D), как легко показать, повторяя рассмотре-
рассмотрения п°71, определяются и непосредственно, как равномерные
пределы операторных интегральных сумм Римана — Стилтьеса.
Следующий шаг состоит в отказе от предположения об ограни-
ограниченности функции ф (t). Вместо этого предположения примем, что
множество D элементов f, для которых
Р
$,0<оо, E)
плотно в Н. Здесь прежде всего легко доказать, что D есть линей-
линейное многообразие. Действительно, из неравенства
находим, что
(Et{f + g), f + g)<2(Etf, f) + 2(Etg,g).
Поэтому соотношения
Р Р
со, J | Ф
со
влекут соотношение
Р
Введя обычное обозначение
Ф(9, если |ф(9|<л,
О, если | ф (9 | > п,
мы можем согласно предыдущему построить билинейные функциона-
функционалы, определенные всюду в Н, и принадлежащие им ограниченные

240 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
операторы
Р
Tn=^yn(t)dEt. D')
а
Согласно B)
Р
$ f, f).
Если f 6 D, то правая часть этого соотношения стремится к нулю
при /п->оо, га->оо. Поэтому последовательность элементов Tnf
стремится при п->м к некоторому элементу из Н. Этот элемент
и является, по определению, значением на векторе f операторного
интеграла
Р
\
Таким образом, Т определяется как оператор с областью опреде-
определения DT = D.
Заменяя в наших рассуждениях ф (t) на ф (t), мы придем ко вто-
второму оператору, а именно,
Р
5
с областью определения Ds, которая также совпадает с D. Дока-
Докажем, что S = Г* и в рассматриваемом случае. Так как для любых
Р
(Tf,g)=]4{t)d{Etf,g)
p p
(f. Sg) = (Sg7h = [ W)d(Etg, /)= ^ 4(t)d(Etf, g),
T. e.
(Tf,g) = (f,Sg),
то S s Г*. Покажем теперь, что DT* s D, откуда следует, что
T* = S. С этой целью примем, что для некоторой пары элементов
h, h* 6 Н
(Tf,h) = {f,h*) F)

72. ОПЕРАТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА
241
при любом f ? D. Затем определим оператор Sn по функции ф (t)t
подобно тому как формулой D') был определен оператор Тп по функ-
функции ф (t). Так как
= J ф„"(ы) du {Euh, Etg) = \ <pn(u)d (EJi, g), G)
TO
t
{EtSnh, Snh)= J ф7Й4{5 <Pn{v)d{EJi, A)}=
a a a
Следовательно, при любом /i 6 H для элемента /„ = Snh будем
иметь неравенство
Р Р
\ | Ф @ |2 d (?(f „, f n) = \ | Фп @ I4 d (?(A, ft)< oo,
a a
т. e. fn ? D, и мы можем в формуле F) положить / = /„. Здесь мы
учли, что ф (t) фп @ = Фи @- Снова пользуясь тождеством G),
уже при g = h, найдем, что
Р Р
(Tfn, h) = (TSnh, h) = \ ф @ d (?tSBft, ft) = \ | фп (О |2 d (?«ft, ft).
a a
На основании формулы F) при f = fn получаем отсюда, что
г~
| Фп @ |2 d (?tft, ft) < || fB ||. || ft» || = | / \ | ф„ @ |2 d (?,ft,
откуда
и, значит,
т. e. h G D. Тем самым включение DT* s D доказано, а вместе с ним
установлено и сформулированное выше утверждение: S = Т*.
Заметим, что так как переход от Г к Г* получается заменой
Ф (t) на комплексно сопряженную функцию ф (t), в соответствии
16 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

242 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
с формулой D), то (Г*)* = Т. Отсюда, в частности, следует, что
оператор Т замкнут.
Из рассмотрений настоящего пункта вытекает, как частный
случай, следующая
Теорема. Всякому разложению единицы Et (—оо <;/<;оо)
отвечает вполне определенный самосопряженный оператор
оо
В= J tdEt. (8)
Областью определения DB этого оператора является совокупность
всех векторов f, для которых выполняется неравенство
оо
\ t*d{Etf, f)<oo. (9)
При этом левая часть этого неравенства есть || Bf ||2.
73. Интегральное представление группы унитарных операторов.
Метод, который мы применили в п° 71 при рассмотрении унитар-
унитарного оператора, применим и в некоторых других случаях. Мы полу-
получим с его помощью интегральное представление группы унитарных
операторов (настоящий пункт) и резольвенты самосопряженного
оператора (п° 74).
Пусть дано семейство унитарных операторов Us, зависящих
от одного параметра s (—оо < s < оо), удовлетворяющее следую-
следующим условиям:
1) UsUt = Us+t,
2) Uo = /,
3) {Utf, g) есть непрерывная функция от t при любых f, g ? Н.
Из 1) и 2) вытекает, что ?/«х = U-t. А так как t/* = Ui1, то,
следовательно, t/* = U-t-
Рассматриваемое семейство операторов представляет непре-
непрерывную абелеву группу.
Взяв произвольный элемент f ? Н, рассмотрим функцию
Это — положительно определенная функция. Действительно, она
непрерывна и при любых вещественных ta (а = 1, 2, 3, . . ., п)
и комплексных ра (а = 1, 2, 3, . . ., п)
a,p=l a,p=l "• 'J
n n
^ ¦ и ^ i j jo ^^
a, p=l ft=l

73. ГРУППЫ УНИТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 243
Таким образом, к F (t) применима теорема Бохнера — Хинчина,
и в силу этой теоремы однозначно определяется неубывающая
функция
to (s) = to (s; /),
удовлетворяющая условиям
(о (— оо)= limio(s)=O, (o(s — 0) = (o(s) (— co-<s<;co),
S->—oo
через которую F (t) выражается в виде
oo
F{t)= \ eistdw{s) ( —oo<^<oo).
—oo
Отсюда при t = О следует, что
oo
(f,f) = F(O)= \ d©(s) = <D(oo).
— oo
Далее, по функции со (s; f) строится функция со (s; f9 g) такая, что
oo
W,g)= \ e^dto{s;f,g).
— oo
При принятых условиях нормировки
to(— co;f;g)= lim to (s; /, g) = 0, to (s — 0; /, g) = (o(s; /, g)
s->—oo
(—oo <s<; oo)
это представление единственно. На основании этой единственно-
единственности, как и выше, доказывается, что to (s; f, g) есть билинейный
функционал от f, g, норма которого не превосходит единицы и кото-
который обладает следующим свойством:
f>(s; f, g) = n{s;g, f).
Поэтому существует однопараметрическое семейство ограничен-
ограниченных самосопряженных операторов Es такое, что
Доказательство того, что Es (—oo<;s<;oo) есть разложение
единицы, также мало отличается от аналогичного доказательства
п°71. Действительно, с одной стороны,
{Ut+Xf,g)= I I { J
—oo ^oo —oo
16*

244 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
а с другой стороны,
оо
(IW, ё) = {UtUJ, g) = I с* ds {EsUrf, g).
Поэтому в силу единственности представления
(EJUxf,g) =
Воспользуемся теперь равенством
(EJUxf, g) = {Vxf, Esg) =
Отсюда, снова в силу единственности представления, и получается
равенство
(Eaf, g) = {Eof, Esg) = (EsEcf, g) (O < s),
из которого следует соотношение
EUEV = ES (s — tmn{u,v}).
Далее, на основании условий нормировки функции со доказы-
доказывается сначала в смысле слабой сходимости, а затем и в смысле
сильной, что
Таким образом, показано, что рассматриваемая группа унитар-
унитарных операторов допускает интегральное представление *)
Vtf= I e^dEsf, A)
— оо
которое, как легко видеть, справедливо в смысле сильной сходи-
сходимости несобственного интеграла, а не есть лишь символическая
запись равенства
(Vtf,g)= \ e^
Предоставляем читателю проверку того, что оператор Es при-
приводит оператор Ut-
В заключение отметим, что полученное представление A), как
мы увидим ниже, после введения функций от самосопряженного
*) Интегральное представление группы унитарных операторов впервые
получено М. Стоном.

74. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 245
оператора (п° 88), может быть записано в виде
Vtf = e^tf,
где В — самосопряженный оператор, отвечающий разложению
единицы Es в силу теоремы п° 72.
74. Интегральное представление резольвенты самосопряженного
оператора. Пусть А — самосопряженный оператор и Rz =
= (Л — г/) — его резольвента, которую мы будем рассматривать
лишь при 3iz ф 0. Возьмем какой-нибудь элемент f ? Н и поро-
порождаемую им в верхней половине плоскости z функцию
На основании соотношения Гильберта
Rz—Rz = (z' — z)
получаем
откуда следует, что при z' -*¦ z существует
Мы видим, что ф (z) есть регулярная аналитическая функция
в верхней полуплоскости. Ее мнимая часть равна
Ф(г)-^)_ (RJ, /)-(/, Rzf) _ l**f' f)-(Rih f)
2/ ~ 2/ 2/
Но (см. nD 49)
Rt = R;.
Следовательно, снова в силу соотношения Гильберта,
(Rzf, f)-{Rtf, f) = {z-z)(R-Rzf,f) = {z-~z)(Rzf, Rzf).
Поэтому при у = 3z > 0
т. е. мнимая часть функции ф (z) в верхней полуплоскости неотри-
неотрицательна; она даже положительна, если f Ф 0, так как из RJ =
= 0 следует f = 0.
Заметим еще, что

246 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Действительно, мы видели в п° 48, что
Поэтому
y\<t{iy)\ = y\(RiJ, f)\<(f> /)•
Вспомним теперь теорему 3 п° 68. В силу этой теоремы суще-
существует неубывающая функция ограниченного изменения to (t) =
= to (t; f), которая однозначно определяется нормировкой
со(— оо)= lim (o(t) — 0, id(t — O)=<j)(t) (—оо<^<оо),
<->_ оо
и для которой
Ф(*)= I 7=7 Cz>0).
—оо
Таким образом, доказано, что при 3te > О
оо
(RzT, f)= ] t_z ¦ A)
— оо
Из этого представления находим, что
и, значит,
оо
—оо
Если z лежит в верхней полуплоскости, то z лежит в нижней.
Поэтому из формул A) и B) следует, что представление
оо
¦h)
t—z
— оо
справедливо для любого невещественного z и любого h ? Н. Полагая
«('; f,g) = ^(t; f+g)—j«(t;f-g) +
+ ~to(t; f + ig)-!^; f-ig),

74. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 247
найдем, что для любого невещественного z и любых f, g ? Н
^^. C)
Здесь и (/; /, g) есть некоторая комплексная функция ограничен-
ограниченного изменения, равная нулю при t = —оо и в каждой точке
t > —оо непрерывная слева. Нетрудно проверить, что при этих
условиях нормировки интегральное представление C) единственно.
Действительно, в противном случае существует комплексная функ-
функция ограниченного изменения
для которой
оо
I ?9-0 <«>
при любом невещественном z. Следовательно, вместе с D)
t—г
— ОО
или
\ <?§ = <). D')
Сравнение D) с D') показывает, что при любом невеществен-
невещественном z
оо оо
Г da(t)__ {• rift (t) _ n
Но в силу теоремы 3 п° 68 и условий нормировки отсюда вытекает,
что
После того, как единственность представления C) доказана,
уже легко доказать, что
a>(t; f, g) = a>(t; g, f), E)
а также, что
и(<; aifi-\-a2f2, g-) = a1e>(/; fj, g-) + a2to(/; /=2, g).
Покажем теперь, что
co(^; f, f)<{f, f).

248 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Тогда из теоремы п° 23 будет следовать, что ю (t; f, g) есть били-
билинейный функционал от f, g с нормой, не превосходящей единицы.
Мы уже отмечали, что
y\(Rtvf, f)\<(f, f)
Иначе говоря,
7 у da (t; f, f)
Разбивая интеграл на три части, находим, что
оо
I l\ I *o(t; f, f)+\ d*(t; f,f).
-А -Лю А
Переходя к пределу при у -*¦ оо, получим
А -А оо
J dw{t; f, f)<{f, f)+ J da(t; f, f) + ^dw(t; f, f).
—A — оо А
Отсюда при Л ->• оо
со (со; f, ft^if, f).
Но (о (t; f, f) есть неубывающая функция от t; поэтому неравенство
«('; f, f)<(f> f)
доказано.
На основании теоремы об общем виде билинейного функцио-
функционала существует семейство операторов Et (—оо^/^оо) такое, что
<o(f; f, g) = (E,f, g).
Из соотношения E) вытекает, что
(Etf, g) = (f, Etg),
т. е. оператор Et самосопряженный. Далее, функция (Etf, f) не убы-
убывает при увеличении t.
Мы имеем равенство
оо
справедливое для любых f, g ? Н и любого невещественного г.
Из этого равенства вытекает, что
(Rzf, Rj,g)= lj^d{Etf,R-,g), F)

74. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 249
а с другой стороны
, % g) = (R*RJ, g) = ?hrz i(R*'f> S) - (Rzf, g)} =
Итак, кроме представления F), мы имеем представление
Эти представления должны быть тождественными, так как
условия нормировки выполнены здесь для обеих функций распре-
распределения. Поэтому
t
^pd(E.f, g) = (Etf, R-.g) = (Rz>Etf, g)
или
t oo
I ^pd(Etf, g)= I ^ds{EsEtf, g).
Так как эти представления тождественны, то
(E.f, g) = {EsEtf, g)
Отсюда следует, что
EUEV = ES (s = min{u, v})
и, значит,
Из условий нормировки функции to (t; f, g) вытекает сначала
в смысле слабой сходимости, а затем и в смысле сильной, что
Далее, существует сильный предел
lim?'( = ?'oo.
t-*co
Докажем, что

250 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
откуда будет следовать, что Et есть некоторое разложение единицы.
Пусть / — ?оо = F. Тогда
FEt = (/ — Еоо)Et = Et — Hm E8Et = Et—Et = 0.
S-*oo
Следовательно, при любых f, g ? H
oo
(RzFf, g) = I -j^diEtFf, g) = 0.
— oo
Значит, при любом f 6 H
КЛ=о.
Отсюда вытекает, что
Следовательно, F = 0, что и требовалось доказать.
Полученное нами представление резольвенты Rz самосопря-
самосопряженного оператора А также является иллюстрацией общих построе-
построений п° 72 и может быть записано в виде
Предлагаем читателю проверить, что оператор ?( при любом t
приводит резольвенту Rz для любого невещественного z, т. е.
EtRz=RzEt.
75. Спектральное разложение самосопряженных операторов.
В конце п° 72 было установлено, что каждым разложением еди-
единицы Et (—оо^/^оо) порождается некоторый самосопряженный
оператор В. Основной задачей настоящего пункта является дока-
доказательство обратного предложения, именно, что каждому само-
самосопряженному оператору А принадлежит некоторое разложение
единицы, которое порождает его в смысле упомянутой теоремы
п° 72. Более того, мы докажем, что этим разложением единицы
является разложение единицы резольвенты оператора А. Первым
шагом на пути к этому доказательству является следующая
Лемма. Если Et{—оо</<оо) есть разложение единицы,
принадлежащее резольвенте Rz самосопряженного оператора А,
то совокупность всех векторов f ? Н, для которых имеет место

75. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 251
неравенство
оо
J fid (Etf, f) < со,
совпадает с областью определения DA оператора А.
Доказательство. Мы знаем, что вектор f = Rzh про-
пробегает DA, когда вектор h пробегает Н, a z есть какое-нибудь
фиксированное невещественное число. Мы примем z = i и для
краткости будем писать
Rt = R, R-t = R*.
Наше предложение будет доказано, если мы проверим эквивалент-
эквивалентность следующих двух утверждений:
а. Элемент / таков, что
оо
J fid(Etf, f)<co.
р. Существует такой вектор h, что
f=Rh.
Докажем вначале, что из Р следует а. Итак, пусть
f = Rh.
В таком случае
(Etf, f) = (EtRh, Rh) = (REth, Rh) = (R*REth, ft) =
t
= I r
а следовательно,
MM M
J fid (Etf, f)= \ 1^wd(Eth, ft)< 5 d(?(ft, ft)<(ft, h).
—M —M —M
Это неравенство и показывает, что
, Л)<оо,
т. е. утверждение а доказано.

252 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Теперь докажем, что из ее следует В. Пусть а имеет место. Это
значит, что вектор f принадлежит области определения оператора В,
о котором шла речь в теореме п° 72.
Положим
h = {B-U)f.
Утверждение В будет доказано, если мы проверим, что
R(B-il)f = f.
Взяв произвольный вектор g ? Н, можем написать равенство
оо
(R(B-il)f, g)= J j±jd{Et(B-U)f, g).
— оо
А с другой стороны,
оо t
((B-il)f, Etg)= J (s-i)ds(Esf, Etg)= J {s-i)d{E8f, g).
—oo — oo
Поэтому
oo
-iI)f, g)= 5 jE$d(Etf, g) = {f, g).
В силу произвольности g это и означает, что
R(B-iI)f = f. A)
Теорема 1. Разложение единицы Et (—oo<[tf<;oo) резоль-
резольвенты Rz самосопряженного оператора А является разложением
единицы оператора А, т. е., во-первых, DA есть совокупность
всех векторов f, для которых
5 f, f)<oo,
—оо
щ во-вторых, для любого f ? DA
оо
Af= \ tdEtf.
Доказательство. Построим оператор В, отвечающий
в смысле теоремы п° 72 разложению единицы Et резольвенты Rz
оператора Л. На основании леммы DB = Da. следовательно,
остается доказать, что для любого f ? DA имеет место равенство
Bf = Af. B)

75. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 253
Но в п° 49 было показано, что равенство
при каком-нибудь невещественном z возможно лишь в том случае,
когда g = 0. Поэтому вместо B) достаточно доказать, что
или
Это равенство, несомненно, имеет место, так как левая часть равна f
в силу A), а правая равна f по определению резольвенты.
Интегральное представление оператора А, установленное теоре-
теоремой 1, называется спектральным разложением этого оператора.
¦Спектральное разложение ограниченного самосопряженного опера-
оператора было впервые получено Д. Гильбертом, а обобщение на неогра-
неограниченные самосопряженные операторы принадлежит Нейману.
Теорема 2. Разложение единицы Et (—oo<;tf<;oo) при-
принадлежит самосопряженному оператору А в том и только том
случае, если:
1°. Е (Д) приводит А при любом интервале Д с: [—оо, оо].
2°. Из включения
fe(Et—Es)H (-c
всякий раз следует неравенство
s\\ff<{Af, f)<t\
Доказательство. Необходимость условия 1° доказана
выше для унитарных операторов. В нашем случае доказательство
аналогично. Необходимость условия 2° вытекает из представления
t
(Af, f)=\rd(Exf, f),
s
верного, если f ? (Et — Es) H.
Обратимся к доказательству достаточности указанных условий.
Итак, пусть условия 1°, 2° выполнены. Возьмем какой-нибудь эле-
элемент f ? DA. В силу условия 1 ° области DA принадлежит (?р — Еа) f,
каковы бы ни были числа а, р. Произведя разбиение (мы считаем а,
Р конечными)
а = ао<а1<а2<... <ап_1<ап = Р C)
интервала [а, 0], представим (Ер — Еа) f в виде
(E^-Ea)f = n;Z(Eak+l -Eah)f.
fc=0

254 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Отсюда на основании 1°
(Ep-Ea)Af = n^A{Eah+l-Eat)f. D)
Но из условия 2° вытекает, что при f ? (Et — Es) H
f-*-±!-f, f)<^(f, f),
иначе говоря, часть самосопряженного оператора
лежащая в (Et — Es) H, имеет норму<;—^- ¦ Поэтому, перепи-
переписав D) в виде
п-1
ft=0
п-1
¦ _ ХА f л aft4~aft+l j ~\ /р р \f /c\
~Т~ /1 I О / \ aft+l aft' ' ' \ У
ft=0
и замечая, что
п-1
ft=0
п-1
ft=0
где
сделаем в E) предельный переход, устремляя диаметр подразделе-
подразделения C), т. е. число 2в, к нулю. Мы получим тогда, что
Р
(Efi-Ea)Af= \tdEtf
f, f).

75. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 255
Второе из этих соотношений показывает, что
—оо
а первое дает
Af=-- I tdEtf.
Тем самым теорема доказана.
При выводе интегрального представления резольвенты само-
самосопряженного оператора (п° 74) было использовано лишь, что
^z Cte Ф 0) есть семейство определенных всюду в Н операторов,
удовлетворяющих следующим условиям:
2°. т = ВГг.
3°. RZ' — Rx = (z' - z) Rz-Rz.
4°. Если Rzf = 0 при каком-нибудь z, то f = 0.
Теперь мы можем утверждать, что всякое семейство операто-
операторов, удовлетворяющее этим условиям, представляет резольвенту
некоторого самосопряженного оператора *). Действительно, имея
такое семейство операторов, мы можем найти его интегральное
представление через некоторое разложение единицы Et, а затем
построить самосопряженный оператор А с этим разложением еди-
единицы. Резольвентой этого оператора А и является семейство Rz.
Заканчивая настоящий п°, приведем несколько простых фактов
относительно самосопряженных операторов, которые являются
непосредственными следствиями интегрального представления этих
операторов:
1). Если А — самосопряженный оператор, для которого
/EDA
то спектральное разложение оператора А имеет вид
А =
*) Следует заметить, что этот факт может быть установлен без исполь-
использования интегрального представления семейства операторов Rz. Если опи-
опираться лишь на свойства 2°, 3°, 4°, то легко показать, что оператор А, опре-
определенный равенством А = zI-^-R^, не зависит от г и является самосопря-
самосопряженным, а его резольвента есть Rz. При этом обнаруживается, что свойство 1°
является следствием остальных.

256 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
т. е.
?( = 0 (при
Et = I (при
2). Для того чтобы некоторый вектор f ? Н допускал п-кратное
применение самосопряженного оператора А, иначе говоря, чтобы
имели смысл
необходимо и достаточно выполнение неравенства
и если это неравенство выполнено, то
оо оо
Ahf= J t*dEtf, \\Ahf\\*= J t*hd{Etf, f) (?=1,2, .... n).
— oo —oo
3). Существует плотное в Н линейное многообразие, на кото-
котором определены все натуральные степени самосопряженного опера-
оператора А. В качестве такого многообразия можно взять совокупность
векторов вида Е(А) h, где h пробегает Н, а Д пробегает множество
всех конечных интервалов числовой оси.
Доказательство этих утверждений предоставляем читателю.
76. О множествах нулевой операторной меры в сепарабельном про-
пространстве. В этом пункте мы докажем предложение, которое было
упомянуто в п° 72. Вот оно:
Теорема 1. Если Н — сепарабельное пространство Гиль-
Гильберта и Et — некоторое разложение единицы на конечном или бес-
бесконечном интервале, то можно указать элемент g ? Н так, чтобы
множество меры нуль относительно функции распределения (Etg, g)
имело меру нуль относительно (Eth, h) при любом h ? Н.
Доказательство. Прежде всего заметим, что доста-
достаточно рассмотреть случай разложения единицы на конечном интер-
интервале. Действительно, если Et есть разложение единицы на оси
[—оо, оо], то Fs = Et, где t = tg s, будет разложением единицы
на интервале —if ' т! ' ^Ри этом> каков бы ни был элемент
h ? Н, любому точечному множеству оси —оо<;/<;оо, имеющему
нулевую стимеру, где Oi (t) = {Eth, h), в силу соответствия t = tg s
отвечает множество нулевой а2-меры на интервале —^<;s<; у , где

76. О МНОЖЕСТВАХ НУЛЕВОЙ ОПЕРАТОРНОЙ МЕРЫ 257
<*2 (s) = (Fsh, h), и наоборот. Поэтому мы можем сразу предполо-
предположить, что разложение единицы Et задано на конечном интервале.
Обозначим через А ограниченный самосопряженный оператор,
принадлежащий разложению единицы Et.
Так как пространство Н сепарабельно, то существует счетное
множество {g(i)}?°, плотное в Н. Положим gi = gW и введем подпро-
подпространство
Gi = {gi, Agi, A*Sl, ...},
порождаемое векторами gt, Agi, A2gi, . . . Оператор проектирова-
проектирования на Gj обозначим Pi. Положим далее
и введем подпространство
G2 = {#2, Ag2, A2g2, ...}
и ортопроектор Р2, проектирующий на G2. Затем положим
введем G3 и Р3 и т. д. Таким образом, мы получим бесконечную
последовательность векторов {gfc}r> соответствующих подпро-
подпространств {Gft}~ и ортопроекторов {Pk)T-
Заметим, что подпространства Gft (а значит, и векторы gk)
попарно ортогональны, а каждый из ортопроекторов Pk переста-
перестановочен с оператором А. При доказательстве второго из этих
утверждений используются теоремы 1 и 2 п° 45.
Теперь возьмем последовательность положительных чисел Yft
так, чтобы
и докажем, что в качестве требуемого вектора g можно взять
оо
?= 2 Vkgk- A)
ft1
2
ft—1
Доказательство основано на следующих леммах:
1°. Если точечное множество 5Ш имеет меру нуль относительно
{Etf, f), то оно имеет меру нуль относительно {EtCf, Cf), где С —
любой ограниченный самосопряженный оператор, перестановоч-
перестановочный с оператором А, а потому и с Et.
2°. Если множество 5Щ имеет меру нуль относительно (Etf, f)
и относительно (Etf, f), то оно обладает тем же свойством отно-
относительно {Etf, f), где f = f + f.
17 H. И. Ахиезер и И. М. Глазман

258 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
3°. Если множество Ш имеет меру нуль относительно каждой
из функций {Etfn, fn) (n = 1, 2, 3, . . .) и если || h — fn \\ -*¦ О
(п -*¦ оо), то 5Щ имеет меру нуль относительно (Eth, h).
Чтобы доказать леммы 1° и 2°, положим F = Е^ — Ex (ц>Я).
Тогда
(FCf, Cf) = {F*Cf, Cf) = (CFf, CFf) < || С ||» {Ff, Ff) = || С f (Ff, f),
откуда вытекает справедливость леммы 1°. Далее
(F{f' + fl, f' + f") = {F{f' + n, F(f' + n)<
<№', Ffr + (Ff", Ffy}^2(Ff, f') + 2(Ff", f").
Из этого неравенства следует справедливость леммы 2°.
Для доказательства леммы 3 заметим, что функция tyn (t) =
= (Et (h — fn), h — fn) при возрастании t не убывает и всегда
<ll h — fn ||2. Возьмем п столь большим, чтобы \\ h — fn 112<-т ,
и заключим 5Ш в систему интервалов, на которой изменение функции
(Etfn> fn) меньше, чем -^-. Тогда на этой системе интервалов изме-
изменение функции (Eth, h) будет меньше в. Тем самым лемма 3° также
доказана.
Теперь обратимся к доказательству теоремы.
Пусть некоторое множество 5Ш имеет меру нуль относительно
функции {Etg, g), где g—построенный нами вектор A). Пусть,
далее, h — произвольный вектор из Н. Мы хотим доказать, что
5Ш имеет меру нуль относительно (Eth, h). С этой целью заметим,
что элемент h можно представить в виде
/i= S hh, B)
где hk = Puh- Действительно, вектор
hl + h2+...+hn
представляет проекцию вектора h на подпространство
а каждый из векторов gW (k = 1, 2, . . ., п) принадлежит этому
подпространству. Поэтому
(Л=1,2, ..., п).

76. О МНОЖЕСТВАХ НУЛЕВОЙ ОПЕРАТОРНОЙ МЕРЫ 259
А так как множество {gw}f> плотно в Н и, значит, при любом в > О
можно найти такое &= kE, что \\ h — gW \\ < в, то при &
|| h — hi — h2 — . .. — hn || < в.
Следовательно, представление B) доказано.
На основании лемм 2° и 3° поэтому достаточно доказать, что
множество 5Щ имеет меру нуль относительно функции (Ethh, hk)
при любом натуральном k. Это мы и докажем. Для этого прежде
всего возьмем равенства
из которых по лемме 1 ° следует, что множество 5Ш имеет меру нуль
относительно функции (Etgn, gn), и на основании той же леммы 1°
множество 5Ш имеет меру нуль относительно каждой из функций
{EtArgn, Argn) (r = О, 1,2,.. .). Поэтому в силу лемм 2° и 3°
множество 5Щ имеет меру нуль относительно функции (Etf, f),
каков бы ни был элемент f ? Gn. Но в таком случае множество 5Ш
имеет меру нуль относительно (Ethk, hh) (k = 1, 2, . . ., п), и дока-
доказательство закончено, так как п можно взять сколь угодно
большим.
Следующее предложение, которое будет использовано далее
в п° 91, примыкает к теореме 1.
Теорема 2. Пусть Н — сепарабельное пространство Гиль-
Гильберта, Et — некоторое разложение единицы на конечном интер-
интервале и А — принадлежащий ему самосопряженный оператор. Если
Т — линейный замкнутый оператор с плотной в Н областью опре-
определения DT, перестановочный с каждым ограниченным самосопря-
самосопряженным оператором, который сам перестановочен с оператором
А, то можно указать элемент g ? DT так, чтобы множество меры
нуль относительно функции распределения {Etg, g) имело меру
нуль относительно (Eth, h) при любом h ? Н.
Доказательство проводится аналогично доказательству
теоремы 1. Отметим лишь, что теперь плотное в Н счетное множе-
множество векторов {g^}j° нужно выбрать из элементов, принадлежащих
DT. Тогда векторы gk (k = 1, 2, 3, . . .), определяемые, как и в пре-
предыдущем доказательстве, по оператору А, все будут принадлежать
DT, так как из перестановочности операторов Pj и А следует
перестановочность Р. и Т и включение Pyg(i> ? DT (у < i; i, j =
= 1, 2, 3, . . .). Поэтому вектор
сю
17*

260 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
где числа yk положительны и выбраны так, что
2^
также будет принадлежать DT.
77. Функции от унитарного оператора. Отправляясь от простей-
простейших понятий и определений, мы можем, так же как и в линейной
алгебре, ввести всевозможные многочлены от оператора, заданного
во всем гильбертовом пространстве. Наибольшее значение для нас
имеют случаи, когда в качестве исходного оператора взят ограни-
ограниченный самосопряженный оператор А или унитарный оператор U.
В этом последнем случае, которому *) посвящен настоящий пункт,
многочлены могут содержать также и отрицательные степени опе-
оператора.
Если
— произвольный «квазиполином» от еи, то мы полагаем
P(U)= 2 ckUk,
. . ft=—m
устанавливая, таким образом, некоторое соответствие между три-
тригонометрическими суммами от t и функциями от оператора U.
Это соответствие обладает следующими свойствами:
1°. Если
Рз {eil) = Pi (е«) + Р2 (е*1), Р* (в") = Pi (*a) Р2 (в*1),
то
Р3 {U) = Pj (t/) + P2 (t/), P4 (t/) = Pj A7) Р2 (U).
2°. Если
S сьеш . A)
ft=—m
и Т = Р {U), то
т*= 2 iHirh
h
*) С помощью применяемого здесь метода, при весьма незначительных
изменениях, трактуется и тот случай, когда исходным является ограничен-
ограниченный самосопряженный оператор, а не унитарный.

77. ФУНКЦИИ ОТ УНИТАРНОГО ОПЕРАТОРА . 261
так что оператор Р (U) будет самосопряженным в том и только том
случае, когда т = пи с-и = си, т. е. когда квазиполином A) веще-
веществен.
3°. Если квазиполином A) удовлетворяет неравенству
Р(еи)>0 @<*<2я), B)
то при любом f ? Н
(P(U)f,f)>0,
т. е. оператор P(U) позитивен.
В доказательстве нуждается лишь последнее утверждение. При-
Приведем его. С этой целью воспользуемся тем, что квазиполином
Р (е")> удовлетворяющий неравенству B), можно представить
в виде *)
Р (еи) = I 2 Блв'« Г = Q {е~») Q (в»),
где
Q(e")=- 2 Б*в*«.
7(=0
Поэтому
Р (U) = Т*Т,
где
Следовательно, при любом f ? Н
f) = {T*Tf, f) = (Tf, 77)
Займемся теперь распространением рассматриваемого соответ-
соответствия на функции, отличные от квазиполиномов. В настоящем
пункте это будет сделано для функций довольно узкого класса.
Общей же постановке вопроса будет посвящен один из дальней-
дальнейших пунктов.
Обозначим буквой К класс, который состоит из всех непрерыв-
непрерывных на единичной окружности вещественных функций; мы будем
их обозначать ф (elt), а также из всех кусочно-непрерывных функций
¦ф (еи) @<;?<;2я), которые являются пределами монотонно убы-
убывающих, сходящихся в каждой точке последовательностей {фп (e")}f.
*) Чтобы получить это представление, нужно принять во внимание, что
в силу вещественности функции Р (г) на окружности | г| = 1 она удовлетво-
удовлетворяет равенству
и ее корни расположены симметрично относительно окружности | г | = 1.

262 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Лемма. Для всякой функции г|з (еи) ? К можно построить
бесконечную последовательность квазиполиномов {Рп (еи)}™, моно-
монотонно убывающую и сходящуюся в каждой точке к функции г|з (еи).
Доказательство. По определению класса К существует
монотонно убывающая последовательность непрерывных функций
{фп (еи))Г с= К, сходящаяся в каждой точке к функции г|з (еи).
При каждом натуральном п построим в согласии с теоремой Вейер-
штрасса вещественный квазиполином Рп (еи), удовлетворяющий
для всех t неравенству
Из этого неравенства следует, что в каждой точке t
^±, C)
и, значит, последовательность {Рп (е**)}?° сходится к г|з (elt) в каж-
каждой точке. С другой стороны, благодаря неравенству C)
(еи) <. Ф„+1 (е") + ^г < Фп (в**) + ^г<Рп (е«). D)
и лемма доказана.
Теперь построим операторы Рп (U). Они самосопряженные,
имеют общую нижнюю грань
inf 1|з (е«)
и образуют монотонно убывающую последовательность. Согласно
теореме 3 пр 33 эта последовательность сильно сходится к некото-
некоторому оператору S, который, по определению, примем за г|з (U).
Нужно только доказать, что оператор S не зависит от выбора
последовательности квазиполиномов, аппроксимирующих указан-
указанным в лемме способом функцию г|з (elt), а зависит лишь от этой
функции. Для доказательства допустим, что, кроме последова-
последовательности {Рп (еи)}™, есть вторая монотонно убывающая последо-
последовательность квазиполиномов {Qn (eu)}f, сходящаяся в каждой
точке к функции г|з (еи).
Возьмем произвольное натуральное т и рассмотрим сумму
Для каждого t, очевидно, найдется такое N, при котором
В силу непрерывности обеих функций Рт (еи), QN (elt) это нера-
неравенство будет иметь место не только в точке еи, но и в некоторой

77. ФУНКЦИИ ОТ УНИТАРНОГО ОПЕРАТОРА 263
дуговой окрестности этой точки. Ясно, что во всей этой окрестно-
окрестности будет и подавно выполнено неравенство
E)
при любом п>Л/. По лемме Бореля, окружность можно покрыть
конечным числом таких окрестностей и тогда, беря наибольшее
из отвечающих им чисел N, мы найдем, что для всех п, превосхо-
превосходящих его, неравенство E) будет выполнено во всех точках окруж-
окружности. Аналогично найдем, что при любом натуральном т всюду
на окружности будет иметь место неравенство
если только п достаточно велико. Этим неравенствам между ква-
квазиполиномами соответствуют следующие неравенства между опе-
операторами:
Qn(U)<Pm(U) + ±I. Pn(U)<Qm(U) + -^I. F)
Полагая
limQn (U) = T, lira/>„(?/) = S
и фиксируя в неравенствах F) число m, найдем, что
Увеличивая теперь т, получим, что
T<S,
откуда и следует наше утверждение.
Таким образом, соответствие между функциями и операторами
распространено на весь класс К- Легко видеть, что отмеченные
выше для квазиполиномов свойства этого соответствия переносятся
на весь класс К. А именно, если г|з4 (еи), г|з2 {еи) 6 К и
¦Фз (еи) = Ч>1 (е*0 + ^2 (eil), ф4 (ei{) = ф, (в**) -ф2 (в**),
то
и если
то

264 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Теперь введем линейную оболочку К множества К и распро-
распространим соответствие на нее, полагая
т
!>(?/)= 2
ft=i
если
та
¦ф(е") = 2
k=i
каковы бы ни были функции tyk {eil) 6 К и комплексные числа ch.
Однако здесь нужно убедиться в том, что оператор \р (U) при этом
определяется по функции г|з (еи) однозначно. Последний факт доста-
достаточно установить для случая вещественных коэффициентов Ck,
так как общий случай сводится к этому путем выделения самосо-
самосопряженной части оператора г|з (?/) и вещественной части функции
¦ф (еи). (Напомним, что функции tyh (eu) вещественны, а потому
операторы г|з^ (U) самосопряжены.) Итак, пусть ch вещественны.
Группируя отдельно слагаемые с положительными си и отдельно
с отрицательными с^, мы сведем вопрос к следующему: пусть функ-
функция со (eil) представлена двумя способами в виде разности двух
функций из К, а именно
со (e«) = *i (в*1) — 'Фг (еи), со (в«) = -ф3 (еи) — ^ (еи);
будет ли иметь место равенство
G)
Ответ на этот вопрос положителен, так как из тождества
Ч>1 (еи) -*8 (elt) = Уз (еи)-<р, (eil)
следует тождество
1>i (еи) +гр4 (еи) = ^ (ei() + ^3 (elt),
обе части которого принадлежат К, в силу чего
Из этого равенства уже следует равенство G).
Аналогичным путем доказывается, что свойство монотонности
построенного соответствия справедливо не только в К, а и в К.
Под этим мы понимаем, что если со4 (еи), со2 {еи) 6 К и
co1(ei()>co2(eit) @^i
то

78. ПРЯМОЙ ВЫВОД СПЕКТРАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ 265
Замечание. Унитарный оператор U перестановочен со
всеми функциями \р (?/), \р (еи) ? К. Действительно, равенство
?/ф (U) = -ф (U) U является прямым следствием тождества гф (г) =
= г|з (г)г (г = еи).
78. Прямой вывод спектрального разложения унитарного опе-
оператора. Введем при любом X из интервала 0<Я,-<2я функцию
(\ @<г<Я),
%(**') = 1 0 (А,<*<2я),
[ 1 (<
и положим еще
Эта функция принадлежит классу К п° 77. Поэтому мы можем
сопоставить ей оператор
Так как ?я — самосопряженный оператор и Е\ = Е, то это проек-
проектирующий оператор. Если 0-<Я- < ;(х^2я, то
поэтому
т. е. мы имеем монотонную (неубывающую) последовательность
ортопроекторов. Поскольку, далее *),
при любом Я- ? @, 2я], то
Таким образом, Е% @<Я-<;2я) представляет некоторое раз-
разложение единицы. Остается доказать, что оно порождает спек-
спектральное разложение рассматриваемого унитарного оператора U.
С этой целью заметим, что при фиксированном целом г, любом
t ? [0, 2я] и любом подразделении
*) Здесь и в дальнейшем запись х \ а означает, что х -*¦ а, х > с. Анало-
Аналогично х \ Ь означает, что х -*¦ Ь, х < Ь.

266 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
справедливо неравенство
I еш - Л elrtk-i №fc (g") - ф(л-1 (ei()] |< | r | max (*в - *_,)¦
Действительно, если ts-i*Ct <C ts (s = I, 2, . . ., п), то левая
часть написанного неравенства есть
*_ем-*8_1| —2
sin
Если t = ts при s = n, то неравенство также справедливо.
Если подразделение имеет достаточно малый диаметр, то мы
получим, что всюду в интервале. [О, 2я]
х
X {eir( - JB eirtft-i [ф;л (е4') -ф^ (в")]}
Переходя к операторам, находим, что
или
откуда в пределе получаем
ir(d?( (±г = 0, 1,2, ...),
а это при г = 1 и есть спектральное разложение оператора U.
Так как ?*, = % (?/), то из замечания в конце п° 77 следует
перестановочность оператора U со своим разложением единицы.
Заметим, что аналогичным методом можно было бы вывести
спектральное разложение ограниченного самосопряженного опера-
оператора. Однако в этом нет надобности, так как, имея спектральное
разложение унитарного оператора, можно получить спектральное
разложение любого самосопряженного оператора с помощью так
называемого преобразования Кэли, что и будет нами сделано в пр 79.
В качестве приложения наших построений докажем следующую
теорему: пусть последовательность унитарных операторов {Un}™
сильно сходится к оператору (очевидно, унитарному) U, для кото-
которого точка 1 не является собственным значением; в таком случае

79. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ 267
при любом X @ < Я, < 2я), для которого еа не есть собственное
значение оператора U, имеет место в сильном смысле соотношение
где ?(И) — спектральная функция оператора Un, a Et — спектраль-
спектральная функция оператора U.
В самом деле, рассмотрим непрерывную на единичной окружно-
окружности ? = еи, 0<?<2я, функцию
со (еи) = % (еи) (еи-е^) (elt -1).
Положим
Так как по условию теоремы имеют место в сильном смысле соот-
соотношения
lim со (?/„) = со (U) и lim Bn = B
и так как
то при любом f g Н
С другой стороны,
|| E{n)Bf - Etflf ||
Поэтому мы заключаем, что
^ A)
На основании условия теоремы оператор Б определен на плотном
в Н многообразии Дв. Для любого g из этого многообразия най-
найдем в силу A)
lim E^g = lim E
Окончание доказательства теоремы очевидно.
79. Преобразование Кэли. Пусть А — замкнутый симметрический
оператор, a z — какое-нибудь невещественное число; пусть h

268 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
пробегает DA и пусть
(A-zl)h = ft A)
(A-zI)h = g. B)
Вектор f будет пробегать некоторое линейное многообразие F,
а вектор g — некоторое линейное многообразие G. Докажем, что
F и G замкнуты и, следовательно, являются подпространствами
в Н. С этой целью положим, что
fn = (A-~zI)hn (n=l,2, 3, ...)
и
fn~>f. C)
Если z = х -\-iy, у Ф 0, то
fn = (A—xI)hn + i
и, значит,
Поэтому из C) следует, что существуют
lim (Л — xl)hn и lim hn.
71—>^ОО XI—УОО
Обозначая второй из этих пределов через h, мы заключаем
на основании замкнутости оператора А, что
f = (A-xI)h + iyh= (A — zI) h.
Следовательно, f ? F, т. е. многообразие F замкнуто. Аналогично
доказывается замкнутость G.
С помощью соотношения A) многообразие DA отображается
взаимно однозначно на F, а с помощью B) на G. Поэтому для
любого f ? F найдется один и только один элемент h 6 DA, удовлет-
удовлетворяющий соотношению A). Найдя этот элемент h, определим
по формуле B) элементу. Таким образом, каждому элементу f ? F
однозначно сопоставляется элемент g ? G, т. е. мы имеем некото-
некоторый оператор V с областью определения Dv = F и областью
значений Av = G:
Легко видеть, что V есть оператор изометрический. Действительно,
он линеен и
Изометрический оператор V называют преобразованием Кэли
симметрического оператора А.

79. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ 269
Мы будем полагать z = i. Тогда уравнения A) и B) примутвид
f, (Г)
g = Vf. B')
Из этих соотношений следует, что
Поэтому
i4A = i(/ + V)(/-Vp/i. D)
Так выражается симметрический оператор А через его преобразо-
преобразование Кэли V.
Заметим, что преобразование Кэли самосопряженного оператора
есть оператор унитарный. Следующая теорема показывает, что
справедливо и обратное. Попутно получается новый вывод спек-
спектрального разложения самосопряженного оператора, установлен-
установленного в п° 75.
Теорема 1. Пусть преобразование Кэли симметрического
оператора А есть унитарный оператор U с разложением единицы
Fs @<. s*c2n). В таком случае оператор А самосопряжен, и ему
принадлежит разложение единицы Et — Fs, t = —ctgy • Это зна-
значит, что область определения DA оператора А есть совокупность
всех тех векторов h, для которых
t2d(Eth,h)<oo,
и оператор А допускает представление
оо
Ah= \ tdEth.
— оо
Доказательство. Пусть h ? DA, a f — тот элемент,
который отвечает элементу h в силу отображения (Г), т. е.
В таком случае
2я s
Fsh = 4- (/ -U) F.f = ± \ A - е") dT (FTFS/) = ± \ (I -e**) dFT/
о о
E)

270 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
(FJi,h)=±({I-U}FBf, {I-U}f) =
2Я s
= 1 J B-^-е-*^(Щ f)= \ sin'±d(Ftf, f). F)
о о
С другой стороны,
2я
± = ±l (l+eis)dFsf G)
о
2я
= J cos? ±d(F.f, f). (8)
0
Сравнение F) и (8) показывает, что
2я 2я
о о
Равным образом из E) и G) следует, что при любом К 6 Н
2я
Положим теперь
Тогда Et также является разложением единицы, но в интервале
[—оо, оо], а полученный нами результат состоит в том, что из вклю-
включения h 6 DA следует неравенство
оо
\t2d(Eth, fc)<oo (9)
е
—оо
и поедставление
оо
J . A0)

79. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ 271
Теперь покажем, что если имеет место неравенство
°о 2я
t*d(Eth,h)=\j ctg2^-d(/yz,/z)<oo, A1)
— оо О
то h e DA.
Итак, пусть A1) имеет место. В таком случае на элементе h
определен оператор
-\е~ 2
s
sin -7г
0 Sln ~2
Положим
2я
о sin -s-
Тогда при любом h' ? Н
2я ic
Беря
найдем
sin~2
. D= U(^A П = (л. П-
о sin у о
В силу произвольности элемента f это означает, что
иными словами, элемент h допускает представление, из которого
следует, что он принадлежит ЪА.
Таким образом, спектральное разложение оператора А и область
определения DA определяются разложением единицы Et по фор-
формулам A0) и (9), а потому в силу теоремы конца п° 72 оператор А
самосопряжен.

272 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Теорема 1 полностью доказана.
Теорема 2. Пусть {Л„}?° — последовательность произ-
произвольных самосопряженных операторов, для которой на некотором
плотном множестве существует в сильном смысле lim An, и замы-
п*>оо
кание этого предельного оператора есть самосопряженный опера-
оператор А с разложением единицы Et. В таком случае в каждой точке [i,
которая не является собственным значением оператора А, имеет
место в сильном смысле соотношение
где Е^— разложение единицы оператора Ап (п = 1, 2, . . .).
Доказательство. Перейдем от рассматриваемых само-
самосопряженных операторов к их преобразованиям Кэли — унитар-
унитарным операторам
Un = (Ап - И) (Ап + iiy\ U = (A- И) (А + П)~\
Разложения единицы операторов Un, U получаются по формулам
/»=М«> F—F* t— — cte —
Точка еа —~4 в силу условия теоремы не будет собственным
Ц.+ I
значением оператора U, а точка 1 не является собственным значе-
значением ни одного из операторов ?/„, U по свойству преобразования
Кэли. Поэтому применима теорема конца п° 78, в силу которой
в сильном смысле
а значит, в том же смысле
Теорема доказана.
80. О перестановочных операторах. В п° 17 было дано определение
перестановочности двух операторов S и Т, из которых по крайней
мере один (пусть это будет S) задан всюду в Н. В силу этого опре-
определения перестановочность означает, что из включения f 6 Dr
следует включение Sf ? Dr и равенство
STf = TSf.
Теперь мы примем в качестве оператора Т некоторый самосопря-
самосопряженный оператор А. Оператор же S по-прежнему будет произволь-
произвольным, определенным всюду в Н ограниченным оператором.

81. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 273
Теорема. Перестановочность операторов S и А эквивалентна
перестановочности оператора S с разложением единицы Et опера-
оператора А при любом t.
Доказательство. Пусть операторы S а А перестано-
перестановочны. Тогда при любом невещественном z и любом f ? DA
S(A—zI)f=(A-zI)Sf.
Вектор f пробегает DA, если он имеет вид Rzh, где h пробегает Н,
a Rz есть резольвента оператора А. Таким образом, для любого
h ?Н
S{A—zl) Rzh = (А - zl) SRzh,
откуда
Sh = (A—zI)SRzh
и, значит,
В силу интегрального представления резольвенты из этого нера-
неравенства вытекает при любом g ? Н следующее соотношение:
оо оо
I T^d(EtSh,g)= J j^
Так как это соотношение имеет место для любого невещественного
г, то в силу уже применявшейся аргументации (см. п° 74) при
любом t
EtS = SEt.
Рассматривая написанные нами формулы в обратном порядке,
завершим доказательство теоремы.
81. Спектральное разложение ограниченных нормальных опера-
операторов. Пусть Т — ограниченный нормальный оператор. Введем его
вещественную и мнимую компоненты
которые являются перестановочными, ограниченными, самосопря-
самосопряженными операторами. Таким образом,
A)
Пусть
18 Н. И, Ахиезер и И. М. Глазман

274 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
— интегральные представления операторов А, В. Согласно условию
Это соотношение показывает, что зависящий от двух параметров
оператор
%st = E*Ft
является (см. теорему 1 п° 37) проектирующим оператором (орто-
проектором), Каждому прямоугольнику Q = Д' х А", где Д' cz
ci [a, b), A" cz [с, d], мы можем сопоставить оператор
E(A')F(A") = %(Q),
который, очевидно, также является ортопроектором. Если мы
обозначим буквой R прямоугольник, определяемый неравенствами
a<s<;6, c*Ct*Cd, то при любом f 6 Н сможем написать следую-
следующие представления:
ь ь d
Af= J sdEsf = J sdEs \ dFtf= J J sdg.tf.
а с
d Ь
Подставляя эти выражения в A), получаем следующее инте-
интегральное представление для Tf:
. B)
Таким образом, спектральное разложение нормального оператора
получено. Из этого разложения B), между прочим, вытекает, что
Обоснование выполненных выше преобразований не представ-
представляет труда, если определять кратный интеграл B) как сильный
предел соответствующих векторных интегральных сумм вида
3, h
где Qjk = A'j x Aft. С помощью приема, примененного впервые
в п° 71, можно, сверх того, показать, что операторные суммы

82. СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО И УНИТАРНОГО ОПЕРАТОРОВ 275
равномерно сходятся к оператору Т, так что можно писать
Семейство операторов %st, представляющее двумерный аналог
разложения единицы, обладает по отношению к оператору Т рядом
свойств, аналогичных тем, которые по отношению к самосопря-
самосопряженному оператору имеет одномерное разложение единицы. В част-
частности,
1°. При любом Q = [s't s"] x U\ t"\ d R подпространство
% (Q) H приводит оператор Т.
2°. Если f е Ш (Q) Н, то
s'<8ft(Tf,f)<s\ t'<3<Tf,f)<tm.
Заканчивая настоящий пункт, заметим, что унитарный оператор
U является нормальным. Поэтому он обладает представлением B).
Однако из равенства || Uf \\ = || f ||, которое имеет место при любом
f 6 Н, нетрудно вывести, что Щ (Q) = 0 всякий раз, когда прямо-
прямоугольник Q не имеет общих точек с окружностью s2 -\-t2 = 1.
Это дает возможность преобразовать двойной интеграл B) в инте-
интеграл по единичной окружности в полном соответствии с получен-
полученным выше спектральным разложением унитарного оператора.
82. Спектр самосопряженного и унитарного операторов. Пусть
Et — некоторое разложение единицы. Мы будем считать, что интер-
интервалом изменения t является вся числовая ось. Действительно,
если t изменяется в интервале [а, р], отличном от всей оси, то мы
можем продолжить Et за пределы этого интервала, полагая Et = /
при />Р и ?( = 0 при t < a.
Будем называть точку t точкой постоянства разложения еди-
единицы, если существует такое е > 0, что Et+e — Et-Z = 0, и точ-
точкой роста в противном случае. Естественно, далее, точку t считать
точкой разрыва (скачка), если Et+0 — Et Ф 0, и точкой непрерыв-
непрерывности, если ?(+o — Et = 0. (Напомним, что, по определению,
?t-o — Et = 0 всегда.)
Докажем, что если Et есть разложение единицы самосопря-
самосопряженного оператора А, то:
a) вещественное число % является регулярной точкой опера-
оператора А в том и только том случае, когда "к есть точка постоянства
разложения единицы,
b) вещественное число % является собственным значением опе-
оператора А в том и только том случае, когда % есть точка скачка
разложения единицы.
18*

276 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Чтобы доказать утверждение а), напишем равенство
оо
\\(A-kI)f\\*= J (t-K)*d(Etf,f), A)
верное для любого f ? DA.
Если X — точка постоянства разложения единицы, то функция
(Etf, f) постоянна в некоторой окрестности точки К. Пусть е —
радиус этой окрестности. Тогда из A) вытекает неравенство
К—е оо
\\(A-M)f\\'> I + J (t-K)*d(Etf,f)>*(f,f).
-оо К+е
Это неравенство означает, что Я, есть регулярная точка оператора А.
Обратно, если Я,— регулярная точка, то при некотором е>0
и любом f ? DA
\\(A-KI)f\\>*\
и, значит, при любом f g DA
оо
(t-Wd(Etf,f)>*a I d(Etf,f). B)
Допуская, что % не есть точка постоянства для разложения еди-
единицы оператора А, выберем элемент g и некоторое положительное
т) << е так, чтобы
и применим неравенство B) к элементу
который, как известно, принадлежит DA. Мы получим неравенство
М-ч *.+ч
\ (t--kfd(Etg,g)>z* \ d(Etg,g),
невозможность которого позволяет считать утверждение а) дока-
доказанным.
Перейдем к доказательству утверждения Ь).
Пусть К есть собственное значение оператора А и f — принад-
принадлежащий ему собственный вектор. В таком случае
= I (t-K)*d(Etf,f).

82. СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО И УНИТАРНОГО ОПЕРАТОРОВ 277
Это равенство показывает, что единственной точкой роста функ-
функции (Etf, f) может быть точка t = "к. А так как
оо
,f)= \ d(Etf,f),
то точка t = Я, не только может быть точкой роста, но и обязательно
ею будет. Но изолированная точка роста есть точка скачка, сле-
следовательно,
(?W, /) Ф (Eyf, f)
и, значит, ?*,+(, ф Е%. Обратно, пусть точка % такова, что Е^о ф
Ф Ех- Это значит, что для некоторого вектора g
Вектор f принадлежит DA и
оо
\\(A-XI)ff= I (t-%fd(Etf,f).
—оо
Но функция
(Etf,f) = (Et{EK+o-EK}g,f)
равна нулю при t < К и не зависит от t при t > Я,. Следовательно,
т. е. Я. есть собственное значение оператора А.
Тривиальным следствием наших рассмотрений является то, что
спектр всякого самосопряженного оператора есть множество
непустое.
Из приведенных выше рассуждений также вытекает, что если Я,
есть собственное значение оператора А, то (?я+о — Еу) Н есть
соответствующее собственное подпространство.
Используя формулу A), можно получить следующую теорему,
которая содержит в качестве частного случая доказанное выше
утверждение а). В формулировке этой теоремы каждое собственное
значение при подсчете количества точек спектра учитывается
столько раз, какова его кратность.
Теорема 1. Количество г (г<; оо) точек спектра самосо-
самосопряженного оператора А, лежащих в интервале Д = (Я.о — б,
Я.о +6), равно максимальной размерности s(s<!oo) линейных
многообразий G a DA, на которых выполнено неравенство
C)
Доказательство. Так как в качестве G можно, в част-
частности, взять подпространство Е (Д) Н, размерность которого

278 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
равна г, то должно быть r<!s. Предположив, что г < s, легко
придем к противоречию. Действительно, в этом случае существует
многообразие G cz DA, на котором выполнено неравенство C)
и размерность которого больше г = dim Е (Д) Н. Поэтому в G
найдется вектор ёФО, ортогональный к Е (Д) Н. Но для такого
вектора в силу A) будет выполняться неравенство || (А— X0I)g ||>
>fi||gll> несовместимое с C).
Совершенно аналогично устанавливается следующее предло-
предложение.
Теорема 2. Количество точек спектра самосопряженного
оператора А, лежащих левее данной точки Я,о, равно максимальной
размерности линейных многообразий G cz DA, на которых выпол-
выполнено неравенство
(Af-hf,f)<0.
Переходя от самосопряженного оператора к унитарному опера-
оператору, припомним, что всякое собственное значение унитарного опе-
оператора по модулю равно единице, т. е. имеет вид eiK, где Я называют
собственной частотой унитарного оператора. При этом для любого
целого k будет иметь место равенство
Ukf == eihKf,
если f есть собственный вектор, принадлежащий собственной
частоте Я.
В континуальном случае, когда рассматривается непрерывная
группа унитарных операторов Us (—oo<s< oo), число Я назы-
называют собственной частотой этой группы, если существует такой
элемент f =?= 0 (собственный вектор), что при любом вещественном s
Докажем, что вещественное число К является собственной часто-
частотой унитарного оператора U (соответственно непрерывной группы
унитарных операторов Us) в том и только том случае, если X есть
точка скачка разложения единицы.
Для определенности рассмотрим случай группы унитарных
операторов. Пусть Я, есть ее собственная частота, a f — собственный
вектор, так что при любом вещественном s
Так как
'Js _ еьч) f ц> = ({i/_e _ e-ufc/j {Vs _ еиЧ} ft f) =
= ({2/ _ e**l/_ - e-bWs} f, f) =
*= ^4sin2 a(X~° d(Etf,f),

83. ПРОСТОЙ СПЕКТР 279
то единственной точкой роста функции (Etf, f) может быть t = Я,;
эта точка и должна быть точкой роста, ибо в противном случае
не могло бы иметь место неравенство
/,»= \ d(Etf,f).
—оо
Следовательно,
(Emf, f) Ф (Etf, f),
и, значит,
Мы замечаем, что роль неотрицательного множителя (Я, — t)z
. . 2 S(k—t)
в случае самосопряженного оператора теперь играет 4sm _ .
В остальном нет разницы в доказательстве. Это относится и ко вто-
второй части утверждения, а также и к следующему предложению:
точка Я, является точкой постоянства разложения единицы унитар-
унитарного оператора U (соответственно группы унитарных операторов
Us) в том и только том случае, если еШ}- при любом целом k (соот-
(соответственно, eisK при любом вещественном s) является регулярной
точкой оператора Uk (соответственно оператора Us).
Так как разложение единицы самосопряженного или унитар-
унитарного оператора вполне определяет спектр этого оператора, то раз-
разложение единицы часто называют спектральной функцией.
О принадлежности данной точки Я, к спектру самосопряженного
оператора А можно также судить по поведению его резольвенты
Rz в окрестности точки Я,.
Вот относящееся сюда предложение: вещественная точка Я,
не принадлежит спектру самосопряженного оператора А и, сле-
следовательно, является регулярной точкой этого оператора в том
и только том случае, когда для любого элемента f ? Н функция
(Rz f, /). во-первых, регулярна в некоторой окрестности точки К
и, во-вторых, принимает вещественные значения в некотором интер-
интервале Я. — 6<^<Я. +6.
Необходимость этих условий вытекает из интегрального пред-
представления резольвенты и из условия а). Достаточность следует из
формулы обращения Стилтьеса (см. п° 69) и из условия а).
В п° 83 мы познакомимся с классом операторов, для которых
указанные условия достаточно проверять лишь для одного (спе-
(специальным образом выбранного) элемента f.
83. Простой спектр. В линейной алгебре и теории интегральных
уравнений спектр оператора называют простым, если кратность
каждого собственного значения этого оператора равна единице.
Это определение не переносится на произвольные операторы в про-

280 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
странстве Гильберта, так как, вообще говоря, совокупность собствен-
собственных значений оператора не исчерпывает его спектр. Мы примем
следующее
Определение. Спектр самосопряженного (соответственно
унитарного) оператора называется простым, если существует такой
вектор g (Е Н (порождающий вектор), что плотна в Н линейная
оболочка множества векторов Е (Д) g, где Д пробегает совокуп-
совокупность всех интервалов числовой оси (соответственно, отрезка [0,2я]).
В силу этого определения спектры самосопряженного оператора
и его преобразования Кэли одновременно просты или непросты.
Кроме того, из данного определения следует, что в несепарабель-
ном пространстве самосопряженный (унитарный) оператор не мо-
может иметь простой спектр.
Для оператора, с которым имеет дело линейная алгебра и тео-
теория интегральных уравнений, характерно, что линейная оболочка
совокупности всех его собственных векторов совпадает с простран-
пространством или, во всяком случае, плотна в нем. Нетрудно показать,
что для произвольного самосопряженного (или унитарного) опера-
оператора в Н, обладающего этим свойством, принятое нами теперь новое
определение простоты спектра находится в полном согласии
с упомянутым в начале настоящего пункта элементарным опреде-
определением. Это обстоятельство можно рассматривать как оправдание
данного нами общего определения.
Рассмотрим в качестве примера оператор умножения Q в
L% (—оо, оо) (см. п°54)*). Спектральная функция Et этого опе-
оператора определяется равенством
где хд @ есть характеристическая функция интервала Д. Чтобы
в этом убедиться, достаточно вспомнить теорему 2 п° 75. Оператор
Q имеет простой спектр. В самом деле, возьмем кусочно-постоянную
функцию g (t), удовлетворяющую условиям
Эта функция является порождающей функцией для оператора Q
в смысле нашего определения. Действительно, линейная оболочка
множества функций Е (Д) g (t) совпадает с совокупностью всех
финитных кусочно-постоянных функций, а эта совокупность плотна
в U (— оо, оо) (см. п° 14).
*) Наряду с принятым в п° 54 обозначением й мы используем для опе-
оператора умножения букву Q. Здесь мы пишем для простоты Q вместо Qa.

83. ПРОСТОЙ СПЕКТР 281
Очевидно, функция, равная нулю на множестве положительной
а-меры, не может быть порождающей для оператора Q.
Наоборот, в качестве порождающего элемента можно взять
любую функцию g (t) ? Ьд (—оо, оо), отличную от нуля всюду,
за возможным исключением множества нулевой о-меры.
Для доказательства этого утверждения достаточно установить,
что любую функцию f (t) из Lo (a, b) можно с любой степенью
точности аппроксимировать произведениями вида g(t)q(t), где
q (t) — кусочно-постоянная функция:
E*. A)
Введем пространство Lp (a, Ь), где
t
Q (t)=\ \g(s) \2da(s). B)
Функция -^утг- принадлежит Lp (a, b); поэтому существует такая
кусочно-постоянная функция q (f), что
/ @ „ /
?@ vv
а
Отсюда после замены q (t) по формуле B) и получаем A).
Теорема 1. Если спектр унитарного оператора U прост
и g есть какой-нибудь порождающий элемент, то линейная оболочка
векторов Uhg (±k = О, 1, 2, . . .) плотна в Н.
Обратно, если существует такой вектор g, что линейная обо-
оболочка векторов Uhg (±& = 0, 1, 2, . . .) плотна в Н, то спектр
оператора U прост и вектор g является порождающим эле-
элементом.
Доказательство. Пусть спектр оператора U прост
и пусть g — какой-нибудь порождающий элемент. Допуская, что
линейная оболочка множества векторов Uhg(±k = 0, 1, 2, . . .)
не плотна в Н, возьмем вектор h =/= 0, для которого
(Uhg,h) = 0 (±k = 0, I, 2, ...).
В силу интегрального представления унитарного оператора
отсюда следует, что
0 = 0 (±k = 0, 1, 2, ...).

282 гл- VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Из этих равенств на основании теоремы единственности вытекает, что
(Etg,h)=0 @<
и, значит, вектор h ортогонален каждому вектору вида Е (A) g,
а это противоречит тому, что g — порождающий элемент. Таким
образом, первое утверждение теоремы доказано.
Второе утверждение доказывается так же просто.
Теорема 2 (каноническая форма самосопряженного опе-
оператора с простым спектром). Пусть А— самосопряженный опера-
оператор с простым спектром, g — какой-нибудь порождающий элемент
и о (t) = (Etg, g). В таком случае формула
оо
f=[f(t)dEtg C)
—оо
относит каждой функции f (t) ? Lo (—оо, оо) вектор f ? Н, и это
соответствие является изометрическим отображением Lo (— оо, оо)
на Н.
Оно переводит область определения Dq оператора умножения Q
в Lo (—оо, оо) в область определения DA оператора А, и если
элементу f G Da отвечает функция /@ 6 Ь„ (—оо, оо), то эле-
элементу Af отвечает функция tf (t).
Доказательство. Обозначим через G совокупность всех
векторов из Н, допускающих представление C). G есть линейное
многообразие, содержащее все векторы вида
и поэтому G плотно в Н. Если f (f) принадлежит введенному в п° 72
множеству функций (например, непрерывна), то
(Etg,f)= \ f(s)ds(Etg,Esg) =
¦—OO
и
oo oo oo
(f. f)= I fV)d(Etg,f)= $ \f(t)?d(Etg,g)= $ \f(t)\*do(t).
—oo —oo —oo
Таким образом, линейное многообразие функций, плотное
Lo (—оо, оо), формулой C) изометрически переводится в некоторое
линейное многообразие, плотное в G. Из полноты Lo (—со, со)
поэтому следует замкнутость G и, следовательно, G совпадает с Н,
т. е. первая часть теоремы доказана.

83. ПРОСТОЙ СПЕКТР 283
Чтобы доказать вторую часть теоремы, заставим / (t) пробегать
совокупность всех финитных непрерывных функций. Если f (t) —
такая функция и f — отвечающий ей вектор из Н, то / ? D^
и в силу C) при любом h ? Н
(Af, h)= J td(Etf, h)= \ td(f, Eth) =
—oo —oo
oo oo
- = \ td{\f(s)ds(Esg,Eth)}~
—oo —oo
oo t oo
= J W { I f(s)d(Esg, h)) = \ tf(t)d(Etg, h). D)
Отсюда вытекает, что
oo
Af= I tf(t)dEtg, E)
—oo
а полагая в D)
h = Af,
получим
oo
||ЛЛ12= I \tf{t)\*da{t). F)
Припоминая определение операторного интеграла (п° 72), мы
заключаем на основании формул E) и F), что принадлежность
к области Dq произвольной функции f (t) ? L% (—оо, оо) имеет
место в том и только том случае, когда f ? Да, а также что приме-
применению оператора А к вектору f отвечает умножение функции
f (t) на t.
В силу доказанной теоремы любой самосопряженный оператор
с простым спектром в сепарабелыюм пространстве изоморфен
оператору умножения на независимую переменную в L| (—оо, оо),
который и принимается в качестве канонической формы оператора А.
В силу этого изоморфизма из
оо
f=\f(t)dEtg C)
, — оо
следует
E(A)f=^f(t)dEtg C')

284 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
сначала для финитных непрерывных функций f (t), а затем для
любых f (t) ? Lo (—со, со).
Беря в C) различные порождающие элементы g, мы получим
целый класс операторов умножения, изоморфных А. Характери-
Характеристикой всех функций распределения о (t) = [Etg, g) мы займемся
в п° 84.
Здесь же отметим одно общее свойство всех порождающих эле-
элементов g: каждая точка роста спектральной функции Et является
точкой роста функции (Etg, g). Справедливость этого утверждения
следует из того, что если Ао — интервал постоянства функции
(Etg, g), то линейная оболочка множества векторов Е (A) g, где А
пробегает совокупность всех интервалов числовой оси, ортого-
ортогональна к подпространству Е (Ао) Н.
Отсюда, между прочим, и вытекает, что указанный в конце
п° 82 критерий принадлежности данной точки % к спектру само-
самосопряженного оператора А в случае простоты спектра этого опе-
оператора достаточно проверить лишь для какого-нибудь одного порож-
порождающего элемента.
Закончим настоящий пункт одним предложением относительно
самосопряженных операторов, которое аналогично теореме 1.
Теорема 3. Если самосопряженный оператор А имеет
простой спектр, то существует вектор h, на котором имеют смысл
все натуральные степени оператора А, такой, что линейная обо-
оболочка множества векторов Ahh (k = 0, 1, 2, . . .) плотна в Н.
Обратно, если на некотором векторе h имеют смысл все нату-
натуральные степени оператора А, и если линейная оболочка множества
векторов Akh (k = 0, 1, 2, . . .) плотна в Н, то спектр оператора
А простой, а вектор h является порождающим.
Доказательство второй части очень просто. Действи-
Действительно, пусть линейная оболочка множества Ahh (k = 0, 1, 2, . . .)
плотна в Н. Интегральное представление
(Ahh, f) = Uhd(Eth,f)
показывает, что не существует вектора f =/= 0, ортогонального Eth
при любом t. Следовательно, линейная оболочка множества Е (A) h
плотна в Н, т. е. спектр оператора А прост и h есть порождающий
элемент.
Переходя к первой части теоремы, докажем, что в качестве
вектора h можно взять
h=[ e-'4Etg,

83. ПРОСТОЙ СПЕКТР 285
где g — какой-нибудь порождающий элемент оператора А. Дей-
Действительно,
оо
Ahh = J the-t2dEtg (k=0, 1, 2, ...)
и если бы существовал вектор f Ф 0, ортогональный всем векторам
Akh, то мы имели бы равенства
т@ = 0 (Л = 0, 1,2, ...).
где a (t) = (Etg, g), a / (t) определена формулой C), и
оо
0^= J |f@|aAr@<oo. G)
—оо
Отсюда, полагая
со@= I f(s)do(s)-C, (8)
мы нашли бы при надлежащем выборе константы С, что
оо
\ t!le-t2(o(t)dt = 0 (k = 0, I, 2, ...),
«/
—оо
а это в силу полноты системы функций Чебышева — Эрмита влечет
равенство со (t) = 0, которое на основании G) и (8) приводит
к противоречию:
Ортогонализуя последовательность векторов {Ahh}™, мы полу-
получим ортонормированный базис {еъ)Т> все элементы которого при-
принадлежат DA. Очевидно, при i>k -\-\
(Aek, et) = 0,
а так как оператор А симметричен, то это равенство имеет место
и при i <Z k — 1. Следовательно, матрица {(Ае^, ег))™ь=о оператора А
в базисе {ей}^° является матрицей Якоби. При этом построенный
нами базис есть базис матричного представления оператора А
в смысле п° 53.

286 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
84. О спектральных типах. Напомним, что мы называем функцией
распределения любую непрерывную слева, неубывающую функцию
ограниченного изменения, заданную на всей числовой оси.
Если a (t) — такая функция, то а (А) = о (t") — a (f) (f
и t" — концы А) является аддитивной функцией интервала (мы
сохраним также для о (А) название функции распределения).
Условимся говорить, что функция распределения о (t) подчи-
подчинена функции распределения q (t), и писать
G(t)^Q(t), A)
если о (t) абсолютно непрерывна по отношению к q (t), т. е. если
при любом A cz (—оо, оо)
где ф (t) — Q-измеримая неотрицательная функция.
Если одновременно с A)
B)
то функции распределения о (t) и q (t) считаются имеющими одина-
одинаковый спектральный тип.
Если имеет место A), но не имеет места B), то мы будем гово-
говорить, что спектральный тип a (t) менее спектрального типа q (t).
Пусть теперь А — произвольный самосопряженный оператор
и Et — его спектральная функция.
Функция (Etf, f) при любом f ? Н является, очевидно, функ-
функцией распределения.
Спектральный тип функции [Etf, f) мы будем называть спек-
спектральным, типом элемента f (относительно оператора Л), а о спек-
спектральных типах элементов f мы будем говорить, что они принад-
принадлежат А. Если среди элементов f ? Н существует элемент макси-
максимального спектрального типа относительно А (т. е. такой элемент
g, что {Etf, f) -i (Etg, g) при любом f ? Н, то этот спектральный
тип приписывается оператору А.
Если А — самосопряженный оператор с простым спектром, то
существуют элементы максимального спектрального типа относи-
относительно А. Это вытекает из следующей теоремы, которая вместе с тем
дает ответ на вопрос предыдущего пункта о характеристике множе-
множества порождающих элементов оператора с простым спектром.
Теорема 1. Пусть А — самосопряженный оператор с про-
простым спектром. Для того чтобы элемент g был порождающим,
необходимо и достаточно, чтобы он обладал максимальным спек-
спектральным типом относительно А.

84. О СПЕКТРАЛЬНЫХ ТИПАХ 287
Доказательство. Пусть g есть порождающий элемент,
г f — произвольный вектор из Н. В таком случае
f= J f(t)dEtg,
—оо
где f (t) — некоторая функция из L| (—оо, оо), ао(|) = (Etg, g).
Вместе с этим соотношением при любом A cz [—оо, оо] имеет
место соотношение
оо
Е (A) f = J f @ dE,g= J зсд @ f (t) dEtg.
Д —оо
Таким образом, при рассматриваемом отображении Н на
Ц (—оо, оо) векторам f, E (A) f отвечают функции f (t), %A (t) f (t).
В силу изометричности отображения
оо
(E(A)f, f)= \ \f(t)\2%&(t)do(t)=\ \f(t)\»da(t).
— оо Д
Мы видим, что
т. е. необходимость доказана.
Примем теперь, что g — элемент максимального спектрального
типа, так что для любого f ? Н
В частности, это соотношение имеет место и для порождающего
элемента g0 (которым оператор А обладает в силу простоты своего
спектра), т. е.
(Etgo,go)-i(Etg,g).
С другой стороны, в силу уже доказанной первой части теоремы,
Таким образом, элементы gu g0 имеют один и тот же спектральный
тип и, значит,
(А) = (Е (A) go, go) = J pi (t) do (t),
где функции p (t) > 0 и p0 (t) > 0 принадлежат соответственно
L|o'(—оо, оо) и La (—оо, оо). В силу этих равенств множества

288 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
нулевой о-меры и нулевой 0о-меры совпадают. Кроме того, нетрудно
видеть, что всюду, кроме множества а-меры нуль,
p(t)po(t)=l.
Поэтому каждая из функций р (t), p0 (t) может равняться нулю
лишь на множестве нулевой о-меры.
Мы должны доказать, что g есть порождающий элемент для
оператора А, т. е. что выполнение равенства
для любого A cz I—со, оо] возможно только при h = 0. Но в силу
изоморфизма между Н и ]_%0 (оо, оо)
(E(A)g,h)=\g(t)h{t)dao(t),
где g(t),h (t) ? L2O0(— со, со) и |g@l = P@- Следовательно,
•если g не есть порождающий элемент, то для некоторой функции
h (t) ? Lo0 (—оо, оо), не а0-эквивалентной нулю и для любого
A CZ (—оо, оо)
ИЛИ
\p(t)ho(t)dao(t) =
д
где h0 (t) определена равенством g (t) h (t) = р (t) h0 (t). Это невоз-
невозможно, так как линейная оболочка совокупности функций %д {t)p {t),
как мы показали в п° 83, плотна в L%0(—со, со), поскольку функция
р (t) > 0 и обращается в нуль лишь на множестве нулевой ао-меры.
В связи с доказанной теоремой возникает вопрос: можно ли
любую функцию распределения с типом, не превосходящим спек-
спектрального типа А, представить в виде {Etf, f). Утвердительный
ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема 2. Пусть А — самосопряженный оператор с про-
простым спектром, а о (t) — заданная функция распределения с типом,
не превосходящш спектрального типа А. При этих условиях суще-
существует вектор f G Н, порождающий эту функцию распределения,
т. е. такой, что
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
функция распределения a (t) представима в виде

85. КРАТНЫЙ СПЕКТР 289
где g— порождающий элемент, аф(/) > 0, и мы вправе положить
f=
Элемент f порождает функцию распределения a (t), так как
(Е (A) f,f)=[\f @ Is d (?,?, g) = о (А).
д
85. Кратный спектр. Если линейная оболочка совокупности всех
собственных векторов самосопряженного оператора плотна в про-
пространстве, то под кратностью (общей кратностью) спектра этого
оператора естественно понимать максимальную кратность его
собственных значений.
Прежде чем дать определение кратности спектра произвольного
самосопряженного оператора в Н, введем понятие о порождающем
подпространстве.
Подпространство G называется порождающим подпространст-
подпространством самосопряженного оператора А со спектральной функцией Et,
если замыкание линейной оболочки множества Е (A) G, где А
пробегает совокупность всех интервалов, совпадает с Н.
Определение 1. Кратностью (или общей кратностью)
спектра самосопряженного *) оператора А называется минимальная
размерность порождающего подпространства этого оператора. Если
у оператора А не существует конечномерных порождающих под-
подпространств, то кратность спектра такого оператора считается бес-
бесконечной. Кратностью спектра оператора А в интервале Ао =
= It', t"\ называется общая кратность спектра оператора Е (Ао) А
в подпространстве Е (Ао) Н.
Легко видеть, что если G — порождающее подпространство
оператора Е (Ао) А, то при Aj cz Ао подпространство Е (Aj) G
является порождающим подпространством оператора Е (А^ А.
Поэтому при А4 с: Ао кратность спектра оператора А в интер-
интервале А4 не превосходит его кратности в интервале Ао.
Мы вправе, следовательно, принять также
Определение 2. Кратностью спектра самосопряженного
оператора А в точке К называется предел (монотонно убывающей)
последовательности кратностей спектра этого оператора в интер-
интервалах [Я , Я -| ] при п -у- оо.
Нетрудно проверить, что в том случае, когда Я есть изолирован-
изолированная точка спектра, определение 2 совпадает с принятым ранее
*) Аналогичные определения для унитарных операторов мы опускаем.
Очевидно, кратности спектров самосопряженного оператора и его преобра-
преобразования Кэли совпадают.
19 НИ. Ахиезер и И. М. Глазман

290 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
определением кратности собственного значения. Если же линей-
линейная оболочка совокупности всех собственных векторов плотна
в пространстве, то определение 1 дает в качестве общей кратности
спектра максимальную кратность собственных значений.
Из определения 1 следует, что в несепарабелыюм пространстве
общая кратность спектра самосопряженного оператора не может
быть конечной.
В заключение докажем лемму, которая будет использована в п° 86.
Лемма. Пусть самосопряженный оператор А имеет п-кратный спектр
и пусть G есть порождающее подпространство. Если оператор Ао а А
определен лишь на линейной оболочке множества Е (Д) G, где Д пробегает
совокупность всех конечных интервалов, то оператор А есть замыкание опе-
оператора Ао.
Доказательство. Так как включение Ао ?= А очевидно, то нам
надлежит лишь доказать, что А !== Ад. С этой целью возьмем произвольный
вектор / € DA и положим
fh=E(Ak)f (* = 1, 2, 3, ...),
где Дй = [—k, k]. Так как G есть порождающее подпространство, то замкну-
замкнутая линейная оболочка множества Е (Д') G, где Д' пробегает все подынтер-
подынтервалы конечного интервала Д, совпадает с Е (Д) Н. Поэтому векторы /й при-
принадлежат области определения оператора Ао и
При k -*¦ оо мы имеем
Поэтому вектор / принадлежит области определения оператора Ао и
т. е. включение
доказано.
86. Каноническая форма самосопряженного оператора с конечнократным
спектром. В настоящем пункте мы наметим обобщение теоремы 2 п° 83 на слу-
случай операторов со спектром конечной кратности. С этой целью введем снача-
сначала пространство вектор-функций Lg (—оо, оо), являющееся обобщением
пространства скалярных функций L^ (—оо, оо).
Пусть
S (t) = (oik @)" h=1 (т < со; - со < t < со)
— эрмитова матрица-функция, удовлетворяющая двум условиям:
1°. При любых комплексных |&
т
У {Cik(n-eik(t')}liik>0.
i,h=l
если только f <; t".

86. КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 291
2°. S(—oo)=0, S {t—0) = S @.
В таком случае будем называть S (t) матричной функцией распределения
и будем писать S (Д) вместо S (t") — S (f), если Д = [f, t"].
Из условия 1° легко заключить, что функции Сц (t) (i = 1, 2, .... m)
не убывают и что функции С;й (t) (i, k = 1, 2, . . ., т) имеют в каждом
конечном интервале ограниченное изменение.
По матрице-функции S (t) мы вначале построим некоторую линейную
метризованную систему R. С этой целью примем в качестве отправного
пункта совокупность всех вектор-функций вида
X(O={xi(O. Xz(O Xm@b
где Xft (t) есть характеристическая функция интервала Ah (k = 1,2 m).
Такие вектор-функции будем называть характеристическими.
Для получения линейной метризованной системы R образуем линейную
оболочку всех характеристических вектор-функций, полагая
Xi2> @, alXi» @ + asXiw @. ¦ ¦ -Ь
и определяя скалярное произведение вектор-функций вида
ХA)@ = {0 0, x|J) @.0 0},
ХB)@={0, •••¦0, х5?'@, 0 0}
по формуле
(ХA) @, Х<2) @)
где Д*1', Д| — интервалы, характеристическими функциями которых являют-
являются хР' @. х| @- По линейности скалярное произведение распространяется
на всю систему R. После этого пространство L| (—оо, оо) определяется
как результат пополнения линейной метризованной системы R.
Что касается теоретико-функциональной характеристики элементов
пространства L| (—оо, оо), то, вводя скалярную функцию распределения
можно показать *), что пространство L| (—оо, оо) состоит из всех вектор-
функций / (t) = {/j (t) fm (t)} с ^-измеримыми и ь1-почти всюду конеч-
конечными компонентами, для которых
lim (fN(t), ?w@)<co,
JV->O0
где
[ / (t), если для рассматриваемого значения t max | /,• (t) \ < Л/,
Г @=1 1;?i;?rn
w I 0, если для рассматриваемого значения t max
*) И. К а ц, О гильбертовых пространствах, порождаемых монотон-
монотонными эрмитовыми матрицами-функциями. Записки Научно-исследователь-
Научно-исследовательского ин-та матем. и мех. и Харьковского матем. о-ва, т. XXII A950).
19*

292 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Впрочем, для нашей цели теоретико-функциональная характеристика
элементов пространства L| (—оо, оо) не является необходимой. Заметим
лишь, что из нашего построения пространства L| (—оо, оо) во всяком случае
следует принадлежность к нему вектор-функций с непрерывными финитными
компонентами. Поэтому мы вправе определить на многообразии таких непре-
непрерывных финитных вектор-функций
Г@ = {Ы0. /2@. ...,/m(M 0)
оператор умножения:
T={'/i @. th @ tfm @>.
Замыкание Q этого симметрического оператора мы и назовем оператором
умножения на t в пространстве L| (—оо, оо). Нетрудно показать, что Q
есть самосопряженный оператор. Действительно, возьмем преобразование
Кэли оператора Q:
Линейные многообразия Dy и Ду, очевидно, содержат все непрерывные
финитные вектор-функции. Поэтому оператор V унитарен. Но тогда по тео-
теореме п° 79 оператор Q является самосопряженным.
Теорема 2 п° 75 позволяет получить спектральную функцию оператора
Q. На непрерывных финитных вектор-функциях A) спектральная функция
Et задается равенством
где Хд @ — характеристическая функция интервала Д. Отсюда видно, что
кратность спектра оператора Q в L| (—оо, оо) не превосходит порядка т
матрицы-функции S (t), так как для Q можно указать m-мерное порождаю-
порождающее подпространство, натянутое на элементы
={*@. о, о, ..., 0},
й@={0, g(t), о, ..., 0},
gm(i) = {0, 0, 0, ...,
где функция g (t) > 0 построена по весу v (t) так же, как на стр. 280 она
строилась по a (t).
Пусть теперь А — самосопряженный оператор со спектром кратности
п (п < оо) и спектральной функцией Et.
Условимся называть всякий базис любого порождающего подпро-
подпространства оператора А порождающим базисом этого оператора. Пусть
gu gz> ¦ • ¦> gm— какой-нибудь порождающий базис оператора А.
Обозначим через G; замыкание линейной оболочки множества всех векторов
Е (Д)й при рассматриваемом L Мы будем предполагать порождающий базис
gi, &> • ¦ ¦> gn выбранным всегда так, что соответствующие подпространства
Gj, G2, . ¦ -, Gm линейно независимы. Покажем, что такой выбор базиса
возможен, по крайней мере при т — п, т. е. в случае, когда он является
минимальным порождающим базисом. Действительно, пусть hlt Л2, . . ., hn —
какой-нибудь минимальный порождающий базис. Положим gl = h± и обра-
образуем подпространство Gj. Ясно, что hz ? G1? так как в противном случае уже

86. КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 293
система векторов hv Л3, Л4, . . ., Л„ представляла бы порождающий базис
и, следовательно, кратность спектра была бы <«. Из сказанного вытекает,
что gz = (I — Pgi) Л2 Ф 0. Образуем подпространство G2, которое, как
легко видеть, ортогонально Gj. Ясно, как следует эту процедуру продол-
продолжать далее. В результате мы получим порождающий базис glt gz, ¦ ¦ ., gn,
для которого подпространства Gj, G2, . . ., Gn попарно ортогональны,
а следовательно, и линейно независимы.
Каждому порождающему базису gu g2, ¦ ¦ ., gm (п ^ т < оо) мы можем
отнести матрицу
S(t) = ((Etgl, gk))T,k=v
которая, очевидно, является матричной функцией распределения.
Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор с п-кратным спек-
спектром, gj, g%, . . ., gm (и <J m < оо) — какой-нибудь порождающий базис
и S(t) = ((Etgi, gh))lu=v
В таком случае существует изометрическое отображение пространства
Н на Ls (—00, оо), при котором области определения D^ оператора А
в Н и Dq оператора умножения Q в Ls (—00, 00) переходят друг в друга
и элементу Af соответствует вектор-функция Qf (t), если элементу f ? Н
s
соответствует вектор-функция f (t) ? Ls (—00, 00).
Доказательство. Отнесем вектору
f=E (Ai) g! г Е (Л2) gz+ ... + ? (Am) gm B)
из Н характеристическую вектор-функцию
Г(О=(хД1(О. хД2@. .... хДт@} ' C)
из Ls (—00, 00). Тогда
г=1 /г=1
т т
= 2 (?(АгПЛй)?;, ?*)= S о
г, ft=l г, /г=1
Легко также проверить, что ортогональным векторам вида B) соответ-
соответствуют ортогональные вектор-функции вида C). Отсюда следует, что рас-
расширяя по линейности и непрерывности установленное соответствие на все
пространство Н, мы получим изометрическое отображение пространства Н
на Ls (—оо, оо).
Нетрудно также видеть, что для непрерывных финитных вектор-функций
/ (t) = {fi(t), /2 (t), . . ., fm (t)} формула, соответствующая формуле C)
п° 83, теперь имеет вид
h(t)dEtgi.
г —1 —оо

294 ГЛ. VI СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Найдем вектор-функцию, соответствуй:щую вектору Af, где / — вектор
вида B). Имеем:
ОО ОО I = 1
т иг оо
2 $2 I tti(t)dEtgi.
2
г— 1
г = 1 —оо
Если учесть способ построения оператора умножения Q и лемму пре-
предыдущего пункта, то теорема о канонической форме доказана.
В nQ 83 мы показали, что для всякого самосопряженного оператора
с простым спектром можно выбрать ортогональный базис, в котором матрица
оператора будет матрицей Якоби.
Теперь мы покажем, что этот результат обобщается на самосопряжен-
самосопряженные операторы с конечнократным спектром. Пусть А — такой оператор.
Выберем порождающий базис git gz, . . ., gn так, чтобы
Повторяя упомянутые рассуждения п° 83, получим в каждом Gr свою мат-
матрицу Якоби
(Aeri, erk).
Если выбрать теперь в Н единый ортонормированный базис es(s =
= 1, 2, 3, . . .), нумеруя орты erh (г = 1, 2, 3 п, k =1, 2, 3, . . .)
сначала в порядке возрастания первых индексов, а затем в порядке воз-
возрастания вторых индексов, т. е. полагая
е1=е11, е2=е21, ..., е„=еп1, е„+1=е12, е„+2=е22, ...,
то в базисе {еЛ)^ мы получим обобщенную матрицу Якоби ((Лег, е^)). Она
будет специального вида, так как ее значащие элементы будут располагаться
лишь на главной и двух п-х диагоналях.
87. Понятие об унитарных инвариантах самосопряженных операторов.
Операторы А1 и Az, действующие соответственно в гильбертовых простран-
пространствах Hj и Н2, называются *) изоморфными (или унитарно эквивалентными),
если существует такое изометрическое отображение V пространства Hj на Н2,
что
Сд^Сдх A)
Л2=1/Л11/-1. B)
Если оператор А1 — симметрический (самосопряженный), то изоморф-
изоморфный ему оператор Л2 также симметрический (самосопряженный), как это
непосредственно следует из A) и B).
Спектры изоморфных самосопряженных операторов совпадают, ибо
из A) и B) вытекает, что
= V&Al_K]. C)
*) Мы повторяем здесь определение, данное в п° 41.

87. ПОНЯТИЕ ОБ УНИТАРНЫХ ИНВАРИАНТАХ 295
Более того, из этих равенств следует, что не только весь спектр, но и каж-
каждая из его частей (дискретная и непрерывная) также являются унитарными
инвариантами, т. е. не меняются при переходе от А\ к изоморфному опе-
оператору Л2.
Мы ограничимся здесь некоторыми замечаниями относительно унитарной
эквивалентности самосопряженных операторов.
Пусть Elt — разложение единицы оператора А 1ш Положим
Ea = VEuV-i. D)
Эта формула определяет некоторое семейство ограниченных самосопряжен-
самосопряженных операторов в Н2, и легко видеть, что EZt есть разложение единицы
в пространстве Н2.
Проверим, например, что
C2u^2u— c2s,
где s = min {и, v}. Действительно,
Покажем теперь, что Ezt является разложением единицы оператора Л2.
С этой целью возьмем интегральное представление
Полагая здесь
получим
'-1/г.га)= \ td(VEltV-ifz,gz)
td(Eztfz,gz),
что и является основным моментом в подлежащем доказательству утвер-
утверждении.
Из соотношения D) следует, что кратность спектра (общая кратность
и кратность в каждой точке) также является унитарным инвариантом само-
самосопряженного оператора.
Если линейная оболочка последовательности всех собственных векторов
самосопряженного оператора плотна в Н, то спектр оператора и кратность
спектра в каждой точке представляют полную систему унитарных инва-
инвариантов оператора, т. е. все такие операторы с одинаковым спектром и оди-
одинаковой кратностью спектра в каждой точке являются изоморфными.
С случае самосопряженных операторов с произвольным простым спек-
спектром также нетрудно указать полную систему унитарных инвариантов.
Пусть А^ и Л2 — два унитарно эквивалентных самосопряженных опе-
оператора с простым спектром, действующие в пространствах Hj и Н2.
Равенства
(Eztfz, fz)=(EltV-ifz, V-^^Euh, h)

296 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
показывают, что спектральные типы элемента f1 относительно А1 и элемента
/2 = Vfi относительно Аг совпадают. Отсюда следует совпадение спектраль-
спектральных типов операторов Л( и Л2.
Из этого вытекает, что спектр и кратность спектра в каждой точке,
вообще говоря, не представляют полной системы унитарных инвариантов.
Так, например, операторы умножения Qci в L%t (О, 1) и Qa2 в Lc2 @, 1)
при Cj (t) = t и
( l + t (t>0),
o2@={ о (/=0)
имеют общий спектр кратности единица, но они не изоморфны, так как
спектральные типы функций распределения ct (t), c2 @ не совпадают.
С другой стороны, два оператора с простым спектром и одинаковыми
спектральными типами изоморфны, ибо согласно пп° 83 и 84 оба они изоморф-
изоморфны одному и тому же оператору умножения.
Таким образом, имеет место следующая
Теорема. Для того чтобы два оператора с простым спектром были
изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы их спектральные типы соз-
падали.
При переходе от случая простого спектра к общему случаю кратного
спектра отыскание полной системы унитарных инвариантов существенно
усложняется. Вопрос о полной системе унитарных инвариантов самосопря-
самосопряженного оператора с кратным спектром не может быть решен простым раз-
разложением такого оператора в ортогональную сумму операторов с простым
спектром, ибо такое разложение не определяется однозначно. Для реше-
решения задачи в общем случае следует специальным образом выбрать разложение
оператора в ортогональную сумму, что требует введения понятия о так
называемых независимых спектральных типах.
Теория унитарных инвариантов самосопряженных операторов была
разработана Хеллингером для случая сепарабельного пространства и раз-
развита далее А. И. Плеснером для случая несепарабельного пространства.
Рассмотрение относящихся сюда вопросов не входит в задачу настоя-
настоящей книги *).
88. Общее определение функции от самосопряженного оператора.
В п° 72 мы строили операторные интегралы
<p(t)dEt,
отправляясь от заданного разложения единицы Et. При этом мы
предполагали, что функция ф (t) определена и конечна почти всюду
относительно операторной меры Et и относительно этой меры изме-
измерима. Сохраняя во всем дальнейшем это предположение о функции
Ф (f), мы введем теперь в рассмотрение еще тот самосопряженный
оператор А, которому принадлежит разложение единицы Et. Мы
*) Читателю, желающему ознакомиться с теорией инвариантов, можно
рекомендовать книгу А. И. Плеснера, Спектральная теория линейных
операторов, «Наука», 1965, где эта теория изложена с исчерпывающей пол-
полнотой.

88. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРА 297
предположим, так же как в п° 72, что в Н существует плотное
множество D элементов /, для которых
со
J |Ф (Q I'd (?,/,/)< со, A)
— со
и примем следующее
Определение. Функцией ф (Л) называется оператор, опре-
определяемый формулой
со
= I 4>{t)dEtf
на всех тех векторах / ? Н, для которых выполнено соотношение A).
Необходимо отметить, что для некоторой части рассматриваемо-
рассматриваемого здесь класса функций мы уже ранее определили понятие функ-
функции от оператора. Данное ранее определение согласуется с опреде-
определением этого пункта. Далее, заметим, что некоторые свойства опера-
оператора ф (Л), вытекающие из приведенного определения, фактически
уже были установлены в п° 72. Так, в п° 72 было доказано, что
область определения D = D<p (A) есть линейное многообразие,
а также, что [ф (Л)]* = ф (Л). Заметим еще, что для существова-
существования оператора, обратного по отношению к ф (Л), необходимо
и достаточно, чтобы функция я]э (t) = —т^ удовлетворяла всем усло-
условиям, перечисленным в начале настоящего пункта, и тогда
1= $ ш
Наконец, отметим, что равенство | ф (f) [ = 1 (почти всюду отно-
относительно операторног меры Et) необходимо и достаточно, чтобы
оператор ф (Л) был унитарным. Это условие, например, выпол-
выполнено в случае
который приводит к преобразованию Кэли, и в случае
ф@ = еш (— o°<s<oo),
который приводит к абелевои группе унитарных операторов. Точно
так же, для того чтобы оператор ф (Л) был ортопроектором, необ-
необходимо и достаточно, чтобы почти всюду относительно Et функция
Ф (f) принимала лишь два значения: 0 или 1.
Рассмотрим теперь, какие упрощения вносит в теорию предпо-
предположение, что спектр оператора Л прост. Примем это предположение

298 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
и обозначим через g какой-нибудь порождающий элемент оператора
А, а через a (t) —функцию распределения (Etg, g). Покажем, что
достаточно проверить налагаемые на ф (t) требования на един-
единственной мере с (t) = (Etg, g), вместо всех мер (Etf, f) в общем
случае. Действительно, пусть некоторое множество е ? (— то, оо)
имеет конечную с-меру. Эта мера равна
оо
\ %e(t)do(t), B)
— оо
где Хе @ — характеристическая функция множества е. Если / —
произвольный вектор, то при любом А с (—оо, оо)
(Е(А) /, /) = $ р (t)d {Etg, g)=\p(t)do(t), C)
Д Д
где p (t) —некоторая неотрицательная с-интегрируемая функция.
Сопоставляя B) и C), получаем, что мера множества е относи-
относительно функции распределения (Etf, f) равна
оо
le(t)d(Etf,f)= \ p(t)le(t)do(t),
—оо
т. е. конечна и обращается в нуль вместе с интегралом B).
Сделаем еще одно замечание относительно изоморфизма между
пространством L% (—оо, оо) и пространством Н, осуществляемого
соотношением
/= I f(t)dEtg. D)
— оо
Это соотношение показывает, что
Отсюда, если / ? D,p(A), то
= J y{t)f{t)dEtg.
Таким образом, при изоморфном отображении Н на La (—оо, оо)
с помощью соотношения D) оператору ф (Л) в Н отвечает оператор
умножения на ф (t) в La (—оо, оо).
89. Примеры. Проиллюстрируем некоторые из рассмотренных нами
фактов на примере оператора дифференцирования

89. ПРИМЕРЫ 299
в L2 (—оо, оэ) и оператора Q умножения на независимую перемен-
переменную в том же пространстве. Оба оператора являются самосопря-
самосопряженными. При этом они унитарно эквивалентны, а именно,
где % есть оператор Фурье — Планшереля. Поскольку спектр
оператора Q прост и заполняет всю числовую ось (см. п° 83), то
тем же свойством обладает спектр оператора &.
А. Пусть Е^ есть спектральная функция оператора Q, а е\ —
оператора &\ Так как
где %д @ — характеристическая функция интервала A, a h =
= Л @ — произвольный элемент пространства L2 (—оо, оо) и так
как (см. п°87)
то для произвольного конечного интервала А = [а,
где / = / @ — произвольный элемент L2 (—оо, оо).
В. Припомним теорему 2 п° 83. В силу этой теоремы, если g
есть какой-нибудь порождающий элемент оператора Q, то фор-
формула
f =
которая элементу / = f (t) G L2 (—оо, оо) относит элемент ф (О G
? La (—оо, оо), где с (t) = (Etg, g), устанавливает изометрическое
отображение L2 (—оо, оо) на L%(—оо, оо). Так как исходный опера-
оператор есть уже сам оператор умножения в L2 (—оо, оо), то естествен-
естественно возникает вопрос о таком выборе порождающего элемента ga,
при котором указанное изометрическое отображение превратилось
бы в тождественное преобразование
f(s)=\ f(t)dE\Q)g0.
— со
Для возможности этого равенства необходимо и достаточно, чтобы

300 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
где А — произвольный конечный интервал, а %д (t) —.его характе-
характеристическая функция. Но при А-»- [—со, со] функция %д (t)
не имеет предела в L2 (—со, со). Следовательно, требуемый вектор
go не существует. Если мы все же желаем, чтобы ответ на постав-
поставленный выше вопрос был положителен, то мы должны пополнить
пространство L2 (— со, оо) несобственным элементом g0, проекция
которого на подпространство L2 (а, Ь) при любых конечных а, b
есть функция, равная тождественно единице. Этот элемент g0 есть,
таким образом, не принадлежащая пространству L2 (—со, со)
единичная функция, g0 (t) = 1.
С. Обратимся теперь к оператору ?Р. Пусть h = h (t) — какой-
нибудь порождающий элемент этого оператора. Тогда для любого
/ ? L2 (—оо, со) существует такой элемент г]з (t) ? La (—оо, со),
где с @ = (E^h, h), что
Здесь естественно поставить вопрос о таком выборе порождаю-
порождающего элемента h0, при котором г]з (f) есть преобразование Фурье —
Планшереля функции / (t) (или ему обратное). Мы потребуем,
чтобы
Таким образом, наряду с представлением
мы имеем представление
и, следовательно, должно иметь место соотношение
Е
каков бы ни был конечный интервал А = [а, р]. Таким образом,
требуемый вектор h0 должен удовлетворять соотношениям
где go есть единичная функция. Такого вектора h0 в пространстве
L2 (—оо, оо) не существует. Мы введем h0 как второй несобствен-

89. ПРИМЕРЫ 301
ный элемент пространства L2 (—сю, сю). Равенство A) показывает,
что элемент h0 надлежит рассматривать как преобразование
Фурье—Планшереля несобственного элемента g0 = 1, которым,
как известно, оказывается h0 = У~2п 6(t), где 6 (t) есть 6-функция
Дирака.
D. Функции ф (t) от оператора &, к которым мы теперь обра-
обратимся, должны удовлетворять прежде всего требованию измери-
измеримости. Если мы хотим, чтобы функция ф (t) порождала ограничен-
ограниченный оператор, определенный всюду в L2 (—сю, сю), то мы должны
потребовать, чтобы она была ограниченной.
Пусть ф (t) — такая функция. Если f = f (t) — произвольная
функция из L2 (—сю, сю), a g = g (t) — ее обратное преобразова-
преобразование Фурье — Планшереля, то
Особенно просто обстоит дело в том случае, когда функция ф (t)
не только ограничена, но и принадлежит L2 (—сю, сю). Действи-
Действительно, в этом случае существует
и правая часть формулы B) равна
Таким образом, в этом случае
о
W-s)f(s)ds. C)
Так как правая часть формулы B) превращается в г|з (t), когда
в качестве g (t) взята единичная функция g0 (t), то тр (t) надлежит
рассматривать как результат применения оператора ф (&) к несоб-
несобственному элементу h0:
Итак, если ф (t) ограничена и принадлежит L2 (—сю, сю), то доста-
достаточно найти ф (сР) h0, и определение ф (&) f сведется к нахождению
некоторой свертки по формуле C).
Допустим теперь, что функция ф (t) ограничена, но не принад-
принадлежит L2 (—сю, сю). Тогда естественно представить функцию )
в следующем виде:

302 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
где
уже принадлежит L2 (—оэ.оо). Пусть
Ч
Тогда
Е. В различных вопросах анализа часто встречаются инте-
интегральные операторы, ядра которых — функции от разности двух
аргументов. Мы видим, что такие операторы являются функциями
от оператора дифференцирования. В качестве примера приведем
оператор DK, определяемый формулой
sin yX(f—s
t-s
где Я — неотрицательный вещественный параметр. Этот оператор
играет важную роль в теории интеграла Фурье. Для нас здесь
представляет интерес то, что D% есть разложение единицы. Этот
факт вытекает из следующего общего положения: если Ех есть
разложение единицы самосопряженного оператора А, то
есть разложение единицы оператора Л2. Но легко видеть, что
Поэтому Di есть разложение единицы и притом оператора cF2.
А теперь покажем, что оператор сГ-2 совпадает с оператором L,
который определяется формулой
на всех функциях f (t) из L2 (—оо, сю), имеющих абсолютно непре-
непрерывную производную /' (t) и производную f"(t), принадлежащую-
L2 (—оо, сю).

89. ПРИМЕРЫ 303
Наперед ясно, что
Поэтому подлежит доказательству лишь следующий факт: если
оо
J \f(t)\*dt<CO,
•—ОО
то
Достаточно доказать этот факт для случая, когда функция / (t)
вещественна, а интегрирование происходит по полуоси. Возьмем
тождества
S S
J [/' @12 dt = f(s)f (s) -f(O)f @) - jj f (t) f" (t) dt,
о
f (s)f (s)ds = ±[f (t)f-±[f @)]*.
с
Допуская, что/' (t) не принадлежит L2 @, со) и, значит, принимая,
что
s
lim \ [f (t)pdt= со,
s^oo J
заключаем из первого тождества, последний член правой части
которого ограничен, что
Поэтому из второго тождества найдем, что
lim[f@]2=co,
/->оо
а это противоречит предположению о конечности интеграла
Докажем теперь, что спектр оператора L двукратный. Прежде
всего убедимся в том, что этот спектр не может быть простым.
Допуская противное, возьмем какой-нибудь порождающий элемент

304 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
g оператора L, так что линейная оболочка множества векторов
?>я?(Я,>0) плотна в L2 (—оэ, оэ). Следовательно, элемент g
и подавно является порождающим для оператора &. А так как
спектр оператора & заполняет всю числовую ось, то ни для какого
конечного интервала Д вектор ? (Д) g не может равняться нулю.
Возьмем какой-нибудь конечный интервал Д = [а, |3], где
Р > а > 0, и представим вектор Е^' ' (Д) g в виде
Ew
что возможно, так как g есть порождающий элемент оператора L.
Это представление можно переписать в виде
о
откуда вытекает, что
1 (а<*<Р),
оо
что невозможно.
Итак, спектр оператора L не простой. Чтобы доказать, что он
двукратный, надлежит показать, что оператор L имеет порождаю-
порождающий базис, состоящий из двух векторов. Возьмем два порождающих
элемента ft4 = ft4 (t), h2 = hi (t) оператора &, из которых первый
представляет нечетную, а второй — четную функцию. Произволь-
Произвольную функцию/ (t) из L2 (— оэ, оэ) представим в виде суммы
нечетной функции f4 (t) и четной функции /2 @- Так как /г4 — порож-
порождающий элемент оператора сГ1, то
I i. D)
— оо
Но
(Е{ П-Е?0))К = gi {t; s) = ^ J -T(u-7I hi(">du-

89. ПРИМЕРЫ 305
Следовательно,
оо
(—u-t) 1
1 С Pis(—u
оо
2л j г(—м + 0 1V '
M—() J
Благодаря нечетности f± (t) из D) вытекает поэтому, что
— оо
Значит, cpi (t) есть четная функция и представление D) принимает
вид
оо
U = J ф1 (
о
J ф1 (s)
о
Аналогично доказывается, что
Следовательно, векторы А4, /г2 образуют порождающий базис для
оператора L. Не мешает заметить, что этот базис ортогональный.
F. Пространство L2 (— со,со) представимо в виде ортогональ-
ортогональной суммы подпространств, составленных только из четных или
только из нечетных функций. Каждое из этих подпространств при-
приводит оператор L = &2. Учитывая четность (или нечетность) эле-
элементов из данных приводящих подпространств, легко видеть, что
разложение единицы оператора L на каждом из этих подпространств
есть интегральный оператор, в качестве ядра которого можно взять
четную или, соответственно, нечетную часть ядра
YT.
1 sin "I/Л. (t—s) 1 !* , , .... . ,
*—5 L. — —. \ (COS Щ ¦ COS [IS -f- Sin ЦГ • Sin (US) d\l.
3X t S 3X^i
0
Рассмотрение оператора L на четных (или нечетных) функциях
в L2 (— со, со) эквивалентно изучению (положительных) операторов
Lcf^-Г и Lsf=-f"
20 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

306 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
в пространстве L2 @, оэ) с областью определения, состоящей из
функций f с абсолютно непрерывной производной /* и с f" ?
L2? @, оэ), при дополнительном условии
Г@) = 0 (для Lc), f@) = 0 (для Ls).
Поэтому разложение единицы для оператора Lc в L2 @,оэ) порож-
порождается ядром
2 \ cmut rnsus.rfu- ' f »'"У* ('') ¦
— ^ cos|ir-cos|is-d|i-— | ^ 1
а для оператора Ls — ядром
V% ._ .__
2 f . , . , If sinyX (<—s) sinTA
о
(в обеих формулах Я > 0).
Таким образом, спектр каждого из операторов Lc и Ls непреры-
непрерывен и состоит из полуоси 0 <; Я < оо. Легко видеть, что этот спектр
прост.
90. Кольца ограниченных самосопряженных операторов.
Определение. Совокупность Ш ограниченных самосо-
самосопряженных операторов называют кольцом, если из включений
А б Ш, В б 9t вытекают включения АВ б 8? и аЛ + 0? б 9t, где
а, Р — произвольные вещественные числа.
Кольцо Ш называется слабо замкнутым, если из Ап ? Ш (п = 1,
СЛ
2, 3, . . .) и Л„ -»- Л следует, что А б Sft.
Так как произведение двух ограниченных самосопряженных
операторов является самосопряженным оператором в том и только
том случае, когда эти операторы перестановочны, то все операторы
образующие кольцо, должны быть попарно перестановочными.
Обратно, всякое множество 91= {Л, В, С, . . .} попарно пере-
перестановочных ограниченных самосопряженных операторов вполне
определяет некоторое слабо замкнутое кольцо, а именно минималь-
минимальное слабо замкнутое кольцо, содержащее 9L Это кольцо мы обо-
обозначим sJi (9() или Ш(А,В, С, . . .). Оно может быть определено
как пересечение всех слабо замкнутых колец, содержащих 9i.
Нейману принадлежит следующая
Теорема. Если пространство Н сепарабельно, то всякому
слабо замкнутому кольцу Ш принадлежит такой ограниченный
самосопряженный оператор А, что Ш = Ш (Л).
Настоящий пункт посвящен доказательству этой теоремы. Для
большей ясности выделим в виде лемм два промежуточных утверж-
утверждения, которые в этом доказательстве используются.

90. КОЛЬЦА ОГРАНИЧЕННЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 307
Лемма 1. Ограниченный самосопряженный оператор А
с разложением единицы Et принадлежит слабо замкнутому кольцу ?И
в том и только том случае, когда этому кольцу принадлежит Е^
при любом Я <; 0 и / — Ец при любом \х > 0. (При этом сеперабель-
ность пространства Н не предполагается.)
Доказательство. Чтобы доказать достаточность усло-
условия, примем, что спектр оператора А лежит в интервале (—с, с),
и возьмем точки
среди которых содержится также точка 0 (скажем, tm — 0). Вве-
Введем оператор
который, по условию, принадлежит Ж. При неограниченном
увеличении п и стремлении к нулю наибольшей из разностей
th — tk-i оператор Ап равномерно стремится к оператору
с
' tdEt = A.
Поэтому, в силу слабой замкнутости кольца, А б %1, и значит,
достаточность доказана.
При доказательстве необходимости будем опираться на то, что
вместе с А кольцу 9t принадлежит любой многочлен от А без сво-
свободного члена, с вещественными коэффициентами. Построим при
любом Я<;0 функцию
1 (t^X — e),
K—t
he(t;K) =
Е
(Я —
0 (* > Я)
и возьмем вещественный многочлен ре (t) без свободного члена,
удовлетворяющий неравенству
Существование такого многочлена доказывается с помощью теоре-
теоремы Вейерштрасса. Теперь при любых f,g?H можно написать
20*

308 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
следующее тождество:
с К
(Ре (A) f, g) - (Erf, g)=\Pt (t) d (Etf, g)-\d (Etf, g) =
—с —с
с Я
= $ {pe{t)-he(t;k)}d(Etf, g)+±\ (b-z-
—с Я—е
Но легко видеть, что
y J
\pe(t)-hE(t;k)\*d(Etf,f)<e\\f\\.\\g\\
и, значит, 3i-*- 0 при е-> 0. С другой стороны,
откуда
-
следует,
что
я
Я-Е
1
¦' е
я
Я-е
т. е. Зг также стремится к нулю при е-> 0. Таким образом, принад-
принадлежащий 91 оператор рг (А) слабо (и даже сильно) сходится к опе-
оператору Е%, который поэтому должен принадлежать Ъ\. Аналогично
доказывается, что кольцу 91 принадлежит / — Е^ при ц > 0. Здесь
нужно лишь взять функцию
0
Лемма 2. ?сл« пространство Н сепарабельно, то для любого
слабо замкнутого кольца 31 можно указать последовательность попар-
попарно перестановочных ортопроекторов Ри Р2, Р3 , . . . такую, что
Доказательство. Пусть кольцо 91 порождается ограни-
ограниченными самосопряженными операторами Л<и), А®>, . . ., кото-
которым принадлежат разложения единицы Е\а\ Е<^\ ... В таком
случае, по лемме 1,
I-El El I-El ...),
где fx пробегает всевозможные положительные, а Я, — всевоз-
всевозможные неположительные значения. Таким образом, мы можем

90. КОЛЬЦА ОГРАНИЧЕННЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 309
сказать, что
31 = 31C1),
где 9? означает некоторый континуум попарно перестановочных
проектирующих операторов. Однако, по теореме 2 п° 34 этот кон-
континуум содержит плотную в нем в смысле сильной сходимости
последовательность Ри Р2, Р3, • ¦ • Если мы положим
то, очевидно, 9?4 s 9t. А так как для любого Р (Е 91 найдется
подпоследовательность {Pnk}hLu сильно сходящаяся к Р, то Р € 9?i
и, значит, 91 s Sii, откуда следует, что и 9t s 9fi. Поэтому
9ti = SR, и лемма 2 доказана.
Теперь мы можем приступить к доказательству теоремы Ней-
Неймана.
Итак, пусть дано слабо замкнутое кольцо 91. Согласно лемме 2
оно порождается какой-то последовательностью попарно перестано-
перестановочных проектирующих операторов:
Займемся прежде всего некоторой «перестройкой» этой порождаю-
порождающей последовательности {Ph}™. Иначе говоря, шаг за шагом
построим другую последовательность {<?й}?° попарно перестано-
перестановочных проектирующих операторов, которая порождает то же
кольцо 9L
Прежде всего полагаем
Qi=J\. A)
Затем возьмем ортопроектор Р2 и с его помощью построим
и присоединим к Q4 два оператора, а именно
Q2 = P2Q11 *Эз = Qi + Р%—PzQi ¦ B)
Эта запись показывает, что операторы Q2 и Q3 входят в 91,
и из нее видно также, что
P2 = Q2 + Q3~Qi- B')
Оператор Q3 можно еще представить в виде суммы
двух ортопроекторов, проектирующих на взаимно ортогональные
подпространства. Отсюда и из вида оператора Q2, который проекти-
проектирует на пересечение двух подпространств, заключаем, что
B")

310 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
На дальнейших этапах мы будем по уже построенным новым
операторам Qi и одному старому Pj получать целую систему но-
новых операторов, а именно, на n-м шаге мы введем 2" операторов,
которые будут «перемежаться» с уже построенными до этого 2"—1
операторами в том смысле, что будет иметь место неравенство, ана-
аналогичное неравенству B"). При этом оператор Рп будет представ-
представляться через операторы Qt по формуле, аналогичной равенству B').
Третий шаг таков: берем оператор Р3 и по операторам Q2> Qi. Qs
строим
Q,=P3QZ, Qb =
Qe = Q1+P3(Q3-Qi), Q-, = )
при этом
PQ QQQ Q Q) C')
C")
Отсюда уже видно, как эта процедура продолжается далее; в резуль-
результате мы и получим искомую последовательность проекторов Qt,
которая порождает кольцо Ш и которую мы примем вместо перво-
первоначальной.
Теперь займемся построением некоторого разложения единицы.
С этой целью возьмем интервал [—1, 0], разделим его на три равные
части и обозначим открытый средний интервал $i- Каждый из
двух оставшихся интервалов также разделим на три равные части
и обозначим два открытых средних интервала в порядке слева
направо через Зг и Зз- Неограниченно продолжая этот процесс,
получим бесконечную последовательность открытых интервалов,
которые представляют собой не что иное, как смежные интервалы
канторова совершенного множества. После построения последо-
последовательности интервалов {3fc}i° положим
Et = Qh, если ^Зй-
Функция Et определена, таким образом, на некотором плотном
в интервале [—1, 0] точечном множестве 3- Из свойства ортопроек-
торов Qh следует, что
К,
Первое из этих соотношений показывает, что всякая последователь-
последовательность {Etn}n=u где
D)
имеет предел, который по теореме 1 п° 38 является ортопроектором.
Если мы докажем, что этот предел не зависит от последователь-

91. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ФУНКЦИЙ ОТ ОПЕРАТОРА 311
ности {/„}Г> а лишь от t, после чего обозначим его Et, то, допол-
дополнив данное определение соглашениями
Et = 0
при ?<:—1 и
при t > О, мы и получим разложение единицы, которое является
целью нашего построения. Доказательство упомянутой незави-
независимости является следствием того, что из двух различных последо-
последовательностей, удовлетворяющих условиям D) и имеющих общий
предел, можно составить единую последовательность того же типа
и с тем же пределом.
Построенное разложение единицы определяет некоторый огра-
ограниченный самосопряженный оператор Л, и этот оператор, как
легко видеть, порождает кольцо St. Действительно, / — Е^ = О
при [х > 0. Следовательно, по лемме 1
где % пробегает все значениями. С другой же стороны, в силу
нашего построения,
9t(?x) = 9t.
Таким образом, теорема Неймана доказана.
91. Характеристическое свойство функций от самосопряженного
оператора. Пусть Т — линейный замкнутый оператор с плотной
в Н областью определения, а Л — некоторый самосопряженный
оператор в том же пространстве. При каких условиях Т является
функцией от Л? Необходимое условие без труда получается из рас-
рассмотрений п° 90 и состоит в перестановочности оператора Т со вся-
всяким самосопряженным оператором, который сам перестановочен
с Л. Оказывается, что в случае сепарабельного пространства это
условие является и достаточным. Относящаяся сюда теорема в не-
неявной форме содержится в работах Неймана, относящихся
к 1931—1932 гг. (она получается из сопоставления результатов
двух статей этого автора) *). Первая явная формулировка и прямое
доказательство принадлежат Ф. Риссу **) A935 г.). В дальней-
дальнейшем доказательство Ф. Рисса упростил Б. С.-Надь ***) A942 г.).
*) Neu man J., Ober Funktionen yon Funktionaloperatoren, Ann. of Math.
32 A931), 191—226; Ober einen Satz'von Herrn M. Stone, Ann. of Math. 33
A932), 567—573.
**) R i e s z F., Sur les fonctions des transformations hermitiennes dans
1'espace de Hilbert, Acta Sci. Math. Szeged 7 A935), 147—159.
***) Sz.-N a g у В., Spektraldarstellung linearer Transformationen des
Hilbertschen Raumes, Erg. d. Math., Berlin, 1942.

312 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
В книге по функциональному анализу Ф. Рисса и Б. С.-Надя *)
читатель найдет это упрощенное доказательство вместе с некото-
некоторыми дальнейшими литературными указаниями. Здесь же мы изло-
изложим некоторый близкий к нему вариант доказательства.
Переходя к подлежащей доказательству теореме, заметим, что
оператор Л можно предположить ограниченным. Действительно,
оператор А' = arctg А всегда ограничен, а если мы докажем, что
некоторый оператор Т есть функция от оператора Л', то тем самым
будет доказано, что он является также функцией от оператора А.
Условимся в дальнейшем обозначать символом $(Л) совокуп-
совокупность всех ограниченных самосопряженных операторов, перестано-
перестановочных с самосопряженным оператором А.
Теорема. Пусть пространство Н сепарабельно, а А —
некоторый ограниченный самосопряженный оператор в нем. Если
замкнутый линейный оператор Т с плотной в Н областью опреде-
определения перестановочен с каждым из операторов совокупности ^ (Л),
то Т есть функция от оператора А.
Доказательство. Пусть Et — разложение единицы опе-
оператора Л, a g 6 Dr — существующий согласно теореме 2 п° 76
элемент, такой, что всякое множество меры нуль относительно
функции распределения (Etg, g) имеет меру нуль относительно
(Eth, К) при любом h 6 Н. Этим элементом g мы воспользуемся
ниже, а вначале докажем одно вспомогательное предложение.
Лемма. Для любого f 6 Dr можно указать последовательность
многочленов &п (t) так, чтобы
lim &n (A) f = Tf. A)
п-усо
Действительно, как и в п° 76, введем в Н подпространство
и пусть Р — оператор проектирования на F. Этот самосопряжен-
самосопряженный оператор перестановочен с Л и, значит, входит в *J5 (Л). Следо-
Следовательно, оператор Т перестановочен с Р, а потому
Tf = TPf = PTf g F.
Полученное включение означает, что для некоторой последова-
последовательности полиномов &n(t) имеет место A).
Теперь образуем, как это было сделано в п°51, гильбертово
пространство Н @ Н пар {hu h2} и сопоставим оператору В в Н
оператор '
*) R i e s z F. e t S z-N a g у В., Legons d'analyse fonctionelle,
Budapest, 1953. (Есть русский перевод: Ф. Р и с с и4 Б. С.-Н а д ь, Лекции
по функциональному анализу, ИЛ, 1954.)

91. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ФУНКЦИЙ ОТ ОПЕРАТОРА 313
в Н@Н. Оператору А в Н будет соответствовать ограниченный
самосопряженный оператор А в Н © Н, а оператору Т —лишь
замкнутый линейный оператор Т с плотной в Н © Н областью
определения. Ясно, что оператор Т перестановочен с каждым
из операторов совокупности $ (А). Поэтому мы можем к операто-
операторам Т и А применить только что доказанную лемму. Мы применим
ее к элементу {g, f}, где f — произвольный вектор из DT, a g —
тот специальный вектор, который был введен в самом начале дока-
доказательства. На основании леммы найдется последовательность
полиномов сРп (t) такая, что х
Но это равенство означает, что
lm ®n (A) g = Tg, B)
lim &n {A) f = Tf, C)
т. е. одна и та же последовательность полиномов, о которых идет
речь в лемме, может быть выбрана для двух элементов из Dr (то,
что один из этих двух элементов нами взят специальным образом,
сыграет свою роль позже). Благодаря соотношению B) величина
со
|| W'n (А) - ZPm (A)] g f = jj \&n(t)-&m (t) i2 d (Etg, g)
~co
стремится к нулю при m, n -*¦ оо. Отсюда следует, что последова-
последовательность {&п (t)}f сходится в пространстве L?,, где a (t) = XEtg>g)
к некоторой функции ф (t). На основании известной теоремы
теории функций (см. п° 11), найдется подпоследовательность
{&т (O)jLi' которая сходится к ср (t) всюду, кроме некоторого мно-
множества нулевой 0-меры, на котором мы можем положить <p (t) = 0.
Если бы мы взяли другую последовательность полиномов
{йп (А)}?, для которой
Mm @
то из соотношения
со
||НМЛ)-бт(Л)]?||2= \ \&n(t)-am(t)\2d(Etg,g)
мы заключили бы, что
lim
т. е. функция, к которой в L% сходится последовательность {&п (t)}™
совпадает с ср (t) почти всюду относительно a (t).

314 ГЛ. VI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Таким образом, мы получили вполне определенную функцию
Ф (t), которая в силу свойства элемента g измерима и почти всюду
конечна относительно операторной меры Et. Кроме того, благодаря
соотношению C), функция ф (/) принадлежит также пространству
L? при т (t) = (Etf, f), где f — любой элемент из DT. Отсюда видно,
что функция ф (t) определяет некоторый оператор ф (Л) и из равен-
равенства
(Tf,f)= I v(f)d(Etf,f)
— оо
легко заключить, что
для любого f 6 Dr. Это означает, что ф (Л) ^ Т. Теперь докажем,
что Т ^ ф (Л), откуда уже будет следовать, что Т = ф (Л). С этой
целью обозначим через %п (t) характеристическую функцию множе-
множества, на котором | ф (t) | <: п, и введем проектирующий оператор
%п (Л), который, очевидно, принадлежит $ (Л). Поэтому оператор Т
перестановочен с %п (Л) и, следовательно, для любого f 6 DT вектор
X;i (A)h принадлежит DT, а значит, и Dv(A), так что
Покажем, что это равенство справедливо не только при h 6 Dt>
но и при любом h 6 Н. Для этого построим последовательность
hi 6 D-g, hi —> h, где h — произвольный вектор из Н. Так как
оператор ф (Л) %п (Л) ограничен, то при i —-> оо
ТХп (А) Ы = Ф (Л) Хп {A) hi -> ф (А)Хп (Л) h.
Из замкнутости оператора Тхп (А) следует, что h 6 DTX (A> и
= <t(A)fr(A)h. D)
Теперь примем, что /г 6 Оф (л). Тогда это равенство можно пред-
представить в виде
Но вектор Хп (A) h стремится к h при п —> оо. А так как правая
часть D) прип —> оо стремится к ф (Л) h, то вектор Т%„ (Л) h при
п -^- оо имеет предел. В силу замкнутости оператора Т это озна-
означает, что h 6 Dr, чем и доказано включение Dv (A) ^ DT.
92. Теорема о порождающем операторе. Нейману принадлежит
также следующая
Теорема. Для любого множества {Са} попарно перестановоч-
перестановочных самосопряженных операторов Са в сепарабельном пространстве

92. ТЕОРЕМА О ПОРОЖДАЮЩЕМ ОПЕРАТОРЕ 315
можно указать ограниченный самосопряженный оператор А такой,
что все операторы Са являются функциями от него.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, ког-
когда все операторы Са ограничены. Сделав это предположение, вве-
введем минимальное слабо замкнутое кольцо 34, содержащее все
операторы Са. По теореме п° 90 это кольцо Ш порождается каким-то
одним ограниченным самосопряженным оператором Л:
Теперь введем кольцо g (А) всех ограниченных самосопряженных
операторов, являющихся функциями от оператора А. Ограничен-
Ограниченный самосопряженный оператор В принадлежит g (Л) в том и только
том случае, когда он перестановочен с каждым из операторов,
входящих в $ (А). Отсюда следует, что кольцо g (Л) слабо замкнуто.
А так как это кольцо содержит оператор Л, то оно содержит кольцо
Ш (Л), порождаемое оператором Л. Значит,
что и доказывает теорему.

Г Л А В А VII
СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
93. Непрерывный спектр самосопряженного оператора. Напомним,
что классификация точек спектра самосопряженного оператора
была дана в пр 48, а затем в п° 82 было установлено, что полный
спектр tf (А) самосопряженного оператора А совпадает с множе-
множеством точек роста его спектральной функции Et и что множество
точек разрыва функции Et совпадает с совокупностью всех собствен-
собственных значений оператора А, т. е. с его точечным спектром 3) (А).
Чтобы непрерывный спектр самосопряженного оператора А также
охарактеризовать в терминах спектральной функции, примем для
него сейчас новое определение, а затем покажем *) его эквивалент-
эквивалентность определению п° 48.
Определение. Непрерывный спектр % (А) самосопряжен-
самосопряженного оператора А (называемый также предельным спектром или
спектром сгущения) есть совокупность всех неизолированных
точек роста принадлежащего оператору А разложения единицы Et,
а также собственных значений бесконечной кратности.
Заметим сразу же, что из этого определения следует замкнутость
множества % (А).
Точки непрерывного спектра, подобно собственным значениям
оператора А, могут быть описаны с помощью однородного уравне-
уравнения
Af-kf = O. A)
Однако, в отличие от точек Я 6 3)(А), для которых уравнение A)
имеет точные нетривиальные решения, точки Я 6 %> (А) характери-
характеризуются приближенной нетривиальной разрешимостью этого урав-
уравнения. Точный смысл этого утверждения выражает следующая
Теорема 1. Точка Я принадлежит непрерывному спектру
to (А) оператора А в том и только том случае, когда в DA существует
бесконечная ортонормированная последовательность элементов fn,
для которой
lim (Afn-kfn) = O. B)
*) См. теорему 3 настоящего пункта.

S3. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 317
Доказательство. Если Я ? % (Л), то Я — либо собствен-
собственное значение бесконечной кратности оператора Л, либо неизолиро-
неизолированная точка роста функции Et. В первом случае в качестве {fn}?
можно взять любую бесконечную ортонормированную последо-
последовательность элементов из принадлежащего Я собственного подпро-
подпространства. Во втором случае при любом б > 0 существует такое
положительное б' < б, что подпространство (?я+б' — ?я-б') Н
составляет правильную часть подпространства (?я+б— ?я-б)Н.
Поэтому в (?я+б — Ех-б) Н найдется нормированный вектор /,
ортогональный к (?я+б-— ?я-б')Н. Выберем неограниченно убы-
убывающую последовательность положительных чисел 8п так, чтобы
каждый раз пространство (?я+бп — ^*-en) Н было правильной
частью пространства (?\+6 — ^*-en_t) ^ и ПОСТРОИМ бесконечную
последовательность элементов /„ 6 (^я+бп — ^~О /> Для которой
|| fn || = 1 И /„ ±
Векторы fn удовлетворяют соотношению B), так как
\\Afn-Xfn\\*=
Таким образом, одно утверждение теоремы доказано.
Для доказательства второго утверждения примем, что суще-
существует ортонормированная последовательность векторов {/„}f,
удовлетворяющих соотношению B), причем, вопреки утверждению
теоремы, Я ? S (Л). Последнее означает, что Я есть либо точка
постоянства спектральной функции Et, либо собственное значение
конечной кратности оператора Л, изолированное от других точек
роста функции Et. В первом случае мы будем иметь при некотором
h > 0 соотношение
из которого следует неравенство
со
\\Af-kf\\'=\ (t-k)'d(E,f,f)>&\\f\\* C)
для любого f 6 Da- Это неравенство, очевидно, несовместимо с суще-
существованием указанной выше последовательности {fn)T- Во втором
случае обозначим через G^ собственное подпространство оператора Л,
принадлежащее собственному значению Я. Это подпространство ко-
конечномерно, пусть gu g2, . . ., gr — какой-нибудь его ортонормиро-
ванный базис. Присоединим эти г векторов к последовательности

318 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
{fn}? и проортонормируем полученную последовательность так,
чтобы первыми г векторами были gi7 g2, . . ., gr. Дальнейшие
векторы обозначим gr+i, gr+2, • • •
Соотношение B) теперь можно переписать в виде
lim (Agn-bgn) = 0. B')
С другой стороны, при некотором б > 0 для любого элемента
f 6 Da, ортогонального подпространству G^, будем иметь нера-
неравенство
\\Af-V\\>4f\\- C')
Поэтому при любом п > г
-bgn\\>f>. C")
Так как соотношения B') и C") несовместимы, то доказательство
теоремы 1 закончено.
Следующие две теоремы дополняют результаты прпр 48 и 49.
При этом, как и в п° 49, Л' означает часть оператора Л, действую-
действующую в инвариантном подпространстве Н' = Н © Gb если Я 6 3) (А)
и Gx — соответствующее собственное подпространство оператора А,
и А" = А, если к~ё 3) (А). _
Теорема 2. 1°. Если Я ? % (А), то оператор (А' — Я/)
ограничен. 2°. Если X ? to (А) и не является собственным значением
бесконечной кратности оператора А, то оператор (А'— Я/)
неограничен.
Доказательство. Если Я ? % (Л), то для всех f 6 DA-
при некотором б > 0 имеет место неравенство C'), т. е.
\\A'f-Kf\\>6\\f\\,
откуда следует, что
и утверждение 1° доказано.
Пусть выполнено условие второго утверждения. Тогда Я ока-
оказывается неизолированной точкой роста для разложения единицы
E't оператора Л' в Н', т. е. Я 6 Ъ (Л'), причем Я~6 3) (Л'). По теоре-
теореме 1 найдется бесконечная ортонормированная последовательность
векторов fn 6 Н' (п = 1, 2, 3, . . .), для которой
а это значит, что оператор (А' — Я/) неограничен.

93. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 319
Следующая теорема показывает в частности (см. утверждения
3° и 4°), что принятое в этом пункте определение непрерывного
спектра эквивалентно определению пр 48.
Теорема 3. 1Р. Соотношение X ? а? (А) равносильно равен-
равенству Дя 04) = Н. 2°. Соотношение % 6 3t> (Л) равносильно неравен-
неравенству Д7~(Л) =? Н. 3°. Если k~e% (Л), то ЛТ(А) = Ая (А). 4°. Если
X ?43 (А) и не является собственным значением бесконечной кратно-
кратности, то Дя (А) ф Дя (Л).
Доказательство. Утверждения 1 ° и 2° имеют место
в силу определения 2 и теоремы 2 пр 48.
Если Я 6 ^ (А), то по теореме 2 настоящего пункта оператор
(А" — Я/) ограничен. Отсюда и из замкнутости оператора А"
следует замкнутость многообразия Дя (А'). А так как, согласно
пр 49, Дя (А') = Дя (А), то утверждение 3° также доказано.
Если, наконец, выполнено условие утверждения 4°, то симметри-
симметрический оператор (Л'— Я/) неограничен, снова по теореме 2
настоящего пункта. Поэтому (см. пр 25) его область определения
Дя (Л') = Дя (Л) не может совпадать со всем подпространством
Дя (Л), и теорема доказана.
Критерий отсутствия в данном замкнутом интервале точек
непрерывного спектра самосопряженного оператора Л дает
Теорема 4. Замкнутый интервал [Яо — q, Яо + q! не
содержит точек из % {А) в том и только том случае, когда суще-
существует конечномерное подпространство Gc H такое, что для
любого вектора f Ф 0 из DA, ортогонального G, имеет место нера-
неравенство
D)
Доказательство. Если множество % (Л) не имеет точек
в интервале [Яо—q, X0+q1, то часть спектра <0Р (А), лежащая
в этом интервале, исчерпывается конечным числом собственных
значений конечной кратности. Обозначая через G линейную оболоч-
оболочку всех отвечающих этим собственным значениям собственных
векторов, получим при некотором б > Q неравенство
если только f 6 D^ и f ±_ G. Отсюда и получается D) (при f ф 0).
Допустим теперь, что условие теоремы выполнено, но, вопреки
теореме, пересечение [Яо — q, Яо+ q] П ЩА) непусто. Это зна-
значит, что подпространство (?я0+Р+о — ^яо-р) Н бесконечномерно.
Следовательно, в этом подпространстве найдется вектор f Ф 0,
ортогональный (?яо+р+о— Eu-p) G- Этот вектор f, очевидно,

320 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
принадлежит DA и ортогонален G. Поэтому для него должно
быть выполнено D). Ас другой стороны, для него
Яо+Р+О
Яо~Р
Яо+Р+О
Яо-р
Противоречие получено; значит, теорема доказана.
В заключение отметим, что в случае произвольного замкнутого,
но не самосопряженного оператора Т точечный спектр 3)(Т) опреде-
определяется как множество собственных значений, а непрерывный
спектр % (Т) как множество тех Я, для которых существует ограни-
ограниченная некомпактная последовательность {fn)T векторов, удовле-
удовлетворяющих условию B). При этом спектр & (Т), вообще говоря,
не исчерпывается точками множеств 3) (Т) и 'ё (Т), а возможен
еще так называемый остаточный спектр, состоящий из тех значе-
значений Я, при которых Ад, (Т) не плотно в Н и которые при этом не
являются собственными значениями оператора Т.
94. Теоремы Г. Вейля и Неймана о вполне непрерывных возму-
возмущениях. Г. Вейлю *) принадлежит следующая замечательная
Теорема 1. Если к самосопряженному оператору А приба-
прибавить вполне непрерывный самосопряженный оператор К, то непре-
непрерывный спектр оператора А не изменится, т. е.
Доказательство. Из спектрального разложения впол-
вполне непрерывных самосопряженных операторов следует, что при
любом е > 0 оператор К можно представить в виде
где R — конечномерный самосопряженный оператор, а В — само-
самосопряженный оператор, для которого || В ||<Г е. Поэтому теорема 1
будет доказана, если будут доказаны следующие более простые
предложения.
Лемма 1. Если А — произвольный самосопряженный опе-
оператор, а R — конечномерный самосопряженный оператор, то
*) См. Н. W е у 1, Cber beschrankte quadratische Formen, deren Dif-
ferenz vollstetig ist, Rend. Circolo mat. Palermo, 27, 1909, стр. 373—392.

94. ТЕОРЕМЫ О ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 321
Лемма 2. Если А — произвольный самосопряженный опера-
оператор, а В — ограниченный самосопряженный оператор, motS (А -\- В),
т. е. непрерывный спектр возмущенного оператора, лежит в
|| В \\-окрестности множества % (А).
Обе леммы доказываются с помощью теоремы 4 п° 93.
Действительно, введем подпространство G = Ал. Так как на его
ортогональном дополнении Н © G оператор R равен 0, то при любом
К и любом / 6 DA Г) (Н © G) имеет место равенство
Отсюда на основании теоремы 4 п° 93, которая здесь применима,
так как подпространство Ал конечномерно, заключаем, что если
некоторый замкнутый интервал не содержит точек одного из мно-
множеств *& (A), to (A + R), то он не содержит также точек второго
множества, а это и есть лемма 1.
Чтобы доказать лемму 2, заметим, что в формулировке этой
леммы можно поменять местами операторы А и А + В. Поэтому
достаточно доказать, что || В ||-окрестность каждой точки множе-
множества to (А) содержит по крайней мере одну точку множества
Чё (А + В). С этой целью допустим противное и примем, что в || В ||-
окрестности некоторой точки Х?'ё(А) нет точек множества
to (A + В). Отсюда в силу теоремы 4 п° 93 вытекает существование
конечномерного подпространства G и такого е > || В ||, что для
любого элемента / ф 0 из DA, ортогонального G, имеет место нера-
неравенство
Но тогда для тех же / получим неравенство
откуда по той же теореме 4 п° 93 следует, что К ? %> (А), вопреки
нашему предположению.
Таким образом, лемма 2, а вместе с нею и теорема 1, доказаны.
Заметим, что теорема Вейля обобщается на случай произволь-
произвольного линейного замкнутого оператора А и любого вполне непре-
непрерывного оператора К, т. е. требование о самосопряженности этих
операторов можно отбросить *).
Устанавливая, что вполне непрерывное возмущение К опера-
оператора А не меняет его непрерывного спектра, теорема 1 ничего
не утверждает о характере изменения точечного спектра 3)(А).
О том, насколько существенным может быть это изменение,
говорит следующая, принадлежащая Нейману,
*) См., например, И. М. Г л а з м а н, Прямые методы качественного
спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов, Физмат-
гиз, 1963.
21 Н. И. Ахиезгр и И. М. Глазман

322 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
Теорема 2. К любому самосопряженному оператору А,
действующему в сепарабельном гильбертовом пространстве, можно
прибавить самосопряженный оператор К, не только вполне непре-
непрерывный, но даже имеющий сколь угодно малую абсолютную норму,
и такой, что система всех собственных векторов оператора А + К
будет полной *) в Н.
Доказательство достаточно провести для случая, когда
оператор А ограничен. Действительно, неограниченный оператор А
можно представить в виде суммы ограниченных самосопряженных
операторов А} — Е (Д^) А, где Д; = [/ — 1, /] (— оо < / < оо).
Если для операторов Aj теорема доказана, то можно построить
вполне непрерывные операторы Kj, действующие в ортогональных
подпространствах Е (Д^) Н, такие, что ./V (/С/) <. 'ТЩГ\ • где ^ —
произвольно выбранное положительное число. Но тогда оператор
со
К = 2i ® К} будет (см. п° 31) искомым возмущением для неогра-
3=~ оо
ничейного оператора А.
Итак, оператор А будем считать ограниченным.
Приводимое ниже доказательство Неймана **) основано на
одном вспомогательном предложении, которое мы сначала лишь
сформулируем, а позже докажем.
Лемма 3. Пусть А — ограниченный самосопряженный опера-
оператор, a g ф 0 — произвольный элемент пространства Н. В таком
случае для любого б > 0 существует конечномерное подпростран-
подпространство G с:' Н и конечномерный самосопряженный оператор R такие,
что
Г. ? €G.
2°. G приводит A + R.
3°. N(R)<b.
С помощью этой леммы путем счетного числа шагов мы построим
вполне непрерывный самосопряженный оператор К и полную
ортогональную систему конечномерных подпространств, инвариант-
инвариантных относительно А -\- /С. Оператор А + К, очевидно, будет
обладать полной в Н системой собственных векторов.
Переходя к этому построению, зададимся всюду плотной в Н
последовательностью {/д}~ и некоторым числом е > 0.
*) Таким образом, множество 3) (А + К) будет всюду плотно в <jg (A) =
= Ч§ (А + К), хотя множество 35 (А) могло быть пустым.
**) См. J. von Neumann, Charakterisierung des Spektrums eines
Integraloperators (Act. sc. et ind.), Paris, 1935.
Аналогичное теореме 2 предложение было ранее установлено Г. Вейлем,
но без утверждения о возможности ограничиться вполне непрерывными
возмущениями из класса Гильберта — Шмидта.

94. ТЕОРЕМЫ О ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 323
Применяя лемму 3 к элементу g = gx = ft и числу б = ~ ,
найдем конечномерное подпространство Gj и конечномерный само-
самосопряженный оператор Ki с абсолютной нормой ./V (Ki) < -|- .
При этом оператор А + Ki приводится подпространством Gb
а значит, и подпространством Н © Gt. Так как последовательность
if к}? плотна в Н, то все элементы /д не могут лежать в Gt. Мы можем,
не нарушая общности, принять, что уже /2 не лежит в Gt. В таком
случае назовем g2 проекцию /2 на Н © Gj и применим лемму 3
к g = gz и числу б = -—¦, заменяя при этом Н на Н © Gj и А на
А + Ки Мы получим конечномерное подпространство G2 cr H © Gt
и оператор Кг в Н © Gt. При этом оператор А + Ki + Кг
в Н © G} приводится подпространством G2 и N (/С2)<1 -ш ¦ Если
расширить линейно Кг на все пространство Н, положив Кг =* О
в Gb то неравенство Л^ (К2)<! -™ > очевидно, сохранится, а опера-
оператор А + /Ci + Кг в Н также будет приводиться подпространством
G2. Продолжая начатый процесс, мы придем к бесконечной после-
последовательности попарно ортогональных подпространств G; и после-
последовательности конечномерных операторов Kj с абсолютными нормами
N (Kj) < -у таких, что при каждом / оператор А + Ki +K2 +
+ . . . + Kj приводится каждым из подпространств Gt, G2, . . ., Gj.
Определим теперь оператор К формулой
Сходимость ряда в правой части и неравенство ./V (К)<;е вытекают
из теоремы п° 31.
Очевидно, оператор А + К приводится каждым из подпространств
G7- (/ = 1, 2, 3, . . . ) и остается установить, что подпространство
G =
совпадает с Н. Для этого достаточно доказать, что каждый' из
векторов fk (k= I, 2, . . .) ортогонален к Н © G. Но, по построе-
построению, fi = gi 6Gb так что /i ± H©Gj и, следовательно, тем более
h JL Н © G. Далее /2 - g2 + hit где g2 6 G2 и Л, J. Н © Gb
откуда следует, что /2 ± Н © (Gj @ G2), а значит, и тем более
/2 J- Н © G. Эти рассмотрения показывают, что при любом нату-
ральном п справедливо соотношение /„ _|_ Н © 2 © Q/> откуда
и следует, что /n J_ H © G.
21*

324 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
Теперь нам осталось доказать лемму 3.
С этой целью обозначим через аир нижнюю и верхнюю грани
оператора А и, взяв некоторое е > 0, разделим интервал [а, р + е]
на п равных частей точками yh (k = 0, 1, 2, . . .; у0 = ос» Y« — Р +
+ е). Способ выбора числа п — п (б) будет указан позже.
Положив Ak = [ya-i, у к], введем п векторов
и обозначим их линейную оболочку через G, а оператор ортогональ-
ортогонального проектирования на G —через Р. Нормируя векторы hh,
получим ортонормированный базис {ghYl подпространства G.
Если некоторые из векторов hh равны нулю, то размерность G
будет меньше п, но это никак не отразится на дальнейших рассуж-
рассуждениях, и мы вправе для удобства считать dim G = п. Положим,
далее,
и определим конечномерный оператор R равенством
# =
Тогда
так что оператор А + R перестановочен с Р и, следовательно,
приводится подпространством G.
Остается оценить абсолютную норму ./V (R). Дополняя последо-
последовательность {gh}'l до ортонормированного базиса {ghYf в Н, будем
иметь
оо П
N2 (#о = S I (Rigj, gn) I2- 2 I (Rigj, gk) I2< S >
j, fe=l IsSj'sS" 3=1
n+lSfe<
Так как gj 6 ? (&j) H, то
или
Agi = Yiffi +
где
Заменяя в полученном равенстве gj на Pgj = g, и применяя к обеим
его частям оператор (Р — /), получаем соотношение

94. ТЕОРЕМЫ О ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 325
и неравенство
. H^ilKII/ilK-
Теперь оценка A) дает
и, следовательно,
Выбирая число п достаточно большим, получим требуемое неравен-
неравенство N (??)<: 6, и лемма доказана.
В связи с теоремой 1 возникает следующий вопрос: что можно
сказать о «близости» двух ограниченных самосопряженных опера-
операторов А и В, если их непрерывные спектры совпадают? Легко
убедиться на простых примерах в том, что разность А — В таких
операторов может не быть вполне непрерывным оператором. Таким
образом, непосредственное обращение теоремы 1 невозможно.
Однако справедлива следующая, установленная Нейманом *),
Теорема 3. Если пространство Н сепарабельно и А, В —
ограниченные самосопряженные операторы в нем с одним и тем же
непрерывным спектром, то найдется унитарный оператор U такой,
что оператор
B)
будет вполне непрерывным.
Доказательство. В силу теоремы 2 можно считать,
что каждый из операторов А, В имеет полную в Н ортонормирован-
ную систему собственных векторов. Пусть этими системами являются
{^h}T Для оператора А и {f/J™ для оператора В. Соответствующие
последовательности собственных значений пусть будут {Яд}^°
и {\ik}?- Если при некоторой перестановке {рп}? натуральных чисел
окажется, что
lim(Xft-HPft) = 0, C)
h—>oo
то, определяя унитарный оператор U соотношениями
Uek = fPh (fe=l,2, ...)
и самосопряженный оператор К равенством B), найдем, что
KfPA=(M*A-WPft (fe=l,2, ...),
а это означает в силу C), что оператор К вполне непрерывен.
*) См. ссылку в подстрочном примечании на стр. 322.

326 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
Теперь доказательство теоремы сводится к построению пере-
перестановки {рь)Т> Для которой будет выполняться соотношение C),
Возможность этого построения основана на совпадении множества
'ё (А) предельных точек последовательности {Aft}~ со множеством
'ё (В) предельных точек последовательности {|лд}^°. Относящееся
сюда предложение из теории пределов числовых последователь-
последовательностей формулируется следующим образом:
Пусть множество М предельных точек ограниченной веществен-
вещественной последовательности {Xft}~ совпадает со множеством предельных
точек аналогичной последовательности {цд}~. В таком случае
существует такая перестановка {ръ)? натуральных чисел, для
которой
Нгп \Кр ¦— I^Pt):z== ^*
Для доказательства *) определим при любом натуральном k
числа
-'1+1.
t ем R
|
Так~*как при любом б > 0 лишь конечное число точек Я/, jj,j лежит
от М на расстоянии >б, то
Из определения чисел efe следует, что при любом k интервал
(Ад — ей, Aft -|- ей) содержит точки из М\ поэтому этот интервал
содержит бесконечное число точек [ij. Обозначим через rh наимень-
наименьший индекс г, при котором \ir 6 (^а — ей> Хь -\- ед) и который
удовлетворяет неравенствам ri> r} (/ = 1, 2, . . ., k — 1), r> 2k.
Аналогично, отправляясь от интервала (\ih — r\h, \ih -\- щ), опре-
определим число Sft. Все индексы rh, как и индексы sh, между собою
различны и
lim (Ад — |лг ) = lim(fift — Xs,) = 0. D)
Если бы по крайней мере одна из последовательностей {гд}™,
{Sft}^° содержала все натуральные числа, теорема была бы доказана.
Однако это условие здесь не выполнено. Поэтому продолжим
построение, а именно, определим индуктивно две последователь-
последовательности, {uh}? и {vk}f, натуральных чисел следующим образом:
щ = 1, Vi = rt;
*) См. статью Неймана, цитированную на стр. 322.

65. АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНАЯ И СИНГУЛЯРНАЯ ЧАСТИ СПЕКТРА 327
v2k есть наименьшее натуральное число, отличное от vj (j = 1,
2, . . ., 2k — 1), u2k — Si>2ft; U2ft+i есть наименьшее натуральное
число, отличное от щ (/=1,2,..., 2k), v2h+1 = Ги2Д+1-
Покажем, что каждая из построенных последовательностей
{щ)Т< {vh)T является перестановкой натурального ряда чисел.
Для этого установим, что каждая из этих последовательностей
содержит все натуральные числа и притом по одному разу. Если
числа 1, 2, . . ., k — 1 содержатся в последовательности {щ}2к~2,
то либо число k также содержится в этой последовательности, либо
Uzh-i = k. В обоих случаях последовательность {uj}\h содержит
числа 1, 2, . . ., k. Так как последовательность {uj}\ содержит
число 1, то по индукции получается, что последовательность {щ}™
содержит все натуральные числа. Тем же свойством обладает
и последовательность {Vj}f.
Теперь остается установить, что в каждой из последовательно-
последовательностей {uj}™, {vj}™ нет одинаковых чисел.
Начнем с последовательности {uj}j°. Так как по построению
ft-i ?= Щ, и2, . ¦ ., «2А-2> то нужно лишь показать, что u2k ?= Щ,
и2, . . ., u2ft-i- По определению, u2h = sV2k и sb-2ft^= slt s2, . ¦ •
• • •' s°2A-r Поэтому, в частности, s,,2ft Ф sV2, sVi, . . ., sVzk_z, ибо
V2 < t>4 < • • • < u2ft-2. а последовательность {sft}j° монотонно возра-
возрастает. Полученное неравенство можно переписать в виде и2и ^= и2,
щ, . . ., u2u-z и остается показать, что и2и?= Щ, щ, . . ., u2il_i.
Но по построению u2h == sVzh>2v2h'>2k и щ, щ, . . ., и^^ <:
<; 2k — 1, так что и2н> Uzk~i и, следовательно, u2a ^ ии щ, ¦ , .
Переходя к последовательности {ид}™, отметим в первую очередь,
что по построению t'2ft_t = rUzhl Ф ги г2, . . ., г„2Д_з и, значит,
в частности, v2h_i ф ь\, v3, . . ., v2k_3. Далее, v2h_t =-- '¦„2ft_i>
и так как v2, vit . . ., v2h_2 < 2k — 2, то v2h_A Ф vu
v2, ¦ ¦ •, ^2A-2- Наконец, по построению v2k Ф vu v2, . . ., v2h_t.
Для завершения доказательства достаточно убедиться в том, что
h—yoo
Но это следует из того, что при k —> оо
в силу D).
95. Абсолютно непрерывная и сингулярная части спектра. В связи
с так называемыми операторами рассеяния или волновыми опера-

328 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
торами (см. далее п° 97), возникшими в физических исследованиях,
в последние годы появилась необходимость в классификации точек
спектра более тонкой, чем та, которую мы приняли в п°п° 82, 93.
Пусть А — самосопряженный оператор, a Et — его спектраль-
спектральная функция.
Элемент / 6 Н назовем регулярным относительно А, если функ-
функция a (t; f) = (Etf, f) абсолютно непрерывна, и сингулярным, если
абсолютно непрерывная часть функции a (t; f) равна нулю.
Множество всех регулярных относительно А элементов обозна-
обозначим На, а множество всех сингулярных элементов обозначим Hs.
Теорема 1. Множества На и Hs являются подпростран-
подпространствами Н, они взаимно ортогональны и
Доказательство. Пусть / 6 На и g ? Hs. В таком слу-
случае, каково бы ни было точечное множество е нулевой лебеговой
меры,
\ /) = 0 A)
и найдется борелевское множество *) 6 лебеговой меры нуль такое,
что на его дополнении С 6
\ d(Etg, g) = 0. B)
re
Воспользуемся теперь неравенством
\ d(Etf, gJ4z\ d(Etf, f) \ d(Etg, g),
e в е
которое верно для любого борелевского множества % cz (— оо, оо)
и представляет собой неравенство Коши — Буняковского для
квазискалярного произведения
</, g)=[d{Etf,g)
%
(см. п° 3). В силу этого неравенства из A) и B) следует, что
\d(E,f,g) = 0, \d{Etf, ?) = 0.
е се
*) См., например, В. И. С м и р н о в, Курс высшей математики, т. V,
Физматгиз, 1959, или Г. Е. Шилов, Б. Л. Г у р е в и ч, Интеграл, мера
и производная, «Наука», 1964.

95. АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНАЯ И СИНГУЛЯРНАЯ ЧАСТИ СПЕКТРА 329
Поэтому
СО
(/, g) = ^ d(Etf,g) = 0
и, значит, На _|_ Hs.
Возьмем теперь произюльный отличный от 0 вектор h ? Н.
Ему принадлежит неубывающая функция a (t; h) = (Eth, h), из
которой мы выделим абсолютно непрерывную часть аа (t; h):
o(t;h) = oa(t; h)+as(t;h).
Затем возьмем борелевское множество 6 лебеговой меры нуль,
дополнение которого С6 имеет нулевую обмеру, и положим
f=^dEah, g=^dEJi, C)
се е
так что
h~=f+g. D)
Из C) следует, что
t t
(Eif, /)= I %ce(u)d(Euh, h)= J daa(u; A),
—OO
t
(Etg, g)= J %e(u)d(Euh, h)= \ das(u; A),
— OO —CO
где xe. Xco — характеристические функции множеств 6 и Сб.
Из этих представлений вытекает, что функция (Etf, f) абсолютно
непрерывна и что абсолютно непрерывная часть функции (Etg, g)
есть нуль. Поэтому элементы / и g в представлении D) принадле-
принадлежат соответственно На и Hs. Из разложения любого элемента h ? Н
в ортогональную сумму D) элементов / 6 Н„ и g 6 Hs вытекает
линейность и замкнутость множеств Н„ и Hs. Тем самым доказатель-
доказательство теоремы закончено.
Теорема 2. Подпространства На и Hs приводят оператор А.
Доказательство. Достаточно установить, что при
любом К подпространство На приводит Е%. Если / 6 На, то функция
а (t; f) абсолютно непрерывна, но тогда функция
о (t; Etf) --= (EtEtf, Exf) = (Emm(t, X)f, f) =
o(t;f)
o(K; /) = const
также абсолютно непрерывна и поэтому Eh f 6 На. Аналогично
доказывается, что если / 6 Hs, то и ?\ / 6 Hs.

330 гл- VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
Этим теорема доказана.
Часть Аа оператора А, действующая в подпространстве На
регулярных элементов, называется абсолютно непрерывной частью
оператора А, а спектр of (Aa) этого оператора Аа называется абсо-
абсолютно непрерывной частью спектра оператора А. Очевидно, #" (Аа)
образует замкнутое множество без изолированных точек (т. е.
совершенное множество), причем #"(ЛО) ^ % (А). Часть As опера-
оператора А, действующая в подпространстве Hs сингулярных элементов,
называется сингулярной частью оператора Л, а ее спектр #" (Л8) —
сингулярной частью спектра оператора Л. Очевидно, 3) (Л) ^ #" (Л8).
Собственные значения, которые все входят в <§" (Лв), образуют
дискретную компоненту сингулярной части спектра оператора Л.
Дополнение этой компоненты до всего #" (As) называется непрерывной
компонентой сингулярной части спектра оператора Л.
96. Инвариантность абсолютно непрерывной части спектра отно-
относительно конечномерных возмущений. Из установленной в п° 94
теоремы 2 следует, что при произвольных вполне непрерывных
возмущениях самосопряженного оператора абсолютно непрерывная
часть его спектра, в отличие от непрерывной части, может не сохра-
сохраняться. Однако при более слабых возмущениях и, в частности, при
возмущениях конечномерных, абсолютно непрерывная часть спек-
спектра не изменяется. Этот результат, а также его обобщение на слу-
случай любых ядерных возмущений, принадлежит М. Розенблюму
и Т. Като *).
Пусть Л — произвольный самосопряженный оператор в про-
пространстве Н, сепарабельность которого мы здесь предполагать
не будем. Пусть, далее, К — одномерный самосопряженный опе-
оператор, который порождается некоторым ортом g и некоторым
вещественным числом у в то смысле, что для любого / 6 Н
(О
Обозначим Et и Ft спектральные функции операторов Л и соответ-
соответственно В = А + К, и заставим [а, |3] пробегать множество всех
интервалов числовой оси. Этому множеству интервалов отвечает
множество элементов (?р — Еа) g, замкнутую линейную оболочку
которых обозначим GA, и множество элементов (Fp — Fa) g, анало-
аналогичную оболочку которых назовем GB. Ясно, что(ла есть наименьшее
*) М. R о s е п b I u m, Perturbation of the continuous spectrum and uni-
unitary equivalence. Pacif. Journ. Math. 7, N I, 1957; см. также сборник пере-
переводов «Математика», 3 : 3, 1959. Т. К a t о, On finite-demeiisional perturba-
perturbations of selfadjoint operators.J. of the Math. Soc. Jap. 9, N 2, 1957; Perturba-
Perturbation of Continuous Spectra by Trace Class Operators, Proc. of the Jap. Ac.
XXXIII, N5, 1957.
В нашем изложении мы следуем Т. Като.

¦36. ИНВАРИАНТНОСТЬ АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 331
подпространство в Н, содержащее g и приводящее оператор A, a GB
обладает этим же свойством по отношению к В. Кроме того, каждое
из подпространств GA, GB приводит оператор К. Из равенства
В = А + К поэтому следует, что GA = GB = Hg. Так как Kf = 0,
если / € Н © Hgl то
Af = Bf (/€H0Hg),
и вопрос о влиянии одномерного возмущения К на абсолютно непре-
непрерывную часть спектра оператора А достаточно рассмотреть в под-
подпространстве*) Hg. Этим мы сейчас и займемся.
Так как подпространство Hg является замыканием как линейной
оболочки элементов (Ец — Еа) g, так и линейной оболочки элементов
(Fp — Fa) g, то части операторов А и В, лежащие в Hg, имеют
простой спектр. Поэтому (см. п° 83) при любом / ? Hg
B)
где q (t) = (Etg, g), о (t) = {Ftg, g).
С другой стороны, при ЗС Ф О
откуда, согласно A),
= -уЦВ-ЫГЧ, S) (lA-UT'g, g)- C)
С помощью представлений B) из этого соотношения выводится
равенство
или
со
Р я]) (и) do (и) Р ф (X) rfQ (X) _ Р ф (tx) da ((х) Р dcW_
со
Р
j
*) Заметим, что подпространство Hg сепарабельно

332 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
Если бы мы предварительно приняли в C) / = g, то получили бы
равенство
со оо со
Р dc(n) г Р dcM_ "I _ Г dQ (Я)
J И—Б L1+Y J Л—С J — ) Х
— со —со
которое можно переписать в виде
Положив здесь Z, = ? -f- ir\, tj = Зь. и делая предельный переход
г) ->0, в силу известной теоремы теории функций *) найдем, что
1) почти всюду на вещественной оси функция
*Q(k) _ J /с\
\_г — S \а>
имеет конечные, отличные от нуля пределы со (| -\- ДО) и со (? —
— Ю) = и (| + Ю) и 2) почти всюду
так что почти всюду
Q'(S) = h(S+«0)!2o'(g) F)
и, значит, почти всюду
За (S +10) = лY | со (g +10) js о' (I). F')
Из соотношения F) и сказанного выше относительно функции
со (| + Ю) заключаем, что абсолютно непрерывные части спектров
операторов А и В совпадают с точностью до множества меры нуль.
Однако нетрудно доказать, что если пересечение абсолютно непре-
непрерывного спектра с каким-нибудь открытым интервалом имеет
лебегову меру нуль, то это пересечение пусто. Поэтому абсолютно
непрерывные части спектров операторов А и В совпадают полностью.
Более того, из теоремы п° 87 вытекает унитарная эквивалентность
абсолютно непрерывных частей Аа и Ва операторов А и В.
Изложенные рассмотрения позволяют сформулировать следую-
следующее предложение.
*) См. И. И. Привалов, Граничные свойства аналитических функ-
функций, Гостехиздат, 1950, стр. 183—194.

96. ИНВАРИАНТНОСТЬ АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 333
Теорема. Пусть А — произвольный самосопряженный опера-
оператор в гильбертовом пространстве Н, а К — произвольный конечно-
конечномерный самосопряженный оператор в нем. Тогда абсолютно
непрерывные части Аа и Ва операторов А и В = А + К унитарно
эквивалентны, так что, в частности,
<У (А.) = ^ (АО-
Доказательство для случая, когда оператор К одно-
одномерен, мы полностью провели. Так как /п-мерное возмущение
есть сумма одномерных возмущений, а понятие унитарной экви-
эквивалентности транзитивно, то отсюда вытекает справедливость теоре-
теоремы для любых конечномерных возмущений.
Упомянутое в начале настоящего пункта обобщение этой тео-
теоремы на случай любых самосопряженных ядерных возмущений
будет дано лишь в п° 99, так как для этого обобщения понадобится
аппарат волновых операторов, которым посвящены п°п° 97 и 98.
В заключение установим некоторые вспомогательные факты,
которые будут использованы в п° 98.
Прежде всего получим уравнение, связывающее функции ф (t),
г]) (t) из представлений B).
Из D) и E) следует, что
со со со
ф (X) dQ (X)
Фг(ц) _ г. Р do(
Делая здесь предельный переход, получим, что почти всюду
оо со
4- nhh (П а' т 4- \ ' Ф(М)^(М) __ I Г <p(X)dQ(X)
где штрих у знака интеграла означает, что интеграл рассматри-
рассматривается как главное значение в смысле Коши. Из соотношений G)
с помощью вычитания находим
' /t\ 1 Г <P(X)de(X)
— со —со
или
х—(
— со
Р (p(X)do(X) Г cp(X)d6(X) 1
J X-(g + /O) 3 Я,-(Б-ГО) J '

334
гл- VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
Отсюда, благодаря F'), следует, что почти всюду
со
После сокращения получаем искомое соотношение:
почти всюду на множестве, где а' (|) Ф 0.
Нам понадобится также следующая
Лемма. Если f (К) ? L2 (— со, оо), то
со со
г-^оо J J Р—Ь J X —((х + гО)
— ОО —ОО —СО
Доказательство. Напишем равенство
где
Пусть F (х) — преобразование Фурье функции f (К), так что
В таком случае, как известно *),
= l.i.m.--?=r- [ F(x)signxe^ucdx
А->оо \/2я J
и, следовательно,
,1 X—
*) Е. Т и т ч м а р ш, Введение в теорию интегралов Фурье, перев-
с англ., Гостехиздат, 1948, стр. 159—166.

97. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 335
С другой стороны, по теореме о свертке, при t> О
— со
оо
4=- \ F(x)
о
Сопоставление полученных соотношений и доказывает лемму.
97. Определение и формальные свойства волновых операторов.
Пусть А и В — самосопряженные операторы в Н, RA и RB —
подпространства, образованные регулярными элементами опера-
оператора А, соответственно В и РА, Рв — операторы ортогонального
проектирования на RA и RB- Примем следующее
Определение. Если существует сильный предел
U+{B, A} = \imeitBe-iiAPA, A)
t->tx>
то говорят, что упорядоченная пара операторов А, В имеет волновой
оператор U+ {В, А}.
Аналогично определяется волновой оператор *)
U- {В, Л}= Iim eitBe~ltAPA. B)
В этом пункте мы установим ряд свойств волновых операторов
в предположении, что они существуют. Что касается доказательств
существования, то они будут приведены в п° 98. При этом мы будем
рассматривать лишь оператор A), так как формулировка и дока-
доказательство соответствующих свойств для оператора B) совершенно
аналогичны.
Теорема 1. При любом вещественном х
eixBU+{B, A} = U+{B, А}е*А. C)
*) Понятие о волновых операторах было впервые введено К. Меллером
с помощью выражения
Iim eitBe-itA.
±i->oo
См. С. М р 1 1 е г, Dan. Vid. Selsk.-fys. Medd, 23, п° 1 A945).

336 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
Действительно,
eixBU+ {В, А} = lim е1<-1+^ве^1+^Ае1хАРА =
= limе^+^ве-^+^АРАеиА = U+{B, A}eixA,
t—>oo
Теорема 2. При любом вещественном К
FiJJ+{B, A} = U+{B, А)ЕК, D)
где Ех — спектральная функция оператора A, a FK — спектраль-
спектральная функция оператора В.
Действительно, из C) следует, что при любых f, g ? Н
, A)f, g)= J el^d(JJ+{B, A)Erf, g),
—CO
откуда, в силу теоремы единственности для интегралов Фурье —
Стилтьеса, и получается соотношение D).
Теорема 3. Оператор U+ {В, А} частично изометричен.
Его начальная область есть RA, а конечная область лежит в RB.
Доказательство. При любом f ? Н
|| U+ {В, A)f\\ = lim || eitBe-"APAf || = || PAf ||, E)
t~>co
откуда вытекает справедливость первых двух утверждений. Чтобы
доказать третье утверждение, заметим, что в силу D) и E)
iFkU+{B, A}f, U+{B, A}f) = \\FkU+{B, A}f\\* =
= || U+ {B, A} Erf ||2 = || PAErf ||2 = || ExPAf ||2 = (Ekh, h), E')
где h = PA f ? RA. Так как правая часть есть абсолютно непрерыв-
непрерывная функция, то тем же свойством обладает левая. Следовательно,
вектор U+ {В, A} f является регулярным элементом оператора В,
т. е. U+ {В, A} f e RB-
Теорема 4. Если конечная область оператора U+ {В, А}
совпадает с RB, то операторы Аа и Ва унитарно эквивалентны
и при любом f ? RA f] DA
UlBaUrf-^Aaf, F)
где U+ = U+ {B, A).
Доказательство. Первое утверждение вытекает из пре-
предыдущей теоремы, если доказано соотношение F). Итак, докажем F).
Для этого заметим, что из формулы; E') следует для любого f ? RA
равенство
со со
5 I , f),

97. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 337
где оба интеграла сходятся или расходятся одновременно. Поэтому,
если f ? DA П Ra, to U+f € DB, а если U+f ? DB при f ? RA. то
f ? DA. Далее, в силу теоремы 2 при любом g ? Н
5 f, g),
—со
но это и означает, что
BaU+f = U+Aaf, F')
т. е. равенство F).
Теорема 5*). Если существуют волновые операторы
U+ {В, A}, U+ {С, В}, то существует волновой оператор
U+{C, А} и
U+ {С, А} = U+ {С, В} U+ {В, А}. G)
Доказательство. По определению,
U+{B, A} = limeiiBe-iiAPA,
t->oo
U+{C, B}=limeitce-itBPB.
t->oo
Следовательно,
U+ {С, В} U+ {В, А} = Urn eitce-itBPBeitBe-itAPA.
f-»co
Заменяя Рв на / — (/ — Рв), находим, что
1/+{C, B}U+{B, A} =
= Hmeitce-itAPA-limeitce-itB (/- Рв) е1пе~шРА
t->oo t->oo
Первый член правой части есть U+{C, А}. Остается доказать, что
второй член есть нуль. Но оператор
(I-PB)eitBe~itAPA
при / ->- оо стремится к нулю, а оператор
gitCg-itB
при любом t унитарен, откуда и следует, что их произведение стре-
стремится к нулю.
Теорема 6. Для совпадения с RB конечной области оператора
U+ {В, А} необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор
U+{A,B}.
*) Эту теорему называют теоремой умножения волновых операторов.
22 н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

338 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
Доказательство. Если оба оператора, U+ {В, А}
и U+{A, В), существуют, то по теореме 5 при любом f (Е RB
B, A}U+{A, B}f
или
f=U+{B, A}g,
где g— U+{A,B} f принадлежит R^, а значит, f принадлежит
конечной области оператора U+ {В, А).
Достаточность условия теоремы доказана.
Пусть теперь известно, что конечная область оператора U+ {В, А}
есть RB; требуется доказать, что для любого f ? RB существует
lim eiiAe-iiBf.
t->oo
Для элемента f найдется такой элемент g ? RA, что
f=U+{B,A}g.
Поэтому
f=limft, ft~eu»e-UAg.
Но из равенства
f{) = eltA?-ltB tf_ft
следует, что
g = lim eitAe-"Bf.
f->co
Таким образом, оператор U+ {А, В} существует и g = t/+ {A, B}f.
Операторы U+ {A, B}, U+ {В, А}, очевидно, взаимно обратны
на соответствующих областях, так что
U+{B,A) = U%{A,B}. (8)
Введем еще одно понятие, а именно понятие об операторе рас-
рассеяния для упорядоченной пары А, В. Так называют оператор
S{B, А} = и%{В, A}U-{B, A} (9)
в предположении, что все четыре волновых оператора U± {В, А},
U± { А, В} существуют.
Теорема 7. Оператор рассеяния S {В, А} в пространстве
RA унитарен и коммутирует с оператором А.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из тео-
теоремы 6.
Далее покажем, что S {В, А} перестановочен с разложением
единицы Ei оператора А при любом Я?(—оо, оо). Обозначим

98. СУЩЕСТВОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 339
коротко U± {В, А} через U±. Тогда из (9), дважды используя
теорему 2, имеем
S {В, А} Еь = UlUJEx = USFiU- = (FdJ+f U- =
= (UJEi)* U- = EdJ*+U- = ffcS {Я, Л}.
Это означает, в силу теоремы п° 80, что
S{B,A}A<zAS{B,A),
т. е. A i\ S {В, А} перестановочны в Н, а поэтому и в приводящем
их обоих подпространстве R^. При этом, если / € RA, то
(ExSf, Sf) = (SExf, Sf) - (Erf, f),
где S = S {В, А} , а значит, / (из RA) и Sf одновременно либо при-
принадлежат либо не принадлежат RA (~| DA. Поэтому на RA
AaS{B,A} = S(B, A)Aa
или, во всем Н,
AS {В, A} = S{B, A}APA.
Справедлива также следующая теорема умножения для опера-
операторов рассеяния.
Теорема 8. Если существуют операторы рассеяния
S {В, А} и S {С, В), то существует оператор рассеяния S {С, А}
и притом
S{C,A} = S+(C,B)S{B,A},
где
S+{C, B} = U+{A, B}S{C, B)U+(B, A).
Доказательство. Существование оператора S {С, А)
вытекает из теоремы 5. Далее, имеем
S{C, Л} = ?/*{С, A)U-{С, А} =
= и*+ {В, A} V% {С, В} U_ {С, В} U. {В, А} =
=-- UX {В, A} Ut {С, В} V- {С, В) U+ {В, A} UX{В, A} U. {В, А} =
= U+ {А, В} S {С, В} U+ {В, A} S {В, А}.
(Последнее равенство справедливо в силу (8).) Теорема доказана.
98. Существование волновых операторов в случае конечномерных
возмущений. Этот, пункт непосредственно примыкает к п° 96, обо-
обозначений которого мы здесь будем придерживаться. Положим вна-
вначале, как и в п° 96, что оператор К. одномерный и что его область
значений порождается элементом g, по которому строится сепара-
бельное пространство Гильберта Hg. Предположим также, что Нй
22*

340 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
совпадает со всем Н. Определим в Hg = Н оператор V+f, полагая
со
— со
если
f =
Введем также оператор
U, = eiiBe-itAPA (— оо < t < оо)
и докажем, что
UmUtf = V+f (/€H). B)
Заметим, что это соотношение достаточно доказать лишь для f ? RA,
так как Utf = 0 и V+f = О, если f J_ RA. Последнее вытекает из
того, что в силу A) и формулы F) п° 96 при любом f € Н имеем
\\V+f\\2=
Qa(k) = \\PAf\\\ C)
где оа (к) = (F^PB g, g) — абсолютно непрерывная часть функции
а (К) = (F^g, g), а Qa (к) = (EKPAg, g) — абсолютно непрерывная
часть функции q (X) = {Е}?, g).
Таким образом,
V+PA = V+, UtPA = Ut. C')
Переходим к доказательству соотношения B) при f ? RA. Для
этого воспользуемся равенством
t
{Utf, h) - {f, h) ¦= iy J {e-"Af, g) {e;xng, h) dx, D)
о
где h € H. Написанное равенство достаточно проверить при
f € DA П Ra'i в этом случае оно получается интегрированием тож-
тождества
-*-(etxBe-ixAf, h) = i(eixRBe-itAf, h) — i(eUBAe-txAf, h) =
= i (е*Ще-*А1, h) = iy(exB {e-"Af, g)g, h) = iy (e-*Af, g) (e*Bg, h).

98. СУЩЕСТВОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 341
Если
f=
то соотношение D) можно переписать в виде
t оо со
(Utf, h)-(/, h) = iy \ [ \ e-*\(k)dQ{k)][ J е*»^Щйо(ц)] dx,
6 —оо —оо
где, как легко видеть, можно изменить порядок интегрирования,
так что
(Utf, А) - (Л А) = Y J ][ ^l^ Ф М"МЙ dQ {к) da (ц).
—со
Кроме условия f 6 Ra, положим теперь, что h 6 Rb- В таком
случае в написанном двойном интеграле можно заменить dQ (к),
da (\i) соответственно на q' (к) dk и а' (ц) d\\,. Примем вначале, что,
сверх того,
ф(?Ое'(^КЬ2(-со, сю), x(|i)a'(|i)eL8(-oo, со). E)
Тогда на основании леммы п° 96
lim(JUtf, h) = (f,h) + y
~>OC —oo
откуда в силу равенства (8) n° 96
lim (Utf, h) = (f, A) + \ со(|i + Ю)Ф(|i)x
t
и в силу формулы A)
lim (Utf, h) = (V+f, h). F)
t—>oc
Это равенство мы доказали в предположении E), тогда как нам
оно необходимо для случая, когда
ХКЬ2(-со, со), x(^)/S>)eL2(-c«, со), E')
т. е. когда
Ф (к) ? I* (- со, со), х (ц) ? Li (- оо, со), E")
ка

342 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
так как только в этом случае соотношение F) будет доказано для
любых f 6 Ra и h 6 RB- Однако здесь достаточно заметить, что
если Q (к) пробегает множество всех финитных ступенчатых функ-
функций, то множество функций
Q (к)Ф О,
I / , Q ()Ф ,
Ф (к) = { "V Q' М
I о , е'(*) = о
плотно в Lp (—оо, оо) и удовлетворяет условию E), а множество
p
функций
I 0 , а'(ц) = 0
плотно в Lo (—оо, оо) и тоже удовлетворяет условию E).
Так как оператор Ut равномерно ограничен по t, то из F) и C')
следует, что всюду в Н в смысле слабой сходимости
lim PBUt = V+. G)
Теперь мы докажем, что это равенство справедливо и в смысле
сильной сходимости, а также, что множитель Рв в нем можно
отбросить. Действительно, из слабой сходимости следует, что
\\V+f ||2 = lim (PBUtf, V+f)<\im \\V+f\\-\\PBe^e-itAPAf ||,
откуда
\\V+f ||<jim \\PBenBe-^PAf ЕГ
t-»oo
Но в силу (З)
а поэтому
i| V+f || = lim || PBe"*e-»APAf \\ = \\ PAf\\,
/->oo
откуда следует, что G) справедливо в смысле сильной сходимости.
А так как
II Pa! \\ = I! PBeUBe-itAPAf |f+1| (/ - Рв) eitBe-iiAPAf \\,
то, в смысле сильной сходимости,
lim (/ — Рв) еиве-иАРл! = 0.

99. ПЕРЕХОД К ОБЩЕМУ СЛУЧАЮ ЯДЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 343
а это благодаря G) и означает, что
т. е. соотношение B) доказано.
Теорема. Если А — произвольный самосопряженный опера-
оператор в Н, Д' — конечномерный самосопряженный оператор и В =
= А + К, то волновые операторы U± {В, А} и U± {А, В} суще-
существуют и осуществляют изометрическое соответствие между абсо-
абсолютно непрерывными частями операторов А и В.
Доказательство достаточно провести для оператора
U+ {В, А}. Если оператор К одномерен и Н = Н„, то доказатель-
доказательство уже проведено выше. В общем случае одномерного оператора К,
когда Hg ф Н, волновой оператор
U+ {В, А} = lim eitBe-UAPA
t—>оо
также существует, причем на подпространстве Н 0 RA он, оче-
очевидно, равен нулю; на подпространстве RA [~| (H 0 Hg) он являет-
является единичным оператором, и, наконец, на подпространстве Hg
он может быть определен, в соответствии с A) и B), равенством
если
f —
Переход от одномерного возмущения к любому конечномерному
осуществляется с помощью теоремы 5 п° 97.
99. Переход к общему случаю ядерных возмущений.
Лемма*). Пусть А — самосопряженный оператор е Н и Е% —
его спектральная функция. Если элемент f ? Н регулярен относи-
относительно А и если почти всюду
—Ж—<;2*'2' (!)
то для любого оператора Гильберта — Шмидта Т с абсолютной
нормой N (Т) имеет место неравенство
со
*) Эта тонкая лемма принадлежит М. Розенблюму (см. ссылку на
стр. 330).

344
ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
Доказательство. Пусть {gn} f — ортонормированный
базис в Дт. Тогда
\(Te-UAf,gn)\* =
n=l
оо оо
= 2
, T*gn)\*. C)
n=i —оо
Оценим входящие в C) интегралы. Для этого докажем, что в силу A)
при любом h ? Н, в частности при h = T*gn, функция (Erf, h)
абсолютно непрерывна, а ее производная
и удовлетворяет неравенству
d (Erf, h)
Действительно, пусть Н/ — подпространство, порождаемое сово-
совокупностью векторов Е (Д) f, когда Д пробегает множество всех
интервалов числовой оси. Тогда можно положить h = hi + /z2,
где hi 6 Н/, hi _L H/. Далее (см. п° 83), найдется такая функция
ф (М-), что
Поэтому
со
\hi\f^ \
^, f)<\\h\\*.
, h) = (Erf, hi) =
, f),
откуда и вытекает наше утверждение.
Этот результат показывает, что интеграл
e-«4(Erf,T*gn)=
можно рассматривать как преобразование Фурье — Планшереля.

99. ПЕРЕХОД К ОБЩЕМУ СЛУЧАЮ ЯДЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 345
Следовательно, применимо равенство Парсеваля, в силу которого
оо оо оо
d(EKf, T*gn)
— со —oo
откуда следует, что
со m oo m
^ 2 | J е-«Ч(Еф T*gn)\* Ш<.2лЛ*% \\T*gn\\*<
—oo ?г=1 —oo ?г=1
<2ncM2N\(T*) = 2jTe#2JV2 (T).
Благодаря равенству (З) и теореме Фату, при любых конечных а
и Р>а
ОО СО
а. n=1 —oo
откуда (полагая а—>- — oo, p—>- oo) мы и получаем B).
Теперь мы можем перейти к обобщению результатов npnD 96 и 98
на случай произвольных ядерных возмущений К- Вот полная фор-
формулировка этого обобщения, включающего ранее полученные пред-
предложения.
Теорема. Пусть А — произвольный самосопряженный опера-
оператор в Н, а К — самосопряженное ядерное возмущение, так что
в некотором ортонормированном базисе {gj }j°
Kf=f>bj(f,gj)gj (/ен), D)
где
В таком случае
1. Волновой оператор
U+ = U+ {В, А} = lim eitBe~itAPA,
где В = А + К, существует.
2. Он частично изометричен: с начальной областью ЯА и конеч-
конечной областью RB.
3. Абсолютно непрерывные части Аа и Ва операторов А и В
унитарно эквивалентны, а именно
/;, Аа=и*+ваи+.

346 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
4. Остальные волновые операторы LL {В, А} и U±{A, В} =
= Щ. {В, А] также существуют и обладают аналогичными свой-
свойствами.
Доказательство. Благодаря результатам предыдущих
пунктов достаточно доказать только первое утверждение. С этой
целью положим при любом конечном т:
т ¦ т
Kmf = 2 h (f, gj) gj, Sm = 2 | kj |, Bm = A 4 Km
3=1 ;=1
( _ oo < ^ < OO).
Используя дифференцирование по ^ вектора
eitBmg—UAf
мы, как и в nD 98, найдем, что при f ? RA
В силу уже доказанного существования волнового оператора
f/(m) = и+ {Вт, А} (т < оо) мы можем сделать здесь предельный
переход t —*¦ оо. Таким путем мы получим соотношение
Так как || I/f") f || = || f \\ и || f/|m) f || = || f ||, то
II (I/™ _[#»>) /= ||»=2afi ((t;^m)-t;(sm)) /, t/^V).
Отсюда с помощью формулы E) и теоремы 1 п° 97 находим, что
оо
|| (U™- t4m)) f ||2 = 2Ж J (Kme-"Af, U^e-^f) dx. F)
s
Теперь представим возмущение /Cm в виде
Km = Wm\Km\ = Wm\Km\l/2\Km\l/2, G)
где Wm = sign /Cmесть частично изометрический оператор. Предпо-
Предположим сначала, что для элемента f
= vxa\ sup -Щ~- < °° • (8)

99. ПЕРЕХОД К ОБЩЕМУ СЛУЧАЮ ЯДЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 347
Тогда из F) и G) следует, что
v I С II i К li/2 И7* f/(т)<>-*тА* ii2^Tli/2 /q\
X \ || ] Am I и/гпи+ e f || ox , (i>)
L J .J
S
причем существование обоих интегралов вытекает из (8) в силу
леммы Розенблюма. Во втором из этих интегралов заменим s на
—оо. На основании упомянутой леммы и оценки для абсолютной
нормы произведения (стр. 97)
неравенство (9) можно представить в виде
Отсюда следует, что
| К
s
. A0)
Покажем, что в полученном неравенстве возможен предельный
переход при т—>оо. Действительно, с одной стороны, при любом т
оо
Sm < Soo = 2 I h I < Ю
и, как видно из представления D),
при всех h 6 Н.
С другой стороны, при т —> оо

348 ГЛ. VII. СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ
ибо в смысле сильной сходимости (по крайней мере)
git Вт ^ gHB
Это следует из того, что в каждой точке непрерывности спектраль-
спектральной функции F%, принадлежащей оператору В, в силу теоремы 2
пр 79 имеет место предельное соотношение
(в смысле сильной сходимости), где Fj,m) — разложение единицы
оператора Вт.
Таким образом, при т —> оо находим из A0):
где
Ut = eltBe~itAPA.
Из полученного неравенства вытекает существование lim Utf
?-юо
для всех элементов f 6 Ra, удовлетворяющих неравенству (8).
Но множество всех таких элементов f при всевозможных <Ж плотно
в RA, а оператор Ut равномерно ограничен по t. Поэтому lim Utf
t—>оо
существует при всех f 6 Ra, а это и означает, что волновой оператор
LJ+ {В, А} существует. Таким образом, теорема доказана.
В заключение отметим, что волновые операторы и операторы
рассеяния для заданной пары самосопряженных операторов {А, В}
существуют не только в случае ядерных возмущений, т. е. когда
разность В — А ядерна, но также и тогда, когда оказывается
ядерной разность некоторых натуральных степеней р резольвент
этих операторов:
а также и в ряде более общих случаев *).
•) М. Ш. Б и р м а н и М. Г. К р е й н, ДАН СССР 144, № 3 A962);
М. Ш. Б и р м а н, ДАН СССР 143, № 3 A962), 159, № 3 A964); Т. К a t о,
Wave operators and unitary equivalence, препринт A963).

ГЛАВА VIII
ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ
СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
100. Индексы дефекта. Пусть Т — произвольный линейный опера-
оператор, область определения которого мы даже не предполагаем пока
плотной в Н.
Назовем число к (вещественное или невещественное) точкой
регулярного типа оператора Т, если существует такое k = k (к) > О,
что при всех f 6 DT
\\{T-U)f\\>k\\f\\.
Поэтому собственные значения оператора Т не являются для него
точками регулярного типа. Далее, если к есть точка регулярного
типа оператора Т, то оператор (Т — к!) существует и ограничен,
хотя его область определения может оказаться не плотной в Н,
и обратно, если оператор (Т — к!) существует и ограничен, то
к есть точка регулярного типа.
Если к0 есть точка регулярного типа, то при \к — ко
<; -=- k (к0) и любом f 6 DT имеет место неравенство
\(T-kI)f\\>\\(T-k0I)f\\-\k-k0\.\\f\\>
>{k(ko)-6}\\f\\>\k(ko
Это уже однажды применявшееся нами соображение (см. доказа-
доказательство теоремы 4 nD 48) показывает, что множество точек регуляр-
регулярного типа всегда открыто. Мы будем называть это множество точек
полем регулярности оператора Т.
Если А есть симметрический оператор и z = х + iy (уФО),
то (сравни доказательство теоремы 3 п° 48) при любом f ? DA
откуда видно, что верхняя и нижняя половины z-плоскости являют-
являются связными компонентами поля регулярности любого симметриче-
симметрического оператора.
Поле регулярности изометрического оператора V также содержит
две связные компоненты: область внутри и область вне единичного

350 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
круга. Действительно, при | ? | << 1
||(У-?/)Л1>1|171|-1?
и, аналогично, при | ? | > 1,
Теорема. Если Г есть связная компонента поля регулярно-
регулярности линейного оператора Т, то размерность подпространства
Н 0 ДТ (к) одинакова для всех К 6 Г.
Доказательство. Обозначим через Р% оператор ортого-
ортогонального проектирования на подпространство
Если мы покажем, что для любых Ки к2 6 Г
то из теоремы п° 39 будет следовать, что размерности подпространств
Sl^j, sJ'?i,2 одинаковы. Чтобы доказать неравенство A) для любых
^i, ^2 € Г, достаточно установить, что для любого к0 6 Г найдется
такое б = б (Ко) > 0, что при | К — ^0 | < б
а затем учесть, что любые две точки ^i, k2 6 Г можно соединить
путем, который в силу леммы Гейне — Бореля покрывается конеч-
конечным числом построенных б-окрестностей.
Итак, пусть Ко ¦— некоторая фиксированная точка области Г
и пусть
Так как
то при | % —
^
\\(T-M)f\\>^k(ko)\\f\\.
Примем, что | X — %0 \ <: б. В таком случае для любого h 6
(II А II = 1)
»J Л ||-sup
cm

100. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА 35!
и для любого h 6 9^о (II h || = 1)
P»)Aj|<l. C)
На основании второго определения раствора двух линейных
многообразий (см. п° 39) из неравенств B), C) следует, что
Тем самым теорема *) доказана.
Из наших рассмотрений вытекает, что
Это соотношение выражает, что подпространство 9^?, непрерывно
вращается вокруг точки f = 0 при движении точки к по области Г.
Условимся называть дефектным числом линейного многообразия
Ш размерность его ортогонального дополнения 91 = Н 0 5Ш и будем
писать
Дефектное число может быть как конечным, так и бесконечным.
Доказанная только что теорема дает право ввести следующее
Определение. Дефектное число линейного многообразия
9Ля = Дт (К) для точек К, принадлежащих данной связной компо-
компоненте поля регулярности оператора Т, называется дефектным чис-
числом оператора Т в этой компоненте поля регулярности. При этом
91?, = Н 0 Шк называется дефектным подпространством опера-
оператора Т для точки К, а любой отличный от нуля элемент дефектного
подпространства называется дефектным элементом.
Каждый симметрический оператор А имеет два дефектных числа,
а именно одно (т) в нижней, другое (п) в верхней полуплоскости.
Их называют также индексами дефекта оператора А:
m @fe<0),
Подобным образом два дефектных числа (или индексы дефекта)
имеет любой изометрический оператор V:
m
*) Эта теорема принадлежит М. Г. Крейну и М. А. Красносельскому
(см. их статью, цитированную в пс 39). Для симметрических операторов
(см. ниже предложения 1е и 2е) теорема была доказана ранее Нейманом,
а самый факт, выражаемый теоремой Неймана, был обнаружен еще
ранее Г. Вейлем — на дифференциальных операторах второго порядка, Т. Кар-
леманом — на интегральных операторах и Хеллингером — на якобиевых мат-
матрицах (см. работы, цитируемые в п° 102 и в добавлениях).

352 гл- VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Индексы дефекта симметрического (соответственно изометриче-
изометрического) оператора образуют упорядоченную пару чисел *) (т, н).
В тех случаях, когда будет наперед известна конечность дефект-
дефектных чисел, мы будем обозначать их латинскими буквами.
Из доказанной нами теоремы непосредственно вытекают следую-
следующие три предложения.
Iе. Если симметрический оператор имеет вещественную точку
регулярного типа, то его дефектные числа равны: m = п. То же
справедливо относительно изометрического оператора, если он
имеет точку регулярного типа на единичной окружности.
2°. Если А — симметрический оператор, то любое невеществен-
невещественное число z является для сопряженного оператора А* собственным
значением: кратности т, если 3 z> 0, и кратности п, если 3 z < 0.
Действительно, если f пробегает DA, a g пробегает Ш- то
откуда
(A*g-zg,f) = 0
или
A*g = zg.
Таким образом, z есть собственное значение оператора А*
и притом кратности dim 9tj.
Зр. Дефектные числа изометрического оператора V могут быть
определены с помощью следующих равенств:
т = def Dy,
n = def Ду.
Нуждается в доказательстве только первое равенство. Его спра-
справедливость следует из того, что при любом ? ф О
а потому, при | ? | > 1,
m = def Ду (?) = def Дv-i (-?-) = def Av-i @) = def Ду-i = def
Справедливо также следующее предложение.
4е. Если А — произвольный симметрический оператор в Н,
а В — ограниченный самосопряженный оператор в Н, то индексы
дефекта операторов А и А -\- В одинаковы.
*) Иногда индексом дефекта называют весь символ (т, п).

101. СНОВА О ПРЕОБРАЗОВАНИИ КЭЛИ 353
Для доказательства достаточно взять при фиксированном неве-
невещественном Хо семейство операторов А — ко1 + tB (()•<?•< 1)
и установить независимость от t размерности подпространства
Н 0 Дл+гв (^о). подобно тому как это было сделано при доказа-
доказательстве основной теоремы настоящего пункта.
101. Снова о преобразовании Кэли. В пр 79 мы впервые ввели пре-
преобразование Кэли V замкнутого симметрического оператора А при
помощи формул
(A-zI)h = Vf
где z — какое-нибудь невещественное число, a h пробегает DA.
Мы будем предполагать в настоящем пункте, что 2fz > 0. Оператор V
выражается через оператор А формулой
при этом областью определения Dv оператора V является Ал (z).
Заметим также, что в силу формул A)
г — г
B)
г—г
и поэтому
Ah = (zV — zI)(V-1)'1 h. B')
Для дальнейшего весьма важно, что индексы дефекта (т, п) опера-
оператора А совпадают с индексами дефекта оператора V. Действитель-
Действительно, по определению,
m = def Дд B).
Но
AA(z) = Dv,
следовательно,
def DF = m.
С другой стороны, снова по определению,
п = def Дд (z)
так что
def Ду = п.
23 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазыаи

354 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Остается принять во внимание предложение 3е п° 100.
Теорема 1. Если V — изометрический оператор и если
многообразие Д^ A) плотно в Н, то определяемый формулой B')
оператор А — симметрический, а оператор V есть его преобразова-
преобразование Кэли.
Доказательство. Так как Av A) плотно в Н, то обрат-
обратный оператор (V — 7) существует. Действительно, несуществова-
несуществование этого оператора означает, что единица есть собственное значение
оператора V. Но если
то при любом / ? Dv
<Vf- f - g) = (УU g) - (/. g) = (УU vg) - (Л g) = о,
т. е. g _L A^ (!)•
Поскольку оператор (V — /) г существует, то оператор
имеет смысл, а его область определения плотна в Н. Докажем, что
этот оператор — симметрический.
Пусть /, g— произвольные элементы из DA = Д^ A):
В таком случае,
Af = (zV — zl) ф = zVq — 2ф,
Ag = (zV — zl) -ф = zVty—z-ф.
Поэтому
(Af, g) = (zVq> -2Ф, Vq, - ф) = (z + z) (ф, ij,) - z (Уф, i|>) -z (Ф,
и
(f, Ag)=(Vq-<f, zVy-Zty) =
Мы видим, что
Доказательство соотношения
Л—z/
~ A—zl
не представляет никакого труда. Таким образом, оператор V являет-
является преобразованием Кэли .оператора А.

101. СНОВА О ПРЕОБРАЗОВАНИИ КЭЛИ 355
В дальнейшем мы будем применять название «преобразование
Кэли» к каждому из операторов V, А, связанных соотношениями A)
и B), т. е. мы не только будем называть оператор V преобразова-
преобразованием Кэли оператора Л, но и оператор А — преобразованием Кэли
оператора V.
Из доказанных нами предложений непосредственно следует
Теорема 2. Пусть Л4 и А2 — симметрические операторы,
a Vx и V2 — их преобразования Кэли. Для того чтобы оператор А2
был расширением оператора Аи необходимо и достаточно, чтобы
оператор V 2 был расширением оператора Vi-
Теоремой 2 вопрос о симметрических расширениях заданного
оператора А сводится к вопросу об изометрических расширениях
его преобразования Кэли V.
Так как замкнутые линейные многообразия F и G могут слу-
служить соответственно областью определения и изменения изометри-
изометрического оператора тогда и только тогда, когда равны их размерности
(см. п° 10), то изометрические расширения оператора V могут быть
получены следующим образом.
Выберем в дефектных подпространствах Н © Dv, Н © Ду два
подпространства, F и G, равных размерностей и построим про-
произвольный изометрический оператор Vt с областью определения F
и областью значений G.
Определим, далее, линейный оператор V с областью опреде-
определения D~ = Dv © F и областью значений Д^- = Д^ © G фор-
формулами
Vf при f?Dy,
Vt [Vif при
Очевидно, V есть изометрическое расширение V и при всевоз-
всевозможных изменениях F, G, Vi мы получим все изометрические рас-
расширения V оператора V и каждое по одному разу.
Чтобы найти некоторое симметрическое расширение А опера-
оператора А, следует перейти к преобразованию Кэли оператора А,
найти по описанному выше методу некоторое расширение V опера-
оператора V и, наконец, вернуться к А, выполнив преобразование Кэли
над V. Соответствующая этому процессу формула будет дана
в п° 102.
Из приведенных выше рассуждений следует, в частности, что
оператор А является максимальным симметрическим (самосопря-
(самосопряженным) тогда и только тогда, когда его преобразование Кэли
V является максимальным изометрическим (соответственно унитар-
унитарным) оператором.
23*

356 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Поэтому имеет место
Теорема 3. Для того чтобы симметрический оператор был
максимальным, необходимо и достаточно, чтобы одно из его дефект-
дефектных чисел равнялось нулю. Для того чтобы симметрический оператор
был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы оба его
дефектных числа равнялись нулю.
Из описанного ранее процесса расширения следует также
Теорема 4. Пусть А — произвольный симметрический опе-
оператор с индексами дефекта (т, п). Оператор А всегда можно рас-
расширить до максимального. Если т ф п, то среди таких расширений
нет самосопряженных; если т = п и т, п конечны, то любое макси-
максимальное расширение оператора А является самосопряженным;
если же дефектные числа т, п бесконечны и равны, то среди макси-
максимальных расширений имеются как самосопряженные, так и несамо-
несамосопряженные.
102. Формулы Неймана.
Теорема. Пусть А — произвольный симметрический опера-
оператор с областью определения DA, а %Ь- и 9tz (^z > 0) — какая-нибудь
пара его дефектных подпространств. Для области определения DA*
оператора А* имеет место следующее чоедставление в виде прямой
суммы трех линейных многообразий:
Доказательство. Покажем, что любой элемент / из DA*
представим в виде
f = fo+gz+g-t, A)
где *) /о ? Da, gz ? Щ, gf ? 9V, при этом следует заметить, что
вместе с A) будет иметь место формула
A*f = Af0 + zgz + zg-. (Г)
Пусть / ? DA*. Разложим элемент A*f — zf на составляющие
в ортогональных подпространствах Шх и 5ftz:
A*f-zf--=(Afo-zfo) + (z-z)g-z.
*) Напомним (см. утверждение 2° п° 100), что 91?- есть собственное под-
подпространство оператора А*, принадлежащее собственному значению г.
Поэтому элементы из 9J2- обозначены gz.

102. ФОРМУЛЫ НЕЙМАНА 357
Но A*g- — zgz; поэтому
откуда заключаем, что
т. е.
f-fo-gz = gz
или
f=fo+gz+g-z.
Для окончания доказательства теоремы осталось установить,
что представление A) каждого элемента ./ ? DA* единственно.
Допуская противное, примем, что
fo+gz+g-z = 0. B)
Применяя к обеим частям этого равенства оператор Л*, получаем
Afo + zgz + zg-z^0. B')
Умножая далее B) на z и вычитая из B'), получим
откуда, вследствие ортогональности слагаемых, следует, что
(г — z) g- = 0; точно так же получим, что (z — z) gz = 0; сле-
следовательно,
fo = gz = gz^O.
Теорема доказана.
Найдем теперь 3 (A*f, f) при любом / ? DA*. В соответствии
с A) и (Г), имеем f = fo + g, где g = gz + g-, и
= (Af0, fo) + (g, Afo) + (Afo,g) + (zgz + zg-, gz+g-).
Так как сумма первых трех слагаемых вещественна, то
3 (Л*/, П = 3 {г || gz |j2 -V'z |i gz IIя + [z (gz, g-) +~z {gz, gz)]},
где в квадратных скобках снова стоит вещественная величина,
а потому окончательно находим
- C)
В соответствии с формулой C) область DA* состоит из трех
(нелинейных) многообразий: Г+ (совокупность элементов /, для

358 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
которых 3 (A*f, f) > 0), Г~ (совокупность элементов /, для которых
3 (A*f, f) < 0) и Г° (совокупность элементов/, для которых (A*f, f)
вещественно). Элемент
/Wo + ft+ft
принадлежит Г+, Г~ или Г°, смотря по тому, будет ли
II ft II > II ft II. II ft IK II ft II или || ^ || = || ft || (если 3fe>0).
Найдем теперь для области определения D~ любого симметриче-
симметрического расширения А оператора А представление, аналогичное
формуле A).
Чтобы подчеркнуть зависимость введенных в п° 101 подпро-
подпространств F и G от z, будем писать Fz и Gz. Таким образом, F2 ^ 91-,
G2c=gtz.
Из рассмотрений пр 101 следует, что
или, полагая Vi = — V,
DZ = DA®
Из A* 'ZD А следует, что при
€Fz) D)
будет
z. D')
Формулы A) и D) будем называть соответственно первой и второй
формулой Неймана *).
Из первой формулы Неймана непосредственно следует для раз-
размерности DA* по модулю DA формула:
dim DA*/DA = dim % + dim 9lz. E)
Отметим, что, используя первую формулу Неймана и введенные выше
многообразия Г+, Г~, Г°, нетрудно получить теорему о постоянстве дефект-
дефектных чисел симметрического оператора в каждой из полуплоскостей JjZ g 0
(т. е. утверждение 2° п° 100) без использования общей теоремы п° 100. В част-
частности, в случае равных индексов дефекта названное утверждение вытекает
из одной лишь формулы E), так как левая ее часть, очевидно, не зависит от г.
*) J. von Neumann, Allgemeine'Eigenwerltheorie Hermitescher Funk-
tional Operatoren, Math. Ann. 102 A929), 49—131. В п°п° 102—104 мы сле-
следуем этой статье Неймана.

102. ФОРМУЛЫ НЕЙМАНА 359
Вторая формула Неймана совместно с равенством D') описы-
описывает все симметрические расширения А заданного оператора А.
Если, в частности, оператор А имеет равные дефектные числа
и А есть его самосопряженное расширение, то в формуле D) эле-
элемент gz будет пробегать все подпространство 91-, a V'gz — все 91г.
Обратно, если в D) элемент gz пробегает все 5R-, a V'gz — все 9lz,
то оператор А будет самосопряженным расширением оператора А.
Если индексы дефекта оператора А и его симметрического расшире-
расширения А суть (т, п) и (т — р, п — р), где т, п < оо, то из второй
формулы Неймана вытекает соотношение
Поясним изложенную теорию на примере оператора дифферен-
дифференцирования оР, который мы ввели в п° 55.
Уравнение
имеет вид
Его формальным решением является функция
Cer^\ F)
В случае полной оси (— оо < t < + оо) эта функция принад-
принадлежит L2 только при С = 0. Следовательно, индексы дефекта
оператора дифференцирования на всей оси суть @, 0). В случае
полуоси @<; t < оо) индексами дефекта являются @, 1), так как
функция F) принадлежит L2 @, оо) при 3z < 0 и не принадлежит
L2 @, оо) при 3z > 0. Наконец, в случае интервала @*Ct*C2n)
индексы дефекта будут A, 1), так как функция F) принадлежит
L2 @, 2п) при любом z.
Полагая в формуле D)
z=i, gz = e'
где g- = е2я~', а ¦0 (| ¦0 | =1) есть постоянная, и меняя arg ¦О
в интервале [0, 2л], получим все самосопряженные расширения сР
оператора &Р (на интервале [0, 2п]) в следующем виде:
Ф @ = фо @ + а (
здесь ф0 @) = фо Bл) = 0, а а — произвольная постоянная.

360 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Легко проверить, что этот результат совпадает с результатом
пр 55, причем связь между фигурирующими здесь и там параметрами
имеет вид
1-е2яе'
103. Простые симметрические операторы. Симметрический (соответ-
(соответственно изометрический) оператор называется простым, если не
существует приводящего его подпространства, в котором он инду-
индуцировал бы самосопряженный (соответственно унитарный) оператор.
Для простоты симметрического оператора А необходимо и доста-
достаточно, чтобы было простым его преобразование Кэли V.
Справедливость этого утверждения вытекает из следующего
предложения.
Теорема 1. Подпространство G приводит симметрический
оператор А в том и только том случае, когда оно приводит преобра-
преобразование Кэли V оператора А.
Доказательство. Пусть h ? DA, так что
h=(V-I)f, Ah=(zV-zI)f
приводит
удем имет
VPf = PVf.
Принимая, что подпространство G приводит V, и обозначая через Р
оператор проектирования на G, будем иметь
Поэтому
Ph=(V-I)Pf?DA
и
APh = А (У — I) Pf = {zV — zl) Pf = P (zV — zl) f = PAh.
Таким образом, достаточность условия теоремы доказана.
Чтобы доказать необходимость, предположим, что / ? Dv и,
следовательно,
f = {A-zI)h, Vf={A-zI)h
Принимая, что подпространство G приводит оператор А, будем иметь
Pf=(A — zI)Ph?Dv.
Остается проверить, что
VPf = PVf.
Но
VPf = V (A-zI) Ph= (A-zI) Ph = P (Л—zl) h = PVf,
и теорема доказана.

103. ПРОСТЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 361
Если изометрический оператор V не простой и, значит, имеет
унитарные части, то среди этих унитарных частей существует
максимальная (в том смысле, что она является расширением любой
другой унитарной части оператора V). Действительно, максималь-
максимальной унитарной частью оператора V является часть V, лежащая
в замкнутой линейной оболочке Go всех тех приводящих V подпро-
подпространств, в которых V индуцирует унитарные операторы.
Подобным образом может быть определена максимальная само-
самосопряженная часть непростого симметрического оператора.
Лемма. Пусть V — изометрический оператор с равными
дефектными числами, Uo — его максимальная унитарная часть
и U — какое-нибудь унитарное расширение оператора V.
В таком случае DUo является ортогональным дополнением линей-
линейной оболочки L подпространств Uk (H 0 Dy) (± k = 0, 1, 2, . . .).
Доказательство. Введем подпространство
g=h©e:
Оно является инвариантным подпространством как для U, так
и для U'1. Поэтому по теореме 3 п° 47 подпространство G приво-
приводит U. Пусть U* есть часть U, лежащая в G.
Так как G ортогонально L, то и подавно G ортогонально Н © Dy
и, следовательно, принадлежит Dv:
G<=DV.
Равным образом
GsAv.
Следовательно, G приводит V, а потому U" есть унитарная часть V,
лежащая в G и, значит,
G = Dtr0. A)
Но, с другой стороны,
Dt70 = Dy,
и, значит, DUo ортогонально подпространству Н 0 Dv. А так как
UhDUo = Uf<DUo = DUo, то UhDUo ортогонально к Н 0 Dv при
± k = 0, 1,2,... Следовательно, D^,, ортогонально L, т. е.
DUo = G. B)
Сравнение A) с B) и доказывает лемму.
В дальнейшем нам понадобится непосредственно вытекающее
из доказанной леммы
Следствие. Б несепарабельном пространстве не существует
простых симметрических операторов с равными и конечными дефект-
дефектными числами.

:362 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Дальнейшим следствием леммы является
Теорема 2. Для простоты изометрического оператора V
¦с равными дефектными числами необходимо, чтобы при любом,
и достаточно, чтобы при каком-нибудь его унитарном расшире-
расширении U линейная оболочка подпространств Uh (Н © Dv) (± k =
= 0, 1, 2, . . .) была плотной в Н.
Из этой теоремы и теоремы 1 п° 83 следует, что любое унитар-
унитарное (самосопряженное) расширение простого изометрического (сим-
(симметрического) оператора с индексами дефекта A, 1) имеет простой
¦спектр.
Аналогично доказывается общая
Теорема 3. Кратность спектра любого унитарного (само-
(самосопряженного) расширения простого изометрического {симметриче-
{симметрического) оператора с конечными индексами дефекта (т, т) не превосхо-
превосходит т.
104. Структура максимальных операторов. Пусть пространство Н
сепарабельно и {efe}f — какой-нибудь ортонормированный базис
в нем. Введем в рассмотрение линейные операторы V+ и V-, опре-
определяемые формулами
V+ek = ek+i (k=l, 2, 3, ...),
V-ft-eM (k = 2, 3, 4, ...).
Очевидно, V+ и V_ — изометрические операторы с индексами
дефекта @, 1) и A, 0) соответственно.
Желая перейти к преобразованиям Кэли А+ и Л_ операторов
V+ и V-, проверим, что многообразия Ду+ A) и Ду_ A) плотны в Н.
Установим это, например, для первого многообразия. Беря
f = ek+^ek+l+...+^ek+r^ F=1,2, 3,...),
найдем
. . -f у efe
(
eft Л
Г— 1
= — (eh+i + ek+2 + • • • + eh+r) — eh-
Ho
" l II2 i
у (ek+l + eh+2 +.. .+ eh+r) | = — ,
откуда заключаем, что орты ek (k = 1, 2, 3, . . .) являются пре-
предельными для векторов из Ду+ A) и, следовательно, многообразие
Ду+ A) ПЛОТНО В Н.

104. СТРУКТУРА МАКСИМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 363
Симметрические операторы А+ и А- являются максимальными
с индексами дефекта @, 1) и A,0) соответственно.
Теорема 1. Операторы А+ и А- неприводимы.
Для доказательства утверждения относительно Л+ достаточно
установить (см. п° 103), что оператор V+ неприводим.
Допустим, что подпространство F (и, следовательно, его орто-
ортогональное дополнение G) приводит V+, и положим V+F = F+,
V+G = G+.
Тогда
F+ <= F, G+ <= G.
В двух последних соотношениях одновременное выполнение
знаков равенства невозможно, ибо из F+ == F и G+ = G следовало
бы V+H = Н. Пусть, например, F0F+^{O} и
Вектор /, как элемент из F, ортогонален G и, следовательно,
f±F+©G+. A)
Из A) следует f ± eh (k = 2, 3, . . .), т. е. f = аех (а ф 0),
откуда вх б F 0 F+ и, стало быть, е4 g F.
Так как F приводит V+, то вместе с е4 подпространство F содер-
содержит все eh (k = 2, 3, . . .), т. е. F = Н, и теорема доказана относи-
относительно А+. Вторая часть доказывается аналогично.
Итак, мы показали, что операторы А+, А- неприводимы и, сле-
следовательно, являются простыми симметрическими операторами.
Важное принципиальное значение этих операторов вытекает
из следующего предложения.
Теорема 2. Если простой симметрический оператор А
в пространстве Н имеет индексы дефекта @, 1) (соответственно
A, 0)), то пространство Н сепарабельно, а оператор А изоморфен
оператору А+ (соответственно AJ).
Доказательство. Примем для определенности, что ин-
индексами дефекта оператора А являются @, 1). Пусть V — преобра-
преобразование Кэли оператора А и пусть е4 i_ Av (|| е4 || = 1). Образуем
замкнутую оболочку М векторов Vkei = eh+1 (k = 0, 1, 2, . . .).
М есть подпространство, и {e/j}?° является ортонормированным
базисом в нем.
Так как М инвариантно относительно V и V1, то М приводит
V и, следовательно, Н © М также приводит V. Часть V, лежащая
в М, очевидно, изоморфна V+ и, значит, имеет индексы дефекта
@, 1). Часть V, лежащая в Н © М, должна быть унитарной, так
как в противном случае по крайней мере одно из дефектных чисел
оператора V превосходило бы соответствующее дефектное число
оператора V+ и, значит, оператора А.

364 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
С другой стороны, простой оператор V не имеет унитарных
частей. Таким образом, Н0М= {0} и оператор V изоморфен V+,
а следовательно, его преобразование Кэли А изоморфно Л+, что
и требовалось доказать.
С помощью оператора А+ (Л_) можно построить максимальный
оператор с индексами дефекта @, п) (соответственно (т, 0)). С этой
целью достаточно построить ортогональную сумму сепарабельных
гильбертовых пространств Н„, где а пробегает множество мощно-
мощности п (соответственно ш), и в каждом из них реализовать опера-
оператор А + (соответственно Л_).
Как показал впервые Нейман, таким путем может быть получен
любой простой максимальный оператор, т. е. имеет место
Теорема 3. Простой симметрический оператор А с индекса-
индексами дефекта @, п) (или (пх, 0)) распадается в ортогональную сумму
операторов Л+ (соответственно А-):
А — 2 © ¦D+) (М — мноо/сество мощности п)
или, соответственно,
А= 2 ©•<4-> (М — множество мощности ш).
а?М
Доказательство. Пусть V есть преобразование Кэли
оператора Ли Dy = Н, Н Q Ду = М4 (dim M4 = п).
Положим
Так же как в теореме 2, получим, что
M;±Mfe Aфк\ i, k=\, 2, 3, ...),
и что замыкание линейной оболочки подпространств М& (k =
= 1, 2, . . .) совпадает с Н.
Пусть {4а)}аем — ортонормированный базис в Мь а № —
замыкание линейной оболочки векторов{е^}^=1,гдеещ-i = Vйе^.
Подпространства Н<«> и Н<а'> ортогональны при а ф а' и ортого-
ортогональная сумма всех таких подпространств равна Н, так как при
каждом k совокупность {e^VeM образует ортонормированный
базис в Мй.
Очевидно, каждое из подпространств Н(а> приводит V, и часть V,
лежащая в Н<а>, изоморфна V+. Переходя к преобразованиям
Кэли, завершаем доказательство теоремы.
Теорема 3 исчерпывает вопрос о структуре простых максималь-
максимальных операторов.
Операторы Л+ и Л_ (соответственно V+ и VJ) будем называть
элементарными максимальными операторами.

104. СТРУКТУРА МАКСИМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 365
С помощью элементарных максимальных операторов можно
построить оператор с заданными индексами дефекта (ш, п). Для
этого следует по описанному выше способу построить операторы
с индексами дефекта (ш, 0) и @, п), а затем образовать их ортого-
ортогональную сумму. Однако произвольный простой оператор с индек-
индексами дефекта (т, п), вообще говоря, не может быть сконструирован
из элементарных максимальных операторов.
В качестве иллюстрации предложений настоящего пункта рас-
рассмотрим снова оператор дифференцирования сР на полуоси @, оо).
Этот оператор имеет индексы дефекта @, 1). Для того чтобы выяс-
выяснить структуру оператора сР, перейдем к его преобразованию Кэли
и рассмотрим степени Vhg, где g = е есть дефектный элемент
оператора еГ> для точки L Будем рассматривать этот элемент е~г
как нулевую функцию Чебышева — Лагерра (см. п° 12) от удвоен-
удвоенного аргумента:
и покажем, что
VqhBt) = yh+iBt) (k = 0, I, 2, ...).
Представим tyh Bt) в виде
% B0 = if (t) + if (t) = (& -f H) f\
так как f @) = 0, то
о
Поэтому
t
Vqh B0 = (^ - il) f - yk Bt) - 2e~l J ipft Bs) es ds.
о
Таким образом, все сводится к доказательству тождества
%-н B0 =- фд B0 - 2е-' J % Bs) es ds.
о
Это доказательство никакого труда не представляет.
Так как функции Чебышева — Лагерра образуют полную орто-
нормированную систему в L2 @, оо), то оператор V изоморфен
V+ и, следовательно, сР изоморфен А+.
Таким образом, мы доказали, что любой простой оператор
с индексами дефекта @, 1) или A, 0) изоморфен оператору диффе-
дифференцирования if1 на полуоси @, оо) или соответственно (—оо, 0).

366 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Оператор сР дифференцирования на оси (—оо, оо) изоморфен
некоторому самосопряженному расширению оператора А+ @ Л_.
Отсюда (см. п° 89) можно вывести унитарную эквивалентность
оператора сГ1 и оператора умножения на независимую переменную.
105. Спектры самосопряженных расширений заданного симметри-
симметрического оператора. Спектр симметрического, но не самосопряжен-
самосопряженного оператора, в соответствии с общим определением п° 48, содер-
содержит дополнение множества точек регулярного типа рассматривае-
рассматриваемого оператора. Хотя спектр и не исчерпывается этим дополнением
(так, например, по крайней мере одна из открытых полуплоскостей
3fe > 0, 3^ < 0 принадлежит остаточному спектру), оно, тем не
менее, занимает в спектре оператора особое место.
Определение. Дополнение множества точек регулярного
типа симметрического оператора называется ядром спектра этого
оператора.
Желая дать классификацию точек, образующих ядро спектра
симметрического оператора А, условимся, как и прежде, обозначать
через А'% = А' часть оператора А, лежащую в подпространстве
Н QGi, где Gjt есть собственное подпространство оператора Ау
принадлежащее числу А, если К есть собственное значение оператора
A, hGj. есть нулевое подпространство в противном случае.
Прежде всего в ядре спектра выделяется точечная часть; это —
совокупность всех собственных значений оператора (она отсут-
отсутствует, если оператор простой).
Переходя к характеристике остальной части ядра спектра опера-
оператора А, заметим, что оператор А' — hi имеет обратный для любо-
любого Я. Совокупность тех значений К, для которых оператор (А' — KI)
не ограничен, очевидно, принадлежит ядру спектра; эту совокуп-
совокупность мы назовем непрерывной частью ядра спектра *). Таким
образом, всякая точка ядра спектра принадлежит либо точечной
части, либо непрерывной части, либо им обеим.
Для самосопряженного оператора понятия регулярной точки
и точки регулярного типа совпадают. Поэтому ядро спектра само-
самосопряженного оператора совпадает со спектром этого оператора.
Следовательно, ядро спектра самосопряженного оператора не может
быть пустым множеством. Для произвольного симметрического опе-
оператора такое утверждение было бы неправильным**).
Если А есть симметрическое (в частности, максимальное или
самосопряженное) расширение оператора А, то, как легко видеть,.
*) Легко видеть, что непрерывная часть ядра спектра симметрического-
оператора А принадлежит его непрерывному спектру g (А), определенному
в конце п° 93.
**) См. пример в подстрочном примечании на стр. 375.

105. СПЕКТРЫ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ 367
ядро спектра оператора А содержит ядро спектра оператора Л;
при этом каждая из частей (точечная и непрерывная) ядра спектра
оператора А содержит соответствующую часть ядра спектра опе-
оператора А.
Отметим один частный случай, когда непрерывная часть ядра
спектра оператора А не меняется при симметрических расширениях
этого оператора. Этим случаем является тот, когда дефектные
числа оператора А конечны. Действительно, в этом случае в силу
второй формулы Неймана (см. п° 102) многообразие (А' — hi) D^r
где А — какое-нибудь симметрическое расширение оператора А,
шире многообразия (А' — XI) DA разве лишь на конечное число
измерений (в смысле числа измерений по модулю) и, следовательно,
оператор (А' — Я/)" ограничен вместе с оператором (А' — Я/).
Из сказанного вытекает следующая простая
Теорема 1. Все самосопряженные расширения оператора
с равными и конечными дефектными числами имеют один и тот же
непрерывный спектр.
Относительно точечной части ядра спектра имеет место
Теорема 2. При произвольном расширении оператора
с конечными индексами дефекта (т, т) до самосопряженного опера-
оператора кратность собственных значений повышается не более чем на
т единиц (в частности, новые собственные значения имеют крат-
кратность, не превосходящую т).
Доказательство. Пусть А — самосопряженное расши-
расширение оператора А и К — собственное значение кратности р опера-
оператора А. Предположим, что кратность числа Я, как собственного
значения оператора 'А, равна р + q и, вопреки утверждению тео-
теоремы, q > т. Выберем линейно независимую систему решений
fu h, • • •, fP, fp+u ¦ ¦ ., fp+g Уравнения Af — If = 0 так, чтобы
fh (E Da при /г<р. Так как число измерений Dj по модулю DA
равно т, то существуют константы ak такие, что
+ • • • + Oqfp+q 6 &Л-
Последнее означает, что кратность %, как собственного значения
оператора Л, выше р, вопреки предположению.
Следующая теорема является в некотором смысле обращением
теоремы 2.
Теорема 3. Если К — вещественная точка регулярного типа
симметрического оператора А с индексами дефекта (т, т) (т<Соо),
то существует самосопряженное расширение А оператора А, для
которого число К является собственным значением кратно-
кратности т.

368 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Доказательство. Пусть 9U означает линейное много-
многообразие всех решений уравнения
A*g-kg=0.
В силу теоремы об инвариантности дефектного числа в поле
регулярности (см. п° 100) число измерений многообразия 9U
равно т.
Область определения DA оператора А и линейное многообразие
Шъ линейно независимы, ибо в противном случае число К было бы
собственным значением оператора А.
Положим
D = DA©9U A)
и пусть А означает оператор, совпадающий с оператором А* на
D = Dj, так что число К будет собственным значением оператора А
кратности т.
Покажем, что оператор А самосопряженный.
Для этого достаточно установить, что оператор А симметриче-
симметрический, ибо из A) следует, что
2; = m (modDA).
Если f и g—произвольные элементы из D-% и
то
(Af, g) = {Afu gl) -i- (A%, gl) + (Afu g2) + (Л*/2, g2) =
= (Ah, gt) + Я (h, gl) + K(h, g2) + К [f2, g2)
if, Ag) = (Д, Agl) + (Д, A*g2) + (h, Agx) + (h, A*g2) =
= (A. AgJ + ktfu g2)
откуда следует симметричность оператора А.
В заключение отметим еще одну теорему, относящуюся к числу
решений уравнения
A*g-Kg = 0
при вещественных К.
Теорема 4. Если А — симметрический оператор с индекса-
индексами дефекта (т, т) (ш<оо) и % — вещественное число, не при-
принадлежащее точечному спектру оператора А, то число т (Я)

106. ФОРМУЛА М. Г. КРЕЙНА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТ 369
решений уравнения
A*g-bg = 0 B)
не превосходит дефектного числа т.
Для доказательства достаточно построить с помощью много-
многообразия 9^ решений уравнения B) область D^ по формуле A),
где снова А ^ А*.
Из доказательства предыдущей теоремы следует, что оператор А
является симметрическим расширением оператора А и, следова-
следовательно,
т (Я) = dim D% <С т (mod DA).
Теорема доказана.
106. Формула М. Г. Крейна для резольвент самосопряженных рас-
расширений заданного симметрического оператора. В этом пункте
мы будем рассматривать симметрические операторы с равными
и конечными дефектными числами.
Пусть А! и Л 2 — два самосопряженных расширения такого
оператора А с индексами дефекта (т, т) (т < оо),
A id Л, Л2 id А.
Всякий оператор. С, удовлетворяющий условиям
Л id С, A2zdC, A)
естественно называть общей частью операторов Л4 и Л2.
Среди операторов С, удовлетворяющих условиям A), суще-
существует, очевидно, такой, который является расширением любой
общей части операторов А1 и А2; такой оператор назовем макси-
максимальной общей частью операторов Л4 и А2. Максимальная общая
часть либо является расширением оператора А, либо совпадает с А;
в последнем случае расширения Л4 и Л2 будем называть взаимно
простыми.
Для того чтобы расширения А\ и А2 были взаимно простыми,
необходимо и достаточно, чтобы одновременное выполнение условий
Л G DAl, h?DA, B)
влекло принадлежность h к DA-
Если максимальное число линейно независимых по модулю DA
векторов, удовлетворяющих условиям B), равно р (О^Ср^Ст),
то максимальная общая часть Ао операторов Ах и А2 имеет индексы
дефекта (т — р, т — р). В этом случае операторы Ах и А2 могут
рассматриваться как взаимно простые самосопряженные расшире-
расширения оператора Ао.
24 н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

370 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Задачей настоящего пункта является вывод формулы, связываю-
связывающей резольвенты двух самосопряженных расширений операто-
оператора А. Пусть В — фиксированное самосопряженное расширение,
В — произвольное самосопряженное расширение, a Rz и Rz —
их резольвенты. Пусть, далее, Я — любая общая точка регулярности
операторов В и В (в частности, Я может быть произвольным невеще-
невещественным числом).
Чтобы не выделять случая, когда В и В не являются взаимно
простыми расширениями оператора А, будем рассматривать их
как взаимно простые расширения их максимальной общей части Ао,
имеющей индексы дефекта (г, г), где 0<r-<m.
Положим ЭДи = Лд0 (А) и 91^ = Н 0 ЭД1?.. Для разности резоль-
резольвент будем иметь
=0 при
при
Последнее вытекает из того, что при любом h ? 9%
& &) = (Л {Я*-Я*}Л) =
Выберем как-нибудь г линейно независимых векторов gx (Я),
g2 (Я), . . ., gr (Я) из 9IU и г линейно независимых векторов gi (Я),
g2 (Я), . . ., gr (Я) из 9^. Из C) для любого f ? H следует
о
(Rb — R}.)f= Zj ckgk(h). D)
ft=i
Согласно D) константы с& являются линейными функционалами
от /, и мы можем положить
Си = (/> hh (Я)) (/г=1, 2, ..., г).
Так как, в силу C) и линейной независимости векторов^ (Я),
ёг (Я), ¦ ¦ ¦, gr (Я), при любом /, ортогональном к 9^?., должно быть
то
т. е.
(Я) # (Л) (/г= 1, 2, 3, ..., г), E)

106. ФОРМУЛА М. Г. КРЕЙНА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТ 371
и D) принимает вид
(к -Rtif= 2 Piu (ц (/, gt № gh (i). F)
i ftl
Заметим, что матричная функция (рм (К)) = *>$ (Я), определен-
определенная на множестве общих точек регулярности операторов В и В,
является неособенной.
Действительно, предположение det {р^ (к0)) = 0 влечет в силу
E) линейную зависимость векторов hh(i0) (k—\, 2, . . ., г), что
означает существование вектора h ф 0, удовлетворяющего условиям
Для вектора h получаем из D)
а это противоречит взаимной простоте операторов В я В, как рас-
расширений оператора Ао.
Опуская в F) элемент f и рассматривая (•, gt (К)) gh (К) (i, k =
= 1, 2, 3, . . ., г) как операторы, получаем для любого значения К
из множества общих точек регулярности операторов В я В формулу
#JL=#JL- 2 Pik(XH-,gtQ))gk(ft. G)
i, k=l
До сих пор выбор вектор-функций gk (К) и gt (Я) (i, k = 1, 2, . . .
. . ., г) оставался произвольным. Вместе с тем левая, а значит,
и правая части формулы F) являются регулярными аналитиче-
аналитическими вектор-функциями от "к. Теперь мы покажем, что gh (k)
(k = 1, 2, . . ., г) могут быть определены как регулярные анали-
аналитические вектор-функции от %, и получим соответствующую этому
выбору формулу для матричной функции ^ (Я).
С этой целью возьмем какое-нибудь фиксированное значение Яо
и введем оператор
*„ = (В -101) (В - KI)-i = / + (Я -10) Ri
с областью определения
о
(лЭ А/ ) X.) с ^=^ 1~1
и областью значений
24*

372 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Оператор U^o определяется формулами
(B-kl) f=h,
из которых следует, что осуществляемое им отображение Н на Н
взаимно однозначно.
В частном случае, при к = к0 оператор и%%п приводится к пре-
преобразованию Кэли оператора В и отображает дефектное подпро-
подпространство 9^- оператора Ао в его дефектное подпространство 9^,,.
Покажем, что вообще
Выберем произвольно базис gi (к0), g2 (к0), . . ., gr (к0) (векто-
(векторы gk (к0), вообще говоря, не ортогональны и не нормированы)
и докажем, что
Имеем
(К) = At {I + (К - h)} к} gk (к0) =
Яо) + (к - к0) (I + ад gk (К) =
= к {I + (к-к0) Rr} gh (к0) = W^Bgh (к0),
т. е. Um0 gh (к0) €.$bi(k=l, 2, . . ., г). При этом в силу взаимной
однозначности отображения, осуществляемого оператором U^o,
векторы и%%п gk (ко) образуют базис в 9^. и мы можем принять, что
векторы gh (к) в любой точке регулярности оператора Б определены
формулами
gh (Ц = Ltaoff* (*«) = 8ь (^о) + (^ - ^о) ^ (М
(А!=1, 2, 3, ..., г),
и, следовательно, являются регулярными аналитическими вектор-
функциями от к.
С помощью функционального уравнения резольвенты легко
проверить, что в таком случае для любых двух регулярных точек к
и \i оператора В имеют место равенства
gk (V) - U»igk (Я) = gu (к) + (|i - к) R»gk (к). (8)

IОб. ФОРМУЛА М. Г. КРЕЙНА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТ
373
Теперь значение матричной функции $ (Я) при любом Я (регу-
(регулярном для В и В) определяется по ее значению *р (Яо); для нахож-
нахождения соответствующей формулы воспользуемся функциональным
уравнением резольвенты
С другой стороны, в силу G)
г
г
A0)
Вставляя правые части A0) в (9) (и пользуясь функциональным
уравнением резольвенты Rz), получаем:
- 2 Pih№)(-,gifr))gh(ti-=
г, k—i
г
= - 2 Р« (^о) (•, ^i
i fcl
) 2
г, ft=l
Яо) 2
г, Л—1
,s(Яо) (-,gj(Яо))^(Я). A1)
Если с помощью (8) приведем сумму второго и третьего слагае-
слагаемых в правой части к виду
г
Pik (Яо) (•, gi fro)) {gk (h)-gk (Я)} +
Г
+ .2 Pih(h)(-, gi fro)—gi fr))gk (Я),
и после этого приведем в A1) подобные члены, то получим
- 2 Pik fro) (-,gt fro))gh(Я) + 2 Pik (Я) (•, gi fro))gn (Я) +
i, ft=i i, й=1
+ (Я - Яо) 2 Pik fr) (gs
i, fc, j, s=l
fr)) pit (Яо) (.,gj fro)) gh (Я) = 0.

374 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Отсюда, в силу линейной независимости векторов gk (к),
- S Pik (К) (-,gi (ко)) -f 2 Pik (к) (•, ?г Aо)) +
+ (Я - Ко) 2 р№ (Я) fe, (к0), gi (Я)) W. (Я*) (•, & (Я*)) = О
и, далее, в силу линейной независимости gt (Xo)
г _
- Pik (ко) + Pik (Ц + (к - ко) 2 Pis(k0) (gs (К), gj (к)) Pjh (к) = О
или, в матричном виде,
?Р (Я) - $ (К) + (к-к0) $ (к0) ((gs (к0), gj (!)))*,;=! ?Р (Я) = 0.
Умножая последнее равенство справа на $~г (Я) и слева на
ty'1 (ко), получаем, наконец, искомое соотношение
Г1 (к) = Г1 (Яо) + (Я - К) ((gs (ко), gj (k))I.i =i • A2)
Нетрудно проверить, что из A2) для любых двух общих регуляр-
регулярных точек к и ji операторов В, В следует
(л), ^(Я)»;, ,-=1.
107. О самосопряженных расширениях полуограниченных опера-
операторов. Не снижая общности, будем считать полуограниченный опе-
оператор положительным. Тогда отрицательная полуось принадле-
принадлежит его полю регулярности, ибо из равенства
при отрицательных к следует
т. е.
Из этого обстоятельства на основании предложения 1° п° 100
вытекает, что дефектные числа полуограниченного оператора равны
между собою и, следовательно, полуограниченный оператор допу-
допускает самосопряженные расширения.
Отметим, что из принадлежности отрицательной полуоси полю
регулярности симметрического оператора нельзя сделать вывод

107. О РАСШИРЕНИЯХ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 375
о положительности этого оператора *), кроме случая, когда опера-
оператор А самосопряженный.
В этом последнем случае при любом f (Е DA
-j-oo оо
(Af,f)= J td(Etf,f)=\td{Etf,f)>0.
— со 0
Квадрат произвольного самосопряженного оператора является
положительным оператором. Обратно, любой положительный само-
самосопряженный оператор А можно представить в виде квадрата неко-
некоторого самосопряженного оператора В. В самом деле, если
оо
А= ^tdEu
то можно, например, положить
оо
Б= J V'tdEt.
о
Если полуограниченный оператор имеет конечные индексы
дефекта, то любое его самосопряженное расширение также полу-
полуограничено. Более того, имеет место следующая
Теорема 1. Если А — положительный оператор с конечными
индексами дефекта (т, т), то любое его самосопряженное расширение
имеет конечное число отрицательных собственных значений, сумма
кратностей которых не превосходит т.
Доказательство. Пусть А — некоторое самосопряжен-
самосопряженное расширение оператора А и
Л= J tdEt.
Пусть, далее, А означает интервал [—./V, —е].
Для доказательства теоремы достаточно установить, что число
измерений подпространства Е (А) Н при любых TV > е > 0 не
превосходит дефектного числа т.
Предположим, что при некоторых TV > е > 0
dim?(A)H>m. A)
*) Например, для оператора дифференцирования на конечном интервале
полем регулярности является вся плоскость, но этот оператор не полу-
полуограничен.

376 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Так как ?(A)HgD~ и
dim Dz = m (mod DA),
то, в силу A), в подпространстве Е (А) Н существует вектор /0,
принадлежащий DA. Для /0 будет
—е
(Л/о, /о) = (Afo, fo)=\ td (Etf0, /о) < О,
— N
что противоречит положительности оператора А.
Теорема доказана.
С помощью приведенных рассуждений легко также установить
следующее предложение, аналогичное теореме 1 п° 105.
Теорема 2. Если отрицательная часть спектра одного из
самосопряженных расширений оператора с конечными индексами
дефекта (т, т) исчерпывается конечным числом собственных значе-
значений конечной кратности, то этим свойством обладает и любое
другое самосопряженное расширение данного оператора.
Заметим, что теорема 2, как и теорема 1 п° 105, являются
также непосредственными следствиями теорем 1 и 2 п° 82 соответ-
соответственно.
Справедлива также следующая теорема о самосопряженных рас-
расширениях полуограниченных операторов с произвольными индекса-
индексами дефекта.
Теорема 3. Полуограниченный снизу оператор А может
быть расширен до самосопряженного оператора А с той же нижней
гранью.
Эта теорема была высказана в виде предположения Нейма-
Нейманом и затем различными методами была доказана другими
авторами *).
*) М. Стоном, К. Фридрихсом и Г. Фрейденталем. См. М. Stone,
Linear Transformations in Hilbert Spaces, New-York, 1932, K. Fried-
r i с h s, Spektraltheorie halbbeschrSnkten Operatoren und Anwendung
auf die Spektralzerlegung von Differential Operatoren, Math. Ann. 109 A934);
H. Freudental, Uber die Friedrichsche Forzetzung halbbeschrankter
Operatoren, Akad. van Wetenschappen te Amsterdam, XXXIX, N 7 A936).
Сравнительно недавно Кильпи предложил новое доказательство теоре-
теоремы 3, которое, в отличие от построений перечисленных здесь авторов, остается
в рамках теории расширений Неймана. См. Y. К i I p i, Ober selbstadjun-
gierte Fortsetzungen symmetrischer Transformationen irn Hilbertschen Raum,
Ann. Acad. Fennicae, 1959.
Наиболее полная теория самосопряженных расширений полуограничен-
полуограниченных операторов с сохранением грани была построена М. Г. Крейном. См. ра-
работу этого автора: Теория самосопряженных расширений полуограниченных
эрмитовых операторов и ее приложения: (часть I — Матем. сб., т. 20 F2):
3 A947), стр. 431—495; часть II — Матем. сб., т. 21 F3): 3, A947),
стр. 366—404).

107. О РАСШИРЕНИЯХ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 377
К доказательству теоремы 3 мы вернемся ниже, а сейчас докажем
более простую теорему, которая была установлена Нейманом.
Теорема 3'. Полу ограниченный оператор А с нижней гранью
(.1 может быть расширен до самосопряженного оператора А с нижней
гранью, не меньшей, чем произвольно взятое число ц/ < ц.
Доказательство. Установим сначала справедливость
теоремы при ц =¦ 1, ц' — 0.
Имеем
т. е.
откуда следует существование и ограниченность оператора А'1,
определенного на подпространстве ДА. Повторяя рассуждения,
относящиеся к утверждению 2° п° 100, легко усмотреть, что
есть собственное подпространство оператора А*, принадлежащее
собственному значению к = 0. При этом подпространство 91 о
и многообразие DA линейно независимы, так как если элемент g^
из 9d0 принадлежит DA, то Ag = 0, что возможно лишь при g = 0.
Определим расширение А оператора А на область
полагая
Ah = Af
при
Очевидно, А — симметрическое расширение А, ибо при
hu h?D~ (hi^ft+gi, fi?DA, gt?%, t = l, 2)
(Ahu h2) = (Af,, h + g2) = {Afu f2) =
- (A. m=(h+gi,
Далее очевидно, что подпространство 910 приводит А, ибо Шо cz D~
и Ah = 0 при h 6 91о- Вместе с 9И0 приводит Л его ортогональное
дополнение Ал- Пусть А' и А"— части А, лежащие соответственно
в АА и 910.
Область значений оператора А' заполняет подпространство Ал
и, следовательно (см. п° 46), оператор А' — самосопряженный.

378 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Так как А " = 0, то оператор
А = А' © А"
также самосопряженный.
Далее, при
будем иметь
(Ah, h) = (Af, f + g) = (Af, f)>\\f f >0,
т. е. нижняя грань оператора А не менее нуля.
Таким образом, для случая ц. = 1, ц/ = 0 теорема доказана,
а общий случай сводится к рассмотренному с помощью линейного
преобразования
A = -L-,- А »~i.
м-—м- м-—м-
Вернемся теперь к теореме 3. Она легко доказывается в случае,
когда индексы дефекта оператора А конечны.
Действительно, пусть А — симметрический оператор с нижней
гранью \i > — оо и конечными дефектными числами, так что
dim %lz = dim $Л2 < оо. В силу теоремы 3' для каждого ц„ < ц
существует самосопряженное расширение Л„ оператора А с нижней
гранью >^. Каждому такому расширению по формулам Неймана
D) и D') п° 102 будет соответствовать изометрическое отображение
V'n всего 9t на все912. При ц„ ->-цв силу компактности последова-
последовательности {1^п}Г конечномерных изометрических операторов найдет-
найдется подпоследовательность V'n ->- V', где V — некоторое изометри-
изометрическое отображение всего 9^г на все 9^z. Очевидно, полученный опе-
оператор V по тем же формулам D) и D') п° 102 определит искомое
самосопряженное расширение А оператора А с сохранением его
нижней грани.
Общему случаю теоремы 3 будет посвящен п° 109, содержащий
изложение основных результатов М. Г. Крейна по теории рас-
расширения полуограниченных снизу симметрических операторов
•с сохранением их нижней грани. Здесь же мы кратко остановимся
на общем описании метода М. Г. Крейна.
Прежде всего заметим, что для доказательства теоремы 3 доста-
достаточно установить, что любой положительный симметрический
оператор допускает положительное самосопряженное расширение.
Это вытекает из того, что нижняя грань оператора А — ц! равна
нулю, если нижняя грань А есть ^, и наоборот. Если теперь опера-
оператор А положительный, то точка К = — 1 является его точкой регу-
регулярного типа и, следовательно, имеет смысл дробно-линейное

108. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРА С НЕПЛОТНОЙ ОБЛАСТЬЮ 379
преобразование
S = (I-A)(I + A)-1. B)
Оператор S, определенный на подпространстве Ds = (/ + A) DA,
удовлетворяет условию симметрии
(Sgu gz) = (gi, Sg2) (gu g2 ? Ds)
и, как легко показать, его норма не превосходит единицы. При этом
оказывается, что задача самосопряженного расширения операто-
оператора Л с сохранением положительности эквивалентна построению
самосопряженного расширения S оператора S, удовлетворяющего
условию || 5 || <; 1. Соответствующее построение М. Г. Крейна
и некоторые его вспомогательные предложения, необходимые для
описания всевозможных расширений, упомянутых в теореме 3,
приводятся в п° 108.
108. Самосопряженные расширения ограниченного симметриче-
симметрического оператора с неплотной в Н областью определения, сохраняю-
сохраняющие его норму. Пусть S есть произвольный линейный оператор,
определенный на неплотной в Н области Ds и удовлетворяющий для
любых /, g ? Ds соотношению симметрии
Мы будем называть такие операторы симметрическими с неплотной
областью определения *).
Теорема 1. Любой ограниченный симметрический оператор S
с неплотной в Н областью определения Ds cz H можно расширить
до самосопряженного оператора S (Ds = Н) с сохранением его
нормы (|| S || = || S ||).
Доказательство. Не ограничивая общности, будем
считать || S || = 1. Область Ds будем считать замкнутой, так как
в противном случае оператор S можно расширить на замыкание
Ds по непрерывности. Обозначим через Р ортопроектор на Ds
и построим операторы
так что DSl = Ds2 = Ds, и при любом ф 6 Ds
Будем расширять на Н каждый из операторов Sj и S2 в отдель-
отдельности.
*) Общая теория расширений таких операторов, аналогичная изложен-
изложенной нами теории расширений Неймана, была построена М. А. Красно-
Красносельским (см. его работу «О самосопряженных расширениях эрмитовых
операторов», Укр. матем. ж. № 1 A949)).

380 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Чтобы расширить Si, напишем для любых /, g ? Ds равенство
(Sf,g) = (f, Sig). B)
Левая часть имеет смысл при любом g ? Н и представляет для
всякого такого g линейный функционал от f ? DSl с нормой<! || g \\.
Так как Ds есть гильбертово пространство, то по теореме Ф. Рисса
однозначно определится элемент h 6 Ds, для которого (Sf, g) =
= (f, h) при любом f 6 Ds и при этом |[ h ||-<|| g \\. Полагая
h = Sig,
мы получаем некоторый линейный оператор в Н, который совпадает
с Si в Ds в силу равенства B), причем |j Stg j|<|| g ||, откуда
IISiiKi. C)
Отметим, что, по построению, А~ <= Ds и что при f 6 Ds, g 6 Н
(Sf,g)=(f,Sig). B')
Оператор S2 будем расширять на Н так, чтобы неравенство
|UW44iW<!i/!l2. D)
вытекающее для f 6 Ds из A), имело место для любого f 6 Н.
С этой целью определим в Н билинейный функционал [f, g] по
формуле
[A?] = (/,?)-(S./.slfir). E)
При этом в силу C) будет
но здесь равенство нулю не исключено при f ф 0. Следовательно,
билинейный функционал E) является квазискалярным произведе-
произведением в смысле п° 3. Линейное многообразие 5Л всех тех f 6 Н,
для которых [/, /] = 0, замкнуто, так как оператор Si непрерывен.
Переходя от Н к фактор-пространству, мы получим линейную
метризованную систему НЛЛ. Если эта система не полна, то попол-
пополним ее обычным способом (см. п° 4). В результате мы получаем
гильбертово пространство Н.
Из неравенства D), которое теперь можно переписать в виде
II ЗД2< if,f\, F)
вытекает, что при ф, я]5 6 Ds и ф — я]) 6 Ж будет 52ф = S2i]). Это дает
нам право рассматривать S2 как оператор из Н в Н. Областью

10S. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРА С НЕПЛОТНОЙ ОБЛАСТЬЮ 381
определения этого оператора является линейное многообразие
а его область значений лежит в Н 0 Ds.
Далее, из F) следует возможность доопределения по непрерыв-
непрерывности в Н оператора S2 на замыкании F многообразия F в Н.
Но при этом, очевидно, значения оператора S2 по-прежнему будут
принадлежать .Н 0 Ds и сохранится неравенство F).
Обозначим теперь через Р ортопроектор в Н на F и расширим
S2 на Н, положив
Очевидно, оператор S2 отображает все Н на Н 0 Ds и в силу E)
для любого f 6 Н
l!S2fi;3 = j|S2Pf|p><[Pf, Pf]<[f, f]. G)
Построенное расширение S2 можно рассматривать как оператор
в исходном пространстве, если для любого f 6 Н положить
§2/=S2f,
где f есть тот из элементов Н, которому в Н отвечает подмножество,
содержащее f. При этом в силу E) будет
т. е. при любом f (Е Н будет выполняться неравенство D).
Построим теперь оператор Т по формуле
Tf=sj+s2f (/ен). (8)
В силу ортогональности слагаемых в правой части (8) и нера-
неравенства D) получаем
При этом для любого ф ? Ds имеем
Таким образом, оператор Т является расширением на все Н
(вообще говоря, несамосопряженным) оператора S с сохранением
его нормы. Покажем, что оператор Т* обладает этими же свой-
свойствами.
При любых ф ? Ds, g ? Н имеем, учитывая B'), что
(Т*Ф, g) = (Ф, Tg) = (ф, Slg +~S2g) = (Ф, Sg) = EФ, g),

382 гл- VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
так что, действительно, Т*ф = Scp при ф ? Ds, т. е. Т* =э S. А кре-
креме этого, также
!|т*ц = |!7|! = 1.
Полагая, наконец,
получаем искомое самосопряженное расширение S оператора S
с сохранением его нормы.
Теорема доказана.
Для описания всех самосопряженных расширений оператора S
с сохранением его нормы потребуется следующая
Лемма. Пусть В — ограниченный положительный оператор
в Н, a G — некоторое подпространство Н. Пусть, далее, 6 означает
множество всех самосопряженных операторов С, удовлетворяющих
условиям
С<В, (9)
В таком случае в 6 существует максимальный оператор С (т. е. опе-
оператор, который > любого из операторов множества 6) и этот
оператор С представим в виде
C = B1/2QB1/2, (И)
где Q — оператор ортогонального проектирования на Н0 F,
a F — многообразие всех векторов B1/2g (g ? G).
Доказательство*). Если С ? 6, то в силу A0) при
любых Л 6 Н, g ? G имеет место равенство (Ch, g) = 0 и поэтому
(СА, A) = (C[A-g], ft-g).
Отсюда в силу (9) и A0)
(Ch,h)<(B[h-g], h-g) = \
и, следовательно,
(Ch, A)< inf ||Б1/2Л — j
Из этого неравенства вытекает соотношение
(Ch, К)< || QB1/2h ||2 = (B1/2QB1/2h, h) = (СА, Л) (Л е Н),
которое и требовалось установить. Лемма доказана.
Теперь пусть So есть фиксированное, a S — произвольное само-
самосопряженное расширение оператора S (|| S |j = 1) с сохранением
*) Приводимое доказательство принадлежит И. М. Гельфанду. См. работу
М. Г. Крейна, цитированную на стр. 376.

108. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРА С НЕПЛОТНОЙ ОБЛАСТЬЮ 383
его нормы. Тогда оператор С, определяемый равенством
S = S0 + C, A2)
обладает следующими двумя свойствами:
—(/ + So)<C<(/-So), A3)
С/ = 0 при /GDS. A4)
Очевидно также, что если оператор С обладает свойствами A3)
и A4), то оператор 3, определяемый равенством A2), будет само-
самосопряженным расширением оператора S с сохранением его нормы.
Отсюда, пользуясь леммой, уже нетрудно получить описание
всех самосопряженных расширений оператора S с сохранением
его нормы.
Для этого обозначим через Qi и Q2 ортопроекторы на ортого-
ортогональные дополнения к многообразиям (/-)- S0I/2Ds и (/ — SOI/2DS
соответственно. Далее построим операторы
Ci = (/ + So)V2Qi(/ + SoI/s A5)
и
C2 = (/-SoI/2Q2(/-SoI/2. A6)
Наконец, определим два самосопряженных оператора S" и S"
равенствами
S' = S0-Ci, S" = S0 + C2. A7)
Теорема 2. Для того чтобы самосопряженный оператор Т
являлся расширением оператора S с сохранением его нормы, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял двойному неравенству
S'TS" A8)
Доказательство. Если Т есть самосопряженное расши-
расширение оператора S с сохранением его нормы, то A8) непосредствен-
непосредственно вытекает из A3), A4) и леммы.
Пусть теперь оператор Т удовлетворяет соотношению A8).
Если Т есть расширение оператора S, то из A3), A4) и леммы непо-
непосредственно вытекает равенство || Т \\ = || S ||. Поэтому остается
показать, что любой оператор, удовлетворяющий двойному нера-
неравенству A8), является расширением оператора S.
Положив
получаем из A8) двойное неравенство

384 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
и, поскольку S' zd S, S" zd S, то для любого f ? Ds имеем
O<(Wf,f)<(lS"-S']f,f) = O,
откуда
(Wf,f) -О (fgDs).
Из этого равенства и неотрицательности оператора W вытекает,
что Wf = О при f ? Ds, т. е. 77 = S'f при f 6 Ds и, значит, 7j=S.
Теорема доказана. Каждому самосопряженному расширению S опе-
оператора S (|| S || = 1) с сохранением его нормы отнесем S-ска-
дярное произведение, и S-норму по формулам
где f, g g H.
Теорема 3. Пусть Т есть самосопряженное расширение
оператора S с сохранением нормы \\ Т \\ = || S || — 1. Тогда для
того чтобы Т совпадал с нижней гранью S' в формуле A8), необ-
необходимо и достаточно, чтобы многообразие Dft было плотно в Н
по Т-норме.
Доказательство. Принимая Т в качестве оператора So
при построении формул A7), видим, что равенство Т = So = S'
эквивалентно равенству С\ = 0. С другой стороны, в силу A5)
(С,/, /) = i!Q
Правая часть полученного равенства в силу определения Qi есть
inf || (/ + SoI/Y S1/
Таким образом,
(с,/,/)-inf ||/-g|||.
откуда и вытекает справедливость теоремы.
В заключение заметим, что хотя для построения операторов S"
и S" по формулам A5) — A7) необходимо задаться некоторым
расширением So, на деле, как это вытекает из самой теоремы 2,
они не зависят от выбора So, а являются единственными экстре-
экстремальными (т. е. наименьшим и наибольшим) элементами множе-
множества всех самосопряженных расширений оператора S с сохране-
сохранением его нормы. Поэтому мы положим' S' = Smin, S" — Smax

109. РАСШИРЕНИЯ С СОХРАНЕНИЕМ НИЖНЕЙ ГРАНИ 385
и в дальнейшем вместо A8) будем писать
A9)
109. Самосопряженные расширения полуограниченного симметри-
симметрического оператора с сохранением его нижней грани. Как уже
упоминалось в п° 107, полученные в п° 108 результаты позволяют
доказать теорему 3 п° 107, если воспользоваться преобразованием B)
п° 107. Мы начинаем настоящий пункт с изучения этого дробно-
линейного преобразования.
Пусть А — замкнутый симметрический положительный опера-
оператор с плотной в Н областью определения DA. Так как точка ^ =
= —1 является точкой регулярного типа оператора А, то много-
многообразие (/ -f- A)DA есть подпространство и при любом g ? (/ +
-+- A)DA уравнение Af + f — g имеет единственное решение
f (Е DA. Поэтому мы можем определить на подпространстве Ds =
= (/ -+- A) DA оператор S формулами
A)
B)
Нетрудно проверить, что построенный оператор S является
симметрическим (вообще говоря, с неплотной областью определе-
определения) и его норма не превосходит единицы.
Действительно, при любых gi = fi -\- Afi ? Ds и gz = f2 +
+ Af2 6 Ds имеем
(Sgu gz) = (h-Ah, f2 + i4f2) = (f1, h)-(Aft, Af2),
h)-(Afu Af2).
Далее, при любом g — f -\- Af ?В8
= (f-Af,f-Af) = \\f\\*-2(A
< || f\i» + 2 (Af, f) + !| Af\\* = (f + Af,
так что
||S||<1. C)
Сверх отмеченных свойств, оператор S обладает еще одной
особенностью: число \i = —1 не является его собственным значе-
значением. Действительно,
Sg + g?=0 (при gф0), D)
ибо при g ф 0 из A) следует, что f ф 0, а тогда из A) и B) выте-
вытекает, что *) Sg + g = If ф 0.
*) Не мешает заметить, что при выводе свойств оператора S мы не ис-
использовали плотность DA в Н.
25 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

386 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Пусть, обратно, S есть симметрический оператор в Н, опре-
определенный на подпространстве Ds с H и обладающий свойства-
свойствами C) и D).
В силу D) мы можем определить на линейном многообразии
Da = (/ + S) Ds оператор А формулами
te + Sg) E)
^f = yfe-Sg) F)
Нетрудно проверить, что построенный оператор А является
симметрическим и положительным.
Действительно, при любых fi = у (&i + Sgi) ? DA и f2 =
= у (?2 + Sg2) ? da имеем
4
4 (f 1, i4fa) = (gi + Sgl, g2 - Sg2) = (glf ga) - (Sgl, Sg2).
Далее, при любом f = у (g + Sg) ? DA
Заметим, что область определения DA оператора Л может быть
неплотной в Н.
Очевидно, из формул A) и B) следуют формулы E) и F),
и наоборот. Определяемое этими формулами преобразование можно
также представить в виде
S = (I-A)(I + A)-i G)
или
(8)
Легко проверить, что из самосопряженности одного из двух
операторов G) и (8) вытекает самосопряженность другого.
Как уже указывалось в конце пс 107, для доказательства тео-
теоремы 3 п° 107 достаточно установить следующее предложение.
Теорема 1. Любой положительный симметрический опе-
оператор А, область определения которого DA плотна в Н, обладает
по крайней мере одним положительным самосопряженным расши-
расширением.
Доказательство. Обозначим через S оператор, опреде-
определяемый формулой G) и, пользуясь теоремой 1 п° 108, построим
его самосопряженное расширение S с нормой ||S|| = ||S|| = 1.

109. РАСШИРЕНИЯ С СОХРАНЕНИЕМ НИЖНЕЙ ГРАНИ 387
Легко видеть, что оператор S удовлетворяет условию D), т. е.
Sg ~t~ g Ф 0 при g ф 0. Действительно, если бы при некотором
g ф 0 было Sg + g — 0, то было бы также для любого h ? Н
(g, h + Sh) = (g + Sg,h) = 0
и, в частности (g, h -\~ Sh) = 0 при любом /i ? Ds> но (/ + S) Ds =
= DA, и равенство нулю последнего скалярного произведения
противоречит плотности DA в Н.
Так как оператор S удовлетворяет условиям C) и D), то суще-
существует оператор Л = (/ — S)(I-\-S)~1, который, очевидно,
является положительным расширением оператора А. Так как,
наконец, оператор 6' самосопряженный, то оператор А также
является самосопряженным. Таким образом, теорема доказана.
Обозначим через St (А) множество всех положительных само-
самосопряженных расширений оператора Л, а через © (S) — множе-
множество всех самосопряженных расширений оператора S, связанного
с А соотношением G), имеющих единичную норму. Из доказатель-
доказательства теоремы 1 вытекает, что в формуле
где
оператор А пробегает все Я (А), если оператор S пробегает
все © (S).
Из теоремы 2 п° 108 следует, что общий вид операторов А ?
6 Я (Л) дается формулой
где Т — любой самосопряженный оператор, удовлетворяющий
двойному неравенству A9) п° 108. Крайним членам этого неравен-
неравенства Smm и Smax отвечают операторы
При Лц = Ам, и только в этом случае, оператор А имеет един-
единственное положительное самосопряженное расширение.
В общем случае Лй ф Ам. При этом оба оператора Ац и Ам
обладают некоторыми экстремальными свойствами. Из этих двух
операторов наибольший интерес представляет оператор Ац, кото-
который называется жестким расширением положительного оператора Л.
25*

388 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Именно это расширение и было получено иным путем К- Фрид-
рихсом при доказательстве справедливости предположенир Ней-
Неймана. Оставшуюся часть этого пункта мы посвятим изучению жест-
жесткого самосопряженного расширения Л^ положительного симметри-
симметрического оператора Л.
Определим на многообразии DA сходимость элементов следую-
следующим образом. Последовательность элементов fn ? DA будем назы-
называть А-сходящейся, если она сходится в Н и, сверх того,
lim (A[fn-fm], fn-fm) = O. (9)
Замыкание многообразия DA в смысле Л-сходимости обозначим
через D [А].
Очевидно, Л-сходимость совпадает со сходимостью по Л-норме,
если последнюю определить соотношениями
= V(f, f)A.
Лемма*). Если {gn)T u ifn)T — какие-нибудь две последова-
последовательности из DA, А-сходящиеся Kg?D [Л] uf?D [Л] соответ-
соответственно, то существует
Mm (Agn,fn). A0)
?1->-оо
При этом предел A0) не зависит от выбора последовательностей
{gn}? u ifn)T' и пРи любом А 6 Я(Л) имеют место соотношения
DH]cDJ1/2i
lim (Agn, fn) - (Л i/2g, Ai/2f) (g, f e D [A]).
n->-oo
Доказательство. Из спектрального представления
самосопряженного положительного оператора Л легко следует
включение D^- с D^-Va. Поэтому соотношение (9) можно предста-
представить в виде
lim ||Л1/2[п-Л1/2Ы| = 0,
т, п->-оо
откуда в силу сходимости fn -*-f и замкнутости оператора Л1''2
получаем включение f ? Dji/г и соотношение
*) Это предложение принадлежит К. Фридрихсу.

109. РАСШИРЕНИЯ С СОХРАНЕНИЕМ НИЖНЕЙ ГРАНИ 389
Аналогичным образом,
Из полученных соотношений непосредственно следует справедли-
справедливость обоих утверждений леммы.
Следующая теорема М. Г. Крейна дает характеристику жесткого
расширения Л^ положительного оператора А.
Теорема 2. Среди всевозможных самосопряженных полуогра-
полуограниченных снизу расширений положительного симметрического опе-
оператора А существует единственное расширение А, для которого
Dj cz D [А]. Этим расширением является оператор Ац и для него
D[4J = D[i4]. A1)
Доказательство. Ограничимся сначала расширениями
А ? Я (А), так что
где S ? ® (S) и
S^(I
Если
D2czD[A],
то, очевидно, многообразие Da будет плотным по Л-норме в DA-
С другой стороны, если f ? Dj, то
i где g = f+
и, следовательно,
2[(f,f)-
Поэтому из плотности DA в D^; по Л-норме вытекает плотность
многообразия Ds = (I + A) DA no S-норме в Dg = (I + A) DA = H.
Но тогда по теореме 3 п° 108 будет S = S^ и, следовательно,
A = AlL.
Обратно, если Л = Ац, го S — S^, и по той же теореме 3 п° 108
многообразие Ds будет по S-норме плотным в Н, а следовательно,
многообразие DA будет плотным в Dj по Л-норме. А так как D [Л]
есть замыкание DA по Л-норме, то D^- cz D [A].

390 ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
С другой стороны, D~ zd DA. Поэтому замыкание D^ по Л-норме
совпадает с D [А ], т. е.
= D[A],
что совпадает с (И).
Теперь остается показать, что из соотношения A2) следует
равенство А = Лц не только в том случае, когда А ? ЧЯ. (А), но
и в более общем случае, когда А есть произвольное полуограничен-
полуограниченное снизу самосопряженное расширение оператора А.
С этой целью по данному А достаточно подобрать число а > 0
такое, чтобы было Л-Ья/;>0. Тогда из A2) вытекает соотношение
и, следовательно, согласно уже доказанному будет
Так как, в частности, соотношение A2) имеет место при Л
то будет
Av + al-^iA + al)»
откуда получаем А = Ац, и теорема доказана полностью.

Г Л А В А IX
ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
ПО. Обобщенное разложение единицы. Теорема М. А. Наймарка*).
Мы будем называть обобщенным разложением единицы всякое одно-
параметрическое семейство операторов Ft, удовлетворяющее сле-
следующим условиям:
(A) При t2 > t} разность Ft2 — Ftl является ограниченным поло-
положительным оператором,
(B) Ft-0 = Ft,
(С) f_oo = 0, Fee-/.
В отличие от определения обычного разложения единицы (см.
п° 67), здесь уже не требуется, чтобы оператор Ft был проектирую-
проектирующим; в соответствии с этим отпадает требование ортогональности
FuFv = Fs (s = min{u, v}), A)
ибо из A) и (А) вытекало бы, что оператор Ft — проектирующий.
Из теоремы 3 п° 33 о монотонных последовательностях операто-
операторов (и замечания к этой теореме) следует, что при наличии свой-
свойства (А) всегда можно надлежащей нормировкой операторной функ-
функции Ft добиться выполнения условия (В).
Обычное разложение единицы является частным случаем обоб-
обобщенного. Иногда обобщенное разложение единицы называют просто
разложением единицы, а обычное разложение единицы называют
ортогональным.
Вместе с Ft введем также положительную аддитивную оператор-
операторную функцию интервала F (Д) или F&, полагая
где ti и tz {ti < t2) — концы интервала Д.
Простейший пример обобщенного разложения единицы дает
операторная функция Ft, определенная равенством
*) См. М. А. Н а й м а р к, Спектральные функции симметрического
оператора. Изв. АН СССР, т. 4, № 3 A940), стр. 277—318. М. А. Н а й-
м а р к, Об одном представлении аддитивных операторных функций мно-
множеств, ДАН СССР, т. XLI, стр. 373—375 A943).

392 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
где ?"(" и Е™ — произвольные ортогональные разложения единицы,
а [I] и fi2 — положительные числа, сумма которых равна единице.
Более поучительный пример представляет операторная функ-
функция Ft, получаемая нижеследующим построением.
Пусть Et — ортогональное разложение единицы пространства Н,
G — некоторое подпространство пространства Н и Р — оператор
проектирования на G. Положим
Ft = PEt
и будем рассматривать Ft как оператор, действующий в простран-
пространстве G. Легко видеть, что операторная функция Ft удовлетворяет
условиям (А), (В), (С) и является, следовательно, разложением еди-
единицы (вообще говоря, не ортогональным) пространства G.
М. А. Наймарк установил, что любое обобщенное разложение
единицы пространства Н может быть получено только что описан-
описанным приемом после вложения пространства Н в некоторое простран-
пространство Н+.
При доказательстве теоремы М. А. Наймарка нам придется
использовать один важный прием построения гильбертовых про
странств; изложением этого приема мы и займемся в первую очередь.
С этой целью введем понятие об эрмитово-положительной
функции.
Числовая функция Ф(|, g), определенная на любой паре f, g
элементов некоторого множества ?j> называется эрмитово-положи-
эрмитово-положительной, если при любых f, g из ^,
и если при любых f4, f2, . . ., fn (п <Z °o) из !q эрмитовы формы
n
2 <D(fi.f*)Sflft
i,h=l
неотр ицател ьны.
Примером эрмитово-положительной функции от пар векторов
гильбертова пространства является скалярное произведение, так
как
2 tfi.MiiSiHI 5i^-||2>o.
i, k=l i=l
Если, наоборот, задана эрмитово-положительная функция от пары
элементов произвольного множества $ (в ^ не определена алгебра),
то это множество можно обратить в гильбертово пространство. Точ-

110. ОБОБЩЕННОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ 393
нее говоря, можно вложить !q в некоторое гильбертово простран-
пространство Н+ так, чтобы на элементах f, g из ^ скалярное произведение
определялось формулой
Для построения Н* дополним сначала <q до линейной системы
введя формально конечные суммы
f = /J
при любых fi 6 ^ и любых числах |г (i =1,2,..., п).
Далее определим в .^ квазискалярное произведение (см. п° 3),
полагая
п
(f, в)= 2 ф(|1, eft)Sm*,
i, fe=l
если
f = 2 iifi. 9= 2 ¦«lftSft-
i=l fc=l
Обозначим через 91 линейное многообразие всех тех f G ig,
для которых (f, [) = 0, и перейдем к фактор-многообразию
После пополнения линейной метризованной системы R+ мы полу-
получим некоторое гильбертово пространство, которое обозначим через
Н+. Это пространство Н+ и является искомым.
Теперь мы можем перейти к теореме М. А. Наймарка.
Теорема. Пусть Ft — сб:бщенное разложение единицы про-
пространства Н.
В таком случае существует гильбертово пространство Н+,
содержащее Н в качестве подпространства, и существует такое
ортогональное разложение единицы Et пространства Н+, что при
любом f G Н
где Р+ — оператор проектирования на Н.
Доказател ьство. Введем в рассмотрение множество §
nap p вида
где Д—произвольный подынтервал интервала Q=[—оо, оо],
a f — произвольный вектор из Н.

394 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Определим, далее, на !q функцию Ф (ри р2), полагая при
Pi = {^i, /1}. Pz = {А2, Ы'
Покажем, что функция Ф (рг, р2) является эрмитово-положи-
тельной.
Действительно,
¦а, с другой стороны,
2 ФA)ьЫ^= 2 (Гьгф h)Uk. B)
i, fe=l г, fe=l ' "
Если интервалы A4 (i = 1, 2, . . ., n) попарно не пересека-
пересекаются, то
. 2f (fдгдкл, /*)III*=J] (^/ь /,)Ih\2>0. C)
Если же интервалы Дг (i = 2, 3, . . ., п) попарно не пересе-
пересекаются, а интервалы Aj и Д2 совпадают, то сумма в правой частиB)
распадается на две: часть, содержащая индексы от 3 до п, будет
вида C), а часть, содержащая индексы 1 и 2, будет
2 _
. 2_ {FbrAkfi, fh)?,?h =
= 2 (Fhjt, fh) uh =-. (fAi 2 hfu 2 Sft/j.) > 0.
г, ft=l г"=1 ft=l
Общий случай расположения интервалов А; (? = 1, 2, . . ., п)
сводится к рассмотренным, если с помощью дополнительного разбие-
разбиения привести заданную систему интервалов к системе непересекаю-
непересекающихся или совпадающих интервалов и воспользоваться верным
при Д!-Д2 = 0 соотношением
' ё) = (-Р(Д1-Дз+Л2-А3)Д g) = (Fht.&J, g) + (F&2.&J, g).
Таким образом, функция Ф (ри р2) эрмитово-положительна на@.
Пользуясь описанным ранее приемом, вложим !q в гильбертово
пространство Н+.
Не желая вводить новых обозначений для тех элементов Щ
пространства Н+, которые являются подмножествами из .§, т. е.
для элементов из R+, мы условимся в следующем: если некоторый
элемент р из ^ принадлежит ty, то вместо $р будем писать р.

110. ОБОБЩЕННОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ 395
Отмечая скалярное произведение в пространстве Н+ знаком +,
имеем
(pi, р?+ = Ф(рг, &)•
Рассмотрим теперь элементы из Н+ вида {п, /}.
Равенство
дает нам право отождествить пару {Q, /} с элементом / из Н. При
п
этом элемент J\ |& {Q, fh) пространства Н+ отождествится с эле-
fe=i
п
ментом у\ ife/fc пространства Н. Таким образом, Н можно рассма-
тривать как подпространство пространства Н+.
Решим теперь следующую задачу: найти проекцию элемента
{А, /} пространства Н+ на подпространство Н. Обозначая искомую
проекцию через {Q, g}, мы должны иметь при любом h из Н равен-
равенство
ИЛИ
= {FAf, h)-(g, h) = (Ftf-g, h) = 0,
откуда
g=*Ftf,
P+{A,f} = {Q,F&f). D)
Определим теперь операторную функцию ?д на любом элементе
вида {А', /} ? Н+ равенством
Ei{A',f} = {A-A',f}. E)
Учитывая, что линейная оболочка элементов вида {А', /} плотна
в Н+, расширим оператор ?д по линейности, а затем по непрерывно-
непрерывности на все Н+.
Теорема будет доказана, если будет установлено, что оператор-
операторная функция Е\ является ортогональным разложением единицы
пространства Н+, ибо тогда D) можно будет представить в виде
P+Eif = P+E+A{Q, f} = P+{A-Q, f} = P+{A, f} = {Q, FAf} = F&f
при любом /6 H.
Очевидно, EX — аддитивная операторная функция интервала.
Далее из двух равенств
A', f) = Et {Д-Д', /} = {Д.Д.Д', /} = ^{Д', П

396 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
',П, {Д", g})+ =
= (^д.д'.д-/, g) = ({Д', ft, ?? {Д", ?})+
следует, что Е\ —¦ проектирующий оператор.
Наконец, очевидно, что ?| {Д', /} = {Д', f).
В силу установленных свойств, Е\ представляет собой ортого-
ортогональное разложение единицы пространства Н+.
Теорема доказана.
111. Самосопряженные расширения с выходом из пространства
и спектральные функции симметрических операторов*). Основой
наших дальнейших рассмотрений является обобщение понятия
о симметрических расширениях.
Пусть А — некоторый симметрический оператор, действующий
в пространстве Н, а Н+ — некоторое гильбертово пространство,
содержащее Н.
В дополнение к определению п° 46 мы будем называть симметри-
симметрическим (в частности, самосопряженным) расширением оператора А
любой симметрический (в частности, самосопряженный) оператор В+,
действующий в Н+ и являющийся расширением оператора А. (При
этом считаем, что область DA плотна в Н, а область DB+ плотна в Н+.)
Аналогично обобщается понятие об изометрических (в частно-
частности, унитарных) расширениях изометрического оператора.
Очевидно, преобразование Кэли симметрического (самосопря-
(самосопряженного) расширения В+ оператора А является изометрическим
(соответственно унитарным) расширением преобразования Кэли
оператора А.
Обратно, преобразование Кэли изометрического (унитарного)
расширения некоторого изометрического оператора является сим-
симметрическим (соответственно самосопряженным) расширением пре-
преобразования Кэли этого оператора.
При Н+ = Н получаем рассматривавшиеся до сих пор обычные
симметрические и изометрические расширения.
*) См. М. А. Н а й м а р к, О самосопряженных расширениях второго
рода симметрического оператора, Изв. АН СССР, т. 4, № 1 A940), стр. 53—
104; М. А. Н а й м а р к, Спектральные функции симметрического опера-
оператора. Изв. АН СССР, т. 4, № з A940), стр/277—318.
До построения М. А. Наймарком общей теории, которая излагается
в этом и следующем пунктах, отдельные результаты различными методами
получили А. И. Плеснер и Н. И. Ахиезер. См. А. И. П л е с н е р, Спектраль-
Спектральный анализ максимальных операторов, ДАН СССР, т. XXII, № 5 A939),
стр. 225—228, и Н. И. Ахиезер, К теории максимальных симметриче-
симметрических операторов в гильбертовом пространстве, Уч. зап. Харьковского
авиационного ин-та, т. III, вып. 2 A940).

111. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 397
Пусть В+ — произвольное симметрическое расширение опера-
оператора 1.
Так как имеют место включения
то удобно классифицировать симметрические расширения В+ опе-
оператора Л по следующей схеме:
1. Расширения I рода — при DA Ф DB+ f] H = DB^ эти рас-
расширения совпадают с обычными, ибо в этом случае Н+ = Н.
2. Расширения II рода — при DA = DB+ fl H^ DB+.
3. Расширения III рода — при DA ф DB+ П Н ф DB+.
Таким образом, обычные симметрические расширения (т. е.
расширения без выхода из пространства) совпадают с расшире-
расширениями I рода, а симметрические расширения с выходом из простран-
пространства могут быть II или III рода.
Очевидно, максимальный оператор может допускать лишь сим-
симметрические расширения II рода, так как если бы В+ было расшире-
расширением III рода, то Р+В+ оказалось бы в Н нетривиальным симметри-
симметрическим расширением максимального оператора, что невозможно.
Если симметрическое расширение В+ оператора Л приводится
некоторым подпространством G+ с: Н+ 0 Н, то это подпростран-
подпространство G+ мы условимся исключать из Н+ (т. е. будем заменять про-
пространство Н+ пространством Н+ 0 G+ и оператор Б+ — его частью
в H+QG+).
В силу этого соглашения самосопряженный оператор не допу-
допускает симметрических расширений.
Мы можем теперь перейти к основной теореме настоящего пункта.
Теорема 1. Действующий в гильбертовом пространстве Н
симметрический оператор А с произвольными индексами дефекта
(ш, п) может быть расширен до самосопряженного оператора В+,
действующего в пространстве Н+ ^ Н.
Доказательство. Построим в некотором простран-
пространстве Н' достаточно большой размерности какой-нибудь симметри-
симметрический оператор А' с индексами дефекта (п, ш) (можно, например,
взять Н' изоморфным Н и А' — изоморфным (—1)Л).
Построим теперь пространство.
Н+ = Н©Н'
и введем в этом пространстве симметрический оператор
Очевидно, оператор Л+ является симметрическим расширением
II рода оператора Л и для доказательства теоремы достаточно ус-
установить, что оператор Л+ можно расширить до самосопряженного

398 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
оператора, а для этого следует убедиться в равенстве дефектных
чисел оператора Л+.
При 3z ф 0 получаем
Шг = (Л+ - г/+) DA+ = (Л+ - z/+) (DA 0 DaO =
= (Л - г/) DA 0 (Л' - г/') DA. = <mz © SOU,
или, переходя к ортогональным дополнениям многообразий ЗЛ*.
Sftz и Жг в пространствах Н+, Н и Н', —
откуда следует, что индексы дефекта оператора Л+ есть (ш + п,
m + п).
Теорема доказана.
Выбирая различным образом пространство Н' и оператор Л',
мы будем получать различные самосопряженные расширения опе-
оператора Л.
Построенный при доказательстве теоремы 1 оператор В+ будет, вообще
говоря, расширением III рода исходного симметрического оператора А.
Однако всегда можно добиться того, чтобы оператор ?+ являлся расшире-
расширением II рода оператора А. Для этого достаточно построить унитарный опе-
оператор U+, преобразованием Кэли которого явится искомый оператор В +
так, чтобы
Опираясь на доказанную теорему, мы покажем теперь, что
произвольные симметрические операторы допускают интегральные
представления, подобные спектральному разложению самосопря-
самосопряженных операторов, которое мы изучали в гл. VI.
Итак, пусть в Н дан симметрический оператор Л. Расширим
его *) до самосопряженного оператора В+, выйдя, если нужно, из
пространства Н в пространство Н+. Пусть Е+ (А)— разложение
единицы оператора В+, а Р+ — оператор проектирования Н+ на Н.
Пусть, наконец,
= P+E+(A).
Для любых двух элементов f ? DB+, g ? Н+ имеют место формулы
оо
(fi+f, g)= J td{Etf,g),
— оо
оо
||В+/||2= \ t*d(Etf,f).
• >
*) Мы здесь не предполагаем, что расширение производится тем спе-
специальным способом, который послужил нам для доказательства теоремы 1.

111. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 399
Если, в частности, / ? DA и g ? Н, то эти формулы могут быть
записаны в виде
оо
(Af,g) = J td(Ftf,g), A)
оо
= \ t*d(Ftf,f). B)
Мы получили, таким образом, интегральное представление про-
произвольного симметрического оператора, которое напоминает спек-
спектральное разложение самосопряженного оператора.
Опираясь на это сходство, примем следующее определение,
обобщающее понятие спектральной функции самосопряженного
оператора.
Определение. Если А — симметрический оператор,
a Ft — обобщенное разложение единицы, такое, что при любом
f g DA и любом g (Е Н имеют место формулы A) и B), то разложение
единицы Ft называется спектральной функцией оператора А.
Прежде чем сопоставить формулы A) и B) с полученным ранее
спектральным разложением самосопряженного оператора, мы пока-
покажем, что метод, с помощью которого мы пришли к этим формулам,
является общим, а именно, имеет место
Теорема 2. Всякая спектральная функция симметрического
оператора А, действующего в пространстве Н, имеет вид
где Е\ есть разложение единицы некоторого самосопряженного
расширения В+ оператора А, полученного с помощью выхода из про-
пространства Н в пространство Н+ з Н, а Р+ — оператор проекти-
проектирования Н+ на Н.
Доказательство. Построим по теореме М. А. Наймарка
пространство Н+ и в нем ортогональное разложение единицы Et
так, чтобы
Ft = P+Et. C)
Покажем, что оператор В+, определенный формулой
= J tdEtf
—оо
на элементах f ? Н+, удовлетворяющих условию
является самосопряженным расширением оператора Л.

400 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Самосопряженность оператора В+ следует из теоремы п° 72.
Если f ? DA, то f 6 DB+, ибо
Pd{Etf,f) =
Далее, при f ? DA и g ? Н из равенств
со оо
(Af, g) = I td (Ftf, g) = $ td (Etf, g) = (B+f, g)
— CO ¦—OO
следует, что
D)
Но при f ? DA
oo oo
||^ ||» = \ t*d(Ftf, f)=\t'd(Etf, f) = || ВЧ|p. E)
— oo —oo
Из D) и E) следует, что
При этом можно считать, что оператор В+ не приводится никаким
подпространством из Н+ 0 Н.
Действительно, если подпространство G из Н+ @ Н приводит
оператор В+, то оно приводит разложение единицы ?? и исключе-
исключение G из Н+ сведется к исключению части оператора Et, лежащей
в G, что не окажет влияния на формулу C).
Теорема доказана.
Если спектральная функция Ft симметрического оператора
представлена в виде C), где Е$ — разложение единицы самосопря-
самосопряженного расширения В+ оператора А, то мы будем говорить, что
спектральная функция Ft порождается самосопряженным расши-
расширением В+.
Таким образом, каждое самосопряженное расширение оператора А
порождает некоторую спектральную функцию этого оператора,
и обратно, каждая спектральная функция оператора А порождается
некоторым его самосопряженным расширением.
Приведем теперь ряд фактов, выясняющих, насколько далеко
простирается аналогия между представлением A) и B) и спектраль-
спектральным представлением самосопряженного оператора.
1° Определенное в гл. VI разложение единицы самосопряжен-
самосопряженного оператора является его единственной спектральной функцией
в смысле определения настоящего пункта. Других спектральных
функций самосопряженный оператор не имеет, так как каждая
такая спектральная функция должна в силу теоремы порождаться

HI. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 401
некоторым самосопряженным расширением, а самосопряженный
оператор не допускает таких расширений.
2°. Из формулы B) следует, что при f ? DA
, f)<co, F)
но обратное заключение, вообще говоря, неверно. Можно лишь
утверждать, что если при некотором / ? Н сходится интеграл F), то
f)<a3, G)
так что вектор / принадлежит многообразию DB+ П Н, которое
совпадает с DA тогда и только тогда, когда В+ есть расширение
II рода оператора А.
Таким образом, те и только те спектральные функции операто-
оператора А, которые порождаются самосопряженными расширениями
II рода оператора А, характеризуют область определения DA
как множество векторов, для которых сходится интеграл F).
В частности, этим свойством обладают спектральные функции
максимальных операторов, ибо такие операторы допускают лишь
расширения II рода.
В общем случае спектральная функция Ft оператора А, порож-
порожденная его самосопряженным расширением В+, характеризует
область определения оператора С == Р+В+Р+, который является
для А симметрическим расширением I рода с максимальной об-
областью определения Dc, удовлетворяющей условию
DA с Dc с; DB+. (8)
С этой точки зрения естественнее было бы считать разложение
единицы Ft спектральной функцией оператора С, а не оператора А
и, в соответствии с этим, включить в определение требование,
чтобы разложение единицы Ft, помимо представлений A) и B),
определяло еще область Da неравенством F).
Однако с точки зрения дальнейшего оказывается неудобным
введение в определение дополнительного требования относительно
характеристики области DA.
Таким образом, определение допускает, чтобы одно и то же раз-
разложение единицы являлось спектральной функцией двух различ-
различных операторов (например, операторов А и С = Р+В+Р+).
В частности, спектральная функция некоторого самосопряжен-
самосопряженного расширения I рода В заданного оператора А с равными дефект-
дефектными числами в силу определения является спектральной функ-
функцией самого оператора А и любого оператора С, удовлетворяющего
условию Csfi.
26 н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

402 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
3°. Из предыдущего следует, что каждому симметрическому
оператору принадлежит некоторое множество спектральных функ-
функций и что одна и та же спектральная функция принадлежит некото-
некоторому множеству симметрических операторов.
В связи с этим возникает вопрос о том, всякое ли данное наперед
обобщенное разложение единицы является спектральной функцией
некоторого симметрического оператора.
В случае ортогонального разложения единицы положительный
ответ на этот вопрос был дан теоремой п° 72.
Если же Ft — неортогональное разложение единицы, то заранее
нельзя утверждать, что множество векторов, для которых сущест-
существует интеграл F), будет плотно в пространстве Н.
В действительности, как заметил М. А. Наймарк, существуют такие
разложения единицы, что интеграл F) не сходится ни при каком векторе
/ ф 0 из Н.
В качестве примера *) такого рода рассмотрим операторную функцию,
определенную в пространстве Н равенствами
0 , t < 0,
Очевидно, операторная функция Ft удовлетворяет условиям (А), (В),
(С) п° ПО и, следовательно, является разложением единицы. Однако это
разложение единицы не является спектральной функцией какого-либо сим-
симметрического оператора, ибо интеграл
J t*d(Ftf, /)=(/, /) J *a<fc-1/f = (/, /) \ e-l/tdt
— оо 0 0
расходится, каков бы ни был вектор / ф 0.
4°. В главе VI было выяснено, что для самосопряженного опе-
оператора представление A) имеет место в сильном смысле.
В случае неортогональных разложений единицы переход от
слабого представления A) к сильному представлению вида
со
Af= [ tdFtf (9)
неосуществим, и мы будем рассматривать равенство (9) лишь как
символическую запись формул A) и B).
Вообще понятие об интеграле в сильном смысле в случае неорто-
неортогональных разложений единицы не вводится.
5°. Из свойства ортогональности спектральной функции Et
самосопряженного оператора А вытекает, что для любого конеч-
*) Этот пример указал нам М. А. Красносельский.

III. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 403
ного интервала Д числовой оси вектор Е (Д)/ (/ ? Н) принадле-
принадлежит DA и
(AE(A)f,g)=\td{Etf,g)
А
при любом g ? Н. Этот важный факт, которым мы неоднократно
пользовались в гл. VI, уже не имеет места для рассматриваемых
теперь интегральных представлений симметрических операторов
(даже если бы мы ограничились лишь спектральными функциями,
порождаемыми расширениями II рода).
Однако справедливо следующее предложение: если А — сим-
симметрический оператор, Ft — его спектральная функция, Д — конеч-
конечный интервал оси и g— произвольный вектор из И, то имеет места
включение
и равенство
(A*F(A)g,h)=\ td(Ftg,h)
А
при любом h (Е Н.
Действительно, если В+— расширение, порождающее/^, и Р+—
оператор проектирования Н+ на Н, то при любом f ? DA, g ? Н
= (fi+/, E+ (Д) g) = \t d (Etf, g)= \td (Etf, P*g)=\td (Ftf, g).
A A A
A0)
Но интеграл
\td(Fth,g)
A
есть билинейный функционал от h, g в Н и поэтому допускает пред-
представление (ft, Cg), где С — некоторый ограниченный оператор.
Отсюда вытекает, что
и, значит,
Поэтому из A0) следует
(f,A*F(&)g)=\ td(Ftf,g),
д
а так как DA плотно в Н, то вместо f ? DA здесь можно взять произ-
произвольный вектор h ? Н.
26*

404 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Отметим в заключение, что существует также теория расшире-
расширения ограниченных несимметричных операторов до нормальных,
с выходом из пространства (такие расширения возможны лишь при
выполнении ряда условий). Указанной теории и связанным с нею
вопросам посвящена работа Б. С.-Надя *), в которой нашел отра-
отражение ряд полученных в этой области результатов.
112. Спектральные функции симметрического оператора и обобщен-
обобщенные резольвенты. Введем теперь в рассмотрение операторную функ-
функцию /?z, которая по отношению к спектральной функции симмет-
симметрического оператора будет играть роль, аналогичную роли резоль-
резольвенты самосопряженного оператора по отношению к его разложе-
разложению единицы.
Определение. Пусть А — некоторый симметрический
(но не самосопряженный) оператор, В+ — какое-нибудь самосопря-
самосопряженное расширение этого оператора с выходом из пространства Н
в Н+ (НсН+) и резольвентой Rt и, наконец, Р+ — оператор проек-
проектирования Н+ на Н. Оператор Rz, определенный при любом невеще-
невещественном значении z формулой
во всем пространстве Н, называется обобщенной резольвентой
оператора А, порожденной самосопряженным расширением В+.
Обобщенные резольвенты оператора А (с равными дефектными
числами), порожденные его самосопряженными расширениями
I рода, называются ортогональными; эти обобщенные резольвенты
оператора А являются, одновременно, обычными резольвентами
тех самосопряженных расширений, которыми они порождаются.
Следующая теорема устанавливает для обобщенных резоль-
резольвент интегральное представление, аналогичное полученному в гл. VI
для обычных резольвент самосопряженных операторов.
Теорема 1. Для того чтобы операторная функция Rz
(^2 Ф 0) была обобщенной резольвентой симметрического опера-
оператора А, необходимо и достаточно, чтобы она допускала предста-
представление
со
\ йЦ^ A)
где Ft — некоторая спектральная функция оператора А.
*) См. В. S z.-N a g у, Prolongements de transformations de l'espace de
Hilbert qui sortent de cet espace, App. an livre «Lemons d'analyse fonctionelle»
par F. Riesz et B. Sz.-Nagy, 3-me ed., Paris — Budapest, 1955. (Есть русский
перевод: Б. С.-Н а д ь, Продолжения операторов в гильбертовом простран-
пространстве с выходом из этого пространства, Сб. переводов «Математика», 9 : 6
A965), стр. 109—144.

112. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ, ОБОБЩЕННЫЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 405
Для доказательства необходимости представления A) следует
взять спектральную функцию Ft, принадлежащую тому самосопря-
самосопряженному расширению В+, которое порождает обобщенную резоль-
резольвенту Rz.
Для доказательства достаточности представления A) следует
взять обобщенную резольвенту Rz, порожденную тем самосопря-
самосопряженным расширением В+, которому принадлежит спектральная
функция Ft.
Если обобщенная резольвента Rz и спектральная функция Ft
связаны формулой A), то говорят, что они принадлежат друг другу.
В силу формулы обращения Стилтьеса (пс 69) между множеством
спектральных функций заданного симметрического оператора
и множеством его обобщенных резольвент существует взаимно
однозначное соответствие.
Заметим, что на каждом векторе из подпространства
mz=AA(z) Qz^O)
значения всех обобщенных резольвент оператора А совпадают.
Действительно, если
(A~zl)f = g, B)
то
Bzg = BZ(A- zl) f = P+Rl (fi+ - z/+) / = P+f = /. C)
Если обобщенная резольвента Rz порождена расширением В+
с резольвентой Rt, то при /, g ? Н
(bj, g) = (P+Rif, g) = т, g) = (/, Щё) = (/. P+R$g) = (f. R;g),
и, значит,
R-z=Rt. D)
Если А — максимальный симметрический оператор и, напри-
например, при 3:2 > 0
mz=n,
то его обобщенные резольвенты должны совпадать при ^z > 0»
так как в силу B) и C) при 2te > 0 для любого g ? Н
Но, согласно D), из совпадения операторов Rz при 3^ > 0
следует их совпадение при 3^ < 0.
Таким образом, максимальный оператор имеет единственную
обобщенную резольвенту и, следовательно, обладает единственной
спектральной функцией.
С другой стороны, обобщенная резольвента немаксимального
симметрического оператора А не определяется однозначно.

406 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Чтобы в этом убедиться, достаточно взять два различных макси-
максимальных симметрических расширения I рода С" и С" оператора А
и затем расширить их до самосопряженных операторов В'+ и В"+.
Очевидно, обобщенные резольвенты R'z и R"z оператора А, порож-
порожденные расширениями В'+ и В"+, не будут совпадать.
Поскольку немаксимальный симметрический оператор имеет
различные обобщенные резольвенты, то его спектральная функция
не определяется однозначно.
Если учесть сказанное ранее (n° 111, 1 °) о спектральной функ-
функции самосопряженного оператора, то можно считать доказанным
следующее предложение:
Теорема 2. Симметрический оператор имеет единствен-
единственную спектральную функцию в том и только в том случае, когда он
максимальный.
Эта единственная спектральная функция является ортогональ-
ортогональной в том и только в том случае, когда оператор самосопряженный.
Легко видеть, что множество всех спектральных функций (обоб-
(обобщенных резольвент) заданного симметрического оператора А
является выпуклым.
Это означает, что если F't и Ft (R'z и R"z)— две спектральные
функции (соответственно обобщенные резольвенты) оператора А,
то при а' + а" = 1. а'> 0, а">0 операторная функция
a'F't -\- a"FI (соответственно a'R'z -\~ а"/?*) также есть спектраль-
спектральная функция (соответственно обобщенная резольвента) этого
оператора.
В связи с этим укажем один прием построения обобщенных
резольвент (спектральных функций) и притом порожденных само-
самосопряженными расширениями II рода с помощью операций в пре-
пределах пространства Н.
Пусть А — симметрический оператор, действующий в простран-
пространстве Н, а А' и А" — какие-нибудь два его максимальных симметри-
симметрических расширения I рода.
Предположим, для определенности, что при 3z > 0
Определим операторы R'z и R'z равенствами
Г (A'-zl)-1 C2 >0),
(Л''-z/)-1
(ДЭ* (Зг
Операторы /?z и /?z являются обобщенными резольвентами
максимальных симметрических операторов А' и А" соответственно.

112. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ, ОБОБЩЕННЫЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 407
По обобщенным резольвентам R'z и /?? найдем спектральные
функции F't и F"t операторов Л' и Л" и образуем операторную
функцию
Ft = a'F't + oTF't (a' + а" = 1, а'>0, а" > 0).
В силу выпуклости множества спектральных функций опера-
операторная функция Ft является спектральной функцией оператора Л.
Покажем теперь, как выбрать максимальные расширения Л'
и А ", чтобы спектральная функция Ft оказалась порожденной рас-
расширением II рода или, иначе говоря, чтобы спектральная функция
Ft задавала область определения DA оператора Л с помощью нера-
неравенства
оо
$ t*d(Etf, fl<°°- E)
Легко видеть, что вектор f (Е Н удовлетворяет условию E)
тогда и только тогда, когда
Нам остается доказать, что максимальные расширения Л', А"
оператора Л можно выбрать так, чтобы пересечением областей
Da', Da" была область DA.
На основании второй формулы Неймана (п° 102)
При этом Г' есть множество всех векторов вида
g + U'g
где U' — некоторый изометрический оператор, переводящий 91-
в U'%1- s 9tz (З2 > 0, если для определенности предположить,
что m <!n). Подобным образом определяется Г".
При этом Da- П Da» Э Da. Примем, что DA есть истинная часть
пересечения Da- П DA" и пусть вектор h ? DA принадлежит как
DA', так и Da"- Следовательно,
h = f'+g'+U'g', h = r + g' + U"gH,
где /', f ? Da; g', g" G 9lj. Из написанных представлений выте-
вытекает, что
if" -П + (g"-g') + №- U'g')=0.
Но слагаемые в левой части неравенства принадлежат соответ-
соответственно многообразиям DA, Щи 9tz, а так как эти многообразия

408 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
линейно независимы, то
f' = f", g'=g" = g, U'g = U"g. F)
Из последнего равенства следует, что для выполнения условия
нужно выбрать изометрические операторы V и U", определяющие
расширения А' и А", так, чтобы равенствоF) не имело места ни для
какого отличного от нуля вектора из У1-.
Этого всегда можно достигнуть, выбирая, например, V произ-
произвольно, и полагая U" = —V.
Таким образом, построенные операторные функции
при произвольных а', а" (а' + а" = 1, а'> 0, а"> 0) являются
спектральными функциями и, соответственно, обобщенными резоль-
резольвентами оператора А, порожденными в смысле n° 111 некоторыми
самосопряженными расширениями II рода В+ оператора А.
Нельзя, однако, утверждать, что подобным приемом можно
исчерпать все спектральные функции симметрического оператора *).
Из указанного приема построения спектральных функций сле-
следует, между прочим, что теорема 2 останется справедливой, если
даже ограничиться лишь спектральными функциями, порожден-
порожденными самосопряженными расширениями II рода.
Чтобы это установить, надо показать, что немаксимальный
симметрический оператор А имеет различные спектральные функ-
функции, порожденные самосопряженными расширениями II рода
оператора А.
Но это, действительно, имеет место, так как обобщенные резоль-
резольвенты
где а Ф р, при указанном выборе максимальных расширений
А' и А" совпадают лишь на векторах из Дд (г) и, следовательно,
порождают различные спектральные функции.
*) По этому поводу см. М. А. Н а й м а р к, Экстремальные спектраль-
спектральные функции симметрических операторов. Изв. АН СССР, т. 11, № 4 A947),
а также И. М. Глазман и П. Б. Найма н, О выпуклой оболочке ор-
ортогональных функций ДАН СССР, т. 102, № 3A955).

112. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ, ОБОБЩЕННЫЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 409
Дальнейшее развитие теория обобщенных резольвент получила
в работах А. В. Штрауса *). Им, в частности, получена формула,
описывающая всевозможные обобщенные резольвенты в терминах
пространства Н.
В заключение проиллюстрируем изложенные в этом и предыдущем
пунктах факты и методы на примере оператора дифференцирования.
Пусть сР0 — оператор дифференцирования, действующий"
в L2 @, оо). Индексы дефекта оператора сР0 есть @, 1).
Для получения обобщенного самосопряженного расширения
оператора сР0 по методу теоремы 1 построим оператор &'о дифферен-
дифференцирования в L2 (—оо, 0), определяя его формулой
на абсолютно непрерывных функциях ф (t), принадлежащих вместе
со своей производной ф'@ к L2 (—оо, 0) и удовлетворяющих гра-
граничному условию ф @) = 0.
Очевидно, индексы дефекта оператора сР'о есть A, 0).
Образуем ортогональные суммы
L2(-co, co) = L2(-co, 0)©L2@, со),
Оператор сГ? определяется, очевидно, формулой
на функциях ф (t), которые абсолютно непрерывны в интервалах
(—оо, 0) и @ , оо), принадлежат вместе со своими производными
ф' (t) к L2 (—оо, оо) и удовлетворяют граничному условию
ф@) = 0.
Легко видеть, что область определения сопряженного опера-
оператора D/?[;+\* получится из D^j+, если опустить граничное условие
Ф @) = 0. Отсюда следует, что каждое из уравнений
имеет единственное решение; эти решения определяются соответ-
соответственно формулами
0 ('<0)) &<о=(е' ('<0)>
е-1 (<>0); ' 1 0 (<>0).
*.<0 = i .
*) См. А. В. Ш т р а у с, Обобщенные резольвенты симметрических опе-
операторов, Изв. АН СССР, сер. матем. 18 A954), стр. 51—86; о расширениях
симметрического оператора, зависящих от параметра, там же, 29 A965),
стр. 1389—1416.

410 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Таким образом, индексы дефекта оператора сГ1^ есть A, 1).
Рассмотренный в п° 55 оператор сР дифференцирования на оси
{—оо, оо) является, очевидно, некоторым самосопряженным рас-
расширением оператора сР+.
Мы получили, таким образом, в качестве обобщенного самосо-
самосопряженного расширения оператора дифференцирования на полуоси
оператор дифференцирования на оси.
ИЗ. Формула М. Г. Крейна для обобщенных резольвент. В связи
с результатами предыдущих пунктов возникает вопрос об описа-
описании совокупности всех спектральных функций заданного симметри-
симметрического оператора. Так как между множеством всех спектральных
функций и множеством всех резольвент симметрического оператора
имеется взаимно однозначное соответствие, вытекающее из формулы
°° , g)
t — X '
то указанный вопрос сводится к вопросу об описании всех резоль-
резольвент. Этот вопрос для случая равных и конечных дефектных чисел
решил М. Г. Крейн *). Мы приведем здесь результат М. Г. Крейна
для случая индексов дефекта A, 1).
Пусть А — симметрический оператор с индексами дефекта A, 1),
о
А — какое-нибудь фиксированное самосопряженное расширение
I рода оператора A, Rx — резольвента оператора А и, наконец,
Rx — произвольная обобщенная резольвента оператора А, так что
где R? — ортогональная резольвента некоторого самосопряжен-
самосопряженного расширения А+ оператора А с выходом из пространства Н в Н+,
а Р+ — оператор проектирования Н+ на Н.
Положим, как обычно,
31*=не ял*-
В рассматриваемом случае подпространство У1х одномерно.
*) См. М. Крейн, О резольвентах эрмитова оператора с индексом
дефекта (т, т), ДАН СССР, т. LII, № 8 A946), стр. 657—660. В иной форме
формула для обобщенных резольвент оператора с индексами дефекта A, 1)
была получена М. А. Наймарком; см. его статью «Оспектральных
функциях симметрического оператора», Изв. АН СССР, т. 7, № 6 A943),
¦стр. 285—296.

Л13. ФОРМУЛА М. Г. КРЕЙНА ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ РЕЗОЛЬВЕНТ 411
Для разности резольвент, так же как и в п° 106, получаем:
=° "ри
ещ при
Последнее вытекает из того, что при / (Е 9U и любом h (Е Ш-^
в силу формулы D) п° 112
((R\-Rx)f, h) = (f, (%-/?я)Л) = (/. 0) = 0.
Из A), повторяя рассуждения п° 106, получим аналог форму-
формулы F) п° 106 для нашего случая:
B)
где
g(b)--=g(h) + (b-h)Rxg(bo), B')
а ё (Яо) — вектор из 5К^ с равной единице нормой. При этом мы
примем для определенности, что фиксированная точка Яо лежит
в верхней полуплоскости (можно было бы положить Яо = /). Однако
функция Q (Я) = р'1 (Я), вообще говоря, уже не удовлетворяет
соотношению
- (Я-Яо) (? (Яо), g (Я)), C)
которое мы получили в п° 106 (формула A2)) для случая ортого-
ортогональных резольвент.
Займемся выяснением природы функции р (Я). Прежде всего
найдем р (Яо), для чего положим в B) Я = Яо и перейдем от резоль-
резольвент к преобразованиям Кэли:
1Л0= (Л-Яо/) (Л-Яо/Г1, 1/^= (Л+- Яо/+) (А+-Х0П'\
После элементарной выкладки получаем
P+Ulf =-. U-J - (Яо - Яо) р (Яо) {f, g (Яо)) g (Яо).
В этой формуле положим f = g (Яо). Тогда будем иметь
P+Ulog (Яо) = g (h) - (Яо - Яо) р (Яо) g (Яо). D)
С другой стороны, поскольку элемент я|) = G|оф пробегает
когда ф пробегает Ш%0, имеет место равенство

412 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
показывающее, что
, E)
где ¦& = Ф (Яо)—• некоторый параметр, по модулю не превосходя-
превосходящий 1, определяемый расширением Л+ и равный по модулю 1 в том
и только том случае, когда Л+ есть расширение I рода.
Из наших рассмотрений вытекает важное следствие: пусть ра-
равенство
или даже только
о
имеет место хотя бы при одном невещественном значении К = Xt;
тогда оно имеет место при всех невещественных К.
Действительно, при К = К1 из формулы B) находим, что
Р Pw) = 0, а затем, полагая Ко = \ъ формулах D) и E), получаем,
что множитель Ф = Ф (К±) в формуле E) равен единице. Поэтому /?х
есть ортогональная резольвента, а две ортогональные резольвенты
одного и того же оператора, совпадающие в одной точке, очевидно,
тождественны. Сопоставляя D) и E), находим, что
р (Ко) = -^=|г- или Q (Яо) = рп (Ко) = /ЗЯ0 + т, F)
где т—новый параметр, связанный с параметром Ф формулой
т = i jф
отображающей единичный круг ¦О-плоскости на верхнюю половину
т-плоскости.
Если /?х пробегает совокупность ортогональных резольвент,
то, благодаря справедливости в этом случае формулы C), формула B)
принимает вид
где
Qt (^ = ;зя0+(я-я0) (g (я0), g (к)), (Г)
а параметр т пробегает вещественную ось (—оо <; г<[оо). Опре-
Определяемое формулой G) соответствие между совокупностью всех
ортогональных резольвент и значениями параметра т взаимно
однозначно.

113. ФОРМУЛА М. Г. КРЕЙНА ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ РЕЗОЛЬВЕНТ 413
В общем случае, когда R% — произвольная резольвента, мы
положим в формуле B)
р(Я) = д-1(Я) = [
Таким образом,
Покажем, что функция т (Я) голоморфна и имеет неотрицатель-
неотрицательную мнимую часть в верхней полуплоскости. С этой целью заметим,
что при ЗЯ Ф О
а также
в силу доказанного выше утверждения. Поэтому положим в (8)
f = g (Я) и умножим обе части скалярно на g (Я). Мы получим
тогда, что
Так как здесь Qi (Я) и правая часть голоморфны, причем правая
часть отлична от нуля, то голоморфность функции т (Я) при любом
невещественном значении Я доказана. А теперь докажем, что равен-
равенство $т (^') = 0 хотя бы в одной точке верхней полуплоскости
возможно лишь при т (Я) = const. Отсюда, между прочим, будет
следовать, что неравенство 3f Q-) < О невозможно ни в одной
точке верхней полуплоскости. Итак, пусть Зт (Я') = О (ЗЯ' > 0).
Возьмем Я = Я' в обеих формулах G) и (8), выбрав в формуле G)
в качестве константы т число т (Я'). Тогда правые части этих формул
будут тождественны при любом /. Следовательно, в точке Я = Я'
обобщенная резольвента Rt, совпадает с некоторой ортогональной
резольвентой Rt,, а отсюда, как мы выше показали, уже вытекает
совпадение этих резольвент.
Умножая скалярно обе части равенства (8) на /, и приводя
к общему знаменателю, мы получаем формулу вида
ш, п=
При фиксированном / функции р0 (Я), Pi (Я), Qt (Я) не зависят от
выбора резольвенты /?х, определяющего функцию т (Я). Так как
ортогональные резольвенты получаются, когда т (Я) есть вещест-
вещественная константа, а остальные, когда т (Я) пробегает некоторую
совокупность голоморфных функций с неотрицательной мнимой
частью, то точка w = (Rxf, f) принадлежит некоторой круговой

414 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
области. Граница этой области — окружность С (/; Я) — пробе-
пробегается точкой w, когда Ях есть ортогональная резольвента. Иначе
говоря, окружность С (/; Я) описывается точкой
...
когда т пробегает вещественную ось.
Так как множество всех резольвент заданного оператора выпук-
выпукло, то точка w = (Rxf, f) пробегает круг К (/; Я) с границей С (/; Я),
когда /?я пробегает совокупность всех резольвент оператора Л.
Предшествующими рассуждениями установлено, что всякая
резольвента /?я симметрического оператора А с индексами дефекта
A, 1) представима в виде
где т (Я) принадлежит классу N функций, определенных и голоморф-
голоморфных в полуплоскости 3 Я > 0 и имеющих в этой полуплоскости неотри-
неотрицательную мнимую часть.
Теперь докажем, что справедливо и обратное предложение,
а именно: всякая функция х (Я) класса N порождает с помощью
формулы (9) некоторую резольвенту оператора А.
Итак, пусть т (Я) ? JV и пусть S), — оператор, определяемый
равенством
Так как окружность С (J; Я) лежит в верхней полуплоскости,
а точка (S* /, /) лежит в круге К (j; Я), то скалярное произведение
(S\f, f), являясь в полуплоскости ?Я > 0 голоморфной функцией,
очевидно, принадлежит классу N.
Так как, далее, для ортогональных резольвент jRx скалярное
произведение (Rxf, f) удовлетворяет неравенству
то для скалярного произведения (S^f, /),' лежащего "в круге
К (/; Я), также будет иметь место неравенство
|(SJ, /)|<-^г •
Пользуясь этим неравенством и повторяя рассуждения п° 74,
мы придем к представлению скалярного произведения (S% f, f)
в виде
со
do (t; f)

ИЗ. ФОРМУЛА М. Г. КРЕЙНА ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ РЕЗОЛЬВЕНТ 415
где со (t; f) = со (t) — неубывающая непрерывная слева функция,
стремящаяся к нулю при t -у—оо и удовлетворяющая условию
V>(tlf)<(f, f) (-сю<^<сю).
Из формулы A0), повторяя выкладки п° 74, мы придем к пред-
представлению оператора Sk в виде
где Ft — неубывающая непрерывная слева операторная функция,
стремящаяся к нулю при t -»- —оо и удовлетворяющая условию
(Ftf, f)<tf, f) (-co<*<OT). A1)
Но теперь, в отличие от п° 74, операторная функция S* уже не
удовлетворяет функциональному уравнению Гильберта и, следо-
следовательно, нельзя вывести для Ft свойство ортогональности
FuFb = Fs (s = min{u, »}). A2)
Вместе с этим отпадает и опиравшееся на последнее соотноше-
соотношение доказательство свойства
Пт Ftf = f (/(EH), A3)
?->со
приведенное в конце п° 74.
Чтобы показать, что операторная функция Ft является обоб-
обобщенным разложением ^единицы, нам надлежит, обойдя соотноше-
соотношение A2), доказать свойство A3).
Так как, согласно теореме о монотонно возрастающей последова-
последовательности операторов (п° 33), предел в левой части равенства A3)
существует, то достаточно установить, что при t ->- оо оператор Ft
стремится к / слабо, т. е. что при любых / и g из Н
. f,g)=(f,g).
Это соотношение, очевидно, будет выполняться, если для любого
/ G Н будет
Пт (Ftf, f) = tf, f). A4)
Но в силу A1) норма операторной функции Ft ограничена
(||/"г ||-< 1) и поэтому достаточно проверить равенство A4) для
некоторого плотного в Н множества векторов. В качестве такого
множества мы примем область определения DA оператора А.

416 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
В силу A0') подлежащее доказательству равенство A4) экви-
эквивалентно равенству
Т)->оо
Так как точка (S^ /, /) принадлежит кругу К (f; if\), то, оче-
очевидно,
, f) + (f, f) \< max | in (RfJ, f) + (f, f) \,
где через R% обозначена резольвента I рода, отвечающая пара-
параметру т, и нам остается установить, что прит1->-оо величина
стремится к нулю равномерно относительно т(—оо < т<[оо).
Последнее обстоятельство действительно имеет место, ибо при
/ е da и л > о
со со со
Таким образом, соотношение A3) доказано, так что операторная
функция Ft действительно является обобщенным разложением еди-
единицы и, согласно теореме М. А. Наймарка, допускает представление
гt — г Hi.
Введем в рассмотрение самосопряженный оператор
Л+/= J tdEtf-
Очевидно,
где Ri — резольвента оператора А+, и для завершения доказатель-
доказательства теоремы остается показать, что оператор Л+ является расшире-
расширением оператора А:
Л+гэЛ,
или что
при / б Шк.

114. КВАЗИСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 417
Из формулы (9') следует, что при / ?
откуда
Rtf
где h _L Н. Покажем, что h = 0. Имеем при /
откуда, полагая g = Rxf, получим
= (Ag, g) + K(h, h),
что возможно лишь при h = 0, ибо 3& Ф 0.
Теорема доказана полностью.
114. Квазисамосопряженные расширения и характеристическая
функция симметрического оператора. В настоящем пункте мы рас-
рассмотрим еще один вид расширений симметрических операторов
с конечными и равными дефектными числами, введенный М. С. Лив-
Лившицем *).
Квазисамосопряженным расширением симметрического опера-
оператора А с индексами дефекта (т, т) (т < оо) мы будем называть
любой линейный оператор В, который удовлетворяет условиям
ЛсгВсгЛ*, A)
dim DB = m (mod DA), B)
но не является самосопряженным расширением оператора А.
Для простоты изложения мы ограничимся случаем операторов
с индексами дефекта A, 1). В этом случае условие B) является след-
следствием условия A) и может быть опущено.
Мы будем предполагать, что оператор А прост (п° 103).
Приведем пример квазисамосопряженного расширения симметрического
оператора. Пусть &> есть оператор дифференцирования в пространстве
L2 @, а) при краевых условиях
В главе IV мы установили, что область определения любого самосо-
самосопряженного расширения 3>q оператора ?Р задается краевым условием
ф(а)=6Ф@) (|6| = 1) C)
*) М. С. Л и в ш и ц, Об одном классе линейных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве, Матем. сб., т. 19 F1): 2 A946), стр. 239—260;
М. С. Л и в ш и ц, К теории изометрических операторов с равными дефект-
дефектными числами, ДАН СССР, т. LVIII, № 1, A947), стр. 13—15.
27 н. И. Ахисзер и И. М. Глазман

418 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
и, обратно, каждое такое условие при | 6 | = 1 задает область определения
некоторого самосопряженного расширения оператора J0.
Если теперь взять в равенстве C) вместо б любое комплексное число
Q, не равное по модулю единице, то оператор 3'°Q {?Р^ С iP*), определенный
на функциях ф (t), удовлетворяющих условию
([Qi^l), D)
будет квазисамосопряженным расширением оператора :fi. Очевидно, каж-
каждое квазисамосопряженное расширение оператора J" задается условием D)
(одно из них — при q = оо).
Для квазисамосопряженных расширений /^оператора А можно
ввести преобразование Кэли S, определяемое на многообразии
DS = AB(X)
формулами
F)
Это определение теряет смысл лишь тогда, когда вектор / опре-
определяется вектором tp не однозначно, т. е. когда Я есть собственное
значение оператора В. Но если Я есть собственное значение опера-
оператора В, то Я таковым не является, ибо в противном случае имели бы
место включения
а вместе с ними равенство
противоречащее условию A).
Мы можем поэтому считать, что в формуле E) Я не есть собствен-
собственное значение оператора В. Приняв для определенности Я = i,
запишем формулы E) и F) в виде
ф=(*+;/)/, E')
S(p = (B-i/)/- F')
Очевидно, оператор S определен во всем пространстве и является
расширением преобразования Кэли V оператора А. Однако теперь,
в отличие от случая самосопряженных расширений, оператор S
уже не будет унитарным.
Покажем, что ортогональное дополнение многообразия
переводится оператором S либо в ортогональное дополнение много-
многообразия
либо в нулевое подпространство.

114. КВАЗИСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 419
Действительно, если
g J- Ш-i,
то, полагая в соответствии с E')
имеем при любом f ? DA
С другой стороны, при любом f ? DA, используя включение
В а А*, получаем
(Sg, (A-il)f) = ((В-И) К (А - И) /) =
= (Bh, Af)-i(h, Af) + i(Bh, f) + (h, f) =
= (Bh, Af) - i (Bh, f) + i (h, Af) + (h, f) =
так что Sg _L ЗЛг (в частности, может быть Sg = 0).
Если g* означает вектор, ортогональный к многообразию ЯУ1г
и такой, что ||g*|| = ||gil, то на основании доказанного
Sg = xg*. G)
При этом число v. не равно по модулю единице, ибо в противном
случае оператор В, который, очевидно, выражается через S с помо-
помощью формул
h (8)
(Ф€Н),
(9)
был бы самосопряженным.
Оператор S = S.* называется квазиунитарным расширением
изометрического оператора V. Легко проверить, что при и#0
С*_ С-1
Ок Or) ,
где
Вообще, квазиунитарным расширением заданного изометриче-
изометрического оператора V с индексами дефекта (т, т) (т << оо) называется
любой линейный (но не унитарный) оператор S гэ V, определенный
во всем пространстве и переводящий ортогональное дополнение
многообразия Dv в некоторое подпространство fcHQ Av.
Очевидно, каждое квазиунитарное расширение S оператора V
порождает по формулам (8) и (9) некоторое квазисамосопряженное
расширение В оператора А.
27*

420 гл- 1Х- ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Для случая индексов дефекта A, 1) существует взаимно одно-
однозначное соответствие между совокупностью всех квазисамосопря-
квазисамосопряженных расширений В оператора А (соответственно квазиунитар-
квазиунитарных расширений S оператора V) и множеством всех комплексных
чисел я, не равных единице по модулю. Отмечая это соответствие,
мы будем обозначать рассматриваемые расширения Вк (соответ-
(соответственно SK).
Перейдем теперь к изучению спектра квазисамосопряженного
расширения В оператора А с индексами дефекта A, 1).
Напомним, что согласно общему определению п°48 число Я
называется регулярной точкой линейного оператора Т, если опера-
оператор (Т —¦ Я/) существует, ограничен и определен во всем простран-
пространстве Н. Спектром оператора Т называется дополнение множества
его регулярных точек.
Теорема 1. Спектр любого квазисамосопряженного рас-
расширения В простого оператора А с индексами дефекта A, 1) состоит
из ядра спектра (см. п° 105) оператора А и собственных значений.
Множество собственных значений целиком лежит либо в верхней
полуплоскости, либо в нижней. Если оставить в стороне один исклю-
исключительный случай *), когда вся полуплоскость (верхняя или нижняя)
состоит из собственных значений, множество собственных значений
может иметь лишь вещественные предельные точки.
Доказательство. Обозначим ядро спектра оператора А
через Л. При любом Я?Л оператор (А—Я/) неограничен
и поэтому не может быть ограниченным оператор (В — Я/).
Следовательно, Л входит в спектр оператора В.
Положим теперь, что Я ? Л. Если оператор (В — Я/) не
существует, то Я есть собственное значение оператора В.
Если же оператор (В — Я/) существует, то Я есть регулярная
точка оператора В.
Действительно, оператор (В — Я/) не может быть неограничен-
неограниченным, так как ограничен оператор (А —Я/), а А в (Я) отличается
от ДА (Я) не более чем на одно измерение. Остается показать, что
Дв (Я) = Н. Допуская противное, найдем, что Дв (Я) = ДА (Я).
Если теперь взять вектор / из DB, который не принадлежит DA,
то вектор
B
принадлежащий Дд (Я) = ДА (Я), представим в виде
/*=,(Л-Я/)/' = (В-Я/)/' (/'GDA)
Следовательно,
(В-Я/) (/-/')= 0,
*) В дальнейшем этот случай будет охарактеризован (см. следствие
теоремы 3).

114. КВАЗИСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 421
что противоречит существованию оператора (В — X/), а значит,
регулярность точки К доказана.
Таким образом, спектр оператора В состоит из ядра спектра Л
оператора А и собственных значений.
Введя преобразование Кэли SH оператора В = Вк, мы без
труда замечаем, что точка К пробегает спектр оператора В, когда
точка
пробегает спектр оператора SK, и наоборот, причем формула A0)
устанавливает взаимно однозначное соответствие также между
собственными значениями операторов В и SK.
На основании сказанного достаточно найти расположение соб-
собственных значений оператора SK.
Так как оператор А прост, то его преобразование Кэли V не
имеет собственных значений, а потому, как легко видеть, при
| и | < 1 модули собственных значений оператора SK меньше едини-
единицы, а при |и|> 1 они больше единицы, поэтому все собственные
значения оператора В лежат в верхней полуплоскости (если | к | < 1)
или в нижней полуплоскости (если |и|> 1).
Мы будем предполагать, что | к ] < 1. Условимся всюду в даль-
дальнейшем обозначать через g вектор, ортогональный к многообразию
Ш-i и равный по норме единице, через U — некоторое унитарное
расширение оператора V, через g* — вектор, определенный равен-
равенством
и через SK — казиунитарнсе расширение оператора V, определен-
определенное равенством
Представим отвечающий числу с, собственный вектор оператора
Sx в виде ф + ag (ф ? Dv)- Таким образом,
Sy. (ф + аё) = ? (ф + ag),
откуда
или
#Ф — ?ф = а(?# — Kg*),
и значит,
-1ф = С(G-?/)-1я-иA/-Ш-1Г. (П)

422 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Умножая скалярно обе части A1) на g, получаем уравнение,
которому удовлетворяют собственные числа оператора SK:
Iф-Urlg,g)-x ((U-?/Рg*, g) = 0. A2)
Обращая ход выкладок, получим, что каждый корень уравне-
уравнения A2) есть собственное число оператора SK.
Так как левая часть уравнения A2) есть регулярная функция
при | ? | =,? 1, то утверждение теоремы относительно предельных
точек дискретного спектра оператора В доказано, за исключением
случая, когда левая часть равенства A2) обращается тождественно
в нуль при | ?| < 1.
В этом последнем случае любая точка ? внутренности единич-
единичного круга есть собственное значение оператора SK.
Покажем, что этот, упомянутый в формулировке теоремы, исключи-
исключительный случай действительно может иметь место.
Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство с ортонормиро-
ванным базисом {ед}^, и U—унитарный оператор, определенный форму-
формулами
Пусть, далее, V С U и D^_|_e0> а следовательно,
Оператор V изометрический с индексами дефекта A, 1).
Пусть теперь So — квазиунитарное расширение оператора V, опре-
определенное условием
Soeo=O.
Легко проверить, что при любом ? из круга | ? | < 1 вектор
Ь=0
является собственным вектором оператора So, отвечающим числу ?.
Ниже мы увидим, что этот исключительный случай является един-
единственным в том смысле, что если некоторый простой симметрический опе-
оператор с индексами дефекта A, 1) допускает квазисамосопряженное расши-
расширение с точечным спектром, заполняющим полуплоскость, то этот опера-
оператор изоморфен преобразованию Кэли оператора V.
Займемся теперь преобразованием уравнения A2).
Если Ft — разложение единицы оператора V, то
2я 2я
l ^^)-l, A3)

114. КВАЗИСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 423
2 (ф - UY1 ?*, g) = 2 ((t/ - С/) US,g) =
2я 2я t
tf--d(Feg, g)=\ ^\-d(Feg,S)+l. A4)
Из последней формулы следует, в частности, что скалярное
произведение ((?/ — Ц)'1 g*, g) не обращается в нуль при [ ? | < 1
и, следовательно, уравнение A2) можно представить в виде
ш(9 —х = 0,
где
На основании формул A3) и A4) функцию и; (?) можно пред-
представить в виде
где
2я .
г). A5Ь)
Из этих представлений следует (п° 69), что функция w(t,) регу-
регулярна в единичном круге, отображает его в свою часть и удовлет-
удовлетворяет условию нормировки w @) = 0.
Следуя М. С. Лившицу, мы будем называть функцию w (?)
характеристической функцией) изометрического оператора V,
а функцию
A5с)
—характеристической функцией симметрического оператора А.
Функция ю (к) регулярна в верхней полуплоскости, отображает
ее в часть единичного круга и удовлетворяет условию нормировки
со @ = 0.
Чтобы оправдать приведенное определение, следует показать,
что функция w (t) в существенном определяется оператором V, хотя
по виду (см. формулу A5)) она зависит от выбора унитарного рас-
расширения G.
С этой целью выразим в формуле A5) оператор U через его
преобразование Кэли:

424 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
После элементарной выкладки получаем для характеристиче-
характеристической функции ю (К) формулу
где /?х — резольвента оператора А.
В п° 106 было установлено (см. формулу (8)), что вектор
принадлежит дефектному подпространству Ш^, а так как в рассмат-
рассматриваемом случае оно одномерно, то при ином выборе расшире-
расширения А этот вектор умножится на скаляр, что не окажет влияния
на ю (К). Что касается вектора g*, то он при этом умножится на
число, равное по модулю единице.
Таким образом, характеристическая функция симметрического
(изометрического) оператора определяется этим оператором с точ-
точностью до произвольной мультипликативной постоянной, равной
по модулю единице. Две характеристические функции, отличаю-
отличающиеся друг от друга таким множителем, мы не будем считать раз-
различными.
Теперь формулу A6) можно записать в виде
где gt, — произвольное решение уравнения
Вычислим, например, характеристическую функцию оператора
дифференцирования сГ1 на интервале [0, а] при краевом условии.
Для этого случая
и согласно формуле A7)
„а „—ги%
Кроме функций w (?) и ю (К), мы введем функции
/5. ч wit)—у, ,, ч <в Ш—у.

114. КВАЗИСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 425
и будем их называть характеристическими функциями квазиуни-
квазиунитарного расширения Sy. оператора V и соответственно квазисамосо-
квазисамосопряженного расширения Вх оператора А.
Характеристические функции w (?; и) и ю (К; я) нормированы
условиями
w @, и) = и, ю (t; и) = и.
С помощью характеристической функции ю (К) определяется
также ядро спектра оператора А, как показывает следующая
Теорема 2. Для того чтобы вещественное число Ко было
точкой регулярного типа простого симметрического оператора А
с индексами дефекта A, 1), необходимо и достаточно одновременное
выполнение двух следующих условий:
1°. функция ю (К) регулярна в окрестности Ко,
2°. функция ю (К) по модулю равна единице в некотором интер-
интервале к0 — е < % < Ко -f е.
Доказательство. Пусть Яо — точка регулярного типа
оператора А и V — его преобразование Кэли.
Очевидно, существует самосопряженное расширение А =э А,
для которого точка Ко является регулярной, так как если два
о о
самосопряженных расширения Ах и Л2 имеют общее собственное
число Ко, то
откуда
A*h = kofu A*f2 = kof2
и, следовательно,
так что
Da1 = Da2,
т. е.
о о
Ai = Аг.
Если выбрать теперь в формуле A5) в качестве U преобразова-
преобразование Кэли оператора А, то из формул A5а), A5Ь), A5с) будет выте-
вытекать, что функция ю (К) обладает свойствами 1° и 2°.
Пусть, обратно, функция ю (К) обладает свойствами 1° и 2°.
Тогда, выбирая в формуле A5) расширение U так, чтобы
получим, что функция

426 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
регулярна в окрестности точки to = eiso, а также, что на некоторой
дуге единичного круга, содержащей точку ?0> имеет место равен-
равенство Ш> (?) = 0.
Из этого, после применения формулы обращения п° 69 к пред-
представлению A5Ь), следует, что s0 есть точка постоянства функции
(Fs g, g), а так как вектор g является порождающим для оператора
U (см. п° 103), то to — регулярная точка этого оператора (см. п° 83).
Таким образом, Ко есть регулярная точка оператора А и, сле-
следовательно, не принадлежит ядру спектра оператора А.
Из доказанной теоремы 2 мы получаем следующее уточнение
теоремы 1: конечные предельные точки множества собственных
значений любого квазисамосопряженного расширения Вк задан-
заданного оператора А принадлежат (за исключением случая, упомянутого
в теореме 1) ядру спектра оператора А.
Если th {k = 1. 2, 3, . . .)—корни характеристической функ-
функции w (t; у) квазиунитарного расширения SK оператора V при
и =^= 0, то w (?; у) можно представить в виде произведения Бляшке
w (t; х) = е-ОД П -?*=L Щ ,
где G (t) — регулярная при | ? I < 1 функция с неотрицательной
вещественной частью.
Представляя функцию G (?) в виде (п° 69)
2я .
о ^
s)— неубывающая]функция ограниченного изменения, получаем
2я
J *°т . dp(s) °° j Ь_
fe=i Sfe?
Из теорем 1 и 2 следует, что точечный спектр квазиунитарного
расширения SK оператора V состоит из точек ?ft, а остальная часть
спектра состоит из точек роста функции q (s) и предельных точек
множества корней th *)•
*) Представление A9) послужило отправным пунктом для построения
так называемых треугольных моделей некоторых классов несамосопряжен-
несамосопряженных операторов (см. М. С. Л и в ш и ц, О спектральном разложении линей-
линейных несамосопряженных операторов. Матем. сб. 34 G6); 1 A954), стр. 145—
198. См. также обзорную статью М. С. БродскогоиМ. С. Лившица
«Спектральный анализ несамосопряженных операторов и промежуточные
системы», УМН, XIII, вып. 1 G9) A958), стр. 3—85).

114. КВАЗИСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 427
Если ядро спектра оператора А пусто, то собственные значения
любого квазисамосопряженного расширения Вк оператора А могут
сгущаться лишь на бесконечности.
В частности, может случиться, что спектр некоторого квазисамо-
квазисамосопряженного расширения оператора А есть пустое множество.
Таким примером является квазисамосопряженное расширение
оператора дифференцирования fiF>, определенное краевым условием
Ф(О) = О.
Ниже (см. теорему 4) мы увидим, что этот исключительный слу-
случай является единственным, если не рассматривать изоморфные
операторы как различные.
Докажем общую теорему, показывающую, что характеристиче-
характеристическая функция определяет оператор с точностью до изоморфизма.
Теорема 3. Для того чтобы простые симметрические {изо-
{изометрические) операторы с индексами дефекта A, 1) были унитарно
эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы их характеристи-
характеристические функции совпадали.
Доказательство. Приведем доказательство для изо-
изометрических операторов.
Пусть операторы У и У, действующие соответственно в простран-
пространствах Н и Н, унитарно эквивалентны, т. е. пусть
где U — изометрический оператор, отображающий Н на Н. Взяв
некоторое унитарное расширение U оператора V, построим унитар-
унитарное расширение U оператора V по формуле
Выберем, далее, в Н вектор g, ортогональный к многообразию
(llgll = 1). и положим
g = \Xg.
При таком выборе вектора g и оператора U из формул
„ н , B1)
следует

428 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Пусть, обратно, характеристические функции w (?) и w (?)
операторов V и V, определяемые формулами B0) и B1), совпадают.
Полагая
и применяя к представлениям функций Ф (?) и Ф (?) формулы
обращения, получим
(?*5> ?)н = (?*?, ?)н-
С другой стороны, из простоты операторов У и У следует про-
простота спектров их унитарных расширений U и U; при этом дефект-
дефектные векторы g и g являются порождающими для U и U (п° 103).
Таким образом, операторы U и U приводятся к одной и той же
канонической форме — к оператору умножения на еп в простран-
пространстве Lc с функцией распределения
а @ = (?УГ, gjH = (Etg, g)n
(п° 83) и поэтому изоморфны.
Из изоморфизма операторов U и U непосредственно следует
изоморфизм операторов V и V.
Теорема доказана *).
Следствие. Любой простой симметрический оператор с индек-
индексами дефекта A, 1), допускающий квазисамосопряженное расширение с точеч-
точечным спектром, заполняющим всю полуплоскость, изоморфен преобразова-
преобразованию Кэли оператора V, определенного на стр. 422.
Действительно, характеристические функции таких операторов должны
тождественно равняться нулю, так что все эти операторы изоморфны.
Приводимая ниже теорема дает любопытную абстрактную харак-
характеристику оператора дифференцирования на конечном интервале.
Теорема 4. Любой простой симметрический оператор
с индексами дефекта A, 1), допускающий квазисамосопряженное
расширение без спектра, изоморфен оператору дифференцирования
на конечном интервале.
Доказательство. Пусть А — оператор, обладающий
свойством, указанным в формулировке теоремы, Вх — его квази-
квазисамосопряженное расширение без спектра и ю (К; я)— характери-
характеристическая функция оператораВк.
*) В связи с дальнейшими обобщениями понятия характеристической
функции и формулировкой в ее терминах условий унитарной эквивалентно-
эквивалентности, кроме работ, названных в подстрочном примечании на стр. 426, см.
также А. В. Штраус, Характеристические функции линейных операто-
операторов, Изв. АН СССР, сер. матем. 24 A960), стр. 43—74.

114. КВАЗИСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 42Э
Пусть, далее, V — преобразование Кэли оператора А и w (?; к)—
характеристическая функция преобразования Кэли SK оператора Вх.
Так как оператор Вк не имеет собственных значений, то функция
w (?; у), отображающая единичный круг в свою часть, не имеет
нулей, а поэтому представима в виде
где функция G (?) регулярна в единичном круге и имеет там неотри-
неотрицательную вещественную часть.
Заменяя ? на
X—i
получаем
со (к; к) = еш
где Н (а)— функция, регулярная в верхней полуплоскости и ото-
отображающая ее в свою часть.
На основании п° 69 функция Н (К) представима в виде
оо
— оо
где число а вещественно, ц > 0, а о (f) — неубывающая функция
ограниченного изменения.
Так как, далее, ядро спектра оператора Л пусто, то функция Н(К)
регулярна и вещественна на вещественной оси. Поэтому в силу
формулы обращения Стилтьеса (п° 69)
a (t) = const
и
Таким образом, если отбросить постоянный множитель, равный
по модулю единице, то
ю (К; к) ¦-= е^%,
откуда
ю (А) = ^-^—— = _ . , ,
' 1—хш(Л;х) 1—хе1^
а так как должно быть
со @ = 0,
то
Сравнивая полученную формулу с формулой A8), мы видим, что
характеристическая функция оператора А совпадает с характери-

430 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
стической функцией оператора дифференцирования на интервале
[0, ц] при нулевых условиях на концах.
Согласно теореме 3 оператор А унитарно эквивалентен оператору
дифференцирования, что и требовалось доказать.
В связи с теоремой 3 возникает вопрос о существовании симметри-
симметрического (изометрического) оператора с заданной характеристической
функцией.
Для изометрических операторов этот вопрос решается в положительном
смысле, а именно, имеет место
Теорема 5. По любой заданной функции w (?), регулярной в единич-
единичном круге, отображающей его в свою часть и удовлетворяющей условию нор-
нормировки w @) = 0, можно построить изометрический оператор V, для
которого w (?) является характеристической функцией.
Доказательство. Введем функцию Ф (?) равенством
Согласно п° 69 функция ф (?) представима в виде
2я и
где a (s) — неубывающая функция с полным изменением, равным единице.
Построим пространство L^ @, 2я) и в нем унитарный оператор умно»
жения на elt:
Пусть V — изометрический оператор, совпадающий с оператором U
на гиперплоскости Dy, ортогональной к функции g (t) = 1.
Легко видеть, что оператор V и есть искомый.
Действительно, так как разложение единицы Et оператора U опреде-
определяется равенствами
о г f Is) Is tCt),
TO
1
о
2я
С eis da
, g)=\ ^^
что и доказывает (см. формулу A5)) теорему.

114. КВАЗИСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 431
Если для оператора V, построенного по заданной характеристической
функции w (?), многообразие Ду A) не плотно в Н, то нельзя перейти от V
к его преобразованию Кэли А, так что в этом случае не существует сим-
симметрического оператора, характеристическая функция которого равна
B2>
Для того чтобы многообразие Ду A) было плотно в Н, на функцию B2)
необходимо наложить дополнительное ограничение.
Этот последний вопрос исчерпывает
Теорема 6. Для того чтобы заданная функция а> (К), регулярная
в верхней полуплоскости, отображающая ее внутрь единичного круга и удо-
удовлетворяющая условию нормировки w (/) = 0, была характеристической
функцией простого симметрического оператора, необходимо и достаточно
выполнение соотношения
lim Х{ы(К) — eia}=oo @< e<arg % < л—е)
при любом а @ <; а < 2я) и любом е > 0.
Доказательство. Покажем, что необходимым и достаточным
условием для несовпадения замыкания многообразия Ду A) с Н является
наличие унитарного расширения оператора V с собственным числом, рав-
равным единице.
Достаточность условия очевидна, так как если U — унитарное расши-
расширение оператора V и Uty = ч]) (ч]) ф 0), то при любом <р ? Dy
Для доказательства необходимости условия предположим, что при
любом ф ? Dy
«V—/)Ф, *)=0 A1*11=1).
Представляя любой вектор ff Н в виде f = Ф + Yg, получаем для
произвольного квазиуиитариого расширения Sn оператора V
Заметим, что (g*, t])) Ф 0, ибо в противном случае вектор ч]) допускал бы
представление г]) = Vy^ (фй ? Dy, || фй || = 1), так что
{{V— /)фй, Уф^^,
т. е.
(Ф1. ^Ф1)=1-
Но это равенство возможно лишь при Vff1 = ф4, что противоречит простоте
оператора V.
Таким образом, (g*, tj)) ф 0, и мы вправе положить в B3)
.._ (g, Ч>)
(в*.*) '
после чего для любого / € Н получаем
или

432 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Так как S* = S, где ц = уг1, то полученное равенство означает, что
S!]) = яр, следовательно, S.^tJ) = г]) (ty=f=0), а это возможно лишь при | ц | =
= j у, | = 1, так что Sx = S^ и есть искомое унитарное расширение опе-
оператора V, имеющее собственное значение, равное единице.
Теперь доказательство теоремы сведено к отысканию необходимых и
достаточных условий, которым должна удовлетворять характеристическая
функция изометрического оператора V, чтобы ни одно из его унитарных
расширений не имело собственного значения, равного единице.
Пусть U — унитарное расширение оператора V, фигурирующее в фор-
формуле A5), a U^ — произвольное унитарное расширение того же опера-
оператора, так что lAa)g = etag*. Так как дефектный элемент g является поро-
порождающим для каждого из операторов и^а\ то отсутствие у операторов
f/(a) @ <; a < 2я) собственного значения, равного единице, эквивалентно
отсутствию скачка при t = 0 у функции распределения (F(ta), g, g), где F^a) —
спектральная функция оператора U^ @ <^ a < 2я).
С другой стороны, если wa (?) — характеристическая функция, построен-
построенная по формуле A5) с заменой U на tAa), to в силу формул A5с) и A7)
«% @=*-*%(?),
а потому из A5а) и A5Ь) следует равенство
2я
Отсюда для величины а скачка функции (F^g, g) в точке t = 0 легко полу-
получить выражение
a = lim —. ,
где С -»¦ 1 изнутри круга | % | < 1 по любому некасательному направлению.
Пользуясь сделанными указаниями, уже легко закончить доказатель-
доказательство теоремы, что предоставляется читателю.
115. О треугольном разложении некоторых несамосопряженных
операторов. По аналогии с характеристической функцией квази-
квазисамосопряженного расширения симметрического оператора с индек-
индексами дефекта A,1), М. С. Лившиц построил характеристические
матрицы-функции для широкого класса несамосопряженных опе-
операторов. Характер ограничений,. накладываемых на эти опера-
операторы, заключается в том, что они в известном смысле должны
мало отличаться от самосопряженных операторов. Так, например,
в случае определенного всюду в Н, ограниченного оператора Т
требуется, чтобы его мнимая часть —- (Т — Т*) была вполне непре-
непрерывной. С помощью так называемой теоремы умножения для
характеристических матриц-функций были получены (см. под-

115. О ТРЕУГОЛЬНОМ РАЗЛОЖЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ 433
строчное примечание на стр. 426) первые треугольные разложения
для несамосопряженных операторов в Н. Эти разложения пред-
представляют собой бесконечномерный аналог алгебраической теоремы
Шура о приведении конечной матрицы к треугольному виду с помо-
помощью унитарного преобразования. Для некоторых классов несамо-
несамосопряженных операторов треугольное разложение может быть
выведено непосредственно из теоремы Неймана (см. п° 65) о су-
существовании нетривиального инвариантного подпространства у лю-
любого вполне непрерывного оператора. В настоящем пункте мы,
следуя М. С. Бродскому *), проведем такой вывод для вольтерровых
операторов т. е. для вполне непрерывных операторов с единствен-
единственной точкой спектра к = 0. Этот вывод, фактически, использует
лишь результаты гл. V и понятие разложения единицы (п° 67).
Начнем с конечномерного случая. Пусть Т есть вольтерров
оператор в евклидовом пространстве Е. Тогда по теореме Шура
существует такой ортонормированный базис {ей}?=1 простран-
пространства Е, что
Те, = 0,
Если Рн есть ортопроектор на одномерное подпространство, содер-
содержащее eh, то
так что
т= 2
i,h=i
Введем теперь множество erfl, состоящее из (п + 1) точек 0 =
= fx0 < Щ < • • •< \^п == 1. и зададим на о# операторную функ-
функцию Е {\i), полагая
(k=l, 2, ...,n).
Тогда равенство B) можно представить в виде
C)
где
К==^(Т-Т*). D)
*) М. С. Бродский, О треугольном представлении вполне непре-
непрерывных операторов с одной точкой спектра. УМН, т. XVI, вып. 1 (97) A961),
стр. 135—141.
28 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

434 ГЛ- 1Х- ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Целью всего дальнейшего изложения является обобщение
треугольного спектрального разложения C) на произвольные
вольтерровы операторы в сепарабельном гильбертовом простран-
пространстве Н. При этом мы будем опираться на следующее определение
интеграла от операторных функций. Пусть <М есть произвольное
замкнутое множество точек отрезка [0, 1], содержащее его концы.
Совокупность принадлежащих е# чисел 0 = fxo<^i< • • •< (-im= I
назовем б-разбиением множества a/ft-, если точки fxft-i и \xh (k =
= 1, 2, . . ., т) либо являются концами дополнительного для &#
интервала, либо удовлетворяют условию }х& — \^h~i < 6. Если
на вМ заданы оператор-функции F (fx) и G (fx), то под интегралом
будем понимать предел при 6 -»- 0 интегральных сумм
в смысле операторной нормы, если этот предел существует.
Теперь мы несколько специализируем понятие ортогонального
разложения единицы Е (fx), относя его не ко всему отрезку [0, 1],
а лишь к множеству &%. Таким образом, мы будем считать функ-
функцию Е (fx) определенной лишь на М, так что Е (fx') < E (\i") при
fi* < \i" (ii', \i" e <**), E @) = 0, E A) = /. Кроме того, будем
предполагать функцию Е (\i) непрерывной на <М и еще удовлетво-
удовлетворяющей следующему условию А: если (а, Р) есть дополнительный
интервал множества М, то Е ф) — Е (а) есть одномерный опера-
оператор. Если оператор-функция Е (\i), обладающая всеми указанными
свойствами, такова, что при любом fx ? М подпространство Е (fx) H
инвариантно относительно вольтеррова оператора Т, то мы будем
называть Е (\i) спектральной функцией этого оператора. Следует
обратить внимание на то, что здесь \i не является спектральной
переменной, как это было в случае ортогональных спектральных
функций самосопряженных операторов. Спектр вольтеррова опе-
оператора состоит из одной лишь нулевой точки, а переменная fx
играет роль, аналогичную роли индекса k в формулах A).
Покажем, что любой воль тер рое оператор Т в Н обладает
спектральной функцией.
Будем называть некоторую совокупность C инвариантных
подпространств G оператора Т цепочкой, если выполнены следую-
следующие условия: 1) если Gi 6 @ и G2 6 ©, то либо G± c= G2, либо
G2 cz Gi, 2) нулевое подпространство и все Н принадлежат (У.

115. О ТРЕУГОЛЬНОМ РАЗЛОЖЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ 435
Множество всех цепочек Г {Т}, принадлежащих оператору Т,
можно частично упорядочить, если считать @' -< @", когда каж-
каждое инвариантное подпространство G из ©' принадлежит также
&". Цепочку © назовем максимальной, если она следует за любой
сравнимой с ней цепочкой из Г {Т}. Если у есть некоторая моно-
монотонно возрастающая последовательность цепочек из Г {Т}, то
теоретико-множественная сумма всех инвариантных подпространств
из этих цепочек является, очевидно, максимальной относительно
совокупности у и также принадлежит Г {Т}. В силу известной
леммы Цорна каждая цепочка из Г {Т} содержится в некоторой
максимальной цепочке, принадлежащей Г {Т}.
Пусть теперь & есть некоторая максимальная цепочка из Г {Т}
и {gh}'^Li — какой-нибудь ортонормированный базис пространства
Н. Назовем весом любого подпространства Fez H число
2il2. E)
ft=i
где Р есть ортопроектор на F. Очевидно, различные подпростран-
подпространства из Н, принадлежащие одной и той же цепочке, не могут иметь
одинаковый вес. Обозначим через Л совокупность весов всех
подпространств некоторой максимальной цепочки <3, а через
Е (fi) — ортопроектор на подпространство из @, вес которого
равен \i. Легко проверить, что множество в/11 замкнуто, а оператор-
функция Е (ц.) обладает всеми свойствами спектральной функции
оператора Т за исключением, быть может, свойства А. Провер-
Проверка этого последнего свойства основана на теореме Неймана
из п°65.
Предположим, что условие А не выполняется. Это означает,
что для некоторого дополнительного интервала (а, Р) множества Ж
будет dim{Gp0Ga}> 1, где Ga и Gp — подпространства, на кото-
которые проектируют Е (а) и Е ф). В силу теоремы 1 п° 65 оператор
РТР, где Р = Е ф) — Е (а), имеет в Gp0Ga инвариантное под-
подпространство F (F ф {0}, F Ф Gp0Ga). Но тогда подпростран-
подпространство Ga 0 F инвариантно относительно Т и заключено строго между
Ga и Gp, что противоречит максимальности цепочки @. Итак,
Е (ц.) является спектральной функцией оператора Т.
Максимальную цепочку @€ Г {Т}, для которой по формуле E)
введены веса входящих в ее состав подпространств, построено мно-
множество аМ и определена спектральная функция Е (\л) (\л ? oft),
назовем нормированной максимальной цепочкой.
Лемма. Для любого дополнительного интервала (a, P) мно-
множества аШ, построенного для нормированной максимальной цепочки
@ € Т{Т),
[?(Р)-?(а)]Т[?(Р)-?(а)] = 0. F)
28*

436 ГЛ. IX. ОБОБЩЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Доказательство. Подпространство Ga инвариантно
относительно части Тр оператора Т в Gp. Поэтому одномерное
подпространство Gp0Ga инвариантно относительно оператора Тр.
Но так как вместе с Т вольтерровым является оператор Тр, а сле-
следовательно, и Тр, то Gp0Ga есть нулевое подпространство опера-
оператора Тр. Поэтому многообразие Дт значений оператора Тр орто-
ортогонально к Gp0Ga, откуда и вытекает соотношение F).
Теперь мы можем перейти к теореме М. С. Бродского, являю-
являющейся конечной целью этого пункта.
Теорема. Любой вполне непрерывный волыперров оператор
Т допускает треугольное представление
T = 2i \ E(ii)KdE(ii), G)
где К — его мнимая часть D), а Е (\i) — его произвольная спек-
спектральная функция. Интегральные суммы интеграла G) сходятся
к оператору Т равномерно.
Доказательство. Пусть 0 = fx0 < fx± < . . .< fxm = 1
¦есть некоторое б-разбиение множества \л. Вводя обозначение
АЕ (fxft) = Е (\ih)— Е (fife-i) и замечая, что АЕ (fxft) TAE (iij) = О
при k > j, получаем
Т= 2 AE(iih)TAE(iij)= 2 2
m m
= ЦД? Ы TAE (Ы + 2» 2 2 д^ Ы КАЕ (iij) =
m m
= 2 д^ (и-*) гд? (Ы+2» 2
2
Поэтому, если ^-i<Sj^^j, то
| T - 2i 2 ? (Hj-i) KA? (jij) || + 2 || 2
3 = 1 3=1
| 2

115. О ТРЕУГОЛЬНОМ РАЗЛОЖЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ 437
Теперь остается доказать, что при 6 -»- 0 стремится к нулю
норма оператора
I*). (8)
Рассмотрим отдельно операторы -^ (Se, — St) и -^ (S6 -f SI).
Пусть {?j}jLi есть ортонормированный базис собственных векторов
оператора К. в его области значений, a {kj)f=\ ¦— соответствующая
последовательность собственных значений. Тогда для любого / 6 Н
т
~ [So-St\ f, Л I = I У, (Л? (|ift) КД? (|1Й) /, j
Ы / II2 II Д? (Ы^ li2-1 ^ I +
s
Здесь второе слагаемое в фигурных скобках можно сделать сколь
угодно малым за счет выбора п. В первом же слагаемом следует
учитывать лишь те значения индекса k, для которых \ih — Н-й-i <
< б, так как для остальных значений k соответствующее слагае-
слагаемое в (8) выпадает в силу F). Поэтому, используя равномерную
непрерывность функций Е (\i) e} на замкнутом множестве Jt,
можно и первое слагаемое в фигурных скобках также сделать
сколь угодно малым, если при фиксированном п уменьшать 6.
Таким образом, lim || Se — S% || = 0 и, совершенно аналогично,
lim || S6 + SS II = 0. Тем самым теорема доказана полностью.
60

ДОБАВЛЕНИЕ I
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
116. Определения и вспомогательные факты. Среди линейных
интегральных операторов простейшими являются операторы Гиль-
Гильберта — Шмидта (см. п° 32). Ядра К (s, t) этих операторов харак-
характеризуются неравенством
|_оо
В классических работах Гильберта *) изучен также более общий
случай, когда для любой функции / (/) ? L2 (—оо, оо)
ds
где М — некоторая константа. В этом случае ядро К. (s, t) поро-
порождает ограниченный интегральный оператор.
Еще более общим является тот случай, когда предполагается
лишь, что для почти всех s 6 (—°°. °°)
\K(s, /)|*d/<oo.
Изучение интегральных операторов с симметрическими ядрами,
удовлетворяющими этому условию, является предметом настоя-
настоящего добавления. Теория таких операторов, а также и операторов
с ядрами более общего характера, принадлежит Карлеману **).
*) См. Н i I b e r t, Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Inte-
gralgleichungen, Berlin, 1912.
**) Построение этой теории относится к 1920—1923 годам. Первое систе-
систематическое изложение дано в книге: Т. С а г 1 е m a n, Sur les equations inte-
grales singulieres, Uppsala, 1923. Несколько отличное от первоначального,
изложение дано в монографии: М. Stone, Linear Transformations in Hil-
bert Space, New-York, 1932.
В нашем изложении мы в основном следуем статье: Н. И. А х и е з е р,
Интегральные операторы с ядрами Карлемана (УМН, т. II, вып. 5 B1) A947)).

116. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ 439
Во всем дальнейшем мы будем иметь дело с пространством L2
функций на всей числовой оси, хотя теория остается в силе и для
функций от многих переменных, а также в случае, когда вместо
всего (одно- или многомерного) евклидова пространства взято
принадлежащее ему произвольное измеримое в смысле Лебега
точечное множество положительной меры.
Определение. Ядром Карлемана называется всякая изме-
измеримая (комплекснозначная) функция К (s, t) (—оо < ? < оо), для
которой
а) почти всюду в плоскости s, t
K(s,t)=K(t,s),
b) почти всюду на оси s
\K(S, t)\2dt<OD.
— оо
Положим
г
J \K(s,t)\*dt, A)
—оо
если правая часть конечна, и
в противном случае.
Заметим прежде всего, что почти всюду
)\*dt = K2(s). B)
Действительно, в силу условия а) имеем
\K(s, t)-Klt^J
а отсюда, по теореме Фубини, следует, что при почти всех s
\K(s, /)-К(М1|2
Но это означает, что при почти всех s
оо
.|K(/, s)|2d/= 5 \K(s, t)
—оо
и B) доказано.

440
ДОБАВЛЕНИЕ 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Теперь введем интегральный оператор, порождаемый ядром
Карлемана. Если f (t) ? L2, то для почти всех s существует
h(s)= J K(s,t)f(t)dt,
C)
однако функция h (s) может и не принадлежать L2. Поэтому выде-
выделим прежде всего множество D* всех тех функций / (/) ? L2, для
которых h (s) 6 L2. На этом множестве формула C) определяет
линейный оператор, который мы обозначим А*. Всякий другой
интегральный оператор в пространстве L2 с ядром К. (s, t) будет
частью оператора А*.
Один такой оператор мы теперь определим. Предварительно
условимся об одном обозначении, а именно: если Р (s) (—оо <С
<s<oo) — фиксированная, измеримая, вещественная, неотри-
неотрицательная функция, то под [L2]P мы будем понимать совокупность
всех функций ф (s) g L2 (—оо, оо), для которых
Условимся левую часть этого неравенства обозначать симво-
символом || ф || Р.
Докажем теперь, что IL2]K czD*, где К (s) определена фор-
формулой A). В самом деле, пусть f (t) ? [L2]K, т. е. / (/) ? L2, и
Мы должны доказать, что в таком случае
оо со
ds
K(s,
— со —со
Но это следует из теоремы Фубини, так как почти всюду
\K(s,u)K(s,v)f(u)f(v)\ds<
<\fM\-\fM\-V l\K(s,u)\*ds]/ \\K(s,v)
— CO ~-OO
= K(u)K(v)\f(u)\-\f(v)\ D)

[16, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ 44!
со со
^K(u)K(v)\f(u)\-\f(v)\dudv={ J K(u)\f(u)\du}
2
<ОЭ.
Теперь определим оператор Ао с областью DAo = [L2]K>
полагая
Отметим, что область DAo плотна в L2. Это утверждение
является следствием приводимой ниже леммы.
Отметим также, что в силу D)
IIЛ)/КII/Ik- E)
Лемма. Пусть измеримая функция P(s) (—оо < s < оо)
почти всюду конечна «>0, а функция h (s) измерима и такова, что
f(s)h(s)ds =
для любой функции f (s) g [L2]^. Тогда почти всюду
h(s) = 0. F)
Доказательство. Прежде всего заметим, что h (s) может
обращаться в бесконечность лишь на множестве меры нуль. Далее
обозначим через е (а) множество всех s, для которых
P(s)<a, \h{s)\<a,
и пусть е — произвольное подмножество множества е (а), имеющее
конечную меру. Его характеристическая функция %е (s), оче-
очевидно, принадлежит [L2]P. Поэтому
Так как е произвольно, то равенство F) верно почти всюду в е (а),
а в силу произвольности а оно верно почти всюду на всей оси.
Следствие. Множество [LZ]P плотно в L2.
Теорема. Оператор Ао симметричен, а оператор А* являет-
является для А о сопряженным оператором.

442 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Доказательство. Пусть / (t) 6 Da0. g @ 6 L2. В таком
случае почти всюду
\K(s,t)\-\f(t)g(s)\ds<
I CO
\2ds = K(t)-\f{t)\-\\g\\.
Поэтому
откуда следует, что
со со
I K(s,t)f(t)dt}g-(s)ds= \ f(t)dt § KJt77)g(s)ds. G)
— со —со
Если предположить, что не только f (t), но и g (t) 6 D^, то полу-
полученное соотношение запишется в виде
Ш, g) = (f, Aog),
т. е. первое утверждение доказано.
Докажем второе утверждение. Заметим прежде всего, что при
f @ 6 Da0 и S (t) 6 D* соотношение G) можно представить в виде
(А./, ?) = (/,?*),
где
g*(t)= J K(t,s)gXs)ds
есть какой-то элемент пространства L2. Отсюда следует, что g (t) 6
6 DA*, и, значит, доказано включение D* с DA*.
Теперь нужно доказать обратное включение. Для этого примем,
что g (t) 6 DA*. Это значит, что существует функция g* (t) 6 L2,
для которой при любом / 6 Da0 имеет место равенство
со со
K(s,t)f(t)dt}g(s)ds= 5 f(t)g*(t)dt.
— со —со

117. ПРИМЕР
443
В силу G) это можно переписать в виде
Отсюда следует, в силу леммы, что почти всюду
со
g*(t)= J K(t,s)g(s)ds,
а так как функция g* (t) принадлежит L2, то g (s) ? D* и A*g =
= g* (t). Таким образом, мы доказали, что D* э DA*. Тем самым
доказано, что D* = DA*, а вместе с тем доказана теорема.
Определение. Интегральным оператором Карлемана
с ядром К (s, t) называют замыкание А = А** оператора Ао.
Мы сохраним обозначение D* для DA* и, кроме того, будем
писать D вместо DA.
Следуя Карлеману, назовем К (s, t) ядром первого рода, если
А — оператор самосопряженный, и ядром второго рода — в против-
противном случае.
117. Пример. Обозначим через {tyn (s)}™ ортонормированную
последовательность функций Хаара для интервала [0, 1]. Эти
функции определяются следующим образом:
¦Ф1 (s) =
()
f -1 @<s<i-),
\
о (o<s<i_2iri),
n-1
(« = 2,3, ...).
Так как для всякого s g [0, 1) существует такое ps, что
при p>ps, то ряды
(s) = О
S
р=0
р=0

444 ДОБАВЛЕНИЕ 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
сходятся абсолютно в интервале 0<!s< 1, каковы бы ни были
коэффициенты ср.
Лемма 1. Чтобы сумма
оо
S cpqp(s) = Q(s)
равнялась нулю почти всюду в интервале 0<;s< 1, необходимо
и достаточно выполнение всех равенств
сР = 2 2 с0 (р-=1,2,3, ...)•
Доказательство. Представим интервал 0<;s < 1 в виде
суммы интервалов
(dn) l-^-i<s<i-.^ (Л=1,2.3, ...)•
Так как в интервале (dj)
6(s)=-c0 —й
и в интервале (dn) (n > 2)
1 2 п-2 п-1
0(s) = co + Ci + 22c2 + 22c3+...+2'^"cn-1-2 2 сп,
то, чтобы функция 6 (s) равнялась нулю по крайней мере в одной
точке каждого из интервалов (dn) (п = 1, 2, 3, . . .), необходимо
выполнение всех равенств
Со — fj = О,
1 2 п—2 п—1
2 c2 2 с = 0
(« = 2,3,4, ...)•
Если все эти равенства выполнены, то функция 6 (s) равна
нулю всюду в интервале 0 <: s < 1. Отсюда и вытекает утвержде-
утверждение леммы 1.
Ниже нам понадобятся функции
хп (s) = % (s) + % (s) + 2% (s) 4-... + 2"^-, (s) - 2 2 г])п (s)
(« = 2,3, ...)

117. пример 445
Нетрудно видеть, используя доказательство леммы 1, что
Го
= | 2" (l-2ir<s<1-210 (« = 2,3,...),
и
р (o<s<±),
[О
Таким образом, функция х„ (s) (п = 1, 2, . . .) имеет постоян-
постоянное отличное от нуля значение в интервале (d,t) и равна нулю вне
этого интервала.
Лемма 2. Всякую функцию ср (s) ? L2 @, 1) можно предста-
представить в виде сходящегося ряда
оо
ф (S) = S СР$Р (S) + СО (S),
Р=0
co(s)?L2(O, 1), ||ср|2<оо,
l
cp — \ Ф (s) 'Фр (s)ds (p = 0, 1, 2, ...)
о
и
l
\ со (s) i])p (s) ds = 0 (p = 0, 1, 2, ...).
b
Доказательство. Последовательность частичных сумм
„ () S pjp ()
сходится в метрике L2 @, 1) к некоторой функции 6 (s) g L2.
Поэтому (см. п° 11) существует некоторая подпоследовательность
{вп (s)}fc=i, которая сходится к 6 (s) почти всюду. А так как ряд

446 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
сходится всюду, то его сумма почти всюду равна 6 (s), и для дока-
доказательства леммы остается заметить, что
Q(s)%(s)ds = cp (р = 0, 1,2, ...)•
о
Теперь рассмотрим функцию
КМ) = 2М>, («)!>* (О
р=0
где йр — вещественные числа. Легко видеть, что это — веществен-
вещественное ядро Карлемана, причем
к» (S) =
Свойства ядра К (s, t), естественно, зависят от того, как выбраны
числа ар.
Покажем в первую очередь, что К (s, t) будет в том и только
в том случае ядром Гильберта — Шмидта, когда ряд
S «р C)
р=0
сходится.
Действительно, по теореме о почленном интегрировании ряда
с неотрицательными членами имеем в силу B):
1 1 оо
О О Р=0
где левая и правая части конечны или бесконечны одновременно,
откуда и вытекает наше утверждение.
Так как ядра Гильберта—Шмидта здесь интереса не представ-
представляют, то примем, что ряд C) расходится, и рассмотрим следую-
следующую альтернативу:
р=0 Р
(«) 2

117. ПРИМЕР 447
Покажем, что в случае {&)) K(s, t) является ядром первого рода,
а в случае D$) ядром второго рода.
Род ядра зависит от индексов дефекта интегрального опера-
оператора А, порождаемого ядром t((s,t). Эти индексы дефекта здесь,
одинаковы, так как ядро К (s, t) вещественно. Для их нахожде-
нахождения мы должны искать собственные функции оператора А*, отве-
отвечающие произвольно взятому невещественному числу А, скажем,
X — L Искомую собственную функцию^* на основании леммы 2
можно представить в виде
Ф() 2 p%() + (),
Р=0
где числа ср и функция со (s) должны удовлетворять всем усло-
условиям леммы 2. Кроме того, функция Ф (s) должна удовлетворять
уравнению
Л«ф = 1Ф. D)
Возьмем интервал (dn). В нем почти всюду левая часть уравне-
уравнения D) равна
п 1 п
Л*Ф = V прур (s) J Ф (/) Ф, (/) dt = 2 арср% (s),
р=0 0
а правая часть равна
IS Mp
р=0
Таким образом, почти всюду в интервале (dn)
п
СО (S) = — 2 A + iap) CP$P (S)-
p=0
Это равенство показывает, что со (s) в каждом интервале (dn}
постоянна. Пусть
co(s) = Yn, s?(dn), «=1,2,3,...
Так как со (s) ортогональна ко всем функциям i])p (s), то, припоми-
припоминая свойство функций у.п (s), находим, что
1
0= jj со (s) xn (s) ds = ^ co(s)xn(s)rfs = Yn-2"--^r = Yn
(«=1,2, 3, ...)•

448 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Как видим, функция со (s) должна равняться нулю, а коэффициенты
ср должны быть такими, чтобы всюду в интервале 0<s •< 1
оо
2 (l+iap)cpqp(s) = 0.
На основании леммы 1 это равенство имеет место в том и только
том случае, когда
о (р==1,2, 3, ...)
и, значит,
\cp\* = \c0\'(l+a*)^ (р= 1,2,3, ...)•
Полученные формулы показывают, что в случае CD) точка i
не является собственным значением оператора Л*, а в случае D3)
она будет его собственным значением и притом кратности 1. Тем
самым наше утверждение доказано, причем мы показали, -что
в случае {<ё) индексы дефекта оператора Л равны A,1).
118. Спектральные функции интегрального оператора с ядром
Карлемана. Пусть Л — интегральный оператор с ядром Карлемана
К (s, t), а Е% (—оо<А<оо)— какая-нибудь из принадлежащих
этому оператору спектральных функций. Положим
( Ех
{ Ех-1
так что Fk sign К есть отрицательный самосопряженный оператор
с нижней гранью >—1. Из этих свойств оператора F% следует,
что оператор F\ + Fk sign К отрицателен. Поэтому при любом
f 6 L2 имеет место неравенство
(Fxf,Fxf)<\(Fxf,f)\. A)
Нам понадобится также неравенство
верное при любом f 6 [L2]K. Докажем его, например, при X > 0.
С этой целью достаточно заметить, что для любого / 6 [L2]A- = Do
оо оо
Ш, Aof) = (Af, Af) = \ vM (EJ, f)>K2\d (EJ, f) =

118. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА КАРЛЕМАНА 449
и, с другой стороны (см. D) п° 116),
12
К'
Теорема 1. F), является интегральным оператором с ядром
Карлемана F (t, s; К), которое при каждом "К ф 0 удовлетворяет
почти всюду на оси t неравенству
оо
J \F(t,s;X)\*ds<c-^p-, C)
—оо
где
Доказательство для удобства разобьем на несколько
частей.
1°. Прежде всего заметим, что на основании леммы 1 п° 25,
существует функция G (s, t; X), принадлежащая L2 по t при
каждом s, причем G @, t; К) = 0, такая, что для любой функции
f (О а2
со
= ~ I G(s,x;%)f(x)dx D)
— ОО
почти всюду *) по s.
Докажем, что функцию G (s, t; К) можно так изменить при
каждом s на некотором множестве меры нуль оси t, что измененная
функция будет иметь при каждом t почти всюду по s производную
принадлежащую L2 (по s).
С этой целью положим
если K(s)>l,
если К (s) < 1,
и применим формулу D) к функции
* / ч [ T*W ПРИ
\ О при
при x?{t, t + h),
*) Множество меры нуль, на котором D) не выполнено, зависит от / (<),
а также от к. Это обстоятельство нужно в дальнейшем иметь» в виду. Впро-
Впрочем, в настоящем рассмотрении можно считать значение к Ф 0 фикси-
фиксированным.
29 н. И. Ахнезер и И. М. Глазмаи

450 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
которая при любом h > 0 принадлежит [L2]K. Мы получим, что
почти всюду по s ¦
t+h
(Fxft, л) (s) = ТЕ" -JT $ G <s' x; i
где
f+h
+
Gh (s, f; X) = \ \ G (s, x; X) k (x) dx. E)
t
Поэтому в силу неравенств A) и B)
t,h, Ftft,h) <
t+h
S }^. F)
Отсюда следует существование зависящей от t последовательности
К ->¦ 0 (/г„ > 0) и функции (от s) ^ (s, /; К), принадлежащей L2,
для которых при п ->- оо
Значит,
S
Jim Gh (s, t;K)=[g (x, t; Я) dx
при каждом s. С другой стороны, в силу E) при каждом s для :почти
всех t
limGh(s, t;K) = G(s, t; X)k(t).
h->0
Поэтому при каждом s для почти всех t
(x,t;X)dx. G)
о
Изменяя функцию G (s, t; К) при каждом s на некотором множестве
меры нуль оси t, добьемся того, что G) будет иметь место для всех
s и t. Так как k (t) ф 0, то измененная функция G (s, t; X) будет
иметь при каждом t почти всюду по s производную
которая по s принадлежит IA

118. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА КАРЛЕМАНА 451
2°. Следующий шаг состоит в доказательстве того, что для
всякой функции / 6 L2 имеет место равенство
(Fxf)(t)= \ F(s,t;X)f(s)ds (8)
— oo
почти всюду на оси t. Этот факт очень просто доказывается для
элементарной ступенчатой функции (в конечном интервале [а, р]):
1 при s?[a, PI,
О при s? [a, P],
а значит, и для любой финитной ступенчатой функции. В самом
деле, при любой функции h (t) ? L2
h(t)dt J
—оо
= § h(t){G($, t; X)-G(a, t; %)}dt =
— oo
oo oo
= \ Xa, P (S) -^ I h (t) G (S, t- X) dt - {F%h, Xa, p) = (h, FKXa, p).
— oo —oo
Поэтому для почти всех t] ,
Для произвольной функции / 6 L2 можно найти сильно сходящуюся
к ней последовательность финитных ступенчатых функций {fn}T-
Тогда последовательность {Fifn}T будет сильно сходиться к функ-
функции F%f и, между прочим, найдется последовательность индексов
{titjiLi, такая, что для почти всех t
С другой стороны, можно указать множество меры нуль так, чтобы
в каждой не принадлежащей ему точке t имели место одновременно
все равенства
со
) @ = J FjsTtTX) /», (s) ds (/=1,2,3,...).
29*

452
ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В каждой из этих точек t правая часть стремится к пределу
F(s,t;%)f(s)ds,
а в силу (9) этот предел равен (Fxf)(t).
Итак, утверждение 2° доказано.
3°. Теперь докажем соотношение C). Для этого возьмем содер-
содержащееся в F) неравенство
t+h
из которого следует, что
t+h
dsW(i)\T
где е есть произвольное подмножество конечной меры множества
е (а) всех тех t, для оторых
1
* (О
Так как при каждом s функция
1 -t+h
ft» (О
\ J F(x,s;%)k(x)dx
стремится для почти всех t ?е к пределу | F (t, s; V) \ 2, когда
h -*¦ 0, то по теореме Фату
dt
е —оо
Поскольку число а и множество е с е (а) произвольны, то для
почти всех t
оо
I 1
откуда и вытекает неравенство C).
Соотношение C) и формула (8), дающая представление опера-
оператора F^, не препятствуют изменению функции F (t, s; %) при каж-
каждом из почти всех t на множестве меры нуль оси s.

118. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА КАРЛЕМАНА 453
Воспользуемся этим, чтобы в согласии с леммой 2 п° 25 сделать
функцию F (t, s; %) измеримой в плоскости s, t.
4°. Остается доказать, что почти всюду в плоскости s, t имеет
место равенство
Для этого возьмем функции f ? L2 и g ? [L2]^ и запишем для них
равенство
в виде
F(t,s;K)g(t)dt= ^ g(t)dt
—со
Так как в силу C)
со со со
\ \g(t)\-\f(s)\-\F(t,s;X)\ds<
—оо —оо
то по теореме Фубини можно изменить порядок интегрирования
в левой части равенства. Следовательно,
g(t)dt ^ F(t,s;X)f(sjds=- I g(t)dt I F(s,t;K)W)ds,
—со —со —со
откуда и вытекает справедливость утверждения, поскольку f из La
произвольна, а множество функций g плотно в IA
Таким образом, доказательство теоремы 1 закончено.
Рассмотрим дальнейшие свойства оператора Fk-
Лемма. Пусть
g), A0)
где f,g б L2, и пусть Д — произвольный интервал оси К, удален-
удаленный на расстояние 6>0 от точки % = 0. Тогда
A1)
Если, кроме того, g?[L2]K, то
VarAQ(X) = A||f||.||g||K> A2)
и если f,g 6 [L2]K, то
^. A3)

454 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Доказательство. Возьмем точки
интервала Д и составим выражение
Vn= S \Q(kk)-Q(Xh-1)\= S [ ((Fxh-F4 t)f, g)\.
Так как F% — F^,_ — позитивный оператор, то благодаря нера-
неравенству Коши — Буняковского
Поскольку || Fe || ¦< 1, то отсюда вытекает справедливость оцен-
оценки A1). Применяя к (Ft g, g) при g ? [L21k оценку B), убеждаемся
в справедливости оценки A2) и, наконец, если f,g(: [L2]K, то,
с помощью той же оценки B), устанавливаем справедливость A3).
Лемма доказана.
Теорема 2. В качестве ядра оператора F% можно выбрать
(из совокупности эквивалентных по (s, t) при каждом К) такую
функцию F°(s, t; %), что, за исключением не зависящего от К мно-
множества меры нуль в (s, 1)-плоскости, эта функция имеет ограни-
ограниченную вариацию по К в любом конечном или бесконечном интервале
Д оси %, находящемся на положительном расстоянии от точки
X = 0. При этом имеет место оценка
VarAF°(s, t; K)<~K(s)K(t),
если указанное расстояние есть б, и оценка
при К Ф 0. Наконец, при каждом X Ф- 0 почти всюду в (s, t)-пло-
t)-плоскости
F°(s, t; K-0) = F°(s, t; %).
Доказательство. Пусть F (s, t; К) — некоторое ядро
оператора F%. Мы построим по нему эквивалентное ему в (s, t)-
плоскости при каждом X ядро F° (s, t; X), удовлетворяющее усло-
условиям теоремы.

1 18. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА КАРЛЕМАНА 455
С этой целью введем функции
у, если \s — и|<— ,
0, если | s — ы | >— ,
Ф„(я; и) = \
|
и пусть
0, если и?е(а),
где е (а) — множество тех значений и, при которых К (и) < а.
При фиксированном s, очевидно, (р^ (s;u) ? [L2]jj> Положим,
далее,
оо
1) J J <f) (s; «) ф^ (*; у) d« do. A4)
Заметим, что этот интеграл существует благодаря оценке C) как
двойной в смысле абсолютной сходимости, а не только как по-
повторный.
В силу A3)
A5)
Таким образом, все функции Ф^а) (s, t; X) (п = 1, 2, 3, . . .)
имеют равномерно ограниченную вариацию по К в интервале Д.
Следовательно, применима теорема Хелли, комбинируя которую
с повторным диагональным процессом, найдем последовательность
{ма}"=1. зависящую от произвольно выбранной точки (s, t), такую,
что при всех к =?fe 0 существует
При этом в силу A5) при любых s, t
^. A6)
Последнее неравенство допускает следующее уточнение. Пусть
е2'(а) ~ множество всех тех точек (s, f) ? е (а) х е (а) = ez (a),
в которых
lim \\к(и)К (v) ч#> (s; а) ф^») (<; v) dudv = K (s) К (О-
гг~>оо v v
—оо
В силу известных теорем mes {e2 (а)\е* (а)} = 0.

456 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
При (s, t) ? е*(а) можно перейти при п-*со к пределу в сред-
среднем члене неравенства A5), откуда следует, что
\ar^(a)(s,t;'k)^-^K(s)K(t), (s,t)?et(a). A7)
Это — уточнение неравенства A6).
С другой стороны, благодаря A4) при каждом Я ф О почти
всюду в е2 (а) имеет место равенство
ИтФ™ {s,t;K) = F(s,t;K),
71->оо
и, значит, при каждом К Ф О почти всюду в е2 (а)
Oia)(s,t; X) = F(s,t; К). A8)
Представим теперь (s, /)-плоскость Е2 в виде суммы непе-
ресекающихся множеств: Е2 = U Е2 (а), где Е2 A) = е2 A),
Е2 (а + 1) = е2 (a -f- l)\e2 (а), и определим функцию F° (s, t; Я),
полагая
t;'k) = Oia)(s,t;'k) при (s, t)?E2(a).
Очевидно, при каждом Я почти всюду в (s, /)-плоскости будет
в силу A8)
F°(s,t;k)=F(s,t;k)
и поэтому F° (s, t; К) является ядром оператора Fj,, т. е. при любых
f,gev
оо
\ I F° (s, t; к) f (t) ?Щ ds dt = (FKf, g).
При этом на множестве Е| = U (Е2 (а)П^2 (а))> т- е- во всей
(s, /)-плоскости, за исключением не зависящего от Я множества
меры нуль, в силу A7) справедлива оценка:
°(st;K)<K(s)K{t)
Из этой оценки вытекает, в частности, что при КфО почти всюду
в (s, /)-плоскости
Покажем теперь, что при каждом X Ф 0 почти всюду в (s, ^-пло-
^-плоскости
/;>,-0) = F0(s,/;>,). A9)

119. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЯДРА КАРЛЕМАНА 457
Для этого достаточно заметить, что, во-первых, при (s, t) ? Щ
существует предел F° (s, t; Я — 0) при любом К, а во-вторых, что
при любых /, g? [L2]K
\F°(s,t; V)f(t)IW\<_
где правая часть интегрируема во всей (s, /)-плоскости, и поэтому
при К Ф 0 возможен предельный переход под знаком интеграла
в следующем равенстве:
F° (s, t; k)f @ g (s) ds dt = (FU, g) = (F^f, g) =
oo
= Шпо J I F°(s, t; v) f @?(s)ds<ft =
—-oo
oo
= \ \f°(s, t; k-O)f(t)g~W)dsdt.
— oo
Отсюда и вытекает A9). Теорема полностью доказана.
Во всем дальнейшем под ядром F (s, t; Ц оператора F% мы
будем подразумевать ядро F°(s,t;'k).
Замечание. С помощью аналогичных рассуждений, исполь-
используя вместо оценки A3) оценку A2), легко доказать, что, какова бы
ни была функция / ? L2,
оо
Vai-д I F(s, t;K)f(t)dt<±K(s).\\f\\,
— оо
за исключением не зависящего от Д множества меры нуль на оси s.
119. Спектральное представление ядра^Карлемана.
Теорема 1. Пусть Д = [а, [3] — конечный интервал, нахо-
находящийся на положительном расстоянии от точки К = 0, и
F(s,t;A) = F(s,t;$)-F(s,t;a).
В таком случае почти всюду в (s, г)-плоскости
\ K(s,u)F(u,t;A)du=\kdbF(s,t;k) A)
—оо а
(исключительное множество меры нуль в (s, г)-плоскости, на кото-
котором A) не имеет места, зависит, вообще говоря, от а и |3).
Теорема означает, что A) справедливо при каждом s g ea>p для
почти всех t (ea^ — некоторое множество меры нуль на оси s).

458 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Доказательство. При любых /, g ? L2 имеем равенство
Р
(A*E(A)f, g)=\ldi(Ej, g),
а
которое, очевидно, можно переписать в виде
оо оо оо
g~(s)ds \ K(s, и) { \ F(u, t; A)f{t)dt\du =
— oo —oo
fi oo oo
Положим, что /, g g [L2]Kl. Тогда в силу теоремы 2 n° 118 правая
часть равна
Но почти всюду в силу теоремы 1 п° 118,
\K(s, u)F(u, t; A)\d
где 6 — расстояние интервала [а, |3] от точки К = 0. Поэтому
в левой части тоже можно изменить порядок интегрирования,
а значит,
= $$/<0*<*){$W(S.<;;
— oo a
при любых /, g? [L2]Kl. Так как [L2]Kl плотно в L2, то отсюда
следует, что
оо C
\ K(s, u)F{u, t; A)du=\ KdKF(s, t; K)
—oo a
почти всюду в (s, /)-плоскости. Теорема доказана.
Теорема 2. Для почти всех s формула
оо Р
\ К(s, и) F(и, t; Д) du—\ kdj,F(s, t; К)
—оо * ,a

119. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЯДРА КАРЛЕМАНА 459
справедлива также при |3 = со, а > 0 {соответственно при а =
= —со, р < 0), если правую часть рассматривать как 1. i. m.
по t, когда Р —» со (а —> —со) по произвольно выбранной последова-
последовательности.
Доказательство. Предполагая, что а > 0, а р —
конечно, перепишем равенство A) в виде
«, s)du=(Fv-Fa)Ks, B)
где для почти всех s функция Ks @ = К (^, s) принадлежит IA
Возьмем стремящуюся к бесконечности последовательность значе-
значений Pfc. Тогда в силу теоремы 1 можно указать множество еа меры
нуль, зависящее только от а и такое, что при любом s g ea будут
иметь место почти всюду на оси t одновременно все равенства B)
с р = рА (k= 1, 2, 3, . . .). Отсюда следует, что при s <= ea и
/е= 1, 2, ...
Правая часть стремится к нулю при k —» со. Таким образом, для
всех s g еа
*. и; а) К {и, s)du = l. i.m. ^ KdkF(s, t; X)
t->oo «J
а
и, значит, для почти всех s
s, u)F(u, t; a)du = l.i.m. \ Kd),F(s, t; X),
откуда и следует теорема.
Теорема 3. Для почти всех s
t, s; X),
• !
— ОО
где правая часть есть 1. i. m. no t несобственного интеграла с

460 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
особыми точками К=— сю, 0, со; иными словами, для почти всех s
со -Е' N
lim \ \K(t, s)-( \ +^XdkF(t, s; 'k)\2dt = 0,
-"со _N' E
когда e, e'-»-0, N, N'-»-oo no произвольно выбранным последова-
последовательностям положительных чисел.
В том же смысле при почти всех s
со
K(s, 0 = l-i.m. J KdxF(s, f, К).
Доказательство. Выберем произвольно последователь-
последовательности положительных чисел еь е\—>0 (еь е\ <; 1) и N&, Nh —> со
(Nft, Na > 1). Тогда, как и при доказательстве предыдущей тео-
теоремы, найдется множество е меры нуль такое, что при каждом
s g e будут иметь место почти всюду на оси t одновременно для
всех i, k, I, m равенства
-ч Nm
+ \*)KdbF(t, s; K) = (F_ti-F_Nk)
-Nk ?i
ИЛИ
, s; Л)-
-Nk Ei
При каждом s ? e правая часть, как функция от t, стремится к нулю
в метрике L2, когда i, k, I, m -*¦ со. Следовательно, при s g e
J ^d^F(t, s; K).
-N'h ei
Остается проверить, что || (E+o — ?0) Kg || = 0 для почти всех s.
Но при любом / 6 L2
(/, (?+о - Ео) К.) = ((?+о -E0)f. К.) =
= \ Ks(t)((E+o-Eo)f)(t)dt=A*(E+o-Eo)f^O.

120. ОБОБЩЕНИЕ ФОРМУЛЫ ГИЛЬБЕРТА—ШМИДТА 461
120. Обобщение формулы Гильберта—Шмидта.
Теорема. Какова бы ни была функция / G L2, для почти
всех s
оо оо оо
j K(s, t)f(t)dt = J A,dx { \ F(s, t; K)f(f)dt},
,—oo —oo —oo
причем интеграл по % несобственный относительно точек % =
= —оэ, 0, оо.
Доказательство. В силу теоремы 3 п° 119 для любой
/ ? L2 справедливо при почти всех s равенство:
K(s, t)f(t)dt= \ f(t)dt I ld}f(s, t; Я) =
—oo —oo
-4 Nm
- lim \f(t)dt( \ +\ }%d>.F(s, t;%).
-i.
Нам нужно лишь доказать, что в правой части этого равенства
можно изменить порядок интегрирования. Для этого заметим, что
оо
Vai-д \ F(s, t; К) f (t)dt<±KSs
в силу замечания в конце п° 118, и поэтому для почти всех s при
ар > 0 (Р > а) интеграл Стилтьеса
F(s, t; %)f(t)dt A)
существует. Также для почти всех s существует интеграл
Р
f(t)dt ^%dbF(s, /;» B)
—оо а
при любой / @ 6 L2, так как
Р
\s, t; X)eL2(-oo, оэ),
а
В силу формулы B) п° 119.

462 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Если / (t) ? [L2]K, to равенство этих интегралов следует
из оценки величины
n= $ f(t)dt{\ bd}F(s, t; Я)-2 bhF(s, t;
hl
h=l
где в фигурных скобках — разность между интегралом Стилтьеса и
его интегральной суммой. Действительно, в силу теоремы 2 п° 118 *)
оо
max 1ДА| \ \f(t)\[VzTla,nF(s, t;
oo
< max \Ah\-LK(s)\\f\\K,
а следовательно, lim Jn = О, откуда и вытекает равенство инте-
П->оо
тралов A) и B).
Для произвольной функции / (t) G L2 можно выбрать сходя-
сходящуюся к ней в L2 последовательность функций fn (t) G [L2]K
(n = 1, 2, 3, . . .) и затем найти исключительное множество е
меры нуль на оси s, общее для всех этих функций. Но тогда по тео-
теореме Хелли о предельном переходе в интеграле Стилтьеса будем
иметь при s g e соотношение
Р оо Р оо
йь \ F(s, t; l)fn(t)dt~> \ldK \ F(s, t; l)f(t)dt.
a. —oo ct —oo
Кроме того,
oo p oo p
[ fn(t)dt \ld}.F(s, t; Ц-* \ f(t)dt \ld}.F(s, t; %).
—oo a — oo a
Поэтому интегралы A) и B) равны между собой для любой функ-
функции / (f) G L2 при любом s g e. Теорема доказана.
121. Характеристические свойства интегральных операторов Кар-
лемана.
Теорема**). Линейный оператор Т в L2 с плотной в L2
областью определения является интегральным оператором с ядром
*) Благодаря указанным в этой теореме свойствам функции F (s, t; Я,)
ее вариацию по Я, можно вычислять, исходя из разбиения интервала [о, Р]
лишь рациональными точками. Поэтому Var|-a ал F (s, /; Я,) измерима в (s, /)-
плоскости.
**) См. В. Б. Короткое «Об интегральных операторах с ядрами
Карлемана» (ДАН СССР, 165 A965), стр. J48—751). Мы доказываем эту
теорему в несколько иной, но эквивалентной формулировке.

121. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ КАРЛЕМАНА 463
Карлемана в том и только том случае, когда существует конеч-
конечная измеримая функция Р (s) > 0, удовлетворяющая следующим
условиям:
Г. [L2bg=DT*,
2°- ||^*?||<|№ Для любого g 6 [L2b,
3°. (T*f,g) = (f,T*g) для любых f,g
Доказательство необходимости условий очень просто.
Действительно, пусть Т есть интегральный оператор с ядром Карле-
Карлемана К (s, t). Покажем, что в таком случае условия Iе—3° будут
выполнены при Р (s) = К (s). Для этого введем операторы Ло ^
s Л ^ Л*, принадлежащие ядру /С (s, /) согласно п° 116. Всякий
интегральный оператор с ядром К (s, /) является частью опера-
оператора Л*. Следовательно, Т ^. А*. Поэтому Г* ^ Л** ^ Л и, зна-
значит, [L2]K^;DT*, т. е. условие 1° доказано. Равным образом
доказано условие 3°, так как при f, g ? [L2]K
(T*f, g) = (Aof, g) = (f, Aog) = (f, T*g).
Наконец, условие 2° следует из'того, что при любых /, g G [L2]K
ОО ОО
(T*f,T*g)-=(Aof, Aog)= \ ds \ K(s,u)f(u)du \ K(s, v)g~(v)
K(,)f() \ K(, )g()dv
— oo —oo
и, значит,
\f(u)\du \ \g(v)\dv \ \K(s, u)K(s, v)\ds<
— oo —oo
oo
\f(u)\K(u)du \ \g(v)\K(v)dv = \\f\\K-\\g\\K.
Переходя к доказательству достаточности, примем, что требуе-
требуемая теоремой функция Р (s) существует. Далее, возьмем какой-
нибудь элемент / 6 DT и произвольный элемент g 6 [ L2 ]Р. Ска-
Скалярное произведение (g, Tf) = (T*g, f) является в силу 1° и 2°
линейным функционалом от g в [L2]P ^ LP с нормой <||/||.
Этот функционал можно расширить по непрерывности на все про-
пространство Lp. Значит, существует такая измеримая функция
a (s), что
Tf)= \ g(s)a(s)ds

464 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
I a (s) I
vraimax- '
P(s) •
Так как почти всюду
(Tf)(s)=a(s),
то для почти всех s
(l)
Это неравенство, таким образом, имеет место для выбранной функ-
функции / G DT при любом s g ef, где ef — зависящее от / множество
меры нуль. Возьмем теперь какое-нибудь счетное множество,
всюду плотное в Dr. Ортогонализируя это множество, получим
некоторую ортонормированную последовательность {hh}f с: Dr
и возьмем множество 5ft элементов вида
fn = Ф\ + cJh + • • • + cnhn,
где п пробегает натуральный ряд, а при каждом п коэффициенты
си с2, . . ., сп принимают всевозможные комплексные значения
с рациональными компонентами. Множество 9} счетно. Каждому
элементу fn ? 9i отвечает свое исключительное множество е/ меры
нуль на оси s. Соединение всех этих множеств в/ обозначим е.
Оно также имеет меру нуль. Таким образом, при sg e для любого
элемента / 6 Ш
\(Tf)(s)\<CP(s)\\f\\.
Это неравенство будет иметь место при s g e для любого элемента
/*, принадлежащего линейной оболочке Ш множества {hk}f.
В самом деле, пусть
Возьмем элемент
/„ = сЛ + c2lh+ ... + cnhn
Тогда
| (Т/*) (s) - (Г/п) (s) | < n ¦ max | yh - cA | • max | (Tft,) (s) | <
max \yk — ch\-P(s)
и, значит, при надлежащем выборе чисел си с2 сп мы будем
иметь неравенство
(s)-(T/n) (s) |<еР(s) (see).

121. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ КАРЛЕМАНА 465
Отсюда следует, что
I (ТП (s) I < I (Tfn) (s) | + гР (s)< Р (s) || /„ || + гР (s)<
<P(s)||/*||+2eP(S),
и так как е > О произвольно, то наше утверждение доказано,
т. е. неравенство A) выполнено при s g e для любого элемента
/ (Е Ш- Но в таком случае (Tf) (s) является при любом s g e линей-
линейным функционалом в Ш с: L2 с нормой ^.P(s). Этот линейный
функционал можно расширить на все пространство L2 без увели-
увеличения нормы. Значит, существует функция Ks @ = К (s, t), изме-
измеримая по t при каждом s g е и такая, что для любого / 6 Sft и s g e
JC(s, 0/@ Л, B)
— оо
причем
оо
{\ \K(s, Oi2^}V2<P(s). C)
— оо
Из C) следует, что интеграл
, t)h(t)dt (s^e)
существует при любой функции h (t) G L2. А так как всякая функ-
функция h (t) G L2 является пределом последовательности функций
/ @ 6 Ш, для которых рассматриваемый интеграл есть измеримая
функция от s, то этот интеграл является измеримой функцией от s
при любой функции h (f) ? L2. Отсюда на основании леммы 2 п° 25
следует, что функцию К (s, 0 можно считать измеримой в плос-
плоскости s, t.
Докажем, что Т есть интегральный оператор с ядром К (s, t).
Пусть / е Ш, g в [L2]P. В силу B)
T*g) = (Tf, g)-= \ JW)ds I K(s, 0/@ Л. D)
С другой стороны, для любого элемента / 6 L2 при
в силу C)
\g(s)\ds \ \K(s, 0Н/@1#<||Л|. \ P(s)\g(s)\ds<cO,
—оо —оо
30 н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

466 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
а значит, по теореме Фубини,
' t)f(t)dt= J f(t)dt I K(s, t)gW)ds. E)
Если / ? Ш, то в силу D) левая, а потому и правая части E), рав-
равны (/, T*g). Отсюда благодаря плотности Ш в L2 заключаем, что
почти всюду
оо
(T*g) (t) = \ 1ЩТ) g (s) ds (g6 [L*]P).
—oo
Поэтому правая часть E) равна (/, T*g) для любого / G L2, а сле-
следовательно, равенство D) и вместе с ним представление B) спра-
справедливы для любого / 6 DT. Таким образом, доказано, что Т
есть интегральный оператор с ядром К (s, t).
Остается доказать, что почти всюду в плоскости s, t
K(s,t)=K(t,s). F)
Для этого воспользуемся условием 3° теоремы и равенствами D)
и E) для произвольных элементов f,g? [L2IP. Мы получим соот-
соотношение
K(s, t)g~®f(t)dsdt= \ W)ds 5 K(s, f)f(f)dt =
— oo —oo
= \ TVJdt \ Kit, s)g(s)ds= \ \ K{t,s)g~№f(f)ds-dt,
— oo —oo —oo —oo
из которого и следует равенство F) почти всюду в плоскости s, t.
Теорема доказана.
Замечание. Условия 1°—3° доказанной теоремы вместе
с требованием
4°. \(Т% g)\<\\f\\P-\\g\\P (/, g
необходимы и достаточны для того, чтобы оператор Т был инте-
интегральным оператором с ядром Карлемана К (s, t), удовлетворяю-
удовлетворяющим почти всюду в плоскости s, t неравенству
\K(s, t)\<P(s)P(t).
Примером таких операторов являются операторы Fk (% Ф 0),
введенные в п° 118 для произвольного оператора Карлемана

122. ТЕОРЕМА НЕЙМАНА 467
122. Теорема Неймана*). Естественно возникает вопрос о том,
насколько широк класс самосопряженных операторов в L2, кото-
которые являются интегральными операторами Карлемана или уни-
унитарно эквивалентны им. Ответ на этот вопрос дан Нейманом. Его
теорема гласит:
Самосопряженный оператор В в L2 унитарно эквивалентен
интегральному оператору с ядром Карлемана в том и только том
случае, когда непрерывный спектр оператора В содержит точку
Я = 0.
Доказательство. Начнем с доказательства достаточ-
достаточности условия. При этом мы можем предположить, что спектр
оператора В чисто точечный. Действительно, такой спектр (соглас-
(согласно теореме п° 94) будет во всяком случае у оператора С = В + R
при надлежащем выборе самосопряженного оператора R с конеч-
конечной (даже сколь угодно малой) абсолютной нормой, а оператор R
этого рода, равно как и всякий ему унитарно эквивалентный опе-
оператор, является интегральным оператором Гильберта — Шмидта.
Таким образом, мы можем принять, что операторов имеет чисто
точечный спектр. Пусть {X,-}f есть последовательность всех его
собственных значений. Положим, что точка % — 0 является пре-
предельной точкой спектра, так что существует бесконечная после-
последовательность индексов mq (± q = 1, 2, 3, . . .), для которой
1Ч1<ТТМ (±9=1,2,3,...).
Множество остальных индексов пусть будет {пр}™=-оо- Представим
совокупность всех натуральных чисел в виде счетного множества
последовател ьностей
-со (?=1,2,...),
где
lpi = nv, lvh — m2fe-2Bp_ 1) (k = 2, 3,...).
Тогда
Ч 2\2pf\ pl2^TT
fc=l fe=2
Возьмем какую-нибудь полную ортонормированную систему функ-
функций {-фй (s)}f° в интервале 0<s<l, удовлетворяющую требова-
требованию равномерной ограниченности:
<l, k=l, 2, 3, ...).
*) J. von Neumann, Charakterisiertmg des Spektrums eines Integra-
loperators (Act. sc. et ind.), Paris, 1935.
30*

468 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Например, можно взять я]зА (s) = ]/~2sin(fois). Далее положим
,. | 1>а(«-р), seip, p;+i),
Ф^E) = 1 0, sg[p,p + l).
Ясно, что {фр,й (s)} есть полная ортонормированная система
в L2(—оо, оо). Ряд
оо оо
K(s, o= 2 2 h мФр,лE)фР,но
сходится всюду и притом абсолютно. Действительно, если, например,
то при i Ф j все члены равны нулю, а при i — j
оо
K(s, t)= 2 я,| *fc(s—о*ьС—0t
откуда
оо
IK (s, 01<^2 2 I 4a I<<^2^ (t < J <?+ 1) .
Мы замечаем также, что
оо
A?(s) - \ \K(s, /)|«?
Поэтому эта величина конечна при любом s. Таким образом, мы
пришли к интегральному оператору
)= \ K(t,s)f(s)ds
•—оо
с "ядром Карлемана, и наше построение показывает, что
Так как {фр,й (/)} есть полная ортонормированная последователь-
последовательность, то спектр построенного интегрального оператора чисто
точечный и последовательность точек ^, , где ±р = 0, 1,2, . . .,
?=1,2,3, . . ., образует полную систему его собственных значений.
Доказательство достаточности закончено.
Чтобы доказать необходимость, положим, что нам дан само-
самосопряженный интегральный оператор
(Af)(f)= \ K(t,s)f(s)ds
— оо
с ядром Карлемана.

122. ТЕОРЕМА НЕЙМАНА
469
Требуется доказать, что точка 0 принадлежит его непрерывному
спектру. Для этого достаточно построить (см. п° 93) ортонормиро-
ванную систему функций {фй (t)}f с: L2 (—оо, оо) (не обяза-
обязательно полную), для которой
lim
Возможность этого построения, а вместе с тем и необходимость
условия в теореме Неймана, вытекают непосредственно из сле-
следующего вспомогательного предложения, к доказательству кото-
которого, таким образом, сводится наша задача.
Лемма. Какова бы ни была конечная система функций
{фй @)Г ^ L2 (—оо. оо) и каково бы ни было число е > 0, суще-
существует функция я]з (t) ? L2, удовлетворяющая условиям
||я]з|| = 1, ||Ля]з||<8, (фй, -ф) = 0 (&=1, 2, ..., m),
где А — интегральный оператор с ядром Карлемана (не обяза-
обязательно самосопряженный).
Доказательство леммы. По свойству ядра Карле-
Карлемана, можно указать некоторое число N > 0 и множество Е с:
с: [0, 1 ] положительной лебеговой меры таким образом, чтобы это
ядро К (s, t) удовлетворяло неравенству
Положим
оо
\\K(s,
.@ = |
K(s,t)
0
так что
IKII2<w
и, следовательно,
is = \ || ws
Е
Введем теперь новую меру, равную
для множества е, и назовем ее для краткости w-мерой.

470 ДОБАВЛЕНИЕ I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Следующий шаг построений состоит в выборе какого-нибудь
ортонормированного базиса {gh @}f cr L2. С помощью этого бази-
базиса построим бесконечную последовательность функций Фд (s) =
= (ws, gh) (k = If 2, . . .); все они отличны от нуля лишь при
s ? Е. По теореме Лузина из Е можно удалить некоторое множество
сколь угодно малой а>-меры<!т] ( мы примем i) <Z -г е2 j так, чтобы
на оставшемся множестве функция Фо (s) = || ws ||2 была непре-
непрерывна. Из этого последнего множества удалим подмножество
гс-меры ^СуТ} так, чтобы на новом множестве была непрерывна также
функция Ф4 (s). Продолжая неограниченно этот процесс, мы при-
придем к множеству Fc Ё, дополнение которого до Е имеет w-меру
<2т]. Множество F можно, очевидно, считать замкнутым, так как
замкнутость всегда может быть достигнута удалением еще одного
открытого множества сколь угодно малой w-меры. На множестве
F все функции Фа (s) (k = 0, 1, 2, . . .) непрерывны. Поэтому,
если s G F, s0 G F и s-> s0, то
llo'oll-HNsoll. (о-1*. gh)-+(wso, gh) (k=l, 2, 3, ...).
Из этих соотношений следует, что
aysojj=O.
S-VSQ
Более того, в силу ограниченности и замкнутости множества F,
здесь имеет место равномерность, а именно: при любом 6 > 0
можно указать такое б > 0, что при \s" — s'\<Z б, s" G F, s' 6 F
выполняется неравенство
\\ws» — av||2<6.
Поэтому при любом 6 > 0 ( мы примем 6 <; у е2 J можно найти точки
Si, s2, . . ., sp? F, где р = p F), таким образом, чтобы для любой
точки s ? F при каком-нибудь /A<!/<;р) имело место нера-
неравенство
\\wa — wSj\\2<Q.
Теперь возьмем произвольную функцию я]з (t) G L2, ||я]з||=1,
ортогональную к функциям wSh (t) (k = I, 2, . . ., p), и пока-
покажем, что
оо
\ \(wa, iW|ads<e«.

122. ТЕОРЕМА НЕЙМАНА 471
В самом деле,
\(we, i|j)|«ffe=§|(a>,, 1|з)|«ds =
Е
F E-F
= ^\(w. — wtJ, *)|2ds+ J | (a;., a];) |2 ds < 6 + 24 < e2.
F E-F
Примем дополнительно, что я]з (s) = 0 при s ? E. Тогда
оо оо
= J ds
Мы видим, что если бы функция я]з (/) еще была ортогональна каж-
каждой из функций фй (/) (^ = 1, 2, . . ., т), то она удовлетворяла
бы всем условиям леммы, и эта лемма была бы доказана. Итак,
остается показать, как такую функцию построить. С этой целью
возьмем т + р + 1 линейно независимых функций я]зд @ 6 L2,
равных нулю вне Е. Такие функции существуют *), так как мера Е
положительна. После того как функции я]зА (t) выбраны, можно
положить
т+р+1
требуя, чтобы
Эта система уравнений разрешима относительно Ya (причем с помо-
помощью этих уравнений коэффициенты ук определяются в существен-
существенном однозначно, т. е. с точностью до постоянного множителя,
равного 1 по модулю).
Таким образом, лемма доказана и тем самым доказательство
теоремы Неймана закончено.
*) Например, можно в Е выбрать т + р + 1 непересекающихся под-
подмножеств положительной меры и взять в качестве функций % (/) характе-
характеристические функции этих подмножеств.

ДОБАВЛЕНИЕ I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
123. Самосопряженные дифференциальные операции. Настоящее
добавление содержит основные сведения по теории обыкновенных
дифференциальных операторов. Изложение ряда специальных воп-
вопросов, а также другие подходы к теории читатель найдет в моно-
монографиях Э. Ч. Титчмарша, Б. М. Левитана, М. А. Наймарка *).
Начнем с изложения некоторых фактов относительно веще-
вещественных дифференциальных выражений (или, как мы условимся
их называть, дифференциальных операций), самосопряженных
в смысле Лагранжа.
В курсах анализа устанавливается, что самосопряженная диф-
дифференциальная операция второго порядка
в предположении ^-кратной дифференцируемое™ коэффициента
/д (t) может быть приведена к виду
Здесь р0 (t) есть дифференцируемая функция. Однако можно рас-
рассматривать подобную операцию без предположения о дифферен-
дифференцируемое™ функции р0 (t). При этом полученную операцию при-
придется применять лишь к таким дифференцируемым функциям
Ф (t), для которых произведение роф' абсолютно непрерывно.
Обратимся теперь к самосопряженным дифференциальным опе-
операциям порядка 2и. Мы примем здесь в качестве канонической
формы такой операции выражение.
/ = PnD°-D {pn-.D- D [pn^D*- ...-D (PlDn-i-DPoDn)]}. A)
Если коэффициент р„-й (t) дифференцируем k раз (k = 0, 1, ...
. . ., и), то мы получим обычную дифференциальную операцию,
самосопряженность которой проверяется непосредственно. Мы,
*) Э. Ч. Т и т ч м а р ш, Разложения по собственным функциям, ИЛ,
т. I, 1960; т. II, 1961; Б. М. Л е в и т а и, Разложение по собственным функ-
функциям, Гостехиздат, 1950; М. А. Н а й м а р к, Линейные дифференциаль-
дифференциальные операторы, Гостехиздат, 1954.

123. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ 473
однако, не будем предполагать дифференцируемость коэффициен-
коэффициентов рп_й (t), сохраняя при этом за операцией A) название диффе-
дифференциальной. Обозначая через (а, Ь) тот незамкнутый конечный
или бесконечный интервал, в котором дифференциальная опера-
операция A) рассматривается, мы будем предполагать, что коэффициенты
Pk (t) в этом интервале измеримы и в каждой замкнутой части
[a, pi этого интервала (а, Ь) удовлетворяют условиям
Р Р
$ $<со (*=1, 2,...,л). B)
Если интервал (а, Ь) конечен и если условия B) выполняются
при а = а, р = Ь, то операцию A) называют регулярной. Если же
интервал (а, Ь) бесконечен или если он конечен, но условия B)
не выполняются при а = а или Р = Ь, то операцию A) называют
сингулярной. При этом левый конец а называется сингулярным,
если а = —оо или а > —оо, но в B) нельзя положить а = а.
Аналогично определяется сингулярность правого конца Ь. Если
конец не является сингулярным, то его называют регулярным.
Сингулярные операции с одним сингулярным концом мы будем
рассматривать, не нарушая общности, на полуоси @, оо), а с дву-
двумя — на всей оси (—оо, оо). При этом для удобства введем вместо
производных Dhq> = (p(ft) так называемые квазипроизводные DWq> =
= фИ, которые определяются следующими формулами:
Теперь операция A) может быть записана в форме
Пусть D* означает класс всех тех функций ф (t) 6 L2 (а, Ь),
для которых квазипроизводные фМ (t) (k = 0, 1, . . ., 2п— 1)
абсолютно непрерывны, а квазипроизводная ф[2пЗ (t) принадлежит
L2 (а, Ь). Очевидно, D* есть наибольшее линейное многообразие
в L2 (а, Ь), на котором операция / имеет естественный смысл и можег
рассматриваться как оператор в L2 (а, Ь). Мы обозначим этот
оператор L*, так что D* = D/,*. Ниже мы обнаружим целесооб-
целесообразность этого обозначения.
Из представления A) легко получить для любых двух функций
Ф, *ф g D* так называемое тождество Лагранжа
^ [ф! яр — ф/№1

474 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
где [ф, я]з1( — следующая билинейная форма:
[ф. *]f= 2 {ф^-^ (О ^=Ч(/) _ф[2»-
Мы будем пользоваться тождеством Лагранжа в виде
Р Р
\ * [<Р @1 * @ * - \ Ф @ г № @1Л = [ф, *]?,
где [а, pi — любая замкнутая часть интервала (а, Ь) и
[ф. ^]a=^, ^Ip— [ф, ty]a-
Так как каждый из интегралов
существует при а = а, р = 6, то билинейная форма [ср, я]з!( имеет
конечное значение и на концах интервала (а, Ь), независимо от того,
являются ли эти концы регулярными или сингулярными. При этом
под значением билинейной формы на сингулярном конце мы пони-
понимаем предел [ф, я]з]( при приближении t к этому концу.
Пусть / — дифференциальная операция, регулярная или син-
сингулярная на интервале (a, b), a g (t) — комплексная функция,
измеримая и локально суммируемая в этом интервале. Решением
уравнения
C)
при некотором значении параметра К естественно называть всякую
функцию ф (t), которая абсолютно непрерывна вместе со своими
квазипроизводными до Bп — 1)-го порядка, и которая обращает
это уравнение в тождество почти всюду в (а, Ь).
Для уравнения C) имеет место следующая теорема существо-
существования, доказательство которой нетрудно получить, пользуясь
методом последовательных приближений Пикара.
Теорема. Уравнение C) имеет решение ц> (t), и притом
только одно, удовлетворяющее условиям типа К.оши
tfkl(t0) = ah (k=0, I, 2, ...,2n-l),
где t0 — произвольная внутренняя точка интервала (а, Ь) или его
регулярный конец.
Заметим, что если операция / регулярна на интервале (а, Ь),
и g (f) 6 L2 (a, b), то в силу самого уравнения C) это решение будет
принадлежать D*.

123. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ 475
Из теоремы существования следует, в частности, что линейное
многообразие решений однородного уравнения
Ци]-%и = 0 D)
имеет размерность 2п. Необходимым и достаточным условием
линейной независимости решений и±, ы2. • • •. « уравнения D)
является неравенство нулю определителя типа Вронского
W [ии и2, ..., и2п] = det (wp-1] @M=ь
Любая система In линейно независимых решений уравнения D)
называется фундаментальной.
Если функции
«l@. «2@. ...,«2п@ E)
образуют фундаментальную систему решений уравнения D), то
любое решение неоднородного уравнения C) можно представить
в виде
2n t 2n
ф (о=2 «а (о ^ v* (s) ^ (s)ds+2 с*ы* (о.
Л=1 to h=t
что легко установить, модифицируя надлежащим образом класси-
классический метод вариации произвольных постоянных. При этом, как
и в классическом случае, устанавливается, что функции
....^(О F)
также образуют фундаментальную систему решений уравнения D),
так называемую сопряженную по отношению к E) систему.
Для дальнейшего нам еще понадобится следующая простая
Лемма. Если операция I регулярна на интервале (а, Ь), то
для разрешимости уравнения C) при граничных условиях
ym(a) = ym(b) = O (k=0, 1, 2, ...,2л-1)
необходимо и достаточно, чтобы правая часть g (t) была ортого-
ортогональна к 2п-мерному многообразию решений однородного урав-
уравнения D).
Доказательство. Пусть ф (t) — решение уравнения C),
удовлетворяющее условиям
Ф[ЧF) = О (/г = 0, 1, 2, ..., 2п-1).
Применяя тождество Лагранжа к функции ф (t) и некоторой
функции ui (t) из фундаментальной системы решений уравнения D),

476 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
получаем
п
4(a)ql2n-hl(a) — u
ь
[2п-А] ^ ф[*-1] (g)}= \ 1
а
к (s) § (^
i)ds.
G)
Подчиняя фундаментальную систему начальным условиям
ы|й~1] (а) -
получим:
Г ь„
ds (r = 0, 1, ..., п— 1),
: w
= n, n + 1, .... 2n—1),
откуда следует справедливость леммы.
124. Регулярные дифференциальные операторы. Пусть / — какая-
нибудь регулярная дифференциальная операция, заданная на интер-
интервале (а, Ь). Если ф, 'ф — произвольно взятые функции из D*, то
разность
(L*cp, i|3)-(q>, L4>) = [q>, МЪа,
вообще говоря, не равна нулю и, следовательно, L* не является
симметрическим оператором. Чтобы правая часть написанного
соотношения равнялась нулю, необходимо наложить какие-то
дополнительные условия на функции ф, я]з и тем самым перейти
от области D* к некоторой ее части. Во всяком случае достаточно
потребовать, чтобы каждая из функций Ф, ^ удовлетворяла соот-
соотношениям
уи<Ца) = утф) = 0 (k = 0, I, ...,2n-l). A)
Обозначим через D совокупность всех тех функций из D*, кото-
которые удовлетворяют An условиям A). Естественно ожидать, что
оператор L, областью определения которого является DL = D
и который в этой области совпадает с L*, уже будет симметрическим
оператором. Так как для любых функций ф, я]з 6 D
(Z-ф, о|:) = (ф, Щ,
то необходимо лишь установить плотность в L2 (а, Ь) многообра-
многообразия D. Это последнее очевидно в том случае, когда операция /

124. РЕГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 477
является дифференциальной в обычном смысле, так как в этом
случае многообразие D содержит, например, все многочлены,
удовлетворяющие условиям A). Для доказательства плотности D
в L2 (а, Ь) в общем случае заметим, что на основании леммы п° 123
имеет место разложение в ортогональную сумму
U (a, 6) = AL©^0, B)
где 9?0 есть 2и-мерное многообразие решений однородного урав-
уравнения
Примем теперь, что (h, ф) = 0 для некоторого h ? L2 (а, Ь) при
всех Ф 6 D. Мы должны доказать, что h = 0. С этой целью обозна-
обозначим через я]з какое-нибудь решение уравнения
На основании тождества Лагранжа
(*, МФ» = (/[*], Ф) = (Л, ф) = 0.
Так как / [ф] = L*<$ = Lq> 6 А^, то в силу B) я]з ? 5^о. т. е.
и, значит, h = 0, что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что оператор L* является сопряженным для
оператора L и тем самым оправдывает свое обозначение. Обозначим
на минутку оператор, сопряженный с L, через М. Пусть •ф 6 DM
и пусть
Обозначим через я]з0 какое-нибудь решение уравнения
Цу] = Х.
Тогда в силу тождества Лагранжа при любом Ф 6 D
(Ф, Х) = (ф, /[1|?о]) = (/[ф], *о) = Aдр, •фо).
А с другой стороны, по определению сопряженного оператора,
(Ф, Х) = (ф, My) = (bf, 1|з).
Таким образом,
(Dp, *—i|3o) = 0.
Отсюда, в силу произвольности ф 6 DL и разложения B), сле-
следует, что

478 ДОБАВЛЕНИЕ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Это включение показывает, что *ф 6 D* и что, следовательно,.
Итак, мы показали, что
M<=L*.
Но, с другой стороны, при любом ср 6 D и любом if G D*
1|>)(ф Z*i|j) [q> Ц] 0
Следовательно,
L*<=M.
Значит,
M = L*,
и наше утверждение доказано.
Читатель легко проверит, что L** совпадает с L, откуда сле-
следует замкнутость оператора L.
Как уже отмечалось в п° 123, область Dx,* является наиболее
широким линейным многообразием, на котором операция / порож-
порождает оператор в L2 (а, Ь). Любой замкнутый симметрический опе-
оператор, для которого область определения сопряженного оператора
входит в Df,*, является расширением оператора L. Поэтому мы
будем называть оператор L регулярным дифференциальным опера-
оператором с минимальной областью определения или, короче, мини-
минимальным дифференциальным оператором (порожденным опера-
операцией /).
Так как уравнение L*ty — Щ = О имеет (при любом Я) In
линейно независимых решений, то индексы дефекта оператора L
суть Bn, In).
125. Самосопряженные расширения *) регулярного дифференциаль-
дифференциального оператора. Для описания всех самосопряженных расши-
расширений оператора L достаточно указать все области определения
этих расширений. Мы покажем, что область определения любого
самосопряженного расширения оператора L может быть задана
с помощью некоторых граничных условий, и дадим характеристику
всех таких условий.
*) Здесь и далее, говоря о самосопряженных расширениях, мы имеем
в виду самосопряженные расширения первого рода.
Относительно общего вида граничных условий, характеризующих
самосопряженные расширения дифференциальных операторов, см.
М. Г. К р е й н, Теория самосопряженных расширений полуограиичениых
эрмитовых операторов и ее приложения, II, Матем. сб., т. 63 A947), а также
А. А. Г р а ф ф, К теории линейных дифференциальных систем в области
одного измерения, Матем. сб., т. 60 A946) и т. 63 A947).

125. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ РЕГУЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА 479
Пусть L означает некоторое самосопряженное расширение
оператора L. Чтобы функция Ф из Dx,* принадлежала D^, необхо-
необходимо и достаточно выполнение равенства
или, в силу тождества Лагранжа, равенства
[ф, ^]а = 0 A)
при всех я]з (Е Dj-.
Так как
dimD?- = 2n (modDL),
то в Dj- существует In таких функций wlt w2, ¦ ¦ ¦, w2n, что любая
функция о|з из D^ представима в виде
2п
ф % + 2 (
Так как, далее, в силу условий A) п° 125, равенство
[ф, %fa = 0
имеет место для любой функции ф из D^*, то условие A), содержа-
содержащее «произвольную» функцию я]з, эквивалентно In условиям
[ср, и)*Й = 0 (k = l, 2, ..., 2п); B)
при этом функции wlt w2, . . ., w2n в силу своей принадлежности
к D~ удовлетворяют условиям
[ш,, wh]ba = 0 (i, k=l, 2, ..., 2n). C)
Равенства B) можно рассматривать как систему граничных
условий, а равенства C) — как свойство коэффициентов этих
условий.
Граничные условия B) можно записать в виде In линейно неза-
независимых уравнений
2 <W*-U (а) + 2 Р«ф№-«] F) = 0 0=1,2,..., 2л), B')
fc i A 1
если положить
aiA =Ъ,[2—Ч (а),
= 1, 2 л); (

480 ДОБАВЛЕНИЕ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
при этом равенства C) примут вид
п п
ZJ ai, r O-h,2n-r+l— ZJ ai,2n-r+l ak, г =
r=i r=i
И П
= S P«, г P*. 2n-r+l - S P«, 2n-r+l PA, г (i, АГ=1, 2 2«). C')
r=i r=i
Таким образом, область определения каждого самосопряжен-
самосопряженного расширения L оператора L состоит из всех тех функций ф (Е
6 Di*, которые удовлетворяют In граничным условиям вида B')
с коэффициентами, обладающими свойством C').
Положим теперь, что дана некоторая система In граничных
условий вида B') с коэффициентами, удовлетворяющими усло-
условиям C'), и докажем, что такая система задает в вышеуказанном
смысле область определения некоторого самосопряженного рас-
расширения оператора L.
Примем на мгновение, что в D*,* существует 2п функций
wt,w2, . . ., W2n, удовлетворяющих условиям D). Тогда условия B')
и равенства C') примут вид B) и соответственно C), и нам придется
доказать, что условия B) при функциях wh ? Dt*, удовлетворяю-
удовлетворяющих соотношениям C), определяют некоторое самосопряженное
расширение оператора L. Докажем сначала это утверждение.
С этой целью обозначим через D совокупность всех функций Ф 6
6 Dx,*, которые удовлетворяют условиям B), а через D' — совокуп-
совокупность всех функций вида
2и
¦ф = -фо -h S
k
где я]з0 пробегает DL, а <ц, а2, . . •, а2п — произвольные] постоян-
постоянные. Условия B) эквивалентны условию, что
[ф, Wa = 0 E)
при любом я|; ? D'. Но всякая функция из D' этому условию удовлет-
удовлетворяет, поскольку имеют место соотношения C). Следовательно,
D" ^ D. А так как оба многообразия D и D" по модулю Db 2n-
мерны, то D = D". Поэтому D (DL cDc D^*) содержит все функ-
функции ф 6 D^*, для которых имеет место равенство E) при любой
функции гр ? D. На основании леммы п° 46 отсюда и вытекает,
что оператор L cz L* с областью определения D является са-
самосопряженным расширением оператора L.
Нам остается доказать, что в Dx,* существуют функции, при-
принимающие вместе со своими квазипроизводными до Bп — 1)-го
порядка включительно на обоих концах интервала [а, Ь] наперед

125. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ РЕГУЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА 481
заданные значения. Действительно, возьмем какую-нибудь функ-
функцию gi (f), ортогональную к многообразию решений однородного
уравнения D) п° 123 , и обозначим решение уравнения
удовлетворяющее заданным условиям в точке а, через о»! (t). В силу
формул (8) п° 123 со1!4 (Ь) = 0 (k = О, 1, 2 2п — 1). Построив
аналогично функцию а>2 (t), удовлетворяющую заданным условиям
на правом конце, и беря сумму о»! (t) + а>2 @> мы получим функ-
функцию из D^*, удовлетворяющую всем требуемым условиям.
Таким образом, доказана следующая
Теорема. Система линейно независимых граничных усло-
условий B') определяет самосопряженное расширение оператора L
в том и только том случае, когда число условий равно 2п и коэффи-
коэффициенты в B') обладают свойством C').
Граничные условия, порождающие самосопряженное расшире-
расширение дифференциального оператора, называются самосопряженными.
Условия вида
<p[fc-i] (a) sin afe + cpt2n-feJ (a) cos afe = О,
(&=1 п),
Ф»-*! ф) sin pfe + ф[2п-Ч ф) cos pA = О
где afe, Pfe — произвольные вещественные параметры, являются
примером самосопряженных (и притом распадающихся) граничных
условий.
Повторяя известные выкладки, легко построить функцию Грина
G (t, s) любого такого самосопряженного расширения L оператора
L, для которого К = 0 не является собственным числом. Функция
G (t, s) есть ядро Гильберта — Шмидта, а интегральный оператор К,
определяемый этим ядром, связан с оператором L формулой
Отсюда следует, что спектр оператора L состоит лишь из собствен-
собственных значений, которые имеют единственную предельную точку
и притом на бесконечности.
Таким будет спектр L и в том случае, когда X = 0 оказывается
собственным числом. Действительно, меняя параметры в краевых
условиях, всегда можно найти такое самосопряженное расшире-
расширение L4 оператора L, для которого 0 не является собственным чис-
числом, и потому спектр Li будет обладать доказанными свойствами.
Но тогда эти же свойства сохраняются для спектра любого само-
самосопряженного расширения L оператора L (так как расширение
конечномерно).
31 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

482 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В заключение отметим, что если опустить равенства C'), то гра-
граничные условия B') определяют квазисамосопряженное расшире-
расширение оператора L в смысле п° 114.
126. Сингулярные дифференциальные операторы*). Мы начнем
со случая, когда интервалом является @, оо), т. е. правый конец
интервала сингулярен. Левый конец интервала предположим
регулярным.
Введем оператор L равенством
на многообразии D „, представляющем совокупность всех финит-
финитных функций из D*, которые удовлетворяют условиям
Ф@) = ф[11@)=... =ф[2»-П@) = 0. A)
Так как оператор L, очевидно, симметрический, то он допускает
замыкание, которое мы обозначим через L и будем называть
(см. п° 124) сингулярным дифференциальным оператором с мини-
минимальной областью определения (короче: минимальным дифферен-
дифференциальным оператором).
Теорема 1. Оператор L* является сопряженным для опе-
оператора L.
Доказательство. Как и в п° 124, обозначим через М
оператор, сопряженный с L. Так как включение
DL* ?= DM
и равенство
1Щ = I [Я|5]
при я|) ? Di.* очевидны, то нам надлежит лишь доказать, что
DM ?= DL*.
С этой целью, как и в п° 124, возьмем какую-нибудь функцию
я|) 6 DM и положим
Далее обозначим через я|H какое-нибудь решение уравнения
Теперь нам остается доказать, что
яМ0 = МО+ «(').
*) пспс 126, 127 и 128 представляют извлечение из статьи: И. М. Г л а з-
м а н, К теории сингулярных квазидифференциальных операторов, УМН,
5, вып. 6 A950), 102—135.

126. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 483
где и (t) есть некоторое решение уравнения
Цу] = 0. B)
С этой целью возьмем функцию g (t) 6 L2 @, оо), равную нулю
при ^>а и ортогональную к 2п-мерному многообразию решений
уравнения B) в интервале O*ct*?a. Тогда согласно пр 123 най-
найдется функция ф (t), равная нулю при ?>а и удовлетворяющая
уравнению
/[ф] = ?.
а также условию A). Очевидно, ф 6 Dl с: Вь и, следовательно,
(g. Ф) = (^Ф. Ф)==(Ф. Л!ф) = (ф, х).
Но, с другой стороны *),
&. 41о)=(/[ф]> Фо) = (ф. /[*о1) = (ф, %)¦
Поэтому
Отсюда, учитывая степень произвола в выборе функции g (t), мы
получим, что
Ф(О-Фо(О = «(О.
где а @ — решение уравнения B).
Примечание. Отметим, что все функции из DL удовлетво-
удовлетворяют условию A). Действительно, пусть г]) (t) есть произвольная
функция из DL*, равная нулю при t>a. Тогда при ф 6 DL из
равенств
(Lq>, ф) = (ф, LMJ),
следует, что
откуда
[ф, iMo =
а в силу произвольности значений ipt*-'] @) (k = 1, 2 2n)
это означает, что функция ф (t) удовлетворяет условию A).
Переходим к вопросу о дефектных числах оператора L, кото-
которые одинаковы в силу вещественности коэффициентов операции /.
Теорема 2. Дефектное число т дифференциального опе-
оператора 2п-го порядка на интервале с одним сингулярным концом
удовлетворяет неравенству
n<m<2«. C)
*) Хотя чро ? L2 @, со), запись (g, i^0) допустима, так как g —финитна.
31*

484 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Доказательство. Правая часть неравенства непосред-
непосредственно следует из теоремы 1.
Для доказательства левой части неравенства воспользуемся
первой формулой Неймана (п° 102)
Вследствие равенства размерностей подпространств 9^ и 9^
достаточно установить, что
dimDL*>2n (modDb).
С этой целью докажем существование 2п линейно независимых
функций, принадлежащих DL*, никакая нетривиальная линейная
комбинация которых не принадлежит DL. Нетрудно видеть, что
в качестве таких функций можно взять любые линейно независи-
независимые функции i|)i (t) i]Jn (t) из D7j*, удовлетворяющие условию
ибо тогда из предположения
2п
г=1
-следуют (см. примечание к теореме 1) равенства
•ф @) = 1|зЧ] @) = .. . = я|)[2«-1] @) =-. 0,
откуда вытекает, что все а,- = 0 (t = 1 2п).
,Из теорем 1 и 2 следует, что число решений уравнения
принадлежащих L2 @, оо), не менее половины порядка операции /
(и не зависит от К).
Число т в неравенстве C) может принимать любые значения между п
и 2п. Любопытно отметить, что при /j = —i (I + t) D A + t), L, = D2 — 1
оператор 2п-го порядка с минимальной областью определения, порожден-
лый операцией
на интервале @, со), имеет индексы дефекта (ш, т). Проверка этого факта
предоставляется читателю *).
Рассмотрения, относящиеся к случаю интервала (—оо, оо)
с двумя сингулярными концами, аналогичны приведенным выше.
*) В связи с этим см. И. Г л а з м а н, Об индексе дефекта дифферен-
диальных операторов, ДАН СССР, т. LXIV, № 2 A949).

127. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ СИНГУЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА 485
Оператор L с минимальной областью определения и в этом
случае определяется как замыкание оператора L, но условие A)
следует опустить. Теорема 1, характеризующая оператор L*,
сохраняется. Теорему 2 заменяет следующая
Теорема 3. Пусть L<~) и L<+) — сингулярные дифферен-
дифференциальные операторы с минимальными областями определения,
порожденные операцией I в интервалах (—оо, 0) и @, оо) соответ-
соответственно. При этих условиях дефектное число т оператора L опре-
определяется формулой
m = m<-) + m<+) —2п,
где /л<-) и /л(+> — дефектные числа операторов L<~> и L<+) соот-
соответственно.
Доказательство. Сузим область определения опера-
оператора L, подчинив функцию ф из D о дополнительному требованию
ф @) = ф[!3 @) = . . . = ф[2«-1] @) = 0,
и обозначим полученное таким образом линейное многообразие
через Do, а оператор, совпадающий с оператором 1 на Do и опре-
определенный лишь на Do, обозначим через Lo. Пусть Lo есть замыка-
замыкание Lo. Очевидно,
dimDb = 2n (modDLo).
Но в силу замечания п° 102 (стр. 359) dim DL (mod DLo) равняется
избытку дефектного числа оператора Lo над дефектным числом
оператора L. Следовательно, дефектное число оператора Lo равно
то = т-\- 2п.
С другой стороны, оператор Lo приводится подпространствами
L2 (—оо, 0) и L2 @, со) и при этом
так что
т0 =
Таким образом,
m = m(
что и требовалось доказать.
127. Самосопряженные расширения сингулярного дифференциаль-
дифференциального оператора. Самосопряженные расширения сингулярного опе-
оператора, подобно самосопряженным расширениям регулярного опе-
оператора, можно характеризовать с помощью системы граничных

486 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
условий, имеющих, однако, более сложную структуру, чем соответ-
соответствующие условия п° 125. Займемся случаем, когда всего один
конец интервала сингулярен.
Из общей теории расширений (см. п° 102) следует
Теорема 1. Пусть индексы дефекта оператора L есть
(т, т) (п^.т^. 2п) и пусть функции
uk(t; X)?U@, oo) (k=l, 2 m)
образуют ортоноржированную систему решений уравнения
/[«] —Я« = 0
при некотором фиксированном невещественном значении X.
При этих условиях существует взаимно однозначное соответ-
соответствие между классом всех самосопряженных расширений Lo опера-
оператора L и классом всех унитарных матриц Ь — (ftik) tn-го поряд-
порядка. Это соответствие определяется формулой
14 = ^©^, A)
где Г# есть линейная оболочка функций
р 2 ®ikuk(t; X).
Доказательство. Достаточно заметить, что функции
Uk (t; Я) (k = 1, 2 т) образуют ортонормированную систему
решений уравнения
L*g-hg = 0.
Займемся выяснением тех граничных условий, которые харак-
характеризуют функции из D^.
Теорема 2. Пусть L® — самосопряженное расширение опе-
оператора L с индексами дефекта (т, т), определяемое в смысле
теоремы 1 унитарной матрицей ¦&. Пусть, далее, функции
го^ (t; X) (i = 1, 2 т) имеют тот же смысл, что и в тео-
теореме 1.
В таком случае область определения DLj} оператора L& состоит
из всех функций ц> (t) из Dl*, которые удовлетворяют т условиям
[Ф, 4*)Io° = 0 (i=l,2, ...,m). B)
Доказательство. Заметим сначала, что на основании
формулы Лагранжа для принадлежности функции ф (t) из D^*
к Djr необходимо и достаточно выполнение условия
О C)

127. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ СИНГУЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА 487
для всех я|5 (t) из D^ . Теперь остается показать, что система усло-
условий C), содержащая «произвольную» функцию я|) (t), сводится
(при ф (t) ? Dl*) к системе т условий B).
Согласно формуле A) функция if (t) допускает представление
фо @ + S с*4д) (*; X,) (ф0 @ € D
i=l
откуда
[ф. i|>]c° = [ф. фо]сГ + S сАф» a^lo".
Так как ф0 (t) 6 Db, то
[ф, фо]~ = О
при ф (t) g DL*, и в силу произвольности постоянных Ci (i =
= 1, 2, . . ., т) эквивалентность условий C) и B) установлена.
Мы сохраняем за равенствами B), содержащими предельный
переход, название граничных условий. Нижеследующая теорема
указывает случай, когда граничные условия не содержат пре-
предельного перехода.
Теорема 3. Если индексы дефекта оператора L есть (п, п),
то системы граничных условий, определяющие самосопряженные
расширения Lo оператора L, имеют вид
[Ф, ш|О)]0 = 0 (t = l, 2, .... п). D)
Доказательство. Для доказательства достаточно уста-
установить, что при условиях теоремы любые две функции ф (t) и я|) (t)
из Do удовлетворяют соотношению
[ф, Я|5]со = 0.
ПРИ
При таком выборе функций if? (t) их линейная оболочка не имеет
с DL общих элементов, отличных от нуля. С другой стороны,
в силу предположения об индексах дефекта оператора L,
L* = 2n (modDb)
с
так,
этой целью выберем
¦фг(О (i= 1, 2, .
чтобы
в !
..,
D^* функции
2п), % (t) =

488 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
и, следовательно, для любой функции <р (t) ? DL* существуют такие
константы аи а2 а2п, что
2п
откуда, используя равенство функций я]^ (t) (i = 1,2 2n)
нулю при t> а и равенства ФоЛ~1] @) = 0 (k = 1,2 2п),
получаем
2п
i=l
Следует отметить, что в общем случае граничные условия B)
существенно зависят от функций
w\°\l=l, 2 т)
и, следовательно, не могут быть записаны, пока не задан опера-
оператор L. Однако если индексы дефекта оператора L есть (п, п), то
граничные условия D) могут быть по мегоду п° 125 освобождены
от присутствия функций w\^ (t; X) и, стало быть, не зависят от L.
В случае индексов дефекта Bп, 2п) число граничных условий,
определяющих самосопряженное расширение сингулярного опе-
оператора, равно 2п, как и в случае регулярного оператора. В силу
этого обстоятельства и некоторых других соображений (см. тео-
теорему 2 следующего п°) мы будем называть сингулярный оператор
с индексами дефекта Bп, 2п) квазирегулярным.
Для дифференциального оператора второго порядка возможны
лишь случаи т = 2 или т = 1, что впервые было отмечено Г. Вей-
лем, назвавшим случай т = 2 случаем предельного круга, а слу-
случай т = 1 случаем предельной точки. Смысл этой терминологии
мы поясним в п° 129.
Построение граничных условий для случая интервала с двумя
сингулярными концами проводится без труда использованными
в настоящем пункте приемами, и мы можем его опустить.
В заключение остановимся кратко на вопросе о самосопряжен-
самосопряженных расширениях L®, вещественных по отношению к оператору
комплексного сопряжения в L2 @, оо) (см. п° 50).
Так как оператор L* вследствие вещественности коэффициентов
порождающей дифференциальной операции является веществен-
вещественным по отношению к оператору комплексного сопряжения, то для
вещественности Lo необходимо и достаточно, чтобы многообразие
D^ вместе с функцией ф (t) содержало всегда функцию ф (t).
Используя это обстоятельство и формулу A), легко установить»
что для вещественности оператора L# необходимо и достаточно,

128. РЕЗОЛЬВЕНТЫ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ 489
чтобы унитарная матрица ¦& = (ftjfe) была симметричной относи-
относительно транспонирования, т. е. чтобы было
Впрочем, в п° 128 нам придется использовать лишь существо-
существование хотя бы одного вещественного расширения, а этот факт непо-
непосредственно вытекает из формулы A), если в качестве # взять еди-
единичную матрицу.
128. Резольвенты самосопряженных расширений. В настоящем
п° мы покажем, что резольвенты самосопряженных расширений
дифференциального оператора L являются интегральными опера-
операторами, и укажем классы, которым принадлежат ядра этих инте-
интегральных операторов при различных индексах дефекта оператора
L. Начнем с двух вспомогательных предложений.
Лемма 1. Пусть резольвента некоторого самосопряженного-
оператора, действующего в L2 @, оо) и вещественного по отноше-
отношению к операции комплексного сопряжения, имеет на всех финитных
функциях g (t) 6 L2 @, оо) вид
. s; h)g(s)ds,
где ядро К (t, s; X) непрерывно по s и по t при
t>0, s>0 {t^s).
В таком случае
Kit, s; k) = K(s, t; Я).
Доказательство непосредственно следует из соотно-
соотношения Rl = JR^J (см. п° 50) и произвольности в выборе функ-
функции g (t).
Лемма 2. Всякий однородный и аддитивный (но, вообще
говоря, неограниченный) функционал L, определенный на всех финит-
финитных функциях g (t) из L2 @, оо) и ограниченный в L2 @, а) при.
каждом конечном а > 0, допускает представление
ds, A)
где h (t) — функция, однозначно определяемая функционалом L
и принадлежащая L2 @, а) при любом конечном а > 0.
*) Отсюда, между прочим, следует, что в случае индексов дефекта A, 1)
всякое самосопряженное расширение будет вещественным.

490 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Доказательство следует из теоремы Рисса об общем
виде линейного функционала (см. п° 19), согласно которой на функ-
функциях g (t) из L2 @, а) имеет место представление
а
L (g) = \ g (s) h^s) ds (fto (s) ? L2 @, a)). B)
b
Входящая в это представление функция ha (t) при возрастании
¦а «продолжается» в том смысле, что неравенство at <C а2 влечет
равенство
4@ = ^@
при всех t <C ai (за возможным исключением множества меры нуль),
ибо [для любой функции g (t) из L2 @, ai) одновременно имеют
место два представления:
J J (s) /гО2 (s)
b о b
откуда
Доказанное обстоятельство позволяет записать формулу B)
в виде A).
Теорема 1. Резольвента R}. любого самосопряженного рас-.
ширения L дифференциального оператора L с индексами дефекта
¦{т, т) в регулярных точках X является интегральным оператором.
Доказательство. Мы проведем сначала доказательство
для какого-нибудь вещественного самосопряженного расширения,
а затем покажем, что если теорема верна для одного из самосопря-
самосопряженных расширений, то она верна для всех самосопряженных
расширений.
Пусть Lo — вещественное самосопряженное расширение опера-
оператора 1иЙ — соответствующая резольвента (X — фиксированная
регулярная точка оператора L).
Прежде всего заметим, что элемент R\g (g (t) 6 L2 @, oo)) сле-
следует искать в многообразии решений неоднородного уравнения
tly]-by=g- C)
Выберем фундаментальную систему решений щ (t; X) (i =
= 1, 2 2п) соответствующего однородного уравнения
1[и] — Ки = 0 D)
так, чтобы решения щ (t; Я), и2 (t; X) ит (t; X) принадлежали

128. РЕЗОЛЬВЕНТЫ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ 491
L2 @, оо) (тогда решения ит+1 (t; X), . . ., и^ (t; X) вместе с их
нетривиальными линейными комбинациями будут находиться вне
L2 @, оо); при этом мы не предполагаем, как в предыдущем п°,
что решения щ (t; X) (i =1,2,..., т) ортонормированы).
Согласно п° 123 общее решение уравнения C) имеет вид
2п ( 2п
ф (о = 2ы" С;х) Sv* (s;я) в (s) ds+2 ckUk (t-, %), E)
ft=i b ь=1
где t)ft (^; л) (k = 1, 2, . . ., 2n) — сопряженная по отношению
к Uk (t; i) (k = 1, 2, . . ., 2n) фундамента^чьная система решений
уравнения D). В формуле E) постоянные ck (к = 1, 2, . . ., 2п)
однозначно определятся, если только потребовать, чтобы <р @ =
== ^?Xg- Займемся определением значений постоянных, при которых
выполняется это условие в предположении, что g (t) финитна.
Прежде всего нужно обеспечить принадлежность <р (t) к L2 @, оо).
Но если g (t) = 0 при ?>а, то при достаточно больших t
2п а 2п
5
и для принадлежности ф (^) к L2 @, оо) необходимо и достаточно
выбрать 2п — т постоянных ch (k = т + 1, т + 2 2я)
по формулам
а со
cfe = — ^ »й (s; X) g(s)ds= —^ vk (s; Я) g (s) ds
о о
{k = m+l, m + 2 2n).
Выбирая таким образом эти постоянные, мы получаем для Rx
представление
2п (
й=1 О
m 2n
k=l ft=m+l
m t
= 2j uk(t\ л) \ t)fe (s; X) g (s) ds —
ft=l 0
2n oo m
Wfe (^; Я) \ Vh (s; Я) g (s) as + _2j

или
где
ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
г = J /С (t, s; X)g (s) ds + 2 chuh (t; X), F)
0 h=l
К (t, s; X) =
2m
В представлении F) g (f) — любая равная нулю вне некоторого
конечного интервала функция из L2 @, оо) и ch (к — 1, 2, .. . .
. . ., /п) — соответствующие ей постоянные. Из этого представления
непосредственно следует, что постоянные ch (к = 1, 2, . . ., т)
являются однородными и аддитивными функционалами, определен-
определенными на всех таких функциях из L2 @, со). Покажем, что эти
функционалы ck — с и (g) (k = 1, 2, . . ., т) удовлетворяют усло-
условиям леммы 2, т. е. являются ограниченными в L2 @, а) при каж-
каждом а <С оо. Применяя с этой целью к обеим частям равенства F)
оператор Ра проектирования на подпространство L2 @, а) и умно-
умножая их скалярно на ut (t; К) (i = 1, 2, . . ., т), получим
(PaRlg, Ut) = (Kag, «l)+S Cft(PoUft, Щ) (t=l, 2 m), G)
где
В системе т уравнений G) с т неизвестными ch (k = 1, 2, ...
. . ., m) норма оператора PaRt ограничена при всех положитель-
положительных а <С со (числом, не зависящим от а), а норма интегрального
оператора Ка в L2 @, а) с ядром Гильберта — Шмидта ограничена
при каждом a <С оо (числом, зависящим от а) и, наконец, опре-
определитель Грама
det ((Pauh, щ))?гк=1
отличен от нуля в силу линейной независимости решений
Uk (t; л) (k = 1, 2, . . ., т). Отсюда вытекает, что постоянные
ch (k = 1, 2, . . ., т) являются ограниченными в L2 @, а) при
каждом а <С со функционалами и, следовательно, по лемме 2 они

128. РЕЗОЛЬВЕНТЫ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ
493
представимы в виде
со
ch (g) = \ g(s)ij'ft(s; A)ds (k=l, 2 m),
0
где функции я]эй (s; X) (k = 1, 2 m) принадлежат L2 @, я)
при любом a<oo. Теперь представление F) приобретает вид
или
где
Ко (t, si X) =
2
fti
, s; X)g(s)ds, (8)
s; л)] I
(9)
. (s; л) — 2 ufe (^ ^) ^'(s; ^) (s^>t).
h=m-\-l
2n
Формулой (8) установлено, что резольвента 7?х является инте-
интегральным оператором на всех финитных функциях g (t) из L2 @, оо).
Из одного этого обстоятельства еще не следует, что R4 есть
оператор интегральный. В силу ограниченности оператора Ri,
из формулы (8) следует лишь, что для любой функции из L2 @, оо)
---\.i.m. [K0(t s;
A0)
Чтобы получить из этого представления подлежащее доказа
тельству представление резольвенты в виде
Mg= I Ко (t, s; X) g (s) ds (g (t) ? L2 @, oo)), A1)
b
достаточно убедиться в существовании интеграла
to(*. s; X)g(s)ds

494 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
при любой функции g (t) 6 L2 @, оо), а для этого в свою очередь
достаточно существования интеграла
\Ko(t, s; K)\*ds @<*<co), A2)
т. е. принадлежность ядра Ко {U s; X) к L2 @, оо) как функции
от s при каждом t.
Обращаясь к формулам (9), мы замечаем, что ядро Ко {U s; X)
принадлежит L2 @, со) как функция от t при каждом s (ибо
Uk (t; X) 6 L2 @, со) при к = 1, 2 /л), но так как согласно
лемме 1 функция Ко {t, s; X), соответствующая резольвенте веще-
вещественного самосопряженного расширения, симметрична относи-
относительно аргументов t и s, то существование интеграла A2) установ-
установлено и представление A1) доказано.
Аналогичным образом теорема доказывается для резольвенты Rx
любого самосопряженного (не обязательно вещественного) рас-
расширения L при любом вещественном регулярном значении X, если
вместо равенства Ко (s, t\ К) = Ко (t, s; X) воспользоваться соот-
соотношением К (s, t; X) — К (t, s; X), где К (s, t; X) — ядро резоль-
резольвенты tfx *).
Для завершения доказательства теоремы остается получить
представление для R), при 3^ ?= 0.
Так как элемент Rj? (g (t) 6 L2 @, со)) принадлежит многооб-
многообразию решений уравнения C), то он представим в виде
~ 2п
kTi chuh, A3)
l
где Rl — резольвента какого-нибудь вещественного самосопряжен-
самосопряженного расширения. Из этого представления, в соответствии с выбо-
выбором фундаментальной системы uk (t; К) (к = 1, 2 2п), следует,
что постоянные ch при к > т равны нулю, а при /е<!т являются
линейными (т. е. однородными, аддитивными и ограниченными)
*) Существенным в приведенных выше рассуждениях является то обстоя-
обстоятельство, что переход от A0) к A1) произведен на основании симметрии
функции Ко (t, s; Ц, благодаря чему удалось обойти вопрос о поведении
функций Oft (s; Ц (k = m + 1, т + 2, . . ., 2п) и % (s; X) (k=\, 2, ...
. . ., т) при s — со. Более того, симметрия ядра Ко (t, s; Ц позволяет ус-
установить некоторые свойства этих функций на бесконечности (см. ниже
теорему 3).

128. РЕЗОЛЬВЕНТЫ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ 495
функционалами в L2 @, оо) и, следовательно, допускают пред-
представление
Ck = ch(g)= 5 g(s)%h(s; X)ds (fe=l, 2 m), A4)
о
где функции %k (s; л) (k = 1, 2, . . ., m) принадлежат L2 @, oo).
Вставляя A4) в A3) и вводя ядро К (t, s; X) равенством
т
K(t, s; V) = Ko(t, s; %)+ 2 uk(t; X)%h(s; a), A5)
получим, наконец, интегральное представление резольвенты в виде
оо
Rig = [ К (t, s; Я) g (s) ds (g (t) 6 L2 @, сю)),
о
Таким образом, теорема 1 полностью доказана *).
Теорема 2. Ядро К (t, s; X) резольвенты Rf, любого само-
самосопряженного расширения L оператора L с индексами дефекта
(т, т) в регулярных точках удовлетворяет условиям
оо оо
J \K(t, s; X)|2ds<oo, jj \K(t, s; Я)|2^<оо, A6)
о о
а в случае квазирегулярного оператора (т = 2п) — условию
оо оо
jj J |K(^, s; X)|2ds^<oo. A7>
о "о
Доказательство. Свойство A6) непосредственно сле-
следует из принадлежности к L2 @, оо) функции Ко (^> s! ^) (по каж-
каждой из переменных) и функций %h (s; Ц (k = 1, 2, . . ., /и), а также
формулы A5).
Переходя к доказательству свойства A7), установим сначала,
что при любых индексах дефекта (т, т) \n^Lm*C2ri) оператора L
функции i\)h (t; X\ \k = 1, 2, . . ., т) и vh (t; Я) (k = т + 1, ...
. . ., 2п), фигурирующие в формуле (9) для f(o it, s; X), принадле-
принадлежат пространству L2 @, со). С этой целью снова воспользуем-
воспользуемся свойством симметричности функции Ко (t, s; л). Это свойство-
*) Обобщение этой теоремы на случай неортогональных резольвент
было получено А. В. Ш т р а у с о м в статье." Формула обобщенных резоль-
резольвент дифференциального оператора четного порядка, ДАН СССР 111,.
№ 4 A956).

496 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
•означает, что при
т 2п
2 ил (s; Я) qh (t; л) — 2 uk (s; Ц vk (t; л) =
l ft=m+l
in
= 2 [Ms; >.) + 4>*(s; Я)]ы*(': X). A8)
ftl
Выберем числа sb s2, . . ., s2n так, чтобы
det ?
«(это возможно в силу линейной независимости функций ип (s; X)),
и положим в равенстве A8) s = s, (г = 1, 2, . . ., 2п).
Разрешая полученную систему 2п уравнений относительно 2п
¦функций г])й (^; X) (к = 1, 2 /л) и iis(U)№ = ffl+l, ...
. . ., 2п), получим, что каждая из этих функций является неко-
некоторой линейной комбинацией функций щ (t; X), . . ., ит (t; К)
и, следовательно, принадлежит пространству L2 @, оо).
Перейдем к доказательству свойства A7). В случае квазирегу-
лярного оператора (т = 2п) все слагаемые в правой части фор-
формулы (9) принадлежат пространству L2 функций двух переменных
в квадранте t> 0, s> 0 и, следовательно,
оо оо
J J |/Co(^, s; A)|2ds^<co. A9)
о о
Свойство A7) вытекает из A9) на основании A5).
Из доказанной теоремы следует, что в случае квазирегулярного
оператора резольвента любого самосопряженного расширения L
оператора L определяется ядром Гильберта — Шмидта и является
поэтому вполне непрерывным оператором.
Из теоремы 2 следует, что ядра вещественной и мнимой
части резольвенты любого самосопряженного расширения оператора
являются в регулярных точках X ядрами Карлемана.
Заметим еще, что из рассуждений, приведенных при доказа-
доказательстве теоремы 2, следует
Теорема 3. Пусть т означает максимальное число линейно
независимых решений уравнения D), принадлежащих L2 @, оо).
Если первые т функций фундаментальной системы решений урав-
уравнения D) принадлежат L2 @, оо), то последние 2п — т решений
сопряженной фундаментальной системы этого уравнения также
принадлежат L2 @, оо).
Следующая теорема посвящена случаю, когда об индексах
дефекта оператора L можно судить по числу решений уравне-
уравнения D), принадлежащих L2 @, оо) при вещественном К.

128. РЕЗОЛЬВЕНТЫ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ 497
Теорема 4. Для того чтобы оператор L порядка 2п имел
индексы дефекта Bп, 2п), необходимо, чтобы уравнение
при любом вещественном значении К имело 2п решений из L2 @, оо),
и достаточно, чтобы это уравнение имело 2п решений из L2 @, оо)
хотя бы при одном вещественном значении X.
Доказательство. Для доказательства необходимости
сформулированного в теореме условия вспомним, что в случае
квазирегулярного оператора резольвента его самосопряженного
расширения L является вполне непрерывным оператором и, сле-
следовательно, спектр оператора L состоит лишь из собственных
значений А,г (г = 1, 2, 3, . . .) с единственной предельной точкой
X = со. Отсюда следует, что для оператора L все точки плоскости
за возможным исключением точек К (г = 1, 2, 3, . . .) суть точки
регулярного типа. На самом деле точка Яг (г — 1, 2, 3, . . .) также
является точкой регулярного типа, ибо в противном случае Хг
было бы собственным значением оператора L, а уравнение
Ьц> — Агф = 0,
эквивалентное уравнению
/[ф]-ЯгФ = 0
при условиях
Ф @) = фШ @) = ... = ф[2п-1] @) = 0,
в силу теоремы существования и единственности пр 123, имеет
лишь решение ф (t) = 0.
Таким образом, в случае индексов дефекта Bп, 2п), вся Х-пло-
скость является полем регулярности оператора L, и по теореме
об инвариантности индекса дефекта (п° 100) все решения уравне-
уравнения D) при любом значении X (невещественном или веществен-
вещественном) принадлежат L2 @, со).
Достаточность сформулированного в теореме условия непо-
непосредственно следует из теоремы 4 п° 105.
Нетрудно перенести результаты, полученные в настоящем п°,
на случай интервала с двумя сингулярными концами. Наметим
доказательство основной теоремы 1 для этого случая. При этом,
как и в случае одного сингулярного конца, достаточно рассмот-
рассмотреть резольвенту какого-нибудь вещественного самосопряженного
расширения. Пусть (см. доказательство теоремы 3 п° 126) дефект-
дефектные числа операторов L, L(~', L<+> суть т, т{~\ тт соответствен-
соответственно. На основании теоремы 3 п° 126
32 Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

498 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Выберем фундаментальную систему решений уравнения D) так,
чтобы первые т решений uh (t; X) принадлежали L2 (—оо, оо).
В Bп — /л)-мерной линейной оболочке остальных решений этой
системы существует п + р — т линейно независимых решений
из L2 (—оо, 0) (обозначим их ит+1 (t; X), . . ., ип+р (t; X)) и п — р
линейно независимых решений из L2 @, со) (обозначим их
Un+p+i (t; X), . . ., Uin (t; X)). Заметим, что функции
um+i(t; а), ..., un+p(t; л), un+p+i (t; Я), ..., u2n{t; X)
линейно независимы, ибо в противном случае некоторая их линей-
линейная комбинация принадлежала бы L2 (—со, со), откуда следо-
следовало бы, что, вопреки предположению, дефектное число опера-
оператора L больше т. С помощью выбранной фундаментальной систе-
системы щ (t; X) (k = 1, 2, . . ., 2п) любое решение уравнения
где g (t) — финитная функция, представимо в виде
2п ( Bп
Ф (9 = 2 «* С; я) \ vn (s; X) g (s) ds + ^ ckuk (t; X),
ft=l -co fe=l
и при надлежащем выборе постоянных с& эта функция совпадает
с Rig.
Проводя, далее, рассуждения, аналогичные приведенным для
случая одного сингулярного конца, получим паяное доказатель-
доказательство теорем 1 и 2 для случая двух сингулярных концов.
Приведем теперь одно простое предложение, которое иногда дает воз-
возможность определить индексы дефекта оператора, порожденного выражением
-У" + <К*)У- B0)
Теорема 5. Если q (х) ;> ^0 > —со, то индексы дефекта мини-
минимального оператора с одним сингулярным концом, порожденного выраже-
выражением B0) в L2 @, оо), равны A, 1), а минимальный оператор, порожденный
тем же выражением в L2 (—со, оо), имеет индексы дефекта @, 0), т. е. ока-
оказывается самосопряженным.
Доказательство. Будем считать q (x) ;> 0. Тогда применение
метода последовательных приближений к уравнению
u"=q(t)u @<f<co)
показывает, что решение и (t), обращающееся в единицу при t — 0, удовле-
удовлетворяет при всех / !> 0 неравенству
и @ > 1
и, следовательно, не принадлежитт L2 @, оо).
Таким образом, уравнение

129. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 499
при "к = 0 имеет решение, не принадлежащее L2 @, со), и, согласно тео-
теореме 4 настоящего пункта, оператор с минимальной областью определения,
порожденный операцией B0) на полуоси @, оо), имеет индексы дефекта A, 1).
Такие же индексы дефекта имеет, очевидно, оператор с минимальной обла-
областью определения, порожденный операцией B0) на отрицательной полуоси.
Применяя теорему 3 п° 126, мы получаем, что индексы дефекта оператора
с минимальной областью определения, порожденного операцией B0) на всей
оси, равны @, 0).
Очевидно, мы пришли бы к этому же результату, если бы заменили
требование неотрицательности функции q (f) требованием ее полуограни-
полуограниченности снизу.
129. Формулы обращения, связанные с дифференциальными опе-
операторами второго порядка. В п° 83 было показано, что каждый
самосопряженный оператор А с простым спектром порождает
изометрическое отображение V пространства Н на некоторое про-
пространство L|. При этом отображении оператор А переходит в опе-
оператор умножения на независимую переменную.
Если ЕК — разложение единицы, a g — какой-нибудь порож-
порождающий элемент оператора А, то a (X) = (E^g, g), и указанное
изометрическое соответствие определяется формулами
Ф(Х) = 17, A)
со " ...
— со
где элемент / и функция Ф (X) пробегают пространства Н и L?
соответственно. Если при этом / 6 ^л. то вместе с формулой B)
имеет место равенство
Af =
Формулы A) и B) мы будем называть формулами обращения,
связанными с самосопряженным оператором А.
В пункте С п° 89 мы получили в качестве формул обращения,
связанных с оператором дифференцирования на оси, взаимно
обратные преобразования Фурье — Планшереля пространства
L2 (—оо, оо) на себя:
/Ч.П J
N
f (t) = \.i.m. —~ \ <
Лг->со j/2jl *)
—м
32*

500 ДОБАВЛЕНИЕ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
При этом в качестве порождающего был взят некоторый несоб-
несобственный элемент.
Операторы с кратным спектром также порождают формулы
обращения, аналогичные формулам A) и B).
Задачу настоящего и следующего пунктов составляет полу-
получение формул обращения, связанных с сингулярными диф-
дифференциальными операторами на полуоси. Эта задача для опера-
операторов второго порядка была решена впервые Г. Вейлем *). Мы
также начнем с рассмотрения операторов второго порядка, но
будем пользоваться методом направляющих функционалов
М. Г. Крейна **). Этот метод позволяет, в частности, получить
формулы обращения для дифференциальных операторов любого
порядка (см. п° 130).
Итак, пусть L есть дифференциальный оператор с минималь-
минимальной областью определения, порожденный операцией
на интервале @, оо) с одним сингулярным концом.
Мы будем предполагать, что индексы дефекта оператора L
равны A, 1). Мы увидим, что в этом случае спектр каждого
из самосопряженных расширений этого оператора прост ***).
*) Н. W е у 1, Ober gewohnliche Differentialgleichungen mit Singula-
ritaten..., Math. Annalen, 68, 1910, стр. 220—269. Другим методом результаты
Вейля недавно получил Б. М. Левитан; см. его книгу «Разложение по соб-
собственным функциям», Гостехиздат, 1950 г.
**) См. М. Г. К р е й н, Об одном общем методе' разложения положи-
положительно определенных ядер на элементарные произведения, ДАН, 1946,
т. LIII, № 1 и М. Г. К р е й н, Про epMiTOBi оператори з напрямними функ-
цюналами, Зб1рник праць 1нституту математики АН УРСР, № 10. По этому
поводу см. также М. С. Л и в ш и ц, Об одном применении теории эрмитовых
операторов к обобщенной проблеме моментов, ДАН, т. XLIV, № 1 A944)
и А. Я. П о в з н е р, О методе направляющих функционалов М. Г. Крейна,
Зап. Научно-исследовательского ин-та матем. и мех. и Харьковского матем.
о-ва, сер. 4, том XX A950).
О методе направляющих функционалов применительно к операторам
с бесконечнократным спектром см. Ю. М. Березанский, Разложение
по собственным функциям уравнений в частных разностях второго порядка.
Тр. Моск. матем. о-ва 5 A956), 203—268, а также Ф. С. Р о ф е-Б е к е т о в,
Разложение по собственным функциям бесконечных систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений, Функциональный анализ и его применение. Тр. V Всесоюзн.
конф. по функц. анал. и его применению, Баку, 1961, 230—237.
***) Если индексы дефекта оператора L равны B, 2), то всякое самосо-
самосопряженное расширение этого оператора имеет дискретный спектр. В этом
случае вопрос о структуре формул обращения не возникает, так как роль
формулы B) будет играть разложение функции в ортогональный ряд по соб-
собственным функциям, а роль формулы A) — выражение для коэффициентов
Фурье разлагаемой функции.

129. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 501
Пусть L есть самосопряженное расширение оператора L, опре-
определенное граничным условием *)
а щ (t; К) и иг (t; Я) — решения уравнения
/ [и] — Ки = 0 C^ = 0),
удовлетворяющие начальным условиям
ы2@; A) = 0, p(t)u'2(t; A,)|f=0=l.
Обозначим множество всех финитных функций / (t) из L2 @, оо)
через 55 и определим в 55 однородный и аддитивный функционал
оо
Ф (/; А) = \ f @ " V; К) dt,
о
где
Следуя М. Г. Крейну, будем называть функционал Ф (/; К)
направляющим функционалом.
Направляющий функционал Ф (/;Я) обладает следующими
тремя свойствами, которые существенны для дальнейшего.
1°. Ф (/; К) есть аналитическая функция от Я (—оо < % < оо)
при любой функции / 6 ©•
2Р. Если для некоторой функции / 6 © и некоторого веще-
вещественного значения X имеет место равенство
то уравнение
имеет решение в классе финитных функций.
¦ 3°. Если / — финитная функция из D-j-, то при любом веще-
вещественном К
Ф(Г/; Х) = ХФ(/; К).
Подлежат доказательству лишь свойства 2° и 3°.
Установим сначала свойство 2°. Пусть / (t) = 0 при t > а и
Я0) = 0. C)
*) Таким образом, остается в стороне лишь одно расширение, а именно
определяемое условием ф @) = 0, которое отвечает 6 = оо. Устанавливае-
Устанавливаемые ниже формулы обращения переносятся и на этот случай с помощью
предельного перехода.

502 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Обозначим через ф (t) @<:^-< оо) решение уравнения
удовлетворяющее условию
Ф (а) = р (а) ф' (а) = 0
(при этом в силу теоремы единственности ф (t) = 0 для
Пользуясь тождеством Лагранжа, получаем
со
Ф (/; К) = I {I [ф] - Аоф} и (f; X) Л = [ф, ы]~ = - [ф, и]0 =
что в сочетании с C) дает
так что ф (t) 6 Dg-, и свойство 2° установлено.
Справедливость утверждения 3° следует из равенств
оо оо
Ф (If; h)=U[f]u (t; %) dt = [/, «i~ + %\f(t)u (t; K)dt = ХФ(/; K).
о о
Направляющий функционал Ф (f;K) порождает отображение
линейного многообразия 55 функций / (t) на некоторое линейное
многообразие 2У функций Ф (Я) = Ф (/; X). Если при этом функ-
функция / (t) принадлежит DL, то, согласно свойству 3°, функции Lf
в указанном отображении соответствует функция ХФ (К). Это
обстоятельство позволяет предположить, что спектр оператора L
прост и что при надлежащем выборе порождающей функции g =
= g (t) отображение, осуществляемое оператором V формулы A),
является расширением отображения, осуществляемого функцио-
функционалом Ф (/; К). Это предположение означает, что при надлежащем
выборе порождающей функции первая из формул обращения,
связанных с оператором L, будет (при / (t) 6 Щ иметь вид
Ф(Я)= \f(t)u(t; K)dt.
Эта формула аналогична формуле Фурье — Планшереля.
Оставим теперь в стороне наводящие соображения и приступим
к решению поставленной задачи. При этом нам будут необходимы
два предложения М. Г. Крейна *).
См. вторую из работ М. Г. Крейна, цитированных на стр. 500.

129. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 503
Лемма. Для любого конечного интервала Ао оси % существует
функция 1]) (t) 6 25 такая, что функция Ф (К) = Ф (\р; К) не обра-
обращается в нуль в интервале Ао.
Доказательство. Пусть Хо — фиксированная точка
интервала Ао и у0 (t) — такая функция из 2), что
Если во всем интервале Ф (у0; ^) Ф 0, то для доказательства
леммы достаточно принять 1]) = уо- Если же в некоторой точке
hi 6 Ао
то, на основании свойства 2°, существует финитная функция
6 D^ такая, что
Применяя к обеим частям этого равенства направляющий
функционал и пользуясь свойством 3°, получаем
откуда
Таким образом, заменяя функцию у0 функцией у4, мы видим,
что функция Ф (xii Я) не обращается в нуль при % = %0, а при
% = %i имеет корень кратности на единицу меньшей, чем функ-
функция Ф (у0; Ц- Так как аналитическая функция Ф (у0; X) в конеч-
конечном интервале Ао имеет лишь конечное число нулей, каждый —
конечной кратности, то, продолжая в случае надобности указан-
указанный процесс, придем к функции 1]) 6 25, для которой функционал
Ф (¦»]); К) не обращается в нуль при К 6 Ао.
Теорема 1. Пусть Ао — конечный замкнутый интервал
и ч]5 ? 25 — такая функция, что
0,
Я ? Ао. Пусть, далее, Ек — разложение единицы оператора L и
До
р этих условиях для любой функции f ? 25 и любого интер-
интервала А ^ А о справедлива формула
D)

504 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Доказательство. Если ввести вместо направляющего
функционала Ф (/; Я) функционал F (/; К) соотношением
Ptf. n Ф (/; Я)
то подлежащая доказательству формула эквивалентна равенству
E)
Приступим к доказательству этого равенства. Предположим,
что левые концы интервалов Ао и А совпадают, и пусть точка а
есть общий левый конец этих интервалов. Будем рассматривать
элемент w^ = w^ (t) пространства L2 @, оо), определенный ра-
равенством
как функцию параметра ц в интервале Ао.
Для доказательства равенства E) следует установить, что
Wp = 0 при ц 6 Ао, а для этого достаточно, очевидно, показать,
что в интервале Ао элемент w^ есть непрерывная функция от \i
и затем, что
¦?*V = 0 F)
всюду в Ао. Последнее равенство следует понимать в смысле силь-
сильной сходимости в L2 @, оо), т. е. в том смысле, что
В силу непрерывности Ек слева, вектор-функция ши тоже непре-
непрерывна слева. Для доказательства непрерывности функции w^
справа воспользуемся вытекающим из определения функционала
F (/; jx) тождеством
Отсюда согласно 2° следует возможность представления элемента
/ — F (/; Н-) ^ в
/-^(/; 1хI]5 = Гф-1хф. ¦ G)
Введем теперь проектирующий оператор

129. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 505
Величина Е (Д^о) ф есть либо 0, либо собственный вектор опера-
оператора L, соответствующий собственному значению ц. В обоих
случаях
Е (Д^ 0) (Гф — \щ>) = LE (Д^ о) Ф — у.Е (Д^ 0) Ф = 0
и, следовательно,
Из полученного равенства следует непрерывность w^ в интер-
интервале До.
Для доказательства равенства F) оценим || Доц+в — о>ц ||. Пусть,
например, б > 0. (Случай б < 0 рассматривается аналогично.)
В силу доказанной непрерывности w^. имеем о^+о = w^. Поэтому
и+е
^Wo II = IIЕ (Д^+о, в) /- J F(f;
и+о
и+в
(Д^о, в) F (/; ц) ф- J
и+о
Рассмотрим отдельно сначала первое, а затем второе слагаемое
в правой части этого неравенства. Для первого слагаемого сле-
следует из G) оценка:
J , Ф) < & || ? (Д^о, в) Ф ||2..
и+о
Поэтому
lim ± || ? (Д^о, в) [/-f (/; ц) ф] || = 0. (9)
Обращаясь теперб ко второму слагаемому правой части нера-
неравенства (8), получаем
о, e) F (/; ц) 1> - J
и+о
и+в
и+о
ц+в
5 |f(/;fx)-F(/;X)pd(Z:^, *)<Л1»68(Я(А^, в)Ф, Ф), (Ю)
и+о

506 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
где М означает максимум модуля производной —\[' в интер-
интервале До.
Из неравенства A0) следует, что
ц+б
hm -г- |? (Д^+о, s)F (f; |x) ij? — \ F (/; X)d?^ =0. A1)
Из (9) и A1) на основании (8) заключаем о справедливости
равенства F). Значит, w^ = 0, а отсюда следует равенство E),
что и требовалось доказать.
Теперь можно перейти к основной теореме настоящего пункта.
Теорема 2. Если L, L и и (t; X) имеют указанный в начале
настоящего пункта смысл, то формулы обращения, связанные
с оператором L, имеют вид
$ u(t; %)dt, A2)
о
оо
f(t)= \ Ф(%)и(и К) da (К). A3)
—оо
Здесь о (X) — некоторая неубывающая функция, определяемая опе-
оператором L (и называемая спектральной функцией этого опера-
оператора), а Ф (X) и f (t) пробегают пространства L% (—оо, оо) и соот-
соответственно L2 @, оо). При этом если одна из функций Ф (К), f (t)
равна нулю вне конечного интервала, то интеграл в правой части
соответствующей формулы следует понимать в обычном смысле,
а в случае произвольных функций Ф (К), f (t) интегралы следует
понимать как пределы в метрике 1Д и соответственно L2 @, оо)
собственных интегралов
о
в
\ Ф(Х)ы(*; К) do (К).
А
Доказательство. Прежде всего заметим, что в фор-
формуле D) вместо элемента g, очевидно, можно взять элемент go =
= Е (До) g.
Разобьем теперь Х-ось на конечные интервалы Ak (+ k =
= 0, 1,2, . . .) и выберем для каждого интервала Дй элемент gh,
так же, как мы выбрали для интервала До элемент g0-

129. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА • 507
Положим
СО
g= S ён
fe——оо
и в случае расходимости ортогонального ряда в правой части
будем под g понимать несобственный элемент *) (см. пр 89), удовле-
удовлетворяющий при любом конечном интервале А условию
где ряд справа содержит уже конечное число слагаемых.
Если / — произвольная функция из ?), а А — произвольный
конечный интервал Х-оси, то
n—I
2 (AS,?=Am; Д*д=Дп)
2
+
Поэтому для любого конечного интервала А Х-оси имеет место
формула
А
откуда при А -*¦ I—оо, оо] получаем равенство
/@= I O(f;K)dExg. A4)
Так как многообразие 55 плотно в L2 @, оо), то из этой фор-
формулы следует, что оператор L имеет простой спектр и функция
ё = e(t) есть порождающий элемент.
Из теоремы пр 83 о каноническом представлении самосопря-
самосопряженного оператора с простым спектром следует, что существует
изометрическое отображение
со
— со
пространства L%, где о (К) — (E^g, g) на пространство L2 @, оо).
*) В действительности элемент g всегда оказывается несобственным,
а именно 6-функцией Дирака. Это можно усмотреть из формулы A4),
полагая в ней / = 6 (t) и замечая, что Ф F, X) = 1.

508 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
При этом изометрическом соответствии функциям / (t) из ?) отве-
отвечают направляющие функционалы Ф (/; К) = Ф (К). Оператор L,
таким образом, изоморфен оператору умножения на К в простран-
пространстве La, так что при / (t) 6 Dr
Займемся теперь выводом формул A2) и A3). Если / (t) —
произвольная функция из L2 @, оо) и
то согласно A4)
со
fn(t)= \ Ф(/„; k)dExg. A5)
— СО
Положим
п
Фп (Я) = Ф (/„; X) = ^ / (О ы (Л- X) dt. A6)
о
Так как последовательность функций {/„ (t)} сходится в метрике
L2 @, оо) к функции / (t), то в силу изометрического соответствия
между пространствами L2 @, оо) и 14 последовательность Ф„ (к)
сходится в метрике 14 к некоторой функции Ф (X). Перейдя к пре-
пределу по указанным метрикам в равенствах A5) и A6), получаем
формулы
/@= \ O(K)dEig, A7)
= \ f{t) и (t; к) dt.
— оо
Вторая из этих формул совпадает с A2), и поэтому остается
доказать формулу A3).
Очевидно, достаточно доказать, что формула A3) является
обращением формулы A2), если Ф (%) пробегает многообразие 50t
финитных функций из L4.
Итак, пусть функция Ф (к) принадлежит 501, а / (t) есть соот-
соответствующая ей функция из L2 @, оо), определяемая формулой A7).

129. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 509
Введем функцию
Тогда в силу изометричности соответствия между L2 @, оо) и LJ,
имеет место равенство
оо ~Ь°°
J f (s) т|, (s) ds = J Ф (X) Ф (Tit; X) do (X),
о
или
t
jj / (s) ds = J Ф (X) { J u (s; X) ds} da (X).
0 0
Левая часть имеет почти всюду производную / (t), а справа
интеграл по X берется в конечных пределах, так как Ф (X) ? Ш.
Поэтому производная по t от правой части равна
O(K)u(t;X)do(k),
и доказательство закончено.
Покажем теперь, как фактически находится спектральная
функция a (X). С этой целью обозначим через и (t; X) то решение
уравнения
которое при t ~ 0 удовлетворяет граничному условию-, характери-
характеризующему рассматриваемое расширение L оператора L. Как было
указано выше, это условие имеет вид
Вещественный параметр 6 будем считать конечным, так что
и @; X) ф 0, и мы можем, следовательно, принять, что
ы@; Х)=1.
Далее обозначим через v (t; X) второе решение однородного урав-
уравнения, которое нормировано с помощью равенств
v @; X) = 0, р (t) v' (t; X) |fe0 = — 1 •
При этом ядро К (t, s; X) интегрального оператора, являющегося
резольвентой оператора L, т. е. функция Грина, будет иметь вид
«(s; z)[v(t; z) + m(z)u(t; г)]
K(t'S;Z)~[u(t; z)[v(s; z) + m(z)u(s; z)] (s>0Cz>0), A8)

510 ДОБАВЛЕНИЕ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
где функция т (z) однозначно определяется тем, что
O, со).
Заставим теперь функцию ф (t) пробегать множество всех
финитных функций из Dj- и положим
причем z Cz > 0) фиксировано. Множество 91, пробегаемое функ-
функцией / (t), плотно в L2 @, оо), так как индексы дефекта минималь-
минимального оператора L, по условию, равны A, 1). Если g (t) — произ-
произвольная функция из ?>, то
«p(OF(Od*= \ ф(ф;
0
А так как
Ф @ = J К (t, s; z) f (s) ds
о
и, по свойству Зр направляющих функционалов,
TO
0 0
Это равенство справедливо при произвольных /, g? ?), так как 91
плотно в L2 @, оо). Положим
4г ПРИ
при
Тогда наше равенство запишется в виде
• -g- при и<;г<:о,
I 0 при t > 6.
A9)
0 6 —оо
где

29. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 511
Левая часть A9) имеет при б -*¦ 0 предел
/С @, 0;z) = m(z).
Поэтому
оо
lim \ wb(%)d-^ = m(z),
—оо
и, значит,
Hm
—оо
Отсюда легко заключить, что интеграл
f daft)
i Vs + Г
— СО
существует и равен ^т (i). Поэтому
откуда
[^^ B0)
Применяя формулу обращения Стилтьеса — Перрона (см. п° 69),
получаем
+0) = const + lim _L С 3m (x + iy) dx.
Можно показать, что эта формула справедлива и в том случае,
когда граничное условие имеет вид ф @) = 0.
Сделаем теперь ряд замечаний, относящихся к случаю, когда
индексы дефекта оператора L есть B,2). Речь будет идти об одном
классе самосопряженных расширений такого оператора, впервые
изученном Г. Вейлем в статье, цитированной на стр. 500.
Пусть Le означает расширение оператора L (с индексами
дефекта A,1) или B,2)), определенное граничным условием
так что D7,e состоит из всех тех функций ср (t) 6 Dz,*, которые
удовлетворяют условию B1). Очевидно, Le есть симметрическое
расширение оператора L. Если индексы дефекта оператора L

512 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
равны A, 1), то оператор Lo окажется самосопряженным и, меняя 6
в пределах от —оо до оо, мы получим все самосопряженные рас-
расширения оператора L. Если же индексы дефекта оператора L
равны B,2), то индексы дефекта оператора Le будут A, 1). Любое
самосопряженное расширение Le оператора Le является некото-
некоторым расширением оператора L. Меняя 6 в интервале (—оо, оо)
и беря при каждом значении 6 всевозможные расширения Le, мы
получим некоторый класс самосопряженных расширений опера-
оператора L. Этот класс характеризуется тем, что одно из двух гранич-
граничных условий B) п° 127, определяющих самосопряженное расшире-
расширение, имеет вид B1); при этом, очевидно, второе из этих условий
будет относиться лишь к сингулярному концу t = оо. Таким
образом, полученный класс самосопряженных расширений харак-
характеризуется распадающимися условиями.
Принятое вначале настоящего пункта предположение о том,
что индексы дефекта оператора L равны A, 1), было использовано
лишь один раз, а именно при доказательстве свойства 2° направ-
направляющего функционала. Однако легко видеть, что это свойство 2°
сохраняется и в случае индексов дефекта B, 2), если только в каче-
качестве самосопряженных расширений L брать расширения, харак-
характеризующиеся распадающимися условиями. Расширения такого
рода будем обозначать через Lo.
Таким образом, все установленные выше предложения остаются
справедливыми для расширений Le оператора L с индексами
дефекта B, 2). В частности, из теоремы 2 следует, что самосопря-
самосопряженные расширения Le имеют простой спектр.
Нетрудно видеть, что, как и в случае индексов дефекта A,1),
ядро резольвенты Rz оператора Le (при 6 ф оо) определяется
формулами A8), где функция т (z) однозначно определяется выбо-
выбором самосопряженного расширения Le оператора Le. В частности,
К @, 0; z) = m(z). Рассуждая, далее, как в случае индексов дефек-
дефекта A, 1), придем к формуле B0). Так как оператор Le согласно
теореме 2 п° 128, имеет чисто точечный спектр с единственной
пр дельной точкой в бесконечности, то функция о (X) является
кусочно-постоянной, и формула B0) показывает, что т (г) есть
мероморфная функция от z.
В соответствии с результатами п° 113 скалярное произведение
(Rz f, f) при фиксированных
/@GL2@, со) и z Cz>0)
пробегает некоторую окружность С (f; z), когда Rz пробегает
совокупность всех ортогональных резольвент оператора Le.
Но из формул A8) следует, что скалярное произведение (Rz /, f)

129. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 513
имеет вид а + $tn (z), где постоянные а, р не зависят от выбора
резольвенты. Поэтому когда точка (Rz /, f) пробегает окружность
С (/; z)y то точка w = m (z) также пробегает некоторую окружность,
которая называется предельной окружностью Вейля. В случае
индексов дефекта A, 1) (и только в этом случае) предельная окруж-
окружность Вейля вырождается в точку. Теперь становится ясным смысл
терминов «предельный круг» и «предельная точка» упомянутых
в конце п° 127. На изложении метода, с помощью котого Г. Вейль
пришел к предельной окружности, мы здесь не остановимся.
Заметим, что хотя окружность С (/; 2) зависит от выбора / и z,
соответствующая предельная окружность С зависит лишь от z,
но не зависит от /, так как не зависит от / функция т (г). Найдем
уравнение предельной окружности. С этой целью, следуя М. Г. Крей-
ну, используем функциональное соотношение Гильберта для
резольвенты оператора Le, из которого без труда получаем:
К (t, s; г) -К (t, s; z) = (z -z) \ К (t, I; z) К (I, s; z) dg.
о
Полагая здесь t = s = 0 и пользуясь формулой A6), получим
m(z)-m~(z) = (z-z)\ |o(g; z)+m(z)u(l; z)\*dl,
о
так что уравнение предельной окружности в комплексной ^-пло-
^-плоскости имеет вид
о
о
В случае 6 = оо некоторая модификация приведенных рас-
рассуждений приводит к аналогичному результату, на чем мы не оста-
остановимся.
В заключение коснемся так называемой обратной задачи
спектрального анализа.
Как установлено теоремой 2, каждому самосопряженному опе-
оператору, порожденному выражением
в L2 @, оо), отвечает спектральная функция о (К), порождаю-
порождающая формулы обращения и равенство Парсеваля. Весьма замеча-
замечательным оказывается тот факт, что, и обратно, дифференциаль-
дифференциальный оператор вида — у" + Я (х) у вместе с граничным усло-
условием однозначно восстанавливается по своей спектральной
функции а (X).
33 Н. И. Ахисзер и И. М Глазман

514 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Проблема восстановления дифференциального оператора по его
спектральной функции и связанные с нею вопросы получили
название обратной задачи спектрального анализа. Полное реше-
решение обратной задачи было получено в работах И. М. Гельфанда
и Б. М. Левитана, М. Г. Крейна, В. А. Марченко *).
130. Обобщение на дифференциальные операторы любого порядка.
В п° 86 мы видели, что каждый самосопряженный оператор А
со спектром кратности г <С оо порождает изометрические отобра-
отображения Н на пространства вектор-функций L|. При этих отображе-
отображениях оператор А переходит в оператор умножения на независи-
независимую переменную. Напомним, что матричная функция распреде-
распределения S (К) определяется разложением единицы Ек оператора А,
если выбрать какой-нибудь порождающий базис gu g2, . . ., gp
(^<оо) этого оператора и положить
При этом указанное изометрическое отображение определяется
формулами
Vf, A)
N р
\ 2 VbWdEtgH, B)
где элемент f и вектор-функция Ф (A,) {Ot (К), . . ., Фр (%)} про-
пробегают пространства Н и Ls соответственно.
Формулы A) и B) мы будем называть формулами обращения,
связанными с самосопряженным оператором А.
Заметим, что это определение шире данного в п° 129 определе-
определения для случая операторов с простым спектром, так как оно не тре-
требует, чтобы базис, порождающий функцию распределения S (%),
был минимальным. В частности, в силу определения настоящего
пункта, с операторами, обладающими простым спектром, связы-
связываются формулы обращения, осуществляющие изометрическое со-
соответствие между Н и LI, где порядок матрицы S (X) больше
единицы.
Наметим теперь вывод формул обращения, связанных с диф-
дифференциальными операторами любого порядка.
*) Изложение решения обратной задачи, принадлежащего названным
авторам, вместе с подробными литературными указаниями читатель найдет
в недавней статье Б. М. Левитана и М. Г. Г а с ы м о в а, Определение
дифференциального уравнения по двум спектрам, УМН 19, № 2 A964),
3—63.

1-30. ОБОБЩЕНИЕ НА ОПЕРАТОРЫ ЛЮБОГО ПОРЯДКА 515
Пусть L — дифференциальный оператор с минимальной обла-
областью определения, порожденный операцией / 2п-го порядка на ин-
интервале @, оо) с одним сингулярным концом, a L— произвольное
самосопряженное расширение оператора L.
Мы не будем теперь делать какого-либо предположения об индек-
индексах дефекта оператора L.
Введем на многообразии ?> финитных функций пространства
L2 @, оо) 2п направляющих функционалов
Ф} (/; Я) = J / @ щ (t; k)dt (/ = 1, 2, ..., 2n), C)
о
где {щ (t; Я)}?Д, — фундаментальная система решений уравнения
1[и]~Ки = 0,
удовлетворяющая начальным условиям
jj.^' (/,A=1,2, ..., 2n).
Легко проверить, что каждый из функционалов Oj (/; К) обла-
обладает свойствами 1°, 3° п° 129. Что же касается свойства 2Р, то оно
теперь формулируется следующим образом:
2°. Если для некоторой функции / ? Х> и некоторого веще-
вещественного значения К имеют место In равенств
ФЛ/;^) = 0 (/==1,2, ..., 2п),
то уравнение
A-Х/)ф = /
имеет решение в классе финитных функций.
Лемма 1 *). Для любого конечного интервала Ао ecu X суще-
существует такая система функций ipi (f), ty2 @ 'Фгп '0 из ©,
что определитель
не обращается в нуль в интервале До.
Доказательство этой леммы легко провести по образцу
доказательства соответствующей леммы п° 129, опираясь на ана-
аналитичность определителя D (к).
Теорема 1. Пусть Ао — конечный интервал, и система
функций ярь ijJ, • ¦ •, 'фгп из © такова, что
det(Oj «>fc; X)J«=l?*0
*) Это и следующее предложения принадлежат М. Г. Крейну (см. рабо-
работу, цитированную в начале пе 129).
33*

516 ДОБАВЛЕНИЕ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
. Пусть, далее, Ек — разложение единицы оператора L и git g2, . . .
• • •» g2n — система функций, определенная равенствами
2п
где Qtk (к) — элементы матрицы, обратной по отношению к
При этих условиях для любой функции f 6 ?) и любого интервала
A е= А о справедлива формула
2п
E(A)f=\^1Oj(f;k)dEkgj. D)
Д 3=1
Доказательство этой теоремы совершенно аналогично
доказательству теоремы 1 п° 129. Так же, как и там, мы заменяем
подлежащее доказательству равенство D) равенством
IX. ix. 2n
Д 3=1
где
Fj(f;k) = ^Qh
и вводим элемент
Wp = \ dE^f—
а а э=1
который оказывается непрерывно зависящим от (Д.. Неравенство (8)
п° 129 будет теперь иметь вид (при б>0):
2п
о, 6) У .Zj ¦
3=1
2п
Li+o, в) Ул Fj (f; ii)i$>j — \ У,
3=1
Слагаемые в'правой части этого неравенства оцениваются так же,
как и в ji° 129, откуда и следует справедливость теоремы.
Теорема 2. Если L, L и щ (t; k) (/ = 1,2, . . ., 2п) имеют
указанный в начале настоящего пункта смысл, то существует
матричная функция распределения S (к) = (oih (к))? ft=:1 (называемая

130. ОБОБЩЕНИЕ НА ОПЕРАТОРЫ ЛЮБОГО ПОРЯДКА 517
спектральной матрицей), при которой'формулы
N
Oj (X) = 1. i. m. [ f (t) щ (t; K)dt (/=1,2 2n),
-M
N 2n
-M i, fe=l
устанавливают изометрическое отображение пространства
L2 @, оо) на пространство вектор-функций L|.
Доказательство. Положим в формуле D) А = Ао
и заменим систему элементов {g;}?^, системой gfy = E(AQ)gj
(]= 1> 2, . . ., 2п), а затем разобьем Я,-ось на конечные интервалы
Ай (±& =0, 1, 2, . . .) и выберем для каждого из них систему
элементов {gW}?!?, так же, как была выбрана для интервала Ао
система {gf}?Jl,.
Полагая
со
8t= S gih> (i = l,2 2n),
k=z — OO
получим, как и в п° 129, систему элементов (несобственных)
gu g2, • • м ^гтг, удовлетворяющих при любом конечном интер-
интервале А условию
(где ряд справа содержит лишь конечное число слагаемых).
Далее для любого конечного интервала Д Я,-оси получаем фор-
формулу
2п
д з"=1
и при А = [—оо, оо]
N 2п
/=1.I.m. ^ 2
-м з= 1
Так как многообразие ?> плотно в L2 @, оо), то из последней
формулы следует, что кратность спектра оператора X не превос-
превосходит 2п и что gu g2, . . ., g2n есть порождающий базис.

518 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Уравнение замкнутости имеет при f 6 ® вид
оо оо 2п
оо i,fe=l
Все дальнейшие выкладки, приведенные в конце п° 129, без
труда переносятся на рассматриваемый теперь случай, чем и уста-
устанавливается справедливость теоремы 2.
Заметим, что в случае распадающихся граничных условий (в част-
частности, при индексах дефекта минимального оператора (п, п) всегда,
так как в этом случае все граничные условия сосредоточены в нуле)
можно построить формулы обращения с помощью спектральной
матрицы порядка п (а не 2п). Для этого следует вместо 2п функций
щ (t, к) взять п их линейных комбинаций uh (t, к), линейно неза-
независимых между собою и удовлетворяющих п краевым условиям
в нуле, и рассмотреть систему из п направляющих функционалов
k)dt, (A=l, .... п).
131. Исследование характера спектра дифференциальных опера-
операторов методом расщепления. В тех случаях, когда удается эффек-
эффективно построить формулы обращения, установленные в п°п° 129
и 130, спектр дифференциального оператора L находится, как
множество точек роста спектральной функции о (к), из п° 129
(или матричной спектральной функции <SP (к) из п° 130). Однако
подобные случаи (примеры которых будут приведены в п° 132)
встречаются редко. Поэтому представляет интерес исследование
различных свойств спектра of (L), основанное на заданной инфор-
информации о поведении коэффициентов дифференциальной операции /,
но не требующее знания спектральной функции и формул обра-
обращения. Относящийся сюда круг вопросов составляет предмет так
называемого качественного спектрального анализа сингулярных
дифференциальных операторов.
В настоящем пункте, пользуясь методом расщепления *), мы
рассмотрим некоторые примеры задач качественного спектраль-
спектрального анализа. При этом мы для краткости ограничимся простейшей
*) Краткое сообщение об этом методе дано в статье И. М. Глазмана,
цитированной на стр. 482. Систематическому исследованию характера
спектра одномерных и многомерных дифференциальных операторов с помо-
помощью метода расщепления посвящена монография, указанная в подстрочном
примечании на стр. 321. Теоремы, приводимые здесь без доказательства,
излагаются подробно в этой монографии.

131. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА МЕТОДОМ РАСЩЕПЛЕНИЯ 519
дифференциальной операцией
Пу] = -у"+д(х)у A)
на полуоси х > 0 с одним сингулярным концом х = оо. Опера-
Операция A) называется операцией Шредингера, а коэффициент q (x) —
потенциалом.
Спектры различных самосопряженных расширений L опера-
оператора L с минимальной областью определения, порождаемого опера-
операцией A), различны, но те их свойства, которые мы будем здесь
рассматривать, не зависят от выбора расширения. К таким свой-
свойствам относятся: 1°) принадлежность данной точки Я, к 'ё (L),
2°) существование бесконечного множества точек спектра в сколь
угодно малой односторонней окрестности точки Я, и 3°) сгущение
спектра З3 (L) к точке Я, = —оо. Независимость перечисленных
свойств от выбора расширения следует из теорем 1 п° 105, 1 п° 82
и 2 п° 107. Указанные свойства спектра З3 (L) будем называть
сингулярными, поскольку ими заведомо не может обладать спектр
регулярного дифференциального оператора.
Переходя к описанию метода расщепления, обозначим через LQ
оператор, определяемый равенством
на всех тех функциях q> 6 Dj- которые в заданной точке у > 0
(называемой точкой расщепления) удовлетворяют условию
<p(y) = <p'(y) = 0-
Очевидно, оператор Lo распадается в ортогональную сумму
операторов LT и Lv, порожденных той же операцией A) в L2 @, y)
и L2 (у, оо) соответственно. Расширяя эти операторы до самосо-
самосопряженных LT и Lv, построим оператор
Теперь данный оператор L и построенный оператор М оказы-
оказываются различными самосопряженными расширениями одного и того
же «расщепленного» оператора Lo. Так как, очевидно, оператор
Lo в L2 @, оо) имеет конечные индексы дефекта, а оператор Lr регу-
регулярен, то естественно ожидать, что сингулярные свойства спектров
операторов L и Ъу одинаковы. Доказательство основано на сле-
следующей лемме, в условии которой п (а, Р; А) означает количество
точек спектра самосопряженного оператора А, лежащих в интер-
интервале (а, Р).

520 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Лемма. При любых а и Р (—оо ^ а < р < оо) величины
п (а, Р; L) и п (а, р, Ly) одновременно конечны или бесконечны.
Доказательство. Если п (ее, Р; L) <С оо (или = оо),
то по теореме 1 пр 82 будет п (а, Р; М) < оо или, соответственно,
=оо (если ее = —оо, то вместо теоремы 1 п° 82 следует использо-
использовать теорему 2 п° 82). Далее имеем
где число точек множества <5° (Lr), лежащих в интервале (ее, Р),
всегда конечно, так как спектр регулярного оператора дискретен
(см. п° 125) и ограничен снизу *). Поэтому если п (ее, Р; М) <С оо
(либо =оо), то и п (а, Р; Lv) < оо (соответственно, =оо). Лемма
доказана.
Теорема 1. Сингулярные свойства спектров <У (L) и <У (LY)
одинаковы.
Доказательство непосредственно следует из леммы.
Действительно, если К ?"& (L), то при любом е > 0 будет п (к — е,
Я, + е, L) = оо, но тогда также п (к — е, Я, + е; Ly) = оо, откуда
при е —*¦ 0 получим Я, ? сё (Ly). Аналогично из соотношения Я, 6
^'ё (Ly) выводим Я, 6 ^ (L). Таким образом,
®(Z)=«(LV).
Сингулярные свойства 2° и 3° также вытекают из леммы, если
положить соответственно а = Я, — е, Р = Я,(е|О) исс = —оо,
Р<0 (IPI-oo).
Метод расщепления опирается на доказанную теорему 1,
а также на теоремы 1 и 2 п° 82, теорему 4 п° 93 и лемму 2 п° 94.
При использовании теорем из п° 82 линейное многообразие G обра-
образуется как линейная оболочка последовательности финитных
функций с непересекающимися носителями **).
*) Последнее достаточно проверить в случае граничных условий у @) =
X
= у (у) = 0. Пусть Q (х) = \ q(t) dt и \Q (x) | <<^. Тогда
о
V
\
(LTy, y)=
О
а это и означает полуограниченность снизу оператора Lr.
**) Носителем функции называется замыкание множества точек, где
функция ф 0.

131. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА МЕТОДОМ РАСЩЕПЛЕНИЯ 521
Если X ? *ё (L), то либо точка К является двусторонней пре-
предельной точкой множества % (L), либо односторонней левой (пра-
(правой) предельной точкой этого множества. В зависимости от того,
какой случай имеет место, условимся относить точку X ? 'ё (L)
к одному из трех возможных типов.
Из теоремы 1 непосредственно вытекает следующее предложение,
которое без труда обобщается на любую операцию вида A) п° 123.
Теорема 2. Непрерывная часть спектра *ё (L), тип каж-
каждой точки из 'ё (L), а также ограниченность (или неограничен-
неограниченность) спектра <У (L) снизу не зависят от поведения потенциала
q (х) на конечном расстоянии.
Таким образом, все сингулярные свойства спектра оператора L
определяются поведением потенциала q (х) в бесконечности. В тер-
терминах возмущений теорема 2 означает, что любое финитное возму-
возмущение т) (х) потенциала q (x) не меняет сингулярных свойств
спектра *). Если возмущение т) (х) не финитно, но т) (х) -*- О при
х -> оо, то тип точек из 4S (L) может меняться (см. далее тео-
теорему 5), но, как легко видеть, свойство Зв сохраняется. Следую-
Следующая теорема показывает, что и свойство 1В сохраняется.
Теорема 3. Если L" есть самосопряженный дифферен-
дифференциальный onepai op, порождаемый в L2 @, оо) операцией
lim »)(*) = 0, B)
Х-кх>
то
<e(L') = <e(L). C)
До казательство. Расщепляя операторы V и L в неко-
некоторой точке у, получаем
<e(L) = 'e(Lv) и 'e(L') = 'e(L'y). D)
Выбирая y так, чтобы при х> у было | т) (х) | < б и пользуясь
леммой 2 п° 94, заключаем, что в б-окрестности каждой точки
X ?"i? (Ly) содержатся точки из "ё (L'y) и, обратно, в б-окрестности
каждой точк1 К ? % (^-у) содержатся точки из Чё (Ly). Так как
число б > 0 может быть выбрано произвольно малым, то из D)
следует C).
*) Возмущение г\ (х) здесь и далее предполагается абсолютно интегри-
интегрируемым на любом конечном интервале, как и потенциал q (x).

522 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В случае q (х) > q0 > 0 теорема 3 обобщается на относительно малые
возмущения, когда вместо B) требуется лишь lim "' ' — 0. Этот результат
зс-*о» q(x)
принадлежит М. Ш. Бирману.
Как частный случай, при q (х) = 0 из теоремы 3 и результа-
результатов п° 89, следует
Теорема 4. Если lim q (x) = 0, то % (L) = [0, оо).
Из более общих признаков, обеспечивающих соотношение g (L) =
= [0, со), отметим условие
lim С \q(t)\dt=O
х
при некотором ( а следовательно, и при любом) со > 0. Это условие выпол-
выполняется, в частности, для потенциалов q (х) ? Lj @, со).
Займемся теперь исследованием типа точки к = 0 в условиях
теоремы 4. Если q (х) > 0 при боль них х, то из леммы этого пункта
следует, что отрицательная часть спектра of (L) исчерпывается
конечным числом собственных значений, а значит, точка
к = 0 не является правой предельной точкой спектра tf (L).
С другой стороны, если бы при больших х потенциал был постоян-
постоянным: q (х) = —е, то было бы 'ё (L) = [—е, оо) и, следовательно,
при сколь угодно малом е > 0 точка к = 0 была бы правой пре-
предельной для of (L). Поэтому естественно ожидать, что в условиях
теоремы 4 тип точки к = 0 зависит от «степени отрицательности»
потенциала q (x) при #->-оо. «Граница» между потенциалами,
определяющими два различных типа точки к = 0, устанавли-
устанавливается следующей теоремой. В условии этой теоремы существо-
существование lim q (x) не предполагается.
Теорема 5. Если при больших х
q(x)>--^, E)
то отрицательная часть of (L) исчерпывается конечным числом
собственных значений. Если же для некоторого б > 0 при боль-
больших х
q (X) <z. . 2 , 1,0}
то отрицательная полуось содержит бесконечное количество точек
спектра У (L).
Доказательство. Если E) имеет место при х > у,
то для любой финитной функции у ? Dj-, носитель которой

131. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА МЕТОДОМ РАСЩЕПЛЕНИЯ
523
расположен правее точки у, будет
Фу, y)=
-s
dx>0.
Расщепляя оператор L в точке у и пользуясь теоремой 1 пв 107,
легко получаем доказательство первой части теоремы.
Для доказательства второй части теоремы при условии F)
построим бесконечную последовательность финитных функций
у 6 ?>?¦ с непересекающимися носителями, для которых будет
(Ly, у) < 0. Так как это же неравенство будет, очевидно, выпол-
выполняться и для любого элемента из бесконечномерного подпростран-
подпространства G, натянутого на построенную последовательность, то отсюда
на основании теоремы 2 п° 82 будет следовать, что отрицательная
полуось содержит бесконечное количество точек спектра У (L),
что и требуется.
Итак, пусть условие F) выполняется при х > у и пусть
у ? D^ — произвольная финитная функция с носителем, распо-
расположенным правее точки у. Полагая
имеем
= es, ^r =
Ух
2 6
и <х=
4л?
s. G)
Отсюда видно, что если положить
— a),
где
<Pn (s) =
sin2s при 0
1 при -^
sin2(s—N) при 4r
0 при s<0 или

524 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
и а > ос — любое, то для соответствующей функции у (х) при
достаточно большом ./V (не зависящем от а) будет (Ly, у) < 0. Выбрав
такое N и придавая а последовательно значения
k, k=\, 2, ...,
получим последовательность функций
zh(s) = (pN(s— ah),
которым отвечает искомая последовательность г/ь(х). Теорема дока-
доказана.
Неравенства E) и F) совпадают с классическими условиями
Кнезера неосцилляционности и осцилляционности решений диф-
дифференциального уравнения
y"-q(x)y = 0. (8)
Мы будем называть операцию A) осцилляторной, если решение
уравнения (8) имеет бесконечное число нулей на полуоси х > О
и неосцилляторной — в противном случае. Напомним, что нули
любых двух линейно независимых решений уравнения (8) пере-
перемежаются и поэтому, если одно из решений имеет бесконечное
число нулей, то и любое другое решение также имеет бесконечное
число нулей.
Следующее общее предложение устанавливает связь между
отрицательной частью спектра <У (L) и осцилляторностью опе-
операции A).
Теорема 6. Для того чтобы операция A) была осциллятор-
осцилляторной, необходимо и достаточно, чтобы отрицательная часть спектра
оператора L была бесконечным множеством.
Доказательство. Пусть решение у (х) уравнения (8)
имеет бесконечное число нулей at < Ct < a2 < Рг< • • -i так что
0Ы = 0(Р*) = О (А=1, 2, ...)¦ (9)
В интервале (ah, Cfe) функцию у (х) можно рассматривать как
собственную функцию задачи / [у] = Ку с краевым условием (9),
отвечающую собственному значению К = 0. Из вариационных
""принципов следует, что задача / [у] = Ку с краевым условием
где Pft > Рй, должна иметь отрицательное собственное значение Я h.
Соответствующую собственную функцию обозначим через фй (х),
так что

131. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА МЕТОДОМ РАСЩЕПЛЕНИЯ 525
т. е.
(\<p'h\2+q(x)\<ph\*)dx<0. A0)
«ft
Продолжим теперь ф& (х) на всю полуось х > 0 тождественным
нулем и сгладим ее в окрестности концов ah и р& так, чтобы полу-
полученная функция фй (х) вошла в Dj-. Это сглаживание легко про-
провести с сохранением интервала [ah, $'k] в качестве носителя финит-
финитной функции фь (х) и с сохранением неравенства A0), которое
теперь можно представить в виде
1 фй)<0 (k=l, 2, ...)•
Так как носители построенных функций не пересекаются, то для
любой функции ф (х) из бесконечномерной линейной оболочки G
функций фй (k = 1, 2, . . .) также будет (Lq>, ф)< 0, откуда в силу
теоремы 2 п° 82 следует бесконечность множества точек отрица-
отрицательной части спектра оператора L.
Пусть, обратно, множество ё1 (L) Q (—°°, 0) бесконечно
и пусть у (х) есть некоторое решение уравнения (8), а N — произ-
произвольно заданное положительное число. Требуется доказать, что
функция у (х) имеет корень, больший N.
Из бесконечности множества of (L) Q (—°°, 0) по лемме заклю-
заключаем о бесконечности множества <У (LT) Q (—°°, 0) при любом Y-
По теореме 2 п° 82 существует бесконечномерное многообразие
функций ф (х) из Dt, для которых (Ly<p, ф) < 0. Так как LT есть
конечномерное расширение дифференциального оператора Ly с ми-
минимальной областью определения, то и многообразие функций
<P?Dl4, для которых (Z/p, ф)<0, тоже бесконечномерно (для нас
важно лишь, что оно непусто ни при каком Y>0).'
Пусть ф (х) — одна из таких функций. Так как оператор Ly
есть замыкание оператора Ly, совпадающего с Lv на финитных
функциях из Dr , то найдется финитная функция <р (х) ? Dj^
для которой также будет
(LT9, ф)<0. A1)
Пусть финитная функция <р (х) равна нулю вне интервала (а, Ь).
Тогда из неравенства A1) вытекает, что регулярный дифферен-
дифференциальный оператор, порождаемый операцией A) с краевыми услови-
условиями у (а) = у (Ь) = 0, имеет по крайней мере одно отрицательное соб-
собственное значение X. При непрерывном убывании Ъ это собственное

526 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
значение К = л. (Ь), изменяясь непрерывно, при 6->й неогра-
неограниченно возрастает. Поэтому существует такое значение Ь* (а <
< Ь* < Ь), при котором л. (Ь*) = 0. Соответствующая собствен-
собственная функция ф* (х) удовлетворяет уравнению A1) и условиям
Но тогда любое решение у (х) должно иметь корень в интервале
[а, Ь]. Так как можно взять у > N, a а~>у, to теорема доказана.
Из других признаков неосцилляторности и осцилляторности отметим
следующую теорему, в условии которой потенциал q (х) при больших х
предполагается неположительным.
Если
Vim sup ж \ \q(t)\dt<~ ,
Я*->-оо «J ^
X
то операция A) неосцилляторна, а если ^
lim supx \ \q(t)\dt> I,
X
то она осцилляторна.
Остановимся теперь на признаках полуограниченности и ди-
дискретности всего спектра У (L). ^
Теорема 7. Если lim q (x) = +оо, то спектр оператора L
ограничен снизу и дискретен. _
Доказательство. Ограниченность снизу оператора L,
а следовательно, и его спектра, очевидна. Для доказательства
дискретности <У (L) по заданному N > 0 выберем точку расщепле-
расщепления у так, чтобы при х > y было q {x) > Л^. Тогда для любой фи-
финитной функции у 6 Dj-
так что пересечение Чо (Гт) П (—°°> Щ пусто и, следовательно,
пусто пересечение Чо (L) П (—°°. ^0- Отсюда в силу произволь-
произвольности Л^ следует,} что множество IS (X) пусто.
Более общий признак, принадлежащий А. М. Молчанову, состоит в сле-
следующей. Если потенциал q (x) ограничен снизу, то для дискретности спектра
оператора L необходимо и достаточно, чтобы стремилось к бесконечности

131. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА МЕТОДОМ РАСЩЕПЛЕНИЯ 527
среднее значение потенциала по любому конечному интервалу, т. е. пре-
предельное соотношение*
ЭС+СО
lim V q(t)dt==+со
J
при любом <и ^> 0.
X
Согласно теореме 3, в тех случаях, когда существует конеч-
конечный предел lim q (x) = <7со, т. е. равно нулю колебание потенциала
на бесконечности
со = lim sup q (x) — lim inf q (x),
непрерывный спектр оператора L совпадает с полуосью [<7оо, оо).
В связи с этим возникает вопрос о том, как будет сказываться
на непрерывном спектре влияние конечного предельного колеба-
колебания со ф 0 потенциала. Естественно ожидать, что это влияние
как-то должно регламентироваться величиной со. Действительно,
имеет место следующее предложение.
Теорема 8. Длина лакун в непрерывной части спектра опе-
оператора L не превосходит величины со.
Доказательство. Положим
o=lim inf q(x), q = lim sup g (x)
5C->oo 3C—>-oo
и введем операцию
i[y] = -y"+Q(x)y A2)
с потенциалом
Тогда
lim sup | Q (x)\ = <M,
где <M = — = -=- (q — о), и, достаточно установить, что длина
лакун в непрерывной части спектра оператора L, порождаемого
операцией A2), не превосходит 2Л.
Очевидно, левее точки—-a/It не существует точек непрерывной
части спектра оператора L. Пусть теперь Хо > 0 и б > <М, но интер-
интервал (Хо — б, Ко + б) не содержит точек из "t? (L). Покажем, что
это предположение приводит к противоречию.
Так как 9S (L) = "t? (LT), то в силу сделанного предположения
при любом \ пересечение 46 (LT) Q (^о — б, Хо + б) должно быть

528 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
пустым. Если теперь выбрать точку расщепления y так, чтобы
при х > y было \Q (х) |-<б0 < б, то, пользуясь леммой 2 п°94,
заключаем, что точка к0 не принадлежит непрерывной части спектра
оператора дифференцирования второго порядка сР2 в L2 (у, оо),
что абсурдно, так как последняя покрывает сплошь полуось X > 0.
При некоторых дополнительных ограничениях теорема 8 допускает
гущественное развитие. Так, например, если функция q (х) ограничена
и равномерно непрерывна на полуоси х )> 0, то длина лакун в g (L), распо-
расположенных правее точки %, по теореме Хартмана — Патнама стремится
к нулю. Это же имеет место для любых локально суммируемых периодиче-
периодических потенциалов.
Возмущение потенциала, обладающего конечным колебанием
в бесконечности, слагаемым т) (х), стремящимся к нулю при х-*- оо,
не изменяет % (L), но может внести дискретный спектр в лакуны
спектра 'ё (L). Число точек дискретного спектра, вносимого таким
образом в лакуну, может быть конечным или бесконечным. Воп-
Вопрос о том, какой из этих двух случаев имеет место, напоминает
задачу об условиях неосцилляторности и осцилляторности. Однако
в действительности этот вопрос существенно сложнее и до сих пор
остается неисследованным.
Единственным относящимся сюда результатом является теорема
Ф. С. Рофе-Бекетова *) об операторе Шредингера L с периодическим потен-
потенциалом q (x). Эта теорема состоит в следующем: если
\ x\r)(x)\dx<:co,
то дискретный спектр, вносимый в каждую лакуну спектра g (l) возмуще-
возмущением т] (х), конечен (и при этом достаточно далекие лакуны содержат не более
одного собственного значения каждая).
132. Примеры. I. Тригонометрические функции.
Дифференциальная операция:
/ (
Индексы дефекта оператора L равны A, 1). Граничное условие,
характеризующее самосопряженное расширение оператора:
*) Ф. С. Р о ф е-Б е к е т о в, Признак конечности числа дискретных
уровней, вносимых в лакуны непрерывного спектра возмущениями периоди-
периодического потенциала, ДАН СССР 156, № 3 A964).

132. ПРИМЕРЫ 529
Фундаментальная система решений:
и (t; К) = cos (V%t) -\—у=г sin (Vlt),
v(t; X)=—-^-sin (до-
(доопределение функции т (z) Cz > 0):
v(t; z) + m(z)u(t; z) =
= m(z) {cos (Vzt) + ^-sin (УЩ --^ sin {\/Ъ) =
условие принадлежности к L2 @, оо) дает:
откуда
Определение а (X):
а (X) = const +- lim — ? 3
o я J
если 0 > 0, то
если 6 < 0, то
и в точке
скачок
34 н. И. Ахиезер и И. М. Глазман

530 . ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Формулы обращения:
а) 6>0
e<o
J f{f) {cos [УЫ)+-ф= sin [VM)}dt (l>0)r
0
0 . (Кф-в2, Х<0),
Если граничное условие имеет вид
= 0,
то формулы обращения получаются заменой Ф (X) на 6Ф (X) и пре-
предельным переходом 6 -v oo;
оо
/ (t) = -L С
sin
В этом случае, как и при 8 = 0, мы получаем обычное преобразо-
преобразование Фурье — Планшереля для полуоси.
II. Функции Лежандра. Дифференциальная операция:
Оба конца интервала сингулярны.

132. ПРИМЕРЫ 531
Ортонормированная система решений уравнения
при невещественном К имеет вид
где ц — какой-нибудь корень уравнения
а Рц (t) — функция Лежандра первого рода, которая может быть
определена с помощью следующего ряда *):
2j V 2 ~ 2
сходящегося в круге \t — 1 | < 2. Этот ряд есть гипергеометри-
гипергеометрическая функция
^ + L — Ц.
Равным образом,
Поэтому при ^-v—1 + 0
In
откуда следует, что оба решения принадлежат L2 (—1, 1), т. е.
индексы дефекта оператора L равны B,2).
Полагая
где квазипроизводная toti]j(^ равна
*)Э. Т. Уиттекер и Д ж. Н. В а т с о н, .Курс современного
анализа, т. II, Физматгиз, 1963.
34*

532 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
можем переписать билинейную форму Лагранжа в виде
Для всякой функции ф (t) ? DL* существуют и конечны пре-
пределы
Многообразие DL есть совокупность всех тех функций ф (t) ?
? Djjf, для которых эти четыре предела равны нулю.
Эти два факта следуют из того, что при любой функции f (t) ?
€ L2 (—1, 1) общий интеграл уравнения
имеет вид
\}{ i
Чтобы получить самосопряженное расширение оператора L,
нужно, согласно общей теории, зафиксировать какое-нибудь X
из верхней полуплоскости (мы возьмем X — ц (ц + 1), где ц —
число чисто мнимое) и, выбрав унитарную матрицу (Qih)i,k=i,
положить
(t; Я) = щ (t; X) + 0U щ (t; I) + ®i2 u2 {t; I),
w2 (t; к) = иг (t; I) + #21 щ {t; X) + #22 u2 (t; X).
Далее следует найти значения
wW(±l;X), w%(±l;K) (ft=l,2)
и с их помощью составить краевые условия
[<P,a>ft]ii = 0 (?=1,2),
выделяющие из области DL* область Dz, .
Используя приведенные формулы, нетрудно составить сле-
следующую таблицу:
(± 1) =

132. ПРИМЕРЫ 533
На вычислении величины y (ц) мы не остановимся, но из даль-
дальнейшего будет ясно, что у (ц) ф ± 1 ¦
Простейшее и наиболее важное самосопряженное расширение
мы получим, полагая
В этом случае
±i) = о
Так как ни wt (t), ни w2(t) не принадлежат DL, то последние
выражения отличны от нуля, и, значит, Y (мО т^ ±1-
Краевые условия, характеризующие рассматриваемое расши-
расширение, имеют вид
ф[1]A) = ф[1](_1) = 0. A)
Им можно придать и другую форму. Во-первых, они эквивалентны
условию:
«рШ(ое^(-1,1). B)
Во-вторых, они эквивалентны следующему требованию:
Ф (t) стремится к конечным пределам при t —> ± 1. C)
Докажем эквивалентность этих условий. При этом достаточно
рассмотреть случай вещественных функций.
В этом случае мы можем написать тождество
D)
левая часть которого имеет конечный предел при а->—1, р-»- 1,
какова бы ни была функция <р (t) ? DL*. С другой стороны,
— 1

534 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Поэтому если выполнено условие A), то
и, значит,
откуда следует, что ф (t) стремится к конечным пределам при
t-*-±l, т. е. выполняется условие C), а из тождества D) выте-
вытекает и существование интеграла *)
E)
-А
т. е. условие B). Итак, A) -> C) и A) -> B), и остается доказать,
что B) -*¦ A). Но если интеграл E) существует, то tpC*3 A) не может
быть отличным от нуля, так как в противном случае из конечности
Ф* A) следовало бы, что ф (t) имеет бесконечный предел при t -v 1,
что приводит к противоречию в силу тождества D).
Самосопряженное расширение, характеризуемое одним из усло-
условий A) — C), приводит к классическим разложениям по много-
многочленам Лежандра. Так как граничные условия A) распадаются,
то спектр расширения прост. При этом спектр является чисто
точечным, без конечных точек сгущения, а обратный оператор
вполне непрерывен. Многочлены Лежандра
*^ <« = <>, 1.2,...)
удовлетворяют уравнению
и, кроме того, удовлетворяют условию C). А так как совокуп-
совокупность всех многочленов Рп (t) образует полную ортогональную
систему в L2 (—1, 1), то спектр рассматриваемого расширения
состоит из точек
(л = 0, 1,2, ...)
и соответствующие этому случаю формулы обращения следуют
из разложения в ряд по многочленам Лежандра.
*) Заметим, что уравнение / [ф] = 0 совпадает с уравнением Эйлера —
Лагранжа для интеграла / (ф). В связи с этим см. Friedrichs, Ober die
ausgezeichnete Randbedingung..., Math. Ann., 112, стр. 1—23 A935).

312. ПРИМЕРЫ 535
III. Функции Чебышева — Эрмита связаны с диф-
дифференциальной операцией
1=~Ш + *2 (-с° <*<«>), F)
которая, в частности, имеет большое значение в теории так назы-
называемого линейного осциллятора в квантовой механике.
Оператор L, порожденный операцией F), является самосопря-
самосопряженным оператором в силу теоремы 5 п° 128. Легко проверить,
что уравнению
— и"+ (t2 —1I1 = 0
при
(п = 0, 1, 2, ...)
удовлетворяют последовательные функции Чебышева — Эрмита
(см. п° 12), образующие полную систему в L2 (—оо, оо). Поэтому
оператор L имеет чисто дискретный спектр с единственной предель-
предельной точкой в бесконечности. Таким образом, формулы обращения,
связанные с оператором L, сводятся к разложению по функциям
Чебышева — Эрмита.
Рассмотренный пример является в некотором отношении
поучительным. Он показывает, что свойство резольвенты быть
вполне непрерывным оператором, которое, согласно теореме 2
п° 128, всегда имеет место в квазирегулярном случае, может иметь
место и в других случаях (и даже в случае минимальных индек-
индексов дефекта, как в приведенном примере).
IV. Функции Бесселя. Среди различных дифферен-
дифференциальных операций, приводящих к функциям Бесселя, важнейшая
имеет вид
/--*-+*"*"• G)
эту операцию мы и рассмотрим при параметре v > 0. Что касается
интервала, то естественно изучить следующие три случая:
а) 0 < t*Cl —один сингулярный конец;
Р) 1 < t < оо — один сингулярный конец;
Y) 0 < t < оо — два сингулярных конца.
Общий интеграл уравнения
Ы = 0 (8)
при X ф 0 имеет вид
I _ I _
и (t; к) = AV Jv (t\/~K) + Bt* Yv(t VI), (9)

536 ДОБАВЛЕНИЕ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
где А, В — произвольные константы, a /v (z), Yv (z) — цилиндри-
цилиндрические функции 1-го и, соответственно, 2-го рода, которые опре-
определяются формулами
v+2fc
Jv(z)cosnv—J
sin nv
Мы будем предполагать, что 3^ > 0 и t > 0; таким образом,
величина г = f^k будет удовлетворять неравенству
Но при | arg 2|<я — ей |z|-voo имеют место асимптотические
формулы
/~~о~ ( — — 5-^
С помощью формулы (9) найдем, что уравнение (8) не имеет двух
линейно независимых решений, принадлежащих L2 A,оо). Но одно
такое решение существует обязательно. Этим решением является
функция
Индексы дефекта оператора L в случае Р) равны, таким обра-
образом, A, 1).
Найдем индексы дефекта оператора L в случае а). Так как
при z-> О
1
а, с другой стороны, z2Yv (z) не принадлежит L2@, 1), если v> 1,
и принадлежит L2 @, 1), если 0<>-< 1, то в случае а) индексы
дефекта оператора L равны
B, 2) при 0<v<l,
A, 1) при v>l.

132. ПРИМЕРЫ 537
Поэтому в случае y) индексы дефекта оператора L равны
A,1) при 0<v<l,
(О, 0) при v > 1.
В каждом из перечисленных случаев дифференциальная опера-
операция G) порождает некоторые формулы обращения.
Единственную пару формул мы получим для интервала @, оо)
при v>l. Эта пара формул имеет вид
(Ю)
Мы имеем здесь не только унитарный, но и самосопряженный опе-
оператор в L2 @, оо), который носит название преобразования Ганкеля.
Убедиться в справедливости формул обращения A0) проще всего
непосредственно, применяя один из указанных нами приемов для
получения формул обращения Фурье — Планшереля. При этом
оказывается, что формулы A0) справедливы также для v>0, но
для 0<Iv < 1 они не являются уже единственными формулами
обращения на полуоси *), порожденными операцией G).
Рассмотрим случай интервала @, 1) при v > 1 и примем, что
краевое условие на регулярном конце имеет вид
= 0.
Следовательно, мы можем положить
и (t; К) = f yi {Jv(tyX) Yv (УТ.) -Yv (tV~%) Jv (]/!)].
Пусть, далее,
v(t; *) = -?¦ УII{jv(t Ух)Y'v(yj,)-Yv(t yi) J'v(y%)}.
Тогда
K' ' i u(s;z)[v(t;z)+m(z)u(t;z)] (t<s).
*) Формулы A0) справедливы даже при v ;> —1. См. Н. И. А х и е -
зер, Лекции по теории аппроксимации, изд. 2-е, «Наука», 1965, стр. 135.

538 ДОБАВЛЕНИЕ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Функция т (z) определяется из условия принадлежности решения
v(t;z)+m(z)u(t;z)
пространству L2 @, 1). Это значит, что функция
f VI Jv(t V'z) [yi Y-v(Vz) + m (z) Yv(\fz)] -
должна сводиться к первому члену. Итак,
Эта функция представима в виде
n=l
где %п — отличные от нуля корни функции /v (|/z), откуда сле-
следует, что о (к) есть кусочно-постоянная функция и последователь-
последовательность Ки %2, ^з, ¦ • • образует спектр. Собственные функции суть
Формулы обращения сводятся к формуле разложения
/ @ - S ^r^Z? \
l yv W^n) J
n=l
известной под названием формулы Фурье — Бесселя.
Если бы на регулярном конце было взято общее условие
то мы пришли бы к так называемым рядам Фурье — Лини.
На случае интервала @, 1) при 0<v< 1 мы не остановимся.
Заметим лишь, что на этот случай переносится прием, которым мы
воспользовались при рассмотрении операции Лежандра.
Равным образом мы можем предоставить читателю рассмотре-
рассмотрение случая, когда интервалом является A, оо), а индексы дефекта
равны A, 1). Если принять на регулярном конце условие

132. ПРИМЕРЫ 539
то, применив неоднократно использованный прием, найдем:
и получим формулы обращения Вебера:
oo

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Базис 54
— матричного представления опера-
оператора 153
— ортонормированный 56
— Рисса 59
Вектор корневой 179
Грань оператора нижняя (верхняя)
135
Дефектное подпространство операто-
оператора 351
— число линейного многообразия
351
— — оператора 351
Дефектный элемент оператора 351
Замыкание множества 16
— оператора 128
Изоморфизм пространств Гильбер-
Гильберта 39
Инварианты унитарные 295
Индексы дефекта изометрического
оператора 351
— — симметрического оператора
351
Каноническая форма оператора с
простым спектром 283
Классы по модулю 11
Кольцо операторов 306
— — слабо замкнутое 306
Компонента сингулярной части
спектра дискретная, непрерывная
330
Комопоненты (координаты) вектора
Коэффициент Фурье 29
Кратность собственного значения 131
— спектра общая, в интервале, в
точке 289
Линейная комбинация 9
— независимость векторов 9
— по модулю 11
— — линейных многообразий 10
— оболочка 10
— — замкнутая 16
— система 9
— — бесконечномерная 10
— — квазиметризованная 14
— — конечномерная 10
— — метризованная 12
Линейное многообразие 10
Матрица Грама 25
— эрмитова 92
— — неограниченная 158
— якобиева 100
Множество выпуклое 20
— замкнутое 16
— компактное 83
— слабо компактное 83
Несобственный элемент пространст-
пространства 300
Норма элемента 12
— билинейного функционала 74
— линейного оператора 72
— — — абсолютная 97
— — функционала 62
Носитель функции 520
Нулевое многообразие оператора 130
— подпространство оператора 130
Область начальная (конечная) час-
частично изометрического операто-
оператора 122

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
541
Общая часть операторов 369
— — — максимальная 369
Окрестность точки 15
Оператор 60
— волновой 335
— Вольтерров 433
— вполне непрерывный 94
— Гильберта — Шмидта 103
— дифференциальный квазирегуляр-
квазирегулярный 488
— — регулярный минимальный 478
— — — с минимальной областью
определения 478
— — сингулярный минимальный
482
— — — с минимальной областью
определения 482
— дифференцирования 162
— замкнутый 127
— идемпотентный 152
— изометрический 121
— — максимальный 138
— — — элементарный 364
— — простой 360
— интегральный Карлемана 443
— линейный 71
— — конечномерный 72
— непрерывный 61
— неприводимый 132
— нормальный 132
— обратный 60
— ограниченный 61
— положительный 78, 135
— полуограниченный снизу (свер-
(сверху) 135
— полуунитарный 122
— проектирования ПО, 151
— проектирующий ПО, 151
— — приводящий 133
— рассеяния 338
— самосопряженный 77, 136
— симметрический (эрмитов) 135
— — вещественный 146
— — максимальный 136
— — — элементарный 364
— — простой 360
— — с неплотной областью опреде-
определения 379
— сопряжения 145
— сопряженный 77, 128
— транспонированный 146
— умножения 54
— унитарный 119
— частично изометрический 122
— ядерный 209
¦Операторы перестановочные 62
Операторы унитарно эквивалентные
122
Операция дифференциальная 472
— — неосцилляторная 524
— — осцилляторная 524
— — регулярная 473
— — сингулярная 473
— — Шредингера 519
Определитель Грама 25
Ортогонализация 26
Ортогональное дополнение 23
Ортогональность 13
Ортопроектор ПО, 151
Подпространство 17
— инвариантное 131
— корневое 179
— приводящее 132
— собственное 131
Поле регулярности оператора 349
Порождающее подпространство опе-
оператора с кратным спектром 289
Порождающий базис оператора с
кратным спектром 292
— вектор оператора с простым спект-
спектром 280
Последовательность векторов орто-
ортогональная 26
— — ортонормированная 26
— — фундаментальная 16
Потенциал операции Шредингера
519
Предел в метрическом пространстве
15
— в среднем 43
Предельная окружность Вейля 513
— точка множества в метрическом
пространстве 16
Представление матричное оператора
в ортонормированном базисе 90
Преобразование Кэли 144, 268, 355
Проектор ПО, 151
Проекция вектора на подпростран-
подпространство 23
Произведение квазискалярное 14
— операторов 62
— скалярное 12
Пространство Банаха 16
— Гильберта 17
— метрическое 15
— — полное 16
— сепарабельное 16
Радиус сферы в метрическом про-
пространстве 15

542
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Разложение единицы (обобщенное)
391
— — (ортогональное) 214
Размерность пространства Гильбер-
Гильберта 39
— по модулю 11
Ранг собственного значения 179
Расстояние в метрическом простран-
пространстве 15
Раствор линейных многообразий 116
Расширение оператора 61
— — жесткое 387
— — изометрическое (унитарное)
с выходом из пространства 396
— — квазисамосопряженное 417
— — квазиунитарное 419
— — по непрерывности 61
— — симметрическое (самосопря-
(самосопряженное) с выходом из пространства
396
— функционала 61
— — по непрерывности 61
Расширения операторов взаимно
простые 369
— — симметрические (самосопря-
(самосопряженные) I, II, III рода 397
Регулярная точка (значение) опера-
оператора 140, 142
Регулярный конец интервала 473
— элемент относительно оператора
328
Резольвента 143
— обобщенная 404
— ортогональная 404
Самосопряженные граничные усло-
условия 481
Сингулярное число (s-число) опера-
оператора 208
Сингулярные свойства спектра 519
Сингулярный конец интервала 473
— элемент относительно оператора
328
Система векторов биортогональная 47
— — замкнутая 30
— — полная 34
След матричный 210
Собственная частота группы уни-
унитарных операторов 278
— — унитарного оператора 278
Собственное значение оператора 130
Собственный вектор оператора 131
Сопряженность биортогональная 47
Спектр 140, 142
— дискретный 142
Спектр непрерывный 142
— остаточный 320
— предельный 316
— простой 280
— сгущения 316
—¦ точечный 142
Спектральная матрица дифферен-
дифференциального оператора 517
— функция вольтеррова оператора.
434
— — дифференциального оператора.
506
— — самосопряженного (унитарно-
(унитарного) оператора 279
— — симметрического оператора
399
Спектральный тип оператора 286
— — функции распределения 286
— — элемента 286
Сумма линейных многообразий пря-
прямая 10
— операторов ортогональная 73
— подпространств ортогональная
23
Сфера в метрическом пространстве 15
Сходимость в среднем 43
— операторов равномерная 103
— — сильная 103
— — слабая 103
—, порождаемая положительным
оператором (Л-сходимость) 388-
— последовательности векторов
сильная, слабая 81
Тип точки непрерывного спектра
521
Точка расщепления дифференциаль-
дифференциального оператора 519
— регулярного типа 349
Фактор-многообразие 11
Формулы обращения 499, 514
Функционал 60
— билинейный 73
— выпуклый 68
— линейный 62
— направляющий 501
—¦ непрерывный 61
— ограниченный 61
— однородный аддитивный 62
Функция от оператора 297
— распределения (матричная) 290
— — (скалярная) 50
— финитная 123
— эрмитово-положительная 392

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
54а
Характеристическая функция изо-
изометрического оператора 423
— — интервала (векторная) 291
— — (скалярная) 50
— — квазисамосопряженного рас-
расширения 425
— — квазиунитарного расширения
425
— — симметрического оператора 423
Центр сферы в метрическом про-
пространстве 15
Цепочка инвариантных подпрост-
подпространств вольтеррова оператора 434,
435
Часть непрерывная ядра спектра
оператора 366
— оператора абсолютно непрерыв-
непрерывная 330
— — в инвариантном подпростран-
подпространстве 131
— — сингулярная 330
— спектра абсолютно непрерывная
330
— — сингулярная 330
— точечная ядра спектра оператора
366
Эквивалентные множества векторов
26
Часть максимальная самосопряжен-
самосопряженная симметрического оператора 361
— — унитарная изометрического
оператора 361
Ядра Карлемана I, II рода 443
Ядро Карлемана 439
— спектра симметрического опера-
оператора 366

Наум Ильич Ахиезер
Израиль Маркович Глазман
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
М., 1966 г., 544 стр.
Редактор Ф. С. Рофе-Бекетов
Художник Ю. И. Соколов
Техн. редактор С. Я- Шкдяр
Корректор Е. А. Белицкая
Сдано в набор 9/IV 1966 г.
Подписано к печати 5/VII 1966 г.
Бумага бОхЭО'/ш- Физ. печ. л. 34. '
Условн. печ. л. 34. Уч.-изд. л. 33,88.
Тираж 10000 экз. Т-08281.
Цена книги 2 р. 39 к. Зак. № 199
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71,
Ленинский проспект, 15
Московская типография № 16
Главполиграфпрома
Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, Трехпрудный пер., 9